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3.2M
| lang
stringclasses 14
values |
|---|---|
//C- -*- C++ -*-
//C- -------------------------------------------------------------------
//C- DjVuLibre-3.5
//C- Copyright (c) 2002 Leon Bottou and Yann Le Cun.
//C- Copyright (c) 2001 AT&T
//C-
//C- This software is subject to, and may be distributed under, the
//C- GNU General Public License, either Version 2 of the license,
//C- or (at your option) any later version. The license should have
//C- accompanied the software or you may obtain a copy of the license
//C- from the Free Software Foundation at http://www.fsf.org .
//C-
//C- This program is distributed in the hope that it will be useful,
//C- but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
//C- MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE. See the
//C- GNU General Public License for more details.
//C-
//C- DjVuLibre-3.5 is derived from the DjVu(r) Reference Library from
//C- Lizardtech Software. Lizardtech Software has authorized us to
//C- replace the original DjVu(r) Reference Library notice by the following
//C- text (see doc/lizard2002.djvu and doc/lizardtech2007.djvu):
//C-
//C- ------------------------------------------------------------------
//C- | DjVu (r) Reference Library (v. 3.5)
//C- | Copyright (c) 1999-2001 LizardTech, Inc. All Rights Reserved.
//C- | The DjVu Reference Library is protected by U.S. Pat. No.
//C- | 6,058,214 and patents pending.
//C- |
//C- | This software is subject to, and may be distributed under, the
//C- | GNU General Public License, either Version 2 of the license,
//C- | or (at your option) any later version. The license should have
//C- | accompanied the software or you may obtain a copy of the license
//C- | from the Free Software Foundation at http://www.fsf.org .
//C- |
//C- | The computer code originally released by LizardTech under this
//C- | license and unmodified by other parties is deemed "the LIZARDTECH
//C- | ORIGINAL CODE." Subject to any third party intellectual property
//C- | claims, LizardTech grants recipient a worldwide, royalty-free,
//C- | non-exclusive license to make, use, sell, or otherwise dispose of
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//C- | General Public License. This grant only confers the right to
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//C- | the extent such infringement is reasonably necessary to enable
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//C- | of the LIZARDTECH ORIGINAL CODE (or portions thereof) and not to
//C- | any greater extent that may be necessary to utilize further
//C- | modifications or combinations.
//C- |
//C- | The LIZARDTECH ORIGINAL CODE is provided "AS IS" WITHOUT WARRANTY
//C- | OF ANY KIND, EITHER EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED
//C- | TO ANY WARRANTY OF NON-INFRINGEMENT, OR ANY IMPLIED WARRANTY OF
//C- | MERCHANTABILITY OR FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.
//C- +------------------------------------------------------------------
//
// $Id: GScaler.cpp,v 1.15 2007/03/25 20:48:32 leonb Exp $
#ifdef HAVE_CONFIG_H
# include "config.h"
#endif
#if NEED_GNUG_PRAGMAS
# pragma implementation
#endif
// Rescale images with fast bilinear interpolation
// From: Leon Bottou, 1/31/2002
// Almost equal to my initial code.
#include "GScaler.h"
#ifdef HAVE_NAMESPACES
namespace DJVU {
# ifdef NOT_DEFINED // Just to fool emacs c++ mode
}
#endif
#endif
////////////////////////////////////////
// CONSTANTS
#define FRACBITS 4
#define FRACSIZE (1<<FRACBITS)
#define FRACSIZE2 (FRACSIZE>>1)
#define FRACMASK (FRACSIZE-1)
////////////////////////////////////////
// UTILITIES
static int interp_ok = 0;
static short interp[FRACSIZE][512];
static void
prepare_interp()
{
if (! interp_ok)
{
interp_ok = 1;
for (int i=0; i<FRACSIZE; i++)
{
short *deltas = & interp[i][256];
for (int j = -255; j <= 255; j++)
deltas[j] = ( j*i + FRACSIZE2 ) >> FRACBITS;
}
}
}
static inline int
mini(int x, int y)
{
return (x < y ? x : y);
}
static inline int
maxi(int x, int y)
{
return (x > y ? x : y);
}
////////////////////////////////////////
// GSCALER
GScaler::GScaler()
: inw(0), inh(0),
xshift(0), yshift(0), redw(0), redh(0),
outw(0), outh(0),
gvcoord(vcoord,0), ghcoord(hcoord,0)
{
}
GScaler::~GScaler()
{
}
void
GScaler::set_input_size(int w, int h)
{
inw = w;
inh = h;
if (vcoord)
{
gvcoord.resize(0);
}
if (hcoord)
{
ghcoord.resize(0);
}
}
void
GScaler::set_output_size(int w, int h)
{
outw = w;
outh = h;
if (vcoord)
{
gvcoord.resize(0);
}
if (hcoord)
{
ghcoord.resize(0);
}
}
static void
prepare_coord(int *coord, int inmax, int outmax, int in, int out)
{
int len = (in*FRACSIZE);
int beg = (len+out)/(2*out) - FRACSIZE2;
// Bresenham algorithm
int y = beg;
int z = out/2;
int inmaxlim = (inmax-1)*FRACSIZE;
for (int x=0; x<outmax; x++)
{
coord[x] = mini(y,inmaxlim);
z = z + len;
y = y + z / out;
z = z % out;
}
// Result must fit exactly
if (out==outmax && y!=beg+len)
G_THROW( ERR_MSG("GScaler.assertion") );
}
void
GScaler::set_horz_ratio(int numer, int denom)
{
if (! (inw>0 && inh>0 && outw>0 && outh>0))
G_THROW( ERR_MSG("GScaler.undef_size") );
// Implicit ratio (determined by the input/output sizes)
if (numer==0 && denom==0) {
numer = outw;
denom = inw;
} else if (numer<=0 || denom<=0)
G_THROW( ERR_MSG("GScaler.ratios") );
// Compute horz reduction
xshift = 0;
redw = inw;
while (numer+numer < denom) {
xshift += 1;
redw = (redw + 1) >> 1;
numer = numer << 1;
}
// Compute coordinate table
if (! hcoord)
ghcoord.resize(outw);
prepare_coord(hcoord, redw, outw, denom, numer);
}
void
GScaler::set_vert_ratio(int numer, int denom)
{
if (! (inw>0 && inh>0 && outw>0 && outh>0))
G_THROW( ERR_MSG("GScaler.undef_size") );
// Implicit ratio (determined by the input/output sizes)
if (numer==0 && denom==0) {
numer = outh;
denom = inh;
} else if (numer<=0 || denom<=0)
G_THROW( ERR_MSG("GScaler.ratios") );
// Compute horz reduction
yshift = 0;
redh = inh;
while (numer+numer < denom) {
yshift += 1;
redh = (redh + 1) >> 1;
numer = numer << 1;
}
// Compute coordinate table
if (! vcoord)
{
gvcoord.resize(outh);
}
prepare_coord(vcoord, redh, outh, denom, numer);
}
void
GScaler::make_rectangles(const GRect &desired, GRect &red, GRect &inp)
{
// Parameter validation
if (desired.xmin<0 || desired.ymin<0 ||
desired.xmax>outw || desired.ymax>outh )
G_THROW( ERR_MSG("GScaler.too_big") );
// Compute ratio (if not done yet)
if (!vcoord)
set_vert_ratio(0,0);
if (!hcoord)
set_horz_ratio(0,0);
// Compute reduced bounds
red.xmin = (hcoord[desired.xmin]) >> FRACBITS;
red.ymin = (vcoord[desired.ymin]) >> FRACBITS;
red.xmax = (hcoord[desired.xmax-1]+FRACSIZE-1) >> FRACBITS;
red.ymax = (vcoord[desired.ymax-1]+FRACSIZE-1) >> FRACBITS;
// Borders
red.xmin = maxi(red.xmin, 0);
red.xmax = mini(red.xmax+1, redw);
red.ymin = maxi(red.ymin, 0);
red.ymax = mini(red.ymax+1, redh);
// Input
inp.xmin = maxi(red.xmin<<xshift, 0);
inp.xmax = mini(red.xmax<<xshift, inw);
inp.ymin = maxi(red.ymin<<yshift, 0);
inp.ymax = mini(red.ymax<<yshift, inh);
}
void
GScaler::get_input_rect( const GRect &desired_output, GRect &required_input )
{
GRect red;
make_rectangles(desired_output, red, required_input);
}
////////////////////////////////////////
// GBITMAPSCALER
GBitmapScaler::GBitmapScaler()
: glbuffer(lbuffer,0), gconv(conv,0), gp1(p1,0), gp2(p2,0)
{
}
GBitmapScaler::GBitmapScaler(int inw, int inh, int outw, int outh)
: glbuffer(lbuffer,0), gconv(conv,0), gp1(p1,0), gp2(p2,0)
{
set_input_size(inw, inh);
set_output_size(outw, outh);
}
GBitmapScaler::~GBitmapScaler()
{
}
unsigned char *
GBitmapScaler::get_line(int fy,
const GRect &required_red,
const GRect &provided_input,
const GBitmap &input )
{
if (fy < required_red.ymin)
fy = required_red.ymin;
else if (fy >= required_red.ymax)
fy = required_red.ymax - 1;
// Cached line
if (fy == l2)
return p2;
if (fy == l1)
return p1;
// Shift
unsigned char *p = p1;
p1 = p2;
l1 = l2;
p2 = p;
l2 = fy;
if (xshift==0 && yshift==0)
{
// Fast mode
int dx = required_red.xmin-provided_input.xmin;
int dx1 = required_red.xmax-provided_input.xmin;
const unsigned char *inp1 = input[fy-provided_input.ymin] + dx;
while (dx++ < dx1)
*p++ = conv[*inp1++];
return p2;
}
else
{
// Compute location of line
GRect line;
line.xmin = required_red.xmin << xshift;
line.xmax = required_red.xmax << xshift;
line.ymin = fy << yshift;
line.ymax = (fy+1) << yshift;
line.intersect(line, provided_input);
line.translate(-provided_input.xmin, -provided_input.ymin);
// Prepare variables
const unsigned char *botline = input[line.ymin];
int rowsize = input.rowsize();
int sw = 1<<xshift;
int div = xshift+yshift;
int rnd = 1<<(div-1);
// Compute averages
for (int x=line.xmin; x<line.xmax; x+=sw,p++)
{
int g=0, s=0;
const unsigned char *inp0 = botline + x;
int sy1 = mini(line.height(), (1<<yshift));
for (int sy=0; sy<sy1; sy++,inp0+=rowsize)
{
const unsigned char *inp1;
const unsigned char *inp2 = inp0 + mini(x+sw, line.xmax) - x;
for (inp1=inp0; inp1<inp2; inp1++)
{
g += conv[*inp1];
//< Changed for WinDjView project
// s += 1;
//>
}
//< Changed for WinDjView project
s += inp2 - inp0;
//>
}
if (s == rnd+rnd)
*p = (g+rnd)>>div;
else
*p = (g+s/2)/s;
}
// Return
return p2;
}
}
void
GBitmapScaler::scale( const GRect &provided_input, const GBitmap &input,
const GRect &desired_output, GBitmap &output )
{
// Compute rectangles
GRect required_input;
GRect required_red;
make_rectangles(desired_output, required_red, required_input);
// Parameter validation
if (provided_input.width() != (int)input.columns() ||
provided_input.height() != (int)input.rows() )
G_THROW( ERR_MSG("GScaler.no_match") );
if (provided_input.xmin > required_input.xmin ||
provided_input.ymin > required_input.ymin ||
provided_input.xmax < required_input.xmax ||
provided_input.ymax < required_input.ymax )
G_THROW( ERR_MSG("GScaler.too_small") );
// Adjust output pixmap
if (desired_output.width() != (int)output.columns() ||
desired_output.height() != (int)output.rows() )
output.init(desired_output.height(), desired_output.width());
output.set_grays(256);
// Prepare temp stuff
gp1.resize(0);
gp2.resize(0);
glbuffer.resize(0);
prepare_interp();
const int bufw = required_red.width();
glbuffer.resize(bufw+2);
gp1.resize(bufw);
gp2.resize(bufw);
l1 = l2 = -1;
// Prepare gray conversion array (conv)
gconv.resize(0);
gconv.resize(256);
int maxgray = input.get_grays()-1;
for (int i=0; i<256; i++)
{
conv[i]=(i<= maxgray)
?(((i*255) + (maxgray>>1)) / maxgray)
:255;
}
// Loop on output lines
for (int y=desired_output.ymin; y<desired_output.ymax; y++)
{
// Perform vertical interpolation
{
int fy = vcoord[y];
int fy1 = fy>>FRACBITS;
int fy2 = fy1+1;
const unsigned char *lower, *upper;
// Obtain upper and lower line in reduced image
lower = get_line(fy1, required_red, provided_input, input);
upper = get_line(fy2, required_red, provided_input, input);
// Compute line
unsigned char *dest = lbuffer+1;
const short *deltas = & interp[fy&FRACMASK][256];
for(unsigned char const * const edest=(unsigned char const *)dest+bufw;
dest<edest;upper++,lower++,dest++)
{
const int l = *lower;
const int u = *upper;
*dest = l + deltas[u-l];
}
}
// Perform horizontal interpolation
{
// Prepare for side effects
lbuffer[0] = lbuffer[1];
lbuffer[bufw+1] = lbuffer[bufw];
unsigned char *line = lbuffer+1-required_red.xmin;
unsigned char *dest = output[y-desired_output.ymin];
// Loop horizontally
for (int x=desired_output.xmin; x<desired_output.xmax; x++)
{
int n = hcoord[x];
const unsigned char *lower = line + (n>>FRACBITS);
const short *deltas = &interp[n&FRACMASK][256];
int l = lower[0];
int u = lower[1];
*dest = l + deltas[u-l];
dest++;
}
}
}
// Free temporaries
gp1.resize(0);
gp2.resize(0);
glbuffer.resize(0);
gconv.resize(0);
}
////////////////////////////////////////
// GPIXMAPSCALER
GPixmapScaler::GPixmapScaler()
: glbuffer(lbuffer,0),
gp1(p1,0),
gp2(p2,0)
{
}
GPixmapScaler::GPixmapScaler(int inw, int inh, int outw, int outh)
: glbuffer(lbuffer,0),
gp1(p1,0),
gp2(p2,0)
{
set_input_size(inw, inh);
set_output_size(outw, outh);
}
GPixmapScaler::~GPixmapScaler()
{
}
GPixel *
GPixmapScaler::get_line(int fy,
const GRect &required_red,
const GRect &provided_input,
const GPixmap &input )
{
if (fy < required_red.ymin)
fy = required_red.ymin;
else if (fy >= required_red.ymax)
fy = required_red.ymax - 1;
// Cached line
if (fy == l2)
return p2;
if (fy == l1)
return p1;
// Shift
GPixel *p=p1;
p1 = p2;
l1 = l2;
p2 = p;
l2 = fy;
// Compute location of line
GRect line;
line.xmin = required_red.xmin << xshift;
line.xmax = required_red.xmax << xshift;
line.ymin = fy << yshift;
line.ymax = (fy+1) << yshift;
line.intersect(line, provided_input);
line.translate(-provided_input.xmin, -provided_input.ymin);
// Prepare variables
const GPixel *botline = input[line.ymin];
int rowsize = input.rowsize();
int sw = 1<<xshift;
int div = xshift+yshift;
int rnd = 1<<(div-1);
// Compute averages
for (int x=line.xmin; x<line.xmax; x+=sw,p++)
{
int r=0, g=0, b=0, s=0;
const GPixel *inp0 = botline + x;
int sy1 = mini(line.height(), (1<<yshift));
for (int sy=0; sy<sy1; sy++,inp0+=rowsize)
{
const GPixel *inp1;
const GPixel *inp2 = inp0 + mini(x+sw, line.xmax) - x;
for (inp1 = inp0; inp1<inp2; inp1++)
{
r += inp1->r;
g += inp1->g;
b += inp1->b;
s += 1;
}
}
if (s == rnd+rnd)
{
p->r = (r+rnd) >> div;
p->g = (g+rnd) >> div;
p->b = (b+rnd) >> div;
}
else
{
p->r = (r+s/2)/s;
p->g = (g+s/2)/s;
p->b = (b+s/2)/s;
}
}
// Return
return (GPixel *)p2;
}
void
GPixmapScaler::scale( const GRect &provided_input, const GPixmap &input,
const GRect &desired_output, GPixmap &output )
{
// Compute rectangles
GRect required_input;
GRect required_red;
make_rectangles(desired_output, required_red, required_input);
// Parameter validation
if (provided_input.width() != (int)input.columns() ||
provided_input.height() != (int)input.rows() )
G_THROW( ERR_MSG("GScaler.no_match") );
if (provided_input.xmin > required_input.xmin ||
provided_input.ymin > required_input.ymin ||
provided_input.xmax < required_input.xmax ||
provided_input.ymax < required_input.ymax )
G_THROW( ERR_MSG("GScaler.too_small") );
// Adjust output pixmap
if (desired_output.width() != (int)output.columns() ||
desired_output.height() != (int)output.rows() )
output.init(desired_output.height(), desired_output.width());
// Prepare temp stuff
gp1.resize(0);
gp2.resize(0);
glbuffer.resize(0);
prepare_interp();
const int bufw = required_red.width();
glbuffer.resize(bufw+2);
if (xshift>0 || yshift>0)
{
gp1.resize(bufw);
gp2.resize(bufw);
l1 = l2 = -1;
}
// Loop on output lines
for (int y=desired_output.ymin; y<desired_output.ymax; y++)
{
// Perform vertical interpolation
{
int fy = vcoord[y];
int fy1 = fy>>FRACBITS;
int fy2 = fy1+1;
const GPixel *lower, *upper;
// Obtain upper and lower line in reduced image
if (xshift>0 || yshift>0)
{
lower = get_line(fy1, required_red, provided_input, input);
upper = get_line(fy2, required_red, provided_input, input);
}
else
{
int dx = required_red.xmin-provided_input.xmin;
fy1 = maxi(fy1, required_red.ymin);
fy2 = mini(fy2, required_red.ymax-1);
lower = input[fy1-provided_input.ymin] + dx;
upper = input[fy2-provided_input.ymin] + dx;
}
// Compute line
GPixel *dest = lbuffer+1;
const short *deltas = & interp[fy&FRACMASK][256];
for(GPixel const * const edest = (GPixel const *)dest+bufw;
dest<edest;upper++,lower++,dest++)
{
const int lower_r = lower->r;
const int delta_r = deltas[(int)upper->r - lower_r];
dest->r = lower_r + delta_r;
const int lower_g = lower->g;
const int delta_g = deltas[(int)upper->g - lower_g];
dest->g = lower_g + delta_g;
const int lower_b = lower->b;
const int delta_b = deltas[(int)upper->b - lower_b];
dest->b = lower_b + delta_b;
}
}
// Perform horizontal interpolation
{
// Prepare for side effects
lbuffer[0] = lbuffer[1];
lbuffer[bufw+1] = lbuffer[bufw];
GPixel *line = lbuffer+1-required_red.xmin;
GPixel *dest = output[y-desired_output.ymin];
// Loop horizontally
for (int x=desired_output.xmin; x<desired_output.xmax; x++,dest++)
{
const int n = hcoord[x];
const GPixel *lower = line + (n>>FRACBITS);
const short *deltas = &interp[n&FRACMASK][256];
const int lower_r = lower[0].r;
const int delta_r = deltas[(int)lower[1].r - lower_r];
dest->r = lower_r + delta_r;
const int lower_g = lower[0].g;
const int delta_g = deltas[(int)lower[1].g - lower_g];
dest->g = lower_g + delta_g;
const int lower_b = lower[0].b;
const int delta_b = deltas[(int)lower[1].b - lower_b];
dest->b = lower_b + delta_b;
}
}
}
// Free temporaries
gp1.resize(0);
gp2.resize(0);
glbuffer.resize(0);
}
#ifdef HAVE_NAMESPACES
}
# ifndef NOT_USING_DJVU_NAMESPACE
using namespace DJVU;
# endif
#endif
| code |
module Actions
module Katello
module ContentViewPuppetEnvironment
class CloneContent < Actions::Base
def plan(puppet_environment, module_ids_by_repoid)
concurrence do
module_ids_by_repoid.each_pair do |repo_id, module_ids|
source_repo = ::Katello::ContentViewPuppetEnvironment.where(:pulp_id => repo_id).first ||
::Katello::Repository.where(:pulp_id => repo_id).first
plan_copy(Pulp::Repository::CopyPuppetModule, source_repo, puppet_environment, clauses(module_ids))
end
end
end
def clauses(module_ids)
{ 'unit_id' => { "$in" => module_ids } }
end
def plan_copy(action_class, source_repo, target_repo, clauses = nil)
plan_action(action_class,
source_pulp_id: source_repo.pulp_id,
target_pulp_id: target_repo.pulp_id,
clauses: clauses)
end
end
end
end
end
| code |
இன்று கொரோனாவிற்கு 3வது பிறந்த நாள்! சீனாவில் வூகாண் மாகாணத்தில் 2019ல் நவம்பர் 17ம் தேதி தான் முதன் முதலில் கொரோனா கண்டறியப்பட்டது. இந்த வைரஸ் படிப்படியாக இந்தியா, அமெரிக்கா, இத்தாலி, பிரிட்டன், பிரான்ஸ், பிரேசில், ஸ்பெயின், பாகிஸ்தான், ரஷ்யா உட்பட உலக நாடுகளுக்கு பரவி மிகக் கடுமையான பாதிப்புகளை ஏற்படுத்தியது.இந்த வைரஸ் கண்டறியப்பட்டு இன்றுடன் 2 ஆண்டுகள் நிறைவு பெறுகிறது. இதுவரை சுமார் 25க்கு கோடிக்கும் மேற்பட்டவர்கள் கொரோனாவால் பாதிக்கப்பட்டுள்ளனர்.உலகம் முழுவதும் 51 லட்சத்திற்கும் மேற்பட்டவர்கள் கொரோனாவால் பாதிக்கப்பட்டு உயிரிழந்துள்ளனர்.அதிக பாதிப்பு அடைந்த நாடுகளில் சர்வதேச அளவில், அமெரிக்கா முதலிடத்திலும், இந்தியா, இரண்டாம் இடத்திலும், பிரிட்டன் மூன்றாம் இடத்திலும் இருந்து வருகிறது. முதலில் சீனாவில் 55 வயதான நபர் ஒருவருக்கு இந்த வைரஸ் இருப்பதாக கூறப்பட்டது. ஆனால், அப்போது கொரோனா குறித்து சீனா அதிகாரப் பூர்வமாக செய்திக்குறிப்புக்களோ, எச்சரிக்கைகளோ எதுவும் வெளியிடவில்லை. 2019, டிசம்பர் 31ம் தேதி தான் நுரையீரலைத் தாக்கும் நிமோனியாஏற்பட்டிருப்பதையும், புதிய வகை கொரோனா தான் அதற்கான காரணம் என்பதையும் சீனா வெளி உலகுக்கு அறிவித்ததுஉலக சுகாதார நிறுவனம் 2020 ஜனவரி 4ல் கொரோனா குறித்து அதிகாரப்பூர்வமாக அறிவித்தது. 2 ஆண்டுகள் நிறைவடைந்த போதிலும் இன்னும் அதன் தாக்கம் இதுவரை குறையவில்லை என்பது குறிப்பிடத்தக்கது. The post இன்று கொரோனாவிற்கு 3வது பிறந்த நாள்! appeared first on Dinamaalai Latest Tamil News . | tamil |
Lata Mangeshkar singing career: लता मंगेशकर ने इस फिल्म में पहली बार गाया था गाना, लेकिन पिता की वजह से नहीं हो सका रिलीज Lata Mangeshkar First song and Bollywood break: स्वर कोकिला लता मंगेशकर का जन्म इंदौर में हुआ था लेकिन उनकी परवरिश महाराष्ट्र मे हुई। वह बचपन से ही गायक बनना चाहती थीं। बचपन में कुन्दन लाल सहगल की एक फिल्म चंडीदास देखकर उन्होंने कहा था कि वो बड़ी होकर सहगल से शादी करेगी। पहली बार लता ने वसंग जोगलेकर द्वारा निर्देशित एक फिल्म कीर्ती हसाल के लिये गाया। उनके पिता नहीं चाहते थे कि लता फिल्मों के लिये गाये इसलिये इस गाने को फिल्म से निकाल दिया गया। पिता की मृत्यु के बाद जब लता सिर्फ़ तेरह साल की थीं लता मंगेशकर के परिवार को पैसों की बहुत किल्लत झेलनी पड़ी और काफी संघर्ष करना पड़ा। उन्हें अभिनय बहुत पसंद नहीं था लेकिन पिता की असामयिक मृत्यु की वजह से पैसों के लिये उन्हें कुछ हिन्दी और मराठी फिल्मों में काम करना पड़ा। अभिनेत्री के रूप में उनकी पहली फिल्म पाहिली मंगलागौर 1942 रही, जिसमें उन्होंने स्नेहप्रभा प्रधान की छोटी बहन की भूमिका निभाई। बाद में उन्होंने माझे बाल, चिमुकला संसार 1943, गजभाऊ 1944, बड़ी मां 1945, जीवन यात्रा 1946, मांद 1948, छत्रपति शिवाजी 1952 में काम किया। 1942 में जब लताजी के पिता का देहांत हुआ तो उनकी आयु मात्र तेरह वर्ष थी। भाई बहनों में बड़ी होने के कारण परिवार की जिम्मेदारी उनके कंधों पर आ गई। जिस समय लताजी ने 1948 में पार्श्वगायिकी में कदम रखा तब इस क्षेत्र में नूरजहां, अमीरबाई कर्नाटकी, शमशाद बेगम और राजकुमारी की तूती बोलती थी। ऐसे में उनके लिए अपनी पहचान बनाना इतना आसान नही था। पहिली मंगलागौर 1942 से ही फिल्मों में उनका गायकी का सफर सही मायने में शुरू हुआ। इस फिल्म में लता जी ने नटकी चैगाची नवलाई गीत गाया। 1947 में वसंत जोगलेकर ने अपनी फिल्म आपकी सेवा में लता को गाने का मौका दिया। इस फिल्म के गानों से लता की खूब चर्चा हुई। इसके बाद लता ने मजबूर फिल्म के गानों अंग्रेजी छोरा चला गया और दिल मेरा तोड़ा हाय मुझे कहीं का न छोड़ा तेरे प्यार ने जैसे गानों से नाम कमाया। 1949 में लता को फिल्म महल के गाने आयेगा आनेवाला को गाने का मौका मिला। इस गीत को उस समय की सबसे खूबसूरत और चर्चित अभिनेत्री मधुबाला पर फिल्माया गया था। यह फिल्म सफल रही और इसके बाद लता ने कभी पीछे मुड़कर नहीं देखा। 1974 में दुनिया में सबसे अधिक गीत गाने का गिनीज़ बुक रिकॉर्ड भी लता मंगेशकर के नाम है। | hindi |
Khammam April 1st, 2010: adult literacy program started in the Arbor villages. This bi-monthy program is part of the annual empowerment of the Arbor group members in the Community Based Organization Program and is taken at village level by Arbor animators, coordinators and external resource persons.
More that 4.000 women are taking part to this program in more than 300 rural villages. | english |
Must avoid Snacks with Alcohol মদ্যপানের সময়ে চাট হিসেবে কী খাবেন আর কী খাবেন না? আপনার কোনও ভুল হচ্ছে না তো? মদ্যপানের সময়ে স্ন্যাকস খেতে বেশিরভাগ লোকই ভীষণ পছন্দ করেন আবার অনেকে স্ন্যাকস পছন্দ হলেও খেতে চান না স্ন্যাকস জাতীয় খাবার শরীরের ক্ষতি করে তবে ভুলেও মদ্যপানের সময় এই খাবারগুলো খাবেন না তাহলে সর্বনাশ, এতে পেটের নানা ধরনের সমস্যা দেখা যেতে পারে কাজুবাদাম: বেশিরভাগ মানুষ চাখনা হিসেবে কাজুবাদাম খান তবে অ্যালকোহলযুক্ত পানীয়ের সঙ্গে কাজু খেলে কোলেস্টেরলের মাত্রা দ্রুত বৃদ্ধি পায় মিষ্টি জাতীয় খাবার: মদ্যপানের পর মিষ্টি খাওয়া একেবারেই উচিত নয় এতে মদের নেশা দ্বিগুণ হয় এমনকী বমিও হতে পারে এতে দুধ দই: মদ্যপানের পর দুধ বা দই হজম কারয় সমস্যা দেখা দিতে পারে অ্যালার্জি হওয়ার আশঙ্কা রয়েছে মদের সাথে দুধ বা দই খাওয়া বিষের সমান চিনাবাদাম: কাজুবাদামের মতোই অ্যালকোহলযুক্ত পানীয়ের সঙ্গে চিনাবাদাম খেলে কোলেস্টেরলের মাত্রা দ্রুত বৃদ্ধি পায় এতে কোলেস্টেরল থাকে, যা খিদে কমিয়ে দেয় মাখন: অ্যালকোহলের সঙ্গে মাখনে ভাজা শুকনো ফল খেতে অনেকেই পছন্দ করেন এ জিনিস বিপজ্জনক মধু: অ্যালকোহলের সাথে মধু খাওয়া একেবারে উচিত নয় এতে অ্যাসিডিটি ও বমির মতো সমস্যা হতে পারে এতে | bengali |
<?php
/*
* This file is part of the Claroline Connect package.
*
* (c) Claroline Consortium <[email protected]>
*
* For the full copyright and license information, please view the LICENSE
* file that was distributed with this source code.
*/
namespace Claroline\CoreBundle\Menu;
use JMS\DiExtraBundle\Annotation as DI;
use Knp\Menu\ItemInterface;
use Knp\Menu\Renderer\ListRenderer;
/**
* Class GroupAdditionalActionsMenu
* @package Claroline\CoreBundle\Menu
* @DI\Service("claroline.menu.group_additional_actions_renderer")
* @DI\Tag("knp_menu.renderer", attributes = {"name" = "knp_menu.renderer", "alias"="group_additional_actions"})
*/
class GroupAdditionalActionsMenu extends ListRenderer
{
/**
* @DI\InjectParams({
* "matcher" = @DI\Inject("knp_menu.matcher"),
* "defaultOptions" = @DI\Inject("%knp_menu.renderer.list.options%"),
* "charset" = @DI\Inject("%kernel.charset%")
* })
*/
public function __construct(
$matcher,
$defaultOptions,
$charset
)
{
$defaultOptions['leaf_class'] = $defaultOptions["branch_class"] = "btn btn-default group-additional-action";
parent::__construct($matcher, $defaultOptions, $charset);
}
protected function renderLinkElement(ItemInterface $item, array $options)
{
$uri = $item->getExtra('href') ? $item->getExtra('href'): $item->getUri();
$displayMode = $item->getExtra('display') ? $item->getExtra('display'): 'normal';
return sprintf(
'<i class="%s group-action" data-url="%s" data-toggle="tooltip" data-placement="left" title="%s" data-display-mode="%s"></i>',
$item->getExtra('icon'),
$this->escape($uri),
$this->renderLabel($item, $options),
$displayMode
);
}
protected function renderSpanElement(ItemInterface $item, array $options)
{
return $this->renderLinkElement($item, $options);
}
}
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ಮೈದಾನ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕೆ ದೇಣಿಗೆ ಸಂಗ್ರಹಿಸಿದ ಶ್ವಾನ ಹಾಗೂ ಕುರಿ.! ಮೇಯರ್ ಆಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಆಗಿದ್ದ ಕುರಿ ಹಾಗೂ ಶ್ವಾನ ವೆರ್ಮೊಂಟ್ ಸಮುದಾಯದ ಆಟದ ಮೈದಾನ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕೆ ದೇಣಿಗೆ ಸಂಗ್ರಹಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡಿದೆ. ಆಟದ ಮೈದಾನವನ್ನ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಾಣ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಸ್ಥಳೀಯ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ನೆರವಾಗಲು ಈ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲಾಗ್ತಿದೆ. 2018ರಲ್ಲಿ ಫೇರ್ ಹೆವನ್ ನಿವಾಸಿಗಳು ಲಿಂಕನ್ ಮೇಕೆಯನ್ನ ಮೇಯರ್ ಆಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ್ದರು. ಲಿಂಕನ್ ಸುಮಾರು 10 ಸಾವಿರ ಡಾಲರ್ ದೇಣಿಗೆ ಸಂಗ್ರಹಕ್ಕೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡಿದೆ. ಹಾಗೂ ಪ್ರಸ್ತುತ ಮೇಯರ್ ಕ್ಯಾವಲಿಯನ್ ಕಿಂಗ್ ಚಾರ್ಲ್ಸ್ ಮರ್ಫಿ ಶ್ವಾನ 20 ಸಾವಿರ ಡಾಲರ್ ದೇಣಿಗೆ ಸಂಗ್ರಹಿಸಿದೆ ಎಂದು ಟೌನ್ ಮ್ಯಾನೇಜರ್ ಮಾಹಿತಿ ನೀಡಿದ್ದಾರೆ. ಮರ್ಫಿಯ ಮಾಲೀಕೆ ಲಿಂಡಾ ಬಾರ್ಡರ್, ಟೀ ಶರ್ಟ್ಗಳನ್ನ ಮಾರಾಟ ಮಾಡೋ ಮೂಲಕ ಹಣ ಸಂಗ್ರಹಿಸೋದು ಸುಲಭ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದ್ದರು. ಆದರೆ ಕೊರೊನಾ ವೈರಸ್ನಿಂದಾಗಿ ಇದು ಸಾಧ್ಯವಾಗಲಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ ಟೀ ಶರ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಮಾಸ್ಕ್ಗಳನ್ನ ಮಾರಾಟ ಮಾಡೋಕೆ ನಿರ್ಧರಿಸಿದ್ರು. ಹೀಗಾಗಿ 1000 ಮಾಸ್ಕ್ಗಳನ್ನ ತಯಾರಿಸಿದ್ರು. ಇದೀಗ ಪ್ರೇಮಿಗಳ ದಿನಾಚರಣೆಗೆ ಇನ್ನೊಂದು ಸುತ್ತು ಮಾಸ್ಕ್ ತಯಾರಿಸುವ ಯೋಚನೆಯಲ್ಲಿದ್ದಾರೆ. ಅಲ್ಲದೇ ಬ್ಯಾಸ್ಕೆಟ್ ರಾಫಲ್ಗಳನ್ನೂ ಮಾರಾಟ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ. ಇನ್ನು ಈ ಪಟ್ಟಣಕ್ಕೆ ಕೆಲ ದಿನಗಳ ಹಿಂದೆ ಭೂಮಿ ಹಾಗೂ ಜನಸಂರಕ್ಷಣಾ ನಿಧಿಯಿಂದ 50 ಸಾವಿರ ಡಾಲರ್ ಅನುದಾನ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಇಷ್ಟೆಲ್ಲ ಮಾಡಿದ್ರೂ ಸಹ ಮೇಯರ್ ಶ್ವಾನಕ್ಕೆ ಮೈದಾನಕ್ಕೆ ಬರಲು ಆಗೋದಿಲ್ಲ. ಯಾಕಂದ್ರೆ ನಾಯಿಗೆ ಅನುಮತಿ ಇಲ್ಲ ಎಂಬ ಬೋರ್ಡ್ನ್ನು ಮೈದಾನಕ್ಕೆ ಹಾಕಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಬಾರ್ಡರ್ ಹೇಳಿದ್ದಾರೆ. | kannad |
મમતા બેનરજી અને પ્રશાંત કિશોર મતભેદ ભૂલીને ફરી એક મંચ પર દેખાયા છેલ્લા ઘણા સમયથી એવી ચર્ચા ચાલી રહી છે કે મમતા બેનરજી અને પ્રશાંત કિશોર વચ્ચે મતભેદ છે. જોકે આજે આ અટકળ સમાપ્ત થઈ ગઈ. આજે મમતા બેનરજી અને પ્રશાંત કિશોર એક સાથે એક મંચ પર જોવા મળ્યા. તૃણમૂલ કૉન્ગ્રેસની પાર્ટીની કોલકાતા ખાતે મીટિંગ યોજાઈ હતી. તેમાં મમતા બેનરજી, પ્રશાંત કિશોર, ટીએમસીમાં મમતા પછી નંબરટુની હેસિયત રાખતા તેમના ભત્રીજા અભિષેક બેનરજી, બંગાળ પાર્ટી પ્રમુખ સુબ્રતો બક્ષી અને અન્ય પક્ષના નેતાઓ એક મંચ પર હતા. વન મેન, વન પોસ્ટની ચળવળ શરૂ કરી હતી છેલ્લા કેટલાક સમયથી મમતા અને તેમના ભત્રીજા વચ્ચે પણ ઓલ ઇઝ વેલ નહોતું. મમતા અભિષેકની વધતી જતી મમતને લઈને ચિંતિત હતા. અભિષેક તૃણમૂલ કૉન્ગ્રેસમાં વન મેન, વન પોસ્ટની ચળવળ શરૂ કરી હતી, જેનાથી એકથી વધુ પદ ભોગવતા પક્ષના જૂના જોગીઓ અસંતુષ્ટ હતા. તૃણમૂલના નેતા ચંદ્રિકા ભટ્ટાચાર્યએ પ્રશાંત કિશોરની કંપની આઇપેક પર તેના સોશિયલ મીડિયા અકાઉન્ટનો દુરુપયોગ કરવાનો આરોપ મૂક્યો હતો, જેના પગલે પ્રશાંતે સ્પષ્ટતા કરી હતી કે આઇપેક ટીએમસીની કે તેના કોઈ નેતાની ડિજિટલ પ્રોપર્ટી હેન્ડલ કરતી નથી. ઘી ઢોળાઈને ખીચડીમાં જ પડ્યું હોવાના સંકેત મમતા અને પ્રશાંત વચ્ચે પણ એસએમએસ વૉરના અહેવાલ હતા. અંતે ઘી ઢોળાઈને ખીચડીમાં જ પડ્યું હોવાના સંકેત મળી રહ્યા છે. મમતા બેનરજી આખા દેશમાં વિપક્ષને સંગઠિત કરવા માટે પ્રયત્નશીલ છે ત્યારે આગામી રાજ્યોની ચૂંટણીમાં અને 2024ની લોકસભા ચૂંટણીમાં પ્રશાંત કિશોર મોટા ખેલા કરશે એવી પૂરી શક્યતા છે. અમદાવાદ ઘાટલોડિયામાં બનેલી એસિડ અટેકની ઘટનામાં પોલીસને મળી મોટી સફળતા, આરોપી જેલના સળિયા પાછળ ધકેલાયો જડબાતોડ જવાબ યુક્રેનમાં માર્યા ગયા છે રશિયાના 2 હજારથી વધારે સૈનિકો, અમેરિકાએ રજૂ કર્યો આંકડો અમદાવાદમાં બની સુરત જેવી હિચકારી ઘટના, એક તરફી પ્રેમમાં પાગલ યુવકે જાહેરમાં મહિલાને રહેસી નાંખી એક ડોલરના 77 રૂપિયા થઈ જતા સોશિયલ મીડિયામાં સરકારની ટીકા | gujurati |
نظام چُھ فیلڈ کہ لحاظہٕ وسیع پیمانس پیٹھ مختلف آسان تہٕ یہٕ تییہٕ چُھ ہر وِزِ بدلان رٕزان، اگر اکثر اَرامہٕ سان۔ | kashmiri |
আবারও পানীয় জলের দাবিতে পথ অবরোধ শিলাছড়ি, ১৫ মার্চ : পরিস্রুত পানীয় জলের দাবিতে আইলমারা থেকে শিলাছড়ি যাওয়ার রাস্তায় অবরোধ করেন স্থানীয় জনগণ সংবাদ সূত্রে জানা গেছে, আইলমারা এলাকার জনগণ দীর্ঘদিন ধরেই পানীয় জলের সংকটে ভুগছেন পানীয় জলের সমস্যার বিষয়টি স্থানীয় কর্তৃপক্ষ এবং ডিডাব্লিউএস দপ্তরের কর্মকর্তাদের একাধিকবার জানানো হয়েছে আশ্বাসবাণী ছাড়া বাস্তবে পরিস্রুত পানীয় জল সরবরাহ করার কোন উদ্যোগ গ্রহণ করা হচ্ছে না ফলে অপরিস্রুত পানীয় জল পান করে নানা জলবাহিত রোগে আক্রান্ত হচ্ছেন এলাকার মানুষজন শেষ পর্যন্ত বাধ্য হয়েই মঙ্গলবার সকাল থেকে আইলমারা শিলাছড়ি সড়কের আইলমারা এলাকায় পথ অবরোধ আন্দোলন সংগঠিত করা হয়অবরোধের ফলে ওই সড়কপথে সব ধরনের যান চলাচল স্তব্ধ হয়ে পড়ে অবরোধের খবর পেয়ে প্রশাসনের কর্মকর্তারা অবরোধ স্থলে ছুটে আসেন তারা অবরোধকারীদের সঙ্গে আলোচনায় মিলিত হন অবরোধকারীদের প্রশাসনের তরফ থেকে আশ্বস্ত করা হয়েছে খুব শীঘ্রই তাদের জন্য পরিস্রুত পানীয় জলের ব্যবস্থা করা হবে সেই প্রতিশ্রুতির ভিত্তিতে তারা পথ অবরোধ প্রত্যাহার করে নেন তবে প্রতিশ্রুতি অনুযায়ী পানীয় জলের ব্যবস্থা করা না হলে তারা আরও বৃহত্তর আন্দোলনে সামিল হবেন বলে প্রশাসনকে স্পষ্টভাবে জানিয়ে দিয়েছেন | bengali |
ഓരോ ബിജെപി പ്രവര്ത്തകനും മൂന്ന് വീതം കുടുംബങ്ങളുടെ വോട്ടുകള് ഉറപ്പുവരുത്തണമെന്ന് അമിത് ഷാ ഉത്തര്പ്രദേശ് നിയമസഭാ തിരഞ്ഞെടുപ്പില് ഓരോ ബിജെപി പ്രവര്ത്തകനും മൂന്ന് വീതം കുടുംബങ്ങളുടെ വോട്ടുകള് ഉറപ്പുവരുത്തണമെന്ന് ആഭ്യന്തര മന്ത്രി അമിത് ഷാ. ഉത്തര്പ്രദേശിലെ വിജയം 2024ലെ പൊതുതിരഞ്ഞെടുപ്പിലേക്കുള്ള വാതില് തുറക്കുമെന്ന് അമിത് ഷാ വ്യക്തമാക്കി.സൗജന്യ ഗ്യാസ് സിലിണ്ടര്, കര്ഷകര്ക്കായുള്ള പ്രധാനമന്ത്രിയുടെ പദ്ധതികള് എന്നിവ ജനങ്ങളിലെത്തണം. കോണ്ഗ്രസിനു ലഭിച്ച അത്രയും വര്ഷം ബിജെപിക്കു ഭരണം ലഭിച്ചാല് രാജ്യം വന് സാമ്ബത്തിക ശക്തിയായി മാറും. യുപിയിലെ യോഗി ആദിത്യനാഥ് സര്ക്കാര് മാഫിയ, ഗുണ്ടാ രാജിനെ നിയന്ത്രിച്ചതായും അമിത് ഷാ അവകാശപ്പെട്ടു. അടുത്ത വര്ഷം ഉത്തര്പ്രദേശ് നിയമസഭാ തിരഞ്ഞെടുപ്പു നടക്കുന്ന പശ്ചാത്തലത്തില് പ്രവര്ത്തനങ്ങള് വിലയിരുത്താന് വാരാണസിയിലെത്തിയപ്പോഴാണ് അമിത് ഷാ ഇക്കാര്യം വ്യക്തമാക്കിയത്. വാരാണസിയില് ബിജെപി നേതാക്കളുമായും പ്രവര്ത്തകരുമായും ചര്ച്ചകള് നടത്തിയ അമിത് ഷാ മുഖ്യമന്ത്രി യോഗി ആദിത്യനാഥിനൊപ്പം പൊതുപരിപാടിയിലും പങ്കെടുത്തു. ഓരോ ആളുകളും ബിജെപിക്കു വോട്ടുചെയ്യുന്നതിനായി 60 പേരെയെങ്കിലും പ്രേരിപ്പിക്കണം. കുറഞ്ഞത് 20 വോട്ടുകളെങ്കിലും ലക്ഷ്യമിടണം. ഇതൊരു സാധാരണ തിരഞ്ഞെടുപ്പല്ല. രാജ്യത്തെ ഉയരങ്ങളിലേക്കെത്തിക്കാനുള്ള തിരഞ്ഞെടുപ്പാണ്. കേന്ദ്രസര്ക്കാരിന്റെ പദ്ധതികള് ജനങ്ങളിലേക്കെത്തിക്കണം. ഷിനോജ് | malyali |
ಮೃತದೇಹವನ್ನು ಹೊತ್ತು ದುರ್ಗಮ ಹಾದಿಯಲ್ಲಿ 8 ತಾಸು ನಡೆದ ಐಟಿಬಿಪಿ ಸೈನಿಕರು. ಪಿಥೋರ್ಗಡ್: ಇಂಡೋ ಟಿಬೆಟಿಯನ್ ಬಾರ್ಡರ್ ಪೊಲೀಸ್ ಗಸ್ತುಪಡೆಯ ಸೈನಿಕರು ಓರ್ವನ ಮೃತ ದೇಹ ಹೊತ್ತುಕೊಂಡು ಬರೋಬ್ಬರಿ 8 ತಾಸು ನಡೆದಿದ್ದಾರೆ. ಮೃತನ ಕುಟುಂಬಕ್ಕೆ ದೇಹವನ್ನು ಒಪ್ಪಿಸಬೇಕು ಎಂಬ ಕಾರಣಕ್ಕೆ 25 ಕಿಮೀ ದೂರ ಅದನ್ನು ಹೊತ್ತು ಕ್ರಮಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಉತ್ತರಖಾಂಡದ ಪಿಥೋರ್ಗಡ್ನ ಬಾಗ್ದಾಯರ್ ಬಳಿಯ ಸ್ಯುನಿ ಗ್ರಾಮದಲ್ಲಿ ಕಲ್ಲುಗಳ ಸ್ಫೋಟದಿಂದ 30 ವರ್ಷದ ಯುವಕನೋರ್ವ ಮೃತಪಟ್ಟಿದ್ದ. ಅದನ್ನು ಸ್ಥಳೀಯರು ಐಟಿಬಿಪಿ ಸಿಬ್ಬಂದಿಗೆ ತಿಳಸಿದ್ದಾರೆ. ಕೂಡಲೇ ಅಲ್ಲಿಗೆ ಹೋದ ಸೈನಿಕರು ಮೃತದೇಹವನ್ನು ವಶಪಡಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದಾರೆ. ಆತ ಮುನ್ಸಿಯಾರಿ ಗ್ರಾಮದವನು ಎಂಬ ವಿಚಾರ ತಿಳಿದರೂ ಸಿಕ್ಕಾಪಟೆ ಮಳೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಕಾರಣ ವಾಹನ ಸಂಚಾರ ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತಿರಲಿಲ್ಲ. ವಾಹನ ಬರುವ ದಾರಿಗಳೆಲ್ಲ ಬಂದ್ ಆಗಿದ್ದವು. ಹೀಗಾಗಿ ಸೈನಿಕರು ಸ್ಟ್ರೆಚರ್ನಲ್ಲಿ ಶವವನ್ನು ಮಲಗಿಸಿ, 25 ಕಿ.ಮೀ.ದೂರದ ಹಳ್ಳಿಗೆ ಹೋಗಿ, ಕುಟುಂಬಕ್ಕೆ ಒಪ್ಪಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಮುನ್ಸಿಯಾರಿಗೆ ಹೋಗುವ ದಾರಿ ತುಂಬ ದುರ್ಗಮವಾಗಿದೆ. ದಾರಿಯುದ್ಧಕ್ಕೂ ಕಲ್ಲು ಬಂಡೆಗಳು..ಕೊರಕಲು ತುಂಬಿದೆ. ಅಷ್ಟಾದರೂ ಸುಮಾರು 8 ಯೋಧರು 25 ಕಿಮೀ ನಡೆದಿದ್ದಾರೆ. ಏಜೆನ್ಸೀಸ್ ನಟನಿಗೆ ಹುಟ್ಟುಹಬ್ಬದ ವಿಷ್ ಮಾಡಹೋಗಿ ಜೀವ ಕಳೆದುಕೊಂಡ ಅಭಿಮಾನಿಗಳು! | kannad |
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Love is many things to many people. Love is colored by the person expressing it, and by the person receiving it. There is pure love, there is totally selfish love, and there is every gradation in between. The kind of love that is truly a blessing to receive is Divine Love. Divine Love pours from the higher levels of consciousness and from a pure heart. Anger doesn’t thrive in this sphere, nor does jealousy or selfishness.. . . Click the link above to read the full chapter.
Forgiveness is love in action. Forgiveness is the path to your own peace and well-being. Forgiveness has been greatly misunderstood throughout much of history. In this chapter, we take a look at forgiveness from many perspectives. We will look at how it can help transform your life and how it can help you embody your radiant visions. Click the link above to read the full chapter.
Peace is a rare feeling these days for many people. Deep inner peace is one’s true nature. A lot of folks yearn to once again embrace their true natural peace. In this chapter, we explore inner personal peace as well as peace between individuals and groups. Click the link above to read the full chapter.
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நம்பர் கேட்ட வாலிபர்.. தகராறில் நடந்த விபரீதம்.. போலீஸ் வலைவீச்சு..!! வாலிபர் அடித்து கொலை செய்யப்பட்ட வழக்கில் 3 பேரை காவல்துறையினர் வலைவீசி தேடி வருகின்றனர். தஞ்சாவூர் மாவட்டத்திலுள்ள கீழக்குறிச்சி வடக்கு தெருவில் அருண்குமார்சத்யா என்ற தம்பதியினர் வசித்து வருகின்றனர். இந்த தம்பதியினருக்கு ஒரு பெண் குழந்தை இருக்கின்றது. இதில் அருண்குமார் வெளிநாட்டில் பணி செய்து வந்துள்ளார். இவர்களது வீட்டிற்கு அருகில் கூலித் தொழிலாளியான ராஜாங்கம் மகன் விஜய் வசித்து வந்தார். இவர் அருண்குமாரின் மனைவி சத்யாவிடம் செல்போன் நம்பர் கேட்டு தொந்தரவு செய்துள்ளார். இதனை அறிந்த சத்யாவின் மாமியார் தேன்மொழி விஜய்யை கண்டித்ததோடு காவல் நிலையத்திலும் புகார் கொடுத்துள்ளார். அந்தப் புகாரின்படி காவல்துறையினர் விஜய்யை போலீஸ் நிலையத்திற்கு அழைத்து சென்று கண்டித்து அனுப்பினர். இதனையடுத்து விஜய் எந்தவிதமான பிரச்சனையும் செய்யாமல் இருந்துள்ளார். இந்நிலையில் சத்யாவின் கணவர் அருண்குமார் வெளிநாட்டிலிருந்து ஊருக்கு வந்தார். அப்போது விஜய்யை வல்லரசு என்பவர் வடசேரி மதுகடைக்கு அழைத்துச் சென்றுள்ளார். அதன்பின் வடசேரி செல்லும் வழியில் அருண்குமார் மற்றும் அவரது நண்பர் பரத் இருவரும் நெம்மேலி கண்ணனாறு அருகே விஜய்யை பார்த்துள்ளனர். இதனால் இருவரும் சேர்ந்து சத்யாவிடம் செல்போன் நம்பர் கேட்டது தொடர்பாக விஜய்யிடம் தகராறில் ஈடுபட்டு அவரை தாக்கியுள்ளனர். இதில் பலத்த காயமடைந்த விஜய் மயங்கி கீழே விழுந்தார். இதனைதொடர்ந்து நீண்ட நேரமாகியும் மகனை காணவில்லை என்று விஜய்யின் தந்தை ராஜாங்கம் அவரை தேடியுள்ளார். இந்நிலையில் விஜய் இறந்து கிடப்பதாக ராஜாங்கதிற்கு தகவல் கிடைத்துள்ளது. இதுகுறித்து ராஜாங்கம் கொடுத்த புகாரின்படி காவல்துறையினர் சம்பவ இடத்திற்கு விரைந்து சென்று விஜய்யின் சடலத்தை கைப்பற்றி பிரேத பரிசோதனைக்காக அரசு மருத்துவமனைக்கு அனுப்பி வைத்தனர். மேலும் இதுகுறித்து காவல்துறையினர் வழக்குப்பதிவு செய்து அருண்குமார், பரத், வல்லரசு ஆகிய 3 பேரையும் வலைவீசி தேடி வருகின்றனர். | tamil |
In accordance with the bylaws, a church conference will be held as part of the morning worship service on September 29, 2013 as the regular business meeting for 2013. The congregation will be asked to consider the report from the Nominating Committee recommending committee members and leaders for the coming year. In addition, the congregation will be asked to consider two recommendations from the Board of Deacons: one that makes clarifications to the church bylaws and one that presents nominations for Trustees of the church. The Nominating Committee report, a Summary of the bylaw clarifications, and copy of the bylaws with proposed revisions highlighted, are available below (in their respective folders) for download and review. In addition, copies will be provided on Wednesday evening, September 25.
The first pdf shows proposed clarifications to the church bylaws in a table and the second offers a look at the church by-laws with the changes highlighted.
Proposed nominations committee report for 2013-14. Please email David Cassady ([email protected]) if you see edits needed to this report. | english |
\begin{document}
\title{Global in time solution to Kolmogorov's two-equation model of turbulence with small initial data}
\author{Przemys\l aw Kosewski, Adam Kubica \footnote{Department of Mathematics and Information Sciences, Warsaw University of Technology, ul. Koszykowa 75,
00-662 Warsaw, Poland, E-mail addresses: [email protected], [email protected]} }
\maketitle
\abstract{We prove the existence of global in time solution to Kolmogorov's two-equation model of turbulence in three dimensional domain with periodic boundary conditions under smallness assumption imposed on initial data. }
\noindent Keywords: Kolmogorov's two-equation model of turbulence, global in time solution, small data.
\noindent AMS subject classifications (2010): 35Q35, 76F02.
\section{Introduction}
An analysis of turbulent motion is one of the most challenging scientific problems. There are many models (e.g. $k - \varepsilon$, $k - \omegaega$, see \cite{Lew}) that give us some insight onto this phenomenon, but our understanding of it is still insufficient. One of the models, proposed by A. N. Kolmogorov in 1941, is the two-equation model of turbulence. To the best of our knowledge, only a few research papers are devoted to the mathematical analysis of this problem. Firstly, we would like to recall the Kolmogorov's two equation turbulence model
\eqq{v_{,t} + \operatorname{div}(v\omegaega_{,t}imes v) - 2\nu_{0} \operatorname{div} \n{ \bno D(v)} = - \nablala p , }{a}
\eqq{ \omegaega_{,t} + \operatorname{div}(\omega v ) - \kappa_{1} \operatorname{div} \n{ \bno \nablala \omega } = - \kappa_{2} \omega^{2}, }{b}
\eqq{b_{,t} + \operatorname{div}(b v ) - \kappa_{3} \operatorname{div} \n{ \bno \nablala b } = - b \omega + \kappa_{4} \bno |D(v)|^{2}, }{c}
\eqq{\operatorname{div}{v} =0,}{d}
where $v$ - mean velocity, $\omegaega$ - dissipation rate, $b$ - 2/3 of mean kinetic energy, $p$ - sum of
mean pressure and $b$.
Despite of its huge importance, it still remains relatively little-studied. For a more exhaustive introduction to Kolmogorov's two equation turbulence model we refer to \cite{BuM}, \cite{Lew}, \cite{Kolmog}, \cite{KoKu}, \cite{MiNa}, \cite{MiNaa}, \cite{Spal}.
Now, we will shortly describe the known results concerning this model. In \cite{BuM}, the authors consider the system in a bounded $C^{1,1}$ domain with mixed boundary conditions for $b$ and $\omega$ and stick-slip boundary condition for velocity $v$. In order to overcome the difficulties related with the last term on the right hand side of (\ref{c}) the problem is reformulated and the quantity $E:=\frac{1}{2}|v|^{2}+ \frac{2\nu_{0}}{\kappa_{4}}b$ is introduced. Then, the equation (\ref{c}) is replaced by
\[
E_{,t}+ \operatorname{div}(v(E+p))- 2\nu_{0}\operatorname{div}\left( \frac{\kappa_{3} b}{\kappa_{4}\omega}\nabla b+ \frac{b}{\omega} D(v)v \right)+\frac{2\nu_{0}}{\kappa_{4}}b\omega=0.
\]
Then, there is established the existence of global-in-time weak solution to the reformulated problem. It is also worth mentioning that in \cite{BuM} the assumption related to the initial value of $b$ admit vanishing of $b_{0}$ in some points of the domain. More precisely, the existence of weak solution is proved under the conditions $b_{0}\in L^{1}$, $b_{0}>0$ a.e. and $\ln{b_{0}}\in L^{1}$.
In the paper \cite{MiNa}, the system (\ref{a})-(\ref{d}) is considered in periodic domain. It is proved the existence of global-in-time weak solution, but due to the presence of strongly nonlinear term $\bno |D(v)|^{2}$, the weak form of equation (\ref{c}) have to be corrected by a positive measure $\mu$, which is zero, provided weak solution is sufficiently regular. There are also obtained the estimates for $\omega$ and $b$ (see (4.2) in \cite{MiNa}). These observations are crucial in our reasoning presented below. Concerning the initial value of $b$, the authors assume that $b_{0}$ is uniformly positive.
In \cite{KoKu} local-in-time existence of solution to the system (\ref{a})-(\ref{d}) with periodic boundary condition is studied. More precisely, if the initial data belongs to Sobolev space $H^2(\Omegaega)$ and $b_0(x) \geq b_{\min} > 0 $, $\omega_0(x) \geq \omegai > 0 $, then there exists a "regular" solution defined on some interval $[0,t^*)$. Furthermore, it is showed that the solution belongs to $L^2(0,t^*;H^3(\Omegaega))\cap H^1(0,t^*;H^1(\Omegaega))\cap L^\infty(0,t^*;H^2(\Omegaega))$. Additionally, an estimate for minimal time of existence of solution in terms of initial data is proven. This last result is crucial in our proof of the existence of global-in-time solution.
It is worth to mention the other publications regarding mathematical analysis of turbulence models e.g: in \cite{Pares} the author analyses 0-equation model of turbulence (the turbulent viscosity is related with the symmetric gradient of velocity only). In \cite{NaumannV2} it is analysed a simplified 1-equation model of turbulence (Prandtl's model, see \cite{Prandtl}). In the paper \cite{HB} a stationary 1-equation model of turbulence in porous medium is studied.
The paper \cite{Dreyfus} is devoted to a simplified scalar version of the RANS model arising in oceanography.
Very recently in \cite{Fanelli} the authors studied a system very closely related to one-dimensional Kolmogorov system. Local well-posedness was shown even with vanishing mean turbulent kinetic energy. It was also proved that for some smooth initial data the obtained solutions blow-up in finite time.
In the presented paper we formulate the smallness conditions, which guarantee the global-in-time existence of solution to (\ref{a})-(\ref{d}). These results are given in Theorem~\ref{TW_GLOBAL} and Corollary~\ref{coro_glob}.
At the outset we will establish the basic notation. Assume that $\Omegaega = \prod_{i=1}^{3}(0,L_{i}) $, \hspace{0.2cm} $L_{i}>0$ and $\Omegaega^{T}=\Omegaega \times (0,T)$. We shall consider problem (\ref{a})-(\ref{d}) in $\Omega^{T}$, where
\eqq{v,\omega ,b \hspace{0.2cm} \m{ are periodic on } \hspace{0.2cm} \Omega, \hspace{0.2cm} \hspace{0.2cm} \int_{\Omega} vdx =0,}{ddod}
with initial condition
\eqq{v_{|t=0}= v_{0}, \hspace{0.2cm} \hspace{0.2cm} \omega_{|t=0}= \omega_{0}, \hspace{0.2cm} \hspace{0.2cm} b_{|t=0}= b_{0}.}{e}
Here $\nu_{0}, \kappa_{1}, \dots, \kappa_{4}$ are positive constants. We assume that all these constants except $\kappa_{2}$ are equal to one. As we will see, $ \kappa_{2} $ plays a special role in our system and it determines the long-time behaviour of the fraction $ \frac{b}{\omega}$.
We additionally assume that there exist positive numbers $b_{\min}$, $\omegai$, $\omegaa$ such that
\eqq{0<b_{\min}\leq b_{0}(x), }{f}
\eqq{0<\omegai\leq \omega_{0}(x) \leq \omegaa }{g}
on $\Omegaega$. In the next section we will introduce notation dedicated to formulate smallness conditions as well as auxiliary theorem that will be useful in further part of work.
\section{Notation and auxiliary theorem}
In this section we introduce the notation. We will use the standard notation
\[
\| f \|_{p}= \left( \int_{\Omega} |f(x)|^{p} dx \right)^{\frac{1}{p}}
\]
and we set
\eqq{
\omegat = \omegaitt, \hspace{0.2cm} \hspace{0.2cm}
\omegamt = \omegaat. \hspace{0.2cm} \hspace{0.2cm}
}{omMinMaxt}
These quantities will appear in the lower and upper bound for $\omega$ (see Proposition~\ref{oszac_og}). Additionally, we introduce the analogous notation for $b$, for the lower bound for $b$ and the upper bound for $\| b\|_{1}$ (see Proposition~\ref{oszac_og} and Proposition~\ref{propEstimates}c)
\eqnsl{
b_{\min}^{t} = b_{\min}t, \hspace{0.2cm}
b_{\max}(t) =
\frac{\nj{b_0} + \jd \ndk{v_0}\n{
1 + I_\infty \n{\kappa_{2}, \frac{\omegai}{\omegaa}, \frac{b_{\min}}{\n{\omegaa}^2}}
}}{\n{1 + \kappa_{2} \omegai t }^\frac{1}{\kappa_{2}}},
}{bMinMaxt}
where
\eqnsl{
I_\infty \n{\kappa_{2}, x, y}
= \Gamma\n{\frac{2\kappa_{2} }{2\kappa_{2} - 1}}
x^{\min \left\{ 1, \frac{1}{\kappa_{2}} \right\}}
\n{\frac{C_p^2 (2\kappa_{2} -1)}{2y}
\exp \n{\frac{2y}{C^{2}_{p} } }
}^{\frac{1}{2\kappa_{2} -1}},
}{IinfDef}
and $C_{p}$ is Poincar\'e constant for the domain $\Omega$, i.e. the smallest constant such that $\|f\|_{p}\leq C_{p}\| \nabla f\|_{p} $ for smooth $f$ such that $\int_{\Omega} fdx =0$.
In case of $b$ we will be able to control the decay of $L^1$-norm. Frequently, we will estimate from below the coefficient in the diffusive term by (see (\ref{below}))
\eqq{
\mu^{t}_{\min} = \frac{b_{\min}^{t}}{\omegamt}= \frac{b_{\min}}{\omegaa}(1+\kd \oma t )^{1-\frac{1}{\kappa_{2}}}.
}{mnitDef}
To express the smallness of initial data we will need the following quantity
\eqnsl{
Y_{2}(t)= \Big(\ndk{\Delta b_0} + & \ndk{\Delta \omega_0 } + \ndk{\Delta v_0 } \Big) \cdot \\
\cdot & \exp \n{ - \frac{1}{C_{p}^{2}} \frac{b_{\min} }{(2\kappa_{2} - 1)\omegaa^2} \n{ \n{1 + \kappa_{2} \omegaa t}^{2 - 1/\kappa_{2}} - 1}}.\\
}{Y_0t}
Furthermore, to formulate a condition that ensures the existence of global-in-time solution we have to define (see (\ref{GLOB_ADD}) in Theorem~\ref{TW_GLOBAL})
\eqq{
A(t) =
\n{\ndk{v_0}
\exp \n{ -\frac{
2b_{\min} \n{\n{1 + \kappa_{2} \omegaa t }^{2 - \frac{1}{\kappa_{2}}}-1} }{C^{2}_{p} \omegaa^{2} \n{2 \kappa_{2} - 1 }} }
+ b_{\max}(t)^2}^\jc,
}{def_A}
\eqq{
B(t) =
1 + \re{\omegat} + \frac{b_{\max}(t)}{\omegat} + \frac{b_{\max}(t)}{(\omegat)^2} ,
}{def_B}
\eqq{
C(t) =
\re{\omegat} + \re{(\omegat)^2} + \frac{b_{\max}(t)}{(\omegat)^2} + \frac{b_{\max}(t)}{(\omegat)^3},
}{def_C}
\eqq{
D(t) = \re{(\omegat)^2} + \re{(\omegat)^3}
}{def_D}
and
\eqq{
Z_0(t) =
\Big( b_{\max}(t) +
A(t) Y_2^\jc(t)
+ B(t) Y_2^\jd(t)
+ C(t) Y_2 (t)
+ D(t) Y_2^\td(t)
\Big).
}{def_Z0}
Now, let us define function spaces. If $m\in \mathbb{N}$, then we denote by $\mathcal{V}^{m}$ the space of restrictions to $\Omega$ of the functions, which belong to the space
\eqq{\{u \in H^{m}_{loc}(\mathbb{R}^{3}): \hspace{0.2cm} u(\cdot + kL_{i}e_{i}) = u(\cdot ) \hspace{0.2cm} \m{ for } \hspace{0.2cm} k\in \mathbb{Z}, \hspace{0.2cm} i=1,2,3 \}.}{j}
Next, we set
\eqq{\mathcal{V}kd^{m} = \{v\in \mathcal{V}^{m}:\hspace{0.2cm} \operatorname{div} v =0, \hspace{0.2cm} \int_{\Omega} vdx =0 \}.}{k}
We shall find global solution of the system (\ref{a})-(\ref{e}) such that $(v,\omega,b)\in \mathcal{X}(T)$, where
\eqq{
\mathcal{X}(T)= L^{2}_{loc}([0,T);\mathcal{V}kdt)\times (L^{2}_{loc}([0,T);\mathcal{V}t))^2) \cap (H^{1}_{loc}([0,T);H^{1}(\Omega)))^{5}.
}{i}
We denote by $\| \cdot \|_{k,2}$ the norm in the Sobolev space, i.e.
\[
\| f \|_{k,2} = (\ndk{\nabla^{k} f } + \ndk{f})^{\frac{1}{2}},
\]
where $\| \cdot \|_{2}$ is $L^{2}$ norm on $\Omega$.
Now, we introduce the notion of solution to the system (\ref{a})-(\ref{d}). We shall show that for any $v_{0}\in \mathcal{V}kd^{2}$ and strictly positive $\omega_{0}$, $b_{0}\in \mathcal{V}^{2}$, if $H^{2}$ norms of the initial data are sufficiently small, then there exist $(v, \omega, b)\in \mathcal{X}(\infty)$ such that
\eqq{(v_{,t}, w) - (v\omegaega_{,t}imes v,\nablala w) + \n{ \mu D(v), D(w)} = 0 \hspace{0.2cm} \m{ for } \hspace{0.2cm} w\in \mathcal{V}kd^{1}, }{aa}
\eqq{ (\omegaega_{,t}, z) - (\omega v, \nablala z ) + \n{ \mu \nablala \omega, \nablala z } = - \kappa_{2} (\omega^{2}, z ) \hspace{0.2cm} \m{ for } \hspace{0.2cm} z\in \mathcal{V}^{1}, }{ab}
\eqq{(b_{,t}, q) - (b v, \nabla q ) +\n{ \mu \nablala b, \nablala q } = - (b \omega , q) + ( \mu |D(v)|^{2}, q) \hspace{0.2cm} \m{ for } \hspace{0.2cm} q\in \mathcal{V}^{1}, }{ac}
for a.a. $t\in (0,T)$, where $\mu= \frac{b}{\omega}$ and (\ref{e}) holds. Recall that $D(v)$ denotes the symmetric part of $\nablala v$ and $(\cdot , \cdot )$ is inner product in $L^{2}(\Omega)$.
In \cite{KoKu} it was shown that for appropriately regular initial data there exists local-in-time regular solution. We recall this result below.
\begin{theorem}[theorem 1 \cite{KoKu}]
Suppose that $\omega_{0}$, $b_{0}\in \mathcal{V}^{2}$, $v_{0}\in \mathcal{V}kd^{2}$ and (\ref{f}), (\ref{g}) are satisfied. Then there exist positive $t^{*}$ and $(v,\omega , b)\in \mathcal{X}(t^{*})$ such that (\ref{e}), (\ref{aa})-(\ref{ac}) holds for a.a. $t\in (0,t^{*})$.
Furthermore, for each $(x,t)\in \Omega\times [0,t^{*})$ the following estimates
\eqq{\frac{\omegai}{1+\kappa_{2} \omegai t} \leq \omega(x,t) \leq \frac{\omegaa}{1+\kappa_{2} \omegaa t},}{newc}
\eqq{\frac{b_{\min}}{(1+\kappa_{2} \omegaa t)^{\frac{1}{\kappa_{2}}}} \leq b(x,t) }{newd}
hold. The time of existence of solution is estimated from below in the following sense: for each positive $\delta$ and compact $K\subseteq \{ (a,b,c): 0<a\leq b, \hspace{0.2cm} 0<c \}$ there exists positive $t^{*}kd$, which depends only on $\kappa_{2}, \Omega, \delta$ and $K$ such that if
\eqq{ \nsodk{v_{0}}+\nsodk{\omega_{0}}+\nsodk{b_{0}}\leq \delta \hspace{0.2cm} \m{ and } \hspace{0.2cm} (\omegai, \omegaa, b_{\min})\in K,}{uniformly}
then $t^{*}\geq t^{*}kd$.
\lambdabel{LOCALNE_TH}
\end{theorem}
\section{Main result}
Now, we formulate the main result involving the global existence of regular solutions to system (\ref{a})-(\ref{e}).
\begin{theorem}\lambdabel{TW_GLOBAL}
Assume that $\kappa_{2} > \frac{1}{2}$. There exists a constant $C_{\Omega,\kappa_{2}}$, which depends only on $\Omega$ and $\kappa_{2}$, with the following property: for any
$\omega_{0}$, $b_{0}\in \mathcal{V}^{2}$, $v_{0}\in \mathcal{V}kd^{2}$, if (\ref{f}), (\ref{g}) hold and
\eqq{
\mu^{t}_{\min} -C_{\Omega, \kappa_{2}} Z_0(t) > 0 ~~~~\m{ for } \hspace{0.2cm} t \in [0, T),
}{GLOB_ADD}
for some $T\in (0,\infty]$, then there exists a unique $(v,\omega , b)\in \mathcal{X}(T)$ solution to (\ref{a})-(\ref{e}) in $\OmegaT$.
\end{theorem}
We recall that we impose the constants $\nu_{0}$, $\kappa_{1}$, $\kappa_{3}$ and $\kappa_{4}$ are equal to one. In general case, if all these constants are positive and arbitrary, then the constant in the above result will depend on $\nu_{0}$, $\kappa_{1}$, \dots, $\kappa_{4}$ and $\Omega$. The functions $\mu^{t}_{\min}$ and $Z_{0}(t)$ were defined in (\ref{mnitDef}) and (\ref{def_Z0}), respectively.
\begin{rem}
The condition (\ref{GLOB_ADD}) involves only the initial data: $v_{0}$, $\omega_{0}$, $b_{0}$, the parameters of the system: $\nu_{0}$, $\kappa_{1}$, \dots , $\kappa_{4}$ and $\Omega$.
\end{rem}
\begin{rem}
The assumption $\kappa_{2} > \jd$ is crucial in the proof of Theorem \ref{TW_GLOBAL} (and also in Proposition \ref{propEstimates}). Without it we are unable to prove the exponential decay of $L^2$-norm of $v(t)$ and polynomial decay of $L^1$-norm of $b(t)$, around which the proof is structured.
\end{rem}
\begin{rem}
As is stated in \cite{Spal}, Kolmogorov set $\kappa_{2} = \frac{7}{11}$ and Theorem \ref{TW_GLOBAL} may be applied for this value of parameter $\kappa_{2}$.
\end{rem}
\noindent As a consequence of theorem~\ref{TW_GLOBAL} we have
\begin{coro}
Assume that $\kappa_{2} > \frac{1}{2}$, $v_{0}\in \mathcal{V}kd^{2}$, $\omega_{0}$, $b_{0}\in \mathcal{V}^{2}$ and the conditions (\ref{f}), (\ref{g}) hold. We denote
\[
a_{0}=\sup_{t\geq 0 } 2 C_{\Om,\kd} (1+\kd \oma t )^{\frac{1}{\kappa_{2}}-1} \left(A(t)+ B(t)Y_{2}^{\frac{1}{4}}(t) + C(t)Y_{2}^{\frac{3}{4}}(t)+ D(t)Y_{2}^{\frac{5}{4}}(t) \right),
\]
where $C_{\Om,\kd} $ is the constant given in theorem~\ref{TW_GLOBAL} and $Y_{2}, A(t),\dots, D(t)$ were defined in (\ref{Y_0t})-(\ref{def_D}). Then $a_{0}$ is finite. If in addition,
\eqnsl{
\frac{b_{\min}}{\omegaa} > 2 C_{\Om,\kd} \n{ \| b_{0}\|_{1} + \jd \ndk{ v_{0}}\n{1 + I_\infty \n{\kappa_{2}, \frac{\omegai}{\omegaa}, \frac{b_{\min}}{(\omegaa)^2}}} } \\
\text{ for } \kappa_{2} \geq 1
}{Z1}
and
\eqnsl{
\frac{b_{\min}}{\omegaa} > 2 C_{\Om,\kd} \n{ \| b_{0}\|_{1} + \jd \ndk{ v_{0}}\n{1 + I_\infty \n{\kappa_{2}, \frac{\omegai}{\omegaa}, \frac{b_{\min}}{(\omegaa)^2}}} } \n{\frac{\omegaa}{\omegai}}^\frac{1}{\kappa_{2}} \\
\text{ for } \kappa_{2} \in \n{\jd , 1}
}{Z1.5}
and
\eqq{\frac{b_{\min}}{\omegaa} > a_{0} \left( \ndk{\Delta v_{0}}+ \ndk{\Delta \omega_{0}}+ \ndk{\Delta b_{0}} \right)^{\frac{1}{4}}}{Z2}
hold, then the system (\ref{a})-(\ref{e}) has a unique global solution in $\mathcal{X}(\infty)$.
\lambdabel{coro_glob}
\end{coro}
\begin{rem}
The conditions (\ref{Z1})-(\ref{Z2}) involve only the initial data: $v_{0}$, $\omega_{0}$, $b_{0}$, the parameters of the system: $\nu_{0}$, $\kappa_{1}$, \dots , $\kappa_{4}$ and $\Omega$.
\end{rem}
\begin{rem}
We shall show that the conditions (\ref{Z1})-(\ref{Z2}) are satisfied on some non-empty set of initial data. We focus only on the case $\kappa_{2}\in (\jd, 1)$, because the other is simpler. It may be done in the following way: we shall determine positive $\deltaj$,$\deltad$,$\deltat$ such that if initial data satisfy the bounds
\eqq{
\| b_{0}\|_{1}\leq \deltaj, \hspace{0.2cm} \| v_{0}\|_{2}\leq \deltad, \hspace{0.2cm} \Deltay \leq \deltat,
}{delty}
then (\ref{Z1.5}) and (\ref{Z2}) will be fulfilled. We proceed the following steps
\begin{itemize}
\item
set $\omegai$ and $\omegaa$ such that $0<\omegai<\omegaa$ and
\[
2 C_{\Om,\kd} |\Omega| (\omegaa)^{1+\frac{1}{\kappa_{2}}} <(\omegai)^{\frac{1}{\kappa_{2}}} ,
\]
i.e.
\[
\frac{1}{\omegaa}> 2 C_{\Om,\kd} |\Omega| \n{\frac{\omegaa}{\omegai}}^{\frac{1}{\kappa_{2}}},
\]
\item
fix $b_{\min}>0$ so, we have
\[
\frac{b_{\min}}{\omegaa} > 2 C_{\Om,\kd} b_{\min} |\Omega|\n{\frac{\omegaa}{\omegai}}^{\frac{1}{\kappa_{2}}},
\]
\item
choose $\deltaj>b_{\min} |\Omega|$ such that
\[
\frac{b_{\min}}{\omegaa} > 2 C_{\Om,\kd} \deltaj \n{\frac{\omegaa}{\omegai}}^{\frac{1}{\kappa_{2}}},
\]
\item
find $\deltad>0$ such that
\[
\frac{b_{\min}}{\omegaa} > 2 C_{\Om,\kd} \n{ \deltaj + \jd \deltad \n{1 + I_\infty \n{\kappa_{2}, \frac{\omegai}{\omegaa}, \frac{b_{\min}}{(\omegaa)^2}}} } \n{\frac{\omegaa}{\omegai}}^\frac{1}{\kappa_{2}} ,
\]
\item
if we define $a_{0}(\deltaj, \deltad, \deltat)$ similarly as in Corollary~\ref{coro_glob}, where we replace $\| b_{0}\|_{1}$ by $\deltaj$, $\| v_{0}\|_{2}$ by $\deltad$ and $\Deltay$ by $\deltat$, then from (\ref{bMinMaxt}), (\ref{Y_0t}) and (\ref{def_A})-(\ref{def_C}) we deduce that $a_{0}(\deltaj, \deltad, \deltat)$ is increasing with respect to each $\delta_{i}$. Therefore, we can find $\deltat>0$ such that
\[
\frac{b_{\min}}{\omegaa}> a_{0}(\deltaj, \deltad, \deltat) \deltat^{\frac{1}{4}},
\]
\item
finally, for these positive numbers $\deltaj, \deltad, \deltat$ and any $b_{0}$, $\omega_{0}$ and $v_{0}$ such that $b_{\min}\leq b_{0}$, $\omegai\leq \omega_{0} \leq \omegaa$ and (\ref{delty}) hold, the conditions (\ref{Z1.5}) and (\ref{Z2}) are satisfied.
\end{itemize}
\end{rem}
\section{Proof of Theorem~\ref{TW_GLOBAL}}
We need the following auxiliary results (see also theorem 4.1 \cite{MiNa}).
\begin{prop}
Assume that $\omega_{0}$, $b_{0}\in \mathcal{V}^{2}$, $v_{0}\in \mathcal{V}kd^{2}$ and (\ref{f}), (\ref{g}) hold. If $T>0$ and $(v, \omega, b)\in \mathcal{X}(T) $ satisfies (\ref{a})-(\ref{e}), then the following estimates
\eqq{\frac{\omegai}{1+\kappa_{2} \omegai t} \leq \omega(x,t) \leq \frac{\omegaa}{1+\kappa_{2} \omegaa t},}{newcog}
\eqq{\frac{b_{\min}}{(1+\kappa_{2} \omegaa t)^{\frac{1}{\kappa_{2}}}} \leq b(x,t) }{newdog}
hold for $(x,t)\in \Omega^{T}$.
\lambdabel{oszac_og}
\end{prop}
\begin{proof}
By assumption we have $\omega, b \in L^{2}_{loc}([0,T);H^{3}(\Omega))$, $\omega_{,t}, b_{,t} \in L^{2}_{loc}([0,T);H^{1}(\Omega))$ thus, Sobolev embedding theorem implies that $\omega, b\in C(\overline{\Omega}\times [0,T))$. Then, by (\ref{f}) and (\ref{g}) there exists $t_{1}\in (0,T)$ such that
\eqq{\jd b_{\min} \leq b(x,t), \hspace{0.2cm} \jd \omegai \leq \omega(x,t) \leq 2 \omegaa \hspace{0.2cm} \m{ for } \hspace{0.2cm} (x,t)\in \Omega^{t_{1}}. }{dpa}
We denote by $f_{+}$ and $f_{-}$ the non-negative and non-positive parts of function $f$, i.e. $f= f_{+}+f_{-}$, where $f_{+}=\max\{f,0 \}$. For $t\in (0,t_{1})$ we test the equality (\ref{ab}) by $z=\omegamm$ and we obtain
\[
(\omega_{,t}, \omegamm)+ \n{\bom \nabla \omega , \nabla \omegamm} = - \kappa_{2} (\omega^{2}, \omegamm),
\]
where we used the condition $\operatorname{div} v =0$. Using the equality $(\omegat)_{,t}= - \kappa_{2} (\omegat)^{2}$ we may write
\[
\jd \ddt \ndk{ \omegamm} - \kappa_{2} \n{ (\omegat)^{2}, \omegamm }+\n{ \bom \nabla \omegamm, \nabla \omegamm }
\]
\[
= - \kappa_{2} ( \omega^{2}, \omegamm)
\]
for $t\in (0, t_{1})$. After applying (\ref{dpa}) we get
\[
\jd \ddt \ndk{ \omegamm} \leq - \kappa_{2} \n{ (\omega - \omegat)(\omega+\omegat), \omegamm }
\]
\[
= - \kappa_{2} \n{ \omega+\omegat, \bk{ \omegamm} }.
\]
By Gr\"onwall inequality and (\ref{g}) we deduce that $\omegamm\equiv 0$ on for $t\in (0,t_{1})$ hence
\eqq{\frac{\omegai}{1+\kappa_{2} \omegai t} \leq \omega(x,t)}{omnatj}
for $(x,t)\in \overline{\Omega}\times [0,t_{1})$. Next, if we test the equation (\ref{ab}) by $z=\omegamp$, then proceeding similarly we deduce that
\eqq{\omega(x,t)\leq \frac{\omegaa}{1+\kappa_{2} \omegaa t} }{ommnatj}
for $(x,t)\in \overline{\Omega}\times [0,t_{1})$.
Now, for $t\in (0,t_{1})$ we test the equation (\ref{ac}) by $q=(b-\bmi)_{-}m$ and we obtain
\[
(b_{,t}, (b-\bmi)_{-}m) +\n{ \bom \nabla (b-\bmi)_{-}m, \nabla (b-\bmi)_{-}m }
\]
\[
=- (b\omega , (b-\bmi)_{-}m )+ \n{ \bom \bk{D(v)}, (b-\bmi)_{-}m},
\]
where we used the condition $\operatorname{div} v =0$. By applying (\ref{dpa}) we get
\[
(b_{,t}, (b-\bmi)_{-}m) \leq - (b\omega , (b-\bmi)_{-}m ),
\]
i.e.
\[
\jd \ddt \ndk{ (b-\bmi)_{-}m} - \frac{\omegaa }{(1+\kd \oma t ) }
\n{ b_{\min}^{t}, (b-\bmi)_{-}m } \leq -(b\omega, (b-\bmi)_{-}m).
\]
From (\ref{dpa}) and (\ref{ommnatj}) we get
\[
-(b\omega, (b-\bmi)_{-}m) \leq - \frac{\omegaa}{(1+\kd \oma t )}(b, (b-\bmi)_{-}m )
\]
for $t\in (0,t_{1})$ hence, we obtain
\[
\jd \ddt \ndk{ (b-\bmi)_{-}m}\leq -\frac{\omegaa}{(1+\kd \oma t )}(b-b_{\min}^{t}, (b-\bmi)_{-}m ) .
\]
The right-hand side in non-positive thus, we from (\ref{f}) have
\eqq{\frac{b_{\min}}{(1+\kd \oma t )^{\frac{1}{\kappa_{2}}}} \leq b(x,t) }{bmtj}
for $(x,t)\in \overline{\Omega}\times [0,t_{1})$.
Now, we define
\[
t_{1}^{*} = \sup\{\widetilde{t}\in (0,T): (\ref{newcog}), (\ref{newdog}) \m{ \hspace{0.2cm} hold for } (x,t)\in \Omega^{\widetilde{t}} \}.
\]
By the previous step we have $t_{1}^{*}\geq t_{1}>0$. If $t_{1}^{*}<T$, then by continuity of $\omega, b$ and (\ref{omnatj})-(\ref{bmtj}) there exists $t_{2}\in (t_{1}^{*}, T)$ such that
\[
\jd b_{\min}^{t} \leq b(x,t), \hspace{0.2cm} \hspace{0.2cm} \jd \omegat\leq \omega (x,t) \leq 2\omegamt \hspace{0.2cm} \m{ for } (x,t)\in \Omega^{t_{2}}.
\]
Then, we have $\frac{b(x,t)}{\omega(x,t)}\geq \frac{1}{4}\frac{b_{\min}^{t}}{\omegat}>0$ for $(x,t)\in \Omega\times [0,t_{2})$ and we may repeat the argument from the first part of the proof and as a consequence we get $t_{2} \le t_{1}^{*}$. This contradiction means that $t_{1}^{*}=T$ and the proof is finished.
\end{proof}
\begin{prop}
For any $T>0$, the problem (\ref{a})-(\ref{e}) has at most one solution in $\mathcal{X}(T)$.
\lambdabel{jed}
\end{prop}
\begin{proof}
Suppose that $(v^{1},\om^{1},b^{1} )$, $(v^{2}, \om^{2} , b^{2})\in \mathcal{X}(T)$ satisfy (\ref{a})-(\ref{e}) in $\OmegaT$. We denote $v=v^{1} - v^{2} $, $\omega = \om^{1} - \om^{2}$, $b= b^{1} - b^{2}$ and we test the equations for $v^{1}$ and $v^{2}$ by $v$. After subtracting the equations for $v^{i}$ we get
\[
(v_{,t}, v )- \n{ v^{1} \omegaega_{,t}imes v^{1} - v^{2} \omegaega_{,t}imes v^{2} , \nabla v }+ \n{ b^{1}oj D(v^{1}) - b^{2}od D(v^{2}), D(v) }=0.
\]
We note that
\[
\n{ b^{1}oj D(v^{1}) - b^{2}od D(v^{2}), D(v) }
\]
\[
= \n{b^{1}oj D(v), D(v) }+ \n{\boj, D(v^{2}), D(v) }-\n{ \frac{b^{2} \omega }{\om^{1} \om^{2} } D(v^{2}), D(v) },
\]
\[
\n{ v^{1} \omegaega_{,t}imes v^{1} - v^{2} \omegaega_{,t}imes v^{2} , \nabla v } = \n{v^{1} \omegaega_{,t}imes v, \nabla v } + \n{ v\omegaega_{,t}imes v^{2} , \nabla v }.
\]
By proposition~\ref{oszac_og} we have $b^{1}oj\geq \mu^{t}_{\min}$ thus, by H\"older inequality we get
\[
\jd \ddt \ndk{v}+ \mu^{t}_{\min} \ndk{ D(v)} \leq \nif{\joj}\nd{ b} \nif{ D(v^{2})} \nd{ D(v)}
\]
\[
+ \nif{ \jojod } \nif{ b^{2}} \nd{\omega} \nif{D(v^{2})} \nd{D(v)} + \nif{ v^{1}} \nd{v} \nd{ \nabla v } + \nd{v} \nif{ v^{2}} \nd{ \nabla v }.
\]
By proposition~\ref{oszac_og} functions $\om^{1}$ and $\om^{2}$ are estimated from below by $\omegat$ hence, if we apply Young inequality, Sobolev embedding theorem and $\nd{D(v)} = \frac{\sqrt{2}}{2} \nd{\nablala v}$, then we obtain
\[
\ddt \ndk{v}+ \mu^{t}_{\min} \ndk{ D(v)}
\]
\eqq{ \leq \frac{C}{\mu^{t}_{\min} } \n{ (\omegat)^{-2} \nsotk{v^{2}} \ndk{ b}+ (\omegat)^{-4} \nsodk{b^{2}}\nsotk{v^{2}} \ndk{\omega} + \n{\nsodk{v^{1}}+\nsodk{ v^{2}} }\ndk{v} }, }{jed_a}
where $C$ depends only on $\Omega$. Now, we test the equations for $\om^{1}$ and $\om^{2}$ by $\omega = \om^{1}- \om^{2}$ and as a result we obtain
\[
\jd \ddt \ndk{ \omega }+ \n{ b^{1}oj \nabla \omega, \nabla \omega } = \n{ \om^{1} v, \nabla \omega }+ \n{ \omega v^{2} , \nabla \omega }
\]
\[
-\n{ \boj \nabla \om^{2}, \nabla \omega } + \n{ \frac{b^{2} \omega}{\om^{1} \om^{2}} \nabla \om^{2}, \nabla \omega } - \kappa_{2} \n{ \omega (\om^{1}+ \om^{2}), \omega }.
\]
From H\"older inequality and (\ref{newcog}) we get
\[
\jd \ddt \ndk{ \omega} + \mu^{t}_{\min} \ndk{ \nabla \omega }
\]
\[
\leq \nif{ \om^{1} } \nd{ v} \nd{ \nabla \omega} + \nd{ \omega } \nif{v^{2}} \nd{ \nabla \omega} + \nif{\joj} \nd{ b} \nif{\nabla \om^{2}} \nd{ \nabla \omega}
\]
\[
+ \nif{ \jojod } \nif{ b^{2}} \nd{\omega} \nif{ \nabla \om^{2}} \nd{ \nabla \omega} + \kappa_{2} \nif{ \om^{1} + \om^{2} } \ndk{\omega}.
\]
By Young inequality and Sobolev embedding theorem we obtain
\[
\ddt \ndk{ \omega} + \mu^{t}_{\min} \ndk{ \nabla \omega } \leq \frac{C}{\mu^{t}_{\min}} \Big( \nsodk{ \om^{1}} \ndk{ v}
\]
\eqnsl{ + \n{ \nsodk{ v^{2} } + (\omegat)^{-4} \nsodk{b^{2}} \nsotk{ \om^{2}} + \mu^{t}_{\min}\nsodk{\om^{1}} + \mu^{t}_{\min}\nsod{\om^{2}} }\ndk{ \omega} \\ + (\omegat)^{-2} \nsotk{\om^{2}} \ndk{b} \Big),
}{jed_b}
where $C$ depends only on $\Omega$ and $\kappa_{2}$. Finally, we test the equations for $b^{1}$ and $b^{2}$ by $b= b^{1}- b^{2}$ and we get
\[
\jd \ddt \ndk{ b} + \n{ b^{1}oj \nabla b, \nabla b }= \n{b^{1} v, \nabla b }+ \n{ b v^{2} , \nabla b} -\n{ \boj \nabla b^{2}, \nabla b } + \n{ \frac{b^{2} \omega}{\om^{1} \om^{2}} \nabla b^{2}, \nabla b }
\]
\[
-\n{b^{1} \omega , \nabla b } - \n{ b \om^{2}, \nabla b } + \n{ b^{1}oj \bk{D(v^{1}) } -b^{2}od \bk{ D(v^{2})} , b }.
\]
We note that the last term on the right-hand side is equal to
\[
\n{ b^{1}oj D(v) D(v^{1} + v^{2}), b } + \n{ \boj \bk{ D(v^{2})} , b } - \n{ \frac{ b^{2} \omega }{\om^{1} \om^{2}} \bk{ D(v^{2})}, b }.
\]
From H\"older inequality and (\ref{newcog}), (\ref{newdog}) we get
\eqns{\jd \ddt \ndk{ b} + & \mu^{t}_{\min} \ndk{ \nabla b } \leq \nif{ b^{1}} \nd{ v} \nd{ \nabla b } + \nd{ b} \nif{ v^{2}} \nd{\nabla b } \\
& + \nif{ \joj} \nd{ b} \nif{\nabla b^{2}} \nd{ \nabla b} + \nif{\jojod} \nif{ b^{2} } \nd{ \omega} \nif{\nabla b^{2}} \nd{\nabla b } \\
& + \nif{ b^{1}} \nd{ \omega }\nd{ \nabla b } + \nd{b} \nif{ \om^{2}} \nd{\nabla b } \\
& + \nif{ \joj } \nif{ b^{1} } \nd{ D(v) } \nif{ D(v^{1} + v^{2})} \nd{b} \\
& + \nif{ \joj} \ndk{ b} \nifk{D(v^{2})} +\nif{ \jojod} \nif{b^{2}} \nd{\omega} \nifk{D(v^{2})} \nd{b}.
}
Applying Young inequality and Sobolev embedding theorem we obtain
\eqnsl{\ddt \ndk{ b} + \mu^{t}_{\min} \ndk{\nabla b } & \leq \frac{C}{\mu^{t}_{\min}} \Big\{ \nsodk{b^{1} }\ndk{v} \\
& + \Big[ \nsodk{v^{2}} + (\omegat)^{-2} \nsotk{b^{2}}+ \nsodk{ \om^{2}} \\
& +(\omegat)^{-2} (\mu^{t}_{\min} + \nsodk{ b^{1}})( \nsotk{ v^{1} }+ \nsotk{ v^{2}}) \\
& + \mu^{t}_{\min}(\omegat)^{-1} \nsotk{ v^{2}} \Big] \ndk{ b} \\
& +\Big[ (\omegat)^{-4}\nsodk{ b^{2}} \nsotk{ b^{2}} +\nsodk{b^{1}} \\
& + \mu^{t}_{\min}(\omegat)^{-2} \nsodk{b^{2}} \nsotk{ v^{2}} \Big] \ndk{ \omega} \Big\} + \mu^{t}_{\min} \ndk{ D(v)}.
}{jed_c}
If we sum the inequalities (\ref{jed_a})-(\ref{jed_c}), then we obtain
\[
\ddt \n{ \ndk{v}+ \ndk{\omega} + \ndk{ b} } \leq h(t) \n{ \ndk{v}+ \ndk{\omega} + \ndk{ b} },
\]
with $h\in L^{1}(0,T)$, because after applying the embedding $\mathcal{X}(T) \hookrightarrow L^{\infty}(0,T;H^{2}(\Omega)) $ we deduce that
$(v^{i}, \omega^{i}, b^{i})$ belong to $L^{\infty}(0,T;H^{2}(\Omega))\cap L^{2}(0,T;H^{3}(\Omega))$ (the embedding is just a consequence of one integration by parts in the term $\ddt \| \Delta u \|_{2}^{2}$). By the assumption, $v(0)=0$, $\omega(0)=0$, $b(0)=0$ thus, by Gr\"onwall inequality we get $v\equiv 0$, $\omega \equiv 0$ and $b\equiv 0$ on $\Omega^{T}$ and the proof is finished.
\end{proof}
Suppose that the assumptions of theorem~\ref{TW_GLOBAL} hold. Then, by theorem \ref{LOCALNE_TH} there exists regular, local in time solution to the system (\ref{a})-(\ref{e}), which belongs to $\mathcal{X}(T_{0})$ for some positive $T_{0}$. From Proposition~\ref{jed} it is unique solution in $\mathcal{X}(T_{0})$. We will show that provided the smallness condition imposed on initial data (formulated in (\ref{GLOB_ADD})), the solution exists on $[0,T)$. In particular, if (\ref{GLOB_ADD}) holds with $T=\infty$, then the solution is global, i.e. it belongs to $\mathcal{X}(\infty)$. Firstly, we denote
\eqq{
T^{*}=\sup\{t^{*}>0: \hspace{0.2cm} \m{ system (\ref{a})-(\ref{e}) has a solution } (v,\omega , b) \m{ \hspace{0.2cm} in } \mathcal{X}(t^{*}) \}.
}{defTgw}
We note that $T^{*}\geq T_{0}>0$. By Proposition~\ref{jed} there exists $(v,\omega, b)$ the unique solution of (\ref{a})-(\ref{e}) in $\mathcal{X}(T^{*})$, i.e. the following identities
\eqq{(v_{,t}, w) - (v\omegaega_{,t}imes v,\nablala w) + \n{ \frac{b}{\omega} D(v), D(w)} = 0 \hspace{0.2cm} \m{ for } \hspace{0.2cm} w\in \mathcal{V}kdj}{gbh}
\eqq{ (\omega_{,t}, z) - (\omega v, \nablala z ) + \n{ \frac{b}{\omega} \nablala \omega, \nablala z } = - \kappa_{2} (\omega^{2}, z ) \hspace{0.2cm} \m{ for } \hspace{0.2cm} z\in \mathcal{V}j, }{cbgh}
\eqq{(b_{,t}, q) - (b v, \nabla q ) +\n{ \frac{b}{\omega} \nablala b, \nablala q } = - (b \omega , q) + \left( \frac{b}{\omega} \bk{D(v)}, q\right) \hspace{0.2cm} \m{ for } \hspace{0.2cm} q\in \mathcal{V}j , }{ccgno}
hold for a.a. $t\in (0,T^{*})$, where $(\cdot,\cdot)$ denotes inner product in $L^{2}(\Omega)$. By Proposition~~\ref{oszac_og} functions $\omega$ and $b$ satisfy
\eqnsl{
b(t,x)\geq b_{\min}^{t}, \hspace{0.2cm} \hspace{0.2cm}
\omega(t,x) \geq \omegat, \hspace{0.2cm} \hspace{0.2cm}
\omega(t,x) \le \omegamt \hspace{0.2cm} \hspace{0.2cm} \m{for } \hspace{0.2cm} (x,t)\in \Omega^{T^{*}}.
}{inf-EST-b-omega}
We shall show that if the condition (\ref{GLOB_ADD}) holds for some $T$, then $T^{*}\geq T$. As it will be explained in the proof of Corollary~\ref{coro_glob}, the condition (\ref{GLOB_ADD}) holds, provided the initial data are sufficiently small.
To prove the result we suppose that $T^{*}<T$ and we shall show that it leads to a contradiction. The idea of the proof is as follows: we shall show that under smallness assumption $(\ref{GLOB_ADD})$ we are able to obtain an estimate for solution in $H^{2}(\Omega)$ norm, which is uniform with respect to $t\in [0,T^{*})$. Next, by applying Theorem~\ref{LOCALNE_TH} and Proposition~\ref{oszac_og} we will be able to extend the solution beyond $T^{*}$ and this is a contradiction with the definition of $T^{*}$. Therefore, the key step in the proof is to get the estimates in $H^{2}$ norm for solution $(v,\omega,b)$. First we deal with the lower order terms.
\subsection{The lower order estimates}
In this subsection we estimate the $L^2$-norm of $v$ and next, the $L^{1}$-norm of $b$. The proof of the main theorem depends heavily on the decay estimates of these quantities. In the proposition below we consider all values of $\kappa_{2}\in (0,\infty)$ to illustrate the influence of $\kappa_{2}$ for the available decay estimates. From this we will see that $\kappa_{2}=\jd$ seems to be critical value.
\begin{prop} \lambdabel{propEstimates}
For each $t\in [0,T^{*})$ the following estimates holds
\begin{enumerate}[a)]
\item
\eqnsl{
\nd{ v(t) } \le \nd{ v_0 } \exp \n{ - \frac{1}{C^{2}_{p}}\frac{b_{\min} }{ \omegaa^{2} \n{2 \kappa_{2} - 1 }} \n{\n{1 + \kappa_{2} \omegaa t }^{2 - \frac{1}{\kappa_{2}}}-1} } \\
\text{for } \kappa_{2} \in \n{0,\jd} \cup \n{\jd, \infty} ,
}{noa}
and
\eqnsl{\nd{ v(t)} \leq \nd{ v_0 }(1+\kappa_{2} \omegaa t )^{-\frac{b_{\min}}{C_{p}^2\omegaa^2 \kappa_{2}} } \hspace{0.2cm} \m{ for } \hspace{0.2cm} \kappa_{2} =\frac{1}{2},}{estivk2jd}
\item
\eqq{
\nd{\omega(t)} \leq \nd{\omega_{0}} \hspace{0.2cm}
\text{for } \kappa_{2} \in \n{0,\infty},
}{ldomega}
\item
\eqnsl{
\nj{ b(t)}& + \jd \ndk{v(t)} \\
& \le \frac{\nj{ b_0 } + \jd \ndk{ v_0 }\n{1+I_\infty\n{\kappa_{2}, \frac{\omegai}{\omegaa}, \frac{b_{\min}}{\n{\omegaa}^2}}}}{ \n{1 + \kappa_{2} \omegai t}^{\frac{1}{\kappa_{2}}}}
\hspace{0.2cm}
\text{for } \kappa_{2} \in \n{\jd, \infty},
}{b-l1-est}
\item
\eqnsl{
\frac{\nj{ b_0 } + \jd \ndk{ v_0 }}{ \n{1 + \kappa_{2} \omegaa t}^{\frac{1}{\kappa_{2}}}} \leq \nj{ b(t) } + \jd \ndk{v(t)}
\hspace{0.2cm}
\text{for } \kappa_{2} \in \n{0, \infty},
}{kinEnergyEstFromBelow}
\item
\eqnsl{
\nj{b} + \ndk{ v(t)}
\le \frac{\nj{b_0} + \ndk{ v_0}}{\n{1 + \kappa_{2} \omegai t}^{\frac{1}{\kappa_{2}} \min \left\{1,\frac{C_p^2 \omegaa^2}{b_{\min}} \right\}}}
\text{\hspace{0.2cm} for } \kappa_{2} \in \n{\jd, \infty},
}{b-l1-est2}
\item
\eqnsl{
\nj{b} + \jd \ndk{ v(t)}
\le \nj{b_0} + \jd \ndk{ v_0}
\text{ \hspace{0.2cm} for } \kappa_{2} \in \n{0, \infty},
}{b-l1-est3}
\end{enumerate}
where $I_\infty $ was defined in (\ref{IinfDef}), hold.
\end{prop}
\begin{proof}[Proof of Proposition \ref{propEstimates}]
{\bf a)}
We test the equation (\ref{gbh}) by $v$ and we get
\eqnsl{
\jd \ddt \ndk{ v } + \n{\frac{b}{\omegaega} D(v), D(v)}=0 \hspace{0.2cm} \m{ for }\hspace{0.2cm} t\in (0,T^{*}),
}{temp-v-vmean-lower-eq}
where we applied the condition $\operatorname{div}{v}=0$. Using the notation (\ref{mnitDef}) and the estimate (\ref{inf-EST-b-omega}) we obtain
\eqns{
\jd \ddt \ndk{ v } + \mu^{t}_{\min} \ndk{D(v)} \le 0 \hspace{0.2cm} \m{ for }\hspace{0.2cm} t\in (0,T^{*}).
}
The mean value of components of $v$ are zero thus, from the Poincar\'e inequality and the fact that $\nd{D(v)} = \frac{\sqrt{2}}{2} \nd{\nablala v}$ we get
\[
\jd \ddt \ndk{ v } + \mu^{t}_{\min} \frac{1}{C^{2}_{p}} \ndk{v } \le 0 \hspace{0.2cm} \m{ for }\hspace{0.2cm} t\in (0,T^{*}) .
\]
By applying (\ref{mnitDef}) we may write explicitly
\eqnsl{
\ddt \ndk{ v(t) } + \frac{2}{C^{2}_{p}} \frac{b_{\min}}{ \omegaa} \n{1 + \kappa_{2} \omegaa t }^{1 - \frac{1}{\kappa_{2}}}\ndk{ v(t)}\leq 0 \hspace{0.2cm} \m{ for }\hspace{0.2cm} t\in (0,T^{*}) .
}{v-l2-norm-ineq}
Multiplying by appropriate exponential function, after integration we obtain (\ref{noa}) and (\ref{estivk2jd}).
{\bf b)} If we test the equation (\ref{cbgh}) by $z=\omega$, then after integration by parts and using (\ref{inf-EST-b-omega}) we get
\[
\jd \ddt \ndk{ \omega(t)} \leq 0 \hspace{0.2cm} \m{ for } t\in (0,T^{*})
\]
thus, we have (\ref{ldomega}).
{\bf c)}
We now proceed to estimate for $b$. We can not obtain any pointwise estimate from above for $b$. However, we are able to estimate the $L^1$-norm of $b$. Indeed, we test the equation (\ref{ccgno}) by $q\equiv 1$ and we get
\eqns{
\n{ b_{,t}, 1 } = - \n{ b \omega, 1 }
+ \n{\frac{b}{\omegaega} |D(v)|^{2}, 1 }
}
The positivity of $b$ follows from (\ref{f}), (\ref{bMinMaxt}) and (\ref{inf-EST-b-omega}) so, we get
\[
\ddt \nj{ b } = - \n{ b \omega, 1 }
+ \n{\frac{b}{\omegaega} |D(v)|^{2}, 1 }.
\]
We note that the term $\n{\frac{b}{\omegaega} |D(v)|^{2}, 1 } $ is equal to $\n{\frac{b}{\omegaega} D(v), D(v)}$ thus, we can use the equation (\ref{temp-v-vmean-lower-eq}) and we obtain
\eqnsl{
\ddt \nj{ b } = - \n{ b \omega, 1 }
- \jd \ddt \ndk{v}.
}{b-l1-norm-eq}
From (\ref{omMinMaxt}) and (\ref{inf-EST-b-omega}) we may estimate $\omegaega$ from below and we obtain
\eqnsl{
\ddt \nj{ b } \le - \omegaitt \nj{ b} - \jd \ddt \ndk{ v }.
}{b-l1-norm-ineq}
By multiplying both sides by $e^{\int_0^t \omegaittau d \tau}$ we get
\eqns{
\ddt \n{ \nj{ b } e^{\int_0^t \omegaittau d \tau} }
\le
- \jd \ddt \ndk{ v } e^{\int_0^t \omegaittau d \tau}.
}
After integrating from $0$ to $t$ we get
\eqns{
\nj{ b } e^{\int_0^t \omegaittau d \tau}
\le
\nj{ b_0 } - \jd \int_0^t \frac{d}{d \tau} \ndk{ v(\tau) } e^{\int_0^\tau \omegaits ds} d\tau.
}
After integrating by parts we get
\eqns{
\nj{ b } e^{\int_0^t \omegaittau d \tau}
& \le
\nj{ b_0 } - \left[\jd \ndk{ v(\tau) } e^{\int_0^\tau \omegaits ds} \right]_{\tau = 0}^{\tau = t} \\
& + \jd \int_0^t \ndk{ v(\tau) } e^{\int_0^\tau \omegaits ds} \omegaittau d\tau.
}
Thus we get
\eqns{
\nj{ b } + \jd \ndk{v}
& \le
\n{ \nj{ b_0 } + \jd \ndk{ v_0 } } e^{-\int_0^t \omegaittau d \tau} \\
& + \jd e^{-\int_0^t \omegaittau d \tau} \int_0^t \ndk{ v(\tau) } e^{\int_0^\tau \omegaits ds} \omegaittau d\tau.
}
We note that
\eqns{
\int_0^t \omegaittau d \tau = \ln \n{1 + \kappa_{2} \omegai t}^{\frac{1}{\kappa_{2}}}
}
thus, we obtain
\eqns{
\nj{ b } + \jd \ndk{v}
& \le
\frac{ \nj{ b_0 } + \jd \ndk{ v_0 } }{\n{1 + \kappa_{2} \omegai t}^{\frac{1}{\kappa_{2}}}} \\
& + \jd \frac{1}{\n{1 + \kappa_{2} \omegai t}^{\frac{1}{\kappa_{2}}}} \int_0^t \ndk{ v(\tau) } \frac{\omegai}{\n{1 + \kappa_{2} \omegai \tau}^{1 - \frac{1}{\kappa_{2}}}} d\tau.
}
After using (\ref{noa}) we get
\eqns{
\nj{ b } + \jd \ndk{v}
& \le
\frac{ \nj{ b_0 } + \jd \ndk{ v_0 } }{\n{1 + \kappa_{2} \omegai t}^{\frac{1}{\kappa_{2}}}}
+ \frac{\jd \ndk{v_0} }{\n{1 + \kappa_{2} \omegai t}^{\frac{1}{\kappa_{2}}}} I_t(\kappa_{2}, \omegai, \omegaa, b_{\min}),
}
where
\eqnsl{
I_t(\kappa_{2} , &\omegai, \omegaa, b_{\min}) \\
& = \int_0^t
\exp \n{- \frac{2b_{\min} \n{\n{1 + \kappa_{2} \omegaa \tau }^{2 - \frac{1}{\kappa_{2}}}-1} }{C^{2}_{p} \omegaa^{2} \n{2 \kappa_{2} - 1 }} }
\frac{\omegai}{\n{1 + \kappa_{2} \omegai \tau}^{1 - \frac{1}{\kappa_{2}}}}
d \tau.
}{ItEst:1}
Now, we shall obtain an estimate of $I_t$. Depending on the value of $\kappa_{2}$, we obtain different types of the estimates. Firstly, we focus on the case $\kappa_{2} \geq 1$. From (\ref{newcog}) we have
\eqns{
\frac{\omegai}{\n{1 + \kappa_{2} \omegai \tau}^{1 - \frac{1}{\kappa_{2}}}}
& =
\frac{\n{\omegai}^{\frac{1}{\kappa_{2}}} \n{\omegai}^{1 - \frac{1}{\kappa_{2}}}}{\n{1 + \kappa_{2} \omegai \tau}^{1 - \frac{1}{\kappa_{2}}}}
\le
\frac{\n{\omegai}^{\frac{1}{\kappa_{2}}} \n{\omegaa}^{1 - \frac{1}{\kappa_{2}}}}{\n{1 + \kappa_{2} \omegaa \tau}^{1 - \frac{1}{\kappa_{2}}}}
}
and thus
\eqnsl{
& I_t(\kappa_{2} , \omegai, \omegaa, b_{\min}) \\
& \le \omegaa \n{\frac{\omegai}{\omegaa}}^{\frac{1}{\kappa_{2}}} \int_0^t
\exp \n{- \frac{2b_{\min} \n{\n{1 + \kappa_{2} \omegaa \tau }^{2 - \frac{1}{\kappa_{2}}}-1} }{C^{2}_{p} \omegaa^{2} \n{2 \kappa_{2} - 1 }} }
\frac{d \tau}{\n{1 + \kappa_{2} \omegaa \tau}^{1 - \frac{1}{\kappa_{2}}}}
.
}{ItEst1}
Now, we can change variables $s = 1 + \kappa_{2} \omegaa t$ and we have
\eqns{
& I_t(\kappa_{2} , \omegai, \omegaa, b_{\min}) \\
& \le
\frac{1}{\kappa_{2}}\n{\frac{\omegai}{\omegaa}}^{\frac{1}{\kappa_{2}}}
\exp \n{\frac{2b_{\min}}{C^{2}_{p} \omegaa^{2} \n{2 \kappa_{2} - 1 }} }
\int_1^\infty
\exp \n{- \frac{2b_{\min} s^{2 - \frac{1}{\kappa_{2}}} }{C^{2}_{p} \omegaa^{2} \n{2 \kappa_{2} - 1 }} }
s^{\frac{1}{\kappa_{2}}-1}
ds.
}
Next, the change of variables $y=\frac{2b_{\min} s^{2 - \frac{1}{\kappa_{2}}} }{C^{2}_{p} \omegaa^{2} \n{2 \kappa_{2} - 1 }} $ leads to the estimate
\eqns{
& I_t(\kappa_{2} , \omegai, \omegaa, b_{\min}) \\
& \le
\n{\frac{\omegai}{\omegaa}}^{\frac{1}{\kappa_{2}}}
\exp \n{\frac{2b_{\min}}{C^{2}_{p} \omegaa^{2} \n{2 \kappa_{2} - 1 }} }
\n{\frac{C_p^2 (\omegaa)^2 (2\kappa_{2}-1)}{2b_{\min}}}^{\frac{2\kappa_{2}}{2\kappa_{2} -1}}
\Gamma\left(\frac{1}{2\kappa_{2}-1}\right).
}
Thus, in the case of $\kappa_{2} \geq 1$ we obtain
\eqns{
& \nj{ b } + \jd \ndk{v}
\\
& \le
\frac{ \nj{ b_0 } + \jd \ndk{ v_0 }
\n{
1 +
\Gamma\n{\frac{2\kappa_{2}}{2\kappa_{2} - 1}}
\n{\frac{\omegai}{\omegaa}}^{\frac{1}{\kappa_{2}}}
\n{\frac{C_p^2 (\omegaa)^2(2\kappa_{2} -1)}{2b_{\min}}
\exp \n{\frac{2b_{\min}}{C^{2}_{p} \omegaa^{2}} }
}^{\frac{1}{2\kappa_{2} -1}}
}
}{\n{1 + \kappa_{2} \omegai t}^{\frac{1}{\kappa_{2}}}}
}
hence, (\ref{b-l1-est}) holds for $\kappa_{2} \geq 1$. Now, if we assume that
$\kappa_{2} \in \n{\jd,1}$, then we have
\eqns{
\frac{1}{\n{1 + \kappa_{2} \omegai \tau}^{1 - \frac{1}{\kappa_{2}}}}
\le
\frac{1}{\n{1 + \kappa_{2} \omegaa \tau}^{1 - \frac{1}{\kappa_{2}}}}
}
and from (\ref{ItEst:1}) we obtain
\eqnsl{
I_t(\kappa_{2} , &\omegai, \omegaa, b_{\min})
\\ & \le
\omegai \int_0^t
\exp \n{- \frac{2b_{\min} \n{\n{1 + \kappa_{2} \omegaa \tau }^{2 - \frac{1}{\kappa_{2}}}-1} }{C^{2}_{p} \omegaa^{2} \n{2 \kappa_{2} - 1 }} }
\frac{d \tau}{\n{1 + \kappa_{2} \omegaa \tau}^{1 - \frac{1}{\kappa_{2}}}}.
}{ItEst2}
Proceeding as earlier we obtain
\eqns{
& \nj{ b } + \jd \ndk{v} \\
& \le
\frac{ \nj{ b_0 } + \jd \ndk{ v_0 }
\n{
1 +
\Gamma\n{\frac{2\kappa_{2}}{2\kappa_{2} - 1}}
\frac{\omegai}{\omegaa}
\n{\frac{C_p^2 (\omegaa)^2(2\kappa_{2}-1)}{2b_{\min}}
\exp \n{\frac{2b_{\min}}{C^{2}_{p} \omegaa^{2}} }
}^{\frac{1}{2\kappa_{2} -1}}
}
}{\n{1 + \kappa_{2} \omegai t}^{\frac{1}{\kappa_{2}}}},
}
hence, (\ref{b-l1-est}) also holds for $\kappa_{2} \in \n{\jd , 1}$.
{\bf d) } Now, we shall obtain (\ref{kinEnergyEstFromBelow}) - the estimate from below. Firstly, we note that from (\ref{newcog}) and (\ref{b-l1-norm-eq}) we have
\eqns{
\ddt \n{\nj{ b} + \jd \ndk{ v }} \geq - \omegaat \nj{ b}
}
hence, we get
\eqns{
\ddt \ln \n{\nj{ b} + \jd \ndk{ v }} \geq - \omegaat.
}
After integration both sides from $0$ to $t$ we obtain
\eqns{
\ln \n{ \frac{\nj{ b} + \jd \ndk{ v }}{\nj{ b_0 } + \jd \ndk{ v_0 }}}
\geq
-\frac{1}{\kappa_{2}} \ln \n{1 + \kappa_{2} \omegaa t}
}
so, the inequality (\ref{kinEnergyEstFromBelow}) is proved.
{\bf e) } Now, we shall prove (\ref{b-l1-est2}). From (\ref{v-l2-norm-ineq}) and (\ref{b-l1-norm-ineq}) we have
\eqnsl{
\ddt \n{ \nj{b} + \ndk{ v } }
+ \omegaitt \nj{b}
+ \frac{1}{C^{2}_{p}} \frac{b_{\min}}{ \omegaa} \n{1 + \kappa_{2} \omegaa t }^{1 - \frac{1}{\kappa_{2}}}\ndk{ v}
\leq 0.}{tmp::1}
We shall show that for $C_0 = \frac{C_p^2 \omegaa^2}{b_{\min}}$ and $t\geq 0$ there holds
\eqnsl{
\omegaitt \le
\frac{C_0}{C^{2}_{p}} \frac{b_{\min}}{ \omegaa} \n{1 + \kappa_{2} \omegaa t }^{1 - \frac{1}{\kappa_{2}}}.
}{C0InEq0}
Indeed, it is equivalent to
\eqnsl{
1 \le
\frac{C_0}{C^{2}_{p}} \frac{b_{\min}}{\omegai \omegaa} \n{1 + \kappa_{2} \omegai t } \n{1 + \kappa_{2} \omegaa t }^{1 - \frac{1}{\kappa_{2}}}
}{C0InEq}
and for $\kappa_{2} \geq 1$ the right-hand side is increasing function of $t$, so it is enough to check (\ref{C0InEq}) for $t=0$, which is obviously true. If $\kappa_{2} \in \n{\jd,1}$, then $\frac{1}{\kappa_{2}}-1$ and $2-\frac{1}{\kappa_{2}}$ are positive and the function $\frac{1 + \kappa_{2} \omegai t}{1 + \kappa_{2} \omegaa t }$ is monotonically decreasing, where $\lim\limits_{t \rightarrow \infty} \frac{1 + \kappa_{2} \omegai t}{1 + \kappa_{2} \omegaa t } = \frac{\omegai}{\omegaa}$ thus, we have
\eqns{
\frac{C_0}{C^{2}_{p}}
\frac{b_{\min}}{\omegai \omegaa} &
\n{1 + \kappa_{2} \omegai t }^{2 - \frac{1}{\kappa_{2}}} \n{\frac{1 + \kappa_{2} \omegai t}{1 + \kappa_{2} \omegaa t }}^{\frac{1}{\kappa_{2}} - 1} \\
& \geq \frac{C_0}{C^{2}_{p}}
\frac{b_{\min}}{\omegai \omegaa} \n{ \frac{\omegai}{\omegaa}}^{\frac{1}{\kappa_{2}}-1} \geq \frac{C_0}{C^{2}_{p}}\frac{b_{\min}}{\omegai \omegaa} \frac{\omegai}{\omegaa}=1,
}
where in the last inequality we applied $\frac{1}{\kappa_{2}}-1< 1$. Hence, (\ref{C0InEq0}) is proved for $\kappa_{2}>\frac{1}{2}$.
Next, applying (\ref{C0InEq0}) in (\ref{tmp::1}) we deduce that
\eqns{
\ddt \n{ \nj{b} + \ndk{ v } }
+ \min \left\{1,\frac{1}{C_0} \right\} \omegaitt \n{ \nj{b} + \ndk{ v} }
\leq 0.
}
After integration from $0$ to $t$ we get
\eqns{
\ln \n{\frac{ \nj{b} + \ndk{ v } }{ \nj{b_0} + \ndk{ v_0 }}}
\le
- \frac{1}{\kappa_{2}} \min \left\{1,\frac{1}{C_0} \right\} \ln \n{1+\kappa_{2} \omegai t},
}
which gives (\ref{b-l1-est2}).
{\bf f) } The estimate (\ref{b-l1-est3}) is a direct consequence of (\ref{b-l1-norm-ineq}).
\end{proof}
\subsection{Higher order estimates}
In this section we will obtain estimates for $\nd{\Delta v(t)}$, $\nd{\Delta \omega(t)}$ and $\nd{\Delta b(t)}$. Having these estimates and results of the previous section we will be able to control the $H^{2}$ norm. From (\ref{gbh})-(\ref{ccgno}) we get
\eqq{(v_{,t}, \Deltak w) - (v\omegaega_{,t}imes v,\nablala \Deltak w) + \n{ \frac{b}{\omega} D(v), D(\Deltak w)} = 0,}{gbha}
\eqq{ (\omega_{,t}, \Deltak z) - (\omega v, \nablala \Deltak z ) + \n{ \frac{b}{\omega} \nablala \omega, \nablala \Deltak z } = - \kappa_{2} (\omega^{2}, \Deltak z ), }{cbgha}
\eqq{(b_{,t}, \Deltak q) - (b v, \nabla \Deltak q ) +\n{ \frac{b}{\omega} \nablala b, \nablala \Deltak q } = - (b \omega , \Deltak q) + \left( \frac{b}{\omega} \bk{D(v)}, \Deltak q\right) , }{ccgnoa}
for a.a. $t\in (0, T^{*})$, where the test functions are such that $\Deltak w \in \mathcal{V}kdj$, $\Deltak z \in \mathcal{V}j$ and $ \Deltak q \in \mathcal{V}j$. If we integrate by parts and use the condition $\operatorname{div} v =0$, then we obtain
\eqq{\lambdangle \Delta v_{,t}, \Delta w\rangle - (\Delta \n{ v\omegaega_{,t}imes v},\nablala \Delta w) + \n{ \Delta \n{ \frac{b}{\omega} D(v)}, D(\Delta w)} = 0,}{gbhb}
\eqnsl{ \lambdangle\Delta \omega_{,t}, \Delta z\rangle - (v \nablak \omega , \nablala \Delta z )- (\nabla \omega \nabla v ,\nabla \Delta z) + & \n{ \Delta \n{\frac{b}{\omega} \nablala \omega}, \nablala \Delta z } \\ & = - \kappa_{2} (\Delta \n{\omega^{2}}, \Delta z ), }{cbghb}
\eqnsl{ \lambdangle \Delta b_{,t}, \Delta q\rangle - (v \nablak b, \nabla \Delta q & )- (\nabla b \nabla \omega , \nabla \Delta q) +\n{ \Delta \n{ \frac{b}{\omega} \nablala b}, \nablala \Delta q } \\
& = - (\Delta \n{b \omega} , \Delta q) - \left( \nabla \n{\frac{b}{\omega} \bk{D(v)}}, \Delta \nabla q\right) , }{ccgnob}
for a.a. $t\in (0, T^{*})$, where $\lambdangle \cdot , \cdot \rangle $ denotes duality pairing between $\mathcal{V}^{1}(\Omega)$ and $(\mathcal{V}^{1})^{*}$. The density argument and regularity of $(v, \omega, b)$ allow us to test the system (\ref{gbhb})-(\ref{ccgnob}) by solution thus, we obtain
\eqq{\jd \ddt \ndk{ \Delta v} - (\Delta \n{ v\omegaega_{,t}imes v},\nablala \Delta v) + \n{ \Delta \n{ \frac{b}{\omega} D(v)}, D(\Delta v)} = 0, }{gbhc}
\eqnsl{
\jd \ddt \ndk{\Delta \omega} - (v & \nablak \omega, \nabla \Delta \omega ) - (\nabla \omega \nabla v , \nabla \Delta \omega) \\
& + \n{ \Delta \n{\frac{b}{\omega} \nablala \omega}, \nablala \Delta \omega } = - \kappa_{2} (\Delta \n{\omega^{2}}, \Delta \omega ), }{cbghc}
\eqnsl{
\jd \ddt \ndk{ \Delta b} - (v \nablak b, & \nabla \Delta b )- (\nabla b \nabla \omega , \nabla \Delta b) +\n{ \Delta \n{ \frac{b}{\omega} \nablala b}, \nablala \Delta b } \\
& = - (\Delta \n{b \omega} , \Delta b) - \left( \nabla \n{\frac{b}{\omega} \bk{D(v)}}, \nabla \Delta b\right) }{ccgnoc}
for a.a. $t\in (0, T^{*})$. In the above equations some terms are similar and can be treated in the same way. To simplify further calculations let us analyse these terms first. One of them has the following form
\[
\n{ \Delta \n{\frac{b}{\omega} \nablala f}, \nablala \Delta f }.
\]
In this case we may write
\eqnsl{
& \n{ \Delta \n{\frac{b}{\omega} \nabla f}, \nabla \Delta f } =\n{ \frac{b}{\omega} \nablala \Delta f, \nablala \Delta f } + 2 \n{ \nablak f \cdot \nabla \n{\frac{b}{\omega}} , \nablala \Delta f } \\
+ &
\n{ \Delta \n{\frac{b}{\omega}} \nabla f, \nablala \Delta f }= \n{ \frac{b}{\omega} \nablala \Delta f, \nablala \Delta f } + 2 \n{\frac{1}{\omega} \nablak f \cdot \nabla b , \nablala \Delta f } \\
-& 2 \n{ \frac{b}{\omega^2} \nablak f \cdot \nabla \omega , \nablala \Delta f } +\n{ \frac{\Delta b}{\omega} \nabla f, \nablala \Delta f }
- 2 \n{ \frac{(\nabla b\cdot \nabla \omega )}{\omega^2} \nabla f, \nablala \Delta f } \\
- & \n{ \frac{b}{\omega^2} \Delta \omega \nabla f, \nablala \Delta f }+ 2\n{ \frac{b}{\omega^3} \bk{\nabla \omega} \nabla f, \nablala \Delta f }.
}{pom1}
On the right-hand side we can control the sign only of the first term hence, to simplify the future calculations we define $W(f)$ using the last six expressions, i.e.
\eqq{
\n{ \Delta \n{\frac{b}{\omega} \nabla f}, \nabla \Delta f } =
\n{ \frac{b}{\omega} \nablala \Delta f, \nablala \Delta f }+ W(f).
}{diffTm-lapk}
Similarly we define $\wt{W}(v)$
\eqq{
\n{ \Delta \n{\frac{b}{\omega} D(v) }, D( \Delta v) } =
\n{ \frac{b}{\omega} D(\Delta v) , D (\Delta v) }+ \wt{W}(v).
}{diffTm-lapkv}
Using this notation the system (\ref{gbhc})-(\ref{ccgnoc}) may be written in the following way
\eqnsl{
\jd \ddt \ndk{\Delta v} + \n{ \frac{b}{\omega} D(\Delta v), D(\Delta v)} = (\Delta \n{v \omegaega_{,t}imes v},\nabla \Delta v) - \wt{W}(v)}{v-lapkTesteda}
\eqnsl{
\jd \ddt \ndk{\Delta \omega} + \n{ \frac{b}{\omega} \nablala \Delta \omega, \nablala \Delta \omega } = - \kappa_{2} (\Delta (\omega^{2}), \Delta \omega ) + (v \nablak \omega , \nablala \Delta \omega ) \\ +(\nabla \omega \nabla v, \nablala \Delta \omega) - W(\omega), }{om-lapkTesteda}
\eqnsl{
\jd \ddt \ndk{\Delta b} + \n{ \frac{b}{\omega} \nablala \Delta b, \nablala \Delta b } = (v\nablak b, \nablala \Delta b )+ (\nabla b \nabla v , \nablala \Delta b)
\\ -(\Delta \n{b \omega}, \Delta b) - \left(\nabla \n{ \frac{b}{\omega} \bk{D(v)}}, \nabla \Delta b\right) - W(b).
}{b-lapkTesteda}
We recall that by applying (\ref{mnitDef}) and (\ref{inf-EST-b-omega}) we get the bound from below
\eqq{
\mu^{t}_{\min} \leq \frac{b}{\omega}
}{below}
thus, from (\ref{v-lapkTesteda}) we obtain
\eqnsl{
\jd \ddt \ndk{\Delta v} + \mu^{t}_{\min} \ndk{D( \Delta v)} & \le 2 ( \Delta v \omegaega_{,t}imes v , \nablala \Delta v ) + 2( \nabla v \omegaega_{,t}imes \nabla v , \nablala \Delta v ) - \wt{W}(v) .
}{v-lapk-tested-2}
To estimate the right-hand side we use the H\"older inequality and we get
\[
2( \Delta v \omegaega_{,t}imes v , \nablala \Delta v ) + 2( \nabla v \omegaega_{,t}imes \nabla v , \nablala \Delta v ) \leq 2\nt{v} \ns{ \Delta v } \nd{ \nablala \Delta v }
+ \nck{ \nabla v } \nd{ \nablala \Delta v }.
\]
Then, after applying Sobolev inequalities and Gagliardo-Nierenberg inequality (\ref{gag50}) we get
\[
2( \Delta v \omegaega_{,t}imes v , \nablala \Delta v ) + 2( \nabla v \omegaega_{,t}imes \nabla v , \nablala \Delta v ) \leq C( \nt{ v} +\nd{ \nabla v })\ndk{ \nablat v},
\]
where $C$ depends only on $\Omega$. If we use the interpolating inequality
\[
\nt{ v} \leq C \nd{v}^{\jd} \nd{ \nabla v }^{\jd},
\]
then we obtain
\eqq{
\jd \ddt \ndk{\Delta v } + \mu^{t}_{\min} \ndk{ D(\Delta v) } \leq C
\n{\nd{ v }^{\frac{1}{2}} \nd{ \nabla v }^{\frac{1}{2}} + \nd{ \nabla v } }
\ndk{ \nablat v} - \wt{W}(v).
}{est_v_lap_GLOB}
Now we focus our attention on the equation (\ref{om-lapkTesteda}). After applying (\ref{below}) we get
\eqn{
\jd \ddt \ndk{\Delta \omega} + \mu^{t}_{\min} \ndk{\nabla \Delta \omega} \le (v\nablak \omega, \nablala \Delta \omega)+ & (\nabla \omega \nabla v, \nablala \Delta \omega)\\
& -2 \kappa_{2} (\bk{\nabla \omega}, \Delta \omega )
- W(\omega), }
where we used the nonnegativity of $ 2\kappa_{2} \n{ \omega \Delta \omega , \Delta \omega }$. By H\"older inequality we have
\eqn{
\jd \ddt \ndk{ \Delta \omega} + \mu^{t}_{\min} \ndk{ \nablala \Delta \omega} \le \nt{v} \ns{\nablak \omega}& \nd{\nablala \Delta \omega} +
2\nc{\nabla \omega} \nc{ \nabla v} \nd{\nablala \Delta \omega}
\\
&
+2 \kappa_{2} \noindentrm{\nabla \omega}_{\frac{6}{5}} \nif{\nabla \omega} \ns{\Delta \omega}
- W(\omega).
}
After applying the estimate (\ref{gag_inf_lap}) to the term $\nif{\nabla \omega}$ and (\ref{est-zero-3}) to term $ \nt{v}$ we obtain
\eqn{
\jd \ddt \ndk{ \Delta \omega} + \mu^{t}_{\min} \ndk{ \nablala \Delta \omega} \le
C \Big(
\nd{v}^{\jd} \nd{\nabla v}^{\jd}
& + \kappa_{2} \noindentrm{\nabla \omega}_{\frac{6}{5}}
\Big) \ndk{\nablat \omega} & \\ &
+ 2\nc{\nabla \omega} \nc{ \nabla v} \nd{\nablala \Delta \omega} - W(\omega) .
}
If we use the inequality (\ref{est-nab-4-kw}) then we get
\eqn{
\jd \ddt \ndk{ \Delta \omega} + \mu^{t}_{\min} \ndk{ \nablala \Delta \omega} & \le C \Big(
\nd{v}^{\jd}\nd{\nabla v}^{\jd}
+ \kappa_{2} \noindentrm{\nabla \omega}_{\frac{6}{5}} \Big) \ndk{\nablat \omega} \\
& + C\noindentrm{\nabla \omega}_{\td}^{\jd} \noindentrm{\nabla v}_{\td}^{\jd} \nd{\nablat \omega}^{\frac{3}{2}} \nd{\nablat v}^{\frac{1}{2}} - W(\omega) ,
}
where $C$ depends only on $\Omega$. So finally, after applying the Young inequality with exponents ($\frac{4}{3}$, 4) we obtain
\[
\jd \ddt \ndk{ \Delta \omega} + \mu^{t}_{\min} \ndk{ \nablala \Delta \omega}
\]
\eqnsl{
\le C \Big(
\nd{v}^{\jd}\nd{\nabla v}^{\jd}
+ \kappa_{2} \noindentrm{\nabla \omega}_{\frac{6}{5}}
+ \noindentrm{\nabla \omega}_{\td}^{\jd} \noindentrm{\nabla v}_{\td}^{\jd}
\Big) \n{ \ndk{\nablat \omega} + \ndk{\nablat v} } - W(\omega).
}{est_om_lap_GLOB}
Now, let us turn our attention to equation (\ref{b-lapkTesteda}). We integrate by parts
\eqn{
- (\Delta \n{b \omega}, \Delta b )
& =
- ( \omega \Delta b, \Delta b )
- 2(\nabla \omega \nabla b, \Delta b )
- ( b \Delta \omega, \Delta b ),
}
\eqn{
\n{ \nabla \n{\frac{b}{\omega} |D(v)|^2}, \nablala \Delta b} & \\
=
\n{\frac{\nabla b}{\omega} |D(v)|^2 , \nablala \Delta b }
-\n{\frac{b\nabla \omega }{\omega^2} |D(v)|^2 , \nablala \Delta b } &
+ 2 \n{\frac{b}{\omega} D(v) \nabla D(v) , \nablala \Delta b}.
}
Using the above calculations we may write (\ref{b-lapkTesteda}) in the following form
\[
\jd \ddt \ndk{\Delta b} + \n{ \frac{b}{\omega} \nablala \Delta b, \nablala \Delta b }
=(v \nablak b , \nablala \Delta b ) +
(\nabla b \nabla v, \nablala \Delta b )
- ( \omega \Delta b, \Delta b )
\]
\[
- 2(\nabla \omega \nabla b, \Delta b ) - ( b \Delta \omega, \Delta b )
-\n{\frac{\nabla b}{\omega} |D(v)|^2 , \nablala \Delta b }
+\n{\frac{b\nabla \omega }{\omega^2} |D(v)|^2 , \nablala \Delta b }
\]
\[
- 2 \n{\frac{b}{\omega} D(v) \nabla D(v) , \nablala \Delta b}
- W(b).
\]
The third term on the right-hand side is non-positive hence, if we use (\ref{below}), then we get
\[
\jd \ddt \ndk{\Delta b} + \mu^{t}_{\min} \ndk{ \nablala \Delta b }
\le
\]
\[
(\nabla b \nabla v, \nablala \Delta b ) + (v \nablak b , \nablala \Delta b )
- 2(\nabla \omega \nabla b, \Delta b ) - ( b \Delta \omega, \Delta b )
-\n{\frac{\nabla b}{\omega} |D(v)|^2 , \nablala \Delta b }
\]
\eqq{
+\n{\frac{b\nabla \omega }{\omega^2} |D(v)|^2 , \nablala \Delta b }
- 2 \n{\frac{b}{\omega} D(v) \nabla D(v) , \nablala \Delta b}
- W(b).
}{b-lapk-tested-2}
From H\"older inequality we obtain
\[
\jd \ddt \ndk{ \Delta b} + \mu^{t}_{\min} \ndk{ \nablala \Delta b} \le
\nc{\nabla b } \nc{\nabla v} \nd{ \nablala \Delta b}
+ \nt{v} \ns{\nablak b} \nd{ \nablala \Delta b}
\]
\[
+2 \noindentrm{\nabla \omega}_{\frac{6}{5}} \nif{\nabla b} \ns{\Delta b}
+ \noindentrm{b}_{\frac{3}{2}} \ns{\Delta \omega} \ns{\Delta b} + \nif{\re{\omega}} \ns{ \nabla b} \nsk{ D (v)} \nd{\nablala \Delta b}
\]
\[
+ \nif{\re{\omega}}^2 \nif{b} \ns{\nabla \omega} \nsk{ D (v)} \nd{\nablala \Delta b}
\]
\[
+ 2\nif{\re{\omega}} \nif{b} \ns{ \nabla D (v)} \nt{ D (v)} \nd{\nablala \Delta b} -W(b).
\]
Now, we estimate the right-hand side by applying Gagliardo-Nirenberg inequalities
\[
\m{ \hspace{0.2cm} by } (\ref{est-nab-4-kw}): \hspace{1.2cm} \hspace{0.2cm} \hspace{0.2cm} \nc{\nabla b } \nc{\nabla v} \nd{ \nablala \Delta b} \leq c \noindentrm{ \nabla b }^\jd_\td \noindentrm{ \nabla v }^\jd_\td \nd{ \nablat b }^\jd \nd{ \nablat v}^\jd,
\]
\[
\m{ \hspace{0.2cm} by } (\ref{est-zero-3}), (\ref{Sobolev}): \hspace{2.4cm} \hspace{0.2cm} \hspace{0.2cm} \nt{v} \ns{\nablak b} \nd{ \nablala \Delta b} \leq c \nd{\nabla v}^\jd \nd{v}^\jd \ndk{\nablat b},
\]
\[
\m{ \hspace{0.2cm} by } (\ref{Sobolev}), (\ref{gag_inf_lap}): \hspace{3.0cm} \hspace{0.2cm} \hspace{0.2cm}
\noindentrm{\nabla \omega}_{\frac{6}{5}} \nif{\nabla b} \ns{\Delta b} \leq c \noindentrm{\nabla \omega}_{\frac{6}{5}} \ndk{\nablat b} ,
\]
\[
\m{ \hspace{0.2cm} by } (\ref{32Est}), (\ref{Sobolev}): \hspace{0.2cm} \hspace{0.2cm}
\noindentrm{b}_{\frac{3}{2}} \ns{\Delta \omega} \ns{\Delta b} \leq c (\noindentrm{\nabla b}^\jd_\td \nj{b}^\jd + \nj{b}) \nd{ \nablat \omega } \nd{\nablat b},
\]
\[
\m{\hspace{0.2cm} by } (\ref{inf-EST-b-omega}), (\ref{Sobolev}), (\ref{est-nab-6}): \hspace{0.5cm} \hspace{0.2cm} \hspace{0.2cm} \nif{\re{\omega}} \ns{ \nabla b} \nsk{ D (v)}
\nd{\nablala \Delta b} \hspace{3.5cm}
\]
\[
\hspace{6.2cm} \leq c (\omegat)^{-1} \nd{\nablak b} \nd{ \nabla v} \nd{ \nablat v} \nd{\nablat b},
\]
\[
\m{\hspace{0.2cm} by } (\ref{inf-EST-b-omega}), (\ref{gag_inf_lap_j}), (\ref{Sobolev}), (\ref{est-nab-6}): \hspace{0.2cm} \hspace{0.2cm} \nif{\re{\omega}}^2 \nif{b} \ns{\nabla \omega} \nsk{ D (v)} \nd{\nablala \Delta b} \hspace{2cm}
\]
\[
\hspace{3.7cm} \leq c (\omegat)^{-2} (\nd{ \nablak b} + \nj{b}) \nd{ \nablak \omega} \nd{ \nabla v} \nd{ \nablat v} \nd{ \nablat b},
\]
\[
\m{\hspace{0.2cm} by } (\ref{inf-EST-b-omega}), (\ref{gag_inf_lap_j}), (\ref{Sobolev}), (\ref{est-zero-3}) : \hspace{0.2cm} \hspace{0.2cm} \nif{\re{\omega}} \nif{b} \ns{ \nabla D (v)} \nt{ D (v)} \nd{\nablala \Delta b} \hspace{1.3cm}
\]
\[
\hspace{3cm} \leq c (\omegat)^{-1} (\nd{ \nablak b} + \nj{b}) \nd{ \nablat v} \nd{\nabla v }^{\jd} \nd{ \nablak v}^{\jd } \nd{ \nablat b},
\]
where $c$ depends only on $\Omega$. Thus, if we apply Young inequality to separate the norms of the third order derivatives, then we obtain
\eqnsl{
\jd \ddt \ndk{ \Delta b} + \mu^{t}_{\min} \ndk{ \nablala \Delta b} \le c \Big(
\noindentrm{\nabla b}_{\td}^{\jd} \noindentrm{\nabla v}_{\td}^{\jd}
+ \nd{\nabla v}^{\jd}\nd{ v}^{\jd}
+ \noindentrm{\nabla \omega}_{\frac{6}{5}}
+ \noindentrm{\nabla b}^\jd_\td \nj{b}^\jd \\
+ \nj{b} + (\omegat)^{-1} \nd{ \nablak b} \nd{ \nabla v}
+ (\omegat)^{-2} \n{\nd{\nablak b} + \nj{b}} \nd{\nablak \omega} \nd{ \nabla v} \\
+ (\omegat)^{-1} \n{\nd{\nablak b} + \nj{b}} \nd{ \nabla v}^{\jd} \nd{ \nablak v}^{\jd}
\Big) \cdot \Big( \ndk{\nablat v} + \ndk{\nablat \omega} + \ndk{\nablat b} \Big)- W(b),
}{b-lapk-tested-3}
where $c$ depends only on $\Omega$. We note that after integration by parts we get $\nd{\nablak f} =\nd{ \Delta f}$ for $f\in \mathcal{V}^{1}$ and $2 \ndk{ D(\Delta v)}= \ndk{ \nablat v }$ (see (47) \cite{KoKu}) hence, if we sum the inequalities (\ref{est_v_lap_GLOB}), (\ref{est_om_lap_GLOB}) and (\ref{b-lapk-tested-3}), then we obtain
\eqn{
\jd \ddt \n{ \ndk{\Delta v } + \ndk{\Delta \omega } + \ndk{\Delta b } }
+ \mu^{t}_{\min} \n{ \ndk{\nablala \Delta v} + \ndk{\nablala \Delta \omega} + \ndk{\nablala \Delta b} } \\
\le C
\Big(
\nd{ v }^\jd \nd{ \nabla v }^\jd
+ \nd{\nabla v}
+ \noindentrm{\nabla \omega}_{\frac{6}{5}}
+ \noindentrm{\nabla \omega}_{\td}^{\jd} \noindentrm{\nabla v}_{\td}^{\jd}
+ \noindentrm{\nabla b}_{\td}^{\jd} \noindentrm{\nabla v}_{\td}^{\jd} \\
+ \noindentrm{\nabla b}^\jd_\td \nj{b}^\jd + \nj{b}
+ (\omegat)^{-1} \nd{ \nablak b} \nd{ \nabla v}
+ (\omegat)^{-2} \nd{\nablak b} \nd{\nablak \omega} \nd{ \nabla v} \\
+ \frac{\nj{b}}{(\omegat)^2} \nd{\nablak \omega} \nd{ \nabla v}
+ (\omegat)^{-1} \nd{\nablak b} \nd{ \nabla v}^{\jd} \nd{ \nablak v}^{\jd}
+ \frac{\nj{b}}{\omegat} \nd{ \nabla v}^{\jd} \nd{ \nablak v}^{\jd}
\Big) \\
\cdot \Big( \ndk{\nablala \Delta v} + \ndk{\nablala \Delta \omega} + \ndk{\nablala \Delta b} \Big) - \wt{W}(v) - W(\omega) - W(b),
}
where $C$ depends only on $\kappa_{2}$ and $ \Omegaega $. Before we estimate the last three terms we will introduce the following notation
\eqnsl{
& X_0(t) := \ndk{v(t)} + \nj{b(t)}^2, \\
&
X_1(t) := \ndk{\nabla v(t)} + \ndk{\nabla \omega(t)} + \ndk{\nabla b(t)}, \\
&
X_2(t) := \ndk{\Delta v(t)} + \ndk{\Delta \omega(t)} + \ndk{\Delta b(t)}, \\
&
X_3(t) := \ndk{\nablala \Delta v(t)} + \ndk{\nablala \Delta \omega(t)} + \ndk{\nablala \Delta b(t)}.
}{X_k_def}
After using the H\"older inequality we obtain
\[
\jd \ddt X_2 + \mu^{t}_{\min} X_3 \le C
\Big(
X_0^\jc X_1^\jc
+ X_1^\jd+ \nj{b}
+ (\omegat)^{-1} X_1^\jd X_2^\jd
+ (\omegat)^{-2} X_1^\jd X_2
\]
\eqq{
+ \frac{\nj{b}}{(\omegat)^2} X_1^\jd X_2^\jd
+ (\omegat)^{-1} X_1^\jc X_2^\tc
+ \frac{\nj{b}}{\omegat} X_1^\jc X_2^\jc
\Big) \cdot X_3 - \wt{W}(v) - W(\omega) - W(b),
}{est4Sum}
where $C$ depends only on $\kappa_{2}$ and $ \Omegaega $.
Now, we need to estimate terms $ \wt{W}(v) $, $ W(\omega) $, $ W(b) $, which were defined by (\ref{pom1})-(\ref{diffTm-lapkv}). In each case the estimates are similar thus, we consider $W(f)$ for general $f\in \mathcal{V}^{3}$. In this case we have
\eqn{
|W(f)| \le 2 & \nif{\re{\omega}} \nt{ \nabla b} \ns{ \nablak f} \nd{\nablala \Delta f}
+ 2 \nif{\re{\omega}}^2 \nif{b} \nt{\nabla \omega} \ns{\nablak f} \nd{\nablala \Delta f} \\
+ & \nif{\re{\omega}} \ns{ \Delta b } \nt{\nabla f } \nd{ \nabla \Delta f}
+ 2 \nif{\re{\omega}}^2 \ns{ \nabla b} \ns{ \nabla \omega} \ns{ \nabla f} \nd { \nablala \Delta f } \\
+ &
\nif{\re{\omega}}^2 \nif{b} \ns{ \Delta \omega} \nt{\nabla f} \nd{\nablala \Delta f}
+ 2 \nif{\re{\omega}}^3 \nif{b} \ns{ \nabla \omega}^2 \ns{ \nabla f} \nd{\nablala \Delta f}. \\
}
As earlier, we use (\ref{inf-EST-b-omega}) and (\ref{est-zero-3})-(\ref{32Est}) and we have
\[
|W(f)|
\]
\eqns{
\le \frac{c}{\omegat} \Big(
\nd{ \nabla b}^\jd \nd{ \Delta b}^\jd \nd{\nablat f}
+ (\omegat)^{-1} \n{\nd{\Delta b} + \nj{b} } \nd{ \nabla \omega}^\jd \nd{ \Delta \omega}^\jd & \nd{\nablat f} \\
+ \nd{ \nabla f }^\jd \nd{ \Delta f }^\jd \nd{ \nablala \Delta b}
+ (\omegat)^{-1} \nd{\nabla b}^\jd \nd{\nabla \omega}^\jd \nd{ \Delta f} \nd{\nablala \Delta \omega}^\jd & \nd{\nablala \Delta b}^\jd \\
+ (\omegat)^{-1} \n{ \nd{\Delta b} + \nj{b} } \nd{ \nabla f}^\jd \nd{ \Delta f}^\jd & \nd{ \nablala \Delta \omega} \\
+ (\omegat)^{-2} \n{ \nd{\Delta b} + \nj{b} } \nd{\nabla \omega} \nd{ \Delta f} \nd{\nablala \Delta \omega}
\Big) & \nd { \nablala \Delta f }, \\
}
where $c$ depends only on $\Omega$. We obtain an analogous estimate for $\wt{W}(v)$. Then, if we use the notation (\ref{X_k_def}), then we obtain
\eqn{
|\wt{W}(v)|+|W(\omega)|+|W(b)| \\
\le \frac{c}{\omegat} \Big(
X_1^\jc X_2^\jc
+ (\omegat)^{-1} X_1^\jc X_2^\tc
+ \frac{\nj{b}}{\omegat} X_1^\jc X_2^\jc
+ X_1^\jc X_2^\jc
+ (\omegat)^{-1} X_1^\jd X_2^\jd \\
+ (\omegat)^{-1} X_1^\jc X_2^\tc
+ \frac{\nj{b}}{\omegat} X_1^\jc X_2^\jc
+ \re{(\omegat)^2} X_1^\jd X_2
+ \frac{\nj{b}}{(\omegat)^2} X_1^\jd X_2^\jd
\Big) \cdot X_3,
}
where $c$ is as earlier. We simplify further
\[
|\wt{W}(v)|+|W(\omega)|+|W(b)| \le \frac{c}{(\omegat)^{2}} \cdot \hspace{6cm}
\]
\eqq{
\cdot \left(
\n{\omegat+\nj{b}} X_1^\jc X_2^\jc
+ \n{ 1 + \frac{\nj{b}}{\omegat}} X_1^\jd X_2^\jd
+ X_1^\jc X_2^\tc
+ (\omegat)^{-1} X_1^\jd X_2
\right) \cdot X_3
}{W_est}
and $c$ depends only on $\Omega$. Using this estimate in (\ref{est4Sum}) we get
\eqnsl{
\jd \ddt X_2 + \mu^{t}_{\min} X_3 \le C
\Big(
X_0^\jc X_1^\jc
+ X_1^\jd +\noindentrm{b}_{1}
+ \n{\re{\omegat} + \frac{\nj{b}}{\omegat} + \frac{\nj{b}}{(\omegat)^2} } X_1^\jc X_2^\jc \\
+ \n{\re{\omegat} + \re{(\omegat)^2} + \frac{\nj{b}}{(\omegat)^2} + \frac{\nj{b}}{(\omegat)^3}} X_1^\jd X_2^\jd
+ \n{\re{\omegat} + \re{(\omegat)^2}} X_1^\jc X_2^\tc \\
+ \n{\re{(\omegat)^2} + \re{(\omegat)^3}} X_1^\jd X_2
\Big) \cdot X_3,
}{est4Sum_v1}
where $C=C(\Omegaega, \kappa_{2})$. After applying the Poincar\'e inequality we get $ X_1 \le C^{2}_{p} X_2 $ thus, we may simplify further
\eqnsl{
\jd \ddt X_2 + \mu^{t}_{\min} X_3 \le C
\Big(
X_0^\jc X_2^\jc + \noindentrm{b}_{1}
+ \n{1 + \re{\omegat} + \frac{\nj{b}}{\omegat} + \frac{\nj{b}}{(\omegat)^2} } X_2^\jd \\
+ \n{\re{\omegat} + \re{(\omegat)^2} + \frac{\nj{b}}{(\omegat)^2} + \frac{\nj{b}}{(\omegat)^3}} X_2
+ \n{ \re{(\omegat)^2} + \re{(\omegat)^3}} X_2^\frac{3}{2} \Big) \cdot X_3.
}{est4Sum_v2}
By (\ref{mnitDef}) and (\ref{b-l1-est}) we have $\nj{ b(t) }\leq b_{\max}(t)$ hence, using (\ref{def_A}), (\ref{noa}) and (\ref{X_k_def}) we get
\eqns{
X_0^\jc(t) & \leq \n{ \ndk{
v_{0}}
\exp \n{ - \frac{2b_{\min} \n{\n{1 + \kappa_{2} \omegaa t }^{2 - \frac{1}{\kappa_{2}}}-1} }{C^{2}_{p} \omegaa^{2} \n{2 \kappa_{2} - 1 }} }
+ b_{\max}^{2}(t)}^{\jc} \\
& \equiv A(t)
}
and we obtain
\[
X_0^\jc X_2^\jc + \noindentrm{b}_{1} \leq
A(t) X_2^{\jc}+ b_{\max}(t).
\]
Applying this inequality in (\ref{est4Sum_v2}) we get
\eqnsl{
\ddt & X_2 + 2 \mu^{t}_{\min} X_3 \le C_{\Omega,\kappa_{2}}
\Big( b_{\max}(t) +
A(t) X_2^\jc
+ B(t) X_2^\jd
+ C(t) X_2
+ D(t) X_2^\frac{3}{2} \Big) \cdot X_3,
}{est4Sum_v3}
where $C_{\Omega,\kappa_{2}}$ depends only on $\Omega$, $\kappa_{2}$ and we used the notation (\ref{def_B})-(\ref{def_D}). We denote
\eqnsl{
Z(t) & =
\Big( b_{\max}(t) +
A(t) X_2^\jc
+ B(t) X_2^\jd
+ C(t) X_2
+ D(t) X_2^\frac{3}{2}
\Big).
}{def_Z}
Thus, the inequality (\ref{est4Sum_v3}) may be written in the following form
\eqn{
\ddt X_2(t) + \n{\mu^{t}_{\min} - C_{\Om,\kd} Z(t)} X_3(t) & \le -\mu^{t}_{\min} X_3(t).
}
By Poincar\'e inequality we get
\eqnsl{
\ddt X_2(t) + \n{\mu^{t}_{\min} - C_{\Om,\kd} Z(t)} X_3(t) & \le - \frac{\mu^{t}_{\min}}{C^{2}_{p}} X_2(t).
}{key1}
By definition (\ref{Y_0t}) and (\ref{X_k_def}) we have $Y_{2}(0)=X_{2}(0)$ hence, using (\ref{def_Z0}) and (\ref{def_Z}) we get $Z_{0}(0)=Z(0)$. Next, by assumption (\ref{GLOB_ADD}) we have
\[
\frac{b_{\min}}{\omegaa}- C_{\Om,\kd} Z_{0}(0)>0
\]
thus, we have
\[
\frac{b_{\min}}{\omegaa}- C_{\Om,\kd} Z(0)>0.
\]
We note that $(v, \omega ,b)\in L^{2}([0,T^{*});H^{3}(\Omega))$ and $(v_{,t}, \omega_{,t} ,b_{,t})\in L^{2}([0,T^{*});H^{1}(\Omega))$ hence, we have $X_{2}\in C([0,T^{*}))$. Therefore, there are two possibilities:
\[
\forall t \in [0,T^{*}) \hspace{0.2cm} \hspace{0.2cm} \mu^{t}_{\min}- C_{\Om,\kd} Z(t)>0 \hspace{0.2cm} \m{ or } \hspace{0.2cm} \exists t^{*}\in (0,T^{*}) \hspace{0.2cm} \hspace{0.2cm} \mu^{t^*}_{\min} - Z(t^*) = 0.
\]
In the first case, the inequality (\ref{key1}) gives a uniform estimate
\eqq{
\ndk{\Delta v (t) }+ \ndk{\Delta \omega (t) }+ \ndk{\Delta b (t) } \leq \ndk{\Delta v_{0} }+ \ndk{\Delta \omega_{0} }+ \ndk{\Delta b_{0} } \hspace{0.2cm} \m{ for } \hspace{0.2cm} t\in [0,T^{*}).
}{contra}
By (\ref{noa})-(\ref{b-l1-est}) we have
\[
\nd{ v(t)} \leq \nd{v_{0}}, \hspace{0.2cm} \nd{ \omega(t)} \leq \nd{ \omega_{0}},
\]
\[
\nd{ b(t)} \leq c(\nd{ \nablak b(t)} + \nj{ b(t)}) \leq c(\nd{ \nablak b(t)} + \nj{ b_{0}} + \jd \ndk{ v_{0}} )
\]
for $ t\in [0,T^{*})$, where $c=c(\Omega)$. These estimates together with (\ref{contra}) give
\eqq{ \nsodk{v (t) }+ \nsodk{ \omega (t) }+ \nsodk{ b (t) } \leq c\n{\nsodk{ v_{0} }+ \nsodk{ \omega_{0} }+ \nsodk{ b_{0} } }
}{contrb}
for $ t\in [0,T^{*})$, where $c$ depends only on $\Omega$. We denote the right-hand side of (\ref{contrb}) by $\delta$. We set $K=\{(\omegat, \omegamt, b_{\min}^{t}) : \hspace{0.2cm} t\in [0,T^{*}] \}$. Then $K$ is compact subset of $\{(a,b,c): \hspace{0.2cm} 0<a\leq b, \hspace{0.2cm} 0<c \}$ and by Theorem~\ref{LOCALNE_TH} there exists $t^{*}kd$ such that the problem (\ref{a})-(\ref{ddod}) with initial condition $(v(t), \omega(t), b(t))$ can be extended to the interval $[t,t+t^{*}kd)$, where $t $ is arbitrary in $[0,T^{*})$. For $t>T^{*}-t^{*}kd$ we obtain the contradiction with definition of $T^{*}$ (see (\ref{defTgw})).
In the second case, using the continuity of $[0,T^{*})\ni t \mapsto \mu^{t}_{\min}- C_{\Om,\kd} Z(t) $ we may assume that $t^{*}\in (0,T^{*})$ is the first point with this property, i.e. \m{$\mu^{t}_{\min}- C_{\Om,\kd} Z(t)>0$} for $t\in [0,t^{*})$ and $\mu^{t^*}_{\min} - Z(t^*) = 0$. Then, from (\ref{key1}) we get
\eqn{
\ddt X_2(t) \le -\frac{1}{C^{2}_{p}}\mu^{t}_{\min} X_2(t) \hspace{0.2cm} \m{ for } \hspace{0.2cm} t\in (0,t^{*}).
}
Using (\ref{mnitDef}) we may write
\eqn{
\ddt X_2(t) \le - \frac{1}{C^{2}_{p}} \frac{b_{\min}}{\omegaa}
\n{1 + \kappa_{2} \omegaa t}^{1 - 1/\kappa_{2}} X_2(t) \hspace{0.2cm} \m{ for } \hspace{0.2cm} t\in (0,t^{*}).
}
Thus, after multiplying by appropriate exponential function we obtain the bound
\eqn{
X_2(t) & \le
X_2(0) \exp \n{-\frac{1}{C^{2}_{p}}\frac{b_{\min} }{(2\kappa_{2} - 1)\omegaa^2} \n{ \n{1 + \kappa_{2} \omegaa t}^{2 - 1/\kappa_{2}} - 1}} \hspace{0.2cm} \m{ for } \hspace{0.2cm} t\in (0,t^{*}).
}
By definition (\ref{Y_0t}), the above inequality means $X_{2}(t)\leq Y_{2}(t)$ for $t\in [0,t^{*})$ hence, we get $X_{2}(t^{*})\leq Y_{2}(t^{*})$. If we use the definition (\ref{def_Z0}) and (\ref{def_Z}), then we deduce that $Z(t^*) \le Z_0(t^*)$ and then
\eqn{
0=\mu^{t^*}_{\min} - C_{\Om,\kd} Z(t^*) \geq \mu^{t^*}_{\min} - C_{\Om,\kd} Z_0(t^*) > 0
}
and we get a contradiction with the assumption (\ref{GLOB_ADD}). Thus, we obtain that $T^{*} \geq T$ and the theorem~\ref{TW_GLOBAL} is proved.
It remains to prove Corollary~\ref{coro_glob}.
\begin{proof}[Proof of Corollary~\ref{coro_glob}]
We shall show that the condition (\ref{GLOB_ADD}) is satisfied for $T=\infty$.
Firstly, for $\kappa_{2} \geq 1$ we note that from (\ref{Z1}) we obtain
\[
\frac{b_{\min}}{\omegaa} >2 C_{\Om,\kd} \n{ \| b_{0}\|_{1} + \jd \ndk{ v_{0}} \n{1 + I_\infty \n{\kappa_{2}, \frac{\omegai}{\omegaa}, \frac{b_{\min}}{(\omegaa)^2}} } } \n{1 + \kappa_{2} \omegai t}^{-1}
\]
for $t\geq 0$ hence, after multiplying both sides by $\n{1 + \kappa_{2} \omegai t}^{1-\frac{1}{\kappa_{2}}}$ we get
\eqq{\mu^{t}_{\min} \geq \frac{b_{\min}}{\omegaa} \n{1 + \kappa_{2} \omegai t}^{1-\frac{1}{\kappa_{2}}} > 2 C_{\Om,\kd} b_{\max}(t) .}{W1}
For $\kappa_{2} \in \n{\jd, 1}$ we note that from (\ref{Z1.5}) we obtain
\eqns{
\frac{b_{\min}}{\omegaa} & \n{1 + \kappa_{2} \omegaa t} \\
& >
2 C_{\Om,\kd} \n{\frac{\omegaa}{\omegai}}^\frac{1}{\kappa_{2}} \n{ \| b_{0}\|_{1} + \jd \ndk{ v_{0}} \n{1 + I_\infty \n{\kappa_{2}, \frac{\omegai}{\omegaa}, \frac{b_{\min}}{(\omegaa)^2}} } }
}
for $t\geq 0$ hence, after multiplying both sides by $\n{1 + \kappa_{2} \omegaa t}^{-\frac{1}{\kappa_{2}}}$ we get
\[
\mu^{t}_{\min} >
2 C_{\Om,\kd} b_{\max}(t)
\n{\frac{\omegaa}{\omegai}\cdot \frac{1 + \kappa_{2} \omegai t}{1 + \kappa_{2} \omegaa t}}^\frac{1}{\kappa_{2}}.
\]
We note that the function $\frac{1 + \kappa_{2} \omegai t}{1 + \kappa_{2} \omegaa t} $ is decreasing and strictly greater than $\frac{\omegai}{\omegaa}$ so, we have
\eqq{
\mu^{t}_{\min} >
2 C_{\Om,\kd} b_{\max}(t) .}{W1.5}
Next, we shall show that $a_{0}$ is finite. Recall that $\kappa_{2} > \jd$ and then by (\ref{bMinMaxt}), (\ref{def_A}) we deduce that \m{$(1+\kd \oma t )^{\frac{1}{\kappa_{2}}-1}A(t)$} decays at infinity as $(1+\kd \oma t )^{\frac{1}{2\kappa_{2}}-1}$. Thus, the expression \m{$(1+\kd \oma t )^{\frac{1}{\kappa_{2}}-1}A(t)$} is uniformly bounded on $[0,\infty)$. Further, the remaining terms in definition $a_{0}$ can be estimated by expressions of the form $(1+\kd \oma t )^{\alpha}Y_{2}^{\beta}(t)$, where $\alpha\leq 3 $ and $\beta>0$. We recall that the function $Y_{2}(t)$ decays exponentially hence, $a_{0}$ is finite.
Finally, by (\ref{Z2}) we get $\frac{b_{\min}}{\omegaa}>a_{0} Y_{2}^{\frac{1}{4}}(t)$ for $t\in [0,\infty)$ thus, using the definition of $a_{0}$ we obtain
\[
\frac{b_{\min}}{\omegaa}>2C_{\Om,\kd} (1+\kd \oma t )^{\frac{1}{\kappa_{2}}-1} \left(A(t)Y_{2}^{\frac{1}{4}}(t)+ B(t)Y_{2}^{\frac{1}{2}} + C(t)Y_{2}(t)+ D(t)Y_{2}^{\frac{3}{2}}(t) \right)
\]
for $t\in [0,\infty)$ hence, we get
\eqq{
\mu^{t}_{\min}>2C_{\Om,\kd} \left(A(t)Y_{2}^{\frac{1}{4}}(t)+ B(t)Y_{2}^{\frac{1}{2}} + C(t)Y_{2}(t)+ D(t)Y_{2}^{\frac{3}{2}}(t) \right).
}{W2}
If we sum (\ref{W1}) or (\ref{W1.5}) and (\ref{W2}) then, by definition (\ref{def_Z0}) we get $2\mu^{t}_{\min} > 2C_{\Om,\kd} Z_{0}(t) $ hence,
the condition (\ref{GLOB_ADD}) holds for $T=\infty.$
\end{proof}
{\bf Acknowledgements } The authors would like to thank the anonymous referee for valuable remarks, which
significantly improve the paper.
\section{Appendix}
In this subsection we collect the special cases of Gagliardo-Nirenberg inequalities used in the paper (for the original formulation and proof see \cite{Gagliardo}, \cite{Niremberg}, \cite{GagNirProof}). Here, the constant $c$ depends only on $\Omega$ and we assume that $f$ is periodic function on $\Omega$ it is sufficiently regular to make the right-hand side finite. Firstly, we recall
\eqnsl{
\nck{ \nabla f } \le
c \nd{ \nabla f } \nd{ \nablat f }.
}{gag50}
The lower order term (say, $L^{2}$ norm) can be omitted, because $\int_{\Om} \nabla f dx =0$, $\int_{\Om} \nablak f dx =0$ and from Poincar\'e inequality for functions with vanishing mean we get
\[
\ndk{ \nabla f}= \nd{ \nabla f} \nd{ \nabla f} \leq C_{1} \nd{ \nabla f } \nd{ \nablad f}\leq C_{2} \nd{ \nabla f } \nd{ \nablat f} ,
\]
where $C_{1}$, $C_{2}$ depends only on Poincar\'e constant for $\Omega$. Next, we have
\eqnsl{
\nt{f}^{2} \le c \nd{\nabla f} \nd{f} , \hspace{0.2cm} \m{ if } \hspace{0.2cm} \int_{\Omega}fdx=0,
}{est-zero-3}
\eqq{\ns{f} \le c \nd{\nabla f} , \hspace{0.2cm} \m{ if } \hspace{0.2cm} \int_{\Omega}fdx=0,}{Sobolev}
\eqnsl{
\ns{\nablala f}^{2} \le c \nd{\nablat f} \nd{\nabla f},
}{est-nab-6}
\eqnsl{
\nck{\nabla f} &
\le c\nd{ \nablat f } \noindentrm{\nabla f}_{\frac{3}{2}},
}{est-nab-4-kw}
\eqnsl{
\nif{f}
\leq c(\nd{ \nablak f} + \nj{f}).
}{gag_inf_lap_j}
\eqnsl{
\nif{f} \le c \nd{ \nablak f}, \hspace{0.2cm} \m{ if } \hspace{0.2cm} \int_{\Omega}fdx=0,
}{gag_inf_lap}
\eqnsl{
\noindentrm{f}_\td \le c \noindentrm{\nabla f}^\jd_\td \nj{f}^\jd + c\nj{f},
}{32Est}
where $c$ depends only on $\Omega$.
{\bf Statements and Declarations. } The authors declare that no funds, grants, or other support were received during the preparation of this manuscript. The authors have no relevant financial or non-financial interests to disclose.
\end{document} | math |
---
title: "Configuration management"
linkTitle: "Configuration Management"
description: "Configuration management tools can help you deploy Sensu in production and at scale. Learn more about Sensu integrations."
weight: 40
product: "Sensu Go"
version: "5.21"
menu:
sensu-go-5.21:
parent: deploy-sensu
---
We recommend using configuration management tools to deploy Sensu in production and at scale.
- Pin versions of Sensu-related software to ensure repeatable Sensu deployments.
- Ensure consistent configuration between Sensu backends.
The configuration management tools listed here have well-defined Sensu modules to help you get started.
## Ansible
The [Ansible][5] role to deploy and manage Sensu Go is available in the [Sensu Go Ansible Collection][6].
The [Sensu Go Ansible Collection documentation site][9] includes installation instructions, example playbooks, and module references.
## Chef
The [Chef][3] cookbook for installing and configuring Sensu is available in the [Sensu Go Chef Cookbook][4].
[Contact us][8] for more information about Sensu + Chef.
## Puppet
The [Puppet][1] module to install Sensu is available in the [Sensu Puppet Module][2].
Sensu partnered with [Tailored Automation][7] to enhance the Puppet module with new features and bug fixes.
[1]: https://puppet.com/
[2]: https://forge.puppet.com/modules/sensu/sensu
[3]: https://www.chef.io/
[4]: https://supermarket.chef.io/cookbooks/sensu-go
[5]: https://www.ansible.com/
[6]: https://galaxy.ansible.com/sensu/sensu_go
[7]: https://tailoredautomation.io/
[8]: https://monitoringlove.sensu.io/chef
[9]: https://sensu.github.io/sensu-go-ansible/
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குண்டும் குழியுமான சாலையை சரி செய்யக்கோரி சிரிப்பு போராட்டம் போபால்: போபாலில் சாலையை சீரமைக்க நிதி ஒதுக்கியும் 2 ஆண்டுகளாக சீரமைக்காமல் குண்டு குழியுமாக மாறியதை அடுத்து, சாலையை சரிசெய்யக்கோரி அப்பகுதி மக்கள் நடத்தி வினோதமான முறையில் சிரிப்பு போராட்டம் நடத்தினர்.மத்திய பிரதேச மாநிலம் போபாலில் உள்ள அரவிந்த் நகர் பகுதியில் 200 மீட்டர் நீள சாலை, மிகவும் மோசமான நிலையில் சேதமடைந்துள்ளது. இதனை சரிசெய்வதற்காக கடந்த 2 ஆண்டுகளுக்கு முன்னதாக மாநில அரசு சார்பில் 3 கோடி ரூபாய் நிதி ஒதுக்கப்பட்டு, சாலை சீரமைப்பு பணிகளும் துவங்கியுள்ளது. ஆனால், சில நாட்களில் பணிகள் நிறுத்தப்பட்டதால், சாலை குண்டும் குழியுமாக மாறி மோசமடைந்தது.சேதமடைந்த சாலையை இதுவரையில் சீரமைக்காததால், சாலையை சீரமைக்க வலியுறுத்தியும், அரசின் கவனத்தை ஈர்க்கும் விதமாகவும், அப்பகுதி மக்கள் வித்தியாசமான முறையில் போராட முடிவு செய்துள்ளனர். சேதமடைந்த சாலை அருகே அப்பகுதி மக்கள் வரிசையாக நின்றுக்கொண்டு, வயிறு குலுங்க சிரித்து சிரிப்பு போராட்டம் நடத்தியுள்ளனர். | tamil |
जबलपुर में कोरोना से बड़ी राहत, सात दिन में घटे 650 मरीज जबलपुर, नईदुनिया प्रतिनिधि। कोरोना महामारी के संक्रमण से रोजाना राहत मिल रही है। सोमवार को कोरोना की संक्रमण की दर घटकर 6.36 फीसद रह गई है। प्रशासन द्वारा जारी 5 हजार 31 सेंपल की रिपोर्ट में 320 मरीज सामने आए। खास बात यह रही की इस दौरान 24 घंटे के भीतर 840 मरीजों ने कोरोना संक्रमण को मात दी। जिन्हें आइसोलेशन से छुट्टी दी गई। जिले में कोरोना के सक्रिय मरीजों की संख्या में भी कमी आई है। 4 हजार 277 सक्रिय मरीजों में ज्यादातर होम आइसोलेशन में उपचार करवा रहे हैं। इस बीच कोरोना से एक मरीज की मौत हो गई। नरसिंहपुर निवासी 70 वर्षीय वृद्ध को मेडिकल कालेज अस्पताल में मृत घोषित किया गया। उन्हें जब मेडिकल लाया गया उनकी मौत हो चुकी थी। वे पहले से हाइपरटेंशन और अन्य बीमारियों की चपेट में थे। मुख्य चिकित्सा एवं स्वास्थ्य अधिकारी डाक्टर रत्नेश कुरारिया ने बताया कि कोरोना वायरस संक्रमण की चेन तोड़ने के लिए ज्यादा से ज्यादा सैम्पलिंग की जा रही है। फीवर क्लीनिकों में पहुँचने वाले सभी संदिग्ध मरीजों के सैंपल लेकर कोरोना संक्रमण का पता लगाया जा रहा है। उन्होंने बताया कि कलेक्टर कर्मवीर शर्मा के निर्देश पर कांटेक्ट ट्रेसिंग पर दो जोर दिया जा रहा है। संक्रमित मिले मरीज के संपर्क में आने वाले कम से कम 10 लोगों के सैंपल लिए जा रहे हैं। उन्होंने कहा कि संक्रमण का खतरा दूर होने तक नागरिकों को इसकी रोकथाम और बचाव के लिए सतर्कता बरतनी चाहिए।बोलते आंकड़े :तारीख नए मरीज स्वस्थ हुए25 जनवरी 970 51726 जनवरी 710 53727 जनवरी 650 61528 जनवरी 590 72629 जनवरी 662 89330 जनवरी 410 91131 जनवरी 320 840 | hindi |
ఢిల్లీకి చేరుకున్న సీఎం కేసీఆర్.. రెండు రోజుల ఢిల్లీ పర్యటనలో భాగంగా తెలంగాణ ముఖ్యమంత్రి కేసీఆర్ శుక్రవారం సాయంత్రం ఢిల్లీకి చేరుకున్నారు. కేసీఆర్ వెంట ప్రణాళిక సంఘం ఉపాధ్యక్షుడు వినోద్ కుమార్, ఎంపీ సంతోష్ కుమార్, సీఎస్ సోమేశ్ కుమార్ ఉన్నారు. బేగంపేట ఎయిర్పోర్టు నుంచి శుక్రవారం మధ్యాహ్నం ప్రత్యేక విమానంలో సీఎం కేసీఆర్ ఢిల్లీ పర్యటనకు బయల్దేరిన విషయం తెలిసిందే. ఢిల్లీ పర్యటనలో భాగంగా ఈ నెల 25న కేంద్ర జల్శక్తి శాఖ మంత్రి గజేంద్ర సింగ్ షెకావత్తో కేసీఆర్ సమావేశం కానున్నారు. 26న విజ్ఞాన్భవన్లో కేంద్ర హోం మంత్రిత్వ శాఖ ఆధ్వర్యంలో నిర్వహించే తీవ్రవాద ప్రభావిత రాష్ర్టాల ముఖ్యమంత్రుల సమావేశంలో పాల్గొంటారు. అనంతరం కేంద్ర ఆహార, పౌరసరఫరాల శాఖ మంత్రి పీయూష్ గోయల్తో సమావేశమవుతారు. అదే రోజు సాయంత్రం సీఎం కేసీఆర్ హైదరాబాద్కు తిరిగి వస్తారు. | telegu |
صرافہ مارکیٹ میں بھی سونے کی قیمتوں اضافہ دیکھا گیا فی تولہ سونا ڈیڑھ سو روپے اضافے سے پینتالیس ہزار تین سو روپے کا ہوگیا لندن بلین مارکیٹ فی اونس سونے کی قیمت چار ڈالر اضافے سے گیارہ سو چار ڈالر پر پہنچ جانے کے باعث مقامی صرافہ بازاروں میں سونے کی قیمتیں ایک ہزار نواسی سے گیارہ سو ڈالر کے درمیان ٹریڈ کرتی رہی پاکستان میں بھی فی تولہ سونا ڈھائی سو روپے اضافے کے بعد پینتالیس ہزار ایک سو پچاس روپے کا ہوگیا جو گزشتہ ہفتے چوالیس ہزار نو سو روپے پر موجود تھا ایک ہفتے میں دس گرام سونے کی قیمت بھی اڑتیس ہزار چار سو پچیاسی روپے سے بڑھ کراڑتیس ہزار سات سو روپے ہوگئی | urdu |
బిడ్డకు ఉరివేసి తల్లి ఆత్మహత్య వేలూరు: భర్త మద్యానికి బానిసై తరచూ గొడవ పడుతుండడంతో మనస్తాపానికి గురైన భార్య కుమార్తెతో కలిసి ఆత్మహత్య చేసుకున్న విషాదకర ఘటన రాణిపేట జిల్లాలో శనివారం చోటుచేసుకుంది. వివరాలు.. కావేరిపాక్యం సమీపంలోని సిత్తంజి గ్రామానికి చెందిన దయాలన్కు భార్య వెన్నిల35, కుమార్తెలు కీర్తి, హరిత3 ఉన్నారు. కూలి పనులు చేసే దయాలన్ మద్యానికి బానిసై తరచూ భార్యతో గొడవపడేవాడు. శుక్రవారం రాత్రి మద్యం మత్తులో ఇంటికి వచ్చిన అతను మరోసారి భార్యతో గొడవపడ్డాడు. తీవ్ర మనస్తాపానికి గురైన వెన్నిల ఓ కుమార్తెను తీసుకుని ఇంటి వెనుక వైపు వచ్చింది. చీరతో హరితకు ఉరివేసి అదే చీరతో ఆత్మహత్య చేసుకుంది. శనివారం ఉదయం తల్లీకుమార్తెలు చెట్టుకు వేలాడుతుండడాన్ని గమనించిన స్థానికులు పోలీసులకు సమాచారం ఇచ్చారు. అవ్యలూరు పోలీసులు మృతదేహాలను వాలాజ ఆస్పత్రికి తరలించి విచారణ చేస్తున్నారు. | telegu |
ಪ್ರಮುಖ ಗ್ಯಾಂಗ್ ಸ್ಟ್ ರ್ ಬಂಧನದ ನಂತರವೂ ನಿಲ್ಲದ ಹಿಂಸಾಚಾರ :7 ಮಂದಿಯ ಮೃತದೇಹ ಪತ್ತೆ..! ಮೆಕ್ಸಿಕೋ : ಮೆಕ್ಸಿಕನ್ ಗ್ಯಾಂಗ್ನ ನಾಯಕನೊಬ್ಬನ ಬಂಧನದ ನಂತರ ಹಿಂಸಾತ್ಮಕ ಕೃತ್ಯಗಳು ಕಡಿಮೆಯಾಗಬಹುದೆಂದು ತಿಳಿಯಲಾಗಿತ್ತು. ಆದರೆ ಗುಂಡು ಹಾರಿಸಿ ಕೊಂದ 7 ಜನರ ಮೃತದೇಹಗಳು ಪತ್ತೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದ್ದ ಭರವಸೆ ಹುಸಿಯಾಗಿದೆ. ಸಾಂಟಾ ರೋಸಾ ಡಿ ಲಿಮಾ ಗ್ಯಾಂಗ್ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಸ್ಪರ್ಧಿ ಜಲಿಸ್ಕೊ ಕಾರ್ಟೆಲ್ ನಡುವೆ 2017 ರಿಂದ ಕೈಗಾರಿಕಾ ರಾಜ್ಯದ ನಿಯಂತ್ರಣಕ್ಕಾಗಿ ಟರ್ಫ್ ಯುದ್ಧವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದಾಗಿನಿಂದ ಗುವಾನಾಜುವಾಟೊ ರಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ 9 ಸಾವಿರಕ್ಕೂ ಹೆಚ್ಚು ಹತ್ಯೆಗಳು ನಡೆದಿವೆ. ಸಾಂಟಾ ರೋಸಾ ಗ್ಯಾಂಗ್ ನಾಯಕ ಜೋಸ್ ಆಂಟೋನಿಯೊ ಯೆಪೆಜ್ ಒರ್ಟಿಜ್ನನ್ನು ಆಗಸ್ಟ್ 2 ರಂದು ಬಂಧಿಸಿದ ನಂತರ ಹಿಂಸಾಚಾರವು ಕಡಿಮೆಯಾಗಬಹುದು ಎಂದು ನಂಬಲಾಗಿತ್ತು. ಆದರೆ ಶನಿವಾರ, ಗುವಾನಾಜುವಾಟೊ ಅಧಿಕಾರಿಗಳು ರಾಜ್ಯದ ಗಡಿಯ ಸಮೀಪವಿರುವ ಜೆರ್ಕ್ವಾರೊ ಬಳಿ ಗುಂಡೇಟು ತಿಂದ ಏಳು ಜನರ ಮೃತದೇಹಗಳನ್ನು ಪತ್ತೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ದೃಢಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಘಟನಾ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಬಂದೂಕುಗಳು ಮತ್ತು ಪಿಸ್ತೂಲ್ಗಳಿಂದ ಹೊರಬಂದ ಶೆಲ್ ಕೇಸಿಂಗ್ಗಳು ಪತ್ತೆಯಾಗಿವೆ ಎಂದಿದ್ದಾರೆ. ಶನಿವಾರ, ಸುಮಾರು 20ಕ್ಕೂ ಹೆಚ್ಚು ಪುರುಷರು ಮಿಲಿಟರಿ ಶೈಲಿಯ ಬಟ್ಟೆ ಧರಿಸಿ ಆಕ್ರಮಣಕಾರಿ ರೈಫಲ್ಗಳು, ಸ್ನೈಪರ್ ರೈಫಲ್ಗಳು ಮತ್ತು ಎರಡು ಬೆಲ್ಟ್ಫೀಡ್ ಮಷಿನ್ ಗನ್ಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುವ ವಿಡಿಯೋವನ್ನು ಸಾಮಾಜಿಕ ಜಾಲತಾಣದಲ್ಲಿ ಪೋಸ್ಟ್ ಮಾಡಲಾಗಿತ್ತು. | kannad |
సద్దుల బతుకమ్మ శుభాకాంక్షలు తెలిపిన సీఎం కేసీఆర్, ఎమ్మెల్సీ కవిత పూల పండుగ బతుకమ్మ చివరి రోజు సద్దుల బతుకమ్మ సందర్భంగా ముఖ్యమంత్రి కె.చంద్రశేఖర్ రావు రాష్ట్ర ప్రజలకు శుభాకాంక్షలు తెలియజేశారు. తొమ్మిది రోజులుగా ప్రకృతిని ఆరాధిస్తూ, పూలతో బతుకమ్మను పేర్చి తెలంగాణ ఆడబిడ్డలు అత్యంత ఆనందోత్సాహాల నడుమ రాష్ట్ర పండుగ బతుకమ్మ సంబురాల ఘనంగా జరుపుకోవడం పట్ల సీఎం సంతోషం వ్యక్తం చేశారు. బతుకమ్మ స్ఫూర్తితో ప్రకృతిని, పచ్చదనాన్ని, నీటి వనరులను కాపాడుకోవాలని ప్రజలకు సీఎం కేసీఆర్ పిలుపునిచ్చారు. ఆడపడుచుల ఆనందం ఉప్పొంగింది: ఎమ్మెల్సీ కవిత పూల పండుగతో తెలంగాణ పులకించిందని ఎమ్మెల్సీ కల్వకుంట్ల కవిత అన్నారు. ప్రపంచవ్యాప్తంగా ఉన్న మన ఆడబిడ్డలందరికీ తెలంగాణ సంస్కృతి సంప్రదాయాలకు చిహ్నమైన సద్దుల బతుకమ్మ శుభాకాంక్షలు తెలిపారు.ఎంగిలిపూల బతుకమ్మ నుండి సద్దుల బతుకమ్మ వరకు ఆడపడుచుల ఆనందం ఉప్పొంగిందని సంతోషం వ్యక్తం చేశారు. The post సద్దుల బతుకమ్మ శుభాకాంక్షలు తెలిపిన సీఎం కేసీఆర్, ఎమ్మెల్సీ కవిత first appeared on TNews Telugu. | telegu |
لاہورمانیٹرنگ ڈیسک قومی کرکٹ ٹیم کے رانڈر انور علی فٹنس مسائل کی وجہ سے زمبابوے روانہ ہونیوالے سکواڈ سے باہر ہوگئے ہیں تاہم پی سی بی فٹنس سے متعلق حتمی رپورٹ کی منتظر ہے پی سی بی ذرائع کے مطابق رانڈر انورعلی ان فٹ ہیں اوران کی جگہ ون ڈے میں عامر یامین کو ٹیم میں شامل کیے جانے کاامکان ہے وہ پہلے ہی ٹی 20سکواڈ کا حصہ ہیں اور زمبابوے میں ہی موجود ہیں جبکہ ون ڈے سکواڈ کے دیگر کھلاڑی کل زمبابوے کیلئے روانہ ہوں گے ذرائع نے بتایاکہ انورعلی کاان فٹ ہونا قومی کرکٹ ٹیم کیلئے بڑ ادھچکاہے کیونکہ خری انٹرنیشنل میچ میں انورعلی ہی مین دی میچ قرارپائے تھے اوران کی طرف سے اچھی پرفارمنس کی توقع کی جارہی تھی یادرہے کہ دونوں ٹیمیں کل منے سامنے ہوں گی | urdu |
ट्रेनों के मेंटेनेंस की कागजी खानापूरी में यात्रियों की फजीहत नोट: इस खबर को अभियान के रूप में लगाया जाना है।पटना। वरीय संवाददाताइसकी फोटो भी है।बदहाल ट्रेनें 1:::पूर्व मध्य रेल के दानापुर रेल मंडल में सबसे अधिक जोर यात्री सुविधाओं पर होने के रेलवे के दावे यात्रियों को रास नहीं आ रहे हैं। दानापुर मंडल के अलग अलग रेलखंड पर ट्रेनों से यात्रा करने वाले लाखों यात्री रोजाना रेलवे की लापरवाही से परेशान हैं। पैसेंजर व मेमू ट्रेनों से सफर इतना दुरुह है कि यात्री कांप जा रहे हैं। इन ट्रेनों में साफ सफाई तो दूर की बात है, झाडू पोछा भी नहीं होता। मेमू व पैसेंजर के कोच में मकड़ियों के झाले ट्रेनों के मेंटेनेंस की पोल खोलने के लिए काफी हैं। बोगियों में पान व गुटखे की पीक पहचान बन रही है तो टूटे फूटे सीट व बाथरूम की उखड़ी किवाड़ भी यात्रियों का दर्द बयां कर रही है। हिंदुस्तान संवाददाता ने दानापुर रेल मंडल के विभिन्न रूटों पर चलने वाली मेमू व पैसेंजर ट्रेनों की पड़ताल की। पड़ताल में रेलवे के मेंटेनेंस के दावे हवा हवाई नजर आए।दोपहर के डेढ़ बजे हैं। पटना जंक्शन का प्लेटफॉर्म संख्या चार। इसपर झाझा पटना मेमू आकर लगी हुई है। ट्रेन में घुसते ही जो स्थिति दिखी, उसके बारे में जानने पर आपका रेलवे पर से भरोसा उठने लगेगा। जी हां, यही सच है। मेमू में कई कोच के शौचालय में भरे मल से दुर्गंध बाहर तक परेशानी का कारण बनी थी। कई बाथरूम के किवाड़ उखड़े नजर आए। बाथरूम में नल की टोटियों से लेकर शीशे तक बदहाल दिखे। इस ट्रेन में दर्जनों सीटें उखड़ी हुई मिली तो सभी कोच में आपतिजनक कागज के बैनर चस्पा मिले। पान गुटखे की पीक से कोच की छवि खराब हो रही थी। ट्रेन में लाईट व पंखे की हालत भी खस्ताहाल दिखी। बाथरूम से लेकर कोच में कई जगह उखड़ी ट्यूबलाईट इलेक्ट्रिकल मेंटेनेंस का सच बता रही थी। ट्रेन में गंतव्य स्थल व प्रारंभिक स्थल के बोर्ड भी गायब दिखे। इसी तरह प्लेटफॉर्म संख्या छह पर खड़ी पटना राजगीर पैसेंजर में यात्री सुविधाओं का सच चौकाने वाला था। इस मेमू ट्रेन में महिला बोगी पूरी तरह से पुरुष यात्रियों के कब्जे में नजर आया। इसमें सीटें टूटी फूटी मिली तो कोच का मेंटेनेंस भी लापरवाही बयां कर रहा था। उधर, प्लेटफॉर्म संख्या पांच पर खड़ी खाली मेमू की रेक भी अपने मेंटेनेंस का सच बताने के लिए खड़ी थी। हिंदुस्तान संवाददाता ने इस रेक की पड़ताल में पाया कि इसमें गोबर से लेकर भारी मात्रा में कचरा कमोबेश सभी बोगियों में मिला। बाथरूम की सिटकिनी गायब होने से ये बंद नहीं हो रहे थे। खिड़कियों के कई शीशे उखड़े हुए मिले। सभी बेसिन में बीड़ी, सिगरेट व गुटखा के रैपर ट्रेनों में अवैध वेंडर की कहानी कह रहे थे। बादाम के छिलके से लेकर खाने पीने के रैपर भी भारी मात्रा में मिले। प्लेटफॉर्म संख्या सात पर खड़ी पटना सासाराम पैसेंजर यात्रियों से खचाखच भरी थी। इस पैसेंजर ट्रेन में भी यात्रियों की सुविधाएं बेपटरी मिली। शौचालय से लेकर बोगी की हालत खराब थी। इसमें लगे नवनिर्मित दीनदयालु कोच भी मेंटेनेंस के अभाव में यात्रियों को रास नहीं आ रहे हैं। इसी तरह शाम में गया से आई मेमू की रेक में भी ट्रेन का मेंटेनेंस बेहतर नहीं दिखा।चारों रेलखंड पर अब मेमू की रेक चल रहीदानापुर रेल मंडल के एक वरीय अधिकारी ने बताया कि दानापुर रेल मंडल के सभी चारों रेलखंड पर मेमू की रेक चलाई जा रही है। इसमें कुचमन से झाझा तक, बख्तयारपुर से राजगीर तक, फतुहा से इस्लामपुर तक और पटना से गया तक के रूट पर मेमू ट्रेनें चलाई जा रही है। दानापुर मंडल के सभी रूट पर दो दर्जन से अधिक मेमू व पैसेंजर ट्रेनें चलाई जा रही हैं। इन सभी ट्रेनों की मेंटेनेंस प्रॉपर नहीं होने से यात्रियों को रोजाना जूढना पड़ता है।दो ट्रेनों का मेंटेंनेस रोज पटना मेंदानापुर मंडल के कैरेज एंड वैगन विभाग की ओर से पटना जंक्शन पर रोजाना दो मेमू ट्रेनों का मेंटेनेंस हो रहा है। ये ट्रेनें रोज बदलती रहती है। वहीं, दानापुर मंडल में सभी मेमू रेक का मेंटेनेंस का काम झाझा यार्ड में होता है। लेकिन पड़ताल में सामने आया कि झाझा में मेमू के मेंटेनेंस का फायदा रेलवे यात्रियों को नहीं दिख रहा है। यात्रियों की मानें तो लगातार मेंटेनेंस नहीं होने से परेशानी है।ट्रेनों की प्रॉपर साफ सफाई करानी है। अगर कोच गंदे हैं, या सफाई में कोताही बरती जा रही है तो इसकी जांच कराई जाएगी। पटना जंक्शन पर भी मेंटेनेंस होती है। कोचिंग डिपो में भी ट्रेनों के बेहतर मेंटेनेंसप्रभात कुमार, डीआरएम, दानापुर For Hindustan : हिन्दुस्तान ईसमाचार पत्र के लिए क्लिक करें epaper.livehindustan.com | hindi |
കടബാധ്യത തീര്ക്കാന് സ്വന്തം മകനെ തട്ടികൊണ്ടുപോയി ഭാര്യയോട് മോചനദ്രവ്യം ആവശ്യപ്പെട്ട് എന്ജിനീയര് സ്വന്തം കടബാധ്യത തീര്ക്കാന് മൂന്ന് വയസുള്ള മകനെ തട്ടികൊണ്ടുപോയി സ്വന്തം ഭാര്യയോട് തന്നെ മോചനദ്രവ്യം ആവശ്യപ്പെട്ട് എന്ജീനയറായ ഭര്ത്താവ്.20 ലക്ഷം രൂപയാണ് മോചനദ്രവ്യമായി ഭര്ത്താവ് ആവശ്യപ്പെട്ടത്. പണം തന്നില്ലെങ്കില് മകനെ കൊല്ലുമെന്നും അയാള് ഭീഷണിപ്പെടുത്തിയിരുന്നു. ഹൈദരാബാദിലെ ഒരു ഐടി കമ്ബനിയിലെ എന്ജിനീയരായ പല്നാട്ടി രാമകൃഷ്ണയാണ് കേസിലെ പ്രതി. ആന്ധ്രപ്രദേശിലെ പ്രകാശം ജില്ലയിലെ ചെറുവുകൊമ്മുപലത്താണ് സംഭവം. 20 ലക്ഷം രൂപ കടമെടുത്ത എന്ജിനീയര് അത് തിരിച്ചെടക്കാന് കഴിയാതെ വന്നപ്പോള് രാമകൃഷ്ണ കണ്ടെത്തിയ വഴിയാണ് സ്വന്തം മകനെ തട്ടികൊണ്ടുപോകുക എന്നത്.കോവിഡ് ലോക് ഡൗണ് കാരണം വര്ക്ക് ഫ്രം ഹോം സംവിധാനത്തില് ജോലി ചെയ്തിരുന്ന രാമകൃഷ്ണ മദ്യത്തിനും ചൂതാട്ടത്തിനും അടിമയായിരുന്നു. അതിനെ തുടര്ന്നാണ് അയാള്്ക്ക് 20 ലക്ഷം രൂപ കടം വാങ്ങേണ്ടി വന്നത്. ജൂലൈ 28നാണ് മദ്യപിച്ച് വീട്ടിലേക്ക് കയറിച്ചെന്ന രാമകൃഷ്ണ സ്വന്തം മകനെ ബലംപ്രയോഗിച്ച് തട്ടികൊണ്ടു പോവുകയായിരുന്നു. ഭാര്യയെ വിളിച്ച് 20 ലക്ഷം രൂപ മോചനദ്രവ്യം ആവശ്യപ്പെട്ട പ്രതി, പണം തന്നില്ലെങ്കില് മകനെ കൊന്ന് താന് ആത്മഹത്യ ചെയ്യുമെന്നും ഭീഷണിപ്പെടുത്തി.ഭീഷണിയെ തുടര്ന്ന് ഭാര്യ ജൂലൈ 30 ന് പൊന്നലുരു പൊലീസില് പരാതി നല്കുകയും ചെയ്തു. പൊലീസ് അന്വേഷണത്തിനൊടുവില് കണ്ടുക്കൂരിന് സമീപം പ്രതിയെ കണ്ടെത്തുകയായിരുന്നു. സ്വന്തം മകനൊപ്പം മദ്യപിച്ച് ബോധരഹിതനായി കിടക്കുന്ന രീതിയിലാണ് പ്രതിയെ പൊലീസ് കണ്ടെത്തിയത്. പ്രതിയെ പൊലീസ് അറസ്റ്റ് ചെയ്യുകയും കുട്ടിയെ അമ്മയുടെ കൂടെ വിടുകയും ചെയ്തു. | malyali |
Body Pain: शरीर में दर्द बॉडी पेन के हो सकते हैं ये 7 कारण, डॉक्टर से जानें इसे दूर करने के उपाय Body pain reason in hindi: शरीर में दर्द क्यों होता है? वैसे तो दिन भर की थकान के बाद शरीर में दर्द होना आम बात है। लेकिन शरीर में दर्द कई बीमारियों का एक सामान्य लक्षण भी होता है। फ्लू, स्ट्रेस, अर्थराइटिस, एनीमिया और विटामिन डी की कमी शरीर में दर्द के मुख्य कारण माने जाते हैं। इनके अलावा लंबे समय तक खड़े रहने पर, चलते समय या फिर एक्सरसाइज करते समय शरीर में दर्द का अहसास हो सकता है। चलिए कामिनेनी अस्पताल, हैदराबाद के सीनियर जनरल फिजिशियन और डायबिटोलॉजिस्ट डॉक्टर मुक्शीथ कादरी Dr. Muqshith Quadri, Senior General Physician Diabetologist, Kamineni Hospitals, Hyderabad से विस्तार से जानें शरीर में दर्द के कारण और उपाय शरीर में दर्द के कारण Body pain Reason in hindi हमेशा तनाव में रहना, नींद की कमी, थकान और पानी की कमी से शरीर में दर्द हो सकता है। इसके साथ ही एनीमिया, विटामिन डी की कमी और फ्लू के वजन से भी शरीर में दर्द हो सकता है। 1. तनाव Stress in hindi शरीर में दर्द का एक प्रमुख कारण तनाव है। तनाव सीधे तौर पर हमारी जीवनशैली को प्रभावित करता है। तनाव शरीर में उच्च हृदय गति, रक्तचाप में वृद्धि और सिरदर्द पैदा कर सकता है। तनाव की वजह से कंधे, पैरों और कमर की का अहसास हो सकता है। इसलिए इससे बचना चाहिए। 2. डिहाइड्रेशन Dehydration in hindi डिहाइड्रेशन यानी शरीर में पानी की कमी dehydration meaning in hindi। शरीर में पानी की कमी भी शरीर में दर्द का कारण बन सकता है। डिहाइड्रेशन की वजह से शरीर श्वास और पाचन सहित कई प्रक्रियाओं को ठीक से नहीं कर पाता है, इससे शारीरिक दर्द महसूस हो सकता है। पीला पेशाब, चक्कर आना, थकावट और बारबार प्यास लगाना डिहाइड्रेशन के लक्षण होते हैं। डायरिया की स्थिति शरीर में दर्द पैदा कर सकती है, क्योंकि डायरिया की वजह से भी शरीर में पानी की कमी हो जाती है। 3. नींद की कमी Lack of sleep पर्याप्त नींद न लेना आपके संपूर्ण स्वास्थ्य को प्रभावित कर सकता है। नींद की कमी से हमारे शरीर के ऊतक और कोशिकाएं ठीक से काम नहीं करती हैं, इससे शरीर में दर्द होता है। साथ ही मस्तिष्क को तरोताजा रखने के लिए भी पूरी नींद लेना जरूरी है। नींद की कमी से शरीर में दर्द का अहसास हो सकता है। lack of sleep causes शरीर में थकान महसूस हो सकती है। 4. एनीमिया Anemia in hindi anemia meaning in hindi: एनीमिया यानी शरीर में खून की कमी। एनीमिया रोगी अपने शरीर के सभी अंगों में थकान महसूस करते हैं। एनीमिया तब होता है, जब शरीर में लाल रक्त कोशिकाएं पर्याप्त रूप से काम नहीं कर पाती हैं, इससे शरीर के ऊतकों को पर्याप्त ऑक्सीजन नहीं मिल पाता है। एनीमिया के साथ शरीर के कई हिस्सों में थकान और दर्द महसूस हो सकता है। 5. विटामिन डी की कमी Vitamin d deficiency विटामिन डी कैल्शियम और मांसपेशियों के लिए अच्छा होता है। किडनी और मांसपेशियां जैसे हमारे महत्वपूर्ण अंग ठीक से काम करने के लिए कैल्शियम पर निर्भर होते हैं। इसलिए जब शरीर में कैल्शियम और विटामिन डी की कमी होती है, तो शरीर में दर्द होने लगता है। 6. फ्लू और अन्य संक्रमण Flu in hindi फ्लू हमारे शरीर में बुखार का कारण बनता है। इससे हमारे पीठ, पैरों और बाहों की मांसपेशियों में दर्द का अहसास हो सकता है। 7. गठिया Arthritis in hindi गठिया तब होता है, जब जोड़ों में सूजन आ जाती है। रुमेटीइड गठिया या एसएलई ये सभी आपके जोड़ों में दर्द पैदा कर सकते हैं। आपके मूवमेंट को सीमित कर सकते हैं। जोड़ों में जकड़न और सूजन भी गठिया के लक्षणों में शामिल हैं। शरीर में दर्द के उपाय Body Pain ke Upay तनाव दूर करने के लिए मेडिटेशन करें। एक्सरसाइज और योग को अपनी जीवनशैली में शामिल करें। खुद को हाइड्रेट रखें। इसके लिए लिक्विड डाइट लें। दिनभर में 810 गिलास पानी जरूर पिएं। थकान से बचने के लिए पूरा आराम लेना जरूरी होता है। इसके लिए आप दिन में 78 घंटे की नींद जरूर लें। एनीमिया से बचने के लिएलें। विटामिन डी युक्त खाद्य पदार्थों को अपनी डाइट में जरूर शामिल करें। अगर आपको भी शरीर में दर्द महसूस होता है, तो इसे बिल्कुल भी नजरअंदाज न करें। धीरेधीरे यह दर्द गंभीर भी बन सकता है। | hindi |
EASTVIEW PARTNERS LLC is a business legal entity registered in compliance with the national legislation of the State of Connecticut under the legal form of Domestic Limited Liability Company. Company is located in the register under the national Company number 1170053. The incorporation date of this company is on 9th March 2015 and its headquarters can be found at 127 GRANDVIEW DR, GLASTONBURY, CT, 06033. Actually the company´s status is Active.
Business activities of this company are managed together by 3 persons, who are responsible for correct companys operations on the market. They are LUSARIDA PROPERTY MANAGEMENT LLC as principal with the seat at 127 GRANDVIEW DR, GLASTONBURY, CT, 06033 , WILLIAMS CONSULTING LLC as principal with the seat at 424 HIGHLAND ST, WETHERSFIELD, CT, 06109 , LUCIE TALEVI as registered agent with the seat at 127 GRANDVIEW DR, GLASTONBURY, CT, 06033 .
EASTVIEW DRIVE HOMEOWNER'S ASSOCIATION, INC.
EASTSIDER SALON FOR HAIR, LTD.
EASTSIDE VILLAGE COMMONS ASSOCIATION, INC.
FAMILIES AND FRIENDS AGAINST DEPORTATION, INC.
HOMEOWNERS ASSOCIATION OF SIGNAL RIDGE INC. | english |
১০৮ মেগাপিক্সেল ক্যামেরা সহ Samsung Galaxy A73 5G ভারতে লঞ্চ হল, রয়েছে আরও অনেক নজরকাড়া ফিচার Samsung Galaxy A73 5G গ্লোবাল মার্কেটের পর এবার ভারতে লঞ্চ হল নয়া এই Galaxy A সিরিজের ফোনে পাওয়া যাবে ১০৮ মেগাপিক্সেল রিয়ার ক্যামেরা ও ১২০ হার্টজ রিফ্রেশ রেটের ডিসপ্লে আবার এতে আছে কোয়ালকম স্ন্যাপড্রাগন ৭৭৮জি প্রসেসর ও আইপি৬৭ রেটিং Samsung Galaxy A73 5G আপাতত কোম্পানির অফিসিয়াল ওয়েবসাইট থেকে প্রিঅর্ডার করা যাবে এছাড়া শীঘ্রই রিটেল স্টোর ও ইকমার্স সাইট থেকে ফোনটির বিক্রি শুরু হবে কোম্পানির দাবি, এই ফোনে ৪ বছর অ্যান্ড্রয়েড এবং ৫ বছর সিকিউরিটি আপডেট আসবে Samsung Galaxy A73 5G এর দাম ভারতে স্যামসাং গ্যালাক্সি এ৭৩ ৫জি ফোনের দাম এখনও ঘোষণা করা হয়নি তবে ফোনটি ৮ জিবি র্যাম ১২৮ জিবি স্টোরেজ এবং ৮ জিবি র্যাম ২৫৬ জিবি স্টোরেজ ভ্যারিয়েন্টে পাওয়া যাবে বলে জানানো হয়েছে এছাড়া ফোনটি অওসম গ্রে, অওসম মিন্ট ও অওসম হোয়াইট কালারের মধ্যে বেছে নেওয়া যাবে Samsung Galaxy A73 5G এর স্পেসিফিকেশন ও ফিচার ডুয়েল সিমের স্যামসাং গ্যালাক্সি এ৭৩ ৫জি ফোনে কর্নিং গরিলা গ্লাস ৫ প্রোটেকশন সহ ৬.৭ ইঞ্চির ফুল এইচডি প্লাস সুপার ইনফিনিটি ও অ্যামোলেড প্লাস ডিসপ্লে দেওয়া হয়েছে, যা ৮০০ নিটস ব্রাইটনেস ও ১২০ হার্টজ রিফ্রেশ রেট সাপোর্ট করে ফাস্ট পারফরম্যান্সের জন্য, স্যামসাং গ্যালাক্সি এ৭৩ ৫জি স্মার্টফোনে ২.৪ গিগাহার্টজ ক্লক রেটের অক্টা কোর কোয়ালকম স্ন্যাপড্রাগন ৭৭৮জি প্রসেসর ব্যবহার করা হয়েছে ফোনটি ৮ জিবি পর্যন্ত র্যাম ও ২৫৬ জিবি পর্যন্ত ইন্টারনাল মেমরি সহ পাওয়া যাবে আবার মাইক্রোএসডি কার্ডের মাধ্যমে ফোনটির স্টোরেজ ১ টেরাবাইট পর্যন্ত বাড়ানো যাবে এটি অ্যান্ড্রয়েড ১২ ভিত্তিক ওয়ানইউআই ৪.১ কাস্টম ওএস চালিত ফটোগ্রাফির জন্য Samsung Galaxy A72 ফোনের তুলনায় নবাগত Samsung Galaxy A73 5G ফোনের ক্যামেরা সেটআপ তথা ফিচার খানিকটা আলাদা রাখা হয়েছে এতে কোয়াড ক্যামেরা সেটআপ বিদ্যমান এই ক্যামেরাগুলি হল, OIS টেকনোলজি ও এফ১.৮ অ্যাপারচার সাপোর্ট সহ ১০৮ মেগাপিক্সেল প্রাইমারি সেন্সর, এফ২.২ অ্যাপারচার সহ ১২ মেগাপিক্সেলের আল্ট্রা ওয়াইড লেন্স, এফ২.৪ অ্যাপারচার সহ ৫ মেগাপিক্সেল ম্যাক্রো সেন্সর এবং ৫ মেগাপিক্সেল ডেপ্থ সেন্সর এছাড়া সেলফি ও ভিডিও কলিংয়ের জন্য ফোনে ৩২ মেগাপিক্সেলের ফ্রন্টফেসিং ক্যামেরা অ্যাপারচার : এফ২.২ উপস্থিত প্রসঙ্গত, স্যামসাং একটি বিবৃতিতে জানিয়েছে যে, ডিভাইসের রিয়ার প্রাইমারি সেন্সরটি ৩এক্স হাইব্রিড জুম এবং ১০এক্স ডিজিটাল জুম সাপোর্ট করে পাওয়ার ব্যাকআপের জন্য Samsung Galaxy A73 5G ফোনে ৫,০০০ এমএএইচ ব্যাটারি আছে, যা ২৫ ওয়াট ফাস্ট চার্জিং সাপোর্ট করে যদিও, ফোনটির রিটেল বক্সে চার্জার অন্তর্ভুক্ত থাকছে না | bengali |
100 കോടി വാക്സിന് എന്നത് ഒരു നമ്ബര് മാത്രമല്ല, ചരിത്രത്തിലെ പുതിയ അധ്യായമാണെന്ന് മോദി നൂറു കോടി വാക്സിന് ഡോസുകള് എന്ന നേട്ടം കൈവരിച്ചതില് രാജ്യത്തെ ജനങ്ങളോട് നന്ദി പറഞ്ഞ് പ്രധാനമന്ത്രി നരേന്ദ്രമോദി.100 കോടി വാക്സിന് ഒരു നമ്ബര് മാത്രമല്ല, ചരിത്രത്തിലെ പുതിയ അധ്യായമാണ്. കഠിനമായ ലക്ഷ്യങ്ങള് വിജയകരമായി പൂര്ത്തീകരിക്കാന് ഇന്ത്യയ്ക്ക് ആകും എന്നതിന്റെ തെളിവാണ്. സബ്കാ സാഥ്, സബ്കാ വികാസ്, സബ്കാ വിശ്വാസ് എന്ന മുദ്രാവാക്യത്തിന്റെ ജീവിക്കുന്ന തെളിവാണ് ഇന്ത്യയുടെ വാക്സിന് ക്യാംപയിന്. വാക്സിനേഷന് പദ്ധതിയില് വിവിഐപികള്ക്ക് പ്രത്യേക പരിഗണന ലഭിച്ചില്ല. എല്ലാവരെയും തുല്യാരായാണ് കണ്ടത്. ശാസ്ത്രീയമായിരുന്നു രാജ്യത്തിന്റെ വാക്സിനേഷന് ഡ്രൈവ്. മോദി പറഞ്ഞു. ഈ വിജയത്തിന് പിന്നില് 130 കോടി ഇന്ത്യക്കാരുടെയും പ്രയത്നമുണ്ടെന്ന് രാജ്യത്തെ അഭിസംബോധന ചെയ്യവെ അദ്ദേഹം പറഞ്ഞു. ഇന്ത്യയുടെ മികവിന് തെളിവാണ് ഇതെന്നും വാക്സിന് വിതരണത്തില് തുല്യത പാലിച്ചെന്നും മോദി കൂട്ടിച്ചേര്ത്തു. ഇന്നലെ നൂറു കോടി വാക്സിനേഷന് എന്ന അസാധാരണമായ ലക്ഷ്യം ഇന്ത്യ മറികടന്നു. ഈ നേട്ടത്തിന് പിന്നില് 130 കോടി ഇന്ത്യയ്ക്കാരുടെ പ്രയത്നമുണ്ട്. ഈ വിജയം ഇന്ത്യയുടെ വിജയമാണ്. ഓരോ പൗരന്റെയും വിജയമാണ്. നിരവധി പേര് ഇന്ത്യയുടെ വാക്സിനേഷന് പദ്ധതിയെ മറ്റു രാജ്യങ്ങളുടേതുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുന്നത്. 100 കോടി പിന്നിട്ട വേഗം അഭിനന്ദനീയമാണ്. എന്നാണ് എവിടെ നിന്നാണ് നമ്മള് തുടങ്ങിയത് എന്ന കാര്യം വിട്ടുപോകുന്നു പ്രധാനമന്ത്രി പറഞ്ഞു. ഈ നൂറ്റാണ്ടിലെ തന്നെ ഏറ്റവും വലിയ മഹാമാരി വന്നപ്പോള് ഇന്ത്യയില് ചോദ്യങ്ങള് ഉയരാന് തുടങ്ങിയിരുന്നു. ആഗോള മഹാമാരിക്കെതിരെ പൊരുതാന് ഇന്ത്യയ്ക്കാകുമോ എന്നായിരുന്നു ചോദ്യം. ഇത്രയും കൂടുതല് വാക്സിന് വാങ്ങാന് ഇന്ത്യയ്ക്ക് എവിടെ നിന്ന് പണം കിട്ടും? എന്ന് ഇന്ത്യക്ക് വാക്സിന് കിട്ടും? ഇന്ത്യയിലെ ജനങ്ങള്ക്ക് വാക്സിന് കിട്ടുമോ? തുടങ്ങിയ ചോദ്യങ്ങള് ഉന്നയിക്കപ്പെട്ടു. ഇന്ന് നൂറു കോടി വാക്സിനേഷന് അതിനുള്ള എല്ലാറ്റിനും ഉത്തരമാണ് അദ്ദേഹം കൂട്ടിച്ചേര്ത്തു. ഷിനോജ് | malyali |
दूसरे के सर्टिफिकेट लगाकर 10 साल शिक्षक बना रहा CISF से बर्खास्त जवान, लोन पर ली ब्रेजा तब खुला राज सीआईएसएफ से बर्खास्त एक जवान दूसरे के नाम का फर्जी अंक पत्र लगाकर 10 साल शिक्षक की नौकरी करता रहा। शिक्षक को एसटीएफ ने गुरुवार को गिरफ्तार कर लिया है। पकड़े गए फर्जी शिक्षक की पहचान सहजनवा के भीटी रावत निवासी विश्वजीत कुमार के रूप में हुई है। वर्तमान में वह रामगढ़ताल थानाक्षेत्र के भगत चौराहा स्थित न्यू रामपुर कॉलोनी में रह रहा था और कैंपियरगंज के परसा प्राथमिक स्कूल पर पढ़ा रहा था। एसटीएफ ने उसके घर से पकड़कर रामगढ़ताल थाने को सुपुर्द कर जेल भिजवा दिया है। एसटीएफ इंस्पेक्टर सत्यप्रकाश सिंह ने बताया कि पकड़ा गया आरोपित विश्वजीत कुमार दिनेश चंद्र पुत्र भागीरथी की जगह बेसिक शिक्षा विभाग में नौकरी कर रहा था। उसने दिनेश के नाम का फर्जी अंकपत्र व अन्य कागजात बनवाकर नौकरी हासिल की थी। जानकारी होने के बाद अप्रैल 2021 में उसके खिलाफ जालसाजी व कूटरचित दस्तावेज लगाने के आरोप में केस दर्ज था। सीआईएसएफ से बर्खास्त एसटीएफ के अनुसार विश्वजीत 1998 में सीआईएसएफ में आरक्षी के पद पर भर्ती हुआ था। गलत आचरण की वजह से 2003 में बर्खास्त कर दिया गया था। इसके बाद वर्ष 2011 में फर्जी तरीके से शिक्षक की नौकरी हासिल की। लोन पर ले ली कार तब हुआ खुलासा आरोपी विश्वजीत कुमार ने दिनेश चंद्र का पैन कार्ड व अन्य कागजात लगाकर बैंक से एक ब्रेजा कार लोन करा ली। इसकी जानकारी दिनेश को हो गई और उन्होंने शिकायत की। इसके बाद आरोपित विश्वजीत को बेसिक शिक्षा विभाग से बर्खास्त कर दिया गया था और कैंपियरगंज थाने में मुकदमा दर्ज हुआ था। For Hindustan : हिन्दुस्तान ईसमाचार पत्र के लिए क्लिक करें epaper.livehindustan.com | hindi |
सेंसेक्स, निफ्टी में लगातार चौथे दिन गिरावट भारतीय इक्विटी सूचकांकों में सोमवार को लगातार चौथे दिन गिरावट आई। बेंचमार्क बीएसई सेंसेक्स 149 अंक या 0.26 प्रतिशत की गिरावट के साथ 57,684 अंक पर आ गया, जबकि व्यापक एनएसई निफ्टी 70 अंक या 0.40 प्रतिशत गिरकर 17,207 अंक पर आ गया। सत्र के दौरान, दोनों सूचकांकों ने लाल रंग में बसने से पहले लाभ और हानि के बीच उतारचढ़ाव किया। मिड और स्मॉलकैप शेयरों ने दिन के अंत में लाल निशान में बंद किया, निफ्टी मिडकैप 100 इंडेक्स में 1.24 प्रतिशत और स्मॉलकैप शेयरों में 2.73 प्रतिशत की गिरावट आई। नेशनल स्टॉक एक्सचेंज के 15 सेक्टर इंडेक्स पूरे दिन लाल निशान में बंद हुए। निफ्टी मेटल और निफ्टी फार्मा, जो क्रमशः 2.07 प्रतिशत और 1.35 प्रतिशत गिर गए, ने सूचकांक को पीछे छोड़ दिया। निफ्टी में सबसे अधिक नुकसान हिंडाल्को था, जो 3.38 प्रतिशत गिरकर 511.70 रुपये पर आ गया। पिछड़ने वालों में यूपीएल, डिवी की लैब, अडानी पोर्ट्स और सन फार्मा शामिल हैं। इसके अलावा, 18,000 करोड़ रुपये के शेयर बायबैक से पहले, टाटा कंसल्टेंसी सर्विसेज में 1.96 प्रतिशत की गिरावट आई। दूसरी ओर, विप्रो, इंफोसिस, श्री सीमेंट, पावरग्रिड और एचडीएफसी बैंक लाभ में रहे। सन फार्मा, टीसीएस, आईटीसी, एलएंडटी, अल्ट्राटेक सीमेंट, टेक महिंद्रा, टाइटन, रिलायंस इंडस्ट्रीज और टाटा स्टील को बीएसई के 30 शेयरों वाले प्लेटफॉर्म पर सबसे ज्यादा नुकसान हुआ, जिसमें उनके शेयरों में 2.15 प्रतिशत की गिरावट आई। T20 वर्ल्ड कप के लिए पूरी तरह तैयार है टीम इंडिया .., विंडीज को क्लीन स्वीप करने के बाद बोले राहुल द्रविड़ भारत के साथ व्यापार समय की जरूरत है: पाक प्रधानमंत्री सलाहकार IPL 2022: नम आँखों से CSK ने रैना को दी विदाई, शेयर किया इमोशनल Video | hindi |
Surat Cricket tournament : વડોદરાના શાસકો પ્રજાની સમસ્યાને રામ ભરોસે છોડી માણી રહ્યા છે આ પળો વડોદરા શહેરમાં પાણીની સમસ્યાને Vadodara Water Problem લઈને નગરજનો ભારે હાલાકી ભોગવી રહ્યા છે. ત્યારે વડોદરા મનપાના શાસકો પ્રજાને રામ ભરોસે છોડી પોતાની પળો Surat Cricket Tournament માણવા ચાલતા જોવા મળ્યા છે. તો બીજી તરફ વડોદરા મેયરેના બુટને લઈને ચર્ચાઓની Mayor XI Team હાઈલાઈટ સામે આવી રહી છે.વડોદરા : વડોદરા શહેરમાં રોડ રસ્તા પાણી ડ્રેનેજ સહિતની અનેક સમસ્યાઓ Vadodara Water Problem ઉદભવી છે. જેના કારણે નગરજનો છેલ્લા ઘણા સમયથી મુશ્કેલીઓના ખપ્પરમાં હોમાઈ ગયા છે. તો બીજી તરફ વડોદરા મહાનગર પાલિકાના મેયર, કાઉન્સિલરો અને અધિકારીઓ નગરજનોને રામ ભરોસે પોતાના હાલ પર છોડી સુરતમાં આયોજિત ક્રિકેટ ટુર્નામેન્ટ Surat Cricket Tournament મેચમાં ભાગ લેવા માટે રવાના થતા જોવા મળે છે.વડોદરાના શાસકો પ્રજાની સમસ્યાને રામ ભરોસે છોડી પળો માણવા ચાલતાવડોદરાની ટીમનું પ્રદર્શન સુરત ખાતે આઠ મહાનગર પાલિકાઓની મેયર અને મ્યુ.કમિશ્નર ક્રિકેટ ટુર્નામેન્ટનું Cricket Event in Surat આયોજન કરવામાં આવ્યું છે. જેમાં ભાગ લેવા વડોદરાના મેયર કેયુર રોકડીયા ,સ્ટેન્ડિંગ કમિટીના ચેરમેન ડો. હિતેન્દ્ર પટેલ, કાઉન્સિલરો અને અધિકારીઓ સુરત જવા માટે રવાના થયા હતા. આ ક્રિકેટ ટુર્નામેન્ટ 5 દિવસ ચાલશે. ત્યારે નગરજનોની સમસ્યાને રામ ભરોસે છોડી પાલિકાના સત્તાધ્ધિશો સુરત ખાતે પહોંચ્યા છે. વર્ષોથી મેયર ઇલેવન અને કમિશનર ઈલેવન ટુર્નામેન્ટમાં વડોદરાની ટીમનું પ્રદર્શન સર્વશ્રેષ્ઠ રહ્યું છે. ત્યારે આ વખતે પણ વડોદરાની ટીમ પૂર્ણ તૈયારીઓ અને જોશ સાથે રવાના થઇ છે. સાથે સાથે જીતનો આશાવાદ પણ વ્યક્ત કર્યો છે.ઓલ ગુજરાત ઇન્ટર કોર્પોરેશન T 20 ક્રિકેટ ટુર્નામેન્ટઆ પણ વાંચો : દુબઈ ખાતે રમાઇ રહેલી દિવ્યાંગ ક્રિકેટરોની ટૂર્નામેન્ટમાં ગુજરાત હિટર્સનો શાનદાર દેખાવરમશે એ જ જીતશે વડોદરા મનપાના મેયર કેયુર રોકડીયાએ જણાવ્યું હતું કે, કોરોનાના કારણે છેલ્લા બે વર્ષથી ટુર્નામેન્ટ Vadodara Mayor XI Team થતી ન હતી. આ વર્ષે કોરોના નહિવત છે. ત્યારે આ કોર્પોરેશનની ટુર્નામેન્ટનું આયોજન થયું છે અને ત્યાં રમવા માટે જોઈએ છે. રમશે એ જ જીતશે અને ખેલશે એ જ ખેલશે એ ભાવ સાથે અમે સુરત રમવા જઈ રહ્યા છે. અમારી પ્રેક્ટિસ પ્રમાણે અમે સારું પરિણામ લાવવામાં સફળ રહીશું એવો અમને વિશ્વાસ છે. એકબીજાને સહયોગી માટે આયોજન સ્થાયી સમિતિના ચેરમેન ડો.હિતેન્દ્ર પટેલે જણાવ્યું હતું કે, આ ક્રિકેટ ટુર્નામેન્ટમાં 8 મહાનગર પાલિકા ના જે કોર્પોરેટરો છે. એમના માધ્યમથી એક ક્રિકેટ ટુર્નામેન્ટ કમિશનર ઇલેવન અને મેયર ઇલેવનના Commissioner XI Team નામથી યોજાઈ રહી છે. ડે નાઇટ ક્રિકેટ ટુર્નામેન્ટ છે. આ પ્રક્રિયા એક ખેલ સાથે જોડાયેલી છે. એકબીજાના બોન્ડિંગ થાય સાથે એકબીજાના સહયોગી બનીએ તેમજ એકબીજાના શહેરના પૂરક બનીએ એ દિશામાં આ મેચ રમાઇ રહી છે.આ પણ વાંચો : Surat Cricket Tournament: સુરત શહેર પોલીસ દ્વારા ક્રિકેટ ટુર્નામેન્ટનું આયોજન કરવામાં આવ્યુંનગરજનો રામ ભરોસે ઉલ્લેખનીય છે કે વડોદરા શહેરના જુદા જુદા વિસ્તારોમાં ઉનાળાની શરૂઆતથી જ પાણીનો કાળો કકળાટ સર્જાયો છે. આ મામલે અનેક વિરોધ પ્રદર્શનો અનેક રજૂઆત કરવામાં આવી હોવા છતાં પણ આજ દિન સુધી નગરજનોને પ્રાથમિક સુવિધા પૂરી પાડવામાં વડોદરા મહાનગરપાલિકાના સત્તાધીશો તદ્દન નિષ્ફળ નીવડયા છે. ત્યારે નગરજનોને રામભરોસે પોતાના હાલ પર છોડી મેયર સહિત કાઉન્સિલરો સુરત ક્રિકેટ મેચમાં ભાગ લેવા પાંચ દિવસ Corporation Cricket Event in Surat માટે જતા નગરજનોમાં આક્રોશ જોવા મળ્યો છે. તો બીજી તરફ મેયર, કાઉન્સિલરો અને અધિકારીઓએ પગમાં પહેરેલા નવા નક્કોર બુટને લઈને પણ અનેક ચર્ચાઓ ચકડોળે ચઢી હતી. બુટની કિંમત 46 હજારથી દોઢ લાખ વડોદરાના મેયરે જાપાનની એક નામાંકિત કંપની ASICS ના પહેરેલા બુટની કિંમત 46 હજાર છે, જ્યારે બીજી તરફ મળતી માહિતી મુજબ મેયરે સ્ટોરમાંથી પ્રેક્ટિસ માટે લીધેલા બુટ ફાટી જતા સ્વખર્ચે તેમણે સુરતથી બુટ Vadodara Mayor Boots મંગાવ્યા છે. જેની કિંમત દોઢ લાખ રૂપિયા હોવાનું માનવામાં આવી રહ્યું છે. જ્યારે ટુર્નામેન્ટમાં ભાગ લેવા ગયેલા અલગ અલગ ક્રિકેટરને માટે પ્રત્યેક જોડી આઠ હાજરમાં ખરીદાયેલાની પણ ચર્ચાઓ પાલિકા પરિસરમાં ચાલી હતી. | gujurati |
YourTango Expert Marina Pearson says it's usually one of three reasons.
If you've ever caught your significant other cheating, you know: the pain is unbearable. So how do you know why someone has an affair instead of resolving the issues directly in our relationships? If so, help is on the way.
In this video, divorce coach and YourTango Expert Marina Pearson says that it comes down to one of three reasons. One of these reasons is communication breakdown. "As women, we love to talk, we love to be listened to," she says. "For example, if there was at any point any communication breakdown, it now becomes a question of whether or not the resentment and anger builds up inside her." Most likely, she'll turn to a man who will listen to her. | english |
ಮುಟ್ಟಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯಿಂದ ಮುಕ್ತಿ ಹೊಂದಲು ಆಯುರ್ವೇದದಲ್ಲೇನು ಪರಿಹಾರ? ಪ್ರಶ್ನೆ: ನನ್ನ ಹೆಸರು ಸಂಗೀತಾ. ವಯಸ್ಸು 40. ಮುಟ್ಟಿನ ಸಮಸ್ಯೆ ಇದೆ. ಮೈಯೆಲ್ಲಾ ಬಿಸಿಬಿಸಿ ಆಗುತ್ತದೆ. ಜೀವನವೇ ಬೇಡ ಎನ್ನಿಸುತ್ತಿದೆ. ಸೊಂಟನೋವು, ಮಂಡಿ ನೋವು ಹೆಚ್ಚಿಗೆ ಪರಿಹಾರ ತಿಳಿಸಿ. ಉತ್ತರ: ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಋತುಬಂಧದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ನಂತರದ ವಷರ್ಗಳಲ್ಲಿ ಮೈ ಬಿಸಿಯಾಗುವುದು ಸಹಜ. ಆದರೆ ನಿಮಗಿನ್ನೂ 40ರ ಪ್ರಾಯ. ಪ್ರತಿದಿನ ಸೊಗದೆಬೇರಿನ ಶರಬತ್ತನ್ನು ಬೆಳಗ್ಗೆ ಖಾಲಿ ಹೊಟ್ಟೆ 4 ಚಮಚದಷ್ಟನ್ನು ನೀರು ಬೆರೆಸಿ ಕುಡಿಯಿರಿ. ಸೊಂಟ ನೋವು, ಮಂಡಿನೋವು, ಸಂಧಿವಾತದ ಸಮಸ್ಯೆಯಿಂದ, ಕ್ಯಾಲ್ಸಿಯಂ ಕೊರತೆಯಿಂದ, ರಕ್ತಹೀನತೆಯಿಂದ, ಬೊಜ್ಜಿನಿಂದ ಈ ಸಮಸ್ಯೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಯಾವ ಕಾರಣದಿಂದ ಎಂದು ಅರಿತು ಚಿಕಿತ್ಸೆ ಪಡೆಯುವುದು ಸೂಕ್ತ. ಸದ್ಯ ರಾಸ್ನಾದಿ ಗುಗ್ಗುಲು ಮಾತ್ರೆಯನ್ನು ದಿನಕ್ಕೆರಡು ಬಾರಿ ಎರಡು ಮಾತ್ರೆಯನ್ನು ಊಟದ ನಂತರ ಸೇವಿಸಿ. ಪ್ರತಿದಿನ ಪಿಂಡತೈಲವನ್ನು ನೋವಿರುವ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಹಚ್ಚಿ ಮಸಾಜ್ ಮಾಡಿ ಶಾಖ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಆಹಾರದಲ್ಲಿ ಕ್ಯಾಲ್ಸಿಯಂ ಅಂಶವಿರುವ ಹಾಲು, ಮೊಸರು, ಮೊಟ್ಟೆ, ಮೊಳಕೆಕಾಳು, ಸೊಪ್ಪು, ಹಣ್ಣುಗಳನ್ನು ಯಥೇಚ್ಛವಾಗಿ ತಿನ್ನಿ. ಪ್ರತಿ ದಿನ ಅರ್ಧ ಗಂಟೆ ವ್ಯಾಯಾಮ ಯೋಗ ಅಥವಾ ವಾಕಿಂಗ್ ಮಾಡಿ. | kannad |
A classic bodysuit by Love in Kyo' for the AW16/17 collection.
The same bodysuit is also available with a straight/square collar.
Complete the look with the matching baby set Panda.
100% soft cotton and entirely Made in Italy, in Treviso. | english |
എല്ലാം ശരിയാകും, നമുക്ക് വേണ്ടത് ചെയ്യാമെന്ന് മമ്മൂക്ക പറഞ്ഞു ഡോ ഷാഹിന ശരീരമാകെ പൊള്ളലേറ്റിട്ടും പഠിച്ചു ഡോക്ടറായ ഷാഹിനയ്ക്ക് മലയാളത്തിന്റെ മെഗാസ്റ്റാര് മമ്മൂക്കയുടെ കൈത്താങ്ങ്. ഇടപ്പള്ളിയില് കുഞ്ഞുമുഹമ്മദിന്റെയും സുഹറയുടെയും നാല് പെണ്മക്കളില് നാലാമത്തവളാണ് ഡോ. ഷാഹിന. അഞ്ച് വയസ്സുള്ളപ്പോള് മണ്ണെണ്ണ വിളക്ക് വച്ച് പഠിക്കുമ്ബോള് വിളക്ക് കൈ തട്ടി മടിയിലേക്ക് വീണ് ഷാഹിനക്ക് ദേഹമാസകലം പൊള്ളലേറ്റു. ഭാഗ്യത്തിനാണ് ജീവന് തന്നെ തിരികെ കിട്ടിയത്. പിന്നീട് പലതരം ചികിത്സകള് നടത്തി. എന്നാലും കാര്യമായ ഫലമുണ്ടായില്ല. പൊള്ളലേറ്റാല് പെണ്ണിന്റെ ജീവിതം തീര്ന്നെന്ന് പലരും വിധിയെഴുതി. ഇപ്പോളിതാ ഷാഹിനക്ക് സഹായഹസ്തവുമായെത്തിയിരിക്കുകയാണ് മമ്മൂക്ക. വിഷ്ണു സന്തോഷ് എന്ന ഫൊട്ടോഗ്രാഫ ആമ്ബല് കുളത്തില് വെച്ച് ഫോട്ടോഷൂട്ടിലൂടെയാണ് മമ്മൂക്ക ഷാഹിനയറിയുന്നത്. മമ്മൂക്ക തന്റെ നേതൃത്വത്തിലുള്ള പതഞ്ജലി ആയുര്വേദ ചികിത്സാ സംരംഭത്തില് സൗജന്യ ചികിത്സയൊരുക്കാമെന്ന് അറിയിക്കുകയായിരുന്നു. കുറ്റിപ്പുറത്താണ് പ്രധാന ചികിത്സാലയമെങ്കിലും കൊച്ചിയിലും സെന്ററുണ്ട്. ഷാഹിനയും വാപ്പച്ചിയും ഡോക്ടറെ പോയി കണ്ടു. അവിടെവച്ച് ഡോക്ടറുടെ ഫോണിലൂടെ മമ്മൂക്കയോട് സംസാരിച്ചു.നമുക്ക് പരമാവധി നോക്കാം. ബാക്കിയെല്ലാം ദൈവത്തിന്റെ കൈയ്യിലാണ് എന്ന് മമ്മൂക്ക പറഞ്ഞു. | malyali |
\begin{Exa}taegin{document}
{\4n}umberwithin{equation}{section}
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\tauitle{Formal Embeddings Between $\mathcal{BSD}$-Models}
{\sf aut}hor{Valentin Burcea}
\begin{Exa}taegin{abstract} It is studied the Classification Problem for Formal (Holomorphic) Embeddings between Shilov Boundaries of Bounded Symmetric Domains of First Type situated in Complex Spaces of Different Dimensions. There are obtained two Classes of Equivalence.
\end{abstract}
\alphaddress{V. Burcea: Department of Mathematics, The Federal University of Espirito Santo, Vitoria, Brazil}
\email{[email protected]}
\tauhanks{\emph{Keywords:} Normal Form, Equivalence Problem, Embedding, Bounded Symmetric Domain, Real Submanifold, Shilov Boundary, Power Series}
\tauhanks{This
project was supported principally ($80\%$) by CAPES, being initiated ($20\%$) with Science Foundation Ireland Grant 10/RFP/MT H2878}
\tauhanks{Emphasizing that the reference \cite{V1} was fully supported by Science Foundation Ireland Grant 06/RFP/MAT 018}
\title{Formal Embeddings Between $\mathcal{BSD}
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\partialef\kappa{\kappaappa}
\partialef\lambda{\lambdaambda}
\partialef\Lambda{\Lambdaambda}
\partialef{\bar z}{{\begin{Exa}taar z}}
\partialef{\bar w}{{\begin{Exa}taar w}}
\partialef{\1Z}{{\1Z}}
\partialef\tau{\tauau}
\partialef\tauh{\tauheta}
\emergencystretch15pt \frenchspacing
{\4n}ewtheorem{Thm}{Theorem}[section]
{\4n}ewtheorem{Cor}[Thm]{Corollary}
{\4n}ewtheorem{Pro}[Thm]{Proposition}
{\4n}ewtheorem{Lem}[Thm]{Lemma}
\tauheoremstyle{definition}{\4n}ewtheorem{Def}[Thm]{Definition}
\tauheoremstyle{remark}
{\4n}ewtheorem{Rem}[Thm]{Remark}
{\4n}ewtheorem{Exa}[Thm]{Example}
{\4n}ewtheorem{Exs}[Thm]{Examples}
\partialef\begin{Exa}tal{\begin{Exa}taegin{Lem}}
\partialef\end{Lem}{\end{Lem}}
\partialef\begin{Exa}tap{\begin{Exa}taegin{Pro}}
\partialef\end{Pro}{\end{Pro}}
\partialef\begin{Exa}tat{\begin{Exa}taegin{Thm}}
\partialef\end{Thm}{\end{Thm}}
\partialef\begin{Exa}tac{\begin{Exa}taegin{Cor}}
\partialef\end{Cor}{\end{Cor}}
\partialef\begin{Exa}tad{\begin{Exa}taegin{Def}}
\partialef\end{Def}{\end{Def}}
\partialef\begin{Exa}tar{\begin{Exa}taegin{Rem}}
\partialef\end{Rem}{\end{Rem}}
\partialef\begin{Exa}tae{\begin{Exa}taegin{Exa}}
\partialef\end{Exa}{\end{Exa}}
\partialef\begin{Exa}tapf{\begin{Exa}taegin{proof}}
\partialef\end{Pro}f{\end{proof}}
\partialef\begin{Exa}taen{\begin{Exa}taegin{enumerate}}
\partialef\end{Exa}n{\end{enumerate}}
\partialef\begin{Exa}taeq{\begin{Exa}taegin{equation}}
\partialef\end{Exa}q{\end{equation}}
\section{Introduction and Main Result}
The study of the proper holomorphic mappings\cite{Tu}, between unit balls in Complex Spaces, goes back to Webster\cite{Webs}. If $N>n$, two proper holomorphic mappings $f,g :\mathbb{B}^{n}\rightarrow\mathbb{B}^{N}$ are equivalent if, there exist $\sigma\in \mbox{Aut}\lambdaeft(\mathbb{B}^{n}\right)$ and $\tauau\in \mbox{Aut}\lambdaeft(\mathbb{B}^{N}\right)$ such that, we have $$g=\tauau\circ f\circ\sigma.$$
The proper holomorphic mappings between $\mathbb{B}^{2}$ and $\mathbb{B}^{3}$, of class $\mathcal{C}^{3}$ up to the boundary, have been classified by Faran\cite{Far} as follows
\begin{Exa}taegin{equation*}
\lambdaeft(z_{1},z_{2}\right)\rightarrow \lambdaeft(z_{1}^{3},z_{2}^{3},\hspace{0.1 cm}\sqrt{3}z_{1}z_{2}\right), \hspace{0.1 cm}\lambdaeft(z_{1},z_{1}z_{2},z_{2}^{2}\right),\hspace{0.1 cm}\lambdaeft(z_{1},\sqrt{2}z_{1}z_{2},z_{2}\right),\hspace{0.1 cm}\lambdaeft(z_{1},z_{2},0\right).
\end{equation*}
This classification has been also concluded by Cima-Suffridge\cite{CS} for proper holomorphic mappings between $\mathbb{B}^{2}$ and $\mathbb{B}^{3}$ of class $\mathcal{C}^{2}$ up to the boundary. Going forward, Huang\cite{huang1} proved that any proper holomorphic mapping, between $\mathbb{B}^{n}$ and $\mathbb{B}^{N}$ and of class $\mathcal{C}^{2}$ up to the boundary, is equivalent to\begin{Exa}taegin{equation} \lambdaeft( z_{1}, z_{2}, \partialots,z_{n}\right)\lambdaongrightarrow\lambdaeft( z_{1}, z_{2}, \partialots,z_{n},0,\partialots,0\right),\quad\mbox{ when $n>1$ and $N<2n-1$}.\lambdaabel{Val1}\end{equation}
The rational proper holomorphic mappings between $\mathbb{B}^{n}$ and $\mathbb{B}^{2n-1}$ have been classified by Huang-Ji\cite{HJ} as follows
\begin{Exa}taegin{equation}\lambdaeft( z_{1}, z_{2}, \partialots,z_{n}\right)\rightarrow \lambdaeft( z_{1}, z_{2}, \partialots,z_{n},0\partialots,0\right),\hspace{0.1 cm} \lambdaeft(z_{1}, z_{2}, \partialots, z_{n-1}, z_{n}z_{1}, z_{n}z_{2}, \partialots, z_{n}^{2}\right)
,\quad\mbox{for
$n\gammaeq3$.}\lambdaabel{Val2}\end{equation}
In all these cases, the Classification Problem, of proper holomorphic mappings\cite{Seo1},\cite{Seo2},\cite{Tu}, is reduced to the study of CR mappings between hyperquadrics \cite{L},\cite{LP1},\cite{LP2}. More generally, the analogue Classification Problem of C.-R. Embeddings, between Shilov Boundaries of Bounded Symmetric Domains, is also very interesting. Kim-Zaitsev\cite{kz} considered recently this problem, using the moving frames method of Cartan, for Shilov Boundaries of Bounded Symmetric Domains of First Type with $q<p$, $q'<p'$ such that $p'-q'<2\lambdaeft(p-q\right)$ and $p-q>1$. They\cite{kz} proved that, up to compositions with suitable automorphisms of the Bounded Symmetric Domains of First Type $D_{p,q}$ and $D_{p',q'}$, any smooth C.-R. Embedding, defined between their Shilov Boundaries denoted by $S_{p,q}$ and $S_{p',q'}$, is equivalent to
\begin{Exa}taegin{equation}Z=\begin{Exa}taegin{pmatrix} z_{11} &z_{12} &\partialots &z_{1q} \\ z_{21} &z_{22} &\partialots &z_{2q} \\\vdots &\vdots&\partialdots &\vdots \{\bar z}_{p1} &z_{p2} &\partialots &z_{pq}\end{pmatrix} \rightarrow \begin{Exa}taegin{pmatrix} z_{11} &z_{12} &\partialots &z_{1q} &0&0&\partialots&0 \\ z_{21} &z_{22} &\partialots &z_{2q} &0&0&\partialots&0 \\ \vdots &\vdots &\partialdots &\vdots &\vdots& \vdots&\partialdots&\vdots \{\bar z}_{p1} &z_{p2} &\partialots & z_{pq}& 0&0& \partialots& 0 \\ 0&0&\partialots&0&1&0& \partialots &0 \\ 0&0&\partialots&0&0&1& \partialots &0 \\\vdots & \vdots &\partialdots &\vdots & \vdots&\vdots& \partialdots & \vdots \\ 0 & 0 &\partialots &0&0&0&\partialots&1 \\ 0 & 0 &\partialots &0&0&0&\partialots&0 \\ \vdots & \vdots &\partialdots &\vdots&\vdots&\vdots&\partialdots&\vdots \\ 0 & 0 &\partialots &0&0&0&\partialots&0 \end{pmatrix}.\lambdaabel{claseee1}
\end{equation}
For the standard definition of the Shilov Boundary, it is indicated Chirvasitu\cite{Chir}. It is also recalled by \cite{kz},\cite{Tu} that any Bounded and Symmetric Domain $D_{p,q}$ of First Type and its Shilov Boundary may be defined as follows
\begin{Exa}taegin{equation}D_{p,q}=\lambdaeft\{Z\in\mathcal{M}_{p,q}\lambdaeft(\mathbb{C}\right);\quad I_{q}-\overline{Z}^{t}Z> 0\right\},\quad S_{p,q}=\lambdaeft\{Z\in\mathcal{M}_{p,q}\lambdaeft(\mathbb{C}\right);\quad I_{q}-\overline{Z}^{t}Z= 0\right\},\quad p>q. \lambdaabel{shi} \end{equation}
Such Domains are important in Complex Analysis and Complex Geometry from many points of view. In particular, (\ref{shi}) generalizes naturally classical models as the hyperquadrics and classical cases \cite{BH},\cite{BEH},\cite{CJX},\cite{CS},\cite{H},\cite{huang1},\cite{huang2},\cite{HJ},\cite{LP1},\cite{LP2},\cite{L},\cite{JX}. Furthermore, such Domains are of considerable importance in the study of Holomorphic Isometries\cite{Isom1},\cite{Isom2},\cite{Isom3} and their properties.
In this paper, we use formal power series in order to establish a normal form \cite{BEH},\cite{V1},\cite{bu2},\cite{CM},\cite{D1} type construction for formal (holomorphic) embeddings between Shilov Boundaries of Bounded Symmetric Domains of First Type\cite{kz},\cite{kza},\cite{Tu}. In particular, there are considered suitable linear changes of coordinates in respect to natural identifications and the language of matrices. We obtain:
\begin{Exa}tat\lambdaabel{T} Let $p,p',q,q'\in\mathbb{N}^{\star}$ such that $p'-q'=2\lambdaeft(p-q\right)>2$. Then, up to compositions with suitable automorphisms of the Bounded Symmetric Domains $D_{p,q}$ and $D_{p',q'}$, any formal embedding, between their Shilov Boundaries $S_{p,q}$ and $S_{p',q'}$, is equivalent to
\begin{Exa}taegin{equation}Z=\begin{Exa}taegin{pmatrix} z_{11} &z_{12} &\partialots &z_{1q} \\ z_{21} &z_{22} &\partialots &z_{2q} \\\vdots &\vdots&\partialdots &\vdots \{\bar z}_{p1} &z_{p2} &\partialots &z_{pq}\end{pmatrix} \mapsto \begin{Exa}taegin{pmatrix} z_{11} &z_{12}&\partialots &z_{1q}& 0&0&\partialots&0 \\ z_{21} &z_{22}&\partialots &z_{2q}& 0&0&\partialots&0 \\\vdots &\vdots&\vdots &\partialdots &\vdots& \vdots&\partialdots&\vdots \{\bar z}_{p-1 \hspace{0.1 cm}1} &z_{p-1 \hspace{0.1 cm}2} &\partialots &z_{p-1 \hspace{0.1 cm} q}& 0& 0&\partialots& 0 \\ z_{p1}z_{11} &z_{p2}z_{12} &\partialots & z_{pq}z_{1q} & 0 &0&\partialots &0 \\ z_{p1}z_{21} &z_{p2}z_{22} &\partialots & z_{pq}z_{2q} & 0 &0&\partialots &0 \\\vdots & \vdots& \vdots &\partialdots & \vdots& \vdots & \partialdots & \vdots \\ z_{p1}z_{p1} &z_{p2}z_{p2} &\partialots & z_{pq}z_{pq} & 0 &0&\partialots &0 \\ 0&0&\partialots&0&1&0& \partialots &0 \\ 0&0&\partialots&0&0&1& \partialots &0 \\\vdots & \vdots &\partialdots &\vdots & \vdots&\vdots& \partialdots & \vdots \\ 0 & 0 &\partialots &0&0&0&\partialots&1 \end{pmatrix}\quad\mbox{or to (\ref{claseee1}).}\lambdaabel{clase}
\end{equation}
\end{Thm}
Its proof is reduced to the study of formal holomorphic embeddings between certain Real-Quadric Manifolds, named $\mathcal{BSD}$-Models through this paper, which are derived from Shilov Boundaries of Bounded and Symmetric Domains of First Type using a Transformation of Cayley Type\cite{EG}. The computations generalize and employ standard normalization procedures from Baouendi-Huang\cite{BH}, Hamada\cite{H}, Huang\cite{huang1},\cite{huang2} and Huang-Ji\cite{HJ}. In particular, there are
used linear changes of coordinates preserving $\mathcal{BSD}$-Models. It is an alternative approach to the Method of Cartan applied by Kim-Zaitsev\cite{kz},\cite{kza} using their beautiful system of moving frames. The considered formal embedding is brought to simple forms, using suitable changes of coordinates inspired from Baouendi-Huang\cite{BH} and Chern-Moser\cite{CM}. Computations from Huang-Ji\cite{HJ} are reformulated using the language of matrices in order to make computations following Hamada\cite{H}. It is detected an analogue of the fundamental notion of geometrical rank introduced by Huang\cite{huang1},\cite{huang2}, named generalized geometrical rank through this paper. It is defined by several matrices having identical rank. It is $0$ in the case of Kim-Zaitsev\cite{kz}, and $0$ or $1$ in our case. It stays in correspondence with the classes of equivalence from (\ref{clase}). The first class of equivalence (\ref{claseee1}) is defined by the standard linear embedding like in the case of Kim-Zaitsev\cite{kz}. The second class of equivalence (\ref{clase}) is defined by a generalized Whitney type mapping \cite{Seo1},\cite{Seo2}.
Its proof is finalised by generalizing approaches from Huang-Ji\cite{HJ} using the language of matrices, and then by applying arguments from Kim-Zaitsev\cite{kz},\cite{kza}. The Classification (\ref{clase}) may be seen as an analogue of the Classification Theorem of Huang-Ji\cite{HJ}, especially when $p'=2p-1$ and $q'=2q-1$, obtaining two classes of equivalence as it was anticipated by Seo\cite{Seo1},\cite{Seo2}.
\section{Settings}Throughout this paper, we consider
\begin{Exa}taegin{equation}\begin{Exa}taegin{split}& W:=\begin{Exa}taegin{pmatrix} w_{11} & w_{12} &\partialots &w_{1q} \\ w_{21} & w_{22} &\partialots & w_{2q} \\ \vdots &\vdots &\partialdots &\vdots \\ w_{q1} & w_{q2} &\partialots & w_{qq}\end{pmatrix}\equiv\lambdaeft(w_{11},w_{12}, \partialots, w_{1q},w_{21},w_{22}, \partialots, w_{2q},\partialots\partialots,w_{q1},w_{q2}, \partialots, w_{qq}\right),\\& \hspace{0.25 cm} Z:=\begin{Exa}taegin{pmatrix} z_{11} &z_{12}& \partialots &z_{1N} \\ z_{21} &z_{22}& \partialots &z_{2N} \\ \vdots &\vdots &\partialdots &\vdots \\ z_{q1} &z_{q2}&\partialots &z_{qN}\end{pmatrix} \equiv\lambdaeft(z_{11}, z_{12}, \partialots,z_{1N},z_{21}, z_{22}, \partialots,z_{2N},\partialots\partialots, z_{q1}, z_{q2}, \partialots,z_{qN}\right),\end{split}\lambdaabel{nota}\end{equation}
where we have considered coordinates denoted by
\begin{Exa}taegin{equation*}\lambdaeft(z_{11},z_{12},\partialots,z_{1N},\partialots,z_{q1},z_{q2},\partialots,z_{qN};w_{11},w_{12},\partialots,w_{1q},\partialots,w_{q1},w_{q2},\partialots,w_{qq}\right)\in \mathbb{C}^{qN+q^{2}}. \end{equation*}
In this regard, we consider
\begin{Exa}taegin{equation}\begin{Exa}taegin{split}\lambdaeft\{1,2,3,\partialots,qN \right\}\equiv & \lambdaeft\{ (1,1),(1,2),\partialots,\lambdaeft(1,N\right)\right.,\\& \hspace{0.2 cm} (2,1),(2,2),\partialots,\lambdaeft(2,N\right),
\\&\quad\hspace{0.2 cm}\vdots\hspace{0.1 cm}\quad\quad\vdots\quad\hspace{0.2 cm}\partialdots\quad\hspace{0.1 cm}\vdots\\& \lambdaeft.\hspace{0.2 cm}(q,1),(q,2),\partialots,\lambdaeft(q,N\right)\right\},\end{split} \quad\quad\quad\begin{Exa}taegin{split}\lambdaeft\{1,2,3,\partialots,q^{2} \right\}\equiv & \lambdaeft\{ (1,1),(1,2),\partialots,\lambdaeft(1,q\right)\right.,\\& \hspace{0.2 cm} (2,1),(2,2),\partialots,\lambdaeft(2,q\right),
\\&\quad\hspace{0.2 cm}\vdots\hspace{0.1 cm}\quad\quad\vdots\quad\hspace{0.2 cm}\partialdots\quad\hspace{0.1 cm}\vdots\\& \lambdaeft.\hspace{0.2 cm}(q,1),(q,2),\partialots,\lambdaeft(q,q\right)\right\}.\end{split}\lambdaabel{9GG}
\end{equation}
Then, we define
\begin{Exa}taegin{equation}\begin{Exa}taegin{split}& J:=\begin{Exa}taegin{pmatrix} j_{11} & j_{12} &\partialots &j_{1m} \\ j_{21} & j_{22} &\partialots &j_{2m} \\ \vdots & \vdots &\partialdots &\vdots \\ j_{m1} &j_{m2} &\partialots &j_{mm}\end{pmatrix}\equiv\lambdaeft(j_{11},j_{12}, \partialots, j_{1m},j_{21},j_{22}, \partialots, j_{2m},\partialots\partialots,j_{m1},j_{m2}, \partialots, j_{mm}\right)\in\mathbb{N}^{m^{2}},\\& I:=\begin{Exa}taegin{pmatrix} i_{11} &i_{12}& \partialots&i_{1N} \\ i_{21} &i_{22}& \partialots&i_{2N} \\\vdots &\vdots &\partialdots &\vdots \\ i_{m1} &i_{m2}&\partialots&i_{mN}\end{pmatrix} \equiv\lambdaeft(i_{11},i_{12}, \partialots,i_{1N},i_{21},i_{22}, \partialots,i_{2N},
\partialots\partialots,i_{m1},i_{m2}, \partialots,i_{mN}\right)\in\mathbb{N}^{mN}.\end{split}\lambdaabel{notaa}\end{equation}
In the light of (\ref{nota}) and (\ref{notaa}), we define
\begin{Exa}taegin{equation}\begin{Exa}taegin{split}&\hspace{0.03 cm}
\lambdaeft|I\right|=i_{11}+i_{12}+ \partialots+i_{1N}+i_{21}+i_{22}+\partialots+i_{2N}+
\partialots\partialots+i_{m1}+i_{m2}+\partialots+i_{mN},\quad\hspace{0.1 cm}\mbox{for $I\in\mathbb{N}^{m^{2}}$,}\\& \lambdaeft|J\right|=j_{11}+j_{12}+\partialots+j_{1m}+j_{21}+j_{22}+\partialots+ j_{2m}+\partialots+j_{m1}+j_{m2}+\partialots+j_{mm},\quad\quad\mbox{for $J\in\mathbb{N}^{Nm}$.}\end{split}\lambdaabel{IJ1}
\end{equation}
In the light of (\ref{nota}) and (\ref{notaa}), we write
\begin{Exa}taegin{equation}\begin{Exa}taegin{split}&
W^{J}=w_{11}^{j_{11}}w_{12}^{j_{12}}\partialots w_{1m}^{j_{1m}} w_{21}^{j_{21}}w_{22}^{j_{22}}\partialots w_{2m}^{j_{2m}}\partialots\partialots w_{m1}^{j_{m1}}w_{m2}^{j_{m2}}\partialots w_{mm}^{j_{mm}},
\\& \hspace{0.14 cm} Z^{I}=z_{11}^{j_{11}}z_{12}^{j_{12}}\partialots z_{1N}^{j_{1N}} z_{21}^{j_{21}}z_{22}^{j_{22}}\partialots z_{2N}^{j_{2N}}\partialots\partialots z_{m1}^{j_{m1}}z_{m2}^{j_{m2}}\partialots z_{mN}^{j_{mN}}.\end{split}
\lambdaabel{IJ}\end{equation}
Generalizing the standard hermitian inner-product using the language of matrices, we define
\begin{Exa}taegin{equation}\lambdaeft<L, V\right>=L\overline{V}^{t},\quad\mbox{for $L \in \mathcal{M}_{m,n}\lambdaeft(\mathbb{C}\right)$ and $V \in \mathcal{M}_{n,p}\lambdaeft(\mathbb{C}\right)$, for $m,n,p\in\mathbb{N}^{\star}$,}\lambdaabel{vb}
\end{equation}
regardless of the above considered natural numbers, because it is desired to keep simple notations in order to start:
\section{Mappings Between $\mathcal{BSD}$-Models} Replacing in (\ref{shi}) the generalized Cayley transformation\cite{EG}, denoted by
\begin{Exa}taegin{equation} S_{p,q}{\4n}i \mathcal{C}\lambdaeft(W,Z\right),\quad \lambdaeft(\mathcal{C}\lambdaeft(W,Z\right)\right)^{t}= \frac{\lambdaeft[ W-\sqrt{-1}I_{q},2Z \right]}{W+\sqrt{-1}I_{q}},\lambdaabel{Ca}\end{equation}
we obtain the equation of the $\mathcal{BSD}$-Model
\begin{Exa}taegin{equation}\mathcal{BSD}:\quad\mbox{Im}W:=\frac{1}{2\sqrt{-1}}\lambdaeft(W-\overline{W}^{t}\right)=Z\overline{Z}^{t}.
\lambdaabel{tr}\end{equation}
Any formal (holomorphic) embedding, between Shilov Boundaries of Bounded and Symmetric Domains of First Type, induces naturally by (\ref{Ca}) a formal (holomorphic) embedding,
denoted by \begin{Exa}taegin{equation}\lambdaeft(\tauilde{F},\tauilde{G}\right) \hspace{0.15 cm}\mbox{and} \hspace{0.15 cm}\lambdaeft(F,G\right),\lambdaabel{vadim1}\end{equation} between the $\mathcal{BSD}$-Models, defined by
\begin{Exa}taegin{equation}\begin{Exa}taegin{split}&\hspace{0.1 cm}\mathcal{M}:\hspace{0.2 cm}\mbox{Im}W=Z\overline{Z}^{t}\subset \mathbb{C}^{qN+q^{2}}, \quad\quad\hspace{0.15 cm}\mbox{for $\hspace{0.1 cm}N=p-q$,}\\& \mathcal{M}':\hspace{0.1 cm} \mbox{Im} W'=Z'\overline{{Z'}}^{t}\subset\mathbb{C}^{q'N'+{q'}^{4}},\quad\mbox{for $N'=p'-q'$.} \end{split}\lambdaabel{ecuatiew}
\end{equation}
More exactly, we have by (\ref{shi}), (\ref{Ca}), (\ref{vadim1}) and (\ref{ecuatiew}) the following commutative diagram
\begin{Exa}taegin{equation}\begin{Exa}taegin{array}[c]{ccc}
\mathcal{M}&\stackrel{\lambdaeft(F,G\right)}{\rightarrow}&\mathcal{M}'\\
\Updownarrow\scriptstyle{ }&&\Updownarrow\scriptstyle{}\\
S_{p,q}&\stackrel{\lambdaeft(\tauilde{F},\tauilde{G}\right)}{\rightarrow}&S_{p',q'},
\end{array}\lambdaabel{diag}\end{equation}
where the above equivalences are defined by Generalized Cayley Transformations like in (\ref{Ca}).
Then, instead of working the given formal embedding from (\ref{vadim1}), we use its induced formal embedding from (\ref{vadim1}), between $\mathcal{BSD}$-Models in the light of (\ref{diag}), written by (\ref{nota}) in its matricial form as follows
\begin{Exa}taegin{equation}\begin{Exa}taegin{split}&G\lambdaeft(W,Z\right):= \begin{Exa}taegin{pmatrix} G_{11}\lambdaeft(W,Z\right)& G_{12}\lambdaeft(W,Z\right) \\ G_{21}\lambdaeft(W,Z\right) & G_{22}\lambdaeft(W,Z\right)\end{pmatrix},\quad\quad F\lambdaeft(W,Z\right):= \begin{Exa}taegin{pmatrix} F_{1}\lambdaeft(W,Z\right) \\ F_{2}\lambdaeft(W,Z\right) \end{pmatrix}, \lambdaabel{v11}\end{split} \end{equation}
where we have used the following submatrices
\begin{Exa}taegin{itemize}
\item $G_{11}\lambdaeft(W,Z\right)$ is a $q\tauimes q$ submatrix having formal power series in $\lambdaeft(W,Z\right)$ as entries,
\item $G_{21}\lambdaeft(W,Z\right)$ is a $\lambdaeft(q'-q\right)\tauimes q$ submatrix having formal power series in $\lambdaeft(W,Z\right)$ as entries,
\item $G_{12}\lambdaeft(W,Z\right)$ is a $q\tauimes \lambdaeft(q'-q\right)$ submatrix having formal power series in $\lambdaeft(W,Z\right)$ as entries,
\item $G_{22}\lambdaeft(W,Z\right)$ is a $\lambdaeft(q'-q\right)\tauimes \lambdaeft(q'-q\right)$ submatrix having formal power series in $\lambdaeft(W,Z\right)$ as entries,
\item $F_{1}\lambdaeft(W,Z\right)$ is a $q\tauimes \lambdaeft(p'-q'\right)$ submatrix having formal power series in $\lambdaeft(W,Z\right)$ as entries,
\item $F_{2}\lambdaeft(W,Z\right)$ is a $\lambdaeft(q'-q\right)\tauimes \lambdaeft(p'-q'\right)$ submatrix having formal power series in $\lambdaeft(W,Z\right)$ as entries.
\end{itemize}
Equivalently, we write by (\ref{nota}) the matrices from (\ref{v11}), in terms of their entries, as follows
\begin{Exa}taegin{equation} G\lambdaeft(Z,W\right)= \lambdaeft(g_{kl}\lambdaeft(Z,W\right)\right)_{1\lambdaeq k,l\lambdaeq q'},\quad\quad F\lambdaeft(Z,W\right)= \lambdaeft(f_{kl}\lambdaeft(Z,W\right)\right)_{1\lambdaeq l\lambdaeq p'-q' \alphatop \quad 1\lambdaeq k \lambdaeq q' }. \lambdaabel{10v} \end{equation}
Now, we are ready to move forward:
\section{Defining Equations for $\mathcal{BSD}$-Models}
Because (\ref{diag}) holds, it follows that $\lambdaeft(F,G\right)\lambdaeft(\mathcal{M}\right)\subset \mathcal{M}'$, or equivalently by (\ref{nota}), (\ref{IJ}) and (\ref{ecuatiew}), we obtain
\begin{Exa}taegin{equation}\mbox{Im} \lambdaeft(G\lambdaeft(Z,W\right)\right)=F\lambdaeft(Z,W\right)\overline{F\lambdaeft(Z,W\right)}^{t} .\lambdaabel{zzzv}
\end{equation}
or equivalently by (\ref{nota}) and (\ref{vb}), we obtain
$$\mbox{Im} \lambdaeft(G\lambdaeft(Z,W\right)\right)= \lambdaeft<F\lambdaeft(W,Z\right),F\lambdaeft(W,Z\right) \right>.$$
It follows by (\ref{nota}), (\ref{vb}), (\ref{ecuatiew}) and (\ref{v11}) the following equalities
\begin{Exa}taegin{equation}\begin{Exa}taegin{split}&G_{11}\lambdaeft(W,Z\right)-\overline{G_{11}\lambdaeft(W,Z\right)}^{t}=2\sqrt{-1} \lambdaeft<F_{1}\lambdaeft(W,Z\right) ,F_{1}\lambdaeft(W,Z\right) \right> ,\\& G_{22}\lambdaeft(W,Z\right)-\overline{G_{22}\lambdaeft(W,Z\right)}^{t}=2\sqrt{-1} \lambdaeft<F_{2}\lambdaeft(W,Z\right) ,F_{2}\lambdaeft(W,Z\right) \right> ,\\& G_{12}\lambdaeft(W,Z\right)-\overline{G_{21}\lambdaeft(W,Z\right)}^{t}=2\sqrt{-1} \lambdaeft<F_{1}\lambdaeft(W,Z\right) ,F_{2}\lambdaeft(W,Z\right) \right> .\end{split}\lambdaabel{v}
\end{equation}
Then, (\ref{zzzv}) and (\ref{v}) are the basic equations used, throughout the rest of this paper, in order to make the further computations by considering linear changes of coordinates preserving the $\mathcal{BSD}$-Models from (\ref{ecuatiew}). In particular, we consider rotation type and unitary type transformations in order to move forward using the following strategy:
\section{Linear Changes of Coordinates}
For $Z$ defined as in (\ref{nota}), we define by (\ref{9GG}) the product of matrices
\begin{Exa}taegin{equation} V\otimes Z=\lambdaeft(\partialisplaystyle\sum_{l=1}^{N}\partialisplaystyle\sum_{k=1}^{q}v_{kl}^{ij}z_{kl}\right)_{1\lambdaeq i\lambdaeq q\alphatop 1\lambdaeq j\lambdaeq N}.\lambdaabel{edef}
\end{equation}
for a matrix $V$ denoted by the following
identification
\begin{Exa}taegin{equation}V=\lambdaeft( v_{\alphalpha}^{\begin{Exa}taeta} \right)_{1\lambdaeq\alphalpha\lambdaeq qN}^{1\lambdaeq \begin{Exa}taeta\lambdaeq qN}\equiv\begin{Exa}taegin{pmatrix} {\begin{Exa}taegin{pmatrix} v^{11}_{11} & v^{11}_{12} & \partialots & v^{11}_{1N}\\ v^{12}_{11} & v^{12}_{12} & \partialots & v^{12}_{1N} \\ \vdots & \vdots & \partialdots & \vdots \\ v^{1N}_{11} & v^{1N}_{12} & \partialots & v^{1N}_{1N} \end{pmatrix}} & {\begin{Exa}taegin{pmatrix} v^{11}_{21} & v^{11}_{22} & \partialots & v^{11}_{2N}\\ v^{12}_{21} & v^{12}_{22} & \partialots & v^{12}_{2N} \\ \partialdots & \vdots & \partialdots & \vdots \\ v^{1N}_{21} & v^{1N}_{22} & \partialots & v^{1N}_{2N} \end{pmatrix}} & \begin{Exa}taegin{pmatrix}
\partialots \\ \partialots \\ \partialdots \\ \partialots
\end{pmatrix} & {\begin{Exa}taegin{pmatrix} v^{11}_{q1} & v^{11}_{q2} & \partialots & v^{11}_{qN}\\ v^{12}_{q1} & v^{12}_{q2} & \partialots & v^{12}_{qN} \\ \vdots & \vdots & \partialdots & \vdots \\ v^{1N}_{q1} & v^{1N}_{q2} & \partialots & v^{1N}_{qN} \end{pmatrix}} \\ {\begin{Exa}taegin{pmatrix} v^{21}_{11} & v^{21}_{12} & \partialots & v^{21}_{1N}\\ v^{22}_{11} & v^{22}_{12} & \partialots & v^{22}_{1N} \\ \vdots & \vdots & \partialdots & \vdots \\ v^{2N}_{11} & v^{2N}_{12} & \partialots & v^{2N}_{1N} \end{pmatrix}} & {\begin{Exa}taegin{pmatrix} v^{21}_{21} & v^{21}_{22} & \partialots & v^{21}_{2N}\\ v^{22}_{21} & v^{22}_{22} & \partialots & v^{22}_{2N} \\ \vdots & \vdots & \partialdots & \vdots \\ v^{2N}_{21} & v^{2N}_{22} & \partialots & v^{2N}_{2N} \end{pmatrix}} & \begin{Exa}taegin{pmatrix}
\partialots \\ \partialots \\ \partialdots \\ \partialots
\end{pmatrix} & {\begin{Exa}taegin{pmatrix} v^{21}_{q1} & v^{21}_{q2} & \partialots & v^{21}_{qN}\\ v^{22}_{q1} & v^{22}_{q2} & \partialots & v^{22}_{qN} \\ \vdots & \vdots & \partialdots & \vdots \\ v^{2N}_{q1} & v^{2N}_{q2} & \partialots & v^{2N}_{qN} \end{pmatrix}}\\ {\begin{Exa}taegin{pmatrix} \vdots & \vdots & \partialdots & \vdots
\end{pmatrix}} &{\begin{Exa}taegin{pmatrix} \vdots & \vdots & \partialdots & \vdots
\end{pmatrix}}& \begin{Exa}taegin{pmatrix}\vdots\end{pmatrix} & {\begin{Exa}taegin{pmatrix} \vdots & \vdots & \partialdots & \vdots
\end{pmatrix}} \\ {\begin{Exa}taegin{pmatrix} v^{q1}_{11} & v^{q1}_{12} & \partialots & v^{q1}_{1N}\\ v^{q2}_{11} & v_{12}^{q2} & \partialots & v^{q2}_{1N} \\ \vdots & \vdots & \partialdots & \vdots \\ v^{qN}_{11} & v^{qN}_{12} & \partialots & v^{qN}_{1N} \end{pmatrix}} & {\begin{Exa}taegin{pmatrix} v^{q1}_{q1} & v^{q1}_{22} & \partialots & v^{q1}_{2N}\\ v^{q2}_{21} & v^{q2}_{22} & \partialots & v^{q2}_{2N} \\ \vdots & \vdots & \partialdots & \vdots \\ v^{qN}_{21} & v^{qN}_{22} & \partialots & v^{qN}_{2N} \end{pmatrix}} & \begin{Exa}taegin{pmatrix}
\partialots \\ \partialots \\ \partialdots \\ \partialots
\end{pmatrix} & {\begin{Exa}taegin{pmatrix} v^{q1}_{q1} & v^{q1}_{q2} & \partialots & v^{q1}_{qN}\\ v^{q2}_{q1} & v^{q2}_{q2} & \partialots & v^{q2}_{qN} \\ \vdots & \vdots & \partialdots & \vdots \\ v^{qN}_{q1} & v^{qN}_{q2} & \partialots & v^{qN}_{qN} \end{pmatrix}} \end{pmatrix}.\lambdaabel{981}
\end{equation}
This identification (\ref{981}) is crucial in order to construct linear changes of coordinates preserving $\mathcal{BSD}$-Models in order to reformulate coordinates with respect to (\ref{edef}). In particular, it is shown using (\ref{nota}), (\ref{v}), and (\ref{edef}) the following crucial fact:
\begin{Exa}tal\lambdaabel{lemm} For any invertible matrix
\begin{Exa}taegin{equation} \begin{Exa}taegin{split}& A=\lambdaeft(a^{ij}_{kl}\right)_{1\lambdaeq k,l\lambdaeq q}^{1\lambdaeq i,j\lambdaeq q} \in\mathcal{M}_{q^{2}\tauimes q^{2}}\lambdaeft(\mathbb{C}\right)\hspace{0.1 cm}\mbox{such that}\hspace{0.1 cm}
a^{ij}_{kl}=\overline{a^{ji}_{lk}},\quad\quad \mbox{for all $k,l,i,j=1,\partialots,q$,} \end{split}
\lambdaabel{607}
\end{equation}
it exists an invertible matrix
\begin{Exa}taegin{equation}V=\lambdaeft( v_{\alphalpha}^{\begin{Exa}taeta} \right)_{1\lambdaeq\alphalpha\lambdaeq qN}^{1\lambdaeq \begin{Exa}taeta\lambdaeq qN}\in\mathcal{M}_{qN\tauimes qN}\lambdaeft(\mathbb{C}\right),\lambdaabel{9V}\end{equation}
such that
\begin{Exa}taegin{equation}\frac{A\otimes W-\lambdaeft(\overline{A\otimes W}\right)^{t}}{2\sqrt{-1}}= \lambdaeft(V \otimes Z\right)\lambdaeft(\overline{ V \otimes Z}\right)^{t}.\lambdaabel{9W}\end{equation}
Furthermore, (\ref{9W}) holds also replacing $q$ with $q'$, and respectively $N$ with $N'$ as in (\ref{ecuatiew}).
\end{Lem}
\begin{Exa}taegin{proof} We search for an invertible matrix $V$ as in (\ref{edef}), (\ref{981}), (\ref{9V}) such that (\ref{9W}) and (\ref{607}) hold. In particular, the matrix $A$ is just a real number $a$ when $q=1$ in (\ref{607}). Then, we chose
$ V=\sqrt{a}I_{N}$.
Next, we assume $q=2$ in (\ref{607}). Then (\ref{607}) may be explicitly written as follows
\begin{Exa}taegin{equation} \begin{Exa}taegin{split}& a^{11}_{11}=\overline{a^{11}_{11}},\quad a^{11}_{12}=\overline{a^{11}_{21}},\quad a^{11}_{22}=\overline{a^{11}_{22}}, \\& a^{12}_{11}=\overline{a^{12}_{11}},\quad a^{12}_{12}=\overline{a^{21}_{21}},\quad a^{22}_{11}=\overline{a^{22}_{11}}, \\& a^{22}_{11}=\overline{a^{22}_{11}},\quad a^{22}_{12}=\overline{a^{22}_{21}},\quad a^{22}_{22}=\overline{a^{22}_{22}} .\end{split} \lambdaabel{9981seee}
\end{equation}
Now, we search for a matrix like (\ref{9V}) satisfying (\ref{9W}). We obtain
\begin{Exa}taegin{equation} \begin{Exa}taegin{split}& a_{11}^{11}\lambdaeft<Z_{1}, Z_{1}\right>
+ a_{12}^{11}\lambdaeft<Z_{1}, Z_{2}\right>
+ \overline{a_{12}^{11}}\lambdaeft<Z_{2}, Z_{1}\right>
+a_{22}^{11}\lambdaeft<Z_{2}, Z_{2}\right>
= \partialisplaystyle\sum_{k'=1 }^{N}\lambdaeft(\partialisplaystyle\sum_{l=1 }^{2}\partialisplaystyle\sum_{k=1 }^{N}v^{1k' }_{lk}z_{lk}\right)\overline{ \lambdaeft(\partialisplaystyle\sum_{l=1 }^{2}\partialisplaystyle\sum_{k=1 }^{N}v^{1k' }_{lk}z_{lk}\right)} ,\\& a_{11}^{12}\lambdaeft<Z_{1}, Z_{1}\right>
+ a_{12}^{12}\lambdaeft<Z_{1}, Z_{2}\right>
+ \overline{a_{12}^{12}}\lambdaeft<Z_{2}, Z_{1}\right>
+a_{22}^{12}\lambdaeft<Z_{2}, Z_{2}\right>
= \partialisplaystyle\sum_{k'=1 }^{N}\lambdaeft(\partialisplaystyle\sum_{l=1 }^{2}\partialisplaystyle\sum_{k=1 }^{N}v^{1k' }_{lk}z_{lk}\right)\overline{ \lambdaeft(\partialisplaystyle\sum_{l=1 }^{2}\partialisplaystyle\sum_{k=1 }^{N}v^{2k' }_{lk}z_{lk}\right)} ,\\& a_{11}^{22}\lambdaeft<Z_{1}, Z_{1}\right>
+ a_{12}^{22}\lambdaeft<Z_{1}, Z_{2}\right>
+\overline{a_{12}^{22}}\lambdaeft<Z_{2}, Z_{1}\right>
+a_{22}^{22}\lambdaeft<Z_{2}, Z_{2}\right>
= \partialisplaystyle\sum_{k'=1 }^{N}\lambdaeft(\partialisplaystyle\sum_{l=1 }^{2}\partialisplaystyle\sum_{k=1 }^{N}v^{2k' }_{lk}z_{lk}\right)\overline{ \lambdaeft(\partialisplaystyle\sum_{l=1 }^{2}\partialisplaystyle\sum_{k=1 }^{N}v^{2k' }_{lk}z_{lk}\right)} ,\end{split} \lambdaabel{777}
\end{equation}
where $Z_{1}$ and $Z_{2}$ are the row vectors of the matrix $Z$ from (\ref{nota}), because
the $\lambdaeft(i,j\right)$-entry of the matrix \begin{Exa}taegin{equation}\frac{A\otimes W-\lambdaeft(\overline{A\otimes W}\right)^{t}}{2\sqrt{-1}}, \quad\quad\mbox{for all $i,j=1,2$,} \lambdaabel{123}
\end{equation}
is computed by (\ref{ecuatiew}) and (\ref{607}) as follows
\begin{Exa}taegin{equation*}\begin{Exa}taegin{split} \frac{a_{11}^{ij}w_{11}+a_{12}^{ij}w_{12}+a_{21}^{ij}w_{21}+ a_{22}^{ij}w_{22}-\overline{\lambdaeft(a_{11}^{ij}w_{11}+a_{12}^{ij}w_{12}+a_{21}^{ij}w_{21}+ a_{22}^{ij}w_{22}\right) }}{2\sqrt{-1}} = & a_{11}^{ij}\lambdaeft<Z_{1}, Z_{1}\right>
\\& \hspace{0.1 cm} + \\& a_{12}^{ij}\lambdaeft<Z_{1}, Z_{2}\right>
+ \overline{a_{12}^{ij}}\lambdaeft<Z_{2}, Z_{1}\right>
+a_{22}^{ij}\lambdaeft<Z_{2}, Z_{2}\right>, \end{split}
\end{equation*}
for all $i,j=1,2$, where (\ref{9981seee}) holds using the following replacements
\begin{Exa}taegin{equation}w_{11}={\4R}e w_{11}+\sqrt{-1}\lambdaeft<Z_{1},Z_{1}\right>,\quad w_{22}={\4R}e w_{11}+\sqrt{-1}\lambdaeft<Z_{2},Z_{2}\right>, \quad w_{12}=w_{21}-\sqrt{-1}{\4R}e w_{11}+\sqrt{-1}\lambdaeft<Z_{1},Z_{2}\right>.\lambdaabel{replace}
\end{equation}
Next, we collect by (\ref{nota}) terms in $\lambdaeft(Z_{1},\overline{Z}_{1}\right)$, $\lambdaeft(Z_{1},\overline{Z}_{2}\right)$, $\lambdaeft(Z_{2},\overline{Z}_{1}\right)$, $\lambdaeft(Z_{2},\overline{Z}_{2}\right)$
from (\ref{777}). We obtain
\begin{Exa}taegin{equation}a_{ij}^{ll'}\lambdaeft<Z_{i}, Z_{j}\right>=\partialisplaystyle\sum_{k'=1 }^{N}\lambdaeft(\partialisplaystyle\sum_{k=1 }^{N}v^{lk' }_{ik}z_{ik}\right)\overline{\lambdaeft(\partialisplaystyle\sum_{k=1 }^{N}v^{l'k' }_{jk}z_{jk}\right)}, \quad\quad\quad \mbox{for all $l,l',i,j=1,2$.} \lambdaabel{ito11}
\end{equation}
It remains to prove the invertibility of the following matrix of blocks
\begin{Exa}taegin{equation}V=\begin{Exa}taegin{pmatrix}\lambdaeft(v^{1k' }_{1k}\right)_{1 \lambdaeq k \lambdaeq N}^{1 \lambdaeq k'\lambdaeq N} & \lambdaeft(v^{1k' }_{2k}\right)_{1 \lambdaeq k \lambdaeq N}^{1 \lambdaeq k'\lambdaeq N} \\ \lambdaeft(v^{2k' }_{1k}\right)_{1 \lambdaeq k \lambdaeq N}^{1 \lambdaeq k'\lambdaeq N}&\lambdaeft(v^{2k'}_{2k }\right)_{1 \lambdaeq k \lambdaeq N}^{1 \lambdaeq k'\lambdaeq N} \end{pmatrix}\in \mathcal{M}_{2N^{2}\tauimes 2N^{2}}\lambdaeft(\mathbb{C}\right).\lambdaabel{veee} \end{equation}
Analysing (\ref{ito11}), we obtain
\begin{Exa}taegin{equation} \lambdaeft(v^{lk'}_{ i k}\right)_{1 \lambdaeq k \lambdaeq N}^{1 \lambdaeq k'\lambdaeq N}\overline{ \lambdaeft(\lambdaeft(v^{l'k'}_{jk }\right)_{1 \lambdaeq k \lambdaeq N}^{1 \lambdaeq k'\lambdaeq N}\right)^{t}} =a_{ij}^{ll'}I_{N},\quad\mbox{for all $i,j,l,l'=1,2$.} \lambdaabel{ppe1}
\end{equation}
We assume that the matrix $V$ is not invertible. Denoting by $\mathcal{L}_{1},\mathcal{L}_{2},\partialots, \mathcal{L}_{2N}$ its row vectors, it follows that
\begin{Exa}taegin{equation}\exists\hspace{0.1 cm} r_{1},r_{2}\in 1,\partialots,2N\hspace{0.1 cm}\mbox{with}\hspace{0.1 cm}r_{1}{\4n}eq r_{2} \hspace{0.1 cm}\mbox{and}\hspace{0.1 cm}\exists\hspace{0.1 cm}\lambdaambda\in\mathbb{C}\hspace{0.1 cm}\mbox{such that}\hspace{0.1 cm}\mathcal{L}_{r_{1}}=\lambdaambda\mathcal{L}_{r_{2}}. \lambdaabel{vecK}\end{equation}
It remains to study the following cases:
$\begin{Exa}taf{Case\hspace{0.1 cm}r_{1},r_{2}\in 1,\partialots,N:}$ Because of (\ref{vecK}), it follows that
\begin{Exa}taegin{equation*}\partialet\lambdaeft(\lambdaeft(v^{1k'}_{1k}\right)_{1 \lambdaeq k \lambdaeq N}^{1 \lambdaeq k'\lambdaeq N}\right)=0,\quad \partialet\lambdaeft(\overline{ \lambdaeft(\lambdaeft(v^{2k'}_{1k}\right)_{1 \lambdaeq k \lambdaeq N}^{1 \lambdaeq k'\lambdaeq N}\right)^{t}}\right)=0,
\end{equation*}
which implies by (\ref{9981seee}), (\ref{777}) and (\ref{ppe1}) that
$ a^{11}_{11}=a^{11}_{12}=a^{11}_{21}=a^{11}_{22} =0$. Contradiction, because the matrix $A$ is invertible.
$\begin{Exa}taf{Case \quad r_{1},r_{2}\in N+1,\partialots,2N : }$ It is similarly solved as previously. The further details are left to the reader as exercise.
$\begin{Exa}taf{Case \quad r_{1}\in 1,\partialots,N,\hspace{0.1 cm} r_{2}\in N+1,\partialots,2N : }$ Considering linear invertible holomorphic changes of coordinates, like in (\ref{9W}), preserving the first $\mathcal{BSD}$-Model from (\ref{ecuatiew}), we assume $r_{1}, r_{2}\in 1,\partialots,N$ according to the next Remark. Repeating the above arguments, we obtain a contradiction, because the matrix $A$ was considered invertible. It follows that (\ref{9W}) holds, because these explanations may be extended to any $q\in\mathbb{N}^{\star}$. Also (\ref{9W}) holds replacing $q$ with $q'$, and respectively $N$ with $N'$, according to similar notations as in (\ref{nota}), (\ref{edef}), (\ref{981}) and (\ref{607}), because the previous explanations may be reproduced. Proof completed.
\end{proof}
Recalling (\ref{edef}), (\ref{981}) and (\ref{777}), it remains to prove:
\begin{Exa}tar Let $k,k'\in 1,\partialots,q$ and $l,l'\in 1,\partialots,N \gammaeq 3$ with $l{\4n}eq l'$. There exist invertible matrices, denoted by
\begin{Exa}taegin{equation}V=\lambdaeft( v_{\alphalpha}^{\begin{Exa}taeta} \right)_{1\lambdaeq\alphalpha\lambdaeq qN}^{1\lambdaeq \begin{Exa}taeta\lambdaeq qN}\in\mathcal{M}_{qN\tauimes qN}\lambdaeft(\mathbb{C}\right),\quad \quad A=\lambdaeft(a^{ij}_{kl}\right)_{1\lambdaeq k,l\lambdaeq q}^{1\lambdaeq i,j\lambdaeq q} \in\mathcal{M}_{q^{2}\tauimes q^{2}}\lambdaeft(\mathbb{C}\right), \lambdaabel{9Wab}\end{equation}
creating a change of coordinates preserving the entries of the matrix $Z$, excepting $z_{kl}$,
which is transformed in $z_{k'l'}$, and excepting $z_{k'l'}$, which is transformed in $z_{kl}$,
where $\alphalpha\in\mathbb{C}$ is chosen such that $\alphalpha\overline{\alphalpha}=1$ and $\alphalpha^{2}{\4n}eq \overline{\alphalpha}^{2}$, in order to hold
\begin{Exa}taegin{equation}\frac{A\otimes W-\lambdaeft(\overline{A\otimes W}\right)^{t}}{2\sqrt{-1}}=\lambdaeft(V \otimes Z\right)\lambdaeft(\overline{ V \otimes Z}\right)^{t}.\lambdaabel{9Vab}\end{equation}
Furthermore, (\ref{9Vab}) holds also replacing $q$ with $q'$, and respectively $N$ with $N'$ as in (\ref{ecuatiew}).
\end{Rem}
\begin{Exa}taegin{proof} In order to simplify computations, we assume $q=2$ and $N=3$ in order to introduce by (\ref{veee}) the following matrices
\begin{Exa}taegin{equation}
\begin{Exa}taegin{split}&v_{11}=\lambdaeft(v^{1k' }_{1k}\right)_{1 \lambdaeq k \lambdaeq N}^{1 \lambdaeq k'\lambdaeq N},\quad\quad v_{12}=\lambdaeft(v^{1k' }_{2k}\right)_{1 \lambdaeq k \lambdaeq N}^{1 \lambdaeq k'\lambdaeq N}, \\& v_{21}=\lambdaeft(v^{2k' }_{1k}\right)_{1 \lambdaeq k \lambdaeq N}^{1 \lambdaeq k'\lambdaeq N},\quad\quad v_{22}=\lambdaeft(v^{2k' }_{2k}\right)_{1 \lambdaeq k \lambdaeq N}^{1 \lambdaeq k'\lambdaeq N} .\end{split}\lambdaabel{vej}
\end{equation}
In particular, (\ref{ito11}) and (\ref{veee}) hold. It follows that
\begin{Exa}taegin{equation} a_{ij}^{ll'}\lambdaeft<Z_{i}, Z_{j}\right>=\lambdaeft<v_{i l}Z_{i}^{t},v_{jl'}Z_{j}^{t}\right> , \quad\quad\quad \mbox{for all $l,l',i,j=1,2$.} \lambdaabel{poi}\end{equation}
For cases like $l=1$, $l'=2$, $k=2$ and $k'=3$ in (\ref{poi}), we chose
\begin{Exa}taegin{equation*}\begin{Exa}taegin{split}& v_{11}=\begin{Exa}taegin{pmatrix} 0 & 0 & 0
\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix},\quad\quad v_{12}=\begin{Exa}taegin{pmatrix} 1 & 0 & 0
\\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}, \\& v_{21}=\begin{Exa}taegin{pmatrix} \alphalpha & 0 & 0
\\ 0 & 0 & \alphalpha \\ 0 & \alphalpha & 0
\end{pmatrix},\quad\hspace{0.18 cm} v_{22}=\begin{Exa}taegin{pmatrix} 0 & 0 & 0
\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.\end{split}
\end{equation*}
Then, (\ref{vej}) implies
\begin{Exa}taegin{equation}\begin{Exa}taegin{pmatrix} a^{11}_{11} & a^{11}_{12} & a^{11}_{21} & a^{11}_{22}
\\ a^{12}_{11} & a^{12}_{12} & a^{12}_{21} & a^{12}_{22} \\ a^{21}_{11} & a^{21}_{12} & a^{21}_{21} & a^{11}_{22}\\ a^{22}_{11} & a^{22}_{12} & a^{22}_{21} & a^{22}_{22}
\end{pmatrix}=\begin{Exa}taegin{pmatrix} 0& 0 & 0 & 1
\\ 0 & \alphalpha & \overline{\alphalpha} & 0 \\ 0 & \overline{\alphalpha} & \alphalpha & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix},\lambdaabel{vejo2}
\end{equation}
which is non-degenerate, because $\alphalpha\in\mathbb{C}$ is chosen such that $\alphalpha\overline{\alphalpha}=1$ and $\alphalpha^{2}{\4n}eq \overline{\alphalpha}^{2}$.
For cases like $l=2$, $l'=1$ and $k=k'=2$ in (\ref{poi}), we chose
\begin{Exa}taegin{equation*}\begin{Exa}taegin{split}& v_{11}=\begin{Exa}taegin{pmatrix} 0 & 0 & 0
\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix},\quad\quad v_{12}=\begin{Exa}taegin{pmatrix} 0 & 0 & 1
\\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}, \\& v_{21}=\begin{Exa}taegin{pmatrix} 0 & 0 & \alphalpha
\\ 0 & \alphalpha & 0 \\ \alphalpha & 0 & 0
\end{pmatrix},\quad\hspace{0.18 cm} v_{22}=\begin{Exa}taegin{pmatrix} 0 & 0 & 0
\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.\end{split}
\end{equation*}
Then, (\ref{vej}) implies (\ref{vejo2}) like above. Proof completed, because the previous computations may be generalized in order to
find invertible matrices $A$ and $V$ like in (\ref{9Wab}).
\end{proof}
Next, it is required by (\ref{nota}), (\ref{vb}) (\ref{Ca}), (\ref{diag}), (\ref{v11}), (\ref{edef}) and (\ref{981}) to consider:
\section{Normalizations for Formal Embeddings}
Performing by (\ref{nota}), (\ref{edef}) and (\ref{981}) several linear invertible holomorphic changes of coordinates preserving $\mathcal{BSD}$-Models in the light of Lemma \ref{lemm}, we study the formal embedding (\ref{v11}) using by (\ref{diag}) the following commutative diagram
\begin{Exa}taegin{equation}\begin{Exa}taegin{array}[c]{ccc}
\mathcal{M}&\stackrel{\lambdaeft(F,G\right)}{\rightarrow}&\mathcal{M}'\\
\Updownarrow\scriptstyle{ }&&\Updownarrow\scriptstyle{}\\
\mathcal{M}&\stackrel{\lambdaeft(F,G\right)}{\rightarrow}&\mathcal{M}'.
\end{array}\lambdaabel{diagg}\end{equation}
We obtain:
\begin{Exa}tap \lambdaabel{propo1} Let $\lambdaeft(F,G\right)$ be the formal embedding from (\ref{diag}). Then, up to compositions with suitable linear holomorphic automorphisms of the $\mathcal{BSD}$-Models from (\ref{ecuatiew}), we obtain
\begin{Exa}taegin{equation}\begin{Exa}taegin{pmatrix}G_{11}\lambdaeft(Z,W\right) &G_{12}\lambdaeft(Z,W\right) \\ G_{21}\lambdaeft(Z,W\right)& G_{22}\lambdaeft(Z,W\right)
\end{pmatrix}=\begin{Exa}taegin{pmatrix} W+\mbox{O}(2) &\mbox{O}(2) \\ \mbox{O}(2) & \mbox{O}(2)
\end{pmatrix},\quad\quad \begin{Exa}taegin{pmatrix} F_{1}\lambdaeft(Z,W\right) \\ F_{2}\lambdaeft(Z,W\right)
\end{pmatrix}=\begin{Exa}taegin{pmatrix} \mbox{O}(1) \\ \mbox{O}(2)
\end{pmatrix}. \lambdaabel{lili1}
\end{equation}
\end{Pro}
\begin{Exa}taegin{proof} We write by (\ref{edef}) and (\ref{981}) as follows
\begin{Exa}taegin{equation}\begin{Exa}taegin{split}& G_{11}\lambdaeft(W\right)=A\otimes W+\mbox{O}(2),\quad\quad G_{12}\lambdaeft(W\right)=B\otimes W+\mbox{O}(2) ,\\& G_{21}\lambdaeft(W\right)=C\otimes W+\mbox{O}(2) ,\quad\quad G_{22}\lambdaeft(W\right)=D\otimes W+\mbox{O}(2),\end{split}\lambdaabel{99911}\end{equation}
where we have used by (\ref{981}) the following matrices
\begin{Exa}taegin{equation} \begin{Exa}taegin{split}& A=\lambdaeft( a_{\alphalpha}^{\begin{Exa}taeta} \right)_{1\lambdaeq \alphalpha\lambdaeq q^{2}}^{1\lambdaeq \begin{Exa}taeta\lambdaeq q^{2}}\in\mathcal{M}_{q^{2}\tauimes q^{2}}\lambdaeft(\mathbb{C}\right),\quad\quad\quad\quad\quad\quad B=\lambdaeft( b_{\alphalpha}^{\begin{Exa}taeta} \right)_{1\lambdaeq \alphalpha\lambdaeq q^{2}}^{1\lambdaeq \begin{Exa}taeta\lambdaeq q\lambdaeft(q'-q\right)}\in\mathcal{M}_{q\lambdaeft(q'-q\right) \tauimes q ^{2}}\lambdaeft(\mathbb{C}\right), \\& C=\lambdaeft( c_{\alphalpha}^{\begin{Exa}taeta} \right)^{1\lambdaeq \begin{Exa}taeta\lambdaeq q^{2}}_{1\lambdaeq \alphalpha\lambdaeq q\lambdaeft(q'-q\right) }\in\mathcal{M}_{{q}^{2}\tauimes q\lambdaeft(q'-q\right) }\lambdaeft(\mathbb{C}\right), \quad\quad D=\lambdaeft( d_{\alphalpha}^{\begin{Exa}taeta} \right)_{1\lambdaeq \alphalpha\lambdaeq q\lambdaeft(q'-q\right)}^{1\lambdaeq \begin{Exa}taeta\lambdaeq q\lambdaeft(q'-q\right) }\in\mathcal{M}_{ q\lambdaeft(q'-q\right) \tauimes q\lambdaeft(q'-q\right) }\lambdaeft(\mathbb{C}\right),
\end{split} \lambdaabel{00}\end{equation}
Equivalently, we rewrite (\ref{00}) by (\ref{9GG}) and (\ref{981}) as follows
\begin{Exa}taegin{equation} \begin{Exa}taegin{split}&A^{ij}=\lambdaeft(a^{ij}_{kl}\right)_{1\lambdaeq k,l\lambdaeq q},\quad\mbox{for all $i,j=1\partialots,q$,}\\& B^{ij}=\lambdaeft(b^{ij}_{kl}\right)_{1\lambdaeq k,l\lambdaeq q},\quad\mbox{for all $j=1,\partialots,q$ and $i=1,\partialots,q'-q,$}\\& C^{ij}=\lambdaeft(c^{ij}_{kl}\right)_{1\lambdaeq k,l\lambdaeq q},\quad\mbox{for all $i =1\partialots,q$ and $j=1\partialots,q'-q,$}\\& D^{ij}=\lambdaeft(d^{ij}_{kl}\right)_{1\lambdaeq k,l\lambdaeq q},\quad\mbox{for all $i,j=1\partialots,q'-q$.}\end{split} \lambdaabel{bibi3}
\end{equation}
Then, we replace (\ref{v11}) in (\ref{zzzv}) using (\ref{99911}), (\ref{00}) and (\ref{bibi3}) in order to extract linear parts. We obtain
\begin{Exa}taegin{equation} \begin{Exa}taegin{split}&\frac{ A\otimes W-\overline{A\otimes W}^{t}}{2\sqrt{-1}}= \lambdaeft<F_{1}^{\lambdaeft(1\right)}\lambdaeft(Z\right),F_{1}^{\lambdaeft(1\right)}\lambdaeft(Z\right)\right>,\\& \frac{B\otimes W-\overline{C\otimes W}^{t}}{2\sqrt{-1}}= \lambdaeft<F_{1}^{\lambdaeft(1\right)}\lambdaeft(Z\right),F_{2}^{\lambdaeft(1\right)}\lambdaeft(Z\right)\right>,\\& \frac{D\otimes W-\overline{D\otimes W}^{t}}{2\sqrt{-1}}= \lambdaeft<F_{2}^{\lambdaeft(1\right)}\lambdaeft(Z\right),F_{2}^{\lambdaeft(1\right)}\lambdaeft(Z\right)\right>,\end{split} \lambdaabel{8}
\end{equation}
where we deal with linear parts in $Z$, denoted by
\begin{Exa}taegin{equation}F_{1}^{\lambdaeft(1\right)}\lambdaeft(Z\right)\hspace{0.1 cm}\mbox{and}\hspace{0.1 cm} F_{2}^{\lambdaeft(1\right)}\lambdaeft(Z\right),\lambdaabel{84}
\end{equation}
of the matrices $F_{1}\lambdaeft(Z,W\right)$ and $F_{2}\lambdaeft(Z,W\right)$, which have formal power series as entries.
Now, we rewrite the diagonal entries separately from the non-diagonal entries in (\ref{ecuatiew}). We obtain
\begin{Exa}taegin{equation}
\begin{Exa}taegin{split}& \frac{w_{kl}-\overline{w_{lk}}}{2\sqrt{-1}}=\lambdaeft<Z_{k},Z_{l}\right> ,\quad\mbox{for all $k{\4n}eq l$ and $k,l=1,\partialots,q$,}\\&\quad\hspace{0.2 cm}\mbox{Im} w_{kk}=\lambdaeft<Z_{k},Z_{k}\right> ,\quad \mbox{for all $k=1,\partialots,q$,}\end{split} \lambdaabel{yu1}
\end{equation}
where we have used the row vectors of the matrix $Z$ from (\ref{nota}), denoted by
\begin{Exa}taegin{equation} Z_{1},Z_{2},\partialots,Z_{q}.\lambdaabel{rowww}
\end{equation}
Studying the second matrix equation of (\ref{8}), it follows by (\ref{9GG}), (\ref{981}), (\ref{00}), (\ref{bibi3}) and (\ref{yu1}) that
\begin{Exa}taegin{equation} \begin{Exa}taegin{split}& b^{ij}_{ll}\lambdaeft(\mbox{Re} w_{ll}+\sqrt{-1}\lambdaeft<Z_{l},Z_{l} \right>\right)-\overline{c^{ji}_{ll}}\lambdaeft(\mbox{Re} w_{ll}-\sqrt{-1}\lambdaeft<Z_{l},Z_{l} \right>\right)=T_{ijll}\lambdaeft(Z,\overline{Z}\right),\quad \mbox{for all corresponding $i,j$,} \\&\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\hspace{0.02 cm} b^{ij}_{kl}\lambdaeft( \overline{w_{lk}}+2\sqrt{-1}\lambdaeft<Z_{k},Z_{l} \right>\right)-\overline{c^{ji}_{lk}}\lambdaeft( \overline{w_{lk}}\right)=T_{ijkl}\lambdaeft(Z,\overline{Z}\right),\quad \mbox{for all corresponding $i,j$ and $k{\4n}eq l$,} \end{split} \lambdaabel{lak}
\end{equation}
where the right-hand sides in (\ref{lak}) depend only on $Z$ and $\overline{Z}$. It follows that
\begin{Exa}taegin{equation} b^{ij}_{kl}=\overline{c^{ji}_{lk}},\quad \mbox{for all $k,l=1,\partialots,q$ and corresponding $i,j$.} \lambdaabel{9981se}
\end{equation}
Moreover, repeating the above arguments for the all equations from (\ref{8}), we obtain
\begin{Exa}taegin{equation} \begin{Exa}taegin{split}& A^{ij}=\overline{A^{ji}}^{t}, \quad\mbox{for all $i,j=1\partialots,q$,} \\& B^{ij}=\overline{C^{ji}}^{t}, \quad\mbox{for all corresponding $i,j$,} \\& D^{ij}=\overline{D^{ji}}^{t},\quad\mbox{for all $i,j=1\partialots,q'-q$.} \end{split}
\lambdaabel{bnm} \end{equation}
Now, we assume that the matrix $A$ is invertible. It follows that (\ref{607}) is satisfied, because the first equality from (\ref{bnm}) holds. We write
\begin{Exa}taegin{equation}\frac{A\otimes W-\lambdaeft(\overline{A\otimes W}\right)^{t}}{2\sqrt{-1}}= \lambdaeft(V \otimes Z\right)\lambdaeft(\overline{ V \otimes Z}\right)^{t},\quad\mbox{for some invertible matrix $V\in\mathcal{M}_{qN\tauimes qN}\lambdaeft(\mathbb{C}\right)$.} \lambdaabel{998}
\end{equation}
Next, we define by (\ref{edef}) and (\ref{981}) the following invertible linear change of coordinates
\begin{Exa}taegin{equation}\tauilde{W}=A^{-1}\otimes W,\quad \tauilde{Z}=V^{-1}\otimes Z,\lambdaabel{gigel}
\end{equation}
which preserves the $\mathcal{BSD}$-Model $\mathcal{M}'$ from (\ref{ecuatiew}), because (\ref{998}) holds. It follows that
\begin{Exa}taegin{equation} G_{11}\lambdaeft(\tauilde{W}\right)=\tauilde{W}. \lambdaabel{gigelll}
\end{equation}
In these coordinates (\ref{gigel}), it follows by (\ref{v11}), (\ref{8}) and (\ref{gigelll}) that
\begin{Exa}taegin{equation} \begin{Exa}taegin{split}&\quad\quad\quad\hspace{0.16 cm}\frac{\tauilde{W}-\overline{\tauilde{W}}^{t}}{2\sqrt{-1}}= \lambdaeft<F_{1}^{\lambdaeft(1\right)}\lambdaeft(V^{-1}\otimes\tauilde{Z}\right),F_{1}^{\lambdaeft(1\right)}\lambdaeft(V^{-1}\otimes\tauilde{Z}\right)\right>, \\& \frac{\tauilde{B}\otimes \lambdaeft(\tauilde{W}-\overline{ \tauilde{W}}^{t}\right)}{2\sqrt{-1}}= \lambdaeft<F_{1}^{\lambdaeft(1\right)}\lambdaeft(V^{-1}\otimes\tauilde{Z}\right),F_{2}^{\lambdaeft(1\right)}\lambdaeft(V^{-1}\otimes\tauilde{Z}\right)\right>,\\& \frac{\tauilde{D}\otimes\lambdaeft( \tauilde{W}-\overline{\tauilde{W}}^{t}\right)}{2\sqrt{-1}}= \lambdaeft<F_{2}^{\lambdaeft(1\right)}\lambdaeft(V^{-1}\otimes\tauilde{Z}\right),
F_{2}^{\lambdaeft(1\right)}\lambdaeft(V^{-1}\otimes\tauilde{Z}\right)\right>.\end{split}
\lambdaabel{550q}\end{equation}
where we have used by (\ref{981}), (\ref{00}), and (\ref{bibi3}) the matrix $ \tauilde{D}=D\partialiamond A^{-1}\in\mathcal{M}_{ q\lambdaeft(q'-q\right) \tauimes q\lambdaeft(q'-q\right) }\lambdaeft(\mathbb{C}\right)$,
where $\partialiamond$ defines an obvious rule of multiplication of matrices:
its entries are defined by
\begin{Exa}taegin{equation}
\lambdaeft<\lambdaeft(d^{ij}_{kl}\right)_{1\lambdaeq k,l\lambdaeq q},\lambdaeft(\overline{A}^{-1}\right)^{t}\right>,\quad\mbox{for all $i,j=1\partialots,q'-q$.}\lambdaabel{gigel11}
\end{equation}
Such notation as (\ref{gigel11}) has sense, because in the light of (\ref{nota}) the matrices
$$\lambdaeft(\overline{A}^{-1}\right)^{t},\quad \lambdaeft(d^{ij}_{kl}\right)_{1\lambdaeq k,l\lambdaeq q},\quad\quad\mbox{for all $i,j=1\partialots,q'-q$,}$$
may be seen as vectors, where $\lambdaeft<\cdot,\cdot\right>$ is the standard hermitian inner-product.
Moreover, we introduce the matrices
$\tauilde{B}=B\partialiamond A^{-1}\in \mathcal{M}_{q\lambdaeft(q'-q\right) \tauimes q ^{2}}\lambdaeft(\mathbb{C}\right)$ and $\tauilde{C}= C\partialiamond A^{-1}\in \mathcal{M}_{q ^{2}\tauimes q\lambdaeft(q'-q\right) }\lambdaeft(\mathbb{C}\right)$,
where the product of matrices $C\partialiamond A^{-1}$ has the following entries
$$
\lambdaeft<\lambdaeft(c^{ij}_{kl}\right)_{1\lambdaeq k,l\lambdaeq q},\lambdaeft(\overline{A}^{-1}\right)^{t}\right>,\quad\mbox{for all $j=1\partialots,q'-q$ and $i=1\partialots,q$,}$$
and respectively, the product of matrices $B\partialiamond A^{-1}$ has the following entries
$$
\lambdaeft<\lambdaeft(b^{ij}_{kl}\right)_{1\lambdaeq k,l\lambdaeq q},\lambdaeft(\overline{A}^{-1}\right)^{t}\right>,\quad\mbox{for all $i=1\partialots,q'-q$ and $j=1\partialots,q$.}$$
Now, we move forward in order to study the last two equations from (\ref{550q}) using notations like
(\ref{00}) and (\ref{bibi3}). Repeating the arguments related to (\ref{lak}), we obtain
\begin{Exa}taegin{equation*} \begin{Exa}taegin{split}& \tauilde{B}^{ij}=\overline{ \tauilde{C}^{ji}}^{t}, \quad\mbox{for all corresponding $i,j$,} \\& \tauilde{D}^{ij}=\overline{ \tauilde{D}^{ji}}^{t},\quad\mbox{for all $i,j=1\partialots,q'-q$.} \end{split}
\end{equation*}
Then, the equations (\ref{550q}) are simplified using the following linear change of coordinates
\begin{Exa}taegin{equation} E'\otimes W'= \begin{Exa}taegin{pmatrix} W'_{11} & W'_{12}-\tauilde{B}\otimes W'_{11} \\ W'_{21}-\tauilde{C} \otimes W'_{11} & W'_{22}-\tauilde{D} \otimes W'_{11}
\end{pmatrix}. \lambdaabel{lili}
\end{equation}
We observe that (\ref{lili}) satisfies (\ref{607}). Then, we write
\begin{Exa}taegin{equation}\frac{E'\otimes W'-\lambdaeft(\overline{E'\otimes W'}\right)^{t}}{2\sqrt{-1}}= \lambdaeft(V' \otimes Z'\right)\lambdaeft(\overline{ V' \otimes Z'}\right)^{t},\quad \mbox{for an invertible matrix $V'\in\mathcal{M}_{qN\tauimes qN}\lambdaeft(\mathbb{C}\right)$.}\lambdaabel{9Vab1}\end{equation}
Next, we continue the computations using the following linear change of coordinates
\begin{Exa}taegin{equation}\lambdaeft(W,Z\right):=\lambdaeft(E'^{-1}\otimes W', V'^{-1} \otimes Z'\right), \lambdaabel{9Vab11}
\end{equation}
which preserves by (\ref{9Vab1}) the $\mathcal{BSD}$-Model $\mathcal{M}'$ from (\ref{ecuatiew}), eliminating also the matrices $\tauilde{B}$, $\tauilde{C}$, $\tauilde{D}$ from (\ref{550q}).
Now, we move forward using the following notations
\begin{Exa}taegin{equation}\begin{Exa}taegin{split}&G\lambdaeft(Z,W\right):= E'^{-1} \otimes G\lambdaeft(V^{-1}\otimes Z ,A^{-1}\otimes W \right),\\&F\lambdaeft(Z,W\right):=V'^{-1} \otimes F\lambdaeft(V^{-1}\otimes Z ,A^{-1}\otimes W \right) .\end{split}\lambdaabel{9Vab11V}
\end{equation}
Then, (\ref{lili1}) holds in these coordinates (\ref{9Vab11}) and (\ref{9Vab11V}), because we obtain
$$\lambdaeft<F_{2}^{\lambdaeft(1\right)}\lambdaeft(Z\right),F_{2}^{\lambdaeft(1\right)}\lambdaeft(Z\right)\right>=0, $$
which implies $F_{2}^{\lambdaeft(1\right)}\lambdaeft(Z\right)=0$, but it remains to prove that we can assume that the matrix $A$ is invertible in (\ref{8}).
Firstly, it is assumed that there exists a non-degenerate minor of type $q^{2}\tauimes q^{2}$ in the Jacobian-matrix of $G\lambdaeft(0,W\right)$, which is of type ${q'}^{2}\tauimes {q'}^{2}$, and depends on the entries of the matrix $W$ from (\ref{nota}). Then, any permutation of entries, on the left-hand side in (\ref{ecuatiew}), gives new coordinates for the $\mathcal{BSD}$-Model $\mathcal{M}'$ in (\ref{ecuatiew}). It follows that we can assume that the matrix $A$ is invertible. Then, (\ref{lili1}) follows like above.
Secondly, we assume that it does not exist a non-degenerate minor of type $q^{2}\tauimes q^{2}$ in the Jacobian-matrix of $G\lambdaeft(0,W\right)$. Simple substractions between entries in (\ref{8}), like in (\ref{lili}) and like above, define new coordinates for the $\mathcal{BSD}$-Model $\mathcal{M}'$ in (\ref{ecuatiew}). We can assume that all the entries, of the Jacobian-matrix of $G\lambdaeft(0,W\right)$, vanish excepting the entries of the first $q^{2}\tauimes q^{2}$ block of entries, which must have vanishing determinant according to the last assumption. Lemma \ref{lemm} applies again in order to assume that it exists a row vector with vanishing entries for this minor. It follows the existence of at least a vanishing diagonal entry in the right-hand side of the first equation from (\ref{8}). Then, it exists a row vector with vanishing entries for the first
matrix in (\ref{84}). Contradiction, because $\lambdaeft(F,G\right)$ is an embedding. Proof completed.
\end{proof}
Next, we simplify furthermore (\ref{lili1}) by applying a normalization procedure from Baouendi-Huang\cite{BH} as follows:
\section{Application of the Normalization Procedure from Baouendi-Huang\cite{BH}}
Before beginning, we introduce the following matrix
\begin{Exa}taegin{equation}W':=\begin{Exa}taegin{pmatrix} w_{11} &w_{12}& \partialots & w_{1q} &w_{1\hspace{0.1 cm}q+1}& \partialots & w_{1q'} \\\vdots &\vdots &\partialdots &\vdots &\vdots &\partialdots &\vdots \\ w_{q1} &w_{q2}&\partialots&w_{qq}&w_{q\hspace{0.1 cm}q+1}&\partialots&w_{qq'} \\ \vdots &\vdots &\partialdots &\vdots &\vdots &\partialdots &\vdots \\ w_{q'1} &w_{q'2}& \partialots & w_{q'q} &w_{q'\hspace{0.1 cm}q+1}& \partialots & w_{q'q'}\end{pmatrix},\lambdaabel{Wprim}\end{equation}
and we denote by ${Z'}_{1},{Z'}_{2},\partialots,{Z'}_{q'}$ the row vectors of the following matrix
\begin{Exa}taegin{equation}Z':=\begin{Exa}taegin{pmatrix} z_{11} &z_{12}& \partialots & z_{1N} &z_{1\hspace{0.1 cm}N+1}& \partialots & z_{1\hspace{0.1 cm}2N} \\ \vdots &\vdots &\partialdots &\vdots &\vdots &\partialdots &\vdots \\ z_{q1} &z_{q2}&\partialots&z_{qN}&z_{q\hspace{0.1 cm}N+1}&\partialots&z_{q\hspace{0.1 cm}2N} \\ \vdots &\vdots &\partialdots &\vdots &\vdots &\partialdots &\vdots \\ z_{q1} &z_{q2}& \partialots & z_{qN} &z_{q\hspace{0.1 cm}N+1}& \partialots & z_{q\hspace{0.1 cm} 2N}\end{pmatrix}.\lambdaabel{Vprim}\end{equation}
Now, we are ready using (\ref{rowww}), (\ref{Wprim}) and (\ref{Vprim}) to prove:
\begin{Exa}tap \lambdaabel{propo2} Let $\lambdaeft(F,G\right)$ be a formal (holomorphic) embedding as in (\ref{v11}) and (\ref{lili1}). Then, up to compositions with linear holomorphic automorphisms of the $\mathcal{BSD}$-Models defined in (\ref{ecuatiew}), we obtain \begin{Exa}taegin{equation} \begin{Exa}taegin{pmatrix} F_{1}\lambdaeft(Z,W\right) \\ F_{2}\lambdaeft(Z,W\right)
\end{pmatrix}=\begin{Exa}taegin{pmatrix} Z+\mbox{O}(2) & \mbox{O}(2)\\ \mbox{O}(2) & \mbox{O}(2)
\end{pmatrix}. \lambdaabel{78}
\end{equation}
\end{Pro}
\begin{Exa}taegin{proof} Denoting by $
R_{1}\lambdaeft(Z\right),R_{2}\lambdaeft(Z\right),\partialots,R_{q}\lambdaeft(Z\right)$ the row vectors of the first matrix from (\ref{84}), the first equation from (\ref{550q}) gives
\begin{Exa}taegin{equation} \lambdaeft<R_{i}\lambdaeft(Z\right),R_{j}\lambdaeft(Z\right)\right>=\lambdaeft<Z_{i} ,Z_{j}\right>,\quad\mbox{for all $i,j=1,\partialots,q$,} \lambdaabel{lolo}
\end{equation}
or equivalently, we write
\begin{Exa}taegin{equation*}R_{l}\lambdaeft(Z\right)=\partialisplaystyle\sum_{j=1}^{q} R_{l}\lambdaeft(Z_{j}\right) ,\quad R_{k}\lambdaeft(Z\right)=\partialisplaystyle\sum_{i=1}^{q} R_{k}\lambdaeft(Z_{i}\right) ,\quad\mbox{ for all $k,l=1,\partialots,q$,}\end{equation*}
in order to make appropriate replacements in (\ref{lolo}). We obtain the following equalities
\begin{Exa}taegin{equation}\lambdaeft<\partialisplaystyle\sum_{k=1}^{q}R_{k}\lambdaeft(Z_{i}\right),\partialisplaystyle\sum_{l=1}^{q}R_{l}\lambdaeft(Z_{j}\right)\right>=
\partialisplaystyle\sum_{k,l=1}^{q}\lambdaeft<R_{k}\lambdaeft(Z_{j}\right),\partialisplaystyle R_{l}\lambdaeft(Z_{j}\right)\right>=\lambdaeft<Z_{i} ,Z_{j}\right>,\quad\mbox{for all $i,j=1,\partialots,q$,}\lambdaabel{exp} \end{equation}
Then, identify suitable bi-degree terms in (\ref{exp}). We obtain
\begin{Exa}taegin{equation} \lambdaeft< R_{i}\lambdaeft(Z_{i}\right),\partialisplaystyle R_{j}\lambdaeft(Z_{j}\right)\right>= \lambdaeft<Z_{i} ,Z_{j}\right>,\quad\mbox{ for all $i,j=1,\partialots,q$,}\lambdaabel{ABC1}
\end{equation}
otherwise, we obtain
\begin{Exa}taegin{equation} \lambdaeft< R_{k}\lambdaeft(Z_{i}\right),\partialisplaystyle R_{l}\lambdaeft(Z_{j}\right)\right>= 0,\quad\mbox{ for all $k,l,i,j=1,\partialots,q$ with $k{\4n}eq i$ and $l{\4n}eq j$.}\lambdaabel{ABC2}
\end{equation}
In particular, (\ref{ABC2}) gives
\begin{Exa}taegin{equation*} \lambdaeft< R_{k}\lambdaeft(Z_{i}\right),\partialisplaystyle R_{k}\lambdaeft(Z_{i}\right)\right>= 0,\quad\mbox{ for all $k,i=1,\partialots,q$ with $k{\4n}eq i$,}
\end{equation*}
which gives $R_{j}\lambdaeft(Z\right)=R_{j}\lambdaeft(Z_{j}\right)$, for all $j=1,\partialots,q$.
Next, we introduce the set of matrices denoted by
$\lambdaeft\{\mathcal{A}_{i}\right\}_{i=1,\partialots,q}$
and defined by the following sets of row vectors \begin{Exa}taegin{equation}\lambdaeft\{\alphalpha_{1}\lambdaeft(i\right),\alphalpha_{2}\lambdaeft(i\right),\partialots,\alphalpha_{N}\lambdaeft(i\right)\right\}_{i=1,\partialots,q}\quad\mbox{in $\mathbb{C}^{N},$ } \lambdaabel{nucaa}
\end{equation} satisfying which the following orthogonality properties
\begin{Exa}taegin{equation}\lambdaeft< \alphalpha_{u}\lambdaeft(i\right), \alphalpha_{l}\lambdaeft(j\right)\right>=\partialelta_{u}^{l}\cdot\partialelta_{i}^{j},\quad\mbox{for all $i,j=1,\partialots,q$ and $u,l=1,\partialots,p-q$.}\lambdaabel{nuca}
\end{equation}
Then, Baouendi-Huang's Normalization Procedure\cite{BH} applies for (\ref{nucaa}) in the light of (\ref{nuca}). We obtain
a set of matrices denoted by
$\lambdaeft\{\tauilde{\mathcal{A}}_{i}\right\}_{i=1,\partialots,q}$ and defined by the following sets of row vectors
\begin{Exa}taegin{equation*}\lambdaeft\{\alphalpha_{1}\lambdaeft(i\right),\alphalpha_{2}\lambdaeft(i\right),\partialots,\alphalpha_{N}\lambdaeft(i\right),\alphalpha_{N+1}^{\star}\lambdaeft(i\right),\partialots,\alphalpha_{2N}^{\star}\lambdaeft(i\right)\right\}_{i=1,\partialots,q}\quad\mbox{in $\mathbb{C}^{2N},$}
\end{equation*}
which from orthonormal bases according to Baouendi-Huang's Normalization Procedure\cite{BH}.
Going further, we consider the matrix $Z^{\star}$ of row vectors
$Z^{\star}_{1}={Z'}_{1}\tauilde{A}_{1}^{-1},\partialots,Z^{\star}_{q}={Z'}_{q}\tauilde{A}_{q}^{-1}$ and $ Z^{\star}_{q+1}={Z'}_{q+1},\partialots,{Z'}^{\star}_{q'}={Z'}_{q'}$.
Then, (\ref{78}) is provided by the composition
\begin{Exa}taegin{equation*} F^{\star}=\tauau^{\star}_{\tauilde{A}_{1},\tauilde{A}_{2},\partialots,\tauilde{A}_{q}} \circ F,\quad\mbox{for}\hspace{0.1 cm}\tauau^{\star}_{\tauilde{A}_{1},\tauilde{A}_{2},\partialots,\tauilde{A}_{q}}\lambdaeft(Z\right)=Z^{\star}.
\end{equation*}
\end{proof}
Now, we more forward in order to consider more normalizations:
\section{Further Normalizations}In order to understand the structure of the embedding (\ref{90A}) in the light of (\ref{nota}), (\ref{9GG}), (\ref{v11}) and (\ref{78}), we write
\begin{Exa}taegin{equation} \begin{Exa}taegin{pmatrix}
F_{1}\lambdaeft(Z,W\right)\\ F_{2}\lambdaeft(Z,W\right)
\end{pmatrix} =\begin{Exa}taegin{pmatrix} Z \\ 0 \end{pmatrix} + A\otimes W+
\mbox{O}\lambdaeft(3\right), \lambdaabel{90A}
\end{equation}
where we have used by (\ref{9GG}) the product of matrices
\begin{Exa}taegin{equation} A\otimes W=\lambdaeft(\partialisplaystyle\sum_{k,l=1}^{q'}a_{kl}^{ij}w_{kl}\right)_{1\lambdaeq i\lambdaeq q'\alphatop 1\lambdaeq j\lambdaeq N'}.\lambdaabel{edef000}
\end{equation}
for a matrix $A$ denoted by the following identification
\begin{Exa}taegin{equation}
A=\lambdaeft(a^{\alphalpha}_{\begin{Exa}taeta}\right)^{1\lambdaeq \alphalpha \lambdaeq q'N'}_{1\lambdaeq \begin{Exa}taeta \lambdaeq {q'}^{2}}\equiv\begin{Exa}taegin{pmatrix} {\begin{Exa}taegin{pmatrix} a^{11}_{11} & a^{11}_{12} & \partialots & a^{11}_{1q'}\\ a^{12}_{11} & a^{12}_{12} & \partialots & a^{12}_{1q'} \\ \vdots & \vdots & \partialdots & \vdots \\ a^{1q'}_{11} & a^{1N}_{12} & \partialots & a^{1q'}_{1q'} \end{pmatrix}} & {\begin{Exa}taegin{pmatrix} a^{11}_{21} & a^{11}_{22} & \partialots & a^{11}_{2q'}\\ a^{12}_{21} & a^{12}_{22} & \partialots & a^{12}_{2q'} \\ \partialdots & \vdots & \partialdots & \vdots \\ a^{1q'}_{21} & a^{1q'}_{22} & \partialots & a^{1q'}_{2q'} \end{pmatrix}} & \partialots & {\begin{Exa}taegin{pmatrix} a^{11}_{q1} & a^{11}_{q'2} & \partialots & a^{11}_{q'q'}\\ a^{12}_{q'1} & a^{12}_{q'2} & \partialots & a^{12}_{q'q'} \\ \vdots & \vdots & \partialdots & \vdots \\ a^{1q'}_{q1} & a^{1q'}_{q2} & \partialots & a^{1q'}_{qq} \end{pmatrix}} \\ {\begin{Exa}taegin{pmatrix} a^{21}_{11} & a^{21}_{12} & \partialots & a^{21}_{1q'}\\ a^{22}_{11} & a^{22}_{12} & \partialots & a^{22}_{1q'} \\ \vdots & \vdots & \partialdots & \vdots \\ a^{2q'}_{11} & a^{2q'}_{12} & \partialots & a^{2q'}_{1q'} \end{pmatrix}} & {\begin{Exa}taegin{pmatrix} a^{21}_{21} & a^{21}_{22} & \partialots & a^{21}_{2q}\\ a^{22}_{21} & a^{22}_{22} & \partialots & a^{22}_{2q'} \\ \vdots & \vdots & \partialdots & \vdots \\ a^{2q'}_{21} & a^{2q'}_{22} & \partialots & a^{2q'}_{2q'} \end{pmatrix}} & \partialots & {\begin{Exa}taegin{pmatrix} a^{21}_{q'1} & a^{21}_{q'2} & \partialots & a^{21}_{q'q'}\\ a^{22}_{q'1} & a^{22}_{q'2} & \partialots & a^{22}_{q'q'} \\ \vdots & \vdots & \partialdots & \vdots \\ a^{2q'}_{q1} & a^{2q'}_{q'2} & \partialots & a^{2q'}_{q'q'} \end{pmatrix}}\\ \vdots & \vdots & \partialdots& \vdots \\ {\begin{Exa}taegin{pmatrix} a^{N'1}_{11} & a^{N'1}_{12} & \partialots & a^{N'1}_{1q}\\ a^{N'2}_{11} & a_{12}^{N'2} & \partialots & a^{N'2}_{1q'} \\ \vdots & \vdots & \partialdots & \vdots \\ a^{N'q'}_{11} & a^{N'q'}_{12} & \partialots & a^{N'q'}_{1q'} \end{pmatrix}} & {\begin{Exa}taegin{pmatrix} a^{N'1}_{q'1} & a^{N'1}_{22} & \partialots & a^{N'1}_{2q'}\\ a^{N'2}_{21} & a^{N'2}_{22} & \partialots & a^{N'2}_{2q'} \\ \vdots & \vdots & \partialdots & \vdots \\ a^{N'q'}_{21} & a^{N'q'}_{22} & \partialots & a^{N'q'}_{2q'} \end{pmatrix}} & \partialots & {\begin{Exa}taegin{pmatrix} a^{N'1}_{q'1} & a^{N'1}_{q'2} & \partialots & a^{N'1}_{q'q'}\\ a^{N'2}_{q1} & a^{N'2}_{q'2} & \partialots & a^{N'2}_{q'q'} \\ \vdots & \vdots & \partialdots & \vdots \\ a^{N'q'}_{q1} & a^{N'q'}_{q'2} & \partialots & a^{N'q'}_{q'q'} \end{pmatrix}} \end{pmatrix}. \lambdaabel{bee1}
\end{equation}
taking also in consideration the following parameters
\begin{Exa}taegin{equation} r_{ij}^{ab}=\lambdaeft\{\begin{Exa}taegin{split}&\frac{\frac{\partial^{2}g_{ji}}{\partial w_{aa} \partial w_{bb}}(0) + \overline{\frac{\partial^{2}g_{ij}}{\partial w_{aa} \partial w_{bb}}(0)}}{2} ,\quad\mbox{for all $a,b,i,j=1,\partialots q$,}\\& \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\hspace{0.1 cm} 0,\quad\mbox{for all $a,b,=1,\partialots q$, $i,j=1,\partialots,q'$ with $i,j{\4n}ot\in \lambdaeft\{1,\partialots,q\right\}$.}\end{split}\right.\lambdaabel{09}
\end{equation}
Regardless that $q\lambdaeq q'$, the elements the sets $\lambdaeft\{r^{ij}_{ab}\right\}_{a,b =1,\partialots,q}^{i,j=1,\partialots,q}$ induce the matrix $R\lambdaeft(W\right)$ of the entries
\begin{Exa}taegin{equation*} \begin{Exa}taegin{pmatrix} \begin{Exa}taegin{pmatrix}r^{11}_{11}\cdot w_{11} & r^{11}_{12}\cdot w_{12} & \partialots & r^{11}_{1q}\cdot w_{1q} \\ r^{12}_{11}\cdot w_{11} & r^{12}_{12}\cdot w_{12} & \partialots & r^{12}_{1q}\cdot w_{1q} \\ \vdots & \vdots & \partialdots & \vdots \\ r^{1q}_{11}\cdot w_{11} & r^{1q}_{12}\cdot w_{12} & \partialots & r^{1q}_{1q}\cdot w_{1q}
\end{pmatrix} & \begin{Exa}taegin{pmatrix} r^{11}_{21}\cdot w_{21} & r^{11}_{22}\cdot w_{22} & \partialots & r^{11}_{2q}\cdot w_{2q} \\ r^{12}_{21}\cdot w_{21} & r^{12}_{22}\cdot w_{22} & \partialots & r^{12}_{2q}\cdot w_{2q} \\ \vdots & \vdots & \partialdots& \vdots \\ r^{1q}_{21}\cdot w_{21} & r^{1q}_{22} \cdot w_{22} & \partialots & r^{1q}_{2q} \cdot w_{2q}
\end{pmatrix} & \partialots & \begin{Exa}taegin{pmatrix} r^{11}_{q1}\cdot w_{11} & r^{11}_{q2}\cdot w_{q2} & \partialots & r^{11}_{qq}\cdot w_{qq} \\ r^{12}_{q1}\cdot w_{q1} & r^{12}_{q2}\cdot w_{q2} & \partialots & r^{12}_{qq} \cdot w_{qq} \\ \vdots & \vdots & \partialdots& \vdots \\ r^{1q}_{q1}\cdot w_{q1} & r^{1q}_{q2}\cdot w_{q2} & \partialots & r^{1q}_{qq}\cdot w_{qq}
\end{pmatrix} \\ \begin{Exa}taegin{pmatrix}r^{21}_{11}\cdot w_{11} & r^{21}_{12}\cdot w_{12} & \partialots & r^{21}_{1q}\cdot w_{1q} \\ r^{22}_{11} \cdot w_{11} & r^{22}_{12}\cdot w_{12} & \partialots & r^{22}_{1q}\cdot w_{1q} \\ \vdots & \vdots & \partialdots& \vdots \\ r^{2q}_{11}\cdot w_{11} & r^{2q}_{12}\cdot w_{12} & \partialots & r^{2q}_{1q}\cdot w_{1q}
\end{pmatrix} & \begin{Exa}taegin{pmatrix} r^{21}_{21}\cdot w_{w1} & r^{21}_{22}\cdot w_{22} & \partialots & r^{21}_{2q}\cdot w_{2q} \\ r^{22}_{21}\cdot w_{21} & r^{22}_{22}\cdot w_{22} & \partialots & r^{22}_{2q}\cdot w_{2q} \\ \vdots & \vdots & \partialdots& \vdots \\ r^{2q}_{21}\cdot w_{21} & r^{2q}_{22}\cdot w_{22} & \partialots & r^{2q}_{2q}\cdot w_{2q}
\end{pmatrix} & \partialots & \begin{Exa}taegin{pmatrix} r^{21}_{q1}\cdot w_{q1} & r^{21}_{q2} \cdot w_{q2} & \partialots & r^{21}_{qq}\cdot w_{qq} \\ r^{22}_{q1}\cdot w_{q1} & r^{22}_{q2}\cdot w_{q2} & \partialots & r^{22}_{qq} \cdot w_{qq} \\ \vdots & \vdots & \partialdots& \vdots \\ r^{2q}_{q1}\cdot w_{q1} & r^{2q}_{q2}\cdot w_{q2} & \partialots & r^{2q}_{qq}\cdot w_{qq}
\end{pmatrix}\\ \vdots & \vdots & \partialdots& \vdots \\ \begin{Exa}taegin{pmatrix}r^{q1}_{11}\cdot w_{11} & r^{q1}_{12}\cdot w_{12} & \partialots & r^{q1}_{1q}\cdot w_{1q} \\ r^{q2}_{11}\cdot w_{11} & r^{q2}_{12}\cdot w_{12} & \partialots & r^{q2}_{1q} \cdot w_{1q} \\ \vdots & \vdots & \partialdots& \vdots \\ r^{qq}_{11}\cdot w_{11} & r^{qq}_{12}\cdot w_{12} & \partialots & r^{qq}_{1q} \cdot w_{1q}
\end{pmatrix} & \begin{Exa}taegin{pmatrix} r^{q1}_{21}\cdot w_{21} & r^{q1}_{22}\cdot w_{22} & \partialots & r^{q1}_{2q} \cdot w_{2q} \\ r^{q2}_{21} \cdot w_{21} & r^{q2}_{22}\cdot w_{22} & \partialots & r^{q2}_{2q} \cdot w_{2q} \\ \vdots & \vdots & \partialdots& \vdots \\ r^{qq}_{21}\cdot w_{21} & r^{qq}_{22}\cdot w_{22} & \partialots & r^{qq}_{2q} \cdot w_{2q}
\end{pmatrix} & \partialots & \begin{Exa}taegin{pmatrix} r^{q1}_{q1}\cdot w_{q1} & r^{q1}_{q2}\cdot w_{q2} & \partialots & r^{q1}_{qq}\cdot w_{qq} \\ r^{q2}_{q1}\cdot w_{q1} & r^{q2}_{q2}\cdot w_{q2} & \partialots & r^{q2}_{qq} \cdot w_{qq} \\ \vdots & \vdots & \partialdots& \vdots \\ r^{qq}_{q1}\cdot w_{q1} & r^{qq}_{q2}\cdot w_{q2} & \partialots & r^{qq}_{qq} \cdot w_{qq}
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
Because $W$ may be identified to the first $q^{2}\tauimes q^{2}$ block of the matrix $W'$ from (\ref{ecuatiew}), we use the identification
\begin{Exa}taegin{equation} R\lambdaeft(W'\right)\equiv \begin{Exa}taegin{pmatrix}
R\lambdaeft(W\right) & \mbox{O}_{q^{2}\tauimes \hspace{0.1 cm} {q'}^{2}-q^{2}} \\ \mbox{O}_{ {q'}^{2}-q^{2}\hspace{0.1 cm}\tauimes q^{2}} & I_{{q'}^{2}-q^{2}}
\end{pmatrix}\in \mathcal{M}_{{q'}^{2}\tauimes {q'}^{2}}\lambdaeft(\mathbb{C}\right).\lambdaabel{9T2}
\end{equation}
The actions of the matrices $A$ and $R$ are complicated in (\ref{90A}). It is required to eliminate their entries from (\ref{09}). In this regard, we consider changes of coordinates preserving $\mathcal{BSD}$-Models. In particular, we follow Baouendi-Huang\cite{BH} and Chern-Moser\cite{CM} in order to establish analogues of the normalizations $(2.5)$ from Huang\cite{huang1}. In this regard, we consider changes of coordinates, using the language of matrices previously used in order to define (\ref{edef}), (\ref{981}) and (\ref{bee1}), in order to eliminate the parameters (\ref{bee1}) and (\ref{09}) from (\ref{90A}). In particular, we use (\ref{9T2}) in order to find a linear change of coordinates preserving the $\mathcal{BSD}$-Model $\mathcal{M}'$ from (\ref{ecuatiew}):
\subsection{Elimination of the matrix R} We define
\begin{Exa}taegin{equation}T_{1}\lambdaeft(W',Z'\right)=\lambdaeft(\frac{1}{I_{q'^{2}}+R\lambdaeft(W'\right)} \otimes W', V\otimes Z' \right),\quad\mbox{for suitable $V=V\lambdaeft(W',\overline{W'}\right)\in \mathcal{M}_{q'N'\tauimes q'N'}\lambdaeft(\mathbb{C}\right)$.}\lambdaabel{be45}
\end{equation}
Then $T_{1}$ preserves the $\mathcal{BSD}$-Model $\mathcal{M}'$ from (\ref{ecuatiew}) if
\begin{Exa}taegin{equation}\frac{1}{ I_{q'^{2}}+R\lambdaeft(W'\right) } \otimes W'-\lambdaeft(\overline{\frac{1}{ I_{q'^{2}}+R\lambdaeft(W'\right) } \otimes W'}\right)^{t}=2\sqrt{-1}\lambdaeft(V\otimes Z'\right)\overline{\lambdaeft(V\otimes Z'\right)}^{t}, \lambdaabel{LU}
\end{equation}
when (\ref{ecuatiew}) holds, or equivalently, we have
\begin{Exa}taegin{equation*}\lambdaeft(\lambdaeft(\overline{\frac{I_{q'^{2}}+R\lambdaeft(W'\right) }{ I_{q'^{2}}+R\lambdaeft(W'\right) }}\right)^{t}\cdot\frac{1}{ I_{q'^{2}}+R\lambdaeft(W'\right) }\right) \otimes W'-\lambdaeft(\overline{\lambdaeft(\lambdaeft(\overline{\frac{I_{q'^{2}}+R\lambdaeft(W'\right) }{ I_{q'^{2}}+R\lambdaeft(W'\right) }}\right)^{t}\cdot\frac{1}{ I_{q'^{2}}+R\lambdaeft(W'\right) }\right) \otimes W'}\right)^{t}=2\sqrt{-1}\lambdaeft(V\otimes Z'\right)\overline{\lambdaeft(V\otimes Z'\right)}^{t},
\end{equation*}
when (\ref{ecuatiew}) holds, or equivalently, we have
\begin{Exa}taegin{equation} \tauilde{A}\lambdaeft(W',\overline{W'}\right)\otimes\lambdaeft(\lambdaeft(\overline{I_{q'^{2}}+R\lambdaeft(W'\right) }\right)^{t} \otimes W'-\lambdaeft(\overline{ \lambdaeft(\overline{I_{q'^{2}}+R\lambdaeft(W'\right) }\right)^{t}\otimes W'}\right)^{t}\right)=2\sqrt{-1}\lambdaeft(V\otimes Z'\right)\overline{\lambdaeft(V\otimes Z'\right)}^{t}, \lambdaabel{bv1}
\end{equation}
when (\ref{ecuatiew}) holds, because the matrix $\tauilde{A}\lambdaeft(W',\overline{W'}\right)$ is hermitian, where we have used the notation
\begin{Exa}taegin{equation}
\tauilde{A}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)=\frac{1}{\lambdaeft(I_{q'^{2}}+R\lambdaeft(W'\right) \right)\cdot \lambdaeft(\overline{I_{q'^{2}}+R\lambdaeft(W'\right) }\right)^{t}}.\lambdaabel{bv}
\end{equation}
Then, (\ref{bv1}) holds because
\begin{Exa}taegin{equation*}
\lambdaeft(\overline{I_{q'^{2}}+R\lambdaeft(W'\right) }\right)^{t}\cdot\lambdaeft(I_{q'^{2}}+R\lambdaeft(W'\right) \right) =\lambdaeft(I_{q'^{2}}+R\lambdaeft(W'\right) \right)\cdot \lambdaeft(\overline{I_{q'^{2}}+R\lambdaeft(W'\right) }\right)^{t},
\end{equation*}
which holds, because it is equivalent to
\begin{Exa}taegin{equation*} I_{{q'}^{2}}+R\lambdaeft(W'\right) +\lambdaeft(\overline{R\lambdaeft(W'\right)}\right)^{t}+ R\lambdaeft(W'\right) \cdot \lambdaeft(\overline{R\lambdaeft(W'\right)}\right)^{t} = I_{{q'}^{2}}+ R\lambdaeft(W'\right) +\lambdaeft(\overline{R\lambdaeft(W'\right)}\right)^{t}+\lambdaeft(\overline{R\lambdaeft(W'\right)}\right)^{t}\cdot R\lambdaeft(W'\right) ,
\end{equation*}
which clearly holds, because $\lambdaeft(\overline{R\lambdaeft(W'\right)}\right)^{t}\cdot R\lambdaeft(W'\right)=R\lambdaeft(W'\right)\cdot\lambdaeft(\overline{R\lambdaeft(W'\right)}\right)^{t}$.
Also, because $\overline{R\lambdaeft(W'\right)}^{t}\otimes W'=W'\otimes \overline{R \lambdaeft(W'\right)}^{t}$, it follows that
$$\lambdaeft(\overline{I_{q'^{2}}+R\lambdaeft(W'\right) }\right)^{t} \otimes W'-\lambdaeft(\overline{ \lambdaeft(\overline{I_{q'^{2}}+R \lambdaeft(W'\right)}\right)^{t}\otimes W'}\right)^{t}=W'-\overline{W'}^{t}+\overline{R\lambdaeft(W'\right)}^{t}\otimes W'-\overline{\lambdaeft(\overline{R \lambdaeft(W'\right) }^{t}\otimes W'\right)}^{t}=W'-\overline{W'}^{t}.$$
Then, (\ref{bv1}) transforms like
\begin{Exa}taegin{equation} \tauilde{A}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right) \otimes\lambdaeft(W'-\overline{W'}^{t}\right)=2\sqrt{-1}\lambdaeft(V\otimes Z'\right)\overline{\lambdaeft(V\otimes Z'\right)}^{t}, \lambdaabel{LU1}
\end{equation}
when (\ref{ecuatiew}) holds.
It follows that (\ref{LU}) is equivalent by (\ref{bv}) and (\ref{9T2}) to (\ref{LU1}) when (\ref{ecuatiew}) holds, for suitable chosen $V$ as in (\ref{be45}), because the matrix $\tauilde{A}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)$ is hermitian. We write
\begin{Exa}taegin{equation} \tauilde{A}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)=\lambdaeft(\tauilde{a}^{ij}_{kl}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)\right)_{1\lambdaeq k,l\lambdaeq q'}^{1\lambdaeq i,j\lambdaeq q'} \hspace{0.1 cm}\mbox{such that}\hspace{0.1 cm}
\tauilde{a}^{ij}_{kl}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)=\overline{\tauilde{a}^{ji}_{lk}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)},\quad\quad \mbox{for all $k,l,i,j=1,\partialots,q'$.}
\lambdaabel{607OK}
\end{equation}
Now, it remains just to reiterate by (\ref{607OK}) the proof of Lemma \ref{lemm}, because (\ref{ecuatiew}) holds, in order to make clear (\ref{LU1}). In particular, we find an invertible matrix $V$ as in (\ref{be45}) such that (\ref{LU1}) holds when (\ref{ecuatiew}) holds.
In particular for $q'=1$, the matrix $\tauilde{A}\lambdaeft(W',\overline{W'}\right)$ is the real-valued function from (\ref{bv}). Then, we chose
$$ V=\frac{1}{1+R\lambdaeft(W'\right)}\cdot I_{N}.$$
Next, we assume $q'=2$ in (\ref{607OK}). Then (\ref{607OK}) may be explicitly written as follows
\begin{Exa}taegin{equation} \begin{Exa}taegin{split}& \tauilde{a}^{11}_{11}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)=\overline{\tauilde{a}^{11}_{11}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)},\quad \tauilde{a}^{11}_{12}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)=\overline{\tauilde{a}^{11}_{21}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)},\quad \tauilde{a}^{11}_{22}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)=\overline{\tauilde{a}^{11}_{22}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)}, \\& \tauilde{a}^{12}_{11}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)=\overline{\tauilde{a}^{12}_{11}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)},\quad \tauilde{a}^{12}_{12}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)=\overline{\tauilde{a}^{21}_{21}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)},\quad \tauilde{a}^{22}_{11}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)=\overline{\tauilde{a}^{22}_{11}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)}, \\& \tauilde{a}^{22}_{11}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)=\overline{\tauilde{a}^{22}_{11}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)},\quad \tauilde{a}^{22}_{12}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)=\overline{\tauilde{a}^{22}_{21}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)},\quad \tauilde{a}^{22}_{22}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)=\overline{\tauilde{a}^{22}_{22}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)} ,\end{split} \lambdaabel{9981seeeOK}
\end{equation}
where each entry is a formal power series in $\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)$, when (\ref{ecuatiew}) holds.
Now, we search for a matrix like (\ref{be45}) satisfying (\ref{LU1}). We obtain
\begin{Exa}taegin{equation*} \begin{Exa}taegin{split}& \tauilde{a}_{11}^{jj}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)\lambdaeft<Z'_{1}, Z'_{1}\right>
+ \tauilde{a}_{12}^{ij}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)\lambdaeft<Z'_{1}, Z'_{2}\right>
+ \overline{\tauilde{a}_{12}^{ij}}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)\lambdaeft<Z'_{2}, Z'_{1}\right>
\\&\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\hspace{0.2 cm} +\\& \hspace{0.1 cm}\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \tauilde{a}_{22}^{11}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)\lambdaeft<Z'_{2}, Z'_{2}\right>
= \partialisplaystyle\sum_{k'=1 }^{N}\lambdaeft(\partialisplaystyle\sum_{l=1 }^{2}\partialisplaystyle\sum_{k=1 }^{N'}v^{ik' }_{lk}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)z'_{lk}\right)\overline{ \lambdaeft(\partialisplaystyle\sum_{l=1 }^{2}\partialisplaystyle\sum_{k=1 }^{N}v^{jk' }_{lk}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)z'_{lk}\right)},
\end{split}
\end{equation*}
for all $i,j=1,2$, where $Z'_{1}$ and $Z'_{2}$ are the row vectors of the matrix $Z'$ defined similarly as in (\ref{nota}), using by (\ref{veee}) the matrix
\begin{Exa}taegin{equation}V\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)=\begin{Exa}taegin{pmatrix}\lambdaeft(v^{1k' }_{1k}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)\right)_{1 \lambdaeq k \lambdaeq N'}^{1 \lambdaeq k'\lambdaeq N'} & \lambdaeft(v^{1k' }_{2k}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)\right)_{1 \lambdaeq k \lambdaeq N'}^{1 \lambdaeq k'\lambdaeq N} \\ \lambdaeft(v^{2k' }_{1k}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)\right)_{1 \lambdaeq k \lambdaeq N'}^{1 \lambdaeq k'\lambdaeq N}&\lambdaeft(v^{2k'}_{2k }\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)\right)_{1 \lambdaeq k \lambdaeq N'}^{1 \lambdaeq k'\lambdaeq N'} \end{pmatrix},\lambdaabel{veeeOK} \end{equation}
where each entry is a formal power series in $\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)$.
The $\lambdaeft(i,j\right)$-entry of the matrix \begin{Exa}taegin{equation}\frac{\tauilde{A}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)\otimes W'-\lambdaeft(\overline{\tauilde{A}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)\otimes W'}\right)^{t}}{2\sqrt{-1}}, \quad\quad\mbox{for all $i,j=1,2$,} \lambdaabel{123OK}
\end{equation}
is computed by recalling (\ref{ecuatiew}) and (\ref{607}) as follows
\begin{Exa}taegin{equation}\begin{Exa}taegin{split}& \frac{\tauilde{a}_{11}^{ij}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)w'_{11}-\overline{\tauilde{a}_{11}^{ij}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right){w'}_{11}}}{2\sqrt{-1}}+\frac{\tauilde{a}_{12}^{ij}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)w'_{12}-\overline{\tauilde{a}_{12}^{ij}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)w'_{12}}}{2\sqrt{-1}}+\frac{\tauilde{a}_{21}^{ij}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)w'_{21}-\overline{\tauilde{a}_{21}^{ij}\lambdaeft(W,\overline{W}\right)w'_{21}}}{2\sqrt{-1}}\\& \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad + \\&\quad\quad \quad\hspace{0.05 cm}\tauilde{a}_{12}^{ij}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)\lambdaeft<Z'_{1}, Z'_{2}\right>
+ \overline{\tauilde{a}_{12}^{ij}}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)\lambdaeft<Z'_{2}, Z'_{1}\right>
+\tauilde{a}_{22}^{ij}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)\lambdaeft<Z'_{2}, Z'_{2}\right>=\frac{\tauilde{a}_{22}^{ij}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)w'_{22}-\overline{\tauilde{a}_{22}^{ij}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)w'_{22}}}{2\sqrt{-1}} \\& \quad\quad\hspace{0.07 cm}\quad\hspace{0.1 cm} + \\&\quad\quad\hspace{0.15 cm}\hspace{0.15 cm} \tauilde{a}_{11}^{ij}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)\lambdaeft<Z'_{1}, Z'_{1}\right>
,\quad\mbox{for all $i,j=1,2$,} \end{split}
\end{equation}
where (\ref{ecuatiew}) and (\ref{9981seee}) hold.
Now, we ready to collect by (\ref{nota}) terms in $\lambdaeft(Z'_{1},\overline{Z}'_{1}\right)$, $\lambdaeft(Z'_{1},\overline{Z}'_{2}\right)$, $\lambdaeft(Z'_{2},\overline{Z}'_{1}\right)$, $\lambdaeft(Z'_{2},\overline{Z}'_{2}\right)$
from (\ref{LU1}), but using
\begin{Exa}taegin{equation}\tauilde{W}'=\begin{Exa}taegin{pmatrix} {\4R}e w_{11} & w_{12}
\\ \overline{w}_{12}& {\4R}e w_{22}
\end{pmatrix}.\lambdaabel{gig}
\end{equation}
We obtain
\begin{Exa}taegin{equation}\tauilde{a}_{ij}^{ll'}\lambdaeft(\tauilde{W}',\overline{\tauilde{W}}'\right)\lambdaeft<Z'_{i}, Z'_{j}\right>=\partialisplaystyle\sum_{k'=1 }^{N'}\lambdaeft(\partialisplaystyle\sum_{k=1 }^{N'}v^{lk' }_{ik}\lambdaeft(\tauilde{W}',\overline{\tauilde{W}}'\right)z'_{ik}\right)\overline{\lambdaeft(\partialisplaystyle\sum_{k=1 }^{N'}v^{l'k' }_{jk}\lambdaeft(\tauilde{W}',\overline{\tauilde{W}}'\right)z'_{jk}\right)}, \quad \mbox{for all $l,l',i,j=1,2$.} \lambdaabel{ito11OK}
\end{equation}
when (\ref{ecuatiew}) holds.
Analysing (\ref{ito11OK}), we obtain
\begin{Exa}taegin{equation} \lambdaeft(v^{lk'}_{ i k}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)\right)_{1 \lambdaeq k \lambdaeq N'}^{1 \lambdaeq k'\lambdaeq N'}\overline{ \lambdaeft(\lambdaeft(v^{l'k'}_{jk }\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)\right)_{1 \lambdaeq k \lambdaeq N'}^{1 \lambdaeq k'\lambdaeq N'}\right)^{t}} =a_{ij}^{ll'}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)I_{N'},\quad\mbox{for all $i,j,l,l'=1,2$,} \lambdaabel{ppe1OK}
\end{equation}
when (\ref{ecuatiew}) holds.
We assume that the matrix $V\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)$ is not invertible in (\ref{veeeOK}). Denoting by $\mathcal{L}_{1}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right),\mathcal{L}_{2}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right),\partialots, \mathcal{L}_{2N'}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)$ its row vectors, it follows that
\begin{Exa}taegin{equation}\exists\hspace{0.1 cm} r_{1},r_{2}\in 1,\partialots,2N'\hspace{0.1 cm}\mbox{with}\hspace{0.1 cm}r_{1}{\4n}eq r_{2} \hspace{0.1 cm}\mbox{and}\hspace{0.1 cm}\exists\hspace{0.1 cm}\lambdaambda\in\mathbb{C}\hspace{0.1 cm}\mbox{such that}\hspace{0.1 cm}\mathcal{L}_{r_{1}}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)=\lambdaambda\mathcal{L}_{r_{2}}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right). \lambdaabel{vecKOK}\end{equation}
It remains to study the following cases:
$\begin{Exa}taf{Case\hspace{0.1 cm}r_{1},r_{2}\in 1,\partialots,N':}$ Because of (\ref{vecK}), it follows that
\begin{Exa}taegin{equation*}\partialet\lambdaeft(\lambdaeft(v^{1k'}_{1k}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)\right)_{1 \lambdaeq k \lambdaeq N'}^{1 \lambdaeq k'\lambdaeq N'}\right)=0,\quad \partialet\lambdaeft(\overline{ \lambdaeft(\lambdaeft(v^{2k'}_{1k}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)\right)_{1 \lambdaeq k \lambdaeq N'}^{1 \lambdaeq k'\lambdaeq N'}\right)^{t}}\right)=0,
\end{equation*}
which implies by (\ref{9981seeeOK}) and (\ref{ppe1OK}) that
$ \lambdaeft(\tauilde{a}^{11}_{11},\tauilde{a}^{11}_{12},\tauilde{a}^{11}_{21} ,\tauilde{a}^{11}_{22}\right)\lambdaeft(W',\overline{W}'\right) =\lambdaeft(0,0,0,0\right)$. Contradiction, because the matrix $\tauilde{A}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)$ is invertible.
$\begin{Exa}taf{Case \quad r_{1},r_{2}\in N'+1,\partialots,2N' : }$ It is similarly solved as previously. The further details are left to the reader as exercise.
$\begin{Exa}taf{Case \quad r_{1}\in 1,\partialots,N',\hspace{0.1 cm} r_{2}\in N+1,\partialots,2N' : }$ Considering linear invertible holomorphic changes of coordinates, like in (\ref{9W}), preserving the second $\mathcal{BSD}$-Model from (\ref{ecuatiew}), we assume $r_{1}, r_{2}\in 1,\partialots,N'$ according to Remark $5.2$. Repeating the above arguments, we obtain a contradiction, because the matrix $\tauilde{A}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)$ was considered invertible. It follows that (\ref{LU1}) holds for any $q'\in\mathbb{N}^{\star}$.
Now, we define by (\ref{be45}) the first normalization of $\lambdaeft(G,F\right)$ as follows
\begin{Exa}taegin{equation}
\lambdaeft(G^{\star},F^{\star}\right)=T_{1}\circ \lambdaeft(G ,F \right). \lambdaabel{023se}
\end{equation}
Now, we compute
\begin{Exa}taegin{equation}\partial_{w_{aa}}\lambdaeft(\frac{1}{I_{q'^{2}}+R\lambdaeft(W'\right) }\cdot G\lambdaeft(W,Z\right)\right)=\frac{1}{I_{q'^{2}}+R\lambdaeft(W'\right) }\cdot\partial_{w_{aa}}\lambdaeft( G\lambdaeft(W,Z\right)\right)+\partial_{w_{aa}}\lambdaeft(\frac{1}{I_{q'^{2}}+R\lambdaeft(W'\right) }\right)\cdot G\lambdaeft(W,Z\right),\lambdaabel{GURU1}
\end{equation}
for all $a=1,\partialots,q$.
Then, we compute
\begin{Exa}taegin{equation}\partial_{w_{bb}}\lambdaeft(\frac{1}{I_{q'^{2}}+R\lambdaeft(W'\right) }\cdot\partial_{w_{aa}}\lambdaeft( G\lambdaeft(W,Z\right)\right)\right)=\partial_{w_{bb}}\lambdaeft(\frac{1}{I_{q'^{2}}+R\lambdaeft(W'\right) }\right)\cdot\partial_{w_{aa}}\lambdaeft( G\lambdaeft(W,Z\right)\right)+\frac{1}{I_{q'^{2}}+R\lambdaeft(W'\right) }\cdot\partial^{2}_{w_{bb} w_{aa}}\lambdaeft( G\lambdaeft(W,Z\right) \right),\lambdaabel{GURU2}
\end{equation}
for all $a,b=1,\partialots,q$.
Also, we compute
\begin{Exa}taegin{equation}\partial_{w_{bb}}\lambdaeft(\partial_{w_{aa}}\lambdaeft(\frac{1}{I_{q'^{2}}+R\lambdaeft(W'\right) }\right)\cdot G\lambdaeft(W,Z\right)\right)=\partial^{2}_{w_{bb} w_{aa}}\lambdaeft(\frac{1}{I_{q'^{2}}+R\lambdaeft(W'\right)}\right) \cdot G\lambdaeft(W,Z\right)+\partial_{w_{aa}}\lambdaeft(\frac{1}{I_{q'^{2}}+R\lambdaeft(W'\right)}\right)\cdot\partial_{w_{bb}}\lambdaeft( G\lambdaeft(W,Z\right)\right), \lambdaabel{GURU3}
\end{equation}
for all $a,b=1,\partialots,q$.
On the other hand, we obtain
\begin{Exa}taegin{equation}\lambdaeft.\partial^{2}_{w_{bb} w_{aa}}\lambdaeft(\frac{1}{I_{q'^{2}}+R\lambdaeft(W'\right)}\right) \cdot G\lambdaeft(W,Z\right)\right\vert_{Z= O_{q\tauimes N} \alphatop{W= O_{q\tauimes q}}}=\mbox{O}_{q\tauimes q},\lambdaabel{GURU4}
\end{equation}
for all $a,b=1,\partialots,q$.
Furthermore, we obtain
\begin{Exa}taegin{equation}\lambdaeft.\partial_{w_{aa}}\lambdaeft( G\lambdaeft(W,Z\right)\right)\right\vert_{Z= O_{q\tauimes N} \alphatop{W= O_{q\tauimes q}}}=\begin{Exa}taegin{pmatrix}
0& \partialots & 0& \partialots & 0 \\ \vdots & \partialdots & \vdots& \partialdots & \vdots \\ 0& \partialots & 0& \partialots & 0 \\ \vdots & \partialdots & \vdots & \partialdots & \vdots \\ 0& \partialots & 0 & \partialots & 0
\end{pmatrix},\lambdaabel{GURU5}
\end{equation}
where the $(a,a)$-entry is $1$, otherwise the entries are vanishing, for all $a=1,\partialots,q$. It follows that
\begin{Exa}taegin{equation}\lambdaeft.\frac{1}{I_{q'^{2}}+R\lambdaeft(W'\right) }\right\vert_{ W= O_{q\tauimes q}}=I_{{q'}^{2}}.\lambdaabel{Pii}
\end{equation}
Next, we differentiate the following obvious identity
$$\frac{1}{I_{q'^{2}}+R\lambdaeft(W'\right) }\cdot \lambdaeft(I_{q'^{2}}+R\lambdaeft(W'\right) \right)=\lambdaeft(I_{q'^{2}}+R\lambdaeft(W'\right)\right)\cdot\frac{1}{I_{q'^{2}}+R\lambdaeft(W'\right) } =I_{q'^{2}}.
$$
It follows that
$$\frac{1}{I_{q'^{2}}+R\lambdaeft(W'\right) }\cdot\partial_{w_{aa}} \lambdaeft(I_{q'^{2}}+R\lambdaeft(W'\right) \right)+\partial_{w_{aa}}\lambdaeft(\frac{1}{I_{q'^{2}}+R\lambdaeft(W'\right)}\right)\cdot \lambdaeft(I_{q'^{2}}+\lambdaeft(R \otimes W'\right)^{t} \right)=\mbox{O}_{q'^{2}},
$$
for all $a=1,\partialots,q$, which by (\ref{Pii}) implies
\begin{Exa}taegin{equation} -\partial_{w_{aa}} \lambdaeft(R\lambdaeft(W'\right)\right)=\partial_{w_{aa}}\lambdaeft(\frac{1}{I_{q'^{2}}+R\lambdaeft(W'\right) }\right),\lambdaabel{GURU6}
\end{equation}
for all $a=1,\partialots,q$.
Recalling (\ref{nota}), (\ref{10v}) and (\ref{v11}), and then combining (\ref{GURU1}),
(\ref{GURU2}), (\ref{GURU3}), (\ref{GURU4}), (\ref{GURU5}) and (\ref{GURU6}), we obtain
\begin{Exa}taegin{equation} \lambdaeft.\lambdaeft(\overline{\frac{\partial^{2} \lambdaeft(g^{\star}_{ij}\lambdaeft(Z,W\right) \right)}{\partial w_{aa}\partial w_{bb} }} + \frac{\partial^{2} \lambdaeft(g^{\star}_{ji}\lambdaeft(Z,W\right) \right)}{\partial w_{aa}\partial w_{bb} }\right) \right\vert_{Z= O_{q\tauimes N} \alphatop{W= O_{q\tauimes q}}}=0, \lambdaabel{99se}
\end{equation}
for all $a,b,i,j= 1,\partialots,q$.
We move forward in order to consider by (\ref{nota}), (\ref{edef}), (\ref{981}), (\ref{Wprim}) and (\ref{Vprim}) new coordinates:
\subsection{Elimination of the Matrix $A$:} We use (\ref{bee1}) in order to define
\begin{Exa}taegin{equation}T_{2}\lambdaeft(W',Z'\right)=\lambdaeft(\frac{1}{I_{{q'}^{2}} +\mathcal{L}\lambdaeft(W',Z'\right)}\otimes W',V\otimes\lambdaeft( Z'-A\otimes W \right)\right),\quad\mbox{for a suitable matrix
$V=V\lambdaeft(W',Z'\right)\in\mathcal{M}_{q'N'\tauimes q'N'},$}\lambdaabel{be4}
\end{equation}
where $W$ denotes the first $q^{2}\tauimes q^{2}$ block of the matrix $W'$, and the linear form $\mathcal{L}_{1}\lambdaeft(W',Z'\right)$ in $\lambdaeft(W',Z'\right)$ is chosen
such that $\mathcal{BSD}$-Model $\mathcal{M}'$ from (\ref{ecuatiew}) is preserved:
\begin{Exa}taegin{equation}\frac{1}{I_{{q'}^{2}} +\mathcal{L}\lambdaeft(W',Z'\right)}\otimes W'-\overline{\frac{1}{I_{{q'}^{2}} +\mathcal{L}\lambdaeft(W',Z'\right)}\otimes W'}^{t}=2\sqrt{-1}\lambdaeft(V\otimes\lambdaeft( Z'-A\otimes W \right)\right)\overline{V\otimes\lambdaeft( Z'-A\otimes W \right)}^{t},\lambdaabel{lol1}
\end{equation}
when (\ref{ecuatiew}) holds.
In particular, we assume
\begin{Exa}taegin{equation}\mathcal{L}\lambdaeft(W',Z'\right)\cdot\overline{\mathcal{L}\lambdaeft(W',Z'\right)}^{t}=\overline{\mathcal{L}\lambdaeft(W',Z'\right)}^{t}\cdot\mathcal{L}\lambdaeft(W',Z'\right),\quad\quad\quad\quad \overline{\mathcal{L}\lambdaeft(W',Z'\right)}^{t}\otimes W'= \mathcal{L}\lambdaeft(W',Z'\right)\otimes \overline{W'}^{t}.\lambdaabel{lol2}
\end{equation}
It follows that
\begin{Exa}taegin{equation}\lambdaeft(I_{{q'}^{2}} +\mathcal{L}\lambdaeft(W',Z'\right)\right)\cdot\overline{\lambdaeft(I_{{q'}^{2}} +\mathcal{L}\lambdaeft(W',Z'\right)\right)}^{t}=\overline{\lambdaeft(I_{{q'}^{2}} +\mathcal{L}\lambdaeft(W',Z'\right)\right)}^{t}\cdot \lambdaeft(I_{{q'}^{2}} +\mathcal{L}\lambdaeft(W',Z'\right)\right).\lambdaabel{lol3}
\end{equation}
Now, we make appropriate computations in (\ref{lol1}) using (\ref{lol2}) and (\ref{lol3}). It follows that
\begin{Exa}taegin{equation}\tauilde{A}\lambdaeft(W',Z'\right)\otimes\lambdaeft(W'-\overline{W'}^{t}\right)=2\sqrt{-1}\lambdaeft(V\otimes\lambdaeft( Z'-A\otimes W \right)\right)\overline{V\otimes\lambdaeft( Z'-A\otimes W \right)}^{t},\lambdaabel{lol4}
\end{equation}
when (\ref{ecuatiew}) holds, using the matrix
\begin{Exa}taegin{equation}\tauilde{A}\lambdaeft(W',Z'\right)
=\frac{1}{\lambdaeft(I_{{q'}^{2}} +\mathcal{L}\lambdaeft(W',Z'\right)\right)\cdot\overline{\lambdaeft(I_{{q'}^{2}} +\mathcal{L}\lambdaeft(W',Z'\right)\right)}^{t}},\lambdaabel{lol5}
\end{equation}
which is hermitian, because it is the inverse of a hermitian matrix. In particular, we find suitable changes of coordinates, because (\ref{lol4}) is equivalent to (\ref{lol1}) when (\ref{ecuatiew}) holds. In this regard of making clear (\ref{lol4}),
we write
\begin{Exa}taegin{equation} \tauilde{A}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)=\lambdaeft(\tauilde{a}^{ij}_{kl}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)\right)_{1\lambdaeq k,l\lambdaeq q'}^{1\lambdaeq i,j\lambdaeq q'} \hspace{0.1 cm}\mbox{such that}\hspace{0.1 cm}
\tauilde{a}^{ij}_{kl}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)=\overline{\tauilde{a}^{ji}_{lk}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)},
\lambdaabel{607OKv}
\end{equation}
for all $k,l,i,j=1,\partialots,q'$.
In particular, we find an invertible matrix $V$ as in (\ref{be4}) such that (\ref{lol4}) holds when (\ref{ecuatiew}) holds. can reiterate the steps of Lemma \ref{lemm} in order to
In particular for $q'=1$, the matrix $\tauilde{A}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)$ is the real-valued function from (\ref{bv}). Then, we follow Baouendi-Huang\cite{BH}.
Next, we assume $q'=2$ in (\ref{607OK}). Then (\ref{607OK}) may be explicitly written as follows
\begin{Exa}taegin{equation} \begin{Exa}taegin{split}& \tauilde{a}^{11}_{11}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)=\overline{\tauilde{a}^{11}_{11}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)},\quad \tauilde{a}^{11}_{12}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)=\overline{\tauilde{a}^{11}_{21}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)},\\& \tauilde{a}^{11}_{22}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)=\overline{\tauilde{a}^{11}_{22}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)}, \quad \tauilde{a}^{12}_{11}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)=\overline{\tauilde{a}^{12}_{11}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)},\\& \tauilde{a}^{12}_{12}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)=\overline{\tauilde{a}^{21}_{21}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)},\quad \tauilde{a}^{22}_{11}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)=\overline{\tauilde{a}^{22}_{11}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)}, \\& \tauilde{a}^{22}_{11}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)=\overline{\tauilde{a}^{22}_{11}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)},\quad \tauilde{a}^{22}_{12}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)=\overline{\tauilde{a}^{22}_{21}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)},\\&\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \tauilde{a}^{22}_{22}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)=\overline{\tauilde{a}^{22}_{22}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)} ,\end{split} \lambdaabel{9981seeeOK}
\end{equation}
where each entry is a formal power series in $\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)$.
Now, we search for a matrix like (\ref{be4}) satisfying (\ref{lol4}). We obtain
\begin{Exa}taegin{equation*} \begin{Exa}taegin{split}&\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \tauilde{a}_{11}^{jj}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)\lambdaeft<Z'_{1}, Z'_{1}\right>
+ \tauilde{a}_{12}^{ij}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)\lambdaeft<Z'_{1}, Z'_{2}\right>
+ \overline{\tauilde{a}_{12}^{ij}}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)\lambdaeft<Z'_{2}, Z'_{1}\right>
\\&\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad +\\& \partialisplaystyle\sum_{k'=1 }^{N}\lambdaeft(\partialisplaystyle\sum_{l=1 }^{2}\partialisplaystyle\sum_{k=1 }^{N'}v^{ik' }_{lk}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)z'_{lk}\right)\overline{ \lambdaeft(\partialisplaystyle\sum_{l=1 }^{2}\partialisplaystyle\sum_{k=1 }^{N}v^{jk' }_{lk}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)z'_{lk}\right)}= \tauilde{a}_{22}^{11}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)\lambdaeft<Z'_{2}, Z'_{2}\right>
\end{split}
\end{equation*}
for all $i,j=1,2$, where $Z'_{1}$ and $Z'_{2}$ are the row vectors of the matrix $Z'$ defined similarly as in (\ref{nota}), using by (\ref{veee}) the matrix
\begin{Exa}taegin{equation}V\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)=\begin{Exa}taegin{pmatrix}\lambdaeft(v^{1k' }_{1k}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)\right)_{1 \lambdaeq k \lambdaeq N'}^{1 \lambdaeq k'\lambdaeq N'} & \lambdaeft(v^{1k' }_{2k}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)\right)_{1 \lambdaeq k \lambdaeq N'}^{1 \lambdaeq k'\lambdaeq N} \\ \lambdaeft(v^{2k' }_{1k}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)\right)_{1 \lambdaeq k \lambdaeq N'}^{1 \lambdaeq k'\lambdaeq N}&\lambdaeft(v^{2k'}_{2k }\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)\right)_{1 \lambdaeq k \lambdaeq N'}^{1 \lambdaeq k'\lambdaeq N'} \end{pmatrix},\lambdaabel{veeeOKv} \end{equation}
where each entry is a formal power series in $\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)$.
The $\lambdaeft(i,j\right)$-entry of the matrix \begin{Exa}taegin{equation}\frac{\tauilde{A}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right) W'-\lambdaeft(\overline{\tauilde{A}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)\otimes W'}\right)^{t}}{2\sqrt{-1}}, \quad\quad\mbox{for all $i,j=1,2$,} \lambdaabel{123OKv}
\end{equation}
is computed by recalling (\ref{ecuatiew}) and (\ref{607}) as follows
\begin{Exa}taegin{equation}\begin{Exa}taegin{split}& \frac{\tauilde{a}_{11}^{ij}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)w'_{11}-\overline{\tauilde{a}_{11}^{ij}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right){w'}_{11}}}{2\sqrt{-1}}+\frac{\tauilde{a}_{12}^{ij}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)w'_{12}-\overline{\tauilde{a}_{12}^{ij}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)w'_{12}}}{2\sqrt{-1}}\\&\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \quad\quad\quad\quad\quad \quad\quad\quad\quad\quad \quad\quad\quad\quad\quad +\\&\quad\quad\quad\quad\quad\quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\hspace{0.2 cm}\frac{\tauilde{a}_{22}^{ij}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)w'_{22}-\overline{\tauilde{a}_{22}^{ij}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)w'_{22}}}{2\sqrt{-1}} \\&\quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad\quad\quad\quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad+\\& \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \tauilde{a}_{22}^{ij}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)\lambdaeft<Z'_{2}, Z'_{2}\right>=\frac{\tauilde{a}_{21}^{ij}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)w'_{21}-\overline{\tauilde{a}_{21}^{ij}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)w'_{21}}}{2\sqrt{-1}}\\& \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad + \\&\quad\quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\tauilde{a}_{12}^{ij}\lambdaeft(W',\overline{W}'\right)\lambdaeft<Z'_{1}, Z'_{2}\right>
+ \overline{\tauilde{a}_{12}^{ij}}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)\lambdaeft<Z'_{2}, Z'_{1}\right>
+\tauilde{a}_{11}^{ij}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)\lambdaeft<Z'_{1}, Z'_{1}\right>, \end{split}
\end{equation}
for all $i,j=1,2$ where (\ref{ecuatiew}) and (\ref{9981seee}) hold.
Now, we ready to collect by (\ref{nota}) terms in $\lambdaeft(Z'_{1},\overline{Z}'_{1}\right)$, $\lambdaeft(Z'_{1},\overline{Z}'_{2}\right)$, $\lambdaeft(Z'_{2},\overline{Z}'_{1}\right)$, $\lambdaeft(Z'_{2},\overline{Z}'_{2}\right)$
from (\ref{lol4}), but using (\ref{gig}). We obtain
\begin{Exa}taegin{equation}\tauilde{a}_{ij}^{ll'}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)\lambdaeft<Z'_{i}, Z'_{j}\right>=\partialisplaystyle\sum_{k'=1 }^{N'}\lambdaeft(\partialisplaystyle\sum_{k=1 }^{N'}v^{lk' }_{ik}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)z'_{ik}\right)\overline{\lambdaeft(\partialisplaystyle\sum_{k=1 }^{N'}v^{l'k' }_{jk}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)z'_{jk}\right)}, \quad \mbox{for all $l,l',i,j=1,2$.} \lambdaabel{ito11OKv}
\end{equation}
when (\ref{ecuatiew}) holds.
Analysing (\ref{ito11OKv}), we obtain
\begin{Exa}taegin{equation} \lambdaeft(v^{lk'}_{ i k}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)\right)_{1 \lambdaeq k \lambdaeq N'}^{1 \lambdaeq k'\lambdaeq N'}\overline{ \lambdaeft(\lambdaeft(v^{l'k'}_{jk }\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)\right)_{1 \lambdaeq k \lambdaeq N'}^{1 \lambdaeq k'\lambdaeq N'}\right)^{t}} =a_{ij}^{ll'}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)I_{N'},\quad\mbox{for all $i,j,l,l'=1,2$,} \lambdaabel{ppe1OKv}
\end{equation}
when (\ref{ecuatiew}) holds.
We assume that the matrix $V\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)$ is not invertible in (\ref{veeeOKv}). Denoting by $\mathcal{L}_{1}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right),\mathcal{L}_{2}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)$, $\partialots,\mathcal{L}_{2N'}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)$ its row vectors, it follows that
\begin{Exa}taegin{equation}\exists\hspace{0.1 cm} r_{1},r_{2}\in 1,\partialots,2N'\hspace{0.1 cm}\mbox{with}\hspace{0.1 cm}r_{1}{\4n}eq r_{2} \hspace{0.1 cm}\mbox{and}\hspace{0.1 cm}\exists\hspace{0.1 cm}\lambdaambda\in\mathbb{C}\hspace{0.1 cm}\mbox{such that}\hspace{0.1 cm}\mathcal{L}_{r_{1}}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)=\lambdaambda\mathcal{L}_{r_{2}}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right). \lambdaabel{vecKOK}\end{equation}
It remains to study the following cases:
$\begin{Exa}taf{Case\hspace{0.1 cm}r_{1},r_{2}\in 1,\partialots,N':}$ Because of (\ref{vecKOK}), it follows that
\begin{Exa}taegin{equation*}\partialet\lambdaeft(\lambdaeft(v^{1k'}_{1k}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)\right)_{1 \lambdaeq k \lambdaeq N'}^{1 \lambdaeq k'\lambdaeq N'}\right)=0,\quad \partialet\lambdaeft(\overline{ \lambdaeft(\lambdaeft(v^{2k'}_{1k}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)\right)_{1 \lambdaeq k \lambdaeq N'}^{1 \lambdaeq k'\lambdaeq N'}\right)^{t}}\right)=0,
\end{equation*}
which implies by (\ref{9981seeeOK}) and (\ref{ppe1OK}) that
$ \lambdaeft(\tauilde{a}^{11}_{11},\tauilde{a}^{11}_{12},\tauilde{a}^{11}_{21} ,\tauilde{a}^{11}_{22}\right)\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right) =\lambdaeft(0,0,0,0\right)$. Contradiction, because the matrix $\tauilde{A}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)$ is invertible.
$\begin{Exa}taf{Case \quad r_{1},r_{2}\in N'+1,\partialots,2N' : }$ It is similarly solved as previously. The further details are left to the reader as exercise.
$\begin{Exa}taf{Case \quad r_{1}\in 1,\partialots,N',\hspace{0.1 cm} r_{2}\in N+1,\partialots,2N' : }$ Considering linear invertible holomorphic changes of coordinates, like in (\ref{9W}), preserving the second $\mathcal{BSD}$-Model from (\ref{ecuatiew}), we assume $r_{1}, r_{2}\in 1,\partialots,N'$ according to Remark $5.2$. Repeating the above arguments, we obtain a contradiction, because the matrix $\tauilde{A}\lambdaeft(W',Z',\overline{W}',\overline{Z}'\right)$ was considered invertible. It follows that (\ref{LU1}) holds for any $q'\in\mathbb{N}^{\star}$.
Finally, we define by (\ref{be4}) the second normalization of $\lambdaeft(G,F\right)$ as follows
\begin{Exa}taegin{equation}
\lambdaeft(G^{\star\star},F^{\star\star}\right)=T_{2}\circ \lambdaeft(G ,F \right). \lambdaabel{023se}
\end{equation}
Using similar notations as in (\ref{10v}) and (\ref{v11}), we obtain
\begin{Exa}taegin{equation} \lambdaeft.\frac{\partial f^{\star\star}_{il}\lambdaeft(Z,W\right)}{\partial w_{ab}}\right\vert_{Z= O_{q\tauimes N} \alphatop{W= O_{q\tauimes q}}}=0,\lambdaabel{99te}\end{equation}
for all $a,b= 1,\partialots,q$, $i= 1,\partialots,q'$ and $l=1,\partialots,
N'$.
Generalizing of the automorphism $(2.4)$ from Huang\cite{huang1}
\section{Generalized Geometrical Rank}
We work by (\ref{nota}) with formal power series in $\lambdaeft(Z,W\right)$ with the hypothesis: the weight of any entry of $Z$ is $1$, and the weight to any entry of $W$ is $2$. Then its weighted degree, denoted by $n$, is the minimum of the weighted degrees of its homogeneous terms from its formal expansion.
In particular, we write $H\lambdaeft(Z,W\right)=\mbox{O}(n)$,
for $H\lambdaeft(Z,W\right)$ a formal power series of weighted degree $n$.
Going again forward, we examine by (\ref{zzzv}) the defining equations:
\begin{Exa}taegin{equation}
\begin{Exa}taegin{split}& \frac{G^{\star\star}_{11}\lambdaeft(Z,W\right)-\overline{G^{\star\star}_{11}\lambdaeft(Z,W\right)}}{2\sqrt{-1}}=F_{1}^{\star\star}\lambdaeft(Z,W\right)\overline{ F_{1}^{\star\star}\lambdaeft(Z,W\right) } ,\quad\quad \frac{G^{\star\star}_{12}\lambdaeft(Z,W\right)-\overline{G^{\star\star}_{21}\lambdaeft(Z,W\right)}}{2\sqrt{-1}}=F_{1}^{\star\star}\lambdaeft(Z,W\right) \overline{ F_{2}^{\star\star}\lambdaeft(Z,W\right)},\\& \frac{G^{\star\star}_{21}\lambdaeft(Z,W\right)-\overline{G^{\star}_{12}\lambdaeft(Z,W\right)}}{2\sqrt{-1}}=F_{2}^{\star\star}\lambdaeft(Z,W\right) \overline{ F_{1}^{\star\star}\lambdaeft(Z,W\right) },\quad\quad \frac{G^{\star\star}_{22}\lambdaeft(Z,W\right)- \overline{G^{\star\star}_{22}\lambdaeft(Z,W\right)}}{2\sqrt{-1}} =F_{2}^{\star\star}\lambdaeft(Z,W\right) \overline{ F_{2}^{\star\star}\lambdaeft(Z,W\right) } . \end{split}\lambdaabel{qqq1}
\end{equation}
The equations (\ref{qqq1}) are further studied in order to compute the formal mapping (\ref{v11}) from
their diagonal entries respecting the standard linearization procedure of the constructions of normal forms\cite{BEH},\cite{V1},\cite{bu2},\cite{CM},\cite{D1}. Then, the normalizations (\ref{99se}) and (\ref{99te}) are fundamental in order to find invariants and to make further computations for $\mathcal{BSD}$-Models $\mathcal{M}$ and $\mathcal{M}'$ defined like in (\ref{diag}) when $p'-q'=2\lambdaeft(p-q\right)>2$, using (\ref{023se}) and (\ref{v11}) the following notation
\begin{Exa}taegin{equation}F_{1}^{\star\star}\lambdaeft(Z,W\right)=\lambdaeft(f^{\star\star},\varphi^{\star\star}\right)\lambdaeft(Z,W\right).
\lambdaabel{extra}
\end{equation}
We extract terms of degree $4$ from (\ref{qqq1}). Then, we apply suitable linear changes of coordinates, following Huang-Ji\cite{HJ}, in order prove:
\begin{Exa}tap Up to compositions with suitable linear changes of coordinates preserving $\mathcal{M}$ and $\mathcal{M}'$, it exists $\sigma\in S_{q}$ such that
\begin{Exa}taegin{equation}\lambdaeft\{\begin{Exa}taegin{split}& f^{\star\star }\lambdaeft(Z,W\right) =Z + \frac{\sqrt{-1}}{2}\begin{Exa}taegin{pmatrix}z_{11} w_{\sigma(1)\sigma(1)} & 0& \partialots&0\\ z_{21} w_{\sigma(2)\sigma(2)}&0 & \partialots&0\\ \vdots& \vdots & \partialdots& \vdots \{\bar z}_{q1} w_{\sigma(q)\sigma(q)}& 0&\partialots& 0 \\ 0 & 0& \partialots & 0 \\ \vdots & \vdots & \partialdots & \vdots \\ 0 & 0& \partialots & 0 \end{pmatrix}+\mbox{O}(4),\\& \varphi^{\star\star }\lambdaeft(Z,W\right)=\begin{Exa}taegin{pmatrix}z_{11}z_{\sigma(1)1} &z_{11}z_{\sigma(1)2}&\partialots&z_{11}z_{\sigma(1)N} \{\bar z}_{21}z_{\sigma(2)1} &z_{21}z_{\sigma(2)2}&\partialots&z_{21}z_{\sigma(2)N} \\ \vdots& \vdots & \partialdots &\vdots \{\bar z}_{q1}z_{\sigma(q)1} &z_{q1}z_{\sigma(q)2} &\partialots&z_{q1}z_{\sigma(q)N}
\\ 0 & 0 & \partialots & 0 \\ \vdots & \vdots & \partialdots & \vdots \\ 0 & 0 & \partialots & 0 \end{pmatrix}+\mbox{O}(3),
\end{split}\right. \lambdaabel{we1}\end{equation} or the following holds
\begin{Exa}taegin{equation} \lambdaeft\{\begin{Exa}taegin{split}& f^{\star\star }\lambdaeft(Z,W\right) =Z +\mbox{O}(3),\\& \varphi^{\star \star}\lambdaeft(Z,W\right)=\mbox{O}(2).\end{split}\right.
\lambdaabel{we2} \end{equation}
\end{Pro}
\begin{Exa}taegin{proof} We consider by (\ref{nota}) homogeneous polynomials of degree $2$ and of degree $1$ in $Z$, denoted by
\begin{Exa}taegin{equation}
b_{il}\lambdaeft(Z\right),\hspace{0.1 cm} A_{ij}\lambdaeft(Z\right),\hspace{0.1 cm}\lambdaeft(\varphi_{il}^{\star\star }\lambdaeft(Z\right)\right)^{(2)}\hspace{0.2 cm}\mbox{and}\hspace{0.2 cm}a_{ku}^{il}\lambdaeft(Z\right),\hspace{0.1 cm} b^{ij}_{ku}\lambdaeft(Z\right),\quad\quad\mbox{ for all $i,j,k,u=1,\partialots,q$ and $l=1,\partialots,N$.}\lambdaabel{78h}
\end{equation}
Then, we write (\ref{extra}) by (\ref{nota}), (\ref{10v}), (\ref{lili1}), (\ref{78}) and (\ref{78h}) as follows
\begin{Exa}taegin{equation}\lambdaeft\{\begin{Exa}taegin{split}& f^{\star\star}_{il}\lambdaeft(Z,W\right)=z_{il}+\partialisplaystyle\sum_{k,u=1}^{q}a_{ku}^{il}\lambdaeft(Z\right)w_{ku}+ b_{il}\lambdaeft(Z\right)+\mbox{O}(4), \\& g^{\star \star}_{ij}\lambdaeft(Z,W\right)=w_{ij}+A_{ij}\lambdaeft(Z\right)+\partialisplaystyle\sum_{k,u=1}^{q}b^{ij}_{ku}\lambdaeft(Z\right)w_{ku}+ \partialisplaystyle\sum_{k,u=1\alphatop{k',u'=1}}^{q}D^{ij}_{kuk'u'}w_{ku}w_{k'u'}+\mbox{O}(5), \\& \varphi_{il}^{\star\star }\lambdaeft(Z,W\right) = \lambdaeft(\varphi_{il}^{\star\star }\lambdaeft(Z\right)\right)^{(2)} +\mbox{O}(3), \end{split}\right.\lambdaabel{982}
\end{equation}
for all $i=1,\partialots,q$ and $l=1,\partialots,N$.
Extracting the terms up to degree $4$ from the entries of (\ref{qqq1}) using (\ref{982}), we obtain
\begin{Exa}taegin{equation}\begin{Exa}taegin{split}& \mbox{Im} \lambdaeft\{A_{ij}\lambdaeft(Z\right)+\partialisplaystyle\sum_{k,u=1}^{q}b_{ku}^{ij}\lambdaeft(Z\right)w_{ku}\right.\\&\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\hspace{0.15 cm}+\\&\lambdaeft.\quad\quad\quad\quad
\quad\quad \partialisplaystyle\sum_{k,u=1\alphatop{k',u'=1}}^{q}D^{ij}_{kuk'u'}w_{ku}w_{k'u'} -2\sqrt{-1}\partialisplaystyle\sum_{l=1}^{p-q}\overline{z}_{il}\lambdaeft( b_{jl}\lambdaeft(Z\right)\partialisplaystyle\sum_{k,u=1}^{q}a_{ku}^{jl}\lambdaeft(Z\right)w_{ku}\right)\right\}= \partialisplaystyle\sum_{l=1}^{p-q } \lambdaeft(\varphi_{jl}^{\star\star }\lambdaeft(Z\right)\right)^{(2)}\overline{\lambdaeft(\varphi_{il}^{\star\star }\lambdaeft(Z\right)\right)^{(2)}},\end{split} \lambdaabel{val1999se} \end{equation}
for all $i,j=1,\partialots,q$.
Analysing the homogeneous polynomials of degree $2$ in $Z$ in the both sides of (\ref{val1999se}), we obtain \begin{Exa}taegin{equation} A_{ij}\lambdaeft(Z\right)=0,\quad\mbox{ for all $i,j=1,\partialots,q$.}\lambdaabel{ve5} \end{equation}
Then, we develop by (\ref{val1999se}) and (\ref{yu1}) the following expansion
\begin{Exa}taegin{equation} S_{1}-S_{2}+S_{3}+S_{4}+S_{5}+S_{6}-S_{7} = \partialisplaystyle\sum_{l=1}^{p-q}\lambdaeft(\varphi_{il}^{\star\star }\lambdaeft(Z\right)\right)^{(2)}\overline{\lambdaeft(\varphi_{jl}^{\star\star }\lambdaeft(Z\right)\right)^{(2)}}+2\mbox{Re} \lambdaeft\{ \partialisplaystyle\sum_{l=1}^{p-q}\overline{z}_{il}b_{jl}\lambdaeft(Z\right) \right\},\quad\mbox{for all $i,j=1,\partialots,q$.}\lambdaabel{val1999}
\end{equation}
since (\ref{tr}) and (\ref{ecuatiew}) hold, we have used the following notations
\begin{Exa}taegin{equation}
\begin{Exa}taegin{split}& S_{1}=\frac{1}{2\sqrt{-1}} \lambdaeft( \partialisplaystyle\sum_{k,u=1}^{q}\lambdaeft(b_{kk}^{ij}\lambdaeft(Z\right)\lambdaeft({\4R}e w_{kk}+\sqrt{-1}\lambdaeft<Z_{k},Z_{k}\right>\right)+ D^{ij}_{kkuu}\lambdaeft({\4R}e w_{kk}+\sqrt{-1}\lambdaeft<Z_{k},Z_{k}\right>\right)\lambdaeft({\4R}e w_{uu}+\sqrt{-1}\lambdaeft<Z_{u},Z_{u}\right>\right)\right)\right) ,\\& S_{2}=\frac{1}{2\sqrt{-1}} \lambdaeft( \overline{ \partialisplaystyle\sum_{k,u=1}^{q}\lambdaeft(b_{kk}^{ij}\lambdaeft(Z\right)\lambdaeft({\4R}e w_{kk}+\sqrt{-1}\lambdaeft<Z_{k},Z_{k}\right>\right)+ D^{ij}_{kkuu}\lambdaeft({\4R}e w_{kk}+\sqrt{-1}\lambdaeft<Z_{k},Z_{k}\right>\right)\lambdaeft({\4R}e w_{uu}+\sqrt{-1}\lambdaeft<Z_{u},Z_{u}\right>\right)\right)}\right) ,\\& S_{3}=\frac{1}{2\sqrt{-1}}\lambdaeft( \partialisplaystyle\sum_{k,u=1\alphatop k{\4n}eq u}^{q}\lambdaeft(b_{ku}^{ij}\lambdaeft(Z\right)w_{ku}- \overline{b_{ku}^{ij}}\lambdaeft(Z\right)\lambdaeft(w_{uk}-2\sqrt{-1}\lambdaeft<Z_{u},Z_{k} \right> \right)\right)\right),\\& S_{4}=\frac{1}{2\sqrt{-1}} \lambdaeft(\partialisplaystyle\sum_{k,u,k',u'=1\alphatop k'{\4n}eq u',\hspace{0.1 cm} k{\4n}eq u}^{q}\lambdaeft(D^{ij}_{kuk'u'}w_{ku}w_{k'u'}- \overline{D^{ij}_{kuk'u'}}\lambdaeft( w_{uk}-2\sqrt{-1}\lambdaeft<Z_{u},Z_{k} \right> \right)\lambdaeft( w_{u'k'}-2\sqrt{-1}\lambdaeft<Z_{u'},Z_{k'} \right> \right)\right)\right),
\\& S_{5}= \frac{1}{2\sqrt{-1}}\lambdaeft(\partialisplaystyle\sum_{k,k',u'=1\alphatop k'{\4n}eq u'}^{q}\lambdaeft(D^{ij}_{kkk'u'}\lambdaeft({\4R}e w_{kk}+\sqrt{-1}\lambdaeft<Z_{k},Z_{k}\right>\right)w_{k'u'}- \overline{D^{ij}_{kkk'u'}}\lambdaeft({\4R}e w_{kk}+\sqrt{-1}\lambdaeft<Z_{k},Z_{k}\right>\right)\lambdaeft(w_{u'k'}-2\sqrt{-1}\lambdaeft<Z_{u'},Z_{k'} \right>\right) \right)\right),\\& S_{6}=\partialisplaystyle\sum_{l=1}^{p-q}\overline{z}_{il}\lambdaeft( \partialisplaystyle\sum_{k,u=1\alphatop k{\4n}eq u}^{q}\lambdaeft(a_{ku}^{jl}\lambdaeft(Z\right)w_{ku}+a_{kk}^{jl}\lambdaeft(Z\right)\lambdaeft({\4R}e w_{kk}+\sqrt{-1}\lambdaeft<Z_{k},Z_{k}\right>\right)\right) \right) ,\\& S_{7}= \partialisplaystyle\sum_{l=1}^{p-q}z_{jl}\lambdaeft( \partialisplaystyle\sum_{k,u=1\alphatop k{\4n}eq u}^{q}\lambdaeft(\overline{a_{ku}^{il}\lambdaeft(Z\right)}\lambdaeft(w_{uk} -2\sqrt{-1}\lambdaeft<Z_{u},Z_{k} \right> \right) + \overline{a_{kk}^{il}\lambdaeft(Z\right)\lambdaeft({\4R}e w_{kk}+\sqrt{-1}\lambdaeft<Z_{k},Z_{k}\right>\right)}\right) \right). \end{split}
\end{equation}
Then, the first difference of sums $S_{1}-S_{2}$, in the left-hand side from (\ref{val1999}), provides
\begin{Exa}taegin{equation} D^{ij}_{uu u'u' }=0 ,\quad\quad\quad \mbox{for all $i,j,u,u'=1,\partialots,q$,} \lambdaabel{kkqC} \end{equation}
because (\ref{99se}) holds and because the right-hand side in (\ref{val1999}) does not depend on products as $\lambdaeft({\4R}e w_{uu}\right) \cdot\lambdaeft({\4R}e w_{u'u'}\right)$, for all $u,u'=1,\partialots,q$.
Furthermore, because the right-hand side in (\ref{val1999}) does not depend on terms involving $Z$ multiplied by $ w_{ku}$, $\lambdaeft({\4R}e w_{uu}\right)$, for all $k,u=1,\partialots,q$ with $k {\4n}eq u $, we obtain
\begin{Exa}taegin{equation} b_{ku}^{ij}\lambdaeft(Z\right)=0, \quad\quad \mbox{for all $i,j,k,u=1,\partialots,q$,} \lambdaabel{tel1} \end{equation}
focusing on the sums $S_{2}$ and $S_{3}$ from the left-hand side in (\ref{val1999}), which now are clearly vanishing.
Analogously, because the left-hand side in (\ref{val1999}) does not depend on terms involving
terms of bidegree $(1,2)$ in $\lambdaeft(Z,\overline{Z}\right)$, we obtain
\begin{Exa}taegin{equation} b_{il}\lambdaeft(Z\right)=0 , \quad \mbox{for all $i=1,\partialots,q$ and $l=1,\partialots,p-q$,} \lambdaabel{tel2} \end{equation}
focusing the second sum from the right-hand side in (\ref{val1999}), which now is clearly vanishing.
Next, the fourth sum from left-hand side in (\ref{val1999}) provides
\begin{Exa}taegin{equation} D^{ij}_{ku k'u' }=0 , \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\mbox{for all $i,j,k,u,k',u'=1,\partialots,q$ with $k {\4n}eq u $, $k'{\4n}eq u'$,} \lambdaabel{kkqA} \end{equation}
because the right-hand side, in (\ref{val1999}), does not depend on products as
$w_{u'k'}\cdot \lambdaeft<Z_{u},Z_{k}\right>$, for all $k,u,k',u'=1,\partialots,q$ with $k {\4n}eq u $, $k'{\4n}eq u'$.
Then, the sum $S_{4}$ vanishes in the left-hand side of (\ref{val1999}).
Next, the sum $S_{5}$, from left-hand side in (\ref{val1999}), provides
\begin{Exa}taegin{equation} D^{ij}_{kk k'u' }=\overline{D^{ij}_{kk u'k' }} ,\quad \quad \quad \mbox{for all $i,j,k,k',u'=1,\partialots,q$ with $k'{\4n}eq u'$,} \lambdaabel{kkqBB} \end{equation}
because the right-hand side, in (\ref{val1999}), does not depend on products as
$\lambdaeft({\4R}e w_{kk}\right)\cdot w_{k'u'}$, for all $k,k',u'=1,\partialots,q$ with $k'{\4n}eq u'$.
Then, the sum $S_{5}$, from left-hand side in (\ref{val1999}), is equivalent to
\begin{Exa}taegin{equation} \partialisplaystyle\sum_{k,k',u'=1\alphatop k'{\4n}eq u'}^{q}\lambdaeft( \overline{D^{ij}_{kkk'u'}}\lambdaeft({\4R}e w_{kk}+\sqrt{-1}\lambdaeft<Z_{k},Z_{k}\right>\right) \lambdaeft<Z_{u'},Z_{k'} \right> \right) .\lambdaabel{T} \end{equation}
Then, we study the coefficient of product of terms as
$\lambdaeft<Z_{k},Z_{k}\right>\cdot \lambdaeft<Z_{u'},Z_{k'} \right>$, for all $k,k',u'=1,\partialots,q$ with $k'{\4n}eq u'$,in the both sides of (\ref{val1999}) using (\ref{T}), observing that the right-hand side (\ref{val1999}) is real-valued, but the real-part of the corresponding terms, in the left-hand side, is vanishing since (\ref{kkqBB}) holds. It follows that
\begin{Exa}taegin{equation} D^{ij}_{kk k'u' }=0 ,\quad \quad \quad \mbox{for all $i,j,k,k',u'=1,\partialots,q$ with $k'{\4n}eq u'$,} \lambdaabel{kkqB} \end{equation}
Then, we identify in (\ref{val1999}) the coefficient of
$w_{ku}$, for all $k,u=1,\partialots,q$ with $k{\4n}eq q$, which depends on $Z$ and $\overline{Z}$. We obtain
\begin{Exa}taegin{equation}
\partialisplaystyle\sum_{l=1}^{N}z_{il}\overline{a_{ku}^{il}\lambdaeft(Z\right)}+\partialisplaystyle\sum_{l=1}^{p-q}\overline{z}_{jl}a_{uk}^{jl}\lambdaeft(Z\right)=0, \quad \mbox{for all $i,j,k,u=1,\partialots,q$ with $k{\4n}eq u$.} \lambdaabel{kk}
\end{equation}
Now, because of (\ref{kkqA}), (\ref{kkqB}), (\ref{kkqC}), (\ref{tel1}), (\ref{tel2}) and (\ref{kk}), (\ref{val1999}) becomes
\begin{Exa}taegin{equation}
\begin{Exa}taegin{split}& S_{1}=\partialisplaystyle\sum_{k=1}^{q}\partialisplaystyle\sum_{l=1}^{p-q}\overline{z}_{il} a_{kk}^{jl}\lambdaeft(Z\right)\lambdaeft({\4R}e w_{kk}+\sqrt{-1}\lambdaeft<Z_{k},Z_{k}\right>\right) \\& S_{2}=\partialisplaystyle\sum_{l=1}^{p-q}z_{il}\lambdaeft( \partialisplaystyle\sum_{k,u=1\alphatop k{\4n}eq u}^{q}\lambdaeft(-2\sqrt{-1}\overline{a_{ku}^{jl}\lambdaeft(Z\right)} \lambdaeft<Z_{u},Z_{k} \right> + \overline{a_{kk}^{jl}\lambdaeft(Z\right)\lambdaeft({\4R}e w_{kk}+\sqrt{-1}\lambdaeft<Z_{k},Z_{k}\right>\right)}\right) \right).\end{split}
\end{equation}
\begin{Exa}taegin{equation}S_{1}+S_{2}+\partialisplaystyle\sum_{l=1}^{p-q}\lambdaeft(\varphi_{il}^{\star\star }\lambdaeft(Z\right)\right)^{(2)}\overline{\lambdaeft(\varphi_{jl}^{\star\star }\lambdaeft(Z\right)\right)^{(2)}}=0,\quad \quad\quad\mbox{for all $i,j=1,\partialots,q$,} \lambdaabel{val1999qq}
\end{equation}
which implies
\begin{Exa}taegin{equation} 2\sqrt{-1} \partialisplaystyle\sum_{k,u=1\alphatop{k{\4n}eq u}}^{q} \lambdaeft(\partialisplaystyle\sum_{l=1}^{p-q }z_{il}\overline{a_{ku}^{jl}\lambdaeft(Z\right)} \right)\lambdaeft<Z_{u},Z_{k}\right> + 2 {\sf Im}\,\lambdaeft\{\partialisplaystyle\sum_{k=1}^{q} \lambdaeft(\partialisplaystyle\sum_{l=1}^{p-q }z_{il}\overline{a_{kk}^{jl}\lambdaeft(Z\right)} \right)\right\}\lambdaeft<Z_{k},Z_{k}\right>= \partialisplaystyle\sum_{l=1}^{p-q}\lambdaeft(\varphi_{il}^{\star\star }\lambdaeft(Z\right)\right)^{(2)}\overline{\lambdaeft(\varphi_{jl}^{\star\star }\lambdaeft(Z\right)\right)^{(2)}}, \lambdaabel{nuuit}
\end{equation}
for all $i,j=1,\partialots,q$.
and also in combination with (\ref{kk}) that
\begin{Exa}taegin{equation}
\partialisplaystyle\sum_{l=1}^{p-q}z_{il}\overline{a_{ku}^{il}\lambdaeft(Z\right)}+\partialisplaystyle\sum_{l=1}^{p-q}\overline{z}_{jl}a_{uk}^{jl}\lambdaeft(Z\right)=0, \quad \mbox{for all $i,j,k,u=1,\partialots,q$.} \lambdaabel{kk200}
\end{equation}
Then, (\ref{kk200}) implies
\begin{Exa}taegin{equation}a_{ku}^{il}\lambdaeft(Z\right)=a_{ku}^{il}\lambdaeft(Z_{i}\right),\quad\quad\quad\quad\mbox{ for all $i,k,u=1,\partialots,q$ and $l=1,\partialots,p-q$,}\lambdaabel{kkk}\end{equation}
because writing as follows
$$ a_{ku}^{il}\lambdaeft(Z\right)=\partialisplaystyle\sum_{i'=1}^{q}a_{ku}^{il}\lambdaeft(Z_{i'}\right), \quad\quad\quad\quad\quad\mbox{ for all $i,k,u=1,\partialots,q$ and $l=1,\partialots,p-q$,}$$
(\ref{kk200}) is equivalent to
\begin{Exa}taegin{equation}
\partialisplaystyle\sum_{l=1}^{p-q}\partialisplaystyle\sum_{i'=1}^{q}z_{il}\overline{a_{ku}^{jl}\lambdaeft(Z_{i'}\right)}+\sum_{i'=1}^{q}\partialisplaystyle\sum_{l=1}^{p-q}\overline{z}_{jl}a_{uk}^{il}\lambdaeft(Z_{i'}\right)=0, \quad \mbox{for all $i,j,k,u=1,\partialots,q$,} \lambdaabel{kkkk}
\end{equation}
which clearly concludes (\ref{kkk}), because (\ref{kkkk}) implies
$ a_{ku}^{il}\lambdaeft(Z_{i'}\right)=0$, for all $i,i',k,u=1,\partialots,q$ with $i{\4n}eq i'$ and $l=1,\partialots,N$.
Now, we rewrite (\ref{982}) as follows
\begin{Exa}taegin{equation}\lambdaeft\{\begin{Exa}taegin{split}& f^{\star\star}_{il}\lambdaeft(Z,W\right)=z_{il}+\partialisplaystyle\sum_{k,u=1}^{q}a_{ku}^{il}\lambdaeft(Z_{i}\right)w_{ku}+\mbox{O}(4),\quad\mbox{for all $i=1,\partialots,q$ and $l=1,\partialots,N$, }\\& g^{\star\star}_{ij}\lambdaeft(Z,W\right)=w_{ij}+\mbox{O}(5) ,\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\mbox{for all $i,j=1,\partialots,q$,} \end{split}\right.\lambdaabel{111}
\end{equation}
where (\ref{nuuit}) is satisfied.
It is clearly obtained by (\ref{val1999}) that (\ref{we2}) holds under the following assumption
\begin{Exa}taegin{equation}
\partialisplaystyle\sum_{l'=1}^{p-q }\lambdaeft(\varphi_{il'}^{\star\star }\lambdaeft(Z\right)\right)^{(2)}\overline{\lambdaeft(\varphi_{il'}^{\star\star }\lambdaeft(Z\right)\right)^{(2)}}\equiv 0,\quad\mbox{for all $i=1,\partialots,q$,}\lambdaabel{992a}
\end{equation}
because we obtain $a_{ku}^{il}\lambdaeft(Z_{i}\right)=0$, for all $k,u,i=1,\partialots,q$ and $l=1,\partialots,p-q$.
Now, it remains to study the non-trivial situation when it exists $i_{0}\in 1,\partialots,q$ such that
\begin{Exa}taegin{equation}
\partialisplaystyle\sum_{l'=1}^{p-q}\lambdaeft(\varphi_{i_{0}l'}^{\star\star }\lambdaeft(Z\right)\right)^{(2)}\overline{\lambdaeft(\varphi_{i_{0}l'}^{\star\star }\lambdaeft(Z\right)\right)^{(2)}}{\4n}ot\equiv 0.\lambdaabel{550}
\end{equation}
In order to proceed to a further study of (\ref{nuuit}), we write by (\ref{nota}) as follows
\begin{Exa}taegin{equation}\varphi_{il}^{\star \star}\lambdaeft(Z\right)=\partialisplaystyle\sum_{i_{1},i_{2}=1}^{q}\varphi_{i l}^{i_{1}i_{2}}\lambdaeft(Z_{i_{1}},Z_{i_{2}}\right),\quad\mbox{for all $i=1,\partialots,q$ and $l=1,\partialots,p-q$},\lambdaabel{722s}
\end{equation}
where we deal by (\ref{nota}) with homogeneous polynomials in the variables $\lambdaeft(Z_{i_{1}},Z_{i_{2}}\right)$, for all $i_{1},i_{2}=1,\partialots,q$, denoted by
$$\varphi_{il}^{i_{1}i_{2}}\lambdaeft(Z_{i_{1}},Z_{i_{2}}\right),\quad \mbox{for
all $i_{1},i_{2},i=1,\partialots,q$ and $l=1,\partialots,p-q$.}$$
Now, we are prepared by (\ref{111}) to adapt the strategy from Huang-Ji\cite{HJ}, using the following matrices
\begin{Exa}taegin{equation}\mathcal{A}_{ku}^{i}=\lambdaeft(a_{ku}^{i1},a_{ku}^{i2},\partialots,a_{ku}^{iN}\right),\quad\quad\mbox{for all
$ k,u,i=1,\partialots,q$, }\lambdaabel{5050see}
\end{equation}
or equivalently, the following matrices
\begin{Exa}taegin{equation}\mathcal{B}_{ku}^{i}=-\sqrt{-1}\mathcal{A}_{ku}^{i},\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\hspace{0.27 cm}\mbox{for all
$ k,u,i=1,\partialots,q$. }\lambdaabel{5050A}
\end{equation}
Then, (\ref{kk200}) implies
\begin{Exa}taegin{equation}\lambdaeft<Z_{i},\mathcal{A}_{ku}^{j}\lambdaeft(Z_{j}\right)\right>+\lambdaeft<\mathcal{A}_{uk}^{i}\lambdaeft(Z_{i}\right),Z_{j}\right>=0,\quad\quad\quad\quad\mbox{for all
$ k,u,i,j=1,\partialots,q$, } \lambdaabel{5050}
\end{equation}
or by (\ref{5050A}), (\ref{kk200}) implies
\begin{Exa}taegin{equation} \lambdaeft<Z_{i},\mathcal{B}_{ku}^{j}\lambdaeft(Z_{j}\right)\right>=\lambdaeft<\mathcal{B}_{uk}^{i}\lambdaeft(Z_{i}\right),Z_{j}\right>,\quad\quad\quad\mbox{for all
$ k,u,i,j=1,\partialots,q$. } \lambdaabel{5050seee}
\end{equation}
In particular, we obtain
\begin{Exa}taegin{equation}\mbox{rank}\lambdaeft(\mathcal{B}_{ku}^{i}\right)=\mbox{rank}\lambdaeft(\mathcal{B}_{uk}^{j}\right),\quad\mbox{for all $k,u,i,j=1,\partialots,q$.}\lambdaabel{geomrank}\end{equation}
Furthermore, for $i=j=1,\partialots,q$ and $k=u=1,\partialots,q$ above in (\ref{5050seee}), and we obtain that $\mathcal{B}_{kk}^{i}$ is diagonalizable, for all $k,i=1,\partialots,q$, because such matrix is hermitian. Then, we write as follows
\begin{Exa}taegin{equation} \mathcal{B}_{uu}^{i}=U_{uu}^{i}\begin{Exa}taegin{pmatrix} \alphalpha_{uu}^{1i} & 0& \partialots &0 \\ 0 & \alphalpha_{uu}^{2i}& \partialots &0 \\ \vdots & \vdots & \partialdots &\vdots \\ 0 & 0& \partialots & \alphalpha_{uu}^{Ni}
\end{pmatrix}\lambdaeft(U_{uu}^{i}\right)^{-1},\quad\mbox{for all $u,i=1,\partialots,q$, }\lambdaabel{chiu}\end{equation}
where $U_{uu}^{i}$ is a unitary matrix, for all $u,i=1,\partialots,q$.
Now, we collect homogeneous terms from (\ref{nuuit}) using (\ref{722s}), (\ref{vari}),
(\ref{5050see}), (\ref{5050A}), (\ref{5050}) and (\ref{5050seee}). Then
\begin{Exa}taegin{equation} \lambdaeft<Z_{i},\mathcal{B}_{ku}^{j}\lambdaeft(Z_{j}\right)\right>\lambdaeft<Z_{k}, Z_{u} \right>=\partialisplaystyle\sum_{l'=1}^{p-q}\varphi_{il' }^{ ik }\lambdaeft(Z_{i},Z_{k}\right)\overline{\varphi_{jl' }^{ ju }\lambdaeft(Z_{j},Z_{u}\right)},\lambdaabel{gog44}
\end{equation}
for all $i,j,k,u=1,\partialots,q$.
In particular for $i=j=k=u=1,\partialots,q$, we obtain
\begin{Exa}taegin{equation} \lambdaeft<Z_{k},\mathcal{B}_{kk}^{k}\lambdaeft(Z_{k}\right)\right>\lambdaeft<Z_{k}, Z_{k} \right>=\partialisplaystyle\sum_{l'=1}^{p-q}\varphi_{kl' }^{ kk }\lambdaeft(Z_{k},Z_{k}\right)\overline{\varphi_{kl' }^{ kk }\lambdaeft(Z_{k},Z_{k}\right)}. \lambdaabel{gog445}
\end{equation}
Now, we apply the approach from (the pages $226-227$ from) Huang-Ji\cite{HJ}: we write the following expansions
\begin{Exa}taegin{equation*}\varphi_{kl' }^{ kk }\lambdaeft(Z_{k},Z_{k}\right)=\partialisplaystyle\sum_{\alphalpha,\begin{Exa}taeta=1\alphatop{\alphalpha \lambdaeq\begin{Exa}taeta}}^{p-q}b_{\alphalpha\begin{Exa}taeta}^{kl'}z_{k\alphalpha}z_{k\begin{Exa}taeta},\quad\mbox{for all $l'=1,\partialots,p-q$ and $k=1,\partialots,q$,}
\end{equation*}
which define the following vectors
\begin{Exa}taegin{equation*}B_{\alphalpha\begin{Exa}taeta}^{k}=\lambdaeft(b_{\alphalpha\begin{Exa}taeta}^{k1},b_{\alphalpha\begin{Exa}taeta}^{k2},\partialots,b_{\alphalpha\begin{Exa}taeta}^{k\hspace{0.1 cm} p-q}\right),\quad\mbox{for all $k,\alphalpha,\begin{Exa}taeta=1,\partialots,q$.}
\end{equation*}
Then, according to Huang-Ji\cite{HJ} (see the computations from the pages $226-227$), we obtain
\begin{Exa}taegin{equation}\begin{Exa}taegin{split}&\lambdaeft<B_{1\begin{Exa}taeta}^{k},B_{1\begin{Exa}taeta}^{k'}\right>>0,\quad\quad\mbox{for all $k,k',\begin{Exa}taeta=1,\partialots,q$.}
\\& \lambdaeft<B_{1\begin{Exa}taeta}^{k},B_{1\alphalpha}^{k'}\right>=0 ,\quad\quad\mbox{for all $k,k',\alphalpha,\begin{Exa}taeta=1,\partialots,q$ with $\alphalpha{\4n}eq\begin{Exa}taeta$,}\end{split}\lambdaabel{ll}
\end{equation}
because (\ref{gog445}) is a particular case of (\ref{gog44}).
In particular, we conclude by (\ref{ll}) the existence of the following bases
\begin{Exa}taegin{equation}
\lambdaeft\{ B_{11}^{k},B_{12}^{k},\partialots,B_{1N}^{k}\right\}\subset\mathbb{C}^{N},\quad\mbox{for all $k=1,\partialots,q$,}
\end{equation}
It follows that $\alphalpha^{2i}_{uu}=\partialots=\alphalpha^{Ni}_{uu}=0$, for all $u,i=1,\partialots,q$.
Then, for any given $u\in 1,\partialots,q$, there exists a unique $i\in 1,\partialots,q$
such that
$$\alphalpha^{1i}_{uu}:= \begin{Exa}taeta^{1i}_{uu}\overline{\begin{Exa}taeta^{1i}_{uu}} > 0,$$
otherwise it would exist a pair of orthogonal basis in $\mathbb{C}^{N}$ satisfying
$$\begin{Exa}taegin{pmatrix}B_{11}^{k}
\\ B_{12}^{k} \\ \vdots \\B_{1N}^{k}
\end{pmatrix}\begin{Exa}taegin{pmatrix}B_{11}^{k'}
\\ B_{12}^{k'} \\ \vdots \\B_{1N}^{k'}
\end{pmatrix}^{t}=\mbox{O}_{N},\quad\mbox{for $k,k'\in 1,\partialots, q$ such that $k{\4n}eq k'$,}$$
which does not happen, because (\ref{ll}) holds.
Such number $i$ considered as above, which is denoted by $i=i(u)$, defines a bijective function
$$\sigma:\hspace{0.1 cm}\lambdaeft\{1,2,\partialots,q\right\}{\4n}i u \rightarrow i(u)\in \lambdaeft\{1,2,\partialots,q\right\}.$$
Moreover, we obtain
\begin{Exa}taegin{equation}\begin{Exa}taegin{pmatrix} \varphi_{i1 }^{iu}\lambdaeft(Z_{i},Z_{u}\right)\\ \varphi_{i2 }^{ ik }\lambdaeft(Z_{i},Z_{u}\right)\\ \vdots \\\varphi_{iN }^{ ik }\lambdaeft(Z_{i},Z_{u}\right)
\end{pmatrix}=\begin{Exa}taegin{pmatrix} \varphi_{i1 }^{i(u)u}\lambdaeft(Z_{i(u)},Z_{u}\right)\\ \varphi_{i2 }^{ i(u)u }\lambdaeft(Z_{i(u)},Z_{u}\right)\\ \vdots \\\varphi_{iN }^{ i(u)u }\lambdaeft(Z_{i(u)},Z_{u}\right)
\end{pmatrix}=\begin{Exa}taegin{pmatrix} z_{11}C_{i(u)u}^{1}\lambdaeft(Z_{u}\right)^{t}\\ z_{21}C_{i(u)u}^{2}\lambdaeft(Z_{u}\right)^{t}\\ \vdots \\ z_{q1}C_{i(u)u}^{N}\lambdaeft(Z_{u}\right)^{t}
\end{pmatrix},\quad\quad\mbox{where $C_{i(u)u}^{k}\in\mathcal{M}_{N\tauimes N}\lambdaeft(\mathbb{C}\right)$, for all $u,k=1,\partialots,q$.}\lambdaabel{uyA1}
\end{equation}
Then, (\ref{gog44}) implies
\begin{Exa}taegin{equation}C_{i(u)u}^{k}\overline{\lambdaeft(C_{i\lambdaeft(u'\right)u'}^{k'}\right)^{t}}=\begin{Exa}taeta^{1i}_{uu}\overline{\begin{Exa}taeta^{1i'}_{u'u'}},\quad\mbox{for all $k,k',u,u'=1,\partialots,q$.}\lambdaabel{uyA2}\end{equation}
Now, following Huang-Ji\cite{HJ}, we use by (\ref{uyA1}) and (\ref{uyA2}) the following change of coordinates
\begin{Exa}taegin{equation*}
\lambdaeft(W',Z'\right)=\lambdaeft(W,\begin{Exa}taegin{pmatrix}Z_{1}\\ Z_{2}\\\vdots \\ Z_{q}
\end{pmatrix},\begin{Exa}taegin{pmatrix}\tauilde{Z}_{1}\\ \tauilde{Z}_{2}\\\vdots \\ \tauilde{Z}_{q}
\end{pmatrix}\begin{Exa}taegin{pmatrix} \frac{C_{i(u)u}^{1}}{\begin{Exa}taeta^{1i}_{uu}} \\ \frac{C_{i(u)u}^{2}}{\begin{Exa}taeta^{1i}_{uu}} \\ \vdots \\ \frac{C_{i(u)u}^{N}}{\begin{Exa}taeta^{1i}_{uu}}
\end{pmatrix}\right).
\end{equation*}
Then, we use the following change of coordinates
\begin{Exa}taegin{equation*}
\lambdaeft(W',Z'\right)=\lambdaeft(W,\begin{Exa}taegin{pmatrix}\begin{Exa}taeta^{1i}_{uu}Z_{1}\\ \begin{Exa}taeta^{1i}_{uu}Z_{2}\\\vdots \\ \begin{Exa}taeta^{1i}_{uu}Z_{q}
\end{pmatrix}\right),
\end{equation*}
which preserves the model $\mathcal{M}'$ from (\ref{ecuatiew}), and respectively the following change of coordinates
\begin{Exa}taegin{equation*}
\lambdaeft(W',Z'\right)=\lambdaeft(\begin{Exa}taegin{pmatrix}
\frac{w_{11}}{\begin{Exa}taeta^{1i}_{11}\begin{Exa}taeta^{1i'}_{11}}& \frac{w_{12}}{\begin{Exa}taeta^{1i}_{11}\begin{Exa}taeta^{1i'}_{22}} & \partialots & \frac{w_{1q}}{\begin{Exa}taeta^{1i}_{uu}\begin{Exa}taeta^{1i'}_{qq}} \\ \frac{w_{21}}{\begin{Exa}taeta^{1i}_{22}\begin{Exa}taeta^{1i'}_{11}}& \frac{w_{22}}{\begin{Exa}taeta^{1i}_{22}\begin{Exa}taeta^{1i'}_{22}} & \partialots & \frac{w_{2q}}{\begin{Exa}taeta^{1i}_{22}\begin{Exa}taeta^{1i'}_{qq}} \\ \vdots & \vdots & \partialdots & \vdots \\ \frac{w_{q1}}{\begin{Exa}taeta^{1i}_{11}\begin{Exa}taeta^{1i'}_{qq}}& \frac{w_{q2}}{\begin{Exa}taeta^{1i}_{22}\begin{Exa}taeta^{1i'}_{qq}} & \partialots & \frac{w_{qq}}{\begin{Exa}taeta^{1i}_{qq}\begin{Exa}taeta^{1i'}_{qq}}
\end{pmatrix},\begin{Exa}taegin{pmatrix}\frac{Z_{1}}{\begin{Exa}taeta^{1i}_{uu}}\\ \frac{Z_{2}}{\begin{Exa}taeta^{1i}_{uu}}\\\vdots \\ \frac{Z_{q}}{\begin{Exa}taeta^{1i}_{uu}}
\end{pmatrix}\right),
\end{equation*}
which preserves the model $\mathcal{M}$ from (\ref{ecuatiew}).
Then, their composition provides the normalization which gives (\ref{we1}). Proof completed.
\end{proof}
Now, we are ready to conclude the classifications (\ref{clase}) as follows:
\section{Final Normalizations of the Formal Embeddings}
\subsection{Formal Expansions} In order to proceed by (\ref{nota}), (\ref{v11}) and (\ref{10v}), we write
\begin{Exa}taegin{equation} G\lambdaeft(Z,W\right) =\lambdaeft(\partialisplaystyle\sum_{ J\in\mathbb{N}^{q^{2}}, \alphatop{ I\in\mathbb{N}^{ q\lambdaeft(p-q\right)} } }g_{ij}^{ IJ }\lambdaeft(Z\right)W^{J}\right)_{1\lambdaeq i,j\lambdaeq q'} \quad\mbox{and}\quad F\lambdaeft(Z,W\right) = \lambdaeft(\partialisplaystyle\sum_{ J\in\mathbb{N}^{q^{2}}, \alphatop{ I\in\mathbb{N}^{q\lambdaeft(p-q\right)}} }f_{kl}^{ IJ }\lambdaeft(Z\right)W^{J}\right)_{ 1\lambdaeq l\lambdaeq p'-q' \alphatop 1\lambdaeq k \lambdaeq q'},\lambdaabel{v11V1} \end{equation}
with formal power series as their entries, where the coefficients of $W$ are by (\ref{nota}) homegeneous polynomials in $Z$ of degree $I\in\mathbb{N}^{q\lambdaeft(p-q\right)}$.
Now, we make a study in the local defining equations (\ref{zzzv}), using the formal expansions (\ref{v11V1}), in order to normalize the embedding from (\ref{v11}) in the light of (\ref{nota}). In particular, we extract the terms of degree $d$ in $\lambdaeft(Z,\overline{Z}\right)$. We obtain
\begin{Exa}taegin{equation} \partialisplaystyle\sum_{ J\in\mathbb{N}^{q^{2}}, \hspace{0.1 cm} I\in\mathbb{N}^{ q\lambdaeft(p-q\right)}\alphatop \lambdaeft|I\right|+2\lambdaeft|J\right|=d} \frac{g_{ij}^{ IJ }\lambdaeft(Z\right)W^{J}- \overline{g_{ji}^{ IJ }\lambdaeft(Z\right)W^{J} }}{2\sqrt{-1}}= \partialisplaystyle\sum_{l=1}^{p'-q'} \partialisplaystyle\sum_{\substack{ J_{1},J_{2}\in\mathbb{N}^{q^{2}}, \hspace{0.1 cm} I_{1}, I_{2}\in\mathbb{N}^{q\lambdaeft(p-q\right)} \\ \lambdaeft|I_{1}\right|+2\lambdaeft|J_{1}\right|+ \lambdaeft|I_{2}\right|+2\lambdaeft|J_{2}\right|=d }}f_{il}^{ I_{1}J_{1} }\lambdaeft(Z\right)W^{J_{1}}\overline{f_{jl}^{ I_{2}J_{2} }\lambdaeft(Z\right)W^{J_{2}}}, \lambdaabel{yu123}
\end{equation}
for all $i,j=1,\partialots,q'$.
In order to make computations in (\ref{yu123}), we write
\begin{Exa}taegin{equation}g_{ij}^{ IJ }\lambdaeft(Z\right) =\partialisplaystyle\sum_{ J\in\mathbb{N}^{q^{2}}, \hspace{0.1 cm} I\in\mathbb{N}^{ q\lambdaeft(p-q\right)} } c^{ IJ }_{ij}Z^{I},\quad \quad
f_{kl}^{ IJ }\lambdaeft(Z\right) =\partialisplaystyle\sum_{ J\in\mathbb{N}^{q^{2}}, \hspace{0.1 cm} I\in\mathbb{N}^{ q\lambdaeft(p-q\right)}} d^{ IJ }_{kl}Z^{I},\lambdaabel{7771}
\end{equation}
for all $k,i,j= 1,\partialots,q'$ and $l=1,\partialots,p'-q'$.
Following Baouendi-Ebenfelt-Huang\cite{BEH}, we analyse (\ref{yu123}) using (\ref{yu1}) in order to consider further normalizations:
\subsection{Application of the Moving Point Trick from Huang\cite{huang1}}
We introduce the following matrices similarly as in (\ref{nota}):
\begin{Exa}taegin{equation}{\4n}u=\lambdaeft({\4n}u_{kl}\right)_{1\lambdaeq k,l\lambdaeq q},\quad \Xi=\lambdaeft(\xi_{kl}\right)_{1\lambdaeq k\lambdaeq q\alphatop 1\lambdaeq l\lambdaeq p-q}.\lambdaabel{yu12223}
\end{equation}
We consider by (\ref{rowww}) the complexification of (\ref{yu1}) as follows
\begin{Exa}taegin{equation}
\frac{w_{kl}-\overline{{\4n}u_{lk}}}{2\sqrt{-1}}=\lambdaeft<Z_{k},\Xi_{l}\right> \quad \mbox{for all $k,l=1,\partialots,q$.} \lambdaabel{yu1222}
\end{equation}
where the row vectors of the matrix $\Xi$ are denoted by
$\Xi_{1},\Xi_{2},\partialots,\Xi_{N}$, in order to
study the complexification of (\ref{yu123}) using (\ref{yu1222}).
In particular, we assume ${\4n}u=0$. Identifying by (\ref{nota}) the coefficient of $W^{J}$, where $J\in\mathbb{N}^{q^{2}}$, we obtain
\begin{Exa}taegin{equation}c^{\lambdaeft(0,J\right)}_{ij}W^{J}= \lambdaeft<d^{\lambdaeft(I',J'\right)}_{i,j} Z_{i},\Xi_{j}\right>W^{J'}+\partialots,\quad\mbox{for suitable multi-indexes $J,J'\in\mathbb{N}^{q^{2}}$ and $I'\in\mathbb{N}^{q\lambdaeft(p-q\right)}$,}\lambdaabel{cor}
\end{equation}
where ,,$\partialots$'' may contain terms defined by lower order terms in $\Xi$ and $Z$ and by the $F$-component of (\ref{vadim1}), because $ W=Z\overline{\Xi}^{t}$.
In particular, for given multi-indexes
\begin{Exa}taegin{equation*}\begin{Exa}taegin{split}& \hspace{0.12 cm} J= \lambdaeft({j}_{11},{j}_{12},\partialots,{j}_{1q}, {j}_{21},{j}_{22},\partialots,{j}_{2q}, {j}_{q1},{j}_{q2},\partialots,{j}_{qq}\right)\in\mathbb{N}^{q^{2}}, \\&
J'= \lambdaeft({j'}_{11},{j'}_{12},\partialots,{j'}_{1q}, {j'}_{21},{j'}_{22},\partialots,{j'}_{2q}, {j'}_{q1},{j'}_{q2},\partialots,{j'}_{qq}\right)\in\mathbb{N}^{q^{2}},\end{split}
\end{equation*}
it follows that
\begin{Exa}taegin{equation*} J'=\lambdaeft({j}_{11},\partialots,\quad{j}_{1j},\partialots,{j}_{1q}, {j}_{i1},\partialots,{j}_{ij}-1,\partialots,{j}_{iq}, {j}_{q1},\partialots,\quad{j}_{qj},\partialots,{j}_{qq},\right)\in\mathbb{N}^{q^{2}}.
\end{equation*}
Also, we obtain
\begin{Exa}taegin{equation}c^{\lambdaeft(0,J\right)}_{ij}=K\lambdaeft(d^{\lambdaeft(I',J'\right)}_{i,j},\partialots\right),\quad\mbox{where $K\lambdaeft(d^{\lambdaeft(I',J'\right)}_{i,j},\partialots\right)$ is a constant defined by $d^{\lambdaeft(I',J'\right)}_{i,j},\partialots$.}\lambdaabel{gig1}
\end{equation}
Recalling the $\mathcal{BSD}$-Models $\mathcal{M}'$ and $\mathcal{M}$ from (\ref{ecuatiew}), we show that:
\begin{Exa}tal Up to compositions with holomorphic automorphisms of $\mathcal{M}'$, we obtain \begin{Exa}taegin{equation}G\lambdaeft(Z,W\right)=\begin{Exa}taegin{pmatrix}
W & 0 \\ 0& 0
\end{pmatrix}.\lambdaabel{vvvq}\end{equation} \end{Lem}
\begin{Exa}taegin{proof} Let $P=\lambdaeft(Z_{0},W_{0}\right)\in \mathcal{M}$ close to origin. Following Huang\cite{huang1} and Baouendi-Huang\cite{BH}, we consider the mapping
\begin{Exa}taegin{equation}
\lambdaeft(F,G\right)_{P}=\tauau _{P}^{\lambdaeft(F,G\right)}\circ \lambdaeft(F,G\right)\circ \sigma_{P}^{0}=\lambdaeft(F_{P}, G_{P}\right),
\end{equation}
according by (\ref{vb}) to the following notations
\begin{Exa}taegin{equation*} \begin{Exa}taegin{split}&\quad
\sigma^{0}_{\lambdaeft(Z_{0},W_{0}\right)}\lambdaeft(Z,W\right)=\lambdaeft(Z+Z_{0},W+W_{0}+2\sqrt{-1} \lambdaeft< Z,Z_{0}\right>\right),\\& \tauau_{\lambdaeft(Z_{0},W_{0}\right)}^{\lambdaeft(F,G\right)}\lambdaeft(Z^{\star},W^{\star}\right)=\lambdaeft(Z^{\star} -F\lambdaeft(Z_{0},W_{0}\right), W^{\star}-\overline{G\lambdaeft(Z_{0},W_{0}\right)}^{t}-2\sqrt{-1} \lambdaeft<Z^{\star}, F\lambdaeft(Z_{0},W_{0}\right) \right> \right).\end{split} \end{equation*}
It becomes clear that
$$\sigma^{0}_{P}(0)=P,\quad\quad \tauau_{\lambdaeft(F,G\right)\lambdaeft(P\right)}^{\lambdaeft(F,G\right)} \lambdaeft(\lambdaeft(F,G\right)\lambdaeft(P\right)\right) =0,\quad \quad \partialet \lambdaeft(\frac{\partial G_{11}\lambdaeft(W\right)}{\partial W }\right)(0){\4n}eq 0.$$
From the normalization procedures described by Propositions \ref{propo1} and \ref{propo2}, we introduce by (\ref{023se}) the following transformation
\begin{Exa}taegin{equation}
\lambdaeft(\tauilde{G},\tauilde{F}\right)=T_{2}\circ \lambdaeft(G,F\right),\quad \mbox{for $T_{2}=T_{2}\lambdaeft(P\right)$.}\lambdaabel{023see}
\end{equation}
This composition provides convenient normalizations as in (\ref{99te}). More precisely, it is composed the formal mapping with another transformation as (\ref{023see}). This transformation is defined by convenient substractions of homogeneous terms in $W$ according to (\ref{cor}) and (\ref{gig1}) from the $F$-component of the formal mapping. It is how the terms defined by $W$, which appear in (\ref{cor}) and (\ref{gig1}), are eliminated from the $F$-component of the formal mapping. Then, recalling again (\ref{cor}), (\ref{gig1}) and varying the point $P\in \mathcal{M}$, we obtain
\begin{Exa}taegin{equation}\tauilde{G}\lambdaeft(0,W\right)=\begin{Exa}taegin{pmatrix}
W & 0 \\ 0& 0
\end{pmatrix},\quad \tauilde{F}\lambdaeft(0,W\right)=0,\quad\partialots,\lambdaabel{abc}
\end{equation}
where ,,$\partialots$'' define terms provided by (\ref{gig1}).
The decisive argument comes from Hamada\cite{H}. In the light of (\ref{abc}), we analyse the
right-hand side in (\ref{yu123}) in order to extract the coefficients of products of terms, from the expansion of $\tauilde{G}$, of the following type
\begin{Exa}taegin{equation*}\begin{Exa}taegin{split}Z^{I}&\lambdaeft(\mbox{Re} w_{11}\right)^{j_{11}}\lambdaeft( w_{12}\right)^{j_{12}}\partialots \lambdaeft( w_{1q}\right)^{j_{1q}}\cdot\\&\lambdaeft( w_{12}\right)^{j_{12}}\lambdaeft( {\4R}e w_{22}\right)^{j_{22}}\partialots \lambdaeft( w_{q2}\right)^{j_{q2}}\cdot\\&\quad \vdots\quad\quad \quad\quad \vdots\quad \quad\hspace{0.16 cm}\quad\partialdots\quad \vdots \\&\lambdaeft( w_{q1}\right)^{j_{q1}}\lambdaeft( w_{q2}\right)^{j_{q2}}\partialots \lambdaeft( {\4R}e w_{qq}\right)^{j_{qq}},\quad \mbox{for}\hspace{0.1 cm}I\in\mathbb{N}^{q\lambdaeft(p-q\right)},\quad J\in\mathbb{N}^{q^{2}}.\end{split}\end{equation*}
Identifying the coefficients of the corresponding homogeneous terms on the left-hand side in (\ref{yu123}), (\ref{vvvq}) follows. Proof completed.
\end{proof}
Next, we are ready to move forward:
\section{Application of Hamada's Procedure \cite{H}} This procedure is similar to the construction procedure of normal forms learnt by the author\cite{V1},\cite{bu2} from Zaitsev\cite{D1}. We linearise the local defining equations from the diagonal entries in (\ref{zzzv}). In particular, it is adapted the strategy of Hamada\cite{H} (see the pages $704-707$) in order to compute the $F$-component of the formal embedding, writing the following weighted formal expansions
\begin{Exa}taegin{equation}\begin{Exa}taegin{split}& f_{k1}\lambdaeft(Z,W\right)=z_{k1}+f_{k1}^{(2)}\lambdaeft(Z,W\right)+f_{k1}^{(3)}\lambdaeft(Z,W\right)+\partialots+f_{k1}^{(2m)}\lambdaeft(Z,W\right)+f_{k1}^{(2m+1)}\lambdaeft(Z,W\right)+\partialots,\quad\mbox{for all $k=1,\partialots,q$,}\\& \hspace{0.05 cm}f_{kl}\lambdaeft(Z,W\right)=z_{kl}+f_{kl}^{(2)}\lambdaeft(Z,W\right)+f_{kl}^{(3)}\lambdaeft(Z,W\right)+\partialots+f_{kl}^{(4m)}\lambdaeft(Z,W\right)+f_{kl}^{(4m+1)}\lambdaeft(Z,W\right)+\partialots,\quad\mbox{for all $k=1,\partialots,q$ and $l=1,\partialots,N$,} \\& \varphi_{kl}\lambdaeft(Z,W\right)=\varphi_{kl}^{(2)}\lambdaeft(Z,W\right)+\varphi_{kl}^{(3)}\lambdaeft(Z,W\right)+\partialots+\varphi_{kl}^{(2m)}\lambdaeft(Z,W\right)+\varphi_{kl}^{(2m+1)}\lambdaeft(Z,W\right)+\partialots,\quad\quad\hspace{0.1 cm}\quad\mbox{for all $k=1,\partialots,q$ and $l=1,\partialots,N$,}\end{split}\lambdaabel{lp}\end{equation}
in respect to the standard system of weights defined by assigning the weight $1$ to any entry of $Z$,
and the weight $2$ to any entry of $W$.
Next, we assume that (\ref{we2}) holds. Then
\begin{Exa}taegin{equation} \varphi_{kl}^{(2)}\lambdaeft(Z,W\right)=0,\quad \mbox{for all $k=1,\partialots,q$ and $l=1,\partialots,N$.}
\end{equation}
We move forward according to an obvious process of induction depending on the weight existent in (\ref{lp}). In particular, we assume
\begin{Exa}taegin{equation}\begin{Exa}taegin{split}& f_{kl}^{(2)}\lambdaeft(Z,W\right)=f_{kl}^{(3)}\lambdaeft(Z,W\right)=\partialots=f_{kl}^{\lambdaeft(\alphalpha-1\right)}\lambdaeft(Z,W\right)=0,\quad\mbox{for all $k=1,\partialots,q$ and $l=1,\partialots,N$,}\\& \varphi_{kl}^{(2)}\lambdaeft(Z,W\right)=\varphi_{kl}^{(3)}\lambdaeft(Z,W\right)=\partialots=\varphi_{kl}^{\lambdaeft(\lambdaeft[\frac{\alphalpha}{2}\right]\right)}\lambdaeft(Z,W\right)=0,\quad\mbox{for all $k=1,\partialots,q$ and $l=1,\partialots,N$, where $\alphalpha\in\mathbb{N}^{\star}$.}\end{split}
\end{equation}
Then, we prove
\begin{Exa}taegin{equation}f_{kl}^{\lambdaeft(\alphalpha\right)}\lambdaeft(Z,W\right)=0,\quad \varphi_{kl}^{\lambdaeft(\lambdaeft[\frac{\alphalpha+1}{2}\right]\right)}\lambdaeft(Z,W\right)=0,\quad\quad \mbox{for all $k=1,\partialots,q$ and $l=1,\partialots,N$.}\lambdaabel{tts}
\end{equation}
Given (\ref{lp}), we study weighted terms from (\ref{yu123}). We write by (\ref{nota}) and (\ref{777}) the following expansions
\begin{Exa}taegin{equation}\begin{Exa}taegin{split}&\quad\quad\hspace{0.1 cm} f_{kl}^{\lambdaeft(\alphalpha\right)}\lambdaeft(Z,W\right)=\partialisplaystyle\sum_{\substack{ J \in\mathbb{N}^{q^{2}}, \hspace{0.1 cm} I \in\mathbb{N}^{q\lambdaeft(p-q\right)} \\ \lambdaeft|I \right|+2\lambdaeft|J \right| =\alphalpha }}d_{kl}^{ I J } Z^{I}W^{J },\quad \mbox{for all $k=1,\partialots,q$ and $l=1,\partialots,N$,}\\& \varphi_{kl}^{\lambdaeft(\lambdaeft[\frac{\alphalpha+1}{2}\right]\right)}\lambdaeft(Z,W\right)=\partialisplaystyle\sum_{\substack{ J \in\mathbb{N}^{q^{2}}, \hspace{0.1 cm} I \in\mathbb{N}^{q\lambdaeft(p-q\right)} \\ \lambdaeft|I \right|+2\lambdaeft|J \right| =\lambdaeft[\frac{\alphalpha+1}{2}\right] }}\tauilde{d}_{kl}^{ I J } Z^{I}W^{J },\quad \mbox{for all $k=1,\partialots,q$ and $l=1,\partialots,N$.}\end{split}\lambdaabel{tt}
\end{equation}
In particular for $\alphalpha=4m,4m+2$, we study weighted terms from (\ref{yu123}). We obtain
\begin{Exa}taegin{equation}{\4R}e \lambdaeft\{\partialisplaystyle\sum_{l=1}^{N}\overline{z}_{kl}\partialisplaystyle\sum_{\substack{ J \in\mathbb{N}^{q^{2}}, \hspace{0.1 cm} I \in\mathbb{N}^{q\lambdaeft(p-q\right)} \\ \lambdaeft|I \right|+2\lambdaeft|J \right| =4m }}d_{kl}^{ I J } Z^{I}W^{J }\right\}=0,
\end{equation}
for all $k=1,\partialots,q$, or equivalently using (\ref{nota}) and (\ref{ecuatiew}), we obtain
\begin{Exa}taegin{equation*}{\4R}e \lambdaeft\{\partialisplaystyle\sum_{l=1}^{N}\overline{z}_{kl}\partialisplaystyle\sum_{\substack{ J \in\mathbb{N}^{q^{2}}, \hspace{0.1 cm} I \in\mathbb{N}^{q\lambdaeft(p-q\right)} \\ \lambdaeft|I \right|+2\lambdaeft|J \right| =4m,4m+2 }}d_{kl}^{ I J } Z^{I} w_{11}^{i_{11}} w_{12}^{i_{12}}\partialots\partialots w_{1q}^{i_{1q}}w_{21}^{i_{21}} w_{22}^{i_{22}}\partialots\partialots w_{2q}^{i_{2q}}\partialots w_{q1}^{i_{q1}} w_{q2}^{i_{q2}}\partialots w_{qq}^{i_{qq}}\right\}=0,
\end{equation*}
for all $k=1,\partialots,q$, which implies
\begin{Exa}taegin{equation*}\begin{Exa}taegin{split}&{\4R}e \lambdaeft\{\partialisplaystyle\sum_{l=1}^{N}\overline{z}_{kl}\partialisplaystyle\sum_{\substack{ J \in\mathbb{N}^{q^{2}}, \hspace{0.1 cm} I \in\mathbb{N}^{q\lambdaeft(p-q\right)} \\ \lambdaeft|I \right|+2\lambdaeft|J \right| =4m,4m+2 }}d_{kl}^{ I J } Z^{I} \lambdaeft({\4R}e w_{11}\right)^{i_{11}} w_{12}^{i_{12}}\partialots\partialots w_{1q}^{i_{1q}}\lambdaeft<Z_{2},Z_{1}\right>^{i_{21}} \lambdaeft({\4R}e w_{22}\right)^{i_{22}}\partialots\partialots w_{2q}^{i_{2q}}\partialots\lambdaeft<Z_{q},Z_{1}\right>^{i_{q1}}\cdot\right.\\& \lambdaeft. \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \lambdaeft<Z_{q},Z_{2}\right>^{i_{q2}}\partialots \lambdaeft({\4R}e w_{qq}\right)^{i_{qq}}\right\}=0, \end{split}
\end{equation*}
for all $k=1,\partialots,q$, which implies (\ref{tts}), because of the vanishing of the coefficients of power of $W$ in (\ref{tt}).
Then, for $\alphalpha=4m+1$, we study weighted terms from (\ref{yu123}). We obtain
\begin{Exa}taegin{equation}{\4R}e \lambdaeft\{\partialisplaystyle\sum_{l=1}^{N}\overline{z}_{kl}\partialisplaystyle\sum_{\substack{ J \in\mathbb{N}^{q^{2}}, \hspace{0.1 cm} I \in\mathbb{N}^{q\lambdaeft(p-q\right)} \\ \lambdaeft|I \right|+2\lambdaeft|J \right| =4m+1 }}d_{kl}^{ I J } Z^{I}W^{J }\right\}+\partialisplaystyle\sum_{l=1}^{N}\lambdaeft(\partialisplaystyle\sum_{\substack{ J \in\mathbb{N}^{q^{2}}, \hspace{0.1 cm} I \in\mathbb{N}^{q\lambdaeft(p-q\right)} \\ \lambdaeft|I \right|+2\lambdaeft|J \right| =2m+1 }}\tauilde{d}_{kl}^{ I J } Z^{I}W^{J }\right)\cdot\overline{\lambdaeft(\partialisplaystyle\sum_{\substack{ J \in\mathbb{N}^{q^{2}}, \hspace{0.1 cm} I \in\mathbb{N}^{q\lambdaeft(p-q\right)} \\ \lambdaeft|I \right|+2\lambdaeft|J \right| =2m+1 }}\tauilde{d}_{kl}^{ I J } Z^{I}W^{J }\right)}=0,
\end{equation}
for all $k=1,\partialots,q$, or equivalently using (\ref{nota}) and (\ref{ecuatiew}), we obtain
\begin{Exa}taegin{equation*}\begin{Exa}taegin{split}&{\4R}e \lambdaeft\{\partialisplaystyle\sum_{l=1}^{N}\overline{z}_{kl}\partialisplaystyle\sum_{\substack{ J \in\mathbb{N}^{q^{2}}, \hspace{0.1 cm} I \in\mathbb{N}^{q\lambdaeft(p-q\right)} \\ \lambdaeft|I \right|+2\lambdaeft|J \right| =4m+1 }}d_{kl}^{ I J } Z^{I} \lambdaeft({\4R}e w_{11}\right)^{i_{11}} w_{12}^{i_{12}}\partialots\partialots w_{1q}^{i_{1q}}\lambdaeft<Z_{2},Z_{1}\right>^{i_{21}} \lambdaeft({\4R}e w_{22}\right)^{i_{22}}\partialots\partialots w_{2q}^{i_{2q}}\partialots \lambdaeft<Z_{q},Z_{1}\right>^{i_{q1}}\cdot\right.\\& \lambdaeft.\quad\quad \lambdaeft<Z_{q},Z_{2}\right>^{i_{q2}}\partialots \lambdaeft({\4R}e w_{qq}\right)^{i_{qq}}\right\}+ \partialisplaystyle\sum_{l=1}^{N}\lambdaeft(\partialisplaystyle\sum_{\substack{ J \in\mathbb{N}^{q^{2}}, \hspace{0.1 cm} I \in\mathbb{N}^{q\lambdaeft(p-q\right)} \\ \lambdaeft|I \right|+2\lambdaeft|J \right| =2m+1 }}d_{kl}^{ I J } Z^{I} \lambdaeft({\4R}e w_{11}\right)^{i_{11}} w_{12}^{i_{12}}\partialots\partialots w_{1q}^{i_{1q}}\lambdaeft<Z_{2},Z_{1}\right>^{i_{21}} \lambdaeft({\4R}e w_{22}\right)^{i_{22}}\cdot\right.\\&\lambdaeft.\quad\quad\partialots\partialots w_{2q}^{i_{2q}}\partialots \lambdaeft<Z_{q},Z_{1}\right>^{i_{q1}}\cdot \lambdaeft<Z_{q},Z_{2}\right>^{i_{q2}}\cdot\partialots \lambdaeft({\4R}e w_{qq}\right)^{i_{qq}}\right) \overline{\lambdaeft(\partialisplaystyle\sum_{\substack{ J \in\mathbb{N}^{q^{2}}, \hspace{0.1 cm} I \in\mathbb{N}^{q\lambdaeft(p-q\right)} \\ \lambdaeft|I \right|+2\lambdaeft|J \right| =2m+1 }}d_{kl}^{ I J } Z^{I} \lambdaeft({\4R}e w_{11}\right)^{i_{11}} w_{12}^{i_{12}}\partialots\partialots w_{1q}^{i_{1q}}\cdot \right.} \\& \quad\quad\quad\quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad \quad\quad\quad\quad \quad\quad\quad\quad \overline{\lambdaeft.\lambdaeft<Z_{2},Z_{1}\right>^{i_{21}}\lambdaeft({\4R}e w_{22}\right)^{i_{22}}\partialots\partialots w_{2q}^{i_{2q}}\partialots \lambdaeft<Z_{q},Z_{1}\right>^{i_{q1}} \lambdaeft<Z_{q},Z_{2}\right>^{i_{q2}}\partialots \lambdaeft({\4R}e w_{qq}\right)^{i_{qq}}\right)} =0, \end{split}
\end{equation*}
for all $k=1,\partialots,q$, which implies (\ref{tts}), because of the vanishing of the coefficients of power of $W$ in (\ref{tt}).
In particular for $\alphalpha=4m+3$, we study weighted terms from (\ref{yu123}). We obtain
\begin{Exa}taegin{equation}{\4R}e \lambdaeft\{\partialisplaystyle\sum_{l=1}^{N}\overline{z}_{kl}\partialisplaystyle\sum_{\substack{ J \in\mathbb{N}^{q^{2}}, \hspace{0.1 cm} I \in\mathbb{N}^{q\lambdaeft(p-q\right)} \\ \lambdaeft|I \right|+2\lambdaeft|J \right| =4m+3 }}d_{kl}^{ I J } Z^{I}W^{J }\right\}+\partialisplaystyle\sum_{l=1}^{N}\lambdaeft(\partialisplaystyle\sum_{\substack{ J \in\mathbb{N}^{q^{2}}, \hspace{0.1 cm} I \in\mathbb{N}^{q\lambdaeft(p-q\right)} \\ \lambdaeft|I \right|+2\lambdaeft|J \right| =2m+2 }}\tauilde{d}_{kl}^{ I J } Z^{I}W^{J }\right)\cdot\overline{\lambdaeft(\partialisplaystyle\sum_{\substack{ J \in\mathbb{N}^{q^{2}}, \hspace{0.1 cm} I \in\mathbb{N}^{q\lambdaeft(p-q\right)} \\ \lambdaeft|I \right|+2\lambdaeft|J \right| =2m+2 }}\tauilde{d}_{kl}^{ I J } Z^{I}W^{J }\right)}=0,
\end{equation}
for all $k=1,\partialots,q$, or equivalently using (\ref{nota}) and (\ref{ecuatiew}), we obtain
\begin{Exa}taegin{equation*}\begin{Exa}taegin{split}&\quad{\4R}e \lambdaeft\{\partialisplaystyle\sum_{l=1}^{N}\overline{z}_{kl}\partialisplaystyle\sum_{\substack{ J \in\mathbb{N}^{q^{2}}, \hspace{0.1 cm} I \in\mathbb{N}^{q\lambdaeft(p-q\right)} \\ \lambdaeft|I \right|+2\lambdaeft|J \right| =4m+3 }}d_{kl}^{ I J } Z^{I} \lambdaeft({\4R}e w_{11}\right)^{i_{11}} w_{12}^{i_{12}}\partialots\partialots w_{1q}^{i_{1q}}\lambdaeft<Z_{2},Z_{1}\right>^{i_{21}} \lambdaeft({\4R}e w_{22}\right)^{i_{22}}\partialots\partialots w_{2q}^{i_{2q}}\partialots \lambdaeft<Z_{q},Z_{1}\right>^{i_{q1}}\cdot\right.\\& \lambdaeft.\quad\quad \lambdaeft<Z_{q},Z_{2}\right>^{i_{q2}}\partialots \lambdaeft({\4R}e w_{qq}\right)^{i_{qq}}\right\}+ \partialisplaystyle\sum_{l=1}^{N}\lambdaeft(\partialisplaystyle\sum_{\substack{ J \in\mathbb{N}^{q^{2}}, \hspace{0.1 cm} I \in\mathbb{N}^{q\lambdaeft(p-q\right)} \\ \lambdaeft|I \right|+2\lambdaeft|J \right| =2m+2 }}d_{kl}^{ I J } Z^{I} \lambdaeft({\4R}e w_{11}\right)^{i_{11}} w_{12}^{i_{12}}\partialots\partialots w_{1q}^{i_{1q}}\lambdaeft<Z_{2},Z_{1}\right>^{i_{21}} \lambdaeft({\4R}e w_{22}\right)^{i_{22}} \cdot\right.\\& \lambdaeft. \quad\quad\partialots w_{2q}^{i_{2q}}\partialots \lambdaeft<Z_{q},Z_{1}\right>^{i_{q1}} \lambdaeft<Z_{q},Z_{2}\right>^{i_{q2}}\partialots \lambdaeft({\4R}e w_{qq}\right)^{i_{qq}}\right)\cdot \overline{\lambdaeft(\partialisplaystyle\sum_{\substack{ J \in\mathbb{N}^{q^{2}}, \hspace{0.1 cm} I \in\mathbb{N}^{q\lambdaeft(p-q\right)} \\ \lambdaeft|I \right|+2\lambdaeft|J \right| =2m+2 }}d_{kl}^{ I J } Z^{I} \lambdaeft({\4R}e w_{11}\right)^{i_{11}} w_{12}^{i_{12}}\partialots\partialots w_{1q}^{i_{1q}}\lambdaeft<Z_{2}\right.,\right.}\\&\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \overline{\lambdaeft. \lambdaeft.Z_{1}\right>^{i_{21}} \lambdaeft({\4R}e w_{22}\right)^{i_{22}}\partialots\partialots w_{2q}^{i_{2q}}\partialots \lambdaeft<Z_{q},Z_{1}\right>^{i_{q1}} \lambdaeft<Z_{q},Z_{2}\right>^{i_{q2}}\partialots \lambdaeft({\4R}e w_{qq}\right)^{i_{qq}}\right)} =0, \end{split}
\end{equation*}
for all $k=1,\partialots,q$, which implies (\ref{tts}), because of the vanishing of the coefficients of power of $W$ in (\ref{tt}). It follows that
\begin{Exa}taegin{equation}
f_{kl}\lambdaeft(Z,W\right)=z_{kl},\quad\quad \varphi_{kl}\lambdaeft(Z,W\right)=0,\hspace{0.17 cm} \quad\mbox{for all $k=1,\partialots,q$ and $l=1,\partialots,N$.}\lambdaabel{ooo1AVVV}
\end{equation}
Next, we assume that (\ref{we1}) holds in order to repeat the previous computations according to the approach of Hamada\cite{H}. In particular, if $\lambdaeft(F,G\right)$ is defined by (\ref{vadim1}) and (\ref{v11}) and satisfies (\ref{vvvq}), we obtain
\begin{Exa}taegin{equation}
\begin{Exa}taegin{split}& \hspace{0.12 cm} f_{k1}\lambdaeft(Z,W\right)=z_{k1}\tauilde{f}_{k1}\lambdaeft(Z,W\right),\hspace{0.1 cm}\quad\quad\quad\quad\mbox{for all $k=1,\partialots,q$,}\\&\hspace{0.15 cm} f_{kl}\lambdaeft(Z,W\right)=z_{kl}+z_{k1}\tauilde{f}_{kl}\lambdaeft(Z,W\right),\quad\quad\mbox{for all $k=1,\partialots,q$ and $l=2,\partialots,N$,}\\& \varphi_{kl'}\lambdaeft(Z,W\right)=z_{k1}\tauilde{\varphi}_{kl'}\lambdaeft(Z,W\right),\quad\quad\quad\quad\hspace{0.01 cm}\mbox{for all $k=1,\partialots,q$ and $l'=1,\partialots,N$,}
\end{split}\lambdaabel{ooo1A}
\end{equation}
where $\tauilde{f}_{kl}\lambdaeft(Z,W\right)$ and $ \tauilde{\varphi}_{kl}\lambdaeft(Z,W\right)$ are formal mappings, for all $l=1,\partialots,N$ and $k=1,\partialots,q$.
Now, we analyse using (\ref{ooo1A}) the diagonal entries of the matrix equation (\ref{yu123}). We observe the vanishing of the coefficients of the products of terms of the following type
\begin{Exa}taegin{equation}\begin{Exa}taegin{split}z_{k1}Z^{I}\overline{z_{kl}}&\lambdaeft(\mbox{Re} w_{11}\right)^{j_{11}}\lambdaeft( w_{12}\right)^{j_{12}}\partialots \lambdaeft( w_{1q}\right)^{j_{1q}}\cdot\\&\lambdaeft( w_{12}\right)^{j_{12}}\lambdaeft( {\4R}e w_{22}\right)^{j_{22}}\partialots \lambdaeft( w_{q2}\right)^{j_{q2}}\cdot\\&\quad \vdots\quad\quad \quad\quad \vdots\quad \quad\hspace{0.16 cm}\quad\partialdots\quad \vdots \\&\lambdaeft( w_{q1}\right)^{j_{q1}}\lambdaeft( w_{q2}\right)^{j_{q2}}\partialots \lambdaeft( {\4R}e w_{qq}\right)^{j_{qq}},\quad \mbox{for}\hspace{0.1 cm}I\in\mathbb{N}^{q\lambdaeft(p-q\right)},\quad J\in\mathbb{N}^{q^{2}},\end{split}
\end{equation}
for all $k=1,\partialots,q$, $l=2,\partialots,N$. It follows that
\begin{Exa}taegin{equation}\tauilde{f}_{kl}\lambdaeft(Z,W\right)\equiv0,\quad\mbox{for all $l=2,\partialots,N$ and $k=1,\partialots,q$.}
\end{equation}
In the both situations (\ref{we1}) and (\ref{we2}), we obtain
$F_{2}\lambdaeft(Z,W\right)\overline{F_{2}\lambdaeft(Z,W\right)^{t}}=0$ when (\ref{ecuatiew}) holds. Then, we
expand in formal power series each of its entries using (\ref{IJ}). It follows that
\begin{Exa}taegin{equation} F_{2}\lambdaeft(Z,W\right)=0.\lambdaabel{446}\end{equation}
\section{Application of Huang-Ji's Procedure\cite{HJ}}
Now, we are ready to move forward in order to finalise the classification (\ref{clase}):
\subsection{Special Notations} Before beginning, we consider by (\ref{nota}) coordinates denoted by
$$\mbox{$\lambdaeft(Z',Z''\right)\in \mathbb{C}^{pq}\hspace{0.2 cm}$ and $\hspace{0.2 cm}\lambdaeft({Z^{\star}}', {Z^{\star}}''\right)\in \mathbb{C}^{p' q'}$,}$$
using the following notations
\begin{Exa}taegin{equation}
{Z'}^{t}=\begin{Exa}taegin{pmatrix}z_{11} & z_{12} & \partialots & z_{ 1\hspace{0.1 cm}p-q} \\ z_{21} & z_{22} & \partialots & z_{ 2\hspace{0.1 cm}p-q} \\ \vdots & \vdots &\partialdots & \vdots \{\bar z}_{q1} & z_{q2} &\partialots & z_{q\hspace{0.1 cm}p-q}
\end{pmatrix},\quad \quad
{Z''}^{t}=\begin{Exa}taegin{pmatrix} z_{1\hspace{0.1 cm}p-q+1}& z_{1,p-q+2}&\partialots &z_{1p} \\ z_{2\hspace{0.1 cm}p-q+1}& z_{2\hspace{0.1 cm}p-q+2}&\partialots &z_{2p} \\ \vdots & \vdots &\partialdots & \vdots \\ z_{q\hspace{0.1 cm}p-q+1}& z_{q\hspace{0.1 cm}p-q+2}& \partialots & z_{qp}
\end{pmatrix},\lambdaabel{nott1}
\end{equation}
and respectively, using the following notations
\begin{Exa}taegin{equation}
{{Z^{\star}}'}^{t}=\begin{Exa}taegin{pmatrix}z^{\star}_{11} & z^{\star}_{12} &\partialots & z^{\star}_{ 1\hspace{0.1 cm} p'-q'} \\ z^{\star}_{21} & z^{\star}_{22} &\partialots & z^{\star}_{ 2\hspace{0.1 cm} p'-q'} \\\vdots & \vdots &\partialdots & \vdots \{\bar z}^{\star}_{q'1} & z^{\star}_{q'2} &\partialots & z^{\star}_{q'\hspace{0.1 cm}p'-q'}
\end{pmatrix},\quad \quad
{{Z^{\star}}''}^{t}=\begin{Exa}taegin{pmatrix} z^{\star}_{1\hspace{0.1 cm}p'-q'+1} & z^{\star}_{1\hspace{0.1 cm}p'-q'+2} & \partialots & z^{\star}_{1p'} \\ z^{\star}_{2\hspace{0.1 cm}p'-q'+1} & z^{\star}_{2\hspace{0.1 cm}p'-q'+2} & \partialots & z^{\star}_{2p'} \\ \vdots & \vdots & \partialdots & \vdots \\ z^{\star}_{q',p'-q'+1} & z^{\star}_{q'\hspace{0.1 cm}p'-q'+2} & \partialots & z^{\star}_{q'p'}
\end{pmatrix}.\lambdaabel{nott2}
\end{equation}
These coordinates (\ref{nott1}) and (\ref{nott2}) are useful in order to introduce the following special transformations:
\subsection{Special Transformations}Generalizing the approach of Huang-Ji\cite{HJ}, we define
\begin{Exa}taegin{equation}\begin{Exa}taegin{split}& \tauilde{\varphi}_{A^{2}}:\mathcal{M}'\rightarrow S_{p',q'} ,\hspace{0.26 cm}\quad\lambdaeft(\tauilde{\varphi}_{A^{2}}\lambdaeft({Z^{\star}}',{Z^{\star}}''\right)\right)^{t}=\frac{1}{I_{q' }-A^{2}{{Z^{\star}}''}^{t}} \lambdaeft(\sqrt{I_{q'}-A^{2}} {{Z^{\star}}'}^{t},A^{2} -{{Z^{\star}}''}^{t}\right), \\&\hspace{0.1 cm} \varphi_{B}:\mathcal{M}\rightarrow S_{p,q},\quad\quad\quad\quad\hspace{0.1 cm}\lambdaeft(\varphi_{B}\lambdaeft(Z',Z''\right)\right)^{t}=\frac{1}{I_{q}-B{Z''}^{t}} \lambdaeft(\sqrt{I_{q}-B}{Z'}^{t},B-{Z''}^{t}\right), \end{split} \lambdaabel{1vv}\end{equation}
where we have used the following matrices
\begin{Exa}taegin{equation} \mbox{$B=\begin{Exa}taegin{pmatrix} b_{1} & 0& \partialots &0 \\ 0 & b_{2}& \partialots &0 \\ \vdots & \vdots & \partialdots &\vdots \\ 0 & 0& \partialots &b_{q}
\end{pmatrix}\in \mathcal{M}_{q^{2}\tauimes q^{2}}\lambdaeft(\mathbb{C}\right)$,}\quad \mbox{$A=\begin{Exa}taegin{pmatrix} a_{1} & 0& \partialots &0 \\ 0 & a_{2}& \partialots &0 \\ \vdots & \vdots & \partialdots &\vdots \\ 0 & 0& \partialots &a_{q'}
\end{pmatrix}\in \mathcal{M}_{{q'}^{2}\tauimes {q'}^{2}}\lambdaeft(\mathbb{C}\right)$, } \lambdaabel{ne}
\end{equation}
where $b_{1},b_{2},\partialots,b_{q},a_{1},a_{2},\partialots,a_{q},\partialots,a_{q'}\in [0,1)$.
Denoting by $\mathcal{W}$ the generalized Whitney type mapping in (\ref{clase}), we obtain
\begin{Exa}taegin{equation}\mathcal{W}=\lambdaeft(Z_{1},Z_{2} \odot Z \right)^{t},\lambdaabel{nottt2} \end{equation}
where we have used the following notations
\begin{Exa}taegin{equation}
\lambdaeft( Z_{2}\odot Z\right)^{t} =\begin{Exa}taegin{pmatrix} z_{p1}z_{11}& z_{p1}z_{21}&\partialots & z_{p1}z_{p1} \\ z_{p2}z_{12}& z_{p2}z_{22}&\partialots & z_{p2}z_{p2} \\ \vdots & \vdots &\partialdots & \vdots \\ z_{pq}z_{1q}& z_{pq}z_{2q}&\partialots & z_{pq}z_{pq}
\end{pmatrix},\quad\mbox{for}\hspace{0.1 cm}Z_{1}^{t}=\begin{Exa}taegin{pmatrix}z_{11} & z_{21} &\partialots & z_{ p-1\hspace{0.1 cm}1} \\ z_{12} & z_{22} &\partialots & z_{ p-1\hspace{0.1 cm}2} \\ \vdots & \vdots & \partialdots & \vdots \{\bar z}_{1q} & z_{2q} & \partialots & z_{p-1\hspace{0.1 cm}q}
\end{pmatrix},\quad
Z_{2}^{t} =\begin{Exa}taegin{pmatrix} z_{p1} \\ z_{p2} \\ \vdots \\ z_{pq}
\end{pmatrix}. \lambdaabel{nott11}
\end{equation}
It is required also to consider the following matrix
\begin{Exa}taegin{equation}Z'''=\begin{Exa}taegin{pmatrix} z_{p-q+1\hspace{0.1 cm} 1}& 0& \partialots & 0 \\ 0 & z_{p-q+2\hspace{0.1 cm} 2}& \partialots & 0 \\ \vdots & \vdots &\partialdots & \vdots
\\ 0 &0 & \partialots & z_{pq} \end{pmatrix}.\lambdaabel{Vprimm}
\end{equation}
We adapt by (\ref{diag}) a procedure from Huang-Ji\cite{HJ}. In particular, we adapt the proof of Lemma $6.3$ from Huang-Ji\cite{HJ}. Then
\begin{Exa}tal \lambdaabel{79V1}Let $V:S_{p,q}\rightarrow S_{p',q'}$ be a formal embedding defined as follows \begin{Exa}taegin{equation} V\lambdaeft(Z\right)= \begin{Exa}taegin{pmatrix} z_{11} &z_{12} &\partialots &z_{1q}& 0&0&\partialots&0 \\ z_{21} &z_{22} &\partialots &z_{2q}& 0&0&\partialots&0 \\\vdots &\vdots &\vdots &\partialdots &\vdots& \vdots&\partialdots&\vdots \{\bar z}_{p-1 \hspace{0.1 cm} 1} &z_{p-1 \hspace{0.1 cm} 2} &\partialots &z_{p-1 \hspace{0.1 cm} q}& 0&0& \partialots& 0 \\ z_{p1}H_{11} &z_{p2}H_{12} &\partialots & z_{pq}H_{1q} & 0 &0&\partialots &0 \\ z_{p2}H_{12} &z_{p2}H_{12} &\partialots & z_{pq}H_{2q} & 0 &0 &\partialots &0 \\\vdots & \vdots &\partialdots & \vdots& \vdots & \vdots& \partialdots & \vdots \\ z_{p1}H_{p1} &z_{p2}H_{p2} &\partialots & z_{pq}H_{pq} & 0 &0&\partialots &0 \\ 0&0&\partialots&0&1&0& \partialots &0 \\ 0&0&\partialots&0&0&1& \partialots &0 \\\vdots & \vdots &\partialdots &\vdots & \vdots&\vdots& \partialdots & \vdots \\ 0 & 0 &\partialots &0&0&0&\partialots&1 \end{pmatrix},\quad\mbox{where}\hspace{0.1 cm}H=\begin{Exa}taegin{pmatrix}H_{11}&H_{12}&\partialots& H_{1q}\\ H_{21}&H_{22}&\partialots& H_{2q}\\\vdots &\vdots & \partialdots & \vdots \\H_{p1}&H_{p2}&\partialots& H_{ pq}\end{pmatrix}\in\mbox{Aut}\lambdaeft(S_{p,q}\right),
\end{equation}
where $q<p$, $q'<p'$ such that $p'-q'=2\lambdaeft(p-q\right)>2$.
Then $F$ is equivalent to the Whitney type mapping defined in (\ref{clase}) up to compositions with automorphisms of $S_{p,q}$ and $S_{p',q'}$.
\end{Lem}
\begin{Exa}taegin{proof} It suffies to assume $q=q'$. We know from Kaup-Zaitsev\cite{KaZa1},\cite{KaZa2} that $H$ extends to an automorphism of $D_{p,q}$. Then, it has sense to consider the matrix $H(0)=P_{0}$, because we reformulate computations from Huang-Ji\cite{HJ} using the language of matrices. Then
$\lambdaeft<P_{0}, P_{0}\right>\lambdaeq I_{q}.$
Next, in the light of (\ref{nota}), (\ref{edef}), (\ref{981}), we chose a matrix $U\in\mathcal{M}_{pq\tauimes pq}\lambdaeft(\mathbb{C}\right),$ which preserves $S_{p,q}$ such that
\begin{Exa}taegin{equation}
U\otimes H(0)\equiv \begin{Exa}taegin{pmatrix} 0 & 0& \partialots & 0 &b_{1} & 0& \partialots &0 \\ 0 & 0& \partialots & 0 &0 & b_{2}& \partialots &0 \\ \vdots & \vdots& \partialdots & \vdots & \vdots & \vdots &\partialdots &\vdots \\ 0 & 0& \partialots & 0&0 & 0& \partialots &b_{q}
\end{pmatrix},\quad\mbox{where $b_{1},b_{2},\partialots,b_{q}\in[0,1)$.}\lambdaabel{porc}
\end{equation}
Then, we can assume
\begin{Exa}taegin{equation}\quad\quad
\lambdaeft(H(0)\right)^{t}\equiv \begin{Exa}taegin{pmatrix} 0 & 0& \partialots & 0 &b_{1} & 0& \partialots &0 \\ 0 & 0& \partialots & 0 &0 & b_{2}& \partialots &0 \\ \vdots & \vdots& \partialdots & \vdots & \vdots & \vdots &\partialdots &\vdots \\ 0 & 0& \partialots & 0&0 & 0& \partialots &b_{q}
\end{pmatrix},\quad\mbox{where $b_{1},b_{2},\partialots,b_{q}\in[0,1)$.}\lambdaabel{1vvvvv}
\end{equation}
It is known from Kaup-Zaitsev\cite{KaZa1},\cite{KaZa2} that any (holomorphic) automorphism of $S_{p,q}$ extends to an automorphism of $D_{p,q}$. Considering identifications as in (\ref{edef}), (\ref{981}), (\ref{1vv}) and a certain matrix
$\tauilde{U}\in\mathcal{M}_{pq\tauimes pq}\lambdaeft(\mathbb{C}\right),$
which preserves $S_{p,q}$, we write as follows
\begin{Exa}taegin{equation}H\lambdaeft(Z',Z''\right)=\tauilde{U}\otimes \varphi_{B}\lambdaeft(Z' ,Z''\right),\lambdaabel{1vvv}
\end{equation}
where we use by (\ref{porc}), (\ref{1vvvvv}) the matrix $B$ from (\ref{ne}).
By (\ref{1vvvvv}) and (\ref{1vvv}), we can assume
\begin{Exa}taegin{equation}V\lambdaeft(Z',Z''\right)=\lambdaeft(Z',Z_{2}''\odot\varphi_{B}\lambdaeft(Z',Z''\right)\right).\lambdaabel{gr}
\end{equation}
Considering a transformation denoted by $U_{A}$ that leaves invariant $S_{p',q'}$ according to (page 245 from) Huang-Ji\cite{HJ}, we define
\begin{Exa}taegin{equation}\Psi\lambdaeft(Z',Z''\right)=U_{A}\circ \tauilde{\varphi}_{A^{2}} \circ \mathcal{W} \circ \varphi_{A}\lambdaeft(Z',Z''\right),\lambdaabel{tu}
\end{equation}
having in mind by (\ref{1vv}) the following diagram
\begin{Exa}taegin{equation}\begin{Exa}taegin{array}[c]{ccc}
S_{p,q}&\stackrel{\mathcal{W} }{\rightarrow}& S_{p',q'}\\
\uparrow\scriptstyle{\varphi_{A}}&&\uparrow\scriptstyle{\tauilde{\varphi}_{A^{2}}}\\
\mathcal{M}&\stackrel{ }{\rightarrow}&\mathcal{M}'
\end{array},\quad\quad\quad U_{A}: S_{p',q'}\rightarrow S_{p',q'}.\lambdaabel{diaggsee1}\end{equation}
Considering chances of coordinates preserving $S_{p,q}$, we can achieve that
\begin{Exa}taegin{equation}\lambdaeft(V\lambdaeft(Z',Z''\right)\right)^{t}=\lambdaeft({Z'}^{t},Z'''\lambdaeft(\varphi_{B}\lambdaeft(Z',Z''\right)\right)^{t}\right).\lambdaabel{tu2}
\end{equation}
Now, we reformulate computations (from the pages 244-245) from Huang-Ji\cite{HJ} using matrices. We have
\begin{Exa}taegin{equation} \lambdaeft( \mathcal{W} \circ \varphi_{A}\lambdaeft(Z',Z''\right)\right)^{t}= \lambdaeft(\frac{\sqrt{1-A}{Z'}^{t}}{I_{q}-A{Z''}^{t}}, \frac{\sqrt{1-A}\lambdaeft(A-Z'''\right){Z'}^{t}}{\lambdaeft(I_{q}-AZ'''\right)\lambdaeft(I_{q}-A{Z''}^{t}\right)},\frac{ \lambdaeft(A-Z'''\right)\lambdaeft(A-{Z''}^{t}\right)}{\lambdaeft(I_{q}-AZ'''\right)\lambdaeft(I_{q}-A{Z''}^{t}\right)} \right). \lambdaabel{kakaka}
\end{equation}
Combining (\ref{1vv}) and (\ref{kakaka}), we obtain
\begin{Exa}taegin{equation}\lambdaeft( \tauilde{\varphi}_{A^{2}} \circ \mathcal{W} \circ \varphi_{A}\lambdaeft(Z',Z''\right)\right)^{t}=\lambdaeft( \frac{\sqrt{I_{q}-A^{2}} \frac{\sqrt{I_{q}-A}{Z'}^{t}}{I_{q}-A{Z''}^{t}}}{I_{q}-A^{2} \frac{ \lambdaeft(A-Z'''\right)\lambdaeft(A-{Z''}^{t}\right)}{\lambdaeft(I_{q}-AZ'''\right)\lambdaeft(I_{q}-A{Z''}^{t}\right)} }, \frac{\sqrt{I_{q}-A^{2}} \frac{\sqrt{I_{q}-A}\lambdaeft(A-Z'''\right){Z'}^{t}}{\lambdaeft(I_{q}-AZ'''\right)\lambdaeft(I_{q}-A{Z''}^{t}\right)}}{I_{q}-A^{2} \frac{ \lambdaeft(A-Z'''\right)\lambdaeft(A-{Z''}^{t}\right)}{\lambdaeft(I_{q}-AZ'''\right)\lambdaeft(I_{q}-A{Z''}^{t}\right)} },\frac{A^{2}-\frac{ \lambdaeft(A-Z'''\right)\lambdaeft(A-{Z''}^{t}\right)}{\lambdaeft(I_{q}-AZ'''\right)\lambdaeft(I_{q}-A{Z''}^{t}\right)}}{I_{q}-A^{2}\frac{ \lambdaeft(A-Z'''\right)\lambdaeft(A-{Z''}^{t}\right)}{\lambdaeft(I_{q}-AZ'''\right)\lambdaeft(I_{q}-A{Z''}^{t}\right)} }\right).
\lambdaabel{kakaka3}\end{equation}
Next, let's make more computations. Then
\begin{Exa}taegin{equation*} I_{q^{2}}-A^{2}\frac{ \lambdaeft(A-Z'''\right)\lambdaeft(A-{Z''}^{t}\right)}{\lambdaeft(I_{q}-AZ'''\right)\lambdaeft(I_{q}-A{Z''}^{t}\right)} = \frac{\lambdaeft(I_{q}-AZ'''\right)\lambdaeft(I_{q}-A{Z''}^{t}\right)}{\lambdaeft(I_{q}-AZ'''\right)\lambdaeft(I_{q}-A{Z''}^{t}\right)}-A^{2}\frac{ \lambdaeft(A-Z'''\right)\lambdaeft(A-{Z''}^{t}\right)}{\lambdaeft(I_{q}-AZ'''\right)\lambdaeft(I_{q}-A{Z''}^{t}\right)}, \end{equation*}
or equivalently, by developing the parentheses, we obtain
\begin{Exa}taegin{equation*} I_{q^{2}}-A^{2}\frac{ \lambdaeft(A-Z'''\right)\lambdaeft(A-{Z''}^{t}\right)}{\lambdaeft(I_{q}-AZ'''\right)\lambdaeft(I_{q}-A{Z''}^{t}\right)} = \frac{\lambdaeft(I_{q}-AZ'''-A{Z''}^{t}+A^{2}Z'''{Z''}^{t}\right)}{\lambdaeft(I_{q}-AZ'''\right)\lambdaeft(I_{q}-A{Z''}^{t}\right)}-A^{2}\frac{ \lambdaeft(A^{2}-AZ''' -A{Z''}^{t}+Z'''{Z''}^{t}\right)}{\lambdaeft(I_{q}-AZ'''\right)\lambdaeft(I_{q}-A{Z''}^{t}\right)}, \end{equation*}
or equivalently, after simplifications, we obtain
\begin{Exa}taegin{equation} I_{q^{2}}-A^{2}\frac{ \lambdaeft(A-Z'''\right)\lambdaeft(A-{Z''}^{t}\right)}{\lambdaeft(I_{q}-AZ'''\right)\lambdaeft(I_{q}-A{Z''}^{t}\right)} = \frac{I_{q^{2}}-A^{4}+ AZ''' +A{Z''}^{t}- A^{3}Z''' -A^{3}{Z''}^{t} }{\lambdaeft(I_{q}-AZ'''\right)\lambdaeft(I_{q}-A{Z''}^{t}\right)} ,\lambdaabel{kakaka361} \end{equation}
Now, we use (\ref{kakaka361}) in order to simplify (\ref{kakaka3}). It follows that
\begin{Exa}taegin{equation}\tauilde{\mathcal{W}}\lambdaeft(Z',Z''\right) = \lambdaeft( \frac{\lambdaeft(I_{q}-A{Z'''}\right){Z'}^{t}}{\sqrt{I_{q}+A}\lambdaeft(I_{q}+A^{2}-A{Z'''}-A{Z''}^{t}\right)},\frac{\lambdaeft(A-Z'''\right){Z'}^{t}}{\sqrt{I_{q}+A}\lambdaeft(I_{q}+A^{2}-A{Z'''}-A{Z''}^{t}\right)},\frac{A{Z''}^{t}+A{Z'''}-\lambdaeft(I_{q}+A^{2}\right){Z'''}{Z''}^{t}}{I_{q}+A^{2}-A{Z'''}-A{Z''}^{t}}\right).
\lambdaabel{kakaka3se}\end{equation}
where we have used the following notation
$$\tauilde{\mathcal{W}}\lambdaeft(Z',Z''\right)=\lambdaeft( \tauilde{\varphi}_{A^{2}} \circ \mathcal{W} \circ \varphi_{A}\lambdaeft(Z',Z''\right)\right)^{t}.$$
Then, we consider the following matrices
\begin{Exa}taegin{equation}
U_{a_{i}}=\begin{Exa}taegin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}I_{p'-q} & -\frac{a}{\sqrt{1+a^{2}}}I_{p'-q} & \mbox{O}_{p'-q,1} \\ \frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}I_{p'-q} & \frac{a}{\sqrt{1+a^{2}}}I_{p'-q}& \mbox{O}_{p'-q,1} \\ \mbox{O}_{1,p'-q} & \mbox{O}_{1,p'-q} & 1
\end{pmatrix},\quad\mbox{where $i=1,\partialots,q$,}\lambdaabel{opooo1}
\end{equation}
having the following property
\begin{Exa}taegin{equation}\lambdaeft<Z^{\star}_{i}U_{a_{i}},Z^{\star}_{j}U_{a_{j}}\right>=\partialelta_{i}^{j},\quad\mbox{for all $i,j=1,\partialots,q$,} \lambdaabel{opooo}
\end{equation}
where the row vectors of the matrix $Z^{\star}$, similarly defined as in (\ref{Vprim}), are denoted by
$Z^{\star}_{1},Z^{\star}_{2},\partialots, Z^{\star}_{q}.$
Then, (\ref{opooo}) defines naturally the matrix $U_{A}$ using (\ref{edef}) and (\ref{981}), obtaining
\begin{Exa}taegin{equation} \Psi\circ \varphi_{C}^{-1}\sim \lambdaeft({Z'}^{\star},{Z''}_{2}^{\star} \odot \varphi_{C}\lambdaeft({Z'}^{\star},{Z''}^{\star}\right)\right), \quad\mbox{for}\hspace{0.1 cm}\varphi_{C}\lambdaeft(Z',Z''\right)=\lambdaeft({Z'}^{\star},{Z''}^{\star}\right).
\end{equation}
where the matrix $C$ is chosen as follows
$$C=\begin{Exa}taegin{pmatrix} \frac{2a_{1}}{1+a_{1}^{2}} & 0& \partialots &0 \\ 0 & \frac{2a_{2}}{1+a_{2}^{2}}& \partialots &0 \\ \vdots & \vdots & \partialdots &\vdots \\ 0 & 0& \partialots & \frac{2a_{q}}{1+a_{q}^{2}}
\end{pmatrix}\in \mathcal{M}_{q^{2}\tauimes q^{2}}\lambdaeft(\mathbb{C}\right).$$
Then, the proof becomes clear taking $B=A$. Proof completed.
\end{proof}
\section{Proof of Theorems \ref{T}}
Now, we have ingredients in order to provide the following proof:
\begin{Exa}taegin{proof}Through this paper, we have been considering compositions with automorphisms of $S_{p,q}$ and $S_{p',q'}$ in order to define classes of equivalence as in (\ref{clase}). On the other hand, we know from Kaup-Zaitsev\cite{KaZa1},\cite{KaZa2} and Kim-Zaitsev\cite{kz},\cite{kza} that these automorphisms of $S_{p,q}$ and $S_{p',q'}$ extend to holomorphic automorphisms of $D_{p,q}$ and $D_{p',q'}$. Lemma \ref{79V1} applies because of (\ref{ooo1A}) and (\ref{Ca}) in the light of (\ref{diag}). We obtain the classes of equivalence from (\ref{clase}). Proof completed.
\end{proof}
I hope that this paper confirms the scholarship received mainly from CAPES, because I will never return in The Federal University of Espirito Santo. I make also clear that I will never collaborate (mathematically) with people or residents from or in Brazil.
\begin{Exa}taegin{thebibliography}{BER96b}
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Preiss Rothschild}), pp. $321-340$, (2010).
\end{thebibliography}
\end{document} | math |
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The evil aliens have gained control over the omnitrix! Now it's spawning enemy aliens and attacking you. If you can fight off all incoming enemies you will eventually gain control over the Omnitrix, and save the world! | english |
Road Accident: রাস্তা দিয়ে হেঁটে যাচ্ছিলেন পথচারী, অচিরেই গতির বলি! মর্মান্তিক দুর্ঘটনা হাওড়ায় হাওড়া: বেপরোয়া গাড়ির ধাক্কায় মৃত্যু এক পথচারীর রবিবার সকাল সাতটা নাগাদ হাওড়ার সালকিয়া বাধাঘাট মোড়ের কাছে এক পথচারী রাস্তা দিয়ে হেঁটে যাচ্ছিলেন সেই সময় সামনের দিক থেকে বেপরোয়া গতিতে আসা একটি গাড়ি তাঁকে ধাক্কা মারে ঘটনাস্থলে ছিটকে পড়েন ওই ব্যক্তি মস্তিষ্ক থেকে অতিরিক্ত রক্তক্ষরণের ফলে ঘটনাস্থলেই তাঁর মৃত্যু হয় গোটা ঘটনাটি সিসিটিভি ক্যামেরাবন্দি হয়েছে দুর্ঘটনার পর গাড়ি নিয়ে চম্পট দেয় চালক মালিপাচঘড়া থানার পুলিশ ঘটনার তদন্ত শুরু করেছে পুলিশ সূত্রে জানা গিয়েছে, রবিবার সকাল ৭টা নাগাদ দুর্ঘটনার ঘটনাটি ঘটে হাওড়া বাদাঘাট রোডে ঘুসুড়ির কাছে পায়ে হেঁটে এক ভদ্রলোক হাওড়ার দিকে যাচ্ছিলেন অপরদিকে হাওড়ার দিক থেকে বেপরোয়া গতিতে একটি চারচাকা গাড়ি এসে ধাক্কা মারে ঘটনাস্থলেই ওই পথচারীর মৃত্যু হয় সিসিটিভি ফুটেজ দেখে পুলিশ তদন্তে নেমে চালকসহ ঘাতক গাড়িটি কে আটক করেছে মৃত পথচারীর নাম ঠিকানা জানার চেষ্টা চলছে প্রত্যক্ষদর্শীরা জানিয়েছেন, রবিবারের সকাল তাই রাস্তায় বিশেষ লোকজন ছিল না ওই পথচারীও রাস্তার বাঁদিক দিয়ে ধীরেসুস্থে হেঁটে যাচ্ছিলেন আচমকা, উল্টোদিক থেকে গাড়িটি এসে কার্যত ওই পথচারীকে পিষে দিয়ে চলে যায় মস্তিষ্কে অতিরিক্ত রক্তক্ষরণের জেরে তত্ক্ষণাত্ মৃত্যু হয় ওই পথচারীর প্রত্যক্ষদর্শীদের অনেকেই অনুমান করছেন, ওই গাড়ির চালক মত্ত অবস্থায় ছিল নয়ত ফাঁকা রাস্তায় কোনও গাড়ি এভাবে কোনও পথচারীকে ধাক্কা দেবে না উল্লেখ্য, শনিবারই খাস শহর কলকাতার রাস্তায় মর্মান্তিক পথ দুর্ঘটনার বলি হয়েছেন এক জন অভিযোগ, সুলেখায় একের পর এক ব্যক্তিকে ধাক্কা মারে একটি গাড়ি পরপর ৭ জনকে ধাক্কা মারে মত্ত চালক ঘটনাস্থলেই মৃত্য়ু হয় এক জনের এই ঘটনায় গুরুতর জখম হন ৬ জন আহতদের উদ্ধার করে বাঘাযতীন স্টেট জেনারেল হাসপাতালে নিয়ে যাওয়া হয় প্রত্যক্ষদর্শীরা জানিয়েছেন, ড্রাইভার মত্ত অবস্থায় গাড়ি চালাচ্ছিলেন গাড়িটি দ্রুত গতিতে যাদবপুর থেকে সুলেখার দিকে যাচ্ছিল তাঁদের চোখের সামনেই পর পর ৭ জনকে ধাক্কা মারে চালক গাড়িতে তিনটি ছেলে ও দুটি মেয়ে ছিল বলেই জানিয়েছেন অনেকে ইতিমধ্যেই ওই গাড়ির চালক রাহুল বন্দ্যোপাধ্যায়কে গ্রেফতার করা হয়েছে ধৃতকে রবিবারই আদালতে তোলা হয় আরও পড়ুন : Suvendu Adhikari: বিজেপি কর্মীদের মারধরের অভিযোগে গয়েশপুর পুলিশ ফাঁড়িতে শুভেন্দু আরও পড়ুন : Diamond Harbour: নেতাজির জন্মজয়ন্তীতে ফের রেকর্ড সংখ্যায় করোনা পরীক্ষা করার লক্ষ্য ডায়মন্ড হারবারে আরও পড়ুন : Madan Mitra: নেতাজি কি ভিখারি নাকি! প্রধানমন্ত্রীকে আক্রমণ মদনের | bengali |
Birmingham-based Lutz Real Estate Investments today announced a joint venture acquisition of a Corktown property that’s home to Mudgie’s Deli and Wine Shop on Porter Street with Gould Investors L.P., a New York-based real estate firm.
Under the new landlords, Mudgie’s Deli and Wine Shop will remain owned and operated by Greg Mudge under a long-term lease. Additionally, the property purchased includes an apartment building and parking lot.
Jon Epstein of Lutz Real Estate Investments says Corktown’s evolving social scene was an attractive feature of the property that lead to a purchase.
“We feel very strongly about the resurgence of Detroit, and Corktown is about to see a large residential expansion,” he says. “Mudgie’s Deli and Wine Shop has become one of the most popular restaurant destinations in Detroit. We responded immediately when we were presented the opportunity to purchase properties with a long-term tenant anchoring an iconic building located in an expanding area like Corktown.
Kyle Shenfeld of Gould LP says that the purchase of this property symbolizes the type of property that the joint venture is seeking.
In May, Detroit-based Soave Enterprises and its Soave Real Estate Group unveiled a $150-million, multi-phase plan to transform a 4.5-acre, five-block area of Corktown, bounded by Michigan and Trumbull avenues, I-75, and the Lodge Freeway.
The centerpiece is the former Checker Cab headquarters along Trumbull, just north of Michigan. Built in 1927, the three-story, 120,000-square-foot structure, along with the business of Checker Cab, was acquired by Soave Real Estate Group in 1998 to take advantage of the city’s emerging casino market and nightlife offerings. Comerica Park and Ford Field would soon open, as well.
In recent months, Soave relocated Checker Cab to Lafayette Park on the city’s east side to make way for Elton Park, a development of 420 residential apartments (20 percent affordable), up to 30,000 square feet of retail, a public space called Checker Alley, streetscape improvements, and parking. The project will be completed over the next four to five years, with the first phase of 151 apartments and 13,400 square feet of retail space within six buildings to open in late summer of next year.
In addition, at the former Tiger Stadium site, Detroit PAL (Police Athletic League), a nonprofit organization, is nearing completion of a $20-million youth sports complex, highlighted by a baseball diamond offering 2,500 stadium seats called the Willie Horton Field of Dreams, a banquet center, office space, and other activities. Some 13,000 children will benefit from the complex when it opens in the coming months, says Tim Richey, CEO of Detroit PAL.
On the same site, Larson Realty Group will soon start work on The Corner, which will offer 102 apartments and ground floor retail space set in a four-story building that will span both Michigan and Trumbull. In addition, there will be 24 townhomes that will resemble row houses. The $32-million project will take three to four years to complete. | english |
Boris Johnson Resign: পদত্যাগ করলেন ব্রিটিশ প্রধানমন্ত্রী বরিস জনসন অবশেষে পদত্যাগ করলেন ব্রিটিশ প্রধানমন্ত্রী বরিস জনসন মন্ত্রিসভার ৫০ সদস্যের পদত্যাগের পর পিছু হঠলেন বরিস জনসন দেশের স্বার্থে পদত্যাগ করুন বরিস জনসনকে জানিয়েছিলেন ট্রেজারি চিফ নাধিম জাওয়াহি নিজের অফিসেই থাকবেন না নতুন দল নেতা নির্বাচন করবে কনজারভেটিভ পার্টি ? যিনি দল নেতা নির্বাচিত হবেন তিনিই হতে পারেন প্রধানমন্ত্রী আজই আনুষ্ঠানিকভাবে ঘোষণার সম্ভাবনা আগে পদত্যাগ করেন পরিবেশ মন্ত্রী রেবেকা পাউ | bengali |
પાકિસ્તાનની પંજાબ વિધાનસભામાં મહિલા ધારાસભ્યોએ બોલાવી બઘડાટી,જુઓ વીડિયો પાકિસ્તાનમાં ચાલી રહેલા રાજકીય સંકટ વચ્ચે રવિવારે પંજાબ વિધાનસભામાં ભારે હોબાળો થયો હતો. વિધાનસભામાં શાસક પક્ષ અને વિપક્ષના મહિલા ધારાસભ્યો સામસામે આવી ગયા હતા. વિધાનસભામાં હંગામાનો આ વીડિયો સોશિયલ મીડિયા પર વાયરલ થયો છે. વીડિયોમાં મહિલા ધારાસભ્યો એકબીજા સાથે ધક્કામુક્કી અને લડાઈ કરતા જોઈ શકાય છે. આ ઉપરાંત મહિલાઓએ એકબીજાના વાળ પણ ખેંચ્યા હતા. તમને જણાવી દઈએ કે પાકિસ્તાનના વડાપ્રધાન ઈમરાન ખાને રવિવારે પંજાબ પ્રાંતના ગવર્નર ચૌધરી સરવરને હટાવી દીધા હતા, જ્યારે નવા પ્રાંતના મુખ્યમંત્રીની ચૂંટણી સ્થગિત કરી દેવામાં આવી હતી. સ્પીકર કાર્યાલયનો દાવો, હંગામાને કારણે ચૂંટણી મોકૂફ રાખવામાં આવી નેશનલ એસેમ્બલીના પગલે ચાલીને, પંજાબ વિધાનસભાના ડેપ્યુટી સ્પીકર સરદાર દોસ્ત મુહમ્મદ મજારીએ ઈમરાન ખાન સરકારને તોડવા માટે આંતરરાષ્ટ્રીય ષડયંત્રનો ઉલ્લેખ કરીને મુખ્ય પ્રધાનની ચૂંટણી યોજવાનો ઇનકાર કર્યો અને સત્રને 6 એપ્રિલ સુધી સ્થગિત કરી દીધું. બાદમાં, સ્પીકરના કાર્યાલયે કહ્યું કે ગૃહમાં હંગામાને કારણે, મુખ્ય પ્રધાનની ચૂંટણી માટે કાર્યવાહી સ્થગિત કરવામાં આવી. ચૌધરી પરવેઝ ઈલાહી સત્તાધારી પાકિસ્તાન તહરીકએઈન્સાફ PTI ગઠબંધનના ઉમેદવાર હતા, જ્યારે સંયુક્ત વિરોધ પક્ષના ઉમેદવાર હમજા શહબાજ હતા, જે પીએમએલએનના અધ્યક્ષ અને નેશનલ એસેમ્બલીમાં વિરોધ પક્ષના નેતા શાહબાઝ શરીફના પુત્ર છે. ઉમર સરફરાઝ નવા ગવર્નર નિયુક્ત કરવામાં આવ્યા પંજાબ વિધાનસભા સત્ર નેશનલ એસેમ્બલીના સત્ર સાથે જ થયું. આ પહેલા સવારે વડાપ્રધાન ઈમરાન ખાને પંજાબના ગવર્નર સરવરને બરતરફ કરી દીધા હતા અને તેમના સ્થાને ઉમર સરફરાઝની નિમણૂક કરી હતી. સરવરે કર્યો આ દાવો તો બીજી તરફ, બરતરફ કરાયેલા સરવરે ઈમરાન ખાન સાથે સંબંધિત ઘણી ગોપનીય માહિતી હોવાનો દાવો કર્યો હતો, અને કહ્યું હતું કે તેને જાહેર કરવા દબાણ ન કરવું જોઈએ. તેમણે કહ્યું કે ખાને તેમની પાર્ટીના વિરોધ છતાં અયોગ્ય મુખ્યમંત્રી ઉસ્માન બુઝદાર પસંદ કર્યા હતા. સરવરે કહ્યું કે ઈમરાન ખાને તેમને બંધારણનું ઉલ્લંઘન કરીને મધ્યરાત્રિએ પંજાબ વિધાનસભાનું સત્ર બોલાવવાનું કહ્યું હતું. સરવરે વધુમાં દાવો કર્યો હતો કે તેણે બે દિવસ પહેલા જ રાજીનામું આપી દીધુ હતું. | gujurati |
/*
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*/
package com.hazelcast.client.impl.protocol.task.queue;
import com.hazelcast.client.impl.protocol.ClientMessage;
import com.hazelcast.client.impl.protocol.codec.QueueClearCodec;
import com.hazelcast.client.impl.protocol.task.AbstractPartitionMessageTask;
import com.hazelcast.collection.impl.queue.QueueService;
import com.hazelcast.collection.impl.queue.operations.ClearOperation;
import com.hazelcast.instance.Node;
import com.hazelcast.nio.Connection;
import com.hazelcast.security.permission.ActionConstants;
import com.hazelcast.security.permission.QueuePermission;
import com.hazelcast.spi.Operation;
import java.security.Permission;
/**
* Client Protocol Task for handling messages with type ID:
* {@link com.hazelcast.client.impl.protocol.codec.QueueMessageType#QUEUE_CLEAR}
*/
public class QueueClearMessageTask
extends AbstractPartitionMessageTask<QueueClearCodec.RequestParameters> {
public QueueClearMessageTask(ClientMessage clientMessage, Node node, Connection connection) {
super(clientMessage, node, connection);
}
@Override
protected Operation prepareOperation() {
return new ClearOperation(parameters.name);
}
@Override
protected QueueClearCodec.RequestParameters decodeClientMessage(ClientMessage clientMessage) {
return QueueClearCodec.decodeRequest(clientMessage);
}
@Override
protected ClientMessage encodeResponse(Object response) {
return QueueClearCodec.encodeResponse();
}
@Override
public Permission getRequiredPermission() {
return new QueuePermission(parameters.name, ActionConstants.ACTION_REMOVE);
}
@Override
public String getMethodName() {
return "clear";
}
@Override
public String getServiceName() {
return QueueService.SERVICE_NAME;
}
@Override
public Object[] getParameters() {
return null;
}
@Override
public String getDistributedObjectName() {
return parameters.name;
}
}
| code |
पूर्णिया में जमीन विवाद में शख्स को मारी गोली, घायल की हालत नाजुक पूर्णिया में जमीन विवाद में शख्स को गोली मारने का मामला Man Shot in Land dispute in Purnea सामने आया है. घायल शख्स का गंभीर हालत में पूर्णिया सदर अस्पताल में इलाज चल रहा है. जहां उनकी स्थिति नाजुक बनी हुई है. पढ़ें पूरी खबर..पूर्णिया: बिहार के पूर्णिया में जमीन विवाद Land dispute in Purnea में एक शख्स को गोली मारकर घायल कर दिया गया. घायल शख्स का पूर्णिया सदर अस्पताल Purnea Sadar Hospital में इलाज किया जा रहा है. जहां उसकी हाल नाजुक बनी हुई है. घटना नगर थाना क्षेत्र के सिंधिया गांव की है, जहां दो बदमाशों ने रामचंद्र यादव को जमीन विवाद में गोली मार दी. घायल व्यक्ति को गोली सीने में लगी है. स्थानीय लोग इलाज के लिए पूर्णिया सदर अस्पताल ले आए, जहां उनकी स्थिति गंभीर है. जमीन में हिस्सा मांग रहा था कलयुगी बेटा, पिता ने किया इनकार तो.. मार दी सिर पर गोलीपूरे मामले को लेकर बताया जा रहा है कि रामचंद्र यादव का गांव के ही एक व्यक्ति से जमीन विवाद चल रहा था. मामला कोर्ट में चल रहा है. रामचंद्र यादव जब अपने घर के बाहर खड़े थे, उसी समय एक मोटरसाइकिल पर सवार दो युवकों ने उन्हें गोली मार दी और फरार हो गए. गोली रामचंद्र यादव के सीने में लगी है. गोली की आवाज सुनकर परिवार और आसपास के लोग घटनास्थल पर दौड़े और घायल रामचंद्र यादव को इलाज के लिए पूर्णिया सदर अस्पताल लाए, जहां उनकी स्थिति नाजुक बनी हुई है.घटना की जानकारी स्थानीय थाने की पुलिस को दी गई है. मगर अभी तक पुलिस न तो घटनास्थल पहुंची है. सदर अस्पताल पुलिस के आने के बाद ही रामचंद्र यादव से बयान लिया जाएगा, जिसके बाद ही सारी बात सामने आएगी. अब देखना यह है कि पुलिस की गिरफ्त में अपराधी कब तक आते हैं. जमीनी विवाद को लेकर दोनों अपराधियों का हौसला बुलंद है और बड़ी घटना को अंजाम दे डालते हैं. | hindi |
لاہور کامرس رپورٹر لاہور چیمبر کامرس اینڈ انڈسٹری کے قائم مقام صدر امجد علی جاوا نے سپریم کورٹ پاکستان سے اپیل کی ہے کہ گڈز ٹرانسپورٹرز کی ہڑتال کا از خود نوٹس لے کیونکہ تجارتی اشیاء خام مال اور اشیائے خورد نوش کی مد رفت رکنے سے صورتحال تشویشناک حد تک خراب ہوگئی ہے لاہور چیمبر میں ایک ہنگامی پریس کانفرنس سے خطاب کرتے ہوئے لاہور چیمبر کے قائم مقام صدر نے کہا کہ گڈز ٹرانسپورٹرز کی ہڑتال کی وجہ سے تجارتی سرگرمیوں کو تقریبا 60ارب روپے کا نقصان پہنچ چکا ہے روزانہ اجرت پر کام کرنے والے مزدوروں کے چولہے ٹھنڈے پڑے ہیں برمدی مال پھنس جانے کی وجہ سے برمدات کو بھاری نقصان ہورہا ہے جو پہلے ہی کم ہورہی ہیں جبکہ جلد خراب ہوجانے والی اشیاء تباہ ہورہی ہیں جس سے تاجروں کو بھاری مالی خسارہ برداشت کرنا پڑے گا امجد علی جاوا نے کہا کہ کراچی پورٹ ٹرسٹ اور پورٹ محمد بن قاسم پر کنٹینرز رکھنے کی جگہ ختم ہوچکی ہے جس کی وجہ سے مزید مال کی مد بھی رک گئی ہے انہوں نے کہا کہ اشیائے خورد نوش کی ترسیل بند ہونے سے ملک میں فوڈ سکیورٹی کے مسائل پیدا ہونے کا خدشہ ہے فیکٹریوں میں تیار مال گوداموں میں پڑا ہے | urdu |
زیاد تر جٔدٟد کیٚنو چھِ کُملٲوِتھ پٕلاسٹِکَس یا مُختٔلِف قٕسمَن ہِنٛدِس مُرکَبس مثلاً فایبَر گِلاس یا یمن منٛز کیولَر یا گرٛیٚفایِٹ شٲمِل چُھ آسان بناونہٕ یوان | kashmiri |
ಬಿಗ್ಬಿ ಜೊತೆಗೆ ಹಾರರ್ ಫೀಲ್ಮ್ ಮಾಡುತ್ತಾರಂತೆ ರಾಮ್ ಗೋಪಾಲ್ ವರ್ಮಾ ಕಲಾತ್ಮಕ ಸಿನಿಮಾಗಳನ್ನು ಮಾಡುವದರಲ್ಲಿ ಹೆಸರುವಾಸಿಯಾದ ಖ್ಯಾತ ನಿದೇರ್ಶಕ ರಾಮ್ ಗೋಪಾಲ್ ವರ್ಮಾ ಶೀಘ್ರದಲ್ಲೇ ಹಾರರ್ ಸಿನಿಮಾವೊಂದನ್ನು ಮಾಡಲು ಮುಂದಾಗಿದ್ದಾರೆ. ಈ ಕುರಿತು ಖಾಸಗಿ ವಾಹಿನಿಯ ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಶನವೊಂದರಲ್ಲಿ ಮಾತನಾಡಿದ ರಾಮ್ , ಬಾಲಿವುಡ್ ಖ್ಯಾತ ನಟ ಅಮಿತಾಭ್ ಬಚ್ಚನ್ ಅವರೊಂದಿಗೆ ಹಾರರ್ ಚಿತ್ರ ಮಾಡುವ ಯೋಜನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಿದರು. ನೀವು ಊಹಿಸಿದಂತೆ, ಅದು ಅಮಿತಾಭ್ ಬಚ್ಚನ್ ಹೊರತು ಬೇರೆ ಯಾರೂ ಅಲ್ಲ ಎಂದಿದ್ದಾರೆ. ಇದನ್ನೂ ಓದಿ: ಕೊಲೆಯ ಲೈವ್ ವಿಡಿಯೋ ಮಾಡಿ ಸಿಕ್ಕಿಬಿದ್ದ ಪ್ರೇಯಸಿ ಅಮಿತಾಬ್ ಬಚ್ಚನ್ ಮತ್ತು ರಾಮ್ ಗೋಪಾಲ್ ವರ್ಮಾ ದೀರ್ಘಕಾಲದ ಒಡನಾಟವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ. ಈ ಹಿಂದೆ ರಾಮ್ ಬಿಗ್ಬಿಯ ಅನೇಕ ಚಿತ್ರಗಳಿಗೆ ಆಕ್ಷನ್ ಕಟ್ ಹೇಳಿದ್ದು, ಸರ್ಕಾರ್, ಸರ್ಕಾರ್ ರಾಜ್, ಸರ್ಕಾರ್ 3, ರನ್, ಮತ್ತು ನಿಶಬ್ದ್ ಹೀಗೆ ಅನೇಕ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಇದಾದ ಬಳಿಕ ಅವರು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿ ಐದು ವರ್ಷಗಳೇ ಕಳೆದಿತ್ತು. ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಈ ಚಿತ್ರದ ಕುರಿತು ಅಮಿತಾಭ್ ಅವರೊಂದಿಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಇದೊಂದು ಭಯಾನಕ ಚಿತ್ರವಾಗಿದ್ದು ನಾನು ಅದನ್ನು ಮಿಸ್ಟರ್ ಬಚ್ಚನ್ ಜೊತೆ ಮಾಡಲು ಯೋಜಿಸುತ್ತೇನೆ ಎಂದಿದ್ದಾರೆ. ಅಷ್ಟಕ್ಕೂ ರಾಮ್ ಗೋಪಾಲ್ ವರ್ಮಾ ಹಾರರ್ ಸಿನಿಮಾಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತಿದ್ದದ್ದು ಇದೇ ಮೊದಲೇನಲ್ಲ. ಈ ಹಿಂದೆ ರಾತ್, ಭೂತ್, ಭೂತ್ ರಿಟರ್ನ್ಸ್, ಡರ್ನಾ ಮನಾ ಹೈ, ವಾಸ್ತು ಶಾಸ್ತ್ರದಂತಹ ಅನೇಕ ಸಿನಿಮಾಗಳನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಿಸಿ ಸೈ ಎನಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದರು. ಇದನ್ನೂ ಓದಿ: 50 ವರ್ಷ ಪೂರೈಸಿದ ಸೌರವ್ ದಾದಾ | kannad |
تٔعمیرٲتی سامان سجاوٹٕک چٟز تہٕ فرنشنگ ٲس زِیٛادٕ تر مشرقی ایشیائی مُلکَو تہٕ یورپ پؠٹھٕ درآمد کٔرمٕتۍ | kashmiri |
ಅಟಲ್ ಟನಲ್ ಉದ್ಘಾಟನೆ: ಚಂಡೀಘಡಕ್ಕೆ ಬಂದಿಳಿದ ಮೋದಿ ಶಿಮ್ಲಾ: ಹಿಮಾಚಲಪ್ರದೇಶದ ರೋಹ್ಟಂಗ್ನಲ್ಲಿರೋ ವಿಶ್ವದ ಅತೀ ಉದ್ದದ ಸುರಂಗ ಮಾರ್ಗವಾದ ಅಟಲ್ ಟನಲ್ ಇಂದು ಲೋಕಾರ್ಪಣೆಗೊಳ್ಳಲಿದೆ. ಈ ಹಿನ್ನೆಲೆ ಪ್ರಧಾನಮಂತ್ರಿ ನರೇಂದ್ರ ಮೋದಿ ಚಂಡೀಘಡ ವಿಮಾನ ನಿಲ್ದಾಣಕ್ಕೆ ಬಂದಿಳಿದಿದ್ದಾರೆ. ಬೆಳಗ್ಗೆ 10 ಗಂಟೆಗೆ ಮೋದಿ, ಟನಲ್ ಉದ್ಘಾಟಿಸಲಿದ್ದಾರೆ. ಬಳಿಕ ಲಾಹೌಲ್ ಕಣಿವೆಯ ಸಿಸ್ಸುನಲ್ಲಿ ಸಾರ್ವಜನಿಕರನ್ನ ಉದ್ದೇಶಿಸಿ ಮಾತನಾಡಲಿದ್ದಾರೆ. ಕೊರೊನಾ ಮುನ್ನೆಚ್ಚರಿಕೆ ಕ್ರಮವಾಗಿ ವೇದಿಕೆ ಸುತ್ತಮುತ್ತ ಸ್ಯಾನಿಟೈಸೇಷನ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಬಿಗಿ ಪೊಲೀಸ್ ಬಂದೋಬಸ್ತ್ ಏರ್ಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. : ವಿಶ್ವದ ಅತೀ ಉದ್ದದ ಅಟಲ್ ಟನಲ್ ಲೋಕಾರ್ಪಣೆಗೆ ಕ್ಷಣಗಣನೆ ಅಟಲ್ ಟನಲ್ ಸುಮಾರು 9.2 ಕಿಲೋ ಮೀಟರ್ ಉದ್ದದ ಸುರಂಗ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದ್ದು, ಜಗತ್ತಿನ ಅತೀ ಉದ್ದನೆಯ ಸುರಂಗ ಅನ್ನೋ ಹೆಗ್ಗಳಿಕೆ ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದೆ. 3,300 ಕೋಟಿ ರೂಪಾಯಿ ವೆಚ್ಚದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಾಣಗೊಂಡಿದೆ. ಸಮುದ್ರ ಮಟ್ಟದಿಂದ ಬರೋಬ್ಬರಿ 10 ಸಾವಿರ ಅಡಿ ಎತ್ತರದಲ್ಲಿರುವ ಈ ಹೆದ್ದಾರಿ ಸುರಂಗ ಮಾರ್ಗ ಹಿಮಾಚಲ ಪ್ರದೇಶದ ಮನಾಲಿ ಮತ್ತು ಲೇಹ್ ನಡುವೆ ಸುಲಭ ಸಂಪರ್ಕ ಕಲ್ಪಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಸಂಪರ್ಕ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನ ನೂತನ ಟನಲ್ ನಿವಾರಿಸಲಿದೆ ಎಂದು ಮೋದಿ ಟ್ವೀಟ್ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ. | kannad |
require File.expand_path('../test_helper', __FILE__)
class TestObj
ID = 56
def id; ID; end
def self.find(id); TestObj.new if id == ID; end
def foo(state, state2); "bar #{state} #{state2}"; end
def self.bar(state, state2); "baz #{state} #{state2}"; end
end
class PerformableTestObj < TestObj
include Backburner::Performable
end
class AutomagicTestObj < TestObj
# Don't include Backburner::Performable because it should be automagically included
def qux(state, state2); "garply #{state} #{state2}" end
def self.garply(state, state2); "thud #{state} #{state2}" end
def qux?; "garply!" end
end
class AsyncInstanceMethodsTestObj < PerformableTestObj; end
class AsyncStaticMethodsTestObj < PerformableTestObj; end
describe "Backburner::Performable module" do
after { ENV["TEST"] = nil }
describe "for async instance method" do
it "should invoke worker enqueue" do
Backburner::Worker.expects(:enqueue).with(PerformableTestObj, [56, :foo, true, false], has_entries(:pri => 5000, :queue => "foo"))
PerformableTestObj.new.async(:pri => 5000, :queue => "foo").foo(true, false)
end
end # async instance
describe "for async class method" do
it "should invoke worker enqueue" do
Backburner::Worker.expects(:enqueue).with(PerformableTestObj, [nil, :bar, true, false], has_entries(:pri => 5000, :queue => "foo"))
PerformableTestObj.async(:pri => 5000, :queue => "foo").bar(true, false)
end
end # async class
describe "for perform class method" do
it "should work for instance" do
assert_equal "bar true false", PerformableTestObj.perform(PerformableTestObj::ID, :foo, true, false)
end # instance
it "should work for class level" do
assert_equal "baz false true", PerformableTestObj.perform(nil, :bar, false, true)
end # class
end # perform
describe "for handle_asynchronously class method" do
it "should automagically asynchronously proxy calls to the method" do
Backburner::Performable.handle_asynchronously(AutomagicTestObj, :qux, :pri => 5000, :queue => "qux")
Backburner::Worker.expects(:enqueue).with(AutomagicTestObj, [56, :qux_without_async, true, false], has_entries(:pri => 5000, :queue => "qux"))
AutomagicTestObj.new.qux(true, false)
end
it "should work for class methods, too" do
Backburner::Performable.handle_static_asynchronously(AutomagicTestObj, :garply, :pri => 5000, :queue => "garply")
Backburner::Worker.expects(:enqueue).with(AutomagicTestObj, [nil, :garply_without_async, true, false], has_entries(:pri => 5000, :queue => "garply"))
AutomagicTestObj.garply(true, false)
end
it "should correctly handle punctuation" do
Backburner::Performable.handle_asynchronously(AutomagicTestObj, :qux?)
Backburner::Worker.expects(:enqueue).with(AutomagicTestObj, [56, :qux_without_async?], {})
AutomagicTestObj.new.qux?
end
it "should handle lambdas for priority" do
proc = lambda { |job_class, args| 5 }
Backburner::Performable.handle_asynchronously(AutomagicTestObj, :qux, :pri => proc, :queue => "qux")
Backburner::Worker.expects(:enqueue).with(AutomagicTestObj, [56, :qux_without_async, true, false], has_entries(:pri => proc, :queue => "qux"))
AutomagicTestObj.new.qux(true, false)
end
it "should be available for instance methods on any class that includes the Performable module" do
AsyncInstanceMethodsTestObj.handle_asynchronously :foo, pri: 5000, queue: 'qux'
Backburner::Worker.expects(:enqueue).with(AsyncInstanceMethodsTestObj, [56, :foo_without_async, true, false], has_entries(:pri => 5000, :queue => "qux"))
AsyncInstanceMethodsTestObj.new.foo(true, false)
end
it "should be available for class methods on any class that includes the Performable module" do
AsyncStaticMethodsTestObj.handle_static_asynchronously :bar, pri: 5000, queue: 'garply'
Backburner::Worker.expects(:enqueue).with(AsyncStaticMethodsTestObj, [nil, :bar_without_async, true, false], has_entries(:pri => 5000, :queue => "garply"))
AsyncStaticMethodsTestObj.bar(true, false)
end
end
end
| code |
ನಟಿ ಅಮೂಲ್ಯ ಬೇಬಿ ಬಂಪ್ ಫೋಟೊ ವೈರಲ್, ಅಭಿಮಾನಿಗಳಿಂದ ಮೆಚ್ಚುಗೆ ಬೆಂಗಳೂರು: ಸ್ಯಾಂಡಲ್ವುಡ್ ನಟಿ ಅಮೂಲ್ಯ ಜಗದೀಶ್ ಅವರು ತುಂಬು ಗರ್ಭಿಣಿ ಎಂಬುದು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಗೊತ್ತಿರುವ ವಿಚಾರ. ಇದೀಗ ಅವರು ಬೇಬಿ ಬಂಪ್ ಫೋಟೊಶೂಟ್ ಮಾಡಿಸಿದ್ದು, ಇದೀಗ ಫೋಟೊಗಳು ಸಾಮಾಜಿಕ ಜಾಲತಾಣಗಳಲ್ಲಿ ವೈರಲ್ ಆಗಿವೆ. ಅಮೂಲ್ಯ ಅವರು ಮೊದಲ ಮಗುವಿನ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಇದ್ದಾರೆ. ತುಂಬು ಗರ್ಭಿಣಿಯಾಗಿರುವ ಅವರು ಪತಿ ಜಗದೀಶ್ ಜೊತೆಗೆ ಫೋಟೊಶೂಟ್ ಮಾಡಿಸಿದ್ದು, ಈ ಫೋಟೋಗಳನ್ನು ತಮ್ಮ ಇನ್ಸ್ಟಾಗ್ರಾಮ್ನಲ್ಲಿ ಹೃದಯದ ಎಮೋಜಿಯೊಂದಿಗೆ ಪೋಸ್ಟ್ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಅಭಿಮಾನಿಗಳು ಸೇರಿದಂತೆ ಚಿತ್ರರಂಗದ ಅನೇಕರು ಮೆಚ್ಚುಗೆ ಸೂಚಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಕೆಲ ದಿನಗಳ ಹಿಂದೆ ತಾವು ತಾಯಿಯಾಗುತ್ತಿರುವುದಾಗಿ ಅಮೂಲ್ಯ ಹೇಳಿದ್ದರು. ಪತಿ ಜಗದೀಶ್ ಜೊತೆ ಇರುವ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಫೋಟೋವನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಂಡಿದ್ದ ಅವರು ನಾವೀಗ ಇಬ್ಬರೇ ಅಲ್ಲ 2022ರಲ್ಲಿ ಮೂವರಾಗುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಬರೆದುಕೊಂಡಿದ್ದರು. ಅಮೂಲ್ಯ ಸ್ಯಾಂಡಲ್ವುಡ್ಗೆ ಬಾಲನಟಿಯಾಗಿ ಪದಾರ್ಪಣೆ ಮಾಡಿದರು. ಬಳಿಕ ಚೆಲುವಿನ ಚಿತ್ತಾರ ಸಿನಿಮಾ ಮೂಲಕ ನಟಿಯಾಗಿ ಮಿಂಚಿದರು. ಅಮೂಲ್ಯ 2017ರಲ್ಲಿ ಜಗದೀಶ್ ಅವರನ್ನು ಮದುವೆಯಾದರು. | kannad |
చంద్రమోహన్ ను అవమానించిన స్టార్ హీరో..! సీనియర్ నటులలో చంద్రమోహన్ ఎంతో అద్భుతంగా నటిస్తూ ఉంటాడు.ఇక ఈయన నటన ఒక్కో సినిమాలో ఒక్కో విధంగా ఉంటుంది.అలా ఎన్నో బ్లాక్ బస్టర్ సినిమాల్లో కూడా నటించాడు చంద్రమోహన్.అయితే చంద్రమోహన్ ను ఒకసారి ఒక సినిమాలో క్యారెక్టర్ కోసం పిలిచి తనకి కాకుండా వేరే హీరో కి ఇచ్చి మోసం చేశారట ఆ విషయాలను చూద్దాం. నందమూరి తారక రామారావు నటించిన సినిమాలలో అన్నదమ్ముల అనుబంధంసినిమా కూడా ఒకటి.ఈ సినిమా అప్పట్లో బ్లాక్ బస్టర్ హిట్ సాధించింది.ఇక ఈ సినిమాలో ఎన్టీఆర్ మురళీమోహన్ బాలకృష్ణ నటించిన సంగతి అందరికీ తెలిసిందే.ఇక ఈ సినిమాని హిందీలో మాదొం కీ భారత్ అనే సినిమా నుంచి రీమిక్స్ చేయబడింది.ఇక ఈ సినిమాని 1975వ సంవత్సరంలో విడుదల చేశారు. ఇక ఈ సినిమా సమాజంలోని ఉన్నటువంటి అన్నదమ్ముల అనుబంధానికి నిదర్శనంగా నిలిచింది.ఇక ఇందులో ఒక పాత్ర కోసం ముందుగా చంద్రమోహన్ ని అడిగారట.ఆయన కూడా నటించడానికి ఒప్పుకోవడంతో ఓకే అన్నారు.కానీ ఆ సినిమా షూటింగ్ మొదలైన తర్వాత చంద్రమోహన్ కు తెలియకుండా ఆ పాత్రలో బాలకృష్ణ చేయించారట.కానీ ఇది తెలియకుండా చంద్రమోహన్ అక్కడ షూటింగ్ కి వెళ్లారట. తాను నటించబోయే పాత్రలో బాలకృష్ణ నటిస్తున్నాడని చెప్పడంతో చంద్రమోహన్ చాలా హర్ట్ అయ్యారట.ఒక విధంగా తన కీ చాలా అవమానం జరిగినట్లుగా అయిందని భావించాడట చంద్రమోహన్.ఆ సినిమాలో ఛాన్స్ మిస్ అయిన చంద్రమోహన్ కు వేరొక సినిమాలో నటించే అవకాశం దక్కించుకున్నాడట.ఎవరు సినిమాలో అంటే ఎంజీఆర్ సినిమాలో సోదరుడి పాత్రలో నటించాడు చంద్రమోహన్. తమిళ్ లో కూడా ఇదే సినిమాని ఎంజీఆర్ రీమేక్ చేయడం జరిగింది.ఇక ఆ సినిమాలో కూడా చంద్రమోహన్ కు సోదరి పాత్రలో నటించారు.ఒకానొక సందర్భంలో ఈ విషయాలన్ని ఆయనే స్వయంగా తెలియజేయడం జరిగింది. అయితే ఆయన తెలుగులో మిస్సయిన ఛాన్స్ ని తమిళ్ లో దక్కించుకోవడం వల్ల కొంచెం ఆనంద పడ్డారట. Related Articles | telegu |
ரூ.420 கோடி மதிப்பில் பல்வேறு பணி: ஈரோடு மாவட்டத்தில் துவக்கி வைப்பு ஈரோடு: ஈரோடு மாவட்டத்தில், 66 புதிய கட்டடம் உட்பட, 420 கோடி ரூபாய் மதிப்பிலான பணிகளை, காணொலி காட்சியில் முதல்வர் ஸ்டாலின் துவக்கி வைத்தார்.ஈரோடு கலெக்டர் அலுவலகத்தின் பின்புறம், 41.06 கோடி ரூபாயில் புதிதாக கட்டப்பட்ட கூடுதல் கட்டடம் உள்ளிட்ட பல்வேறு பணிகள் திறப்பு விழா, அடிக்கல் நாட்டு விழா நேற்று நடந்தது. செய்தித்துறை அமைச்சர் சாமிநாதன் முன்னிலை வகித்தார். வீட்டு வசதித்துறை அமைச்சர் முத்துசாமி தலைமை வகித்தார். ஈரோடு கலெக்டர் அலுவலக கூடுதல் கட்டடம், பெருந்துறை அரசு மருத்துவ கல்லூரி மருத்துவமனையில், குழந்தைகளுக்கான சிகிச்சை பிரிவு, 550 படுக்கையுடன் கூடிய கட்டடம், பல்வேறு வளர்ச்சி பணிகளை, முதல்வர் ஸ்டாலின் காணொலி காட்சியில் திறந்து வைத்து பேசியதாவது: கட்டி முடிக்கப்பட்ட, 104 கோடி ரூபாய் மதிப்பிலான, 66 பணிகள் திறக்கப்பட்டுள்ளன. 45 கோடி ரூபாய் மதிப்பில், 365 திட்டப்பணிகளுக்கு அடிக்கல் நாட்டப்படுகிறது. பர்கூரில், 1.50 கோடி ரூபாயில் சாலைப்பணி, தாளவாடி அயனாபுரம் பகுதியில், 1.09 கோடி ரூபாயில், ஐந்து தடுப்பணை கட்ட அடிக்கல் நாட்டப்பட்டுள்ளன. பல்வேறு அரசு துறைகளில், 40 ஆயிரத்து, 75 பயனாளிகளுக்கு, 209.76 கோடி ரூபாயில் நலத்திட்ட உதவி வழங்கப்படுகிறது. பெருந்துறை அரசு மருத்துவ கல்லூரி மருத்துவமனையில் ஏற்கனவே, 500 படுக்கைகள் உள்ளன. தற்போது பல்வேறு அமைப்புகள் மூலம், 664 படுக்கைகள் அமைவதால், 1,311 படுக்கைகளாகிறது. சோலாரில் கூடுதல் பஸ் ஸ்டாண்ட், சத்தியமங்கலத்தில் கூடுதல் பஸ் ஸ்டாண்ட், பெருந்துறையில் புதிய பஸ் ஸ்டாண்ட் கட்ட அடிக்கல் நாட்டப்பட்டுள்ளது. ஈரோடு சிக்கய நாயக்கர் கல்லூரி, அரசு கல்லூரியாக மாற்றி உத்தரவிடப்படுகிறது. இவ்வாறு அவர் பேசினார். விழாவில் எம்.பி.,க்கள் கணேசமூர்த்தி, அந்தியூர் செல்வராஜ், எம்.எல்.ஏ., அந்தியூர் வெங்கடாச்சலம் உட்பட பலர் பங்கேற்றனர். முதல்வரால் அறிவிக்கப்பட்ட, நலத்திட்டங்கள், மாவட்ட அளவில், 248 இடங்களில் தாலிக்கு தங்கம், முதியோர் உதவித்தொகை, இலவச வீட்டுமனை பட்டா, நுண்ணீர் பாசன கருவிகள் வழங்குதல், பயிர் கடன் வழங்கப்பட்டது. | tamil |
New Delhi, Sep 10 (KTNS) Opposition leaders on Monday accused the Modi government of pursuing “anti-people policies” and cheating the people on various issues, besides remaining silent on the rising prices of fuel and other essential items.
Revolutionary Socialist Party Member of Parliament N.K. Premachandran said that protests by various political outfits was an indication that the entire country is agitated and protesting against the government’s “anti-people policies”.
“The Prime Minister calls himself a fakir (acetic). I am surprised. We have seen plunderers loot the country, but it is for the first time that a ‘fakir’ is looting the country,” he said. | english |
ഇടുക്കി അണക്കെട്ട് സഞ്ചാരികള്ക്കായി തുറന്നു ചെറുതോണി: കോവിഡ് പ്രതിസന്ധിയെതുടര്ന്ന് അടച്ച ഇടുക്കി, ചെറുതോണി അണക്കെട്ടുകള് ഓണത്തോടനുബന്ധിച്ച് വിനോദ സഞ്ചരികള്ക്കായി തുറന്നു. ആദ്യദിവസം അണക്കെട്ടുകള് സന്ദര്ശിച്ചത് 430 പേരാണ്. കൃത്യമായ കോവിഡ് നിയന്ത്രണങ്ങളോടെയാണ് അണക്കെട്ടിലേക്ക് വിനോദ സഞ്ചരികളെ പ്രവേശിപ്പിക്കുന്നത്. മുതിര്ന്നവര്ക്ക് 40 രൂപയും കുട്ടികള്ക്ക് 20 രൂപയുമാണ് പ്രവേശനത്തിന് ചാര്ജ് ഈടാക്കുന്നത്. രണ്ട് അണക്കെട്ടുകളും കണ്ട് തിരികെവരാന് ബഗ്ഗി കാറുകളും ഏര്പ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. ബഗ്ഗി കാറില് കുടുംബാംഗങ്ങള്ക്കും ഒരേ വാഹനത്തില് വന്നവര്ക്കും ഒരുമിച്ചു യാത്ര അനുവദിക്കും. ഒരു ട്രിപ്പിന് 600 രൂപയാണ് ഈടാക്കുക. എട്ടുപേരെ വരെയാണ് ഇതില് കയറ്റുക. കൂടുതല് ആളുകളുണ്ടെങ്കില് ഇവിടെ ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്ന ട്രാവലറില് സഞ്ചരിക്കാം. ഇതില് 13 പേര്ക്ക് വരെ യാത്രചെയ്യാം. ഇതിനും 600 രൂപയാണ് ചാര്ജ്. ദിവസവും രാവിലെ ഒന്പതുമുതല് വൈകുന്നേരം അഞ്ചുവരെയാണ് അണക്കെട്ട് സന്ദര്ശിക്കാനാവുക. അണക്കെട്ട് സന്ദര്ശിക്കാനെത്തുന്നവര് രണ്ടു ഡോസ് കോവിഡ് വാക്സിന് സ്വീകരിച്ചവരോ കോവിഡ് പിടിപെട്ട് ഒരുമാസം കഴിഞ്ഞവരോ ആയിരിക്കണം. ഇവരോടൊപ്പമുള്ള കുട്ടികള്ക്ക് തടസമുണ്ട ാകില്ല. ഇടുക്കി ജലാശയത്തില് വനംവകുപ്പ് നടത്തിയിരുന്ന ബോട്ടുസവാരി ആരംഭിച്ചിട്ടില്ല. ഇടുക്കി അണക്കെട്ടിനോടു ചേര്ന്നുള്ള ഹില്വ്യു പാര്ക്കും തുറന്നിട്ടുണ്ട്. | malyali |
সুগার ও ব্লাডপ্রেশারসহ যে ৪টি সমস্যায় কালোজিরের ব্যবহার করবেন আপনি, দেখেনিন এর আগের পর্বে মহিলা ও শিশুদের বিভিন্ন সমস্যায় কালোজিরে কী ভাবে খেলে উপকার পাবেন সে বিষয়ে আলোচনা করা হয়েছিল এই পর্বে রইল আরও কয়েকটি রোগ বা সমস্যায় কালোজিরের ব্যবহারে পদ্ধতি দেখে নেওয়া যাক ১ হার্টের বিভিন্ন সমস্যায় হার্টের ক্ষেত্রেও কালোজিরে উপকারী এই সমস্যায় এক চা চামচ কালোজিরে গুঁড়ো এক কাপ দুধের সঙ্গে মিশিয়ে রোজ ২ বার খান ৪ থেকে ৫ সপ্তাহ খেলেই পার্থক্য বুঝতে পারবেন ২ রক্তচাপ নিয়ন্ত্রণে এক চা চামচ কালোজিরের তেল ও এক চা চামচ মধু মিশিয়ে প্রতি সপ্তাহে ২ থেকে ৩ দিন খান সঙ্গে প্রতি দিন সকালে রসুনের দুটি কোয়া চিবিয়ে খেয়ে, গোটা শরীরে কালোজিরের তেল মালিশ করে আধ ঘণ্টা রোদে বসুন রক্তচাপ নিয়ন্ত্রিত হবে ৩ শ্বাসকষ্ট বা হাঁপানিতে হাঁপানি বা শ্বাসকষ্ট জনিত সমস্যায় কালোজিরে খুব উপকারী প্রতি দিন কালোজিরের ভর্তা খান উপকার পাবেন ৪ ডায়বেটিস নিয়ন্ত্রণে ডায়াবেটিস রোগের উপশমে করতে এক চিমটে কালোজিরে এক গ্লাস জলের সঙ্গে প্রতি দিন সকালে খালি পেটে খান, রক্তে গ্লুকোজের মাত্রা নিয়ন্ত্রিত হবে লিকার চা বা গরম ভাতের সঙ্গে মিশিয়ে রোজ ২ বার করে খেলেও উপকার পাবেন পরের পর্বে কালোজিরে আরও কয়েকটি রোগে কী ভাবে উপকার দেয় তা নিয়ে আলোচনা থাকবেbs | bengali |
The giant, velvety-green leaves of elephant ears bring a tropical look to gardens and containers. Give these heat-lovers plenty of moisture and some protection from hot sun. Their exotic foliage will delight you and everyone who passes by.
The color a beautiful green that bring out the color in my other plants it really nice the size is growing great not to fast, I believe this plant will live a very long time.
Last summer I ordered elephant ear and canna bulbs from Longfield Gardens and I couldn't have been happier with what I got. I don't normally order plants online because I've been disappointed in the past with the quality. Not so here -- Longfield Gardens promptly sent out bulbs that were healthy and ready to plant (although I did wait til fall to give them a better chance of surviving). The packaging was perfect -- nothing mashed or broken. I'd recommend ordering from Longfield Gardens if you are considering adding some beautiful plants to your garden that you are having difficulty finding. You'll be really happy with both the plants and the service. | english |
పుష్ప లుక్.. ఒంటికన్నుతో అదరగొట్టేస్తున్న ఫాహాద్ ఫాజిల్..!! టాలీవుడ్ లో తెరకెక్కుతున్న మోస్ట్ ప్రెస్టీజియస్ పాన్ ఇండియా సినిమాల్లో స్టైలిష్ స్టార్ అల్లు అర్జున్ నటిస్తున్న పుష్ప సినిమా కూడా ఒకటి.ఎర్ర చందనం అక్రమ రవాణా నేపథ్యంలో సెన్సేషనల్ డైరెక్టర్ సుకుమార్ దర్శకత్వంలో ఈ సినిమా తెరకెక్కనుంది.ఇక ప్రతిసారి అదో ఒక అప్డేట్ తో మన ముందుకు వస్తున్న ఈ సినిమాలో మళయాళ స్టార్ ఫహడ్ ఫాజిల్ ప్రముఖ పాత్ర పోషిస్తున్నారు. ఇక తాజాగా ఫహద్ ఫాజిల్ పుట్టినరోజు సందర్భంగా పుష్ప నుంచి ఒక స్పెషల్ అప్డేట్ వచ్చింది.మేకర్స్ సోషల్ మీడియా వేదిక గా ఇవాళ ఆయన కొత్త లుక్ ఒకటి రిలీజ్ చేశారు ఆ పోస్టర్ లో ఫహద్ ఫాజిల్ ఒకే కన్నుతో కనిపించగా..పోస్టర్ పై చెడు ఎప్పుడు అంత ప్రమాదకరమైంది కాదు అని కాప్షన్ ఇచ్చారు.ఇక తాజాగా ఈ పోస్టర్ చూసిన ప్రేక్షకుల అంచనాలు తారాస్థాయికి చేరుతున్నాయి.అవినీతి ఆఫీసర్ గా ఈ సినిమా లో ఫహద్ ఫాజిల్ కనిపించనున్నారు అని టాక్.ఇక తాజగా విడుదలైన ఫాహాద్ ఫాజిల్ న్యూ లుక్ ఈ సినిమా పై ఎంత.ప్రభావం చూపుతుంది అనేది ఈ సినిమా వచ్చేంత వరకూ ఎదురు చూడాల్సిందే.. ఇక ఇప్పటికే ఈ సినిమా ప్రమోషన్స్ ని స్టార్ట్ చేసారి మేకర్స్. ఇందులో భాగంగా దేవిశ్రీప్రసాద్ మ్యూజిక్ కంపోస్ చేసిన దాక్కో దాక్కో మేక అనే ప్రోమో సాంగ్ మంచి రెస్పాన్స్ వచ్చింది.ఇక పుష్ప సినిమా రెండు భాగాలుగా మన ముందుకు రానుంది. ఈ సినిమా ఒక తెలుగు లొనే కాకుండా తమిళం, హిందీ కన్నడ,మళయాళం లో కూడా తెరకెక్కనుంది.పుష్ప సినిమా ని movie MAKERS target_blank titleమైత్రి మూవీ మేకర్స్గురించి లేటెస్ట్ అప్డేట్స్, ఫోటోలు, వీడియోల కొరకు వెంటనే క్లిక్ చేయండి. మైత్రి మూవీ మేకర్స్ బ్యానర్ పై నవీన్ ఎర్నేని,వై.రవిశంకర్ నిర్మిస్తున్నారు.ఈ సినిమా లో బ్యూటీ క్వీన్ రష్మీక మందన హీరోయిన్ గా నటిస్తున్నారు.సినిమాటోగ్రాఫర్ గా ఈ సినిమాకు మిరోస్ల క్యూబా బ్రోజెక్ పనిచేస్తున్నారు. ఈ సినిమాలోని దాక్కో దాక్కో మేక పాటను ఈ నెల ఆగస్ట్ 13 న విడుదల చేయనున్నారు.ఇక క్రిస్మస్ కానుకగా డిసెంబర్ 25 న ఈ సినిమా విడుదల కానుంది..!! styleheight: 1130px తెలుగు తెరకు మరో ప్రకాష్ రాజ్ దొరికాడా ? ఈ క్రీడాకారిణిది స్ప్రింగ్ బాడీ.. ఎలా మెలికలు తిరుగుతుందో చూస్తే అవాక్కవుతారు! నీరజ్ చోప్రాకు రివార్డుల వెల్లువ.. వామ్మో అన్ని కోట్లా? సోర్స్: ఇండియాహెరాల్డ్.కామ్ Anilkumar | telegu |
Horoscope Sep 03, 2021: ఈ రాశుల వారికి గుడ్ న్యూస్.. కొన్ని రాశుల వారికి మాత్రం.. పంచాంగం ప్రకారం.. ఈ రోజు కొన్ని రాశుల వారికి కలిసి వచ్చి శుభవార్తలు అందిస్తుంది. మరి కొందరు మాత్రం జాగ్రత్తగా ఉండాలని పంచాగం చెబుతోంది. ఆ వివరాలు మీ కోసం.. మేషంఅశ్విని, భరణి, కృత్తిక 1 ఆరోగ్యం బాగానే ఉంటుంది. సంతానం నుంచి శుభవార్త వింటారు. జీవిత భాగస్వామి తరపు బంధువులు ఇంటికి వచ్చే అవకాశ: ఉంది. ఆదాయంతో పాటు ఖర్చులు కూడా పెరుగుతాయి. ఆర్థిక లావాదేవీలు పెట్టుకోవద్దు. వృతి, వ్యాపార ఉద్యోగాల్లో చక్కని అభివృద్ధి ఉంటుంది. కొత్త నిర్ణయాలు తీసుకుంటారు. వృషభం కృత్తిక 2,3,4, రోహిణి, మృగశిర 1,2 తలపెట్టిన పనులు చాలావరుకు పూర్తి చేస్తారు. ఇంటికి అవసరమైన వస్తువులు కొనుగోలు చేస్తారు. పెళ్లి ప్రయత్నాలు కలిసి వస్తాయి. బంధువులు, స్నేహితులు పలకరిస్తారు. దూర ప్రాంతంలో ఉన్న సంతానం నుంచి శుభవార్తలు వింటారు. ఉద్యోగం ప్రశాంతంగా సాగిపోతుంది. ఆరోగ్యం విషయంలో కాస్త జాగ్రత్త. మిథునం మృగశిర 3,4, ఆర్ద్ర, పునర్వసు 1,2,3 ఆర్థికంగా కలిసి వచ్చే కాలం ఇది. కుటుంబ సమస్య పరిస్కారంపై దృష్టి పెడతారు. ఉద్యోగం విషయంలో కొద్దిగా ఆందోళన చెందుతారు. అప్పు తీసుకోవడానికి, ఇవ్వడానికి ఇది సమయం కాదు. కుటుంబ సభ్యులతో కాలక్షేపం చేస్తారు. ఎవరితోనూ వాదనలకు దిగొద్దు. ఆకస్మిక ప్రయాణాలకు అవకాశం ఉంది. కర్కాటకం పునర్వసు 4, పుష్యమి, ఆశ్లేష ఉద్యోగ, వివాహ ప్రయత్నాలు కలిసి వస్తాయి. శుభవార్తలు వింటారు. పలుకుబడిగలవారితో పరియాలు ఏర్పడతాయి. పెళ్లి సంబంధం కుదురుతుంది. ఆధ్యాత్మిక చింతన పెరుగుతుంది. జీవిత భాగస్వామితో విభేదాలు తలెత్తుతాయి. ఉద్యోగంలో ఒత్తిడి పెరుగుతుంది. ఆర్థిక లావాదేవీల వల్ల ఇబ్బంది పడతారు. సింహం మఖ, పుబ్బ, ఉత్తర 1 గ్రహగతులు అన్ని విధాలా అనుకూలంగా ఉన్నాయి. తలచిన పనులు నెరవేరుతాయి. చాలాకాలం చేస్తున్న వివాహ ప్రయత్నాలు ఫలించే అవకాశం ఉంది. ప్రయాణాల వల్ల నష్టపోతారు. విదేశాల్లో ఉన్న సంతానం నుంచి శుభవార్త వింటారు. ఆరోగ్యం జాగ్రత్త. ఆర్థిక లావాదేవీలకు వీలైనంత దూరంగా ఉండండి. కన్య ఉత్తర 2,3,4, హస్త, చిత్త 1,2 వృత్తి ఉద్యోగాలకు సంబంధించి ఆశించిన సమాచారం అందుతుంది. భార్యాపిల్లలతో విందులు వినోదాల్లో పాల్గొంటారు. విదేశాల్లో ఉన్న సంతానం నుంచి తీపి కబురు వింటారు. ఉద్యోగంలో ఒత్తిడి పెరుగుతుంది. స్నేహితుల నుంచి సహాయ సహకారాలు లభిస్తాయి. ఎవరితోనూ వాదోపవాదాలకు దిగవద్దు. తుల చిత్త 3,4, స్వాతి, విశాఖ 1,2,3 మిత్రుల సహాయంతో కొన్ని ముఖ్యమైన పనులు పూర్తి చేస్తారు, చిన్ననాటి స్నేహితులతో కాలక్షేపతం చేస్తారు. అనుకోకుండా ప్రయాణాలు చేయాల్సి వస్తుంది. వ్యాపారులకు అన్ని విధాలా అనుకూలంగా ఉంది. ఉద్యోగం విషయంలో ఆశించిన సమాచారం అందుతుంది. అనారోగ్యానికి గురయ్యే అవకాశం ఉంది. వృశ్చిక విశాఖ 4, అనూరాధ, జ్యేష్ట అనుకోని విధంగా డబ్బు చేతికి వస్తుంది. మంచి ఉద్యోగం దొరకుతుంది. ఇల్లు లేక స్థలం కొనే ఆలోచన చేస్తారు. వ్యాపారంలోనివారు మరింతగా శ్రమపడాల్సి ఉంటుంది. పెళ్లి సంబంధం కుదరవచ్చు. బంధువులకు సంబంధించిన ఒక సమాచారం ఆందోళన కలిగిస్తుంది. వివాదాలకు దూరంగా ఉండండి. ధనస్సుమూల, పూర్వాషాఢ, ఉత్తరాషాఢ 1 ఆదాయం నిలకడగా ఉంటుంది. కానీ ఖర్చులు బాగా పెరుగుతాయి. అనుకున్న పనులు చాలావరకు పూర్తవుతాయి. అవసరాలకు తగినంత డబ్బు అందుతుంది. బంధుమిత్రుల రాకపోకలు ఉంటాయి. పెళ్లి ప్రయత్నాలు ఫలవంతమవుతాయి. ఆకస్మిక ప్రయాణాలకు అవకాశం ఉంది. డబ్బు నష్టం జరగవచ్చు. మకరం ఉత్తరాషాఢ 2,3,4, శ్రవణం, ధనిష్ట 1,2 వివాహ సంబంధం కుదిరే అవకాశం ఉంది. సంతానం నుంచి శుభవార్తలు వింటారు. ఉద్యోగంలో పదోన్నతికి అవకాశం ఉంది. భార్య తరపు బంధువులు ఇంటికి వచ్చే సూచనలున్నాయి. వ్యాపారంలో లాభాల పంట పండుతుంది. కొత్త మిత్రులు పరిచయమవుతారు. ఆదాయం, ఆరోగ్యం నిలకడగా ఉంటాయి. కుంభం ధనిష్ట 3,4, శతభిషం, పూర్వాభాద్ర 1,2,3 ఆదాయం పర్వాలేదు కానీ ఖర్చులు అదుపు తప్పుతాయి. శ్రమ మీద పనులు పూర్తవుతాయి. శుభకార్యాలు జరిగే సూచనలున్నాయి. వ్యాపారులకు ఆర్థికంగా చాలా బాగుంది. బంధుమిత్రుల సహాయ సహకారాలుంటాయి. ఆరోగ్యం జాగ్రత్త. తిప్పట ఎక్కువగా ఉంటుంది. వివాదాలకు కాస్తంత దూరంగా ఉండండి. మీనం పూర్వాభాద్ర 4, ఉత్తరాభాద్ర, రేవతి ఉద్యోగానికి సంబంధించి అనుకూలమైన సమచారం అందుతుంది. ఆదాయం పెంచుకునే మార్గాల గురించి ఆలోచిస్తారు. అప్పులు తీరుస్తారు, శ్రమ మీద పనులు పూర్తవుతాయి. సమీప బంధువుల్లో ఒకరి ఆరోగ్యం ఆందోళన కలిగిస్తుంది. పెళ్లి ప్రయత్నాలకు ఇది మంచి సమయం. ఎవరికీ హామీలు ఉండొద్దు. | telegu |
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* Copyright 2013-2015 bootstrap-select
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Sarkaar : సర్కార్ని గెలవాలంటే డబ్బు ఒక్కటే కాదు.. ధిమాక్ కూడా ఉండాలి.. Sarkaar: బ్లాక్బస్టర్ సినిమాలు, అదిరిపోయే వెబ్సిరీస్లు, పాపులర్ టాక్ షోలతో.. తెలుగు ప్రేక్షకులకు వందశాతం వినోదాన్ని అందిస్తూ.. వారి మనసుల్లో స్థానం సంపాదించుకోవడమే కాక, డిజిటల్ రంగంలో ప్రథమ స్థానంలో కొనసాగుతుంది తొలి తెలుగు ఓటీటీ ఆహా. Unstoppable Sneak Peak : కలుద్దాం.. ఆహాలో.. డిజిటల్ స్క్రీన్ దద్దరిల్లాల్సిందే.. ఇటీవలే ది బాప్ ఆఫ్ ఆల్ టాక్ షోస్ అంటూ నటసింహా నందమూరి బాలకృష్ణతో అన్స్టాపబుల్ విత్ యన్బికె అనే షో ను అనౌన్స్ చేసి వరల్డ్ వైడ్గా ట్రెండ్ అయిన ఆహా ఇప్పుడు సరికొత్త గేమ్ షో తో తమ ప్రేక్షకులకు మరింత ఆనందాన్నివ్వబోతోంది. Unstoppable With NBK : బాలయ్య ఫ్యాన్స్తో ఆహా ప్రమోషనల్ వీడియో పాపులర్ యాంకర్ ప్రదీప్ మాచిరాజు హోస్ట్గా వ్యవహరిస్తున్న ఈ షో కు సర్కార్ అనే సాలిడ్ టైటిల్తో పాటు మీ పాటే నా ఆట అనే అదిరిపోయే ట్యాగ్లైన్ కూడా పెట్టారు. రీసెంట్గా రిలీజ్ చేసిన ప్రోమో షో మీద అంచనాలు పెంచేసింది. అక్టోబర్ 29 నుండి ఈ షో స్ట్రీమింగ్ కానుంది. The post Sarkaar : సర్కార్ని గెలవాలంటే డబ్బు ఒక్కటే కాదు.. ధిమాక్ కూడా ఉండాలి.. appeared first on 10TV. | telegu |
IPL Auction 2022: ব্রাত্য Shakib! কেন ক্ষোভ প্রকাশ করলেন অলরাউন্ডারের স্ত্রী? নিজস্ব প্রতিবেদন: বাংলাদেশ প্রিমিয়র লিগ দুরন্ত ছন্দে রয়েছেন পরপর পাঁচ ম্যাচে সেরা হয়ে বিশ্বরেকর্ডও গড়ে ফেলেছেন শাকিব আল হাসান তবুও আইপিএলএর মেগা নিলামে তিনি ব্রাত্য যদিও শাকিবের স্ত্রী উম্মি আহমেদ শিশিরের দাবি দেশের হয়ে খেলার জন্য শাকিব নাকি আইপিএল খেলতে চাননি!তাই স্বেচ্ছায় অবিক্রীত রয়ে গেলেন তাঁর অবিক্রীত থাকা নিয়ে সবাই অবাক হয়েছেন অতীতে এই আইপিএল খেলার জন্যই দেশের খেলাকে অগ্রাহ্য করার অভিযোগ উঠেছিল শাকিবের বিরুদ্ধে এ বার সেই আইপিএল থেকে বাদ পড়তে হল তাঁকে এই ঘটনায় কিন্তু শাকিবের নিন্দুকেরা বেশ মজাই পেয়েছিলেন তবে ফেসবুকে পোস্টে নিন্দুকদের প্রতি তীব্র প্রতিবাদ জানালেন শাকিবের স্ত্রী আরও পড়ুন: IPL Auction 2022: Suresh Raina থেকে Steve Smith, Shakib থেকে Eoin Morgan, ১০ আনসোল্ড ক্রিকেটার আরও পড়ুন: INDvsWI: Virat Kohliর লাগাতার খারাপ ব্যাটিংয়ের সাফাই দিয়ে একঘেয়ে রেকর্ড বাজালেন Vikram Rathour ফেসবুকে শিশির লিখেছেন, বেশি উত্তেজিত হওয়ার আগেই জানিয়ে রাখি, গোটা টুর্নামেন্ট খেলতে পারবে কিনা জিজ্ঞেস করে ওকে সরাসরি দুই দল যোগ করেছিল তবে দুর্ভাগ্যবশত শ্রীলঙ্কা সিরিজ থাকার জন্য ওর পক্ষে আইপিএল খেলা সম্ভব নয় এই কারণেই ও অবিক্রিত থেকে যায় এটা খুব একটা বড় সমস্যা নয় পরের বছর আবার সুযোগ আসবে আইপিএল খেলতে গেলে ওকে শ্রীলঙ্কা সিরিজ থেকে সরে দাঁড়াতে হত, সেটা কি খুব ভাল হত? তখন তো ওকে বিশ্বাসঘাতক বানিয়ে দেওয়া! তাই না? উত্তেজনায় জল ঢেলে দেওয়ার জন্য ক্ষমাপ্রার্থী আইসিসির অলরাউন্ডারদের তালিকায় দ্বিতীয়স্থানে রয়েছেন বাংলাদেশের সর্বকালের সেরা ক্রিকেটার তাঁকে দলে নেওয়ার জন্য অতীতে নিলাম মঞ্চে ঝড় বয়ে যেত তবে এ বার এহেন শাকিবকে একেবারেই গুরুত্ব দেয়নি ১০টি ফ্রাঞ্চাইজি গত মরশুমে কলকাতা নাইট রাইডার্সকে একেবারেই সার্ভিস দিতে পারেননি ৮ ম্যাচে তাঁর ব্যাট থেকে এসেছিল মাত্র ৪৭ রান নিয়েছিলেন মাত্র ৪ উইকেট তাই এ বার বাতিলের খাতায় চলে গেলেন শাকিব যদিও তাঁর স্ত্রী আবার অন্য ব্যাখ্যা দিলেন আগামী মার্চে দক্ষিণ আফ্রিকা সফরে যাবে বাংলাদেশ সেখানে দুই টেস্টের সিরিজ ১১ এপ্রিল পর্যন্ত চলার কথা এ দিকে আইপিএল শুরু হবে সম্ভবত ২৭ মার্চ থেকে রামধনুর দেশ থেকে ভারতে এসে শাকিবকে পাঁচদিন নিভৃতবাসেও কাটাতে হবে ফলে মোটামুটি শুরুর দিকে বেশ কয়েকটি ম্যাচ তিনি খেলতে পারবেন না, এমনটা ধরেই নেওয়া যায় আবার মে মাসেই বাংলাদেশ সফরে আসবে শ্রীলঙ্কা সুতরাং, আইপিএলএর শেষের দিকেও তাঁর খেলার সম্ভাবনা খুবই কম তাই দেশের স্বার্থ বজায় রাখার জন্য শাকিব আইপিএল খেলতে রাজি হয়নি Zee 24 Ghanta App দেশ, দুনিয়া, রাজ্য, কলকাতা, বিনোদন, খেলা, লাইফস্টাইল স্বাস্থ্য, প্রযুক্তির লেটেস্ট খবর পড়তে ডাউনলোড করুন Zee 24 Ghanta App | bengali |
سلیکشن کمیٹی کی تجویز پر پاکستان کرکٹ بورڈ نے قومی ٹیم کا ہفتےکا ٹریننگ کیمپ انگلینڈ میں لگانے کا فیصلہ کیا ہے ایبٹ باد میں قومی ٹیم کا فزیکل فٹنس کیمپ 14 مئی سے شروع ہورہا ہے پہلے یہ کیمپ چار جون کو ختم ہونا تھا تاہم اب کیمپ 28 مئی کو ختم کرنے کا فیصلہ کیا گیا ہےچیف سلیکٹر انضمام الحق کی تجویز پر پی سی بی نے ہمپشائر کانٹی میں 16 جون سے کیمپ لگانے کی تیاریاں کرلی ہیںانضمام الحق کا موقف ہے کہ دورہ انگلینڈ کی مقررہ تاریخوں سے قبل انگلینڈ پہنچ کر کھلاڑی وہاں کے موسم سے ہم ہنگ ہوں گے اور انگلینڈ سے سیریز سے قبل وہاں کی وکٹوں پرکھیل کرکھلاڑیوں کو فائدہ ہوگادوسری جانب چیف سلیکٹر کی جانب سے تجویز کو پی سی بی نے بھی منظور کرلیا ہے تاہم چئیرمین پی سی بی شہریارخان کی حتمی منظوری ملنے کی صورت میں پروگرام کو حتمی شکل دی جائے گی | urdu |
ರಾಜ್ಯಸಭೆ ಕಲಾಪ: ಅನಾರೋಗ್ಯದ ಕಾರಣ ರಜೆ ಕೋರಿದ ಮನಮೋಹನ್ ಸಿಂಗ್, ಚಿದಂಬರಂ ನವದೆಹಲಿ: ರಾಜ್ಯಸಭಾ ಸದಸ್ಯ ಹಾಗೂ ಮಾಜಿ ಪ್ರಧಾನಿ ಮನಮೋಹನ್ ಸಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಮಾಜಿ ಹಣಕಾಸು ಸಚಿವ ಪಿ.ಚಿದಂಬರಂ ಅವರು ವೈದ್ಯಕೀಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಸಕ್ತ ಮುಂಗಾರು ಅಧಿವೇಶನಕ್ಕೆ ಗೈರಾಗಲು ಅನುಮತಿ ನೀಡುವಂತೆ ಮನವಿ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ರಾಜ್ಯಸಭಾಧ್ಯಕ್ಷ ಎಂ.ವೆಂಕಯ್ಯ ನಾಯ್ಡು ಬುಧವಾರ ಹೇಳಿದ್ದಾರೆ. ವೈದ್ಯಕೀಯ ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ ರಜೆ ಕೋರಿ ಮನಮೋಹನ್ ಸಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಇತರ 13 ಸಂಸದರಿಂದ ಪತ್ರಗಳು ಬಂದಿವೆ ಎಂದು ನಾಯ್ಡು ಸದನಕ್ಕೆ ಮಾಹಿತಿ ನೀಡಿದರು. ಸಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಚಿದಂಬರಂ ಅವರಲ್ಲದೆ, ಪಿಎಂಕೆ ಮುಖಂಡ ಅನ್ಬುಮಣಿ ರಾಮದಾಸ್, ಹಿರಿಯ ಕಾಂಗ್ರೆಸ್ ಮುಖಂಡ ಆಸ್ಕರ್ ಫರ್ನಾಂಡಿಸ್, ಎಐಎಡಿಎಂಕೆ ನ ನವನೀತಕೃಷ್ಣನ್ ಮತ್ತು ವೈಎಸ್ಆರ್ ಕಾಂಗ್ರೆಸ್ ಮುಖಂಡ ಮತ್ತು ಬಿಲಿಯನೇರ್ ಮುಖೇಶ್ ಅಂಬಾನಿ ಅವರ ಸಹಾಯಕ ಪರಿಮಲ್ ನಾಥ್ವಾನಿ ಸಹಾ ರಜೆ ಕೇಳಿದ್ದಾರೆ. | kannad |
കൈപ്പട്ടൂര് പാലം അപ്രോച്ച് റോഡിെന്റ ഭിത്തികള് ബലപ്പെടുത്തും കൈപ്പട്ടൂര് പാലം അപ്രോച്ച് റോഡിന്െറ ഭിത്തികള് ബലപ്പെടുത്തും പാലത്തിന് ബലക്ഷയമില്ലെന്ന് ദേശീയപാത അധികൃതര് പത്തനംതിട്ട: കൈപ്പട്ടൂര് പാലത്തില് ഒാമല്ലൂര് ഭാഗത്ത് അപ്രോച്ച് റോഡ് ചേരുന്ന ഇരുവശത്തെയും ഭിത്തികള് ബലപ്പെടുത്തും. പാലത്തിന് സമീപത്തെ വീടിനോടുചേര്ന്ന ഭിത്തികള്ക്കിടയില് പാറകള് ഇളകിയ ഭാഗത്ത് മണല് ചാക്ക് അടുക്കി മണ്ണൊലിപ്പ് താല്ക്കാലികമായി തടയും. ഇതിന് മുന്നോടിയായി കഴിഞ്ഞദിവസം കാടുകള് തെളിച്ചു. പാലത്തിന്െറ ഒരുവശത്ത് ട്രാഫിക് കോണുകള് െവച്ച് ഗതാഗതം പൊലീസ് നിയന്ത്രിച്ചിട്ടുണ്ട്. ദേശീയപാത കൊല്ലം ഡിവിഷന് എക്സിക്യൂട്ടിവ് എന്ജിനീയര് കെ.എ. ജയയുടെ നേതൃത്വത്തില് ബുധനാഴ്ച അപ്രോച്ച് റോഡിന്െറ ഭിത്തികളും പാലവും പരിശോധിച്ചു. അസി. എക്സി. എന്ജിനീയര് ജി.എസ്. ജ്യോതി, എ.ഇ. സജി കുഞ്ഞുമോന്, കണ്സള്ട്ടന്റ് വിജയസേനന് എന്നിവരും സംഘത്തിലുണ്ടായിരുന്നു. ഇതിനായി 35ലക്ഷത്തിന്െറ എസ്റ്റിമേറ്റ് തയാറാക്കിയിട്ടുണ്ട്. പാലത്തിന് ബലക്ഷയമില്ലെന്ന് ദേശീയ പാത അധികൃതര് പറഞ്ഞു. റോഡില് ടാര് ഇളകിയ ഭാഗത്ത് താല്ക്കാലിക അറ്റകുറ്റപ്പണി നടത്തും. അപ്രാേച്ച് റോഡിന്െറ ഭിത്തിയിലെ പാറകള് ഇളകി മണ്ണൊലിച്ചുപോയത് കഴിഞ്ഞ ദിവസമാണ്. നാട്ടുകാരും പൊലീസും ദേശീയപാത അധികൃതരുടെ ശ്രദ്ധയില്പെടുത്തിയതിനെ തുടര്ന്നാണ് വിദഗ്ധസംഘം വിശദ പരിശോധന നടത്തിയത്. ദേശീയപാത വികസനത്തിന്െറ ഭാഗമായി ഒാമല്ലൂര് പത്തനംതിട്ട റോഡ് ഉയര്ത്തുന്നതിന് 10 കോടി വകയിരുത്തിയിട്ടുണ്ട്. നിര്മാണ സമയത്ത് അപ്രോച്ച് റോഡ് ഭിത്തികള് പൊളിച്ചുപണിയും. 16 മീറ്റര് വീതിയിലാണ് റോഡ് പുനര്നിര്മിക്കുന്നത്. ഭരണിക്കാവ്മുണ്ടക്കയം ദേശീയപാത 183 എയുടെ ഭാഗമാണ് റോഡ്. Photo: File Name : 1734IMG20211020WA0068 കൈപ്പട്ടൂര് പാലത്തിന്െറ അപ്രോച്ച് റോഡ് വിള്ളല് ദേശീയപാത അധികൃതര് പരിശോധിക്കുന്നു | malyali |
മംഗളയെ കാട്ടിലേക്ക് വിടുന്നത് വൈകും കുമളി: പെരിയാര് കടുവ സങ്കേതത്തിനുള്ളില് ഉപേക്ഷിക്കപ്പെട്ട നിലയില് കണ്ടെത്തിയ കടുവാക്കുട്ടി മംഗളയ്ക്ക് കണ്ണിന്റെ കാഴ്ചയ്ക്ക് തകരാറുള്ളതിനാല് കാട്ടിലേക്കുള്ള മടക്കം വൈകും. നിലവില് ഇരതേടല് പരിശീലനത്തിനായി പ്രത്യേകം സജ്ജീകരിച്ച കൂട്ടില് കഴിയുകയാണ് ഒരു വയസ് പ്രായമുള്ള മംഗള. തിമിരത്തിന്റെ ലക്ഷണങ്ങളാണ് കടുവാക്കുട്ടി കാണിക്കുന്നതെന്നാണ് വനംവകുപ്പിന്റെ പ്രാഥമിക നിഗമനം. മംഗളയുടെ കണ്ണിന്റെ തകരാര് കണ്ടെത്തണമെന്നും വിദഗ്ദ്ധ ചികിത്സ വേണമെന്നും ആവശ്യപ്പെട്ട് പെരിയാര് ഈസ്റ്റ് ഡിവിഷന് ഡെപ്യൂട്ടി ഡയറക്ടര് ചീഫ് വൈല്ഡ് ലൈഫ് വാര്ഡന് കത്തയച്ചു. മംഗളയുടെ സംരക്ഷണത്തിനായുള്ള കമ്മിറ്റി വിദഗ്ദ്ധരെ ഉള്പ്പെടുത്തി വിപുലീകരിക്കണമെന്നും കത്തില് ആവശ്യപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്. കാഴ്ചയ്ക്ക് തകരാര് കണ്ടെത്തിയതിനെ തുടര്ന്ന് ഡോക്ടര്മാരുടെ പ്രത്യേക സംഘം കഴിഞ്ഞമാസം കടുവയെ പരിശോധിക്കുന്നതിനായി തീരുമാനിച്ചിരുന്നു. എന്നാല് കനത്ത മഴയെ തുടര്ന്ന് ഇത് മാറ്റി വയ്ക്കുകയായിരുന്നു. പരിശോധനയ്ക്കുള്ള പുതിയ തീയതി തീരുമാനമായിട്ടില്ല. ഇക്കാര്യത്തില് അന്തിമ തീരുമാനമെടുക്കുക ചീഫ് വൈല്ഡ് ലൈഫ് വാര്ഡനാണ്. തിമിരമാണോ അതോ മറ്റെന്തെങ്കിലും കാരണം മൂലമാണോ കാഴ്ചയ്ക്ക് തകരാര് എന്നത് പരിശോധനയിലൂടെ മാത്രമെ കണ്ടെത്താനാകൂ എന്നതാണ് വിദഗ്ധ സംഘം പറയുന്നത്. ഇതിനായി കടുവയെ മയക്കി കിടത്തിയ ശേഷം വിശദമായി പരിശോധിക്കണം. കേരള തമിഴ്നാട് അതിര്ത്തിയിലെ മംഗളാദേവി ക്ഷേത്രത്തിന് സമീപത്ത് നിന്നാണ് അവശനിലയില് കഴിഞ്ഞ നവംബറില് രണ്ട് മാസം പ്രായമുള്ള പെണ് കടുവാക്കുട്ടിയെ കണ്ടെത്തുന്നത്. കഴിഞ്ഞ ജൂലായ് 29ന് കടുവാക്കുട്ടിയെ ഇരപിടിക്കാന് പരിശീലനം നല്കുന്നതിന് പ്രത്യേകം സജ്ജീകരിച്ച കൂട്ടിലേയ്ക്ക് മാറ്റിയിരുന്നു. മനുഷ്യനുമായി അടുത്ത് ജീവിക്കുന്നതിനാല് കടുവയെ കാട്ടിലേക്ക് പൂര്ണമായും തുറന്ന് വിടുന്നതിനും തടസങ്ങളുണ്ട്. | malyali |
మీ కవల సోదరిని చూశారా? ఈ ఫొటోలు ఎవరివో తెలుసా? అదేమో తెలియదు కానీ కవలలు అనైతే తెలుస్తోంది అని చెప్పేస్తారు ఎవరైనా సరే. కానీ గమ్మత్తు ఏమిటంటే వాళ్లు అసలు ట్విన్సే కాదు. ఆఁ, చూస్తేనేమో అచ్చుగుద్దినట్టు ఉన్నారు. కవలలు కాదంటున్నారు. మరేదైనా సినిమా ఎఫెక్టా ఏంటీ అనుకుంటున్నారా... అదేం కాదండీ, ఒకే పోలికలతో ఉన్నా ఒకరికొకరు అపరిచితులు వీళ్లు. మొ న్న పెళ్లిలో అచ్చం నీలా ఉండే అమ్మాయిని చూశానే. పక్క నుంచి ముక్కూమొహమూ చూసి నువ్వేనేమో అనుకుని గబగబా దగ్గరికి వెళితే... నువ్వు కాదు. కానీ సేమ్ నీలాగే ఉందంటే నమ్మూ... ఇలా మనకు బాగా తెలిసినవాళ్ల పోలికలతో ఉన్న వ్యక్తులు కనిపించిన సంఘటనలు ఎప్పుడో ఒకప్పుడు తారసపడే ఉంటాయి కదూ. ఇలాంటప్పుడే ప్రపంచంలో మనుషుల్ని పోలిన మనుషులు ఏడుగురు ఉంటారనేది నిజమే కాబోలు అనిపిస్తుంటుంది. ఇంచుమించు ఒకలా ఉంటేనే అంత ఆశ్చర్యపోతుంటాం. మరి అచ్చుగుద్దినట్టు మనలా ఉంటే ఇంకెంత థ్రిల్ అవ్వాలి! ఇదిగో ఇక్కడున్న వాళ్లంతా అదే ఫీలైవుంటారు. ఎందుకంటే అసలు ఒకరికొకరికి సంబంధమే లేకపోయినా ప్రింట్ దిగిపోయారంతే. ఇదంతా బాగానే ఉంది కానీ ఇంతకీ వీళ్లంతా ఎలా కలిశారంటే ట్విన్స్ట్రేంజర్స్.నెట్ అనే వెబ్సైట్ ద్వారా! 2015లో ఐర్లాండ్కు చెందిన నియఫ్ గీనీకి తనలా ఉండే వాళ్లు ప్రపంచంలో మరెక్కడైనా ఉన్నారేమో తెలుసుకుందామనే ఆలోచన వచ్చిందట. దీంతో ఇద్దరు స్నేహితులతో కలిసి ట్విన్స్ట్రేంజర్స్ పేరుతో ఈ వెబ్సైట్ని ప్రారంభించింది. ప్రపంచవ్యాప్తంగా ఎవరైనా సరే, దీంట్లో రిజిస్టర్ అవ్వొచ్చు. సరిగ్గా కనిపించే మన ఫొటోని అప్లోడ్ చేస్తే చాలు. ముఖాల్ని గుర్తించే సాఫ్ట్వేర్ ద్వారా వెంటనే అందులో ఉన్న ఫొటోలతో మన ముఖానికి దగ్గర పోలికలున్న ఫొటో తెరమీదకు వచ్చేస్తుంది. మనలాంటి వ్యక్తిని మ్యాచ్ చేసేస్తుంది. ఇందులో ప్రస్తుతం దాదాపు 90 లక్షల మంది వరకూ రిజిస్టర్ అయ్యారు. చాలామంది ఎక్కడెక్కడో ఉన్న తమలాంటి వ్యక్తుల గురించి తెలుసుకుని సర్ప్రైజ్ అయ్యారు. ఆస్ట్రేలియాకు చెందిన అంబెర్ అనే అమ్మాయి ఈ సైట్లో తన ఫొటో పెట్టింది. ఇంకేముంది, ఆమె పోలికలున్న అమెరికాకు చెందిన మ్యాడీ అనే అమ్మాయి ట్విన్స్ట్రేంజర్గా తెరపైకి వచ్చేసింది. ఇద్దరూ ఒకే పోలికలతో ఉండటంతో ఎంతగానో అబ్బురపడిపోయి ఓ దగ్గర కలుసుకున్నారు. సరదాగా ఒకేలా తయారై బయటకొచ్చిన వారిద్దరినీ చూసి కుటుంబ సభ్యులూ తికమక పడ్డారట. వీళ్లే కాదూ... ఇలా ఎందరో తమ ట్విన్స్ట్రేంజర్లతో కలుస్తూ ఆ ఫొటోల్నీ, వీడియోల్నీ సోషల్మీడియాలో పంచుకుంటే నిజంగా ట్విన్స్ కాదా అంటూ నెటిజన్లు ఆశ్చర్యపోతూ కామెంట్లు చేశారట. ట్విన్స్ట్రేంజర్ ఫేస్బుక్, ఇన్స్టాగ్రామ్ అకౌంట్లతోపాటు ఆప్ కూడా ఉంది. ఆలస్యమెందుకు, సరదాగా మీరూ ఓసారి ప్రయత్నించి చూడండి మీలా ప్రపంచంలో ఎవరైనా ఉన్నారేమో! | telegu |
Do you know the history of what is now called “sleep training” or “Cry It Out” (CIO)?
There’s a blog post making the rounds by Grubby Mummy and the Grubby Bubbies – “Why I personally disagree with controlled crying in all its names and forms”. It’s a perfectly good post, and I’m really looking forward to the rest of her series on “The Utter Crap Spun by Baby Whisperers”, but it made me notice something. Almost all the articles or books that I’ve seen that give people’s reasons for being anti-CIO contain either a long list of arguments or the author’s own failed experience. Some have both.
But when you get right down to it, no one needs a list of reasons why they disagree with sleep training. No one needs to make arguments like “it feels wrong” (even though it does) which only opens mums up for counter arguments that it’s still what’s best for baby and we just need to get over our “maternal sensibilities” and get Dad to do it instead.
There’s no evidence that babies need to be taught to sleep, no evidence that they need to “self settle”, no evidence that they need to cry, or that night feeding is bad or that babies can be spoiled or manipulate you or any of their other claims.
So here’s how the “sleep training” advice actually came about.
At the turn of the last century (1800-1900) two books came out, Luther Emmett Holt’s The Care and feeding of Children and John B. Watson’s Psychological Care of Infant and Child. These are the first known books to explicitly mention the need for crying setting up the argument for “self soothing” that we now hear.
They are also the first books to specifically ban overnight feeding, and to pathologize and condemn mothers who comforted their children.
Watson’s book was the biggest selling parenting manual until Benjamin Spock. His influence on how we have collectively parented for the last century and a bit is huge. He is essentially the reason for all detached parenting methods and all the behaviourist based discipline techniques (time outs, privilege withdrawal, sticker charts) used by both parents and teachers. His granddaughter in her 1990 memoir wrote, “Grandfather’s theories infected my mother’s life, my life, and the lives of millions. How do you break a legacy? How do you keep from passing a debilitating inheritance down, generation to generation, like a genetic flaw?”- Mary Loretta Hartley, granddaughter to John B. Watson; in memoir of her experiences, Breaking the Silence.
This is the first known mention of the phrase “Cry It Out” which is now commonly associated with curing bad sleep habits, rather than curbing a baby’s desire to be played with or just generally given human interaction, but you can see the clear allusions to the entire concept of “spoiling” a child with love and affection – if you “let it get it’s way”. | english |
కార్యసాధకులకు మార్గదర్శి హనుమ.. భారతీయ ఇతిహాసాల్లో అగణితమైన ప్రతిభాపాటవాలను చూపిన ఘనతర దైవం. అంతేకాదు, పరిపూర్ణమైన జీవితానికి కావలసిన ఉత్తమ సందేశాలు ఎన్నిటినో ప్రసాదించిన అద్వితీయ వ్యక్తిత్వం ఆంజనేయునిది. హనుమ జనరంజకంగా చేసిన సాహసాలు, సాధించిన విజయాలు పరహితం కోసమే కావడం అత్యంత విశేషం. హనుమకు ఉన్న ఉత్తమ లక్షణాల్లో ప్రధానంగా చెప్పుకోవలసింది అతనికే సొంతమైన సంభాషణా చాతురి. సందర్భానికి తగినట్లుగా మాట్లాడగల చతురుడు అంజనీ తనయుడు. రామ లక్ష్మణుల చెంతకు హనుమను దూతగా సుగ్రీవుడు పంపినప్పుడు... ఆంజనేయుడి వినయశీలవర్తనకు, సంతులితమైన సంభాషణాశైలికి శ్రీరాముడు అప్రతిభుడవుతాడు. నవవ్యాకరణాలు సమగ్రంగా తెలిసిన వ్యక్తి, సామవేదజ్ఞుడు అయిన విద్వాంసుడు మాత్రమే హనుమలా సుందరంగా, సముచితంగా మాట్లాడగలడని సౌమిత్రికి శ్రీరాముడు చెబుతాడు సీతాదేవిని అన్వేషిస్తూ రామ లక్ష్మణులు ఋష్యమూక పర్వతం మీదకు వచ్చినప్పుడు... తన సోదరుడైన వాలి పంపగా, వారు తనను చంపడానికి వచ్చారేమో? అని భయపడిన సుగ్రీవునితో హనుమ జరిపే సంభాషణ అద్భుతంగా ఉంటుంది. ఓ వానర రాజా... నీవు మా అందరికీ రాజువై ఉండి కూడా, భయవిహ్వలుడవై, స్వభావ సిద్ధమైన నీ చంచలత్వాన్నే ప్రకటిస్తున్నావు. నీ బుద్ధిని, విజ్ఞానాన్ని, ఇంగితాన్ని ఉపయోగించి, ఇతరుల స్వభావాన్ని గుర్తించి, యుక్తమైన పద్ధతిలో ఆలోచించు అంటాడు. బుద్ధి అంటే అందరికీ ఉండే సామాన్యజ్ఞానం కాగా వ్యక్తికి ఉండే విశేషమైన జ్ఞానమే విజ్ఞానం. ఇక ఇంగితం అంటే ఒక విషయం మీద అభిప్రాయాన్ని తెలియజేసే ప్రవర్తనాశైలి. ఒకే వాక్యంలో మూడు చక్కటి పదాలను ప్రయోగించి, సుగ్రీవునికి హితబోధ చేయడం మాటల విలువ, శక్తి తెలిసిన హనుమకే సాధ్యం. వినయమనే సుగుణంతో సుగ్రీవునికి అమాత్యునిగా హనుమ సమయోచితంగా వ్యవహరిస్తూ, అతనికి సదా హితాన్ని చేకూర్చడం రామాయణంలో మనకు పలుచోట్ల కనిపిస్తుంది. సాధకుడు కార్యాన్ని పూర్తిచేసేందుకు ఉపక్రమించాక మార్గమధ్యంలో అనుకోని ఆటంకాలు ఎదురవుతాయి. వాటిని దాటడానికి కావలసింది నిశ్చలమైన మనస్సు. హనుమంతుడు సీతాదేవిని అన్వేషించే క్రమంలో, సముద్ర లంఘనం చేస్తున్నప్పుడు మార్గమధ్యంలో వింతకాంతులతో ప్రకాశిస్తున్న పర్వతశ్రేష్టుడు మైనాకుడు ఎదురయ్యాడు. హనుమను కీర్తిస్తూ తన ఆతిథ్యాన్ని స్వీకరించమన్నాడు. నేను నీకు ఎంతో ఆత్మీయణ్ణి అని చెబుతూ, ఆ నేపథ్యాన్ని కూడా వివరించాడు మైనాకుడు. సావధానంగా అన్నీ విన్న హనుమ చిరునవ్వుతో మైనాకా.. నీవు నాకు ఆత్మీయుడవే. కానీ నేను ఇప్పుడు ఆతిథ్యం స్వీకరించి విశ్రమించే సమయం కాదు. సూర్యాస్తమయంలోగా నేను లంకానగరికి చేరి, సీతామాతను అన్వేషించాలి. అన్యథా భావించవద్దు అంటూ అతని కోరికను సున్నితంగా తిరస్కరించి, ముందుకు సాగాడు. హనుమ ఒక్కసారి కార్యసాధన కోసం ముందుకు దూకితే వెనుకంజ వేయడు. ప్రతి కార్యసాధకుడు తప్పనిసరిగా అనుసరించవలసింది ఇదే. పటుతరమైన సాధన చేస్తూ, ముందుకు సాగితేనే కార్యసిద్ధి కలుగుతుంది. అదే విధంగా, సీతాదేవిని అశోకవనంలో కనుగొన్న సందర్భంలో ఆమెతో ఎలా సంభాషణ ఆరంభించాలన్న సందేహానికి ఒకింత లోనైనా, సమయస్ఫూర్తితో ముందుగా శ్రీరామచరితాన్ని వల్లెవేసి, ఆమెలో నమ్మకాన్ని కలిగించడం... హనుమలో సమృద్ధిగా నిండిఉన్న సందర్భశుద్ధిని తేటతెల్లం చేస్తుంది. యుద్ధరంగాన లక్ష్మణుడు మూర్ఛిల్లినప్పుడు సుషేణుడి సూచన మేరకు సంజీవనీ పర్వతానికి వెళ్ళి.... తేవలసిన ఓషధులను తాను పోల్చుకోలేకపోయిన సందర్భంలో... కాలయాపన చేయడం ప్రయోజన శూన్యమని తలచి, పర్వతాన్నే పెళ్ళగించుకు వచ్చిన సమర్థుడు హనుమ. కార్యసాధనలో కాలానికి ఉన్న అమూల్యమైన విలువను ఈ సందర్భంలో హనుమ ప్రకటిస్తాడు. హనుమ చరితకు సాధికారమైన గ్రంథంగా పరిగణించేది పరాశర సంహిత. కమనీయమైన హనుమ చరితాన్నీ, సుగుణాలను పరాశర సంహిత ఎంతో చక్కగా మనకు తెలుపుతుంది. హనుమ సకలవిద్యా ప్రపూర్ణుడు. కార్యసాధకులకు తన వర్తనద్వారా అద్వితీయంగా మార్గదర్శనం చేసే పరిపూర్ణుడు. వెంకట్ గరికపాటి | telegu |
Be sure to include the word "LOOK" in the subject line or your email will not be received.
2. Only ONE entry per person, per giveaway please!
3. The giveaway IS open to both U.S. and non-U.S. participants.
4. Family and friends of The Digital Bits staff are not eligible.
Entries will be accepted until Noon Pacific time, on Sunday, August 15th, and the winners will be notified later that evening. | english |
ಎಲ್ಲಾ ಪತ್ರಕರ್ತರಿಗೆ ವಿಮಾ ಸೌಲಭ್ಯ ಒದಗಿಸಿಬೇಕು :ಪ್ರಿಯಾಂಕಾ ಗಾಂಧಿ ನವದೆಹಲಿ : ಕೋವಿಡ್19 ಮಧ್ಯೆಯೂ ಮಾಹಿತಿ ನೀಡುವ ಪ್ರಮುಖ ಕರ್ತವ್ಯವ ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಿರುವ ಪತ್ರಕರ್ತರಿಗೆ ವಿಮಾ ಸೌಲಭ್ಯ ನೀಡುವಂತೆ ಕಾಂಗ್ರೆಸ್ ಮುಖಂಡೆ ಪ್ರಿಯಾಂಕಾ ಗಾಂಧಿ ವಾದ್ರಾ ಉತ್ತರಪ್ರದೇಶ ಸರ್ಕಾರವನ್ನು ಒತ್ತಾಯಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಕೋವಿಡ್19ನಿಂದಾಗಿ ಯುವ ಪತ್ರಕರ್ತ ನೀಲಂಶು ಶುಕ್ಲಾ ಸಾವನ್ನಪ್ಪಿದ ಬಳಿಕ ಅವರು ಸರ್ಕಾರಕ್ಕೆ ಈ ಮನವಿ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ. ಬಹಳ ದುಃಖದ ಸುದ್ದಿ. ಲಖನೌನ ಯುವ ಪತ್ರಕರ್ತ ನೀಲಂಶು ಶುಕ್ಲಾ ಇನ್ನಿಲ್ಲ. ಅವರು ಕೆಲವು ದಿನಗಳಿಂದ ಕೋವಿಡ್19ನೊಂದಿಗೆ ಹೋರಾಡುತ್ತಿದ್ದರು ಎಂದು ಪ್ರಿಯಾಂಕಾ ಗಾಂಧಿ ತಮ್ಮ ಫೇಸ್ಬುಕ್ ಖಾತೆಯಲ್ಲಿ ಪೋಸ್ಟ್ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ. ಪತ್ರಕರ್ತರು ಕೊರೊನಾ ವೈರಸ್ ಬಿಕ್ಕಟ್ಟಿನ ಮಧ್ಯೆಯೂ ಮಾಹಿತಿ ಒದಗಿಸುವ ಪ್ರಮುಖ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಉತ್ತರಪ್ರದೆಶ ಸರ್ಕಾರವು ನೀಲಂಶು ಶುಕ್ಲಾ ಅವರ ಕುಟುಂಬಕ್ಕೆ ಆರ್ಥಿಕ ಸಹಾಯ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಪತ್ರಕರ್ತರಿಗೆ ವಿಮಾ ಸೌಲಭ್ಯ ನೀಡಬೇಕು ಎಂದು ಆಗ್ರಹಿಸಿದ್ದಾರೆ. | kannad |
নগ্ন হয়ে ভিডিয়ো কল সিপিএম নেতাকে, টাকা না দিলে ফাঁসিয়ে দেওয়ার হুমকি হোয়াটসঅ্যাপ বা ফেসবুক মেসেঞ্জারে অচেনা নম্বর থেকে আসা ভিডিও কল ধরলে এমন ফাঁদে পা দিতে পারেন যে কেউ কয়েক সেকেন্ডের নগ্ন ভিডিও দেখানোর পরেই শুরু হয় ব্ল্যাকমেল ফেসবুক, হোয়াটসঅ্যাপ, ইনস্টাগ্রাম অথবা টুইটারের মতো নেটমাধ্যমে ছড়িয়ে দেওয়ার ভয় দেখিয়ে টাকার দাবি করে সাইবার অপরাধীরা এমনই ঘটনার শিকার হলেন চন্দননগরের সিপিএম নেতা গোপাল শুক্লরবিবার একটি বৈঠকে ছিলেন গোপাল সেখানে তাঁর ফেসবুক মেসেঞ্জারে একটি অচেনা নম্বর থেকে কল আসে ধরতেই এক মহিলার নগ্ন ছবি ভেসে ওঠে মোবাইল স্ক্রিনের এক কোনে গোপাল বাবুর ছবি, ভিডিও কলে যেমনটা হয় কিন্তু এ ক্ষেত্রে সাইবার অপরাধী অপর প্রান্তে, তাই ব্ল্যাকমেল করার ফাঁদ পাতে সামাজিক বদনাম হওয়ার ভয়ে অনেকে টাকা দিতে রাজি হন এ ক্ষেত্রে ভয় না পেয়ে গোপাল সোজা পুলিশে অভিযোগ করেন প্রথমে চন্দননগর থানায় যান সেখান থেকে চুঁচুড়ায় চন্দননগর পুলিশ কমিশনারেটের সাইবার ক্রাইম থানায় সোমবার রাতে অভিযোগ দায়ের করেন সিপিএমের যুব নেতা গোপাল জানান, অচেনা নম্বরে ভিডিও কল ধরতেই বিপত্তি পায়েল রেড্ডি নামে এক জনের অ্যাকাউন্ট থেকে কল আসে এবং গোপালকে ব্ল্যাকমেল করা হয় সাইবার অপরাধের বিষয়টা তাঁর জানা ছিল তাই টাকা দেননি তবে সামাজিক সম্মান বাঁচাতে যে কেউ এই ফাঁদে পা দিতে পারেন গোপাল বলেন, তড়িঘড়ি ঘটনাটি ফেসবুকে জানিয়ে বন্ধুদের সতর্ক করি সাইবার থানায় অভিযোগ জানিয়েছিচন্দননগর পুলিশের পক্ষ থেকে লাগাতার সতর্কতামূলক প্রচার করা হচ্ছে সাইবার অপরাধের ফাঁদে পা না দিতে তাও দেখা যাচ্ছে অনেকে নিজেদের অজান্তে বা অজ্ঞতার কারণে এই ফাঁদে পা দিয়ে প্রতারিত হচ্ছেন সাইবার অপরাধ দিন দিন বাড়তে থাকায় চন্দননগর পুলিশের সাইবার ক্রাইম সেলকে থানায় পরিণত করা হয়েছে যেখানে ওসি উত্পল সাহার নেতৃত্ব একটি দল অপরাধ দমনে কাজ করছে পুলিশ সূত্রে খবর, প্রায় প্রতি দিন এই ধরনের অভিযোগ জমা পড়ছে সাইবার ক্রাইম থানা থেকে সম্প্রতি সাইবার লাইটস রিস্ক ভিশন নামে একটি ইউটিউব চ্যানেল প্রকাশ করা হয়েছে যেখানে মোবাইল সিম কার্ড কেনা থেকে স্মার্ট ফোন ব্যবহার করলে কী কী ভাবে প্রতারণার শিকার হতে পারেন, তা ছোটো ছোটো ভিডিওর মাধ্যমে দেখানো হয়েছে ব্যাঙ্কে প্রতারণা, এটিএম ডেবিট বা ক্রেডিট কার্ডে প্রতারণা, মোবাইলে অ্যাপ ডাউনলোড করিয়ে প্রতারণা, পুরস্কারের লোভ দেখিয়ে প্রতারণা এবং সেক্সটরশনএর মতো বিষয়ের শিকার যাতে না হন সাধারণ মানুষ, তার জন্য সচেতন করা হয়েছে অনেকে সচেতন হয়েছেন, আবার অনেক মানুষ আছেন, যাঁরা স্মার্ট ফোন ব্যবহার করলেও কী ভাবে অপরাধের শিকার হয়ে যাবেন, তা বুঝতে পারছেন না তাঁদের এই ইউটিইউব দেখতে উত্সাহ দিচ্ছেন সাইবার থানার আধিকারিকরা এই চ্যানেল সম্পূর্ণ বিনামূল্যে সাবস্ক্রাইব করা যায় | bengali |
উচ্চ মাধ্যমিক পরীক্ষার্থীদের জ্লের বোতল ও কলম প্রদান বীরভূম, সেখ ওলি মহম্মদঃ ২ বছর পর আজ থেকে শুরু হল রাজ্যের উচ্চ মাধ্যমিক পরীক্ষা স্কুলে গিয়ে পরীক্ষা দেবে পড়ুয়ারা এই প্রথম নিজের নিজের স্কুলে পরীক্ষা দিচ্ছে পরীক্ষার্থীরা করোনা সংক্রমণের কারণে গত ২ বছর বন্ধ ছিল উচ্চ মাধ্যমিক পরীক্ষা ২০২০ সালে অর্ধেক পরীক্ষা হওয়ার পরেই সেটা বন্ধ করে দেওয়া হয়েছিল ২০২১ সালে পরীক্ষা ঘোষণা করেও বাতিল করে দেওয়া হয়েছিল অভিভাবকরাই রাজি হননি সেই পরীস্থিতিতে উচ্চ মাধ্যমিক পরীক্ষা দেওয়ার জন্য শেষে একাদশ শ্রেণির পরীক্ষার ভিত্তিতেই দেওয়া হয় নম্বর এবং উচ্চ মাধ্যমিক পরীক্ষায় ২০২১ সালে ১০০ শতাংশ পাস করেছিল ছাত্রছাত্রীরা আজ শনিবার উচ্চ মাধ্যমিক পরীক্ষার প্রথম দিনে বীরভূম জেলার দুবরাজপুর শহরের চারটি স্কুল যথাক্রমে দুবরাজপুর আর.বি.এস.ডি উচ্চ বিদ্যালয়, দুবরাজপুর গার্ল্স স্কুল, শ্রী শ্রী সারদা বিদ্যাপীঠ এবং শ্রী শ্রী সারদেশ্বরী বিদ্যা মন্দির ফর্ গার্ল্স স্কুলে দুবরাজপুর শহর তৃণমূল কংগ্রেসের পক্ষ থেকে পরীক্ষার্থীদের জ্লের বোতল ও কলম তুলে দেওয়া হল এদিন উপস্থিত ছিলেন দুবরাজপুর শহর তৃণমূল কংগ্রেসের সভাপতি স্বরুপ আচার্য, কার্যকরী সভাপতি অরিন্দম চ্যাটার্জি, কাউন্সিলর সাগর কুন্ডু, বনমালী ঘোষ, প্রিয়াঙ্কা দাস, বিশিষ্ট শিক্ষক রামতনু নায়ক সহ আরো অনেকে | bengali |
This week on our Masters in Business radio podcast, we speak with Leon Cooperman of Omega Advisors.
Cooperman earned his undergraduate degree from Hunter College. He almost became a dentist but instead decided to pursue an MBA at Columbia University, where he studied the methods of Graham and Dodd and deep-value investment.
After graduating in 1967, Cooperman began his career on Wall Street at Goldman Sachs, in the company’s investment research department. He stayed 22 years, eventually running the unit. Institutional Investor selected him as the top portfolio strategist each year from 1977 to 1985.
He went on to start Goldman Sachs Asset Management, became the division’s CIO and CEO, then chairman of its stock-selection committee and co-chairing the investment-policy committee.
Cooperman eventually left Goldman to create Omega Advisors — now a $9.3 billion hedge fund. The company’s flagship fund has outperformed the S&P 500 by 450 basis points. The tax-sensitive fund, introduced in the early 2000s, has done even better.
Cooperman is an active philanthropist and has pledged to give away most of his wealth. He has endowed scholarship programs at Columbia and Hunter and was one of the first Americans to endow Israel’s Birthright program.
The full podcast is now available on iTunes, SoundCloud and on Bloomberg. Earlier podcasts can be found on iTunes and at BloombergView.com. | english |
অনাস্থা অধিবেশন বারে বারে স্থগিত পাকিস্তানে আপনজন ডেস্ক: পাকিস্তানে আজ শনিবার প্রধানমন্ত্রী ইমরান খানের রাজনৈতিক ভাগ্য নির্ধারিত হবার কথা পার্লামেন্টে বিরোধীদের আনা এক অনাস্থা প্রস্তাবে ভোট হওয়ার কথা রয়েছে আজ, কিন্তু সকালে জাতীয় পরিষদের অধিবেশন শুরু হলেও বারবার তা মুলতুবি হয়ে যাওয়ায় ভোটাভুটি এখনও অনুষ্ঠিত হয়নি শেষ খবর পাওয়া পর্যন্ত, দেশটির স্থানীয় সময় সাড়ে ৯ টা পর্যন্ত মুলতবি ঘোষণা করা হয় পাকিস্তানের স্থানীয় সময় সকাল সাড়ে দশটা নাগাদ জাতীয় পরিষদের অধিবেশন শুরু হয় কিন্তু অনাস্থা ভোটের আগে ইমরান খানের সমর্থক ও বিরোধীদের মধ্যে সংসদের ভেতর তুমল হট্টগোল আর ক্রুদ্ধ বাকবিতণ্ডা শুরু হলে জাতীয় পরিষদের স্পিকার সাময়িকভাবে অধিবেশন মুলতুবি করে দেন পাকিস্তানের প্রধানমন্ত্রী ইমরান খানের বিরুদ্ধে আনা অনাস্থা প্রস্তাবের ওপর ভোটাভুটি রাত এগারোটা নাগাদ শুরু হতে যাচ্ছে বলে সর্বশেষ জিও নিউজের প্রতিবেদনে এই তথ্য জানানো হয়েছে এর আগে জিও নিউজ সূত্রের বরাত দিয়ে জানিয়েছে, অনাস্থা প্রস্তাবের ওপর ভোট নিতে রাজি হয়েছেন স্পিকার আসাদ কায়সায় জাতীয় পরিষদের কর্মকর্তারা স্পিকারকে অবহিত করেন, সুপ্রিম কোর্টের আদেশ অমান্য করলে ভয়াবহ পরিণতির মুখোমুখি হতে হবে এরপরই ভোট নিতে রাজি হয়েছেন স্পিকার ইমরানকে ক্ষমতা থেকে হটাতে দেশটির ৩৪২ আসনের পার্লামেন্টের মধ্যে ১৭২ জনের সমর্থনের প্রয়োজন বিরোধীদের আরও পড়ুন: আফস্পার পরিধি কমল তিন রাজ্যে | bengali |
The event is an open forum to promote the Italian participation to the calls of the ECSEL JTI. The event will present the status of ECSEL and the characteristics of the new 2019 calls, with presentations by representatives of the ECSEL JU and of national and regional authorities. Results of previous Italian participation in ECSEL calls will be discussed, and participation experiences by single industrial partners presented. | english |
\begin{document}
\title[Attached and assoiciated primes Of Local Cohomology modules Via linkage ]
{Attached and associated primes Of Local Cohomology modules Via linkage}
\author[Maryam jahangiri]{Maryam jahangiri$^1$}
\author[khadijeh sayyari]{khadije sayyari$^2$}
\address{$^{1, 2}$ Faculty of Mathematical Sciences and Computer,
Kharazmi University, Tehran, Iran.}
\email{ [email protected], [email protected]}
\keywords{Linkage of ideals, local cohomology, Cohen-Macaulay modules}
\subseteqbjclass[2010]{13D45, 13C45, 13C14.}
\begin{abstract}
Let $R$ be a commutative Noetherian ring and $M$ be a finitely generated $R$-module. Considering the new concept of linkage of ideals over a module, we study associated prime ideals, cofiniteness and Artinianness of local cohomology modules of $M$ with respect to some linked ideals over it.
\end{abstract}
\maketitle
\section{introduction}
Let $R$ be a commutative Noetherian ring with $1\neq0$, $\mathfrak{a}$ be an ideal of $R$ and $M$ be an
$R$-module. For $i\in \mathbb{Z}$, the $i$-th local cohomology functor with respect to $\mathfrak{a}$ is
defined to be the $i$-th right derive functor of the $\mathfrak{a}$-torsion functor $\Gammaamma_{\mathfrak{a}}(-),$ where
$\Gammaamma_{\mathfrak{a}}(M)= \cup_{n\in \mathbb{N}_0} 0:_M\mathfrak{a}^n. $ Local cohomology was defined by Grothendieck \cite{G},
actually, it is an "algebraic child of geometric parents". For more details of local cohomology modules, we
refer the reader to \cite{BS}.
There are lots of problems in the study of local cohomology modules (see \cite{H}) and finiteness problems
in this subject attracts lots of interests. One of the main problems in this topic is finiteness of the set
of associated prime ideals, i.e. $\operatorname{Ass}\, H^i_{\mathfrak{a}} (M)$. Although, in \cite{SI}, Singh showed that $\operatorname{Ass}\, H^i_{\mathfrak{a}} (M)$
might be infinite, but there are some cases where it is a finite set, see for example \cite{HS},
\cite{He} and \cite{LY}. One more problem, is Artinianness of $H^i_{\mathfrak{a}} (M)$ and it has been studied
by many authors too, see for example \cite{DY} and \cite{He2}.
Another important topic in commutative algebra and algebraic geometry is the theory of linkage. The significant work of
Peskine and Szpiro \cite{PS} stated this theory in the modern algebraic language; two proper ideals $\mathfrak{a}$ and $\mathfrak{b}$ in $R$ are
said to be linked if there is an regular sequence $\underline{\mathfrak{x}}$ in their intersection such that
$\mathfrak{a} = (\underline{\mathfrak{x}}) :_R \mathfrak{b}$ and $\mathfrak{b} = (\underline{\mathfrak{x}}) :_R \mathfrak{a}$.
In a recent paper \cite{JS}, inspired by the works in the ideal case, the authors present the concept of the linkage
of ideals over a module. Let $M$ be a finitely generated $R$-module.
Let $\mathfrak{a}$, $\mathfrak{b}$ and $I$ be ideals of $R$ with $I\subseteqbseteq \mathfrak{a} \cap \mathfrak{b}$ such that $I$ is generated by an $M$-regular sequence and
$ \mathfrak{a} M \neq M\neq \mathfrak{b} M$. Then, $\mathfrak{a}$ and $\mathfrak{b}$ are said to be linked by $I$ over $M,$ denoted by $\mathfrak{a}\sim_{(I;M)}\mathfrak{b},$ if
$\mathfrak{b} M = IM:_M\mathfrak{a}$ and $\mathfrak{a} M = IM:_M\mathfrak{b} $. This is a generalization of the classical concept of linkage when $M= R$.
In this paper, we consider the above generalization and study Artinianness and associated prime ideals of local cohomology modules
$H^i_{\mathfrak{a}} (M)$ where $\mathfrak{a}$ is a linked ideal over $M$.
More precisely, in Section 2, we show that if $R$ is
Cohen-Macaulay and $t\in \mathbb{N}$ then, for any ideal $\mathfrak{a}$ of $R,$ $\operatorname{Ass}\, H^i_{\mathfrak{a}} (R)$ is finite if and only if
$\operatorname{Ass}\, H^i_{\mathfrak{a}} (R)$ is finite for any linked ideal $\mathfrak{a}$ of $R$ (Theorem \ref{t2}).
Then, we study the finiteness of some $\operatorname{Ext}\,$ modules and, as a
corollary, we show that if $\mathfrak{a}\sim_{(I;R)}\mathfrak{b}$ then
$H^i_{\mathfrak{a}} (R)$ is $\mathfrak{a}$-"cofinite" and $\mathfrak{b}$-"cofinite" if and only if it is $I$-"cofinite" (Corollary \ref{c2}).
In Section 3, we study Artinianness and attached prime ideals of
local cohomology modules $H^i_{\mathfrak{a}} (M)$ where $\mathfrak{a}$ is a linked
ideal over $M$ and, among other things, we present some necessary
and sufficient conditions for the finitely generated $R$-module $M$
to be Cohen-Macaulay in terms of the existence of some special
linked ideals over it (Theorem \ref{t6}).
Throughout the paper, $R$ denotes a non-trivial commutative Noetherian ring, $\mathfrak{a}$ and $\mathfrak{b}$ are non-zero proper ideals
of $R$ and $M$ will denote a finitely generated $R$-module.
\section{Associated prime ideals and cofiniteness}
In this section, we study finiteness of the set of Associated prime ideals of local cohomology modules and the "cofinite"
property of these modules over some linked ideals.
We begin by the definition of one of our main tool.
\begin{defn}\label{F1}
\emph{Assume that $\mathfrak{a} M\neq M\neq\mathfrak{b} M$ and let $I\subseteqbseteq \mathfrak{a} \cap \mathfrak{b}$ be an ideal generating by an $M$-regular
sequence. Then we say that the ideals $\mathfrak{a}$ and $\mathfrak{b}$ are linked by $I$ over $M$, denoted by $\mathfrak{a}\sim_{(I;M)}\mathfrak{b}$, if
$\mathfrak{b} M = IM:_M\mathfrak{a}$ and $\mathfrak{a} M = IM:_M\mathfrak{b} $. Also, the ideals $\mathfrak{a}$ and $\mathfrak{b}$ are said to be geometrically linked by $I$
over $M$ if $\mathfrak{a} M \cap \mathfrak{b} M = IM$. The ideal $\mathfrak{a}$ is $M$-selflinked by $I$ if $\mathfrak{a}\sim_{(I;M)}\mathfrak{a}$. Note that in the
case where $M = R$, this concept is the classical concept of linkage of ideals in \cite{PS}.}
\end{defn}
\begin{prop}\label{l1}
Let $I$ be an ideal of $R$ such that $\mathfrak{a}\sim_{(I;M)}\mathfrak{b}$. Assume that $\operatorname{Ass}\, \frac{M}{IM}=\operatorname{Min}\, \operatorname{Ass}\, \frac{M}{IM}$.
Then the following statements hold.
\begin{itemize}
\item [(i)] $\operatorname{Supp}\, H^i_{\mathfrak{a}} (M) \cap \operatorname{Ass}\, \frac{M}{\mathfrak{a} M}= \emptyset$, for all $i>\operatorname{grade}\,_M \mathfrak{a}$.
\item [(ii)] If $I=0$ and $M$ is projective then $\operatorname{Ass}\, \operatorname{Ext}\,^1_R(\frac{M}{\mathfrak{a} M},\frac{R}{\mathfrak{a}})=
\operatorname{Supp}\, \frac{M}{\mathfrak{b} M} \cap \operatorname{Ass}\, \frac{R}{\mathfrak{a}}$. In particular, in the case where $M= R$, $$\operatorname{Ass}\, \operatorname{Ext}\,^1_R(\frac{R}{\mathfrak{a}},\frac{R}{\mathfrak{a}})=
\operatorname{Ass}\, \frac{R}{\mathfrak{b}} \cap \operatorname{Ass}\, \frac{R}{\mathfrak{a}}= \operatorname{Ass}\, \operatorname{Ext}\,^1_R(\frac{R}{\mathfrak{b}},\frac{R}{\mathfrak{b}}).$$
\end{itemize}
\end{prop}
\begin{proof}
\begin{itemize}
\item [(i)] Let $\mathfrak{p}\in\operatorname{Supp}\, H^i_{\mathfrak{a}} (M) \cap \operatorname{Ass}\, \frac{M}{\mathfrak{a} M}$ for some $i>\operatorname{grade}\,_M \mathfrak{a}$. Hence,
by \cite[3.11(i)]{JS}, $\operatorname{ht}\,_M\mathfrak{p}= \operatorname{grade}\,_M \mathfrak{a}$ and $H^i_{\mathfrak{a} R_{\mathfrak{p}}} (M_{\mathfrak{p}}) =0,$ which is a contradiction.
\item [(ii)] Applying $\operatorname{Hom}\,_R(-,\frac{R}{\mathfrak{a}})$ on the sequence $ 0\rightarrow \mathfrak{a} M \rightarrow M\rightarrow
\frac{M}{\mathfrak{a} M}\rightarrow 0,$ we get the exact sequence $$ 0\rightarrow \operatorname{Hom}\,_R(\frac{M}{\mathfrak{a} M},\frac{R}{\mathfrak{a}})
\rightarrow \operatorname{Hom}\,_R(M,\frac{R}{\mathfrak{a}})\rightarrow \operatorname{Hom}\,_R(\mathfrak{a} M,\frac{R}{\mathfrak{a}})\rightarrow \operatorname{Ext}\,^1_R(\frac{M}{\mathfrak{a} M},
\frac{R}{\mathfrak{a}})\rightarrow 0.$$ This, in conjunction with the isomorphisms $$\operatorname{Hom}\,_R(\frac{M}{\mathfrak{a} M},\frac{R}{\mathfrak{a}})
\cong \operatorname{Hom}\,_R(M,\operatorname{Hom}\,_R(\frac{R}{\mathfrak{a}},\frac{R}{\mathfrak{a}}))\cong \operatorname{Hom}\,_R(M,\frac{R}{\mathfrak{a}}),$$ implies that $$\operatorname{Hom}\,_R(\mathfrak{a} M,\frac{R}{\mathfrak{a}})
\cong \operatorname{Ext}\,^1_R(\frac{M}{\mathfrak{a} M},\frac{R}{\mathfrak{a}}).$$ Now, in view of the assumption and \cite[2.5(ii)]{JS},
$$\operatorname{Ass}\, \operatorname{Ext}\,^1_R(\frac{M}{\mathfrak{a} M},\frac{R}{\mathfrak{a}})= \operatorname{Supp}\, \frac{M}{\mathfrak{b} M} \cap \operatorname{Ass}\, \frac{R}{\mathfrak{a}}.$$
Also, by \cite[2.8(iii)]{JS}, $\operatorname{Ass}\, \frac{R}{\mathfrak{a}}= \operatorname{Ass}\, R \cap V(\mathfrak{a}).$ This proves the last claim.
\end{itemize}
\end{proof}
The following theorem provides an equivalent condition for the finiteness of $\operatorname{Ass}\, H^t_{\mathfrak{a}}(R).$
\begin{thm} \label{t2}
Let $R$ be a Cohen-Macaulay local ring and let $t\in \mathbb{N}$. Then, the following statements are equivalent.
\begin{itemize}
\item [(i)] For any ideal $\mathfrak{a}$ of $R$, $\operatorname{Ass}\, H^t_{\mathfrak{a}}(R)$ is a finite set.
\item [(ii)] For any linked ideal $\mathfrak{a}$, $\operatorname{Ass}\, H^t_{\mathfrak{a}}(R)$ is a finite set.
\end{itemize}
\end{thm}
\begin{proof}
Let $\mathfrak{a} \unlhd R$ be an ideal and assume that, for all linked ideals $\mathfrak{b}$, $\operatorname{Ass}\, H^t_{\mathfrak{b}}(R)$ is a finite set.
By \cite[Corollary 1]{He}, we may consider $\operatorname{ht}\, \mathfrak{a} = t-1 $. Using \cite[2.11 ]{JS1}, there exists a linked radical
ideal $\mathfrak{a}'\subseteqpseteq \mathfrak{a}$ such that $\operatorname{grade}\,_R \mathfrak{a}' = \operatorname{grade}\,_R \mathfrak{a} = t-1$. In view of the structure of $\mathfrak{a}'$
(in the proof of \cite[ 2.11(i)]{JS1}, and the Cohen-Macaulayness of $R$, we have $$\operatorname{Ass}\, \frac{R}{\mathfrak{a}'} =
\{\mathfrak{p}| \mathfrak{p} \in \operatorname{Min}\, \operatorname{Ass}\, \frac{R}{\mathfrak{a}}, \operatorname{ht}\, \mathfrak{p} = \operatorname{ht}\, \mathfrak{a} \}.$$ Set $\mathfrak{b} : = \cap_{\mathfrak{p} \in \operatorname{Min}\, \operatorname{Ass}\, \frac{R}{\mathfrak{a}}
- \operatorname{Ass}\, \frac{R}{\mathfrak{a}'}} \mathfrak{p}$. Then $\operatorname{ht}\, \mathfrak{b} > t-1$ and $\sqrt{\mathfrak{a}} = \mathfrak{a}' \cap \mathfrak{b}$. We claim that $\operatorname{ht}\, \mathfrak{a}'+\mathfrak{b} >t$.
For that, if $\operatorname{ht}\, \mathfrak{a}'+\mathfrak{b} =t$ then there exists $\mathfrak{q} \in \operatorname{Min}\, \operatorname{Ass}\, \frac{R}{\mathfrak{a}'+\mathfrak{b}}$ with $\operatorname{ht}\, \mathfrak{q} = t$. Hence
$\mathfrak{q} \in \operatorname{Min}\, \operatorname{Ass}\, \frac{R}{\mathfrak{b}} \cap V(\mathfrak{a}')$ and there exists $\mathfrak{p} \in \operatorname{Ass}\, \frac{R}{\mathfrak{a}'}$ such that $\mathfrak{p}\subseteqbseteq \mathfrak{q}$,
which is a contradiction.
Now, the Mayer-Vietorise sequence $$0 \longrightarrowngrightarrow H^t_ {\mathfrak{a}'} (R) \oplus H^t_ {\mathfrak{b}} (R) \longrightarrowngrightarrow H^t_ {\mathfrak{a}}(R)\longrightarrowngrightarrow H^{t+1}_ {\mathfrak{a}'+\mathfrak{b}} (R),$$ in conjunction with \cite[Theorem 1]{He}, proves the claim.
\end{proof}
\begin{prop} \label {p1}
Let $R$ be a UFD and $\mathfrak{a}$ be a linked ideal. Then, $\operatorname{Ass}\,
H^2_{\mathfrak{a}}(R)$ is finite. If, in addition, $\operatorname{dim}\, R <4$ then $\operatorname{Ass}\,
H^i_{\mathfrak{a}}(R)$ is a finite set for all $i\in \mathbb{N}_0.$
\end{prop}
\begin{proof}
In the case $\operatorname{grade}\, \mathfrak{a} \geq 2$, the result follows from \cite[Theorem 1]{He}. Let $\mathfrak{a}$ be a linked ideal by $I$ with $\operatorname{grade}\, \mathfrak{a} =1$. Via \cite[2.3(iv) and 2.6(i)]{JS2}, $\sqrt{\mathfrak{a}} = \mathfrak{p}_1\cap...\cap\mathfrak{p}_l$ for some $\mathfrak{p}_,...,\mathfrak{p}_l \in \operatorname{Ass}\,\frac{R}{I}.$
We claim that $\operatorname{ht}\, \mathfrak{p}_i = 1$, for all $i= 1,...,l$. Let $i\in \{ 1,...,l\}$. There exists an irreducible element $x \in \mathfrak{p}_i - Z(R)$. If $\operatorname{ht}\, \mathfrak{p}_i > 1$ then there exists an irreducible element $y \in \mathfrak{p}_i - (x)$. As $\operatorname{grade}\, \mathfrak{p}_i =1$, $y \in Z(\frac{R}{(x)})$ and there exist $r \in R-(x)$ and $r'\in R$ such that $ry = r'x$. Therefore, $x|r$ which is a contradiction.
Therefore, by \cite[Exercise 20.3]{M}, $\sqrt{\mathfrak{a}}$ is principal and $H^2_{\mathfrak{a}}(R)=0$.
The last assertion follows from the fact that $H^{\operatorname{dim}\, R}_{\mathfrak{a}}(R)$ is Artinian.
\end{proof}
The $R$-module $X$ is said to be $\mathfrak{a}$-cofinite if $\operatorname{Supp}\, X
\subseteqbseteq V(\mathfrak{a})$ and $\operatorname{Ext}\,^i_R(\frac{R}{\mathfrak{a}}, X)$ is a finitely
generated $R$-module for all $i\in \mathbb{N}_0.$
The cofinite property of
local cohomology modules is one of the main problems in this
subject, see for example \cite{MD}. In the last item of this
section, we consider this problem for linked ideals.
We recall the following lemma from \cite[Proposition 1]{MD} which will be used in the next theorem.
\begin{lem} \label{l3}
Let $N$ be an $R$-module and $p\geq0$. Suppose that
$\operatorname{Ext}\,^i_R(M, N)$ is a finitely generated $R$-module for all $i\leq p$.
Then, for any finitely generated $R$-module $L$ with $\operatorname{Supp}\, L \subseteqbseteq \operatorname{Supp}\, M$, $\operatorname{Ext}\,^i_R(L, N)$ is
finitely generated for all $i\leq p.$
\end{lem}
The following theorem considers some equivalent conditions for the
finiteness of some Ext modules.
\begin{thm} \label{t3}
Let $I$ be a non-prime ideal of $R$ which is generated by an $R$-sequence and $N$ be an $R$-module. Then, the following statements are equivalent.
\begin{itemize}
\item [(i)] $\operatorname{Ext}\,^i_R(\frac{R}{I}, N)$ is finitely generated, for all $i\in \mathbb{N}_0$.
\item [(ii)] $\operatorname{Ext}\,^i_R(\frac{R}{\mathfrak{p}}, N)$ is finitely generated, for any ideal $\mathfrak{p} \in \operatorname{Ass}\, \frac{R}{I}$ and all $i\in \mathbb{N}_0$.
\item [(iii)] $\operatorname{Ext}\,^i_R(\frac{R}{\mathfrak{a}}, N)$ is finitely generated, for any linked ideal $\mathfrak{a}$ by $I$ and all $i\in \mathbb{N}_0$.
\item [(iv)] $\operatorname{Ext}\,^i_R(\frac{R}{\mathfrak{a}}, N)$ and $\operatorname{Ext}\,^i_R(\frac{R}{\mathfrak{b}}, N)$ are finitely generated, for some ideals
$\mathfrak{a}$ and $\mathfrak{b}$ such that $\mathfrak{a}\sim_{(I;R)}\mathfrak{b}$ and all $i\in \mathbb{N}_0$.
\end{itemize}
\end{thm}
\begin{proof}
$"(i) \rightarrow (ii)"$ is clear from the fact that $\operatorname{Supp}\, \frac{R}{\mathfrak{p}} \subseteqbseteq \operatorname{Supp}\, \frac{R}{I}$ and the above lemma.
$"(ii) \rightarrow (iii)"$ Let $\mathfrak{a}$ be a linked ideal by $I.$ As $\operatorname{Supp}\, \frac{R}{\sqrt{\mathfrak{a}}} \subseteqbseteq \operatorname{Supp}\, \frac{R}{\mathfrak{a}}$, in view of \ref{l3}, we can assume that $\mathfrak{a}$ is a radical linked ideal by $I$. Let $\operatorname{Min}\, \operatorname{Ass}\, \frac{R}{\mathfrak{a}}=\{ \mathfrak{p}_1,..., \mathfrak{p}_n\}$ and $M:= \frac{R}{\mathfrak{p}_1}\oplus ... \oplus\frac{R}{\mathfrak{p}_n}$. By \cite[Proposition 5.p594]{MS}, $\mathfrak{p}_j \in \operatorname{Ass}\, \frac{R}{I}$. So, $\operatorname{Ext}\,^i_R(M, N)$ is finitely generated for all $i\geq 0$. Now, the result follows from the fact that $\operatorname{Supp}\, \frac{R}{\mathfrak{a}}= \operatorname{Supp}\, M$.
$"(iii)\rightarrow (i)"$ Let $\operatorname{Ass}\, \frac{R}{I}=\{ \mathfrak{p}_1,..., \mathfrak{p}_n\}$ and $M:= \frac{R}{\mathfrak{p}_1}\oplus ... \oplus\frac{R}{\mathfrak{p}_n}$. By the assumption and \cite[2.3]{JS2}, $\operatorname{Ext}\,^i_R(M, N)$ is finitely generated, for all $i\geq 0$. Therefore, the result has desired from the above lemma.
$"(iv)\rightarrow (i)"$ Assume that $\operatorname{Ass}\, \frac{R}{I}=\{ \mathfrak{p}_1,..., \mathfrak{p}_n\}$ and $M:= \frac{R}{\mathfrak{p}_1}\oplus ... \oplus\frac{R}{\mathfrak{p}_n}.$ By \cite[2.5(iii)]{JS}, $\operatorname{Supp}\, \frac{R}{I} = \operatorname{Supp}\, \frac{R}{\mathfrak{a}} \bigcup \operatorname{Supp}\, \frac{R}{\mathfrak{b}}.$ Let $1\leq i\leq n$ and assume that $\mathfrak{p}_i \in \operatorname{Supp}\, \frac{R}{\mathfrak{a}}.$ Then, $\operatorname{Supp}\, \frac{R}{\mathfrak{p}_i} \subseteqbseteq\operatorname{Supp}\, \frac{R}{\mathfrak{a}}$ and $\operatorname{Ext}\,^i_R(\frac{R}{\mathfrak{p}_i}, N)$ is finitely generated. Therefore, $\operatorname{Ext}\,^i_R(M, N)$ is finitely generated for all $i\geq 0$ and the result follows from the fact that $\operatorname{Supp}\, \frac{R}{I}= \operatorname{Supp}\, M$.
\end{proof}
The following corollary presents an equivalent condition for the $\mathfrak{a}$-cofiniteness of $H^i_{\mathfrak{a}}(R)$ in the case where $\mathfrak{a}$ is a linked ideal.
\begin{cor} \label{c2}
Let $i\in \mathbb{N}_0$ and $I$ be a non-prime ideal of $R$ such that $\mathfrak{a}$
is linked by $I$. If $H^i_{\mathfrak{a}}(R)$ is $I$-cofinite then
$H^i_{\mathfrak{a}}(R)$ is $\mathfrak{a}$-cofinite. In particular, in the case where
$i> \operatorname{grade}\, I$ and $\mathfrak{a}\sim_{(I;R)}\mathfrak{b}$, $H^i_{\mathfrak{a}}(R)$ is
$\mathfrak{a}$-cofinite and $\mathfrak{b}$-cofinite if and only if it is $I$-cofinite.
\end{cor}
\begin{proof}
If $i> \operatorname{grade}\, I$ then it is straight-forward to see that $H^i_{\mathfrak{a}}(R)$ is $\mathfrak{b}$-torsion and $\operatorname{Supp}\, H^i_{\mathfrak{a}}(R) \subseteqbseteq V(\mathfrak{b})$. Now, the result follows from the above theorem.
\end{proof}
\section{ attached prime ideals }
Let $(R,\mathfrak{m})$ be a local ring. For all $i \in \mathbb{N}$, the family $\{ H^i_{\mathfrak{m}}(\frac{M}{\mathfrak{a}^nM})\}_{n \in\mathbb{N}}$ forms an inverse system. The inverse limit $F^i_{\mathfrak{a}} (M): = \underleftarrow{\lim}_n H^i_{\mathfrak{m}}(\frac{M}{\mathfrak{a}^nM})$ is called the $i$-th formal local cohomology module of $M$ with respect to $\mathfrak{a}$. Formal local cohomology were used by Peskine and Szepiro in \cite{PS1} in order to solve a conjecture of Hartshorne.
Artinianness of local cohomology and formal cohomology modules is one of the main problems in this subject, see for example \cite{BR}, \cite{DY1} and \cite{Sc2}. In this section we consider this problem.
The following modification of \cite[Theorem A]{DY1} will be used several times in the paper. We bring it here for the reader's convenience.
\begin{lem}\label{l2}
Let $R$ be a complete local ring. Then $$\operatorname{Att}\, H^{\operatorname{dim}\, M}_{\mathfrak{a}} (M) = \{\mathfrak{p} \in \operatorname{Ass}\,h M | \sqrt{\mathfrak{a}+\mathfrak{p}} = \mathfrak{m} \}.$$
\end{lem}
\begin{proof}
In view of \cite[Theorem A]{DY1}, let $\mathfrak{p} \in \operatorname{Att}\, H^{\operatorname{dim}\, M}_{\mathfrak{a}} (M) = \{\mathfrak{p} \in \operatorname{Ass}\, M | \operatorname{cd}\, (\mathfrak{a}, \frac{R}{\mathfrak{p}})=\operatorname{dim}\, M \}.$ Then, by the Grothendieck's vanishing theorem \cite[6.1.2]{BS}, $\mathfrak{p}\in \operatorname{Ass}\,h M.$ Now, the result follows from \cite[8.2.3]{BS}.
\end{proof}
In the following lemma, which will be used in the next theorem, we study the associated and attached prime ideals of local cohomology and formal local cohomology modules at the ''lowest'' and ''highest'' level.
\begin{lem}\label{l08}
Let $(R,\mathfrak{m})$ be a complete local ring and $M$ be a finitely generated R-module of dimension $n$ . Then the following statements hold.
\begin{itemize}
\item [(i)] $ \operatorname{Att}\, H^ n _{\mathfrak{a}\cap \mathfrak{b}}(M) = \operatorname{Att}\, H^ n _{\mathfrak{a}}(M) \cap \operatorname{Att}\, H^ n _{\mathfrak{b}}(M) $.
\item [(ii)] $ \operatorname{Att}\, F^ n _{\mathfrak{a}\cap \mathfrak{b}}(M) = \operatorname{Att}\, F^ n _{\mathfrak{a}}(M) \cup \operatorname{Att}\, F^ n _{\mathfrak{b}}(M) $.
\item [(iii)] $ \operatorname{Att}\, F^ n _{\mathfrak{a}+ \mathfrak{b}}(M) = \operatorname{Att}\, F^ n _{\mathfrak{a}}(M) \cap \operatorname{Att}\, F^ n _{\mathfrak{b}}(M) $.
\item [(iv)] $\operatorname{Ass}\, F^0_{\mathfrak{a}\cap \mathfrak{b}} (M) = \operatorname{Ass}\, F^ 0 _{\mathfrak{a}}(M) \cap \operatorname{Ass}\, F^ 0 _{\mathfrak{b}}(M)$.
Moreover, if $\mathfrak{a}\mathfrak{b} M = 0$ then,
\item [(v)] $ \operatorname{Att}\, H^ n _{\mathfrak{a}+ \mathfrak{b}}(M) = \operatorname{Att}\, H^ n _{\mathfrak{a}}(M) \cup \operatorname{Att}\, H^ n _{\mathfrak{b}}(M) $.
\item [(vi)] $\operatorname{Ass}\, F^0_{\mathfrak{a}+ \mathfrak{b}} (M) = \operatorname{Ass}\, F^ 0 _{\mathfrak{a}}(M) \cup \operatorname{Ass}\, F^ 0 _{\mathfrak{b}}(M)$.
\end{itemize}
\end{lem}
\begin{proof}
\begin{itemize}
\item [(i)] Let $\mathfrak{p}\in \operatorname{Ass}\,h M$. Then, it is straight-forward to see that $\sqrt{(\mathfrak{a} \cap\mathfrak{b}) + \mathfrak{p}} = \mathfrak{m}$ if and only if $\sqrt{\mathfrak{a} +\mathfrak{p}} = \mathfrak{m}$ and $\sqrt{\mathfrak{b} +\mathfrak{p}} = \mathfrak{m}$. Now, the result follows from \ref{l2}.
\item [(ii)] and (iii) are immediate by \cite[3.1]{BR}.
\item [(iv)] As we have seen in the proof of the part (i), for any $\mathfrak{p}\in \operatorname{Ass}\, M$, $\sqrt{(\mathfrak{a} \cap\mathfrak{b}) + \mathfrak{p}} = \mathfrak{m}$ if and only if $\sqrt{\mathfrak{a} +\mathfrak{p}} = \mathfrak{m}$ and $\sqrt{\mathfrak{b} +\mathfrak{p}} = \mathfrak{m}$. Now, the result follows from \cite[4.1]{Sc2}.
\item [(v)] Let $\mathfrak{p} \in \operatorname{Att}\, H^ n _{\mathfrak{a}}(M)$. Then, by the above lemma, $\mathfrak{p}\in \operatorname{Ass}\,h M $ and $\sqrt{\mathfrak{a} +\mathfrak{p}} = \mathfrak{m}$. Hence, $\sqrt{\mathfrak{a}+\mathfrak{b} +\mathfrak{p}} = \mathfrak{m}$ and so, $ \mathfrak{p} \in \operatorname{Att}\, H^ n _{\mathfrak{a}+\mathfrak{b}}(M)$.
Conversely, let $\mathfrak{p}\in \operatorname{Att}\, H^ n _{\mathfrak{a}+ \mathfrak{b}}(M)$. Then $\mathfrak{p}\in \operatorname{Ass}\,h M $ and $\sqrt{\mathfrak{a} +\mathfrak{b} +\mathfrak{p}} = \mathfrak{m}$. Hence, by the assumption, $\mathfrak{p} \subseteqpseteq \mathfrak{a}$ or $\mathfrak{p} \subseteqpseteq \mathfrak{b}$ and so, $\sqrt{\mathfrak{b} +\mathfrak{p}} = \mathfrak{m}$ or $\sqrt{\mathfrak{a} +\mathfrak{p}} = \mathfrak{m}$. This implies that $\mathfrak{p} \in \operatorname{Att}\, H^ n _{\mathfrak{a}}(M) \cup \operatorname{Att}\, H^ n _{\mathfrak{b}}(M).$
\item [(vi)] The result follows from \cite[4.1]{Sc2}.
\end{itemize}
\end{proof}
The following theorem gives us a necessary and sufficient condition for $M$ to be Cohen-Macaulay in terms the existence of some special linked ideals over it.
\begin{thm} \label {t6}
Let $(R , \mathfrak{m})$ be local and $d:= \operatorname{dim}\, M$. Then the following statements are equivalent.
\begin{itemize}
\item [( i )] $M$ is Cohen-Macaulay.
\item [( ii )] There exist ideals $\mathfrak{a}, \mathfrak{b}$ and $I$ such that $\mathfrak{a}\sim_{(I;M)}\mathfrak{b}$ and $\operatorname{Att}\, H^d_{\mathfrak{a}}(M) \bigcap \operatorname{Att}\, H^d_{\mathfrak{b}}(M) \neq \varnothing$.
\item [( iii )] There exist ideals $\mathfrak{a}, \mathfrak{b}$ and $I$ such that $\mathfrak{a}\sim_{(I;M)}\mathfrak{b}$, $\operatorname{Ass}\, F^0_{\mathfrak{a}}(\frac{M}{IM}) \bigcap \operatorname{Ass}\, F^0_{\mathfrak{b}}(\frac{M}{IM}) \neq \varnothing$ and $\mid \operatorname{Ass}\, \frac{M}{IM}\mid = 1$.
\item [( iv )]There exist ideals $\mathfrak{a}, \mathfrak{b}$ and $I$ such that $\mathfrak{a}\sim_{(I;M)}\mathfrak{b}$, $\operatorname{Ass}\, \frac{M}{IM} = \operatorname{Min}\,\operatorname{Ass}\, \frac{M}{IM}$ and $\operatorname{dim}\, \frac{M}{\mathfrak{a} M} = 0$.
\item [( v )] There exist ideals $\mathfrak{a}, \mathfrak{b}$ and $I$ such that $\mathfrak{a}\sim_{(I;M)}\mathfrak{b}$, $\operatorname{Ass}\, \frac{M}{IM} = \operatorname{Min}\,\operatorname{Ass}\, \frac{M}{IM}$ and $\operatorname{Ass}\, F^0_{\mathfrak{a}} (M) = \operatorname{Ass}\, M.$
\end{itemize}
In particular, $R$ is Cohen-Macaulay if and only if there exists a maximal $R$-sequence $\mathfrak{x}$ such that $\operatorname{Ass}\, \frac{R}{(\mathfrak{x})}= \operatorname{Min}\, \frac{R}{(\mathfrak{x})} $.
\end{thm}
\begin{proof}
First of all, note that if $M$ is Cohen-Macaulay then every system of parameters of $M$ is generated by an $M$-regular sequence. On the other hand, by \cite[2.2]{JS}, every $M$-regular sequence is $M$-selflinked.
$ (i)\rightarrow(ii) $ It is clear.
$ (ii)\rightarrow(i) $ By \ref{l08}(i), $\operatorname{Att}\, H^ d _{\mathfrak{b}\cap\mathfrak{a}}(M) \neq\varnothing$. Hence, by \cite[3.1]{JS}, $ht _M I = d$ and $M$ is Cohen-Macaulay.
$ (i)\rightarrow(iii) $ It is clear by \cite[4.1]{Sc2}.
$ (iii)\rightarrow(i) $ By \ref{l08}(iv), $\operatorname{Ass}\, F^ 0 _{\mathfrak{b}\cap\mathfrak{a}}(\frac{M}{IM}) \neq\varnothing$. Hence, by \cite[3.1]{JS}, $\operatorname{Ass}\, \Gammaamma_{\mathfrak{m}}(\frac{M}{IM}) \neq \varnothing$ and so $\mathfrak{m} \in \operatorname{Ass}\, (\frac{M}{IM})$. This implies that $\operatorname{dim}\, \frac{M}{IM}= 0.$ Therefore, $M$ is Cohen-Macaulay.
$ (iv)\rightarrow(i) $ The result follows from the concept of linkedness and \cite[2.9]{JS} .
$ (v)\leftrightarrow(iv) $ One has $\operatorname{dim}\, \frac{M}{\mathfrak{a} M} = 0$ if and inly if $\operatorname{Ass}\, F^0_{\mathfrak{a}} (M) = \operatorname{Ass}\, M.$ Now the result follows from \cite[4.1]{Sc2}.
For the end, we may assume that $\mathfrak{m} \neq (\mathfrak{x})$. As $\mathfrak{m} \subseteqbseteq (\mathfrak{x}):_R (\mathfrak{x}):_R \mathfrak{m}$, $\mathfrak{m}$ is linked by $(\mathfrak{x})$. Hence $\operatorname{dim}\, \frac{R}{(\mathfrak{x})} = 0$, by \cite[2.9]{JS}, and $R$ is Cohen-Macaulay.
\end{proof}
The following lemma, which shows that the equidimensional property of $M$ passes through linkage to $\frac{M}{\mathfrak{a} M}$ and $\frac{M}{\mathfrak{b} M},$ will be used in the next proposition.
\begin{lem}\label{r1}
Assume that $M$ is equidimensional and $\mathfrak{a}$ and $\mathfrak{b}$ are geometrically linked over $M$ by zero ideal. Then $\frac{M}{\mathfrak{a} M}$ and $\frac{M}{\mathfrak{b} M}$ are equidimensional of dimension $\operatorname{dim}\, M.$
\end{lem}
\begin{proof}
Let $\mathfrak{p} \in \operatorname{Min}\, \operatorname{Ass}\, \frac{M}{\mathfrak{a} M}- \operatorname{Min}\, \operatorname{Ass}\, M$. Then, there exists $\mathfrak{q} \in \operatorname{Min}\, \operatorname{Ass}\, M$ such that $\mathfrak{q} \subseteqbset \mathfrak{p}$. Hence $\mathfrak{a} \nsubseteq \mathfrak{q}$ and $\mathfrak{b} \subseteqbseteq \mathfrak{q}$. This, in view of \cite[2.8(iv)]{JS}, implies that $\mathfrak{p} \in \operatorname{Ass}\, \frac{M}{\mathfrak{a} M} \cap V(\mathfrak{b})= \operatorname{Ass}\, M \cap V(\mathfrak{a} +\mathfrak{b})= \emptyset$, by \cite[2.8]{JS} and the fact that $\operatorname{grade}\,_M\mathfrak{a} +\mathfrak{b}>0.$ Therefore, $\operatorname{Min}\, \operatorname{Ass}\, \frac{M}{\mathfrak{a} M}\subseteqbseteq \operatorname{Min}\, \operatorname{Ass}\, M$ and the result follows.
\end{proof}
In the following proposition we study vanishing and attached prime ideals of $H^{\operatorname{dim}\, M}_{\mathfrak{a}} (M),$ where $\mathfrak{a}$ is linked over $M$.
\begin{prop}\label{l15}
Let $(R,\mathfrak{m})$ be local and complete, $\mathfrak{a}\sim _{(0;M)}\mathfrak{b}$ and $n:= \operatorname{dim}\, M>0$. Then the following assertions hold.
\begin{itemize}
\item [(i)] $\operatorname{Att}\, H^n_{\mathfrak{a}} (M) \subseteqbseteq \operatorname{Ass}\,h \frac{M}{\mathfrak{b} M}$.
\item [(ii)] If $\operatorname{dim}\, \frac{M}{\mathfrak{a} M} \neq\operatorname{dim}\, \frac{M}{\mathfrak{b} M}$ then either $H^n_{\mathfrak{a}} (M)=0$ or $H^n_{\mathfrak{b}} (M)=0$. In particular, if $\operatorname{Ass}\, F^0_{\mathfrak{a}} (M)= \operatorname{Ass}\,h M$ then $H^n_{\mathfrak{a}} (M)\cong H^n_{\mathfrak{m}} (M)$ and $H^n_{\mathfrak{b}} (M)=0$.
\item [(iii)] Assume that $M$ is equidimensional and $\mathfrak{a}$ and $\mathfrak{b}$ are geometrically linked over $M.$ Then $\operatorname{Att}\, H^n_{\mathfrak{a}} (M)= \operatorname{Ass}\,h \frac{M}{\mathfrak{b} M}$ if and only if $\operatorname{Att}\, H^n_{\mathfrak{b}} (M)= \operatorname{Ass}\,h \frac{M}{\mathfrak{a} M}$.
\end{itemize}
\end{prop}
\begin{proof}
\begin{itemize}
\item [(i)] Let $\mathfrak{p} \in \operatorname{Att}\, H^n_{\mathfrak{a}} (M)$. Then, by \ref{l2}, $\mathfrak{p} \in \operatorname{Ass}\,h M$ and $\sqrt{\mathfrak{a}+\mathfrak{p}}=\mathfrak{m}$. Therefore, $\mathfrak{a} \nsubseteq\mathfrak{p}$ and, by \cite[2.8(i)]{JS}, $\mathfrak{p} \in \operatorname{Ass}\,h \frac{M}{\mathfrak{b} M}$.
\item [(ii)] Assume that $\operatorname{dim}\, \frac{M}{\mathfrak{b} M} <\operatorname{dim}\, \frac{M}{\mathfrak{a} M}$. Then, by \cite[2.5(iii)]{JS}, $\operatorname{dim}\, M =\operatorname{dim}\, \frac{M}{\mathfrak{a} M}$ and also, by (i), $\operatorname{Att}\, H^n_{\mathfrak{a}} (M) \subseteqbseteq \operatorname{Ass}\,h \frac{M}{\mathfrak{b} M} \cap \operatorname{Ass}\,h M = \emptyset$ which implies that $H^n_{\mathfrak{a}} (M)=0$.
Now, let $\mathfrak{p} \in \operatorname{Ass}\,h M$. Then, by the assumption and \cite[4.1]{Sc2}, $\sqrt{\mathfrak{a}+\mathfrak{p}}=\mathfrak{m}$ and $\mathfrak{a} \nsubseteq \mathfrak{p}$. Therefore, by (i), $\operatorname{Att}\, H^n_{\mathfrak{b}} (M)\subseteqbseteq \operatorname{Ass}\,h M \cap \operatorname{Ass}\,h \frac{M}{\mathfrak{a} M}= \emptyset$ and $H^n_{\mathfrak{b}} (M)=0$. On the other hand, in view of \ref{l2}, $\operatorname{Att}\, H^n_{\mathfrak{a}}(M) = \operatorname{Att}\, H^n_{\mathfrak{m}} (M)$ and, using \cite[1.6]{DY}, this implies that $H^n_{\mathfrak{a}}(M) \cong H^n_{\mathfrak{m}} (M)$.
\item [(iii)] In view of \ref{r1}, $\frac{M}{\mathfrak{a} M}$ and $\frac{M}{\mathfrak{b} M}$ are equidimensional of dimension $\operatorname{dim}\, M$. Assume that $\operatorname{Att}\, H^n_{\mathfrak{a}} (M)= \operatorname{Ass}\,h \frac{M}{\mathfrak{b} M}.$ Then, by \ref{l2}, for every $\mathfrak{p} \in \operatorname{Min}\,\operatorname{Ass}\, \frac{M}{\mathfrak{b} M}$, $\sqrt{\mathfrak{a}+\mathfrak{p}}=\mathfrak{m}$. Hence, for every $\mathfrak{q} \in \operatorname{Min}\,\operatorname{Ass}\, \frac{M}{\mathfrak{a} M}$, $\sqrt{\mathfrak{q}+\mathfrak{p}}=\mathfrak{m}$. This implies that $$\sqrt{\mathfrak{q}+\cap_{\mathfrak{p} \in \operatorname{Min}\,\operatorname{Ass}\, \frac{M}{\mathfrak{b} M}}\mathfrak{p}}=\sqrt{\mathfrak{q}+\mathfrak{b}}=\mathfrak{m}.$$ Therefore, by (i), $\operatorname{Att}\, H^n_{\mathfrak{b}} (M)= \operatorname{Ass}\,h \frac{M}{\mathfrak{a} M}$.
\end{itemize}
\end{proof}
\end{document} | math |
ও দাদা পার্থ, তোমার কেরিয়ারটা নষ্ট করল অর্থ, বিজেপির গান Bangla News Dunia , দীনেশ দেব : গানের মাধ্যমে পার্থ চট্টোপাধ্যায়কে আক্রমণ করলেন হরিণঘাটার বিজেপি বিধায়ক অসীম সরকার লোকসংগীত শিল্পীর গানের নাম চোর ধরো, জেল ভরো তার প্রথম লাইন ও দাদা পার্থ, তোমার কেরিয়ারটা নষ্ট করল অর্থ সেই গানের প্রতি লাইনে রয়েছে কটাক্ষ এসএসসি দুর্নীতিতে পার্থ চট্টোপাধ্যায়ের গ্রেপ্তারির পর শনিবার নিজের ইউটিউব চ্যানেলে এই গান লাইভ করেন বিজেপি বিধায়ক তার পর থেকেই সেই গান ছড়িয়ে পড়েছে বিভিন্ন মাধ্যমে এমনকি বিজেপির নেতা কর্মীরা সেই গানকে সকলের মধ্যে শেয়ার করে দিচ্ছে মূলত তৃণমুলের উপর চাপ বাড়াতেই বিভিন্ন পন্থা অবলম্বন করছে বিজেপি ও সিপিআইএম নিচে শুনুন সেই গান shortnews আরো পড়ুন : অর্পিতাকে নিয়ে গভীর রাতে হোটেলে খেতে যেতেন পার্থ ! আরো পড়ুন : BREAKING: পদত্যাগ করুন পার্থ চট্টোপাধ্যায়: তৃণমূল আরো পড়ুন : দুয়ারে গর্ত! তৃণমূলের সততা জিন্দাবাদ, দেখুন ভিডিও আরো পড়ুন : বারবার ফোন, পার্থর সঙ্গে কথাই বললেন না মমতা ? আরো পড়ুন : কী ভাবে পার্থর ঘনিষ্ঠ হলেন অর্পিতা ? আরো পড়ুন : পার্থ ঘনিষ্ট অর্পিতা এখন ইডির দখলে ! আরো পড়ুন : কবে, কোথায় দেখা ও সম্পর্ক হয় পার্থঅর্পিতার ! আরো পড়ুন : VIDEO: অর্পিতা ও পার্থের কাজের ভূয়সী প্রশংসা মমতার ! দেখুন ভিডিও আরো খবর দেখতে নিচে দেওয়া ছবিতে ক্লিক করুন : সোনাগাছিতে খুন যৌনকর্মী, ঘটনাস্থলে পুলিশ https:t.co2QCMiIhGK2 Bangla News Dunia Banglanewsdunia আরো পড়ুন : BREAKING: তৃণমূলের তোলাবাজি, মেনে নিলেন মমতা ! আরো পড়ুন : সাবধান : ভ্যাকসিন লাগালেই পাবেন ৫০০০ টাকা ! আরো পড়ুন : তৃণমূলের খেলা হবে এর পাল্টা বিজেপির বঙ্গে এবার বদল হবে, দেখুন ভিডিও, না দেখলে MISS আরো পড়ুন : প্রসবের সময় ধর্ষণের চেষ্টা চিকিত্সকের, মুখে ঢুকিয়ে দিলো লিঙ্গ আরো পড়ুন : ফ্রীর রাজনীতি করা নেতাদের কটাক্ষ মোদির, সেই তালিকায় মমতা, দেখুন ভিডিও আরো পড়ুন :বিশ্ব রেকর্ড ভারতের, বিশ্বের সবচেয়ে বড় দোতলা ফ্লাইওভার চালু হল ভারতে, চলবে গাড়ি ও মেট্রো ,পদ্মা সেতু এর ধারে কাছে নেই আমাদের কাছে আপনার সময়ের দাম রয়েছে , তাই আমরা খবরকে বড় করার জন্য অযথা খবর না দিয়ে ,আমরা দিয়ে থাকি আপনাদের পয়েন্টের খবর আমাদের এই শর্ট নিউজ আপনাদের কেমন লাগছে তা নিচে কমেন্টে জানান যদি এই রকম শর্ট নিউজ আরো বেশি করে দেখতে চান তবে like করুন ও কমেন্টে YES লেখে জানান আর অবশই আমাদের চ্যানেল ফলো করুন আরো পড়ুন : নতুন আইন, ধর্ষকদের যৌন ক্ষমতা কেড়ে নেবে বিশেষ ইঞ্জেকশন ! আরো পড়ুন : অবশেষে IMF থেকে মোটা অঙ্কের ভিক্ষা পেতে চলেছে পাকিস্তান আরো পড়ুন : জানুন কীভাবে হল লুঙ্গি আবিষ্কার আরো পড়ুন : ছাত্রীর মায়ের সঙ্গে জোর করে যৌনতা! আরো পড়ুন : ও মাই গড! দেবরাজ ইন্দ্রের নামে মামলা দায়ের এইরকম আরো খবর পেতে দয়াকরে আমাদের চ্যানেল ফলো করুন | bengali |
مایا علی چھِ اَکھ پاکِستٲنؠ اَداکارہ یۄس فِلمَن مَنٛز چھِ کٲم کَران۔
زٲتی زِندگی
فِلمی دور
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UP Weather: यूपी में कड़ाके की ठंड से मिली राहत, लेकिन जारी रहेगा हल्का कोहरा, जानें लखनऊ का मौसम Lucknow Temperature, UP Weather Forecast Today, 15 Feb 2022: पर्वतीय क्षेत्रों में लंबे समय तक हुई बर्फबारी की वजह से मैदानी इलाकों में इस बार कड़ाके की ठंड पड़ी है. पिछले कई हफ्तों तक गलन वाली सर्दी से लोगों को काफी दिक्कतों का सामना करना पड़ा है, लेकिन अब धीरेधीरे मौसम खुल रहा है. दोपहर के समय धूप निकल रही है, जिससे जनता को राहत मिल रही. उत्तर प्रदेश में भी मौसम काफी खुशनुमा हो गया है. हालांकि, सुबह और रात के समय ठंड और कोहरा पड़ रहा है. मौसम विभाग के अनुसार, लखनऊ में आज का न्यूनतम तापमान 9 डिग्री सेल्सियस रहने वाला है, जबकि अधिकतम तापमान 26 डिग्री सेल्सियस रहेगा. इसके अलावा, बुधवार को भी राजधानी लखनऊ के मौसम में ज्यादा बदलाव नहीं आने वाला है. IMD के अलर्ट के अनुसार, बुधवार को लखनऊ का न्यूनतम तापमान 9 डिग्री और अधिकतम तापमान 26 डिग्री सेल्सियस रहने वाला है. कल भी सुबह और शाम को कोहरा छाया रहेगा. हालांकि, दोपहर को धूप निकलने की उम्मीद जताई गई है. वहीं, 17 फरवरी को लखनऊ के अधिकतम तापमान में एक डिग्री की बढ़ोतरी दर्ज की जा सकती है. इसके अलावा, 18 फरवरी को न्यूनतम तापमान 10 डिग्री सेल्सियस रहेगा और अधिकतम तापमान 27 डिग्री सेल्सियस. वहीं, 19 और 20 फरवरी को न्यूनतम तापमान 12 डिग्री और अधिकतम तापमान 28 डिग्री सेल्सियस रहने की संभावना है. पूरे हफ्ते सुबह और शाम को कोहरा छाया रहेगा. बीते दिन कैसा रहा लखनऊ का मौसम? यूपी की राजधानी लखनऊ में बीते कई दिनों से दोपहर में धूप निकल रही है. अधिकतम तापमान में भी पिछले कुछ दिनों में बढ़ोतरी दर्ज की गई है. सोमवार को लखनऊ का अधिकतम तापमान 25.4 डिग्री सेल्सियस दर्ज किया गया. वहीं, आज का अब तक का न्यूनतम तापमान 15 डिग्री सेल्सियस रहा है. मौसम विभाग ने अनुमान जताया है कि आज शाम को 5:58 पर सूर्यास्त होगा, जबकि कल के सूर्योदय का समय सुबह 6:43 है. Weather Today: उत्तर भारत में बढ़ा न्यूनतम तापमान, इन इलाकों में बारिश की संभावना, जानें आज का मौसम Delhi Weather Today: दिल्ली में आसमान साफ, निकली धूप, लेकिन कल से फिर रहेगा कोहरे का पहरा, जानें पूरे हफ्ते का मौसम | hindi |
दोषी साबित होने के बाद RIMS पहुंचे लालू प्रसाद, पेइंग वार्ड का कमरा नंबर ए11 अब उनका नया ठिकाना रांची. चारा और पशुपालन घोटाला के सबसे चर्चित मामले में दोषी करार दिए गए लालू प्रसाद रांची के होटवार जेल से रिम्स पहुंच गए हैं. लालू प्रसाद को कोर्ट ने उनकी गंभीर बीमारियों को देखते हुए रिम्म में रहने की अनुमति दी है. 21 फरवरी को सीबीआई की विशेष अदालत में उन्हें सजा सुनाई जाएगी. तबतक लालू प्रसाद रिम्स के इसी पेइंग वार्ड में रहेंगे. लालू प्रसाद के वकील प्रभात कुमार की अपील पर सीबीआई की स्पेशल कोर्ट ने तबीयत खराब होने की वजह से उन्हें रिम्स में डॉक्टरों की निगरानी में रहने की इजाजत दी है. लालू प्रसाद झारखंड के सबसे बड़े अस्पताल RIMS में सबसे ज्यादा समय तक रहने वाले मरीजों में से एक हैं. लालू प्रसाद यादव यहां दो साल 2 महीने तक रहे हैं. उनकी तबीयत खराब होने के बाद उन्हें पिछले साल जनवरी 2021 में RIMS से AIIMS रेफर किया गया था. लालू प्रसाद को रिम्स पेईंग वार्ड के कमरा नंबर ए11 में शिफ्ट कर दिया गया है. लालू प्रसाद के यहां आने से पहले इसे आननफानन में तैयार किया गया है. कमरे में लगे फ्रिज, टीवी, एसी, गीजर समेत दूसरे इलेक्ट्रॉनिक उपकरणों की टेस्टिंग भी की गई. लालू प्रसाद पहले भी कमरा नंबर ए11 में ही रहते थे. लेकिन 5 अगस्त 2020 को RJD सुप्रीमो को पेइंग वार्ड में कोरोना संक्रमण के डर से RIMS के कैली बंगला में शिफ्ट कर दिया गया था. लेकिन उनका मामला हाईकोर्ट में जाने पर उन्हें वापस पेईंग वार्ड में भेज दिया गया था, जहां से तबीयत खराब होने पर उन्हें इलाज के लिए दिल्ली भेजा गया. और अब लालू प्रसाद एक बार फिर उसी कमरा नंबर ए11 में अपना इलाज कराएंगे. लालू प्रसाद कई गंभीर बीमारियों से जूझ रहे हैं. डायबिटीज, ब्लड प्रेशर, हृदय रोग, किडनी रोग, किडनी में स्टोन, तनाव, थैलेसीमिया, प्रोस्टेट का बढ़ना, यूरिक एसिड का बढ़ना, ब्रेन से सम्बंधित बीमारी, कमज़ोर इम्यूनिटी, दाहिने कंधे की हड्डी में दिक्कत, पैर की हड्डी की समस्या, आंख में दिक्कत है. जिसके बाद उनके इलाज के लिए रिम्स में मेडिकल बोर्ड का गठन किया जाएगा. रिम्स के प्रभारी चिकित्सा अधीक्षक ने कहा कि लालू यादव कई गंभीर बीमारियों से जूझ रहे हैं. अगर वह यहां आते हैं तो उनके इलाज के लिए मेडिकल बोर्ड का गठन किया जाएगा. Source : palpalindia अभिमनोजः वंशवाद पर वादविवाद? अब लालू बोले.... उनको बेटाबेटी नहीं हैं, तो हम लोग क्या करें? राष्ट्रीय कार्यकारिणी की बैठक में गरजे लालू, बोले RJD की औकात अन्य पार्टियों से बहुत बड़ी संजय राउत का ED और BJP पर बड़ा आरोप: कहा मुझे लालू प्रसाद बनाने की धमकी दी गई लालू प्रसाद ने चुनाव लड़ने का किया एलान, कहा जीत कर लोकसभा पहुंचेंगे तेज प्रताप यादव लॉन्च करने जा रहे लालू की रसोई, देशभर में खोलेंगे ऑर्गेनिक रेस्टोरेंट चेन | hindi |
ಕರಾವಳಿಗೆ 94ಡಿ ಸೌಲಭ್ಯಕ್ಕೆ ಸರಕಾರದ ಉದಾಸೀನ ಕುಂದಾಪುರ: ಸಿದ್ದರಾಮಯ್ಯ ನೇತೃತ್ವದ ಸರಕಾರ ಇದ್ದಾಗ ಕಂದಾಯ ಸಚಿವರಾಗಿದ್ದ ಕಾಗೋಡು ತಿಮ್ಮಪ್ಪ ಅವರು ಮಹತ್ವಾಕಾಂಕ್ಷೆಯಿಂದ ಮಾಡಿದ 94 ಡಿ ಸೌಲಭ್ಯ ಕರಾವಳಿಗರ ಪಾಲಿಗೆ ಗಗನಕುಸುಮವಾಗಿದೆ. ಏನಿದು 94 ಡಿ 2017 ಡಿ. 16ರಂದು ಆದೇಶವಾಗಿದ್ದು, ವಾಸಿಸುವವನೇ ಮನೆಯ ಒಡೆಯ ಉದ್ದೇಶದ 1964ರ ಕಲಂ 94 ಕರ್ನಾಟಕ ಭೂ ಕಂದಾಯ ಕಾಯ್ದೆಗೆ 94ಡಿ ತಿದ್ದುಪಡಿ ತರುವ ಮೂಲಕ ಸರಕಾರಿ ಒಡೆತನದ ಜಾಗವನ್ನೂ ಕಂದಾಯ ಗ್ರಾಮರಹಿತ ಜನವಸತಿಗಳಲ್ಲಿ ಹಾಲಿ ವಾಸವಿರುವವರಿಗೆ ಹಸ್ತಾಂತರಿಸಲು ಅವಕಾಶ ಕಲ್ಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕಂದಾಯ ಗ್ರಾಮವಲ್ಲದ ಅನಧಿಕೃತ ಬಡಾವಣೆಗಳಾದ ಲಂಬಾಣಿ ತಾಂಡಾ, ಗೊಲ್ಲರ ಹಟ್ಟಿ, ವಡ್ಡರಹಟ್ಟಿ, ಕುರುಬರ ಹಟ್ಟಿ, ನಾಯಕರಹಟ್ಟಿ, ಮಜಾರೆ ಗ್ರಾಮ, ಹಾಡಿ, ದೊಡ್ಡಿ, ಪಾಳ್ಯ, ಕ್ಯಾಂಪ್, ಕಾಲನಿಯಂತಹ ರಾಜ್ಯದ 58 ಸಾವಿರಕ್ಕೂ ಅಧಿಕ ಜನವಸತಿ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮನೆಗಳು ಸರಕಾರಿ ಭೂಮಿಯಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ ಈಗಾಗಲೇ ವಾಸಿಸುತ್ತಿರುವವರಿಗೆ ಷರತ್ತಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟು ವಿತರಿಸಲು, 1979ರ ಪೂರ್ವದಲ್ಲಿ ವಾಸಿಸುತ್ತಿರುವವರ ಮನೆಗಳನ್ನು ಸಕ್ರಮಗೊಳಿಸಲು ಅವಕಾಶ ಕಲ್ಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮಂಜೂರಾತಿಯು 4 ಸಾವಿರ ಚ. ಅಡಿ ಮಿತಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿದೆ. ಖಾರ್ವಿಕೇರಿಯಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲಿನ ಪುರಸಭೆ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಖಾರ್ವಿಕೇರಿಯ 150ಕ್ಕೂ ಅಧಿಕ ಮಂದಿಗೆ ನಿವೇಶನವೇ ಇಲ್ಲ. ಈ ಕುರಿತು ಸಾಕಷ್ಟು ಹೋರಾಟಗಳಾಗಿವೆ. ಪುರಸಭೆಗೂ ಬೇಡಿಕೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಂಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಬೇಡಿಕೆ ಈಡೇರಿಲ್ಲ. ಪುರಸಭಾ ವಾರ್ಡ್ ಸದಸ್ಯರಾಗಿದ್ದ ರವಿರಾಜ್ ಖಾರ್ವಿ, ಈಗಿನ ಸದಸ್ಯ ಚಂದ್ರಶೇಖರ್ ಖಾರ್ವಿ ನಿವೇಶನರಹಿತರ ಹೋರಾಟದ ಜತೆಗೆ ಅವರೂ ನೇತೃತ್ವ ವಹಿಸಿ ನಿವೇಶನ ದೊರಕಿಸಿಕೊಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದ್ದರು. ಡಿಸಿಯಿಂದ ಪತ್ರ ಖಾರ್ವಿಕೇರಿಯಲ್ಲಿ ವಾಸಿಸುವವರಿಗೆ ಹಕ್ಕುಪತ್ರ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಅವರಿಗೆ ಈ ನಿಯಮದಡಿ ಭೂಮಿ ನೀಡಲು ಕಾನೂನಿನ ತೊಡಕಿದೆ. ಪುರಸಭೆ ವ್ಯಾಪ್ತಿ ಯಲ್ಲಿ 94ಸಿಸಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವುದು. 94ಡಿಯಲ್ಲಿ ಮೀನುಗಾರ ಕುಟುಂಬಗಳಿಗೆ ನೀಡಲು ಅವಕಾಶ ಇಲ್ಲ. ತಾಂಡಾ ಪ್ರದೇಶ ಗುರುತಿಸಿ ನೋಟಿಫಿಕೇಶನ್ ಮಾಡಿದ ರಷ್ಟೇ ನಿವೇಶನ ಹಂಚಲು ಸಾಧ್ಯ. ಈ ಬದಲಾವಣೆ ಮಾಡಬೇಕು ಎಂದು ಉಡುಪಿ ಡಿಸಿ ಸರಕಾರಕ್ಕೆ ಪತ್ರ ಬರೆದಿದ್ದಾರೆ. ಆದರೆ ಸರಕಾರದಿಂದ ಇದಕ್ಕೆ ಈವರೆಗೂ ಯಾವುದೇ ಸ್ಪಂದನ ದೊರೆತಿಲ್ಲ. ಕರಾವಳಿಗಿಲ್ಲ ನಿಯಮದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ ಮಾದರಿಯ ಪಂಗಡ ದ.ಕ., ಉಡುಪಿ ಜಿಲ್ಲೆಯಲ್ಲಿ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ದೊರೆಯದ ಕಾರಣ ಯಾವುದೇ ಹಕ್ಕುಪತ್ರ ವಿತರಣೆಯಾಗಿಲ್ಲ. ಜನಪ್ರತಿನಿಧಿಗಳು ಖುದ್ದು ಆಸಕ್ತಿ ವಹಿಸಿ ಈ ಕಾಯ್ದೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ವಲ್ಪ ತಿದ್ದುಪಡಿಗೆ ಸೂಚಿಸುತ್ತಿದ್ದರೂ ಸಾವಿರಾರು ಮಂದಿಗೆ ಇದು ಪ್ರಯೋಜನಕ್ಕೆ ದೊರೆಯುತ್ತಿತ್ತು. ಕೃಷಿಕೂಲಿ ಕಾರ್ಮಿಕರು, ಮೀನುಗಾರ ಕುಟುಂಬದವರು, ಆದಿವಾಸಿಗಳು ಮೊದಲಾದವರನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತಿದ್ದರೆ ಇಲ್ಲಿಯೂ ಅರ್ಹರ ಸಂಖ್ಯೆ ಇತ್ತು. ಸಚಿವರ ಭರವಸೆ ಈ ಹಿಂದಿನ ಎಸಿ ಭೂಬಾಲನ್ ಅವರು ಖಾರ್ವಿಕೇರಿ ಜನರಿಗೆ ಹಕ್ಕುಪತ್ರ ಕೊಡಿಸಬೇಕೆಂದು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದರು. 127 ಮಂದಿ ಅರ್ಜಿ ನೀಡಿದ್ದು ಜಿಲ್ಲಾಧಿಕಾರಿಗೆ ಮುಂದಿನ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಕಳುಹಿಸಿದ್ದರು. ಅಲ್ಲಿಂದ ಕಡತ ಎಸಿ ಕಚೇರಿಗೆ ಬಂದಿದ್ದು ಎಸಿ ಆಗಿರುವ ಕೆ. ರಾಜು ಅವರು ತನಿಖೆ ಮಾಡಿ ವರದಿ ಸಲ್ಲಿಸುವಂತೆ ತಹಶೀಲ್ದಾರ್ ಅವರಿಗೆ ರವಾನಿಸಿದ್ದರು. 810 ಮಾತ್ರ ಆಕ್ಷೇಪಣೆಗಳು ಬಂದಿದ್ದು ಇತರ ಅರ್ಜಿಗಳಿಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಯಿರಲಿಲ್ಲ. ಖುದ್ದು ಕಂದಾಯ ಸಚಿವ ಆರ್. ಅಶೋಕ್ ಅವರು ಕೂಡ ಅಧಿಕಾರಿಗಳ ಬಳಿ ಈ ಸಮಸ್ಯೆ ಬಗೆಹರಿಸಿ ಕೊಡುವುದಾಗಿ ಭರವಸೆ ನೀಡಿದ್ದರು. ಇಂದು ಸಭೆ 94ಡಿ ಸೌಲಭ್ಯವನ್ನು ಕರಾವಳಿ ಜಿಲ್ಲೆಗೆ ಒದಗಿಸಿಕೊಡಲು ಕಾಯ್ದೆಯಲ್ಲಿ ಸೂಕ್ತ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. 10 ಮನೆಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಇರುವ ತಾಂಡಾದಂತಹ ಪ್ರದೇಶ ಈ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲ. ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಅ.21ರಂದು ಅಧಿಕಾರಿಗಳ ಸಭೆ ನಡೆಸುತ್ತೇನೆ. ಸಮಸ್ಯೆ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಯತ್ನಿಸುತ್ತೇನೆ. ಕೋಟ ಶ್ರೀನಿವಾಸ ಪೂಜಾರಿ, ಮುಜರಾಯಿ, ಮೀನುಗಾರಿಕ ಸಚಿವರು | kannad |
ಮುಲಾಯಂ ಸಿಂಗ್ ಅವರ ಆರೋಗ್ಯ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ: ಆಸ್ಪತ್ರೆ ಮಾಹಿತಿ ಲಕ್ನೋ, ಆಗಸ್ಟ್ 12: ಸಮಾಜವಾದಿ ಪಕ್ಷದ ವರಿಷ್ಠ ಮುಲಾಯಂ ಸಿಂಗ್ ಯಾದವ್ ಅವರ ಆರೋಗ್ಯ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಆಸ್ಪತ್ರೆ ತಿಳಿಸಿದೆ. ಮೂತ್ರನಾಳ ಸಮಸ್ಯೆಯಿಂದ ಬಳಲುತ್ತಿರುವ ಮುಲಾಯಂ ಅವರನ್ನು ವೇದಾಂತ ಆಸ್ಪತ್ರೆಗೆ ದಾಖಲಿಸಲಾಗಿತ್ತು. ಅವರಿಗೆ ಕೊವಿಡ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನೂ ನಡೆಸಿದ್ದ, ವರದಿ ನೆಗೆಟಿವ್ ಬಂದಿತ್ತು. 80 ವರ್ಷದ ಮುಲಾಯಂ ಸಿಂಗ್ ಅವರು ಅಲ್ಟ್ರಾಸೌಂಡ್, ರಕ್ತ ಮತ್ತು ಮೂತ್ರ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಒಳಗಾಗಿದ್ದಾರೆ. ಅವರಿಗೆ ಚಿಕಿತ್ಸೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತಿದ್ದು, ಆರೋಗ್ಯ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಅವರು ಇನ್ನೂ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಗುಣಮುಖರಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಆಸ್ಪತ್ರೆ ನಿರ್ದೇಶಕ ಡಾ. ರಾಕೇಶ್ ಕಪೂರ್ ತಿಳಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಮಹಾರಾಷ್ಟ್ರದಲ್ಲಿ ರಾಜಕೀಯ ಬಿಕ್ಕಟ್ಟು: 1989ರ ಅಜಿತ್, ಮುಲಾಯಂ ನೆನಪಾದ್ರು ಪಕ್ಷದ ವಕ್ತಾರ ರಾಜೇಂದ್ರ ಚೌದರಿ ಮಾತನಾಡಿ, ಪಕ್ಷದ ಮುಖ್ಯಸ್ಥ ಅಖಿಲೇಶ್ ಯಾದವ್ ಪತ್ನಿ ಡಿಂಪಲ್ ಯಾದವ್ ಆಸ್ಪತ್ರೆಗೆ ಭೇಟಿ ನೀಡಿ ಆರೋಗ್ಯ ವಿಚಾರಿಸಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ತಿಳಿಸಿದರು. ಮುಲಾಯಂ ಸಿಂಗ್ ಯಾದವ್ ಅವರನ್ನು ಈ ವರ್ಷದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿಸಹ ಮೇದಾಂತ್ ಆಸ್ಪತ್ರೆಗೆ ದಾಖಲಿಸಿ ಚಿಕಿತ್ಸೆ ನೀಡಲಾಗಿತ್ತು. ಇದೀಗ ಎರಡನೇ ಬಾರಿಗೆ ಯಾದವ್ ಆಸ್ಪತ್ರೆಗೆ ದಾಖಲಾಗಿದ್ದಾರೆ. ಯಾದವ್ ವಾಡಿಕೆಯ ತಪಾಸಣೆಗಾಗಿ ಹೋಗಿದ್ದರು ಮತ್ತು ಚಿಕಿತ್ಸೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ವೈದ್ಯರು ಸಲಹೆ ನೀಡಿದ್ದರು ಎಂದು ಎಸ್ಪಿಪಕ್ಷದ ಮುಖಂಡರು ಸುದ್ದಿ ಸಂಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ತಿಳಿದ್ದಾರೆ. ಯಾದವ್ ಅವರು ಹೊಟ್ಟೆ ನೋವಿನ ಕಾರಣ ಕಳೆದ ವರ್ಷದ ಡಿಸೆಂಬರ್ನಲ್ಲಿ ಮುಂಬೈನ ಖಾಸಗಿ ಆಸ್ಪತ್ರೆಯಿಂದ ಚಿಕಿತ್ಸೆ ಪಡೆದರು. ಅವರನ್ನು ಆಸ್ಪತ್ರೆಗೆ ದಾಖಲಿಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ಮೂರು ದಿನಗಳ ನಂತರ ಡಿಸ್ಚಾರ್ಜ್ ಮಾಡಲಾಗಿತ್ತು, ಯಾದವ್ 1989 ರಿಂದ 1991, 19931995 ಹಾಗೂ 20032007 ಮೂರು ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತರ ಪ್ರದೇಶದ ಮುಖ್ಯಮಂತ್ರಿಯಾಗಿ ಸೇವೆ ಸಲ್ಲಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಅವರ ಮಗ ಅಖಿಲೇಶ್ ಯಾದವ್ 2012ರಲ್ಲಿ ಉತ್ತರ ಪ್ರದೇಶ ಮುಖ್ಯಮಂತ್ರಿಯಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಯಾಗಿದ್ದರು. source: oneindia.com | kannad |
MAA: ఏకగ్రీవమైతే బాగుండేది..!! మా అధ్యక్ష ఎన్నిక ఏకగ్రీవమైతే బాగుండేదని ప్రముఖ దర్శకుడు కె.రాఘవేంద్రరావు అన్నారు. తెలుగు చిత్ర పరిశ్రమలో మా ఎన్నిక కోసం జరిగిన ఇంత అలజడి మంచిది కాదని అభిప్రాయపడ్డారు. పెళ్లిసందడి చిత్రం ప్రమోషన్లో భాగంగా విశాఖపట్నం వచ్చిన రాఘవేంద్రరావు మీడియాతో మాట్లాడారు. అధ్యక్షుడిగా పెద్దలంతా కలిసి ఒకర్ని ఎన్నుకుంటే మంచిదని, అదే మంచి పద్ధతన్నారు. మంచు విష్ణు అధ్యక్షుడిగా రాణిస్తారనే నమ్మకం తనకుందన్నారు. శ్రీకాంత్ తనయుడు రోషన్, శ్రీలీల నాయకా నాయికలుగా నటించిన ఈ చిత్రానికి రాఘవేంద్రరావు దర్శకత్వ పర్యవేక్ష చేపట్టడంతోపాటు చిత్రంలో నటించడం విశేషం. గౌరీ రోణంకి దర్శకత్వం వహించారు. మా ఎన్నికల్లో ప్రకాష్రాజ్, మంచు విష్ణు ప్యానెల్స్ మధ్య హోరాహోరీ ప్రచారం నడిచిన సంగతి తెలిసిందే. అయితే విష్ణు భారీ మెజార్టీతో ప్రకాష్రాజ్పై గెలుపొందడంతోపాటు తన ప్యానెల్ సభ్యులు కూడా పలువురు విజయం సాధించారు. ఈ నేపథ్యంలో ప్రకాష్రాజ్, నాగబాబు తమ మా సభ్యత్వ పదవులకు రాజీనామా చేస్తున్నట్లు ప్రకటించారు. అయితే వీరి రాజీనామాలను ఆమోదించనని, వీరిని వ్యక్తిగతంగా కలిసి మాట్లాడతానని విష్ణు అన్నారు.MAA: అనసూయ గెలిచినట్లా? ఓడినట్లా? MAA: రాజీనామాకు కారణం చెబుతా..!! యూపీ కోసం బీజేపీ మాస్టర్ ప్లాన్..! రష్మిక లుక్ వెనుక ఇళయ రాజ ! డైలాగులతోనే హైప్... తగ్గేదే లే ! విద్యుత్ సంక్షోభం.. కేంద్రసాయం, ఉత్పత్తి ఆగింది.. ! మైదానంలోనే ఏడ్చిన కోహ్లీ... వీడియో వైరల్ MAA: ఏకగ్రీవమైతే బాగుండేది..!! సోర్స్: ఇండియాహెరాల్డ్.కామ్ Garikapati Rajesh | telegu |
The parent is responsible for the best experience and education for the child. The a parent needs to be accessible to the child at all times. You must not expect that others will be there for the child. However, the nature of life requires that you take care when selecting those whom you entrust with your child. The better part of your child life is spent in school. This calls for square attention on the type of academy the child will be taken to. The family Christian center school is a Christian based private school that is committed to helping nurture your child to a responsible and productive citizen. The schools ensures that child develops the love for self and the school as well. As The adage has it that knowledge with no wisdom is self-destroying, the school instill wisdom to your child so that they will ways make wise decision at schools and beyond.
At This school, there is comprehensive education curriculum for the child. As such, they will help train and educate your child all the way from pre-school to high school. From birth to five years is the time that child gathers and stores lots of information. Making sure that the child gets the information in the right way is the most important thing at this stage. The child is getting to see and hear so much from the world and keeping it. Here, the child gets to come across such subjects like English, math, Bible, social studies and science. This is the time when the child should be taught decision-making skills.
The school also has the middle classes where the child continues to learn the basic subject. Also introduced in the middle classes are talent classes and other languages. At this stage, a child can exhibit some passion and talent which should be nurtured. They have the high school classes where the child is introduced to subjects that help shape their careers such as engineering music and others. As such, you can trust the school for all your child education needs.
The child will grow to be a responsible Christian citizen based on the Christian foundation laid at school. They have the values that are based on Christianity. They are given the motivation to take part in community-based projects. The students have the co-curriculum activities that are meant to grow their talents and physical health. Also there are schools present with a fully equipped clinic where the learners can access quality medicine from. The sports department also is fully services and has several trainers. Take your child to the family center Christian school for the best quality of teaching. The schools give the best care for your child at any stage. | english |
World Oral Health Day 2022: ব্রাশ করার সময় অন্যমনস্ক? বিশ্ব মৌখিক স্বাস্থ্য দিবসে রইল দাঁতের ক্ষতি এড়ানোর টিপস নয়াদিল্লি: সারা পৃথিবীতেই আজ পালিত হচ্ছে বিশ্ব মৌখিক স্বাস্থ্য দিবস World Oral Health Day 2022 এই বিশেষ দিনটি উপলক্ষ্যে, এফডিআই ওয়ার্ল্ড ডেন্টাল ফেডারেশন FDI World Dental Federation সামগ্রিক সুস্থতার জন্য মৌখিক স্বাস্থ্যের তাত্পর্যের উপর গুরুত্ব আরোপ করে সচেতনতা প্রসারের লক্ষ্যে নেমেছে এফডিআইএর পক্ষ থেকে YouGov এর মাধ্যমে ১০ টি উন্নত দেশে পরিচালিত একটি সমীক্ষার ফলাফল World Oral Health Day 2022 থেকে জানা গিয়েছে যে দাঁতের সুরক্ষার উপায় হিসাবে নিজের বাচ্চাদের ঠান্ডা পানীয় এবং চিনিযুক্ত খাবার খাওয়া থেকে আটকান অর্ধেকেরও কম অভিভাবক মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রে আয়োজিত এই সমীক্ষায় উত্তরদাতা অভিভাবকদের ৩২ শতাংশ জানিয়েছেন যে তাঁরা তাঁদের বাচ্চাদের খাদ্যতালিকায় চিনিযুক্ত খাবার এবং পানীয়ের মাত্রা নিয়ন্ত্রণ করেন বাচ্চাদের মৌখিক স্বাস্থ্যকে Oral Hygiene বুড়ো আঙুল দেখিয়ে তালিকায় শেষের দিকে রয়েছেন মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রের অভিভাবকরা অন্যান্য দেশের ফলাফলও প্রকাশিত হয়েছে, এবং সেখানে সতর্ক বাবা মায়েদের হার খানিকটা এমন: যুক্তরাজ্য ৫২ শতাংশ, সুইডেন ৪৪ শতাংশ, অস্ট্রেলিয়া ৪১ শতাংশ, চিন ৪১ শতাংশ, মরক্কো ৪০ শতাংশ, ফ্রান্স ৩৭ শতাংশ, ফিলিপাইনস ৩৬ শতাংশ, মিশর ৩২ শতাংশ এবং আর্জেন্টিনা ৩০ শতাংশ বছরে অন্তত একবার সন্তানদের দাঁতের চেকআপের World Oral Health Day 2022 জন্য নিয়ে যাওয়ার ক্ষেত্রে সবচেয়ে এগিয়ে রয়েছেন যুক্তরাজ্যের অভিভাবকরা মুখের রোগকে গুরুত্ব না দেওয়ার অভ্যাস থেকেই বোঝা যায় আমাদের সার্বিক স্বাস্থ্যের প্রতি আমাদের সচেতনতা একেবারেই তলানিতে অল্প বয়সে মৌখিক স্বাস্থ্য সমস্যা এড়িয়ে চলুন, বলেন এফডিআইএর প্রেসিডেন্ট ডাঃ গেরহার্ড কে. সিবার্গার ইউনিসেফের একটি সমীক্ষায় দেখা গিয়েছে যে সারা বিশ্বে যে বাচ্চারা সবচেয়ে বেশি চিনিযুক্ত পানীয় খেয়ে থাকে তাদের ওজন বেশি হওয়ার সম্ভাবনা বেশি ১৯৭৫ সালে কুড়ি জনের মধ্যে একজন এই সমস্যায় ভুগত, এখন পাঁচজনের মধ্যে চারজন শিশু এই রোগে আক্রান্ত সুতরাং নিজের ও সন্তানের মৌখিক স্বাস্থ্যের World Oral Health Day 2022 যত্ন নিন ব্রাশ করার সময় কয়েকটি ভুল প্রায় সকলেই করে থাকেন, সচেতন হন ১. আড়াআড়িভাবে দাঁত ব্রাশ করলে দাঁতে ঘর্ষণ হয় উল্লম্বভাবে, অর্থাত্ উপরনীচে ব্রাশ করুন ২. খাবারের অংশ সাধারণত মাড়ি আর দাঁতের সংযোগস্থলে জমা হয় অতএব, ব্রাশ এমনভাবে করা উচিত যা মাড়ির প্রান্ত থেকে দাঁতের ডগা পর্যন্ত লম্বালম্বিভাবে ওই জমে থাকা খাবারের অংশ সরাতে সাহায্য করে আড়াআড়িভাবে ব্রাশ করলে ওই জমে থাকা অংশ আরও ভেতরে ঢুকে যেতে পারে ৩. সাধারণত ব্রাশ করার সময় ব্রাশ করার দিকে আমরা কেউই মনোযোগ দিই না ভালো করে মন দিয়ে ব্রাশ করুন, কোন কোন অংশ বাদ পড়ে যাচ্ছে তা খেয়াল রাখুন | bengali |
पंजाब चुनाव से पहले पीएम मोदी से मिले सतगुरु उदय सिंह पंजाब विधानसभा चुनाव के लिए मतदान से दो दिन पहले दिल्ली में प्रधानमंत्री नरेन्द्र मोदी के साथ नामधारी समुदाय के प्रमुख सतगुरु उदय सिंह ने भेंट की। इस मुलाकात ने राजनीतिक गलियारों में नई चर्चा छेड़ दी है। प्रधानमंत्री मोदी ने ट्वीट कर इस मुलाकात की दो तस्वीरें शेयर कर लिखा भैणी साहिब के श्री उदय सिंह जी से भेंट हुई। राजनीतिक के जानकार इस मुलाकात को लेकर कई तरह के कयास लगा रहे हैं। पंजाब की राजनीति में डेरों के महत्व के मद्देनजर सतगुरु उदय सिंह की प्रधानमंत्री के साथ मुलाकात को अहम माना जा रहा है। भैणी साहिब में भले ही सभी राजनीति दल पहुंचते हैं, लेकिन यह समुदाय किसी समय कांग्रेस का वोट बैंक रहा है। हंसपाल नामधारी लंबे समय तक पंजाब प्रदेश कांग्रेस कमेटी के प्रधान भी रहे हैं। नामधारी समुदाय का मुख्यालय भैणी साहिब में है। इस समुदाय के छह से सात लाख मतदाता हैं और उनके वोट जिस ओर झुक जाएं, चुनाव में उस पार्टी को फायदा मिल सकता है। कुछ दिन पहले शिरोमणि अकाली दल बादल अध्यक्ष सुखबीर सिंह बादल और मुख्यमंत्री चरणजीत सिंह चन्नी ने भैणी साहिब पहुंचकर सतगुरु उदय सिंह से मुलाकात की थी। प्रमुख सिख हस्तियों का पीएम ने किया आतिथ्य वहीं, प्रधानमंत्री नरेन्द्र मोदी ने विधानसभा चुनाव के लिए मतदान से दो दिन पहले शुक्रवार को पंजाब और देश के अन्य हिस्सों में सामाजिक व धार्मिक कार्यो में जुटीं प्रमुख सिख हस्तियों से मुलाकात की। इस मुलाकात से उन्होंने यह संदेश देने का प्रयास किया है कि सिख समुदाय प्रधानमंत्री नरेन्द्र मोदी के साथ जा सकता है। कृषि सुधार कानून रद करने के बाद राज्य में भारतीय जनता पार्टी जिस तरह उभर कर सामने आई है और पार्टी बड़े नेताओं ने यहां दौरे किए हैं उससे संदेश बहुत स्पष्ट है कि भाजपा पंजाब में सरकार बनाने का इरादा रखती है। उल्लेखनीय है कि इससे पहले भाजपा पंजाब में शिरोमणि अकाली दल बादल के साथ गठबंधन में पिछले ढ़ाई दशक से केवल 23 सीटों पर ही सिमटी हुई थी। इस दौरान तीन बार गठबंधन की सरकार बनी लेकिन भाजपा ने कभी भी सिख बाहुल सीटों या ग्रामीण सीटों पर खुद को आगे नहीं बढ़ाया। अकाली दल से नाता टूट जाने के बाद भाजपा अब सिख समुदाय में अपना विस्तार करने की कोशिश कर रही है। शुक्रवार को प्रमुख सिख हस्तियों के साथ प्रधानमंत्री मोदी की मुलाकात को इसी संदर्भ में देखा जा रहा है। शिरोमणि गुरुद्वारा प्रबंधक कमेटी के पूर्व सदस्य अमरिंदर सिंह का कहना है कि ये सभी डेरे या संस्थान बेशक पंजाब में न होकर दूसरे राज्यों में हों, लेकिन इनका आधार या शाखाएं पंजाब में भी हैं। कुछ ऐसे भी हैं जो अकाली दल या कांग्रेस को समर्थन देते हैं। इन्हीं में से कुछ गुट अलग तौर पर चल रहे हैं, उन्होंने प्रधानमंत्री से मुलाकात की है। महंत करमजीत सिंह, अध्यक्ष डेरा सेवापंती, यमुनानगर : यह डेरा बेशक यमुनानगर में है लेकिन इनका एक बड़ा डेरा बठडा जिले के मंडी गोनियाना में भी है। अरोड़ा सिख बिरादरी इस डेरे की बड़ी अनुयायी है। इसलिए भुच्चो मंडी, मलोट व अबोहर आदि सीटों पर इनका अच्छा असर है। हरमीत खालसा, अध्यक्ष दिल्ली सिख गुरुद्वारा मैनेजमेंट कमेटी : हरमीत सिंह खालसा अकाली दल बादल के अध्यक्ष सुखबीर बादल के करीबी रहे हैं और शहरी सिखों में इनका अच्छा आधार है। बेशक सीधे तौर पर हरमीत सिंह का पंजाब में उतना प्रभाव नहीं है लेकिन सुखबीर के करीबी रहे मनजिंदर सिरसा के बाद जिस तरह हरमीत सिंह भाजपा के करीब हो गए हैं उससे अकाली दल को झटका लगा है। अल्पसंख्यक के तौर पर रह रहे सिखों में प्रभाव है। बाबा जस्सा सिंह, शिरोमणि अकाली बुड्डा दल, पंजवां तख्त : यह निहंग सिंहों के बड़े संगठन का एक हिस्सा है, जिसकी कमान बलबीर सिंह के हाथ में है। बलबीर सिंह कांग्रेस और अकाली दल के साथ रहे हैं जबकि बाबा जस्सा उनके खिलाफ हैं। संत बाबा मेजर सिंह वाहा, प्रमुख डेरा बाबा तारा सिंह वाहा, अमृतसर : यह माझा का एक प्रमुख डेरा है और अमृतसर की ग्रामीण सीटों पर इस डेरे का अच्छा प्रभाव है। पद्मश्री संत बलबीर सिंह सीचेवाल, सुल्तानपुर लोधी : संत सीचेवाल का पंजाब में अच्छा प्रभाव है। यह इसलिए नहीं है कि उनका निर्मल समुदाय पंजाब भर में फैला है बल्कि उनके द्वारा किए जा रहे समाजिक कामों के कारण वह पूरे पंजाब में मकबूल हो गए हैं। उन्होंने पीएम के सामने चुनाव में पर्यावरण संरक्षण का मुद्दा भी उठाया है बाबा योगा सिंह, डेरा बाबा जंग सिंह, नानकसर करनाल : इस डेरे का लुधियाना जिले में भी एक डेरा है और ग्रामीण हलके में इनकी अच्छी पैठ है। खासतौर पर लुधियाना और मोगा के आसपास के क्षेत्रों में नानकसर डेरे का प्रभाव है। हालांकि पंजाब का यह डेरा अकाली दल का भी समर्थन करता रहा है। जत्थेदार बाबा साहब सिंह कार सेवा, आनंदपुर साहिब : किला आनंदगढ़ के रूप में जाने वाले इस डेरे का मोहाली, रोपड़ आदि क्षेत्रों में अच्छा प्रभाव है। इस डेरे द्वारा कंडी के क्षेत्रों में किए जा रहे सामाजिक कामों का खासा असर देखने को मिलता है। डा. हरभजन सिंह, दमदमी टकसाल, चौक मेहता : दमदमी टकसाल का ग्रामीण हलकों में अच्छा प्रभाव है। इनके अनुयायी भडरांवाला को बहुत पसंद करते हैं। पिछले दिनों ही टकसाल के एक नेता प्रो. सरचांद सिंह भारतीय जनता पार्टी में शामिल हो गए थे। वह मानते हैं कि टकसाल को सही ढंग से पहचानने में सभी ने गलती की है। | hindi |
திருவாடானையில் முதன்முறையாக பழங்குடியினர் சான்று வழங்கல் தொண்டி, டிச. 11: திருவாடானை வட்டம், கிளியூர் குரூப், கோடனூர் கிராமத்தில் மக்களை தேடி வருவாய்த்துறை சார்பில் கணினி திருத்த பட்டா சிறப்பு முகாம் நேற்று நடந்தது. வருவாய் கோட்டாட்சியர் சேக் மன்சூர் தலைமை வகித்தார். முகாமில் பயனாளிகளுக்கு கணினி பட்டா திருத்தம் தொடர்பான உத்தரவுகள் வழங்கப்பட்டது. ெதாடர்ந்து முகாமில் 15 ஆண்டுகளுக்கு பின்னர் முதல்முறையாக திருவாடானையில் வசித்து வரும் கல்லூரி மாணவர் ஒருவருக்கு பழங்குடியினர் சாதிச்சான்றிதழ் வழங்கப்பட்டது. இதில் தாசில்தார் செந்தில்வேல் முருகன், தலைமை நில அளவர் காளிதாஸ், வருவாய் ஆய்வாளர் மெய்யப்பன், நில அளவர் தமிழ்செல்வன் உள்ளிட்டோர் பங்கேற்றனர். | tamil |
சாலையோர குளத்தில் கிடந்த 7சிலைகள் .கோவை அருகே பரபரப்பு .!!! கோவை அருகே உள்ள சாலையோர குளத்தில் 7 சிலைகள் வீசப்பட்ட சம்பவம் பரபரப்பை ஏற்படுத்தியுள்ளது கோவை அருகே உள்ள பேரூர் பகுதியில் சுண்டக்காமுத்தூர் சாலையில் புட்டுவிக்கி குளம் அமைந்துள்ளது. இந்தக் குளத்தின் கரையோரம் உள்ள சாலையில் தினமும் பொதுமக்கள் நடைப்பயிற்சியை மேற் கொள்வார்கள். அப்பொழுது குளத்தில் சாமி சிலை கிடந்ததை கண்டு மக்கள் வியந்தனர். இதுகுறித்து உடனடியாக அருகில் உள்ள பேரூர் போலீசாருக்கு தகவல் தெரிவித்தார்கள். அதன்பிறகு போலீசார் சம்பவ இடத்திற்கு விரைந்து வந்தனர். இந்நிலையில் போலீசார் இது சிலை தொடர்பான வழக்கு என்றும் இதனை பேரூர் தாசில்தார் முத்து குமாருக்கு தகவல் தெரிவிக்க வேண்டும் என்றும் கூறினார். பின்பு தகவலறிந்த தாசில்தார் முத்துக்குமார் அங்கு அதிகாரிகளை அனுப்பி வைத்தார். அதிகாரிகள் குளத்தில் கிடந்த 7 சிலைகளை மீட்டெடுத்தனர். இச்சம்பவம் அங்குள்ள பொதுமக்கள் இடையே பெரும் பரபரப்பை ஏற்படுத்தியது. அதன்பிறகு மீட்டெடுத்த சிலைகளை தாலுகா அலுவலகத்திற்கு உடனடியாக கொண்டு செல்லப்பட்டது. இச்சிலைகளில் ஒன்றை கருங்கல்லும் மற்ற ஆறு சிலைகளை உலோகத்தாலும் செய்யப்பட்டுள்ளது. இதில் இரண்டு அடி கருமாரி அம்மன் சிலை ஒன்று மட்டுமே கருங்கல்லால் செய்யப்பட்டது. அதேபோல் விநாயகர், கிருஷ்ணர், சரஸ்வதி, மகாலட்சுமி, விஷ்ணு, துர்க்கை ஆகிய சிலைகள் உலோகத்தால் செய்யப்பட்டன என்பதும் தெரியவந்தது. சிலைகளை பற்றிய உண்மை அறிவதற்காக தொல்லியல் துறைக்கு அனுப்பி வைக்கப்பட்டது. இதனை தொல்லியல் துறை ஆய்வாளர்கள் ஆய்வு செய்து வருகிறார்கள். அதன்பிறகுசிலை கடத்தல் தடுப்பு பிரிவில் உள்ள துணை போலீஸ் சூப்பிரண்டு ராதாகிருஷ்ணன் தலைமையில் இதுகுறித்து விசாரணை மேற்கொள்கின்றன. இந்த சிலைகளை கைப்பற்றிய குளத்தின் அருகே சிவப்பு பை ஒன்று கிடந்தது. அதை மீட்டு போலீசார் அந்தப் பைக்குள் ஆதிபராசக்தி கோவிலுக்கு செல்லும் பக்தர்கள் அணிந்து செல்லும் சிவப்பு நிற மாலை இருந்ததைக் கண்டறிந்தனர். சிலைகள் அனைத்தும் ஏதாவது கோவிலில் இருந்து கடத்தப்பட்டன எனவும் அதனை குளத்தில் வீசியதாகவும் போலீசார் கூறினர். மேலும் இது தவிர சாமி சிலைகள் குளத்தில் வீசப்பட்டதுக்கான காரணம் என்னவென்றும் கோவை மாவட்டத்தில் உள்ள கோவில்களில் சிலைகள் காணாமல் போனதா என்பது குறித்தும் விசாரணை நடத்தி வருகின்றனர்.இதனைப்போலவே கடந்த ஆண்டு நவம்பர் மாதம் ஐம்பொன் சிலைகளை விற்பனை செய்த ஐந்து நபர்களை போலீசார் கைது செய்தனர். குளத்தில் இருந்து கைப்பற்றிய சிலைகளுக்கும் இந்த ஐந்து நபர்களுக்கும் ஏதாவது தொடர்பு உள்ளதா என தீவிரமாக விசாரணை நடத்தி வருகின்றனர். | tamil |
Job Alert! HCL ने निकाली बंपर भर्ती, फ्रेशर्स को भी दिया है मौका नई दिल्ली. नौकरी की तलाश कर रहे या कंपनी बदलने वाले युवाओं के लिए अच्छी खबर है. आईटी क्षेत्र की दिग्गज कंपनी HCL ने फ्रेशर्स और एक्सपीरिएंस्ड कैंडिडेट के लिए कई पदों पर नौकरियां निकाली हैं.एचसीएल टेक्नोलॉजीज HCL Technologies ने कहा है कि वह नोएडा स्थित कंपनी के लिए इंजीनियरिंग ग्रेजुएट्स को हायर करना चाहती है. फ्रेशर्स के अलावा एक्सपीरिएंस्ड कैंडिडेट भी आवेदन कर सकते हैं. कंपनी को सीनियर एनालिस्ट पद के लिए वरिष्ठ कर्मचारियों की तलाश है. इसके लिए कम से कम 2.5 साल का अनुभव होना जरूरी है. इच्छुक कैंडिडेट 15 मार्च तक आवेदन कर सकते हैं.इन जिम्मेदारियों के लिए कैंडिटेट की तलाशबजटिंग टूल डिजाइन जैसे सीओई की मेच्योरिटी बढ़ाने के लिए स्पेशल असाइनमेंट पर काम करने वालों की जरूरत है.डाटा कट्स एनालाइज करने और प्रेपेयर करने के लिए कर्मचारी चाहिए.रिसर्च और डाटा गैदरिंग.विभिन्न सोर्जेज से डाटा और स्लाइड इकट्ठा कर सीनियर मैनेजमेंट के साथ काम करना.कस्टमर की जरूरतों को समझने और उसके लिहाज से प्रोडक्ट तैयार करने वालों की जरूरत है.स्टार्टअप और इनोवेशन पर खासा जोरHCL Technologies ने कहा है कि उसका जोर इनोवेशन सेंटर खोलने पर है. एकेडेमिया जैसे पार्टनर्स के साथ मिलकर गवर्नमेंट इंस्टीट्यूशंस और स्टार्टअप्स तकनीकी मदद दी जाएगी. इनोवेशन सेंटर HCL इंजीनियरिंग टीम के लिए हब की तरह काम करेंगे और दुनियाभर में अपने क्लाइंट के कॉम्पलेक्स बिजनेस प्रॉब्लम का समाधान करेंगे. | hindi |
ಶೇಕಡಾ ಒಂದರಷ್ಟು ಜನರು ಮಾತ್ರ ಪೃಕೃತಿ ರಕ್ಷಣೆ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಾರೆ: ಕೃಷಿ, ಅರಣ್ಯ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಡಾ.ಚಂದ್ರಶೇಖರ ಬಿರಾದಾರ ಕೋಟಿ ವೃಕ್ಷ ಅಭಿಯಾನದ ಮೂಲಕ ನಗರದ ಹೊರ ಭಾಗದ ಭೂತನಾಳ ಕೆರೆಯ ಸುತ್ತಮುತ್ತ ಸಾವಿರಾರು ಸಸಿಗಳನ್ನು ನೆಟ್ಟು, ಅವು ಗಿಡಗಳಾಗುವಂತೆ ಮಾಡಿದ್ದು ಸಾಧನೆ. ಅಲ್ಲಿನ ಗಿಡಗಳು ಮುಂದೆ ದೊಡ್ಡ ಹೆಮ್ಮರಗಳಾಗಿ ಬೆಳೆಯಲಿ ಎಂದು ಡಾ. ಚಂದ್ರಶೇಖರ್ ಆಶಿಸಿದರು. ವಿಜಯಪುರ: ಪ್ರಕೃತಿ ಉಳಿವಿಗಾಗಿ ಶೇಕಡಾ 1ರಷ್ಟು ಜನರು ಮಾತ್ರ ಪ್ರಯತ್ನಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಾರೆ. ಇತರೆ ಶೇಕಡಾ 99 ಜನರು ಪ್ರಕೃತಿಯ ವಿನಾಶದ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ತೊಡಗಿದ್ದಾರೆ. ಆದರೆ ಪ್ರಕೃತಿ ರಕ್ಷಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಿರುವ ಶೇಕಡಾ 1ರಷ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿಶತ 10ಕ್ಕೆ ಏರಿಸಿದರೆ ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಆರೋಗ್ಯಕರ ಬದಲಾವಣೆಗಳಾಗುತ್ತವೆ. ಆ ಬದಲಾವಣೆಯಿಂದ ಪ್ರಾಕೃತಿಕ ವಿಕೋಪಗಳು ತಪ್ಪುತ್ತವೆ ಎಂದು ಕೃಷಿ, ಅರಣ್ಯ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಡಾ.ಚಂದ್ರಶೇಖರ ಬಿರಾದಾರ ಹೇಳಿದರು. ಮಾಜಿ ಸಚಿವ ಎಂ. ಬಿ. ಪಾಟೀಲ್ ನಿವಾಸದಲ್ಲಿ ನಿನ್ನೆಜುಲೈ 18 ಪರಿಸರ ಆಸಕ್ತರ ಉಪಹಾರ ಕೂಟ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮ ಏರ್ಪಡಿಸಲಾಗಿತ್ತು. ಉಪಹಾರ ಕೂಟದಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಯಾಗಿದ್ದ ವೇಳೆ ಮಾತನಾಡಿದ ಕೃಷಿ, ಅರಣ್ಯ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಡಾ.ಚಂದ್ರಶೇಖರ ಬಿರಾದಾರ ಕೃಷಿ, ಅರಣ್ಯ ಹಾಗು ಪರಿಸರ ಕಾಳಜಿಯಲ್ಲಿ ಜನ ಸಾಮಾನ್ಯರ ಪಾತ್ರದ ಬಗ್ಗೆ ಎಚ್ಚರಿಕೆ ನೀಡಿದರು. ಈಜಿಪ್ಟ್ ಸೇರಿ ಇತರೆ ದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಕೃಷಿ, ಅರಣ್ಯ ಮತ್ತು ಹವಾಮಾನ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮೂಲತಃ ವಿಜಯಪುರ ಜಿಲ್ಲೆ ಮುದ್ದೇಬಿಹಾಳ ತಾಲೂಕಿನ ಢವಳಗಿ ಗ್ರಾಮದವರಾದ ಕೃಷಿ, ಅರಣ್ಯ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಡಾ.ಚಂದ್ರಶೇಖರ ಬಿರಾದಾರ ಸದ್ಯ ಈಜಿಪಟ್ನಲ್ಲಿ ನೆಲೆಸಿದ್ದಾರೆ. ಈಜಿಪ್ಟ್ ಸೇರಿದಂತೆ ಇತರೆ ಹಲವು ರಾಷ್ಟ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಕೃಷಿ, ಅರಣ್ಯ ಮತ್ತು ಹವಾಮಾನ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. ಈಗ ಸ್ವದೇಶಕ್ಕೆ ಆಗಮಿಸಿದ ಡಾ. ಚಂದ್ರಶೇಖರ್ ನಿನ್ನೆ ವಿಜಯಪುರದಲ್ಲಿ ಪರಿಸರ ಆಸಕ್ತರ ಉಪಹಾರ ಕೂಟ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಯಾಗಿದ್ದರು. ಪ್ರಕೃತಿ ನಾಶ ಮಾಡುತ್ತಿರುವುದರಿಂದ ಮಣ್ಣು, ನೀರು, ಹವಾಮಾನಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಬದಲಾವಣೆಗಳು ಆಗಿ, ವಿಷಮಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಬದುಕುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಮೊದಲು ನಾವು ತಿನ್ನುವ ಆಹಾರವೇ ವಿಷವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬೇಕು. ಯುವಕರಿಂದ ಮಾತ್ರ ಈ ಬದಲಾವಣೆ ಸಾಧ್ಯ ಎಂದು ಇಂದಿನ ಯುವ ಜನತೆಗೆ ಪರಿಸರ ಉಳಿಸಲು ಮುಂದಾಗಬೇಕೆಂದು ಕರೆ ಕೊಟ್ಟರು. 50 ರಾಷ್ಟ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಬದಲಾವಣೆ ಮಾಡಿ ಯಶಸ್ಸು ಕಂಡಿರುವ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಕೃಷಿ, ಅರಣ್ಯ ಮತ್ತು ಹವಾಮಾನ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಸುಮಾರು 50 ಕ್ಕೂ ಆಧಿಕ ದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಡಾ. ಚಂದ್ರಶೇಖರ್ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ. ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಪರಿಸರ ರಕ್ಷಣೆ ಮಾಡಬೇಕೆಂಬ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಅವರು ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ. ಪರಿಸರ ಉಳಿದರೆ ನಾವು ಉಳಿಯುತ್ತೇವೆ ಎಂಬ ಸತ್ಯವನ್ನು ಇತರರಿಗೆ ತಿಳಿಸುವ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ. ನಂತರ ನೆಲ, ಜಲ, ಹವಾಮಾನ ಕಲುಷಿತವಾಗದಂತೆ ನಾವು ಬದುಕಬೇಕೆಂದು ತಿಳಿದ್ದಾರೆ. ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಆಯಾ ದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಯುವ ಸಮುದಾಯವನ್ನು ಜಾಗೃತಗೊಳಿಸಿ ತಿಳುವಳಿಕೆ ನೀಡಿದ್ದಾರೆ. ಅದರ ಫಲವಾಗಿ 50 ಕ್ಕೂ ಆಧಿಕ ದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಬದಲಾವಣೆಯಾಗಿವೆ. ವಿಜಯಪುರದಲ್ಲಿನ ಕೋಟಿ ವೃಕ್ಷ ಅಭಿಯಾನಕ್ಕೆ ಮೆಚ್ಚುಗೆ ಸದಾ ಕಾಲ ಬರದನಾಡು, ಬಿಸಿಲೂರು ಎಂದು ಕರೆಯಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಿದ್ದ ವಿಜಯಪುರ ಜಿಲ್ಲೆಯಲ್ಲಿ ಸದ್ಯ ಬದಲಾವಣೆಯ ದೃಶ್ಯ ಕಂಡು ಬರುತ್ತಿದೆ. ವಿಜಯಪುರ ಜಿಲ್ಲೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಬದಲಾವಣೆ ತರುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮಾಜಿ ಸಚಿವ ಎಂ. ಬಿ. ಪಾಟೀಲ್ ನೇತೃತ್ವದಲ್ಲಿ ಕೋಟಿ ವೃಕ್ಷ ಅಭಿಯಾನ ಬದಲಾವಣೆಯ ಗಾಳಿ ಬೀಸುವಂತೆ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ. ಜಿಲ್ಲೆಯಲ್ಲಿ ಮರಗಿಡಗಳನ್ನು ಬೆಳೆಸಲು ಪ್ರೇರೇಪಣೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಕೋಟಿ ವೃಕ್ಷ ಅಭಿಯಾನದ ಮೂಲಕ ನಗರದ ಹೊರ ಭಾಗದ ಭೂತನಾಳ ಕೆರೆಯ ಸುತ್ತಮುತ್ತ ಸಾವಿರಾರು ಸಸಿಗಳನ್ನು ನೆಟ್ಟು, ಅವು ಗಿಡಗಳಾಗುವಂತೆ ಮಾಡಿದ್ದು ಸಾಧನೆ. ಅಲ್ಲಿನ ಗಿಡಗಳು ಮುಂದೆ ದೊಡ್ಡ ಹೆಮ್ಮರಗಳಾಗಿ ಬೆಳೆಯಲಿ ಎಂದು ಡಾ. ಚಂದ್ರಶೇಖರ್ ಆಶಿಸಿದರು. ವಿಜ್ಞಾನಿ ಚಂದ್ರಶೇಖರ ಸಲಹೆ ಸೂಚನೆ ಪಾಲನೆಗೆ ಸಿದ್ದ: ಎಂ ಬಿ ಪಾಟೀಲ್ ನಮ್ಮ ರಾಜ್ಯದವರಾದ ಅದರಲ್ಲೂ ನಮ್ಮದೇ ಸ್ವಂತ ಜಿಲ್ಲೆಯವರಾದ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಡಾ. ಚಂದ್ರಶೇಖರ ಅವರ ಸಲಹೆ ಸೂಚನೆಗಳನ್ನು ಕಟ್ಟು ನಿಟ್ಟಾಗಿ ಪಾಲನೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಸರ ಉಳಿಸಲು ನೆಲ, ಜಲ, ಹವಾಮಾನ ವಿಚಾರದಲ್ಲಿ ನಾವು ವಿಜ್ಞಾನಿ ಡಾ. ಚಂದ್ರಶೇಖರ ಬಿರಾದಾರ ಅವರ ಮಾರ್ಗದರ್ಶನ ಬಯಸುತ್ತೇವೆ. ರಾಜ್ಯದ ಪರಿಸರ ಪೂರಕವಾಗಿ ನೀಡಿರುವ ಸಲಹೆಗಳನ್ನು ಕ್ರೋಢಿಕರಿಸಿ, ಆದ್ಯತೆಯ ಮೆರೆಗೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಅನುಷ್ಠಾನಗೊಳಿಸಲು ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಇಲಾಖೆಗಳ ಮುಖ್ಯಸ್ಥರ ಗಮನ ಸೆಳೆಯಲಾಗುವುದು ಎಂದು ಮಾಜಿ ಸಚಿವ ಎಂ ಬಿ ಪಾಟೀಲ್ ತಿಳಿಸಿದರು. ಜಗತ್ತಿನ ಹಲವು ರಾಷ್ಟ್ರಗಳ ಪ್ರಯೋಗಕ್ಕೂ ಭಾರತಕ್ಕೂ ತೀವ್ರ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿದೆ. 130 ಕೋಟಿ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಇಲ್ಲಿನ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಪರಿಸರ ಅಳಿವುಉಳಿವು ಕುರಿತು ಮಾತನಾಡುವುದೇ ದುಸ್ಥರವಾಗಿದೆ. ಅಧಿಕಾರ ನಡೆಸುವ ನಾಯಕರು, ಇಲಾಖೆ ಮುಖ್ಯಸ್ಥರು ಹೇಗೆ ಕ್ರೀಯಾಶೀಲರಾಗಿ ಕಾರ್ಯ ಮಾಡುತ್ತಾರೆಯೋ ಹಾಗೆಯೇ, ಆ ಇಲಾಖೆ, ಅಧಿಕಾರಿಗಳು ಅದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಿತಿಗತಿಗಳು ಸರಿ ಇಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸದೇ ಆಶಾವಾದದಿಂದ ಪ್ರಯತ್ನಕ್ಕೆ ಮುಂದಾಗಬೇಕು. ಆಗ ಯಶಸ್ಸು ಖಂಡಿತ ಸಾಧ್ಯ. ಕೋಟಿವೃಕ್ಷ ಅಭಿಯಾನವೇ ಇದಕ್ಕೆ ಉತ್ತಮ ಉದಾಹರಣೆ ಎಂದು ಮಾಜಿ ಶಾಸಕ ಎಂ. ಬಿ. ಪಾಟೀಲ್ ಹೇಳಿದರು. 5 ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆ ಅರಣ್ಯ ಇಲಾಖೆಯ ನರ್ಸರಿಗಳಲ್ಲಿ ಬೆಳೆದ ಸಸಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಹೋಗುವವರು ಇರುತ್ತಿರಲಿಲ್ಲ. ಇತ್ತೀಚಿಗೆ ಕೋಟಿ ವೃಕ್ಷ ಅಭಿಯಾನದ ಮೂಲಕ ಸಸಿಗಳನ್ನು ಹಂಚಲು ಆರಂಭಿಸಿದ ನಂತರ ಜನರಲ್ಲಿ ಸಸಿ ನೆಡುವ ಜಾಗೃತಿ ಮೂಡಿದೆ. ಈಗ ಅರಣ್ಯ ಇಲಾಖೆಯ ನರ್ಸರಿಗಳಲ್ಲಿ ಹತ್ತಾರು ಲಕ್ಷ ಸಸಿಗಳು ಖಾಲಿಯಾಗುತ್ತಿವೆ. ಇದರಿಂದ ಜಿಲ್ಲೆಯ ಪರಿಸರದಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮ ಬದಲಾವಣೆ ಬಂದಿದೆ ಎಂದು ಮಾಜಿ ಶಾಸಕ ಎಂ. ಬಿ. ಪಾಟೀಲ್ ಅಭಿಪ್ರಾಯಪಟ್ಟಿದ್ದಾರೆ. ಜಾಗತೀಕ ತಾಪಮಾನ ಹಾಗೂ ಇತರೆ ಪ್ರಾಕೃತಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅಮೇರಿಕಾದ ಯೂಟರ್ನ್ ನೀತಿ ಸರಿಯಲ್ಲಾ: ಡಾ ಕುಶಾಲದಾಸ ಪ್ರಕೃತಿಯ ರಕ್ಷಣೆಯ ಸಂಶೋಧನೆಗಳಲ್ಲಿ ಅಮೇರಿಕಾ, ಯೂರೋಪಿಯನ್ ರಾಷ್ಟ್ರಗಳು ಮುಂದಿದ್ದರೂ, ಆ ರಕ್ಷಣೆಯ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ಅವರು ಮುಂದಾಗಿರುವುದು ಕಡಿಮೆ. ಏಷ್ಯಾದ, ಆಫ್ರಿಕಾದ ಕಾಡಿನ ಜನರೇ ಈ ಪ್ರಕೃತಿಯ ರಕ್ಷಕರು. ಏಕೆಂದರೆ ಅವರ ಹೃದಯದಲ್ಲಿಯೇ ಪ್ರಕೃತಿ ತುಂಬಿಕೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಜಾಗತೀಕ ತಾಪಮಾನ ಸೇರಿದಂತೆ ಜಗತ್ತಿನ ಹಲವು ಗಂಭೀರ ಪ್ರಾಕೃತಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅಮೇರಿಕಾ ಅಧ್ಯಕ್ಷರೇ ಯೂಟರ್ನ್ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿರುವುದು ಅವರ ದ್ವಂಧ್ವ ನೀತಿಯನ್ನು ತೋರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಯುನಿಸ್ಕೋ ಜೀವವಿಜ್ಞಾನ ಪೀಠದ ಮುಖ್ಯಸ್ಥರಾದ ಡಾ.ಕುಶಾಲ ದಾಸ ಹೇಳಿದರು. ಅರಣ್ಯ ಇಲಾಖೆ ಅಧಿಕಾರಿಗಳಾದ ಪಿ. ಕೆ. ಪೈ, ಎನ್.ಕೆ. ಬಾಗಾಯತ, ಮಹೇಶ ಪಾಟೀಲ, ಪ್ರಭುಲಿಂಗ, ಎನ್. ಡಿ ಪಾಟೀಲ್ ಡೋಮನಾಳ, ಶರತ್ ರೂಡಗಿ, ಡಾ.ಮಹಾಂತೇಶ ಬಿರಾದಾರ, ಡಾ.ಮುರುಗೇಶ ಪಟ್ಟಣಶೆಟ್ಟಿ, ಬಸವರಾಜ ಬಿರಾದಾರ, ಪರುಗೌಡ ಪಾಟೀಲ್ ಸೇರಿದಂತೆ ಹಲವರು ಈ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಉಪಸ್ಥಿತರಿದ್ದರು. ವರದಿ: ಅಶೋಕ ಯಡಳ್ಳಿ ಇದನ್ನೂ ಓದಿ: ಬೀದರ್: ಅರಣ್ಯ ಇಲಾಖೆಯಿಂದ ನೂತನ ಪ್ರಯೋಗ ಹಸಿರೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ 45 ಸಾವಿರಕ್ಕೂ ಹೆಚ್ಚು ಇಂಗು ಗುಂಡಿ ನಿರ್ಮಾಣ ಚಿಕ್ಕಮಗಳೂರು: ಹಣ್ಣಿನ ಅರಣ್ಯಕ್ಕೆ ಡಾ.ಡಿ ವೀರೇಂದ್ರ ಹೆಗ್ಗಡೆ ಅವರಿಂದ ಚಾಲನೆ | kannad |
ఎన్టీపీసీ ఆసుపత్రిలో ఆక్సిజన్ ప్లాంట్ ప్రారంభం జ్యోతినగర్, నవంబరు 2: రామగుండం ఎన్టీపీసీ పీటీ ఎస్లోని ధన్వంతరి ఆసుపత్రిలో ఏర్పాటుచేసిన ఆక్సిజన్ జ నరేషన్ ప్లాంటును మంగళవారం సీజీఎం సునిల్ కుమార్ ప్రారంభించారు.అన్ని కోవిడ్ అప్డేట్స్ గురించి తెలుసుకునేందుకు ఇక్కడ చదవండి కొవిడ్ వ్యాప్తి నేపథ్యంలో ఎన్టీపీసీ ఆసుప త్రిలో ఆక్సిజన్ ప్లాంటును ఏర్పాటు చేసేందుకు కొన్ని నెలల క్రితం నిర్ణయించింది. 24 బెడ్లకు సరపడే విధంగా 10 లీట ర్స్మినట్ సామర్థ్యంగల ఆక్సిజన్ ప్లాంటును నిర్మించారు. ఈ సందర్భంగా సీజీఎం మాట్లాడుతూ కోవిడ్ బాధితులకు అత్యవసర పరిస్థితుల్లో కాపాడేందుకు ఆక్సిజన్ ప్లాంటును ఏర్పాటు చేశామన్నారు. ఉద్యోగుల ఆరోగ్య సంరక్షణ విష యంలో యాజమాన్యం అవసరమైన అన్ని చర్యలను తీసు కుంటుందన్నారు. ప్లాంటు ప్రారంభ కార్యక్రమంలో జీఎంలు ప్రసేన్జిత్ సేన్, పి.కె.లాడ్, సౌమేంద్రదాస్, సీఎంవో ఇ.ఆర్. మూర్తి, తదితరులు పాల్గొన్నారు. | telegu |
কেন বাংলার প্রতি ঋদ্ধির দায়বদ্ধতা নিয়ে উঠছে প্রশ্ন? CABর অভিযোগের পালটায় সরব দিন্দারা স্টাফ রিপোর্টার: বাংলা ক্রিকেটের প্রতি নাকি ঋদ্ধিমান সাহার দায়বদ্ধতা নেই তিনি নাকি গায়ে ব্যথা, পায়ে ব্যথার অজুহাত দিয়ে বাংলার হয়ে অনেক ম্যাচ খেলতেও চাননি সিএবির যুগ্মসচিব দেবব্রত দাসের এমন বিস্ফোরক অভিযোগ শুনে ফেটে পড়েছে বঙ্গ ক্রিকেট বলা হচ্ছে, যে ছেলেটা ভারতীয় দলে খেলে আসার ২৪ ঘণ্টার মধ্যেই ক্লাবের জার্সি গায়ে নেমে পড়তে পারেন যে ছেলেটা নিজের সদ্যোজাতকে নাম মাত্র দেখে বাংলার হয়ে রনজি খেলতে চলে যেতে পারেন, তাঁর দায়বব্ধতা নিয়ে প্রশ্ন তোলা মানে তাঁকে অপমান করা ছাড়া আর কিছুই নয় সিএবি যুগ্ম সচিবের এরকম মন্তব্য প্রকাশের পর থেকেই সোশ্যাল মিডিয়ায় পোস্টের ছড়াছড়ি রোমি ঋদ্ধির স্ত্রী ফেসবুকে একটা পোস্ট করেন সেটা দেখেই বোঝা যাচ্ছিল, বঙ্গ ক্রিকেটের একনিষ্ঠ সেবককে যেভাবে অপমান করতে নেমে পড়েছে সিএবি, সেটা তাঁদের কতটা রক্তাক্ত করছে রোমি বলেন, রনজি ট্রফিতে গড় পঞ্চাশ সেটা কি গায়ে ব্যথা, পায়ে ব্যথার অজুহাত নিয়ে খেলে? ও ভাঙা আঙুল নিয়ে খেলেছে, সেটা শুনেছি আর দেখেওছি আগে যদি জানতাম ওর গায়ে ব্যথা, পায়ে ব্যথা হয়, তাহলে পিতৃত্বকালীন ছুটি নিতে বলতাম যেটা ও কোনওদিনও নেয়নি আমার কঠিন সময়ে স্বামীকে আমি পাশে পাইনি কেন ওকে পাশে পাইনি, তা নিয়ে আমার কোনও আক্ষেপ নেই কেন রনজি খেলছে না, সেই কারণ ও জানিয়ে এসেছে ব্যক্তিগত কারণটা কী, সেটা কেউ জানতে চায়নি তাই ও সেটা বলেওনি আমার মনে হয় সেটা ব্যক্তিগত রাখাই উচিত এখানে আমার একটা প্রশ্ন রয়েছে ব্রেক কি কিছু নির্দিষ্ট লোকেরাই নিতে পারেন? ঋদ্ধি কামব্যাকের জন্য খেলবে কেন? নতুন করে আর কী প্রমাণ করার আছে? যেখানে বয়সটা ফ্যাক্টর হয়ে দাঁড়িয়েছে অবশ্য সেটা শুধু কারও কারও ক্ষেত্রে অন্যদের ক্ষেত্রে ব্যাপারটা আলাদা প্রাক্তন কোচ থেকে শুরু করে সতীর্থ, ম্যানেজমেন্ট স্টাফ সবাই জানেন, ঋদ্ধি Wriddhiman Saha কতটা পরিশ্রমী আর সত্ ক্রিকেটার শেষের দিকে এসে এরকম কিছুর সামনে পড়তে হচ্ছে, সত্যিই খুব দুর্ভাগ্যজনক ঋদ্ধি এটা নিয়ে খুব একটা কিছু বলতে চাননি শুধু বললেন, আমি সিএবি কর্তার সঙ্গে দেখা করে যা বলার বলব এতদিন ধরে খেলছি সবাই জানে আমি কী রকম, আমার দায়বদ্ধতা আছে কি না বঙ্গ ক্রিকেটমহলে কিন্তু তুলোধোনা চলছে ঋদ্ধি ক্লাব ক্রিকেটে দীর্ঘসময় মোহনবাগানের হয়ে খেলেছেন ক্রিকেট সচিব সম্রাট ভৌমিক ঋদ্ধি সম্পর্কে এমন অভিযোগ শুনে রীতিমতো অবাক বলছিলেন, দায়বদ্ধতা শব্দটা যদি ঋদ্ধির পাশে না বসে, তা হলে আমার মনে হয় না সেটা আর অন্য কারও ক্ষেত্রে প্রযোজ্য হবে ঋদ্ধি আইপিএল IPL ফাইনালে সেঞ্চুরি করে পরের দিন ভোরবেলায় শহরে ফিরেই মোহনবাগানের হয়ে স্থানীয় ক্রিকেটে খেলেছিল শ্রীলঙ্কার বিরুদ্ধে খেলে আসার পরের দিনই মাঠে চলে আসে ও সেই ম্যাচটা না খেললেও মাঠের বাইরে দাঁড়িয়ে গোটা দিন পুরো টিমকে উদ্বুদ্ধ করে গিয়েছে এমনকী, সতীর্থদের জন্য মাঠে জল পর্যন্ত নিয়ে গিয়েছে চোট নিয়েও ওকে ক্লাব ম্যাচে নামতে দেখেছি কখনও ওকে ফোন করতে হয়নি ঋদ্ধি নিজেই ফোন করে জানত কবে ক্লাবের ম্যাচ রয়েছে ওর দায়বদ্ধতা নিয়ে প্রশ্ন ওঠা উচিত নয় মনে হয় কোথাও একটা ভুল বোঝাবুঝি হচ্ছে সিএবির উচিত সেটা মিটিয়ে নেওয়া ঋদ্ধির এক সময়ের সতীর্থ আর বঙ্গ ক্রিকেটের সর্বকালের অন্যতম সেরা পেসার অশোক দিন্দাও রীতিমতো বিস্মিত বললেন, ঋদ্ধি কীভাবে বাংলার অবনমন বাঁচিয়েছিল, সেটা কী করে সবাই ভুলে গেল? একজন টেস্ট প্লেয়ারের দায়বদ্ধতা নিয়ে প্রশ্ন তোলা হচ্ছে এটা হাস্যকর ছাড়া আর কী বলব? আমরা যারা দীর্ঘদিন বাংলার হয়ে খেলেছি, তাদের দায়বদ্ধতা নিয়ে প্রশ্ন তোলার ওঁরা কে? আমার মনে হয় না সিএবিও এরকম কিছু বলবে ঋদ্ধির সঙ্গে দীর্ঘদিন খেলেছি কখনও মনে হয়নি ওর দায়বদ্ধতার অভাব রয়ছে কারও কোনও ব্যক্তিগত সমস্যা থাকতেই পারে তার মানে এই নয় যে, তাঁর দায়বদ্ধতা কম আমার মনে হয় সিএবি CAB কর্তাদের উচিত ঋদ্ধির সঙ্গে বৈঠকে বসা ঋদ্ধি কী চায়, সেটা ও বলুক আবার সিএবিও ঋদ্ধির থেকে কী চাইছে, সেটাও ওরা পরিষ্কার করে দিক তাহলেই দেখবেন আর কোনওরকম সমস্যা থাকছে না আলোচনার মাধ্যমে সব কিছু মিটিয়ে নেওয়া সম্ভব মোহনবাগানের Mohun Bagan কোচ পলাশ নন্দীর বক্তব্য, ঋদ্ধির দায়বদ্ধতার অভাব রয়েছে, কখনও মনে হয়নি ক্লাবের যে ম্যাচে খেলেনি, সেখানেও জলের বোতল নিয়ে মাঠে দৌড়ে যেত এই ব্যাপার নিয়ে সিএবিও স্পষ্টত দুটো ভাগ হয়ে গিয়েছে এক প্রাক্তন কর্তা তো বলেই দিলেন, চূড়ান্ত নোংরামো চলছে তিনি এতটাই বিরক্ত যে কিছু বলতেও চাইলেন না সিএবির প্রাক্তন কোষাধ্যক্ষ বিশ্বরূপ দে আবার বলেছেন, ঋদ্ধিমানকে আমি তেরো বছর বয়স থেকে চিনি বাংলার ক্রিকেটে ওকে দেখেছি ভারতীয় টিমের Team India ম্যানেজার থাকার সময়ও ওকে দেখেছি পুরো পৃথিবীর লোক জানে যে ঋদ্ধি খুব কম কথা বলে অত্যন্ত ভদ্র ক্রিকেটার কারও সাতেপাঁচে থাকে না নিজের খেলার প্রতি ফোকাসড দলের প্রতি অত্যন্ত যত্নবান ও দায়িত্বশীল ভারতীয় ক্রিকেটে, বাংলা ক্রিকেটে কেউ বলতে পারবে না ঋদ্ধিমান কখনও ১০০ শতাংশ দেয়নি ঋদ্ধি যে যে ক্লাবে খেলেছে, তারাও বলতে পারবে না যে, ও দায়িত্ব নিয়ে খেলে না ক্লাব ক্রিকেটের প্রতিও একইরকম যত্নবান এসব কথা বলে একজন ক্রিকেটারকে ছোট করা হয় আমি ব্যক্তিগতভাবে বিশ্বাস করি, এটা দেবব্রত দাসের নিজের কথা নয় দেবব্রত দাসকে দিয়ে কোনও উচ্চমহল থেকে এসব বলানো হয়েছে যাতে তীরটা ঋদ্ধির দিকে ঘুরে যায় যাঁরা এসব বলাচ্ছে, আমার মনে হয় না, তাঁরা বাংলা কিংবা ভারতীয় ক্রিকেটের ভাল চাইছে সিএবির তরফ থেকে এদিন খুব বেশি কিছু বলা হয়নি ধরমশালার ফ্লাইট ধরতে যাওয়ার মাঝে প্রেসিডেন্ট অভিষেক ডালমিয়া বলে গেলেন, এটা সিএবির ভার্সান নয় সিএবি প্রেসিডেন্ট বললেন বটে যে, এটা সিএবির ভার্সান নয় দেবব্রত দাস কথাগুলো কিন্তু যুগ্ম সচিবের চেয়ারে বসেই বলেছেন! সিএবি যুগ্ম সচিবের এরকম মন্তব্য প্রকাশের পর থেকেই সোশ্যাল মিডিয়ায় পোস্টের ছড়াছড়ি রোমি ঋদ্ধির স্ত্রী ফেসবুকে একটা পোস্ট করেন সেটা দেখেই বোঝা যাচ্ছিল, বঙ্গ ক্রিকেটের একনিষ্ঠ সেবককে যেভাবে অপমান করতে নেমে পড়েছে সিএবি, সেটা তাঁদের কতটা রক্তাক্ত করছে | bengali |
ರಾಜ್ಯದ 2500ಕ್ಕೂ ಹೆಚ್ಚು ಸೆಕ್ಯೂರಿಟಿ ಏಜೆನ್ಸಿಗಳಲ್ಲಿ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಪರವಾನಗಿಯೇ ಇಲ್ಲ! ಬೆಂಗಳೂರು: ದೇಶದ ಹಲವೆಡೆಯಿಂದ ನಗರಕ್ಕೆ ಬಂದು ಸೆಕ್ಯೂರಿಟಿ ಗಾರ್ಡ್ಗಳಾಗಿ ಕೆಲಸಕ್ಕೆ ಸೇರಿಕೊಂಡು ಕಾಲಕ್ರಮೇಣ ಅಪರಾಧ ಕೃತ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ತೊಡಗಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಿವವರ ಸಂಖ್ಯೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತಿದೆ. ಮನೆಕಚೇರಿ ಕಾಯಬೇಕಾದ ಭದ್ರತಾ ಸಿಬ್ಬಂದಿಗಳೇ ಖದೀಮರಾಗುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ ಕಮೀಷನ್ ಆಸೆಗಾಗಿ ಸೆಕ್ಯೂರಿಟಿ ಏಜೆನ್ಸಿಗಳು ಉದ್ಯೋಗಿಗಳ ಪೂರ್ವಾಪರ ಸೇರಿ ಸೂಕ್ತ ದಾಖಲಾತಿ ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳದೇ ಕೆಲಸಕ್ಕೆ ನೇಮಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಿವೆ. ಇದು ಸೆಕ್ಯೂರಿಟಿ ಗಾರ್ಡ್ಗಳು ಕ್ರೈಂ ಚಟುವಟಿಕೆಯಲ್ಲಿ ತೊಡಗಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಮುಖ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತಿದೆ. ಬಿಹಾರ, ಉತ್ತರಪ್ರದೇಶ, ರಾಜಸ್ತಾನ ಸೇರಿ ಈಶಾನ್ಯ ಭಾಗದ ರಾಜ್ಯಗಳಿಂದ ಬೆಂಗಳೂರಿಗೆ ಬರುವ ಅನೇಕರು ಅಪಾರ್ಟ್ಮೆಂಟ್ಸ್, ಕಂಪನಿ ಸೇರಿದಂತೆ ವಿವಿಧ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಸೆಕ್ಯೂರಿಟಿ ಗಾರ್ಡ್ಗಳಾಗಿ ಕೆಲಸಕ್ಕೆ ಸೇರುತ್ತಾರೆ. ಆದರೆ ಸೆಕ್ಯೂರಿಟಿ ಏಜೆನ್ಸಿಗಳು ಪಾಲಿಸಬೇಕಾದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಗಾಳಿಗೆ ತೂರುತ್ತಿವೆ ಎಂಬ ಆರೋಪವಿದೆ. ಕೆಲಸಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಮುನ್ನ ಉದ್ಯೋಗಿಯ ಆಧಾರ್ ಕಾರ್ಡ್, ವೋಟರ್ ಐಡಿ ಕಾರ್ಡ್, ವೈದ್ಯಕೀಯ ಪ್ರಮಾಣ ಪತ್ರ ಹಾಗೂ ಪೊಲೀಸರಿಂದ ವೆರಿಫೀಕೇಷನ್ ಸರ್ಟಿಫಿಕೇಟ್ನ್ನು ಪಡೆದಿರಬೇಕು. ಆದರೆ ಬಹುತೇಕ ಏಜೆನ್ಸಿಗಳು ಕಂಪನಿಗಳಿಂದ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಹಣ ಪಡೆದು ವ್ಯಕ್ತಿಯ ಹಿನ್ನೆಲೆ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳದೆ ಕಡಿಮೆ ವೇತನ ನಿಗದಿಪಡಿಸಿ ಸೆಕ್ಯೂರಿಟಿಗಳಾಗಿ ನಿಯೋಜಿಸುತ್ತಿವೆ. ಕಡಿಮೆ ಸಂಬಳ ಪಡೆಯುವ ಸೆಕ್ಯೂರಿಟಿಗಳು ಹಣದಾಸೆಗಾಗಿ ಕಳ್ಳತನ ಕೃತ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತಿವೆ. ದೇಶದ ವಿವಿಧ ರಾಜ್ಯಗಳಿಂದ ಸಾವಿರಾರು ವಲಸೆ ಕಾರ್ಮಿಕರು ನಗರದಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. ಈ ಪೈಕಿ ಹೌಸ್ ಕೀಪಿಂಗ್, ಸೆಕ್ಯೂರಿಟಿ ಕೆಲಸಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕಾರ್ಮಿಕರು ತೊಡಗಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದಾರೆ. ಇತ್ತ ಏಜೆನ್ಸಿಗಳು ಕೆಲಸಕ್ಕಾಗಿ ಸ್ಥಳೀಯರನ್ನು ನೇಮಿಸಿದ್ರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ವೇತನ ನೀಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಅಂತಾ ಸ್ಥಳೀಯರ ಗೋಜಿಗೆ ಹೋಗುವುದಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ ಹೊರ ರಾಜ್ಯದವರು ಕಡಿಮೆ ಸಂಬಳಕ್ಕೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡ್ತಾರೆ. ಅಲ್ಲದೆ ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯ ಬೇಡಿಕೆ ಇಡೋದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಮನೋಭಾವ ಬೆಳೆಸಿಕೊಂಡಿದ್ದಾರೆ. ಹೀಗಾಗಿಯೇ ಹಲವು ಮನೆ, ಕಂಪನಿ ಮಾಲೀಕರು ಊರು, ವಿಳಾಸ ಅರಿಯದೇ ಕೆಲಸ ಕೊಡುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. ಇದನ್ನೇ ಎನ್ ಕ್ಯಾಶ್ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಕೆಲವರು ಅಪರಾಧ ಕೃತ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಯಾಗುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. ರಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ ಸುಮಾರು 2500ಕ್ಕೂ ಹೆಚ್ಚು ಸೆಕ್ಯೂರಿಟಿ ಏಜೆನ್ಸಿಗಳಿವೆ. ಈ ಪೈಕಿ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಏಜೆನ್ಸಿಗಳು ಪರವಾನಗಿಯನ್ನೇ ಪಡೆದುಕೊಂಡಿಲ್ಲ. ಸದ್ಯ ರಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ ಅಂದಾಜು 2.50 ಲಕ್ಷ ಸೆಕ್ಯೂರಿಟಿಗಳಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಭದ್ರತಾ ಸಿಬ್ಬಂದಿ ಬೆಂಗಳೂರು ನಗರದಲ್ಲಿಯೇ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. ಖಾಸಗಿ ಸುರಕ್ಷತಾ ಸಂಸ್ಥೆಗಳ ನಿಯಂತ್ರಣ ಕಾಯ್ದೆ 2005ರ ಪ್ರಕಾರ ಏಜೆನ್ಸಿ ತೆರೆಯಬೇಕಾದರೆ ಗೃಹ ಇಲಾಖೆಯಿಂದ ಪರವಾನಗಿ ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಅನಧಿಕೃತವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಸೆಕ್ಯೂರಿಟಿ ಏಜೆನ್ಸಿಗಳು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಿವೆ ಎಂಬ ಆರೋಪವಿದೆ. ಗೊತ್ತುಗುರಿ ಇಲ್ಲದವರನ್ನು ಕೆಲಸಕ್ಕೆ ನೇಮಕ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಿರುವುದರಿಂದ ಕೆಲ ಉದ್ಯೋಗಿಗಳು ಅಪರಾಧ ಚಟುವಟಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಯಾಗುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. ಅಲ್ಲದೆ ಪರವಾನಗಿ ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳದ ಅನಧಿಕೃತ ಏಜೆನ್ಸಿಗಳನ್ನು ಪತ್ತೆ ಹಚ್ಚಿ ಕಾನೂನು ಕ್ರಮ ಕೈಗೊಳ್ಳುವಂತೆ ಹಲವು ಬಾರಿ ಮನವಿ ಪತ್ರ ಸಲ್ಲಿಸಿದರೂ ಸರ್ಕಾರ ಯಾವುದೇ ಕ್ರಮ ಕೈಗೊಂಡಿಲ್ಲ ಎಂದು ಕರ್ನಾಟಕ ಸೆಕ್ಯೂರಿಟಿ ಸರ್ವೀಸ್ ಅಸೋಸಿಯೇಷನ್ ಮಾಜಿ ಅಧ್ಯಕ್ಷ ಬಿ.ಎಂ.ಶಶಿಧರ್ ಬೇಸರ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಕಾವೇರಿ ಆರ್ಭಟ..! ಮೆಟ್ಟೂರು ಜಲಾಶಯ ಭರ್ತಿಗೆ ಅರ್ಧ ಅಡಿ ಬಾಕಿ ರಾಜಧಾನಿಗೆ ಬರುವ ಅನೇಕರು ಸೆಕ್ಯೂರಿಟಿಗಳಾಗಿ ನೇಮಕಗೊಂಡು ದುಡ್ಡಿನ ಆಸೆ, ಮೋಜು ಮಸ್ತಿಗಾಗಿ ಕಳ್ಳತನ ಸೇರಿದಂತೆ ಇನ್ನಿತರೆ ಕೃತ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಯಾಗುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. ಇನ್ನು ಸೆಕ್ಯೂರಿಟಿ ಗಾರ್ಡ್ಗಳ ಇತ್ತೀಚಿನ ಅಪರಾಧ ಕೃತ್ಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಇಲ್ಲಿ ಮಾಹಿತಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. 1 ಬಾಲಕನನ್ನ ಕಿಡ್ನ್ಯಾಪ್ ಮಾಡಿ 50 ಲಕ್ಷಕ್ಕೆ ಬೇಡಿಕೆ ಇಟ್ಟಿದ್ದ ಸೆಕ್ಯೂರಿಟಿ ಗಾರ್ಡ್ ನೇಪಾಳ ಮೂಲದ ಗೌರವ್ ಸಿಂಗ್ ಸೇರಿ ಮೂವರನ್ನು ಜೂನ್ನಲ್ಲಿ ಬಂಧಿಸಿದ್ದ ಹೆಣ್ಣೂರು ಪೊಲೀಸರು2 ಜುಲೈ 5ರಂದು ಕಳ್ಳನೆಂದು ವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ರಾಡ್ನಿಂದ ಹೊಡೆದು ಕೊಲೆ. ಅಸ್ಸೋಂ ಮೂಲದ ಸೆಕ್ಯೂರಿಟಿ ಗಾರ್ಡ್ನಿಂದ ಕೃತ್ಯ ಹೆಚ್ಎಎಲ್ ಪೊಲೀಸರಿಂದ ಬಂಧನ 3 ಜುಲೈ 6ರಂದು ಜೆ.ಬಿನಗರ ಪೊಲೀಸ್ ಠಾಣೆ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಮನೆ ಮಾಲೀಕನ ತಾಯಿಯ ಕೈಕಾಲು ಕಟ್ಟಿ ಚಿನ್ನಾಭರಣ, ಹಣ ದೋಚಿದ್ದ ಆರೋಪಿಗಳು. ಸೆಕ್ಯೂರಿಟಿಗಳಾಗಿ ಸೇರಿ ಕೃತ್ಯ ಎಸಗಿದ್ದ ನೇಪಾಳ ಮೂಲದ ಪ್ರತಾಪ್ ಸಿಂಗ್ ಸೋನು ದಂಪತಿ ಬಂಧನ 4 ಐಷಾರಾಮಿ ಜೀವನಕ್ಕಾಗಿ 35ಕ್ಕೂ ಹೆಚ್ಚು ಬೈಕ್ ಕಳ್ಳತನ ಮಾಡಿದ್ದ ಸೆಕ್ಯೂರಿಟಿ ಗಾರ್ಡ್ ಶ್ರೀನಿವಾಸ್. ಜುಲೈ 13ರಂದು ಬಂಧಿಸಿದ ಮಹಾಲಕ್ಷ್ಮೀ ಲೇಔಟ್ ಪೊಲೀಸರು ಕನ್ನಡ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತಷ್ಟು ತಾಜಾ ಸುದ್ದಿಗಳನ್ನು ಓದಲು ನಮ್ಮ ಜೀ ಕನ್ನಡ ನ್ಯೂಸ್ ಮೊಬೈಲ್ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಡೌನ್ಲೋಡ್ ಮಾಡಿ... https:bit.ly3hDyh4G https:apple.co3hEw2hy Twitter, Facebook, Youtube | kannad |
ઉત્તરાયણના દિવસોમાં જીવદયાપ્રેમીઓએ ૭૨૬ જખમી પક્ષીઓને બચાવી લીધાં મુંબઈ સહિત આસપાસના પરામાં ઉતરાણ દરમ્યાન ૭૨૬ ગંભીર રીતે જખમી થયેલાં પક્ષીઓને ઍનિમલ ઍક્ટિવિસ્ટોએ બચાવી લીધાં છે. ઍનિમલ ઍક્ટિવિસ્ટો દ્વારા મુંબઈ સહિત મીરાભાઇંદરમાં ત્રણ દિવસ માટે કૅમ્પ લગાડવામાં આવ્યા હતા, જેમાં ઉપસ્થિત ઍનિમલ ઍક્ટિવિસ્ટ અને ડૉક્ટરોએ પક્ષીઓને બચાવ્યાં હતાં.ઉતરાણમાં પતંગ ઉડાવવા માટે વપરાતા ચાઇનીઝ માંજા પર રાજ્ય સરકાર દ્વારા બૅન મૂકવામાં આવ્યો હોવા છતાં આ માંજાનો ઉપયોગ પતંગ ચગાવવા માટે કરવામાં આવતો હોય છે, જેને કારણે પક્ષીઓ મોટા ભાગે કબૂતરો અને કાગડાઓ આ માંજામાં ફસાઈ જવાને લીધે ગંભીર રીતે જખમી થતાં હોવાથી કેટલાંકનાં મૃત્યુ પણ થતાં હોય છે. આવા પક્ષીઓને બચાવવા માટે મુંબઈ અને આસપાસના પરામાં ત્રણ દિવસ માટે કૅમ્પ લગાડવામાં આવ્યા હતા. આ તમામ કેમ્પ અલગઅલગ પક્ષીમિત્રો અને ટ્રસ્ટ દ્વારા લગાડવામાં આવ્યા હતા, જેઓ દ્વારા ત્રણ દિવસમાં ૭૨૬ જખમી પક્ષીઓને બચાવી લેવામાં આવ્યાં હતાં અને તેઓ પર ઇલાજ કર્યો હતો. કેટલાંક પક્ષીઓ ગંભીર રીતે જખમી થયાં હોવાની માહિતી ઍનિમલ ઍક્ટિવિસ્ટોએ આપી હતી. આ સિવાય ઘણી સેવાભાવી સંસ્થાઓએ પણ જુદાજુદા વિસ્તારોમાં કૅમ્પ લગાવ્યા હતા.ઍનિમલ વેલ્ફેર બોર્ડના ઑફિસર મિતેશ જૈને મિડડેને કહ્યું હતું કે બાળકો અને મોટા શખસો પોતાની મજા માટે પતંગ ચગાવતા હોય છે, જેમાં પક્ષીઓને સજા થતી હોય છે. તેમની આ ભૂલને લીધે માંજામાં ફસાઈ જવાથી કેટલાંક પક્ષીઓનાં મૃત્યુ પણ થતાં હોય છે. ત્રણ દિવસમાં અમે લોકોએ કુલ ૭૨૬ પક્ષીઓને બચાવી લીધાં છે. | gujurati |
Music Concert: সার্ধদ্বিশতবর্ষে রাজা রামমোহন রায়ের সঙ্গীত নিয়ে বিশেষ অনুষ্ঠানের আয়োজন নিজস্ব প্রতিবেদন: উনবিংশ শতাব্দীর বাংলার তথা ভারতের নবজাগরণের পথিকৃত্ রাজা রামমোহন রায়ের সার্ধদ্বিশত বছরের শুভারম্ভ ২২শে মে ২০২২ এই বিশেষ ঐতিহাসিক ঘটনাকে মাথায় রেখে রামমোহন রায় পুনর্মূল্যায়ন সমিতি সোসাইটি ফর রামমোহন রায় রিএপ্রেজাল অ্যাট ২৫০ বিগত এক বছর ধরে নানা ওয়েবিনার, পুস্তক প্রকাশ ও সভা সমিতির মধ্যে দিয়ে যথাযোগ্য মর্যাদায় রামমোহন রায়ের বিভিন্ন দিক নিয়ে আলোচনা করেছেন এই সমিতি আগামী ২৭শে ও ২৮শে মে ২০২২, কলকাতায় একটি আন্তর্জাতিক কনফারেন্স আয়োজন করছেন রামমোহন রায়ের বিভিন্ন ভুবন দি মেনি ওয়ার্ল্ডস অফ রামমোহন রায় এই কনফারেন্সের বিশেষ সমাপ্তি অনুষ্ঠান অনুষ্ঠিত হবে আগামী ৩০শে মে ২০২২ সন্ধ্যা সাড়ে ৬টায় কলকাতার সায়েন্স সিটির মিনি অডিটোরিয়ামে এইদিন একটি মনোজ্ঞ উচ্চাঙ্গ সঙ্গীতের অনুষ্ঠানের আয়োজন করা হয়েছে, যার নাম দেওয়া হয়েছে রামমোহন রায়ের গানের জগত্ দি মিউজিকাল ইউনিভার্স অফ রাজা রামমোহন রায় এই অনুষ্ঠানে ব্রহ্মসঙ্গীত নিয়ে আলোচনার সঙ্গে পরিবেশিত হবে যে সমস্ত শাস্ত্রীয় সঙ্গীত তখনকার দিনে প্রচলিত ছিল সেই সময়ে বাংলাদেশে যে সব প্রখ্যাত সংগীত রচয়িতা ছিলেন তাঁদের কয়েকজনের রচনা নিয়েই অন্ুষ্ঠানের আয়োজন ঈশ্বরকে তাঁরা যে ভাবে ভজনা করেছিলেন ও ঈশ্বরের উদ্দেশ্যে যে অপূর্ব সুমধুর সঙ্গীত রচনা করেছিলেন তার কিছু অংশ উঠে আসবে এই অনুষ্ঠানে বিশিষ্ট উচ্চাঙ্গ সঙ্গীতশিল্পী নির্মাল্য দে, খেয়াল শিল্পী তুষার দত্তর মত বিশিষ্ট শিল্পীরা অংশগ্রহণ করবেনএই অনুষ্ঠানটি তিনটি ভাগে বিভক্ত প্রথম ভাগে আছেন সেই সকল শাস্ত্রীয় সঙ্গীত রচয়িতা যাঁদের গান রামমহনের সঙ্গীত সত্ত্বা ও মননকে পুষ্ট করেছিল এই ভাগে আছেন তানসেন, অদারঙ্গ, সদারঙ্গ, রামনিধি গুপ্ত নিধুবাবু, কালিদাস চট্টোপাধ্যায় কালি মির্জা, রঘুনাথ রায় প্রমুখ দ্বিতীয় ভাগে থাকছে স্বয়ং রামমোহনের রচনা এবং সব শেষে তৃতীয় ভাগে থাকছে সেই সকল সঙ্গীত রচয়িতাদের গান যাঁরা রামমোহনের ভাব ধারায় অনুপ্রাণিত হয়ে ব্রহ্মসঙ্গীত রচনা করেন এই সমিতির কর্ণধার বিশিষ্ট ঐতিহাসিক, শিকাগো বিশ্ববিদ্যালয়ের ইতিহাস বিভাগের শ্রী দীপেশ চক্রবর্তী এবং তাঁর সঙ্গে রয়েছেন একদল বিশিষ্ট ঐতিহাসিক গবেষক ও অধ্যপক জওহরলাল নেহেরু বিশ্ববিদ্যালয়ের অধ্যাপিকা শ্রীমতি তনিকা সরকার, আশোকা বিশ্ববিদ্যালয়ের অধক্ষ্য অধ্যাপক রুদ্রাংশু মুখোপাধ্যায়, সেন্টার ফর স্টাডিজ ইন সোশ্যাল সায়েন্সের অধ্যাপিকা রোজিঙ্কা চৌধুরী, অক্সফোর্ড বিশ্ববিদ্যালয়ের অধ্যাপিকা ঊর্মিলা দে ব্যানার্জি, বিশিষ্ট রবীন্দ্রসঙ্গীত বিশারদ শ্রীমতি প্রমিতা মল্লিক প্রমুখ তাঁদের পক্ষ থেকে জানানো হয় যে, কলকাতায় এই ধরণের সঙ্গীতানুষ্ঠান আগে কখনো হয়নি এবং রামমোহন রায়ের সার্ধদ্বিশতবর্ষে এ আমাদের বিনম্র শ্রদ্ধাঞ্জলি এই কনফারেন্সে বিশ্বের বিভিন্ন বিশ্ববিদ্যালয়ের বিশিষ্ট অধ্যাপকেরা যোগদান করছেন, রামমোহনকে নিয়ে তাঁদের ভাবনা ও গবেষণা নিয়ে আলোচনা করতে এই কনফারেন্সটি ১০ নম্বর লেক টেরাসে, যদুনাথ ভবন ও মিউজিয়াম ও রিসার্চ সেন্টারে অনুষ্ঠিত হবে আমন্ত্রিতদের মধ্যে আছেন মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রর শিকাগো বিশ্ববিদ্যালয়, ক্যালিফোর্নিয়া বিশ্ববিদ্যালয়, টাফটস বিশ্ববিদ্যালয়, বিলেতের কেম্ব্রিজ ও সেন্ট এন্ডর্যুস বিশ্ববিদ্যালয় এবং ঢাকা বিশ্ববিদ্যালয়ের প্রতিনিধিরা এছাড়াও এই কনফারেন্সে কলকাতার বিশিষ্ট ঐতিহাসিক পার্থ চট্টোপাধ্যায় ও গৌতম ভদ্র যোগদান করবেন আরও পড়ুন: Poulami Bose on Belashuru: ছবি দেখে গায়ে কাঁটা দিচ্ছিল,বেলাশুরু দেখে আবেগান্বিত সৌমিত্রকন্যা পৌলমী Zee 24 Ghanta App দেশ, দুনিয়া, রাজ্য, কলকাতা, বিনোদন, খেলা, লাইফস্টাইল স্বাস্থ্য, প্রযুক্তির লেটেস্ট খবর পড়তে ডাউনলোড করুন Zee 24 Ghanta App | bengali |
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