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3.2M
| lang
stringclasses 14
values |
|---|---|
//C- -*- C++ -*-
//C- -------------------------------------------------------------------
//C- DjVuLibre-3.5
//C- Copyright (c) 2002 Leon Bottou and Yann Le Cun.
//C- Copyright (c) 2001 AT&T
//C-
//C- This software is subject to, and may be distributed under, the
//C- GNU General Public License, either Version 2 of the license,
//C- or (at your option) any later version. The license should have
//C- accompanied the software or you may obtain a copy of the license
//C- from the Free Software Foundation at http://www.fsf.org .
//C-
//C- This program is distributed in the hope that it will be useful,
//C- but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
//C- MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE. See the
//C- GNU General Public License for more details.
//C-
//C- DjVuLibre-3.5 is derived from the DjVu(r) Reference Library from
//C- Lizardtech Software. Lizardtech Software has authorized us to
//C- replace the original DjVu(r) Reference Library notice by the following
//C- text (see doc/lizard2002.djvu and doc/lizardtech2007.djvu):
//C-
//C- ------------------------------------------------------------------
//C- | DjVu (r) Reference Library (v. 3.5)
//C- | Copyright (c) 1999-2001 LizardTech, Inc. All Rights Reserved.
//C- | The DjVu Reference Library is protected by U.S. Pat. No.
//C- | 6,058,214 and patents pending.
//C- |
//C- | This software is subject to, and may be distributed under, the
//C- | GNU General Public License, either Version 2 of the license,
//C- | or (at your option) any later version. The license should have
//C- | accompanied the software or you may obtain a copy of the license
//C- | from the Free Software Foundation at http://www.fsf.org .
//C- |
//C- | The computer code originally released by LizardTech under this
//C- | license and unmodified by other parties is deemed "the LIZARDTECH
//C- | ORIGINAL CODE." Subject to any third party intellectual property
//C- | claims, LizardTech grants recipient a worldwide, royalty-free,
//C- | non-exclusive license to make, use, sell, or otherwise dispose of
//C- | the LIZARDTECH ORIGINAL CODE or of programs derived from the
//C- | LIZARDTECH ORIGINAL CODE in compliance with the terms of the GNU
//C- | General Public License. This grant only confers the right to
//C- | infringe patent claims underlying the LIZARDTECH ORIGINAL CODE to
//C- | the extent such infringement is reasonably necessary to enable
//C- | recipient to make, have made, practice, sell, or otherwise dispose
//C- | of the LIZARDTECH ORIGINAL CODE (or portions thereof) and not to
//C- | any greater extent that may be necessary to utilize further
//C- | modifications or combinations.
//C- |
//C- | The LIZARDTECH ORIGINAL CODE is provided "AS IS" WITHOUT WARRANTY
//C- | OF ANY KIND, EITHER EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED
//C- | TO ANY WARRANTY OF NON-INFRINGEMENT, OR ANY IMPLIED WARRANTY OF
//C- | MERCHANTABILITY OR FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.
//C- +------------------------------------------------------------------
//
// $Id: GScaler.cpp,v 1.15 2007/03/25 20:48:32 leonb Exp $
#ifdef HAVE_CONFIG_H
# include "config.h"
#endif
#if NEED_GNUG_PRAGMAS
# pragma implementation
#endif
// Rescale images with fast bilinear interpolation
// From: Leon Bottou, 1/31/2002
// Almost equal to my initial code.
#include "GScaler.h"
#ifdef HAVE_NAMESPACES
namespace DJVU {
# ifdef NOT_DEFINED // Just to fool emacs c++ mode
}
#endif
#endif
////////////////////////////////////////
// CONSTANTS
#define FRACBITS 4
#define FRACSIZE (1<<FRACBITS)
#define FRACSIZE2 (FRACSIZE>>1)
#define FRACMASK (FRACSIZE-1)
////////////////////////////////////////
// UTILITIES
static int interp_ok = 0;
static short interp[FRACSIZE][512];
static void
prepare_interp()
{
if (! interp_ok)
{
interp_ok = 1;
for (int i=0; i<FRACSIZE; i++)
{
short *deltas = & interp[i][256];
for (int j = -255; j <= 255; j++)
deltas[j] = ( j*i + FRACSIZE2 ) >> FRACBITS;
}
}
}
static inline int
mini(int x, int y)
{
return (x < y ? x : y);
}
static inline int
maxi(int x, int y)
{
return (x > y ? x : y);
}
////////////////////////////////////////
// GSCALER
GScaler::GScaler()
: inw(0), inh(0),
xshift(0), yshift(0), redw(0), redh(0),
outw(0), outh(0),
gvcoord(vcoord,0), ghcoord(hcoord,0)
{
}
GScaler::~GScaler()
{
}
void
GScaler::set_input_size(int w, int h)
{
inw = w;
inh = h;
if (vcoord)
{
gvcoord.resize(0);
}
if (hcoord)
{
ghcoord.resize(0);
}
}
void
GScaler::set_output_size(int w, int h)
{
outw = w;
outh = h;
if (vcoord)
{
gvcoord.resize(0);
}
if (hcoord)
{
ghcoord.resize(0);
}
}
static void
prepare_coord(int *coord, int inmax, int outmax, int in, int out)
{
int len = (in*FRACSIZE);
int beg = (len+out)/(2*out) - FRACSIZE2;
// Bresenham algorithm
int y = beg;
int z = out/2;
int inmaxlim = (inmax-1)*FRACSIZE;
for (int x=0; x<outmax; x++)
{
coord[x] = mini(y,inmaxlim);
z = z + len;
y = y + z / out;
z = z % out;
}
// Result must fit exactly
if (out==outmax && y!=beg+len)
G_THROW( ERR_MSG("GScaler.assertion") );
}
void
GScaler::set_horz_ratio(int numer, int denom)
{
if (! (inw>0 && inh>0 && outw>0 && outh>0))
G_THROW( ERR_MSG("GScaler.undef_size") );
// Implicit ratio (determined by the input/output sizes)
if (numer==0 && denom==0) {
numer = outw;
denom = inw;
} else if (numer<=0 || denom<=0)
G_THROW( ERR_MSG("GScaler.ratios") );
// Compute horz reduction
xshift = 0;
redw = inw;
while (numer+numer < denom) {
xshift += 1;
redw = (redw + 1) >> 1;
numer = numer << 1;
}
// Compute coordinate table
if (! hcoord)
ghcoord.resize(outw);
prepare_coord(hcoord, redw, outw, denom, numer);
}
void
GScaler::set_vert_ratio(int numer, int denom)
{
if (! (inw>0 && inh>0 && outw>0 && outh>0))
G_THROW( ERR_MSG("GScaler.undef_size") );
// Implicit ratio (determined by the input/output sizes)
if (numer==0 && denom==0) {
numer = outh;
denom = inh;
} else if (numer<=0 || denom<=0)
G_THROW( ERR_MSG("GScaler.ratios") );
// Compute horz reduction
yshift = 0;
redh = inh;
while (numer+numer < denom) {
yshift += 1;
redh = (redh + 1) >> 1;
numer = numer << 1;
}
// Compute coordinate table
if (! vcoord)
{
gvcoord.resize(outh);
}
prepare_coord(vcoord, redh, outh, denom, numer);
}
void
GScaler::make_rectangles(const GRect &desired, GRect &red, GRect &inp)
{
// Parameter validation
if (desired.xmin<0 || desired.ymin<0 ||
desired.xmax>outw || desired.ymax>outh )
G_THROW( ERR_MSG("GScaler.too_big") );
// Compute ratio (if not done yet)
if (!vcoord)
set_vert_ratio(0,0);
if (!hcoord)
set_horz_ratio(0,0);
// Compute reduced bounds
red.xmin = (hcoord[desired.xmin]) >> FRACBITS;
red.ymin = (vcoord[desired.ymin]) >> FRACBITS;
red.xmax = (hcoord[desired.xmax-1]+FRACSIZE-1) >> FRACBITS;
red.ymax = (vcoord[desired.ymax-1]+FRACSIZE-1) >> FRACBITS;
// Borders
red.xmin = maxi(red.xmin, 0);
red.xmax = mini(red.xmax+1, redw);
red.ymin = maxi(red.ymin, 0);
red.ymax = mini(red.ymax+1, redh);
// Input
inp.xmin = maxi(red.xmin<<xshift, 0);
inp.xmax = mini(red.xmax<<xshift, inw);
inp.ymin = maxi(red.ymin<<yshift, 0);
inp.ymax = mini(red.ymax<<yshift, inh);
}
void
GScaler::get_input_rect( const GRect &desired_output, GRect &required_input )
{
GRect red;
make_rectangles(desired_output, red, required_input);
}
////////////////////////////////////////
// GBITMAPSCALER
GBitmapScaler::GBitmapScaler()
: glbuffer(lbuffer,0), gconv(conv,0), gp1(p1,0), gp2(p2,0)
{
}
GBitmapScaler::GBitmapScaler(int inw, int inh, int outw, int outh)
: glbuffer(lbuffer,0), gconv(conv,0), gp1(p1,0), gp2(p2,0)
{
set_input_size(inw, inh);
set_output_size(outw, outh);
}
GBitmapScaler::~GBitmapScaler()
{
}
unsigned char *
GBitmapScaler::get_line(int fy,
const GRect &required_red,
const GRect &provided_input,
const GBitmap &input )
{
if (fy < required_red.ymin)
fy = required_red.ymin;
else if (fy >= required_red.ymax)
fy = required_red.ymax - 1;
// Cached line
if (fy == l2)
return p2;
if (fy == l1)
return p1;
// Shift
unsigned char *p = p1;
p1 = p2;
l1 = l2;
p2 = p;
l2 = fy;
if (xshift==0 && yshift==0)
{
// Fast mode
int dx = required_red.xmin-provided_input.xmin;
int dx1 = required_red.xmax-provided_input.xmin;
const unsigned char *inp1 = input[fy-provided_input.ymin] + dx;
while (dx++ < dx1)
*p++ = conv[*inp1++];
return p2;
}
else
{
// Compute location of line
GRect line;
line.xmin = required_red.xmin << xshift;
line.xmax = required_red.xmax << xshift;
line.ymin = fy << yshift;
line.ymax = (fy+1) << yshift;
line.intersect(line, provided_input);
line.translate(-provided_input.xmin, -provided_input.ymin);
// Prepare variables
const unsigned char *botline = input[line.ymin];
int rowsize = input.rowsize();
int sw = 1<<xshift;
int div = xshift+yshift;
int rnd = 1<<(div-1);
// Compute averages
for (int x=line.xmin; x<line.xmax; x+=sw,p++)
{
int g=0, s=0;
const unsigned char *inp0 = botline + x;
int sy1 = mini(line.height(), (1<<yshift));
for (int sy=0; sy<sy1; sy++,inp0+=rowsize)
{
const unsigned char *inp1;
const unsigned char *inp2 = inp0 + mini(x+sw, line.xmax) - x;
for (inp1=inp0; inp1<inp2; inp1++)
{
g += conv[*inp1];
//< Changed for WinDjView project
// s += 1;
//>
}
//< Changed for WinDjView project
s += inp2 - inp0;
//>
}
if (s == rnd+rnd)
*p = (g+rnd)>>div;
else
*p = (g+s/2)/s;
}
// Return
return p2;
}
}
void
GBitmapScaler::scale( const GRect &provided_input, const GBitmap &input,
const GRect &desired_output, GBitmap &output )
{
// Compute rectangles
GRect required_input;
GRect required_red;
make_rectangles(desired_output, required_red, required_input);
// Parameter validation
if (provided_input.width() != (int)input.columns() ||
provided_input.height() != (int)input.rows() )
G_THROW( ERR_MSG("GScaler.no_match") );
if (provided_input.xmin > required_input.xmin ||
provided_input.ymin > required_input.ymin ||
provided_input.xmax < required_input.xmax ||
provided_input.ymax < required_input.ymax )
G_THROW( ERR_MSG("GScaler.too_small") );
// Adjust output pixmap
if (desired_output.width() != (int)output.columns() ||
desired_output.height() != (int)output.rows() )
output.init(desired_output.height(), desired_output.width());
output.set_grays(256);
// Prepare temp stuff
gp1.resize(0);
gp2.resize(0);
glbuffer.resize(0);
prepare_interp();
const int bufw = required_red.width();
glbuffer.resize(bufw+2);
gp1.resize(bufw);
gp2.resize(bufw);
l1 = l2 = -1;
// Prepare gray conversion array (conv)
gconv.resize(0);
gconv.resize(256);
int maxgray = input.get_grays()-1;
for (int i=0; i<256; i++)
{
conv[i]=(i<= maxgray)
?(((i*255) + (maxgray>>1)) / maxgray)
:255;
}
// Loop on output lines
for (int y=desired_output.ymin; y<desired_output.ymax; y++)
{
// Perform vertical interpolation
{
int fy = vcoord[y];
int fy1 = fy>>FRACBITS;
int fy2 = fy1+1;
const unsigned char *lower, *upper;
// Obtain upper and lower line in reduced image
lower = get_line(fy1, required_red, provided_input, input);
upper = get_line(fy2, required_red, provided_input, input);
// Compute line
unsigned char *dest = lbuffer+1;
const short *deltas = & interp[fy&FRACMASK][256];
for(unsigned char const * const edest=(unsigned char const *)dest+bufw;
dest<edest;upper++,lower++,dest++)
{
const int l = *lower;
const int u = *upper;
*dest = l + deltas[u-l];
}
}
// Perform horizontal interpolation
{
// Prepare for side effects
lbuffer[0] = lbuffer[1];
lbuffer[bufw+1] = lbuffer[bufw];
unsigned char *line = lbuffer+1-required_red.xmin;
unsigned char *dest = output[y-desired_output.ymin];
// Loop horizontally
for (int x=desired_output.xmin; x<desired_output.xmax; x++)
{
int n = hcoord[x];
const unsigned char *lower = line + (n>>FRACBITS);
const short *deltas = &interp[n&FRACMASK][256];
int l = lower[0];
int u = lower[1];
*dest = l + deltas[u-l];
dest++;
}
}
}
// Free temporaries
gp1.resize(0);
gp2.resize(0);
glbuffer.resize(0);
gconv.resize(0);
}
////////////////////////////////////////
// GPIXMAPSCALER
GPixmapScaler::GPixmapScaler()
: glbuffer(lbuffer,0),
gp1(p1,0),
gp2(p2,0)
{
}
GPixmapScaler::GPixmapScaler(int inw, int inh, int outw, int outh)
: glbuffer(lbuffer,0),
gp1(p1,0),
gp2(p2,0)
{
set_input_size(inw, inh);
set_output_size(outw, outh);
}
GPixmapScaler::~GPixmapScaler()
{
}
GPixel *
GPixmapScaler::get_line(int fy,
const GRect &required_red,
const GRect &provided_input,
const GPixmap &input )
{
if (fy < required_red.ymin)
fy = required_red.ymin;
else if (fy >= required_red.ymax)
fy = required_red.ymax - 1;
// Cached line
if (fy == l2)
return p2;
if (fy == l1)
return p1;
// Shift
GPixel *p=p1;
p1 = p2;
l1 = l2;
p2 = p;
l2 = fy;
// Compute location of line
GRect line;
line.xmin = required_red.xmin << xshift;
line.xmax = required_red.xmax << xshift;
line.ymin = fy << yshift;
line.ymax = (fy+1) << yshift;
line.intersect(line, provided_input);
line.translate(-provided_input.xmin, -provided_input.ymin);
// Prepare variables
const GPixel *botline = input[line.ymin];
int rowsize = input.rowsize();
int sw = 1<<xshift;
int div = xshift+yshift;
int rnd = 1<<(div-1);
// Compute averages
for (int x=line.xmin; x<line.xmax; x+=sw,p++)
{
int r=0, g=0, b=0, s=0;
const GPixel *inp0 = botline + x;
int sy1 = mini(line.height(), (1<<yshift));
for (int sy=0; sy<sy1; sy++,inp0+=rowsize)
{
const GPixel *inp1;
const GPixel *inp2 = inp0 + mini(x+sw, line.xmax) - x;
for (inp1 = inp0; inp1<inp2; inp1++)
{
r += inp1->r;
g += inp1->g;
b += inp1->b;
s += 1;
}
}
if (s == rnd+rnd)
{
p->r = (r+rnd) >> div;
p->g = (g+rnd) >> div;
p->b = (b+rnd) >> div;
}
else
{
p->r = (r+s/2)/s;
p->g = (g+s/2)/s;
p->b = (b+s/2)/s;
}
}
// Return
return (GPixel *)p2;
}
void
GPixmapScaler::scale( const GRect &provided_input, const GPixmap &input,
const GRect &desired_output, GPixmap &output )
{
// Compute rectangles
GRect required_input;
GRect required_red;
make_rectangles(desired_output, required_red, required_input);
// Parameter validation
if (provided_input.width() != (int)input.columns() ||
provided_input.height() != (int)input.rows() )
G_THROW( ERR_MSG("GScaler.no_match") );
if (provided_input.xmin > required_input.xmin ||
provided_input.ymin > required_input.ymin ||
provided_input.xmax < required_input.xmax ||
provided_input.ymax < required_input.ymax )
G_THROW( ERR_MSG("GScaler.too_small") );
// Adjust output pixmap
if (desired_output.width() != (int)output.columns() ||
desired_output.height() != (int)output.rows() )
output.init(desired_output.height(), desired_output.width());
// Prepare temp stuff
gp1.resize(0);
gp2.resize(0);
glbuffer.resize(0);
prepare_interp();
const int bufw = required_red.width();
glbuffer.resize(bufw+2);
if (xshift>0 || yshift>0)
{
gp1.resize(bufw);
gp2.resize(bufw);
l1 = l2 = -1;
}
// Loop on output lines
for (int y=desired_output.ymin; y<desired_output.ymax; y++)
{
// Perform vertical interpolation
{
int fy = vcoord[y];
int fy1 = fy>>FRACBITS;
int fy2 = fy1+1;
const GPixel *lower, *upper;
// Obtain upper and lower line in reduced image
if (xshift>0 || yshift>0)
{
lower = get_line(fy1, required_red, provided_input, input);
upper = get_line(fy2, required_red, provided_input, input);
}
else
{
int dx = required_red.xmin-provided_input.xmin;
fy1 = maxi(fy1, required_red.ymin);
fy2 = mini(fy2, required_red.ymax-1);
lower = input[fy1-provided_input.ymin] + dx;
upper = input[fy2-provided_input.ymin] + dx;
}
// Compute line
GPixel *dest = lbuffer+1;
const short *deltas = & interp[fy&FRACMASK][256];
for(GPixel const * const edest = (GPixel const *)dest+bufw;
dest<edest;upper++,lower++,dest++)
{
const int lower_r = lower->r;
const int delta_r = deltas[(int)upper->r - lower_r];
dest->r = lower_r + delta_r;
const int lower_g = lower->g;
const int delta_g = deltas[(int)upper->g - lower_g];
dest->g = lower_g + delta_g;
const int lower_b = lower->b;
const int delta_b = deltas[(int)upper->b - lower_b];
dest->b = lower_b + delta_b;
}
}
// Perform horizontal interpolation
{
// Prepare for side effects
lbuffer[0] = lbuffer[1];
lbuffer[bufw+1] = lbuffer[bufw];
GPixel *line = lbuffer+1-required_red.xmin;
GPixel *dest = output[y-desired_output.ymin];
// Loop horizontally
for (int x=desired_output.xmin; x<desired_output.xmax; x++,dest++)
{
const int n = hcoord[x];
const GPixel *lower = line + (n>>FRACBITS);
const short *deltas = &interp[n&FRACMASK][256];
const int lower_r = lower[0].r;
const int delta_r = deltas[(int)lower[1].r - lower_r];
dest->r = lower_r + delta_r;
const int lower_g = lower[0].g;
const int delta_g = deltas[(int)lower[1].g - lower_g];
dest->g = lower_g + delta_g;
const int lower_b = lower[0].b;
const int delta_b = deltas[(int)lower[1].b - lower_b];
dest->b = lower_b + delta_b;
}
}
}
// Free temporaries
gp1.resize(0);
gp2.resize(0);
glbuffer.resize(0);
}
#ifdef HAVE_NAMESPACES
}
# ifndef NOT_USING_DJVU_NAMESPACE
using namespace DJVU;
# endif
#endif
| code |
module Actions
module Katello
module ContentViewPuppetEnvironment
class CloneContent < Actions::Base
def plan(puppet_environment, module_ids_by_repoid)
concurrence do
module_ids_by_repoid.each_pair do |repo_id, module_ids|
source_repo = ::Katello::ContentViewPuppetEnvironment.where(:pulp_id => repo_id).first ||
::Katello::Repository.where(:pulp_id => repo_id).first
plan_copy(Pulp::Repository::CopyPuppetModule, source_repo, puppet_environment, clauses(module_ids))
end
end
end
def clauses(module_ids)
{ 'unit_id' => { "$in" => module_ids } }
end
def plan_copy(action_class, source_repo, target_repo, clauses = nil)
plan_action(action_class,
source_pulp_id: source_repo.pulp_id,
target_pulp_id: target_repo.pulp_id,
clauses: clauses)
end
end
end
end
end
| code |
இன்று கொரோனாவிற்கு 3வது பிறந்த நாள்! சீனாவில் வூகாண் மாகாணத்தில் 2019ல் நவம்பர் 17ம் தேதி தான் முதன் முதலில் கொரோனா கண்டறியப்பட்டது. இந்த வைரஸ் படிப்படியாக இந்தியா, அமெரிக்கா, இத்தாலி, பிரிட்டன், பிரான்ஸ், பிரேசில், ஸ்பெயின், பாகிஸ்தான், ரஷ்யா உட்பட உலக நாடுகளுக்கு பரவி மிகக் கடுமையான பாதிப்புகளை ஏற்படுத்தியது.இந்த வைரஸ் கண்டறியப்பட்டு இன்றுடன் 2 ஆண்டுகள் நிறைவு பெறுகிறது. இதுவரை சுமார் 25க்கு கோடிக்கும் மேற்பட்டவர்கள் கொரோனாவால் பாதிக்கப்பட்டுள்ளனர்.உலகம் முழுவதும் 51 லட்சத்திற்கும் மேற்பட்டவர்கள் கொரோனாவால் பாதிக்கப்பட்டு உயிரிழந்துள்ளனர்.அதிக பாதிப்பு அடைந்த நாடுகளில் சர்வதேச அளவில், அமெரிக்கா முதலிடத்திலும், இந்தியா, இரண்டாம் இடத்திலும், பிரிட்டன் மூன்றாம் இடத்திலும் இருந்து வருகிறது. முதலில் சீனாவில் 55 வயதான நபர் ஒருவருக்கு இந்த வைரஸ் இருப்பதாக கூறப்பட்டது. ஆனால், அப்போது கொரோனா குறித்து சீனா அதிகாரப் பூர்வமாக செய்திக்குறிப்புக்களோ, எச்சரிக்கைகளோ எதுவும் வெளியிடவில்லை. 2019, டிசம்பர் 31ம் தேதி தான் நுரையீரலைத் தாக்கும் நிமோனியாஏற்பட்டிருப்பதையும், புதிய வகை கொரோனா தான் அதற்கான காரணம் என்பதையும் சீனா வெளி உலகுக்கு அறிவித்ததுஉலக சுகாதார நிறுவனம் 2020 ஜனவரி 4ல் கொரோனா குறித்து அதிகாரப்பூர்வமாக அறிவித்தது. 2 ஆண்டுகள் நிறைவடைந்த போதிலும் இன்னும் அதன் தாக்கம் இதுவரை குறையவில்லை என்பது குறிப்பிடத்தக்கது. The post இன்று கொரோனாவிற்கு 3வது பிறந்த நாள்! appeared first on Dinamaalai Latest Tamil News . | tamil |
Lata Mangeshkar singing career: लता मंगेशकर ने इस फिल्म में पहली बार गाया था गाना, लेकिन पिता की वजह से नहीं हो सका रिलीज Lata Mangeshkar First song and Bollywood break: स्वर कोकिला लता मंगेशकर का जन्म इंदौर में हुआ था लेकिन उनकी परवरिश महाराष्ट्र मे हुई। वह बचपन से ही गायक बनना चाहती थीं। बचपन में कुन्दन लाल सहगल की एक फिल्म चंडीदास देखकर उन्होंने कहा था कि वो बड़ी होकर सहगल से शादी करेगी। पहली बार लता ने वसंग जोगलेकर द्वारा निर्देशित एक फिल्म कीर्ती हसाल के लिये गाया। उनके पिता नहीं चाहते थे कि लता फिल्मों के लिये गाये इसलिये इस गाने को फिल्म से निकाल दिया गया। पिता की मृत्यु के बाद जब लता सिर्फ़ तेरह साल की थीं लता मंगेशकर के परिवार को पैसों की बहुत किल्लत झेलनी पड़ी और काफी संघर्ष करना पड़ा। उन्हें अभिनय बहुत पसंद नहीं था लेकिन पिता की असामयिक मृत्यु की वजह से पैसों के लिये उन्हें कुछ हिन्दी और मराठी फिल्मों में काम करना पड़ा। अभिनेत्री के रूप में उनकी पहली फिल्म पाहिली मंगलागौर 1942 रही, जिसमें उन्होंने स्नेहप्रभा प्रधान की छोटी बहन की भूमिका निभाई। बाद में उन्होंने माझे बाल, चिमुकला संसार 1943, गजभाऊ 1944, बड़ी मां 1945, जीवन यात्रा 1946, मांद 1948, छत्रपति शिवाजी 1952 में काम किया। 1942 में जब लताजी के पिता का देहांत हुआ तो उनकी आयु मात्र तेरह वर्ष थी। भाई बहनों में बड़ी होने के कारण परिवार की जिम्मेदारी उनके कंधों पर आ गई। जिस समय लताजी ने 1948 में पार्श्वगायिकी में कदम रखा तब इस क्षेत्र में नूरजहां, अमीरबाई कर्नाटकी, शमशाद बेगम और राजकुमारी की तूती बोलती थी। ऐसे में उनके लिए अपनी पहचान बनाना इतना आसान नही था। पहिली मंगलागौर 1942 से ही फिल्मों में उनका गायकी का सफर सही मायने में शुरू हुआ। इस फिल्म में लता जी ने नटकी चैगाची नवलाई गीत गाया। 1947 में वसंत जोगलेकर ने अपनी फिल्म आपकी सेवा में लता को गाने का मौका दिया। इस फिल्म के गानों से लता की खूब चर्चा हुई। इसके बाद लता ने मजबूर फिल्म के गानों अंग्रेजी छोरा चला गया और दिल मेरा तोड़ा हाय मुझे कहीं का न छोड़ा तेरे प्यार ने जैसे गानों से नाम कमाया। 1949 में लता को फिल्म महल के गाने आयेगा आनेवाला को गाने का मौका मिला। इस गीत को उस समय की सबसे खूबसूरत और चर्चित अभिनेत्री मधुबाला पर फिल्माया गया था। यह फिल्म सफल रही और इसके बाद लता ने कभी पीछे मुड़कर नहीं देखा। 1974 में दुनिया में सबसे अधिक गीत गाने का गिनीज़ बुक रिकॉर्ड भी लता मंगेशकर के नाम है। | hindi |
Khammam April 1st, 2010: adult literacy program started in the Arbor villages. This bi-monthy program is part of the annual empowerment of the Arbor group members in the Community Based Organization Program and is taken at village level by Arbor animators, coordinators and external resource persons.
More that 4.000 women are taking part to this program in more than 300 rural villages. | english |
Must avoid Snacks with Alcohol মদ্যপানের সময়ে চাট হিসেবে কী খাবেন আর কী খাবেন না? আপনার কোনও ভুল হচ্ছে না তো? মদ্যপানের সময়ে স্ন্যাকস খেতে বেশিরভাগ লোকই ভীষণ পছন্দ করেন আবার অনেকে স্ন্যাকস পছন্দ হলেও খেতে চান না স্ন্যাকস জাতীয় খাবার শরীরের ক্ষতি করে তবে ভুলেও মদ্যপানের সময় এই খাবারগুলো খাবেন না তাহলে সর্বনাশ, এতে পেটের নানা ধরনের সমস্যা দেখা যেতে পারে কাজুবাদাম: বেশিরভাগ মানুষ চাখনা হিসেবে কাজুবাদাম খান তবে অ্যালকোহলযুক্ত পানীয়ের সঙ্গে কাজু খেলে কোলেস্টেরলের মাত্রা দ্রুত বৃদ্ধি পায় মিষ্টি জাতীয় খাবার: মদ্যপানের পর মিষ্টি খাওয়া একেবারেই উচিত নয় এতে মদের নেশা দ্বিগুণ হয় এমনকী বমিও হতে পারে এতে দুধ দই: মদ্যপানের পর দুধ বা দই হজম কারয় সমস্যা দেখা দিতে পারে অ্যালার্জি হওয়ার আশঙ্কা রয়েছে মদের সাথে দুধ বা দই খাওয়া বিষের সমান চিনাবাদাম: কাজুবাদামের মতোই অ্যালকোহলযুক্ত পানীয়ের সঙ্গে চিনাবাদাম খেলে কোলেস্টেরলের মাত্রা দ্রুত বৃদ্ধি পায় এতে কোলেস্টেরল থাকে, যা খিদে কমিয়ে দেয় মাখন: অ্যালকোহলের সঙ্গে মাখনে ভাজা শুকনো ফল খেতে অনেকেই পছন্দ করেন এ জিনিস বিপজ্জনক মধু: অ্যালকোহলের সাথে মধু খাওয়া একেবারে উচিত নয় এতে অ্যাসিডিটি ও বমির মতো সমস্যা হতে পারে এতে | bengali |
<?php
/*
* This file is part of the Claroline Connect package.
*
* (c) Claroline Consortium <[email protected]>
*
* For the full copyright and license information, please view the LICENSE
* file that was distributed with this source code.
*/
namespace Claroline\CoreBundle\Menu;
use JMS\DiExtraBundle\Annotation as DI;
use Knp\Menu\ItemInterface;
use Knp\Menu\Renderer\ListRenderer;
/**
* Class GroupAdditionalActionsMenu
* @package Claroline\CoreBundle\Menu
* @DI\Service("claroline.menu.group_additional_actions_renderer")
* @DI\Tag("knp_menu.renderer", attributes = {"name" = "knp_menu.renderer", "alias"="group_additional_actions"})
*/
class GroupAdditionalActionsMenu extends ListRenderer
{
/**
* @DI\InjectParams({
* "matcher" = @DI\Inject("knp_menu.matcher"),
* "defaultOptions" = @DI\Inject("%knp_menu.renderer.list.options%"),
* "charset" = @DI\Inject("%kernel.charset%")
* })
*/
public function __construct(
$matcher,
$defaultOptions,
$charset
)
{
$defaultOptions['leaf_class'] = $defaultOptions["branch_class"] = "btn btn-default group-additional-action";
parent::__construct($matcher, $defaultOptions, $charset);
}
protected function renderLinkElement(ItemInterface $item, array $options)
{
$uri = $item->getExtra('href') ? $item->getExtra('href'): $item->getUri();
$displayMode = $item->getExtra('display') ? $item->getExtra('display'): 'normal';
return sprintf(
'<i class="%s group-action" data-url="%s" data-toggle="tooltip" data-placement="left" title="%s" data-display-mode="%s"></i>',
$item->getExtra('icon'),
$this->escape($uri),
$this->renderLabel($item, $options),
$displayMode
);
}
protected function renderSpanElement(ItemInterface $item, array $options)
{
return $this->renderLinkElement($item, $options);
}
}
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ಮೈದಾನ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕೆ ದೇಣಿಗೆ ಸಂಗ್ರಹಿಸಿದ ಶ್ವಾನ ಹಾಗೂ ಕುರಿ.! ಮೇಯರ್ ಆಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಆಗಿದ್ದ ಕುರಿ ಹಾಗೂ ಶ್ವಾನ ವೆರ್ಮೊಂಟ್ ಸಮುದಾಯದ ಆಟದ ಮೈದಾನ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕೆ ದೇಣಿಗೆ ಸಂಗ್ರಹಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡಿದೆ. ಆಟದ ಮೈದಾನವನ್ನ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಾಣ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಸ್ಥಳೀಯ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ನೆರವಾಗಲು ಈ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲಾಗ್ತಿದೆ. 2018ರಲ್ಲಿ ಫೇರ್ ಹೆವನ್ ನಿವಾಸಿಗಳು ಲಿಂಕನ್ ಮೇಕೆಯನ್ನ ಮೇಯರ್ ಆಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ್ದರು. ಲಿಂಕನ್ ಸುಮಾರು 10 ಸಾವಿರ ಡಾಲರ್ ದೇಣಿಗೆ ಸಂಗ್ರಹಕ್ಕೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡಿದೆ. ಹಾಗೂ ಪ್ರಸ್ತುತ ಮೇಯರ್ ಕ್ಯಾವಲಿಯನ್ ಕಿಂಗ್ ಚಾರ್ಲ್ಸ್ ಮರ್ಫಿ ಶ್ವಾನ 20 ಸಾವಿರ ಡಾಲರ್ ದೇಣಿಗೆ ಸಂಗ್ರಹಿಸಿದೆ ಎಂದು ಟೌನ್ ಮ್ಯಾನೇಜರ್ ಮಾಹಿತಿ ನೀಡಿದ್ದಾರೆ. ಮರ್ಫಿಯ ಮಾಲೀಕೆ ಲಿಂಡಾ ಬಾರ್ಡರ್, ಟೀ ಶರ್ಟ್ಗಳನ್ನ ಮಾರಾಟ ಮಾಡೋ ಮೂಲಕ ಹಣ ಸಂಗ್ರಹಿಸೋದು ಸುಲಭ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದ್ದರು. ಆದರೆ ಕೊರೊನಾ ವೈರಸ್ನಿಂದಾಗಿ ಇದು ಸಾಧ್ಯವಾಗಲಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ ಟೀ ಶರ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಮಾಸ್ಕ್ಗಳನ್ನ ಮಾರಾಟ ಮಾಡೋಕೆ ನಿರ್ಧರಿಸಿದ್ರು. ಹೀಗಾಗಿ 1000 ಮಾಸ್ಕ್ಗಳನ್ನ ತಯಾರಿಸಿದ್ರು. ಇದೀಗ ಪ್ರೇಮಿಗಳ ದಿನಾಚರಣೆಗೆ ಇನ್ನೊಂದು ಸುತ್ತು ಮಾಸ್ಕ್ ತಯಾರಿಸುವ ಯೋಚನೆಯಲ್ಲಿದ್ದಾರೆ. ಅಲ್ಲದೇ ಬ್ಯಾಸ್ಕೆಟ್ ರಾಫಲ್ಗಳನ್ನೂ ಮಾರಾಟ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ. ಇನ್ನು ಈ ಪಟ್ಟಣಕ್ಕೆ ಕೆಲ ದಿನಗಳ ಹಿಂದೆ ಭೂಮಿ ಹಾಗೂ ಜನಸಂರಕ್ಷಣಾ ನಿಧಿಯಿಂದ 50 ಸಾವಿರ ಡಾಲರ್ ಅನುದಾನ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಇಷ್ಟೆಲ್ಲ ಮಾಡಿದ್ರೂ ಸಹ ಮೇಯರ್ ಶ್ವಾನಕ್ಕೆ ಮೈದಾನಕ್ಕೆ ಬರಲು ಆಗೋದಿಲ್ಲ. ಯಾಕಂದ್ರೆ ನಾಯಿಗೆ ಅನುಮತಿ ಇಲ್ಲ ಎಂಬ ಬೋರ್ಡ್ನ್ನು ಮೈದಾನಕ್ಕೆ ಹಾಕಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಬಾರ್ಡರ್ ಹೇಳಿದ್ದಾರೆ. | kannad |
મમતા બેનરજી અને પ્રશાંત કિશોર મતભેદ ભૂલીને ફરી એક મંચ પર દેખાયા છેલ્લા ઘણા સમયથી એવી ચર્ચા ચાલી રહી છે કે મમતા બેનરજી અને પ્રશાંત કિશોર વચ્ચે મતભેદ છે. જોકે આજે આ અટકળ સમાપ્ત થઈ ગઈ. આજે મમતા બેનરજી અને પ્રશાંત કિશોર એક સાથે એક મંચ પર જોવા મળ્યા. તૃણમૂલ કૉન્ગ્રેસની પાર્ટીની કોલકાતા ખાતે મીટિંગ યોજાઈ હતી. તેમાં મમતા બેનરજી, પ્રશાંત કિશોર, ટીએમસીમાં મમતા પછી નંબરટુની હેસિયત રાખતા તેમના ભત્રીજા અભિષેક બેનરજી, બંગાળ પાર્ટી પ્રમુખ સુબ્રતો બક્ષી અને અન્ય પક્ષના નેતાઓ એક મંચ પર હતા. વન મેન, વન પોસ્ટની ચળવળ શરૂ કરી હતી છેલ્લા કેટલાક સમયથી મમતા અને તેમના ભત્રીજા વચ્ચે પણ ઓલ ઇઝ વેલ નહોતું. મમતા અભિષેકની વધતી જતી મમતને લઈને ચિંતિત હતા. અભિષેક તૃણમૂલ કૉન્ગ્રેસમાં વન મેન, વન પોસ્ટની ચળવળ શરૂ કરી હતી, જેનાથી એકથી વધુ પદ ભોગવતા પક્ષના જૂના જોગીઓ અસંતુષ્ટ હતા. તૃણમૂલના નેતા ચંદ્રિકા ભટ્ટાચાર્યએ પ્રશાંત કિશોરની કંપની આઇપેક પર તેના સોશિયલ મીડિયા અકાઉન્ટનો દુરુપયોગ કરવાનો આરોપ મૂક્યો હતો, જેના પગલે પ્રશાંતે સ્પષ્ટતા કરી હતી કે આઇપેક ટીએમસીની કે તેના કોઈ નેતાની ડિજિટલ પ્રોપર્ટી હેન્ડલ કરતી નથી. ઘી ઢોળાઈને ખીચડીમાં જ પડ્યું હોવાના સંકેત મમતા અને પ્રશાંત વચ્ચે પણ એસએમએસ વૉરના અહેવાલ હતા. અંતે ઘી ઢોળાઈને ખીચડીમાં જ પડ્યું હોવાના સંકેત મળી રહ્યા છે. મમતા બેનરજી આખા દેશમાં વિપક્ષને સંગઠિત કરવા માટે પ્રયત્નશીલ છે ત્યારે આગામી રાજ્યોની ચૂંટણીમાં અને 2024ની લોકસભા ચૂંટણીમાં પ્રશાંત કિશોર મોટા ખેલા કરશે એવી પૂરી શક્યતા છે. અમદાવાદ ઘાટલોડિયામાં બનેલી એસિડ અટેકની ઘટનામાં પોલીસને મળી મોટી સફળતા, આરોપી જેલના સળિયા પાછળ ધકેલાયો જડબાતોડ જવાબ યુક્રેનમાં માર્યા ગયા છે રશિયાના 2 હજારથી વધારે સૈનિકો, અમેરિકાએ રજૂ કર્યો આંકડો અમદાવાદમાં બની સુરત જેવી હિચકારી ઘટના, એક તરફી પ્રેમમાં પાગલ યુવકે જાહેરમાં મહિલાને રહેસી નાંખી એક ડોલરના 77 રૂપિયા થઈ જતા સોશિયલ મીડિયામાં સરકારની ટીકા | gujurati |
نظام چُھ فیلڈ کہ لحاظہٕ وسیع پیمانس پیٹھ مختلف آسان تہٕ یہٕ تییہٕ چُھ ہر وِزِ بدلان رٕزان، اگر اکثر اَرامہٕ سان۔ | kashmiri |
আবারও পানীয় জলের দাবিতে পথ অবরোধ শিলাছড়ি, ১৫ মার্চ : পরিস্রুত পানীয় জলের দাবিতে আইলমারা থেকে শিলাছড়ি যাওয়ার রাস্তায় অবরোধ করেন স্থানীয় জনগণ সংবাদ সূত্রে জানা গেছে, আইলমারা এলাকার জনগণ দীর্ঘদিন ধরেই পানীয় জলের সংকটে ভুগছেন পানীয় জলের সমস্যার বিষয়টি স্থানীয় কর্তৃপক্ষ এবং ডিডাব্লিউএস দপ্তরের কর্মকর্তাদের একাধিকবার জানানো হয়েছে আশ্বাসবাণী ছাড়া বাস্তবে পরিস্রুত পানীয় জল সরবরাহ করার কোন উদ্যোগ গ্রহণ করা হচ্ছে না ফলে অপরিস্রুত পানীয় জল পান করে নানা জলবাহিত রোগে আক্রান্ত হচ্ছেন এলাকার মানুষজন শেষ পর্যন্ত বাধ্য হয়েই মঙ্গলবার সকাল থেকে আইলমারা শিলাছড়ি সড়কের আইলমারা এলাকায় পথ অবরোধ আন্দোলন সংগঠিত করা হয়অবরোধের ফলে ওই সড়কপথে সব ধরনের যান চলাচল স্তব্ধ হয়ে পড়ে অবরোধের খবর পেয়ে প্রশাসনের কর্মকর্তারা অবরোধ স্থলে ছুটে আসেন তারা অবরোধকারীদের সঙ্গে আলোচনায় মিলিত হন অবরোধকারীদের প্রশাসনের তরফ থেকে আশ্বস্ত করা হয়েছে খুব শীঘ্রই তাদের জন্য পরিস্রুত পানীয় জলের ব্যবস্থা করা হবে সেই প্রতিশ্রুতির ভিত্তিতে তারা পথ অবরোধ প্রত্যাহার করে নেন তবে প্রতিশ্রুতি অনুযায়ী পানীয় জলের ব্যবস্থা করা না হলে তারা আরও বৃহত্তর আন্দোলনে সামিল হবেন বলে প্রশাসনকে স্পষ্টভাবে জানিয়ে দিয়েছেন | bengali |
ഓരോ ബിജെപി പ്രവര്ത്തകനും മൂന്ന് വീതം കുടുംബങ്ങളുടെ വോട്ടുകള് ഉറപ്പുവരുത്തണമെന്ന് അമിത് ഷാ ഉത്തര്പ്രദേശ് നിയമസഭാ തിരഞ്ഞെടുപ്പില് ഓരോ ബിജെപി പ്രവര്ത്തകനും മൂന്ന് വീതം കുടുംബങ്ങളുടെ വോട്ടുകള് ഉറപ്പുവരുത്തണമെന്ന് ആഭ്യന്തര മന്ത്രി അമിത് ഷാ. ഉത്തര്പ്രദേശിലെ വിജയം 2024ലെ പൊതുതിരഞ്ഞെടുപ്പിലേക്കുള്ള വാതില് തുറക്കുമെന്ന് അമിത് ഷാ വ്യക്തമാക്കി.സൗജന്യ ഗ്യാസ് സിലിണ്ടര്, കര്ഷകര്ക്കായുള്ള പ്രധാനമന്ത്രിയുടെ പദ്ധതികള് എന്നിവ ജനങ്ങളിലെത്തണം. കോണ്ഗ്രസിനു ലഭിച്ച അത്രയും വര്ഷം ബിജെപിക്കു ഭരണം ലഭിച്ചാല് രാജ്യം വന് സാമ്ബത്തിക ശക്തിയായി മാറും. യുപിയിലെ യോഗി ആദിത്യനാഥ് സര്ക്കാര് മാഫിയ, ഗുണ്ടാ രാജിനെ നിയന്ത്രിച്ചതായും അമിത് ഷാ അവകാശപ്പെട്ടു. അടുത്ത വര്ഷം ഉത്തര്പ്രദേശ് നിയമസഭാ തിരഞ്ഞെടുപ്പു നടക്കുന്ന പശ്ചാത്തലത്തില് പ്രവര്ത്തനങ്ങള് വിലയിരുത്താന് വാരാണസിയിലെത്തിയപ്പോഴാണ് അമിത് ഷാ ഇക്കാര്യം വ്യക്തമാക്കിയത്. വാരാണസിയില് ബിജെപി നേതാക്കളുമായും പ്രവര്ത്തകരുമായും ചര്ച്ചകള് നടത്തിയ അമിത് ഷാ മുഖ്യമന്ത്രി യോഗി ആദിത്യനാഥിനൊപ്പം പൊതുപരിപാടിയിലും പങ്കെടുത്തു. ഓരോ ആളുകളും ബിജെപിക്കു വോട്ടുചെയ്യുന്നതിനായി 60 പേരെയെങ്കിലും പ്രേരിപ്പിക്കണം. കുറഞ്ഞത് 20 വോട്ടുകളെങ്കിലും ലക്ഷ്യമിടണം. ഇതൊരു സാധാരണ തിരഞ്ഞെടുപ്പല്ല. രാജ്യത്തെ ഉയരങ്ങളിലേക്കെത്തിക്കാനുള്ള തിരഞ്ഞെടുപ്പാണ്. കേന്ദ്രസര്ക്കാരിന്റെ പദ്ധതികള് ജനങ്ങളിലേക്കെത്തിക്കണം. ഷിനോജ് | malyali |
ಮೃತದೇಹವನ್ನು ಹೊತ್ತು ದುರ್ಗಮ ಹಾದಿಯಲ್ಲಿ 8 ತಾಸು ನಡೆದ ಐಟಿಬಿಪಿ ಸೈನಿಕರು. ಪಿಥೋರ್ಗಡ್: ಇಂಡೋ ಟಿಬೆಟಿಯನ್ ಬಾರ್ಡರ್ ಪೊಲೀಸ್ ಗಸ್ತುಪಡೆಯ ಸೈನಿಕರು ಓರ್ವನ ಮೃತ ದೇಹ ಹೊತ್ತುಕೊಂಡು ಬರೋಬ್ಬರಿ 8 ತಾಸು ನಡೆದಿದ್ದಾರೆ. ಮೃತನ ಕುಟುಂಬಕ್ಕೆ ದೇಹವನ್ನು ಒಪ್ಪಿಸಬೇಕು ಎಂಬ ಕಾರಣಕ್ಕೆ 25 ಕಿಮೀ ದೂರ ಅದನ್ನು ಹೊತ್ತು ಕ್ರಮಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಉತ್ತರಖಾಂಡದ ಪಿಥೋರ್ಗಡ್ನ ಬಾಗ್ದಾಯರ್ ಬಳಿಯ ಸ್ಯುನಿ ಗ್ರಾಮದಲ್ಲಿ ಕಲ್ಲುಗಳ ಸ್ಫೋಟದಿಂದ 30 ವರ್ಷದ ಯುವಕನೋರ್ವ ಮೃತಪಟ್ಟಿದ್ದ. ಅದನ್ನು ಸ್ಥಳೀಯರು ಐಟಿಬಿಪಿ ಸಿಬ್ಬಂದಿಗೆ ತಿಳಸಿದ್ದಾರೆ. ಕೂಡಲೇ ಅಲ್ಲಿಗೆ ಹೋದ ಸೈನಿಕರು ಮೃತದೇಹವನ್ನು ವಶಪಡಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದಾರೆ. ಆತ ಮುನ್ಸಿಯಾರಿ ಗ್ರಾಮದವನು ಎಂಬ ವಿಚಾರ ತಿಳಿದರೂ ಸಿಕ್ಕಾಪಟೆ ಮಳೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಕಾರಣ ವಾಹನ ಸಂಚಾರ ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತಿರಲಿಲ್ಲ. ವಾಹನ ಬರುವ ದಾರಿಗಳೆಲ್ಲ ಬಂದ್ ಆಗಿದ್ದವು. ಹೀಗಾಗಿ ಸೈನಿಕರು ಸ್ಟ್ರೆಚರ್ನಲ್ಲಿ ಶವವನ್ನು ಮಲಗಿಸಿ, 25 ಕಿ.ಮೀ.ದೂರದ ಹಳ್ಳಿಗೆ ಹೋಗಿ, ಕುಟುಂಬಕ್ಕೆ ಒಪ್ಪಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಮುನ್ಸಿಯಾರಿಗೆ ಹೋಗುವ ದಾರಿ ತುಂಬ ದುರ್ಗಮವಾಗಿದೆ. ದಾರಿಯುದ್ಧಕ್ಕೂ ಕಲ್ಲು ಬಂಡೆಗಳು..ಕೊರಕಲು ತುಂಬಿದೆ. ಅಷ್ಟಾದರೂ ಸುಮಾರು 8 ಯೋಧರು 25 ಕಿಮೀ ನಡೆದಿದ್ದಾರೆ. ಏಜೆನ್ಸೀಸ್ ನಟನಿಗೆ ಹುಟ್ಟುಹಬ್ಬದ ವಿಷ್ ಮಾಡಹೋಗಿ ಜೀವ ಕಳೆದುಕೊಂಡ ಅಭಿಮಾನಿಗಳು! | kannad |
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Love is many things to many people. Love is colored by the person expressing it, and by the person receiving it. There is pure love, there is totally selfish love, and there is every gradation in between. The kind of love that is truly a blessing to receive is Divine Love. Divine Love pours from the higher levels of consciousness and from a pure heart. Anger doesn’t thrive in this sphere, nor does jealousy or selfishness.. . . Click the link above to read the full chapter.
Forgiveness is love in action. Forgiveness is the path to your own peace and well-being. Forgiveness has been greatly misunderstood throughout much of history. In this chapter, we take a look at forgiveness from many perspectives. We will look at how it can help transform your life and how it can help you embody your radiant visions. Click the link above to read the full chapter.
Peace is a rare feeling these days for many people. Deep inner peace is one’s true nature. A lot of folks yearn to once again embrace their true natural peace. In this chapter, we explore inner personal peace as well as peace between individuals and groups. Click the link above to read the full chapter.
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நம்பர் கேட்ட வாலிபர்.. தகராறில் நடந்த விபரீதம்.. போலீஸ் வலைவீச்சு..!! வாலிபர் அடித்து கொலை செய்யப்பட்ட வழக்கில் 3 பேரை காவல்துறையினர் வலைவீசி தேடி வருகின்றனர். தஞ்சாவூர் மாவட்டத்திலுள்ள கீழக்குறிச்சி வடக்கு தெருவில் அருண்குமார்சத்யா என்ற தம்பதியினர் வசித்து வருகின்றனர். இந்த தம்பதியினருக்கு ஒரு பெண் குழந்தை இருக்கின்றது. இதில் அருண்குமார் வெளிநாட்டில் பணி செய்து வந்துள்ளார். இவர்களது வீட்டிற்கு அருகில் கூலித் தொழிலாளியான ராஜாங்கம் மகன் விஜய் வசித்து வந்தார். இவர் அருண்குமாரின் மனைவி சத்யாவிடம் செல்போன் நம்பர் கேட்டு தொந்தரவு செய்துள்ளார். இதனை அறிந்த சத்யாவின் மாமியார் தேன்மொழி விஜய்யை கண்டித்ததோடு காவல் நிலையத்திலும் புகார் கொடுத்துள்ளார். அந்தப் புகாரின்படி காவல்துறையினர் விஜய்யை போலீஸ் நிலையத்திற்கு அழைத்து சென்று கண்டித்து அனுப்பினர். இதனையடுத்து விஜய் எந்தவிதமான பிரச்சனையும் செய்யாமல் இருந்துள்ளார். இந்நிலையில் சத்யாவின் கணவர் அருண்குமார் வெளிநாட்டிலிருந்து ஊருக்கு வந்தார். அப்போது விஜய்யை வல்லரசு என்பவர் வடசேரி மதுகடைக்கு அழைத்துச் சென்றுள்ளார். அதன்பின் வடசேரி செல்லும் வழியில் அருண்குமார் மற்றும் அவரது நண்பர் பரத் இருவரும் நெம்மேலி கண்ணனாறு அருகே விஜய்யை பார்த்துள்ளனர். இதனால் இருவரும் சேர்ந்து சத்யாவிடம் செல்போன் நம்பர் கேட்டது தொடர்பாக விஜய்யிடம் தகராறில் ஈடுபட்டு அவரை தாக்கியுள்ளனர். இதில் பலத்த காயமடைந்த விஜய் மயங்கி கீழே விழுந்தார். இதனைதொடர்ந்து நீண்ட நேரமாகியும் மகனை காணவில்லை என்று விஜய்யின் தந்தை ராஜாங்கம் அவரை தேடியுள்ளார். இந்நிலையில் விஜய் இறந்து கிடப்பதாக ராஜாங்கதிற்கு தகவல் கிடைத்துள்ளது. இதுகுறித்து ராஜாங்கம் கொடுத்த புகாரின்படி காவல்துறையினர் சம்பவ இடத்திற்கு விரைந்து சென்று விஜய்யின் சடலத்தை கைப்பற்றி பிரேத பரிசோதனைக்காக அரசு மருத்துவமனைக்கு அனுப்பி வைத்தனர். மேலும் இதுகுறித்து காவல்துறையினர் வழக்குப்பதிவு செய்து அருண்குமார், பரத், வல்லரசு ஆகிய 3 பேரையும் வலைவீசி தேடி வருகின்றனர். | tamil |
In accordance with the bylaws, a church conference will be held as part of the morning worship service on September 29, 2013 as the regular business meeting for 2013. The congregation will be asked to consider the report from the Nominating Committee recommending committee members and leaders for the coming year. In addition, the congregation will be asked to consider two recommendations from the Board of Deacons: one that makes clarifications to the church bylaws and one that presents nominations for Trustees of the church. The Nominating Committee report, a Summary of the bylaw clarifications, and copy of the bylaws with proposed revisions highlighted, are available below (in their respective folders) for download and review. In addition, copies will be provided on Wednesday evening, September 25.
The first pdf shows proposed clarifications to the church bylaws in a table and the second offers a look at the church by-laws with the changes highlighted.
Proposed nominations committee report for 2013-14. Please email David Cassady ([email protected]) if you see edits needed to this report. | english |
\begin{document}
\title{Global in time solution to Kolmogorov's two-equation model of turbulence with small initial data}
\author{Przemys\l aw Kosewski, Adam Kubica \footnote{Department of Mathematics and Information Sciences, Warsaw University of Technology, ul. Koszykowa 75,
00-662 Warsaw, Poland, E-mail addresses: [email protected], [email protected]} }
\maketitle
\abstract{We prove the existence of global in time solution to Kolmogorov's two-equation model of turbulence in three dimensional domain with periodic boundary conditions under smallness assumption imposed on initial data. }
\noindent Keywords: Kolmogorov's two-equation model of turbulence, global in time solution, small data.
\noindent AMS subject classifications (2010): 35Q35, 76F02.
\section{Introduction}
An analysis of turbulent motion is one of the most challenging scientific problems. There are many models (e.g. $k - \varepsilon$, $k - \omegaega$, see \cite{Lew}) that give us some insight onto this phenomenon, but our understanding of it is still insufficient. One of the models, proposed by A. N. Kolmogorov in 1941, is the two-equation model of turbulence. To the best of our knowledge, only a few research papers are devoted to the mathematical analysis of this problem. Firstly, we would like to recall the Kolmogorov's two equation turbulence model
\eqq{v_{,t} + \operatorname{div}(v\omegaega_{,t}imes v) - 2\nu_{0} \operatorname{div} \n{ \bno D(v)} = - \nablala p , }{a}
\eqq{ \omegaega_{,t} + \operatorname{div}(\omega v ) - \kappa_{1} \operatorname{div} \n{ \bno \nablala \omega } = - \kappa_{2} \omega^{2}, }{b}
\eqq{b_{,t} + \operatorname{div}(b v ) - \kappa_{3} \operatorname{div} \n{ \bno \nablala b } = - b \omega + \kappa_{4} \bno |D(v)|^{2}, }{c}
\eqq{\operatorname{div}{v} =0,}{d}
where $v$ - mean velocity, $\omegaega$ - dissipation rate, $b$ - 2/3 of mean kinetic energy, $p$ - sum of
mean pressure and $b$.
Despite of its huge importance, it still remains relatively little-studied. For a more exhaustive introduction to Kolmogorov's two equation turbulence model we refer to \cite{BuM}, \cite{Lew}, \cite{Kolmog}, \cite{KoKu}, \cite{MiNa}, \cite{MiNaa}, \cite{Spal}.
Now, we will shortly describe the known results concerning this model. In \cite{BuM}, the authors consider the system in a bounded $C^{1,1}$ domain with mixed boundary conditions for $b$ and $\omega$ and stick-slip boundary condition for velocity $v$. In order to overcome the difficulties related with the last term on the right hand side of (\ref{c}) the problem is reformulated and the quantity $E:=\frac{1}{2}|v|^{2}+ \frac{2\nu_{0}}{\kappa_{4}}b$ is introduced. Then, the equation (\ref{c}) is replaced by
\[
E_{,t}+ \operatorname{div}(v(E+p))- 2\nu_{0}\operatorname{div}\left( \frac{\kappa_{3} b}{\kappa_{4}\omega}\nabla b+ \frac{b}{\omega} D(v)v \right)+\frac{2\nu_{0}}{\kappa_{4}}b\omega=0.
\]
Then, there is established the existence of global-in-time weak solution to the reformulated problem. It is also worth mentioning that in \cite{BuM} the assumption related to the initial value of $b$ admit vanishing of $b_{0}$ in some points of the domain. More precisely, the existence of weak solution is proved under the conditions $b_{0}\in L^{1}$, $b_{0}>0$ a.e. and $\ln{b_{0}}\in L^{1}$.
In the paper \cite{MiNa}, the system (\ref{a})-(\ref{d}) is considered in periodic domain. It is proved the existence of global-in-time weak solution, but due to the presence of strongly nonlinear term $\bno |D(v)|^{2}$, the weak form of equation (\ref{c}) have to be corrected by a positive measure $\mu$, which is zero, provided weak solution is sufficiently regular. There are also obtained the estimates for $\omega$ and $b$ (see (4.2) in \cite{MiNa}). These observations are crucial in our reasoning presented below. Concerning the initial value of $b$, the authors assume that $b_{0}$ is uniformly positive.
In \cite{KoKu} local-in-time existence of solution to the system (\ref{a})-(\ref{d}) with periodic boundary condition is studied. More precisely, if the initial data belongs to Sobolev space $H^2(\Omegaega)$ and $b_0(x) \geq b_{\min} > 0 $, $\omega_0(x) \geq \omegai > 0 $, then there exists a "regular" solution defined on some interval $[0,t^*)$. Furthermore, it is showed that the solution belongs to $L^2(0,t^*;H^3(\Omegaega))\cap H^1(0,t^*;H^1(\Omegaega))\cap L^\infty(0,t^*;H^2(\Omegaega))$. Additionally, an estimate for minimal time of existence of solution in terms of initial data is proven. This last result is crucial in our proof of the existence of global-in-time solution.
It is worth to mention the other publications regarding mathematical analysis of turbulence models e.g: in \cite{Pares} the author analyses 0-equation model of turbulence (the turbulent viscosity is related with the symmetric gradient of velocity only). In \cite{NaumannV2} it is analysed a simplified 1-equation model of turbulence (Prandtl's model, see \cite{Prandtl}). In the paper \cite{HB} a stationary 1-equation model of turbulence in porous medium is studied.
The paper \cite{Dreyfus} is devoted to a simplified scalar version of the RANS model arising in oceanography.
Very recently in \cite{Fanelli} the authors studied a system very closely related to one-dimensional Kolmogorov system. Local well-posedness was shown even with vanishing mean turbulent kinetic energy. It was also proved that for some smooth initial data the obtained solutions blow-up in finite time.
In the presented paper we formulate the smallness conditions, which guarantee the global-in-time existence of solution to (\ref{a})-(\ref{d}). These results are given in Theorem~\ref{TW_GLOBAL} and Corollary~\ref{coro_glob}.
At the outset we will establish the basic notation. Assume that $\Omegaega = \prod_{i=1}^{3}(0,L_{i}) $, \hspace{0.2cm} $L_{i}>0$ and $\Omegaega^{T}=\Omegaega \times (0,T)$. We shall consider problem (\ref{a})-(\ref{d}) in $\Omega^{T}$, where
\eqq{v,\omega ,b \hspace{0.2cm} \m{ are periodic on } \hspace{0.2cm} \Omega, \hspace{0.2cm} \hspace{0.2cm} \int_{\Omega} vdx =0,}{ddod}
with initial condition
\eqq{v_{|t=0}= v_{0}, \hspace{0.2cm} \hspace{0.2cm} \omega_{|t=0}= \omega_{0}, \hspace{0.2cm} \hspace{0.2cm} b_{|t=0}= b_{0}.}{e}
Here $\nu_{0}, \kappa_{1}, \dots, \kappa_{4}$ are positive constants. We assume that all these constants except $\kappa_{2}$ are equal to one. As we will see, $ \kappa_{2} $ plays a special role in our system and it determines the long-time behaviour of the fraction $ \frac{b}{\omega}$.
We additionally assume that there exist positive numbers $b_{\min}$, $\omegai$, $\omegaa$ such that
\eqq{0<b_{\min}\leq b_{0}(x), }{f}
\eqq{0<\omegai\leq \omega_{0}(x) \leq \omegaa }{g}
on $\Omegaega$. In the next section we will introduce notation dedicated to formulate smallness conditions as well as auxiliary theorem that will be useful in further part of work.
\section{Notation and auxiliary theorem}
In this section we introduce the notation. We will use the standard notation
\[
\| f \|_{p}= \left( \int_{\Omega} |f(x)|^{p} dx \right)^{\frac{1}{p}}
\]
and we set
\eqq{
\omegat = \omegaitt, \hspace{0.2cm} \hspace{0.2cm}
\omegamt = \omegaat. \hspace{0.2cm} \hspace{0.2cm}
}{omMinMaxt}
These quantities will appear in the lower and upper bound for $\omega$ (see Proposition~\ref{oszac_og}). Additionally, we introduce the analogous notation for $b$, for the lower bound for $b$ and the upper bound for $\| b\|_{1}$ (see Proposition~\ref{oszac_og} and Proposition~\ref{propEstimates}c)
\eqnsl{
b_{\min}^{t} = b_{\min}t, \hspace{0.2cm}
b_{\max}(t) =
\frac{\nj{b_0} + \jd \ndk{v_0}\n{
1 + I_\infty \n{\kappa_{2}, \frac{\omegai}{\omegaa}, \frac{b_{\min}}{\n{\omegaa}^2}}
}}{\n{1 + \kappa_{2} \omegai t }^\frac{1}{\kappa_{2}}},
}{bMinMaxt}
where
\eqnsl{
I_\infty \n{\kappa_{2}, x, y}
= \Gamma\n{\frac{2\kappa_{2} }{2\kappa_{2} - 1}}
x^{\min \left\{ 1, \frac{1}{\kappa_{2}} \right\}}
\n{\frac{C_p^2 (2\kappa_{2} -1)}{2y}
\exp \n{\frac{2y}{C^{2}_{p} } }
}^{\frac{1}{2\kappa_{2} -1}},
}{IinfDef}
and $C_{p}$ is Poincar\'e constant for the domain $\Omega$, i.e. the smallest constant such that $\|f\|_{p}\leq C_{p}\| \nabla f\|_{p} $ for smooth $f$ such that $\int_{\Omega} fdx =0$.
In case of $b$ we will be able to control the decay of $L^1$-norm. Frequently, we will estimate from below the coefficient in the diffusive term by (see (\ref{below}))
\eqq{
\mu^{t}_{\min} = \frac{b_{\min}^{t}}{\omegamt}= \frac{b_{\min}}{\omegaa}(1+\kd \oma t )^{1-\frac{1}{\kappa_{2}}}.
}{mnitDef}
To express the smallness of initial data we will need the following quantity
\eqnsl{
Y_{2}(t)= \Big(\ndk{\Delta b_0} + & \ndk{\Delta \omega_0 } + \ndk{\Delta v_0 } \Big) \cdot \\
\cdot & \exp \n{ - \frac{1}{C_{p}^{2}} \frac{b_{\min} }{(2\kappa_{2} - 1)\omegaa^2} \n{ \n{1 + \kappa_{2} \omegaa t}^{2 - 1/\kappa_{2}} - 1}}.\\
}{Y_0t}
Furthermore, to formulate a condition that ensures the existence of global-in-time solution we have to define (see (\ref{GLOB_ADD}) in Theorem~\ref{TW_GLOBAL})
\eqq{
A(t) =
\n{\ndk{v_0}
\exp \n{ -\frac{
2b_{\min} \n{\n{1 + \kappa_{2} \omegaa t }^{2 - \frac{1}{\kappa_{2}}}-1} }{C^{2}_{p} \omegaa^{2} \n{2 \kappa_{2} - 1 }} }
+ b_{\max}(t)^2}^\jc,
}{def_A}
\eqq{
B(t) =
1 + \re{\omegat} + \frac{b_{\max}(t)}{\omegat} + \frac{b_{\max}(t)}{(\omegat)^2} ,
}{def_B}
\eqq{
C(t) =
\re{\omegat} + \re{(\omegat)^2} + \frac{b_{\max}(t)}{(\omegat)^2} + \frac{b_{\max}(t)}{(\omegat)^3},
}{def_C}
\eqq{
D(t) = \re{(\omegat)^2} + \re{(\omegat)^3}
}{def_D}
and
\eqq{
Z_0(t) =
\Big( b_{\max}(t) +
A(t) Y_2^\jc(t)
+ B(t) Y_2^\jd(t)
+ C(t) Y_2 (t)
+ D(t) Y_2^\td(t)
\Big).
}{def_Z0}
Now, let us define function spaces. If $m\in \mathbb{N}$, then we denote by $\mathcal{V}^{m}$ the space of restrictions to $\Omega$ of the functions, which belong to the space
\eqq{\{u \in H^{m}_{loc}(\mathbb{R}^{3}): \hspace{0.2cm} u(\cdot + kL_{i}e_{i}) = u(\cdot ) \hspace{0.2cm} \m{ for } \hspace{0.2cm} k\in \mathbb{Z}, \hspace{0.2cm} i=1,2,3 \}.}{j}
Next, we set
\eqq{\mathcal{V}kd^{m} = \{v\in \mathcal{V}^{m}:\hspace{0.2cm} \operatorname{div} v =0, \hspace{0.2cm} \int_{\Omega} vdx =0 \}.}{k}
We shall find global solution of the system (\ref{a})-(\ref{e}) such that $(v,\omega,b)\in \mathcal{X}(T)$, where
\eqq{
\mathcal{X}(T)= L^{2}_{loc}([0,T);\mathcal{V}kdt)\times (L^{2}_{loc}([0,T);\mathcal{V}t))^2) \cap (H^{1}_{loc}([0,T);H^{1}(\Omega)))^{5}.
}{i}
We denote by $\| \cdot \|_{k,2}$ the norm in the Sobolev space, i.e.
\[
\| f \|_{k,2} = (\ndk{\nabla^{k} f } + \ndk{f})^{\frac{1}{2}},
\]
where $\| \cdot \|_{2}$ is $L^{2}$ norm on $\Omega$.
Now, we introduce the notion of solution to the system (\ref{a})-(\ref{d}). We shall show that for any $v_{0}\in \mathcal{V}kd^{2}$ and strictly positive $\omega_{0}$, $b_{0}\in \mathcal{V}^{2}$, if $H^{2}$ norms of the initial data are sufficiently small, then there exist $(v, \omega, b)\in \mathcal{X}(\infty)$ such that
\eqq{(v_{,t}, w) - (v\omegaega_{,t}imes v,\nablala w) + \n{ \mu D(v), D(w)} = 0 \hspace{0.2cm} \m{ for } \hspace{0.2cm} w\in \mathcal{V}kd^{1}, }{aa}
\eqq{ (\omegaega_{,t}, z) - (\omega v, \nablala z ) + \n{ \mu \nablala \omega, \nablala z } = - \kappa_{2} (\omega^{2}, z ) \hspace{0.2cm} \m{ for } \hspace{0.2cm} z\in \mathcal{V}^{1}, }{ab}
\eqq{(b_{,t}, q) - (b v, \nabla q ) +\n{ \mu \nablala b, \nablala q } = - (b \omega , q) + ( \mu |D(v)|^{2}, q) \hspace{0.2cm} \m{ for } \hspace{0.2cm} q\in \mathcal{V}^{1}, }{ac}
for a.a. $t\in (0,T)$, where $\mu= \frac{b}{\omega}$ and (\ref{e}) holds. Recall that $D(v)$ denotes the symmetric part of $\nablala v$ and $(\cdot , \cdot )$ is inner product in $L^{2}(\Omega)$.
In \cite{KoKu} it was shown that for appropriately regular initial data there exists local-in-time regular solution. We recall this result below.
\begin{theorem}[theorem 1 \cite{KoKu}]
Suppose that $\omega_{0}$, $b_{0}\in \mathcal{V}^{2}$, $v_{0}\in \mathcal{V}kd^{2}$ and (\ref{f}), (\ref{g}) are satisfied. Then there exist positive $t^{*}$ and $(v,\omega , b)\in \mathcal{X}(t^{*})$ such that (\ref{e}), (\ref{aa})-(\ref{ac}) holds for a.a. $t\in (0,t^{*})$.
Furthermore, for each $(x,t)\in \Omega\times [0,t^{*})$ the following estimates
\eqq{\frac{\omegai}{1+\kappa_{2} \omegai t} \leq \omega(x,t) \leq \frac{\omegaa}{1+\kappa_{2} \omegaa t},}{newc}
\eqq{\frac{b_{\min}}{(1+\kappa_{2} \omegaa t)^{\frac{1}{\kappa_{2}}}} \leq b(x,t) }{newd}
hold. The time of existence of solution is estimated from below in the following sense: for each positive $\delta$ and compact $K\subseteq \{ (a,b,c): 0<a\leq b, \hspace{0.2cm} 0<c \}$ there exists positive $t^{*}kd$, which depends only on $\kappa_{2}, \Omega, \delta$ and $K$ such that if
\eqq{ \nsodk{v_{0}}+\nsodk{\omega_{0}}+\nsodk{b_{0}}\leq \delta \hspace{0.2cm} \m{ and } \hspace{0.2cm} (\omegai, \omegaa, b_{\min})\in K,}{uniformly}
then $t^{*}\geq t^{*}kd$.
\lambdabel{LOCALNE_TH}
\end{theorem}
\section{Main result}
Now, we formulate the main result involving the global existence of regular solutions to system (\ref{a})-(\ref{e}).
\begin{theorem}\lambdabel{TW_GLOBAL}
Assume that $\kappa_{2} > \frac{1}{2}$. There exists a constant $C_{\Omega,\kappa_{2}}$, which depends only on $\Omega$ and $\kappa_{2}$, with the following property: for any
$\omega_{0}$, $b_{0}\in \mathcal{V}^{2}$, $v_{0}\in \mathcal{V}kd^{2}$, if (\ref{f}), (\ref{g}) hold and
\eqq{
\mu^{t}_{\min} -C_{\Omega, \kappa_{2}} Z_0(t) > 0 ~~~~\m{ for } \hspace{0.2cm} t \in [0, T),
}{GLOB_ADD}
for some $T\in (0,\infty]$, then there exists a unique $(v,\omega , b)\in \mathcal{X}(T)$ solution to (\ref{a})-(\ref{e}) in $\OmegaT$.
\end{theorem}
We recall that we impose the constants $\nu_{0}$, $\kappa_{1}$, $\kappa_{3}$ and $\kappa_{4}$ are equal to one. In general case, if all these constants are positive and arbitrary, then the constant in the above result will depend on $\nu_{0}$, $\kappa_{1}$, \dots, $\kappa_{4}$ and $\Omega$. The functions $\mu^{t}_{\min}$ and $Z_{0}(t)$ were defined in (\ref{mnitDef}) and (\ref{def_Z0}), respectively.
\begin{rem}
The condition (\ref{GLOB_ADD}) involves only the initial data: $v_{0}$, $\omega_{0}$, $b_{0}$, the parameters of the system: $\nu_{0}$, $\kappa_{1}$, \dots , $\kappa_{4}$ and $\Omega$.
\end{rem}
\begin{rem}
The assumption $\kappa_{2} > \jd$ is crucial in the proof of Theorem \ref{TW_GLOBAL} (and also in Proposition \ref{propEstimates}). Without it we are unable to prove the exponential decay of $L^2$-norm of $v(t)$ and polynomial decay of $L^1$-norm of $b(t)$, around which the proof is structured.
\end{rem}
\begin{rem}
As is stated in \cite{Spal}, Kolmogorov set $\kappa_{2} = \frac{7}{11}$ and Theorem \ref{TW_GLOBAL} may be applied for this value of parameter $\kappa_{2}$.
\end{rem}
\noindent As a consequence of theorem~\ref{TW_GLOBAL} we have
\begin{coro}
Assume that $\kappa_{2} > \frac{1}{2}$, $v_{0}\in \mathcal{V}kd^{2}$, $\omega_{0}$, $b_{0}\in \mathcal{V}^{2}$ and the conditions (\ref{f}), (\ref{g}) hold. We denote
\[
a_{0}=\sup_{t\geq 0 } 2 C_{\Om,\kd} (1+\kd \oma t )^{\frac{1}{\kappa_{2}}-1} \left(A(t)+ B(t)Y_{2}^{\frac{1}{4}}(t) + C(t)Y_{2}^{\frac{3}{4}}(t)+ D(t)Y_{2}^{\frac{5}{4}}(t) \right),
\]
where $C_{\Om,\kd} $ is the constant given in theorem~\ref{TW_GLOBAL} and $Y_{2}, A(t),\dots, D(t)$ were defined in (\ref{Y_0t})-(\ref{def_D}). Then $a_{0}$ is finite. If in addition,
\eqnsl{
\frac{b_{\min}}{\omegaa} > 2 C_{\Om,\kd} \n{ \| b_{0}\|_{1} + \jd \ndk{ v_{0}}\n{1 + I_\infty \n{\kappa_{2}, \frac{\omegai}{\omegaa}, \frac{b_{\min}}{(\omegaa)^2}}} } \\
\text{ for } \kappa_{2} \geq 1
}{Z1}
and
\eqnsl{
\frac{b_{\min}}{\omegaa} > 2 C_{\Om,\kd} \n{ \| b_{0}\|_{1} + \jd \ndk{ v_{0}}\n{1 + I_\infty \n{\kappa_{2}, \frac{\omegai}{\omegaa}, \frac{b_{\min}}{(\omegaa)^2}}} } \n{\frac{\omegaa}{\omegai}}^\frac{1}{\kappa_{2}} \\
\text{ for } \kappa_{2} \in \n{\jd , 1}
}{Z1.5}
and
\eqq{\frac{b_{\min}}{\omegaa} > a_{0} \left( \ndk{\Delta v_{0}}+ \ndk{\Delta \omega_{0}}+ \ndk{\Delta b_{0}} \right)^{\frac{1}{4}}}{Z2}
hold, then the system (\ref{a})-(\ref{e}) has a unique global solution in $\mathcal{X}(\infty)$.
\lambdabel{coro_glob}
\end{coro}
\begin{rem}
The conditions (\ref{Z1})-(\ref{Z2}) involve only the initial data: $v_{0}$, $\omega_{0}$, $b_{0}$, the parameters of the system: $\nu_{0}$, $\kappa_{1}$, \dots , $\kappa_{4}$ and $\Omega$.
\end{rem}
\begin{rem}
We shall show that the conditions (\ref{Z1})-(\ref{Z2}) are satisfied on some non-empty set of initial data. We focus only on the case $\kappa_{2}\in (\jd, 1)$, because the other is simpler. It may be done in the following way: we shall determine positive $\deltaj$,$\deltad$,$\deltat$ such that if initial data satisfy the bounds
\eqq{
\| b_{0}\|_{1}\leq \deltaj, \hspace{0.2cm} \| v_{0}\|_{2}\leq \deltad, \hspace{0.2cm} \Deltay \leq \deltat,
}{delty}
then (\ref{Z1.5}) and (\ref{Z2}) will be fulfilled. We proceed the following steps
\begin{itemize}
\item
set $\omegai$ and $\omegaa$ such that $0<\omegai<\omegaa$ and
\[
2 C_{\Om,\kd} |\Omega| (\omegaa)^{1+\frac{1}{\kappa_{2}}} <(\omegai)^{\frac{1}{\kappa_{2}}} ,
\]
i.e.
\[
\frac{1}{\omegaa}> 2 C_{\Om,\kd} |\Omega| \n{\frac{\omegaa}{\omegai}}^{\frac{1}{\kappa_{2}}},
\]
\item
fix $b_{\min}>0$ so, we have
\[
\frac{b_{\min}}{\omegaa} > 2 C_{\Om,\kd} b_{\min} |\Omega|\n{\frac{\omegaa}{\omegai}}^{\frac{1}{\kappa_{2}}},
\]
\item
choose $\deltaj>b_{\min} |\Omega|$ such that
\[
\frac{b_{\min}}{\omegaa} > 2 C_{\Om,\kd} \deltaj \n{\frac{\omegaa}{\omegai}}^{\frac{1}{\kappa_{2}}},
\]
\item
find $\deltad>0$ such that
\[
\frac{b_{\min}}{\omegaa} > 2 C_{\Om,\kd} \n{ \deltaj + \jd \deltad \n{1 + I_\infty \n{\kappa_{2}, \frac{\omegai}{\omegaa}, \frac{b_{\min}}{(\omegaa)^2}}} } \n{\frac{\omegaa}{\omegai}}^\frac{1}{\kappa_{2}} ,
\]
\item
if we define $a_{0}(\deltaj, \deltad, \deltat)$ similarly as in Corollary~\ref{coro_glob}, where we replace $\| b_{0}\|_{1}$ by $\deltaj$, $\| v_{0}\|_{2}$ by $\deltad$ and $\Deltay$ by $\deltat$, then from (\ref{bMinMaxt}), (\ref{Y_0t}) and (\ref{def_A})-(\ref{def_C}) we deduce that $a_{0}(\deltaj, \deltad, \deltat)$ is increasing with respect to each $\delta_{i}$. Therefore, we can find $\deltat>0$ such that
\[
\frac{b_{\min}}{\omegaa}> a_{0}(\deltaj, \deltad, \deltat) \deltat^{\frac{1}{4}},
\]
\item
finally, for these positive numbers $\deltaj, \deltad, \deltat$ and any $b_{0}$, $\omega_{0}$ and $v_{0}$ such that $b_{\min}\leq b_{0}$, $\omegai\leq \omega_{0} \leq \omegaa$ and (\ref{delty}) hold, the conditions (\ref{Z1.5}) and (\ref{Z2}) are satisfied.
\end{itemize}
\end{rem}
\section{Proof of Theorem~\ref{TW_GLOBAL}}
We need the following auxiliary results (see also theorem 4.1 \cite{MiNa}).
\begin{prop}
Assume that $\omega_{0}$, $b_{0}\in \mathcal{V}^{2}$, $v_{0}\in \mathcal{V}kd^{2}$ and (\ref{f}), (\ref{g}) hold. If $T>0$ and $(v, \omega, b)\in \mathcal{X}(T) $ satisfies (\ref{a})-(\ref{e}), then the following estimates
\eqq{\frac{\omegai}{1+\kappa_{2} \omegai t} \leq \omega(x,t) \leq \frac{\omegaa}{1+\kappa_{2} \omegaa t},}{newcog}
\eqq{\frac{b_{\min}}{(1+\kappa_{2} \omegaa t)^{\frac{1}{\kappa_{2}}}} \leq b(x,t) }{newdog}
hold for $(x,t)\in \Omega^{T}$.
\lambdabel{oszac_og}
\end{prop}
\begin{proof}
By assumption we have $\omega, b \in L^{2}_{loc}([0,T);H^{3}(\Omega))$, $\omega_{,t}, b_{,t} \in L^{2}_{loc}([0,T);H^{1}(\Omega))$ thus, Sobolev embedding theorem implies that $\omega, b\in C(\overline{\Omega}\times [0,T))$. Then, by (\ref{f}) and (\ref{g}) there exists $t_{1}\in (0,T)$ such that
\eqq{\jd b_{\min} \leq b(x,t), \hspace{0.2cm} \jd \omegai \leq \omega(x,t) \leq 2 \omegaa \hspace{0.2cm} \m{ for } \hspace{0.2cm} (x,t)\in \Omega^{t_{1}}. }{dpa}
We denote by $f_{+}$ and $f_{-}$ the non-negative and non-positive parts of function $f$, i.e. $f= f_{+}+f_{-}$, where $f_{+}=\max\{f,0 \}$. For $t\in (0,t_{1})$ we test the equality (\ref{ab}) by $z=\omegamm$ and we obtain
\[
(\omega_{,t}, \omegamm)+ \n{\bom \nabla \omega , \nabla \omegamm} = - \kappa_{2} (\omega^{2}, \omegamm),
\]
where we used the condition $\operatorname{div} v =0$. Using the equality $(\omegat)_{,t}= - \kappa_{2} (\omegat)^{2}$ we may write
\[
\jd \ddt \ndk{ \omegamm} - \kappa_{2} \n{ (\omegat)^{2}, \omegamm }+\n{ \bom \nabla \omegamm, \nabla \omegamm }
\]
\[
= - \kappa_{2} ( \omega^{2}, \omegamm)
\]
for $t\in (0, t_{1})$. After applying (\ref{dpa}) we get
\[
\jd \ddt \ndk{ \omegamm} \leq - \kappa_{2} \n{ (\omega - \omegat)(\omega+\omegat), \omegamm }
\]
\[
= - \kappa_{2} \n{ \omega+\omegat, \bk{ \omegamm} }.
\]
By Gr\"onwall inequality and (\ref{g}) we deduce that $\omegamm\equiv 0$ on for $t\in (0,t_{1})$ hence
\eqq{\frac{\omegai}{1+\kappa_{2} \omegai t} \leq \omega(x,t)}{omnatj}
for $(x,t)\in \overline{\Omega}\times [0,t_{1})$. Next, if we test the equation (\ref{ab}) by $z=\omegamp$, then proceeding similarly we deduce that
\eqq{\omega(x,t)\leq \frac{\omegaa}{1+\kappa_{2} \omegaa t} }{ommnatj}
for $(x,t)\in \overline{\Omega}\times [0,t_{1})$.
Now, for $t\in (0,t_{1})$ we test the equation (\ref{ac}) by $q=(b-\bmi)_{-}m$ and we obtain
\[
(b_{,t}, (b-\bmi)_{-}m) +\n{ \bom \nabla (b-\bmi)_{-}m, \nabla (b-\bmi)_{-}m }
\]
\[
=- (b\omega , (b-\bmi)_{-}m )+ \n{ \bom \bk{D(v)}, (b-\bmi)_{-}m},
\]
where we used the condition $\operatorname{div} v =0$. By applying (\ref{dpa}) we get
\[
(b_{,t}, (b-\bmi)_{-}m) \leq - (b\omega , (b-\bmi)_{-}m ),
\]
i.e.
\[
\jd \ddt \ndk{ (b-\bmi)_{-}m} - \frac{\omegaa }{(1+\kd \oma t ) }
\n{ b_{\min}^{t}, (b-\bmi)_{-}m } \leq -(b\omega, (b-\bmi)_{-}m).
\]
From (\ref{dpa}) and (\ref{ommnatj}) we get
\[
-(b\omega, (b-\bmi)_{-}m) \leq - \frac{\omegaa}{(1+\kd \oma t )}(b, (b-\bmi)_{-}m )
\]
for $t\in (0,t_{1})$ hence, we obtain
\[
\jd \ddt \ndk{ (b-\bmi)_{-}m}\leq -\frac{\omegaa}{(1+\kd \oma t )}(b-b_{\min}^{t}, (b-\bmi)_{-}m ) .
\]
The right-hand side in non-positive thus, we from (\ref{f}) have
\eqq{\frac{b_{\min}}{(1+\kd \oma t )^{\frac{1}{\kappa_{2}}}} \leq b(x,t) }{bmtj}
for $(x,t)\in \overline{\Omega}\times [0,t_{1})$.
Now, we define
\[
t_{1}^{*} = \sup\{\widetilde{t}\in (0,T): (\ref{newcog}), (\ref{newdog}) \m{ \hspace{0.2cm} hold for } (x,t)\in \Omega^{\widetilde{t}} \}.
\]
By the previous step we have $t_{1}^{*}\geq t_{1}>0$. If $t_{1}^{*}<T$, then by continuity of $\omega, b$ and (\ref{omnatj})-(\ref{bmtj}) there exists $t_{2}\in (t_{1}^{*}, T)$ such that
\[
\jd b_{\min}^{t} \leq b(x,t), \hspace{0.2cm} \hspace{0.2cm} \jd \omegat\leq \omega (x,t) \leq 2\omegamt \hspace{0.2cm} \m{ for } (x,t)\in \Omega^{t_{2}}.
\]
Then, we have $\frac{b(x,t)}{\omega(x,t)}\geq \frac{1}{4}\frac{b_{\min}^{t}}{\omegat}>0$ for $(x,t)\in \Omega\times [0,t_{2})$ and we may repeat the argument from the first part of the proof and as a consequence we get $t_{2} \le t_{1}^{*}$. This contradiction means that $t_{1}^{*}=T$ and the proof is finished.
\end{proof}
\begin{prop}
For any $T>0$, the problem (\ref{a})-(\ref{e}) has at most one solution in $\mathcal{X}(T)$.
\lambdabel{jed}
\end{prop}
\begin{proof}
Suppose that $(v^{1},\om^{1},b^{1} )$, $(v^{2}, \om^{2} , b^{2})\in \mathcal{X}(T)$ satisfy (\ref{a})-(\ref{e}) in $\OmegaT$. We denote $v=v^{1} - v^{2} $, $\omega = \om^{1} - \om^{2}$, $b= b^{1} - b^{2}$ and we test the equations for $v^{1}$ and $v^{2}$ by $v$. After subtracting the equations for $v^{i}$ we get
\[
(v_{,t}, v )- \n{ v^{1} \omegaega_{,t}imes v^{1} - v^{2} \omegaega_{,t}imes v^{2} , \nabla v }+ \n{ b^{1}oj D(v^{1}) - b^{2}od D(v^{2}), D(v) }=0.
\]
We note that
\[
\n{ b^{1}oj D(v^{1}) - b^{2}od D(v^{2}), D(v) }
\]
\[
= \n{b^{1}oj D(v), D(v) }+ \n{\boj, D(v^{2}), D(v) }-\n{ \frac{b^{2} \omega }{\om^{1} \om^{2} } D(v^{2}), D(v) },
\]
\[
\n{ v^{1} \omegaega_{,t}imes v^{1} - v^{2} \omegaega_{,t}imes v^{2} , \nabla v } = \n{v^{1} \omegaega_{,t}imes v, \nabla v } + \n{ v\omegaega_{,t}imes v^{2} , \nabla v }.
\]
By proposition~\ref{oszac_og} we have $b^{1}oj\geq \mu^{t}_{\min}$ thus, by H\"older inequality we get
\[
\jd \ddt \ndk{v}+ \mu^{t}_{\min} \ndk{ D(v)} \leq \nif{\joj}\nd{ b} \nif{ D(v^{2})} \nd{ D(v)}
\]
\[
+ \nif{ \jojod } \nif{ b^{2}} \nd{\omega} \nif{D(v^{2})} \nd{D(v)} + \nif{ v^{1}} \nd{v} \nd{ \nabla v } + \nd{v} \nif{ v^{2}} \nd{ \nabla v }.
\]
By proposition~\ref{oszac_og} functions $\om^{1}$ and $\om^{2}$ are estimated from below by $\omegat$ hence, if we apply Young inequality, Sobolev embedding theorem and $\nd{D(v)} = \frac{\sqrt{2}}{2} \nd{\nablala v}$, then we obtain
\[
\ddt \ndk{v}+ \mu^{t}_{\min} \ndk{ D(v)}
\]
\eqq{ \leq \frac{C}{\mu^{t}_{\min} } \n{ (\omegat)^{-2} \nsotk{v^{2}} \ndk{ b}+ (\omegat)^{-4} \nsodk{b^{2}}\nsotk{v^{2}} \ndk{\omega} + \n{\nsodk{v^{1}}+\nsodk{ v^{2}} }\ndk{v} }, }{jed_a}
where $C$ depends only on $\Omega$. Now, we test the equations for $\om^{1}$ and $\om^{2}$ by $\omega = \om^{1}- \om^{2}$ and as a result we obtain
\[
\jd \ddt \ndk{ \omega }+ \n{ b^{1}oj \nabla \omega, \nabla \omega } = \n{ \om^{1} v, \nabla \omega }+ \n{ \omega v^{2} , \nabla \omega }
\]
\[
-\n{ \boj \nabla \om^{2}, \nabla \omega } + \n{ \frac{b^{2} \omega}{\om^{1} \om^{2}} \nabla \om^{2}, \nabla \omega } - \kappa_{2} \n{ \omega (\om^{1}+ \om^{2}), \omega }.
\]
From H\"older inequality and (\ref{newcog}) we get
\[
\jd \ddt \ndk{ \omega} + \mu^{t}_{\min} \ndk{ \nabla \omega }
\]
\[
\leq \nif{ \om^{1} } \nd{ v} \nd{ \nabla \omega} + \nd{ \omega } \nif{v^{2}} \nd{ \nabla \omega} + \nif{\joj} \nd{ b} \nif{\nabla \om^{2}} \nd{ \nabla \omega}
\]
\[
+ \nif{ \jojod } \nif{ b^{2}} \nd{\omega} \nif{ \nabla \om^{2}} \nd{ \nabla \omega} + \kappa_{2} \nif{ \om^{1} + \om^{2} } \ndk{\omega}.
\]
By Young inequality and Sobolev embedding theorem we obtain
\[
\ddt \ndk{ \omega} + \mu^{t}_{\min} \ndk{ \nabla \omega } \leq \frac{C}{\mu^{t}_{\min}} \Big( \nsodk{ \om^{1}} \ndk{ v}
\]
\eqnsl{ + \n{ \nsodk{ v^{2} } + (\omegat)^{-4} \nsodk{b^{2}} \nsotk{ \om^{2}} + \mu^{t}_{\min}\nsodk{\om^{1}} + \mu^{t}_{\min}\nsod{\om^{2}} }\ndk{ \omega} \\ + (\omegat)^{-2} \nsotk{\om^{2}} \ndk{b} \Big),
}{jed_b}
where $C$ depends only on $\Omega$ and $\kappa_{2}$. Finally, we test the equations for $b^{1}$ and $b^{2}$ by $b= b^{1}- b^{2}$ and we get
\[
\jd \ddt \ndk{ b} + \n{ b^{1}oj \nabla b, \nabla b }= \n{b^{1} v, \nabla b }+ \n{ b v^{2} , \nabla b} -\n{ \boj \nabla b^{2}, \nabla b } + \n{ \frac{b^{2} \omega}{\om^{1} \om^{2}} \nabla b^{2}, \nabla b }
\]
\[
-\n{b^{1} \omega , \nabla b } - \n{ b \om^{2}, \nabla b } + \n{ b^{1}oj \bk{D(v^{1}) } -b^{2}od \bk{ D(v^{2})} , b }.
\]
We note that the last term on the right-hand side is equal to
\[
\n{ b^{1}oj D(v) D(v^{1} + v^{2}), b } + \n{ \boj \bk{ D(v^{2})} , b } - \n{ \frac{ b^{2} \omega }{\om^{1} \om^{2}} \bk{ D(v^{2})}, b }.
\]
From H\"older inequality and (\ref{newcog}), (\ref{newdog}) we get
\eqns{\jd \ddt \ndk{ b} + & \mu^{t}_{\min} \ndk{ \nabla b } \leq \nif{ b^{1}} \nd{ v} \nd{ \nabla b } + \nd{ b} \nif{ v^{2}} \nd{\nabla b } \\
& + \nif{ \joj} \nd{ b} \nif{\nabla b^{2}} \nd{ \nabla b} + \nif{\jojod} \nif{ b^{2} } \nd{ \omega} \nif{\nabla b^{2}} \nd{\nabla b } \\
& + \nif{ b^{1}} \nd{ \omega }\nd{ \nabla b } + \nd{b} \nif{ \om^{2}} \nd{\nabla b } \\
& + \nif{ \joj } \nif{ b^{1} } \nd{ D(v) } \nif{ D(v^{1} + v^{2})} \nd{b} \\
& + \nif{ \joj} \ndk{ b} \nifk{D(v^{2})} +\nif{ \jojod} \nif{b^{2}} \nd{\omega} \nifk{D(v^{2})} \nd{b}.
}
Applying Young inequality and Sobolev embedding theorem we obtain
\eqnsl{\ddt \ndk{ b} + \mu^{t}_{\min} \ndk{\nabla b } & \leq \frac{C}{\mu^{t}_{\min}} \Big\{ \nsodk{b^{1} }\ndk{v} \\
& + \Big[ \nsodk{v^{2}} + (\omegat)^{-2} \nsotk{b^{2}}+ \nsodk{ \om^{2}} \\
& +(\omegat)^{-2} (\mu^{t}_{\min} + \nsodk{ b^{1}})( \nsotk{ v^{1} }+ \nsotk{ v^{2}}) \\
& + \mu^{t}_{\min}(\omegat)^{-1} \nsotk{ v^{2}} \Big] \ndk{ b} \\
& +\Big[ (\omegat)^{-4}\nsodk{ b^{2}} \nsotk{ b^{2}} +\nsodk{b^{1}} \\
& + \mu^{t}_{\min}(\omegat)^{-2} \nsodk{b^{2}} \nsotk{ v^{2}} \Big] \ndk{ \omega} \Big\} + \mu^{t}_{\min} \ndk{ D(v)}.
}{jed_c}
If we sum the inequalities (\ref{jed_a})-(\ref{jed_c}), then we obtain
\[
\ddt \n{ \ndk{v}+ \ndk{\omega} + \ndk{ b} } \leq h(t) \n{ \ndk{v}+ \ndk{\omega} + \ndk{ b} },
\]
with $h\in L^{1}(0,T)$, because after applying the embedding $\mathcal{X}(T) \hookrightarrow L^{\infty}(0,T;H^{2}(\Omega)) $ we deduce that
$(v^{i}, \omega^{i}, b^{i})$ belong to $L^{\infty}(0,T;H^{2}(\Omega))\cap L^{2}(0,T;H^{3}(\Omega))$ (the embedding is just a consequence of one integration by parts in the term $\ddt \| \Delta u \|_{2}^{2}$). By the assumption, $v(0)=0$, $\omega(0)=0$, $b(0)=0$ thus, by Gr\"onwall inequality we get $v\equiv 0$, $\omega \equiv 0$ and $b\equiv 0$ on $\Omega^{T}$ and the proof is finished.
\end{proof}
Suppose that the assumptions of theorem~\ref{TW_GLOBAL} hold. Then, by theorem \ref{LOCALNE_TH} there exists regular, local in time solution to the system (\ref{a})-(\ref{e}), which belongs to $\mathcal{X}(T_{0})$ for some positive $T_{0}$. From Proposition~\ref{jed} it is unique solution in $\mathcal{X}(T_{0})$. We will show that provided the smallness condition imposed on initial data (formulated in (\ref{GLOB_ADD})), the solution exists on $[0,T)$. In particular, if (\ref{GLOB_ADD}) holds with $T=\infty$, then the solution is global, i.e. it belongs to $\mathcal{X}(\infty)$. Firstly, we denote
\eqq{
T^{*}=\sup\{t^{*}>0: \hspace{0.2cm} \m{ system (\ref{a})-(\ref{e}) has a solution } (v,\omega , b) \m{ \hspace{0.2cm} in } \mathcal{X}(t^{*}) \}.
}{defTgw}
We note that $T^{*}\geq T_{0}>0$. By Proposition~\ref{jed} there exists $(v,\omega, b)$ the unique solution of (\ref{a})-(\ref{e}) in $\mathcal{X}(T^{*})$, i.e. the following identities
\eqq{(v_{,t}, w) - (v\omegaega_{,t}imes v,\nablala w) + \n{ \frac{b}{\omega} D(v), D(w)} = 0 \hspace{0.2cm} \m{ for } \hspace{0.2cm} w\in \mathcal{V}kdj}{gbh}
\eqq{ (\omega_{,t}, z) - (\omega v, \nablala z ) + \n{ \frac{b}{\omega} \nablala \omega, \nablala z } = - \kappa_{2} (\omega^{2}, z ) \hspace{0.2cm} \m{ for } \hspace{0.2cm} z\in \mathcal{V}j, }{cbgh}
\eqq{(b_{,t}, q) - (b v, \nabla q ) +\n{ \frac{b}{\omega} \nablala b, \nablala q } = - (b \omega , q) + \left( \frac{b}{\omega} \bk{D(v)}, q\right) \hspace{0.2cm} \m{ for } \hspace{0.2cm} q\in \mathcal{V}j , }{ccgno}
hold for a.a. $t\in (0,T^{*})$, where $(\cdot,\cdot)$ denotes inner product in $L^{2}(\Omega)$. By Proposition~~\ref{oszac_og} functions $\omega$ and $b$ satisfy
\eqnsl{
b(t,x)\geq b_{\min}^{t}, \hspace{0.2cm} \hspace{0.2cm}
\omega(t,x) \geq \omegat, \hspace{0.2cm} \hspace{0.2cm}
\omega(t,x) \le \omegamt \hspace{0.2cm} \hspace{0.2cm} \m{for } \hspace{0.2cm} (x,t)\in \Omega^{T^{*}}.
}{inf-EST-b-omega}
We shall show that if the condition (\ref{GLOB_ADD}) holds for some $T$, then $T^{*}\geq T$. As it will be explained in the proof of Corollary~\ref{coro_glob}, the condition (\ref{GLOB_ADD}) holds, provided the initial data are sufficiently small.
To prove the result we suppose that $T^{*}<T$ and we shall show that it leads to a contradiction. The idea of the proof is as follows: we shall show that under smallness assumption $(\ref{GLOB_ADD})$ we are able to obtain an estimate for solution in $H^{2}(\Omega)$ norm, which is uniform with respect to $t\in [0,T^{*})$. Next, by applying Theorem~\ref{LOCALNE_TH} and Proposition~\ref{oszac_og} we will be able to extend the solution beyond $T^{*}$ and this is a contradiction with the definition of $T^{*}$. Therefore, the key step in the proof is to get the estimates in $H^{2}$ norm for solution $(v,\omega,b)$. First we deal with the lower order terms.
\subsection{The lower order estimates}
In this subsection we estimate the $L^2$-norm of $v$ and next, the $L^{1}$-norm of $b$. The proof of the main theorem depends heavily on the decay estimates of these quantities. In the proposition below we consider all values of $\kappa_{2}\in (0,\infty)$ to illustrate the influence of $\kappa_{2}$ for the available decay estimates. From this we will see that $\kappa_{2}=\jd$ seems to be critical value.
\begin{prop} \lambdabel{propEstimates}
For each $t\in [0,T^{*})$ the following estimates holds
\begin{enumerate}[a)]
\item
\eqnsl{
\nd{ v(t) } \le \nd{ v_0 } \exp \n{ - \frac{1}{C^{2}_{p}}\frac{b_{\min} }{ \omegaa^{2} \n{2 \kappa_{2} - 1 }} \n{\n{1 + \kappa_{2} \omegaa t }^{2 - \frac{1}{\kappa_{2}}}-1} } \\
\text{for } \kappa_{2} \in \n{0,\jd} \cup \n{\jd, \infty} ,
}{noa}
and
\eqnsl{\nd{ v(t)} \leq \nd{ v_0 }(1+\kappa_{2} \omegaa t )^{-\frac{b_{\min}}{C_{p}^2\omegaa^2 \kappa_{2}} } \hspace{0.2cm} \m{ for } \hspace{0.2cm} \kappa_{2} =\frac{1}{2},}{estivk2jd}
\item
\eqq{
\nd{\omega(t)} \leq \nd{\omega_{0}} \hspace{0.2cm}
\text{for } \kappa_{2} \in \n{0,\infty},
}{ldomega}
\item
\eqnsl{
\nj{ b(t)}& + \jd \ndk{v(t)} \\
& \le \frac{\nj{ b_0 } + \jd \ndk{ v_0 }\n{1+I_\infty\n{\kappa_{2}, \frac{\omegai}{\omegaa}, \frac{b_{\min}}{\n{\omegaa}^2}}}}{ \n{1 + \kappa_{2} \omegai t}^{\frac{1}{\kappa_{2}}}}
\hspace{0.2cm}
\text{for } \kappa_{2} \in \n{\jd, \infty},
}{b-l1-est}
\item
\eqnsl{
\frac{\nj{ b_0 } + \jd \ndk{ v_0 }}{ \n{1 + \kappa_{2} \omegaa t}^{\frac{1}{\kappa_{2}}}} \leq \nj{ b(t) } + \jd \ndk{v(t)}
\hspace{0.2cm}
\text{for } \kappa_{2} \in \n{0, \infty},
}{kinEnergyEstFromBelow}
\item
\eqnsl{
\nj{b} + \ndk{ v(t)}
\le \frac{\nj{b_0} + \ndk{ v_0}}{\n{1 + \kappa_{2} \omegai t}^{\frac{1}{\kappa_{2}} \min \left\{1,\frac{C_p^2 \omegaa^2}{b_{\min}} \right\}}}
\text{\hspace{0.2cm} for } \kappa_{2} \in \n{\jd, \infty},
}{b-l1-est2}
\item
\eqnsl{
\nj{b} + \jd \ndk{ v(t)}
\le \nj{b_0} + \jd \ndk{ v_0}
\text{ \hspace{0.2cm} for } \kappa_{2} \in \n{0, \infty},
}{b-l1-est3}
\end{enumerate}
where $I_\infty $ was defined in (\ref{IinfDef}), hold.
\end{prop}
\begin{proof}[Proof of Proposition \ref{propEstimates}]
{\bf a)}
We test the equation (\ref{gbh}) by $v$ and we get
\eqnsl{
\jd \ddt \ndk{ v } + \n{\frac{b}{\omegaega} D(v), D(v)}=0 \hspace{0.2cm} \m{ for }\hspace{0.2cm} t\in (0,T^{*}),
}{temp-v-vmean-lower-eq}
where we applied the condition $\operatorname{div}{v}=0$. Using the notation (\ref{mnitDef}) and the estimate (\ref{inf-EST-b-omega}) we obtain
\eqns{
\jd \ddt \ndk{ v } + \mu^{t}_{\min} \ndk{D(v)} \le 0 \hspace{0.2cm} \m{ for }\hspace{0.2cm} t\in (0,T^{*}).
}
The mean value of components of $v$ are zero thus, from the Poincar\'e inequality and the fact that $\nd{D(v)} = \frac{\sqrt{2}}{2} \nd{\nablala v}$ we get
\[
\jd \ddt \ndk{ v } + \mu^{t}_{\min} \frac{1}{C^{2}_{p}} \ndk{v } \le 0 \hspace{0.2cm} \m{ for }\hspace{0.2cm} t\in (0,T^{*}) .
\]
By applying (\ref{mnitDef}) we may write explicitly
\eqnsl{
\ddt \ndk{ v(t) } + \frac{2}{C^{2}_{p}} \frac{b_{\min}}{ \omegaa} \n{1 + \kappa_{2} \omegaa t }^{1 - \frac{1}{\kappa_{2}}}\ndk{ v(t)}\leq 0 \hspace{0.2cm} \m{ for }\hspace{0.2cm} t\in (0,T^{*}) .
}{v-l2-norm-ineq}
Multiplying by appropriate exponential function, after integration we obtain (\ref{noa}) and (\ref{estivk2jd}).
{\bf b)} If we test the equation (\ref{cbgh}) by $z=\omega$, then after integration by parts and using (\ref{inf-EST-b-omega}) we get
\[
\jd \ddt \ndk{ \omega(t)} \leq 0 \hspace{0.2cm} \m{ for } t\in (0,T^{*})
\]
thus, we have (\ref{ldomega}).
{\bf c)}
We now proceed to estimate for $b$. We can not obtain any pointwise estimate from above for $b$. However, we are able to estimate the $L^1$-norm of $b$. Indeed, we test the equation (\ref{ccgno}) by $q\equiv 1$ and we get
\eqns{
\n{ b_{,t}, 1 } = - \n{ b \omega, 1 }
+ \n{\frac{b}{\omegaega} |D(v)|^{2}, 1 }
}
The positivity of $b$ follows from (\ref{f}), (\ref{bMinMaxt}) and (\ref{inf-EST-b-omega}) so, we get
\[
\ddt \nj{ b } = - \n{ b \omega, 1 }
+ \n{\frac{b}{\omegaega} |D(v)|^{2}, 1 }.
\]
We note that the term $\n{\frac{b}{\omegaega} |D(v)|^{2}, 1 } $ is equal to $\n{\frac{b}{\omegaega} D(v), D(v)}$ thus, we can use the equation (\ref{temp-v-vmean-lower-eq}) and we obtain
\eqnsl{
\ddt \nj{ b } = - \n{ b \omega, 1 }
- \jd \ddt \ndk{v}.
}{b-l1-norm-eq}
From (\ref{omMinMaxt}) and (\ref{inf-EST-b-omega}) we may estimate $\omegaega$ from below and we obtain
\eqnsl{
\ddt \nj{ b } \le - \omegaitt \nj{ b} - \jd \ddt \ndk{ v }.
}{b-l1-norm-ineq}
By multiplying both sides by $e^{\int_0^t \omegaittau d \tau}$ we get
\eqns{
\ddt \n{ \nj{ b } e^{\int_0^t \omegaittau d \tau} }
\le
- \jd \ddt \ndk{ v } e^{\int_0^t \omegaittau d \tau}.
}
After integrating from $0$ to $t$ we get
\eqns{
\nj{ b } e^{\int_0^t \omegaittau d \tau}
\le
\nj{ b_0 } - \jd \int_0^t \frac{d}{d \tau} \ndk{ v(\tau) } e^{\int_0^\tau \omegaits ds} d\tau.
}
After integrating by parts we get
\eqns{
\nj{ b } e^{\int_0^t \omegaittau d \tau}
& \le
\nj{ b_0 } - \left[\jd \ndk{ v(\tau) } e^{\int_0^\tau \omegaits ds} \right]_{\tau = 0}^{\tau = t} \\
& + \jd \int_0^t \ndk{ v(\tau) } e^{\int_0^\tau \omegaits ds} \omegaittau d\tau.
}
Thus we get
\eqns{
\nj{ b } + \jd \ndk{v}
& \le
\n{ \nj{ b_0 } + \jd \ndk{ v_0 } } e^{-\int_0^t \omegaittau d \tau} \\
& + \jd e^{-\int_0^t \omegaittau d \tau} \int_0^t \ndk{ v(\tau) } e^{\int_0^\tau \omegaits ds} \omegaittau d\tau.
}
We note that
\eqns{
\int_0^t \omegaittau d \tau = \ln \n{1 + \kappa_{2} \omegai t}^{\frac{1}{\kappa_{2}}}
}
thus, we obtain
\eqns{
\nj{ b } + \jd \ndk{v}
& \le
\frac{ \nj{ b_0 } + \jd \ndk{ v_0 } }{\n{1 + \kappa_{2} \omegai t}^{\frac{1}{\kappa_{2}}}} \\
& + \jd \frac{1}{\n{1 + \kappa_{2} \omegai t}^{\frac{1}{\kappa_{2}}}} \int_0^t \ndk{ v(\tau) } \frac{\omegai}{\n{1 + \kappa_{2} \omegai \tau}^{1 - \frac{1}{\kappa_{2}}}} d\tau.
}
After using (\ref{noa}) we get
\eqns{
\nj{ b } + \jd \ndk{v}
& \le
\frac{ \nj{ b_0 } + \jd \ndk{ v_0 } }{\n{1 + \kappa_{2} \omegai t}^{\frac{1}{\kappa_{2}}}}
+ \frac{\jd \ndk{v_0} }{\n{1 + \kappa_{2} \omegai t}^{\frac{1}{\kappa_{2}}}} I_t(\kappa_{2}, \omegai, \omegaa, b_{\min}),
}
where
\eqnsl{
I_t(\kappa_{2} , &\omegai, \omegaa, b_{\min}) \\
& = \int_0^t
\exp \n{- \frac{2b_{\min} \n{\n{1 + \kappa_{2} \omegaa \tau }^{2 - \frac{1}{\kappa_{2}}}-1} }{C^{2}_{p} \omegaa^{2} \n{2 \kappa_{2} - 1 }} }
\frac{\omegai}{\n{1 + \kappa_{2} \omegai \tau}^{1 - \frac{1}{\kappa_{2}}}}
d \tau.
}{ItEst:1}
Now, we shall obtain an estimate of $I_t$. Depending on the value of $\kappa_{2}$, we obtain different types of the estimates. Firstly, we focus on the case $\kappa_{2} \geq 1$. From (\ref{newcog}) we have
\eqns{
\frac{\omegai}{\n{1 + \kappa_{2} \omegai \tau}^{1 - \frac{1}{\kappa_{2}}}}
& =
\frac{\n{\omegai}^{\frac{1}{\kappa_{2}}} \n{\omegai}^{1 - \frac{1}{\kappa_{2}}}}{\n{1 + \kappa_{2} \omegai \tau}^{1 - \frac{1}{\kappa_{2}}}}
\le
\frac{\n{\omegai}^{\frac{1}{\kappa_{2}}} \n{\omegaa}^{1 - \frac{1}{\kappa_{2}}}}{\n{1 + \kappa_{2} \omegaa \tau}^{1 - \frac{1}{\kappa_{2}}}}
}
and thus
\eqnsl{
& I_t(\kappa_{2} , \omegai, \omegaa, b_{\min}) \\
& \le \omegaa \n{\frac{\omegai}{\omegaa}}^{\frac{1}{\kappa_{2}}} \int_0^t
\exp \n{- \frac{2b_{\min} \n{\n{1 + \kappa_{2} \omegaa \tau }^{2 - \frac{1}{\kappa_{2}}}-1} }{C^{2}_{p} \omegaa^{2} \n{2 \kappa_{2} - 1 }} }
\frac{d \tau}{\n{1 + \kappa_{2} \omegaa \tau}^{1 - \frac{1}{\kappa_{2}}}}
.
}{ItEst1}
Now, we can change variables $s = 1 + \kappa_{2} \omegaa t$ and we have
\eqns{
& I_t(\kappa_{2} , \omegai, \omegaa, b_{\min}) \\
& \le
\frac{1}{\kappa_{2}}\n{\frac{\omegai}{\omegaa}}^{\frac{1}{\kappa_{2}}}
\exp \n{\frac{2b_{\min}}{C^{2}_{p} \omegaa^{2} \n{2 \kappa_{2} - 1 }} }
\int_1^\infty
\exp \n{- \frac{2b_{\min} s^{2 - \frac{1}{\kappa_{2}}} }{C^{2}_{p} \omegaa^{2} \n{2 \kappa_{2} - 1 }} }
s^{\frac{1}{\kappa_{2}}-1}
ds.
}
Next, the change of variables $y=\frac{2b_{\min} s^{2 - \frac{1}{\kappa_{2}}} }{C^{2}_{p} \omegaa^{2} \n{2 \kappa_{2} - 1 }} $ leads to the estimate
\eqns{
& I_t(\kappa_{2} , \omegai, \omegaa, b_{\min}) \\
& \le
\n{\frac{\omegai}{\omegaa}}^{\frac{1}{\kappa_{2}}}
\exp \n{\frac{2b_{\min}}{C^{2}_{p} \omegaa^{2} \n{2 \kappa_{2} - 1 }} }
\n{\frac{C_p^2 (\omegaa)^2 (2\kappa_{2}-1)}{2b_{\min}}}^{\frac{2\kappa_{2}}{2\kappa_{2} -1}}
\Gamma\left(\frac{1}{2\kappa_{2}-1}\right).
}
Thus, in the case of $\kappa_{2} \geq 1$ we obtain
\eqns{
& \nj{ b } + \jd \ndk{v}
\\
& \le
\frac{ \nj{ b_0 } + \jd \ndk{ v_0 }
\n{
1 +
\Gamma\n{\frac{2\kappa_{2}}{2\kappa_{2} - 1}}
\n{\frac{\omegai}{\omegaa}}^{\frac{1}{\kappa_{2}}}
\n{\frac{C_p^2 (\omegaa)^2(2\kappa_{2} -1)}{2b_{\min}}
\exp \n{\frac{2b_{\min}}{C^{2}_{p} \omegaa^{2}} }
}^{\frac{1}{2\kappa_{2} -1}}
}
}{\n{1 + \kappa_{2} \omegai t}^{\frac{1}{\kappa_{2}}}}
}
hence, (\ref{b-l1-est}) holds for $\kappa_{2} \geq 1$. Now, if we assume that
$\kappa_{2} \in \n{\jd,1}$, then we have
\eqns{
\frac{1}{\n{1 + \kappa_{2} \omegai \tau}^{1 - \frac{1}{\kappa_{2}}}}
\le
\frac{1}{\n{1 + \kappa_{2} \omegaa \tau}^{1 - \frac{1}{\kappa_{2}}}}
}
and from (\ref{ItEst:1}) we obtain
\eqnsl{
I_t(\kappa_{2} , &\omegai, \omegaa, b_{\min})
\\ & \le
\omegai \int_0^t
\exp \n{- \frac{2b_{\min} \n{\n{1 + \kappa_{2} \omegaa \tau }^{2 - \frac{1}{\kappa_{2}}}-1} }{C^{2}_{p} \omegaa^{2} \n{2 \kappa_{2} - 1 }} }
\frac{d \tau}{\n{1 + \kappa_{2} \omegaa \tau}^{1 - \frac{1}{\kappa_{2}}}}.
}{ItEst2}
Proceeding as earlier we obtain
\eqns{
& \nj{ b } + \jd \ndk{v} \\
& \le
\frac{ \nj{ b_0 } + \jd \ndk{ v_0 }
\n{
1 +
\Gamma\n{\frac{2\kappa_{2}}{2\kappa_{2} - 1}}
\frac{\omegai}{\omegaa}
\n{\frac{C_p^2 (\omegaa)^2(2\kappa_{2}-1)}{2b_{\min}}
\exp \n{\frac{2b_{\min}}{C^{2}_{p} \omegaa^{2}} }
}^{\frac{1}{2\kappa_{2} -1}}
}
}{\n{1 + \kappa_{2} \omegai t}^{\frac{1}{\kappa_{2}}}},
}
hence, (\ref{b-l1-est}) also holds for $\kappa_{2} \in \n{\jd , 1}$.
{\bf d) } Now, we shall obtain (\ref{kinEnergyEstFromBelow}) - the estimate from below. Firstly, we note that from (\ref{newcog}) and (\ref{b-l1-norm-eq}) we have
\eqns{
\ddt \n{\nj{ b} + \jd \ndk{ v }} \geq - \omegaat \nj{ b}
}
hence, we get
\eqns{
\ddt \ln \n{\nj{ b} + \jd \ndk{ v }} \geq - \omegaat.
}
After integration both sides from $0$ to $t$ we obtain
\eqns{
\ln \n{ \frac{\nj{ b} + \jd \ndk{ v }}{\nj{ b_0 } + \jd \ndk{ v_0 }}}
\geq
-\frac{1}{\kappa_{2}} \ln \n{1 + \kappa_{2} \omegaa t}
}
so, the inequality (\ref{kinEnergyEstFromBelow}) is proved.
{\bf e) } Now, we shall prove (\ref{b-l1-est2}). From (\ref{v-l2-norm-ineq}) and (\ref{b-l1-norm-ineq}) we have
\eqnsl{
\ddt \n{ \nj{b} + \ndk{ v } }
+ \omegaitt \nj{b}
+ \frac{1}{C^{2}_{p}} \frac{b_{\min}}{ \omegaa} \n{1 + \kappa_{2} \omegaa t }^{1 - \frac{1}{\kappa_{2}}}\ndk{ v}
\leq 0.}{tmp::1}
We shall show that for $C_0 = \frac{C_p^2 \omegaa^2}{b_{\min}}$ and $t\geq 0$ there holds
\eqnsl{
\omegaitt \le
\frac{C_0}{C^{2}_{p}} \frac{b_{\min}}{ \omegaa} \n{1 + \kappa_{2} \omegaa t }^{1 - \frac{1}{\kappa_{2}}}.
}{C0InEq0}
Indeed, it is equivalent to
\eqnsl{
1 \le
\frac{C_0}{C^{2}_{p}} \frac{b_{\min}}{\omegai \omegaa} \n{1 + \kappa_{2} \omegai t } \n{1 + \kappa_{2} \omegaa t }^{1 - \frac{1}{\kappa_{2}}}
}{C0InEq}
and for $\kappa_{2} \geq 1$ the right-hand side is increasing function of $t$, so it is enough to check (\ref{C0InEq}) for $t=0$, which is obviously true. If $\kappa_{2} \in \n{\jd,1}$, then $\frac{1}{\kappa_{2}}-1$ and $2-\frac{1}{\kappa_{2}}$ are positive and the function $\frac{1 + \kappa_{2} \omegai t}{1 + \kappa_{2} \omegaa t }$ is monotonically decreasing, where $\lim\limits_{t \rightarrow \infty} \frac{1 + \kappa_{2} \omegai t}{1 + \kappa_{2} \omegaa t } = \frac{\omegai}{\omegaa}$ thus, we have
\eqns{
\frac{C_0}{C^{2}_{p}}
\frac{b_{\min}}{\omegai \omegaa} &
\n{1 + \kappa_{2} \omegai t }^{2 - \frac{1}{\kappa_{2}}} \n{\frac{1 + \kappa_{2} \omegai t}{1 + \kappa_{2} \omegaa t }}^{\frac{1}{\kappa_{2}} - 1} \\
& \geq \frac{C_0}{C^{2}_{p}}
\frac{b_{\min}}{\omegai \omegaa} \n{ \frac{\omegai}{\omegaa}}^{\frac{1}{\kappa_{2}}-1} \geq \frac{C_0}{C^{2}_{p}}\frac{b_{\min}}{\omegai \omegaa} \frac{\omegai}{\omegaa}=1,
}
where in the last inequality we applied $\frac{1}{\kappa_{2}}-1< 1$. Hence, (\ref{C0InEq0}) is proved for $\kappa_{2}>\frac{1}{2}$.
Next, applying (\ref{C0InEq0}) in (\ref{tmp::1}) we deduce that
\eqns{
\ddt \n{ \nj{b} + \ndk{ v } }
+ \min \left\{1,\frac{1}{C_0} \right\} \omegaitt \n{ \nj{b} + \ndk{ v} }
\leq 0.
}
After integration from $0$ to $t$ we get
\eqns{
\ln \n{\frac{ \nj{b} + \ndk{ v } }{ \nj{b_0} + \ndk{ v_0 }}}
\le
- \frac{1}{\kappa_{2}} \min \left\{1,\frac{1}{C_0} \right\} \ln \n{1+\kappa_{2} \omegai t},
}
which gives (\ref{b-l1-est2}).
{\bf f) } The estimate (\ref{b-l1-est3}) is a direct consequence of (\ref{b-l1-norm-ineq}).
\end{proof}
\subsection{Higher order estimates}
In this section we will obtain estimates for $\nd{\Delta v(t)}$, $\nd{\Delta \omega(t)}$ and $\nd{\Delta b(t)}$. Having these estimates and results of the previous section we will be able to control the $H^{2}$ norm. From (\ref{gbh})-(\ref{ccgno}) we get
\eqq{(v_{,t}, \Deltak w) - (v\omegaega_{,t}imes v,\nablala \Deltak w) + \n{ \frac{b}{\omega} D(v), D(\Deltak w)} = 0,}{gbha}
\eqq{ (\omega_{,t}, \Deltak z) - (\omega v, \nablala \Deltak z ) + \n{ \frac{b}{\omega} \nablala \omega, \nablala \Deltak z } = - \kappa_{2} (\omega^{2}, \Deltak z ), }{cbgha}
\eqq{(b_{,t}, \Deltak q) - (b v, \nabla \Deltak q ) +\n{ \frac{b}{\omega} \nablala b, \nablala \Deltak q } = - (b \omega , \Deltak q) + \left( \frac{b}{\omega} \bk{D(v)}, \Deltak q\right) , }{ccgnoa}
for a.a. $t\in (0, T^{*})$, where the test functions are such that $\Deltak w \in \mathcal{V}kdj$, $\Deltak z \in \mathcal{V}j$ and $ \Deltak q \in \mathcal{V}j$. If we integrate by parts and use the condition $\operatorname{div} v =0$, then we obtain
\eqq{\lambdangle \Delta v_{,t}, \Delta w\rangle - (\Delta \n{ v\omegaega_{,t}imes v},\nablala \Delta w) + \n{ \Delta \n{ \frac{b}{\omega} D(v)}, D(\Delta w)} = 0,}{gbhb}
\eqnsl{ \lambdangle\Delta \omega_{,t}, \Delta z\rangle - (v \nablak \omega , \nablala \Delta z )- (\nabla \omega \nabla v ,\nabla \Delta z) + & \n{ \Delta \n{\frac{b}{\omega} \nablala \omega}, \nablala \Delta z } \\ & = - \kappa_{2} (\Delta \n{\omega^{2}}, \Delta z ), }{cbghb}
\eqnsl{ \lambdangle \Delta b_{,t}, \Delta q\rangle - (v \nablak b, \nabla \Delta q & )- (\nabla b \nabla \omega , \nabla \Delta q) +\n{ \Delta \n{ \frac{b}{\omega} \nablala b}, \nablala \Delta q } \\
& = - (\Delta \n{b \omega} , \Delta q) - \left( \nabla \n{\frac{b}{\omega} \bk{D(v)}}, \Delta \nabla q\right) , }{ccgnob}
for a.a. $t\in (0, T^{*})$, where $\lambdangle \cdot , \cdot \rangle $ denotes duality pairing between $\mathcal{V}^{1}(\Omega)$ and $(\mathcal{V}^{1})^{*}$. The density argument and regularity of $(v, \omega, b)$ allow us to test the system (\ref{gbhb})-(\ref{ccgnob}) by solution thus, we obtain
\eqq{\jd \ddt \ndk{ \Delta v} - (\Delta \n{ v\omegaega_{,t}imes v},\nablala \Delta v) + \n{ \Delta \n{ \frac{b}{\omega} D(v)}, D(\Delta v)} = 0, }{gbhc}
\eqnsl{
\jd \ddt \ndk{\Delta \omega} - (v & \nablak \omega, \nabla \Delta \omega ) - (\nabla \omega \nabla v , \nabla \Delta \omega) \\
& + \n{ \Delta \n{\frac{b}{\omega} \nablala \omega}, \nablala \Delta \omega } = - \kappa_{2} (\Delta \n{\omega^{2}}, \Delta \omega ), }{cbghc}
\eqnsl{
\jd \ddt \ndk{ \Delta b} - (v \nablak b, & \nabla \Delta b )- (\nabla b \nabla \omega , \nabla \Delta b) +\n{ \Delta \n{ \frac{b}{\omega} \nablala b}, \nablala \Delta b } \\
& = - (\Delta \n{b \omega} , \Delta b) - \left( \nabla \n{\frac{b}{\omega} \bk{D(v)}}, \nabla \Delta b\right) }{ccgnoc}
for a.a. $t\in (0, T^{*})$. In the above equations some terms are similar and can be treated in the same way. To simplify further calculations let us analyse these terms first. One of them has the following form
\[
\n{ \Delta \n{\frac{b}{\omega} \nablala f}, \nablala \Delta f }.
\]
In this case we may write
\eqnsl{
& \n{ \Delta \n{\frac{b}{\omega} \nabla f}, \nabla \Delta f } =\n{ \frac{b}{\omega} \nablala \Delta f, \nablala \Delta f } + 2 \n{ \nablak f \cdot \nabla \n{\frac{b}{\omega}} , \nablala \Delta f } \\
+ &
\n{ \Delta \n{\frac{b}{\omega}} \nabla f, \nablala \Delta f }= \n{ \frac{b}{\omega} \nablala \Delta f, \nablala \Delta f } + 2 \n{\frac{1}{\omega} \nablak f \cdot \nabla b , \nablala \Delta f } \\
-& 2 \n{ \frac{b}{\omega^2} \nablak f \cdot \nabla \omega , \nablala \Delta f } +\n{ \frac{\Delta b}{\omega} \nabla f, \nablala \Delta f }
- 2 \n{ \frac{(\nabla b\cdot \nabla \omega )}{\omega^2} \nabla f, \nablala \Delta f } \\
- & \n{ \frac{b}{\omega^2} \Delta \omega \nabla f, \nablala \Delta f }+ 2\n{ \frac{b}{\omega^3} \bk{\nabla \omega} \nabla f, \nablala \Delta f }.
}{pom1}
On the right-hand side we can control the sign only of the first term hence, to simplify the future calculations we define $W(f)$ using the last six expressions, i.e.
\eqq{
\n{ \Delta \n{\frac{b}{\omega} \nabla f}, \nabla \Delta f } =
\n{ \frac{b}{\omega} \nablala \Delta f, \nablala \Delta f }+ W(f).
}{diffTm-lapk}
Similarly we define $\wt{W}(v)$
\eqq{
\n{ \Delta \n{\frac{b}{\omega} D(v) }, D( \Delta v) } =
\n{ \frac{b}{\omega} D(\Delta v) , D (\Delta v) }+ \wt{W}(v).
}{diffTm-lapkv}
Using this notation the system (\ref{gbhc})-(\ref{ccgnoc}) may be written in the following way
\eqnsl{
\jd \ddt \ndk{\Delta v} + \n{ \frac{b}{\omega} D(\Delta v), D(\Delta v)} = (\Delta \n{v \omegaega_{,t}imes v},\nabla \Delta v) - \wt{W}(v)}{v-lapkTesteda}
\eqnsl{
\jd \ddt \ndk{\Delta \omega} + \n{ \frac{b}{\omega} \nablala \Delta \omega, \nablala \Delta \omega } = - \kappa_{2} (\Delta (\omega^{2}), \Delta \omega ) + (v \nablak \omega , \nablala \Delta \omega ) \\ +(\nabla \omega \nabla v, \nablala \Delta \omega) - W(\omega), }{om-lapkTesteda}
\eqnsl{
\jd \ddt \ndk{\Delta b} + \n{ \frac{b}{\omega} \nablala \Delta b, \nablala \Delta b } = (v\nablak b, \nablala \Delta b )+ (\nabla b \nabla v , \nablala \Delta b)
\\ -(\Delta \n{b \omega}, \Delta b) - \left(\nabla \n{ \frac{b}{\omega} \bk{D(v)}}, \nabla \Delta b\right) - W(b).
}{b-lapkTesteda}
We recall that by applying (\ref{mnitDef}) and (\ref{inf-EST-b-omega}) we get the bound from below
\eqq{
\mu^{t}_{\min} \leq \frac{b}{\omega}
}{below}
thus, from (\ref{v-lapkTesteda}) we obtain
\eqnsl{
\jd \ddt \ndk{\Delta v} + \mu^{t}_{\min} \ndk{D( \Delta v)} & \le 2 ( \Delta v \omegaega_{,t}imes v , \nablala \Delta v ) + 2( \nabla v \omegaega_{,t}imes \nabla v , \nablala \Delta v ) - \wt{W}(v) .
}{v-lapk-tested-2}
To estimate the right-hand side we use the H\"older inequality and we get
\[
2( \Delta v \omegaega_{,t}imes v , \nablala \Delta v ) + 2( \nabla v \omegaega_{,t}imes \nabla v , \nablala \Delta v ) \leq 2\nt{v} \ns{ \Delta v } \nd{ \nablala \Delta v }
+ \nck{ \nabla v } \nd{ \nablala \Delta v }.
\]
Then, after applying Sobolev inequalities and Gagliardo-Nierenberg inequality (\ref{gag50}) we get
\[
2( \Delta v \omegaega_{,t}imes v , \nablala \Delta v ) + 2( \nabla v \omegaega_{,t}imes \nabla v , \nablala \Delta v ) \leq C( \nt{ v} +\nd{ \nabla v })\ndk{ \nablat v},
\]
where $C$ depends only on $\Omega$. If we use the interpolating inequality
\[
\nt{ v} \leq C \nd{v}^{\jd} \nd{ \nabla v }^{\jd},
\]
then we obtain
\eqq{
\jd \ddt \ndk{\Delta v } + \mu^{t}_{\min} \ndk{ D(\Delta v) } \leq C
\n{\nd{ v }^{\frac{1}{2}} \nd{ \nabla v }^{\frac{1}{2}} + \nd{ \nabla v } }
\ndk{ \nablat v} - \wt{W}(v).
}{est_v_lap_GLOB}
Now we focus our attention on the equation (\ref{om-lapkTesteda}). After applying (\ref{below}) we get
\eqn{
\jd \ddt \ndk{\Delta \omega} + \mu^{t}_{\min} \ndk{\nabla \Delta \omega} \le (v\nablak \omega, \nablala \Delta \omega)+ & (\nabla \omega \nabla v, \nablala \Delta \omega)\\
& -2 \kappa_{2} (\bk{\nabla \omega}, \Delta \omega )
- W(\omega), }
where we used the nonnegativity of $ 2\kappa_{2} \n{ \omega \Delta \omega , \Delta \omega }$. By H\"older inequality we have
\eqn{
\jd \ddt \ndk{ \Delta \omega} + \mu^{t}_{\min} \ndk{ \nablala \Delta \omega} \le \nt{v} \ns{\nablak \omega}& \nd{\nablala \Delta \omega} +
2\nc{\nabla \omega} \nc{ \nabla v} \nd{\nablala \Delta \omega}
\\
&
+2 \kappa_{2} \noindentrm{\nabla \omega}_{\frac{6}{5}} \nif{\nabla \omega} \ns{\Delta \omega}
- W(\omega).
}
After applying the estimate (\ref{gag_inf_lap}) to the term $\nif{\nabla \omega}$ and (\ref{est-zero-3}) to term $ \nt{v}$ we obtain
\eqn{
\jd \ddt \ndk{ \Delta \omega} + \mu^{t}_{\min} \ndk{ \nablala \Delta \omega} \le
C \Big(
\nd{v}^{\jd} \nd{\nabla v}^{\jd}
& + \kappa_{2} \noindentrm{\nabla \omega}_{\frac{6}{5}}
\Big) \ndk{\nablat \omega} & \\ &
+ 2\nc{\nabla \omega} \nc{ \nabla v} \nd{\nablala \Delta \omega} - W(\omega) .
}
If we use the inequality (\ref{est-nab-4-kw}) then we get
\eqn{
\jd \ddt \ndk{ \Delta \omega} + \mu^{t}_{\min} \ndk{ \nablala \Delta \omega} & \le C \Big(
\nd{v}^{\jd}\nd{\nabla v}^{\jd}
+ \kappa_{2} \noindentrm{\nabla \omega}_{\frac{6}{5}} \Big) \ndk{\nablat \omega} \\
& + C\noindentrm{\nabla \omega}_{\td}^{\jd} \noindentrm{\nabla v}_{\td}^{\jd} \nd{\nablat \omega}^{\frac{3}{2}} \nd{\nablat v}^{\frac{1}{2}} - W(\omega) ,
}
where $C$ depends only on $\Omega$. So finally, after applying the Young inequality with exponents ($\frac{4}{3}$, 4) we obtain
\[
\jd \ddt \ndk{ \Delta \omega} + \mu^{t}_{\min} \ndk{ \nablala \Delta \omega}
\]
\eqnsl{
\le C \Big(
\nd{v}^{\jd}\nd{\nabla v}^{\jd}
+ \kappa_{2} \noindentrm{\nabla \omega}_{\frac{6}{5}}
+ \noindentrm{\nabla \omega}_{\td}^{\jd} \noindentrm{\nabla v}_{\td}^{\jd}
\Big) \n{ \ndk{\nablat \omega} + \ndk{\nablat v} } - W(\omega).
}{est_om_lap_GLOB}
Now, let us turn our attention to equation (\ref{b-lapkTesteda}). We integrate by parts
\eqn{
- (\Delta \n{b \omega}, \Delta b )
& =
- ( \omega \Delta b, \Delta b )
- 2(\nabla \omega \nabla b, \Delta b )
- ( b \Delta \omega, \Delta b ),
}
\eqn{
\n{ \nabla \n{\frac{b}{\omega} |D(v)|^2}, \nablala \Delta b} & \\
=
\n{\frac{\nabla b}{\omega} |D(v)|^2 , \nablala \Delta b }
-\n{\frac{b\nabla \omega }{\omega^2} |D(v)|^2 , \nablala \Delta b } &
+ 2 \n{\frac{b}{\omega} D(v) \nabla D(v) , \nablala \Delta b}.
}
Using the above calculations we may write (\ref{b-lapkTesteda}) in the following form
\[
\jd \ddt \ndk{\Delta b} + \n{ \frac{b}{\omega} \nablala \Delta b, \nablala \Delta b }
=(v \nablak b , \nablala \Delta b ) +
(\nabla b \nabla v, \nablala \Delta b )
- ( \omega \Delta b, \Delta b )
\]
\[
- 2(\nabla \omega \nabla b, \Delta b ) - ( b \Delta \omega, \Delta b )
-\n{\frac{\nabla b}{\omega} |D(v)|^2 , \nablala \Delta b }
+\n{\frac{b\nabla \omega }{\omega^2} |D(v)|^2 , \nablala \Delta b }
\]
\[
- 2 \n{\frac{b}{\omega} D(v) \nabla D(v) , \nablala \Delta b}
- W(b).
\]
The third term on the right-hand side is non-positive hence, if we use (\ref{below}), then we get
\[
\jd \ddt \ndk{\Delta b} + \mu^{t}_{\min} \ndk{ \nablala \Delta b }
\le
\]
\[
(\nabla b \nabla v, \nablala \Delta b ) + (v \nablak b , \nablala \Delta b )
- 2(\nabla \omega \nabla b, \Delta b ) - ( b \Delta \omega, \Delta b )
-\n{\frac{\nabla b}{\omega} |D(v)|^2 , \nablala \Delta b }
\]
\eqq{
+\n{\frac{b\nabla \omega }{\omega^2} |D(v)|^2 , \nablala \Delta b }
- 2 \n{\frac{b}{\omega} D(v) \nabla D(v) , \nablala \Delta b}
- W(b).
}{b-lapk-tested-2}
From H\"older inequality we obtain
\[
\jd \ddt \ndk{ \Delta b} + \mu^{t}_{\min} \ndk{ \nablala \Delta b} \le
\nc{\nabla b } \nc{\nabla v} \nd{ \nablala \Delta b}
+ \nt{v} \ns{\nablak b} \nd{ \nablala \Delta b}
\]
\[
+2 \noindentrm{\nabla \omega}_{\frac{6}{5}} \nif{\nabla b} \ns{\Delta b}
+ \noindentrm{b}_{\frac{3}{2}} \ns{\Delta \omega} \ns{\Delta b} + \nif{\re{\omega}} \ns{ \nabla b} \nsk{ D (v)} \nd{\nablala \Delta b}
\]
\[
+ \nif{\re{\omega}}^2 \nif{b} \ns{\nabla \omega} \nsk{ D (v)} \nd{\nablala \Delta b}
\]
\[
+ 2\nif{\re{\omega}} \nif{b} \ns{ \nabla D (v)} \nt{ D (v)} \nd{\nablala \Delta b} -W(b).
\]
Now, we estimate the right-hand side by applying Gagliardo-Nirenberg inequalities
\[
\m{ \hspace{0.2cm} by } (\ref{est-nab-4-kw}): \hspace{1.2cm} \hspace{0.2cm} \hspace{0.2cm} \nc{\nabla b } \nc{\nabla v} \nd{ \nablala \Delta b} \leq c \noindentrm{ \nabla b }^\jd_\td \noindentrm{ \nabla v }^\jd_\td \nd{ \nablat b }^\jd \nd{ \nablat v}^\jd,
\]
\[
\m{ \hspace{0.2cm} by } (\ref{est-zero-3}), (\ref{Sobolev}): \hspace{2.4cm} \hspace{0.2cm} \hspace{0.2cm} \nt{v} \ns{\nablak b} \nd{ \nablala \Delta b} \leq c \nd{\nabla v}^\jd \nd{v}^\jd \ndk{\nablat b},
\]
\[
\m{ \hspace{0.2cm} by } (\ref{Sobolev}), (\ref{gag_inf_lap}): \hspace{3.0cm} \hspace{0.2cm} \hspace{0.2cm}
\noindentrm{\nabla \omega}_{\frac{6}{5}} \nif{\nabla b} \ns{\Delta b} \leq c \noindentrm{\nabla \omega}_{\frac{6}{5}} \ndk{\nablat b} ,
\]
\[
\m{ \hspace{0.2cm} by } (\ref{32Est}), (\ref{Sobolev}): \hspace{0.2cm} \hspace{0.2cm}
\noindentrm{b}_{\frac{3}{2}} \ns{\Delta \omega} \ns{\Delta b} \leq c (\noindentrm{\nabla b}^\jd_\td \nj{b}^\jd + \nj{b}) \nd{ \nablat \omega } \nd{\nablat b},
\]
\[
\m{\hspace{0.2cm} by } (\ref{inf-EST-b-omega}), (\ref{Sobolev}), (\ref{est-nab-6}): \hspace{0.5cm} \hspace{0.2cm} \hspace{0.2cm} \nif{\re{\omega}} \ns{ \nabla b} \nsk{ D (v)}
\nd{\nablala \Delta b} \hspace{3.5cm}
\]
\[
\hspace{6.2cm} \leq c (\omegat)^{-1} \nd{\nablak b} \nd{ \nabla v} \nd{ \nablat v} \nd{\nablat b},
\]
\[
\m{\hspace{0.2cm} by } (\ref{inf-EST-b-omega}), (\ref{gag_inf_lap_j}), (\ref{Sobolev}), (\ref{est-nab-6}): \hspace{0.2cm} \hspace{0.2cm} \nif{\re{\omega}}^2 \nif{b} \ns{\nabla \omega} \nsk{ D (v)} \nd{\nablala \Delta b} \hspace{2cm}
\]
\[
\hspace{3.7cm} \leq c (\omegat)^{-2} (\nd{ \nablak b} + \nj{b}) \nd{ \nablak \omega} \nd{ \nabla v} \nd{ \nablat v} \nd{ \nablat b},
\]
\[
\m{\hspace{0.2cm} by } (\ref{inf-EST-b-omega}), (\ref{gag_inf_lap_j}), (\ref{Sobolev}), (\ref{est-zero-3}) : \hspace{0.2cm} \hspace{0.2cm} \nif{\re{\omega}} \nif{b} \ns{ \nabla D (v)} \nt{ D (v)} \nd{\nablala \Delta b} \hspace{1.3cm}
\]
\[
\hspace{3cm} \leq c (\omegat)^{-1} (\nd{ \nablak b} + \nj{b}) \nd{ \nablat v} \nd{\nabla v }^{\jd} \nd{ \nablak v}^{\jd } \nd{ \nablat b},
\]
where $c$ depends only on $\Omega$. Thus, if we apply Young inequality to separate the norms of the third order derivatives, then we obtain
\eqnsl{
\jd \ddt \ndk{ \Delta b} + \mu^{t}_{\min} \ndk{ \nablala \Delta b} \le c \Big(
\noindentrm{\nabla b}_{\td}^{\jd} \noindentrm{\nabla v}_{\td}^{\jd}
+ \nd{\nabla v}^{\jd}\nd{ v}^{\jd}
+ \noindentrm{\nabla \omega}_{\frac{6}{5}}
+ \noindentrm{\nabla b}^\jd_\td \nj{b}^\jd \\
+ \nj{b} + (\omegat)^{-1} \nd{ \nablak b} \nd{ \nabla v}
+ (\omegat)^{-2} \n{\nd{\nablak b} + \nj{b}} \nd{\nablak \omega} \nd{ \nabla v} \\
+ (\omegat)^{-1} \n{\nd{\nablak b} + \nj{b}} \nd{ \nabla v}^{\jd} \nd{ \nablak v}^{\jd}
\Big) \cdot \Big( \ndk{\nablat v} + \ndk{\nablat \omega} + \ndk{\nablat b} \Big)- W(b),
}{b-lapk-tested-3}
where $c$ depends only on $\Omega$. We note that after integration by parts we get $\nd{\nablak f} =\nd{ \Delta f}$ for $f\in \mathcal{V}^{1}$ and $2 \ndk{ D(\Delta v)}= \ndk{ \nablat v }$ (see (47) \cite{KoKu}) hence, if we sum the inequalities (\ref{est_v_lap_GLOB}), (\ref{est_om_lap_GLOB}) and (\ref{b-lapk-tested-3}), then we obtain
\eqn{
\jd \ddt \n{ \ndk{\Delta v } + \ndk{\Delta \omega } + \ndk{\Delta b } }
+ \mu^{t}_{\min} \n{ \ndk{\nablala \Delta v} + \ndk{\nablala \Delta \omega} + \ndk{\nablala \Delta b} } \\
\le C
\Big(
\nd{ v }^\jd \nd{ \nabla v }^\jd
+ \nd{\nabla v}
+ \noindentrm{\nabla \omega}_{\frac{6}{5}}
+ \noindentrm{\nabla \omega}_{\td}^{\jd} \noindentrm{\nabla v}_{\td}^{\jd}
+ \noindentrm{\nabla b}_{\td}^{\jd} \noindentrm{\nabla v}_{\td}^{\jd} \\
+ \noindentrm{\nabla b}^\jd_\td \nj{b}^\jd + \nj{b}
+ (\omegat)^{-1} \nd{ \nablak b} \nd{ \nabla v}
+ (\omegat)^{-2} \nd{\nablak b} \nd{\nablak \omega} \nd{ \nabla v} \\
+ \frac{\nj{b}}{(\omegat)^2} \nd{\nablak \omega} \nd{ \nabla v}
+ (\omegat)^{-1} \nd{\nablak b} \nd{ \nabla v}^{\jd} \nd{ \nablak v}^{\jd}
+ \frac{\nj{b}}{\omegat} \nd{ \nabla v}^{\jd} \nd{ \nablak v}^{\jd}
\Big) \\
\cdot \Big( \ndk{\nablala \Delta v} + \ndk{\nablala \Delta \omega} + \ndk{\nablala \Delta b} \Big) - \wt{W}(v) - W(\omega) - W(b),
}
where $C$ depends only on $\kappa_{2}$ and $ \Omegaega $. Before we estimate the last three terms we will introduce the following notation
\eqnsl{
& X_0(t) := \ndk{v(t)} + \nj{b(t)}^2, \\
&
X_1(t) := \ndk{\nabla v(t)} + \ndk{\nabla \omega(t)} + \ndk{\nabla b(t)}, \\
&
X_2(t) := \ndk{\Delta v(t)} + \ndk{\Delta \omega(t)} + \ndk{\Delta b(t)}, \\
&
X_3(t) := \ndk{\nablala \Delta v(t)} + \ndk{\nablala \Delta \omega(t)} + \ndk{\nablala \Delta b(t)}.
}{X_k_def}
After using the H\"older inequality we obtain
\[
\jd \ddt X_2 + \mu^{t}_{\min} X_3 \le C
\Big(
X_0^\jc X_1^\jc
+ X_1^\jd+ \nj{b}
+ (\omegat)^{-1} X_1^\jd X_2^\jd
+ (\omegat)^{-2} X_1^\jd X_2
\]
\eqq{
+ \frac{\nj{b}}{(\omegat)^2} X_1^\jd X_2^\jd
+ (\omegat)^{-1} X_1^\jc X_2^\tc
+ \frac{\nj{b}}{\omegat} X_1^\jc X_2^\jc
\Big) \cdot X_3 - \wt{W}(v) - W(\omega) - W(b),
}{est4Sum}
where $C$ depends only on $\kappa_{2}$ and $ \Omegaega $.
Now, we need to estimate terms $ \wt{W}(v) $, $ W(\omega) $, $ W(b) $, which were defined by (\ref{pom1})-(\ref{diffTm-lapkv}). In each case the estimates are similar thus, we consider $W(f)$ for general $f\in \mathcal{V}^{3}$. In this case we have
\eqn{
|W(f)| \le 2 & \nif{\re{\omega}} \nt{ \nabla b} \ns{ \nablak f} \nd{\nablala \Delta f}
+ 2 \nif{\re{\omega}}^2 \nif{b} \nt{\nabla \omega} \ns{\nablak f} \nd{\nablala \Delta f} \\
+ & \nif{\re{\omega}} \ns{ \Delta b } \nt{\nabla f } \nd{ \nabla \Delta f}
+ 2 \nif{\re{\omega}}^2 \ns{ \nabla b} \ns{ \nabla \omega} \ns{ \nabla f} \nd { \nablala \Delta f } \\
+ &
\nif{\re{\omega}}^2 \nif{b} \ns{ \Delta \omega} \nt{\nabla f} \nd{\nablala \Delta f}
+ 2 \nif{\re{\omega}}^3 \nif{b} \ns{ \nabla \omega}^2 \ns{ \nabla f} \nd{\nablala \Delta f}. \\
}
As earlier, we use (\ref{inf-EST-b-omega}) and (\ref{est-zero-3})-(\ref{32Est}) and we have
\[
|W(f)|
\]
\eqns{
\le \frac{c}{\omegat} \Big(
\nd{ \nabla b}^\jd \nd{ \Delta b}^\jd \nd{\nablat f}
+ (\omegat)^{-1} \n{\nd{\Delta b} + \nj{b} } \nd{ \nabla \omega}^\jd \nd{ \Delta \omega}^\jd & \nd{\nablat f} \\
+ \nd{ \nabla f }^\jd \nd{ \Delta f }^\jd \nd{ \nablala \Delta b}
+ (\omegat)^{-1} \nd{\nabla b}^\jd \nd{\nabla \omega}^\jd \nd{ \Delta f} \nd{\nablala \Delta \omega}^\jd & \nd{\nablala \Delta b}^\jd \\
+ (\omegat)^{-1} \n{ \nd{\Delta b} + \nj{b} } \nd{ \nabla f}^\jd \nd{ \Delta f}^\jd & \nd{ \nablala \Delta \omega} \\
+ (\omegat)^{-2} \n{ \nd{\Delta b} + \nj{b} } \nd{\nabla \omega} \nd{ \Delta f} \nd{\nablala \Delta \omega}
\Big) & \nd { \nablala \Delta f }, \\
}
where $c$ depends only on $\Omega$. We obtain an analogous estimate for $\wt{W}(v)$. Then, if we use the notation (\ref{X_k_def}), then we obtain
\eqn{
|\wt{W}(v)|+|W(\omega)|+|W(b)| \\
\le \frac{c}{\omegat} \Big(
X_1^\jc X_2^\jc
+ (\omegat)^{-1} X_1^\jc X_2^\tc
+ \frac{\nj{b}}{\omegat} X_1^\jc X_2^\jc
+ X_1^\jc X_2^\jc
+ (\omegat)^{-1} X_1^\jd X_2^\jd \\
+ (\omegat)^{-1} X_1^\jc X_2^\tc
+ \frac{\nj{b}}{\omegat} X_1^\jc X_2^\jc
+ \re{(\omegat)^2} X_1^\jd X_2
+ \frac{\nj{b}}{(\omegat)^2} X_1^\jd X_2^\jd
\Big) \cdot X_3,
}
where $c$ is as earlier. We simplify further
\[
|\wt{W}(v)|+|W(\omega)|+|W(b)| \le \frac{c}{(\omegat)^{2}} \cdot \hspace{6cm}
\]
\eqq{
\cdot \left(
\n{\omegat+\nj{b}} X_1^\jc X_2^\jc
+ \n{ 1 + \frac{\nj{b}}{\omegat}} X_1^\jd X_2^\jd
+ X_1^\jc X_2^\tc
+ (\omegat)^{-1} X_1^\jd X_2
\right) \cdot X_3
}{W_est}
and $c$ depends only on $\Omega$. Using this estimate in (\ref{est4Sum}) we get
\eqnsl{
\jd \ddt X_2 + \mu^{t}_{\min} X_3 \le C
\Big(
X_0^\jc X_1^\jc
+ X_1^\jd +\noindentrm{b}_{1}
+ \n{\re{\omegat} + \frac{\nj{b}}{\omegat} + \frac{\nj{b}}{(\omegat)^2} } X_1^\jc X_2^\jc \\
+ \n{\re{\omegat} + \re{(\omegat)^2} + \frac{\nj{b}}{(\omegat)^2} + \frac{\nj{b}}{(\omegat)^3}} X_1^\jd X_2^\jd
+ \n{\re{\omegat} + \re{(\omegat)^2}} X_1^\jc X_2^\tc \\
+ \n{\re{(\omegat)^2} + \re{(\omegat)^3}} X_1^\jd X_2
\Big) \cdot X_3,
}{est4Sum_v1}
where $C=C(\Omegaega, \kappa_{2})$. After applying the Poincar\'e inequality we get $ X_1 \le C^{2}_{p} X_2 $ thus, we may simplify further
\eqnsl{
\jd \ddt X_2 + \mu^{t}_{\min} X_3 \le C
\Big(
X_0^\jc X_2^\jc + \noindentrm{b}_{1}
+ \n{1 + \re{\omegat} + \frac{\nj{b}}{\omegat} + \frac{\nj{b}}{(\omegat)^2} } X_2^\jd \\
+ \n{\re{\omegat} + \re{(\omegat)^2} + \frac{\nj{b}}{(\omegat)^2} + \frac{\nj{b}}{(\omegat)^3}} X_2
+ \n{ \re{(\omegat)^2} + \re{(\omegat)^3}} X_2^\frac{3}{2} \Big) \cdot X_3.
}{est4Sum_v2}
By (\ref{mnitDef}) and (\ref{b-l1-est}) we have $\nj{ b(t) }\leq b_{\max}(t)$ hence, using (\ref{def_A}), (\ref{noa}) and (\ref{X_k_def}) we get
\eqns{
X_0^\jc(t) & \leq \n{ \ndk{
v_{0}}
\exp \n{ - \frac{2b_{\min} \n{\n{1 + \kappa_{2} \omegaa t }^{2 - \frac{1}{\kappa_{2}}}-1} }{C^{2}_{p} \omegaa^{2} \n{2 \kappa_{2} - 1 }} }
+ b_{\max}^{2}(t)}^{\jc} \\
& \equiv A(t)
}
and we obtain
\[
X_0^\jc X_2^\jc + \noindentrm{b}_{1} \leq
A(t) X_2^{\jc}+ b_{\max}(t).
\]
Applying this inequality in (\ref{est4Sum_v2}) we get
\eqnsl{
\ddt & X_2 + 2 \mu^{t}_{\min} X_3 \le C_{\Omega,\kappa_{2}}
\Big( b_{\max}(t) +
A(t) X_2^\jc
+ B(t) X_2^\jd
+ C(t) X_2
+ D(t) X_2^\frac{3}{2} \Big) \cdot X_3,
}{est4Sum_v3}
where $C_{\Omega,\kappa_{2}}$ depends only on $\Omega$, $\kappa_{2}$ and we used the notation (\ref{def_B})-(\ref{def_D}). We denote
\eqnsl{
Z(t) & =
\Big( b_{\max}(t) +
A(t) X_2^\jc
+ B(t) X_2^\jd
+ C(t) X_2
+ D(t) X_2^\frac{3}{2}
\Big).
}{def_Z}
Thus, the inequality (\ref{est4Sum_v3}) may be written in the following form
\eqn{
\ddt X_2(t) + \n{\mu^{t}_{\min} - C_{\Om,\kd} Z(t)} X_3(t) & \le -\mu^{t}_{\min} X_3(t).
}
By Poincar\'e inequality we get
\eqnsl{
\ddt X_2(t) + \n{\mu^{t}_{\min} - C_{\Om,\kd} Z(t)} X_3(t) & \le - \frac{\mu^{t}_{\min}}{C^{2}_{p}} X_2(t).
}{key1}
By definition (\ref{Y_0t}) and (\ref{X_k_def}) we have $Y_{2}(0)=X_{2}(0)$ hence, using (\ref{def_Z0}) and (\ref{def_Z}) we get $Z_{0}(0)=Z(0)$. Next, by assumption (\ref{GLOB_ADD}) we have
\[
\frac{b_{\min}}{\omegaa}- C_{\Om,\kd} Z_{0}(0)>0
\]
thus, we have
\[
\frac{b_{\min}}{\omegaa}- C_{\Om,\kd} Z(0)>0.
\]
We note that $(v, \omega ,b)\in L^{2}([0,T^{*});H^{3}(\Omega))$ and $(v_{,t}, \omega_{,t} ,b_{,t})\in L^{2}([0,T^{*});H^{1}(\Omega))$ hence, we have $X_{2}\in C([0,T^{*}))$. Therefore, there are two possibilities:
\[
\forall t \in [0,T^{*}) \hspace{0.2cm} \hspace{0.2cm} \mu^{t}_{\min}- C_{\Om,\kd} Z(t)>0 \hspace{0.2cm} \m{ or } \hspace{0.2cm} \exists t^{*}\in (0,T^{*}) \hspace{0.2cm} \hspace{0.2cm} \mu^{t^*}_{\min} - Z(t^*) = 0.
\]
In the first case, the inequality (\ref{key1}) gives a uniform estimate
\eqq{
\ndk{\Delta v (t) }+ \ndk{\Delta \omega (t) }+ \ndk{\Delta b (t) } \leq \ndk{\Delta v_{0} }+ \ndk{\Delta \omega_{0} }+ \ndk{\Delta b_{0} } \hspace{0.2cm} \m{ for } \hspace{0.2cm} t\in [0,T^{*}).
}{contra}
By (\ref{noa})-(\ref{b-l1-est}) we have
\[
\nd{ v(t)} \leq \nd{v_{0}}, \hspace{0.2cm} \nd{ \omega(t)} \leq \nd{ \omega_{0}},
\]
\[
\nd{ b(t)} \leq c(\nd{ \nablak b(t)} + \nj{ b(t)}) \leq c(\nd{ \nablak b(t)} + \nj{ b_{0}} + \jd \ndk{ v_{0}} )
\]
for $ t\in [0,T^{*})$, where $c=c(\Omega)$. These estimates together with (\ref{contra}) give
\eqq{ \nsodk{v (t) }+ \nsodk{ \omega (t) }+ \nsodk{ b (t) } \leq c\n{\nsodk{ v_{0} }+ \nsodk{ \omega_{0} }+ \nsodk{ b_{0} } }
}{contrb}
for $ t\in [0,T^{*})$, where $c$ depends only on $\Omega$. We denote the right-hand side of (\ref{contrb}) by $\delta$. We set $K=\{(\omegat, \omegamt, b_{\min}^{t}) : \hspace{0.2cm} t\in [0,T^{*}] \}$. Then $K$ is compact subset of $\{(a,b,c): \hspace{0.2cm} 0<a\leq b, \hspace{0.2cm} 0<c \}$ and by Theorem~\ref{LOCALNE_TH} there exists $t^{*}kd$ such that the problem (\ref{a})-(\ref{ddod}) with initial condition $(v(t), \omega(t), b(t))$ can be extended to the interval $[t,t+t^{*}kd)$, where $t $ is arbitrary in $[0,T^{*})$. For $t>T^{*}-t^{*}kd$ we obtain the contradiction with definition of $T^{*}$ (see (\ref{defTgw})).
In the second case, using the continuity of $[0,T^{*})\ni t \mapsto \mu^{t}_{\min}- C_{\Om,\kd} Z(t) $ we may assume that $t^{*}\in (0,T^{*})$ is the first point with this property, i.e. \m{$\mu^{t}_{\min}- C_{\Om,\kd} Z(t)>0$} for $t\in [0,t^{*})$ and $\mu^{t^*}_{\min} - Z(t^*) = 0$. Then, from (\ref{key1}) we get
\eqn{
\ddt X_2(t) \le -\frac{1}{C^{2}_{p}}\mu^{t}_{\min} X_2(t) \hspace{0.2cm} \m{ for } \hspace{0.2cm} t\in (0,t^{*}).
}
Using (\ref{mnitDef}) we may write
\eqn{
\ddt X_2(t) \le - \frac{1}{C^{2}_{p}} \frac{b_{\min}}{\omegaa}
\n{1 + \kappa_{2} \omegaa t}^{1 - 1/\kappa_{2}} X_2(t) \hspace{0.2cm} \m{ for } \hspace{0.2cm} t\in (0,t^{*}).
}
Thus, after multiplying by appropriate exponential function we obtain the bound
\eqn{
X_2(t) & \le
X_2(0) \exp \n{-\frac{1}{C^{2}_{p}}\frac{b_{\min} }{(2\kappa_{2} - 1)\omegaa^2} \n{ \n{1 + \kappa_{2} \omegaa t}^{2 - 1/\kappa_{2}} - 1}} \hspace{0.2cm} \m{ for } \hspace{0.2cm} t\in (0,t^{*}).
}
By definition (\ref{Y_0t}), the above inequality means $X_{2}(t)\leq Y_{2}(t)$ for $t\in [0,t^{*})$ hence, we get $X_{2}(t^{*})\leq Y_{2}(t^{*})$. If we use the definition (\ref{def_Z0}) and (\ref{def_Z}), then we deduce that $Z(t^*) \le Z_0(t^*)$ and then
\eqn{
0=\mu^{t^*}_{\min} - C_{\Om,\kd} Z(t^*) \geq \mu^{t^*}_{\min} - C_{\Om,\kd} Z_0(t^*) > 0
}
and we get a contradiction with the assumption (\ref{GLOB_ADD}). Thus, we obtain that $T^{*} \geq T$ and the theorem~\ref{TW_GLOBAL} is proved.
It remains to prove Corollary~\ref{coro_glob}.
\begin{proof}[Proof of Corollary~\ref{coro_glob}]
We shall show that the condition (\ref{GLOB_ADD}) is satisfied for $T=\infty$.
Firstly, for $\kappa_{2} \geq 1$ we note that from (\ref{Z1}) we obtain
\[
\frac{b_{\min}}{\omegaa} >2 C_{\Om,\kd} \n{ \| b_{0}\|_{1} + \jd \ndk{ v_{0}} \n{1 + I_\infty \n{\kappa_{2}, \frac{\omegai}{\omegaa}, \frac{b_{\min}}{(\omegaa)^2}} } } \n{1 + \kappa_{2} \omegai t}^{-1}
\]
for $t\geq 0$ hence, after multiplying both sides by $\n{1 + \kappa_{2} \omegai t}^{1-\frac{1}{\kappa_{2}}}$ we get
\eqq{\mu^{t}_{\min} \geq \frac{b_{\min}}{\omegaa} \n{1 + \kappa_{2} \omegai t}^{1-\frac{1}{\kappa_{2}}} > 2 C_{\Om,\kd} b_{\max}(t) .}{W1}
For $\kappa_{2} \in \n{\jd, 1}$ we note that from (\ref{Z1.5}) we obtain
\eqns{
\frac{b_{\min}}{\omegaa} & \n{1 + \kappa_{2} \omegaa t} \\
& >
2 C_{\Om,\kd} \n{\frac{\omegaa}{\omegai}}^\frac{1}{\kappa_{2}} \n{ \| b_{0}\|_{1} + \jd \ndk{ v_{0}} \n{1 + I_\infty \n{\kappa_{2}, \frac{\omegai}{\omegaa}, \frac{b_{\min}}{(\omegaa)^2}} } }
}
for $t\geq 0$ hence, after multiplying both sides by $\n{1 + \kappa_{2} \omegaa t}^{-\frac{1}{\kappa_{2}}}$ we get
\[
\mu^{t}_{\min} >
2 C_{\Om,\kd} b_{\max}(t)
\n{\frac{\omegaa}{\omegai}\cdot \frac{1 + \kappa_{2} \omegai t}{1 + \kappa_{2} \omegaa t}}^\frac{1}{\kappa_{2}}.
\]
We note that the function $\frac{1 + \kappa_{2} \omegai t}{1 + \kappa_{2} \omegaa t} $ is decreasing and strictly greater than $\frac{\omegai}{\omegaa}$ so, we have
\eqq{
\mu^{t}_{\min} >
2 C_{\Om,\kd} b_{\max}(t) .}{W1.5}
Next, we shall show that $a_{0}$ is finite. Recall that $\kappa_{2} > \jd$ and then by (\ref{bMinMaxt}), (\ref{def_A}) we deduce that \m{$(1+\kd \oma t )^{\frac{1}{\kappa_{2}}-1}A(t)$} decays at infinity as $(1+\kd \oma t )^{\frac{1}{2\kappa_{2}}-1}$. Thus, the expression \m{$(1+\kd \oma t )^{\frac{1}{\kappa_{2}}-1}A(t)$} is uniformly bounded on $[0,\infty)$. Further, the remaining terms in definition $a_{0}$ can be estimated by expressions of the form $(1+\kd \oma t )^{\alpha}Y_{2}^{\beta}(t)$, where $\alpha\leq 3 $ and $\beta>0$. We recall that the function $Y_{2}(t)$ decays exponentially hence, $a_{0}$ is finite.
Finally, by (\ref{Z2}) we get $\frac{b_{\min}}{\omegaa}>a_{0} Y_{2}^{\frac{1}{4}}(t)$ for $t\in [0,\infty)$ thus, using the definition of $a_{0}$ we obtain
\[
\frac{b_{\min}}{\omegaa}>2C_{\Om,\kd} (1+\kd \oma t )^{\frac{1}{\kappa_{2}}-1} \left(A(t)Y_{2}^{\frac{1}{4}}(t)+ B(t)Y_{2}^{\frac{1}{2}} + C(t)Y_{2}(t)+ D(t)Y_{2}^{\frac{3}{2}}(t) \right)
\]
for $t\in [0,\infty)$ hence, we get
\eqq{
\mu^{t}_{\min}>2C_{\Om,\kd} \left(A(t)Y_{2}^{\frac{1}{4}}(t)+ B(t)Y_{2}^{\frac{1}{2}} + C(t)Y_{2}(t)+ D(t)Y_{2}^{\frac{3}{2}}(t) \right).
}{W2}
If we sum (\ref{W1}) or (\ref{W1.5}) and (\ref{W2}) then, by definition (\ref{def_Z0}) we get $2\mu^{t}_{\min} > 2C_{\Om,\kd} Z_{0}(t) $ hence,
the condition (\ref{GLOB_ADD}) holds for $T=\infty.$
\end{proof}
{\bf Acknowledgements } The authors would like to thank the anonymous referee for valuable remarks, which
significantly improve the paper.
\section{Appendix}
In this subsection we collect the special cases of Gagliardo-Nirenberg inequalities used in the paper (for the original formulation and proof see \cite{Gagliardo}, \cite{Niremberg}, \cite{GagNirProof}). Here, the constant $c$ depends only on $\Omega$ and we assume that $f$ is periodic function on $\Omega$ it is sufficiently regular to make the right-hand side finite. Firstly, we recall
\eqnsl{
\nck{ \nabla f } \le
c \nd{ \nabla f } \nd{ \nablat f }.
}{gag50}
The lower order term (say, $L^{2}$ norm) can be omitted, because $\int_{\Om} \nabla f dx =0$, $\int_{\Om} \nablak f dx =0$ and from Poincar\'e inequality for functions with vanishing mean we get
\[
\ndk{ \nabla f}= \nd{ \nabla f} \nd{ \nabla f} \leq C_{1} \nd{ \nabla f } \nd{ \nablad f}\leq C_{2} \nd{ \nabla f } \nd{ \nablat f} ,
\]
where $C_{1}$, $C_{2}$ depends only on Poincar\'e constant for $\Omega$. Next, we have
\eqnsl{
\nt{f}^{2} \le c \nd{\nabla f} \nd{f} , \hspace{0.2cm} \m{ if } \hspace{0.2cm} \int_{\Omega}fdx=0,
}{est-zero-3}
\eqq{\ns{f} \le c \nd{\nabla f} , \hspace{0.2cm} \m{ if } \hspace{0.2cm} \int_{\Omega}fdx=0,}{Sobolev}
\eqnsl{
\ns{\nablala f}^{2} \le c \nd{\nablat f} \nd{\nabla f},
}{est-nab-6}
\eqnsl{
\nck{\nabla f} &
\le c\nd{ \nablat f } \noindentrm{\nabla f}_{\frac{3}{2}},
}{est-nab-4-kw}
\eqnsl{
\nif{f}
\leq c(\nd{ \nablak f} + \nj{f}).
}{gag_inf_lap_j}
\eqnsl{
\nif{f} \le c \nd{ \nablak f}, \hspace{0.2cm} \m{ if } \hspace{0.2cm} \int_{\Omega}fdx=0,
}{gag_inf_lap}
\eqnsl{
\noindentrm{f}_\td \le c \noindentrm{\nabla f}^\jd_\td \nj{f}^\jd + c\nj{f},
}{32Est}
where $c$ depends only on $\Omega$.
{\bf Statements and Declarations. } The authors declare that no funds, grants, or other support were received during the preparation of this manuscript. The authors have no relevant financial or non-financial interests to disclose.
\end{document} | math |
---
title: "Configuration management"
linkTitle: "Configuration Management"
description: "Configuration management tools can help you deploy Sensu in production and at scale. Learn more about Sensu integrations."
weight: 40
product: "Sensu Go"
version: "5.21"
menu:
sensu-go-5.21:
parent: deploy-sensu
---
We recommend using configuration management tools to deploy Sensu in production and at scale.
- Pin versions of Sensu-related software to ensure repeatable Sensu deployments.
- Ensure consistent configuration between Sensu backends.
The configuration management tools listed here have well-defined Sensu modules to help you get started.
## Ansible
The [Ansible][5] role to deploy and manage Sensu Go is available in the [Sensu Go Ansible Collection][6].
The [Sensu Go Ansible Collection documentation site][9] includes installation instructions, example playbooks, and module references.
## Chef
The [Chef][3] cookbook for installing and configuring Sensu is available in the [Sensu Go Chef Cookbook][4].
[Contact us][8] for more information about Sensu + Chef.
## Puppet
The [Puppet][1] module to install Sensu is available in the [Sensu Puppet Module][2].
Sensu partnered with [Tailored Automation][7] to enhance the Puppet module with new features and bug fixes.
[1]: https://puppet.com/
[2]: https://forge.puppet.com/modules/sensu/sensu
[3]: https://www.chef.io/
[4]: https://supermarket.chef.io/cookbooks/sensu-go
[5]: https://www.ansible.com/
[6]: https://galaxy.ansible.com/sensu/sensu_go
[7]: https://tailoredautomation.io/
[8]: https://monitoringlove.sensu.io/chef
[9]: https://sensu.github.io/sensu-go-ansible/
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குண்டும் குழியுமான சாலையை சரி செய்யக்கோரி சிரிப்பு போராட்டம் போபால்: போபாலில் சாலையை சீரமைக்க நிதி ஒதுக்கியும் 2 ஆண்டுகளாக சீரமைக்காமல் குண்டு குழியுமாக மாறியதை அடுத்து, சாலையை சரிசெய்யக்கோரி அப்பகுதி மக்கள் நடத்தி வினோதமான முறையில் சிரிப்பு போராட்டம் நடத்தினர்.மத்திய பிரதேச மாநிலம் போபாலில் உள்ள அரவிந்த் நகர் பகுதியில் 200 மீட்டர் நீள சாலை, மிகவும் மோசமான நிலையில் சேதமடைந்துள்ளது. இதனை சரிசெய்வதற்காக கடந்த 2 ஆண்டுகளுக்கு முன்னதாக மாநில அரசு சார்பில் 3 கோடி ரூபாய் நிதி ஒதுக்கப்பட்டு, சாலை சீரமைப்பு பணிகளும் துவங்கியுள்ளது. ஆனால், சில நாட்களில் பணிகள் நிறுத்தப்பட்டதால், சாலை குண்டும் குழியுமாக மாறி மோசமடைந்தது.சேதமடைந்த சாலையை இதுவரையில் சீரமைக்காததால், சாலையை சீரமைக்க வலியுறுத்தியும், அரசின் கவனத்தை ஈர்க்கும் விதமாகவும், அப்பகுதி மக்கள் வித்தியாசமான முறையில் போராட முடிவு செய்துள்ளனர். சேதமடைந்த சாலை அருகே அப்பகுதி மக்கள் வரிசையாக நின்றுக்கொண்டு, வயிறு குலுங்க சிரித்து சிரிப்பு போராட்டம் நடத்தியுள்ளனர். | tamil |
जबलपुर में कोरोना से बड़ी राहत, सात दिन में घटे 650 मरीज जबलपुर, नईदुनिया प्रतिनिधि। कोरोना महामारी के संक्रमण से रोजाना राहत मिल रही है। सोमवार को कोरोना की संक्रमण की दर घटकर 6.36 फीसद रह गई है। प्रशासन द्वारा जारी 5 हजार 31 सेंपल की रिपोर्ट में 320 मरीज सामने आए। खास बात यह रही की इस दौरान 24 घंटे के भीतर 840 मरीजों ने कोरोना संक्रमण को मात दी। जिन्हें आइसोलेशन से छुट्टी दी गई। जिले में कोरोना के सक्रिय मरीजों की संख्या में भी कमी आई है। 4 हजार 277 सक्रिय मरीजों में ज्यादातर होम आइसोलेशन में उपचार करवा रहे हैं। इस बीच कोरोना से एक मरीज की मौत हो गई। नरसिंहपुर निवासी 70 वर्षीय वृद्ध को मेडिकल कालेज अस्पताल में मृत घोषित किया गया। उन्हें जब मेडिकल लाया गया उनकी मौत हो चुकी थी। वे पहले से हाइपरटेंशन और अन्य बीमारियों की चपेट में थे। मुख्य चिकित्सा एवं स्वास्थ्य अधिकारी डाक्टर रत्नेश कुरारिया ने बताया कि कोरोना वायरस संक्रमण की चेन तोड़ने के लिए ज्यादा से ज्यादा सैम्पलिंग की जा रही है। फीवर क्लीनिकों में पहुँचने वाले सभी संदिग्ध मरीजों के सैंपल लेकर कोरोना संक्रमण का पता लगाया जा रहा है। उन्होंने बताया कि कलेक्टर कर्मवीर शर्मा के निर्देश पर कांटेक्ट ट्रेसिंग पर दो जोर दिया जा रहा है। संक्रमित मिले मरीज के संपर्क में आने वाले कम से कम 10 लोगों के सैंपल लिए जा रहे हैं। उन्होंने कहा कि संक्रमण का खतरा दूर होने तक नागरिकों को इसकी रोकथाम और बचाव के लिए सतर्कता बरतनी चाहिए।बोलते आंकड़े :तारीख नए मरीज स्वस्थ हुए25 जनवरी 970 51726 जनवरी 710 53727 जनवरी 650 61528 जनवरी 590 72629 जनवरी 662 89330 जनवरी 410 91131 जनवरी 320 840 | hindi |
ఢిల్లీకి చేరుకున్న సీఎం కేసీఆర్.. రెండు రోజుల ఢిల్లీ పర్యటనలో భాగంగా తెలంగాణ ముఖ్యమంత్రి కేసీఆర్ శుక్రవారం సాయంత్రం ఢిల్లీకి చేరుకున్నారు. కేసీఆర్ వెంట ప్రణాళిక సంఘం ఉపాధ్యక్షుడు వినోద్ కుమార్, ఎంపీ సంతోష్ కుమార్, సీఎస్ సోమేశ్ కుమార్ ఉన్నారు. బేగంపేట ఎయిర్పోర్టు నుంచి శుక్రవారం మధ్యాహ్నం ప్రత్యేక విమానంలో సీఎం కేసీఆర్ ఢిల్లీ పర్యటనకు బయల్దేరిన విషయం తెలిసిందే. ఢిల్లీ పర్యటనలో భాగంగా ఈ నెల 25న కేంద్ర జల్శక్తి శాఖ మంత్రి గజేంద్ర సింగ్ షెకావత్తో కేసీఆర్ సమావేశం కానున్నారు. 26న విజ్ఞాన్భవన్లో కేంద్ర హోం మంత్రిత్వ శాఖ ఆధ్వర్యంలో నిర్వహించే తీవ్రవాద ప్రభావిత రాష్ర్టాల ముఖ్యమంత్రుల సమావేశంలో పాల్గొంటారు. అనంతరం కేంద్ర ఆహార, పౌరసరఫరాల శాఖ మంత్రి పీయూష్ గోయల్తో సమావేశమవుతారు. అదే రోజు సాయంత్రం సీఎం కేసీఆర్ హైదరాబాద్కు తిరిగి వస్తారు. | telegu |
صرافہ مارکیٹ میں بھی سونے کی قیمتوں اضافہ دیکھا گیا فی تولہ سونا ڈیڑھ سو روپے اضافے سے پینتالیس ہزار تین سو روپے کا ہوگیا لندن بلین مارکیٹ فی اونس سونے کی قیمت چار ڈالر اضافے سے گیارہ سو چار ڈالر پر پہنچ جانے کے باعث مقامی صرافہ بازاروں میں سونے کی قیمتیں ایک ہزار نواسی سے گیارہ سو ڈالر کے درمیان ٹریڈ کرتی رہی پاکستان میں بھی فی تولہ سونا ڈھائی سو روپے اضافے کے بعد پینتالیس ہزار ایک سو پچاس روپے کا ہوگیا جو گزشتہ ہفتے چوالیس ہزار نو سو روپے پر موجود تھا ایک ہفتے میں دس گرام سونے کی قیمت بھی اڑتیس ہزار چار سو پچیاسی روپے سے بڑھ کراڑتیس ہزار سات سو روپے ہوگئی | urdu |
బిడ్డకు ఉరివేసి తల్లి ఆత్మహత్య వేలూరు: భర్త మద్యానికి బానిసై తరచూ గొడవ పడుతుండడంతో మనస్తాపానికి గురైన భార్య కుమార్తెతో కలిసి ఆత్మహత్య చేసుకున్న విషాదకర ఘటన రాణిపేట జిల్లాలో శనివారం చోటుచేసుకుంది. వివరాలు.. కావేరిపాక్యం సమీపంలోని సిత్తంజి గ్రామానికి చెందిన దయాలన్కు భార్య వెన్నిల35, కుమార్తెలు కీర్తి, హరిత3 ఉన్నారు. కూలి పనులు చేసే దయాలన్ మద్యానికి బానిసై తరచూ భార్యతో గొడవపడేవాడు. శుక్రవారం రాత్రి మద్యం మత్తులో ఇంటికి వచ్చిన అతను మరోసారి భార్యతో గొడవపడ్డాడు. తీవ్ర మనస్తాపానికి గురైన వెన్నిల ఓ కుమార్తెను తీసుకుని ఇంటి వెనుక వైపు వచ్చింది. చీరతో హరితకు ఉరివేసి అదే చీరతో ఆత్మహత్య చేసుకుంది. శనివారం ఉదయం తల్లీకుమార్తెలు చెట్టుకు వేలాడుతుండడాన్ని గమనించిన స్థానికులు పోలీసులకు సమాచారం ఇచ్చారు. అవ్యలూరు పోలీసులు మృతదేహాలను వాలాజ ఆస్పత్రికి తరలించి విచారణ చేస్తున్నారు. | telegu |
ಪ್ರಮುಖ ಗ್ಯಾಂಗ್ ಸ್ಟ್ ರ್ ಬಂಧನದ ನಂತರವೂ ನಿಲ್ಲದ ಹಿಂಸಾಚಾರ :7 ಮಂದಿಯ ಮೃತದೇಹ ಪತ್ತೆ..! ಮೆಕ್ಸಿಕೋ : ಮೆಕ್ಸಿಕನ್ ಗ್ಯಾಂಗ್ನ ನಾಯಕನೊಬ್ಬನ ಬಂಧನದ ನಂತರ ಹಿಂಸಾತ್ಮಕ ಕೃತ್ಯಗಳು ಕಡಿಮೆಯಾಗಬಹುದೆಂದು ತಿಳಿಯಲಾಗಿತ್ತು. ಆದರೆ ಗುಂಡು ಹಾರಿಸಿ ಕೊಂದ 7 ಜನರ ಮೃತದೇಹಗಳು ಪತ್ತೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದ್ದ ಭರವಸೆ ಹುಸಿಯಾಗಿದೆ. ಸಾಂಟಾ ರೋಸಾ ಡಿ ಲಿಮಾ ಗ್ಯಾಂಗ್ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಸ್ಪರ್ಧಿ ಜಲಿಸ್ಕೊ ಕಾರ್ಟೆಲ್ ನಡುವೆ 2017 ರಿಂದ ಕೈಗಾರಿಕಾ ರಾಜ್ಯದ ನಿಯಂತ್ರಣಕ್ಕಾಗಿ ಟರ್ಫ್ ಯುದ್ಧವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದಾಗಿನಿಂದ ಗುವಾನಾಜುವಾಟೊ ರಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ 9 ಸಾವಿರಕ್ಕೂ ಹೆಚ್ಚು ಹತ್ಯೆಗಳು ನಡೆದಿವೆ. ಸಾಂಟಾ ರೋಸಾ ಗ್ಯಾಂಗ್ ನಾಯಕ ಜೋಸ್ ಆಂಟೋನಿಯೊ ಯೆಪೆಜ್ ಒರ್ಟಿಜ್ನನ್ನು ಆಗಸ್ಟ್ 2 ರಂದು ಬಂಧಿಸಿದ ನಂತರ ಹಿಂಸಾಚಾರವು ಕಡಿಮೆಯಾಗಬಹುದು ಎಂದು ನಂಬಲಾಗಿತ್ತು. ಆದರೆ ಶನಿವಾರ, ಗುವಾನಾಜುವಾಟೊ ಅಧಿಕಾರಿಗಳು ರಾಜ್ಯದ ಗಡಿಯ ಸಮೀಪವಿರುವ ಜೆರ್ಕ್ವಾರೊ ಬಳಿ ಗುಂಡೇಟು ತಿಂದ ಏಳು ಜನರ ಮೃತದೇಹಗಳನ್ನು ಪತ್ತೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ದೃಢಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಘಟನಾ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಬಂದೂಕುಗಳು ಮತ್ತು ಪಿಸ್ತೂಲ್ಗಳಿಂದ ಹೊರಬಂದ ಶೆಲ್ ಕೇಸಿಂಗ್ಗಳು ಪತ್ತೆಯಾಗಿವೆ ಎಂದಿದ್ದಾರೆ. ಶನಿವಾರ, ಸುಮಾರು 20ಕ್ಕೂ ಹೆಚ್ಚು ಪುರುಷರು ಮಿಲಿಟರಿ ಶೈಲಿಯ ಬಟ್ಟೆ ಧರಿಸಿ ಆಕ್ರಮಣಕಾರಿ ರೈಫಲ್ಗಳು, ಸ್ನೈಪರ್ ರೈಫಲ್ಗಳು ಮತ್ತು ಎರಡು ಬೆಲ್ಟ್ಫೀಡ್ ಮಷಿನ್ ಗನ್ಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುವ ವಿಡಿಯೋವನ್ನು ಸಾಮಾಜಿಕ ಜಾಲತಾಣದಲ್ಲಿ ಪೋಸ್ಟ್ ಮಾಡಲಾಗಿತ್ತು. | kannad |
సద్దుల బతుకమ్మ శుభాకాంక్షలు తెలిపిన సీఎం కేసీఆర్, ఎమ్మెల్సీ కవిత పూల పండుగ బతుకమ్మ చివరి రోజు సద్దుల బతుకమ్మ సందర్భంగా ముఖ్యమంత్రి కె.చంద్రశేఖర్ రావు రాష్ట్ర ప్రజలకు శుభాకాంక్షలు తెలియజేశారు. తొమ్మిది రోజులుగా ప్రకృతిని ఆరాధిస్తూ, పూలతో బతుకమ్మను పేర్చి తెలంగాణ ఆడబిడ్డలు అత్యంత ఆనందోత్సాహాల నడుమ రాష్ట్ర పండుగ బతుకమ్మ సంబురాల ఘనంగా జరుపుకోవడం పట్ల సీఎం సంతోషం వ్యక్తం చేశారు. బతుకమ్మ స్ఫూర్తితో ప్రకృతిని, పచ్చదనాన్ని, నీటి వనరులను కాపాడుకోవాలని ప్రజలకు సీఎం కేసీఆర్ పిలుపునిచ్చారు. ఆడపడుచుల ఆనందం ఉప్పొంగింది: ఎమ్మెల్సీ కవిత పూల పండుగతో తెలంగాణ పులకించిందని ఎమ్మెల్సీ కల్వకుంట్ల కవిత అన్నారు. ప్రపంచవ్యాప్తంగా ఉన్న మన ఆడబిడ్డలందరికీ తెలంగాణ సంస్కృతి సంప్రదాయాలకు చిహ్నమైన సద్దుల బతుకమ్మ శుభాకాంక్షలు తెలిపారు.ఎంగిలిపూల బతుకమ్మ నుండి సద్దుల బతుకమ్మ వరకు ఆడపడుచుల ఆనందం ఉప్పొంగిందని సంతోషం వ్యక్తం చేశారు. The post సద్దుల బతుకమ్మ శుభాకాంక్షలు తెలిపిన సీఎం కేసీఆర్, ఎమ్మెల్సీ కవిత first appeared on TNews Telugu. | telegu |
لاہورمانیٹرنگ ڈیسک قومی کرکٹ ٹیم کے رانڈر انور علی فٹنس مسائل کی وجہ سے زمبابوے روانہ ہونیوالے سکواڈ سے باہر ہوگئے ہیں تاہم پی سی بی فٹنس سے متعلق حتمی رپورٹ کی منتظر ہے پی سی بی ذرائع کے مطابق رانڈر انورعلی ان فٹ ہیں اوران کی جگہ ون ڈے میں عامر یامین کو ٹیم میں شامل کیے جانے کاامکان ہے وہ پہلے ہی ٹی 20سکواڈ کا حصہ ہیں اور زمبابوے میں ہی موجود ہیں جبکہ ون ڈے سکواڈ کے دیگر کھلاڑی کل زمبابوے کیلئے روانہ ہوں گے ذرائع نے بتایاکہ انورعلی کاان فٹ ہونا قومی کرکٹ ٹیم کیلئے بڑ ادھچکاہے کیونکہ خری انٹرنیشنل میچ میں انورعلی ہی مین دی میچ قرارپائے تھے اوران کی طرف سے اچھی پرفارمنس کی توقع کی جارہی تھی یادرہے کہ دونوں ٹیمیں کل منے سامنے ہوں گی | urdu |
ट्रेनों के मेंटेनेंस की कागजी खानापूरी में यात्रियों की फजीहत नोट: इस खबर को अभियान के रूप में लगाया जाना है।पटना। वरीय संवाददाताइसकी फोटो भी है।बदहाल ट्रेनें 1:::पूर्व मध्य रेल के दानापुर रेल मंडल में सबसे अधिक जोर यात्री सुविधाओं पर होने के रेलवे के दावे यात्रियों को रास नहीं आ रहे हैं। दानापुर मंडल के अलग अलग रेलखंड पर ट्रेनों से यात्रा करने वाले लाखों यात्री रोजाना रेलवे की लापरवाही से परेशान हैं। पैसेंजर व मेमू ट्रेनों से सफर इतना दुरुह है कि यात्री कांप जा रहे हैं। इन ट्रेनों में साफ सफाई तो दूर की बात है, झाडू पोछा भी नहीं होता। मेमू व पैसेंजर के कोच में मकड़ियों के झाले ट्रेनों के मेंटेनेंस की पोल खोलने के लिए काफी हैं। बोगियों में पान व गुटखे की पीक पहचान बन रही है तो टूटे फूटे सीट व बाथरूम की उखड़ी किवाड़ भी यात्रियों का दर्द बयां कर रही है। हिंदुस्तान संवाददाता ने दानापुर रेल मंडल के विभिन्न रूटों पर चलने वाली मेमू व पैसेंजर ट्रेनों की पड़ताल की। पड़ताल में रेलवे के मेंटेनेंस के दावे हवा हवाई नजर आए।दोपहर के डेढ़ बजे हैं। पटना जंक्शन का प्लेटफॉर्म संख्या चार। इसपर झाझा पटना मेमू आकर लगी हुई है। ट्रेन में घुसते ही जो स्थिति दिखी, उसके बारे में जानने पर आपका रेलवे पर से भरोसा उठने लगेगा। जी हां, यही सच है। मेमू में कई कोच के शौचालय में भरे मल से दुर्गंध बाहर तक परेशानी का कारण बनी थी। कई बाथरूम के किवाड़ उखड़े नजर आए। बाथरूम में नल की टोटियों से लेकर शीशे तक बदहाल दिखे। इस ट्रेन में दर्जनों सीटें उखड़ी हुई मिली तो सभी कोच में आपतिजनक कागज के बैनर चस्पा मिले। पान गुटखे की पीक से कोच की छवि खराब हो रही थी। ट्रेन में लाईट व पंखे की हालत भी खस्ताहाल दिखी। बाथरूम से लेकर कोच में कई जगह उखड़ी ट्यूबलाईट इलेक्ट्रिकल मेंटेनेंस का सच बता रही थी। ट्रेन में गंतव्य स्थल व प्रारंभिक स्थल के बोर्ड भी गायब दिखे। इसी तरह प्लेटफॉर्म संख्या छह पर खड़ी पटना राजगीर पैसेंजर में यात्री सुविधाओं का सच चौकाने वाला था। इस मेमू ट्रेन में महिला बोगी पूरी तरह से पुरुष यात्रियों के कब्जे में नजर आया। इसमें सीटें टूटी फूटी मिली तो कोच का मेंटेनेंस भी लापरवाही बयां कर रहा था। उधर, प्लेटफॉर्म संख्या पांच पर खड़ी खाली मेमू की रेक भी अपने मेंटेनेंस का सच बताने के लिए खड़ी थी। हिंदुस्तान संवाददाता ने इस रेक की पड़ताल में पाया कि इसमें गोबर से लेकर भारी मात्रा में कचरा कमोबेश सभी बोगियों में मिला। बाथरूम की सिटकिनी गायब होने से ये बंद नहीं हो रहे थे। खिड़कियों के कई शीशे उखड़े हुए मिले। सभी बेसिन में बीड़ी, सिगरेट व गुटखा के रैपर ट्रेनों में अवैध वेंडर की कहानी कह रहे थे। बादाम के छिलके से लेकर खाने पीने के रैपर भी भारी मात्रा में मिले। प्लेटफॉर्म संख्या सात पर खड़ी पटना सासाराम पैसेंजर यात्रियों से खचाखच भरी थी। इस पैसेंजर ट्रेन में भी यात्रियों की सुविधाएं बेपटरी मिली। शौचालय से लेकर बोगी की हालत खराब थी। इसमें लगे नवनिर्मित दीनदयालु कोच भी मेंटेनेंस के अभाव में यात्रियों को रास नहीं आ रहे हैं। इसी तरह शाम में गया से आई मेमू की रेक में भी ट्रेन का मेंटेनेंस बेहतर नहीं दिखा।चारों रेलखंड पर अब मेमू की रेक चल रहीदानापुर रेल मंडल के एक वरीय अधिकारी ने बताया कि दानापुर रेल मंडल के सभी चारों रेलखंड पर मेमू की रेक चलाई जा रही है। इसमें कुचमन से झाझा तक, बख्तयारपुर से राजगीर तक, फतुहा से इस्लामपुर तक और पटना से गया तक के रूट पर मेमू ट्रेनें चलाई जा रही है। दानापुर मंडल के सभी रूट पर दो दर्जन से अधिक मेमू व पैसेंजर ट्रेनें चलाई जा रही हैं। इन सभी ट्रेनों की मेंटेनेंस प्रॉपर नहीं होने से यात्रियों को रोजाना जूढना पड़ता है।दो ट्रेनों का मेंटेंनेस रोज पटना मेंदानापुर मंडल के कैरेज एंड वैगन विभाग की ओर से पटना जंक्शन पर रोजाना दो मेमू ट्रेनों का मेंटेनेंस हो रहा है। ये ट्रेनें रोज बदलती रहती है। वहीं, दानापुर मंडल में सभी मेमू रेक का मेंटेनेंस का काम झाझा यार्ड में होता है। लेकिन पड़ताल में सामने आया कि झाझा में मेमू के मेंटेनेंस का फायदा रेलवे यात्रियों को नहीं दिख रहा है। यात्रियों की मानें तो लगातार मेंटेनेंस नहीं होने से परेशानी है।ट्रेनों की प्रॉपर साफ सफाई करानी है। अगर कोच गंदे हैं, या सफाई में कोताही बरती जा रही है तो इसकी जांच कराई जाएगी। पटना जंक्शन पर भी मेंटेनेंस होती है। कोचिंग डिपो में भी ट्रेनों के बेहतर मेंटेनेंसप्रभात कुमार, डीआरएम, दानापुर For Hindustan : हिन्दुस्तान ईसमाचार पत्र के लिए क्लिक करें epaper.livehindustan.com | hindi |
കടബാധ്യത തീര്ക്കാന് സ്വന്തം മകനെ തട്ടികൊണ്ടുപോയി ഭാര്യയോട് മോചനദ്രവ്യം ആവശ്യപ്പെട്ട് എന്ജിനീയര് സ്വന്തം കടബാധ്യത തീര്ക്കാന് മൂന്ന് വയസുള്ള മകനെ തട്ടികൊണ്ടുപോയി സ്വന്തം ഭാര്യയോട് തന്നെ മോചനദ്രവ്യം ആവശ്യപ്പെട്ട് എന്ജീനയറായ ഭര്ത്താവ്.20 ലക്ഷം രൂപയാണ് മോചനദ്രവ്യമായി ഭര്ത്താവ് ആവശ്യപ്പെട്ടത്. പണം തന്നില്ലെങ്കില് മകനെ കൊല്ലുമെന്നും അയാള് ഭീഷണിപ്പെടുത്തിയിരുന്നു. ഹൈദരാബാദിലെ ഒരു ഐടി കമ്ബനിയിലെ എന്ജിനീയരായ പല്നാട്ടി രാമകൃഷ്ണയാണ് കേസിലെ പ്രതി. ആന്ധ്രപ്രദേശിലെ പ്രകാശം ജില്ലയിലെ ചെറുവുകൊമ്മുപലത്താണ് സംഭവം. 20 ലക്ഷം രൂപ കടമെടുത്ത എന്ജിനീയര് അത് തിരിച്ചെടക്കാന് കഴിയാതെ വന്നപ്പോള് രാമകൃഷ്ണ കണ്ടെത്തിയ വഴിയാണ് സ്വന്തം മകനെ തട്ടികൊണ്ടുപോകുക എന്നത്.കോവിഡ് ലോക് ഡൗണ് കാരണം വര്ക്ക് ഫ്രം ഹോം സംവിധാനത്തില് ജോലി ചെയ്തിരുന്ന രാമകൃഷ്ണ മദ്യത്തിനും ചൂതാട്ടത്തിനും അടിമയായിരുന്നു. അതിനെ തുടര്ന്നാണ് അയാള്്ക്ക് 20 ലക്ഷം രൂപ കടം വാങ്ങേണ്ടി വന്നത്. ജൂലൈ 28നാണ് മദ്യപിച്ച് വീട്ടിലേക്ക് കയറിച്ചെന്ന രാമകൃഷ്ണ സ്വന്തം മകനെ ബലംപ്രയോഗിച്ച് തട്ടികൊണ്ടു പോവുകയായിരുന്നു. ഭാര്യയെ വിളിച്ച് 20 ലക്ഷം രൂപ മോചനദ്രവ്യം ആവശ്യപ്പെട്ട പ്രതി, പണം തന്നില്ലെങ്കില് മകനെ കൊന്ന് താന് ആത്മഹത്യ ചെയ്യുമെന്നും ഭീഷണിപ്പെടുത്തി.ഭീഷണിയെ തുടര്ന്ന് ഭാര്യ ജൂലൈ 30 ന് പൊന്നലുരു പൊലീസില് പരാതി നല്കുകയും ചെയ്തു. പൊലീസ് അന്വേഷണത്തിനൊടുവില് കണ്ടുക്കൂരിന് സമീപം പ്രതിയെ കണ്ടെത്തുകയായിരുന്നു. സ്വന്തം മകനൊപ്പം മദ്യപിച്ച് ബോധരഹിതനായി കിടക്കുന്ന രീതിയിലാണ് പ്രതിയെ പൊലീസ് കണ്ടെത്തിയത്. പ്രതിയെ പൊലീസ് അറസ്റ്റ് ചെയ്യുകയും കുട്ടിയെ അമ്മയുടെ കൂടെ വിടുകയും ചെയ്തു. | malyali |
Body Pain: शरीर में दर्द बॉडी पेन के हो सकते हैं ये 7 कारण, डॉक्टर से जानें इसे दूर करने के उपाय Body pain reason in hindi: शरीर में दर्द क्यों होता है? वैसे तो दिन भर की थकान के बाद शरीर में दर्द होना आम बात है। लेकिन शरीर में दर्द कई बीमारियों का एक सामान्य लक्षण भी होता है। फ्लू, स्ट्रेस, अर्थराइटिस, एनीमिया और विटामिन डी की कमी शरीर में दर्द के मुख्य कारण माने जाते हैं। इनके अलावा लंबे समय तक खड़े रहने पर, चलते समय या फिर एक्सरसाइज करते समय शरीर में दर्द का अहसास हो सकता है। चलिए कामिनेनी अस्पताल, हैदराबाद के सीनियर जनरल फिजिशियन और डायबिटोलॉजिस्ट डॉक्टर मुक्शीथ कादरी Dr. Muqshith Quadri, Senior General Physician Diabetologist, Kamineni Hospitals, Hyderabad से विस्तार से जानें शरीर में दर्द के कारण और उपाय शरीर में दर्द के कारण Body pain Reason in hindi हमेशा तनाव में रहना, नींद की कमी, थकान और पानी की कमी से शरीर में दर्द हो सकता है। इसके साथ ही एनीमिया, विटामिन डी की कमी और फ्लू के वजन से भी शरीर में दर्द हो सकता है। 1. तनाव Stress in hindi शरीर में दर्द का एक प्रमुख कारण तनाव है। तनाव सीधे तौर पर हमारी जीवनशैली को प्रभावित करता है। तनाव शरीर में उच्च हृदय गति, रक्तचाप में वृद्धि और सिरदर्द पैदा कर सकता है। तनाव की वजह से कंधे, पैरों और कमर की का अहसास हो सकता है। इसलिए इससे बचना चाहिए। 2. डिहाइड्रेशन Dehydration in hindi डिहाइड्रेशन यानी शरीर में पानी की कमी dehydration meaning in hindi। शरीर में पानी की कमी भी शरीर में दर्द का कारण बन सकता है। डिहाइड्रेशन की वजह से शरीर श्वास और पाचन सहित कई प्रक्रियाओं को ठीक से नहीं कर पाता है, इससे शारीरिक दर्द महसूस हो सकता है। पीला पेशाब, चक्कर आना, थकावट और बारबार प्यास लगाना डिहाइड्रेशन के लक्षण होते हैं। डायरिया की स्थिति शरीर में दर्द पैदा कर सकती है, क्योंकि डायरिया की वजह से भी शरीर में पानी की कमी हो जाती है। 3. नींद की कमी Lack of sleep पर्याप्त नींद न लेना आपके संपूर्ण स्वास्थ्य को प्रभावित कर सकता है। नींद की कमी से हमारे शरीर के ऊतक और कोशिकाएं ठीक से काम नहीं करती हैं, इससे शरीर में दर्द होता है। साथ ही मस्तिष्क को तरोताजा रखने के लिए भी पूरी नींद लेना जरूरी है। नींद की कमी से शरीर में दर्द का अहसास हो सकता है। lack of sleep causes शरीर में थकान महसूस हो सकती है। 4. एनीमिया Anemia in hindi anemia meaning in hindi: एनीमिया यानी शरीर में खून की कमी। एनीमिया रोगी अपने शरीर के सभी अंगों में थकान महसूस करते हैं। एनीमिया तब होता है, जब शरीर में लाल रक्त कोशिकाएं पर्याप्त रूप से काम नहीं कर पाती हैं, इससे शरीर के ऊतकों को पर्याप्त ऑक्सीजन नहीं मिल पाता है। एनीमिया के साथ शरीर के कई हिस्सों में थकान और दर्द महसूस हो सकता है। 5. विटामिन डी की कमी Vitamin d deficiency विटामिन डी कैल्शियम और मांसपेशियों के लिए अच्छा होता है। किडनी और मांसपेशियां जैसे हमारे महत्वपूर्ण अंग ठीक से काम करने के लिए कैल्शियम पर निर्भर होते हैं। इसलिए जब शरीर में कैल्शियम और विटामिन डी की कमी होती है, तो शरीर में दर्द होने लगता है। 6. फ्लू और अन्य संक्रमण Flu in hindi फ्लू हमारे शरीर में बुखार का कारण बनता है। इससे हमारे पीठ, पैरों और बाहों की मांसपेशियों में दर्द का अहसास हो सकता है। 7. गठिया Arthritis in hindi गठिया तब होता है, जब जोड़ों में सूजन आ जाती है। रुमेटीइड गठिया या एसएलई ये सभी आपके जोड़ों में दर्द पैदा कर सकते हैं। आपके मूवमेंट को सीमित कर सकते हैं। जोड़ों में जकड़न और सूजन भी गठिया के लक्षणों में शामिल हैं। शरीर में दर्द के उपाय Body Pain ke Upay तनाव दूर करने के लिए मेडिटेशन करें। एक्सरसाइज और योग को अपनी जीवनशैली में शामिल करें। खुद को हाइड्रेट रखें। इसके लिए लिक्विड डाइट लें। दिनभर में 810 गिलास पानी जरूर पिएं। थकान से बचने के लिए पूरा आराम लेना जरूरी होता है। इसके लिए आप दिन में 78 घंटे की नींद जरूर लें। एनीमिया से बचने के लिएलें। विटामिन डी युक्त खाद्य पदार्थों को अपनी डाइट में जरूर शामिल करें। अगर आपको भी शरीर में दर्द महसूस होता है, तो इसे बिल्कुल भी नजरअंदाज न करें। धीरेधीरे यह दर्द गंभीर भी बन सकता है। | hindi |
EASTVIEW PARTNERS LLC is a business legal entity registered in compliance with the national legislation of the State of Connecticut under the legal form of Domestic Limited Liability Company. Company is located in the register under the national Company number 1170053. The incorporation date of this company is on 9th March 2015 and its headquarters can be found at 127 GRANDVIEW DR, GLASTONBURY, CT, 06033. Actually the company´s status is Active.
Business activities of this company are managed together by 3 persons, who are responsible for correct companys operations on the market. They are LUSARIDA PROPERTY MANAGEMENT LLC as principal with the seat at 127 GRANDVIEW DR, GLASTONBURY, CT, 06033 , WILLIAMS CONSULTING LLC as principal with the seat at 424 HIGHLAND ST, WETHERSFIELD, CT, 06109 , LUCIE TALEVI as registered agent with the seat at 127 GRANDVIEW DR, GLASTONBURY, CT, 06033 .
EASTVIEW DRIVE HOMEOWNER'S ASSOCIATION, INC.
EASTSIDER SALON FOR HAIR, LTD.
EASTSIDE VILLAGE COMMONS ASSOCIATION, INC.
FAMILIES AND FRIENDS AGAINST DEPORTATION, INC.
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১০৮ মেগাপিক্সেল ক্যামেরা সহ Samsung Galaxy A73 5G ভারতে লঞ্চ হল, রয়েছে আরও অনেক নজরকাড়া ফিচার Samsung Galaxy A73 5G গ্লোবাল মার্কেটের পর এবার ভারতে লঞ্চ হল নয়া এই Galaxy A সিরিজের ফোনে পাওয়া যাবে ১০৮ মেগাপিক্সেল রিয়ার ক্যামেরা ও ১২০ হার্টজ রিফ্রেশ রেটের ডিসপ্লে আবার এতে আছে কোয়ালকম স্ন্যাপড্রাগন ৭৭৮জি প্রসেসর ও আইপি৬৭ রেটিং Samsung Galaxy A73 5G আপাতত কোম্পানির অফিসিয়াল ওয়েবসাইট থেকে প্রিঅর্ডার করা যাবে এছাড়া শীঘ্রই রিটেল স্টোর ও ইকমার্স সাইট থেকে ফোনটির বিক্রি শুরু হবে কোম্পানির দাবি, এই ফোনে ৪ বছর অ্যান্ড্রয়েড এবং ৫ বছর সিকিউরিটি আপডেট আসবে Samsung Galaxy A73 5G এর দাম ভারতে স্যামসাং গ্যালাক্সি এ৭৩ ৫জি ফোনের দাম এখনও ঘোষণা করা হয়নি তবে ফোনটি ৮ জিবি র্যাম ১২৮ জিবি স্টোরেজ এবং ৮ জিবি র্যাম ২৫৬ জিবি স্টোরেজ ভ্যারিয়েন্টে পাওয়া যাবে বলে জানানো হয়েছে এছাড়া ফোনটি অওসম গ্রে, অওসম মিন্ট ও অওসম হোয়াইট কালারের মধ্যে বেছে নেওয়া যাবে Samsung Galaxy A73 5G এর স্পেসিফিকেশন ও ফিচার ডুয়েল সিমের স্যামসাং গ্যালাক্সি এ৭৩ ৫জি ফোনে কর্নিং গরিলা গ্লাস ৫ প্রোটেকশন সহ ৬.৭ ইঞ্চির ফুল এইচডি প্লাস সুপার ইনফিনিটি ও অ্যামোলেড প্লাস ডিসপ্লে দেওয়া হয়েছে, যা ৮০০ নিটস ব্রাইটনেস ও ১২০ হার্টজ রিফ্রেশ রেট সাপোর্ট করে ফাস্ট পারফরম্যান্সের জন্য, স্যামসাং গ্যালাক্সি এ৭৩ ৫জি স্মার্টফোনে ২.৪ গিগাহার্টজ ক্লক রেটের অক্টা কোর কোয়ালকম স্ন্যাপড্রাগন ৭৭৮জি প্রসেসর ব্যবহার করা হয়েছে ফোনটি ৮ জিবি পর্যন্ত র্যাম ও ২৫৬ জিবি পর্যন্ত ইন্টারনাল মেমরি সহ পাওয়া যাবে আবার মাইক্রোএসডি কার্ডের মাধ্যমে ফোনটির স্টোরেজ ১ টেরাবাইট পর্যন্ত বাড়ানো যাবে এটি অ্যান্ড্রয়েড ১২ ভিত্তিক ওয়ানইউআই ৪.১ কাস্টম ওএস চালিত ফটোগ্রাফির জন্য Samsung Galaxy A72 ফোনের তুলনায় নবাগত Samsung Galaxy A73 5G ফোনের ক্যামেরা সেটআপ তথা ফিচার খানিকটা আলাদা রাখা হয়েছে এতে কোয়াড ক্যামেরা সেটআপ বিদ্যমান এই ক্যামেরাগুলি হল, OIS টেকনোলজি ও এফ১.৮ অ্যাপারচার সাপোর্ট সহ ১০৮ মেগাপিক্সেল প্রাইমারি সেন্সর, এফ২.২ অ্যাপারচার সহ ১২ মেগাপিক্সেলের আল্ট্রা ওয়াইড লেন্স, এফ২.৪ অ্যাপারচার সহ ৫ মেগাপিক্সেল ম্যাক্রো সেন্সর এবং ৫ মেগাপিক্সেল ডেপ্থ সেন্সর এছাড়া সেলফি ও ভিডিও কলিংয়ের জন্য ফোনে ৩২ মেগাপিক্সেলের ফ্রন্টফেসিং ক্যামেরা অ্যাপারচার : এফ২.২ উপস্থিত প্রসঙ্গত, স্যামসাং একটি বিবৃতিতে জানিয়েছে যে, ডিভাইসের রিয়ার প্রাইমারি সেন্সরটি ৩এক্স হাইব্রিড জুম এবং ১০এক্স ডিজিটাল জুম সাপোর্ট করে পাওয়ার ব্যাকআপের জন্য Samsung Galaxy A73 5G ফোনে ৫,০০০ এমএএইচ ব্যাটারি আছে, যা ২৫ ওয়াট ফাস্ট চার্জিং সাপোর্ট করে যদিও, ফোনটির রিটেল বক্সে চার্জার অন্তর্ভুক্ত থাকছে না | bengali |
100 കോടി വാക്സിന് എന്നത് ഒരു നമ്ബര് മാത്രമല്ല, ചരിത്രത്തിലെ പുതിയ അധ്യായമാണെന്ന് മോദി നൂറു കോടി വാക്സിന് ഡോസുകള് എന്ന നേട്ടം കൈവരിച്ചതില് രാജ്യത്തെ ജനങ്ങളോട് നന്ദി പറഞ്ഞ് പ്രധാനമന്ത്രി നരേന്ദ്രമോദി.100 കോടി വാക്സിന് ഒരു നമ്ബര് മാത്രമല്ല, ചരിത്രത്തിലെ പുതിയ അധ്യായമാണ്. കഠിനമായ ലക്ഷ്യങ്ങള് വിജയകരമായി പൂര്ത്തീകരിക്കാന് ഇന്ത്യയ്ക്ക് ആകും എന്നതിന്റെ തെളിവാണ്. സബ്കാ സാഥ്, സബ്കാ വികാസ്, സബ്കാ വിശ്വാസ് എന്ന മുദ്രാവാക്യത്തിന്റെ ജീവിക്കുന്ന തെളിവാണ് ഇന്ത്യയുടെ വാക്സിന് ക്യാംപയിന്. വാക്സിനേഷന് പദ്ധതിയില് വിവിഐപികള്ക്ക് പ്രത്യേക പരിഗണന ലഭിച്ചില്ല. എല്ലാവരെയും തുല്യാരായാണ് കണ്ടത്. ശാസ്ത്രീയമായിരുന്നു രാജ്യത്തിന്റെ വാക്സിനേഷന് ഡ്രൈവ്. മോദി പറഞ്ഞു. ഈ വിജയത്തിന് പിന്നില് 130 കോടി ഇന്ത്യക്കാരുടെയും പ്രയത്നമുണ്ടെന്ന് രാജ്യത്തെ അഭിസംബോധന ചെയ്യവെ അദ്ദേഹം പറഞ്ഞു. ഇന്ത്യയുടെ മികവിന് തെളിവാണ് ഇതെന്നും വാക്സിന് വിതരണത്തില് തുല്യത പാലിച്ചെന്നും മോദി കൂട്ടിച്ചേര്ത്തു. ഇന്നലെ നൂറു കോടി വാക്സിനേഷന് എന്ന അസാധാരണമായ ലക്ഷ്യം ഇന്ത്യ മറികടന്നു. ഈ നേട്ടത്തിന് പിന്നില് 130 കോടി ഇന്ത്യയ്ക്കാരുടെ പ്രയത്നമുണ്ട്. ഈ വിജയം ഇന്ത്യയുടെ വിജയമാണ്. ഓരോ പൗരന്റെയും വിജയമാണ്. നിരവധി പേര് ഇന്ത്യയുടെ വാക്സിനേഷന് പദ്ധതിയെ മറ്റു രാജ്യങ്ങളുടേതുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുന്നത്. 100 കോടി പിന്നിട്ട വേഗം അഭിനന്ദനീയമാണ്. എന്നാണ് എവിടെ നിന്നാണ് നമ്മള് തുടങ്ങിയത് എന്ന കാര്യം വിട്ടുപോകുന്നു പ്രധാനമന്ത്രി പറഞ്ഞു. ഈ നൂറ്റാണ്ടിലെ തന്നെ ഏറ്റവും വലിയ മഹാമാരി വന്നപ്പോള് ഇന്ത്യയില് ചോദ്യങ്ങള് ഉയരാന് തുടങ്ങിയിരുന്നു. ആഗോള മഹാമാരിക്കെതിരെ പൊരുതാന് ഇന്ത്യയ്ക്കാകുമോ എന്നായിരുന്നു ചോദ്യം. ഇത്രയും കൂടുതല് വാക്സിന് വാങ്ങാന് ഇന്ത്യയ്ക്ക് എവിടെ നിന്ന് പണം കിട്ടും? എന്ന് ഇന്ത്യക്ക് വാക്സിന് കിട്ടും? ഇന്ത്യയിലെ ജനങ്ങള്ക്ക് വാക്സിന് കിട്ടുമോ? തുടങ്ങിയ ചോദ്യങ്ങള് ഉന്നയിക്കപ്പെട്ടു. ഇന്ന് നൂറു കോടി വാക്സിനേഷന് അതിനുള്ള എല്ലാറ്റിനും ഉത്തരമാണ് അദ്ദേഹം കൂട്ടിച്ചേര്ത്തു. ഷിനോജ് | malyali |
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