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## 第一章
## 分子动理论
金黄的油莠花针满了原野，微风拂过，珵来阵阵花香。你有没有想过，为什么能够闻到这沁人心脾的香味呢?古希腊学者德谟克利特早就对此作出了解释,他认为这是由于花的原子飘到了人们鼻子里。德谟克利特认为“只有原子和虚空是真实的”
这些“花的原子”究竟是怎么运动的?经过很长一段探索历程之后,人们逐渐认识到,这种运动也是自然界中普遍存在的一种运动形式热运动。热学就是研究物质热逵劫侓及其应用的一门学科,是物理学的一个重要组成部分。热学这一门科学起源于人类对于热与冷现象的本质的追求 $\cdots \cdots$ ( 这) 可能是人类最初对自然法则的追求之一。
-王竹溪 ${ }^{11}$
## (1) 分子动理论的基本内容
## 问题
如果我们把地球的大小与一个苹果的大小相比,那就相当于将直径为 $1 \mathrm{~cm}$ 的球与分子相比可见，分子是极其微小的。
我们曾经研究过物体的运动,那么,构成物体的微小分子会怎样运动呢?
图 1.1-1 石墨表面原子的照片
## 物体是由大量分子组成的
我们在初中已经学过,物体是由大量分子组成的。需要指出的是：在研究物质的化学性质时,我们认为组成物质的微粒是分子、原子或者离子。但是,在研究物体的热运动性质和规律时,不必区分它们在化学变化中所起的不同作用，而把组成物体的微粒统称为分子。
我们知道,$1 \mathrm{~mol}$ 水中含有水分子的数量就达 $6.02 \times 10^{23}$ 个。${ }^{2}$ 这足以表明，组成物体的分子是大量的。人们用肉眼无法直接看到分子,就是用高倍的光学显微镜也看不到。直至 1982 年,人们研制了能放大几亿倍的扫描隧道显微镜 $^{3}$，才观察到物质表面原子的排列。图 1.1-1 是我国科学
(1) 王竹溪 ( 1911-1983),中国物理学家,中国科学院学部委员 (现称院士),北京大学教授。
(2) $1 \mathrm{~mol}$ 的任何物质都含有相同的粒子数,这个数量用阿伏加德罗常数表示,即 $N_{\mathrm{A}}=6.02214076 \times 10^{23} \mathrm{~mol}^{-1}$。
(3) 扫描隧道显微镜是一种可以探测物质表面结构的仪器,它通过移动着的探针与物质表面的相互作用，将物质表面原子的排列状态转换为图像信息，获得具有原子尺度分辨力的表面形貌信息。家用扫描隧道显微镜拍摄的石墨表面的原子,图中每个亮斑都是一个碳原子。
## 分子热运动
扩散从许多实验和生活现象中我们都会发现,不同种物质能够彼此进人对方。在物理学中,人们把这类现象叫作扩散 (diffusion)。扩散现象并不是外界作用（例如对流、重力作用等) 引起的,也不是化学反应的结果,而是由物质分子的无规则运动产生的。例如,图 1.1-2 中奖油的色素分子扩散到了鸡蛋清内。扩散现象是物质分子永不停息地做无规则运动的证据之一。
扩散现象在科学技术中有很多应用。例如,在生产半导体器件时,需要在纯净半导体材料中掺人其他元素。这一过程可以在高温条件下通过分子的扩散来完成。
布朗运动 19 世纪初，一些人观察到，悬浮在液体中的小颗粒总在不停地运动。1827年,英国植物学家布朗首先在显微镜下研究了这种运动。下面我们做一个类似的实验。
图 1.1-2 酱油的色素分子扩散到了蛋清内
## 演示
用显微镜观察炭粒的运动
如图 1.1-3,取 1 滴用水稀释的墨汁,滴在载玻片上，盖上盖玻片,放在高倍显微镜下观察小炭粒的运动情况。调节显微镜的放大倍数,如调节至 400 倍或 1000 倍,观察悬浊液中小炭粒的运动情况。目镜中观察的结果可以通过显示器呈现出来。
改变悬浊液的温度。重复上述操作,观察悬浊液中小炭粒的运动情况。
图 1.1-3 观察布朗运动的实验装置
从实验结果可以看出,小炭粒的运动是无规则的,温度越高，小炭粒的运动越明显。
图 1.1-4 三颗微粒运动位置的连线
如果在显微镜下追踪一颗小炭粒的运动,每隔 $30 \mathrm{~s}$ 把炭粒的位置记录下来,然后用线段把这些位置按时间顺序依次连接起来,便可以得到一条类似于图 1.1-4 中某一颗微粒运动的位置连线。这表明微粒的运动是无规则的。实际上，就是在 $30 \mathrm{~s}$ 内，微粒的运动也是极不规则的。
当时布朗观察的是悬浮在水中的花粉微粒。他起初认为,微粒的运动不是外界因素引起的,而是其自发的运动。是不是因为植物有生命才产生了这样的运动？布朗用当时保存了上百年的植物标本,取其微粒进行实验,他还用了一些没有生命的无机物粉末进行实验。结果是，不管哪一种微粒，只要足够小，就会发生这种运动；微粒越小，运动就越明显。这说明微粒的运动不是生命现象。后人把悬浮微粒的这种无规则运动叫作布朗运动 (Brownian motion)。
## 摁丟与讨论
为什么花粉微粒的运动是无规则的?为什么微粒越小,它的无规则运动越明显?
图 1.1-5 液体分子沿各方向对微粒的撞击
- 分子的无规则运动无法直接观察。悬浮微粒的无规则运动并不是分子的运动，但这一现象可以间接地反映液体分子运动的无规则性如图 1.1-5,在显微镜下看起来连成一片的液体,实际上是由许许多多分子组成的,液体分子不停地做无规则运动，不断地撞击微粒。在某一瞬间，微粒在某个方向受到的撞击作用较强；在下一瞬间，微粒受到另一方向的撞击作用较强，这样就引起了微粒无规则的运动。
悬浮在液体中的微粒越小，在某一瞬间跟它相撞的液体分子数越少，撞击作用的不平衡性就表现得越明显,并且微粒越小，它的质量越小，其运动状态越容易被改变，因而,布朗运动越明显。如果悬浮在液体中的微粒很大,在某一瞬间跟它相撞的分子数很多,各个方向的撞击作用接近平衡,这时就很难观察到布朗运动了。
热运动在扩散现象中，温度越高，扩散得越快。观察布朗运动,温度越高,悬浮微粒的运动就越明显。可见,分子的无规则运动与温度有关系,温度越高,这种运动越剧烈。因此,我们把分子这种永不停息的无规则运动叫作热运动 ( thermal motion)。温度是分子热运动剧烈程度的标志。
## 分子间的作用力
气体很容易被压缩，说明气体分子之间存在着很大的空隙。固体或液体不容易被压缩,那么,分子之间还会有空隙吗?
## 做一做
向 A、B 两个量筒中分别倒入 $50 \mathrm{~mL}$ 的水和酒精 (图 1.1-6甲),然后再将 $\mathrm{A}$ 量筒中的水倒入 B量筒中,观察混合后液体的体积 (图1.1-6乙)。它说明了什么问题?
水和酒精混合后的总体积变小了。这表明液体分子间存在着空隙。再如,压在一起的金块和铅块,各自的分子能扩散到对方的内部，这表明固体分子之间也存在着空隙。分子间有空隙,大量分子却能聚集在一起,这说明分子之间存在着相互作用力。
当用力拉伸物体时,物体内各部分之间要产生反抗拉伸的作用力,此时分子间的作用力表现为引力。
当用力压缩物体时,物体内各部分之间会产生反抗压缩的作用力,此时分子间的作用力表现为斥力。
分子之间的引力或斥力都跟分子间距离有关,那么,它们之间有怎样的关系呢?
研究表明,分子间的作用力 $F$ 跟分子间距离 $r$ 的关系如
图 1.1-7 分子间作用力与分子间距离的关系图 1.1-7所示。
当 $r<r_{0}$ 时,分子间的作用力 $F$ 表现为斥力。
当 $r=r_{0}$ 时,分子间的作用力 $F$ 为 0,这个位置称为平衡位置。
当 $r>r_{0}$ 时,分子间的作用力 $F$ 表现为引力。
那么，分子间为什么有相互作用力呢?
我们知道,分子是由原子组成的。原子内部有带正电的原子核和带负电的电子。分子间的作用力就是由这些带电粒子的相互作用引起的。
## 分子动理论
我们已经知道: 物体是由大量分子组成的,分子在做永不停息的无规则运动,分子之间存在着相互作用力。这就是分子动理论的基本内容。
在热学研究中常常以这样的基本内容为出发点,把物质的热学性质和规律看作微观粒子热运动的宏观表现。这样建立的理论叫作分子动理论 (molecular kinetic theory)。
由于分子热运动是无规则的,所以,对于任何一个分 子而言，在每一时刻沿什么方向运动，以及运动的速率等 都具有偶然性;但是对于大量分子的整体而言,它们的运 动却表现出规律性。在本章第 3 节我们将研究分子运动速 率的分布规律。
## 练习与应用
1. 把铜块中的铜分子看成球形,且它们紧密排列,试估算铜分子的直径。铜的密度为 $8.9 \times 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}$，铜的摩尔质量为 $6.4 \times 10^{-2} \mathrm{~kg} / \mathrm{mol}$。2. 标准状态下氧气分子间的平均距离是多少?氧气的摩尔质量为 $3.2 \times 10^{-2} \mathrm{~kg} / \mathrm{mol},1 \mathrm{~mol}$ 气体处于标准状态时的体积为 $2.24 \times 10^{-2} \mathrm{~m}^{3}$。3. 以下关于布朗运动的说法是否正确?说明理由。
(1) 布朗运动就是分子的无规则运动。
(2) 布朗运动证明,组成固体小颗粒的分子在做无规则运动。
(3) 向一锅水中撒一点胡椒粉,加热时发现水中的胡椒粉在翻滚。这说明温度越高布朗运动越剧烈。
(4) 在显微镜下可以观察到煤油中小粒灰尘的布朗运动,这说明煤油分子在做无规则运动。
4. 小张在显微镜下观察水中悬浮的细微粉笔末的运动。他把小颗粒每隔一定时间的位置记录在坐标纸上 ( 图 1.1-8)，于是得出结论: 固体小颗粒的无规则运动证明水分子的运动是无规则的。小李不同意小张的结论,他认为:“小颗粒沿着笔直的折线运动，说明水分子在短时间内的运动是规则的,否则小颗粒怎么会沿直线运动?”对此,说说你的看法。
图 1.1-8
5. 请描述：当两个分子间距离由 $r_{0}$ 逐渐增大，直至远大于 $r_{0}$ 时，分子间的作用力表现为引力还是斥力?当两个分子间距离由 $r_{0}$ 逐渐减小，分子间的作用力表现为引力还是斥力?
## (2) 实验: 用油膜法估测油酸分子的大小
分子十分微小。一个直径为 $10^{-3} \mathrm{~mm}$ 左右的水珠,它的大小与细菌差不多,用肉眼无法观察,就是在这样小的水珠里,分子的个数竟比地球上人口的总数还多上好几倍!
那么,通过什么途径可以知道分子的大小呢?下面我们通过一个实验来估测分子的大小。
## 实验思路
为了估测油酸分子的大小,我们把 1 滴油酸滴在水面上，水面上会形成一层油膜，油膜是由单层油酸分子 $\left(\mathrm{C}_{17} \mathrm{H}_{33} \mathrm{COOH}\right)$ 中的烃基 $\mathrm{C}_{17} \mathrm{H}_{33}$ 组成的。(1)
尽管油酸分子有着复杂的结构和形状，分子间也存在着间隙，但在估测其大小时，可以把它简化为球形处理,并认为它们紧密排布 (图 1.2-1)。测出油膜的厚度 $d$,它就
- 建立模型、进行合理的估算在物理学的学习和研究中是很有用的相当于分子的直径。
图1.2-1 水面上单分子油膜的示意图
实验中，为了使油酸充分展开，获得一块单分子油膜，我们需要将油酸在酒精中稀释后再滴人水中。这样的油酸酒精溶液滴在水面上,溶液中的酒精将溶于水并很快挥发,从而获得纯油酸形成的油膜。
这里可以粗略地认为,油膜的厚度 $d$ 等于 1 滴油酸酒精溶液中纯油酸的体积 $V$ 与它在水面上推开的面积 $S$ 之比。
(1) 油酸分子中的一部分是垟基 $-\mathrm{COOH}$,它对水有较强的亲合力;而另一部分烃基 $\mathrm{C}_{17} \mathrm{H}_{33}$-对水没有亲合力,要冒出水面。因此,油酸分子会一个个地直立在水面上形成单分子油膜。
## 物理量的测量
图 1.2-2 记录油酸酒精溶液的滴数 1. 测量 1 滴油酸酒精溶液中纯油酸的体积 $V$。
配制一定浓度的油酸酒精溶液。${ }^{1}$ 用注射器吸取一段油酸酒精溶液,由注射器上的刻度读取该段溶液的总体积,再把它一滴一滴地滴人烧杯中（图 1.2-2),记下液滴的总滴数。用它们的总体积除以总滴数,得到 1 滴油酸酒精溶液的体积,再计算其所含纯油酸的体积 $V$。
2. 测量 1 滳油酸酒精溶液在水面上形成的油膜面积 $S_{\text {。}}$
在浅盘里盛上水,一只手捏住盛有爽身粉的布袋,另一只手拍打，将爽身粉均匀地撒在水面上（图 1.2-3 甲）。然后,用注射器向水面上滴 1 滳油酸酒精溶液（图 1.2-3 乙)，油酸立即在水面散开，形成一块油膜。油膜上没有爽身粉,可以清楚地看出它的轮廓 (图 1.2-3丙)。待油膜形状稳定后,将事先准备好的带有坐标方格的玻璃板放在浅盘上，在玻璃板上描下薄膜的形状 (图 1.2-3丁)。
图 1.2-3 记录油酸薄膜的形状
根据画有油膜轮廓的玻璃板上的坐标方格,计算轮廓范围内正方形的个数,不足半个的舍去,多于半个的算一
(1) 可以向 $1 \mathrm{~mL}$ 油酸中加酒精,直至总量达到 $500 \mathrm{~mL}$ 个。然后,把正方形的个数乘单个正方形的面积就得到油膜的面积 $S_{\text {。}}$
## 数据分析
用 1 滴油酸酒精溶液中纯油酸的体积 $V$ 和该油膜面积 $S$ 计算出油膜厚度,即油酸分子的直径
$$
d=\frac{V}{S}
$$
大量实验结果表明,尽管所用的测定分子大小的方法不同,测出的结果也有差异,但数量级是一致的。除了一些有机物质的大分子外,多数分子大小的数量级为 $10^{-10} \mathrm{~m}$。b用油膜法估测油酸分子直径的大小是一种通过测量宏观量来测量微观量的方法
## 练习与应用
1. 把一片很薄的均匀塑料薄膜放在盐水中,调节盐水的密度,使薄膜能在盐水中悬浮,此时盐水的密度为 $1.2 \times 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}$。用天平测出尺寸为 $10 \mathrm{~cm} \times 20 \mathrm{~cm}$ 的这种塑料薄膜的质量是 $36 \mathrm{~g}$,请计算薄膜的厚度。2.“用油膜法估测油酸分子的大小”实验,有两个非常巧妙的设计,请你借鉴这两个设计思路，完成以下实验:
(1) 现需要在一个烧杯中倒入 $0.01 \mathrm{~g}$ 食盐供以后做实验用,但现有的电子秤最小只能称 $1 \mathrm{~g}$ 的质量,怎么办?请定量地具体说明操作的步骤。
(2) 有一小捆粗细均匀的细铁丝,要较精确地测量细铁丝的横截面积,你认为应该怎样测量?说出所需的器材和测量方法。
3. 某同学做“用油膜法估测油酸分子的大小”实验时,每 $10^{3} \mathrm{~mL}$ 油酸酒精溶液中有纯油酸 $1 \mathrm{~mL}$。用注射器测得 58 滴这样的溶液为 $1 \mathrm{~mL}$。把 1 滴这样的溶液滴入盛水的浅盘里,等油膜形状稳定后,把玻璃板盖在浅盘上并描画出油膜的轮廓,如图 1.2-4 所示。图中正方形小方格的边长为 $1 \mathrm{~cm}$。
(1) 1 滴油酸酒精溶液中含有的纯油酸的体积是多少?
（2）油膜的面积是多少?
(3) 按以上数据,估算油酸分子的大小。
图 1.2-4
## 3 分子运动速率分布规律
## 问题
伽尔顿板的上部规则地钉有铁钉,下部用竖直隔板隔成等宽的狭槽,从顶部入口投入一个小球时，小球落入某个狭槽是偶然的。
如果投入大量的小球，就可以看到，最后落入各狭槽的小球数目是不相等的。靠近入口的狭槽内的小球数目多，远离入口的狭槽内小球的数目少。
重复几次实验你会发现,其分布情况遵从一定
的规律。由此你能得到什么启发吗?
在一定条件下，若某事件必然出现，这个事件叫作必然事件;若某事件不可能出现，这个事件叫作不可能事件。若在一定条件下某事件可能出现,也可能不出现,这个事件叫作随机事件。大量随机事件的整体往往会表现出一定的规律性，这种规律就叫作统计规律 ( statistical regularity)。
## 气体分子运动的特点
热现象与大量分子热运动的统计规律有关。要研究气体的热现象,就要了解气体分子运动的特点。
图 1.3-1 气体分子运动的示意图
我们可以认为,液体的分子是一个挨着一个地排列的。液体变为气体后,体积要增大上千倍,可见，气体分子间距离大约是分子直径的 10 倍。分子的大小相对分子间的空隙来说很小,所以,可以把气体分子视为质点。由于气体分子间距离比较大,分子间的作用力很弱,通常认为,气体分子除了相互碰撞或者跟器壁碰撞外,不受力而做匀速直线运动，气体充满它能达到的整个空间（图 1.3-1）。虽然气体分子的分布比液体稀疏,但分子的数密度 ${ }^{\mathbb{1}}$ 仍然十分巨大,分子之间频繁地碰撞,每个分子的速度大小和方向频繁地改变。分子的运动杂乱无章,在某一时刻,向着任何一个方向运动的分子都有,而且向各个方向运动的分子数目几乎相等。当然,这里说的数目相等,是针对大量分子而言的,实际数目会有微小的差别,由于分子数极多，其差别完全可以忽略。
## 分子运动速率分布图像
尽管分子做无规则运动,速率有大有小,但大量分子的速率却按一定的规律分布。下表是氧气分子在 $0{ }^{\circ} \mathrm{C}$ 和 $100{ }^{\circ} \mathrm{C}$ 两种不同情况下的速率分布情况。图 1.3-2 是根据表格中的数据绘制的图像。
## 表氧气分子的速率分布
| 速率区间 $/\left(\mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}\right)$ | | $\begin{array}{l}100 \\ \text { 以下 }\end{array}$ | $\underset{\sim}{100}$ | $\stackrel{200}{\sim}$ | $\stackrel{300}{\sim}$ | $\stackrel{400}{\sim}$ | $\begin{array}{c}500 \\ \sim\end{array}$ | $\begin{array}{c}600 \\ \sim\end{array}$ | $\stackrel{700}{\sim}$ | $\stackrel{800}{\sim}$ | $\begin{array}{l}900 \\ \text { 以上 }\end{array}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $\begin{array}{c}\text { 各速率区间的 } \\ \text { 分子数 } \\ \text { 占总分子数的 } \\ \text { 百分比 }\end{array}$ | $0{ }^{\circ} \mathrm{C}$ | 1.4 | 8.1 | 17.0 | 21.4 | 20.4 | 15.1 | 9.2 | 4.5 | 2.0 | 0.9 |
| | $100{ }^{\circ} \mathrm{C}$ | 0.7 | 5.4 | 11.9 | 17.4 | 18.6 | 16.7 | 12.9 | 7.9 | 4.6 | 3.9 |
可以看到,$0^{\circ} \mathrm{C}$ 和 $100^{\circ} \mathrm{C}$ 氧气分子的速率都呈“中间多、两头少” 的分布,但这两个温度下具有最大比例的速率区间是不同的: $0{ }^{\circ} \mathrm{C}$ 时,速率在 $300 \sim 400 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的分子最多;$100{ }^{\circ} \mathrm{C}$ 时,速率在 $400 \sim 500 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的分子最多。$100^{\circ} \mathrm{C}$ 的氧气,速率大的分子比例较多,其分子的平均速率比 $0{ }^{\circ} \mathrm{C}$ 的大。从这里我们可以直观地体会到温
图 1.3-2 氧气分子的速率分布图像度越高,分子的热运动越剧烈。
(1) 分子的个数与它们所占空间体积之比叫作分子的数密度,通常用 $n$ 表示。
甲
Z
图 1.3-3 气体分子与器壁碰撞的示意图
## 气体压强的微观解释
从分子动理论的观点来看,气体对容器的压强源于气体分子的热运动,当它们飞到器壁时,就会跟器壁发生碰撞 (可视为弹性碰撞),就是这个撞击对器壁产生了作用力,从而产生了压强。如图 1.3-3 甲,选择一个与器壁发生正碰的气体分子为研究对象，由于是弹性碰撞,所以气体分子与器壁碰撞前后的动量大小为 $m v$,方向相反（图 1.3-3乙），气体分子受到的冲量为
$$
F \Delta t=-m v-m v=-2 m v
$$
气体分子受到的作用力为
$$
F=-\frac{2 m v}{\Delta t}
$$
根据牛顿第三定律,器壁受到的作用力为
$$
F^{\prime}=\frac{2 m v}{\Delta t}
$$
同理，我们也可以求出气体分子与器壁发生斜碰时分子给器壁的作用力。
气体对容器的压强是大量气体分子不断撞击器壁的结果。$^{(1)}$ 或许有人会问,这种撞击是不连续的,为什么器壁受到的作用力却是均匀不变的呢?下面我们用豆粒模拟气体分子做一个实验。
## 演示
模拟气体压强产生的机理
把一颗豆粒拿到台秤上方约 $20 \mathrm{~cm}$ 的位置,放手后使它落在秤盘上,观察秤的指针的摆动情况。
再从相同高度把 100 颗或者更多的豆粒均匀连续地倒在秤盘上（图 1.3-4 )，观察指针的摆动情况。
使这些豆粒从更高的位置落在秤盘上，观察指针的摆动情况。
图 1.3-4 模拟气体压强产生机理的实验
(1) 气体对容器的压强公式可以根据气体分子运动的统计规律推导出来,中学阶段对此不作要求。实验表明,单颗豆粒给秤盘的压力很小,作用时间也很短,但是大量的豆粒对秤盘的频繁碰撞,就对秤盘产生了一个持续的均匀的压力。
可见，对于单个分子来说，这种撞击是间断的、不均匀的,但是对于大量分子总的作用来说,就表现为连续的和均匀的了。器壁单位面积上受到的压力,就是气体的压强。
从微观角度来看,气体分子的数量是巨大的。一方面,
- 分子动理论将气体系统的宏观性质归结为分子的热运动及其相互作用，揭示了宏观现象的微观本质。若某容器中气体分子的平均速率越大,单位面积上气体分子与器壁的碰撞对器壁的作用力就越大;另一方面,若容器中气体分子的数密度大,在单位时间内,与单位面积器壁碰撞的分子数就多,平均作用力也会较大。
## 练习与应用
1. 从宏观上看,一定质量的气体体积不变仅温度升高或温度不变仅体积减小,都会使压强增大。从微观上看,这两种情况有没有区别?2. 体积都是 $1 \mathrm{~L}$ 的两个容器,装着质量相等的氧气,其中一个容器内的温度是 $0{ }^{\circ} \mathrm{C}$,另一个容器的温度是 $100{ }^{\circ} \mathrm{C}$。请说明：这两个容器中关于氧气分子运动速率分布的特点有哪些相同?有哪些不同?
3.有甲、乙、丙、丁四瓶氢气。甲的体积为 $V$,质量为 $m$,温度为 $t$,压强为 $p$。乙、丙、丁的体积、质量、温度如下所述。
（1）乙的体积大于 $V$，质量、温度和甲相同。
(2) 丙的温度高于 $t$,体积、质量和甲相同。
(3) 丁的质量大于 $m$、温度高于 $t$,体积和甲相同。
试问：乙、丙、丁的压强是大于 $p$ 还是小于 $p$?或等于 $p$?请用气体压强的微观解释来说明。
4. 我们知道,大量随机事件的整体会表现
出一定的规律性。例如,某一区域各辆共享单车的行驶方向是随机事件,但大量随机事件的统计结果就能显示出一定的规律。
某人想利用共享单车的大数据为本市规划的几条公交线路提供设计思路。图 1.3-5 显示了共享单车停放位置的分布图,共享单车的数据系统中也能记录用户每次使用共享单车的时间、路程等信息 (图 1.3-6)。据此可以统计“在某区域、某时段沿不同道路骑行的人数”“在某区域、某时段沿某道路骑行超过 $1 \mathrm{~km}、2 \mathrm{~km}$、$3 \mathrm{~km}$ 的人数” 等。你认为还可以统计哪些对规划公交线路有价值的数据?请说出利用这些统计数据的思路。
图 1.3-5
图 1.3-6
## (4) 分子动能和分子势能
## 问题
地面附近的物体所受的重力是 $G$,由于重力做功具有跟路径无关的特点,所以存在重力势能。重力势能由地球和物体的相对位置决定。分子间也存在相互作用力,那么,分子间是否存在势能呢?如果存在,有什么特点呢?
人们利用分子动理论通过对大量分子求统计平均,建立了宏观量与相应的微观量统计平均值的关系。
过去我们说,“温度是分子热运动剧烈程度的标志”,现在就能进一步说,“物体的温度是它的分子热运动的平均动能的标志”。
## 分子动能
分子不停地做无规则运动,那么，像一切运动着的物体一样,做热运动的分子也具有动能,这就是分子动能。物体中分子热运动的速率大小不一,所以各个分子的动能也有大有小,而且在不断改变。在热现象的研究中,我们关心的是组成系统的大量分子整体表现出来的热学性质,因而,这里重要的不是系统中某个分子的动能大小,而是所有分子的动能的平均值。这个平均值叫作分子热运动的平均动能。
温度升高时,分子的热运动加剧,温度越高,分子热运动的平均动能越大。温度越低,分子热运动的平均动能越小。因此,可以得出结论: 物体温度升高时,分子热运动的平均动能增加。这样,分子动理论使我们懂得了温度的微观含义。
## 分子势能
分子间存在着相互作用力,可以证明分子间的作用力所做的功与路径无关，分子组成的系统具有分子势能。
## 思考与讨论
分子势能的大小由分子间的相对位置决定,这说明分子势能 $E_{\mathrm{p}}$ 与分子间距离 $r$ 是有关系的。那么,它们之间存在怎样的一种关系呢?
如图 1.4-1,设两个分子相距无穷远 ${ }^{1}$，我们可以规定它们的分子势能为 0。让一个分子 $\mathrm{A}$ 不动，另一个分子 $\mathrm{B}$ 从无穷远处逐渐靠近 $\mathrm{A}^{\circ}$ 在这个过程中，分子间的作用力 ( 图 1.4-2 甲) 做功，分子势能的大小发生改变。
图 1.4-1 两个分子相互作用的示意图
当分子 $\mathrm{B}$ 向分子 $\mathrm{A}$ 靠近，分子间距离 $r$ 大于 $r_{0}$ 时，分子间的作用力表现为引力,力的方向与分子的位移方向相同，分子间的作用力做正功，分子势能减小。
当分子间距离 $r$ 减小到 $r_{0}$ 时,分子间的作用力为 0,分子势能减到最小。
越过平衡位置 $r_{0}$ 后,分子 $\mathrm{B}$ 继续向分子 $\mathrm{A}$ 靠近,分子间的作用力表现为斥力,力的方向与分子的位移方向相反，分子间的作用力做负功，分子势能增大。
可见，分子势能的大小是由分子间的相对位置决定的。
由以上分析可知,如果选定分子间距离 $r$ 为无穷远时的分子势能 $E_{\mathrm{p}}$ 为 0,则分子势能 $E_{\mathrm{p}}$ 随分子间距离 $r$ 变化的情况如图 1.4-2乙所示。分子势能 $E_{\mathrm{p}}$ 随分子间距离 $r$ 的变化有最小值,即当 $r=r_{0}$ 时，分子势能最小。
物体的体积变化时，分子间距离将发生变化，因而分子势能随之改变。可见,分子势能与物体的体积有关。
图 1.4-2 分子间的作用力与分子势能
## 物体的内能
物体中所有分子的热运动动能与分子势能的总和,叫作物体的内能 ( internal energy )。任何物体都具有内能。
(1) 两个分子相距无穷远是指它们之间几乎没有相互作用时的距离。分子热运动的平均动能与温度有关，分子势能与物体的体积有关。一般说来,物体的温度和体积变化时它的内能都会随之改变。
## 思考与讨论
物体下落的时候,物体中的分子在做无规则热运动的同时还共同参与竖直向下的落体运动。再如,地面上滚动的足球,球内的气体分子在做无规则热运动的同时,还共同参与水平地面上的运动。当足球静止在地面上时，其中的气体分子是否还具有能量呢?
应当指出，组成物体的分子在做无规则的热运动,具有热运动的动能,它是内能的一部分;同时物体还可能做整体的运动,因此,还会具有动能,这是机械能的一部分。后者是由物体的机械运动决定的,它对物体的内能没有贡献。
## 练习与应用
1. 在一个密闭容器内有一滴 $15^{\circ} \mathrm{C}$ 的水,过一段时间后，水滴蒸发变成了水蒸气，温度还是 $15^{\circ} \mathrm{C}$。它的内能是否发生了变化?为什么?2. 在一个真空的钟罩中,用不导热的细线悬吊一个铁块,中午时铁块的温度是 $28^{\circ} \mathrm{C}$,晩上铁块的温度是 $23{ }^{\circ} \mathrm{C}$。铁块的内能是否发生了变化?为什么?3. 有人说:“在高速列车的速度由小变大的过程中,列车上所有物体的动能都在增大,组成这些物体的分子的平均动能也在增大。既然温度是分子平均动能的标志,因此,在这个过程中列车上物体的温度是在升高的,只是升高得并不大,我们感觉不到而已。” 你说对吗?为什么?4. 有人说:“当我们把一个物体举高时,组成物体的每个分子的重力都做了负功，因此分子势能增大,这就导致物体的内能增大,我们举起物体所做的功,就等于物体内能的增加量。”你说对吗?为什么?
## A 组
1. 为什么说任何物体都具有内能?物体的体积不变,温度升高时,它的内能怎样变化?2. 当分子间距离为 $r_{0}$ 时,分子间的作用力为 0。分析当分子间的距离从 $0.9 r_{0}$ 增大到 $10 r_{0}$ 的过程中，分子间的作用力及分子势能的大小是如何变化的。3. 钻石是首饰以及高强度的钻头、刻刀等工具中的主要材料。设钻石的密度为 $\rho$,摩尔质量为 $M$,阿伏加德罗常数为 $N_{\mathrm{A}}$,请写出质量为 $m$ 的钻石所含有的分子数,推导钻石分子直径的表达式 (计算时可认为组成钻石的分子是一个紧挨着一个的小球）。4. 气体分子间的空隙很大,可将单个气体分子平均占有的空间看作以下模型：将气体所占的整个空间分成若干个小立方体,气体分子位于每个小立方体的中心,小立方体的边长为相邻气体分子间的平均距离。请按这种模型,估算气体在标准状态下分子间的平均距离。
## $B$ 组
1. 地球到月球的平均距离为 $3.8 \times 10^{5} \mathrm{~km}$。已知铁的摩尔质量为 $5.6 \times 10^{-2} \mathrm{~kg} / \mathrm{mol}$,密度为 $7.9 \times 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}$。若把铁分子一个紧挨一个地单列排起来,筑成从地球通往月球的“分子大道”。求:
(1) 这条“分子大道” 共需多少个铁分子?
(2) 这条“分子大道” 的质量为多少?
2. 甲、乙、丙三位同学分别在三个实验小组做“用油膜法估测油酸分子的大小”实验,但都发生了操作错误。
甲在配制油酸酒精溶液时,不小心把酒精倒多了一点,导致油酸酒精溶液的实际浓度比计算值小一些。乙在计算注射器滴出的每一滴油酸酒精溶液体积后,不小心拿错了一个注射器把溶液滴在水面上,这个拿错的注射器的针管比原来的粗,每滴油酸酒精溶液的体积比原来的大。
丙在计算油膜面积时，把凡是半格左右的油膜都算成了一格,导致计算的面积比实际面积大一些。
请分析：这三位同学的操作错误会导致实验测得的油酸分子直径偏大还是偏小?说明道理。
3. 全班每人都把 4 枚硬币握在手中,在桌面上随意投掷 10 次，统计 10 次投郑中有 0、1、2、3、4 枚硬币正面朝上的次数,并将所得数据按下表的要求记录下来。你发现有什么规律?
| 统计对象 | 统计项目 | | | | | |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| | 总共投掷的次数 | 4 枚硬币中正面朝上的硬币枚数 | | | | |
| | | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 我的实验数据 | | | | | | |
| 我所在小组 ( $3 \sim 4$ 人一组) 的数据 | | | | | | |
| 我所在大组 (按座位划分) 的数据 | | | | | | |
| 全班的数据衣 | | | | | | |
第二章
## 气体、固体和液体
物体是由大量分子组成的,分子在做永不停息的无规则运动,分子之间存在着相互作用力。这些因素决定了分子的三种不同的聚集状态：气体、固体和液体。物体处于不同状态时具有不同的物理性质。
人类对物质属性的认识是从宏观到微观不断深入的过程。相应地,人们对新材料或传统材料新功能的开发和研制也从来没有停止过。从远古的石器时代,到后来的青铜器时代、铁器时代 $\cdots \cdots$ 新材料在人类文明进程中扮演了重要的角色。要推论宏观物质的表现,就必须采用统计方法,由对个体原子（分子）物理参量的适当统计平均,来得出支配宏观行为的规律。
—一彭罗斯 ${ }^{11}$
## 1) 温度和温标
假如一个容器用挡板 $\mathrm{K}$ 隔开,容器中的气体被分成 $\mathrm{A}、\mathrm{~B}$ 两部分,它们的压强分别为 $p_{\mathrm{A}}、p_{\mathrm{B}}$,温度分别为 $T_{\mathrm{A}}、T_{\mathrm{B}}$。打开挡板 $\mathrm{K}$ 后,如果容器与外界没有能量交换,经过一段时间后,容器内的气体会是什么状态?
A
## 状态参量与平衡态
研究某一容器中气体的热学性质,其研究对象是容器中的大量分子组成的系统,这在热学中叫作一个热力学系统 ( thermodynamic system),简称系统。系统之外与系统发生相互作用的其他物体统称外界。例如,用酒精灯加热容器中的气体,把气体作为研究对象,它就是一个热力学系统,而容器和酒精灯就是外界。
在力学中,为描述物体 (质点) 的运动状态,我们使用了物体的位置和速度这两个物理量。在热学中,为确定系统的状态,也需要用到一些物理量,这些物理量叫作系统的状态参量 (state parameter)。例如,为了确定系统的空间范围,要用到体积 $V$,这是一个几何参量；为了确定外界与系统之间或系统内部各部分之间力的作用,要用到
(1) 彭罗斯 ( Roger Penrose,1931-),英国数学家、物理学家,2020 年诺贝尔物理学奖获得者,牛津大学教授,著名科普著作《皇帝新脑》的作者。
图 2.1-1 两个系统的热平衡过程
实验室已经获得
的最高温度压强 $p$,这是一个力学参量;而要确定系统的冷热程度,就要用到一个热学参量―温度 $T$。
要定量地描述系统的状态往往很难,因为有时系统的参量会随时间变化。然而在没有外界影响的情况下,只要经过足够长的时间,系统内各部分的状态参量就能够达到稳定状态。这种状态叫作平衡态 ( equilibrium state ),否则就是非平衡态。当系统处于平衡态时,系统所有状态参量都不随时间变化,我们就能比较准确地描述系统的状态。在中学阶段,我们主要处理平衡态的问题。
## 热平衡与温度
上面所说的平衡态,指的是一个系统的状态参量不再改变。下面我们要研究一个系统与另一个系统相互作用的问题。
如果两个系统相互接触而传热,这两个系统的状态参量将会互相影响而分别改变。经过一段时间,各自的状态参量就不再变化了,这说明两个系统达到了平衡。这种平衡叫作热平衡 ( thermal equilibrium )。
实验表明：如果两个系统分别与第三个系统达到热平衡,那么这两个系统彼此之间也必定处于热平衡,这个结论称为热平衡定律。
热平衡定律表明,当两个系统 A、B 处于热平衡时,它们必定具有某个共同的热学性质,我们就把表征这一“共同的热学性质” 的物理量叫作温度 ( temperature )。换句话说,温度是决定一个系统与另一个系统是否达到热平衡的物理量,它的特点就是“达到热平衡的系统具有相同的温度” ( 图 2.1-1 )。下表列出了部分人们已观测的温度。
乙炔火焰的温度 $\quad$ 永金属超导转变温度
表人们已观测的温度
## 温度计与温标
如果要定量地描述温度,就必须有一套方法,这套方法就是温标 ( thermometric scale)。
确定一个温标时首先要选择一种测温物质,根据这种物质的某个特性来制造温度计。例如,可以根据水银的热膨胀来制造水银温度计,这时我们规定细管中水银柱的高度与温度的关系是线性关系。还可以根据气体压强随温度的变化来制造气体温度计 (图 2.1-2),等等。
确定了测温物质和它用以测温的某种性质之后,还要确定温度的零点和分度的方法。例如,摄氏温标曾经规定,标准大气压下冰的熔点为 $0^{\circ} \mathrm{C}$,水的沸点为 $100{ }^{\circ} \mathrm{C}$;并据此把玻璃管上 $0^{\circ} \mathrm{C}$ 刻度与 $100^{\circ} \mathrm{C}$ 刻度之间均匀分成 100 等份，每份算作 $1^{\circ} \mathrm{C}$。
现代科学中用得更多的是热力学温标。热力学温标表示的温度叫作热力学温度 (thermodynamic temperature),它是国际单位制中七个基本物理量之一,用符号 $T$ 表示,单位是开尔文 (kelvin),简称开,符号为 $\mathrm{K}$。
1960 年,国际计量大会确定了摄氏温标与热力学温标的关系: 摄氏温标由热力学温标导出,摄氏温标所确定的温度用 $t$ 表示,它与热力学温度 $T$ 的关系是
图 2.1-2 伽利略的温度计、根据国家标准，在表示温度差的时候可以用摄氏度 $\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)$ 代替开尔文 $(\mathrm{K})$,即 $1^{\circ} \mathrm{C}$ 与 $1 \mathrm{~K}$ 相等。因此这个式子中 $T$ 的单位用 $\mathrm{K}$,$t$ 的单位用 ${ }^{\circ} \mathrm{C}$
$$
T=t+273.15 \mathrm{~K}
$$
## 科学漫步
## 形形色色的温度计
自从伽利略制造了第一个温度计以后,温度就不再是一个主观感觉,而成了一个客观的物理量。人们根据物质某种与温度有关的性质制作了多种温度计。例如，双金属温度计是把线膨胀程度不同的两种金属片压合在一起，温度变化时，双金属片的弯曲程度会发生变化，带动指针偏转来指示温度 ( 图 2.1-3)。热电偶温度计是根据不同导体因温差而产生电动势的大小不同来制作的。如图 2.1-4,把一条金属丝的两端分别与另一条不同材料金属丝的两端溶焻，接成闭合电路,倘若两个焊点之间有温度差,电路中就有电动势产生,温度差越大,电动势也越大。热电偶温度计的测温探头,实际上就是两根金属丝相连的一个焊点。选择不同的金属丝可以做成不同的热电偶温度计，有的可以测量高达 $3000^{\circ} \mathrm{C}$ 的高温，有的可以测量接近绝对零度的低温。
图 2.1-3 双金属温度计
图 2.1-4 热电偶温度计的原理
电阻温度计是根据金属的电阻率随温度的升高而变化的原理制成的。常见的金属电阻温度计有铂电阻温度计和铜电阻温度计，铂电阻温度计是目前最精确的温度计。热敏电阻温度计是利用某些半导体材料制作的,其电阻随温度的变化比导体更明显,但热敏电阻的稳定性差,主要用于低精度的测量。
压力表式温度计是根据气体压强随温度变化的规律制作的。某些铁磁性物质的磁性强弱跟温度有关，磁性的强弱便可以成为温度的标志。声音的传播速度跟介质的温度有关，声速也可以成为温度的标志。有些晶体（如石英）的固有频率跟温度有关,频率也可以成为温度的标志。根据这个思路，磁温度计、声速温度计、频率温度计等都相继制成，而且发挥着各自的作用。
## 练习与应用
1.“在测定某金属块的比热容时，先把质量已知的金属块放在沸水中加热。经过一段时间后把它迅速放入质量已知、温度已知的水中，并用温度计测量水的温度。当水温不再上升时，这就是金属块与水的共同温度。根据实验数据就可以计算金属块的比热容。”在这样的叙述中，哪个地方涉及了“热平衡”的概念?2. 天气预报某地某日的最高气温是 $27^{\circ} \mathrm{C}$,它是多少开尔文?进行低温物理的研究时，热力学温度是 $2.5 \mathrm{~K}$，它是多少摄氏度?3. 已知某物理量 $X$ 与热力学温度 $T$ 成正比,请把这个关系式用等式表示出来。现在用摄氏温度 $t$ 来表示温度,这个关系式又该怎么写?分别画出 $X-T$ 图像和 $X-t$ 图像的草图。4. 图 2.1-5 甲表示某金属丝的电阻 $R$ 随摄氏温度 $t$ 变化的情况。把这段金属丝与电池、电流表串联起来（图 2.1-5乙)，用这段金属丝做测温探头，把电流表的电流刻度改为相应的温度刻度，就得到了一个简单的电阻温度计。请判断: 如果电池的电动势和内阻都是不变的,电流表上代表 $t_{1}、t_{2}$ 的两点,哪个应该标在电流比较大的刻度上?
甲
乙图 2.1-5
## (2) 气体的等温变化
在庆典活动中放飞的气球,会飞到我们看不见的地方。随着气球的升空,大气压在减小,温度在降低,气球在膨胀 $\cdots \cdots$ 看来,一定质量的气体的压强、体积和温度三个状态参量之间是有联系的。那么，它们会有怎样的联系呢?
我们首先研究一种特殊的情况：一定质量的气体,在温度不变的条件下,其压强与体积变化时的关系。我们把这种变化叫作气体的等温变化。
## 实验
## 探究气体等温变化的规律
实验思路
针对气体的研究,可以先选定一个热力学系统,比如一定质量的空气,在温度不变的情况下,测量气体在不同体积时的压强,再分析气体压强与体积的关系。为此,我们需要一个既能改变气体体积,又能测出与体积相对应的气体压强的封闭容器。
下面我们利用如图2.2-1所示的装置进行实验。注射器下端的开口有橡胶套,它和柱塞一起把一段空气柱封闭。本实验的研究对象是什么?怎样操作可以保证温度不发生明显的变化?
物理量的测量
实验中,我们需要测量空气柱的体积 $V$ 和空气柱的压强 $p$，具体操作如下。
图 2.2-1 实验装置
空气柱的长度 $l$ 可以通过刻度尺读取,空气柱的长度 $l$ 与横截面积 $S$ 的乘积就是它的体积 $V$。空气柱的压强 $p$ 可以从与注射器内空气柱相连的压力表读取。
把柱塞缓慢地向下压或向上拉,读取空气柱的长度与压强的几组数据。
## | 数据分析
一定质量气体等温变化的压强 $p$ 与体积 $V$ 的关系，可以用 $p-V$ 图像来呈现。用采集的各组数据在坐标纸上描点,绘制曲线,由于它描述的是温度不变时气体压强与体积的关系,因此称它为等温线。若你绘制的 $p-V$ 图像类似于双曲线（图 2.2-2),那么,空气柱的压强是否跟体积成反比呢?
我们可以进一步通过图像来检验这个猜想。再以压强 $p$ 为纵坐标,以体积的倒数为横坐标,把采集的各组数据在坐标纸上描点。如果 $p-\frac{1}{V}$ 图像中的各点位于过原点的同一条直线上 (图 2.2-3),就说明压强跟体积的倒数成正比,即压强与体积成反比。如果不在同一条直线上，我们再尝试其他关系。
图 2.2-2 温度不变时压强与体积的关系
图 2.2-3 检验 $p$ 与 $\frac{1}{V}$ 的线性关系
英国科学家玻意耳和法国科学家马略特各自通过实验发现，一定质量的某种气体，在温度不变的情况下，压强 $p$ 与体积 $V$ 成反比，即
$$
p \propto \frac{1}{V}
$$
“C是常量”，意思是当$p、V$ 变化时 $C$ 的值不变。但是对于温度不同、质量不同、种类不同的气体,$C$ 的数值一般不同。
写成公式就是
$$
p V=C
$$
式中 $C$ 是常量。或者
$$
p_{1} V_{1}=p_{2} V_{2}
$$
其中 $p_{1}、V_{1}$ 和 $p_{2}、V_{2}$ 分别表示气体在不同状态下的压强和体积。
(2) 式反映了一定质量的某种气体的等温变化规律,我们把它叫作玻意耳定律（Boyle's law )。
## 做一做
用传感器探究气体等温变化的规律
如图 2.2-4,研究对象是注射器中的空气柱。气体压强传感器通过塑料管与注射器相连。由注射器壁上的刻度可以读出气体的体积 $V$;由压强传感器测得的压强值 $p$ 在计算机屏幕上可以实时显示。这样就可以获得不同体积时气体压强的数值。由计算机作出气体的 $p-V$ 图像,就可以判断 $p$ 与 $V$ 是否具有反比例函数的关系。
图2.2-4 用传感器探究气体等温变化的规律
## 练习与应用
1. 在做“探究气体等温变化的规律” 的实验中,实验小组记录了一系列数据。但是,仅就以下表中的两组数据来看,小王和小李却有完全不同的看法: 小王认为,这两组数据很好地体现了 $p$ 跟 $V$ 成反比的规律,因为两组数据 $p$ 和 $V$ 的乘积几乎相等;小李却认为,如果把这两组数据在纵坐标轴为 $p$、横坐标轴为 $\frac{1}{V}$ 的坐标系中描点,这两点连线的延长线将不经过坐标原点,因此这两组数据没有反映 $p$ 跟 $V$ 成反比的规律。对此你有什么看法?
| 序号 | $\begin{array}{c}\text { 均匀玻璃管内空气 } \\ \text { 柱的长度 } l / \mathrm{cm}\end{array}$ | $\begin{array}{c}\text { 空气柱的压强 } \\ p /\left(10^{5} \mathrm{~Pa}\right)\end{array}$ |
| :---: | :---: | :---: |
| 1 | 39.8 | 1.024 |
| 2 | 40.3 | 0.998 |
| $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ |
2. 一定质量的气体,不同温度下的等温线是不同的。图 2.2-5 中的两条等温线,哪条等温线表示的是温度比较高时的情形?请你尝试给出判断，并说明理由。
图 2.2-5
3. 一个足球的容积是 $2.5 \mathrm{~L}$。用打气筒给这个足球打气,每打一次都把体积为 $125 \mathrm{~mL}$、压强与大气压相同的气体打进足球内。如果在打气前足球就已经是球形并且里面的压强与大气压相同,打了 20 次后足球内部空气的压强是大气压的多少倍?你在得出结论时考虑到了什么前提?实际打气时的情况能够满足你的前提吗?4. 水银气压计中混入了一个气泡,上升到水银柱的上方，使水银柱上方不再是真空。当实际大气压相当于 $768 \mathrm{~mm}$ 高的水银柱产生的压强时,这个水银气压计的示数只有 $750 \mathrm{~mm}$,此时管中的水银面到管顶的距离为 $80 \mathrm{~mm}$。当这个气压计的示数为 $740 \mathrm{~mm}$ 水银柱时,实际的大气压相当于多高水银柱产生的压强?假设温度保持不变。
## 3 气体的等压变化和等容变化
慢向外移动，这说明了什么?
实验表明,在保持气体的压强不变的情况下，一定质量气体的体积随温度的升高而增大。
## 气体的等压变化
图2.3-1 压强不变时体积与温度的关系
一定质量的某种气体，在压强不变时，体积随温度变化的过程叫作气体的等压变化。
我们可以用实验研究一定质量的某种气体在压强不变的情况下,其体积 $V$ 与热力学温度 $T$ 的关系。实验表明,在 $V-T$ 图像中，等压线是一条过原点的直线（图 2.3-1 )。
法国科学家盖-吕萨克首先通过实验发现了这一线性关系，这个规律可以表述为：一定质量的某种气体，在压强不变的情况下,其体积 $V$ 与热力学温度 $T$ 成正比,即
$$
V=C T
$$
其中 $C$ 是常量。或者
$$
\frac{V_{1}}{T_{1}}=\frac{V_{2}}{T_{2}}
$$
其中 $V_{1}、T_{1}$ 和 $V_{2}、T_{2}$ 分别表示气体在不同状态下的体积和热力学温度。( 1 ) 式反映了一定质量的某种气体的等压变化规律,我们把它叫作盖一吕萨克定律 (Gay-Lussac's law)。
## 气体的等容变化
一定质量的某种气体，在体积不变时，压强随温度变化的过程叫作气体的等容变化
图 2.3-2 是气体等容变化时压强与温度的关系图像。从图2.3-2甲可以看出,在等容变化过程中,压强 $p$ 与摄氏温度 $t$ 是一次函数关系,不是简单的正比例关系。但是,如果把直线 $A B$ 延长至与横轴相交 (图2.3-2乙),把交点作为坐标原点,建立新的坐标系 (图2.3-2丙),那么,这时的压强与温度的关系就是正比例关系了。
甲
乙
图 2.3-2 气体等容变化的 $p-T$ 图像
法国科学家查理在分析了实验事实后发现,当一定质量的气体体积一定时,各种气体的压强与温度之间都有线性关系。
可以证明，气体的压强不太大、温度不太低时，图2.3-2丙中坐标原点代表的温度就是热力学温度的 $0 \mathrm{~K}$,也称绝对零度。所以说,在 $p-T$ 图像中,一定质量的某种气体的等容线是一条通过坐标原点的直线。这时,这个规律可以表述为: 一定质量的某种气体,在体积不变的情况下，压强 $p$ 与热力学温度 $T$ 成正比,即 $p \propto T$。写成等式的形式就是
$$
p=C T
$$
其中 $C$ 是常量。或者
$$
\frac{p_{1}}{T_{1}}=\frac{p_{2}}{T_{2}}
$$
其中 $p_{1}、T_{1}$ 和 $p_{2}、T_{2}$ 分别表示气体在不同状态下的压强和热力学温度。(2) 式反映了一定质量的某种气体的等容变化规律,我们把它叫作查理定律 (Charles’ law )。
## 【例题】
某种气体的压强为 $2 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}$,体积为 $1 \mathrm{~m}^{3}$,温度为 $200 \mathrm{~K}。$ 它经过等温过程后体积变为 $2 \mathrm{~m}^{3}$。随后,又经过等容过程,温度变为 $300 \mathrm{~K}$,求此时气体的压强。分析封闭容器中的气体,在状态变化中气体质量不变。气体开始时的压强、体积和温度分别为 $p_{1}、V_{1}、T_{1}$,经过等温过程变为 $p、V、T$,再经过等容过程变为 $p_{2}$、$V_{2}、T_{2}$。我们可以分别运用玻意耳定律和查理定律求解。
解根据玻意耳定律，有
$$
T_{1}=T,p_{1} V_{1}=p V
$$
根据查理定律，有
联立上述各式可得
$$
V=V_{2},\quad \frac{p}{T}=\frac{p_{2}}{T_{2}}
$$
$$
\begin{gathered}
\frac{p_{1} V_{1}}{T_{1}}=\frac{p_{2} V_{2}}{T_{2}} \\
p_{2}=\frac{p_{1} V_{1} T_{2}}{V_{2} T_{1}}=\frac{2 \times 10^{5} \times 1 \times 300}{2 \times 200} \mathrm{~Pa}=1.5 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}
\end{gathered}
$$
等温和等容变化后气体的压强为 $1.5 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}^{\circ}$
## 理想气体
前面学习的等温、等压和等容三个气体实验定律都是在压强不太大（相对大气压）、温度不太低（相对室温）的条件下总结出来的。当压强很大、温度很低时,由上述规律计算的结果与实际测量结果有很大的差别。例如,有一定质量的氦气,压强与大气压相等,体积为 $1 \mathrm{~m}^{3}$,温度为 $0{ }^{\circ} \mathrm{C}$,在温度不变的条件下,如果压强增大到大气压的 500 倍,按气体的等温变化规律计算,体积应该缩小至 $\frac{1}{500} \mathrm{~m}^{3}$,但是实验结果是 $\frac{1.36}{500} \mathrm{~m}^{3}$。不过,在通常的温度和压强下,很多实际气体,特别是那些不容易液化的气体,如氢气、氧气、氮气、氦气等,其性质与实验定律的结论符合得很好。
实际气体的分子之间有相互作用力,但是作用力很小;分子也有大小，但气体分子之间的间距比分子直径大得多;气体分子与器壁碰撞几乎是弹性的,动能损失也很小。为了研究方便,我们设想有一种气体：这种气体分子大小和相互作用力可以忽略不计,也可以不计气体分子与器壁碰撞的动能损失。这样的气体在任何温度、任何压强下都遵从气体实验定律,我们把它叫作理想气体 (ideal gas)。按照这种理想情况下得出的物理规律能很好地解释实际气体的热学性质。在温度不低于零下几十摄氏度、压强不超过大气压的几倍时,把实际气体当成理想气体来处理,误差很小。
## 拓展学习
## 理想气体的状态方程
描述一定质量的某种理想气体状态的参量有三个,即压强 $p$、体积 $V$ 和温度 $T$。等温、等压和等容三个气体实验定律都是研究当一个参量不变时另外两个参量的关系问题。进一步的研究结果表明,一定质量的某种理想气体,在从某一状态变化到另一状态时,尽管其压强 $p$、体积 $V$ 和温度 $T$ 都可能改变,但是压强 $p$ 跟体积 $V$ 的乘积与热力学温度 $T$ 之比却保持不变。也就是说
$$
\frac{p V}{T}=C
$$
式中 $C$ 是与压强 $p$、体积 $V$、温度 $T$ 无关的常量,它与气体的质量、种类有关。上式叫作理想气体的状态方程。
## 气体实验定律的微观解释
用分子动理论可以定性解释气体的实验定律。
一定质量的某种理想气体,温度保持不变时,分子的平均动能是一定的。在这种情况下,体积减小时,分子的数密度增大,单位时间内、单位面积上碰撞器壁的分子数就多,气体的压强就增大 (图 2.3-3)。这就是玻意耳定律的微观解释。
图 2.3-3 等温变化
一定质量的某种理想气体,温度升高时,分子的平均动能增大;只有气体的体积同时增大,使分子的数密度减小,才能保持压强不变。这就是盖-吕萨克定律的微观解释。
一定质量的某种理想气体,体积保持不变时,分子的数密度保持不变。在这种情况下,温度升高时,分子的平均动能增大,气体的压强就增大。这就是查理定律的微观解释。
## 理想模型
在科学研究中,理想模型是为了便于研究问题而对研究对象进行理想化抽象的过程。实际问题往往比较复杂,影响的因素很多,直接研究它们会比较困难或几乎不能研究。科学研究中总是抓住研究对象的主要特征,忽略次要因素,对研究对象进行理想化抽象。运用这种方法,人们就可以用模型来表示研究对象,使得研究变得简单、有效,从而便于人们去认识和把握问题的本质。应该说,理想模型在现实中并不存在,但是通过它可以对实际问题进行本质探讨,并得到有价值的结论。物理学中通过抽象方法构建的理想模型有很多,例如,质点、点电荷、单摆、弹簧振子、理想变压器、理想气体等。
## 练习与应用
1. 装有氧气的钢瓶,在 $17^{\circ} \mathrm{C}$ 的室内测得钢瓶内的压强是 $9.31 \times 10^{6} \mathrm{~Pa}$。当钢瓶搬到 $-13{ }^{\circ} \mathrm{C}$ 的工地上时,瓶内的压强变为 $8.15 \times 10^{6} \mathrm{~Pa}$。钢瓶是不是漏气?为什么?2.“拔火罐”是我国传统医学的一种治疗手段。操作时,医生用点燃的酒精棉球加热一个小罐内的空气,随后迅速把小罐倒扣在需要治疗的部位,冷却后小罐便紧贴在皮肤上 ( 图 2.3-4)。假设加热后小罐内的空气温度为 $80^{\circ} \mathrm{C}$,当时的室温为 $20^{\circ} \mathrm{C}$,大气压为标准大气压,小罐开口部位的直径请按照片中的情境估计。当罐内空气变为室温时,小罐内的空气对皮肤的压力大概有多大?不考虑因皮肤被吸入罐内导致空气体积变化的影响。
图 2.3-4
3. 如图 2.3-5,向一个空的铝制饮料罐中插入一根透明吸管，接口用蜡密封，在
图2.3-5 吸管内引入一小段油柱 (长度可以忽略)。如果不计大气压的变化,这就是一个简易的气温计。已知罐的容积是 $360 \mathrm{~cm}^{3}$,吸管内部粗细均匀,横截面积为 $0.2 \mathrm{~cm}^{2}$,吸管的有效长度为 $20 \mathrm{~cm}$,当温度为 $25^{\circ} \mathrm{C}$ 时,油柱离管口 $10 \mathrm{~cm}$。若给吸管上标刻温度值，刻度是否均匀?试估算这个气温计的测量范围。
4. 一个容器内部呈不规则形状,为测量它的容积,在容器上插入一根两端开口的玻璃管,接口用蜡密封。玻璃管内部横截面积为 $S$,管内一静止水银柱封闭着长度为 $l_{1}$ 的空气柱,如图 2.3-6,此时外界的温度为 $T_{1}$。现把容器浸在温度为 $T_{2}$ 的热水中,水银柱静止时下方的空气柱长度变为 $l_{2}$。实验过程中认为大气压没有变化,请根据以上数据推导容器容积的表达式。
图 2.3-6
## (4) 固体
问题
观察食盐颗粒和松香的外形，它们的外形各有怎样的特征?
再用显微镜观察精盐和松香粉末的外形，两者有什么样的差别吗?
食盐颗粒总是呈现立方体形，松香颗粒没有规则的几何形状。
## 晶体和非晶体
固体可以分为晶体和非晶体两类。
石英、云母 ${ }^{11}$、明矾、食盐、硫酸铜、味精等是晶体。雪花是水蒸气凝华时形成的晶体,它们都具有相似的几何形状,即图案中都有六个角（图 2.4-1)。食盐晶体是正六面体形，明矾晶体总是八面体形，天然石英晶体（俗称水晶）的中间是一个六棱柱,两端是六棱雉（图 2.4-2 )。晶体有天然的、规则的几何形状 ( 图 2.4-3)。
图 2.4-1 雪花的形状
玻璃、蜂蜡、松香、沥青、橡胶等是非晶体。非晶体没有规则的外形。
甲食盐
乙明矾
丙天然石英
图 2.4-2 几种晶体的几何形状
图 2.4-3 晶体的外形
(1) 云母是一种矿物,化学成分为铝硅酸盐,可以剥成一片片的薄层。有些云母的绝缘性能很好,在过去没有塑料的年代,云母常在电器中当作绝缘物使用。除了形状是否规则外,晶体和非晶体在物理性质上也有所不同。我们在初中已经学过,晶体具有确定的熔点,非晶体没有确定的熔化温度，这就是区别之一。此外，其他物理性质也有差异。
## 实验
## 观察玻璃和云母片上石蜡熔化区域的形状
把熔化了的石蜡薄薄地涂在薄玻璃片和单层云母片上,再将烙铁通电烧热,然后用烙铁头分别接触玻璃片和云母片的背面（图 2.4-4)。观察玻璃片和云母片石蜡熔化区域的形状（图 2.4-5)。
石蜡熔化区域形状的不同说明了什么?
图 2.4-4 实验装置
甲玻璃片
乙云母片
图 2.4-5 熔化区域的形状
从实验结果可以看出，玻璃片上石蜡熔化区域的形状近似于圆形，表明玻璃沿各个方向的导热性能相同；云母片上石蜡熔化区域的形状呈椭圆形，表明云母沿不同方向的导热性能不同。还有些晶体沿不同方向的导电性能不同;而有些晶体沿不同方向的光学性质不同，这类现象叫作各向异性 ( anisotropy)。如图 2.4-6,方解石晶体是各向异性的晶体,它能把光分解为两束光而沿不同方向折射,形成双折射现象。非晶体沿各个方向的物理性质都是一样的,这叫作各向同性（isotropy）。
## 思考与讨论
常见的金属没有规则的形状，但具有确定的熔点。它们是晶体还是非晶体?从金属的显微图样中可以看到,它是由许多细小的晶粒组成的（图 2.4-7)。每个晶粒都是一个小的单晶体 ( monocrystal),有规则的形状且各向异性。
但是,由于这些小的单晶体的取向杂乱无章，所以金属没有确定的几何形状,也不显示各向异性,仅保留了在一定压强下具有确定熔点的特征,我们把它称为多晶体 ( polycrystal )。蔗糖受潮后粘在一起形成的糖块,看起来没有确定的几何形状。但是用放大镜观看,仍可以发现组成糖块的一个个晶体粒。粘在一起的糖块也是多晶体,单个的蔗糖晶体颗粒是单晶体。
## 晶体的微观结构
为什么晶体的形状和物理性质会与非晶体不同?
人们认为很可能是它们的微观结构不一样。从 17 世纪到 19世纪,陆续出现了一些假说,某一种假说认为各种晶体内部的微粒是按各自的规则排列着的,但是,由于当时检测技术的限制,缺少实验证据,所以这些想法只能是假说。
到了 20 世纪初,通过 $\mathrm{X}$ 射线在晶体上衍射的实验,这种假说才得到证实。在 20 世纪 70 年代,人们又用电子显微镜观察到了铀、钍原子的像。1982年,人们用扫描隧道显微镜观察到物质表面原子的排列。
在各种晶体中,原子 (或分子、离子) 都是按照一定的规则排列的,具有空间上的周期性。图 2.4-8 是食盐晶体中氯离子和钠离子分布的示意图。
有的物质在不同条件下能够生成不同的晶体,那是因为组成它们的微粒能够按照不同规则在空间分布。例如,碳原子如果按图 2.4-9那样排列,就成为石墨,而按图 2.4-10 那样排列,就成为金刚石。石墨是层状结构,层与层之间距离较大,原子间的作用力比较弱,所以石墨质地松软,可以用来制作粉状润滑剂;金刚石中碳原子间的作用力很强,所以金刚石有很大的硬度,可以用来切割玻璃。
原子 (或者分子、离子) 并不是静止不动的,它们在不停地振动。图中所画的那些点,是它们振动的平衡位置。
图2.4-7 金相显微镜下的铝一锂一锰合金
图 2.4-8 食盐昌体的微观结构
图 2.4-9 石墨的微观结构
图 2.4-10 全冈伅的微枧结构
图 2.4-11 石英玻璃
同种物质也可能以晶体和非晶体两种不同的形态出现,也就是说,物质是晶体还是非晶体,并不是绝对的。例如,天然石英是晶体,而熔化以后再凝固的水晶 ( 即石英玻璃）就是非晶体（图 2.4-11)。有些非晶体在一定条件下也可以转化为晶体。
## 科学漫步
## 石墨烯实验研究背后的故事
我们知道，物体是由原子、分子等微粒组成的，它们按一定规律组成一个个“小单元”，这些“小单元” 结合在一起形成了肉眼可见的物体。用机械的方法把物体粉碎、研磨,可以得到很细的粉末,但实际上一粒这样的粉末仍比这里说的“小单元” 大得多。当构成材料的“小单元” 的某个维度达到纳米尺度时,它的性质就会发生很大的变化。石墨烯就是一个典型的例子。
石墨烯具有六边形的晶格结构 (图 2.4-12),单层厚度仅为 $0.335 \mathrm{~nm}。2010$ 年的诺贝尔物理学奖授予了安德烈・盖姆与康斯坦丁·诺沃肖洛夫两人,以表彰他们对石墨烯的开创性实验研究。
图2.4-12 石墨烯六边形的晶格结构
安德烈对待研究工作一直烣具想象力和好奇心。例如,他在利用超导强磁铁发现水分子具有抗磁性后 (水滴悬浮在磁场中)，便开始思考：生物体内绝大多数物质是水,而且生物体内的蛋白质也具有抗磁性,如果将生物体放入磁场内,会像水滴一样悬浮吗?于是,他把一只活体青蛀放入磁场,在精确的计算下,这只青蛀真的悬浮在了磁场中。安德烈将这个实验结果发表在了物理期刊上,并为他赢得了 2000 年的“搞笑诺贝尔物理学奖”。然而,他的想象力并末止步,也从
未停止……
在2004年之前,人类对材料的研究已经进入纳米、甚至原子尺度,人们也对石墨烯的结构有了更清晰的认识,预言了单层石墨可能会有非常好的物理性质。然而,如何把石墨不断磨薄,薄到只有一个原子的厚度，这个世界性难题还是让很多科学家们望而却步了，甚至有人质疑单层石墨是否能够独立存在。安德烈的想象力再一次“拯救”了这项研究,在助手们试图将石墨块磨成石墨烯而陷入“绝境” 的时候,安德烈在偶然的机会下,观察到助手们用透明胶带去除石墨块表面的污渍。这时他天才的直觉引导他将粘过的胶带放到仪器下观察,发现远比助手们打磨好的样品薄了许多，有的甚至只有几十个原子那么厚。随即，他便利用透明胶带反复地粘秥，直到获得了单层的石墨―一石.墨烯。石.墨烯独特的结构使它在力学、电学等方面具有很多奇特的物理性质。
在力学特性方面,石墨烯是目前人类已知的强度最高的物质之一。强度比世界上最好的钢铁还要高百倍之多。同时还具有很好的㓞性,且可以弯曲。在电学、热学特性方面,电子在石. 墨悕中“奔跑” 的速率比在硅材料中高出数十倍甚至上百倍,这有利于进一步提高计算机处理器的运算速率。无论是搞笑的,还是货真价实的诺贝尔物理学奖,安德烈的研究总是让人颇感意外。解决具有挑战性的科学问题,除了扎实的理论和精密的仪器外,好奇心、想象力、对日常生活的细致观察和灵活运用也同样重要。
## 练习与应用
1. 某人为了检验一块薄片物质是否为晶体,做了一个实验。他以薄片的正中央 $O$ 为坐标原点,建立 $O x y$ 平面直角坐标系，在两个坐标轴上分别取两点 $x_{1}$ 和 $y_{1}$,使 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 到 $O$ 点的距离相等。在 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 上分别固定一个测温元件,再把一个针状热源放在 $O$ 点,发现 $x_{1}$ 点和 $y_{1}$ 点的温度在缓慢升高，但两点温度的高低没有差异。于是得出结论：这块薄片是非晶体。
请说明：以上结论科学吗?为什么?
2. 食盐晶体的结构可以用钠离子和氯离子空间分布的示意图表示（图 2.4-8)，图中相邻离子的中心用线连起来了，组成了一个个大小相等的立方体。现在要估算相邻两个钠离子中心的距离,除了知道食盐的密度 $\rho$ 为 $2.17 \times 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}$ 外,还要知道哪些数据?请用字母表示这些已知数据,推导出相邻两个钠离子中心距离的表达式。
提示：图中最小立方体的个数与离子数目相等。
3. 内陆盐矿中开采的氯化钠称为岩盐,岩盐的颗粒很大,我们能清楚地看出它的立方体形状。把大颗粒的岩盐敲碎后，小颗粒的岩盐仍然呈立方体形状。
图 2.4-13 表示了岩盐晶体的平面结构：空心点为氯离子,实心点为钠离子,如果把它们用直线连起来,将构成一系列大小相同的正方形。作分界线 $A A_{1}$,使它平行于正方形的对角线;作分界线 $B B_{1}$,使它平行于正方形的一边。在两线的左侧各取一个钠离子 $\mathrm{M}$ 和 $\mathrm{N}$,为了比较这两个钠离子所受分界线另一侧的离子对它作用力的大小,分别以 $\mathrm{M}、\mathrm{~N}$ 为圆心,作两个相同的扇形，不考虑扇形以外远处离子的作用。
(1) 如果 $F$ 表示两个相邻离子之间引力的大小，问: $M、N$ 所受扇形范围内的正负离子对它作用力的合力是 $F$ 的多少倍?为使问题简化,设所有离子都是质点,而且它们之间的相互作用遵从“平方反比”规律。
（2）根据计算结果解释: 为什么敲碎的岩盐总是呈立方形状,而不会沿图中 $A A_{1}$ 分界线断开?
提示: 实际晶体中的作用力要复杂得多，但这里的分析对理解自然现象还是有用的。
图 2.4-13
## 液体
问题
在杯子中盛满清水。将曲别针一枚一枚依次放入杯中，比一比谁放入的曲别针数量最多，而杯中的水不会溢出。你能解释这一现象吗?
图 2.5-1 水黾可以停在水面
## 液体的表面张力
我们发现：一些昆虫可以停在水面上（图 2.5-1）;叶面上的露珠呈球形 $\cdots \cdots$ 这些现象表明，液体表面可能具有与内部不同的性质。
## 实验
## 观察肥㒵膜和棉线的变化
1. 把一条细棉线的两端分别系在铁丝环的两侧,要使棉线处于略为松弛的状态。然后将铁丝环浸入肥㒵液里,再拿出来时环上就留下了一层肥旦液的薄膜。这时薄膜上的棉线仍是松灺的（图 2.5-2 甲)。用烧热的针刺破棉线一侧的薄膜（图 2.5-2乙),观察薄膜和棉线发生的变化。2. 把一个棉线圈系在铁丝环上，使环上布满肥㒵液的薄膜，这时膜上的棉线圈仍是松灺的 (图 2.5-2丙)。用烧热的针刺破棉线圈里的薄膜,观察棉线圈外的薄膜和棉线圈发生的变化(图2.5-2丁)。
甲
乙
丙
丁
图 2.5-2 观察肥㒵膜和棉线的变化观察结果表明，用烧热的针刺破棉线某一侧的薄膜后，另一半肥皀膜就会立即收缩把松他的棉线绷紧，并且始终向着肥皁膜一侧收缩，液体的表面具有收缩趋势。
为什么液体表面具有收缩趋势呢?原来,液体表面有一层跟气体接触的薄层,叫作表面层。表面层与液体内部的微观结构不同 (图 2.5-3甲)。在第一章我们已经了解了分子间的作用力跟分子间距离的关系问题。在液体内部，分子间平均距离 $r$ 略小于 $r_{0}$,分子间的作用力表现为斥力；在表面层,分子比较稀疏,分子间距离 $r$ 略大于 $r_{0}$,分子间的作用力表现为引力。设想在液体表面画一条直线 $M N$,把液体表面分为 $1、2$ 两部分,$M N$ 两侧的液体之间存在着一对与 $M N$ 垂直、大小相等、方向相反的作用力 (图 2.5-3乙)。${ }^{\mathbb{1}}$ 由于是任意画的，所以这种力在液体表面层内的各个方向上都存在，力的方向总是跟液面相切，且与分界面垂直。这种力使液体表
图 2.5-3 液体的表面张力面绷紧,叫作液体的表面张力 ( surface tension)。
## 思考与讨论
还记得《普通高中教科书物理必修第一册》中展示的“太空授课” 画面吗?在天宫一号目标飞行器里,水滴的形状是一个完美的球形。生活中我们还经常看到荷叶上的露珠呈扁平球形等现象。你能解释这是为什么吗?
到现在为止,我们已经从实验和理论两个方面了解了液体的表面张力,知道它使液体表面有收缩的趋势。为什么那么多曲别针沉人杯中水却没溢出?为什么水黾可以停在水面上?相信你可以给出解释了。
## 浸润和不浸润
在一块洁净的玻璃板上滴一滴水,我们看到,这滴水会逐渐散开并附着在玻璃板上 (图 2.5-4甲);在一块涂了蜡的玻璃板上滴一滴水，这滴水却可以滚来滚去，而不能附着在蜡面上（图 2.5-4乙）。这个结果表明，水可以润湿
(1)如果液面是曲面，这种作用力与液体表面相切。
甲玻璃面乙蜡面
图 2.5-4 浸润和不浸润玻璃，但水不能润湿蜡。
一种液体会润湿某种固体并附着在固体的表面上,这种现象叫作浸润;一种液体不会润湿某种固体,也就不会附着在这种固体的表面,这种现象叫作不浸润。当液体和与之接触的固体的相互作用比液体分子之间的相互作用强时，液体能够浸润固体。反之，液体则不浸润固体。
一种液体是否浸润某种固体，与这两种物质的性质都
图 2.5-5 玻璃管中的水和水银有关系。例如,水银不浸润玻璃,但浸润铅。如果把水银滴到干净的铅板上,水银就会附着在铅板上,很难擦去。
液体放在玻璃管中,液面与管壁接触的位置是弯曲的,但有的向上弯,有的向下弯（图 2.5-5)。这也是浸润与不浸润两种现象的区别。
## 实验
观察毛细现象
将内径不同、两端开ロ的洁净细玻璃管坚直插入水中（图 2.5-6甲）,观察细玻璃管中液面的高度；再将另一组内径不同、两端开口的塑料笔志坚直插入水中（图 2.5-6 乙)，观察笔志中液面的高度。
甲玻璃管
乙塑料笔芯
图 2.5-6 细玻璃管和塑料笔芯的毛细现象
图 2.5-7 表面张力对管中液体形成向上的拉力的示意图
实验结果表明，洁净细玻璃管内的液面比水面高；塑料笔芯内的液面比水面低。管的内径越小,上述现象就越明显。像这样浸润液体在细管中上升的现象,以及不浸润液体在细管中下降的现象,称为毛细现象 (capillarity)。
由于液体浸润管壁,液面呈图 2.5-7所示的形状,液面弯曲。液体表面张力形成向上的拉力,这个力使管中液体向上运动。当管中液体上升到一定高度时,液体所受重力与这个使它向上的力平衡,液面稳定在一定的高度。
有些物体内部有许多细小的孔道,孔道起到了毛细管的作用。例如,土壤里有很多毛细管,地下的水分可以沿着它们上升到地面。如果要保存地下的水分,就要把地面的土壤钥松 ( 图 2.5-8),破坏这些土壤里的毛细管。相反,如果想把地下的水分引上来,就不仅要保持土壤里的毛细管,而且还要使它们变得更细,这时就要用磙子压紧土壤。
## 液晶
液晶在现代生活中扮演着重要角色,广泛应用于手机屏幕、平板电视等显示设备中。为什么“液体” 和“晶体”联系在一起了?液晶到底是什么物质?
构成液晶的分子为有机分子,大多为棒状,其棒长多为棒直径的 5 倍以上,由于这种长棒状的分子结构,使得分子集合体在没有外界干扰的情况下趋向分子相互平行排列。
液晶具有液体的流动性,但在低温时液晶会凝固成结晶态 (图2.5-9 甲),不仅分子的取向是有序的,而且分子重心的位置也是有序的。如果把结晶态分子的有序排列程度定为 1 的话,则当温度升高时,晶体中分子的热运动增强,使分子重心位置的有序性消失,转为液晶态（图 2.5-9 乙 ),分子取向有序程度也下降为 0.6。当温度进一步升高时,分子取向有序性也消失,完全进人无序的状态,变成液态 (图 2.5-9丙)。
可见,液晶是介于固态和液态之间的一种物质状态。液晶态既具有液体的流动性,又在一定程度上具有晶体分子的规则排列的性质。有些物质在特定的温度范围之内具有液晶态;另一些物质,在适当的溶剂中溶解时,在一定的浓度范围具有液晶态。
分子取向排列的液晶具有光学各向异性,具体地说,沿分子长轴方向上的折射率不同于沿短轴的。人射光的偏振方向与液晶分子长轴的方向成不同夹角时,液晶对光的折射率不同。因此,一束非偏振光射人液晶层后再射出时,由于液晶折射率的各向异性会产生两束光程不同的光。这样两束光在出射点处矢量叠加 (等效于干涉),我们在显微镜下就可以观察到某种色光。
液晶的研究在生命科学中也有应用。例如,某些物质
图 2.5-8 锄松土壤
甲结晶态
乙液晶态
丙液态
图2.5-9 液晶材料的分子排列特性在水溶液中能够形成薄片状液晶，而这正是生物膜的主要构成部分。目前在实验室中已经可以利用这样的人造生物膜研究离子的渗透性，从而了解机体对药物的吸收等生理过程。另外，在脑、肌肉和视网膜等多种人体组织中都发现了液晶结构，有关液晶的研究已经成为物理科学与生命科学的一个重要结合点。
## 科学漫步
## 液晶显示
如图 2.5-10,某种液晶分子取向可沿轴旋转,形成连续扭曲状态,$\mathrm{TN}$ 模式显示器里用的就是这种液晶。扭曲排列的液晶分子具有旋光性,即光的偏振方向沿液晶的排列方向旋转。上、下基板外侧附着两片透光轴互相垂直的偏振片,上侧的偏振片透光轴与上侧基板处的液晶取向平行,下侧的偏振片透光轴与下侧基板处的液晶取向平行。上、下基板内侧带有透明电极。中间部分的液晶分子则连续扭曲 $90^{\circ}$ 排列（图 2.5-10 甲）。
不加电场时，自然光通过第一块偏振片变为平行于上基板处液晶取向的偏振光，偏振光被液晶层旋光，转过 $90^{\circ}$ 后偏振方向正好与下基板处偏振片的透光轴相平行，光透过时呈现亮态。
加电场后，原来扭曲排列的液晶分子变为垂直平行排列，液晶分子沿电场方向坚起，透过第一块偏振片的偏振光通过液晶层时不再发生旋光,到达出射端的偏振片时,透光轴与出射光的偏振方向垂直，光被截止，呈现暗态（图 2.5-10乙)。
图2.5-10 TN模式液晶显示器的基本工作原理示意图
如果电场不㿟强,液晶分子处于半竖立状态,旋光作用也处于半完全状态,则会有部分光透过，呈现中间灰度。
当液晶用于显示时,要将上、下基板的电极刻蚀成条形,两基板上的条形电极垂直对置，每两个极板对应的位置就是一个像素，它有自己的 $x、y$ 坐标，如此形成了像素的“矩阵”用于“电寻址” (图 2.5-11)。选通的像素为开态,末选通的像素为关态。为了具有彩色显示,每一个像素又分为三个子像素对应红、蓝、绿三基色彩色滤光膜。对三个子像素的光强分别进行调制,通过三基色混色获得彩色显示。这就是液晶显示器的基本工作原理。
液晶显示器轻便、节能且只需低压 (小于 $5 \mathrm{~V}$ ) 驱动,目前已经广泛应用在便携式设备上。
图 2.5-11 像素矩阵显示中的条形电极
## 练习与应用
1. 把玻璃管的裂口放在火焰上烧熔,它的尖端就会变钝（图 2.5-12)。这是什么缘故?
甲
Z
图 2.5-12
2. 在玻璃的蒸发皿中，较小的水银滴接近球形,较大的水银滴呈扁平形（图 2.5-13)。那么，在处于失重状态的宇宙飞船中，一大滴水银会呈什么形状?
图 2.5-13
3. 把一枚缝衣针在手上蹭一蹭,然后放到一张餐巾纸上。用手把餐巾纸轻放在水面上。餐巾纸浸湿下沉,而缝衣针会停在水面。把针按入水下,针就不再浮起。做这个实验,并解释上述现象。4. 要想把凝固在衣料上的蜡迹去掉,可以把两层棉纸分别放在蜡迹处衣服的上面和下面,然后用热熨斗在棉纸上来回烫尉。为什么这样做可以去掉衣料上的蜡迹?4. 若你和家人要外出度假一段时间,家里的盆栽又需要时常浇少量的水。你能否利用毛细现象设计一种自动浇水装置呢?请绘制一个设计图。5. 在一次小发明讨论会上,某同学有一个创意。他发现㡡房碗柜里酱油瓶的下面总是有黑乎乎的桨油痕迹,这是由于每次倒桨油的时候总会有一些酱油沿着瓶口流淌下来并渗透所造成的。他想,只要选择恰当的材料做桨油瓶的瓶口,就能保持瓶子清洁。于是,他把酱油分别滴在不同的材料上进行实验。请观察图 2.5-14,为实现上述目的,你认为应该选择哪一种材料?请解释这项创意的道理。
图 2.5-14
## $A$ 组
1. 在完全失重的情况下气体对器壁是否还有压强?为什么?请设计实验验证你的猜想。2. 如图 2-1,某自动洗衣机洗衣缸的下部与一控水装置的竖直均匀细管相通,细管的上部封闭,并和一压力传感器相接。洗衣缸进水时,细管中的空气被水封闭,随着洗衣缸中水面的升高,细管中的空气被压缩,当细管中空气压强达到一定数值时,压力传感器使进水阀门关闭,达到自动控水的目的。假设刚进水时细管被封闭的空气柱长度为 $50 \mathrm{~cm}$,当空气柱被压缩到 $48 \mathrm{~cm}$ 时压力传感器使洗衣机停止进水，此时洗衣缸内水位有多高?大压取 $1 \times 10^{5} \mathrm{~Pa},g$ 取 $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$。
图 2-1
3. 今有一质量为 $m$ 的汽缸,用活塞封着一定质量的理想气体,当汽缸水平横放时,汽缸内空气柱长为 $l_{0}$ (图2-2 甲),现把活塞按如图 2-2乙那样悬挂,汽缸悬在空中保持静止。求
此时汽缸内空气柱长度为多少?已知大气压为 $p_{0}$,活塞的横截面积为 $S$,它与汽缸之间无摩擦且不漏气，气体温度保持不变。
4. 一定质量的理想气体由状态 $A$ 经状态 $B$ 变为状态 $C$,其中 $A \rightarrow B$ 过程为等压变化,$B \rightarrow C$ 过程为等容变化。已知状态 $A$ 的体积 $V_{A}$ 为 $0.3 \mathrm{~m}^{3}$,状态 $A$ 的温度 $T_{A}$ 与状态 $C$ 的温度 $T_{C}$ 相同,都为 $300 \mathrm{~K}$,状态 $B$ 的温度 $T_{B}$ 为 $400 \mathrm{~K}$。
（1）求气体在状态 $B$ 时的体积。
（2）说明 $B \rightarrow C$ 过程压强变化的微观原因。
5. 有一教室,上午 8 时温度为 $17^{\circ} \mathrm{C}$,下午 2 时的温度为 $27^{\circ} \mathrm{C}$,假定大气压无变化,则下午 2 时与上午 8 时教室内的空气质量的比值为多大？6. 在一次科技活动上,胡老师表演了一个“马德堡半球实验”。他先取出两个在砣底各焊接了铁钩的不锈钢砣,在一个砣里烧了一些纸,然后迅速把另一个碗扣上,再在碗的外面浇水，使其冷却到环境温度。用两段绳子分别钩着铁钩朝相反的方向拉,试图把两个砣拉开 (图 2-3)。当两边的人各增加到 5 人时,才把砣拉开。已知碗口的直径为 $20 \mathrm{~cm}$，环境温度为 $15^{\circ} \mathrm{C}$,实验讨程中碗不变形,也不漏气,设每人平均用力为 $200 \mathrm{~N}$。请你估算一下，两个不锈钢碗刚被扣上时，里面空气的温度是多少?
图 2-3
甲
Z
图2-2 7. 如图 2-4 所示,一定质量的理想气体从状态 $A$ 开始,经历两个状态变化过程,先后到达状态 $B$ 和 $C$。已知状态 $A$ 的温度 $T_{A}$ 为 $300 \mathrm{~K}$,求状态 $C$ 的温度。
8. 莠农在一种蔬菜完全收割之后往往会将地翻松,在适合的时节再种植新的蔬菜。据菜农说,翻松的土层可以防止土壤中的水分散失,这是什么道理?
图 2-4
## $B$ 组
1. 有人设计了一种测温装置,其结构如图 2-5 所示。玻璃泡 $\mathrm{A}$ 内封有一定量气体,与 $\mathrm{A}$ 相连的 B管插在水银槽中,管内水银面的高度 $x$ 即可反映泡内气体的温度,即环境温度,并可由 $\mathrm{B}$ 管上的刻度直接读出。设 $\mathrm{B}$ 管的体积与 $\mathrm{A}$ 泡的体积相比可略去不计。
(1) 在标准大气压下对 B管进行温度刻度标注 (标准大气压相当于 $76 \mathrm{~cm}$ 高的水银柱所产生的压强)。当温度 $t_{1}$ 为 $27{ }^{\circ} \mathrm{C}$ 时,管内水银面高度为 $16 \mathrm{~cm}$,此高度即为 $27^{\circ} \mathrm{C}$ 的刻度线。问 $t$ 为 $-3{ }^{\circ} \mathrm{C}$ 的刻度线在 $x$ 为多少厘米处?
(2) 如果对以上B管标
图 2-5 注 $27^{\circ} \mathrm{C}$ 刻度线时,环境真实压强比标准大气压小 (例如在高山上实验),但实验者当成了标准大气压来设计。若在标准大气压下使用此温度计，温度计显示的温度为“$3{ }^{\circ} \mathrm{C}$ ”，则显示的温度比实际温度高还是低?为什么?
2. 超市中有一种“强力吸盘挂钩” 如图 2-6 所示。图 2-7是它的工作原理示意图。使用时,按住锁扣把吸盘紧压在墙上 (图 2-7甲)，吸盘中的空气被挤出一部分。然后要把锁扣扳下 (图 2-7乙)，让锁扣以盘盖为依托把吸盘向外拉出。在拉起吸盘的同时,锁扣对盘盖施加压力,致使盘盖以很大的压力压住吸盘。为什么锁扣扳下后,盘盖对吸盘会产生很大的压力?
图 2-6
甲
Z 图 2-7
3. 为了测量一些形状不规则而又不便浸入液体的固体体积,可用图 2-8所示的装置测量。操作步骤和实验数据如下。
a. 打开阀门 $\mathrm{K}$,使管 $\mathrm{A}$、容器 $\mathrm{C}$、容器 $\mathrm{B}$ 和大气相通。上下移动 $\mathrm{D}$,使左侧水银面到达刻度 $n$ 的位置。
b. 关闭 $\mathrm{K}$,向上举 $\mathrm{D}$,使左侧水银面达到刻度 $m$ 的位置。这时测得两管水银面高度差为 $19.0 \mathrm{~cm}$。
c. 打开 $\mathrm{K}$,把被测固体放入 $\mathrm{C}$ 中,上下移动 $\mathrm{D}$,使左侧水银面重新到达位置 $n$,然后关闭 $\mathrm{K}$。
d. 向上举 $\mathrm{D}$,使左侧水银面重新到达刻度 $m$ 处,这时测得两管水银面高度差为 $20.6 \mathrm{~cm}$。
已知容器 $\mathrm{C}$ 和管 $\mathrm{A}$ 的总体积为 $1000 \mathrm{~cm}^{3}$,求被测固体的体积。
图 2-8
4. 汽车行驶时轮胎的胎压太高或太低容易造成安全隐患。已知某型号轮胎能在一 $40 \sim 100{ }^{\circ} \mathrm{C}$ 温度下正常工作,为使轮胎在此温度范围内工作时的最高胎压不超过 $3.535 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}$,最低胎压不低于 $1.616 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}$。设轮胎容积不变,若在温度 $t$ 为 $20^{\circ} \mathrm{C}$ 时给该轮胎充气,充气后的胎压在什么范围内比较合适?5. 图 2-9是一定质量的理想气体由状态 $A$ 经过状态 $B$ 变为状态 $C$ 的 $V-T$ 图像。已知气体在状态 $A$ 时的压强是 $1.5 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}$。请你建立一个坐标系，并在该坐标系中，作出气体由状态 $A$ 经过状态 $B$ 变为状态 $C$ 的 $p-T$ 图像,并标出 $A、B、C$ 的坐标值。
图 2-9
6. 细长玻璃管用长 $l_{0}$ 为 $6.8 \mathrm{~cm}$ 的水银柱封闭一定质量的空气。当玻璃管开口向下竖直放置时,空气柱长度 $l_{1}$ 为 $33 \mathrm{~cm}$;当玻璃管水平放置时,空气柱长度 $l_{2}$ 为 $30 \mathrm{~cm}$。求玻璃管开口向上坚直放置时空气柱的长度。7. 把上端 $\mathrm{A}$ 封闭、下端 $\mathrm{B}$ 开口的玻璃管插入水中。放掉适当的空气后放手，让玻璃管竖直地浮在水中,$\mathrm{A}$ 端露出在水面上,如图 2-10 所示。现将玻璃管往下压一点,放手后玻璃管会返回原来的平衡位置,请解释发生这种现象的原因。
图 2-10
## 热力学定律
冷热变化是最早引起人们关注的自然现象之
一。春夏秋冬,温暑凉寒,何时何处不与冷热相关?人类不但掌握了精确的测温控温方法，还可以人工产生高热和深冷，在高热和深冷的“世界” 里不断发现新的科学奇迹。可以说，现代科技的每一项成功一一不论是试管婴儿的㹶生，还是探索原子世界的奥秘;不论是杂交水稻的培育，还是驾驶“神舟”邀游太空，都离不开“冷热” 的学问。从对一切其他的已知物理和化学过程的这类研究中可以得出这样的结论,自然界作为整体来说它蕴藏着一定数量的能量，它既不会减少，也不会增加……
-亥姆霍兹
## 1 功、热和内能的改变
## 问题
在空气压缩引火仪底部放置少量的硝化棉,迅速压下筒中的活塞,可以观察到硝化棉燃烧的火苗。为什么筒底的硝化棉会被点燃呢?你能解释这个现象吗?
焦耳 ( James Prescott Joule，1818$1889)$
19 世纪 30 年代,人们逐渐认识到，为了使系统的热力学状态发生变化,既可以向它传热,也可以对它做功。从 1840 年开始,英国物理学家焦耳进行了多种多样的实验,以求精确测定外界对系统做功和传热对于系统状态的影响,以及功与热的相互关系。这项研究工作为热力学第一定律和能量守恒定律的建立奠定了坚实的实验基础。
## 焦耳的实验
在焦耳研究功与热等效性的许多实验中，有两个最具代表性。一个是让重物下落带动叶片搅拌容器中的水，引起水温上升；另一个是通过电流的热效应给水加热。
实验 1 如图 3.1-1,用绝热性能良好的材料制作容器,容器中安装着叶片组成的搅拌器。重物下落时带动叶片转
(1) 亥姆霍兹 ( Hermann von Helmholtz,1821-1894),德国物理学家、生理学家。对生理学、光学、电磁学、数学等方面多有贡献,是能量守恒和转化学说的创建者之一。
图 3.1-1 焦耳的实验装置
动,搅拌容器中的水,水由于摩擦而温度上升。
在这个过程中,系统不从外界吸热,也不向外界放热,这样的过程叫作绝热过程 (adiabatic process)。
焦耳的多次实验测量表明,尽管各次悬挂重物的质量不同,下落的高度也不一样,但只要重力所做的功相同,容器内水温上升的数值都是相同的,即系统状态的变化是相同的。
实验2 如图3.1-2,让正在下降的重物带动发电机发电,电流通过浸在液体中的电阻丝,由电流的热效应给液体加热,使液体温度上升。
多次实验结果表明,对于同一个系统,如果过程是绝热的,那么不管通过电阻丝的电流或大或小、通电时间或长或短,只要所做的电功相等,则系统温度上升的数值是相同的，即系统的状态就发生了同样的变化。
图 3.1-2 与焦耳实验原理相同的实验装置示意图
焦耳的这些实验表明,在各种不同的绝热过程中,如果使系统从状态 1 变为状态 2,所需外界做功的数量是相同的。也就是说,要使系统状态通过绝热过程发生变化,做功的数量只由过程始末两个状态 $1、2$ 决定,而与做功的方式无关。那么,必定存在一个描述系统状态的物理量,这个物理量的变化与做功相关。例如,在力学中,重力做的功仅由物体的起点和终点两个位置决定,而与物体的运动路径无关。根据这一事实人们认识到,物体具有重力势能。物体在两个位置间的重力势能之差等于物体在这在第一章中,曾把系统中所有分子热运动的动能和分子间的相互作用势能的总和叫作系统的内能。这和此处的内能是一致的。
图 3.1-3 绝热压缩
两个位置间移动时重力所做的功。
与此类似,在热力学系统的绝热过程中,外界对系统做的功仅由过程的始末两个状态决定,不依赖于做功的具体过程和方式。这就使我们认识到,任何一个热力学系统必定存在一个只依赖于系统自身状态的物理量,这个物理量在两个状态间的差别与外界在绝热过程中对系统做的功相联系。鉴于功是能量变化的量度,所以这个物理量必定是系统的一种能量,我们把它称为系统的内能。
## 功与内能的改变
在热力学系统的绝热过程中,当系统从状态 1 经过绝热过程达到状态 2 时 ( 图 3.1-3),内能的变化量
$$
\Delta U=U_{2}-U_{1}
$$
它就等于外界对系统所做的功 $W$,即
$$
\Delta U=W
$$
可见,在绝热过程中,外界对系统做功,系统的内能增加；系统对外做功，系统的内能减少。
一般来说,如果一个热学过程的状态变化发生得极快、经历时间很短,系统与外界交换的热量就很少,即系统与外界来不及交换热量,这样的过程若不计传递的热,可以看成绝热过程。本节“问题” 栏目中的实验就是这样的过程：迅速压下活塞,引火仪筒内气体被压缩,体积变小,外界对气体做了功,内能增加,温度升高。当温度达到易燃物的燃点时，易燃物发生自燃。
下面让我们再通过一个实验,认识功与内能的变化之间的关系。
## 做一做
取一个透明塑料瓶，向瓶内注入少量的水。将橡胶塞打孔,安装上气门嘴,再用橡胶塞把瓶口塞紧,并向瓶内打气,观察橡胶塞跳出时瓶内的变化 ( 图 3.1-4)。
图 3.1-4 观察橡胶塞跳出时瓶内的变化当橡胶塞跳出时,瓶内出现白雾。以瓶内气体为研究对象,橡胶塞跳出后,瓶内的气体迅速膨胀,系统对外做功,因此,气体的内能迅速减少,瓶内气体温度迅速下降,瓶内水蒸气液化,就会出现大量的雾状小水滴。
## 热与内能的改变
两个温度不同的物体 A、B相互接触时,温度高的物体 $\mathrm{A}$ 要降温,温度低的物体 $\mathrm{B}$ 要升温,我们说,热从高温物体 $\mathrm{A}$ 传到了低温物体 $\mathrm{B}$。
外界对系统做功可以改变系统的热力学状态,而单纯地对系统传热也能改变系统的热力学状态。所以,热量是在单纯的传热过程中系统内能变化的量度。当系统从状态 1 经过单纯的传热达到状态 2 时,内能的变化量
$$
\Delta U=U_{2}-U_{1}
$$
它就等于外界向系统传递的热量 $Q$,即
$$
\Delta U=Q
$$
虽然做功和传热都能引起系统内能的改变,但是它们还是有区别的。做功时,内能与其他形式的能 (如内能与机械能、内能与电能等) 发生转化,而传热只是不同物体 ( 或一个物体的不同部分）之间内能的转移。
> 像做功一样,热量的概念只有在涉及能量的转移时才有意义。我们不能说物体具有多少热量，只能说某一过程中物体吸收或放出了多少热量。
## 练习与应用
1. 在图 3.1-1 和图 3.1-2 所示焦耳的两个实验中,各是什么形式的能转化为系统的内能?2. 下列事件中,物体的内能怎样改变?( 固体和液体的热膨胀很小,可不予考虑)
（1）亚里的水被加热而温度升高。
( 2 ) 一条烧红的铁棒逐渐冷却下来。
3. 气体在绝热膨胀时它的温度会怎样变化?气体在绝热压缩时它的温度会怎样变化?为什么会发生这样的变化?
请分别举一个绝热膨胀和绝热压缩时温度变化的实例。
4. 铅弹以 $200 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的速度射入木块后停在木块中,木块没有移动。若增加的内能的 $80 \%$ 使铅弹的温度升高,铅弹的温度升高了多少?铅的比热容 $c$ 为 $1.3 \times 10^{2} \mathrm{~J} /\left(\mathrm{kg} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right)$。
## 热力学第一定律
汽缸内有一定质量的气体,压缩气体的同时给汽缸加热。那么,气体内能的变化会比单一方式 (做功或传热) 更明显。这是为什么呢?
## 热力学第一定律
b在焦耳之前,人们还没有认识到做功与传热在改变系统内能方面是等价的。焦耳做实验的本意是要探究两者的关系。
>若用公式求出 $Q$ 为负值,说明系统向外界传递热量；若求出 $W$ 为负值，说明系统对外界做功。焦耳的实验一方面表明,以不同的方式对系统做功时,只要系统始末两个状态是确定的,做功的数量就是确定的;另一方面也向我们表明,为了改变系统的状态,做功和传热这两种方法是等价的。也就是说,一定数量的功与确定数量的热相对应。
我们在上节课已经知道,单纯地对系统做功 (热力学系统的绝热过程),内能的变化量与功的关系是
$$
\Delta U=W
$$
单纯地对系统传热,则内能的变化量与传递热量的关系是
$$
\Delta U=Q
$$
既然做功与传热对改变系统的内能是等价的,那么,当外界既对系统做功又对系统传热时,内能的变化量就应该是
$$
\Delta U=Q+W
$$
也就是说,一个热力学系统的内能变化量等于外界向它传递的热量与外界对它所做的功的和。这个关系叫作热力学第一定律 ( first law of thermodynamics )。
可见，“问题” 栏目中的汽缸内气体内能的变化量等于活塞对气体所做的功与通过加热向汽缸内气体传递的热量之和。
## 思考与讨论
一定质量的气体,膨胀过程中是外界对气体做功还是气体对外界做功?如果膨胀时气体对外做的功是 $135 \mathrm{~J}$,同时向外放热 $85 \mathrm{~J}$,气体内能的变化量是多少?内能是增加了还是减少了?请你通过这个例子总结功和热量取正、负值的物理意义。
## 热力学第一定律的应用
在运用热力学第一定律解决问题时,需要首先确定研究对象。对于公式 $\Delta U=Q+W$，我们可以这样理解：外界对系统做功有助于系统内能的增加,因此,外界对系统做功时,$W$ 取正值;而系统对外界做功时,$W$ 取负值。同理，外界对系统传递热量有助于系统内能的增加,因此,外界对系统传递的热量 $Q$ 取正值;而系统向外界传递的热量 $Q$ 就取负值。
## 例题
如图 3.2-1,一台四冲程内燃机,活塞在压缩冲程某段时间内移动的距离为 $0.1 \mathrm{~m}$,这段过程活塞对气体的压力逐渐增大,其做的功相当于 $2 \times 10^{3} \mathrm{~N}$ 的恒力使活塞移动相同距离所做的功（图 3.2-2 甲)。内燃机工作时汽缸温度高于环境温度,该过程中压缩气体传递给汽缸的热量为 $25 \mathrm{~J}$。
( 1 ) 求上述压缩过程中气体内能的变化量。
(2) 燃烧后的高压气体对活塞做功,气体推动活塞移动 $0.1 \mathrm{~m}$,其做的功相当于 $9 \times 10^{3} \mathrm{~N}$ 的恒力使活塞移动相同距离所做的功 ( 图 3.2-2乙 ),该做功过程气体传递
图 3.2-1
甲压缩冲程
乙做功冲程
图 3.2-2 分析根据热力学第一定律,在第 (1) 问中,活塞压缩气体的过程是外界对系统做功,活塞对气体所做的功 $W_{1}$ 为正值;在第 (2) 问中,气体膨胀推动活塞的过程是系统对外界做功,气体对外界所做的功 $W_{2}$ 为负值。在两种情况下,气体都把热量传递给了汽缸，都属于放热，因此 $Q_{1}、Q_{2}$ 均为负值。
解 (1 ) 压缩过程活塞对气体做的功
$$
W_{1}=F_{1} l_{1}=2 \times 10^{3} \times 0.1 \mathrm{~J}=200 \mathrm{~J}
$$
气体内能的变化量
$$
\Delta U_{1}=W_{1}+Q_{1}=200 \mathrm{~J}-25 \mathrm{~J}=175 \mathrm{~J}
$$
( 2 ） 气体膨胀过程中气体对外界所做的功
$$
W_{2}=F_{2} l_{2}=-9 \times 10^{3} \times 0.1 \mathrm{~J}=-900 \mathrm{~J}
$$
气体内能的变化量
$$
\Delta U_{2}=W_{2}+Q_{2}=-900 \mathrm{~J}-30 \mathrm{~J}=-930 \mathrm{~J}
$$
汽缸内气体在压缩过程中内能增加了 $175 \mathrm{~J}$,在膨胀做功过程中气体内能减少了 $930 \mathrm{~J}$
## 科学漫步
## 探索热的本质
热质说和热动说对于“热是什么”,历史上有两种不同的观点。一种是热的物质说 (热质说)，另一种是热的运动说 (热动说)。
培根、玻意耳、笛卡儿、胡克、牛顿、伯努利、罗蒙诺索夫等人根据摩擦生热等现象，认为热是粒子运动的表现，物体由于粒子的剧烈运动而发热。但在他们的时代，这种观点缺乏足够的实验证据。
与此对立的另一种看法是热质说。热质说认为，热是一种流质，名为热质，可以渗入一切物体,不生不灭,没有质量。一个物体是冷还是热,取决于其中所含热质的多少。热质说可以解释当时观察到的大部分热学现象：物体温度的变化是因为吸收、放出了热质，传热是热质的流动与传播，热膨胀是由于热质粒子之间的排斥，等等。
但是，热质说无法解释伦福德的炮筒镋孔实验。
伦福德的实验英国科学家本杰明-汤普森 (又名伦福德）在德国慕尼黑的兵工厂为炮筒镗孔 ( 图 3.2-3) 时,发现钻头与钢铁的摩擦能产生大量的热。按照热质说,钻头越锋利,铁㞕 切得越小,它们能保存住的热质就越少,释放的热质就越多,用来冷却的水沸腾得也就越快。然而,伦福德注意到,在钻头已经变钝时照旧要产生大量的热。不但如此,他发现在钻孔加工中热量似乎是取之不尽的。
伦福德进行了反复的观察和实验,终于在 1798 年公布了他的研究成果。他明确指出: 在这些实验中被激发出来的热，除了把它看作“运动”之外,似乎很难看作其他任何东西。
然而,事情并不简单。伦福德的实验无法进行定量测量,因此他的实验的说服力大打折扣。到了 19 世纪 40 年代,英国物理学家焦耳以定量的实验为热动说的胜利画上了句号。
与伦福德同时代的英国化学家戴维,也通过实验否定了热质说。
图 3.2-3 伦福德的炮筒镗孔实验
## 练习与应用
1. 用活塞压缩汽缸里的空气,对空气做了 $900 \mathrm{~J}$ 的功,同时汽缸向外散热 $210 \mathrm{~J}$,汽缸里空气的内能改变了多少?2. 如图3.2-4,在汽缸内活塞左边封闭着一定量的空气,压强与大气压相同。把汽缸和活塞固定,使汽缸内空气升高一定的温度,空气吸收的热量为 $Q_{1}$ 如果让活塞可以自由滑动 (活塞与汽缸间无摩擦、不漏气),也使汽缸内空气温度升高相同温度,其吸收的热量为 $Q_{2}$。
图 3.2-4 ( 1 ) $Q_{1}$ 和 $Q_{2}$ 哪个大些?
（2）气体在定容下的比热容与在定压下的比热容为什么会有不同?
3. 某风景区有一处约 20 层楼高的瀑布，甚为壮观。请估计：瀑布上、下水潭的水温因瀑布的机械能转化成内能而相差多少?水的比热容 $c$ 为 $4.2 \times 10^{3} \mathrm{~J} /\left(\mathrm{kg} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right)$。4. 奶牛的心脏停止跳动后,大约在 $1 \mathrm{~h}$ 内体温由 $37.0^{\circ} \mathrm{C}$ 降低到 $33.5^{\circ} \mathrm{C}$。请你由此估算,在这种环境下饲养奶牛,要维持一个体重 $400 \mathrm{~kg}$ 奶牛的内能不变,每天喂养奶牛的食物至少要能为它提供多少热量?计算时,可以认为奶牛体内绝大部分是水。水的比热容 $c$ 为 $4.2 \times 10^{3} \mathrm{~J} /\left(\mathrm{kg} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right)$ $2+12020+2020$
## 问题
让“饮水小鸭”“喝”完一口水后，直立起来。直立一会儿，它又会慢慢俯下身去，再“喝” 一口，然后又会直立起来。如此循环往复N... 这种“饮水小鸭”玩具是一架永动机吗?
## 探索能量守恒的足迹
人类对能量的认识能量的概念是人类在对物质运动规律进行长期探索中建立起来的。所有自然现象都涉及能量,人类的任何活动都离不开能量。能量具有不同的形式,有描述热运动的内能、描述机械运动的机械能、描述光辐射的光能，等等。不同形式的运动都可以用能量来描述。也就是说,我们可以用能量的观念把热、电、光、磁等都统一起来描述。但是,在科学史上人们真正以“能量” 的观念来探索各种运动形式本质的过程却是非常曲折的。
在认识自然的进程中,科学家慢慢知道了要用联系的观点去观察自然。例如,机械能的各种形式之间可以相互转化,电和磁可以相互转化,热和电也可以相互转化 $\cdots \cdots$
- 奥斯特发现电流的磁效应
- 法拉第发现电磁感应现象
热的本质是运动
表科学家们一直关注自然现象之间的普遍联系下表列出了自 18 世纪末至 19 世纪中叶来自不同国家和地区、不同领域的科学家,以不同的方式,完成了关于能量转化的研究成果。
能量守恒观念的形成由于能量既抽象又以各种不同的形式广泛存在,所以能量守恒思想的萌芽及产生并不是一蹴而就的。从各种实验的验证,再到实验结果的被质疑,科学家们付出了大量的努力。应该说,人类对能量的认识过程,体现了科学前辈们对“守恒” 这一科学思想的追寻。从 18 世纪末到 19 世纪中叶,不同领域的科学家从不同角度都提出过能量守恒的思想。人类对能量守恒的认识经历了一个由浅人深、由含糊到清晰的过程。
俄国化学家盖斯的研究发现,任何一个化学反应,不论是一步完成,还是分几步完成,放出的总热量相同。这表明一个系统 (即参加化学反应的几种物质) 存在着一个与热量相关的物理量,在一个确定的化学反应中这个量是不变的。
焦耳的实验精确地测量了做功与传热之间的等价关系,从而为能量守恒定律奠定了牢固的实验基础,也为能量守恒的定量描述迈出了重要的一步。
德国医生迈尔通过比对不同地区人血颜色的差异,认识到食物中化学能与内能的等效性,即生物体内能量的输入和输出是平衡的。另外,他还通过海水在暴风雨中较热的现象,猜想热与机械运动的等效性。他在 1841 年和 1842 年连续写出“论“自然力' (指能量 ) 守恒” 的论文,并推算了多少热与多少功相当。因此,迈尔是公认的第一个提出能量守恒思想的人。
- 焦耳发现电流的热效应 • 焦耳测定做功与传热的关系
定律亥姆霍兹在理论上概括和总结能量守恒定律能量守恒的观点也在不断地发展，相对论建立以后，基本粒子的研究使我们认识到，能量其实是与质量相关联的一个物理量德国科学家亥姆霍兹在不了解迈尔和焦耳研究的情况下，从永动机不可能制成这一事实出发，考察了自然界不同的“力” (指能量 ) 之间的相互关系，提出了“张力” ( 即势能 )与“活力” ( 即动能) 的转化。他还分析了在电磁现象和生物机体中能量的守恒问题。
半个多世纪人类对能量以及能量守恒研究的历史，预示着人们把各分立的领域连成一体的时刻已经到来，也就是到了建立能量转化与守恒定律的时候了。
## 能量守恒定律
在力学中,当系统只有重力和弹力做功时,系统的动能与势能会发生相互转化,而动能与势能的总量保持不变,这就是机械能守恒定律
在热力学领域内,做功和传热可以改变系统的内能,即系统内能与系统外的能量会发生转化或转移,但能的总量不会改变。热力学第一定律,实际上就是内能与其他能量发生转化时的能量守恒定律。
能量守恒定律可以表述为：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失,它只能从一种形式转化为其他形式,或者从一个物体转移到别的物体,在转化或转移的过程中,能量的总量保持不变。
能量守恒是自然界的普遍规律。根据能量守恒定律,物理学发现和解释了很多科学现象。
但是在能量守恒定律发现之后,曾有人怀疑某种过程“能量不守恒”。但是,进一步研究又发现,原来是漏掉了人类尚不认识的一种能量。如果把这种能量计算在内,总能量依然守恒。在 20 世纪 30 年代初,奥地利物理学家泡利根据能量守恒定律预言了中微子。${ }^{(1)}$ 这个预言后来得到了证实。能量守恒定律经受住了新的检验。
能量守恒定律的发现是科学史上的重大事件。恩格斯把它与细胞学说、生物进化论一起列为 19 世纪的三大发
(1) 中微子是静止质量几乎为 0 的中性粒子现。它是自然科学长期发展和进步的结果,是普遍、和谐、
可靠的自然规律之一。
## 永动机不可能制成
“问题” 栏目中的饮水小鸭不是永动机。小鸭的头和身由两个玻璃球构成,并通过细玻璃管相连。下球盛有一些乙醚,上球连同尖嘴被吸水毛毛包起来。那么,它是靠什么来维持工作的呢?原来小鸭头部的毛毛䒷“饮水” 后,水蒸发吸热,导致头部温度降低。上段玻璃管中的乙醚蒸气被液化,压强减小,液柱上升 (图 3.3-1甲),小鸭重心上移,直到小鸭倾倒。处于倾倒位置的小鸭,头部再次被浸湿,上下玻璃球内的气体相通,压强相等,乙醚流回下玻璃球内 (图 3.3-1乙 ),重心下移,小鸭站立。如此循环往复。可见,正是因为小鸭头部“饮水” 后水不断蒸发,吸收了察觉不到的空气的热量,才使小鸭能够持续工作下去。
## 思考与讨论
$17 \sim 18$ 世纪,许多人致力于制造一种机器,它不需要任何动力或燃料,却能不断地对外做功,史称“第一类永动机”。图3.3-2 展示了历史上一种永动机的设计。然而，为此目的的任何尝试都失败了。这是为什么呢?
图 3.3-1 小鸭饮水示意图
图 3.3-2 历史上一种永动机的设计
任何动力机械的作用都是把其他形式的能转化为机械能。内燃机把燃料的化学能转化为燃气的内能然后再转化
为机械能，电动机把电能转化为机械能……如果没有燃料、电流或其他动力的输人,能量从哪里来呢！永动机的思想违背了能量守恒定律,所以是不可能制成的。
应该指出的是,制造永动机的千万次失败使人们的头脑冷静下来,开始在更深层次寻找失败的原因。1775年法国科学院宣布“不再审查有关永动机的一切设计”。这使得人们走出迷梦,去研究各种能量形式相互转化的规律,促成了能量守恒定律的建立。曾任中国物理学会理事长的冯端教授指出：除了要为焦耳、亥姆霍兹和迈尔这些作出杰出贡献的科学家树碑立传外,还应建立一个无名英雄纪念碑，其上最合适的铭文将是“纪念为实现永动机奋斗而失败的人们”。这是因为人类在探索自然规律的过程中必然有各种假设,虽然后来发现某些假设是错误的,但正是前人的失败才使后人的思考走上了正确的道路。
## 练习与应用
1. 下面的设想符合能量守恒定律吗?请简述理由。
（1）利用永久磁铁间的作用力，造一台永远转动的机械。
( 2 ）造一条没有动力系统的船在水面上行驶。
（3）通过太阳照射飞机,使飞机不带燃料也能飞行。
2. 有一个 $500 \mathrm{~mL}$ 的饮料罐,其标签上注有 " $180 \mathrm{~kJ} / 100 \mathrm{~mL}$ " 的能量参考值。请你估算这瓶饮料的能量相当于一个成年人爬多少层楼所做的功。3. 为测算太阳射到地面的辐射能,某校科技实验小组的同学把一个横截面积是 $300 \mathrm{~cm}^{2}$ 的矮圆筒的内壁涂黑,外壁用保温材料包衰,内装水 $0.6 \mathrm{~kg}$。让阳光垂直圆筒口照射 $2 \mathrm{~min}$ 后，水的温度升高了 $1{ }^{\circ} \mathrm{C}$。请由此估算在阳光直射时地面上每平方米每分钟接收的太阳能量。水的比热容 $c$ 为 $4.2 \times 10^{3} \mathrm{~J} /\left(\mathrm{kg} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right)$。
## (4) 热力学第二定律
## 问题
一滴红色颜料滴进一杯清水中扩散，整杯水将均匀地变红。从系统的角度来看,扩散之前是一种状态,扩散后是另一种状态。那么,水中扩散后的颜料能否自发地重新聚集在一起,而其余部分又变成清水?
## 热力学第二定律
能量守恒定律告诉我们,在自然界发生的一切过程中能量都是守恒的,一个导致能量创生或能量消失的过程是不可能出现的。然而,并不是所有符合能量守恒定律的宏观过程都能自发地进行。
无数事实告诉我们,凡是实际的过程,只要涉及热现象,如物体间的传热、气体的膨胀、扩散、有摩擦的机械运动.⿳... 都有特定的方向性。这些过程可以自发地朝某个方向进行,例如,热由高温物体传向低温物体,而相反的过程,即使不违背能量守恒定律,我们也从末见到它们会自发地进行。这就是说,一切与热现象有关的宏观自然过程都是不可逆的。
在物理学中,反映宏观自然过程的方向性的定律就是热力学第二定律 (second law of thermodynamics)。
热力学第二定律的克劳修斯表述德国物理学家克劳修斯在 1850 年提出: 热量不能自发地从低温物体传到高温物体。这是热力学第二定律的克劳修斯表述。
这里阐述的是传热的方向性。在这个表述中,“自发” 二字指的是：当两个物体接触时,不需要任何第三者的介
- 热力学第二定律是用否定语吕表述的（绝大多数物理定律都是用肯定语句表述的)，它告诉我们什么样的过程不可能发生。人、不会对任何第三者产生任何影响,热量就能从一个物体传向另一个物体。当两个温度不同的物体接触时,这个“自发”的方向是从高温物体指向低温物体的。
## 思考与讨论
电冰箱通电后箱内温度低于箱外温度，并且还会继续降温，直至达到设定的温度。显然这是热量从低温物体传到了高温物体。这一现象是否违背热力学第二定律呢?
图 3.4-2 热机工作时的能流分配漏气热损散热热损摩擦热损
图 3.4-3 热机能流图在电冰箱的实例中，热量的确从低温物体一一冰箱内的食品，传到了高温物体一一冰箱外的空气。但是这不是自发的过程，这个过程必须有第三者的介人: 必须开动冰箱的压缩机。如果不供电，冰箱的压缩机会停止工作，自发的过程则是热量从冰箱外的高温空气传向冰箱内的低温食品（图 3.4-1）。
向压缩机供电
停止供电
图 3.4-1 电冰箱实例
热力学第二定律的开尔文表述从能量的角度看,热机的工作分为两个阶段：第一个阶段是燃烧燃料，把燃料中的化学能变成工作物质的内能;第二个阶段是工作物质对外做功,把自己的内能变成机械能。
热机工作时从高温热库吸收的热量 $Q$，只有一部分用来做功 $W$,转变为机械能,另一部分热量要排放给低温热库 (冷凝器或大气 )（图 3.4-2)。也就是说,热机在工作过程中必然排出部分热量,热机用于做功的热量一定小于它从高温热库吸收的热量,即
$$
W<Q
$$
热机工作时通常会产生漏气热损、散热热损和摩擦热损等热量损失（图 3.4-3)。如果没有漏气和摩擦，也没有机体热量的损失,燃料产生的热量也不可能完全转化成机械能,工质吸收的热量不会全部变成功,例如,汽车排出气体的温度一定会比空气的温度高，它会向空气散热。
开尔文 ${ }^{\mathbb{1}}$ 在分析了热机及其他涉及做功的热学过程后,于 1851 年提出了热力学第二定律的另一种表述: 不可能从单一热库吸收热量,使之完全变成功,而不产生其他影响。
这里所说“不可能从单一热库吸收热量”，意思是：不仅要从一个热库吸热，而且一定会向另一个热库放热。
热力学第二定律的开尔文表述阐述了机械能与内能转化的方向性：机械能可以全部转化为内能，而内能无法全部用来做功以转化成机械能。例如,两个相互接触并做相对运动的物体,由于摩擦而静止下来,它们在这个过程中消耗的机械能可以全部转化为内能;但相反的过程不可能自发进行而不产生其他影响。
## 思考与讨论
在水平地面上滚动的足球，摩擦力做负功，其动能转化为内能,最终停了下来,同时产生的热量散失在周围的环境中。会不会有这样的现象：静止在水平地面上的足球、地面和周围的空气自发地降低温度释放内能,并将释放出的内能全部转化为足球的动能，让足球又滚动起来?
上述现象是不可能发生的。问题的实质仍然是：机械能可以全部转化成内能，但这个过程是不可逆的。
可以证明，热力学第二定律的克劳修斯表述和开尔文表述是等价的。
## 能源是有限的
自然界的一切变化，人类社会的所有活动，都伴随着能量的转移和转化,能量是一切物质运动的源泉,是一切生命活动的基础。
能量在数量上虽然守恒,但其转移和转化却具有方向性。在取暖照明、耕田犁地、车钻磨锻、开车驾船 $\cdots \cdots$ 各种各样的活动中,机械能、电能、光能、声能、化学能、
(1) 也就是威廉 - 汤姆孙。因为他在科学上的成就和对大西洋电缆工程的贡献,英女王授予他开尔文勋爵衔,后世常称他为开尔文。核能、生物能 $\cdots \cdots \cdot$ 最终都转化成内能,流散到周围的环境中。每天我们使用的能源最后都转化成了内能,能源消耗使得周围环境升温。根据热力学第二定律,分散在环境中的内能不管数量多么巨大,它也只不过能使地球、大气稍稍变暖一点,却再也不能自动聚集起来驱动机器做功了。这样的转化过程叫作“能量耗散”。
周围环境中的内能很难再利用,而机械能、光能、化学能、电能相对于周围环境中的内能来说,可利用的品质要高。所谓能源,其实是指具有高品质的容易利用的储能物质，例如石油、天然气、煤等。能源的使用过程中虽然能的总量保持守恒,但能量的品质下降了。虽然能量总量不会减少，但能源会逐步减少，因此能源是有限的资源。
## 拓展学习
## 熵与熵增加原理
图 3.4-4 抽取隔板后气体会怎么样
自然界的很多过程是不可逆的。
例如,一个容器被隔板均分为 $\mathrm{A}、\mathrm{~B}$ 两部分,一定量的气体处于容器 $\mathrm{A}$ 中,而 $\mathrm{B}$ 为真空 (图 3.4-4)。抽取隔板 $\mathrm{K},\mathrm{A}$ 中的气体就会扩散到 $\mathrm{B}$ 中,最后整个容器的 $\mathrm{A}、\mathrm{~B}$ 两部分都均匀地分布了这种气体。这个过程显然是不可逆的。
这种不可逆的现象可以从微观角度来解释。设想开始时有 4 个气体分子分布在 $\mathrm{A}$ 中。如果没有隔板,对于这 4 个分子中的每一个都有两种可能性,即它处在 $\mathrm{A}$ 中，或处在 $\mathrm{B}$ 中。4 个分子共有 $2^{4}=16$ 种可能的分布，如图 3.4-5 所示。
这 16 种分布中的每一种是一个微观态。在自由膨胀前,只有一个微观态,即 4 个分子都在 $\mathrm{A}$ 中。自由膨胀后,16 个微观态都可能实现。自由膨胀前的宏观态只包含第一个微观态,自由膨胀后的宏观态包含 16 个微观态。假定实现每一个微观态的概率是相等的,则自由膨胀后回复到自由
图 3.4-5 4 个气体分子在 $\mathrm{A}、\mathrm{~B}$ 容器中的可能分布膨胀前状态的概率为 $\frac{1}{16}$
一般地说,如果 $\mathrm{A}$ 中气体分子数量为 $N$ 个,则自由膨胀后的气体要回复到自由膨胀前的概率为 $\frac{1}{2^{N}}$。实际上,气体内的分子数很大,因此自由膨胀的气体要自发地回复到膨胀前的状态实际上是不可能的。
生活中我们常说到有序和无序这两个词。一副扑克牌,按黑桃、红桃、梅花、方块的顺序,而且从小到大排列,我们说它是有序的,洗牌之后有序变成了无序。当然也可以规定奇数牌在先,偶数牌在后,等等。只要确定了某种规则,符合这个规则的就是有序的。由许多张纸牌组成的系统,如果对个体的分布没有确定的要求,怎样分布都可以，我们就说这样的分布是无序的。有序与无序是相对的。
相对于膨胀后的状态,物理学中把气体膨胀前的状态叫作有序状态,而气体自由膨胀后的状态变得更混乱与无序,是无序状态。其实,把事情搞得乱糟糟的方式要比把事情做得整整齐齐的方式多得多。比如,要让操场上的一群学生按班级、身高,或按任何一种规则来站队都是比较麻烦的: 组织者需要按规则来确定每个学生的位置,每个学生都要寻找自已的位置。但是,要让已经排好队的学生解散,那就非常简单,每个学生随便朝一个方向跑去,队形就乱了。从统计学的角度来解释,按一定规则排列的队形只有少数几种,而学生解散后的混乱状态有无数种。这样,混乱状态出现的概率要远大于整齐排列状态出现的概率。一个系统总是自发地从有序状态向混乱的无序状态发展。
1850年,克劳修斯首次提出熵的概念,熵可用来表达一个系统的无序程度,系统从有序向无序的发展过程中熵在增加。在物理学中,不与外界进行物质和能量交换的系统叫作孤立系统。在自发过程中,系统总是自发地向无序方向发展，即一个孤立系统的熵值总是不减少的，这就是熵增加原理。
从微观的角度看,热力学第二定律是一个统计规律: 一个孤立系统总是从熵小的状态向熵大的状态发展,而熵值较大代表着较为无序，所以自发的宏观过程总是向无序度更大的方向发展。
熵的概念现在已经应用于信息学、天体物理学、生命科学、社会学等领域,在不同的学科中也有引申出的更为具体的定义。
## 练习与应用
1. 汽车行驶时,要消耗汽油。尽量详尽地说明：汽油燃烧时释放的化学能通过哪些途径最终转化成了周围环境的内能。2. 以下哪些现象能够发生、哪些不能发生?能够发生的现象是否违背热力学第二定律?
(1) 一杯热茶自然放置,茶会自动变得更热。
(2) 蒸汽机把蒸汽的内能全部转化成机械能。
（3）桶中混浊的泥水在静置一段时间后,泥沙下沉,上面的水变清,泥、水自动分离。
(4) 电冰箱通电后把箱内低温物体的热量传到箱外高温物体。
3. 一间密闭的房间里放置了一台电冰箱,为了使房间降温,有人出了一个主意,建议把冰箱接通电源,打开冰箱门,让冰箱的“冷气” 进入房间中,房间就变冷了。这种方法可行吗?请说明道理。
## A 组
1. 远古时代，取火是一件困难的事，火一般产生于雷击或磷的自燃。随着人类文明的进步,出现了“钻木取火” 的方法。其中的物理原理是什么?2. 冬天手冷的时候你有什么办法让手暖和起来?举出至少两种方法,并解释其中的物理原理
3. 如图 3-1,一个绝热容器被隔板 $\mathrm{K}$ 分成 $\mathrm{A}、\mathrm{~B}$ 两部分。已知 $\mathrm{A}$ 内有一定量的稀薄气体,$B$ 内为真空。抽开隔板 $K$ 后,$A$ 内气体进入 $B$,最终达到平衡状态。分析此过程中气体内能的变化情况
图 3-1
4. 一个气泡从恒温水槽的底部缓慢向上浮起，若不计气泡内空气分子个数和分子势能的变化,在上浮过程中气泡的内能如何变化?吸热还是放热?
## $B$ 组
1. 根据热力学定律,判断下列说法是否正确，若不正确请说明理由。
(1) 空调在制冷过程中,从室内吸收的热量少于向室外放出的热量。
(2) 海水降低温度可以放出大量的热量,科技的不断进步使得人类有可能通过降低海水的温度来发电,从而解决能源短缺的问题。
(3) 即使没有漏气、摩擦、不必要的散热 5. 如图 3-2,固定汽缸内由活塞封闭一定质量的气体,开始时活塞处于静止状态,用电热丝对气体加热后活塞向左移动,移动过程中活塞与汽缸的摩擦忽略不计,且气体与外界环境没有热交换。试分析气体内能会如何变化。
图 3-2
6. 小李想估测燃气灶烧水时的效率。他在开水壶里装了 $2.5 \mathrm{~L}$ 的水，测得烧水前的水温是 $15^{\circ} \mathrm{C}$,水烧开后便停止加热。烧水前后燃气表的示数如图3-3 所示。为了得出燃气烓烧水的效率,他还要知道什么数据?请用字母表示相关数据，指出所用的单位，列出计算效率的表达式。
图 3-3 等损失,热机也不可能把燃料产生的内能全部转化为机械能。
(4) 对能源的过度消耗使自然界的能量不断减少，形成“能源危机”。
2.装着压缩气体的钢瓶，打开阀门后会听到“哧——” 的一声,气体喷到外面。会不会有这样的现象：外面的气体自发地进入钢瓶,使瓶内的压强变大?说出理由。3. 如图 3-4,在坚直放置的圆柱形容器内用质量为 $m$ 的活塞密封一部分气体,活塞能无摩擦地滑动,容器的横截面积为 $S$,将整个装置放在大气压恒为 $p_{0}$ 的空气中,开始时气体的温度为 $T_{0}$,活塞与容器底的距离为 $h_{0}$,当气体从外界吸收热量 $Q$ 后,活塞缓慢上升 $d$ 后再次平衡。
(1) 外界空气的温度是多少?
(2) 在此过程中的密闭气体的内能增加了多少?
图 3-4
4. 如图 3-5,一定质量的理想气体从状态 $A$ 变化到状态 $B$,已知在此过程中,气体吸收了 $300 \mathrm{~J}$ 的热量,则该过程中气体内能变化了多少?
图 3-5 5. 如图 3-6,内壁光滑的汽缸坚直放置在水平桌面上，汽缸内封闭一定质量的气体。气体从状态 $A$ (活塞在 $A$ 处) 变为状态 $B$ ( 活塞在 $B$ 处) 时,气体吸收热量 $280 \mathrm{~J}$,并对外做功 $120 \mathrm{~J}$。
（1）气体的内能改变了多少?是增加还是减少?
（2）某人在上一问的基础上又接着提了一个问题，说：“有人使气体从上一问的状态 $B$ 再回到状态 $A$ 时的体积和温度,气体放出的热量是 $150 \mathrm{~J}$,那么返回过程中气体对外做的功又是多少?”请你对这个问题进行评价。
图 3-6
## 第四章
## 原子结构和波粒二象性
量子论的建立是 20 世纪物理学的最大成就之一。量子论解驿了原子、分子等微观粒子遵循的规律,这些规律和牛顿力学等宏观、低速情况下的物理规律有很大不同。量子论不但深化和丰富了人类对自然界的认识,而且催生了一大批新技术,深刻地改变了人们的生活方式和社会形态。图为人们利用量子理论研制的电子显微镜拍掫到的铀酰微晶照片,放大倍数约为 1 亿倍,这是光学显微镜所做不到的。科学的历史不仅是一连串事实、规则和随之而来的数学描述,它也是一部概念的历史。当我们进入一个新的领域时，常常需要新的概念。
## (1) 普朗克黑体辐射理论
―普朗克
## 问题?
量子论使人们认识了微观世界的运动规律,并发展了一系列对原子、分子等微观粒子进行有效操控和测量的技术。图为利用扫描隧道显微镜将48 个铁原子排成的“量子围栏”。那么，人们认识量子规律的第一步是怎样迈出的?
## 黑体与黑体辐射
通过物理必修课的学习我们知道,如果某种物体能够完全吸收人射的各种波长的电磁波而不发生反射,这种物体就是绝对黑体,简称黑体 (black body)。如图 4.1-1,在空腔壁上开一个很小的孔,射人小孔的电磁波在空腔内表面会发生多次反射和吸收,最终不能从空腔射出。这个带
图4.1-1 带小孔的空腔小孔的空腔就可以近似为一个绝对黑体。
黑体虽然不反射电磁波,却可以向外辐射电磁波,这样的辐射叫作黑体辐射 (black body radiation)。
19世纪，由于冶金、星体测温等需求,人们对热辐射进行了大量的研究。当时物理学家已有能力对热辐射的强度随波长的分布进行比较准确的测量。研究表明,对于一般材料的物体,辐射电磁波的情况除了与温度有关,还与材料的种类及表面状况有关,而黑体辐射电磁波的强度按波长的分布只与黑体的温度有关。它可能反映了某种具有普遍意义的客观规律,人们因此对黑体辐射进行了深人的实验及理论研究。
图 4.1-2 黑体辐射的实验规律
## 黑体辐射的实验规律
利用分光技术和热电偶等设备,可以测出黑体辐射电磁波的强度按波长分布的情况。图 4.1-2画出了四种温度下黑体辐射的强度与波长的关系。从中可以看出，随着温度的升高，一方面，各种波长的辐射强度都有增加，另一方面,辐射强度的极大值向波长较短的方向移动。这些规律与日常经验是一致的。
物理学家总是力图用已有的知识去解释新发现的现象和规律。那么,怎样解释黑体辐射的实验规律呢?
我们知道,物体中存在着不停运动的带电微粒,按照当时物理学的认识,每个带电微粒的振动都产生变化的电磁场，从而产生电磁辐射。于是，人们很自然地要依据热学和电磁学的知识寻求黑体辐射的理论解释。
德国物理学家维恩在 1896 年、英国物理学家瑞利在 1900 年，分别提出了辐射强度按波长分布的理论公式。他们提出的公式都只能解释一部分实验现象。维恩公式在短波区与实验非常接近,在长波区则与实验偏离较大;瑞利公式在长波区与实验基本一致，但在短波区与实验严重不符。
为了得出同全部实验相符的黑体辐射公式,德国物理学家普朗克做了多种尝试。1900年 10 月，普朗克找到了一个数学公式,它与实验吻合得非常完美 (图4.1-3 )。于是,
图 4.1-3 普朗克公式与实验结果的比较
(1) 瑞利公式曾被英国天体物理学家金斯修正过,所以这个公式又称瑞利一金斯公式。普朗克尝试从电磁学、力学、统计物理学等物理学的基本理论出发,把这个公式推导出来。
## 能量子
普朗克最终在 1900 年年底发现,如果想推导出这个公式,就必须假定：组成黑体的振动着的带电微粒的能量只能是某一最小能量值 $\varepsilon$ 的整数倍。例如,可能是 $\varepsilon$ 或 $2 \varepsilon$、$3 \varepsilon \cdots \cdots$ 他把这个不可再分的最小能量值 $\varepsilon$ 叫作能量子,它的表达式为
$$
\varepsilon=h v
$$
这里的 $v$ 是带电微粒的振动频率,也即带电微粒吸收或辐射电磁波的频率。$h$ 是一个常量,后人称之为普朗克常量,其值为
$$
h=6.62607015 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \cdot \mathrm{s}
$$
普朗克对微观带电微粒能量取值的假设和宏观世界中我们对能量的认识有很大不同。例如,一个弹簧振子,把小球推离平衡位置后开始振动,能量为 $E$,下一次我们可以把它推得稍远一些,使它振动的能量稍多一些,例如,$1.2 E$ 或 $1.3 E$,也可以把它推得更远,能量更大。弹簧振子的能量不一定是某个最小值的整数倍。只要在弹性限度以内,我们可以把小球推到任何位置,它的能量可以是任何值。
由此可见,宏观弹簧振子的能量值是连续的。而普朗克的假设则认为微观粒子的能量是量子化的,或者说微观粒子的能量是分立的。这是微观与宏观世界物理规律最重要的差别之一。因此,普朗克 1900 年的假设第一次为人们揭开了微观世界物理规律面纱的一角。从此,物理学进人了一个新的纪元。普朗克本人因此获得了 1918 年的诺贝尔物理学奖。>微观世界中的物理系统，如原子、分子和离子等，其能量正如普朗克所假设的那样,只可能取某些特定的值
## 普朗克
普朗克 1858 年生于德国基尔。他在慕尼黑大学学习时选择物理作为学习的专业。当时一位物理学教授对他说,物理学中重要的事情都已经被别人发现完了,因此这门学科没有广阔的前景。普朗克没有因此而打退堂鼓。他觉得,自己学习物理,主要是为了了解自然界的基本规律,并不奢望作出重要的新发现。后来,他曾讲道:“外部世界是某种独立于人的东西,是某种绝对的东西，探索适用于这一绝对本体的定律，在我看来是一生最崇高的追求。”
普朗克先后师从亥姆霍兹、基尔霍夫等热学和辐射问题的名家。1879年,普朗克获得博士学位,博士论文题目是关于热力学第二定律的。之后,他先后在慕尼黑、基尔和柏林担任物理学副教授和教授等职务,并在基尔霍夫去世后继任他的职位。这个阶段,普朗克的主要研究方向也是热力学。在提出能量量子化理论之前,他大概发表了 40 篇论文。
普朗克在物理学方面最重要的成就,毫无疑问就是他在 1900 年创立的黑体辐射理论。在此之前,他已经在黑体辐射问题方面进行了6年左右的研究,并历经曲折。普朗克 1900 年的划时代突破,正是建立在他从大学时代开始多年的严格专业训练和辛勤研究的基础之上的
普朗克曾努力把自己提出的能量子假说纳入已有的经典物理学的框架,但后来物理学的发展表明,能量量子化和经典物理并不相容,它是原子、分子等微观系统所遵循的独有的物理规律一一量子规律的体现。普朗克的发现，正是人们在认识这一全新规律的道路上迈出的第一步。
由于普朗克的巨大成就,他从 1920 年左右开始成为德国科学界的领军人物之一。他在 1930 年当选威廉皇家学会主席,成了德国科学界的最高权威。后来,为抗议希特勒,他辞去了这个职务。第二次世界大战后,为了纪念普朗克,威廉皇家学会改名为马克斯 - 普朗克学会。
回顾普朗克的一生,不难看出,正是他中学毕业时遵从自己的好奇心和兴趣而作出的专业选择,成就了他后来事业上的辉煌。1918 年,在普朗克 60 岁生日的庆祝会上,爱因斯坦发表了题为《探索的动机》的著名演讲。他认为,科学工作者大体可以分为三类: 第一类人从事科研是为了挑战自己的智力；第二类是出于纯粹的功利目的；而第三类则是为了探寻自然界的客观规律第三类科学工作者“把世界体系及其构成作为感情生活的支点,以便由此找到他在个人经验的狭小范围内所不能找到的宁静和安定”。在爱因斯坦看来,虽然前两类人中包含很多成果卓著的科学家,但第三类才是科学家队伍中的中坚和灵魂,离开了他们,科学的殿堂就无法存在。普朗克就属于这一类科学家。
## 练》与应用
1. 可见光波长的大致范围是 $400 \sim 760 \mathrm{~nm}$。$400 \mathrm{~nm}、760 \mathrm{~nm}$ 电磁辐射的能量子 $\varepsilon$ 的值是多少?2. 在一杯开水中放入一支温度计,可以看到开水的温度是逐渐降低的。根据能量量子化理论,开水的能量是一份一份向外辐射的,为什么它的温度不是一段一段地降低呢?
## 2) 光电效应
实验发现，若使锌板带负电，用紫外线灯照射后，验电器张开的指针夹角会变小,说明锌板带的负电荷变少了。这意味着，紫外线会让电子从锌板表面逸出。
照射到金属表面的光，能使金属中的电子从表面逸出。这个现象称为光电效应 (photoelectric effect),这种电子常称为光电子。
## 光电效应的实验规律
1887年，赫兹在研究电磁波的实验中偶尔发现,接收电路的间隙如果受到光照，就更容易产生电火花。这就是最早发现的光电效应，也是赫兹细致观察的意外收获。
后来这一现象引起许多物理学家的关注。德国物理学家勒纳德、英国物理学家J. J. 汤姆孙等相继进行了实验研究，证实了这个现象。
下面我们用图 4.2-1 所示的电路研究光电效应中电子发射的情况与照射光的强弱、光的颜色 (频率) 等物理量之间的关系。
如图 4.2-1，阴极 K 和阳极 A 是密封在真空玻璃管中的两个电极,阴极 $\mathrm{K}$ 在受到光照时能够发射光电子。阴极 $\mathrm{K}$ 与阳极 A之间电压 $U$ 的大小可以调整，电源的正负极也可以对调。电源按图示极性连接时,闭合开关后,阳极 A吸
图4.2-1 研究光电效应的电路图
图 4.2-2 光电流与电压的关系收阴极 $\mathrm{K}$ 发出的光电子，在电路中形成光电流。这导致电压 $U$ 为 0 时电流 $I$ 并不为 0。
科学家通过实验发现了以下规律。
存在截止频率当人射光的频率减小到某一数值 $v_{\mathrm{c}}$ 时,光电流消失,这表明已经没有光电子了。$v_{\mathrm{c}}$ 称为截止频率 (cutoff frequency) 或极限频率。这就是说，当人射光的频率低于截止频率时不发生光电效应。
实验表明，不同金属的截止频率不同。换句话说，截止频率与金属自身的性质有关。
存在饱和电流在光照条件不变的情况下,随着所加电压的增大,光电流趋于一个饱和值。也就是说，在电流较小时电流随着电压的增大而增大；但当电流增大到一定值之后,即使电压再增大，电流也不会再进一步增大了 (图 4.2-2)。
这说明，在一定的光照条件下，单位时间内阴极 $\mathrm{K}$ 发射的光电子的数目是一定的,电压增加到一定值时,所有光电子都被阳极 $\mathrm{A}$ 吸收，这时即使再增大电压，电流也不会增大。
实验表明，在光的频率不变的情况下，人射光越强，饱和电流越大。这说明，对于一定频率（颜色）的光,人射光越强，单位时间内发射的光电子数越多。
存在遏止电压如果施加反向电压,也就是阴极 $\mathrm{K}$ 接电源正极、阳极 $\mathrm{A}$ 接电源负极,在光电管两极间形成使电子减速的电场,电流有可能为 0。使光电流减小到 0 的反向电压 $U_{\mathrm{c}}$ 称为遏止电压。
遏止电压的存在意味着光电子具有一定的初速度,初速度的上限 $v_{\mathrm{c}}$ 应该满足以下关系
$$
\frac{1}{2} m_{\mathrm{e}} v_{\mathrm{c}}^{2}=e U_{\mathrm{c}}
$$
进一步的实验表明，同一种金属对于一定频率的光，无论光的强弱如何,遏止电压都是一样的。光的频率 $v$ 改变时，遏止电压 $U_{\mathrm{c}}$ 也会改变（图 4.2-2)。这意味着,对于同一种金属,光电子的能量只与人射光的频率有关,而与人射光的强弱无关。
光电效应具有瞬时性当频率超过截止频率 $v_{\mathrm{c}}$ 时,无论人射光怎样微弱，照到金属时会立即产生光电流。精确测量表明产生电流的时间很快，即光电效应几乎是瞬时发生的。
## 光电效应经典解释中的疑难
## 思考与讨论
人们知道，金属中原子外层的电子会脱离原子而做无规则的热运动。但在温度不很高时，电子并不能大量逸出金属表面，这是为什么呢?
这表明金属表面层内存在一种力阻碍电子的逃逸。电子要从金属中挣脱出来，必须获得一些能量以克服这种阻碍。
要使电子脱离某种金属,需要外界对它做功,做功的最小值叫作这种金属的逸出功 (work function)，用 $W_{0}$ 表示。换句话说,电子要想从金属中脱离,至少要吸收 $W_{0}$ 的能量。如下表所示，不同种类的金属，其逸出功的大小也不相同。表几种金属的截止频率和逸出功
| 金属 | 钨 | 锬 | 钠 | 钾 | 铷 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $v_{\mathrm{c}} /\left(10^{14} \mathrm{~Hz}\right)$ | 10.95 | 7.73 | 5.53 | 5.44 | 5.15 |
| $W_{0} / \mathrm{eV}$ | 4.54 | 3.20 | 2.29 | 2.25 | 2.13 |
当光照射金属表面时,电子会吸收光的能量。若电子吸收的能量超过逸出功,电子就能从金属表面逸出,这就是光电子。光越强,逸出的电子数越多,光电流也就越大。这些结论与实验相符。
但是,按照光的电磁理论,还应得出如下结论。
- 不管光的频率如何,只要光足够强,电子都可以获得足够能量从而逸出表面,不应存在截止频率。- 光越强,光电子的初动能应该越大，所以遏止电压 $U_{\mathrm{c}}$ 应该与光的强弱有关。- 如果光很弱,按经典电磁理论估算,电子需要几分钟到十几分钟的时间才能获得逸出表面所需的能量,这个时间远远大于实验中产生光电流的时间。
这些结论都与实验结果相矛盾。光电效应中的一些重要现象无法用经典电磁理论解释,这引发了物理学家的思考。
图 4.2-3 纪念爱因斯坦光电效应理论的邮票
## 爱因斯坦的光电效应理论
对于光电效应的解释，爱因斯坦是在普朗克量子假说的基础上作出的。在这个假说的启发下，爱因斯坦在 1905 年发表了题为《关于光的产生和转化的一个试探性观点》的文章。他表示，普朗克关于黑体辐射问题的崭新观点还不够彻底,仅仅认为振动着的带电微粒的能量不连续是不够的。为了解释光电效应,必须假定电磁波本身的能量也是不连续的,即认为光本身就是由一个个不可分割的能量子组成的,频率为 $v$ 的光的能量子为 $h v$,其中,$h$ 为普朗克常量。这些能量子后来称为光子。
按照爱因斯坦的理论（图4.2-3），当光子照到金属上时，它的能量可以被金属中的某个电子全部吸收，金属中的电子吸收一个光子获得的能量是 $h v$，在这些能量中，一部分大小为 $W_{0}$ 的能量被电子用来脱离金属，剩下的是逸出后电子的初动能，即
$$
h v=E_{\mathrm{k}}+W_{0}
$$
或
$$
E_{\mathrm{k}}=h v-W_{0}
$$
式中 $E_{\mathrm{k}}$ 为光电子的最大初动能
$$
E_{\mathrm{k}}=\frac{1}{2} m_{\mathrm{e}} v_{\mathrm{c}}^{2}
$$
(1) 式称为爱因斯坦光电效应方程。
从下面的讨论可以看出，爱因斯坦光电效应方程可以很好地解释光电效应实验中的各种现象。
- 这个方程表明，只有当 $h v>W_{0}$ 时，光电子才可以从
图4.2-4 光电效应的 $E_{\mathrm{k}}-v$ 图像金属中逸出,$v_{\mathrm{c}}=\frac{W_{0}}{h}$ 就是光电效应的截止频率 ( 图 4.2-4 )。
- 这个方程还表明,光电子的最大初动能 $E_{\mathrm{k}}$ 与人射光的频率 $v$ 有关,而与光的强弱无关。这就解释了遏止电压和光强无关
- 电子一次性吸收光子的全部能量,不需要积累能量的时间，光电流自然几乎是瞬时产生的。- 对于同种频率的光，光较强时，单位时间内照射到金属表面的光子数较多,照射金属时产生的光电子较多,
因而饱和电流较大。
## 思考与讨论
爱因斯坦光电效应方程给出了光电子的最大初动能 $E_{\mathrm{k}}$ 与入射光的频率 $v$ 的关系。但是,很难直接测量光电子的动能,容易测量的是遏止电压 $U_{\mathrm{c}}$。
那么,怎样得到遏止电压 $U_{\mathrm{c}}$ 与光的频率 $v$ 和逸出功 $W_{0}$ 的关系呢?
利用光电子的初动能 $E_{\mathrm{k}}=e U_{\mathrm{c}}$ 和爱因斯坦光电效应方程 $E_{\mathrm{k}}=h v-W_{0}$,可以消去 $E_{\mathrm{k}}$,从而得到 $U_{\mathrm{c}}$ 与 $v、W_{0}$ 的关系,即
$$
U_{\mathrm{c}}=\frac{h}{e} v-\frac{W_{0}}{e}
$$
对于确定的金属,其逸出功 $W_{0}$ 是确定的，电子电荷 $e$ 和普朗克常量 $h$ 都是常量。上式中的遏止电压 $U_{\mathrm{c}}$ 与光的频率 $v$ 是线性关系,$U_{\mathrm{c}}-v$ 图像是一条斜率为 $\frac{h}{e}$ 的直线 (图 4.2-5)。
图4.2-5 某金属的 $U_{\mathrm{c}}-v$ 图像
从 1907年起，美国物理学家密立根开始以精湛的技术测量光电效应中几个重要的物理量。他的目的是：测量金属的遏止电压 $U_{\mathrm{c}}$ 与人射光的频率 $v$,由此算出普朗克常量 $h$,并与普朗克根据黑体辐射得出的 $h$ 相比较,以检验爱因斯坦光电效应方程的正确性。
实验的结果是，两种方法得出的普朗克常量 $h$ 在 $0.5 \%$ 的误差范围内是一致的。这为爱因斯坦的光电效应理论提供了直接的实验证据。
爱因斯坦由于提出了光电效应理论而获得 1921 年的诺贝尔物理学奖。-早在 1916 年，爱因斯坦的一篇关于辐射问题的论文中就提出了光子具有动量。
## 康普顿效应和光子的动量
光可以与介质中的物质微粒发生散射,改变传播方向。$1918 \sim 1922$ 年，美国物理学家康普顿在研究石墨对 X射线的散射时，发现在散射的 X射线中，除了与人射波长 $\lambda_{0}$ 相同的成分外,还有波长大于 $\lambda_{0}$ 的成分,这个现象称为康普顿效应 ( Compton effect)。康普顿的学生,中国留学生吴有训测试了多种物质对 $\mathrm{X}$ 射线的散射，证实了该效应的普遍性。
按照经典物理学的理论,人射的电磁波引起物质内部带电微粒的受迫振动,振动着的带电微粒进而再次产生电磁波,并向四周辐射,这就是散射波。散射的 X射线频率应该等于带电粒子受迫振动的频率,也就是人射 $X$ 射线的频率。相应地，X射线的波长也不会在散射中发生变化。因此，康普顿效应无法用经典物理学解释。
康普顿用光子的模型成功地解释了这种效应。他的基本思想是: 光子不仅具有能量,而且具有动量,光子的动量 $p$ 与光的波长 $\lambda$ 和普朗克常量 $h$ 有关。这三个量之间的关系式为
$$
p=\frac{h}{\lambda}
$$
在康普顿效应中,当人射的光子与晶体中的电子碰撞时,要把一部分动量转移给电子,因而,光子动量可能会变小 (图4.2-6)。从 (2) 式看,动量 $p$ 减小,意味着波长 $\lambda$ 变大，因此，这些光子散射后波长变大。
碰撞前
碰撞后图 4.2-6 光子既有能量也有动量
基于这个假定的理论结果与实验符合得很好。康普顿效应让人们对光子有了更深人的认识。康普顿因此获得了 1927 年的诺贝尔物理学奖。
## 光的波粒二象性
众所周知，在麦克斯韦的电磁理论建立之后，人们认识到光是一种电磁波,从而光的波动说被普遍接受,人们不再认为光是由粒子组成的。而爱因斯坦的光电效应理论和康普顿效应理论表明，光在某些方面确实会表现得像是由一些粒子 ( 即一个个有确定能量和动量的“光子”) 组成的。也就是说,光电效应和康普顿效应重新揭示了光的粒子性。当然,此时人们对光的粒子性的认识,是以最新的实验和量子理论为基础的，已经和牛顿时代光的微粒说根本不同,其深度远远超出后者。人们意识到,光既具有波动性,又具有粒子性。换句话说,光具有波粒二象性 ( wave-particle duality )。此后,又经过一系列探索,人们最终建立了比较完善的,能统一描述光的波动性和粒子性的理论一一量子电动力学。
从牛顿的微粒说、惠更斯和托马斯・杨的波动说,到麦克斯韦的电磁理论,再到爱因斯坦的光子理论乃至量子电动力学,人类对光的认识构成了一部科学史诗。
## 练习与应用
1. 在光电效应实验中,如果入射光的波长确定而强度增加，将产生什么结果?如果入射光的频率增加，将产生什么结果?2. 金属 $\mathrm{A}$ 在一束绿光照射下恰能发生光电效应,现用紫光或红光照射时,能否发生光电效应?紫光照射 $\mathrm{A}、\mathrm{~B}$ 两种金属都能发生光电效应时,为什么逸出金属表面的光电子的最大速度大小不同?3. 铝的逸出功是 $4.2 \mathrm{eV}$,现在将波长为 $200 \mathrm{~nm}$ 的光照射铝的表面。
( 1 ) 求光电子的最大初动能。
(2) 求遏止电压。
(3) 求铝的截止频率。4. 根据图 4.2-1 所示的电路，利用能够产生光电效应的两种 (或多种) 频率已知的光来进行实验,怎样测出普朗克常量?根据实验现象说明实验步骤和应该测量的物理量,写出根据本实验计算普朗克常量的关系式。
5. 在日常生活中，我们不会注意到光是由光子构成的,这是因为普朗克常量很小,每个光子的能量很小,而我们观察到的光学现象中涉及大量的光子。如果白炽灯消耗的电功率有 $15 \%$ 产生可见光,试估算 $60 \mathrm{~W}$ 的白炽灯 $1 \mathrm{~s}$ 内发出可见光光子数的数量级。已知可见光波长的大致范围是400 760 nm。
## 3 原子的核式结构模型
问题
科学家在研究稀薄气体放电时发现,当玻璃管内的气体足够稀薄时，阴极就发出一种射线。它能使对着阴极的玻璃管壁发出荧光,这种射线的本质是什么呢?
这种射线称为阴极射线 (cathode ray)。对这种射线本质的认识有两种观点：一种观点认为，它是一种电磁辐射;另一种观点认为,它是带电微粒。如何用实验判断哪一种观点正确呢?
## 电子的发现
当时，两种观点的支持者争执不下，谁也说服不了谁。为了找到有利于自己的证据,双方都做了许多实验。英国物理学家J. J. 汤姆孙认为阴极射线是带电粒子流。为了证实这一点,从 1890 年起他和他的助手进行了一系列实验研究。图4.3-1 是他当时使用的气体放电管的示意图。由阴极 $\mathrm{K}$ 发出的带电粒子通过缝隙 $\mathrm{A}、\mathrm{~B}$ 形成一束细细的射线。它穿过两片平行的金属板 $\mathrm{D}_{1}、\mathrm{D}_{2}$ 之间的空间,到达右端带有标尺的苂光屏上。根据射线产生的苂光的位置
J. J. 汤姆孙 ( J. J. Thomson，1856-1940）
图 4.3-1 J. J. 汤姆孙的气体放电管的示意图 $\left(\right.$ 如 $\left.P_{1},P_{2},P_{3},\cdots\right)$,可以研究射线的径迹。
图4.3-1 中产生阴极射线的机理是：管中残存气体分子中的正负电荷在强电场的作用下被“拉开”（即气体分子被电离),正电荷 (即正离子) 在电场加速下撞击阴极,于是阴极释放更多粒子流，形成了阴极射线。
1897 年，J. J. 汤姆孙根据阴极射线在电场和磁场中的偏转情况断定,它的本质是带负电的粒子流,并求出了这种粒子的比荷。他进一步发现,用不同材料的阴极做实验,所得比荷的数值都是相同的。这说明不同物质都能发射这种带电粒子，它是构成各种物质的共有成分。
由实验测得的阴极射线粒子的比荷是氢离子 ${ }^{(1)}$ ( 也就是质子）比荷的近两千倍。J. J. 汤姆孙认为,这可能表示阴极射线粒子电荷量的大小与一个氢离子一样,而质量比氢离子小得多。后来,他直接测到了阴极射线粒子的电荷量,尽管测量不很准确,但足以证明这种粒子电荷量的大小与氢离子大致相同,这就表明他当初的猜测是正确的。后来,组成阴极射线的粒子被称为电子。
电子电荷的精确测定是在 $1909 \sim 1913$ 年间由密立根通过著名的“油滴实验” 做出的。目前公认的电子电荷 $e$ 的值为
$$
e=1.602176634 \times 10^{-19} \mathrm{C}
$$
密立根实验更重要的发现是：电荷是量子化的，即任何带电体的电荷只能是 $e$ 的整数倍。从实验测到的比荷及 $e$ 的数值,可以确定电子的质量。现在人们普遍认为电子的质量为
$$
m_{\mathrm{e}}=9.10938356 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}
$$
质子质量与电子质量的比值为
$$
\frac{m_{\mathrm{p}}}{m_{\mathrm{e}}}=1836
$$
发现电子以后,J. J. 汤姆孙又进一步研究了许多新现象,如光电效应、热离子发射效应和 $\beta$ 射线等。他发现,不论阴极射线、光电流、热离子流还是 $\beta$ 射线,它们都包含电子。也就是说，不论是由于正离子的轰击、紫外光的照射、
(1) 当时的人们不知道原子的结构，因此只是把氢离子当作“带电的氢原子”。
>带电粒子的电荷量与其质量之比，即比荷，是一个重要的物理量
>电子的发现是物理学史上的重要事件。人们由此认识到原子不是组成物质的最小微粒，原子本身也有结构。
一热离子发射指金属在高温时发射粒子的现象。$\beta$ 射线是某些物质自发地放射出的一种射线,在第五章中将有讨论。金属受热还是放射性物质的自发辐射，都能发射同样的带电粒子—一电子。J. J. 汤姆孙对证实电子的存在有很大贡献，因此公认他是电子的发现者。他因气体导电的研究获得 1906年的诺贝尔物理学奖。
## 思考与讨论
通常情况下，物质是不带电的，因此，原子应该是电中性的。既然电子是带负电的，质量又很小，那么,原子中一定还有带正电的部分,它具有大部分的原子质量。
请你设想一下，原子中带正电的部分以及带负电的电子可能是如何分布的?
图 4.3-2 J. J. 汤姆孙的原子模型
卢瑟福（Ernest Rutherford，$1871-$ 1937 )
## 原子的核式结构模型
在J. J.汤姆孙发现电子之后，对于原子中正负电荷如何分布的问题，科学家们提出了许多模型。J. J. 汤姆孙本人于 1898 年提出了一种模型。他认为，原子是一个球体，正电荷弥漫性地均匀分布在整个球体内，电子镶嵌其中 (图4.3-2)。有人形象地把他的这个模型称为“西瓜模型” 或“束糕模型”。
这个模型能够解释一些实验现象。但德国物理学家勒纳德 1903 年做了一个实验,使电子束射到金属膜上,发现较高速度的电子很容易穿透原子。这说明原子不是一个实心球体,这个模型可能不正确。之后不久,$\alpha$ 粒子散射实验则完全否定了这个模型。
$\alpha$ 粒子散射实验 $\alpha$ 粒子是从放射性物质（如铀和镭） 中发射出来的快速运动的粒子,质量为氢原子质量的 4 倍、电子质量的 7300 倍。
1909 年,英国物理学家卢瑟福指导他的助手盖革和马斯顿进行 $\alpha$ 粒子散射实验的研究时,所用仪器的示意图如图 4.3-3 所示。$\alpha$ 粒子源 $\mathrm{R}$ 是被铅块包围的,它发射的 $\alpha$ 粒子经过一条细通道,形成一束射线,打在金箵 $\mathrm{F}$ 上。显微镜 $\mathrm{M}$ 带有苂光屏 $\mathrm{S}$，可以在水平面内转到不同的方向对散射的 $\alpha$ 粒子进行观察。被散射的 $\alpha$ 粒子打在苂光屏上会有微弱的闪光产生。通过显微镜观察闪光就可以记录在某一时间内向某一方向散射的 $\alpha$ 粒子数。从 $\alpha$ 粒子放射源到苂光屏这段路程处于真空中。
图 4.3-3 $\alpha$ 粒子散射的实验装置示意图
当 $\alpha$ 粒子打到金竺时,由于金原子中的带电粒子对 $\alpha$ 粒子有库仑力的作用,一些 $\alpha$ 粒子的运动方向改变,也就是发生了 $\alpha$ 粒子的散射。统计散射到各个方向的 $\alpha$ 粒子所占的比例,可以推知原子中电荷的分布情况。除了金笪外,当时的实验还用了其他重金属筧，例如铂竺。
## 思考与讨论
1. $\alpha$ 粒子射入金箔时难免与电子碰撞。试估计这种碰撞对 $\alpha$ 粒子速度影响的大小。2. 按照 J. J. 汤姆孙的原子模型，正电荷均匀分布在整个原子球体内。
请分析: $\alpha$ 粒子穿过金箔,受到电荷的作用力后,沿哪些方向前进的可能性较大，最不可能沿哪些方向前进。
实验发现，绝大多数 $\alpha$ 粒子穿过金笪后，基本上仍沿原来的方向前进,但有少数 $\alpha$ 粒子 (约占 $\frac{1}{8000}$ ) 发生了大角度偏转,极少数偏转的角度甚至大于 $90^{\circ}$,也就是说,它们几乎被“撞了回来”。
对 $\alpha$ 粒子散射实验的解释这样的事实令人惊奇。大角度的偏转不可能是电子造成的,因为它的质量只有 $\alpha$ 粒子的 $\frac{1}{7300}$，它对 $\alpha$ 粒子速度的大小和方向的影响就像灰尘对枪弹的影响,完全可以忽略。因此,$\alpha$ 粒子偏转主要是具有原子的大部分质量的带正电部分造成的。而按照 J. J. 汤姆孙的模型,正电荷是均匀地分布在原子内的,$\alpha$ 粒子穿过原子时受到的各方向正电荷的斥力基本上会相互平
图 4.3-4 $\alpha$ 粒子散射图景
衡，因此对 $\alpha$ 粒子运动的影响不会很大。所以，J. J. 汤姆孙的模型无法解释大角度散射的实验结果。
卢瑟福分析了实验数据后认为，事实应该是：占原子质量绝大部分的带正电的物质集中在很小的空间范围。这样才会使 $\alpha$ 粒子在经过时受到很强的斥力,使其发生大角度的偏转。
1911 年，卢瑟福提出了自己的原子结构模型。他设想：原子中带正电部分的体积很小,但几乎占有全部质量,电子在正电体的外面运动。这样,当 $\alpha$ 粒子接近原子时,电子对它的影响仍如前述可以忽略,但是,正电体对它的作用就不同了。因为正电体很小，当 $\alpha$ 粒子进人原子区域后,大部分离正电体很远,受到的库仑斥力很小,运动方向几乎不改变。只有极少数 $\alpha$ 粒子在穿过时距离正电体很近,因此受到很强的库仑斥力,发生大角度散射。这个情况如图4.3-4 所示。
按照卢瑟福的理论，正电体的尺度是很小的，称为原子核。卢瑟福的原子模型因而称为核式结构模型。卢瑟福以这个模型为依据,利用经典力学计算了向各个方向散射的 $\alpha$ 粒子的比例,结果与实验数据符合得很好。
## 原子核的电荷与尺度
由不同元素对 $\alpha$ 粒子散射的实验数据可以确定不同元
素原子核的电荷量Q。又由于原子是电中性的，可以推算出原子内含有的电子数。科学家们注意到,各种元素的原子核的电荷数,即原子内的电子数,非常接近它们的原子序数,这说明元素周期表中的各种元素是按原子中的电子
- $\mathrm{e}$ 是原子核的电荷,单位是库仑;$Z$ 是原子序数,也是原子核的电荷数,它表示原子核的电荷是一个电子电荷（绝对值）的多少倍。$Z$ 是没有单位的,或者说 $Z$ 的单位是 1。
## 数来排列的。
现在，我们知道，原子确实是由带电荷 $+Z e$ 的核与核外 $Z$ 个电子组成的。原子序数 $Z$ 等于核电荷与电子电荷大小的比值。后来又发现原子核是由质子和中子组成的,原子核的电荷数就是核中的质子数。
通常用核半径描述核的大小。原子核的半径是很难测量的，一般通过其他粒子与核的相互作用来确定。$\alpha$ 粒子散射可以用来估算核半径。对于一般的原子核，实验确定的核半径的数量级为 $10^{-15} \mathrm{~m}$,而整个原子半径的数量级是 $10^{-10} \mathrm{~m}$,两者相差十万倍之多。可见原子内部是十分“空旷”的。
## ) 练习与应用
1. 加在阴极射线管内两个电极之间的电压为 $4 \times 10^{3} \mathrm{~V}$,如果电子离开阴极表面时的速度为 0,试求电子到达阳极时的速度。2. 一个半径为 $1.6 \times 10^{-4} \mathrm{~cm}$ 的带负电的油滴，在电场强度为 $1.92 \mathrm{~V} / \mathrm{m}$、方向坚直向下的匀强电场中,如果油滴受到的库仑力恰好与重力平衡,问: 这个油滴带有几个电子的电荷?已知油的密度为 $0.851 \times 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}$。3. 一种测定电子比荷的实验装置如图 4.3-5 所示。真空玻璃管内阴极 $\mathrm{K}$ 发出的电子经阳极 $\mathrm{A}$ 与阴极 $\mathrm{K}$ 之间的高压加速后,形成一细束电子流,以平行于平板电容器极板的速度进入两极板 $\mathrm{C}、\mathrm{D}$ 间的区域。若两极板 $\mathrm{C}、\mathrm{D}$ 间无电压,电子将打在荧光屏上的 $O$ 点;若在两极板间施加电压 $U$,则离开极板区域的电子将打在荧光屏上的 $P$ 点;若再在极板间施加一个方向垂直于纸面向外、磁感应强度为 $B$ 的匀强磁场,则电子在荧光屏上产生的光点又回到 $O$ 点。已知极板的长度为 $5.00 \mathrm{~cm},\mathrm{C}、\mathrm{D}$ 间的距离为 $1.50 \mathrm{~cm}$,极板区的中点 $M$ 到荧光屏中点 $O$ 的距离为 $12.50 \mathrm{~cm}$,电压 $U$ 为 $200 \mathrm{~V}$,磁感应强度 $B$ 为 $6.3 \times 10^{-4} \mathrm{~T},P$ 点到 $O$ 点的距离 $y$ 为 $3.00 \mathrm{~cm}$。试求电子的比荷。
图 4.3-5
4. 卢瑟福提出的原子结构的模型是怎样的?他提出这种模型的依据是什么?5. 按照原子的核式结构模型的比例,假如原子核有绿豆那么大，那么整个原子有多大?6. $\alpha$ 粒子散射实验用的是金箔等重金属箔，而没有用轻金属箔，例如铝箔。除了金的延展性好,可以把金箔做得非常薄这个原因以外,你认为还有什么原因?
## (4) 氢原子光谱和玻尔的原子模型
把食盐放在火中灼烧,会发出黄色的光。食盐为什么发黄光而不发其他颜色的光呢?
$\alpha$ 粒子散射实验让我们知道原子具有核式结构,但电子在原子核的周围怎样运动?这些需要根据其他事实才能认识。
## 光谱
图 4.4-1 光谱的形成
用棱镜或光栅可以把物质发出的光按波长（频率）展开，获得波长（频率）和强度分布的记录（图4.4-1）,即光谱。有些光谱是一条条的亮线,叫作谱线,这样的光谱叫作线状谱。有的光谱看起来不是一条条分立的谱线,而是连在一起的光带,叫作连续谱。图 4.4-2 中最上一条是连续谱,其他几条则既有线状分立谱又有连续谱。
气体中中性原子的发光光谱都是线状谱,说明原子只发出几种特定频率的光。不同原子的亮线位置不同,说明不同原子的发光频率是不一样的,因此,这些亮线称为原子的特征谱线。
钨丝白炽灯的光谱
铁电极弧光的光谱
分子状态的氢光谱
$\| 1$
钡光谱
图 4.4-2 几种光谱既然每种原子都有自己的特征谱线,我们就可以利用它来鉴别物质和确定物质的组成成分。这种方法称为光谱分析。它的优点是灵敏度高,样本中一种元素的含量达到 $10^{-13} \mathrm{~kg}$ 时就可以被检测到。
## 氢原子光谱的实验规律
氢原子的光谱如图 4.4-3 所示。光谱的结果显示氢原子只能发出一系列特定波长的光。
$\mathrm{H}_{\delta} \quad \mathrm{H}_{\gamma} \quad \mathrm{H}_{}$
图 4.4-3 氢原子的光谱
1885 年,瑞士科学家巴耳末对当时已知的氢原子在可见光区的四条谱线,即图 4.4-3 中 $\mathrm{H}_{\alpha}、\mathrm{H}_{\beta}、\mathrm{H}_{\gamma}、\mathrm{H}_{\delta}$ 谱线作了分析,发现这些谱线的波长 $\lambda$ 满足一个简单的公式,即
$$
\frac{1}{\lambda}=R_{\infty}\left(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right) \quad n=3,4,5,\cdots
$$
式中 $R_{\infty}$ 叫作里德伯常量,实验测得的值为 $R_{\infty}=1.10 \times 10^{7} \mathrm{~m}^{-1}$。这个公式称为巴耳末公式,式中的 $n$ 只能取整数,它确定的这一组谱线称为巴耳末系。巴耳末公式以简洁的形式反映了氢原子的线状光谱的特征。
除了巴耳末系,后来发现的氢光谱在红外和紫外光区的其他谱线也都满足与巴耳末公式类似的关系式。
## 经典理论的困难
卢瑟福的核式结构模型正确地指出了原子核的存在,很好地解释了 $\alpha$ 粒子散射实验,但跟经典电磁理论发生了矛盾。
核外电子受到原子核的库仑引力的作用,却没有被吸引到原子核上,而是在以一定的速度绕核运动。按照经典电磁理论,这样运动的电荷应该辐射出电磁波,电子绕核转动的能量将不断地被电磁波带走。随着能量的减少,电子绕核运动的轨道半径也应减小,最后电子会坠落到原子核上 (图4.4-4)。由此判断,电子绕核转动这个系统应是不 - 原子内部电子的运动是原子发光的原因。因此,光谱是探索原子结构的一条重要途径。
图4.4-4 电子绕核转动的经典图景稳定的。但事实并非如此，原子是个很稳定的系统。
另一方面,根据经典电磁理论,电子辐射电磁波的频率,就是它绕核转动的频率。随着绕核运动轨道半径的不断变化,电子运动的频率也要不断变化,因此原子辐射电磁波的频率也要不断变化。这样,大量原子发光的光谱就应该是包含一切频率的连续光谱。然而，事实上原子光谱是由一些不连续的亮线组成的分立的线状谱。
这些矛盾说明，尽管经典物理学可以很好地应用于宏观物体，但它不能解释原子世界的现象。
## 玻尔原子理论的基本假设
丹麦物理学家玻尔意识到了经典理论在解释原子结构方面的困难。在普朗克关于黑体辐射的量子论和爱因斯坦关于光子的概念的启发下，他在 1913 年把微观世界中物理量取分立值的观念应用到原子系统，提出了自己的原子结构假说。
玻尔的原子结构假说包括以下两方面的内容。
轨道量子化与定态玻尔认为,原子中的电子在库仑引力的作用下，绕原子核做圆周运动，服从经典力学的规律。但不同的是,电子运行轨道的半径不是任意的，只有当半径的大小符合一定条件,这样的轨道才是可能的。也就是说,电子的轨道是量子化的。电子在这些轨道上绕核的运动是稳定的，不产生电磁辐射。
在玻尔理论中，电子的轨道半径只可能是某些分立的数值。例如，在氢原子中,电子轨道的最小半径是 $0.053 \mathrm{~nm}$;电子还可能在半径是 $0.212 \mathrm{~nm}、0.477 \mathrm{~nm} \cdots \cdots$ 的轨道上运行 (图4.4-5),
图4.4-5 氢原子的电子轨道示意图但是轨道半径不可能是介于这些数值中间的某个值!
当电子在不同的轨道上运动时,原子处于不同的状态,具有不同的能量。根据玻尔理论,电子只能在特定轨道上运动,因此,原子的能量也只能取一系列特定的值。这些量子化的能量值叫作能级 ( energy level)。原子中这些具有确定能量的稳定状态,称为定态 ( stationary state)。能量最低的状态叫作基态 ( ground state ),其他的状态叫作激发态 (excited state)。通常用一个或几个量子数来标志各个不同的状态,例如,可以用 $n=1$ 标记氢原子的基态,相应的基态能量记为 $E_{1}$;用 $n=2,3,4,\cdots$ 标记氢原子的激发态,相应的能量记为 $E_{2},E_{3},E_{4},\cdots$。
频率条件按照玻尔的观点,电子在一系列定态轨道上运动,不会发生电磁辐射。那么,如何解释观察到的原子光谱呢?对此,玻尔假定: 当电子从能量较高的定态轨道 (其能量记为 $E_{n}$ ) 跃迁到能量较低的定态轨道 (能量记为 $\left.E_{m},m<n\right)$ 时,会放出能量为 $h v$ 的光子 ( $h$ 是普朗克常量),这个光子的能量由前后两个能级的能量差决定,即
$$
h v=E_{n}-E_{m}
$$
这个式子称为频率条件,又称辐射条件。反之,当电子吸收光子时会从能量较低的定态轨道跃迁到能量较高的定态轨道,吸收的光子的能量同样由频率条件决定。
## 玻尔理论对氢光谱的解释
从玻尔的基本假设出发,运用经典电磁学和经典力学的理论,可以计算氢原子中电子的可能轨道半径及相应的能量。图4.4-6 是氢原子的能级图。
玻尔的频率条件告诉我们,原子从较高的能级跃迁到较低的能级时,例如,从 $E_{3}$ 跃迁到 $E_{2}$ 时,辐射的光子的能量为
$$
h v=E_{3}-E_{2}
$$
按照玻尔理论,巴耳末公式中的正整数 $n$ 和 2,正好代表电子跃迁之前和跃迁之后所处的定态轨道的量子数 $n$ 和 2。因此,巴耳末公式代表的应该是电子从量子数分别为
、原子由一个能量态变为另一个能量态的过程称为跃迁。这里用的“跃” 字,包含着“不连续” 的意思。
- 在巴耳末公式中如果把分母中的 2 换为其他自然数,就得到了其他谱线系的波长。它们对应于氢原子从较高能级向其他能级跃迁时辐射的光。$n=3,4,5,\cdots$ 的能级向量子数为 2 的能级跃迁时发出的光谱线。按照这个思路,可以根据玻尔理论推导出巴耳末公式,并从理论上算出里德伯常量 $R_{\infty}$ 的值。这样得到的结果与实验值符合得很好。同样,玻尔理论也能很好地解释甚至预言氢原子的其他谱线系,即氢原子从高能级向 $m=1,3,4$ 等能级跃迁所产生的相应光谱。它们也都被实验观测到了,分别称为赖曼系、帕邢系、布喇开系等。
图 4.4-7 气体放电管中的气体导电时会发光图 4.4-6 氢原子能级图
处于基态的原子非常稳定。处于激发态的原子是不稳定的,会自发地向能量较低的能级跃迁,放出光子,最终回到基态。当气体放电管中的气体导电时,其中的原子受到高速运动的电子的撞击,有可能向上跃迁到激发态,之后自发跃迁到基态并发光（图 4.4-7)。这就是气体导电时发光的机理。
原子从较高的能级向低能级跃迁时放出的光子的能量等于前后两个能级之差。由于原子的能级是分立的,所以放出的光子的能量也是分立的。因此,原子的发射光谱只有一些分立的亮线。
由于不同的原子具有不同的结构,能级各不相同,因此辐射 ( 或吸收) 的光子频率也不相同。这就是不同元素的原子具有不同的特征谱线的原因。
各种气体原子的能级不同,跃迁时发射光子的能量各异。街道上的䨘虹灯、试电笔中的氖管,都是由灯管内的气体原子从高能级向低能级跃迁而发光的。食盐被灼烧时发的光,也主要是由食盐蒸气中钠原子的能级跃迁而造成的。
## 玻尔理论的局限性
玻尔的原子理论第一次将量子观念引人原子领域,提出了定态和跃迁的概念。现在已经知道,它们都是微观世界物理规律中的核心概念。玻尔理论成功地解释了氢原子光谱的实验规律。但对于稍微复杂一点的原子如氦原子,玻尔理论就无法解释它的光谱现象。这说明,玻尔理论还没有完全揭示微观粒子的运动规律。后来，人们经过进一步探索,建立了完整描述微观规律的量子力学。(1)
玻尔理论的不足之处在于保留了经典粒子的观念,仍然把电子的运动看作经典力学描述下的轨道运动。实际上,根据量子力学,原子中电子的坐标没有确定的值。因此,我们只能说某时刻电子在某点附近单位体积内出现的概率是多少,而不能把电子的运动看成一个具有确定坐标的质点的轨道运动。当原子处于不同的状态时,电子在各处出现的概率是不一样的。如果用疏密不同的点子表示电子在各个位置出现的概率,画出图来就像云雾一样,人们形象地把它叫作电子云 (electron cloud)。图 4.4-8甲是氢原子处于 $n=1$ 状态时的电子云;当 $n=2$ 时有几个可能的状态,图4.4-8乙画的是其中一个状态的电子云。
甲
图 4.4-8 氢原子电子云示意图
## (1) 量子力学的建立过程在本章第 5 节有详细介绍。
## 科学漫步
## 光谱分析
光谱一词最早由牛顿提出。1666年，牛顿把通过玻璃棱镜的太阳光分解成了从红光到紫光的各种颜色的光谱 ( 图 4.4-9 甲)，他发现白光是由各种颜色的光组成的。
1802 年英国科学家沃拉斯顿和 1814 年德国物理学家夫珢禾费分别独立地观察到了太阳光谱中的暗线。夫珢禾费以不同的字母命名了一些主要的暗线（图4.4-9乙 )，后来就把这些暗线称为夫珢禾费线。
1821 年,夫琅禾费又用光栅代替棱镜作为分光装置,使太阳光形成了更精细的光谱。利用光栅,他试着测定了太阳光中各条暗线的波长。夫珢禾费的工作当时没有受到重视,他本人也不明白太阳光谱中暗线的含义
1859 年,德国物理学家基尔霍夫解释了太阳光谱中暗线的含义。他和德国科学家本生制成了第一台棱镜光谱仪 ( 图 4.4-9丙)，用于光谱研究。基尔霍夫发现，每一种元素都有自己的特征谱线,如果在某种光中观察到了这种元素的特征谱线,那么光源里面一定含有这种元素。太阳光中含有各种颜色的光,但当太阳光透过太阳的高层大气射向地球时,太阳高层大气含有的元素会吸收它自己特征谱线的光，然后再发射出去，不过这次是向四面八方发射，所以到达地球的这些谱线看起来就弱了，这样就形成了明亮背景下的暗线。基尔霍夫断定，太阳光谱中的夫珢禾费暗线就是各种物质的特征谱线。与已知元素的光谱相比较，知道太阳中存在钠、镁、铜、锌、锦等金属元素。
由基尔霍夫开创的光谱分析方法对鉴别化学元素有着巨大的意义。许多化学元素,像铯、铝、铊、铟、镓，都是在实验室里通过光谱分析发现的。
当天文学家将光谱分析方法应用于恒星时,马上就证明了宇宙中物质构成的统一性。我国研制的郭守敬望远镜（大天区面积多目标光纤光谱天文望远镜，英文简称LAMOST，图 4.4-9丁)，将遥远天体的光分别传输到多台光谱仪而获得大量的光谱信息,为恒星的研究提供了重要的基础数据。除化学成分外,恒星的光谱还能够揭示其表面温度、质量和运动状态等信息。
光谱分析还为深入原子世界打开了道路。近代原子物理学正是从原子光谱的研究中开始的。
甲牛顿用棱镜得到太阳光谱
夫琅禾费线
图 4.4-9
## 练习与应用
1. 什么是线状谱,什么是连续谱?原子的发射光谱是怎样的光谱?不同原子的发射光谱是否有可能相同?2. 参考图4.4-6,用玻尔理论解释,当巴耳末公式 $n=5$ 时计算出的氢原子光谱的谱线,是哪两个能级之间的跃迁造成的?3. 根据巴耳末公式,指出氢原子光谱在可见光范围内波长最长的前两条谱线所对应的 $n$,它们的波长各是多少？氢原子光谱有什么特点?4. 如果大量氢原子处在 $n=3$ 的能级,会辐射出几种频率的光?其中波长最短的光是在哪两个能级之间跃迁时发出的?5. 请用玻尔理论解释：为什么原子的发射光谱都是一些分立的亮线?6. 要使处于 $n=2$ 的激发态的氢原子电离,它需要吸收的能量为多大?6. 包含各种波长的复合光,被原子吸收了某些波长的光子后,连续光谱中这些波长的位置上便出现了暗线,这样的光谱叫作吸收光谱。请用玻尔理论解释：为什么各种原子吸收光谱中的每一条暗线都跟这种原子的发射光谱中的一条亮线相对应?
丙基尔霍夫和本生制成的棱镜光谱仪
## 粒子的波动性和量子力学的建立
## 问题
通过对双缝干涉、光电效应等一系列问题的研究，人们终于认识到光既有粒子性，又有波动性
我们已经认识到如电子、质子等实物粒子是具有粒子性的，那么,实物粒子是否也会同时具有波动性呢?
## 粒子的波动性
1924 年,法国物理学家德布罗意在对光的波粒二象性、玻尔氢原子理论以及相对论的深人研究的基础上，把波粒二象性推广到实物粒子,如电子、质子等。他写道：“整个世纪 ${ }^{(1)}$ 以来,在光学上,与波动方面的研究相比,忽视了粒子方面的研究;而在实物粒子的研究上,是否发生了相反的错误呢?是不是我们把粒子方面的图像想得太多,而忽视了波的现象?” 他提出假设：实物粒子也具有波动性,即每一个运动的粒子都与一个对应的波相联系。粒子的能量 $\varepsilon$ 和动量 $p$ 跟它所对应的波的频率 $v$ 和波长 $\lambda$ 之间,遵从如下关系
$$
v=\frac{\varepsilon}{h},\lambda=\frac{h}{p}
$$
这种与实物粒子相联系的波后来被称为德布罗意波 ( de Broglie wave )，也叫作物质波 ( matter wave )。
## 物质波的实验验证
德布罗意关于实物粒子具有波动性的假说在当时来看是难以理解的。真正判定这个假说是否“站得住脚” 的只
(1) 指 19 世纪。能是实验。
我们知道,光的干涉和衍射现象是光具有波动性的有力证据。因此,如果电子、质子等实物粒子也真的具有波动性,那么,它们就应该像光波那样也能发生干涉和衍射。这是验证德布罗意波是否存在的一条途径。
电子的德布罗意波长与 $\mathrm{X}$ 射线的波长具有相近的数量级。前面讲过,X射线在通过晶体时会发生明显的衍射。1927 年戴维森和 G. P. 汤姆孙分别用单晶和多晶晶体做了电子束衍射的实验,得到了类似图 4.5-1 的衍射图样,从而证实了电子的波动性。在后来的实验中,人们还进一步观测到了电子德布罗意波的干涉现象 ( 图 4.5-2 )。
图 4.5-1 电子束穿过铝笵后的衍射图样
图 4.5-2 电子干涉条纹 - G. P. 汤姆孙的父亲 J. J. 汤姆孙因发现电子而获诺贝尔物理学奖，他本人则由于验证了电子的波动性而获诺贝尔物理学奖。这是科学史上的一段佳话。
1929年，德布罗意因提出物质波的假说获得了诺贝尔物理学奖。之后,戴维森和 G. P. 汤姆孙因证实电子波动性获得了1937年的诺贝尔物理学奖。
除了电子以外，后来还陆续证实了中子、质子以及原子、分子的波动性。对于这些粒子，德布罗意给出的 $v=\frac{\varepsilon}{h}$ 和 $\lambda=\frac{h}{p}$ 的关系同样正确。
宏观物体的质量比微观粒子大得多,它们运动时的动量很大,根据 $\lambda=\frac{h}{p}$ 可知,它们对应的德布罗意波的波长就很短。例如,一个质量为 $0.01 \mathrm{~kg}$,速度为 $300 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的子弹,它的德布罗意波长只有 $2.2 \times 10^{-34} \mathrm{~m}$,比宏观物体的尺度小得多,根本无法观察到它的波动性。而一个原来静止的电子,在经过 $100 \mathrm{~V}$ 电压加速后,德布罗意波长约为 $0.12 \mathrm{~nm}$，因此有可能观察到电子的波动性。
德布罗意提出物质波的观念被实验证实,表明电子、质子、原子等粒子不但具有粒子的性质,而且具有波动的性质。换句话说，它们和光一样，也具有波粒二象性。
## 量子力学的建立
19、20世纪之交，人们在黑体辐射、光电效应、氢原子光谱等许多类问题中,都发现了经典物理学无法解释的现象。这些现象不是孤立的，而是在各类系统中普遍存在的，且都和原子、分子等微观粒子的行为紧密相关。在这些问题中经典物理学往往连实验结果的定性行为都无法解释。这就表明,微观世界的物理规律和宏观世界的物理定律可能存在巨大的差别，人图4.5-3 一系列理论都和普朗克常量紧密相关们需要建立描述微观世界的物理理论。
普朗克黑体辐射理论、爱因斯坦光电效应理论、康普顿散射理论、玻尔氢原子理论以及德布罗意物质波假说等一系列理论在解释实验方面都取得了成功。但它们中的每一个，都是针对一个特定的具体问题，都不是统一的普遍
图 4.5-4 薛定谔夫妇墓碑上方书写的是薛定谔方程性理论。值得注意的是,在这些成功的理论中,普朗克常量都扮演了关键性的角色 ( 图 4.5-3 )。这就预示着这些理论之间存在着紧密的内在联系。在它们的背后,应该存在着统一描述微观世界行为的普遍性规律。
人们在 20 世纪 20 年代成功地建立了这种普遍性理论。1925 年，德国物理学家海森堡和玻恩等人对玻尔的氢原子理论进行了推广和改造，使之可以适用于更普遍的情况。他们建立的理论被称为矩阵力学。很快,1926年,奥地利物理学家薛定谔提出了物质波满足的方程一一薛定谔方程 （图 4.5-4 )。把这个方程应用于氢原子,就能很容易得到氢原子光谱的公式。同时,这个方程还可以方便地应用于其他的系统,使玻尔理论的局限得以消除。由于这个理论的关键是物质波,因此被称为波动力学。1926年,薛定谔和美国物理学家埃卡特很快又证明,波动力学和矩阵力学在数学上是等价的,它们是同一种理论的两种表达方式。
随后数年，在以玻恩、海森堡、薛定谔以及英国的狄拉克和奥地利的泡利为代表的众多物理学家的共同努力下,描述微观世界行为的理论被逐步完善并最终完整地建立起来,它被称为量子力学 (quantum mechanics)。
量子力学是在普朗克、玻尔等人所建立的一个个的具体理论（它们被统称为“早期量子论”）的基础上创立的。它继承了早期量子论的成功之处并克服了其困难和局限,最终取代了早期量子论,成为统一描述微观世界物理规律
- 量子力学的创立是物理学历史上的一次重要革命。它和相对论共同构成了 20 世纪以来物理学的基础。的普遍性理论。
## 量子力学的应用
量子力学被应用到众多具体物理系统中,得到了与实验符合得很好的结果,获得了极大的成功。借助量子力学,人们深人认识了微观世界的组成、结构和属性。
量子力学推动了核物理和粒子物理的发展。人们认识了原子、原子核、基本粒子等各个微观层次的物质结构。而粒子物理学的发展又促进了天文学和宇宙学的研究。从整个宇宙到微小的粒子,人类探索自然的视野前所末有的宽广。人们惊讶地发现,世界具有奇妙的结构,最微观层次和最宏观层次的规律,竟有着紧密的联系。核物理的发展,还让人们成功地认识并利用了原子核反应堆所释放的能量核能。爱因斯坦说:“这是人们第一次利用太阳以外的能量。”
量子力学推动了原子、分子物理和光学的发展。人们认识了原子的结构,以及原子、分子和电磁场相互作用的方式。在此基础上,发展了各式各样的对原子和电磁场进行精确操控和测量的技术,如激光、核磁共振、原子钟,等等。激光技术使人们第一次拥有了纯净可控的光源,我们今天能在全球范围内实现即时通信,基础之一就是以激光为载体的光纤网络 (图4.5-5)。核磁共振技术使人们可
图 4.5-5 光纤通信
表量子力学推动的若干重要技术的诞生年份以利用振荡的磁场测量材料中原子的性质,因此,被广泛地用于化学、生物研究和医学诊断。原子钟利用原子为电磁波校准频率,从而实现了对时间的高精度测量。在日常生活和国家安全中发挥巨大作用的卫星定位技术,其核心部件就是原子钟。
量子力学推动了固体物理的发展。人们了解了固体中电子运行的规律,并弄清了为什么固体有导体、绝缘体和半导体之分。科学家们利用半导体的独特性质发明了晶体管等各类固态电子器件,并结合激光光刻技术制造了大规模集成电路,俗称“芯片” ( 图4.5-6)。这些器件利用固体的微观结构对电路进行操控,速度和可靠性都远胜过去的电子管,而体积则小得多。靠它们,人们才可以制造体积小且功能强大的电子计算机、智能手机等信息处理设备,真正走进了信息时代。此外,固体物理学的发展,还为人们带来了低能耗高亮度的半导体发光技术,并让人们认识了超导等一系列神奇的现象。
量子力学的应用还有很多。毫不夸张地说,在过去的近一百年中,量子力学极大地推动了人类的进步。“一步一重天,百步上云端”,人类探索自然的步伐不会停息,量子力学必将在这个征途上继续发挥巨大的基础性作用。
## STSE
## 量子力学的创立和索尔维会议
量子力学和相对论的创立,是20世纪物理学的两个主要进展,给人类的科学、技术和社会形态带来了极其深刻的影响。相对论的创立,主要是爱因斯坦的贡献,而量子力学的创立则曲折得多,是普朗克 (图4.5-7一排左二)、爱因斯坦 (一排右五)、玻尔 (二排右一)、海森堡 (三排右三)、玻恩 (二排右二)、薛定谔 (三排右六)、狄拉克 (二排右五) 等一大批杰出物理学家历时 30 年左右 (自1900年普朗克提出能量量子化到量子力学框架基本成型）共同努力的结果。我国物理学家曾䧉言曾说:“20世纪量子物理学所碰到的问题是如此复杂和困难,以至没有可能期望一个物理学家能一手把它发展成一个完整的理论体系。”
美国著名物理学家,原子弹之父奥本海默曾经在玻恩门下学习和研究量子力学。他后来曾生动地描述量子力学创立阶段:“那是一个在实验室里耐心工作的时代,有许多关键性的实验和大胆的决策,有许多错误的尝试和不成熟的假设。那是一个真挚通讯与勿忙会议的时代,有许多激烈的辩论和无情的批评,里面充满了巧妙的数学性的论战方法。”
图 4.5-7 1927 年第五届索尔维会议参加者合影
在量子力学创建过程中扮演重要角色的一系列“勿忙会议”中，最著名的要数索尔维会议。
索尔维会议的创始人是比利时企业家索尔维。索尔维本人是一位化学家和企业家,因为发明了制碱方法而变得非常富有。但他希望能够“将其部分财富偿还给人类”,因此创办了多个科学研究所、科学基金以及福利基金。从 20 世纪初开始,索尔维的科学基金会每隔几年轮流召开物理、化学领域的科学会议一—索尔维会议。
1911 年,第一届索尔维物理会议在布鲁塞尔召开,主题是“辐射与量子”。这次会议历时 5 天,名家云集。1927年10月召开的第五届索尔维物理会议最为著名,当时著名的物理学家纷纷出席 (图 4.5-7),例如,德布罗意 (二排右三)、康普顿 (二排右四) 等,大家就量子力学的各方面问题进行了深入讨论。本次会议的 29 位参会者中，有 17 人获得了诺贝尔奖。
索尔维会议一直坚持举办,到 2017 年已经举办了 27 届物理会议和 24 届化学会议。这是企业资助科学研究的一个范例。事实上,除了政府拨款外,企业提供的各种经费和资助也是世界各国科学研究的一个重要经费来源。它们和政府拨款一道推动了基础科学的研究以及技术转化。除了索尔维会议,另一个著名的实例是,美国电话电报公司从 20 世纪 30 年代开始,支持其旗下的贝尔实验室开展在当时看来还十分遥远的半导体器件开发研究。经过十几年的探索,最终该实验室的科学家布莱特、巴丁和肖克利等人在 1948 年发明了半导体三极管,把信息技术由电子管时代带进了晶体管时代，并促成了硅谷的诞生和信息时代的到来。
## 练习与应用
1. 我们根据什么说光具有波粒二象性?2. 一个电子和一个质子具有同样的动能时,它们的德布罗意波长哪个大?3. 射击运动员射击时会因为子弹的波动性而“失准” 吗?为什么?根据现实情况下子弹质量、速度的大小所对应的德布罗意波长来作定性说明。
## 复习与提高
A 组
1. 在光电效应实验中,小明用同一光电管在不同实验条件下得到了三条光电流与电压之间的关系曲线 (甲、乙、芮),如图 4-1 所示。回答下面问题，并说明理由。
（1）甲、乙两种光的频率，哪个大?
（2）乙、丙两种光的波长,哪个大?
(3) 乙、丙两种光所对应的截止频率,哪个大?
（4）甲、丙两种光所产生光电子的最大初动能，哪个大?
图 4-1
2. 一个电子与一个基态氢原子碰撞,刚好使这个氢原子电离。这个电子的动能是多少?3. 有些荧光物质在紫外线照射下会发出可见光,大额钞票的荧光防伪标志就是一例。为什么任何物质都不会在红外线照射下发出可见光?4. 估算运动员跑步时的德布罗意波长,为什么我们观察不到运动员的波动性?
## $B$ 组
1. 用同一束单色光,在同一条件下先后照射锌板和银板,都能产生光电效应。在以上两次实验中,对于下列四个物理量,哪些是一定相同的?哪些是可能相同的?哪些是一定不同的?
( 1 ) 光子的能量。5. 钠光谱中两条黄色谱线的波长分别为 $589.6 \mathrm{~nm}$ 和 $589.0 \mathrm{~nm}$。分别计算钠原子辐射这两种波长的光时核外电子跃迁前后的能级差。
6. 氢原子光谱中巴耳末系最小波长与最大波长之比为多少?7. 图 4-2是研究光电效应的实验装置,某同学进行了如下操作。
(1) 用频率为 $v_{1}$ 的光照射光电管,此时电流表中有电流。调节滑动变阻器,使电流表示数恰好变为 0,记下此时电压表的示数 $U_{1}$。
(2) 用频率为 $v_{2}$ 的光照射光电管,重复 （1）中的步骤,记下电压表的示数 $U_{2}$。
已知电子的电荷量为 $e$,请根据以上实验,推导普朗克常量实验测定值的计算式。
图 4-2 ( 2 ) 光电子的逸出功。
(3) 光电子的动能。
(4) 光电子的最大动能。
2. 大量氢原子处于 $n=1、2、3、4$ 的四个状态，处于较高能级的原子可以向任意一个较低能级跃迁。这时我们可以观测到几种波长的光 (包括不可见光)？最短的波长是多少？3. 已知钠原子在 $\mathrm{A}、\mathrm{~B}、\mathrm{C}、\mathrm{D}、\mathrm{E}$ 几个能级间跃迁时辐射的光的波长分别为: $589 \mathrm{~nm}$ $(\mathrm{B} \rightarrow \mathrm{A}),330 \mathrm{~nm}(\mathrm{C} \rightarrow \mathrm{A}),285 \mathrm{~nm}(\mathrm{D} \rightarrow \mathrm{A})$,$514 \mathrm{~nm}(\mathrm{E} \rightarrow \mathrm{B})$。
试作出钠原子在这几个能量范围的能级图。作图时注意,表示能级的横线间的距离和相应能级差成正比,并在线旁以电子伏特为单位标出这个能级的值 (设最高能级为 0 )。
4. 一个质子的动能是 $10 \mathrm{eV}$,如果有一个电子的德布罗意波长和这个质子的德布罗意波长相等，这个电子的动能是多少?5. A、B 两种光子的能量之比为 $2: 1$,它们都能使某种金属发生光电效应,且所产生的光电子最大初动能分别为 $E_{\mathrm{A}}、E_{\mathrm{B}}$。求 $\mathrm{A}、\mathrm{~B}$ 两种光子的动量之比和该金属的逸出功。6. 人眼对绿光最为敏感,如果每秒有 6 个绿光的光子射入瞳孔,眼睛就能察觉。现有一个光源以 $0.1 \mathrm{~W}$ 的功率均匀地向各个方向发射波长为 $530 \mathrm{~nm}$ 的绿光,眼睛最远在多大距离处能够看到这个光源?假设瞳孔在暗处的直径为 $4 \mathrm{~mm}$，且不计空气对光的吸收。
## 第5章
## 原子核
核能是蕴藏在原子核内部的能量。核能的发现是人们探索微观物质结构的一个重大成果。人类通过许多方式利用核能，主要的途径是发电。如今，全世界大约有 $16 \%$ 的电能是由核反应堆生产的。核能的利用可以有效缓解常规能源的短缺。图为某核电站核反应堆的本体。它是浸没在水下的（蓝色）。其中含有铀和钚的燃料棒被装进核反应堆的堆芯,用于产生受控核裂变反应,释放出大量的能量。
随着核能的出现,我们这一代人为世界带来了人类发现火以来最革命性的力量。
—一爱因斯坦
## 原子核的组成
关于原子核内部信息的研究，最早来自矿物的天然放射现象。
那么，人们是怎样从破解天然放射现象入手，一步步揭开了原子核秘密的呢?
## 天然放射现象
1896年,法国物理学家贝克勒尔发现,铀和含铀的矿物能够发出看不见的射线,它能穿透黑纸使照相底片感光。
受到贝克勒尔的发现的鼓舞,波兰裔法国物理学家玛丽 - 居里和她的丈夫皮埃尔 - 居里对铀和含铀的各种矿石进行了深人研究。
他们研究了一种沥青铀矿,根据它的含铀量计算发出的射线不会太强,但实际测得的射线要强得多。进一步研究后,发现这种矿物中还存在着两种能够发出更强射线的新元素,居里夫人把其中一种元素命名为钋 ( $\mathrm{Po}$ ),另一种元素命名为镭 ( $\mathrm{Ra})$。
物质发出射线的性质称为放射性 ( radioactivity)，具有放射性的元素称为放射性元素。后来发现,放射性并不是少
玛丽・居里（Marie Curie，18671934 ) 和她的丈夫皮埃尔 - 居里 ( Pièrre Curie,1859-1906) 数元素才有的,原子序数大于 83 的元素,都能自发地发出射线,原子序数小于或等于 83 的元素,有的也能发出射线。放射性元素自发地发出射线的现象,叫作天然放射现象。
## 射线的本质
图 5.1-1 三种射线在磁场中的运动径迹不同发现了天然放射现象之后不久，人们就在想，这些射线到底是什么呢?
把放射源铀、钋或镭放人用铅做成的容器中，射线只能从容器的小孔射出,成为细细的一束。若在射线经过的空间施加磁场，可以发现射线分裂成三束，其中两束在磁场中向不同的方向偏转，这说明它们是带电粒子流；另一束在磁场中不偏转，说明它不带电（图 5.1-1）。于是，人们把这三种射线分别叫作 $\alpha$ 射线、$\beta$ 射线和 $\gamma$ 射线。
## 思考与讨论
如果 $\alpha$ 射线、$\beta$ 射线都是带电粒子流，按照图 5.1-1 中标出的径迹判断,它们分别带什么电荷?
如果不用磁场而用电场判断它们带电的性质，两个电极怎样放置可以使三种射线大致沿图示的方向偏转?
>射线使原子中的电子脱离核的束缚成为自由电子,这样的过程叫作电离。射线的上述作用叫作电离作用。
物理学家经过多方面的研究后确认 $\alpha$ 射线、$\beta$ 射线和 $\gamma$ 射线具有以下特征。
$\alpha$ 射线是 $\alpha$ 粒子流。$\alpha$ 粒子带正电，电荷量是电子的 2 倍，质量是氢原子的 4 倍，其组成与氦原子核相同。$\alpha$ 粒子的速度可以达到光速的 $\frac{1}{10}$。由于 $\alpha$ 粒子带电,质量又比较大，通过气体时很容易把气体分子中的电子剥离，使气体电离。由于与物质中的微粒作用时会损失自己的能量，$\alpha$ 粒子的穿透能力较弱,在空气中只能前进几厘米,用一张纸就能把它挡住。
$\beta$ 射线是电子流，速度可以接近光速。$\beta$ 射线的电离作用较弱，穿透能力较强，很容易穿透黑纸，也能穿透几毫米厚的铝板。
$\gamma$ 射线是一种电磁波，波长很短的光子，波长在 $10^{-10} \mathrm{~m}$ 以下。$\gamma$ 射线的电离作用更弱，穿透能力更强，甚至能穿透几厘米厚的铅板和几十厘米厚的混凝土。实验发现，如果一种元素具有放射性，那么，无论它是以单质存在的,还是以化合物形式存在的,都具有放射性。放射性的强度也不受温度、外界压强的影响。由于元素的化学性质决定于原子核外的电子,这就说明射线与这些电子无关,也就是说,射线来自原子核。这说明原子核内部是有结构的。
## 拓展学习
## 威耳逊云室
由微观粒子构成的射线,肉眼是看不见的。但是,射线中的粒子与其他物质作用时产生的现象，会显示射线的存在。威耳逊云室就是一种常用的射线探测装置。
图5.1-2 是威耳逊云室的实物照片。云室内部设计有可以上下移动的活塞,上盖是透明的，可以通过它观察粒子运动的径迹。
云室里面有干净的空气。实验时,先往云室里加少量酒精,使室内充满酒精的饱和蒸气,然后迅速向下拉动活塞,室内气体膨胀,温度降低,酒精蒸气达到过饱和状态。这时如果有粒子在室内气体中飞过,使沿途的气体分子电离,过饱和酒精蒸气就会以这些离子为核心疑结成雾滴,于是显示出粒子运动的径迹。这种云室是英国物理学家威耳逊在 1912 年发明的,叫作威耳逊云室。
图 5.1-3 中甲、乙两图分别是 $\alpha$ 射线和 $\beta$ 射线在云室中的径迹。$\alpha$ 粒子的质量比较大,在气体中飞行时不易改变方向。由于它的电离本领大,沿途产生的离子多,所以它在云室中的径迹直而清晰。高速 $\beta$ 粒子的径迹又细又直,低速 $\beta$ 粒子的径迹又短又粗而且是弯曲的。$\gamma$ 射线的电离本领很小，在云室中一般看不到它的径迹。
图 5.1-2 威耳逊云室
甲 $\alpha$ 粒子
乙 $\beta$ 粒子
图 5.1-3 粒子在威耳逊云室中的径迹
## 原子核的组成
1919年，卢瑟福用镭放射出的 $\alpha$ 粒子轰击氮原子核，从氮原子核中打出了一种新的粒子 (图 5.1-4)。根据这种粒子
图 5.1-4 粒子车击氮原子核示意图
在电场和磁场中的偏转,测出了它的质量和电荷量,原来它就是氢原子核，叫作质子 (proton)，用 $\mathrm{p}$ 表示。以后，人们用同样的方法从氟、钠、铝等原子核中都打出了质子,由此断定，质子是原子核的组成部分。
质子带正电荷,电荷量与一个电子的电荷量相等。质子的质量为
$$
m_{\mathrm{p}}=1.672621898 \times 10^{-27} \mathrm{~kg}
$$
## 思者与讨论
原子核是只由质子组成的吗?如果原子核中只有质子,那么,任何一种原子核的质量与电荷量之比,都应该等于质子的质量与电荷量之比。但事实是这样的吗?
实际情况并非如此。绝大多数原子核的质量与电荷量之比都大于质子的相应比值。卢瑟福猜想，原子核内可能还存在着另一种粒子,它的质量与质子相同,但是不带电,他把这种粒子叫作中子 ( neutron)。1932年,卢瑟福的学生查德威克通过实验证实了这个猜想（图 5.1-5）。
中子不带电,用 $\mathrm{n}$ 表示。中子的质量是
$$
m_{\mathrm{n}}=1.674927471 \times 10^{-27} \mathrm{~kg}
$$
图 5.1-5 原子核的示意图它与质子的质量非常接近,只比质子质量约大千分之一。
质子和中子除了是否带电的差异以及质量上的微小差别外，其余性质十分相似,而且，都是原子核的组成成分,所以统称为核子 (nucleon)。
由于中子不带电,原子核所带的电荷等于核内质子电荷的总和。所以,原子核所带的电荷总是质子电荷的整数倍,通常用这个整数表示原子核的电荷量,叫作原子核的电荷数,用 $Z$ 表示。原子核的质量等于核内质子和中子的质量的总和，而质子与中子的质量几乎相等,所以原子核的质量几乎等于单个核子质量的整数倍,这个整数叫作原子核的质量数，用 $A$ 表示。
原子核的电荷数就是核内的质子数,也就是这种元素的原子序数,而原子核的质量数就是核内的核子数。
原子核常用符号 ${ }_{Z}^{A} \mathrm{X}$ 表示 (图 5.1-6),$\mathrm{X}$ 为元素符号,$A$ 表示核的质量数,$Z$ 表示核的电荷数 (即原子序数)。例如,氢原子核可以表示为 ${ }_{1}^{1} \mathrm{H}$,有时也用它表示质子。氦原子核可以表示为 ${ }_{2}^{4} \mathrm{He}$,它有 2 个质子和 2 个中子,所以电荷
- 原子核的电荷数不是它所带的电荷量，质量数也不是它的质量
元素符号
图 5.1-6 原子核符号数是 2,质量数是 4。又如,${ }_{92}^{238} \mathrm{U}$ 代表一种铀核,它的质量数为 238,电荷数为 92,即核内有 92 个质子、146 个中子。
元素的性质与原子核外的电子有密切的关系。同种元素的原子,质子数相同,核外电子数也相同,它们就会具有相同的化学性质。但是,它们的中子数可能不同。这些核中质子数相同而中子数不同的原子,在元素周期表中处于同一位置,因而互称同位素 (isotope )。
氢有三种同位素,分别叫作气 (也就是通常说的氢)、氛 (也叫重氢)、氠 (也叫超重氢),符号分别是 ${ }_{1}^{1} \mathrm{H}、{ }_{1}^{2} \mathrm{H}$、${ }_{1}^{3} \mathrm{H}($ 图 5.1-7)。气 $1 \mathrm{H}$ 㲴 ${ }_{1}^{2} \mathrm{H}$
氜 ${ }_{1}^{3} \mathrm{H}$
$\mathrm{p}$
p $n$
$\mathrm{p}$
n $n$
$A=1$
$A=2$
$A=3$
$Z=1$
$Z=1$
$Z=1$
图 5.1-7 氢的同位素
## 天然放射现象的发现
1895 年年末,德国物理学家伦琴发现了一种新的射线一-X射线,即伦琴射线。它具有一定的辐射性。现在我们知道,$\mathrm{X}$ 射线是原子内层电子跃迁时发射的波长很短的电磁波。但在当时并不知道这些,所以,它的发现激起了许多科学家的研究兴趣。
法国物理学家贝克勒尔对荧光研究了多年，他决定研究荧光与 $\mathrm{X}$ 射线的关系。1896年年初，他选择了在日光照晒时能发出荧光的铀盐一一硫酸铀酰钾做实验材料。他用黑纸把照相底片包住，放到这种铀盐的下面，在阳光下曝唒了几小时。底片显影后，发现了铀盐在底片上的黑色轮廓，表示底片已经感“光”。阳光是不能透过黑纸的，贝克勒尔认为,这种铀盐受到阳光照射后除了能够发出可见的苂光外，还能发射 $\mathrm{X}$ 射线，是 $\mathrm{X}$ 射线透过黑纸使底片感光。再次准备实验的时候遇到了几个阴天,贝克勒尔只好把准备好的铀盐和包好的底片一起放进了抽屉。几天以后，贝克勒尔在检查底片时意外发现底片又已经感光。这个事实使贝克勒尔认为铀盐本身能够发射一种神秘的射线,正是这种射线导致了底片感光。1896年 3 月 2 日,他在法国科学院例会上公布了这一发现。贝克勒尔进一步用不发荧光的其他铀化合物进行实验，发现也能使底片感光。铀化合物发出的射线也像 X射线一样能穿透多种物质。他还发现，只要有铀元素存在,不论是什么化合物，就一定有这种贯穿本领很强的射线发出。贝克勒尔认为这种射线不是X射线;他还进一步指出，发出射线的能力是铀原子自身的性质。
1897 年,居里夫人在撰写博士论文时选择了贝克勒尔发现的射线作为研究课题。她首先证实,铀盐发出射线的强度只与化合物中铀的含量成正比,而与化合物的种类无关,也不受光照、加热、通电等因素的影响。由此，她确认这一现象的起因在于原子内部，并提出了“放射性” 这个词，用来描写这一现象。
居里夫妇提出了一个重要的问题: 是否还有其他元素也具有这种性质?他们决定检查当时知道的所有元素,结果发现钍也发射类似的射线。居里夫妇还发现,某些含有铀钍混合物矿石的辐射强度比已测到的铀和钍的放射性强得多,他们大胆假定这些矿石中含有当时尚不知晓的某种其他放射性元素,并一起开始了一项艰苦的工作: 从沥青铀矿中分离这种新元素。1898 年7月,他们得到了一种放射性比铀强 400 倍的新元素,并把它命名为钋,以表达居里夫人对祖国波兰的热爱。同年 12 月,他们又发现了放射性比铀强百万倍的镭。镭的发现再次轰动了科学界,但是也有人怀疑它的存在。为了排除这一怀疑,居里夫妇经过艰苦繁重的工作,在几万次提栋之后,终于在 1902 年从 $8 \mathrm{t}$ 沥青铀矿渣中提炼出 $0.12 \mathrm{~g}$ 纯净的氯化镭,向世人证实了镭元素的存在。
居里夫妇和贝克勒尔由于对放射性的研究而一起获得1903 年的诺贝尔物理学奖。在发现镭射线的治癌功能后,他们认为这种济世救人之物应该属于全世界。当镭以昂贵的价格出现在市场上时,他们自己却甘愿过着清贫的生活。居里夫人在 1911 年又因镭和钋的发现而获得了诺贝尔化学奖，成为两次获得诺贝尔奖的科学家。
可能是由于长期受到射线的照射,居里夫人死于白血病。
## 练习与应用
1. 有什么事实和理由可以说明放射性元素放出的射线来自原子核的内部?天然放射现象的发现对物质微观结构的研究有什么意义?2. 根据 $\alpha$ 射线、$\beta$ 射线和 $\gamma$ 射线的主要特征,判断其中哪种射线更像 $X$ 射线?3. 一个验电器带正电,因为空气千燥,验电器金属箔的张角能维持很长的时间。现有一束 $\alpha$ 射线射向这个验电器上端的金属球,验电器金属箔的张角将会怎样变化?为什么?4. 当人们发现了质子,并在很多原子核中打出了质子以后，有什么理由可以认定原子核中一定还存在着另外不同种类的粒子?5. 用符号表示以下原子核，并说出原子核的质子数、中子数。
( 1 ) $\alpha$ 粒子。
(2) 质量数为 14 的碳原子核。
(3) 电荷数为 8、质量数为 17 的氧原子核。
(4) 质量数为 40 的钾原子核。
（5）电荷数为 86、核子数为 222 的氡原子核。
6. 写出原子核中的中子数分别为 $0、1、2$ 的三种氢的同位素符号。比较铀的三种同位素 ${ }_{92}^{234} \mathrm{U}、{ }_{92}^{235} \mathrm{U}、{ }_{92}^{238} \mathrm{U}$ 的异同。
## (2)放射性元素的衰变
## 问题
在古代，不论是东方还是西方，都有一批人追求“点石成金” 之术,他们试图利用化学方法将一些普通的矿石变成黄金。当然,这些炼金术士的希望都破灭了。
那么，真的存在能让一种元素变成另一种元
素的过程吗?
类似于“点石成金”的事一直就在自然界中进行着，这就是伴随着天然放射现象发生的原子核“衰变” 过程。
## 原子核的衰变
原子核自发地放出 $\alpha$ 粒子或 $\beta$ 粒子，由于核电荷数变了，它在元素周期表中的位置就变了，变成另一种原子核。我们把这种变化称为原子核的衰变 (decay )。
铀 238 放出一个 $\alpha$ 粒子后,质量数减少 4,电荷数减少 2，成为新核。这个新核就是钍 234 ( 图 5.2-1)。
铀 238
图 5.2-1 $\alpha$ 衰变
这种衰变过程叫作 $\alpha$ 衰变。这个过程可以用下面的衰变方程表示
$$
{ }_{92}^{238} \mathrm{U} \longrightarrow{ }_{90}^{234} \mathrm{Th}+{ }_{2}^{4} \mathrm{He}
$$
在这个衰变过程中，衰变前的质量数等于衰变后的质量数之和;衰变前的电荷数等于衰变后的电荷数之和。大量事实表明，原子核衰变时电荷数和质量数都守恒。
## 思考与讨论
在 $\alpha$ 衰变中，新核的质量数与原来的核的质量数有什么关系?相对于原来的核在元素周期表中的位置，新核在元素周期表中的位置应当向前移还是向后移?要移动几位?
你能概括出 $\alpha$ 衰变的质量数、核电荷数变化的一般规律吗?
${ }_{92}^{238} \mathrm{U}$ 在 $\alpha$ 衰变时产生的 ${ }_{90}^{234} \mathrm{Th}$ 也具有放射性，它能放出一个 $\beta$ 粒子而变为 ${ }_{91}^{234} \mathrm{~Pa}$ ( 镤) (图 5.2-2)。
图 5.2-2 $\beta$ 衰变
由于电子的质量比核子的质量小得多,因此,我们可以认为电子的质量数为 0、电荷数为 -1,可以把电子表示为 $_{-1}^{0} \mathrm{e}^{\circ}$ 这样,原子核放出一个电子后,因为其衰变前后电荷数和质量数都守恒,新核的质量数不会改变但其电荷数应当加 1。其衰变方程为 ${ }^{1}$
$$
{ }_{90}^{234} \mathrm{Th} \longrightarrow{ }_{91}^{234} \mathrm{~Pa}+{ }_{-1}^{0} \mathrm{e}
$$
放出 $\beta$ 粒子的衰变叫作 $\beta$ 衰变。
(1) 发生 $\beta$ 衰变时,除了产生电子外,还产生中微子。中微子的质量数和电荷数都是 0。>“电荷数之和”指代数和，因为发生 $\beta$ 衰变时，电子的电荷数是 -1。
## 思考与讨论
在 $\beta$ 衰变中，质量数、核电荷数有什么变化规律？原子核里没有电子,$\beta$ 衰变中的电子来自哪里？
图 5.2-3 中子的转化
进一步的研究发现，$\beta$ 衰变的实质在于核内的中子转化成了一个质子和一个电子 ( 图 5.2-3 )，其转化方程是
$$
{ }_{0}^{1} \mathrm{n} \longrightarrow{ }_{1}^{1} \mathrm{H}+{ }_{-1}^{0} \mathrm{e}
$$
这种转化产生的电子发射到核外，就是 $\beta$ 粒子；与此同时，新核少了一个中子，却增加了一个质子。所以，新核质量数不变,而电荷数增加 1。
研究还表明，在一定条件下，原子核中的两个中子和两个质子会结合起来形成 $\alpha$ 粒子，并被释放出来。此时原子核就发生了 $\alpha$ 衰变。
原子核的能量也跟原子的能量一样，其变化是不连续的,也只能取一系列不连续的数值,因此,也存在着能级,同样是能级越低越稳定。
放射性的原子核在发生 $\alpha$ 衰变、$\beta$ 衰变时产生的新核处于高能级,这时它要向低能级跃迁,并放出 $\gamma$ 光子。因此,$\gamma$ 射线经常是伴随 $\alpha$ 射线和 $\beta$ 射线产生的。当放射性物质连续衰变时，原子核中有的发生 $\alpha$ 衰变，有的发生 $\beta$ 衰变,同时伴随着 $\gamma$ 射线辐射。这时,放射性物质发出的射线中就会同时具有 $\alpha、\beta、\gamma$ 三种射线
## 半衰期
放射性同位素衰变的快慢有一定的规律。例如氡 222 经过 $\alpha$ 衰变成为钋 218。如图 5.2-4，横坐标表示时间，纵坐标表示任意时刻氡的质量 $m$ 与 $t=0$ 时的质量 $m_{0}$ 的比值。如果隔一段时间测量一次剩余氡的数量就会发现，每过 $3.8 \mathrm{~d}$ 就有一半的氡发生了衰变。也就是说,经过第一个 $3.8 \mathrm{~d}$,剩有一半的氡；经过第二个 $3.8 \mathrm{~d}$,剩有 $\frac{1}{4}$ 的氡；再经过 $3.8 \mathrm{~d}$,
剩有 $\frac{1}{8}$ 的氡……因此，我们可以用“半衰期”来表示放射性元素衰变的快慢。放射性元素的原子核有半数发生衰变所需的时间,叫作这种元素的半衰期 (half life)。
不同的放射性元素，半衰期不同，甚至差别非常大。例如,氡 222 衰变为钋 218 的半衰期是 $3.8 \mathrm{~d}$,镭 226 衰变为氡 222 的半衰期是 1620 年,铀 238 衰变为针 234 的半衰期竟长达 $4.5 \times 10^{9}$ 年。
对于一个特定的氡原子,我们只知道它发生衰变的概率,而不知道它将何时发生衰变。一个特定的氡核可能在下 $1 \mathrm{~s}$ 就衰变,也可能在 $10 \mathrm{~min}$ 之内衰变,也可能在 200 万年之后再衰变。然而,量子理论可以对大量原子核的行为
、衰变是微观世界里原子核的行为，而微观世界规律的特征之一在于“单个微观事件不可以预测”。
作出统计预测。例如,对于大量氡核,可以准确地预言在 $1 \mathrm{~s}$ 后、10 min后,或 200 万年后,各会剩下百分之几没有衰变。放射性元素的半衰期，描述的就是这样的统计规律。
放射性元素衰变的快慢是由核内部自身的因素决定的,跟原子所处的化学状态和外部条件没有关系。例如,一种放射性元素,不管它是以单质的形式存在,还是与其他元素形成化合物,或者对它施加压力、提高温度,都不能改变它的半衰期。这是因为压力、温度或与其他元素的化合等，都不会影响原子核的结构。
## 核反应
衰变是原子核的自发变化，科学家更希望人工控制原子核的变化。当初卢瑟福用 $\alpha$ 粒子轰击氮原子核,产生了氧的一种同位素一一氧 17 和一个质子,即
$$
{ }_{7}^{14} \mathrm{~N}+{ }_{2}^{4} \mathrm{He} \longrightarrow{ }_{8}^{17} \mathrm{O}+{ }_{1}^{1} \mathrm{H}
$$
这是人类第一次实现的原子核的人工转变。不仅用 $\alpha$ 粒子,用质子、中子甚至用 $\gamma$ 光子去车击一些原子核,都可以实现原子核的转变,通过这种方式可以研究原子核的结构,还可以发现和制造新元素。
原子核在其他粒子的轰击下产生新原子核或者发生状态变化的过程,称为核反应 (nuclear reaction)。与衰变过程一样,在核反应中,质量数守恒、电荷数守恒。
与天然放射性物质相比，人工放射性同位素的放射强度容易控制，半衰期比较短，因此放射性废料容易处理，获得了广泛的应用。
图 5.2-6 放射治疗
经照射末经照射
图 5.2-7 射线的照射能延长草苺的保质期
## 放射性同位素及其应用
很多元素都存在一些具有放射性的同位素,它们被称为放射性同位素。天然放射性同位素不过 40 多种，而今天通过核反应生成的人工放射性同位素已达 3000 多种，每种元素都有了自己的放射性同位素。丰富的放射性同位素资源在国民经济和科学研究的各个领域中得到了广泛的应用。
射线测厚仪工业部门可以使用放射性同位素发出的射线来测厚度。例如，车钢厂的热车机上可以安装射线测厚仪 ( 图 5.2-5),让 $\gamma$ 射线穿过钢板,仪器探测到的 $\gamma$ 射线强度与钢板的厚度有关，轧出的钢板越厚，透过的射线越弱。因此,将射线测厚仪接收到的信号输人计算机,就可以对钢板的厚度进行自动控制。
图 5.2-5 射线测厚装置
放射治疗在医疗方面,患了癌症的病人可以接受放射治疗（图 5.2-6)。为什么射线能够用于治疗癌症呢?一个很重要的原因是人体组织对射线的耐受能力是不同的,细胞分裂越快的组织,它对射线的耐受能力就越弱。像癌细胞那样，不断迅速繁殖的、无法控制的细胞组织，在射线照射下破坏得比健康细胞快。
培优、保鲜利用 $\gamma$ 射线照射种子，会使种子的遗传基因发生变异，经过监选，可以培育出新品种。用 $\gamma$ 射线照射食品可以杀死使食物腐败的细䒩，抑制蔬菜发芽，延长保存期（图 5.2-7）。示踪原子一种放射性元素的原子核,跟这种元素其他同位素的原子核具有相同数量的质子,因此,核外电子的数量也相同。由此可知,一种元素的各种同位素都有相同的化学性质。这样,我们可以用放射性同位素代替非放射性的同位素来制成各种化合物,这种化合物的原子跟通常的化合物一样参与所有化学反应,但却带有“放射性标记”,可以用仪器探测出来。这种原子就是示踪原子。
棉花在开花、结桃的时候需要较多的磷肥,把磷肥喷在棉花叶子上,磷肥也能被吸收。但是,什么时候的吸收率最高、磷在作物内能存留多长时间、磷在作物体内的分布情况等,用通常的方法很难研究。如果用磷的放射性同位素制成肥料喷在棉花的叶面上,然后每隔一定时间用探测器测量棉株各部位的放射性强度,上面的问题就解决了。
人体甲状腺的工作需要碘，碘被吸收后聚集在甲状腺内。如图 5.2-8,给人注射碘的放射性同位素碘 131,在颈部底部的甲状腺 (红色,部分被遮蔽),被放射性示踪剂碘 131 高亮着色。定时用探测器测量甲状腺及邻近组织的放射强度，有助于诊断甲状腺的疾病。
图 5.2-8 碘 131 用于甲状腺疾病的诊断
近年来,有关生物大分子的结构及其功能的研究,几乎都要借助于示踪原子。
## 辐射与安全
人类一直生活在放射性的环境中。例如,地球上的每个角落都有来自宇宙的射线,我们周围的岩石,其中也有放射性物质。我们的食物和日常用品中,有的也具有放射性,例如,食盐和有些水晶眼镜片中含有钾 40,香烟中含有钋 210,这些也是放射性同位素,不过它们辐射的强度都在安全剂量之内。
然而过量的射线对人体组织有破坏作用,这些破坏往往是对细胞核的破坏,有时不会马上察觉。因此,在使用放射性同位素时,必须严格遵守操作规程,注意人身安全,同时，要防止放射性物质对空气、水源、用具等的污染。存在射线危险的地方,常能看到如图 5.2-9所示的标志。
## 当心电离辐射
图 5.2-9 警告标志
## 科学漫步
碳 14 测年技术
自然界中的碳主要是碳 12,也有少量的碳 14。宇宙射线进入地球大气层时,同大气作用产生中子，中子撞击大气中的氮引发核反应产生碳 14。核反应方程为
$$
{ }_{7}^{14} \mathrm{~N}+{ }_{0}^{1} \mathrm{n} \longrightarrow{ }_{6}^{14} \mathrm{C}+{ }_{1}^{1} \mathrm{H}
$$
碳 14 具有放射性，能够自发地进行 $\beta$ 衰变而变成氮，核反应方程为
$$
{ }_{6}^{14} \mathrm{C} \longrightarrow{ }_{7}^{14} \mathrm{~N}+{ }_{-1}^{0} \mathrm{e}
$$
碳 14 的半衰期 $T_{1 / 2}$ 为 5730 年。碳 14 不断产生又不断衰变,达到动态平衡,因此,它在大气中的含量相当稳定,大约每 $10^{12}$ 个碳原子中有一个碳 14。活的植物通过光合作用和呼吸作用与环境交换碳元素,体内碳 14 的比例与大气中的相同。植物枯死后,遗体内的碳 14 仍在衰变,不断减少，但是不能得到补充。因此，根据放射性强度减小的情况就可以推算植物死亡的时间。
例如,要推断一块古木的年代,可以从中取出一些样品,测量样品中的碳 14 含量。如果含量是现代植物的 $\frac{1}{2}$,则说明这块古木的历史大概有碳 14 的一个半衰期 $T_{1 / 2}$,即 5730 年。类似地,如果碳 14 含量是现代植物的 $\frac{1}{4}$,则古木历史大概是 $2 T_{1 / 2}$,即 11460 年 $\cdots \cdots$
在经济建设中也会用到碳 14 测定年代的方法。例如,进行基本建设时,地质基础的力学性质是个重要指标。一般说来,地层形成年代越早,固结程度越高,抗冲击性和承压性越好。北京饭店新楼施工时,在地面以下 $13 \mathrm{~m}$ 深的位置发现了两棵直径达 $1 \mathrm{~m}$ 的榆树。用碳 14 测定,这两棵树距今 $29285 \pm 1350$ 年。据此数据,建设部门认为这个地层已经足够古老,可以作为地基,于是停止下挖，这样就节约了资金。
## 练习与应用
1. $\beta$ 射线是电子流。原子核中没有电子,为什么有些放射性元素的原子核会放出 $\beta$ 粒子?写出放射性元素 ${ }_{84}^{210} \mathrm{Po}$ ( 钋核) 的 $\beta$ 衰变方程。2. ${ }_{92}^{238} \mathrm{U}$ ( 铀核) 衰变为 ${ }_{86}^{222} \mathrm{Rn}$ (氡核) 要经过几次 $\alpha$ 衰变,几次 $\beta$ 衰变?3. 已知钍 234 的半衰期是 $24 \mathrm{~d},1 \mathrm{~g}$ 钍 234 经过 $120 \mathrm{~d}$ 后还剩多少?若已知铋 210 的半衰期是 $5 \mathrm{~d}$,经过多少天后,$20 \mathrm{~g}$ 铋 210 还剩 $1.25 \mathrm{~g}$?4. 原子核的人工转变与放射性元素的衰变有什么区别?5. 写出下列原子核人工转变的核反应方程。
(1) ${ }_{11}^{23} \mathrm{Na}$ (钠核) 俘获 1 个 $\alpha$ 粒子后放出 1 个质子。(2) ${ }_{13}^{27} \mathrm{Al}$ ( 铝核）俘获 1 个 $\alpha$ 粒子后放出 1 个中子。
(3) ${ }_{8}^{16} \mathrm{O}$ (氧核) 俘获 1 个中子后放出 1 个质子。
(4) ${ }_{14}^{30} \mathrm{Si}$ (硅核) 俘获 1 个质子后放出 1 个中子。
6. 完成下列核反应方程
( 1 ) ${ }_{9}^{19} \mathrm{~F}+{ }_{2}^{4} \mathrm{He} \longrightarrow{ }_{1}^{1} \mathrm{H}+(\quad$。。
(2) ${ }_{5}^{11} \mathrm{~B}+(\quad) \longrightarrow{ }_{0}^{1} \mathrm{n}+{ }_{7}^{14} \mathrm{~N}$
( 3 ) ${ }_{7}^{14} \mathrm{~N}+{ }_{0}^{1} \mathrm{n} \longrightarrow(\quad)+{ }_{1}^{1} \mathrm{H}。$
7. 存在射线危险的地方,常能看到如图 5.2-9 所示的标志。你在什么地方见过这个标志?为了保护人身安全,在有这样的标志的场所，应该注意什么?
## 3 核力与结合能
## 核力与四种基本相互作用
现代物理学认为,自然界存在着四种基本相互作用,即引力相互作用、电磁相互作用、强相互作用和弱相互作用。自然界中的各种力,都可以归结为这四种相互作用。
17 世纪下半叶,人们发现了万有引力。正是万有引力把行星和恒星聚在一起 (图 5.3-1),组成太阳系、银河系和其他星系。引力是自然界的一种基本相互作用,地面物体所受的重力只是引力在地球表面附近的一种表现。
19 世纪后，人们逐渐地认识到，电荷间的相互作用、磁体间的相互作用,从本质上说是同一种相互作用的不同表现，这种相互作用称为电磁相互作用（electromagnetic interaction) 或电磁力。它也是自然界的一种基本相互作用。我们知道,宏观物体中包含了大量带负电的电子和带正电的原子核。宏观物体之间的压力、拉力、弹力、支持力等，都起源于这些电荷之间的电磁相互作用。
20 世纪，物理学家发现原子核是由若干带正电荷的质子和不带电的中子组成的。然而,带正电的质子之间存在相互排斥的电磁力,这种斥力比它们之间的万有引力大得多,似乎质子与质子结合在一起是不可能的。物理学家发现,原子核中的核子之间存在一种很强的相互作用,即存在一种核力,它使得核子紧密地结合在一起,形成稳定
图 5.3-1 万有引力使众多恒星聚在一起形成星团
${ }^{3} \mathrm{H}$
${ }^{3} \mathrm{He}$ 图 5.3-2 强相互作用可以存在于各种核子之间的原子核（图 5.3-2)。这种作用称为强相互作用（strong interaction)。与万有引力和电磁力不同,距离增大时,强相互作用急剧减小,它的作用范围只有约 $10^{-15} \mathrm{~m}$,即原子核的大小，超过这个界限，这种相互作用实际上已经不存在了,它是短程力。这样,万有引力、电磁力和强相互作用分别在不同的尺度上发挥了作用。
19 世纪末 20 世纪初,物理学家发现了放射现象。后来发现，在某些放射现象中起作用的还有另一种基本相互作用,称为弱相互作用 (weak interaction)。${ }^{\mathbb{1}}$ 弱相互作用是引起原子核 $\beta$ 衰变的原因,即引起中子一质子转变的原因。弱相互作用也是短程力,其力程比强相互作用更短,只有 $10^{-18} \mathrm{~m}$
## 结合能
我们考虑下面的问题。相距很远的两个物体，由于万有引力而相互接近,运动速度越来越大,引力势能转化为动能。最后撞在一起,一部分动能变成热并散失掉了。两个物体为了结合而付出了代价一一失去了一些能量,如果要把它们分开,还要重新赋予它们能量。
类似地,要使基态氢原子电离,也就是要从氢原子中把电子剥离,需要通过碰撞、施加电场、让氢原子吸收光子等途径使它得到相应的能量。
## 思考与讨论
如图 5.3-3,氦原子核是由两个质子和两个中子凭借核力结合在一起的,要把它们分开,需要吸收能量。反过来,4 个核子结合成氦原子核要放出能量。那么，把核子分开需要的能量与核子结合放出的能量有什么关系?
图 5.3-3
(1) 1967 年,美国物理学家温伯格和巴基斯坦物理学家萨拉姆在美国物理学家格拉肖前期工作的基础上提出了电弱统一理论,把电磁相互作用和弱相互作用统一成了一种相互作用。他们三人因此获得了1979年的诺贝尔物理学奖。原子核是核子凭借核力结合在一起构成的，要把它们分开,也需要能量,这就是原子核的结合能 ( binding energy ）。这个能量也是核子结合成原子核而释放的能量。
自然，组成原子核的核子越多，它的结合能越大。原子核的结合能与核子数之比,叫作比结合能 ( specific binding energy ),也叫作平均结合能。比结合能越大，原子核中核子结合得越牢固，原子核越稳定。
## 质量亏损
原子核的结合能很难直接测量。幸好,爱因斯坦已经给我们指出了物体的能量与它的质量的关系，即
$$
E=m c^{2}
$$
单个的质子、中子的质量已经精确测定。用质谱仪或其他仪器测定某种原子核的质量,与同等数量的质子、中子的质量之和相比较,看一看两条途径得到的质量之差,就能推知原子核的结合能。
## 【例题 】
已知中子的质量 $m_{\mathrm{n}}$ 为 $1.6749 \times 10^{-27} \mathrm{~kg}$,质子的质量 $m_{\mathrm{p}}$ 为 $1.6726 \times 10^{-27} \mathrm{~kg}$,氖核的质量 $m_{\mathrm{D}}$ 为 $3.3436 \times 10^{-27} \mathrm{~kg}$,求氜核的比结合能。
分析氕核是由 1 个质子和 1 个中子凭借核力结合在一起的,要把它们分开,需要吸收能量,这个能量就是気核的结合能。由忥核的质量与同等数量的核子质量之间的差值就可以求出与这一质量亏损相对应的能量,再根据気核的核子数求出忥核的比结合能。
解单个的质子与中子的质量之和为
$$
m_{\mathrm{p}}+m_{\mathrm{n}}=(1.6726+1.6749) \times 10^{-27} \mathrm{~kg}=3.3475 \times 10^{-27} \mathrm{~kg}
$$
这个数值与氜核质量之差
$$
\Delta m=\left(m_{\mathrm{p}}+m_{\mathrm{n}}\right)-m_{\mathrm{D}}=(3.3475-3.3436) \times 10^{-27} \mathrm{~kg}=3.90 \times 10^{-30} \mathrm{~kg}
$$
与这个质量差相对应的能量为
$$
\Delta E=\Delta m c^{2}=3.90 \times 10^{-30} \times\left(3.00 \times 10^{8}\right)^{2} \mathrm{~J}=3.51 \times 10^{-13} \mathrm{~J}
$$
在核物理中,能量单位常常使用电子伏特 $(\mathrm{eV})$,即
$$
1 \mathrm{eV}=1.60 \times 10^{-19} \mathrm{~J}
$$
所以，氜核的结合能是
$$
\Delta E=\frac{3.51 \times 10^{-13}}{1.60 \times 10^{-19}} \mathrm{eV}=2.19 \times 10^{6} \mathrm{eV}=2.19 \mathrm{MeV}
$$
氜核的比结合能为
$$
\frac{2.19 \mathrm{MeV}}{2}=1.10 \mathrm{MeV}
$$
通过这个例题可以看出，原子核的质量小于组成它的核子的质量之和，这个现象叫作质量亏损 (mass deficit)。质量亏损表明，的确存在着原子核的结合能。
不同原子核的比结合能是不一样的,图 5.3-4 是按照实际测量结果画的图线。可以看出，中等大小的核的比结合能最大 (平均每个核子的质量亏损最大),这些核最稳定。
## 练习与应用
1. 从以下几个方面比较核反应与化学反应的相同和相异之处。
（1）它们各自涉及四种基本相互作用中的哪一种?
（2）每种反应分别改变了或重新安排了什么?
2. 为什么原子核的比结合能越大，原子核越稳定?3. 生活中,我们常能看到物体的能量发生了变化,为什么觉察不到物体质量发生的变化?4. 原子物理中常把碳 12 原子质量的 $\frac{1}{12}$ 叫作“原子质量单位”,用 $1 \mathrm{u}$ 表示 $(1 \mathrm{u}=$ $1.6605 \times 10^{-27} \mathrm{~kg}$ )。
图 5.3-4 原子核的比结合能请根据 $E=m c^{2}$ 证明: $1 \mathrm{u}$ 相当于 $931.5 \mathrm{MeV}$ 的能量。已知光速 $c$ 为 $2.9979 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$,元电荷 $e$ 为 $1.6022 \times 10^{-19} \mathrm{C}$
5. 印刷“两弹一星” 这四个字的油墨的质量大约是 $1 \mu \mathrm{g}\left(10^{-9} \mathrm{~kg}\right)$。与这些质量相当的能量如果完全用来增加重力势能,它可以使一架本身质量为 $7000 \mathrm{~kg}$、载有 10 名质量各为 $50 \mathrm{~kg}$ 学生的直升机升高多少?$g$ 取 $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$。6. 一个铀核衰变为钍核时释放一个 $\alpha$ 粒子。在这个衰变过程中释放的能量等于多少焦耳?已知铀核的质量为 $3.85313 \times 10^{-25} \mathrm{~kg}$,钍核的质量为 $3.78657 \times 10^{-25} \mathrm{~kg}$，$\alpha$ 粒子的质量为 $6.64672 \times 10^{-27} \mathrm{~kg}$
## (4) 核裂变与核聚变
较重的核分裂成中等大小的核，较小的核合并成中等大小的核的过程中,都有可能释放出能量。核电站以及原子弹、氢弹等核武器,利用的就是这些核能。在这些装置中，核能是怎样被转化和使用的呢?
20 世纪 30 年代,物理学家的一个重大发现改变了人类历史。原子核在“分裂或聚合”时,会释放出惊人的能量。
## 核裂变的发现
1938 年年底,德国物理学家哈恩和他的助手斯特拉斯曼在用中子车击铀核的实验中发现,生成物中有原子序数为 56 的元素钡。奥地利物理学家迈特纳和弗里施对此给出了解释：铀核在被中子轰击后分裂成两块质量差不多的碎块（图 5.4-1）。弗里施借用细胞分裂的生物学名词,把这类核反应定名为核裂变 (nuclear fission)。
铀 235
图 5.4-1 核裂变示意图
铀核裂变的产物是多样的,一种典型的铀核裂变是生成钡和氪 (铀 236 为中间过程,不稳定),同时放出 3 个中子，核反应方程是
$$
{ }_{92}^{235} \mathrm{U}+{ }_{0}^{1} \mathrm{n} \longrightarrow{ }_{56}^{144} \mathrm{Ba}+{ }_{36}^{89} \mathrm{Kr}+3{ }_{0}^{1} \mathrm{n}
$$
核裂变中放出中子，数目有多有少，中子的速度也有快有慢。以铀 235 为例,核裂变时产生两或三个中子。如果这些中子继续与其他铀 235 发生反应，再引起新的核裂变，就能使核裂变反应不断地进行下去 (图 5.4-2)。这种由重核裂变产生的中子使核裂变反应一代接一代继续下去的过程,叫作核裂变的链式反应 (chain reaction)。
铀 235
钱三强（1913-1992) 和他的夫人何泽慧（1914-2011）
图 5.4-2 链式反应示意图
铀块的大小是链式反应能否进行的重要因素。原子核的体积非常小,原子内部的空隙很大,如果铀块不够大,中子在铀块中通过时,很有可能碰不到铀核而跑到铀块外面去,链式反应不能继续。只有当铀块足够大时，核裂变产生的中子才有足够大的概率打中某个铀核,使链式反应进行下去。通常把核裂变物质能够发生链式反应的最小体积叫作它的临界体积,相应的质量叫作临界质量。
我国科学家钱三强、何泽慧夫妇于 1947 年在实验中发现铀核也可能分裂为三部分或四部分,其概率大约是分裂为两部分的概率的 $\frac{1}{300}$ 和 $\frac{1}{5000}$。这一研究成果得到了广泛的认可和赞誉。
铀核裂变时如果生成物不同,释放的能量也有差异。如果一个铀 235 核裂变时释放的能量按 $200 \mathrm{MeV}$ 估算,
那么,$1 \mathrm{~kg}$ 铀 235 全部发生核裂变时放出的能量就相当于
$2800 \mathrm{t}$ 标准煤完全燃烧时释放的化学能!
## 拓展学习
原子弹
原子弹是利用重核裂变的链式反应制成的，在极短时间内能㿟释放大量核能，发生猛烈爆炸。
原子弹的燃料是铀 235 或钚 239。在天然铀中只有 $0.7 \%$ 的铀 235,剩下的 $99.3 \%$ 是不易核裂变的铀238。为得到高浓度的铀 235,就必须进行同位素分离,形成铀 235 含量较高的浓缩铀。钚 239 在自然界并不存在,人们利用核反应堆中产生的中子轰击铀 238,生成物衰变后成为钚 $239 ＼mathrm{~，然后再利用化学方法将钚 ~} 239$ 从铀 238 中分离出来。
图 5.4-3 内爆式原子弹示意图
图 5.4-3 是“内爆式” 原子弹结构图。核燃料一般被分成若干块放置,每块的体积都小于临界体积。它的外部安放化学炸药,引爆时利用化学炸药爆炸的冲击波将核燃料压缩至高密度的超临界状态，聚心冲击波同时压缩放在核燃料球心的中子源，使它释放中子,引起核燃料的链式反应。其中，中子源的四周用铀 238 做成中子反射层，使逸出燃料区的部分中子返回,从而,降低中子逃逸率以减小临界质量，节省核然料。
## 反应堆与核电站
原子核的链式反应也可以在人工控制下进行。这样,释放的核能就可以为人类的和平建设服务。其实,在第一个原子弹制成以前,科学家们已经实现了核能的可控释放。1942年,美籍意大利物理学家费米就主持建立了世界上第一个称为“核反应堆” 的装置,首次通过可控制的链式反应实现了核能的释放。
图 5.4-4 是当前普遍使用的“热中子 ( 慢中子 )” 核反应堆的示意图。实际上,中子的速度不能太快,否则会与铀 235“擦肩而过”,铀核不能“捉” 住它,不能发生核裂变。实验证明,速度与热运动速度相当的中子最适于引发
(1) $1 \mathrm{t}$ 标准煤燃烧时放出 $2.93 \times 10^{10} \mathrm{~J}$ 的热量。
图 5.4-4 反应堆示意图
-热中子反应堆的核燃料是铀棒,成分是天然铀或浓缩铀（铀 235 的含量占 $2 \% \sim 4 \%)$。>重水是两个忥原子与一个氧原子形成的化合物，它的化学性质与普通水相同，但分子质量比普通水的大。核裂变。这样的中子就是“热中子”，或称慢中子。但是，核裂变产生的是速度很大的快中子,因此,还要设法使快中子减速。为此，在铀棒周围要放“慢化剂”,快中子跟慢化剂中的原子核碰撞后,中子能量减少,变为慢中子。常用的慢化剂有石墨、重水和普通水 (也叫轻水)。
为了调节中子数目以控制反应速度,还需要在铀棒之间插进一些镉棒。镉吸收中子的能力很强，当反应过于激烈时,将镉棒插人深一些,让它多吸收一些中子，链式反应的速度就会慢一些。这种镉棒叫作控制棒。
核燃料发生核裂变释放的能量使反应区温度升高。水或液态的金属钠等流体在反应堆内外循环流动，把反应堆内的热量传输出去，用于发电，同时也使反应堆冷却。
如图 5.4-5，反应堆放出的热使水变成水蒸气，这些高温高压的蒸汽推动汽轮发电机发电。这一部分的工作原理跟火力发电站相同。
图 5.4-5 核电站工作流程
第一回路中的水被冢压人反应堆，通过堆芯时核反应放出的热使水的内能增加,水温升高,进人热交换器后,把热量传给第二回路的水，然后又被石压回反应堆里。
在热交换器内，第二回路中的水被加热生成高温高压蒸汽,驱动汽轮机运转。在核电站中，只要“烧” 掉一支铅笔那么多的核燃料,释放的能量就相当于 $10 \mathrm{t}$ 标准煤完全燃烧放出的热。一座百万千瓦级的核电站，每年只消耗 $30 \mathrm{t}$ 左右的浓缩铀，而同样功率的火电站,每年要烧煤 $2.5 \times 10^{6} \mathrm{t}$!
建造核电站时需要特别注意防止放射线和放射性物质的泄漏，以避免射线对人体的伤害和放射性物质对水源、空气和工作场所造成放射性污染。为此,在反应堆的外面需要修建很厚的水泥层,用来屏蔽核裂变产物放出的各种射线。核反应堆中的核废料具有很强的放射性，需要装人特制的容器，深埋地下。
## 核聚变
两个轻核结合成质量较大的核,这样的核反应叫作核聚变 ( nuclear fusion )。如图 5.4-6，一个氜核与一个氠核聚合成一个氦核的同时放出一个中子,释放 $17.6 \mathrm{MeV}$ 的能量,平均每个核子放出的能量在 $3 \mathrm{MeV}$ 以上,比核裂变反应中平均每个核子放出的能量大 $3 \sim 4$ 倍。这时的核反应方程是
图 5.4-6 核聚变示意图
$$
{ }_{1}^{2} \mathrm{H}+{ }_{1}^{3} \mathrm{H} \longrightarrow{ }_{2}^{4} \mathrm{He}+{ }_{0}^{1} \mathrm{n}+17.6 \mathrm{MeV}
$$
## 思考与讨论
要使轻核发生核聚变,必须使它们的距离达到 $10^{-15} \mathrm{~m}$ 以内,核力才能起作用。由于原子核都带正电,要使它们接近到这种程度,必须克服巨大的库仑斥力。也就是说,原子核要有很大的动能才会“撞” 到一起。什么办法能使大量原子核获得足够的动能而发生核聚变呢?
有一种办法,就是把它们加热到很高的温度。当物质的温度达到几百万开尔文时，剧烈的热运动使得一部分原子核具有足够的动能，可以克服库仑斥力，碰撞时十分接近，发生核聚变。因此，核聚变又叫热核反应。热核反应一旦发生，就不再需要外界给它能量，靠自身产生的热就会使反应继续下去。
图 5.4-7 太阳
图 5.4-8 氢弹原理图
等离子体
( 即各种粒子
图 5.4-9 环流器的结构示意图实际上，热核反应在宇宙中时时刻刻地进行着，太阳就是一个巨大的热核反应堆（图 5.4-7)。太阳的主要成分是氢。太阳的中心温度达 $1.6 \times 10^{7} \mathrm{~K}$。在这样的高温下,氢核聚变成氦核的反应不停地进行着,不断地放出能量。太阳每秒辐射出的能量约为 $3.8 \times 10^{26} \mathrm{~J}$,相当于 1000 亿亿吨煤燃烧所放出的能量，其中 20 亿分之一左右的能量被地球接收。现在地球上消耗的能量,追根溯源,绝大部分还是来自太阳，即太阳内部核聚变时释放的核能。
太阳在“核燃烧”的过程中“体重”不断减轻。它每秒有7亿吨原子核参与反应。科学家估计,太阳的这种“核燃烧” 还能维持几十亿年。当然，与人类历史相比，这个时间很长很长！太阳的寿命已经有 50 亿年了。
目前,人工产生的热核反应主要用在核武器上，那就是氢弹。氢弹原理如图 5.4-8所示,首先由化学炸药引爆原子弹，再由原子弹爆炸产生的高温高压引发热核爆炸。
此外,人们也一直在努力尝试实现可控的人工核聚变,进而利用核聚变中的能源。与核裂变相比,核聚变有很多优点。第一,轻核聚变产能效率高,也就是说,相同质量的核燃料,反应中产生的能量比较多。第二,地球上核聚变燃料氜储量丰富,而氟可以利用锂来制取，足以满足核聚变的需要。第三，轻核聚变更为安全、清洁。
然而,核聚变需要的温度太高,地球上没有任何容器能够经受如此高的温度。这构成了实现可控核聚变的主要困难。为了解决这个难题,科学家设想了两种方案,即磁约束和惯性约束。
磁约束带电粒子运动时,在匀强磁场中会由于洛伦兹力的作用而不飞散,因此有可能利用磁场来约束参加反应的物质,这就是磁约束。如图5.4-9,环流器（即 tokamak,音译为托卡马克）是目前性能最好的一种磁约束装置。图 5.4-10 是中国科学院的环流器装置EAST。
惯性约束利用核聚变物质的惯性进行约束。在惯性约束下,可以用高能量密度的激光或 $X$ 射线从各个方向照
图 5.4-10 中国科学院的环流器装置
射参加反应的物质,使它们“挤” 在一起发生反应。由于核聚变反应的时间非常短,被“挤” 在一起的核聚变物质因自身的惯性还来不及扩散就完成了核反应（图 5.4-11）。在我国,中国工程物理研究院等单位建造了“神光III” 激光约束核聚变研究装置。总的来说,实现受控核聚变还有一段很长的路要走。
图 5.4-11 惯性约束示意图
## 练习与应用
1. 什么是核裂变?什么是链式反应?2. 在核反应堆中，用什么方法控制核裂变的速度?3. 什么是核聚变?核聚变过程中的能量转化有什么特点?4. 请分析：在地球上实现受控热核反应的必要性、可能性和困难是什么?5. 在一个反应堆中用石. 墨做慢化剂使快中子减速。碳核的质量是中子的 12 倍,假设中子与碳核的每次碰撞都是弹性正碰,而且认为碰撞前碳核都是静止的。
(1) 设碰撞前中子的动能是 $E_{0}$,经过一次碰撞，中子失去的动能是多少?
(2) 至少经过多少次碰撞,中子的动能才能小于 $10^{-6} E_{0}$?
6. 秦山核电站第一期工程装机容量为 $3 \times 10^{8} \mathrm{~W}$。如果 $1 \mathrm{~g}$ 铀 235 完全核裂变时产生的能量为 $8.2 \times 10^{10} \mathrm{~J}$,并且假定所产生的能量都变成了电能，那么每年要消耗多少铀 235?7. 太阳的总输出功率为 $3.8 \times 10^{26} \mathrm{~W}$,它来自三种核反应，这些反应的最终结果是氢转变为氦 ${ }_{2}^{4} \mathrm{He}$。按照总输出功率计算,太阳每秒失去多少质量?
## “基本”粒子
## 问题?
图中显示的是质子对质子碰撞后粒子的轨迹。20 世纪，人们通过对粒子碰撞和宇宙线的观测,发现了很多新粒子。这些新发现的粒子分为哪几类?彼此间有什么关系?
直到 19 世纪末,人们都认为原子是组成物质的不可再分的最小微粒。后来发现了电子、质子和中子,并且知道了原子核和电子组成了原子,质子和中子组成了原子核。于是许多人认为光子、电子、质子和中子是组成物质的不可再分的最基本的粒子,并把它们叫作“基本粒子”。然而,随着科学的进一步发展,科学家们认识到这些粒子并不“基本”。这是因为,一方面,科学家们逐渐发现了数以百计的不同种类的新粒子,它们并不能看作由质子、中子、电子组成的;另一方面,科学家们又发现质子、中子等本身也有自己的复杂的结构。所以,从 20 世纪后半期起,就将“基本”二字去掉,统称为粒子。
## 发现新粒子
从 20 世纪 30 年代以来,人们在对宇宙线的研究中陆续发现了一些新的粒子。1932 年发现了正电子,1937 年发
「 正电子、$\mu$ 子
1931〜1940年
$1931 \sim 1940$ 年
$\mathrm{K}$ 介子和 $\pi$ 介子 •反质子、电子中
微子
1951〜1960年
1961 1970年
$\mu$ 子中微子
表部分新粒子的实验发现年代
图 5.5-1 大型强子对撞机内部设备的一个局部
现了 $\mu$ 子，1947 年发现了 $\mathrm{K}$ 介子和 $\pi$ 介子。后来还发现了一些粒子，质量比质子的质量大很多,叫作超子。
1932 年发明的粒子加速器,能使带电粒子加速到很高的能量。让这些高能粒子在对撞机中彼此对撞,就可能产生新的粒子。利用加速器和对撞机,人们发现了更多的粒子。粒子物理的研究不再单纯依赖宇宙线。高能量的对撞机往往极为庞大和复杂。如图 5.5-1,欧洲核子研究中心的大型强子对撞机是世界上最庞大的科学装置之一,放置在一个周长 $27 \mathrm{~km}$ 的圆形地下隧道内。它由全球 85 个国家的大学与研究机构,逾 8000 位物理学家合作兴建,建造过程历时十余年。
下表呈现的是自 20 世纪 30 年代至今物理学家通过实验发现的一部分新粒子。
$$
\begin{gathered}
\text { - } \tau \text { 子、胶子、} \\
\mathrm{J} / \Psi \text { 介子 }
\end{gathered}
$$
$1971 \sim 1980$ 年 1981 ～1990年 .
$\mathrm{W}$ 和 $\mathrm{Z}$ 玻色子 • $\tau$ 子中微子实验中发现,存在着这样一类粒子,它们的质量、寿命、自旋等物理性质与过去已经发现的粒子相同,而电荷等其他性质相反，这些粒子叫作反粒子。例如，电子的反粒子是正电子,它的电荷量与电子相同,但带的是正电荷。质子的反粒子是反质子,它的电荷量与质子相同，但带的是负电荷。
## 粒子的分类
现在已经发现的粒子达 400 多种。它们大体可被分为强子、轻子、规范玻色子和希格斯玻色子几种类别。
强子强子是参与强相互作用的粒子。质子和中子都是强子。
轻子轻子不参与强相互作用。最早发现的轻子是电子,后来发现的轻子有电子中微子、$\mu$ 子、$\mu$ 子中微子以及 $\tau$ 子和 $\tau$ 子中微子。每种轻子都有对应的反粒子。目前发现的轻子只有这 6 种，其中 $\tau$ 子的质量比核子的质量还大，但从相互作用的性质上讲它仍然属于轻子。现代实验还没有发现轻子的内部结构。
规范玻色子规范玻色子是传递各种相互作用的粒子，如光子、中间玻色子 ( $\mathrm{W}$ 和 Z玻色子)、胶子。光子传递电磁相互作用,中间玻色子传递弱相互作用,胶子传递强相互作用。
希格斯玻色子希格斯玻色子是希格斯场的量子激发。基本粒子因与希格斯场耦合而获得质量。希格斯玻色子是这几种基本粒子中最后一个被发现的。2012年，欧洲核子研究中心利用大型强子对撞机发现了希格斯玻色子。
## 拓展学习
## 夸克与粒子物理标准模型
许多实验事实表明,强子是有内部结构的（图 5.5-2 )。1964年,美国科学家盖尔曼等人提出了夸克模型,认为强子由更基本的成分组成,这种成分叫作夸克。夸克模型经过几十年的发展,已经
图 5.5-2 原子核结构
被多数物理学家接受。夸克有 6 种,它们是上夸克、下夸克、奇异夸克、梷夸克、底夸克、顶夸克,它们带的电荷分别为元电荷的 $+\frac{2}{3}$ 或 $-\frac{1}{3}$。每种夸克都有对应的反夸克。到目前为止,人们已经从实验中发现了所有 6 种夸克及其反夸克存在的证据。由于对粒子物理学的贡献,盖尔曼获得了 1969 年的诺贝尔物理学奖。
夸克模型的提出是物理学发展中的一个重大突破,它指出电子电荷不再是电荷的最小单元,即存在分数电荷。科学家们直到今天还从末捕捉到自由的夸克。夸克不能以自由的状态单个出现，这种性质称为夸克的“禁闭”
在夸克模型的基础上,科学家们发展出了描述强相互作用的系统理论—量子色动力学。以量子色动力学和电弱统一理论为核心,人们已经完成了一整套关于粒子的理论,称为粒子物理标准模型。标准模型和大量实验吻合得很好,取得了很大的成功。在标准模型中,夸克、轻子、规范玻色子和希格斯玻色子是组成物质的几类最基本的粒子 ( 图 5.5-3)。
图 5.5-3 标准模型中最基本的粒子类型
## 华人科学家在粒子物理学领域的杰出贡献
在粒子物理学的发展史上，有一批华人科学家作出了众多举世瞩目并被载入史册的重大贡献。1930 年,在美国加州理工学院学习的赵忠尧和英国剑桥大学的科学家各自独立地发现硬 $\gamma$ 射线在重元素中的“反常吸收”。同年,他又发现了 $\gamma$ 射线在重元素中的“额外散射”。这实际上是对正负电子对产生和湮灭过程的最早观察 (尽管赵忠尧当时并末意识到这一点)。更重要的是，他的实验结果直接激发美国物理学家安德森完成了发现正电子的著名实验。
1933 年,谢玉铭和美国科学家豪斯顿合作对氢原子光谱进行了精准测量,发现测量结果和当时的理论有差异,并提出这可能是由于当时关于光和物质相互作用的理论还需要改进。他们发现的这个问题被美国物理学家兰姆等人的实验进一步确认,而理论确实因此而作了重要改进。粒子物理学中极其重要的重整化理论就是由此诞生的。
1942 年，王淦昌提出证实中微子存在的一种实验方案：观察轻原子 $\mathrm{K}$ 俘获过程中的核反冲。半年后,美国物理学家阿伦照此方案进行实验,找到了中微子。王淦昌还预言在 100 亿电子伏特质子同步加速器上有可能找到反超子，并于 1959 年找到了一个与反西格玛负超子有关的实例。
1954 年,杨振宁和美国物理学家米尔斯提出了杨一米尔斯规范场理论。后来的电弱统一理论和量子色动力学都是在杨一米尔斯规范场理论的基础上建立的。
1956年，李政道和杨振宁提出，在弱相互作用过程中宇称不守恒，并提出了实验验证的建议。1957 年，吴健雄领导的小组在钴 60 的衰变中证实了宇称不守恒的论断。不久，宇称不守恒在其他弱相互作用过程中也得到了证实。为此,杨振宁、李政道获得 1957 年的诺贝尔物理学奖。
1974 年，丁肇中领导的小组发现了一种新的粒子。这种粒子有两个奇怪的性质：质量大，大约是质子质量的 3.3 倍;寿命长,比一般介子的寿命长 5000 倍。这个发现证实了人们对存在第四种夸克一一梷夸克的预测。美国科学家里克特也在这一年独立地发现了这种粒子，丁肇中与里克特共获 1976 年的诺贝尔物理学奖。这种新粒子被命名为 $\mathrm{J} / \Psi$ 介子。
## 练习与应用
1. 请设计和绘制一个合理的表格,在表格中填入相关的内容,全面概括你对粒子分类的了解。2. 查找华人科学家在粒子物理领域的成果和事迹，写一篇文章，并与同学交流。
## 复习与提高
A 组
1. 把铀矿石放在一只玻璃管内,过几天在管内发现了氦气。怎样解释这一现象?2. 目前,我们学习过的原子核的变化有 4 种类型: 衰变、核裂变、核聚变和人工核转变。请在下列方程后的括号内填写正确的类型。
${ }_{11}^{24} \mathrm{Na} \longrightarrow{ }_{12}^{24} \mathrm{Mg}+{ }_{-1}^{0} \mathrm{e}$
${ }_{92}^{235} \mathrm{U}+{ }_{0}^{1} \mathrm{n} \longrightarrow{ }_{54}^{140} \mathrm{Xe}+{ }_{38}^{94} \mathrm{Sr}+2{ }_{0}^{1} \mathrm{n}$
${ }_{9}^{19} \mathrm{~F}+{ }_{2}^{4} \mathrm{He} \longrightarrow{ }_{10}^{22} \mathrm{Ne}+{ }_{1}^{1} \mathrm{H}$
${ }_{1}^{2} \mathrm{H}+{ }_{1}^{3} \mathrm{H} \longrightarrow{ }_{2}^{4} \mathrm{He}+{ }_{0}^{1} \mathrm{n}$
3. 一个 $\alpha$ 粒子融合到一个 ${ }_{8}^{16} \mathrm{O}$ 核中，写出这个核反应的方程式。这个反应式左右两边的原子核相比,哪边的结合能较多?4. 在火星上太阳能电池板发电能力有限,因此科学家用放射性材料— $\mathrm{PuO}_{2}$ 作为发电能源为火星车供电。$\mathrm{PuO}_{2}$ 中的 $\mathrm{Pu}$ 元素是 ${ }_{94}^{238} \mathrm{Pu}$
(1) 写出 ${ }_{94}^{238} \mathrm{Pu}$ 发生 $\alpha$ 衰变的衰变方程。
( 2 ) ${ }_{94}^{238} \mathrm{Pu}$ 的半衰期是 87.7 年,大约要经过多少年会有 $87.5 \%$ 的原子核发生衰变?
5. 已知 ${ }_{88}^{226} \mathrm{Ra}、{ }_{86}^{222} \mathrm{Rn}、{ }_{2}^{4} \mathrm{He}$ 的相对原子质量分别是 $226.0254、222.0175、4.0026$。求出 ${ }_{88}^{226} \mathrm{Ra}$ 在 $\alpha$ 衰变过程中放出的能量 (以电子伏特为单位）。1. 钍 232 经过 6 次 $\alpha$ 衰变和 4 次 $\beta$ 衰变后变成一种稳定的元素。这种元素是，它的质量数是，原子序数是
6. 某放射性元素经过 $6 \mathrm{~d}$ 后,只剩下 $\frac{1}{8}$ 没有衰变,它的半衰期是多少天?为估算某水库的库容,可取一瓶无毒的该放射性元素的水溶液,测得瓶内溶液每分钟衰变 $8 \times 10^{7}$ 次。现将这瓶溶液倒入水库,$8 \mathrm{~d}$ 后在水库中取水样 $1.0 \mathrm{~m}^{3}$ (可认为溶液已均匀分布),测得水样每分钟衰变 20 次。请估算水库中水的体积。7. 两个氜核结合成一个氦核,已知忥核质量为 $2.0141 \mathrm{u}$,氦核质量为 $4.0026 \mathrm{u}$。求出 $1 \mathrm{~kg}$ 氜完全结合成氦时可以释放出的能量。阿伏加德罗常数 $N_{\mathrm{A}}$ 为 $6.0 \times 10^{23} \mathrm{~mol}^{-1}$,忥核的摩尔质量为 $2 \mathrm{~g} / \mathrm{mol},1 \mathrm{u}$ 相当于 $931.5 \mathrm{MeV}$ 的能量。8. 钚的放射性同位素 ${ }_{94}^{239} \mathrm{Pu}$ 静止时衰变为铀核激发态 ${ }_{92}^{235} \mathrm{U}^{*}$ 和 $\alpha$ 粒子,而铀核激发态 ${ }_{92}^{235} \mathrm{U}^{*}$ 立即衰变为铀核 ${ }_{92}^{235} \mathrm{U}$,并放出能量为 $0.097 \mathrm{MeV}$ 的 $\gamma$ 光子。已知 ${ }_{94}^{239} \mathrm{Pu}$ 的质量 $m_{\mathrm{Pu}}$ 为 $239.0521 \mathrm{u}、{ }_{92}^{235} \mathrm{U}$ 的质量 $m_{\mathrm{U}}$ 为 $235.0439 \mathrm{u}$ 和 $\alpha$ 粒子的质量 $m_{\alpha}$ 为 $4.0026 \mathrm{u}$,且 $1 \mathrm{u}$ 相当于 $931.5 \mathrm{MeV}$ 的能量。
(1) 写出衰变方程
（2）已知衰变放出的光子的动量可忽略,求 $\alpha$ 粒子的动能。
5. 核电站利用核反应堆工作时释放出的热能使水汽化以推动汽轮发电机发电。请解答以下问题，计算结果保留两位有效数字。
（1）核反应堆中的“燃料” 是 ${ }_{92}^{235} \mathrm{U}$,请完成核反应方程式：
${ }_{92}^{235} \mathrm{U}+{ }_{0}^{1} \mathrm{n} \longrightarrow{ }^{90} \mathrm{Sr}+{ }_{54}{ }^{1} \mathrm{Xe}+10{ }_{0}^{1} \mathrm{n}$
(2) 铀核的质量 $m_{\mathrm{U}}$ 为 $235.0439 \mathrm{u}$,中子的质量 $m_{\mathrm{n}}$ 为 $1.0087 \mathrm{u}$,锶 $(\mathrm{Sr})$ 核的质量 $m_{\mathrm{sr}}$ 为 $89.9077 \mathrm{u}$,㲴 $(\mathrm{Xe})$ 核的质量 $m_{\mathrm{Xe}}$ 为 $135.9072 \mathrm{u}$,$1 \mathrm{u}$ 为 $1.66 \times 10^{-27} \mathrm{~kg}$,浓缩铀中铀 235 的含量占 $2 \%$。求一座 100 万千瓦的核电站每年 $\left(t=3.15 \times 10^{7} \mathrm{~s}\right)$ 大约需要多少吨浓缩铀。
## 课题研究
## 研究样例
## 燃气灶火力对烧水效率的影响
问题的提出
用燃气灶烧水时,怎样控制火力的大小来提高烧水效率,这是使用燃气灶时普遍遇到的问题。为此,需要研究影响燃气灶烧水效率的因素。${ }^{1}$,燃气灶烧水时的能量转化和转移的情况如下。
用燃气灶烧水时,水的内能增加了,水的内能的变化量 $\Delta U$ 就是燃气灶输出的有用能量。因此,燃气灶烧水的效率 $\eta=\frac{\Delta U}{Q}$,而 $Q=\Delta U+Q_{1}+Q_{2}$,这样,要提高燃气灶的烧水效率 $\eta$,便要设法减小烧水过程中热水散失给空气的热量 $Q_{1}$ 和火焰加热空气损失的热量 $Q_{2}$。
燃气灶火力如果太大,火焰散失在空气中的热量 $Q_{2}$ 相对较多,会降低效率;调小火力,会延长烧水的时间,热水散失给空气的热量 $Q_{1}$ 随加热时间延长而增大,也会降低效率。
怎样的火力有利于提高燃气灶烧水的效率呢?
|热水散热损失 $\left(Q_{1}\right)$ 的研究及其启示
在一个水显 (燃气灶头和水显吸收的热量忽略不计 )
(1) 水壶的质量和比热容都较小,以下不考虑其吸收的热量。中盛水 $4.0 \mathrm{~kg}$,用燃气灶加热,如图研-1所示。水烧开后让其在自然散热下冷却,开始每隔 $10 \mathrm{~min}$ 记录一次,一段时间后,每隔 $20 \mathrm{~min}$ 记录水温一次。记录数据时室温为 $26^{\circ} \mathrm{C}$,基本上保证了实验环境温度的恒定。(1) 记录散热过程中不同时刻水的温度值,如表 1 所示;作出水的温度随时间变化的水温一时间图像，如图研-2 所示。
表 1 开水冷却过程水温随时间的变化
| $\begin{array}{c}\text { 时间 } \\ t / \mathrm{min}\end{array}$ | 0 | 10 | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 | 120 | 140 | 160 | 180 | 200 | 220 | 240 | 260 | 280 | 300 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $\begin{array}{c}\text { 水温 } \\ /{ }^{\circ} \mathrm{C}\end{array}$ | 101.9 | 94.8 | 90.0 | 81.0 | 73.5 | 66.5 | 61.5 | 57.5 | 53.5 | 50.5 | 47.5 | 45.5 | 43.7 | 42.0 | 40.8 | 39.8 | 38.8 |
图研 -1
图研 -2
质量一定时,水放出的热量跟它温度的下降量成正比。
从表 1 中可以看出,水在 $0 \sim 20 \mathrm{~min}$ 下降的温度 $\left(11.9^{\circ} \mathrm{C}\right)$
约为 $180 \sim 200 \mathrm{~min}$ 下降的温度 $\left(2.0^{\circ} \mathrm{C}\right)$ 的 6 倍,说明在单
位时间内,水在 $90 \sim 100{ }^{\circ} \mathrm{C}$ 温度区间散失的热量远大于它
在 $40 \sim 50{ }^{\circ} \mathrm{C}$ 温度区间散失的热量。为减小水在高温时的放热损失,应缩短水在高温时的加热时间。因此,水在高温时,燃气灶的火力不能太小。
| 燃气加热空气损失能量 $\left(Q_{2}\right)$ 的研究及其启示
燃气灶的火力太大,烧水时明显感到水显周围空气的热浪,这就意味着燃气在烧水时使周围的空气被加热,浪
(1) 室内空间较大,开启了一台排气扇的低风挡进行换气。费了能源。为此,我们选择两种不同火力,分别加热质量为 $4.0 \mathrm{~kg}$ 的水从室温上升到 $50^{\circ} \mathrm{C}$。之所以只加热到 $50^{\circ} \mathrm{C}$ 就停止,是因为 $50^{\circ} \mathrm{CW下}$ 的水,通过水散失给空气的热量 $Q_{1}$ 并不多,可把不同火力下的 $Q_{1}$ 视为实验中的常量。该过程中,烧水的能量损失主要是燃气加热空气的热量 $Q_{2}$ 所造成的。
表 2 中的火力 1 是燃气灶的最大火力;火力 2 是燃气火焰大到恰好布满显底但又不火焰四射的火力。用两种火力把相同的水都升高到 $50^{\circ} \mathrm{C}$ 所消耗的燃气量如表 2 所示。
表 2 同一燃气灶不同火力加热的耗气量
| 火力 | $\begin{array}{c}\text { 水的质量 } \\ / \mathrm{kg}\end{array}$ | $\begin{array}{c}\text { 水的初温 } \\ /{ }^{\circ} \mathrm{C}\end{array}$ | $\begin{array}{c}\text { 水的末温 } \\ /{ }^{\circ} \mathrm{C}\end{array}$ | $\begin{array}{c}\text { 加热前燃气表 } \\ \text { 示数 } / \mathrm{m}^{3}\end{array}$ | $\begin{array}{c}\text { 热后燃气表 } \\ \text { 示数 } / \mathrm{m}^{3}\end{array}$ | 消耗燃气 $/ \mathrm{m}^{3}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 火力 1 (大火) | 4.0 | 26.0 | 50.0 | 995.5985 | 995.6438 | 0.0453 |
| 火力 2 (中火) | 4.0 | 26.0 | 50.0 | 995.6438 | 995.6716 | 0.0278 |
由表 2 可知,水温较低时,燃气灶火力不能太大。
燃气灶烧水火力的设计
根据以上对 $Q_{1}$ 和 $Q_{2}$ 的研究,可以形成以下燃气灶烧水的节能策略：加热初期,水温不太高时用中火,避免燃气过分加热空气造成的浪费;加热后期,水温较高时用大火,避免因加热时间过长,热水长时期散热造成的浪费。
用实验检验研究结论的正确性。表 3 是三种不同加热方案消耗燃气的实验数据。
表3 燃气灶三种加热方案消耓燃气的实验数据 (水的质量、初温相同,都加热到沸腾)
| 方案 | 加热前燃气表示数 $/ \mathrm{m}^{3}$ | 加热后燃气表示数 $/ \mathrm{m}^{3}$ | 消耗燃气 $/ \mathrm{m}^{3}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 方案 1 (始终大火) | 995.9725 | 996.0608 | 0.0883 |
| 方案 2 (始终中火) | 996.0608 | 996.1453 | 0.0845 |
| 方案 3 (先中火,后大火) | 996.1453 | 996.2237 | 0.0784 |
实验结果表明,方案 3 所消耗的燃气量最少,验证了先中火,后大火加热方案的正确性。
## 参考选题
## 家用燃气热水器不同加热温度时的热效率研究
## 研究内容
使用热水器洗澡时,常有两种调温习惯：一种是把加热后的水温直接调节至洗澡的合适温度,如 $38^{\circ} \mathrm{C}$ 左右;另一种是把热水器的加热温度调到更高,如 $50^{\circ} \mathrm{C}$ 左右,再通过淋浴水龙头加兑冷水至合适水温，后者可以获得更大的适温水量。这两种情况下热水器工作的热效率相同吗?
|研究思路
热水器工作前,先观察燃气表示数,测量加热前水的温度。第一次加热时,把热水器水温调为 $38^{\circ} \mathrm{C}$,将加热后的热水注人一容器中 (如洗衣机或水桶),达到一定体积时,让热水器停止工作。观察燃气表示数,记录所用去的燃气体积。第二次工作时调节热水器的加热温度至更高 $\left(\right.$ 如 $\left.50^{\circ} \mathrm{C}\right)$,记录加热同样体积的水所需要的燃气。根据热水内能的增加量 $\Delta U=c m \Delta t$ 和所消耗的燃气,就可以比较两种情况下热效率的高低。
如果已知被加热水的体积，查找燃气的热值，还可以算出两种情况下热效率的大小。
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zh
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gaozhong
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Bk04LDFlVbj_NFzfG0ad
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In this unit,you will
1 read about festivals and celebrations around the world.
2 listen to different festival experiences and talk about your own.
3 write a passage about a festival or a celebration you have experienced.
4 explore the origins,customs,and meanings of different festivals.
## Look and discuss
1 What can you see in the photo?
2 What is the name of this festival and how do you celebrate it?
## Listening and Speaking
## Talk about festival activities
1 Before you listen,look at the photos below. Choose some words or phrases from the box to describe each festival.
Chinese Lantern Festival
$\begin{array}{lll}\text { wear traditional costumes } & \text { dress up in carnival costumes } & \text { visit a lantern fair } \\ \text { march along the streets } & \text { receive congratulations from ... } & \text { guess riddles } \\ \text { attend the ceremony } & \text { watch samba dance } & \text { give performances }\end{array}$
A. 2 Listen and write the order of the conversations next to the names of the festivals above. Then match each conversation with the relationship between the speakers below.
a tour guide and members of a tour group an interviewer and an interviewee a reporter and a tourist two friends
## Listen for relationships
To listen for a relationship,you need to pay attention to how people talk to each other (e.g.,friends usually call each other by first names) and some particular questions in the conversation (e.g.,"Could I have the bill,please?" tells us that the speaker is a customer in a restaurant). ค 3 Listen again and complete the sentences with the correct words.
1 In Conversation 1,the woman is wearing colours. It took her a long time to do her hair and make-up,and to get She is going to meet her soon.
2 In Conversation 2,Carla advises Li Mei to change her This is because the weather is and they will be outside for a long time.
3 In Conversation 3,the people are enjoying the show
ก 4 Listen again and make a list of each festival's activities.
- Chinese Lantern Festival:
- Coming-of-Age Day:
- Rio Carnival:
5 In pairs,discuss which of these festivals attracts you the most and why.
EXAMPLE
A: I think the Rio Carnival would be the most exciting. After all,as you know,I love to dance!
B: I love dancing,too,but I'm not sure l'd enjoy it in such hot weather.
A: So which festival do you like best?
B: I like ..
## Pronunciation
R1 Listen and read aloud the words or phrases to your partner. Pay attention to the change in the pronunciation of the bold letters.
1 duty,education
5 last year
2 use,usually
3 news,newspaper
4 is,issue
8 as you see
2 Listen to the following sentences,paying attention to the consonants in bold. How do their pronunciations change when they are read in the sentences?
1 Did you enjoy the holiday?
2 Miss,congratulations on becoming an adult!
3 It'll be too tiring to walk or dance for a long time in those shoes.
4 I was hoping to hear that you had a great time throughout.
5 Children then take part in Easter egg hunts to find the eggs and win prizes.
6 In Mexico,the Day of the Dead is celebrated between October 31st and November 2nd.
Discuss the differences with your partner. Then listen and repeat.
## Discover the reasons for festivals and celebrations
1 Before you read,discuss these questions in groups.
1 What festivals do you celebrate with your family each year?
2 Why do you think people celebrate different festivals?
(1)) 2 Read the text and find out the answer to the question in the title.
## WHY DO WE CELEBRATE FESTIVALS?
Festivals are celebrated all around the world. They have a wide range of origins,such as the seasons of the year,religions,famous figures,and important events. Every festival has its different customs and unique charms. However,no matter how different they may seem,all over the world,the spirit of sharing joy,gratitude,love,or peace is common in all festivals.
Of all the traditional festivals,the harvest festival can be found in almost every culture. This important agricultural festival takes place after all the crops have been gathered in. People celebrate to show that they are grateful for the year's supply of food. In ancient Egypt,the harvest festival was celebrated during the springtime - the Egyptian harvest season. It featured a parade and a great feast with music,dancing,and sports. Today,in some European countries,people decorate churches and town halls with flowers and fruit,and get together to celebrate over a meal. During the Mid-Autumn Festival in China,families gather to admire the shining moon and enjoy delicious mooncakes.
Customs play a significant role in festivals,but sometimes they can change over time. With the development of modern society and the spread of new ideas,some traditions may fade away and others may be established. One example is the typical Chinese Spring Festival custom of lighting firecrackers to drive away the evil spirits and celebrate the new year. Nowadays,many big cities have given up this custom in order to avoid air pollution. Another example is Halloween,which slowly became an exciting festival for children,in spite of its religious origins. Festivals are becoming more and more commercial,with businesses taking advantage of the celebrations. Online shopping websites and social media apps have made it much easier for the public to spend more on gifts for their loved ones. Although some believe festivals should not be commercialised,others believe the increase in spending
is good for the economy and public happiness.
Festivals are an important part of society. They reflect people's wishes,beliefs,faiths,and attitudes towards life. They are occasions that allow us to relax and enjoy life,and forget about our work for a little while. They help us understand where we came from,who we are,and what to appreciate. And if you study festivals carefully,you may be surprised to find that different cultures actually have a lot in common after all.
Identify the main idea of a paragraph
Identifying the main ideas of paragraphs is necessary when analysing a text. Most paragraphs will have a "topic sentence" that tells you the paragraph's main idea. It is often the first sentence,but sometimes it is found elsewhere in the paragraph.
4 In pairs,discuss the following questions.
1 What do most festivals seem to have in common?Why do you think people around the world find these things important?
2 How do you feel about festival customs that have already faded away?
3 What is the writer's attitude towards the commercialisation of festivals?
5 Complete the following passage using suitable words from the text. Be sure to use the correct forms.
Today's festivals have a wide of origins,including the seasons of the year,famous,important events,and religions. The festival is one of the most popular festivals and is celebrated in many cultures. Customs play a role in festivals,but they can change over time. For example,some Chinese cities no longer allow firecrackers during the Spring Festival,as they can increase air pollution. These days,festivals are becoming more with people spending more money on gifts. Festivals people's wishes,beliefs,faiths,and attitudes towards life. They are to spend time with family,and to relax and enjoy life.
## Discovering Useful Structures
## Describe festival activities
1 Read the sentences below and discuss the functions and meanings of the italicised -ing form. Find more examples from the unit.
- These lanterns are amazing.
- During the Mid-Autumn Festival in China,families gather to admire the shining moon and enjoy delicious mooncakes.
- Families celebrating the Lunar New Year can enjoy exciting dragon dances and carnivals together.
2 Read the following messages posted by some exchange students on an Internet forum. Underline the -ing form used as the attribute or the predicative.
| Totror | Discussion: Which festival is the best?|
| :---: | :---: |
| Sunnyli | $\begin{array}{l}\text { Rio Carnival!I spent a really fun day there with my friends. It was great } \\ \text { fun walking along the streets,enjoying the relaxing atmosphere!The } \\ \text { performances were just amazing. }\end{array}$ |
| $\begin{array}{l}\text { Today 9:11 am } \\ \text { Vincent1119 }\end{array}$ | $\begin{array}{l}\text { The Spring Festival in China,especially the dinner on the Lunar New } \\ \text { Year's Eve!All family members get together. And I get lucky money in } \\ \text { red envelopes from my parents and relatives,so it's always an exciting } \\ \text { time for me. }\end{array}$ |
3 Complete the passage with the appropriate -ing form.
La Tomatina is a festival that takes place in the Spanish town Buñol every August. I think many food festivals are because people are just eating. However,this festival is because people don't actually eat the tomatoes. Instead,they throw them at each other!The number of people part in this tomato fight can reach up to 20,000,and it is a very fight that lasts for a whole hour. The thing is how clean Buñol is after the tomatoes are washed away after the fight. This is because the juice from tomatoes is really good for making surfaces clean!
## Listening and Talking
## Talk about festival experiences
त1 Song Lin and Max are talking about a recent festival experience. Listen to their conversation and answer the questions.
त. 2 Listen again and tick the phrases that Max or Song Lin uses.
## Expressing feelings and emotions
$\begin{array}{lll}\text { O It was fantastic!} & \text { How wonderfu!} & \text { How exciting!} \\ \text { That's amazing. } & \text { It was great fun!} & \text { It's very exciting. } \\ \text { O It was great to } . . & \text { I'm really happy that ... } & \text { I'm pleased to ... }\end{array}$
3 Read the conversation below and underline the phrases that express feelings about festivals. Role-play the conversation with your partner.
Joe: Did you enjoy the holiday,Song Lin?
Song Lin: Oh yes,it was great,thanks!The food,the parades,and the beautiful fireworksit's always exciting for me. It's good to spend time with my family,too,although it can get a bit boring in my hometown after a while. How about you?
Joe: Well,this was my first Chinese New Year. I loved watching the traditional performances,and I was invited to lots of delicious meals. But,to be frank,the fireworks going off throughout the night were really annoying.
Song Lin: Oh,well,yes,I can see your point there!But it's all part of the tradition to frighten away the evil spirits.
Joe: $\quad$ Yes,well,there seemed to be a lot of them in my area!Anyway,except for that,everything was fine. I'm really looking forward to the next festival.
4 Share a recent festival experience with your partner and tell him/her how you felt about the festival and why.
## Write about your festival experience
4()) 1 Read the diary entry and answer the questions.
## MY AMAZING NAADAM EXPERIENCE
I experienced the Naadam Festival in China's Inner Mongolia
Autonomous Region for the first time this year. The festival falls on the fourth day of the sixth month of the lunar calendar,usually lasting for three days. Naadam means "games" in Mongolian,and it is represented by three events: horse racing,wrestling,and archery,which are all so exciting to watch!
On the first day,I set off to the games early with my friend Burin. I saw a lot of people wearing fancy Mongolian robes. Some were feeding their horses,some were practising archery,and others were chatting or taking photographs. Burin told me that Mongolians travel every year from near and far to attend the festival,just as their ancestors had done for centuries.
After the opening ceremony and some amazing performances,the wrestling competition began. Mongolian wrestling is different from the wrestling in the Olympic Games. There are no rounds,and wrestlers are not separated by weight. The wrestler loses if any part of his body above his knee touches the ground. After singing some songs,the competitors danced onto the green field,waving their arms in the air as if they were eagles. I was quite moved by their show of strength and grace.
I absolutely enjoyed the archery,too,but the horse races were my favourite part. However,I was surprised to see that the riders were boys and girls!I heard it is because children are lighter and the horses can run faster and farther. At first,I was a little worried about the children's safety,but Burin said,"Don't worry. They've been riding horses all their lives. They'll be just fine." That was the moment I started to understand why people say "Horses are at the heart of Mongolian culture"....
I'm finally back home now,feeling really tired,but celebrating Naadam with my friend was totally worth it. He invited me back for the winter to stay in a traditional Mongolian tent and eat hot pot. I can't wait!Opening Paragraph:
State the topic (e.g.,where,when,and with whom you celebrated the festival,and also your main feeling).
## First Body
Paragraph:
Describe the start of the festival and the surroundings.
Second Body Paragraph:
Describe in detail the festival activities.
Third Body Paragraph:
Describe in detail the festival activities.
Closing Paragraph:
Give a brief summary of the experience. 1 What does "Naadam" mean?Which events does it include?
2 What Naadam Festival customs did you learn about?
3 What in your opinion is the most impressive thing about the festival?
4 What else would you like to know about the festival and the writer's experience?
2 Study the organisation and language features.
1 Read the sentence patterns below and use them to rewrite the opening sentence of the article.
- This was my first time spending ... and it was an enjoyable and exciting experience for me.
- I'll never forget ... because ...
- l'll always ... because ...
2 Underline the sentences that describe the writer's feelings and emotions.
3 Use what you have learnt to write about a festival or a celebration you have experienced recently.
1 Make notes of your ideas in the table and then write your draft.
Outline
The name of the festival/celebration:
Main idea of each paragraph
Details
Feelings
1 The topic and my feeling
2
How I prepared for the festival/celebration
3
The festival/celebration activities
4
A summary of my festival/ celebration experience
2 Exchange drafts with a partner. Use the checklist to give feedback on your partner's draft.
$\checkmark$ Is the writing well-organised?
$\checkmark$ Is there an opening sentence in the first paragraph?
$\checkmark$ Does each paragraph include the necessary details?
$\checkmark$ Does the writer describe his/her feelings and emotions?
$\checkmark$ Does the writer use the -ing form correctly in the writing?
$\checkmark$ Are there any grammar,spelling,or punctuation errors?
3 Get your draft back and revise it.
4 Put up your writing in your classroom or read it to the class.
## Assessing Your Progress
1 Fill in the blanks with the correct forms of the words in the box.
$\begin{array}{llll}\text { march } & \text { brief } & \text { media } & \text { congratulation } \\ \text { moment } & \text { roast } & \text { lunar } & \text { represent }\end{array}$
significant
fancy
1 The beautiful flowers on cherry branches are the most sign of the arrival of spring.
2 In December,many companies have dress parties to celebrate the end of the year.
3 The female soldiers forming the biggest group in the National Day parade attracted a lot of interest from the
4 The most common colour you see during the Spring Festival is red because red life,wealth,and good luck in Chinese culture.
5 The newly married couple received dozens of letters of from their friends.
6 If you are the best man at a wedding,it is best to keep your speech simple and
7 She will never forget the when she saw all the audience clapping their hands and cheering after her performance.
8 Falling on the 9th day of the 9th ___ month,the Chongyang Festival is also called the Double Ninth Festival. It is a day for people in China to show respect to seniors.
9 To be frank,this ___ chicken tastes horrible.
## Circle the correct word in each sentence.
1 Taking part in the celebration was a satisfying/satisfied experience for us.
2 Most of the people were amazing/amazed by the lion dances during the new year celebrations.
3 The child seemed annoying/annoyed when he found his gift broken.
4 The man dressing/dressed in a ghost costume looks quite frightening/frightened.
5 Kate was surprising/surprised by the sight of the Kongming lanterns flying/flown up into the sky.
## @REFLECTING
(- Which festival(s) mentioned in this unit was/were new to you?
๑ Which festival did you find the most interesting?Why?
( Do you wish to add one extra holiday in China?What would you like to celebrate?Why?
๑. Which part of this unit did you find the most difficult?
๑ Overall,I thought this unit was interesting useful so-so difficult.
## *Project 1: Give a presentation about a festival in China
In groups,choose one festival in China,research it,and then give a presentation to the class. Use the example outline below to help you.
## Facts about the Zhuang People's Folk Song Festival
Time: On the third day of the third month of the Chinese lunar year
Place: In the Guangxi Zhuang Autonomous Region
Ethnic minority group: The Zhuang people
Festival activities: Sing songs,...
Local festival food: five-coloured sticky rice,duck in lemon sauce,...
## *Project 2: Make a poster about festival food recipes
In groups,collect some festival food recipes. If possible,learn to cook the food at home and then make a poster with pictures for the class. Use the example below to help you.
## THE LABA FESTIVAL AHD LABA PORRIDGE
The Laba Festival usually occurs about a month before the Chinese Spring Festival. The festival's traditional food is Laba porridge.
## Possible ingredients and steps:
15 Chinese dates
5 peeled longan fruit
3 walnuts
$1 / 2$ cup of sticky rice
$1 / 4$ cup of millet $1 / 4$ cup of peanuts
$1 / 4$ cup of red beans
1/4 cup of mung beans
1/4 cup of raisins
1
Wash the rice,millet,peanuts,red beans,and mung beans,and soak them in 2 cups of water overnight. 2
Put these ingredients and the dates into a pot. Pour in 6 cups of water,and bring the pot to a boil before simmering for one and a half hours over low heat.
3
Wash the raisins,walnuts,and longan fruit,and then put them into the pot with some sugar before simmering for another 30 minutes. 4
Turn off the heat and then wait for 10 minutes before serving the porridge.
## The Lantern Festival
The Lantern Festival is one of the most important traditional festivals in China. The custom of joyfully celebrating the Lantern Festival began in ancient times and still has great influence on Chinese people today.
## BEFORE YOU WATCH
How much do you know about the Lantern Festival?Look at the table below and try to fill in the blanks.
## WHILE YOU WATCH
Complete the table with the correct words.
Date
Festival activities - On the
- The day of the month of the lunar year day of the Chinese New Year celebrations
1 Looking at lanterns
- Places to see the lanterns:
- Most cities will
## Guessing riddles
Riddles are often written
## Eating yuanxiao or tangyuan
- Different fillings are stuffed into balls of sticky
- The symbolises reunion,harmony,and
Interesting events in history
- The fire dragon dance in Puzhai Town in Province has a history of over years.
- The Lantern Festival was known as the Chinese past. It was a good day for
Day in the
- Many ancient poets wrote poems about the festival,which describe happy and also the stories of young
## AFTER YOU WATCH
Work with a partner. Use the notes above to help you give a brief introduction to the Lantern Festival.
## UNIT
MORALS AN VIRTUES
The best portion of a good man's life is his little,nameless,unremembered acts of kindness and of love.
-William Wordsworth
$\tau$
(i)
## Nindness
## GENEROSITY
In this unit,you will
1 read about a compassionate doctor,Lin Qiaozhi.
2 listen to discussions about moral dilemmas and the power of kindness and talk about the virtues that we cherish.
3 write a review of a moral fable.
4 explore the importance of moral values and virtues.
## Look and discuss
1 What do you think the teenagers are doing?
2 Can you list some virtues that are admired in every culture?
## Listening and Speaking
## Talk about moral dilemmas
1 Before you listen,look at the definition and the picture below. Then discuss the questions with your group.
A moral dilemma is a situation in which you have two or more difficult choices to make. If you choose one,you might get in trouble for not choosing the other(s).
1 What moral dilemma is the boy in the picture facing?
2 Have you ever faced a moral dilemma or heard of someone who did?Describe it.
A. 2 Listen to the conversation and complete the table to describe the moral dilemma that Jane is talking about.
A. 3 Listen again and decide whether the statements are true $(T)$ or false $(F)$.
1 Jane is eager to share the magazine article with Luke.
$\mathrm{T}$
2 Luke doubts that young people face moral dilemmas all the time.
3 Jane admires what the girl in the story did.
4 Luke doesn't believe anybody would do what the girl in the story did.
5 Jane wonders how the girl became a doctor later. (2)
Listen for attitudes
When you listen,you should pay attention not only to the words but also to HOW the speaker is talking. If people strongly disagree with something,they might exaggerate their intonation. If you hear people speaking very quickly or loudly,they may be excited or angry. If they speak slowly or stop often,they may be confused or not sure about what they are saying. ก 4 Listen to the conversation carefully and answer the questions.
1 What did the girl do to help the student?
2 What was the girl's name?What was she famous for?
3 What did Jane say about the girl's life?
5 Think about what you would do if you were ever faced with the same situation as the girl. Then share your thoughts with your group,and explain the reasons for your choice.
## EXAMPLE
A: If I were ever in a situation like the girl faced,I think I would choose to ...
B: Why?Are you sure?
A: Because I think that $\ldots$ is most important. What about you?
B: I think I would ...
## Pronunciation
A1 Listen to the conversations and match each rising intonation with its meaning.
1 A: You know Angela?
B: $\ni$ Yes.
2 A: You volunteer at the local shelter,$j$ don't you?
B: Yes. It's a great experience.
A Having more to say.
B Hoping the other person will continue to talk.
C Asking for confirmation.
3 A: Did you hear that James helped an old woman who fell down while crossing the street?
B: Yes. It was a bit $\jmath$ dangerous,but he got all the cars to stop.
2 Read the conversation and mark $\jmath$ in the correct places. Then listen to the recording to check. Notice the meaning of each rising intonation.
Peter: It's a nice day,isn't it?
Nick: Yes,but it looks gloomy to me.
Peter: Why?What happened?
Nick: You know Tony?
Peter: Yes.
Nick: He asked me to write an essay for him. But I don't think it's the right thing to do. Do you?
Peter: No,it's not.
Nick: But l'm afraid to lose him as a friend.
Peter: Well,good friends should help each other. But it doesn't mean you should help him cheat!Why not help him with his schoolwork?
Nick: Good idea!
## Learn to make choices in life
1 Before you read,think about this question and share your ideas with your partner: What are some important life choices?
4)) 2 Read the text about Lin Qiaozhi and then answer the following questions.
1 What hard choices was Dr Lin faced with throughout her life?Underline the sentences about these choices.
2 What were the results of her choices?
3 What does the author want to illustrate by mentioning Dr Lin's life choices?
## MOTHER OF TEN THOUSAHD BABIES
Lin Qiaozhi (1901-1983)
"Life is precious. ... To a person nothing is more precious than their life,and if they entrust me with that life,how could I refuse that trust,saying I'm cold,hungry,or tired?" These words of Dr Lin Qiaozhi give us a look into the heart of this amazing woman,and what carried her through a life of hard choices.
As a five-year-old girl,Lin Qiaozhi was deeply affected by her mother's death. At age 18,instead of following the traditional path of marriage like the majority of girls,she chose to study medicine. "Why should girls learn so much?Finding a good husband should be their final goal!" her brother complained,thinking of the high tuition fees. She responded,"I'd rather stay single to study all my life!”
Eight years later,Lin graduated from Peking Union Medical College (PUMC) with the Wenhai
Scholarship,the highest prize given to graduates. She immediately became the first woman ever to be hired as a resident physician in the OB-GYN department of the PUMC Hospital. Within six months,she was named a chief resident physician,a position that usually took four years to achieve. After working for a few years,she was sent to study in Europe and then,in 1939,in the US. She greatly impressed her American colleagues,who invited her to stay. Dr Lin,however,rejected the offer. She wanted to serve the women and children at home.
In 1941,Dr Lin became the first Chinese woman ever to be appointed director of the OB-GYN department of the PUMC Hospital,but just a few months later,the department was closed because of the war. Thinking of all the people still in need of help,Dr Lin opened a private clinic. She charged very low fees to treat patients and often reduced costs for poor patients. At times she was even seen riding a donkey to faraway villages to provide medical care. The new People's Republic of China saw Dr Lin Qiaozhi playing a key role. In 1954,she was elected to the first National People's Congress and,over the next several decades,she held many important positions. Her heart,however,was elsewhere. She was more interested in tending patients,publishing medical research on care for women and children,and training the next generation of doctors. "The OB-GYN department cares for two lives," she told new staff in her department. "As doctors,we should be responsible for the patients and treat them as our sisters."
Though Lin Qiaozhi never married,she was known as the "mother of ten thousand babies",having delivered over 50,000 babies in her lifetime. Dr Lin did not retire until the day she died,22 April 1983. Since she had no children of her own,she left her savings to a kindergarten and a fund for new doctors. And even as she lay dying,her final thoughts were for others. "I'm ready to go," she said. "Don't try to rescue me any more. Don't waste the medicine any more."
3 Read the text again and answer the questions. Use the facts and details from the text to support your conclusions.
1 What was the main principle guiding Dr Lin through the choices in her life?
2 What kind of person do you think Dr Lin was?
(4)
Draw conclusions
As you read,pay attention to facts and details mentioned by the author,and put them together to draw conclusions about the topic.
4 Complete the following sentences using suitable verbs from the text. Be sure to use the correct forms.
1 Many studies have shown that shy,passive children tend to be socially by their classmates.
2 She was so scared during the interview that she completely forgot how she should to the questions.
3 Many Americans about the sharp increase in the cost of health care and health insurance recently.
4 One of the advantages of energetic and positive young people is that they to show interest in their work and they are eager to learn.
5 The student union will hold a special meeting in January to someone to replace the secretary.
## Discovering Useful Structures
## Describe people's actions
1 Read the sentences below and discuss the function and meaning of each -ing form. Then find more examples from the unit.
1 ... her brother complained,thinking of the high tuition fees.
2 Thinking of all the people still in need of help,Dr Lin opened a private clinic.
3 The new People's Republic of China saw Dr Lin Qiaozhi playing a key role.
2 Complete the sentences with the correct forms of the verbs in the box.
feel want face smile return worry hear knock
1 that his wife had been injured in an accident,Mr Johnson hurried to the hospital.
2 During the operation,she sat in the waiting room for over an hour about him.
3 I saw her whispering something into his ear,obviously not to be heard.
4 He suddenly woke up at midnight when he heard someone at his door.
5 higher import and export costs,the company is looking for ways to survive.
$6 \quad$ from the North Pole,the traveller wrote a book about his experience and had it published the following year.
7 The child lay on her mother's lap,sweetly.
8 hurt by the rejection,she bit her lip and quietly walked away.
3 Read the following story and rewrite the underlined parts using the -ing form.
## Listening and Talking
## Talk about the importance of kindness
ค. 1 Listen to a radio show and answer these questions.
1 What is the name of the radio show?
2 What does "paying it forward" mean?
3 What does the guest want the listeners to do?
(1) Listen to the radio show again and fill in the blanks to complete the story.
I'm sure you've heard the famous country music song "Chain of Love". The song starts with a man who helps a lady whose car The lady wants to pay him,but he won't accept payment,instead telling the lady to just to another person. Later,when the lady stops at a café,she notices her waitress is pregnant and When the lady finishes eating,she pays for her meal with a . Then the lady walks out,the change and a note for the waitress. Her note tells the waitress to continue the chain of kindness. The song has a ending. The waitress goes home to her happy because of the kindness the lady showed her. Finally we find out that he is the man who first the chain of kindness!
3 Think of a story of showing or receiving kindness,either your own story or one that you have heard of. Then share it with your group. Here are some words and expressions that may help you.
## Telling a story
once upon a time long ago first of all then after that later finally so however although but - I remember this happened when I was ...
- I was on my way to ...
- I was sitting ... when ...
- It was a ... day/morning ...
- There were ... on the street ... (4)
Tell a story
When telling a story,you can start by saying what the story is about. Give the background to the listeners,including when and where it took place. Say what happened step by step and be sure to use correct tenses. Do not forget to use sequencing words or linking words. Finally,finish your story by saying why it is important to you or why you remember it.
## Share your opinions about a moral story
(1)) 1 Read the fable below and answer the questions.
1 What was the king's idea for teaching an important lesson to his people?
2 What was the response from most of the people?
3 What did the young girl think and do when she saw the coins?
## THE STONE IN THE ROAD
Once upon a time there was a king who often thought,"Nothing good can come to a nation whose people only complain and expect others to solve their problems." One day,he had an idea.
Early one morning,the king disguised himself and went to a local village. He placed a large stone in the middle of the main street and hid gold coins under the stone. Then he hid behind a huge maple tree and watched.
The first person down the street was a milkman with his cart. He crashed into the stone,spilling the milk everywhere. "What fool put this stone here?" he shouted. He picked himself up and angrily went away.
After a while,a group of women came along,each balancing a pot of water on her head. One woman tripped over the stone and her water pot went crashing to the ground. She picked herself up and limped away in tears. Neither she nor her friends thought about moving the stone out of the road.
The king watched all day as many people complained about the stone,but he found nobody making an attempt to move it. The king was in despair. "Is there no one in this village who feels any responsibility to keep their neighbours from harm?"
Just then,the king saw a young girl coming along. She was the daughter of a local farmer. She had been working all day and was very tired. But when she saw the stone,she said to herself,"This stone is a danger to anyone who comes down the street after dark. I'll move it out of the way."
The girl pushed the stone with all her might. After a great deal of effort,she finally succeeded in moving it to the side of the street. Imagine her surprise when she saw the gold coins where the stone had been!
Just then,the king stepped out from behind the tree. "Oh sir," the girl said,"does this gold belong to you?If not,we surely must find the owner,for he will certainly miss it."
The king said,"My dear,the gold is mine. I put it in the road and moved the stone over it. Now the gold is yours,because you are the only person who has learnt the lesson I wanted to teach my people." 2 This story presented different people's emotions and responses when they came across the same problem. Complete the table according to the story.
| Person | Experience | Emotion | Response |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| milkman | crashed into the stone | angry | went away |
| woman with water | | | |
| other villagers | | | |
| young girl | | | |
3 Work in pairs. Discuss the questions.
1 What do you think this fable is trying to tell us?Do you think the king was wise?Why or why not?
2 Can you think of times in your own life when you felt and acted like the girl or like the other people in the story?Give examples.
(1)
Write a review
The main purpose of a review is to give your opinion about a piece of writing. You should first give a short description of the writing,and then clearly state your opinion and your reasons.
4 Write a review of the fable. Use the outline below to help you.
Paragraph 1:
Basic information about the story
## Paragraph 2:
Your analysis of the story
Paragraph 3:
Your opinion about the story - What is the title of the story?
- What kind of story is it?- What is the main idea of the story?- What is the author's purpose?- Were the details of the story clear?- Do you think the story achieved its purpose?- What did you like about the story?- What did you not like about the story?- Would you recommend this story to others?
5 Exchange drafts. Use the checklist to give feedback on your partner's draft.
$\checkmark$ Does the writer give a short description of the story?
$\checkmark$ Does the description include the most important details of the story?
$\checkmark$ Does the writer give his/her opinion about the characters or their actions?
$\checkmark$ Is the review well-organised?
$\checkmark$ Does the writer use the -ing form as the adverbial in the review?
$\checkmark$ Are there any grammar,spelling,or punctuation errors?
6 Get your draft back and revise it. Then put your review up in the classroom.
## Circle the correct word in each sentence.
1 Jack stood in front of the class,completely forgetting/forgotten every word that he had prepared for his speech.
2 Seeing/Seen the tennis star leaving the court,the girl quickly picked up her camera and ran over to him.
3 They were very proud to see their son awarded/awarding the university scholarship.
4 When asking/asked about their work schedules,many people preferred more flexible work hours.
5 John watched the woman talking/talked to the air,thinking/thought that she might be crazy.
6 Impressed/Impressing with her fluent English,the manager offered Julie a job interview.
2 Complete the passage with the correct forms of the words below. Then answer the question: What is the author's attitude towards the doctors?
clinic complain majority staff response harm physician
According to a recent survey,the of doctors believed their incomes did not match how hard they worked. The survey found that about 50 percent of the doctors were not satisfied with their working conditions,especially those from hospitals in small towns.
A working in a large public hospital often has to see 100 patients per day. The researchers conducting the survey concluded that if hospitals and serving the general public received more support,it would help to keep their medical from leaving the profession,and therefore the public would continue to receive good health services.
In to a question about tensions between doctors and patients,some respondents that misleading media reports about doctors have greatly society,causing the public to distrust medical workers.
## REFLECTING
° My favourite story of this unit was because
๑- After studying this unit,I think is/are the most important of all virtues.
(๑) I found it to understand and use the grammar structures in this unit.
๑ I had some problems with
๑ I would like to learn more about
๑ Overall,I thought this unit was interesting thought-provoking so-so difficult.
## *Project: Make a poster to motivate others to practise virtues
1 In groups,brainstorm more virtues to add to the list below. Then discuss which of these virtues are most needed in our society today.
2 Make a poster to explain what virtue it is and to motivate people to practise it. Divide up the work among your group members.
1 Collect sayings or quotations about the virtue.
2 Analyse the sayings and group them in a logical way.
3 Look for or draw a picture to illustrate the virtue.
## THAHKFULHESS
Thankfulness is realising and appreciating what you have.
Be thankful,because you have more than others!
- If you see no reason for giving thanks,the fault lies in yourself. (Indian proverb)
- I had no shoes and complained,until I met a man who had no feet. (Indian proverb)
Be thankful,because you have been given much!
- If you can read this,thank a teacher. (Anonymous)
- When eating fruit,think of the person who planted the tree. (Asian proverb)
Be thankful,because it will shape your whole life!
- Be thankful for what you have;you'll end up having more. If you concentrate on what you don't have,you will never,ever have enough. (Oprah Winfrey)
## Confucius and Ren
The teachings of Confucius,one of the most respected teachers of ancient China,are still known and studied around the world today. Confucius identified the concept ren as the most important principle in life,a principle which is still relevant in modern society.
## BEFORE YOU WATCH
Complete each sentence with your best guess.
1 The teachings of Confucius have been an important part of Chinese culture for more than years
2 His teachings are all about the most basic of life.
3 Confucius thought that was the most important moral principle.
4 According to Confucius,this highest principle begins with love for
5 Confucius said,"Whatever you don't like done to yourself,don't
## WHILE YOU WATCH
## Check your answers in Before You Watch.
2 Circle the correct words to complete the sentences below.
1 Confucian thought is still greatly valued in China and in other East/Southeast Asian countries.
2 If students really understood Confucian ideas,it could change society/their lives.
3 In English,only a few/many different words can be used to translate Confucius's highest moral principle.
4 Mencius/Zigong explained this principle as "loving one's parents,loving people,loving everything in the world".
5 Confucius taught Zigong that the one single concept to take as a guide for all actions in life is happiness/fairness.
## AFTER YOU WATCH
Work in groups. Discuss the questions.
1 In what ways do you think Confucian thought still influences education and society in China?
2 Do you think that your life would change if you understood and practised ren every day?
3 How would the Confucian idea of fairness change society around you if everybody started practising fairness in everything?
## UNIT
in the diversity of its people.
In this unit,you will
1 read a travel journal about San Francisco and discover its Chinatown.
2 listen to an interview about American food and talk about Chinese ethnic minority cultures.
3 write a cultural introduction to your city or town.
4 explore the diverse cultures of the world.
## Look and discuss
1 Where do you think this photo was taken?
2 What can you see in the photo?How would you describe it?
## Listening and Speaking
## Talk about the origins of American food
1 Look at the photos of American food and match them with their names. Then guess which countries' cuisine influenced the food's invention.
hamburger fortune cookie
gumbo nachos
2 Listen to a radio interview about American food and check whether your answers to Activity 1 are correct.
ค. 3 Listen to the interview again and decide whether the statements are true $(T)$ or false (F).
1 No food was ever invented in America.
2 Hamburgers were invented in Germany.
3 Nachos were invented for Americans by a foreigner.
4 Every Chinese restaurant in America has fortune cookies.
5 American cooking often mixes things from around the world to make something completely new. A 4 Listen to the interview again and complete the notes below. (4)
Take notes
When taking notes,just write down the key words,such as names,dates,and numbers. They will help you remember things later on. To save time and space,omit all articles (a,an,the) and use abbreviations. For example,use“N.O." for New Orleans,“bc” for because,"yrs" for years,"+" for and,and so on. Names of food
Hamburger
Nachos
Fortune cookie - $\mathrm{mix}$ of $+$ chips covered in cheese
- made by cook for
- invented in about
- a piece of with
- spicy stew
- invented in N.O. about
- mixes yrs ago on it inside cookie
Notes
cultures
yrs ago,+ Spanish cooking
5 Imagine you are invited to a potluck dinner at an American friend's house. Work in pairs and discuss what special dish(es) you will take. The following questions may help you.
1 What food/snack from which area/ethnic group will you bring?
2 How is the food prepared and what is it made of?
3 How is this food special?
## Pronunciation
A 1 Listen to the passage about Native Americans. Mark the pauses that you hear. The first sentence has been done for you.
No one really knows exactly | when the first people arrived | in what we now know as California. || It is likely that Native Americans moved to California at least fifteen thousand years ago. Scientists believe that these settlers crossed the Bering Strait by a land bridge which existed in prehistoric times. In the 16th century,the native people suffered greatly after the arrival of the Europeans. Thousands of them were killed or forced into slavery. In addition,many died from the diseases brought by the Europeans. However,some survived these terrible times,and today there are more Native Americans living in California than in any other state of America.
2 Listen again and repeat.
## Learn about a city that has diverse cultures
1 Find San Francisco on the map and discuss this question in groups: What do you know and want to know about the city?
(1)) 2 Scan Li Lan's travel journal and find out the places that she has been to or plans to visit.
Today was my first day back in San Francisco after camping in the Redwood Forest and visiting the wine country of Napa Valley. I have to admit that it definitely feels good to be back in the city again. And what a city - city that was able to rebuild itself after the earthquake that occurred in 1906. There are so many beautiful old buildings-many sitting on top of big hills,offering great views of the city,the ocean,and the Golden Gate Bridge.
My hotel is near downtown,in the Mission District,one of the oldest parts of the city. Many of the people living here are from Mexico or Central America. This district used to be a poor area of town,but is now a centre for art,music,and food. In fact,an art movement called the "Mission School" started here. It's influenced by graffiti art and comic art. I walked around looking at the street art for a few hours. It was quite modern and lively. Afterwards,I ate some delicious Mexican-Chinese noodles from a food truck. A real mix of cultures here!
In the afternoon,I headed to a local museum that showed the historical changes in California. I learnt that America got California from Mexico in 1848. In the same year,gold was discovered near San Francisco,which started a gold rush. Over 300,000 people came from all over the world to seek their fortune,and San Francisco quickly became a big city. Many Chinese arrived during this period. To earn a living,some opened up shops and restaurants in Chinatown. Many others found jobs on farms,joined the gold rush,or went to build the railway that joined California to the eastern region of the country. The museum did a really good
job of showing how America was built by immigrants from different countries and cultures. When these immigrants left their countries,they carried a bit of home in their hearts,and built a new home here. $\longrightarrow$
$\stackrel{1}{2}$
$\sum$
$\stackrel{1}{3}$
This evening,I went to Chinatown. There were so many good cafés and restaurants to choose from I selected a Cantonese restaurant that served its food on beautiful china plates. What great food!
That's enough for today. Tomorrow evening,I'm going to a jazz bar in the Richmond District. Can't wait!
3 Read the travel journal again and complete the timeline of Li Lan's trip.
Before coming to San Francisco
4 Answer the questions using information from the travel journal.
1 What impressed the writer first about San Francisco?
2 What is so special about the Mission District?
3 Why did Chinese immigrants go to San Francisco?
4 What examples of ethnic diversity can you find in the journal?
## Discuss these questions in groups.
1 Have you ever been to a place that has a diverse culture?What do you think brought about the cultural diversity?
2 What are the benefits and challenges of cultural diversity?
6 Complete the following sentences using words from the travel journal. Be sure to use the correct forms.
1 Over 3,000 lives were claimed in the 1906 San Francisco earthquake and the series of fires that after it. More than $80 \%$ of the city was destroyed,including much of the area. One area that was hit the hardest was the Mission
2 Yunnan Province is one of the most diverse provinces that I have ever been to. Apart from being the kingdom of flowers,it is home to many ethnic minority groups. After visiting the southern part of Yunnan,I have to that it is the best of China to escape the cold winter.
## Discovering Useful Structures
## Understand the use of ellipsis in English
1 Read the following sentences and find the words that have been omitted to avoid repetition.
1 A: Oh,I just love nachos!Mexican corn chips covered in cheese!
B: Me,too.
2 A: So it's the food of many different cultures,all in one dish?
B: Exactly.
3 A real mix of cultures here!
4 Can't wait!
2 Rewrite the sentences by taking out the unnecessary parts.
1 You mean you are planning a trip across the Atlantic for a holiday?It sounds like a good idea.
2 He tried to solve his financial problems,but he couldn't solve the problems.
3 If it is necessary,''ll finish my report on American poetry as soon as it is possible.
4 Are you going to dress like that?Wearing a dress might be better than wearing jeans and boots.
5 Some wild mushrooms are poisonous and some are not poisonous.
6 I really like that paper folding book,and my son likes that paper folding book,too.
3 Read the conversation. Find out which words have been left out.
Justin: Linlin,I'm going to Guizhou Province next month. I'm super excited!Any recommendations for places to visit?
Linlin: Wow,cool!Guizhou is a province with a lot of cultural diversity. Places to visit ... well,definitely the Huangguoshu Waterfall first.
Justin: What's special about the waterfall?
Linlin: Well,have you ever heard of the Chinese novel Journey to the West?
Justin: Yes,I have. Why?
Linlin: In the back of the waterfall,you will find a cave,which is the home of the Monkey King.
Justin: Really?Cool!I'll definitely check it out.
Linlin: And I strongly recommend the ethnic minority villages. You'll find Chinese culture is much more diverse than you thought.
Justin: Sounds great,thanks!
## Listening and Talking
## Talk about ethnic minority cultures in China
1 Look at the photos below and guess what ethnic minority groups might be talked about.
ค2 Justin met a new friend while travelling in Guizhou. Listen to their conversation and complete the summaries below.
Part 1
Justin and watched some people play the The instrument has a history of over years and it is even mentioned in the oldest collection of Chinese poetry. Then they watched the . Justin wanted to buy some hand-made accessories as souvenirs. He was told that the price will depend on the percentage of
## Part 2
They will go to a pretty village called They will see the and the They may also see a performance of
3 Work in groups. Imagine Justin is telling some friends about his trip to Guizhou. One of you is Justin and the rest of you are his friends. Ask Justin questions about his trip and experience. The following expressions may help you.
Showing you are listening
| Exactly!| You're right!| I see. | I know what you mean. |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| No way!| You're kidding!| Really?| I can't believe it!|
| Great!/Super!| That's interesting. | Wow!| Tell me about it!|
## Describe a place with distinctive cultural identity
4)) 1 Read the introduction to the Chinatown in San Francisco and answer the questions.
1 What are the famous tourist sites in the Chinatown of San Francisco?
2 What else can you do there?
## WELCOME TO CHINATOWN!
The Chinatown in San Francisco is the biggest in America,and also the oldest. It is a very popular tourist draw that receives more visitors each year than even the Golden Gate Bridge. The climate is mild all year round,meaning it is always a good time to visit.
Historically,Chinese immigrants settled in the area during the railroad construction and gold rush period. What started as a residential area for Chinese immigrants then turned into a centre for Chinese culture. The majority of residents in Chinatown are still ethnic Chinese,many of whom do not speak English fluently. This allows visitors to experience a real taste of China.
Most of Chinatown was destroyed in the 1906 earthquake,but the city and residents rebuilt it,taking care to include lots of Chinese architecture. Traditionally,visitors enter Chinatown through the legendary Dragon Gate,which was built using materials donated from China. Other famous sites include the Tin How Temple and Bank of Canton,to name but a few.
Visitors can also spend hours just exploring the interesting sights,smells,and sounds of China. Portsmouth Square is also a key site,being the centre of Chinatown. It has a long and famous history,with the author Robert Louis Stevenson having spent much time writing there. These days,the square is a great place to see traditional Chinese culture in real life,such as games of Chinese chess,and people practising tai chi.
The stores in the Chinatown offer a unique range of souvenirs,goods,and clothing. All kinds of traditional Chinese herbal medicine can be found,too,and there are Chinese tea stores,where visitors can taste and buy varieties of Chinese tea.
But perhaps what many tourists and San Franciscans treasure most about Chinatown is its food. There is Chinese food to suit everyone's taste,with traditional dishes from all over China.
Chinatowns are an important part of the diverse culture of the USA. They allow visitors who have never been to China to experience traditional Chinese culture first hand.
## Study the organisation and language features.
1 What information is included in the introduction?Tick the items that are mentioned.
location
population
famous figures
tourist attractions climate
ethnic groups
legends/stories
businesses and
industries history
languages
famous food/drink
other names for the city/town
2 Underline the sentences that are used to describe the items above.
3 Use what you have learnt to write an introduction to your city/town.
1 In groups,brainstorm as much information as possible about your city/town and its culture. Then write an outline of your introduction.
2 Write an introduction to your city/town. The following phrases and expressions may help you.
- is located in/on
- is divided up into
- is ... in size
- the most popular/greatest/largest - has a history of.. years
- has a population of
- is home to ... ethnic groups
- popular festivals/foods/tourist sights include ...
3 Exchange drafts with a partner. Use the checklist to give feedback on your partner's draft.
$\checkmark$ Is the city/town introduction clear?
$\checkmark$ Is the information specific and are the facts correct?
$\checkmark$ Does the city/town introduction contain all the important information?
$\checkmark$ Is the information arranged in a good order?
$\checkmark$ Does the passage have a proper beginning and conclusion?
$\checkmark$ Are there any grammar,spelling,or punctuation errors?
4 Get your draft back and revise it.
4 Put up your introduction in your classroom or read it to the class.
## Assessing Your Progress
1 Complete the following sentences using the correct forms of the words in the box.
$$
\begin{aligned}
& \text { admit claim diverse downtown fold mild } \\
& \text { mission occur select settle suit super }
\end{aligned}
$$
1 The population of this district is quite here.,with immigrants from many countries
2 When Columbus landed in the New World,he the land for Spain.
3 The famous bar street is located in the area of the city. A large number of restaurants and cafés have opened along the street since 2000.
4 I don't think a man's main in life is to earn as much money as possible. My dream is to live a more meaningful life.
5 It was confirmed that a earthquake at 6:37 p.m. on Saturday evening in Hebei Province,causing no damage.
6 She really did a job. I must that she is the best designer I have ever met.
7 We have a range of gifts to make it quicker and easier for you to all tastes,and we also have a programme that can from our products.
8 He arranged all the books in a neat row and then put his clothes away.
2 Simplify the underlined sentences using ellipsis. Then role-play the conversation. Pay attention to how ellipsis is used.
A: We've got to write a paper on music in the US. Do you have any ideas about what kinds of music are popular there?I only know hip-hop seems popular.
B: Yeah. Hip-hop is generally popular in the US,but different parts of the country listen to different types of music.
A: Can you give an example of this?
B: Well,for example,in southern US,they have their own culture.
A: So,do you mean they have something like a subculture?
B: Right. The history in that region has given them a different identity.
A: Country music is popular there,right?
B: Well. Not only is country music popular in the south,but blues,rock and roll,bluegrass,and jazz are popular in the south as well.
A: Ah,of course they are popular!I forgot about New Orleans jazz!
## QREFLECTING
(• What did you learn about cultural diversity in this unit?
๑ What else would you like to know about different cultures around the world?
@ What was the most interesting thing that you learnt in this unit?
๑ What problems did you have in learning this unit?
๑ Overall,I thought this unit was interesting useful so-so difficult.
## *Project: Create a travel brochure
Imagine you are working in a Chinese travel agency and you are supposed to create a travel brochure for foreign travellers so that they can experience diverse cultures in China.
1 In groups,discuss these questions.
1 How long will the travellers stay in China?
2 What kind of activities will they be interested in?
3 Which provinces or cities should be introduced?What cultures are these places famous for?
4 What attractions do these places have?
2 Search online for more information and then write out your travel brochure. Use the information from this unit and the example below to help you.
## New cultures,new experiences
Welcome to the United States,one of the most culturally diverse countries in the world!Here,you can visit historical attractions and learn more about the cultural traditions of different ethnic groups.
## African Americans
Tennessee: Visit the National Civil Rights Museum to listen to first-hand accounts of life before the American Civil War.
Louisiana: Explore Tremé,New Orleans,the oldest African American neighbourhood in the United States,and enjoy amazing performances in the hometown of jazz music.
## Asian Americans
California:
- Explore the oldest Chinatown in North America,one of the most popular tourist attractions in the city of San Francisco.
- Take a boat ride to Angel Island and visit the state park to find out more about the experiences of the first Asian immigrants to the United States.
## Native Americans
Washington: Make a trip down to the National Museum of the American Indian,the first national museum that showcases Native American heritage.
New Mexico: Learn more about Native American arts,crafts and traditions by participating in the Gathering of Nations,the largest gathering in North America with representatives from hundreds of tribes.
3 Present your travel brochure to the class. Then vote on which trip your class would like to take.
## BEFORE YOU WATCH
Match each word or phrase with the correct definition. You may use a dictionary to help you.
1 global village
2 multiculturalism
3 resident
4 ethnicity
5 cherish
6 Hispanic
7 random
8 melting pot the fact of belonging to a particular race without a set plan or pattern used to describe a world where everything is connected someone who lives in a place a place where people of different backgrounds live together accepting and including people from different cultures treat with care and love a person whose first language is Spanish,especially one from Latin America living in the US
## WHILE YOU WATCH
Complete the sentences with the correct words.
1 The residents of Queens come from different nations.
2 Almost different languages are spoken in Queens.
3 The family of one woman who was interviewed has been Puerto Rican for more than generations.
4 A 2001 study measured diversity based on how likely it is for randomly selected people to have different backgrounds.
5 This survey can prove that Queens is the place in the US.
## AFTER YOU WATCH
Discuss the following questions in groups.
1 Do you think it would be easy to live in Queens if you were an immigrant?Why or why not?
2 Do you think China is a diverse country?Why or why not?
## UNIT
SPACE EXPLORATION
Mystery creates wonder and wonder is the basis of man's desire to understand.
-Neil Armstrong
## In this unit,you will
1 read about the development and value of space exploration.
2 listen to two interviews with astronauts and learn to talk about astronauts' life in space.
3 write an argumentative essay about the value of space exploration.
4 explore the mysteries of the universe and the achievements in space exploration.
## Look and discuss
1 What can you see in the photo?Who do you think took the photo?
2 What do you know about the history and development of space exploration?
## Listening and Speaking
Talk about how to become an astronaut
1 You are going to listen to an interview with an astronaut. Before you listen,discuss the questions in groups.
1 Can you name any famous astronauts from China or abroad?
2 Do you know anything about the selection procedure for astronauts?Make a list of the possible requirements.
त2 Listen to the interview and tick the correct statements.
1 The audience is curious about how Yang Liwei became the first Chinese astronaut.
2 Mr Yang always believed that he would become an astronaut one day.
3 Mr Yang was selected to attend pilot training with 13 other people.
4 To become an astronaut in China,you have to have 1,350 hours of flying experience.
5 Astronauts not only had to learn how to use space equipment,but also had to do a lot of mental and physical training.
ค1 Listen again and fill in the blanks with the correct numbers.
1 Yang Liwei graduated from college at the age of
2 Before joining China's space programme,Mr Yang trained as a fighter pilot for about years.
3 Mr Yang was one of the pilots who were chosen to train for space flights.
4 At the time when Mr Yang entered the space programme,astronauts had to be shorter than weight. $\mathrm{cm}$ in height and less than $\mathrm{kg}$ in
Mr Yang became China's first astronaut when he was years old.
## Listen for numbers
Number questions are typically related to: time,telephone numbers,addresses,prices,weights,distances,etc. When you listen for numbers,you need to pay special attention to big numbers as well as those that sound quite similar,such as thirteen and thirty,fourteen and forty,etc. 4 Listen to the interview again and make a list of the requirements for becoming an astronaut.
- Education background:
- Experience:
- Health condition:
- Courses:
- Special training:
5 Work in pairs. Discuss whether you would like to be an astronaut in the future and give your reasons. Use what you have learnt from the interview to help you.
EXAMPLE
A: You know,I think being an astronaut would be cool.
B: Do you want to work in space in the future?
A: I'm not sure,but I think it might be too difficult for me. There are so many requirements
First of all,you must be intelligent enough to get a related college degree. Then you have to ...
B: So what might be the most difficult part for you?
A: I guess it might be the ...
## Pronunciation
1 Read the poem. Mark the stressed syllables with and unstressed syllables with $\mathrm{\circ}$. Then try reading the poem to each other with rhythm.
Gravity
$ \circ \circ $ One day,Isaac Newton sat $0 \circ \circ \circ$ And saw an apple fall.
Then he thought,"It's not just fruit!
Something pulls us all."
"There is a force," he said to himself,
"That pulls things to the ground,Not only apples,but all of us
Stay still though Earth spins round."
Of course,we know that this is true!
Earth goes round but we stay still.
What goes up must come down,
And it always will.
## Learn about the development of space exploration
1 Before you read,look at the title and the photos. Discuss these questions in pairs.
1 What do you think are the main reasons for space exploration?
2 What do you expect to read about in this text?
2 Read the text. Several sentences have been removed from it. Choose the correct sentence (A-D) to fill each gap.
A Although scientists try to make sure nothing goes wrong,accidents can still happen.
B They also really wish to discover other planets that are suitable enough to support life.
C The future of space exploration remains bright.
D After many experiments,they succeeded in making rockets that could escape Earth's gravity.
Summarise the main idea
When the main idea is not clearly stated in a topic sentence,you should read the full paragraph or passage carefully and find the words or ideas that repeat themselves. They are likely evidence of the author's main idea.
## SPACE: THE FINAL FRONTIER
"Are we alone?What's out there?" Looking up at the stars,people have always wanted to learn more about space,and scientists work hard to find answers. They make vehicles to carry brave people into space to find out the secrets of the universe.
Before the mid-20th century,most people felt travelling into space was an impossible dream. However,some scientists were determined to help humans realise their dream to explore space. On 4 October 1957,the Sputnik 1 satellite was launched by the USSR and successfully orbited around Earth. Afterwards,the USSR focused on sending people into space,and on 12 April 1961,Yuri Gagarin became the first person in the world to go into space. Over eight years later,on 20 July 1969,American astronaut Neil Armstrong stepped onto the moon,famously saying,"That's one small step for [a] man,one giant leap for mankind." Following this,many more goals were achieved. For example,America's NASA space agency launched Voyager 1 on 5 September 1977 to study deep space,and it still transmits data today.
All the astronauts on the USSR's Soyuz 11 and America's Challenger died during their missions. 3 Use your own words to summarise the main idea for each paragraph.
Paragraph 1:
Paragraph 2:
Paragraph 3:
Paragraph 4:
Paragraph 5:
4 What does the title "Space: The Final Frontier" mean to you?Share your ideas with the whole class.
5 Complete the passage with words from the text.
M___ is exploring space in the hope of finding out more about the u___. However,exploring space is both dangerous and challenging. One of the most dangerous parts of space exploration is helping people to escape Earth's $g$ If there is a mistake during the I,it can lead to an accident that kills everyone on $b$ Getting out of 0 and back to Earth's surface is also very dan though,people will always continue to explore this final $f$ so as to learn its secrets.
These disasters made everyone sad and disappointed,but the desire to explore the universe never died. This is because people believe in the importance of carrying on space exploration despite the huge risks. An example of this ongoing work is the International Space Station. It orbits Earth and has astronauts from different countries on board,providing a continuous human presence in space.
China's space programme started later than those of Russia and the US,but it has made great progress in a short time. China became the third country in the world to independently send humans into space in 2003,when Yang Liwei successfully orbited Earth in the Shenzhou 5 spacecraft. Then Shenzhou 6 and 7 completed a second manned orbit and the first Chinese spacewalk,followed by the vehicle Jade Rabbit being sent to the moon to study its surface. After that,China launched the Tiangong 2 space lab into space and Tianzhou 1 to dock with it. This signalled one step further in China's plan to establish a space station in the future. More recently,China has sent Chang'e 4 to explore the surface of the far side of the moon to make measurements and observations.
Europe,the US,and China all have plans to further study and explore planets like Mars and Jupiter. Despite the difficulties,scientists hope future discoveries will not only enable us to understand how the universe began,but also help us survive well into the future.
## Discovering Useful Structures
## Describe space facts and efforts to explore space
1 Look at the following sentences and focus on the italicised infinitives. In pairs,discuss their functions and meanings. Find more examples from the unit.
1 I trained for a long time to fly airplanes as a fighter pilot.
2 As we all know,an astronaut needs to be healthy and calm in order to work in space.
3 First of all,you must be intelligent enough to get a related college degree.
4 Some scientists were determined to help humans realise their dream to explore space.
5 On 12 April 1961,Yuri Gagarin became the first person in the world to go into space.
2 Rewrite the sentences using infinitives or "in order to/so as to + do". Change the italicised parts accordingly.
1 In 2003 Yuri Malenchenko became the first person who got married in space. $\rightarrow$ In 2003 Yuri Malenchenko became the first person to get married in space.
2 In space,astronauts collect all dirty water so that it can be recycled for later use. $\rightarrow$ In space,astronauts collect all dirty water so as to recycle it for later use.
3 Mankind has always been curious about the universe and many people have dreamt that one day they would fly into space.
4 Astronauts' bones and muscles can get very weak in space due to the lack of gravity,so they need to exercise every day,which will help them stay healthy.
5 Astronauts have to use tape to stick everything down while working in space because everything would float off otherwise.
6 During a spacewalk,astronauts have to move slowly so that they can keep their bodies under control.
## Complete the passage with the correct forms of the verbs in brackets.
Sending people to other planets or even beyond the solar system is not an easy goal (achieve). One of the problems is that the trip would take a very long time. For example,(use) current technology,it would take over two years (get) to the closest planet,Mars,and back. Although light is the fastest thing (know) in the universe,it could take more than four years to reach the nearest star system. Will scientists figure out a way (store) sufficient food and water for the long journey?Is it possible to travel faster than light?No one knows the answers yet. However,space scientists never give up. They are experimenting with growing crops in space so as (help) astronauts get enough food on longer journeys through space.
## Listening and Talking
## Talk about life in space
1 Before you listen,look at the pictures below and guess whether they would be useful for astronauts in space.
soap
microwave
towel
pen
guitar
tape
shower
tissue
A 2 Max is interviewing Captain Brown about his life in space. Listen to the interview and answer the questions.
1 What did Captain Brown usually wear inside the station?
2 How did he prepare his food in space?
3 How did he keep himself clean in space?
4 How did he spend most of his time in space?
5 What did he do during his free time?
6 What did he look forward to most during his stay in space?
3 Work in groups. Imagine you are going to a space camp and Captain Brown has been invited to give a talk. Discuss the questions you would like to ask him and then make a list.
EXAMPLE
A: Hey,guys. We're going to meet a real astronaut. Isn't it exciting?
B: Yeah. I can't wait to see Captain Brown!I'm really curious about his life in space. I have plenty of questions to ask him.
C: Such as?
B: Oh,such as what facilities do they have in space to support their daily life?
C: That sounds like a good question. But l'd also like to know about how astronauts sleep. What do they do so as not to float around while they sleep?
Expressing curiosity
- I'd love to know ...
- Well,I'd really like to find out ...
- I'm most curious about ...
- I'm very keen to know ...
- I hope you won't mind me asking about ... - I wonder how/what/why/ ...
- I'd particularly like to know ...
- I'm most interested to discover ...
- I wish to know ...
## Present an argument about space exploration
()) 1 Read the argumentative essay about space exploration and answer the questions.
## IS EXPLORING SPACE A WASTE OF TIME AND MONEY?
satellite image of a typhoon
Countries around the globe are spending billions of dollars and lots of time on various space missions,whether to Mars or other planets much further away. Some people argue that we should stop wasting time and money exploring space. Instead,we should feed the world's poor and find immediate solutions to other problems,such as pollution and fatal diseases. However,others feel this is a shallow view which fails to realise how exploring space helps us.
Firstly,exploring space has already made a difference in the fight against world hunger. It has directly resulted in the many satellites that now orbit Earth. A number of the satellites record data on land and weather patterns. Then the data is transmitted to scientists on Earth. After careful analysis,the scientists can provide useful recommendations and advice for farmers. As a result,space-based science has helped farming in its efforts to grow enough food to feed Earth's increasing population. Secondly,space exploration has already promoted technological improvements that benefit us all. High-end products around the world are made to a higher standard now because of advanced technology which was first created to meet the requirements for space exploration. For example,space technologies have helped the research and development of different types of new material. They have also helped companies make better heart monitors and other machines that doctors regularly use. Today,space technologies are widely used in all kinds of industries,and everyday products,such as memory foam pillows and smartphone cameras,are changing our lives.
Finally,sending astronauts into space has helped people to think about the world's problems and even to find ways to solve them. Seeing pictures of our planet as an island in a black sea made people realise that our planet's resources are limited. In order to provide for such a rapidly increasing population,scientists are trying to find other planets that could one day be our new home. The greatest attention at present is on Mars because it is closer to Earth. In the future,humans may live on both planets.
In closing,exploring space provides the world with many different benefits. Therefore,it should continue so as to provide new and better solutions to people's short-term and long-term problems. 1 Why are some people against space exploration?
2 What has space exploration done for food production?
3 What did the pictures of Earth from space make people realise?
4 How does space exploration benefit the products that people use nowadays?
## Study the organisation and language features.
1 Read the first paragraph and underline the different opinions about space exploration.
2 Find the three topic sentences that summarise the writer's arguments about space exploration.
3 Underline the sentence that repeats the writer's opinion in the last paragraph.
3 Use what you have learnt to write about your opinion about space exploration.
1 Are these arguments for or against exploring space?Put them in the table below. Then add your own ideas and write your essay.
A There are a lot of unsolved mysteries on Earth. So why are we going into space to explore?
B It is necessary to find a new home for people in space,as the resources on Earth will run out.
C I cannot understand spending all this money on expensive research and experiments when so many people need food.
D Exploring space encourages scientists to improve technology that can help people in other ways,too.
2 Exchange drafts with a partner. Use the checklist to give feedback on your partner's draft.
$\checkmark$ Does the introduction state the topic?
$\checkmark$ Does the introduction express different opinions about the topic?
$\checkmark$ Does the body give arguments with suitable supporting information?
$\checkmark$ Does the closing express the writer's opinion and end properly?
$\checkmark$ Are there any grammar,spelling,or punctuation errors?
3 Get your draft back and revise it.
4 Present your essay to the rest of the class. 1 Read the passage about Lee's work in space and fill in the blanks with the words and phrases in the box.
$\begin{array}{llll}\text { agency } & \text { astronaut } & \text { data } & \text { determined } \\ \text { intelligent } & \text { satellite } & \text { figure out } & \text { result in }\end{array}$
Lee was busy at work. Unlike most people around the world though,his workplace was in space. There was a problem with a(n) . It was supposed to send information about the sun back to the on Earth,but the equipment for sending the was not working properly. So it was Lee's mission to the problem and solve it.
Lee was very as a(n),and he was also very careful. He was to make the satellite work properly again,but he would make sure to be safe. He knew that one small mistake could death.
## Complete the sentences with the correct forms of the words in the box.
send survive prevent reach breathe step land sleep use help
1 After having succeeded in satellites into space,people wanted to know if it was safe for a human to go into space. On 3 November 1957,a dog named Laika became the first living thing space. She was also the first one to die there.
2 The USSR and the US both wanted to be the first to send a person to the moon. Later,the US succeeded,and Neil Armstrong became the first man onto the moon. During the first moon landing,astronauts had no vehicles so they had to explore the moon on foot. On the fourth mission on the moon,astronauts took a lunar vehicle so that they could explore places further away.
3 Astronauts must wear spacesuits when they work in space because there is no air and it can be very cold outside the spacecraft. While,they must attach themselves to something so as floating around.
4 The accident on the Apollo 13 spacecraft resulted in a loss of oxygen,water,and electrical power. The astronauts on board had to fight At the same time,Houston's Mission Control worked hard the astronauts return to Earth safely.
## REFLECTING
๑- What do you think is the most interesting part of an astronaut's life?Why?
(@) What new information did you learn from this unit?
๑ Do you find it easier to use English to express curiosity now?
• Do you feel more confident about writing an argumentative essay in English now?Why or why not?
๑ Overall,I thought this unit was inspiring interesting so-so difficult.
## *Project: Give a presentation on China's space exploration
1 Search online or in the library for information about China's achievements in space exploration,especially the important technological breakthroughs and space missions. Organise the information into a table like the one below.
| China's Space Missions | | | | |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| Missions | $\begin{array}{c}\text { Launch } \\ \text { Time }\end{array}$ | $\begin{array}{c}\text { Launch } \\ \text { Vehicles }\end{array}$ | Astronauts | Mission Goals |
| Shenzhou 1 | | | | |
| Shenzhou 2 | | | | |
| Shenzhou 3 | | | | |
| Shenzhou 4 | | | | |
| Shenzhou 5 | | | | |
| Shenzhou 6 | | | | |
| Shenzhou 7 | | | | |
| Tiangong 1 | | | | |
| Shenzhou 8 | | | | |
| Shenzhou 9 | | | | |
| Shenzhou 10 | | | | |
| Tiangong 2 | | | | |
| Shenzhou 11 | | | | |
| Tianzhou 1 | | | | |
| | | | | |
2 Get into groups. Each group will be assigned several missions. Prepare for the presentation by finding out more details.
- Pictures
- News reports - Interesting stories
- Videos - Outcomes
3 Prepare a slide presentation using the information you have found.
4 Show your slide presentation to the whole class.
## BEFORE YOU WATCH
How much do you know about Mars?Read the statements below and decide whether they are true $(T)$ or false $(F)$.
1 Mars is the fourth planet from the Sun and the smallest planet in the solar system.
2 It is one of the few planets that we can see with the naked eye.
3 Like Earth,Mars has volcanoes,valleys,polar ice caps,seasons,and weather.
4 Olympus Mons,the largest volcano on Mars,is about twice as high as Mount Qomolangma.
## WHILE YOU WATCH
1 Check your answers in Before You Watch.
2 Put the events in the correct order.
The probe separates from the launch vehicle.
The lander lands on the surface of Mars.
1 The probe enters the Earth-Mars transfer orbit.
Controllers on Earth guide the probe into the orbit around Mars.
The lander discards the protective shield and the parachute.
The space-to-ground communications link is created.
The orbiter and the lander separate.
The rover transmits data back to Earth and receives orders from Earth.
The rover begins to explore the surface of Mars.
## AFTER YOU WATCH
Work in pairs. One student acts as a space expert and the other acts as a reporter. Use what you have learnt from the video to make up an interview.
## THEVALUE UNIT OF MONEY
Money is a good servant and a bad master.
-Francis Bacon
In this unit,you will
1 read excerpts from the script of The Million Pound Bank Note.
2 listen to a news report and watch a film clip about people's attitudes towards money.
3 write a scene for a play.
4 read more about how people feel about money and its impact.
## Listening and Speaking
## Discuss the good deed of returning lost money
1 Before you listen,discuss these questions in pairs.
1 What do people have to buy in order to lead a good life?
2 What can people not buy with money?
3 Is money the basis of a happy life?Why or why not?
(1) 2 Listen to the news report and match the people with the correct information.
1 Chen Liyan
2 Wang Zheng
3 Ma Dongbao
4 Liu Xia
A the owner of the lost money
B a cleaner at Taiyuan railway station
C a police officer living in Chen's apartment building
D Chen's 16-year-old daughter
त. 3 Listen again and put these events in the correct order.
Chen Liyan found Wang Zheng's money and returned it to him.
Chen gave an interview to the local newspaper.
Wang built a website to help raise funds for Liu Xia.
Ma Dongbao shared Chen's story with Wang.
Chen spent all her savings and took out a large loan.
Wang offered Chen 5,000 yuan.
(ค) Listen again and decide if the following statements are true (T) or false (F).
1 It was the first time Chen Liyan's story was reported.
2 Chen found 10,000 yuan in a small plastic bag in Taiyuan railway station.
3 Wang Zheng apologised to Chen because he couldn't offer her more
$\begin{array}{ll}T \square & F \square \\ T \square & F \square \\ T \square & F \square \\ T \square & F \square \\ T \square & F \square\end{array}$
4 Chen took out a large loan to cure her daughter.
5 Wang set up a fundraising website for Chen's daughter after Chen told him about her situation.
5 Discuss your answers to the questions with your partner and explain your reasoning.
1 What kind of person do you think Chen Liyan is?
2 Did Chen return the money because she didn't need it?
3 Is it common for people to do what Chen did?
4 How did Wang Zheng feel about the return of his money?
5 Why did Ma Dongbao tell Wang about Chen's family?
6 How did the news reporter feel about Chen's actions?
## Make inferences
Sometimes things are not said directly. However,you can make logical guesses on the basis of what the speakers say. To draw a conclusion,you need to understand the given information and use your background knowledge. Also,while listening,don't ignore the speakers' tone and intonation-these can be important clues,too.
## EXAMPLE
A: What kind of person do you think Chen Liyan is?
B: I think she must be an honest person because ...
A: I bet she's really determined too. You can tell this by how ...
6 Work in groups of four. Discuss the following questions.
1 Do you agree with Chen Liyan?What would you do if you were in her situation?
2 When we help someone,should we expect to get something in return?
3 What do you think is the best way to get money?
4 Should we judge people based on how much money they have?
## EXAMPLE
A: I think that Chen Liyan did the right thing by returning the money and refusing to take a single cent from Wang Zheng.
B: Well,I think that Chen Liyan was correct in returning the money,but she should have accepted the money Wang offered.
## Pronunciation
A1 Listen to the short conversation and mark the intonation with $\rho$,or ᄀ. . Then discuss with a partner what they intend to convey by using different intonation.
Owner: You know what?It's a million-pound bank note.
Waiter 1: Really?
Waiter 2: Really!
Waiter 3: Really?!
2 Listen to the conversations. Underline the parts that are stressed and mark the intonation. Then talk about the implied meanings of the responses with different intonations. Listen again and repeat.
1 Henry: It's a nice suit.
Owner: Oh,it's perfect!
2 Henry: Well,that's very kind of you.
Owner: Kind,sir?No,it's kind of you.
You must come whenever you
want and have whatever you
like. Just having you sit here is
a great honour!3 Henry: Well,to be honest,I have none.
Oliver: (happily) What luck!Brother,what luck!
Henry: Well,it may seem lucky to you but not to me!If this is your idea of some kind of joke,I don't think it's very funny. Now if you'll excuse me,I ought to be on my way.
Roderick: Please don't go ...
## Read about a bet between two wealthy men
1 What would you do if you had a million-pound bank note?Discuss the question in pairs.
2 Read the scene and answer the questions.
## THE MILLION POUND BANK NOTEＡCT 1,SCENE 3
Narrator: Two rich brothers,Roderick and Oliver,have made a bet. Oliver believes that with a million-pound bank note a man could live a month in London. His brother Roderick doubts it. They see a poor young man walking outside their house. It is Henry Adams.
Roderick: Young man,would you step inside a moment,please?
Henry: Who?Me,sir?
Roderick: Yes,you.
Servant: (opening a door) Good morning,sir. Would you please come in?
(Henry enters the house.)
Roderick: How do you do,Mr ... er ...?
Henry: Adams. Henry Adams.
Oliver: $\quad$ Come and sit down,Mr Adams.
Henry: Thank you.
Roderick: You're an American?
Henry: That's right,from San Francisco.
Roderick: May we ask what you're doing in this country and what your plans are?
Henry: Well,I can't say that I have any plans. As a matter of fact,I landed in Britain by accident.
Oliver: How is that possible?
Henry: Well,I had my own boat. About a month ago,I was sailing,and towards night I found myself carried out to sea by a strong wind. The next morning I was spotted by a ship.
Oliver: And it was the ship that brought you to England.
Henry: Yes. I went to the American consulate to seek help,but ... Anyway,I didn't dare to try again. (The brothers smile at each other.)
Roderick: Well,you mustn't worry about that. It's an advantage. Henry: I'm afraid I don't quite follow you,sir.
Roderick: Tell us,what sort of work did you do in America?
Henry: I worked for a mining company. Could you offer me work here?
Roderick: Patience. If you don't mind,may I ask you how much money you have?
Henry: Well,to be honest,I have none.
Oliver: (happily) What luck!Brother,what luck!
Henry: Well,it may seem lucky to you but not to me!If this is your idea of some kind of joke,I don't think it's very funny. Now if you'll excuse me,I ought to be on my way.
Roderick: Please don't go. You mustn't think we don't care about you. Oliver,give him the letter.
Oliver: Yes,I was about to go get the letter. Wait!(getting it from a desk and giving it to Henry) The letter.
Henry: (taking it carefully) For me?
Roderick: For you. (Henry starts to open it.) Oh,no,you'd better not open it. You can't open it until two o'clock.
Henry: Oh,this is silly.
Roderick: Not silly. There's money in it.
Henry: Oh,no. I don't want your charity. I just want a job that earns an honest income.
Roderick: We know you're hard-working. That's why we've given you the letter. (to the servant) Show Mr Adams out.
Henry: Well,why don't you explain what this is all about?
Roderick: You'll soon know. In exactly an hour and a half.
Servant: This way,sir.
Roderick: Not until 2 o'clock. Promise?
Henry: Promise. Goodbye. 1 What bet did Roderick and Oliver make?
2 How did Henry come to England?
3 How does Henry want the brothers to help him?
4 Why do you think Henry does not want the brothers' charity?
5 Why do you think the brothers chose Henry for their bet?
3 Read these sentences and describe Henry's feelings using suitable adjectives.
1 Who?Me,sir?
2 Well,I can't say that I have any plans. As a matter of fact,I landed in Britain by accident.
3 I'm afraid I don't quite follow you,sir.
4 Well,it may seem lucky to you but not to me!If this is your idea of some kind of joke,I don't think it's very funny.
5 Well,why don't you explain what this is all about?
4 Explain what the speakers mean by saying these sentences.
1 I went to the American consulate to seek help,but ... Anyway,I didn't dare to try again.
2 You mustn't worry about that. It's an advantage.
3 What luck!Brother,what luck!
4 Oh,this is silly.
## Complete the passage with words from Act 1,Scene 3.
The two gentlemen had been having a heated argument for a couple of days,and had decided to make a which would settle their argument. They were going to find someone to take part in their bet when they saw Henry walking on the street outside. They invited him into their house,where Henry told them he had landed in Britain by . Although he had gone to the American consulate to help,he had not received any. Henry hoped that the brothers would offer him some of work because he had no money. Henry got
upset with the brothers when they seemed too happy about his bad luck. They quickly told him not to feel that way and they gave him an envelope with money in it. They said the letter inside would explain what it was all about,but he had to postpone opening it until 2 o'clock. Henry felt that was odd. The ended with Henry leaving their house and promising that he would not open the letter until 2 o'clock.
A. 6 Listen to Act 1,Scene 3 and role-play it with your partners.
## Discovering Useful Structures
## Express modality and talk about future events in the past
1 Modal verbs have many functions,including the following (A-F). Find modal verbs in previous sections and discuss their functions.
A necessity
B possibility
C obligation
D request
E advice
F intention
2 Read the passage and fill in the blanks with suitable modal verbs in the box.
may must can ought to might hadbetter would should
In the film The Million Pound Bank Note,Henry Adams is stuck in a foreign country without money and friends,and with nowhere to stay. While this situation seem unusual,it can sometimes happen to travellers. In case it happens to you on a trip abroad,what you do?First,and most importantly,you stay calm. Fear
cause you to become confused. You need to think clearly. Second,you should go to your nearest consulate. They be able to help to some extent. Third,you do well to check with some local charities. They offer help to travellers in need. Fourth,you avoid getting into trouble. You think that stealing some money or food would help you,but you should not do so. Getting caught ruin your life.
3 Both "would do" and "was/were going to do" can be used to talk about future events or intentions in the past. Complete the following sentences that describe the future using either form of the given verbs.
1 Philip bought two tickets for The Phantom of the Opera. He (watch) this musical with his girlfriend on the weekend.
2 I was so surprised at the news that David (play) the role of the dinosaur in the play that I gave him a hug out of joy.
3 Lily decided that she (settle) in New York and pursue her dream of becoming an actress.
4 Hey,Timmy. I (call) you. But now that you are here,I don't have to.
5 The competition was so close that no one was sure who (win) the Best Actor award.
6 Jim is not here right now. He said he___ (be) on duty at the library this afternoon.
4 Work in pairs. Discuss the scene from The Million Pound Bank Note on page 52 and share your understanding of the story. Use modal verbs when necessary. The example below may help you.
## EXAMPLE
A: I think it's kind of Roderick and Oliver to give Henry the money.
B: I'm afraid I disagree. They shouldn't be making a bet on him.
A: But Henry might get into trouble if they didn't offer him the money.
B: Well,if they really wanted to help Henry,they could offer him a job.
A: Maybe you're right. But I guess that would be a different story ...
## Describe people's changing attitudes in a film clip
1 You are going to watch part of the film The Million Pound Bank Note. Look at these photos and guess what happens in the film.
2 Watch the film clip and check if you are correct. Then discuss the questions.
1 Why does the owner of the restaurant want Henry to sit somewhere else?
2 What does Henry order?Why is the waiter surprised?
3 Why does the owner think Henry hesitates to pay the bill?
4 Why does the owner think the bank note is probably real?
5 What happens in the end?
3 Work in groups. Retell the story in the film clip you have just watched. The pictures in Activity 1 may help you.
After leaving the brothers' home,Henry went to a small restaurant. He was about to sit down at a table when ...
## Retelling a story
4 Watch the film clip again and make up your own script to match it. Then watch the film without sound and act out your script for the class.
## Write a dramatic scene
(1)) 1 Read the scene and answer the questions.
## THE MILLION POUND BANK NOTE
## ACT 2,SCENE 1
Narrator: Henry is walking along the street holding the bank note in his hand. His coat is worn in several places. He sees a sign for a tailor's shop.
Henry: (entering the shop) l'd like to have a suit coat.
1st Clerk: (in a rude manner) See him there. (pointing to another clerk)
2nd Clerk: Ready-made suits?Downstairs.
Henry: $\quad$ (after going down some stairs) Can you show me a suit,please?
3rd Clerk: Yes,I can,sir. This way,please. Ah,here we are,the very thing you need.
1st Clerk: (pulling the 3rd clerk aside and whispering) Mr Reid says you'd better serve him quick and get him out quick!
3rd Clerk: I know what I'm doing. I've got eyes,haven't I?
Henry: It's a little too bright,isn't it?
3rd Clerk: (looking at him with a frown) It's all we have in your size.
Henry: Well,I suppose it ought to do for now. l'll take it.
3rd Clerk: Good. Shall I put it in a box?
Henry: $\quad$ No. l'll wear it. Oh,l'd rather not pay you now. l'd like to pay in a month. You see,I don't have any small change.
3rd Clerk: (trying not to show he's angry) I suppose a gentleman like you only carries very large bills.
Henry: Now,you shouldn't judge people by their clothes. I just don't want to cause you trouble with a large note.
3rd Clerk: It's no trouble at all.
Henry: In that case,there's no problem. (He gives the clerk the bank note. The clerk drops Henry's coat. Then he folds the bill and slowly unfolds it again,as if looking at something he can't believe is there.)
Owner: Well,what seems to be the trouble?
Henry: I'm just waiting for my change.
Owner: Give him his change,Todd. Get going ... (after getting the bank note from Todd) Would it ... could it be the one I saw in the papers last week?I remember thinking that never would I hold such a note as this ... (to Henry) Oh,take off this coat,sir. (to Todd) Go get the others,Todd!(to Henry again) Allow me,sir!This way,sir.
(in another part of the shop,where there is a wide range of options for Henry to choose from)
Henry: This is nice,but I really don't need it.
Owner: $\quad$ Never mind. (with a broad smile) Oh,it's perfect!It was made for some king but he'll just have to wait. You'll need many suits for many occasions. Yes,indeed you will.
Henry: Wait a minute. I only came here to get a suit coat to wear today. I dare not buy all these things. You would have to wait a long time to get paid.
Owner: A long time,sir?Why,you don't have to worry about that!
3rd Clerk: Yes,we can wait forever!
Henry: Well,all right. l'll take the suit coat for now and get the others later.
Owner: Fine,fine. Your address,sir?
Henry: I don't have one. Er... I'm moving.
Owner: Of course you are!That's very normal!A busy man,l'm sure. 1 Where does Henry go?What does he want?
2 What do the clerks show Henry at first?Why?
3 What makes the people in the store change their attitudes towards Henry?
4 Why would the owner be willing to wait for a long time to get paid?
5 Is it right to judge people by their clothes?Why or why not?
## Study the language features.
1 Underline the sentences that show how people's attitudes change towards Henry.
2 Read the scene again and find an example for each of the following elements. Then discuss with your partner how to write each element.
3 Use what you have learnt to write a new scene for the play where Henry will try to use the bank note.
1 Work in groups. Brainstorm a place that Henry will go to,and what difficulties he might face.
2 In your group:
A Make a list of the characters.
B Make an outline of the events in the scene.
C Decide how the characters' feelings change during the scene.
D Think of an exciting ending.
E Write the dialogue.
F Write the stage directions which tell the actors what to do or how to say something.
3 In your group,use this checklist to help you revise the draft.
$\checkmark$ Are all the elements of a play included and in good order?
$\checkmark$ Do the characters use suitable language?
$\checkmark$ Are the stage directions clear and useful?
$\checkmark$ Is the plot clear and exciting enough?
$\checkmark$ Are there any grammar,spelling,or punctuation errors?
4 Perform your scene before the class. 1 Complete the script below using the words in the box.
bet case downstairs duty occasions ought to settle tailor
## THE MILLION POUND BANK NOTEＡCT 2,SCENE 2
$\mathrm{N}=$ Narrator $\quad A=$ Ambassador $\quad \mathrm{P}=$ Portia $\quad \mathrm{H}=$ Henry
$\mathbf{N}$ : After that,it seemed like everyone in London was talking about Henry. The American ambassador to Britain invited Henry to an upper-class party. Henry felt it was his to go. He wanted to maintain a good relationship with the ambassador in really was. others found out just how poor he
A: Ah,there you are.
P: (to Henry) How do you do?
A: $\quad$ Mr Adams,my special guest,Miss Portia Langham.
H: How do you do?
A: If you'll excuse me,I must go see the other guests. (He leaves.) to
P: Won't you sit down,please?H: Yes,l'd love to ... with your permission. Thank you,Miss.
P: That poor,dear ambassador. He hates these almost as much as I do. Nothing but talk,talk,talk. And no one says anything anyone wants to hear,do they?
H: $\quad \mathrm{No},\mathrm{I}$ they don't.
P: The ambassador tells me you are a rich man. He tells me you are the talk of London. Why,it seems that every banker and in the city is eager to meet you.
H: Yes,l've heard. I can't understand why,really. I'm not so special as that.
P: Are you planning to in London?
H: Well,I hadn't really thought about it much.
P: You___ think about it.
2 Complete the passages with suitable modal verbs or the correct forms of the verbs in brackets. Add not if necessary.
1 The saying "Don't judge a book by its cover" means that we____ judge the value of something just based on its external appearance. This is a useful principle to remember when we meet new people. We treat everyone we meet for the first time nicely,no matter how they look. Most of us like to be judged on our appearance,because it be unfair to us. So we remind ourselves to give new people we meet a fair chance. Anybody be someone who is worth getting to know. In fact,this person end up becoming your good friend if you take a chance and get to know him or her!
2 Three rich men talked about their ideas for next year. One said he (make) even more money and keep it in the bank. Another said he (give) half of all his money to the government to help poor people. The third man said he also (make) more money,but he (use) half of this new money to build a new hospital for his hometown. Which of these ideas do you think is the best and why?
## @REFLECTING
๑ What did you learn about plays and scripts that you did not know before?
- What did you learn about the value of money and wealth in society?
(- What part of this unit was the most difficult?What part was the most interesting?
๑ Overall,I thought this unit was interesting meaningful so-so difficult.
## *Project: Give a performance of a scene from the play
You are going to perform one of the scenes from The Million Pound Bank Note,or one that you wrote yourself.
Step 1 Choose a scene to perform.
Step 2 Choose the producer and the director.
- The producer is the organiser of a play. He or she hires people,and makes sure that everyone has what they need for their jobs.
- The director guides the actors.
## Step 3 (The producer) Decide on:
- the main actors,including the narrator
- the extras (actors without speaking parts)
- the set decorator (the person who makes the set)
- the prop person (the person who provides or makes the props)
- the costume manager
Step 4 Have a rehearsal.
- The actors should practise and remember their lines. They should pay attention to their facial expressions,gestures,intonation,and actions. The director should help the actors.
- The producer should help the set decorator,the prop person,and the costume manager to get everything they need.
Step 5 Have a dress rehearsal.
The actors perform together dressed in their costumes. The set,props,music,etc. should be ready at the same time.
Step 6 Perform your scene for the class.
Step 7 After all the scenes have been performed,the class should then give awards for the best scene,best producer,best director,best actor,best costumes,etc.
## BEFORE YOU WATCH
1 Look at the characters listed in the box and predict who will appear in the film clip.
2 What do you think this scene is about?Choose the best answer.
A Henry Adams lost his bank note at the hotel.
B Henry Adams fell in love with Portia at the hotel.
C Henry Adams received a warm reception at the hotel.
## WHILE YOU WATCH
1 Check your answers in Before You Watch.
2 Put the events in the correct order.
The real Henry Adams appears.
Henry makes friends with the man.
The doorman thinks the man is Henry,and so he invites him inside.
A man appears wearing a hat.
The hotel manager realises he has made a mistake.
## Answer the questions.
1 Why do the people at the hotel mistake the man for Henry Adams?
2 The man seems odd to the hotel workers. Why are they so nice to him?
3 How do the hotel workers treat the man when they discover that he is not Henry?Why?
4 What does the man do for a job?
5 Why does Henry want to make friends with the man?
## AFTER YOU WATCH
Discuss the following questions with your classmates.
1 Why do people treat Henry and the man differently at the hotel?
2 Do you think "money makes the world go around"?Why or why not?
## WORKBOOK
## UNIT 1
## Using Words and Expressions
1 Match each word with its definition. Then complete the sentences below with the correct forms of the suitable words.
$$
\begin{array}{rccc}
\text { riddle } & \text { inner } & \text { belief } & \text { gather } \\
\text { respect } & \text { crop } & \text { origin } & \text { grateful }
\end{array}
$$
A a feeling of admiration for somebody or something because of their good qualities
B the feeling of being certain that something exists or is true
C a plant that is grown by farmers and used as food
D inside;private and secret
E a question that is very confusing and that has a surprising answer
F to come together;to bring people or things together
G showing or expressing thanks because somebody has done something kind for you
$\mathrm{H}$ the point from which something starts
1 If you can solve the on the lanterns,you will get a prize.
2 Thanksgiving and the Mid-Autumn Festival are harvest festivals when people and celebrate what they are for.
3 There are various opinions about the of the Dragon Boat Festival,but the most popular one is related to the poet $\mathrm{Qu}$ Yuan.
4 Festivals of the dead,such as Obon,the Day of the Dead,or the Qingming Festival,allow people to pay to their ancestors. 2 Look up the following words in the dictionary. Then complete the sentences with the correct words.
joy/joyful faith/faithful frank/frankly agriculture/agricultural origin/original merry/merrily typical/typically absolute/absolutely
1 The Western festival Halloween has its in old beliefs about the return of the spirits of dead people.
2 With a smile of on his face,Timmy went up to the stage to get his prize.
3 According to the report,only $10 \%-15 \%$ of the land in China is good for
4 After seeing signs of improvement,she began to have in the doctor's skills.
5 We have confidence in Sarah's abilities,and we believe she will solve the problem.
6 We enjoy the fresh air and the sunshine in the countryside. We have picnics,read books under big trees,and listen to the birds singing in the branches.
7 Why don't we sit down and have a discussion about your future plan?
8 Some themes of Chinese New Year paintings are folk tales and gods.
3 Translate the sentences into English,using the words and expressions in brackets.
1 婚礼宴会持续了几个小时，人们自始至终边唱边跳,沉浸在欢乐的气氛中。(wedding,joyful,atmosphere) 2 每年,人们都会举办各种各样的活动庆祝国庆节,从升旗仪式到烟花表演。(range from ... to ...,flag-raising ceremony,fireworks)
3 当夜幕降临,许多孩子装扮成吓人的样子,然后去邻居家里索要糖果。(dress up)
4 表演者从我们的视野里消失了,音乐和嘈杂声也逐渐消散了。(fade away)
5 每逢一个节日即将来临,你就能看到各种商业机构利用社交平台销售它们的产品。(take advantage of,social media)
6 尽管雪下得很大,他还是赶在新年前夕回到了家。(in spite of,New Year's Eve)
4 Match the greeting cards to the occasions.
5
A Your parents have been married for 25 years.
B A friend wants to say "thank you" on Thanksgiving Day.
C New Year's Day is coming.
D It's a friend's birthday.
E A baby was just born.
F A couple is going to get married.
## Using Structures
1 Complete the sentences with the correct forms of the verbs.
1 I don't know exactly on which day Easter falls. The date changes. I feel totally (confuse) .
2 Do you know how to cook a turkey?The instructions in the recipe are really (confuse) and I really need your help.
3 The sounds of the fireworks were terribly (annoy). I was woken up by the noise quite a few times.
4 The girl was___ (annoy) with her boyfriend,who was late for her birthday party.
5 It was a rather___ (bore) party. Nothing was interesting and nobody talked to me.
$6 I^{\prime} \mathrm{m} \_$(bore) with cooking,cleaning,shopping,and all that stuff. I just want to have a relaxing holiday.
2 Translate the sentences into English,using the -ing form or the past participle of the verbs in brackets.
1 赛龙舟是端午节最令人兴奋的部分。(excite)
2 孩子们兴致勃勃地去参加寻找复活节彩蛋的活动。(excite)
3 多么令人惊奇的表演啊！这是我经历过的最棒的音乐节。(amaze)
4 我们都对她那顶滑稭的帽子感到惊讶。(amaze)
5 他在大会上振奋人心的演讲贏得了听众的赞赏。(inspire)
6 这个具有挑战性的游戏考验你的记忆力和观察能力。(challenge) 3 Rewrite the sentences by changing the relative clauses into the -ing form or past participle phrases.
1 The little girl who is wearing a Snow White costume is my daughter.
2 The full moon that is reflected on the surface of the lake reminds people of their families far away.
3 The Rio Carnival is a festival that is held before Lent ( 大斋期 ) every year and it is considered the biggest carnival in the world.
4 Halloween is a festival that is celebrated on the night of 31 st October.
5 On the night of the Lantern Festival,the park is filled with people who are appreciating the beautiful lanterns.
6 I ran through the crowd of people who were hurrying to get on the train.
4 Complete the conversations with the correct forms of the words in the box.
$\begin{array}{lll}\text { interest } & \text { amaze } & \text { wear } \\ \text { stand } & \text { bore } & \text { dress } \\ \text { surprise } & \text { satisfy } & \end{array}$
1 Emily: That was an Christmas movie,wasn't it?John: Oh,I'm you think so. To be honest,I was rather disappointed (失望的) with it.
Emily: Didn't you think the hero of the story was attractive?
John: He was handsome indeed,but I wasn't with the plot. Ifelt most of the time.
2 Linda: George,do you know the girl next to Bob?
George: Which girl?You mean the girl a golden mask?
Linda: No,no,no,I'm talking about the girl up as a princess.
George: I'm afraid I don't know her,but she looks
5 Complete the sentences using the -ing form or the past participle.
1 The boy under the Christmas tree seemed satisfied with his presents.
2 The flowers,the lights,the music,and the food in the house created a atmosphere for all the guests.
3 The woman in front of the float is one of the most famous samba dancers in Brazil.
4 Most of the guests to the party left with light hearts.
5 During the carnival,there was a street parade of floats in flowers.
Use what you have learnt from the unit to describe a scene at a celebration party.
## Reading and Writing
(4)) 1 Read the text below and then match the main ideas with the paragraphs.
## THE CHINESE SPRING FESTIVAL
The Chinese Spring Festival is regarded as the most significant festival of the year among the Chinese. It lasts for 15 days but Chinese people also consider the days of preparation beforehand as an important part of the Spring Festival.
There are a number of things people usually do before the Chinese Spring Festival. One of these is cleaning the house for the Lunar New Year. Dust makes people think of old or outdated things. Therefore,sweeping dust out of the house is a way of saying goodbye to old things and welcoming new things. Another important custom for families is to decorate their doors with red couplets. The phrases on the couplets express hopes for a prosperous new year. In the southern part of China,people will buy fresh flowers or orange trees to decorate their homes. The most important custom of the Chinese Spring Festival is the big family dinner on the eve of the Lunar New Year. This is usually a big reunion of grandparents,parents,and children. It reflects how important family is to Chinese people around the world. That is why millions of Chinese people travel long distances to get home before the eve of the Lunar New Year. Also,families typically eat certain types of lucky food at the family reunion dinner. Eating fish,for example,is supposed to bring more wealth and prosperity than one needs,as the pronunciation of "fish" in Chinese (yu) is also used for "surplus".
When the New Year comes,there are many interesting festival activities. Adults give children "lucky money" in red envelopes. People greet family and friends with "Xinnian Hao" or "Gongxi Facai" whenever they may meet. Another part of this custom of sharing good wishes is to pay visits to relatives and bring them gifts. Commonly exchanged gifts include food such as fruit,sticky rice cakes,and homemade desserts. In addition,friends and family go out to enjoy loud and colourful fireworks,spend time at temple fairs,and watch exciting dragon and lion dances.
The Chinese Spring Festival symbolises a farewell to the old year and a warm welcome to the brand new year. More importantly,it is a special occasion to return home and gratefully reunite with family members. This deeply rooted tradition has been an integral part of Chinese culture for a very long time,and will continue to live forever in the hearts of the Chinese people. Paragraph 1
Paragraph 2
Paragraph 3
Paragraph 4
A What is the most important part of the festival?B How long does the festival last?C What do people do before the New Year comes?D What do people do when the New Year arrives?
2 Read the text again and complete the table.
Festival customs
Reasons for the customs
3 In groups,think of a better title for the text. Then write it down.
4 In groups,choose a local festival or celebration that you think is interesting and make notes about it.
The name of the festival
The origin of the festival
The exact date(s) and location of the festival
The activities people usually do
The food people usually eat
5 Write an article about the festival or celebration based on your notes above.
## * Expanding Your World
## WINTER CARNIVAL IN QUEBEC
A group of very cold tourists are sitting in a café in old Quebec,drinking hot coffee to try to warm up. The windows are covered with steam from the heat inside. Outside,the temperature is $-32^{\circ} \mathrm{C}$. Snow covers the streets and is piled up along the sidewalks. The music and the lights of the Quebec Winter Carnival continue,but after a whole day of watching parades,riding in horse carriages,and listening to music,the tourists' feet are freezing and their noses are red.
Every year,hundreds of thousands of people come to Quebec to take
part in the week-long winter festival. Everyone who comes must be prepared to keep moving,as it is too cold to stand and watch for long.
Early in the morning,you can watch the snowboarding competition on the hill overlooking the river. Competitors speed down the track and through the air as though they could fly.
The more brave of heart may try the canoe races. Five or six men paddle each canoe across the partly-frozen St Lawrence River. The river is full of big chunks of ice,and if you were to fall in,you would freeze to death in under two minutes.
One of the favourite events is the dog-sled race,in which teams of about six husky dogs pull long sleds at great speeds along a snowy track. One person drives the sled,shouting to the dogs to encourage them. The sound of the dogs barking,the calls of the drivers,and the shouts of the crowd create an exciting northern experience. The dogs are strong and beautiful animals with thick fur,and many have blue eyes.
While admiring the ice sculptures everywhere in the city,much like those in Harbin in China,you can stop off with other tourists in an igloo for hot tea or coffee. It is amazing how warm these ice houses can be!
Later in the evening,you can join the crowd at the Ice Palace,where Bonhomme the snowman is king. You can dance outside to the music of a band,whose members are all dressed in heavy clothes - even some of their instruments are dressed up for winter.
Finally,you will probably want to sit down in a café to warm up and plan for the next day. You might want to join the snowmobile races - or maybe you should just sleep in!
## Using Words and Expressions
1 Write down the new words from the unit based on the definitions.
1 the relationship between two people who are married
2 a period of ten years
3 a school for children aged two to five
4 an amount of money that you have not spent
5 a moral rule or a strong belief that influences your actions
6 having a lot of energy or determination
7 twelve o'lock at night
8 the upper part of your legs when you are sitting down 9 to say something very quietly,using your breath rather than your voice
10 the most northern or most southern point on a planet
2 Match the words on the left to the words on the right to make phrases. Then write sentences using five of the phrases.
| A | B |
| :--- | :--- |
| tuition | case |
| health | physician |
| precious | tree |
| heart | pot |
| island | fees |
| maple | insurance |
| resident | operation |
| court | income |
| coffee | chain |
| flexible | stone |
3 Compare each pair of words with the help of a dictionary. Then choose the correct word to complete each sentence.
## majority/most
1 The survey says that the of citizens are satisfied with the government's efforts to reduce smog.
2 When he came out of his office,it was already midnight and of the restaurants were closed.
illustrate/describe
3 This picture how water can be reused and recycled.
4 Can you ___ what your hometown was like when you were young?
reject/refuse
5 You might not believe this,but even some famous authors' books were many times before being accepted and published.
6 He offered her more coffee,but she politely.
harm/damage
7 There is no in letting the child read more books.
8 The worst ever Ebola (埃博拉病毒) outbreak caused huge to West African economies.
tend/intend
9 Do you think many parents to pressure their children to get stable jobs instead of letting them pursue their own interests?
10 I didn't to scare her away. I was just playing a joke. per/every
11 Kenya announced that it would export much more crude oil (原油) day the next year.
12 A balanced diet and regular exercise can help you stay energetic day.
4 Fill in the blanks with the words in the box. Then translate the sentences into Chinese.
elsewhere majority might chains principle precious complain reject
1 Of all possessions a friend is the most . -Herodotus
2 The strongest of growth lies in human choice. -George Eliot
3 Whenever you find yourself on the side of the,it is time to pause and reflect. -Mark Twain
4 The highest form of ignorance is when you something you don't know anything about. -Wayne Dyer
5 Anyone who does not know how to make the most of his luck has no right to if it passes by him. - Miguel
de Cervantes
6 Man was born free,and everywhere he is in .- Jean-Jacques Rousseau
7 Whatever you do,do with all your . -Marcus Tullius Cicero
8 When we are unable to find tranquility (宁静) within ourselves,it is useless to seek it .-Francois de La Rochefoucauld
5 Translate the sentences into English,using the words and phrases in brackets.
1 赢得奖学金之后,他感到缴学费的压力减轻了许多。(win a scholarship,fee)
2 他拥有敏锐的视觉,能很快辨认出两个双胞胎的不同。(sharp eyes) 3 搬入新家之前,母亲让人把房子重新装修了一番,把地板都换了。(redecorate,replace)
4 为了节省时间和避免更多的麻烦,他们为这一案件聘请了一位律师。(hire a lawyer)
5 在山间远足时,他的腿被一条蛇咬了一 ロ。(bite)
## Using Structures
1 Complete the conversations using the correct forms of the words in brackets.
1 A: You look really____ (tire). You should go home and have a rest.
B: Yes,well,a five-hour operation is pretty (tire).
2 A: Did you hear that Susan and Bob got married?
B: Really?That's the most (shock) news I have heard today.
3 A: Harry,you forgot to return my phone call last night!
B: Oh,I'm very sorry. I went to sleep (listen) to music.
4 A: How can you sit inside (play) games all day?Isn't there anything more important you can do with your time?
B: Come on,Mum. It's a holiday.
5 A: The museum was ___ (interest),wasn't it?
B: It was great. I was quite (interest) in those ancient pieces of jade.
6 A: Are you sure this is the man you saw that night?
B: That's right. From my window,I saw him (come) into the building.
A: Did you hear a gunshot after that?
B: No,but I heard people (shout) downstairs.
A: What did you see when you came down?
B: I saw an injured man (lie) on the floor. 2 Rewrite the following sentences using the -ing form or the past participle as the adverbial.
## EXAMPLE
- Because I did not know anyone,I sat alone in my seat for two hours. $\rightarrow$
Not knowing anyone,I sat alone in my seat for two hours.
- Although Joe was upset by the reporter's words,he responded to his questions politely. $\rightarrow$
Although upset by the reporter's words,Joe responded to his questions politely.
1 As she was frightened by the noise,Amy turned on all the lights in the house.
2 While they were driving along the freeway,they noticed a kangaroo standing in the middle of the road.
3 After we watched the movie for ten minutes,we felt so bored that we decided to leave.
4 As I came out of my house,I saw the volcano erupting (爆发).
5 After she turned fifteen,she became interested in travelling.
6 Because she didn't want to be late,Sally ran to the subway station.
7 Tim was feeling tired,so he went to bed as soon as he got home.
8 After he gathered all his courage,he ran back into the burning house to rescue the child.
3 Complete the passage using the -ing form or the past participle of the verbs in the box.
$\begin{array}{llll}\text { hold } & \text { get } & \text { walk } & \text { hear } \\ \text { sing } & \text { excite } & \text { dance } & \text { admire }\end{array}$
After that I was going to be my aunt's bridesmaid,I felt so that I didn't sleep very well the night before her wedding day. Although I was tired,I didn't mind up early the next morning to go to my aunt's house to get dressed up. I put on my blue dress and my aunt,of course,wore a white silk dress. When my aunt finally appeared at the back of the church,a bunch of flowers,everybody looked at her with smiles. After the wedding,I left the church slowly behind my aunt and her husband. In the evening,we had a celebration party. Everybody was very happy,and until midnight.
4 Watch five minutes of a cartoon,a sports event,a documentary,or a film and take notes on what happened. Then write a paragraph describing the actions of the characters. Use the -ing form in your description.
## Reading and Writing
(1)) 1 Read the story and answer this question: Why will the writer never forget the taxi ride?
Twenty years ago,I drove a taxi. One time,I was called at midnight to pick someone up. When I arrived,the building was completely dark except for one light in a window.
I walked to the door and knocked. After a long wait,the door opened. A small woman in her 80 s stood before me. By her side was a small suitcase.
"Would you carry my bag out to the car?" she said. I took her suitcase and gave her my arm. We walked slowly to the street. She kept thanking me for my kindness.
"It's nothing," I told her. "I try to treat my passengers how I want my mother treated."
"You're such a good boy," she said. When we got in the taxi,she gave me an address. Then she asked,"Could you drive through the downtown?"
"It's not the shortest way," I answered.
“I don't mind,” she said.“I'm in no hurry. I'm on my way to a hospice (临终安养院).”
I saw her eyes shining with tears.
"I don't have any family left," she continued. "The doctor says I don't have very long."
I quietly turned off the meter. "What road do you want me to take?" I asked.
For hours,we drove through the city. She showed me the building where she had once worked. We drove through the neighbourhood where she and her husband had lived. Sometimes she asked me to just slow down while she sat staring into the darkness,saying nothing.
As the sun was coming up,she suddenly said,“I'm tired. Let's go now."
We drove in silence to the hospice. As we pulled up,two nurses were waiting for us. They helped her into a wheelchair.
"How much do I owe you?" she asked me,reaching for her purse.
“Nothing," I said. Without thinking,I leaned down and gave her a hug. She hugged me tightly. "You gave an old woman a little moment of joy," she said. "Thank you."
I squeezed her hand and then walked back to my taxi. For the rest of that day,I could hardly talk.
I believe I have never done anything more important in my life. We usually think that our lives are defined by great moments. But I now realise that great moments catch us by surprise,because they often seem quite small.
2 Analyse the story by filling in the table below.
Where does this story happen?
mostly in a taxi
Who are the main characters in the story?
What are the main events in the story?
What is the main point of the story?
## Discuss the following questions with a partner.
1 What is the author's purpose in writing this story?Do you think he succeeded?
2 What did you like about this story?What did you not like?Why?
3 Would you recommend this story to others?Why or why not?
4 Write your own inspiring story about an act of kindness that you have seen or experienced.
## Story planner
Beginning
Use an interesting sentence to catch the attention of your readers.
Describe how the events
Body developed.
Use specific words to describe the characters' feelings and the scene.
Ending
Finish your story with one or two clear,strong sentences that tell readers the main point of the story.
## * Expanding Your World
## THE FIVE VIRTUES
## Benevolence
Look at others with love,compassion,and kindness,so as to stay in harmony with all people.
亲亲而仁民，仁民而爱物。一一孟子
Confucius
Mencius: Men of virtue love and care for their loved ones,they are therefore kind to other people. When they are kind to people,they treasure everything on earth.
## Righteousness
Always act according to what you know is right,so as to preserve your own integrity.
子日：君子喻于义，小人喻于利。
The Master said,"A gentleman takes as much trouble to discover what is right as lesser men take to discover what will pay."
## Propriety
Always behave respectfully towards others.
子日：非礼勿视，非礼勿听，非礼勿言，非礼勿动。
The Master said,"To look at nothing in defiance of ritual,to listen to nothing in defiance of ritual,to speak of nothing in defiance of ritual,and never to stir hand or foot in defiance of ritual."
## Wisdom
Learn as much as possible so that you can judge what is right from what is wrong,and what is good from what is evil.
子日：我非生而知之者,好古,敏以求之者也。
The Master said,"I for my part am not one of those who have innate knowledge. I am simply one who loves the past and who is diligent in investigating it."
## Fidelity
Be true to yourself: be sure that what you do is true to what you say,and what you say is true to what you think.
子日：人而无信，不知其可也。
The Master said,"I do not see what use a man can be put to,whose word cannot be trusted."
## UNIT 3
## Using words and expressions
1 Complete the crossword with the words that match the definitions.
## Across:
1 the process of building things like houses,bridges,or roads
2 the typical weather conditions in a certain area
3 after an event that has been mentioned
4 very different from each other
## Down:
1 a small amount of food that is eaten between main meals
2 a hard white material used for making cups,plates,etc.
3 to be right or good for somebody or something
4 a large area of land
5 a simple drawing that shows where something is,how something works,etc.
6 to bend something,especially paper or cloth,so that one part lies on top of another part 2 Choose one word from each box and then use the correct forms of the words to make noun phrases. Explain their meanings.
$$
\begin{array}{cccc}
\text { climate } & \text { culture construction } \\
\text { dead } & \text { fortune } & \text { hike } & \text { history } \\
\text { jazz } & \text { love } & \text { rescue travel }
\end{array}
$$
$$
\begin{gathered}
\text { band boot change diverse } \\
\text { event journal mission } \\
\text { poetry poison site tell }
\end{gathered}
$$
3 Rewrite the following sentences using the words and phrases in brackets.
1 Globalisation has had a huge impact on people all around the world,including both significant benefits and great challenges. (bring about)
2 The couple did all sorts of jobs to survive,even though there were many difficulties in the new environment. (earn a living,in spite of) 3 A large number of people are moving towards Times Square for the countdown to midnight. (head to)
4 Have you heard of the new 24-hour bookshop?I'm going to visit it tonight. (check out)
5 The boy hardly watches TV programmes,except for nature documentaries. (apart from)
6 After Shenzhen became a special economic zone in 1980,people from all over China went to the city to get rich. (seek one's fortune)
4 Complete the passage using the correct forms of the words and phrase in the box.
$$
\begin{aligned}
& \text { claim contain diverse } \\
& \text { earn occur percentage } \\
& \text { seek one's fortune settle }
\end{aligned}
$$
Capital cities usually a wide variety of people. This due to people
moving to the city to . Although it is tough to many a good living in the city,most choose to there. The latest report shows that the of people moving to the city is on the rise. This in turn increases the cultural of the city,which makes the city even more attractive to outsiders.
## Using Structures
1 Read these sentences. In pairs,decide which words can be left out.
1 A: How can we make Italian vegetable soup?
B: I don't know how we can make it.
2 A: When did you get to Florence?
B: I got to Florence yesterday.
3 A: Are you a student of English literature?
B: No,though I wish I were a student of English literature.
4 A: Did he go to Egypt?
B: He said he would go,but he didn't go.
5 A: Would you like to try on this pair of jeans?
B: Yes,I would like to try on that pair of jeans.
2 Match the questions to the most likely answers. Notice how ellipsis is used in the answers.
## Questions
1 Do you think it's going to rain this afternoon?
2 We were quite surprised after we saw the paintings in the gallery.
3 Will you join our trip to South Africa?
4 Will the flight to Rome take off on time?
5 Would you mind using a diagram to explain these percentages to me?
6 Has Lily ever been to the Louvre Museum?
Answers
A Whyso?
B Not at all.
C Ihope not.
D I'm afraid not.
E Maybe not.
F I'd love to. / I'd be glad to. 3 Ellipsis is often used in public signs,headlines,diaries,notes,or informal letters. Rewrite these sentences using ellipsis.
1 Taking photos is not allowed here.
2 You should not walk on the grass.
3 There will be roadworks ahead.
4 There may be children crossing the road ahead.
5 The sooner it happens,the better it will be.
6 A millionaire was poisoned in his home in Beverly Hills.
7 The plane crash in Colorado last week claimed 15 lives.
8 There is an exhibition of fine china at the museum.
4 Read George's first diary entry and underline the parts where ellipsis is used. Then revise his second diary entry using ellipses when possible.
Monday,12th June
Arrived early this morning by bus. Went straight to hotel to drop off my luggage,shower,and shave. Went exploring afterwards.
Took a ride on a cable car first. Got a spectacular view of San Francisco Bay and the city. Learnt that Andrew Hallidie invented the cable car system in 1873 in order to find a form of transport better than horse-drawn trams. He'd been shocked after seeing a series of events in which a tram's brakes failed,the conductor couldn't control the situation,and the tram slipped down the hill dragging the horses with it. Horrible accident indeed!
Had a late lunch at Fisherman's wharf,the district where Italian fishermen first came to San Francisco and set up the fishing industry. Now it's a tourist area with lots of shops,restaurants,and bakeries. Did so much exploring at Fisherman's wharf.
Exhausted and don't feel like doing anything else. Early night tonight!
Wednesday,14th June
I hopped on a ferry to Angel Island this morning. I had a good view of the Golden Gate Bridge on the way.
I read that from 1882 to 1940,Angel Island was a famous immigration station where many Chinese immigrants applied to live in the USA. The cells in the station were very small,cold,and damp;some did not even have light,but the immigrants had nowhere else to go. Their miserable stay felt like punishment rather than justice and freedom. They wrote poems on the walls about loneliness,and mourned their earlier life in China. The civil authorities reformed the system in 1940,and many more Chinese took the opportunity to settle in the USA.
The visit to Angel Island made me think about my life. I am thankful for my easy life today.
## Reading and Writing
(1)) 1 Read the web page and fill in the blanks below.
1 America is called the " Nation"
2 For most people,is "America's game".
3 is often called "America's music".
## $\star$ SYMBOLS OF AMERICAN CULTURE $\star$
Each country has its own unique culture,often represented by symbols,such as foods,sports,music,and clothes,which tell us something about it. When you think of America,what symbols come to your mind first?
Perhaps one of the most famous symbols of the US is fast food. Fast-food restaurants became popular when people began driving cars around the country. Many of the earliest fast-food restaurants were drive-ins where people ate in their cars while they were parked. However,now drive-throughs have become popular because people need to keep up with the speed of modern life. With a drive-through,you can just drive up to a window,pick up the food,and then drive away. About $20 \%$ of all American meals are eaten in the car,and Americans spend about 10\% of their income on fast food. No wonder America is called the "Fast-Food Nation"!
When it comes to seeing a game in person,baseball is by far the most popular sport in America. In a typical year,more people attend baseball games than football and basketball games combined. And for most people,baseball is "America's game" in a way that football and basketball are not,because it is a special symbol of the American spirit. For one thing,while baseball is a team sport,every player can be a hero or star. For another,almost anyone can play baseball,even if you do not have great skills or ability. Finally,there is nothing more American than eating a hot dog while watching a baseball game on a hot summer afternoon. Baseball still is the "national pastime".
Jazz is often called "America's music". It is a music style completely created in the United States by African American musicians. Jazz music broke through the colour barriers,and has become a key part of American culture. One early jazz pioneer was the trumpet player Louis Armstrong (1901-1971). Perhaps more than any other person,Armstrong helped spread jazz beyond its home in New Orleans to the rest of the United States,and to the world. Jazz musicians freely make up their own music to express their own feelings,even while playing in a group. This freedom and individuality make jazz a popular symbol of America.
There are many other symbols of America,such as the Statue of Liberty,Hollywood,and Broadway. These are but a few symbols that show something of American culture.
## Read the text again and answer these questions.
1 What are some common cultural symbols of America?
2 What made fast food popular in the US?
3 Why is baseball important in the life of Americans?
4 What can a musician express with jazz?
5 Can you think of other symbols of American culture?
3 Note the organisation of the text.
1 Circle the topic sentence of each paragraph.
2 Underline explanations,reasons,or details that support the topic sentence.
4 In groups,brainstorm four symbols of China and discuss these questions about each symbol. Take notes on your answers.
What is the history of this symbol?
Are there any famous people or events that helped to make this a symbol of China?
Are there any sayings that connect this symbol to China?
What does this symbol represent about China or the Chinese people?
Why is this symbol loved by Chinese people?
5 Use the table below to help you arrange your notes into an outline. Write down your topic sentences,and make notes of any reasons or details that support the topic sentences.
## Symbols of China
Symbol 1:
Topic sentence:
Reasons/Details:
Symbol 3:
Topic sentence:
Reasons/Details: Symbol 2:
Topic sentence:
Reasons/Details:
Symbol 4:
Topic sentence:
Reasons/Details:
Use your notes to write a web page about the symbols of China. Make sure that you include an introduction and a conclusion.
## * Expanding Your World
## NEW ZEALAND AND MAORI CULTURE
-THE LAND OF THE LONG WHITE CLOUD
Due to its remote location in the Pacific Ocean,New Zealand was one of the last countries to be discovered by humans. Although the majority of the current population is of European descent,it was the ethnic minority group known as the Maori who were the first to settle there. They named the country "Aotearoa" - the "Land of the Long White Cloud". Today,both past and present Maori culture can be found all over the country for all welcomed visitors to appreciate.
Maori arts and crafts are world-renowned and very popular with tourists. The Waka is a traditional canoe that has been skillfully carved out of a tree trunk,with beautiful carvings added to show tribal history and culture. A large war canoe could be up to 40 metres long and hold up to 80 people. Visitors to Maori historic buildings,such as tribal meeting halls,can see beautifully carved wooden architecture.
In addition,there are countless smaller objects and masks that were made to honour ancestors or legends,or to preserve a story for future generations.
Another well-known part of Maori culture is the traditional kapa haka dance-made famous by New Zealand's national rugby union team,who often perform it before games. The kapa haka is a traditional dance performed for celebrations,special guests,and battle ceremonies. The performance includes different dances and songs that make up a whole. A common dance sequence could be waiata tira (warm-up song),whakaeke (entrance song),waiataā-ringa (action song),haka (challenge),pou (old-style singing),poi (ball-swinging),and whakawātea (closing song).
Traditional tattoos,known as "moko",are also a strong visual part of Maori culture. They are most often done in spiral forms across
a man's face,and on the chin and lips of a woman. They represent a person's status,and are also believed to increase attractiveness. Receiving moko is seen as a great honour,and it is often part of a ritual to signal a person has passed an important milestone. As such,it is usually added in stages as a person grows older and achieves more,in a sense telling a unique story of a person's life.
There is so much more for visitors to discover about Maori culture. It is an essential part of what makes New Zealand the modern country that it is: a multicultural country that is forever evolving in new and interesting ways.
## UNIT 4
## Using Words and Expressions
1 Make phrases with the words in the two columns and explain their meanings. Then make sentences with the phrases.
$\begin{array}{lll} & \text { A } & \text { B } \\ 1 & \text { travel } & \text { argument } \\ 2 & \text { regular } & \text { facilities } \\ 3 & \text { mental } & \text { resources } \\ 4 & \text { sports } & \text { illness } \\ 5 & \text { shallow } & \text { customer } \\ 6 & \text { natural } & \text { agency }\end{array}$
2 Think of a word that best fits each definition and complete the crossword.
Across:
1 information or facts
4 a piece of equipment used to check or record something
5 a vehicle used for travelling or carrying things into space
8 enough for a particular purpose
Down:
1 a strong hope or wish
2 to be a sign that something exists or is going to happen
3 a piece of cloth used for washing or drying things
4 something that things can be made from
6 happening or existing now
7 on or to the further side of something
3 Complete the sentences with the correct forms of the words in the box.
$\begin{array}{lll}\text { argue } & \text { determine } & \text { independent } \\ \text { limited } & \text { muscle } & \text { orbit } \\ \text { otherwise } & \text { pattern } & \text { procedure } \\ \text { sufficient } & & \end{array}$
1 Some satellites can go around Earth in 90 minutes. Others that are much further away can take a whole day to Earth.
2 Crop circles first began appearing in England in 1975. Some people believe these mysterious are created by aliens.
3 The musician hopes that he will have time to make the new album.
4 Before you begin exercising,you should spend five or ten minutes warming up your
5 Please write down a list of the things you want to buy. You will forget them
6 If you encourage students to express their thoughts and creative ideas,they will learn to become __ thinkers.
7 You might be right,but don't try to convince people by Because if they are angry,they will be unable to hear you.
8 The safety video shows the proper for leaving the cinema in case of fire.
9 The direction in which education starts a man will his future life. -Plato
10 This training is designed for anyone who has knowledge of outdoor survival. 4 Complete the following sentences with the correct forms of the phrases or expressions in the box.
1 Wang Yaping,the only female astronaut the Shenzhou 10 spacecraft taught a physics lesson to Chinese students through a live video.
2 The Challenger disaster that occurred on 28 January 1986 the deaths of five NASA astronauts and two specialists.
3 I would like to thank you for all the happy times you shared with me,and all the great memories you gave to me.
4 They visit the space museum because a famous astronaut will give a lecture there.
5 Thousands of people come to Loch Ness each year seeing the famous monster.
6 The water___ before they could reach the next city.
7 If we polluting our planet,what will happen to our children?
8 Many people do not realise the importance of space exploration technology in their lives.,space exploration becomes a waste of time and money in their eyes. 5 Make compound words from groups $A$ and B. Then write your own sentences using five of them. Use a dictionary to help you.
## Using Structures
1 Complete the sentences using infinitives as the attribute or the adverbial.
1 Q: Why is Yang Liwei famous in China?
A: Because he is
(第一个进入太空的中国宇航员).
2 Q: How do you feel about the film 2001: A Space Odyssey?
A: I'm afraid the film is
$$
\text { (太长、太乏味而无法看完). }
$$
3 Q: Why was the Russian space station Mir (和平号空间站) brought down out of orbit?
A: One of the reasons is that Mir was too old and (不再是安全的居所).
4 Q: Would you like to travel into space some day?A: Yes,and I want to become (登陆火星的第一个中国人).
5 Q: Could you provide a simple introduction to how space rockets work?
A: I'm afraid the whole process is
(太复杂了,无法用几句话解释清楚). 2 Complete the sentences using the correct forms of the words in the box.
$\begin{array}{lllr}\text { hold } & \text { build } & \text { provide } & \text { live } \\ \text { set } & \text { carry } & \text { select } & \text { fall } \\ \text { take } & \text { launch } & & \end{array}$
1 The space shuttle (航夭飞机) was created as a reusable launch vehicle astronauts and other equipment into space and back again. The shuttle looks like an ordinary plane but it has a cargo bay (货仓) that is large enough a satellite.
2 Space probes (航天探测器) are often sent to places that are too far away or too dangerous for a human foot in. For example,in 1977,the Voyager 1 space probe was sent pictures of the planets Saturn and Jupiter.
3 The International Space Station was too big on Earth and into space,so different countries worked together and built about 100 modules (分离舱 ). Afterwards,these modules were joined together in space ____ $\quad$ living quarters,laboratories,and other equipment for astronauts for months.
4 As the first woman to make a trip into space,Tereshkova felt lucky and proud. When the great day finally came,she was almost too excited asleep!
3 Complete the passage with the correct forms of the verbs in the box.
$\begin{array}{llll}\text { make } & \text { do } & \text { be } & \text { connect } \\ \text { get } & \text { see } & \text { send }\end{array}$
On 17 October 2016,China's space agency launched the Shenzhou 11 space vehicle with the Tiangong 2 space laboratory. The vehicle carried the astronauts Jing Haipeng and Chen Dong. The connection between Shenzhou 11 and Tiangong 2 took about two hours to be completed.
The astronauts had many tasks in space as part of their mission. Firstly,they had to float through a narrow 80 -centimetre wide tube so as on board Tiangong 2 .
Once safely on board,the pair waved to the camera on Tiangong 2,greetings to everyone back home.
Then they performed various experiments. For example,they grew rice in space. They also gave themselves medical check-ups how their bodies were affected by in space.
Jing Haipeng and Chen Dong finally returned to Earth 30 days later,their space mission the longest such mission by Chinese astronauts to date.
4 Use your own ideas to complete the sentences.
1 I think is too difficult to
2 I think enough to
3 Ihope scientists will invent a to
4 I think we need to find a to
$5 \mathrm{I}$ so as to
## Reading and Writing
4)) 1 Read the text below and answer the questions.
Some of the world's most important scientists think the idea of people living on Mars will come true one day. Stephen Hawking believed humans must move into space to survive. "Once we spread out into space and establish independent colonies,our future should be safe," he said. Robert Zubrin,a rocket scientist,agrees and thinks starting with Mars makes the most sense. He thinks sending people to Mars will allow us to learn a lot-for example,about the ability of humans to live in a very different environment.
However,scientists will need to terraform Mars for people to be able to live. Terraforming means changing the environment on a planet so that it is similar to Earth's. One of the main goals of terraforming Mars is to warm it up because the average temperature there is about $-60^{\circ} \mathrm{C}$. One idea for warming Mars is to build factories there that produce greenhouse gases. This could take many centuries. However,it should lead to rainfall and the growth of plants,resulting in more air that people can breathe.
Another big concern for scientists is whether humans can move to Mars and still stay healthy in mind and body. As a test,six people lived in a Mars-like environment in Hawaii for a year before "returning to Earth" recently. It was a 1,200-square-foot room that was on the side of a volcano and used the sun for energy. Christiane Heinicke,one of the people who lived there,said that one of the biggest issues was feeling bored. So humans on Mars would always need to keep themselves busy with various activities. Another important finding was that the people living together should all be able to get along and work together.
One particular organisation based in Europe is planning to send the first humans to Mars before 2030. The organisation believes that its project is giving people worldwide the chance to be part of the first human crew ever to live on Mars for good. However,many experts think the project's cost of US\\$6 billion is too low for it to be successful. The American space agency NASA believes that sending people to Mars would cost about US $\$ 100$ billion,although this estimate is based on bringing them back to Earth,too. Regardless,it seems that humans living on Mars may well happen a lot sooner than most people believe. 1 What was Stephen Hawking's viewpoint on sending humans to other planets to live?
2 What does "terraforming" mean?
3 According to the test done in Hawaii,what might be one of the biggest problems for the first humans living on Mars?What might be the solution?
4 What is the writer's conclusion about living on Mars?
2 Look at the sentences taken from the text and explain the italicised parts in your own words.
1 Robert Zubrin,a rocket scientist,agrees and thinks starting with Mars makes the most sense.
2 As a test,six people lived in a Mars-like environment in Hawaii for a year ...
3 However,many experts think the project's cost of US\\$6 billion is too low for it to be successful.
## In pairs,discuss what Stephen Hawking said in Paragraph 1.
4 Write an essay that gives your opinion about the idea of humans living on Mars. In your essay,make sure to answer the following questions in detail.
- Do you think this will happen in the future?If yes,when and why?If no,why not?- What do you think are the main advantages and disadvantages of humans living on Mars?- Do you think it is a good idea for some people to move to Mars for good?Why or why not?- Would you like to live on Mars?Why or why not?
## * Expanding Your World
## What is the Big Bang Theory?
The Big Bang Theory is an idea about how our universe began. Many scientists believe that everything in the universe used to be tightly pressed together. Then this mass of high energy separated into smaller pieces very quickly about 14 billion years ago to create the universe. At the moment of creation,the universe was extremely hot and everything was very close together. Then it began to spread out and cool. Today,the universe is still getting bigger. The Big Bang is considered to be the beginning of everything: time,space,and all the matter in the universe.
## Using Words and Expressions
1 What does each word mean as a noun and a verb?Complete the sentences using the correct forms of these words.
judge sort spot suit tailor
1 We should all try to be the of person who maintains a balance between their income and expenses well.
2 Sam the film DVDs according to genres ( 体裁),like action,comedy,and horror.
3 All students are required to dress formally on this occasion,so each boy must wear a and tie.
4 The director of the opera decided immediately during the woman's audition (试唱) that the role her perfectly.
5 They invited a famous singer-songwriter to be one of the on the newest season of that popular talent show.
6 I feel that we should not people on the basis of how they look or how much money they have. Qualities like kindness and honesty should not be ignored.
7 He won a Best Actor award for a film role that had been specially for him. Critics (评论家) said this had been the best performance of his career so far.
8 The school hired an experienced to make the lifelike dinosaur costumes the students needed for their performance.
9 This is the where they filmed that scene from Forrest Gump with him saying "Life is like a box of chocolates. You never know what you're gonna get." 10 She became a professional actress after she was by a talent scout (星探) who saw her perform in a school play.
2 Complete the passage with the phrases in the box.
in case in a direct manner by accident as a matter of fact in that case
I came to love stage design When I was in the ninth grade,my teacher Ms Weaver asked me to join her stage design team for a play. I told her that I didn't know anything about stage design. But Ms Weaver said,"Give it a try,you have a talent for it!",so I became part of her team. And Ms Weaver turned out to be right-I was good at stage design!Ms Weaver was strict and spoke but she was always encouraging and inspiring. For example,if we could not figure out what kind of stage design to create for a scene,she would say,,think about the plot from a different point of view. You never know what will pop into your mind!" I have to say,learning stage design greatly broadened my mind. And thanks to Ms Weaver,I began to have more confidence in my own creativity,and I developed such a strong interest in stage design that I realised I wanted to spend the rest of my life doing it.
3 Complete the passage with the correct forms of the words in the box.
settle whisper duty patience judge permission hesitate seek
Wearing blue jeans,Gary stood in front of an expensive tailor's shop. After for several moments,he finally went in and asked to see the suit in the window. The shop assistant looked down on Gary because of the way he was dressed. Glancing at him impatiently,he to the owner nearby. With the owner's,he said that the suit had already been sold. Gary was angry that he was being by his clothes. The next day he returned to the same shop,dressed more properly this time. After out the assistant,he asked to see an expensive-looking suit on an upper shelf. Not realising who Gary was,the assistant was eager to carry out his properly this time. With great and difficulty,he climbed up to
bring the suit down,apologising for keeping Gary waiting. The moment Gary looked at it more closely,however,he said he did not like it. He enjoyed himself making the assistant bring almost everything in the shop to him before he finally on buying a tie. Would you do the same if you were Gary?
4 Translate the sentences into English using the words and phrases in brackets.
1 我坐在歌剧院外面的台阶上,欣赏着它的外观,想起多年前在这里看演出的那一天。(stair,opera,external)
2 作者暗示,在一定程度上,男女主人公对最后的悲惨结局都负有责任。(indicate,to ... extent,tragic)
3 作为一个制片人,他的职责之一是为这部剧中的角色寻找最佳演员,包括银行职员、裁缝、酒店经理、服务员、仆人这样的小角色。(duty,seek,clerk,tailor,servant) 4 这部剧讲的是小伙子买小船周游世界的故事以及他回到家乡定居之前的冒险经历。(settle down,sail)
5 得知女儿想考戏剧学院,他们每月都存一点儿钱,这样女儿上大学就不需要申请贷款了。(set aside,loan)
6 当店员看到那张百万英镑的钞票时,吃惊得说不出话来。他恢复常态后,因为不能兑开钞票而连声道歉。(normal,make apologies,break the note)
## Using Structures
1 Work out the meanings of the modal verbs from the context. Then translate the sentences into Chinese.
1 had better and ought to It's hard to tell what will happen to someone with a million-pound bank note. We'd better make a bet.
We ought to find the perfect person for our bet.
## 2 must and can't
Get him his change?You must be joking. That can't be true. It is $£ 1,000,000$!
If you lose the bet,you must pay $£ 20,000$,and you can't eat your words!
## 3 will and would
A: The gentlemen have left for the Continent,and they said they would not be back until a month later.
B: Will you tell them I've been here,and that I will keep coming till they tell me what this is all about?
## 4 may and might
May I tell you a story?What do you think may happen to a millionaire in rags?
Henry played a passive role in the bet. What might have happened if he had known from the beginning what it was all about?5 can and could
When the clerk saw the million-pound note,he couldn't believe his eyes. "Could you please come this way,sir?" he said. "Let me show you some of our best clothes."
Some people never play any game for fun. If they can't make something or lose something - they don't care which - they won't play.
2 John is learning English proverbs. Fill in the blanks with suitable modal verbs to explain these proverbs to him.
1 One good turn deserves (值得) another. If someone does something nice for you,you do something nice in return.
2 Hope for the best,but prepare for the worst. Bad things might happen,so you be prepared.
3 There's no such thing as a free lunch. Things that are offered for free have a hidden cost.
4 God helps those who help themselves. You (not) just wait for good things to happen to you. Work hard to achieve your goals.
5 Beggars can't be choosers.
If you are asking for something from others,you take whatever they give you.
3 Fill in the blanks with suitable modal verbs in the box. Add not if necessary. Some words can be used more than once.
$\begin{array}{lll}\text { could } & \text { must } & \text { can } \\ \text { ought to } & \text { had better } & \text { would }\end{array}$
Karen: Oh no!I find the earrings that I'm supposed to wear in the first scene of the play!
Sandy: You mean the silver earrings?They be there beneath your play script. I saw them just now. Karen: No,they're not. Someone have taken them!
Sandy: Don't worry. I can help you look for them if you like me to.
Karen: Oh,that would be great!you start searching from the other side of the room?I'll start from this side.
Sandy: Sure,no problem!But what will happen if we find the earrings?
Karen: Then I think of a solution quickly!Those earrings are an important part of my costume.
Sandy: Hmm ... Actually you have another option. You go to the store to buy another pair of earrings that looks similar to the missing pair. They're not expensive,right?
Karen: That's a good idea!Thanks,Sandy!
4 Complete the sentences with would,was/were going to,and the words in brackets.
1 The clerk in the consulate told Henry that they (not,give,a loan).
2 Henry entered the gentlemen's house,wondering if they (offer,a job).
3 The gentlemen said that Henry (know,everything) in an hour and a half.
4 Henry (explain why,not pay,the bill) right away when the waiter became impatient.
5 The owner of the tailor's shop never thought he (hold,such a large note).
6 After one month,Henry went to see the gentlemen with Portia. He (give back,note).
## Reading and Writing
(1)) 1 Read the following scene from The Million Pound Bank Note and choose a phrase to summarise it.
The winner of the bet A happy ending Henry's new job
Falling in love Money talks
The fate of the bank note
## THE MILLION POUND BANK NOTE
## ACT 2,SCENE 3
$\mathrm{N}=$ Narrator $\mathrm{H}=$ Henry $\mathrm{P}=$ Portia $\mathrm{R}=$ Roderick $0=$ Oliver
N: Henry and Portia fell in love. Henry also met an old family friend who had money troubles. His friend used Henry's name to get people to invest in his gold mine. This made Henry rich. A month has passed. Knowing the two brothers were back,Henry dressed himself in the finest clothes and went to see them with Portia.
(At the brothers' home,the servant lets them in. The two brothers are seated,waiting.)
H: Good morning,gentlemen. (Roderick seems very surprised to see Portia.) Portia,these are the men who helped me.
P: So very nice to meet you,kind sirs. (She gives Oliver a wink.)
H: Gentlemen,l'm ready to report.
R: Er ... Portia,I ...
O: Now we can decide the result of the bet which Roderick and I made. If you've won for me,you shall have any job as my gift. Have you got the million-pound bank note?
H: Here it is,sir.
O: I've won!Now what do you say,Roderick?
R: I say that l've lost twenty thousand pounds. Why,that is amazing,man!
H: Come,let's be going now,Portia.
O: But wait,wait!The job,you know. I ought to give you a job,as I promised.
H: Well,thank you very much,but I really don't want one now. P: Henry,I'm disappointed in you. You didn't thank the gentlemen properly. May I do it for you?
H: Let me see you try.
(Portia walks over to Roderick and gives him a hug. Then she sits in Oliver's lap,puts her arms around his neck and kisses him on the cheek. Oliver begins laughing.)
P: Papa,he says he doesn't want anything else from you.
H: (surprised) My dear,is that your papa?!
P: He's my stepfather.
H: Oh,my dearest dear sir,I apologise for what I said. You have got a job opening that | want.
O: Name it.
H: Son-in-law.
O: Well,well,well!But you've never had such a job before. How can I be sure you can do it successfully?
H: Try me ... oh,do,I beg of you!
0: Oh,well,all right.
N: Were Portia and Henry happy?Words alone were not enough to describe it. Eventually,Portia's stepfather took that bank note back to the Bank of England and cashed it. The bank note was then useless for money but was his wedding gift to the young couple. Yes,the bank note was worth a million pounds,but it was not worth even one tenth of what Henry felt for Portia. 2 Put the following events in the correct order.
Oliver cashes the bank note.
Henry falls in love with Portia.
Henry finds out Oliver is Portia's stepfather.
Roderick and Oliver come back from their trip.
Oliver offers Henry a job.
3 Answer the following questions.
1 How did Henry become rich?
2 Who won the bet,Roderick or Oliver?Why?
3 Why didn't Henry want a job from Oliver?
4 What happened to Henry and Portia in the end?
5 What kind of person do you think Henry was at the beginning?How did he change during the one month?
6 How did people treat Henry during that month?What do these people have in common?
7 What do you think the writer wanted to tell us through this story?
4 Write a review of the play The Million Pound (1) Play reviews Bank Note.
1 In pairs,discuss what elements are usually included in a review of a written play.
2 Use the outline below to make notes about your review.
There are two kinds of play reviews: a review of a written play,and a review of a performance. The purpose of a play review is to give information to others so they can decide whether or not they want to read or watch the play.
## An introduction:
- What is the name of the play?- Who is the author?
## A short summary of the play:
- What is the play about?(Do not give away the ending of the play!)
- Who are the characters and what are they like?- How do the characters' attitudes towards Henry change during the play?
Your thoughts and feelings about the play:
- Did you enjoy the play?Why or why not?- Would you recommend the play to other people?Why or why not?
3 Now write your review using full sentences. Remember you should explain your ideas.
## * Expanding Your World
## MY UNCLE JULES (Adapted)
Henri René Albert Guy de Maupassant
When I was growing up in Havre,my family was very poor.
My father worked long hours to support our family. We ate the same food every day,saved where we could,and tried our best to keep up appearances. Every Sunday,we would put on our best clothes and go for a walk by the sea. My parents would walk at the back with great dignity. My sisters,both of marriageable age,would stride ahead,hoping to attract the right people.
On those days,when we saw the ships returning from distant countries,my father would remark:
"What a surprise it would be if Jules were on that one!Eh?"
My uncle Jules was the black sheep of the family. He had squandered both his inheritance and my father's,before setting forth for America. There,he set up a business in New York and wrote to say that he would soon repay my father. The news caused a dramatic change. Once regarded as a hopeless case by all,Uncle Jules was now considered a good and honest man,like all the other Davranches. "When I am wealthy,I shall return to Havre," he promised in another letter. "I hope it won't be too long and that we shall all live happily together."
That letter was pulled out and read at every opportunity. The more time passed,the more hopeful my family became. After all,our dreams were built on the wealth of Uncle Jules.
A few years later,one of my sisters got married to a clerk - a man whom I suspect to have seen the letter - and my family celebrated by going on a rare holiday together. On the ship bound for Jersey,we saw an old man shucking oysters for the passengers.
"That man looks extraordinarily like Jules," my father muttered to my mother.
Astonished,my mother went to take a closer look. She,too,turned pale as a sheet. My father then asked the captain for more information.
The captain said,"He's a tramp whom I met in America. He's avoiding his family in Havre because he owes them money. I think his name is Jules_-Jules Darmanche or Darvanche,or something like that."
"It's he!What should we do?" moaned my father.
My mother,suddenly furious,exclaimed,"I knew that thief would remain useless!What else can we expect from a Davranche!"
Only the three of us were in the know. Determined to keep it that way,my parents handed me five francs and asked me to pay for the oysters discreetly.
"How much do we owe you,monsieur?" I asked.
“Two francs fifty," he replied.
I handed him the money and received change from his poor wrinkled hand. I looked at his old and unhappy face,and I,too,saw my uncle. Unable to help myself,I gave him back fifty centimes.
"Thank you so much,young sir!" he said gratefully,without recognising me.
"Are you insane?" my mother exclaimed when I returned with two francs. "Giving a tip to that man-"
My father pointed at his son-in-law. Everyone fell silent. As we drew closer to Jersey,I wanted desperately to see my Uncle Jules again and to console him with tender words,but he had long disappeared below the deck.
## Appendices 附录
## Notes 注释
## Unit 1
1 Phoenix flutes make music,... whirl the whole night long. 凤箫声动,玉壶光转,一夜鱼龙舞。
这几句词源自我国宋朝词人辛弃疾（1140-1207）的著名词作《青玉案·元夕》,英译摘自《古诗苑汉英译丛：宋词》( 杨宪益、戴乃迭等译 )。全词描绘了我国古代元宵节景人合一的民俗风情画卷。该词作全文为：“东风夜放花千树。更吹落、星如雨。宝马雕车香满路。凤箫声动,玉壶光转,一夜鱼龙舞。蛾儿雪柳黄金缕。笑语盈盈暗香去。众里寻他千百度。募然回首，那人却在，灯火阑珊处。”
## Coming-of-Age Day 成人节
迈入成年是人生成长的重要标志,具有深远意义,因此,世界各国人民都非常重视,不仅有明确的成年标准,还会举行仪式庆祝。有的国家还形成特有的节日,将其称作“成人礼” 或“成人节”。日本成人节为每年一月第二个星期一,成人式是该国的一种传统,以庆祝青年人年满 20 岁,迈入成年。日本女性通常会穿着一种叫作“振袖” ( furisode ) 的和服参加成人式,男性也会穿传统服饰,但现在很多男性更愿意穿西式服装。
## 3 carnivals 狂欢节
狂欢节又称“嘉年华”,该节日的欢庆方式包括歌舞、音乐和多姿多彩的热闹的游行等。狂欢节起源于中世纪,在每年的大斋期 (Lent) 前举办。也有专家认为狂欢节源于古罗马时代的仲冬节。世界上有不少极负盛名的狂欢节,其中包括巴西里约狂欢节 ( Rio Carnival ) 和美国新奥尔良狂欢节 (Mardi Gras in New Orleans )。
里约狂欢节被认为是世界上最盛大的狂欢节,于每年二月或三月举办,时长五至七天。里约狂欢节以各流派桑巴舞 ( samba）表演最为闻名。狂欢节期间,各舞蹈团体、歌唱团体、演奏团体之间相互竞艺，欢庆的人们服装华丽，表演火热奔放且持续时间长，场面极为壮观。
4 This important agricultural festival takes place after all the crops have been gathered in. 这一重要的农耕节日（一般）会在所有农作物收割完毕后举行。
During the Mid-Autumn Festival in China,families gather to admire the shining moon and enjoy delicious mooncakes. 在中国中秋节期间，家庭成员团聚在一起，共赏明月，品尝美味的月饼。
gather一词的含义非常丰富。上面所列的第一句中,gather sth (in) 表示“收割；收获”。第二句中的 gather 表示“聚集;集合”,在表达这一含义时,gather之后还可接介词或副词,如round、together 等。例如:
Many people in the square were attracted by the beautiful music and they soon gathered round the performers. 广场上许多人被那美妙的音乐所吸引,很快都聚集在演奏者的周围。
It is a tradition for most American families to gather together to celebrate Thanksgiving. 对于大多数美国家庭而言，聚在一起庆祝感恩节是一种传统。
此外,gather还可表示“收拢;归拢”“搜集;采集”“认为;猜想”等含义。例如:
The boy gathered all his toys from the floor and then put away in a box. 男孩将地上所有的玩具收起来,然后放在盒子里。
Gather ye rosebuds while ye may. 花开堪折直需折（意思是花开了可以折的时候要赶紧去折 )。
I gather from your letter that you are not satisfied with your new job. 从你的来信中我了解到,你对你的新工作不是很满意。5 But,to be frank,the fireworks going off throughout the night were really annoying. 但是,说实话,整晩的烟花燃放声真的有些令人烦躁。
此句中 going off throughout the night 用作fireworks 的定语,其中动词短语go off表示“爆炸”。除了这一含义以外,go off 还可表达“离开”“( 警报器）发出响声”“( 设备）停止运转”“( 食物）变质” 等含义。例如:
He hung up the phone and went off in a hurry. 他挂了电话，匈忙地离开了。
The central heating in the building goes off at 6 o'clock. 大楼的中央供暖系统六点停止供暖。
The alarm clock went off at 6:40 and woke him up. 6 点40 分，闹钟响了，把他叫醒了。
Don't drink the milk;it's gone off. 别喝那牛奶,牛奶坏了。
【思考】你还学过哪些与 go相关的短语?请将它们列出来并说明其意义和用法。
6 the Naadam Festival“那达慕” 大会
“那达慕”大会是蒙古族传统节日，主要流行于我国内蒙古自治区、甘肃省、青海省、新疆维吾尔自治区和蒙古国。“那达慕”大会举办时间一般在七八月,节期一至数日。“那达慕”为蒙古语,意为“娱乐”“游戏”。“那达慕” 源于蒙古族的“祭敖包”仪式。“敖包”以石块堆积而成，原是道路和境界的标志,后来成为祭祀场所。人们意在通过祭敖包,祈求吉祥多福、人畜兴旺,同时也举行一些体育娱乐活动,后来演变为“那达慕”大会,成为欢庆农业丰收和畜牧业兴旺的节日盛会。每年夏秋牧闲时节,由一旗或数旗联合举办“那达慕”大会。届时,牧民身着盛装,骑马或乘车赶来。传统的“那达慕” 盛会要进行赛马、射箭和摔跤三项竞技,现在还增添了马球、马术、田径比赛以及文艺演出等新内容,同时进行物资交流。大会期间,与会者相互邀请做客,敬酒祝愿。
7 I'm finally back home now,feeling really tired,but celebrating Naadam with my friend was totally worth it. 现在我终于回到家了,感到十分疲倦,但是和我的朋友一起欢度“那达慕” 大会是完全值得的。
be worth it 是一种非正式表达,常用来表示某事是否值得做。与之相反的表达是 be not worth it,即表示某事不值得做。例如:
It took us at least three hours to get to the top of the mountain,but the view up there is worth it. 到山顶至少花了我们三个小时,但是（观赏）上面的景色还是值得的。
A: Shall we go and see the museum?我们去不去看那个博物馆?
B: No,it's not worth it. 不去，不值得去。
## Unit 2
1 To a person nothing is more precious than their life,... 对一个人来说,没有什么比他们的生命更加珍贵了,
此处“nothing is + ( 形容词 ) 比较级 + than ...”是一个常见的句型,表示“没有什么比 $\cdots \cdots$ 更
加……”。如：
To me,nothing can be more important than a healthy body. 对我来说,没有什么比健康的身体更重要。
In my eyes,nothing is better than your presence. 依我看,没有什么比你亲自出席更好的了。
句中 their相当于his or her。在现代英语中,人们对诸如 person、somebody、anyone这类性别不明的指代,除了宽泛地使用he or she、him or her 或his or her外,更多时候会结合语境选用复数概念进行指代，即使用 they/them/their。再如:
Let's keep our voices low-someone is taking their naps in the classroom. 我们说话低声些，有人在教室里午休呢。
If anyone finds my glasses,could they let me know?如果有哪位看到我的眼镜了，麻烦告诉我好吗?2 These words of Dr Lin Qiaozhi give us a look into the heart of this amazing woman,and what carried her through a life of hard choices. 林巧稚医生这一席话使我们得以突见这位非凡女性的内心世界,并了解是什么支撑她度过充满艰难抉择的一生。
林巧稚 (1901一1983),中国著名医学家,我国妇产科学的先驱。1929 年,林巧稚毕业于私立北平协和医学院 (后更名为北京协和医学院),被聘为协和医院妇产科大夫,为该院第一位毕业留院的中国女医生。新中国成立后,她曾担任中华医学会副主席等职务,是中国科学院首届学部委员,在妇产医学和妇幼保健领域作出了杰出贡献。
carry sb through 为短语动词，表示“帮助或使得某人勇闯难关、战胜病魔等”。如:
My confidence,together with the skills you taught me,carried me through the exams. 我的信心,加上您教给我的技巧，帮助我通过了考试。
It was your words that carried her through. 是你的话支撑着她渡过了难关。
3 At times she was even seen riding a donkey to faraway villages to provide medical care. 有时人们甚至会看到她骑着毛驴到遥远的村庄给人看病。
与 see 类似的表示感觉和心理状态的动词,如hear、feel、smell、watch、find 等,其后都可接“宾语+动词-ing 形式” 构成的复合宾语结构,动词-ing 形式充当宾语补足语,用来补充说明宾语的动作和情况。如:
We often see her dancing in front of the public. 我们常常看到她在公众面前翩翩起舞。
I didn't notice him leaving the building. 我没注意到他离开大楼。
faraway是一个形容词,主要用作前置定语,修饰具体的名词。如:
We enjoy his stories of all the faraway countries he has visited. 我们喜欢听他讲所有他去过的遥远国度的故事。
而 far away 短语则不同,除用作状语外,还可作后置定语,对名词进行限定。如:
We could hear the sound of water not far away. 我们听得见不远处水的响声。
Sam lives far away from his school. 萨姆住的地方离他的学校很远。
4 And even as she lay dying,her final thoughts were for others. 即使在她弥留之际,她最后惦念的仍是他人。
be/lie dying 相当于汉语“弥留之际”，是一种地道的英语表达方式。如:
He was dying,but still thinking about the safety of others. 在他弥留之际，依然想着他人的安危。
5 After a while,a group of women came along,each balancing a pot of water on her head. 过了一会儿,一群妇女走了过来,每个人头上都顶着一罐水。
本句中 each balancing a pot of water on her head 是一个由代词 each 和动词-ing 形式短语组成的独立结构,充当句子的状语,这种语法现象被称作“独立主格结构”。该结构通常由“名词或代词 +动词-ing 形式短语或过去分词短语、不定式短语、介词短语等” 构成。在该结构中,名词或代词和其后的短语构成逻辑上的主谓关系,用来修饰谓语动词或整个句子,表示时间、条件、原因、伴随、目的或结果等。如:
The day being hot,we went swimming. 天气炎热，我们去游泳了。
He lay on his back,his hands crossed under his head. 他仰面躺着,交叉的双手枕在头下。
## Unit 3
1 a potluck dinner/party“百乐餐”
potluck dinner/party 是美国很受欢迎的一种聚餐形式。它最早出现在 16 世纪的英格兰,取意于“luck of the pot”,即“锅里正巧有的食物”,指非特意准备的家常便饭。potluck dinner/party的中文翻译为“百乐餐”,后衍生成客人自带食物的聚会。被邀请的客人需自带一款亲自烹调的食物与大家一同分享,这样所有人既可以品尝到丰盛的美味,还能帮助主人减少花销和准备时间。由于这样的聚会方式既方便又省钱，因而成为美国一种大众化的请客方式。
## Native Americans 美洲土著居民
美洲土著居民,即印第安人，属蒙古人种美洲支系。他们使用印第安语,包括十几个语族。多数学者认为,美洲印第安人是在大约两三万年前分多批从西伯利亚经白令海峡到达阿拉斯加,逐步向南迁徙，一直抵达美洲最南端，散布于整个美洲。在哥伦布到达美洲时，印第安人人口众多，估计在 2,000 万到 4,000万之间。从 16 世纪起，由于遭受欧洲殖民者的入侵和屠杀,印第安人人口急剧减少。其后缓慢回升，到 21 世纪初约有 5,000 万人。
印第安人对世界文化有特别显著的贡献。他们首先栽培了玉米、马铃薯、向日葵、木著、可可、烟草等农作物。其次是对艺术的创造,特别是安第斯地区印第安人的艺术,表现出对生活的丰富想象力和细致的观察力。工艺品有木雕、编织、纺织、羽饰、刺绣和陶器等。独具一格的印第安艺术至今仍是现代美洲人民艺术发展的基础。
## 3 gold rush 淘金热
$19 世$ 纪 40年代末，加利福尼亚发现金矿的消息很快传遍美国并轰动世界，人们蜂拥而至，形成空前的淘金热潮。这一热潮使得美国吸引了更多来自世界各地的移民,极大地推动了西部地区的发展。作为淘金热的中心地区,圣弗朗西斯科（又称三藩市）被称为“旧金山”。
1851 年,人们在澳大利亚墨尔本也发现了金矿，并在那里形成淘金热，故墨尔本又被称为“新金山”。
4 Apart from being the kingdom of flowers,it is home to many ethnic minority groups. (云南) 除了是花的王国以外,还是许多少数民族的居住地。
介词短语apart from 可表示“除了……外”“除了……还”“此外”等含义，相当于美国英语中的
aside from。例如:
Apart from the boring fight between the two heroes,it is a really good movie. 除了两个主人公之间乏味的打斗以外,这部电影还真的不错。
Apart from being a painter,she is also a yoga coach. 除了是位画家，她还是个瑜伽教练。
【思考】你能再说出几个表示“除了……外”或“此外”的介词或介词短语吗？请用它们造句，说
明其用法。
5 What started as a residential area for Chinese immigrants then turned into a centre for Chinese culture. 早先作为中国移民的住宅区的地方后来变成了中华文化的中心。
What started as a residential area for Chinese immigrants 是一个主语从句,整句话的谓语是turned into。
## Unit 4
## Space: The Final Frontier 太空: 最后的边境
这个标题源于美国系列连续剧《星际迷航》( Star Trek) 每一集最初的引语，是剧中人物 James Kirk舰长的一段独白,全文为: Space,the final frontier. These are the voyages of the starship Enterprise. Its continuing mission,to explore strange new worlds,to seek out new life and civilisations,to boldly go where no man has gone before. 2 However,some scientists were determined to help humans realise their dream to explore space. 然而,一些科学家决意要帮助人类实现探索太空的梦想。
此句中 be determined to do sth 的意思是“下定决心做某事”,其中 determined 是形容词,表示“有决心的；意志坚定的”。如:
She was determined to lose weight successfully this time. 这一次，她下定决心一定要减肥成功。His father made a determined effort to quit smoking. 他爸爸决定努力戒烟。
动词 determine 则表示“决定;确定”,其后可接名词、从句或不定式。如:
Investigators are trying to determine the cause of the accident. 调查人员在设法弄清事故的原因。
Doctors have determined that the old man died of a heart attack. 医生们确定老人死于心脏病发作。He determined to leave the city at once. 他决定马上就离开这个城市。
their dream to explore space 的意思是“他们探索太空的梦想”,其中 to explore space 用作后置定语,修饰 their dream。不定式短语用作后置定语的情况在口语中也很常见。再如:
I have no time to go there. 我没有时间去那儿。
There is nothing to worry about. 没什么可担心的。
## Yuri Gagarin 尤里・加加林
尤里 • 加加林是苏联航天员。他于 1934 年出生,1960 年被选为航天员。1961 年 4 月 12 日,他驾驶“东方一号”飞船完成人类有史以来首次太空飞行。他被授予“苏联英雄”称号,曾获列宁勋章。1968年,他因飞机失事遇难。为纪念他,他的出生地被改名为加加林区,国际航空联合会设立了加加林金质奖章，月球表面的一座环形山也以他的姓氏命名。
4 That's one small step for [a] man,one giant leap for mankind. -Neil Armstrong 对一个人来说,这是一小步;对人类来说,这是一大步。——尼尔・阿姆斯特朗
这是 1969 年美国宇航员尼尔 - 阿姆斯特朗登月成功时所说的一句名言,充分表达出这次登月成功是人类太空探索的重要里程碑。
5 This is because people believe in the importance of carrying on space exploration despite the huge risks. 这是因为人们坚信太空探索的重要性,哪怕面临巨大的风险。
carry on sth/with sth 这一短语的意思是“继续做某事” 或“坚持做某事”。carry on也可接动词-ing 形式，表示“继续做某事”。如:
Don't stop. Please carry on. 别停,请继续。
She threw the ball back to the boy and then carried on reading her book. 她把球扔回给男孩,然后继续看她的书。
Can you carry on with your work while I am away?我不在的时候你能继续干你的活吗?
【思考】你还学过哪些表示“继续做某事”的短语？它们有何异同？请举例说明。
6 Then Shenzhou 6 and 7 completed a second manned orbit and the first Chinese spacewalk,... 此后,神舟六号和神舟七号分别完成了第二次载人环绕地球飞行以及中国人的第一次太空行走
spacewalk意为太空行走,又称为出舱活动,指航天员离开载人航天器到舱外进行的活动。1965年 3 月 18 日,苏联航天员列昂诺夫在“上升二号” 飞船上借助供氧脐带进行了24 分钟的舱外活动,这是人类第一次太空行走。2008年9月 27 日,中国“神舟七号” 载人飞船上的航天员翟志刚实现了中国航天员首次太空行走。
## Unit 5
## The Million Pound Bank Note《百万英镑》
《百万英镑》是美国著名作家马克·吐温的一部短篇小说，讲述了一个因帆船失事而陷入困境的美国小伙子亨利·亚当斯在伦敦的一次奇遇。伦敦的两位富家兄弟打奢,把一张百万大钞借给亨利,看他在一个月内能否生存。一个月的期限到了,亨利不仅没有饿死或被捕,反倒成了富翁,并且赢得了一位漂亮小姐的芳心。小说以略带夸张的艺术手法和幽默的语言,辛辣地讽刺了20世纪初英国社会的拜金主义思想。
马克·吐温（Mark Twain,1835-1910）的真实姓名是塞缪尔·兰霍恩·克莱门斯 ( Samuel Langhorne Clemens )。“马克·吐温”这个笔名原是密西西比河水手在航道上测量水的深度时所用的术语。马克·吐温一生写了大量作品,其代表作有《百万英镑》《哈克贝利·费恩历险记》《汤姆·索亚历险记》等。
2 Money is a good servant and a bad master. 金钱是善仆,也是恶主。
这是英国哲学家弗朗西斯·培根 (Francis Bacon ) 的一句名言,它形象地阐明了金钱在人们生活中的作用,提醒人们要做金钱的主人而不是奴隶。
3 And it was the ship that brought you to England. 是那条船把你带到了英国。
这是一个强调句，被强调的部分是the ship。在英语中，我们常用“It is/was + 被强调部分（通常是主语、宾语或状语 )+ that/who/whom + 其他” 的结构突出强调句子的某一成分。在这个句型中,it 用来引出被强调的成分,没有实际意义。如果被强调的部分是人,可以用 who、whom或 that 来连接。如果被强调的是事物,则一律用 that 来连接,并且 that不能省略。如:
It was his devotion and contribution that motivated me greatly. 是他的付出和贡献极大地激励了我。
It is our parents and teachers that/whom we should be most grateful to. 我们最该感恩的是我们的父母和老师。
It was from my chemistry teacher that I learnt how to watch carefully when doing experiments. 从我的化学老师那里,我学到了如何在做实验的过程中仔细观察。
4 I was about to go get the letter. 我正要去拿信呢。
be about to 表示即将发生的动作,在时间上指最近的将来,意思是“即将、正要做某事”。如:
Can I call you back later?We're about to have dinner. 我晩点再给你回电话好吗?我们马上要吃晩饭了。
在课文中,Oliver正想把信交给Henry,但是Roderick先他一步提到了信,所以 Oliver 说“I was about to go get the letter.”。这里用了 was 而不是 am,表示刚才他就打算这么做了,指的是过去的将来。下面的例句也是用 was about to 表示过去的将来:
I was just about to ask you the same thing. 我刚才正要问你同一件事情。
We were just about to leave when Jerry arrived. 我们正要离开的时候,杰里来了。
【思考】你知道还有哪几种方式可以表示过去将来时态吗?在本单元中找一找!
5 I remember thinking that never would I hold such a note as this ... 记得当时我以为我
（手里）永远不会握着这样一张钞票⋯⋯
这句话中包含一个宾语从句 that never would I hold such a note as this,该从句是一个倒装句,正常的语序为 I would never hold such a note as this。
倒装是一种语法手段,用于特定的句子结构或强调某一句子成分。英语的基本结构是主、谓结构,倒装就是将这种比较固定的词序加以颠倒。否定词或词组放在句首时常用倒装。如:
He was not wrapped in grief. Nor did he let the disease stop him from living the kind of life he had always dreamt about. 他没有沉浸在悲伤中，疾病也没能阻止他追求梦想的生活。
Down came the rain and up went the umbrellas. 下雨了，伞都撑起来了。
By the window sat a young lady with a magazine in her hand. 窗边坐着一位年轻女士,手里拿着一本杂志。
6 Go get the others,Todd!托德,快去取别的衣服过来!
这句话相当于“Go to get the others,Todd!” 或者“Go and get the others,Todd!”,口语中经常会有这种非正式的用法。
戏剧为对话体,所以剧本中使用了较多具有口语特征的结构。英语的语体类型通常包括书面形式 ( written form) 和口语形式 (spoken form)。书面表达较为正式，句子结构完整,而口语表达较随意,且多用省略句,语句简短,如: See him there. Your address,sir?Ready-made suits?Downstairs. This way,please.
【思考】你还能在课文中找到其他类似的句子吗?
7 I dare not buy all these things. 我不敢买这么多东西。
dare 既可用作情态动词,又可用作实义动词。用作情态动词时,dare 只有一种形式,即后接动词原形，且主要用于否定句和疑问句。如:
We'd dare not give you money. 我们不敢把钱给你。
I'm so afraid that I dare not move. 我吓得一动也不敢动。
How dare you speak to me like that?你怎么敢这么和我说话?
用作实义动词时,dare 有动词的全部形式,可用于各种句式。如：
After receiving training for some time,she dared to sing in front of her class. 接受了一段时间的训练后，她敢在全班同学面前唱歌了。
I didn't dare to tell her the truth. 我不敢告诉她真相。
He won't dare to break his promise. 他不敢违背自己的诺言。
## 8 play 戏剧
play即“剧本;戏剧”,是写出来让演员在舞台上表演的故事,并且通常有舞台说明来描绘人物的外表和行为。剧本主要由剧中人物的对话、独白、旁白和舞台指示等组成。戏剧基本要素的英文表达如下:
title of play 剧名
scene场
characters 人物 (一般可分为主角和配角）
lines of dialogue 台词（剧本的主要构成元素）
narration旁白;解说
stage directions 舞台指示（剧本中关于演员上下场、表演动作等的说明）
【思考】对于一场成功的演出,有了剧本还要做哪些准备?如何进行排练?
## Grammar 语法
## The -ing Form 动词-ing 形式 (1) (2)
动词 -ing 形式由“动词原形 + -ing” 构成。动词 -ing 形式可在句中作主语、宾语、表语、定语、宾语补足语和状语,但不能单独作谓语。
成分
用法例句
如果是单个的动词-ing 形式作定语，常放在被修饰词前作前置定语;如果是定语动词 -ing 形式短语作定语,则常放在被修饰词后作后置定语。
一种表示主语的性质、特征和状态,其作用相当于
表语形容词；另一种具体说明主语的内容,即主语等同于表语，两者可互换。
置于某些及物动词和宾语之后,补充说明宾语的动作或状态。在这种情况下,
宾补及物动词通常是表示感觉和心理状态的动词或使役动词。
可以表示时间、条件、原因、让步、结果、方式或伴随状况，其作用相当于状语状语从句。此外,动词 -ing 形式的逻辑主语应与句中主语一致。It was great fun walking along the streets,enjoying the relaxing atmosphere!
I just can't take my eyes off the shining lights on the Christmas trees everywhere.
Families celebrating the Lunar New Year can enjoy exciting dragon dances and carnivals together.
You look amazing tonight.
Seeing is believing.
The most important thing is getting there in time.
Along the way,we saw many people playing music,singing,and dancing.
She heard someone knocking at the door.
You have kept me waiting the whole morning
Having dressed up nicely,we went out to have some good local food and enjoy the celebrations.
Thinking of all the people still in need of help,Dr Lin opened a private clinic.
She sat at the desk reading a newspaper.
## Infinitives 动词不定式 (1)
初中阶段大家已经学习了动词不定式作宾语、宾语补足语和目的状语的用法。动词不定式作定语和状语的用法如下页表格所示: 成分
定语 $\quad$ 一般置于被修饰词之后用作后置定语。Scientists were determined to help humans realise their dream to explore space.
On 12 April 1961,Yuri Gagarin became the first person in the world to go into space.
Sending people to other planets or even beyond the solar system is not an easy goal to achieve.
Jessie got a new toy to play with.
She has no friend to depend on.
Scientists work hard to find out the secrets of the universe.
As we all know,an astronaut needs to be healthy and calm in order to work in space.
状语
可以表示目的、结果或原因等。You must be intelligent enough to get a related college degree.
I'm afraid the whole process is too complicated to explain in a few words.
We were surprised to find that he had already left.
## Modal Verbs 情态动词
情态动词表示说话人对某一动作或状态的态度。初中阶段大家已经学习了一些情态动词,这里将对情态动词的特征、功能和用法进行总结。
1 情态动词的基本特征
(1) 在形式上,情态动词没有实义动词的各种变化,只有 could、would、had to、might 等几个过去式,其他情态动词如 must、ought to 等的过去式皆与现在式同形。
（2）在意义上，大多数情态动词有多个意义，如 can 可以表达“能力”“可能”“许可”等。
(3) 在用法上,情态动词与助动词一样,须后接动词原形,构成谓语动词。
## 2 情态动词的否定式及缩略形式
| 情态动词 | 否定式 | 缩略形式 | 情态动词 | 否定式 | 缩略形式 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| can | cannot/can not | can't | shall | shall not | shan't |
| could | could not | couldn't | should | should not | shouldn't |
| may | may not | $/$ | will | will not | won't |
| might | might not | mightn't | would | would not | wouldn't |
| must | must not | mustn't | need | need not | needn't |
| dare | dare not | daren't | ought to | ought not to | oughtn't to |
## 3 情态动词的主要表意功能
用法
表示能力
表示可能和推测
表示许可或禁止
表示发出指示或提出请求
表示提出帮助或发出邀请
表示提出建议
表示愿望
表示义务和需要 The little boy can read and write.
I could feel the ground shaking.
Those of you who are familiar with the game will know this.
They made a bet which would settle their argument.
Oh,you must be Sylvia's husband.
It may seem lucky to you but not to me!
That might not be true.
There ought to be enough space for all of us.
You can go off duty now.
You can't open it until two o'clock.
You may not smoke in here.
You shouldn't take her help for granted.
You mustn't do that.
Will you please take her to the library?
Could you offer me work here?
Can I ask a question?
May we ask what you're doing in this country?
Will you stay for lunch?
Wouldn't you like to come with me?
May I help you?
Shall I put it in a box?
You could ask the teacher for help.
You should write him a letter.
You'd better serve him quick and get him out quick.
The cookies Susan made are delicious. You ought to try some.
Would you recommend the play to other people?
I would like to know the date.
l'd love to go to your birthday party.
l'd rather not pay you now.
You must come at once.
We have to wear uniforms at school.
l ought to be on my way.
## Tenses 时态 (2)
## 过去将来时 (The Past Future Tense)
过去将来时表示在过去某一时间将要发生的动作或存在的状态。过去将来时常用在主句谓语动词为过去时态的宾语从句中。过去将来时句子中有时包含时间状语 the next day、soon 等。如:
They said the letter inside would explain what it was all about. 他们说里面的信会解释所有的事情。见面。
The director said he would meet the famous actor the next day. 导演说他会在第二天与那个著名男演员
过去将来时的基本结构是“would + 动词原形”，否定式是在 would 后面加 not。如:
Jeff knew he would be tired the next day. 杰夫知道他第二天会很累。
He promised that he would not open the letter until 2 o'clock. 他许诺两点钟之前不会打开信。
除了上述结构,be going to、be about to 等结构也用在过去将来时中，如:
They were going to find someone to take part in their bet when they saw Henry walking on the street outside. 他们正准备找一个人来参与他们的奢局,这时,他们看到亨利走在外面的大街上。
Mrs Thomson was about to sit down to watch the opera when her phone rang. 汤姆森夫人刚要坐下看剧的时候,她的电话响了。
## $V$ Ellipsis 省略
在英语中，为了使语言简洁或避免重复，常常省略句中的一个或几个成分，这种语法现象称为省略。
被省略的部分
主语
谓语或谓语的一部分
宾语
主语和谓语,或主语和谓
语的一部分
不定式 to 后省略动词例句
(I) Beg your pardon.
(You) Sit down,please.
(It) Sounds like a good idea.
(Is there) Anything I can do for you?
(Is) Anybody here?
A: Where has Mr Smith gone?
B: Sorry,I don't know (where he has gone).
(Are you) Hungry?
(I want) Orange juice,please.
(Do you) Understand?
A: Would you like to come to the party?
B: l'd love to (come to the party).
You don't have to tell me if you don't want to (tell me).
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第一单元
## 各具特色的国家
我们生活的地球上有近两百个国家,它们的自然环境和文化传统各不相同,人口数量、发展程度也大不一样。环顾世界,我们找不到两个完全相同的国家。要解释这种现象,我们就应该清楚: 国家是什么?国家是怎样分类的?国家的政权组织形式和结构形式有哪些?通过本单元的学习,探究这些问题,我们将进一步树立马克思主义国家观,明确由于国家的历史传统、现实国情等不同,其发展道路也必然各具特色。
# 第一课国体与政体
国家是人类社会发展到一定历史阶段的产物。国家有一些共同的特征,但不同国家之间的差异是非常大的。一个国家的国体和政体在一定的历史时期内是相对稳定的，但不是一成不变的。一个国家采取什么样的政权组织形式和国家结构形式，是多种因素共同作用的结果。
## | 国家是什么 |
## 国家的本质
## 探究与分享
恩格斯在《家庭、私有制和国家的起源》中指出：“由于国家是从控制阶级对立的需要中产生的,由于它同时又是在这些阶级的冲突中产生的,所以,它照例是最强大的、在经济上占统治地位的阶级的国家,这个阶级借助于国家而在政治上也成为占统治地位的阶级,因而获得了镇压和剥削被压迫阶级的新手段。”
结合恩格斯关于国家的论述，议一议国家是如何起源的，应该如何认识国家的本质。
阶级不可避兔地要消失，正如它们从前不可避兔地产生一样。随着阶级的消失，国家也不可避免地要消失。
———恩格斯
关于国家的认识与解释,迄今最全面、最科学的是马克思主义的国家理论。它透过形形色色的国家现象，揭示了国家的本质。马克思主义认为,国家是一种历史现象,不是从来就有的;国家是在原始社会瓦解、私有制出现、阶级形成以后产生的，是阶级矛盾不可调和的产物和表现。在中国先秦典籍中，“天子”统治的地域叫“天下”,诸侯统治的领地叫“国”,卿大夫统治的采邑叫“家”。古代中国人的社会情怀和政治抱负,往往与“家国天下” 联系在一起。梁启超说:“夫国也者，何物也?有土地,有人民,以居于其土地之人民,而治其所居之土地之事,自制法律而自守之;有主权,有服从,人人皆主权者,人人皆服从者。夫如是,斯谓之完全成立之国。”
在你看来,国家存在和发展最重要的条件是什么?
一般认为，国家的基本要素包括人口、领土、政权和主权，它们是国家得以存在和发展的基本条件,缺一不可。其中，最重要的要素是主权。
领土是指处于国家主权支配下的地球表面的特定部分,包括地下及上空。领土是国家行使主权的范围和空间。一国的领土一般由领陆、领水、领空组成。
《政权是指政治上实行统治的权力，也指体现这种权力的政权机关。
主权是指一个国家按照自己的意志决定对内对外政策、处理国内国际一切事务的权力
国家的性质，就是国家的阶级本质。它表明国家政权掌握在什么阶级手中，什么阶级是统治阶级，什么阶级是被统治阶级。统治阶级的性质决定着国家的性质。
观点一
所有国家都要履行经济建设、公共服务、打击犯罪等国家职能，因而国家职能与国家性质无关。
观点二
国家的根本职能是维护统治阶级的根本利益，因而资本主义国家不可能维护广大民众的利益。
观点三
生产力越低下，国家的政治统治职能就越明显;反之,生产力越发达,国家的社会管理职能就越明显。
评析上述观点,并谈谈你对国家的认识。
从国家的本质看，所有国家都是一定阶级对其他阶级的专政。专政就是统治阶级凭借国家权力,强制被统治阶级服从统治阶级的意志。作为国家制度的民主，其实质是在统治阶级范围内，按照多数人的意志,实现国家职能。因此,民主具有鲜明的阶级性,是服务于统治阶级的。民主与专政相互依存，凡实行民主制度的国家，必然包括一定阶级的民主，同时包括对其他阶级的专政。
国家的根本职能是政治统治职能。国家还具有社会管理职能。
军队、警察、法庭、监狱等，是国家行使政治统治职能必不可少的工具
国家的社会管理职能包括管理经济、文化、教育、卫生事业，维护公共秩序，兴建和维护公共设施，保护自然环境，等等。
## 探究与分享
中国古代有所谓“民贵君轻” 的民本思想,还有所谓“体察民情、广开言路” 的明君作风
美国号称“民主的典范”，国家的政治、经济权力却掌握在极少数人手中
我国宪法明确规定：“中华人民共和国是工人阶级领导
的、以工农联盟为基础的人民民主专政的社会主义国家。”
辨析上述材料,谈谈你对民主的认识。
当今世界主要有社会主义和资本主义两类性质根本不同的国家。我国是人民民主专政的社会主义国家，与资产阶级专政的资本主义国家相比，享有民主的主体不同,专政的对象也不同。绝大多数人对极少数敌对分子实行专政，表明社会主义国家不同于一切剥削阶级国家；我国社会主义民主是维护人民根本利益的最广泛、最真实、最管用的民主，表明社会主义民主优于资本主义民主。新型的民主与新型的专政,体现着社会主义国家的本质特征。
## 认识国体与政体
## 探究与分享
观点一
古往今来，世界上的国家千姿百态、各具特色，而国家性质只体现为几种类型。所以，不能说国体决定政体。
观点二
所谓国体决定政体，意味着有什么样的国体，就有什么样的政体。所以，只能有一种政体适合特定的国体。
观点三
国体不是决定政体的唯一因素，地理环境、文化传统、外来势力都可以成为影响政体的因素。
你如何看待上述观点?
谈谈你对国体和政体的理解。
国体，即国家性质，反映社会各阶级在国家中的地位；政体，即国家政权的组织形式，也就是国家管理形式。掌握国家政权的阶级为行使政治统治职能和社会管理职能,必然要采取某种形式组织政权机关。统治阶级为维护其根本利益,总是力求采取最有效的政权组织形式。
不同国家的政体可能多种多样，但都是统治阶级组织国家政权机关的特定方式，终归是其国体的表现形式。因此，国体决定政体，政体体现国体，一定的政体服务于一定的国体。
所谓国家制度，包括国体与政体，即内容与形式两个方面。实行民主制度的国家，从国体意义上讲，都是专政与民主的统一体；从政体意义上讲，则是实行同专制政体相对立的民主政体的国家。古代奴隶制和封建制国家大都实行专制政体，而现代国家大都采用民主政体。民主政体是在历史发展中逐渐成熟和完善的。
一个国家的政体不是一成不变的，这种变化既包括随着国体的变化而发生的根本性变化，也包括随着经济、政治、文化等条件的变迁，在内容和形式上的不断变化。世界上没有任何两个国家的政体是完全一样的。除了国体对政体的决定作用外,地理环境、历史渊源、文化传统、社会习惯、发展程度等,都是影响政体的因素。
现代国家,无论是资本主义国家还是社会主义国家,大都实行代议制。代议制,就是由选举产生的、代表民意的机关来行使国家权力的制度。一方面,只有公民广泛参与,才是现代意义上的民主政体;另一方面,不可能全体公民都经常性地直接管理所有国家事务。因此,代议制是公民和国家之间的政治纽带,这是现代民主政体的共同特征。
## 国家的政权组织形式
## 人民代表大会制
## 探究与分享
从 1953 年7月到 1954 年 5 月,我国进行了全国范围的基层人大代表选举。据统计,全国登记选民总数为 3.2381 亿,占 18 周岁以上人口总数的 $97.18 \%$,投票率为 $85.88 \%$。此次选举共选出近 570 万名基层人大代表。在此基础上自下而上逐级召开的人民代表大会，为全国人民代表大会的召开奠定了组织基础～ 1954年9月15-28日，第一届全国人民代表大会第一次会议在北京召开,标志着人民代表大会制度在我国建立。
1953 年 12 月，北京市群众庆祝普选
## 为什么人民群众对选举有这么高的热情?
查找历史资料,讲述中国共产党带领中国人民建立人民代表大会制度的艰辛探索历程。
人民代表大会制度是我国的根本政治制度,是中国共产党把马克思列宁主义基本原理同中国具体实际相结合的伟大创造,是中国人民在人类政治制度史上的伟大创造。人民民主专政的新中国，采用人民代表大会制度作为政权组织形式，是人民的选择、历史的必然。
## 探究与分享
衡量一个国家的政治体制是不是民主和优越,不能只看表面上全民直选等热热闹闹的民主形式,而要从本质上看人民的意志是否得到充分体现，人民根本利益是否得到充分保障。
在我国,人民行使国家权力的机关是全国人民代表大会和地方各级人民代表大会。我国根据国情和实际不断完善选举制度,逐步实现城乡按相同人口比例选举人大代表,并保证各地区、各民族、各方面都有适当数量的代表。在2016年开始的全国新一轮县乡两级人民代表大会换届选举中,登记选民 10 亿多人,直接选举产生近 250 万名县乡两级人民代表大会代表。我国建立健全常态化的法律草案公开征求意见工作机制,不断完善政务公开制度体系,拓宽公众参与立法和重大行政决策的渠道。截至 2018 年,国家立法机关共有 172 件法律草案向社会公开征求意见,收到 1.5 亿多人次提出的 510 多万条意见。我国健全依法决策机制,把公众参与、专家论证、风险评估、合法性审查、集体讨论决定确定为重大行政决策法定程序,提高决策科学化、民主化、法治化水平。
我国的人民代表大会制度体现了我国宪法规定的国家一切权力属于人民的社会主义民主的本质,是实现人民当家作主的重要途径和可靠制度保障。在这样的根本政治制度下,我国人民既在选举时有民主投票的权利,也在日常国家政治生活中有持续参与的权利,享有广泛的选举民主、参与民主、协商民主。
结合材料,谈谈你对我国人民代表大会制度优越性的认识。
人民代表大会制度，作为人民民主专政的社会主义国家的政权组织形式,决定着国家的其他具体制度。它是中国人民当家作主的重要途径和最高实现形式，是中国社会主义政治文明的重要制度载体。
世界上不存在完全相同的政治制度,也不存在适用于一切国家的政治制度模式。“物之不齐,物之情也。”各国国情不同,每个国家的政治制度都是独特的。中国特色社会主义政治制度过去和现在一直生长在中国的社会土壤之中,末来要继续芡壮成长,也必须深深扎根于中国的社会土壤。
人民代表大会制度是符合中国国情和实际、体现社会主义国家性质、保证人民当家作主、保障实现中华民族伟大复兴的好制度。我们要继续坚持和完善这一根本政治制度。
## 民主共和制和君主立宪制
## 探究与分享
白金汉宫：英国国王居住和办公的场所
白宫: 美国总统的官邸和办公场所
从从政体角度看,为什么这两个国家的元首称谓不同?
从国家权力机关和国家元首的产生方式及其职权范围看，现代国家的政权组织形式大致有两种，即民主共和制和君主立宪制。
民主共和制是遵循民主基本原则建立起来的一种政体。在民主共和制国家中，国家权力机关和国家元首一般经由选举产生。虽然民主共和制为现代大多数国家所采用，但由于各国的国家性质和具体国情不同，其具体形式和运行方式不尽相同，实际作用也存在很大差异。
在发达资本主义国家，资产阶级运用金钱的力量，以民主的形式掩盖国家的阶级性质。民主共和制是资产阶级对国家进行控制和管理的有效工具，也是他们维护资产阶级统治的最好的政治外壳。当前，一些发展中国家照搬发达资本主义国家民主共和制的模式，但这种模式不符合本国的国情,既不能保障本国人民的经济权利和政治权利,也难以保障国家职能的有效行使，致使政权更迭频繁，社会动荡不已。
在君主立宪制国家，国家元首由世袭的君主担任，但在宪法框架内，君主的权力受到不同程度的限制。一般来说，君主立宪制是资产阶级革命不彻底或对君主制进行改良的产物,它保留了君主制的外壳甚至某些实质性内容。但是,在英国、日本、西班牙等实行君主立宪制的资本主义国家，国家政权的实际运行与民主共和制国家大体相同。
## 议会制和总统制
从立法机关与行政机关的关系看,现代资本主义国家主要分为议会制国家、总统制国家、半总统制国家。大多数国家实行议会制或总统制。
议会制又称内阁制、议会内阁制、责任内阁制。在英国、日本、意大利等议会制国家,政府总揽国家的行政权力,向议会负责。政府以议会为基础产生,政府首脑一般由在议会中占多数席位的政党或政党联盟的领袖担任。政府首脑往往从政见基本相同的议员中挑选阁员人选，提请国家元首任命。政府接受议会的监督,定期向议会报告工作。当议会对政府表示不信任时，政府必须集体辞职，由国家元首指定人员重新组织政府;或由政府首脑提请国家元首解散议会,重新进行议会选举,根据新的议会选举结果,成立新的政府。
当前西方议会制度分为两院制和一院制。
两院制是某些资本主义国家两院并立，分担议会职能的制度。这些国家的两院名称不尽相同。例如，英国称为上院和下院，日本叫参议院和众议院，荷兰叫一院和二院，等等。
两院制最早产生于英国。英国议会下院素有“至尊议会”之称，拥有极大的权力，包括立法权、财政权和监督权，是行政权力的最高来源。上院在
英国议会大厦议会体系中只起辅助作用,表现在监督下院工作、协助下院立法、通过行使“延搁权” 修改和否决议案等方面
一院制是议会只设一个院的制度。丹麦、新加坡、新西兰等国家均采用这种制度。
在总统制国家，总统既是国家元首，也是政府首脑。总统不仅是国家的象征和代表,而且直接行使国家最高行政权力。总统独立于议会之外，由选民直接选举或间接选举产生，一般有任期限制。总统只对选民负责，不对议会负责，但在某些重大事务上可能会受到议会的制约。
在法国等少数国家,总统由选举产生,是国家元首,拥有一定的行政权力,但不是政府首脑,政府首脑另由内阁总理担任,向议会而不是向总统负责。这种政体既有总统制的特征,又有议会制的特征，一般被称为半总统制。
## | 政党和利益集团 |
政党
## 探究与分言
在世界各地,人们对政党的看法是多种多样的: 有人认为政党是选举工具,有人认为政党是权力组织,有人认为政党是谋求公职的手段,有人认为政党是人民控制政府的团体,也有人认为政党是人民保障自身利益的渠道。
结合材料,谈谈你对政党的认识。
马克思主义认为,政党是在阶级的基础上产生的，是阶级斗争发展到一定阶段的产物。列宁和毛泽东都曾明确指出,政党是阶级的领导者。在现代国家的政治体系中,以掌握政权、统治国家为目标的政党发挥着极其重要的作用。
政党是有组织的政治团体,通常以执政为主要目标;也有一些政党不谋求执政,但积极致力于推广某种政治思想、维护某种政治利益。在代议制政体下,政党争取执政的主要手段是参加选举。政党通常有特定的政治目标和意识形态,对国家大政方针和社会议题有明确的态度和主张,这些往往体现在其政纲或党章中。
现代政党诞生于英国,是1640年以后在君主制与共和制的分歧中逐步产生的。目前,保守党和工党为英国两大政党,占据英国议会下院绝对多数席位。美国的党派政治是在 1787 年围绕宪法问题而出现的,经过不断演变,形成民主党和共和党轮流执政的局面。
多数发展中国家的政党,是在民族独立运动中产生的,一般是本国独立运动的领导力量,往往在国家独立后成为执政党并实行一党制;有的是在国家独立后改组政党,或重新建立新的政党;有的是在军政府统治一段时期后才出现政党。经过第二次世界大战后几十年的发展,发展中国家的政党呈现多元化趋势，开始出现两党制、多党制等。
在我国,中国共产党是执政党,各民主党派是参政党。中国共产党是中国工人阶级的先锋队,同时是中国人民和中华民族的先锋队,是中国特色社会主义事业的领导核心。中国共产党和民主党派是通力合作、共同致力于社会主义事业的亲密友党。中国特色社会主义新型政党制度正对很多发展中国家产生越来越大的影响。
## 探究与分享
越来越多的美国民众对美国的两党失去信心,把大选称为“从两个烂桃子中挑一个不太烂的”。
投票率偏低一直是美国选举不得不面对的尴尬事实，特别是中期选举、地方选举的投票率更低。
美国一些学者认为,明智的政党领袖们总是按照中间路线办事,避免采取可能使大部分选民惊慌和疏远的极端做法。候选人如果不走中间路线，败选的可能性将增大。
你怎样看待美国的两党制?
资本主义国家政党制度的类型有一党制、两党制和多党制。资本主义国家的政党政治,无论采取什么样的形式,都无法改变其维护资产阶级利益、欺骗人民大众的根本性质。
中国共产党领导的多党合作和政治协商制度作为我国一项基本政治制度，是中国共产党、中国人民和各民主党派、无党派人士的伟大政治创造,是从中国土壤中生长出来的新型政党制度。
## 利益集团
## 探究与分享
围绕着“谁掌管美国”的话题，美国人有这样几种观点。
人民权力论
利益集团论
社会被有组织的、势力强大的集团支配着，政府基本上成了它们当中的掮客或裁判，有时它还作为一个利益集团参与政治。每个利益集团为自已集团的利益工作，政府则从中协调，促使各集团妥协。
邓你如何评价上述观点?你如何看待利益集团的作用?
所谓利益集团，是指具有共同利益，向政府或社会提出诉求，或以合法手段施加压力，借以影响公共政策，以争取其团体利益及其成员利益的社会团体。利益集团又称压力团体或倡议团体，是现代政治体系的重要组成部分，第二次世界大战后在西方各国蓬勃兴起。利益集团不同于政党，它们不以取得政权或改变政权为目标，而是在既有政治体制内进行完全合法的活动。利益集团影响政府决策的途径包括游说、宣传、助选、集会游行、司法诉公等。
## 相关链接
根据诉求性质的不同，利益集团可分为自利型利益集团和公益型利益集团
自利型利益集团主要关心本团体及其成员的经济利益，这类团体往往是职业性、专业性、功能性的组合，如商会、医生协会、教师协会等。
公益型利益集团主要争取非经济性的共同理想，如绿色环保组织、妇女权益保障组织等。
资本主义国家的利益集团，虽然在一定程度上会起到缓和社会矛盾的作用，但无法从根本上解决不同阶级之间的矛盾。
## 2 第二课
国家的结构形式
一个国家采取什么样的国家结构形式，主要基于维护国家主权和领土的统一与完整、保障国家管理的有效与便利等方面的考虑。国家的结构形式,决定着中央与地方的关系。独立自主地决定国家的结构形式，是国家主权的重要体现，也是国家主权的有机组成部分。
## | 主权统一与政权分层 |
国家主权
## 探究与分享
1982 年9月 24 日,邓小平在人民大会堂会见英国首相撒切尔夫人,就香港前途问题交换意见，全面阐释中国政府对香港问题的基本立场。邓小平强调：“关于主权问题，中国在这个问题上没有回旋余地。坦率地讲,主权问题不是一个可以讨论的问题。现在时机已经成熟了，应该明确肯定: 一九九七年中国将收回香港。就是说，中国要收回的不仅是新界,而且包括香港岛、九龙。中国和英国就是在这个前
邓小平会见英国首相撒切尔夫人提下来进行谈判,商讨解决香港问题的方式和办法。如果中国在一九九七年,也就是中华人民共和国成立四十八年后还不把香港收回，任何一个中国领导人和政府都不能向中国人民交代，甚至也不能向世界人民交代。”同时,邓小平指出：“香港继续保持繁㭉,根本上取决于中国收回香港后,在中国的管辖之下,实行适合于香港的政策。香港现行的政治、经济制度,甚至大部分法律都可以保留,当然,有些要加以改革。香港仍将实行资本主义，现行的许多适合的制度要保持”
结合材料,谈谈你对维护国家主权的认识。国家主权是现代国家得以存在的法理依据，它是统一的、不可分割的，是一个国家对其管辖区域所拥有的至高无上的、排他性的政治权力。
国家主权原则是当代国际法的基石。1970年10月 24 日,联合国大会通过《关于各国依联合国宪章建立友好关系及合作之国际法原则之宣言》,对国家主权原则作了明确规定。各国一律享有主权平等。各国不问经济、社会、政治或其他性质有何不同,均有平等权利与责任,并为国际社会之平等会员国。主权平等尤其包括下列要素：各国法律地位平等;每一国均享有充分主权之固有权利;每一国均有义务尊重其他国家之人格;国家之领土完整及政治独立不得侵犯;每一国均有权利自由选择并发展其政治、社会、经济及文化制度;每一国均有责任充分并一秉诚意履行其国际义务，并与其他国家和平相处。
国家主权是一种自主自决的最高权威，没有任何其他权力主体可以对其加以否决或驳回。独立自主的对外交往是国家主权的重要体现。国家主权通常以法律形式在宪法中加以规定,对外则表现为国家之间的相互承认。国家主权是国家最重要的构成要素，国家主权的丧失意味着国家的解体或灭亡。
对于国家主权是否成立以及如何成立，通常有两种看法。一种是“宣示说”,即一国政府宣布其国家主权之时,其国家主权就已自然形成。另一种是“承认说”,即一国主权之存在,离不开其他国家的承认
在当代国际社会，主权国家依据国际法享有独立权、管辖权、平等权、自卫权等基本权利。
## 名词点击
## 独立权管辖权平等权自卫权
独立权，是指主权国家拥有按照自己的意志处理内政、外交事务而不受他国控制和干涉的权利。
ه管辖权，是指主权国家对其领域内的一切人和物具有管辖的权利。
平等权,是指主权国家不论大小、强弱,也不论政治、经济、意识形态和社会制度有何差异，在国际法上的地位一律平等。
自卫权，是指主权国家拥有保卫自己的生存和独立的权利。
## 中央与地方
## 探究与分享
1956 年 4 月，毛泽东在中共中央政治局扩大会议上作《论十大关系》的讲话。这篇讲话总结了中国的经验，讨论了国家政治生活中的一些重大问题，其中包括中央与地方关系问题。
阅读并摘录毛泽东在《论十大关系》中的相关论述，谈谈你对中央与地方关系的理解。
一个统一的国家只能有一个中央政府。至于中央与地方、整体与局部的关系，各国的情况不尽一致。
当今世界，大部分国家不可能通过唯一的中央政府进行直接的、简单化的、事无巨细的管理。国家之内的行政区划，通常是为了管理上的便利和有效而产生的。当然，行政区划的界线和分层，往往需要考虑民族、宗教、历史、地理、文化、经济、军事等诸多因素。我国行政区域的类型包括一般行政地方、民族自治地方和特别行政区。民族自治地方的自治机关依照宪法和法律规定的权限行使自治权。
中央政府与地方各级政府各自行使自身在法定范围内的权力。中央政府与地方各级政府的权力划分，往往通过国家宪法加以规定。一般而言，中央政府主要负责国家秩序与整体发展、军事、外交等国家级事务，地方各级政府主要负责各自区域内的经济发展、社会治安等地方性事务。
## 探究与分享
我国宪法第八十九条规定，国务院“统一领导全国地方各级国家行政机关的工作，规定中央和省、自治区、直辖市的国家行政机关的职权的具体划分”。第一百零七条规定，县级以上地方各级人民政府依照法律规定的权限，管理本行政区域内的经济、教育、科学、文化、卫生、体育事业、城乡建设事业和财政、民政、公安、民族事务、司法行政、计划生育等行政工作，发布决定和命令，任免、培训、考核和奖惩行政工作人员。第一百一十条规定，地方各级人民政府对上一级国家行政机关负责并报告工作。全国地方各级人民政府都是国务院统一领导下的国家行政机关，都服从国务院
结合宪法的上述规定，列举实例，说明我国国务院与地方各级人民政府之间的关系。在我国,中国共产党领导是中国特色社会主义最本质的特征,是中国特色社会主义制度的最大优势。党员个人服从党的组织,少数服从多数,下级组织服从上级组织,全党各个组织和全体党员服从党的全国代表大会和中央委员会。中央与地方各级国家机构按民主集中制的原则划分职权。一方面,地方利益是国家整体利益的一部分,地方必须服从中央;另一方面,在保证中央统一领导的同时,必须考虑地方特殊利益,充分发挥地方的主动性、积极性。
## | 单一制和复合制 |
单一制
## 探究与分享
世界各国的名称,有的叫“共和国”,有的叫“王国”,有的叫“联邦”。查阅相关资料,判断下列国家的国家结构形式。
国家名称
国家结构形式
中华人民共和国
巴西联邦共和国
古巴共和国
德意志联邦共和国
印度尼西亚共和国
伊朗伊斯兰共和国
摩洛哥王国
俄罗斯联邦
南非共和国
大不列颠及北爱尔兰联合王国
塞内加尔共和国出于历史上的原因，有些国家采用单一制的国家结构形式，有些国家采用复合制的国家结构形式，复合制包含联邦制和邦联制。
单一制国家的组成单位，是按地域划分的普通行政区域或自治区域。在单一制国家中，中央享有最高权力；地方政权被置于中央政权的统一领导下，只能在宪法和法律规定的权限范围内行使职权。
在中央集权型单一制国家，地方政权在中央政权的严格控制下行使职权，由中央委派官员，或由地方选出的官员代表中央管理地方行政事务。地方没有自治权，即使设有自治机关，也要受中央政权的严格控制。法国是典型的中央集权型单一制国家。
在地方分权型单一制国家，地方居民依法自主组织地方公共机关，在中央监督下依法自主处理本地事务，中央不得干涉地方具体事务。英国是典型的地方分权型单一制国家。
## 复合制
## 探究与分享
美国建国以来，联邦与州之间的权力争夺从末停止过。1816年 4 月，国会通过第二银行法案，并在各州设置第二国家银行，该行动受到部分州的强烈抵制。马里兰州依据州的征税权规定，所有在该州营业而末经该州议会许可的银行必须纳税。第二国家银行巴尔的摩分行出纳员麦卡洛克拒绝纳税，马里兰州立即到州法院起诉，麦卡洛克在州法院败诉后上诉至联邦最高法院。联邦最高法院判决第二银行法案符合宪法，马里兰州向联邦银行征税的法案因违宪而无效。
你认为上述案例中联邦最高法院的判决是保护州权还是保护联邦权?
结合案例,分析美国的国家结构形式及其特点。
联邦制国家的组成单位是享有相对主权的完整政治实体。在联邦制国家中，国家整体与其组成部分的权限范围由联邦宪法规定，都在各自的权限范围内享有最高权力并直接行使于人民,相互间不得任意干涉。联邦各组成单位的权力并非由联邦整体所授予，而是它自身作为政治实体所固有的。邦联是主权国家为某种共同利益而组成的国家联盟。邦联虽然也有类似国名的称呼，但不是真正意义上的国家，不具有完整的国际法主体资格。
一般而言，我们可以从国家的名称来判断国家结构形式，但也有例外。比如“英联邦”，它并不是一个联邦制国家,而是由几十个主权国家组成的相当松散的国际组织。又比如欧洲联盟,人们一般认为它是一个区域性国际组织,然而它在货币、关税、边境控制等方面的共同政策已大大超出传统意义上的邦联。
一个国家采用何种国家结构形式，是阶级、民族、历史、文化等因素综合作用的结果。无论采取什么样的国家结构形式，人口、领土、政权和主权始终是国家存在和发展的基本条件，也是选择国家结构形式时必须面对的基本问题。
## 综合探究
## 国家安全与核心利益
## 探究活动目标
坚持以马克思主义立场、观点和方法评析各国的政治制度,明确人民当家作主是社会主义民主政治的本质,以实际行动展现参与民主政治制度改革的理性行动能力,坚定走中国特色社会主义道路的信念和信心。 搜集发展中国家引人西方民主模式进行民主制度改革却失败的典型案例,运用唯物史观思考社会转型的复杂变化及其原因,辨析不照搬照抄西方民主模式与吸纳借鉴人类政治文明成果之间的关系,坚持和发展中国特色社会主义政治制度。 了解我国的总体国家安全观,知道坚持总体国家安全观要以政治安全为根本,认同国家安全利益是国家的最高利益,辨析漠视和损害国家安全的行为,提出解决问题的行动方案,彰显维护国家安全的责任担当。
## 探究活动建议
围绕“坚定中国特色社会主义制度自信” 议题,学会用正确的立场和方法评价各国政治发展道路，坚信只有中国特色社会主义才能发展中国。
可选取典型国家,制作图表,归纳西方国家政权组织形式的特点,探究国体与政体的关系;可从经济基础、所维护的阶级利益等角度，认识资本主义国家的阶级实质,在此基础上,归纳洞察政治制度实质的方法;可将图表、观点等制作成板报或手抄报在班级展示。
可围绕我国政治体制改革的进程、取得的成效及面临的问题等开展调查访谈。设计访谈提纲,采访人大代表、政协委员、政府相关部门负责人、少数民族干部等,或请其中人员来校开展对话交流,自拟主题撰写一份访谈报告,并在班级进行交流、评比。
可搜集权威的、有价值的文献资料,阅读与整理文献资料,围绕“坚定中国特色社会主义制度自信” 撰写一篇小论文。论文要观点鲜明,有一定的独到见解;论据要充分,论证要合乎逻辑。
围绕“政治制度不能照搬” 议题,探究中国民主政治制度绝不能照搬西方政治制度模式的道理。
可组织故事讲演会,讲演中国近代史上无数仁人志士为了民族复兴,不屈不挠、前赴后继,进行可歌可泣斗争的故事,探讨各式各样的尝试终究末能改变旧中国的社会性质和人民悲惨命运的原因，将故事和讨论交流成果通过板报或手抄报进行展示。
可搜集发展中国家引入西方民主模式进行民主制度改革却失败的典型案例,探究其失败的原因，以“世界上不存在完全相同的政治制度，也不存在适用于一切国家的政治制度模式”为主题撰写小论文。
可举行研讨会,围绕“中国政治体制改革既要避免照搬西方政治制度模式,又要吸纳借鉴人类政治文明成果” 主题,重点探究在中国实行什么样的政治制度是由我国独特的文化传统、历史命运、基本国情等决定的。
围绕“国家安全,人人有责” 议题,探讨如何积极、理性维护国家安全。
可查阅资料，分享交流我国总体国家安全观的内容，制作板报或手抄报
可调查高中学生对国家政治安全的认识,设计调查问卷,统计调查数据,辨识错误的认知和消极的态度,提出解决问题的方案,撰写“国家安全,人人有责” 倡议书，张贴于班级或学校宣传栏。
可辩析一些危害国家安全的行为,讨论应对的措施,制作宣传手册。
## ·探究路径参考
## 探究一坚定中国特色社会主义制度自信
邓小平指出:“西方的民主就是三权分立,多党竞选,等等。我们并不反对西方国家这样搞,但是我们中国大陆不搞多党竞选,不搞三权分立、两院制。我们实行的就是全国人民代表大会一院制,这最符合中国实际。如果政策正确,方向正确，这种体制益处很大，很有助于国家的兴旺发达，避免很多牵扯。”
评价一个国家政治制度是不是民主的、有效的,主要看全体人民能否依法管理国家事务和社会事务、管理经济和文化事业,人民群众能否畅通表达利益要求,社会各方面能否有效参与国家政治生活,国家决策能否实现科学化、民主化,各方面人才能否通过公平竞争进入国家领导和管理体系,执政党能否依照宪法法律规定实现对国家事务的领导,权力运用能否得到有效制约和监督
。比较我国人民代表大会制度和西方议会制的本质区别。
## 人民代表大会制度
## 西方议会制
结合材料中评价国家政治制度的论述,引述相关典型事例,论证社会主义民主政治制度的优越性。
中国特色社会主义民主是个新事物，也是个好事物。当然，这并不是说，中国政治制度就完美无缺了，就不需要完善和发展了。制度自信不是自视清高、自我满足，更不是衰足不前、故步自封，而是要把坚定制度自信和不断改革创新统一起来，在坚持根本政治制度、基本政治制度的基础上，不断推进制度体系完善和发展。
• 以小组为单位,到当地的人大、政府、政协等部门，调查我国不断发展社会主义民主政治、积极稳妥推进政治体制改革的具体措施。
邓选择某一项措施，论述其对保障人民当家作主的作用和意义。
整理调研成果,汇集成文本。
## 探究二政治制度不能照搬
梁启超在《立宪法议》中说，现在世界上有君主专制、君主立宪、民主立宪三种政体，而“君主立宪者，政体之最良者也”。
邹容在《革命军》中写道：“我中国欲独立，不可不革命；我中国欲与世界列强并雄，不可不革命；我中国欲长存于二十世纪新世界上，不可不革命。”在这本书中，他坚决主张推翻君主专制，并提出建立民主共和国的方案。
孙中山一生致力于建立民主共和国，但他建立共和国政体的尝试，在帝国主义和国内反动势力的阻挠下，终归失败。孙中山沉痛地说：“政治上、社会上种种黑暗腐败比前清更甚，人民困苦日甚一日。”
有人认为,如果效法欧美国家采用资本主义民主制度,近代中国就能实现现代化。请结合上述材料和所学知识,反驳这种观点。
以两党制或多党制、三权分立、竞争性选举等为主要内容的西方民主模式被西方国家一些人奉为民主典范，并且向外输出。然而，西方民主模式真的有那么好、那么灵吗?事实上，许多西亚和非洲国家被强加西方民主模式后，不但没有实现政治稳定与开明、经济发展与繁㭉、人民生活富足与安康,反而遭遇了各种矛盾的激化与升级，陷入了政治动荡、经济凋敝和人民生活条件不断恶化的境地。
搜集并分享发展中国家引入西方民主模式进行民主制度改革却失败的典型案例,撰写小论文，阐述其失败的原因。
以什么样的思路来谋划和推进中国社会主义民主政治建设,在国家政治生活中具有管根本、管全局、管长远的作用。在政治制度上,看到别的国家有而我们没有就简单认为有欠缺,要搬过来;或者,看到我们有而别的国家没有就简单认为是多余的,要去除掉。这两种观点都是简单化的、片面的,因而都是不正确的。我们需要借鉴国外政治文明有益成果,但绝不能放弃中国政治制度的根本。只有扎根本国土壤、汲取充沛养分的制度，才最可靠、也最管用。
凤以“中国政治体制改革既要避免照搬西方政治制度模式,又要吸纳借鉴人类政治文明成果” 为主题,举办一次研讨会。
## 探究三国家安全，人人有责
当前我国国家安全内涵和外延比历史上任何时候都要丰富,时空领域比历史上任何时候都要宽广,内外因素比历史上任何时候都要复杂,必须坚持总体国家安全观。坚持总体国家安全观要以政治安全为根本。政治安全决定和影响着经济安全、社会安全、文化安全等其他各个领域的安全,直接关系到国家的长治久安和民族的兴衰存㐫。
®查找资料,谈谈当前我国国家政治安全集中表现在哪些方面。
国泰民安是人民群众最基本、最普遍的愿望。实现中华民族伟大复兴的中国梦，保证人民安居乐业,国家安全是头等大事
2015 年7月 1 日,十二届全国人大常委会第十五次会议表决通过《中华人民共和国国家安全法》,确定每年4月 15 日为全民国家安全教育日。要坚持国家安全一切为了人民、一切依靠人民，动员全党全社会共同努力，汇聚起维护国家安全的强大力量。
2020 年 5 月 28 日,十三届全国人大三次会议通过《全国人民代表大会关于建立健全香港特别行政区维护国家安全的法律制度和执行机制的决定》,授权全国人大常委会就建立健全香港特别行政区维护国家安全的法律制度和执行机制制定相关法律,积极推动解决香港特别行政区在维护国家安全制度方面存在的突出问题,加强专门机构、执行机制和执法力量建设,确保相关法律在香港特别行政区有效实施。
® 以“我与国家政治安全” 为主题,开展下列活动。
活动一：微调研
以“高中学生对国家政治安全的认知与态度”为主题,设计一份调查问卷,调查高中学生在维护国家政治安全方面存在的问题，并提出解决方案。
活动二：微演讲
以“公民在维护国家政治安全中的权利和义务”为主题，组织一次演讲活动，并撰写倡议书。
## 理论评析
国家安全是指国家政权、主权、统一和领土完整、人民福祉、经济社会可持续发展和国家其他重大利益相对处于没有危险和不受内外威胁的状态,以及保障持续安全状态的能力。国家安全利益是国家的最高利益。国家主权是国家安全的核心，它不是一个抽象的、孤立的概念,而是体现在国家的政治、经济、社会、文化、军事、外交等诸多方面，抽离任何一方面的内容，都是对国家主权的侵害,也是对国家安全的威胁。因此，我们坚持总体国家安全观，必须坚持底线思维、居安思危、末雨绸缪，坚持国家利益至上，以人民安全为宗旨，以政治安全为根本,以经济安全为基础,以军事、科技、文化、社会安全为保障,以促进国际安全为依托,统筹发展和安全,统筹开放和安全,统筹传统安全和非传统安全,统筹自身安全和共同安全，统筹维护国家安全和塑造国家安全。
我国实行“一个国家，两种制度”（简称“一国两制”），其基本内容是：在祖国统一的前提下，国家的主体坚持社会主义制度，同时在台湾、香港、澳门保持原有的资本主义制度和生活方式长期不变，享有高度的自治权。“一国两制”是一个完整的概念。“一国”是实行“两制”的前提和基础,“两制”从属和派生于“一国”，并统一于“一国”之内。香港、澳门两个特别行政区的高度自治权不是固有的,其唯一来源是中央授权。高度自治不是完全自治,中央对高度自治权的行使具有监督的权力，绝不允许以“高度自治”为名对抗中央的权力。坚决防范和遏制外部势力干预港澳事务和进行分裂、颠覆、渗透、破坏活动，确保香港、澳门长治久安。大陆和台湾同属一个中国，这是国际社会的共识。我们有坚定的意志、充分的信心、足够的能力挫败任何形式的“台独”分裂图谋。我们绝不允许任何人、任何组织、任何政党、在任何时候、以任何形式、把任何一块中国领土从中国分裂出去！
## 第三课
多极化趋势
国家与国家之间既相互依存又相互制约，随着主权国家之间综合国力对比的变化，世界多极化成为当代国际政治发展的趋势。中国日益走近世界舞台的中央,承担越来越多的国际责任，发挥越来越重要的作用，国际影响力越来越大。
## | 世界多极化的发展 |
## 世界多极化深入发展
## 探究与分享
## 材料一
## 材料二
根据国际货币基金组织的统计,2001一2018年世界经济增量达到 51.32 万亿美元,其中发达国家增长 24.73 万亿美元,发展中国家增长 26.59 万亿美元。照此计算,发达国家、发展中国家占世界经济增量的比重分别是 $48.19 \%、51.81 \%$。进入 21 世纪以来,发展中国家对世界经济增量的贡献在总额和比例上都超过了发达国家,发展中国家特别是金砖国家经济力量的提升，促进了世界多极化深入发展。^ 从上两则材料中可以得到哪些信息?
结合上述材料，分析世界经济增量构成的变化可能给国际政治带来哪些影响。
世界多极化深人发展是当今国际形势的一个突出特点。第二次世界大战后，以美国为首的西方阵营挑起了旨在遏制以苏联为首的社会主义阵营的冷战，在冷战中逐步形成了以美苏对峙为标志的世界两极格局。20 世纪 80 年代末 90 年代初,苏联解体、东欧剧变,美苏对峙的两极格局被打破。世界各种力量在错综复杂的利益关系中出现新的分化和组合，大国之间的关系经历重大而又深刻的调整，国际格局向多极化发展。
世界向多极化发展,是建立在多种力量相互依存又相互制约基础上的，有利于世界的和平与发展。但是，世界多极化的发展将是一个漫长曲折的、充满复杂斗争的演变过程，单极与多极的矛盾,将在一个相当长的时期内存在。
## 相关链接
国际格局是指国际舞台上主要力量之间形成的一种结构或状态，是主要行为体在一定历史时期内所形成的一种力量对比的态势或结构。“极”往往指国际格局中起主导作用的大国或国家集团。
单极格局
某一个主要的大国（霸权国）或国家集团在国际政治中占据主导地位，在其周围存在着一系列其他国家，但并不能成为与之抗衡的政治力量。该霸权国或国家集团在经济、政治、军事等方面的实力远远超过其他国家，能强行推行其意志，并在一定时期内得以实现。
多极格局
几个或众多大国或国家集团在国际政治中占据主导地位。大国之间、国家集团之间、大国与国家集团之间相互联系、相互影响、相互制约，共同推动国际进程
在世界多极化加速推进过程中，传统国际体系正在发生深刻变革与调整。随着经济全球化的发展，发展中国家和新兴大国力量逐渐增强，国际政治中的权力关系正在经历变化，国际关系朝着民主化方向发展。
## 世界主要力量
## 探究与分享
1971 年，尼克松在一次讲话中提到,展望今后 5 年、10 年或 15 年的时候，我们会看到五个强大的超级经济力量,它们是美国、西欧、苏联、中国,当然还有日本。这五大力量将决定世界 20 世纪最后三分之一时间里的经济前途。
查阅资料并讨论：当今世界有哪些力量中心?依据是什么?
冷战结束后，美国成为世界上唯一的超级大国，拥有最强大的经济、军事力量,并且极力维护其世界唯一超级大国地位。中国、欧盟、俄罗斯和日本成为多极化国际格局中不可忽视的重要力量。进人 21 世纪以来,以金砖国家为代表的新兴国家不断壮大，推动国际格局向多极化发展。
## 相关链接
美国
美国拥有世界上最强大的综合国力，在军事、经济、科技、教育等方面居世界领先地位且远超其他国家。美国为了维护其在全球的利益，利用军事和经济手段,不断干涉他国内政,输出美国价值观,造成了一系列地区和局部的冲突。
中国拥有巨大的经济总量，是世界制造业第一大国、世界第二大经济中国体，有丰富的自然资源，有巨大的发展潜力，综合国力居世界前列，国际地位显著提高，在维护世界和平、促进世界各国共同发展方面发挥着重要作用。
欧盟是欧洲地区规模最大的区域性国际组织，是国际格局中一支重要欧盟战略性力量。欧盟的集团优势地位,使其具有广泛的国际影响力,在国际事务中发挥着重要作用。
俄罗斯
俄罗斯国土面积世界第一，有丰富的自然资源，强大的军事实力，巨大的经济、科技发展潜力。
日本
日本拥有巨大的经济总量、先进的军事技术、发达的高新技术产业、成熟的文化产业。
印度
印度是南亚最大的国家,拥有巨大的人口总量,经济发展潜力大,军事实力不断增强。
## 探究与分享
2018 年是中国改革开放 40 周年。40 年来,我们党引领人民绘就了一幅波澜壮阔、气势恢宏的历史画卷，谱写了一曲感天动地、气壮山河的奋斗赞歌。
查阅资料，补充中国改革开放以来取得的其他成就。
分析中国发展给世界和平与发展带来的积极影响。
中国坚定地走中国特色社会主义道路,坚持改革开放,综合国力不断增强。中国提出共建“一带一路”倡议，发起创办亚洲基础设施投资银行，倡导构建人类命运共同体,促进全球治理体系变革。中国的国际影响力、感召力、塑造力进一步提高,日益走近世界舞台的中央，为世界和平与发展作出新的更大的贡献。
发展中国家在人口、经济、贸易等方面占有举足轻重的地位,是反对世界霸权主义和强权政治、促进世界和平与发展的重要力量。广大发展中国家积极开展南南合作,推进南北合作,共同应对全球性挑战,实现联合自强,成为推动建立公正合理的国际政治经济新秩序的主力军。
对于发达国家和发展中国家,国际社会没有统一的界定,通常使用经济标准来作区分,其中最重要的指标就是人均国内生产总值。人均国内生产总值较高的国家被描述为发达国家。其他指标如工业化水平、预期寿命、居民受教育水平等也经常作为区分标准。
由于发展中国家多数位于发达国家的南方,因此人们习惯把发展中国家与发达国家间的合作称为南北合作，把发展中国家间的合作称为南南合作。
## | 国际关系 |
## 认识国际关系
探究与分享
## 材料一
1980 年 9 月 22 日,伊朗和伊拉克因边界争端等问题爆发战争，史称“两伊战争”。历时八年的战争使两国人民的生命财产和国民经济遭受重创。据估计,两国在这场战争中损失近万亿美元，人员伤薮以百万计。
“两伊战争”中，一艘油轮被战机击中起火
## 材料二
2018 年9月,中非合作论坛第三次峰会在北京举行。此次峰会通过的《中非合作论坛一北京行动计划 2019-2021年》对末来三年和今后一段时期中非在各领域的务实合作进行了规划，展现了中非携手实施产业促进、设施联通、贸易便利等“八大行动”，推动中非合作提质增效的坚定意愿。
中非合作论坛北京峰会圆桌会议在北京人民大会堂举行
结合材料,说说国际关系有哪些基本形式。
国际关系是指国家之间、国际组织之间以及国家与国际组织之间的关系。其中,最主要的是国家与国家之间的关系。对国际关系领域的探究,主要聚焦于主权国家之间的战争与和平、冲突与合作等问题。两次世界大战以及冷战等给人类造成巨大创伤,和平与发展成为世界各国人民的共同愿望。国际关系的内容是多方面的，包括政治、经济、文化、军事关系等。国际关系的形式是复杂多样的，竞争、合作与冲突是国际关系的基本形式。
## 探究与分享
## 材料一
2017 年 7 月 19 日,,首轮中美全面经济对话在美国华盛顿举行。双方就全球经济与治理、高技术产品贸易、农业合作等一系列议题深入交换了意见。
## 材料三
2018 年 1 月,中国发布的《中国的北极政策》白皮书指出：“中国原依托北极航道的开发利用，与各方共建'冰上丝绸之路'。”俄罗斯总统表示,要让北极航线中沿着俄罗斯海岸一端的航线,成为真正具有全球竞争力的运输路线。
## 材料二
截至 2017 年,中国与 20 个国家（或国家联盟）签订了政府间禁毒合作文件，与 12 个国家的禁毒部门签订了 14 个部门间禁毒合作文件，与美国、俄罗斯、老扎、缅甸、泰国、越南、来埔寨等国家建立了年度专题禁毒会晤机制。
## 材料四
2018 年 6 月,北大西洋公约组织发布《联合空中力量战略》,为该组织规划了末来空军的发展路线
8结合材料，概括国家间交往的主要方式。
国家间交往的主要方式包括国家间的贸易往来，文化、科技、教育、医疗等方面的交流,外交磋商,领导人互访,缔结条约或协定，等等。
国际交往中，各国逐渐以条约和习惯做法为基础,发展出了一些被普遍遵守的行为规则,被称作国际法。当前,国际法规范着国际交往的各个方面和人类活动的各个领域,对维护国际关系稳定、促进世界和平与发展发挥着重要作用。世界各国的联系越来越紧密，日益形成你中有我、我中有你的命运共同体。遵守国际法符合各国的共同利益。
随着世界多极化的发展,国际竞争越来越激烈。当前国际竞争的实质是以经济和科技实力为基础的综合国力的较量。面对急剧变化的世界,许多国家都在调整目标,力图为自己确立有利态势,形成了国家间既合作又竞争的局面。
## 探究与分享
## 中美建交背景
美国
中美建交历程
中美建交背景
美国
美苏争霸中，美国处于守势。
孤立中国失败，对华敌视政策转变。
越南战争导致美国国内出现严重的经济危机。
中国
中苏关系恶化。
中国国力增强，国际地位提高。
解决台湾问题的需要。
中美建交历程
1971年
4月10 —17 日，美国乒乓球代表团应邀访华。7 月 9 日，基辛格秘密访华。
1972年
2月21日，美国总统尼克松访华。2月28日，中美双方经过会谈，在上海发表《中美联合公报》，强调只有一个中国，台湾是中国的一部分，并表示双方将发展平等互利的经济关系
1978年
12 月 16 日，中美发表《中美建交公报》。
1979年
1 月 1 日，中美两国正式建立外交关系，掀开了中美关系新的一页。
1982年
8月17日，中美发表《八一七公报》，就美国向台湾地区出售武器问题达成协议。
邓从中美建交的背景和历程看,影响中美建交的因素主要有哪些?
各国的国家性质不同，利益追求、对外政策也不同，这使得国际关系复杂多变。国家之间出现分离聚合、亲疏冷热的复杂关系是多种因素综合作用的结果,这些因素包括国家利益、国家实力、宗教、文化和历史等。其中，国家利益和国家实力是影响国际关系的决定性因素
国家利益不是抽象的,归根结底是该国统治阶级意志和利益的体现。各国间存在着复杂的利益关系,既存在某些共同利益,也存在利益的差别乃至对立。国家间的共同利益是国家合作的基础,而利益对立则是引起国家冲突的根源。
## 探究与分享
2003 年,以美国为首的联盟军队末经联合国授权,悍然入侵伊拉克,推翻了萨达姆政权。战争后，伊拉克暴力事件和自杀式袭击不断。伊拉克战争导致数十万人员伤亡，造成 440 万伊拉克人流离失所。
查阅资料,说明以美国为首的联盟军队发动战争的根本动机是什么,战争有什么影响,并予以评价。
战火中的伊拉克人逃离家园
维护国家利益是主权国家对外活动的出发点和落脚点。但是,任何国家都不应以维护本国国家利益为由,侵犯别国的主权和安全,干涉别国的内政。侵犯别国主权、干涉别国内政的行为,是非正义的、错误的，应当受到谴责和反对。
中国坚定地维护自己的国家利益。我国是人民当家作主的社会主义国家，国家利益与人民的根本利益相一致，维护我国的国家利益就是维护人民的根本利益。我国在维护自身利益的同时,兼顾他国合理关切，在谋求本国发展中促进各国共同发展。
中国坚决维护国家核心利益。中国的核心利益包括：国家主权，国家安全，领土完整，国家统一，中国宪法确立的国家政治制度和社会大局稳定，经济社会可持续发展的基本保障
维护国家利益的有力保障是强大的国家实力。国家实力通常用一国的综合国力来衡量。国家实力衰弱不利于国家利益的实现。因此,我国应该坚持以经济建设为中心,大力推进科技创新,增强核心竞争力，提升国家实力。
国家实力既包含一国军事力量、经济力量和科技力量等在内的硬实力，也包含一国文化、价值观念、社会制度等文化软实力。
随着互联网信息技术的高速发展，全球性的文化传播越来越普遍，一国文化、价值观念和社会制度对他国产生的影响越来越突出,文化软实力越来越成为一个国家综合国力的重要组成部分。面对日益强烈的多元文化冲击,我们要坚定文化自信,自觉传承中华优秀传统文化和革命文化，发展中国特色社会主义文化，为建设社会主义文化强国贡献力量
# 第四课
和平与发展
和平与发展是当今时代的主题,和平是发展的前提,发展是和平的基础。但是,和平与发展依然面临着严峻的挑战。建立公正合理的国际政治经济新秩序、推动国际关系民主化，有利于维护世界和平，促进各国共同发展。
## 时代的主题
和平与发展是当今时代的主题
## 探究与分享
1984 年 10 月，邓小平指出：“国际上有两大问题非常突出，一个是和平问题，一个是南北问题。还有其他许多问题,但都不像这两个问题关系全局,带有全球性、战略性的意义。” 1988 年 12 月,邓小平又指出：“当前世界上主要有两个问题,一个是和平问题,一个是发展问题。和平是有希望的，发展问题还没有得到解决。”
查阅资料,了解邓小平提出国际上两大问题的背景。
现在世界上真正大的问题,带全球性的战略问题,一个是和平问题，一个是发展问题。
和平问题是指维护世界和平、防止新的世界战争的问题。世界和平是人类社会存在和发展的基本条件,维护世界和平可以给各国经济发展和其他全球性问题的解决创造必要的前提。第二次世界大战后,国际形势总体稳定,和平因素的增长超过了战争因素的增长,争取较长时期的和平的国际环境具有了现实可能性。发展问题是指世界经济的发展问题，特别是发展中国家经济的发展问题。第二次世界大战结束以来,在相对和平的国际环境中,世界经济有了很大的发展,发展的规模和速度超越了以往任何时期。经济全球化是当今世界的一个基本特征,世界经济发展更加注重提高质量,知识经济方兴末艾,经济可持续发展问题日益受到关注。
和平是发展的前提。人类社会的共同发展，需要国际社会保持持久和平的环境,为各国正常发展和政治经济的往来提供保障。世界经济的发展得益于相对和平的国际环境，战乱和冲突是经济发展的重大障碍，各国以和平方式解决国家间争端，是世界发展的重要前提条件。
## 探究与分享
## 材料一
在圆满完成亚丁湾索马里海域护航和出访任务后，2018 年 3 月 18 日，中国海军第 27 批护航编队载誉凯旋。编队圆满完成了 36 批 54 艘中外船舶护航任务，解救被海盗追击船舶 5 艘，发现并驱离 13 批 42 艘疑似海盗小艇，确保所有被护船舶、人员和编队自身的安全。
中国海军护航编队派特战队员执行随船护卫任务
## 材料二
2015 年 1 月，也门安全局势急剧恶化。危急关头,我国政府积极采取行动确保在也门中国公民的生命财产安全。3 月 29 日至 4 月 6 日,中国派出 3 艘军舰,从也门撤出中国公民 613 人;同时,协助来自 15 个国家的共 279 名外国公民安全撤离。也门撤侨是一场坚定有力的国家行动,彰显了中国作为负责任大国的能力与担当。
8 对中国来说,为什么维护和平是我们的责任和担当?
列举实例,说明中国对世界和平作出的贡献。发展是和平的基础。发展是解决一切问题的总钥匙,只有释放各国发展潜力,实现世界各国的共同发展,才能够为国际社会的持久和平提供坚实的物质基础。同时,经济的发展有助于消除贫困,减少地区冲突的发生,消除不稳定的因素,为维系持久和平提供动力。
2016年 7 月 18 日，联合国贸易和发展会议第十四届会议发布的《发展与全球化：事实与数据》年度报告指出,近几十年来,人类在全球减贫方面取得了显著成就,中国和印度等亚洲国家表现突出。
据统计,1990 年,约占世界总人口三分之一的人生活在极端贫困中,这些人每天收入不足 1.25 美元。到 2015 年,全球已经有 10 亿多人摆脱了极端贫困，但仍有 8.36 亿人生活在极端
中国脱贫成就展在联合国总部举行贫困中。
改革开放以来，按照现行贫困标准计算，我国 7.7 亿农村贫困人口摆脱贫困；按照世界银行国际贫困标准,我国减贫人口占同期全球减贫人口 $70 \%$ 以上。特别是在全球贫困状况依然严峻、一些国家贫富分化加剧的背景下，我国提前 10 年实现联合国“2030年可持续发展议程” 减贫目标，赢得国际社会广泛赞誉。
## 促进和平与发展的因素
## 探究与分享
经济增长和国内繁荣可以促进国家之间的经济往来，而战争和冲突会中断国家之间的经济往来，导致经济方面的损失。孟德斯鸠指出：“贸易的自然效应就是和平。两个国家既彼此通商，又相互依存，一方以购入获利，另一方则以出售获利，一切联合均以相互需要为基础。”
国家间贸易往来给贸易双方和国际政治带来哪些影响?
凤国家间发展贸易关系能否彻底避免战争?请说明理由。
经济全球化发展加深了各国相互依赖程度。国家间日益增强的贸易往来，增进了彼此间的交流。各国相互依赖程度不断加深，经济上的共同利益不断扩大，共同维护和促进世界和平与发展的意愿不断增强。
## 相关链接
国际政治中的相互依赖理论认为,国家是国际关系的主体,但并不是唯一的主体,国际社会还存在着许多次国家、超国家的主体,如跨国公司、国际组织等。随着科技的进步和经济的发展,国家间的交流越来越频繁,联系越来越紧密,呈现出一荣倶荣、一损倶损的特点。仅仅依靠传统的军事因素无法应对和处理日益多样化的予盾与冲突。理性的国家,在应对和处理国际关系中的予盾与冲突时，会理性权衡利益的得失，作出最有利的选择。
不同力量中心之间相互制衡。发展中国家力量不断增强，新兴经济体实力提升,壮大了维护世界和平、促进共同发展的力量。科学技术的进步，极大地改变了国际关系和战争面貌。
## 探究与分享
《联合国气候变化框架公约》是1992年联合国环境与发展会议上开放签署的一项公约。1994年3 月 21 日，该公约生效。截至2016年 6 月底，共有 197 个缔约方。
气候公约的目标是将大气中的温室气体浓度稳定在一定水平,防止人为活动对气候系统造成危险的干扰。在实现这一目标的过程中,必须留有充足的时间让生态系统自然地适应气候变化,确保粮食生产不受威胁，并使经济以可持续的方式不断发展。
气候公约缔约方会议是公约的最高决策机构,定期审议公约和缔约方会议通过的任何其他法律文件的实施情况,并在其职权范围内作出为促进公约有效实施所必要的决定,是国际社会共同应对气候变化的最重要国际协调机制。
2015 年 11 月 30 日,联合国气候变化巴黎大会开幕式
凤国际社会为什么要以订立公约的方式共同应对全球气候变化?
谈判与对话成为解决冲突的主要手段。随着国际协调机制的不断完善和多边主义的深人发展,国家间交流与合作的机制日趋成熟，越来越倾向于选择和平的方式解决国家间的冲突。
## | 挑战与应对 |
和平与发展的主要障碍
探究与分享
## 材料一
1999 年 3 月 24 日至 6 月 10 日，以美国为首的北约末经联合国授权、末经联合国安理会批准，对并末给北约成员国造成威胁的主权国家南斯拉夫进行车炸。战争导致超过 2000 名平民丧生，至少 40000 间房屋被夷为平地或损坏，约 90 处历史遗迹被损坏。
## 材料二
非政府组织研究机构经济与和乎研究所发表的 2017 年度《全球恐怖主义指数报告》指出,2016 年，全球至少有一人死于恐怖主义的国家达 77 个，这比过去 17 年中的任何时候都多，亚太地区恐怖袭击事件由 2002 年的 106 起增至 2016 年的 870 起。
## 材料三
联合国粮农组织 2018 年发布的《全球粮食危机报告》称,2017 年,全球共有 51 个国家约 1.24 亿人受到急性粮食不安全的影响，比上一年增加 1100 万人。
邓结合材料，小组讨论当今世界存在哪些全球性问题和挑战。
当今世界仍很不安宁。霸权主义、强权政治有所上升，个别大国常常打着“自由”“民主”“人权”的幌子，侵犯别国主权，干涉别国内政。
霸权主义和强权政治本质上是将本国利益凌驾于其他国家的合理利益之上，凭借本国经济、军事等方面的优势，或利用国际旧秩序不合理的制度设计，对其他国家进行控制、干涉或者侵略，在损害他国利益的同时，造成世界的动荡不安。
进入 21 世纪以来，在美国等西方国家的干预下，中东、北非局势日趋恶化，众多受到战火波及的中东、北非无辜平民为了一线生机,如潮水般涌向欧洲,以致形成第二次世界大战结束以来最大规模的难民潮。2014 年进入欧洲的难民达到 28.3 万人，2015年涌入欧洲的难民数量出现爆炸性增长,超过 100 万人。难民潮给欧洲政治、经济和安全带来巨大冲击,严重威胁欧盟的团结和稳定。
当今世界仍是贫富悬殊的世界，发展中国家和发达国家的贫富差距越来越大。不公正、不合理的国际经济旧秩序还在损害着发展中国家的利益。发展中国家比较普遍地存在贫穷和饥饿现象。落后、贫困、危机等挥之不去的阴影仍然与人类相伴随。全球发展的最突出问题是南北发展不平衡。
国际上习惯把发展中国家同发达国家之间的经济关系称为南北关系,或称南北问题。因为殖民时期的特殊历史因素,广大发展中国家与发达国家之间的政治、经济关系严重不平等,世界经济发展不平衡,世界贫富分化严重。1974年4月,邓小平在联合国大会第六届特别会议上发表讲话时就对南北问题表示关注，并提出了建立国际经济新秩序的主张。
当今世界,局部动荡频繁发生,粮食安全、能源资源安全、网络安全、贸易摩擦、恐怖主义等全球性问题更加突出。世界和平面临诸多难题和挑战,世界人民争取和维护世界持久和平的任务依然十分艰巨。
冷战结束后,国际社会出现许多新的安全威胁,即非传统安全威胁因素,包括经济动荡、金融风险、生态环境恶化、网络攻击、资源危机、恐怖主义、武器扩散、疾病夢延、跨国犯罪、走私贩毒、非法移民、海盗、洗钱等,其中最突出和最严重的威胁来自国际恐怖主义和大规模杀伤性武器的扩散,而霸权主义和强权政治作为传统安全威胁依然存在并呈现出新的特点。
为了推动世界的和平与发展,世界各国应该共同维护以《联合国宪章》宗旨和原则为核心的国际秩序和国际体系,推动建设相互尊重、公平正义、合作共赢的新型国际关系，坚决反对霸权主义和强权政治，推动国际秩序朝着更加公正合理的方向发展。
## 国际关系民主化
## 探究与分享
“大道之行也,天下为公。” 国际关系民主化的本质是追求公平正义,要求各国主权平等,反对霸权主义和强权政治。当前,世界多极化深入发展,国际力量对比朝着有利于维护世界和平方向发展,国际关系民主化已经成为我们所处时代的本质要求之一。将某一种制度、价值标准、发展模式强加于人的垄断国际事务的做法,已经远远落后于时代,只能加剧经济全球化进程中的不公正和不公平,只会阻碍历史前进的步伐。只有实现国际关系民主化,才能尊重国际社会多样化的事实,保护和尊重各国在文化传统、生活方式、社会制度和价值观念上的差异性。习近平指出:“尽管当今世界霸权主义和强权政治依然存在,但推动国际秩序朝着更加公正合理方向发展的呼声不容忽视，国际关系民主化已成为不可阻挡的时代潮流。”
® 结合材料，说说中国为什么要推动国际关系民主化。
面对影响和平与发展的诸多挑战，中国倡导国际关系民主化。世界的命运必须由各国人民共同掌握，世界上的事情应该由各国政府和人民在平等互利的基础上，共同商量着办。国际关系民主化是世界和平的重要保证。国家不分大小、贫富，都是国际社会的平等一员。各国的事应由本国政府和人民决定，国际上的事应由各国政府和人民平等协商。
维护和倡导国际关系民主化,意味着在事关世界和地区和平的重大问题上，应该按照《联合国宪章》的宗旨和原则以及公认的国际关系基本准则,坚持通过协商谈判和平解决争端。
我们的世界是丰富多彩的,不可能只有一种模式。维护和倡导国际关系民主化,就应该承认世界的多样性，尊重各国的历史文化、社会制度和发展道路。
垄断国际事务的想法是落后于时代的，垄断国际事务的行动肯定是不能成功的。国际社会应该旗帜鲜明地反对霸权主义和强权政治,共同推动建立适应国际力量对比新变化的全球治理体系,更好保障广大发展中国家的发展权益,更好维护广大发展中国家的正当利益，共同推动国际关系民主化。全球治理是指在没有世界政府的情况下，国家（也包括非国家行为体）通过谈判协商，权衡各自利益,为解决各种全球性问题而建立的自我实施性质的国际规则或机制的总和
习近平对中国参与全球治理极为重视，提出“世界怎么了、我们怎么办” 的时代之问。当今世界正面临百年末有之大变局,国际力量对比深刻调整,和平与发展仍然是时代主题,人类命运共同体理念深入人心，同时国际环境日趋复杂，不稳定性不确定性更加突出。人类面临许多共同挑战,具体表现为治理赤字、信任赤字、和平赤字和发展赤字。因此,中国需要同世界各国一起,加强全球治理,推进全球治理体制变革,积极应对各种全球性挑战,推动全球治理体制向着更加公正合理方向发展。
# 第五课中国的外交
中国奉行独立自主的和平外交政策,面对深刻变化的国际形势,攻坚克难,砥砺前行,开创性推进中国特色大国外交,为人类应对共同挑战贡献了中国智慧,为推动世界和平与发展提供了中国方案。
## | 中国外交政策的形成与发展 |
独立自主的和平外交政策
## 探究与分享
1949 年
《中国人民政治协商会议共同纲领》规定了我国外交政策的原则,中国外交的崭新篇章由此翻开。
1964年
中法建交，打开了中国与西方大国建交的大门。
1972年
美国总统访华,两国签署《中美联合公报》。
1953年
周恩来在对外交往中首次提出了和平共处五项原则。
1971年
中华人民共和国恢复在联合国的合法席位。
请你补充改革开放以来,特别是党的十八大以来,体现中国外交政策发展的事例。
搜集材料,向同学介绍我国外交政策的发展历程。新中国的成立和社会主义制度的确立，消除了我国百年来屡受外国侵略、奴役的社会根源。我国的社会主义现代化建设需要长期稳定、和平的国际环境。我们绝不允许别国侵犯我国的国家利益、主权和领土完整,我们也绝不侵犯别国的国家利益、主权和领土完整。我国的国家性质和国家利益决定了我国奉行独立自主的和平外交政策。
独立自主是我国外交政策的基本立场。独立自主就是在国际事务中坚决捍卫国家的独立、主权和领土完整，对国际问题自主地决定自己的态度和对策。
外交政策是指主权国家对外活动的目标及所采取的策略、方式和手段。我国在对外活动中坚持独立自主的表现如下。
捍卫我国的独立、主权和领土完整,在涉及民族尊严和国家利益问题上,绝不屈服于任何外来压力。 我国处理一切对内对外事务的独立自主权利神圣不可侵犯,绝不允许别国以任何借口侵犯我国主权、干涉我国内政。
不依附于任何大国,不同任何大国或国家集团结盟,不搞军事集团,不联合一个国家反对另一个国家。
处理国际问题,根据其本身的是非曲直决定自己的态度和政策。
尊重各国人民选择符合本国国情的社会制度、发展道路和生活方式。
主张一国的事情由本国人民做主，国际上的事情由各国平等协商。
维护世界和平、促进共同发展是我国外交政策的宗旨。促进世界的和平与发展，符合中国人民和世界人民的共同愿望和根本利益,是时代的要求,是不可阻挡的历史潮流。
维护我国的主权、安全和发展利益，促进世界的和平与发展，是我国外交政策的基本目标。我国坚决维护国家主权、安全和发展利益,绝不屈服于任何外来压力;坚定维护国际公平正义,反对把自己的意志强加于人，反对干涉别国内政，反对以强凌弱。
和平共处五项原则是我国外交政策的基石，是我国对外关系的基本准则。它包括互相尊重主权和领土完整、互不侵犯、互不干涉内政、平等互利、和平共处。
1953 年 12 月，周恩来在会见印度代表团时第一次提出和平共处五项原则。1955年 4 月，29个亚非国家和地区的政府代表团在印度尼西亚万隆召开亚非会议,也称万隆会议。这次会议提出的十项原则，其精髓被概括为“团结、友谊、合作”，即万隆精神，是对和平共处五项原则的引申和发展。和平共处五项原则已经被当今世界上绝大多数国家、国际组织和国际会议所承认和接受,并载入了包括联合国大会通过的宣言在内的一系列重要国际性文件，对推动国际关系朝着正确方向发展发挥了重大历史性作用。
尊重基本人权、尊重《联合国宪章》的宗旨和原则。尊重一切国家的主权和领土完整。承认一切种族的平等、承认一切大小国家的平等。不干预或干涉他国内政。
尊重每一国家按照《联合国宪章》单独地或集体地进行自卫的权利。
6 不使用集体防御的安排来为任何一个大国的特殊利益服务。任何国家不对其他国家施加压力。
7 不以侵略行为或侵略威胁,或使用武力来侵犯任何国家的领土完整或政治独立。
8 按照《联合国宪章》,通过如谈判、调停、仲裁或司法解决等和平方法以及有关方面自己选择的任何其他和平方法来解决一切国际争端。
促进相互的利益和合作。
尊重正义和国际义务。
万隆会议十项原则
中国特色大国外交
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2018 年 1 月 11 日,日本海上自卫队两艘舰艇先后进入赤尾屿东北侧毗连区活动,中国海军对日方活动实施了全程跟踪监控。中国外交部强调,钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土,中国对钓鱼岛的主权拥有充分的历史和法理依据。日方有关做法丝毫改变不了钓鱼岛属于中国的客观事实,也丝毫动摇不了中方维护钓鱼岛领土主权的坚定决心。中方敦促日方停止在钓鱼岛问题上制造事端,按照双方
中国海监船在钓鱼岛海域开展维权巡航执法结合材料，简要评析我国在上述问题中的立场。
- 说说我国外交政策是如何在坚持走和平发展道路的同时,维护好、发展好、实现好我国的国家利益的。
党的十一届三中全会以后,根据国际形势的变化,党中央对我国外交战略进行重大调整，使其服务于社会主义现代化建设。我国独立自主的和平外交政策更加成熟和完善,我国对外活动进人了更为活跃的时期。
党的十八大以来，面对深刻变化的国际形势，党中央深刻把握新时代中国和世界发展大势，在对外工作上进行一系列重大理论和实践创新，明确中国特色大国外交要服务民族复兴、促进人类进步，推动建设新型国际关系，推动构建人类命运共同体，形成了习近平外交思想。这为进人新时代的中国外交提供了根本遵循和行动指南，同时为探索解决当今世界各种复杂问题指明了方向。
2017 年 1 月 18 日,习近平在瑞士日内瓦出席“共商共筑人类命运共同体” 高级别会议并发表主旨演讲指出：“中国打造伙伴关系的决心不会改变。中国坚持独立自主的和平外交政策,在和平共处五项原则基础上同所有国家发展友好合作。”中国将努力构建总体稳定、均衡发展的大国关系框架，积极同美国发展新型大国关系,同俄罗斯发展全面战略协作伙伴关系,同欧洲发展和平、增长、改革、文明伙伴关系,同金砖国家发展团结合作的伙伴关系。中国将继续坚持正确义利观,深化同发展中国家务实合作,实现同呼吸、共命运、齐发展。中国将按照亲诚惠容理念同周边国家深化互利合作,秉持真实亲诚对非政策理念同非洲国家共谋发展，推动中拉全面合作伙伴关系实现新发展。”
习近平外交思想是一个完整的理论体系，以“十个坚持”明确了新时代中国外交的使命宗旨、根本原则、主要任务和独特风范。构建人类命运共同体是习近平外交思想的核心理念。这一理念弘扬了中华民族世界大同、四海一家的传统精神，顺应了人类社会发展进步的时代潮流,成为新时代中国外交的一面鲜明旗帜。这一理念超越社会制度和发展阶段的不同,站在全人类整体利益的高度审视国与国关系,展现了世界情怀和全球视野,是新时代中国外交追求的崇高目标。
## 习近平外交思想的核心要义
坚持以维护党中央权威为统领加强党对对外工作的集中统一领导
坚持以实现中华民族伟大复兴为使命推进中国特色大国外交。
坚持以维护世界和平、促进共同发展为宗旨推动构建人类命运共同体。
坚持以中国特色社会主义为根本增强战略自信。
坚持以共商共建共享为原则推动“一带一路”建设
坚持以相互尊重、合作共赢为基础走和平发展道路
坚持以深化外交布局为依托打造全球伙伴关系。
坚持以公平正义为理念引领全球治理体系改革。
坚持以国家核心利益为底线维护国家主权、安全、发展利益
坚持以对外工作优良传统和时代特征相结合为方向塑造中国外交独特风范。
2019年，党的十九届四中全会对坚持和完善独立自主的和平外交政策、推动构建人类命运共同体进行了部署,提出要健全党对外事工作领导体制机制，完善全方位外交布局，推进合作共赢的开放体系建设，积极参与全球治理体系改革和建设。
外事工作制度是中国特色社会主义制度体系的重要组成部分，是落实中国特色大国外交的制度保证。外交无小事，确保外事工作正确政治方向至关重要。党的集中统一领导是做好外事工作的根本政治保证，健全党对外事工作领导体制机制，要坚持外交大权在党中央，加强中国特色大国外交理论建设，全面贯彻党中央外交大政方针和战略部署；深入推进涉外体制机制建设，统筹协调党、人大、政府、政协、军队、地方、人民团体等的对外交往，加强党总揽全局、协调各方的对外工作大协同格局；加强涉外法治工作，建立涉外工作法务制度，加强国际法研究和运用，提高涉外工作法治化水平。
中国外交政策的实践充分说明,中国是维护世界和平与稳定的积极因素和坚定力量,是促进世界经济发展的重要力量。中国在国际事务中的代表性和话语权进一步增强,发挥着重要的建设性作用。中国同世界的关系发生了历史性变化,中国外交正谱写着维护世界和平、促进共同发展的新篇章。
## 构建人类命运共同体
## 人类命运共同体的内㴠
## 探究与分享
查阅习近平在不同时段关于人类命运共同体的表述，谈谈你对构建人类命运共同体理念的理解。
当今世界,全球治理体系与国际秩序变革加速推进，世界各国相互联系与依存程度日益加深。同时，世界面临的不稳定性与不确定性突出，人类面临许多共同挑战。当今世界，没有哪个国家能够独自应对人类面临的各种挑战,各国人民应同心协力，构建人类命运共同体。
构建人类命运共同体，必须坚持对话协商，建设一个持久和平的世界；坚持共建共享，建设一个普遍安全的世界；坚持合作共赢，建设一个共同繁荣的世界;坚持交流互鉴,建设一个开放包容的世界；坚持绿色低碳，建设一个清洁美丽的世界。
## 相关链接
构建人类命运共同体重要战略思想,是着眼于人类发展和世界前途提出的中国理念、中国方案，受到国际社会的高度评价和热烈响应，已被多次写入联合国文件，产生日益广泛而深远的国际影响。
## 2017年2月
联合国社会发展委员会第 55 届会议协商一致通过“非洲发展新伙伴关系的社会层面” 决议，构建人类命运共同体理念首次被写入联合国决议中
## 2017年3月
联合国人权理事会第 34 届会议通过关于“经济、社会、文化权利”和“粮食权”两个决议,决议明确表示要构建人类命运共同体。这是构建人类命运共同体理念首次被写入人权理事会决议。
## 2017年11月
第 72 届联合国大会负责裁军和国际安全事务第一委员会会议通过“防止外空军备竞赛的进一步切实措施” 和“不首先在外空放置武器” 两份安全决议,构建人类命运共同体理念首次被写入联合国安全决议
## 2018年3月
联合国人权理事会第 37 届会议通过中国提出的“在人权领域促进合作共赢” 决议。这是联合国决议首次同时写入建设新型国际关系和构建人类命运共同体理念。
## 2018年9月
第 72 届联合国大会通过了“非洲发展新伙伴关系” 等决议,重申合作共赢和构建人类命运共同体理念。
我们要从政治、安全、经济、文化、生态五个方面推动构建人类命运共同体。政治上，要相互尊重、平等协商，坚决摒弃冷战思维和强权政治，走对话而不对抗、结伴而不结盟的国与国交往新路。安全上，要坚持以对话解决争端、以协商化解分歧，统筹应对传统和非传统安全威胁,反对一切形式的恐怖主义。经济上,要同舟共济,促进贸易和投资自由化便利化,推动经济全球化朝着更加开放、包容、普惠、平衡、共赢的方向发展。文化上，要尊重世界文明多样性，以文明交流超越文明隔阂、文明互鉴超越文明冲突、文明共存超越文明优越。生态上，要坚持环境友好,合作应对气候变化,保护好人类赖以生存的地球家园。
构建人类命运共同体思想继承和发展了新中国不同时期重大外交思想和主张,反映了中外优秀文化和全人类共同价值追求,适应了新时代中国与世界关系的历史性变化,指明了世界发展和人类末来的前进方向。
## 相关链接
2021 年7月 1 日,习近平在庆祝中国共产党成立 100 周年大会上发表重要讲话指出：“新的征程上,我们必须高举和平、发展、合作、共赢旗帜,奉行独立自主的和平外交政策,坚持走和平发展道路,推动建设新型国际关系,推动构建人类命运共同体,推动共建 '一带一路' 高质量发展,以中国的新发展为世界提供新机遇。中国共产党将继续同一切爱好和平的国家和人民一道,弘扬和平、发展、公平、正义、民主、自由的全人类共同价值，坚持合作、不搞对抗，坚持开放、不搞封闭，坚持互利共赢、不搞零和博恋，反对霸权主义和强权政治，推动历史车轮向着光明的目标前进!”
## 中国智慧的生动实践
## 探究与分享
作为世界上最大的发展中国家,中国引导应对气候变化国际合作,成为全球生态文明建设的重要参与者、贡献者、引领者
2015 年,党的十八届五中全会提出绿色发展理念,为全球气候治理作出中国贡献。中国积极探索具有中国特色的低碳经济发展道路。末来,中国也将积极发出中国声音,贡献中国智慧、方案和行动，推动全球合作应对气候变化。
2016年 9 月,十二届全国人大常委会第二十二次会议表决通过了全国人大常委会关于批准《巴黎协定》的决定，积极以中国理念和中国方案推动全球应对气候变化多边进程。
ק 结合材料,分析中国在应对全球气候变化问题中的角色变化。
构建人类命运共同体思想，为全球生态文明建设、国际和平事业、完善全球治理体系、构建全球公平正义的新秩序贡献了中国智慧和中国方案。
亚洲和平发展同人类前途命运息息相关。亚洲稳定是世界和平之幸,亚洲振兴是世界发展之福。为推动亚洲地区安全合作进程深入发展,我国积极倡导共同、综合、合作、可持续的亚洲安全观,这是中国为推动构建人类命运共同体而提出的重要理念。共同,就是要尊重和保障每一个国家安全。综合,就是要统筹维护传统领域和非传统领域安全。合作,就是要通过对话合作,促进各国和本地区安全。可持续，就是要发展和安全并重以实现持久安全。
构建人类命运共同体，关键在行动。中国坚持对外开放的基本国策，坚持打开国门搞建设，以共建“一带一路” 为重点，坚持引进来和走出去并重,遵循共商共建共享原则，加强创新能力开放合作，形成陆海内外联动、东西双向互济的开放格局。同时，支持多边贸易体制，促进自由贸易区建设，推动建设开放型世界经济，打造国际合作新平台，增添共同发展新动力，构建人类命运共同体。
## 相关链接
## 党的十八大以来中国构建人类命运共同体的生动实践
2013 年 9 月、10月,习近平分别提出建设“丝绸之路经济带”“21世纪海上丝绸之路” 的合作倡议。
2014 年 10 月,包括中国、印度、新加坡等在内的 21 个首批意向创始成员国的财长和授权代表在北京签约，共同决定成立亚洲基础设施投资银行。2016年1月,亚洲基础设施投资银行开始运营
2016年9月,中国成功举办二十国集团领导人杭州峰会。峰会的一系列成果在二十国集团历史上成为首创之举，明确了世界经济的前行方向，以丰硕的成果树立了新标杆。
2017年 5 月,中国成功举办首届“一带一路” 国际合作高峰论坛,包括29位外国元首和政府首脑在内的来自 130 多个国家和 70 多个国际组织的约 1500 名代表出席此次高峰论坛。
2017 年9月,金砖国家领导人第九次会晤在廈门举行。厦门会晤以“深化金砖伙伴关系,开辟更加光明末来” 为主题,回顾总结过去 10 年合作经验,携手规划末来发展愿景。
2019年4月，中国成功举办第二届“一带一路”国际合作高峰论坛，“一带一路”的朋友圈不断扩大，“一带一路” 的国际影响力、道义感召力、合作吸引力持续增强。
2019年 5月,中国成功举办首届亚洲文明对话大会,来自亚洲 47 个国家和五大洲的各方嘉宾,为深化文明交流互鉴共聚一堂。本次大会为促进亚洲及世界各国文明开展平等对话、交流互鉴、相互启迪提供了一个新的平台。
2020 年 3 月,习近平同联合国秘书长通电话时强调,新冠肺炎疫情的发生再次表明,人类是一个休戚与共的命运共同体。国际社会必须树立人类命运共同体意识,守望相助,携手应对风险挑战，共建美好地球家园。
“国之交在于民相亲,民相亲在于心相通。”我国积极开展公共外交，注重塑造我国的国家形象，重点展示中国历史底蕴深厚、各民族多元一体、文化多样和谐的文明大国形象，政治清明、经济发展、文化繁荣、社会稳定、人民团结、山河秀美的东方大国形象，坚持和平发展、促进共同发展、维护国际公平正义、为人类作出贡献的负责任大国形象，对外更加开放、更加具有亲和力、充满希望、充满活力的社会主义大国形象。
## 综合探究
## 贡献中国智慧
## 探究活动目标
结合我国构建新型国际关系的进程和取得的成就,论证“坚持合作共赢,走和平发展道路,是我国从历史、现实、末来的客观判断中得出的结论”,批驳国际上的一些错误观点,认同我国推动构建新型国际关系的中国方案。 了解我国开展全球治理的理念、方案和实际行动,阐释中国方案为世界和平与发展创造更有利的条件,简述自己对解决全球性问题的观点和建议,提升参与构建人类命运共同体的意识和责任感。 搜集共建“一带一路” 及其造福沿线国家和人民的资料,阐释世界各国唯有坚持相向而行才能走出一条共同发展之路,为“一带一路” 的发展提出持之有故、言之成理的见解,展现全球视野下的文化理解力和传播力,坚定中国特色社会主义文化自信。
## 探究活动建议
以“合作共赢是最大公约数” 为议题,探究我国构建以合作共赢为核心的新型国际关系的实践与成就,认同合作共赢是最大公约数。
可观看《不忘初心,继续前进》《习近平治国方略: 中国这五年》等纪录片中关于“合作共赢” 部分,探究合作共赢新型国际关系的丰富内涵和鲜明时代特征,评析其重大价值和意义，并撰写观后感。
可检索改革开放以来,特别是党的十八大以来我国构建新型国际关系的实践和成果，制作板报或手抄报。
可结合搜集的材料,以“合作共赢是最大公约数” 为题,组织辩论赛、主题征文等活动。
可组织研讨会,针对我国构建新型国际关系过程中面临的一些国际上的质疑作出回应,阐明坚持合作共赢、走和平发展道路是我国的战略选择和郑重承诺。邀请相关领域的专家或政府部门工作人员，为研讨会提供专业支持。
以“全球治理的中国方案” 为议题,探究中国全球治理方案的主要内容及其价值，并对开展全球治理发表自己的见解。可组织新闻素材搜集活动，探究全球治理的中国方案，阐释构建人类命运共同体的时代价值与重大意义;可组织班级讨论活动，引述中国方案得到世界认可的实例，探究中国方案为什么能转化为全球共识。
可围绕“全球治理的中国方案” 这一主题，搜集权威的、有价值的文献资料,阅读与整理文献资料，并在此基础上，撰写一篇小论文。
可设计调查问卷,调查青年学生关注的全球性问题及其态度,探究青年学生需要具备的全球治理观念、能力等;可组织主题班会活动，就同学共同关注的全球性问题讨论如何开展全球治理。
以“携手共建“一带一路’” 为议题,探究共建“一带一路” 的意义,为讲好“一带一路” 的中国故事出谋划策,为共建“一带一路” 提出合理建议。
可搜集古代丝绸之路的历史资料,感受“一带一路” 体现的丝路精神,阐释中华民族一直致力于与其他国家相向而行,共同促进世界和平与发展,将搜集到的素材和同学们的观点制作成板报或手抄报。
可组织故事讲演会,讲述“一带一路” 的故事,传播中华文化,并为讲好中国故事出谋划策,增进融入国际社会的积极意愿,提升文化理解力和国际传播力。
可结合本地实际，开展与“一带一路” 有关的调研活动。选择当地与“一带一路” 相关的项目、工程以及人员作为主要调研对象,设计调查问卷与访谈提纲,学习处理和分析一手调研资料，自拟主题，撰写调查报告，为共建“一带一路” 建言献策，并在班级对调查报告进行交流、评比。
## 探究路径参考
## 探究一合作共赢是最大公约数
“落其实者思其树,饮其流者怀其源。” 中国发展得益于国际社会,也为全球发展作出了贡献。
请引述改革开放以来我国在经济、社会等方面取得的成就,论证以下观点。
## 我国的成就
多年来,我国对全球经济增长的贡献率超过 $30 \%$。观点
我国经济快速增长,为全球经济稳定和增长提供了持续强大的推动力
我国减贫事业的巨大成就，使全球经济增长更加包容。
我国同一大批国家的联动发展，使全球经济发展更加平衡。
2013 年 3 月,我国首次提出推动建立以合作共赢为核心的新型国际关系。今天，这一理念已为各国普遍认同和接受。我国一系列合作共赢的坚定诺言和务实行动，使同行者越来越多，朋友圈越来越大，逐步开创了中国特色大国外交新局面。
合作共赢理念体现在我国政治、经济、安全、文化等对外交流的方方面面。结合党的十八大以来我国构建新型国际关系的实践，完成下表,并思考“中国智慧” 为什么使我们的朋友圈越来越大。
## 我国构建以合作共贏为核心的新型国际关系的实践
政治方面在主要大国中率先把建立伙伴关系确定为国家间交往的指导原则。
经济方面发起成立丝路基金
安全方面倡导处理南海问题“双轨思路”
文化方面召开亚洲文明对话大会
在经济全球化大背景下，各国利益日益交融,国家之间也许文化不同、信仰不同、制度不同，但合作共赢是最大公约数。
以“合作共赢是最大公约数” 为题,组织主题征文活动,将征集的文章在班级进行评比展示。我国坚持以相互尊重、合作共赢为基础走和平发展道路。中国走和平发展道路的自信和自觉,来源于中华文明的深厚渊源,来源于对实现中国发展目标条件的认知，来源于对世界发展大势的把握。
组织一次研讨会,从中国历史文化、现实发展状况、世界发展趋势三个角度论证中国坚定不移走和平发展道路的合理性,并对当前世界上一些人渲染的“中国威胁论” 予以驳斥。
## 探究二全球治理的中国方案
当前,世界经济增长乏力,金融危机阴云不散,发展鸿沟日益突出,兵戎相见时有发生,冷战思维和强权政治阴魂不散,恐怖主义、难民危机、重大传染性疾病、气候变化等非传统安全威胁持续夢延。面对这一图景,我们不禁要问：世界怎么了?我们怎么办?中国站在人类历史发展进程的高度,以大国的责任担当,给出了中国方案：构建人类命运共同体，实现共赢共享。
关于如何构建人类命运共同体,我国强调,国际社会要从伙伴关系、安全格局、经济发展、文明交流、生态建设等方面作出努力。以小组为单位，选择其中一个方面,搜集材料,阐述我国给出的“中国方案”。
2017 年，第 71 届联合国大会通过关于“联合国与全球经济治理”决议,将中国提出的“共商共建共享” 原则纳入其中。随着“构建人类命运共同体”“共商共建共享”等彰显中国智慧的方案或主张被陆续写入联合国决议文件，中国理念得到国际社会的广泛认同与支持,中国方案也在应对全球性挑战和问题上发挥着日益重要的作用。
一项倡议,能广泛吸引不同情况的国家、不同身份的人,得到广泛的认可,说明它切中了时代脉搏,契合了时代需求。以“中国智慧逐渐成为国际共识” 为主题,搜集相关新闻素材,并思考中国提出的全球治理方案为什么能转化为全球共识。
世界的末来属于年轻一代。全球青年有理想、有担当,推进人类命运共同体建设的事业就有源源不断的强大力量。中国作为一个发展中大国,对世界担负着越来越重要的责任,中国青年作为末来中国与世界进行沟通交流的主要群体,应该承担更多责任，而世界对于中国青年的想法和作为也有更多期待。开展一次“青年学生全球治理观” 调研,了解青年学生对全球治理问题的认识。
结合班级同学共同关注的全球性问题,召开主题班会,就全球治理的相关问题畅所欲言。
## 探究三携手共建“一带一路”
共建“一带一路” 是中国主动引领全球治理和推动构建人类命运共同体的生动体现
两千多年前,我们的先㹃筚路蓝缕,穿越草原沙漠,开辟出联通亚欧非的陆上丝绸之路;我们的先辈扬帆远航,穿越惊涛骇浪,闯荡出连接东西方的海上丝绸之路。古丝绸之路打开了各国友好交往的新窗口，书写了人类发展进步的新篇章。中国陕西历史博物馆珍藏的千年“鎏金铜蚕”，在印度尼西亚发现的千年沉船“黑石号”等，见证了这段历史。
共建“一带一路” 根植于丝绸之路的历史土壤，是对丝路精神的传承。丝路精神是人类宝贵的历史遗产。比较今天的“一带一路” 和古代丝绸之路的异同,谈谈“一带一路” 传承了哪些伟大的丝路精神。
共建“一带一路” 是一项系统工程,以共商共建共享为原则,以政策沟通、设施联通、贸易畅通、资金融通、民心相通为主要内容。推进共建“一带一路” 既是中国扩大和深化对外开放的需要，也是加强与亚欧非及世界各国互利合作的需要，是中国在力所能及的范围内承担更多责任，为人类和平发展作出的重大贡献。
2019年 4 月，习近平在第二届“一带一路” 国际合作高峰论坛开幕式上指出：“在各方共同努力下，'六廊六路多国多港' 的互联互通架构基本形成,一大批合作项目落地生根,首届高峰论坛的各项成果顺利落实,150 多个国家和国际组织同中国签署共建 '一带一路' 合作协议。共建 '一带一路' 倡议同联合国、东盟、非盟、欧盟、欧亚经济联盟等国际和地区组织的发展和合作规划对接,同各国发展战略对接。从亚欧大陆到非洲、美洲、大洋洲,共建 '一带一路' 为世界经济增长开辟了新空间,为国际贸易和投资搭建了新平台,为完善全球经济治理拓展了新实践,为增进各国民生福祉作出了新贡献，成为共同的机遇之路、繁㭉之路。”
共建“一带一路”要以文明交流超越文明隔阂、文明互鉴超越文明冲突、文明共存超越文明优越,推动各国相互理解、相互尊重、相互信任。交流互鉴是文明发展的本质要求。只有同其他文明交流互鉴、取长补短,才能保持旺盛生命活力。文明交流互鉴应该是对等的、平等的,应该是多元的、多向的,而不应该是强制的、强迫的，不应该是单一的、单向的。我们应该以海纳百川的宽广胸怀打破文化交往的壁垒，以兼收并蓄的态度汲取其他文明的养分。
搜集“一带一路” 沿线国家的资料,了解共建“一带一路” 是如何造福沿线国家和人民的。
结合搜集到的资料,谈谈为更好地实现政策沟通、设施联通、贸易畅通、资金融通、民心相通,我们可以有哪些作为。
“讲故事” 是国际文明交流的有效方式之一。讲述一个有关“一带一路” 的故事,并从“讲什么”“怎么讲” 两个角度就如何讲好中国故事出谋划策。
## 理论评析
当今世界正处于大发展大变革大调整时期，充满希望也充满挑战。着眼于新时代中国发展的世界坐标,把握中国与世界新的历史交汇点,新时代中国特色大国外交要推动构建新型国际关系，推动构建人类命运共同体。
构建新型国际关系,就是要坚持合作共赢相处之道,坚持互利共赢的开放和发展战略,把合作共赢理念体现在对外合作的方方面面。在此基础上,我们要推动国际关系民主化,由各国共同制定国际规则,共同参与全球事务,共同享受发展成果，倡导共商共建共享的全球治理观。
中国提出的共建“一带一路”的核心就是与沿线国家发展战略对接,实现共同发展。共建“一带一路”秉持以和平合作、开放包容、互学互鉴、互利共赢为核心的丝路精神,为推动解决发展失衡、治理困境、数字鸿沟等全球性问题,引导经济全球化朝着更加开放、包容、普惠、平衡、共赢的方向发展开辟了新路径。
# 第六课
走进经济全球化
经济全球化与我们每个人的生活息息相关,它给我们提供了一系列难得的机遇。机遇稍纵即逝,机会只青埬那些有准备的人,只留给那些放眼全球、具有国际视野的人。同时,我们也应该看到,经济全球化的道路上并不是都长满鲜花,还会布满荆棘,会给我们带来一系列不得不应对的挑战。
## | 认识经济全球化 |
## 经济全球化的主要表现
## 探究与分享
你接触过哪些外国品牌的商品?你知道哪些中国品牌的商品在国际市场上畅销?
搜集并分析某种产品市场原本被外国品牌占领，如今却是国产品牌更受欢迎的例子,谈谈国产品牌应该如何赢得国际竞争优势。
在我们的日常生活中,从家电、汽车、手机到服装、食品,外国商品随处可见,中国品牌的商品也走向世界各地。只要细加了解,就会发现许多外国品牌的商品是在中国生产组装的,中国品牌的商品也包含着来自许多国家的零部件。如今,越来越多的中国人到世界各地观光购物，外国人也到中国参观游览；国外金融市场的波动起伏日渐影响着我国金融市场与老百姓的家庭财富……我们与世界各国仿佛共同生活在一个朝夕相处的“村子”里,几乎处处都能感受到经济全球化潮流的影响。
当今世界经济的一个显著特征是商品、服务及技术、资金、劳务等要素,通过日益频繁的国际贸易、国际金融在全球范围内迅速流动和广泛配置，世界经济出现了高度融合的局面，这就是经济全球化。经济全球化主要表现为生产全球化、贸易全球化和金融全球化。
“经济全球化”一词,最早出现于 20 世纪 80 年代,它体现了 20 世纪后半叶以来世界经济的显著特征。作为世界经济发展的新阶段,经济全球化与以往的历史阶段相比,最主要、最鲜明的特征就是各国经济高度对外开放、深度相互依赖、全面相互融合。有人用“全球经济网络” 来形容经济全球化，这个“网络” 全天候相互联系、高度活跃。
## 探究与分享
我身上的零部件来自几十个国家，有的来自法国，有的来自日本，有的来自意大利，还有的来自中国、墨西哥、韩国、南非。我是由多国的工人一起生产出来的。
你还知道哪些产品是通过国际协作生产出来的?
过去,产品大多是本地生产、本地组装,如今则为多国分散生产,有人认为这种做法会增加产品的生产成本。你如何看待这一观点?生产全球化。随着科学技术的发展，生产领域的国际分工与协作不断深化、加强，世界各国的生产相互联系、相互协作，各国的生产活动成为世界生产链条中的一个环节。许多商品，虽然品牌是某个国家的，但其生产则是由许多国家共同协作完成的，这样可以充分发挥各国的比较优势。
## 相关链接
比较优势理论是由英国著名古典政治经济学家大卫・李嘉图提出来的。如果一国生产某产品的机会成本低于另一个国家,我们就可以说相对于另一个国家,该国生产某产品存在比较优势。比较优势不仅存在于国家之间，也存在于地区之间、个人之间。比较优势的存在是形成分工的重要基础。
探究与分享
根据两国的比较优势，甲国和乙国应该如何进行贸易？
贸易全球化。随着对外开放程度的提高和国际分工的深化，世界各国都被卷人国际市场交换之中，对国际贸易的依赖度不断提高。国际贸易的规模迅速扩大，参与交换的商品种类越来越多，除了商品，服务、资本、技术、劳务也进入了交易范围并迅速发展。
贸易一旦跨越关境,就成为国际贸易,它主要包括出口贸易、进口贸易、转口贸易、过境贸易等形式。
## 出口贸易
将本国所生产或加工的商品输往国外市场进行销售进行商品买卖。
过境贸易
商品生产国与消费国之间进行的商品买卖活动，其运输如果必须通过第三国国境，对第三国而言，就构成了该国的过境贸易。
## 探究与分享
国际贸易离不开货币。不同国家（地区 ）使用不同的货币。
货币不同，怎么进行交易呢?
搜集资料,看看历史上是如何解决这个问题的,解决办法经历了什么变化。
金融全球化。伴随着生产和贸易全球化，国际金融市场迅速扩张,形成了以国际金融中心为依托,通过信息网络运行的、全球统一的、不受时空限制的、国内外金融市场相互贯通的、无国界的全球性金融市场。
在金融全球化的驱动下，各类金融机构把自己的触角伸向全球各地，到处设立分支机构、合资机构或代理机构，从事借货、证券买卖等金融业务。随着各国外汇管制的放宽与国际经济的发展,各国货币的国际交换和流动规模日益扩大，全球外汇交易市场每天的交易额惊人。跨国投资的规模变得非常巨大，其增长速度大大超过世界生产和贸易的增长速度
## 影响经济全球化的主要因素
## 探究与分享
## 运输工具的发展
马车风帆木船远洋货轮
火车
飞机
通信工具的发展
书信
电报
固定电话
互联网
手机
进一步搜集材料,分析运输工具和通信工具的发展对经济全球化的影响。
经济全球化是不可逆转的历史大势,它不是哪些人、哪些国家人为造出来的,而是多种因素综合作用、多种动因共同驱动的结果,不依人的意志为转移。
经济全球化是社会生产力发展的客观要求和科技进步的必然结果。新的科技革命，一方面使得发达国家的物质生产能力达到新的高度,生产力不断扩大与国内市场相对狭小的矛盾更加突出，扩张国外市场的要求更加迫切；另一方面，运输和通信手段发生革命性变化,形成了全球性的低成本的交通运输网络和信息网络,使得全球经济活动越来越便捷,为经济全球化奠定了物质技术基础。
经济全球化加速发展的根本动因是世界各国对本国、本民族利益的追求。对利益的不断追求,驱使资本不断突破疆域的限制,在全球到处落户，到处投资，到处开发，使得商品、服务、技术、资金、劳务等在全球范围自由流动。资产阶级，由于开拓了世界市场，使一切国家的生产和消费都成为世界性的了 ……过去那种地方的和民族的自给自足和闭关自守状态，被各民族的各方面的不相往来和各方面的不相依赖所代替了。
—一马克思恩格斯
市场经济体制为经济全球化奠定了体制基础。没有市场经济的全球化也就没有真正的经济全球化。正是市场竞争打破了经济运行的国家和地区限制,把世界经济联结成一个整体的全球经济,形成了统一的世界市场。
## 名词点击
## 世界市场
世界市场是国际分工的产物，是市场交换关系突破国家和地区界限而扩展到整个世界的结果。狭义上的世界市场是世界各国相互间进行交换的场所或领域。广义上的世界市场是指国际流通领域包括商品、服务、资本、技术、劳务等各种交换关系与交换机制的总和。
## 经济全球化的重要载体
## 探究与分享
我国某大型跨国公司在全球160 多个国家设有分公司或代表处，同时，依据不同国家或地区的优势,在美国、欧洲、日本、印度、新加坡等地建立了 10 多家研究所、20多家创新中心、40 多家产品服务中心。
邓选取一家跨国公司,分析跨国经营有什么好处、会面临哪些风险和挑战。
跨国公司是指以母国为基地，通过对外直接投资，在两个或两个以上国家设立分支机构或子公司，从事国际化生产、销售和其他经营活动的国际大型企业。跨国公司的大规模发展为经济全球化提供了强有力的载体，其影响已经遍及全球生产、流通和消费等各个领域。
依据联合国国际投资和跨国公司委员会的规定,作为全球化重要载体的跨国公司应该具备三个要素：第一,跨国公司是指一家企业,其组成实体在两个或两个以上的国家经营业务;第二,跨国公司有一个集中的全球决策体系,各分支机构和子公司服从内部共同的管理政策和统一的战略目标；第三，跨国公司的各组成实体共同分享资源和信息并分担责任。
除跨国公司外，国家、国际组织也是推动经济全球化的重要力量。
为了实现最大利益，跨国公司在全球范围内从事对外直接投资，它们单独或与其他企业共同出资，在其他国家创立新企业，或并购现有企业，或扩张原有企业，利用世界各地的优势组织生产经营。
对外直接投资，又称国际直接投资。我们一般把投资来源国称为母国，接受国称为东道国。跨国公司从事对外直接投资的动机多种多样。例如,追求规模经济效益、降低生产成本和交易成本，扩大原有市场、开拓新市场和克服贸易壁垒，从国外获取稳定廉价的生产资源，享有东道国的比较优势和优惠政策，充分利用本企业的垄断优势，等等。
当前,跨国公司推动的对外直接投资出现了新趋势。一些新兴国家和发展中国家的跨国公司正在崛起，成为对外直接投资的新成员。
跨国公司在全球范围内到处奔走，推动着生产全球化、贸易全球化、金融全球化的深人发展与国际分工的深化，把国际分工发展为跨国公司的内部分工，把国际贸易发展为跨国公司的内部贸易,形成了以公司内部分工和贸易为基础的国际经济体系，促进了全球资源配置的优化和全球的科技合作与进步。
跨国公司的发展也会给世界经济带来负面影响，如不考虑母国或东道国的国家利益，实行跨国行业垄断、破坏国际市场的公平竞争，向发展中国家转移落后产能和环境污染等。各国必须制定相应政策，尽可能减少跨国公司的负面影响。
## 日益开放的世界经济
约济全球化的机遇与挑战
## 探究与分享
改革开放以前,我国珠江三角洲是一个经济落后的地区。如今,这里已成为举世闻名的现代化制造业中心。珠江三角洲的经济发展，在很大程度上是因为它捃住了经济全球化的机遇，充分发挥了本地区的优势。
®对于广大发展中国家来说,经济全球化提供了哪些机遇?总体而言，经济全球化符合经济规律，符合各方利益。经济全球化是社会生产力发展的产物,又推动着社会生产力的发展。经济全球化促进商品、服务和生产要素在全球范围内流动，促进国际分工水平提高和国际贸易迅速发展，从而推动世界范围内资源配置效率提高、科技进步、产业转移与结构升级，为世界经济发展提供强劲动力。
分工水平的提高是推动生产力发展的重要因素，因为提高分工水平有利于通过专业化提高工作效率,促进技术进步,减少在不同工作之间转换的成本。分工水平的提高需要以一定的市场规模为基础,因此,世界统一市场的形成能够为提高分工水平提供市场基础;同时,分工水平的提高又会促进市场交易规模扩大
发展中国家参与经济全球化有利于充分利用国际国内两种资源、两个市场，推动自身经济发展。
## 探究与分享
甲国某造纸企业在乙国开办工厂，引起了争议。
甲国造纸企业老板
乙国造纸企业老板
乙国工人
工厂附近的乙国农民
凤经济全球化一定会使人们普遍受益吗?为什么?经济全球化在给世界各国带来机遇的同时,也给世界经济发展带来挑战。
在经济全球化进程中，世界经济发展面临着不平衡问题。我们必须高度关注贫困和饥俄问题,同时要正视和妥善处理全球产业结构调整给不同产业、不同群体带来的冲击。
伴随着经济全球化潮流,一些产品的设计、生产、组装、营销、售后服务等一系列环节，形成了一条紧密相连的跨国性的价值创造与分配链条,链条各个环节的利润率不同,有人以“微笑曲线”形象地形容这条全球性链条。发达国家处于价值链条的高端,它们获取了经济全球化所带来的绝大部分收益;发展中国家通常处于价值链条的低端，它们只能从中获得较少收益。
在经济全球化进程中,世界经济发展面临的不确定性和风险加剧。经济全球化背景下不同国家和地区结成了你中有我、我中有你、一荣俱荣、一损倶损的关系，没有哪个国家可以独善其身。一国的经济波动可能殃及他国,甚至影响全世界,酿成国际性的经济危机或金融危机。
在现代社会,随着人类对社会生活和自然界干预范围的扩大和程度的加深,人类自身的决策失误和行为失当成为风险的主要来源,人为风险已经超过自然风险。现代社会,借助各种治理机制和手段，人类应对风险的能力大大提高，但同时又面临着治理失灵带来的新风险。人为风险、治理失灵带来的风险是现代社会面临的两种主要的风险类型。在经济全球化时代,它们可能变成全球性风险，给人类的生存和发展带来严重威胁。
面对经济全球化,我们既要抓住机遇,积极参与,又要勇敢迎接挑战,同舟共济,实现合作共赢。让经济全球化更有活力
## 探究与分享
《世界正面临大变局，国际社会正处于何去何从的十字路口。
世界经济增长缺乏新的动能,传统引擎的拉动作用在减弱,世界经济增长依然末能开辟出一条新路。
《贸易保护主义甚楍尘上，出现了以邻为堔、封闭对抗的势头。
全球收入分配不平等、发展不平衡的状况令人担忧,世界上仍然有数亿人口生活在极端贫困中。
结合材料,谈谈我们应该如何把握好经济全球化方向,推动经济全球化发展。
为了让经济全球化更有活力,要适应经济全球化,引导好经济全球化走向,推动经济全球化朝着更加开放、包容、普惠、平衡、共赢的方向发展,让不同国家、不同阶层、不同人群共享经济全球化的好处。
## 相关链接
只有更加注重开放、包容、普惠、平衡、共赢，才能让经济全球化的正面效应更多释放出来,更好地消解经济全球化的负面影响。为此,要更好地促进世界各国的相互交流合作与国际分工协作;要关切发展中国家的利益,促进发达国家与发展中国家协调发展,建立更加合理的利益分配体系;要反对歧视性的贸易投资条款和待遇,反对保护主义、单边主义;要解决发达国家和发展中国家发展不平衡、南北失调问题；要反对零和博恋，使不同国家相互受益、共同繁荣。
为了让经济全球化更有活力,要建设创新型世界经济,开辟增长源泉；要建设开放型世界经济，拓展发展空间；要建设联动型世界经济,凝聚互动合力;要建设包容型世界经济,夯实共赢基础。
## 相关链接
创新是打开世界经济增长之锁的钥尟。以互联网为核心的新一轮科技和产业革命蓬勃兴起,人工智能、虚拟现实等新技术日新月异，我们要抓住新一轮科技革命的机遇，促进世界经济增长。建设开放型世界经济,就要继续推动贸易和投资自由化便利化,帮助发展中国家深入参与国际分工，推动全球经济进一步交流与融合。
在经济全球化时代,各国发展环环相扣,协调合作是必然的选择,要在世界经济的共振中实现联动发展。
要让经济全球化的好处能够惠及所有国家、所有阶层、所有人群，特别是欠发达国家和弱势群体，使得经济全球化更具包容性。
为了让经济全球化更有活力,要完善全球治理。随着经济全球化的深人发展和各国交往的日益增多,跨国问题越来越多,如行业技术标准的不统一、跨国犯罪、环境污染、全球金融市场动荡、贫富分化等，对各国的影响越来越大。国际社会逐渐意识到，有效解决这些问题,需要各国共同协商、加强合作。因此，“全球治理” 理念应运而生。
现阶段的全球治理机制主要是第二次世界大战后由发达国家主导建立起来的。这些机制在应对全球性问题上发挥了积极作用,维持了世界和平、稳定与发展。但是，由于自身存在不足、易受霸权主义影响以及缺乏相应的调整和变革,传统的全球治理机制越来越难以适应经济全球化的新形势,需要加以变革和完善,从而为各国发展尤其是发展中国家发展创造良好的外部环境。
完善全球治理机制需要遵循一系列原则，如平等、开放、合作、共享等
平等
要求更好反映世界经济格局新现实，增加新兴市场国家和发展中国家代表性和发言权,确保各国在国际经济合作中权利平等、机会平等、规则平等。
要求坚持理念、政策、机制的开放,适应形势变化,广纳良言,充分听取各方的建议和诉求,鼓励各方积极参与和融入,不搞排他性安排，防止治理机制封闭化和规则碎片化。
合作
要求各国加强沟通和协调,照顾彼此利益关切,共商规则,共建机制,共迎挑战。全球性挑战需要全球性应对,合作是必然选择。
共享
提倡所有人参与,所有人受益,不搞一家独大或者赢者通吃,而是寻求利益共享,实现共赢目标。
# 第七课
经济全球化与中国
对外开放是我国的基本国策。我国坚持对外开放,积极参与经济全球化,推动我国经济长期持续健康发展。站在新的历史方位,中国的对外开放只会更加扩大。中国的发展是世界发展的机遇。作为负责任的大国，中国是世界发展的积极贡献者和有力推动者。
## 开放是当代中国的鲜明标识 |
形成全面开放新格局
## 探究与分享
习近平指出:“融入世界经济是历史大方向,中国经济要发展,就要敢于到世界市场的汪洋大海中去游泳,如果永远不敢到大海中去经风雨、见世面,总有一天会在大海中溺水而亡。所以,中国勇敢迈向了世界市场。在这个过程中,我们呛过水,遇到过漩涡,遇到过风浪,但我们在游泳中学会了游泳。这是正确的战略抉择。”
搜集对外开放以来我国在世界市场学会“游泳” 的成功案例。
结合实际,谈谈对外开放给我国经济社会发展带来的变化。
开放带来进步，封闭必然落后。1978年,党的十一届三中全会作出了对外开放的重大决策。经过多年发展,我国形成了全方位、多层次、宽领域的全面开放新格局,建立了中国特色开放型经济体系。世界贸易组织、世界银行集团和国际货币基金组织是当代最重要的三大国际经济组织。
世界贸易组织是基于多边贸易体制的国际组织，是众多贸易协定的管理者、各成员贸易立法的监督者、贸易问题谈判和争端解决的场所，被称为“经济联合国”。2001年，我国正式加入世界贸易组织，标志着我国的对外开放进入了一个新阶段。
世界银行集团是一个独特的全球性合作伙伴，包括五家机构：国际复兴开发银行、国际开发协会、国际金融公司、多边投资担保机构、国际投资争端解决中心。它协同各国政府、私营部门、民间组织、地区开发银行、智库以及其他国际机构，应对气候变化、冲突、粮食安全、教育、农业、金融和贸易等各种问题，致力于消除极端贫困和促进共享繁㭉。1980年，中国恢复了在世界银行集团的合法席位。
国际货币基金组织致力于促进国际货币合作和国际货币问题的磋商,稳定国际汇率，在成员之间保持有秩序的汇率安排，协助成员建立多边支付制度，向成员提供资金促进其国际收支平衡。中国是国际货币基金组织的创始国之一。目前，中国已经成为国际货币基金组织第三大份额国
在新时代,我国继续坚持对外开放的基本国策,打开国门搞建设，更加主动地参与和推动经济全球化进程，坚持实施更大范围、更宽领域、更深层次对外开放，依托我国超大规模市场优势，促进国际合作，实现互利共赢。
不断开放的国门
## 探究与分享
由我国商务部支持投放在美国的广告画面中:
一名晨练者俯身系鞋带，运动鞋上写着“中国制造，结合美国运动科技”;
一家人正在吃早餐，身边的冰箱上印着“中国制造，融合法国风尚”；
一名商务人士乘坐的飞机机身上写着“中国制造，全球工程师结晶”。
在国际竞争中,“中国制造” 有哪些优势?
搜集资料,了解当前“中国制造” 走出国门面临的挑战,并为我国形成出口竞争新优势提出建议。
适应新形势,我们要加快转变对外经济发展方式,推动开放朝着优化结构、拓展深度、提高效益方向转变，着力培育开放型经济发展新优势;要形成以技术、品牌、质量、服务为核心的出口竞争新优势，拓展对外贸易，推进贸易强国建设。
在继承、发展比较优势理论的基础上,国家竞争优势理论着重探讨企业或行业在国际竞争中赢得优势地位的各种条件。它给我们的启示是：在开放型经济背景下,竞争优势并非简单地取决于一国的自然资源、劳动力、利率、汇率等,而是在很大程度上取决于一国产业创新和升级的能力。
由于当代国际竞争更多地依赖于知识的创造和吸收,竞争优势的形成和发展已经日益超出单个企业或行业的范围,是一个经济体内部各种因素综合作用的结果。
适应新形势，我们要实行高水平的贸易和投资自由化便利化政策，放宽市场准人，扩大服务业对外开放，保护外商投资合法权益;要创新对外投资方式,促进国际产能合作,加快培育国际经济合作和竞争新优势。
负面清单管理是指政府规定哪些经济领域不开放,除了清单上的禁区,其他行业、领域和经济活动都许可。它相当于投资领域的“黑名单”,列明了企业不能投资的领域和行业。对负面清单之外的领域,按照内外资一致的原则,将外商投资项目由核准制改为备案制,这有助于构建安全高效的开放型经济体系。
## 对外开放与自力更生
## 探究与分享
在一次企业发展战略研讨会上，针对该不该自主研发某关键设备，与会者们提出了自己的观点。
研发这种设备成本太高,风险太大,直接从国外购买更稳妥。
国外的这种设备往往价格昂贵，购买不如租赁合算。
结合核心技术和关键设备的研发，谈谈你对上述观点的看法。
谈谈青年人在我国走自力更生道路过程中如何发挥应有的作用。
立足我国国情,放眼世界,在积极参与经济全球化过程中,我国既注重对外开放、合作共赢，又强调独立自主、自力更生。对外开放和自力更生好比两条强有力的“腿”，支撑我国经济迈人现代化。
我国实行对外开放,必须始终坚持独立自主、自力更生的原则。中国是人口众多的发展中的社会主义大国,任何时候都不能依赖别人搞建设,必须把独立自主、自力更生作为自己的出发点,这也是中华民族自立于世界民族之林的奋斗基点。我们尤其要矢志不移地增强自主创新能力，实现关键核心技术自主可控，把创新主动权、发展主动权牢牢掌握在自己手中。关键核心技术是国之重器,对推动我国经济高质量发展、保障国家安全具有十分重要的意义。新一代通信、新能源、新材料、航空航天、生物医药、智能制造等领域在全球迅速发展，正在重塑世界经济发展格局，引发新一轮产业革命与经济繁㭉。然而，在这些前沿领域，我国与发达国家仍然存在很大差距，主要体现在核心技术依然受制于人，对外技术依存度高。
我国核心基础零部件、先进基础工艺、关键基础材料等领域还很薄弱，许多技术还不具备系统配套的条件，具有自主知识产权的核心技术还不足以支撑我国产业转型升级。
为了切实提高我国关键核心技术的创新能力，我们要有强烈的创新信心和决心，既不妄自菲薄，也不妄自尊大，勇于攻坚克难，积极抢占科技竞争和末来发展的制高点
坚持独立自主、自力更生不是闭关自守，不是盲目排外，而是在立足自身发展的基础上实行对外开放。末来中国经济要实现高质量发展，必须在更加开放的条件下进行,中国的对外开放不会停滞,更不会走回头路。我们将坚定不移扩大对外开放，奉行互利共赢的开放战略。
## 做全球发展的贡献者
世界经济发展的重要推动者
## 探究与分享
加入世界贸易组织是我国积极参与经济全球化的重要表现。2001年，世界贸易组织时任总干事指出,中国加入世界贸易组织对双方都具有非常重要的意义,二者都将有所改变，而这必将对国际社会产生深刻影响。
结合具体案例,分析中国积极参与经济全球化对中国和世界经济发展的意义。
中国常驻世界贸易组织代表团在瑞士日内瓦正式挂牌
中国是经济全球化的受益者。我国紧紧抓住经济全球化带来的机遇，积极应对经济全球化的冲击和挑战,为我国经济社会发展赢得了良好的国际环境,促进了社会主义市场经济体制的建立和健全,推动了开放型经济水平的提高,带动了国内产业结构的优化升级,创造了大量的就业机会,提高了人民群众的收人和生活水平。
## 探究与分享
我国有 14 亿多人口的大市场,真诚向各国开放市场。为进一步扩大开放,我国不断降低进口关税,提升通关便利化水平;持续放宽市场准入,精简外商投资准入负面清单,减少投资限制，提升投资自由化水平;稳步扩大金融业开放，持续推进服务业开放，深化农业、采矿业、制造业开放，加快电信、教育、医疗、文化等领域开放进程。
结合所学知识,谈谈中国为什么要进一步扩大开放。
中国是经济全球化的贡献者。改革开放以来，我们始终敞开胸襟、拥抱世界，积极作出中国贡献。
改革开放以来,我国人民的生活得到极大改善,从短缺走向充裕、从贫困走向小康，数亿贫困人口成功脱贫,占同期全球减贫人口总数的大多数。这本身就是对世界发展的巨大贡献,也为其他发展中国家提供了有益启示。
中国的发展,关键在于走出了一条适合中国国情的发展道路。这是一条把人民利益放在首位的道路,是一条改革创新的道路,是一条在开放中谋求共同发展的道路。中国发展取得了巨大成就，中国人民生活得到了极大改善，这对中国好，对世界也好。
在发展过程中,我国坚持对外开放的基本国策,奉行互利共赢的开放战略,不断提升发展的内外联动性，在实现自身发展的同时更多惠及其他国家和人民。
中国的发展为世界各国的发展提供了机遇。中国经济快速增长，为世界各国提供了更广阔的市场、更充足的资本、更丰富的产品、更宝贵的合作机会,为全球经济的稳定和增长提供了持续强大的推动力。中国同一大批国家的联动发展,使全球经济发展更加平衡。中国改革开放持续推进,为开放型世界经济的发展提供了重要动力。推动经济全球化发展
## 探究与分享
国际产能合作是指两个经济体之间进行产能供求跨国或者跨地区配置的联合行动。开展跨国产能合作的中国产业,既有以轻工、家电为主的传统优势产业,以钢铁、平板玻璃为主的富余产能优势产业，又有以通信设备、轨道交通为主的装备制造优势产业。
中国与某国建立的经贸合作区是国际产能合作的成功典范。两国的经贸合作区吸引了大量企业入驻,形成了石油装备、高低压电器、纺织服装、新型建材、机械制造等产业园区。合作区为该国吸引了大量的投资，为当地带来了大量的税收，创造了大量的就业岗位。
结合材料,谈谈为什么中国开展国际产能合作能够促进合作共赢,推动全球发展。
今天的中国，已经站在新的历史起点,同世界深度互动，向世界深度开放。中国将以更加开放的姿态，始终做全球发展的贡献者、国际秩序的维护者，促进世界共同发展、持续发展，建设一个共同繁荣的世界。
2018年11月，首届中国国际进口博览会在上海成功举办。中国国际进口博览会，是迄今为止世界上第一个以进口为主题的国家级展会,是国际贸易发展史上一大创举。举办中国国际进口博览会,是中国着眼于推动新一轮高水平对外开放作出的重大决策,是中国主动向世界开放市场的重大举措,是中国推动建设开放型世界经济、支持经济全球化的实际行动。中国国际进口博览会由中国主办，世界贸易组织等多个国际组织和众多国家共同参与，它不是中国的“独唱”，而是多方的“大合唱”。
## 探究与分言
国际经济往来免不了矛盾和冲突。有的国家一旦认为自己的经济利益受到损害,动辑以退出国际组织或协定相威胁,动斩搞贸易保护主义，大打贸易战。
针对上述现象,谈谈应该如何正确处理国际经济交往中的纷争。
贸易战作为世界主要经济体和负责任的大国，中国奉行多边贸易体制，反对贸易保护主义，积极参与全球经济治理和规则制定，按照共同制定的规则办事，通过协商为应对共同的挑战找到共赢的解决方案。中国坚持建设开放型世界经济大方向，为世界经济增长发掘新动力，使世界经济增长更加包容。
## 名词点击
## 多边贸易贸易保护主义
《多边贸易，是指三个或三个以上的国家或地区，为了相互间的收支能够在整体上获得平衡，通过协议在多边结算基础上所进行的贸易。世界贸易组织所管理的体制就是多边贸易体制。
贸易保护主义,是指在对外贸易中通过关税或非关税壁垒限制进口,以减轻本国产品在国内市场遭受的外国产品竞争,并向本国产品提供各种补贴或优惠,以增强其国际竞争力的主张和政策。
我国以共建“一带一路”为重点，推动中国与沿线国家共同繁荣。共建“一带一路”不仅着眼于促进我国自身发展，而且以我国发展为契机,让更多国家搭上我国发展快车,同沿线各国共同分享中国的发展机遇，帮助其实现发展目标。
## 综合探究
## 发展更高层次开放型经济完善全球治理
## 探究活动目标
了解我国对外贸易领域的标志性开放政策,知道对外贸易的新业态新模式;能够结合具体的问题情境,就如何促进出口、发挥我国的比较优势、培育与提高我国的国际竞争新优势提出合理可行的对策建议;树立自主创新意识,培养在交易过程中诚信守法的品质。 了解第二次世界大战以来某一国际经济危机的发展过程及其影响,识别经济全球化时代主要的国际经济风险类型,能够结合具体实例分析其对我国和世界经济发展所产生的影响；针对如何应对和防范国际金融风险、贸易摩擦,能够提出合理可行的举措;学会理性思考,树立风险意识,积极维护国家经济安全,进一步增强总体国家安全观。 能够结合实际问题,就如何促进贸易投资自由化便利化、反对贸易保护主义提出合理建议;培养包容开放、合作共赢意识和规则意识,树立正确义利观;增强责任担当意识,认同中国是负责任的大国。
## 探究活动建议
以“建设贸易强国,培育国际竞争新优势” 为议题,探究如何促进出口、发挥我国的比较优势、培育国际竞争新优势与建设贸易强国。
可搜集我国对外贸易新业态新模式的相关材料,分析和归纳这些新业态新模式的特点及运作方式，说明它们是如何促进对外贸易的，并在课堂上展示、交流。
可结合本地实际,围绕当地发展对外贸易、引进外资中的某个具体问题,分组开展问卷调查和访谈。在教师的指导下,掌握设计调查问卷和访谈提纲的基本要求,学会科学处理和分析调研资料,撰写调研报告,并在班级进行交流、评比
可举行模拟对外贸易论坛，聚焦“贸易与强国”“贸易与创新” 等主题，重点探讨如何培育国际竞争新优势。邀请相关专家或政府相关部门工作人员,为论坛提供专业支持。
以“防范国际金融风险,维护国家经济安全” 为议题,探究防范国际金融风险、维护国家经济安全的途径和方式。
可搜集权威的、有价值的文献资料,学会阅读和整理文献资料。在此基础上,撰写一篇小论文。
可搜集我国防范国际金融风险、维护国家经济安全的成功案例,总结其中的经验，制作板报或手抄报。
可组织班级讨论会,探讨在维护国家经济安全方面个人应该承担的责任,针对家庭或个人财富如何防范国际金融风险，提出合理建议。
以“维护多边贸易体制,坚持正确义利观” 为议题,探究维护多边贸易体制与坚持正确义利观的意义和途径。
可通过查找资料，或访谈相关专业人员,搜集世界贸易组织运行中存在的问题，从维护多边贸易体制的角度探究如何促进世界贸易组织自身的改革与发展。
可就“促进贸易和投资自由化便利化”这一主题邀请专家举行报告会,并与专家进行对话和交流，探讨我国积极维护多边贸易体制以及促进贸易和投资自由化便利化的方式和措施。
可搜集新中国成立以来我国在处理国际关系中坚持正确义利观的典型事例并制作板报或手抄报，或举行一场关于“国际关系中如何坚持正确义利观” 的研讨会，探讨坚持正确义利观对完善全球治理体系和构建人类命运共同体的意义。
## 探究活动参考
## 探究一建设贸易强国，培育国际竞争新优势
我国是世界上最早开展对外贸易的国家之一，直到清代前期仍保持着经济贸易规模世界第一的位置。1840 年，西方列强用坚船利炮打开了清政府“闭关锁国” 的大门,中国逐步成为半殖民地半封建社会,对外贸易也由此丧失主权。新中国成立后,对外贸易开始艰难起步。党的十一届三中全会作出实行改革开放的历史性决策，我国对外贸易迸发出蓬勃生命力，实现了新的历史跨越。
改革开放以来,我国的贸易伙伴已经遍及世界上绝大多数国家和地区,从南太平洋岛国到非洲大陆,从欧亚大陆东端到大西洋两岸,全世界都在享受着质优价廉的中国商品。不断发展的对外贸易，让中国发展惠及世界。
但是，在对外贸易迅速发展的同时,我国产品出口受到某些国家关税壁垒的影响，也受到以绿色壁垒和技术壁垒为代表的非关税壁垒的影响。
绿色壁垒，是指以保护自然资源、生态环境和人类健康为名，通过制定一系列复杂苛刻的环保标准，对来自其他国家的产品和服务设置障碍，以保护本国产业。
技术壁垒,即科学技术上的关卡,它通过设立认证制度、卫生检验检疫制度、检验程序以及质量、包装、规格和标签标准等,提高对进口产品的技术要求,增加进ロ难度。
面对国际贸易中日益苛刻的绿色壁垒和技术壁垒,我国要积极培育国际经济竞争的新优势。
搜集反映改革开放以来我国对外贸易巨大成就的材料,思考我国是如何实现对外贸易由小到大的跨越，逐步发展成为一个贸易大国的。
搜集材料,从环保和技术角度了解我国出口产品的结构特征,为我国企业应对绿色壁垒、技术壁垒提出合理可行的建议。
党的十九大报告提出，要“拓展对外贸易，培育贸易新业态新模式，推进贸易强国建设”。跨境电子商务是对外贸易领域不断涌现的新业态新模式的典型代表之一。在跨境电子商务中，分属不同关境的交易主体，通过电子商务平台达成交易，进行支付结算,并通过跨境物流送达商品,完成交易。跨境电子商务是基于网络发展起来的，具有与传统贸易方式不同的特点。
2015 年 3 月，国内首个跨境电子商务综合试验区成立。2016 年 1 月,国务院在 12 个城市增设一批跨境电子商务综合试验区。得益于政策利好,行业出现井喷现象,全国集中涌现了上千家跨境电商企业。中国已经稳居全球跨境电商规模的头把交椅。
我国跨境电子商务迅速发展,一些质疑的声音也随之而来。比如,“买到的是否为正品”“买了能否 7 天无理由本土退货”“买后何时收到货，有无保障”等问题,越来越引起广大消费者的高度关注。
查查还有哪些对外贸易新业态新模式。搜集材料,分析这些新业态新模式的特点以及运作方式，了解它们是如何促进对外贸易的。
针对跨国购物存在的问题,查阅相关资料或请教相关人士,从政府、企业、市场、消费者等方面谈谈如何保护消费者权益。
## 探究二防范国际金融风险，维护国家经济安全
1997 年，一场源于泰国的金融风暴迅速蔓延到东南亚、东亚地区。2008 年,一场源自美国华尔街的巨大金融海啸严重冲击了美国的金融业和其他行业。
亚洲金融风暴和美国金融海啸均迅速波及全球，给世界经济造成了巨大损失。它们的来势之猛、扩散之快、影响之深,均属罕见,是第二次世界大战后人类面临的两场严重的国际金融危机。面对危机,我国政府果断采取措施,既稳定了我国的经济形势，又为世界经济增长作出了贡献。
搜集与这两场或其他国际金融危机有关的资料,了解它们的发展过程,探究其原因,分析其影响。
谈谈你对“经济全球化也是风险全球化”的理解。
国家经济安全是指一国的国民经济运行、发展和经济实力处于不受根本威胁的状态。在经济全球化时代,一国的经济安全包括多个方面,如信息安全、金融风险防范和处置问题、贸易摩擦与纠纷问题、引进外资与保护民族工业的矛盾、石油及重要矿产资源的供应保障、粮食供应保障、淡水资源保障等。其中，金融安全是国家安全的重要组成部分,是经济平稳健康发展的重要基础。维护金融安全,是关系我国经济社会全局的一件带有战略性、根本性的大事。金融活，经济活；金融稳，经济稳。
深入发展的经济全球化在为我国经济社会发展带来新机遇的同时,也必将带来诸多影响我国经济安全的新风险。应对这些风险,维护国家经济安全,是政府、企业、个人必须承担的责任。
搜集我国政府、企业积极应对国际金融风险、维护国家经济安全的成功案例,总结经验，为政府、企业防范和应对国际金融风险建言献策。
畅谈在维护国家经济安全方面个人应该承担的责任,针对家庭或个人财富如何防范国际金融风险,提出合理建议。
## 探究三维护多边贸易体制,坚持正确义利观
世界贸易组织成立于 1995 年 1 月 1 日，其前身是关税与贸易总协定。关税与贸易总协定是一个政府间缔结的有关关税和贸易规则的多边国际协定，于 1948 年 1 月 1 日生效。
世界贸易组织履行其职能依靠一系列基本原则,包括非歧视性原则、透明度原则、自由贸易原则、公平竞争原则。这些基本原则构成了多边贸易体制的基础
非歧视性原则
最惠国待遇原则
一成员将在货物贸易、服务贸易和知识产权领域给予任何其他国家或地区（无论是否为世界贸易组织成员）的优惠待遇，立即和无条件地给予其他各成员。
国民待遇原则
对其他成员的产品、服务或服务提供者、知识产权所有者和持有者所提供的待遇，不低于本国或本地区同类产品、服务或服务提供者、知识产权所有者和持有者所享有的待遇。
透明度原则
各成员应公布所制定和实施的贸易措施及其变化情况，并通知世界贸易组织,不公布的不得实施。各成员参加的有关影响国际贸易政策的国际协议也在公布和通知之列。
自由贸易原则
通过多边贸易谈判，实质性削减关税，减少其他贸易壁垒，扩大成员之间的货物和服务贸易。
公平竞争原则
各成员应避免采取扭曲市场竞争的措施，纠正不公平贸易行为，在货物贸易、服务贸易和与贸易有关的知识产权领域，创造和维护公开、公平、公正的环境。
结合实例说明每个基本原则的内涵。搜集世界贸易组织自身存在的问题,从维护多边贸易体制角度谈谈如何促进世界贸易组织自身的改革和发展。
搜集材料,总结我国是如何积极维护多边贸易体制以及促进贸易和投资自由化的。
西方有人认为,国家之间的交往“没有永恒的朋友,只有永远的利益”,国家之间的交往利益至上。
“协和万邦” 是古代中国对外交往的价值追求。孔子强调“君子义以为上”，墨子提出“义,利也”“兼相爱,交相利”,孟子主张“生亦我所欲也,义亦我所欲也;二者不可得兼，舍生而取义者也”。
我国是发展中国家的一员,对发展中国家的境遇感同身受,并且一直将自身的发展与发展中国家密切结合在一起。新中国成立后,我国在自身经济十分困难的情况下,仍无私援助一些发展中国家。改革开放以来,随着综合实力的增强,我国逐渐加强对发展中国家的援助。
习近平指出：“倡导合作发展理念,在国际关系中践行正确义利观。‘国不以利为利,以义为利也。，在国际合作中,我们要注重利,更要注重义。”
结合材料,分析在国家之间的经济往来中如何正确处理义和利的关系。
搜集新中国成立以来我国在国际关系中坚持正确义利观的事例,谈谈坚持正确义利观对完善全球治理体系的意义。
## 理论评析
推动经济高质量发展必须发展更高层次开放型经济,建立多元平衡、安全高效的全面开放体系,这是适应经济全球化新形势的必然要求。更高层次的开放型经济,是全方位立体开放的经济,是深度加人国际分工体系、与世界经济深度融合的经济。它不仅输出高质量的商品、服务和生产要素,而且输人高质量的商品、服务和生产要素；不仅要更大规模地“引进来”，而且要更加积极地“走出去”;不仅要陆海内外联动,而且要东西双向互济。
当今世界正面临百年末有之大变局。对广大新兴市场国家和发展中国家而言，这个世界既充满机遇,也存在挑战,各种国际金融风险是我们前进道路上不得不应对的挑战。对此,我们要有防范经济风险的意识和能力，掌握应对风险的本领。当前的全球治理机制还难以有效化解国际金融市场频繁动荡、资产泡沬积聚等问题。为此,我们要与国际社会协作,完善国际经济协调机制,加强风险的共同应对与防范。面对国际贸易中出现的贸易摩擦,我国政府和企业要共同携手,运用我们的智慧,充分利用国际组织赋予的权利,客观公平公正地解决分歧,为发展更高层次开放型经济营造良好的外部环境。
当前,全球治理体系变革的紧迫性越来越突出。国际经济力量对比已经发生深刻变化,而全球治理体系末能反映新格局,代表性和包容性很不够;贸易和投资规则末能跟上新形势，机制封闭化、规则碎片化问题十分突出。在新的治理体系下，国家不分大小、强弱、贫富，都是国际社会平等成员，平等参与决策、享受权利、履行义务。新的治理体系要赋予新兴市场国家和发展中国家更多代表性和发言权，要坚持多边主义,维护多边体制的权威性和有效性。建立新的治理体系,并非要求将原有治理体系推倒重来。现行国际秩序并不完美,但只要它以规则为基础,以公平为导向，以共赢为目标，就不能随意被舍弃。
正确义利观要求我们在国际交往中，特别是在同发展中国家的交往与合作中，坚决摒弃过时的零和思维,坚持义利相兼、先义后利,与各国人民共享机遇,共迎挑战,共同繁荣。它是对国家主权原则的尊重、维护和有益补充,也是对狭隘国家利益观的超越,更是对见利忘义、损人利己的霸权行为的反对和鞭挞。坚持正确义利观对于推动构建人类命运共同体具有积极的现实意义和长远的历史意义。
第三单元经济全球化
## 第四单元
国际组织
在国际社会中，国际组织特别是政府间国际组织充当着日益重要的角
色，联合国、欧洲联盟、亚太经合组织、非洲联盟等格外引人注目。这些
国际组织是如何建立的，各自经历了怎样的发展历程，遵循什么宗旨，发
挥什么作用，面临什么问题？中国与它们的关系如何？中国参与或倡议建
立的新兴国际组织及机制有哪些？通过本单元的学习，探究这些问题，我
们将明白中国是世界和平的建设者、全球发展的贡献者、国际秩序的维护
者，理解中国在国际舞台上坚持高举和平、发展、合作、共赢旗帜的重大
意义
# 第八课
主要的国际组织
国际组织在处理各种国际性问题上发挥重要作用，是当今国际社会日益重要的行为体、全球治理的重要载体、多边外交的重要舞台。活跃在国际舞台上的国际组织非常多,其中有一些国际组织格外重要,它们的名字经常出现在媒体报道中,这些国际组织不仅影响着各国的政策,而且影响着各国民众的日常生活。
## | 日益重要的国际组织 |
国际组织的分类与机构
## 探究与分享
国际组织为数众多，名称各异。有的叫“组织”，有的叫“委员会”，有的叫“联合会”，有的叫“联盟”……
美洲国家组织标志
国际足球联合会标志
国际奥林匹克委员会标志
你还能说出一些其他国际组织的名称吗?活跃在国际舞台上的，既有主权国家，又有国际组织。国际组织指的是若干国家的政府或民间团体经协商联合建立的经常性组织。主权国家是国际社会的基石，国际组织是国际社会的重要成员。
较早的国际组织有 1865 年建立的国际电信联盟等,主要处理国际社会中一些非政治性事务。20世纪出现了大量国际组织,特别是联合国成为当代国际组织体系的核心。冷战时期,美国联合其盟国建立北大西洋公约组织、经济合作与发展组织,苏联与其盟国建立华沙条约组织、经济互助委员会，法国、意大利、联邦德国等多个欧洲国家成立了欧洲共同体。冷战结束后，二十国集团、上海合作组织等新型国际组织相继出现。
依据不同的标准，国际组织可分为不同类型。
按照成员的性质，国际组织可以分为政府间国际组织和非政府间国际组织。政府间国际组织的成员是主权国家或地区的政府,非政府间国际组织的成员主要是团体或个人。
非政府间国际组织主要由多国的团体或个人组成,其特征表现为非官方性、公益性以及一定程度的志愿性。非政府间国际组织出现于19世纪，20世纪末 21 世纪初显著增多，在维护和平、促进发展、保护环境、提供人道主义援助、开展文化交流、防治疾病等方面发挥着重要作用。但是，也有一些非政府间国际组织为个别大国服务,成为个别大国向其他国家渗透的工具
按照地理范围，国际组织可以分为世界性国际组织和区域性国际组织。世界性国际组织向全世界开放，区域性国际组织的成员限于某一特定的地域范围。
按照职能范围,国际组织可以分为一般性国际组织和专门性国际组织。一般性国际组织的职能范围广泛，涉及政治、经济、文化、社会等方面;专门性国际组织则具有专业职能,主要开展科技、文化、教育、卫生等方面的专门技术性活动。
## 相关链接
一些专门性国际组织与我们的生活关系密切。体育迷们都听说过“世界羽联”“国际乒联”“国际足联”，在出现流行性疫情时媒体经常提到“世界卫生组织”。还有一些国际组织虽然名气没有那么大,但不可或缺。比如,如果没有万国邮政联盟,跨国邮政服务就没有统一标准可依，我们寄收跨境信件、包袞就将十分烦琐耗时。8 查阅相关资料,判断下列国际组织的类型。
国际组织为实现其宗旨设有多级机构。一般来说，全体成员参加的大会是议事和决策机构，享有广泛的权力，包括制定和修改章程、接纳新成员、选举执行机构成员和最高行政官员、审核财政预算和决算、审议各机构年度报告等。大会休会期间，部分成员组成执行机构，执行相关的决议，履行各项职能。秘书处负责处理日常事务,为其他机构提供服务。有些国际组织还设有司法机构,解决成员间的矛盾、纠纷。
国际组织的产生及作用
## 探究与分享
以下是国际组织的主要特征。根据你的理解，找出左右两栏之间的对应关系并连线。
国际性
目的性
组织性
自主性
国际组织有特定的宗旨。宗旨是国际组织开展活动的指导原则，也是其在国际社会存在的意义所在。
国际组织设有多层次的机构来开展活动，以实现其宗旨。其常设性机构负责处理日常事务。
国际组织代表各成员的共同利益而不是某个特定成员的单方利益。在一定程度上,国际组织自主开展活动,独立运作，其决议具有某种强制力。
国际组织是国家、地区之间的组织，两个以上国家、地区的政府、团体或个人才能建立国际组织。国际组织是国际关系发展到一定历史阶段的产物，其形成和发展反映了生产力发展的水平和要求,也表明人类交往的日益频繁和面临的问题日益复杂。国际组织的出现,适应了第二次工业革命带来的新情况和新变化。第二次世界大战后国际组织迅猛发展,适应了新科技革命带来的经济全球化的需要,适应了当代世界多极化趋势，体现了对全人类面临的共同课题的关注。
当代国际组织的活动包罗万象。上至外层空间,下到海洋底床,人类生活的诸多领域都有相关国际组织的存在。国际组织可以促进国际社会在政治、经济、文化等领域开展交流、协调、合作,调停和解决国际政治冲突和经济纠纷,促进世界和平与发展。
当想到战乱地区的儿童不幸被地雷夺走了双腿,你是不是觉得地雷这种武器应该被限制使用?其实,地雷问题直到 20 世纪 90 年代才引起人们的广泛关注。1997年,多个国家签署禁止杀伤人员地雷的国际公约,同年的诺贝尔和平奖颁给了“国际禁止地雷运动”。进入 21 世纪后,国际社会开展了声势浩大的扫除地雷行动。在行动中，多个联合国部门、机构、基金会参与其中，多个非政府组织开展排雷和地雷风险教育工作,一些国际金融机构则提供了经费。
中国维和官兵向维和地区学生介绍地雷常识
国际组织参与国际事务受诸多因素制约，有其局限性。个别大国倚仗实力,力图控制国际组织,使之成为其推行霸权主义和强权政治的工具。
有人认为：“政府间国际组织是由国家集团建立的常设机构，为特殊的国家利益服务,而不是独立的行为体。”也有人认为：“政府间国际组织对国家间关系有重大的、持续性的影响,甚至有少数具备“超国家' 的功能。” 如果深入研究各个政府间国际组织,就不难发现这两种观点都有可取之处。这也说明了国际组织的多样性。
## 联合国 ｜
## 《联合国宪章》倡导的国际关系基本原则
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1945 年 4一6月，在第二次世界大战即将结束之际，来自 50 个国家的代表共聚美国旧金山,决定建立一个组织以捍卫世界和平,建设一个更加美好的世界。本次会议堪称有史以来最盛大的一次国际会议,参会代表共有 850 人,加上他们的顾问、工作人员以及会议秘书处人员，总人数达到了 3500 人。此外，还有 2500 多名新闻界代表及社会团体的观察员。在经历了数百次大大小小的会议之后,各国代表签署了《联合国宪章》和《国际法院规约》。
2015 年6月，联合国举行《联合国宪章》签署 70周年纪念活动
关于联合国的宗旨，《联合国宪章》有以下表述。
《维持国际和平及安全。
发展国际间以尊重人民平等权利及自决原则为根据之友好关系。 促成国际合作,以解决国际间属于经济、社会、文化及人类福利性质之国际问题
• 构成一协调各国行动之中心，以达成上述共同目的。
结合所学知识,引用实例,简要说明联合国自成立以来是如何践行其宗旨的。
联合国（英语缩写为“UN”）是当今世界最具普遍性、代表性和权威性的政府间国际组织。它是世界人民反法西斯斗争胜利的产物，是人类为和平与发展长期努力的结果。联合国体现了世界各国人民“欲免后世再遭今代人类两度身历惨不堪言之战祸”“彼此以善邻之道，和睦相处” 的崇高精神,承载着国际社会共同促进经济社会发展的美好理想。联合国的成立是人类历史上具有划时代意义的大事，是人类和平进步事业发展的重要里程碑。
联合国徽记是一个从北极俯瞰的世界地图，周围是两枝对称的橄榄枝。联合国旗帜的底色为浅蓝色，正中是一个白色的联合国徽记。
联合国旗帜
《联合国宪章》规定，为实现联合国的宗旨，联合国及其会员国应遵循以下原则：所有会员国主权平等；各会员国应忠实履行根据宪章规定所承担的义务；各会员国应以和平方法解决国际争端;各会员国在国际关系中不得以不符合联合国宗旨的任何方式进行武力威胁或使用武力；各会员国对联合国依照宪章所采取的任何行动应给予一切协助；联合国在维护国际和平与安全的必要范围内，应确保使非会员国遵循上述原则;联合国组织不得干涉在本质上属于任何国家国内管辖的事项，但此项规定不应妨碍联合国对威胁和平、破坏和平的行为及侵略行径采取强制行动。
## 联合国的主要机构
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1943 年，中、美、苏、英等国经过莫斯科会议和德黑兰会议的讨论后，就联合国的一些基本想法达成一致。但是，联合国的具体机构应如何安排，仍然悬而末决。1944 年 10 月,四国代表在美国敦巴顿橡树园召开会议，就联合国的组织架构进行讨论。他们提议，联合国由 4 个主要机构组成：大会,安全理事会,国际法庭，秘书处。“大会”由所有会员国组成（下设“经济及社会理事会”）;
《联合国宪章》诞生地一一敦巴顿橡树园“安全理事会”由 11 个会员国组成，其中 5 个为常任理事国。但是,此次会议末能就安全理事会表决程序这一至关重要的问题达成一致。
查阅资料,了解联合国现在的组织机构,比较其与敦巴顿橡树园会议的提案有什么不同。
联合国设有 6 个主要机构,除国际法院位于海牙外，其他 5 个机构设在纽约联合国总部。联合国在日内瓦、维也纳和内罗毕设有办事处。
大会，是联合国主要审议机构，拥有广泛的职权，由全体会员国的代表组成,每一会员国都有一个投票权。大会关于重要问题的决定，如关于和平与安全、接纳新会员国和预算事项的决定，必须由三分之二多数通过。其他问题则以简单多数通过决定。
安全理事会,负有维护国际和平与安全的主要责任,由中、美、俄、英、法 5 个常任理事国和 10 个由大会选出、任期两年的非常任理事国组成。每一个理事国均有一个投票权。
安理会关于程序问题的决定以 15 个理事国中至少 9 个理事国的同意票通过。对于实质性问题的决定也需 9 票通过,并且不得有任何一个常任理事国投反对票 (弃权不算反对),后者体现的是“大国一致”原则。常任理事国所拥有的这种权力通常被称为“否决权”。
经济及社会理事会,由大会选出的 54 个理事国组成,主要关注国际经济、社会、文化、教育、卫生等问题。
托管理事会，负责监督托管领土，目前已完成历史使命，停止运作。
国际法院,是为和平解决国际争端而设立的主要司法机构,由 15 名法官组成。
秘书处，由秘书长及办事人员组成，从事各种日常工作。秘书长是联合国的行政首长,由大会根据安理会的推荐任命。
联合国设有多个专门机构,包括联合国粮食及农业组织,国际民用航空组织,国际农业发展基金,国际劳工组织,国际海事组织,国际货币基金组织,国际电信联盟,联合国教育、科学及文化组织,联合国工业发展组织,万国邮政联盟,世界银行集团,世界卫生组织,世界知识产权组织,世界旅游组织，等等。这些组织在经济及社会方面开展广泛活动，发挥重要作用。
联合国的作用
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1999 年,东帝汶因独立问题引发大规模流血冲突,大批平民逃离家园。联合国安理会先后派驻特派团（1999年6月至10月）、过渡行政当局（1999年 10 月至 2002 年 5 月）、支助团 ( 2002 年 5 月至 2005 年 5 月)、办事处 (2005 年 5 月至 2006 年 8 月)、综合特派团 ( 2006 年 8 月至 2012 年 12 月)，随着局势发展分阶段开展维和行动。
## 联合国部分维和行动
联合国印度和巴基斯坦观察组（1949年设立）
联合国驻黎巴嫩临时部队 ( 1978 年设立)
联合国科索沃临时行政当局特派团（1999年设立）
联合国海地稳定特派团（2004 年设立）
联合国马里多层面综合稳定特派团（2013 年设立 ）
联合国海地司法支助特派团（2017年设立）
凤你怎样评价联合国在处理地区热点问题中所发挥的作用?
联合国成立以来,国际局势风云变幻,联合国也经历种种考验,走过了不平凡的历程。特别是冷战结束以来,广大会员国共同努力,推动联合国各项事业蓬勃发展,使其在维护世界和平、推动共同发展、促进人类文明进步等方面发挥了重要作用,取得了巨大成就。
联合国作为集体安全机制的核心,在保障全球安全的国际合作中发挥着不可替代的作用。安理会在解决事关世界和平与安全的重大全球和地区问题上具有重要作用。联合国在实践中建立和发展了维和行动,为缓和国际紧张局势和解决地区冲突作出了独特贡献。联合国召开裁军问题特别大会,通过设在日内瓦的裁军谈判会议积极推动多边谈判,促成一系列国际条约的签署,取得了令人瞩目的成就。
联合国推动达成的部分多边军备限制和裁军协定有《不扩散核武器条约》《禁止在海床洋底及其底土安置核武器和其他大规模毁灭性武器条约》《禁止细菌 (生物) 及毒素武器的发展生产及储存以及销毁这类武器的公约》《关于禁止发展、生产、储存和使用化学武器及销毁此种武器的公约》《全面禁止核试验条约》等。协定的达成及落实艰难曲折，军备限制和裁军工作任重道远。
发展与和平、人权并列为联合国工作三大支柱。联合国秘书处经社事务部，经社理事会及其附属机构，开发计划署、环境规划署、人居署、粮食计划署、人口基金等基金和方案，以及联合国粮农组织等专门机构，构成了庞大、复杂的联合国发展系统。
联合国发展系统主持召开联合国发展领域重大国际会议，从战略高度协调国际社会的经济及社会发展活动。联合国先后通过了“千年发展目标” 和“2030 年可持续发展议程”,为国际发展合作确立了路线图和时间表。联合国发展系统长期从事开发活动，向有关国家提供发展所需的资金、技术，并帮助制定合适的发展战略和政策，为世界特别是发展中国家的经济及社会发展作出了积极贡献。
20 世纪 90 年代以来，联合国在经济及社会领域主持召开了一系列影响深远的全球性国际会议。
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《2000 年 9月，联合国千年首脑会议提出到 2015 年要实现八项发展目标，即“千年发展目标”。千年发展目标的提出，吹响了消除全球贫困的号角，成为推动人类共同发展的里程碑 2015 年9月，在千年发展目标到期后，联合国召开发展峰会，通过了“2030 年可持续发展议程”，系统规划了末来十五年世界发展蓝图,制定了十七项可持续发展目标,旨在以综合方式解决经济、社会和环境方面的发展问题。
2014 年2月,西非爆发大规模埃博拉病毒疫情。8月,世界卫生组织宣布当时持续蔓延的埃博拉疫情已构成“国际关注的突发公共卫生事件”。9月，联合国安理会通过决议，呼吁国际社会采取各种措施协助抗击埃博拉疫情，包括解除一般性旅行和边界限制措施、提供紧急援助等。联合国还组建了埃博拉应急特派团。同时，为协调各方共同抗击埃博拉疫情，联合国设立了埃博拉响应多方信托基金。随着来自联合国系统及中国等国的现金、个人防护装备、移动实验室等援助与医护人员源源不断地抵达抗疫前线，西非埃博拉疫情得到了有效控制。
联合国儿童基金会提供的用于抗击埃博拉疫情的援助物资抵达受援国
凤查找资料,就“干年发展目标” 或“2030年可持续发展议程” 中的一点,谈谈其落实情况。
请结合具体事例说明联合国在国际救灾行动中所发挥的作用。
联合国是实践多边主义的最佳场所，是集体应对各种威胁和挑战的有效平台，应该继续成为维护和平的使者、推动发展的先驱。联合国的作用只能加强，不能削弱。通过改革加强联合国的作用，符合人类的共同利益。联合国的改革应发扬民主,广泛协商,积极稳妥,循序渐进。
冷战结束后，联合国加速了改革进程，各方为此提出了多套改革方案。联合国改革的核心问题是安理会改革,具体包括新增安理会成员类别、否决权、区域席位分配、安理会规模以及工作方法等。但各会员国在改革问题上立场分化，难以妥协。
## ｜区域性国际组织 ｜
欧洲联盟：区域一体化组织的典型
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1999 年 1 月，当时的欧洲联盟 15 国中，除英国、丹麦、瑞典、希腊外，11个成员国决定统一欧洲货币，使用欧元。截至2019年，欧元在欧洲联盟19个国家流通，成为世界主要货币之一。
欧洲中央银行总部前的欧元雕塑
8 欧洲联盟是当今世界典型的区域一体化组织。你对欧洲联盟的产生、发展和作用了解多少?你怎样看待欧元诞生的意义?
欧洲是世界上率先进人现代化的地区，聚集了为数众多的发达国家。第二次世界大战结束后,欧洲成为区域一体化的领跑者。1952年，西欧六国成立欧洲煤钢共同体，正式启动欧洲一体化进程。经过半个多世纪的发展，欧洲联盟（简称“欧盟”，英语缩写为“EU”） 成为当今世界一体化程度最高的区域性国际组织，成为国际格局中的重要力量。
法国作家维克多‧雨果说过,总有一天,到那时 …… 所有的欧洲国家,无须丟掉你们各自的特点和闪光的个性,都将紧紧地融合在一个高一级的整体里;到那时,你们将构筑欧洲的友爱关系。第二次世界大战结束后,惨痛的历史教训促使许多欧洲人重新思考先哲们的思想,探讨欧洲和平与发展的末来。1950年 5 月9日，法国外长舒曼发表声明，建议法德两国建立煤钢共同体
欧洲一体化经历了从欧洲共同体到经济与货币联盟，再到欧盟的发展过程。冷战结束后，大批中东欧国家加人欧盟。
欧洲共同体的建立。1952年 7 月,法国、联邦德国、意大利、比利时、荷兰和卢森堡成立欧洲煤钢共同体。1957年 3 月,六国签署了《欧洲经济共同体条约》和《欧洲原子能共同体条约》。1967年7月,欧洲煤钢共同体、欧洲经济共同体、欧洲原子能共同体的主要机构合并,统称欧洲共同体，但原有三个机构仍然存在。
经济与货币联盟的建立。1969年,欧共体首脑会议决定建立经济与货币联盟,目的是实现欧洲货币制度的稳定和统一,协调成员国的经济与货币政策。1979年,建立了欧洲货币体系,促使成员国实施严格的经济政策。
从欧共体到欧盟。1991年 12 月,欧共体首脑会议通过了《欧洲联盟条约》,并于 1993 年 11 月 1 日正式生效,欧共体演化为欧盟。此后，欧盟成员国领导人又陆续签署《阿姆斯特丹条约》《尼斯条约》《里斯本条约》,使欧洲一体化不断深化。
1998 年 4 月，德国联邦议院通过德国加人欧洲经济与货币联盟的议案
2007 年 12 月，欧盟成员国领导人签署《里斯本条约》
欧盟的宗旨是实现各成员国的共同目标：促进和平，追求公民富裕生活,实现社会经济可持续发展,确保基本价值标准,加强国际合作。
## 欧盟主要机构
欧洲理事会（欧盟首脑会议）：欧盟最高决策机构。 欧盟理事会 (部长理事会 )：负责日常决策，拥有欧盟立法权
欧盟委员会：欧盟常设执行机构。 欧洲议会: 监督、咨询机构，也有部分立法权。 欧盟对外行动署：负责协调成员国外交政策。
欧盟与世界上大多数国家建立了外交关系,并力争在重大国际问题和地区热点问题上有所作为。近年来，欧盟经受了主权债务危机、乌克兰危机、恐怖袭击、难民危机和英国“脱欧” 等多重冲击，暴露了一些深层次问题。
1975 年 5 月，中国与欧洲经济共同体建立外交关系。中欧各具经济优势,互补性强。四十多年来,中欧关系发展迅速。2003年,中欧建立全面战略伙伴关系，双方政治互信不断深化，经贸联系日益密切，人员交流持续频密。
与其他区域性组织相比，欧盟有许多特点。首先，它的发展具有深厚的历史文化积淀。欧洲历史上有关统一、联合或一体化的各种主张,为第二次世界大战后欧洲一体化进程奠定了思想和理论基础。其次，第二次世界大战给欧洲带来巨大损失，联合起来求和平、谋发展是启动欧洲一体化进程的直接动力。最后,欧盟是由成员国组成的具有超国家性质的区域性组织,成员国向欧盟让渡了大量主权，成员国政治、经济、安全等利益已经紧紧联系在一起。虽然欧洲一体化遇到了很多困难，但其步伐不会停止。
## 亚太经合组织
冷战结束后,亚太地区逐渐发展成为全球最具经济活力的地区。亚太经合组织 (英语缩写为“APEC”) 是亚太地区层级最高、领域最广、最具影响力的经济合作机制。
## 相关链接
1989年11月，在澳大利亚的倡议下，澳大利亚、美国、加拿大、日本、韩国、新西兰和当时的东盟六国在澳大利亚首都堪培拉召开首届部长级会议，标志着亚太经合组织成立。此后，该组织不断扩大，截至2019年,共有 21 个成员，其中既有美国、日本等发达成员，也有中国、马来西亚、墨西哥等发展中成员。
Asia-Pacific Economic Cooperation
亚太经合组织标志
亚太经合组织的宗旨是：支持亚太区域经济可持续增长和繁荣，建设活力和谐的亚太大家庭，捍卫自由开放的贸易和投资，加速区域经济一体化进程，鼓励经济技术合作，保障人民安全，促进建设良好和可持续的商业环境。
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在亚太经合组织领导人非正式会议期间，东道主通常会为与会领导人提供特别制作的当地传统服装，在宣传介绍东道主传统文化的同时，也体现“亚太大家庭”的理念。因此，在每次会议上，“穿什么”总成为媒体津津乐道的话题。
亚太经合组织众多成员在政治、经济、文化、社会等方面存在巨大差异，客观上要求创造出一种全新的合作方式。亚太经合组织方式强调推进贸易和投资自由化进程的灵活性，根据成员不同的发展水平和承受能力确定不同的时间表。各成员可以结合自身实际情况逐步推进，不承担强制性的条约义务。亚太经合组织成员特别是发展中成员,有较充分的时间逐步地、渐进地推进贸易和投资自由化进程。亚太经合组织奉行开放的地区主义,坚持非歧视原则，不存在共同的对外关税壁垒,不是封闭的贸易集团。
说说你所知道的亚太经合组织成员的名称,并据此说明亚太经合组织成员的多样性。
你是如何理解独特的亚太经合组织方式的?
亚太经合组织通过独特的方式推进成员间的合作。所谓亚太经合组织方式,就是承认多样性,强调灵活性、渐进性和开放性;遵循相互尊重、平等互利、协商一致、自主自愿的原则；单边行动与集体行动相结合。
亚太经合组织的组织结构
中国在亚太地区举足轻重,是亚太经合组织的重要成员。自 1991 年加人亚太经合组织以来,中国参加了历届部长级会议和历次领导人非正式会议,积极参与各层次各领域合作,为促进亚太经合组织的发展作出了积极贡献。
## 东南亚国家联盟
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东南亚国家联盟是东南亚地区最早着手一体化进程的区域性国际组织。冷战时期,东盟是一个较为松散的国际组织。随着冷战的结束,东盟加速推进一体化。1992年,东盟提出建立自由贸易区。亚洲金融危机后，东盟国家普遍认识到，只有通过更紧密的联合才能应对外部挑战。2015 年，东盟共同体宣告成立，这也是亚洲地区建成的首个区域共同体。
东盟十国虽然山水相连、互为邻邦,但内部发展差异较大。因此,东盟从成立之日起就一直遵循协商一致、循序渐进的原则,坚持互不干涉内政,坚持以非正式的调节、协商解决成员之间的分歧和争端。
Ө比较东盟与欧盟有什么不同之处。
查找资料,分析东盟在地区发展中的影响。
东南亚国家联盟（简称“东盟”，英语缩写为“ASEAN”）是亚洲最令人瞩目的区域性国际组织。东盟于 1967 年成立，有 10 个成员国：文莱、柬埔寨、印度尼西亚、老挝、马来西亚、缅甸、菲律宾、新加坡、泰国、越南。
东盟的主要目标
维护和促进地区和平、安全和稳定，进一步强化以和平为导向的价值观
通过加强政治、安全、经济和社会文化合作，提升地区活力
维护东南亚的无核武器区地位，杜绝大规模杀伤性武器。
确保东盟人民和成员国与世界和平相处，生活于公正、民主与和谐的环境中
建立稳定、繁㭉、极具竞争力和一体化的共同市场和制造基地，实现货物、服务、投资、人员、资金自由流动
通过相互帮助与合作减轻贫困,缩小东盟内部发展鸿沟。- 东盟峰会: 就东盟发展的重大问题和发展方向作出决策。
- 东盟协调理事会: 由东盟各国外长组成。- 东盟共同体理事会：包括东盟政治安全共同体理事会、东盟经济共同体理事会和东盟社会文化共同体理事会，协调其下设各领域工作。- 东盟领域部长会议：致力于加强各相关领域合作,支持东盟一体化和共同体建设。- 东盟秘书长和东盟秘书处：负责协助落实东盟的协议和决定，并进行监督。- 东盟常驻代表委员会: 由东盟成员国指派的大使级常驻东盟代表组成,代表各自国家协助东盟秘书处、东盟协调理事会等机构开展工作。- 东盟国家秘书处：东盟在各成员国的联络点和信息汇总中心
- 东盟政府间人权委员会：负责促进和保护人权与基本自由的相关事务。- 东盟附属机构：包括各种民间和半官方机构。
21 世纪以来,亚洲地区经济发展迅猛，成为世界上最具经济活力的地区。东盟在发展过程中，形成了“10+1”、“10+3”、东盟地区论坛、东盟防长扩大会和东亚峰会等机制，成为推进区域合作和一体化建设的重要平台。
2017 年 11 月,东盟成立 50 周年之际,第 31 届东盟峰会在菲律宾首都马尼拉举行。随后,中国一东盟 ( 10+1) 领导人会议、东盟与中日韩（10+3） 领导人会议、东亚峰会、区域全面经济伙伴关系协定领导人会议也在马尼拉举行。除东盟十国领导人外,出席相关会议的还有中国、美国、俄罗斯、日本、韩国、加拿大、澳大利亚、新西兰、印度等国领导人和联合国秘书长。
在“10+1”和“10+3”合作、东亚峰会、东盟地区论坛等区域机制框架下,中国与东盟保持了良好的沟通和合作。2003年,中国与东盟建立了战略伙伴关系。2010年,中国一东盟自贸区全面建成。2013 年 10 月，中国倡议与东盟携手建设更为紧密的中国一东盟命运共同体，共同建设“21 世纪海上丝绸之路”。
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非洲联盟旗帜
非洲联盟总部大楼
2018年 1 月 28 日，参加第30届非洲联盟首脑会议的代表在非洲联盟总部合影
8 查阅资料，谈谈你对非洲联盟的认识，并思考非洲联盟在地区和国际事务中所发挥的作用。
非洲是当今世界发展中国家最集中的大洲。第二次世界大战结束后,非洲众多国家纷纷赢得独立,并走上联合自强的道路,成为国际社会中一支举足轻重的政治力量。
非洲联盟（简称“非盟”，英语缩写为“AU”）是非洲最重要的区域性合作组织。非盟的前身是成立于 1963 年的非洲统一组织。1999年，非洲统一组织第四届特别首脑会议通过《锡尔特宣言》,决定成立非盟。2002年，非盟正式取代非洲统一组织。目前，非盟有 55 个成员，最重要的决策由首脑会议作出。
非盟的目标
实现非洲国家和人民间更广泛的团结和统一
维护成员国主权、领土完整和独立。
促进和平、安全和稳定。
加快政治、社会和经济一体化进程。促进和保护人权
推动非洲经济、社会、文化的可持续发展。
推动在各领域的泛非合作，提高人民生活水平。
协调和统一次区域经济体政策。
维护非洲共同立场和利益。
加强国际合作，创造条件使非洲在全球事务中发挥应有作用。
非盟成立后，在世界上的影响力与日倶增，成为引领非洲国家联合自强、共谋发展的一面旗帜，其领导权威得到非洲国家和国际社会的广泛认可。
## 相关链接
## 非盟的组织机构
首脑会议：最高权力机构。 执行理事会：由成员国外长或指定部长组成。 非盟委员会：常设行政机构。 泛非议会：立法与监督机构。 和平与安全理事会：由 15 个成员国组成，其中 5 国任期 3 年,10 国任期 2 年，均可连选连任。 非洲发展新伙伴计划：由南非、尼日利亚、阿尔及利亚、塞内加尔和埃及于 2001 年发起,2010 年正式成为非盟下设机构。 经济、社会和文化理事会: 咨询机构,由成员国社会团体、专业团体、文化组织和非政府组织等组成。 非洲法院：司法机构
金融机构：包括非洲中央银行、非洲货币基金、非洲投资银行三个机构，均尚末建立。
中国重视发展与非盟的关系。中国与非盟在气候变化、“2030 年可持续发展议程” 等重大国际问题以及非洲热点问题上保持沟通协调。非盟在涉及中国核心和重大利益问题上积极支持中国。中国向非盟机构能力建设、有关维和行动和非盟总部会议中心、非洲疾控中心等项目建设提供援助。
# 第九课中国与国际组织
国际组织的重要性日益增强,中国日益走向开放,国际组织越来越成为中国外交的重要舞台。中国不但加强与主要国际组织的联系,而且积极推进新兴国际组织的发展,并倡议建立了一些重要的国际组织。中国在走向世界、融入世界的同时,也积极影响世界,推动国际秩序朝着更加公正合理的方向发展。
## 中国与联合国 ｜
## 中国与联合国关系的历史演变
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1945 年，董必武受中共中央委派，作为中共和解放区的代表随中国代表团出席了在美国旧金山召开的联合国国际组织会议,并在《联合国宪章》上签字。与会期间,董必武欣然赋诗,记述此行感受：“世界安全要共谋，橡林建议早绸缪。主盟坛坫推三国，荟集衣冠合五洲。争论中心为委托 （英文 veto 的译音，否决权之意），商量大事不糊涂。宪章签字施行日，庶使劳民得小休。”
董必武在《联合国宪章》上签字
《联合国宪章》制宪会议在美国旧金山开幕
请你解读董必武的这首诗,并结合历史知识,说一说中国与联合国关系的渊源。在第二次世界大战中，中国是世界反法西斯同盟主要成员国，参与了酝酿、筹建联合国的过程。中国是旧金山制宪会议发起国，是联合国创始会员国。
1949年,中国共产党领导中国各族人民推翻国民党政权，建立了中华人民共和国。新政府要求取代已经根本不能代表中国的旧政府，参加联合国工作。但是，美国采用各种手段，对新中国恢复联合国席位设置重重障碍。
联合国有不少会员国因革命或政变而更迭政权、改变国名，但是新政府顺利继承旧政府的国际法主体资格,在联合国的席位并末受到影响。1949年中华人民共和国成立,按照国际愢例和公认的国际法准则,中国在联合国的合法席位应由新中国取代,本不应该产生任何问题。美国的无理阻挠致使新中国进入联合国的进程被拖延 22 年之久，这是一种极不正常的现象，暴露了联合国在特定历史时期的局限性。
经过长期斗争，1971 年 10 月 25 日，第 26届联合国大会以压倒多数通过著名的第 2758 号决议。决议决定恢复中华人民共和国在联合国的一切合法权利,从政治上、法律上和组织上彻底解决了中国在联合国的席位问题。这是中国与广大坚持原则、主持正义的国家的重大胜利。从此，中以崭新的姿态出现在联合国舞台上，与联合国的关系步人正轨，双方在各个领域的
第 2758 号决议以压倒多数通过后,出席第 26 届联合国大会的各友好国家的代表热烈鼓掌欢呼合作不断加强。
1971 年 10 月 25 日,第 26 届联合国大会以 76 票赞成、35 票反对和 17 票弃权的压倒多数,通过了阿尔巴尼亚、阿尔及利亚等 23 国关于恢复中华人民共和国在联合国的一切合法权利和立即把台湾国民党集团的代表从联合国及其所属一切机构中驱逐出去的提案。毛泽东得知这个消息后说: 主要是第三世界兄弟把我们抬进去的。
10 月26日,联合国秘书长致电中国政府外交部,正式通知第 26 届联合国大会通过的恢复中华人民共和国在联合国的一切合法权利的决议,并邀请中国政府派出代表团出席本届联合国大会。当天晩上 10 点,毛泽东召集周恩来、叶剑英等开会,研究立即组织代表团出席第 26 届联合国大会。11月 8 日，毛泽东在中南海接见中国出席第26届联合国大会代表团全体成员。
## 探究与分享
1974 年 4 月 10 日，邓小平在联合国大会第六届特别会议上发言
2005 年 9 月 15 日，胡锦涛在联合国成立 60 周年首脑会议上发表题为《努力建设持久和平、共同繁荣的和谐世界》的讲话
2000 年 9 月 6 日,江泽民在联合国千年首脑会议上讲话
2015 年 9 月 28 日，习近平在纽约联合国总部出席第 70 届联合国大会一般性辩论并发表题为《携手构建合作共赢新伙伴同心打造人类命运共同体》的讲话
习近平指出：“中国需要联合国，联合国也需要中国。”“中国是联合国安理会常任理事国，这不仅是权力，更是一份沉甸甸的责任。”“中国将继续大力推动和平解决国际争端,支持联合国推进千年发展目标，愿同各方一道努力，共同应对气候变化等问题，为世界和平、人类进步作出更大贡献。”
8 查阅我国历届领导人在联合国的讲话，说一说中国在联合国发挥了什么作用。
中国人口众多，幅员辽阔，历史悠久，是国际社会的重要成员。中国是社会主义国家，是世界上最大的发展中国家，是国际政治经济格局中的一支重要力量。作为安理会常任理事国,中国在事关世界和平与安全的重大事务上享有否决权，是联合国中有重要影响的国家之一。
1981 年,联合国进行秘书长换届。广大发展中国家提名坦桑尼亚外交部长萨利姆为候选人,而美国等国坚持原秘书长、奥地利人瓦尔德海姆连任。中国支持发展中国家的立场。经过协商,安理会重新提名,向大会推荐秘鲁人德奎利亚尔为秘书长候选人。德奎利亚尔最终获得大会任命。
中国本着自身肩负的重大国际责任,尊重联合国的权威地位,维护《联合国宪章》的宗旨和原则,积极参加各项工作,在人类和平与发展事业中发挥着建设性作用。
中国坚持以多边主义实现共同安全。通过与联合国广大会员国特别是安理会成员的共同努力,中国积极推动多起地区冲突走向政治解决。中国是联合国维和行动的坚定支持者和积极参与者。在国际军控、裁军与防扩散领域,中国努力维护现有多边条约的权威性和有效性,支持发挥联合国在防扩散领域的核心作用。
2007 年 11 月 24 日，中国首批赴苏丹达尔富尔地区参加联合国/非盟“混合行动” 的维和工兵先遣分队 135 名官兵抵达南达尔富尔首府尼亚拉市。这是非洲以外国家向该地区派出的第一支维和部队。2015年,习近平在联合国维和峰会上宣布,将建设 8000 人规模的维和待命部队。中国是联合国维和行动的主要出资国之一,是安理会常任理事国中第一大出兵国。截至 2020 年 4 月,中国军队已累计派出维和人员 4 万余人次,先后参加 25 项联合国维和行动。
2007 年 11 月 24 日，中国首批维和工兵先遣分队抵达南达尔富尔
中国坚持以互利合作实现共同繁荣。中国连续担任经社理事会理事国,积极参与经社系统的重要国际会议和其他活动,并承办了联合国第四次世界妇女大会。中国积极推动南北对话和南南合作,敦促发达国家为实现全球普遍、协调、均衡发展承担更多责任。中国加人多项国际人权公约并认真履行公约义务,与联合国在人权事务上保持良好合作，与多国展开人权对话。1995 年9月，联合国第四次世界妇女大会在北京举行。来自 197 个国家和地区以及众多国际组织的 1.76 万名代表围绕会议主题“以行动谋求平等、发展与和平” 展开热烈讨论。会议通过了《北京宣言》和《行动纲领》,为全球妇女事业的发展注入了新活力。
中国已加入包括《经济、社会及文化权利国际公约》《防止及惩治灭绝种族罪公约》《消除一切形
联合国第四次世界妇女大会会场式种族歧视国际公约》《禁止并惩治种族隔离罪行国际公约》《禁止酷刑和其他残忍、不人道或有辱人格的待遇或处䍐公约》和《儿童权利公约》在内的多项国际人权公约,采取一系列措施履行公约义务，并根据公约规定及时提交履约报告，接受联合国条约机构的审议。
中国是联合国改革的最早倡导者和有力支持者之一。中国主张改革应有利于坚持《联合国宪章》的宗旨和原则，更好地发挥联合国的作用，维护会员国的共同利益；应增加发展中国家代表权和发言权，切实维护其利益。
# 中国与新兴国际组织 |
一十国集团
## 探究与分言
第二次世界大战结束后的相当长时间内,世界经济的主角是西方发达国家,全球经济治理的主角也是由西方发达国家主导的国际组织。比如，20世纪60年代成立的经济合作与发展组织（简称“经合组织”，英语缩写为“OECD”）和 20 世纪70年代成立的七国集团（简称“G7”，成员为美国、英国、德国、法国、日本、意大利和加拿大 ），都是发达国家主导下的讨论、协调全球经济问题的平台
随着新兴大国崛起以及世界经济事务日益复杂，这些机构已难以适应新的形势。2008 年国际金融危机爆发后，一些新兴国际组织开始在国际社会崭露头角，成为全球治理的新的推动力量二十国集团（简称“G20”）正是其中的佼佼者，其成员除包含原有的七国集团成员外，还增加了中国、阿根廷、澳大利亚、巴西、印度、印度尼西亚、韩国、墨西哥、俄罗斯、沙特阿拉伯、南非、土耳其和欧盟。
8 为什么二十国集团成为全球治理的重要平台?2008 年国际金融危机爆发后,国际社会深感有必要对全球经济进行监管和治理,然而,西方国家主导的旧的国际机制已难以胜任此任务,二十国集团因此成为新的全球经济治理平台。二十国集团成员涵盖面广、代表性强，其构成兼顾了发达国家和发展中国家以及不同地域的利益。
二十国集团主要讨论全球重大经济金融热点问题,每次峰会前不定期举行协调人会议、财长和央行行长会议，以及贸易、劳工就业、农业、能源、数字经济、卫生等专业部长会议。
二十国集团由七国集团财长会议于1999年倡议成立，最初为财长和央行行长会议机制,2008 年国际金融危机爆发后,升格为领导人峰会。2009年9月,匹兹堡峰会将二十国集团确定为国际经济合作主要论坛
中国是二十国集团的创始国，也是二十国集团中最大的发展中国家。二十国集团已成为中国参与全球治理的重要平台。
中国在 2008 年国际金融危机爆发后的历次二十国集团会议上都发出自己的声音，提出共同构建创新、开放、联动和包容型世界经济的中国主张，倡导平等、开放、合作、共享的全球经济治理观，为促进世界经济增长、完善全球经济治理贡献中国智慧。
2016年 9 月，二十国集团领导人第十一次峰会在杭州举行。这是2008 年以来形势最为复杂、面临的挑战最为多元、各方期待都很高的一次会议。杭州峰会以“构建创新、活力、联动、包容的世界经济”为主题,二十国集团成员、8个嘉宾国领导人和 7 个国际组织负责人与会。习近平主持二十国集团领导人杭州峰会,开展了 53 场活动,包括峰会期间的 33 场双边会谈会见。峰会发表了《二十国集团领导人杭州峰会公报》和 28 份具体成果文件
## 金砖国家
## 探究与分亨
“金砖国家” 是新兴市场与发展中国家间的合作机制,成员包括巴西、俄罗斯、印度、中国和南非。“金砖国家” 英语缩写最初为“BRIC”，采用了巴西（Brazil）、俄罗斯 ( Russia）、印度 （India）和中国（China）的英文首字母。由于该词拼写和发音与英语单词“brick” (砖) 相近，因此被译为“金砖国家”。2006年第 61 届联合国大会期间,中国、巴西、俄罗斯、印度举行首次金砖国家外长会晤,揭开金砖国家合作序幕。2009年,首次金砖国家领导人会晤在俄罗斯叶卡捷琳堡举行。2010 年南非（South Africa）加入后，“金砖国家”英语缩写变为“BRICS”。
。谈谈你对“金砖国家” 的印象。
金砖国家的诞生和发展，是世界经济变迁和国际格局演变的产物。金砖五国秉持开放包容、合作共赢的金砖精神，推动各领域务实合作不断深人，深化了团结互信，增进了五国人民福祉，拉紧了利益和情感纽带,为世界经济企稳复苏并重回增长之路作出了突出贡献。
在金砖国家中,中国的经济体量最大，作用相对突出。中国一直努力推动金砖国家合作机制的形成和不断发展，顺应历史大势,把握发展机遇,为构建新型国际关系、构建人类命运共同体发挥建设性作用。
中国是新开发银行和金砖国家应急储备安排的重要推动力量。2014年，金砖五国签署协议，成立新开发银行。2015年7月，新开发银行在上海正式开业。新开发银行的成立，是金砖国家合作进程中具有重要和深远意义的成果，有助于提高金砖国家在国际金融事务中的话语权。
2017 年 9 月 4 日,金砖国家领导人第九次会晤在厦门国际会议中心举行。习近平主持会晤并发表讲话金砖国家不是封闭的倶乐部。从 2013 年开始，历次金砖国家领导人会晤均由主席国邀请一些非金砖国家进行对话交流。金砖国家已成为新兴市场和发展中国家加强团结合作、维护共同利益的重要平台。2017年，中国作为金砖国家轮值主席国，在总结金砖合作成功经验基础上，提出了以对话合作、共谋发展为宗旨的“金砖+” 合作理念,并在金砖国家领导人厦门会晤期间举办新兴市场国家与发展中国家对话会。上海合作组织
## 探究与分享
上海合作组织是世界上幅员最广、人口最多的综合性区域合作组织,成员国的经济、人口总量分别约占全球的20%、40%。上海合作组织有4个观察员国、9个对话伙伴，并同联合国等国际和区域组织建立广泛的合作关系，国际影响力不断提升。
2015 年 7 月召开的上海合作组织乌法峰会,决定启动接收印度和巴基斯坦加入上海合作组织的程序。2017年,印度和巴基斯坦正式成为上海合作组织成员国。有人认为，扩员可以为上海合作组织拓展政治与经济空间，打通通往印度洋的通道，为共建“一带一路”与欧亚经济联盟提供更广阔的合作平台。也有人认为，扩员后关注的议题增多,印度和巴基斯坦之间关系协调难度大，这将使上海合作组织分散注意力。如何通过适宜的发展战略指引扩员后的上海合作组织处理地区事务、参与全球治理，成为关乎上海合作组织发展前景的重要课题。
你如何理解上海合作组织的扩员?国际组织如何才能与时倶进、保持活力?
1996年，中国、俄罗斯、哈萨克斯坦、吉尔吉斯斯坦、塔吉克斯坦五国元首在上海举行首次会晤，建立“上海五国”会晤机制。2001 年,乌兹别克斯坦加人,六国元首签署《上海合作组织成立宣言》，宣布上海合作组织成立。
上海合作组织（简称“上合组织”，英语缩写为“SCO”）是第一个在中国境内宣布成立、第一个以中国城市命名的国际组织。上合组织工作语言为汉语和俄语，秘书处设在北京。
在互信、互利、平等、协商、尊重多样文明、谋求共同发展的“上海精神”指引下,上合组织开创了自冷战结束以来区域合作的新模式，成为当今世界区域合作的典范。
根据 2002 年签署的《上海合作组织宪章》,上合组织的宗旨是: 加强各成员国之间的相互信任与睦邻友好，鼓励成员国在政治、经贸、科技、文化、教育、能源、交通、旅游、环保及其他领域的有效合作,共同致力于维护和保障地区的和平、安全与稳定,推动建立民主、公正、合理的国际政治经济新秩序。上合组织成员国元首理事会是上合组织最高机构,每年举行一次例会,就组织内所有重大问题作出决定和指示。上合组织有两个常设机构,分别是设在北京的上合组织秘书处和设在塔什干的上合组织地区反恐怖机构执行委员会。
位于北京的上合组织秘书处
上合组织自成立之初就将打击“三股势力”（恐怖主义、分裂主义和极端主义势力）、维护地区安全稳定视为重要的合作领域。上合组织地区反恐怖机构执行委员会作为上合组织的常设机构,在国际反恐领域的影响力与日倶增。
中国大力推动上合组织的经济合作。共建“一带一路” 中的许多重大项目都位于上合组织区域内。一系列互联互通项目在俄罗斯、哈萨克斯坦、乌兹别克斯坦、塔吉克斯坦等国开花结果，中欧班列、双西公路 (“欧洲西部一中国西部” 高速公路）等一批基础设施领域示范性项目顺利完成,上合组织所在地区的能源、交通、电信等网络初显轮廓。此外,中国大力推动上合组织成员国的金融合作。中国国家开发银行是上合组织银联体的发起行,也是这一银联体中货款规模最大、最活跃的成员行。
2018 年 6 月 10 日，上合组织成员国元首理事会第十八次会议在青岛国际会议中心举行。这是会前，习近平同与会各方在迎宾厅集体合影
## 亚洲基础设施投资银行
## 探究与分享
亚洲地区的基础设施投资存在巨大缺口。2009年，亚洲开发银行估计亚洲在20102020 年每年的基础设施资金需求达 7500 亿美元;2017 年,估计亚洲在 2016-2030年每年的基础设施资金需求增至 17000 亿美元。2013 年 10 月 2 日，国家主席习近平同印度尼西亚总统苏西洛举行会谈时,首次提出筹建亚洲基础设施投资银行。习近平指出,为促进本地区互联互通建设和经济一体化进程,中方倡议筹建亚洲基础设施投资银行,愿向包括东盟国家在内的本地区发展中国家基础设施建设提供资金支持。
2014 年 10 月 24 日，筹建亚洲基础设施投资银行备忘录签字仪式在北京举行
亚洲基础设施投资银行总部
中国为什么要倡议筹建亚洲基础设施投资银行?这个倡议为什么得到多个国家的热烈响应?
亚洲基础设施投资银行（简称“亚投行”，英语缩写为“AIIB”） 是中国倡议成立的多边金融机构。亚投行总部设在北京,工作语言为英语。
亚投行是一个多边金融机构，其运作遵循国际惯例，其理事会、董事会、管理层成员来自多个国家。中国在亚投行中占据重要地位。根据 2015 年 6 月 29 日签署的《亚洲基础设施投资银行协定》,中国以 297.804 亿美元的认缴股本和 $26.06 \%$ 的投票权,成为亚投行第一大股东和投票权占比最高的国家。亚投行的首任行长也是中国人。
亚投行致力于亚洲地区的基础设施投资，为能源、电力、交通、通信、农业基建、供水、环卫、城建和物流等工程项目提供资金支持。其运作原则是公开、透明、独立、问责，目标是精简、廉洁、绿色。
亚投行于2016年正式运营后,首年度便通过了对八个项目的贷款,即塔吉克斯坦的边境公路改造项目、孟加拉国的电网升级项目、巴基斯坦的高速公路项目、印度尼西亚的贫民窟改造项目、巴基斯坦的塔贝拉大坝水电站扩建项目、缅甸的敏建天然气发电站项目、阿曼的杜古姆港口建设项目和阿塞拜疆的天然气管道项目。
亚投行充分借鉴现有多边金融机构长期积累的理论和实践经验，制定和实施严格的规章制度，提高透明度和包容性。亚投行在现行国际经济金融秩序下运行，同其他全球和区域多边开发银行的关系是相互补充而非相互替代。
亚投行批准的多个项目是与其他多边开发银行联合融资的。亚投行行长表示，亚投行第一年 $75 \%$ 的贷款项目是与其他同行合作发放，只有 $25 \%$ 是靠自己。
亚投行与世界银行集团签署联合融资框架协议亚投行与欧洲复兴开发银行签署合作备忘录
亚投行与亚洲开发银行签署合作备忘录。
亚投行与欧洲投资银行签署联合融资框架协议
## 综合探究
## 国际视野及国际人才
## 探究活动目标
引用我国与相关国际组织深化合作的实例,评述国际组织改革对中国的影响以及中国在其中发挥的作用;结合我国创新发展区域性国际组织或机制的案例,证实我国与国际组织良性互动有助于实现和维护我国国家利益以及世界和平与发展,认同我国合作共赢的外交发展道路。 结合我国开展的主场外交活动,阐释中国开展主场外交活动的意义与挑战;在模拟国际论坛或国际对话活动中,能够针对各种利益交锋提出实现目标的合理方案，展现中国作为负责任大国的风范,彰显中国在国际事务中的责任和担当。 了解国际人才需具备的基本素养,讲述活跃在国际组织中的中国人的励志故事,制订开阔国际视野、参与国际合作与竞争的个人发展规划,培育在经济全球化进程中为中华民族伟大复兴而努力的历史使命感。
## 山探究活动建议
以“开创中国与国际组织深化合作新局面” 为议题,从深化合作、改革旧制和创新发展三个方面探究我国与国际组织的关系以及中国在国际组织中的作用。
可搜集一些国际组织的发展历程、宗旨目标、基本职能以及中国与它们深化合作的特点和趋势等信息,将信息和观点归类整理,制作板报或手抄报,在班级展示交流。
可搜集一些国际组织改革发展的案例,分析其改革的背景和过程,评析其改革发展对中国的影响以及中国在其改革发展中的作用。撰写一篇观点鲜明的小论文,或者围绕国际组织改革中的相关议题组织专题讨论。邀请相关专家或政府部门工作人员，为论文撰写和专题讨论提供专业支持。
可搜集中国倡导建立的区域性国际组织或机制的资料,了解它们的职能,评价中国在其中所发挥的作用。组织情景推演活动,预测中国与它们交往互动的前景,并闸明理由。
以“主场外交彰显中国魅力” 为议题,探究中国参与国际组织活动的主要方式和特点,学会在全球视野下协调各国之间的利益冲突,为实现合作共赢作出贡献。
可搜集我国开展主场外交活动的新闻素材,结合实例探讨中国与国际组织深化合作的方式、机遇和挑战，在班级展示和交流。
可组织模拟国际论坛和国际对话活动,分析不同国家存在利益差异的历史和现实根源,尝试提出管控冲突、协调各国利益的方案。邀请相关专家或政府部门工作人员，为讨论提供专业支持。
可组织情景推演活动,模拟中国与国际组织深入合作的各种可能前景,针对各种可能前景,创造性地提出应对方案。邀请相关教师、专业人士评价解决方案的合理性。
以“走向世界的中国使者”为议题，探讨国际化人才必备的素养。
可组织故事讲演会,搜集活跃在国际组织中的中国人的资料,与同学分享他们的成长故事,归纳国际组织人才的必备素养;可联系相关部门,访谈一位在国际组织中工作的中国人,设计访谈提纲,撰写访谈报告,在班级进行交流和评比
可联系相关部门,走访、参观一两个国际组织,与其工作人员进行交流,了解有关国际组织的运作机制及其对工作人员的要求;可邀请有关国际组织工作人员来学校作讲座，与其进行对话,了解相关情况。
可搜集国际组织岗位招聘信息,结合相关要求,制订或调整个人成长规划,并与小组成员交流自己的想法。
## 探究路径参考
## 探究一开创中国与国际组织深化合作新局面
2016年以来,中国国务院总理多次与世界主要经济金融机构负责人举行“1+6”圆桌对话会,讨论全球经济形势和中国经济热点议题。出席者包括世界银行行长、国际货币基金组织总裁、世界贸易组织总干事、国际劳工组织总干事、经济合作与发展组织秘书长和金融稳定理事会主席。
。选择上述材料涉及的某一国际组织,以时间轴、表格等方式展示其主要发展历程、宗旨目标、基本职能等，在小组内进行交流。
。什么是“圆桌对话”?搜集近年来中国与这些国际组织交往的新闻报道,探讨中国与其交流合作发生了哪些变化。中国是国际货币基金组织的创始成员之一。随着经济实力的增长,中国在国际货币与金融体系中的地位也逐步提升。2016年,根据国际货币基金组织的治理改革方案，中国的投票权比率排名由第6位提高至第 3 位，仅次于美国和日本。同年,人民币正式加入国际货币基金组织特别提款权货币篮子,这是特别提款权创建以来首次纳入发展中国家货币，是中国融入全球金融体系的重要里程碑。
查阅资料，了解国际货币基金组织改革的背景、过程以及取得的成效。
整理相关文献资料和信息,评析国际货币基金组织改革对中国的影响以及中国在其改革中发挥的作用,撰写一篇小论文。
澜沧江一湄公河合作（简称“澜湄合作”）是我国与湄公河五国共同发起和建设的新型次区域合作平台,旨在深化六国睦邻友好合作,促进次区域经济社会发展,缩小地区国家发展差距,助力东盟一体化建设和地区一体化进程,为推进南南合作、落实联合国“2030年可持续发展议程” 作出新的贡献。澜湄合作各方将为建设澜湄国家命运共同体，把澜湄合作打造成为亚洲命运共同体建设的“金字招牌”和共建“一带一路”的重要平台而共同努力。
澜湄合作启动以来,六国强化合作,创造了令人瞩目的澜湄模式。各国共同打造了“领导人引领、全方位覆盖、各部门参与”的澜湄格局，创造了“天天有进展、月月有成果、年年上台阶”的澜湄速度，培育了“平等相待、真诚互助、亲如一家” 的澜湄文化。澜湄合作已成为次区域最具活力、最具发展潜力的新机制之一。
中中国为什么倡导建立澜湄合作机制?这个倡议为什么会得到相关国家的积极回应?
澜湄合作打造了澜湄格局,创造了澜湄速度,培育了澜湄文化。引述实例,阐释澜湄格局、澜湄速度和澜湄文化。
澜湄合作起步不久,仍十分年轻。预测其发展前景,并说明理由。
## 探究二主场外交彰显中国魅力
主场外交是中国外交的一大亮点。主场外交传播了中国声音,贡献了中国智慧，彰显了中国魅力。
2014 年 11 月,亚太经合组织第二十二次领导人非正式会议在北京举行。我国在会议上强调,亚太经济体应深入推进区域经济一体化,打造发展创新、增长联动、利益融合的开放型亚太经济格局,共建互信、包容、合作、共赢的亚太伙伴关系，为亚太和世界经济发展增添动力。
•2016年 9 月,二十国集团领导人第十一次峰会在杭州举行。我国在会议上提出了共同构建创新、开放、联动和包容型世界经济的主张。
• 2017 年 9 月,金砖国家领导人第九次会晤在厦门举行。在中国的积极推动下，通过了《金砖国家领导人願门宣言》,全面总结了金砖合作十年来的成功经验，为加强金砖伙伴关系、深化各领域务实合作规划了新蓝图。
8 主场外交有哪些特点?
进一步查阅资料,了解党的十八大以来我国举办的主场外交活动,填写下表。
主场外交是中国特色大国外交的成功实践。同学们围绕“我国开展主场外交的意义、机遇与挑战”这一话题展开讨论，大家纷纷发言。
主场外交有助于传播中国声音。我们在讲好中国故事的同时，还要注重与其他国家多元文化的互学互鉴。请你参与讨论并发表自己的观点。
® 参考下面的程序,模拟国际论坛和国际对话。
活动内容
• 模拟一次主场外交活动中的国际论坛和国际对话。
## 活动流程指南
• 选择一次主场外交活动中的国际组织会议。
《了解该国际组织的性质、宗旨、成员、议事和决策规则、运行机制等。
《选择该国际组织会议近期关注的一项议题。
《班级进行小组分工。例如：策划活动的内容和流程;布置活动现场,准备活动道具;选择该国际组织的一个成员，明确发言立场、谈判底线;等等。
开展模拟国际论坛和国际对话，进行现场辩论。
•评委评分，评选出最佳立场、最佳发言人等。
整理活动成果。
活动思考
-在主场外交活动中，中国贡献体现在哪些方面?
-面对不同的利益诉求,如何协调本国利益和他国利益,以实现“最大公约数”?
## 探究三走向世界的中国使者
在国际社会中,中国人正越来越多地承担起重要的角色,成为走向世界的中国使者。
• 2006年，陈冯富珍担任世界卫生组织总干事。
今奋战在“一带一路” 上的中国建设者。
॰我国政府向俄罗斯、巴基斯坦、意大利等国派出的抗疫医疗专家组成员。
。讲述更多走向世界的中国使者及其成长的故事。
要提高中国在国际舞台上的地位和作用,派遣、鼓励更多中国人到国际组织就职是必经之路。
有人认为,如果把在发达国家形成的理论简单应用到发展中国家,就可能出现“南橘北枳” 的效果,即使愿望非常好,用意非常良善,产生的效果却很可能不如预期,甚至好心办了坏事。而在国际组织中工作的中国人，既懂得发展中国家利益，也了解世界利益，能在两者之间找到平衡点，因此他们提出的建议往往能得到国际社会认同。结合材料,谈谈在国际组织中就职的中国人需具备哪些基本素养。
随着信息技术的迅猛发展和经济全球化的推进,国际组织快速发展,它们不仅数量多,而且覆盖范围广,分布于经济金融、粮食、能源、卫生、海事、民航、知识产权、安全、法律、科技合作等领域。作为高中学生,我们应该努力开阔国际视野，为成为能够参与国际事务和国际竞争的人才做好准备。
选择一个自己感兴趣的国际组织,查询其岗位招聘信息。结合自己的实际情况,就如何开阔自己的国际视野,成为能够参与国际事务和国际竞争的人才,拟订一份发展规划书。
## 理论评析
中华人民共和国与国际组织的关系大致经历了以下几个阶段: 1971 年之前,中华人民共和国被排斥在联合国等国际组织之外,为恢复在联合国的合法席位进行了不懈的斗争;从 1971 年到改革开放前,中华人民共和国恢复了在联合国的合法席位,并与大批国际组织恢复、建立了友好合作关系;改革开放以来,中国恢复了在世界银行集团和国际货币基金组织的合法席位,加人亚太经合组织等;进人 21 世纪,特别是 2008 年国际金融危机爆发以来,中国与国际组织的关系进人了新的阶段，中国成为多边外交、全球治理的积极参与者,日益成为全球多边舞台的重要引领力量;党的十八大以来,中国与国际组织的关系更加密切,积极推动构建人类命运共同体和全球治理,并与一些国际组织合作共建“一带一路”,这既是世界政治经济发展形势使然,也是中国自身实力提升后主动融人世界的必然选择。
改革开放 40 多年来,中国的综合国力发生了巨大变化,彰显了中国特色社会主义的强大生命力。中国对待全球治理的态度、政策和实践,在一定程度上影响甚至决定着全球治理的末来,同时也影响着中国末来发展的国际环境。中国需要加深对国际社会发展规律的认识，在结合中国发展经验、中华优秀传统文化的基础上,不断提出符合人类发展需求的全球治理理念和政策。随着经济全球化和世界多极化不断发展，中国与国际组织的关系必将日益深化。
全球青年有理想、有担当,人类就有希望,推进人类和平与发展的崇高事业就有源源不断的强大力量。我们要用欣赏、互鉴、共享的观点看待世界,推动不同文明交流互鉴、和谐共生，积极为构建人类命运共同体添砖献瓦。
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因为科学是不断发展的,任何人不单纯是把前人的知识记下来,而更重要的是继承和发扬前人所党握的方法,以便在遇到新的问题时能灵活运用. 因此,学习数学，记忆公式和背诵成法乃是一种很坏的学习方法.
一关肇直
## 第七章
三角函数
## 本章导语
我们已经知道,利用前面学过的一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幕函数等,可以描述多种类型的运动或变化规律. 不过,对于周期性运动或变化来说,虽然我们很熟悉,而且也知道怎样进行简单描述,但是,系统刻画周期性运动或变化的知识,我们还没有完整地学习过.
例如，被称为“天津之眼” 的天津永乐桥摩天轮,是一座跨河建造、桥轮合一的摩天轮,直径为 $110 \mathrm{~m}$,如图 1 所示. 如果“天津之眼” 每 $30 \mathrm{~min}$ 转动一周,而且假设是匀速转动,摩天轮的半径 $A B$ 在 $t \min$ 内转过的角为 $y$ 度,则
$$
y=\frac{360}{30} t=12 t
$$
如果设摩天轮圆周上的点 $B$ 离地面的高度为 $h \mathrm{~m}$,那么 $h$ 与 $t$ 之间的函数关系怎样
图 1 表示呢?这需要借助本章我们即将学习的三角函数知识才能完成.
需要说明的是,我们根据摩天轮提出来的问题并不是“没事找事”，类似的问题在工程中有着重要的应用.
例如,人们经常要将直线运动与圆周运动进行相互转化. 图 2 的发动机示意图中,活塞的直线运动就要转化为圆周运动才能方便利用.
图 2
图 3
类似的情况可以用图 3 来示意,其中 $A B$ 是直杆,端，点 $B$ 固定在圆 $O$ 的圆周上,当端点 $A$ 沿线段 $E F$ 运动时,$O B$ 绕点 $O$ 旋转. 此时 $B C$ 的变化规律与端点 $A$ 的运动规律有关.
本章我们首先对角的概念进行推广,然后介绍任意角的正弦、余弦和正切,最后学习三角函数的性质,并初步了解怎样用三角函数描述周期性运动或变化.
## 1 任意角的概念与弧度制
## 1 .1 角的推广
## 1. 角的概念的推广
在小学和初中,我们把有公共端点的两条射线组成的图形称为角,这个公共端点称为角的顶点,这两条射线称为角的边. 同时我们还知道,角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. 例如，图 7-1-1 所示的大小
图 7-1-1 为 $120^{\circ}$ 的角,用以前的观点来看,既可以认为是 $O A$ 旋转到 $O B$ 所形成的,也可以认为是 $O B$ 旋转到 $O A$ 所形成的.
我们以前所学过的角,大小一般不会超过一个周角 $\left(360^{\circ}\right)$ 的大小.
## 情境与问题
如图 7-1-2 所示,当摩天轮在持续不断地转动时,
(1) 摩天轮所转过的角度大小是否会超过 $360^{\circ}$?
（2）如果甲、乙两人分别站在摩天轮的两侧观察,那么他们所看到的摩天轮旋转方向相同吗?如果不同，你能用合适的数学符号表示这种不同吗?
从这个实例出发,你能将以前所学的角进行推广吗?
图 7-1-2
显然,上述情境中，只要时间足够长,摩天轮所转过的角的大小会超过 $360^{\circ}$. 而且,甲、乙两人所观察到的摩天轮旋转方向相反：如果其中一人观察到的是逆时针旋转,则另一人观察到的是顺时针旋转. 由于相反意义的量可以用正负数表示,因此不难想到这种不同可以用正负号来区分. 由此就可以将角的概念进行推广: 一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角,这两条射线分别称为角的始边和终边. 射线的旋转有两个相反的方向: 顺时针方向和逆时针方向. 习惯上规定,按照逆时针方向旋转而成的角称为正角;按照顺时针方向旋转而成的角称为负角;当射线没有旋转时,我们也把它看成一个角,称为零角. 这样定义的角,由于是旋转生成的,所以也常称为转角.
值得注意的是,上述角的定义中,当射线绕其端点按逆时针方向或按顺时针方向旋转时,旋转的绝对量可以是任意的. 因此,角的概念经过以上的推广以后,就包括正角、负角、零角. 也就是说,角的大小是任意的. 由此,我们把角的概念推广到了任意角.
作图时,常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量. 如图 7-1-3(1) (2) 表示的两个转角中,射线 $O A$ 绕端点 $O$ 旋转到 $O B$ 时,旋转的绝对量都超过了一个周角的大小,按照图中箭头所指的旋转方向和弧线所表示的周数,可知 $\alpha=450^{\circ},\beta=-630^{\circ}$.
( 1 )
( 2 )
图 7-1-3
## 尝试与发现
角的概念推广之后,利用转角给出 $60^{\circ}+90^{\circ}$ 与 $90^{\circ}-30^{\circ}$ 的几何意义.
利用转角,可以给出角的加减运算的一个几何意义. 例如,对于 $60^{\circ}+$ $90^{\circ}$ 来说,如图 7-1-4 (1) 所示,射线 $O A$ 逆时针方向旋转(11到 $O B$ 所形成的角为 $60^{\circ},O B$ 逆时针方向旋转到 $O C$ 所形成的角为 $90^{\circ}$,则 $O A$ 逆时针方向旋转到 $O C$ 所形成的角为
$$
60^{\circ}+90^{\circ}=150^{\circ}
$$
( 1 )
( 2 )
图 7-1-4
(1) 均指绕端点 $O$ 旋转,下同. 类似地,如图 7-1-4(2) 所示,射线 $O A$ 逆时针方向旋转到 $O B$ 所形成的角为 $90^{\circ},O B$ 顺时针方向旋转到 $O C$ 所形成的角为 $-30^{\circ}$,则 $O A$ 逆时针方向旋转到 $O C$ 所形成的角为
$$
90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}
$$
## 2. 象限角
为了方便起见,通常将角放在平面直角坐标系中来讨论,并约定：角的顶点与坐标原点重合,角的始边落在 $x$ 轴的正半轴上. 这时,角的终边在第几象限,就把这个角称为第几象限角. 如果终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限.
例如，图 7-1-5(1) 中的 $45^{\circ},-315^{\circ},405^{\circ}$ 角都是第一象限角;图 7-1-5(2) 中的 $126^{\circ}$ 角是第 1 象限角,$210^{\circ}$ 角是第三象限角,$-60^{\circ}$ 角是第 2 象限角,$-90^{\circ}$ 角不是象限角,其终边在 $y$ 轴的负半轴上.
$(1)$
$(2)$
图 7-1-5
## 尝试与发现
图 7-1-5(1) 中三个角的终边相同. 那么,终边相同的角有没有一个共同的表示方法呢?
一般地,角 $\alpha+k \cdot 360^{\circ}(k \in \mathbf{Z})$ 与角 $\alpha$ 的终边相同,这只需把 $k \cdot 360^{\circ}$ 看成逆时针或者顺时针方向旋转若干周即可. 任意两个终边相同的角,它们的差一定是 $360^{\circ}$ 的整数倍. 因此,所有与 $\alpha$ 终边相同的角组成一个集合,这个集合可记为
$$
S=\left\{\beta \mid \beta=\alpha+k \cdot 360^{\circ},k \in \mathbf{Z}\right\} .
$$
即集合 $S$ 的每一个元素的终边都与 $\alpha$ 的终边相同,$k=0$ 时对应元素为例1 如图 7-1-6 所示,已知角 $\alpha$ 的终边为射线 $O A$,分别作出角 $\alpha+90^{\circ},\alpha-$ $90^{\circ},\alpha+180^{\circ}$ 的终边.
解由角的定义可知,把角 $\alpha$ 的终边 $O A$ 逆时针方向旋转 $90^{\circ}$ 可得角 $\alpha+90^{\circ}$ 的终边 $O B$,把角 $\alpha$ 的终边 $O A$ 顺时针方向旋转 $90^{\circ}$ 可得角 $\alpha-90^{\circ}$ 的终边 $O C$,把角 $\alpha$ 的终边 $O A$ 逆时针方向旋转 4 可得角
图 7-1-6 $\alpha+180^{\circ}$ 的终边 $O D$,如图 7-1-6 所示.
例 2 分别写出与下列各角终边相同的角的集合 $S$,并把 $S$ 中满足不等式 $-360^{\circ} \leqslant \beta<720^{\circ}$ 的元素 $\beta$ 写出来.
(1) $60^{\circ}$;(2) $-21^{\circ}$
解 (1) $S=\left\{\beta \mid \beta=60^{\circ}+k \cdot 360^{\circ},k \in \mathbf{Z}\right\}$.
解不等式 $-360^{\circ} \leqslant 60^{\circ}+k \cdot 360^{\circ}<720^{\circ}$,得 $-1-\frac{1}{6} \leqslant k<2-\frac{1}{6}$,所以 $k$ 可取 $-1,0$ 或 1 . 因此 $S$ 中满足 $-360^{\circ} \leqslant \beta<720^{\circ}$ 的元素是
$$
\begin{aligned}
& 60^{\circ}+(-1) \times 360^{\circ}=-300^{\circ},\\
& 60^{\circ}+0 \times 360^{\circ}=60^{\circ},\\
& 60^{\circ}+1 \times 360^{\circ}=420^{\circ} .
\end{aligned}
$$
(2) $S=\left\{\beta \mid \beta=-21^{\circ}+k \cdot 360^{\circ},k \in \mathbf{Z}\right\}$.
解不等式 $-360^{\circ} \leqslant-21^{\circ}+k \cdot 360^{\circ}<720^{\circ}$,得
$$
-1+\frac{21}{360} \leqslant k<2+\frac{21}{360}
$$
所以 $k$ 可取 5. 因此 $S$ 中满足 $-360^{\circ} \leqslant \beta<720^{\circ}$ 的元素是
$$
\begin{aligned}
& -21^{\circ}+0 \times 360^{\circ}=-21^{\circ},\\
& -21^{\circ}+1 \times 360^{\circ}=339^{\circ},\\
& -21^{\circ}+2 \times 360^{\circ}=699^{\circ} .
\end{aligned}
$$
例 3 写出终边在第一象限内的角的集合.
解因为大于 $0^{\circ}$ 且小于 $90^{\circ}$ 的角的终边一定在第一象限,而且如果一个角的终边在第一象限,那么这个角的终边一定与大于 $0^{\circ}$ 且小于 $90^{\circ}$ 的某个角的终边相同,因此终边在第一象限内的角的集合为
$$
\left\{\alpha \mid k \cdot 360^{\circ}<\alpha<90^{\circ}+k \cdot 360^{\circ},k \in \mathbf{Z}\right\} \text {. }
$$
例 4 写出终边在 $x$ 轴上的角的集合.
解在 $0^{\circ} \sim 360^{\circ}$ (1)内,终边在 $x$ 轴上的角有两个,即 $0^{\circ}$ 和 $180^{\circ}$,与这两个角终边相同的角组成的集合依次为
(1) 本书中,在表示角的范围时,我们约定 $0^{\circ} \sim 360^{\circ}$ 的角 $\alpha$ 指的是 $0^{\circ} \leqslant \alpha<360^{\circ}$.
$$
\begin{aligned}
& S_{1}=\left\{\alpha \mid \alpha=k \cdot 360^{\circ},k \in \mathbf{Z}\right\},\\
& S_{2}=\left\{\alpha \mid \alpha=180^{\circ}+k \cdot 360^{\circ},k \in \mathbf{Z}\right\} .
\end{aligned}
$$
为简便起见,我们把集合 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ 的表示方法改为
$$
\begin{aligned}
& S_{1}=\left\{\alpha \mid \alpha=2 k \cdot 180^{\circ},k \in \mathbf{Z}\right\},\\
& S_{2}=\left\{\alpha \mid \alpha=(2 k+1) \cdot 180^{\circ},k \in \mathbf{Z}\right\},\end{aligned}
$$
因为 $\{m \mid m=2 k,k \in \mathbf{Z}\} \bigcup\{m \mid m=2 k+1,k \in \mathbf{Z}\}=\mathbf{Z}$,所以
$$
S=S_{1} \cup S_{2}=\left\{\alpha \mid \alpha=m \cdot 180^{\circ},m \in \mathbf{Z}\right\},$$
即集合 $S$ 是终边在 $x$ 轴上的角的集合.
例 4 的结果也可从直观上来理解: 零角的终边在 $x$ 轴上,零角的终边旋转 $180^{\circ},-180^{\circ},2 \times 180^{\circ},2 \times\left(-180^{\circ}\right),\cdots$,终边仍
想一想
如果 $\alpha$ 是第二象限角,则 $\frac{\alpha}{2}$ 是第几象限角?
会落在 $x$ 轴上. 于是,可以直接写出终边在 $x$ 轴上的角的集合为
$$
\left\{\alpha \mid \alpha=k \cdot 180^{\circ},k \in \mathbf{Z}\right\} \text {. }
$$
## 练习A
(1) 求下列各式的值,并作图说明运算的几何意义.
(1) $90^{\circ}+\left(-60^{\circ}\right)$;(2) $60^{\circ}-180^{\circ}$;(3) $-60^{\circ}+270^{\circ}$
(2) 在平面直角坐标系中作下列各角的终边.
(1) $855^{\circ}$;(2) $-750^{\circ}$.
(3) 在 $0^{\circ} \sim 360^{\circ}$ 内,找出与下列各角终边相同的角,并说明它们所在的象限.
(1) $-45^{\circ}$;(2) $760^{\circ}$;(3) $-480^{\circ}$.
(4) 分别写出与下列各角终边相同的角的集合 $S$,并把 $S$ 中满足不等式 $-360^{\circ} \leqslant \alpha<$ $720^{\circ}$ 的元素 $\alpha$ 写出来.
(1) $100^{\circ}$;(2) $-120^{\circ}$
(3) $-380^{\circ} 20^{\prime}$.
(5) 判断以下说法是否正确 (均指在平面直角坐标系中,始边在 $x$ 轴正半轴上).
（1）第一象限角一定是锐角;（2）终边相同的角一定相等;（3） 小于 $90^{\circ}$ 的角一定是锐角;(4) 钝角的终边在第二象限.
## 练习 $B$
(1) 分别写出终边在 $y$ 轴正半轴、$y$ 轴负半轴和 $y$ 轴上的角的集合.
(2) 分别写出终边在直线 $y=x$ 上和终边在直线 $y=-x$ 上的角的集合.
(3) 在平面直角坐标系中,集合 $S=\left\{\beta \mid \beta=k \cdot 90^{\circ},k \in \mathbf{Z}\right\}$ 中的元素所表示的角的终边在哪些位置?
(4) 分别写出终边在第二、第三、第四象限的角的集合.
(5) 今天是星期一,那么从明天算起,第 $7 k\left(k \in \mathbf{N}_{+}\right)$天是星期几?第 100 天是星期几?1 二
2 四
$3 \alpha$
$180^{\circ}$
$50，1$ 或 2
### 2 弧度制及其与角度制的换算
在日常生活以及各学科中,一个量可用不同的标准来度量,从而也就有了不同的单位以及单位之间的换算. 例如,长度既可以用米、厘米来度量,也可以用尺、寸来度量;面积可以用平方米来度量,也可以用亩来度量. 类似地,角除了使用角度来度量外,还可以使用本小节我们要学习的弧度来度量.
## 1. 弧度制
使用角度来度量角时，是把圆周等分成 360 份，其中每一份所对应的圆心角为 1 度,这种用度作单位来度量角的制度称为角度制. 角度制还规定 1 度等于 60 分，1 分等于 60 秒，即
$$
1^{\circ}=60^{\prime},1^{\prime}=1
$$
使用角度来度量角,其关键是“等分”.考虑到面积、体积等都可以通过线的长度来刻画,那么,能否用“测量长度”来代替“等分”,从而引进另外一种度量角的制度呢?
## 情境与问题
如图 7-1-7 是一种折叠扇. 折叠扇打开、合拢的过程可以抽象成扇形圆心角的变大、变小. 那么在这个过程中，扇形的什么量在发生变化?什么量没发生变化?由此你能想到度量角的其他办法吗?
图 7-1-7
将折叠扇抽象为如图 7-1-8(1) 所示的图形,可以看出,弧 $A B$ 与弧 $A^{\prime} B^{\prime}$ 都与角 $\alpha$ 对应,但 $\alpha \neq 0^{\circ}$ 时,它们的弧长始终不相等,其原因在于 $O A \neq O A^{\prime}$.
( 1 )
$(2)$
图 7-1-8
一般地,如果角 $\alpha$ 是由射线 $O P$ 绕它的端点旋转形成的,如图 7-1-8(2) 所示,则在旋转的过程中,射线上的任意一点 (端点除外) 必然形成一条圆弧,不同的点所形成的圆弧长度不同,但这些圆弧都对应同一个角 $\alpha$. 可以猜想,这些弧的长与弧所在圆的半径的比值是一个常数,即
事实上,设 $\alpha=n^{\circ}$,弧 $A B$ 的长为 $l$,半径 $O A=r$,则 $l=\frac{n}{360} \cdot 2 \pi r$,因此
$$
\frac{l}{r}=n \cdot \frac{2 \pi}{360}
$$
这个等式右端不包含半径,这表示弧长比半径的值不依赖于半径,而只与 $\alpha$ 的大小有关. 我们称弧长与半径比值的这个常数为圆心角的弧度数. 因此,长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为 1 弧度的角,记作 $1 \mathrm{rad}$. 如图 7-1-9 所示,因为的长等于半径 $r$,所以所对的圆心角 $\angle A O B$ 就是 1 弧度的角.
如前所述,这样规定出来的 1 弧度的角大小是完全确定的,这种以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制.
图 7-1-9
由弧度制的定义可知，在半径为 $r$ 的圆中,若弧长为 $l$ 的弧所对的圆心角为 $\alpha \mathrm{rad}$,则
$$
\alpha=\frac{l}{r}
$$
想一想
弧度制与角度制的区别是什么?请查阅资料，思考一下引入弧度制的意义是什么.
由此也可得到 $l=2$,即弧长等于其所对应的圆心角的弧度数与半径的积.
今后我们在用弧度制表示角时,“弧度” 二字或 $\operatorname{rad}$ 可以略去不写,而只写这个角对应的弧度数. 例如,$\alpha=2$ 表示 $\alpha$ 是 $2 \mathrm{rad}$ 的角；$\sin \frac{\pi}{3}$ 表示 $\frac{\pi}{3} \mathrm{rad}$ 的角的正弦.
## 2. 弧度制与角度制的换算
## 尝试与发现
（1）按照定义，一个周角对应的弧度数应是多少?（2）一般地，弧度制与角度制之间怎样进行换算?
因为半径为 $r$ 的圆周长为 $2 \pi r$,所以周角的弧度数是 $\frac{2 \pi r}{r}=2 \pi$,于是 $360^{\circ}=2 \pi \mathrm{rad}$,因此
$$
180^{\circ}=\pi \mathrm{rad}
$$
由此容易得到弧度制与角度制的换算公式:
设一个角的角度数为 $n$,弧度数为 $\alpha$,则
$$
\frac{n}{180}=\frac{\alpha}{\pi} \text {. }
$$
由此不难知道,$0 \mathrm{rad}$ 角就是 $0^{\circ}$ 角,它的终边在 $x$ 轴的正半轴上;$\frac{\pi}{2} \mathrm{rad}$ 角就是 $90^{\circ}$ 角,它的终边在 $y$ 轴的正半轴上;$\pi \operatorname{rad}$ 角就是 $180^{\circ}$ 角,它的终边在 $x$ 轴的负半轴上;$\frac{3 \pi}{2} \mathrm{rad}$ 角就是 $270^{\circ}$ 角,它的终边在 $y$ 轴的负半轴上.
例1把 $30^{\circ},45^{\circ},60^{\circ}$ 化成弧度 (用 $\pi$ 表示)，并在平面直角坐标系中作出它们的终边.
解设 $30^{\circ}$ 角的弧度数为 $\alpha$,则 $\frac{\alpha}{\pi}=\frac{30}{180}$,所以 $\alpha=\frac{\pi}{6}$,即 $30^{\circ}=\frac{\pi}{6}$,对应的角的终边为图 7-1-10 中的射线 $O A$.
图 7-1-10
类似地,有
$$
45^{\circ}=3 \quad,60^{\circ}=4 \quad,$$
它们的终边分别为 7-1-10 中的射线 $O B,O C$.
因为 $\frac{\pi}{3} \approx 1.05$,所以例 1 说明,$1 \mathrm{rad}$ 的角比 $60^{\circ}$ 小.
例 2 把 $\frac{8 \pi}{5}$ 化成角度数.
解设 $\frac{8 \pi}{5}=n^{\circ}$,则 $\frac{n}{180}=\frac{\frac{8 \pi}{5}}{\pi}$,因此 $n=180 \times \frac{8}{5}=288,\quad$ 即 $\frac{8 \pi}{5}=288^{\circ}$. 例 3 利用弧度制推导扇形的面积公式
$$
S=\frac{1}{2} l r
$$
其中 $l$ 是扇形的弧长,$r$ 是扇形的半径.
解设扇形的圆心角为 $\alpha \mathrm{rad}$,则扇形的面积为
$$
S=\frac{\alpha}{2 \pi} \cdot \pi r^{2}=\frac{1}{2} \alpha r^{2} \text {. }
$$
又因为 $l=\alpha r$,所以 $S=\frac{1}{2} l r$.
| 想一想 |
| :---: |
| 把扇形的面积 |
| 公式与三角形的面 |
| 积公式进行对比,|
| 你能得到什么启发?|
## 3. 用信息技术进行弧度制与角度制的换算
科学计算器中,一般都内置有角度制与弧度制互相换算的功能,但是操作步骤等与计算器的型号有关,这里不再详述.
很多计算机软件中,默认度量角度的单位是弧度. 例如,如果在 Excel 的某个单元格中输人“= $\operatorname{SIN}(30)$ ”,得到的不是 $\sin 30^{\circ}$ 的值 0.5,如图 7-1-11 所示.
图 7-1-11
图 7-1-12
在 GeoGebra 中,从“选项” 菜单中单击“高级 $\cdots$ ” 之后,可以设定角的单位,如图 7-1-12 所示.
## 练习 $A$
(1) 填表 (弧度数用含 $\pi$ 的代数式表示),并在平面直角坐标系中作出角的终边.
| 度 | $0^{\circ}$ | | $90^{\circ}$ | $135^{\circ}$ | | $180^{\circ}$ | $225^{\circ}$ | $270^{\circ}$ | $315^{\circ}$ | $360^{\circ}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 弧度 | | $\frac{\pi}{4}$ | | | $\frac{5}{6} \pi$ | | | | | |
(2) 把下列各角度化为弧度 (用含 $\pi$ 的代数式表示).
(1) $-240^{\circ}$;(2) $-225^{\circ}$;(3) $12^{\circ}$;(4) $1080^{\circ}$;(5) $22^{\circ} 30^{\prime}$;(6) $157.5^{\circ}$. (3) 把下列各弧度化为角度.
(1) $\frac{\pi}{12}$;(2) $\frac{5 \pi}{3}$;(3) $\frac{3 \pi}{10}$;(4) $\frac{\pi}{8}$
(5) $-\frac{3 \pi}{2}$;(6) $-\frac{5 \pi}{6}$
(4) 时间经过 $4 \mathrm{~h}$,时针、分针各转了多少度?各等于多少弧度?
(5) 已知圆的半径为 $0.5 \mathrm{~m}$,分别求 $2 \mathrm{rad},3 \mathrm{rad}$ 的圆心角所对的弧长.
## 练习B
(1) 在下图中填入适当的值.
（第 1 题）
(2) 分别写出下列各角所在象限.
(1) $1 \mathrm{rad}$;(2) $3 \mathrm{rad}$;(3) $6 \mathrm{rad}$.
(3) 已知半径为 $120 \mathrm{~mm}$ 的圆上的一条弧长为 $144 \mathrm{~mm}$,求此弧所对圆心角的弧度数与角度数.
(4) 把下列各角化为 $0 \sim 2 \pi$ 的角加上 $2 k \pi(k \in \mathbf{Z})$ 的形式,并指出它们所在的象限.
(1) $\frac{23 \pi}{6}$;(2) $-1500^{\circ}$;(3) $-\frac{18 \pi}{7}$
(4) $672^{\circ} 3^{\prime}$
5 一条弦的长度等于半径,这条弦所对的圆心角是多少弧度?
(6) 在半径为 $5 \mathrm{~cm}$ 的扇形中,圆心角为 $2 \mathrm{rad}$,求扇形的面积.
萑使用计算器或计算机软件,把下列各角度化为弧度,把弧度化为角度（精确到 0.000 1).
(1) $83^{\circ},138^{\circ},278^{\circ}$;(2) $1.2,3.6,5$.
旦8写出由一个角的弧度数计算这个角的角度数的算法,并使用软件去实践.
$160^{\prime \prime}$
$2 \alpha r$
$3 \frac{\pi}{4}$
$4 \frac{\pi}{3}$
## 习题7-1A
(1) 在平面直角坐标系中,角 $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4}$ 的终边分别经过点 $P_{1}(1,2)$,$P_{2}(-2,1),P_{3}(-4,-5),P_{4}(5,-6)$,则 $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4}$ 分别是第几象限角?
(2) 角 $\frac{19 \pi}{6}$ 和一 $\frac{25 \pi}{6}$ 分别是第几象限角?分别写出与它们终边相同的角的集合.
(3) 把下列各角度化为弧度,并写成 $0 \sim 2 \pi$ 的角加上 $2 k \pi$ $(k \in \mathbf{Z})$ 的形式.
(1) $-64^{\circ}$;(2) $400^{\circ}$;(3) $-722^{\circ} 30^{\prime}$.
(4) 航海罗盘将圆周 32 等分,如图所示,把其中每一份所对圆心角的大小分别用角度和弧度表示出来.
(5) 要在半径 $O A=100 \mathrm{~cm}$ 的圆形板上,沿半径 $O A,O B$ 截取一块扇形板,使弧 $A B$ 的长为 $112 \mathrm{~cm}$，则截取的
(第 4 题) 圆心角 $\angle A O B$ 的度数是多少 (精确到 $\left.1^{\circ}\right)?$
## 习题7-1B
(1) 已知 $200^{\circ}$ 的圆心角所对的弧长为 $50 \mathrm{~m}$,则这个圆的半径是多少?
(2) 当时钟显示 3 时、6 时和 8 时的时候,把时针作为角的始边,写出分针与时针所成角的大小.
(3) 某飞轮直径为 $1.2 \mathrm{~m}$,每分钟按照逆时针方向旋转 300 圈,求
（1）飞轮每分钟转过的弧度数;
(2) 飞轮圆周上的一点每秒钟经过的弧长.
(4) 用弧度制分别写出第一、二、三、四象限角的集合.
(5) 在平面直角坐标系中,集合 $S=\left\{\alpha \mid \alpha=\frac{2 k \pi}{3},k \in \mathbf{Z}\right\}$ 的元素所表示的角的终边在哪些位置?
## 2 任意角的三角函数
### 1 三角函数的定义
## 1. 任意角的正弦、余弦与正切的定义
## 尝试与发现
初中的时候我们学过,在一个直角三角形中,如果锐角 $\alpha$ 的对边为 $a$,邻边为 $b$，斜边为 $c$,则有
$$
\sin \alpha=\frac{a}{c},\cos \alpha=\frac{b}{c},\tan \alpha=1 .
$$
当 $\alpha$ 是一个锐角时,上述正弦、余弦与正切,能否通过 $\alpha$ 终边上的点的坐标来定义呢?这种定义的方式能否推广到任意角?
当 $\alpha$ 是锐角时,它的终边在第一象限内. 如图 7-2-1 所示,在 $\alpha$ 终边上任取一个不同于坐标原点的点 $P(x,y)$,作 $P M$ 垂直 $O x$ 于点 $M$,记 $r=$ $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$,则 $\triangle O M P$ 是一个直角三角形,且 $O M=x,P M=y,O P=r$,由此可知
$$
\sin \alpha=\frac{P M}{O P}=\frac{y}{r},\quad \cos \alpha=\frac{O M}{O P}=\frac{x}{r},\quad \tan \alpha=\frac{P M}{O M}=\frac{y}{x}
$$
图 7-2-1
图 7-2-2
可以看出，任意角的正弦、余弦与正切可以用类似的方式定义. 如图 7-2-2 所示,对于任意角 $\alpha$ 来说,设 $P(x,y)$ 是 $\alpha$ 终边上异于原点的任意一点,$r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$,则由三角形相似的知识可知 $\frac{y}{r}$ 与 $\frac{x}{r}$ 跟 $P$ 在 $\alpha$ 终边上的位置无关,只与角 $\alpha$ 终边的位置有关. 一般地,称 $\frac{y}{r}$ 为角 $\alpha$ 的正弦,记作 $\sin \alpha$;称 $\frac{x}{r}$ 为角 $\alpha$ 的余弦,记作 $\cos \alpha$. 因此
$$
\sin \alpha=\frac{y}{r},\cos \alpha=\frac{x}{r}
$$
当角 $\alpha$ 的终边不在 $y$ 轴上时,同样可知 $\frac{y}{x}$ 与点 $P$ 在 $\alpha$ 终边上的位置无关,此时称 $\frac{y}{x}$ 为角 $\alpha$ 的正切,记作 $\tan \alpha$,即
$$
\tan \alpha=\frac{y}{x}
$$
由上可知,对于每一个角 $\alpha$,都有唯一确定的正弦、余弦与之对应;当 $\alpha \neq 2 \quad(k \in \mathbf{Z})$ 时,有唯一的正切与之对应. 角 $\alpha$ 的正弦、余弦与正切,都称为 $\alpha$ 的三角函数.
例 1 已知角 $\alpha$ 的终边经过点 $P(2,-3)$,求 $\sin \alpha,\cos \alpha$ 和 $\tan \alpha$.
解设 $x=2,y=-3$,则 $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{13}$. 于是
$$
\begin{aligned}
& \sin \alpha=\frac{y}{r}=\frac{-3}{\sqrt{13}}=-\frac{3 \sqrt{13}}{13},\\
& \cos \alpha=\frac{x}{r}=\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{2 \sqrt{13}}{13},\\
& \tan \alpha=3
\end{aligned}
$$
例 2 求下列各角的正弦、余弦和正切.
(1) 0;(2) $\pi$;(3) $\frac{3 \pi}{2}$.
解 (1) 角 0 的终边在 $x$ 轴正半轴上,在 $x$ 轴的正半轴上取点 $(1,0)$,所以 $r=\sqrt{1^{2}+0^{2}}=1$,因此
$$
\sin 0=\frac{0}{1}=0,\quad \cos 0=\frac{1}{1}=1,\quad \tan 0=\frac{0}{1}=0 .
$$
(2) 角 $\pi$ 的终边在 $x$ 轴负半轴上,在 $x$ 轴的负半轴上取点 $(-1,0)$,所以 $r=\sqrt{(-1)^{2}+0^{2}}=1$,因此
$$
\sin \pi=\frac{0}{1}=0,\cos \pi=\frac{-1}{1}=-1,\tan \pi=\frac{0}{-1}=0 .
$$
(3) 角 $\frac{3 \pi}{2}$ 的终边在 $y$ 轴负半轴上,在 $y$ 轴的负半轴上取点 $(0,-1)$,所以 $r=\sqrt{0^{2}+(-1)^{2}}=1$,因此
$$
\sin \frac{3 \pi}{2}=\underline{4} \quad,\cos \frac{3 \pi}{2}=\underline{5},\tan \frac{3 \pi}{2} \text { 不存在. }
$$
例 3 求 $\frac{5 \pi}{6}$ 的正弦、余弦和正切.
解如图 7-2-3 所示,在 $\frac{5 \pi}{6}$ 的终边上取点 $P$,使得 $O P=2$. 作 $P M \perp O x$,则在 Rt $\triangle O M P$ 中,
$$
\angle P O M=\pi-\frac{5 \pi}{6}=\frac{\pi}{6}
$$
图 7-2-3
因此 $M P=1,O M=\sqrt{3}$,从而可知 $P$ 的坐标为 $(-\sqrt{3},1)$,因此
$$
\sin \frac{5 \pi}{6}=\frac{1}{2},\cos \frac{5 \pi}{6}=\underline{6},\tan \frac{5 \pi}{6}=7
$$
## 2. 正弦、余弦与正切在各象限的符号
## 尝试与发现
从定义与实例都可以看出,任意角的正弦、余弦与正切,都既有可能是正数,也有可能是负数,还可能为 0 . 它们的符号与什么有关?试总结出任意角的正弦、余弦与正切符号的规律.
如果 $P(x,y)$ 是 $\alpha$ 终边上异于原点的任意一点,$r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$,则 $\sin \alpha=\frac{y}{r}$,由 $r>0$ 可知,$\sin \alpha$ 的正负与 $\alpha$ 终边上点的纵坐标的符号相同,所以，当且仅当 $\alpha$ 的终边在第一、二象限，或 $y$ 轴正半轴上时,$\sin \alpha>0$;当且仅当 $\alpha$ 的终边在第三、四象限,或 $y$ 轴负半轴上时,$\sin \alpha<0$.
用类似方法可以得到：
当且仅当 $\alpha$ 的终边在第一、四象限,或 $x$ 轴正半轴上时,$\cos \alpha>0$；当且仅当 $\alpha$ 的终边在第二、三象限,或 $x$ 轴负半轴上时,$\cos \alpha<0$.
当且仅当 $\alpha$ 的终边在第一、三象限时,$\tan \alpha>0$;当且仅当 $\alpha$ 的终边在第二、四象限时,$\tan \alpha<0$.
以上结果可用图 7-2-4 直观表示.
$\sin \alpha$
$\cos \alpha$
$\tan \alpha$
图 7-2-4 例 4 确定下列各值的符号.
(1) $\cos 260^{\circ}$;(2) $\sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)$;(3) $\tan \left(-672^{\circ} 20^{\prime}\right)$;(4) $\tan \frac{10 \pi}{3}$
解 （1）因为 $260^{\circ}$ 是第三象限角,所以 $\cos 260^{\circ}<0$.
（2）因为 $-\frac{\pi}{3}$ 是第四象限角,所以 $\sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)<0$.
(3) 由 $-672^{\circ} 20^{\prime}=47^{\circ} 40^{\prime}+(-2) \times 360^{\circ}$,可知 $-672^{\circ} 20^{\prime}$ 是第一象限角,所以 $\tan \left(-672^{\circ} 20^{\prime}\right)>0$.
(4) 由 $\frac{10 \pi}{3}=\frac{4 \pi}{3}+2 \pi$,可知 $\frac{10 \pi}{3}$ 是第三象限角,所以 $\tan \frac{10 \pi}{3}>0$.
例 5 设 $\sin \theta<0$ 且 $\tan \theta>0$,确定 $\theta$ 是第几象限角.
解因为 $\sin \theta<0$,所以 $\theta$ 的终边在第三、四象限,或 $y$ 轴负半轴上;又因为 $\tan \theta>0$,所以 $\theta$ 的终边在第一、三象限.
因此满足 $\sin \theta<0$ 且 $\tan \theta>0$ 的 $\theta$ 是第三象限角.
## 练习 $A$
(1) 分别根据下列条件,求各角的正弦、余弦和正切.
（1）已知角 $\alpha$ 的终边经过点 $P\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$;
（2）已知角 $\beta$ 的终边经过点 $Q\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$;
（3）已知角 $\gamma$ 的终边经过点 $M(-3,-1)$.
(2) 求角 $\frac{\pi}{2}$ 的正弦和余弦.
(3) 填写下表.
| 角 $\alpha$ | $0^{\circ}$ | $90^{\circ}$ | $180^{\circ}$ | $270^{\circ}$ | $360^{\circ}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $\alpha$ 的弧度数 | | | | | |
| $\sin \alpha$ | | | | | |
| $\cos \alpha$ | | | | | |
| $\tan \alpha$ | | | | | |
(4) 确定下列各值的符号.
(1) $\sin 156^{\circ}$;(2) $\cos \frac{16 \pi}{5}$;(3) $\cos \left(-80^{\circ}\right)$;(4) $\tan \left(-\frac{17 \pi}{8}\right)$;(5) $\sin \left(-\frac{4 \pi}{3}\right)$
(6) $\tan 556^{\circ} 12^{\prime}$
(5) 填空.
(1) 如果 $\sin \alpha>0$,且 $\cos \alpha<0$,则 $\alpha$ 是第象限角;(2) 如果 $\tan \alpha>0$,且 $\cos \alpha<0$,则 $\alpha$ 是第象限角;(3) 如果 $\sin \alpha<0$,且 $\tan \alpha<0$,则 $\alpha$ 是第象限角;(4) 如果 $\cos \alpha>0$,且 $\sin \alpha<0$,则 $\alpha$ 是第象限角.
## 练习B
(1) 已知 $\sin \alpha=-\frac{1}{2},\cos \alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}$,求 $\alpha$ 的终边与以原点为圆心、2 为半径的圆的交点坐标.
(2) 设 $\alpha$ 是三角形的一个内角,在 $\sin \alpha,\cos \alpha,\tan \alpha$ 中,哪些有可能是负值?
(3) 根据下列条件,确定 $\theta$ 是第几象限角.
(1) $\cos \theta$ 与 $\tan \theta$ 异号；(2) $\cos \theta$ 与 $\tan \theta$ 同号;(3) $\sin \theta$ 与 $\cos \theta$ 异号;(4) $\sin \theta$ 与 $\tan \theta$ 同号.
(4) 已知 $P(x,-1)$ 在角 $\alpha$ 的终边上,而且 $\cos \alpha=\frac{x}{2}$,求 $x$ 和 $\sin \alpha$ 的值.
(5) 已知角 $\alpha$ 的终边在直线 $y=2 x$ 上,求 $\sin \alpha,\cos \alpha,\tan \alpha$ 的值.
$1 \frac{a}{b}$
$2 k \pi+\frac{\pi}{2}$
$3 \frac{y}{x}=-\frac{3}{2}$
$4-1$
50
$6-\frac{\sqrt{3}}{2} \quad 7 \quad-\frac{\sqrt{3}}{3}$
### 2 单位圆与三角函数线
## 1. 正弦线与余弦线
## 尝试与发现
我们已经知道,如果 $P(x,y)$ 是 $\alpha$ 终边上异于原点的任意一点,$r=$ $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$，则 $\sin \alpha=\frac{y}{r},\cos \alpha=\frac{x}{r}$.
如果选取的 $P$ 点坐标满足 $x^{2}+y^{2}=1$,则上述正弦与余弦的表达式有什么变化?由此你能给出任意角正弦和余弦的一个直观表示吗?不难看出,如果 $x^{2}+y^{2}=1$,则
$$
\sin \alpha=y,\cos \alpha=\underline{1} .
$$
因为 $x^{2}+y^{2}=1$ 可以化为
$$
\sqrt{(x-0)^{2}+(y-0)^{2}}=1,$$
因此 $P(x,y)$ 到原点 $(0,0)$ 的距离为 1 . 一般地,在平面直角坐标系中,坐标满足 $x^{2}+y^{2}=1$ 的点组成的集合称为单位圆. 因此,如果角 $\alpha$ 的终边与单位圆的交点为 $P$,则 $P$ 的坐标为
$$
(\cos \alpha,\sin \alpha) \text {. }
$$
这就是说,角 $\alpha$ 的余弦和正弦分别等于角 $\alpha$ 终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标.
如图 7-2-5 所示,如果过角 $\alpha$ 终边与单位圆的交点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线,垂足为 $M$,则 $\overrightarrow{O M}$ 可以直观地表示 $\cos \alpha: \overrightarrow{O M}$ 的方向与 $x$ 轴的正方向相同时,表示 $\cos \alpha$ 是正数,且 $\cos \alpha=|\overrightarrow{O M}|$;$\overrightarrow{O M}$ 的方向与 $x$ 轴的正方向相反时,表示 $\cos \alpha$ 是负数,且 $\cos \alpha=-|\overrightarrow{O M}|$. 习惯上,称 $\overrightarrow{O M}$ 为角 $\alpha$ 的余弦线. 类似地,图 7-2-5 中的 $\overrightarrow{M P}$ 可以直观地表示 $\sin \alpha$,因此称 $\overrightarrow{M P}$ 为角 $\alpha$ 的正
图 7-2-5 弦线.
利用角的正弦线和余弦线,可以直观地看出角的正弦和余弦的信息. 例如图 7-2-5 中,角 $\beta$ 的余弦线是 $\overrightarrow{O N}$,正弦线是 $\overrightarrow{N S}$,由此可看出 $\cos \beta<0$,$\sin \beta<0$,而且还可以看出
$$
|\cos \beta|>|\cos \alpha| \text {. }
$$
类似地,可知 $|\sin \alpha| 2|\sin \beta|$.
## 2. 正切线
## 営试与发现
我们已经知道,如果 $\alpha$ 的终边不在 $y$ 轴上,且 $P(x,y)$ 是 $\alpha$ 终边上异于原点的任意一点,则 $\tan \alpha=\frac{y}{x}$. 你能仿照前面的方法给出正切的一个直观表示吗?
可以看出,如果取坐标满足 $x=1$ 的点 $P$,则 $\tan \alpha=y$. 因为 $x=1$ 在平面直角坐标系中表示的是垂直于 $x$ 轴且过 $A(1,0)$ 的直线 $l$,所以如果角 $\alpha$ 的终边与直线 $l$ 的交点为 $P(1,y)$,则 $\tan \alpha=$ 3
如图 7-2-6 所示,设角 $\alpha$ 的终边与直线 $x=1$ 交于点 $T$,则 $\overrightarrow{A T}$ 可以直观地表示 $\tan \alpha$,因此 $\overrightarrow{A T}$ 称为角 $\alpha$ 的正切线.
不难看出，当角的终边在第二、三象限或 $x$ 轴的负半轴上时,终边与直线 $x=1$ 没有交点,但终边的反向延长线与 $x=1$ 有交点,而且交点
图 7-2-6 的纵坐标也正好是角的正切值. 因此图 7-2-6 中角 $\beta$ 的正切线为 $\overrightarrow{A S}$,而且从图中可以看出
$$
\tan \beta<0,|\tan \beta| \underline{4}|\tan \alpha| .
$$
这就是说,角 $\alpha$ 的正切等于角 $\alpha$ 终边或其反向延长线与直线 $x=1$ 的交点的纵坐标.
正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线.
例 1 作出 $\frac{5 \pi}{6}$ 和 $\frac{\pi}{4}$ 的正弦线、余弦线和正切线,并利用三角函数线求出它们的正弦、余弦和正切.
解如图 7-2-7 所示,在平面直角坐标系中作出单位圆以及直线 $x=1$,单位圆与 $x$ 轴交于点 $A(1,0)$.
作 $\frac{5 \pi}{6}$ 的终边与单位圆的交点 $P$,过 $P$ 作 $x$ 轴的垂线,垂足为 $M$;延长线段 $P O$,交直线 $x=1$ 于 $T$,则 $\frac{5 \pi}{6}$ 的正弦线为 $\overrightarrow{M P}$,余弦线
图 7-2-7 为 $\overrightarrow{O M}$,正切线为 $\overrightarrow{A T}$.
类似可得到 $\frac{\pi}{4}$ 的正弦线为 $\overrightarrow{N R}$,余弦线为 $\overrightarrow{O N}$,正切线为 $\overrightarrow{A S}$.
在图 7-2-7 中,根据直角三角形的知识可知,
$$
M P=\frac{1}{2},O M=\frac{\sqrt{3}}{2},A T=\frac{\sqrt{3}}{3},O N=N R=\frac{\sqrt{2}}{2},A S=1,$$
所以
$$
\begin{aligned}
& \sin \frac{5 \pi}{6}=\frac{1}{2},\cos \frac{5 \pi}{6}=5 \quad,\tan \frac{5 \pi}{6}=6 \\
& \sin \frac{\pi}{4}=\cos \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},\tan \frac{\pi}{4}=1 .
\end{aligned}
$$
例 2 将图 7-2-8(1) 所示的摩天轮抽象成图 7-2-8(2) 所示的平面图形,然后以摩天轮转轮中心为原点,以水平线为 $x$ 轴,建立平面直角坐标系. 设 $O$ 到地面的高 $O T$ 为 $l \mathrm{~m}$,点 $P$ 为转轮边缘上任意一点,转轮半径 $O P$ 为 $r \mathrm{~m}$. 记以 $O P$ 为终边的角为 $\alpha \mathrm{rad}$,点 $P$ 离地面的高度为 $h \mathrm{~m}$,试用 $l,r$ 与 $\alpha$ 表示 $h$.
( 1 )
( 2 )
图 7-2-8
解过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线,垂足为 $M$,则:
当 $\alpha$ 的终边在第一、二象限或 $y$ 轴正半轴上时,$M P=r \sin \alpha$,此时
$$
h=O T+M P=l+r \sin \alpha \text {;}
$$
当 $\alpha$ 的终边在第三、四象限或 $y$ 轴负半轴上时,因为 $\sin \alpha<0$,所以 $M P=-r \sin \alpha$,此时
$$
h=O T-M P=l+r \sin \alpha;$$
当 $\alpha$ 的终边在 $x$ 轴上时,$\sin \alpha=0$,此时
$$
h=O T=l+r \sin \alpha .
$$
所以,不管 $\alpha$ 的终边在何处，都有
$$
h=7
$$
## 探索与研究
如果一个角大小为 $x \operatorname{rad}$ 且 $0<x<\frac{\pi}{2}$,那么 $x$,$\sin x,\tan x$ 都是实数. 请你给出 $x$ 的一个具体值,比较这 3 个实数的大小.
然后想一想,你得到的大小关系是否对区间 $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ 上的任意 $x$ 都成立.
## 练习 $A$
(1) 分别作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线.
(1) $\frac{\pi}{3}$;(2) $\frac{5 \pi}{4}$. (2) 利用三角函数线写出 $\sin \pi,\cos \pi$ 和 $\tan \pi$ 的值.
(3) 已知 $0<\alpha<\beta<\frac{\pi}{2}$,利用正弦线比较 $\sin \alpha$ 和 $\sin \beta$ 的大小.
(4) 已知 $0<\alpha<\frac{\pi}{4}$,利用正弦线和余弦线比较 $\sin \alpha$ 和 $\cos \alpha$ 的大小.
（5）以５ｃｍ 为单位长度作单位圆，分别作出 $10^{\circ}，20^{\circ}，50^{\circ}，220^{\circ}，320^{\circ}$ 角的正弦线、余弦线和正切线,量出它们的长度,写出这些角的正弦、余弦和正切的近似值,再使用科学计算器求这些角的正弦、余弦和正切,并进行比较.
## 练习B
(1) 分别作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线,并利用它们求出各角的正弦、余弦和正切.
(1) $-\frac{2 \pi}{3}$;(2) $-\frac{13 \pi}{6}$
(2) 利用正弦线指出 $\sin \alpha$ 的最大值,并指出 $\alpha$ 为何值时 $\sin \alpha$ 取得最大值.
(3) 设 $\alpha$ 是第一象限角,作 $\alpha$ 的正弦线、余弦线和正切线,由图证明下列各等式.
(1) $\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1$;(2) $\tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
如果 $\alpha$ 是第二、三、四象限角,以上等式仍然成立吗?
$1 x \quad 2>\quad 3 \quad 4 \quad 5-\frac{\sqrt{3}}{2} \quad 6-\frac{\sqrt{3}}{3} \quad 7 l+r \sin \alpha$
### 3 同角三角函数的基本关系式
## 尝试与发现
同一个角的正弦、余弦、正切之间有什么关系?
我们已经知道,如果 $P(x,y)$ 是 $\alpha$ 终边上不同于坐标原点的点,记 $r=$ $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$，则
$$
\sin \alpha=\frac{y}{r},\cos \alpha=\frac{x}{r},\tan \alpha=\frac{y}{x}
$$
由此可看出
$$
\begin{aligned}
& \sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1,\\
& \tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} .
\end{aligned}
$$
这两个关系式也可以从三角函数线得到,一般被称为同角三角函数的基本关系式.
例 1 已知 $\sin \alpha=\frac{4}{5}$,且 $\alpha$ 是第二象限角,求角 $\alpha$ 的余弦和正切.
解由 $\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1$,得 $\frac{16}{25}+\cos ^{2} \alpha=1$,所以 $\cos ^{2} \alpha=1$. 因为 $\alpha$ 是第二象限角,$\cos \alpha<0$,所以
$$
\begin{aligned}
& \cos \alpha=-\sqrt{\frac{9}{25}}=-\frac{3}{5},\\
& \tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=-\frac{4}{3} .
\end{aligned}
$$
例 2 已知 $\tan \alpha=-\sqrt{5}$,且 $\alpha$ 是第二象限角,求角 $\alpha$ 的正弦和余弦.
分析我们把 $\sin \alpha$ 和 $\cos \alpha$ 看成两个末知数,这样只要列出关于 $\sin \alpha$ 和 $\cos \alpha$ 的两个独立的关系式,通过解关于这两个末知数的联立方程组,就可以求出 $\sin \alpha$ 和 $\cos \alpha$.
解由题意和同角三角函数的基本关系式，有
$$
\left\{\begin{array}{l}
\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1,\\
\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=-\sqrt{5} .
\end{array}\right.
$$
由(2)得 $\sin \alpha=-\sqrt{5} \cos \alpha$,代人(1)整理得 $6 \cos ^{2} \alpha=1$,所以 $\cos ^{2} \alpha=\frac{1}{6}$. 因为 $\alpha$ 是第二象限角,所以 $\cos \alpha=2$,代人(2)式得
$$
\sin \alpha=-\sqrt{5} \cos \alpha=(-\sqrt{5}) \times\left(-\frac{\sqrt{6}}{6}\right)=\frac{\sqrt{30}}{6} .
$$
例 3 已知 $\sin \alpha-\cos \alpha=-\frac{\sqrt{5}}{5}$,求 $\tan \alpha$ 的值.
解由题意和同角三角函数的基本关系式,有
$$
\left\{\begin{array}{l}
\sin \alpha-\cos \alpha=-\frac{\sqrt{5}}{5},\\
\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1 .
\end{array}\right.
$$
消去 $\sin \alpha$,得 $5 \cos ^{2} \alpha-\sqrt{5} \cos \alpha-2=0$,解得
$$
\cos \alpha=\frac{2 \sqrt{5}}{5} \text { 或 } \cos \alpha=-\frac{\sqrt{5}}{5} \text {. }
$$
当 $\cos \alpha=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ 时,可得 $\sin \alpha=3$，此时 $\tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{1}{2}$;
当 $\cos \alpha=-\frac{\sqrt{5}}{5}$ 时,可得 $\sin \alpha=4 \quad$,此时 $\tan \alpha=5$.
例 4 化简 $\frac{\sin \theta-\cos \theta}{\tan \theta-1}$.
原式 $=\frac{\sin \theta-\cos \theta}{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}-1}=\frac{(\sin \theta-\cos \theta) \cos \theta}{\sin \theta-\cos \theta}=\cos \theta$.
例 5 求证：
(1) $\sin ^{4} \alpha-\cos ^{4} \alpha=2 \sin ^{2} \alpha-1$;(2) $\tan ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha=\tan ^{2} \alpha \sin ^{2} \alpha$;
(3) $\frac{\cos \alpha}{1-\sin \alpha}=\frac{1+\sin \alpha}{\cos \alpha}$.
## 尝试与发现
怎样证明一个恒等式?你能给出上面这些恒等式的证明过程吗?
证明 (1) 原式左边 $=\left(\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha\right)\left(\sin ^{2} \alpha-\cos ^{2} \alpha\right)$
$$
\begin{aligned}
& =\sin ^{2} \alpha-\cos ^{2} \alpha \\
& =\sin ^{2} \alpha-\left(1-\sin ^{2} \alpha\right) \\
& =2 \sin ^{2} \alpha-1=\text { 右边,}
\end{aligned}
$$
因此
$$
\sin ^{4} \alpha-\cos ^{4} \alpha=2 \sin ^{2} \alpha-1
$$
（2）原式右边 $=\tan ^{2} \alpha\left(1-\cos ^{2} \alpha\right)$
$$
\begin{aligned}
& =\tan ^{2} \alpha-\frac{\sin ^{2} \alpha}{\cos ^{2} \alpha} \cos ^{2} \alpha \\
& =\tan ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha=\text { 左边,}
\end{aligned}
$$
因此
$$
\tan ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha=\tan ^{2} \alpha \sin ^{2} \alpha .
$$
（3）（方法一）因为
$$
\frac{\cos \alpha}{1-\sin \alpha}-\frac{1+\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{\cos ^{2} \alpha-\left(1-\sin ^{2} \alpha\right)}{(1-\sin \alpha) \cos \alpha}=\frac{\cos ^{2} \alpha-\cos ^{2} \alpha}{(1-\sin \alpha) \cos \alpha}=0,$$
所以
$$
\frac{\cos \alpha}{1-\sin \alpha}=\frac{1+\sin \alpha}{\cos \alpha}
$$
（方法二) 由题知 $\cos \alpha \neq 0$,因而 $\sin \alpha \neq-1$,即 $1+\sin \alpha \neq 0$. 从而
$$
\begin{aligned}
\text { 原式左边 } & =\frac{\cos \alpha(1+\sin \alpha)}{(1-\sin \alpha)(1+\sin \alpha)}=\frac{\cos \alpha(1+\sin \alpha)}{1-\sin ^{2} \alpha} \\
& =\frac{\cos \alpha(1+\sin \alpha)}{\cos ^{2} \alpha}=\frac{1+\sin \alpha}{\cos \alpha}=\text { 右边,}
\end{aligned}
$$
因此
$$
\frac{\cos \alpha}{1-\sin \alpha}=\frac{1+\sin \alpha}{\cos \alpha}
$$
从例 5 可以看出：证明一个三角恒等式,可以从它的任意一边开始,推出它等于另一边;也可以用作差法,证明等式两边之差等于零;还可以先证得另一个等式成立,并由此推出需要证明的等式成立.
## 拓展阅读
## 更多三角函数及关系式
除了正弦、余弦与正切之外,在工程、机械等学科中,还经常要用到角的更多三角函数.
事实上，如果 $P(x,y)$ 是 $\alpha$ 终边上不同于坐标原点的任意一点,记 $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$,则 $r>0$,此时
(1) 称 $\frac{r}{x}$ 为 $\alpha$ 的正割,记作 $\sec \alpha$,即
$$
\sec \alpha=\frac{r}{x}
$$
(2) 称 $\frac{r}{y}$ 为 $\alpha$ 的余割,记作 $\csc \alpha$,即
$$
\csc \alpha=\frac{r}{y}
$$
(3) 称 $\frac{x}{y}$ 为 $\alpha$ 的余切,记作 $\cot \alpha$,即
$$
\cot \alpha=\frac{x}{y} \text {. }
$$
由上述定义可知,当 $\alpha$ 的终边在 $y$ 轴上时,$\sec \alpha$ 没有意义;当 $\alpha$ 的终边在 $x$ 轴上时,$\cot \alpha,\csc \alpha$ 没有意义.
同样地,我们可以借助向量得到正割线、余割线、余切线等三角函数线,请感兴趣的读者自己探讨.
正割、余割、余切也称为角 $\alpha$ 的三角函数,从上述定义可以看出,在各三角函数都有意义的前提下,它们实际上分别是余弦、正弦和正切的倒数,即
$$
\begin{aligned}
& \sec \alpha=\frac{1}{\cos \alpha},\\
& \csc \alpha=\frac{1}{\sin \alpha},\\
& \cot \alpha=\frac{1}{\tan \alpha} .
\end{aligned}
$$
另外,由于
$$
\begin{aligned}
\tan ^{2} \alpha+1 & =\frac{\sin ^{2} \alpha}{\cos ^{2} \alpha}+1 \\
& =\frac{\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha}{\cos ^{2} \alpha} \\
& =\frac{1}{\cos ^{2} \alpha}=\sec ^{2} \alpha,\end{aligned}
$$
因此
$$
\tan ^{2} \alpha+1=\sec ^{2} \alpha .
$$
类似地,还能得到
$$
\cot ^{2} \alpha+1=\csc ^{2} \alpha \text {. }
$$
习惯上,人们经常借助如下页图所示的六边形图形来记忆三角函数的基本关系式以及上述三角函数关系式: 图中六边形的每一条红色对角线上的两个元素之积为 1,即
$\cos \alpha \sec \alpha=1$,
$\sin \alpha \csc \alpha=1$,
每一个倒立的绿色正三角形中,上方两个顶点元素的平方和等于下方顶点元素的平方,即 $\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1$ 等.
你能从图中发现更多的关系吗？尝试一下吧！
## 练习A
(1) 求解下列各题.
(1) 已知 $\sin \alpha=\frac{1}{2}$,且 $\alpha$ 为第一象限角,求 $\cos \alpha,\tan \alpha$;
（2）已知 $\cos \alpha=-\frac{4}{5}$,且 $\alpha$ 为第三象限角,求 $\sin \alpha,\tan \alpha$;
(3) 已知 $\tan \alpha=-\frac{3}{4}$,且 $\alpha$ 为第四象限角,求 $\sin \alpha,\cos \alpha$;
(4) 已知 $\sin \alpha=\frac{1}{3}$,且 $\alpha$ 为第二象限角,求 $\cos \alpha,\tan \alpha$.
(2) 化简.
(1) $\cos \theta \tan \theta$;
(2) $(1-\sin \theta)(1+\sin \theta)$.
(3) 求证:
(1) $\sin ^{4} \alpha-\cos ^{4} \alpha=\sin ^{2} \alpha-\cos ^{2} \alpha$;(2) $\sin ^{4} \alpha+\sin ^{2} \alpha \cos ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1$.
(4) 化简.
(1) $\left(1+\tan ^{2} \alpha\right) \cos ^{2} \alpha$;(2) $\sin ^{2} \alpha+\tan ^{2} \alpha \cos ^{2} \alpha$.
(5) 已知 $\tan \alpha=\frac{1}{3},\pi<\alpha<\frac{3 \pi}{2}$,求 $\sin \alpha$ 的值.
## 练习B
(1) 已知 $\cos \theta=\frac{3}{5}$,求 $\sin \theta$ 和 $\tan \theta$.
(2) 已知 $\tan \alpha=-4$,求下列各式的值.
(1) $\sin ^{2} \alpha$;(2) $\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha$;(3) $3 \sin \alpha \cos \alpha$;(4) $\frac{4 \sin \alpha-2 \cos \alpha}{5 \cos \alpha+3 \sin \alpha}$. (3) 已知 $\sin \theta=\frac{5}{13}$,求 $\cos \theta$ 和 $\tan \theta$.
(4) 化简.
(1) $\frac{2 \cos ^{2} \theta-1}{1-2 \sin ^{2} \theta}$;(2) $\sin \alpha \cos \alpha\left(\tan \alpha+\frac{1}{\tan \alpha}\right)$.
(5) 求证: $(\sin \alpha+\cos \alpha)^{2}=1+\frac{2 \sin ^{2} \alpha}{\tan \alpha}$.
$1 \frac{9}{25}$
$2-\frac{\sqrt{6}}{6}$
$3 \frac{\sqrt{5}}{5}$
$4-\frac{2 \sqrt{5}}{5}$
$5 \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=2$
### 4 诱导公式
在初中,我们已经知道一些锐角的三角函数值及它们之间的一些关系,例如,
$\sin 30^{\circ}=\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2},\sin 45^{\circ}=\cos 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2},\sin 60^{\circ}=\cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
这里我们将研究任意角的三角函数值之间的一些特殊关系.
## 情境与问题
如果已知 $\sin 26^{\circ}=m$,你能用 $m$ 表示出 $\sin 386^{\circ},\sin \left(-26^{\circ}\right),\sin 154^{\circ}$,$\sin 206^{\circ},\cos 64^{\circ}$ 吗?你还能用 $m$ 表示出更多角的三角函数值吗?
情境中的问题,与本小节所要学习的诱导公式有关.
## 1. 角 $\alpha$ 与 $\alpha+k \cdot 2 \pi(k \in \mathbf{Z})$ 的三角函数值之间的关系
## 尝试与发现
对于任意一个角 $\alpha$ 来说,$\alpha$ 与 $\alpha+k \cdot 2 \pi(k \in \mathbf{Z})$ 的终边有什么关系?由此你能得到它们的正弦、余弦、正切之间的关系吗?我们知道,一个角的三角函数值由它终边上的点决定,由此可知,终边相同的角,同名三角函数值相等 (“同名” 指同是正弦、余弦或正切,下同). 不难看出,$\alpha$ 与 $\alpha+k \cdot 2 \pi(k \in \mathbf{Z})$ 的终边相同,所以当 $k$ 为整数时,有
$$
\begin{aligned}
& \sin (\alpha+k \cdot 2 \pi)=\sin \alpha,\\
& \cos (\alpha+k \cdot 2 \pi)=\cos \alpha,\\
& \tan (\alpha+k \cdot 2 \pi)=\tan \alpha .
\end{aligned}
$$
利用上述公式 (1),我们可以把绝对值大于 $2 \pi$ 的任意角的三角函数值问题转化为 $0 \sim 2 \pi$ 角的同名三角函数值问题.
例如,$\sin 386^{\circ}=\sin \left(26^{\circ}+360^{\circ}\right)=1$
例 1 求下列各值.
(1) $\sin \frac{13 \pi}{2}$
(2) $\cos \frac{19 \pi}{3}$;(3) $\tan 405^{\circ}$.
解 (1) $\sin \frac{13 \pi}{2}=\sin \left(\frac{\pi}{2}+6 \pi\right)=\sin \frac{\pi}{2}=1$.
(2) $\cos \frac{19 \pi}{3}=\cos \left(\frac{\pi}{3}+6 \pi\right)=\cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$.
(3) $\tan 405^{\circ}=\tan \left(45^{\circ}+360^{\circ}\right)=2$
## 2. 角的旋转对称
如图 7-2-9 所示,假设角 $\alpha$ 的终边是 $O A$,射线 $O B$ 和 $O C$ 关于 $O A$ 对称,$\angle A O B=\theta$,那么射线 $O B$ 是角 $\alpha+\theta$ 的终边,射线 $O C$ 是角 $\alpha-\theta$ 的终边. 由此我们可知,角 $\alpha+\theta$ 的终边和角 $\alpha-\theta$ 的终边关于角 $\alpha$ 的终边所在的直线对称.
一般地，角 $\alpha$ 的终边和角 $\beta$ 的终边关于角
图 7-2-9 $\frac{\alpha+\beta}{2}$ 的终边所在的直线对称.
例如,$\alpha$ 和 $-\alpha$ 的终边关于角 $\frac{\alpha+(-\alpha)}{2}=0$ 的终边所在的直线 (即 $x$ 轴) 对称;$\alpha$ 和 $\pi-\alpha$ 的终边关于角 $\frac{\alpha+(\pi-\alpha)}{2}=\frac{\pi}{2}$ 的终边所在的直线 (即 $y$ 轴) 对称;$\alpha$ 和 $\frac{\pi}{2}-\alpha$ 的终边关于角 $\frac{\alpha+\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}{2}=\frac{\pi}{4}$ 的终边所在的直线 (即直线 $y=x)$ 对称.
## 3. 角 $\alpha$ 与 $-\alpha$ 的三角函数值之间的关系
## 尝试与发现
对于任意一个角 $\alpha$ 来说,$\alpha$ 与一 $\alpha$ 的终边有什么关系?由此你能得到它们的正弦、余弦、正切之间的关系吗?
如图 7-2-10 所示,设 $\alpha$ 和 $\alpha$ 的终边与单位圆分别交于 $P$ 和 $P^{\prime}$，则
$$
\begin{aligned}
& P(\cos \alpha,\sin \alpha),\\
& P^{\prime}(\cos (-\alpha),\sin (-\alpha)) .
\end{aligned}
$$
又由 $\alpha$ 和 $-\alpha$ 的终边关于角 0 的终边（即 $x$ 轴的正半轴）所在的直线对称可知,$P$ 和 $P^{\prime}$ 关于 $x$ 轴对称,因此
图 7-2-10
$$
\begin{aligned}
& \sin (-\alpha)=-\sin \alpha,\\
& \cos (-\alpha)=\cos \alpha,\\
& \tan (-\alpha)=-\tan \alpha .
\end{aligned}
$$
这一结论也可从 $\alpha$ 和 $\alpha$ 的三角函数线之间的关系看出,请读者参考图 7-2-10 自己完成.
利用公式(2),我们可以用正角的三角函数值表示负角的三角函数值.
例如,$\sin \left(-26^{\circ}\right)=3$
例 2 求下列各值.
(1) $\sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)$;(2) $\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)$;(3) $\tan \left(-\frac{\pi}{3}\right)$;(4) $\sin \left(-\frac{7 \pi}{3}\right)$
(1) $\sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\sin \frac{\pi}{6}=-\frac{1}{2}$.
(2) $\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)=\cos \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(3) $\tan \left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\tan \frac{\pi}{3}=-\sqrt{3}$.
(4) $\sin \left(-\frac{7 \pi}{3}\right)=-\sin \frac{7 \pi}{3}=-\sin \left(\frac{\pi}{3}+2 \pi\right)=-\sin \frac{\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
## 4. 角 $\alpha$ 与 $\pi \pm \alpha$ 的三角函数值之间的关系
## 尝试与发现
对于任意一个角 $\alpha$ 来说,$\alpha$ 与 $\pi-\alpha$ 的终边有什么关系?由此你能得到它们的正弦、余弦、正切之间的关系吗?
如图 7-2-11 所示,设 $\alpha$ 和 $\pi-\alpha$ 的终边与单位圆分别交于 $P$ 和 $P^{\prime}$，则
$$
\begin{aligned}
& P(\cos \alpha,\sin \alpha),\\
& P^{\prime}(\cos (\pi-\alpha),\sin (\pi-\alpha)) .
\end{aligned}
$$
又由 $\alpha$ 和 $\pi-\alpha$ 的终边关于角 $\frac{\pi}{2}$ 的终边所在的直线对称可知,$P$ 和 $P^{\prime}$ 关于 $y$ 轴对称,因此
$$
\begin{aligned}
& \sin (\pi-\alpha)=\sin \alpha,\\
& \cos (\pi-\alpha)=-\cos \alpha,\\
& \tan (\pi-\alpha)=-\tan \alpha .
\end{aligned}
$$
这一结论也可从 $\alpha$ 和 $\pi-\alpha$ 的三角函数线之间的关系看出,请读者参考图 7-2-11 自己完成.
例如,$\sin 154^{\circ}=\sin \left(180^{\circ}-26^{\circ}\right)=4$
另外,由公式(2)(3),我们可证明
$$
\begin{aligned}
& \sin (\pi+\alpha)=-\sin \alpha,\\
& \cos (\pi+\alpha)=-\cos \alpha,\\
& \tan (\pi+\alpha)=\tan \alpha .
\end{aligned}
$$
这是因为
$$
\sin (\pi+\alpha)=\sin [\pi-(-\alpha)]=\sin (-\alpha)=-\sin \alpha .
$$
其余两式的证明请读者自己完成.
例 3 求下列各值.
(1) $\sin \frac{5 \pi}{6}$
(2) $\cos \frac{3 \pi}{4}$;(3) $\tan \frac{8 \pi}{3}$
解 (1) $\sin \frac{5 \pi}{6}=\sin \left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)=\sin \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$.
(2) $\cos \frac{3 \pi}{4}=\cos \left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)=-\cos \frac{\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. (3) $\tan \frac{8 \pi}{3}=\tan \left(\frac{2 \pi}{3}+2 \pi\right)=\tan \frac{2 \pi}{3}=\tan \left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)=-\tan \frac{\pi}{3}=-\sqrt{3}$.
例 4 求下列各值.
(1) $\sin \frac{4 \pi}{3}$
(2) $\cos \left(-\frac{7 \pi}{6}\right)$
(3) $\tan \frac{7 \pi}{6}$
解 (1) $\sin \frac{4 \pi}{3}=\sin \left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)=-\sin \frac{\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
(2) $\cos \left(-\frac{7 \pi}{6}\right)=\cos \frac{7 \pi}{6}=\cos \left(\pi+\frac{\pi}{6}\right)=-\cos \frac{\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
(3) $\tan \frac{7 \pi}{6}=\tan \left(\pi+\frac{\pi}{6}\right)=\tan \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
例 5 化简 $\frac{\sin (2 \pi-\alpha) \tan (\pi+\alpha) \tan (-\pi-\alpha)}{\cos (\pi-\alpha) \tan (3 \pi-\alpha)}$.
解原式 $=\frac{\sin (-\alpha) \tan \alpha[-\tan (\pi+\alpha)]}{(-\cos \alpha) \tan (\pi-\alpha)}$
$$
\begin{aligned}
& =\frac{(-\sin \alpha) \tan \alpha(-\tan \alpha)}{(-\cos \alpha)(-\tan \alpha)} \\
& =\tan \alpha \tan \alpha=\tan ^{2} \alpha .
\end{aligned}
$$
## 5. 角 $\alpha$ 与 $\frac{\pi}{2}-\alpha$ 的三角函数值之间的关系
## 尝试与发现
在初中,我们已经知道两个锐角之和为 $90^{\circ}$ 时正弦和余弦之间的关系. 如图 7-2-12 所示,因为 $\alpha$ 与 $\beta$ 中,与一个角相邻的直角边是另一个角相对的直角边，所以
$$
\sin \alpha=\cos \beta,\quad \cos \alpha=\sin \beta .
$$
图 7-2-12
那么,这一关系式对任意角是否也成立呢?你能通过考察 $\alpha$ 与 $\frac{\pi}{2}-\alpha$ 的终边之间的关系来得出一般结论吗?
如图 7-2-13 所示,设 $\alpha$ 和 $\frac{\pi}{2}-\alpha$ 的终边与单位圆分别交于 $P$ 和 $P^{\prime}$，则
$$
\begin{aligned}
& P(\cos \alpha,\sin \alpha),\\
& P^{\prime}\left(\cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right),\sin \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\right) .
\end{aligned}
$$
图 7-2-13 又由 $\alpha$ 和 $\frac{\pi}{2}-\alpha$ 的终边关于角 $\frac{\pi}{4}$ 的终边所在的直线对称可知,$P$ 和 $P^{\prime}$ 关于 $y=x$ 对称，因此
$$
\begin{aligned}
& \sin \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos \alpha,\\
& \cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin \alpha .
\end{aligned}
$$
这一结论也可从 $\alpha$ 和 $\frac{\pi}{2}-\alpha$ 的三角函数线之间的关系看出,请读者参考图 7-2-13 自己完成.
## 6. 其他一些三角函数值之间的关系
由公式(2)(5),我们可证明
$$
\begin{aligned}
& \sin \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos \alpha,\\
& \cos \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin \alpha .
\end{aligned}
$$
这是因为
$$
\cos \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos \left[\frac{\pi}{2}-(-\alpha)\right]=\sin (-\alpha)=-\sin \alpha .
$$
另外一个式子可以用类似方法证明.
类似地，我们还可得到
$$
\begin{aligned}
& \cos \left(\frac{3 \pi}{2}+\alpha\right)=\sin \alpha,\\
& \sin \left(\frac{3 \pi}{2}+\alpha\right)=-\cos \alpha . \\
& \cos \left(\frac{3 \pi}{2}-\alpha\right)=-\sin \alpha,\\
& \sin \left(\frac{3 \pi}{2}-\alpha\right)=-\cos \alpha .
\end{aligned}
$$
(7)(8)的证明请读者自己完成.
公式(1) (8)都称为诱导公式.
利用诱导公式可以求三角函数式的值或化简三角函数式,诱导公式本身还反映了我们后面要学习的三角函数的性质. 希望同学们能够从角终边的对称性的角度理解并运用诱导公式.
例 6 求下列各值.
(1) $\sin 120^{\circ}$;(2) $\cos 135^{\circ}$;(3) $\cos \left(-\frac{19 \pi}{4}\right)$.
解 (1) $\sin 120^{\circ}=\sin \left(90^{\circ}+30^{\circ}\right)=\cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
(2) $\cos 135^{\circ}=\cos \left(90^{\circ}+45^{\circ}\right)=\underline{5}$
(3) $\cos \left(-\frac{19 \pi}{4}\right)=\cos \frac{19 \pi}{4}=\cos \left(\frac{3 \pi}{4}+4 \pi\right)=\cos \frac{3 \pi}{4}$
$$
=\cos \left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=-\sin \frac{\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2} .
$$
例 7 计算 $\sin \left(-36^{\circ}\right)+\cos 54^{\circ}+\sin 108^{\circ}+\cos 162^{\circ}$ 的值.
解原式 $=-\sin 36^{\circ}+\cos \left(90^{\circ}-36^{\circ}\right)+\sin \left(90^{\circ}+18^{\circ}\right)+\cos \left(180^{\circ}-18^{\circ}\right)$
$$
\begin{aligned}
& =-\sin 36^{\circ}+\sin 36^{\circ}+\cos 18^{\circ}-\cos 18^{\circ} \\
& =0 .
\end{aligned}
$$
例 8 化简 $\frac{\sin \left(\frac{3 \pi}{2}-\alpha\right) \cos \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}{\sin (\pi+\alpha) \cos (\pi-\alpha)}$.
解原式 $=\frac{(-\cos \alpha)(-\sin \alpha)}{(-\sin \alpha)(-\cos \alpha)}$
$$
=1 \text {. }
$$
## 练习 $A$
(1) 求下列各值.
(1) $\sin 3 \pi$;(2) $\sin 18 \pi$;(3) $\cos 5 \pi$;(4) $\sin \frac{9 \pi}{2}$;(5) $\sin \frac{13 \pi}{3}$;(6) $\cos \frac{47 \pi}{2}$;(7) $\cos \frac{101 \pi}{4}$;(8) $\tan \frac{37 \pi}{6}$;(9) $\tan \frac{17 \pi}{4}$.
(2) 求下列各值.
(1) $\sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)$;(2) $\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right)$;(3) $\tan \left(-\frac{\pi}{6}\right)$;(4) $\sin \frac{3 \pi}{4}$;(5) $\cos \frac{5 \pi}{6}$;(6) $\tan \frac{2 \pi}{3}$;(7) $\sin \frac{7 \pi}{6}$;(8) $\cos \frac{4 \pi}{3}$;(9) $\tan \frac{4 \pi}{3}$.
(3) 将下列三角函数化为 $0^{\circ} \sim 45^{\circ}$ 角的三角函数.
(1) $\sin 115^{\circ}$;(2) $\cos 105^{\circ}$;(3) $\tan 160^{\circ}$;(4) $\sin 85^{\circ}$. (4) 将下列三角函数化为 $0 \sim \frac{\pi}{4}$ 角的三角函数.
(1) $\cos \frac{\pi}{3}$;(2) $\sin \frac{3 \pi}{5}$
(5) 化简 $\frac{\cos (\alpha+2 \pi) \tan (\pi+\alpha) \sin (-\alpha)}{\cos (-\alpha) \tan (\pi-\alpha)}$.
## 练习B
(1) 求下列各值.
(1) $\sin \frac{271 \pi}{6}$;(2) $\cos \frac{1101 \pi}{4}$;(3) $\tan \frac{6133 \pi}{6}$;(4) $\sin \left(-\frac{13 \pi}{6}\right)$;(5) $\cos \left(-\frac{9 \pi}{4}\right)$;(6) $\tan \left(-\frac{7 \pi}{3}\right)$.
(2) 证明:
(1) $\cos \left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right)=\sin \alpha$;(2) $\sin \left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right)=-\cos \alpha$.
(3) 化简.
(1) $\frac{\cos (\alpha-\pi) \tan (\alpha-2 \pi) \tan (2 \pi-\alpha)}{\sin (\pi+\alpha)}$;
(2) $\sin ^{2}(-\alpha)-\tan \left(360^{\circ}-\alpha\right)-\sin \left(180^{\circ}-\alpha\right) \cos \left(360^{\circ}-\alpha\right) \tan \left(180^{\circ}+\alpha\right)$;
(3) $\cos \left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right) \sin \left(\alpha-\frac{3 \pi}{2}\right) \tan (\pi-\alpha)$.
(4) 计算下列各式的值.
(1) $\sin 555^{\circ}+\cos \left(-435^{\circ}\right)$;
(2) $\sin 67^{\circ}+\cos 157^{\circ}+\sin 115^{\circ}-\cos \left(-25^{\circ}\right)$.
(5) 化简 $\tan 1^{\circ} \tan 2^{\circ} \cdots \tan 45^{\circ} \tan 46^{\circ} \cdots \tan 88^{\circ} \tan 89^{\circ}$.
(提示 $: \tan 89^{\circ}=\frac{\sin 89^{\circ}}{\cos 89^{\circ}}=\frac{\sin \left(90^{\circ}-1^{\circ}\right)}{\cos \left(90^{\circ}-1^{\circ}\right)}=\frac{\cos 1^{\circ}}{\sin 1^{\circ}}=\frac{1}{\tan 1^{\circ}}$. )
$1 \sin 26^{\circ}$
$2 \tan 45^{\circ}=1$
$3-\sin 26^{\circ}$
$4 \sin 26^{\circ}$
$5-\sin 45^{\circ}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
(1) 已知角 $\alpha$ 的终边上一点的坐标为 (-1,2),求 $\alpha$ 的正弦、余弦和正切.
(2) 计算.
(1) $5 \sin \frac{\pi}{2}+2 \cos 0-3 \sin \frac{\pi}{2}+10 \cos \pi$;
(2) $7 \cos 270^{\circ}+12 \sin 0^{\circ}+2 \tan 0^{\circ}-8 \cos 180^{\circ}$;
(3) $\sin 360^{\circ}-2 \cos 90^{\circ}+3 \sin 180^{\circ}-4 \tan 180^{\circ}+5 \cos 360^{\circ}$;
(4) $\cos \frac{\pi}{3}-\tan \frac{\pi}{4}+\frac{3}{4} \tan ^{2} \frac{\pi}{6}-\sin \frac{\pi}{6}+\cos ^{2} \frac{\pi}{6}$;
(5) $\frac{\left(2 \tan ^{2} 30^{\circ}-1\right) \cos ^{2} 30^{\circ}}{2 \sin ^{2} 45^{\circ}+1}$.
(3) 用单位圆中的三角函数线说明: 对于任意角 $\alpha$,不等式
$$
|\sin \alpha|+|\cos \alpha| \geqslant 1
$$
都成立.
(4) 试分别确定满足下列条件的角 $\alpha$ 所在的象限.
(1) $\sin \alpha \tan \alpha<0$;(2) $\sin \alpha \cos \alpha<0$.
(5) 根据下列条件,求角 $\alpha$ 的正弦、余弦、正切中的末知量.
(1) $\sin \alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}$,且 $\alpha$ 是第四象限角;
(2) $\tan \alpha=-3$,且 $\alpha$ 是第二象限角;
(3) $\cos \alpha=\frac{12}{13}$,且 $\alpha$ 是第四象限角;
(4) $\sin \alpha=-\frac{1}{2}$.
6) (1) 若 $\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$，化简 $\sqrt{\frac{1+\sin \alpha}{1-\sin \alpha}}-\sqrt{\frac{1-\sin \alpha}{1+\sin \alpha}}$;
（2）若 $\frac{3 \pi}{2}<\alpha<2 \pi$,化简 $\sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}}+\sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{1-\cos \alpha}}$;
（3）化简 $\sqrt{\sin ^{2} \alpha\left(1+\frac{1}{\tan \alpha}\right)+\cos ^{2} \alpha(1+\tan \alpha)}$;
（4）化简 $\frac{\sqrt{1-\cos ^{2} \alpha}}{\tan \alpha}$.
(7) 证明下列恒等式.
(1) $(\cos \alpha-1)^{2}+\sin ^{2} \alpha=2-2 \cos \alpha$;(2) $\frac{\tan ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha}{\tan ^{2} \alpha}=\sin ^{2} \alpha$;(3) $\frac{1+\tan ^{2} \alpha}{\tan ^{2} \alpha-1}=\frac{1}{2 \sin ^{2} \alpha-1}$. (8) 化简.
(1) $\frac{\sin \left(180^{\circ}-\alpha\right) \sin \left(270^{\circ}-\alpha\right) \tan \left(180^{\circ}-\alpha\right)}{\sin \left(90^{\circ}+\alpha\right) \tan \left(180^{\circ}+\alpha\right) \tan \left(360^{\circ}-\alpha\right)}$;
(2) $1+\sin (\alpha-2 \pi) \sin (\pi+\alpha)-2 \cos ^{2}(-\alpha)$;
(3) $\frac{\sqrt{1-2 \sin 100^{\circ} \cos 280^{\circ}}}{\cos 370^{\circ}-\sqrt{1-\cos ^{2} 170^{\circ}}}$;
(4) $\frac{\sin (\alpha-\pi) \tan (5 \pi-\alpha)}{\tan (2 \pi-\alpha) \cos (-2 \pi-\alpha)}$.
## 习题7-2B
(1) 已知 $\sin \alpha+\cos \alpha=\sqrt{2}$,求下列各式的值.
(1) $\sin \alpha \cos \alpha$;(2) $\sin ^{3} \alpha+\cos ^{3} \alpha$;(3) $\sin ^{4} \alpha+\cos ^{4} \alpha$;(4) $\sin ^{4} \alpha-\cos ^{4} \alpha$.
(2) 已知 $\sin \alpha+\cos \alpha=\frac{1-\sqrt{3}}{2},\alpha \in(0,\pi)$,求 $\tan \alpha$ 的值.
(3) 已知 $\sin \alpha \cos \alpha=\frac{1}{8}$,且 $\frac{\pi}{4}<\alpha<\frac{\pi}{2}$,求 $\cos \alpha-\sin \alpha$ 的值.
(4) 已知 $\frac{\cos \theta}{\sqrt{1-\sin ^{2} \theta}}+\frac{\sin \theta}{\sqrt{1-\cos ^{2} \theta}}=-2$,试判断角 $\theta$ 所在的象限.
(5) 利用单位圆中的正弦线、余弦线说明：对于任意角 $\alpha$,不等式
$$
-1 \leqslant \sin \alpha \leqslant 1,-1 \leqslant \cos \alpha \leqslant 1
$$
都成立.
(6) 已知 $\sin (\pi-\alpha)=\log _{8} \frac{1}{4}$,且 $\alpha \in\left(-\frac{\pi}{2},0\right)$,求 $\tan (2 \pi-\alpha)$ 的值.
(7) 求 $\frac{\tan \left(-150^{\circ}\right) \cos \left(-210^{\circ}\right) \cos \left(-420^{\circ}\right)}{\tan \left(-690^{\circ}\right) \sin \left(-1050^{\circ}\right)}$ 的值.
(8) 设 $\cos 460^{\circ}=t$,将 $\tan 260^{\circ}$ 用含 $t$ 的式子表示.
## 3 三角函数的性质与图象
### 1 正弦函数的性质与图象
## 情境与问题
将图 7-3-1(1)所示的摩天轮抽象成图 7-3-1(2) 所示的平面图形,然后以摩天轮转轮中心为原点 $O$,以水平线为横轴,建立平面直角坐标系. 设 $O$ 到地面的高 $O T$ 为 $l \mathrm{~m},P$ 点为转轮边缘上任意一点,转轮半径 $O P$ 为 $r \mathrm{~m}$. 记以 $O P$ 为终边的角为 $x \mathrm{rad}$,点 $P$ 离地面的高度为 $y \mathrm{~m}$,那么 $y$ 是 $x$ 的函数吗?如果是,这个函数有什么性质?
$(1)$
$(2)$
图 7-3-1
情境中的问题,可以利用本小节要学习的正弦函数知识解答.
我们已经知道,对于任意一个角 $x$,都有唯一确定的正弦 $\sin x$ 与之对应,因此 $y=\sin x$ 是一个函数,一般称为正弦函数.
利用正弦线可以直观地表示正弦函数的函数值,如图 7-3-2 中,$\overrightarrow{M P}$ 就是角 $x$ 的正弦线.
图 7-3-2
## 1. 正弦函数的性质
## 尝试与发现
你能由正弦线得出正弦函数 $y=\sin x$ 具有哪些性质吗?
(1) 定义域与值域
因为任意角都有正弦,所以 $y=\sin x$ 的定义域为 1
由图 7-3-2 的正弦线可以看出,$\overrightarrow{M P}$ 的长度最大是 1,最小是 0 . 因此可知 $y=\sin x$ 的值域为 $[-1,1]$,而且
当且仅当 $x=\frac{\pi}{2}+2 k \pi,k \in \mathbf{Z}$ 时,函数 $y=\sin x$ 的最大值 $y_{\text {max }}=1$;
当且仅当 $x=\frac{3 \pi}{2}+2 k \pi,k \in \mathbf{Z}$ 时,函数 $y=\sin x$ 的最小值 $y_{\min }=2$
例 1 已知 $\sin x=t-3,x \in \mathbf{R}$,求 $t$ 的取值范围.
解因为 $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$,所以
$$
-1 \leqslant t-3 \leqslant 1
$$
由此解得 $2 \leqslant t \leqslant 3$
（2）奇偶性
由诱导公式
$$
\sin (-x)=-\sin x
$$
可知,正弦函数 $y=\sin x$ 是 4 函数,其图象关于原点中心对称.
（3）周期性
由诱导公式
$$
\sin (x+k \cdot 2 \pi)=\sin x \quad(k \in \mathbf{Z})
$$
可知,当自变量 $x$ 的值每增加或减少 $2 \pi$ 的整数倍时,正弦值重复出现,这种性质称为正弦函数的周期性.
一般地,对于函数 $f(x)$,如果存在一个非零常数 $T$,使得对定义域内的每一个 $x$,都满足
$$
f(x+T)=f(x)
$$
那么就称函数 $f(x)$ 为周期函数,非零常数 $T$ 称为这个函数的周期.
由上可知,正弦函数 $y=\sin x$ 是一个周期函数,$2 k \pi(k \in \mathbf{Z},k \neq 0)$ 都是它的周期.
对于一个周期函数 $f(x)$，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就称为 $f(x)$ 的最小正周期.
在 $2 k \pi(k \in \mathbf{Z},k \neq 0)$ 中,最小的正数为 5,因此正弦函数 $y=$ $\sin x$ 的最小正周期为 $2 \pi$.
今后本书中的周期,如果不加特殊说明,均指最小正周期.
(4) 单调性
由 $y=\sin x$ 是以 $2 \pi$ 为周期的周期函数可知,我们只要知道正弦函数在一个长度为 $2 \pi$ 的区间内的单调性,就能得到正弦函数在 $\mathbf{R}$ 上的单调性.
由图 7-3-2 中的正弦线可以看出，正弦函数 $y=\sin x$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ 上,从一 -1 增大到 1,是递增的；在区间 $\left[\frac{\pi}{2},\frac{3 \pi}{2}\right]$ 上,从 1 减少到 -1,是递减的.
一般地,正弦函数 $y=\sin x$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{2}+2 k \pi,\frac{\pi}{2}+2 k \pi\right](k \in \mathbf{Z})$ 上递增,在 $\left[\frac{\pi}{2}+2 k \pi,\frac{3 \pi}{2}+2 k \pi\right](k \in \mathbf{Z})$ 上递减.
例 2 不求值,比较 $\sin \left(-\frac{17 \pi}{4}\right)$ 和 $\sin \left(-\frac{23 \pi}{5}\right)$ 的大小.
解因为
$$
\begin{aligned}
\sin \left(-\frac{17 \pi}{4}\right) & =-\sin \frac{17 \pi}{4}=-\sin \left(4 \pi+\frac{\pi}{4}\right)=-\sin \frac{\pi}{4},\\
\sin \left(-\frac{23 \pi}{5}\right) & =-\sin \frac{23 \pi}{5}=-\sin \left(4 \pi+\frac{3 \pi}{5}\right)=-\sin \frac{3 \pi}{5} \\
& =-\sin \left(\pi-\frac{2 \pi}{5}\right)=-\sin \frac{2 \pi}{5}
\end{aligned}
$$
又因为 $y=\sin x$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ 内递增,且 $-\frac{\pi}{2}<\frac{\pi}{4}<\frac{2 \pi}{5}<\frac{\pi}{2}$,所以
$$
\sin \frac{\pi}{4}<\sin \frac{2 \pi}{5}
$$
因此 $\sin \left(-\frac{17 \pi}{4}\right)>\sin \left(-\frac{23 \pi}{5}\right)$.
(5) 正弦函数的零点
可以看出，正弦函数 $y=\sin x$ 的零点为 $k \pi(k \in \mathbf{Z})$.
例 3 求下列函数的最大值和最小值,并求出取得最大值和最小值时 $x$ 的值.
(1) $y=\sin x-2$;(2) $y=(\sin x-1)^{2}+2$;(3) $y=\left(\sin x-\frac{1}{2}\right)^{2}+1$
(1) 函数 $y=\sin x-2$ 与 $y=\sin x$ 同时取得最大值和最小值,所以,当 $x=\frac{\pi}{2}+2 k \pi(k \in \mathbf{Z})$ 时,$y=\sin x-2$ 取得最大值 -1;
当 $x=6 \quad(k \in \mathbf{Z})$ 时,$y=\sin x-2$ 取得最小值 -3 .
(2) 令 $t=\sin x$,则
$$
y=(t-1)^{2}+2,t \in[-1,1],$$
于是就转化为求闭区间上二次函数的最大值和最小值问题了.
因为 $-1 \leqslant t \leqslant 1$ 时,$-2 \leqslant t-1 \leqslant 0$,所以 $0 \leqslant(t-1)^{2} \leqslant 4$,因此
$$
2 \leqslant(t-1)^{2}+2 \leqslant 6
$$
从而 $y_{\text {max }}=6$,此时 $t-1=-2,t=-1$,即 $\sin x=-1,x=-\frac{\pi}{2}+$ $2 k \pi(k \in \mathbf{Z});y_{\text {min }}=2$,此时 $\sin x=\underline{7},x=\frac{\pi}{2}+2 k \pi(k \in \mathbf{Z})$.
(3) 令 $t=\sin x$,则
$$
y=\left(t-\frac{1}{2}\right)^{2}+1,t \in[-1,1] \text {. }
$$
因为 $-1 \leqslant t \leqslant 1$ 时,$-\frac{3}{2} \leqslant t-\frac{1}{2} \leqslant \frac{1}{2}$,所以 $0 \leqslant\left(t-\frac{1}{2}\right)^{2} \leqslant \frac{9}{4}$,因此
$$
1 \leqslant\left(t-\frac{1}{2}\right)^{2}+1 \leqslant \frac{13}{4}
$$
从而 $y_{\max }=\frac{13}{4}$,此时 $\sin x=-1,x=-\frac{\pi}{2}+2 k \pi(k \in \mathbf{Z});y_{\min }=1$,
此时 $t-\frac{1}{2}=0,t=\frac{1}{2}$,即 $\sin x=\frac{1}{2},x=\frac{\pi}{6}+2 k \pi(k \in \mathbf{Z})$ 或 $x=\frac{5 \pi}{6}+$ $2 k \pi(k \in \mathbf{Z})$
## 2. 正弦函数的图象
## 営试与发现
函数图象直观表示了变量间的变化过程和变化趋势,得到函数图象的主要方法有哪些?前面我们已经系统研究了正弦函数的性质,这对作出正弦函数的图象有什么帮助呢?
我们可以借助科学计算器,通过描点法得到正弦函数的图象.
由 $y=\sin x$ 是以 $2 \pi$ 为周期的周期函数可知，只要知道正弦函数在一个长度为 $2 \pi$ 的闭区间内的图象,就可得到正弦函数在 $\mathbf{R}$ 上的图象.
下面我们探讨正弦函数 $y=\sin x$ 在区间 $[-\pi,\pi]$ 上的图象.
又因为 $y=\sin x$ 是奇函数,所以 $y=\sin x$ 在 $[-\pi,0]$ 和 $[0,\pi]$ 上的图象关于原点对称,因此只要探讨 $y=\sin x$ 在 $[0,\pi]$ 上的图象即可.
取 $[0,\pi]$ 中的几个值,列表如下.
| $x$ | 0 | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\frac{2 \pi}{3}$ | $\frac{3 \pi}{4}$ | $\frac{5 \pi}{6}$ | $\pi$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $y=\sin x$ | 0 | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | 1 | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | 0 |
在平面直角坐标系中描点,如图 7-3-3 所示. 又根据 $y=\sin x$ 在 $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ 上递增,在 $\left[\frac{\pi}{2},\pi\right]$ 上递减等信息,可知将这些点连接起来,形成光滑的曲线,就可以得到 $y=\sin x$ 在 $[0,\pi]$ 上的函数图象. 然后作这一段图象关于原点对称的图象,最后得到 $y=\sin x$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上的图象,如图 7-3-3 所示.
图 7-3-3
由于 $y=\sin x$ 的周期是 $2 \pi$,所以正弦函数在 $[-\pi+2 k \pi,\pi+2 k \pi]$ $(k \in \mathbf{Z})$ 上的函数图象与其在 $[-\pi,\pi]$ 上的函数图象形状完全相同,因此不难得到正弦函数 $y=\sin x$ 的图象,如图 7-3-4 所示.
图 7-3-4
一般地,$y=\sin x$ 的函数图象称为正弦曲线.
想一想
正弦函数 $y=$
$\sin x$ 在对称轴和
对称中心处的函数
值有什么特征?
由图 7-3-4 也可以看出,正弦曲线是轴对称图形,对称轴为 $x=\frac{\pi}{2}+k \pi(k \in \mathbf{Z})$;正弦曲线也是中心对称图形,且对称中心为 $(k \pi,0)(k \in \mathbf{Z})$. 另外,这两个结论也可以从关系式 $\sin (\pi+2 k \pi-$ $x)=\sin x$ 和 $\sin (2 k \pi-x)=-\sin x$ 得到,其中 $k \in \mathbf{Z}$,请读者自己完成.
正弦函数 $y=\sin x$ 的图象也可由其在 $[0,2 \pi]$ 上的图象得到. 从图 7-3-4 可以看出,以下五个点在确定 $y=\sin x,x \in[0,2 \pi]$ 的图象形状时起着关键作用:
$$
(0,0),\left(\frac{\pi}{2},1\right),(\pi,0),\left(\frac{3 \pi}{2},-1\right),(2 \pi,0)
$$
这五个点描出后,$y=\sin x,x \in[0,2 \pi]$ 的图象形状就基本上确定了.
今后,我们作正弦曲线的简图时,在精确度要求不高的情况下,一般都是先找出确定图象形状的关键的五个点,然后再描点作图,这种作图方法称为五点法.
例 4 用五点法作函数 $y=\sin x+1,x \in[0,2 \pi]$ 的图象.
解找关键的五个点,列表如下.
| $x$ | 0 | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3 \pi}{2}$ | $2 \pi$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $y=\sin x$ | 0 | 1 | 0 | -1 | 0 |
| $y=\sin x+1$ | 1 | 2 | 1 | 0 | 1 |
描点作图，如图 7-3-5 所示.
图 7-3-5
由图 7-3-5 可以看出,对于任意一个 $x \in[0,2 \pi]$,函数 $y=\sin x+1$ 的函数值比 $y=\sin x$ 的函数值大 1,因此 $y=\sin x+1,x \in[0,2 \pi]$ 的图象可由 $y=\sin x,x \in[0,2 \pi]$ 的图象向上平移一个单位得到.
事实上,前述情境与问题中,$y$ 是 $x$ 的函数,而且
$$
y=r \sin x+l
$$
它具有与 $y=\sin x+1$ 类似的性质.
## 3. 用信息技术作正弦曲线
用计算机软件可以方便地作出类似正弦函数的图象,而且也只需要输人函数解析式即可,图 7-3-6 所示是用 GeoGebra 作出的 $f(x)=\sin x$ 和 $g(x)=$ $\sin x+1$ 的图象.
图 7-3-6
## 练习A
(1) 已知 $\sin x+2 a+5=0,x \in \mathbf{R}$,求 $a$ 的取值范围.
(2) 不求值,比较 $\sin \frac{31 \pi}{5}$ 和 $\sin \frac{13 \pi}{3}$ 的大小.
(3) 求 $y=2 \sin x+1$ 的单调递增区间.
(4) 求下列函数的最大值和最小值,并求出取得最大值和最小值时 $x$ 的值.
(1) $y=\sin x+3$;
(2) $y=(\sin x-3)^{2}$;
(3) $y=\left(\sin x+\frac{1}{2}\right)^{2}-3$.
(5) 用五点法作出下列函数在 $[0,2 \pi]$ 上的图象,并说明它们与 $y=\sin x,x \in[0$,$2 \pi]$ 的图象的关系.
(1) $y=-\sin x$;(2) $y=\sin x-1$.
(6 求函数 $y=\sin x-\frac{3}{2}$ 的所有零点组成的集合.
(7) 利用 $\sin (\pi-x)=\sin x$ 证明: 正弦曲线关于直线 $x=\frac{\pi}{2}$ 对称.
## 练习B
(1) 等式 $\sin \left(\frac{\pi}{6}+\frac{2 \pi}{3}\right)=\sin \frac{\pi}{6}$ 是否成立?如果这个等式成立,那么能否说 $\frac{2 \pi}{3}$ 是正弦函数 $y=\sin x$ 的周期?
(2) 求 $y=-3 \sin x-4$ 的单调递增区间.
(3) 求下列函数的最大值和最小值,并求出取得最大值和最小值时 $x$ 的值.
(1) $y=-4 \sin x+5$;
(2) $y=\cos ^{2} x-\sin x+1$. (4) 求函数 $y=\sqrt{\frac{1}{2}-\sin x}$ 的定义域、值域和零点.
(5) 用五点法作出下列函数在 $[-2 \pi,0]$ 上的图象.
(1) $y=1-\sin x$;
(2) $y=\sin (\pi+x)-1$.
(6) 写出函数 $y=\sin x-2$ 的图象的对称中心和对称轴.
(7) 写出函数 $y=-3 \sin x+1$ 的值域和单调区间.
8 利用 $\sin (2 k \pi-x)=-\sin x,k \in \mathbf{Z}$ 证明: 正弦曲线关于点 $(k \pi,0)(k \in \mathbf{Z})$ 对称.
$1 \mathbf{R} \quad 2-1$
34
4 奇
$52 \pi$
$6-\frac{\pi}{2}+2 k \pi$
71
### 2 正弦型函数的性质与图象
## 情境与问题
如图 7-3-7 所示,将一个有孔的小球装在弹簧的一端,弹簧的另一端固定,小球穿在水平放置的光滑杆上,不计小球与杆之间的摩擦,称小球静止时的位置为平衡
图 7-3-7 位置. 将小球拉离平衡位置之后释放,则小球将左右运动. 从某一时刻开始,如果记 $t \mathrm{~s}$ 后小球的位移为 $x \mathrm{~cm}$,则由物理学知识可知 $x$ 与 $t$ 的关系可以写成
$$
x=A \sin (\omega t+\varphi)
$$
的形式,其中 $A,\omega,\varphi$ 都是常数.
日常生活中,一般家用电器使用的电流都是交流电流,交流电流 $i$ 与时间 $t$ 的关系一般可以写成
$$
i=I_{m} \sin (\omega t+\varphi)
$$
的形式,其中 $I_{m},\omega,\varphi$ 都是常数.
显然,上述 $x$ 与 $i$ 都是 $t$ 的函数. 那么,这种类型的函数具有什么性质呢?怎样研究这种类型的函数的性质?一般地，形如
$$
y=A \sin (\omega x+\varphi)
$$
的函数,在物理、工程等学科的研究中经常遇到,这种类型的函数称为正弦型函数,其中 $A,\omega,\varphi$ 都是常数,且 $A \neq 0,\omega \neq 0$. 下面我们通过实例来研究这类函数的性质和图象.
例 1 探究函数 $y=2 \sin x$ 的定义域、值域和周期性,并作出它在一个周期内的图象.
解可以看出,函数 $y=2 \sin x$ 的定义域为 1
因为 $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$,所以
$$
-2 \leqslant 2 \sin x \leqslant 2,$$
又因为 $\sin x=1$ 时,$y=2 \sin x=2$;$\sin x=-1$ 时,$y=2 \sin x=-2$,所以 $y=2 \sin x$ 的值域为 2
函数 $y=2 \sin x$ 是周期函数,周期是 $2 \pi$.
下面我们用五点法作出 $y=2 \sin x$ 在 $[0,2 \pi]$ 上的图象. 取点列表如下.
| $x$ | 0 | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3 \pi}{2}$ | $2 \pi$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $y=\sin x$ | 0 | 1 | 0 | -1 | 0 |
| $y=2 \sin x$ | 0 | 2 | 0 | -2 | 0 |
描点作图,如图 7-3-8 所示.
图 7-3-8
由图 7-3-8 可以看出,$y=2 \sin x$ 的图象可由 $y=\sin x$ 的图象上的点,横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 3 倍得到.
一般地,函数 $y=A \sin x(A \neq 0)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$,值域为 $[-|A|$,$|A|]$,周期是 $2 \pi$. 例 2 探究函数 $y=\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的定义域、值域和周期性,并作出它在一个周期内的图象.
解令 $u=x+\frac{\pi}{3}$,则 $y=\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ 可以化成 $y=\sin u$.
由 $y=\sin u$ 的定义域为 $\mathbf{R}$,值域为 4，可以看出 $y=\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$,值域为 $[-1,1]$.
由 $y=\sin u$ 的周期为 $2 \pi$ 可知 $y=\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的周期也为 $2 \pi$.
当 $u \in[0,2 \pi]$ 时,即 $0 \leqslant u \leqslant 2 \pi$ 时,我们有
$$
0 \leqslant x+\frac{\pi}{3} \leqslant 2 \pi \text {，即 }-\frac{\pi}{3} \leqslant x \leqslant \frac{5 \pi}{3} \text {，}
$$
所以下面我们用五点法作出 $y=\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ 在 $\left[-\frac{\pi}{3},\frac{5 \pi}{3}\right]$ 上的图象. 取点列表如下.
| $x$ | $-\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{2 \pi}{3}$ | $\frac{7 \pi}{6}$ | $\frac{5 \pi}{3}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $u=x+\frac{\pi}{3}$ | 0 | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3 \pi}{2}$ | $2 \pi$ |
| $y=\sin u=\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ | 0 | 1 | 0 | -1 | 0 |
描点作图，如图 7-3-9 所示.
图 7-3-9
由图 7-3-9 可以看出,$y=\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的图象可由 $y=\sin x$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位得到.
一般地,函数 $y=\sin (x+\varphi)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$,值域为 $[-1,1]$,周期是 $2 \pi$. 例 3 探究函数 $y=\sin 2 x$ 的定义域、值域和周期性,并作出它在一个周期内的图象.
## 尝试与发现
怎样探究 $y=\sin 2 x$ 的上述性质?
解令 $u=2 x$,则 $y=\sin 2 x$ 可以化成 $y=\sin u$.
由 $y=\sin u$ 的定义域为 $\mathbf{R}$,值域为 $[-1,1]$,可以看出 $y=\sin 2 x$ 的定义域为 $\mathbf{R}$,值域为 $[-1,1]$.
由 $y=\sin u$ 的周期为 $2 \pi$ 可知,对任意 $u$,当它增加到且至少要增加到 $u+2 \pi$ 时,对应的函数值才重复出现. 因为
$$
u+2 \pi=2 x+2 \pi=2(x+\pi),$$
这说明对任意 $x$,当它增加到且至少要增加到 $x+\pi$ 时,$y=\sin 2 x$ 的函数值才重复出现,这就说明 $y=\sin 2 x$ 的周期为 $\pi$.
当 $u \in[0,2 \pi]$ 时,即 $0 \leqslant u \leqslant 2 \pi$ 时,我们有
$$
0 \leqslant 2 x \leqslant 2 \pi \text {,即 } 0 \leqslant x \leqslant \pi \text {,}
$$
所以下面我们用五点法作出 $y=\sin 2 x$ 在 $[0,\pi]$ 上的图象. 取点列表如下.
| $x$ | 0 | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\frac{3 \pi}{4}$ | $\pi$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $u=2 x$ | 0 | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3 \pi}{2}$ | $2 \pi$ |
| $y=\sin u=\sin 2 x$ | 0 | 1 | 0 | -1 | 0 |
描点作图,如图 7-3-10 所示.
图 7-3-10
由图 7-3-10 可以看出,$y=\sin 2 x$ 的图象可由 $y=\sin x$ 的图象上的点,纵坐标不变,横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 得到. 一般地,函数 $y=\sin \omega x(\omega \neq 0)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$,值域为 $[-1,1]$,周期是 $\frac{2 \pi}{|\omega|}$.
例 4 探究函数 $y=3 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的定义域、值域和周期性,并作出它在一个周期内的图象.
解令 $u=2 x+\frac{\pi}{3}$,则 $y=3 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$ 可以化成 $y=3 \sin u$.
由 $y=3 \sin u$ 的定义域为 $\mathbf{R}$,值域为 $[-3,3]$,可以看出 $y=$ $3 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$,值域为 $[-3,3]$.
由 $y=3 \sin u$ 的周期为 $2 \pi$ 可知,对任意 $u$,当它增加到且至少要增加到 $u+2 \pi$ 时,对应的函数值才重复出现，因为
$$
u+2 \pi=2 x+\frac{\pi}{3}+2 \pi=2(x+\pi)+\frac{\pi}{3},$$
这说明对任意 $x$,当它增加到且至少要增加到 $x+\pi$ 时,$y=3 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的函数值才重复出现,$y=3 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的周期为 5
当 $u \in[0，2 \pi]$ 时，即 $0 \leqslant u \leqslant 2 \pi$ 时，我们有
$$
0 \leqslant 2 x+\frac{\pi}{3} \leqslant 2 \pi \text {,即 }-\frac{\pi}{6} \leqslant x \leqslant \frac{5 \pi}{6} \text {,}
$$
所以下面我们用五点法作出 $y=3 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$ 在 $\left[-\frac{\pi}{6},\frac{5 \pi}{6}\right]$ 上的图象. 取点列表如下.
| $x$ | $-\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{12}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{7 \pi}{12}$ | $\frac{5 \pi}{6}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $u=2 x+\frac{\pi}{3}$ | 0 | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3 \pi}{2}$ | $2 \pi$ |
| $y=\sin u$ | 0 | 1 | 0 | -1 | 0 |
| $y=3 \sin u=3 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$ | 0 | 3 | 0 | -3 | 0 |
描点作图,如图 7-3-11 所示.
图 7-3-11
在图 7-3-11 中,我们还作出了 $y=\sin x,y=\sin 2 x,y=3 \sin 2 x$ 的部分图象,把它们与函数 $y=3 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的图象进行比较,就可以看出这些图象之间的关系: 把函数 $y=\sin x$ 图象上的所有点,纵坐标不变,横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$,就可得到 $y=\sin 2 x$ 的图象;把 $y=\sin 2 x$ 图象上的所有点,横坐标不变,纵坐标变为原来的 3 倍,就可得到 $y=3 \sin 2 x$ 的图象;把 $y=$ $3 \sin 2 x$ 图象上的所有点,向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位,就可得到 $y=3 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的图象.
## 尝试与发现
结合图 7-3-11 思考：是否可以按下列指定的顺序,将一个函数的图象变为下一个函数的图象?
$$
y=\sin x \rightarrow y=\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \rightarrow y=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right) \rightarrow y=3 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right) .
$$
请说明每个步骤中，函数图象是如何变换的.
事实上,把函数 $y=\sin x$ 图象上的所有点,向左平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位,就可得到 $y=\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的图象;把 $y=\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ 图象上的所有点,纵坐标不变,横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$,就可得到 $y=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的图象;把 $y=$ $\sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$ 图象上的所有点,横坐标不变,纵坐标变为原来的 3 倍,就可
得到 $y=3 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的图象.
一般地,正弦型函数 $y=A \sin (\omega x+\varphi)(A \neq 0,\omega \neq 0)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$,值域为 $[-|A|,|A|]$,周期是 $\frac{2 \pi}{|\omega|}$,而且函数的图象可通过对正弦曲线进行平移、伸缩得到.
正弦型函数中的常数 $A,\omega,\varphi$ 都具有一定的实际意义.
事实上,在前述情境与问题的小球运动过程中,如果从 $t=0$ 时刻开始,每隔一小段时间 (比如 $0.01 \mathrm{~s}$ ) 给弹簧和小球拍一张照片，并将这些照片按时间顺序排成一列 (顶端对齐),就可得到如图 7-3-12 所示的图形. 可以认为,图中小球的中心在正弦型函数 $x=A \sin (\omega t+\varphi)$ 的图象上,而且
(1) $|A|$ 表示小球能偏离平衡位置的最大距离，称为振幅;
(2) $\varphi$ 在决定 $t=0$ 时小球的位置（即 $A \sin \varphi)$ 中起关键作用,称为初相;
（3）周期 $T=\frac{2 \pi}{|\omega|}$ 表示小球完成一次运动
图 7-3-12
所需要的时间. (小球的位置和速度首次都得到重复时称完成了一次运动. )
此时,$f=\frac{1}{T}=\frac{|\omega|}{2 \pi}$ 表示单位时间内能够完成的运动次数,称为频率.
一般正弦型函数的振幅、初相、周期、频率等是用完全一样的方式定义的,这里不再重复.
## 练习 $A$
(1) 求下列函数的周期.
(1) $y=\sin \left(x-\frac{\pi}{6}\right)$;(2) $y=\sin 3 x$;(3) $y=3 \sin \frac{x}{4}$;(4) $y=2 \sin \left(-2 x-\frac{\pi}{6}\right)$.
(2) 如图是函数 $y=A \sin (\omega x+\varphi)$ 的部分图象,其中 $A>0$,$\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2}$,试确定这个函数的解析式.
(第 2 题) (3) 求 $y=-5 \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)$ 的最大值和最小值,并求出取得最大值和最小值时 $x$ 的值.
(4. 说明由函数 $y=\sin x$ 的图象怎样才能得到函数 $y=2 \sin 3 x$ 的图象.
(5) 求 $y=3 \sin \left(4 \pi x+\frac{\pi}{4}\right)$ 的振幅、初相、周期和频率.
## 练习 $B$
(1) 由函数 $y=3 \sin \left(x+\frac{\pi}{5}\right)$ 的图象怎样才能得到函数 $y=3 \sin \left(x-\frac{\pi}{5}\right)$ 和 $y=$ $3 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{5}\right)$ 的图象?
(2) 函数 $y=\sin x$ 的图象经过怎样的变换能得到函数 $y=2 \sin \left(3 x+\frac{\pi}{4}\right)$ 的图象?
(3) 求下列函数的最大值和最小值,并求出取得最大值和最小值时 $x$ 的值.
(1) $y=3 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$;(2) $y=1-\sin 3 x$.
(4) 求函数 $y=2 \sin \left(-2 x-\frac{\pi}{6}\right)$ 的单调递增区间.
(5) 如果被弹簧牵引的小球相对于平衡位置的位移 $h \mathrm{~cm}$ 与时间 $t \mathrm{~s}$ 之间的函数关系为 $h=2 \sin \left(8 \pi t+\frac{\pi}{4}\right),t \in[0,+\infty)$,根据表达式回答下列问题.
(1) $t=0$ 时,小球相对平衡位置的位移为多少?（2）小球相对平衡位置的最大距离是多少?（3）经过多长时间小球完成一次运动?（4）小球 $1 \mathrm{~s}$ 内能运动多少次?
## 计算机上的练习
利用计算机软件,按照下列各组数据,在同一坐标系中作函数 $y=A \sin (\omega x+$ $\varphi)$ 的图象.
(1) $A=1,\omega=1,\varphi=1$;(2) $A=2,\omega=1,\varphi=1$;(3) $A=1,\omega=1,\varphi=2$;(4) $A=1,\omega=2,\varphi=1$.
观察图象,理解 $A,\omega,\varphi$ 对函数 $y=A \sin (\omega x+\varphi)$ 的图象变化的影响.
$1 \mathbf{R}$
$2[-2,2]$
32
$4[-1,1]$
$5 \pi$
### 3 余弦函数的性质与图象
因为对于任意一个角 $x$,都有唯一确定的余弦 $\cos x$ 与之对应,所以 $y=\cos x$ 是一个函数,一般称为余弦函数.
## 営试与发现
研究余弦函数 $y=\cos x$ 的性质,你能给出几种不同的方案呢?请你选择其中一个方案,研究余弦函数的性质.
显然,像通过正弦线研究正弦函数的性质一样,我们可以通过余弦线来研究余弦函数的性质. 不过，由
$$
\cos x=\sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)
$$
可知,$y=\cos x$ 的性质与图象和正弦型函数 $y=\sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)$ 的相同,因此余弦函数的定义域为 $1 \quad$;值域为 2；余弦函数也是周期函数,且其周期为 3；在区间 $[-\pi+2 k \pi,2 k \pi] \quad(k \in \mathbf{Z})$ 上递增，在 $[2 k \pi$，$\pi+2 k \pi](k \in \mathbf{Z})$ 上递减；函数的零点为 $4 \quad(k \in \mathbf{Z})$.
另外,由诱导公式 $\cos (-x)=\cos x$ 可知,$y=\cos x$ 是一个 5 函数.
函数 $y=\cos x$ 的图象称为余弦曲线. 由于 $y=\cos x=\sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)$,因此余弦曲线可由正弦曲线向左平移6 个单位得到,如图 7-3-13 所示.
图 7-3-13
由图 7-3-13 可以看出,余弦曲线的对称轴为 $x=k \pi$,对称中心为 $\left(\frac{\pi}{2}+k \pi,0\right)$,其中 $k \in \mathbf{Z}$. 例 1 求下列函数的值域.
(1) $y=-3 \cos x+1$
(2) $y=\left(\cos x+\frac{1}{2}\right)^{2}-3$
解 (1) 因为 $-1 \leqslant \cos x \leqslant 1$,所以 $3 \geqslant-3 \cos x \geqslant-3$,且
$$
-2 \leqslant-3 \cos x+1 \leqslant 4
$$
即 $-2 \leqslant y \leqslant 4$.
当 $\cos x=1$ 时,$y_{\text {min }}=-2$;当 $\cos x=-1$ 时,$y_{\text {max }}=4$. 因此 $y=$ $-3 \cos x+1$ 的值域为 $[-2,4]$.
(2) 令 $t=\cos x$,则
$$
y=\left(t+\frac{1}{2}\right)^{2}-3,t \in[-1,1]
$$
因为 $-1 \leqslant t \leqslant 1$ 时,$-\frac{1}{2} \leqslant t+\frac{1}{2} \leqslant \frac{3}{2}$,所以 $0 \leqslant\left(t+\frac{1}{2}\right)^{2} \leqslant \frac{9}{4}$,因此
$$
-3 \leqslant\left(t+\frac{1}{2}\right)^{2}-3 \leqslant-\frac{3}{4}
$$
当 $t=1$ 时,$y_{\text {max }}=-\frac{3}{4}$；当 $t=-\frac{1}{2}$ 时,$y_{\text {min }}=-3$. 因此 $y=$ $\left(\cos x+\frac{1}{2}\right)^{2}-3$ 的值域为 $\left[-3,-\frac{3}{4}\right]$.
例 2 判断下列函数的奇偶性.
(1) $y=\cos x+2$;
(2) $y=\sin x \cos x$.
解 (1) 把函数 $y=\cos x+2$ 记作 $f(x)=\cos x+2$,因为定义域为 $\mathbf{R}$,且
$$
f(-x)=\cos (-x)+2=\cos x+2=f(x) \text {,}
$$
所以 $y=\cos x+2$ 是偶函数.
（2）把函数 $y=\sin x \cos x$ 记作 $f(x)=\sin x \cos x$,因为定义域为 $\mathbf{R}$,且
$$
f(-x)=\sin (-x) \cos (-x)=(-\sin x) \cos x=-f(x) \text {,}
$$
所以 $y=\sin x \cos x$ 是 $7 \quad$ 函数.
例 3 求函数 $y=2 \cos \left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{4}\right)$ 的周期和其图象的对称轴方程.
解因为
$$
\begin{aligned}
y & =2 \cos \left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{4}\right) \\
& =2 \sin \left[\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{4}\right)+\frac{\pi}{2}\right] \\
& =2 \sin \left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{4}\right),\end{aligned}
$$
想一想
$y=A \cos (\omega x+$
$\varphi)($ 其中 $A,\omega$,$\varphi$ 都是常数,且
$A \neq 0,\omega \neq 0)$ 具有
哪些性质?
所以 $T=\frac{2 \pi}{\frac{1}{3}}=6 \pi$.
令 $\frac{x}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k \pi(k \in \mathbf{Z})$,解得 $x=\frac{3 \pi}{4}+3 k \pi(k \in \mathbf{Z})$.
所以函数 $y=2 \cos \left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{4}\right)$ 的周期为 $6 \pi$,其图象的对称轴方程为 $x=$ $\frac{3 \pi}{4}+3 k \pi(k \in \mathbf{Z})$
例 4 求函数 $f(x)=\cos x,x \in\left[-\frac{\pi}{4},\frac{3 \pi}{4}\right]$ 的最大值和最小值.
解 (方法一) 由余弦函数的性质可知,$f(x)=\cos x$ 在 $\left[-\frac{\pi}{4},0\right]$ 递增，在 $\left[0,\frac{3 \pi}{4}\right]$ 递减,又因为
$$
f\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2},f(0)=\cos 0=1,f\left(\frac{3 \pi}{4}\right)=\cos \frac{3 \pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2} \text {,}
$$
所以函数的最大值为 1,最小值为 $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(方法二) 如图 7-3-14 所示，作出示意图,其中 $O P$ 为角 $-\frac{\pi}{4}$ 的终边,$O P^{\prime}$ 为角 $\frac{3 \pi}{4}$ 的终边. 区间 $\left[-\frac{\pi}{4},\frac{3 \pi}{4}\right]$ 内的角的终边只能在直线 $P P^{\prime}$ 的右上方,因此当角的余弦线为 $\overrightarrow{O M}$ 时,$f(x)$ 取得最大值
图 7-3-14
$$
f(0)=\cos 0=1
$$
当角的余弦线为 $\overrightarrow{O N}$ 时,$f(x)$ 取得最小值
$$
f\left(\frac{3 \pi}{4}\right)=\cos \frac{3 \pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2} \text {. }
$$
## 练习 $A$
(1)下列等式能否成立?为什么?(1) $2 \cos x=3$;(2) $\cos ^{2} x=\frac{1}{2}$.
(2) 不求值,分别比较下列各组余弦值的大小.
(1) $\cos 160^{\circ}$ 和 $\cos 170^{\circ}$;(2) $\cos \frac{1}{3}$ 和 $\cos \frac{2}{3}$. (3) 求下列函数的周期.
(1) $y=\cos \frac{x}{3}$
(2) $y=2 \cos \left(-3 x+\frac{\pi}{3}\right)$.
(4) 求函数 $y=2-\cos \frac{x}{3}$ 的最大值和最小值,并分别求出函数取最大值和最小值时 $x$ 的值.
(5) 利用余弦线,研究余弦函数 $y=\cos x$ 的单调性、最大值和最小值,并分别求出函数取得最大值和最小值时 $x$ 的值.
## 练习 $\mathrm{B}$
(1) 不求值,分别比较下列各组余弦值的大小.
(1) $\cos \frac{15 \pi}{8}$ 和 $\cos \frac{14 \pi}{9}$;(2) $\cos 515^{\circ}$ 和 $\cos 530^{\circ}$.
(2)下列各题中,每两个函数的图象有什么关系?(1) $y=\cos x$ 和 $y=\frac{1}{3} \cos x$;(2) $y=\cos x$ 和 $y=2 \cos \frac{3 x}{5}$;(3) $y=\cos 2 x$ 和 $y=\cos \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)$;(4) $y=\sin 2 x$ 和 $y=\cos \left(-2 x+\frac{\pi}{6}\right)$.
(3) 函数 $y=\cos x$ 的图象经过怎样的变换能得到函数 $y=3 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的图象?
(4) 求函数 $y=2 \cos \left(3 x-\frac{\pi}{3}\right)$ 的单调区间.
(5) 写出决定余弦曲线在 $[0,2 \pi]$ 上形状的关键的五个点,并利用类似第 7.3 .2 小节中的五点法作出 $y=2 \cos \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的图象.
$1 \mathbf{R}$
$2[-1,1]$
$32 \pi$
$4 \frac{\pi}{2}+k \pi$
5 偶
$6 \frac{\pi}{2}$
7 奇
### 4 正切函数的性质与图象
我们已经知道,对于任意一个角 $x$,只要 $x \neq \frac{\pi}{2}+$ $k \pi,k \in \mathbf{Z}$，就有唯一确定的正切值 $\tan x$ 与之对应,因此 $y=\tan x$ 是一个函数,称为正切函数.
利用正切线可以直观地表示正切值，如图 7-3-15 中,$\overrightarrow{A T}$ 就是角 $x$ 的正切线.
图 7-3-15
## 1. 正切函数的性质
## 尝试与发现
你能由正切线得出正切函数 $y=\tan x$ 具有哪些性质吗?
(1) 定义域与值域
因为角 $\frac{\pi}{2}+k \pi(k \in \mathbf{Z})$ 的终边与横轴垂直,其正切值不存在,因此可知 $y=\tan x$ 的定义域为 $\left\{x \mid x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi,k \in \mathbf{Z}\right\}$.
由图 7-3-15 中的正切线可以看出,当 $x$ 从 0 开始增大并越来越接近 $\frac{\pi}{2}$ 时,$\tan x$ 的值从 0 开始增大,且它的值可以大于指定的任意正数,也就是说 $\tan x$ 能取到 $[0,+\infty)$ 内的所有数. 类似地,可以看出 $\tan x$ 能取到 $(-\infty$,$0]$ 内的所有数. 因此,$y=\tan x$ 的值域为 1
（2）奇偶性
由诱导公式 $\tan (-x)=-\tan x$ 可知,正切函数 $y=\tan x$ 是一个 2 函数.
（3）周期性
由诱导公式 $\tan (x+\pi)=\tan x$ 或图 7-3-15 中正切线的变化规律可知,$y=\tan x$ 是周期为 $\pi$ 的周期函数.
（4）单调性
由 $y=\tan x$ 是以 $\pi$ 为周期的周期函数可知,我们只要知道正切函数在 $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ 内的单调性,就能得到正切函数在所有有定义的区间上的单调性. 由图 7-3-15 中的正切线可以看出,正切函数 $y=\tan x$ 在区间 $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ 上单调递增. 由此可知,$y=\tan x$ 在每一个开区间 $\left(-\frac{\pi}{2}+k \pi,\frac{\pi}{2}+k \pi\right) \quad(k \in \mathbf{Z})$ 上都是单调递增的.
(5) 零点
不难看出,正切函数 $y=\tan x$ 的零点为 $3 \quad(k \in \mathbf{Z})$.
想一想
正切函数在定义域上是递增函数吗?
## 2. 正切函数的图象
因为 $y=\tan x$ 的周期为 $\pi$,所以只要作出 $y=\tan x$ 在 $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ 上的图象,就可得到其在整个定义域内的图象. 又因为 $y=\tan x$ 是奇函数,所以只要知道 $y=\tan x$ 在 $\left[0,\frac{\pi}{2}\right)$ 上的图象即可.
取 $\left[0,\frac{\pi}{2}\right)$ 内的几个点,列表如下.
| $x$ | 0 | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $y=\tan x$ | 0 | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | 1 | $\sqrt{3}$ |
在平面直角坐标系中描点,如图 7-3-16 所示. 又根据 $y=\tan x$ 在 $\left[0,\frac{\pi}{2}\right)$ 上递增等信息，可知将这些点连接起来,形成光滑的曲线,就可以得到 $y=\tan x$ 在 $\left[0,\frac{\pi}{2}\right)$ 上的函数图象. 然后作这一段图象关于原点对称的图象，最后得到 $y=\tan x$ 在 $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ 上的图象,如图 7-3-16 所示.
由于 $y=\tan x$ 的周期是 $\pi$,所以正切函数在 $\left(-\frac{\pi}{2}+k \pi,\frac{\pi}{2}+k \pi\right)(k \in \mathbf{Z})$ 上的函数图象与
图 7-3-16
其在 $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ 上的函数图象完全相同,因此不难得到正切函数 $y=\tan x$ 的图象,如图 7-3-17 所示. 一般地,$y=\tan x$ 的函数图象称为正切曲线. 从图 7-3-17 不难看出,正切曲线是中心对称图形,其对称中心为 $\left(\frac{k \pi}{2},0\right)(k \in \mathbf{Z})$.
图 7-3-17
例 1 求函数 $y=\tan \left(x-\frac{\pi}{3}\right)$ 的定义域.
解令 $u=x-\frac{\pi}{3}$,则 $y=\tan \left(x-\frac{\pi}{3}\right)$ 可以化成 $y=\tan u$.
因为 $y=\tan u$ 中,$u \neq \frac{\pi}{2}+k \pi,k \in \mathbf{Z}$,所以
$$
x-\frac{\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2}+k \pi,k \in \mathbf{Z},\text { 即 } x \neq \frac{5 \pi}{6}+k \pi,k \in \mathbf{Z},$$
所以函数 $y=\tan \left(x-\frac{\pi}{3}\right)$ 的定义域为
4
例 2 求函数 $y=\tan 3 x$ 的周期.
解令 $u=3 x$,则 $y=\tan 3 x$ 可以化成 $y=\tan u$.
由 $y=\tan u$ 的周期为 $\pi$ 可知,对任意 $u$,当它增加到且至少要增加到 $u+\pi$ 时,对应的函数值才重复出现,因为
$$
u+\pi=3 x+\pi=3\left(x+\frac{\pi}{3}\right) \text {,}
$$
这说明对任意 $x$,当它增加到且至少要增加到 $x+\frac{\pi}{3}$ 时,$y=\tan 3 x$ 的函数值才重复出现,这就说明 $y=\tan 3 x$ 的周期为 5
## 练习A
(1) 求函数 $y=\tan 3 x$ 的定义域.
(2) 不求值,分别比较下列各组正切值的大小.
(1) $\tan \left(-\frac{\pi}{5}\right)$ 和 $\tan \left(-\frac{3 \pi}{7}\right)$;(2) $\tan 138^{\circ}$ 和 $\tan 143^{\circ}$.
(3) 求下列函数的周期.
(1) $y=5 \tan \frac{x}{2}$;(2) $y=\tan \omega x \quad(\omega>0)$.
(4) 作出下列函数的图象.
(1) $y=\tan \left(x-\frac{\pi}{2}\right)$;(2) $y=\tan \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$.
## 练习 $B$
(1) 求函数 $y=-\tan \left(x+\frac{\pi}{3}\right)+2$ 的定义域.
(2) 不求值,分别比较下列各组正切值的大小.
(1) $\tan \left(-\frac{13 \pi}{4}\right)$ 和 $\tan \left(-\frac{17 \pi}{5}\right)$;(2) $\tan 1519^{\circ}$ 和 $\tan 1493^{\circ}$.
(3) 求函数 $f(x)=\tan x,x \in\left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3}\right]$ 的最大值和最小值.
(4) 判断下列函数的奇偶性.
(1) $y=-\tan x$;(2) $y=-|\tan x|$.
(5) 求函数 $y=\tan \left(2 x-\frac{\pi}{4}\right)$ 的周期和单调区间.
$1 \mathbf{R}$
2 奇 $3 k \pi$
$4\left\{x \mid x \neq \frac{5 \pi}{6}+k \pi,k \in \mathbf{Z}\right\}$
$5 \frac{\pi}{3}$
### 5 已知三角函数值求角
## 1. 利用三角函数线求角
## 尝试与发现
（1）如果已知 $\sin x=\frac{1}{2}$,你能求出满足条件的角 $x$ 吗?（2）如果已知 $\sin x \geqslant \frac{1}{2}$,你能求出 $x$ 的取值范围吗?
在三角函数知识的应用中,经常会遇到尝试与发现中的类似问题,即已知三角函数值或值的范围,求角的值或角的范围的问题,这也就是本小节我们要研究的内容.
尝试与发现的问题 (1) 中,由 $\sin x=\frac{1}{2}>0$ 可知,角 $x$ 对应的正弦线方向朝上,而且长度为 $\frac{1}{2}$.
作示意图,如图 7-3-18 所示. 可知角 $x$ 的终边可能是 $O P$，也可能是 $O P^{\prime}$. 又因为
图 7-3-18
$$
\sin \frac{\pi}{6}=\sin \frac{5 \pi}{6}=\frac{1}{2}
$$
所以
$$
x=\frac{\pi}{6}+2 k \pi \text { 或 } x=\frac{5 \pi}{6}+2 k \pi,k \in \mathbf{Z} .
$$
对于尝试与发现中的问题 (2) 来说,同样由图 7-3-18 可知,如果 $x$ 的终边在 $\angle P O P^{\prime}$ 中,则一定有 $\sin x \geqslant \frac{1}{2}$,因此,$x$ 的取值范围是
$$
\frac{\pi}{6}+2 k \pi \leqslant x \leqslant \frac{5 \pi}{6}+2 k \pi,k \in \mathbf{Z}
$$
上述问题的解答也可借助正弦函数的图象—一正弦曲线来完成,请读者自行尝试.
例 1 已知 $\cos \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}$,求 $x$. 解由 $\cos \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}<0$ 可知,角 $2 x+\frac{\pi}{3}$ 对应的余弦线方向朝左,且长度为 1 .
作示意图，如图 7-3-19 所示. 可知角 $2 x+$ $\frac{\pi}{3}$ 的终边可能是 $O P$，也可能是 $O P^{\prime}$. 又因为
$$
\cos \frac{2 \pi}{3}=\cos \frac{4 \pi}{3}=2
$$
图 7-3-19
所以
$$
2 x+\frac{\pi}{3}=\frac{2 \pi}{3}+2 k \pi \text { 或 } 2 x+\frac{\pi}{3}=\frac{4 \pi}{3}+2 k \pi,k \in \mathbf{Z},$$
即
$$
x=\frac{\pi}{6}+k \pi \text { 或 } x=\frac{\pi}{2}+k \pi,k \in \mathbf{Z} \text {. }
$$
例 1 同样可以通过余弦函数的图象一一余弦曲线求解.
同前面类似，从图 7-3-19 可以得到不等式
$$
\cos \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)<-\frac{1}{2}
$$
的解集为 $\left(\frac{\pi}{6}+k \pi,\frac{\pi}{2}+k \pi\right) \quad(k \in \mathbf{Z})$,请读者自行说明理由.
例 2 已知 $\tan x=-1,x \in(3 \pi,5 \pi)$,求 $x$.
解由 $\tan x=-1<0$ 可知,角 $x$ 对应的正切线的方向朝下,而且长度为 3
作示意图,如图 7-3-20 所示. 可知角 $x$ 的终边可能是 $O T$,也可能是 $O T^{\prime}$. 又因为
$$
\tan \left(-\frac{\pi}{4}\right)=\tan \left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)=4
$$
所以
图 7-3-20
$$
x=-\frac{\pi}{4}+k \pi,\quad k \in \mathbf{Z}
$$
又由 $3 \pi<-\frac{\pi}{4}+k \pi<5 \pi,k \in \mathbf{Z}$ 可知 $k=4$ 或 $k=5$,因此
$$
x=\frac{15 \pi}{4} \text { 或 } x=\frac{19 \pi}{4} \text {. }
$$
由图 7-3-20 还可得到不等式
$$
\tan x>-1
$$
的解集为 $\left(-\frac{\pi}{4}+k \pi,\frac{\pi}{2}+k \pi\right) \quad(k \in \mathbf{Z})$. 例 2 同样可以通过正切函数的图象一一正切曲线求解.
## 2. 用信息技术求角
由上面可以知道,即使给出的三角函数值是特殊值,求对应的角也并不容易. 不过,借助计算器或者计算机软件,给定三角函数值可以求出特定范围内的角.
由图 7-3-18 或正弦曲线可以看出,任意给定一个 $y \in[-1,1]$,满足 $\sin x=y$ 的 $x$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ 内只有一个,利用计算器或计算机软件可以方便地求出这个 $x$ 的值. 不过,在不同的计算器或计算机软件中,表示满足条件的 $x$ 的符号不同.
例如,很多科学计算器用 $\mathrm{SIN}^{-1} y$ 表示满足条件的 $x$ 值,如图 7-3-21 所示. 此时,要在区间 $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ 内求出满足 $\sin x=0.5$
图 7-3-21 的 $x$ 值,只要输人 $\mathrm{SIN}^{-1} 0.5$ 即可.
在 Excel 中,用 $\operatorname{ASIN}(y)$ 表示满足条件的 $x$ 值. 如图 7-3-22 所示,在 Excel 的任意一个单元格输人“= $\operatorname{ASIN}(0.5)$ ”,就能得到 $\frac{\pi}{6}$ 的小数形式.
在 GeoGebra 中,用 $\arcsin (y)$ 和 $\operatorname{asind}(y)$ 表示满足条件的 $x$ 值,但前者得到的是弧度值,后者得到的是角度值. 在 GeoGebra 的运算区中，输人“$\arcsin (0.5) ”$，就能得到 $\frac{\pi}{6}$,如图 7-3-23(1) 所示;输人“asind(0.5)”,就能得
图 7-3-22 到 30°，如图 7-3-23(2) 所示.
$(1)$
$(2)$
图 7-3-23
事实上,在数学中,任意给定一个 $y \in[-1,1]$,当 $\sin x=y$ 且 $x \in$ $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ 时,通常记作
$$
x=\arcsin y
$$
因此，不难知道
$$
\arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi}{6},\arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=5 \quad,\arcsin 1=6
$$
类似地，我们有:
在区间 $[0,\pi]$ 内,满足 $\cos x=y \quad(y \in[-1,1])$ 的 $x$ 只有一个（参见图 7-3-19 或余弦曲线),这个 $x$ 记作 $\arccos y$,即
$$
x=\arccos y;$$
在区间 $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ 内,满足 $\tan x=y \quad(y \in \mathbf{R})$ 的 $x$ 只有一个（参见图 7-3-20 或正切曲线),这个 $x$ 记作 $\arctan y$,即
$$
x=\arctan y \text {. }
$$
上述 $x$ 的值也都可以用计算器或计算机软件得到,而且符号类似,这里不再重复.
## 练习 $\mathrm{A}$
(1) 是否存在 $x$,使得 $\sin x=\sqrt{3}$?若存在,求出 $x$ 的值;若不存在,说明理由.
(2) 分别求满足下列条件的 $x$ 的值.
(1) $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2},x \in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$;(2) $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2},x \in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$;(3) $\tan x=\sqrt{3},x \in\left[0,\frac{\pi}{2}\right)$;(4) $\sin x=1,x \in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$.
(3) 求满足条件 $\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的 $x$ 的值.
(4) 求满足条件 $\tan x=\sqrt{3}$ 的 $x$ 的值.
(5) 分别写出满足下列条件的 $x$ 值的范围.
(1) $1+\tan x \geqslant 0$;(2) $\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}<0$.
## 练习B
(1) 分别求满足下列条件的 $x$ 的值.
(1) $\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2},x \in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$;(2) $\cos x=-\frac{1}{2},x \in\left[\frac{\pi}{2},\frac{3 \pi}{2}\right]$;(3) $\sin x=0,x \in[0,2 \pi]$;(4) $\cos x=1,x \in[0,2 \pi]$. (2) 求满足条件 $\cos \left(3 x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2},x \in\left[\frac{\pi}{6},\frac{5 \pi}{6}\right]$ 的 $x$ 的值.
(3) 求满足条件 $\tan \left(3 x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 的 $x$ 的值.
(4) 求不等式 $\sin x \geqslant \frac{\sqrt{3}}{2}$ 的解集.
(5) 用计算器或计算机软件求出以下各式的值 (精确到 0.001 ).
(1) $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}$;(2) $\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}$
(3) $\arctan 1$;(4) $\arcsin 0$.
$\square 6$ 用合适的符号表示满足条件 $\tan x=-2$ 且 $x \in\left(\frac{5 \pi}{2},\frac{7 \pi}{2}\right)$ 的 $x$ 的值,并用计算器或计算机软件得出其近似值 (精确到 0.001).
$1 \frac{1}{2}$
$2-\frac{1}{2}$
$\begin{array}{llll}3 & 1 & 4 & -1\end{array}$
$5-\frac{\pi}{3}$
$6 \frac{\pi}{2}$
## 习题7-3A
(1) 求下列函数的定义域.
(1) $y=\frac{1}{1+\sin x}$;(2) $y=\frac{1}{1-\cos x}$;(3) $y=\sqrt{\tan x}$;(4) $y=\frac{1}{\sin x \cos x}$.
(2) 求下列函数的周期.
(1) $y=\sin \frac{3 x}{4}$
(2) $y=\frac{1}{2} \sin \left(\frac{\pi}{3}-2 x\right)$;(3) $y=3 \cos \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)$;(4) $y=\tan \frac{2 x}{3}$
(3) 求下列函数的最大值和最小值,并求函数取得这些值时 $x$ 的集合.
(1) $y=-3 \cos x$;(2) $y=\frac{1}{2} \sin x-1$;(3) $y=2 \cos \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)$;(4) $y=-2 \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)+3$.
(4) 判断下列函数的奇偶性.
(1) $y=-2 \sin 2 x$;(2) $y=|\sin x|$;(3) $y=3 \cos x+1$;(4) $y=\tan x-1$. (5) 作出下列函数的简图.
(1) $y=1-\sin x,x \in[0,2 \pi]$;(2) $y=2 \cos x-1,x \in[0,2 \pi]$.
(6) (1) 由余弦曲线怎样得到函数 $y=\cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的图象?
(2) 由 $y=\sin 3 x$ 的图象怎样得到函数 $y=\sin \left(3 x-\frac{\pi}{4}\right)$ 的图象?
（3）求函数 $y=4 \sin x,x \in[-\pi,\pi]$ 的单调区间.
（4）判断函数 $y=\cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的奇偶性.
(7) 分别求满足下列条件的 $x$ 的值.
(1) $\sin x=-\frac{1}{2},x \in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$;(2) $\cos x=-\frac{1}{2},x \in[0,2 \pi]$;(3) $\sin 2 x=0,x \in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$
(4) $\tan x=\sqrt{3}$
## 习ํ题7-3B
(1) 把函数 $y=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)$ 的图象进行怎样的变换,就能得到函数 $y=-\cos 2 x-2$ 的图象？（用两种方法实现）
(2) 把函数 $y=\sin 3 x$ 的图象进行怎样的变换,就能得到函数 $y=\cos \left(3 x+\frac{\pi}{2}\right)$ 的图象?
(3) 求下列函数的值域.
(1) $y=\sin x,x \in\left[\frac{\pi}{4},\frac{5 \pi}{4}\right]$;(2) $y=\cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right),x \in\left[\frac{\pi}{2},\frac{3 \pi}{2}\right]$.
(4) 求下列函数的最大值和最小值,以及使函数取得这些值时 $x$ 的值.
(1) $y=\frac{1}{1+\cos ^{2} x}$
(2) $y=\frac{1}{5 \sin ^{2} x+1}$;(3) $y=2-(\sin x+1)^{2}$;(4) $y=\cos ^{2} x+2 \sin x-3$.
(5) 作出函数 $y=-2 \cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right)$ 在一个周期内的图象.
(6) 作出函数 $y=|\sin x|$ 的图象,观察图象写出它的周期,并用周期函数的定义加以证明.
(7) 下列四个函数中,以 $\pi$ 为最小正周期,且在区间 $\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$ 上单调递减的是 ( $)$.
(A) $y=\cos x$
(B) $y=2|\sin x|$
(C) $y=\cos \frac{x}{2}$
(D) $y=\tan x$
(8) 已知函数 $y=A \sin (\omega x+\varphi)+B$ (其中 $A,\omega,\varphi,B$ 均为常数,$A>0,|\varphi|<\pi)$ 的部分图象如右图所示,写出与之对应的一个函数解析式.
9) 已知电流 $i$ 随时间 $t$ 变化的关系式是
(第 8 题)
$$
i=5 \sin \left(100 \pi t+\frac{\pi}{3}\right),t \in[0,+\infty) .
$$
(1) 求电流 $i$ 的周期、频率、振幅和初相;
(2) 分别求 $t=0,\frac{1}{600},\frac{1}{150},\frac{7}{600},\frac{1}{60}$ 时的电流.
(10) 求函数 $y=-2 \sin \left(3 x-\frac{\pi}{6}\right)$ 的周期、振幅以及单调区间.
(11) 用计算器或计算机软件分别求下列各式中 $x$ 的值 (精确到 0.001 ).
(1) $\sin x=\frac{3}{5},x \in\left[\frac{\pi}{2},\pi\right]$;(2) $\cos 2 x=\frac{1}{3},x \in\left[-\frac{\pi}{2},0\right]$;(3) $\tan x=\frac{1}{2},x \in\left[0,\frac{\pi}{2}\right)$.
## 4 数学建模活动：周期现象的描述
按照优势互补的原则,跟其他同学组成一个数学建模小组,采用分工合作的方式,寻找日常生活或其他学科中有关的周期现象,借助合适的仪器,采集数据,并尝试通过建立与三角函数有关的数学模型去描述该周期现象.
## 活动提示
完整的数学建模活动一般要经历选题、开题、做题、结题四个过程. 选题是指根据要求选定合适的研究对象的过程,开题是指讨论与确定建模步骤的过程,做题是指按照讨论的步骤进行实际建模的过程,结题是指总结与交流的过程.
数学建模的过程中,一般都要借助计算机软件进行作图、计算、数据整理等. 可以借助的软件,除了我们教材中使用的 GeoGebra 和 Excel 之外,还可以使用 MATLAB,Maple,Mathematica,SPSS 等. 整理数学建模的论文,可以使用 Word,LaTex 等.
以下周期性现象与知识可供参考.
1. 海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐. 一般早潮叫潮,晩潮叫汐. 在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞;卸货后落潮时返回海洋. 下面是某港口在某季节每天的时间与水深值 (单位: $\mathrm{m}$ ) 记录表.
| 时刻 | $0: 00$ | $3: 00$ | $6: 00$ | $9: 00$ | $12: 00$ | $15: 00$ | $18: 00$ | $21: 00$ | $24: 00$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 水深值 | 5.0 | 7.5 | 5.0 | 2.5 | 5.0 | 7.5 | 5.0 | 2.5 | 5.0 |
(1) 选用一个三角函数来近似地描述这个港口的水深值与时间的函数关系，给出整点时水深的近似数值;
(2) 一条货船的吃水深度 (船底与水面的距离) 为 $4 \mathrm{~m}$,安全条例规定至少要有 $1.5 \mathrm{~m}$ 的安全间隙 (船底与海底的距离),该船何时能进人港口?在港口能停多久?
（3）某船的吃水深度为 $4 \mathrm{~m}$,安全间隙为 $1.5 \mathrm{~m}$,该船在 $2: 00$ 开始卸货,吃水深度以每小时 $0.3 \mathrm{~m}$ 的速度减小,那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域?
2. 单摆、弹簧等简谐振动可以用三角函数表达为 $y=A \sin (\omega x+\varphi)$,其中 $x$ 表示时间,$y$ 表示位移,$A$ 表示振幅,$\frac{|\omega|}{2 \pi}$ 表示频率,$\varphi$ 表示初相位.
图 7-4-1 是单摆的示意图. 点 $O$ 为摆球的平衡位置. 如果规定摆球向右偏移的位移为正,则当摆球到达点 $C$ 时,摆球的位移 $y$ 达到最大值 $A$；当摆球到达点 $O$ 时,摆球的位移 $y$ 为 0;当摆球到达点 $D$ 时,摆球的位移 $y$ 达到反向最大值 $-A$;当摆球再次到达点 $O$ 时,摆球的位移 $y$ 又一次为 0;当摆球再次到达点 $C$ 时,摆球的位移 $y$ 又一次达到最大值 $A$. 这样周而复
图 7-4-1 始，形成周期变化.
3. 音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为 $y=A \sin \omega x$,其中 $x$ 表示时间,$y$ 表示纯音振动时音叉的位移,$\frac{|\omega|}{2 \pi}$ 表示纯音振动的频率（对应音高),$A$ 表示纯音振动的振幅（对应音强）.
4. 交变电流可以用三角函数表达为 $y=A \sin (\omega x+\varphi)$,其中 $x$ 表示时间,$y$ 表示电流,$A$ 表示最大电流,$\frac{|\omega|}{2 \pi}$ 表示频率,$\varphi$ 表示初相位.
## 本章小结
## 1 知识结构图设计与交流
本章我们把 $0^{\circ} \sim 360^{\circ}$ 的角推广到了任意角,并学习了弧度制和任意角的三角函数,以及三角函数的性质与图象. 参考以下的知识结构图示例,请你作出自己理解的本章知识结构图,并和同学们一起交流,看看各自的图的优点是什么.
## 2 课题作业
古希腊地理学家埃拉托色尼用下面的方法估算地球周长. 他从书中得知,位于尼罗河第一瀑布的塞伊尼（现在的阿斯旺，在北回归线上）,夏至那天正午立竿无影；同样在夏至那天，他所在的城市一一埃及北部的亚历山大城,立杆可测得日影角大约为 $7^{\circ}$. 埃拉托色尼猜想造成这个差异的原因在于地球是圆的,并且因为太阳距离地球很远 (现代科学测量得知,太阳光到达地球表面需要 $8.3 \mathrm{~min}$,光速 $300000 \mathrm{~km} / \mathrm{s}$ ),太阳光平行照射在地球上. 根据平面几何知识,平行线内错角相等,因此日影角与两地对应的地心角相等. 他又派人测得两地距离大约为 5000 希腊里,约合 $800 \mathrm{~km}$;因为 $360^{\circ}$ 大约为 $7^{\circ}$ 的 50 倍,于是他估算地球周长约为 $800 \times 50=$ $40000(\mathrm{~km})$，这与地球实际周长 $40076 \mathrm{~km}$ 相差无几.
（1）试作出平面示意图;
（2）试由埃拉托色尼的估算结果，给出你的推理过程;
（3）查阅网络或有关文献，了解三角函数知识在日常生活中的应用，任选一个主题,将所收集得到的材料整理成演讲稿,并与其他同学交流.
## 复习题
## $\mathbf{A}$ 组
1. 若角 $\alpha$ 的终边落在直线 $y=-3 x$ 上,求 $\sin \alpha$ 和 $\cos \alpha$ 的值. 2. 求函数 $y=\frac{\sin x}{|\sin x|}+\frac{|\cos x|}{\cos x}+\frac{\tan x}{|\tan x|}$ 的值域.
2. 确定下列三角函数值的符号.
(1) $\sin 4$;(2) $\cos 5$;(3) $\tan 8$;(4) $\tan (-3)$.
3. 已知 $\sin x=2 \cos x$,求角 $x$ 的正弦、余弦、正切.
4. 化简 $\sqrt{1+2 \sin (\pi-2) \cos (\pi-2)}$.
5. 已知 $\tan \alpha=3$,分别求下列各式的值.
(1) $\frac{4 \sin \alpha-2 \cos \alpha}{5 \cos \alpha+3 \sin \alpha}$;(2) $\sin \alpha \cos \alpha$;(3) $(\sin \alpha+\cos \alpha)^{2}$;(4) $2 \sin ^{2} \alpha+\sin \alpha \cos \alpha-3 \cos ^{2} \alpha$.
6. 已知 $\sin (\pi+\alpha)=-\frac{1}{2}$,分别求下列各式的值.
(1) $\cos (2 \pi-\alpha)$;(2) $\tan (\alpha-7 \pi)$.
7. 求 $\cos \frac{25 \pi}{6}+\cos \frac{25 \pi}{3}+\tan \left(-\frac{25 \pi}{4}\right)$ 的值.
8. 证明下列恒等式.
(1) $\cos ^{2} \alpha+2 \sin ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha \tan ^{2} \alpha=\frac{1}{\cos ^{2} \alpha}$;
(2) $\cos ^{2} \alpha(2+\tan \alpha)(1+2 \tan \alpha)=2+5 \sin \alpha \cos \alpha$.
10. 判断下列函数的奇偶性.
(1) $y=x^{2}+\cos x$;(2) $y=|2 \sin x|$
(3) $y=x^{2} \sin x$
11. 用五点法作出下列函数在一个周期的闭区间上的简图.
(1) $y=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)$;(2) $y=2 \cos \left(\frac{1}{2} x-\frac{\pi}{3}\right)$.
12. 写出函数 $y=2 \sin \left(5 x+\frac{\pi}{6}\right)$ 的振幅、周期、初相,并说明如何由正弦曲线得出它的图象,求出它的最大值以及取最大值时 $x$ 的值.
13. 根据下列条件,求 $\triangle A B C$ 的内角 $A$.
(1) $\sin A=\frac{1}{2}$
(2) $\tan A=-\frac{\sqrt{3}}{3}$
14. 函数 $y=\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ 的图象是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴方程是什么?15. 如图为一个摩天轮示意图. 该摩天轮圆半径为 $4.8 \mathrm{~m}$,圆上最低点与地面距离为 $0.8 \mathrm{~m},60 \mathrm{~s}$ 转动一周. 图中 $O A$ 与地面垂直. 以 $O A$ 为始边,逆时针转动 $\theta$ 角到 $O B$. 设 $B$ 点与地面的距离为 $h \mathrm{~m}$.
(1) 求 $h$ 与 $\theta$ 的函数解析式;
（2）设从 $O A$ 开始转动,经过 $t \mathrm{~s}$ 到达 $O B$,求 $h$ 与 $t$ 的函数解析式.
(第 15 题)
## $B$ 组
1. 一个扇形的弧长与面积的数值都是 5,求这个扇形中心角的度数.
2. 已知 $\alpha$ 为第二象限的角,化简
$$
\cos \alpha \sqrt{\frac{1-\sin \alpha}{1+\sin \alpha}}+\sin \alpha \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}}
$$
3. 求证:
$$
\frac{1+\sin \alpha+\cos \alpha+2 \sin \alpha \cos \alpha}{1+\sin \alpha+\cos \alpha}=\sin \alpha+\cos \alpha
$$
4. 将函数 $y=\sin 2 x$ 的图象经过怎样的变换,就能得到函数 $y=$ $-\sin \left(2 x+\frac{\pi}{5}\right)$ 的图象?5. 求下列函数的单调递减区间.
(1) $y=3 \cos \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right),x \in \mathbf{R}$;(2) $y=3 \sin \left(\frac{\pi}{6}-\frac{x}{3}\right),x \in \mathbf{R}$.
6. 求满足下列关系式的 $x$ 的集合.
(1) $1+\sqrt{3} \tan x=0,x \in \mathbf{R}$;(2) $\tan x-1=0,x \in \mathbf{R}$;(3) $\cos (\pi-x)=-\frac{\sqrt{3}}{2},x \in \mathbf{R}$;(4) $2 \sin ^{2} x=1,x \in \mathbf{R}$.
7. 利用单位圆中的正弦线、余弦线或三角函数图象解下列各题.
（1）求满足不等式 $2 \cos x+1 \leqslant 0$ 的 $x$ 的集合;(2) 求函数 $y=\sqrt{1-2 \sin x}$ 的定义域. 8. 如图所示,某地一天从 6 时至 14 时的温度变化曲线近似满足函数
$$
y=A \sin (\omega x+\varphi)+b,$$
其中 $A>0$,且函数在 6 时与 14 时分别取得最小值 (最低温度) 和最大值 (最高温度).
（1）求这段时间的最大温差;(2) 写出这段曲线的函数解析式.
(第 8 题) 数学不仅是一门基础学科,更能对思维进行很好的训练. 无论学习何种专业,做科研也好、做其他工作也好,数学修养对专业的发展都很有裨益.
——杨乐
## 本章导语
让我们再来考察由摩天轮抽象出的问题.
右图是摩天轮的示意图. 我们考察摩天轮转轮上的两个座椅 $P,Q$ 的转动. 设转轮静止时,$O P$ 平行于地面. 现在的问题是,当座椅 $P$ 逆时针转动角 $\alpha$ 后,如果知道座椅 $P$ 到地面的距离,如何计算座椅 $Q$ 到地面的距离?
以转轮的中心 $O$ 为坐标原点建立平面直
角坐标系 $x \mathrm{Oy}$,不妨设摩天轮的转轮半径为单位长. 由于转轮中心 $O$ 到地面的距离为定值,则上述问题就可转化为如下的数学问题.
已知单位圆上两点 $P,Q$,记 $\angle x O P=\alpha,\angle P O Q=\beta$,则点 $P$ 的纵坐标为 $\sin \alpha$,点 $Q$ 的纵坐标为 $\sin (\alpha+\beta)$.
由问题的已知条件,容易求出 $\sin \alpha,\cos \alpha,\sin \beta,\cos \beta$. 现在要问,能否由 $\alpha,\beta$ 的正弦和余弦求出 $\sin (\alpha+\beta)$?
事实上,我们在研究三角函数式的变形或计算时,经常提出这样的问题：能否用 $\alpha,\beta$ 的三角函数去表示 $\alpha \pm \beta$ 的三角函数?为了解决这类问题,本章首先学习向量数量积的知识,然后用向量方法推证 $\alpha-\beta$ 的余弦与 $\alpha,\beta$ 的正弦、余弦的关系式,进而研究 $\alpha \pm \beta$ 的正弦、正切公式. 在此基础上推证倍角公式、半角公式以及积化和差、和差化积公式. 这些公式是进行三角恒等变换的基础，有着广泛的应用.
## 1 向量的数量积
### 1 向量数量积的概念
## 情境与问题
我们在物理课中学过,力与在力的方向上移动的距离的乘积称为力对物体所做的功. 如图 8-1-1 所示,如果作用在小车上的力 $\boldsymbol{F}$ 的大小为 $|\boldsymbol{F}| \mathrm{N}$,小车在水平面上位移 $\boldsymbol{s}$ 的大小为 $|\boldsymbol{s}| \mathrm{m}$,力的方向与小车位移的方向所成夹角为 $\theta$,那么这个力所做的功为
$$
W=|\boldsymbol{F}||\boldsymbol{s}| \cos \theta
$$
图 8-1-1
（1）显然,功 $W$ 与力向量 $\boldsymbol{F}$ 及位移向量 $s$ 有关,这三者之间有什么关系?
（2）给定任意两个向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$,能确定出一个类似的标量吗?如果能,请指出确定的方法;如果不能,说明理由.
情境与问题中的功 $W$ 由向量 $\boldsymbol{F}$ 和 $s$ 的大小以及这两个向量方向的差异确定. 一般地,给定任意两个向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$,能确定出一个类似的标量,这也就是本小节我们要学习的向量的数量积.
## 1. 两个向量的夹角
给定两个非零向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$,在平面内任选一点 $O$,作 $\overrightarrow{O A}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{O B}=\boldsymbol{b}$,则称 $[0,\pi]$ 内的 $\angle A O B$ 为向量 $\boldsymbol{a}$ 与向量 $\boldsymbol{b}$ 的夹角,记作 $\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$.
例如,图 8-1-2 中,向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $\frac{\pi}{4}$,即 $\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\mathbf{1}$
图 8-1-2
类似地,图 8-1-2 中,向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{c}$ 的夹角为 $\frac{\pi}{2}$,即 $\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}\rangle=\frac{\pi}{2}$;向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{d}$ 的夹角为 0,即 $\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{d}\rangle=0$;向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{e}$ 的夹角为 $\pi$,即 $\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{e}\rangle=$ 2
## 尝试与发现
如果 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 是两个非零向量,那么
(1) $\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$ 的取值范围是什么?
(2) $\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\langle\boldsymbol{b},\boldsymbol{a}\rangle$ 是否成立?
根据向量夹角的定义可知,两个非零向量的夹角是唯一确定的,而且
$$
\begin{aligned}
& 0 \leqslant\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle \leqslant \pi,\\
& \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\langle\boldsymbol{b},\boldsymbol{a}\rangle .
\end{aligned}
$$
当 $\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\frac{\pi}{2}$ 时,称向量 $\boldsymbol{a}$ 与向量 $\boldsymbol{b}$ 垂直,记作 $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$. 由于零向量方向是不确定的,在讨论垂直问题时,规定零向量与任意向量垂直.
## 2. 向量数量积的定义
一般地,当 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 都是非零向量时,称 $|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \cos \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$ 为向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的数量积 (也称为内积),记作 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$,即
$$
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \cos \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle \text {. }
$$
由定义可知,两个非零向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的数量积是一个实数,这与向量的加法、减法以及数乘向量的结果仍是一个向量不同.
## 尝试与发现
如果 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 都是非零向量,那么 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ 可以是正数吗?可以是负数吗?可以是零吗?你能举出实例加以说明吗?观察两个非零向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的数量积的定义可知,$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ 的符号由 $\cos \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$ 决定,从而也就是由 $\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$ 的大小决定.
例如,图 8-1-3 中，
$$
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}>0,\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}=0,\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{d}<0 .
$$
这就是说,两个非零向量的数量积既可以是正数,也可以是零,还可以是负数.
图 8-1-3
如果 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 都是非零向量,依照定义还可以得出向量的数量积有如下性质 (请读者自行说明理由).
(1) $|\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}| \leqslant|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|$;
(2) $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a}=|\boldsymbol{a}|^{2}$，即 $|\boldsymbol{a}|=\sqrt{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a}}$.
一般地,$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a}$ 可以简写为 $\boldsymbol{a}^{2}$,因此上述性质(2) 也可改写为 $\boldsymbol{a}^{2}=|\boldsymbol{a}|^{2}$.
为了方便起见,当 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 至少有一个是零向量时,称它们的数量积（即内积）为 0,即 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=0$. 这样一来,任意给定两个平面向量,都有确定的数量积,而且上述数量积的性质还都成立.
另外,我们还能得到数量积的如下性质.
$a$ 与 $b$ 垂直的充要条件是它们的数量积为 0,即
$$
\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b} \Leftrightarrow \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=0
$$
例 1 (1) 已知 $|\boldsymbol{a}|=5,|\boldsymbol{b}|=4,\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=120^{\circ}$,求 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$;
(2) 已知 $|\boldsymbol{a}|=3,|\boldsymbol{b}|=2,\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=3$,求 $\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$.
解 (1) 由已知可得
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} & =|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \cos \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle \\
& =5 \times 4 \times \cos 120^{\circ}=-10 .
\end{aligned}
$$
(2) 由 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \cos \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$ 可知
$$
3=3 \times 2 \times \cos \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle \text {,}
$$
因此 $\cos \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\frac{1}{2}$,从而可知 $\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=3$
由例 1(2) 可以看出,如果 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 都是非零向量,则
$$
\cos \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}
$$
## 3. 向量的投影与向量数量积的几何意义
如图 8-1-4 所示,设非零向量 $\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a}$,过 $A,B$ 分别作直线 $l$ 的垂线,垂足分别为 $A^{\prime},B^{\prime}$,则称向量 $\overrightarrow{A^{\prime} B^{\prime}}$ 为向量 $\boldsymbol{a}$ 在直线 $l$ 上的投影向量或投影.
图 8-1-4
图 8-1-5
类似地,给定平面上的一个非零向量 $\boldsymbol{b}$,设 $\boldsymbol{b}$ 所在的直线为 $l$,则 $\boldsymbol{a}$ 在直线 $l$ 上的投影称为 $\boldsymbol{a}$ 在向量 $\boldsymbol{b}$ 上的投影. 如图 8-1-5 中,向量 $\boldsymbol{a}$ 在向量 $\boldsymbol{b}$ 上的投影为 $\overrightarrow{A^{\prime} B^{\prime}}$. 可以看出,一个向量在一个非零向量上的投影,一定与这个非零向量共线,但它们的方向既有可能相同,也有可能相反.
## 尝试与发现
如果 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 都是非零向量,且 $\boldsymbol{a}$ 在 $\boldsymbol{b}$ 上的投影为 $\overrightarrow{A^{\prime} B^{\prime}}$,那么向量 $\overrightarrow{A^{\prime} B^{\prime}}$ 的方向、长度与 $\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$ 有什么关联?
如图 8-1-6(1) (2) (3) 所示.
当 $\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle<\frac{\pi}{2}$ 时,$\overrightarrow{A^{\prime} B^{\prime}}$ 的方向与 $\boldsymbol{b}$ 的方向相同,而且
$$
\left|\overrightarrow{A^{\prime} B^{\prime}}\right|=|\boldsymbol{a}| \cos \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle \text {;}
$$
当 $\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\frac{\pi}{2}$ 时,$\overrightarrow{A^{\prime} B^{\prime}}$ 为零向量,即 $\left|\overrightarrow{A^{\prime} B^{\prime}}\right|=0$;
当 $\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle>\frac{\pi}{2}$ 时,$\overrightarrow{A^{\prime} B^{\prime}}$ 的方向与 $\boldsymbol{b}$ 的方向相反,而且
$$
\left|\overrightarrow{A^{\prime} B^{\prime}}\right|=-|\boldsymbol{a}| \cos \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle \text {. }
$$
( 1 )
( 2 )
( 3 )
图 8-1-6
一般地,如果 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 都是非零向量,则称 $|\boldsymbol{a}| \cos \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$ 为向量 $\boldsymbol{a}$ 在向量 $b$ 上的投影的数量. 投影的数量与投影的长度有关,但是投影的数量既可能是非负数,也可能是负数.
因为
$$
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \cos \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=(|\boldsymbol{a}| \cos \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle)|\boldsymbol{b}|,$$
所以两个非零向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 的数量积 $a \cdot b$,等于 $a$ 在向量 $b$ 上的投影的数量与 $b$ 的模的乘积. 这就是两个向量数量积的几何意义.
特别地,当 $\boldsymbol{e}$ 为单位向量时,因为 $|\boldsymbol{e}|=1$,所以
$$
a \cdot e=|a| \cos \langle a,e\rangle,$$
即任意向量与单位向量的数量积,等于这个向量在单位向量 $\boldsymbol{e}$ 上的投影的数量.
例 2 如图 8-1-7 所示,求出以下向量的数量积.
(1) $b \cdot a$;(2) $\boldsymbol{c} \cdot \boldsymbol{a}$;(3) $d \cdot a$.
解 (1) (方法一) 由图可知,
$$
|\boldsymbol{a}|=1,|\boldsymbol{b}|=\sqrt{2},\langle\boldsymbol{b},\boldsymbol{a}\rangle=\frac{\pi}{4},$$
因此
$$
\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{a}=\sqrt{2} \times 1 \times \cos \frac{\pi}{4}=1 .
$$
图 8-1-7
（方法二）由图可以看出,向量 $\boldsymbol{b}$ 在向量 $\boldsymbol{a}$ 上的投影的数量为 1,且 $\boldsymbol{a}$ 为单位向量,因此根据向量数量积的几何意义可知 $\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{a}=1$.
（2）由图可知,$\langle\boldsymbol{c},\boldsymbol{a}\rangle=\frac{\pi}{2}$,因此 $\boldsymbol{c} \cdot \boldsymbol{a}=\underline{4}$
(3) 由图可知,向量 $\boldsymbol{d}$ 在向量 $\boldsymbol{a}$ 上的投影的数量为 -1,且 $\boldsymbol{a}$ 为单位向量,因此根据向量数量积的几何意义可知
$$
d \cdot a=5
$$
## 练习A
(1) 根据以下条件,分别求 $a \cdot b$.
(1) $|\boldsymbol{a}|=8,|\boldsymbol{b}|=4,\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=60^{\circ}$;(2) $|\boldsymbol{a}|=7,|\boldsymbol{b}|=12,\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=120^{\circ}$;(3) $|\boldsymbol{a}|=4,|\boldsymbol{b}|=2,\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\frac{\pi}{2}$;(4) $|\boldsymbol{a}|=4,|\boldsymbol{b}|=1,\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=0$.
(2) 根据以下条件,分别求 $\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$.
(1) $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=5,|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|=10$;(2) $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=-8,|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|=16$;(3) $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=-25,|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=5$;(4) $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=6 \sqrt{3},|\boldsymbol{a}|=2,|\boldsymbol{b}|=6$.
(3) 如图,已知 $\overrightarrow{O A},\overrightarrow{O B},\overrightarrow{O C}$ 的模均为 5,且 $\angle A O B=\angle B O C=$ $60^{\circ}$,求 $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B},\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O C}$.
(4) 已知 $|\boldsymbol{a}|=5,\boldsymbol{b}$ 在 $\boldsymbol{a}$ 上的投影的数量为 6,而 $\boldsymbol{c}$ 在 $\boldsymbol{a}$ 上的投影的数量为 -8,求 $b \cdot a,c \cdot a$.
(第 3 题)
(5) 已知 $|\boldsymbol{a}|=3,|\boldsymbol{b}|=5$,且 $\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=45^{\circ}$,求 $\boldsymbol{a}$ 在 $\boldsymbol{b}$ 上的投影的数量. (1) 已知 $\triangle A B C$ 是边长为 2 的等边三角形,求 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C},\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{C A}$.
(2) 判断下列命题的真假.
（1）若向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 共线，则 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|$;
（2）若向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 满足 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=0$,则 $\boldsymbol{a}=\mathbf{0}$ 或 $\boldsymbol{b}=0$.
(3) 两个非零向量 $a,b$ 的数量积 $a \cdot b$,是否等于 $b$ 在向量 $a$ 上的投影的数量与 $a$ 的模的乘积?
(4) 如图所示,求出以下向量的数量积.
(1) $b \cdot a$;(2) $c \cdot a$;(3) $\boldsymbol{d} \cdot \boldsymbol{a}$;(4) $e \cdot a$.
(第 4 题)
(5) 已知 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}$ 是一个正六边形,将下列向量的数量积按从小到大的顺序排列: $\overrightarrow{A_{1} A_{2}} \cdot \overrightarrow{A_{1} A_{3}},\overrightarrow{A_{1} A_{2}} \cdot \overrightarrow{A_{1} A_{4}},\overrightarrow{A_{1} A_{2}} \cdot \overrightarrow{A_{1} A_{5}},\overrightarrow{A_{1} A_{2}} \cdot \overrightarrow{A_{1} A_{6}}$.
$1 \frac{\pi}{4}$
$2 \pi$
$3 \frac{\pi}{3}$
40
$5-1$
### 2 向量数量积的运算律
## 尝试与发现
我们已经知道,很多运算都满足一定的运算律. 例如,向量的加法满足交换律,数乘向量对加法满足分配律,即对任意向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 以及实数 $\lambda$,有
$$
\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a},\lambda(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=\lambda \boldsymbol{a}+\lambda \boldsymbol{b} \text {. }
$$
根据向量数量积的定义,探讨向量数量积的运算满足哪些运算律,并说明理由.
当 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 是两个非零向量时,因为 $\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\langle\boldsymbol{b},\boldsymbol{a}\rangle$,所以根据
$$
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \cos \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle,\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{a}=|\boldsymbol{b}||\boldsymbol{a}| \cos \langle\boldsymbol{b},\boldsymbol{a}\rangle
$$
可知
$$
a \cdot b=b \cdot a,$$
即向量的数量积满足交换律.
当 $\lambda$ 是实数且 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 是向量时,$\lambda \boldsymbol{a}$ 是向量,$(\lambda \boldsymbol{a}) \cdot \boldsymbol{b}$ 与 $\lambda(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})$ 都是实数,那么这两个实数相等吗?答案是肯定的,即
$$
(\lambda \boldsymbol{a}) \cdot \boldsymbol{b}=\lambda(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})
$$
恒成立.
事实上,当 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 都是非零向量且 $\lambda \neq 0$ 时,
(1) 如果 $\lambda>0$,则 $|\lambda \boldsymbol{a}|=\lambda|\boldsymbol{a}|$,且 $\lambda \boldsymbol{a}$ 的方向与 $\boldsymbol{a}$ 的方向相同,从而
$$
\langle\lambda \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle
$$
因此
$(\lambda \boldsymbol{a}) \cdot \boldsymbol{b}=|\lambda \boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \cos \langle\lambda \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\lambda|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \cos \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\lambda(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})$;
（2）如果 $\lambda<0$,则 $|\lambda \boldsymbol{a}|=-\lambda|\boldsymbol{a}|$,且 $\lambda \boldsymbol{a}$ 的方向与 $\boldsymbol{a}$ 的方向 1,从而
$$
\langle\lambda \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\pi-\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle,$$
因此
$$
\begin{aligned}
(\lambda \boldsymbol{a}) \cdot \boldsymbol{b} & =|\lambda \boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \cos \langle\lambda \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=-\lambda|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \cos (\pi-\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle) \\
& =\lambda|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \cos \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\lambda(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) .
\end{aligned}
$$
当 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 中至少有一个是零向量或 $\lambda=0$ 时,显然也有 $(\lambda \boldsymbol{a}) \cdot \boldsymbol{b}=\lambda(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})$. 当然,用同样的方法可以得到 $\boldsymbol{a} \cdot(\lambda \boldsymbol{b})=\lambda(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})$.
## 尝试与发现
当 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$ 都是向量时,$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c},\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c},\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}$ 都是实数吗?如果是,这 3 个实数之间有什么关系?
因为 $a,b$ 是向量时,$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ 仍是向量,因此 $(a+b) \cdot c,a \cdot c,b \cdot c$ 都是实数,而且,从形式上可以猜出
$$
(a+b) \cdot \boldsymbol{a}=\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}+\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}
$$
也就是向量的数量积对加法满足分配律.
那么,怎样才能确定这个结论成立呢?如果直接从数量积的定义来考虑,将需要讨论 $\langle\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\rangle,\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}\rangle,\langle\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\rangle$ 等之间的关系,是比较烦琐的. 下面我们从数量积的几何意义来考虑.
当 $a,b,c$ 中至少有一个是零向量时,分配律显然成立. 因此下面只要说明 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$ 都不是零向量的情形即可. 此时,$|\boldsymbol{c}| \neq 0$,设 $\boldsymbol{c}_{0}=\frac{\boldsymbol{c}}{|\boldsymbol{c}|}$,即 $\boldsymbol{c}_{0}$ 是与 $\boldsymbol{c}$ 同向的单位向量.
如图 8-1-8 所示,设点 $O$ 与 $\boldsymbol{c}_{0}$ 都在直线 $l$ 上,且
$$
\overrightarrow{O A}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{b}
$$
则 $\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$.
图 8-1-8
过 $A,B$ 分别作直线 $l$ 的垂线 $A A^{\prime},B B^{\prime}$,则由向量投影的定义可知,$\boldsymbol{a}$ 在 $\boldsymbol{c}_{0}$ 上的投影为 $\overrightarrow{O A^{\prime}},\boldsymbol{b}$ 在 $\boldsymbol{c}_{0}$ 上的投影为 $\overrightarrow{A^{\prime} B^{\prime}},\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ 在 $\boldsymbol{c}_{0}$ 上的投影为 $\overrightarrow{O B^{\prime}}$. 又因为
$$
\overrightarrow{O B^{\prime}}=\overrightarrow{O A^{\prime}}+\overrightarrow{A^{\prime} B^{\prime}}
$$
所以根据向量数量积的几何意义可知
$$
(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}_{0}=\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}_{0}+\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}_{0},$$
在这个式子两边同时乘以 $|\boldsymbol{c}|$，即可知
$$
(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}=\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}+\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c} .
$$
由向量数量积满足以上的运算律还可得到
$$
\begin{gathered}
\boldsymbol{a} \cdot(b+c)=\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}+\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c},\\
(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}=\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}-\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}
\end{gathered}
$$
等,请读者自行说明理由.
例 1 求证：
(1) $(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \cdot(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=\boldsymbol{a}^{2}-\boldsymbol{b}^{2}$;(2) $(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})^{2}=\boldsymbol{a}^{2}+2 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}$.
证明 $(1)(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \cdot(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=\boldsymbol{a} \cdot(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})+\boldsymbol{b} \cdot(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})$
$$
\begin{aligned}
& =\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a}-\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}+\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{b} \\
& =\boldsymbol{a}^{2}-\boldsymbol{b}^{2} .
\end{aligned}
$$
(2) $(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})^{2}=(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \cdot(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$
$=\boldsymbol{a} \cdot(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})+\boldsymbol{b} \cdot(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$
$=\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a}+\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}+\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{b}$
$=\boldsymbol{a}^{2}+2 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}$.
例 1(2) 实际上将 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b},\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 这三个向量的模与 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ 联系起来了. 而且,利用完全类似的方法,还可证明:
$$
(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})^{2}=\boldsymbol{a}^{2}-2 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2},$$
请读者自行尝试. 这些结论以后均可直接使用.
例 2 (1) 已知 $|\boldsymbol{a}|=2,|\boldsymbol{b}|=1,\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=60^{\circ}$,求 $|\boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b}|$;
（2）已知 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$,求 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$.
解 (1) 由题意可知
$$
\boldsymbol{a}^{2}=4,\boldsymbol{b}^{2}=2 \quad,\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=2 \times 1 \times \cos 60^{\circ}=1,$$
所以
$$
\begin{aligned}
|\boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b}|^{2} & =(\boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b})^{2} \\
& =\boldsymbol{a}^{2}+4 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}+4 \boldsymbol{b}^{2} \\
& =4+4 \times 1+4 \times 1 \\
& =12,\end{aligned}
$$
因此 $|\boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b}|=3$
(2) 由题意可知 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|^{2}=|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|^{2}$,即 $(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})^{2}=(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})^{2}$,因此
$$
\boldsymbol{a}^{2}+2 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}=\boldsymbol{a}^{2}-2 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}
$$
因此 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=4$
例 3 利用向量证明菱形的两条对角线互相垂直.
如图 8-1-9 所示,已知 $A B C D$ 是菱形,$A C$ 与 $B D$ 是两条对角线. 求证: $A C \perp B D$. 证明由已知可得
$$
\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D},\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{A B}
$$
图 8-1-9
所以
$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{B D} & =(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}) \cdot(\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{A B}) \\
& =|\overrightarrow{A D}|^{2}-|\overrightarrow{A B}|^{2} .
\end{aligned}
$$
又因为 $A B C D$ 是菱形,所以 $A B=A D$,即 $|\overrightarrow{A B}|=|\overrightarrow{A D}|$,因此
$$
\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{B D}=0
$$
从而 $\overrightarrow{A C} \perp \overrightarrow{B D}$,故 $A C \perp B D$.
例 3 的证明中,实际上是选择了 $\{\overrightarrow{A B},\overrightarrow{A D}\}$ 为基底,然后将 $\overrightarrow{A C},\overrightarrow{B D}$ 用这两个向量表示出来. 选择合适的向量作为基底往往是用类似的向量方法解决几何问题的关键.
例 4 利用向量证明三角形的三条高相交于一点.
如图 8-1-10 所示,已知 $\triangle A B C$ 中,$B E$,$C F$ 分别为 $A C,A B$ 边上的高,而且 $B E$ 与 $C F$ 相交于点 $O$,连接 $A O$ 并延长,与 $B C$ 相交于点 $D$. 求证：$A D \perp B C$.
图 8-1-10 证明因为 $B E \perp A C$,所以 $\overrightarrow{O B} \cdot \overrightarrow{A C}=5$，即 $\overrightarrow{O B} \cdot(\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O A})=0$
因此
$$
\overrightarrow{O B} \cdot \overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O B} \cdot \overrightarrow{O A}
$$
又因为 $C F \perp A B$,所以 $\overrightarrow{O C} \cdot \overrightarrow{A B}=0$,即
$$
\overrightarrow{O C} \cdot(\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A})=0
$$
因此
$$
\overrightarrow{O C} \cdot \overrightarrow{O B}=\overrightarrow{O C} \cdot \overrightarrow{O A}
$$
由(1)-(2)可得 $\overrightarrow{O B} \cdot \overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O C} \cdot \overrightarrow{O A}=0$,因此
$$
(\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O C}) \cdot \overrightarrow{O A}=0
$$
从而 $\overrightarrow{C B} \cdot \overrightarrow{O A}=0$,故 $B C \perp O A$,即 $A D \perp B C$.
例 4 中的结论我们在初中几何中就已经遇到过,这里实际上是给出了严格的证明,由此可见平面向量数量积的作用之大.
## 练习 $A$
(1) 已知 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=3$,求下列各式的值.
(1) $b \cdot a$;(2) $(-\boldsymbol{a}) \cdot \boldsymbol{b}$;(3) $(-b) \cdot(3 a)$.
(2) 求证: $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=\frac{1}{2}\left(|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|^{2}-|\boldsymbol{a}|^{2}-|\boldsymbol{b}|^{2}\right)$.
(3) 已知向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 满足 $|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=2,\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=120^{\circ}$,求 $|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$.
(4) 已知 $|\boldsymbol{a}|=2,|\boldsymbol{b}|=3,|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=\sqrt{7}$,求 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$.
(5) 已知单位向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $\frac{\pi}{3}$,求 $\boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b}$ 与 $\boldsymbol{a}$ 的夹角.
## 练习B
(1) 当 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$ 都是向量时,$(\boldsymbol{a} \cdot b) \boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c})$ 是否成立?为什么?
(2) 已知 $|\boldsymbol{a}|=3,|\boldsymbol{b}|=4,\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=60^{\circ}$,求 $(\boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b}) \cdot(\boldsymbol{a}-3 \boldsymbol{b})$.
(3) 已知 $|\boldsymbol{a}|=6,|\boldsymbol{b}|=8$,且 $\boldsymbol{b}$ 在 $\boldsymbol{a}$ 上的投影的数量为 -4,求 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|,|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$.
(4) 在 $\triangle A B C$ 中,已知 $|\overrightarrow{A B}|=3,|\overrightarrow{B C}|=5,\angle A B C=60^{\circ}$,求 $|\overrightarrow{A C}|$.
(5) 已知 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 不共线,从几何上说明当 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$ 时,一定有 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=0$.
(6) 利用向量的数量积证明如下结论.
(1) 长方形的两条对角线相等;(2) 平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和.
1 相反
21
$3 \sqrt{12}=2 \sqrt{3}$
40
50
### 3 向量数量积的坐标运算
## 1. 向量的坐标与向量的数量积
我们知道,在平面直角坐标系中,分别给定与 $x$ 轴、$y$ 轴正方向相同的单位向量 $\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2}$ 之后,如果对于平面内的向量 $\boldsymbol{a}$,有
$$
\boldsymbol{a}=x \boldsymbol{e}_{1}+y \boldsymbol{e}_{2},$$
则 $(x,y)$ 就是向量 $\boldsymbol{a}$ 的坐标,记作 $\boldsymbol{a}=(x,y)$. 而且,$\left\{\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2}\right\}$ 是一组单位正交基底，这就是说，
$$
\boldsymbol{e}_{1} \cdot \boldsymbol{e}_{1}=\boldsymbol{e}_{2} \cdot \boldsymbol{e}_{2}=1,\boldsymbol{e}_{1} \cdot \boldsymbol{e}_{2}=\boldsymbol{e}_{2} \cdot \boldsymbol{e}_{1}=\underline{1}
$$
因此
$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{e}_{1}=\left(x \boldsymbol{e}_{1}+y \boldsymbol{e}_{2}\right) \cdot \boldsymbol{e}_{1}=x \boldsymbol{e}_{1} \cdot \boldsymbol{e}_{1}+y \boldsymbol{e}_{2} \cdot \boldsymbol{e}_{1}=x$.
类似地,有 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{e}_{2}=y$,即 $\boldsymbol{a}=\left(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{e}_{1}\right) \boldsymbol{e}_{1}+\left(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{e}_{2}\right) \boldsymbol{e}_{2}$.
也就是说,$a$ 在单位正交基底 $\left\{e_{1},e_{2}\right\}$ 下的坐标为 $\left(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{e}_{2}\right)$,如图 8-1-11 所示. 这也可通过向量数量积的几何意义看出来,请读者自行営试.
下面我们讨论怎样通过向量的坐标来计算向量的数量积等.
图 8-1-11
## 尝试与发现
设 $\boldsymbol{a}=\left(x_{1},y_{1}\right),\boldsymbol{b}=\left(x_{2},y_{2}\right)$，能否用 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 的坐标表示出 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$?
由向量坐标的定义可知,存在单位正交基底 $\left\{\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2}\right\}$,使得
$$
\boldsymbol{a}=x_{1} \boldsymbol{e}_{1}+y_{1} \boldsymbol{e}_{2},\boldsymbol{b}=x_{2} \boldsymbol{e}_{1}+y_{2} \boldsymbol{e}_{2} \text {,}
$$
因此
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} & =\left(x_{1} \boldsymbol{e}_{1}+y_{1} \boldsymbol{e}_{2}\right) \cdot\left(x_{2} \boldsymbol{e}_{1}+y_{2} \boldsymbol{e}_{2}\right) \\
& =x_{1} x_{2} \boldsymbol{e}_{1} \cdot \boldsymbol{e}_{1}+x_{1} y_{2} \boldsymbol{e}_{1} \cdot \boldsymbol{e}_{2}+y_{1} x_{2} \boldsymbol{e}_{2} \cdot \boldsymbol{e}_{1}+y_{1} y_{2} \boldsymbol{e}_{2} \cdot \boldsymbol{e}_{2} \\
& =x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2},\end{aligned}
$$
从而
$$
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2} .
$$
由此可知,利用向量的坐标可以迅速地算出向量的数量积.
而且,当 $\boldsymbol{a}=\left(x_{1},y_{1}\right),\boldsymbol{b}=\left(x_{2},y_{2}\right)$ 都不是零向量时,因为
$$
|\boldsymbol{a}|^{2}=\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a}=x_{1}^{2}+y_{1}^{2},\quad|\boldsymbol{b}|^{2}=\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{b}=x_{2}^{2}+y_{2}^{2},$$
所以
$$
\cos \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\frac{x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}} \sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}
$$
也就是说,根据向量的坐标,还能方便地算出它们的模以及夹角等.
在平面直角坐标系中,如果 $A\left(x_{1},y_{1}\right),B\left(x_{2},y_{2}\right)$,则
$$
\overrightarrow{A B}=\left(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1}\right) \text {,}
$$
从而 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A B}=\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}$,因此
$$
|\overrightarrow{A B}|=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \text {. }
$$
这就是说,利用向量的数量积,同样可以方便地得出平面直角坐标系中两点之间的距离公式.
例1 已知 $\boldsymbol{a}=(3,-1),\boldsymbol{b}=(1,-2)$,求 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b},|\boldsymbol{a}|,|\boldsymbol{b}|,\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$.
解由题意可知
$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=(3,-1) \cdot(1,-2)=3 \times 1+(-1) \times(-2)=5,\\
& |\boldsymbol{a}|=\sqrt{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a}}=\sqrt{3^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{10},\\
& |\boldsymbol{b}|=\sqrt{\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{b}}=\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{5} .
\end{aligned}
$$
又因为
$$
\cos \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}=\frac{5}{\sqrt{10} \times \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}}{2},$$
所以 $\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=2$
例 2 已知点 $A(1,2),B(3,4),C(5,0)$,求 $\angle B A C$ 的余弦值.
解因为
$$
\begin{aligned}
& \overrightarrow{A B}=(3-1,4-2)=(2,2),\\
& \overrightarrow{A C}=(5-1,0-2)=(4,-2),\end{aligned}
$$
所以
$$
\begin{aligned}
& \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=2 \times 4+2 \times(-2)=4,\\
& |\overrightarrow{A B}|=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{8},\\
& |\overrightarrow{A C}|=\sqrt{4^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{20},\end{aligned}
$$
因此
$$
\cos \angle B A C=\frac{\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}}{|\overrightarrow{A B}||\overrightarrow{A C}|}=\frac{4}{\sqrt{8} \times \sqrt{20}}=\frac{\sqrt{10}}{10}
$$
## 2. 用向量的坐标表示两个向量垂直的条件
## 尝试与发现
设 $\boldsymbol{a}=\left(x_{1},y_{1}\right),\boldsymbol{b}=\left(x_{2},y_{2}\right)$，能否用 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 的坐标表示出 $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$ 的充要条件?因为 $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$ 的充要条件是 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=3$
，因此
$$
\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b} \Leftrightarrow x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}=0
$$
这就是说,利用向量的坐标与向量的数量积,可以方便地表达出向量垂直的条件.
例 3 已知点 $A(1,2),B(2,3),C(-2,5)$,求证: $\overrightarrow{A B} \perp \overrightarrow{A C}$.
证明因为
$$
\begin{aligned}
& \overrightarrow{A B}=(2,3)-(1,2)=(1,1),\\
& \overrightarrow{A C}=(-2,5)-(1,2)=(-3,3),\end{aligned}
$$
所以
$$
\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=(1,1) \cdot(-3,3)=1 \times(-3)+1 \times 3=0
$$
因此 $\overrightarrow{A B} \perp \overrightarrow{A C}$.
例 4 如图 8-1-12 所示,已知点 $A(2,1)$,将向量 $\overrightarrow{O A}$ 绕原点 $O$ 逆时针旋转 $\frac{\pi}{2}$ 得到 $\overrightarrow{O B}$,求点 $B$ 的坐标.
解由已知可得
$|\overrightarrow{O B}|=|\overrightarrow{O A}|,\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=0$.
又因为 $\overrightarrow{O A}=(2,1)$,设 $B(x,y)$,则
图 8-1-12 $\overrightarrow{O B}=4$，从而有
$$
\left\{\begin{array}{l}
x^{2}+y^{2}=2^{2}+1^{2} \\
2 x+y=0
\end{array}\right.
$$
解得 $\left\{\begin{array}{l}x=1,\\ y=-2\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=-1,\\ y=2 .\end{array}\right.$
又因为由图可知 $x<0$,所以 $B(-1,2)$.
例 5 如图 8-1-13 所示,已知正方形 $A B C D$ 中,$P$ 为对角线 $A C$ 不在端点上的任意一点,$P E \perp A B,P F \perp B C$,连接 $D P,E F$. 求证: $D P \perp E F$.
图 8-1-13
图 8-1-14
证明以 $A$ 为原点,$A B$ 所在直线为 $x$ 轴,正方形的边长为单位长,建立如图 8-1-14 所示的平面直角坐标系,则 $A(0,0),B(1,0),D(0,1)$,从而
$$
\overrightarrow{A B}=(1,0),\overrightarrow{A D}=5
$$
由已知,可设 $P(a,a)$,其中 $0<a<1$,则 $E(a,0),F(1,a)$,因此
$$
\overrightarrow{D P}=(a,a-1),\overrightarrow{E F}=6
$$
又因为
$$
\overrightarrow{D P} \cdot \overrightarrow{E F}=a(1-a)+(a-1) a=0
$$
所以 $\overrightarrow{D P} \perp \overrightarrow{E F}$,因此 $D P \perp E F$.
例 5 说明,建立合适的平面直角坐标系之后,可以方便地借助向量的坐标来解决有关几何问题.
## 拓展阅读
## 向量的数量积与三角形的面积
在平面直角坐标系 $x O y$ 中,给定 $A\left(x_{1},y_{1}\right),B\left(x_{2},y_{2}\right)$,假设 $O,A,B$ 不在同一条直线上,如图 1 所示,你能用 $A,B$ 的坐标表示出 $\triangle O A B$ 的面积吗?
图 1
一般地,利用向量的数量积可以方便地求出 $\triangle O A B$ 的面积为
$$
S=\frac{1}{2}\left|x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}\right|
$$
事实上,如图 2 所示,记 $t=O A,\boldsymbol{a}=$ $\frac{1}{t}\left(-y_{1},x_{1}\right)$,则容易验证,$\boldsymbol{a}$ 是与 $\overrightarrow{O A}$ 垂直的单位向量.
图 2 过 $B$ 作 $O A$ 的垂线 $B C$. 因为 $\boldsymbol{a}$ 为单位向量,所以由向量数量积的几何意义可知
$$
B C=|\boldsymbol{a} \cdot \overrightarrow{O B}| \text {,}
$$
因此,$\triangle O A B$ 的面积为
$$
\begin{aligned}
S & =\frac{1}{2} A O \times B C=\frac{1}{2} A O \times|\boldsymbol{a} \cdot \overrightarrow{O B}| \\
& =\frac{1}{2} t \times\left|\frac{1}{t}\left(-y_{1},x_{1}\right) \cdot\left(x_{2},y_{2}\right)\right| \\
& =\frac{1}{2}\left|\left(-y_{1},x_{1}\right) \cdot\left(x_{2},y_{2}\right)\right| \\
& =\frac{1}{2}\left|x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}\right| .
\end{aligned}
$$
由此也可以看出,如图 3 所示,如果
图 3
$A\left(x_{1},y_{1}\right),B\left(x_{2},y_{2}\right)$,而且 $O,A,B$ 三点不共线,则以 $O A,O B$ 为邻边的平行四边形 $O A C B$ 的面积为
$$
S=\left|x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}\right| .
$$
由此你能体会到向量数量积的作用之大吗？
## 练习 $A$
(1) 已知向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 的坐标,分别求 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b},|\boldsymbol{a}|,|\boldsymbol{b}|$ 和 $\cos \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$.
(1) $\boldsymbol{a}=(4,-3),\boldsymbol{b}=(-4,3)$;(2) $\boldsymbol{a}=(3,5),\boldsymbol{b}=(-5,3)$;(3) $\boldsymbol{a}=(12,5),\boldsymbol{b}=(1,2)$;(4) $\boldsymbol{a}=(-11,2),\boldsymbol{b}=(3,9)$.
(2) 已知 $A(1,2),B(-5,8),C(-2,-1)$,求证: $\overrightarrow{A B} \perp \overrightarrow{A C}$.
(3) 求证: 对任意实数 $k$,向量 $k(-y,x)$ 与向量 $(x,y)$ 垂直.
(4) 若 $|\boldsymbol{a}|=2 \sqrt{13},\boldsymbol{b}=(-2,3)$,且 $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$,求向量 $\boldsymbol{a}$ 的坐标.
(5) 已知点 $A(3,1)$,向量 $\overrightarrow{O A}$ 绕原点 $O$ 逆时针旋转 $\frac{\pi}{2}$ 后等于 $\overrightarrow{O B}$,求点 $B$ 的坐标.
## 练习B
(1) 已知向量 $\boldsymbol{a}=(1,-2),\boldsymbol{b}=(1,\lambda)$,若 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为锐角,求 $\lambda$ 的取值范围.
(2) 已知 $A(1,1),B(-3,4),C(0,8)$,试求 $\triangle A B C$ 三个内角的大小.
(3) 求与下列向量垂直的单位向量.
(1) $\boldsymbol{a}=(3,4)$;(2) $\boldsymbol{b}=(-1,1)$;(3) $\boldsymbol{c}=(12,-5)$;(4) $\boldsymbol{d}=(8,-15)$.
(4) 已知向量 $\boldsymbol{a}=(3,3),\boldsymbol{b}=(-2,5)$,求 $\boldsymbol{a}$ 在 $\boldsymbol{b}$ 上的投影的数量.
(5) 已知点 $A(1,1),B(5,3)$,将向量 $\overrightarrow{A B}$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $\frac{\pi}{2}$ 得到 $\overrightarrow{A C}$,求点 $C$ 的坐标.
66 已知点 $H$ 在 $\triangle A B C$ 所在的平面内,且满足 $\overrightarrow{H A} \cdot \overrightarrow{H B}=\overrightarrow{H B} \cdot \overrightarrow{H C}=\overrightarrow{H C} \cdot$ $\overrightarrow{H A}$,求证：点 $H$ 是 $\triangle A B C$ 的垂心 (即三条高的交点).
10
$2 \frac{\pi}{4}$
30
$4(x,y)$
$5(0,1)$
$6(1-a,a)$
## 习题8-1A
(1) 已知 $\boldsymbol{a}=(1,2),\boldsymbol{b}=(-2,3)$,求
(1) $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$;(2) $(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})^{2}$;(3) $(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \cdot(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})$;(4) $(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})^{2}$.
(2) 已知 $\triangle A B C$ 中,$|\overrightarrow{A B}|=5,|\overrightarrow{A C}|=4,\angle B A C=120^{\circ}$,求 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}$.
(3) 已知 $|\boldsymbol{b}|=5,\boldsymbol{a}$ 在 $\boldsymbol{b}$ 上的投影的数量是 -3,求 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$. (4) 判断下列各对向量是否垂直.
(1) $\boldsymbol{a}=(-3,2),\boldsymbol{b}=(4,6)$;(2) $\boldsymbol{a}=(7,1),\boldsymbol{b}=(-2,14)$;(3) $\boldsymbol{a}=\left(\frac{1}{3},\frac{1}{2}\right),\boldsymbol{b}=\left(2,-\frac{2}{3}\right)$;(4) $\boldsymbol{a}=(3,5),\boldsymbol{b}=(5,3)$.
(5) 已知 $\boldsymbol{a}=(x,y),\boldsymbol{b}=(-y,x),\boldsymbol{c}=(y,-x)$,求证: $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b},\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{c}$.
(6) 已知 $\boldsymbol{a}=(-2,-3),\boldsymbol{b}=(1,2)$,求 $\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$ 的余弦值.
(7) 已知 $A(7,5),B(2,3),C(6,-7)$,求证: $\triangle A B C$ 是直角三角形.
(1) 已知 $\boldsymbol{a}=(1,5),\boldsymbol{b}=(-3,2)$,求 $\boldsymbol{a}$ 在 $\boldsymbol{b}$ 上的投影的数量.
(2) 已知三点 $A(-1,1),B(2,3),C(3,-1)$,求证: $\triangle A B C$ 是锐角三角形.
(3) 若向量 $\boldsymbol{a}=(x,2 x),\boldsymbol{b}=(-3 x,2)$,且 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为钝角,求 $x$ 的取值范围.
(4) 已知正方形 $A B C D$,点 $A(-2,3),C(1,1)$,求顶点 $D$ 的坐标.
(5) 已知 $\boldsymbol{i} \perp \boldsymbol{j},|\boldsymbol{i}|=|\boldsymbol{j}|=1,\boldsymbol{a}=4 \boldsymbol{i}-\boldsymbol{j},\boldsymbol{b}=\boldsymbol{i}+2 \boldsymbol{j},\boldsymbol{c}=2 \boldsymbol{i}-3 \boldsymbol{j}$,计算 $\boldsymbol{a}^{2}+3 \boldsymbol{a} \cdot$ $\boldsymbol{b}-2 \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}+1$
(6) 已知向量 $\boldsymbol{a}=(3,4),\boldsymbol{b}=(8,6),\boldsymbol{c}=(2,k)$,且 $\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}\rangle=\langle\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\rangle$,求 $k$ 的值.
(7) 如果 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 都是非零向量,分别根据下列各式判断 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 之间的位置关系.
(1) $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$;(2) $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\lambda(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})$;(3) $\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}=\frac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}$
(4) $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|$
(5) $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}|-|\boldsymbol{b}|$;(6) $|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|$.
(8) 已知 $|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=1,\boldsymbol{b}=(3,4)$,求 $|\boldsymbol{a}|$ 的取值范围.
(9) 作图说明,如果向量 $\boldsymbol{a}$ 在向量 $\boldsymbol{b}(\boldsymbol{b} \neq \mathbf{0})$ 上的投影为 $\boldsymbol{c}$,则 $\boldsymbol{c}=\frac{|\boldsymbol{a}|}{|\boldsymbol{b}|} \cos \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle \boldsymbol{b}$.
## 2 三角恒等变换
### 1 两角和与差的余弦
## 尝试与发现
（1）我们已经知道了 $30^{\circ},45^{\circ}$ 的正弦、余弦值,那么,能否根据这些值求出 $\cos 15^{\circ}$ 的值呢?
（2）一般地,怎样根据 $\alpha$ 与 $\beta$ 的三角函数值求出 $\cos (\alpha-\beta)$ 的值?
因为 $15^{\circ}=45^{\circ}-30^{\circ}$,所以 $\cos 15^{\circ}=\cos \left(45^{\circ}-30^{\circ}\right)$,因此可能有人会猜想
$$
\cos 15^{\circ}=\cos 45^{\circ}-\cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2}
$$
但这显然是不对的：$\cos 15^{\circ}$ 一定大于 0,但上式右边小于 0 .
事实上，利用单位圆以及向量的数量积，可以证明，对任意 $\alpha$ 与 $\beta$,都有
$$
\cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta
$$
这就是两角差的余弦公式,通常简记为 $\mathrm{C}_{\alpha-\beta}$.
证明如图 8-2-1 所示,在平面直角坐标系 $x O y$ 中,设 $\alpha,\beta$ 的终边与单位圆的交点分别为 $P$,$Q$,则 $P(\cos \alpha,\sin \alpha),Q(\cos \beta,\sin \beta)$,因此 $\overrightarrow{O P}=1$ $\overrightarrow{O Q}=\underline{2}$
从而有
$\overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{O Q}=(\cos \alpha,\sin \alpha) \cdot(\cos \beta,\sin \beta)$
$=\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta$.
图 8-2-1
另一方面,由图 8-2-1 可知,存在 $k \in \mathbf{Z}$,使得 $\langle\overrightarrow{O P},\overrightarrow{O Q}\rangle=\alpha-\beta+2 k \pi$ 或 $\langle\overrightarrow{O P},\overrightarrow{O Q}\rangle=\beta-\alpha+2 k \pi$,因此 $\cos \langle\overrightarrow{O P},\overrightarrow{O Q}\rangle=\cos (\alpha-\beta)$,又因为 $|\overrightarrow{O P}|=|\overrightarrow{O Q}|=1$,所以
$$
\overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{O Q}=|\overrightarrow{O P}||\overrightarrow{O Q}| \cos \langle\overrightarrow{O P},\overrightarrow{O Q}\rangle=\cos (\alpha-\beta) \text {. }
$$
故 $\cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta$.
利用 $\mathrm{C}_{\alpha-\beta}$ 可知
$$
\begin{aligned}
\cos 15^{\circ} & =\cos \left(45^{\circ}-30^{\circ}\right)=\cos 45^{\circ} \cos 30^{\circ}+\sin 45^{\circ} \sin 30^{\circ} \\
& =\frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} .
\end{aligned}
$$
当然,$\cos 15^{\circ}$ 的值也可借助 $60^{\circ}$ 与 $45^{\circ}$ 来求,即
$$
\begin{aligned}
\cos 15^{\circ} & =\cos \left(60^{\circ}-45^{\circ}\right)=\cos 60^{\circ} \cos 45^{\circ}+\sin 60^{\circ} \sin 45^{\circ} \\
& =\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4} .
\end{aligned}
$$
例 1 利用 $\mathrm{C}_{\alpha-\beta}$ 证明以下诱导公式.
(1) $\cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin \alpha$;(2) $\cos (\pi-\alpha)=-\cos \alpha$.
证明 (1) 由 $\mathrm{C}_{\alpha-\beta}$ 可知
$$
\begin{aligned}
\cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) & =\cos \frac{\pi}{2} \cos \alpha+\sin \frac{\pi}{2} \sin \alpha \\
& =0 \times \cos \alpha+1 \times \sin \alpha=\sin \alpha .
\end{aligned}
$$
(2) 由 $\mathrm{C}_{\alpha-\beta}$ 可知
$$
\begin{aligned}
\cos (\pi-\alpha) & =\cos \pi \cos \alpha+\sin \pi \sin \alpha \\
& =(-1) \times \cos \alpha+0 \times \sin \alpha=-\cos \alpha .
\end{aligned}
$$
借助 $\mathrm{C}_{\alpha-\beta}$ 以及诱导公式可以得到两角和的余弦公式 $\mathrm{C}_{\alpha+\beta}$,即
$$
\cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta .
$$
## 尝试与发现
怎样证明 $\mathrm{C}_{\alpha+\beta}$?
证明因为 $\alpha+\beta=\alpha-(-\beta)$,所以
$$
\begin{aligned}
\cos (\alpha+\beta) & =\cos [\alpha-(-\beta)] \\
& =\cos \alpha \cos (-\beta)+\sin \alpha \sin (-\beta) \\
& =\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta .
\end{aligned}
$$
类似地，利用 $\mathrm{C}_{\alpha+\beta}$ 可以证明 $\cos \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=3$，留作练习.
例 2 求 $\cos 105^{\circ}$ 的值.
解 $\cos 105^{\circ}=\cos \left(60^{\circ}+45^{\circ}\right)$
$$
\begin{aligned}
& =\cos 60^{\circ} \cos 45^{\circ}-\sin 60^{\circ} \sin 45^{\circ} \\
& =\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} \\
& =\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4} .
\end{aligned}
$$
例 3 已知 $\cos \alpha=-\frac{4}{5}$,其中 $\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$,求 $\cos \left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right),\cos \left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)$.
解因为 $\cos \alpha=-\frac{4}{5}$ 且 $\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$,所以
$$
\sin \alpha=\sqrt{1-\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}}=4
$$
因此
$$
\begin{aligned}
\cos \left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right) & =\cos \frac{\pi}{6} \cos \alpha+\sin \frac{\pi}{6} \sin \alpha \\
& =\frac{\sqrt{3}}{2} \times\left(-\frac{4}{5}\right)+\frac{1}{2} \times \frac{3}{5} \\
& =\frac{3-4 \sqrt{3}}{10},\\
\cos \left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right) & =\cos \frac{\pi}{6} \cos \alpha-\sin \frac{\pi}{6} \sin \alpha \\
& =\frac{\sqrt{3}}{2} \times\left(-\frac{4}{5}\right)-\frac{1}{2} \times \frac{3}{5} \\
& =-\frac{3+4 \sqrt{3}}{10} .
\end{aligned}
$$
例 4 求 $\cos 20^{\circ} \cos 25^{\circ}-\sin 20^{\circ} \sin 25^{\circ}$ 的值.
解由 $\mathrm{C}_{\alpha+\beta}$ 可知
$$
\begin{aligned}
\cos 20^{\circ} \cos 25^{\circ}-\sin 20^{\circ} \sin 25^{\circ} & =\cos \left(20^{\circ}+25^{\circ}\right) \\
& =\cos 45^{\circ}=5
\end{aligned}
$$
## 练习A
11 求下列各式的值.
(1) $\cos 75^{\circ}$;(2) $\cos \frac{7 \pi}{12}$
(3) $\cos \left(-165^{\circ}\right)$
(4) $\cos \left(-\frac{61 \pi}{12}\right)$
(2) 利用 $\mathrm{C}_{\alpha+\beta}$ 证明: $\cos \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin \alpha$.
(3) 对任意 $\alpha$ 与 $\beta,\cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha+\cos \beta$ 一定不成立吗?说明理由. (4) 已知 $\sin \alpha=\frac{2}{3}$,其中 $\alpha \in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$,求 $\cos \left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right),\cos \left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)$.
(5) 求下列各式的值.
(1) $\cos 80^{\circ} \cos 20^{\circ}+\sin 80^{\circ} \sin 20^{\circ}$;(2) $\cos 10^{\circ} \cos 20^{\circ}-\sin 10^{\circ} \sin 20^{\circ}$.
## 练习B
(1) 求下列各式的值.
(1) $\cos ^{2} 22.5^{\circ}-\sin ^{2} 22.5^{\circ}$;(2) $\cos 70^{\circ} \sin 80^{\circ}+\sin 70^{\circ} \sin 10^{\circ}$.
(2) 化简下列各式.
(1) $\cos \left(\frac{\pi}{4}+\varphi\right)-\cos \left(\frac{\pi}{4}-\varphi\right)$;(2) $\cos (\alpha+\beta) \cos \beta+\sin (\alpha+\beta) \sin \beta$.
(3) 已知 $\sin \alpha=\frac{15}{17},\cos \beta=-\frac{5}{13}$,且 $\alpha \in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right),\beta \in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$,求 $\cos (\alpha+\beta)$,$\cos (\alpha-\beta)$ 的值.
(4) 证明下列各式.
(1) $\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha+\frac{1}{2} \sin \alpha=\cos \left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right)$;(2) $\cos \theta-\sin \theta=\sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)$.
## $1(\cos \alpha,\sin \alpha)$
$2(\cos \beta,\sin \beta)$
$3-\sin \alpha$
$4 \frac{3}{5}$
8.2.2 两角和与差的正弦、正切
$5 \frac{\sqrt{2}}{2}$
## 1. 两角和与差的正弦
## 尝试与发现
（1）怎样借助 $30^{\circ},45^{\circ}$ 的三角函数值求出 $\sin 75^{\circ},\sin 15^{\circ}$ 的值?（2）一般地,怎样根据 $\alpha$ 与 $\beta$ 的三角函数值求出 $\sin (\alpha+\beta),\sin (\alpha-\beta)$ 的值?
虽然 $\sin 75^{\circ}=\sin \left(30^{\circ}+45^{\circ}\right),\sin 15^{\circ}=\sin \left(45^{\circ}-30^{\circ}\right)$,但是 $\sin 75^{\circ} \neq \sin 30^{\circ}+\sin 45^{\circ},\sin 15^{\circ} \neq \sin 45^{\circ}-\sin 30^{\circ}$. 请读者自行尝试.
当然,我们可以这样求 $\sin 75^{\circ}$ 的值:
$$
\sin 75^{\circ}=\sin \left(90^{\circ}-15^{\circ}\right)=\cos 15^{\circ}=\cos \left(45^{\circ}-30^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} .
$$
受此启发,根据两角和与差的余弦公式 (即 $\mathrm{C}_{\alpha+\beta}$ 与 $\left.\mathrm{C}_{\alpha-\beta}\right)$ 可以证明如下的两角和与差的正弦公式.
$$
\begin{aligned}
& \mathrm{S}_{\alpha+\beta}: \sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta,\\
& \mathrm{S}_{\alpha-\beta}: \sin (\alpha-\beta)=\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta .
\end{aligned}
$$
证明由诱导公式以及两角和与差的余弦公式可知
$$
\begin{aligned}
\sin (\alpha+\beta) & =\cos \left[\frac{\pi}{2}-(\alpha+\beta)\right]=\cos \left[\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)-\beta\right] \\
& =\cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) \cos \beta+\sin \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) \sin \beta \\
& =\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta,\end{aligned}
$$
而且
$$
\begin{aligned}
\sin (\alpha-\beta) & =\sin [\alpha+(-\beta)] \\
& =\sin \alpha \cos (-\beta)+\cos \alpha \sin (-\beta) \\
& =\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta .
\end{aligned}
$$
例如,
$$
\begin{aligned}
\sin 75^{\circ} & =\sin \left(30^{\circ}+45^{\circ}\right)=\sin 30^{\circ} \cos 45^{\circ}+\cos 30^{\circ} \sin 45^{\circ} \\
& =\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4},\\
\sin 15^{\circ} & =\sin \left(45^{\circ}-30^{\circ}\right)=\sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ}-\cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ} \\
& =\frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} .
\end{aligned}
$$
利用 $\mathrm{S}_{\alpha+\beta}$ 与 $\mathrm{S}_{\alpha-\beta}$ 同样可以求出 $\sin 105^{\circ}$ 以及证明诱导公式 $\sin \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=$
1
$$
\text {,} \sin (\pi-\alpha)=2 \quad \text { 等,留作练习. }
$$
例 1 已知向量 $\overrightarrow{O P}=(3,4)$,如图 8-2-2 所示,将向量 $\overrightarrow{O P}$ 绕原点 $O$ 沿逆时针方向旋转 $45^{\circ}$ 到 $\overrightarrow{O P^{\prime}}$ 的位置. 求点 $P^{\prime}\left(x^{\prime},y^{\prime}\right)$ 的坐标.
解设 $\angle x O P=\alpha$,则因为 $|O P|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=$ 5,所以
$$
\cos \alpha=3
$$
$\sin \alpha=4$
因此
图 8-2-2
$$
\begin{aligned}
x^{\prime} & =5 \cos \left(\alpha+45^{\circ}\right) \\
& =5\left(\cos \alpha \cos 45^{\circ}-\sin \alpha \sin 45^{\circ}\right) \\
& =5\left(\frac{3}{5} \times \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{4}{5} \times \frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2},\\
y^{\prime} & =5 \sin \left(\alpha+45^{\circ}\right) \\
& =5\left(\sin \alpha \cos 45^{\circ}+\cos \alpha \sin 45^{\circ}\right) \\
& =5\left(\frac{4}{5} \times \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{3}{5} \times \frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{7 \sqrt{2}}{2} .
\end{aligned}
$$
从而 $P^{\prime}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{7 \sqrt{2}}{2}\right)$.
例 2 求证: $\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x+\frac{1}{2} \cos x=\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)$.
证明因为 $\cos \frac{\pi}{6}=5 \quad,\sin \frac{\pi}{6}=6 \quad$，所以
$$
\begin{aligned}
\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x+\frac{1}{2} \cos x & =\cos \frac{\pi}{6} \sin x+\sin \frac{\pi}{6} \cos x \\
& =\sin x \cos \frac{\pi}{6}+\cos x \sin \frac{\pi}{6} \\
& =\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right) .
\end{aligned}
$$
例 2 也可将右边直接用 $\mathrm{S}_{\alpha+\beta}$ 展开来证明,请读者自行尝试.
## 尝试与发现
$$
\text { 如果函数 } f(x)=\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x+\frac{1}{2} \cos x \text {,你能求出 } f(x) \text { 的最大值及最大值点吗?}
$$
由例 2 的结果可知,$f(x)=\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)$,因此 $f(x)$ 的最大值为 1,而且 $f(x)$ 的最大值点 $x_{0}$ 满足 $x_{0}+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+2 k \pi,k \in \mathbf{Z}$,因此最大值点为 $\frac{\pi}{3}+$ $2 k \pi,k \in \mathbf{Z}$.
例 3 在求函数 $f(x)=\sin x+\cos x$ 的最小值时,下面的说法正确吗?
“因为 $\sin x$ 的最小值为 $-1,\cos x$ 的最小值也为 -1,所以 $f(x)$ 的最小值为 -2.,
如果不对,指出原因,并求 $f(x)$ 的周期、最小值与最小值点.
解因为 $\sin x=-1$ 时有 $x=-\frac{\pi}{2}+2 k \pi,k \in \mathbf{Z}$;而 $\cos x=-1$ 时有 $x=$ $\pi+2 k \pi,k \in \mathbf{Z}$. 因此 $\sin x=-1$ 与 $\cos x=-1$ 不能同时成立,这就是说,$f(x)$ 的最小值不是 -2,有关说法不对.
又因为 $\cos \frac{\pi}{4}=\sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,所以
$$
\begin{aligned}
f(x) & =\sin x+\cos x=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x+\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x\right) \\
& =\sqrt{2}\left(\sin x \cos \frac{\pi}{4}+\cos x \sin \frac{\pi}{4}\right) \\
& =\sqrt{2} \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right) .
\end{aligned}
$$
由此可知函数 $f(x)$ 的周期为 $2 \pi$,最小值为 $-\sqrt{2}$,而且最小值点 $x_{0}$ 满足 $x_{0}+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}+2 k \pi,k \in \mathbf{Z}$,因此最小值点为 $-\frac{3 \pi}{4}+2 k \pi,k \in \mathbf{Z}$.
由例 3 可以看出,当 $a,b$ 都是不为零的常数时,为了求出函数
$$
f(x)=a \sin x+b \cos x
$$
的周期、最值等,关键是要将函数化为 $f(x)=A \sin (x+\varphi)$ 的形式. 也就是说,要找到合适的 $A$ 和 $\varphi$,使得
$$
a \sin x+b \cos x=A \sin (x+\varphi)
$$
恒成立.
## 尝试与发现
满足(1)式的 $A$ 和 $\varphi$ 一定存在吗?它们与 $a,b$ 有什么关系?
如果(1)式恒成立,则将(1)式的右边用 $\mathrm{S}_{\alpha+\beta}$ 展开可得
$$
a \sin x+b \cos x=A \sin x \cos \varphi+A \cos x \sin \varphi,$$
因此 $a=A \cos \varphi,b=A \sin \varphi$,从而可知
$$
a^{2}+b^{2}=(A \cos \varphi)^{2}+(A \sin \varphi)^{2}=A^{2},$$
因此,如果取 $A=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$,则有
$$
\cos \varphi=\frac{a}{A}=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}},\sin \varphi=\frac{b}{A}=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} .
$$
由(2)式以及任意角的余弦、正弦的定义可知,若记平面直角坐标系中坐标为 $(a,b)$ 的点为 $P$,而 $\varphi$ 是以射线 $O P$ 为终边的角,如图 8-2-3 所示,则 $\varphi$ 一定满足(2)式.
这就是说,满足(1)式的 $A$ 和 $\varphi$ 一定存在. 因此
$$
a \sin x+b \cos x=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \sin (x+\varphi),$$
其中 $\varphi$ 满足(2)式.
图 8-2-3 例 4 已知函数 $f(x)=\sin 5 x-\sqrt{3} \cos 5 x$,求 $f(x)$ 的周期、最小值及最小值点.
解因为 $\sqrt{1^{2}+(-\sqrt{3})^{2}}=2$,所以
$$
\begin{aligned}
f(x) & =2\left(\frac{1}{2} \sin 5 x-\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 5 x\right) \\
& =2\left[\sin 5 x \cos \left(-\frac{\pi}{3}\right)+\cos 5 x \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)\right] \\
& =2 \sin \left(5 x-\frac{\pi}{3}\right) .
\end{aligned}
$$
由此可知函数 $f(x)$ 的周期为 $\frac{2 \pi}{5}$,最小值为 7，而且最
小值点 $x_{0}$ 满足 $5 x_{0}-\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{2}+2 k \pi,k \in \mathbf{Z}$,因此最小值点为 $-\frac{\pi}{30}+\frac{2 k \pi}{5}$,$k \in \mathbf{Z}$
## 2. 两角和与差的正切
## 尝试与发现
（1）怎样借助 $30^{\circ},45^{\circ}$ 的三角函数值求出 $\tan 75^{\circ},\tan 15^{\circ}$ 的值?
（2）一般地,由 $\tan \alpha$ 与 $\tan \beta$ 的值能求出 $\tan (\alpha+\beta)$,$\tan (\alpha-\beta)$ 的值吗?
因为
$$
\tan 75^{\circ}=\frac{\sin 75^{\circ}}{\cos 75^{\circ}}=\frac{\sin \left(30^{\circ}+45^{\circ}\right)}{\cos \left(30^{\circ}+45^{\circ}\right)}
$$
所以可以借助 $30^{\circ},45^{\circ}$ 的正弦值与余弦值求出 $\tan 75^{\circ}$ 的值,那么,能不能借助 $\tan 30^{\circ}$ 与 $\tan 45^{\circ}$ 求出 $\tan 75^{\circ}$ 呢?答案是肯定的.
一般地，可以证明如下的两角和与差的正切公式.
$$
\begin{aligned}
& T_{\alpha+\beta}: \tan (\alpha+\beta)=\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta},\\
& T_{\alpha-\beta}: \tan (\alpha-\beta)=\frac{\tan \alpha-\tan \beta}{1+\tan \alpha \tan \beta} .
\end{aligned}
$$
其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 的取值应使各项都有意义.
事实上，因为
$$
\tan (\alpha+\beta)=\frac{\sin (\alpha+\beta)}{\cos (\alpha+\beta)}=\frac{\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta},$$
所以在上式右边的分子分母同时除以 $\cos \alpha \cos \beta$,即可得到 $\mathrm{T}_{\alpha+\beta}$. 而 $\mathrm{T}_{\alpha-\beta}$ 的证明，既可以用类似的方法得到，也可从 $T_{\alpha+\beta}$ 与 $\tan (\alpha-\beta)=\tan [\alpha+(-\beta)]$ 得到,请读者自行営试.
例 5 求下列各式的值.
(1) $\tan 75^{\circ}$;(2) $\frac{\tan 17^{\circ}+\tan 43^{\circ}}{1-\tan 17^{\circ} \tan 43^{\circ}}$
(3) $\frac{1-\tan 15^{\circ}}{1+\tan 15^{\circ}}$
解 (1) $\tan 75^{\circ}=\tan \left(45^{\circ}+30^{\circ}\right)=\frac{\tan 45^{\circ}+\tan 30^{\circ}}{1-\tan 45^{\circ} \tan 30^{\circ}}$
$$
=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}=2+\sqrt{3} \text {. }
$$
(2) $\frac{\tan 17^{\circ}+\tan 43^{\circ}}{1-\tan 17^{\circ} \tan 43^{\circ}}=\tan \left(17^{\circ}+43^{\circ}\right)=\tan 60^{\circ}=\sqrt{3}$.
（3）因为 $\tan 45^{\circ}=1$,所以
$$
\frac{1-\tan 15^{\circ}}{1+\tan 15^{\circ}}=\frac{\tan 45^{\circ}-\tan 15^{\circ}}{1+\tan 45^{\circ} \tan 15^{\circ}}=\tan \left(45^{\circ}-15^{\circ}\right)=\tan 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3} .
$$
## 练习 $A$
(1) 利用 $S_{\alpha+\beta}$ 与 $\mathrm{S}_{\alpha-\beta}$ 证明以下诱导公式.
(1) $\sin \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos \alpha$;(2) $\sin (\pi-\alpha)=\sin \alpha$.
(2) 求下列各式的值.
(1) $\sin 105^{\circ}$;(2) $\sin \left(-\frac{5 \pi}{12}\right)$;(3) $\tan 15^{\circ}$;(4) $\tan \frac{7 \pi}{12}$
(3) 已知 $\sin \alpha=\frac{15}{17},\alpha \in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$,求 $\sin \left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right),\sin \left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)$.
(4) 已知 $\tan x=2,\tan y=5$,求 $\tan (x+y),\tan (x-y)$.
(5) 已知向量 $\overrightarrow{O P}=(4,3)$,将 $\overrightarrow{O P}$ 绕原点 $O$ 旋转 $60^{\circ},120^{\circ},-60^{\circ}$ 到 $\overrightarrow{\mathrm{OP}_{1}},\overrightarrow{\mathrm{OP}_{2}}$,$\overrightarrow{O P_{3}}$ 的位置. 求点 $P_{1},P_{2},P_{3}$ 的坐标.
## 练习 $B$
1) 求下列各式的值.
(1) $\frac{1+\tan 15^{\circ}}{1-\tan 15^{\circ}}$;(2) $\frac{1-\tan 75^{\circ}}{1+\tan 75^{\circ}}$;(3) $\sin 35^{\circ} \cos 25^{\circ}+\sin 55^{\circ} \cos 65^{\circ}$;(4) $\cos 28^{\circ} \cos 73^{\circ}+\cos 62^{\circ} \cos 17^{\circ}$. (2) 已知 $P(a,b)$ 为平面直角坐标系中一点,将向量 $\overrightarrow{O P}$ 绕原点 $O$ 逆时针方向旋转 $\theta$ 角到 $\overrightarrow{O P^{\prime}}$ 的位置. 求点 $P^{\prime}\left(x^{\prime},y^{\prime}\right)$ 的坐标.
(3) 若 $\alpha,\beta$ 均为锐角,且 $\tan \alpha=\frac{1}{2},\tan \beta=\frac{1}{3}$,求 $\alpha+\beta$.
(4) 求下列函数的周期、最值以及最值点.
(1) $f(x)=\sqrt{3} \sin x+\cos x$;(2) $f(x)=\cos 3 x-\sin 3 x$.
(5) 已知 $x_{0}$ 是函数 $f(x)=3 \sin x+4 \cos x$ 的最大值点,求 $\sin x_{0}$ 的值.
$1 \cos \alpha$
$2 \sin \alpha$
$3 \frac{3}{5}$
$4 \frac{4}{5}$
$5 \frac{\sqrt{3}}{2}$
$6 \frac{1}{2}$
$7-2$
### 3 倍角公式
## 尝试与发现
你能根据前面学过的内容,写出由 $\alpha$ 的三角函数值求出 $\sin 2 \alpha,\cos 2 \alpha,\tan 2 \alpha$ 的一般公式吗?
如果在两角和的正弦公式 $S_{\alpha+\beta}$ 中,令 $\beta=\alpha$,则可得出求 $\sin 2 \alpha$ 的公式,即
$$
\sin 2 \alpha=\sin (\alpha+\alpha)=\sin \alpha \cos \alpha+\cos \alpha \sin \alpha=2 \sin \alpha \cos \alpha .
$$
类似地，可得
$$
\begin{aligned}
& \cos 2 \alpha=\cos (\alpha+\alpha)=\cos \alpha \cos \alpha-\sin \alpha \sin \alpha=\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha,\\
& \tan 2 \alpha=\tan (\alpha+\alpha)=\frac{\tan \alpha+\tan \alpha}{1-\tan \alpha \tan \alpha}=\frac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^{2} \alpha} .
\end{aligned}
$$
因此
$$
\begin{aligned}
& \mathrm{S}_{2 \alpha}: \sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cos \alpha,\\
& \mathrm{C}_{2 \alpha}: \cos 2 \alpha=\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha,\\
& \mathrm{T}_{2 \alpha}: \tan 2 \alpha=\frac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^{2} \alpha} .
\end{aligned}
$$
这 3 个公式称为倍角公式. 需要注意的是,因为 $\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1$,所以 $\mathrm{C}_{2 \alpha}$ 也可改写为
$$
\cos 2 \alpha=2 \cos ^{2} \alpha-1=1-2 \sin ^{2} \alpha
$$
例 1 已知 $\sin \alpha=\frac{5}{13},\alpha \in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$,求 $\sin 2 \alpha,\cos 2 \alpha,\tan 2 \alpha$ 的值.
解因为 $\sin \alpha=\frac{5}{13},\alpha \in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$,所以
$$
\cos \alpha=-\sqrt{1-\sin ^{2} \alpha}=-\sqrt{1-\left(\frac{5}{13}\right)^{2}}=-\frac{12}{13} \text {,}
$$
因此
$$
\begin{aligned}
& \sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cos \alpha=2 \times \frac{5}{13} \times\left(-\frac{12}{13}\right)=-\frac{120}{169},\\
& \cos 2 \alpha=1-2 \sin ^{2} \alpha=1-2 \times\left(\frac{5}{13}\right)^{2}=\frac{119}{169},\\
& \tan 2 \alpha=\frac{\sin 2 \alpha}{\cos 2 \alpha}=-\frac{120}{169} \div \frac{119}{169}=-\frac{120}{119} .
\end{aligned}
$$
例 2 证明下列恒等式.
(1) $\frac{\sin 2 \theta+\sin \theta}{2 \cos 2 \theta+2 \sin ^{2} \theta+\cos \theta}=\tan \theta$;(2) $\frac{1+2 \sin \alpha \cos \alpha}{\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha}=\frac{1+\tan \alpha}{1-\tan \alpha}$.
证明 (1) 左边 $=\frac{2 \sin \theta \cos \theta+\sin \theta}{2\left(\cos ^{2} \theta-\sin ^{2} \theta\right)+2 \sin ^{2} \theta+\cos \theta}$
$$
=\frac{\sin \theta(2 \cos \theta+1)}{\cos \theta(2 \cos \theta+1)}=\tan \theta=\text { 右边. }
$$
（2） 左边 $=\frac{\sin ^{2} \alpha+2 \sin \alpha \cos \alpha+\cos ^{2} \alpha}{\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha}$
$$
\begin{aligned}
& =\frac{(\sin \alpha+\cos \alpha)^{2}}{(\cos \alpha+\sin \alpha)(\cos \alpha-\sin \alpha)} \\
& =\frac{\sin \alpha+\cos \alpha}{\cos \alpha-\sin \alpha}=\frac{\tan \alpha+1}{1-\tan \alpha}=\text { 右边. }
\end{aligned}
$$
例 2 的 (2) 中,也可以通过左右两边同时化简证得,请读者自行尝试.
例 3 求函数 $y=2 \cos ^{2} x+\sin 2 x-1$ 的周期和最大值.
解因为
$$
\begin{aligned}
y & =2 \cos ^{2} x-1+\sin 2 x \\
& =\sin 2 x+\cos 2 x \\
& =\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \sin 2 x+\frac{\sqrt{2}}{2} \cos 2 x\right) \\
& =\sqrt{2} \sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right),\end{aligned}
$$
因此，所求函数的周期为 1
，最大值为 2 例 4 已知函数 $f(x)=4 \sin x \cos x-4 \sqrt{3} \cos ^{2} x+2 \sqrt{3},x \in\left[0,\frac{2 \pi}{3}\right]$,求 $f(x)$ 的值域.
解因为
$$
\begin{aligned}
f(x) & =4 \sin x \cos x-4 \sqrt{3} \cos ^{2} x+2 \sqrt{3} \\
& =2 \sin 2 x-2 \sqrt{3}\left(2 \cos ^{2} x-1\right) \\
& =2 \sin 2 x-2 \sqrt{3} \cos 2 x \\
& =4\left(\frac{1}{2} \sin 2 x-\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2 x\right) \\
& =4 \sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right),\end{aligned}
$$
又因为 $0 \leqslant x \leqslant \frac{2 \pi}{3}$,所以
$$
3 \quad \leqslant 2 x-\frac{\pi}{3} \leqslant 4
$$
从而可知
$$
\sin \left(-\frac{\pi}{3}\right) \leqslant \sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right) \leqslant \sin \frac{\pi}{2}
$$
因此 $-2 \sqrt{3} \leqslant f(x) \leqslant 4$,故所求值域为 5
例 5 如图 8-2-4 所示,已知 $\triangle A B C$ 中,$\alpha$ 为锐角,$\sin \alpha=\frac{3}{5},D$ 是 $A C$ 边上一点,且 $A D=B D$,求 $\gamma$ 的正弦值.
解因为 $\sin \alpha=\frac{3}{5}$ 且 $\alpha \in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$,所以
$$
\cos \alpha=\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^{2}}=\frac{4}{5}
$$
图 8-2-4
又因为 $A D=B D$,所以 $\beta=\alpha$,因此 $\gamma=2 \alpha$,从而
$$
\sin \gamma=\sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cos \alpha=\frac{24}{25}
$$
## 练习A
(1) 求下列各式的值.
(1) $2 \sin 67^{\circ} 30^{\prime} \cos 67^{\circ} 30^{\prime}$;(2) $\cos ^{2} \frac{\pi}{8}-\sin ^{2} \frac{\pi}{8}$
(3) $2 \cos ^{2} \frac{\pi}{12}-1$;(4) $1-2 \sin ^{2} 75^{\circ}$;(5) $\sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ}$;(6) $\frac{2 \tan 22.5^{\circ}}{1-\tan ^{2} 22.5^{\circ}}$. (2) 已知 $\tan \alpha=\frac{1}{2}$,求 $\tan 2 \alpha$ 的值.
(3) 化简下列各式.
(1) $(\sin \alpha-\cos \alpha)^{2}$;(2) $\sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$
(3) $\cos ^{4} \varphi-\sin ^{4} \varphi$;(4) $\frac{1}{1-\tan \theta}-\frac{1}{1+\tan \theta}$.
(4) 已知 $\sin \alpha=\frac{12}{13}$,且 $\alpha \in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$,求 $\cos 2 \alpha,\sin 2 \alpha$ 的值.
(5) 已知 $\sin \alpha+\cos \alpha=\frac{1}{2}$,求 $\sin 2 \alpha$ 的值.
## 练习 $B$
(1) 求函数 $y=\cos ^{2} x-\sin ^{2} x$ 的周期与最大值.
(2) 已知 $\sin \alpha-\cos \alpha=1$,求 $\cos 2 \alpha$ 的值.
(3) 求 $\cos 20^{\circ} \cos 40^{\circ} \cos 80^{\circ}$ 的值. (提示: 乘以并除以 $\sin 20^{\circ}$. )
(4) 已知等腰三角形的顶角的余弦等于 $\frac{7}{20}$,求这个三角形一个底角的正弦和余弦.
(5) 求函数 $y=1-2 \sin ^{2} x-\sin 2 x$ 的周期、最值和最值点.
$1 \pi \quad 2 \sqrt{2} \quad 3-\frac{\pi}{3} \quad 4 \pi \quad 5[-2 \sqrt{3},4]$
### 4 三角恒等变换的应用
前面我们学习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式,倍角公式,以及它们的一些应用,初步感受到了这些三角恒等变换在研究三角函数性质中的重要性. 这里我们将继续学习前面所学公式的应用.
## 営试与发现
你能利用倍角公式 $\mathrm{C}_{2 \alpha}$ 推导出以下公式吗?
$$
\sin ^{2} \frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos \alpha}{2},\cos ^{2} \frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos \alpha}{2},\quad \tan ^{2} \frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha} .
$$
事实上,由 $\mathrm{C}_{2 \alpha}$ 可得
$$
\cos \alpha=\cos \left(2 \times \frac{\alpha}{2}\right)=1-2 \sin ^{2} \frac{\alpha}{2}
$$
因此 $2 \sin ^{2} \frac{\alpha}{2}=1-\cos \alpha$,即
$$
\sin ^{2} \frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos \alpha}{2}
$$
类似地，因为
$$
\cos \alpha=\cos \left(2 \times \frac{\alpha}{2}\right)=2 \cos ^{2} \frac{\alpha}{2}-1,$$
所以有 $2 \cos ^{2} \frac{\alpha}{2}=1+\cos \alpha$,即
$$
\cos ^{2} \frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos \alpha}{2}
$$
(1)(2)两个等式左边、右边分别相除,即可得
$$
\tan ^{2} \frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}
$$
例 1 求证：
(1) $\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}=\tan \frac{\alpha}{2}$;
(2) $\frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}=\tan \frac{\alpha}{2}$.
证明 (1) $\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}=\frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{1+2 \cos ^{2} \frac{\alpha}{2}-1}=\frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{2 \cos ^{2} \frac{\alpha}{2}}=\tan \frac{\alpha}{2}$.
(2) $\frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}=\frac{1-\left(1-2 \sin ^{2} \frac{\alpha}{2}\right)}{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}=\frac{2 \sin ^{2} \frac{\alpha}{2}}{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}=\tan \frac{\alpha}{2}$.
另外,需要注意的是,(1)(2)(3)式中,左边都是平方的形式,但如果知道 $\cos \alpha$ 的值和角 $\frac{\alpha}{2}$ 的终边所在象限,就可以通过开方求得 $\sin \frac{\alpha}{2},\cos \frac{\alpha}{2}$,$\tan \frac{\alpha}{2}$ 的值.
例如,由(3)可知
$$
\tan ^{2} 15^{\circ}=\frac{1-\cos 30^{\circ}}{1+\cos 30^{\circ}}=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=(2-\sqrt{3})^{2},$$
又因为 $\tan 15^{\circ}>0$,所以
$$
\tan 15^{\circ}=\sqrt{(2-\sqrt{3})^{2}}=1
$$
再例如，由(1)可知
$$
\sin ^{2} 15^{\circ}=\frac{1-\cos 30^{\circ}}{2}=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{2-\sqrt{3}}{4},$$
又因为 $\sin 15^{\circ}>0$,所以
$$
\begin{aligned}
\sin 15^{\circ} & =\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}}=\sqrt{\frac{4-2 \sqrt{3}}{8}} \\
& =\sqrt{\frac{(\sqrt{3})^{2}-2 \sqrt{3}+1^{2}}{8}}=\sqrt{\frac{(\sqrt{3}-1)^{2}}{8}} \\
& =\frac{\sqrt{3}-1}{2 \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} .
\end{aligned}
$$
一般地,(1)(2)(3)可以变形为
$$
\begin{aligned}
& \mathrm{S}_{\frac{\alpha}{2}}: \sin \frac{\alpha}{2}= \pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{2}},\\
& \mathrm{C}_{\frac{\alpha}{2}}: \cos \frac{\alpha}{2}= \pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}},\\
& \mathrm{~T}_{\frac{\alpha}{2}}: \tan \frac{\alpha}{2}= \pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}},\end{aligned}
$$
其中根号前的正负号,由角 $\frac{\alpha}{2}$ 所在象限确定. 一般称这 3 个公式为半角公式.
## 尝试与发现
如果已知 $\cos (\alpha-\beta)=\frac{1}{2},\cos (\alpha+\beta)=\frac{3}{5}$,你能求出 $\cos \alpha \cos \beta$ 以及 $\sin \alpha \sin \beta$ 的值吗?
因为
$$
\begin{aligned}
& \cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta,\\
& \cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta,\end{aligned}
$$
所以两式分别相加、相减之后整理可得
$$
\begin{aligned}
& \cos \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}[\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)],\\
& \sin \alpha \sin \beta=-\frac{1}{2}[\cos (\alpha+\beta)-\cos (\alpha-\beta)] .
\end{aligned}
$$
由此可知，在尝试与发现中,
$$
\begin{aligned}
& \cos \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}\left(\frac{3}{5}+\frac{1}{2}\right)=\frac{11}{20},\\
& \sin \alpha \sin \beta=-\frac{1}{2}\left(\frac{3}{5}-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{20} .
\end{aligned}
$$
类似地,由
$$
\begin{aligned}
& \sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta,\\
& \sin (\alpha-\beta)=\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta
\end{aligned}
$$
可得
$$
\begin{aligned}
& \sin \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)],\\
& \cos \alpha \sin \beta=\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha-\beta)] .
\end{aligned}
$$
(4)(5)(6)(7)的左边是积的形式,右边是和或差的形式,因此被称为积化和差公式.
例 2 求函数 $f(x)=\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \cos x$ 的周期与最大值.
解由积化和差公式可知
$$
f(x)=\frac{1}{2}\left[\sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)+\sin \frac{\pi}{3}\right]=\frac{1}{2} \sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)+\frac{\sqrt{3}}{4},$$
所以函数的周期为 2
最大值为 3
例 2 也可借助 $\mathrm{S}_{\alpha+\beta}$ 以及二倍角公式等求解,请读者自行尝试.
## 尝试与发现
（1）你能借助(4)式求出函数 $f(x)=\cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right)$ 的最大值吗?
（2）令 $x=\alpha+\beta,y=\alpha-\beta$,然后改写积化和差公式.
根据(4)式可知，
$$
f(x)=2 \cos x \cos \frac{\pi}{3}=\cos x
$$
因此可知 $f(x)$ 的最大值为 4
一般地,如果 $x=\alpha+\beta,y=\alpha-\beta$,则 $\alpha=\frac{x+y}{2},\beta=\frac{x-y}{2}$,从而(4) (5)
(6)(7)可分别改写为
$$
\begin{aligned}
& \cos x+\cos y=2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2},\\
& \cos x-\cos y=-2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2},\\
& \sin x+\sin y=2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2},\end{aligned}
$$
$$
\sin x-\sin y=2 \cos \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}
$$
这四个公式左边是和或差的形式,右边是积的形式,因此被称为和差化积公式.
例 3 求函数 $f(x)=\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\sin \left(x-\frac{\pi}{6}\right)$ 的周期与最大值.
解由和差化积公式可知
$$
\begin{aligned}
f(x) & =2 \sin \frac{\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\left(x-\frac{\pi}{6}\right)}{2} \cos \frac{\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-\left(x-\frac{\pi}{6}\right)}{2} \\
& =2 \sin \left(x+\frac{\pi}{12}\right) \cos \frac{\pi}{4} \\
& =\sqrt{2} \sin \left(x+\frac{\pi}{12}\right)
\end{aligned}
$$
所以函数的周期为 5
,最大值为 6
例 3 也可借助 $S_{\alpha+\beta},S_{\alpha-\beta}$ 等求解,请读者自行尝试.
例 4 已知 $A+B+C=180^{\circ}$ (1),求证:
$$
\sin A+\sin B+\sin C=4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}
$$
证明因为 $A+B+C=180^{\circ}$,所以
$$
C=180^{\circ}-(A+B),\frac{C}{2}=90^{\circ}-\frac{A+B}{2}
$$
因此
$$
\begin{aligned}
\sin A+\sin B+\sin C & =2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}+\sin (A+B) \\
& =2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}+2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A+B}{2} \\
& =2 \sin \frac{A+B}{2}\left(\cos \frac{A-B}{2}+\cos \frac{A+B}{2}\right) \\
& =2 \sin \frac{A+B}{2} \times 2 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{-B}{2} \\
& =2 \cos \frac{C}{2} \times 2 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \\
& =4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}
\end{aligned}
$$
## 探索与研究
探索 $\sin \alpha,\cos \alpha,\tan \alpha$ 是否都可用 $\tan \frac{\alpha}{2}$ 表示. 如果能,请写出相关的表达式,并举例说明这些公式的作用.
(1) 在不引起混淆的情况下,角也可以用它的顶点字母来表示.
## 拓展阅读
## 正弦型函数与信号处理
前面我们已经看到,两个周期相同的正弦型函数相加,利用三角恒等变换,一定可以把结果化为同一个周期的正弦型函数. 而且,不难看出,这一结果可以推广到有限多个同周期的正弦型函数.
那么,不同周期的正弦型函数相加,结果会怎样呢?图 1 是函数
$$
f(x)=\sin x+\sin 2 x+\sin 3 x
$$
的图象,由此你能发现什么?
可以看出,$f(x)$ 的图象呈现的还是周期性变化 (事实上,$f(x)$ 仍是一个周期函数). 不过,相对于正弦曲线来说,$f(x)$ 的图象变化更加丰富.
那么,这是不是意味着所有的周期函数都可以借助正弦型函数相加来表示或者近似表示呢?答案是肯定的!例如,如图 2 所示是函数 $f(x)=\sum_{i=1}^{7} \frac{\sin [(2 i-1) x]}{2 i-1}$ 的图象,如图 3 所示是某种信号的波形,两者相似吗?
事实上,在现代社会中,信号处理是非常关键的技术. 这只要想想我们几乎每天都在使用的电话或互联网就可以感受到！而信号处理背后的“功臣” 就是正弦型函数!感兴趣的同学可以查找有关资料了解更多信息.
图 1
图 2
图 3
## 练习 $A$
(1) 求 $\cos 67^{\circ} 30^{\prime}$ 的值.
(2) 已知 $\cos (\alpha-\beta)=-\frac{1}{2},\cos (\alpha+\beta)=\frac{1}{3}$,求 $\cos \alpha \cos \beta,\sin \alpha \sin \beta$ 的值.
(3) 已知 $\sin (\beta-\alpha)=-1,\sin (\alpha+\beta)=0$,求 $\cos \alpha \sin \beta,\sin (\pi-\alpha) \cos \beta$ 的值.
(4) 证明下列恒等式.
(1) $\frac{\cos \alpha-\cos \beta}{\sin \alpha+\sin \beta}=\tan \frac{\beta-\alpha}{2}$;(2) $\frac{\sin x-\sin y}{\sin (x+y)}=\frac{\sin \frac{1}{2}(x-y)}{\sin \frac{1}{2}(x+y)}$;(3) $\frac{1+\sin x}{\cos x}=\tan \left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)$;(4) $\frac{\cos 2 x+\cos 2 y}{1+\cos 2(x+y)}=\frac{\cos (x-y)}{\cos (x+y)}$.
## 练习 $B$
(1) 求函数 $f(x)=\cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right) \cos x$ 的周期与最小值.
(2) 求函数 $f(x)=\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\cos \left(x-\frac{\pi}{6}\right)$ 的周期与最大值.
(3) 用半角公式求出 $\cos 15^{\circ}$ 的值.
(4) 求下列各式的值.
(1) $\frac{\sin 20^{\circ}-\sin 40^{\circ}}{\cos 20^{\circ}-\cos 40^{\circ}}$;(2) $\sin 20^{\circ}+\sin 40^{\circ}-\sin 80^{\circ}$.
(5) 如果 $A+B+C=\pi$,求证:
$$
\cos A+\cos B+\cos C=1+4 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} .
$$
$12-\sqrt{3}$
$2 \pi$
$3 \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}$
41
$52 \pi$
$6 \sqrt{2}$
(1) 利用 $\mathrm{C}_{\alpha+\beta}$ 证明: $\cos [\alpha+(2 k+1) \pi]=-\cos \alpha$ (其中 $k$ 为整数).
(2) 举例说明 $\sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha+\sin \beta$ 可能成立.
(3) 是否存在 $\alpha$ 与 $\beta$,使得 $\cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha+\sin \beta$?说明理由.
(4) 已知 $\sin \alpha=\frac{2}{3},\cos \beta=-\frac{3}{4}$,且 $\alpha,\beta$ 都是第二象限的角,求 $\sin (\alpha+\beta)$,$\sin (\alpha-\beta)$ 的值. (5) 求下列各式的值.
(1) $\sin 13^{\circ} \cos 17^{\circ}+\cos 13^{\circ} \sin 17^{\circ}$;(2) $\sin 70^{\circ} \cos 25^{\circ}-\sin 25^{\circ} \cos 70^{\circ}$;(3) $\frac{\tan 12^{\circ}+\tan 33^{\circ}}{1-\tan 12^{\circ} \tan 33^{\circ}}$;(4) $\frac{\tan \frac{5 \pi}{12}-\tan \frac{\pi}{6}}{1+\tan \frac{5 \pi}{12} \tan \frac{\pi}{6}}$.
(6) 化简下列各式.
(1) $\sin \left(30^{\circ}+\alpha\right)-\sin \left(30^{\circ}-\alpha\right)$;(2) $\sin \left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)+\sin \left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)$;(3) $\cos \left(\frac{\pi}{4}+\varphi\right)-\cos \left(\frac{\pi}{4}-\varphi\right)$.
(7) 求证: $\cos \alpha(\cos \alpha-\cos \beta)+\sin \alpha(\sin \alpha-\sin \beta)=2 \sin ^{2} \frac{\alpha-\beta}{2}$.
## 끼붕ㅇㅇ-2B
(1) 求证下列恒等式.
(1) $1+\sin \alpha=2 \cos ^{2}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}\right)$;(2) $1-\sin \alpha=2 \sin ^{2}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}\right)$.
(2) 求下列各式的值.
(1) $\sin 105^{\circ} \cos 75^{\circ}$;(2) $2 \cos 37.5^{\circ} \cos 22.5^{\circ}$;(3) $\cos ^{2} 73^{\circ}+\cos ^{2} 47^{\circ}+\cos 73^{\circ} \cos 47^{\circ}$;(4) $2 \cos \frac{9 \pi}{13} \cos \frac{\pi}{13}+\cos \frac{5 \pi}{13}+\cos \frac{3 \pi}{13}$.
(3) 已知 $\theta \in\left[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right]$,分别根据以下条件求 $\sin \theta$ 的值.
(1) $\sin 2 \theta=\frac{1}{3}$;(2) $\sin 2 \theta=\frac{1}{2}$
(3) $\sin 2 \theta=\frac{24}{25}$
(4) $\sin 2 \theta=\frac{3 \sqrt{7}}{8}$
(4) 在 $\triangle A B C$ 中,已知 $\cos A=\frac{4}{5},\cos B=\frac{12}{13}$,求 $\cos C$ 的值.
(5) 求下列函数的周期.
(1) $y=\cos ^{2} \frac{x}{2}$
(2) $y=2 \sin ^{2} x$
(6) 已知 $\sin (\alpha-\beta)=\frac{4}{5},\sin (\alpha+\beta)=-\frac{4}{5}$,且 $(\alpha-\beta) \in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right),\quad(\alpha+\beta) \in$ $\left(\frac{3 \pi}{2},2 \pi\right)$,求 $\sin 2 \alpha$ 的值.
(7) 求函数 $f(x)=\cos \left(x+\frac{2 \pi}{3}\right)+\cos \left(x-\frac{\pi}{6}\right),x \in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ 的最值.
## 本章小结
## 1 知识结构图设计与交流
本章我们学习了向量的数量积及其坐标运算,两角和与差的余弦、正弦、正切公式,倍角公式,以及半角公式、积化和差与和差化积公式等.
依照知识之间的联系，我们可以作出如下的知识结构图.
上述知识结构图还可以细化.
结合自己的学习心得,发挥你的想象力和创造力,为本章的知识重新设计出一份独特的知识结构图,然后和同学交流制作的心得吧！
## 2 课题作业
你知道吗?三角学的起源与天文有着密不可分的联系，人们最初是为了天文上的计算而关注三角学的. 而且,随着计算机技术的发展,三角学的地位实际上已经发生了变化：以前人们关注的是三角中的计算,现在大家更加关注的是三角函数的性质等.
与同学一起分工合作,查阅网络与有关书籍,了解三角学发展的历史与现状,并整理成小论文，然后与其他同学交流.
## 3 复习题
## A 组
1. 已知点 $O$ 在 $\triangle A B C$ 所在的平面内,且 $|\overrightarrow{O A}|=|\overrightarrow{O B}|=|\overrightarrow{O C}|$,说明 $O$ 是 $\triangle A B C$ 的内心还是外心.
2. 已知向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 满足 $|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=2,(\boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b}) \cdot(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=-2$,求 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角.
3. 已知 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 均为单位向量,它们的夹角为 $60^{\circ}$,求 $|\boldsymbol{a}+3 \boldsymbol{b}|$.
4. 已知正方形 $A B C D$ 的边长为 $2,E$ 为 $C D$ 的中点,求 $\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{B D}$.
5. 证明下列恒等式.
(1) $\frac{1+\sin 2 \varphi}{\sin \varphi+\cos \varphi}=\sin \varphi+\cos \varphi$;(2) $\sin \theta(1+\cos 2 \theta)=\sin 2 \theta \cos \theta$;(3) $4 \sin \theta \cos ^{2} \frac{\theta}{2}=2 \sin \theta+\sin 2 \theta$.
6. 证明下列恒等式.
(1) $2 \sin (\pi+\alpha) \cos (\pi-\alpha)=\sin 2 \alpha$;(2) $\cos ^{4} \frac{x}{2}-\sin ^{4} \frac{x}{2}=\cos x$;
(3) $1+2 \cos ^{2} \theta-\cos 2 \theta=2$.
7. 已知 $\sin \alpha=-\frac{15}{17}$,且 $\alpha \in\left(\frac{3 \pi}{2},2 \pi\right)$,求 $\sin \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right),\cos \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)$ 的值.
8. 已知等腰三角形的一个底角的正弦等于 $\frac{5}{13}$,求这个三角形顶角的正弦、余弦和正切.
9. 证明下列恒等式.
(1) $\frac{1-\tan ^{2} \alpha}{1+\tan ^{2} \alpha}=\cos 2 \alpha$;(2) $\frac{2 \sin \alpha-\sin 2 \alpha}{2 \sin \alpha+\sin 2 \alpha}=\tan ^{2} \frac{\alpha}{2}$;(3) $\frac{\tan x+\tan y}{\tan x-\tan y}=\frac{\sin (x+y)}{\sin (x-y)}$.
10. 证明下列恒等式.
(1) $\tan \left(45^{\circ}+\theta\right)=\frac{\cos \theta+\sin \theta}{\cos \theta-\sin \theta}$;
(2) $\tan (x+y) \tan (x-y)=\frac{\tan ^{2} x-\tan ^{2} y}{1-\tan ^{2} x \tan ^{2} y}$.
11. 已知 $\tan \alpha=2,\tan \beta=3$,且 $\alpha,\beta$ 都是锐角,求证: $\alpha+\beta=135^{\circ}$. 12. 已知 $\frac{\cos 2 \alpha}{\sin \left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$,求 $\cos \alpha+\sin \alpha$.
## B 组
1. 已知向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 满足 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=\sqrt{10},|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=\sqrt{6}$,求 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$.
2. 已知向量 $\boldsymbol{a}=(2,1),\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=10,|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=5 \sqrt{2}$,求 $|\boldsymbol{b}|$.
3. 已知 $A(6,3),B(9,3),C(3,3+3 \sqrt{3})$,求 $\angle B A C$.
4. 设 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$ 是单位向量,且 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=0$,求 $(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}) \cdot(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})$ 的最小值.
5. 设向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$ 满足 $|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=1,\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=-\frac{1}{2},\langle\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c},\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}\rangle=60^{\circ}$,求 $|\boldsymbol{c}|$ 的最大值.
6. 已知 $A,B,C$ 为平面上的 3 点,而且 $A B=3,B C=4,C A=5$,求 $\overrightarrow{A B}$. $\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B C} \cdot \overrightarrow{C A}+\overrightarrow{C A} \cdot \overrightarrow{A B}$ 的值.
7. 在 $\triangle A B C$ 中,$\overrightarrow{A B^{2}}=\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A} \cdot \overrightarrow{C B}$,判断 $\triangle A B C$ 的形状.
8. 已知 $A,B,C$ 为圆 $O$ 上的三点,若 $\overrightarrow{A O}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C})$,求 $\overrightarrow{A B}$ 与 $\overrightarrow{A C}$ 的夹角.
9. 化简下列各式.
(1) $\cos \left(27^{\circ}+\alpha\right) \cos \left(33^{\circ}-\alpha\right)-\sin \left(27^{\circ}+\alpha\right) \sin \left(33^{\circ}-\alpha\right)$;
(2) $\sin \left(\alpha-15^{\circ}\right) \cos \left(\alpha+15^{\circ}\right)+\cos \left(\alpha-15^{\circ}\right) \sin \left(\alpha+15^{\circ}\right)$.
10. 设 $A,B,C$ 是 $\triangle A B C$ 的 3 个内角,求证：
$$
\sin 2 A+\sin 2 B+\sin 2 C=4 \sin A \sin B \sin C .
$$
11. 证明下列恒等式.
(1) $\sin 3 \theta=3 \sin \theta-4 \sin ^{3} \theta$;
(2) $\cos 3 \theta=4 \cos ^{3} \theta-3 \cos \theta$.
12. 化简 $\sin 50^{\circ}\left(1+\sqrt{3} \tan 10^{\circ}\right)$.
13. 求下列函数的周期、最值和最值点.
(1) $y=1+\cos x-\sin x$;
(2) $y=(\sin x-\cos x)^{2}$.
14. 求下列函数的周期、最值和最值点.
(1) $y=\sin x \cos x$;
(2) $y=\sqrt{3} \cos ^{2} x+\frac{1}{2} \sin 2 x$. 15. 求证: $\tan 20^{\circ}+\tan 25^{\circ}+\tan 20^{\circ} \tan 25^{\circ}=1$.
16. 已知圆心角为 $60^{\circ}$ 的扇形 $A O B$ 的半径为 $1,C$ 是 $A B$ 弧上一点,作矩形 $C D E F$,如图所示. 当 $C$ 点在什么位置时,这个矩形的面积最大?这时 $\angle A O C$ 等于多少度?17. 求函数 $y=\sin x+\sqrt{3} \cos x,x \in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ 的最小值.
(第 16 题)
## $C$ 组
1. 长江某地南北两岸平行. 如图所示,江面宽度 $d=1 \mathrm{~km}$,一艘游船从南岸码头 $A$ 出发航行到北岸. 假设游船在静水中的航行速度 $\boldsymbol{v}_{1}$ 的大小为 $10 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$,水流的速度 $\boldsymbol{v}_{2}$ 的大小为 $4 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. 设 $\boldsymbol{v}_{1}$ 和 $\boldsymbol{v}_{2}$ 的夹角为 $\theta\left(0^{\circ}<\theta<\right.$ $\left.180^{\circ}\right)$,北岸的点 $A^{\prime}$ 在 $A$ 的正北方向. 回答下面的问题.
（1）当 $\theta=120^{\circ}$ 时，判断游船航行到达北岸的位置在 $A^{\prime}$ 的左侧还是右侧,并说明理由.
（2）当 $\cos \theta$ 为多大时,游船能到达 $A^{\prime}$ 处?需要航行多长
(第 1 题) 时间？
2. 已知向量 $\boldsymbol{a} \neq \boldsymbol{e},|\boldsymbol{e}|=1$,对任意 $t \in \mathbf{R}$,恒有 $|\boldsymbol{a}-t \boldsymbol{e}| \geqslant|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{e}|$,则 ( $)$.
(A) $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{e}$
(B) $\boldsymbol{a} \perp(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{e})$
(C) $e \perp(a-e)$
(D) $(a+e) \perp(a-e)$
3. 若非零向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 满足 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{b}|$,则（ $)$.
(A) $|2 \boldsymbol{a}|>|2 \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$
(B) $|2 \boldsymbol{a}|<|2 \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$
(C) $|2 \boldsymbol{b}|>|\boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b}|$
(D) $|2 \boldsymbol{b}|<|\boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b}|$
4. 已知 $\triangle A B C$ 中,$B C$ 边上的高 $A D$ 的长为 3,求 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D},\overrightarrow{C A} \cdot \overrightarrow{A D}$.
5. 已知 $\triangle A B C$ 中,$A C=1,B C=\sqrt{3},A B=2$,点 $M,N$ 是线段 $A B$ 上的动点,求 $\overrightarrow{C M} \cdot \overrightarrow{C N}$ 的最大值.
6. 求 $\frac{3-\sin 70^{\circ}}{2-\cos ^{2} 10^{\circ}}$ 的值.
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## 第一单元
## 从中华文明起源到秦汉统一多民族封建国家的建立与巩固
中国是远古人类的重要起源地,中华文明是人类最古老的文明之一。中华文明多元一体,源远流长,生生不息,展现了自身发展道路的独特魅力。中国原始文化星罗棋布,多姿多彩,先后经历了旧石器时代与新石器时代。夏、商、西周是中华文明和早期国家的形成与发展时期，也是奴隶制社会的形成、发展与繁荣时期。春秋战国是政治、经济、社会、文化大变动的时期，百家争鸣是这一变动的思想反映。秦汉是中国统一多民族封建国家的形成时期，奠定了大一统中央集权国家治理的基本模式。
通过本单元的学习,了解中华文明的起源情况以及早期国家特征;理解战国时期变法运动的必然性,了解孔子、老子学说与百家争鸣局面及其意义;认识秦汉时期统一多民族封建国家的建立、巩固在中国历史上的意义，以及秦朝崩溃和两汉衰亡的原因。
# 第 1 课 中华文明的起源与早期国家
1965 年 5 月，中国地质科学院的研究人员在云南省元谋县上那蚌村的一个小山坡上,挖掘到两颗古人类门齿化石。这种形状的牙齿,在人类学中被称为铲形门齿。
元谋人门齿化石
## 石器时代的古人类和文化遗存
## 学习聚焦
石器时代人类先后以打制和磨制的石器作为工具。
考古发现,人类最早制造的工具是石器。原始社会因石器制作技术的不同而被区分为旧石器时代和新石器时代。旧石器时代是指以打制方法制作石器的时代。中国已发现的旧石器时代人类化石点遗址有数百处,代表性的有距今约 170 万年的元谋人和距今约 70 万至 20 万年的北京人。他们从事渔猎和采集,过着群居生活。元谋人、北京人已经学会用火。
## 思考点
中国是远古人类的重要起源地。观察《中国旧石器时代重要人类遗址分布图》,你能指出中国早期人类分布的基本特点吗?
中国旧石器时代重要人类遗址分布图距今约 1 万年前,中国进人新石器时代。新石器时代是指以磨制方法制作石器的时代。当时人们已经大量使用陶器,开始从事原始农业,词养家畜,生活逐渐稳定。目前,中国已发现的新石器时代文化遗存有 1 万多处,且分布广泛,奠定了多元一体的发展基础。
距今约 7000 至 5000 年前,黄河中游地区进人仰韶文化时期,它的典型器物是彩绘陶器,以粟等为主要栽培作物。大致同一时期,黄河下游出现了大汶口文化,长江下游有河姆渡文化。河姆渡文化的居民种植水稻，并且掌握了养菾缫丝技术。
中国新石器时代文化遗存分布图
陕西西安临潼姜寨聚落遗址复原图
姜寨聚落遗址反映了由五个大家族组成的一个氏族公社。它有氏族公共墓地，但各个墓葬的随葬品不多,差别也不大,反映了尚末产生贫富分化的母系氏族公社状况。姜寨聚落是仰韶文化聚落形态的典型代表
红山文化牛河梁遗址的祭坛、积石家
良渚古城城墙分布范围示意图距今约 5000 年的新石器时代晩期,大汶口文化和仰韶文化被龙山文化所代替。龙山文化的代表器物是黑陶,胎壁薄如蛋壳，被称为“蛋壳陶”。同时,在北方辽河上游有红山文化，长江下游有良渚文化。它们都出土了精美的玉器,并且出现较大规模的祭坛和神庙。
中国原始社会经历了约 200 万年的历史，分为原始人群、母系氏族社会和父系氏族社会三个阶段。旧石器时代晩期出现的母系氏族社会,生产力十分低下,氏族成员共同劳动,成果共享。新石器时代晩期出现的父系氏族社会,社会贫富分化与不平等开始出现，氏族间的联系趋于紧密,形成较大的部落甚至部落联盟。大汶口文化和良渚文化等考古发现表明,这时私有制已经产生,阶级分化日益明显,部落中出现了权贵阶层。他们通过战争不断争夺财富和权力，中国即将迈人阶级社会的门槛。
## 从部落到国家
## 学习聚焦
禹建立了中国最早的奴隶制国家。启继位，世袭制代替了禅让制。古史相传，中国历史从三皇五帝开始。三皇时代较早,名称众说不一,神话色彩浓重。五帝的事迹较为具体。传说中居于五帝之首的黄帝,是黄河中上游一带的部落首领。他联合另一部落首领炎帝，结成炎黄部落联盟，他们被后世共尊为华夏始祖。五帝中最后两位尧、舜，可能是中原地区的联盟首领。尧年老时,根据推举和他对舜的考察,由舜继承其位。这种做法称为“禅让”。考古学证明,大约相当于五帝后期的龙山文化时代,中国大地上邦国林立,史称“万邦” 时代。有些邦国都城规模较大，如陶寺遗址中有宫殿建筑、天文建筑以及各种礼器，阶级阶层分化也比较明显，有专家认为其具备了国家的初始形态。
山西襄汾陶寺遗址墓地部分及 2001 号大墓出土时全景
(1) 史料阅读
上古之世，人民少而禽兽众，人民不胜禽兽虫蛇，有圣人作,构木为巢,以避群害,而民说之,使王天下,号日有巢氏。民食果茆 ( luǒ) 蜯 (bàng ) 蛤,腥臊恶臭,而伤害腹胃,民多疾病,有圣人作,钻檖取火,以化腥臊,而民说之,使王天下,号之日檖人氏。中古之世,天下大水,而鲧、禹决渎;近古之世，桀、约暴乱，而汤、武征伐
—一《韩非子・五蠹》
夏部族的禹因治水有功,接受舜的禅让,成为联盟首领。约公元前 2070 年,禹建立了我国最早的奴隶制国家夏朝。禹死后,其子启继位,世袭制代替了禅让制。夏王是最高统治者。中央设有主管行政、军事、司法和宗教的机构与职官。夏朝社会仍然是聚族而居。除对夏部族生活的地区实行直接统治外,夏朝对其他地方主要通过控制一些部族进行间接统治。考古学家在河南洛阳偃师发现的二里头遗址，很有可能是夏文化的遗存。
夏朝最后一个王桀,暴虐无道,百姓不断反抗夏朝的统治。约公元前 1600 年,商部族在首领汤的率领下,发兵讨桀,大败夏兵,把桀放逐到南方,夏朝灭亡。
## 商和西周
汤灭夏后建立了商朝。史书中有关商朝的记载,得到了考古发掘的验证。据载,商朝的都城多次迁移,后来定于殷,所以商朝也称殷朝。考古学家在河南安阳一带发现殷墟遗址，在遗址出土的大批龟甲、兽骨上刻有文字。
## 学思之窗
关于启的继位，古书中有不同记载。《史记・夏本纪》写道：“益（禹晩年培养的接班人 ）让帝禹之子启。”《战国策・燕策一》记载：“启与支党攻益，而夺之天下，是禹名传天下于益，其实令启自取之。”
关于启的继位,为什么会出现上述不同说法?
历史纵横
夏商时期的历法
夏商时期，人们对天文、星象有一定认识。夏朝的《夏小正》,载有一年中各个月份的物候、天象、气象和农事等内容。干支纪日法是商朝历法的最大成就,是世界上延续至今的最长的纪日方法。
## 学习聚焦
甲骨文证实了文献中关于商朝的部分历史记载。大量的西周青铜器铭文,反映了西周贵族的各种活动。
殷墟出土刻有文字的龟甲正反面
## 思考点
商朝为什么推行内外服制?
何尊及铭文中的“中国”
何尊是西周早期周成王时的青铜器,内底铸铭文 12 行 122 字,提到周武王灭商后决定建都于天下的中心,“宅兹中国”。这是目前所见“中国”一词最早的实物见证。
西周分封示意图
这些文字被称为甲骨文,主要是商人刻写的占卜记录。甲骨文是一种成熟的文字,经历了很长时间的发展演变。殷墟还出土了许多青铜器,造型雄奇,纹饰华丽。
商朝国家机构更加完善。商王是最高统治者,商王之下设有尹及各类事务官。商朝的国家管理实行内外服制。内服指商王直接控制的王畿地区,外服指商王间接控制的方国和部族。商朝的政治势力与文化影响东到大海,西及陇山，南跨江汉，北至燕山。
商朝晩期，社会矛盾尖锐。最后一个王纣，修建许多宫殿苑畔,终日饮酒作乐,生活腐朽,还作炮烙之刑残害臣民，引起共愤。公元前 1046年，周部族的首领周武王,率众伐纣,双方在商都南郊牧野展开激战。纣王临时凑集的奴隶阵前倒戈,引导周军攻进商都,纣王自焚而死,商朝灭亡。周武王建立周朝,都城在镐京,史称西周。
西周实行分封制与宗法制,史称“封建亲戚,以蕃屏周”,形成了“天子一诸侯一卿大夫一士” 金字塔型的等级结构,加强了周天子对地方的政治统治。宗法制与分封制相互补充,解决了统治阶级内部在权力和财产分配方面的冲突与矛盾。
镐京 ……今陕西西安洛邑 …… 蓟 …… 燕都城,今北京唐 …… 晋都城，今山西翼城曲阜 …… 鲁都城,今山东曲阜
营丘……………… 齐都城，今山东淄博
商丘 ……宋都城,今河南商丘
沬………………… 卫都城，今河南淇县
蕃离 ( 梅里 )……吴都城,今江苏无锡
## 历史纵横
## 宗法制
宗法制是以血缘亲疏与嫡庶来确定继承关系和名分的制度，实行嫡长子继承制。在姬姓宗亲内，周王是大宗，诸侯是小宗。在诸侯国内,诸侯是大宗,卿大夫是小宗。以此类推,层层区别。西周时期,分封制与宗法制的结合,形成政权与族权的结合。《左传‧桓公二年》记载：“天子建国，诸侯立家,卿置侧室,大夫有式宗,士有隶子弟,庶人工商各有分亲,皆有等衰 ( cuī)。”
公元前 841 年，周厉王贪财好利，为政暴虐，引发了“国人暴动”。周厉王出逃，大臣召公、周公共同执政，史称“共和行政”。公元前 771 年，西北游牧民族犬戎乘西周王室内乱，攻破镐京，杀死周幽王，西周灭亡。公元前 770年，周平王东迁洛邑。
商和西周是我国奴隶制社会经济发展并走向繁荣的时期。农业是主要生产部门，农业生产中主要使用木、石、骨、蛘等材质的工具,青铜农具极少。商和西周实行奴隶主土地国有制,周天子名义上占有全国的土地和臣民,土地不能随意买卖。历史文献中所说的井田制是土地经营的基本方式，因土地整治规则,有沟渠灌溉、道路疆界划分,形似“井” 字而得名。青铜铸造是手工业生产中的主要部门,青铜器种类繁多,劳动人民创造了灿烂的青铜文化。
## 历史纵横
## 商周时期的奴隶买卖
据《周礼・地官‧质人》记载,商周奴隶制国家设有专门掌管奴隶和牲畜买卖的官吏,可见当时奴隶买卖的普遍。曶（hū）鼎铭文记载了有关奴隶买卖的价格，五名奴隶的身价相当于一匹马加一束丝
史料阅读
方里而井，井九百亩,其中为公田。八家皆私百亩，同养公田
—《孟子・滕文公上》
## 探究与拓展
## 问题探究
人无于水监，当于民监。
惟王子子孙孙永保民。
## 《尚书・梓材》
上述材料反映了怎样的思想观念?有什么历史意义?
## 学习拓展
我国考古学家苏秉琦在《关于重建中国史前史的思考》中说：“相对于世界其他几大历史文化系统而言，中国文化是自我一系的;中国古代文化又是多源的;它的发展不是一条线贯彻始终,而是多条线互有交错的网络系统,但又有主有次。各大文化区系既相对稳定,又不是封闭的 ……中国文明之所以独具特色、丰富多彩、连绵不断,中华民族之所以能够形成一个统一的多民族国家并在数千年来始终屹立在世界的东方,都与中国文化的传统、中国文明的多源性有密切关系。”
阅读这段话，查阅相关史前文化遗址的考古资料，考察其分布特点,就中华文明的多源性与统一性问题谈谈自己的认识。
## 第 2 课
诸侯纷争与变法运动
周平王东迁后，中国历史进入东周时期。周天子的控制力日渐削弱。周平王死后,桓王继位,与郑国矛盾激化,刀兵相见,结果王室军队败北,桓王肩头还中了一箭,狼颃撤走。郑国派人去“慰问”,桓王只好忍气吞声,不了了之。此后诸侯纷争不断,“礼乐征伐自天子出” 的时代一去不返。图为河南三门峡上村岭舯 (Guó) 国墓出土的春秋时期青铜戈,戈上有“㥴太子元徒戈” 六字铭文。戈是当时的
从春秋时期羊铜戈格斗兵器。
## 列国纷争与华夏认同
东周分为春秋、战国两个阶段。春秋时期，一些大的诸侯国扩张势力,力图号召和控制中小诸侯国,确立霸主地位。齐国、晋国、楚国、吴国与越国等先后建立了霸权，史书将这一时期建立霸权的诸侯国国君统称为“春秋五霸『”。
## 学习聚焦
周天子“天下共主” 的地位丧失后,诸侯纷争。各民族进一步交融，华夏族发展壮大。
春秋列国形势图
洛邑 …… 东周王城,今河南洛阳
蓟……………………… 燕都城，今北京
绛 …… 晋都城,今山西翼城临淄 ……齐都城,今山东淄博曲阜 …….
帝丘……………… 卫都城，今河南濮阳
新郑 …… 郑都城,今河南新郑
商丘……………… 宋都城，今河南商丘
郢………………… 楚都城，今湖北荆州
雍 ……. 吴 …… 吴都城,今江苏苏州会稭 …… 越都城,今浙江绍兴巴.…… 今重庆
(1) 春秋五霸的一种说法是齐桓公、晋文公、楚庄王、吴王噊问和越王勾践，另一种说法是齐桓公、宋襄公、晋文公、秦穆公和楚庄王。
## 史料阅读
西汉学者刘向概括战国时期的混乱局面说:
田氏取齐，六卿分晋，道德大废,上下失序 …… 是以传相放效，后生师之，遂相吞灭,并大兼小,暴师经岁,流血满野。父子不相亲，兄弟不相安,夫妇离散,莫保其命,泯然道德绝矣。晩世益甚,万乘 ( shèng) 之国七,千乘之国五,敌侔争权,盖为战国。贪饕 (tāo) 无耻,竞进无厌,国异政教,各自制断。上无天子，下无方伯，力功争强，胜者为右
-《〈战国策〉书录》
## 历史纵横
华夏认同
唐朝孔颖达在《春秋左传正义 - 定公十年》中说:“中国有礼仪之大,故称夏;有服章之美,谓之华。”“华夏”连称,本义指衣冠华美又重礼仪。华夏作为文化、政治实体,在春秋战国时被周边民族所认同。各族同源共祖的观念得到发展。春秋后期到战国前期，一些诸侯国的卿大夫掌握了实权。晋国的韩、赵、魏三家大夫将晋国瓜分，齐国大夫田氏也取代了原来的姜姓国君。经过长期纷争，许多中小诸侯国消失了，形成了齐、楚、燕、韩、赵、魏、秦七个大国，史称“战国七雄”。周朝传统的政治秩序完全被破坏，各国国君纷纷称王，周王室也在公元前 256年被秦国吞并。
战国形势图
洛阳 ……东周王城,今河南洛阳郑 …… 韩都城,今河南新郑蓟 …… 燕都城,今北京咸阳 …… 秦都城,在今陕西咸阳东北
邯郸……… 赵都城，今河北邯郸郢………………楚都城，今湖北荆州
临淄……… 齐都城，今山东淄博吴………………越都城，今江苏苏州
大梁 …… 魏都城，今河南开封
从春秋到战国，民族关系出现了重要变化。春秋时期，中原各国因社会发展比相邻的戎狄蛮夷先进，自称为“华夏”。在频繁往来和密切联系中，这些民族也产生了华夏认同观念。进人战国之后，戎狄蛮夷逐渐融人华夏族。华夏族吸收了大量新鲜血液，更加稳定，分布更为广泛。
## 经济发展与变法运动
春秋战国时期的经济有重大发展。冶铁技术出现,铁制农具开始使用,牛耕也得到推广。各国纷纷兴建水利灌溉工程,如都江堰、郑国渠、苍陂 (quèbēi)。农业进步推动社会分工,促进了工商业的繁荣。战国时,手工业分工更加细密,货币流通广泛,各地涌现出一批人口众多、商贾云集的中心城市。不少工商业主聚集了大量钱财,有的富比王侯。
## 春秋时期
晋国怚肩尖足空首布币
战国时期赵国十二铢三孔布币
战国时期齐国
战国时期燕国齐造邦长大刀币尖首刀币
战国时期秦国战国时期楚国战国时期魏国布币战国时期楚国卢金方孔半两钱蚁鼻钱
战国时期兼并战争日益剧烈,各国为了富国强兵,纷纷开展政治、经济、军事、社会制度改革。变法运动成为战国时期的一股潮流,各国通过变法,推动了社会转型,逐步建立起君主专制的政治制度。其中,秦国的商靲变法效果最为显著。
## 学思之窗
商鞅由魏入秦后向秦孝公说:
治世不一道，便国不法古。故汤武不循古而王,夏殷不易礼而亡。反古者不可非，而循礼者不足多
-《史记・商君列传》
阅读上述材料,谈谈你对商鞅变法思想的认识。
## 学习聚焦
孔子和老子分别是我国儒家学派和道家学派的创始人。他们的思想在我国历史上产生了深远影响。
孔子 ( 公元前 551一前 479 ) 商鞅变法开始于公元前 356年。主要内容有：重农抑商，奖励耕织;奖励军功，剥夺和限制贵族特权;强制大家庭拆散为个体小家庭;“废井田，开阡陌”，授田于百姓;在民间实行什伍连坐,互相纠察告发;行政管理上普遍推行县制，县的主要官员由君主任免。后来商鞅被杀，但变法措施已深人人心。商鞅变法顺应历史潮流，集列国变法之长,是战国时期持续时间最长、涉及面最广、改革最为彻底的一次变法。变法使秦国国富兵强,为秦统一中国奠定了基础。
## 孔子和老子
孔子是儒家学派的创始人,名丘,字仲尼,出身于春秋后期鲁国没落贵族家庭。孔子针对礼崩乐坏、社会动荡的形势，就伦理和政治重建问题提出了自己的主张。孔子思想的核心观念是“仁”,意为关爱他人，进而主张统治者顺应民心，爱惜民力,“为政以德”,通过以身作则的道德感化来治理国家。孔子对现实不满,主张恢复西周等级森严的礼乐制度,同时也承认制度随着时代变化应当有所改良。
孔子在教育方面成就显著。他以“有教无类” 的思想办学,打破了过去贵族阶层垄断文化教育的局面,推动了私学的发展。相传孔子晩年对《诗》《书》《礼》《易》《春秋》等文献进行整理，后来这些文献成为儒家的经典，对夏、商、西周的文化传承作出了重要贡献。他的主要思想和言论记载在由其弟子及再传弟子整理成的《论语》当中。
老子是道家学派的创始人,姓李,名耳,字聃,春秋后期楚国人。他将天地万物本原归结为抽象的“道”。他指出“人法地，地法天，天法道，道法自然”,追求天人合一，这是中国古代朴素的唯物论。老子的思想还包含着朴素的辩证法，揭示出事物存在着相互依存、相互转化、对立统一的矛盾;认为物极必反,柔能克刚。老子在政治上也对现实不满，反对制度束缚，主张顺其自然，无为而治，甚至退回到小国寡民的时代。这些观点见于《老子》一书。
## 百家争鸣
春秋战国时期是社会大变革时期。社会经济的发展,促使阶级关系出现新变化,旧的贵族等级体系开始瓦解,新兴的士阶层崛起。他们提出了自己的政治社会主张和要求,试图影响现实政治。
各国统治者出于争霸需要,礼贤下士,争相招揽人才。土人周游列国,颇受重用。他们的活跃推动了学术文化的繁荣。当时出现众多学说、学派,各自提出对政治、社会乃至宇宙万物的看法,彼此论战辩驳,形成百家争鸣的思想文化繁荣局面。
战国时期儒家的代表人物为孟子和荀子。孟子认为人性善,提倡“仁政”。荀子认为人性恶,主张隆礼重法。道家的代表是庄子,崇尚逍遥自由。以邹衍为代表的阴阳家认为五行间相互促进又相互制约,提出了“相生相胜” 理论,这代表了中国古代对自然界朴素的科学认识。新出现的重要派别有墨家和法家,分别代表下层平民利益和新兴地主阶级利益。墨家的代表墨子提倡节俭,主张“兼爱”“非攻”,还提出了“尚贤”的政治主张。法家代表韩非主张以法为工具管理国家,控制臣民,体现了中央集权的政治思想。
百家争鸣是春秋战国时期社会经济发展、阶级关系变化在思想领域内的反映,是中国历史上第一次波澜壮阔的思想解放运动。它不仅为新兴的地主阶级登上历史舞台奠定了思想理论基础,而且成为后世中华思想文化的源头活水，影响十分深远。
## 学习聚焦
百家争鸣是社会大变革在意识形态上的反映,各家学派针对当时社会现实问题,提出了自己的政治主张。
## 思考点
为什么在春秋战国时期出现了诸子百家学说?你能举出若干学派的核心思想内容吗?
## 探究与拓展
## 问题探究
战国时期,新兴的地主阶级在许多国家掌握政权。他们为了打击旧的奴隶主贵族势力,建立封建政治和经济秩序，巩固新生政权,增强竞争实力，纷纷开展变法运动如李悝在魏国推行变法，按照“食有劳而禄有功” 的原则授予官职和爵位;主张“尽地力之教”,发展生产;颁布《法经》。吴起在楚国实行变法,“明法审令,捐不急之官”
查阅战国变法的材料,结合时代背景与变法措施,说明各国纷纷开展变法运动的原因及其效果。
## 学习拓展
春秋时期成书的《诗经》,汇集了西周到春秋时期的诗歌，是我国现存第一部诗歌总集，包括风、雅、颂三部分。《诗经》以四言诗为主,内容丰富,反映了当时社会的各方面,它的人文精神和现实主义传统对后世文学有重要影响。战国后期楚国贵族屈原继承《诗经》的优秀传统,采用楚国民歌方言,创造出一种句子较长的新诗歌体裁,称为“楚辞”。《离骚》《天问》是其代表作品。屈原的爱国主义精神是中华优秀传统文化的宝贵财富。
查阅《诗经》和“楚辞”中的经典篇章，体会其中的人文精神。
## 第 3 课
秦统一多民族封建国家的建立
战国中后期,统一逐渐成为当时人们的共识。孟子提出了“定于一”的思想。成书于战国末年的《吕氏春秋》记载：“乱莫大于无天子,无天子则强者胜弱,众者暴寡,以兵相划 (chăn),不得休息。” 作者认为只有统一才能结束战乱。
秦的统一
《吕氏春秋》书影
长期战乱给社会带来巨大灾难，人民渴望安定统一。各地域经济的发展,要求打破政治分裂所带来的阻碍。这为统一准备了客观条件。
秦“据殽函之固，拥雍州之地”,地理位置优越,物质基础雄厚。数代秦王励精图治,广纳贤才,吏治较为清明。商鞅变法后,秦尊奉法家,奖励耕战,国家日益强
## 学习聚焦
秦顺应历史发展潮流，建立了统一的中央集权国家,有力地促进了各地区、各民族政治、经济、文化的交往交流交融。盛，为日后秦的统一奠定了基础。
## 学思之窗
韩国派遣水工郑国游说秦王嬴政修建大型水利工程。嬴政采纳郑国建议后，发觉这是韩国的阴谋,于是下令驱逐所有其他诸侯国的人。为此,李斯上《悚逐客书》,促使嬴政改变了主张,网罗了天下英才。其理由是:
臣闻地广者粟多,国大者人众,兵强则士勇。是以太山不让土壤,故能成其大;河海不择细流,故能就其深；王者不却众庶，故能明其德 …… 夫物不产于秦，可宝者多；士不产于秦，而愿忠者众。今逐客以资敌国，损民以益仇，内自虚而外树怨于诸侯，求国无危，不可得也
从人才角度分析,为什么秦能够统一六国?
秦始皇 ( 公元前 259-前 210 )
## 里耶秦简户籍簿
释文为:“东成户人士五夫,妻大女子沙,子小女子泽若,子小女子伤。”东成,为里名。户人,指户主。士五,是身份称谓,指无爵或免爵者。女子,即女性。大、小,为课役身份的标志,登记于户籍,作为征发赋役的依据。夫、沙、泽若、伤，均为人名。公元前 230 一前 221 年，秦国采取远交近攻策略，分化瓦解，各个击破，相继灭掉东方六国，建立起第一个统一王朝——秦朝，定都咸阳。随后，秦朝又征服了南方越族地区，加强了对云、贵一带西南夷的控制。在北方，秦朝击退了游牧民族匈奴的进攻。公元前214年，秦朝在原有北方诸侯国旧长城的基础上，修筑了西起临洮、东至辽东的万里长城。
秦朝采取了一系列巩固中央集权的统治措施。秦朝最早确立皇帝制度。嬴政兼采三皇五帝名号,将新王朝的君主定名为皇帝,并通过许多具体规定和礼仪突出皇帝的独尊地位。赢政自称“始皇帝”,史称“秦始皇”。皇帝对国家事务拥有至高无上的决定权。皇帝之下设三公九卿,三公指丞相、太尉、御史大夫,为主要辅佐大臣;九卿泛指分掌具体事务的诸卿。三公九卿组成中央政府。在地方彻底废除分封制,将战国时已经形成的郡县制在全国推广,设立郡、县两级行政机构,其主要官员由中央任免和考核。县以下设乡、里和亭，分别负责管理民众和治安。此外,秦朝还大规模推行巩固统一的措施，如统一车轨、文字、货币和度量衡，修驰道、直道，颁行法律，编制户籍，迁徙六国贵族豪强到关中、巴蜀等地，整顿社会风俗等。秦朝确立的政治制度被以后的王朝长期沿用，影响深远。
史料阅读
历代对秦始皇统一和秦制给予高度评价:
明法度，定律令，皆以始皇起。
-《史记・李斯列传》
并吞战国,海内为一,功齐三代
$$
\text { -《汉书・主父偃传》}
$$
秦王扫六合，虎视何雄哉。
李白《古风·其三》
秦之所以革之者,其为制,公之大者也;其情,私也,私其一己之威也，私其尽臣畜于我也。然而公天下之端自秦始
一柳宗元《封建论》
始皇帝，自是千古一帝也秦的统一,建立起“东至海暨朝鲜,西至临洮、并中,南至北向户,北据河为塞,并阴山至辽东” 幅员辽阔的国家。统一中央集权国家的形成是历史发展的必然,也是客观需要。空前统一的封建国家促进了各民族的交往交流交融，推动了统一多民族国家政治、经济、社会的发展。
秦朝形势图咸阳 …… 在今陕西咸阳东北
辽东郡……………… 郡治在今辽宁辽阳
渔阳郡 ……. 郡治在今北京密云代郡 …… 郡治在今河北蔚县九原郡 …… 郡治在今内蒙古包头上郡 …… 郡治在今陕西榆林
陇西郡……………… 郡治在今甘肃临洮
北地郡 …… 郡治在今甘肃庆阳
临洮今甘肃岷县
郥邸郡 …… 郡治在今河北邯鄲
临淄郡……………… 郡治在今山东淄博
珢邪郡 …… 郡治在今山东青岛琅琊镇颕川郡 …… 郡治在今河南禹州
陈郡………………… 郡治在今河南淮阳
汉中郡 …… 郡治在今陕西汉中
蜀郡………………… 郡治在今四川成都
南郡 …… 郡治在今湖北荆州会嵇郡 …… 郡治在今江苏苏州长沙郡 …… 郡治在今湖南长沙
闽中郡……………… 郡治在今福建福州
南海郡……………… 郡治在今广东广州
象郡 …… 郡治在今广西崇左
## 秦朝的暴政
完成统一后的秦始皇,穷龺极欲,大兴土木,建造宫殿、陵募。他花费巨额钱财求仙访药,以求长生不老。秦始皇兴师动众出外巡游、封禅,征发繁重,百姓不堪重负,生活在水深火热之中。秦朝刑法严苛,人民摇手触禁,“赭衣塞路,囹圄成市,天下愁怨”,社会阶级矛盾严重激化。
## 学习聚焦
统一后的秦王朝只存在了十几年时间，秦的速亡与秦的暴政有着不可分割的关系。
## 秦朝的政治危机
秦统一之后，秦始皇多次到各地巡视，并且用刻石方式宣扬自己的显赫业绩,宣称“一家天下,兵不复起”,“人迹所至,无不臣者” 然而就在一次出巡途中,随从车辆被刺客掷出的铁椎击中,秦始皇侥幸逃生。后来,又有人在陨石上刻下“始皇帝死而地分” 的标语。这都说明外表强盛的秦朝，存在着严重的统治危机。
(10) 史料阅读
汉初贾谊在《过秦论》中分析秦二世而亡的教训时说:
今秦南面而王天下，是上有天子也。既元元之民冀得安其性命,莫不虚心而仰上,当此之时,守威定功,安危之本在于此矣。秦王怀贪喟之心,行自奋之智,不信功臣,不亲士民,废王道，立私权，禁文书而酷刑法,先诈力而后仁义,以暴虐为天下始。夫并兼者高诈力,安定者贵顺权,此言取与守不同术也。秦离战国而王天下,其道不易,其政不改,是其所以取之守之者无异也。孤独而有之,故其亡可立而待。
## 学习聚焦
陈胜、吴广首义，揭开了反秦起义的序幕。项羽、刘邦为争夺统治权力发动楚汉战争,以刘邦胜利告终。秦始皇接受李斯的建议,下令将非秦国历史的史书,非博士官所掌管的《诗》、《书》、诸子百家著作等,在 30 天内全部交给官府焚毁,只有医药、卜筮、“种树之书” 不在其列,先秦以来的许多珍贵文献毁于一旦。秦始皇以“或为妖言以乱黔首”的罪名,将 460 余名儒生方士坑杀。这就是“焚书坑儒”。焚书坑儒在中国历史上产生了恶劣的影响。
公元前 210 年,秦始皇在巡行途中死去,秦二世继位。他残忍昏庸,实行严刑峻法,加重人民负担,致使阶级矛盾和统治阶层内部矛盾尖锐化,人民再也无法忍受下去,最终一场大规模的农民起义爆发了。
秦始皇帝陵
## 秦末农民起义与秦的速亡
公元前209年，一队被派往北部边境的成卒，在大泽乡遇雨受阻。按照秦朝法律，不能如期赶到戍地将被处死。这些戌卒于是铤而走险，在陈胜、吴广领导下“斩木为兵，揭竿为旗”，发动了中国历史上第一次农民大起义。陈胜自立为王，号为“张楚”。天下云集响应，起义迅速蔓延。陈胜起义失败，项羽、刘邦等领导的反秦势力却日益壮大。
公元前207年，刘邦的军队进占咸阳,秦朝灭亡。
## 学思之窗
《史记‧陈涉世家》记载,陈胜占领陈后,“数日,号令召三老、豪杰与皆来会计事。三老、豪杰皆日: '将军身被坚执锐,伐无道,诛暴秦,复立楚国之社稷,功宜为王。'陈涉乃立为王,号为张楚”
《史记・项羽本纪》载：“楚虽三户，亡秦必楚。”
分析为什么陈胜建立的政权号称“张楚”。
陈胜、吴广起义示意图
楚汉战争示意图
大泽乡在今安徽宿州
陈今河南淮阳
函谷关 …… 在今河南灵宝东北
咸阳 …….
渔阳 …….今北京密云
巨鹿今河北平乡
南郑今陕西汉中
咸阳 …….
鸿门 …… 在今陕西临潼东
彭城今江苏徐州
垓下………………………在今安徽灵璧东南
乌秦朝灭亡后,刘邦和项羽展开了长达四年的楚汉战争。刘邦“约法三章”,废秦苛法,善于用人，听取谏言，指挥得当；项羽冈忦愎自用，不善用人，赏罚不明，烧杀掳掠，加之分封政策失当,缺乏稳固的根据地，最终被刘邦击败。
## 思考点
楚汉战争中刘邦胜利
项羽失败的原因是什么?
## 探究与拓展
## 问题探究
战国后期，荀子到秦国访问。他对人讲述访问观感时说:
（秦）其固塞险,形势便,山林川谷美,天材之利多,是形胜也。入境,观其风俗,其百姓朴,其声乐不流汙,其服不挑，甚畏有司而顺，古之民也。及都邑官府，其百吏肃然莫不恭俭、敦敬、忠信而不楛 (kŭ),古之吏也。入其国,观其士大夫,出于其门,入于公门,出于公门,归于其家，无有私事也，不比周，不朋党，倜（tì）然莫不明通而公也,古之士大夫也。观其朝廷，其间听决百事不留,恬然如无治者,古之朝也。故四世有胜,非幸也,数也。
-《荀子·强国篇》
阅读上述材料,分析探讨良好的吏治在秦崛起与统一中起到的历史作用。
## 学习拓展
秦朝重视法制建设，颁布了名目繁多、分类细密的法律条文,但传世文献中保存下来的很少。1975 年，湖北云梦睡虎地秦募出土竹简 1000 余支，大部分是秦的法律条文和相关解释，大大丰富了我们对秦律的认识。
近几十年来，出土文献大量涌现,往往能够印证、纠正或补充传世文献。查找其他例证，初步了解相关出土文献的学术价值。
湖北云梦睡虎地秦墓出土有关秦律的竹简
## 第 4 课
## 西汉与东汉一一统一多民族封建国家的巩固
楚汉战争中获胜的刘邦登上了皇帝之位。西汉初立,社会残破,连为皇帝套马拉车都找不到四匹同样颜色的马,将相大臣有时只能乘牛车出行。曲逆城原有三万多户,战后只剩下五千户。当时经济之凋敝,可见一斑。图为西汉时期的驷马安车,安车是当时的一种坐乘车,常驾四匹马。
西汉驷马安车
## 西汉的建立与“文景之治”
公元前 202年,刘邦建立汉朝,定都长安,史称西汉。刘邦即汉高祖。
汉初统治集团吸取秦朝速亡的教训,尊奉黄老无为思想,采取“与民休息” 政策,减轻赋税、徭役和刑罚,提倡节俭,减少财政支出。文帝、景帝在位期间,经济得到了明显恢复，社会稳定，史称“文景之治”。
西汉初年的各种制度基本沿袭秦朝,史称“汉承秦制”,但地方行政制度采取郡县与分封并行制。刘邦在统一战争中分封了七个异姓功臣为诸侯王,他们拥兵自重,对中央集权造成严重威胁。不久,汉高祖将异姓诸侯王逐渐剪除，但又“惩亡秦孤立之败”，陆续分封了一批同姓诸侯王。这些诸侯王大者“夸州兼郡,连城数十,宫室百官同制京师”,而汉朝中央直接管辖的只有 15 个郡,这给汉王朝的统治和稳定埋下了隐患。汉景帝在位时,削减诸侯封地,引发了吴、楚等七国叛乱。但叛乱不得人心,三个月内即被平定。
(1) 曲逆城,今河北保定顺平县。
## 学习聚焦
汉初基本沿袭秦制,但施政方针有了重大调整，将恢复发展经济、稳定社会作为首要任务,并取得显著效果。
(1) 史料阅读
汉兴,扫除烦苛,与民休息。至于孝文,加之以恭俭,孝景遵业,五六十载之间，至于移风易俗，黎民醇厚。周云成康,汉言文景,美矣!
-《汉书・景帝纪》
## 西汉的强盛
## 学习聚焦
汉武帝顺应时代需要,采取了一系列巩固和发展大一统国家的措施。
汉武帝（公元前 156 一前 87 )
## 思考点
汉武帝为什么要建立刺史监察制度?
## 卫青与霍去病
匈奴是我国北方古老的游牧民族。汉武帝时,在反击匈奴袭扰的战争中，出现了两位杰出将领卫青和霍去病。卫青出身低微,在十余年与匈奴作战的戎马生涯中,七战七捷,战功卓著,官至大司马大将军,封长平侯。霍去病是卫青的外甥，在与匈奴的作战中屡立战功，官至大司马骠骑将军，封冠军侯他们死后,都陪葬在汉武帝茂陵陵园。经过 60 余年的休养生息，西汉国力强盛。汉武帝继位后，加强中央集权。政治上，颁布“推恩令”,成功削弱了诸侯王的势力;加强皇权,削弱丞相权力,设立直接为皇帝所掌控的中朝，尚书令的作用开始提升；确立以察举制为代表的新的官吏选拔制度;将全国划分为 13 个州部,分设刺史,负责对辖区内郡级官员及子弟和豪强势力进行巡视监察;任用酷吏治理地方，严厉打击豪强、游侠等社会势力的不法行为。经济上，改革币制，将铸币权收归中央；实行盐铁官营,由政府垄断盐、铁的生产和销售;推行均输平准，国家揷手并经营商业贸易，增加收人，平抑物价；抑制工商业者,向他们征收财产税。思想上,接受董仲舒的建议,尊崇儒术。此后,儒学成为我国封建社会的主流意识形态。
## 史料阅读
董仲舒详细叙说了“尊崇儒术” 的理由:
《春秋》大一统者,天地之常经,古今之通谊也。今师异道,人异论,百家殊方,指意不同,是以上亡以持一统;法制数变,下不知所守。臣愚以为诸不在六艺之科孔子之术者,皆绝其道，勿使并进。邪辟之说灭息，然后统纪可一而法度可明，民知所从矣。
汉武帝在稳固边疆的基础上积极开拓疆域。汉初，匈奴势力强大,多次袭击汉朝边境。汉武帝任用卫青、霍去病为将,经过三次较大规模的战争，控制了阴山以南和河西走廊的大片区域。西汉在河西走廊设立武威、张掖、酒泉、敦煌四郡。为配合对匈奴的战争，汉武帝派遣张骞两次出使西域，开辟了中西交通道路,大大促进了西域与中原的政治、经济、文化联系。中国的丝织品沿着这条道路传向中亚、西亚、欧洲和北非，这就是著名的“丝绸之路”。公元前 60年,西汉在乌垒城®设置西域都护府,作为管理西域的军政机构。西汉对东南沿海和西南少数民族地区的治理,也比以前更加有效。统一多民族封建国家得到巩固加强。
西汉形势图
## 东汉的兴衰
西汉后期,政治日趋黑暗,土地兼并严重,赋税徭役沉重,破产农民沦为奴婢或流亡,社会动荡不安。公元 9年,外戚王莽夺取皇位,改国号为新,西汉灭亡。王莽针对西汉后期的社会矛盾推行了一系列改革措施,试图挽救社会危机，但措施不切实际,反而使社会矛盾更加激化。王莽统治末年,国家出现严重的旱灾和蝗灾,赤地千里,绿林、赤眉等农民大起义终于爆发。23年,绿林军在昆阳击败王莽军队主力。随后,绿林军攻人长安,推翻王莽政权。
25 年,西汉宗室刘秀重建汉朝,不久定都洛阳,史称东汉,刘秀即汉光武帝。随后,刘秀又平定一些割据政权,实现全国统一。东汉初年,刘秀加强皇权,增强尚书台的作用;严格控制外戚干政;裁并郡县,裁减官吏,节省开支;整顿吏治,惩处贪污腐败;清查全国垦田、户口数量;
(1) 乌垒城,在今新疆巴州轮台县
## 学习聚焦
光武帝刘秀吸取西汉后期的教训，采取加强集权、发展生产等措施,东汉前期社会出现繁荣景象。
■ 东汉画像砖中描绘的集市
释放奴婢；重视儒学。社会经济在稳定的政局下重新发展起来，史称“光武中兴”。
东汉中期以后，皇帝大多年幼继位,年寿不长。皇帝年少不能亲政，太后掌握朝政，实际权力控制在外戚手中。皇帝逐渐长大，不满外戚干政，便依靠宦官铲除外戚势力，宦官又因此掌控朝政,从而出现外戚宦官交替专权的局面。他们各谋私利，相互争斗，致使东汉后期政治腐朽黑暗。一些正直官员和士人不满现实,品评人物，抨击时政，称为“清议”。他们触犯了宦官利益,被诬陷为“党人”，遭到严厉镇压，史称“党锢之祸”。
东汉时期，豪强地主势力发展迅速，土地兼并严重，阶级矛盾日益尖锐。184年，张角创立的民间秘密宗教“太平道”的信徒,在多个地方同时发动起义。起义军头裹黄巾，称“黄巾军”。起义军虽然相继被官兵各个击破，但黄巾起义动摇了东汉王朝的统治基础。地方长官趁机拥兵自重，军阀割据局面出现，东汉政权名存实亡。
## 两汉的文化
## 学习聚焦
两汉人民创造了灿烂的文化，成就斐然。两汉史学的代表性成就是《史记》与《汉书》。西汉司马迁撰写的《史记》,以本纪、表、书、世家、列传的形式，叙述了上起黄帝、下至汉武帝年间的历史，首创了纪传体通史体裁。《史记》文字精练,人物刻画与叙事生动,不虚美,不隐恶,是一部兼具史学和文学特色的不朽名著。东汉班固撰写的《汉书》，是我国第一部纪传体断代史。
两汉文学成就集中体现在汉赋、乐府诗上。汉赋是一种介于韵文和散文之间的文体,讲究铺陈排比,辞藻华丽。乐府是国家专管音乐的机构，乐府采集民歌修改而成的诗称为乐府诗,其中很多诗反映了当时社会的真实情况。东汉民间流行五言诗,语言朴实、生动，传播广泛。
## (4) 学思之窗
若夫终日驰骋,劳神苦形,罢车马之用,抏士卒之精,费府库之财,而无德厚之恩,务在独乐,不顾众庶,忘国家之政,贪雉兔之获，则仁者不乿也
―一司马相如《上林赋》
江南可采莲，莲叶何田田。
一一乐府《江南》
行行重行行，与君生别离。相去万余里，各在天一涯。
《行行重行行》
谈谈阅读上述诗赋的感受体会。
两汉科技成就突出。成书于战国至西汉间的《黄帝内经》奠定了中医理论的基础,东汉时的《神农本草经》是中国古代第一部药物学专著。《九章算术》在中国数学史乃至世界数学史上都占有重要地位。105年,东汉蔡伦改进造纸术。后来,纸成为主要书写材料,大大促进了中国和世界文化的传播和发展。
## 历史纵横
## 两汉其他重要科技成就
两汉科技成就众多。西汉初期成书的《周髀算经》,记载了用竿标测日影以求日高的方法,最早引用了西周初年勾股定理的特例商高定理。东汉张衡发明候风地动仪,测验地震方位,还撰写了天文学专著《灵宪》。东汉张仲景博采众方,著《伤寒杂病论》,被后世誉为“医圣”。东汉华佗发明了一种从植物中提取、适用于外科手术的麻醉药，即麻沸散。农学方面出现了《氾胜之书》,其后出现的《四民月令》中也有较多的农学内容。
《《九章算术》书影
## 探究与拓展
## 问题探究
东汉末年政论家仲长统讲述了东汉豪强势力的迅猛发展：
汉兴以来,相与同为编户齐民,而以财力相君长者,世无数焉。而清絜之士，徒自苦于茨栜之间，无所益损于风俗也。豪人之室,连栋数百,膏田满野,奴婢千群,徒附万计。船车贾贩,周于四方;废居积财,满于都城。琦赂宝货,巨室不能容;马牛羊豕,山谷不能受。妖童美妾,填乎绮室;倡讴伎乐,列乎深堂。宾客待见而不敢去,车骑交错而不敢进。三牲之肉,臭而不可食;清醇之酎,败而不可饮。睇盼则人从其目之所视,喜怒则人随其心之所虑。此皆公侯之广乐,君长之厚实也。
-《后汉书・仲长统列传》
阅读这段材料,分析豪强地主势力的发展与东汉政权衰亡之间的关系。
## 学习拓展
两汉人民创造了灿烂的历史与文化，其中许多杰出人物的昂扬进取、不屈不挠的斗志，给后世留下了宝贵的精神财富。司马迁“究天人之际，通古今之变，成一家之言” 的志向，霍去病“匈奴末灭，无以家为” 的壮志,张骞“凿空” 的勇气,苏武绝不“屈节辱命” 的精神，马援“马革袞尸”的情怀，班超“投笔从戎”“立功绝域” 的追求，脍多人口，广为流传，榕铸为中华优秀传统文化的组成部分。
查阅相关资料，进一步了解这些历史人物的事迹，感悟他们的家国情怀。
## 第二单元
三国两晋南北朝的民族交融
与隋唐统一多民族封建国家的发展
三国两晋南北朝包括三国、西晋、东晋十六国、南北朝几个阶段,除西晋外都处于分裂状态。尽管战火连绵,政局动荡,但社会经济在曲折中仍有发展,南方的开发初见成效,文化领域也有不少重要成果。汉族与内迁边疆民族从冲突到和平交往,逐步走向交融,推动了统一多民族封建国家的发展。随后出现的隋唐统一王朝,国力强盛,疆域拓展,经济繁荣,民族往来和对外交往活跃,制度上也有重要建树,在当时世界范围内首屈一指。自唐朝中期爆发安史之乱起,中央对地方的控制严重削弱,最终演变为五代十国的分裂局面。
通过本单元的学习,了解三国两晋南北朝政权更迭的历史脉络和隋唐王朝的鼎盛局面,认识这一时期制度演进、民族交融、区域开发和思想文化发展等新的成就。
## 第 5 课 三国两晋南北朝的政权更迭与民族交融
四川成都武侯祠
二、三世纪之交,军阀混战,东汉政权名存实亡。207 年,号称出自汉朝皇族的刘备拜访隐士诸葛亮,请他出山辅佐自己。诸葛亮分析局势说：北方的曹操实力强大,而且控制了东汉皇帝,“诚不可与争锋”;东南的孙权割据多年,基础坚固,“可以为援而不可图也”;刘备只能争取控制西南地区,站稳脚跟,然后待机发展。这一“三分天下”的预言，后来得到应验。诸葛亮生前获封“武乡侯”，死后谥号“忠武侯”，因此其祠名为“武侯祠”。
## 三国与西晋
## 学习聚焦
东汉灭亡后出现三国鼎立局面,随后西晋短暂统一。东汉末年，曹操、刘备、孙权三大军事集团渐成鼎足之势。220年,曹操之子曹不称帝,定都洛阳,国号魏,东汉灭亡。刘备、孙权也相继称帝。刘备仍用汉的国号,官渡 …… 今河南中牟隆中 …… 在今湖北襄阳西建业 …… 今江苏南京赤壁 …… 在今湖北嘉鱼东北夷洲
ヘ 三国鼎立形势图（262年) 定都成都，史称蜀汉，简称蜀。孙权定都建业，国号吴。魏国国力较强,在三国鼎立局面中略占上风。蜀、吴两国则加强了对南方少数民族地区的治理。263 年,曹魏权臣司马昭发兵灭蜀。266年,司马昭之子司马炎代魏称帝,国号晋,史称西晋。司马炎即晋武帝。280年,西晋灭吴,完成统一。
自东汉以来,西、北边陲的一些少数民族不断向内地迁徙。到西晋,内迁的少数民族主要有匈奴、羯、氏、羌和活动在长城一带的鲜卑。晋武帝死后,宗室诸王展开对中央权力的争夺,演化为内战。内迁少数民族卷人其中,并且逐渐主导了局势。316年，西晋被内迁匈奴贵族所灭。自此,中国历史又进人一个比较长的政权分立时期,起初是东晋十六国的割据,后来演变为南北朝的对峙。
西晋末年内迁少数民族分布与北方流民南迁示意图
长安今陕西西安
丹阳郡郡治在今江苏南京
襄阳郡郡治在今湖北襄阳
蜀郡 …… 郡治在今四川成都
长沙郡郡治在今湖南长沙
## 东晋与南朝
## 学习聚焦
在东晋和南朝相继统治下,南方经济有了明显发展。
## 历史纵横
东晋的士族专权
东晋建立之初，高门士族珢邪（yá ）王氏当权。其代表人物王导在朝中担任宰相,王敦统重兵坐镇长江中游,内外相应。司马睿即位接受百官朝贺时,甚至请王导与他并排上坐,王导坚决推辞,方才作罢,时称“王与马，共天下”。此后，颕川㡼氏、谯国桓氏、陈郡谢氏、太原王氏等士族相继掌权
## 思考点
东晋南朝时期江南得到开发的原因有哪些?317 年,西晋宗室司马睿在建康重建晋朝，史称东晋。自三国、西晋以来，一些声名显赫的士大夫家族世代把持官位，享受政治、经济等方面特权，形成一个特殊的社会阶层，称为士族。逃到南方的几家北方高门士族先后执掌朝政,成为东晋政权的主要支柱。他们争权夺利，势力逐渐衰弱。420 年,出身低级士族的武将刘裕夺取皇位,改国号宋。此后 170 年间,南方先后经历了宋、齐、梁、陈四个王朝，合称南朝。四个王朝均定都建康，加上先前在此定都的吴和东晋,又统称为六朝。
从西晋末年起,北方人民为躲避战乱，大批流亡南下，带来了先进的生产工具和技术，也充实了劳动力资源。东晋南朝时期,南方土地大量开垦,农作物品种增加,产量提高。手工业方面，纺织、矿冶、陶瓷、造船、造纸等行业都有明显进步。在江南开发的过程中，许多山区的少数民族也逐步与汉族交融。
## 学思之窗
《宋书》是记载南朝第一个王朝刘宋历史的史书。其中有一段描述：
至于元嘉末 …… 兵车勿用,民不外劳,役宽务简，氓庶繁息，至余粮栖亩，户不夜扃（jiTng），盖东西之极盛也……地
广野丰,民勤本业,一岁或稔 (rěn),则数郡忘饥。会土带海傍湖，良塒亦数十万顷,膏膄上地,亩直一金,鄠 ( hù)、杜之间，不能比也。荆城跨南楚之富，扬部有全吴之沃，鱼盐杞梓之利，充侚八方，丝绵布帛之饶，覆衣天下。
根据材料,说说当时南方经济发展的成就。
东晋北边的疆域，大致到淮水为止。东晋南朝之交,一度将势力范围扩展到黄河南岸附近，但随后在军事上渐处下风,又退回到淮水一线。到陈朝,只能保有长江以南,上游又丢掉了四川和荆襄，在南北对峙中处于明显劣势,覆亡大局已定。
## 十六国与北朝
西晋末年到东晋时期,北方先后出现了一批割据政权,最主要的有 15 个,加上西南地区的成汉,合称“十六国”。其中大部分由内迁少数民族建立。它们都采用了中原模式的国号、年号,学习汉族的典章制度。在长期混战中,原有民族布局被打乱,各族之间频繁接触,差异慢慢缩小,但民族隔阂仍然广泛存在。4世纪下半叶,氏族建立的前秦统一北方,随后大举进攻东晋,被击败于㳉水。由于内部各族尚末充分交融,统治基础脆弱,强大的前秦政权在㳉水之战后迅速崩溃，曾经稍显缓和的民族矛盾又加剧了。
■东晋十六国形势图
建康 …… 今江苏南京
夷洲 …… 今台湾
4世纪末，鲜卑拓跋部建立的北魏强大起来，于 439年统一北方。5世纪后期,北魏孝文帝拓跋宏在位,大力推动民族交融。他将都城从平城 ${ }^{1}$ 迁到洛阳,迁到洛阳的鲜
(1) 平城,今山西大同。
## 学习聚焦
从十六国到北朝,北方政权在民族交融的基础上逐渐壮大，为统一全国准备了条件。
## 十六国统治者族属表
鲜卑旧墟石室嘎仙洞祝文 1980 年，考古工作者在内蒙古鄂伦春自治旗一个山洞一一嗄仙洞的石壁上，发现了北魏皇帝祭祖时镌刻的祝文，文字内容与《魏书》相关记载相同,证明嗄仙洞就是《魏书》中提到的鲜卑拓跋部“石室”祖庙。卑贵族一律将籍贯改为洛阳,死后不得归葬平城;以汉族服饰取代鲜卑服饰,朝中禁鲜卑语,统一说汉语;改鲜卑姓为汉姓,其中皇族拓跋氏改姓元;仿照魏晋以来汉族社会的士族阶层,将新改姓的部分鲜卑贵族定为一等高门,并鼓励他们与汉族高门士族通婚。这些改革措施顺应了北方民族交往交流交融的历史趋势，大大缓解了民族矛盾,促进了北魏的经济发展和社会繁荣,为以后北方统一南方以及隋唐盛世的出现打下了基础。
## 史料阅读
记载北魏历史的《魏书》,高度评价北魏孝文帝深厚的汉文化修养,以及他改革的意义:
帝……雅好读书，手不释卷。“五经”之义，览之便讲，学不师受，探其精奥。史传百家，无
不该涉,善谈《庄》《老》,尤精释义。才藻富赡,好为文章,诗赋铭颂,任兴而作。有大文笔,马上口授，及其成也，不改一字……
史臣日：有魏始基代、朔，廓平南夏，辟壤经世，咸以威武为业，文教之事，所末遑也。高祖N.. 钦明嵇古,协御天人,帝王制作,朝野轨度,斟酌用舍,焕乎其有文章,海内生民咸受耳目之赐。
$-《$ 魏书・高祖纪》
北齐仰覆莲六系青瓷尊
这件出土于河北景县北齐封子绘募的青瓷尊,器形雄伟、饱满,是中原地区青瓷的代表作。邺 …… 在今河北临漳西南长安 …… 今陕西西安 6 世纪前期，北魏发生动乱，分裂为东魏和西魏，稍后又分别被北齐、北周取代。上述五个王朝合称北朝。北齐、北周东西对峙,北周内政修明,逐渐占据优势,灭掉北齐。不久，隋朝取代北周，统一全国，终于结束了长达数百年的分裂割据局面。
北齐、北周、陈对峙形势图（572年)
## 探究与拓展
## 问题探究
《资治通鉴》卷 140 概括记述了北魏孝文帝改姓氏的措施：
魏主下诏，以为：“北人谓土为拓、后为跋，魏之先出于黄帝，以土德王，故为拓跋氏。夫土者，黄中之色，万物之元也；宜改姓元氏。诸功臣旧族自代来者,姓或重复,皆改之。” 于是始改拔拔氏为长孙氏,达奚氏为奚氏,乙族 ( zhān) 氏为叔孙氏,丘穆陵氏为穆氏,步六孤氏为陆氏，贺赖氏为贺氏，独孤氏为刘氏，贺楼氏为楼氏，勿忸于氏为于氏,尉（yù ）迟氏为尉氏。其余所改,不可胜纪。
宋末元初人胡三省在注释《资治通鉴》时感慨说：
呜呼！自隋以后，名称扬于时者，代北之子孙十居六七矣。氏族之辩，果何益哉！
汉族在形成、发展过程中融汇了大量少数民族成分,北魏孝文帝改革只是其中比较突出的一个阶段。查找相关资料，了解当代汉族姓氏与古代少数民族的关系。
## 学习拓展
6世纪中后期，东魏一北齐、西魏一北周、梁一陈三方政权形成鼎峙局面。西魏一北周政权就实力而言原本是最弱的一方，但后来居上，逐渐强大。北周先灭北齐,取代北周的隋朝又完成了南北统一。这与西魏一北周统治者积极推动民族交融、有效地强化内部凝聚力有很大关系。
查阅相关材料,了解西魏－北周统治者是怎样推动民族交融、强化内部凝聚力的，并初步认识相关措施的历史意义。
## 第 6 课
从隋唐盛世到五代十国
大大运河今貌 2014 年，第 38 届世界遗产大会宣布，中国大运河项目入选《世界遗产名录》。这条大运河到现在已经有 2500 多年的历史了。春秋时期,吴王夫差开亚了连接江淮的运河—一邗沟。此后历代都有运河工程，其中隋朝的工程最为浩大。隋朝大运河首次南北贯通,沟通五大水系,“运漕商旅，往来不绝”,“自是天下利于转输”。
## 隋朝兴亡
581 年,北周外戚杨坚代周称帝,改国号隋,定都长安,是为隋文帝。他励精图治,进行了一系列改革,国力日强。589年,隋文帝派次子杨广率军灭陈,结束了南北长期分裂的局面。文帝死后杨广即位,是为隋炀帝。
隋朝的各项建设较多,规模宏大。在长安、洛阳两都和地方广设的仓库，既包括供应朝廷粮食和物资的仓库，又包括备水旱赈济而遍置于乡间的义仓,积储丰富。隋炀帝兴建的洛阳城,宏伟壮丽,闻名于世;开通的大运河,贯通南北,对巩固统一、促进南北经济交流以及运河沿岸城市发展,起了重要作用。
隋炀帝自恃强盛，大兴土木，穷奢极欲，又三次大举征伐高丽。生产遭到严重破坏,民不聊生,最终引发大规模起义。隋朝贵族李渊趁机在太原起兵。618年，隋炀帝在江都被部将杀死，隋朝灭亡。
结合皮日休的诗，说说你是如何看待隋炀帝的。
## 唐朝的繁荣与民族交融
618 年,李渊在长安称帝,建立唐朝,是为唐高祖。随后,唐军逐渐消灭各支起义军和割据势力,统一全国。继位的唐太宗李世民吸取隋亡的教训,轻徭薄赋,劝课农桑,戒奢从简,知人善任,虚怀纳谏。在他统治时期,国家出现了少有的开明政治局面，史称“贞观之治”。
唐高宗在位时,皇后武则天参与朝政,高宗死后不久,她废唐称帝,改国号为周。在她当权期间,社会经济持续发展。武周政权结束后不久,唐高宗之孙李隆基即位,是为唐玄宗。他选贤任能,改革吏治,发展生产,大兴文治,改革兵制,将唐朝推向全盛时期，史称“开元盛世”。这一时期,经济有很大发展,社会空前繁荣。
## 唐朝曲辕犁
唐以前,耕犁是长直辕犁,回转困难。唐朝时,江南农民在长期生产中将耕犁改进为一种轻便的短曲辕犁。晩唐陆龟蒙的《末耓经》中有关于曲辕犁的记载。曲辕犁在三个地方有重大改进: 一是长直辕改为短曲辕;二是加装犁评,可以调节耕作的深浅;三是改进了犁壁。这种犁成为当时最先进的耕具,在江南水田地方推广。至此，耕犁基本定型。
## 唐三彩盘
这件出土于陕西乾县唐永泰公主墓的三彩盘,釉色绿、褐、白相间,既有图案规律,又具有三彩釉敦煌莫高窟壁画唐朝牛耕图中的流动自然的特点。
曲辕犁
唐朝时,周边各族迅速发展。突厥是兴起于阿尔泰山地区的游牧部落，6世纪中叶建立政权，后分裂为东、西突厥。
## 历史纵横
## 回纥
7世纪初，游牧在色楞格河一带的回纥受突厥的奴役。为了反抗突厥的压迫,回纥联合铁勒诸部,在唐朝军队的支持下,灭亡东突厥汗国。随后,回纥南移,归附唐朝。唐玄宗册封回纥首领骨力裴罗为怀仁可汗。后来,回纥改名回鹘。9世纪回鹘政权瓦解，除一部分迁入内地与汉人融合外,大部分西迁到河西走廊和西域。入居西域的回鹘人，逐渐融合当地居民,发展为后来的维吾尔族。隋唐时期的回纥人是维吾尔族先民的主体。隋末唐初，东突厥多次南下进攻。贞观初年，唐军大举反击，击败并俘获东突厥可汗，东突厥汗国灭亡。草原各族共同尊奉唐太宗为“天可汗”。后来，唐高宗联合回纥灭西突厥。唐朝中央政权加强对西域的管理，先后设置安西都护府和北庭都护府，统辖天山南北。682年，安置在北方的东突厥部众反叛唐朝，一度建立了后突厥汗国政权。744年，唐朝与漠北回纥、葛逻禄等联手平定了后突厥汗国。从此，突厥在中国北方退出了历史舞台。
交河故城
交河位于吐鲁番西 10 余千米处，因河水分流绕城而得名。唐朝安西都护府曾设于此。
《职贡图》
这幅图传为唐朝画家阎立本所作,反映的是外国使节和我国边远少数民族使臣携带贡品来唐朝进贡的生动情景。
7 世纪前期，吐蕃赞普松赞干布统一青藏高原。他多次遣使向唐朝求婚，唐太宗把文成公主嫁给他。文成公主人藏时带去大批手工艺品和多种技术、医药书籍等。唐蕃和亲，促进了汉藏的友好关系和经济文化交流。9世纪前期，吐蕃与唐会盟，此后，唐蕃间基本上停止了纷争。
唐玄宗统治时期，东北的靺鞨族粟末部强大起来。唐玄宗封其首领大祚荣为渤海郡王。
唐朝周边少数民族建立的政权，对祖国边疆地区的开发作出了积极贡献。
## 思考点
隋唐盛世形成的原因有哪些?
## 唐蕃会盟碑
唐蕃会盟碑立于西藏拉萨大昭寺门前，是唐穆宗时唐朝与吐蕃会盟的遗物。这次会盟史称“长庆会盟”，盟约里写道：“患难相恤，暴掠不作。”
长安 …… 今陕西西安幽州 …… 今北京洛州 …… 今河南洛阳益州 …… 今四川成都焉老 …… 今新疆焉者龟兹 …… 今新疆库车一带于阗 …… 今新疆和田疏勒 …… 今新疆喀什
逻些……………今西藏拉萨
流求 …… 今台湾
唐朝前期疆域和边疆各族分布图（669年 )
## 安史之乱、黄巢起义和五代十国
开元年间,边彊形势随着版图的拓展日益紧张。唐玄宗在边境重地增置军镇,加强边防,军镇长官节度使兵力随之扩大。至唐玄宗统治后期,国家出现外重内轻的局面。此时的唐玄宗沉湎于享乐,枲于政事,任人唯亲,朝政趋于腐败。
755 年,身兼三镇节度使的安禄山在范阳起兵,和他的部将史思明一起发动叛乱。这场叛乱历时八年,后被唐平定,史称“安史之乱”。在平叛过程中,唐军许多将领拥兵自重,中央集权被削弱;边防空虚,吐蕃趁机占
## 学习聚焦
安史之乱导致唐朝由盛转衰。黄巢起义后,唐朝灭亡，五代十国分裂局面出现。
## 史料阅读
北宋欧阳修在他编撰的《新唐书 - 兵志》中,总结了从藩镇林立直至唐朝覆亡的历史线索:
大盗既灭，而武夫战卒以功起行阵,列为侯王者，皆除节度使。由是方镇相望于内地,大者连州十余,小者犹兼三四。故兵骄则逐帅，帅强则叛上。或父死子握其兵而不肯代;或取舍由于士卒,往往自择将吏，号为“留后”，以邀命于朝。天子顾力不能制，则忍耻含垢，因而抚之,谓之姑息之政。盖姑息起于兵骄,兵骄由于方镇,姑息愈甚而兵将愈倶骄。由是号令自出,以相侵击,虏其将帅,并其土地,天子熟视不知所为,反为和解之,莫肯听命 …… 故兵之始重于外也,土地、民赋非天子有;既其盛也，号令、征伐非其有；又其甚也，至无尺土，而不能庇其妻子宗族，遂以亡灭。领河西陇右地区。从此，唐朝由盛转衰。
安史之乱期间和以后，唐朝陆续在内地增设藩镇。蕃镇管辖地区，大者十余州，小者三四州，有些藩镇独立性很强，形成藩镇割据的局面。这种局面在唐朝后期持续了 100 多年，严重削弱了唐朝的统治力量。
唐朝后期，宦官专权和朋党之争加剧。875年，黄巢领导的农民起义爆发。起义军横扫大半个中国，一度攻占长安,沉重地打击了唐朝的统治。黄巢起义军的将领朱温降唐，被封为节度使。他与其他藩镇联合镇压黄巢起义,逐渐控制政权。907年，朱温废唐称帝，国号梁，史称后梁。唐朝灭亡。此后 50 多年间，黄河流域先后经历后梁、后唐、后晋、后汉、后周五个短命王朝，称为“五代”。五代除后唐定都洛阳外，其余都定都开封。同时，南方各地先后出现吴越、南唐等九个割据政权,连同五代末期在山西建立的北汉，称为“十国”。
到五代十国后期，后周世宗柴荣顺应当时形势，努力清除五代的弊政，实力逐渐增强，为后来北宋结束五代十国分裂局面奠定了基础。
五代十国形势图（后周时期 ）
## 探究与拓展
## 问题探究
隋朝国力雄厚,财政充裕。杜佑《通典・食货典》记载说：
隋氏西京太仓，东京含嘉仓、洛口仓，华州永丰仓，陕州太原仓，储米粟多者千万石，少者不减数百万石。天下义仓又皆充满。京都及并州库，布帛各数千万。而赐贲勋庸、并出丰厚，亦魏晋以降之末有!
609至 610年，隋炀帝为夸耀国家富强，在洛阳举行盛大的表演大会。《资治通鉴》卷 181 记载:
帝以诸蕃酋长毕集洛阳……于端门街盛陈百戏，戏场
周围五千步，执丝竹者万八千人，声闻数十里，自昏至旦，灯火光烛天地。终月而罢，所费巨万……整饰店肆，檐宇
如一，盛设帷帐，珍货充积，人物华盛，卖菜者亦藉以龙须席。胡客或过酒食店，悉令邀延就坐，醉饱而散，不取其直，绐（dài ）之日：“中国丰饶，酒食例不取直。”胡客皆惊叹。其黠者颇觉之,见以缯（zēng ) 帛缠树,日：“中国亦有贫者,衣不盖形,何如以此物与之,缠树何为?”市人惭不能答。
阅读上述材料,结合所学知识,分析隋朝灭亡的原因与其他朝代有何不同。
## (3) 学习拓展
隋唐两朝的民族政策比较开明。查阅资料，了解各民族人物在隋唐时期取得的业绩。
## 第 7 课
隋唐制度的变化与创新
唐三彩文官俑
## 学习聚焦
科举制使官员选拔变得更加公开和公平，中国古代选官制度逐渐走向成熟与完善。“昔日跮䶙不足夸，今朝放荡思无涯。春风得意马蹄疾,一日看尽长安花。”这是唐朝诗人孟郊考中进士后，斦喜之际㝍的一首诗《登科后》，描述了他登科后骑着马在京城游街时那种志得意满的情景。图为 1957 年陕西西安鲜千庭诲墓出土的唐三彩文官俑。
## 选官制度
曹魏创立了新的选官制度九品中正制。中央委任中正官为各地人才评定等级，共分九等，朝廷依此授以相应的官职。选官标准从初创时期的重视家世、道德和才能，演变为西晋时期主要看重家世。这样，九品中正制逐渐成为维护士族特权的工具。随着士族的没落，九品中正制无法继续
## 历史纵横
九品中正制的产生
汉末社会动荡，“人士流移，考详无地”，察举制所依赖的乡里清议失去了社会基础。当时，选官多操纵在地方大族名士手中。他们交结朋党，严重干扰了人才选拔。曹操开始尝试新的选人方法。曹丕继任魏王后，采纳吏部尚书陈群的建议，颁行九品中正制。这种选官制度既继承了两汉乡里评议人物的传统，又将评议权收归中央，在一定时期内加强了中央集权
隋朝建立后，废除九品中正制，开始采用分科考试的方式选拔官员。隋炀帝时,始建进士科,科举制度形成。唐朝继承和完善科举制度。唐太宗增加了考试科目，以进士和明经两科为主;武则天扩大科举取士的人数,首创了武举和殿试;唐玄宗任用高官主持考试,提高了科举考试的地位。
科举制使出身社会中下层的读书人通过相对公平的考试参与政权,扩大了统治的基础,提高了官员的文化素质，加强了中央集权。
## 学思之窗
进士科始于隋大业中，盛于贞观、永徽之际。缙绅虽位极人臣，不由进士者终不为美……其推重谓之“白衣公卿”，又日“一品白衫”。其艰难谓之“三十老明经,五十少进士”。…… 其有老死于文场者，亦所无恨。故有诗云：“太宗皇帝真长策，赚得英雄尽白头!”
一一王定保《唐摭言》卷1《散序进士》
科举制度在我国封建社会延续了约 1300 年,直到清朝末年才被废除。科举制度对中国历代王朝的统治有什么影响?
## 三省六部制
魏晋南北朝时期，尚书台改称尚书省，与中书省和门下省形成三省，它们共同辅助决策,行使权力。
隋文帝时,中央正式确立了三省六部制。隋唐时期,三省的职权分工明确,又彼此制约。中书省负责草拟皇帝的诏令；门下省负责审核诏令，有不妥者驳回；尚书省负责执行,下设吏、户、礼、兵、刑、工六部，分工处理各项具体政务。三省长官共议国事,执宰相之职。唐太宗时常给品位较低的官员以宰相名号,扩大任用宰相的范围。宰相议事的地方叫政事堂,后改称中书门下。政事堂的设立,提高了工作效率,三省出现了一体化的趋势。
三省六部制的确立和完备,是中国政治制度的重大变革，对此后历朝产生了深远影响。
西安大雁塔唐朝进士题名帖大雁塔位于陕西西安的慈恩寺中,为唐玄奘主持所建。“雁塔题名”成为进士及第的代称。
## 学习聚焦
三省六部制的确立,使得中央决策和行政体系日臻完备。
《大唐六典》书影
《大唐六典》,简称《唐六典》,是唐玄宗开元年间官修的行政法典。它记载了唐朝前期的官制，是我国现存最早的一部行政法典。
唐朝三省位置图
## 赋税制度
## 学习聚焦
赋税制度的变化，反映出国家对农民的人身控制逐渐放松,直到两税法实行,征税的主要标准从人丁转为财产。
## 唐朝怀集庸调银饼
这是岭南道广州怀集百姓所纳庸调在上缴朝廷时由地方官府折纳的银饼，出土于陕西西安何家村。魏晋时期，开始实行租调制，按户征收粮和绢帛。北魏孝文帝改革，颁布均田令，规定一夫一妇每年纳粟为租，纳帛或布为调，受田农民承担定额租调。成年男子负担一定的徭役。唐初,将赋税征收对象定为 21 至59岁的成年男子。除租、调外,男子不去服徭役的可以纳绢或布代役,称为庸。以庸代役保证农民有较充分的生产时间，政府的赋税收人也有了保障。
天宝年间，土地买卖和兼并之风盛行，政府直接支配的土地日益减少，均田制无法推行,租庸调制也无法维持,政府财政收人锐降。为了解决财政困难，780 年，唐德宗接受宰相杨炎的建议，实行两税法，规定：每户按人丁和资产缴纳户税，按田亩缴纳地税，取消租庸调和一切杂税、杂役；一年分夏季和秋季两次纳税。
## 史料阅读
史书这样概括两税法的实行背景:
唐初赋敛之法曰租庸调……玄宗之末，版籍浸坏，多非其实。及至德兵起,所在赋玫,迫趣 ( cù) 取办,无复常准。赋玫之司增数而莫相统摄,各随意增科,自立色目,新故相仍,不知纪极。民富者丁多,率为官为僧以免课役,而贫者丁多无所伏匿,故上户优而下户劳。吏因缘蚕食,白输月送,不胜困弊,率皆逃徙为浮户,其土著百无四五。至是,炎建议作两税法。先计州县每岁所应费用及上供之数而赋于人,量出以制入。户无主客,以现居为簿,人无丁中,以贫富为差。为行商者,在所州县税三十之一,使与居者均,无侥利。居人之税,秋、夏两征之。其租庸调、杂徭悉省。
## -《资治通鉴》卷 226
两税法简化税收名目，扩大收税对象，保证国家的财政收人。它“惟以资产为宗,不以丁身为本”,改变了自战国以来以人丁为主的赋税制度,减轻了政府对农民的人
## 思考点
唐朝赋税制度的变化说明了什么?身控制。
## 探究与拓展
## 问题探究
两税法推行后,有人批评说：
每州各取大历中一年科率钱谷数最多者,便为两税定额，此乃采非法之权令以为经制，总无名之暴赋以立恒规。
一一陆贽《翰苑集》卷 22《中书奏议・均节赋税恤百姓第一条》
诗人白居易则写出如下诗句:
国家定两税，本意在忧人。厥初防其淫，明敕内外臣：税外加一物，皆以枉法论。奈何岁月久，贪吏得因循。浚我以求宠,玫索无冬春。织绢末成匹,缫丝末盈斤。里胥迫我纳,不许暂逡巡 ……昨日输残税,因䆕官库门。缯帛如山积,丝絮似云屯。号为美余物,随月献至尊。夺我身上暖，买尔眼前恩。进入琼林库，岁久化为尘。
-一《白居易集》卷《重赋》
阅读上述材料,结合所学知识,谈谈你对两税法利弊的认识。
## 学习拓展
唐朝注重法律的制定。流传到今天的《唐律疏议》,在中国和世界法制史上都具有重要影响。
查阅相关研究成果,初步了解《唐律疏议》的主要特点及其在法制史上的地位。
敦煌《唐律疏议》残卷
## 第 8 课
三国至隋唐的文化
佛教在两汉之际传入中国。东汉初年,汉明帝派使臣前往西域求佛法,请来了两位高僧,还用白马驮来佛经。汉明帝让两位高僧在洛阳传教,在他们居住的地方修建佛寺，这就是洛阳的白马寺。
## 儒学、道教与佛教的发展
汉武帝时期,儒学正统地位确立后,在统治者的大力提倡下呈现繁盛之势。魏晋南北朝时,东汉末兴起的中国本土宗教道教在民间广为传播,并受到儒学的影响,主张“贵儒” 和“尊道”。佛教在中国盛行,也吸收儒、道的思想,渐趋本土化。作为主流统治思想的儒学,自身开始吸收佛教和道教的精神，有了新的发展。
隋朝时期,儒学家提出儒、佛、道“三教合归儒”,主张以儒学为主,调和并吸收佛教、道教的理论。唐朝统治者奉行三教并行政策,奉老子为祖先,道教最受尊崇。武则天时,佛教在社会上也有很大发展,形成不同宗派。其中禅宗的修行比较简便,易于传播,对后世影响最大。
佛教盛行,广修寺庙,耗费了大量的钱财,很多劳动力不事生产,严重影响到政府财政收人。这一时期,不断有人出来反佛,其中南朝无神论思想家范缜是最杰出的代表。他针对佛教宣扬的形神分离、形亡而神不灭的观点,提出人的精神和肉体是统一的,对佛教进行抨击。北魏、北周及唐朝等统治者几度灭佛,佛教文化遭受损失,但佛教的发展并末从根本上受到遏制。
佛教和道教的发展使儒学的正统地位受到挑战
白马寺
## 学习聚焦
魏晋南北朝至隋唐时期，思想活跃,呈现多元特征
历史纵横
魏晋玄学
魏晋之际，统治阶级内部的政治残杀非常频繁，社会上出现了逃避现实政治斗争、崇尚老庄的玄学。玄学家用老庄的思想解释《周易》等儒家经典,主张虚无的“道”,宣扬“无” 是产生万物的根本。他们认为,政治上应当“无为”,生活作风上要任其“自然”，社会风气上崇尚“清谈”。期韩愈率先提出复兴儒学。他从维护封建统治出发,用儒家的天命论和封建纲常来反对佛教的观点,巩固儒学主流思想的统治地位。
## 文学艺术
## 学习聚焦
魏晋南北朝的文学艺术成就突出，到唐朝达到新的高峰。魏晋南北朝时期,文学有了很大发展,从东汉末年开始,先后出现了以曹操父子为代表的建安文学、东晋陶渊明的田园诗、南朝骈文、南北朝民歌等风格各异的文学形式。
唐朝是中国文学发展的又一个高峰。诗歌创作进人黄金时代。流传下来的有两千多位诗人创作的近五万首诗歌,很多脍多人口的佳作,成为千古绝唱。李白、杜甫的诗作代表了唐诗的最高成就,他们分别被誉为“诗仙” 和“诗圣”。
## 史料阅读
唐朝诗人元稹在给友人白居易的诗文集所作序言中，描述了他们的诗歌在当时社会上产生的巨大影响。序中微之和乐天分别是元稹和白居易的字。
予始与乐天同校秘书之名，多以诗章相赠答 …… 二十年间，禁省、观寺、邮候墙壁之上无不书,王公妾妇、牛童马走之口无不道。至于缮写模勒，炫卖于市井,或持之以交酒茗者,处处皆是。其甚者,有至于盗窃名姓,苟求自售,杂乱间则,无可奈何。予于平水市中,见村校诸童竞习诗,召而问之,皆对日：“先生教我乐天、微之诗。”固亦不知予之为微之也。又鸡林贾人求市颇切，自云：“本国宰相每以百金换一篇，其甚伪者，宰相辑能辩别之。”自篇章已来，末有如是流传之广者。
龙门石刻北魏《杨大眼造像记》
王羲之《姨母帖》(摹本) 这一时期，书法、绘画、雕塑、舞蹈等大放光彩。书法在东汉末年成为一种艺术。魏晋南北朝时期，隶书、草书、行书和楷书等各种书体均已完备。东晋大书法家王羲之博采众长,诸体兼精，世称“书圣”。隋唐时期的书法艺术,融汇了南朝的秀美和北朝的雄健,创出新风格。颜真卿气势雄浑的颜体和柳公权骨力遒劲的柳体最为有名。
颜真卿《多宝塔》
柳公权《金刚经碑》
怀素《自叙帖》感应碑》
魏晋南北朝的绘画,成就斐然。东晋开始出现知名的专职画家,以顾恺之为代表。他提出“以形写神”,所画人物栩栩如生,《女史箴图》和《洛神赋图》是他的代表作。隋唐的绘画题材广泛,风格多样。宗教画生活气息浓厚，人物画注重表现人的形态，山水、花鸟也成为绘画主题。唐朝的吴道子被尊为“画圣”。
魏晋至隋唐时期,因佛教广泛传播而修造的石窋,如山西大同云冈石窋、河南洛阳龙门石窟、甘肃敦煌莫高窋等，都是闻名世界的艺术宝库。
龙门石窟宾阳中洞的佛像
佛像体态修长,表情温和，是北魏晩期的雕像代表。
敦煌莫高窋壁画《胡旋舞》
胡旋舞是来自西域游牧民族的一种舞蹈。隋唐时期的乐舞受西域和周边邻国的影响，风格多样，具有壮阔欢腾的特色。
从顾恺之《洛神赋图》( 摹本 )
## 思考点
魏晋南北朝陏唐时期，出现了“诗圣”“书圣”“画圣”等杰出人物。这一时期的文艺成就达到高峰的原因是什么?
## 科技
## 学习聚焦
魏晋南北朝时期的科学技术在诸多领域取得新成果,隋唐时期科技走在世界前列。
## 学思之窗
舍本逐末，贤哲所非，日富岁贫,饥寒之渐,故商贾之事，烪而不录《齐民要术・序》
贾思劦的这段话,反映了他怎样的思想?
>雕版印刷《金刚经》卷子
这是世界上现存最早的、有确切日期的雕版印刷品,印制于 868 年,高 23 厘米,宽 843 厘米。它原藏于敦煌藏经洞，1899年被发现，现存于大英图书馆。
## 学习聚焦
中外文化交流频繁，异域文化对中国文化产生了深远影响。魏晋南北朝时期,数学、农学和地理学等方面都取得了新的成果。南朝祖冲之精确地算出圆周率是在 $3.1415926 \sim$ 3.1415927 之间。北朝贾思劦著述的《齐民要术》，是中国现存最早的一部完整的农书。西晋杰出地图学家裴秀绘制出《禹贡地域图》，并提出绘制地图的方法。
隋唐的科学技术进一步发展。隋唐时期是中国古代建筑的成熟期。隋朝工匠李春设计并主持建造的赵州桥,是世界上现存最古老的石拱桥。唐朝已经有了雕版印刷的佛经、日历和书籍。唐中期的书籍记载了火药的配方。唐末,火药开始用于战争,火箭是最早的火药武器。唐朝天文学家僧一行,测算出了地球子午线长度。医学家孙思邈完成医学名著《千金方》,它全面总结历代和当时的医药学成果,且有许多创新。唐高宗时编修的《唐本草》,是世界上最早由国家颁行的药典。
## 中外文化交流
魏晋南北朝隋唐时期，佛教的传播和中外文化交流密不可分。从东汉到北朝，陆续有中亚、天应的高僧来华，将大批佛经翻译成汉文。当时为了求得佛教真解，一些中国名僧西行取经。东晋的法显从长安出发，经西域至天爫，收集了大批梵文经典。唐朝的高僧玄奘，在贞观初年也西行前往天应取经。他在天应的佛教中心那烂陀寺钻研多年,又到许多国家周游讲学,成为公认的佛学大师。伴
随佛教东传而来的异域文化,在很多方面对中国产生了深远影响。
中国佛教的发展也影响到周边国家。唐朝高僧鉴真六次东渡,历尽艰险最终到达日本，传授佛法。日本、新罗等国常常派学问僧来长安求法,日本的空海就是很有名的一位高僧,他回国时携带了许多佛经和诗文集。这些交流对日本等周边国家的文化发展有着重要贡献。
唐都城长安聚集了许多国家和地区的使节、商人、侨民，成为当时的国际大都会。新罗、日本两国文化都受到唐朝的巨大影响。
唐招提寺
唐招提寺是鉴真和他的弟子在日本奈良仿唐制建造的寺院,是建筑乙艺术的态作,至今被日本视为国宝。它们向唐朝派遣了许多使节和留学生,有的留学生还在唐朝考中进士。唐朝后期,不少经海路来华的西亚商人在广州、泉州等港口城市定居。
长安 …… 今陕西西安
幽州……今北京
登州……今山东蓬莱
流求……今台湾
金城……今韩国庆州
天笑 …… 今印度半岛波斯 …… 今伊朗大食 …… 今阿拉伯半岛等地缚达城 …… 今伊拉克巴格达
唐朝对外主要交通路线示意图
唐朝对外交通发达,与域外的经济文化联系频繁。陆路方面,从长安出发,向东可以到达朝鲜,向西经丝绸之路通往今天的印度、伊朗、阿拉伯以至欧洲和非洲。海路方面,从登州、扬州出发,可以到达朝鲜、日本;从广州出发,经马来半岛、印度,可以到达波斯湾
## 探究与拓展
## 问题探究
李唐起自西陲，历事周隋，不唯政制多袭前代之旧，一切文物亦复不闻华夷,兼收并蓄。第七世纪以降之长安,几乎为一国际的都会,各种人民,各种宗教,无不可于长安得之 …… 异族入居长安者多,于是长安胡化盛极一时,此种胡化大率为西域风之好尚: 服饰、饮食、宫室、乐舞、绘画,竞事纷泊;其极社会各方面,隐约皆有所化,好之者盖不仅帝王及一二贵戚达官已也。
一一向达《唐代长安与西域文明》
阅读材料,结合所学,谈谈唐朝所受域外文化影响在文化艺术方面的具体表现。
## 学习拓展
大诗人杜甫不仅有“诗圣” 之名,其作品还被誉为“诗史”。他的作品真实而细致地反映了安史之乱爆发前后的社会状况，描述了唐朝由盛转衰过程中的许多历史细节。
选读杜甫作品中与当时历史现实有关的诗篇,体会其史料价值。
## 第三单元
## 辽宋夏金多民族政权的并立
与元朝的统一
辽宋夏金元是继三国两晋南北朝之后又一个北方少数民族活跃的时期，可分三个阶段：北宋与辽、西夏的对岵,南宋与金、西夏的并立,元朝的统一。宋朝强化中央集权,内部统治比较稳定,社会经济高度发展,学术文化也取得突出成就,但军事力量不振,与北方少数民族交战处于劣势。与这一时期的战争相比,各民族之间经济和文化联系更为持久和稳定,呈现出互相交融的趋势。元朝结束了多民族政权并立的局面,成为中国历史上第一个由北方少数民族建立的统一王朝。这一时期,中国的经济、文化成就在世界上仍处于领先地位。
通过本单元的学习,认识两宋王朝在政治、经济、文化与社会等方面的新变化;了解辽夏金元诸政权的建立、发展和相关制度建设,认识北方少数民族政权在统一多民族封建国家发展中的重要作用。
## 第 9 课
两宋的政治和军事
《雪夜访普图》
## 01 学习聚焦
宋初统治者大力力加强中央集权,成功地维护了政权的稳定。五代时期，天子“兵强马壮者为之”，中原王朝更迭频繁。960年,后周禁军统帅赵匡胤发动兵变夺取帝位,建立宋朝，定都东京，史称北宋。赵匡胤就是宋太祖。新政权结束了五代十国分裂局面,形成长时间的稳定统治。图为明朝人绘制的《雪夜访普图》,描绘了宋太祖与谋士赵普筹划统一方略的场景。
## 宋初中央集权的加强
北宋建立后，相继灭掉南方的几个割据政权和北方的北汉，结束了五代十国的分裂局面。统治者鉴于唐后期以来军阀割据、政局动荡的历史教训，有针对性地采取了一系列强化中央集权、维护政权稳定的措施。
为加强对地方的控制，中央派文官出任地方各州的长官知州,节度使逐渐变为虚衔;设诸路转运司统管地方财政，保证各州赋税绝大部分上缴朝廷;将地方精锐部队编人禁军，拱卫京师，镇守地方，定期更换驻地。
为分散机构权力，在中央,枢密院专掌军政,三司专掌财政，与宰相分权，并增设参知政事为副相。枢密院与禁军管理机构“三衕” 分权,前者有调兵权但并不统兵，后者统兵但无权调兵。在地方,包括转运司在内,先后设立了平行的四个路级机构，从不同方面对各州进行监控和节制。州一级增设通判，与知州共同签署文书，彼此制约。
北宋中央权力分配示意图
北宋地方权力分配示意图
为抑制武将势力膨胀，北宋实行崇文抑武的方针，罢免宿将兵权，用文官担任枢密院长官;大力提倡文治，扩大科举规模，抬高文官和士人的地位。
这些措施强化了中央集权，有效地预防了内部动乱,巩固了国家的统一和安定。但“事为之防，曲为之制”,制度过于僵化,权力分割过细,也影响了行政效率,助长了因循保守的政治风气。
## 史料阅读
宋初措施在防范内部动乱、维护统治稳定方面效果显著。时人描述:
吾宋制治,有县令,有郡守，有转运使,以大系小，丝荦绳联,总合于上。虽其地在万里外,方数千里,拥兵百万,而天子一呼于殿陛间,三尺坚子驰传（zhuàn) 捧诏,召而归之京师,则解印趋走，惟恐不及。
一一苏洵《嘉祐集》卷1《审势》
唯本朝之法，上下相维，轻重相制，如身之使臂，臂之使指.....藩方守臣，统制列城，付以数千里之地，十万之师，单车之使，尺纸之诏，朝召而夕至,则为匹夫!
一一范祖禹《范太史集》卷 22《转对条上四事状》
边防压力与财政危机
早在北宋建立之前，契丹族建立的辽朝在北方草原崛起，占领了燕云十六州，对中原形成严重威胁。北宋统一后，两次发起夺回燕云十六州的北伐，均告惨败。后来辽军大举南下，兵临黄河北岸。双方签订协议，维持已有边界，
## 学习聚焦
北宋的统治危机主要表现在军事和财政两个方面。辽宋皇帝以兄弟相称。北宋每年送给辽一笔钱物，称为“岁币”。通过这项协议，北宋获得了北部边防的基本安定。
东京……今河南开封
澶州（澶渊）… 今河南濮阳
中京 …… 今内蒙古宁城上京 …… 在今内蒙古巴林左旗南兴庆 …… 今宁夏银川流求 …… 今台湾
迣、北宋、西夏形势图 $(1111$ 年 $)$
后来，北宋又与西北党项族新建立的西夏发生战争，也是屡战屡败。双方最终达成和议：西夏向北宋称臣，但实际上保持帝号;北宋每年送给西夏钱物，称为“岁赐”。
北宋在边疆战事中频吃败仗，却供养了一支空前庞大的军队。这支军队是通过招募组建的，多而不精，管理混乱,训练废弛,素质低下。军队不断扩编,导致军费直线上升，占到国家财政开支的大半。另外，北宋政府机构设置重叠，官僚子弟人仕过滥，致使官僚队伍也不断膨胀。养兵和养官成为朝廷的沉重负担,财政状况日益恶化。
(D) 历史纵横
## 北宋的募兵政策
通过普遍招募方式组建军队的做法开始于唐玄宗时期。北宋统治者将募兵发展为一种有意识的“养兵” 政策,希望通过广泛募兵稳定社会治安、消除动乱因素,即所谓“不收为兵,则恐为盗”“饥岁莫急于防民之盗,而防盗莫先于募民为兵”。募兵过滥致使军队数量不断增加,累增至 120 余万,军费随之恶性膨胀,成为财政支出的大宗。北宋中期有人说:“天下之所以困,本于兵”，“天下六分之物，五分养兵”。
## 王安石变法
北宋的政治风气因循保守，行政效率低下。宋仁宗在位时,大臣范仲淹曾发起以整顿官僚队伍为宗旨的改革,史称“庆历新政”。新政明显触犯了官僚集团的既得利益,引发抵制，很快归于失败。
1069年，宋神宗任用王安石主持变法。变法涉及农业、商业、军事、科举、教育等诸多领域，基本原则是加强国家对这些领域的管理和控制,达到富国强兵的目的。富国方面,官府通过向农民提供农业贷款、拨巨资从事商业经营等手段,力图在调控经济的同时开辟财源;强兵方面,对农民进行编制管理和军事训练,希望借以逐渐恢复“兵农合一”的征兵制，取代募兵制。
王安石变法达到了富国目的，增加了大笔收人，但强兵的效果并不明显,北宋与西夏开战,又以失败告终。一些措施在执行过程中加重了人民的负担,也引起激烈争议。统治集团内部的分裂日益严重，北宋逐渐走向衰亡。
## 学思之窗
时人描述王安石变法开始后的情景说:
今介甫为政,尽变更祖宗旧法,先者后之,上者下之,右者左之,成者毁之,弃者取之,矻 ( kū) 矻焉穷日力,继之以夜,而不得息。使上自朝廷,下及田野,内起京师,外周四海,士、吏、兵、农、工、商、僧、道无一人得袭故而守常者，纷纷扰扰，莫安其居。
一一司马光《传家集》卷 $60《$ 与王介甫书》
二三年间，开阄动摇，举天地之内，无一民一物得安其所者.....数十百事交举并作，欲以岁月变化天下。
一一刘挚《忠肃集》卷 3《论助役法分析第二疏》
上述言论出自变法反对派之口,或有夸大之处,但是否也反映了变法的某些缺陷?
## 学习聚焦
王安石变法取得一此成果,但并末挽救北宋衰亡的命运。
^王安石 $(1021-1086)$
## 南宋的偏安
## 学习聚焦
南宋偏安半壁的局面维持了较长时间。
岳飞（1103-1142)
岳飞的抗金事迹，数百年来为人们所传颂,人们视岳飞为民族英雄。1127 年，北宋被东北女真族建立的金朝攻灭，两位皇帝徽宗、钦宗被俘虏北去，史称“靖康之变”。北宋康王赵构在应天府称皇帝,后定都临安,史称南宋。赵构就是宋高宗。
南宋初年,宋军在与金军对抗中素质明显提高,形成几支较有战斗力的部队，尤以岳飞指挥的“岳家军” 战绩卓著。然而,宋高宗和宰相秦桧却视岳飞等为心腹之患,主动向金朝求和。1141年,南宋与金订立绍兴和议。以东起淮水、西至大散关一线划界,南宋对金称臣,每年向金朝缴纳一笔财物,称为“岁贡”。岳飞也被南宋朝廷逮捕杀害。
此后，宋金之间又发生几次战争，南宋地位稍有上升，不再向金称臣,而是“世为侄国”，继续维持南北对峙的局面。上京（会宁） ……今黑龙江阿城
燕京…………………… 今北京
兴庆.……今宁夏银川邼城 ……在今河南漯河大散关 …… 在今陕西宝鸡临安.…… 今.浙江杭州流求 …… 今台湾
金、南宋、西夏形势图 (1142年)
(1) 靖康，宋钦宗的年号。
(2) 应天府，今河南商丘。
## 探究与拓展
## 问题探究
南宋学者叶适对北宋初期加强中央集权的措施进行了批评，他说:
今内外上下，一事之小，一罪之微，皆先有法以待之;极一世之人志虑之所周決 ( jiā)，忽得一智,自以为甚奇，而法固已备之矣，是法之密也。虽然，人之才不获尽,人之志不获伸,昏然俯首一听于法度,而事功日隳 ( huī)，风俗日坏,贫民愈无告,奸人愈得志。
$$
\text { -《水心别集》卷 } 10 \text {《实谋》}
$$
唐失其道，化内地为藩镇,内外皆坚,而人至不能自安;本朝反其弊,使内外皆柔,虽能自安,而有大不可安者。
$$
\text { —一水心别集》卷 } 14 \text {《纪纲二》}
$$
结合所学知识,谈谈你对上述材料的理解,分析宋初加强中央集权措施的利弊得失。
## 学习拓展
近千年来，关于王安石变法的评价，存在着相当大的争议。就此次变法某个方面的措施查找资料,了解其争议所在。
## 第 10 课
辽夏金元的统治
^《契丹人引马图》宋朝史料记载了宋神宗对辽和西夏的评价。他忧心忡忡地说：“二虏之势所以难制者，有城国，有行国……比
之汉、唐，最为强盛。”宋神宗的话反映出这一时期的北方民族政权在统治本族原居地的同时，还越来越深入地向中原农耕地区拓展。图为辽墓壁画《契丹人引马图》,部分反映了契丹人的游牧生活方式。
## 辽与西夏
辽朝的建立者契丹族与鲜卑同源，在辽河上游过着游牧、渔猎生活。916年，契丹族首领耶律阿保机建立契丹国，定都上京，后来版图扩大，改国号为辽。辽与北宋长期对峙，大部分时间里维持了和平局面，通使频繁，贸易活跃。
辽朝的职官设置分为南、北面官。南面官负责以汉人为主的农耕民族事务，北面官负责契丹等游牧民族事务。皇帝和宫廷依然保持草原习俗，每年随季节转换定期迁徙。迁徙中的行营成为国家政治中心。
## 学思之窗
契丹……官分南北，以国制治契丹，以汉制待汉人……北面治宫帐、部族、属国之政，南面治
汉人州县、租赋、军马之事。因俗而治，得其宜矣。
—一《辽史・百官志》
胡人之官，领番中职事者皆胡服，谓之契丹官，枢密、宰臣则日北枢密、北宰相。领燕中职事者，虽胡人亦汉服，谓之汉官，执政者则日南宰相、南枢密。
一一余靖《武溪集》卷 18《契丹官仪》
第一段材料反映的辽朝职官设置特点是什么?你能否从第二段材料的描述中体会到这一特点?西夏的建立者党项族是古代并人的分支，唐末在今陕北、宁夏一带形成边疆藩镇,宋初仍然保持半独立的地位。1038年,党项首领元昊脱离宋朝称帝,定都兴庆府,国号大夏，史称西夏。其制度基本模仿北宋，中央机构除汉式官称外,同时有一套本民族称谓的官称。
北宋灭亡后,西夏向金朝称臣，仍然保持事实上的独立。
A西夏王陵
西夏王陵位于宁夏回族自治区银川市西,贺兰山东麓,是西夏历代皇帝的陵墓。
## 金朝入主中原
金朝的建立者女真族活动于黑龙江、松花江流域，以农业、狩猎、畜牧为生。1114年,女真族首领完颜阿骨打举兵反辽,次年称皇帝,建立金朝,定都会宁府,会宁府也称上京。1125 年,金灭辽,两年后又灭北宋，与南宋逐渐形成对峙局面。1153年,金迁都燕京,将燕京改名为中都。
## 学习聚焦
金朝由东北入主中原，一度出现治世。
## 4金、元、明北京城址变迁图
金朝追都燕京，是北京成为王朝都城的开始。后来元朝在金中都东北兴建大都。明朝前期迁都北京,位置比元大都略微南移。明朝嘉靖年间,又在北京城南面加修外城。今天北京的中心区域由此形成。
## 史料阅读
宋人徐梦莘所撰史书《三朝北盟会编》卷 3 这样记载辽朝后期女真人的生活方式:
其地则至契丹东北隅，土多林木，田宜麻谷。以耕凿为业，不事蚕桑……其人则耐寒忍
饥，不惮辛苦，食生物，勇悍不畏死……善骑，上下崖壁如飞。济江不用舟楫，浮马而渡，精射猎 …… 其俗依山谷而居,联木为栅,屋高数尺,无瓦,覆以木板,或以椑皮,或以草绸缪 ( chóumóu) 之。墙垣篱壁,率皆以木,门皆东向。环屋为土床,炽火其下,相与寝食起居其上，谓之炕，以取其暖
## 学习聚焦
崛起于漠北的蒙古，建立元朝,完成了全国的大统一。
## 萨班灵骨塔遗址
1247 年，蒙古皇子阔端与吐蕃宗教首领、藏传佛教高僧萨迦班智达在凉州会谈,就吐蕃地区归附达成协议。之后，西藏开始接受中央政府的管辖。后来萨班在凉州去世。金朝基本沿袭唐宋制度，同时保持了一套女真民族的管理系统，叫作“猛安谋克①”。凡女真民户，每三百户编
为一谋克,十谋克编为一猛安。他们被大批迁人中原,在汉族村落之间筑寨居住,平时耕作,战时选拔丁壮出征。
12 世纪后期金世宗在位，金朝进人鼎盛时期，政治稳定，经济繁荣，史称“大定之治”，世宗被百姓誉为“小尧舜”。世宗死后,金朝受到北方游牧民族的袭扰,猛安谋克又日益腐化，统治逐渐衰落。
## 从蒙古崛起到元朝统一
1206年，漠北蒙古部首领铁木真统一草原各部，建立蒙古汗国,被尊为“成吉思汗”。此后半个世纪,蒙古军队先后灭掉西辽、西夏和金朝,收服吐蕃诸部,兼并云南的大理政权，还远征到中亚、西亚、东欧地区。
(1) 猛安谋克,女真语音译。猛安,意为千、千夫长,是部落单位;谋克,意为百、百夫长,为氏族单位。
(2) 凉州，今甘肃武威 1260 年,成吉思汗的孙子忽必烈即位,开始推行中原传统政治制度,兴建大都。1271年,忽必烈定国号为大元,他就是元世祖。在此前后,蒙古在其他统治区形成了四大汗国，它们在名义上仍将元朝尊为宗主国。
1276年,元军占领南宋都城临安。1279年,元军在崖山海域击败南宋余部,完成统一。南宋宰相文天祥被俘,坚拒劝降,后来在大都从容就义。
为巩固统一,元朝修筑了四通八达的驿道,设立驿站,为公差人员提供交通和生活服务,并运输官府物资;相隔一定距离分设急递铺,负责传递公文。
元朝形势图（1330年 $)$
大都 · 今北京和宁
今蒙古国哈拉和林
上都…………… 在今内蒙古正蓝旗东北
今台湾
在地方管理上,元朝实行行省制度。当时中央的宰相机构是中书省,委派官员代表中书省处理地方事务,逐渐形成常设机构,称为行中书省,简称行省。除今天的河北、山西、山东地区由中书省直辖外,全国共设 10 个行省。行省辖区广阔,军政大权集中,提高了行政效率,巩固了多民族国家统一,是我国省制的开端,也促进了边疆少数民
(1) 四大汗国,即钦察汗国、察合台汗国、窝阔台汗国和伊利汗国。
## 思考点
观察《元朝形势图（1330 年)》，你认为元朝行省制度对后世有什么影响?族地区政治、经济和文化的发展。它的创立是中国古代地方行政制度的重大变革。对于吐蕃地区，由直属中央政府的宣政院进行管理。元朝设北庭都元帅府、宣慰司等管理军政事务，加强了对西域的管辖。元朝还在隶属福建晋江的澎湖设置巡检司，履行行政管理职能,以经略台湾。
历史纵横
## 元朝对边疆的成功统治
元朝不仅版图辽阁,而且对边疆地区实施了长时间和比较稳定的统治,这是前代大一统王朝没有做到的。《元史·地理志》总结道：“盖岭北、辽阳与甘肃、四川、云南、湖广之边，唐所谓羁縻 (jïmi）之州,往往在是，今皆赋役之，比于内地。” 汉唐王朝疆域辽阁，对内陆边疆地区往往是通过册封和朝贡实施控制，很不稳定。元朝的辽阔疆域则与王朝统治相始终，边疆管理也更多地呈现出与内地一体化的趋向。
## 元朝的民族关系
## 学习聚焦
元朝存在民族矛盾，但不同民族的交往交流交融也得到进一步加强。蒙古原是漠北的一个游牧部落，铁木真统一草原后逐渐将其他部落融人其中。元朝时,很多蒙古人迁人中原,同汉族杂居相处。来自中亚、西亚的波斯人、阿拉伯人等移居中国，同汉、蒙古、畏兀儿等民族长期相处、不断通婚，逐渐被吸收、融合而形成我国回族的前身一一回回。
蒙古统治者为了保障自己的统治利益,推行民族歧视和压迫政策。他们在很多方面对不同民族采取差别对待措施，被后人概括为“四等人制”。四等人依次为蒙古人、色目人、汉人、南人。色目人指蒙古以外的西北、西域各族人,包括西夏、畏兀儿、回回等。汉人主要指北方的汉族，也包括已经人居中原的契丹、女真人。南人指原南宋统治区的居民。
随着时间推移，民族矛盾逐渐减弱，社会贫富差距带来的阶级矛盾却日益严重。14世纪中叶，农民起义相继在中原和南方爆发，不久元朝灭亡，以宫廷贵族为核心的一部分蒙古人退回草原。大批留居内地的蒙古人、色目人等,逐渐与汉族相融合。
(1) 畏兀儿，元朝对今新疆地区维吾尔族先民的称呼。
## 探究与拓展
## 问题探究
国朝土宇旷远,诸民相杂,俗既不同,论难遽定。考之前代，北方奄有中夏,必行汉法,可以长久。故后魏、辽、金历年最多，其他不能实用汉法，皆乱亡相继。史册具载，昭昭可见也。国家仍处远漠，无事论此，必如今日形势,非用汉法不宜也。陆行资车,水行资舟,反之则必不能行;幽燕以北,服食宜凉,蜀汉以南,服食宜热,反之则必有变异。以是论之，国家当行汉法无疑也。然万世国俗，累朝勋贵，一旦驱之下从臣仆之谋，改就亡国之俗，其势有甚难者。苟非聪悟特达，晓知中原实历代帝王为治之地,则必咨嗟怨愤,喧华其不可也。窃尝思之,寒之与暑固为不同,然寒之变暑也,始于微温,温而热,热而暑,积百有八十二日而寒气始尽。暑之变寒，其势亦然。山木之根，力可破石，是亦积之之验也。苟能渐之摩之，待以
岁月，心坚而确，事易而常，未有不可变者……在陛下笃
信而坚守之,不杂小人，不营小利，不责近效,不恤浮言，则天下之心庶几可得，而致治之功庶几可成也！
一一许衡《许文正公遗书》卷 7《时务五事 - 立国规模》
阅读上述材料,结合所学知识,谈谈你对中国古代少数民族王朝统治者学习、接受中原传统典章制度和统治理念的认识。
## 学习拓展
元朝时意大利旅行家马可・波罗来华，是中外关系史上的著名事件。查找资料,了解有关马可波罗来华的记载,以及当时除马可・波罗来华以外的中欧交往史实。
## 第 11 课
辽宋夏金元的经济与社会
《妻对坐宴饮图》
## 学习聚焦
宋元时期的农业和手工业较之前代有明显的发展。北宋学者沈括通过研读唐诗注意到,唐朝人写过不少“富贵诗”，描写当时的“奉养器服之盛”,即奢华生活。在沈括看来，这些描写“乃贫眼所惊耳……此所谓‘不曾近富儿家”,,意思就是没见过世面,不值一提。沈括的话间接反映出宋人的生活和消费水准明显超过了唐朝，其背景则是经济发展水平的提高。图为宋墓壁画《夫妻对坐宴饮图》，反映了墓主人生前家居生活的场景。
## 农业和手工业的发展
宋朝农业发展成就突出。一年两熟的稻麦复种制在南方已经相当普及,有些地方还可以一年三熟,提高了粮食产量。一些地区出现了固定种植某种经济作物的农户，对传统自然经济结构有一定突破。棉花在内地的种植始于宋朝，在元朝得到大力推广，南方植棉逐渐普遍，带动了棉纺织业的发展。
历史纵横
## 北宋的人口
户口增长是农业发展的一个重要指标。北宋初期的 989 年,全国户数只有 650 万。到北宋末的 1110 年，已增长到 2088 万。但史料记载这一年的“口数” 仅为 4673 万，每户平均口数仅为 2.24。绝大部分学者认为,宋朝统计的口数只包括男丁,即成年男子。如以汉唐史料所载户口比例,即每户 5 口左右推算,北宋末年的实际人口数应当超过 1 亿。这在中国古代人口史上是一个划时代的标志
在辽夏金元统治之下，边疆地区获得进一步开发，漠北、东北、西北、西南的农业都有显著进步。
宋朝制瓷技术有重要改进，出现了以五大名窑为代表、风格各异的众多特色瓷器,,色彩多变,质感浑厚。元朝烧出了新型彩绘瓷器青花瓷和釉里红。宋元时期,瓷器大量出口海外，成为继丝绸之后中华文明新的物质象征。
汝窑
洗
官窑
定窑
哥窑
钓窑
玫瑰紫大花盆
## 宋朝五大名窑的瓷器
瓷器质地坚硬不吸水,敲击响声清脆,比陶器更加美观、耐用。中国古代很早就出现了原始瓷器,逐渐形成青瓷、白瓷等不同类型,宋朝制瓷工艺达到了高峰
元朝青花瓷
矿冶业在北宋手工业中占有重要地位。煤的开采量很大，都城东京的居民普遍使用煤作燃料。燃料的改进大大提高了金属冶炼的产量和质量。
## 史料阅读
北宋诗人苏轼写过一首带有序言的《石炭》诗,描述当时煤的使用情况:
彭城旧无石炭。元丰元年十二月，始遣人访获于州之西南白土镇之北。以冶铁作兵,犀利胜常云。
君不见前年雨雪行人断,城中居民风裂骭 ( gàn)。湿薪半束抱衾裯 ( qīn chóu),日暮敲门无处换。岂料山中有遗宝,砳落如䜿（yī) 万车炭。流膏迸液无人知,阵阵腥风自吹散。根苗一发浩无际，万人鼓舞千人看。投泥泼水愈光明，烁玉流金见精悍。南山栗林渐可息，北山顽矿何劳钗?为君铸作百炼刀,要斩长鲸为万段!
印刷业在宋元时期发展迅速,有力地推动了文化的普及,进一步带动了造纸业的发展。
## 商业和城市的繁荣
宋朝是中国古代商品经济发展的一个高峰，面向大众的基层市场蓬勃涌现。宋与辽夏金各政权之间的经济往来十分密切,官方设置榷场进行互市交易,民间贸易也相当活跃。
## 学习聚焦
宋元时期商业发达，大城市空前繁荣。
从元朝纸币
商品流通规模的扩大,使得货币需求量剧增。北宋钱币年铸造量最多时高出唐朝十多倍，并开始出现纸币一一交子。元朝在全国范围内将纸币作为主币发行,加上大一统带来的稳定局面和交通系统的发展，都推动了商业的发展。
海外贸易非常繁荣，外贸税收成为宋元两朝国库的重要财源。大型远洋海船装载丝织品、瓷器等，远销亚非许多国家和地区，输人中国的商品则以香料、珠宝等为主。主要外贸港口有广州、泉州、明州等。
城市的兴盛引人注目。北宋东京和南宋临安人口多时均超过百万，市场活跃，交易频繁，娱乐活动丰富多彩。元朝恢复临安的旧称杭州，它被外国旅行家称为“世界最富丽名贵之城”。元大都是当时北方最大的经济中心和商品集散地。
张择端《清明上河图》( 局部 )
## 经济量心南移
## 学习聚焦
经济重心南移是宋元时期的突出现象。自唐朝中叶以来,南方的经济实力渐渐超过北方。北宋在经济上对南方依赖明显，户口分布南多北少的格局也已定型。北宋灭亡，大批中原人口南渡，进一步奠定了南方的经济重心地位。长江下游和太湖流域一带，成为全国最重要的粮仓，谚语称“苏湖熟,天下足”。
元朝的南北经济差距继续扩大，全国大部分人口和税收集中在江南。为将南方财赋顺利北运,元朝重新开通了大运河，改变隋唐时迂回曲折的路线，缩短了航程。元朝还创造性地开辟了长途海运航线,主要任务也是运输江南的粮食。
大都 ……今北京
直沽 ……今天津
集庆 …… 今江苏南京刘家港 ……在今江苏太仓浏河镇
元朝运河、海运路线图
南方经济发展带动了文化的进步。北宋时,南方人在全国统一的科举考试中优势明显,后来朝廷被迫对北方地区的考生单独分配录取名额。自南宋起,江浙一带尤其成为人才集中的地区。
## 社会的变化
隋唐时期,士族阶层在政治上已经衰落,但重视家族背景的门第观念仍然十分流行。到宋朝,这种情况发生了根本改变。当时科举制度比唐朝更为完善,不仅原则上面向全社会开放,而且更加强调公平竞争。大批出身平民家庭的士人进人政坛,不少人官居高位,给政治增添了活力。人们的婚姻择偶,也以当下政治、经济地位为重,而不再关心祖先名望。时人将这些变化概括为“取士不问家世,婚姻不问阀阅”。
宋以前,社会上长期存在人身不完全自由并且受到歧视的贱民阶层。到宋朝,他们的数量显著减少。前代的家
## 思考点
如何认识北宋后期科举考试对北方考生单独分配录取名额的做法?
## 学习聚焦
宋朝社会与前代相比出现了一些重要的新变化,包括门第观念淡化、社会成员身份趋于平等、国家对社会的控制相对松弛等。
## 学思之窗
明朝陈邦瞻《宋史纪事本末》有这样一段评论:
宇宙风气，其变之大者有三。鸿荒一变而为唐、虞，以至于周，七国为极。再变而为汉，以至于唐，五季为极。宋其三变，而吾末睹其极也。变末极，则治不得不相为因。今国家之制、民间之俗、官司之所行、儒者之所守，有一不与宋近者乎?非慕宋而乐趋之，而势固然已!
你理解他的观点吗?他是怎样看待宋朝历史地位的?内服役大都由世袭奴婢承担，宋朝更多地来自雇佣。宋朝无地农民通常与地主签订契约，租种土地，也较少受到契约关系以外的人身束缚。
为适应社会经济的变化，宋朝政府适当放松了对社会的控制。土地买卖、典当基本不受官府干预,仅办理法律手续，缴纳交易税即可。“贫富无定势，田宅无定主”成为普遍现象。对于百姓迁移住所、更换职业，以及日常生活标准，官府的限制也比前代更为松弛。
๑ 宋朝土地买卖契约残片
金元时期，受女真、蒙古族自身社会发展进度的影响,上述变化出现了一定程度的逆转。但从长时段来看,发展趋势没有大的改变。
## 探究与拓展
## 问题探究
唐世科举之柄，专付之主司,仍不糊名。又有交朋之厚者为之助,谓之“通榜”。故其取人也,畏于让议,多公而审。亦或胁于权势,或挠于亲故,或累于子弟,皆常情所不能免者。
洪迈《容斋随笔・四笔》卷 5《韩文公荐士》窃以国家取士之制,比于前世,最号至公。盖累圣留心,讲求曲尽,以谓王者无外,天下一家,故不问东西南北之人,尽聚诸路贡士,混合为一,而惟材是择。各糊名、誊录而考之,使主司莫知为何方之人、谁氏之子,不得有所憎爱薄厚于其间。故议者谓国家科场之制,虽末复古法,而便于今世。其无情如造化,至公如权衡,祖宗以来不可易之制也!
一一欧阳修《欧阳文忠公文集》卷 113《论逐路取人札子》
阅读上述材料，了解其中所说“糊名”“誊录” 的含义。在此基础上进一步了解唐宋两朝科举制的主要区别,及其与社会变化的关系。
## 学习拓展
宋元时期,纸币的发行和使用,是商品流通领域令人瞩目的现象，在世界商业史上也是大幅度领先的。搜集资料,了解宋朝、元朝纸币的发行和使用有哪些不同特点,产生了怎样的影响。
## 第 12 课
辽宋夏金元的文化
白鹿洞书院
## 学习聚焦
宋朝儒学复兴,其中程朱理学一派对后世影响最大。
石刻朱喜 $(1130-1200)$ 自画像
## 思考点
你如何看待“存天理，灭人欲”?成书于元朝的《宋史》总结说：儒家思想的精䯙“道”在孟子之后就失传了。经过宋朝道学学者的努力,儒家的“道”方才“焕然而大明,秩然而各得其所”。这种说法是对宋朝儒学复兴的高度评价。图为位于江西庐山五老峰下的白鹿洞书院,因朱熹等在此讲学、辡论,成为理学传播的中心。
## 儒学的复兴
从三国到五代,以阐释经书字句为主的儒家学说日益僵化,社会影响总体来说不及佛教和道教。从北宋中期起，一批学者掀起了儒学复兴运动。他们力图挖掘儒家经书的思想内涵,强调学术为现实服务,特别是希望充分发挥儒学在强化社会伦理道德秩序、树立基本价值观方面的作用,提出了“为天地立心,为生民立命,为往圣继绝学,为万世开太平” 的口号。其中,被称为理学或道学的学派影响逐渐增大，其代表人物是北宋的程颢、程颐兄弟和南宋的朱熹,因此这一学派也被称为“程朱理学”
理学比较注重抽象思维，是一套包括宇宙观、人生观、认识论、方法论的理论体系。它认为“理” 是自然界和社会的根本原则，也称“天理”。人生的目标，应当是“存天理,灭人欲”,即通过道德修养克服过度的欲望,最终实现对“天理” 的充分体验,从而达到“圣人” 的精神境界。理学还提出“格物致知”,认为只有深刻探究万物，才能真正得到其中的“理”,达到对普遍天理的认识。理学带有客观唯心主义倾向。
朱喜还对儒学教育进行了深人探索。他从早期儒家典籍《礼记》中抽出《大学》《中庸》两篇文章,
加上分别记录孔子、孟子言论的《论语》《孟子》二书，合编为“四书”,并且加以注释，作为先于“五经” 的儒学基础读物。
从南宋后期起,程朱理学受到官方尊崇,在历史上产生了深远影响。
朱喜《四书章句集注》书影
## 学思之窗
1313 年,元朝宣布将儒家经书作为科举考试的基本内容,答题标准以程朱理学的解释为主。当时宰相向皇帝上奏说:
学秀才的,经学、词赋是两等。经学的是说修身、齐家、治国、平天下的勾当,词赋的是吟诗、课赋、作文字的勾当。自陏唐以来,取人专尚词赋,人都习学的浮华了 …… 俺如今 …… 专立德行明经科。明经内“四书”“五经”,以程子、朱䀲庵注解为主,是格物、致知、修己、治人之学。这般取人呵,国家后头得人材去也!
元朝是怎样确定科举考试内容和答题标准的?理由何在?
## 文学艺术
唐朝后期出现的一种新诗体一一词，到宋朝进人鼎盛时期。词的句子长短不等,用来配乐歌唱，根据乐谱分为不同的词牌,各有固定格式。两宋城市生活丰富多彩,娱乐场所需要大量的歌词。土大夫的著名词作在社会上广泛流传,以豪放派的苏轼、辛弃疾和婉约派的柳永、李清照的词作成就最为突出。
元朝文学的主要成就是曲,包括散曲和杂剧。散曲是一种比词更灵活、更通俗的长短句配乐诗歌体裁,更加适合市井演唱的需要。演员将成套的散曲连缀在一起歌唱,辅以音乐、舞蹈、表演、道白,安排不同的角色,来表达一个完整的故事情节,形成了杂剧。元杂剧标志着中国古代戏曲艺术的成熟，代表作家有关汉卿、王实甫等。
宋元时期,城市中说书演出非常盛行。说书底本称为话本,实际上就是早期的白话小说。
## 学习聚焦
城市经济的繁荣,推动了宋元文学新体裁的发展。
元朝杂剧演出壁画
## 元杂剧的渊源
中国古代很早就出现了有情节的舞蹈和有念白的滑嵇表演,后者相当于今天的小品。宋朝城市中有傀儡戏、皮影戏等娱乐活动，由人操纵表演。北宋和金朝还流行一种说唱艺术，称为“诸宫调”,由演出者演唱一个长篇故事,类似于今天的大鼓或弹词。作为综合舞台艺术的元杂剧,是在上述表演形式的基础上形成的。
## 宋徽宗《芙容锦鸡图》
宋徽宗赵佶 (jí)，在书法、绘画方面均有很高造诣。他的书法自成一体，称为“疲金体”。图上题诗也是宋徽宗所书。
## 学习聚焦
三大发明和沈括、郭守敬等科学家的成就,是宋元科技水平的重要代表。
・ 南宋手持罗盘的陶俑
罗盘,最早文献记载是在南宋，当时称为“地螺”,即“地罗”,源自地盘，其作用是分度列向定北。
## 史料阅读
元杂剧不仅具有文学价值,作为舞台艺术也取得很高成就。元朝前期人胡祗遹 ( zhīyù) 在文章中热情赞颂了一位杂剧女演员的表演功力:
学业专攻,积久而能,老于一艺,尚莫能精。以一女子，众艺兼并。危冠而道，圆颅而僧，褒衣而儒,武弁而兵。短衤 ( mèi ) 则骏奔走,鱼笏（hù) 则贵公卿。卜言祸福,医决死生。为母则慈贤,为妇则孝贞。媒妁（shuò）则雍容巧辨，闺门则旖施娉婷……九流百伎，众美群英，外则曲尽其态，内则详
悉其情。心得三昩,天然老成。见一时之教养,乐百年之升平!
一一《紫山大全集》卷 8《朱氏诗卷序》
宋元两朝,书法名家辈出,与唐朝相比更加追求个性,不拘法度。绘画成就以山水画最为突出,不强调与买,注重意境和笔墨情趣。花鸟画、人物画水平也很高。
## 科技
印刷术、火药和指南针三大发明在宋朝基本成熟。雕版印刷已经相当普及，北宋工匠毕昇发明了活字印刷术。火药被大量制造并用于军事,由燃烧型火器逐步发展为爆炸型火器和管形射击火器。用人工磁化的方法造出的指南针,广泛应用于航海。三大发明为人类文明的进步作出了重要贡献。北宋的沈括和元朝的郭守敬是两位大科学家,都在科技领域取得了多方面成就。沈括所著《梦溪笔谈》记载和总结了当时的许多科技成果。郭守敬最突出的成就是设计和监制多种天文观测仪器,主持全国范围的天文测量,编定新的历法《授时历》,其中测定的数据在当时世界上处于领先地位。元朝农学家王祯编撰的《农书》,集北方和南方的农业技术于一体,其中关于农业工具的记载尤为丰富。
## 简仪
简仪是元朝科学家郭守敬革新浑仪,将其结构简化，精度提高，创造出的当时世界上先进的天文观测仪器。图中简仪为明朝铸造,现陈列于南京紫金山天文台
## 少数民族文字
辽、夏、金都模仿汉字字形创造了本民族文字。辽先后创制契丹大字、小字,用以刻石立碑,还进行文学创作。金也创制了女真文字,在科举中开设女真进士科,用女真文字答题。西夏文通过出土文献大量保存下来,包括佛经、法律、字典，以及从汉文翻译过来的经史著作。
成吉思汗统一草原各部，命人使用畏儿儿文字拼写蒙古语，形成畏兀体蒙古文。这套文字被用于修史，其中一部分内容的汉语译本流传至今,称为《蒙古秘史》。作为游牧民族自己撰写的历史,它在史学史上具有特殊价值。
## 学习聚焦
辽、夏、金和蒙古各政权统治者都创制了文字。
A西夏文佛经
元朝八思巴字《百家姓》
元朝统治者希望用八思巴字“译写一切文字”，力图兼顾不同民族的语言，但对于每种具体语言就很难精确适应。因此，八思巴字在元朝灭亡后被废弃。
《元朝秘史》书影
《蒙古秘史》在明朝初年被译为汉语，当时称《元朝秘史》。其翻译方法,是将原文先用汉语加以音写,再逐词旁注汉语词义,最后分段用汉语白话意译大意。蒙古文原稿今已失传。
忽必烈即位后，委派蔵传佛教高僧八思巴改制藏文字母，创造出一套拼音符号，用以拼与蒙古语，也用来广泛拼㝏汉语等多民族语言。这也是汉语拼音化的最早丵试。
## 探究与拓展
## 问题探究
二程、朱喜对于他们思想的核心概念“理” (有时也称为“道” ) 作过如下阐释：
问: 天道如何?日：只是理。理便是天道也。且如说“皇天震怒”，终不是有人在上震怒，只是理如此。
一一程颢、程颐《河南程氏遗书》卷 22 上《伊川杂录》物物皆有理。如火之所以热，水之所以寒，至于君臣、父子间皆是理。
一一程颢、程颊《河南程氏遗书》卷 19《杨遵道录》
父子、君臣，天下之定理，无所逃于天地之间。
一一程颢、程颐《河南程氏遗书》卷 5《二先生语五》
天下之物，则必各有所以然之故，与其所当然之则，所谓理也。
一一朱熹《四书或问·大学或问》
一理之实，而万物分之以为体……如月在天，只一而已,及散在江湖,则随处而见,不可谓月已分也
$$
\text { -一《朱子语类》卷 } 94 \text {《周子之书・通书》}
$$
宇宙之间,一理而已。天得之而为天,地得之而为地,而凡生于天地之间者,又各得之以为性。其张之为三纲,其纪之为五常,盖皆此理之流行,无所适而不在!
-《晦庵先生朱文公文集》卷 70《读大纪》
阅读上述材料,结合课文内容,体会程朱理学宇宙观、人生观相结合的特点,并分析它在当时受到官方尊崇的原因。
## 学习拓展
宋朝是中国古代史学发展的一个高峰时期,出现了编年体史学巨著《资治通鉴》等重要成果。搜集资料,了解两宋史学的成就主要体现在哪些方面,以及其对后代史学的影响。
## 第四单元
明清中国版图的奠定与面临的挑战
明清是中国古代最后两个王朝。本单元所说清朝仅指 1840 年鸦片战争以前的时期。在明清两朝,专制集权空前强化,统一多民族封建国家更趋稳固,现代中国的版图逐渐定型，经济、文化、对外关系都有新的发展。这一时期，世界形势发生了巨大变化。新航路开辟后，世界逐渐连为一体,欧洲走出了中世纪,开始进人资本主义社会。新兴工业文明取代传统农业文明，已成为世界大势所趋。而在中国,由于传统经济结构和专制体制的束缚,生产力的发展日益受到阻碍。统治者故步自封,拒绝扩大对外交往,进一步抢杀了中国跟上世界潮流的机会,埋下了近代中国落后挨打的伏笔。
通过本单元的学习,了解明清时期统一全国和经略边疆的相关举措,认识这一时期统一多民族封建国家版图奠定的重要意义;了解明清时期社会经济、思想文化的重要变化;认识明清时期封建专制发展和世界形势变化对中国的影响，以及中国社会面临的危机
## 第 13 课
从明朝建立到清军入关
1344 年夏天,元朝统治下的淮河流域接连遭受旱灾和瘟疫。濠州钟离太平乡的一个佃农九ロ之家,半个月内相继病死四人。家中的小儿子、年仅 17 岁的朱重八为饥饿所迫,削发为僧,出外游方乞讨。后来,他有了新的名字朱元璋,并成为一个新王朝的开国君主。图为位于安徽凤阳的明皇陵,是朱元璋登基后为死于瘟疫的父母修建的陵墓。
## 明朝政治制度的变化
1351 年,元朝爆发农民起义,起义迅速波及全国大部分地区。起义将领朱元璋势力逐渐强大,统一了南方大部分地区。1368年,朱元璋称帝,定都应天府,国号大明。朱元璋就是明太祖。同年,明军攻占大都,结束了元朝在全国的统治。
明太祖为加强皇权,发除了自秦以来一直实行的宰相制度,并且严令子孙永远不许设立宰相。这一举措对以后五百余年的政治制度产生了深远影响。
废除宰相后,皇帝需要直接领导六部等具体职能部门,工作压力成倍增加。明太祖的儿子明成祖在位时,选拔一些文官到皇宫内的文渊阁值班,充当秘书。从此,一个常设的辅佐皇帝处理政务的秘书机构形成,称“内阁”,其官员称为某殿或某阁大学士。大学士的日常工作主要是替皇帝浏览百官奏章,草拟处理意见,称为“票拟” 皇帝在票拟的基础上,用红笔正式批复奏章,称为“批红”。明朝中后期,有的大学士深得皇帝信任,权力很大,被比喻为宰相。
明皇陵
## 学习聚焦
明朝废除宰相后，皇帝设立内阁承担秘书工作，宦官也趁机获取了更多权力。
^ 明太祖 ( 1328-1398)
## 学习聚焦
明朝前期的郑和下西洋是世界航海史上的壮举。倭寇和西方殖民者成为海防的新问题。
## 思考点
应当如何看待明朝统治者“下西洋”政策的变化?比较而言，宦官比内阁更多地得到皇帝信任，以致出现宦官专权的局面。内廷宦官机构司礼监获得了协助甚至代理皇帝批红的权力，还负责提督东厂，控制锦衣卫，对官民的言行进行监视、侦查，有权逮捕、施刑。
## 海上交通与沿海形势
15 世纪前期，明成祖派遣宦官郑和远航海外。郑和先后七次率领船队出海,访问了亚非 30 多个国家和地区,最远到达非洲东海岸和红海沿岸，史称“郑和下西洋”。郑和下西洋是世界历史上规模空前的远洋航行，在资金、装备、技术等方面大大领先于半个多世纪之后的欧洲远洋航海家的航行。但是,其目的主要是“耀兵异域,示中国富强”，给明朝带来较大的财政负担，因此后来末能持续。
从郑和航海路线图
占城. 在今越南中南部暹罗今泰国
吕宋……………………… 今菲律宾吕宋岛
苏禄 …… 今菲律宾苏禄群岛浡泥 ……在今加里曼丹岛北部满刺加 ……. 在今马来西亚马六甲一带榜葛剌在今孟加拉国和印度西孟加拉邦一带忽鲁谟斯 ……. 在今伊朗霍尔木兹岛一带
阿丹…………………………… 今也门亚丁
天方 …… 今沙特阿拉伯麦加慢八撒今肯尼亚蒙巴萨从元朝末年起,日本海盗不时在我国东部沿海骚扰,被称为“倭寇”。明朝前期，朝廷出于对日本实行经济封锁的目的，严厏禁止海外贸易。东南沿海地区的一些海盗、奸商等与倭寇勾结,进行走私活动,出没沿海,烧杀抢掠，造成巨大破坏。明廷派遣大将戚继光等人平倭。在抗倭斗争中,戚继光率领戚家军,在浙江台州九战九捷;在福建、广州与抗倭将领俞大猷合作，连续重创倭寇，东南沿海形势稳定下来，朝廷遂放松了对私人海外贸易的限制。民族英雄戚继光的抗倭事迹被后世所传颂。
戚继光 $(1528-1588)$
明朝中后期，随着新航路的开辟，欧洲殖民者在中国沿海的活动日益频繁。16世纪中期，葡䔘牙人以晾晒货物为由,贿赂香山县地方官获得了在濠镜澳的租住权。稍晩东来的荷兰和西班牙，分别占据了台湾岛的南部和北部。明朝末年，西班牙被荷兰击败，退出台湾。
## 史料阅读
明朝后期人沈德符在《万万野获编》中将荷兰称为“红毛夷”，并且记载当时荷兰的火器制造技术已经明显领先于中国:
红毛夷自古不通中国，亦不知其国何名，其地在何所……当此夷初至内地，海上官军素不习
见,且状貌服饰非向来诸岛所有,亦末晓其技能,䢁以平日所持火器遥攻之。彼姑以舟中所赗相酬答，第见青烟一缕，此即应手塺烂，无声迹可寻。徐徐扬帆去，不折一锎，而官军死者已无
算。海上惊怖，以其须发通赤，遂呼为红毛夷云……自此夷通市，遂得彼所用诸炮，因仿其式并
方制造，即末能尽传其精奥，已足凭为长城矣。
## 内陆边疆与明清易代
元朝灭亡后，草原上的蒙古人逐渐形成䩟䩜、瓦剌两大集团。为防御他们南下,明朝重新修筑了长城。明中期,瓦剌和靯靼不断威胁明朝北部边防,两次突破长城深人内地,包围北京。瓦剌还曾经在一次战役中俘虏了明英宗。1571年,䩟靼首领俺答汗与明朝订立和议,接受明朝册封。双方恢复并扩大贸易关系,直到明末基本上维持了和平局面。
(1) 濠镜澳，今澳门。
## 学习聚焦
长期以来,蒙古是明朝内陆边疆的主要威胁。明末,满族崛起,并最终取代明朝建立清朝。
明朝形势图（1433 年 $)$
奴儿千都司 …… 治所在今俄罗斯特林
嘉峪关
在今甘肃嘉峪关市西山海关在今河北秦皇岛
小琉球.
今台湾
藏族地区在明朝时称为乌思藏。明廷封授给当地的僧俗首领法王、王等称号,并设立了行都指挥使司等机构管理西藏军民事务，任用藏族上层人士进行管理。
明朝前期，派人到东北招抚，在黑龙江流域设立了奴儿干都司，并对东北女真各部落首领封授官号。16、17世纪之交，女真建州部首领努尔哈赤逐渐统一女真各部,1616年称汗，国号大金，并对明朝展开进攻。其子皇太极在位时，将女真族名改为满洲，并于 1636年称帝，改国号为大清。后来，努尔哈赤和皇太极分别被尊为清太祖和清太宗。
在清朝崛起之际，明朝政治黑暗，天灾不断，农民起义蜂起，统治摇摇欲坠。1644年，农民军首领李自成在西安建立大顺政权，随即攻占北京，明思宗自缢，明朝灭亡。清朝摄政王多尔衮统军进人山海关，打败李自成，进占并迁都北京。此后又经过 20 多年的激烈战斗，清朝将农民军余部和南方的明朝残余势力逐一击败，确立了在全国的统治
## 学思之窗
清太宗天聪年间,汉族降官宁完我上奏说:
我国六部之名，原是照蛮子家立的……必如此，庶日后得了蛮子地方，不至手忙脚乱。然《大明
会典》虽是好书,我国今日全照他行不得。他家天下二三百年,他家疆域横亘万里,他家财赋不可计数，况《会典》一书自洪武到今，不知增减改易了几番。何我今日，不敢把《会典》打动他一字?
—《天聪朝臣工奏议・宁完我请变通〈大明会典〉设六部通事奏》
《大明会典》是明朝的行政法典，这段上奏提出了什么主张?
## 探究与拓展
## 问题探究
明太祖阐述废宰相的原因说：
自古三公论道，六卿分职，并不曾设立丞相。自秦始置丞相，不旋踵而亡。汉、唐、宋因之，虽有贤相，然其间所用者多有小人，专权乱政。今我朝罢丞相，设五府、六部、都察院、通政司、大理寺等饾门,分理天下庶务,彼此颉顷 (xiéháng )，不敢相压。事皆朝廷总之，所以稳当。
《皇明祖训・祖训首章》
明清之际，思想家黄宗羲对明初废宰相的做法进行了尖锐批评。他说:
有明之无善治,自高皇帝罢丞相始也。原夫作君之意,所以治天下也。天下不能一人而治，则设官以治之，是官者，分身之君也……古者君之待臣也，臣拜，君必答拜。秦汉以后,废而不讲。然丞相进,天子御坐为起,在興为下。宰相既罢，天子更无与为礼者矣，遂谓百官之设，所以事我，能事我者我贤之,不能事我者我否之。设官之意既讹,尚能得作君之意乎?古者不传子而传贤,其视天子之位,去留犹夫宰相也其后天子传子，宰相不传子，天子之子不皆贤，尚赖宰相传贤，足相补救,则天子亦不失传贤之意。宰相既罢,天子之子一不贤，更无与为贤者矣，不亦并传子之意而失者乎!
-《明夷待访录・置相》
阅读上述材料,体会明太祖与黄宗羲两人对废宰相做法的不同理解。你认为明太祖所阐述的废除宰相的理由充分吗？黄宗羲又是从哪些角度来批评废宰相之举的?
## 学习拓展
明朝科举考试的主要内容是八股文,清朝沿袭其制。主要特点有：从儒家经书中命题作文，写作时必须遵循程朱理学的有关解释;需要模仿古代“圣贤” 口吻写作,不许自由发挥个人见解;作文的骨干部分是四段对偶排比文字
查找并阅读一两篇明清八股文,初步了解它的特点。
## 第 14 课
清朝前中期的鼎盛与危机
■康熙帝 $(1654-1722)$ 1718 年，年过六旬的清朝康熙帝在谈话中抱怨说：“诸臣视朕如驾车之马，纵至背疮足瘘，不能挿载，仍加鞭策，以为尔即踣 (bó) 毕，必有更换者。惟从旁笑视，竟无一人怜恤，俾其更换休息者。”意思是皇帝大权独览，事必躬亲，承受着巨大的工作压力，没有人去主动加以“怜恤”，让皇帝“更换休息”。图中起居注记载了康熙帝亲政后勤于政事,每天在紫禁城乾清门聆昕奏报、处理政务的情况。
## 康雍乾时期的君主专制
## 学习聚焦
康雍乾时期，君主专制得到加强。清朝皇帝康熙、雍正、乾隆在位期间，出现了 100 多年的鼎盛局面,政局稳定，经济繁荣，疆域开拓并巩固,被称为“康乾盛世”。
三位皇帝都以勤政著称。他们独断朝廷大政方针，对地方具体事务，也总是不厌其烦地详加过问，君主专制得到加强。
## 史料阅读
乾隆帝曾就康雍乾三朝君主乾纲独断的政治传统作出总结:
乾纲独断,乃本朝家法。自皇祖、皇考以来,一七切用人听言大权从无旁假。即左右亲信大臣，亦末有能荣辱人、能生死人者
## ―《清高宗实录》卷 323 乾隆十三年八月辛亥
当时人形容皇权笼罟下的政治气氛:
皇上日可，臣亦日可；皇上日否，臣亦日否。上有忧勤之圣，下无翼赞之贤，此其所以逊于唐、虞也
—一齐周华《名山藏副本》附录《唐孙镐讨诸葛际盛檄》这一时期,部分官员向皇帝单独呈送密封报告,皇帝亲手批阅后返回,不经过其他中转、收发环节,形成了奏折制度。这种迅速、机密的联系方式,使皇帝能够更直接、广泛地获取信息,提高了决策效率,强化了对官僚机构的控制。
中枢秘书机构也发生了变化。雍正时,在皇帝寝宫旁边设立军机处,军机大臣由被指派的朝臣兼职充任。军机处官员在皇帝直接监督下工作,日夜轮流值班,商议军情,起草或处理机要文书。内阁只负责处理一般文书。
清朝统治者对思想文化的控制非常严密,频繁制造文字狱，对文化造成严重的摧残。
## 彊域的奠定
康乾盛世时期,清朝版图在前代王朝的基础上得到进一步开拓和巩固。
1662 年,郑成功驱逐荷兰殖民者,收复台湾。1683年,清军渡海远征,郑氏后裔战败投降。第二年,清朝在台湾设府,隶属福建省。
17 世纪中叶，沙皇俄国的势力侵人我国黑龙江流域。康熙前期,清军围攻侵占雅克萨的俄军,迫使沙俄同意进行谈判。1689年,两国签订《尼布楚条约》,从法律上确定黑龙江、乌苏里江流域包括库页岛在内的广大地区都是中国领土。
明朝末年,鞑靼分为漠南蒙古和漠北蒙古,瓦剌被称为漠西蒙古。清军人关前,打败并收降漠南蒙古,漠北和漠西蒙古也遣使进贡。17 世纪后期,漠西蒙古准噶尔部的
## 学习聚焦
清朝国家疆域的奠定具有重要历史意义。
郑成功 $(1624-1662)$
乾隆帝颁发给西藏地方政府的金瓶
按照格鲁派教规，达赖、班禅采用灵童转世的方法选择继承人。乾隆后期作出规定,转世灵童的人选必须通过驻藏大臣主持的金瓶掣签仪式来确认,报朝廷批准。首领噶尔丹势力强大,占据天山南北,又向东进攻漠北和漠南蒙古。清军与噶尔丹及其后继者进行了长期斗争,最终在 1757 年将准噶尔部彻底击败。原受准噶尔部统治的天山南路维吾尔贵族大、小和卓兄弟起兵反清，很快也被平定。清朝在蒙古族地区设立盟、旗两级单位进行统治,任命蒙古王公为盟长、旗长。1762年,清朝在新疆设立伊犁将军，总领军政事务。
清初，西藏最有影响的佛教格鲁派领袖五世达赖来京朝贺，清政府册封以“达赖喇嘛”尊号。另一位格鲁派领袖五世班禅，在康熙时被赐予“班禅额尔德尼” 尊号。此后历世达赖和班禅，都经由中央政府册封。从 1727 年起,清朝开始派遣驻藏大臣，代表朝廷与达赖、班禅共同治理西藏。1793年，清政府颁布《钦定藏内善后章程》29条，以法律形式明确和落实了中央政府对西藏地方的管辖权。
清朝专设理藩院掌管蒙古族、藏族等民族事务。清政府对边疆地区采取因地制宜的政策，尊重各民族的社会习俗和宗教信仰，优待各族上层分子，保证了局势的稳定。
## 历史纵横
## 改土归流
长期以来,中原王朝在西南各民族聚居区实行土司制度。土司又称土官,指由当地民族首领世袭担任的宣慰使、知府、知州等职务。虽然土司承袭在形式上必须经过中央批准，并承担缴纳赋税、出兵助战等义务,但还是具有一定的割据性。自雍正时起,清政府在西南大规模推行“改土归流” 政策,逐步取消土司世袭制度,任命有任期、可调动的流官,随之进行清查户口、丈量土地、核实赋税等工作。改土归流,强化了清政府对西南地方各民族的管理,推动了当地的经济发展和社会进步。
清朝中期,疆域西跨䓤岭,西北达巴勒喀什池,北接西伯利亚,东北至外兴安岭和库页岛,东临太平洋,东南到台湾及其附属岛屿,包括钓鱼岛、赤尾屿等,南至南海诸岛,西南抵喜马拉雅山脉。在清朝疆域里,内地分立 18 省,分设巡抚、总督治理。在东北、北部和西部边疆,分设若干将军辖区和办事大臣辖区。
## 思考点
为什么说清朝基本奠定了现代中国的版图?
## 清朝疆域图（ 1820 年）
库伦乌里雅苏台 ……今蒙古国乌里雅苏台
伊犁………………………… 今新疆霍城
喇萨 …… 今西藏拉萨万里长沙........ 今西沙群岛和中沙群岛千里石塘 …… 今南沙群岛钓鱼台今钓鱼岛
## 统治危机的初显
康乾盛世后期，清朝统治已出现由盛转衰的迹象。19 世纪前期,嘉庆、道光两位皇帝在位时,衰象更为明显。
在经济繁荣、国土开发的背景下，清朝人口膨胀迅速。1741年,统计全国人口达到 1.4 亿,到 1840 年已增至 4.1 亿。人口急剧增长使得资源危机日益显露，加上政治腐败和贫富矛盾的积累，乱象逐渐萌生。从乾隆后期起，农民起义屡屡爆发,大部分是由民间秘密宗教白莲教领导的。四川、湖北、陕西等省爆发的白莲教大起义持续了十年。嘉庆后期,白莲教支派天理教发动的一次起义还攻人了北京皇宫。
## 学习聚焦
康乾盛世后期，清朝的统治危机初显。
## 史料阅读
天理教攻打皇宫被镇压后,嘉庆帝下《罪已诏》通告全国,其中说:
猝于九月十五日,变生肘腋,祸起萧墙。天理教逆非七十余众,犯禁门,入大内,戕害兵役 …… 突遭此变,实不可解,总缘德凉彷 ( qiān) 积,唯自责耳。然变起一时,祸积有日。当今大弊,在“因循怠玩” 四字,实中外之所同。朕虽再三告诫,舌敝唇焦,奈诸臣末能领会,悠忽
为政，以致酿成汉、唐、宋、明未有之事……思及此，实不忍再言矣！予唯返躬修省，改过正心，上答天慈,下释民怨。诸臣若愿为大清国之忠良,则当赤心为国,竭力尽心,匡朕之各,移民之俗;若自甘卑喟,则当挂冠致仕,了此一身,切勿尸禄保位,益增朕罪。笔随泪酒,通谕知之!
$$
- \text {《清仁宗实录》卷 } 274 \text { 嘉庆十八年九月庚辰 }
$$
这一时期，以英国为首的西方列强在中国东南沿海频繁活动,要求扩大对华贸易,开拓中国市场。清朝起初指定四处对外通商口岸,后仅保留广州一处,并规定由官府特许的“十三行” 商人代为管理对外贸易事务。外商在广州的活动及其与中国商民的交往，都受到严格约束。民间船只出海贸易,更在严厉禁止之列。这种闭关自守的政策,无法适应新的外部环境,中国逐渐落后于世界潮流。
## 探究与拓展
## 问题探究
乾隆、嘉庆时期，英国先后派出使团来华，希望扩大贸易、增开通商口岸,但都以失败告终。清朝皇帝在写给英国国王的敕谕中说:
昨据尔使臣以尔国贸易之事禀请大臣等转奏,皆系更张定制，不便准行……天朝物产丰盈，无所不有，原不借外夷货物以通有无。特因天朝所产茶叶、瓷器、丝斤为西洋各国及尔国必需之物,是以加恩体恤,在澳门开设洋行,俾得日用有资,并沾余润。今尔国使臣于定例之外多有陈乞,大乘仰体天朝加惠远人、抚育四夷之道。且天朝统驭万国，一视同仁，即在广东贸易者亦不仅尔楧咭唎一国，若倶纷纷效尤,以难行之事妄行千渎,岂能曲徇所请?念尔国僻居荒远,间隔重瀛,于天朝体制原末谙悉。是以命大臣等向使臣等详加开导,遣令回国 …… 尔国王或误听尔臣下之言，任从夷商将货船驶至浙江、天津地方,欲求上岸交易,天朝法制森严,各处守土文武恪遵功令,尔国船只到彼 …… 定当立时驱逐出洋,末免尔国夷商徒劳往返,勿谓言之不豫也!
—《清高宗实录》卷 1435 乾隆五十八年八月已卯
尔国距中华过远,遣使远涉,良非易事;且来使于中国礼仪不能谙习,重劳唇舌,非所乐闻。天朝不宝远物,凡尔国奇巧之器,亦不视为珍异。尔国王其辑和尔人民,慎固尔疆土,无间远迩,朕实嘉之。嗣后母庸遣使远来,徒烦跋涉。但能倾心效顺,不必岁时来朝始称向化也。俾尔永遵,故兹敕谕!
## —《清仁宗实录》卷 320 嘉庆十八年九月庚辰
阅读上述材料,了解乾隆、嘉庆两位皇帝是怎样看待西方列强的，并予以评论。
## 学习拓展
康熙后期,清政府将百姓赋税中以人丁为单位征收的“丁银” 数额固定下来,号称“滋生人丁，永不加赋”。雍正时又将其分摊入田赋一并征收，称为“推丁入亩”
查找材料，了解上述改革措施的演变线索及其历史意义
## 第 15 课
明至清中叶的经济与文化
《耕织图・耙耨》
明朝中期常熟一位地主谭晓,用低价购买了大片空闲的低洼沼泽地,雇用贫苦乡民加以治理。部分土地被改造为良田,收成大增。所业水池养鱼,池上筑舍养猪,其余空地种植不同的果木蓅菜,顺带捕捉鸟类和昆虫，此类副产品运到市场,销售所得“视田之入复三倍”。由此,谭晓成功致富。类似新现象，从明中期起逐渐多见。图为《耕织图・耙耨》部分,《耕织图》是康熙帝命人在南宋同名图画基础上改绘而成的，描绘了江南地区农业生产的场景。
## 社会经济的发展与局限
## 学习聚焦
自明朝后期起，农业、手工业、商业各经济领域出现了一些新现象。
清朝前期玉米、甘薯推广种植图
随着新航路的开辟,明朝后期，一些新的农作物品种输人中国。其中高产粮食作物玉米、甘薯的推广种植,
大幅度提高了粮食总产量。江南等地区农业的多种经营
日益兴盛,经济作物品种繁多,种植广泛,很多农民还兼营产品初级加工或相关副业,以获取更多的收人。
手工业各行业都有不同程度的进步。明朝后期,在南方一些地区的丝织、榨油、制瓷等行业中出现了新的经营方式,即开设工场,使用自由雇佣劳动进行较大规模的生产。这类情况在清朝继续有所发展。
## 历史纵横
## 7 世纪初苏州丝织业中的自由雇佣劳动
史料中这样描述 17世纪初苏州丝织业工场手工业劳动的状况:
吴民生齿最繁,恒产绝少,家杼轴而户纂组,机户出资,织工出力,相依为命久矣 …… 浮食奇民,朝不谋夕,得业则生,失业则死 …… 染坊罢而染工散者数千人,机户罢而织工散者又数千人，此皆自食其力之良民也。
―一《明神宗实录》卷 361 万历二十九年七月丁末
我吴市民,罔藉田业,大户张机为生,小户趁织为活。每晨起,小户百数人嗷嗷相聚玄庙口,听大户呼织,日取分金为饔飧 (yōngsūn) 计。大户一日之机不织则束手,小户一日不就人织则腹枵 ( xiāo )，两者相资为生久矣!
一一蒋以化《西台漫纪》卷 4
有学者认为,这种生产方式近似于西方资本主义生产关系的早期形态，称之为“资本主义萌芽”。
自明朝后期起，商品经济进人新的繁荣期。美洲等地的白银通过海外贸易大量流人,促进了长途和大额贸易的发展，也有利于商业资本的集聚。一些地方的人以经商闻名,形成实力雄厚的商人群体,如安徽南部的徽商和山西的晋商。在工商业发达地区和交通要冲,兴起一大批以经济功能为主的工商业市镇，商业活跃,人
《盛世滋生图》( 局部) 此图为清朝人徐扬所绘，反映了清朝中期苏州商业的繁荣景象口密集,成为地区贸易网络的核心。史料阅读
明末顾炎武编箕的《肇域志》,这样记载安徽南部徽州地区的经商习俗:
新都勤俭甲天下,故富亦甲天下。贾人娶妇数月则出外,或数十年,至有父子邂逅而不相认识者。大贾斩数十万,则有副手,而助耳目者数人。其人皆铢两不私,故能以身得幸于大贾而无疑。他日计子母息,大美,副者始分身而自为贾,故大贾非一人一手足之力也。他俗习濑习赚,有贾无副,则贾不行。其数奇 ( $\mathrm{j}$ ） 贩折,宁终身漂泊死,羞归乡对人也。男子冠婚后,积岁家食者,则亲友笑之。妇女亦安其俗,而无陌头柳色之悔。
## —《肇域志・江南十一・徽州府》
然而就全社会来看，男耕女织、自给自足的传统小农经济还占据压倒优势。日益僵化的专制统治,也压制和阻碍着社会的进步和转型。
## 思想领域的变化
## 学习聚焦
明朝中期起，思想界出现提倡个性自由和反对专制的倾向。
王守仁 $(1472-1529)$
王守仁，号阳明子，尊称阳明先生，浙江余姚人。程朱理学获得官方尊崇后,逐渐失去活力。明朝中期,王守仁在南宋陆九溇思想的基础上，提出一套以“致良知”为核心的理论,形成陆王心学。“良知”就是隐藏在每个人心中的“天理”,往往被私欲遮蔽,需要重新发现、扩充和践行,这样就可以达到圣贤境界。陆王心学强调主观能动性，激励人们奋发立志;而以自己的内心为准则,又隐含一定的平等和叛逆色彩。陆王心学带有主观唯心主义倾向。在此基础上,明朝后期以李贽为代表的一些思想家提倡个性自由,蔑视权威和教条,甚至否定传统伦理道德标准，在社会上引起了很大震动。
明末清初社会的剧烈动荡，促进了思想界的活跃。思想家黄宗羲严厂抨击君主专制制度，称专制帝王为“天下之大害”。他还反对重农抑商观念,提出“工商皆本”。顾炎武、王夫之也对高度集权的政治制度进行了批判。他们还有一些重要的见解,如顾炎武认为“保天下者，匹夫之贱与有责焉耳矣”，后人概括为“天下兴亡，匹夫有责”。
## 小说与戏曲
在城市商品经济繁荣、社会娱乐活动丰富、文化知识进一步普及的背景下,明清的小说和戏曲取得了重要成就。
元末明初，施耐庵、罗贯中在宋元话本基础上创作的《水浒传》和《三国志通俗演义》,是我国最早的两部长篇白话小说，开创了章回体的写作体裁。明朝中期吴承恩的《西游记》和清朝中期吴敬梓的《儒林外史》,分别是神话小说和讽刺小说的杰作。清朝中期曹雪芹的长篇小说《红楼梦》,以贵族家庭贾府的兴衰变迁为主线,生动地再现了当时政治、经济、文化和社会生活的多个侧面,是我国古典现实主义文学的高峰,也是享誉世界的名著。
明清戏曲创作也趋向长篇化,情节更加曲折复杂,称为传奇,代表作家有明朝汤显祖、清朝孔尚任等。舞台演出方面,从江苏昆山一带发源的昆曲长期流行。清朝道光年间，以徽班为基础，融合徽、汉二调，吸取昆曲和其他地方戏的艺术成分，形成了京剧，并且逐渐成为全国最流行的剧种。
## 科技
明朝后期，几部重要科技著作相继问世。李时珍的《本草纲目》、徐光启的《农政全书》和宋应星的《天工开物》,分别系统记载了中国古代医药学、农学、工艺学的相关知识,在各自领域对传统科学技术进行了总结。徐弘祖的《徐霞客游记》是一部地理和地质学名著。
## 历史纵横
## 明清大型典籍的编纂
明清时期，不仅私人编簛的几部科技著作在各自领域具有总结性,朝廷为标榜“文治”,也一再组织学者编簛总结性的大型典籍。
明成祖时，编成了中国古代最大的类书《永乐大典》。全书近 2.3 万卷，分装为 1.1 万余册，辑录了上古到明初的书籍
## 学习聚焦
明清的小说、戏曲创作成就显著。
从清光绪刊本《红楼梦图咏》
## 思考点
从明朝后期起，商人、工匠、市井游民和普通妇女经常成为小说的主人公。这一现象与当时社会发展有怎样的关系?
## 学习聚焦
明朝后期出现了几部总结性的科技著作,西方科技知识也得到一定范围的传播。8000 多种。这部巨著已经散佚,今天能看到的不足 4\%。
清乾隆后期，编成了中国古代最大的丛书《四库全书》,共收录古代重要典籍约 3500 种,合计近 8 万卷,3.6 万余册,约 7.7 亿字。根据各书内容，分为经、史、子、集四大部，每部下面又分许多类。它对中国古代文献进行了一次系统和全面的整理,但在编箕时也按照清廷的政治标准销毁了不少“禁书”。
从明朝后期起,一些欧洲天主教传教士前来中国传教,代表人物有意大利人利玛窦等。他们借助传播科学知识来达到传教的目的,与一些开明的中国士大夫合作翻译西方科学书籍,在一定范围内传播了西方科技知识。清朝前期,传教士还运用欧洲测绘技术,帮助清廷绘制了较为精确的全国地图。
## 学思之窗
利玛窦与徐光启合作翻译了古希腊数学家欧几里得《几何原本》的部分内容,并使用了几何、点、线、面、平行线、直锐针角等汉语数学概念。徐光启对这部书推崇备至。他说:
《几何原本》者,度数之宗,所以穷方圆平直之情,尽规矩准绳之用也 …… 由显入微,从疑得信，盖不用为用,众用所基,真可谓万象之形畕（yòu),百家之学海。
## -《徐光启集》卷 2《刻〈几何原本〉序》
此书为益,能令学理者祛 ( qù) 其浮气,练其精心;学事者资其定法,发其巧思,故举世无
一人不当学……能精此书者，无一事不可精；好学此书者，无一事不可学。
此书为用至广 …… 而习者盖寡。窃意百年之后必人人习之，即又以为习之晩也!
-《徐光启集》卷 2《く何原本〉杂议》
应该怎样理解徐光启的观点?他推崇《几何原本》) 的理由何在?
ヘ 利玛窦在中国刊印的世界地图《坤舆万国全图》( 摹本 )
这幅地图向中国人展现了世界的整体轮廓。由于当时地理学知识有限,图中误将大洋洲和南极洲两片大陆绘为一体。一些士大夫将此图斥为“邪说惑众”，并且攻击说：“直欺以其目之所不能见，足之所不能至，无可按听耳,真所谓画工之画鬼魅也！”
## 探究与拓展
## 问题探究
王守仁这样阐述他的“良知” 概念:
是非之心,不待虑而知,不待学而能,是故谓之良知
$$
- \text {《王文成公全书》卷26《大学问》}
$$
本来面目，即吾圣门所谓良知。
—一《王文成公全书》卷 2《传习录中・答陆原静书》
王守仁的弟子王畿说:
信得良知过时,独往独来,如珠之走盘,不待拘管,而自不过其则也。
一一黄宗羲《明儒学案》卷 12《郎中王龙溪先生畿》
李贽则将上述“良知” 概念发展为“童心”,并有如下论述：
夫童心者，绝假纯真、最初一念之本心也。若失却童心，便失却真心;失却真心，便失却真人。人而非真，全
不复有初矣！…… 夫既以闻见道理为心矣,则所言者皆闻见道理之言,非童心自出之言也。言虽工,于我何与,岂非以假人言假言而事假事、文假文乎?盖其人既假,则无所不假矣。由是而以假言与假人言,则假人喜；以假事与假人道,则假人喜;以假文与假人谈,则假人喜。无所不假，则无所不喜 …… 更说什么“六经”，更说什么《语》《孟》乎?
夫“六经”《语》《孟》,非其史官过为褒崇之词,则其臣子极为赞美之语。又不然,则其迂阔门徒、懀懂弟子,记忆师说,有头无尾,得后遗前,随其所见,笔之于书。后学不察,便谓出自圣人之ロ也,决定目之为经矣,孰知其大半非圣人之言乎?纵出自圣人,要亦有为而发,不过因病发药,随时处方,以救此一等懀懂弟子、迂阔门徒云耳。药医假病，方难定执，是岂可遽以为万世之至论乎？然则“六经”《语》《孟》,乃道学之口实、假人之渊薮 ( sǒu) 也,断断乎其不可以语于童心之言明矣!
《焚书》卷 3《童心说》
阅读上述材料,结合课文内容,体会陆王心学衍生出的思想解放倾向及其对封建传统思想的冲击。
# 学习拓展
从明朝后期到清朝前期,欧洲传教士不仅在中国传教并介绍西方科技知识,也将中国文化介绍到西方,用拉丁文翻译了“四书”“五经” 等著作。多位 18 世纪的欧洲启蒙思想家曾从儒家经书译本中汲取思想因素。
查阅相关资料,了解这一时期“中学西渐” 的进程及其历史影响。
## 第五单元
晩清时期的内忧外患与救亡图存
鸦片战争后的数十年间,清政府被迫签订了一系列不平等条约,国家陷人内忧外患的严重局面,逐步沦为半殖民地半封建社会。中国历史进人饱经磨难的近代时期。边疆不断出现危机,中国面临“数千年末有之大变局”。洪秀全发动太平天国农民起义,试图推翻清朝,建立“地上天国”。继而,清政府推行洋务新政,试图解决国弱民贫问题。这些都末能挽救国家落后挨打的局面。甲午中日战争后,帝国主义对中国的侵略日益加深,中国的民族危机不断加剧,维新派折起了一场旨在救亡图存的戊戌变法运动。1900年,义和团运动高涨,八国联军趁机侵略中国。清政府被迫与侵略者签订了《辛丑条约》,中国的民族危机全面加深。
通过本单元的学习,认识列强侵华对中国社会的影响;了解中国人民反抗外来侵略的斗争事迹,理解其性质和意义;认识社会各阶级为挽救危局所作的努力及存在的局限性。
## 第 16 课
两次鸦片战争
英国走私鸦片的飞剪船 19 世纪初，英国从中国大量输入茶叶和生丝，而销往中国市场的棉纺织品有限,对华贸易出现逆差,便借助鸦片走私寻求贸易平衡。英国商人从鸦片贸易中获得极高利润,不顾清政府禁令,向中国走私鸦片愈演愈烈。1800 年走私鸦片 4570 箱,1838 年超过了4万箱。在中国珠江口外伶仃洋面停留的鸦片走私船有 30 多艘。图为 1824 年活动在伶仃洋面的英国走私鸦片的飞剪船。
## 9世纪中期的世界与中国
工业革命后半个多世纪,资本主义生产方式在英、法、美等国逐渐占据主导地位。英国社会生产力飞速增长,对市场和原料的需求越来越强烈。各国争夺殖民地的斗争日趋激烈。当时,英国掌握着资本主义世界的霸权。英国在美洲、非洲夺取殖民地的同时，把目标对准了亚洲。法国从越南打开侵人亚洲的缺口。19世纪40年代,俄国势力侵人中国东北和新疆地区，美国也积极参与到侵华活动中。世界主要殖民主义国家都把矛头指向了中国。
4英国东印度公司设在印度的鸦片仓库
走私到中国的鸦片大多来自英国殖民地印度的孟加拉。
$\triangle 1840$ 年前的中国和世界形势图
欧洲资本主义不断发展,而清政府对世界形势的变化浑然不觉,中国仍然停留在封建社会,君主专制统治依旧顽固。自给自足的小农经济是主要的生产方式，科技落后。八旗和绿营作战能力低下,使用的武器主要是冷兵器,远远落后于英国的热兵器。社会阶级矛盾激化,各地农民起义此起彼伏。
## 两次鸦片战争
鸦片战争前，外国鸦片商人逐年扩大对华鸦片走私，使中国一年流失的白银超过 1000 万两。鸦片烟毒损害了中国人的健康,加剧了政治腐败,削弱了军队战斗力,加重了劳动人民负担。面对广州外海的鸦片走私,道光皇帝特命湖广总督林则徐为钦差大臣,前往广州禁烟。林则徐将英美鸦片商人呈缴的走私鸦片烟土两万多箱,在虎门海滩公开销毁,向世界表明了清政府禁烟的决心。英国大鸦片贩子认为中国禁烟措施损害了英国的利益,英国政府宣布对华发动战争。
## 思考点
分析鸦片战争前中国的社会状况，思考中国在当时国际格局中的处境。
## 6 学习聚焦
两次鸦片战争的失败,使清政府被迫签订一系列不平等条约,中国开始沦为半殖民地半封建社会。
林则徐 $(1785-1850)$
## 史料阅读
当时英国人马尔丁说:“鸦片贩卖者腐化了、降低了和毁坏了不幸福的人底精神生活,而且还毒杀了他们的身体。鸦片贩卖者时时刻刻向贪欲无厌的吃人神贡献新的牺牲品,而充当凶手的英人和服毒自杀的华人，就彼此竞争,向吃人神的祭台上贡献㸸牲品。”
一一范文澜《中国近代史》上册
从英军占领广州期间到乡下劫掠的情形
此图出自 1845 年伦敦出版的《复仇神号亲历记》。
(D) 历史纵横
“亚罗号"事件
“亚罗号”是一艘中国的走私船,在香港的注册已过期。1856 年 10 月，广东水师在黄埔逮捕了船上几名海盗和涉嫌船员。英国驻广州代理领事巴夏礼在英国驻华公使、香港总督包令指使下,硬指此船为英国所有，并且担造船上悬挂的英国国旗曾被中国兵勇侮辱,要求中国送回被捕者并公开道歉。两广总督叶名琛据实驳斥,将人犯送到英国领事馆，但巴夏礼拒绝接受。所谓“亚罗号”事件，成为英国发动第二次鸦片战争的借口。
1840 年 6 月，英国远征军总司令懿律率军舰 40 余艘，士兵 4000 多名，开进广州海口，发动侵略战争。清政府组织了抵抗。这场反击英国侵略的战争，以 1842 年 8 月 29 日清政府被迫签订中英《南京条约》而结束。《南京条约》是中国近代史上第一个丧权辱国的不平等条约,中国被迫割让香港岛、赔款 2100 万银元、接受协定关税以及开放五口通商等。1843年,清政府又与英国签订《虎门条约》。1844 年，美国、法国分别迫使清政府签订《望厦条约》《黄埔条约》。通过这些条约，英、美、法三国从中国获得了协定关税、领事裁判权、片面最惠国待遇以及通商口岸传教权等。《南京条约》等一批不平等条约的签订，长期影响了近代中国历史的进程，鸦片战争由此成为中国近代史的开端。
中国水师与英国海军在穿鼻洋面上激战的画面
英国等侵略者从鸦片战争中获得了种种特权，但是末能达到鸦片贸易合法化的目的。为进一步打开中国市场,它们要求修约，被清政府拒绝。1856年，英、法两国对中国发动了第二次鸦片战争，美、俄两国以调停人面目出现。1858 年，清政府被迫分别与英、法、美、俄四国签订《天津条约》。次年,英、法拒绝按照清政府指定路线进京换约,进攻大沽炮台,遭到清军反击,英法兵舰损失很大。
## 交学之窗
1857 年 3 月,马克思在《英人在华的残暴行动》一文中写道:
广州城的无龺居民和安居乐业的商人惨遭屠杀，他们的住宅被炮火夷为平地,人权横遭侵犯,这一切都是在“中国人的挑絆行为危及英国人的生命和财产” 这种站不住脚的借口下发生的！…… 英国人控告中国人一桩，中国人至少可以控告英国人九十九桩。
阅读以上材料,思考第二次鸦片战争中中国抵抗英国侵略的正当性。
大沽战后,为了报复中国,英法联军率军舰百余艘、陆军近三万人,于 1860 年 8 月占领天津。10月,英法联军抢劫、焚毁圆明园后,进人北京城,迫使清政府签订《北京条约》。通过《天津条约》《北京条约》,英、法获取了割地、赔款、开放通商口岸以及内河航行权等大量权益。鸦片以“洋药” 名义纳税进口,实现了鸦片贸易合法化。俄国借机迫使清政府签订《北京条约》,并承认此前签订的《瑗珲条约》,抢占黑龙江以北、乌苏里江以东 100 余万平方千米的中国土地,还把俄方提出的边界走向强加给中国，为此后大规模侵占中国领土制造根据。
从《南京条约》到《北京条约》,外国侵略者把不平等条约体系强加在中国身上,中国的独立、主权和领土完整受到了严重侵犯,中国从一个独立的封建社会逐渐沦为半殖民地半封建社会。
## 开眼看世界
《南京条约》签订后,道光皇帝仍不知道英国位于何方,充分反映了清朝统治阶级高层的封闭、愚昩与腐朽。
## 历史纵横
各地民众自发抵抗侵略军
第二次鸦片战争期间，侵略军所到之处，人民群众都进行了抵抗。广州城厢内外民众组织团唋，用游击战术袭击敌人。在香港、澳门为外国人雇佣的工人，纷纷返乡。天津、烟台、旅顺乃至北京附近，都有民众自发起来袭击侵略军。恩格斯当年指出:“这是一场维护中华民族生存的人民战争。”
๑中英《北吕条约》签字页原件藏于英国国家档案馆
## 学习聚焦
林则徐、魏源、徐继鈿是近代中国最早开眼看世界的人,初步提出了向西方学习的主张。
^ 魏源 $(1794-1857)$
林则徐、魏源是近代中国最早开眼看世界的人。林则徐面对英美官员交涉鸦片烟土需要国际知识，便在广州开办译馆，罗致译员，收集有关西洋各国的消息情报和国际知识,包括国际法知识,汇译成《四洲志》等书稿,供对外交涉时参考。
林则徐被贬后，把《四洲志》交给他的朋友魏源。魏源注意收集外国史地知识，在《四洲志》基础上编成《海国图志》一书。这部书按照世界五大洲介绍各国历史、地理、社会现状以及军事、科技等,是近代中国最早介绍外国历史地理的书籍之一,被誉为了解外国知识的“百科全书”。魏源在书中提出了“师夷之长技以制夷” 的思想。
福建布政使徐继柬（yú）是又一位开眼看世界的人。他在福建处理对外交涉事务,留心搜集外国事物和西人著述，撰成《瀛寰志略》一书。《瀛寰志略》系统介绍了当时世界上近 80 个国家和地区的地理位置、历史变迁、经济文化、风土人情,内容丰富,叙述完备,尤重对欧美各国的考察和介绍,是中国近代第一部世界地理著作。
这些开眼看世界的仁人志士，初步提出了向西方学习以求自强的主张。
## 探究与拓展
## 问题探究
和约一经议定,两国各宜遵守,不得轻有更改;至各口情形不一,所有贸易及海面各款恐不无稍有变通之处,应俟十二年后，两国派员公平酌办。又和约既经批准后，两国官民人等均应恪遵,至合众国中各国均不得遣员到来,另有异议。
一一美《五口贸易章程：海关税则》,王铁崖编《中外旧约章汇编》第 1 册
阅读以上材料，分析清政府拒绝修约的合理性。
## 学习拓展
初九、初十日,逆夷又往三元里及萧冈各乡，复行扰害。由是乡民共愤,鸣锣聚众,杀死逆夷六、七人,余逆脱回。因率众而下,约数百人。乡民复鸣锣会集各乡，约数千人，与夷决战。
十一日，乡民仍鸣锣传递，富者捐资，贫者出力，备乃器械,持乃粕粮,响应风从,不谋而合者遥遥百有余里,聚至百有余乡。将方、圆两炮台四面围住,各处设伏,奋呼攻打,昼夜不息。逆夷各狐任鼠伏，潜避两炮台中，不敢出入。
-《广东军务记》,载《三元里人民抗英斗争史料》
阅读上述史料,了解三元里人民抗英斗争史实。
## 第 17 课
国家出路的探索与列强侵略的加剧
金田起义浮雕图为北京天安门广场人民英雄纪念碑上的金田起义浮雕。人民英雄纪念碑上为什么刻上了这样一幅浮雕?因为以金田起义为开端的太平天国运动，是近代中国规模最大的一次农民起义。这次起义在鸦片战争十年后爆发,代表了近代中国人民寻求国家出路的早期探索。
## 太平天国运动
广东花县人洪秀全在多次科举考试落第后极端失望,吸收了在广州得到的基督教布道书的一些思想,提出了“拜上帝”的主张。他的同乡冯云山到广西紫荆山号召民众加人拜上帝会,团结了许多穷苦农民。1851年 1 月 11 日,洪秀全、杨秀清等在广西桂平金田村发动起义，建号太平天国。不久,洪秀全称天王。太平军一路北上,出广西,经湖南,占领湖北省城武昌。1853 年,太平军沿长江东下,经九江、安庆,占领南京,改南京为天京,定都于此。然后,太平军北伐、西征,占领湖北、江西、安徽的许多地方，军事上达到鼎盛，但领导集团日渐腐败。
$>$ 外国人当时画的太平军在九江湖口与清军作战图太平天国提出了一系列社会政治主张。由于领导集团内讧，不能突破封建秩序，太平天国运动最终失败 1856年,太平天国领导集团发生内讧,杨秀清、韦昌辉被杀,石达开出走,太平天国在政治、军事上开始衰落。之后,洪仁玕、陈玉成、李秀成进人最高领导层,太平军先后取得浦口、三河大捷,但在安庆战役中败于曾国藩统率的湘军。1864年,在湘军、淮军和外国人带领的洋枪队进攻下,太平军节节败退,天京等地被攻破,太平天国运动失败。
太平天国运动形势图
太平天国前期曾颁布《天朝田亩制度》,提出了“有田同耕,有饭同食,有衣同穿,有钱同使” 的主张,否定了封建地主土地所有制,反映了农民追求社会财富平均的理想；后期曾颁布《资政新篇》,提出了新的社会经济政策,试图回答农民革命应当向何处去的问题。在当时的历史条件下,这两个文件都末能实施。由于农民阶级的历史
《天朝田亩制度》中的一页
《资政新篇》书影局限性,缺乏科学思想理论的指导,没有先进阶级的领导，不可能冲破封建社会的制度和思想，失败是必然的。
## 史料阅读
凡分田照人口,不论男妇。算其家口多寡,人多则分多,人寡则分冝,杂以九等,如一家六人,分三人好田，分三人丑田，好丑各一半。凡天下田，天下人同耕，此处不足则迁彼处，彼处不足则迁此处。……有田同耕，有饭同食，有衣同穿，有钱同使，无处不均匀，无人不饱暖也。
-《天朝田亩制度》
## 学习聚焦
致力于“自强”“求富” 的洋务运动是清朝统治阶级的自救运动,末能达到目的。
## 学思之窗
咸丰十一年 ( 1861 年) 七月十八日曾国藩在《复陈购买外洋船炮折》中说:
况今日和议既成,中外贸易,有无交通,购买外洋器物,尤属名正言顺。购成之后,访募覃思之士,智巧之匠,始而演习,继而试造,不过一二年,火轮船必为中外官民通行之物,可以軮发逆,可以勤远略。
阅读上述史料，你能理解洋务新政的目的吗?太平天国运动虽然失败,但它沉重打击了清王朝的统治,引起政治和权力结构的变化。随着湘淮系官僚集团的崛起，中央权力下移,对此后历史的发展产生重大影响。
## 洋务运动
经过两次鸦片战争，统治阶级中的一些当权人物看到了欧美国家的船坚炮利。为了挽救国家的颓势，他们推行了一系列以“自强”“求富”为目标的洋务新政。学术界把这种推行新政的系列举措称为“洋务运动”,把提倡洋务新政的官僚称为“洋务派”。洋务派人物主要有奕䜣、曾国藩、李鸿章、左宗棠、张之洞等人。他们认为开办洋务新政，购置船炮器械，“可以剿发逆，可以勤远略”。
为了自强,洋务派创办了一批官办的军事工业,如江南机器制造总局、福州船政局、天津机器局等。为了求富,洋务派又开办了一批官督商办的民用企业,如上海轮船招商局、上海机器织布局、开平煤矿等。洋务派还办了培养翻译和军事人才的学校,建成了以北洋舰队为代表的新式海军。
洋务派办的军事企业之洋务新政引进了资本主义国家的机器生产技术,是中国早期现代化的尝试。洋务派期望洋务新政可以保障国家安全,抵抗外敌侵略,后来的事实证明这个目的末能达到。洋务派的初衷不是改变封建统治,只是引进资本主义国家新的军事和生产技术,是在封建制度的基础上修修补补，洋务运动的失败是必然的。
## 边疆危机与甲午中日战争
19 世纪 60 年代以后,中国西北、西南、东南边疆地区安全遇到了严重危机。俄国、英国、日本、法国加紧了对中国的侵略。
1864 年,新疆地区少数民族上层分子反对清政府,形成内乱局面。英国支持的浩罕国军事首领阿古柏趁机人侵,占领南疆和北疆部分地区。俄国出兵占领伊犁地区。1875 年,清政府任命左宗棠为钦差大臣督办新疆军务,发兵新疆,1878 年 2 月收复新疆南北两路。1884 年,清政府在新疆地区正式建省，使西北边疆渡过了危机。
越南是清朝的藩属国。1883 年 8 月，法国控制了越南,把侵略矛头对准了中国,中法战争于年底打响。1884 年 8 月,法军偷袭马尾军港,炮毁福州造船厂。同年,法军进攻台湾,当地军民在台湾军务大臣刘铭传的领导下,严密布防,多次击退法军。1885 年 3 月,清军在冯子材率领下取得镇南关大捷,法军败退,法国内阁因此倒台。这时,清廷下达停战令。6 月,李鸿章与法国驻华公使签订了中法《越南条款》,承认法国占领越南。1885 年台湾建省，清政府强化了对台湾的管辖。
日本早就想占领中国的台湾和藩属国朝鲜、琉球,然后进攻中国大陆。因朝鲜发生农民起义,朝鲜国王请求清政府出兵。通过明治维新壮大了国力的日本,趁机出兵朝鲜,且在牙山口外丰岛偷袭清朝运兵船。1894年 8 月,甲午中日战争爆发。9月,清军在平壤大败。同月,在黄海海战中,北洋舰队官兵英勇作战,重创日本舰队,致远舰管带邓世昌、经远舰管带林永升率部英勇奋战,最终
甲午中日战争形势图
## 思考点
你能说说中国在甲午中日战争中失败的原因吗?与舰同沉。此次海战中,北洋舰队遭到重大损失。战后,李鸿章发出“避战保船” 命令，北洋海军失去了制海权。1895 年 2 月,日军在山东半岛登陆,摧毁了北洋舰队基地威海卫军港,北洋舰队覆灭。清政府派李鸿章到日本马关与日本政府议和,被迫签订《马关条约》,承认朝鲜独立,割让辽东半岛、台湾全岛及所有附属各岛屿、澎湖列岛给日本，赔款2亿两白银，增开沙市、重庆、苏州、杭州为通商口岸，日本可以在中国通商口岸设厂制造。
从《马关条约》谈判场景《马关条约》丧权辱国,进一步把中国社会推向了半殖民地半封建社会的深渊。甲午中日战争的失败,证明了洋务运动的破产。
日本侵占台湾后,台湾人民进行了顽强抗争。1895年 5 至 10 月,台湾义勇军与以刘永福为首的留台清军一起,展开了一波又一波反抗日军占领的武装斗争,重挫了日本占领军。台湾人民的武装抗日斗争,表明了台湾人民不屈服于日本的坚强意志。
## 瓜分中国的狂潮
《马关条约》签订后,俄、德、法“三国干涉还辽”。日本被迫归还辽东半岛,但向清政府索取 3000 万两白银“赎辽费”。为了在三年内向日本交出 2.3 亿两白银,清政府分三次向俄法银行团、英德银行团以高额利息借款 3 亿两白银。
## 学习聚焦
清政府向欧洲大借款、列强在华划分势力范围和强租租借地，扮起了列强瓜分中国的狂潮。
各帝国主义国家纷纷在中国划分势力范围,在从渤海到南海的中国沿海地区强租租借地: 俄国租旅大,英国租威海卫,德国租胶州湾,英国租九龙,法国租广州湾。列强还在中国大量掠夺铁路和工矿利权。
$\Delta 19$ 世纪末帝国主义列强在华划分势力范围示意图
## 探究与拓展
## 问题探究
帝国主义列强侵入中国的目的,决不是要把封建的中国变成资本主义的中国。帝国主义列强的目的和这相反,它们是要把中国变成它们的半殖民地和殖民地。
帝国主义列强为了这个目的，曾经对中国采用了并且还正在继续地采用着如同下面所说的一切军事的、政治的、经济的和文化的压迫手段,使中国一步一步地变成了半殖民地和殖民地:
上述这些情形，就是帝国主义侵入中国以后的新的变化的又一个方面,就是把一个封建的中国变为一个半封建、半殖民地和殖民地的中国的血迹斑斑的图画。
一一毛泽东《中国革命和中国共产党》,《毛泽东选集》第 2 卷
对照《19世纪末帝国主义列强在华划分势力范围示意图》，谈谈你对毛泽东这段论述的认识。
## 学习拓展
洋务运动中后期，少数“官督商办” 的民用企业发展为独立经营的商办企业，从而产生了早期民族资本主义企业。由于《马关条约》允许外国人在中国设厂制造，清政府不得不放开民间办企业。甲午中日战争后，一批民族资本主义企业发展起来，早期民族资产阶级由此产生。民族资产阶级是在帝国主义和封建主义压迫下产生的,先天具有软弱性和妥协性。中国工人阶级的产生要早于资产阶级。洋务运动前,近代产业工人就在外资工厂里诞生。甲午中日战争前后，近代产业工人已达到 20 万人左右。早期工人阶级虽然人数不多，但代表了新的生产力，是近代中国最革命的阶级。
搜集资料，进一步了解近代中国工人阶级和资产阶级产生的情况。
## 第 18 课
挽救民族危亡的斗争
遭逢“数千年末有之大变局”,晩清一批读书人逐渐认识到,唯有实行变法才能救亡图存。维新思想很快发展成爱国救亡的政治运动。康有为撰写的《新学伪经考》和《孔子改制考》,为变法维新提供了理论依据,起到了解放思想的作用。梁启超在《时务报》发表的《变法通议》等文章,更是明确提出“法者天下之公器也,变者天下之公理也”。
## 戊戌维新运动
日本逼迫清政府签订《马关条约》的消息传回国内,激起朝野上下的反对声浪。在京官员及在京参加会试的各省举人纷纷联名上书。康有为、梁启超组织了联合各省举人的“公车上书”,虽末送达光绪皇帝,但拉开了维新运动的序幕。
## 历史纵横
## 《新学伪经考》和《孔子改制考》
这两部书是康有为 1891 至 1895 年在广州万木草堂讲学期间完成的著作。《新学伪经考》认为东汉以来独尊为儒学正宗的古文经,不过是刘歆为王莽箕汉而㐻造的“新学”,湮没了孔子学说的“微言大义”。《孔子改制考》遵奉孔子为托古改制的改革家。这两部书从根本上动摇了“恪守祖训” 的观念,宣传了维新变法的合理性。
1898 年 6 月 11 日,光绪皇帝在维新派推动下,颁布“明定国是” 诏书。此后的 103 天里,光绪皇帝先后发布
《新学伪经考》《孔子改制考》书影
## 学习聚焦
百日维新反映了时代的要求,但在守旧势力阻挠下最终失败。
康有为、梁启超的合照
## 学思之窗
“明定国是”诏书明确宣示:
嗣后中外大小诸臣,自王公以及士庶,各宜努力向上，发愤为雄，以圣贤义理之学,植其根本,又须博采西学之切于时务者,实力讲求,以救空疏迁谬之弊。
—《清德宗实录》卷 418 光绪二十四年四月乙巳
想一想，戊戌维新有怎样的局限性。
## 学习聚焦
义和团的兴起，缘于西方势力深入中国后引发的教民与当地民众的冲突。
义和团揭帖上百道变法诏令，涉及政治、经济、军事、文化、教育等方面除旧布新的举措，史称“百日维新”。清政府中的守旧势力以种种理由阻止变法的开展。9月 21 日，慈禧太后将光绪皇帝内禁，再次临朝训政。康有为、梁启超被迫逃亡海外，谭嗣同、杨锐、刘光第、林旭、杨深秀、康广仁六人，被杀于北京菜市口，史称“戊戌六君子”。变法期间的改革措施，除京师大学堂得以保留外，均被废止。
戊戌维新运动对于推动中国民族资本主义的发展和新思想的传播,起到了积极作用,在一定程度上冲击了旧式官僚体制。由于守旧势力仍很强大，而维新派缺乏可靠的社会基础，没有严密的组织，又把希望寄托于并末完全掌握实权的皇帝身上，导致这场运动末能实现预期的目标，以失败告终。
## 义和团运动
《马关条约》签订后,西方列强折起了瓜分中国的狂潮,民族危机日益加剧。
义和团运动是在反洋教的斗争中兴起的。西方势力深人中国城市、乡村后引发了一系列冲突，特别是德国强占胶州湾，进一步刺激了山东民众。以“扶清灭洋”为口号的反洋教斗争夢延到山东、直隶很多州县农村。先后担任山东巡抚的毓贤、袁世凯等，对义和团采取先抚后剿的举措。
各国公使要求清政府取缔义和团。1900年 5 月 28 日，英、美、法、德、俄、日、奥匈、意八国决定联合出兵镇压义和团。慈禧太后采用“招抚”义和团的办法,企图对义和团加以控制利用。后来，在中外势力联合镇压下，义和团运动失败。
义和团运动具有强烈的反帝爱国倾向，也存在明显的盲目排外行为。由于没有先进阶级的领导，义和团运动无法阻止中国滑向半殖民地的深渊，但它所展现的中国人民不畏强暴的牺牲精神，使外国列强认识到，任何国家“皆无此脑力与兵力可以统治此天下生灵四分之一”，“瓜分一事，实为下策”。
## 八国联军侵华
1900 年 6 月 10 日,英国海军中将西摩尔率领第一批联军从天津乘火车向北京进发,在廊坊附近遭到义和团和清军的顽强阻击,被迫退回天津。6月中旬,八国联军攻陷大沽炮台,向天津进犯,义和团和清军奋起投人天津保卫战。6月 21 日，慈禧太后作出向各国“宣战” 的决定。7月 14 日,天津陷落。8 月中旬,北京失陷,慈禧太后和光绪皇帝仓皇出逃,后到西安。逃亡途中,慈禧太后发布铲除义和团的谕旨,并指定庆亲王奕劻和李鸿章为全权代表与列强议和。
义和团运动和八国联军侵华战争形势图
八国联军占领北京后,继续派兵侵略其他地方,在所到之处烧杀抢掠,无恶不作,犯下骇人听闻的罪行。俄国军队趁机侵占中国东北。
当时，南方各省督抚与英、美等国洽商“东南互保” 协议，严重动摇了清政府统治的根基。
## 学习聚焦
八国联军侵华，犯下骇人听闻的罪行。在中外反动势力的联合镇压下，义和团运动失败。
๑罗荣光 $(1833-1900)$
罗㭉光，湖南乾城人，早年曾入湘军，1888年,任天津镇总兵八国联军侵华时，驻守大沽炮台的罗㭉光率部坚守拒降，后以身殉国。
八国联军统帅瓦德西在紫禁城前检|阅联军部队。这是对清王朝最大的侮辱
## 历史纵横
## 克林德碑
1900 年 6 月，德国驻华公使克林德在前往清政府总理衙门时，途经东单牌楼,与清军发生冲突,被当场击毕,这就是“克林德事件”。1901 年《辛丑条约》签订后,清政府派醇亲王载沣为头等专使大臣，代表中国政府就克林德被杀一事赴德国谢罪致歉。清政府在克林德被害处建立牌坊，此即“克林德碑”。1918年，德国在第一次世界大战中战败，中国成为战胜国之一，11月 13 日，北京城兴奋的人们将象征耻辱的克林德碑改名为“公理战胜碑”,由东单迁移至中央公园。在 1952 年召开的亚洲及太平洋区域和平会议上,为表彰中国人民保卫世界和平所作的贡献，会议决定将“公理战胜碑”改为“保卫和平碑”。
## 民族危机的加深
## 学习聚焦
《辛丑条约》的签订，标志着中国半殖民地半封建社会完全形成。
>《辛丑条约》签订现场
《辛丑条约》签订于光绪二十七年七月二十五日，因该年为辛丑年而得名。条约签订日为阳历9月7日,因此有“九七国聖”一说。图中右一为娈劻，右二为李鸿章 1900 年 12 月，列强向清政府提出《议和大纲》,后又订立详细条款。由于各国利益不同，谈判旷日持久。1901 年9 月 7 日，清政府被迫与组成联军的 8 国及西班牙、荷兰、比利时 3 国共 11 国签订圭权辱国的《辛丑条约》。
列强通过《辛丑条约》对华制裁，共计 12 款，还有 19 个附件。主要内容有：惩办“首祸诸臣”,涉及中央和地方大臣百余人;向各国赔款白银 4.5 亿两,分 39 年还清,年息 4 厘，本息共计白银约 9.82 亿两；将北京东交民巷划定为使馆区,中国人不得居住,各国可派兵驻守;拆除大沽及有碍北京至海通道的所有炮台,各国可在自北京至山海关沿铁路 12 个重要地区驻扎军队;禁止华北科举考试 5 年，禁止中国人成立或加人任何“与诸国仇敌之会”等。
(1) 中央公园，今中山公园。《辛丑条约》是中国近代史上主权丧失最严重、赔款数目最庞大的不平等条约。巨额赔款,加剧了中国的贫困和经济的衰败;外国军队驻扎于中国战略要地,严重破坏了中国的主权完整;在北京设立的“使馆界”,实际成为“国中之国”。《辛丑条约》的订立,标志着中国完全陷人半殖民地半封建社会的深渊。
## 思考点
中国是如何一步步沦为半殖民地半封建社会的?(10 史料阅读
本年夏间，拳匪构乱，开靖友邦。朕奉兹驾西巡，京师云扰。迭命庆亲王娈柩、大学士李鸿章作为全权大臣,便宜行事,与各国使臣止兵议款。昨据娈劻等电呈各国和议十二条大纲,业已照允。仍电岞该全权大臣将详细节目悉心䣱核，量中华之物力，结与国之欢心
$\longrightarrow$ ―上谕》( 1901 年2月 14日),故宫博物院明清档案部编《义和团档案史料》下册
## 探究与拓展
## 问题探究
鸣呼！观今日之世变，盖自秦以来末有若斯之帇叓。夫世之变也,莫知其所由然,强而名之日运会。运会既成,虽圣人无所为力,盖圣人亦运会中之一物。既为其中之一物,谓能取运会而转移之,无是理也。彼圣人者,特知运会之所由趋,而逆睹其流极。唯知其所由趋,故后天而奉天时;唯逆睹其流极,故先天而天不违。于是裁成辅相,而置天下于至安。后之人从而观其成功，遂若圣人真能转移运会也者,而不知圣人之初无有事也。即如今日中倭之构难，究所由来，夫岂一朝一夕之故也哉！
一一严复《论世变之串》,《直报》1895 年 2 月 4 日
阅读上述材料,结合所学,谈谈戊戌变法的背景。
## 学习拓展
义和团运动兴起后,英国担心波及其势力范围长江流域,遂策动两江总督刘坤一、湖广总督张之洞等与列强合作。后由盛宣怀从中牵线策划,上海道余联沅与各国驻沪领事商定“保护东南章程九款”。清政府向各国宣战后,南方更多督抚加入进来，和各参战国商订协议，表示“无论北方情形如何,请列国勿进兵长江流域与各省内地;各国人民生命财产，凡在辖区之内者,决依条约保护”。协议虽末签字，但在清政府危亡之际，地方大员寻求“自保”，表明中央权威的式微与地方势力的扩张。
查找相关史料，思考此事件的后果。
## 第六单元
## 辛亥革命与中华民国的建立
随着清政府统治危机的加深,资产阶级领导的民主革命运动在全国迅速广泛地开展起来。1911 年 10月武昌起义爆发后,各省纷纷响应。这场革命推翻了清王朝,结束了君主专制,建立了资产阶级民主共和国。南京临时政府成立后,颁布了一系列有关政治、经济和社会改革的法令。其中,以《中华民国临时约法》最为重要。袁世凯夺取革命果实后,逐步建立起北洋军阀的独裁统治。以孙中山为首的革命党人,为反对袁世凯的倒行逆施进行了不解斗争。这一时期,特殊的内外环境使中国民族资本主义得到短暂发展机会。1915年,以陈独秀等为代表的中国先进知识分子发动了反封建、倡导民主与科学的新文化运动。
通过本单元的学习,了解孙中山三民主义的基本内容,理解辛亥革命对中国结束帝制、建立民国的意义及历史局限性;了解北洋军阀的统治及特点;了解新文化运动的主要内容,理解其对近代中国思想解放的影响
## 第 19 课
辛亥革命
《革命军》书影
## 学习聚焦
辛亥革命拉开了中国完全意义上的近代民族民主革命的序幕。在革命运动高涨之际,立宪运动也造成很大声势。
《奏定学堂章程》
1904 年 1 月 13 日颁布的《奏定学堂章程》,即癸卯学制,是近代中国第一个由中央政府颁布且由政府督导施行的全国性法定学制系统。1903 年，青年革命家邻容撰㝍的《革命军》出版。䢸 容在书中以高昂的激情,论证了推翻清朝统治、实行革命的正义性和然性。他写道：“革命者，天演之公例也;革命者，世界之公理也衣”他还㨔出“中华共和国万岁” 的口号。《革命军》刚一问世,便迅速传播开来,销售量居当时革命书刊的第一位,成为与导仁人志士走上革命道路的明灯。
## 资产阶级民主革命的兴起
1901年初，遭受重挫的清政府也试图通过“新政” 进行“自救”，在官制、军事、㢇业、教育等方面进行了一系列改炗。“新政”的内容与戈戈维新时期所分页布的改炗举措颇多相似，但更为广泛㮠人。由于政权掌握在极端腐败无能的权忠手中，清政府不可能为中国找到真正的出路。这使越来越多的人识到：只有推翻这个政府，中国才有希望。
## 历史纵横
## 清末新政内蓉
清末新政主要包括下列内容：改革官制,改总理各国事务衙门为外务部,新设商部、学部和巡警部等中央机构；编练新军,拟在全国编练新军 36镇,并要求各省设立督练公所;倡导创办工商企业,颁布了一系列工商业规章和奖励实业办法;推行教育改革,废除科举,兴办学堂,建立起一套较为完整的学校制度。
孙中山首先举起了反清革命的旗帜。孙中山是广东省香山县人，出身农民家庭，先后在檀香山、广州、香港等
(31)
孙中山（1866-1925）及其题词
地比较系统地接受了西式的近代教育。甲午中日战争爆发后,孙中山深知改良道路不能挽救国家,于 1894 年 11 月在檀香山组织兴中会,走上了革命道路。1905年 8 月 20 日,孙中山与黄兴等人在日本东京创建全国性的资产阶级革命政党中国同盟会,孙中山被推举为总理。孙中山提出的“驱除鞑虏,恢复中华,创立民国,平均地权”,成为中国同盟会纲领。在中国同盟会机关报《民报》发刊词中,孙中山首次提出民族、民权、民生三大主义,合称“三民主义”。
中国同盟会的成立,有力促进了革命运动的发展。除继续宣传革命的理论和主张外,孙中山还组织了多次反清武装起义。以徐锡麟、秋瑾等为代表的一大批革命党人前仆后继,给清政府以沉重打击。1911年 4 月 27 日的广州黄花岗起义引起了巨大震动。
(1) 史料阅读
1911 年春,留学日本的中国革命党人林觉民回国,于 4 月 24 日写下绝笔《与妻书》,随后毅然投入广州的黄花岗起义:
吾至爱汝,即此爱汝一念,使吾勇于就死也。吾自遇汝以来,常愿天下有情人都成眷属;然遍地腥云,满街狼犬,称心快意,几家能够?司马青衫,吾不能学太上之忘情也。语云: 仁者“老吾老,以及人之老;幼吾幼,以及人之幼”。吾充吾爱汝之心,助天下人爱其所爱，所以敢先汝而死，不顾汝也。汝体吾此心,于啼泣之余,亦以天下人为念,当亦乐牺牲吾身与汝身之福利，为天下人谋永福也。汝其勿悲!
《民报》创刊号
## 学思之窗
孙中山在《民报》发刊词中说:
…… 余维欧美之进化,凡以三大主义：日民族，曰民权，曰民生……今者
中国以千年专制之毒而不解,异种残之,外邦逼之,民族主义、民权主义殆不可以须曳缓。而民生主义,欧美所虑积重难返者,中国独受病末深，而去之易。
阅读孙中山这段话,分析三民主义的积极意义及局限。
±秋瑾（1875-1907) 在革命运动高涨之际,1906年9月,清政府宣布预备立宪。立宪派成立了预备立宪公会,积极推进立宪运动。1908年 8 月,清政府颁布《钦定宪法大纲》,作为制定“宪法” 的准备。为此,立宪派先后发起三次速开国会的请愿运动,但很快被证明此路不通。1911 年 5 月,清政府组织“皇族内阁”，不少立宪派人士认识到清政府实无诚意推行立宪，转而支持革命。
## 武昌起义与中华民国的建立
## 学习聚焦
武昌起义成功，中华民国建立,但革命成果最终落入北洋军阏首领袁世凯手中。
## 历史纵横
保路运动
1910 年，英、法、德、美四国银行团逼迫清政府订立借款修路合同。1911 年 5月9日,清政府在邮传大臣盛宣怀的策动下,宣布“铁路国有” 政策，将已归商办的川汉、粤汉铁路收归国有。清政府收回了路权，但没有退还补偿先前投入的民间资本，因此招致了四川各阶层的广泛反对，引发了生生烈烈的保路运动。
中华民国临时大总统选举会合影 1911 年 12 月 29 日，17 省都督府代表在南京举行会议,以 16 票 ( 每省一票) 选举孙中山为中华民国临时大总统 1911年 5 月,清政府将已归民间所有的川汉、粤汉铁路筑路权收归“国有”,随即与英、法、德、美四国银行团订立借款合同，四国银行团享有这两段铁路的修筑权和继续投资的优先权，激起粤、鄂、湘、川等省人民的强烈愤慨,引发保路运动。四川保路运动发展成武装起义后,革命党人决定在武昌发动起义。
1911 年 10 月 10 日晩,革命力量雄厚的新军工程第八营打响了武昌起义第一枪。随后,新军其他各部的士兵纷纷响应,起义军很快控制了武汉三镇,并成立湖北军政府,推黎元洪为都督。武昌起义胜利后的两个月内,湖南、广东等 14 个省和上海纷纷宣布脱离清政府独立。1912年 1 月 1 日，中华民国临时政府在南京成立，孙中山宣誓就任第一任临时大总统。新的共和政体就此产生。
袁世凯在英国等列强支持下,奉清政府命率军南下攻陷汉口、汉阳,以武力威胁革命势力,又利用革命党人急于完成统一的愿望,诱使其展开和议。在重重压力之下,孙中山被迫发表声明：只要清帝退位,袁世凯赞成共和,即推举他做大总统。袁世凯随后又以南方革命党的共和要求，对已束手无策的清政府施压。1912年2 月 12 日，清政府颁布《清帝逊位诏书》,宣告统治中国 260 多年的清王朝结束。2 月 15 日，南方的临时参议院选举袁世凯为临时大总统，辛亥革命的成果就这样落到北洋军茷首领袁世凯的手中。
为防止袁世凯专权，3 月 11 日，孙中山以临时大总统名义颁布了临时参议院制定的《中华民国临时约法》。约法规定：中华
A 辛亥革命形势图
■ 袁世凯就任临时大总统后与北洋将领合影民国的主权属于全体国民;国民不分种族、阶级、宗教信仰，一律平等;国民有人身、居住、言论、出版、集会、结社、宗教信仰及请愿、考试、选举、参政等自由和权利;以参议院、临时大总统、国务员、法院行使其统治权,国务员须副署临时大总统公布的法律及命令；等等。《中华民国临时约法》实际上确立了责任内阁制,是中国历史上第一部具有资产阶级共和国宪法性质的重要文件。
## 辛亥革命的历史意义
## 学习聚焦
辛亥革命推翻了清王朝统治,但没有解决近代中国社会的根本问题。
## 思考点
如何理解辛亥革命的意义?辛亥革命拉开了中国完全意义上的近代民族民主革命的序幕。这次革命推翻了清王朝统治,结束了中国两千多年的君主专制制度，建立起中国历史上从来不曾有过的共和政体,传播了民主共和理念,推动了中华民族思想解放，促使社会经济、思想文化和社会风俗等方面发生新的变化,冲破了封建主义的藩篱,打击了帝国主义在华势力,为民族资本主义的发展创造了有利条件。
但是,辛亥革命并没有解决近代中国社会的根本矛盾，没有完成民族独立、人民解放的历史任务。它缺乏一个能够提出科学的革命纲领、能够发动广大民众,以及组织严密的革命政党的领导,这些是辛亥革命的历史局限。
## 探究与拓展
## 问题探究
满清王朝可以比作一座即将倒塌的房屋,整个结构已从根本上彻底地腐朽了,难道有人只要用几根小柱子斜撑住外墙就能够使那座房屋免于倾倒吗?我们恐怕这种支撑行为的本身反要加速其颠覆 …….
显而易见,要想解决这个紧急的问题,清除妨害世界和平的根源,必须以一个新的、开明的、进步的政府来代替旧政府。
—一孙中山《中国问题的真解决一向美国人民的呼吁》( 1904 年 8 月 31 日 ),《孙中山全集》第 1 卷
阅读上述材料,结合所学知识,谈谈孙中山为什么走上推翻清政府的革命之路。
## 学习拓展
查找相关资料,说明《中华民国临时约法》是中国法制史上的里程碑。
## 第 20 课 北洋军阀统治时期的政治、经济与文化
中华民国建立后,末能在较短的时间里重建社会秩序,很快便陷入种种混乱中。对于这段历史,鲁迅曾深有感触地说：“见过辛亥革命,见过二次革命，见过袁世凯称帝、张勋复辟,看来看去,就看得怀疑起来,于是失望、颓唐得很了。”
## 袁世凯复辟帝制与护国战争
1912 年 3 月 10 日,袁世凯在北京宣誓就任中华民国第二任临时大总统,随后一步步展开了独览大权的活动。1913 年 11 月,袁世凯下令解散国民党。1914年 5 月公布的《中华民国约法》,改责任内阁制为总统制。
北洋军阀统治时期百姓为躲避兵灾四处逃亡的情景
## 学习聚焦
大权独览的袁世凯走上复辟帝制之路，激起全国人民的强烈反对。布的《修正大总统选举法》,又规定总统任期十年,可连选连任。日本看到袁世凯大权在握，1915 年 1 月，利用第一次世界大战爆发,欧洲列强无暇东顾的时机,向袁世凯提出把中国的部分领土以及政治、军事、财政等置于日本
## 历史纵横
## “宋教仁案”
1912 年 12 月开始举行的中华民国首次国会选举中，中国同盟会及其他政党组成的国民党,在参众两院的初选和复选中获得巨大胜利。接替孙中山代理国民党理事长的宋教仁,准备筹划组织第一届责任内阁。1913年3月 20 日夜晩，宋教仁由上海启程前往北京,被刺杀于上海沪宁火车站。“宋教仁案” 是在临时政府即将向正式政府过渡的背景下发生的,是以宋教仁为代表的主张建立责任内阁的国民党，与以袁世凯为首的政治势力激烈斗争导致的结果，对后来的政局发展产生了深远影响。“宋教仁案”后，革命党人发动了“二次革命”。
由袁世凯签字的“中日民四条约”
“中日民四条约”又称“中日北京条约”，是由《关于南满洲及东部内蒙古之条约》及其附件与《关于山东省之条约》及其附件组成的。
## 学习聚焦
北洋时期,各种错综复杂的予盾相继爆发。军阀混战和割据,政治上分崩离析,是这个时期最大的特点。控制之下的“二十一条”要求。经过谈判，袁世凯最终于 1915 年 5 月被迫签订不平等的“中日民四条约”。
大权独揽的袁世凯,很快走上帝制之路。1915 年 10 月，参政院以“尊重民意” 为由,召开“国民代表大会”,表示一律“赞成”君主立宪。12 月，袁世凯接受“劝进”当上了皇帝，以1916年为洪宪元年。
面对袁世凯的倒行逆施,革命党人起而反抗。二次革命失败后,孙中山组织中华革命党,武力讨伐袁世凯。袁世凯称帝的行径,更激起全国人民的强烈反对。1915 年底,唐继尧、蔡锷、李烈钧在云南宣布独立,并组织护国军,发动护国战争,讨伐背叛共和的袁世凯。随后,贵州、广西、广东、浙江、湖南、陕西、四川等省相继宣告独立。1916年3月，袁世凯被迫宣布取消帝制,恢复中华民国纪年。
## 北洋时期的军阀割据
袁世凯称帝失败,不久死去,北洋军阀中难以产生一个能统御整个北洋派的人。北洋军阀内部派系纷争,很快发展为军㘺混战与割据的局面。以冯国璋为首的直系,在英美支持下,控制了直隶及长江中下游的苏、赣、咢等省;皖系的段祺瑞在日本支持下，据有皖、浙、闽、鲁、陕各省;奉系的张作霖,同样以日本为靠山,占据东北三省。各军阀凭借手中掌握的军队,争权夺利,先后爆发直皖、直奉混战，导致北京政权实际上由不同的军阀所控制。
袁世凯死后,段祺瑞在各种错综复杂的矛盾中出任掌握实权的国务总理。为了使权力合法化,段祺瑞重新召开被袁世凯解散的国会,但这次会议的进展并不顺利。1917 年 5 月，继任总统黎元洪免去段祺瑞总理职务,造成所谓的“府院之争”。随后,张勋以调解府院之争为名,率兵人京，解散了国会，拥清废帝溥仪复辟。张勋复辟失败后,冯国璋代行大总统职权,段祺瑞以“再造共和” 的姿态,回到北京就任国务总理。但段祺瑞公然破坏《中华民国临时约法》,拒绝恢复国会。1917年 8 月,南下的 150 余名国会议员在广州召开非常会议,决定成立“中华民国军政府”,推举孙中山为大元帅。借孙中山的名望争权夺势的西南军茷,却千方百计排挤孙中山。1918年,孙中山愤而辞去大元帅之职,发表通电,痛心地表示：“顾吾国之大患,莫大于武人之争雄,南与北如一丘之貉。”
为争取国际地位,抑制日本在华势力的发展,1917 年 8 月 14 日,中国向德、奥两国宣战，加入第一次世界大战的协约国方面。随即,中国收回德、奥在天津、汉口的租界，撤销两国领事裁判权。
北洋军阀统治时期军阀割据示意图中国劳工远渡重洋前往欧洲前线。中国劳工的巨大付出，为协约国一方取得胜利作出了贡献。
第一次世界大战时期在欧洲的华工
## 思考点
你怎样理解孙中山的这则通电?
## 民国初年经济、社会生活的新气象
## 学习聚焦
中华民国建立为中国民族资本主义经济的发展提供了一定的有利条件,日常生活中也出现种种新气象。
## 学思之窗
据《欧战前后农商部注册工业公司年别表》,战前 ( 1914 年 8 月前) 注册的工业公司,共计 146 个,资本总额 41148205 元;而自 1914年 8 月至 1920 年,新注册的公司就有 272 个,资本额为 117434500 元。所涉及的行业众多,尤以纺织业和面粉业这两个关系民众衣食的行业发展得最快。
—一整理自《中国年鉴第一回》商务印书馆 1924 年版
结合这段材料,并联系课文,思考第一次世界大战期间中国民族工业发展的原因。中华民国建立,扫除了政治上的一些束缚和障碍,为中国民族资本主义经济的发展提供了一定条件。南京临时政府成立后,鼓励民间兴办实业。第一次世界大战期间,西方列强忙于欧战,中国民族工业得到迅速发展,速度和规模甚至超过以往半个世纪所取得的成绩。与此同时,群众性的反帝爱国斗争此起彼伏,特别是 1915 年因反对“二十一条”折起的抵制日货、提倡国货运动，有力推动了纺织、面粉等轻工业系统的民族资本主义的发展。以荣宗敬、荣德生兄弟开办的面粉厂、纱厂等为代表的一批民族企业迅速壮大起来。随着民族工业的迅速发展,中国产业工人的人数也急剧增加,成为不可忽视的社会力量。
^荣氏兄弟创办的福新面粉公司
建立共和政体是中国历史上破天荒的大事,民众日常生活也出现了种种新气象。南京临时政府致力于社会生活方面的除旧布新,宣布改用阳历,颁布剪发䧲、易服饰和废止缠足的法律；还颁布法令，革除“大人”“老爷” 等清朝官场的称呼。越来越多的人认识到过去的陈规陃习不符合时代潮流，应接受文明开化的新习俗、新风尚。
## 新文化运动的开展
新文化运动是从 1915 年 9 月陈独秀在上海创办《青年杂志》开始的。这场运动源于对辛亥革命失败原因的痛苦反思。人们认识到共和制度之所以不能真正得到巩固,中国的状况依然黑暗,根本原因在于缺乏对旧思想、旧文化、旧礼教的彻底批判,大多数国民的头脑仍被专制和愚昩牢牢地束俌着。
1917 年初,蔡元培就任北京大学校长,随即聘请陈独秀为文科学长,并延筘许多具有新思想的学者来北大任教。北京大学和迁往北京的《新青年》杂志,成为新文化运动的主要阵地。李大钊、鲁迅、胡适、钱玄同、刘半农等成为编辑部成员,共同推进新文化运动。《新青年》阐述了新文化运动的主张：要拥护“德先生”,便不得不反对孔教、礼法、贞节、旧伦理、旧政治；要拥护“赛先生”,便不得不反对旧艺术、旧宗教;要拥护“德先生” 又要拥护“赛先生”,便不得不反对国粹和旧文学。新文化运动也是一场文学革命。胡适在《新青年》发表《文学改良刍议》一文,主张以白话文作为新文学的语言,得到广泛响应。经过新文化运动的倡导,白话文逐渐普及开来。
## 学习聚焦
新文化运动高举民主与科学的旗帜,反对封建礼教,提倡文学革命,有着解放思想的重大意义。
《青年杂志》第 1 卷第 1 号
《青年杂志》从第 2 卷起改名为《新青年》。
蔡元培（前排右四 )、陈独秀（前排右三 ) 等与北大文科哲学门师生合影
## 史料阅读
三年以来，吾人于共和国体之下，备受专制政治之痛苦。自经此次之实验，国中贤者，宝爱共和之心，因以勃发，厌弃专制之心，因以明确。吾人拜赐于执政，可谓没齿不忘者矣。然自今以往，共和国体，果能巩固无虞乎!立宪政治，果能施行无阻乎?以予观之，此等政治根本解决问题，犹待吾人最后之觉悟。
一一陈独秀《吾人最后之觉悟》( 1916年 2 月 15 日 ),《青年杂志》第 1 卷第 6 号在《新青年》的有力推动下,各地拥护新文化运动的刊物纷纷出版,使全国报刊面貌为之一新。妇女解放、婚姻自由、家庭革命等口号的提出,也使这场运动所涉及的内容远比辛亥革命时期更为广泛和深刻。
新文化运动高举民主与科学的旗帜,推动思想文化革新，有着解放思想的重大意义。
## 探究与拓展
## 问题探究
今之标立宪主义以为国体论之护符者，除非其于立宪二字别有解释,则吾不敢言。夫前清之末叶,则固自谓立宪矣,试问论者能承认否?且吾欲问论者,挟何券约,敢保证国体一变之后,而宪政即可实行而无障?如其不然,则仍是单纯之君主论,非君主立宪论也。既非君主立宪,则其为君主专制,自无待言。不忍于共和之敝,而欲以君主专制代之,谓为良图,实所末解。今在共和国体之下而暂行专制，其中有种种不得已之理由,犯众谤以行之,尚能为天下所共谅。今如论者所规划,欲以立宪政体与君主国体为交换条件,使其说果行,则当国体改定伊始,势必且以实行立宪宣示国民。宣示以后,万一现今种种不得已之理由者依然存在,为应彼时时势之要求起见,又不得不仍行专制,吾恐天下人遂不复能为元首谅矣。
一梁启超《异哉所谓国体问题者》( 1915 年8月20日),《大中华》第 1 卷第 8 期
阅读上述材料，谈谈中华民国建立后围绕“国体” 问题所发生的争端。
## 学习拓展
收集材料,结合史实,进一步探讨新文化运动对近代中国思想解放的影响。
## 第七单元
## 中国共产党成立与新民主主义革命兴起
巴黎和会上,中国外交遭遇惨败,轰车烈烈的反帝爱国运动一一五四运动由此爆发。五四运动后诞生的中国共产党,给灾难深重的中国人民带来了光明和希望,指明了中国革命的方向。随后,第一次国共合作正式实现,推动反帝反封建的国民革命运动迅速展开。正当北伐军胜利进军的紧要关头,蒋介石发动了四一二反革命政变。国民革命失败后,国民政府加强了独裁统治。中国共产党开始认识到掌握武装力量的重要性,发动了一系列武装起义,开辟了中国革命的新道路。由于“左” 倾错误的影响,红军第五次反“围剿” 失利,被迫长征。红军长征的胜利,打开了中国革命的新局面。这一时期，民族资本主义取得了较大发展,但也面临着重重阻碍。
通过本单元的学习,认识五四爱国运动的历史意义,认识马克思主义在中国的传播与中国共产党成立对中国革命的深远影响;认识国共合作领导国民革命的历史作用;了解南京国民政府的成立;认识中国共产党开辟革命新道路的意义;认识红军长征的意义。
## 第 21 课
五四运动与中国共产党的诞生
北京学生在天安门前游行示威
## 学习聚焦
五四运动是一次彻底的不妥协的反帝反封建的爱国运动。马克思主义得到广泛传播。
$\triangle 1919$ 年 5 月 5 日，上海《新申报》为五四运动爆发印发的“号外” 巴黎和会上,强权战胜了公理,中国遭遇严重外交失败,这引发了爱国青年的极大愤慨。北京大学、北京高等师范学校等十几所学校的青年学生,高呼“还我青岛”“取消二十一条” 等ロ号,齐集天安门前游行示威。
## 五四运动和马克思主义的传播
1919年 1月，中国作为第一次世界大战的战胜国之一，参加了在法国巴黎召开的“和平会议”。中国代表提出废除外国在中国的一切特权、取消“二十一条” 等，但英、美等国操纵的和会拒绝了中国代表提出的正义要求,竟决定将德国在中国山东的权益转让给日本。这一消息传到国内,激起人们郁积已久的愤怒,各界人士和爱国团体纷纷发表通电,斥责这一无理行径,并且要求中国政府坚决维护国家主权。这成为五四运动爆发的导火索。
5月 4 日,北京大学等十几所学校的三千多名学生齐集天安门前,举行游行示威,高喊“外争主权,内除国贼” 等口号。学生的爱国行动遭到北洋军阀政府的镇压,使得从北京开始的学生爱国运动迅速向全国发展。
6月 3 日和 4 日,北京大批学生被捕,消息传到上海。6月 5 日，上海出现大规模的工人罢工和商人罢市。中国工人阶级登上政治舞台,推动着这场爱国运动发展到一个新阶段。在巨大压力下,北京政府释放了被捕学生。参加巴黎和会的中国代表也拒绝在和约上签字
五四运动是一场以先进青年知识分子为先锋、广大人民群众参加的彻底反帝反封建的伟大爱国革命运动，是一场中国人民为拯救民族危亡、捍卫民族尊严、凝聚民族力量而掀起的伟大社会革命运动,是一场传播新思想新文化新知识的伟大思想启蒙运动。它推动了中国社会进步，促进了马克思主义在中国的传播,促进了马克思主义同中国工人运动的结合,为中国共产党成立做了思想上干部上的准备,为新的革命力量、革命文化、革命斗争登上历史舞台创造了条件，是中国旧民主主义革命走向新民主主义革命的转折点,在近代以来中华民族追求民族独立和发展进步的历史进程中具有里程碑意义。
## 学思之窗
五四运动以全民族的力量高举起爱国主义的伟大旗帜。五四运动,孕育了以爱国、进步、民主、科学为主要内容的伟大五四精神，其核心是爱国主义精神。……
五四运动以全民族的行动激发了追求真理、追求进步的伟大觉醒。五四运动前后,我国一批先进知识分子和革命青年,在追求真理中传播新思想新文化,勇于打破封建思想的桎梏,猛烈冲击了几千年来的封建旧礼教、旧道德、旧思想、旧文化。五四运动改变了以往只有觉悟的革命者而缺少觉醒的人民大众的斗争状况,实现了中国人民和中华民族自鸦片战争以来第一次全面觉醒
五四运动以全民族的搏击培育了永久奋斗的伟大传统。……中国人民和中华民族从斗争实践中懂得，中国社会发
展,中华民族振兴,中国人民幸福,必须依靠自己的英勇奋斗来实现，没有人会恩赐给我们一个光明的中国。
一一习近平《在纪念五四运动 100 周年大会上的讲话》
( 2019 年4月 30 日)
阅读上述材料,进一步理解五四运动的意义,体会其时代价值。
马克思主义在中国的广泛传播是从俄国十月革命后开始的,北京与上海成为宣传马克思主义的中心。在 1919年出版的《新青年》“马克思研究专号” 上，李大钊发表了《我的马克思主义观》,系统介绍了马克思主义学说。1920年 3 月,李大钊又发起中国最早研究马克思主义的团体一—马克思
《共产党宣言》一书的封面
1920 年 8 月,陈望道翻译的《共产党宣言》出版，这是马克思主义经典著作在中国出版的第一个中文全译本。8月第一版标题错写成《共党产宣言》,9月再版改为《共产党宣言》。学说研究会,把一批经历过五四运动洗礼的优秀青年组织起来。同年 5 月,陈独秀在上海组织了马克思主义研究会。从日本留学回国的李达、陈望道、李汉俊等人,投身于马克思主义学说的翻译和宣传。
## 中国共产党的诞生
## 学习聚焦
中国共产党的成立,给灾难深重的中国人民带来了光明和希望,指明了中国革命的方向,凝聚了中国人民的强大力量。
随着马克思主义的广泛传播,以及中国工人运动的持续发展,创建工人阶级政党的问题提到日程上来。1920年初,陈独秀和李大钊最早提出并推动在中国建立共产党。同年 4月,共产国际派代表来到中国,先后与李大钊、陈独秀商议建党事宜。8月,上海发起成立了中国共产党早期组织。10月,北京建立了共产党小组。武汉、长沙、济南、广州等地也相继建立了共产党的早期组织。
1921 年 7 月 23 日,中国共产党第一次全国代表大会在上海召开。出席会议的除毛泽东、董必武、李达等 13 名代表外，还有共产国际代表。由于法租界巡捕突然搜查会场,会议最后一天是在浙江嘉兴南湖一艘游船上进行的。大会通过的纲领，首先确定了中国共产党这个名称。大会明确了中国共产党的奋斗目标是推翻资产阶级，建立无产阶级专政，实现社会主义和共产主义。大会还选举产生了党的领导机构，陈独秀任书记。
中国共产党第一次全国代表大会会址
中国共产党第一次全国代表大会会址位于上海市望志路 106 号，现为兴业路76号。
浙江嘉兴南湖红船 (复制品)
中国共产党第一次全国代表大会在浙江嘉兴南湖的红船上闭幕。“红船精神”在这里孕育。
## 学思之窗
(1) 革命军队必须与无产阶级一起推翻资本家阶级的政权,必须支援工人阶级，直到社会的阶级区分消除为止;
(2) 承认无产阶级专政,直到阶级斗争结束,即直到消灭社会的阶级区分;
(3) 消灭资本家私有制,没收机器、土地、厂房和半成品等生产资料，归社会公有;
(4) 联合第三国际。
——《中国共产党第一个纲领》,《中共中央文件选集》第 1 册
结合这段材料,分析中国共产党当时是如何思考中国革命方向的。
中国共产党的成立,是一个开天辟地的大事变,给灾难深重的中国人民带来了光明和希望。中国共产党的成立，使中国革命有了坚强的领导力量。自从有了中国共产党,中国革命有了正确的前进方向,中国人民有了强大的凝聚力量,中国命运有了光明的发展前景。从此,中国革命的面貌焕然一新。(11) 史料阅读
经济的改造自然占人类改造之主要地位。吾人生产方法除资本主义及社会主义外,别无他途。资本主义在欧美已经由发达而倾于崩坏了，在中国才开始发达，而他的性质上必然的罪恶也照例扮演出来了。代他而起的自然是社会主义的生产方法,俄罗斯正是这种方法最大的最新的试验场。
—1920 年 11 月《共产党》第 1 号卷首代发刊词《短言》
## 思考点
怎样理解中国共产党成立是一个开天辟地的大事变?
(D) 历史纵横
## 中共二大
1922 年7月 16 日至23日，中国共产党第二次全国代表大会在上海举行。大会通过的宣言实际上制定了中国共产党的最低纲领和最高纲领。党的最低纲领，即党在民主革命阶段的纲领是：消除内乱，打倒军阏，建设国内和平;推翻国际帝国主义的压迫，达到中华民族完全独立;统一中国为真正的民主共和国。党的最高纲领是：组织无产阶级,用阶级斗争的手段,建立劳农专政的政治，铲除私有财产制度，渐次达到一个共产主义社会。
## 国共合作与国民革命
中国共产党成立后，积极投身工人运动，推动了一系列罢工运动的展开。在大力开展工人运动的同时,中国共产党越来越清楚地认识到必须建立革命统一战线。1923 年 6 月,中国共产党第三次全国代表大会在广州召开,通过了关于国共合作问题的决议。1924年 1 月,在共产党人的参加与帮助
## 学习聚焦
随着第一次国共合作正式形成，出现了车轰烈烈、席卷全国的国民革命。蒋介石发动政变,国民革命失败。(11) 史料阅读
(二 ) …… 半殖民地的中国,应该以国民革命运动为中心工作,以解除内外压迫。
（三）依中国社会的现状,宜有一个势力集中的党为国民革命运动之大本营,中国现有的党,只有国民党比较是一个国民革命的党 ……
（五）工人阶级尚末强大起来,自然不能发生一个强大的共产党一一个大群众的党,以应目前革命之需要,因此,共产国际执行委员会议决中国共产党须与中国国民党合作,共产党党员应加入国民党,中国共产党中央执行委员会曾感此必要,遵行此议决,此次全国大会亦通过此议决。
《关于国民运动及国民党问题的议决案》,《中共中央文件选集》第 1 册下，孙中山在广州主持召开了中国国民党第一次全国代表大会,提出了新三民主义的主张。大会实际上通过了联俄、联共、扶助农工三大政策，第一次国共合作正式形成。
中国国民党第一次全国代表大会会场
以国共合作为特征的革命统一战线的建立,加速了中国革命的进程,以“打倒列强,除军阀”为目标的国民革命席卷全国。1925年,国民政府在广州成立,通过两次东征消灭了陈炯明的势力,广东革命根据地得到巩固和统
国民革命军北伐路线示意图一。1926年,国共两党合作开始北伐,使革命势力从珠江流域发展到长江流域,基本推翻了二北洋军阀的反动统治。
随着革命高潮的到来,统一战线内部争夺领导权的斗争加剧,特别是 1925 年 3 月孙中山逝世后,国民党右派算夺领导权的活动日益猖獗。1927年 4 月 12 日,蒋介石在上海发动反革命政变,大肆捕杀共产党人和革命群众。7月 15 日,汪精卫集团在武汉“分共”。至此，第一次国共合作全面破裂,由国共合作发动的国民革命失败。
## 探究与拓展
## 问题探究
对于初期的社会主义，乌托邦的共产主义，不识时务穿着理想的绣花衣裳的无政府主义,专主经济行动的工团主义,调和劳资以延长资本政治的吉尔特社会主义,以及修正派的社会主义,一律排斥批评,不留余地。以为这些东西都是阻碍世界革命的障碍物 …… 窃以为马克思主义的骨髓在综合革命说与进化说。专恃革命说则必流为感情的革命主义,专恃进化说则必流为经济的或地域的投机派主义。马克思主义所以立于不败之地者,全在综合此两点耳。马克思的学理由三点出发：在历史上发明他的唯物史观;在经济上发明他的资本论;在政治上发明他的阶级战争说。三者一以贯之,遂成为革命的马克思主义。社会革命完全为无产阶级的革命。
一蔡和森《马克思学说与中国无产阶级》( 1921 年 2 月 11 日 ),《新青年》第 9 卷第 4 号
阅读上述材料，谈谈蔡和森为什么信仰马克思主义
## (2) 学习拓展
收集相关资料,了解 1927 年 2 月武汉革命政府收回汉口、九江英租界的史实，并思考其意义。
## 第 22 课
南京国民政府的统治和中国共产党开辟革命新道路
国民政府行政院旧址
南京国民政府建立后，国民党于1928年通过《训政纲领》,确定国民政府实行行政、立法、司法、考试、监察五种治权。稍后,国民政府颁布《中华民国国民政府组织法》,规定国民政府“总揽中华民国之治权”,由行政院、立法院、司法院、考试院、监察院五院组成,实质仍是国民党专制统治。
## 南京国民政府的统治
## 学习聚焦
南京国民政府统治的建立，确立了国民党的专制统治。民族工业在夹缝中发展。
## 思考点
南京国民政府发动的“北伐”与国民革命时期的“北伐” 有何不同?
1927 年秋，武汉国民政府与南京国民政府合并，史称“宁汉合流”。它标志着中国国民党专制统治的确立。
1928 年，国民政府继续北伐，讨伐张作霖。日本帝国主义为阻挠北伐,制造了“济南惨案”。蒋介石命令部队绕道开进。张作霖因战事不利，决定退回东北。日本见张作霖不能满足他们的侵略要求,在皇姑屯将他炸死。同年底，张作霖之子张学良通电全国，宣告东北三省服从国民政府，改旗易帜。至此，国民政府在形式上基本统一了全国。
历史纵横
## “济南惨案”
济南惨案,又称“五三惨案”。1928年,国民政府继续北伐,讨伐张作霖。日本帝国主义担心中国一旦统一,就不能任其珒意侵略,于是竭力阻挠，以保护侨民为名,派兵进驻济南、青岛及胶济铁路沿线,准备用武力阻止北伐。国民革命军于 5 月 1 日克复济南后,日本在 5 月 3 日派兵侵入中国政府所设的山东交涉署,将交涉员蔡公时的耳鼻割去,然后抢杀,并杀害交涉署全部职员。同时日军进攻国民革命军驻地,在济南城内肆意焚掠屠杀。根据国际红十字会济南分会事后调查统计，中国军民共死亡 6000 余人，伤 1700 余人。国民政府建立以后,民族资产阶级兴办实业的热情有所提高。中国人民的反帝爱国运动蓬勃开展,抵制洋货、提倡国货的行动,为民族工业的发展创造了机遇。除了原有的纺织、面粉等行业外,民族工业中的新兴部门如化学、橡胶、搪瓷等,都有了一定程度的发展。同时,官僚资本凭借国家权力,迅速聚玫起巨额财富,四大银行成为他们巧取豪夺的重要工具。
## 工农武装割据开辟革命新道路
国民革命失败后,中国共产党开始认识到掌握武装力量的重要性。为了挽救革命,中国共产党决定用武装起义来反抗国民党反动派的屠杀政策。
1927 年 8 月 1 日,周恩来、贺龙、叶挺、朱德、刘伯承等领导了南昌起义。两万多起义军经过数小时战斗,全歼守敌,占领南昌城。随后，起义军撤出南昌,南下广东。10月初，起义军在潮汕地区遭到敌人的围攻而失败。起义军一部分在朱德、陈毅的率领下,转战湖南;另一部分转移到海陆丰地区，与当地农民军会合。南昌起义打响了武装反抗国民党反动派的第一枪。
1927 年 8 月 7 日，中共中央在汉口召开紧急会议。会议总结了国民革命失败的教训,纠正了陈独秀的右倾机会主义错误，确定实行土地革命和武装反抗国民党反动派的总方针。会上,毛泽东提出了“政权是由枪杆子中取得” 的重要思想。
八七会议后,毛泽东以中央特派员的身份赶赴湖南,组织领导湘赣边界秋收起义。1927年 9 月,由于敌强我弱,起义军在进攻长沙途中受挫。毛泽东主持召开会议，决定
(1) 四大银行,指中央银行、中国银行、交通银行和中国农民银行。
## 学习聚焦
工农武装割据和革命根据地的建立，开辟了中国革命新道路。
《《南昌起义》(油画)
只七会议旧址
八七会议旧址位于汉口鄱阳街 139 号二楼
## 史料阅读
边界红旗子始终不倒，不但表示了共产党的力量,而且表示了统治阶级的破产，在全国政治上有重大的意义。
毛泽东《井冈山的斗争》,《毛泽东选集》第 1 卷改向敌人统治力量薄弱的山区进军。10月，毛泽东率领秋收起义的部队到达井冈山，开展游击战争，进行土地革命，建立红色政权，开始创建第一个农村革命根据地。
1928 年，朱德、陈毅率领的革命队伍到达井冈山，和毛泽东领导的工农革命军会师。
《井冈山会师》( 油画 )
1928 年 4 月，朱德、陈毅率部和毛泽东所部在井冈山会师。会师后成立工农革命军第四军（后改称工农红军第四军),朱德任军长,毛泽东任党代表和军委书记。
井冈山革命根据地的建立,点燃了“工农武装割据” 的星星之火。从此,中国革命走上了建立农村革命根据地，以农村包围城市，武装夺取政权的道路。
历史纵横
## 古田会议
1929 年 12 月,红军第四军党的第九次代表大会在福建省上杭县古田村召开,即“古田会议”。会议总结了红四军成立以来军队建设方面的经验教训,确立了人民军队建设的基本原则，规定了红军的性质、宗旨和任务,重申了中国共产党对红军实行绝对领导的原则,确立了“思想建党,政治建军” 的建党建军原则。会议选举毛泽东为中共红四军前敌委员会书记
到 1930 年夏，全国已经建立起大小十几块农村革命根据地，分布在十多个省，革命武装力量达十万人。1931年 11 月，中华苏维埃第一次全国代表大会在江西瑞金召开，选举产生中华苏维埃共和国中央执行委员会，宣布成立中华苏维埃共和国临时中央政府。毛泽东当选为中央执行委员会主席和中央执行委员会人民委员会主席。中华苏维埃共和国临时中央政府的建立,是中国共产党人创建人民革命政权的宝贵探索与尝试。
^1929-1932 年农村革命根据地分布示意图
各农村革命根据地逐步开展土地革命，“打土豪，分田地”，受到广大农民的欢迎。他们拥护中国共产党,积极发展生产，支持革命。
## 红军长征
1930年 10 月，蒋介石调集重兵,向以中央根据地为重点的各革命根据地发动大规模的“围剿”。到 1933 年 3 月,红军先后打退了国民党军队的四次“围剿”。9月，蒋介石自任总司令,调集 100 万军队“围剿” 各革命根据地。由于共产国际的指导脱离中国革命实际，中共中央犯了“左” 倾错误，导致第五次反“围剿”失利。
1934 年 10 月，中央红军被迫实行战略转移,开始长征。这时,“左” 倾错误领导人又犯了退却中的逃跑主义错误。中央红军在突破国民党军队的四道封锁线后,从八万余人锐减到三万余人。国民党当局集结重兵,布好口袋形阵势,企图将红军一网打尽。危急关头,毛泽东根据敌我双方的军事态势,建议中央红军放弃原定计划,立即改向敌军力量较薄弱的贵州挺进。
## 学思之窗
革命根据地农民获得的土地分配证
读图，结合相关史实，思考中国共产党开展土地革命的意义。
## 学习聚焦
红军长征历尽艰辛最终取得胜利,打开了中国革命的新局面。
■ 遵义会议会址
1935 年 1 月，红军攻克贵州北部重镇遵义。中共中央在遵义召开政治局扩大会议，集中全力解决军事和组织问题。会议改组中央领导机构,增选毛泽东为政治局常委。会后不久，政治局常委决定由张闻天负总责，并成立由周恩来、毛泽东、王稼祥组成的三人小组负责全军的军事行动。遵义会议开始确立以毛泽东为主要代表的马克思主义正确路线在党中
红军长征路线示意图央的领导地位，在极其危急的情况下，挽救了党，挽救了红军,挽救了中国革命。
遵义会议后，红一方面军在毛泽东指挥下，采取灵活多变的战术，声东击西，四渡赤水，使国民党军队疲于奔命，在巧渡金沙江后,摆脱了几十万国民党军队的围追堵截,取得战略转移中具有决定意义的胜利。接着,红军继续北上，强渡大渡河，飞夺泸定桥，爬雪山，过草地，10 月到达陕北吴起镇，与陕北红军会师。1936年10 月，红军三大主力在甘肃会宁地区会师，红军长征胜利结束。
长征实现了红军的战略大转移,宣传了中国共产党的政治主张,在沿途播下了革命种子，鼓舞了广大人民群众，铸就了长征精神，打开了中国革命的新局面。
从毛泽东《七律·长征》手迹
## 探究与拓展
## 问题探究
长征这一人类历史上的伟大壮举，留给我们最可宝贵的精神财富,就是中国共产党人和红军将士用生命和热血铸就的伟大长征精神。
伟大长征精神,就是把全国人民和中华民族的根本利益看得高于一切，坚定革命的理想和信念，坚信正义事业必然胜利的精神;就是为了救国救民,不怕任何艰难险阻,不惜付出一切牺牲的精神;就是坚持独立自主、实事求是,一切从实际出发的精神;就是顾全大局、严守纪律、紧密团结的精神;就是紧紧依靠人民群众,同人民群众生死相依、患难与共、艰苦奋斗的精神。
伟大长征精神,是中国共产党人及其领导的人民军队革命风范的生动反映,是中华民族自强不息的民族品格的集中展示，是以爱国主义为核心的民族精神的最高体现。
一一习近平《在纪念红军长征胜利 80 周年大会上的讲话》(2016年 10 月 21 日)
学习以上材料,结合史实,说说长征精神的内涵和意义。
## 学习拓展
1930 年 5 至 11 月，国民党蒋介石集团与阎锡山、冯玉祥、李宗仁集团在河南、山东、安徽等省发生了一场新军阏混战。由于这次战争主要在中原地区进行,史称“中原大战”。双方参战兵力超过百万,最终以蒋介石集团的胜利而结束。中原大战是中华民国建立后规模最大、耗时最长的军阀混战。
通过了解中原大战史实，分析南京国民政府为何只是在形式上统一了全国。
## 第八单元
## 中华民族的抗日战争和人民解放战争
1931 年,日本侵略者发动九一八事变,侵占东北三省,激起中国民众的抗日救亡怒潮,中国局部抗战由此开始。1936年,张学良、杨虎城受中共抗日民族统一战线政策的感召,发动西安事变,逼蒋抗日。西安事变和平解决,全国团结抗战局面初步形成。1937年卢沟桥事变爆发,中国全民族抗战,国共合作抗日局面形成。国民党正面战场和共产党敌后战场战略配合,有效打击了日本侵略者。中国共产党在极端困难的条件下坚持抗战,起到了中流砥柱的作用。中国战场是世界反法西斯战争的东方主战场。1945 年 9 月,日本正式签署投降书,历时 14 年的抗日战争获得胜利。抗战胜利后,国民党坚持独裁统治,发动全面内战。中国共产党领导人民解放战争,在解放区进行土地改革,在国统区形成第二条战线。人民解放军实施战略进攻,赢得战略决战的胜利,加速了国民党统治的崩溃。随着人民解放战争的胜利,中国共产党提出了建立新中国的政策和主张。
通过本单元的学习,了解日本军国主义的侵华罪行;了解正面战场和敌后战场的抗战,认识中国共产党是全民族团结抗战的中流砥柱;认识中国战场是世界反法西斯战争的东方主战场,理解 14 年抗战胜利在中华民族伟大复兴中的历史意义;了解全面内战的爆发及人民解放战争的进程,分析国民党政权在大陆统治灭亡的原因，探讨中国共产党领导人民取得中国革命胜利的原因和意义。
## 第 23 课
从局部抗战到全面抗战
1927 年 6月,日本首相田中义一主持召开制定侵略中国总方针的东方会议,确立把满洲从中国本土分裂出去,自成一区,置于日本势力之下的侵略方针。在这一方针指导下,日本驻中国东北地区的关东军不断策划占领东北。1931 年 9 月,关东军制造了震惊中外的九一八事变。东北人民进行了艰苦卓绝的抵抗斗争。
从日本东方会议会场
## 局部抗战
1929年秋，资本主义世界性经济危机爆发，严重影响日本。日本统治集团为缓和国内矛盾,摆脱困境,急于发动侵略中国的战争。1931 年上半年,日本政府及其在中国东北的殖民机构加紧进行武装侵略的部署。
1931 年 9 月 18 日夜,日本关东军炸毁沈阳北郊柳条湖附近南满铁路的一段路轨,反诬中国军队所为,借此对中国东北军驻地北大营和沈阳城发动突然袭击,制造了九一八事变。这一事变标志着中国局部抗战的开始。次日晨,日军占领沈阳。随后,日军进一步扩大侵略,占据整个东北。1932年 1 月 28 日,日军又在上海挑起侵略战争。驻守上海的十九路军奋起抵抗,得到全国民众的积极支援。3 月,日本扶植清废帝溥仪做傀儡，在吉林长春建立伪满洲国。
国民政府推行“攘外必先安内” 方针,以主要力量“围剿” 红军和革命根据地,对日本侵略实行不抵抗政策,寄希望于英美等国出面调停,幻想依赖国际联盟迫使日本撤兵。但国联调查团提出实行国际共管的方案,以牺牲中国来换取英、美、法、日等国共同控制中国东北。日本拒绝这个
## 学习聚焦
九一八事变和华北事变激发起全国抗日救亡运动。西安事变的和平解决,基本结束了十年内战，全国团结抗战局面初步形成。
日军炮击东北军兵营
赵一曼 $(1905-1936)$
赵一曼，四川宜宾人，1926年加入中国共产党。1935年,赵一曼任东北人民革命军第三军二团政委,在与侵华日军的战斗中被捕,后英勇就义。陈毅评价她：“生为人民干部,死为革命英雄。临敌大节不辱，永记人民心中。” 方案，宣布退出国联。
日本对东北三省的大规模侵略强烈地震动了中国社会,在深重的民族危机面前,民众抗日救亡运动兴起。由游击队改编而成的东北人民革命军在极端困苦的环境下坚持抗战。1933年,日军由东北向长城沿线进犯,遭到中国军队的顽强抵抗。
东北人民革命军同日军作战
日本侵略者占领东北三省以后,又将侵略矛头指向华北，逼迫国民政府签署了一系列协定，实际上控制了热河、河北、察哈尔三省，进而又加紧策动所谓“华北自治运动”。日本蓄意制造的这一连串事件，总称“华北事变”。其中的“华北自治运动” 激起北平学生 1935 年 12 月 9 日大规模游行示威,即一二·九运动。这一运动宣传了中国共产党“停止内战,一致抗日”的救国主张,促进了中华民族的新觉醒,抗日救亡运动折起高潮。1936年,东北抗日联军发展到三万余人。在共产党员杨靖宇、赵尚志等领导下，东北抗日联军浴血奋战，牛制了大量日军。
( 历史纵横
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\text {“八一宣言”和瓦窑堡会议 }
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为挽救日益严重的民族危机，1935年 8 月 1日，中共驻共产国际代表团以中华苏维埃共和国中央政府和中国共产党中央委员会的名义发表《为抗日救国告全体同胞书》,即“八一宣言”,号召“停止内战,一致抗日”。年底,中共中央在瓦窑堡召开会议。毛泽东根据会议精神,在党的活动分子会议上作了《论反对日本帝国主义的策略》的报告，确定了建立抗日民族统一战线的方针，统一了党内思想。红军长征到达陕北后,蒋介石调集包括张学良的东北军和杨虎城的西北军在内的军队围攻陕北。在中共抗日民族统一战线政策的感召下,张学良和杨虎城在西北地区实行联共抗日。
1936年 12 月，蒋介石亲赴西安逼迫张学良、杨虎城全力“剿共”。张学良和杨虎城在反复劝说蒋介石应以国家和民族大义为重、容纳抗日主张的努力失败后,发动“兵谏”,于 12 月 12 日晨,扣留蒋介石,以武力逼蒋抗日,这就是“西安事变”。
(11) 史料阅读
西北军民一致主张如下:
（一）改组南京政府，容纳各党各派共同负责救国;
(二) 停止一切内战;
（三）立即释放上海被捕之爱国领袖;
（四）释放全国一切政治犯;
（五 ）开放民众爱国运动;
（六）保障人民集会结社一切政治自由;
（七）确实遵行总理遗嘱;
（八 ) 立即召开救国会议。
—一《张学良、杨虎城通电》( 1936 年 12 月 12 日)
面对错综复杂的政治形势,中共中央确定了和平解决西安事变的方针,派周恩来为代表,奔赴西安,与张学良、杨虎城一起,同国民政府代表举行谈判。经过各方努力,蒋介石被迫接受停止内战、联共抗日的主张。西安事变得到和平解决。
西安事变的和平解决,成为扭转时局的枢纽。它促进了中共中央联蒋抗日方针的实现。从此,十年内战的局面基本结束，全国团结抗战的局面初步形成。
## 全面抗战的开始
1937 年 7 月 7 日晩,日军在北平西南的宛平城外卢沟桥举行“军事演习”,借口一名士兵失踪,要求进人宛平城搜查。遭到拒绝后,日军竟然向宛平城射击,炮生卢沟桥,
《西北文化日报》报道西安事变
## 思考点
为什么西安事变能够和壬解决?
## 学习聚焦
中国全面抗战开始，中国共产党推动国共第二次合作实现，抗日民族统一战线正式形成。
中国守军奋起还击。这就是卢沟桥事变,又称七七事变。中国全面抗战由此开始。
日军炮车宛平城
## 学思之窗
一、提前召集国民代表大会，制定全国上下一致遵守政治纲领，俾全国各阶层力量,能迅速集中,各方政治意见能彻底融洽,以树立政府之坚实抗战基础。
二、实现最低限度之民主政治，以增强人民对政府之信赖，并使人民得以自由发挥其抗战能力。
七、对广大战区中之劳苦人民,自由职业者,中小手工业者,失业公务人员等须有妥善之救济方法。
八、除汉奸外，宜从速开释全国政治犯,并取消以前有碍民众运动之各项特殊条例。
—《中华民族解放行动委员会在卢沟桥事变爆发时对国民党提出的八大政治主张》( 1937年7月 10 日)
阅读这段材料,分析中间政派的抗战主张。
卢沟桥事变第二天,中国共产党通电全国:“只有全民族实行抗战,才是我们的出路。”要求筑成民族统一战线的坚固长城,为保卫国土流尽最后一滴血！随后,国民党中央政治会议为了表示“团结各方共赴国难”，邀请各党各派及无党派人士分批在庐山开谈话会,听取各方人士对抗日救国的意见。在7月 17 日的第二次谈话会上，蒋介石发表了准备抗战的讲话。
8 月下旬,为了制定战胜日本侵略者的纲领、方针和政策,中共中央政治局在陕北洛川召开扩大会议。毛泽东作了军事问题和国共两党关系问题的报告。会议通过了《关于目前形势与党的任务的决定》和《中国共产党抗日救国十大纲领》,标志着中国共产党全面抗战路线的形成。
为早日促成国共两党合作抗日,周恩来向蒋介石递交了《中共中央为公布国共合作宣言》,提出抗日的基本主张,重申共产党的各项保证。随后,红军主力正式改编为国民革命军第八路军,朱德、彭德怀为正、副总指挥;南方八省红军游击队改编为国民革命军新编第四军,叶挺任军长。9 月 22 日,国民党中央通讯社发表了中国共产党提出的国共合作抗战宣言。第二天,蒋介石发表谈话,承认中国共产党的合法地位。至此,在中国共产党推动下,国共第二次合作实现,抗日民族统一战线正式形成。中国共产党在推动抗日民族统一战线的建立、巩固和发展中发挥了巨大作用。
## 日军的侵华暴行
1937 年 11 月，国民政府撤离南京。12 月 13 日，日军攻陷南京。日军在南京进行了持续六周的烧杀劫掠,制造了惨绝人寰的南京大屠杀。据战后中国南京审判日本战犯的军事法庭查证,日军占领南京后,屠杀手无寸铁的中国居民和放下武器的士兵 30 万人以上。(1)
史料阅读
开车经过市区,我们才晓得破坏的巨大程度。车子每经一二百米就会压过尸首,那些都是平民的尸首。我检查过,子弹是从背后射进去的，很可能是老百姓在逃跑时从后面被打死的。
—— [德 $]$ 拉贝《拉贝日记》( 1937 年 12 月 14 日 )
一个日本记者目击了日军在南京的暴行。他写道:“码头上到处是焦黑的死尸，一个摞一个，堆成了尸山，在尸山间有五十到一百个左右的人影在缓缓地移动,把那些尸体拖到江边,投入江中。呻吟声、殷红的血、痉挛的手脚，还有哑剧般的寂静,给我们留下极深刻的印象。”
—一张宪文主编《南京大屠杀重要文证选录》
政治上，日本侵略者实行“以华制华” 方针,在占领区扶植傀儡政权。1940年3 月,在日本扶植下,汪精卫在南京成立伪国民政府,并签订大量卖国协定。
经济上,日本侵略者实行“以战养战”,对占领区大肆进行野蛮的经济掠夺,垄断沦陷区工矿、金融、交通业。日军将粮食规定为军用物资,实行“粮食统制”,强行“征购” 和“配给”,造成普遍的饥馑和死亡。他们还强迫青壮年到日本和中国东北做苦力。
日军在敌后抗日根据地实施野蛮的烧光、杀光、抢光“三光”政策。1941至 1942 年,日军在华北连续五次推行“治安强化运动”,对抗日根据地进行疯狂“扫荡”,华北乡村变成一片焦土。
(1) 2014 年 2 月 27 日，第十二届全国人大常委会第七次会议将每年的 12 月 13 日设立为南京大屠杀死难者国家公祭日。
## 学习聚焦
侵华期间,日军制造了惨绝人寰的南京大屠杀,并在政治、经济等领域实施了一系列犯罪行为。
南京街头被日本军队虐杀的中国人
日军在抗日根据地修筑的碉堡、封锁沟 1938 年 2 月至 1943 年 8 月,日军对战时陪都重庆进行了长达五年半的战略轰炸和无差别轰炸。据不完全统计,重庆大车炸的死者超过 1 万人，绝大多数为平民,市区大部分繁华地区被毁坏。
日军侵华期间,践踏国际公法,实施细菌战,残杀中国军民。九一八事变后,日军组建了细䒩部队。1938年,细菌战元区石井四郎的细菌部队迁至哈尔滨平房镇,成为臭名昭著的 731 部队。1938 至 1945 年,731 部队曾以活人试验和活人解剖等灭绝人性的手段杀害中国人、朝鲜人以及盟军战俘超过 1 万人
日军还在中国强征随军性奴隶，推行“慰安妇”制度,约 20 万中国女性遭受蹂踓。这是日本侵略者违反人道 ■ 侵华日军731部队锅炉房遗址主义、违反国际法则的政府犯罪行为。
## 探究与拓展
## 问题探究
中共中央再郑重向全国宣言：一、孙中山先生的三民主义为中国今日之必需,本党愿为其彻底的实现而奋斗。二、取消一切推翻国民党政权的暴动政策及赤化运动,停止以暴力没收地主土地的政策。三、取消现在的苏维埃政府,实行民权政治,以期全国政权之统一。四、取消红军名义及番号,改编为国民革命军,受国民政府军事委员会之统辖,并待命出动,担任抗日前线之职责。
亲爱的同胞们！本党这种光明磊落大公无私与委曲求全的态度,早已向全国同胞在言论行动上明白表示出来,并且已获得同胞们的赞许。现在为求得与国民党的精诚团结,巩固全国的和平统一,实行抗日的民族革命战争,我们准备把这些诺言中在形式上尚末实行的部分，如苏区取消,红军改编等,立即实行,以便用统一团结的全国力量,抵抗外敌的侵略。
—《《中共中央为公布国共合作宣言》( 1937 年 7 月 15 日),《周恩来选集》
我们既是一个弱国,如果临到最后关头,便只有拼全民族的生命,以求国家生存。那时节再不容许我们中途妥协，须知中途妥协的条件，便是整个投降，整个灭亡的条件。全国国民最要认清,所谓最后关头的意义,最后关头一到,我们只有牺牲到底,抗战到底。唯有“牺牲到底” 的决心,才能搏得最后的胜利。若是彷徨不定,妄想苟安,便会陷民族于万劫不复之地！……如果战端一开,那就是地无分南北,年无分老幼,无论何人,皆有守土抗战之责任，皆应抱定牺牲一切之决心。
一蒋介石《对于卢沟桥事件之严正表示》( 1937 年 7 月 17 日）
阅读上述两段材料，谈谈你对抗日民族统一战线能够形成的理解。
## 学习拓展
收集九一八事变后国际联盟派遣李顿调查团来中国东北进行调查的材料和史实,谈谈你对李顿报告书的认识。
## 第 24 课
全民族浴血奋战与抗日战争的胜利
平型关大捷后的第一一五师一部
## 学习聚焦
中国军队在正面战场展开了抵抗日军进攻的作战。抗日战争是全民族战争,充分体现了中华民族誓死不屈反抗外来侵略的精神。毛泽东的《论持久战》增强了全国人民坚持抗战的信心和决心。
## 史料阅读
平型关战斗胜利后,蒋介石致电八路军参谋处表示祝贺 :
贵路军一战攻克平型关，毕敌遍野，俘虏甚多。忠勇之气,益寒敌胆。特电驰贺，续候捷音。
$-《$ 平型关战役文献资料汇编》全民族抗战爆发后，中国共产党领导的八路军、新四军英勇抗击日本侵略者。1937年9月，八路军第一一五师在师长林彪率领下,于山西平型关一带隐敉设伏。当日军辎重部队进入伏击圈时，八路军从不同方向全线开火。日军乱作一团，死伤惨重。八路军冲杀下去,同日军展开肉搏战。经过近一天的激战,八路军歼敌 1000 余人。这是全民族抗战爆发后中国军队主动对日作战取得的第一个重大胜利，打破了日军不可战胜的神话。
## 正面战场的抗战
1937 年 8 月 13 日,日军大举进攻上海,将侵略矛头指向国民政府统治的中心区域。国民政府奋起自卫，组织了淞沪会战。11月中旬,日军占领上海,淞沪会战结束。在淞沪会战中,中国军队毕伤日军四万余人,粉碎了日军“三月华”的狂妄企图。
1937 年9月,为阻止日军逼近山西太原,八路军在平型关伏击日军,取得平型关大捷。随后,忻口会战历时近一个月，是抗战初期华北战场规模最大、战斗最激烈的一次战役。11月初,太原失守。
日军占领南京后，从南北两端沿津浦铁路夹击徐州。1938 年 1 至 5 月，国民政府调集 60 万大军，在第五战区司令长官李宗仁的指挥下展开徐州会战。中国军队在台儿庄地区围歼日军一万余人,取得台儿庄大捷,这是抗战以来中国军队在正面战场取得的最大胜利。
1938 年 6 月中旬,武汉会战开始。会战前,毛泽东在
## 台儿庄战役示意图
延安发表《论持久战》的演讲,总结抗战开始以来的战争形势,针对国内存在的“中国必亡论” 和“中国速胜论”,科学论证了中国必须通过持久作战赢得对日作战最后胜利的战略指导理论，在国内外产生了重大影响。10月下旬,武汉失守，武汉会战结束。这是抗战以来规模最大的一次战役,共毙伤日军近四万人。与此同时,南部重镇广州也被日军占领。武汉、广州陷落后,抗战进人战略相持阶段。
A 毛泽东 ( 1893-1976) 在延安窑洞撰写《论持久战》
抗战相持阶段中,中国军队继续奋勇抗击日军。在 1941 年 12 月开始的第三次长沙会战中,面对十余万日军的进攻，中国军队重兵防御，拼死抵抗,歼灭大批日军,最终取得会战胜利。此时，英美盟军在太平洋战场接连败退长沙会战的胜利，在国内外产生了积极影响。(1]) 史料阅读
我们说抗日战争是持久战，是从全部敌我因素的相互关系产生的结论。敌强我弱，我有灭亡的危险。但敌尚有其他缺点,我尚有其他优点。敌之优点可因我之努力而使之削弱,其缺点亦可因我之努力而使之扩大。我方反是,我之优点可因我之努力而加强，缺点则因我之努力而克服。所以我能最后胜利，避免灭亡，敌则将最后失败，而不能避免整个帝国主义制度的崩溃
—一毛泽东《论持久战》,《毛泽东选集》第 2 卷
(D) 历史纵横
## 西南联合大学
全面抗战开始后，高校内迁。1937年11月 1 日,由国立北京大学、国立清华大学、私立南开大学在长沙组建成立的国立长沙临时大学开学。之后,因长沙连遭日机车炸,学校又西迁昆明。1938年 4 月，学校改称“国立西南联合大学”，简称“西南联大” 西南联大前后共存在了 8 年 11 个月,它“内树学术自由之规模,外来民主堡垒之称号”,保存了重要科研力量,培养了一批卓有成就的人才。抗战时期的中国,国家的经济实力、军事能力和技术水平,都远远落后于日本,难以抵挡日军深人国土。但中国人民的抗敌意志高昂，除军事抵抗之外,东部沿海工业大规模向西南大后方迁移，华北、华东各著名高校师生带着大量书籍和实验设备长途跋涉，迁到西南、西北大后方。这些壮举，鼓舞了全国人民的抗战决心，为抗战胜利奠定了物质和精神基础。
## 敌后战场的抗战
## 学习聚焦
八路军、新四军建立巩固的敌后抗日根据地,开展持久广泛的以游击战为主的战争,战略上配合了正面战场。上海、太原失守后，八路军、新四军按照中共中央的战略部署,建立了多个巩固的敌后抗日根据地,开展游击战争。根据地军民依据各地不同地形特点,采取地道战、地雷战、夜袭战、麻雀战等战法打击日军,使日军攻防无措,疲于奔命。敌后战场的开辟,战略上配合了正面战场作战,牛制了在华日军一半以上的兵力。
在沦陷区，中国共产
$\boldsymbol{\Delta}$ 华北敌后抗日根据地形势图党在极端困难的条件下，领导人民进行了艰苦卓绝的抗日斗争。在积极开展抗日宣传的同时,中国共产党组织领导沦陷区的工人以㕕工、罢工等斗争形式，破坏日军掠夺中国资源实行“以战养战”的部署，还通过利用日伪矛盾发动群众进行斗争,打击日本的殖民统治秩序。
抗日战争进人相持阶段后，日军图谋以“囚笼政策” 消灭敌后抗日根据地。1940年 8 月至次年 1 月，八路军以破袭日军华北交通线为主要目标，发动了一次大规模的进攻作战。随着战役的展开，八路军参战部队达到 105 个团，约 20 余万人,称为“百团大战”。百团大战共进行大小战斗 1800 多次，毙伤日、伪军 2 万多人，破坏铁路474千米、公路1500多千米，摧毁大量敌人据点,缴获大批枪炮、物资,打破了日军的“囚笼”。敌后战场逐渐成为全国抗战的主战场。
百团大战示意图
此时,国民党消极抗战,反共倾向日益增长。1941年 1 月，国民党顽固派突袭“围剿” 新四军,制造了震惊中外的“皖南事变”,引发了中共和民主人士宋庆龄、何香凝、柳亚子等的抗议。共产党坚持抗战、团结、进步的方
## 学思之窗
夕阳辉耀着山头的塔影,月色映照着河边的流萤,春风吹遍了坦平的原野，群山结成了坚固的围屏。啊!延安!你这庄严雄伟的古城,到处传遍了抗战的歌声。啊！延安！你这庄严雄伟的古城,热血在你胸中奔腾。千万颗青年的心,埋藏着对敌人的仇恨,在山野田间长长的行列,结成了坚固的阵线。看!群众已抬起了头,看!群众已扬起了手,无数的人和无数的心，发出了对敌人的怒吇，士兵瞄准了枪口，准备和敌人搏斗。啊!延安!你这庄严雄伟的城墙,筑成了坚固的抗日的阵线，你的名字将万古流芳，在历史上灿烂辉煌。
一一莫耶词，郑律成曲《延安颂》
$\boldsymbol{\Delta}$ 百团大战中的彭德怀 (18981974 )
左权 (1905-1942)
左权，湖南醴陵人，1925年加入中国共产党。全国抗战爆发后，左权在华北前线开展敌后游击战争。1942年 5 月，日军对太行山区抗日根据地进行大“扫荡”。左权在山西辽县麻田附近指挥部队掩护八路军总部等机关突围转移时,壮烈牺牲
阅读《延安颂》,体会抗日青年奔赴延安的心情。
革命圣地延安
中国抗日战争是世界反法西斯战争的重要组成部分,中国战场是世界反法西斯战争的东方主战场。
## 思考点
为什么说中国战场是世界反法西斯战争的东方主战场?
美国志愿援华航空队―飞虎队针，一面从政治上坚决打退国民党的反共高潮，一面坚持艰苦的敌后抗日游击战争，不断巩固和扩大抗日民主根据地。根据地实行减租减息政策，建设成效显著。以中共中央所在地延安为中心的陕甘宁边区,在开展大生产运动的同时，精兵简政，以“三三制”为原则，开始实行“普遍、自由、直接、平等”的选举制度。其他敌后抗日根据地,也仿照陕甘宁边区，实行民主选举。
## 东方主战场
在抗日民族统一战线的旗帜下，中国各民族、各政党、各政治派别求同存异,共同抗敌。海外华侨在陈嘉庚等侨领的号召和领导下，积极捐款捐物，支援抗战，数万华侨青年回国参战。日本侵略者陷人人民战争的汪洋大海中。
1941 年 6 月 22 日，德国法西斯大举人侵苏联，苏德战争爆发。12 月 7 日，日本海军联合舰队偷袭美国在太平洋的主要海军基地珍珠港，太平洋战争爆发。
太平洋战争爆发后，中国的抗日战争与美、英在太平洋战场对日作战密切地联系起来。中国正面战场和敌后战场所抗击的日军兵力，超过了太平洋战场上日军的总兵力。中国战场协助和配合了盟军作战,给孕盟军以战略上和资源、情报上的重大支持。中国积极倡导建立世界反法西斯同盟，实际参与了世界反法西斯战争的谋划和指挥。中国战场是世界反法西斯战争的东方主战场。
1942年初，以中、美、英、苏为首的26个参加对德、意、日轴心国作战的同盟国家，在华盛顿签署《联合国家宣言》,标志着世界反法西斯统一战线正式形成。随后，中国远征军开赴缅甸，救援在日军追击下仓皇撤退的英军，战绩名扬海外。1943年11月，中、美、英三国政府首脑在埃及开罗举行会议，通过《开罗宣言》，决定了对日作战以及战后处置日本的基本策略,规定日本所穷取的中国领土，例如东北地区、台湾及其附属岛屿、澎湖群岛等，归还中华民国。同年，通过谈判，中国与美、英达成协议，废除不平等条约，取消在华特权，订立新的条约；接着又与 10 余个西方国家废除旧约，签订新约。
## 历史纵横
## 中国远征军著名将领戴安澜
1942年 1月，日军进攻英国殖民地缅甸，企图切断滇缅公路。3月，戴安澜师长率第二○ 师作为中国远征军的先遣部赴缅配合英军对日军作战。在东吁迮战中,第二 $\bigcirc \bigcirc$ 师阻击数倍于己的日军,㢅战 12 个昼夜,共歼灭敌军 5000 余人，完成任务后奉命撤离。4月，在东枝地区战斗中，他亲乘坦克冲锋,一举克复重镇。但中英联军末能利用这个战果扭转困局。5月,戴安澜在北撤途中遭日军伏击,身负重伤，随后在缅北茅邦村殉国。10月，他被追赠为陆军中将。毛泽东在延安曾赋诗《挽戴安澜将军》以示悼念。中华人民共和国成立后，戴安澜被追认为革命烈士。
## 抗日战争的胜利
在抗日战争胜利的前夜,为了系统地总结中国革命的基本经验，为彻底打败日本侵略者、建设新中国作准备,1945 年 4 至 6 月，中国共产党第七次全国代表大会在延安隆重举行。毛泽东在会上作《论联合政府》的政治报告。
中共七大会场
中共七大提出了党的政治路线：放手发动群众,壮大人民力量,在中国共产党的领导下,打败日本侵略者,解放全国人民,建立一个新民主主义的中国。中共七大确立毛泽东思想为党的指导思想,选举产生新的中央委员会,选举毛泽东为中央委员会主席。中共七大使全党在马克思列宁主义、毛泽东思想的基础上达到了空前的团结。
1945 年 5 月，德国无条件投降。8月 6 日和 9 日，美国
## 学习聚焦
中共七大为中国共产党领导人民争取抗日战争的胜利和新民主主义革命的胜利奠定了基础。抗日战争的胜利,是近代以来中国抗击外敌入侵所取得的第一次完全胜利。
## 历史纵横
毛泽东思想成为党的指导思想在中共七大上，刘少奇作《关于修改党章的报告》,他指出：我们党要以毛泽东思想作为一切工作的指针,毛泽东思想,就是马克思列宁主义的理论与中国革命的实践之统一的思想，就是中国的共产主义，中国的马克思主义。中共七大通过的党章确定了毛泽东思想为党的指导思想
(1) 东吁，又称同古、东瓜。
中国战区日本投降签字仪式
1945 年 9 月9日,中国陆军总司令何应钦在南京代表中国政府接受降将、中国派遣军总参谋长小林浅三郎呈递降书。
## 史料兑读
勇敢的中国人民抗击日本的侵略,歼石了无数日军,摧毁了大量的日本军用物资。援助中国进行的英勇抗战并最终发起反击是非常必要的,因为中国的抗战是最终战胜日本的重要因素。
边谈话》先后在日本广岛、长崎投下两枚原子弹。8月 8 日，苏联对日宣战。8月 9日，苏军进人中国东北,与中国军民一道,迅速消灭日本关东军。同日，毛泽东发表《对日寇的最后一战》的声明，解放区战场展开全面反攻。8 月 15 日，日本天皇发布无条件投降诏书。9月 2 日，在东京湾的美国军舰“密苏里”号上举行日本投降签字仪式。中国抗日战争和世界反法西斯战争胜利结束。10月 25 日,陈仪在台北代表中国政府庄严宣布台湾光复。从此，台湾作为中国的一个省，回到祖国怀抱。在全民族团结抗战中,中国共产党始终坚持抗日民族统一战线，发挥了中流砥柱的作用。人民军队发展到约 132 万,建立了 19 块根据地,解放了近 1 亿人口,收复了 100 万平方千米的失地。历经 14 年的艰苦抗战,中国付出了巨大的民族牺牲，军民伤亡总数在 3500 万以上，经济损失超过 6000 亿美元。抗日战争的胜利,是近代以来中国抗击外敌人侵所取得的第一次完全胜利，对维护世界和平的伟大事业产生了重要影响,重新确立了中国在世界上的大国地位，使中国人民赢得了世界爱好和平人民的尊敬。这一伟大胜利,开辟了中华民族伟大复兴的光明前景,开启了古老中国凤凰涅葮、浴火重生的新征程。
## 探究与拓展
## 问题探究
1941 年 5 月 1 日中共中央批准颁布的《陕甘宁边区施政纲领》,全面体现了共产党团结抗战的基本路线和根据地建设的基本方针。
民主政权建设，是抗日根据地建设首要的、根本的任务。中国共产党提出,根据地政权是共产党领导的抗日民族
(1) 中国派遣军,日本为加强对中国华北、华中、华南战场日军的统一指挥,于 1939 年 9 月组建的侵华军队。统一战线性质的政权,是一切赞成抗日又赞成民主的人们的政权,是几个革命阶级联合起来对于汉奸和反动派的民主专政。边区 (省)、县参议会既是民意机关,也是立法机关 …… 抗日民主政府在工作人员分配上实行“三三制” 原则。这样做,可以容纳各方面的代表,团结一切赞成抗日又赞成民主的各阶级、阶层。
抗日民主政权普遍采取民主集中制,各级抗日民主政权机构的领导人都经过人民选举产生。
—一中共中央党史研究室《中国共产党的九十年・新民主主义革命时期》
依据材料,分析陕甘宁边区是如何进行民主政权建设的。
## 学习拓展
1946 年，由中、苏、美、英等 11 个国家代表组成远东国际军事法庭,在日本东京审判日本首要战犯。1946年 5 月，法庭开始对战犯提起诉讼,经过历时两年半的审理,判决 25 名战犯有罪。东条英机、广田弘毅、土肥原贤二、板垣征四郎、松井石根、武藤章、木村兵太郎共 7 人被判处绞刑，其中松井石根是制造南京大屠杀的罪魁祸首之一。木户幸一、小矶国昭等 16 人被判处无期徒刑。尽管在审判过程中,有不少重要战犯漏网或者被包庇,但是,确认侵略战争为国际法上的犯罪,策划、准备、发动、进行侵略战争者被列为甲级战犯,是对国际法中战犯概念的重大发展。
结合日本侵华和中国抗战史实，思考东京审判的意义和不足。
## 第 25 课
人民解放战争
$\boldsymbol{\Delta}$ 当时报纸关于接收的报道抗日战争胜利后，国民政府派遣大批军政人员前往原日本占领区，共接收了日伪工厂 2411 座,价值约 20 亿美元;还接收了日本侵占的大量物资、金银等，价值在 10 亿美元以上。这些资产完全由国民党官僚资本集团控制。国民党接收大员们贪婪地掠夺财物，接收变成“劫收”。
## 争取和平民主的斗争
## 学习聚焦
抗战胜利后,存在两种不同建国方针,中国共产党进行了争取和平民主的斗争。
抗日战争胜利后，和平建国是中国人民的强烈愿望。
抗日战争胜利后国内形势图当时的中国出现了两种不同的建国方针：中国共产党以和平、民主、团结为号召,主张成立联合政府,力争建成一个新民主主义的国家；国民党打着“和平建国” 的旗号,坚持独裁和内战的方针。
## 8 学思之窗
自由自主的人民才能创造自由自主的国家。中国人民已经觉悟,保障中国前途的唯一途径,是消灭国外国内一切束缚他们自由自主的势力,亦唯有顺着中国人民自己的愿望,中国方可由衰败转为兴盛,软弱变为强有力。二十世纪的政治真理,只有自由自主的人民,才能创造自由自主的国家;只有人民有力量,国家才有力量。…… 非先实行民主决无从实现统一。
—一《中国民主促进会对于时局的宣言》( 1946年1月 4 日 )
阅读这段材料,思考民主党派的建国主张。
在这种背景下,1945 年 8 月,蒋介石接连三次电邀毛泽东到重庆举行和平谈判。中共中央决定接受邀请,争取和平民主新局面。8 月底,毛泽东、周恩来、王若飞等乘
A 毛泽东和蒋介石在重庆谈判期间的合影专机抵达重庆。
重庆谈判历时 43 天。1945 年 10 月 10 日，国共双方代表签署了《政府与中共代表会谈纪要》,即“双十协定”。协定规定：坚决避免内战,建设独立、自由和富强的新中国。
1946 年 1 月 10 日，国民党、共产党、民主同盟、青年党和无党派人士代表参加的政治协商会议在重庆召开,通过了和平建国纲领案等五项协议。但是国民党六届二中全会很快否决了这些协议。
^“双十协定”原稿
## 全面内战的爆发
1946 年 6 月,国民党以围攻中原解放区为起点,向解放区展开大规模的进攻，全面内战爆发。
全面内战开始时,国民党在军队数量、军事装备、后备资源及外来援助等方面,都明显超过中国共产党。
## 学习聚焦
国民党军队向解放区展开大规模进攻,全面内战爆发。(11) 史料阅读
1946 年 7 月,国民党军队的总兵力约 430 万人,其中正规军约 200 万人;人民解放军的总兵力只有 127 万人，其中野战军 61 万人。双方总兵力的对比为 $3.4: 1$。
—中共中央党史研究室《中国共产党历史》第 1 卷下册
## 学习聚焦
国民党的倒行逆施所导致的经济、政治困局,表明国民党政权面临着统治危机。
## 思考点
抗战胜利后国统区为什么出现这样的状况?
## (D) 历史纵横
第二条战线
以 1946 年冬爆发的“抗议美军暴行” 运动为标志,一个以反对美蒋为中心的、声势浩大的爱国民主运动在国统区迅速兴起。这一运动以学生为先锋,核心是反饥饿、反内战、反迫害,逐步发展成为配合人民解放军作战的第二条战线。中共中央准确地估计国际国内形势，确定了自力更生、以自卫战争粉碎国民党军队进攻的方针。1946年 7 至 10 月,人民解放军共歼灭国民党军队约 30 万人，粉碎了国民党的全面进攻。
1947 年 3 月，国民党军队发动对陕北解放区和山东解放区的重点进攻。毛泽东、周恩来等率领中共中央和解放军总部主动撤出延安,转战陕北。彭德怀率领的西北野战军先后取得青化砭、沙家店等战役的胜利,粉碎了国民党军队对陕北解放区的重点进攻；华东野战军在陈毅、粟裕指挥下在山东孟良畐消灭国民党王牌主力整编第七十四师,打退了敌人对山东解放区的重点进攻。
## 国民党政权的统治危机
全面内战爆发后,国统区财政经济逐渐陷人崩溃的境地。为了维持战争的庞大开支,国民政府无限制地发行纸币。1948 年前八个月纸币的发行量已经是 1937 年全年发行量的 47 万倍。随之而来的是恶性通货膨胀,物价飞涨。
国民党的反动政策和官僚资本的巧取豪夺，使工人、农民、城市小资产阶级受到残酷的压迫和剥削，民族资产阶级也受到排挤和打击,广大人民的生活水平不断下降,民不聊生。国民党在人民中的信誉一落千丈。
北平学生“反饥饿反内战大游行” 队伍通过天安门广场 1946年 11 至 12 月，在内战声中，国民党包办的“国民大会”在南京召开。中国共产党和中国民主同盟坚决反对,拒绝出席。出席大会的国民党代表占 $85 \%$,此外是依附于国民党的青年党、民主社会党和若干“社会贤达”。会议通过的《中华民国宪法》,不过是国民党专制统治和蒋介石独裁的装饰品,进一步暴露了国民党当局坚持独裁和内战的真面目。
## 新民主主义革命的胜利
为了推动解放区的土地改革,1947 年夏,中共中央工作委员会在河北平山西柏坡召开全国土地会议,制定了废除封建性及半封建性剥削制度的《中国土地法大纲》。各解放区贯彻全国土地会议的精神，折起土地改革群众运动，使亿万农民在政治上、经济上获得了解放。
## 学习聚焦
人民解放军取得三大战役的完全胜利后,渡过长江,占领南京,国民党在大陆的统治覆灭。
(1]) 史料阅读
平分土地利益极多,办法简单,群众拥护,外界亦很难找出理由反对此种公平办法,中农大多数获得利益,少数分出部分土地,但同时得了其他利益 (政治及一般经济利益) 可以补偿,因此土地会议应该采取彻底平分土地的方针,将农村中全部土地、山林、水利,平地以乡为单位,山地以村为单位,除少数重要反动分子本身外,不分男女老少,在数量上 (抽多补少),质量上 (抽肥补疲 ) 平均分配。不但土地、山林、水利平均分配,而且要将地主富农两阶级多余的粮食、耕牛、农具、房屋及其他财富拿出来,适当地分配给农民中缺乏这些东西的人们,地主富农所得的土地财产不超过也不低于农民所得。大规模的森林及水利工程不能分配者由政府管理。此外,同意即由土地会议通过土地法大纲,作为向各解放区政府的建议。同时,起草一个党内决议，由中央公布。
$$
\text { —《《中央关于彻底平分土地问题给中央工委的复示》( } 1947 \text { 年 } 9 \text { 月 } 6 \text { 日) }
$$
经过人民解放军一年的作战，战争形势发生重大变化。1947 年6月，刘伯承、邓小平率领晋冀鲁豫野战军主力 12 万人,一举突破黄河天险,千里跃进大别山,直接威胁到国民党统治的中心南京、武汉，揭开了战略进攻的序幕。
1948 年秋,人民解放战争进人夺取全国胜利的决定性阶段。9月,东北野战军发动声势浩大的辽沈战役。辽沈战役历时 52 天,歼敌 47 万余人,东北全境解放。人民解放军从此在数量上取得对国民党军队的优势。11月初,华东
刘邓大军千里跃进大别山
## 史料阅读
1948年7月至11月，人民解放军共歼灭国民党军队 100 万人，使其总兵力下降到 290 万人;人民解放军则增加到 310 万人。至此,人民解放军不但在质量上占有优势,而且在数量上也取得优势
—一共中央党史研究室《中国共产党历史》第 1 卷下册野战军和中原野战军发起规模空前的淮海战役。淮海战役历时 66 天，共歼灭国民党军 55 万余人，南线国民党军队的精锐主力已被消灭,长江中下游以北广大地区获得解放。11 月下旬,东北野战军和华北军区第二、三兵团联合发动平津战役。平津战役历时 64 天，共歼灭和改编国民党军队 52万余人，基本解放华北全境。毛泽东在河北平山西柏坡世界上最小的指挥部里,指挥了世界上最伟大的人民解放战争,并且取得了三大战役的完全胜利。
辽沈、淮海、平津三大战役,是国共两党的战略决战,共歼灭和改编国民党军队 154 万余人，基本摧毁了国民党的主要军事力量,为中国革命在全国的胜利奠定了基础。
1949年春，中共在河北平山西柏坡召开七届二中全会。毛泽东在会上提出了促进革命取得全国胜利的基本方
三大战役示意图针,指出党的工作重心必须由乡村转移到城市,提出了革命胜利后党在各方面的基本政策。毛泽东提醒全党：“夺取全国胜利，这只是万里长征走完了第一步。”“务必使同志们继续地保持谦虚、谨慎、不骄、不躁的作风,务必使同志们继续地保持艰苦奋斗的作风。”
经过三大战役,国民党在长江以北的军事力量已全线崩溃。迫于内外压力,1949年 1月 21 日,蒋介石宣告引退,由李宗仁代理其总统职务。李宗仁表示愿以中共提出的条件为基础进行和平谈判。1949年 4 月,以周恩来为首席代表的中共代表团和以张治中为首席代表的国民党南京政府代表团,在北平举行和平谈判。但国民党最终拒绝在双方代表达成的《国内和平协定》上签字，谈判破裂。
4月 21 日，毛泽东、朱德发出向全国进军的命令,人民解放军百万雄师在西起湖口、东至江阴的千里战线上,分三路发起渡江战役,迅速突破长江防线。23 日,人民解放军占领国民党统治中心南京,国民党蒋介石集团在大陆的统治覆灭，中华民国时期结束。
人民解放军渡江战役示意图
国民党因其不能解决中国社会的根本矛盾,不能应对中国社会的发展要求,不能代表广大民众的切身利益,从而失去了民众的支持,丧失了在中国大陆的统治权。
毛泽东在中共七届二中全会上作报告
人民解放军开进南京
## 思考点
结合具体史实，思考国民党在中国大陆统治覆灭的原因。中国共产党能够始终顺应时代发展的潮流，代表了中国最广大人民的根本利益,得到了广大民众的支持,故能领导人民取得中国新民主主义革命的胜利。中国人民革命的胜利,是马克思主义普遍原理与中国革命具体实践相结合的胜利,是毛泽东思想的胜利,从根本上改变了中国社会的发展方向,是 20 世纪人类历史上最具影响的伟大事件之一。
## 探究与拓展
## 问题探究
（一）今年的“五一” 劳动节,是中国人民走向全国胜利的日子。向中国人民的解放者中国人民解放军全体将士致敬！庆祝各路人民解放军的伟大胜利！
(二) 今年的“五一” 劳动节,是中国人民死敌蒋介石走向灭亡的日子,蒋介石做伪总统,就是他快要上断头台的预兆。打到南京去,活捉伪总统蒋介石!
(三) 今年的“五一” 劳动节,是中国劳动人民和一切被压迫人民的觉悟空前成熟的日子。庆祝全解放区和全国工人阶级的团结！庆祝全解放区和全国农民的土地改革工作的胜利和开展!庆祝全国青年和全国知识分子争自由运动的前进!
（四）全国劳动人民团结起来，联合全国知识分子、自由资产阶级、各民主党派、社会贤达和其他爱国分子,巩固与扩大反对帝国主义、反对封建主义、反对官僚资本主义的统一战线，为着打倒蒋介石，建立新中国而共同奋斗!
（五）各民主党派、各人民团体、各社会贤达迅速召开政治协商会议,讨论并实现召集人民代表大会,成立民主联合政府!
—一《中共中央发布纪念“五一” 劳动节口号》( 1948年 4 月 30 日） 阅读上述材料，探究中共中央发布“五一”劳动节口号的时机和意义。
## 学习拓展
中国现有的八个民主党派都是在民主革命时期形成的。这些党派组建的宗旨大都为挽救民族危亡，促进社会进步，发展民主科学。多数民主党派成立的时间是在抗日战争到人民解放战争期间，只有中国致公党和中国农工民主党是在这之前成立的。抗日战争胜利后，国共两党谈判协商的政治氛围，鼓舞了各界民主人士参政的信心和勇气。各界民主人士活跃起来，他们积极整顿组织,发表政见，或者组建新的政党。1945 年，中国民主同盟提出了“民主统一、和平建国” 的口号,并召开了全国代表会议。同年,中国民主建国会、中国民主促进会、九三学社成立。在民主活动受到国民党政府压制后，它们逐渐和共产党结成同盟。在人民解放战争走向胜利之时,台湾民主自治同盟、中国国民党革命委员会先后成立。这些民主党派在维护和平、反对内战的运动中发挥了重要作用。
了解相关史实,认识民主党派在民主革命中发挥的作用。
## 第九单元
## 中华人民共和国成立和社会主义革命与
## 建设
1949 至 1978 年,是新中国进行社会主义革命和建设的历史时期。站起来的中国各族人民在中国共产党领导下，在新民主主义革命胜利成果的基础上,实现了从新民主主义到社会主义的历史性转变,全面确立社会主义基本制度,为当代中国一切发展进步奠定了根本政治前提和制度基础。社会主义制度基本建立后,新中国以苏联的经验教训为鉴戒,独立探索适合中国国情的社会主义建设道路,在曲折探索中积累了社会主义建设的重要经验;在“一穷二白” 的基础上建立了独立的比较完整的工业体系和国民经济体系,发展了社会主义的经济、政治和文化,取得了举世瞩目的成就。古老的中国以崭新的姿态屹立在世界东方。
通过本单元的学习,认识中华人民共和国成立的伟大意义;了解新中国巩固人民政权的主要举措;认识新中国为民主政治建设和向社会主义过渡所作出的努力；了解 20 世纪 50 至 70 年代中国探索社会主义建设道路的曲折发展和成就,认识“文化大革命” 的错误及教训;理解政治、经济、外交、国防等领域所取得的成就在新中国历史上所具有的开创性、奠基性意义;了解和感悟这一时期中国人民艰苦奋斗、奋发图强的精神风貌；了解毛泽东对中国革命和社会主义建设的贡献,认识毛泽东思想对近现代中国的深远影响。
## 第 26 课 中华人民共和国成立和向社会主义的过渡
1949 年 10 月 1 日,中华人民共和国开国大典在北京隆重举行。毛泽东在天安门城楼上向全世界庄严宣告：“中华人民共和国中央人民政府今天成立了！”“本政府为代表中华人民共和国全国人民的唯一合法政府。”中华人民共和国的成立，开辟了中国历史新纪元。
## 中华人民共和国的成立
1949年9月 21 日，中国人民政治协商会议第一届全体会议在北平中南海怀仁堂隆重开幕。中国共产党、各民主党派、无党派人士、各人民团体、人民解放军、各地区、少数民族、国外华侨以及特邀代表等 662 人参加了会议。
毛泽东在全体会议上致开幕词,指出：“我们的会议是一个全国人民大团结的会议。”“我们的工作将写在人类的历史上,它将表明：占人类总数四分之一的中国人从此站立起来了。”大大会一致决定采用“中华人民共和国” 的国名,通过了《中国人民政治协商会议共同纲领》等重要文件。《中国人民政治协商会议共同纲领》规定：中华人民共和国为新民主主义即人民民主主义的国家,实行工人阶级领导的、以工农联盟为基础的、团结各民主阶级和国内各民族的人民民主专政,反对帝国主义、封建主义和官僚资本主义,为中国的独立、民主、和平、统一和富强而奋斗。《中国人民政治协商会议共同纲领》是新中国的建国纲领,具有临时宪法的作用。大会选举了中央人民政府委员会,毛泽东为主席,朱德、刘少奇、宋庆龄、李济深、张澜、高岗为副主席。
■ 毛泽东主席向全世界庄严宣告中华人民共和国成立
## 学习聚焦
中华人民共和国的成立,开启了中华民族伟大复兴的历史新纪元。中国人民政治协商会议是中国共产党领导的以工农联盟为基础的人民民主统一战线的组织形式。
出席中国人民政治协商会议第一届全体会议的代表步人会场 (D) 历史纵横
毛泽东关于
人民民主专政的理论
1949 年 6 月 30 日，毛泽东发表《论人民民主专政》，提出人民民主专政这一科学概念,即“对人民内部的民主方面和对反动派的专政方面,互相结合起来,就是人民民主专政”。他认为,在现阶段的中国,人民包括工人阶级、农民阶级、城市小资产阶级和民族资产阶级。工人阶级是领导力量,工农联盟是基础力量。毛泽东关于人民民主专政的理论,是对马克思主义国家学说的丰富和发展,为新中国的建立奠定了理论和政策基础。10 月 1 日，中央人民政府委员会举行第一次会议,决议接受《中国人民政治协商会议共同纲领》为施政方针。政府主席、副主席和委员就职,周恩来为政务院总理兼外交部部长,中央人民政府宣告成立。下午三时,盛大的开国大典在天安门广场举行。
中华人民共和国的成立,结束了帝国主义、封建主义和官僚资本主义长期压迫和剥削中国各族人民的历史,人民真正成为国家的主人,从根本上改变了中国社会的发展方向,为实现由新民主主义向社会主义过渡创造了前提条件。中华民族开始以崭新的姿态自立于世界民族之林,中国历史进人新纪元。
中华人民共和国国徽 1950 年光芒出版社出版的《中华人民共和国》一书中刊登的代国歌
## 学习聚焦
土地改革、稳定物价、剿匪镇反、抗美援朝,是巩固人民政权紧迫而又必要的重大决策,为国家向社会主义转变、实现工业化准备了条件。
## 人民政权的巩固
新中国成立时，国民党残余军队还盘踞在华南、西南地区。人民解放军仍在进行人民解放战争的后期作战,肃清土匪和一切反革命武装。为了巩固人民政权，新中国必须完成新解放区的土地改革，克服财政经济上的巨大困难，应对美国发动的侵朝战争给国家带来的安全危害。
新中国刚成立时,全国尚有约占总数 $2 / 3$ 的农民被束缚在封建土地制度之下。1950年夏,中央人民政府颁布《中华人民共和国土地改革法》。到 1952 年底,除一部分少数民族地区外,土地改革在全国大陆基本完成,约三亿无地少地的农民共获得约七亿亩土地。农民从封建土地制度的束缚中彻底解放出来,农村生产力得到大解放,为中国逐步实现工业化扫除了障碍。1952年,全国粮食产量比 1949年增加了 $49 \%$。
新中国面临一个经济上千疮百孔的烂推子。国家财政困难，投机商人趁机抢购物资,固积居奇,拒用人民币,倒卖银元,加剧物价飞速上涨。为制止投机资本制造的市场混乱,党和政府采取有力的经济措施和必要的行政、法律等手段,同上海等大城市的投机资本进行“银元之战” 和“米棉之战”。到 1950年春,全国物价趋于稳定,结束了连续十几年物价暴涨的局面,人民政府赢得了全国人民的信任。为了从根本上稳定物价,政务院通过采取统一全国财政收支管理、物资管理、现金管理等措施实现了国家财政经济的统一。经过一系列努力,到 1952年底,解放前遭到严重破坏的国民经济得到全面恢复。
ヘ分到土地的农民
## 思考点
毛泽东说，土地改革“是中国人民民主革命继军事斗争以后的第二场决战”。你怎样理解这句话?
## 历史纵横
## “银元之战” 和“米棉之战”
“银元之战”是1949年6月，人民政府为制止恶性通货膨胀、稳定物价，同投机资本进行的一场斗争。当时拥有大量资产的投机者试图通过银元的投机来阻止人民币进入市场，严重冲击金融市场，引起物价飞洆,以上海市斗争最为激烈。人民政府断然采取了强有力的措施,查封上海证券大楼，逮捕进行非法交易的投机巨头和银元贩子。商店也积极配合，拒收银元。武汉、广州等地也采取相应行动，严厉取缔和打击银元投机活动。至新中国成立时，人民币已基本占领了城乡市场。
“米棉之战” 是新中国成立初期打击国内米棉投机活动的一场斗争。在“银元之战” 中受到打击的上海投机资本不甘心失败,很快转向粮食、棉纱和煤炭市场，利用物资极其匮乏的情况，大做投机生意，引发又一次全国性张价高潮。人民政府紧急从全国各地将大批粮食、棉纱和煤炭调往上海、北京等大城市。当市场物价在投机商人哄抬之下达到顶点的时候，人民政府指导各地集中时间、集中物资统一向市场扡售，同时收紧银根。暴涨的物价在市场规律的作用下迅速下跌。这次波及地区最广、持续时间最长、涾幅最大的物价风潮，仅十天左右就被平息。人民政府经过这次斗争，完全掌握了市场主动权。(11) 史料阅读
(抗美援朝战争的胜利 ) 雄辩地证明：西方侵略者几百年来只要在东方一个海岸上架起几尊大炮就可霸占一个国家的时代是一去不复返了。
—一彭德怀《关于中国人民志愿军抗美援朝工作的报告》( 1953 年9月 12 日)
## 历史纵横
“特级战斗英雄”杨根思
杨根思是江苏泰兴人,曾任中国人民志愿军第九兵团三连连长。在抗美援朝第二次战役中,他所在的部队在东线长津湖地区对敌实施分割围歼。杨根思奉命坚守 1071.1 高地,负责切断美军南逃退路。他们连续打退了号称“王牌” 美军的八次进攻。当敌人再次涌上来时,已负伤的杨根思毅然抱起炸药包,与敌人同归于尽,用生命和鲜血实现了“人在阵地在” 的铮铮誓言。中国人民志愿军授予他“特级战斗英雄” 称号,朝鲜授予他“朝鲜民主主义人民共和国英雄” 称号和金星奖章、一级国旗勋章。1950 年 6 月 25 日，朝鲜内战爆发。美国政府从其全球战略和冷战思维出发,作出武装干涉朝鲜内战的决定,并派遣第七舰队侵人台湾海峡,阻挠中国的统一大业。美国还操纵联合国安理会通过决议，组成以美国为首的“联合国军”,越过三八线,直逼中朝边境的鸭绿江和图们江,扩大侵朝战争，严重威胁中国国家安全。1950年 10 月，应朝鲜党和政府请求,中国党和政府决定人朝作战。毛泽东派遣以彭德怀为司令员兼政治委员的中国人民志愿军开赴朝鲜战场,抗美援朝,保家卫国,与朝鲜军民并肩作战。经过五次战役,中朝军队把战线稳定在三八线附近,美国被迫同意进行谈判。志愿军人朝后,国内开展了轰车烈烈的抗美援朝运动,有力地支援了抗美援朝战争。经过边谈边打、反复较量,1953 年 7 月,美国不得不在停战协定上签字,中国人民取得抗美援朝战争的伟大胜利。抗美援朝战争打出了国威和军威,提高了新中国的国际地位。志愿军涌现出杨根思、黄继光、邱少云、罗盛教等 30 多万英雄功臣和近 6000 个功臣集体,他们可歌可泣的英雄事迹汇成强大的民族凝聚力,钗造了伟大抗美援朝精神,极大地鼓舞着全国人民为保卫和建设祖国而团结奋斗。
^ 中国人民志愿军跨过鸭绿江
抗美援朝战争伟大胜利,是中国人民站起来后屹立于世界东方的宣言书,是中华民族走向伟大复兴的重要里程碑。
## 开创独立自主的和平外交
新中国成立后,按照“一边倒” 方针,先后与苏联以及保加利亚、朝鲜、越南等十个人民民主国家建交。按照“另起炉灶” 和“打扫干净屋子再请客” 的方针,新中国先谈判再建交,同印度、印度尼西亚、缅甸、巴基斯坦以及瑞典、丹麦、瑞士、芬兰建交。中华人民共和国迎来一次建交高潮。同时,新中国取消帝国主义在中国的特权。
## 学习聚焦
新中国进行的积极外交活动为国家建设争取到有利的国际环境。
## 历史纵横
## 新中国奉行独立自主的和平外交方针
“另起炉灶”，即不承认国民党政府同各国建立的旧的外交关系,对于驻在旧中国的各国使节,只当作普通侨民对待，不作为外交代表对待，以便在新的基础上经过谈判同各国另行建立新的外交关系
“打扫干净屋子再请客”，即不急于取得帝国主义对新中国的承认，帝国主义在华特权必须取消，中华民族的独立解放必须实现
“一边倒”，即新中国站在社会主义和世界和平民主阵营一边。
1954年 4 月，讨论朝鲜问题和印度支那问题的日内瓦会议召开。新中国首次以五大国之一的地位和身份参加这次讨论国际问题的重要会议。朝鲜问题因为美国的阻挠末达成任何协议。印度支那问题由于中国作出的努力得以政治解决,显示了刚刚登上国际舞台的新中国在通过谈判解决国际争端、维护世界和平方面所起的积极作用。
中国政府代表在日内瓦会议上 (1]) 史料阅读
周恩来在亚非会议的补充发言中说: 中国代表团参加会议的目的“是来求团结而不是来吵架的”,“是来求同而不是来立异的”,“我们的会议应该求同而存异”。
-《周恩来年谱 $(1949$ 一1976)》上卷
## 学习聚焦
社会主义基本制度的建立，是中国历史上最深刻的社会变革,为当代中国的一切发展和进步奠定了制度基础。1953 年 12 月，中印两国就历史上遗留下来的一些问题举行谈判,周恩来在接见印度代表团时第一次提出和平共处五项原则，得到印度方面的赞同，并写人两国的协定。1954年6月，在日内瓦会议休会期间，周恩来应邀访问印度和缅甸。中印、中缅双方总理在联合声明中,正式倡议将和平共处五项原则作为国际关系的准则。和平共处五项原则的措辞前后稍有改变,最终确定为互相尊重主权和领土完整，互不侵犯，互不干涉内政，平等互利，和平共处。
## 学思之窗
和平共处五项原则生动反映了联合国宪章宗旨和原则,并赋予这些宗旨和原则以可见、可行、可依循的内涵。和平共处五项原则中包含四个“互” 字、一个“共” 字,既代表了亚洲国家对国际关系的新期待,也体现了各国权利、义务、责任相统一的国际法治精神。
一一习近平《弘扬和平共处五项原则建设合作共赢美好世界一一在和平共处五项原则发表60周年纪念大会上的讲话》( 2014 年 6 月 28 日 )
结合历史与现实，谈谈你对这段话的理解。
1955 年 4 月,亚非会议在印度尼西亚万隆举行。这是战后第一次没有西方殖民国家参加的国际会议。会议上，中国提出并坚持“求同存异” 的方针,推动会议朝着达成协议的方向前进,避免了可能走上歧路的危险。中国代表团还进行了卓有成效的工作,为进一步开展同亚非各国的友好合作关系创造了条件。亚非会议后,中国独立自主的和平外交取得了新进展。从 1954 年9月至 1956年,中国与挪威、南斯拉夫、阿富汗、尼泊尔、埃及、叙利亚、也门等国建交，同英国、荷兰建立了代办级外交关系。
## 社会主义基本制度的建立
1953 年，中国共产党根据国内经济、政治条件及国际形势的变化,提出过渡时期总路线,实施发展国民经济的第一个五年计划,逐步实现国家的社会主义工业化,并逐步实现国家对农业、手工业和资本主义工商业的社会主义改造。
过渡时期中,我国成功开辟出一条适合自身特点的社会主义改造道路。1956年底,我国基本上完成了对农业、手工业和资本主义工商业的社会主义改造，标志着生产资料公有制占绝对优势的社会主义经济制度在我国初步建立起来。经过有计划的社会主义经济建设，第一个五年计划提前完成，我国开始改变工业落后的面貌，人民生活水平得到提高。
1954 年 9 月，中华人民共和国第一届全国人民代表大会第一次会议在北京举行。大会通过了《中华人民共和国宪法》。这是一部社会主义类型的宪法,体现了人民民主原则和社会主义原则。大会确立的人民代表大会制度是根本政治制度,中国共产党领导的多党合作和政治协商制度、民族区域自治制度是基本政治制度,它们初步构成了我国社会主义的政治制度体系。
1954年 9 月 15 日至 28 日,中华人民共和国第一届全国人民代表大会第一次会议在北京隆重召开。从左至右依次为: 董必武、周恩来、李济深、刘少奇、毛泽东、朱德、宋庆龄、张澜、林伯渠
中国共产党团结带领人民完成社会主义革命,确立社会主义基本制度,推进社会主义建设,实现了中华民族有史以来最为广泛而深刻的社会变革,为当代中国一切发展进步奠定了根本政治前提和制度基础。
在建立中华人民共和国和社会主义制度的过程中,毛泽东发挥了独特的作用。毛泽东思想不仅是新民主主义革命的指导思想，也是社会主义革命、社会主义建设的指导思想。
上海国棉一厂发出开展增产节约和劳动竞赛号召
## 思考点
为什么国家要对生产资料私有制进行社会主义改造?
$\boldsymbol{\Delta} 1956$ 年 1 月 15 日，在首都各界群众 20 多万人庆祝社会主义改造胜利大会上,工商界代表向毛泽东呈送喜报
## 探究与拓展
## 问题探究
第一条中华人民共和国是工人阶级领导的、以工农联盟为基础的人民民主国家。
第二条中华人民共和国的一切权力属于人民。人民行使权力的机关是全国人民代表大会和地方各级人民代表大会。
全国人民代表大会,地方各级人民代表大会和其他国家机关，一律实行民主集中制。
第二十一条中华人民共和国全国人民代表大会是最高国家权力机关。
第二十二条全国人民代表大会是行使国家立法权的唯一机关
第二十三条全国人民代表大会由省、自治区、直辖市、军队和华侨选出的代表组成。
全国人民代表大会代表名额和代表产生办法，包括少数民族代表的名额和产生办法,由选举法规定
—-1954年《中华人民共和国宪法》
结合《中华人民共和国宪法》条文，理解人民代表大会制度是我国的根本政治制度。
## 学习拓展
运用唯物史观，阐述中华人民共和国成立的伟大历史意义。
## 第 27 课 社会主义建设在探索中曲折发展
1956年以基本完成对生产资料私有制的社会主义改造和开始探索中国自己的建设社会主义道路而被载入史册。社会主义工业化已取得重大进展,社会主义基本制度在中国已经建立起来。中国的经济、政治和文化应该怎样建设和发展,这是全党面临的全新课题。中共八大的召开,标志着中国共产党探索中国自己的建设社会主义的道路取得初步成果。
中共八大会场
## 全面建设社会主义
1956年，中共八大召开。大会宣布：我国无产阶级同资产阶级之间的矛盾已经基本上解决,国内的主要矛盾已经是人民对于建立先进的工业国的要求同落后的农业国的现实之间的矛盾,已经是人民对于经济文化迅速发展的需要同当前经济文化不能满足人民需要的状况之间的矛盾。党和全国人民当前的主要任务,就是要集中力量来解决这个矛盾,把我国尽快地从落后的农业国变为先进的工业国。这是我国建设社会主义道路的一次成功探索。
## 学习聚焦
在全面建设社会主义时期，中国人民走自己的路，探索适合中国国情的社会主义建设道路,取得了伟大成就。
## 历史纵横
## “百花齐放、百家争鸣” 方针的提出
1956年4月28日,毛泽东在中共中央政治局扩大会议上作总结发言:“百花齐放、百家争鸣”,我看这应该成为我们的方针。艺术问题上百花齐放，学术问题上百家争鸣”” 在随后召开的最高国务会议第七次会议上,他正式提出了“百花齐放、百家争鸣” 的方针,并作了闸释：现在春天来了嘛,一百种花都让它开放，不要只让几种花开放，还有几种花不让它开放，这就叫百花齐放。百家争鸣，是说春秋战国时代,二千年以前那个时候,有许多学派,诸子百家,大家自由争论。现在我们也需要这个。在中华人民共和国宪法范围之内，各种学术思想，正确的，错误的，让他们去说，不去干涉他们。
此后,“百花齐放、百家争鸣” 成为我国促进艺术发展和科学进步,促进社会主义文化繁㭉的指导方针。史料阅读
我们一定要努力把党内党外、国内国外的一切积极的因素，直接的、间接的积极因素,全部调动起来,把我国建设成为一个强大的社会主义国家。
—一毛泽东《论十大关系》,《毛泽东文集》第 7 卷
## 思考点
20 世纪 60 年代初国家对国民经济进行各项调整的意义是什么?
(1]) 史料阅读
毛泽东在 1961 年末中共中央召开工作会议期间讲道:
这十二年,恐怕还是做对了的是主要的,占第一位,错误占第二位。我们十二年,已经有了两方面的经验,这就更强了,而不是更弱了。
――《毛泽东年谱 (1949 $一 1976)》$ 第 5 卷 1957 年春，毛泽东提出关于正确处理人民内部矛盾的重要思想,把正确处理人民内部矛盾作为国家政治生活的主题。这个论述为认识中国基本国情奠定了理论基础。接着,全党整风运动和全国反右派斗争开展起来,但反右派斗争被严重扩大化了。
## 学思之窗
国家的统一,人民的团结,国内各民族的团结,这是我们的事业必定要胜利的基本保证。
一一毛泽东《关于正确处理人民内部予盾的问题》( 1957年)
你怎样理解毛泽东的这段话?
1958 年，中共中央提出“鼓足干劲、力争上游、多快好省地建设社会主义” 的总路线,在全国折起了“大跃进” 和人民公社化运动。总路线反映了广大人民迫切要求改变我国经济文化落后状况的普遍愿望,但由于片面追求经济建设高速度,忽视了客观的经济规律。加上对社会主义建设经验不足,以及当时的自然灾害等因素,1959至 1961年,我国经济发生了严重困难。
为了克服困难,1961 年 1 月，中共八届九中全会决定对国民经济实行“调整、巩固、充实、提高”的八字方针，同时对政治、文化、教育、科研、民族、知识分子等方面的政策进行重要调整。1962年初召开的七千人大会比较深人地总结了经验,取得了重要成果。1962年下半年到 1965 年,国民经济稳步增长,接近并超过新中国成立以来最高水平。
七千人大会期间,毛泽东、刘少奇、周恩来、朱德、陈云、邓平在一起 1964 年，三届全国人大一次会议提出建设“四个现代化” 的伟大目标,极大地激发了亿万人民建设社会主义国家的积极性。
## “文化大革命"
20 世纪 60年代中期,毛泽东认为党和国家面临着资本主义复辟的现实危险。为此,他强调“以阶级斗争为纲”,想通过发动“文化大革命” 来防止资本主义复辟。
“文化大革命” 在 1966年夏全面发动起来后,陈伯达、江青、康生、张春桥等组成的中央文革小组趁机煽动“打倒一切”和“踢开党委闹革命”。1967年初,“全面夺权” 的“一月风暴” 发生。许多地方出现造反派组织的打、研、抢事件,学校停课,工厂停工,党政机关受到冲击,大批领导干部和知识分子遭到批判和掞斗,社会和生产秩序陷于混乱。内乱局面引起老一辈革命家和广大党员、干部、群众的严重忧虑和愤怒。他们对江青等人的倒行逆施进行了针锋相对的斗争,但遭到了压制和打击。
1969年 4月,中共九大召开。1971年 9 月,林彪反革命集团策动武装政变,阴谋夺取最高权力。毛泽东、周恩来粉碎了这次政变。1972年,周恩来在毛泽东的支持下主持中央日常工作，批判极左思潮，使各项工作出现转机,但遭到江青等人的反对。1975 年，周恩来病重,邓小平主持中央日常工作，领导进行了各方面的整顿,经济形势有了明显好转。这些整顿实际上是后来拨乱反正的预演。江青等人极力反对邓小平领导的整顿，使国民经济再度恶化。
・ 1971年 10 月周恩来在北京东方红石油化工总厂视察
人民群众对“四人帮” 的抵制、抗争进一步发展。1976年 9月,毛泽东逝世,江青反革命集团加紧夺取党和国家最高领导权的阴谋活动。同年 10 月,中央政治局执行党和人民的意志,毅然粉碎了江青反革命集团，结束了 (11) 史料阅读
尽管毛主席过去有段时间也犯了错误,但他终究是中国共产党、中华人民共和国的主要缔造者。拿他的功和过来说,错误毕竟是第二位的。他为中国人民做的事情是不能抺杀的。从我们中国人民的感情来说,我们永远把他作为我们党和国家的缔造者来纪念。
—邓小平《答意大利记者奥琳埃娜 - 法拉奇问》,《邓小平文选》第 2 卷
## 学习聚焦
社会主义建设在曲折探索中仍取得伟大成就,具有开创性、奠基性意义。“文化大革命”这场灾难。实践证明，“文化大革命”不是任何意义上的革命或社会进步,而是一场由领导者错误发动,被反革命集团利用,给党、国家和各族人民带来严重灾难的内乱。
首都群众在天安门广场举行集会和游行,庆祝粉碎“四人帮” 的重大胜利
## 伟大的建设成就
从新中国成立到改革开放前的这段历史，是中国共产党领导人民艰辛探索适合中国国情的社会主义道路的时期。虽然经历了严重曲折，但从总体上看，全党、全国人民坚持自力更生,艰苦奋斗,战胜各种困难,取得了举世瞩目的重要成果。
我国在工业、农业、科技、国防、外交、文化教育等方面取得了巨大成就。从“一五” 时期起到“四五” 时期，我国逐步建成了一批门类比较齐全的基础工业项目，涉及冶金、汽车、机械、煤炭、石油、电力、通信、化工、国防等诸多领域,为国民经济的进一步发展打下了坚实的基础,建立起独立的、比较完整的工业体系和国民经济体系。大规模的三线建设不仅增强了国防力量,而且改善了工业布局。我国成功地爆炸了原子弹、氢弹,试制并成功发射了中远程弹道导弹和人造卫星。这期间建设起来的一些基础设施、基础项目和大中型企业,至今仍在国民经济和社会生活中发挥着重要作用。
## 三线建设
20 世纪 60 年代前期,面对日趋紧张的国际形势和美、苏日益严峻的战争威胁,党中央、毛泽东作出重大战略决策: 从经济建设和国防建设的战略布局考虑,将全国划分为一、二、三线,将建设的重点放在西南、西北。“备战、备荒、为人民” 成为 20 世纪六七十年代我国经济发展的重要指导方针。1965 至 1975 年,三线地区共完成基本建设投资 1269.67 亿元,占同期全国基本建设投资总额的 $43.5 \%$。全国近 1500 家大型企业中,三线地区占到 $40 \%$ 以上。从总体上看,三线建设是推进我国现代化进程的重要步骤,对于提高国家的国防能力和改善我国国民经济布局,推进中西部落后地区的经济社会发展具有重要意义。
同时,通过兴修水利、开展农田基本建设、培育推广良种、提倡科学种田,我国较大幅度地提高了粮食生产水平和抵御自然灾害的能力。人民物质生活和文化生活水平得到逐步提高。教育事业取得长足进步,医疗卫生事业也得到蓬勃发展。劳动者的整体素质有了很大提高,全国经济、文化建设等各方面的骨干力量大批地成长起来。在社会主义建设中,广大人民自力更生、艰苦奋斗,涌现出无数先进典型和英雄模范人物,形成了具有特定内涵的时代精神。“铁人”王进喜、党的好干部焦裕禄、解放军好战士雷锋等,都是其中的典型代表。以李四光、钱学森、邓稼先、华罗庚等为代表的一批著名科学家,在科技事业和经济文化建设事业中作出重大贡献,成为知识分子的杰出代表。
## 学思之窗
20 世纪 60 年代初,大庆工人吃大苦,耐大劳,坚持“三老四严”“四个一样” ( 即对待革命事业，要当老实人，说老实话，办老实事。对待工作，要有严格的要求、严密的组织、严肃的态度、严明的纪律。对待革命工作要做到：黑天和白天一个样,坏天气和好天气一个样,领导不在场和领导在场一个样,没有人检查和有人检查一个样 ) 和“爱国、创业、求实、奉献” 的精神风貌,出色地完成石油会战,摘掉了中国贫油的帽子。
结合这一材料,思考为什么说艰苦奋斗、奋发图强是那个年代的时代精神。
A 雷锋（1940-1962)
邓稼先 $(1924-1986)$
是岀和人艮的我的已白
20 世纪 70 年代,中国外交打开新局面,迎来了新中国成立以来与世界各国建交的又一次高潮。与中国建交国家的数量从 1965 年的 49 个增加到 1976年的 111 个。其中，大多数是发展中国家。1971年,中华人民共和国恢复在联合国的一切合法权利。1972年,中美两国结束了长期敌对状态,开始走向关系正常化;中日正式建交。这些外交成就极大地改善了中国的安全环境,拓展了外交活动的舞台。
๑1972年 2 月 21 日，毛泽东在中南海会见美国总统尼克松
这些成就在新中国历史上都具有开创性、奠基性的意义,为新的历史时期开创中国特色社会主义道路提供了宝贵经验、理论准备、物质基础。
## 学思之窗
毛泽东同志为中国新民主主义革命的胜利、社会主义革命的成功、社会主义建设的全面展开,为实现中华民族独立和振兴、中国人民解放和幸福，作出了彪炳史册的贡献。
毛泽东思想以独创性理论丰富和发展了马克思列宁主义。毛泽东思想教育了几代中国共产党人，它培养的大批骨干，不仅在新民主主义革命、社会主义革命、社会主义建设时期发挥了重要作用，也为新的历史时期开创和建设中国特色社会主义发挥了重要作用。
―一习近平《在纪念毛泽东同志诞辰 120 周年座谈会上的讲话》( 2013 年 12 月 26 日)
为什么说毛泽东是探索中国社会主义建设道路的开创者?
## 探究与拓展
## 问题探究
社会主义革命已经使我国大大缩短了同发达资本主义国家在经济发展方面的差距。我们尽管犯过一些错误，但我们还是在三十年间取得了旧中国几百年、几千年所没有取得过的进步
邓小平《坚持四项基本原则》,《邓小平文选》第 2 卷
通过邓小平这一结论,我们可以得到怎样的启示?
## 学习拓展
查找资料,进一步认识建立独立的、比较完整的工业体系和国民经济体系的重要意义。
## 第十单元
## 改革开放与社会主义现代化建设新时期
1978 年 12 月中共十一届三中全会以后,中国进人改革开放和社会主义现代化建设新时期。中国共产党领导各族人民,开创并发展了中国特色社会主义,各方面都取得举世䁃 目的巨大成就，正在向着全面建成小康社会和实现“两个一百年”奋斗目标迈进。中共十九大指出,中国特色社会主义进人新时代,我国社会主要矛盾已经转化为人民日益增长的美好生活需要和不平衡不充分的发展之间的矛盾。中华民族迎来了从站起来、富起来到强起来的伟大飞跃。
通过本单元的学习,认识真理标准问题讨论和中共十一届三中全会的历史意义;认识改革开放以来中国在各个领域取得的成就、综合国力及国际影响力的不断提高;认识“一国两制” 对实现祖国完全统一的重大意义;认识邓小平理论对建设中国特色社会主义的重要指导意义;认识“三个代表” 重要思想是加强和改进党的建设、推进我国社会主义自我完善和发展的强大理论武器;认识科学发展观是马克思主义关于发展的世界观和方法论的集中体现；认识中国特色社会主义进人新时代的重大意义,认清我国发展新的历史方位;认识习近平新时代中国特色社会主义思想是全党全国人民为实现中华民族伟大复兴而奋斗的行动指南；形成对中国特色社会主义道路、理论体系、制度、文化的形成过程及意义的系统认识。
## 第 28 课 中国特色社会主义道路的开辟与发展
1978 年 5 月，真理标准问题的讨论在全国范围内展开。在邓小平的支持下,这次讨论强调实践是检验真理的唯一标准,否定了“两个凡是”的错误观点,重新确立了实事求是的马克思主义思想路线,纠正了长期以来束缚人们的“左” 的错误，成为拨乱反正和改革开放的思想先导，为历史性转折作了重要的思想理论准备。
《光明日报》发表《实践是检验真理的唯一标准》评论员文章
## 伟大的历史转折
1978 年 12 月，中共十一届三中全会在北京召开。全会以邓小平的《解放思想,实事求是,团结一致向前看》重要讲话为指导,决定停止使用“以阶级斗争为纲”的错误口号,作出把全党工作着重点转移到社会主义现代化建设上来、实行改革开放的历史性决策。全会重新确立了党的思想路线、政治路线和组织路线,恢复了党的民主集中制的优良传统,审查解决了历史上遗留的一批重大问题和一些重要领导人的功过是非问题。中共十一届三中全会,实
## 学习聚焦
以中共十一届三中全会为起点,中国进入了改革开放和社会主义现代化建设新时期。拨乱反正有效地调动了社会各阶层人员的积极性,为改革开放奠定了必不可少的社会基础和群众基础。
## 史料阅读
实现四个现代化是一场深刻的伟大的革命。在这场伟大的革命中,我们是在不断地解决新的予盾中前进的。因此,全党同志一定要善于学习,善于重新学习
——邓小平《解放思想,实事求是,团结一致向前看》,《邓小平文选》第 2 卷 > 邓小平在刘少奇追悼会上致悼词 1980 年 2 月，中共十一届五中全会为刘少奇平反昭雪，完全推翻了强加给刘少奇的种种罪名,恢复了刘少奇作为伟大的马克思主义者和无产阶级革命家、党和国家主要领导人的名誉。刘少奇寃案的平反,推动了拨乱反正、平反寃假错案的进程。现了新中国成立以来党的历史上具有深远意义的伟大转折,开启了改革开放和社会主义现代化建设新时期。
中共十一届三中全会以后，党和国家按照实事求是、有错必纠的原则加快平反寃假错案的步伐。“文化大革命” 中受到迫害的各级党、政、军机关干部陆续得到平反，受到打击、诬陷或迫害的民主党派人士和知识分子等也恢复了名誉。国家还改正了错划右派分子的案件，摘掉地主、富农分子的帽子,为国民党起义投诚人员落实政策，将小商小贩、手工业者等劳动者同原工商业者区别开来,支持民主党派恢复活动,认真落实民族政策和宗教政策,重申侨务政策，等等。
1981 年 6 月,中共十一届六中全会在北京举行。全会审议和通过了《关于建国以来党的若干历史问题的决议》,科学总结了新中国成立以来社会主义革命和建设的历史经验,对统一全党思想,开展改革开放新的伟大革命,打下了重要的思想基础。
随着社会主义民主法制建设的恢复和发展,1982年底,五届全国人大五次会议表决通过了《中华人民共和国宪法》。这部宪法增加了适应改革开放和社会主义现代化建设的新规定，标志着我国社会主义民主政治建设进人新的阶段。
## 改革开放进程
改革首先在农村取得突破。家庭联产承包责任制在全国各地逐步推广开来。到 1983 年,农业总产值年均增长率近 $8 \%$,农民收人明显增加。城市经济体制改革按照逐步扩大国有企业经营自主权、实行政企分开原则,进行城市经济体制改革综合试点。对外开放迈出重大步伐。1980年 5 月,中央决定在深圳、珠海、汕头、厦门设立经济特区,采取多种形式吸引和利用外资,学习国外先进技术和经营管理方法。1984年,中央进一步决定开放 14 个沿海港口城市。
1982年，邓小平在中共十二大开幕词中提出了“建设有中国特色的社会主义”重大命题。1987年,中共十三大提出了社会主义初级阶段的理论,确立了“一个中心,两个基本点” 的基本路线。1992年,邓小平发表南方谈话,为中共十四大的召开作了重要的思想理论准备。中共十四大明确提出我国经济体制改革的目标是建立社会主义市场经济体制。我国按照建立现代企业制度的总体思路推进国有企业改革,大力推进财政、税收、外贸、外汇、价格、住房、社会保障等方面的体制改革。我国还建立起一批经济技术开发区和保税区,形成从沿海到沿江,从沿边到内陆,多层次、多渠道、多种形式的全方位对外开放的新格局。2000年 10 月，中共十五届五中全会提出实施“走出去” 战略,后来发展成为“引进来” 和“走出去” 相结合的开放战略。2001年 12 月,中国正式加人世界贸易组织,使中国更深层次地参与经济全球化进程，参与国际规则的制定。
## 学习聚焦
改革在农村、城市取得突破,建立社会主义市场经济体制,加入世界贸易组织,经济总量跃升至世界第二位。
(D) 历史纵横
“三步走”发展战略
中共十三大从社会主义初级阶段理论出发,制定了社会主义现代化建设“三步走”发展战略：第一步，到 20 世纪 80 年代末,实现国民生产总值比 1980 年翻一番,解决人民的温饱问题；第二步，到 20 世纪末，使国民生产总值再增长一倍，人民生活达到小康水平;第三步，到 21 世纪中叶，人均国民生产总值达到中等发达国家水平,人民生活比较富裕,基本实现现代化 く2010 年 5 月 1 日至 10 月 31 日，第41 届世界博览会在上海举行。10月 1 日，中国国家馆日升旗仪式在世博园中国馆前广场举行。
## 思考点
改革开放是决定当代中国命运的关键一招。谈谈你对这句话的理解。
## 学习聚焦
完成祖国统一大业,是中华民族的根本利益所在。进人 21 世纪，改革开放向重点领域和关键环节稳步推进,国民经济迈上新台阶。到 2010 年,中国国内生产总值超过 40 万亿元,经济总量跃升至世界第二位,成为仅次于美国的第二大经济体。
## "一国㢀制"与祖国统一大业
20 世纪 80 年代初，针对台湾问题，邓小平提出“一个国家,两种制度”的构想,但首先被运用于解决香港、澳门问题。“一国两制” 就是在祖国统一的前提下,国家主体坚持社会主义制度,同时在台湾、香港、澳门保持原有的资本主义制度和生活方式长期不变，享有高度的自治权。在国际上代表中国的，只能是中华人民共和国。
1984 年 12 月和 1987 年 4 月，中国政府分别同英国和葡萄牙政府签署了中英、中葡联合声明。1997年 7 月 1 日，中国对香港恢复行使主权，中华人民共和国香港特别行政区正式成立。1999年 12 月 20 日，中国对澳门恢复行使主权，中华人民共和国澳门特别行政区正式成立。香港、澳门的回归，标志着祖国统一大业向前迈出重要一步。
中英香港政权交接仪式中葡澳门政权交接仪式
## 史料阅读
“一国两制”是党领导人民实现祖国和平统一的一项重要制度，是中国特色社会主义的一个伟大创举。必须坚持“一国”是实行“两制” 的前提和基础，“两制”从属和派生于“一国”并统一于“一国”之内。
《中共中央关于坚持和完善中国特色社会主义制度推进国家治理体系和治理能力现代化若干重大问题的决定》( 2019年 10 月 31 日 )
## 学思之窗
2003 年，中央政府先后与香港、澳门特别行政区政府签署内地与香港、澳门关于建立更紧密经贸关系的安排：实现货物贸易零关税；扩大服务贸易市场准入；实行贸易投资便利化。此后又签署多个补充协议。
想一想,这一系列协议的签署及实施,对深化内地和香港、澳门的交流合作起到怎样的作用。
1979年元旦全国人大常委会发表《告台湾同胞书》后,中国政府推动大陆同台湾同胞的经济技术交流与合作,促进双方人员往来。1992年 11 月,大陆海峡两岸关系协会与台湾海峡交流基金会，就解决两岸事务性商谈中如何表述坚持一个中国原则的问题,达成“海峡两岸同属一个中国，共同努力谋求国家统一”的共识，后被称为“九二共识”。
## 关于台湾回归祖国、实现和平统一的九条方针政策
1981 年 9 月 30 日，全国人民代表大会常务委员会委员长叶剑英进一步阐明关于台湾回归祖国、实现和平统一的九条方针政策：
（一）为了尽早结束中华民族陷于分裂的不幸局面，我们建议举行中国共产党和中国国民党两党对等谈判，实行第三次合作，共同完成祖国统一大业。双方可先派人接触，充分交换意见。（二）海峡两岸各族人民迫切希望互通音讯、亲人团聚、开展贸易、增进了解。我们建议双方共同为通邮、通商、通航、探亲、旅游以及开展学术、文化、体育交流提供方便，达成有关协议。(三) 国家实现统一后，台湾可作为特别行政区，享有高度的自治权，并可保留军队。中央政府不千预台湾地方事务。（四）台湾现行社会、经济制度不变,生活方式不变,同外国的经济、文化关系不变。私人财产、房屋、土地、企业所有权、合法继承权和外国投资不受侵犯。(五）台湾当局和各界代表人士，可担任全国性政治机构的领导职务，参与国家管理。（六）台湾地方财政遇有困难时，可由中央政府酌情补助。(七台湾各族人民、各界人士愿回祖国大陆定居者，保证妥善安排，不受歧视，来去自由。（八 ) 欢迎台湾工商界人士回祖国大陆投资，兴办各种经济事业，保证其合法权益和利润。(九 ）统一祖国，人人有责。我们热诚欢迎台湾各族人民、各界人士、民众团体通过各种渠道、采取各种方式提供建议，共商国是。
1993 年 4 月，海协会会长汪道涵、台湾海基会董事长辜振甫在新加坡举行会谈。汪辜会谈标志着两岸关系发展迈出了重要一步。经过海峡两岸同胞的共同努力,两岸往来日渐频繁，民间交往不断扩大，经贸合作蓬勃发展。2005 年 3 月，十届全国人大三次会议高票通过《反分裂国家法》，充分体现了党和国家以最大诚意和尽最大努力争取和平统一的一贯立场,表现了反对和遏制“台独” 分裂势力分裂国家、维护国家统一与领土完整的坚强决心。2015 年 11 月 7 日,两岸领导人习近平、马英九在新加坡会面,就进一步推进两岸关系和平发展交换意见。这是 1949 年以来两岸领导人的首次会面,翻开了两岸关系历史性一页。
习近平、马英九历史性握手
## 探究与拓展
## 问题探究
为了迎接社会主义现代化建设的伟大任务,会议回顾了建国以来经济建设的经验教训。会议认为,毛泽东同志一九五六年总结我国经济建设经验的《论十大关系》报告中提出的基本方针,既是经济规律的客观反映,也是社会政治安定的重要保证,仍然保持着重要的指导意义。实践证明,保持必要的社会政治安定,按照客观经济规律办事,我们的国民经济就高速度地、稳定地向前发展,反之,国民经济就发展缓慢甚至停滞倒退。现在,我们实现了安定团结的政治局面，恢复和坚持了长时期行之有效的各项经济政策,又根据新的历史条件和实践经验,采取一系列新的重大的经济措施，对经济管理体制和经营管理方法着手认真的改革,在自力更生的基础上积极发展同世界各国平等互利的经济合作,努力采用世界先进技术和先进设备,并大力加强实现现代化所必需的科学和教育工作。因此,我国经济建设必将重新高速度地、稳定地向前发展,这是毫无疑义的。
—《中国共产党第十一届中央委员会第三次全体会议公报》( 1978 年 12 月 22 日通过 $)$
1978 年,在邓小平先生倡导下,以中共十一届三中全会为标志,中国开启了改革开放历史征程。从农村到城市，从试点到推广,从经济体制改革到全面深化改革,40 年众志成城,40 年砥砺奋进,40 年春风化雨,中国人民用双手书写了国家和民族发展的壮丽史诗。
—一习近平《开放共创繁㭉 创新引领末来一一在博鳌亚洲论坛 2018 年年会开幕式上的主旨演讲》( 2018 年 4 月 10 日）
运用唯物史观,阐述中共十一届三中全会的历史意义。
## 学习拓展
搜集相关资料，结合所学知识，探讨“一国两制” 的由来、发展及实践意义。
## 第 29 课
改革开放以来的巨大成就
^“复兴号”与“和谐号” 相会的一瞬间
## 学习聚焦
中国特色社会主义理论体系,是中国共产党领导改革开放和社会主义现代化建设伟大实践的理论结晶,是坚持和发展中国特色社会主义的行动指南。改革开放 40 多年来,中国社会主义现代化建设取得历史性成就,综合国力不断增强,科技创新能力持续提升。外交全方位布局，形成面向末来、放眼全球的中国特色大国外交,为全球治理体系的改革与完善贡献中国方案。
## 中国特色社会主义理论体系的形成与发展
中国特色社会主义理论体系,是包括邓小平理论、“三个代表” 重要思想、科学发展观、习近平新时代中国特色社会主义思想在内的科学理论体系。
1978 年中共十一届三中全会以后,以邓小平同志为主要代表的中国共产党人,总结新中国成立以来正反两方面的经验,解放思想,实事求是,实现全党工作中心向经济建设的转移,实行改革开放,开辟了社会主义事业发展的新时期，逐步形成了建设中国特色社会主义的路线、方针、政策,阐明了在中国建设社会主义、巩固和发展社会主义的基本问题,创立了邓小小平理论。邓小平理论指引着我国
ム邓小平社会主义现代化事业不断前进。在 1997年中共十五大上,邓小平理论被写人党章,并被确立为党的指导思想。
1989年中共十三届四中全会以后,以江泽民同志为主要代表的中国共产党人,在建设中国特色社会主义的实践中,加深了对什么是社会主义、怎样建设社会主义和建设什么样的党、怎样建设党的认识,积累了治党治国新的宝贵经验,形成了“三个代表” 重要思想。始终做到“三个代表” 是中国共产党的立党之本、执政之基、力量之源。在 2002年中共十六大上,“三个代表” 重要思想被写人党章，并被确立为党的指导思想。
## 江泽民
中共十六大以后，以胡锦涛同志为主要代表的中国共产党人,根据新的发展要求,深刻认识和回答了新形势下
胡锦涛
## (D) 历史纵横
“五位一体”总体布局和“四个全面”战略布局
“五位一体”总体布局,即建设中国特色社会主义的总体布局,是经济建设、政治建设、文化建设、社会建设、生态文明建设五位一体。
“四个全面”战略布局,即建设中国特色社会主义的战略布局,是全面建成小康社会、全面深化改革、全面依法治国、全面从严治党。实现什么样的发展、怎样发展等重大问题，形成了以人为本、全面协调可持续发展的科学发展观。科学发展观是马克思主义关于发展的世界观和方法论的集中体现,是马克思主义中国化的重大成果。在 2007 年中共十七大上，科学发展观被写人党章。
2012 年，中国共产党第十八次全国代表大会在北京举行。大会明确坚定不移走中国特色社会主义道路,夺取中国特色社会主义新胜利的基本要求。大会根据我国经济社会发展实际,在中共十六大、十七大确定的全面建设小康社会目标的基础上提出全面建成小康社会的新要求，把党的宏伟目标、国家的发展前景、民族的复兴伟业与人民的幸福生活紧密联系在一起，集中体现了全党全国各族人民对美好生活的向往。在会上，科学发展观被确立为党的指导思想。在中共十八届一中全会上,习近平当选为中共中央总书记。
习近平
2017 年,中国共产党第十九次全国代表大会在北京召开。大会明确指出,经过长期努力,中国特色社会主义进人了新时代。我国社会主要矛盾已经转化为人民日益增长的美好生活需要和不平衡不充分的发展之间的矛盾。这是关系全局的历史性变化,对党和国家工作提出了许多新要求。大会确立习近平新时代中国特色社会主义思想为中国共产党必须长期坚持的指导思想。习近平新时代中国特色社会主义思想是对马克思列宁主义、毛泽东思想、邓小平理论、“三个代表” 重要思想、科学发展观的继承和发展,是马克思主义中国化的最新成果,是中国特色社会主义理论体系的重要组成部分,是全党全国人民为实现中华民族伟大复兴而奋斗的行动指南。在习近平新时代中国特色社会主义思想指导下，中国共产党领导全国各族人民，统揽伟大斗争、伟大工程、伟大事业、伟大梦想,坚定中国特色社会主义道路自信、理论自信、制度自信、文化自信，为实现中华民族伟大复兴的中国梦不解奋斗。
党的十八大以来,中国特色社会主义进入新时代,我们……战胜一系列重大风险挑战，实现第一个百年奋斗目标，明确实现第二个百年奋斗目标的战略安排,党和国家事业取得历史性成就、发生历史性变革，为实现中华民族伟大复兴提供了更为完善的制度保证、更为坚实的物质基础、更为主动的精神力量。中国共产党和中国人民以英勇颁强的奋斗向世界庄严宣告，中华民族迎来了从站起来、富起来到强起来的伟大飞跃,实现中华民族伟大复兴进入了不可逆转的历史进程!
一一习近平《在庆祝中国共产党成立 100 周年大会上的讲话》
(2021年7月1日）
结合所学知识,谈谈你对上述材料的理解。
2018 年 3 月 11 日，第十三届全国人民代表大会第一次会议表决通过了《中华人民共和国宪法修正案》。这次宪法修改把中共十九大确定的重大理论观点和重大方针政策,特别是习近平新时代中国特色社会主义思想载人国家根本法,体现了党和国家事业发展的新成就、新经验、新要求,在总体保持宪法的连续性、稳定性、权威性的基础上推动了宪法与时倶进、完善发展。(11) 史料阅读
从现在到二 $O$ 二 $O$ 年,是全面建成小康社会决胜期 ……
从二 $O$ 二年到本世纪中叶可以分两个阶段来安排.....
第一个阶段，从二二 $O$ 年到二 $O$ 三五年,在全面建成小康社会的基础上,再奋斗十五年,基本实现社会主义现代化……
第二个阶段，从二三五年到本世纪中叶，在基本实现现代化的基础上,再奋斗十五年,把我国建成富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国。
—一近平《决胜全面建成小康社会夺取新时代中国特色社会主义伟大胜利一一在中国共产党第十九次全国代表大会上的报告》(2017年10月 18 日)
## 综合国力不断提升
## 学习聚焦
国民经济保持着快速增长,基础建设走在世界前列,国防和军队改革取得历史性突破。改革开放 40 多年来，中国国民经济一直保持着快速增长。2020年,中国经济总量突破 100 万亿元。2013年至 2019 年,中国对全球经济增长的年均贡献率接近 $30 \%$。中国的外汇储备超过 3 万亿美元，位居全球第一。中国的国际竞争力持续增强。
■2011至2019年中美日国内生产总值柱状图
^“神威・太湖之光” 超级计算机
中国的基础设施建设在众多领域走在世界前列。高速铁路运营总里程超过 4 万千米,高速公路里程突破 15.5 万千米，都居世界第一。世界港口吞吐量前 10 位里面中国占有7席。以“复兴号”为代表的新一代高铁技术、特高压输变电技术、“神威・太湖之光” 超级计算机、“奋斗者号” 全海深载人潜水器、载人航天和探月工程、C919大型客机、世界最大单口径球面射电望远镜 $\operatorname{FAST}$ (天眼) 等,都展示了中国自主研发和制造的实力。中国移动通信技术实现了 $4 \mathrm{G}$ 同步、5G 引领跨越的快速发展。得益于云计算、移动通信和卫星精准定位系统,中国移动支付走在世界前列,全球将近 $40 \%$ 的网上交易发生在中国。以港口机械装备全自动化、物流全自动分拣流水线等为代表的人工. 智能,助推中国在新一轮科技革命和产业变革中实现跨越式发展。
## 学思之窗
2017年 5 月 3 日,中国科学技术大学潘建伟教授宣布,研究团队构建了世界首台超越早期经典计算机的单光子量子计算机。据介绍，一台操纵 50 个微观粒子的量子计算机，对特定问题的处理能力可超过超级计算机
## 《人民日报》( 2017 年 5 月 4 日第 1 版 )
结合中国近年来所取得的科技成就,谈谈科技创新在引领发展、建设创新型国家中的重要作用。
港珠澳大桥
全面建成小康社会,不仅要国内生产总值和城乡居民人均收人比 2010 年翻一番，更要国民素质和社会文明程度显著提高。这就要求物质文明和精神文明“两手抓，两手都要硬”,在全社会弘扬社会主义核心价值观,构筑共同的思想道德基础，为奋进的中国提供强大的精神力量。
中共十八大以来，国家继续把教育放在优先发展的位置上，教育经费连年保持在占国内生产总值的 $4 \%$,中国教育总体发展水平进人世界中上行列。全国文化事业费年增速超过 $10 \%$，老百姓有越来越多的文化获得感。文化产业持续发力,公共文化服务面向基层,均等化、标准化水平明显提升。文化创作弘扬中华优秀传统文化。电视剧数量和图书出版量稳居世界第一。电影票房连创新高。文学艺术唱响主旋律,媒体融合深度发展。中国文化加快走出去步伐，推动文明互鉴，传播中国声音。(D) 历史纵横
习近平对新时代
文艺工作的指示
2017 年9月，在第十四届精神文明建设“五个一工程”表彰座谈会上，习近平作出重要指示。他强调，文艺是时代前进的号角，希望广大文艺工作者坚持以人民为中心的创作导向，坚持“为人民服务、为社会主义服务” 的“二为”方向，坚持“百花齐放、百家争鸣” 的“双百” 方针,坚持创造性转化、创新性发展，精益求精、潜心磨砺，以传世之心打造传世之作,不断创作生产优秀作品,书写和记录人民的伟大实践、时代的进步要求，唱响主旋律、传递正能量，塑造中国形象、弘扬中国精神，坚定人民信心、振奋人民精神，为实现“两个一百年” 奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦提供强大精神力量
国防和军队改革取得历史性突破,形成军委管总、战区主战、军种主建新格局,人民军队组织架构和力量体系实现革命性重塑。中国人民解放军整体实力跃升,向着世界一流军队迈进。武器装备加速发展,军事斗争准备取得重大进展。解放军坚决维护国家主权、安全、发展利益。划设东海防空识别区,执行钓鱼岛维权斗争、南海常态化战斗巡航，有效进行海上维权、反恐维稳、抢险救灾、国际维和、亚丁湾护航、人道主义救援等重大任务。
$\Delta 2018$ 年 4 月 12 日，习近平在南海检阅海上编队
# 国际影响力不断扩大
## 学习聚焦
中国全方位外交布局彰显中国特色大国外交的新浑煌。
## 思考点
怎样理解新型国际关系?改革开放以来，中国遵循和平发展理念,全方位开展对外交往,积极参与国际事务,努力争取良好的国际环境和周边环境，外交工作取得令人瞩目的成就。中共十八大以来，中国推动建设相互尊重、公平正义、合作共赢的新型国际关系。中国积极发展全球伙伴关系,扩大同各国的利益交会点。推进大国协调合作，构建总体稳定、均衡发展的大国关系框架。按照“亲、诚、惠、容” 的理念，深化同周边国家关系。对非洲关系提出“真实亲诚” 理念,形成中国与非洲国家休戚与共、共同发展、文明互鉴的友好合作关系。中国同欧洲、拉美之间也相互增进了解，加强合作。中国作为联合国安理会常任理事国之一，倡导和平共处五项原则,支持联合国在国际事务中发挥核心作用,推动和平解决朝鲜半岛核问题、伊朗核问题、叙利亚问题、中东和平进程等国际和地区热点问题。中国积极促进全球治理体系改革与完善,推动气候变化《巴黎协定》生效。中国倡议设立的亚洲基础设施投资银行,是对既有国际金融体系的有益补充。共商共建共享是中国提出的共建“一带一路” 倡议的核心理念,是各方推动“一带一路” 的重要共识,被写人联合国决议和亚太经合组织领导人宣言等重要国际文件。中国正从经济全球化的积极参与者变成更具有影响力和作用力的推动者。中国坚持和平发展道路,推动构建人类命运共同体,为世界和平与发展提供中国方案。
## ■ 历史纵横
$$
\text {“一带一路” }
$$
“一带一路” (英文名称为 the Belt and Road，名称缩写为 $B \& R$ ）是“丝绸之路经济带” 和“21世纪海上丝绸之路” 的简称，旨在借用古代丝绸之路的历史符号,高举和平发展的旗帜,充分依靠中国与有关国家既有的双边、多边机制，借助既有的、行之有效的区域合作平台,积极发展与沿线国家的经济合作伙伴关系，努力实现政策沟通、设施联通、贸易畅通、资金融通、民心相通，打造国际合作新平台，增添共同发展新动力。
国家综合国力不断提升和国际影响力不断扩大,充分说明了中国特色社会主义制度的优越性。中国特色社会主义制度是当代中国发展进步的根本制度保障,是具有明显制度优势、强大自我完善能力的先进制度。
2018年 4 月 10 日，习近平出席博鳌亚洲论坛 2018 年年会开幕式,并发表题为《开放共创繁䒩 创新引领末来》的主旨演讲
## 探究与拓展
## 问题探究
经过长期努力,中国特色社会主义进入了新时代，这是我国发展新的历史方位。中国特色社会主义进入新时代,意味着近代以来久经磨难的中华民族迎来了从站起来、富起来到强起来的伟大飞跃,迎来了实现中华民族伟大复兴的光明前景;意味着科学社会主义在二十一世纪的中国焕发出强大生机活力,在世界上高高举起了中国特色社会主义伟大旗帜;意味着中国特色社会主义道路、理论、制度、文化不断发展,拓展了发展中国家走向现代化的途径,给世界上那些既希望加快发展又希望保持自身独立性的国家和民族提供了全新选择，为解决人类问题贡献了中国智慧和中国方案。
这个新时代，是承前启后、继往开来、在新的历史条件下继续夺取中国特色社会主义伟大胜利的时代,是决胜全面建成小康社会、进而全面建设社会主义现代化强国的时代,是全国各族人民团结奋斗、不断创造美好生活、逐步实现全体人民共同富裕的时代,是全体中华儿女勠力同心、奋力实现中华民族伟大复兴中国梦的时代,是我国日益走近世界舞台中央、不断为人类作出更大贡献的时代。
—一习近平《决胜全面建成小康社会夺取新时代中国特色社会主义伟大胜利一一在中国共产党第十九次全国代表大会上的报告》(2017年 10 月 18 日)
结合上述材料,谈谈你对中国特色社会主义进人新时代重大意义的理解。
## 学习拓展
开展社会调查,围绕收人水平、衣食住行、医疗保障、文化教育、通信手段等主题,对改革开放后身边的家庭和社区变化进行多方面了解,感受改革开放以来人民生活水平的不断提高。
## 家国情怀与统一多民族国家的演进
自古以来,我国就是一个多民族共存、共同发展的国家。各民族交往交流交融,相互依存,互相影响,形成了中华民族多元一体的格局，共同推进着统一多民族国家的发展。
家国情怀是中华优秀传统文化的基本内涵之一。我国儒家经典《礼记・大学》提出了“修身齐家治国平天下”。《孟子》解释说：“天下之本在国,国之本在家,家之本在身。”家是国的基础,国是家的延伸,国家与家庭、社会与个人密不可分。一个人树立治国的志向,首先要从修身齐家做起,这成为历代有志之士的追求。古人说“一屋不扫何以扫天下”“先天下之忧而忧,后天下之乐而乐”“天下兴亡，匹夫有责”,这些都是讲修身与治国的关系。经历了近代列强侵略、国破家亡的苦难与伤痛,家国情怀被赋予新的时代意义。
我国历史上涌现出众多富有家国情怀的仁人志士。汉朝班超一家数代对国家作出了贡献。近代以来,著名政治家和学者梁启超,不仅本人对国家发展作出了贡献,他的九个子女也都成为有用之才。中国航天奠基人之一梁思礼院士是梁启超的少子，在被问及从父亲那里继承了什么时,他说:“爱国！”抗日战争中,回族青年马本斋和他母亲英勇抗日的事迹,传颂至今。中国共产党人更是体现家国情怀的典范。正如方志敏被捕入狱后写下的“假使能使中国民族得到解放,那我又何惜于我这一条蚁命!”“假如我还能生存,那我生存一天就要为中国呼喊一天” 的名句,激励着一代代中华儿女前仆后继。习近平总书记说过:“修身、齐家、治国、平天下,我们这代人自小就受这种思想的影响。”学习中外历史,每个爱国学子都要把增长知识、学好本领与国家的富强联系起来!
## 活动主题
以“家国情怀与统一多民族国家的演进”为主题，通过个人学习、小组合作和班级展示等方式，了解我国统一多民族国家的演进，加深对家国情怀的认识和感悟。
## 活动目标
1. 以唯物史观为指导，通过对统一多民族国家演进过程的梳理、总结,了解和把握中国历史发展的总趋势,构建起系统的时空观念,加深对历史知识的理解和解释，进一步认识统一多民族国家的发展是中华民族历史发展的主流和必然趋势。认识国家统一、民族团结是中国发展的重要基石。形成对祖国、对中华民族的认同感和正确的国家观、民族观，是实现中华民族伟大复兴的重要保证。增强维护国家统一、铸牢中华民族共同体意识，全面提升历史学科核心素养。2. 通过对统一多民族国家演进过程中涌现出来的英雄人物及其事迹的学习,明确自己的责任与担当,培养与国家民族休戚与共的情怀和以百姓之心为心、以天下为己任的使命感，确立积极进取的人生态度。3. 通过对疆域变化的学习,认识中国版图的形成是中华民族几千年不断开拓进取和巩固发展的结果，各民族共同对边疆治理和开发作出了重要贡献；认识西藏、新疆、南海诸岛、台湾及其附属岛屿钓鱼岛等自古以来就是我国领土不可分割的一部分，强化国家主权意识、海洋意识和国防意识，坚决维护国家主权和领土完整。
## 活动过程
步骤一
全班学生以个人自学的方式,回顾和梳理中国从古代、近代到现代统一多民族国家的演进过程，思考统一多民族国家形成过程中最重要的精神纽带是什么。
步骤一
全班根据情况,分成若干小组,每个小组确定本组的研究内容。第一组研究的主题是统一多民族国家的演进过程。以时序为线索,分别从中国古代、近代和现代三个时期,梳理出我国统一多民族国家是如何形成、发展和巩固的。通过搜集中国历代疆域图,对西藏、新疆、南海诸岛、台湾及其附属岛屿、钓鱼岛等地区进行历史考察,比较、分析、运用地图中的信息,从历史角度认识这些地区自古以来是中国的领土，进而说明统一多民族国家的发展演进过程。
第二组研究的主题是家国情怀在统一多民族国家演进过程中的具体表现。理解什么是家国情怀,梳理出中国古代、近代、现代三个不同历史时期的重要历史人物和重大历史事件，尽可能将统一多民族国家建立和发展过程中的重要历史人物、重大历史事件编制成思维导图。同时，从秦汉、隋唐、宋元、明清等时期，搜集、整理为统一多民族国家发展作出贡献的一个代表性家族的历史资料。
第三组研究的主题是跨学科内容的整合研究。加强历史与地理、政治等学科的知识联系,试图从历史的、民族的、地理的、社会的等多个角度探讨统一多民族国家发展的历史。
第四组研究的主题是理解家国情怀与统一多民族国家演进的关系，总结家国情怀的内涵及其历史意义与现实意义。
步骤三
各组在明确研究主题和方向后,经过小组集体研讨,确定本组的研究计划,明确每个组员的具体分工,制订本组搜集、整理、分析相关资料的路线图，确定本组研究成果的呈现方式等。
步骤四
各组在研究资料的基础上,根据实际条件,可走访当地文物局、博物馆、宗祠等,实地观察记录;也可深人当地高校相关院系或科研机构,寻求专业指导。在此基础上,结合小组成员的研究成果,完成本组的研究报告。报告除文本外，还包括图片、视频及相关课件等。
步骤五
各组完成研究报告后,在全班举办“家国情怀与统一多民族国家的演进” 专题论坛,各组推荐一名代表在论坛上发表主题演讲,介绍本组的研究过程及成果。每组代表发言后,其他小组成员现场提问、点评,共同研讨。最后,在各组研究成果的基础上,取长补短,不断完善，形成全班的成果汇报材料。
## 活动拓展
1. 成果推广。将本班关于“家国情怀与统一多民族国家的演进” 活动成果以多种形式进行展示宣传，例如制作成果展板、举办年级或校级成果展示会、编辑论文集、利用网络媒体和社闭活动等载体进行宣传推广。2. 家史探寻。通过访谈自己的祖辈、父辈，查阅家谱、地方志或其他相关资料，探寻自己家族的历史，选择其中一位具有代表性的家族成员，以“我的家史一家国情怀”为题，撰写一篇历史习作，在全班交流。3. 名言推介。搜集中国历史上关于家国情怀的名言名句，如陆游的“位卑末敢忘忧国”，文天祥的“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”，林则徐的“苟利国家生死以，岂因祸福避趋之”，赵一曼的“末惜头颅新故国，甘将热血沃中华”,钱学森的“科学没有国界,但科学家有自己的祖国”等，在全班交流。
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## 第一章电子控制概述
控制,并不是一项新技术,早在古代就有人将控制技术应用到门门的设计中,但是电子控制技术却是在现代才被广泛应用于生产、生活中。电子控制技术已经渗透到生产、生活的方方面面,工业生产中几乎每一个环节都有电子控制技术的身影,日常生活中电子控制技术也必不可少。那么,控制技术是如何发展的呢?电子控制技术有哪些特点和典型应用,又是如何改变现代生活的呢?电子元器件是电子控制系统的基本组成单元,常用的电子元器件有哪些呢?怎么将这些电子元器件集成后发挥作用呢?在本章的学习中,同学们将逐渐知道这些问题的答案。本章还增加了一些拓展阅读,拓宽同学们的视野,也设计了一些思考与练习环节,帮助同学们通过解决问题加深对电子控制技术的认识。本章旨在让同学们对电子控制技术的知识有初步的掌握,从而具备一定的专业素养。
## 第 1 节 控制技术的发展
第2 节 现代控制技术的特点
第 3 节 电子控制技术改变现代生活
第 4 节常用电子元器件的识别及焊接
## 第 1 节 控制技术的发展
## 学习目标
1. 了解控制技术的发展过程及基本含义。2. 掌握电子控制技术的定义及应用领域。3. 理解电子控制系统的定义及组成。
控制技术经历了一系列的发展,最终形成现代的电子控制技术。电子控制技术广泛应用于各个领域,是电子控制系统的核心,是现代技术中不可或缺的一部分。
## 1 控制技术的发展
控制技术,一般指人们为了使事物向着期望的目标发展所采用的手段或方法。随着人们需求的发展和技术手段的丰富,控制技术由最初的人工控制逐步发展为机械控制,再进一步演化出后来的电子控制,如图 1-1所示。面对多种多样的控制技术,我们应当根据不同的需要以及被控对象的特点,选择合适的控制方式来实现控制目的。
## 2 电子控制技术
电子控制技术是一门运用电子电路来实现控制功能的技术。它不仅常用于日常生活，而且广泛应用于工业、农业、医疗、军事、航天等各个领域。
现代工业中,一些车间的生产线 (图 1-2) 常常采用自动化控制的方式,这样不仅大幅度节约了人工成本,还能保证产品的质量,减少生产材料的损耗,统一的流水线生产也使得车间的生产环境更加干净整洁，工作效率更高。
图 1-2 生产线
电子控制技术在现代农业生产中同样扮演着不可或缺的角色。传统的人工操作逐渐被应用了电子控制技术的现代化农业机械所代替,这不仅解放了劳动人民的双手,还可以显著提高农业生产效率,增加农作物的产量,因此农民的收人得到提高,生活水平也得到改善。图 1-3 中就是一种现代农业中常用到的农业机械。
图 1-3 农业机械
在过去,很多疑难杂症,如天花、肺结核等,因为治疗条件和技术水平有限而难以治愈,导致很多患者最终失去生命,很多家庭支离破碎。如今，随着现代化控制技术以及其他先进的科学技术在医疗领域的应用,医疗设备不断进步,医疗水平也逐渐提高。图 1-4 中的医疗设备就是现代医疗中常见的核磁共振仪,其中也应用了电子控制技术。现代医疗技术的发展，使很多病症得以治愈。相信在不久的将来,电子控制技术的进一步发展和创新,将有助于更多的病症被攻克。
图 1-4 医疗设备
军事工业也是电子控制技术应用的一个重要领域。现代军事装备有导弹、坦克、潜水艇、航空母舰等,还有图 1-5 中正在进行飞行表演的战斗机,它们都离不开电子控制技术。高精尖的军事装备有利于提高我国的军事实力,更好地维护我国的国家安全和人民利益。
图 1-5 军事装备
从2003年的“神舟五号”首次升空，再到之后的“神舟七号”“神舟九号”等先后升空,我国的航空航天事业持续快速发展。航天器是非常复杂的系统,多方面运用现代科学技术,控制技术在其中发挥着重要作用。图 1-6中展示的是运载火箭升空时的景象。我国现代航空航天事业的进步和发展,值得每一位中国人为之兴奋和自豪。
图 1-6 运载火箭升空
## 拓展阅读
我国的航空航天事业始于 20 世纪 50 年代。1956 年初，著名科学家钱学森先生向国务院提出了《建立我国国防航空工业意见书》,对我国的航空航天事业起到了极为重要的推动作用。1970 年，我国第一颗人造卫星“东方红一号”发射升空,开启了中国航天的新纪元。此后,中国航天人不断努力,不解探索。2003 年 10 月 15 日 9 时,我国第一艘载人飞船“神舟五号”伴随一声巨响在酒泉卫星发射中心点火升空,航天员杨利伟和中国国旗进入太空,这使得中国成为第三个将人类送上太空的国家。2005年 10 月 17 日，“神舟六号”首次完成多人多天的航天飞行。2007年 10 月 24 日，我国第一颗绕月人造卫星“嫦娥一号”在西昌卫星发射中心成功发射,并于 2009 年 3 月 1 日撞向月球预定地点。“嫦娥一号” 以中国神话人物嫦娥命名,取“嫦娥奔月”之意,探月活动主要有四大目标：获取月球表面三维影像、分析月球表面有用元素含量及分布特点、探测月壤厚度以及探测地球与月球之间的空间环境。2008 年 9月27日,“神舟七号” 成功实现航天员出舱,进行太空行走。此后,“嫦娥”系列探测器和“神舟”系列载人飞船相继升空。2020年,新一代载人飞船试验船、空间站、“神舟十二号”、“天舟二号”等任务顺利进行,“嫦娥五号”也将实现月面无人采样返回,完成探月工程三期任务,中国航天从末停下探索太空的脚步。
## 3 电子控制系统
电子控制系统,核心是电子控制技术。一个电子控制系统中一般包含电容器、电感器等电子元件,也会有二极管、三极管、集成电路等电子器件,各个模块之间相互作用、互相依赖,形成一个整体，以实现控制的目的。
电子控制系统一般包括输人、处理和输出三部分。输人部分主要是接收输入的控制信息,常见的有作用力、光、温度等,这个部分通常是由各类传感器构成,将接收到的信息转化成系统可传递的电信号。处理部分是电子控制系统的核心,主要是对输人部分传递的电信号进行分析处理,由具有控制功能的电子电路组成,并给出最终指令。输出部分即为电子控制系统的执行机构,用于完成指令要求,形式包括声音、图像、动作等,组成也是多种多样,常见的有电磁继电器、晶闸管等。
图 1-7 现代家居设备
电子控制系统在生活中随处可见,图 1-7中为一些家庭生活中常见的现代家居设备。例如,家庭中使用的空调,人们可以根据需要来控制它的开关,设定需要达到的温度,甚至是利用定时操作来控制它的工作时间;我们所熟悉的电视机,人们可通过遥控器发出红外信号来控制它的开关、音量、频道等；㡡房中常见的电饭保,人们可以通过控制面板来控制烹饪方式、享饪时间等。
## 思考 \& 练习
1. 控制技术的发展经历了哪些过程?2. 电子控制系统通常包括哪些部分?每一部分的功能是什么呢?
## 第 2 节 现代控制技术的特点
## 学习目标
1. 了解现代控制技术的特点。2. 了解现代控制技术的相关应用场景。
随着人类科学技术的不断进步,科技含量高的生产工具逐渐取代了简单的人力操作。尤其是数控机床、电子计算机等工具的大量应用,使得工矿企业中,大量的体力劳动逐渐被精密化、程式化的现代工具所代替,而一些远程的、需要进行实时工业控制的危重作业也逐渐由电子设备代劳。
## 1 电子化
在现代控制技术中,电子元器件是最为常见也是不可或缺的部分。电子技术的不断发展,电子设备的普及,大大推动了电子控制系统在现代社会中的应用。
晶体管收音机 ( 图 1-8),是一种基于晶体管的小型无线电接收机。第一款民用晶体管收音机诞生于美国印第安纳州,由印第安纳波利斯市工业发展工程师协会研制。晶体管收音机是继电子管收音机后的第二代收音机,与电子管相比,晶体管具有体积小、重量轻、耐震动、寿命长、耗电少等优点。因此,晶体管收音机可制作得非常小巧,且性能较稳定。晶体管收音机问世后,便携式收音机和袖珍收音机大幅占据市场,便于人们携带使用。之后,随着集成电路的出现和发展,晶体管又被集成电路所代替,由此出现第三代收音机一集成电路收
图 1-8 晶体管收音机音机。
现代控制技术的电子化,主要体现在体积小、使用方便、清洁高效,为现代生活提供便利。电子元器件造价低,易于获取。随着制造工艺越来越成熟,电子元器件的集成度越来越高,被应用在各个领域,具有很大的竞争力。
## 2 网络化
现代社会中，电子设备被广泛应用到我们生活中的方方面面。而人们对于电子设备的要求和期待也越来越高,电子设备有了越来越高端的配置、越来越复杂的控制系统。
汽车可视为现代控制技术的典型应用。现代汽车已基本实现联网 (图 1-9),日常使用过程中,无论是听音乐、打电话,还是其他操作等,都无一例外使用到网络。网络一体化,每个模块各司其职,共同作用,服务于整台汽车的运作。为优化系统控制作用,需要引人网络总线来操纵多个控制模块,保证信息实时交互,提高装置的传递速率和安全性能。汽车传输网络标准主要有三种。第一种是低速网络,数据传输速率在 $10 \mathrm{kbps}$ 以下,主要用于控制对于反应速率要求不高的简易设备,如车窗、车灯等;第二种是中速网络,数据传输速率低于 $100 \mathrm{kbps}$,用于控制仪表盘、安全气囊等;第三种是高速网络,数据传输速率可高达 $1 \mathrm{Mbps}$,用于控制发动机、防抱死系统等设备。这三种网络在功能上是向下兼容的,高速网络可涵盖中速和低速网络的功能,中速网络可实现低速网络的功能。
图 1-9 汽车网络
电子控制系统的网络化不单指某一独立网络,往往是多个网络共同协作，实现整个系统的正常运行。
## 3 智能化
近几年来，最热门的词汇莫过于“智能”,但何为“智能” 呢?
某些资料中对“智能”一词是这样解读的：智能,是智力和能力的总称。中国古代思想家一般把智与能认为是两个相对独立的概念。《荀子》中有记载:“所以知之在人者谓之知。知有所合谓之智。智所以能之在人者谓之能。能有所合谓之能。” 通常认为“智” 指进行认识活动的某些心理特点,“能” 则指进行实践活动的某些心理特点。
在科学领域,“人工智能”指的是机器已经达到可熜美人类的智力和能力,甚至有过之而无不及,且具有自我学习及自我成长的特质。
在现代生活中,我们了解或接触到很多“智能” 的机器,如智能机器人 (图 1-10)、机械臂等。在这些机器内部有着非常复杂的控制程序，现代控制技术的智能化，让人为之着迷。
图 1-10 智能机器人
## 拓展阅读
“人工智能” 其实并不是一个新兴词汇，早几乎到了全民皆知的地步。人工智能不是单一的在1956年,以麦卡赛、明斯基等为首的一批年轻学科,而是多学科的交叉,涉及数学、计算机科科学家,就提出了这一术语。但是因为当时客观条件的局限性，人工智能并没有得到很好的关注学、认知科学、哲学等,研究范围更是涵盖计算和发展。20世纪 90 年代,一款名为“深蓝” 的机视觉、自然语言处理、模式识别、神经网络等多个领域。目前,众多高校已经将人工智能相关计算机一举击败当时的世界国际象棋冠军,向知识纳入教学课程,并开设相应学科,一些企业人们展示了人工智能技术意想不到的价值和意也逐步将人工智能投入商业化生产。
义。近年来,人工智能更是一跃成为热门词汇，
## 第了节电子控制技术改变现代生活
## 学习目标
1. 理解电子控制技术对现代生活带来的改变。2. 熟悉与掌握生活中能接触到的电子控制技术。
现代生活中的方方面面都有着电子控制技术的身影,也正是因为电子控制技术的进步,我们的生活水平不断提高,生活环境也越来越便利。那么,电子控制技术到底是如何改变现代生活的呢?
## 1从门锁演变看控制技术
安全是人们在生活中的基本需要之一。为了能满足和更好实现这一需要,人们发明了锁具来控制门的开和关。多少年以来,锁具在日常生活中被广泛地使用,并随技术的发展而发展。
在古代,生活中被广泛使用的锁具是人工控制的木门（图 1-11)。这种装置的特点是简单,但安全性低,且只能单向从内侧实现控制，有着非常大的局限性。
图 1-11 木门随着技术的发展,金属锁出现了。这种锁具大多由铜或铁制作而成,锁内有片状的弹簧,利用钥匙与内部凹槽的卡合,再借助弹簧的弹力作用来实现控制。随着社会的进步,金属锁的原材料种类日渐丰富,制作工艺越来越精巧,款式也是越来越多样化。图 1-12 中是古往今来一些典型样式的金属锁。
图 1-12 各类金属锁
在现代社会中,我们越来越多地接触到电子锁（图 1-13)。我们不再需要随身携带钥匙来实现控制,而仅需要输人密码、指纹或人脸识别等。这种锁具的安全性高,方便可靠,为生活带来很多便捷。
图 1-13 电子锁
## 2 电子控制技术对生活的改变
随着现代技术的进步,我们的生活发生了翻天覆地的变化。传统的人工控制、机械控制发展为现代电子控制技术,为现代人的衣、食、住、行等各个方面带来了便利。
$\rightarrow$ 衣
世界上第一台洗衣机据传在 1858 年诞生于美国的匹兹堡,由汉密尔顿 - 史密斯制成。这台洗衣机外部是一只圆桶,内部是一根带有桨状叶子的直轴,工作原理是通过手摇外部曲柄带动桶内直轴转动,这就是机械控制的应用,被视为现代洗衣机的开端。在此之前,传统的洗衣方式都是手洗。21世纪以来，电子控制技术被应用到洗衣机中。市面上常见的现代洗衣机有波轮洗衣机和滚筒洗衣机等,这已经成为每个家庭的生活必需品，图 1-14中的洗衣机就是一种现代家庭生活中常见的洗衣机。现代洗衣机对衣物损伤比早期机械控制的洗衣机小很多，同时洗衣快速，节省了大量时间,更加适应现代人快节奏的生活方式。
图 1-14 洗衣机
$\rightarrow$ 食
俗话说“民以食为天”,餐饮不仅满足每人每天对能量的摄取,更是提升幸福感的一种方式。从最早的钻木取火,到现代社会的电磁炉、电饭煲等家用电器;从传统的地窖存储、冰镇保鲜,到现代社会中冰箱、冰柜的普及一一食材的制作、保鲜从原始的人工控制,逐渐发展到现代厨房中无处不在的电子控制技术。在现代厨房（图 1-15 ) 中,无论是冰箱还是微波炉,又或者是抽油烟机,这些设备无一例外都应用了电子控制技术。
图 1-15 现代厨房
## छ口住
建筑的演变反映了社会的进步发展。高是很多现代建筑的特点之一。人们常用高楼大厦这个词语来描述都市里的现代建筑,这些建筑通常有十几、二十几甚至三四十层高。不同于古代文学作品中常提到的茅草屋等建筑,对于现代都市中的高楼大厦来说,最不可或缺的就是电梯（图 1-16)。我们的生活中几乎每天都需要借用这个
图 1-16 电梯工具,而要使电梯安全稳定地运行,精准到达每个楼层,就需要应用电子控制技术。
四、行
现代社会生活节奏快,得益于交通的便利。人们日常出行可以选择多种公共交通工具,如飞机、高铁、地铁、公共汽车等。借助现代化的交通工具,人们可以去往世界各地,并且能够节省大量旅途时间。如今,随着生活水平的提高,汽车 (图 1-17) 也逐渐成为每个家庭的必备品,方便人们的日常出行、周末出游等。上述这些交通工具无一例外,都有电子控制技术的身影,电子控制技术的发展与成熟惠及全民。
图 1-17 汽车
科学的进步,推动着时代的发展。正是因为电子控制技术的进步,我们的生活水平不断提高,生活的方方面面变得越来越便利。由点及面,个人生活中的点滴便利,反映着国家乃至世界的发展与进步。
## 思考 \& 练习
1. 除了前面提到的应用,你还能说出哪些电子控制技术的应用?2. 讨论电子控制技术在娜些方面对你影响最大。
## 第 4 节 常用电子元器件的识别及焊接
## 学习目标
1. 学会辨别和检测常用电子元器件。2. 掌握识读电子电路图的基本方法。3. 熟悉常见的焊接工具,掌握一种焊接方法。
电子元器件是组成电路和电子控制系统的基本单元,通过其端子与外部连接。电子产品的性能好坏,不仅取决于电路结构的设计,还取决于能否正确合理地选用电子元器件。电子元器件通常通过焊接的方式集成在电路板上,电路性能与电路板的焊接质量密切相关。
## 1 电子元器件的分类
通常将元器件分为有源元器件和无源元器件两大类。
有源元器件是指工作时,除了需输入信号,还必须有外加电源才可以正常工作的元器件,如晶体二极管、晶体三极管、MOS 场效应晶体管等。
无源元器件是指在电路中无须加电源即可在有信号时工作的元器件,如电阻器、电容器、电感器以及开关等。
习惯上称有源元器件为器件,称无源元器件为元件。
## 2 电子元器件的认识
电子元器件是组成电路的基本元素,常用的元器件列表如表 $1-1$ 所示。
## 一电阻器
电阻器的主要参数包括标称阻值、允许误差、额定功率和温度系数。由于电阻器的表面大小有限,一般只标明标称阻值、允许误差和额定功率。电阻器在工作时,如果实际消耗功率过高,会被烧毁。为了防止其在电路中被烧毁,选择电阻器时,应使额定功率高于实际消耗功率的 $1.5 \sim 2$ 倍。
## 表1-1 常用的元器件列表
电解电容器是有极性的，两根引脚一长一短,长的是正极,短的是负极
标有色环的一端是负极
两根引脚一长一短,长的是正极
标有型号的一面对向自己,三个引脚从左到右依次是发射极（E)、基极 $(\mathrm{B})$、集电极 ( C )
## 1. 色环标注
色环标注电阻器阻值的识别方法如图 1-18 所示。
## 2. 字母数字标注
22R：表示 $22 \Omega$
5R6：表示 $5.6 \Omega$
2M2：表示 $2.2 \mathrm{M} \Omega$
$220 \mathrm{~K}$：表示 $220 \mathrm{k} \Omega$
## 思考＆练习
1. 取若干色环电阻器,读出其阻值,并用万用表欧姆挡测量其阻值加以验证。2. 选用电阻器的时候，除了考虑阻值大小，还要考虑那些因素?
## 拓展阅读
$0 \Omega$ 电阻器在电路中主要有如下作用。
1. 在电路参数不确定的时候,以 $0 \Omega$ 电阻器代替,实际调试时,确定参数,再以具体数值的元器件代替。2. 一般产品上不用跳线和拨码开关，为避免用户误操作，用 $0 \Omega$ 电阻器代替跳线。2. 如果想测量电路消耗的电流，可以去掉 $0 \Omega$ 电阻器，接上电流表，方便测试。
## 一、电容器
电容器的主要参数包括标称容量、额定耐压值和允许误差等。额定耐压值是指电容器接人电路后,能连续可靠地工作而不被击穿时所能承受的最大直流电压。一般选择额定电压比实际工作电压高 $10 \% \sim 20 \%$ 的电容器。
电容器的误差一般分为三级，即 $\pm 5 \%、\pm 10 \%$ 和 $\pm 20 \%$，或写成 I 级、II 级和 III 级，有的电解电容器的容量误差可能大于 $\pm 20 \%$。
表 1-1 中的定值电容器上标有“104”，这是数字标注法。左边和中间的数字是有效数字,最右边的一位数字表示 10 的多少次方，单位默认是 $\mathrm{pF}$。即 104 表示的容量大小为 $10 \times 10^{4} \mathrm{pF}=0.1 \mu \mathrm{F}$。
电容器有时也采用直接标注法,在电容器的外壳上直接标出标称容量和允许误差。在不标单位的情况下，当用整数表示时，单位为 $\mathrm{pF}$;用小数表示时，单位为 $\mu \mathrm{F}$。标注示例如下。
$$
2200 \text {：表示 } 2200 \mathrm{pF} \quad 0.056 \text {：表示 } 0.056 \mu \mathrm{F}
$$
## 三、电感器
电感器的主要参数包括电感量、允许误差、品质因数和额定电流等。
品质因数也称 $Q$ 值或优值,是衡量电感器质量的主要参数。电感器的 $Q$ 值越高,其损耗越小,效率越高。电感器品质因数的高低与线圈导线的直流电阻、线圈骨架的介质损耗及铁心、屏蔽罩等引起的损耗有关。
额定电流是指电感器正常工作时允许通过的最大电流。若工作电流超过额定电流,电感器就会因发热而引起性能参数的改变,甚至还会因过流而烧毁。
## 思考 \& 练》
1. 选取电容器时要考虑哪些因素?2. 电感器的主要参数有哪些?四、晶体一极管
晶体二极管（简称二极管）在电路中通常用字母 D加数字表示,如 $\mathrm{D}_{1}、\mathrm{D}_{2}$ 等,其电路符号中有短直线的一端代表负极,另一端代表正极，如图 1-19所示。
图 1-19 一极管符号
当正极接电源正极,负极接电源负极时,称为正向偏置。当正极接电源负极,负极接电源正极时,称为反向偏置。
对于理想二极管,施加正向偏置时,二极管导通;施加反向偏置时,二极管截止。二极管具有单向导电特性,即二极管正向电阻值小,反向电阻值大。
二极管的主要参数如下。
(1) 最大整流电流 $I_{\mathrm{FM}}$,二极管长期运行允许通过的最大正向平均电流。
（2）反向击穿电压 $U_{\mathrm{BM}}$,允许加在二极管上的反向电压最大值。
(3) 反向电流 $I_{R}$,在规定反向电压下的反向电流值。反向电流越小,二极管的单向导电性能越好。
( 4 ) 最高工作频率 $f_{\mathrm{M}}$,当二极管的实际工作频率高于最高工作频率时,二极管来不及关断,相当于一直导通,失去其单向导电特性。
## 思考 \& 练习
1. 二极管的正向特性有何特点?使用二极管应注意哪些事项?如何用万用表判断二极管的好坏?2. 根据如图 1-20所示的电路图搭建实际电路,用万用表测量回路的电流、二极管两端的电压和灯泡两端的电压。
图 1-20 基本电路
## 五、晶体三极管
晶体三极管（简称三极管）也称双极结晶体管（bipolar junction transistor,BJT ),在电子电路中能起到开关或放大作用。音乐电子门铃、扩音器等都用到了三极管的放大作用。
晶体三极管在电路中通常用字母 $\mathrm{Q}$ 表示,识读三极管的电路符号时要注意以下几点。
(1) 箭头标识在发射极,其方向用以区分 NPN型三极管和 PNP 型三极管。（2）箭头方向是发射结（基极与发射极之间）正向偏置的方向。
（3）箭头方向是发射极的电流方向。
## 三极管的主要参数如下。
（ 1 ）共发射极交流电流放大系数 $\beta$,表示三极管工作在放大状态时,集电极电流变化量 $\Delta I_{\mathrm{C}}$ 与基极电流变化量 $\Delta I_{\mathrm{B}}$ 之比。三极管的 $\beta$ 值小时，放大作用差,$\beta$ 值太大时，工作性能不稳定。
(2) 特征频率 $f_{\mathrm{T}}$,当三极管的 $\beta$ 值下降到 $\beta=1$ 时所对应的频率。当工作频率 $f>f_{\mathrm{T}}$ 时,三极管便失去了放大能力。
(3) 集电极最大允许耗散功率 $P_{\mathrm{CM}}$,当实际耗散功率 $P_{\mathrm{C}}$ 大于 $P_{\mathrm{CM}}$ 时，不仅三极管的参数会发生变化，甚至还会烧毁。
(4) 反向击穿电压 $V_{(\mathrm{BR}) \mathrm{CEO}}$ 与 $V_{(\mathrm{BR}) \mathrm{CBO}}$,三极管的反向工作电压应小于击穿电压的 $\frac{1}{3} \sim \frac{1}{2}$,以保证三极管安全可靠地工作。
## 思考 \&练》
1. 取若干三极管（图 1-21)，识别其型号以及基极（B)、集电极（C、发射极（ $\mathrm{E}$ ）的位置。2. 如何用万用表判断 NPN 型三极管或 PNP 型三极管的好坏?对于一个正常 NPN型三极管，如何用万用表测量以识别器件的 B、C、E?
图 1-21 三极管
## 3 电路与电路符号
一、电路的约成
电路由电源、用电器、开关和导线组成。电路接通时,电流由电源正极流出，经开关、用电器等,流回电源的负极。
电源的作用是提供电能。日常使用的直流电源除干电池外,还可以由直流稳压器将交流电转换而成。
开关的作用是控制电路的通路和断路。直流电路中常用的开关有拨动开关、按钮开关等。
在一般电子制作和产品设计中,选用开关时,除了外形,参数方面通常需要注意额定电压、额定电流和接触电阻。
## 一、电路符号和电路图
电路图是指用规定的元器件符号代表实际电路连接情况的图。除了表 1-1 中列出的各类常用电子元器件符号,其他常用的电路符号如表 1-2 所示。
## 表1-2 常用电路符号
## 拓展阅读
MOS 管是金属（metal）-氧化物（oxide ）半导体（semiconductor）场效应晶体管的简称。通常有 $\mathrm{N}$ 型沟道 $\mathrm{MOS}$ 管和 $\mathrm{P}$ 型沟道 $\mathrm{MOS}$ 管两种类型,分别简称为 $\mathrm{NMOS}$ 和 PMOS，其电路符号如图 1-22 所示。国标推荐符号
其他常用符号
NMOS
PMOS
## 图 1-22 MOS 场效应晶体管
$M O S$ 管的器件功能类似于三极管，在电路中电路结构（CMOS 电路）实现一定的功能。由于实现信号的放大或开关的作用。在现代数字集成其静态功耗低的优点,CMOS 电路已成为目前集电路中，通常采用由 NMOS 和 PMOS 组成的互补成电路的主流工艺。
## 4 电路板焊接
焊接是完成电子元器件装配的最常见手段,焊接质量对电路的性能有着直接的影响。焊接按照其方式可以分为手工焊接与自动焊接。
常见的焊接工具及辅助材料有电烙铁、锡丝、助焊剂、焊锡膏、吸锡带、清洗剂等。部分常见焊接工具如图 1-23 所示。
图 1-23 部分常见焊接工具
电烙铁的主要用途是焊接元器件及导线,根据用途不同可分为大功率电烙铁和小功率电烙铁。锡丝由锡合金和助剂两部分组成。手工焊接配合使用锡丝与电烙铁,由电烙铁提供稳定持续的熔化热量,锡丝作为金属填充物添加到电子元器件的表面或缝隙中,完成焊接。
助焊剂具有保护作用,是一种阻止氧化反应的化学物质,在焊接工艺中能帮助和促进焊接过程的完成。
焊锡膏是由焊锡粉、助焊剂以及其他的表面活性剂、触变剂等加以混合形成的膏状混合物。
手工焊接是焊接技术中最常使用的焊接方法,也是电子产品装配与维修中的一项基本技能,适用于小批量或自动焊接有困难的应用场合。手工焊接的要求是焊接牢固,焊点光亮、圆滑、饱满。焊接的质量主要取决于焊接工具、焊料、焊剂和焊接技术。焊接过程可以分成五个步骤：准备施焊、加热焊件、送人锡丝、移开锡丝、移开电烙铁。图 1-24 为手工焊接的操作示例。
图 1-24 手工焊接操作示例
( 1 ）准备施焊。要求电烙铁头部干净,准备好电烙铁和锡丝。
(2) 加热焊件。使用电烙铁加热焊件,并保持焊件均匀受热,电烙铁接触焊点。
（3）送人锡丝。达到熔化锡丝的温度后,把锡丝送人焊点,锡丝熔化并润湿焊点。
（4）移开锡丝。锡丝熔化至达到焊接要求后,将锡丝移开。
（5）移开电烙铁。焊点被完全润湿后,沿 $45^{\circ}$ 方向向上移开电烙铁。
现代化企业广泛使用自动插装、自动焊接的生产工艺,自动焊接一般分为波峰焊和回流焊两大类。
随着制造业的快速发展,电子焊接技术的应用越来越广泛。电子产品生产更快、体积更小、价格更低的要求推动了电子制造技术的发展,电路板焊接技术呈现出向微电子焊接技术、无铅焊接技术这两个技术方向发展的趋势。有铅焊接技术有上百年的历史,具有较好的焊接可靠性和稳定性。随着环保要求的逐步提高,无铅焊接技术成为电子产业发展的一个必然选择。
## 本章小结
本章介绍了控制技术的发展过程,帮助同学们掌握电子控制技术、电子控制系统的基本知识;现代控制技术具有电子化、网络化和智能化的特点,在生产生活中得到广泛应用；电子控制技术对衣、食、住、行都有着不能忽视的影响,渗透到现代生活的方方面面;电子元器件是电子控制系统的基本组成单元,常用电子元器件的认识及使用是后续学习的前提,而将电子元器件焻接在电路板上是实现所需功能的第一步。本章知识结构如图 1-25 所示。
通过本章的学习,希望同学们对电子控制技术形成基本的认识和了解,感受电子控制技术的重要性及学习电子控制技术的必要性,同时注意观察、总结电子控制技术在现代生产生活中的更多应用场景，真正达到学以致用。
图 1-25 本章知识结构
## 本章学习评价表
课程目标/
实践项目
控制技术的发展
现代控制技术的特点
电子控制技术改变现代生活
常用电子元器件的识别及焊接评价方式
## 评价指标
能说明控制技术的发展过程及基本含义
掌握电子控制技术的定义及应用
理解电子控制系统的定义及组成
掌握现代控制技术的特点
了解现代控制技术相关应用场景
掌握电子控制技术对现代生活的改变
了解生活中接触到的电子控制技术
掌握辨别和检测常用电子元器件的方法
掌握识读电子电路图的基本方法
熟悉常见的焊接工具并掌握一种焊接方法
## 第二章模拟电路与数字电路
电路由基本的电子元器件按照一定的连接方式组成,可以实现一定功能。例如,我们要实现一个恒温控制系统,首先需要温度采集处理电路采集温度数据,然后需要逻辑比较电路实现温度比较,以决定是加热还是制冷。这些电路的工作方式是怎样确定的呢?它们的处理方式相同吗?通过本章的学习,同学们将了解模拟电路和数字电路处理信号的过程,初步掌握电子控制的实现方法。
## 第 1 节 模拟信号和数字信号
第 2 节 常用晶体管的基本原理和应用
第 3 节 晶体三极管的开关特性及其应用
第 4 节 数字电路中的基本组合逻辑电路
第 5 节 典型电路应用举例
## 第 1 节 模拟信号和数字信号
## 学习目标
1. 了解模拟信号和数字信号的特性。2. 了解模拟信号和数字信号相互转换的原理。
信号是承载信息的载体,它通常包含光信号、声信号和电信号等。电子控制系统中处理的信号有不同的分类和特征。
## 1 模拟信号和数字信号的特性
## 问题1: 你能举例说明身边都有哪些信号吗?
上课的铃声是声信号,表示该上课了；十字路口的红绿灯是光信号,可以保证交通安全和秩序;常见的广告牌也可以看成是文字或图像信号；收音机接收到的是广播信号。由此可见,信号给我们的生活带来极大的方便。
## 问题 2：常见的信号都可以通过电路直接处理或控制吗?
常见的信号,如声音、压力、温度、光的强弱等信号不能被电路直接处理。通常先经过传感器把所获取的信号转化为电信号,即电压或电流的变化量,然后再通过电路进行信号的处理,如放大、滤波等。
问题 3：生产线的零件个数、跳绳计数和温度等这些物理量有什么区别吗?
观察自然界中形形色色的物理量,可以发现其变化规律主要有两大类。
一类物理量的变化过程是连续的，其值随时间连续变化。这一类物理量叫作模拟量,表示模拟量的信号叫作模拟信号（ analog signal),处理模拟信号的电子电路叫作模拟电路。日常生活中常见的温度、压力等都是模拟量。另一类物理量的变化过程是不连续的,其值是离散的,且数值大小和每次的增减变化是某一个最小数量单位的整数倍,而小于这个最小数量单位的数值没有任何物理意义。这一类物理量叫作数字量,表示数字量的信号叫作数字信号 (digital signal),处理数字信号的电子电路叫作数字电路。例如,记录从自动生产线输出的零件数目时,每输出一个零件可记为 1,计数 1 个;没有零件输出时可记为 0,不计数。可见,零件数目这个量无论在时间上还是数值上都是不连续的,因此是一个数字量,最小的数量单位就是 1 个。
用图像来表示模拟信号和数字信号如图 2-1 所示，模拟信号的值是连续的,数字信号的值是不连续的。
图 2-1 模拟信号与数字信号示意图
在计算机中，数字信号的大小常用有限位的二进制数表示,例如,字长为 2 位的二进制数可表示 4 种大小的数字信号,它们是 00、01、10 和 11。二进制数易于由数字电路进行处理,因此得到了广泛的应用。
此外,在数字电路中,1 表示高电平信号,0 表示低电平信号。
## 2 模拟信号和数字信号之间的转换
由于数字电子技术的迅速发展,尤其是计算机在自动控制、自动检测等领域的广泛应用,用数字电路处理模拟信号的情况更加普遍了。
为了能够使用数字电路处理模拟信号,必须把模拟信号转换成相应的数字信号,输人计算机进行处理。同时,还要求把处理得到的数字信号再转换成相应的模拟信号,作为最后的输出。
我们把模拟信号到数字信号的转换称为模数 ( analog-to-digital,$\mathrm{A} / \mathrm{D})$ 转换,把实现模数转换的电路称为模数转换器 (analog-todigital converter,ADC );把数字信号到模拟信号的转换称为数模 (digital-to-analog,D/A ) 转换,把实现数模转换的电路称为数模转换器 ( digital-to-analog converter,DAC)。
为了保证数据处理结果的准确性,$\mathrm{ADC}$ 和 $\mathrm{DAC}$ 必须有足够的转换精度,同时,为了适应快速过程的控制和检测需要,$\mathrm{ADC}$ 和 DAC 还必须有足够快的转换速度。
## 一、模数转换原理
模数转换是将任意的模拟信号,按规定的位数变换为数字编码。如图 2-2 所示,模拟信号通常先经过采样保持电路在时间上离散化,然后根据每个采样时刻的模拟输人信号幅度的大小进行量化、编码,得到相应的二进制数。
模拟输人信号
图 2-2 模数转换基本原理
很明显,在每个周期内对模拟信号的采样次数越多,对模拟信号的再现就越准确,图 2-3 给出了不同采样频率的图示说明。
(a) 每个周期 8 次采样
(b) 每个周期 16 次采样
图 2-3 两种采样频率的再现准确程度比较
$\mathrm{ADC}$ 可以认为是一个编码器件,编码的位数 $N$ 为 $\mathrm{ADC}$ 的分辨率。因为 $2^{4}=16$,所以一个 4 位 $\mathrm{ADC}$ 可以表示一个模拟信号的 16 个不同值,类似地,一个 8 位 $\mathrm{ADC}$ 可以表示一个模拟信号的 256 个不同值,一个 12 位 ADC 可以表示一个模拟信号的4 096 个不同值。输出二进制数的位数越多,转换越准确。二、数模转换原理
$\mathrm{DAC}$ 可以认为是一个译码器件,它接收的是数字信号,而以电压或电流形式提供模拟信号的输数字输人出，其基本功能框图如图 2-4所示。
$\mathrm{DAC}$ 的输人信号是一组由 0 和 1 组成的数字编码 $D$。假设 $D$ 为 $N$ 位数字编码,$b_{1}、b_{2} \cdots \cdots b_{N}$ 是各
图2-4 DAC基本功能框图位的系数,它们量化为 0 或 1,则 $D$ 可以表示为
$$
D=b_{1} 2^{-1}+b_{2} 2^{-2}+b_{3} 2^{-3}+\cdots \cdots+b_{N} 2^{-N}
$$
因此，DAC 的输出信号 $u_{\mathrm{o}}$ 可写为
$$
u_{\mathrm{O}}=V_{\mathrm{REF}}\left(b_{1} 2^{-1}+b_{2} 2^{-2}+b_{3} 2^{-3}+\cdots \cdots+b_{N} 2^{-N}\right)
$$
其中 $V_{\mathrm{REF}}$ 为基准电压。由上式可以根据输人的数字编码生成相应的模拟输出电压。
图 2-5 为一个根据上述电压定标原理工作的 3 位 DAC 的示意图,它的电阻链由 8 个相同的电阻器构成,接于基准电压 $V_{\mathrm{REF}}$ 和地之间。每个电阻器两端的电压等于 $\frac{V_{\mathrm{REF}}}{2^{N}}$。输出电压由开关矩阵产生,然后通过电压跟随器输出。$A、B、C$ 表示开关的状态,分别由对应于 $b_{3}$、$b_{2}$ 和 $b_{1}$ 的逻辑信号驱动。当输人代码为 000 时,$A、B、C$ 处开关均断开,$\bar{A}、\bar{B}、\bar{C}$ 处开关均闭合,输出电压为 $0 \mathrm{~V}$。与此类似,如果输人代码为 100,则 $A、\bar{B}、\bar{C}$ 处开关闭合,输出电压为 $\frac{V_{\mathrm{REF}}}{2}$。
图 2-5 采用电压定标原理工作的 3 位 $\mathrm{DAC}$ 示意图
## 思考 \& 练习
1. 模拟信号和数字信号各自有哪些特点?2. 列举数字信号 1 和 0 在不同场合表示的含义。3. 简要刹述模拟信号和数字信号之间的转换过程。
## 第 2 节 常用晶体管的基本原理和应用
## 学习目标
1. 知道晶体二极管的应用和晶体三极管的结构和类型。2. 知道晶体三极管共发射极放大电路的组成和工作原理。3. 掌握晶体三极管在模拟电路中的应用。
在电子控制系统中,除了基本的电阻器、电容器、电感器等无源元器件,要实现控制,晶体管是必不可少的元器件,主要有二极管、三极管等。
## 1 晶体二极管的应用
一、开关作用
晶体二极管具有单向导电的特性。如果用一个二极管代替图 2-6（ a ）中的开关 $\mathrm{S}$,同样能使电路出现灯亮或灯灭两种状态,如图 $2-6(b)$ 所示。
$(\mathrm{a})$
灯亮状态
灯灭状态
图 2-6 二极管的单向导电特性用作开关
## 二、半波整流
图 2-7 为简单的二极管半波整流电路,由整流二极管 $\mathrm{D}_{1}$ 和负载电阻 $R_{1}$ 组成,$V_{\mathrm{i}}$ 为交流输人信号,$V_{\mathrm{o}}$ 为输出信号。输入信号如图 2-8 （a ) 所示,当 $V_{\mathrm{i}}$ 信号为正半周时,$\mathrm{D}_{1}$ 导通,忽略二极管的导通压降,$V_{\mathrm{o}}=V_{\mathrm{i}}$;当 $V_{\mathrm{i}}$ 信号为负半周时,$\mathrm{D}_{1}$ 截止。$V_{\mathrm{o}}=0$。图 2-8 ( b ) 即为输出信号波形示意图。
图 2-7 半波整流电路
( a )
( b )
图 2-8 输人、输出信号波形示意图
## 三、全波整流
图 2-9为全波整流电路的电路图。输入信号如图 2-10（ a ）所示,当交流输人信号为正半周时,$\mathrm{D}_{2}$ 和 $\mathrm{D}_{4}$ 导通,负载电阻上输出电压约等于输人电压;当输人交流信号为负半周时,$\mathrm{D}_{3}$ 和 $\mathrm{D}_{1}$ 导通,负载电阻上输出电压约等于输入电压,图 2-10（b ) 即为输出信号波形示意图。
图 2-9 全波整流电路
( a )
(b )
图 2-10 输人、输出信号波形示意图
## 思考 \& 练习
利用电路仿真软件 EWB平台，搭建全波整流电路，分析其工作原理和过程，并将分析结果和仿真结果进行对比总结。
## 2 晶体三极管
一、晶体三极管的基本结构
晶体三极管是由两个按一定顺序排列的 $\mathrm{PN}$ 结构成的可以获得信号增益的器件。根据其各电极控制电压的不同,三极管可工作在不同的状态。
三极管有两种基本结构：NPN型和 PNP 型，其结构如图 2-11 所示，其中 $\mathrm{B}$ 表示基极（base，$\mathrm{C}$ 表示集电极 ( collector ),$\mathrm{E}$ 表示发射极 (emitter)，基极与集电极之间为集电结，基极与发射极之间为发射结。
B
( a ) NPN型
( b ) PNP 型
图 2-11 三极管结构示意图
## 二、晶体三极管的工作原理
根据三极管工作时各个电极的直流偏置条件,三极管的工作模式总结如表 2-1 所示。
以 NPN 型三极管为例,相应的特性曲线如图 2-12 所示,其中 $V_{\mathrm{BE}}$ 表示基极与发射极之间的电压差 $\left(V_{\mathrm{B}}-V_{\mathrm{E}}\right),V_{\mathrm{CE}}$ 表示集电极与发射极之间的电压差 $\left(V_{\mathrm{C}}-V_{\mathrm{E}}\right)$。在特定的偏置条件下，三极管可以实现对信号的放大或在电路中起到开关的作用。
## 表2-1 三极管的工作模式
| 工作模式 | 发射结 | 集电结 | 应用场合 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 线性放大 | 正偏 | 反偏 | 信号放大 |
| 饱和 | 正偏 | 正偏 | 开关的“开” |
| 截止 | 反偏 | 反偏 | 开关的“关” |
图 2-12 NPN型三极管的特性曲线
## 三、晶体三极管的放大作用
当三极管被用作放大器时,其中两个电极用作信号（待放大信号）的输人端，两个电极作为放大后信号的输出端，那么三极管的三个电极中，必须有一个电极既是信号的输人端，同时又是信号的输出端,这个电极称为输人信号和输出信号的公共电极。按照三极管公共电极的不同选择，放大电路有三种基本结构: 共基极放大电路、共发射极放大电路和共集电极放大电路。
## 表2-2 基于晶体三极管接法的放大电路类型
| 输入端 | 输出端 | 公共端 | 放大电路类型 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 基极 (B) | 集电极 $(\mathrm{C})$ | 发射极 $(\mathrm{E})$ | 共发射极放大电路 |
| 基极 (B) | 发射极 ( E ) | 集电极 $(\mathrm{C})$ | 共集电极放大电路 |
| 发射极 ( E ) | 集电极 $(\mathrm{C})$ | 基极 $(\mathrm{B})$ | 共基极放大电路 |
## 案例
## 以 NPN型三极管为例实现共发射极放大电路
共发射极放大电路的基本原理如图2-13所示。由三极管的特性曲线可知,$V_{\mathrm{BE}}$ 的微小变化 $\left(\Delta V_{\mathrm{BE}}\right)$,会导致 $I_{\mathrm{C}}$ 发生较大的变化,变化的电流 $I_{\mathrm{C}}$ 流经负载电阻即产生变化的电压 $\Delta V_{\mathrm{o}}$。因为 $V_{\mathrm{o}}=V_{\mathrm{CC}}-I_{\mathrm{C}} R_{\mathrm{o}}$,即 $I_{\mathrm{C}}$ 变大,$V_{\mathrm{o}}$ 变小,
图 2-13 共发射极放大电路基本原理示意图也就是说 $I_{\mathrm{C}}$ 和 $V_{\mathrm{o}}$ 是反向变化的,所以共发射极放大电路实现反向放大。
$\Delta V_{\mathrm{o}}$ 与 $\Delta V_{\mathrm{BE}}$ 的比值即是该电路的电压放大倍数 $A_{V}$,即
$$
A_{V}=\frac{\Delta V_{\mathrm{o}}}{\Delta V_{\mathrm{BE}}}=-g_{\mathrm{m}} R_{\mathrm{o}}
$$
式中 $g_{\mathrm{m}}$ 为三极管的跨导,表征三极管的放大能力。$g_{\mathrm{m}}=\frac{I_{\mathrm{C}}}{U_{\mathrm{T}}},I_{\mathrm{C}}$ 为三极管的集电极电流,$U_{\mathrm{T}}$ 为热电压,为一常量,其值约为 $26 \mathrm{mV}$。
1. 利用电路仿真软件EWB平台,搭建如图 2-14所示的共发射极放大电路。元器件参数选取如下: $\mathrm{Q}_{1}$ 为 $\mathrm{NPN}$ 型三极管,型号为 $2 \mathrm{~N} 2712,R_{1}$ 阻值为 $470 \mathrm{k} \Omega,R_{2}$ 阻值为 $2 \mathrm{k} \Omega,R_{3}$ 阻值为 $2 \mathrm{k} \Omega,C_{1}$ 容量为 $10 \mu \mathrm{F},C_{2}$ 容量为 $10 \mu \mathrm{F}$。
图 2-14 共发射极放大电路的电路图
2. 为确保三极管处于线性放大模式,并使输出信号具有较大的输出幅度,通常设置三极管的集电极 (图2-14中 $A$ 点) 电压为 $\frac{V_{\mathrm{CC}}}{2}$。如 $V_{\mathrm{CC}}=12 \mathrm{~V}$,可调节各电阻器的阻值,使得 $V_{\mathrm{CE}} \approx 6 \mathrm{~V}$。3. 设置输入交流信号,设置参考如图 2-15 ( a ) 所示,通过虚拟示波器观察输出的放大交流信号,如图 2-15 (b) 所示。从图中的示数可知,该放大器的电压放大倍数约为 100 倍。
( a ) 输人信号设置
(b ) 虚拟示波器输出信号
图 2-15 EWB平台的设置及仿真结果
4. 理论分析：根据电路图，可得
$$
I_{\mathrm{C}}=\frac{V_{\mathrm{CC}}-V_{\mathrm{CE}}}{R_{3}} \approx 3 \mathrm{~mA}
$$
三极管输出端 (集电极) 的负载电阻 $R_{0}=\frac{R_{2} R_{3}}{R_{2}+R_{3}}=1 \mathrm{k} \Omega$,因此
$$
A_{V}=\frac{I_{\mathrm{C}}}{U_{\mathrm{T}}} \cdot R_{\mathrm{o}} \approx \frac{3 \mathrm{~mA}}{26 \mathrm{mV}} \cdot 1 \mathrm{k} \Omega \approx 115
$$
理论计算结果和仿真结果基本吻合。
## 思考 \& 练习
1. 图 2-14 中的共发射极放大电路,其输入信号幅度为 $2 \mathrm{mV}$,如果增大输入信号幅度为 $20 \mathrm{mV}$,输出波形会有变化吗?电路的放大倍数会变化吗?2. 在共发射极放大电路中,保持输入信号的幅度为 $2 \mathrm{mV}$,增大输入信号的频率,观察电路的放大倍数是否有变化。
## 课外实践
利用电路仿真软件EWB平台，搭建一个共发射极放大电路，完成下列项目，并参考表 2-3 进行评价。
1. 分析电路的直流工作点,确保三极管工作在线性放大模式。2. 分析电路的放大倍数。3. 对分析结果与仿真结果进行对比总结。
## 表2-3 共发射极放大电路设计评价表
| 评价项目 | 评价标准 | 评价方式 | | |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| | | 自评 | 互评 | 师评 |
| 设计方案 | 工作原理正确,设计合理 | | | |
| 输出结果 | 功能正确 | | | |
| 合作情况 | 小组团结合作 | | | |
等级标准：A优秀、B 良好、C合格、D待改进。
## 拓展阅读
我们在日常生活中经常用到电源适配器,它的 $220 \mathrm{~V}$ 交流电压首先经过变压器转换为交流低压,输入是交流 $220 \mathrm{~V}$ 市电,输出为直流电,电压通常然后经整流电路输出单向脉动电压,再经过滤波电为 $9 \mathrm{~V}、5 \mathrm{~V}$ 等。路输出直流电压。整流电路可以采用如图 2-9所示图2-16表示了从 $220 \mathrm{~V}$ 市电到直流电的过程。的全波整流电路,滤波电路主要由滤波电容实现。
直流插头 $\quad$ 插头
图 2-16 从 $220 \mathrm{~V}$ 市电到直流电
## 第了节晶体三极管的开关特性及其应用
## 学习目标
1. 知道晶体三极管的开关特性。2. 了解常见的数字集成电路类型。
晶体管是数字电路中最基本的元器件之一。早期的数字电路常采用晶体三极管,通过其开关特性实现“1 ” 和“0 ”,现代的数字电路通常采用CMOS晶体管实现。CMOS 电路由于具有静态功耗低的优点,已成为目前集成电路的主流工艺。
## 1 晶体三极管的开关特性一、晶体三极管的开关特性
晶体三极管在电路中工作时,在不同的偏置条件下,除了可以工作在放大状态,也可以工作在开关状态。开关状态包括截止和导通两种状态。我们可以通过控制晶体三极管的基极电压,使三极管分别处于截止和导通状态，起到开关的作用。
图 2-17 晶体三极管的开关特性
在如图2-17所示电路中,当输人信号 $u_{1}$ 为低电平信号时,晶体管 $\mathrm{Q}$ 处于截止状态,$\mathrm{Q}$ 的等效电阻无穷大,$A$ 点输出为高电平信号,发光二极管发光;当输人信号 $u_{1}$ 为高电平信号时,晶体管 $\mathrm{Q}$ 处于导通状态,$A$ 点输出为低电平信号,发光二极管熄灭。
工程上通常规定了电路中高电压和低电压的基准值,高于高电压基准的就是高电平，低于低电压基准的就是低电平。
## 二、开关特性在数字电路中的应用
根据晶体三极管的开关特性,可以实现数字电路中的逻辑关系,包括反相、与、与非、或、或非等。例如,图 2-17 中的电路可以实现反相逻辑关系。将高电平信号和低电平信号分别记作 1 和 0,则有: $u_{1}$ 输入为 1 时,$\mathrm{A}$ 点输出为 0;$u_{1}$ 输人为 0 时,$\mathrm{A}$ 点输出为 1。
## 2 常见的数字集成电路类型
## 一集成电路的概念
集成电路（integrated circuit,IC）是指利用半导体工艺，将二极管、三极管等有源元器件和电阻器、电容器、电感器等无源元器件,按照一定的电路互连，集成在一块半导体晶片（如硅或砷化镓） 上,封装在一个外壳内,执行特定电路或系统功能的一种器件。当今半导体工业大多数应用的是基于硅的集成电路。
## 一集成电路的分类
## 1. 按电路的功能和结构分类
(1) 数字集成电路 (digital IC),是处理数字信号的集成电路,即采用二进制方式进行数字计算和逻辑函数运算的一类集成电路。
（2）模拟集成电路（analog IC),是处理模拟信号的集成电路,典型电路包括运算放大器、电压比较器、振荡器等。
(3) 数模混合集成电路,典型电路包括数模转换器 (DAC) 和模数转换器 ( ADC ) 等。
## 2. 按集成度高低分类
集成度是指每块集成电路芯片中包含的元器件数目。集成电路按集成度高低的不同可分为小规模集成电路、中规模集成电路、大规模集成电路和超大规模集成电路。
以计算机的中央处理器 ( CPU ) 为例,2000 年发布的 Pentium 4 处理器集成了约4 200 万个晶体管,2009 发布的Xeon处理器集成了约 20 亿个晶体管。2017 年,华为发布的麒麟 970 处理器集成了55亿个晶体管。
## 3. 按制作工艺分类
按照制造集成电路的工艺来分，主要有双极型集成电路、CMOS 集成电路、BiCMOS 集成电路、锗硅（ SiGe ）集成电路以及砷化镓 ( GaAs ) 集成电路等。
## 三、常见的数字集成电路类型
按照电路中采用的晶体管类型不同,数字集成电路通常分为两大类: 一类由晶体二极管、晶体三极管组成,叫作晶体管-晶体管逻辑（transistor-transistor logic,TTL ) 电路;另一类由 MOS场效应晶体管组成,叫作互补型金属氧化物半导体电路,即前面介绍的 CMOS 电路。
TTL标准通用集成电路产品，国内为 CT1000系列，国际为 74 系列;高速集成电路产品，国内为 CT2000系列，国际为 $74 \mathrm{H}$ 系列。CMOS集成电路产品,国内为 CC4000系列,国际为 CD4000系列。图2-18 给出了集成电路 CT1000型TTL四2输人与非门的内部逻辑功能和引脚示意图,该集成电路包含四个相同的 2 输人与非门,典型工作电源电压为 $5 \mathrm{~V}$。
图 2-18 集成电路 CT1000 型 TTL 四2输人与非门的内部逻辑功能和引脚
## 思考 \& 练习
在图 2-17的电路中,$V_{\mathrm{CC}}$ 为 $5 \mathrm{~V}$,当晶体三极管分别工作在导通和截止状态时,$A$ 点输出分别为低电平和高电平，试分析对应状态下 $A$ 点的输出电压分别为多少。
## 第 4 节 数字电路中的基本组合逻辑电路
## 学习目标
1. 熟悉与、或、非三种基本逻辑关系以及基本门电路。2. 学会分析简单的组合逻辑电路,能填写真值表,画出波形图。
数字电路根据逻辑功能的不同特点,可以分为两大类,一类叫组合逻辑电路 ( 简称组合电路 ),另一类叫时序逻辑电路 ( 简称时序电路)。组合逻辑电路中逻辑功能的特点是任意时刻的输出仅仅取决于该时刻的输入，与电路原来的状态无关。而时序逻辑电路中逻辑功能的特点是任意时刻的输出不仅取决于当时的输入信号,而且还取决于电路原来的状态,或者说,还与以前的输入有关。
## 1 逻辑代数的三种基本运算
英国数学家乔治布尔首先提出了描述客观事物逻辑关系的数学方法―一布尔代数。由于布尔代数被广泛地应用于开关电路和逻辑电路的分析和设计,因此也被称为开关代数或逻辑代数。
逻辑代数的基本运算有与、或、非三种,描述了数字电路中相应的三种基本逻辑关系。通常用“。”表示与运算，用“+”表示或运算，用“-”表示非运算。
真值表,即逻辑真值表,是表征逻辑事件输入和输出之间全部可能状态的表格,通常以 1 表示真，0 表示假。
用 $A、B$ 表示输人，$Y$ 表示输出,可以实现三种基本逻辑关系的电路图及其对应的逻辑表达式、真值表如表 2-4所示。
## 表2-4 基本逻辑关系
项目
逻辑与
当两个开关都闭合的时候,
状态描述灯泡亮
逻辑表达式
| | $A$ | $B$ | $Y$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| 真值表 | 0 | 0 | 0 |
| | 0 | 1 | 0 |
| | 1 | 0 | 0 |
| | 1 | 1 | 1 |
逻辑或
只要有一个开关闭合,灯泡亮
| | | |
| :---: | :---: | :---: |
| $A$ | $B$ | $Y$ |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
## 逻辑非
开关闭合,灯泡灭;开关断开，灯泡亮
$$
Y=\bar{A}
$$
| $A$ | $Y$ |
| :--- | :--- |
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
注：开关闭合用 1 表示,开关断开用 0 表示;灯泡亮用 1 表示，灯泡灭用 0 表示。
## 2 基本门电路
用以实现逻辑运算的单元电路统称为门电路,基本门电路包括与门、或门、非门、与非门、或非门等。基本门电路的逻辑表达式与常用符号如表 2-5 所示。与非门可由与门和非门组合而成,或非门可由或门和非门组合而成。同样地,与门可由与非门和非门组合实现，或门可由或非门和非门组合实现。
## 表2-5 基本门电路
| 项目 | 与门 | 或门 | 非门 | 与非门 | 或非门 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 逻辑表达式 | $Y=A \cdot B$ | $Y=A+B$ | $Y=A$ | | $Y=\overline{A+B}$ |
| 国标推荐符号 | | | | | |
| 其他常用符号 | | | | | |
$Y$
图 2-19 与门电路的
工作波形逻辑电路输出与输人之间的关系也可用波形图描述,具有较好的直观性。如图 2-19 所示为与门电路 $Y=A \cdot B$ 的工作波形。
## 3 常见组合逻辑电路
常见的组合逻辑电路包括编码器、译码器、数据选择器、加法器、函数发生器等。组合逻辑电路分析、设计的一般步聚如下。
(1) 由实际逻辑问题列出真值表。
（2）由真值表写出逻辑表达式。
(3) 化简、变换输出逻辑表达式。
(4) 画出逻辑电路图。
下面以 3 位二进制编码器为例介绍组合逻辑电路的基本分析和设计方法。
## 案例
## 组合逻辑电路的分析与设计
在数字系统中,为了区分一系列不同的事物,将每个事物用一个二进制代码表示,这就是编码的含义。能够实现编码的电路称为编码器。编码的逆过程是译码。
3 位二进制编码器的框图如图 $2-20$ 所示,$I_{0} \sim I_{7}$ 为 8 个输入信号,任何时刻只允许输入一个高电平编码信号,$Y_{0} \sim Y_{2}$ 为 3 位二进制输出信号。
图 2-20 3位二进制编码器框图
该编码器的输入与输出的对应关系如表2-6所示。
## 表2-6 3位二进制编码器的真值表
| $I_{7}$ | $I_{6}$ | $I_{5}$ | $I_{4}$ | $I_{3}$ | $I_{2}$ | $I_{1}$ | $I_{0}$ | $Y_{2}$ | $Y_{1}$ | $Y_{0}$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| | | | | | | | 续表 | | | |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $I_{7}$ | $I_{6}$ | $I_{5}$ | $I_{4}$ | $I_{3}$ | $I_{2}$ | $I_{1}$ | $I_{0}$ | $Y_{2}$ | $Y_{1}$ | $Y_{0}$ |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
根据真值表,得到逻辑表达式
$$
\left\{\begin{array}{l}
Y_{2}=I_{4}+I_{5}+I_{6}+I_{7} \\
Y_{1}=I_{2}+I_{3}+I_{6}+I_{7} \\
Y_{0}=I_{1}+I_{3}+I_{5}+I_{7}
\end{array}\right.
$$
根据该表达式,可得出如图 2-21 所示的 3 位二进制编码器电路图。
图 2-21 3 位二进制编码器电路图
## 思考 \& 练》
1. 分别写出与非、或非逻辑关系的真值表。2. 已知输入信号 $A、B$ 的工作波形如图 2-22所示,画出输出信号 $Y_{1}=\overline{A \cdot B}$ 和 $Y_{2}=\overline{A+B}$ 的波形图。3. 参考如图 2-23 所示的电路图,分析与非门的逻辑功能。改变输入信号 $A、B$,把观察到的发光二极管的显示情况填写在表 2-7中。
$Y_{1}$
$Y_{2}$
图 2-22 输人、输出信号波形
图 2-23 与非逻辑功能电路输入
| $A$ | $B$ |
| :---: | :---: |
| 低电平 | 低电平 |
| 低电平 | 高电平 |
| 高电平 | 低电平 |
| 高电平 | 高电平 |
输出
发光二极管的显示情况
## 课外实践
设计 4 位二进制编码器,并通过实验加以验证,参考表2-8进行评价。
## 表2-8 4位二进制编码器设计评价表
| 评价项目 | 评价标准 | 评价方式 | | |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| | | 自评 | 互评 | 师评 |
| 设计方案 | 工作原理正确,设计合理 | | | |
| 输出结果验证 | 功能正确 | | | |
| 合作情况 | 小组团结合作 | | | |
等级标准：A优秀、B 良好、C合格、D待改进。
## 第 5 节 典型电路应用举例
## 学习目标
1. 了解晶体三极管在实际应用电路中的控制作用。2. 初步掌握电路分析的一般方法。
## 1 简易声光报警电路
采用学过的基本元器件,可以制作一个简易声光报警电路,如图 2-24所示。图中 $\mathrm{Q}_{1}$ 型号为 $\mathrm{S} 9014,\mathrm{Q}_{2}$ 型号为 $\mathrm{S} 9013,R_{1}$ 阻值为 $51 \mathrm{k} \Omega,R_{2}$ 阻值为 $5.1 \mathrm{k} \Omega,\mathrm{HA}$ 为蜂鸣器,$\mathrm{D}$ 为发光二极管,开关 $\mathrm{S}_{1}$ 为接通电源的开关,开关 $\mathrm{S}_{2}$ 代表需要监测报警的因素。
图 2-24 简易声光报警电路
接通电源 $\left(\mathrm{S}_{1}\right.$ 闭合),电路开始工作。当开关 $\mathrm{S}_{2}$ 闭合时,$A$ 点电压为零,三极管 $\mathrm{Q}_{1}$ 和 $\mathrm{Q}_{2}$ 均不导通,蜂鸣器和发光二极管没有反应;当开关 $\mathrm{S}_{2}$ 断开时,$A$ 点电压升高,$\mathrm{Q}_{1}$ 和 $\mathrm{Q}_{2}$ 导通,蜂鸣器发声,发光二极管发光报警。
## 讨论 \& 交流
如果电路工作不正常，应该从娜些方面进行检查?
## 课外实践
参考图 2-24，进行简易声光报警电路的搭建与调试，并参考表2-9进行评价。
## 表2-9 简易声光报警电路搭建评价表
| | | 评价方式 | | |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 评价项目 | 评价标准 | 自评 | 互评 | 师评 |
| 组件安装 | 元器件摆放合理,接插紧固 | | | |
| 通电调试 | 功能正确 | | | |
| 合作情况 | 小组团结合作 | | | |
等级标准：A优秀、B 良好、C合格、D待改进。
## 2 火情报警器
读电路图是为了对电路进行分析,读图能力体现了对所学知识的综合应用能力。电路是由各种电子元器件组成的,要学会看懂电路图,正确理解电路图的工作原理,首先要了解图中各种元器件的原理和功能。
在分析电子电路时,首先将整个电路分解成具有独立功能的几个部分,进而弄清每一部分的工作原理和主要功能,然后分析各部分之间的联系,从而得出整个电路所具有的功能和性能特点,必要时再进行定量估算。要进行更细致的分析,还可以借助于电子电路计算机辅助分析和设计软件。
下面以图 2-25 的火情报警器电路为例，说明电子电路的一般分析方法。
图 2-25 火情报警器电路图中 $u_{11}$ 和 $u_{\mathrm{I} 2}$ 分别来源于两个温度传感器,它们安装在室内同一处，其中一个安装在金属板上，产生 $u_{11}$；另一个安装在塑料壳体内,产生 $u_{\mathrm{1} 2}$
## 1. 了解用途
正常情况下,即无火情时,两个温度传感器产生的电压相等,发光二极管不亮,蜂鸣器不响。有火情时,由于安装在金属板上的温度传感器升温较快,而安装在塑料壳体内的温度传感器温度上升较慢,使 $u_{\mathrm{I} 1}$ 和 $u_{\mathrm{I} 2}$ 产生差值,差值大到一定数值时,发光二极管发光，蜂鸣器鸣叫。
## 2. 化整为零
根据信号的流通,电路可分为如图 2-25 中虚线划分的三个部分。左侧 $A_{1}$ 构成运算放大电路,中间 $A_{2}$ 构成电压比较器,右侧分立元器件构成声光报警及其驱动电路。
## 3. 分析功能
运算放大电路的输人具有对称性,是双端输人的比例运算电路,实现差分放大,输出电压 $u_{\mathrm{O} 1}$ 为
$$
u_{\mathrm{O} 1}=\frac{R_{2}}{R_{1}}\left(u_{\mathrm{I} 1}-u_{\mathrm{I} 2}\right)
$$
电压比较器的参考电压 $U_{\mathrm{T}}$ 为
$$
U_{\mathrm{T}}=\frac{R_{4}}{R_{3}+R_{4}} \cdot V_{\mathrm{CC}}
$$
当 $u_{\mathrm{O} 1}<U_{\mathrm{T}}$ 时,$u_{\mathrm{O} 2}=U_{\mathrm{OL}}$,即 $u_{\mathrm{O} 2}$ 输出低电平,发光二极管和三极管均截止。
当 $u_{\mathrm{O} 1}>U_{\mathrm{T}}$ 时,$u_{\mathrm{O} 2}=U_{\mathrm{OH}}$,即 $u_{\mathrm{O} 2}$ 输出高电平,发光二极管导通,蜂鸣器鸣叫。
## 4. 统观整体
根据上述分析,该火情报警器电路的系统原理框图如图2-26所示。
图 2-26 火情报警器的系统原理框图
在没有火情时,$\left(u_{\mathrm{I} 1}-u_{\mathrm{I} 2}\right)$ 数值很小,$u_{\mathrm{O} 1}<U_{\mathrm{T}},u_{\mathrm{O} 2}=U_{\mathrm{OL}}$,发光二极管和三极管均截止。
当有火情时,$u_{\mathrm{I} 1}>u_{\mathrm{I} 2},\left(u_{\mathrm{I1}}-u_{\mathrm{I} 2}\right)$ 增大到一定程度,$u_{\mathrm{O} 1}>U_{\mathrm{T}}$,$u_{\mathrm{O} 2}=U_{\mathrm{OH}}$,发光二极管和蜂鸣器发出警告。
## 本章小结
本章首先学习模拟信号和数字信号的特点,了解控制系统中常见信号的分类,知道模拟信号和数字信号之间如何相互转换;然后学习晶体管的特性,掌握晶体管在电路中的不同作用,如放大、开关等;最后学习声光报警电路等,初步掌握利用晶体三极管在电路中实现控制的方法,初步了解电子电路的分析方法,为后续复杂电子控制的学习奠定基础。本章知识结构如图2-27所示。
通过本章的学习,同学们能逐步获得图样表达、工程思维等核心素养。
图 2-27 本章知识结构
等级标准：A优秀、B 良好、C合格、D待改进。
## 第三章传感器与继电器
计算机技术、通信技术、传感技术是现代电子信息技术的三个主要组成部分。如果把计算机比作人的大脑,那么通信就相当于人的神经,传感器就相当于人的感官。在电子控制系统中,传感器是把外界信息转换成电信号的装置,电子控制电路对传感器输出的电信号进行处理,通过执行器实现输出。电子控制电路通常在低电压、小电流状态下工作,通过继电器或者可控硅等执行器来实现对高电压、大电流工作电路的控制。电磁继电器就是一种典型的执行器,其工作原理和工作过程简单、清晰。本章带领同学们认识常见的传感器并学会使用万用表检测,知道继电器的作用和分类,了解直流电磁继电器的构造、规格和工作原理,学会应用直流电磁继电器。
## 第 1 节 传感器的发展趋势
第2节 传感器的特性及分类
第 3 节 常见传感器的应用
第4节 继电器的应用
## 第 1 节 传感器的发展趋势
## 学习目标
1. 了解常见的传感器。2. 了解传感器的发展趋势。
## 1 传感器的发展趋势
传感器在信息科学技术领域、工农业生产以及日常生活中发挥着越来越重要的作用。为满足越来越高的要求,传感器也在不断地更新发展，具有以下发展趋势。
## 1. 高精度
例如火箭发动机燃烧室的压力测量,人们希望测量精度能优于 $0.1 \%$。
## 2. 小型化和廉价化
几乎不太可能会有人花几百元去买一个 $\mathrm{A} 4$ 纸大小的传感器来整合家具实现智能家居。但如果这一传感器变得只有纽扣大小,且仅需花费 1 元，情况就会大大不同了。
## 3. 集成化
多功能一体化,将传感器与放大、运算以及温度补偿等环节集成化。
## 4. 数字化
将传统的模拟传感器经过加装或改造,使之具备 $\mathrm{A} / \mathrm{D}$ 转换模块,成为输出信号为数字量 (或数字编码) 的传感器,有利于传感器与计算机直接互联通信。
## 5. 网络化
新一代信息技术物联网可在云端聚集海量数据点,这些数据点的核心就是网络化传感器。
## 6. 智能化
传感器自带算法,实现智能化。
## 2 认识传感器
地铁站 (图 3-1) 是城市轨道交通系统的重要设施之一。上海地铁 17 号线的诸光路站被称为全亚洲“最绿色” 地铁站。该站的出人口和站厅站台层都设置了照度传感器,系统会根据实时照度自动选择合适的照明模式。当列车抵达时,站台灯光会自动调亮,方便乘客上下车;当列车离站后,站台灯光则会在保证照明的前提下,自动调暗。在公共区域和设备管理区，共安装了上百个传感
图 3-1 地铁立占器,实时监测新风、二氧化碳、光照、温度、湿度等指标,并采取智能分区调节，提高乘客舒适度。
通常将能把被测量转换为与之有确定对应关系的物理量输出的装置称为传感器,常见的传感器有温度传感器、压力传感器、红外传感器、风速传感器和PM2.5 ( 细颗粒物 ) 传感器等。图 3-2 是一个利用了多种传感器的小型气象站,能对风速、风向等进行实时监测。
传感器一般可以由敏感元件、传感元件和测量电路组成,如图3-3所示。
图 3-2 小型气象站
图3-3 传感器组成方框图
敏感元件,指直接感受被测量 (一般为非电量),输出与被测量有确定函数关系的其他量 (一般为电学量) 的元件。例如,医用一次性体温探头使用的热敏电阻器就是敏感元件。
传感元件,一般情况下不直接感受被测量,而是将敏感元件的输出量转换为电信号。例如,压力传感器中使用的应变片就是传感元件。
测量电路,把传感元件的电信号转换成便于测量、显示、记录、控制和处理的电信号输出。典型的测量电路有放大器、电桥等。
## 思考 \& 练习
1. 指出图 3-2 中有哪几种传感器。2. 生活中除了地铁站，还有哪些地方用到了传感器?这些传感器的用途是什么?
## 课外实践
查阅资料，用方框图画出图 3-4 中热电偶传感器由哪些部分组成，并说出对应部分的具体作用，参考表3-1 进行评价。
图 3-4 热电偶传感器
## 表3-1 绘制热电偶传感器的方框图评价表
| | | 评价方式 | | |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 评价项目 | 评价标准 | | | |
| 绘制方案 | 方框图绘制正确 | 伻 | 互评 | 师评 |
| 具体作用 | 作用描述正确 | | | |
| 合作情况 | 小组团结合作 | | | |
等级标准：A优秀、B 良好、C合格、D待改进。
## 拓展阅读
目前传感器的发展主要体现在以下三个方面。面的优越性能。
1. 开发新型传感器。世界各国都在新型传感
2. 采用新工艺。新型传感器的发展,离不器方面投入大量人力、物力来加强研究。其中,开新工艺的采用。新工艺的含义范围很广，主要利用量子力学诸效应研制的低灵敏阈传感器,可以用来检测微弱的信号，是发展新动向之一。指与发展新型传感器关系特别密切的微细加工技术，又称为微机械加工技术。微细加工技术是近
3. 开发新材料。传感器材料是传感器技术的年来随着集成电路工艺发展起来的，包括㳚射、重要基础,是传感器技术升级的重要支撑。新型蒸镀、等离子体刻蚀、化学气相沉积、外延、扩陶瓷材料,具有电学、磁学、光学、生物学等方散、腐蚀、光刻等工艺。
## 第 2 节 传感器的特性及分类
## 学习目标
1. 知道传感器的静态特性和动态特性。2. 知道传感器的测量参数与不同分类方法。
## 1 传感器的一般特性
传感器的输入量可分为静态量和动态量。静态量是指不随时间变化、处于稳定状态 (静态) 的信号或者变化极其缓慢（准静态） 的信号。动态量是指周期信号、瞬变信号或随机信号。不管是静态量还是动态量,传感器输出的电学量都要能够不失真地复现输人量的变化。如图 3-5 所示,根据输人量的不同,传感器的一般特性可分为静态特性和动态特性。
图 3-5 传感器的一般特性
## 1. 传感器的静态特性
传感器的静态特性是指传感器在输人量处于稳定状态时输出量与输人量之间的关系。例如,某一个传感器输出量的值为 $y$,输人量的值为 $x$,如果传感器的静态特性满足线性方程 $y=k x+b(k,b$ 为常数且 $k \neq 0$ ),则称该传感器具有线性的静态特性。一般要求传感器的静态特性为线性或近似为线性。衡量传感器静态特性的重要指标有线性度、迟滞、重复性和灵敏度。
## 2. 传感器的动态特性
传感器的动态特性是指传感器对于随着时间变化的输人量的响应特性。一个动态特性好的传感器,其输出量随时间变化的规律,要能实时再现输人量随时间变化的规律。
## 思考 \& 练习
1. 说出传感器的输入量有哪些类型。2. 说出对传感器输出电学量的要求。
## 2 传感器的分类
由于传感器的输人量种类繁多,其工作原理和使用条件各不相同,因此传感器的种类和规格十分丰富,分类方法也很多。常见的分类方法如表 3-2 所示。
## 表3-2 传感器常见分类
分类方法按用途分类
按工作原理分类
按输入量分类
按输出信号分类
按制造工艺分类
按测量目的分类
按构成分类
按作用形式分类
按能量关系分类传感器的种类
压敏传感器、位置传感器、液位传感器、能耗传感器、速度传感器、加速度传感器、射线辐射传感器、热敏传感器等
振动传感器、湿敏传感器、磁敏传感器、气敏传感器、真空度传感器、生物传感器等
位移传感器、速度传感器、温度传感器、压力传感器等
模拟传感器、数字传感器、麻数字传感器、开关传感器等
薄膜传感器、厚膜传感器、陶瓷传感器等
物理型传感器、化学型传感器、生物型传感器等
基本型传感器、组合型传感器、应用型传感器等
主动型传感器、被动型传感器
能量转换型传感器、能量控制型传感器
## 思考 \&练》
1. 列出 7 种按输入量分类的传感器的种类。2. 温度传感器是何种分类方法下的传感器种类?
## 第了节常见传感器的应用
## 学习目标
1. 知道传感器的作用及应用场景。2. 会用万用表检测常见传感器。
传感器的应用和我们的日常生活息息相关,常见的传感器有温度传感器、光敏传感器、磁敏传感器等,这些传感器广泛地应用于我们生产、生活的各个方面。
## 1 温度传感器的应用
温度传感器的用途非常广泛,常用于电热水器、电饭锅、空调、电冰箱等各种家用电器中 ( 图 3-6),是与我们生活关系极为亲密的传感器之一。
图 3-6 温度传感器在家用电器中的应用
热敏电阻器是一种常见的温度传感器,其电阻值随着温度的变化而变化。按照温度系数的不同,热敏电阻器分为正温度系数热敏电阻器 (PTC) 和负温度系数热敏电阻器 (NTC)。正温度系数热敏电阻器在温度越高时电阻值越大,负温度系数热敏电阻器在温度越高时电阻值越低。
唐代诗人李绅的《悯农》为同学们所熟知,“谁知盘中餐,粒粒皆辛苦” 的诗句体现了劳动果实来之不易。烹制盘中餐最常见的现代家电是电饭煲 (图 3-7),它最基本的功能是者饭,同时还可以提供定时、保温及菜单选择等诸多功能。常见的电饭煲设计采用上、下两个温度传感器,下盖温度传感器的主要作用是检测米饭是否做熟,上盖温度传感器的主要作用是检测煮饭过程中由于大量水蒸气上升导致的锅盖温度变化,以便电饭保自动调整加热功率或者停止加热，确保锅内的米饭不会溢出。
图3-7 电饭保
## 思考 \& 练习
1. 说出生活中 $2 \sim 3$ 处用到温度传感器的例子。2. 简述温度传感器是如何检测温度变化的。
## 课外实践
取一个热敏电阻器,按照图 3-8用万用表的欧姆挡测量不同温度下的电阻值,观察电阻值随温度变化而变化的规律，绘制其温度特性曲线，并参考表3-3进行评价。
图 3-8 测量热敏电阻器的电阻值
## 表3-3 绘制热敏电阻器温度特性曲线评价表
| 评价项目 | 评价标准 | 评价方式 | | |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| | | 自评 | 互评 | 师评 |
| 绘制方案 | 特性曲线绘制正确 | | | |
| 观察结果 | 温度变化规律描述正确 | | | |
| 合作情况 | 小组团结合作 | | | |
等级标准：A优秀、B良好、C合格、D待改进。
## 拓展阅读
图 3-9 为焊接了DHT11 数字温湿度传感器的电路板,DHT11是一款含有已校准数字信号输出的温度、湿度复合传感器。传感器包含一个电阻式感湿元件和一个 $\mathrm{NTC}$ 测温元件,并与一个高性能 8 位单片机相连接。
DHT11 数字温湿度传感器广泛应用于自动控制、家电、医疗等领域的湿度调节器、除湿器、数据记录器、暖通空调、汽车等产品中。
图 3-9 焊接了DHT11数字温湿度传感器的电路板
## 2 光敏传感器的应用
光敏传感器广泛应用于太阳能草坪灯、光控小夜灯、照相机、人体感应灯、人体感应开关、光电鼠标 ( 图 3-10) 等电子产品和自动控制领域。
光敏传感器是将光信号转换为电信号的一种装置，其工作原理基于光电效应。光电效应是指光照射在某些物质上时，物质因电子吸收光子的能量而发生相应电效应的现象。
图 3-10 光电鼠标
常见的光敏传感器有光电管、光电倍增管、光敏电阻器、光电二极管（又称光敏二极管)、光敏三极管（又称光电晶体管)、光电池等。图 3-11中 (a ) 为光敏电阻器及对应符号,(b ) 为光电二极管及对应符号,( c ) 为光敏三极管及对应符号,其工作原理如表 3-4 所示。
( a )
( b )
( c )
图 3-11 常见光敏传感器
## 表 3-4 常见光敏传感器
| 名称 | 工作原理简述 |
| :---: | :---: |
| 光敏电阻器 | 光敏电阻器的电阻值随着光照的增强而减小 |
| 光电二极管 | 光电二极管在接收到光照时,正向电阻值不会改变,而反向电阻值会随着光照的增强而减小 |
| 光敏三极管 | 光敏三极管在有光照时,反向电阻值较小;无光照时,反向电阻值接近无穷大 |
## 思考＆ 练习
1. 说出生活中 $2 \sim 3$ 处用到光敏传感器的例子。2. 简述光敏传感器是如何检测光照变化的。
## 课外实践
图3-12是一种光电开关的电路图,由红外线信号发射电路和红外线信号接收电路共同组成。在红外线信号发射电路中，$R_{1}$ 是限流电阻，发光二极管发射红外线信号光。在红外线信号接收电路中,光敏三极管接收红外线信号光并对信号进行放大,与 $R_{2}$ 组成输出电路。当光敏三极管没有接收到红外线信号光时,$A$ 端输出为高电平;当光敏三极管接收到红外线信号光时,$A$ 端输出为低电平。参考图 3-12,用光敏传感器设计制作一个透射型或反射型光电开关,并参考表 3-5 进行评价。
图 3-12 光电开关电路图
表3-5 制作光电开关评价表
| | | 评价方式 | | |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 评价项目 | 评价标准 | 自评 | 互评 | 师评 |
| 原理图绘制 | 原理图绘制正确 | | | |
| 制作结果 | 具有开关功能 | | | |
| 合作情况 | 小组团结合作 | | | |
等级标准：$\mathrm{A}$ 优秀、B良好、C合格、D待改进。
## 3 磁敏传感器的应用
磁敏传感器也是一种常见的传感器。利用磁敏传感器可以进行无接触测量,广泛应用于直流无刷电机、流量计量、伪抄识别等。
磁敏传感器可以感知磁性物体的存在或者磁性强度，常见的磁敏传感器有干簧管、磁敏二极管和霍尔式传感器等。图 3-13中 ( a ) 为干簧管,$(b)$ 为磁敏二极管,( c ) 为霍尔式传感器。
$($ a $)$
( b )
(c )
图 3-13 常见磁敏传感器
## 思考＆练习
1. 说出生活中 $2 \sim 3$ 处用到磁敏传感器的例子。2. 搜集资料,列出 7 个磁敏传感器的应用领域。
## 课外实践
干簧管是一种常见的磁敏传感器,当磁铁靠近干簧管时,玻璃管内的干簧片会闭合或者断开。取一只干簧管，采用图3-14所示的方法对它进行检测,记录检测结果,并参考表3-6进行评价。想一想，当磁铁靠近干簧管时，其玻璃管内的干簧片为什么会闭合或者断开?
图 3-14 检测干簧管
## 表3-6 检测干簧管评价表
| | | 评价方式 | |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| | 评价标准 | | |
| 评价项目 | 自评 | 互评 | 师评 |
| 万用表使用 | 挡位使用正确 | | |
| 检测结果 | 记录电阻值正确 | | |
| 合作情况 | 小组团结合作 | | |
等级标准：A优秀、B良好、C合格、D待改进
## 拓展阅读
霍尔式传感器是一种根据霍尔效应制作的磁敏传感器。当电流垂直于磁场方向通过导体时,导体中能够自由移动的带电粒子发生偏转,在垂直于电流和磁场的方向产生一附加电场,从而使导体的两端产生电势差（图 3-15),这一现象就是霍尔效应。根据霍尔效应,用半导体材料制成的元件叫霍尔元件 ( 图 3-16)。
## 1. 开关型霍尔式传感器
开关型霍尔式传感器输出数字量,广泛应用于直流无刷马达、汽车发动机管理系统 (电喷系统)、功率测量、阀门位置、机器人控制、电流传感、长度检测、流量测量、转速测量、安全系
图 3-15 霍尔效应统等。
## 2. 线性型霍尔式传感器
线性型霍尔式传感器输出模拟量,广泛应用于电流传感器、转速检测、电机控制、铁质金属检测、位置传感器、磁码读取、震动检测、液位传感器、压力传感器等。
除了本章介绍的温度传感器、磁敏传感器、光敏传感器,红外传感器、速度传感器、压力传感器、角度传感器、声音传感器、智能传感器等在我们的日常生活、生产活动中同样发挥了非常重要的作用。
图 3-16 霍尔元件
## 第 4 节 继电器的应用
## 学习目标
1. 了解常用的继电器。2. 知道继电器的作用和分类。3. 掌握直流电磁继电器的使用方法。
据相关机构调查分析,2019年中国继电器产量约为 58.21 亿个,继电器行业市场规模约为 240.07 亿元。常见的继电器有电磁继电器、固态继电器、时间继电器、温度继电器等。
## 1 继电器的作用与分类
继电器一般由感应机构、中间机构和执行机构三部分组成。感应机构能反映一定的输人变量,输人变量包含电流、电压、功率、阻抗、频率、温度、压力、速度、光等;执行机构实现对被控电路通、断状态的控制；中间机构在继电器感应机构和执行机构之间,对输人量进行耦合隔离、功能处理并对输出部分进行驱动。
继电器在电路中起着自动调节、安全保护、转换电路等作用。继电器的常用电路符号如图 3-17所示,其中 (a) 为继电器线圈,(b) 为动合触点,( c ) 为动断触点,( $d$ ) 为转换触点。
继电器的种类较多,其工作原理和结构也各不相同。最常见的可分为有触点继电器和无触点继电器两大类。其他常见分类如表 3-7
( a )
( c )
( b )
$(\mathrm{d})$
图 3-17 继电器的常用电路符号所示。
## 表3-7 继电器常见分类
## 分类方法
按动作原理分类
按外形尺寸分类
## 继电器的种类
电磁继电器、固态继电器、时间继电器、热继电器、温度继电器、热敏干簧继电器、仪表式继电器、差动继电器、感应继电器等
小型继电器、微型继电器、超小型继电器等分类方法
按防护特征分类
按反应的参数分类
按在保护回路中所起的作用分类
按动作时间分类
按用途分类
## 继电器的种类
密封继电器、塑封继电器、防尘罟继电器、敞开继电器等
电流继电器、电压继电器、功率继电器、阻抗继电器等
启动继电器、量度继电器、时间继电器、中间继电器、信号继电器等
瞬时继电器、延时继电器等
控制继电器、保护继电器等
一、电磁继电器
电磁继电器 (图3-18) 是由铁芯、线圈、衔铁、
图 3-18 电磁继电器触点簧片组成的有触点开关器件,是一种利用输人电路在电磁铁铁芯与衔铁间产生的吸力作用而工作的继电器,它利用电磁铁控制工作电路通断,是用较小电流、较低电压去控制较大电流、较高电压的一种“自动开关”，在电路中起着自动调节、安全保护、转换电路等作用。电磁继电器一般有两个线圈端子、一个公共端子、一个常开触头端子和一个常闭触头端子。
按照输人电路的控制电流是直流或交流,可以把电磁继电器分
图 3-19 热敏干簧继电器
图 3-20 固态继电器为直流电磁继电器和交流电磁继电器。
## 二、热敏干簧继电器
热敏干簧继电器 ( 图 3-19) 是一种利用热敏磁性材料检测和控制温度的新型热敏开关器件,由感温磁环、恒磁环、干簧管、导热安装片、塑料祇底等组成,由恒磁环产生的磁力驱动开关动作。
## 三、固态继电器
固态继电器是一种由固态电子元器件组成的无触点开关器件,利用大功率三极管、功率场效应晶体管、晶闸管、绝缘栅双极型晶体管等电子元器件的开关特性来达到无触点、无火花地接通和断开被控电路。
如图 3-20 所示,固态继电器是一种四端有源元器件,其中两个端子为输人控制端,另外两个端子为输出受控端,既有放大驱动作用,又有隔离作用,很适合驱动大功率开关式执行机构。专用的固态继电器可以具有短路保护、过载保护和过热保护功能,还可以与组合逻辑电路固化封装,搭建实现用户需要的智能模块,直接用于控制系统中。固态继电器较之电磁继电器具有可靠性更高、无触点、寿命长、速度快等优势，已得到广泛应用。
## 思考 \&练习
1. 说出生活中 $2 \sim 3$ 处用到继电器的例子。2. 说出最常见的继电器可以分为哪两大类。
## 2 电磁继电器的结构与工作原理
电磁继电器的触点有三种基本形式：动合型、动断型和转换型。
（1）动合型：线圈不通电时两触头是断开的,通电后两个触头闭合。用“合”字的拼音字头“H”表示，简称 $\mathrm{H}$ 型。
（2）动断型: 线圈不通电时两触头是闭合的,通电后两个触头断开。用“断”字的拼音字头“D”表示，简称 $\mathrm{D}$ 型。
(3) 转换型: 共有三个触头,其中中间是动触头,上下各一个静触头。线圈不通电时,动触头和其中一个静触头断开、和另一个静触头闭合,线圈通电后,动触头移动,使原来断开的触点闭合,原来闭合的触点断开。用“转”字的拼音字头“$Z$ ”表示，简称Z型。
有一组动合触点的电磁继电器的工作原理图如图 3-21 所示,$\mathrm{A}$ 是电磁铁,$\mathrm{B}$ 是衔铁,$\mathrm{C}$ 是弹簧,$\mathrm{D}$ 是动触头,$\mathrm{E}$ 是静触头。图中电路由低压控制电路和高压工作电路组成。控制电路由电磁铁 $\mathrm{A}$、衔铁 B、低压电源 $V$ 和开关 $\mathrm{S}$ 组成；工作电路由电动机 $\mathrm{M}$、高压电源 $U$ 和相当于开关的静触头 $\mathrm{E}、$ 动触头 $\mathrm{D}$ 组成。
低压控制电路
高压工作电路
图3-21 有一组动合触点的电磁继电器的工作原理图常态下,开关 $\mathrm{S}$ 断开,$\mathrm{D}$ 与 $\mathrm{E}$ 断开,工作电路处于断开状态。
（1 ) 闭合开关 $\mathrm{S}$,电磁铁 $\mathrm{A}$ 的线圈中有电流通过,铁芯被磁化,衔铁 $\mathrm{B}$ 在电磁作用力的作用下克服弹簧 $\mathrm{C}$ 的拉力被吸向铁芯,从而带动 $\mathrm{D}$ 与 $\mathrm{E}$ 闭合。此时,工作电路接通,电动机 $\mathrm{M}$ 开始工作。
（2）断开开关 $\mathrm{S}$,电磁铁 $\mathrm{A}$ 的线圈中没有电流通过,电磁作用力消失,衔铁 $\mathrm{B}$ 就会在弹簧拉力的作用下返回原来的位置,使 $\mathrm{D}$ 与 $\mathrm{E}$ 断开。此时,工作电路断开，电动机 $\mathrm{M}$ 停止工作。
根据工作原理,利用电磁继电器可以实现低压电路对高压电路的控制。
电磁继电器的触点也可以是多组。图 3-21 中的触点,动触头与静触头在线圈末通电时处于断开状态,也称为常开触点;如果动触头与静触头在线圈末通电时处于闭合状态,则称为常闭触点。
## 思考 \& 练习
1. 说出电磁继电器触点的基本形式有哪些。2. 简述电磁继电器是如何工作的。
## 3 直流电磁继电器的规格
小型大功率直流电磁继电器 ( 图 3-22) 是一种常见的电磁继电器。一种小型大功率直流电磁继电器的规格如表 3-8 所示。
图 3-22 小型大功率直流电磁继电器
表 3-8 小型大功率直流电磁继电器的规格
| 类型 | | |
| :---: | :---: | :---: |
| | 内容 | |
| 触点形式 | $1 \mathrm{H}$ | |
| 触点参数 | 接触电阻 | $100 \mathrm{~m} \Omega(1 \mathrm{~A},6 \mathrm{~V} \mathrm{DC})$ |
| 触点材料 | $\mathrm{AgSnO}_{2},\mathrm{AgCdO}$ | |
## 思考 \& 练习
1. 表 3-8 中的小型大功率直流电磁继电器的额定工作电压是多少?2. 表 3-8 中的小型大功率直流电磁继电器的线圈直流电阻是多少?
## 4 直流电磁继电器的应用
图 3-23 直流LED灯泡 ―使用场景
制作一个控制器,使用直流电磁继电器对直流LED灯泡（图 3-23 ) 进行控制。控制要求：当控制信号为高电平时,灯泡点亮;当控制信号为低电平时,灯泡熄灭。直流LED灯泡的供电电源为直流 $12 \mathrm{~V}^{\circ}$
## 一、材料准备
表 3-9所列的是制作该控制器所需的材料。
表3-9 材料明细表
| 序号 \| | | | | 名称 | 规格型号 | 数量 | 编号 | 封装 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 1 | 电阻器 | $4.7 \mathrm{k} \Omega$ | 1 | R1 | R0603 |
| 2 | 电阻器 | $1 \mathrm{k} \Omega$ | 2 | R2,R6 | R0603 |
| 3 | LED | BLUE_LED | 2 | LED1,LED2 | D0603 |
| 4 | 二极管 | L4148 | 1 | D1 | D1206 |
| 5 | 三极管 | SS8050 | 1 | Q1 | SOT-23 |
| 6 | 光电耦合器 | TLP291 | 1 | ISO1 - _ - | SO16 |
| 7 | 继电器 | JQC-3F | 1 | LS1 | JQC-3FF/05-1ZS |
| 8 | 接线座 | $\mathrm{CON} 3$ | 2 | $\mathrm{~J} 1,\mathrm{~J} 2$ | KF128-3P-5 08 |
三、印制电路板
该控制器的印制电路板如图 3-24所示。
（a ) 印制电路板正面
(b) 印制电路板背面
图 3-24 控制器的印制电路板
## 四、电路板焊接
认真核对元器件的型号,找到元器件在印制电路板上正确的位置，仔细焊接，不漏焊、错焊、虚焊、假焊。图 3-25所示是该控制器的3D效果参照图。
图 3-25 控制器的3D效果参照图
## 五、控制器的调试
控制器电路图如图3-26所示。图中VCC接直流 $12 \mathrm{~V}$ 电源;输人接线座 $\mathrm{J} 2$ 提供三个接线端子，1 号端子接输人信号 $\mathrm{IN} 1、2$ 号端子接地 $\mathrm{GND}、3$ 号端子接电源 $\mathrm{VCC}$;输出接线座 $\mathrm{J} 1$ 提供三个接线端子,分别为 1 号常闭端子 $\mathrm{NC}、2$ 号公共端子 $\mathrm{COM}、3$ 号常开端子 $\mathrm{NO}$,直
图 3-26 控制器原理图
图 3-27 控制器实物图
流 LED 灯泡的地线接 $\mathrm{J} 2$ 的 2 号端子,直流 LED灯泡的电源线接 $\mathrm{J} 1$ 的 1 号常闭端子 $\mathrm{NC},3$ 号常开端子 $\mathrm{NO}$ 不用接线,预留备份。图 3-27为控制器实物图。
当输人信号 IN1 输人为低电平时,继电器动作,继电器公共端子与常闭端子相连接,触头断开,直流 LED灯泡供电电路断路,直流 LED灯泡熄灭;当输人信号IN1输人为高电平时,继电器不吸合,继电器公共端子与常闭端子相连接,触头末断开,直流 LED 灯泡供电电路闭环,直流 LED 灯泡点亮。
ハ、控制莡的们新设计
随着时代的进步,科技不断革新,控制器的设计也需要不断地创新。控制器的创新设计可以从以下两个方面考虑。
( 1 ) 外观创新。控制器的外观设计要符合人机工程学,符合前沿的潮流与趋势。
（2）功能创新。可以利用人工智能技术,设计人工智能型控制器,通过语音或者人脸识别来控制 LED灯泡的点亮或熄灭。
## 思考 \&练习
1. 画图并简述用直流电磁继电器如何控制 LED 灯泡。2. 搜集资料,简述如何实现对 $220 \mathrm{~V}$ 供电的路灯的控制。
## 本章小结
本章首先学习了传感器的相关知识及其应用,要求同学们能举例说明传感器的作用,能根据输入信号的特点选择合适的传感器,能用万用表检测常见的传感器。然后学习了继电器的相关知识及其应用,要求同学们知道继电器的作用与分类,了解常见的直流电磁继电器,学会直流电磁继电器的使用方法。最后通过控制直流LED 灯泡这个实例的学习,进一步巩固元器件在电路中的应用,帮助同学们学习电路图、印制电路板的分析与识读,电路的焊接与调试,为后续复杂电子控制系统中传感器和继电器的应用奠定基础。本章的知识结构如图 3-28所示。
通过本章的学习,同学们能获得理解技术活动需要综合运用多种知识的技术意识、进行简单技术方案设计的工程思维、初步的技术创新设计能力、识图的图样表达能力、产品制作和装配的物化能力。
图 3-28 本章知识结构
| $\begin{array}{l}\text { 课程目标/ } \\ \text { 实践项目 }\end{array}$ | 评价指标 | 评价方式 | | |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| | | 自讯 | $\frac{\text { 互 }}{\text { 评 }}$ | 师 |
| 传感器的发展趋势 | 了解常见的传感器 | | | |
| | 了解传感器的组成 | | | |
| | 了解传感器的发展趋势 | | | |
| 传感器的特性及分类 | 知道传感器的特性 | | | |
| | 知道传感器的分类 | | | |
| 常见传感器的应用 | 认识温度传感器并会用万用表检测 | | | |
| | 认识光敏传感器并会用万用表检测 | | | |
| | 认识磁敏传感器并会用万用表检测 | | | |
| 继电器的原理及其应用 | 知道继电器的作用及构成 | | | |
| | 知道继电器的分类 | | | |
| | 知道常用继电器的应用 | | | |
| $\begin{array}{l}\text { 直流电磁继电器的原理 } \\ \text { 及应用 }\end{array}$ | 了解电磁继电器的结构及工作原理 | | | |
| | 了解直流电磁继电器的规格 | | | |
| | 学会直流电磁继电器的使用方法 | | | |
等级标准：A优秀、B 良好、C合格、D待改进。
## 第四章电子控制系统
本章将结合前三章的内容,带领同学们进一步学习电子控制系统的组成。通过本章的学习,同学们将学会正确利用电子电路仪器,学习开环电子控制系统和闭环电子控制系统,了解信号输入和输出的特征,掌握闭环、开环电子控制系统的不同特征,设计适用的电子控制系统。
## 第 1 节 电子控制系统
第 2 节 开环电子控制系统设计
第 3 节 闭环电子控制系统设计
## 第 1 节 电子控制系统
## 学习目标
1. 了解电子控制系统的基本组成。2. 了解开环与闭环电子控制系统的组成。3. 能够使用方框图分析常见的电子控制系统的工作过程。
电子控制系统运用电子控制技术,由多个部分组成。不同于其他控制系统,电子控制系统主要考虑以电子控制技术为核心的结构体系。
## 1 认识电子控制系统
## 一、人工控制与电子控制
控制应用于生产、生活的方方面面。以照明的控制（图 4-1) 为例,在古代,当人们需要改变照明条件时,可以点亮或熄灭灯火来实现控制;在现代,智能家居系统可以根据外界光线的强弱自动点亮或熄灭电灯。过去的照明需要人工控制,而现在可以利用电子控制技术来实现自动化的电子控制。
图 4-1 照明的控制
人工控制和电子控制是有着区别和联系的。以照明的控制为例,其人工控制和电子控制的过程分别如图4-2、图4-3 所示。
图4-2 人工控制逻辑图
图 4-3 电子控制逻辑图
可以看出,这两种控制都是先进行信息的收集,然后经过对信息的分析、判断,发出命令,再执行命令,最终达到控制目的。任何一种控制的实现,都要通过若干个环节,这些环节有机组合就构成了一个系统,称为控制系统。控制系统的输出与输人之间有一定的对应关系。
## 二、电子控制系统
以电子控制技术为核心的控制系统，叫作电子控制系统。电子控制系统一般可分为输人、处理、输出三个基本的组成部分。用箭头代表信息传递的方向,可以用如图 4-4所示的方框图来表示电子控制系统。
图 4-4 电子控制系统的基本组成部分
输人部分：用传感器把采集的非电信息变化转变为电信号的变化一一相当于感觉器官。处理部分：对送人的电信号进行比较、分析和处理,并发出指令一相当于大脑。
输出部分：将电信号转化为各种信息一一相当于手和脚。
例如,电风扇的风速控制是通过改变电机的转速来实现的。给电风扇设定风速挡位,电机就以一定的转速带动扇叶转动,输出预定的风速。风速挡位是该控制系统的输入，扇叶转动产生的风速是该控制系统的输出，一个挡位对应着一种风速。
## 思考 \& 练》
1. 分析表4-1 中电子控制系统的基本组成部分，并说出它们的简要工作过程。
## 表4-1 电子控制系统示例
| 电子控制系统名称 | 输入部分 | 处理部分 | 输出部分 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 路灯控制系统 | 环形感应线圈 | 电子电路 | 照明灯 |
| 船舶控制系统 | 水位传感器 | 电子电路 | 电磁开关 |
2. 观察日常生活中所接触的物品,如笔记本计算机（图 4-5),思考它的输入、处理以及输出部分各是什么。再如智能手机（图4-6 ),观察其传感器和控制对象,举例说明哪些是输入、输出和处理部分。
图4-5 笔记本计算机
图 4-6 智能手机
## 课外实践
根据下面的提示,利用第二章所学习的模拟电路知识设计一个系统,模拟路灯的自动亮灭。设计电路并画出系统方框图。
夜晩：用黑纸罩住光敏电阻器 $R$,外界光线照射不到光敏电阻器时,$R$ 的阻值变得很大,三极管导通，代表路灯的发光二极管自动点亮。
白天：移除遮光的黑纸,当强光照射光敏电阻器 $R$ 时,$R$ 的阻值变得很小,三极管截止,发光二极管熄圧。
## 2 开环电子控制系统
自动门（图 4-7 ) 控制系统是一个开环电子控制系统。
观察自动门的工作过程可以看到,当门前没有人时,门是关着的；当有人靠近门前时，门打开；当人离开门前一段时间后,门又关闭。
图 4-7 自动门
总的来说,自动门需要实现的功能是无人时,常关;有人时,开门。实际生活中,自动门还需要达到一定的技术要求,例如,当人距门 $1 \mathrm{~m}$ 时,门即打开；门打开后,延时 $10 \mathrm{~s}$ 后关门。
自动门的控制系统可以用如图 4-8所示的方框图来表示。
图4-8 自动门控制系统方框图
开环电子控制系统是指无被控量反馈的电子控制系统,即需要控制的是被控对象的某一量（被控量 ),而测量的只是给定信号,被控量对于控制作用没有任何影响。
如图4-9所示,系统的被控量仅受输人量控制,输人量到被控量之间的信号是单向传递。
输人量：控制系统测量的给定信号。
控制装置：包括控制器与执行器。其中,控制器是指对输人信号进行处理并发出控制命令的装置或元件,执行器是指直接对被控对象进行控制的装置或元件。
控制量：执行器的输出信号。
图 4-9 一般开环电子控制系统方框图
被控对象：控制系统中需要控制的装置和生产过程。
被控量：即控制系统所要控制的量，也称输出量。
## 思考 \& 练习
1. 思考生活中的开环电子控制系统,如公共汽车车门控制系统等,参考一般开环电子控制系统方框图画出它们的控制系统方框图。2. 思考上述举例的控制系统特征,简述它们有哪些优点和不足。
## 3 闭环电子控制系统
在地面上画出一条直线,尝试先闭着眼睛再睁开眼睛沿着直线各走一遍，可以发现，睁开眼睛走直线比闭着眼睛走直线要简单得多。
没有传感器反馈信息的控制系统就相当于眼睛闭着的我们,显而易见，这样实现控制是可能存在困难的。这样的控制方式称作开环控制,相对地,接收传感器反馈的外界信息,并能根据这些信息进行调整的控制方式称作闭环控制。
闭环电子控制系统是指有被控制量反馈的电子控制系统。一般闭环电子控制系统的方框图如图 4-10 所示。从系统中信号流向看,
图4-10 一般闭环电子控制系统方框图系统输出端的信号沿反馈通道又回到系统的输人端,构成闭合通道,故称闭环控制系统或反馈控制系统。
闭环电子控制系统的特征是系统的输出端与输人端信号之间存在一个回路一反馈回路。
信号灯 (图4-11) 是交通控制系统中的重要控制装置之一。传统的交通控制系统采用定时控制的信号灯,是一种开环电子控制系统，其方框图如图 4-12所示。
图4-11 信号灯
图 4-12 开环交通控制系统方框图
智能信号灯系统由智能交通指挥中心电子电路、环形感应线圈、监控探头、信号灯四个部分构成。感应线圈埋在红绿灯下面,当车辆驶过路面时,感应线圈会自动计数,将数字信息传达到指挥中心,指挥中心再根据车流量指导信号灯,以达到信号灯自动调时的目的。信号灯“自适应”,将会在车流量大的时候自动延长通行时间,对缓解交通压力有很大的帮助。采用智能信号灯系统的交通控制系统是闭环电子控制系统，其方框图如图4-13所示。
图4-13 闭环交通控制系统方框图
## 思考＆ 练习
思考生活中的闭环电子控制系统,如水库戈门控制系统、音乐喷泉控制系统等,参考一般闭环电子控制系统方框图画出它们的控制系统方框图。
## 课外实践
根据下面的条件，利用第三章所学习的传感器知识，设计一个闭环电子控制系统。
游泳池注水或楼顶水箱注水,经过设定的时间,有时水满了,有时却末满。请设计一个闭环电子控制系统,能够使用传感器监测被控量,自动调节注水状态。
## 第 $\sum$ 节开环电子控制系统设计
## 学习目标
1. 能够利用面包板搭建控制电路。2. 能够应用功能电路设计开环电子控制系统。3. 掌握简单开环电子控制系统的安装、调试和改进的方法。
本节通过实例介绍基本电路载体的使用方法与搭载电路所需要的实操技巧,在实践中学习如何设计开环电子控制系统,并根据所设计的系统搭建电路,实现功能。
## 1 利用面包板搭建、焊接电路
面包板是实验室中用于搭建电路的重要载体。利用面包板搭建电路能够快速实现电路功能,在此基础上可以进一步设计印制电路板 ( printed circuit board,PCB )。
图 4-14 是利用面包板来搭建的微控制器平台。$\mathrm{RX}$ 与 $\mathrm{TX}$ 分别是接收信息接口和发送信息接口。$+5 \mathrm{~V}$ 为电源输人端,GND 为接地。
图 4-14 利用面包板搭建微控制器平台
可以利用 $\mathrm{PCB}$ 设计软件来将面包板上面的功能硬件固化在电路板上，提高系统的可靠性和稳定性。常见的印制电路板以及元器件如图 4-15 所示。按照设计图将元器件焊接到印制电路板上,就可以实现电路的控制功能。
图4-15 常见印制电路板焊接材料
## 2 开环电子控制系统示例
通过前面的学习,我们已经了解了开环电子控制系统的概念。在这一小节,我们将会通过简易温度报警器项目,学习如何设计开环电子控制系统。
## 一、使用场景
简易温度报警器的功能需求：自动检测室内温度,并显示当前温度值，当温度超过警戒温度时报警。
简易温度报警器的技术要求：通电后传感器自动获取温度值,并在显示屏上显示信息,测量精度为 $\pm 10 \%$,当温度超过阈值时,蜂鸣器报警。
一柯料准备
表4-2 为简易温度报警器的材料表。
## 表4-2 简易温度报警器材料表
| 序号 | 名称 | 数量 |
| :---: | :---: | :---: |
| 1 | 电阻器 | 1 |
| 2 | 导线 | 7 |
| 3 | DHT11数字温湿度传感器 | 1 |
| 微控制器平台 | 1 | |
| 5 | 计算机 | 1 |
| 5 | LCD显示器 | 1 |
| 7 | 蜂鸣器 | |
DHT11数字温湿度传感器（图 4-16) 的输出电压与摄氏温度成正比,常用于检测周围空气温度。使用DHT11可以进行相对湿度和温度测量,其湿度精度为 $\pm 5 \% \mathrm{RH}$,温度精度为 $\pm 2{ }^{\circ} \mathrm{C}$,湿度量程为 $20 \% \sim 90 \% \mathrm{RH}$,温度量程为 $0 \sim 50{ }^{\circ} \mathrm{C}$。传感器有四个引脚,在本项目中，1号引脚接 $5 \mathrm{~V}$ 电源，2号引脚为信号输出端,4 号引脚接地。
侧向
图 4-16 DHT11数字温湿度传感器尺寸图
## 三、原理图及印制电路板
简易温度报警器由三部分构成,分别为传感器部分、控制部分、输出显示部分。其原理图如图 4-17所示。
图4-17 简易温度报警器原理图
控制部分最小系统由 ATMEGA328芯片、晶振、电阻器、电容器等元器件组成。对应的最小系统的原理图和印制电路板图分别如图4-18、图4-19所示。
图4-18 控制部分最小系统原理图
图4-19 控制部分最小系统印制电路板图
## 四、安装调试
简易温度报警器硬件连接安装示意图如图 4-20 所示。安装时需要注意以下几点：连好信号线;将 $\mathrm{LCD}$ 显示器、电阻器依次插在面包板上,注意正负极;温湿度传感器和 $\mathrm{LCD}$ 显示器正极分别连微控制器平台的 $5 \mathrm{~V}$ 引脚,负极接 $\mathrm{GND}$ 端,温湿度传感器 2 号引脚连接微控制器平台 D2引脚,LCD 显示器 3 号引脚连接微控制器平台 D5引脚;温湿度传感器 1 号引脚和 2 号引脚,需要连接电阻器,蜂鸣器同微控制器平台连接。
图4-20 连接安装示意图
安装调试后,观察输人量、控制量、被控量。将热源靠近温湿度传感器,观察显示器参数是否有变化;如果有变化,观察变化的幅度；当温度达到所设置的阈值范围内，观察蜂鸣器是否报警。简易温度报警器采用查询方式来更新当前温度,其工作流程如图 4-21 所示。
图 4-21 工作流程图
## ?思考 \& 练习
本节选用DHT11 设计了简易温度报警器，显示屏显示数字精确到个位。如何设计能够使简易温度报警器显示数字更加精确?如果想要远程得知温度信息,如何将温度信息传递至手机或者网络,以便随时随地知道当前的温度?
## 课外实践
优化简易温度报警器显示信息,思考如何将时间信息、环境信息与温度信息同时显示在显示屏上。请画出设计的流程图，并思考如何让控制系统更加稳定。
## 第了节闭环电子控制系统设计
## 学习目标
1. 了解微控制器平台的功能。2. 应用功能电路设计闭环电子控制系统。3. 掌握简单闭环电子控制系统的安装、调试和改进的方法。
在本节中,我们将继续学习搭载电路所需要的实操技巧,设计闭环电子控制系统电路;根据所设计的闭环电子控制系统,搭建电路,实现功能;对比开环电子控制系统电路的特征,进一步了解闭环电子控制系统电路的特征特点。
## 1 开源微控制器平台介绍
微控制器平台,广泛应用于电子控制的各个领域,如工业中的 PLC控制等。开源微控制器平台,其语言和开发环境都很简单,使用它可以快速实现开发者的想法。
微控制器可以搭配各种传感器使用：连接红外传感器、超声波传感器,可以对前方障碍物进行检测,典型的应用有寻线避障平台、超声波移动侦测平台等;连接人体热传感器,可以对前方接近的热源进行检测,典型的应用有人体热感应灯的自动开关等；连接烟雾传感器,可以进行环境烟雾的检测,典型的应用有烟雾报警器等;连接微伺服舵机,可以控制电机的转动。
思考 \& 练习
搜集资料,了解开源微控制器平台的信息,了解不同微控制器平台的特征和优势。
## 2 闭环电子控制系统示例
本小节我们将通过迷你恒温大棚项目，学习闭环电子控制系统的设计方法。
## 一、预备知识
我们知道,电磁继电器的主要组成部分是含有铁芯的线圈和触点。当线圈中有电流通过使铁芯被磁化时,触点的状态将会发生改变。根据连接情况,连接的设备将处于开启或关闭状态。
在本项目中,电磁继电器可用于打开和关闭交流加热器,同时在运行于 $5 \mathrm{~V}$ 的微控制器和运行在 $220 \mathrm{~V}$ 的交流电设备之间起到隔离作用。如图 4-22所示,它有公共 ( COM)、常闭 (NC) 和常开 ( NO ) 端子。利用电磁继电器,微控制器可以通过温度监控反馈来实现对加热器的控制。
图 4-22 电磁继电器
如图 4-23 所示,我们可以通过晶体管电路驱动继电器。NPN型三极管 BC548用作开关,通过给它的基极发出一个高电平信号使其导通并激励继电器线圈,完成从 $\mathrm{COM}-\mathrm{NC}$ 到 $\mathrm{COM}-\mathrm{NO}$ 的连接转变。此时,连接到 $\mathrm{COM}-\mathrm{NO}$ 端子的负载通电。
图 4-23 继电器控制加热器
## 二、设计分析
在前面的学习中,我们已经搭建了开环的温度报警系统。本小节我们将结合前面学习的内容,设计闭环电子控制系统。
迷你恒温大棚的控制系统方框图如图 4-24所示,这是一个闭环电子控制系统。
图 4-24 迷你恒温大棚控制系统方框图
## 三、材料准备
表4-3 为迷你恒温大棚的材料表。
## 表4-3 迷你恒温大棚材料表
| 序号 | 名称 | 数量 |
| :---: | :---: | :---: |
| 1 | 电阻器 | 3 |
| 2 | 导线 | 7 |
| 3 | DHT11 数字温湿度传感器 | 1 |
| 4 | 微控制器平台 | 1 |
| 5 | 计算机 | 1 |
| 6 | LCD 显示器 | 1 |
| 7 | 蜂鸣器 | 1 |
| 8 | 继电器 | 1 |
| 9 | 加热器 | 1 |
| 10 | 三极管 | 1 |
| 11 | LED 灯 | 1 |
## 四、安装调试
硬件连接安装示意图如图 4-25 所示。安装时需要注意以下几点: 取出继电器模块,连好信号线;将继电器模块、电阻器依次连接,注意 NPN型三极管的正负极连接;取出与颜色相同的导线接在继电器和电阻器的正极上。确定电路连接无误后,通电观察。
安装调试后,观察输人量、控制量、被控量。将热源靠近温度传感器,观察显示器参数是否有变化,如果有变化,观察变化的幅度。当温度低于设定阈值的最低值时,继电器连通。此时加热器工作,加热使温度升高。当温度高于设定阈值的最高值时,蜂鸣器报警,继电器断电。此时加热器断电,加热停止,温度降低。
迷你恒温大棚采用查询式方式更新当前温度,其工作流程如图 4-26 所示。
图4-25 连接安装示意图
图 4-26 工作流程图
## 思考 \& 练习
1. 同学们已经完成设计迷你恒温大棚,请思考如果是在 $50 \mathrm{~m}^{2}、100 \mathrm{~m}^{2}$ 的环境中,如何将温度控制在恒定范围内。2. 在本节所设计的闭环电子控制系统中,还有哪些因素会影响温度?请同学们列出可能的因素,并思考如何降低这些因素的影响从而保证系统的稳定。
## 课外实践
现在很多社区正在落实垃圾分类,同学们可以结合本节学习的内容,为社区设计恒温恒湿的环境,方便垃圾的分类管理,为城市环保贡献自己的力量。并从电子控制系统角度上,阐述你的设计理念。
## 本章小结
本章首先学习电子控制系统的基本组成部分,了解如何根据电子控制系统的特征运用方框图进行分析。
本章接着学习开环电子控制系统与闭环电子控制系统,了解两种系统中信号输入和输出的特征，并针对开环、闭环系统的不同特征，设计适用的电子控制系统。
本章最后结合本册学习的内容,带领同学们通过实例进行综合应用,分析原理图,设计电路,绘制印制电路板图,焊接和调试电路,完成开环、闭环电子控制系统的设计。
本章知识结构如图 4-27所示。
图 4-27 本章知识结构
等级标准：$\mathrm{A}$ 优秀、$\mathrm{B}$ 良好、C合格、$\mathrm{D}$ 待改进。
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Bk04LDRlVbj_NFzfG0ai
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上数学课,老师介绍有趣的题目、数学的背景、数学家的故事以及老的数学是如何发展的,这些使我对数学产生了浓厚的兴趣. 更重要的是,老师建立了我对数学的信心,使我不会害怕，勇敢地表达出来.
## 一丘成桐
## 本章导语
初中时我们就已经学习过一些指数知识,例如知道 $2^{5}$ 表示 5 个 2 相乘,因此 $2^{5}=32$,还知道指数的运算法则等.
“公众对于人工智能存在两种心态,一种是过度失望,认为进展太慢了,与科幻电影呈现的相差太远；还有一种是过度乐观而产生的焦虑：人工智能有朝一日会做得非常强大,甚至可以自我复制,能力指数级增长,人类受到了生存的挑战怎么办?(《中国青年报》2015 年 4 月 8 日)
“在大数据时代,人类产生的电子数据以每两年翻一番的增幅爆炸式增长,人类在过去 3 年间产生的数据总量超过了之前几千年产生的数据总量,预测、分析这些海量数据面临巨大挑战.” （《人民日报》2015 年 4 月 1 日)
你知道这两则新闻报道里出现的“指数级增长”“爆炸式增长” 的确切含义吗?这与本章要学习的指数函数有关.
“5月12日四川汶川地震发生后,中国地震台网中心利用国家地震台网的实时观测数据,速报的震级为里氏 7.8 级. 随后,根据国际惯例,地震专家利用包括全球地震台网在内的更多台站资料,对这次地震的参数进行了详细测定,据此对震级进行修订,修订后震级为里氏 8.0 级.” (《中国青年报》2008 年 5 月 19 日）
你知道震级相差 0.2 意味着什么吗?这与本章要学习的对数知识有关.
本章我们首先将继续学习有关指数的知识,并探讨指数函数的性质与图象. 然后引入对数运算,探讨对数函数的知识,最后学习幂函数的有关内容.
## 1 指数与指数函数
### 1 实数指数幕及其运算
## 情境与问题
国家统计局有关数据显示,我国科研和开发机构基础研究经费支出近些年呈爆炸式增长: 2013 年为 221.59 亿元,2014 年、2015 年、2016 年的年增长率分别为 $16.84 \%,14.06 \%,14.26 \%$.
你能根据这三个年增长率的数据,算出年平均增长率,并以 2013 年的经费支出为基础,预测 2017 年及以后各年的经费支出吗?
为了解决类似情境中的问题,我们需要对指数运算有更多的了解.
## 1. 有理指数幂
初中我们已经学习了整数指数幂的知识,例如
$$
\begin{aligned}
& 2^{5}=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2=32,\\
& 3^{0}=1 \\
& 5^{-3}=\frac{1}{5^{3}}=2
\end{aligned} .
$$
一般地,$a^{n}$ 中的 $a$ 称为底数,$n$ 称为指数 (1).
整数指数幂运算的运算法则有
$$
a^{m} a^{n}=a^{m+n},\quad\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m n},(a b)^{m}=a^{m} b^{m} .
$$
另外,初中我们还学习了平方根和立方根:
（1）如果 $x^{2}=a$，则 $x$ 称为 $a$ 的平方根（或二次方根）：当 $a>0$ 时，$a$ 有两个平方根,它们互为相反数,正的平方根记为 $\sqrt{a}$,负的平方根记为
(1) 本章中,所有字母的取值范围均默认为使式子有意义的取值范围.
$-\sqrt{a}$;当 $a=0$ 时,$a$ 只有一个平方根,记为 $\sqrt{0}=0$;当 $a<0$ 时,$a$ 在实数范围内没有平方根.
例如,$\sqrt{9}=3$
二次根式的运算法则有
$$
(\sqrt{a})^{2}=a,\sqrt{a} \sqrt{b}=\sqrt{a b},\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}} .
$$
（2）如果 $x^{3}=a$，则 $x$ 称为 $a$ 的立方根（或三次方根），在实数范围内,任意实数 $a$ 有且只有一个立方根,记作 $\sqrt[3]{a}$.
例如,$\sqrt[3]{8}=4$
## 尝试与发现
类比二次方根和三次方根,给出四次方根和五次方根的定义.
一般地,给定大于 1 的正整数 $n$ 和实数 $a$,如果存在实数 $x$,使得
$$
x^{n}=a,$$
则 $x$ 称为 $a$ 的 $n$ 次方根.
例如,因为方程 $x^{4}=81$ 的实数解为 3 与 -3,所以 3 与 -3 都是 81 的 4 次方根；因为 $2^{5}=32$,而且 $x^{5}=32$ 只有一个实数解,所以 32 的 5 次方根为 2 .
根据方程 $x^{n}=a$ 解的情况不难看出:
(1) 0 的任意正整数次方根均为 0,记为 $\sqrt[n]{0}=0$.
（2）正数 $a$ 的偶数次方根有两个,它们互为相反数,其中正的方根称为 $a$ 的 $n$ 次算术根,记为 $\sqrt[n]{a}$,负的方根记为 $-\sqrt[n]{a}$；负数的偶数次方根在实数范围内不存在,即当 $a<0$ 且 $n$ 为偶数时,$\sqrt[n]{a}$ 在实数范围内没有意义.
（3）任意实数的奇数次方根都有且只有一个,记为 $\sqrt[n]{a}$. 而且正数的奇数次方根是一个正数,负数的奇数次方根是一个负数.
当 $\sqrt[n]{a}$ 有意义的时候,$\sqrt[n]{a}$ 称为根式,$n$ 称为根指数,$a$ 称为被开方数.
注意,虽然我们不知道 $\sqrt[5]{-2}$ 等的精确的小数形式（计算器和计算机上给出的值都是近似值),但是按照定义,我们知道 $\sqrt[5]{-2}$ 的一些性质,比如 $(\sqrt[5]{-2})^{5}=-2$ 等.
一般地，根式具有以下性质：
(1) $(\sqrt[n]{a})^{n}=a$.
（2）当 $n$ 为奇数时,$\sqrt[n]{a^{n}}=a$;当 $n$ 为偶数时,$\sqrt[n]{a^{n}}=|a|$.
例如,
$$
\sqrt[7]{(-2)^{7}}=-2,\sqrt[4]{(-3)^{4}}=|-3|=3,\quad\left(\sqrt[5]{2^{3}}\right)^{5}=2^{3}=8
$$
## 尝试与发现
你能想出一个新的二次根式符号的表示方法,使 $(\sqrt{a})^{2}=a$ 成为 $\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m n}$ 的特例,$\sqrt{a} \sqrt{b}=\sqrt{a b}$ 成为 $a^{m} b^{m}=(a b)^{m}$ 的特例吗?
现在来将整数指数幂运算推广到分数指数幂运算. 同以前一样,我们希望推广后,有关的运算性质仍然能保持,比如 $\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m n}$ 在指数是分数时仍然成立,举例来说,$5^{\frac{1}{2}}$ 应该满足
$$
\left(5^{\frac{1}{2}}\right)^{2}=5^{\frac{1}{2} \times 2}=5^{1}=5
$$
这表示 $5^{\frac{1}{2}}$ 应该是 5 的平方根,但是 5 的平方根有两个，即 $\sqrt{5}$ 和 $-\sqrt{5}$,为了方便起见,我们规定 $5^{\frac{1}{2}}=\sqrt{5}$. 又如 $\left(a^{\frac{1}{3}}\right)^{3}$ 和 $\left(a^{\frac{2}{3}}\right)^{3}$ 这样的运算,如果规定
$$
a^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{a},a^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{a^{2}}
$$
则
$$
\begin{gathered}
\left(a^{\frac{1}{3}}\right)^{3}=(\sqrt[3]{a})^{3}=a=a^{\frac{1}{3} \times 3},\\
\left(a^{\frac{2}{3}}\right)^{3}=\left(\sqrt[3]{a^{2}}\right)^{3}=a^{2}=a^{\frac{2}{3} \times 3},\end{gathered}
$$
即分数指数幂运算可以像整数指数幂那样运算.
为了方便起见,我们约定底数 $a>0$. 于是,当 $a>0$ 时,规定
$$
\begin{gathered}
a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a},\\
a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^{m}=\sqrt[n]{a^{m}}\left(n,m \in \mathbf{N}_{+},\text {且 } \frac{m}{n} \text { 为既约分数 }\right) .
\end{gathered}
$$
需要注意的是,上式在 $\frac{m}{n}$ 不是既约分数 (即 $m,n$ 有大于 1 的公因数) 时可能会有歧义. 例如,$(-8)^{\frac{2}{6}}=\sqrt[6]{(-8)^{2}}$ 是有意义的,而 $(-8)^{\frac{2}{6}}=(\sqrt[6]{-8})^{2}$ 是没有意义的. 因此,以后无特别说明时,我们都认为分数指数幂中的指数都是既约分数.
负分数指数幂的定义与负整数指数幂类似,即 $a>0$ 时,规定
$$
a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}\left(n,m \in \mathbf{N}_{+}\right)
$$
现在我们已经将整数指数幂推广到了分数指数幂 (即有理数指数幂). 一般情况下，当 $s$ 与 $t$ 都是有理数时，有运算法则:
$$
\begin{aligned}
& a^{s} a^{t}=a^{s+t},\\
& \left(a^{s}\right)^{t}=a^{s t},\\
& (a b)^{s}=a^{s} b^{s} .
\end{aligned}
$$
例如,
$$
\begin{aligned}
& 8^{\frac{3}{5}} \times 8^{\frac{2}{5}}=8^{\frac{3+2}{5}}=8^{1}=8,\\
& 8^{\frac{2}{3}}=\left(8^{\frac{1}{3}}\right)^{2}=2^{2}=4,\\
& 3 \sqrt{3} \times \sqrt[3]{3} \times \sqrt[6]{3}=3 \times 3^{\frac{1}{2}} \times 3^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{1}{6}}=3^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}=3^{2}=9,\\
& \left(a^{\frac{2}{3}} b^{\frac{1}{4}}\right)^{3}=\left(a^{\frac{2}{3}}\right)^{3}\left(b^{\frac{1}{4}}\right)^{3}=a^{2} b^{\frac{3}{4}},\\
& \left(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}\right)\left(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}\right)=\left(a^{\frac{1}{2}}\right)^{2}-\left(b^{\frac{1}{2}}\right)^{2}=a-b,\\
& \left(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}\right)^{2}=a+2 a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}+b .
\end{aligned}
$$
例 1 求证: 如果 $a>b>0,n$ 是大于 1 的自然数,那么 $a^{\frac{1}{n}}>b^{\frac{1}{n}}$.
证明假设 $a^{\frac{1}{n}} \leqslant b^{\frac{1}{n}}$,即
$$
a^{\frac{1}{n}}<b^{\frac{1}{n}} \text { 或 } a^{\frac{1}{n}}=b^{\frac{1}{n}},$$
根据不等式的性质与根式的性质，得
$$
a<b \text { 或 } a=b \text {. }
$$
这都与 $a>b$ 矛盾,因此假设不成立,从而 $a^{\frac{1}{n}}>b^{\frac{1}{n}}$.
利用例 1 的结论,可以证明 (留作练习):
(1) 如果 $a>b>0,s$ 是正有理数,那么 $a^{s}>b^{s}$;
(2) 如果 $a>1,s$ 是正有理数,那么 $a^{s}>1,a^{-s}<1$;
(3) 如果 $a>1,s>t>0$,且 $s$ 与 $t$ 均为有理数,那么 $a^{s}>a^{t}$.
## 2. 实数指数幕
有理指数幂还可以推广到无理指数幂,下面我们通过一个例子来描述其中的思想.
应该怎样理解 $2^{\pi}$ 这个数呢?
## 尝试与发现
根据前面的知识,猜测 $2^{\pi}$ 与 $2^{3}$ 的相对大小,以及 $2^{\pi}$ 与 $2^{4}$ 的相对大小.
不难猜出,$2^{3}<2^{\pi}<2^{4}$.
就像在计算圆的面积时,我们常常取 $\pi$ 为 3.14 一样,在精度要求不高的前提下,我们可以认为
$$
2^{\pi} \approx 2^{3 \cdot 14}=2^{\frac{157}{50}} \text {. }
$$
因为 $\pi=3.141592653 \cdots$ 是一个无理数 (即无限不循环小数),我们写不出它的精确的小数形式,但是因为 $3.1<\pi<3.2$,所以 $2^{3.1}<2^{\pi}<2^{3.2}$,同样
$3.14<\pi<3.15 \Rightarrow 2^{3.14}<2^{\pi}<2^{3.15}$,$3.141<\pi<3.142 \Rightarrow 2^{3.141}<2^{\pi}<2^{3.142}$,$3.1415<\pi<3.1416 \Rightarrow 2^{3.1415}<2^{\pi}<2^{3.1416}$,$3.14159<\pi<3.14160 \Rightarrow 2^{3.14159}<2^{\pi}<2^{3.14160}$
也就是说，两个序列
$3.1,3.14,3.141,3.1415,3.14159,\cdots$;$3.2,3.15,3.142,3.1416,3.14160,\cdots$
中的数,随着小数点后位数的增加,都越来越接近 $\pi$,从而两个序列
$$
\begin{aligned}
& 2^{3.1},2^{3.14},2^{3.141},2^{3.1415},2^{3.14159},\cdots;\\
& 2^{3.2},2^{3.15},2^{3.142},2^{3.1416},2^{3.14160},\cdots
\end{aligned}
$$
中的数,随着指数的变化,也都会越来越接近一个实数,这个实数就是 $2^{\pi}$.
一般地,当 $a>0$ 且 $t$ 是无理数时,$a^{t}$ 都是一个确定的实数，我们可以用与上述类似的方法找出它的任意精度的近似值. 因此,当 $a>0,t$ 为任意实数时,可以认为实数指数幂 $a^{t}$ 都有意义.
可以证明,对任意实数 $s$ 和 $t$,类似前述有理指数幂的运算法则仍然成立.
例 2 计算下列各式的值:
(1) $\frac{\sqrt[3]{\sqrt{3^{10}}}}{\sqrt[3]{9}}$
(2) $5^{2+\sqrt{3}} \times 125^{-\frac{\sqrt{3}}{3}}$
(1) $\frac{\sqrt[3]{\sqrt{3^{10}}}}{\sqrt[3]{9}}=\left[\left(3^{10}\right)^{\frac{1}{2}}\right]^{\frac{1}{3}} \times\left(3^{2}\right)^{-\frac{1}{3}}=3^{10 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}+2 \times\left(-\frac{1}{3}\right)}=3^{1}=3$
(2) $5^{2+\sqrt{3}} \times 125^{-\frac{\sqrt{3}}{3}}=5^{2+\sqrt{3}} \times\left(5^{3}\right)^{-\frac{\sqrt{3}}{3}}=5^{2+\sqrt{3}-\sqrt{3}}=25$.
例 3 化简下列各式:
(1) $\frac{5 x^{-\frac{2}{3}} y^{\frac{1}{2}}}{\left(-\frac{1}{4} x^{-1} y^{\frac{1}{2}}\right)\left(-\frac{5}{6} x^{\frac{1}{3}} y^{-\frac{1}{6}}\right)}$;(2) $\frac{m+m^{-1}+2}{m^{\frac{1}{2}}+m^{-\frac{1}{2}}}$
解 (1) 原式 $=\frac{24}{5} \times 5 \times x^{-\frac{2}{3}+1-\frac{1}{3}} \times y^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}}=24 x^{0} y^{\frac{1}{6}}=24 y^{\frac{1}{6}}$.
(2) 原式 $=\frac{\left(m^{\frac{1}{2}}\right)^{2}+2 m^{\frac{1}{2}} m^{-\frac{1}{2}}+\left(m^{-\frac{1}{2}}\right)^{2}}{m^{\frac{1}{2}}+m^{-\frac{1}{2}}}$
$$
=\frac{\left(m^{\frac{1}{2}}+m^{-\frac{1}{2}}\right)^{2}}{m^{\frac{1}{2}}+m^{-\frac{1}{2}}}=5
$$
## 3.用信息技术求实数指数幂
实数指数幂的值可以通过计算器或计算机软件方便地求得.
在 GeoGebra 中,在“运算区”利用符号“^”,就可以得到实数指数幂的精确值或近似值.
如图 4-1-1 所示,前面三个是在符号计算模式下的输人和所得到的结果,后面两个是在数值计算模式下得到的结果.
下面我们来求本小节情境与问题中的年平均增长率.
假设年平均增长率为 $x$,则应该有
图 4-1-1
$$
(1+16.84 \%)(1+14.06 \%)(1+14.26 \%)=(1+x)^{3},$$
从而
$$
x=\sqrt[3]{(1+16.84 \%)(1+14.06 \%)(1+14.26 \%)}-1 \approx 15.05 \% .
$$
由此可预测 2017 年的科研和开发机构基础研究经费支出为
$$
221.59 \times(1+15.05 \%)^{4} \approx 388.24 \text { (亿元). }
$$
其他年份的预测值可用类似的方法算出.
## 练习A
(1) 化简下列各式:
(1) $x^{5} x^{7}$;(2) $\left(-3 x^{3}\right)^{2}$;(3) $\left(-x^{3}\right)^{7}$;(4) $\left(-\frac{1}{2} x^{2}\right)^{3}$;(5) $(2 x)^{2}(-x)^{-3}$;(6) $\left(\frac{1}{5} x\right)^{-2}(5 x)^{2}$
(2) 用分数指数幕的形式表示下列各式:
(1) $\sqrt[3]{x^{2}}$;(2) $\frac{1}{\sqrt[3]{a}}$
(3) $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{y^{2}}}$.
(3) 化简下列各式:
(1) $\sqrt[5]{(3-\sqrt{2})^{5}}$;(2) $\sqrt[6]{(2 \sqrt{2}-3)^{6}}$;(3) $2 \sqrt{2} \times \sqrt[4]{2} \times \sqrt[8]{2}$.
(4) 求下列各式的值:
(1) $36^{\frac{1}{2}}$;(2) $\left(6 \frac{1}{4}\right)^{\frac{3}{2}}$;(3) $\frac{\sqrt[3]{\sqrt{2^{10}}}}{\sqrt[3]{8}}$;(4) $2^{-1+\sqrt{3}} \times 16^{-\frac{\sqrt{3}}{4}}$. (1) 化简下列各式:
(1) $a^{\frac{1}{4}} \times a^{\frac{1}{3}} \times a^{\frac{5}{8}}$;(2) $a^{\frac{1}{3}} \times a^{\frac{5}{6}} \div a^{-\frac{1}{2}}$;(3) $\left(x^{\frac{1}{2}} \times y^{-\frac{1}{3}}\right)^{6}$;(4) $4 a^{\frac{2}{3}} b^{-\frac{1}{3}} \div\left(-\frac{2}{3} a^{-\frac{1}{3}} \times b^{-\frac{1}{3}}\right)$.
(2) 比较下列各组数的大小:
(1) $2^{8}$ 与 $2^{6}$;(2) $2^{\frac{3}{5}}$ 与 1;(3) $3^{5.1}$ 与 $3^{5.2}$;(4) $5^{\sqrt{2}}$ 与 5 .
(3) 利用例 1 的结论证明:
(1) 如果 $a>b>0,s$ 是正有理数,那么 $a^{s}>b^{s}$;（2）如果 $a>1,s$ 是正有理数,那么 $a^{s}>1,a^{-s}<1$;(3) 如果 $a>1,s>t>0$,且 $s$ 与 $t$ 均为有理数,那么 $a^{s}>a^{t}$.
$112 \frac{1}{125} \quad 3 \quad 3 \quad 4 \quad 2 \quad 5 m^{\frac{1}{2}}+m^{-\frac{1}{2}}$
### 2 指数函数的性质与图象
## 情境与问题
考古学家经常利用碳 14 的含量来推断古生物死亡的大致时间. 当有机体生存时,会持续不断地吸收碳 14,从而其体内的碳 14 含量会保持在一定的水平;但当有机体死亡后,就会停止吸收碳 14,其体内的碳 14 含量就会逐渐减少,而且每经过大约 5730 年后会变为原来的一半.
你能用函数表示有机体内的碳 14 含量与其死亡时间之间的关系吗?一种死亡已经一万年的有机体，其体内的碳 14 含量是其生存时的百分之多少?
利用本小节我们要学习的指数函数知识,可以顺利地解决情境中的问题.
## 尝试与发现
假设有机体生存时碳 14 的含量为 1,如果用 $y$ 代表该有机体死亡 $x$ 年后体内碳 14 的含量,则 $x=5730$ 时,$y=\frac{1}{2};x=11460$ 时,$y=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$. 由此可知,$y$ 与 $x$ 的关系可以表示为
$$
y=1
$$
上述尝试与发现的函数关系中，自变量出现在指数中.
## 1. 指数函数
一般地，函数
$$
y=a^{x}
$$
称为指数函数,其中 $a$ 是常数,$a>0$ 且 $a \neq 1^{(1}$.
下面来研究指数函数的性质与图象.
作为例子,我们首先分析指数函数 $y=2^{x}$ 的性质,并得出其对应的图象.
## 尝试与发现
分别求出指数函数 $y=2^{x}$ 在自变量取 $-2,-1,-\frac{1}{2},0,\frac{1}{2},1,2$ 时所对应的函数值 (填写下表),并由此猜测指数函数 $y=2^{x}$ 的定义域、值域、奇偶性、单调性，尝试说明理由.
| $x$ | -2 | -1 | $-\frac{1}{2}$ | 0 | $\frac{1}{2}$ | 1 | 2 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $y=2^{x}$ | | | | | | | |
根据指数运算的定义,可以得到指数函数 $y=2^{x}$ 的性质：(1) 定义域是 2
(2) 值域是 3;（3）奇偶性是 4
(4) 单调性是 5
(1) 以下谈到指数函数 $y=a^{x}$ 时,均默认为 $a$ 是常数,$a>0$ 且 $a \neq 1$.
根据以上性质可知,函数 $y=2^{x}$ 的图象都在 $x$ 轴上方,而且从左往右图象是逐渐上升的. 通过描点 (如图 4-1-2 所示),可以作出 $y=2^{x}$ 的图象,如图 4-1-3 所示.
图 4-1-2
图 4-1-3
函数 $y=2^{x}$ 的单调性也可借助 4.1 .1 中练习 B 第 3 题的结论来理解.
下面来研究指数函数 $y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$ 的性质与图象.
## 尝试与发现
给出研究指数函数 $y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$ 的性质与图象的方法,并用该方法得出这个函数的性质:
(1) 定义域是 6
(2) 值域是 7
（3）奇偶性是 8
(4) 单调性是 9
然后在图 4-1-4 中作出 $y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$ 的图象.
图 4-1-4
注意到 $\left(\frac{1}{2}\right)^{x}=2^{-x}$,因此不难看出 $y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$ 和 $y=2^{x}$ 是有联系的: 当这两个函数的自变量取互为相反数的两个值时,对应的函数值相等. 也就是说,如果点 $\left(x_{0},y_{0}\right)$ 在 $y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$ 的图象上,那么这个点关于 $y$ 轴的对称点 $\left(-x_{0},y_{0}\right)$ 一定在 $y=2^{x}$ 的图象上;反之,$y=2^{x}$ 的图象上任意一点 $\left(x_{0},y_{0}\right)$,其关于 $y$ 轴的对称点 $\left(-x_{0},y_{0}\right)$ 也一定在 $y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$ 的图象上. 因此,指数函数 $y=2^{x}$ 和 $y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$ 的图象关于 $y$ 轴对称,如图 4-1-5 所示.
图 4-1-5
## 尝试与发现
（1）你能指出指数函数 $y=2^{x}$ 和 $y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$ 的图象的公共点吗?（2）你能得出指数函数 $y=a^{x}$ 一定过哪个定点吗?
函数 $y=2^{x}$ 和 $y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$ 的图象的公共点为 $(0,1)$. 事实上,因为 $a^{0}=1 \quad(a \neq 0)$,所以 $y=a^{x}$ 的图象一定过点 $(0,1)$.
由以上实例,可以归纳出指数函数 $y=a^{x} \quad(a>0$ 且 $a \neq 1 ）$ 具有下列性质:
(1) 定义域是实数集 $\mathbf{R}$.
想一想
为什么要限定$a>0$ 且 $a \neq 1?$
（2）值域是 $(0,+\infty)$,因此,对任何实数 $x$,都有 $a^{x}>0$,也就是说函数图象一定在 $x$ 轴的上方.
(3) 函数图象一定过点 $(0,1)$.
（4）当 $a>1$ 时,$y=a^{x}$ 是增函数；当 $0<a<1$ 时，$y=a^{x}$ 是减函数.
例 1 利用指数函数的性质,比较下列各题中两个值的大小:
(1) $0.8^{-0.1}$ 与 $0.8^{-0.2}$;(2) $2.5^{a}$ 与 $2.5^{a+1}$.
分析每一组的两个值都有共同特征，因此可以选取合适的函数，用函数的单调性来解决问题.
(1) 因为 $0.8^{-0.1}$ 与 $0.8^{-0.2}$ 都是以 0.8 为底的幂值,所以考察函数 $y=0.8^{x}$,由于这个函数在实数集 $\mathbf{R}$ 上是减函数,又因为 $-0.1>$ -0.2,所以 $0.8^{-0.1}<0.8^{-0.2}$.
(2) 因为 $2.5^{a}$ 与 $2.5^{a+1}$ 都是以 2.5 为底的幂值,所以考察函数 $y=$ $2.5^{x}$,由于这个函数在实数集 $\mathbf{R}$ 上是增函数，又因为 $a<a+1$,所以 $2.5^{a}<2.5^{a+1}$.
例 2 已知实数 $a,b$ 满足 $\left(\frac{3}{7}\right)^{a}>\left(\frac{3}{7}\right)^{b}$,试判断 $6^{a}$ 与 $6^{b}$ 的大小.
解因为函数 $y=\left(\frac{3}{7}\right)^{x}$ 在实数集 $\mathbf{R}$ 上是减函数,所以由 $\left(\frac{3}{7}\right)^{a}>\left(\frac{3}{7}\right)^{b}$ 可知 $a<b$.
又因为 $y=6^{x}$ 在实数集 $\mathbf{R}$ 上是增函数,所以
$$
6^{a}<6^{b} \text {. }
$$
## 2. 用信息技术作指数函数的图象
在 GeoGebra 中,只要输人指数函数的表达式,就可以得到对应的图象，如图 4-1-6 所示是用 GeoGebra 作出的 $f(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^{x},g(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$,$h(x)=3^{x},p(x)=5^{x}$ 的图象，你能从中得出什么规律吗?
图 4-1-6
用 GeoGebra 也能方便地算出死亡已经一万年的有机体，其体内的碳 14 含量是其生存时的百分之多少,即
$$
y=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{10000}{5730}} \approx 29.8 \%
$$
## 练习 $A$
(1) 已知指数函数的图象过点 (2,81),求这个指数函数的解析式.
(2) 比较下列各题中两个值的大小:
(1) $3^{0.8}$ 与 $3^{0.7}$;(2) $0.75^{-0.1}$ 与 $0.75^{0.1}$.
(3) 求函数 $y=2^{x},x \in[0,+\infty)$ 的值域.
## 练习B
(1) 比较 $1.001^{0.001}$ 与 $0.999^{0.999}$ 的大小.
(2) 比较 $1.1^{a}$ 与 $0.9^{-a}$ 的大小,其中 $a \in \mathbf{R}$.
(3) 利用指数函数的性质与图象求下列方程或不等式的解集:
(1) $3^{x}=2 x+1$
(2) $\left(\frac{1}{3}\right)^{x}>-\frac{2}{3} x+1$
$1\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{x}{5730}}$
$2 \mathbf{R} \quad 3(0,+\infty)$
4 非奇非偶函数
5 增函数
$6 \mathbf{R} \quad 7(0,+\infty) \quad 8$ 非奇非偶函数 9 减函数
## 习题4-1A
(1) 化简下列各式:
(1) $\left[\left(a^{3}\right)^{-1} \times a^{4}\right]^{-1}$;(2) $\left(\frac{a}{b}\right)^{2} \times\left(a^{-1} \times b\right)^{-3}$
(2) 已知 $f(x)=\frac{7}{3} x+1,g(x)=2^{x}$,在同一坐标系中作出这两个函数的图象.
（1）估计它们交点的坐标，并验证;
(2) 根据图象写出不等式 $f(x)<g(x)$ 和 $f(x) \geqslant g(x)$ 的解集.
(3) 已知 $0<a<1$,化简 $\sqrt{a^{\frac{4}{3}}-2 a+a^{\frac{2}{3}}}$.
(4) 设 $f(x)=2^{x}$,比较 $f\left(x_{1}\right) f\left(x_{2}\right)$ 与 $f\left(x_{1}+x_{2}\right)$ 的大小.
## 习题4-1B
(1) 求下列各式的值:
(1) $2^{-1} \times 64^{\frac{2}{3}}$;(2) $0.2^{-2} \times 0.064^{\frac{1}{3}}$
(2) 化简下列各式:
(1) $\left(\frac{8 a^{-3}}{27 b^{6}}\right)^{-\frac{1}{3}}$
(2) $\left(\frac{b}{2 a^{2}}\right)^{3} \div\left(\frac{2 b^{2}}{3 a}\right)^{0} \times\left(-\frac{b}{a}\right)^{-3}$.
(3) 将下列各题中的三个数按从小到大的顺序用不等号连接起来:
(1) $\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{2}{3}},3^{4},\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}$;(2) $2^{2.5},2.5^{0},\left(\frac{1}{2}\right)^{2.5} \cdot$
(4) 求下列函数的定义域和值域:
(1) $y=2^{x+1}$;(2) $y=\sqrt{1-2^{x}}$
(3) $y=2^{\sqrt{x}}$
(5) 用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的 $\frac{3}{4}$,写出存留污垢的百分比 $y$ 与漂洗次数 $x$ 的函数关系式,并求出若要使存留的污垢不超过原有的 $1 \%$ 所要漂洗的最少次数.
(1) 已知 $a$ 是实数,比较 $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2}$ 和 $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{a^{2}-a}$ 的大小.
(2) 设 $f(x)=a^{x}$,其中 $a>0$ 且 $a \neq 1$,比较
$$
\frac{f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)}{2} \text { 与 } f\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)
$$
的大小,并证明.
## 2 对数与对数函数
### 1 对数运算
## 情境与问题
（1）地震的里氏震级是根据最大振幅计算出来的. 2008 年 5 月 12 日，我国四川汶川发生了地震,速报震级为里氏 7.8 级,修订后的震级为里氏 8.0 级. 震级相差 0.2,最大振幅之间具有什么关系?
（2）化学学科中,我们用 $\mathrm{pH}$ 表示溶液的酸碱性,$\mathrm{pH}$ 是由 $c\left(\mathrm{H}^{+}\right)$(即溶液中 $\mathrm{H}^{+}$ 的浓度) 决定的. $\mathrm{pH}=7$ 和 $\mathrm{pH}=8$ 的两种溶液,它们的 $c\left(\mathrm{H}^{+}\right)$有什么关系?
上述情境中两个问题的答案,都与对数知识有关.
## 1. 对数的概念
在关系式
$$
a^{b}=N
$$
中,以 $a$ 或 $N$ 为末知数的方程,我们都已经接触过,例如 $x^{5}=32,2^{3}=x$ 等,本小节要研究 $b$ 为末知数的情形,即求解类似 $2^{x}=64$ 的方程.
## 営试与发现
(1) 说出 $2^{x}=64$ 的一个实数根.
（2）判断方程 $2^{x}=64$ 的实数根的个数,并说明理由.
因为 $2^{6}=64$,所以 $x=6$ 一定是 $2^{x}=64$ 的实数根,再由 $y=2^{x}$ 是一个增函数可知 $2^{x}=64$ 有唯一的实数解 $x=6$.
我们已经知道,当 $a>0$ 且 $a \neq 1$ 时,指数函数 $y=a^{x}$ 是定义域为 $\mathbf{R}$,值域为 $(0,+\infty)$ 的单调函数,这就意味着,如图 4-2-1 所示,任意给定 $y_{0} \in(0,+\infty)$,存在唯一的 $x_{0} \in \mathbf{R}$,使得
$$
y_{0}=a^{x_{0}} \text {. }
$$
因此,在表达式 $a^{b}=N(a>0$ 且 $a \neq 1$,$N \in(0,+\infty))$ 中,当 $a$ 与 $N$ 确定之后,只有唯一的 $b$ 能满足这个式子,此时,幂指数 $b$ 称为以 $a$ 为底 $N$ 的对数,记作
冬 4-2-1
$$
b=\log _{a} N^{\mathbb{1},}
$$
其中 $a$ 称为对数的底数,$N$ 称为对数的真数.
例如,由前面的尝试与发现可知,因为 $2^{6}=64$,所以 $\log _{2} 64=6$.
由上可以看出,当 $a>0$ 且 $a \neq 1$ 时,$b=\log _{a} N$ 的充要条件是 $a^{b}=N$. 由此可知,只有 $N>0$ 时,$\log _{a} N$ 才有意义,这通常简称为“负数和零没有对数”.
我们可以举出更多对数的例子:
因为 $4^{2}=16$,所以 2 是以 4 为底 16 的对数,即 $\log _{4} 16=2$,即
$$
4^{2}=16 \Leftrightarrow \log _{4} 16=2,
$$
另外,
$$
\begin{aligned}
& 4^{1}=4 \Leftrightarrow \log _{4} 4=1,\\
& 4^{\frac{1}{2}}=2 \Leftrightarrow \underline{1},\\
& 4^{-1}=\frac{1}{4} \Leftrightarrow \underline{2},\\
& 4^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2} \Leftrightarrow 3
\end{aligned}
$$
例 1 已知 $a>0$ 且 $a \neq 1$,求 $\log _{a} 1$ 与 $\log _{a} a$ 的值.
解因为 $a^{0}=1,a^{1}=a$,所以 $\log _{a} 1=0,\log _{a} a=1$.
例 1 的结论可以简述为“1 的对数为 0 ”“底的对数为 1 ”.
由上可知,指数表达式 $a^{b}=N$ 与对数表达式 $b=\log _{a} N$ 实际上表示的是同一数量关系,如果把对数表达式中的 $b$ 代人指数表达式,则可得
$$
a^{\log _{a} N}=N \text {;}
$$
类似地,如果把指数表达式中的 $N$ 代人对数表达式,则有
4
例如,$2^{\log _{2} 32}=5 \quad,\log _{10} 10^{3}=6$
(1) 本书中,若不加特殊说明,类似的对数表达式中,总是认为 $a>0$ 且 $a \neq 1,N \in(0,+\infty)$.
例 2 求下列各式的值:
(1) $\log _{2} 16$;(2) $\log _{2} \frac{1}{2}$;(3) $5^{2 \log _{5} 3}$.
（1）因为 $2^{4}=16$,所以 $\log _{2} 16=4$.
(2) 因为 $2^{-1}=\frac{1}{2}$,所以 $\log _{2} \frac{1}{2}=-1$.
（3）因为 $5^{\log _{5} 3}=3$,所以 $5^{2 \log _{5} 3}=\left(5^{\log _{5} 3}\right)^{2}=3^{2}=9$.
## 拓展阅读
## 对数发明起源的简介
几乎所有的现代数学书 (包括我们这本）中,对数运算是通过解指数方程来引入的. 但是,你知道吗?对数发明的起源并不完全是这样的!这是不是多多少少让你觉得有些意外?
事实上,对数是简化繁杂运算的产物.
16 世纪时,科学技术的飞速发展对计算技术的改进提出了前所末有的需求. 为了简化数值计算,自然希望将乘除法归结为简单的加减法. 当时已经有数学家发现这在某些情况下是可以实现的.
比如,利用以下 2 的幂次的对应表可以方便地算出 $16 \times 256$ 的值.
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 16 | 3 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 | 2048 | 4096 |
首先,在第二行找到 16 与 256;然后找出它们在第一行中对应的数,即 4 与 8,并求它们的和,即 12;最后在第一行中找到 12,读出其对应的第二行中的数 4096,这就是 $16 \times 256$ 的值.
用类似的方法可以算出 $\frac{4096}{16}$ 的值.
当然，用这个表格解决不了一般的两个数相乘与相除的问题. 但是，不难想到，如果上述表格中第二行的数足够密，就能用类似的方法算出更多的乘积和商.
苏格兰数学家纳皮尔在 17 世纪的时候发明了对数方法. 后来的人们利用对数表就大大简化了有关乘除运算，简化的过程类似于计算上述 $16 \times 256$ 的过程，只不过查表的过程更加复杂.
## 2. 常用对数与自然对数
以 10 为底的对数称为常用对数,即 $\log _{10} N$ 是常用对数. 为了简便起见,常用对数的表示中,通常把底 10 略去不写,并把“log”写成“lg”,即把 $\log _{10} N$ 简写为 $\lg N$.
后续如果没有指出对数的底，则默认为指的都是常用对数．例如，“100 的对数是 2”,就是指“100 的常用对数是 2 ”.
在科学技术中,常常还使用以无理数 $\mathrm{e}=2.71828 \cdots$ 为底的对数,以 $\mathrm{e}$ 为底的对数称为自然对数,自然对数 $\log _{\mathrm{e}} N$ 通常简写为 $\ln N$.
例 3 求下列各式的值:
(1) $\lg 10$;(2) $\lg 100$;(3) $\lg 0.01$;(4) $\ln e^{5}$.
解 （1）因为 $10^{1}=10$,所以 $\lg 10=1$.
（2）因为 $10^{2}=100$,所以 $\lg 100=7$
(3) 因为 $10^{-2}=0.01$,所以 $\lg 0.01=8$
（4）因为 $\log _{a} a^{b}=b$,所以 $\ln \mathrm{e}^{5}=9$
例 4 已知 $\log _{4} a=\log _{25} b=\sqrt{3}$,求 $\lg (a b)$ 的值.
解由 $\log _{4} a=\log _{25} b=\sqrt{3}$ 可得 $a=4^{\sqrt{3}},b=25^{\sqrt{3}}$,所以
$$
a b=4^{\sqrt{3}} \times 25^{\sqrt{3}}=(4 \times 25)^{\sqrt{3}}=100^{\sqrt{3}}=\left(10^{2}\right)^{\sqrt{3}}=10^{2 \sqrt{3}} \text {,}
$$
所以 $\lg (a b)=2 \sqrt{3}$.
## 3. 用信息技术计算常用对数与自然对数
常用对数与自然对数的值,可以通过科学计算器和计算机软件求得.
图 4-2-2（1）是某特定型号计算器上的常用对数按钮和自然对数按钮,图 4-2-2（2）显示的是用 GeoGebra 计算 $\lg 2017$ 和 $\ln 2017$ 的结果.
(1)
(2)
图 4-2-2
下面我们来给出本小节情境与问题中里氏震级问题的答案.
里氏震级的计算公式为
$$
M=\lg \frac{A}{A_{0}}
$$
其中 $A$ 是被测地震的最大振幅,$A_{0}$ 是“标准地震” 的振幅. 用 $A_{7.8}$ 和 $A_{8.0}$ 分别表示震级为 7.8 和 8.0 的最大振幅,则有
$$
7.8=\lg \frac{A_{7.8}}{A_{0}},\quad 8.0=\lg \frac{A_{8.0}}{A_{0}}
$$
从而 $\frac{A_{7.8}}{A_{0}}=10^{7.8},\frac{A_{8.0}}{A_{0}}=10^{8.0}$,因此
$$
\frac{A_{8.0}}{A_{7.8}}=\frac{10^{8.0}}{10^{7.8}}=10^{0.2} \approx 1.58
$$
即 $A_{8.0} \approx 1.58 A_{7.8}$. 情境中与 $\mathrm{pH}$ 有关的问题可用类似的方法解决,留作练习.
## 拓展阅读
## 素数个数与对数
我们已经知道,像 $2,3,5,7$ 这样只能被 1 和它自己整除的正整数称为素数（也称为质数)。例如,100 以内的所有素数为
2,3,5,7,11,13,17,
$19,23,29,31,37,41$,
$43,47,53,59,61,67$,
$71,73,79,83,89,97$.
探索素数出现的规律,是一些数学家非常关心的问题. 特别地,设 $x$ 是正整数,用 $\pi(x)$ 表示不超过 $x$ 的素数个数,寻我 $\pi(x)$ 的近似表达式,历史上曾引起了很多数学家的注意. 当然,我们可以取 $x$ 为一些常数,然后求出 $\pi(x)$ 的值来进行观察和归纳.
可能会让你感到惊讶的是，$\pi(x)$ 的近似表达式与自然对数有关. 事实上,数学家们已经证明,当 $x$ 充分大时,
$$
\pi(x) \approx \frac{x}{\ln x} .
$$
这一结果可以从下表中直观感受到.
| $x$ | $\pi(x)$ | $\frac{x}{\ln x}$ | 相对误差 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 1000 | 168 | 145 | $13.69 \%$ |
| 5000 | 669 | 587 | $12.26 \%$ |
| 10000 | 1229 | 1086 | $11.64 \%$ |
| 50000 | 5133 | 4621 | $9.97 \%$ |
| 100000 | 9592 | 8686 | $9.45 \%$ |
| 500000 | 41538 | 38103 | $8.27 \%$ |
| 1000000 | 78498 | 72382 | $7.79 \%$ |
| 5000000 | 348513 | 324150 | $6.99 \%$ |
注：如果 $A$ 的近似值为 $a$,那么相对误差指的是 $\frac{|A-a|}{A} \times 100 \%$.
## 练习 $A$
(1) 求出下列各式的值,并写出对应的对数式:
(1) $2^{3}$;(2) $8^{2}$;(3) $4^{-3}$;(4) $8.8^{\circ}$.
(2) 判断下列各式是否正确,如果不正确,请改正:
(1) $\log _{3} 9=2$;(2) $\log _{5} 125=2$;(3) $\lg 100=3$;(4) $\ln 1=0$.
(3) 用对数的形式表示下列各式中的 $x$ :
(1) $10^{x}=25$;(2) $2^{x}=12$;(3) $5^{x}=6$;(4) $4^{x}=\frac{1}{6}$
(4) 求下列各式的值:
(1) $2^{\log _{2} 8}$;(2) $3^{\log _{3} 9}$;(3) $10^{\lg 5}$;(4) $e^{\ln 7}$;(5) $\log _{5} 5^{2}$;(6) $\lg 10^{-5}$;(7) $\lg 10^{6}$;(8) $\ln \mathrm{e}^{3}$.
Q5 利用科学计算器或计算机软件求出下列对数的值 (精确到 0.0001 ):
(1) $\lg 2001$;(2) $\ln 0.0045$;(3) $\ln 396.5$.
## 练习B
(1) 求出下列各式的值,并写出对应的对数式:
(1) $2^{-5}$;(2) $25^{\frac{1}{2}}$;(3) $27^{-\frac{1}{3}}$;(4) $81^{-\frac{3}{4}}$.
(2) 判断下列各式是否正确,如果不正确,请改正:
(1) $\log _{2} \frac{1}{4}=-1$;(2) $\lg \frac{1}{100}=-3$;(3) $\log _{\frac{1}{3}} 9=2$.
(3) 求下列各式的值:
(1) $2^{-\log _{2} 3}$;(2) $10^{2 \lg 3}$;(3) $\mathrm{e}^{3 \ln 7}$;(4) $\log _{3} 9^{2}$;(5) $\lg 100^{2}$;(6) $\lg 0.001^{2}$.
(4) 求下列各式的值:
(1) $\lg 1+\lg 10+\lg 100$;(2) $\lg 0.1+\lg 0.01+\lg 0.001$;(3) $\log _{6} 36+\log _{2} \frac{1}{8}$;(4) $\lg 0.1^{2}+\ln \mathrm{e}^{-2}$.
(5) 已知 $\mathrm{pH}=-\lg c\left(\mathrm{H}^{+}\right)$,指出 $\mathrm{pH}=7$ 和 $\mathrm{pH}=8$ 的两种溶液的 $c\left(\mathrm{H}^{+}\right)$有什么关系.
(6) 已知 $x>0$ 且 $\log _{x} \frac{1}{16}=-4$,求 $x$ 的值.
$\log _{4} 2=\frac{1}{2}$
$2 \log _{4} \frac{1}{4}=-1$
$3 \log _{4} \frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$
$4 \log _{a} a^{b}=b$
532
$\begin{array}{llllllll}6 & 3 & 7 & 2 & 8 & -2 & 9 & 5\end{array}$
### 2 对数运算法则
1. 积、商、幂的对数
## 尝试与发现
(1) 你知道 $\log _{6} 3$ 与 $\log _{6} 2$ 的值吗?你能算出 $\log _{6} 3+\log _{6} 2$ 的值吗?如果设 $x=\log _{6} 3,y=\log _{6} 2$,则 $6^{x}=1$,$6^{y}=2$，怎样由这两个式子得到 $x+y$?
（2）由指数运算的运算法则 $a^{\alpha} a^{\beta}=a^{\alpha+\beta}$ 能得出对数运算具有什么运算法则?
由指数运算的运算法则可知
$$
6^{x+y}=6^{x} \times 6^{y}=3 \times 2=6,$$
因此 $x+y=1$.
一般地,设 $a^{\alpha}=M>0,a^{\beta}=N>0$,则 $\log _{a} M=\alpha,\log _{a} N=\beta$. 由
$$
a^{\alpha+\beta}=a^{\alpha} a^{\beta}=M N
$$
可知 $\log _{a}(M N)=\alpha+\beta$,代人 $\alpha$ 与 $\beta$ 的值,有
$$
\log _{a}(M N)=\log _{a} M+\log _{a} N \text {. }
$$
由此可知
$$
\log _{6} 3+\log _{6} 2=\log _{6}(3 \times 2)=\underline{3}
$$
不难看出,上述结论可以推广到真数为有限多个正因数相乘的情形,即
$$
\log _{a}\left(N_{1} N_{2} \cdots N_{k}\right)=\log _{a} N_{1}+\log _{a} N_{2}+\cdots+\log _{a} N_{k} \text {. }
$$
特别地,当正因数全部相等时,可得
$$
\log _{a} N^{k}=k \log _{a} N
$$
其中 $k$ 是正整数.
我们还可以由 $\left(a^{\beta}\right)^{\alpha}=a^{\beta \times \alpha}$ 得出
$$
\log _{a} M^{\alpha}=\alpha \log _{a} M
$$
其中 $\alpha$ 为任意实数 (证明留作练习). 例如,
$$
\lg 0.001=\lg 10^{-3}=-3 \lg 10=\underline{4}
$$
另外,由上面两个结论可知
$$
\log _{a} \frac{M}{N}=\log _{a}\left(M N^{-1}\right)=\log _{a} M+\log _{a} N^{-1}=\log _{a} M-\log _{a} N .
$$
例如,
$$
\log _{6} 12-\log _{6} 2=\log _{6} \frac{12}{2}=5
$$
总的来说,对数运算具有运算法则
$$
\begin{aligned}
& \log _{a}(M N)=\log _{a} M+\log _{a} N,\\
& \log _{a} M^{\alpha}=\alpha \log _{a} M,\\
& \log _{a} \frac{M}{N}=\log _{a} M-\log _{a} N,\end{aligned}
$$
其中,$a>0$ 且 $a \neq 1,M>0,N>0,\alpha \in \mathbf{R}$.
例 1 用 $\log _{a} x,\log _{a} y,\log _{a} z$ 表示下列各式:
(1) $\log _{a} \frac{x y}{z}$;(2) $\log _{a}\left(x^{3} y^{5}\right)$;(3) $\log _{a} \frac{x^{2} \sqrt{y}}{\sqrt[3]{z}}$
解 (1) $\log _{a} \frac{x y}{z}=\log _{a}(x y)-\log _{a} z=\log _{a} x+\log _{a} y-\log _{a} z$.
(2) $\log _{a}\left(x^{3} y^{5}\right)=\log _{a} x^{3}+\log _{a} y^{5}=3 \log _{a} x+5 \log _{a} y$.
(3) $\log _{a} \frac{x^{2} \sqrt{y}}{\sqrt[3]{z}}=\log _{a}\left(x^{2} y^{\frac{1}{2}} z^{-\frac{1}{3}}\right)$
$$
\begin{aligned}
& =\log _{a} x^{2}+\log _{a} y^{\frac{1}{2}}+\log _{a} z^{-\frac{1}{3}} \\
& =2 \log _{a} x+\frac{1}{2} \log _{a} y-\frac{1}{3} \log _{a} z .
\end{aligned}
$$
例 2 计算下列各式的值:
(1) $\lg 4+\lg 25$;(2) $\lg \sqrt[5]{100}$
(3) $\log _{2}\left(4^{7} \times 2^{5}\right)$;(4) $(\lg 2)^{2}+\lg 20 \times \lg 5$.
解 (1) $\lg 4+\lg 25=\lg (4 \times 25)=\lg 100=2$.
(2) $\lg \sqrt[5]{100}=\lg 100^{\frac{1}{5}}=\frac{1}{5} \lg 100=\frac{2}{5}$.
(3) $\log _{2}\left(4^{7} \times 2^{5}\right)=\log _{2} 4^{7}+\log _{2} 2^{5}=7 \log _{2} 4+5 \log _{2} 2=7 \times 2+5 \times 1=19$.
(4) $(\lg 2)^{2}+\lg 20 \times \lg 5=(\lg 2)^{2}+\lg (10 \times 2) \times \lg \frac{10}{2}$
$$
\begin{aligned}
& =(\lg 2)^{2}+(1+\lg 2) \times(1-\lg 2) \\
& =(\lg 2)^{2}+1-(\lg 2)^{2} \\
& =1
\end{aligned}
$$
例 2 说明，利用对数运算的运算法则，可以在不求出对数值的前提下，算出一些含对数的代数式的值.
## 2. 换底公式
## 情境与问题
大家可能已经看出,对数值的计算并不容易,比如 $\lg 3,\lg 5,\log _{3} 5$ 等. 事实上,在没有计算器的时代,人们曾花费了大量的精力,求出一些常用对数的近似值,制成表格以供大家查询使用. 这样一来,大家就可以根据已知的值和对数运算法则,求出另一些对数的值,例如,由 $\lg 3 \approx 0.4771,\lg 5 \approx 0.6990$ 可得出
$$
\lg 15=\lg 3+\lg 5 \approx 0.4771+0.6990=1.1761 \text {. }
$$
但是我们知道,对数的底可以是任意不等于 1 的正数,那么知道常用对数的值,能不能求出任意对数的值呢?比如,能不能借助 $\lg 3,\lg 5$ 的值算出 $\log _{3} 5$ 的值呢?设 $\log _{3} 5=x$,则 $3^{x}=5$,从而 $\lg 3^{x}=\lg 5$,即 $x \lg 3=\lg 5$,所以
$$
x=\frac{\lg 5}{\lg 3},$$
也就是说 $\log _{3} 5=\frac{\lg 5}{\lg 3} \approx \frac{0.6990}{0.4771} \approx 1.4651$.
一般地，我们有
$$
\log _{a} b=\frac{\log _{c} b}{\log _{c} a}
$$
其中 $a>0$ 且 $a \neq 1,b>0,c>0$ 且 $c \neq 1$,这一结果通常被称为换底公式 (证明留作练习).
计算器和计算机在计算任意对数的值时,是使用换底公式转化为常用对数或自然对数来计算的.
例 3 求 $\log _{8} 9 \times \log _{27} 32$ 的值.
解 $\log _{8} 9 \times \log _{27} 32=\frac{\ln 9}{\ln 8} \times \frac{\ln 32}{\ln 27}=\frac{\ln 3^{2}}{\ln 2^{3}} \times \frac{\ln 2^{5}}{\ln 3^{3}}=\frac{2 \ln 3}{3 \ln 2} \times \frac{5 \ln 2}{3 \ln 3}=\frac{10}{9}$.
例 4 求证：
$$
\log _{a^{t}} b^{s}=\frac{s}{t} \log _{a} b
$$
其中 $a>0$ 且 $a \neq 1,b>0,s \in \mathbf{R},t \in \mathbf{R}$ 且 $t \neq 0$.
证明 $\log _{a^{t}} b^{s}=\frac{\ln b^{s}}{\ln a^{t}}=\frac{s \ln b}{t \ln a}=\frac{s}{t} \times \frac{\ln b}{\ln a}=\frac{s}{t} \log _{a} b$.
## 练习 $A$
(1) 计算下列各式的值:
(1) $\log _{2} 6-\log _{2} 3$;(2) $\lg 5+\lg 2$
(3) $\log _{5} 3+\log _{5} \frac{1}{3}$
(4) $\log _{3} 5-\log _{3} 15$;(5) $\ln \sqrt{\mathrm{e}}$;(6) $\lg 100^{-2}$.
(2) 已知 $3^{a}=2$,用 $a$ 表示 $\log _{3} 4-\log _{3} 6$.
(3) 已知 $\log _{3} 2=a,3^{b}=5$,用 $a,b$ 表示 $\log _{3} \sqrt{30}$.
(4) 求证: $\log _{a} b=\frac{1}{\log _{b} a}$.
(5) 已知 $\lg 2 \approx 0.3010$,求 $\lg 5$ 的近似值 (精确到 0.0001 ).
## 练习B
1) 求下列各式的值:
(1) $\lg 0.001-\log _{27} \frac{1}{81}$;(2) $\log _{4} 8+\log _{\frac{1}{2}} 4$;(3) $\log _{7} \sqrt[3]{49}$
(2) (1) 已知 $\alpha \in \mathbf{R}$,由 $\left(a^{\beta}\right)^{\alpha}=a^{\beta \times \alpha}$ 证明 $\log _{a} M^{\alpha}=\alpha \log _{a} M$;
(2) 由对数的定义证明换底公式 $\log _{a} b=\frac{\log _{c} b}{\log _{c} a}$.
(3) 计算 $(\lg 5)^{2}+\lg 2 \times \lg 50$ 的值.
(4) 求证: $\log _{x} y \times \log _{y} z \times \log _{z} x=1$.
5 化简: $\sqrt{\left(\log _{3} 5\right)^{2}-4 \log _{3} 5+4}$.
(6) 比较 $\log _{6} 2$ 与 $\log _{6} 3$ 的大小.
3
22
$3 \log _{6} 6=1$
$4-3$
$5 \log _{6} 6=1$
### 3 对数函数的性质与图象
## 情境与问题
我们已经知道,假设有机体生存时碳 14 的含量为 1,那么有机体死亡 $x$ 年后体内碳 14 的含量 $y$ 满足
也就是说,$y$ 是 $x$ 的函数.
$$
y=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{x}{5} 730}
$$
在得到古生物的样品时,考古学家能够测量出其中的碳 14 含量 $y$,你认为考古学家们能利用这个值推断出古生物的死亡时间 $x$ 吗?给定一个 $y$ 值,有多少个 $x$ 值与之对应?这里的 $x$ 能看成 $y$ 的函数吗?为什么?
在表达式 $y=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{x}{5730}}$ 中,因为
$$
y=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{x}{5730}}=\left[\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{5730}}\right]^{x}
$$
所以这个函数可以看成一个指数函数,根据指数函数的性质可知,这个函数是一个减函数. 这也就意味着,给定一个 $y$ 值,只有唯一的 $x$ 值与它对应,也就是说,如果把 $y$ 看成自变量,$x$ 看成因变量,那么这里的 $x$ 可以看成 $y$ 的函数. 事实上,利用指数运算和对数运算的关系,可以把上述关系式改写为
$$
x=\log _{\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3730}}} y,$$
如果仍用 $x$ 表示自变量,$y$ 表示因变量,那么这一函数关系可以表示为
$$
y=\log _{\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{5330}}} x,$$
其中自变量在真数的位置上,我们称这样的函数为对数函数.
## 1. 对数函数
一般地，函数
$$
y=\log _{a} x
$$
称为对数函数,其中 $a$ 是常数,$a>0$ 且 $a \neq 1$ (1).
下面我们来研究对数函数的性质与图象.
作为例子,首先分析对数函数 $y=\log _{2} x$ 的性质,并得出其对应的图象.
## 尝试与发现
(1) 对数函数 $y=\log _{2} x$ 中,$x$ 的值可以是 -1 吗?可以是 0 吗?为什么?
(2) 分别求出对数函数 $y=\log _{2} x$ 在自变量取 $\frac{1}{8},\frac{1}{4},\frac{1}{2},1,2,4,8$ 时所对应的函数值 (填写下表),并由此猜测对数函数 $y=\log _{2} x$ 的定义域、值域、奇偶性、单调性,尝试说明理由.
| $x$ | $\frac{1}{8}$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{2}$ | 1 | 2 | 4 | 8 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $y=\log _{2} x$ | | | | | | | |
可以看出,$y=\log _{2} x$ 中,$x$ 不能是 -1,也不能是 0 .
事实上,根据对数运算的定义和性质,我们可以得到对数函数 $y=$ $\log _{2} x$ 的性质:
(1) 定义域是 1
(1) 以下谈到对数函数 $y=\log _{a} x$ 时,均默认为 $a$ 是常数,$a>0$ 且 $a \neq 1$.
（2）值域是 2
（3）奇偶性是 3
（4）单调性是 4
根据以上信息可知,函数 $y=\log _{2} x$ 的图象都在 $y$ 轴右侧,而且从左往右图象是逐渐上升的. 通过描点,可以作出函数 $y=\log _{2} x$ 的图象,如图 4-2-3 所示.
下面我们来研究对数函数 $y=\log _{\frac{1}{2}} x$ 的性质
图 4-2-3 与图象.
注意到
$$
y=\log _{\frac{1}{2}} x=\log _{2^{-1}} x=-\log _{2} x
$$
因此不难看出 $y=\log _{\frac{1}{2}} x$ 和 $y=\log _{2} x$ 之间的联系：当这两个函数的自变量相等时,对应的函数值互为相反数. 也就是说,如果点 $\left(x_{0},y_{0}\right)$ 在 $y=\log _{\frac{1}{2}} x$ 的图象上,那么这个点关于 $x$ 轴的对称点 $\left(x_{0},-y_{0}\right)$ 一定在 $y=\log _{2} x$ 的图象上;反之,$y=\log _{2} x$ 的图象上任意一点 $\left(x_{0},y_{0}\right)$,其关于 $x$ 轴的对称点 $\left(x_{0},-y_{0}\right)$ 也一定在 $y=$
图 4-2-4 $\log _{\frac{1}{2}} x$ 的图象上. 因此,对数函数 $y=\log _{\frac{1}{2}} x$ 和 $y=\log _{2} x$ 的图象关于 $x$ 轴对称，如图 4-2-4 所示.
## 尝试与发现
（1）你能指出对数函数 $y=\log _{2} x$ 和 $y=\log _{\frac{1}{2}} x$ 的图象的公共点吗?
（2）你能得出对数函数 $y=\log _{a} x$ 一定过哪个定点吗?
函数 $y=\log _{2} x$ 和 $y=\log _{\frac{1}{2}} x$ 的图象的公共点为 $(1,0)$. 事实上,因为 $\log _{a} 1=0$,所以 $y=\log _{a} x$ 的图象一定过点 $(1,0)$.
由以上实例,可以归纳出对数函数 $y=\log _{a} x$ 具有下列性质:
(1) 定义域是 $(0,+\infty)$,因此函数图象一定在 $y$ 轴的右边.
(2) 值域是实数集 $\mathbf{R}$.
(3) 函数图象一定过点 $(1,0)$.
（4）当 $a>1$ 时,$y=\log _{a} x$ 是增函数；当 $0<a<1$ 时,$y=\log _{a} x$ 是减函数.
例 1 比较下列各题中两个值的大小:
(1) $\log _{0.3} 3$ 与 $\log _{0.3} 5$;(2) $\ln 3$ 与 $\ln 3.001$;(3) $\log _{7} 0.5$ 与 0 .
解 (1) 因为 $0<0.3<1$,所以 $y=\log _{0.3} x$ 是减函数,又因为 $3<5$,所以
$$
\log _{0.3} 3>\log _{0.3} 5
$$
（2）因为 $\mathrm{e}>1$,所以 $y=\ln x$ 是增函数，又因为 $3<3.001$,所以
$$
\ln 3<\ln 3.001 .
$$
（3）因为 $7>1$,所以 $y=\log _{7} x$ 是增函数,又因为 $\log _{7} 1=0$,而且 $0.5<1$,所以
$$
\log _{7} 0.5<\log _{7} 1=0
$$
例 2 已知 $\log _{0.7}(2 m)<\log _{0.7}(m-1)$,求 $m$ 的取值范围.
解因为 $y=\log _{0.7} x$ 的定义域为 $(0,+\infty)$,而且是减函数,所以由已知有 $2 m>m-1>0$,即
$$
\left\{\begin{array}{l}
2 m>m-1 \\
m-1>0
\end{array}\right.
$$
解得 $m>1$.
例 3 求下列函数的定义域:
(1) $y=\lg (4-x)$;(2) $y=\ln x^{2}$.
解 (1) 因为 $y=\lg (4-x)$ 有意义的充要条件是 $4-x>0$,即 $x<4$,所以所求定义域为 $(-\infty,4)$.
（2） 因为 $y=\ln x^{2}$ 有意义的充要条件是 $x^{2}>0$,即 $x \neq 0$,所以所求定义域是 $(-\infty,0) \cup(0,+\infty)$.
## Q2. 用信息技术作对数函数的图象
在 GeoGebra 中,只要输人对数函数的表达式,就可以得到对应的图象,如图 4-2-5 所示是用 GeoGebra 作出的 $f(x)=\log _{2} x,g(x)=\log _{\frac{1}{2}} x$,$h(x)=\log _{0.3} x,p(x)=\ln x,q(x)=\lg x$ 的图象，你能从中得出什么规律吗?
图 4-2-5
## 练习A
(1) 已知对数函数的图象过点 $(9,2)$,求这个对数函数的解析式.
(2) 写出函数 $y=\log _{3} x$ 与 $y=\log _{\frac{1}{3}} x$ 的定义域、值域、单调性,并在同一平面直角坐标系内作出它们的图象.
(3) 比较下列各题中两个值的大小:
(1) $\lg 6$ 与 $\lg 8$;(2) $\log _{0.5} 6$ 与 $\log _{0.5} 4$;(3) $\log _{\frac{2}{3}} 0.5$ 与 $\log _{\frac{2}{3}} 0.6$;(4) $\log _{1.5} 1.6$ 与 $\log _{1.5} 1.4$.
(4) 已知 $a,b$ 均为正实数,而且 $\ln a>\ln b$,判断 $a$ 和 $b$ 的大小.
(5) 求函数 $y=\log _{2} x,x \in[8,+\infty)$ 的值域.
## 练习B
(1) 已知 $a$ 是正实数,比较下列各题中两个值的大小:
(1) $\lg a$ 与 $\lg (a+0.1)$;(2) $\ln 2$ 与 $\ln \left(a^{2}+2\right)$.
(2) 根据下列各式,确定 $a$ 的取值范围:
(1) $\log _{a} 0.8>\log _{a} 1.2$;(2) $\log _{a} \sqrt{10}>\log _{a} \pi$;(3) $\log _{0.2} a>\log _{0.2} 3$;(4) $\log _{2} a>0$.
(3) 求下列函数的定义域:
(1) $y=\log _{5}(1+x)$;(2) $y=\frac{1}{\log _{2} x}$
(3) $y=\log _{7} \frac{1}{1-3 x}$;(4) $y=\sqrt{\log _{3} x}$.
(4) 求函数 $y=\log _{2}\left(x^{2}+x+1\right)$ 的值域.
(5) 利用对数函数的性质与图象求下列方程或不等式的解集:
(1) $\log _{2} x=x-1$
(2) $\log _{\frac{1}{3}} x>-\frac{3}{2}(x-1)$.
6 利用 $\lg 3 \approx 0.4771$,求 $3^{2018}$ 有多少位数.
$1(0,+\infty)$
$2 \mathbf{R}$
3 非奇非偶函数
增函数
## 习题4-2A
(1) 把下列指数式化为对数式,把对数式化为指数式 $(a>0$ 且 $a \neq 1)$ :
(1) $a^{1}=a$;(2) $a^{0}=1$
(3) $\log _{a} N=b$;(4) $\log _{a} \sqrt[3]{a^{2}}=\frac{2}{3}$
(2)求下列各式的值:
(1) $\ln \mathrm{e}^{-2}$;(2) $e^{\ln \pi}$;(3) $\log _{12} 2+\log _{12} 6$;(4) $\lg 200-\lg 2$.
(3) 求证:
(1) $\log _{8} 81=\frac{4}{3} \log _{2} 3$;(2) $\log _{2} 64=3 \log _{8} 64$
(4) 求证: $\log _{x} y \times \log _{y} z=\log _{x} z$.
(5) 已知 $\log _{9} 5=a,\log _{9} 7=b$,用 $a,b$ 表示 $\log _{35} 9$.
(6) (1) 如果 $f(x)=a^{x}$,其中 $a>0$ 且 $a \neq 1$,求证:
$$
f\left(x_{1}+x_{2}\right)=f\left(x_{1}\right) f\left(x_{2}\right) \text {;}
$$
(2) 如果 $f(x)=\log _{a} x$,其中 $a>0$ 且 $a \neq 1$,求证:
$$
f\left(x_{1} x_{2}\right)=f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right) .
$$
(7) 求下列函数的定义域:
(1) $y=\sqrt{\lg x}$;(2) $y=\ln (x-1)^{2}$;(3) $y=\sqrt{1-\log _{\frac{1}{2}} x}$;(4) $y=\frac{1}{\sqrt{\log _{\frac{1}{2}} x-1}}$.
(1) 求下列各式的值:
(1) $\log _{64} 32$;(2) $\lg 20+\log _{100} 25$;(3) $\log _{2}\left(\sqrt[3]{\frac{1}{16}} \times \sqrt[6]{16}\right)$.
(2) 求下列各式的值:
(1) $\lg \frac{300}{7}+\lg \frac{700}{3}+\lg 100$;(2) $\log _{7} \frac{2}{35}-\log _{7} \frac{2}{5}$;(3) $2 \log _{18} 3+\log _{18} 2$;(4) $(\lg 5)^{2}+\lg 2 \times \lg 25+(\lg 2)^{2}$.
(3) 已知 $\lg 2 \approx 0.3010,\lg 7 \approx 0.8451$,求 $\lg 35$ 的近似值 (精确到 0.0001 ).
(4) 已知 $\log _{5} 3=a,\log _{5} 4=b$,求证: $\log _{25} 12=\frac{1}{2}(a+b)$. (5) 求下列函数的定义域:
(1) $y=\log _{2} x+\log _{2}(3-x)$;(2) $y=\sqrt[8]{\log _{2} x}$;(3) $y=\sqrt{\log _{0.5}(4 x-3)}$;(4) $y=\sqrt{x^{2}-x+1}+\log _{2}(3 x)$.
(6) 已知 $0<m<n$,比较 $\log _{m} 7,\log _{n} 7$ 的大小.
(7) 已知函数 $f(x)=\log _{2}(1+x)+\log _{2}(1-x)$.
(1) 求 $f(x)$ 的定义域;（2）判断 $f(x)$ 的奇偶性;(3) 求 $f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 的值.
## 习题4-2C
(1) 已知 $f(x)$ 为定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数,且当 $x>0$ 时,$f(x)=\log _{\frac{1}{2}} x$.
(1) 求 $x<0$ 时 $f(x)$ 的解析式;
(2) 求不等式 $f(x) \leqslant 2$ 的解集.
(2) 设 $f(x)=\log _{a} x$,其中 $a>0$ 且 $a \neq 1$,比较
$$
\frac{f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)}{2} \text { 与 } f\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)
$$
的大小,并证明.
## 3 指数函数与对数函数的关系
从前面的知识中可以看出,指数函数与对数函数之间有非常密切的联系.
例如，当 $a>0$ 且 $a \neq 1$ 时，有
$$
y=a^{x} \Leftrightarrow x=\log _{a} y,$$
而且指数函数与对数函数的性质可列表如下.
| 函数 | 指数函数 $y=a^{x}$ | 对数函数 $y=\log _{a} x$ |
| :---: | :---: | :---: |
| 定义域 | 1 | 2 |
| 值域 | 3 | 4 |
| 单调性 | $0<a<1$ 时,为 $5 \quad;a>1$ 时,为 6 | |
由此可以看出,指数函数 $y=a^{x}$ 与对数函数 $y=\log _{a} x$ 中,一个函数的定义域是另一个函数的值域,而且它们的单调性相同. 为什么会这样呢?这是因为在上述两个函数中,通过对调其中一个函数的自变量和因变量,可得到另一个函数.
一般地，如果在函数 $y=f(x)$ 中，给定值域中任意一个 $y$ 的值，只有唯一的 $x$ 与之对应,那么 $x$ 是 $y$ 的函数,这个函数称为 $y=f(x)$ 的反函数. 此时,称 $y=f(x)$ 存在反函数. 而且,如果函数的自变量仍用 $x$ 表示,因变量仍用 $y$ 表示,则函数 $y=f(x)$ 的反函数的表达式,可以通过对调 $y=$ $f(x)$ 中的 $x$ 与 $y$,然后从 $x=f(y)$ 中求出 $y$ 得到.
例如,$y=2^{x}$ 是增函数,因此任意给定一个 $y$ 值,只有唯一的 $x$ 与之对应,所以 $y=2^{x}$ 存在反函数. 对调 $y=2^{x}$ 中的 $x$ 和 $y$ 得 $x=2^{y}$,解得
$$
y=\log _{2} x \text {. }
$$
因此 $y=\log _{2} x$ 是 $y=2^{x}$ 的反函数.
图 4-3-1 是同一平面直角坐标系内函数 $y=2^{x}$ 以及它的反函数 $y=\log _{2} x$ 的图象,不难看出,它们的图象关于直线 $y=x$ 对称.
一般地,函数 $y=f(x)$ 的反函数记作 $y=f^{-1}(x)$. 值得注意的是,$y=f(x)$ 的
图 4-3-1 定义域与 $y=f^{-1}(x)$ 的值域相同,$y=f(x)$ 的值域与 $y=f^{-1}(x)$ 的定义域相同,$y=f(x)$ 与 $y=f^{-1}(x)$ 的图象关于直线 $y=x$ 对称.
例 1 分别判断下列函数是否存在反函数,如果不存在,说明理由;如果存在,写出反函数.
(1) | $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $f(x)$ | 0 | 0 | 1 | 3 | 5 |
(2) | $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $g(x)$ | -1 | 0 | 1 | -2 | 5 |
解 (1) 因为 $f(x)=0$ 时,$x=1$ 或 $x=2$,即对应的 $x$ 不唯一,因此 $f(x)$ 的反函数不存在.
(2) 因为对 $g(x)$ 的值域 $\{-1,0,1,-2,5\}$ 中任意一个值,都只有唯一的 $x$ 与之对应,所以 $g(x)$ 的反函数 $g^{-1}(x)$ 存在,而且反函数可以表示如下.
| $x$ | -2 | -1 | 0 | 1 | 5 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $g^{-1}(x)$ | 4 | 1 | 2 | 3 | 5 |
例 2 判断 $f(x)=2 x+2$ 的反函数是否存在,如果不存在,说明理由;如果存在,写出反函数 $f^{-1}(x)$ 的解析式,并在同一平面直角坐标系中作出 $f(x)$ 与 $f^{-1}(x)$ 的函数图象.
解因为 $f(x)=2 x+2$ 是增函数,因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的 $x$ 与之对应,所以 $f(x)$ 存在反函数.
令 $y=2 x+2$,对调其中的 $x$ 和 $y$ 得 $x=2 y+2$,解得
$$
y=\frac{1}{2} x-1
$$
因此
图 4-3-2
$$
f^{-1}(x)=\frac{1}{2} x-1
$$
$f(x)$ 与 $f^{-1}(x)$ 的函数图象如图 4-3-2 所示.
由反函数的定义可知,如果 $y=f(x)$ 是单调函数,那么它的反函数 $y=f^{-1}(x)$ 一定存在. 此时,如果 $y=f(x)$ 是增函数,则 $y=f^{-1}(x)$ 也是增函数;如果 $y=f(x)$ 是减函数,则 $y=f^{-1}(x)$ 也是减函数.
## 习题4-3A
(1) 求函数 $y=3^{x}$ 的反函数.
(2) 求函数 $y=\log _{6} x$ 的反函数.
(3) 如果点 $(1,2)$ 在函数 $y=f(x)$ 的图象上,且 $y=f(x)$ 的反函数存在,指出这个函数的反函数一定过哪个点.
(4) 判断 $f(x)=-3 x+2$ 的反函数是否存在,如果不存在,说明理由;如果存在,写出反函数的解析式.
(5) 判断下列函数是否存在反函数:
(1) $y=-\frac{3}{x}$
(2) $y=x^{2}$.
## 习题4-3B
(1) 已知点 (1,5) 在指数函数 $y=f(x)$ 的图象上,求 $f^{-1}(x)$.
(2) 一次函数 $f(x)=k x+b(k \neq 0)$ 是否一定存在反函数?如果不存在,说明理由；如果存在,求出 $f^{-1}(x)$.
(3) 判断下列函数是否存在反函数:
(1) $y=\frac{1}{x+2}-1$
(2) $y=x^{2}+2 x$
(4) 函数 $f(x)=x^{2},x \geqslant 3$ 是否一定存在反函数?如果不存在,说明理由；如果存在,求出 $f^{-1}(x)$.
(5) 指出函数 $y=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{x}$ 的图象与函数 $y=\ln (2 x)$ 的图象之间的关系.
(6) 如果 $y=f(x)$ 存在反函数,则 $y=f(x)$ 一定是单调函数吗?
## 习题4-3C
(1) 如果 $y=f(x)$ 存在反函数 $y=f^{-1}(x)$,那么 $y=f(x)$ 的图象与 $y=f^{-1}(x)$ 的图象一定有交点吗?如果有交点,交点一定在直线 $y=x$ 上吗?
(2) (1) 求出 $f(x)=3 x+1$ 的反函数 $f^{-1}(x)$,并求出 $f\left(f^{-1}(x)\right)$ 与 $f^{-1}(f(x))$ 的值;
(2) 如果 $y=f(x)$ 存在反函数 $y=f^{-1}(x)$,写出 $f\left(f^{-1}(x)\right)$ 与 $f^{-1}(f(x))$ 的值.
$1 \mathbf{R} 2(0,+\infty) \quad 3(0,+\infty) \quad 4 \mathbf{R} \quad 5$ 减函数
6 增函数
## 4 幕函数
## 情境与问题
我们已经知道,在关系式 $N=a^{b}$ 中,当底数 $a$ 为大于 0 且不等于 1 的常数时: 如果把 $b$ 作为自变量、$N$ 作为因变量,则 $N$ 就是 $b$ 的指数函数;如果把 $N$ 作为自变量、$b$ 作为因变量,则 $b$ 就是 $N$ 的对数函数（即 $b=\log _{a} N$ ). 那么,当 $b$ 为常数时,能否将底数 $a$ 作为自变量、$N$ 作为因变量来构造函数关系呢?
在关系式 $N=a^{b}$ 中,以 $a$ 为自变量、$N$ 为因变量构造出来的函数就是本节我们要讨论的幂函数.
## 1. 幂函数
## 尝试与发现
我们以前学过函数 $y=x,y=x^{2},y=\frac{1}{x}$,这三个函数的解析式有什么共同的特点吗?你能根据指数运算的定义，把这三个函数的解析式改写成统一的形式吗?
一般地，函数
$$
y=x^{\alpha}
$$
称为幂函数,其中 $\alpha$ 为常数. 上面提到的函数 $y=x,y=x^{2},y=\frac{1}{x}$ 都是幂函数.
下面我们通过具体函数来研究幂函数的一些性质.
首先来研究函数 $y=x^{\frac{1}{2}}$.
## 尝试与发现
判断 $-4,-3,-2,-1,-\frac{1}{4},0,\frac{1}{4},1,2,3,4$ 这些数中,哪些在函数 $y=x^{\frac{1}{2}}$ 的定义域内,求出对应的函数值,并填写下表（只需填在定义域内的数及对应的函数值)，由此猜测这个函数的定义域、值域、奇偶性、单调性,尝试说明理由.
$$
\begin{gathered}
x \\
y=x^{\frac{1}{2}}
\end{gathered}
$$
由于 $y=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$,由此不难知道,函数 $y=x^{\frac{1}{2}}$ 的性质有:
(1) 定义域是 1
(2) 值域是 2
（3）奇偶性是 3
(4) 单调性是 4
根据以上信息可知,函数 $y=x^{\frac{1}{2}}$ 的图象上的点,除了原点,其余点都在第一象限,通过描点 (如图 4-4-1 所示),可作出其图象,如图 4-4-2 所示.
图 4-4-1
图 4-4-2
下面来研究函数 $y=x^{3}$.
## 尝试与发现
给出研究函数 $y=x^{3}$ 的性质与图象的方法,并用你的方法得出这个函数的性质:
(1) 定义域是 5
(2) 值域是 6
（3）奇偶性是 7
(4) 单调性是 8
(5) 图 4-4-3 中已经作出了函数 $y=$ $x^{-1},y=x,y=x^{2}$ 的图象,在其中作出函数 $y=x^{3}$ 的图象.
图 4-4-3
一般地,幂函数 $y=x^{\alpha}$,随着 $\alpha$ 的取值不同,函数的定义域、值域、奇偶性、单调性也不尽相同，但也有一些共同的特征：（1）所有的幂函数在区间 $(0,+\infty)$ 上都有定义,因此在第一象限内都有图象,并且图象都通过点 $(1,1)$.
（2）如果 $\alpha>0$，则幕函数的图象通过原点,并且在区间 $[0,+\infty)$ 上是增函数.
（3）如果 $\alpha<0$，则幕函数在区间 $(0,+\infty)$ 上是减函数，且在第一象限内：当 $x$ 从右边趋向于原点时,图象在 $y$ 轴右方且无限逼近 $y$ 轴;当 $x$ 无限增大时,图象在 $x$ 轴上方且无限逼近 $x$ 轴.
例 1 比较下列各题中两个值的大小:
(1) $2.3^{1.1}$ 和 $2.5^{1.1}$;(2) $\left(a^{2}+2\right)^{-\frac{1}{3}}$ 和 $2^{-\frac{1}{3}}$.
解 (1) 考察幂函数 $y=x^{1.1}$，因为其在区间 $[0,+\infty)$ 上是增函数,而且 $2.3<2.5$,所以
$$
2.3^{1.1}<2.5^{1.1}
$$
（2）考察幂函数 $y=x^{-\frac{1}{3}}$，因为其在区间 $(0,+\infty)$ 上是减函数，而且 $a^{2}+2 \geqslant 2$,所以
$$
\left(a^{2}+2\right)^{-\frac{1}{3}} \leqslant 2^{-\frac{1}{3}}
$$
例 2 讨论函数 $y=x^{\frac{2}{3}}$ 的定义域、奇偶性,通过描点作出它的图象,并根据图象说明函数的单调性.
解因为 $y=x^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{x^{2}}$,所以不难看出函数的定义域是实数集 $\mathbf{R}$.
记 $f(x)=x^{\frac{2}{3}}$,则
$$
f(-x)=(-x)^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{(-x)^{2}}=\sqrt[3]{x^{2}}=x^{\frac{2}{3}}=f(x)
$$
所以函数 $y=x^{\frac{2}{3}}$ 是偶函数. 因此,函数的图象关于 $y$ 轴对称.
通过列表描点,可以先作出 $y=x^{\frac{2}{3}}$ 在 $x \in[0,+\infty)$ 时的函数图象,再根据对称性,可作出它在 $x \in(-\infty,0]$ 时的图象,如图 4-4-4 所示.
图 4-4-4
由图象可以看出,函数 $y=x^{\frac{2}{3}}$ 在区间 $(-\infty,0]$ 上单调递减,在区间 $[0,+\infty)$ 上单调递增.
## Q 2. 用信息技术作幕函数的图象
在 GeoGebra 中，只要输入幂函数的表达式，就可以得到对应的图象，如图 4-4-5 所示是用 GeoGebra 作出的 $f(x)=x^{-1},g(x)=x^{\frac{1}{2}},h(x)=x$,$p(x)=x^{2},q(x)=x^{3}$ 的图象，你能从中得出什么规律吗?
图 4-4-5
## 习题4-4A
(1) 已知幕函数的图象经过点 $(9,3)$,求这个幂函数的解析式.
(2) 判断函数 $y=x^{-3}$ 与 $y=x^{-2}$ 的奇偶性.
(3) 写出函数 $y=x^{\frac{5}{4}}$ 与 $y=x^{\frac{4}{5}}$ 的定义域和值域.
(4) 利用幕函数的性质,比较下列各题中两个值的大小:
(1) $2.3^{\frac{1}{2}}$ 与 $2.4^{\frac{1}{2}}$;(2) $0.31^{-\frac{6}{5}}$ 与 $2^{-\frac{6}{5}}$
(5) 已知函数 $f(x)=x^{\alpha}$ 的定义域为 $[0,+\infty)$,写出两个满足条件的 $\alpha$ 值.
## 习题4-4B
(1) 已知幂函数 $f(x)=x^{\alpha}$ 的图象经过点 $(8,2)$,求 $f(-27)$ 的值.
(2) 利用幂函数的性质,比较下列各题中两个值的大小:
(1) $(2|t|)^{1.5}$ 与 $\left(t^{2}+1\right)^{1.5}$;(2) $1.3^{\frac{1}{2}}$ 与 $0.4^{-\frac{1}{2}}$. (3) 求出下列函数的定义域,并判断函数的奇偶性:
(1) $f(x)=x^{2}+x^{-2}$;(2) $f(x)=x+3 x^{\frac{2}{3}}$
(3) $f(x)=x^{3}+x^{\frac{1}{3}}$;(4) $f(x)=2 x^{4}+x^{-\frac{1}{2}}$.
(4) 求函数 $f(x)=(x+2)^{-2}$ 的定义域,并指出其单调区间.
(5) 已知幂函数 $y=x^{\alpha}$ 的图象经过 $A(0,0),B(1,1),C(-1,1),D(4,2)$ 中的三个点,写出满足条件的一个 $\alpha$ 值.
(6) 在同一平面直角坐标系中,作出下列函数的图象,总结出一般规律:
(1) $y=x^{-3}$ 和 $y=x^{-\frac{1}{3}}$;(2) $y=x^{\frac{5}{4}}$ 和 $y=x^{\frac{4}{5}}$.
## 习题4-4C
(1) 如图所示是 6 个函数的图象,依据图中的信息将 $a,b,c,d$ 从大到小排列.
(第 1 题)
(2) 求证: 方程
$$
3^{x}+4^{x}=5^{x}
$$
只有一个实数解.
$1 [0,+\infty) \quad 2 [0,+\infty) \quad 3 $ 非奇非偶函数 4 增函数 $\quad 5 \mathbf{R}$
6 R 7 奇函数 8 增函数
## 5 增长速度的比较
## 情境与问题
一家世界 500 强公司曾经出过类似这样的一道面试题:
有一套房子,价格为 200 万元,假设房价每年上涨 $10 \%$,某人每年固定能攒下 40 万元,如果他想买这套房子,在不贷款、收入不增加的前提下,这个人需要多少年才能赀够钱买这套房子?(A) 5 年
(B) 7 年
(C) 8 年
(D) 9 年
(E）永远也买不起
你能给出这道题的答案吗?
情境中的问题涉及增长速度的比较.
我们已经知道,函数 $y=f(x)$ 在区间 $\left[x_{1},x_{2}\right]\left(x_{1}<x_{2}\right.$ 时）或 $\left[x_{2}\right.$,$\left.x_{1}\right]\left(x_{1}>x_{2}\right.$ 时 $)$ 上的平均变化率为
$$
\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}
$$
也就是说,平均变化率实质上是函数值的改变量与自变量的改变量之比,这也可以理解为：自变量每增加 1 个单位,函数值平均将增加 $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ 个单位. 因此,可用平均变化率来比较函数值变化的快慢.
例如,当 $g(x)=2 x+3,h(x)=3 x-2$ 时,容易算出
$$
\frac{\Delta g}{\Delta x}=2,\frac{\Delta h}{\Delta x}=3
$$
这就是说,自变量每增加 1 个单位,$g(x)$ 将增加 2 个单位,而 $h(x)$ 将增加 3 个单位. 这也就意味着,即使 $h\left(x_{0}\right)<g\left(x_{0}\right)$,但当 $\Delta x$ 足够大时,必将有
$$
h\left(x_{0}+\Delta x\right)>g\left(x_{0}+\Delta x\right) \text {. }
$$
再例如,当 $f(x)=x^{2}-2 x-1$ 时,则
$$
\begin{aligned}
\frac{\Delta f}{\Delta x} & =\frac{x_{2}^{2}-2 x_{2}-1-\left(x_{1}^{2}-2 x_{1}-1\right)}{x_{2}-x_{1}} \\
& =\left(x_{1}+x_{2}\right)-2,\end{aligned}
$$
由此可知,在 $[1,+\infty)$ 内,自变量每增加 1 个单位,区间长不变的条件下,端点数值之和越大,$f(x)$ 的函数值增加越快. 例如,$f(x)$ 在区间 $[1,2]$ 上的平均变化率为 1,在区间 $[2,3]$ 上的平均变化率为 2 . 从图象上来看,如图 4-5-1 所示,线段 $A B$ 所在直线的斜率小于线段 $B C$ 所在直线的斜率.
例 1 已知函数 $y=2^{x}$,分别计算函数在区间 $[1,2]$ 与 $[2,3]$ 上的平均变化率,并说明,当自变量每增加 1 个单位时,函数值变化的规律.
解设 $1 \leqslant x_{1}<x_{2} \leqslant 2$,因为
图 4-5-1
$$
\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{2^{x_{2}}-2^{x_{1}}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{2^{x_{1}}\left(2^{x_{2}-x_{1}}-1\right)}{x_{2}-x_{1}},$$
所以
$y=2^{x}$ 在区间 $[1,2]$ 上的平均变化率为 $\frac{2^{1}\left(2^{2-1}-1\right)}{2-1}=2$;
$y=2^{x}$ 在区间 $[2,3]$ 上的平均变化率为 3
不难看出,当自变量每增加 1 个单位时,区间的左端点值越大,函数值增加越快.
例 2 已知函数 $f(x)=2^{x},g(x)=x,h(x)=\log _{2} x$,分别计算这三个函数在区间 $[a,a+1](a>1)$ 上的平均变化率,并比较它们的大小.
解因为
$$
\begin{aligned}
\frac{\Delta f}{\Delta x} & =\frac{2^{a+1}-2^{a}}{(a+1)-a}=2^{a},\\
\frac{\Delta g}{\Delta x} & =\frac{(a+1)-a}{(a+1)-a}=1,\\
\frac{\Delta h}{\Delta x} & =\frac{\log _{2}(a+1)-\log _{2} a}{(a+1)-a}=\log _{2}\left(1+\frac{1}{a}\right),\end{aligned}
$$
又因为 $a>1$ 时,有
$$
\begin{aligned}
& 2^{a}>2^{1}=2>1,\\
& \log _{2}\left(1+\frac{1}{a}\right)<\log _{2}\left(1+\frac{1}{1}\right)=1,\end{aligned}
$$
所以在区间 $[a,a+1]$ 上,$f(x)$ 的平均变化率最大,$h(x)$ 的最小.
例 2 的结论也可用图 4-5-2 来直观理解.
通过例 1 和例 2 的计算可以看出,当自变量每增加 1 个单位时,随着自变量的无限
图 4-5-2 增大,$f(x)=2^{x}$ 的函数值增长会越来越快,而且比函数 $g(x)=x$ 和函数 $h(x)=\log _{2} x$ 的增长速度都快.
一般地,当 $a>1$ 时,指数函数 $f(x)=a^{x}$ 都具有这个特征. 也正因为如此,人们一般将类似指数函数的增长称为指数增长 (或指数级增长、爆炸式增长),将类似一次函数的增长称为线性增长 (或直线增长). 例如,《人民日报》2016 年 8 月 24 日的一篇文章中提道:“我们要在传统媒体有线性增长的基础上,使新兴媒体有指数级的增长.”
本节情境与问题中的房价是指数增长的,而赞的钱是线性增长的,因为指数增长的速度会越来越快,所以在题目给定的条件下,永远也买不起房子,这可通过下表的计算结果（精确到 1 万元）看出.
| 年数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 房价/万元 | 220 | 242 | 266 | 293 | 322 | 354 | 390 | 429 | 472 |
| 挽的钱/万元 | 40 | 80 | 120 | 160 | 200 | 240 | 280 | 320 | 360 |
需要注意的是,前述面试题中的情形在现实生活中是不可能发生的,因为房价不可能按照每年 $10 \%$ 的速度永远增长下去,而且买房时可以选择按揭贷款等.
## 拓展阅渎
指数运算与生活哲学
指数函数的爆炸式增长源自指数运算的性质．对指数运算不熟悉的人，在估计指数运算的值时,可能会出现比较大的误差. 例如,你能猜出以下各指数运算的值都大概是多少吗?
$$
\begin{aligned}
& 1.01^{365} \approx?\\
& 1.02^{365} \approx?\end{aligned}
$$
$$
\begin{gathered}
1.01^{365} \approx 37.78 \\
0.99^{365} \approx 0.03 \\
\text { 积跬步以至干里 } \\
\text { 积怠菵以至深㴽 }
\end{gathered}
$$
$$
1.01^{219} \times 0.98^{146} \approx 0.46
$$
三天打鱼两天晒网
终将一无所获
$$
\begin{aligned}
& 0.99^{365} \approx?\\
& 1.01^{219} \times 0.98^{146} \approx?\\
& 0.95^{50} \approx?\end{aligned}
$$
有意思的是,如图所示,有人还用上述这些指数运算的值形象地解释了一些生活哲学,你觉得有道理吗?
$$
\begin{gathered}
1.02^{365} \approx 1377.41 \\
1.01^{365} \approx 37.78 \\
\text { 多百分之一的努力 } \\
\text { 得干份收获 }
\end{gathered}
$$
$$
0.95^{50} \approx 0.08
$$
如果每次失败的概率是 $95 \%$ 连续失败50次的概率不到8\%
## 习题4-5A
(1) 求 $f(x)=5 x+1$ 在任意区间上的平均变化率,并说明自变量每增加 1 个单位时函数值的变化情况.
(2) 已知函数 $f(x)=2^{x},g(x)=3^{x}$,分别计算这两个函数在区间 $[3,4]$ 上的平均变化率,并比较它们的大小.
(3) 已知函数 $f(x)=-x^{2}-3 x$.
（1）求 $f(x)$ 在区间 $[1,2]$ 与 $[2,3]$ 上的平均变化率;
(2) 记 $A(1,f(1)),B(2,f(2)),C(3,f(3))$,判断直线 $A B$ 与直线 $B C$ 斜率的相对大小.
## 习题4-5B
(1) 已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$,分别判断下列条件下 $f(x)$ 的单调性:
(1) $f(x)$ 在任意区间内的平均变化率均为正数;
(2) $f(x)$ 在任意区间内的平均变化率均比 $g(x)=2$ 在同一区间内的平均变化率小.
(2) 已知函数 $g(x)=2 x+3,h(x)=3 x-2$,判断 $g$ (2) 与 $h$ (2) 的相对大小,并求出使得 $h(2+\Delta x)>g(2+\Delta x)$ 成立的 $\Delta x$ 的取值范围.
(3) 已知函数 $f(x)$ 在任意区间内的平均变化率均为 5,说明当自变量减小 3 个单位时,函数值的变化情况.
(4) 已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$,且 $f(x)$ 在任意区间内的平均变化率均为非零常数 $k$,求证: $f(x)$ 是一个一次函数.
## 习题4-5C
(1) 已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$,而且 $f(x)$ 在任意区间内的平均变化率均比 $g(x)=x+1$ 在同一区间内的平均变化率大,判断 $f(3)-f(2)$ 与 1 的相对大小.
(2) 写出同时满足下列条件的一个函数 $f(x)$：若 $[a,b]$ 是 $f(x)$ 的定义域的任意子区间,则 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 内的平均变化率均为正;$f(x)$ 在整个定义域内不是增函数.
## 6 函数的应用 (二)
因为生活中很多量与量的关系都可以归结为指数关系,所以指数函数、对数函数和幂函数有着广泛的应用. 下面举例说明.
例 1 有些银行存款是按复利的方式计算利息的,即把前一期的利息与本金加在一起作为本金,再计算下一期的利息. 假设最开始本金为 $a$ 元,每期的利率为 $r(r>0)$,存 $x$ 期后本息和为 $f(x)$ 元.
(1) 写出 $f(x)$ 的解析式;
（2）至少要经过多少期后，本息和才能不小于本金的 2 倍?
解 (1) 不难看出,
$$
\begin{aligned}
& f(1)=a+a r=a(1+r),\\
& f(2)=a(1+r)+a(1+r) r=a(1+r)^{2},\\
& f(3)=a(1+r)^{2}+a(1+r)^{2} r=a(1+r)^{3},\end{aligned}
$$
因此
$$
f(x)=a(1+r)^{x},x \in \mathbf{N}^{*} .
$$
(2) 由 $f(x) \geqslant 2 a$ 可得
$$
a(1+r)^{x} \geqslant 2 a,$$
由此可解得 $x \geqslant \frac{\ln 2}{\ln (1+r)}$.
设不小于 $\frac{\ln 2}{\ln (1+r)}$ 的最小整数为 $x_{0}$,则至少要经过 $x_{0}$ 期后,本息和才能不小于本金的 2 倍.
由例 1 的 (2) 可以得到银行业中经常使用的“70 原则”: 因为 $\ln 2 \approx$ 0.69315,而且当 $r$ 比较小时,$\ln (1+r) \approx r$,所以
$$
\frac{\ln 2}{\ln (1+r)} \approx \frac{0.69315}{r} \approx \frac{70}{100 r} \text {,}
$$
即利率为 $r$ 时,本息和大约要 $\frac{70}{100 r}$ 期才能“倍增” (即为原来的 2 倍). 例如,当年利率为 $5 \%$ 时,约要经过 14 年,本息和才能“倍增”.
例 2 按照《国务院关于印发“十三五” 节能减排综合工作方案的通知》(国发〔2016〕 74 号) 的要求,到 2020 年,全国二氧化硫排放总量要控制在 1580 万吨以内,要比 2015 年下降 15\%. 假设“十三五” 期间每一年二氧化硫排放总量下降的百分比都相等,2015 年后第 $t(t=0,1$,$2,3,4,5)$ 年的二氧化硫排放总量最大值为 $f(t)$ 万吨.
(1) 求 $f(t)$ 的解析式;
(2) 求 2019 年全国二氧化硫排放总量要控制在多少万吨以内（精确到 1 万吨).
（1）设“十三五” 期间每一年二氧化硫排放总量下降的百分比均为 $r$,因为 $f(0)$ 表示 2015 年的排放总量,所以由题意可知
$$
f(t)=f(0)(1-r)^{t},t=0,1,2,3,4,5 .
$$
又因为
$$
\left\{\begin{array}{l}
f(5)=1580 \\
f(5)=f(0)(1-15 \%)
\end{array}\right.
$$
所以 $f(0)=\frac{31600}{17},1-r=0.85^{\frac{1}{5}}$,从而
$$
f(t)=\frac{31600}{17} \times 0.85^{\frac{1}{5}},t=0,1,2,3,4,5 .
$$
(2) 由 (1) 可知
$$
f(4)=\frac{31600}{17} \times 0.85^{\frac{4}{5}} \approx 1632,$$
因此 2019 年全国二氧化硫排放总量要控制在 1632 万吨以.
例 3 已知某地区第一年的经济增长率为 $a(a \in[0,1]$ 且 $a$ 为常数),第二年的经济增长率为 $x(x \geqslant 0)$,这两年的平均经济增长率为 $y$,写出 $y$ 与 $x$ 的关系,并求 $y$ 的最小值.
解根据题意有
$$
(1+a)(1+x)=(1+y)^{2},$$
从而有
$$
y=\sqrt{(1+a)(1+x)}-1,x \geqslant 0 .
$$
显然,上述函数是增函数,因此 $x=0$ 时,$y$ 有最小值 $\sqrt{1+a}-1$.
例 4 人们通常以分贝（符号是 $\mathrm{dB}$ ）为单位来表示声音强度的等级,其中 $0 \mathrm{~dB}$ 是人能听到的等级最低的声音. 一般地,如果强度为 $x$ 的声音对应的等级为 $f(x) \mathrm{dB}$,则有
$$
f(x)=10 \lg \frac{x}{1 \times 10^{-12}} .
$$
(1) 求等级为 $0 \mathrm{~dB}$ 的声音的强度;
（2）计算出 $90 \mathrm{~dB}$ 的声音与 $60 \mathrm{~dB}$ 的声音强度之比. 解 (1) 由 $f(x)=0$ 即
$$
\log \frac{x}{1 \times 10^{-12}}=0
$$
可得 $x=1 \times 10^{-12}$. 因此等级为 $0 \mathrm{~dB}$ 的声音强度为 $1 \times 10^{-12}$.
(2) 设 $f\left(x_{1}\right)=90$,则
$$
\log \frac{x_{1}}{1 \times 10^{-12}}=90
$$
解得 $x_{1}=10^{-3}$.
设 $f\left(x_{2}\right)=60$,同理可得 $x_{2}=10^{-6}$.
因此所求强度之比为
$$
\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{10^{-3}}{10^{-6}}=1000
$$
值得注意的是,由例 4 的（2）可以看出,$90 \mathrm{~dB}$ 的声音强度是 $60 \mathrm{~dB}$ 的声音强度的 1000 倍. 实际上,$60 \mathrm{~dB}$ 是一般说话的声音等级,而很嘈杂的马路的声音等级为 $90 \mathrm{~dB}$. 为了保护听力,人所处的环境,声音一般不宜长时间超过 $90 \mathrm{~dB}$.
## 习题4-6A
(1) 据报道,青海湖的湖水量在最近 50 年内减少了 $10 \%$,如果按此规律（即每 50 年减少 $10 \%)$,设 2010 年的湖水量为 $m$，从 2010 年起过 $x$ 年后湖水量为 $y$. 试写出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式.
(2) 按照《国务院关于印发“十三五”节能減排综合工作方案的通知》（国发 [2016] 74 号) 的要求,到 2020 年,全国化学需氧量排放总量要控制在 2001 万吨以内,要比 2015 年下降 $10 \%$. 假设“十三五” 期间每一年化学需氧量排放总量下降的百分比都相等,2015 年后第 $t(t=0,1,2,3,4,5)$ 年的化学需氧量排放总量最大值为 $f(t)$ 万吨.
(1) 求 $f(t)$ 的解析式;
(2) 求 2019 年全国化学需氧量排放总量要控制在多少万吨以内 (精确到 1 万吨).
(3) 近年来,家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层,臭氧含量 $Q$ 与时间 $t$ (单位: 年) 的关系为 $Q=Q_{0} \mathrm{e}^{-\frac{t}{400}}$,其中 $Q_{0}$ 是臭氧的初始含量.
（1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少?
（2）多久以后将会有一半的臭氧消失（精确到 1 年)?
(4) 已知强度为 $x$ 的声音对应的等级为 $f(x) \mathrm{dB}$ 时,有 $f(x)=10 \lg \frac{x}{1 \times 10^{-12}}$. 喷气式飞机起飞时,声音约为 $140 \mathrm{~dB}$;一般说话时,声音约为 $60 \mathrm{~dB}$. 计算喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的多少倍.
## 习题4-6B
(1) 根据统计,一名工人组装第 $x$ 件某产品所用的时间（单位：$\min$ ）为
$$
f(x)= \begin{cases}\frac{c}{\sqrt{x}},& x<A,\\ \frac{c}{\sqrt{A}},& x \geqslant A,\end{cases}
$$
其中 $A,c$ 为常数,已知工人组装第 4 件产品用时 $30 \mathrm{~min}$,组装第 $A$ 件产品用时 $15 \mathrm{~min}$,求 $c$ 和 $A$ 的值.
(2) 近年来,太阳能技术运用的步伐日益加快. 2002 年全球太阳能电池的年生产量达到 $670 \mathrm{MW}$,年生产量的增长率为 $34 \%$. 以后四年中,年生产量的增长率逐年递增 $2 \%$ (如,2003 年的年生产量的增长率为 $36 \%$ ).
（1）求 2006 年全球太阳能电池的年生产量（结果精确到 $0.1 \mathrm{MW}$ );
（2）目前太阳能电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量,2006 年的实际安装量为 $1420 \mathrm{MW}$. 假设以后若干年内太阳能电池的年生产量的增长率保持在 $42 \%$,到 2010 年,要使年安装量与年生产量基本持平 (即年安装量不少于年生产量的 $95 \%$ ),这四年中太阳能电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少 (结果精确到 $0.1 \%$ )?
(3) 把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是 $\theta_{1}{ }^{\circ} \mathrm{C}$,空气的温度是 $\theta_{0}{ }^{\circ} \mathrm{C}$,则 $t \min$ 后物体的温度 $\theta{ }^{\circ} \mathrm{C}$ 可由公式 $\theta=\theta_{0}+\left(\theta_{1}-\theta_{0}\right) \mathrm{e}^{-k t}$ 求得,其中 $k$ 是常数. 把温度是 $62{ }^{\circ} \mathrm{C}$ 的物体放在 $15{ }^{\circ} \mathrm{C}$ 的空气中冷却,$1 \mathrm{~min}$ 后,物体的温度是 $52^{\circ} \mathrm{C}$.
(1) 求出 $k$ 的值;
(2) 计算开始冷却多久后,上述物体的温度分别是 $42{ }^{\circ} \mathrm{C},32{ }^{\circ} \mathrm{C},22{ }^{\circ} \mathrm{C}$;
(3) 判断上述物体最终能否冷却到 $12{ }^{\circ} \mathrm{C}$,并说明理由.
(4) 用水清洗一堆蔬菜上残留的农药,已知用 1 个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的 $\frac{1}{2}$,用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上. 设用 $x$ 个单位量的水清洗一次以后,蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为 $f(x)$.
(1) 试确定 $f(0)$ 的值,并解释其实际意义;
（2）试根据假设写出函数 $f(x)$ 应该满足的条件和具有的性质;
（3） 设 $f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}$,现有 $a(a>0)$ 个单位量的水,可以清洗一次,也可以把水平均分成 2 份后清洗两次,试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少,说明理由.
## 7 数学建模活动：生长规律的描述
日常生活中的很多现象都可以借助函数模型加以描述,下面给大家呈现一个借助指数函数等建立模型的实例.
## 数学建模论文示例
## 生长规律的描述
## 1. 发现问题、提出问题
生物的生长发育是一个连续的过程，但不同的时间段可能有不同的增长速度.
例如,原卫生部 2009 年 6 月发布的《中国 7 岁以下儿童生长发育参照标准》指出,我国 7 岁以下女童身高（长）的中位数如下表所示（0 岁指刚出生时),这些数据可以用图 4-7-1 表示.
| 年龄 $/$ 岁 | 0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 身高 $/ \mathrm{cm}$ | 49.7 | 66.8 | 75 | 81.5 | 87.2 | 92.1 | |
| 年龄 $/$ 岁 | 3.5 | 4 | 4.5 | 5 | 5.5 | 6 | 6.5 |
| 身高 $/ \mathrm{cm}$ | 99.4 | 103.1 | 106.7 | 110.2 | 113.5 | 116.6 | 119.4 |
图 4-7-1
从数据和图都可以看出,我国 7 岁以下女童身高的增长速度越来越慢.
再例如,农业专家在研究某地区玉米在不同生长阶段的植株高度时,得到了以下数据，这些数据可以用图 4-7-2 直观表示.
| 生长阶段 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 植株高度/cm | 0.67 | 1.75 | 3.69 | 7.73 | 16.55 | 32.55 | 53.38 | 97.46 | 153.6 | 174.9 | 180.79 |
图 4-7-2
从具体的数据和图都可以看出,玉米植株高度的增长,具有先慢后快、然后又变慢的规律.
能否利用数学语言来描述类似的生长规律呢?
## 2. 分析问题、建立模型
要描述生长规律,实际上是要描述当一个量（记为 $x$ ）变化时,另外一个量（记为 y）会怎样变化. 例如,随着年龄的增长,身高将怎样变化;随着生长阶段的不同,植株高度会怎样变化；等等.
不难想到,我们可以借助函数 $y=f(x)$ 来描述生长规律.
因为从生长规律来说,当 $x$ 增大时,$y$ 是增大的,这说明函数 $y=f(x)$ 在指定的范围内应该是增函数;又因为不同的时间段有不同的增长速度,所以函数 $y=f(x)$ 不能是一次函数.
为了简单起见,可以假设函数的变量 $x,y$ 都是连续变化的（也就是说可以取某个区间内的任意值).
当然,根据不同对象的生长规律,可以选择不同的函数形式.
例如,对于前述我国 7 岁以下女童身高来说,考虑到增长速度一开始比较快,后来慢慢变缓,而我们熟悉的函数中,幂函数 $y=\sqrt{x}$ 具有这种性质,因此生长规律可用
$$
g(x)=a \sqrt{x}+b
$$
来描述.
类似地,对于前述玉米植株高度来说,因为增长速度一开始比较慢,后来逐渐加快,而我们熟悉的函数中,指数函数 $y=a^{x} \quad(a>1)$ 具有这种性质,因此生长规律可用
$$
h(x)=a \mathrm{e}^{b x}
$$
来描述.
## 3. 确定参数、计算求解
对于描述我国 7 岁以下女童身高的函数 $g(x)=a \sqrt{x}+b$ 来说,为了确定 $a,b$ 的值,可以在已有的数据中选择两对代人函数式,然后列方程组求解.
例如,如果选择的是 $g(0)=49.7$ 与 $g(4)=103.1$,则有
$$
\left\{\begin{array}{l}
a \sqrt{0}+b=49.7,\\
a \sqrt{4}+b=103.1,\end{array}\right.
$$
由此可解得 $a=26.7,b=49.7$,所以
$$
g(x)=26.7 \sqrt{x}+49.7 \text {. }
$$
类似地,也可选择已有数据中的两对来确定函数 $h(x)=a \mathrm{e}^{b x}$ 中的 $a,b$.
例如,如果选择的是 $h(2)=1.75$ 与 $h(8)=97.46$,则有
$$
\left\{\begin{array}{l}
a \mathrm{e}^{2 b}=1.75 \\
a \mathrm{e}^{8 b}=97.46
\end{array}\right.
$$
由此可解得 $a \approx 0.458,b \approx 0.670$,所以
$$
h(x)=0.458 \mathrm{e}^{0.670 x} .
$$
## 4. 验证结果、改进模型
因为在求解时,我们都只用到了部分已有的数据,所以可以利用其他数据来检验所建立模型的优劣.
例如,对于描述我国 7 岁以下女童身高的函数 $g(x)=26.7 \sqrt{x}+49.7$ 来说,计算函数值,可以得到以下数据的对比表.
| 年龄/岁 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 身高/cm | 66.8 | 75 | 81.5 | 87.2 | 92.1 | |
| $g(x)$ | 68.6 | 76.4 | 82.4 | 87.5 | 91.9 | 96.3 |
| 年龄/岁 | 3.5 | 4.5 | 5 | 5.5 | 6 | 9 |
| 身高/cm | 99.4 | 106.7 | 110.2 | 113.5 | 116.6 | 6.5 |
| $g(x)$ | 99.7 | 106.3 | 109.4 | 112.3 | 115.1 | |
由表可以看出,误差都在 $2 \mathrm{~cm}$ 以内,因此 $g(x)=26.7 \sqrt{x}+49.7$ 能够较好地反映我国 7 岁以下女童身高的生长规律.
对于玉米植株高度函数 $h(x)=0.458 \mathrm{e}^{0.670 x}$ 来说,可以算得函数值的对应表如下.
| 生长阶段 | 1 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 9 | 10 | 11 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 植株高度 $/ \mathrm{cm}$ | 0.67 | 3.69 | 7.73 | 16.55 | 32.55 | 53.38 | 153.6 | 174.9 | 180.79 |
| $h(x)$ | 0.90 | 3.42 | 6.68 | 13.05 | 25.51 | 49.85 | 190.40 | 372.08 | 727.14 |
不难看出,在前面 7 个阶段内,$h(x)$ 的函数值与实际值之间的误差不大,但是第 9 11 阶段就不一样了. 这种现象实际上是可以预料到的. 因为指数函数 $h(x)=0.458 \mathrm{e}^{0.670 x}$ 的增长速度会越来越快,这就意味着这个函数一定不能反映出植株高度的实际增长规律（即先慢后快,然后又变慢).
## 活动内容
1. 根据“数学建模论文示例” 中的结果,借助计算机软件等完成下列任务：
(1) 在已有的数据中,选择不同的数据确定我国 7 岁以下女童身高和玉米植株高度模型中的参数,然后比较不同参数确定的结果之间的差异；
(2) 尝试用 $g(x)=a \lg (x+b)$ 描述我国 7 岁以下女童身高的生长规律,选择合适数据确定参数,并将有关结果与示例中的结果进行比较;
(3) 尝试寻找描述玉米植株高度的、不同于 $h(x)=a \mathrm{e}^{h x}$ 的函数模型 (提示：可以考虑分段函数),选择合适数据确定参数，并将有关结果与示例中的结果进行比较;
(4) 人们一般用逻辑斯谛模型
$$
f(x)=\frac{k}{1+c \mathrm{e}^{-r x}}
$$
来描述类似玉米植株高度的增长规律,因为这一函数的图象与图 4-7-2 更相似. 选择合适的数据,确定出逻辑斯谛模型中的参数值,并对函数值与实际值进行比较,由此写出得到的启发.
2. 按照优势互补的原则,跟其他同学组成一个数学建模小组,在以下两个题目中,任选一个进行数学建模实践.
（1）观察特定植物（如䓤、水仙花）的生长情况,定期记录有关数据,探索生长规律,并按照类似本节的方法建立对应的生长模型.
（2）了解人口增长的规律,一直都是人们特别感兴趣的事情. 与其他同学合作,查找某一地区或某一国家人口的历史数据,尝试建立相关的数学模型,并利用数学模型加以预测.
## 本章小结
## 1 知识结构图设计与交流
简单归纳的话,本章我们主要是在学习指数运算的基础上,学习了指数函数和幂函数的知识;在学习对数运算的基础上,学习了对数函数的知识. 同以前一样,函数的学习主要关注的是函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等. 由此可作出知识结构图如下图所示.
上图当然还可以细化,也可以用另外的图表形式来体现,请大家自己动手试一试.
## 课题作业
（1）指数函数、对数函数与幕函数三者之间存在紧密的联系,试整理有关内容,写成小论文，并与其他同学交流.
（2）历史上,对数运算的引入是为了简化乘、除等运算,而且对数运算也不是在指数函数研究的基础上发展起来的.
在没有计算器和计算机可以借助的时代,对数计算并不容易,为此,人们总结出了对数表,通过查表可以获得对数的近似值.
利用对数表可以简化一般的乘、除等运算.
为了方便操作,人们后来还发明了“对数计算尺”,并借助其来简化运算.
查阅有关书籍和网络,了解上述事实,任选一个角度,整理成演讲材料,并与其他同学交流.
## 3 复习题
## $\mathbf{A}$ 组
1. 求下列各式的值:
(1) $8^{\frac{2}{3}}$
(2) $3^{\frac{5}{3}} 3^{\frac{4}{3}}$
(3) $\log _{2} 0.25$;(4) $\log _{2} 20-\log _{4} 25$;(5) $\log _{2} 3 \times \log _{27} 125$;(6) $\log _{3} 2 \times \log _{2} 5 \times \log _{5} 3$
2. 已知 $\lg 2=a,\lg 3=b$,用 $a,b$ 表示 $\lg 6$ 以及 $\log _{3} 8$.
3. 判断函数 $f(x)=\frac{a^{x}-a^{-x}}{2}(a>0$ 且 $a \neq 1)$ 的奇偶性,并证明.
4. 在同一平面直角坐标系中,作出函数 $f(x)=\log _{2}(-x)$ 和 $g(x)=x+1$ 的图象,并求不等式 $f(x)<g(x)$ 的解集.
5. 已知函数 $f(x)=3^{x}$,求证:
(1) $f(a) f(b)=f(a+b)$;(2) $\frac{f(a)}{f(b)}=f(a-b)$.
6. 根据下列不等式,分别判断 $m$ 与 $n$ 的大小:
(1) $2^{m}<2^{n}$;(2) $\log _{0.2} m>\log _{0.2} n$.
7. 比较下列各题中两个值的大小:
(1) $1.5^{\frac{3}{5}},1.7^{\frac{3}{5}}$;(2) $(-1.2)^{-\frac{2}{3}},(-1.25)^{-\frac{2}{3}}$.
8. 设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}2^{-x}-1,x \leqslant 0,\\ x^{\frac{1}{2}},x>0,\end{array}\right.$ 求不等式 $f(x)>1$ 的解集.
9. 求下列方程的解集 :
(1) $3^{2 x-2}=81$;(2) $\sqrt{7^{x}}=\sqrt[5]{343}$
(3) $\left(\frac{2}{3}\right)^{x}\left(\frac{9}{8}\right)^{x}=\frac{27}{64}$;(4) $5^{x-1} 10^{3 x}=8^{x}$.
10. 求下列函数的定义域:
(1) $y=8^{\frac{1}{2 x-1}}$;(2) $y=\sqrt{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{x}}$;(3) $y=\log _{3}(2-x)$.
## B 组
1. 求下列各式的值:
(1) $\log _{2} \frac{1}{25} \times \log _{3} 8 \times \log _{5} \frac{1}{9}$;
(2) $\log _{2}\left(\log _{2} 32-\log _{2} \frac{3}{4}+\log _{2} 6\right)$.
2. 已知 $5^{x}=2,5^{y}=9$,求 $5^{2 x-\frac{y}{2}}$ 的值.
3. 已知 $a^{3}=9$,求 $\log _{3} a$ 的值.
4. 已知 $4^{a}=2,\lg x=a$,求 $x$ 的值.
5. 已知 $2^{a}=5^{b}=m,\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2$,求 $m$ 的值.
6. 判断函数 $f(x)=\frac{\left(a^{x}+1\right) x}{a^{x}-1}(a>0$ 且 $a \neq 1)$ 的奇偶性,并证明.
7. 已知 $f\left(x^{5}\right)=\lg x$,求 $f(2)$ 的值.
8. 已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}2^{x-1}-2,x \leqslant 1,\\ \log _{2}(x+1),x>1,\end{array}\right.$ 且 $f(a)=3$,求 $f(6-a)$ 的值.
9. 已知函数 $f(x)=\ln \left(\mathrm{e}^{x}+1\right)-a x$ 是偶函数,求 $a$ 的值.
10. 已知函数 $f(x)=3^{x}$ 与 $g(x)$ 的图象关于 $y=x$ 对称,求 $g(x)$ 的解析式.
11. 求函数 $f(x)=\mathrm{e}^{2 x}-2 \mathrm{e}^{x}$ 的最值.
12. 求下列方程的解集 :
(1) $\lg x+\lg (x-3)=1$;
(2) $\frac{1}{12}(\lg x)^{2}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4} \lg x$;
(3) $5^{2 x}-6 \times 5^{x}+5=0$;
(4) $3^{x}-3^{-x}=\frac{80}{9}$;
(5) $2 \log _{x} 25-3 \log _{25} x=1$;
(6) $\log _{7}\left(\log _{3} x\right)=-1$.
13.《中国青年报》2015 年 5 月 14 日报道:“伴随着网络技术的蓬勃发展,国内电子商务获得了爆炸式的增长,2014 年网上零售额达到了 27898 亿元,占社会消费品零售总额的 $10 \%$,也就是说,人们日常消费中 $10 \%$ 是通过网购,而且还以年 30\% 40\%的速度增长.”假设 $2014-2020$ 年网上零售额每年的增长率均为 $35 \%$,试算出 2015-2020 年每年的网上零售额（精确到 1 亿元）.
14. 比较函数 $f(x)=2^{x}$ 与 $g(x)=\frac{1}{2} x-1$ 在区间 $[a-1,a](a<0)$ 上的平均变化率的大小.
## $\mathbf{C}$ 组
1. 不使用计算器和计算机软件,比较 $\log _{2} 5,2^{0.5},\log _{4} 15$ 的大小.
2. 判断函数 $y=\lg \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)$ 的奇偶性,并证明.
3. 已知 $\lg a,\lg b$ 是方程 $x^{2}-4 x+1=0$ 的两个根,求 $\left(\lg \frac{b}{a}\right)^{2}$ 的值.
4. 设函数 $y=f(x)$ 的图象与 $y=2^{x+a}$ 的图象关于直线 $y=-x$ 对称,且 $f(-2)+$ $f(-4)=1$,求 $a$ 的值.
5. 已知函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 满足 $g(x)=f(\lg x)$.
(1) 如果 $y=f(x)$ 的定义域是 $[1,3]$,求 $g(x)$ 的定义域;
(2) 如果 $g(x)$ 的定义域是 $[0.1,100]$,求 $f(x)$ 的定义域.
6. 已知函数 $f(x)=4^{x}-2^{x+1} a,x \in[-1,2]$ 的最小值为 $g(a)$.
(1) 求 $g(2)$ 的值;(2) 求函数 $g(a)$ 的解析式.
人家带着你走，七遍八遍也记不住路,自己走一遍就知道路了.
## 本章导语
数字在我们的日常生活中已经是不可或缺的了，你不相信吗?试着完全不用数字去描述一下昨天你都干了些什么吧!
在日常生活与生产中，那些有意无意被记录下来的数据，到底是“金矿”还是“垃圾”，取决于使用它的人是否有足够多的统计学知识.
统计学是对数据进行收集、整理、展示、分析和解释,以帮助人们更有效地进行决策的科学. 现代社会中,大到国家宏观政策的实施,小至个人生活的点点滴滴,都或多或少要用到统计知识. 例如,延迟退休决定的做出,一定建立在对人口总体年龄分布等情况的掌握基础上;个人高考志愿的填报，一般会参考所报考院校以往的录取分数线；等等.
概率的有关知识与统计学有千丝万缕的联系,从历史发展来看,概率起源于人们对随机现象统计规律的认识. 概率论是研究随机现象统计规律性的学科. 我们的生活中充满了随机现象：今天是否会下雨,公交车是否会准点到达,上学的路上会不会遇到自己的好朋友 $\cdots \cdots .$.
本章我们将在初中的基础上,进一步了解统计与概率的知识,并用它们去解决一些更复杂的问题.
例如,俗话说,失败乃成功之母. 如果做某一件事,成功的概率只有 0.1,那么需要尝试多少次才能保证至少成功一次的概率不小于 $90 \%$ 呢?
再例如，某饭店搞“郑骰子得折扣” 的活动,顾客同时郑三个骰子,然后按照所得点数情况决定最后的折扣,规则如下图所示. 你能分别算出顾客得五五折和七五折的概率吗?
学完本章的内容之后,我们就能轻而易举地解决类似的问题了!
## 1 统计
### 1 数据的收集
统计学是一门利用数据帮助人们决策的科学,数据的收集往往是统计活动的基础. 现代社会里,获取数据的途径很多.
从互联网上可以获得大量的统计数据. 比如从国家统计局的网站（如图 5-1-1 所示) 中,通过数据查询等,可以得到各种权威的国家宏观统计数据.
图 5-1-1
再比如,通过正式出版的统计报表和年鉴 (如图 5-1-2 所示),也可获得权威的统计数据.
当然,也可以通过向专业人士请教等来获得现成的数据.
我们还可以自己动手直接收集数据. 例如,通过社会调查了解人们对环境保护的看法,通过试验设计掌握种子的发芽率,等等.
通过每天的实时记录,也能得到有用的数据. 例如,通过记录自己每天在每个学科上学习的时间,能了解自己是否有偏科、是
图 5-1-2 否需要调整各学科的学习时间等.
## 1. 总体与样本
## 情境与问题
育才中学想在高一年级下学期举办 3 场心理健康讲座,备选的主题有 6 个,高一学生共有 1356 人. 学校将备选的 6 个主题一一列出,做成了调查问卷. 为了选出最能满足大家需要的 3 个主题,以下两种方案各自的优点和缺点是什么?
（1）请每位高一学生完成调查问卷，然后统计有关结果;
（2）随机抽取 50 位高一学生完成调查问卷,然后统计有关结果.
我们在初中已经接触过总体与样本,知道所考察问题涉及的对象全体是总体,总体中每个对象都是个体,抽取的部分对象组成总体的一个样本,一个样本中包含的个体数目是样本容量.
一般地，对总体中每个个体都进行考察的方法称为普查（也称为全面调查),只抽取样本进行考察的方法称为抽样调查. 前述情境与问题中的方案
(1) 是普查,方案 (2) 是抽样调查.
普查能够了解总体中每个个体的情况，从而能准确地掌握总体的特征. 因此,在总体包含的个体总数不大,或有特殊需要的情况下,可以采用普查的方法. 例如:
（1）为了订购集体活动的服装,需要了解班内每位同学的身高、腰围等，应该使用普查的方法;
（2）为了全面地了解我国人口状况，从 1949 年至 2017 年，我国已进行了 6 次全国性人口普查；
（3）为了掌握国民经济第二产业、第三产业的发展规模、结构、效益等信息,我国于 2004 年、2008 年、2013 年进行了三次经济普查,而且自 2013 年以后,计划逢 3 和逢 8 的年份都要进行经济普查.
然而,普查的方法有时会因为各种原因而无法实施,例如成本太高、时间上不容许、考察方法具有破坏性等，此时抽样调查就成了不二选择. 例如：
（1）想了解潜在顾客对新开发的产品包装意见时，由于潜在顾客难以界定以及经济上的原因，只能采用抽样调查；
（2）想实时了解收看时政新闻的人数等情况，因为经济成本与时间的原因，只能采用抽样调查；
（3）国家食品药品监督管理部门想了解各超市中正在出售的牛奶里细菌含量是否超标,公司质监部门想测试电子产品的防水性能,因为考察方法都具有破坏性,只能采用抽样调查.
事实上,我们在日常生活中也经常运用抽样的思想. 例如:
(1) 早晨起床的时候,如果发现天气变了,你可能会把手伸出窗外感受一下，然后再决定是否要穿厚一点的衣服;
（2）在大口喝杯子里的热水之前,你一定会先喝一小口,试一下温度;
（3）去买橘子的时候,如果有可能的话,你会先尝一下,然后再决定买还是不买.
当然,对于抽样调查来说,最重要的是要保证所抽取的样本具有代表性,怎样才能做到这一点呢?这正是下面我们要讨论的.
## 拓展阅读
## 我国古代统计工作简介
早在夏朝时期，我国就进行了人口调查统计.为了管理统计工作,周朝设有专门负责调查和记录数据的官员，称为“司书”。据《周礼》的记载,国家设立“司书上士二人,中士四人，府二人，史四人，徒八人”，他的主要工作是负责“邦之六典……以周知入出百物……以知田野夫家六畜之数”．《管子》一书中，题为“调查”的那篇记载了６５个涉及统治一个国家的各方面问题．例如：多少家庭拥有自己的土地和房屋？每一户储备有多少粮食？有多少鳏夫、寡妇、孤儿和病人？汉朝的开国皇帝刘邦认为统计很重要，因而他让宰相直接管理统计数字．这作为一个传统，在中国历史上延续了很长一段时间．他们主要感兴趣的问题类似于：当发生紧急状况时能够动员多少身强力壮的男子？需要多少人的劳作才能满足人们的基本生活？在计划做出有关财产或婚姻法律变更时，不满的少数派会有多少？一个地方统治政权以及邻国的课税能力如何？$\cdots \cdots$
## 2. 简单随机抽样
在初中我们已经接触过简单随机抽样,知道在进行简单随机抽样时,总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到. 一般地,简单随机抽样 (也称为纯随机抽样) 就是从总体中不加任何分组、划类、排队等,完全随机地抽取个体. 简单随机抽样是其他各种抽样方法的基础. 当总体中的个体
图 5-1-3 之间差异程度较小和总体中个体数目较少时,通常采用这种方法.
常见的简单随机抽样方法有抽签法、随机数表法.
抽签法类似于从如图 5-1-3 所示的抽奖箱中抽奖.
例如,若要从 90 个节能灯中用抽签法抽出 5 个来进行检验,可以先给这 90 个节能灯编号,然后将编号写在 90 张纸片（或小球）上,再把纸片放在一个容器中,搅拌均匀后,随机从中抽出 5 个号码,找出这 5 个号码对应的节能灯即可.
抽签法的优点是简单易行,但当总体的容量非常大时,操作起来就比较麻烦,而且如果抽取之前搅拌不均匀,可能导致抽取的样本不具有代表性,使用随机数表可在一定程度上解决这个问题.
顾名思义,随机数表是由随机数（通常为 $0,1,2,\cdots,9 ）$ 形成的数表,表中的每一位置出现的数都是随机的,下列是一个随机数表的一部分.
$\begin{array}{llllllllll}48628 & 50089 & 38155 & 69882 & 27761 & 73903 & 53014 & 98720 & 41571 & 79413 \\ 53666 & 08912 & 48395 & 32616 & 34905 & 63640 & 57931 & 72328 & 49195 & 17699 \\ 00620 & 79613 & 29901 & 92364 & 38659 & 64526 & 20236 & 29793 & 09063 & 99398 \\ 01114 & 19048 & 00895 & 91770 & 95934 & 31491 & 72529 & 39980 & 45750 & 14155 \\ 98246 & 18957 & 91965 & 13529 & 97168 & 97299 & 68402 & 68378 & 89201 & 67871 \\ 41410 & 51595 & 89983 & 82330 & 96809 & 93877 & 92818 & 84275 & 45938 & 48490\end{array}$
用随机数表进行简单随机抽样的一般步骤为:
(1) 对总体进行编号.
(2) 在随机数表中任意指定一个开始选取的位置. 位置的确定可以闭着眼用手指随机确定,也可用其他方式随机确定.
（3）按照一定规则选取编号. 例如,若编号是两位,规则可以是每次从左往右选取两个数字,也可以是每次只选取每一组的前两个数字,还可以是每次只选取下面一行同一位置对应的两个数字,等等. 规则一经确定,就不能更改. 在选取过程中,遇到超过编号范围或已经选取了的数字,应该舍弃.
(4) 按照得到的编号找出对应的个体.
例如,仍以从 90 个节能灯中抽出 5 个为例,将 90 个节能灯编号为 01,$02,\cdots,90$ :
(1) 若指定从第三行第五组的第一个数字开始,每次从左往右选取两个数字,则可得 5 个编号为
$$
38,65,45,1 \quad,2 \quad,$$
注意,操作过程中共选取了 6 次数,其中第 3 次选取的编号 96 超出了范围,已舍弃；(2) 若指定从第五行第一组的第一个数字开始,每次只选取每一组的前两个数字,则可得 5 个编号为
$$
18,13,3 \quad,4
$$
注意，操作过程中共选取了 10 次数.
## 3. 分层抽样
## 尝试与发现
某高中高一新生共有 900 人,其中男生 500 人,女生 400 人. 学校现在想了解高一新生对文史类课程的看法,以便开设有关选修课程,准备从高一新生中抽取 45 人进行访谈：
（1）如果直接采用简单随机抽样,会有什么缺点?
（2）采用怎样的抽样方法较好?
如果相对于要考察的问题来说,总体是由有明显差别的几部分组成时,直接采用简单随机抽样得出的样本,可能并不具有代表性.
例如,上述尝试与发现中,一般来说,男生与女生对文史类课程的看法存在差别,如果采用简单随机抽样,得到的样本中,男生（女生）所占比例与总体中的男生 (女生) 所占比例可能存在较大差异,从而导致最后得到的结果不能很好地反映总体的情况.
为了避免出现这种情况,可以在抽样时要求样本中的男生（女生）所占比例与总体中男生 (女生) 所占比例一致. 设样本中男生为 $x$ 人,女生为 $y$ 人，则应有
$$
\frac{x}{45}=\frac{500}{900}，\frac{y}{45}=\frac{400}{900} \text {，即 } \frac{x}{500}=\frac{y}{400}=\frac{45}{900}，$$
从而有 $x=25,y=20$. 这就是说,应从高一新生的男生中抽取 25 人,女生中抽取 20 人. 在男生和女生中抽取时,可以用简单随机抽样的方法.
一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成有明显差别的、互不重叠的几部分时,每一部分可称为层,在各层中按层在总体中所占比例进行随机抽样的方法称为分层随机抽样 (简称为分层抽样).
通过分层抽样所得到的样本,一般更具有代表性,可以更准确地反映总体的特征,尤其是在层内个体相对同质而层间差异较大时更是如此. 分层抽样在各层中抽样时,还可根据各层的特点灵活地选用不同的随机抽样方法. 有些情况下,人们除了对总体的信息感兴趣,还希望得到各层的内部信息,这时采用分层抽样更是自然的选择. 因此,分层抽样方法的应用比较广泛.
例某科研院所共有科研人员 800 人，其中具有高级职称的 160 人，具有中级职称的 320 人,具有初级职称的 240 人,无职称的 80 人,欲了解该科研院所科研人员的创新能力,决定抽取 100 名科研人员进行调查,应怎样进行抽样?
解因为一般来说,创新能力与职称有关,所以应该用分层抽样.
设样本中具有高级职称的人数为 $x$,则 $\frac{100}{800}=\frac{x}{160}$,可算得 $x=20$,即要抽取具有高级职称的科研人员 20 人.
类似地,可以算得要抽取具有中级职称的科研人员 6 人，具有初级职称的科研人员 7 人，无职称的科研人员 $8 \quad$ 人.
在分层抽样过程中,如果计算得出的层内抽样数不是整数,可以进行一定的技术处理,比如将结果取成整数等.
## 4. 用信息技术进行抽样
很多计算机软件中,都内置有生成随机数的函数,我们可以利用这些函数来进行抽样.
例如,要从 $1,2,\cdots,90$ 中抽出 5 个数,可以在 Excel 中多次使用 RANDBETWEEN 函数，如图 5-1-4 所示.
在 GeoGebra 软件的表格区也可实现同样的功能，只不过使用的函数是 RandomBetween.
图 5-1-4
当然，也可以利用上述命令生成随机数表.
## 练习A
(1) 如果要了解一批节能灯的寿命,应该用普查还是抽样调查?简述理由.
(2) 利用正文中的随机数表,从第二行第三组第一个数开始,每次从左往右读三个数字,从 $001,002,\cdots,500$ 中抽取一个容量为 5 的样本.
(3) 某完全中学初中部有学生 1850 人,高中部有学生 1250 人. 若要用分层抽样的方法从这所学校抽出 62 名同学来了解大家对学校伙食的看法,那么所抽出的初中部学生数与高中部学生数的比是多少?
## 练习B
(1) 某集团有甲、乙、历万三个分公司,其中甲公司有员工 500 名，乙公司有员工 800 名,丙公司有员工 300 名. 为了了解集团员工对企业改革的态度,该集团用分层抽样的方式抽取若千名员工进行访谈. 已知甲公司共抽取了 10 名员工,分别求乙公司和丙公司抽取的员工数.
(2) 某电视台在互联网上征集电视节目的现场参与观众,报名的共有 12000 人,分别来自 4 个地区，其中甲地区 2400 人，乙地区 4605 人，丙地区 3795 人，丁地区 1200 人,主办方计划从中抽取 60 人参加现场节目,请设计一套抽样方案.
口(3) 利用 Excel 或 GeoGebra 生成一张含有 100 组数的随机数表,并以生成的表为基础,用随机数表法,从编号 $001,002,\cdots,600$ 中抽取容量为 30 的一个样本.
126
220
368
89
567
$6 \quad 40$
730
810
### 2 数据的数字特征
## 情境与问题
如下是某学校高一（1）班和高一（2）班某一次期中考试的语文成绩,试从不同的角度对两班成绩进行对比.
高一（1）班期中考试语文成绩
$\begin{array}{llllllllllllllll}69 & 84 & 69 & 80 & 75 & 70 & 75 & 71 & 87 & 70 & 80 & 84 & 73 & 81 & 81 & 73\end{array}$
$\begin{array}{llllllllllllll}66 & 78 & 68 & 79 & 73 & 75 & 76 & 76 & 70 & 74 & 71 & 86 & 63 & 88\end{array}$
高一（2）班期中考试语文成绩
$\begin{array}{llllllllllllllll}76 & 86 & 74 & 82 & 77 & 68 & 62 & 82 & 72 & 82 & 76 & 81 & 84 & 79 & 67 & 78\end{array}$
$\begin{array}{llllllllllllllll}70 & 72 & 81 & 89 & 81 & 77 & 72 & 77 & 67 & 67 & 72 & 79 & 81 & 75 & 75 & 84\end{array}$
在日常生活中,当面对一组数据时,相比每一个观测值,有时我们更关心的是能反映这组数据特征的一些值. 例如,上述情境中的两个班的成绩,我们可以从最值、平均数、中位数、方差等角度进行比较.
## 1. 最值
一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值,最值反映的是这组数最极端的情况. 一般地,最大值用 $\max$ 表示,最小值用 $\min$ 表示.
日常生活中,有时我们只关心数据的最值. 比如,高考部分科目实行“一年多考”,最终取的是多次考试成绩中的最大值;举重比赛中,选手有三次“试举” 机会，其中成绩的最大值将计人总成绩；末位淘汰的比赛中，积分最小值对应的团体或个人将被淘汰出局；等等.
## 2. 平均数
日常生活中,我们经常使用平均数来刻画一组数据的平均水平（或中心位置). 例如,为了减少测量的误差,一般取多次测量值的平均数作为最终的测量值;在有多个评委的比赛中,一般也以各评委给出分数的平均数作为最后的成绩；等等.
如果给定的一组数是 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$,则这组数的平均数为
$$
\bar{x}=\frac{1}{n}\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\right)
$$
这一公式在数学中常简记为
$$
\bar{x}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}
$$
其中的符号“$\sum$ ” 表示求和,读作“西格玛”，$\sum$ 右边式子中的 $i$ 表示求和的范围,其最小值与最大值分别写在 $\sum$ 的下面与上面. 例如,
$$
\sum_{i=1}^{3} x_{i}=x_{1}+x_{2}+x_{3},\quad \sum_{i=5}^{7} x_{i}=x_{5}+x_{6}+x_{7}
$$
不难看出,求和符号 $\sum$ 具有以下性质:
(1) $\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}+y_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n} x_{i}+\sum_{i=1}^{n} y_{i}$;(2) $\sum_{i=1}^{n}\left(k x_{i}\right)=k \sum_{i=1}^{n} x_{i}$;(3) $\sum_{i=1}^{n} t=n t$.
## 尝试与发现
某武术比赛中,共有 7 个评委,计分的规则是：去掉一个最高分,去掉一个最低分,然后把其他分数的平均数作为选手的最后得分. 按照这样的规则,根据以下数据,计算三位选手的最后得分:
| 选手 | 评委 1 | 评委 2 | 评委 3 | 评委 4 | 评委 5 | 评委 6 | 评委 7 | 最后得分 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 甲 | 90 | 88 | 93 | 93 | 92 | 92 | 96 | 1 |
| 乙 | 92 | 96 | 95 | 92 | 89 | 92 | 95 | $\underline{2}$ |
| 丙 | 91 | 91 | 88 | 91 | 98 | 93 | 92 | 3 |
（1）从数学的角度,讨论为什么要去掉一个最高分与最低分后再计算平均数,以及平均数具有什么特点;
（2）有人认为,应该把最高分与最低分之外的分数总分作为选手的最后得分,讨论这样的计分规则与前面的规则是否有本质上的区别.
平均数会受每一个数的影响,尤其是最大值、最小值. 很多情况下,为了避免过于极端的值影响结果太大等,会去掉最低分与最高分后再计算平均数. 但是,计算总分与计算平均分不会有本质区别,请读者自行说明理由.
当计算上述甲选手的最后得分时，在把 88 与 96 去掉之后,可以先把其余数都减去 92,得到新的数为 $-2,1,1,0,0$,因为这一组数的平均数为 0,所以可知甲的最后得分为 92 . 其余选手的得分可以用类似的方法得到.
一般地,利用平均数的计算公式可知,如果 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$ 的平均数为 $\bar{x}$,且 $a,b$ 为常数,则
$$
a x_{1}+b,a x_{2}+b,\cdots,a x_{n}+b
$$
的平均数为 $a \bar{x}+b$，这是因为
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(a x_{i}+b\right) & =\frac{1}{n}\left[\sum_{i=1}^{n}\left(a x_{i}\right)+\sum_{i=1}^{n} b\right]=\frac{1}{n}\left(a \sum_{i=1}^{n} x_{i}+n b\right) \\
& =a\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}\right)+b=a \bar{x}+b .
\end{aligned}
$$
## 3. 中位数、百分位数
我们知道,一组数的平均数与这组数中的每一个数都有关,特别地,平均数容易受到最值的影响,因此有时平均数并不能很好地表示这组数的中心位置.
## 尝试与发现
有甲、乙两个组,每组有 6 名成员,他们暑假读书的本数分别如下:
甲组：$1，2，3，3，4，5$;
乙组: $0,0,1,2,3,12$.
（1）分别求出两组数的平均数;
（2）平均数是否很好地表示了每一组数的中心位置?如果没有,可以选择什么数来表示?
上述甲、乙两组数的平均数均为 3,但是用 3 来刻画乙组数的中心位置是不合适的,因为这组数中,有 5 个数都不大于 3 .
一般地,有时也可以借助中位数来表示一组数的中心位置: 如果一组数有奇数个数,且按照从小到大排列后为 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{2 n+1}$,则称 $x_{n+1}$ 为这组数的中位数;如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为 $x_{1}$,$x_{2},\cdots,x_{2 n}$,则称 $\frac{x_{n}+x_{n+1}}{2}$ 为这组数的中位数.
## 尝试与发现
指出甲、乙两组数的中位数,并思考：中位数是否能比较全面地体现数据的分布特点?如果不能,有什么补救的办法?
| 序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 甲组 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 | 5 | 5 | 6 | 6 | 8 | 8 | 9 | 10 | 10 | 12 | 13 | 13 |
| 乙组 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 6 | 7 | 7 | 10 | 14 | 14 | 14 | 14 | 15 |
当数据个数较多时,如果仅仅知道中位数,是不足以了解这组数的分布特点的. 例如,上述甲、乙两组数的中位数都是 5.5,但是甲组数中,小于 5.5 的数普遍比乙组的大,而大于 5.5 的数普遍比乙组的小.
更具体地，将甲、乙两组数小于 5.5 的前 10 个数分别看成一组数,则它们的中位数分别是 $2.5，4 \quad$，这两个数能够反映甲、乙两组数小于 5.5 的数的分布特点,因为这两个数是通过找小于或等于中位数的所有数的中位数得到的,所以它们分别称为甲、乙两组数的 $25 \%$ 分位数.
一般地,当数据个数较多时,可以借助多个百分位数来了解数据的分布特点.
一组数的 $p \%(p \in(0,100))$ 分位数指的是满足下列条件的一个数值: 至少有 $p \%$ 的数据不大于该值,且至少有 $(100-p) \%$ 的数据不小于该值.
直观来说,一组数的 $p \%$ 分位数指的是,将这组数按照从小到大的顺序排列后,处于 $p \%$ 位置的数. 例如,中位数就是一个 $50 \%$ 分位数. 按照定义可知,$p \%$ 分位数可能不唯一,也正因为如此,各种统计软件所得出的 $p \%$ 分位数可能会有差异.
为了方便,我们按如下方式确定 $p \%$ 分位数：设一组数按照从小到大排列后为 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$,计算 $i=n p \%$ 的值,如果 $i$ 不是整数,设 $i_{0}$ 为大于 $i$ 的最小整数,取 $x_{i_{0}}$ 为 $p \%$ 分位数;如果 $i$ 是整数,取
$$
\frac{x_{i}+x_{i+1}}{2}
$$
为 $p \%$ 分位数. 特别地,规定: 0 分位数是 $x_{1}$ (即最小值),$100 \%$ 分位数是 $x_{n}$ (即最大值).
实际应用中,除了中位数外,经常使用的是 $25 \%$ 分位数（简称为第一四分位数）与 $75 \%$ 分位数 (简称为第三四分位数).
例 1 计算上述尝试与发现中甲、乙两组数的 $75 \%$ 分位数.
解因为数据个数为 20,而且
$$
20 \times 75 \%=15
$$
所以,甲组数的 $75 \%$ 分位数为
$$
\frac{x_{15}+x_{16}}{2}=\frac{9+10}{2}=9.5 \text {;}
$$
乙组数的 $75 \%$ 分位数为
## 5
由此可知,如果尝试与发现中的甲组数用 $2.5,5.5,9.5$ 来刻画,乙组数用 $1,5.5,12$ 来刻画,则大致可以看出它们的数的分布特点.
## 4. 众数
一组数据中,某个数据出现的次数称为这个数据的频数,出现次数最多的数据称为这组数据的众数. 有些情形中,我们用众数来描述一组数据的中心位置.
## 情境与问题
某班级准备利用暑假去进行研学旅行,为了便于识别,他们准备定做一批容量一致的双肩包,为此,活动负责人征求了班内同学的意向,得到了如下数据:
| 容量/L | 23 | 25 | 27 | 29 | 31 | 33 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 频数 | 3 | 2 | 5 | 21 | 2 | 2 |
你认为应该定做什么容量的双肩包?为什么?为了照顾到绝大多数人的需求,此时应该定做容量为 $29 \mathrm{~L}$ 的双肩包,这里的 29 就是上述数据的众数.
## 5. 极差、方差与标准差
一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差. 不难看出,极差反映了一组数的变化范围,描述了这组数的离散程度.
描述一组数的离散程度的量还有方差和标准差.
如果 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$ 的平均数为 $\bar{x}$,则方差可用求和符号表示为
$$
s^{2}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}
$$
此时,如果 $a,b$ 为常数,则
$$
a x_{1}+b,a x_{2}+b,\cdots,a x_{n}+b
$$
的方差为 $a^{2} s^{2}$,这是因为
$$
\begin{aligned}
& \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left[\left(a x_{i}+b\right)-(a \bar{x}+b)\right]^{2} \\
= & \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(a x_{i}-a \bar{x}\right)^{2}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left[a^{2}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}\right] \\
= & a^{2} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}=a^{2} s^{2} .
\end{aligned}
$$
方差的算术平方根称为标准差. 由此可知,如果一组数中,各数据值都相等,则标准差为 0,表明数据没有波动,数据没有离散性;若各数据的值与平均数的差的绝对值较大,则标准差也较大,表明数据的波动幅度也较大,数据的离散程度较高. 因此标准差描述了数据相对于平均数的离散程度.
例 2 计算下列各组数的平均数与方差:
(1) $18.9,19.5,19.5,19.2,19,18.8,19.5$;
(2) $2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5$,
$5,5,6,6$.
(1) 将每一个数乘以 10,再减去 190,可得
$$
-1,5,5,2,0,-2,5 .
$$
这组新数的平均数为
$$
\frac{1}{7} \times(-1+5+5+2+0-2+5)=2,$$
方差为
$$
\begin{aligned}
& \frac{1}{7} \times\left[(-1-2)^{2}+(5-2)^{2}+(5-2)^{2}+(2-2)^{2}+\right. \\
& \left.(0-2)^{2}+(-2-2)^{2}+(5-2)^{2}\right]=8 .
\end{aligned}
$$
由此可知,所求平均数为 19.2,方差为 $8 \times \frac{1}{100}=0.08$.
(2) 可将数据整理为
| $x$ | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 频数 | 3 | 4 | 5 | 6 | 2 |
每一个数都减去 4 可得
| $x-4$ | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 频数 | 3 | 4 | 5 | 6 | 2 |
这组数的平均数与方差分别为
$$
\begin{aligned}
& \frac{1}{20} \times[(-2) \times 3+(-1) \times 4+0 \times 5+1 \times 6+2 \times 2]=0 \\
& \frac{1}{20} \times\left[(-2)^{2} \times 3+(-1)^{2} \times 4+0^{2} \times 5+1^{2} \times 6+2^{2} \times 2\right]=\frac{3}{2} .
\end{aligned}
$$
因此,所求平均数为 4,方差为 $\frac{3}{2}$.
## 6. 用信息技术求数据的数字特征
用计算机软件可以方便快捷地求得一组数的各种数字特征.
例如,为了求出例 2（1） 中数据的数字特征,可以将它们输人 Excel 的表格中，然后使用相应的函数即可，如图 5-1-5 所示.
图 5-1-5
其中,求第一四分位数输人的是“=QUARTILE. EXC(A2:A8，1)”,求第三四分位数输入的是“=QUARTILE. EXC(A2:A8，3）".
用 GeoGebra 软件的表格区也可实现类似的功能，但是函数的名称不一致，如图 5-1-6 所示. 其中，求第一四分位数输人的是“=Percentile $[\mathrm{A} 2: \mathrm{A} 8,0.25]$ ”,求第三四分位数输人的是 $“=$ Percentile $[A 2: A 8,0.75] ”$.
图 5-1-6
## 练习A
(1) 已知 $x_{1}=1,x_{2}=2,x_{3}=3,x_{4}=4,x_{5}=5$,求下列各式的值:
(1) $\sum_{i=1}^{3} x_{i}$
(2) $\sum_{i=3}^{5} x_{i}$
(3) $\sum_{i=1}^{5} x_{i}$
(2) 求 $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$ 的 $25 \%$ 分位数,$75 \%$ 分位数,$90 \%$ 分位数.
(3) 计算下列各组数的平均数与方差:
(1) $90,92,92,93,93$;(2) $0,2,2,3,3$;(3) $-2,0,0,1,1$;(4) $900,920,920,930,930$.
(4) 已知 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$ 的平均数为 $\bar{x}$,求证: $\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)=0$.
## 练习B
(1) 已知 $12,10,15,9,8,a$ 中的最大值为 15,其中 $a$ 是正整数,求 $a$ 所有可能的值所组成的集合.
(2) 求下列各式的值:
(1) $\sum_{i=1}^{3}(2 i)$;(2) $\sum_{i=3}^{5}(i-2)$
(3) $\sum_{i=1}^{5}(2 i-1)$
(3) 记 $100,100,300,500,500$ 的平均数为 $a_{1}$,标准差为 $b_{1}；200,200,300$,400,400 的平均数为 $a_{2}$,标准差为 $b_{2}$. 比较 $a_{1}$ 与 $a_{2}$ 的大小,$b_{1}$ 与 $b_{2}$ 的大小.
92
293.2
391.6
4
$5 \frac{x_{15}+x_{16}}{2}=\frac{10+14}{2}=12$
### 3 数据的直观表示
我们知道,从现实生活中得到的数据往往都是没有规律的、凌乱的,如果不加以整理,可能难以看出数据的特征,也不利于有关信息的挖掘. 因此,人们在呈现有关结果时,往往会对数据进行整理,并用合适的图表来形象化地表示有关数据.
## 1. 柱形图
## 情境与问题
2015 年 7 月 6 日的《中国青年报》报道：“根据调查,有担当（76.3\%）和踏实 $(74.5 \%)$ 的年轻人最被受访者欣赏. 奋进 $(54.7 \%)$、坚毅 $(54.1 \%)$、有梦想 $(50.2 \%)$、有闯劲儿 $(40.1 \%)$、沉稳 $(36.7 \%)$、直率 $(34.6 \%)$、幽默 $(33.4 \%)$、活泼 $(27.2 \%)$、庄重 $(20.3 \%)$、酒脱 $(20.0 \%)$ 也是受访者欣赏的品质. ”
你能将这一调查结果用图表进行形象化表示吗?
我们知道,柱形图 (也称为条形图) 可以形象地比较各种数据之间的数量关系，因此上述情境与问题中的结果可以用柱形图表示,如图 5-1-7 所示.
图 5-1-7
一般地,柱形图中,一条轴上显示的是所关注的数据类型,另一条轴上对应的是数量、个数或者比例,柱形图中每一矩形都是等宽的.
## 情境与问题
国家统计局网站显示,2011-2015 年高中在校学生数信息如下.
| 年份 | 2011 年 | 2012 年 | 2013 年 | 2014 年 | 2015 年 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 高中在校学生数/万 | 2454.82 | 2467.17 | 2435.8817 | 2400.4723 | 2374.3992 |
你能形象地表示上述数据,以便发现这几年高中在校学生数的变化趋势吗?
可以用折线图来表示上述情境与问题中的数据,如图 5-1-8 所示.
图 5-1-8
一般地，如果数据是随时间变化的，想了解数据的变化情况，可将数据用折线图来表示. 当然,折线图也可以用在其他合适的情形中.
## 3. 扇形图
## 情境与问题
2016 年 12 月 17 日至 21 日,北京市空气质量呈现重度及以上污染水平,经北京市政府批准,12 月 16 日 20 时至 21 日 24 时,北京市启动了空气重污染红色预警,这期间实行了机动车“单双号” 限行等措施.《中国青年报》社会调查中心联合问卷网，对 2002 人进行了调查，得到了以下数据：647 人非常支持，891 人支持,348 人态度一般，116 人不支持.
如果你是《中国青年报》的记者，你会怎样整理和报道这些数据?
不难看出,如果直接呈现上述情境与问题中的调查结果,读者将难以看出其中的规律，包括四种态度的人数之间的比例关系等,为了避免出现这种情况,我们可以将原有的结果转化为表格,并计算每一类型数据的百分比,如下表所示.
| 态度 | 非常支持 | 支持 | 一般 | 不支持 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 人数 | 647 | 891 | 348 | 116 |
| 所占比例 | $32.3 \%$ | $44.5 \%$ | $17.4 \%$ | $5.8 \%$ |
事实上,《中国青年报》的报道原文是:“民调显示,$76.8 \%$ 的受访者支持此次单双号限行,其中 $32.3 \%$ 的受访者非常支持. 态度一般和不支持的分别占 $17.4 \%$ 和 $5.8 \% . ”$
更进一步,我们还可以用扇形图（也称为饼图、饼形图) 来形象地表示这一结果,如图 5-1-9 所示.
不难看出，扇形图可以形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的比例情况. 扇形图中,每一个扇形的圆心角以及弧长,都与这一部分表示的数据大小成正比.
图 5-1-9
## 4. 茎叶图
## 尝试与发现
某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛的得分情况如下：
甲: $12,15,24,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50$；
乙: $8,13,13,14,16,23,26,29,33,35,38,39,51$.
这两组数据可以用图 5-1-10 来表示.
图 5-1-10
你能说出上述图是怎样构造出来的吗?由图中可以得出甲、乙两名运动员得分的哪些信息?类似图 5-1-10 的图称为茎叶图,其名称的由来是因为它的中间像植物的茎,两边像植物茎上生长的叶子. 图 5-1-10 中,中间的数字表示两位运动员得分的十位数,两边的数字表示得分的个位数.
一般来说,茎叶图中,所有的茎都坚直排列,而叶沿水平方向排列. 茎叶图也可以只表示一组数.
将一组数整理成茎叶图后,如果每一行的数都是按从大到小（或从小到大) 顺序排列,则从中可以方便地看出这组数的最值、中位数等数字特征. 例如,从图 5-1-10 中可以看出：甲得分的最大值是 50,最小值是 12,中位数为 36;乙得分的最大值是 1,最小值是 2,中位数为 3
另外,从茎叶图中还可以看出一组数的分布情况,从而可能可以得到一些额外的信息. 例如,从图 5-1-10 中可以看出：甲的得分大多数集中在 $[30,40)$,而且小于 31 分和大于 39 分的次数相差不多,因此可以估计出甲的平均数应该在区间 $[30,40)$ 内;类似地,可以估计出乙得分的平均数应该在区间 4 内.
从图 5-1-10 中我们还可以估计出甲得分和乙得分的方差的相对大小,因为甲得分的数据比较集中,乙得分的数据比较分散,两者的数据个数相等，所以可以得出：甲得分的方差小于乙得分的方差.
## 5. 频数分布直方图与频率分布直方图
## (?) 请境与问题
以下是某学校全体学生一次政治考试的成绩.
$\begin{array}{lllllllllllllll}76 & 83 & 88 & 89 & 72 & 67 & 88 & 85 & 90 & 87 & 74 & 65 & 86 & 71 & 88 \\ 90 & 82 & 90 & 81 & 78 & 76 & 75 & 78 & 86 & 79 & 71 & 73 & 82 & 76 & 90 \\ 77 & 81 & 83 & 77 & 93 & 94 & 84 & 70 & 77 & 89 & 83 & 84 & 68 & 74 & 59 \\ 77 & 86 & 89 & 78 & 86 & 76 & 85 & 83 & 69 & 81 & 84 & 90 & 85 & 76 & 79 \\ 80 & 82 & 74 & 64 & 89 & 84 & 88 & 73 & 70 & 84 & 92 & 88 & 82 & 73 & 86 \\ 69 & 84 & 68 & 70 & 73 & 82 & 84 & 82 & 66 & 68 & 82 & 75 & 72 & 74 & 79 \\ 82 & 67 & 70 & 81 & 77 & 89 & 77 & 89 & 76 & 73 & 79 & 79 & 72 & 83 & 88 \\ 69 & 78 & 70 & 74 & 74 & 76 & 75 & 77 & 88 & 92 & 80 & 86 & 84 & 85 & 71 \\ 67 & 80 & 65 & 82 & 78 & 83 & 88 & 64 & 83 & 85 & 79 & 91 & 80 & 77 & 90 \\ 81 & 82 & 63 & 87 & 70 & 75 & 82 & 74 & 91 & 66 & 80 & 67 & 60 & 90 & 81 \\ 76 & 81 & 90 & 68 & 68 & 88 & 88 & 82 & 76 & 91 & 90 & 72 & 66 & 82 & 85\end{array}$
$\begin{array}{lllllllllllllll}70 & 70 & 82 & 76 & 82 & 84 & 83 & 80 & 69 & 83 & 90 & 61 & 74 & 69 & 79 \\ 80 & 61 & 68 & 88 & 69 & 84 & 74 & 82 & 62 & 86 & 79 & 67 & 79 & 91 & 80 \\ 77 & 83 & 79 & 89 & 89 & 76 & 70 & 80 & 69 & 71 & 73 & 76 & 85 & 90 & 87 \\ 73 & 86 & 66 & 80 & 81 & 85 & 88 & 66 & 87 & 91 & 71 & 81 & 91 & 63 & 74 \\ 77 & 84 & 76 & 86 & 84 & 72 & 88 & 75 & 80 & 92 & 86 & 74 & 72 & 75 & 78 \\ 90 & 76 & 86 & 88 & 86 & & & & & & & & & & \end{array}$
（1）能否直接用前面提到过的图来表示上述数据?为什么?
（2）怎样才能直观地表示出上述数据的大致分布情况（比如指出哪个分数段的分数比较多,哪个分数段的分数比较少)?
前面给出的数据直观表示中,都直接用到了每一个数的具体值. 然而,在很多情况下,所得数据的个数比较多,如果要在图中体现每一个数字的大小，既麻烦也无必要.
此时,怎样才能直观地表示出这组数的大致分布情况（比如显示出哪些范围内的数比较多,哪些范围内的数比较少),并得到有关的信息呢?一个自然的想法是,将数据按照一定的方式进行“压缩”,然后再用图来直观地表示压缩后的数据.
因为我们关心的是数据的大致分布情况,所以可以事先确定出几个区间,然后统计落在每一个区间内的数的个数,最后将统计的结果用图示表示.
类似的操作我们在初中学习直方图的知识时就进行过,下面以情境与问题中的数据为例进行详细说明.
(1) 找出最值,计算极差
上述成绩的最小值是 59,最大值是 94,因此极差为 35 .
（2）合理分组，确定区间
数据共有 245 个,可以分为 $8 \sim 12$ 组,这里取 8 组,并且按照从 55 分开始,组距为 5 确定计数区间,即区间为 $[55，60),[60,65),\cdots,[85$,$90),[90,95]$.
(3) 整理数据
逐个检查原始数据,统计每个区间内数的个数（称为区间对应的频数）,并求出频数与数据个数的比值 (称为区间对应的频率),如下表所示 (频率精确到 0.01 ).
| 分组区间 | 个数累计 | 频数 | 频率 |
| :---: | :--- | :---: | :---: |
| $[55,60)$ | 一 | 1 | 0.00 |
| $[60,65)$ | 正下 | 8 | 0.03 |
| $[65,70)$ | 正正正正正 | 25 | 0.10 |
| $[70,75)$ | 正正正正正正正下 | 38 | 0.16 |
| $[75,80)$ | 正正正正正正正正正一 | 46 | 0.19 |
| $[80,85)$ | 正正正正正正正正正正正下 | 58 | 0.24 |
| $[85,90)$ | 正正正正正正正正正一 | 46 | 0.19 |
| $[90,95]$ | 正正正正下 | 23 | 0.09 |
(4) 作出有关图示
根据上述整理后的数据,可以作出频数分布直方图与频率分布直方图,分别如图 5-1-11 (1) (2) 所示. 值得注意的是,频数分布直方图的纵坐标是频数,每一组数对应的矩形高度与频数成正比;频率分布直方图的纵坐标是频率,每一组数对应的矩形高度与频率成正比,而且每个矩形的面积等于这一组数对应的频率,从而可知频率分布直方图中,所有矩形的面积之和为 1 .
图 5-1-11 中,还作出了频数分布折线图和频率分布折线图,作图的方法都是：把每个矩形上面一边的中点用线段连接起来. 为了方便看图,折线图都画成与横轴相交,所以折线图与横轴的左右两个交点是没有实际意义的.
(1)
(2)
图 5-1-11
不难看出,虽然作频数分布直方图与频率分布直方图过程中,原有数据被“压缩”了，从这两种图中也得不到所有原始数据. 但是，由这两种图可以清楚地看出数据分布的总体态势,而且也可以得出有关数字特征的大致情况. 比如,估计出平均数、中位数、百分位数、方差. 当然,利用直方图估计出的这些数字特征与利用原始数据求出的数字特征一般会有差异. 例 1 为了了解学生的课业负担,甲、乙两所学校分别抽取了 200 名在校生,了解他们完成作业所需的时间,并分别作出了频数分布直方图如图 5-1-12 (1) (2) 所示,其中分组的区间都为 $[0.5,1),[1,1.5)$,$[1.5,2),[2,2.5),[2.5,3]$. 记甲学校所得数据的中位数为 $x$,乙学校所得数据的中位数为 $y$,判断 $x$ 与 $y$ 的相对大小.
(1)
(2)
图 5-1-12
解由 5-1-12 (1) 可以看出,$x \in[2,2.5$ )；由 5-1-12（2）可以看出,$y \in[1.5,2)$. 因此
$$
x>y \text {. }
$$
例 2 某射击运动员一次射击训练的成绩可以整理成图 5-1-13 所示的统计图表,试计算这次成绩的平均数与方差.
解设运动员共射击了 $n$ 次,则由图可知,射中 7 环与 10 环的次数为 $0.2 n$,射中 8 环与 9 环的次数为 $0.3 n$. 因此平均数为
图 5-1-13
$$
\begin{aligned}
& \frac{0.2 n \times 7+0.3 n \times 8+0.3 n \times 9+0.2 n \times 10}{n} \\
= & 0.2 \times 7+0.3 \times 8+0.3 \times 9+0.2 \times 10 \\
= & 8.5 .
\end{aligned}
$$
类似地,可以算出方差为
$0.2 \times(7-8.5)^{2}+0.3 \times(8-8.5)^{2}+0.3 \times(9-8.5)^{2}+0.2 \times(10-8.5)^{2}$ $=1.05$
## 6. 用信息技术对数据进行整理和作统计图表
借助计算机软件,可以快捷地作出有关统计图表.
例如，本小节一开始的柱形图，在 Excel 中输人有关数据后，就可以用有关作图命令画出来,而且可以方便地改变呈现形式,请读者自行尝试.
在 GeoGebra 软件中，利用表格区输人数据，然后利用“单变量分析”，可以得到数据的直方图等信息,而且各种参数都可以自行设定. 例如,前面提到的频数分布直方图与折线图可用 GeoGebra 作出,如图 5-1-14 所示.
图 5-1-14
## 练习A
(1) 2017 年 1 月,《中国青年报》社会调查中心联合问卷网,对多人进行了一项关于“二十四节气”的调查,请选择合适的图表分别表示以下调查结果:
（1）全部都知道、大部分知道、少部分知道和完全不知道“二十四节气”日期的受访者分别占 $12.6 \%、49.0 \%、34.6 \%$ 和 $3.8 \%$;
（2）调查显示，受访者最敏感的节气是立春 $(50.9 \%)$、冬至 $(46.4 \%)$ 和清明 (43.9\%). 其他依次为：立冬 $(32.2 \%)$ 立秋 $(32.1 \%)$、立夏 （29.6\%)、夏至（28.5\%)、大暑（20.7\%)、惊蛰（18.8\%）、春分 (18.7\%)、雨水 $(18.7 \%)$ 大寒 $(16.4 \%)、大$ 雪 (15.3\%)、秋分 $(14.8 \%)$、小暑 $(14.0 \%)$、芒种 $(12.2 \%)$、满 $(11.6 \%)$ 处暑 $(11.6 \%)$、白露 $(11.3 \%)$、霜降 $(10.7 \%)$ 和小雪 $(10.5 \%)$. 最不敏感的节气是谷雨 $(10.4 \%)$、小寒 $(9.7 \%)$ 和寒露 $(7.9 \%)$. (2) 某次“讲文明、树新风”答题竞赛中,20 名选手答对的题目数分别如下: 30,$26,23,21,18,27,28,26,23,30,26,28,27,24,21,19,27,28$,26,29. 作出这组数的茎叶图.
(3) 设一组观测数据有 $n$ 个不同的结果 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$,每一个结果对应出现的频率分别为 $p_{1},p_{2},\cdots,p_{n}$,试用求和符号写出这组观测数据的平均数与方差的计算公式 (方差计算公式中,可以出现平均数符号 $\bar{x}$ ).
## 练习 $B$
(1) 已知甲、乙两组数的茎叶图如下,分别计算这两组数的平均数.
| 甲 | | | | | | 乙 | | | |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| | | | | | 0 | 8 | | | |
| | | | 5 | 2 | 1 | 3 | 3 | 4 | 6 |
| | | 7 | 6 | 6 | 1 | 1 | | | |
| | | | | 9 | 4 | 3 | 6 | 9 | |
| | | | | 0 | 3 | 5 | 8 | 9 | |
| | | | | | | | | | |
(第 1 题)
(2) 已知甲、乙两组数可分别用图（1）(2) 表示,分别比较这两组数的平均数的相对大小，以及方差的相对大小.
( 1 )
( 2 )
(第 2 题)
(3) 从标准质量为 $500 \mathrm{~g}$ 的一批洗衣粉中,随机抽查了 50 袋,测得的质量数据如下 (单位: $g)$ :
$\begin{array}{llllllllll}494 & 498 & 493 & 494 & 496 & 492 & 490 & 490 & 500 & 499 \\ 494 & 495 & 482 & 485 & 502 & 493 & 505 & 485 & 501 & 491 \\ 493 & 500 & 509 & 512 & 484 & 509 & 510 & 494 & 497 & 498 \\ 504 & 498 & 483 & 510 & 503 & 497 & 502 & 498 & 497 & 500 \\ 493 & 499 & 505 & 493 & 491 & 497 & 515 & 503 & 498 & 518\end{array}$
(1) 找出这组数的最值,求出极差;
(2) 以 $[480.5，487.5)$ 为第一个分组的区间,作出这组数的频率分布直方图.
(4) 甲、乙两人某次飞镖游戏中的成绩如下:
甲: $8,6,7,7,8,10,9,8,7,8$;
乙: $9,10,6,7,9,9,10,8,9,10$.
其中甲的成绩可用如图（1）所示的打点图（或点状图）表示,每个成绩上面的点的个数表示这个成绩出现的次数. 在图（2）中作出乙的成绩的打点图,并由图写出关于甲、乙成绩比较的两个统计结论.
(1)
( 2 )
(第 4 题)
$\begin{array}{lllllll}1 & 51 & 2 & 8 & 3 & 26 & 4\end{array}[20,30)$
### 4 用样本估计总体
## 1. 用样本的数字特征估计总体的数字特征
## 情境与问题
以下是某学校高一年级 98 位学生的身高 (单位: $\mathrm{cm}$ ):
$\begin{array}{llllllllllllll}161 & 168 & 166 & 168 & 152 & 152 & 163 & 164 & 170 & 167 & 143 & 166 & 153 & 165 \\ 168 & 167 & 163 & 157 & 160 & 159 & 153 & 169 & 172 & 175 & 165 & 161 & 158 & 172 \\ 147 & 164 & 171 & 149 & 158 & 155 & 169 & 150 & 173 & 170 & 162 & 157 & 152 & 180 \\ 178 & 158 & 162 & 164 & 172 & 165 & 165 & 155 & 163 & 178 & 159 & 168 & 161 & 151 \\ 166 & 168 & 165 & 158 & 162 & 165 & 163 & 166 & 174 & 163 & 163 & 175 & 165 & 160 \\ 161 & 177 & 163 & 170 & 155 & 156 & 161 & 169 & 167 & 151 & 156 & 158 & 165 & 179 \\ 161 & 176 & 162 & 168 & 153 & 169 & 155 & 165 & 163 & 166 & 172 & 160 & 173 & 164\end{array}$
已知这组数的总体平均数为 163.5,总体方差为 56.3 .
用简单随机抽样的方法从总体中抽取容量为 10 的样本 3 次,分别计算样本平均数与样本方差,并与总体对应的值进行比较.
一般情况下,如果样本的容量恰当,抽样方法又合理的话,样本的特征能够反映总体的特征. 特别地,样本平均数 (也称为样本均值)、方差（也称为样本方差）与总体对应的值相差不会太大.
例如,上述数据中,如果用简单随机抽样抽得的序号分别为 90,35,$63,68,66,9,30,56,50,49$,则对应的样本为
$169,169,163,175,163,170,164,151,155,165$,
容易算出,样本均值为 164.4,样本方差为 45.84,它们与总体对应的值差别都不大.
这就说明,在容许一定误差存在的前提下,可以用样本的数字特征去估计总体的数字特征,这样就能节省人力和物力等.
另外,有时候总体的数字特征不可能获得,比如质监部门想知道市场上节能灯的平均使用寿命,不可能把所有节能灯都拿来检测,此时只能用样本的数字特征去估计总体的数字特征.
需要强调的是,估计一般是有误差的. 例如,如果总体平均数记为 $\mu$,样本均值记为 $\bar{x}$,一般来说,$\mu>\bar{x},\mu=\bar{x},\mu<\bar{x}$ 都有可能. 但是,大数定律可以保证,当样本的容量越来越大时,估计的误差很小的可能性将越来越大.
一般来说,在估计总体的数字特征时,只需直接算出样本对应的数字特征即可.
下面我们来讨论一种稍微复杂一点的情况：假设样本是用分层抽样的方法得到的,而且我们知道了每一层样本的数字特征,该怎样估计总体的数字特征呢?
## 尝试与发现
在考察某中学的学生身高时,如果采用分层抽样的方法,得到了男生身高的平均数为 170,方差为 16；女生身高的平均数为 165,方差为 25 .
（1）如果没有其他信息,怎样估计总体的平均数与方差?
(2) 如果知道抽取的样本中,男生有 20 人,女生有 15 人,怎样估计总体的平均数与方差?
作为估计来说,我们当然可以选择男生（或女生）样本的平均数与方差作为总体对应值的估计,但这样的选择没有充分利用已有的数据,显然不够好;另外一种估计的办法是取每一层样本数字特征的算术平均值作为总体的估计,即估计总体平均数为
$$
\frac{170+165}{2}=167.5
$$
类似地，总体方差可估计为 1
但第二种估计方法也还不太理想,因为对于分层抽样来说,每一层所抽取的个体数目一般来说是不相等的,简单的求数字特征的算术平均值体现不出这一点. 怎样才能体现这一点呢?尤其是,当我们把各层中得到的个体放在一起作为一个样本时,样本均值与样本方差该如何计算呢?此时,当然可以把各层数据集中在一起来重新计算,但也可以去考虑整个样本的数字特征与每一层的数字特征之间的关系来实现,后者在大数据时代的并行计算中经常使用.
我们以分两层抽样的情况为例. 假设第一层有 $m$ 个数,分别为 $x_{1}$,$x_{2},\cdots,x_{m}$,平均数为 $\bar{x}$,方差为 $s^{2}$;第二层有 $n$ 个数,分别为 $y_{1},y_{2}$,$\cdots,y_{n}$,平均数为 $\bar{y}$,方差为 $t^{2}$. 则
$$
\begin{aligned}
& \bar{x}=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} x_{i},s^{2}=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2},\\
& \bar{y}=2 \quad,t^{2}=3
\end{aligned}
$$
如果记样本均值为 $\bar{a}$,样本方差为 $b^{2}$,则可以算出
$$
\begin{aligned}
\bar{a} & =\frac{1}{m+n}\left(\sum_{i=1}^{m} x_{i}+\sum_{i=1}^{n} y_{i}\right)=\frac{m \bar{x}+n \bar{y}}{m+n},\\
b^{2} & =\frac{m\left[s^{2}+(\bar{x}-\bar{a})^{2}\right]+n\left[t^{2}+(\bar{y}-\bar{a})^{2}\right]}{m+n} \\
& =\frac{1}{m+n}\left[\left(m s^{2}+n t^{2}\right)+\frac{m n}{m+n}(\bar{x}-\bar{y})^{2}\right] .
\end{aligned}
$$
依照上述公式可以算出,前述尝试与发现 (2) 中总体的平均数可以估计为 167.86,总体的方差可以估计为 25.98 .
## 2. 用样本的分布来估计总体的分布
前面我们已经看到,总体的数字特征可以用样本的数字特征来估计,那么,总体的分布是否也可以用样本的分布来近似刻画呢?这是接下来要讨论的问题.
## 尝试与发现
通过对某中学 1257 名高一学生期中考试的数学成绩（具体数据参见这一小节的附录) 进行整理,可以得到如下数据,并由此可作出频率分布直方图和折线图,如图 5-1-15 所示.
| 分组 | 频数 | 频率 |
| :---: | :---: | :---: |
| $[40,50)$ | 7 | 0.01 |
| $[50,60)$ | 65 | 0.05 |
| $[60,70)$ | 276 | 0.22 |
| $[70,80)$ | 480 | 0.38 |
| $[80,90)$ | 330 | 0.26 |
| $[90,100]$ | 99 | 0.08 |
图 5-1-15
从附录的数据中抽取容量为 100 的样本,整理类似的表格,并制作频率分布直方图.
同前面一样,如果样本的容量恰当,抽样方法又合理的话,样本的分布与总体分布会差不多. 特别地,每一组的频率与总体对应的频率相差不会太大.
例如,如果从上述尝试与发现中提到的数据中,抽取两个容量为 100 的样本 (分别记为样本 $\mathrm{A}$,样本 $\mathrm{B}$,具体数据参见这一小节的附录),则可以得到如下频数、频率对应表,它们的频率分布直方图分别如图 5-1-16 (1) (2) 所示.
| 分组 | 总体 | | 样本 A | | 样本 $\mathrm{B}$ | |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| | 频数 | 频率 | 频数 | 频率 | 频数 | 频率 |
| $[40,50)$ | 7 | 0.01 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| $[50,60)$ | 65 | 0.05 | 5 | 0.05 | 8 | 0.08 |
| $[60,70)$ | 276 | 0.22 | 23 | 0.23 | 21 | 0.21 |
| $[70,80)$ | 480 | 0.38 | 37 | 0.37 | 43 | 0.43 |
| $[80,90)$ | 330 | 0.26 | 27 | 0.27 | 19 | 0.19 |
| $[90,100]$ | 99 | 0.08 | 8 | 0.08 | 9 | 0.09 |
这就说明,同前面一样,如果容许有一定误差,则可以用样本的分布去估计总体的分布. 而且,在总体的分布不可能获得时,只能用样本的分布去估计总体的分布.
同数字特征的估计一样,分布的估计一般也有误差. 如果总体在每一个分组的频率记为 $\pi_{1},\pi_{2},\cdots,\pi_{n}$,样本在每一组对应的频率记为 $p_{1},p_{2}$,
图 5-1-16
$\cdots,p_{n}$,一般来说,
$$
\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(\pi_{i}-p_{i}\right)^{2}=\frac{1}{n}\left[\left(\pi_{1}-p_{1}\right)^{2}+\left(\pi_{2}-p_{2}\right)^{2}+\cdots+\left(\pi_{n}-p_{n}\right)^{2}\right]
$$
不等于零. 同样,大数定律可以保证,当样本的容量越来越大时,上式很小的可能性将越来越大.
例 1 为了快速了解某学校学生体重 (单位: $\mathrm{kg}$ ) 的大致情况,随机抽取了 10 名学生称重,得到的数据整理成茎叶图如图 5-117 所示. 估计这个学校学生体重的平均数和方差.
$$
\begin{array}{l|cccccc}
4 & 5 & 9 & 7 & 9 & 6 & 6 \\
5 & 1 & 8 & 9 & & & \\
6 & 0 & & & & &
\end{array}
$$
图 5-1-17
解将样本中的每一个数都减去 50,可得
$$
-5,-1,-3,-1,-4,-4,1,8,9,10 \text {,}
$$
这组数的平均数为
$$
\frac{-5-1-3-1-4-4+1+8+9+10}{10}=1,$$
方差为
$$
\frac{6^{2}+2^{2}+4^{2}+2^{2}+5^{2}+5^{2}+0^{2}+7^{2}+8^{2}+9^{2}}{10}=30.4 .
$$
因此可估计这个学校学生体重的平均数为 51,方差为 30.4 .
例2 我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案,对家庭用水情况进行了调查,通过抽样，获得了某年 100 个家庭的月均用水量 (单位: $t$ ),将数据按照 $[0,1),[1,2),[2,3),[3$,4),$[4,5]$ 分成 5 组,制成了如图 5-1-18 所示的频率分布直方图.
图 5-1-18 (1) 求图中 $a$ 的值;
（2）设该市有 10 万个家庭，估计全市月均用水量不低于 $3 \mathrm{t}$ 的家庭数;
（3）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替,估计全市家庭月均用水量的平均数.
解 (1) 因为频率分布直方图所有矩形的面积之和为 1,所以
$$
(0.12+0.22+0.36+a+0.12) \times 1=1 \text {,}
$$
解得 $a=0.18$.
(2) 抽取的样本中,月均用水量不低于 $3 \mathrm{t}$ 的家庭所占比例为
$$
(a+0.12) \times 1=0.3=30 \%
$$
因此估计全市月均用水量不低于 $3 \mathrm{t}$ 的家庭所占比例也为 $30 \%$,所求家庭数为 $100000 \times 30 \%=30000$.
(3) 因为
$0.12 \times 0.5+0.22 \times 1.5+0.36 \times 2.5+0.18 \times 3.5+0.12 \times 4.5=2.46$,
所以估计全市家庭月均用水量的平均数为 2.46 .
## 拓展阅读
## 用样本估计总体的失败案例
我们已经知道,用样本估计总体是有可能会犯错误的. 下面是美国总统选举中的两个估计失败的案例.
1936 年美国总统选举前,一家很有名的杂志社,通过电话簿和各种倶乐部信息等抽取了约 240 万人,调查他们的选举意向. 根据调查数据,这家杂志社给出了预测得票率,但选举结果与预测结果相差很大,如下表所示.
| 候选人 | 预测得票率 | 实际得票率 |
| :---: | :---: | :---: |
| 罗斯福 | $43 \%$ | $62 \%$ |
| 兰顿 | $57 \%$ | $38 \%$ |
事实上,在 1936 年的美国,一般只有富人才拥有电话、能参加倶乐部,因此这家杂志社所得到的样本不能反映总体的情况.2016 年美国总统选举前,一个很擅长数据分析的网站,给出了基于民意调查的两位候选人获胜概率预测,如下图所示.然而,这一次的选举最后以特朗普获胜告终. 实际上,这次选举绝大多数的预测都是错误的!原因都与样本的代表性有关.失败案例的存在是不是意味着用样本估计总体不科学呢?不是!这只是说明,在用样本估计总体时,要保证抽样方案科学合理. 实际上,美国总统选举的绝大多数预测都是正确的,即使是上述两年所说的选举,也有调查机构根据民意调查正确地预测了
## 3.“大数据” 简介
随着数据收集以及数据存储技术的不断进步,现在人们能够以非常便捷的方式、非常低廉的成本、非常快的速度,收集规模非常宏大的数据集合.“大数据” 时代已经悄然来临.
“大数据” 的出现,让人们对“数据” 本身有了许多新的认识. 除了传统的数值数据外,文本、图像、音频、视频等都可以被“数据化”. 网民的搜索行为和浏览记录、法律判决文书、病人的就诊病例和 CT 影像（即计算机层析成像)、聊天语音、视频监控录像等信息都可以被记录下来并且被“数据化”. 凡是可以被“数据化” 的信息载体都可以看成数据. 信息载体包括的数据量达到一定的规模或者达到一定的复杂程度,都可以被认为是“大数据”.
“大数据” 的出现,让人们认识到了数据本身的价值：根据网民的搜索行为和浏览记录所反映出来的个人偏好,可以用于精准推送合适的新闻或商品;分析法律判决文书的历史信息,有助于准确识别虚假诉公、实现案件繁简分离、提高审判效率;将病人的就诊病例、CT 影像数据等与医生的诊断结果结合后,可以用于训练精确的统计模型,实现优质医疗资源共享;准确识别后的语音信息,可以非常快速、便捷地转换为操作指令,提高工作效率;视频监控录像可以为警察破案提供非常重要的线索 $\cdots \cdots$.
“大数据” 的价值远远不止于此. 事实上,“大数据” 作为信息资源，与土地、劳动力和资本等生产要素一样,正在成为促进经济增长和社会发展的基本要素.“大数据”已被普遍认为是非常重要的国家战略资源. 末来,作为重要生产要素和国家战略资源的“大数据” 资源,将渗透至我们的日常生活、社会经济活动以及政府管理决策之中,进一步提高我们的生活质量,改进企业的生产效率,提升政府部门快速响应和合理决策的能力,等等.
## 练习A
(1) 我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分” 题: 粮仓开仓收粮,有人送来米 1534 石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒。估计这批米内所夹的谷有多少石.
(2) 代课教师为了了解某班级学生的数学成绩,随机抽查了 5 位学生的成绩,得到的数据为 $92,78,56,75,62$. 试估计该班学生数学成绩的平均数与方差.
(3) 某学校为了了解高中学生用手机上网的时间,随机抽查了若干位学生进行调查,收
(第 3 题) 集到的日平均上网时间（单位：$h$ ) 都在区间 $[0,3]$ 内,且频率分布直方图如图所示. 分别估计这所学校学生中,日平均上网时间不到 $1 \mathrm{~h}$ 和超过了 $2 \mathrm{~h}$ 的学生所占的百分比.
## 练习B
(1) 为了考察某地 6 月份最高气温的情况，随机抽取了 5 天，所得数据 (单位: ${ }^{\circ} \mathrm{C}$ ) 可以绘制成如图所示茎叶图. 估计该地
| 2 | 8 | 9 | |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| 3 | 0 | 1 | 1 |
6 月份最高气温的平均值与方差.
(第 1 题)
(2) 为了了解上、下班时段的交通情况，某市抽取了 12 辆机动车行驶的时速,得到了如下数据 (单位: $\mathrm{km} / \mathrm{h}$ ).
用茎叶图表示这些数据,并分别估计出该市上、下班时段机动车行驶的平均时速.
(3) 某学校为了调查高一年级学生的体育锻炼情况,从甲、乙、芮 3 个班中,按分层抽样的方法获得了部分学生一周的锋炼时间（单位：$h$ )，数据如下.
| 甲 | 6 | 6.5 | 7 | 7.5 | 8 | | | |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 乙 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | |
| 丙 | 3 | 4.5 | 6 | 7.5 | 9 | 10.5 | 12 | 13.5 |
(1) 求三个班中学生人数之比;
(2) 估计这个学校高一年级学生中,一周的锻炼时间超过 $10 \mathrm{~h}$ 的百分比;
（3）估计这个学校高一年级学生一周的平均锻炼时间.
(4) 在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时,甲同学抽取了一个容量为 10 的样本,并算得样本的平均数为 5,方差为 9;乙同学抽取了一个容量为 8 的样本,并算得样本的平均数为 6,方差为 16 . 已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为 18 的样本,求合在一起后的样本均值与样本方差.
(5) 记总体在每一个分组的频率为 $\pi_{1},\pi_{2},\cdots,\pi_{n}$,样本在每一组对应的频率记为 $p_{1},p_{2},\cdots,p_{n}$,求证: $\sum_{i=1}^{n}\left(\pi_{i}-p_{i}\right)=0$.
$\frac{16+25}{2}=20.5$
$2 \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_{i}$
$3 \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}$
## 附录
某中学 1257 名高一学生期中考试的数学成绩
| 69 | 66 | 78 | 78 | 45 | 72 | 89 | 67 | 63 | 71 | 61 | 74 | 77 | 85 | 63 | 76 | 85 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 67 | 59 | 64 | 70 | 79 | 76 | 79 | 62 | 83 | 71 | 65 | 74 | 81 | 98 | 90 | 73 | 89 |
| 80 | 89 | 78 | 82 | 69 | 78 | 62 | 75 | 70 | 76 | 67 | 66 | 73 | 61 | 80 | 69 | 84 |
| 58 | 80 | 90 | 78 | 69 | 68 | 81 | 67 | 79 | 68 | 76 | 74 | 71 | 72 | 85 | 80 | 78 |
| 87 | 97 | 62 | 72 | 69 | 75 | 77 | 67 | 66 | 83 | 80 | 79 | 75 | 87 | 80 | 76 | 74 |
| 80 | 74 | 53 | 84 | 82 | 72 | 100 | 90 | 76 | 94 | 73 | 73 | 67 | 79 | 82 | 87 | 80 |
| 68 | 60 | 81 | 64 | 77 | 72 | 69 | 81 | 80 | 58 | 80 | 92 | 58 | 67 | 64 | 100 | 86 |
| 61 | 64 | 72 | 83 | 60 | 74 | 59 | 74 | 91 | 81 | 70 | 72 | 100 | 90 | 57 | 97 | 74 |
| 82 | 64 | 68 | 97 | 77 | 89 | 82 | 69 | 67 | 77 | 71 | 69 | 73 | 87 | 83 | 88 | 67 |
| 78 | 65 | 78 | 72 | 73 | 80 | 74 | 77 | 66 | 80 | 71 | 51 | 75 | 77 | 86 | 60 | 84 |
| 81 | 79 | 73 | 69 | 75 | 70 | 82 | 68 | 76 | 76 | 92 | 68 | 77 | 89 | 85 | 75 | 73 |
| 69 | 69 | 77 | 75 | 79 | 64 | 80 | 79 | 55 | 74 | 72 | 82 | 67 | 73 | 70 | 94 | 77 |
| 64 | 75 | 78 | 73 | 74 | 78 | 84 | 68 | 59 | 79 | 97 | 86 | 81 | 74 | 70 | 76 | 82 |
| 82 | 75 | 54 | 76 | 85 | 81 | 81 | 79 | 76 | 63 | 76 | 95 | 65 | 83 | 66 | 79 | 83 |
| 54 | 73 | 62 | 86 | 59 | 96 | 71 | 64 | 80 | 72 | 72 | 89 | 82 | 63 | 58 | 93 | 69 |
| 89 | 82 | 72 | 71 | 60 | 66 | 60 | 64 | 65 | 74 | 82 | 85 | 73 | 61 | 83 | 78 | 91 |
| 98 | 74 | 74 | 76 | 85 | 86 | 72 | 51 | 85 | 82 | 80 | 95 | 86 | 58 | 50 | 90 | 91 |
| 76 | 65 | 91 | 85 | 67 | 90 | 77 | 91 | 80 | 76 | 78 | 76 | 71 | 72 | 82 | 94 | 80 |
| 79 | 82 | 66 | 65 | 49 | 85 | 82 | 69 | 76 | 85 | 95 | 82 | 74 | 71 | 88 | 65 | 68 |
| 82 | 86 | 67 | 69 | 71 | 89 | 81 | 85 | 76 | 98 | 94 | 91 | 68 | 78 | 68 | 83 | 87 |
| 78 | 78 | 71 | 80 | 55 | 73 | 63 | 77 | 73 | 85 | 73 | 70 | 73 | 81 | 79 | 63 | 67 |
| 67 | 80 | 61 | 57 | 66 | 83 | 82 | 89 | 74 | 72 | 67 | 83 | 92 | 73 | 88 | 81 | 73 |
| 46 | 76 | 84 | 90 | 62 | 63 | 77 | 61 | 72 | 72 | 49 | 75 | 73 | 90 | 90 | 81 | 63 |
| 72 | 76 | 65 | 73 | 70 | 78 | 80 | 62 | 90 | 68 | 89 | 82 | 77 | 73 | 84 | 82 | 75 |
| 74 | 69 | 77 | 84 | 67 | 83 | 93 | 72 | 71 | 75 | 71 | 54 | 74 | 87 | 66 | 70 | 72 |
| 62 | 91 | 88 | 62 | 79 | 82 | 64 | 75 | 77 | 62 | 77 | 81 | 95 | 78 | 71 | 81 | 84 |
| 86 | 81 | 71 | 79 | 71 | 78 | 67 | 80 | 83 | 90 | 82 | 62 | 62 | 59 | 79 | 68 | 73 |
| 85 | 87 | 75 | 67 | 71 | 88 | 58 | 82 | 84 | 63 | 71 | 68 | 95 | 84 | 80 | 60 | 81 |
| 75 | 86 | 71 | 86 | 81 | 64 | 68 | 70 | 83 | 77 | 84 | 89 | 73 | 87 | 53 | 77 | 82 |
| 75 | 70 | 73 | 73 | 75 | 66 | 63 | 81 | 76 | 70 | 70 | 59 | 77 | 78 | 71 | 74 | 74 |
| 83 | 81 | 63 | 79 | 90 | 82 | 75 | 88 | 62 | 81 | 83 | 78 | 67 | 78 | 78 | 64 | 68 |
| 96 | 75 | 72 | 77 | 60 | 77 | 90 | 77 | 84 | 79 | 62 | 88 | 66 | 78 | 78 | 81 | 84 |
| 80 | 78 | 61 | 77 | 87 | 55 | 70 | 80 | 71 | 85 | 70 | 75 | 68 | 62 | 68 | 72 | 70 |
| 70 | 83 | 88 | 73 | 79 | 93 | 76 | 70 | 63 | 79 | 76 | 50 | 74 | 57 | 86 | 75 | 68 |
| 77 | 74 | 71 | 78 | 83 | 93 | 84 | 70 | 72 | 80 | 70 | 67 | 84 | 95 | 82 | 81 | 77 |
| 72 | 61 | 80 | 79 | 66 | 68 | 68 | 79 | 76 | 73 | 75 | 82 | 77 | 56 | 66 | 78 | 84 |
| 60 | 72 | 93 | 65 | 67 | 80 | 93 | 71 | 86 | 73 | 68 | 81 | 66 | 62 | 62 | 53 | 94 |
| 95 | 83 | 77 | 82 | 79 | 91 | 77 | 77 | 84 | 64 | 85 | 68 | 96 | 56 | 84 | 68 | 85 |
| 71 | 90 | 48 | 79 | 86 | 72 | 86 | 76 | 67 | 81 | 73 | 75 | 80 | 67 | 71 | 76 | 93 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 78 | 67 | 87 | 78 | 82 | 79 | 70 | 79 | 80 | 82 | 69 | 67 | 88 | 81 | 62 | 77 | 84 |
| 68 | 57 | 59 | 81 | 77 | 78 | 92 | 89 | 91 | 70 | 85 | 83 | 78 | 72 | 86 | 63 | 83 |
| 75 | 63 | 68 | 95 | 80 | 81 | 76 | 85 | 68 | 63 | 79 | 69 | 74 | 61 | 77 | 100 | 80 |
| 84 | 72 | 69 | 82 | 67 | 87 | 69 | 74 | 88 | 75 | 71 | 67 | 75 | 76 | 66 | 79 | 80 |
| 79 | 72 | 48 | 69 | 82 | 68 | 70 | 65 | 69 | 66 | 76 | 71 | 88 | 74 | 75 | 69 | 79 |
| 89 | 82 | 80 | 66 | 63 | 76 | 77 | 79 | 68 | 79 | 80 | 73 | 88 | 57 | 81 | 78 | 77 |
| 69 | 70 | 66 | 69 | 77 | 68 | 54 | 65 | 89 | 66 | 84 | 80 | 76 | 84 | 88 | 71 | 73 |
| 92 | 67 | 77 | 63 | 90 | 78 | 69 | 81 | 66 | 83 | 67 | 72 | 70 | 93 | 82 | 81 | 64 |
| 80 | 73 | 92 | 74 | 89 | 87 | 68 | 62 | 89 | 84 | 70 | 76 | 71 | 78 | 72 | 78 | 62 |
| 67 | 74 | 78 | 72 | 64 | 83 | 80 | 85 | 77 | 88 | 69 | 64 | 70 | 80 | 74 | 57 | 80 |
| 85 | 82 | 83 | 79 | 69 | 67 | 75 | 81 | 64 | 65 | 64 | 61 | 67 | 88 | 72 | 98 | 76 |
| 75 | 81 | 84 | 86 | 88 | 80 | 70 | 87 | 67 | 79 | 78 | 70 | 70 | 87 | 74 | 81 | 67 |
| 65 | 95 | 68 | 63 | 65 | 74 | 82 | 78 | 60 | 67 | 83 | 72 | 85 | 68 | 79 | 85 | 81 |
| 78 | 92 | 100 | 79 | 62 | 67 | 85 | 75 | 69 | 95 | 69 | 74 | 76 | 69 | 86 | 87 | 78 |
| 61 | 70 | 83 | 73 | 97 | 74 | 63 | 76 | 82 | 79 | 67 | 79 | 76 | 62 | 83 | 81 | 80 |
| 79 | 56 | 84 | 92 | 75 | 66 | 99 | 84 | 84 | 73 | 71 | 79 | 73 | 78 | 77 | 93 | 75 |
| 76 | 73 | 59 | 79 | 70 | 79 | 92 | 64 | 77 | 79 | 60 | 74 | 75 | 56 | 70 | 90 | 59 |
| 73 | 72 | 68 | 79 | 83 | 83 | 65 | 80 | 86 | 93 | 62 | 75 | 73 | 74 | 73 | 78 | 87 |
| 75 | 54 | 51 | 73 | 81 | 82 | 95 | 89 | 85 | 77 | 93 | 63 | 54 | 83 | 58 | 68 | 68 |
| 80 | 77 | 68 | 55 | 68 | 75 | 83 | 79 | 77 | 96 | 73 | 71 | 87 | 60 | 69 | 78 | 84 |
| 67 | 83 | 89 | 81 | 78 | 77 | 75 | 67 | 62 | 71 | 95 | 83 | 62 | 78 | 90 | 71 | 87 |
| 81 | 77 | 58 | 55 | 67 | 68 | 88 | 76 | 78 | 67 | 62 | 70 | 80 | 53 | 64 | 71 | 84 |
| 67 | 86 | 63 | 51 | 75 | 76 | 73 | 71 | 67 | 90 | 78 | 64 | 72 | 59 | 73 | 84 | 93 |
| 67 | 73 | 84 | 64 | 73 | 75 | 64 | 81 | 77 | 71 | 72 | 83 | 73 | 76 | 93 | 77 | 94 |
| 69 | 88 | 59 | 73 | 83 | 62 | 64 | 60 | 72 | 62 | 75 | 76 | 76 | 62 | 70 | 84 | 77 |
| 86 | 76 | 71 | 59 | 96 | 72 | 83 | 87 | 74 | 76 | 69 | 60 | 73 | 78 | 65 | 74 | 85 |
| 88 | 77 | 74 | 94 | 72 | 74 | 70 | 79 | 92 | 68 | 69 | 47 | 89 | 85 | 87 | 74 | 75 |
| 70 | 76 | 80 | 69 | 68 | 87 | 63 | 80 | 83 | 56 | 64 | 82 | 80 | 80 | 55 | 59 | 85 |
| 83 | 73 | 64 | 75 | 67 | 76 | 72 | 81 | 79 | 78 | 90 | 82 | 75 | 79 | 85 | 79 | 68 |
| 63 | 70 | 82 | 82 | 82 | 57 | 79 | 79 | 71 | 98 | 96 | 78 | 74 | 83 | 70 | 65 | 73 |
| 70 | 68 | 75 | 59 | 100 | 80 | 55 | 57 | 65 | 80 | 76 | 74 | 55 | 72 | 74 | 70 | 52 |
| 87 | 85 | 81 | 64 | 68 | 68 | 90 | 70 | 71 | 62 | 72 | 60 | 65 | 78 | 75 | 81 | 73 |
| 69 | 59 | 75 | 71 | 75 | 70 | 69 | 77 | 80 | 57 | 81 | 93 | 83 | 71 | 87 | 74 | 100 |
| 70 | 60 | 66 | 70 | 100 | 76 | 89 | 64 | 94 | 77 | 65 | 74 | 74 | 71 | 77 | 57 | 93 |
| 81 | 78 | 79 | 86 | 82 | 82 | 87 | 78 | 84 | 72 | 54 | 84 | 60 | 56 | 87 | 69 | |
样本 $\mathrm{A}$ 的 100 个数据
$\begin{array}{lllllllllllllllll}66 & 72 & 71 & 90 & 80 & 76 & 87 & 83 & 87 & 100 & 73 & 87 & 77 & 100 & 91 & 65 & 73 \\ 77 & 73 & 68 & 76 & 89 & 86 & 80 & 82 & 65 & 69 & 95 & 82 & 73 & 62 & 72 & 78 & 81 \\ 84 & 78 & 83 & 67 & 75 & 84 & 78 & 61 & 55 & 70 & 88 & 71 & 67 & 66 & 68 & 62 & 77\end{array}$
$\begin{array}{lllllllllllllllll}56 & 71 & 81 & 77 & 78 & 63 & 72 & 69 & 89 & 66 & 57 & 80 & 92 & 83 & 65 & 79 & 63 \\ 83 & 68 & 62 & 69 & 76 & 77 & 56 & 80 & 78 & 75 & 71 & 81 & 77 & 80 & 64 & 73 & 59 \\ 74 & 85 & 74 & 64 & 72 & 90 & 82 & 74 & 83 & 68 & 83 & 74 & 100 & 71 & 77 & & \end{array}$
样本 B 的 100 个数据
$\begin{array}{lllllllllllllllll}70 & 75 & 67 & 73 & 77 & 67 & 59 & 81 & 74 & 77 & 89 & 73 & 87 & 65 & 74 & 51 & 82 \\ 75 & 69 & 79 & 70 & 94 & 63 & 60 & 51 & 95 & 76 & 86 & 71 & 78 & 87 & 66 & 90 & 77 \\ 68 & 93 & 75 & 72 & 81 & 71 & 87 & 58 & 63 & 78 & 80 & 71 & 75 & 76 & 77 & 72 & 77 \\ 93 & 71 & 94 & 68 & 79 & 67 & 79 & 79 & 59 & 81 & 89 & 83 & 84 & 72 & 88 & 81 & 84 \\ 67 & 87 & 62 & 78 & 64 & 79 & 62 & 54 & 68 & 77 & 68 & 83 & 77 & 90 & 67 & 76 & 90 \\ 59 & 72 & 94 & 75 & 70 & 78 & 83 & 64 & 75 & 57 & 62 & 78 & 75 & 73 & 64 & & \end{array}$
## 习题5-1A
(1) 已知总体是由编号为 $01,02,\cdots,19,20$ 的 20 个个体组成. 利用下面的随机数表选取 5 个个体,选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 个数字开始,由左到右依次选取两个数字. 写出选取的 5 个个体编号.
| 78166572080263140702436997280198 |
| :--- |
| 32049234493582003623486969387481 |
(2) 已知某地区有小学生 12000 人,初中生 11000 人,高中生 9000 人,现在要了解该地区学生的近视情况,准备抽取 320 人进行调查,那么应该抽取小学生、初中生、高中生各多少人?
(3)《中国青年报》社会调查中心联合问卷网,对 2000 名 18 35 岁青年进行的一项调查显示,在平时生活中,$18.5 \%$ 的受访青年经常会阅读或学习古典诗词,$61.0 \%$ 的受访青年偶尔会,$17.9 \%$ 的受访青年很少会,仅 $2.6 \%$ 的受访青年表示从不接触古典诗词. 选择合适的统计图表表示上述调查结果.
(4) 截至 2015 年年底,我国部分省市区自然保护区的数量可用下图表示,写出图中所涉及的这组数的极差和中位数.
(第 4 题)
## 习题5-1B
(1) 某单位共有 500 名职工,其中不到 35 岁的有 125 人,$35 \sim 49$ 岁的有 $a$ 人,50 岁及以上的有 $b$ 人,现用分层抽样的方法,从中抽出 100 名职工了解他们的健康情况:
(1) 求不到 35 岁的职工要抽取的人数;
(2) 如果已知 $35 \sim 49$ 岁的职工抽取了 56 人,求 $a$ 的值,并求 50 岁及以上的职工要抽取的人数.
(2) 已知 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$ 的平均数为 10,标准差为 3,且 $y_{i}=x_{i}+2,i=1,2$,$\cdots,n$. 求 $y_{1},y_{2},\cdots,y_{n}$ 的平均数与方差.
(3) 某科技攻关青年团队共有 20 人，他们的年龄分布如下表所示.
| 年龄 | 28 | 29 | 30 | 32 | 36 | 40 | 45 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 人数 | 1 | 3 | 3 | 5 | 4 | 3 | 1 |
（1）求这 20 人年龄的众数、极差、平均数、方差、$25 \%$ 分位数、$75 \%$ 分位数;
(2) 用茎叶图表示这 20 人的年龄.
(4) 2015 年，31 个省会城市中，区域声环境质量达到一级的城市为 1 个，达到二级的城市为 22 个,达到三级的城市为 8 个. 选择合适的统计图表表示这组数据.
(5) 某学校调查了 20 个班中有网上购物经历的人数，得到了如图所示的茎叶图，$[0,10)，[10,20),[20,30),[30,40]$ 为分组，作出这组数的频率分布直方图,并说明频率分布直方图与茎叶图之间的关系.
(第 5 题）
(6) 下图是 $2004-2014$ 年我国二氧化硫年排放量（单位: 万吨）的柱形图,据此评价这些年来我国二氧化硫排放的治理效果.
(第 6 题)
## 习题5-1C
(1) 在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续 10 日，每天新增疑似病例不超过 7 人”. 过去 10 日，甲、乙、芮、丁四地新增疑似病例数据信息如下：
甲地：总体平均数为 3，中位数为 4;
乙地：总体平均数为 1,总体方差大于 0;
万地：中位数为 2,众数为 3;
丁地：总体平均数为 2,总体方差为 3 .
则甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的有哪些?
(2) 如图所示是某商家根据去年 A,B 两种产品的月销售额（单位：万元) 作出的统计图 (称为雷达图),根据图中信息,写出关于 $\mathrm{A},\mathrm{B}$ 两种产品销售额比较的两个统计结论.
(第 2 题）
(3) 已知
$$
\sum_{i=1}^{10} x_{i}=20,\sum_{i=1}^{10} y_{i}=10,\quad \sum_{i=1}^{10} x_{i} y_{i}=20
$$
求 $\sum_{i=1}^{10}\left(x_{i}-3\right)\left(y_{i}-2\right)$ 的值.
(4) 在分层抽样时,如果总体分为 $k$ 层,而且第 $j$ 层抽取的样本量为 $n_{j}$,第 $j$ 层的样本均值为 $\bar{x}_{j}$,样本方差为 $s_{j}^{2},j=1,2,\cdots,k$. 记 $n=\sum_{j=1}^{k} n_{j}$. 求证：所有数据的样本均值和方差分别为
$$
\bar{x}=\frac{1}{n} \sum_{j=1}^{k}\left(n_{j} \bar{x}_{j}\right),s^{2}=\frac{1}{n} \sum_{j=1}^{k}\left[n_{j} s_{j}^{2}+n_{j}\left(\bar{x}_{j}-\bar{x}\right)^{2}\right] .
$$
## 2 数学探究活动：由编号样本估计总数及其模拟
## 1. 活动背景介绍与要求
日常生活中,为了方便管理,人们经常会对人或物进行连续编号（即编号为 $001,002,003,\cdots)$. 例如,有些班级学生的学号最后两位是连续编号的,各种会员卡的卡号一般是连续编号的,一个团体（包括学校）在进行资产管理时,会给所涉及的资产一个编号,这个编号的最后几位一般来说也是连续编号的.
当对人或物进行连续编号后,知道编号的最大值就能方便地知道总数是多少. 例如,如果班级学生的学号最后两位是连续编号的,且最后两位最大的编号是 33,那就意味着这个班级有 33 名学生.
在很多情况下,得到最大的编号并不容易,但可以得到一些编号的样本. 此时,能不能根据编号样本的信息,利用有关统计的知识,估计出人或物的总数呢?
类似问题在实际生活中有时是有战略意义的. 例如，第二次世界大战期间,德军生产的坦克是连续编号的,盟军从战场上缴获了一些德军坦克,因此获得了一些坦克编号,盟军希望能根据这些样本数据估计出德军所生产的坦克数量. 后来统计学家们圆满地解决了这一问题,而且,如下表所示,当时统计学家们的估计比情报部门的估计误差小很多！
| 时间 | 统计估计/辆 | 情报估计/辆 | 实际/辆 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 1940 年 6 月 | 169 | 1000 | 122 |
| 1941 年 6 月 | 244 | 1550 | 271 |
| 1942 年 8 月 | 327 | 1550 | 342 |
请与其他同学分工合作,寻找生活中有连续编号的实例,获取适当容量的编号样本,在此基础上讨论估计总数的多种办法,并用模拟的办法验证估计方法的准确度,将活动过程记录在下表中.
## 由编号样本估计总数活动记录表
活动开始时间:
(1) 成员与分工
姓名分工
(2) 待估计总数的、有连续编号的实例
（3）获取的编号样本
（4）估计总数的方法以及计算过程
(5) 采用模拟的方法以及估计结果的验证
（6）活动总结（包括活动感受等）
活动结束时间：
## 2. 活动提示
要完成的任务可以简述为：假设已有的编号样本从小到大依次为
$$
x_{1},x_{2},\cdots,x_{m} \text {,}
$$
由这些样本怎样去估计总数 $n$.
最大值估计：$n$ 的值一定不会小于编号中的最大值,所以可以用编号中的最大值作为 $n$ 的一个估计,即
$$
n \approx x_{m} .
$$
平均值估计: 考虑到样本的平均数与总体的平均数应该相差不大,因此可用样本平均数来给出 $n$ 的一个估计. 记
$$
\bar{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{m}}{m}
$$
又因为 $\frac{1+2+\cdots+n}{n}=\frac{n+1}{2}$ (1),所以有 $\frac{n+1}{2} \approx \bar{x}$,从而可以用大于或等于 $2 \bar{x}-1$ 的最小整数作为 $n$ 的估计.
值得注意的是,这种方法得到的 $n$ 的估计与 $x_{m}$ 的相对大小是不确定的,因此有可能出现 $n<x_{m}$ 的情况. 当然,此时我们可以用 $x_{m}$ 作为 $n$ 的估计值.
你能想出其他的估计方法吗?你能猜出第二次世界大战期间统计学家采用的方法吗?感兴趣的读者请自行查阅有关资料进行了解.
估计的模拟可以借助计算机来进行.
例如,首先在 Excel 表格中设定一个总数 $n$,然后用随机数函数产生几个编号样本,最后算出估计值,观察误差.
如图 5-2-1 所示即为验证示意图.
| 2 | A | B | $\mathrm{C}$ | D | E | $\mathrm{F}$ | G | H | I | J | K L | M |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 1 | 总数 | 290 | . | - | - | - | . | $\cdots$ | - | rotats | . | . |
| 2 | m | . | | | | | | | | | 最大值估计 | 平均数估计 |
| 3 | 所得样本1 | 237 | 247 | 277 | 44 | 268 | 146 | 123 | 128 | 121 | 277 | 353 |
| 4 | 所得样本2 | 123 | 250 | 199 | 20 | 19 | 267 | 1 | . | . | 267 | 251 |
| 5 | 所得样本 3 | 64 | 87 | 58 | 254 | 212 | 95 | - | | | 254 | 256 |
图 5-2-1
图 5-2-1 中,B3: J5 有数据的单元格,输人的都是
$$
\text {“= RANDBETWEEN }(1,\$ B \$ 1) \text { ”,}
$$
L3 中输人的是
M3 中输人的是
$$
“=\operatorname{MAX}(\mathrm{B} 3: \mathrm{J} 3) \text {,}
$$
$$
\text {“=ROUNDUP }(2 * \text { AVERAGE }(\text { B3 }: \mathrm{J} 3)-1,0) ” .
$$
(1) 这个式子可以通过归纳的方法得出.
## 3 概率
### 1 样本空间与事件
## 尝试与发现
如果要你将以下日常生活中的现象进行分类，你会依据什么来分?分类的结果是怎样的?
（1）练习投篮 5 次，命中 3 次;
(2) 早晨太阳从东边升起;
(3) 一个小时内接到 10 个电话;
(4) 将一石块抛向空中，石块掉落下来;
（5）走到一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯;
(6) 实心铁球丢进水里,铁球会沉到水底;
(7) 买一张福利彩票,没中奖.
我们日常生活中的现象,根据结果是否可以准确预测,可以分为两类,即随机现象和必然现象. 一定条件下,发生的结果事先不能确定的现象就是随机现象（或偶然现象),发生的结果事先能够确定的现象就是必然现象 (或确定性现象). 也就是说，对于随机现象而言，如果在同一条件下进行多次观察,每次观察的结果不一定相同,事先很难确定哪种结果会出现.
上述尝试与发现中，是随机现象的序号为 1
## 1. 样本点和样本空间
为了方便起见,我们把在相同条件下,对随机现象所进行的观察或实验称为随机试验 (简称为试验). 例如,抛一枚硬币、掷一个均匀的骰子等,都可以看成随机试验. 值得注意的是,虽然每次随机试验的结果是不能确定的,但在多次重复的试验中,其试验结果会呈现出一定的规律性. 例如,我们已经知道,抛一枚硬币,可能出现正面,也可能出现反面,在一次试验中,结果不能准确预测,但是如果重复多次,就有正面出现次数与反面出现次数大致相当的规律性.
我们把随机试验中每一种可能出现的结果,都称为样本点,把由所有样本点组成的集合称为样本空间 (通常用大写希腊字母 $\Omega$ 表示).
例如,抛一枚硬币,如果样本点记为“出现正面”“出现反面”,则样本空间为
$$
\Omega=\{\text { 出现正面,出现反面 }\} \text {;}
$$
再例如,郑一个骰子,如果样本点用朝上的面的点数表示,则其样本空间为
$$
\Omega=\underline{2}
$$
例 1 先后抛出两枚硬币,观察正反面出现的情况,选择合适的方法表示样本点,并写出样本空间.
解考虑到有先后顺序，可以用 3 表示第 1 枚硬币出现正面,第 2 枚硬币出现反面,其他样本点用类似的方法表示,则样本空间为
$$
\Omega=\underline{4}
$$
## 2. 随机事件
如果随机试验的样本空间为 $\Omega$,则随机事件 $A$ 是 $\Omega$ 的一个非空真子集. 而且: 若试验的结果是 $A$ 中的元素,则称 $A$ 发生 (或出现等);否则,称 $A$ 不发生 (或不出现等). 随机事件也可用自然语言描述.
例如,掷一个骰子,观察朝上的面的点数,则样本空间
$$
\Omega=\{1,2,3,4,5,6\} .
$$
此时: 若 $A=\{1,3,5\}$,则 $A$ 就是一个随机事件,而且 $A$ 可以用自然语言描述为“出现的点数为奇数”;若 $B$ 表示随机事件“出现的点数为偶数”,则
$$
B=5
$$
如果郑股子得到的点数为 3,则可知上述随机事件 $A$ 发生且随机事件 $B$ 不发生.
显然，任何一个随机事件既有可能发生，也有可能不发生.
另外,任何一次随机试验的结果,一定是样本空间 $\Omega$ 中的元素,因此可以认为每次试验中 $\Omega$ 一定发生,从而称 $\Omega$ 为必然事件;又因为空集 $\varnothing$ 不包含任何样本点,所以可以认为每次试验中邓一定不发生,从而称为不可能事件.
一般地，不可能事件、随机事件、必然事件都可简称为事件,通常用大写英文字母 $A$,$B,C,\cdots$ 来表示事件. 因为事件一定是样本空间的子集,从而可以用表示集合的维恩图来直观地表示事件,如图 5-3-1 所示. 特别地,只含有一个样本点的事件称为基本事件.
图 5-3-1
事件既可以用集合表示,也可以用自然语言描述,在今后的学习中,要特别注意两者之间的相互转化. 仍以上述郑一个骰子的试验为例,若记
$$
A \text { : 出现的点数小于 } 7,B \text { : 出现的点数等于 } 9 \text {,}
$$
则不难看出 $A=\Omega$,是必然事件;$B=\varnothing$,是不可能事件.
例 2 张华练习投篮 10 次,观察张华投篮命中的次数,写出对应的样本空间,并用集合表示出事件 $A$：投篮命中的次数不少于 7 次.
解样本空间为
$$
\Omega=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\},$$
所要表示的事件为
$$
A=6
$$
例 3 从含有 3 件次品的 100 件产品中任取 5 件,观察其中次品数,写出对应的样本空间,并说明事件 $A=\{0\}$ 的实际意义.
解样本空间为
$$
\Omega=7
$$
事件 $A=\{0\}$ 表示的实际意义是：抽取的 5 件产品中，没有次品.
## 3. 随机事件发生的概率
在小学和初中我们就已经知道,事件发生的可能性大小可以用该事件发生的概率（也简称为事件的概率）来衡量,概率越大,代表越有可能发生. 事件 $A$ 发生的概率通常用 $P(A)$ 表示.
我们将不可能事件发生的概率规定为 0,将必然事件 $\Omega$ 发生的概率规定为 1,即
$$
P(\varnothing)=0,P(\Omega)=1
$$
## 尝试与发现
在这样规定的前提下,你认为任意事件发生的概率应该满足什么条件?说明理由.
对于任意事件 $A$ 来说,显然应该有 $P(\varnothing) \leqslant P(A) \leqslant P(\Omega)$,因此 $P(A)$ 应该满足不等式
8
日常生活与应用中,概率值也经常用百分数表示,例如“明天下雨的概率为 $70 \%$ ” 等.
## 拓展阅读
## 《黄金 72 小时》中的概率
当地震等地质灾害发生后,在媒体上经常可以看到“黄金 72 小时”这几个字．你知道它表示的是什么意思吗?
医学研究和统计表明，在没有食物尤其是没有水的条件下，生命的存续期一般不会超过 3 天. 国际救援界认为,在地震等地质灾害发生后的 72 小时内,被救出人员的存活率随时间的消逝呈递减趋势：第一天（即 24 小时内),存活率约为 $90 \%$;第二天,存活率为 $50 \% \sim 60 \%$;第三天，存活率为 $20 \% \sim$ $30 \%$. 再往后的话，存活率将进一步减少.
这里的存活率可以用概率来理解：被救出的人员,如果是在 24 小时内被发现的,那么该人员生还的概率为 $90 \%$;如果是在第２４ $\sim$ ４８小时内被发现的，那么生还的概率为 $50 \% \sim 60 \%$;如果是第 $48 \sim 72$ 小时内发现的,那么生还的概率为 $20 \% \sim 30 \%$. 这就意味着，当地震等地质灾害发生后，应该“与时间赛跑”，利用各种手段和机会尽可能早地发现被困人员.
需要注意的是,概率描述的只是事件发生的可能性大小,发生的可能性小（即概率小）并不代表不会发生. 统计数据表明,地震六天后,被埋人员生还的概率几乎为零. 但是这样的事例并不是没有：2005 年巴基斯坦 7.6 级地震中，一名青年被埋 27 天后获救生还;2008 年我国汶川地震中，一位 60 岁的老人被困 11 天后获救生还;等等. 因此，几乎所有的救援工作，在“黄金 72 24 48 小时内被发现的,那么生还的概率为奇迹.
例 4 先后两次掷一个均匀的骰子,观察朝上的面的点数.
（1）写出对应的样本空间;
（2）用集合表示事件 $A$：点数之和为 3，事件 $B$：点数之和不超过 3;
（3）从直观上判断 $P(A)$ 和 $P(B)$ 的大小(指出 $P(A) \geqslant P(B)$ 或 $P(A) \leqslant P(B)$ 即可 $)$.
解 （1）用 (1，2）表示第一次掷出 1 点,第二次掷出 2 点,其他的样本点用类似的方法表示，则可知所有样本点均可表示成 $(i,j)$ 的形式,其中 $i,j$ 都是 $1,2,3,4,5,6$ 中的数.
因此，样本空间
$$
\Omega=\{(i,j) \mid 1 \leqslant i \leqslant 6,1 \leqslant j \leqslant 6,i \in \mathbf{N},j \in \mathbf{N}\}(1) .
$$
(2) 不难看出
$$
\begin{aligned}
& A=\{(1,2),(2,1)\},\\
& B=\{(1,1),(1,2),(2,1)\} .
\end{aligned}
$$
（3）因为 $A$ 事件发生时,$B$ 事件一定发生,也就是说 $B$ 事件发生的可能性不会比 $A$ 事件发生的可能性小,所以直观上可知 $P(A) \leqslant P(B)$.
## 练习 $A$
(1) 选择合适的表示方法,写出下列试验的样本空间:
(1) 种下一粒种子，观察是否发芽;
（2）甲、乙两队进行一场足球比赛,观察比赛结果 (可以是平局).
(2) 掷一个骰子,观察朝上的面的点数,写出下列事件的集合表示:
(1) A：出现奇数点;(2) $B$：点数大于 3 .
(3) 从含有 5 件次品的 100 件产品中任取 3 件,观察其中的次品数.
（1）选择合适的表示方法，写出样本空间;
（2）写出事件 A：“取到的 3 件产品中没有次品”的集合表示;
（3）说明事件 $B=\{0,1\}$ 所表示的实际意义.
(4) 某同学得出随机事件 $A$ 发生的概率为 $P(A)=1.2$,这可能吗?为什么?
## 练习B
(1) 从 $0,1,2$ 这 3 个数字中,不放回地取两次,每次取一个,构成有序数对 $(x$,$y)$,其中 $x$ 为第 1 次取到的数字,$y$ 为第 2 次取到的数字.
（1）写出样本空间;
（2）写出“第 1 次取出的数字是 2” 这一事件的集合表示.
(2) 按先后顺序抛三枚硬币,观察正反面出现的情况,选择合适的方法表示样本,点,并写出样本空间.
(3) 先后两次掷一个均匀的骰子,观察朝上的面的点数,用集合表示事件 $A$ : 点数之和为 $6,B$：点数之和不超过 6,并从直观上判断 $P(A)$ 和 $P(B)$ 的大小（指出 $P(A) \geqslant P(B)$ 或 $P(A) \leqslant P(B)$ 即可 $)$.
(4) 如果随机试验的样本空间是 $\Omega$,且 $A$ 是一个必然事件,$B$ 是一个不可能事件.
(1) 写出 $A$ 与 $\Omega$ 的关系;
(2) 写出 $B$ 与 $\varnothing$ 的关系.
(1) 这一结果也经常简写为 $\Omega=\{(i,j) \mid i,j=1,2,3,4,5,6\}$.
5 观察一个日光灯的寿命:
（1）用适当的符号表示这个试验的样本空间,并写出其中含有的样本点个数;
（2）用集合表示事件 A：寿命大于 $5000 \mathrm{h｝,B \text {：寿命小于 } 1 0 0 0 \mathrm { h } \text { . }}$
1 (1) (3) (5) (7) $2\{1,2,3,4,5,6\} \quad 3(Z,F)$
$4\{(\mathrm{Z},\mathrm{Z}),(\mathrm{Z},\mathrm{F}),(\mathrm{F},\mathrm{Z}),(\mathrm{F},\mathrm{F})\}(1) \quad 5\{2,4,6\}$
$6\{7,8,9,10\} \quad 7\{0,1,2,3\} \quad 80 \leqslant P(A) \leqslant 1$
### 2 事件之间的关系与运算
## 情境与问题
某班数学建模课分成 5 个小组 (编号为 $1,2,3,4，5$ ) 采用合作学习的方式进行,课堂上教师会随机选择一个小组的成果进行展示.
不难看出,这一试验的样本空间可记为
$$
\Omega=1
$$
记事件
$$
E=\{1\},F=\{1,2\},G=\{1,3\},H=\{1,2,3\},I=\{4,5\},$$
说出每一事件的实际意义,并尝试理解上述各事件之间的关系.
前面我们在事件与集合之间建立了对应关系，从而可用集合的一些术语、符号去描述事件之间的关系与运算.
## 1. 事件的包含与相等
前述情境与问题中,如果事件 $E$ 发生,那么事件 $F$ 一定发生. 即如果教师选择了第 1 组,那么“选择了第 1 组或者第 2 组”也就一定发生了.
一般地,如果事件 $A$ 发生时,事件 $B$ 一定发生,则称“$A$ 包含于 $B$ ” (或“B 包含 $A$ "),记作 $A \subseteq B$ (或 $B \supseteq A$ ),这一关系可用图 5-3-2 表示.
(1) $3 \mid 4$ 的填法不唯一,比如也可填: 3 正反;4 \{正正,正反,反正,反反 $\}$.
$A \subseteq B$ 也可用充分必要的语言表述为: $A$ 发生是 $B$ 发生的 2,$B$ 发生是 $A$ 发生的 3
如果 $A \subseteq B$,根据定义可知,事件 $A$ 发生的可能性不比事件 $B$ 发生的可能性大,直观上我们就能得到
$$
P(A) \leqslant P(B) .
$$
图 5-3-2
此外,如果事件 $A$ 发生时,事件 $B$ 一定发生;而且事件 $B$ 发生时,事件 $A$ 也一定发生,则称“$A$ 与 $B$ 相等”,记作 $A=B$.
不难看出
$$
A=B \Leftrightarrow A \subseteq B \text { 且 } B \subseteq A .
$$
$A=B$ 也可用充分必要的语言表述为: $A$ 发生是 $B$ 发生的 4
显然，当 $A=B$ 时，应该有
$$
P(A)=P(B) \text {. }
$$
## 2. 事件的和（并 )
给定事件 $A,B$,由所有 $A$ 中的样本点与 $B$ 中的样本点组成的事件称为 $A$ 与 $B$ 的和 (或并),记作
$$
A+B(\text { 或 } A \cup B) .
$$
事件 $A$ 与 $B$ 的和可以用如图 5-3-3 所示的阴影部分表示.
按照定义可知,事件 $A+B$ 发生时,当且
图 5-3-3 仅当事件 $A$ 与事件 $B$ 中至少有一个发生.
前述情境与问题中,$H=F+G$.
另外,不难看出,$A \subseteq(A+B)$ 且 $B \subseteq(A+B)$,因此
$$
P(A) \leqslant P(A+B) \text { 且 } P(B) \leqslant P(A+B),$$
而且,直观上可知 $P(A+B)$ 与 $P(A)+P(B)$ 的大小关系为
## 3. 事件的积（交）
给定事件 $A,B$,由 $A$ 与 $B$ 中的公共样本点组成的事件称为 $A$ 与 $B$ 的积（或交），记作
$$
A B \text { (或 } A \cap B) .
$$
事件 $A$ 与 $B$ 的积可以用如图 5-3-4 所示的阴影部分表示.
按照定义可知,事件 $A B$ 发生时,当且仅当事件 $A$ 与事件 $B$ 都发生.
前述情境与问题中,$E=F G$.
图 5-3-4
## 尝试与发现
类比前面的情况,得出 $P(A B)$ 与 $P(A)$ 的大小关系,以及 $P(A B)$ 与 $P(B)$ 的大小关系：
$$
\begin{array}{lll}
P(A B) 6 & P(A),P(A B) 7 & P(B)
\end{array}
$$
事件的和、积可以类似地推广到有限多个的情形,这里不再绩述.
## 4. 事件的互斥与对立
给定事件 $A,B$，若事件 $A$ 与 $B$ 不能同时发生,则称 $A$ 与 $B$ 互斥,记作
$$
A B=\varnothing(\text { 或 } A \cap B=\varnothing)，$$
这一关系可用图 5-3-5 表示.
不难看出：任意两个基本事件都是互斥的,$\varnothing$ 与任意事件互斥.
直观上可以看出,当 $A$ 与 $B$ 互斥（即 $A B=$
图 5-3-5 $\varnothing$ ）时，有
$$
P(A+B)=P(A)+P(B)
$$
这称为互斥事件的概率加法公式.
一般地,如果 $A_{1},A_{2},\cdots,A_{n}$ 是两两互斥的事件,则
$$
P\left(A_{1}+A_{2}+\cdots+A_{n}\right)=P\left(A_{1}\right)+P\left(A_{2}\right)+\cdots+P\left(A_{n}\right) .
$$
前述情境与问题中,互斥的事件有 8
给定样本空间 $\Omega$ 与事件 $A$,则由 $\Omega$ 中所有不属于 $A$ 的样本点组成的事件称为 $A$ 的对立事件,记作 $\bar{A}$,用集合的观点来看,$\bar{A}$ 是 $A$ 在 $\Omega$ 中的补集,如图 5-3-6 所示. 如果 $B=\bar{A}$,则称
图 5-3-6 $A$ 与 $B$ 相互对立.
按照定义可知,每次随机试验,在事件 $A$ 与 $\bar{A}$ 中,有一个发生,而且只有一个发生. 注意到必然事件的概率为 1,因此
$$
P(A)+P(\bar{A})=9
$$
前述情境与问题中，相互对立的事件是 10
## 尝试与发现
不难看出,互斥与相互对立是有区别的,试用自己的语言总结出它们之间的关系，并举例说明.
事实上,如果 $A$ 与 $B$ 相互对立,则 $A$ 与 $B$ 互斥,但反之不成立,即“$A$ 与 $B$ 相互对立” 是“$A$ 与 $B$ 互斥” 的充分不必要条件.
## 5. 事件的混合运算
前面实际上我们给出了事件的三种运算：求两个事件的和,求两个事件的积,求一个事件的对立事件. 因为事件运算的结果仍是事件,所以可以进行事件的混合运算，例如
$$
(A \bar{B})+(\bar{A} B)
$$
这表示的是 $A \bar{B}$ 与 $\bar{A} B$ 的和,实际意义是：$A$ 发生且 $B$ 不发生,或者 $A$ 不发生且 $B$ 发生,换句话说就是 $A$ 与 $B$ 中恰有一个发生.
同数的加、减、乘、除混合运算一样,事件的混合运算也有优先级,我们规定：求积运算的优先级高于求和运算,因此 $(A \bar{B})+(\bar{A} B)$ 可简写为
$$
A \bar{B}+\bar{A} B
$$
例 1 设 $A,B$ 为两个事件,试用 $A,B$ 表示下列各事件:
(1) $A,B$ 两个事件中至少有一个发生;
（2） $A$ 事件发生且 $B$ 事件不发生;
(3) $A,B$ 两个事件都不发生.
解 (1) 按照定义有 $A+B$.
（2）因为 $B$ 不发生可以表示为 $\bar{B}$,所以可以写成 $A \bar{B}$.
（3）按照定义有 $\bar{A} \bar{B}$.
例 2 已知数学考试中,李明成绩高于 90 分的概率为 0.3,不低于 60 分且不高于 90 分的概率为 0.5,求:
（1）李明成绩不低于 60 分的概率;（2）李明成绩低于 60 分的概率. 解记事件 $A$：李明成绩高于 90 分，$B$：李明成绩不低于 60 分且不高于 90 分，则不难看出 $A$ 与 $B$ 互斥，且
$$
P(A)=0.3,P(B)=0.5 \text {. }
$$
（1）因为“李明成绩不低于 60 分” 可表示为 $A+B$,由 $A$ 与 $B$ 互斥可知
$$
P(A+B)=P(A)+P(B)=0.3+0.5=0.8 .
$$
（2）因为“李明成绩低于 60 分” 可表示为 $\overline{A+B}$,所以
$$
P(\overline{A+B})=1-P(A+B)=1-0.8=0.2 \text {. }
$$
## 探索与研究
任意给定两个事件 $A,B，$ 考虑
$$
P(A+B),P(A),P(B),P(A B)
$$
之间的等量关系,得出一般的关系式.
## 练习 $A$
(1) 甲、乙两人各投一次篮,分别记事件 $A$ : 甲投中,$B$：乙投中,试用 $A,B$ 表示下列事件:
（1）甲投中但乙没投中;(2) 甲和乙都没投中.
(2) 已知事件 $A$ 与 $B$ 互斥,且 $P(A)=0.2,P(B)=0.1$,求 $P(A+B)$.
(3) 已知某次比赛中,学校足球队赢的概率为 0.7,打平的概率为 0.2,求学校足球队不输的概率.
## 练习B
(1) 设 $A,B$ 为两个事件,试用 $A,B$ 表示下列各事件:
(1) $A,B$ 两个事件中至多有一个发生;
(2) $A,B$ 两个事件中至少有一个发生.
(2) 先后掷一个骰子两次,观察出现的面的点数,记事件 $A$：点数之和等于 5,事件 $B$：最大点数为 4,试用集合表示事件 $A,B,A+B,A B$.
(3) 已知三个事件 $A,B,C$ 两两互斥,且 $P(A)=0.3,P(\bar{B})=0.6,P(C)=0.2$,求 $P(A+B+C)$.
(4) 已知事件 $A$ 与 $B$ 互斥,判断 $\bar{A}$ 与 $B$ 的关系,以及 $A$ 与 $\bar{B}$ 的关系.
(5) 设 $A,B,C$ 为三个事件,说明下列各式所表示的意义:
(1) $\bar{A} B C$;(2) $\overline{A+B+C}$
(3) $A \bar{B} \bar{C}+\bar{A} B \bar{C}+\bar{A} \bar{B} C$.
$1\{1,2,3,4,5\} \quad 2$ 充分条件 3 必要条件 4 充要条件 $5 P(A+B) \leqslant P(A)+P(B) \quad 6 \leqslant \quad 7 \leqslant$ $8 E$ 与 $I,F$ 与 $I,G$ 与 $I,H$ 与 $I \quad 91 \quad 10 H$ 与 $I$
### 3 古典概型
前面我们已经了解了随机试验的样本空间、事件等概念,并且知道了描述事件发生的可能性大小—一概率的一些性质,还学习了事件之间的关系以及对应的概率关系等.
但是，到目前为止，除了必然事件和不可能事件外，对于其他事件，我们还没有讨论该怎样确定其发生的概率,这就是本小节和下一小节要学习的内容.
## 尝试与发现
（1）抛一枚均匀的硬币,观察落地后哪一面朝上. 这个试验的样本空间可以记为 $\Omega_{1}=\{$ 正面向上，反面向上 $\}$.
记事件 $A$：正面向上,你认为 $P(A)$ 应该是多少?理由是什么?
（2）掷一个均匀的骰子,观察朝上的面的点数. 这个试验的样本空间可记为
$$
\Omega_{2}=\{1,2,3,4,5,6\} .
$$
记事件 $B$：出现的点数不超过 4,你认为 $P(B)$ 应该是多少?理由是什么?
由以上两个实例，你能总结出一般规律吗?
尝试与发现中的抛硬币试验,因为样本空间含有 2 个样本点,而且因为硬币是均匀的,所以可以认为每个样本点出现的可能性相等,又因为事件 $A$ 包含 1 个样本点,所以
$$
P(A)=\frac{1}{2}
$$
类似地,郑均匀骰子的试验中,因为样本空间共有 6 个样本点,而且因为骰子是均匀的,所以可以认为每个样本点出现的可能性相等,又因为事件 $B$ 包含 1 个样本点,所以
$$
P(B)=2
$$
一般地,如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的（简称为有限性),而且可以认为每个只包含一个样本点的事件 (即基本事件）发生的可能性大小都相等 (简称为等可能性),则称这样的随机试验为古典概率模型,简称为古典概型.
古典概型中,事件发生的概率可以通过下述方式得到: 假设样本空间含有 $n$ 个样本点,由古典概型的定义可知,每个基本事件发生的可能性大小都相等,又因为必然事件发生的概率为 3,所以由互斥事件的概率加法公式可知每个基本事件发生的概率均为 $\frac{1}{n}$. 此时,如果事件 $C$ 包含有 $m$ 个样本点,则再由互斥事件的概率加法公式可知
$$
P(C)=\frac{m}{n}
$$
不难看出,古典概型是一种理想化的概率模型. 历史上,利用古典概型确定事件发生的概率的方法在 17 世纪与 18 世纪得到了长足的发展,而且它现在也是一种非常重要的确定事件发生的概率的方法.
一个随机试验是否能归结为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特征一一有限性与等可能性. 因此,并不是所有的随机试验都能归结为古典概型. 例如,抛一个瓶盖,观察落地后的状态 (如图 5-3-7 所示),就不能归结为古典概型;在一定的条件下,种下一粒种子,观察种子是否发芽,一般也不能归结为古典概型.
(1)
( 2 )
( 3 )
图 5-3-7
例 1 某中学举行高一广播体操比赛,共 10 个队参赛,为了确定出场顺序,学校制作了 10 个出场序号签供大家抽签,高一(1)班先抽,求他们抽到的出场序号小于 4 的概率.
解考虑高一(1)班从 10 个出场序号签中随机抽一个签的试验,其样本空间可记为
$$
\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\},$$
共包含 10 个样本点.
记 $A：$ 抽到的出场序号小于 4，则不难看出
$$
A=\{1,2,3\}
$$
$A$ 包含的样本点个数为 3,所以 $P(A)=\frac{3}{10}$. 例 2 按先后顺序抛两枚均匀的硬币,观察正反面出现的情况,求至少出现一个正面的概率.
解这个试验的样本空间可记为
$$
\Omega=\{(\text { 正，正），(正，反），（反，正），（反，反） }，$$
共包含 4 个样本点.
记 $A：$ 至少出现一个正面，则
$$
A=\{(\text { 正，正 }) ＼mathrm{~ （ 正，反 ） （ 反，正 ） ~}\}，$$
$A$ 包含的样本点个数为 3,所以 $P(A)=\frac{3}{4}$.
注意,古典概型中的概率也具有前面我们所说的概率的性质. 假设古典概型对应的样本空间含 $n$ 个样本点,事件 $A$ 包含 $m$ 个样本点,则:
(1) 由 $0 \leqslant m \leqslant n$ 与 $P(A)=\frac{m}{n}$ 可知
$$
0 \leqslant P(A) \leqslant 1
$$
（2）因为 $\bar{A}$ 中包含的样本点个数为 $n-m$,所以
$$
P(\bar{A})=\frac{n-m}{n}=1-\frac{m}{n}=1-P(A),$$
即 $P(A)+P(\bar{A})=1$；
（3）若事件 $B$ 包含有 $k$ 个样本点,而且 $A$ 与 $B$ 互斥,则容易知道 $A+$ $B$ 包含 $m+k$ 个样本点,从而
$$
P(A+B)=\frac{m+k}{n}=\frac{m}{n}+\frac{k}{n}=P(A)+P(B) .
$$
因此,例 2 也可用如下方法来解：因为 $\bar{A}=\{($ 反,反) $\}$,所以 $P(\bar{A})=$ $\frac{1}{4},从$ 而
$$
P(A)=1-P(\bar{A})=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}
$$
例 3 从含有两件正品 $a_{1},a_{2}$ 和一件次品 $b$ 的 3 件产品中,按先后顺序任意取出两件产品,每次取出后不放回,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.
解按照题意,取产品的过程可以用图 5-3-8 所示的树形图直观表示.
图 5-3-8 因此样本空间可记为
$\Omega=\left\{\left(a_{1},a_{2}\right),\left(a_{1},b\right),\left(a_{2},a_{1}\right),\left(a_{2},b\right),\left(b,a_{1}\right),\left(b,a_{2}\right)\right\}$,共包含 6 个样本点.
用 $A$ 表示“取出的两件中,恰好有一件次品”,则
$$
A=\left\{\left(a_{1},b\right),\left(a_{2},b\right),\left(b,a_{1}\right),\left(b,a_{2}\right)\right\},$$
$A$ 包含的样本点个数为 4,所以 $P(A)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.
值得注意的是,如果把例 3 中的条件“每次取出后不放回” 换成“每次取出后放回”,其余不变,则所求事件发生的概率将有所变化.
事实上,此时树形图将有所变化,且样本空间应记为
$$
\begin{aligned}
\Omega= & \left\{\left(a_{1},a_{1}\right),\left(a_{1},a_{2}\right),\left(a_{1},b\right),\left(a_{2},a_{1}\right),\left(a_{2},a_{2}\right),\right. \\
& \left.\left(a_{2},b\right),\left(b,a_{1}\right),\left(b,a_{2}\right),(b,b)\right\},\end{aligned}
$$
共包含 9 个样本点. 而事件
$$
A=4
$$
$A$ 包含的样本点个数为 4,所以 $P(A)=5$
例 4 甲、乙两人玩锤子、剪刀、布的猜拳游戏,假设两人都随机出拳,求:
(1) 平局的概率;(2) 甲贏的概率;(3) 甲不输的概率.
解因为甲有 3 种不同的出拳方法,乙同样也有 3 种不同的出拳方法,因此一次出拳共有 $3 \times 3=9$ 种不同的可能.
因为都是随机出拳,所以可以看成古典概型,而且样本空间中共包含 9 个样本点,样本空间可以用图 5-3-9 直观表示.
因为锤子赢剪刀,剪刀赢布,布赢锤子,所以若记事件 $A$ 为“平局”,$B$ 为“甲赢”。则：
(1) 事件 $A$ 包含 3 个样本点（图 5-3-9 中的 $\triangle)$,因此 $P(A)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$;
图 5-3-9
(2) 事件 $B$ 包含 3 个样本点 (图 5-3-9 中的※),因此 $P(B)=$ $\frac{3}{9}=\frac{1}{3};$
(3) 因为 $A+B$ 表示“甲不输”,且 $A,B$ 互斥,所以所求概率为
$$
P(A+B)=P(A)+P(B)=\frac{2}{3} .
$$
例 4 中的图也可以用树形图来表示,而且（3）还有其他解法,请读者自行尝试.
例 5 先后郑两个均匀的骰子,观察朝上的面的点数,记事件 $A$ : 点数之和为 $7,B$ : 至少出现一个 3 点,求 $P(A),P(\bar{A}),P(B),P(A B)$.
解用数对 $(x,y)$ 来表示抛掷结果,则样本空间可记为
$$
\Omega=\{(i,j) \mid i,j=1,2,3,4,5,6\} \text {,}
$$
而且样本空间可用图 5-3-10 直观表示.
样本空间中,共包含 36 个样本点.
不难看出,
$A=\{(6,1),(5,2),(4,3)$,
$(3,4),(2,5),(1,6)\}$,
$A$ 包含 6 个样本点 (即图 5-3-10 中橙色框中的点),因此 $P(A)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.
由对立事件概率之间的关系可知 $P(\bar{A})=1-P(A)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$.
图 5-3-10
类似地,可以看出,图 5-3-10 中绿色框中的点可以代表事件 $B$,因此 $B$ 包含 11 个样本点,从而 $P(B)=\frac{11}{36}$.
不难知道,$A B=\{(4,3),(3,4)\}$,因此
$$
P(A B)=6
$$
例 6 人的眼皮有单眼皮与双眼皮之分，这是由对应的基因决定的.
生物学上已经证明：决定眼皮单双的基因有两种，一种是显性基因 (记为 $B$ ),另一种是隐性基因 (记为 $b$ ）;基因总是成对出现（如 $\mathrm{BB}$,$\mathrm{bB},\mathrm{Bb},\mathrm{bb})$，而成对的基因中，只要出现了显性基因，那么这个人就一定是双眼皮（也就是说，“单眼皮”的充要条件是“成对的基因是 bb”）；如果不发生基因突变的话,成对的基因中,一个来自父亲,另一个来自母亲，但父母亲提供基因时都是随机的.
有一对夫妻,两人成对的基因都是 $\mathrm{Bb}$,不考虑基因突变,求他们的孩子是单眼皮的概率.
解我们用连着写的两个字母来表示孩子的成对的基因,其中第一个字母表示父亲提供的基因，第二个字母表示母亲提供的基因.
由图 5-3-11 所示的树形图可知,样本空间中共含有 4 个样本点,即
$$
\Omega=\{\mathrm{BB},\mathrm{Bb},\mathrm{bB},\mathrm{bb}\} .
$$
孩子要是单眼皮,成对的基因只能是 $\mathrm{bb}$,因此所求概率为 $\frac{1}{4}$.
例 6 中,若我们考虑的样本空间为 $\Omega=\{\mathrm{BB},\mathrm{Bb}$,$\mathrm{bb}\}$,那么事件“他们的孩子是单眼皮” 只包含 $\Omega$ 中的一个样本点 $\mathrm{bb}$,但由此并不能得出该事件发生的概率为 $\frac{1}{3}$,因为样本空间 $\Omega=\{\mathrm{BB},\mathrm{Bb},\mathrm{bb}\}$ 中的各个
图 5-3-11 基本事件不具有等可能性. 因此,用古典概型求概率时,要选择合适的方式表示样本点及样本空间,以使得基本事件具有等可能性,并且使所考察的事件能表示为样本空间的子集.
## 练习A
(1) 一般来说,火车上的座位都标有 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D},\mathrm{F}$,其中 $\mathrm{A},\mathrm{F}$ 这两个座位是靠窗的,如果随机买一张火车票,则买到靠窗的座位的概率是多少?
(2) 某选修课共有 51 人想学,但是因为场地有限,只能容许 36 人选课,学校打算用抽签的方式决定哪些人上这门选修课,则想学的 51 人中,任何一人能上这门课的概率为多少?
(3) 从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件,求取出的两件中恰有一件次品的概率.
## 练习B
(1) 从 $1,2,3,\cdots,30$ 中任意选一个数,分别求下列事件的概率:
(1) 取出的数是偶数;
(2) 取出的数能被 3 整除;
(3) 取出的数是偶数且能被 3 整除;
(4) 取出的数是偶数或能被 3 整除.
(2) 把一个体积为 $64 \mathrm{~cm}^{3}$ 的正方体木块表面涂上红漆,然后锯成 64 个体积为 $1 \mathrm{~cm}^{3}$ 的小正方体,从中任取一块,求取到的小正方体只有一面涂有红漆的概率.
(3) 从 $2,3,8,9$ 中任取两个不同的数,分别记为 $a,b$,求使 $\log _{a} b$ 为整数的概率.
(4) 齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马;田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马;田忌的下等马劣于齐王的下等马. 现齐王与田忌各出上等马、中等马、下等马一匹,进行三场比赛,每场双方均任意选一匹马参赛,胜两场或两场以上的人获胜. 求田忠获胜的概率. 5 甲、乙两校各有 3 名教师报名支教,其中甲校 2 男 1 女,乙校 1 男 2 女.
（1）若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名,用合适的符号写出样本空间,并求选出的 2 名教师性别相同的概率;
（2）若从报名的 6 名教师中任选 2 名,用合适的符号写出样本空间,并求选出的 2 名教师来自同一学校的概率.
14
$2 \frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
$31 \quad 4\left\{\left(a_{1},b\right),\left(a_{2},b\right),\left(b,a_{1}\right),\left(b,a_{2}\right)\right\}$
$5 \frac{4}{9}$
$6 \frac{2}{36}=\frac{1}{18}$
### 4 频率与概率
## 1. 用频率估计概率
我们已经知道,利用古典概型能够方便地确定出有关随机事件的概率. 但是,因为并不是所有的随机试验都能归结为古典概型,所以还要寻求其他的确定随机事件概率的方法.
## 情境与问题
（1）《中国青年报》社会调查中心联合问卷网,对 2000 名 18 35岁的青年进行的一项调查显示,在生活节奏加快的今天,$70.0 \%$ 的受访青年表示仍要培养古典诗词爱好,$15.5 \%$ 的人认为不需要,$14.5 \%$ 的人表示不好说.
随机选取一名 18 ～35 岁的青年,这名青年认为仍要培养古典诗词爱好的概率为多少?
（2）随机抛一个瓶盖,观察它落地后的状态（参见上一小节的图 5-3-7),怎样确定瓶盖盖口朝下的概率?
情境与问题中的两个问题,如果用古典概型来确定概率,显然是不太合适的,但是我们可以利用有关统计数据得出事件发生的概率的估计值.
例如,可以重复做抛瓶盖试验若干次 (设为 $n$ 次),然后观察盖口朝下的次数 (设为 $m$ 次),最后用盖口朝下的频率 $\frac{m}{n}$ 作为盖口朝下的概率的估计值.
## 尝试与发现
你觉得利用频率来估计概率的办法可靠吗?怎样检验这种方法的可靠性?
为了验证这种确定事件发生的概率的方法的可靠性,历史上很多学者做过成千上万次抛均匀硬币的试验,得到的结果如下表所示.
| 试验者 | 抛郑次数 $n$ | 正面向上次数 $m$ | 正面向上频率 $\frac{m}{n}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 棣莫弗 | 2048 | 1061 | 0.5181 |
| 布丰 | 4040 | 2048 | 0.5069 |
| 费勒 | 10000 | 4979 | 0.4979 |
| 皮尔逊 | 12000 | 6019 | 0.5016 |
| 皮尔逊 | 24000 | 12012 | 0.5005 |
抛均匀硬币观察朝上的面时,利用古典概型可算得正面朝上的概率为 $\frac{1}{2}$,不难看出,以上学者们所得到的频率值,都可以较好地作为正面朝上的概率的近似值.
事实上,大数定律能够保证,在大量重复的试验过程中,一个事件发生的频率会很接近于这个事件发生的概率,而且,试验的次数越多,频率与概率之间差距很小的可能性越大.
一般地,如果在 $n$ 次重复进行的试验中,事件 $A$ 发生的频率为 $\frac{m}{n}$,则当 $n$ 很大时,可以认为事件 $A$ 发生的概率 $P(A)$ 的估计值为 $\frac{m}{n}$. 不难看出,此时也有
$$
0 \leqslant P(A) \leqslant 1,$$
而且,可以验证,此时两对立事件的概率和为 1 以及互斥事件的概率加法公式等概率的性质也成立.
这种确定概率估计值的方法称为用频率估计概率,在实践中人们经常采用这种方法来估计事件发生的概率.
例 1 为了确定某类种子的发芽率,从一大批这类种子中随机抽取了 2000 粒试种,后来观察到有 1806 粒发了芽,试估计这类种子的发芽率. 解因为
$$
\frac{1806}{2000}=0.903
$$
所以估计这类种子的发芽率为 0.903 .
不难看到,在用频率估计概率时，不同的试验结果可能会产生不同的估计值. 例如,如果例 1 中观察到了 1810 粒种子发了芽,那么得到种子发芽率的估计值将为
$$
\frac{1810}{2000}=0.905
$$
需要注意的是,这种现象是正常的. 这就像给定一条线段,谁也不会怀疑它有一个“客观” 的长度,但这个长度是多少呢?我们可以用精确度不同的尺或仪器去测量,也可以由不同的人去测量,但不论尺或仪器多么精确,测量的人多么认真,测得的数值可能不会完全相同,但一定都是“客观” 长度的近似值.
需要注意的是,即使我们估计出了发芽率为 0.903 （或 0.905 ),我们也不能指望下一次种 10000 粒种子时,得到发芽的种子正好为 9030 （或 9 050）粒,而只能说发芽的种子接近 9030 粒（或 9050 粒).
例 22013 年，北京地区拥有科普人员 48800 人，其中，科普专职人员 7727 人，其余均为科普兼职人员. 2013 年 9 月的科普日活动中，到某大学附属中学宣讲科普知识的是科普人员张明，估计张明是科普专职人员的概率（精确到 0.01 ).
解可以算得，2013 年北京地区科普专职人员占所有科普人员的比例为
$$
\frac{7727}{48800} \approx 0.16
$$
因此张明是科普专职人员的概率可估计为 0.16 .
例 3 某女篮运动员统计了她最近几次参加比赛投篮的得分情况,得到的数据如下表所示.
| 投篮次数 | 投中两分的次数 | 投中三分的次数 |
| :---: | :---: | :---: |
| 75 | 45 | 12 |
注: 每次投篮,要么得两分,要么得三分,要么没投中.
记该女篮运动员在一次投篮中,投中两分为事件 $A$,投中三分为事件 $B$，没投中为事件 $C$,试估计 $P(A),P(B),P(C)$.
解因为
$$
\frac{45}{75}=0.6,\frac{12}{75}=0.16
$$
所以可以估计
$$
P(A)=\underline{1} \quad,P(B)=\underline{2}
$$
注意到 $C=\overline{A+B}$,而且 $A$ 与 $B$ 互斥,因此估计
$$
\begin{aligned}
P(C) & =1-P(A+B) \\
& =1-P(A)-P(B) \\
& =3 .
\end{aligned}
$$
例 3 中,$P(C)$ 还有其他算法,请读者自行尝试.
例 4 为了了解某次数学考试全校学生的得分情况,数学老师随机选取了若干名学生的成绩,并以 $[50,60),[60,70),\cdots,[90,100]$ 为分组,作出了如图 5-3-12 所示的频率分布直方图. 从该学校中随机选取一名学生,估计这名学生该次数学考试成绩在 $[90,100]$ 内的概率.
图 5-3-12
解由频率分布直方图可以看出,所抽取的学生成绩中,在 $[90$,100] 内的频率为
$$
0.01 \times(100-90)=0.1 \text {. }
$$
因为由样本的分布可以估计总体的分布,所以全校学生的数学得分在 $[90,100]$ 内的频率可以估计为 4
根据用频率估计概率的方法可知,随机选取一名学生,这名学生该次数学考试成绩在 $[90,100]$ 内的概率可以估计为 5
## 探索与研究
已知某彩票的中类概率为 $\frac{1}{1000}$,这是否意味着买了 1000 张彩票就一定能中奖?
试分析各种可能的情况 (例如彩票总数正好为 1000 和超过 1000 等),给这个问题一个比较完善的解答.
## 日 2. 用信息技术模拟抛硬币和掷股子
利用计算机软件生成随机数的函数,可以模拟抛均匀硬币和郑均匀骰子的试验,从而可以帮助我们更好地理解用频率估计概率的合理性.
例如,如果用 1 表示出现正面,0 表示出现反面,则在 Excel 中可用函数 RANDBETWEEN 来模拟抛均匀硬币. 图 5-3-13 是模拟的结果,其中产生数据的每个单元格输人的都是“=RANDBETWEEN $(0,1)$ ”.
用 RANDBETWEEN 也可以模拟郑均匀骰子的试验,只不过在每个单元格输人的公式应为“=RANDBETWEEN $(1,6)$ ).
当然,用类似方法可以模拟生活中的随机试验,从而得到相关随机事件发生的概率.
图 5-3-13
## 练习 $A$
(1) 学生甲在用频率估计事件 $A$ 发生的概率时,算得事件 $A$ 发生的概率 $P(A)=$ 1.1,学生乙看了后说:“你一定算错了!”乙的依据是什么?
(2) 从一堆苹果中任取 10 个,称得它们的质量如下 (单位: $\mathrm{g}$ ):
$125,120,122,105,130,114,116,95,120,134$.
从这一堆苹果中,随机抽出一个,则得到的苹果质量落在 $[114.5,124.5]$ 内的概率可估计为多少?(3) 某篮球运动员的投篮命中率是 $90 \%$,有同学的理解是：这名运动员如果投篮 100 次，则一定有 90 次投中，10 次没投中. 这种理解对吗?为什么?
(4) 抛一枚均匀的硬币,连续 5 次都是正面朝上,小华认为抛下一次时,反面朝上的概率大于 $\frac{1}{2}$,你同意吗?为什么?
(5) 统计全班同学的生日所在的月份,将数据填入下表:
| 月份 | 1 月 | 2 月 | 3月 | 4 月 | 5 月 | 6 月 | 7 月 | 8 月 | 9 月 | 10 月 | 11 月 | 12 月 | 合计 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 频数 | | | | | | | | | | | | | |
| 频率 | | | | | | | | | | | | | |
由此你能得到什么结论?
## 练习 $\mathrm{B}$
(1) 从用频率估计概率的方法说明:
（1）不可能事件的概率是 0;
(2) 必然事件的概率是 1 .
(2) 某射击手在同一条件下进行射击训练,结果如下:
| 射击次数 $n$ | 10 | 20 | 50 | 100 | 200 | 500 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 击中靶心次数 $m$ | 8 | 19 | 44 | 92 | 178 | 455 |
| 击中靶心频率 $\frac{m}{n}$ | | | | | | |
（1）求出表中击中靶心的各个频率值;
（2）这个射击手射击一次,击中靶心的概率可估计为多少?
(3) 将一个均匀的骰子郱 600 次,则出现的点数大于 2 的次数大约为多少?一定会出现这么多次吗?
(4) 某盒子内装有三种颜色的玻璃球,一位同学每次从中随机拿出一个玻璃球,观察颜色后再放回,重复了 50 次,得到的信息如下：观察到红色 26 次、蓝色 13 次. 如果从这个盒子内任意取一个玻璃球,估计:
(1) 这个球既不是红色也不是蓝色的概率;
(2) 这个球是红色或者是蓝色的概率.
10.6
20.16
30.24
0.1
50.1
### 5 随机事件的独立性
## 尝试与发现
五一劳动节学校放假三天,甲、乙两名同学都打算去敬老院做志愿者,甲同学准备在三天中随机选一天，乙同学准备在前两天中随机选一天. 记事件 $A$：甲选的是第一天,$B$：乙选的是第一天.
（1）直觉上，你觉得 $A$ 事件是否发生会影响 $B$ 事件发生的概率吗?
(2) 求出 $P(A),P(B),P(A B)$ 的值，观察这三个值之间的关系.
尝试与发现中，如果用 $(i,j)$ 表示甲选的是第 $i$ 天，乙选的是第 $j$ 天，则样本空间可以记为
$$
\Omega=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)\} \text {,}
$$
共包含 6 个样本点.
又因为
$$
\begin{aligned}
& A=\{(1,1),(1,2)\},\\
& B=1
\end{aligned}
$$
所以，可以算出
$P(A)=2$,$P(B)=3$
,$P(A B)=4$
一般地，当
$$
P(A B)=P(A) P(B)
$$
时，就称事件 $A$ 与 $B$ 相互独立（简称独立）. 事件 $A$ 与 $B$ 相互独立的直观理解是,事件 $A$ 是否发生不会影响事件 $B$ 发生的概率,事件 $B$ 是否发生也不会影响事件 $A$ 发生的概率.
可以证明,如果事件 $A$ 与 $B$ 相互独立,则 $\bar{A}$ 与 $B,A$ 与 $\bar{B},\bar{A}$ 与 $\bar{B}$ 也相互独立.
例 1 甲、乙两人各掷一个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件 $A$：甲得到的点数为 $2,B ＼mathrm{~ ～ 乙得到的点数为奇数 . ~}$
(1) 求 $P(A),P(B),P(A B)$,判断事件 $A$ 与 $B$ 是否相互独立;
(2) 求 $P(\bar{A} B)$.
解如果用 $(i,j)$ 表示甲得到的点数为 $i$,乙得到的点数为 $j$,则样本空间可以记为
$$
\Omega=\{(i,j) \mid i,j=1,2,3,4,5,6\},$$
而且这个样本空间可用图 5-3-14 直观表示.
(1) 不难看出,图 5-3-14 中,橙色框中的点代表事件 $A$,绿色框中的点代表事件 $B$.
因此,可以算出
$P(A)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6},P(B)=\frac{18}{36}=\frac{1}{2}$.
又因为 $A B=\{(2,1),(2,3)$,$(2,5)\}$,所以
图 5-3-14
$$
P(A B)=\frac{3}{36}=\frac{1}{12} .
$$
因为 $P(A B)=P(A) P(B)$,所以 $A$ 与 $B$ 相互独立.
(2) 由 $A$ 与 $B$ 相互独立可知,$\bar{A}$ 与 $B$ 也相互独立,因此
$$
P(\bar{A} B)=P(\bar{A}) P(B)=[1-P(A)] P(B)=\left(1-\frac{1}{6}\right) \times \frac{1}{2}=\frac{5}{12} .
$$
因为“$A$ 与 $B$ 相互独立” 是“$P(A B)=P(A) P(B)$ ” 的充要条件,所以如果已知两个事件是相互独立的,则由它们各自发生的概率可以迅速得到它们同时发生的概率. 在实际问题中,我们常常依据实际背景去判断事件之间是否存在相互影响,若认为事件之间没有影响,则认为它们相互独立.
例 2 已知甲运动员的投篮命中率为 0.7,乙运动员的投篮命中率为 0.8 .
（1）若甲、乙各投篮一次，则都命中的概率为多少?
（2）若甲投篮两次，则恰好投中一次的概率为多少?
解 (1) 记事件 $A$ : 甲投中,$B$ : 乙投中,因为 $A$ 与 $B$ 相互独立,所以
$$
P(A B)=P(A) P(B)=0.7 \times 0.8=0.56 \text {,}
$$
即都命中的概率为 0.56 .
(2) 记事件 $A_{i}$ : 甲第 $i$ 次投中,其中 $i=1,2$,则
$$
P\left(A_{1}\right)=P\left(A_{2}\right)=0.7 \text {. }
$$
恰好投中一次,可能是第一次投中且第二次没投中,也可能是第一次没投中且第二次投中，即
$$
A_{1} \overline{A_{2}}+\overline{A_{1}} A_{2},$$
注意到 $A_{1}$ 与 $A_{2}$ 相互独立,且 $A_{1} \overline{A_{2}}$ 与 $\overline{A_{1}} A_{2}$ 互斥,因此
$$
\begin{aligned}
P\left(A_{1} \overline{A_{2}}+\overline{A_{1}} A_{2}\right) & =P\left(A_{1} \overline{A_{2}}\right)+P\left(\overline{A_{1}} A_{2}\right) \\
& =P\left(A_{1}\right) P\left(\overline{A_{2}}\right)+P\left(\overline{A_{1}}\right) P\left(A_{2}\right)
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
& =P\left(A_{1}\right)\left[1-P\left(A_{2}\right)\right]+\left[1-P\left(A_{1}\right)\right] P\left(A_{2}\right) \\
& =0.7 \times(1-0.7)+(1-0.7) \times 0.7 \\
& =0.42 .
\end{aligned}
$$
两个事件相互独立的概念也可以推广到有限个事件,即“$A_{1},A_{2},\cdots$,$A_{n}$ 相互独立” 的充要条件是“其中任意有限个事件同时发生的概率都等于它们各自发生的概率之积”. 多个事件独立具有与两个事件独立类似的性质. 例如,如果 $A_{1},A_{2},A_{3}$ 相互独立,则 $\bar{A}_{1},A_{2},A_{3}$ 也相互独立等.
例 3 某同学在参加一次考试时,有三道选择题不会,每道选择题他都随机选了一个答案,且每道题他猜对的概率均为 $\frac{1}{4}$.
(1) 求该同学三道题都猜对的概率;
(2) 求该同学至少猜对一道题的概率.
解记事件 $A_{i}$：该同学第 $i$ 题猜对了,其中 $i=1,2,3$,则
$$
P\left(A_{1}\right)=P\left(A_{2}\right)=P\left(A_{3}\right)=\frac{1}{4} \text {. }
$$
（1）三道题都猜对可以表示为 $A_{1} A_{2} A_{3}$,又因为 $A_{1},A_{2},A_{3}$ 相互独立,所以
$$
P\left(A_{1} A_{2} A_{3}\right)=P\left(A_{1}\right) P\left(A_{2}\right) P\left(A_{3}\right)=\frac{1}{4} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{4}=\frac{1}{64} .
$$
（2）“至少猜对一道题” 的对立事件是“三道都猜错”，后者可以表示为 $\overline{A_{1}} \overline{A_{2}} \overline{A_{3}}$,所以
$$
P\left(\overline{A_{1}} \overline{A_{2}} \overline{A_{3}}\right)=P\left(\overline{A_{1}}\right) P\left(\overline{A_{2}}\right) P\left(\overline{A_{3}}\right)=\left(1-\frac{1}{4}\right)^{3}=\frac{27}{64}
$$
因此所求概率为
$$
1-P\left(\overline{A_{1}} \overline{A_{2}} \overline{A_{3}}\right)=1-\frac{27}{64}=\frac{37}{64}
$$
应当注意的是,例 3 的（2）也可不借助对立事件来求,但那样的话会比较烦琐,请读者自行尝试.
## 练习A
(1) 掷一个均匀的骰子，设事件 $A$ 为“掷出的点数小于 4 ”,$B$ 为“掷出 1 点或 6 点”，判断事件 $A$ 与 $\bar{B}$ 是否独立.
(2) 已知甲运动员的投篮命中率为 0.7,若甲投篮两次,则其两次都没投中的概率为多少?
(3) 俗话说“三个臭皮匠,顶个诸芶亮”,从数学角度解释这句话的含义.
## 练习B
(1)从一副不含大小王的 52 张扑克牌中,任意抽出一张来,设事件 $A$ 为“抽到黑桃”,$B$ 为“抽到 $\mathrm{Q}$ ”,判断 $\bar{A}$ 与 $\bar{B}$ 是否相互独立.
(2) 已知甲运动员的投篮命中率为 0.7,若甲投篮两次,则其至少投中一次的概率为多少?
(3) 用定义与概率的性质证明,当事件 $A$ 与 $B$ 相互独立时,$\bar{A}$ 与 $B$ 也独立. （提示: $P(B)=P((\bar{A}+A) B)=P(\bar{A} B+A B)=P(\bar{A} B)+P(A B)$.
日4. 已知某人做某件事,成功的概率只有 0.1 . 用计算器计算,如果他尝试 10 次,而且每次是否成功都相互独立,则他至少有一次成功的概率为多少（精确到 0.01)?如果他尝试 20 次呢?如果要保证至少成功一次的概率不小于 $90 \%$,则他至少要尝试多少次?
$1(1,1),(2,1),(3,1)\}$
$2 \frac{1}{3}$
$3 \frac{1}{2}$
$4 \frac{1}{6}$
## 习题5-3A
(1) 从 20 位同学中随机抽取一名,已知抽到男生的概率为 0.3,求这 20 位同学中有多少男生.
(2) 从 $1,2,3,4,5$ 这 5 个数字中,任取两个数.
（1）用合适的符号写出样本空间;
(2) 求两个数都是奇数的概率.
(3) 将下列说法用概率的知识表达:
（1）一位工程师说，他们厂制造的节能灯，1000 个中平均有 950 个寿命不小于 $10000 \mathrm{~h}$;
（2）一位老农民说,十有八九要下雨了.
(4) 某同学参加科普知识竞赛,需回答 3 个问题. 假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为 $0.8,0.7,0.6$,且各题答对与否相互之间没有影响. 求这名同学答对第一题、第三题且答错第二题的概率.
(5) 已知某一天甲地降雨的概率是 0.2,乙地降雨的概率是 0.3,假定这一天两地是否降雨相互之间没有影响，求:
（1）甲乙两地都降雨的概率;（2）甲乙两地都不降雨的概率. (6) 已知事件 $A,B$ 相互独立,且 $P(A)=\frac{1}{2},P(B)=\frac{2}{3}$,求 $P(A \bar{B})$ 及 $P(\bar{A} \bar{B})$.
## 习题5-3B
(1) 某市公租房的房源位于甲、乙两个片区. 设每位申请人只申请其中一个片区的房源,且申请其中任一个片区的房源是等可能的,现该市有 3 位申请人在申请公租房:
（1）用合适的符号写出样本空间;（2）求没有人申请甲片区房源的概率;（3）求每个片区的房源都有人申请的概率.
(2) 从 $1,2,3,4,5,6$ 这六个数字中,每次任意取出一个数字,有放回地取两次. 设事件 $A$ 为“第一次取出的数字为 4 ”,$B$ 为“两次取出的数字之和等于 7 ””.
（1）用合适的符号写出样本空间;
(2) 判断 $A$ 与 $B$ 是否相互独立.
(3) 掷两个均匀的骰子,观察朝上的面的点数. 求点数之和为多少时概率最大.
(4) 某商场为了吸引大家,规定：购买一定价值的商品可以获得一张奖券,奖券上有一个兑奖号码,可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动. 已知甲有一张该商场的奖券,且每次兑奖活动的中奖概率都是 0.05,求:
（1）甲中两次奖的概率;
（2）甲中一次奖的概率;
（3）甲不中奖的概率.
(5) 已知事件 $A,B$ 相互独立,且 $P(A B)=\frac{1}{4},P(\bar{A} B)=\frac{9}{16}$,求 $P(A),P(B)$.
## 习题5-3C
(1) 已知事件 $A,B$ 相互独立,若事件 $A$ 发生的概率为 $p$,事件 $B$ 发生的概率为 $1-p$,试求 $A$ 与 $B$ 同时发生的概率的最大值.
(2) 有四张同样大小的卡片,上面标有数字,如图所示. 从这四张卡片中任抽一张,令事件 $A_{i}$ :
(第 2 题) $A_{1},A_{2},A_{3}$ 是否相互独立.
## 4 统计与概率的应用
利用统计和概率的知识,可以解决日常生活和其他学科中的一些难题,下面我们举例说明.
## 情境与问题
我国是一个人口众多、人均能源资源非常㔷乏的国家. 近些年来,随着经济的持续快速发展,能源的需求越来越大,电力消费也每年都在增长.
我国长期以来实行的是低电价政策,这有效地减轻了人们的负担. 然而,另外一方面,“5\%的高收入家庭消费了约 $24 \%$ 的电量,这就意味着低电价政策的福利更多地由高收入群体享受. 这既不利于社会公平,无形中也助长了电力资源的浪费”. 因此,“建立“多用者多付费,的阶梯价格机制,将有助于形成节能减排的社会共识，促进资源节约型、环境友好型社会的建设”.
某市准备实行阶梯电价,要求约 $75 \%$ 的居民用电量在第一阶梯内,约 $20 \%$ 的居民用电量在第二阶梯内,约 5\%的居民用电量在第三阶梯内. 该怎样确定阶梯电价的临界点呢?
不难知道,为了确定临界点,最理想的是首先获取该市所有居民的用电量,然后再将用电量按照从小到大的顺序排列,最后求出这组数的 $75 \%$ 分位数、$95 \%$ 分位数即可.
当然,一般情况下,要获取所有居民的用电量并不容易,此时,我们可以采用随机抽样和用样本估计总体的办法来解决问题.
例如，假设从该市抽取了 200 户居民的用电量 (单位: $\mathrm{kW} \cdot \mathrm{h}$ ),所得数据按从小到大排序如下.
$\begin{array}{rrrrrrrrrr}8 & 18 & 22 & 31 & 42 & 48 & 49 & 50 & 51 & 56 \\ 57 & 57 & 60 & 61 & 61 & 61 & 62 & 62 & 63 & 63 \\ 65 & 66 & 67 & 69 & 70 & 70 & 71 & 72 & 72 & 74 \\ 76 & 77 & 77 & 78 & 78 & 80 & 80 & 82 & 82 & 82 \\ 83 & 84 & 84 & 88 & 88 & 89 & 90 & 91 & 93 & 93 \\ 94 & 95 & 96 & 96 & 96 & 97 & 98 & 98 & 98 & 99 \\ 100 & 100 & 100 & 101 & 101 & 101 & 105 & 106 & 106 & 106\end{array}$
$\begin{array}{llllllllll}107 & 107 & 107 & 107 & 108 & 108 & 109 & 109 & 110 & 110 \\ 110 & 111 & 112 & 113 & 113 & 114 & 115 & 116 & 118 & 120 \\ 120 & 120 & 121 & 123 & 124 & 127 & 127 & 127 & 130 & 130 \\ 130 & 131 & 131 & 132 & 132 & 132 & 133 & 133 & 134 & 134 \\ 134 & 135 & 135 & 135 & 135 & 136 & 137 & 137 & 138 & 139 \\ 139 & 140 & 141 & 142 & 144 & 146 & 146 & 147 & 148 & 149 \\ 151 & 152 & 154 & 156 & 159 & 160 & 162 & 163 & 163 & 164 \\ 165 & 167 & 169 & 170 & 170 & 172 & 174 & 174 & 177 & 178 \\ 178 & 180 & 182 & 182 & 187 & 189 & 191 & 191 & 192 & 194 \\ 194 & 200 & 201 & 201 & 202 & 203 & 203 & 206 & 208 & 212 \\ 213 & 214 & 216 & 223 & 224 & 237 & 247 & 250 & 250 & 251 \\ 253 & 254 & 258 & 260 & 265 & 274 & 274 & 283 & 288 & 289 \\ 304 & 319 & 320 & 324 & 339 & 462 & 498 & 530 & 542 & 626\end{array}$
因为
$$
200 \times 75 \%=150
$$
所以 $75 \%$ 分位数可取为第 150 个数与第 151 个数的算术平均值,即
$$
\frac{178+178}{2}=178
$$
又因为
$$
200 \times 95 \%=190
$$
所以 $95 \%$ 分位数可取为第 190 个数与第 191 个数的算术平均值,即
$$
\frac{289+304}{2}=296.5
$$
根据计算结果和用样本估计总体的思想可知,用电量数值在 $(0,178]$ 内为第一阶梯,在 $(178,296.5]$ 内为第二阶梯,在 $(296.5,+\infty)$ 为第三阶梯.
## 情境与问题
为了更好地做好鱼食的采购,某池塘的负责人想知道自己的池塘里大概有多少条鱼，你有什么好办法吗?
作为模拟,我们可以思考一个类似的问题：已知一个盒子里装有若干个小玻璃球,在不容许将玻璃球一一拿出来数的情况下,怎样才能估计出玻璃球的个数?
利用统计与概率的知识,可以这样来估计.
再往盒子里放人 $m$ 个带有标记的玻璃球,充分搅拌盒子里的玻璃球之后,从盒子里取出 $n$ 个玻璃球,数出其中带有标记的球的个数,记为 $k$. 由此可知,从搅拌后的盒子中随机取出一个球,得到的是有标记的球的概率可以估计为 $\frac{k}{n}$.
另外,如果设盒子中原有的玻璃球个数为 $x$,则从搅拌后的盒子中随机取出一个球，得到的是有标记的球的概率为 $\frac{m}{x+m}$.
由
$$
\frac{m}{x+m} \approx \frac{k}{n}
$$
可得
$$
x \approx m\left(\frac{n}{k}-1\right)
$$
上述情境中的问题也可以用类似的办法解决,请读者自行叙述解决过程.
## 情境与问题
人们在接受问卷调查时,通常并不愿意如实回答较为敏感的问题. 例如,对于问题“捡到东西后是否有留下来的行为”,有些人会有说了实话会被人看不起的顾虑;再比如,直接问运动员们是否服用过兴奋剂,一般也难以得到真实的数据. 怎样才能让人们打消顾虑如实回答敏感问题呢?你能想出好办法吗?
下面是一种能解决此类问题的问卷样式.
在回答问题前,请自行抛一个硬币: 如果得到正面,请按照问题一勾选答案;如果得到反面,请按照问题二勾选答案. (友情提示: 为了不泄露您的隐私,请不要让其他人知道您抛硬币的结果. )
问题一：您的身份证号码倒数第二个数是奇数吗?
问题二：捡到东西后是否有留下来的行为?
口是 $\quad$ 口否
你看出了这个问卷的特别之处吗?因为只有答题人自己知道其回答的是哪个题，所以答题人就不会有顾虑了!
对于收集数据的人来说,如果收回的 200 份问卷里,有 62 份答“是”,那么有多少人回答了问题二?其中又有多少人答“是”呢?
由于抛硬币得到正面的概率为 $\frac{1}{2}$,因此可估计出回答问题一的人数为
$$
200 \times \frac{1}{2}=100
$$
又因为身份证号码倒数第二个数是奇数与是偶数的概率都可认为是 $\frac{1}{2}$,所以回答了问题一的人中，答“是” 的人数可估计为 $100 \times \frac{1}{2}=50$. 由此可得,大约有 100 人回答了问题二，其中约有 $62-50=12$ 人答“是”. 也就是说,捡到东西后有留下来的行为的比例约为 $12 \%$.
例 1 一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子（一张卡片的两面都是绿色,一张卡片的两面都是蓝色,还有一张卡片一面是绿色,另一面是蓝色),跟乙说玩一个游戏,规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后,由乙随机抽出一张卡片放在桌子上,然后卡片朝下的面的颜色决定胜负,如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜色一致,则甲赢,否则甲输.
乙对游戏的公平性提出了质疑，但是甲说：“当然公平！你看，如果朝上的面的颜色为绿色,则这张卡片不可能两面都是蓝色,因此朝下的面要么是绿色,要么是蓝色,因此,你赢的概率为 $\frac{1}{2}$,我赢的概率也是 $\frac{1}{2}$,怎么不公平?”
分析这个游戏是否公平.
解 （方法一）把卡片六个面的颜色记为
$$
\mathrm{G}_{1},\mathrm{G}_{2},\mathrm{G}_{3},\mathrm{~B}_{1},\mathrm{~B}_{2},\mathrm{~B}_{3} \text {,}
$$
其中,$\mathrm{G}$ 表示绿色，$\mathrm{B}$ 表示蓝色;$\mathrm{G}_{3}$ 和 $\mathrm{B}_{3}$ 是两面颜色不一样的那张卡片的颜色.
游戏所有的结果可以用如图 5-4-1 表示.
图 5-4-1
不难看出,此时,样本空间中共有 6 个样本点,朝上的面与朝下的面颜色不一致的情况只有 2 种,因此乙赢的概率为 $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.
因此，这个游戏不公平.
（方法二）把三张卡片分别记为
$$
\mathrm{G},\mathrm{B},\mathrm{M}
$$
其中,$\mathrm{G}$ 表示两面都是绿色的卡片,$\mathrm{B}$ 表示两面都是蓝色的卡片,$\mathrm{M}$ 表示一面是绿色另一面是蓝色的卡片.
考虑乙抽取到的卡片只有三种可能,而且只有抽到 $M$ 乙才能赢,所以乙赢的概率为 $\frac{1}{3}$.
因此,这个游戏不公平.
例 2 某厂家声称自己的产品合格率为 $95 \%$,市场质量管理人员抽取了这个厂家的 3 件产品进行检验,发现 3 件都不合格,厂家所声称的合格率可信吗?
解如果产品合格率为 $95 \%$,则随机抽取一件产品,不合格的概率应为 $1-95 \%=5 \%$.
此时,随机抽取 3 件,都不合格的概率为
$$
5 \% \times 5 \% \times 5 \%=0.0125 \% \text {. }
$$
也就是说,如果厂家所声称的产品合格率可信,那么就发生了一件可能性只有 $0.0125 \%$ 的事!但是,一件概率只有 $0.0125 \%$ 的事是不太可能发生的,因此有理由怀疑,厂家所声称的合格率是不可信的.
例 3 人的卷舌与平舌 (指是否能左右卷起来) 同人的眼皮单双一样,也是由遗传自父母的基因决定的,其中显性基因记作 $D$,隐性基因记作 $\mathrm{d}$;成对的基因中,只要出现了显性基因,就一定是卷舌的（这就是说,“卷舌” 的充要条件是“基因对是 $\mathrm{DD},\mathrm{dD}$ 或 Dd”). 同前面一样,决定眼皮单双的基因仍记作 B (显性基因）和 $\mathrm{b}$ (隐性基因).
有一对夫妻,两人决定舌头形态和眼皮单双的基因都是 $\mathrm{DdBb}$,不考虑基因突变,求他们的孩子是卷舌且单眼皮的概率. (有关生物学知识表明：控制上述两种不同性状的基因遗传时互不干扰. )
解 (方法一) 根据题意,这对夫妻孩子的决定舌头形态和眼皮单双的基因的所有可能可以用图 5-4-2 表示.
图 5-4-2
不难看出,样本空间中共包含 16 个样本点,其中表示卷舌且单眼皮的是
DDbb,Ddbb,dDbb
因此,所求概率为 $\frac{3}{16}$.
（方法二）先考虑孩子是卷舌的概率.
所有的情况可用图 5-4-3 表示,由图可以看出,孩子是卷舌的概率为 $\frac{3}{4}$.
图 5-4-3
同理,孩子是双眼皮的概率为 $\frac{3}{4}$,因此是单眼皮的概率为 $1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$.
由于不同性状的基因遗传时互不干扰,也就是说是否为卷舌与是否为单眼皮相互独立,因此是卷舌且单眼皮的概率为
$$
\frac{3}{4} \times \frac{1}{4}=\frac{3}{16} .
$$
## 习题5-4A
(1) 某地区想实行阶梯电价,经调查发现,该地区居民用电量信息如下.
| 分位数 | $50 \%$ 分位数 | $70 \%$ 分位数 | $80 \%$ 分位数 | $90 \%$ 分位数 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 用电量 $/(\mathrm{kW} \cdot \mathrm{h})$ | 160 | 176 | 215 | 230 |
如果要求约 $70 \%$ 的居民用电量在第一阶梯内,约 20\%的居民用电量在第二阶梯内,该怎样确定阶梯电价的临界点?
(2) 某盒子中有若干白色的围棋子,为了估计其中围棋子的数目,小明将 100 颗黑色的围棋子放入了其中,充分搅拌后随机抽出了 30 颗,数得其中有 6 颗黑色的围棋子,试根据这些信息估计白色围棋子的数目.
(3) 某厂家声称自己的产品合格率为 $99 \%$,市场质量管理人员抽取了这个厂家的 2 件产品进行检验,发现都不合格,厂家所声称的合格率可信吗?
(4) 某水产试验场实行某种鱼的人工餒化,10000 个鱼卵綒出了 8513 尾鱼苗,据此解答下列问题:
（1）这种鱼卵的艀化概率可估计为多少?
（2） 30000 个鱼卵大约能綒化多少尾鱼苗?
(3) 要艀化 5000 尾鱼苗,大概得备多少鱼卵 (精确到百位)?
(5) 已知甲、乙、丙三人的投篮命中率分别为 $0.8,0.7,0.5$,如果他们三人每人投篮一次，则 :
(1) 三人都命中的概率是多少?
（2）恰有一人命中的概率是多少?
## 习题5-4B
(1) 某险种的基本保费为 $a$ (单位：元),继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下.
| 上年度出险次数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | $\geqslant 5$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 保费 | $0.85 a$ | $a$ | $1.25 a$ | $1.5 a$ | $1.75 a$ | $2 a$ |
随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表.
| 上年度出险次数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | $\geqslant 5$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 频数 | 60 | 50 | 30 | 30 | 20 | 10 |
（1）记 $A$：一续保人本年度的保费不高于基本保费,求 $P(A)$ 的估计值;
（2）记 $B$：一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 $160 \%$,求 $P(B)$ 的估计值.
(2) 甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是,甲队只要再赢一局就获得冠军,乙队需要再赢两局才能获得冠军. 若两队的水平相当,求甲队获得冠军的概率.
(3) 某项选拔共有四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为 $\frac{4}{5},\frac{3}{5},\frac{2}{5},\frac{1}{5}$,且各轮问题能否回答正确互不影响.
（1）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率;
（2）求该选手至多进入第三轮考核的概率.
(4) 甲、乙、芮三台机床各自独立地加工同一种零件,已知甲机床加工的零件是一等品且乙机床加工的零件不是一等品的概率为 $\frac{1}{4}$,乙机床加工的零件是一等品且丙机床加工的零件不是一等品的概率为 $\frac{1}{12}$,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为 $\frac{2}{9}$.
（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率;
（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,求至少有一个一等品的概率.
(5) 学校要从甲、乙、丙三名同学中选取两名去参加物理竞赛,因为他们的水平相当,所以准备采取抽签的方式决定. 学校制作了三个签,其中两个写有“参赛”,一个写有“不参赛”。抽签时,由甲先抽,然后乙抽,最后丙抽. 记事件 $A$：甲抽中“参赛”,$B$：乙抽中“参赛”,判断 $A,B$ 是否相互独立，并说明理由.
## 本章小结
## 1 知识结构图设计与交流
本章的统计部分我们首先了解了有关抽样的知识,包括简单随机抽样、分层抽样,并学习了数据的数字特征,包括最值、平均数、方差、中位数、百分位数、众数、极差等,还了解了用图表表示统计数据的方法,以及用样本估计总体的方法.
概率部分了解了样本空间、事件以及事件发生的概率，包括事件之间的运算以及对应的概率之间的关系,还探讨了确定随机事件发生的概率的方法,即通过古典概型来计算概率或用频率来估计概率,最后学习了事件的独立性及有关概率的计算.
由此可作出本章的知识结构图主干部分如下. 请按照自己的理解,填写更多细节的内容吧!
抽样方法
简单随机抽样、分层抽样
## 数据的数字特征
数据的直观表示
用样本估计总体样本空间
事件及其概率
确定事件概率的方法
事件的独立性
当然,我们也可作出其他形式的知识结构图,请大家自己尝试.
## 2 课题作业
(1) 统计与概率虽然联系紧密,但是它们的发展史并不相同. 实际上,统计起源于团体的管理,而概率论发源于赌博问题的研究.
查阅有关资料,了解统计与概率的发展史,写成演讲材料,并与同学交流.
（2）习惯上,由古典概型计算得到的概率称为古典概率,由频率估计得到的概率称为经验概率,这两种概率统称为客观概率.
我们已经知道,要得到古典概率,必须首先有古典概型;要得到经验概率,得做多次试验或者利用已有的经验数据. 然而,对于有一些随机事件而言,既不能建立古典概型,也没有相关的经验数据可用,更不可能重复做多次试验,这时,可以怎样确定这些随机事件的概率呢?
在这种情况下,有人提出,可以充分利用已有的所有观点和信息,给出随机事件概率的一个估计值一也就是主观上相信该事件会发生的程度的数字度量,这样得到的概率通常称为主观概率.
例如,在参加特定的考试之前,你往往能够根据自己平常的表现,以及对考试难度的了解,来给出通过考试的概率值,这个概率值就是主观概率.
又如,一个人如果认为存在外星人的概率为 0.000 01,那么这个概率也是主观概率,它表示的是这个人很不相信外星人存在,但也没有绝对否认外星人的存在.
查阅书籍和网络,了解更多有关主观概率的内容,并整理成小论文,与同学一起交流.
## 复习题
## $\mathbf{A}$ 组
1. 有参加夏令营的 500 名学生,他们的编号分别为 $001,002,\cdots,500$,这 500 名学生住在三个营区,其中 001 200 在第一营区,201 350 在第二营区,351～500 在第三营区. 若准备采用分层抽样的方法从这些学生中抽取一个容量为 50 的样本,求每个营区应抽取的人数.
2. 某小卖部记录的一周内卖出的不同品牌饮料的销售量如下表所示,选择合适的统计图表表示这组数.
| 饮料品牌 | $\mathrm{A}$ | $\mathrm{B}$ | $\mathrm{C}$ | $\mathrm{D}$ | $\mathrm{E}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 销售量/瓶 | 56 | 20 | 67 | 73 | 12 |
3. 2015 年,我国共有 321 个地级及以上城市开展了昼间区域声环境质量监测. 其中,昼间区域声环境质量达到一级的城市为 13 个,占 $4.05 \%$;二级的城市为 220 个,占 $68.54 \%$;三级的城市为 84 个,占 $26.17 \%$;四级的城市为 3 个,占 $0.93 \%$;五级的城市为 1 个,占 $0.31 \%$. 说明上述信息可以用什么统计图表直观表示.
4. 已知 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$ 的平均数为 3,标准差为 2,求 $5 x_{1}+2,5 x_{2}+2,\cdots$,$5 x_{n}+2$ 的平均数与方差.
5. 农科院的专家为了了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况,从种植有甲、乙两种麦苗的两块试验田中各抽取 6 株麦苗测量株高,得到的数据如下 (单位: $\mathrm{cm}$ ):
甲：$9,10，11,12，10，20$;乙: $8,14,13,10,12,21$.
（1）选择合适的统计图表表示上述数据;
（2）分别计算两组数据的平均数与方差,并由此判断甲、乙两种麦苗的长势情况.
6. 已知甲、乙、丙、丁四名射击选手在选拔赛中所得的平均环数 $\bar{x}$ 及方差 $s^{2}$ 如下表所示,如果只能选一人参加决赛,你认为最佳人选是谁?为什么?
| 选手 | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $\bar{x}$ | 8 | 9 | 9 | 10 |
| $s^{2}$ | 6.3 | 6.3 | 7 | 8.7 |
7. 随机地排列数字 $1,5,6$,得到一个三位数:
（1）写出样本空间;
(2) 求所得的三位数大于 400 的概率;
(3) 求所得的三位数是偶数的概率.
8. 某金融公司投资失败的概率只有 $5 \%$,如果这家公司连续投资 5 次,且每次是否成功相互独立,求这 5 次投资都成功的概率.
## B 组
1. 已知甲、乙两组数据可以整理成如图所示的茎叶图,分别求这两组数的中位数、$25 \%$ 分位数、$75 \%$ 分位数、平均数、方差.
2. 某班级某次数学测试的成绩可制成如下的频率
分布表,请根据该表估计出此次数学测试的平均分,并说明你的估计方法.
(第 1 题）
| 分组 | $[60,70)$ | $[70,80)$ | $[80,90)$ | $[90,100]$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 人数 | 5 | 15 | 20 | 10 |
| 频率 | 0.1 | 0.3 | 0.4 | 0.2 |
3. 如果 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$ 的平均数为 $\bar{x}$,即 $\bar{x}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}$,求证:
$$
\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}=\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-n \bar{x}^{2} \text {. }
$$
4. 在一次读书活动中,一位同学从 3 本不同的科技书和 2 本不同的文艺书中任选 2 本,求所选的书中既有科技书又有文艺书的概率. 5. 现有 8 名奥运会志愿者,其中志愿者 $\mathrm{A}_{1},\mathrm{~A}_{2},\mathrm{~A}_{3}$ 通晓日语,$\mathrm{B}_{1},\mathrm{~B}_{2},\mathrm{~B}_{3}$ 通晓俄语,$\mathrm{C}_{1},\mathrm{C}_{2}$ 通晓韩语. 从中随机选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名,组成一个小组.
(1) 求 $A_{1}$ 被选中的概率;
(2) 求 $\mathrm{B}_{1}$ 和 $\mathrm{C}_{1}$ 不全被选中的概率.
6. 一种电路控制器在出厂时,每 3 件一等品应装成一箱. 工人装箱时,不小心将 2 件二等品和 1 件一等品装入了一箱,为了找出该箱中的二等品,对该箱中的产品逐件进行测试. 假设检测员不知道该箱产品中二等品的具体数量,求:
（1）仅测试 2 件就找到全部二等品的概率;
(2) 测试的第 2 件产品是二等品的概率;
(3) 到第 3 次才测试出全部二等品的概率.
7. 近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 $1000 \mathrm{t}$ 生活垃圾. 数据统计如下（单位：t).
| |“厨余垃圾” 箱 |“可回收物” 箱 |“其他垃圾” 箱 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 厨余垃圾 | 400 | 100 | 100 |
| 可回收物 | 30 | 240 | 30 |
| 其他垃圾 | 20 | 20 | 60 |
(1) 试估计厨余垃圾投放正确的概率;
（2）试估计生活垃圾投放错误的概率;
（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为 $a,b,c$,其中 $a>0,a+b+c=600$,当数据 $a,b,c$ 的方差 $s^{2}$ 最大时,写出 $a,b,c$ 的值 (结论不要求证明),并求此时 $s^{2}$ 的值.
8. 已知 $\mathrm{A},\mathrm{B}$ 两组各有 7 位病人. 他们服用某种药物后的康复时间 (单位: 天) 记录如下：
$\mathrm{A}$ 组: $10,11,12,13,14,15,16$;
B 组: $12,13,15,16,17,14,a$.
假设所有病人的康复时间相互独立. 从 $\mathrm{A},\mathrm{B}$ 两组随机各选 1 人,$\mathrm{A}$ 组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙.
（1）求甲的康复时间不少于 14 天的概率;
（2）如果 $a=25$,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;
(3) 写出 $a$ 为何值时,A，B 两组病人康复时间的方差相等 (结论不要求证明). 9. 甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球. 约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球 3 次时投篮结束. 设甲每次投篮投中的概率为 $\frac{1}{3}$,乙每次投篮投中的概率为 $\frac{1}{2}$,且各次投篮互不影响.
（1）求乙获胜的概率;
(2) 求投篮结束时，乙只投了 2 个球的概率.
## $\mathrm{C}$ 组
1. 甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭 20 次,三人的测试成绩如下表所示.
| 甲的成绩 | | | | |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 环数 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 频数 | 5 | 5 | 5 | 5 |
| 乙的成绩 | | | | |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 环数 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 频数 | 6 | 4 | 4 | 6 |
| 丙的成绩 | | | | |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 环数 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 频数 | 4 | 6 | 6 | 4 |
用 $s_{1},s_{2},s_{3}$ 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差,将 $s_{1}$,$s_{2},s_{3}$ 按从小到大的顺序排列.
2. 甲、乙两人在 10 天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下，中间一列的数字表示零件个数的十位数,两边的数字表示零件个数的个位数. 记这 10 天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为 $\bar{x}_{1}$ 与 $\bar{x}_{2}$,求 $\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}$ 的值.
(第 2 题)
3. 某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表所示 (单位：人).
| | 参加书法社团 | 末参加书法社团 |
| :---: | :---: | :---: |
| 参加演讲社团 | 8 | 5 |
| 末参加演讲社团 | 2 | 30 |
（1）从该班随机选 1 名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率;
(2) 在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中,有 5 名男同学 $A_{1},A_{2}$,$\mathrm{A}_{3},\mathrm{~A}_{4},\mathrm{~A}_{5},3$ 名女同学 $\mathrm{B}_{1},\mathrm{~B}_{2},\mathrm{~B}_{3}$. 现从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人,求 $\mathrm{A}_{1}$ 被选中且 $\mathrm{B}_{1}$ 末被选中的概率. 形与数这两者并不是互相割裂的,早在产生数学的萌芽时期,就通过长度、面积与体积的度量而把形与数联系了起来 .
一一吴文俊
## 本章导语
你注意过吗?在描述天气的时候,温度和相对湿度都只要用一个实数就可以确切地表达,而风的确切描述,除了用一个实数说明“风力”外,还要给出“风向”,如图所示.
$\triangle$ 相对湿度 $29 \% \quad \cong$ 东南风 3级
类似有这样差别的量还有很多. 比如,房间的面积、一个储藏室的容积、一个人的身高、一个人的年龄等,用一个实数就能确切地表达;而物体的位移、物体运动的速度、作用在物体上的力等,这些量除了要知道它们的大小外,还必须知道它们的方向,才能确切地描述. 后面这些量,在数学中已经被抽象为向量.
你参加过拔河比赛吗?你在逆风中骑过自行车吗?当你迷路时,你如何走向目的地?在日常生活中,你会经常碰到向量,发现向量是很有用的知识. 向量除了在日常生活中有应用外,在数学的各个分支,例如平面几何、平面直角坐标系等中也都有着重要的应用;向量也是运动学、力学、电学、经济学等许多学科中不可缺少的数学工具.
这一章,我们将带领大家从实例出发,一步一步地把既有大小又有方向的量抽象为向量,并探究如何用数学符号确切地描述向量,再探究向量的运算与应用.
## 1 平面向量及其线性运算
### 1 向量的概念
## 1. 位移与向量
## 情境与问题
我们在物理学中已经学过位移的有关知识,知道位移是表示物体位置变化的物理量. 如图 6-1-1 所示,当物体从 $A$ 运动到 $B$ 时,不管沿着什么轨迹,它的位移都是一样的,即“向北 $300 \mathrm{~m}$ ”.
(1) 图 6-1-1 中，从 $B$ 到 $A$ 的位移是“1 ”，它与从 $A$ 到 $B$ 的位移有什么关系?
（2）怎样直观地表示位移?用你的方法表示出图 6-1-1 中从 $A$ 到 $B$,从 $A$ 到 $C$,从 $A$ 到 $D$ 的位移,说
图 6-1-1 出这三个位移之间的关系.
位移被“方向”和“距离”唯一确定，其中“距离”也称为位移的大小. 一般地,像位移这样既有大小又有方向的量称为向量 (也称为矢量),向量的大小也称为向量的模 (或长度);只有大小的量称为标量,长度、面积等都是标量.
我们知道，位移可以用带箭头的线段（即有向线段）来直观地表示. 类似地,我们也用有向线段来直观地表示向量,其中有向线段的长度表示向量的大小,有向线段箭头所指的方向表示向量的方向. 而且,通常将有向线段不带箭头的端点称为向量的始点 (或起点),带箭头的端点称为向量的终点. 有向线段始点和终点的相对位置确定向量的大小与方向. 始点为 $A$ 终点为 $B$ 的有向线段表示的向量,可以用符号简记为 $\overrightarrow{A B}$,此时向量的模用 $|\overrightarrow{A B}|$ 表示. 如图 6-1-2 中,向量 $\overrightarrow{A B}$ 与 $\overrightarrow{C D}$ 的方向相同,但是 $\overrightarrow{E F}$ 与它们的方向相反；假设每一小格的边长为 $1^{11}$,则
$$
|\overrightarrow{A B}|=|\overrightarrow{G H}|=2 \sqrt{2},|\overrightarrow{C D}|=|\overrightarrow{E F}|=2
$$
图 6-1-2
除了用始点和终点的两个大写字母来表示向量外,还可用一个小写字母来表示向量：在印刷时,通常用加粗的斜体小写字母如 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$ 等来表示向量 (如图 6-1-2 所示)；在书写时,用带箭头的小写字母如 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 等来表示向量. 此时,向量 $\boldsymbol{a}$ 的模也用 $|\boldsymbol{a}|$ 或 $|\vec{a}|$ 来表示.
始点和终点相同的向量称为零向量. 零向量在印刷时,通常用加粗的阿拉伯数字零表示,即 0;书写时,通常用带箭头的阿拉伯数字零表示,即 $\overrightarrow{0}$. 不难看出,零向量的模为 0,即
$$
|\mathbf{0}|=0
$$
零向量本质上是一个点,因此可以认为零向量的方向是不确定的. 模不为 0 的向量通常称为非零向量.
模等于 1 的向量称为单位向量. 这就是说,如果 $\boldsymbol{e}$ 是单位向量,则
$$
|e|=1
$$
反之也成立. 因此,$\boldsymbol{e}$ 是单位向量的充要条件是 $|\boldsymbol{e}|=1$.
例1 指出图 6-1-3 中,哪些是单位向量.
图 6-1-3
解不难看出
$$
|\boldsymbol{c}|=\sqrt{2},|\overrightarrow{E F}|=3
$$
且其余向量的模均为 1,因此单位向量有 4
(1) 如不特别声明,本章图中每一小格的边长均默认为 1,下同.
## 2. 向量的相等与平行
## 情境与问题
上体育课时,当某一排同学整理好队形,并执行完老师的口令“向前三步走,向右看齐”之后,同学们位移的方向是否相同?位移的大小是否相等?能否认为同学们的位移是相同的?
可以认为,情境中同学们位移的方向和大小都相等,即位移相同.
我们已经知道,向量既有大小又有方向. 一般地,把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量. 向量 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 相等,记作
$$
\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}
$$
## 尝试与发现
图 6-1-4 中，相等的向量有
$$
\boldsymbol{a}=\overrightarrow{E F},5
$$
图 6-1-4
例 2 如图 6-1-5,已知四边形 $A B C D$,则 $“\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{D C}$ " 是“四边形 $A B C D$ 为平行四边形” 的什么条件?
解如果 $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{D C}$,那就表示这两个向量的方向相同而且大小相等,由图可知
图 6-1-5
因此四边形 $A B C D$ 为平行四边形.
反之,如果四边形 $A B C D$ 为平行四边形,则,因此由图可知 $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{D C}$.
综上,$“\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{D C}$ ” 是“四边形 $A B C D$ 为平行四边形” 的充要条件.
例 3 如图 6-1-6 所示,$O$ 是正六边形 $A B C D E F$ 的中心,以图中字母为始点或终点,分别写出与向量 $\overrightarrow{O A},\overrightarrow{O B},\overrightarrow{O C}$ 相等的向量.
解因为两个向量相等,只要方向相同大小相等即可,所以
$$
\overrightarrow{O A}=\overrightarrow{D O}=\overrightarrow{E F}=\overrightarrow{C B} \text {,}
$$
$$
\begin{aligned}
& \overrightarrow{O B}=\overrightarrow{E O}=\overrightarrow{F A}=\overrightarrow{D C},\\
& \overrightarrow{O C}=\overrightarrow{F O}=\overrightarrow{E D}=\overrightarrow{A B} .
\end{aligned}
$$
如果两个非零向量的方向相同或者相反,则称这两个向量平行. 因为零向量的方向不确定,所以通常规定零向量与任意向量平行. 两个向量 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 平行,记作 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$. 两个向量平行也称为两个向量共线.
例 4 如图 6-1-7 所示,找出其中共线的
图 6-1-6
向量,并写出共线向量模之间的关系.
图 6-1-7
解不难看出
$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{a} / / \boldsymbol{c} \text { 且 }|\boldsymbol{a}|=\frac{1}{2}|\boldsymbol{c}|,\\
& \boldsymbol{b} / / \boldsymbol{d} \text { 且 } 6 \\
& \boldsymbol{e} / / \boldsymbol{f} \text { 且 } 7
\end{aligned}
$$
## 练习A
(1) 已知 $A,B$ 是平面上两个不同的点,指出向量 $\overrightarrow{A B},\overrightarrow{B A}$ 方向与大小之间的关系.
(2) 已知 $D,E,F$ 分别为 $\triangle A B C$ 各边 $A B,B C,C A$ 的中点,以图中字母为始点或终点,分别写出与向量 $\overrightarrow{D E},\overrightarrow{E F},\overrightarrow{F D}$ 相等的向量.
(3) 已知 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 都是单位向量,那么 $\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$ 一定成立吗?
(第 2 题) 为什么?
## 练习B
(1) 如图,某人上午从 $A$ 到达了 $B$,下午从 $B$ 到达了 $C$,请在图上用有向线段表示出该人上午的位移、下午的位移以及这一天内的位移.
(第 1 题) (2) 如图,已知 $\boldsymbol{a}$ 是单位向量,求出图中向量 $b,c,d,e$ 的模.
(第 2 题)
(3) (1)“$\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 平行” 是“$\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 共线” 的什么条件?
(2) $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{C D}$ 是 $|\overrightarrow{A B}|=|\overrightarrow{C D}|$ 的什么条件?
(3)“$\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 不平行”是“$\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 都不是零向量” 的什么条件?
(4) 已知 $A,B,C$ 是平面上三个不同的点:
（1）如果 $\overrightarrow{A B} / / \overrightarrow{B C}$,那么 $A,B,C$ 三点一定共线吗?
（2）如果 $\overrightarrow{A B}$ 与 $\overrightarrow{B C}$ 不平行,那么 $A,B,C$ 可能共线吗?
(5) 已知 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b},\boldsymbol{b} / / \boldsymbol{c}$,那么 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{c}$ 一定成立吗?为什么?
1 向南 $300 \mathrm{~m} \quad 2 \sqrt{2} \quad 32$ 4 $\overrightarrow{A B},\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\overrightarrow{C D}$
$5 \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{C D},\boldsymbol{b}=\boldsymbol{c} \quad 6 \quad|\boldsymbol{b}|=\frac{1}{3}|\boldsymbol{d}| \quad 7|\boldsymbol{e}|=\frac{5}{2}|\boldsymbol{f}|$
### 2 向量的加法
## 1. 向量加法的三角形法贝则
## 情境与问题
如图 6-1-8 所示,假设某人上午从点 $A$ 到达了点 $B$,下午从点 $B$ 到达了点 $C$.
（1）分别用向量表示出该人上午的位移、下午的位移以及这一天的位移;
(2) 这一天的位移与上午的位移、下午的位移有什么联系?试从大小和方向两个角度加以阐述。
图 6-1-8 位移 $\overrightarrow{A C}$ 可以看成位移 $\overrightarrow{A B}$ 与 $\overrightarrow{B C}$ 的和.
一般地，平面上任意给定两个向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$,在该平面内任取一点 $A$,作 $\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{B C}=\boldsymbol{b}$,作出向量 $\overrightarrow{A C}$,则向量 $\overrightarrow{A C}$ 称为向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的和（也称 $\overrightarrow{A C}$ 为向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的和向量). 向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的和向量记作 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$,因此
$$
\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}
$$
当 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 不共线时,求它们的和可用图 6-1-9 所示. 因为此时 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$,$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ 正好能构成一个三角形,所以上述求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则.
图 6-1-9
当 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 共线时,求它们的和可用如图 6-1-10 表示.
(1)
(2)
图 6-1-10
值得注意的是,对任意向量 $\boldsymbol{a}$,有
$$
\boldsymbol{a}+\mathbf{0}=\mathbf{0}+\boldsymbol{a}=\boldsymbol{a}
$$
由上可看出,向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 的模与 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ 的模之间满足不等式
$$
|| \boldsymbol{a}|-| \boldsymbol{b}|| \leqslant|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}| \leqslant|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|
$$
例 1 已知 $|\boldsymbol{a}|=3,|\boldsymbol{b}|=4$,求 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$ 的最大值和最小值,并说明取得最大值和最小值时 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的关系.
解由
$$
|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}| \leqslant|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|
$$
可知,$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$ 的最大值为
$$
|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|=3+4=7,$$
当且仅当 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 方向相同时取得最大值.
由
$$
|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}| \geqslant|| \boldsymbol{a}|-| \boldsymbol{b}||
$$
可知,$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$ 的最小值为
1
当且仅当 $a$ 与 $b$ 方向 2
时取得最小值.
## 2. 向量加法的平行四边形法则
## (?$)$ 情境与问题
从物理学中我们已经知道,力既有大小也有方向,因此力是向量.
当在光滑的水平面上沿两个不同的方向拉动一个静止的物体时,如图 6-1-11 所示,物体会沿着力 $\overrightarrow{A B}$ 或 $\overrightarrow{A C}$ 所在的方向运动吗?如果不会,物体的运动方向将是怎样的?
图 6-1-11
我们知道,物理学中力的合成遵循平行四边形法则. 因此,情境中的物体不会沿着 $\overrightarrow{A B}$ 或 $\overrightarrow{A C}$ 所在的方向运动,其会沿着以 $A B,A C$ 为邻边的平行四边形的对角线运动.
一般地,向量的加法也满足类似的法则,这就是说,当两个向量不共线时,可以通过作平行四边形的方法来得到它们的和: 如图 6-1-12 所示,平面上任意给定两个不共线的向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$,在该平面内任取一点 $A$,作 $\overrightarrow{A B}=$ $\boldsymbol{a},\overrightarrow{A C}=\boldsymbol{b}$,以 $A B,A C$ 为邻边作一个平行四边形 $A B D C$,作出向量 $\overrightarrow{A D}$,因为 $\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{A C}$,所以
$$
\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}
$$
这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的平行四边形法则.
由向量加法的平行四边形法则不难看出,向量的加法运算满足交换律,即对于任意的向量 $a,b$,都有
$$
a+b=b+a
$$
图 6-1-12
## 3. 多个向量相加
从前面已经知道,两个向量的和还是一个向量,因此我们可以用得到的和向量与另外一个向量相加. 而且我们也已经知道,如同数与数的加法一样,向量相加满足交换律,那么向量相加是否满足结合律呢?也就是说,三个向量相加时,最后的结果是否与求和的顺序有关呢?
如图 6-1-13 所示,(1) 中给出了三个向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$;(2) 中先作出了向量 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$,然后作出了向量 $(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})+\boldsymbol{c}$;(3) 中首先作出了向量 $\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$,然后作出了向量 $\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$.
(1)
(2)
(3)
图 6-1-13
不难看出
$$
(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})+\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}),$$
即向量的加法运算满足结合律.
因为向量的加法运算满足交换律和结合律,所以有限个向量相加的结果是唯一的,我们可以任意调换其中向量的位置,也可以任意决定相加的顺序. 例如
$$
\begin{aligned}
(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})+(\boldsymbol{c}+\boldsymbol{d}) & =\boldsymbol{a}+[(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})+\boldsymbol{d}] \\
& =[(\boldsymbol{d}+\boldsymbol{c})+\boldsymbol{a}]+\boldsymbol{b},\end{aligned}
$$
因此,以上运算我们都可用 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}+\boldsymbol{d}$ 来表示.
另外,由图 6-1-13 可以看出,为了得到有限个向量的和,只需将这些向量依次首尾相接,那么以第一个向量的始点为始点,最后一个向量的终点为终点的向量,就是这些向量的和,如图 6-1-14 所示.
图 6-1-14
例 2 化简下列各式:
(1) $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{B C}$
(2) $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{F A}+\overrightarrow{B D}+\overrightarrow{D E}+\overrightarrow{E F}$.
解 (1) $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{B C}=(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C})+\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{A D}$.
(2) $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{F A}+\overrightarrow{B D}+\overrightarrow{D E}+\overrightarrow{E F}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{F A}+(\overrightarrow{B D}+\overrightarrow{D E}+\overrightarrow{E F})$
$=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{F A}+\vec{B} \vec{F}$
$=(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B F})+\overrightarrow{F A}$
$=\overrightarrow{A F}+\overrightarrow{F A}$
$=\overrightarrow{A A}=\mathbf{0}$.
## 探索与研究
在求作两个向量的和时,可以选择不同的始点. 想一想，选择不同的始点作出的向量和都相等吗?你可能认为,作出的向量和显然都是相等的. 当然,这里你的“显然” 是对的,你能根据图 6-1-15 说明这个结论的正确性吗?
图 6-1-15
## 练习A
(1) 化简下列各式:
(1) $\overrightarrow{M N}+\overrightarrow{N P}$;(2) $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B D}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D C}$.
(2) 已知 $A,B,C$ 是 $\triangle A B C$ 的三个顶点,求 $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{B C}$.
(3) 已知 $|\boldsymbol{a}|=2,|\boldsymbol{b}|=3$,求 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$ 的最大值和最小值,并说明取得最大值和最小值时 $\boldsymbol{a}$ 与 $b$ 的关系.
## 练习B
(1) 如图:
(1) 以 $A$ 为始点,作出 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$;
(2) 以 $B$ 为始点,作出 $\boldsymbol{c}+\boldsymbol{d}+\boldsymbol{e}$;
（3）假设 $\boldsymbol{a}$ 为单位向量,写出 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|,|\boldsymbol{c}+\boldsymbol{d}|$ 和 $|\boldsymbol{c}+\boldsymbol{d}+\boldsymbol{e}|$.
(第 1 题)
(2) 已知 $\boldsymbol{a}$ 为单位向量,求下列向量的模:
(1) $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{a}+\boldsymbol{a}$;
(2) $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{a}+\boldsymbol{a}+\boldsymbol{a}+\boldsymbol{a}$.
(3) 如图,平行四边形 $A B C D$ 中,$O$ 为对角线 $A C,B D$ 的交点,$E,F,G,H$ 分别是 $A B,B C,C D,D A$ 的中点. 化简下列各式:
(1) $\overrightarrow{B O}+\overrightarrow{D H}+\overrightarrow{F B}+\overrightarrow{O D}$;
(2) $\overrightarrow{A H}+\overrightarrow{A E}+\overrightarrow{O F}+\overrightarrow{O G}$.
(第 3 题)
(4) (1) 已知 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 共线,那么 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|$ 一定成立吗?
(2) 已知 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|$,那么 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 一定共线吗?
(5) 已知 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}|=|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|+|\boldsymbol{c}|$,那么 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$ 两两一定共线吗?
1|| $\boldsymbol{a}|-| \boldsymbol{b}||=|3-4|=1 \quad 2$ 相反
### 3 向量的减法
## 尝试与发现
已知向量 $\overrightarrow{A D}$ 是向量 $\overrightarrow{A B}$ 与向量 $\boldsymbol{x}$ 的和,如图 6-1-16 所示,你能作出表示向量 $x$ 的有向线段吗?
图 6-1-16 一般地,平面上任意给定两个向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$,如果向量 $\boldsymbol{x}$ 能够满足 $\boldsymbol{b}+\boldsymbol{x}=$ $\boldsymbol{a}$,则称 $\boldsymbol{x}$ 为向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的差,并记作
$$
\boldsymbol{x}=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} .
$$
不难看出,在平面内任取一点 $O$,作 $\overrightarrow{O A}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{O B}=\boldsymbol{b}$,作出向量 $\overrightarrow{B A}$,注意到 $\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{B A}=\overrightarrow{O A}$,因此向量 $\overrightarrow{B A}$ 就是向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的差（也称 $\overrightarrow{B A}$ 为向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的差向量),即
$$
\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{B A}
$$
当 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 不共线时,求 $\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$ 的差可用图 6-1-17 表示,此时向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$,$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$ 正好能构成一个三角形,因此上述求两向量差的作图方法也常称为向量减法的三角形法则.
图 6-1-17
类似于 3 的相反数是 -3,给定一个向量,我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量,向量 $a$ 的相反向量记作 $-a$. 因此,$\overrightarrow{A B}$ 的相反向量是 $-\overrightarrow{A B}$,而且 $-\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{B A}$. 因为零向量的始点与终点相同,所以 $-\mathbf{0}=\mathbf{0}$.
不难看出,任何一个向量与它的相反向量的和等于零向量,即
$$
\boldsymbol{a}+(-\boldsymbol{a})=\mathbf{0},\overrightarrow{A B}+(-\overrightarrow{A B})=1
$$
如同在数的运算中,减法可以看成加法的逆运算,即 $x-y=x+(-y)$ 一样,不难看出,向量的减法也可以看成向量的加法的逆运算，即
$$
\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}+(-\boldsymbol{b}),$$
也就是: 一个向量减去另一个向量,等于第
图 6-1-18 一个向量加上第二个向量的相反向量. 这一结论也可从图 6-1-18 中看出来.
例 1 已知平行四边形 $A B C D$ 中,$\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{A D}=\boldsymbol{b}$,用 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 分别表示向量 $\overrightarrow{A C},\overrightarrow{D B}$.
解如图 6-1-19 所示,由向量加法的平行四边形法则可知
$$
\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} .
$$
按照减法的定义可知
$$
\overrightarrow{D B}=\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A D}=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}
$$
例 2 已知 $|\boldsymbol{a}|=1,|\boldsymbol{b}|=2$,求 $|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$ 的取值范围.
解当 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 不共线时,由向量减法的
图 6-1-19
三角形法则可知,$|\boldsymbol{a}|,|\boldsymbol{b}|,|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$ 正好是一个三角形的三条边,从而
$$
|| \boldsymbol{a}|-| \boldsymbol{b}||<|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|<|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}| \text {,}
$$
因此 $1<|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|<3$.
当 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 共线时,不难看出:
如果 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 方向相同，有
$$
|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=|| \boldsymbol{a}|-| \boldsymbol{b}||=1 \text {;}
$$
如果 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 方向相反，有
$$
|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|=\underline{2}
$$
综上有
$$
1 \leqslant|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}| \leqslant 3
$$
## 练习 $A$
(1) 化简下列各式:
(1) $\overrightarrow{M P}-\overrightarrow{M N}$;
(2) $(\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B})-\overrightarrow{B C}$
(2) 已知四边形 $A B C D$ 是矩形,$\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{A D}=\boldsymbol{b}$,用 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 分别表示向量 $\overrightarrow{A C},\overrightarrow{D B}$.
(3) 如果 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 都是单位向量,求 $|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$ 的最大值.
## 练习B
(1) 如图:
(1) 以 $A$ 为始点,作出 $\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}$;
(2) 以 $B$ 为始点,作出 $\boldsymbol{c}-\boldsymbol{d}$;
（3）假设 $|\boldsymbol{a}|=2$,写出 $|\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}|,|\boldsymbol{c}-\boldsymbol{d}|$.
(第 1 题） (2) 求证: $\overrightarrow{A O}-\overrightarrow{B O}=\overrightarrow{A B}$.
(3) 已知四边形 $A B C D$ 为平行四边形,设 $\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{A D}=\boldsymbol{b}$,试用 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 表示:
(1) $\overrightarrow{C D},\overrightarrow{C B}$
(2) $\overrightarrow{B D},\overrightarrow{C A}$.
(4) 已知 $|\boldsymbol{a}|=5,|\boldsymbol{b}|=2$,求 $|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$ 的取值范围.
(5) 说明向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 的模与 $\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$ 的模之间满足不等式
$$
|| \boldsymbol{a}|-| \boldsymbol{b}|| \leqslant|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}| \leqslant|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}| \text {,}
$$
并说明什么时候取等号.
$10 \quad 2 \quad 3 \quad 3 \quad 3$
### 4 数乘向量
我们已经知道,多个向量相加,结果是一个向量. 特别地,给定一个向量 $\boldsymbol{a},3$ 个 $\boldsymbol{a}$ 相加 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{a}+\boldsymbol{a}$ 的结果,是一个模为 $3|\boldsymbol{a}|$、方向与 $\boldsymbol{a}$ 相同的向量,如图 6-1-20 (1) 所示,通常这个向量简记为 $3 \boldsymbol{a}$,即
$$
\boldsymbol{a}+\boldsymbol{a}+\boldsymbol{a}=3 \boldsymbol{a}
$$
3 个 $-\boldsymbol{a}$ 相加 $(-\boldsymbol{a})+(-\boldsymbol{a})+(-\boldsymbol{a})$ 的结果,是一个模为 $3|\boldsymbol{a}|$、方向与 $\boldsymbol{a}$ 相反的向量,如图 6-1-20 (2) 所示,通常这个向量简记为一3 3,即
$$
(-\boldsymbol{a})+(-\boldsymbol{a})+(-\boldsymbol{a})=-3 \boldsymbol{a}
$$
图 6-1-20
## 尝试与发现
你能根据上述实例,给出实数 $\lambda$ 与任意一个向量 $\boldsymbol{a}$ 的乘积 $\lambda \boldsymbol{a}$ 的定义吗?一般地,给定一个实数 $\lambda$ 与任意一个向量 $\boldsymbol{a}$,规定它们的乘积是一个向量,记作 $\lambda a$,其中:
(1) 当 $\lambda \neq 0$ 且 $\boldsymbol{a} \neq \mathbf{0}$ 时,$\lambda \boldsymbol{a}$ 的模为 $|\lambda||\boldsymbol{a}|$,而且 $\lambda \boldsymbol{a}$ 的方向如下:
(1) 当 $\lambda>0$ 时,与 $a$ 的方向相同;
(2) 当 $\lambda<0$ 时,与 $a$ 的方向相反.
(2) 当 $\lambda=0$ 或 $\boldsymbol{a}=\mathbf{0}$ 时,$\lambda \boldsymbol{a}=\mathbf{0}$.
上述实数 $\lambda$ 与向量 $a$ 相乘的运算简称为数乘向量. 由定义不难看出,数乘向量的结果是一个向量,而且这个向量与原来的向量共线 (平行),即 $\lambda a / /$ $a$;数乘向量的几何意义是,把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小. 特别地,一个向量的相反向量可以看成 -1 与这个向量的乘积,即 $-\boldsymbol{a}=(-1) \boldsymbol{a}$.
当 $\lambda$ 和 $\mu$ 都是实数,且 $\boldsymbol{a}$ 是向量时: $\mu a$ 是向量,$\lambda(\mu a)$ 也是向量;$\lambda \mu$ 是实数,但 $(\lambda \mu) \boldsymbol{a}$ 是向量. 可以看出
$$
\lambda(\mu a)=(\lambda \mu) \boldsymbol{a}
$$
例如,
$$
\begin{aligned}
& 3 \times(4 \boldsymbol{a})=(3 \times 4) \boldsymbol{a}=12 \boldsymbol{a},\\
& (-2) \times(-\boldsymbol{a})=[(-2) \times(-1)] \boldsymbol{a}=2 \boldsymbol{a} .
\end{aligned}
$$
由此可知,$(3 \times 4) \boldsymbol{a}$ 写成 $3 \times 4 \boldsymbol{a}$ 也不会产生歧义. 以后我们常将 $(\lambda \mu) \boldsymbol{a}$ 简单地写成 $\lambda \mu a$.
数乘向量的定义说明,如果存在实数 $\lambda$,使得 $\boldsymbol{b}=\lambda \boldsymbol{a}$,则 $\boldsymbol{b} / / \boldsymbol{a}$.
例 1 已知 $\boldsymbol{a}=3 \boldsymbol{e},\boldsymbol{b}=-2 \boldsymbol{e}$,其中 $\boldsymbol{e}$ 为非零向量,判断 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 是否平行,并求 $|\boldsymbol{a}|:|\boldsymbol{b}|$ 的值.
解由 $\boldsymbol{b}=-2 \boldsymbol{e}$ 得 $\boldsymbol{e}=-\frac{1}{2} \boldsymbol{b}$,代人 $\boldsymbol{a}=3 \boldsymbol{e}$ 得 $\boldsymbol{a}=-\frac{3}{2} \boldsymbol{b}$.
因此 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$,且 $|\boldsymbol{a}|=\frac{3}{2}|\boldsymbol{b}|$,即 $|\boldsymbol{a}|:|\boldsymbol{b}|=3: 2$.
利用数乘向量,可以方便地研究三点共线的情形. 例如,当 $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{B C}$ 时,$A,B,C$ 三点一定共线,而且点 $B$ 为线段 $A C$ 的中点;当 $\overrightarrow{N M}=2 \overrightarrow{O N}$ 时,$M,N,O$ 三点共线,而且 $N$ 为线段 $O M$ 的一个三等分点,如图 6-1-21 所示.
图 6-1-21 一般地,如果存在实数 $\lambda$,使得 $\overrightarrow{A B}=\lambda \overrightarrow{A C}$,则 $\overrightarrow{A B}$ 与 $\overrightarrow{A C}$ 平行且有公共点 $A$,从而 $A,B,C$ 三点一定共线.
例 2 已知 $\overrightarrow{A B}=-\boldsymbol{e},\overrightarrow{A C}=5 \boldsymbol{e}$,其中 $\boldsymbol{e}$ 为非零向量,判断 $A,B,C$ 三点是否共线. 如果共线,求出 $A B: A C$.
解由已知可得
$$
\overrightarrow{A C}=1 \quad \overrightarrow{A B},$$
因此 $A,B,C$ 三点共线,且 $A C=2$ $A B$，即
$$
A B: A C=3
$$
## 练习 $A$
(1) 写出向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $3 \boldsymbol{a}$ 的方向之间的关系,以及向量 $-3 \overrightarrow{A B}$ 与 $\overrightarrow{A B}$ 的长度之间的关系.
(2) 化简下列各式:
(1) $\frac{1}{2} \times 4 \boldsymbol{a}$
(2) $\frac{1}{3} \times 2 \times 9$;(3) $6 \times\left(-\frac{1}{2}\right) a$.
(3) 判断命题 $|\lambda \boldsymbol{a}|=\lambda|\boldsymbol{a}|$ 的真假.
(4) 分别指出以下各题中 $A,B,C$ 三点是否一定共线. 如果共线,指出线段 $A B$ 与 $B C$ 的长度之比.
(1) $\overrightarrow{A C}=-2 \overrightarrow{B C}$
(2) $\overrightarrow{A C}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}$
## 练习B
(1) 已知 $\boldsymbol{a}$ 是非零向量,实数 $\lambda \neq 0$,判断下列命题的真假:
(1) $\lambda \boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{a}$ 的方向一定相同;
(2) $\lambda a$ 与 $\boldsymbol{a}$ 的方向相反的充要条件是 $\lambda<0$.
(2) 当 $M,N,O$ 三点共线,而且 $O$ 为线段 $M N$ 的最靠近点 $M$ 的五等分点时,写出下列向量之间的关系:
(1) $\overrightarrow{O M},\overrightarrow{O N}$;(2) $\overrightarrow{M N},\overrightarrow{N O}$.
(3) 已知 $|\boldsymbol{a}|=2$,用 $\boldsymbol{a}$ 表示出与 $\boldsymbol{a}$ 方向相同的单位向量,以及与 $\boldsymbol{a}$ 方向相反的单位向量.
(4) 已知四边形 $A B C D$ 为平行四边形,$A C$ 与 $B D$ 相交于 $O$,设 $\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{A D}=\boldsymbol{b}$,试用 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 表示 $\overrightarrow{A O},\overrightarrow{O B}$.
### 5 向量的线性运算
## 1. 向量的加法与数乘向量的混合运算
向量的加法运算、数乘向量运算,它们的结果都是向量,这就是说,这两者可以进行混合运算. 例如,对于任意向量 $\boldsymbol{a}$,式子 $(6 \boldsymbol{a})+(2 \boldsymbol{a})$ 是有意义的.
一般地,一个含有向量加法、数乘向量运算的式子,总是规定要先算数乘向量,再算向量加法. 因此,$(6 \boldsymbol{a})+(2 \boldsymbol{a})$ 可以简写成 $6 \boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{a}$. 另外,不难看出 $6 \boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{a}=8 \boldsymbol{a}$.
一般地,对于实数 $\lambda$ 与 $\mu$,以及向量 $\boldsymbol{a}$,有
$$
\lambda \boldsymbol{a}+\mu \boldsymbol{a}=(\lambda+\mu) \boldsymbol{a}
$$
这可以通过对 $\lambda,\mu$ 以及 $\lambda+\mu$ 的符号进行讨论得到. 例如,当 $\lambda,\mu$ 都是正数时,不难看出 $\lambda \boldsymbol{a}+\mu \boldsymbol{a}$ 和 $(\lambda+\mu) \boldsymbol{a}$ 的方向都与 $\boldsymbol{a}$ 的方向相同,而且模都等于 $(\lambda+\mu)|\boldsymbol{a}|$,所以此时 $\lambda \boldsymbol{a}+\mu \boldsymbol{a}=(\lambda+\mu) \boldsymbol{a}$.
如图 6-1-22 所示，下面我们来考虑 $3 \boldsymbol{a}+3 \boldsymbol{b}$ 与 $3(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$ 之间的关系.
图 6-1-22
在图 6-1-22 中,$\overrightarrow{D E}=3 \boldsymbol{a},\overrightarrow{E F}=3 \boldsymbol{b},\overrightarrow{D F}=3 \boldsymbol{a}+3 \boldsymbol{b}$。注意到 $\angle D E F=$ $\angle A B C,|\overrightarrow{D E}|=3|\overrightarrow{A B}|,|\overrightarrow{E F}|=3|\overrightarrow{B C}|$,所以 $\triangle D E F \backsim \triangle A B C$,因此 $\overrightarrow{D F} / / \overrightarrow{A C}$,且 $|\overrightarrow{D F}|=3|\overrightarrow{A C}|$,从而有 $\overrightarrow{D F}=3(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$,即
$$
3 \boldsymbol{a}+3 \boldsymbol{b}=3(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \text {. }
$$
一般地,对于任意实数 $\lambda$,以及向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$,有
$$
\lambda(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=\lambda \boldsymbol{a}+\lambda \boldsymbol{b}
$$
例 1 化简: $5 \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+2(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$.
解原式 $=5 \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+2 \boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b}=5 \boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+2 \boldsymbol{b}$
$$
=(5+2) \boldsymbol{a}+(1+2) \boldsymbol{b}=7 \boldsymbol{a}+3 \boldsymbol{b} \text {. }
$$
## 2. 向量的线性运算
不难看出,向量的减法也能与向量的加法、数乘向量进行混合运算. 向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算,统称为向量的线性运算.
向量的线性运算,总规定要先计算数乘向量,再按从左往右的顺序进行计算,若有括号,要先算括号内各项. 因此,$[\boldsymbol{a}-(2 \boldsymbol{b})]+(6 \boldsymbol{a})$ 可以简单地写成 $\boldsymbol{a}-2 \boldsymbol{b}+6 \boldsymbol{a}$.
另外,由于向量的加法满足交换律与结合律,减去一个向量可以看成加上这个向量的相反向量,因此
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{a}-2 \boldsymbol{b}+6 \boldsymbol{a} & =\boldsymbol{a}+(-2 \boldsymbol{b})+6 \boldsymbol{a}=\boldsymbol{a}+6 \boldsymbol{a}+(-2 \boldsymbol{b}) \\
& =7 \boldsymbol{a}+(-2 \boldsymbol{b})=7 \boldsymbol{a}-2 \boldsymbol{b} .
\end{aligned}
$$
事实上,当一个向量的线性运算中含有括号时,我们可以用类似多项式运算中拆括号的方式来去掉其中的括号，例如
$$
-(\boldsymbol{a}-2 \boldsymbol{b})=-\boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b}
$$
例 2 化简下列各式:
(1) $2(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})-2(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})$;$\quad$ (2) $-(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})+2(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$;
(3) $2 \boldsymbol{a}-\frac{1}{3} \times 3 \boldsymbol{b}+\frac{1}{2} \times 4 \boldsymbol{a}$;(4) $(\lambda+\mu)(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})+(\lambda-\mu)(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$.
解 (1) 原式 $=2 \boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b}-2 \boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b}=2 \boldsymbol{a}-2 \boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b}+2 \boldsymbol{b}=4 \boldsymbol{b}$.
(2) 原式 $=-\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}+2 \boldsymbol{a}-2 \boldsymbol{b}+2 \boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}-3 \boldsymbol{b}+3 \boldsymbol{c}$.
(3) 原式 $=2 \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}+2 \boldsymbol{a}=4 \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$.
(4) 原式 $=(\lambda+\mu) \boldsymbol{a}-(\lambda+\mu) \boldsymbol{b}+(\lambda-\mu) \boldsymbol{a}+(\lambda-\mu) \boldsymbol{b}$
$$
\begin{aligned}
& =[(\lambda+\mu)+(\lambda-\mu)] \boldsymbol{a}+[(\lambda-\mu)-(\lambda+\mu)] \boldsymbol{b} \\
& =2 \lambda \boldsymbol{a}+(-2 \mu) \boldsymbol{b} \\
& =2 \lambda \boldsymbol{a}-2 \mu \boldsymbol{b} .
\end{aligned}
$$
例 3 如图 6-1-23 所示,已知 $\overrightarrow{A D}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}$,$\overrightarrow{A E}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A C}$,求证: $\overrightarrow{D E}=\frac{2}{3} \overrightarrow{B C}$.
证明由已知得
$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{D E} & =\overrightarrow{A E}-\overrightarrow{A D}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A C}-\frac{2}{3} \overrightarrow{A B} \\
& =\frac{2}{3}(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}) \\
& =1
\end{aligned}
$$
图 6-1-23 例 4 已知 $M$ 为线段 $A B$ 的中点,且 $O$ 为任意一点,求证:
$$
\overrightarrow{O M}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}) \text {. }
$$
证明由 $M$ 为线段 $A B$ 的中点可知 $\overrightarrow{A M}=\overrightarrow{M B}$,因此
$$
\overrightarrow{O M}-\overrightarrow{O A}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O M} \text {,}
$$
从而有 $2 \overrightarrow{O M}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}$,即
$$
\overrightarrow{O M}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B})
$$
例 5 已知 $\overrightarrow{O M}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B})$,求证: $M$ 为线段 $A B$ 的中点.
证明由 $\overrightarrow{O M}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B})$ 可知 $2 \overrightarrow{O M}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}$,因此
$$
\overrightarrow{O M}-\overrightarrow{O A}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O M}
$$
从而有 $\overrightarrow{A M}=\overrightarrow{M B}$,即 $M$ 为线段 $A B$ 的中点.
例 4 与例 5 的结果说明,$M$ 为线段 $A B$ 中点的充要条件是
$$
\overrightarrow{O M}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}) .
$$
例 6 已知 $A,B,C$ 是三个不同的点,$\overrightarrow{O A}=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b},\overrightarrow{O B}=2 \boldsymbol{a}-3 \boldsymbol{b}$,$\overrightarrow{O C}=3 \boldsymbol{a}-5 \boldsymbol{b}$. 求证: $A,B,C$ 三点共线.
证明因为
$$
\begin{aligned}
& \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}=(2 \boldsymbol{a}-3 \boldsymbol{b})-(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=\boldsymbol{a}-2 \boldsymbol{b},\\
& \overrightarrow{A C}=\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O A}=(3 \boldsymbol{a}-5 \boldsymbol{b})-(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=2
\end{aligned}
$$
所以 $\overrightarrow{A C}=3 \quad \overrightarrow{A B}$,因此 $A,B,C$ 三点共线.
## 练习A
(1) 化简下列各式:
(1) $3(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})-2(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})$;(2) $2(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})+3(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})$;(3) $\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{D C}-\overrightarrow{P B}-\overrightarrow{D A}$
(4) $\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{D B}-\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{C D}$
(2) 已知 $\boldsymbol{e}$ 是单位向量,且 $\boldsymbol{a}=3 \boldsymbol{e},\boldsymbol{b}=-2 \boldsymbol{e}$,求 $|\boldsymbol{a}|,|\boldsymbol{b}|,|\boldsymbol{a}-3 \boldsymbol{b}|$.
(3) 已知 $\boldsymbol{a}=\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2},\boldsymbol{b}=-2 \boldsymbol{e}_{1}-2 \boldsymbol{e}_{2}$,求证：$\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 共线.
## 练习B
(1) 已知 $\overrightarrow{M P}=4 \boldsymbol{e}_{1}+2 \boldsymbol{e}_{2},\overrightarrow{P Q}=2 \boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2}$. 求证: $M,P,Q$ 三点共线.
(2) 已知 $|\boldsymbol{a}|=3,|\boldsymbol{b}|=4$,求 $|2 \boldsymbol{a}-3 \boldsymbol{b}|$ 的最大值和最小值,并说明取得最大值和最小值时 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的关系。(3) 已知 $3 \overrightarrow{O A}=\overrightarrow{O B}+2 \overrightarrow{O C}$,求证: $A,B,C$ 三点共线.
(4) 已知 $\triangle A B C$ 与 $\triangle D E F$ 中,$\overrightarrow{A B}=\frac{1}{3} \overrightarrow{D E},\overrightarrow{A C}=\frac{1}{3} \overrightarrow{D F}$,求 $\overrightarrow{B C}$ 与 $\overrightarrow{E F}$ 的关系,并求出 $\triangle A B C$ 与 $\triangle D E F$ 的面积之比.
$\frac{2}{3} \overrightarrow{B C}$
$22 \boldsymbol{a}-4 \boldsymbol{b}$
32
## 习题6-1A
(1) 化简下列各式:
(1) $\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B}$;(2) $\overrightarrow{B A}-\overrightarrow{B C}$;(3) $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}$
(4) $\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D E}$
(2) 如图,已知 $A B C D$ 是平行四边形,化简下列各式:
(1) $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}$
(2) $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C D}$.
(第 2 题)
(3) 任作一非零向量 $\overrightarrow{O A}$,然后作出 $\overrightarrow{O B}=3 \overrightarrow{O A},\overrightarrow{O C}=-\frac{1}{2} \overrightarrow{O A}$.
(4) 把下列向量 $\boldsymbol{a}$ 表示为数乘向量 $\boldsymbol{b}$ 的形式:
(1) $\boldsymbol{a}=3 \boldsymbol{e},\boldsymbol{b}=-6 \boldsymbol{e}$;(2) $\boldsymbol{a}=\frac{3}{4} \boldsymbol{e},\boldsymbol{b}=-\frac{2}{3} \boldsymbol{e}$.
(5) 化简:
(1) $2(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})+3(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$;(2) $\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})+\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})$.
## 习ํ题6-1B
(1) 分别根据下列条件判断四边形 $A B C D$ 的形状:
(1) $\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{B C}$;(2) $\overrightarrow{A D} / / \overrightarrow{B C}$,并且 $\overrightarrow{A B}$ 与 $\overrightarrow{C D}$ 不平行;(3) $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{D C}$,并且 $|\overrightarrow{A B}|=|\overrightarrow{A D}|$.
(2) 化简下列各式:
(1) $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}$;(2) $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{B O}+\overrightarrow{O M}$;(3) $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}-\overrightarrow{A C}$;(4) $\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{D C}$.
(3) 已知 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 不共线,作图验证:
(1) $-(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=-\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$;(2) $\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})+\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=\boldsymbol{a}$. (4) 解关于向量 $x$ 的方程:
(1) $2(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=3(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{x})$;(2) $\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}-2 \boldsymbol{x})=3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})$.
(5) 已知 $\boldsymbol{a}=3 \boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2},\boldsymbol{b}=\boldsymbol{e}_{1}+\frac{1}{3} \boldsymbol{e}_{2}$,判断 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 是否共线,并说明理由.
(6) 已知 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 为非零向量,$\overrightarrow{O A}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b},\overrightarrow{O B}=2 \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b},\overrightarrow{O C}=3 \boldsymbol{b}$. 求证: $A,B$,$C$ 三点在一条直线上.
## 习题6-1C
(1) 已知点 $E,F,G,H$ 分别是平面四边形 $A B C D$ 的边 $A B,B C,C D,D A$ 的中点,求证: $\overrightarrow{E F}=\overrightarrow{H G}$.
(2) 已知三个非零向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$ 满足条件 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=\mathbf{0}$,表示它们的有向线段是否一定能构成三角形?如果不一定,那么 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$ 满足什么条件才能构成三角形?
(3) 已知 $M,N$ 分别是线段 $A B$ 和 $C D$ 的中点,求证:
$$
\overrightarrow{M N}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{B C}) \text {. }
$$
## 2 向量基本定理与向量的坐标
### 1 向量基本定理
## 1. 共线向量基本定理
前面我们已经看到,当存在实数 $\lambda$,使得 $\boldsymbol{b}=\lambda \boldsymbol{a}$ 时,$\boldsymbol{b} / / \boldsymbol{a}$. 那么,这个结论反过来是否成立呢?
例1 如图 6-2-1 所示,判断向量 $\boldsymbol{b},\boldsymbol{c},\boldsymbol{d},\boldsymbol{e}$ 是否可以写成数与向量 $\boldsymbol{a}$ 相乘. 如果可以,写出表达式;如果不可以,说明理由.
图 6-2-1
解因为 $\boldsymbol{b}$ 与 $\boldsymbol{a}$ 的方向相同,而且 $|\boldsymbol{b}|=2|\boldsymbol{a}|$,所以 $\boldsymbol{b}=2 \boldsymbol{a}$;
因为 $\boldsymbol{c}$ 与 $\boldsymbol{a}$ 的方向相同,而且 $|\boldsymbol{c}|=1$,所以 $c=\underline{2}$;
因为 $\boldsymbol{d}$ 与 $\boldsymbol{a}$ 的方向相反,而且 3,所以 4
因为 $\boldsymbol{e}$ 与 $\boldsymbol{a}$ 不平行,所以 $\boldsymbol{e}$ 不能写成数与向量 $\boldsymbol{a}$ 相乘.
一般地，有如下共线向量基本定理:
如果 $\boldsymbol{a} \neq \mathbf{0}$ 且 $\boldsymbol{b} / / \boldsymbol{a}$,则存在唯一的实数 $\lambda$,使得 $\boldsymbol{b}=\lambda \boldsymbol{a}$.
在共线向量基本定理中:
(1) $\boldsymbol{b}=\lambda \boldsymbol{a}$ 时,通常称为 $\boldsymbol{b}$ 能用 $\boldsymbol{a}$ 表示.
（2）其中的“唯一” 指的是,如果还有 $\boldsymbol{b}=\mu \boldsymbol{a}$,则有 $\lambda=\mu$. 这是因为: 由 $\lambda \boldsymbol{a}=\mu \boldsymbol{a}$ 可知 $(\lambda-\mu) \boldsymbol{a}=\mathbf{0}$,如果 $\lambda-\mu \neq 0$,则 $\boldsymbol{a}=\mathbf{0}$,与已知矛盾,所以 $\lambda-\mu=0$,即 $\lambda=\mu$.
由共线向量基本定理以及前面介绍过的结论可知,如果 $A,B,C$ 是三个不同的点,则它们共线的充要条件是: 存在实数 $\lambda$,使得 $\overrightarrow{A B}=\lambda \overrightarrow{A C}$.
## 尝试与发现
如果 $\boldsymbol{a}=\mathbf{0}$ 且 $\boldsymbol{b} / / \boldsymbol{a}$,什么时候存在实数 $\lambda$,使得 $\boldsymbol{b}=\lambda \boldsymbol{a}?$ 这样的 $\lambda$ 有多少个?什么时候不存在这样的实数 $\lambda$?
可以看出，此时只有 $\boldsymbol{b}=\mathbf{0}$ 时才存在实数 $\lambda$,使得 $\boldsymbol{b}=\lambda \boldsymbol{a}$,而且这样的 $\lambda$ 可以是任意实数.
## 2. 平面向量基本定理
## 情境与问题
共线向量基本定理的实质是,所有共线的向量中,只要指定一个非零向量,则其他向量都可以用这个向量表示出来. 那么，这个结论是否可以推广到所有共面的向量呢?
从前面我们已经看到,如图 6-2-2 所示,在平行四边形 $A B C D$ 中,如果 $\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{A D}=\boldsymbol{b}$,则 $\overrightarrow{A C}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b},\overrightarrow{D B}=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$. 也就是说,向量 $\overrightarrow{A C}$ 和 $\overrightarrow{D B}$ 都写成了向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 的线性运算.
图 6-2-2
## 尝试与发现
如图 6-2-3 所示,已知 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c},d,e,f$ 的始点相同,你能分别将 $\boldsymbol{c},\boldsymbol{d},\boldsymbol{e}$,$f$ 写成向量 $a,b$ 的线性运算吗?
图 6-2-3
不难看出,$\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b},\boldsymbol{d}=5 \boldsymbol{a}-2 \boldsymbol{b},\boldsymbol{e}=-2 \boldsymbol{a}-2 \boldsymbol{b},\boldsymbol{f}=-3 \boldsymbol{a}$.
一般地，有如下平面向量基本定理:
如果平面内两个向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 不共线,则对该平面内任意一个向量 $\boldsymbol{c}$,存在唯一的实数对 $(x,y)$,使得
$$
\boldsymbol{c}=x \boldsymbol{a}+y \boldsymbol{b} .
$$
上述实数对 $(x,y)$ 可以用如下方式找到: 如图 6-2-4 所示,将向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的始点平移到一起,假设 $\overrightarrow{O A}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{O B}=\boldsymbol{b}$,将向量 $\boldsymbol{c}$ 的始点也平移到 $O$ 点,以 $O A,O B$ 所在的直线为相邻的边,以 $O C$ 为对角线作平行四边形 $O D C E$.
图 6-2-4
因为 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 不共线,所以 $\boldsymbol{a} \neq \mathbf{0}$ 且 $\boldsymbol{b} \neq \mathbf{0}$. 又因为 $\overrightarrow{O D} / / \boldsymbol{a}$,所以由共线向量基本定理可得,存在唯一的 $x$,使得 $\overrightarrow{O D}=x \boldsymbol{a}$;同理,存在唯一的 $y$,使得 $\overrightarrow{O E}=y \boldsymbol{b}$. 又由向量加法的平行四边形法则可知 $\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O D}+$ $\overrightarrow{O E}$,从而
$$
\boldsymbol{c}=x \boldsymbol{a}+y \boldsymbol{b}
$$
例 2 如图 6-2-5 所示,用 $e_{1}$ 与 $e_{2}$ 表示 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c},\boldsymbol{d},\boldsymbol{f}$.
图 6-2-5
解由图不难看出
$$
\begin{gathered}
\boldsymbol{a}=2 \boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2},\quad \boldsymbol{b}=\boldsymbol{e}_{1}-\frac{2}{3} \boldsymbol{e}_{2},\boldsymbol{c}=\underline{5} \\
\boldsymbol{d}=6 \quad,\boldsymbol{f}=6
\end{gathered}
$$
平面向量基本定理中,当 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 不共线时,“唯一的实数对”指的是 $\boldsymbol{c}$ 用 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 表示时,表达式唯一,即如果
$$
\boldsymbol{c}=x \boldsymbol{a}+y \boldsymbol{b}=u \boldsymbol{a}+v \boldsymbol{b}
$$
那么 $x=u$ 且 $y=v$.
这是因为由 $x \boldsymbol{a}+y \boldsymbol{b}=u \boldsymbol{a}+v \boldsymbol{b}$ 可知 $(x-u) \boldsymbol{a}=(v-y) \boldsymbol{b}$,如果 $x-u \neq$ $0，$ 则
$$
\boldsymbol{a}=\frac{v-y}{x-u} \boldsymbol{b}
$$
从而可知 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 共线,与已知矛盾,因此 $x-u=0$ 即 $x=u$. 同理可得 $y=v$.
特别地,当 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 不共线时,因为 $\boldsymbol{0}=0 \boldsymbol{a}+0 \boldsymbol{b}$,所以对于 $x \boldsymbol{a}+y \boldsymbol{b}$ 来说,当 $x \neq 0$ 或 $y \neq 0$ 时,必定有 $x \boldsymbol{a}+y \boldsymbol{b} \neq \mathbf{0}$. 也就是说,当 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 不共线时,$x \boldsymbol{a}+y \boldsymbol{b} \neq \boldsymbol{0}$ 的充要条件是 $x$ 与 $y$ 中至少有一个不为 0 .
平面向量基本定理是说,在给定的平面内,当向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 不共线时,任意一个向量 $\boldsymbol{c}$,都可以写成 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的线性运算（简称为用 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 表示向量 $\boldsymbol{c})$,而且表达式唯一. 因此,平面内不共线的两个向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 组成该平面上向量的一组基底,记为 $\{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\}$,此时如果 $\boldsymbol{c}=x \boldsymbol{a}+y \boldsymbol{b}$,则称 $x \boldsymbol{a}+y \boldsymbol{b}$ 为 $\boldsymbol{c}$ 在基底 $\{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\}$ 下的分解式.
例 3 已知 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 不共线,而且 $\boldsymbol{a}-x \boldsymbol{b}$ 与 $3 \boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b}$ 共线,求 $x$ 的值.
解因为 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 不共线,所以 $3 \boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b} \neq \mathbf{0}$,因此由已知可得存在实数 $t$,使得
$$
\boldsymbol{a}-x \boldsymbol{b}=t(3 \boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b})
$$
即 $\boldsymbol{a}-x \boldsymbol{b}=3 t \boldsymbol{a}+2 t \boldsymbol{b}$,从而 $\left\{\begin{array}{l}1=3 t,\\ -x=2 t,\end{array}\right.$ 解得 $x=-\frac{2}{3}$.
例 4 如图 6-2-6 所示,已知平面上点 $O$ 是直线 $l$ 外一点,$A,B$ 是直线 $l$ 上给定的两点,求证: 平面内任意一点 $P$ 在直线 $l$ 上的充要条件是,存在实数 $t$,使得
$$
\overrightarrow{O P}=(1-t) \overrightarrow{O A}+t \overrightarrow{O B} .
$$
证明先证必要性. 设点 $P$ 在直线 $l$ 上,
图 6-2-6 则由共线向量基本定理知,存在实数 $t$,使
$$
\overrightarrow{A P}=t \overrightarrow{A B}
$$
因此 $\overrightarrow{O P}-\overrightarrow{O A}=t(\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A})$,所以
$$
\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+t \overrightarrow{O B}-t \overrightarrow{O A}=(1-t) \overrightarrow{O A}+t \overrightarrow{O B} .
$$
再证充分性. 如果 $\overrightarrow{O P}=(1-t) \overrightarrow{O A}+t \overrightarrow{O B}$,则
$$
\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}-t \overrightarrow{O A}+t \overrightarrow{O B}
$$
从而 $\overrightarrow{O P}-\overrightarrow{O A}=t \overrightarrow{O B}-t \overrightarrow{O A}$,即 $\overrightarrow{A P}=t \overrightarrow{A B}$,因此 $P,A,B$ 三点共线,即 $P$ 在直线 $l$ 上.
在例 4 中,如果令 $t=\frac{1}{2}$,则可得点 $P$ 是线段 $A B$ 中点的充要条件为
$$
\overrightarrow{O P}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B})
$$
这与前面我们得到的结论是一致的.
例 5 在平行四边形 $A B C D$ 中,$A C$ 与 $B D$ 交于点 $O,E$ 是线段 $O D$ 的中点,$A E$ 的延长线与 $C D$ 交于点 $F$. 若 $\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{A D}=\boldsymbol{b}$,试用基底 $\{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\}$ 分别表示下列向量:
(1) $\overrightarrow{A E}$;(2) $\overrightarrow{A F}$
(1) 如图 6-2-7 所示,由已知有 $\overrightarrow{D E}=\frac{1}{4} \overrightarrow{D B}$,从而
$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{A E} & =\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{D E}=\overrightarrow{A D}+\frac{1}{4} \overrightarrow{D B} \\
& =\overrightarrow{A D}+\frac{1}{4}(\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A D}) \\
& =\frac{1}{4} \overrightarrow{A B}+\frac{3}{4} \overrightarrow{A D}=\frac{1}{4} \boldsymbol{a}+\frac{3}{4} \boldsymbol{b} .
\end{aligned}
$$
图 6-2-7
(2) 因为 $\triangle D E F \backsim \triangle B E A$,而且
$$
\frac{D F}{B A}=\frac{D E}{B E}=\frac{1}{3}
$$
从而 $D F=\frac{1}{3} A B$,于是
$$
\overrightarrow{A F}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{D F}=\overrightarrow{A D}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A B}=\boldsymbol{b}+\frac{1}{3} \boldsymbol{a}
$$
## 练习 $A$
(1) 如图,判断向量 $b,c,d,e$ 是否可以写成数与向量 $a$ 相乘. 如果可以,写出表达式;如果不可以,说明理由.
(第 1 题)
(2) 已知向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 不共线,且 $2 \boldsymbol{a}+y \boldsymbol{b}=x \boldsymbol{a}-3 \boldsymbol{b}$,求 $x,y$ 的值.
(3) 如图,在平行四边形 $A B C D$ 中,$\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{A D}=\boldsymbol{b},E$ 为 $D C$ 上一点,且 $D E=2 E C$,试用基底 $\{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\}$ 表示 $\overrightarrow{A E},\overrightarrow{B E}$.
(第 3 题) (1) 如图所示,用 $i$ 与 $j$ 表示 $a,b,c,d$,并用 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 表示 $c,d$.
(第 1 题)
(2) 已知 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 不共线,而且 $\boldsymbol{m}=3 \boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b},\boldsymbol{n}=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b},\boldsymbol{p}=7 \boldsymbol{a}-3 \boldsymbol{b}$,试用 $\boldsymbol{m},\boldsymbol{n}$ 表示 $\boldsymbol{p}$.
(3) 已知 $\{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\}$ 是平面向量的一组基底,下列哪些能组成平面向量的一组基底?哪些不能?说明理由。(1) $\{\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b},\boldsymbol{a}\}$;(2) $\{3 \boldsymbol{a}+4 \boldsymbol{b},\boldsymbol{b}\}$;(3) $\{\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b},-\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\}$;(4) $\{2 \boldsymbol{a}+3 \boldsymbol{b},2 \boldsymbol{a}-3 \boldsymbol{b}\}$.
(4) 已知 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 不共线,那么 $s \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ 与 $\boldsymbol{a}$ - $t \boldsymbol{b}$ 一定不共线吗?其中 $s,t$ 都为实数.
5 如图,已知向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 共线:
（1）写出向量 $\boldsymbol{c}$ 用 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 表示的两种方法;
（2）向量 $\boldsymbol{d}$ 能否用 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 表示?为什么?
(第 5 题)
6 $\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$ 与 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ 可能共线吗?请说明理由.
$1 \frac{1}{2}|\boldsymbol{a}| \quad 2 \frac{1}{2} \boldsymbol{a} \quad 3 \quad|\boldsymbol{d}|=\frac{3}{2}|\boldsymbol{a}| \quad 4 \quad \boldsymbol{d}=-\frac{3}{2} \boldsymbol{a} \quad 5-\frac{1}{2} \boldsymbol{e}_{1}-2 \boldsymbol{e}_{2}$
$6-\frac{3}{2} \boldsymbol{e}_{1}+\frac{2}{3} \boldsymbol{e}_{2} \quad 7-\frac{5}{2} \boldsymbol{e}_{1}$
### 2 直线上向量的坐标及其运算
本小节我们考察所有始点与终点都在同一条直线上的向量. 我们约定,直线上的向量特指始点与终点都在这条直线上的向量.
## 1. 直线上向量的坐标
给定一条直线 $l$ 以及这条直线上一个单位向量 $\boldsymbol{e}$,由共线向量基本定理可知,对于直线 $l$ 上的任意一个向量 $\boldsymbol{a}$,一定存在唯一的实数 $x$,使得
$$
a=x \boldsymbol{e}
$$
此时,$x$ 称为向量 $\boldsymbol{a}$ 的坐标.
值得注意的是,如果直线上向量 $\boldsymbol{a}$ 的坐标为 $x$,则 $x$ 既能刻画 $\boldsymbol{a}$ 的模,也能刻画向量 $\boldsymbol{a}$ 的方向. 事实上,此时
$$
|\boldsymbol{a}|=|x \boldsymbol{e}|=|x||\boldsymbol{e}|=|x| \text {;}
$$
而且：当 $x>0$ 时，$\boldsymbol{a}$ 的方向与 $\boldsymbol{e}$ 的方向相同；当 $x=0$ 时，$\boldsymbol{a}$ 是零向量；当 $x<0$ 时,$\boldsymbol{a}$ 的方向与 $e$ 的方向相反. 也就是说,在直线上给定了单位向量之后，直线上的向量完全被其坐标确定.
直线上向量的坐标还可以按如下方式来直观理解：如图 6-2-8 所示,在直线 $l$ 上指定一点 $O$ 作为原点,以 $e$ 的方向为正方向,$e$ 的模为单位长度建立数轴,对于 $l$ 上的任意一个向量 $\boldsymbol{a}$,如果我们把它的始点平移到原点 $O$,那么 $\boldsymbol{a}$ 的终点对应的数就是向量 $\boldsymbol{a}$ 的坐标.
图 6-2-8
图 6-2-8 中,向量 $\boldsymbol{a}$ 的坐标为 -4 . 特别地,$\boldsymbol{e}$ 的坐标为 1 .
为了方便起见,以后谈到直线上向量的坐标时,总是默认为已经按照上述方式指定了单位向量 $e$,并建立了数轴;而且,谈到数轴时,也默认为已经指定了与数轴正方向同向的单位向量 $e$. 此时：如果数轴上一点 $A$ 对应的数为 $x$ (记为 $A(x)$,也称点 $A$ 的坐标为 $x$ ),那么向量 $\overrightarrow{O A}$ 对应的坐标为 $x$；反之，这一结论也成立.
因此,为了求出直线上向量的坐标,可以选择如下两种方法中的任何一种:
(1) 将向量用单位向量表示出来;
(2) 将向量的始点平移到原点,读出终点的坐标.
例1 如图 6-2-9 所示,求出直线上向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 的坐标.
图 6-2-9 解因为 $a$ 的始点在原点,所以由 $a$ 的终点坐标可知 $a$ 的坐标为 1
因为 $\boldsymbol{b}=-3 \boldsymbol{e}$,所以 $\boldsymbol{b}$ 的坐标为 2
## 2. 直线上向量的运算与坐标的关系
## 尝试与发现
直线上的向量有了坐标之后,向量的相等以及运算与它们对应的坐标之间有什么关系?
假设直线上两个向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 的坐标分别为 $x_{1},x_{2}$,即
$$
\boldsymbol{a}=x_{1} \boldsymbol{e},\boldsymbol{b}=x_{2} \boldsymbol{e} .
$$
当 $\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$ 时,有 $x_{1} \boldsymbol{e}=x_{2} \boldsymbol{e}$,由 $\boldsymbol{e}$ 是单位向量可知 $x_{1}=x_{2}$；反之,结论也成立. 这就是说,直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等.
另外,因为
$$
\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=x_{1} \boldsymbol{e}+x_{2} \boldsymbol{e}=\left(x_{1}+x_{2}\right) \boldsymbol{e},$$
所以 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ 的坐标是 $x_{1}+x_{2}$,这就是说,直线上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和.
类似地,可以得出,如果 $u,v$ 是两个实数,那么 $u \boldsymbol{a}+v \boldsymbol{b}$ 的坐标为 $u x_{1}+v x_{2},u \boldsymbol{a}-v \boldsymbol{b}$ 的坐标为 3
例 2 已知直线上向量 $\boldsymbol{a}$ 的坐标为 $-2,\boldsymbol{b}$ 的坐标为 5,求下列向量的坐标:
(1) $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$;(2) $\frac{1}{5} \boldsymbol{b}$;(3) $-2 \boldsymbol{a}-3 \boldsymbol{b}$.
(1) $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ 的坐标为 $-2+5=3$.
(2) $\frac{1}{5} \boldsymbol{b}$ 的坐标为 $\frac{1}{5} \times 5=1$.
(3) $-2 \boldsymbol{a}-3 \boldsymbol{b}$ 的坐标为 $(-2) \times(-2)-3 \times 5=-11$.
利用上述直线上向量的运算与坐标之间的关系,由数轴上任意两点的坐标,我们可以求出它们之间的距离,以及它们中点的坐标.
事实上,设 $A\left(x_{1}\right),B\left(x_{2}\right)$ 是数轴上两点,$O$ 为坐标原点,则 $\overrightarrow{O A}=x_{1} \boldsymbol{e}$,$\overrightarrow{O B}=x_{2} e$,因此
$$
\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}=x_{2} \boldsymbol{e}-x_{1} \boldsymbol{e}=\left(x_{2}-x_{1}\right) \boldsymbol{e}
$$
所以不难看出
$$
A B=|\overrightarrow{A B}|=\left|x_{2}-x_{1}\right| .
$$
这就是数轴上两点之间的距离公式.
另外,假设 $M(x)$ 是线段 $A B$ 的中点,则
$$
\overrightarrow{O M}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B})=\frac{x_{1} \boldsymbol{e}+x_{2} \boldsymbol{e}}{2}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2} \boldsymbol{e},$$
又因为 $\overrightarrow{O M}=x e$,所以
$$
x=\frac{x_{1}+x_{2}}{2} .
$$
这就是数轴上的中点坐标公式.
例 3 设数轴上两点 $A,B$ 的坐标分别为 $3,-7$,求:
(1) 向量 $\overrightarrow{A B}$ 的坐标,以及 $A$ 与 $B$ 的距离;
(2) 线段 $A B$ 中点的坐标.
解 (1) 由题意得 $\overrightarrow{O A}$ 的坐标为 $3,\overrightarrow{O B}$ 的坐标为 -7,又因为 $\overrightarrow{A B}=$ $\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}$,所以 $\overrightarrow{A B}$ 的坐标为 $-7-3=-10$,而且
$$
A B=|\overrightarrow{A B}|=|-10|=10
$$
(2) 设线段 $A B$ 中点的坐标为 $x$,则
$$
x=\frac{3+(-7)}{2}=-2 \text {. }
$$
## 练习A
(1) 已知 $e$ 是直线 $l$ 上的一个单位向量,向量 $a$ 与 $b$ 都是直线 $l$ 上的向量,分别在下列条件下写出 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的坐标:
(1) $\boldsymbol{a}=3 \boldsymbol{e},\boldsymbol{b}=-6 \boldsymbol{e}$;(2) $\boldsymbol{a}=-\frac{1}{4} \boldsymbol{e},\boldsymbol{b}=2 \boldsymbol{e}$.
(2) 写出数轴上零向量的坐标.
(3) 设数轴上两点 $A,B$ 的坐标分别为 $-1,3$,求:
(1) 向量 $\overrightarrow{A B}$ 的坐标,以及 $A$ 与 $B$ 的距离;(2) 线段 $A B$ 中点的坐标.
## 练习B
(1) 已知 $\boldsymbol{e}$ 是直线 $l$ 上的一个单位向量,直线 $l$ 上向量 $\boldsymbol{a}$ 对应的坐标为 $x$,判断下列命题是否正确:
(1) $|e|=1$;(2) $|\boldsymbol{a}|=x$.
(2) 已知 $\boldsymbol{e}$ 是直线 $l$ 上的一个单位向量,$\boldsymbol{a}$ 与 $b$ 都是直线 $l$ 上的向量,且 $\boldsymbol{a}=\frac{2}{3} \boldsymbol{e}$,$\boldsymbol{b}=-\frac{5}{6} \boldsymbol{e}$,求 $|\boldsymbol{a}|,|\boldsymbol{b}|,|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|,|2 \boldsymbol{a}-3 \boldsymbol{b}|$.
(3) 已知 $A,B$ 都是数轴上的点,$A(3)$,且 $\overrightarrow{A B}$ 的坐标为 -5,求点 $B$ 的坐标.
12
3. $u x_{1}-v x_{2}$
### 3 平面向量的坐标及其运算
## 1. 平面向量的坐标
平面上的两个非零向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$,如果它们所在的直线互相垂直,我们就称向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 垂直,记作 $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$,为了方便起见,规定零向量与任意向量都垂直.
我们已经从平面向量基本定理知道,给定平面内两个不共线的向量（即给定一组基底）后,平面内的任意一个向量都能用这两个向量表示.
如果平面向量的基底 $\left\{e_{1},e_{2}\right\}$ 中,$e_{1} \perp \boldsymbol{e}_{2}$,就称这组基底为正交基底;在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解.
## 尝试与发现
如图 6-2-10 所示,已知 $\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2}$ 是平面内两个相互垂直的单位向量,将图中的向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 都用 $\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2}$ 表示.
图 6-2-10
(10)
可以看出,$\boldsymbol{a}=2 \boldsymbol{e}_{1}+2 \boldsymbol{e}_{2},\boldsymbol{b}=3 \boldsymbol{e}_{1}-2 \boldsymbol{e}_{2}$.
一般地,给定平面内两个相互垂直的单位向量 $\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2}$,对于平面内的向量 $\boldsymbol{a}$,如果
$$
\boldsymbol{a}=x \boldsymbol{e}_{1}+y \boldsymbol{e}_{2},$$
则称 $(x,y)$ 为向量 $\boldsymbol{a}$ 的坐标,记作 $\boldsymbol{a}=(x,y)$.
因此,图 6-2-10 中 $\boldsymbol{a}$ 的坐标为 $(2,2),\boldsymbol{b}$ 的坐标为 1
平面上向量的坐标也可以按照如下方式来直观理解：如图 6-2-11 所示,在平面上指定一点 $O$ 作为原点,以 $\boldsymbol{e}_{1}$ 的方向为 $x$ 轴的正方向,以 $\boldsymbol{e}_{2}$ 的方向为 $y$ 轴的正方向,以 $\boldsymbol{e}_{1}$ （或 $e_{2}$ ） 的模为单位长度建立平面直角坐标系,对于平面上任意一个向量 $\boldsymbol{a}$,如果我们把它的始点平移到原点 $O$,那么 $\boldsymbol{a}$ 的终点对应的坐标就是向量 $a$ 的坐标.
图 6-2-11
图 6-2-11 中,$\boldsymbol{a}=(4,2),\boldsymbol{b}=2 \quad$. 特别地,$\boldsymbol{e}_{1}=(1,0)$,$\boldsymbol{e}_{2}=3$
为了方便起见,以后谈到平面上向量的坐标时,总是默认为已经按照上述方式指定了单位向量 $\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2}$,并建立了平面直角坐标系；同时,谈到平面直角坐标系时,默认为已经指定了与 $x$ 轴及 $y$ 轴的正方向同向的两个单位向量. 此时: 如果平面上一点 $A$ 的坐标为 $(x,y)$ (通常记为 $A(x,y)$ ),那么向量 $\overrightarrow{O A}$ 对应的坐标也为 $(x,y)$,即 $\overrightarrow{O A}=(x,y)$;反之,这一结论也成立.
因此,为了求出平面上向量的坐标,可以选择如下两种方法中的任何一种:
（1） 将向量用单位向量 $\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2}$ 表示出来;
(2) 将向量的始点平移到原点,读出终点的坐标.
例1 如图 6-2-12 所示,写出向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 的坐标.
图 6-2-12
解因为 $a$ 的始点在原点,所以由 $\boldsymbol{a}$ 的终点坐标可知
$$
\boldsymbol{a}=(5,-1) \text {. }
$$
又因为 $\boldsymbol{b}=-4 \boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2}$,所以 $\boldsymbol{b}=\underline{4}$
## 2. 平面上向量的运算与坐标的关系
## 尝试与发现
平面上的向量有了坐标之后，向量的相等以及运算与它们对应的坐标之间有什么关系?
假设平面上两个向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 满足 $\boldsymbol{a}=\left(x_{1},y_{1}\right),\boldsymbol{b}=\left(x_{2},y_{2}\right)$,也就是说
$$
\boldsymbol{a}=x_{1} \boldsymbol{e}_{1}+y_{1} \boldsymbol{e}_{2},\boldsymbol{b}=x_{2} \boldsymbol{e}_{1}+y_{2} \boldsymbol{e}_{2} .
$$
则当 $\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$ 时,有 $x_{1} \boldsymbol{e}_{1}+y_{1} \boldsymbol{e}_{2}=x_{2} \boldsymbol{e}_{1}+y_{2} \boldsymbol{e}_{2}$,由 $\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2}$ 是相互垂直的单位向量可知 $x_{1}=x_{2}$ 且 $y_{1}=y_{2}$;反之结论也成立. 这就是说,平面上两个向量相等的充要条件是它们的坐标对应相等.
另外,因为
$$
\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=x_{1} \boldsymbol{e}_{1}+y_{1} \boldsymbol{e}_{2}+x_{2} \boldsymbol{e}_{1}+y_{2} \boldsymbol{e}_{2}=\left(x_{1}+x_{2}\right) \boldsymbol{e}_{1}+\left(y_{1}+y_{2}\right) \boldsymbol{e}_{2},$$
所以
$$
\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\left(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}\right) \text {. }
$$
类似地,可以得出,如果 $u,v$ 是两个实数,那么
$$
\begin{aligned}
u \boldsymbol{a}+v \boldsymbol{b} & =\left(u x_{1}+v x_{2},u y_{1}+v y_{2}\right),\\
u \boldsymbol{a}-v \boldsymbol{b} & =5
\end{aligned}
$$
例 2 已知 $\boldsymbol{a}=(-2,3),\boldsymbol{b}=(3,-3)$,求下列向量的坐标:
(1) $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$;(2) $2 \boldsymbol{a}-5 \boldsymbol{b}$;(3) $\frac{1}{3} \boldsymbol{b}$
解 (1) $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(-2,3)+(3,-3)=(-2+3,3-3)=(1,0)$.
(2) $2 \boldsymbol{a}-5 \boldsymbol{b}=2(-2,3)-5(3,-3)$
$$
=(-4,6)-(15,-15)=(-19,21) \text {. }
$$
(3) $\frac{1}{3} \boldsymbol{b}=\frac{1}{3}(3,-3)=(1,-1)$.
由平面上向量的坐标还能得到向量的模.
事实上,如果向量 $\boldsymbol{a}=(x,y)$,当 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2}$ 都不共线时,若 $\boldsymbol{a}$ 的始点在原点,则过 $\boldsymbol{a}$ 的终点分别作 $x$ 轴与 $y$ 轴的垂线,可以构造出一个边长分别为 $|x|$ 与 $|y|$ 的矩形,而 $|\boldsymbol{a}|$ 正好等于矩形的对角线长,因此
$$
|\boldsymbol{a}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
$$
当 $a$ 与 $e_{1}$ 或 $e_{2}$ 共线时,上述结论显然也成立. 例 3 已知 $\boldsymbol{a}=(\sqrt{3},1),\boldsymbol{b}=(-2 \sqrt{3},2)$,求 $|\boldsymbol{a}|,|\boldsymbol{b}|$.
解由已知可得
$$
|\boldsymbol{a}|=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+1^{2}}=2,\quad|\boldsymbol{b}|=\sqrt{(-2 \sqrt{3})^{2}+2^{2}}=\sqrt{16}=4 .
$$
## 拓展阅读
向量的推广与应用
我们已经知道,平面向量可以用两个实数组成的有序实数对 $\left(a_{1},a_{2}\right)$ 表示. 以后我们还将学习空间向量,空间向量可用三个实数组成的有序实数组 $\left(a_{1},a_{2},a_{3}\right)$ 来表示.
在实际问题中,我们还会遇到一些需要用更多的实数才能表示的量. 例如,期中进行了五门考试,每个学生的考试成绩情况要用五个实数组成的有序实数组才能表示;在汽车生产线上,如果对装配好的汽车进行制动距离、最高车速、每千米油耗量、滑行距离、噪声、废气排放量等六项指标的测试,那么每辆新车质量要用由六个实数组成的有序实数组才能表示. 这些量都可以抽象为向量.
由 $n$ 个实数组成的有序实数组 $\left(a_{1}\right.$,$a_{2},\cdots,a_{n}$ ) 称为 $n$ 维向量,它是平面向量与空间向量的推广. 给定 $n$ 维向量,我们可以建立与平面向量类似的线性运算,并且可以用它们来解决生活中的一些问题.
例如,假设某班共有 30 位同学,则高一上学期期中考试的五门课程成绩可以用 30 个 5 维向量表示,即
$\boldsymbol{a}_{i}=\left(a_{i 1},a_{i 2},a_{i 3},a_{i 4},a_{i 5}\right)$,
$$
i=1,2,\cdots,30,$$
其中 $a_{i j}$ 表示成绩，$i$ 不同表示不同的同学,$j$ 不同表示不同的课程.
为了得到期中考试每门课程的平均分,我们只需要将这 30 个向量全部加起来,然后再乘以 $\frac{1}{30}$,即只要算出
$$
\begin{gathered}
\frac{1}{30} \sum_{i=1}^{30} \boldsymbol{a}_{i}=\left(\frac{1}{30} \sum_{i=1}^{30} a_{i 1},\frac{1}{30} \sum_{i=1}^{30} a_{i 2},\right. \\
\left.\frac{1}{30} \sum_{i=1}^{30} a_{i 3},\frac{1}{30} \sum_{i=1}^{30} a_{i 4},\frac{1}{30} \sum_{i=1}^{30} a_{i 5}\right)
\end{gathered}
$$
即可,其中 $\frac{1}{30} \sum_{i=1}^{30} a_{i j}$ 为第 $j$ 门课程的平均成绩.
如今是计算机普及的时代,上述计算不再令人生畏,向计算机输入数据,计算机能在很短的时间内完成计算任务.
## 3. 平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式
利用平面向量坐标的知识,我们可以得到平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式.
事实上,设 $A\left(x_{1},y_{1}\right),B\left(x_{2},y_{2}\right)$ 为平面直角坐标系中的两点,则
$$
\overrightarrow{O A}=\left(x_{1},y_{1}\right),\overrightarrow{O B}=\left(x_{2},y_{2}\right) \text {,}
$$
所以
$$
\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}=\left(x_{2},y_{2}\right)-\left(x_{1},y_{1}\right)=\left(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1}\right) \text {,}
$$
因此
$$
A B=|\overrightarrow{A B}|=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}
$$
这就是平面直角坐标系内两点之间的距离公式.
另外,设线段 $A B$ 中点为 $M(x,y)$,则 $\overrightarrow{O M}=(x,y)$,又因为
$$
\overrightarrow{O M}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B})=\frac{1}{2}\left(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}\right)=\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right) \text {,}
$$
所以
$$
x=\frac{x_{1}+x_{2}}{2},y=\frac{y_{1}+y_{2}}{2} .
$$
这就是平面直角坐标系内的中点坐标公式.
例 4 已知 $A(-2,1),B(1,3)$,求线段 $A B$ 的中点 $M$ 与三等分点 $P,Q$ 的坐标（如图 6-2-12 所示).
解显然
$\overrightarrow{O M}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B})=\frac{1}{2}[(-2,1)+(1,3)]$
$$
=\left(-\frac{1}{2},2\right) \text {. }
$$
图 6-2-13
因为
$$
\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}=(1,3)-(-2,1)=(3,2),$$
又因为 $\overrightarrow{A P}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A B}$,所以 $\overrightarrow{O P}-\overrightarrow{O A}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A B}$,因此
$$
\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A B}=(-2,1)+\frac{1}{3}(3,2)=\left(-1,\frac{5}{3}\right) .
$$
类似地,有
$$
\overrightarrow{O Q}=\overrightarrow{O A}+\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}=(-2,1)+\frac{2}{3}(3,2)=\left(0,\frac{7}{3}\right) .
$$
因此 $M\left(-\frac{1}{2},2\right),P\left(-1,\frac{5}{3}\right),Q\left(0,\frac{7}{3}\right)$.
例 5 已知平行四边形 $A B C D$ 的三个顶点 $A(-2,1),B(2,2)$,$C(3,4)$,而且 $A,B,C,D$ 按逆时针方向排列,求:
(1) $A B,A D$;(2) $D$ 点的坐标.
解 (1) 不难看出
$$
A B=\sqrt{[2-(-2)]^{2}+(2-1)^{2}}=\sqrt{17} .
$$
又因为 $A D=B C$,所以
$$
A D=B C=\sqrt{(3-2)^{2}+(4-2)^{2}}=\sqrt{5} .
$$
(2) 由题意知 $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{D C}$,所以 $\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}=\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O D}$,因此 $\overrightarrow{O D}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O B}=(-2,1)+(3,4)-(2,2)=(-1,3)$,从而 $D(-1,3)$.
## 4. 向量平行的丛标表示
设 $\boldsymbol{a}=\left(x_{1},y_{1}\right),\boldsymbol{b}=\left(x_{2},y_{2}\right)$,下面我们来考察这两个向量平行时,它们的坐标应该满足的条件.
当 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$ 时:
如果 $\boldsymbol{a} \neq \mathbf{0}$,由共线向量基本定理可知存在 $\lambda$,使得 $\boldsymbol{b}=\lambda \boldsymbol{a}$,即
$$
\left(x_{2},y_{2}\right)=\lambda\left(x_{1},y_{1}\right)=\left(\lambda x_{1},\lambda y_{1}\right) \text {,}
$$
因此 $\left\{\begin{array}{l}x_{2}=\lambda x_{1},\\ y_{2}=\lambda y_{1},\end{array}\right.$ 从而 $\left\{\begin{array}{l}x_{2} y_{1}=\lambda x_{1} y_{1},\\ x_{1} y_{2}=\lambda x_{1} y_{1},\end{array}\right.$ 所以 $x_{2} y_{1}=x_{1} y_{2}$；
如果 $\boldsymbol{a}=\mathbf{0}$,即 $\left(x_{1},y_{1}\right)=(0,0),x_{2} y_{1}=x_{1} y_{2}$ 显然也成立.
反过来，当 $x_{2} y_{1}=x_{1} y_{2}$ 时:
如果 $x_{1} \neq 0$ 且 $y_{1} \neq 0$,则有 $\frac{x_{2}}{x_{1}}=\frac{y_{2}}{y_{1}}$,设这个比值为 $\lambda$,则有 $\left\{\begin{array}{l}x_{2}=\lambda x_{1},\\ y_{2}=\lambda y_{1},\end{array}\right.$ 从而 $\left(x_{2},y_{2}\right)=\left(\lambda x_{1},\lambda y_{1}\right)=\lambda\left(x_{1},y_{1}\right)$，即 $\boldsymbol{b}=\lambda \boldsymbol{a}$，因此 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$;
如果 $x_{1}=0$ 且 $y_{1} \neq 0$,则有 $x_{2}=0$,设 $\lambda=\frac{y_{2}}{y_{1}}$,同样有 $\left(x_{2},y_{2}\right)=\lambda\left(x_{1}\right.$,$\left.y_{1}\right)$，即 $\boldsymbol{b}=\lambda \boldsymbol{a}$，因此 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$;
类似地,如果 $x_{1} \neq 0$ 且 $y_{1}=0$,设 $\lambda=\frac{x_{2}}{x_{1}}$,同样有 $\boldsymbol{b}=\lambda \boldsymbol{a}$,因此 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$;
如果 $x_{1}=0$ 且 $y_{1}=0$,则 $\boldsymbol{a}=\mathbf{0}$,因此 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$.
从而，不管哪种情况都有 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$.
综上有
$$
\boldsymbol{a} / / \mathbf{b} \Leftrightarrow x_{2} y_{1}=x_{1} y_{2}
$$
例 6 已知 $\overrightarrow{A B}=(2,5),\boldsymbol{a}=(1,y),\overrightarrow{A B} / / \boldsymbol{a}$,求 $y$ 的值.
解因为 $\overrightarrow{A B} / / \boldsymbol{a}$,所以 $1 \times 5=2 \times y$,解得 $y=\frac{5}{2}$.
例 7 在平面直角坐标系中,已知 $A(-2,-3),B(0,1),C(2,5)$,求证：$A,B,C$ 三点共线.
证明由已知得
$$
\begin{aligned}
& \overrightarrow{A B}=(0,1)-(-2,-3)=(2,4),\\
& \overrightarrow{A C}=(2,5)-(-2,-3)=(4,8)
\end{aligned}
$$
因为 $2 \times 8=4 \times 4$,所以
$$
\overrightarrow{A B} / / \overrightarrow{A C}
$$
因此 $A,B,C$ 三点共线.
## 练习A
(1) 已知 $\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2}$ 是平面内两个相互垂直的单位向量,且
$$
\boldsymbol{a}=-2 \boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2},\boldsymbol{b}=3 \boldsymbol{e}_{1}-\sqrt{2} \boldsymbol{e}_{2},\boldsymbol{c}=-\sqrt{3} \boldsymbol{e}_{1},$$
求 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$ 的坐标.
(2) 写出平面直角坐标系中零向量的坐标.
(3) 已知 $\boldsymbol{a}=(3,1),\boldsymbol{b}=(-2,1)$,求 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ 和 $-3 \boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b}$.
(4) 已知 $A(-1,-3),B(0,-1),C(1,1)$,求向量 $\overrightarrow{A B},\overrightarrow{A C}$,并判断 $A,B$,$C$ 三点是否共线.
(5) 已知平行四边形 $A B C D$ 的三个顶点 $A(-1,-2),B(3,-1),C(4,2)$,而且 $A,B,C,D$ 按逆时针方向排列,求:
(1) $A B,A D$;(2) $D$ 点的坐标.
## 练习B
(1) 已知 $\boldsymbol{a}=(\sqrt{3},1)$,分别求与 $\boldsymbol{a}$ 方向相同及相反的单位向量的坐标.
(2) 已知 $\boldsymbol{a}=(-3,-4),\boldsymbol{b}=(2,y)$,并且 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$,求 $y$.
(3) 已知 $A(-5,7),B(-3,1)$,且 $C$ 与 $A$ 关于点 $B$ 对称,求 $C$ 的坐标.
(4) 已知 $A(3,-6),B(-5,2),C(6,y)$ 三点共线,求 $y$ 的值.
(5) 已知平面直角坐标系中,$A(1,1),B$ 是 $x$ 轴上的点,且 $A B=2$,求 $B$ 的坐标.
$1(3,-2) \quad 2(-3,-1) \quad 3(0,1) \quad 4(-4,1)$
$5\left(u x_{1}-v x_{2},u y_{1}-v y_{2}\right)$
## 习题6-2A
(1) 如图,平行四边形 $A B C D$ 的两条对角线相交于点 $O$,且 $\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{A D}=\boldsymbol{b}$。试用基底 $\{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\}$ 表示 $\overrightarrow{O A},\overrightarrow{O B},\overrightarrow{O C},\overrightarrow{O D}$
(第 1 题) (2) 在 $\triangle A B C$ 中,$D,E$ 是 $A B,A C$ 上一点,$D E / / B C$ 且 $A D=\frac{1}{3} A B$,设 $\overrightarrow{A B}=$ $\boldsymbol{a},\overrightarrow{A C}=\boldsymbol{b}$,试用基底 $\{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\}$ 表示向量 $\overrightarrow{D E}$.
(3) 已知 $\boldsymbol{a}=(1,2),\boldsymbol{b}=(2,3)$,实数 $x,y$ 满足等式 $x \boldsymbol{a}+y \boldsymbol{b}=(3,4)$,求 $x,y$.
(4) 已知点 $A(0,1),B(1,0),C(1,2),D(2,1)$,求证: $A B / / C D$.
(5) 已知 $A(5,1),B(1,3),\overrightarrow{O_{1}}=\frac{1}{3} \overrightarrow{O A},\overrightarrow{O_{1}}=\frac{1}{3} \overrightarrow{O B}$,求 $\overrightarrow{A_{1} B_{1}}$ 的坐标和模.
## 习题6-2B
(1) 如图,已知点 $C$ 是直线 $A B$ 上一点,且 $A B=2 B C$. 用 $\overrightarrow{A B}$ 分别表示 $\overrightarrow{A C},\overrightarrow{C B}$.
$\stackrel{A}{A} \stackrel{B}{\longrightarrow} \stackrel{C}{C}$
(第 1 题)
(2) 已知点 $C$ 是直线 $A B$ 上一点,且 $|\overrightarrow{A C}|=2|\overrightarrow{B C}|$. 若 $\overrightarrow{A C}=\lambda \overrightarrow{B C}$,求 $\lambda$ 的值.
(3) 已知 $\{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\}$ 是平面向量的一组基底,实数 $x,y$ 满足
$$
3 x \boldsymbol{a}+(10-y) \boldsymbol{b}=(4 x+7) \boldsymbol{a}+2 x \boldsymbol{b} \text {. }
$$
求 $x,y$ 的值.
(4) 已知 $\boldsymbol{a}=(1,2),\boldsymbol{b}=(-3,2)$,当 $k$ 为何值时,$k \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ 与 $\boldsymbol{a}-3 \boldsymbol{b}$ 平行?
(5) 如图,已知 $M,N,P$ 分别是 $\triangle A B C$ 三边 $B C,C A$,$A B$ 上的点,且
$\overrightarrow{B M}=\frac{1}{4} \overrightarrow{B C},\overrightarrow{C N}=\frac{1}{4} \overrightarrow{C A},\overrightarrow{A P}=\frac{1}{4} \overrightarrow{A B}$,如果 $\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{A C}=\boldsymbol{b}$,试用基底 $\{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\}$ 表示向量 $\overrightarrow{M N},\overrightarrow{N P},\overrightarrow{P M}$
(第 5 题)
## 习题6-2C
(1) 已知向量 $e_{1},e_{2},c$ 在正方形网格中的位置如图所示,试用向量 $e_{1}$,$\boldsymbol{e}_{2}$ 表示向量 $\boldsymbol{c}$.
(2) 在平行四边形 $A B C D$ 中,$E,F$ 分别为 $D C,B C$ 中点,$\overrightarrow{A E}=\boldsymbol{a}$,
(第 1 题) $\overrightarrow{A F}=\boldsymbol{b}$,试用基底 $\{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\}$ 表示向量 $\overrightarrow{A B},\overrightarrow{A D}$.
## 3 平面向量线性运算的应用
## 1. 向量在平面几何中的应用
在学习向量及其运算时,我们已经看到向量在三角形、平行四边形等平面几何中的应用. 实际上,利用平面向量可以很好地描述有关全等、相似、平行等关系,从而可以求解和证明平面几何问题.
例 1 如图 6-3-1 所示,$M N$ 是 $\triangle A B C$ 的中位线,求证:
$$
M N / / B C \text { 且 } M N=\frac{1}{2} B C \text {. }
$$
证明因为 $M,N$ 分别是 $A B,A C$ 边上的中点,所以 $\overrightarrow{A M}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B},\overrightarrow{A N}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A C}$,因此
图 6-3-1
$$
\overrightarrow{M N}=\overrightarrow{A N}-\overrightarrow{A M}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A C}-\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B})=\frac{1}{2} \overrightarrow{B C},$$
从而可知 $M N / / B C$ 且 $M N=\frac{1}{2} B C$.
例 1 的结论是大家非常熟悉的三角形中位线定理,初中的时候我们是利用平行四边形的性质来证明的，但这里只用到了平面向量的线性运算.
例 2 如图 6-3-2 所示,已知平行四边形 $A B C D$ 中,$E,F$ 在对角线 $B D$ 上,并且 $B E=F D$.
求证: 四边形 $A E C F$ 是平行四边形.
证明由已知可设
$$
\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{D C}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{B E}=\overrightarrow{F D}=\boldsymbol{b}
$$
图 6-3-2
则
$$
\overrightarrow{A E}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B E}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b},\overrightarrow{F C}=\overrightarrow{F D}+\overrightarrow{D C}=\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}
$$
又因为 $a+b=b+a$,所以
$$
\overrightarrow{A E}=\overrightarrow{F C}
$$
因此,从而可知四边形 $A E C F$ 是平行四边形.
例 2 用初中的三角形全等也能证明，但是我们这里还是只用到了平面向量的线性运算.
例 3 如图 6-3-3 所示,已知 $\triangle A B C$ 中,$E$,$F$ 分别是 $A B,B C$ 的中点,$A F$ 与 $C E$ 相交于点 $O$,求 $A O: O F$ 与 $C O: O E$ 的值.
解因为
$$
\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A O}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}
$$
又因为 $E,F$ 都是中点,所以
图 6-3-3
$\overrightarrow{A O}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=2 \overrightarrow{E B}+2 \overrightarrow{B F}=2 \overrightarrow{E F}$.
另外,$\overrightarrow{E F}=\overrightarrow{E O}+\overrightarrow{O F}$,所以 $\overrightarrow{A O}+\overrightarrow{O C}=2 \overrightarrow{E O}+2 \overrightarrow{O F}$. 设 $\overrightarrow{A O}=s \overrightarrow{O F}$,$\overrightarrow{C O}=t \overrightarrow{O E}$,则有 $s \overrightarrow{O F}-t \overrightarrow{O E}=2 \overrightarrow{E O}+2 \overrightarrow{O F}$,即
$$
(s-2) \overrightarrow{O F}=(t-2) \overrightarrow{O E} \text {. }
$$
从而由共线向量基本定理可知 $s=t=\underline{1}$，因此
$$
A O: O F=C O: O E=2
$$
例 3 中的 $O$ 点是 $\triangle A B C$ 的重心. 同样,我们这里是利用平面向量的线性运算得到了三角形重心的一个性质,这个性质如果用相似三角形等知识来证明,需要添加辅助线.
## 2. 向量在物理中的应用
我们在物理中已经学习过,利用向量可以描述物理学中的位移、力、速度、加速度等,因此,在涉及这些量的运算时,我们都可以借助向量来完成.
例如,从物理学中我们知道,同一个力 $\boldsymbol{F}$ 可以分解成无数对大小、方向不同的分力. 从数学上来说,这是因为对于同一条对角线,可以有无数个平行四边形,如图 6-3-4 所示.
又如,如果一个质点 $O$ 处于平衡状
图 6-3-4
态,而且受到多个力的作用,那就是说这些力的合力为零. 特别地,如果两个力 $\boldsymbol{F}_{1},\boldsymbol{F}_{2}$ 的合力为零,则
$$
\boldsymbol{F}_{1}+\boldsymbol{F}_{2}=\mathbf{0},$$
也就是说,这两个力互为相反向量,如图 6-3-5 (1) 所示;如果三个力 $\boldsymbol{F}_{1}$,$\boldsymbol{F}_{2},\boldsymbol{F}_{3}$ 的合力为零,则
$$
\boldsymbol{F}_{1}+\boldsymbol{F}_{2}+\boldsymbol{F}_{3}=\mathbf{0},$$
也就是说,其中任意两个力的合力是另外一个力的相反向量,如图 6-3-5
(2) 所示.
(1)
(2)
图 6-3-5
例 4 如图 6-3-6 所示,一个物体被两根轻质细绳拉住,且处于平衡状态,已知物体所受的重力大小为 $50 \mathrm{~N}$,求每条绳上的拉力大小.
解因为物体处于平衡状态,所以 $\boldsymbol{F}_{1}+\boldsymbol{F}_{2}$ 是重力的相反向量,因此 $\left|\boldsymbol{F}_{1}+\boldsymbol{F}_{2}\right|=50 \mathrm{~N}$.
又由图与向量加法的平行四边形法则可
图 6-3-6 知,$\boldsymbol{F}_{1}+\boldsymbol{F}_{2}$ 的方向是竖直向上的,且
$$
\left|\boldsymbol{F}_{1}+\boldsymbol{F}_{2}\right|=2\left|\boldsymbol{F}_{1}\right| \sin 45^{\circ}=2\left|\boldsymbol{F}_{2}\right| \sin 45^{\circ},$$
所以
$$
\left|\boldsymbol{F}_{1}\right|=\left|\boldsymbol{F}_{2}\right|=\frac{50 \mathrm{~N}}{2 \sin 45^{\circ}}=25 \sqrt{2} \mathrm{~N} \text {. }
$$
因此,每条绳上的拉力为 $25 \sqrt{2} \mathrm{~N}$.
例 5 如图 6-3-7 (1) 所示,把一个物体放在倾角为 $30^{\circ}$ 的斜面上,物体处于平衡状态,且受到三个力的作用,即重力 $\boldsymbol{G}$,沿着斜面向上的摩擦力 $\boldsymbol{F}_{1}$,垂直斜面向上的弹力 $\boldsymbol{F}_{2}$. 已知 $|\boldsymbol{G}|=100 \mathrm{~N}$,求 $\boldsymbol{F}_{1},\boldsymbol{F}_{2}$ 的大小.
(1)
(2)
图 6-3-7
解建立如图 6-3-7 (2) 所示的平面直角坐标系,则
$$
\boldsymbol{F}_{1}=\left(-\left|\boldsymbol{F}_{1}\right|,0\right),\boldsymbol{F}_{2}=\left(0,-\left|\boldsymbol{F}_{2}\right|\right) \text {. }
$$
又由已知可得
$$
\boldsymbol{G}=\left(100 \sin 30^{\circ},100 \cos 30^{\circ}\right)=(50,50 \sqrt{3}),$$
且 $\boldsymbol{G}+\boldsymbol{F}_{1}+\boldsymbol{F}_{2}=\mathbf{0}$,所以
$$
(50,50 \sqrt{3})+\left(-\left|\boldsymbol{F}_{1}\right|,0\right)+\left(0,-\left|\boldsymbol{F}_{2}\right|\right)=(0,0),$$
从而可知
$$
\left|\boldsymbol{F}_{1}\right|=\underline{3} \quad \mathrm{~N},\left|\boldsymbol{F}_{2}\right|=\underline{4} \quad \mathrm{~N} .
$$
## 习题6-3A
(1) 如图,已知四边形 $A B C D$ 的两条对角线相交于点 $M,A M=M C,D M=M B$. 用平面向量证明四边形 $A B C D$ 是平行四边形.
(2) 在 $\triangle A B C$ 中,已知 $\overrightarrow{A M}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A B},\overrightarrow{A N}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}$. 用平
(第 1 题) 面向量证明 $M N / / B C$ 且 $M N=\frac{1}{3} B C$.
(3) 已知向量 $\overrightarrow{O F_{1}}=(2,2),\overrightarrow{O F_{2}}=(-2,3)$ 分别表示力 $\boldsymbol{F}_{1},\boldsymbol{F}_{2}$,求 $\boldsymbol{F}_{1}+\boldsymbol{F}_{2}$ 的大小.
## 习题6-3B
(1) 已知点 $A(-1,1),B(0,-2),C(3,0),D(2,3)$,求证: 四边形 $A B C D$ 是平行四边形.
(2) 已知 $A(7,5),B(2,3),C(6,-7)$,求证: $\triangle A B C$ 是直角三角形.
(3) 在 $\triangle A B C$ 中,$A D,B E,C F$ 分别是中线,求证:
$$
\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{B E}+\overrightarrow{C F}=\mathbf{0}
$$
(4) 在梯形 $A B C D$ 中,$A B / / D C,P,Q$ 分别是 $A C,B D$ 的中点,用平面向量证明 $P Q / / A B$.
(5) 如图所示,把一个物体放在倾角为 $30^{\circ}$ 的斜面上,物体处于平衡状态,且受到三个力的作用,即重力 $\boldsymbol{G}$,沿着斜面向上的摩擦力 $\boldsymbol{F}_{1}$,垂直斜面向上的弹力 $\boldsymbol{F}_{2}$. 已知
(第 5 题) $\left|\boldsymbol{F}_{1}\right|=30 \mathrm{~N}$,求 $\boldsymbol{G},\boldsymbol{F}_{2}$ 的大小.
## 习题6-3C
(1) 已知点 $O$ 为 $\triangle A B C$ 的重心,求证:
$$
\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=\mathbf{0}
$$
(2) 已知 $\triangle A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A\left(x_{1},y_{1}\right),B\left(x_{2},y_{2}\right),C\left(x_{3},y_{3}\right)$,求证: 这个三角形重心 $G$ 的坐标为
$$
\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3},\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right) .
$$
## 2
$22: 1$
350
$50 \sqrt{3}$
## 本章小结
## 1 知识结构图设计与交流
本章我们学习了一个新的数学对象一向量,并研究了向量之间的加、减与数乘运算,得到了共线向量基本定理与平面向量基本定理. 值得注意的是,我们是从几何（有向线段）与代数（坐标）两个角度来学习有关内容的.
由此可作出本章的知识结构图如下.
若 $\boldsymbol{a}=\left(x_{1},y_{1}\right)$ 且 $\boldsymbol{b}=\left(x_{2},y_{2}\right)$,则:
$$
\begin{array}{llll}
\text { 坐 } & \boldsymbol{a}=\boldsymbol{b} \Leftrightarrow x_{1}=x_{2} \text { 且 } y_{1}=y_{2} & \boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b} \Leftrightarrow x_{1} y_{2}=x_{2} y_{1} & \\
\text { 标 } & \boldsymbol{a} \pm \boldsymbol{b}=\left(x_{1} \pm x_{2},y_{1} \pm y_{2}\right) & \lambda \boldsymbol{a}=\left(\lambda x_{1},\lambda y_{1}\right) & |\boldsymbol{a}|=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}
\end{array}
$$
你能作出不同于上图的知识结构图吗？自己动手试一试吧！
## 课题作业
大家已经看到,我们这一章里所学习的平面向量与物理有千丝万缕的联系,位移、力、速度、加速度等都可以用向量来表述,平行四边形法则、三角形法则等在物理中也接触过.
另外,大家可能也注意到了,数学与物理中的向量使用存在细微的差别. 比如,数学中经常要用到向量的坐标表示,而物理中用得比较多的是向量的有向线段表示.
与其他同学合作,回忆本章内容和所学习过的物理知识,整理数学与物理中对于向量处理方式的相同点,以及各自的侧重点等,并写成小论文.
## 复习题
## $\mathbf{A}$ 组
1. 化简下列各式:
(1) $\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B M}$
(2) $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}-\overrightarrow{A D}$
(3) $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{B O}+\overrightarrow{O M}$;(4) $\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O D}+\overrightarrow{A D}$;(5) $\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{D C}$
(6) $\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D}-\overrightarrow{C D}$.
2. 求下面方程组中的向量 $x,y$ :
$$
\left\{\begin{array}{l}
5 \boldsymbol{x}+2 \boldsymbol{y}=\boldsymbol{a},\\
3 \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}=\boldsymbol{b} .
\end{array}\right.
$$
3. 已知 $\triangle A B C$ 中,$D$ 为 $B C$ 的中点,设 $\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{A C}=\boldsymbol{b}$,用 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 表示 $\overrightarrow{B D}$,$\overrightarrow{C D},\overrightarrow{A D}$
4. 在正方形 $A B C D$ 中,设 $E$ 为边 $A B$ 的中点,且 $\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{A D}=\boldsymbol{b}$. 试用基底 $\{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\}$ 表示 $\overrightarrow{C E},\overrightarrow{D E}$
5. 设 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 是两个不共线的向量,$\overrightarrow{A B}=2 \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b},\overrightarrow{B C}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b},\overrightarrow{C D}=\boldsymbol{a}-2 \boldsymbol{b}$,求证：$A,B,D$ 三点共线.
6. 已知 $\boldsymbol{a}=(3,-5),\boldsymbol{b}=(9,11),\boldsymbol{c}=(8,13)$,求 :
(1) $-2 \boldsymbol{a}+3 \boldsymbol{b}-4 \boldsymbol{c}$;(2) $15 \boldsymbol{a}-6 \boldsymbol{b}+7 \boldsymbol{c}$
7. 已知点 $A(-2,3),B(3,5)$,分别求点 $A,B$ 关于点 $M(1,1)$ 的对称点 $A^{\prime},B^{\prime}$ 的坐标,并说明 $\overrightarrow{A^{\prime} B^{\prime}}=-\overrightarrow{A B}$.
8. 已知向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$ 在正方形网格中的位置如图所示,若 $\boldsymbol{c}=\lambda \boldsymbol{a}+\mu \boldsymbol{b} \quad(\lambda,\mu \in \mathbf{R})$,求 $\frac{\lambda}{\mu}$ 的值.
(第 8 题）
## B 组
1. 已知 $E,F$ 分别是 $\triangle A B C$ 边 $A B,A C$ 上的点,且 $E F / / B C,A E=\frac{1}{3} A B$. 如果 $\overrightarrow{A E}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{A F}=\boldsymbol{b}$,试用向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 表示 $\overrightarrow{B C},\overrightarrow{B F},\overrightarrow{E C},\overrightarrow{C F}$.
2. 设 $P$ 是 $\triangle A B C$ 所在平面内的一点,$\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B A}=2 \overrightarrow{B P}$,则 ( ).
(A) $\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}=\mathbf{0}$
(B) $\overrightarrow{P C}+\overrightarrow{P A}=\mathbf{0}$
(C) $\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}=\mathbf{0}$
(D) $\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}=\mathbf{0}$
3. 如图所示,已知 $|\overrightarrow{O A}|=|\overrightarrow{O B}|=1,|\overrightarrow{O C}|=\sqrt{3},\overrightarrow{O C} \perp$ $\overrightarrow{O B},\angle A O C=30^{\circ}$,用 $\overrightarrow{O A}$ 与 $\overrightarrow{O B}$ 表示 $\overrightarrow{O C}$.
4. 已知 $\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2}$ 不共线,向量 $\boldsymbol{a}=3 \boldsymbol{e}_{1}-4 \boldsymbol{e}_{2},\boldsymbol{b}=6 \boldsymbol{e}_{1}+k \boldsymbol{e}_{2}$,且 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$,求 $k$ 的值.
(第 3 题)
5. 已知 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 不共线,$\overrightarrow{A B}=\lambda \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b},\overrightarrow{A C}=\boldsymbol{a}+\mu \boldsymbol{b}$,其中 $\lambda,\mu \in \mathbf{R}$,那么 $A,B,C$ 三点共线的充要条件为 $(\quad$.
(A) $\lambda+\mu=2$
(B) $\lambda-\mu=1$
(C) $\lambda \mu=-1$
(D) $\lambda \mu=1$
6. 已知 $\boldsymbol{a}=(1,3)$ 与 $\boldsymbol{b}=(-1,\lambda)$ 共线,求实数 $\lambda$ 的值.
7. 已知 $\boldsymbol{a}=(1,2),\boldsymbol{b}=(-3,2)$,且 $k \boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b}$ 与 $2 \boldsymbol{a}-4 \boldsymbol{b}$ 平行,求实数 $k$ 的值.
8. 已知 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 不平行,分别求满足下列各条件的实数 $m,n$ 的值:
(1) $3 \boldsymbol{a}+4 \boldsymbol{b}=(m-1) \boldsymbol{a}+(2-n) \boldsymbol{b}$;
(2) 向量 $(m-n) \boldsymbol{a}+(m+n) \boldsymbol{b}$ 以 $\left\{\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2}\right\}$ 为基底的分解式为 $2 \boldsymbol{e}_{1}+3 \boldsymbol{e}_{2}$,其中 $\boldsymbol{a}=$ $\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2},\boldsymbol{b}=\boldsymbol{e}_{1}-\boldsymbol{e}_{2}$
9. 已知 $A(-1,1),B(3,2),D(0,5),\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A D},A C$ 与 $B D$ 相交于点 $M$,求点 $C,M$ 的坐标.
## $\mathrm{C}$ 组
1. 已知 $\boldsymbol{a}$ 是非零向量,$\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$ 且 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{c}$,求证: $\boldsymbol{b} / / \boldsymbol{c}$.
2. 设 $O$ 是正五边形 $A B C D E$ 内任意一点,求证:
$$
\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{E D}+\overrightarrow{E A}=2(\overrightarrow{D B}+\overrightarrow{C O}+\overrightarrow{O D}+\overrightarrow{E D})
$$
3. 如图所示,$\triangle A B C$ 中,$\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{A C}=\boldsymbol{b},D$ 为 $A B$ 中点,$E$ 为 $C D$ 上一点,且 $D C=3 E C,A E$ 的延长线与 $B C$ 的交点为 $F$.
（1）用向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 表示 $\overrightarrow{A E}$；
(2) 用向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 表示 $\overrightarrow{A F}$,并求出 $A E: E F$ 和 $B F: F C$ 的值.
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## 第一章
## 地球的运动
地球是太阳系的一颗行星,处于不停的运动之中。太阳辐射是地球表面物质运动的主要能量来源。地球运动的特点决定了地球表面接受太阳辐射的变化周期,影响太阳辐射在地球表面的分布。因此,地球运动不仅决定了地球上主要自然环境要素的运动规律和许多自然现象的分布规律，而且对人类活动具有深刻的影响。
在本章，我们重点探讨以下问题:
• 地球主要有哪两种运动方式?
• 地球各运动方式具有哪些特点?
·地球运动有哪些重要的地理意义?
## 第一节
地球的自转和公转
图 1.1 在兴隆观测站拍摄的星轨照片 2011 年 11 月一个晴朗无月的夜晩，在中国科学院国家天文台兴隆观测站，拍摄才队将相机对准北极星附近的星穴并固定好，通过长达 6 小时的曝光，得到一张绚丽的星轨照片（图 1.1）。为什么这些恒星在天穴中看起来都围绕北极星附近做圆周运动?北极星相对地平线的高度与拍摄地点的纬度有什么关系?
## 地球的自转
在茫茫宇宙中,地球与其他星球一样,都处在不断的运动之中。
地球绕其自转轴的旋转运动,叫作地球的自转 (图 1.2)。地球的自转轴叫作地轴,它的北端始终指向北极星附近。在地球上的人们感觉不到地球的自转,在北半球观察,恒星似乎围绕北极星附近的某点（地轴北端指向的星空位置）做圆周运动。北半球纬度越高,北极星相对地平线的高度越高。
地球自西向东自转,自转一周的时间是 1 日。选定的参照物不同,1 日的时间长度略有差别,名称也不同。如果以太阳为参照物,则 1 日的时间长度为 24 时,称为太阳日。如果以遥远的恒星为参照物,则 1 日的时间长度为 23 时 56 分 4 秒,称为恒星日。恒星日是地球自转的真正周期。
图 1.2 地球自转示意
地球自转的速度可以用角速度和线速度来描述 (图 1.3 )。根据自转周期,可以算出地球自转角速度约为 $15^{\circ}$ 每时。地球表面除南北两极点外，任何地点的自转角速度都相等。由于不同纬度的纬线圈长度不同,所以,不同纬度地区的自转线速度有差异。
## 思考
1. 地球自转线速度由赤道至两极有什么变化规律?2. 南北两极点的角速度和线速度分别是多少?
图 1.3 地球自转角速度和线速度
## 地球的公转
地球绕太阳的运动,叫作地球的公转。同地球自转方向一致,地球公转的方向也是自西向东。地球公转一周的时间是 1 年。如果以太阳作为参照物，1 年的时间长度为 365 日 5 时 48 分 46 秒，称为回归年。如果以其他恒星作为参照物，1 年的时间长度为 365 日 6 时 9 分 10 秒，称为恒星年，这是地球公转的真正周期。
地球公转的轨迹叫作公转轨道，它是近似正圆的椭圆轨道,太阳位于椭圆的一个焦点上。每年的 1 月初,地球距离太阳最近,这个位置叫近日点;每年的 7 月初,地球距离太阳最远,这个位置叫远日点。随着地球的公转,日地距离不断地发生细微的变化,地球公转的速度也随之发生变化（图 1.4 )。远日点 (7月初)
日地距离: 1.521 亿 $\mathrm{km}$
角速度: $57^{\prime} / \mathrm{d}$
线速度: $29.3 \mathrm{~km} / \mathrm{s}$
图 1.4 地球公转轨道示意
春分点和秋分点把地球公转轨道等分为两部分。通常年份,北半球夏半年（自春分日至秋分日）的日数是 186 天,冬半年（自秋分日至次年春分日）的日数是 179 天。造成这种日数差异的原因是什么?
## 黄赤交角及其影响
地球自转的同时也在围绕太阳公转。过地心并与地轴垂直的平面称为赤道平面,地球公转轨道平面称为黄道平面。赤道平面与黄道平面之间存在一个交角,叫作黄赤交角（图 1.5 )。目前的黄赤交角是 $23^{\circ} 26^{\prime}$ (1)
地球在公转过程中，地轴的空间指向和黄赤交角的大小，在一定时期内可以看作是不变的。由于黄赤交角的存在,地球在公转轨道上的位置不同,地表接受太阳垂直照射的点（简称太阳直射点 ) 是有变化的（图 1.6 ）。太阳直射的范围，最北到达北纬 $23^{\circ} 26^{\prime}$，最南到达南纬 $23^{\circ} 26^{\prime}$。
(1) 黄赤交角并不是固定不变的。从 1984 年起，天文学上用的黄赤交角的数值为 $23^{\circ} 26^{\prime} 21^{\prime \prime}$。
图 1.5 黄赤交角与二分二至日地球的位置（北半球)
北半球夏至日（ 6 月 22 日前后 ),太阳直射北纬 $23^{\circ} 26^{\prime}$。之后,太阳直射点逐渐南移，到了秋分日（9月 23 日前后)，太阳直射赤道,至冬至日（12 月 22 日前后)，太阳直射南纬 $23^{\circ} 26^{\prime}$。之后,太阳直射点逐渐北返,春分日（3月 21 日前后),太阳直射赤道,到了夏至日，太阳再次直射北纬 $23^{\circ} 26^{\prime}$。
a. 北半球夏至日太阳光照示意
b. 北半球春分日和秋分日太阳光照示意
c. 北半球冬至日太阳光照示意
图 1.6 北半球二分二至日太阳光照示意
太阳直射点在南、北纬 $23^{\circ} 26^{\prime}$ 之间的往返运动，称为太阳直射点的回归运动。北纬 $23^{\circ} 26^{\prime}$ 称为北回归线,南纬 $23^{\circ} 26^{\prime}$ 称为南回归线。太阳直射点回归运动的周期就是一个回归年。
## 活动
## 绘制太阳直射点回归运动示意图
按如下步骤画示意图，表示太阳直射点的移动轨迹。
1. 在图上绘制三条平行且等距的直线，分别表示赤道、北回归线和南回归线。2. 在三条直线的适当位置标注四个点，分别代表北半球二分二至日太阳的直射点。3. 结合课文关于太阳直射点回归运动的描述，画一条曲线表示太阳直射点的移动轨迹。
## 《授时历》―我国历史上使用时间最长的历法
1276 年，郭守敬（图 1.7 ) 主持编制新的历法。为完成这项划时代的任务,郭守敬发明、创制许多当时十分先进的测量仪器。其中，在古代浑天仪基础上简化、制造的简仪（图 1.8 ),是郭守敬发明的最重要的天文观测仪器，其刻度精细，比西方国家类似仪器早了 300 多年。
利用这些仪器,郭守敬在全国设置 27 个观测台站,开展大规模的观测活动。他主要进行了日影、北极星高度、春分秋分日出日落时间等的测定。观测台站分布范围广，北至 $64.5^{\circ} \mathrm{N}$,南至 $15^{\circ} \mathrm{N}$,东至 $128^{\circ} \mathrm{E}$,西至 $102^{\circ} \mathrm{E}。$ 在掌握大量一手测量数据的基础上，郭守敬结合历史记录中部分比较准确的数据,计算出一年的长度是 365.2425 日。这个值与回归年 365.2422 日相差甚小。据此，郭守敬于 1280 年完成了新的历法-《授时历》，这是当时世界上最科学、最精确的历法，也是我国历史上使用时间最长的历法。郭守敬计算的回归年的精度与后来世界通用的公历一致,但比公历早 300 年。《授时历》编制不久即传播到日本、朝鲜，并被采用。
图 1.7 北京古观象台的郭守敬像
图 1.8 北京古观象台的简仪模型
## 第二节
地球运动的地理意义
图 1.9 战斗机飞行路线示意 2007 年 2 月,美国空军 F-22战斗机群飞离夏威夷群岛,前往日本,进行首次海外之旅（图 1.9)。刚开始，一切正常。然而,当战斗机机群经过 $180^{\circ}$ 经线附近海域上空时,一些战斗机的导航等多个电子系统出现故障,甚至完全失灵。这种当时世界上最先进的战斗机一下子变成了“瞎子”。美国空军后来找到了这次行动中战斗机出现故障的原因,是电子系统设计时忽略了一个重要的地理问题。这批战斗机为什么在经过 $180^{\circ}$ 经线附近海域上空时会变成“瞎子”？其电子系统设计时忽略了哪一重要的地理问题?
## 昼夜交替和时差
在同一时间里,太阳只能照亮地球表面的一半。向着太阳的半球是白昼,称为昼半球;背着太阳的半球是黑夜,称为夜半球 (图 1.10)。昼半球和夜半球的分界线 (圈)，叫作晨昏线 (圈)。
地球不停地自转，昼夜也就不断地交替。昼夜交替的周期是 1 个太阳日。这样的周期长短适宜,使得地面白昼不会过于炎热,黑夜不会过于寒冷,有利于生命有机体的生存和发展。昼夜交替影响人类的作息,因此,自古以来太阳日就被作为基本的时间单位。
图 1.10 昼半球和夜半球地球自西向东自转,在同一纬度地区,东边的地点比西边的地点先看到日出。这样,时间就有了早迟之分：东边的地点比西边的地点时间要早。同一瞬间,不同经度的地方,地方时不同,经度每隔 $15^{\circ}$,地方时相差 1 小时。
使用地方时很不方便。1884年，国际经度会议决定按统一标准划分全球时区，实行分区计时的办法。全球共分为 24 个时区,每个时区跨经度 $15^{\circ}$。以本初子午线为基准,从西经 $7.5^{\circ}$ 至东经 $7.5^{\circ}$,划为中时区,或叫零时区。在中时区以东,依次划分为东一区至东十二区;在中时区以西,依次划分为西一区至西十二区。东十二区和西十二区各跨经度 $7.5^{\circ}$,合为一个时区。各时区都以本时区中央经线的地方时作为本时区的区时 (图 1.11)。相邻两个时区的区时相差 1 小时。
图 1.11 时区和国际日界线
为什么国际日界线会有曲折?为了避免日期的紊乱，1884年的国际经度会议，还规定了原则上以 $180^{\circ}$ 经线作为地球上“今天” 和“昨天” 的分界线,并把这条分界线叫作“国际日期变更线”，现改称“国际日界线”。地球上新的一天就从这里开始。东十二区和西十二区的区时相同,但是日期相差一天,即东十二区比西十二区早一天。前述的美国空军F-22战斗机在经过 $180^{\circ}$ 经线附近海域上空时,导航等系统失灵,就是由于电子系统设计忽略了跨越国际日界线时日期变更的问题。
实际上，在分区计时的基础上，世界各国根据本国的具体情况，采用了一些特别的计时方法。例如,有的国家根据领土跨越经度广的实际,不同的时区分别采用不同的区时作为标准时间 (图 1.12);有的国家为了国内各地联系方便，统一采用首都所在地的区时 ( 图 1.13)。
美国本土由东到西包括西五区至西八区 4 个时区。这 4 个时区分别采用本时区的区时作为标准时间,自东向西依次称为东部时间、中部时间、山地时间和太平洋时间。
图 1.12 美国本土跨越的时区
中国领土共跨越 5 个时区。为了方便各地区间的联系和协调，全国统一采用北京所在的东八区的区时（东经 $120^{\circ}$ 的地方时)，这就是北京时间。
图 1.13 中国领土跨越的时区
## 活动
计算不同地区的时差
计算不同地区的时差，需要注意以下三个方面。
第一,要根据区时划分的原则确定各地点所在的时区。时区的中央经线的经度为 $15^{\circ}$ 的倍数,通常其东西各 $7.5^{\circ}$ 范围为同一时区。
第二，可用数轴的方法（图 1.14）计算两地间的时差：两地间相隔几个时区，相差就是几小时;越在东边的地方,时间越早。例如,北京在东八区,伦敦在零时区,两地相差 8 个时区，即北京比伦敦早 8 小时。
图 1.14 数轴法计算时区举例
第三，如果涉及国际日界线，则自东十二区向东进入西十二区,时间不变,日期减少一天；自西十二区向西进入东十二区，时间不变，日期增加一天。
1. 俄罗斯世界杯足球赛于当地时间2018年6月 14 日 17:30 在莫斯科 ( 东三区) 开幕，我国观众观看开幕式的时间是北京时间何时?2. 一艘邮轮航行在太平洋上,船上有一位怀了双胞胎的孕妇临产。航行到 $180^{\circ}$ 经线附近海域时,老大出生了,当时是2018年1月1日。接着,老二出生了,出生日期是2017年12月31日。这是怎么回事?
## 沿地表水平运动物体的运动方向的偏转
由于地球自转,地球表面的物体在沿水平方向运动时,其运动方向发生一定的偏转: 在北半球向右偏转;在南半球向左偏转;在赤道上没有偏转。这种现象在大规模气流和水流的水平运动中表现得最为明显。我们把促使物体水平运动方向产生偏转的力,称为地转偏向力。地转偏向力只改变水平运动物体的运动方向，不影响其速度。
昼夜长短和正午太阳高度的变化
太阳直射点的移动，使太阳辐射在地表的分布因时因地而变化。这种变化可以用昼夜长短和正午太阳高度的变化来描述（图 1.15 )。昼夜长短反映日照时间的长短;正午太阳高度是一日内最大的太阳高度,反映太阳辐射的
图 1.15 北纬 $40^{\circ}$ 地区二分二至日正午太阳高度和日出日落的大致时间
强弱（图 1.16 )。
## 昼夜长短的变化
晨昏线把所经过的纬线分割成昼弧和夜弧。由于黄赤交角的存在,除了在赤道上和春、秋分日,各地的昼弧和夜弧不等长。如果昼弧比夜弧长,则白昼长、黑夜短;反之,则黑夜长、白昼短。
自春分日至秋分日,是北半球的夏半年,太阳直射北半球,北半球各纬度昼弧大于夜弧,昼长大于夜长。纬度越高,昼越长,夜越短,至北极四周为极昼。其中,夏至日太阳直射北回归线,北半球昼最长、夜最短,北极圈及其以北地区皆为极昼。南半球则反之。
自秋分日至次年春分日,是北半球的冬半年,太阳直射南半球,北半球各纬度昼短夜长。纬度越高,昼越短,夜越长,至北极四周有极夜现象。其中,冬至日太阳直射南回归线,北半球昼最短,夜最长,北极圈及其以北地区到处出现极夜现象。南半球则反之。
春分日和秋分日,太阳直射赤道,全球各地昼夜等长,均为 12 时。
## 正午太阳高度的变化
太阳光线与地平面的交角 ( 即太阳在当地的仰角),叫作太阳高度角,简称太阳高度。在太阳直射点上,太阳高度是 $90^{\circ}$;在晨昏线上,太阳高度是 $0^{\circ}$。正午太阳高度随纬度不同和季节变化而有规律地变化。正午太阳高度就纬度分布而言,春分日和秋分日，由赤道向南北两方降低;夏至日,由北回归线向南北两方降低;冬至日,由南回归线向南北两方降低。就季节变化而言,在北回归线及其以北的纬度带,正午太阳高度夏至日达最大值,冬至日达最小值;在南回归线及其以南的纬度带,情况正好相反。在南北回归线之间各地，每年受到太阳直射两次。
a. 夏至日全球的昼长和正午太阳高度角
b. 冬至日全球的昼长和正午太阳高度角
c. 春分日和秋分日全球的昼长和正午太阳高度角
图 1.16 北半球二分二至日全球的昼长和正午太阳高度 (1) 活动
绘制示意图并描述当地正午太阳高度的年变化规律
描述某地正午太阳高度的年变化规律，需要注意以下两点。
第一,计算正午太阳高度。正午太阳高度可以按公式 $a=90^{\circ}-|\phi-\delta|$ 计算，其中 $a$ 为正午太阳高度,$\phi$ 为当地的纬度,$\delta$ 为太阳直射的纬度 (当地夏半年取正值,冬半年取负值)。例如,北京 $\left(40^{\circ} \mathrm{N}\right)$ 夏至日正午太阳高度为 $a=90^{\circ}-|\phi-\delta|=90^{\circ}-\left|40^{\circ}-23^{\circ} \quad 26^{\prime}\right|=73^{\circ} 26^{\prime}$，冬至日正午太阳高度为 $a=90^{\circ}-|\phi-\delta|=90^{\circ}-\left|40^{\circ}-\left(-23^{\circ} 26^{\prime}\right)\right|=26^{\circ} 34^{\prime}$。
第二,正午太阳的方向。在南北回归线之间,一年内正午太阳有时在南方,有时在北方。在北回归线以北的地区,全年正午太阳都在南方;在南回归线以南的地区反之。
图 $1.17 \mathrm{a}$ 示意地球上四个特殊炐度年内正午太阳高度变化及正午太阳方向。
a
b
图 1.17 正午太阳高度变化及正午太阳方向示意
1. 判断图示四个地点的纬度。2. 绘制学校所在地年内正午太阳高度变化及正午太阳方向简图。
(1) 查阅当地的纬度。
（2）计算当地夏至日和冬至日的正午太阳高度,并指出正午太阳的方向。
( 3 ) 按图 $1.17 \mathrm{a}$ 的方式在图 $\mathrm{b}$ 中绘制当地年内正午太阳高度变化及正午太阳方向。
3. 描述当地正午太阳高度及正午太阳方向的年内变化规律。
## 四季更替和五带划分
由于㡺夜长短和正午太阳高度的时空变化,太阳辐射在一年中呈现有规律的变化,形成四季;太阳辐射从低纬度向高纬度呈有规律递减,据此可划分五带。
## 四季更替
从天文含义看四季,夏季就是一年内白昼最长、正午太阳高度最高的季节;冬季就是一年内白昼最短、正午太阳高度最低的季节;春季和秋季是冬、夏季节的过渡季节。
为了使季节划分与气温年内变化相符合,北温带的许多国家在气候统计上把 $3、4、5$ 三个月份划分为春季,6、7、8 三个月份划分为夏季,$9、10、11$ 三个月份划分为秋季，12、1、2三个月份划分为冬季。南半球与北半球的季节正好相反。
## 五带划分
以南北回归线和南北极圈为界,可以把地球表面粗略地
图 1.18 五带的划分划分为热带、北温带、南温带、北寒带和南寒带 (图 1.18)。
## 自学窗
东方智慧一一指导农事的二十四节气
几千年前,居住在黄河流域的先民,以农耕为基础,创造了灿烂的古代文明。黄河流域四季分明，在知识相对贫乏和技术水平低下的时代，人们如何确定何时播种不同种类农作物呢?
人们通过观察星空，发现太阳在星空背景中的位置有规律地变化，季节的变化与太阳在星空背景中的位置密切相关。经过长久的观察和实践，人们将农事活动与太阳在星空背景中的位置相联系。为了便于流传和使用，人们将太阳在星空背景中的一定的位置，定为一个节气，用以指导农事活动。早在商朝，就确定了具有特殊意义的四个节气：春分、夏至、秋分、冬至。在战国以前又增加了立春、立夏、立秋、立冬四个节气，至汉代就形成了完整的二十四节气制度。
我们知道,四季更替是由地球公转运动造成的。地球的公转轨道称为黄道,地球环绕太阳公转一周,在地球上看来,就是太阳在星空背景中通过黄道一周,季节的变化与地球在黄道的不同位置密切相关。黄道的一周是 $360^{\circ}$,把春分点定为 $0^{\circ}$,按地球公转的方向,每隔 $15^{\circ}$ 定为一个节气，共有 24 个节气 (图 1.19)。二十四节气所确定的一年，与回归年的长短基本一致；每个节气在后来公历中的日期基本固定。因而,二十四节气可以作为农事安排的科学依据。早在两千多年前就形成的如此科学的二十四节气制度，在人类文明史中闪耀着东方智慧。不仅黄河流域，我国各地的农事活动多依据二十四节气，直至今天。这种节气制度还推广到朝鲜、韩国、日本、越南等国。鉴于对科学、历法、农事指导乃至中华文明的重大意义，2016年，二十四节气被联合国教科文组织正式列入《人类非物质文化遗产代表作名录》。
## 1. 本章要点
1. 地球自转是指地球围绕地轴的运动,运动方向自西向东,运动周期是 1 日,运动线速度自赤道向两极递减,运动角速度除极点外各纬度一样。2. 地球公转是指地球围绕太阳的运动,运动方向自西向东,运动周期是一年,近日点运动速度较快,远日点运动速度较慢。3. 地球赤道平面和黄道平面 (地球公转轨道平面) 之间存在夹角,称为黄赤交角。目前黄赤交角为 $23^{\circ} 26^{\prime}$。4. 地球自转产生昼夜交替和时间差异。昼夜交替的周期是 1 日。为方便时间使用,人们将全球划分为 24 个时区,每个时区跨 $15^{\circ}$ 经度,一般以中央经线的地方时作为时区的区时;相邻时区的区时相差 1 小时,东边时区的时间较早;大致以 $180^{\circ}$ 经线划出国际日界线,作为地球上“今天” 和“昨天” 的分界线。5. 地球表面做水平运动的物体,其运动方向会发生偏转,在北半球向右偏转,在南半球向左偏转。6. 由于黄赤交角的存在,地球在运动过程中,太阳直射点在南北回归线之间以一年为周期往返运动,并引起正午太阳高度、昼夜长短的周年变化,形成四季和五带。7. 春分日和秋分日,全球昼夜等长。自春分日至秋分日,北半球昼长夜短,纬度越高,昼越长,夜越短,至北极四周为极昼;夏至日昼最长,夜最短,北极圈及其以北地区皆为极昼。自秋分日至次年春分日,北半球昼短夜长,纬度越高,昼越短,夜越长,至北极四周为极夜；冬至日昼最短,夜最长,北极圈及其以北地区皆为极夜。南半球则反之。8. 就纬度分布而言,正午太阳高度在春秋二分日、夏至日、冬至日分别自赤道、北回归线、南回归线向南北两方递减。就季节分布而言,在北回归线及其以北的纬度带,正午太阳高度夏至日达最大值，冬至日达最小值；南回归线及其以南的纬度带则反之。9. 从天文含义看四季,夏季是一年内白昼最长、正午太阳高度最高的季节,冬季是一年内白昼最短、正午太阳高度最低的季节,春季、秋季是夏季和冬季的过渡季节。10. 以南北回归线和南北极圈为界,可以把地球表面粗略地划分为热带、北温带、南温带、北寒带和南寒带。
## 问题研究
## 人类是否需要人造月亮
地球不停地自转,昼夜不断地交替。现代社会,人类在夜间的活动频繁,对夜间照明的需求增加。航天技术和产业的快速发展,催生了人们对人造月亮的憧憬和试验。然而,人类真的需要人造月亮吗?
对这一课题的探究，建议采用以下思路。
了解月相的变化，思考月亮对人类活动的影响。了解人造月亮的试验,比较人造月亮与月亮的差异。探讨人类是否需要人造月亮。
## 知识拓展
## 资料 1 月亮
月球是地球的天然卫星，通称月亮。由于月球的自转周期和公转周期一样,月球始终固定的半面朝向地球。随着月球在公转轨道中的位置变换,我们看到的月亮的形状―月相也不同。月相呈周期性变化（图 1.20)。上弦月
凸月
蛾眉月 サ六或サ七）
图 1.20 月相
## 资料分析
1. 为什么农历上半月和下半月月亮凸出的方向不同?2. 在日常生活中，你经常关注月相吗?为什么?
## 资料 2 人造月亮的试验
在天空中挂上镜子,让它在黑夜中反射太阳光为地面照明一一这不知是多少人曾经有过的幻想。1999年 2 月 4 日,俄罗斯“进步 M-40” 货运飞船携带了一面反射镜进人太空,进行人造月亮试验。这个人造月亮直径达 25 米,总质量不到 4 千克。按照设计,反射的光束将以直径 5-7 千米的范围扫过所经区域的地面;夜色中,反射光的亮度 10 倍于月光,足以让人读书阅报。然而,由于反射镜在太空中打开时出现故障,这次人造月亮的试验以失败告终。
## 资料分析
1. 为什么人造月亮的亮度远比月光强?2. 扩大人造月亮照亮地表范围的可能性有多大?3. 为什么纬度较高地区的居民更希望有人造月亮?
## 资料 3 对人造月亮的反对
月亮朦胧的光亮似乎对地球上的人类和生物活动不构成干扰,人造月亮的亮度远超月亮,几乎从提出人造月亮的想法开始,科学家反对的声音就从末停止。例如,生物学家担心它会改变地球某些区域的生物模式,天文学者则认为它可能会影响天文观测,很多学者更担心它对所经地区人们身体和生活的影响。
## 资料分析
1. 讨论人造月亮对人类可能产生的不利影响。2. 除资料所提到的科学家的担心外，人造月亮还可能造成哪些不利影响?
## 问题探讨
权衡人造月亮的有利和不利影响,就“人类是否需要人造月亮” 这一课题,提出自己的看法,给出充足的理由,并与同学讨论。
## 第二章地表形态的塑造
在地球内能和太阳辐射能的共同驱动下,各自然环境要素综合作用,形成丰富多彩的地表形态,而且,地表形态处在不断变化之中。地表形态的演变过程体现了自然界物质循环和能量转化的过程。人类活动受地表形态的影响,同时也按照一定的目的和方式对地表形态施加影响。
在本章，我们重点探讨以下问题:
•岩石圈有哪三大类岩石?
- 岩石圈物质是如何循环转化的?- 内力和外力分别有哪些作用方式?- 内力和外力如何影响地表形态的变化?
• 人类活动与地表形态有怎样的关系?
## 第一节塑造地表形态的力量
内力作用
内力作用的能量主要是来自地球内部的热能。在自然界中,有些内力作用进行得很快,如火山喷发 (图 2.2) 和地震,可以瞬间改变地表形态;有些内力作用则进行得极其缓慢,不易被人们所察觉,但是,经过漫长的地质年代,会使地表形态发生显著的变化。内力作用主要表现为地壳运动、岩浆活动和变质作用。
图 2.2 基拉韦厄火山流淌的岩浆基拉韦厄火山位于北太平洋中部的夏成夷岛上。基拉韦厄火山时常喷发，涌出的大量岩装使岛屿面积不断扩大。地壳运动是指岩石圈因受内力作用而发生的变位或变形,也称构造运动。当岩石圈破裂时,深处岩浆沿破裂带上升,侵人岩石圈或喷出地表,这一过程称为岩浆活动。岩石受温度、压力等因素的影响，其成分、结构发生改变，这一过程称为变质作用。
变质作用一般发生在地壳深处,不能直接塑造地表形态;岩浆也只有喷出地表时才可以直接影响地表形态。因此,在内力作用中,地壳运动是塑造地表形态的主要方式。
在地壳运动过程中,岩层在水平方向上受到压力、张力等，从而发生水平或垂直方向上的变形或变位 (图 2.3)。大陆漂移、地面抬升和沉降、地震等都是地壳运动的反映。庐山就是由于岩层受到挤压，局部地面抬升时岩层断裂而形成的。
a. 岩层受到挤压
b. 岩层被拉伸
图 2.3 地壳受力示意举例
内力作用奠定了地表形态的基本格局，总的趋势是使地表变得高低不平。
## 活动
识别塑造地表形态的内力作用
内力作用或和缓或剧烈，总会在地表或地下岩层中留下一定的痕迹。科学家通过这些痕迹，推测地表形态变化的过程。下面三段描述从不同的视角记录了这些痕迹。
a. 我国宋代学者朱喜在《朱子语类》中写道:“常见高山有螺蜂壳,或生石中,此石即昍日之土,螺蚌即水中之物。下者却变而为高，柔者变而为刚….”
b. 塞拉比斯神庙位于意大利的那不勒斯海滨,建于古罗马时代。79年,神庙在一场突如其来的灾难中被毁坏,只留下 3 根大理石柱。18世纪,神庙遗址重见天日,人们发现大理石柱 3.6 米至6.3米高处有海生贝壳动物蛀蚀的痕迹。
c. 1943 年2月20日,墨西哥一位农民正在田里耕作,忽然脚下的大地隆隆作响,地面隆起并迅速开裂,喷出蒸汽和火焰，浓重的硫黄味从地下升起。他跑到附近的镇子㧶避。第二天一早,当他回来时，田地已经不存在,那里嘼立着9米高的锥体。该雉体到中午已经升至45米,一周后,长高到 135 米。
1. 以上描述的现象分别是哪种内力作用造成的?2. 推测a、b现象发生的过程。3. 比较这些现象形成的时间长短。由此谈谈你对地表形态变化“很快” 和“极其缓慢” 的认识。
## 外力作用
外力作用的能量来自地球外部,主要是太阳辐射能。外力作用对地表形态的塑造主要有风化、侵蚀、搬运、堆积等方式。外力通过风化、侵蚀作用不断地对地表进行破坏，并把风化、侵蚀的产物搬运并堆积起来。
在温度、水、大气、生物等因素的作用下，地表或接近地表的岩石发生破碎崩解、化学分解和生物分解等,这一过程叫作风化作用。物理风化 (图 2.4 ) 和化学风化是风化作用的两种基本类型。风化作用产生的松散物质残留在地表，为其他外力作用创造了条件。流水、波浪、风、冰川等外力也对地表进行破坏,这一过程称为侵蚀作用。
(1)
(4)
(2)
3
岩石是热的不良导体。由于温度变化,岩石表层与内部受热不均,产生差异膨胀和收缩,容易崩解破碎。岩石中水的冻融、植物根系的生长等,也都会对岩石起破坏作用。
图 2.4 物理风化示意
风化或侵蚀的产物，在流水、波浪、风、冰川等外力的作用下，被搬运离开原来的位置。随着流速降低、风力减小或者冰川融化等,被搬运的物质逐渐沉积下来,形成堆积地貌。
## 案例
## 冰川作用
冰川是塑造地表形态的一种重要外力。在高山和高纬地区，冰川作用尤为显著。
冰川是数百年乃至数千年形成的巨厚冰块，具有强大的侵蚀和搬运能力。山地冰川在重力作用下一般处于缓慢移动的状态。它在移动中能够拔起大块岩石，加速岩石裂解,并挟带这些物质一起运动。当冰川消融时,挟带的物质就会堆积下来。冰川不断地侵蚀、搬运、堆积，形成各种冰川地貌（图 2.5)。
与流水、风等形成的侵蚀地貌相比,山地冰川形成的侵蚀地貌具有陡峭、险峻的特点,常形成刀刃状山脊、多面锥体山峰、U形谷等。
图 2.5 新西兰库克山的冰川侵蚀地貌
风化、侵蚀、搬运和堆积是外力塑造地表形态的基本过程。在不同的地区,水热组合状况不同,塑造地表形态的主要外力及其作用的方式、强度等存在差异,从而形成具有不同特征的地表形态。例如,降水充沛的热带、温带地区,以流水作用为主,流水地貌发育；在干旱地区,风力作用强劲，风沙地貌广布。
外力作用总的趋势是使地表起伏状况趋于平缓。庐山上城镇所在的平台就是地质历史时期外力作用的结果,后来随着山体隆升而到达现在的高度。
地表形态是内力和外力共同作用的结果。如果说内力作用形成地表形态的“粗毛坏”,外力作用则不断地把“粗毛坏”进行再塑造,使地表形态更加丰富多彩。
## 活动
认识海水侵蚀作用对地表形态的影响
澳大利亚墨尔本海岸曾经窴立着 12 根巨大的海蚀柱 (图 2.6),这里是澳大利亚著名的旅游景点。这些海蚀柱最高约 45 米。近些年来,陆续有 5 根海蚀柱倒塌。
1. 这些海虫柱是如何形成的?2. 海蚀柱为什么会倒塌?3. 预测末来这一景观的演变趋势。
图 2.6 墨尔本海岸的海蚀柱
## 岩石圈的物质循环
岩石是构成地貌、形成土壤的物质基础。岩石按照成因可以分为岩浆岩、沉积岩和变质岩三大类，它们之间可以相互转换,使得岩石圈的物质处于循环转化中。不同的岩石具有不同的形成过程及特点,从而进一步影响地表形态。地表形态的塑造过程也是岩石圈物质的循环过程。
在地球内部巨大压力作用下，岩浆沿着岩石圈的薄弱地带侵人岩石圈上部或喷出地表,随着温度、压力的变化,冷却凝固形成岩浆岩（图 2.7 )。常见的岩浆岩有花岗岩、玄武岩等。
岩浆喷出地表，冷却后形成的岩石称为喷出岩，又称火山岩。玄武岩是最常见的火山岩，一般形成高原、台地。
玄武岩
花岗岩岩浆侵入岩石圈，冷却变硬形成的岩石称为侵入岩。花岗岩是岩石圈中最常见的侵入岩。许多山脉的核心部分都是花岗岩。
图 2.7 常见的岩浆岩裸露在地表的岩石，经风化、侵蚀作用，逐渐成为砾石、沙子、泥土等碎屑物质。这些碎屑物质被风、流水等搬运后沉积下来,经压实、固结形成沉积岩 (图 2.8)。按照沉积物的颗粒大小,沉积岩可分为砾岩、砂岩、页岩等。有些沉积岩是由化学沉淀物或生物遗体堆积而成的，如石灰岩。大陆地表出露的岩石约 $75 \%$ 都是沉积岩。
砾岩
页岩
砂岩
石灰岩
图 2.8 常见的沉和岩
地壳中已生成的岩石,在地球内部的高温、高压等条件下,成分、性质发生改变,形成变质岩 (图 2.9)。例如,页岩变质成为板岩,石灰岩变质成为大理岩。
板岩
大理岩
图 2.9 常见的变质岩这三类岩石在岩石圈深处或岩石圈以下高温高压的条件下熔化,又成为新的岩浆回到地球内部。岩浆在一定的条件下再次侵人或喷出地表,形成新的岩浆岩,并在此基础上形成其他岩石（图 2.10)。岩石圈的物质就这样处于不断的循环转化之中。
图 2.10 岩石圈物质循环示意
有人认为岩浆岩是“浴火而生” 的岩石,沉积岩是沉积物经压实、固结而来的岩石,变质岩是由老变新的产物;也有人认为一类岩石是由另一类岩石转化而来的。你怎么理解这两种说法?
## 现在是了解过去的一把钥匙
相对于漫长的地质历史,人类有文字记载的历史只是短暂的一瞬。那么,科学家如何才能知晓地球上曾经发生的地质过程呢?
18 世纪后期,英国科学家赫顿通过分析他在英国考察时掌握的大量资料,认为地质历史时期发挥作用的地质过程如今仍在发生,可以利用现在的地貌特征等解释地质历史时期的情况。赫顿的这种观点为地质科学的研究打开了一扇大门。英国科学家莱伊尔进一步提出：现在是了解过去的一把钥匙。莱伊尔认为,一切过去所发生的地质作用都和现在正在进行的作用方式相同，所以研究现在正在进行的地质作用，就可以了解地球的历史。尽管今天我们不能观察到一些重要的地质演化过程,但它们发生的证据早已存在。例如,现代珊瑚多生活在温暖、平静、水质清洁的浅海环境中,若在岩层中发现珊瑚化石 (图 2.11 ),科学家便推断该岩层形成于温暖、洁净的浅海环境。又如,科学家通过研究喷出岩,推断具有相同岩石的地区,在地质历史时期也发生过火山喷发事件。
这一思想也被称为“将今论古”,是科学家在研究地球演化时的重要方法和有效手段。
图 2.11 在贵州发掘的石炭纪珊瑚化石
20 世纪 60 年代,我国科学家在青藏高原海拔 5900 米处发现一块阔叶树的树叶化石。经鉴定,这是高山栎树叶化石，年龄为 200 多万年。然而这类阔叶树现在在同纬度生长的海拔上限是 3000 米。这一重要发现表明,青藏高原在近 200 多万年中发生了大幅度抬升。是什么力量驱使青藏高原大幅度抬升的?
## 地质构造与地貌
在山区，我们经常可以看到裸露地表的岩层，它们有的倾斜弯曲（图 2.13 ),有的断裂错开（图 2.14 )。这些岩层的变形和变位,称为地质构造。袙波和断层是常见的地质构造。
图 2.13 希腊克里特岛上变形的岩层
图 2.14 新西兰南岛上断裂错开的岩层
## (一) 褶波
在地壳运动产生的强大挤压力作用下,岩层会发生塑性变形,产生一系列波状弯曲,叫作裮波。褶波是由背斜和向斜组成的。背斜岩层一般向上拱起,形成山岭;向斜岩层一般向下弯曲，形成谷地（图 2.15 )。
在外力长期作用下,背斜、向斜的地表形态也会出现倒置现象。背斜顶部因受张力产生裂隙,容易被侵蚀成谷地;而向斜槽部由于受到挤压,岩石致密,不易被侵蚀,相对高珥形成山岭（图 2.16）。
图中地层(1)最老,地层 7 最新。
图 2.16 背斜成谷、向斜成山示意
1图 2.15 褟波示意
## (二) 断层
当岩层受到的压力、张力等超出所能承受的程度,岩层就会断裂并沿断裂面发生明显的位移，称为断层。断层的位移方向有水平和垂直两种 (图 2.17 ),并由此形成不同方向上的地貌错断现象。
a. 水平方向发生位移的断层
图 2.17 断层两侧岩石运动示意如果断层位移以水平方向为主，会使岩层在水平方向上被错断 (图 2.18)。如果断层的位移以垂直方向为主,上升的岩块经风化侵蚀常成为块状山或高地,如我国的华山、庐山、泰山;相对下降的岩块,则常形成谷地或低地,如我国的渭河平原、汾河谷地。
在山地,断层沿线岩石破碎,易受风化侵蚀,常常发育成沟谷、河流。
位于美国西部的圣安德列斯断层是地球表面最长和最活跃的断层之一，大致呈西北一东南走向,长度超过 1200 千米，深度约 16 千米。断层两侧的地壳相对发生水平位移
图2.18 圣安德列斯断层景观
(1) 活动
结合自然景观分析褶披和断层的形成过程
岩层的变形、变位往往是地壳运动的反映。图 2.19所示变形的岩层出露在美国圣安德列斯断层所经区域的公路旁。
1. 在图中找出褶皱，并判断背斜和向斜。2. 在图中找出断层,判断断层两侧岩层的相对运动方向。3. 分析褶岥和断层的形成过程。
图2.19 公路旁变形的岩层
## 板块运动与地貌
陆地上大规模的山系、高原,海底延绵的山脉和狭长的海沟是如何形成的呢?科学家用板块构造学说做出了较为合理的解释。
板块构造学说认为,地球岩石圈是刚性的,破碎成为多个不规则的块体,即板块（图 $2.20 ）$。这些板块上覆于熔融的软流层之上，一直处于缓慢的、不断的运动之中。板块间的相互运动主要有相向、相离等形式,并因此产生不同的地貌形态。板块内部相对稳定,两个板块之间的交界处是地壳比较活跃的地带。
图 2.20 六大板块分布示意
板块相向运动使得在边界处发生碰撞或俯冲,由此形成巨大山系、海沟、岛弧等不同的地貌形态 ( 图 2.21 )。板块相离运动形成裂谷、海洋。
当大陆板块与大陆板块相碰撞时,相互挤压并抬升形成巨大的褶波山系。青藏高原的抬升就是亚欧板块和印度洋板块相碰撞所造成的。
图 2.21 板块的相向运动
当大洋板块与大陆板块相碰撞时,大洋板块俯冲到大陆板块下方,俯冲边界处形成海沟,大陆板块边缘形成海岸山脉或岛弧。
## 红海的形成及扩张
红海是非洲东北部和阿拉伯半岛之间的狭长海域。早在 2000 万年前，阿拉伯半岛整体还与非洲大陆连在一起，红海自然也不存在。之后，阿拉伯半岛从非洲板块中分裂出来，它们之间形成裂谷带。大陆继续开裂，裂谷变长变深，成为带有通向大洋出口的海峡。红海还在不断扩张（图 2.22)，有人预测几千万年后红海将成为新的大洋。
图 2.22 红海扩张示意
## 山地对交通的影响
构造地貌对人类的生产、生活影响很大，其中，山地对交通的影响尤为显著。
与平原相比，山地相对高度和坡度大，不利于人类通行。一方面，在山区修建交通运输线路，不仅成本高,难度也比较大。另一方面，山地地质构造复杂，坡地稳定性差，洪水形成快，水流急，都对交通运输设施和人员安全构成威胁。因此，科学合理的交通运输布局，不仅可以降低工程造价，还能够最大限度地保证交通运输线路和通行的安全。
山区交通运输布局需要合理选择交通运输方式。人们通常优先建造成本较低、难度较小的公路,其次才是铁路。
山区交通运输布局还应该合理选择交通运输线路。为了降低修建难度，人们通常会在地形相对和缓的山麓、山间盆地和河谷地带选线 (图 2.23),线路往往需要迂回前进。需要翻越山岭时,为减低道路的坡度,一般采用盘山曲折的线路设计。因此,同样的直线距离,山区的线路弯曲程度和总长度一般要大于相应的平原地区。山区交通线的建设和选择,还需要最大限度地保护生态环境,有效防范自然灾害,尽量减少对山地景观的破坏和对耕地、林地的占用。
随着科技的进步和生产力水平的提高,在山区交通线路建设中,越来越多地采用了桥 (梁) 隧 (道) 相结合的方式 (图2.24),不仅能够缩短里程,提高通行速度,减少通行时间,而且能够有效地避免自然灾害的威胁。但是,桥隧比例的增
图 2.23 瑞士阿尔崬斯山区的公路加，也会大幅度增加建设费用。
图 2.24 贵州贵阳的桥隧
## 活动
## 了解影响山区公路选线的因素
图2.25 是某山区公路走向示意。根据此图分析如下问题。
图 2.25 某山区公路走向示意
1. 公路选线时考虑了哪些自然因素?又是如何处理与这些自然因素的关系的?2. 山区的人口主要集中在哪个地形単元中,与公路线的选择是否有关?这种现象说明了公路线的选择还受哪些因素的影响?
## 第三节河流地貌的发育
图 2.26 镇江与长江位置关系镇江地处长江下游的南岸,自唐代以来便是漕运重镇、交通咽喉。西津渡曾经在很长一段时间内是镇江通往江北的唯一渡口。然而,长江在此处持续向北发生偏移,西津渡所在的南岸泥沙淤积,慢慢成了陆地 (图2.26)。曾经喧器的码头最终沉埋于地下,它所在的位置如今成为游人如织的商业街。你知道长江岸线镇江段为什么会持续向北推移吗?
图 2.27 河谷的演变
## 河谷的演变
河流是塑造地表形态的重要外力,它对流经的河谷不断侵蚀和堆积,使河谷形态发生变化。
在河流发育初期,河流落差大,流速快,能量集中,河流侵蚀作用以向下和向源头侵蚀为主,使河谷不断加深和延长。这时的河谷深而窄,谷壁陡峭,横剖面呈“V”形（图 $2.27 \mathrm{a}$,图 2.28)。
“V” 形河谷形成后,河流落差减小,河流向下的侵蚀作用减弱,向河谷两岸的侵蚀作用加强,河道开始变得弯曲。河流在凹岸侵蚀,在凸岸堆积 (图2.29),使得河道更为弯曲,河谷拓宽 (图 $2.27 \mathrm{~b}$ )。长江镇江段南岸为凸岸,北岸为凹岸，所以岸线不断向北推移。
经过漫长的过程,河谷展宽,横剖面呈宽而浅的槽形（图 $2.27 \mathrm{c}$ )。
图 2.28 金沙江虎跳峡的“V” 形河谷
图 2.29 日本四国岛四万十川的凹岸和凸岸
## 冲积平原的形成
被河流搬运的物质沉积下来，形成河流堆积地貌。冲积平原是比较典型的一种河流堆积地貌,包括山前冲积平原、河漫滩平原和三角洲平原三种类型（图 2.30)。
图 2.30 冲积平原的组成
图 2.31 黄河与其他河流形成的山前冲积平原在山区，由于地势陡陗，洪水期水流速度快，挟带了大量砾石和泥沙。当河流流出山区进人平原，由于地势趋于平缓，河道变得开阔，水流速度减慢，河流搬运的物质逐渐在山前沉积下来，形成扇状堆积地貌，称为冲积扇。几条河流的冲积扇不断扩大而彼此联合，就形成广阔的山前冲积平原（图2.31）。
## 官思考
1. 图示区域冲积扇的分布有什么特点?2. 哪些因素影响冲积扇的大小?
河流流经地势平坦的地区常形成曲流,尤以中下游地区常见。河流在凸岸堆积,形成水下堆积体。堆积体不断升高扩大,在枯水季节露出水面,形成河漫滩。洪水季节,河漫滩被洪水淹没,继续接受堆积。如果河流改道或者继续向下侵蚀,河漫滩被废弃。多个被废弃的河漫滩连接在一起，形成了宽广的河漫滩平原（图 2.32 ），这是冲积平原的主体。河漫滩平原常沿河呈带状分布。
当挟带着大量泥沙的河流进人海洋时,如果河流人海处水下坡度平缓，河水流速减慢，河流所挟带的泥沙便会沉积在河口前方，形成近似三角形的堆积体，称为三角洲。随着沉积物质的增加，堆积体向海洋一侧扩展，发展成为面积广大的三角洲平原。一些大河有巨大的三角洲,如长江、密西西比河、尼罗河 (图2.33) 等。
图 2.32 法国卢瓦尔河的河漫滩平原
尼罗河是世界上最长的河流。洪水期,尼罗河挟带大量泥沙,沉积于河口附近,形成宽广的尼罗河三角洲。
图 2.33 尼罗河三角洲
(1) 活动
通过遥感影像图探究曲流变化规律
曲流发育的河段河道变化较为频繁。由此，人们常感慨“三十年河东，三十年河西”。然而，曲流河道的变化是有规律可循的。图 2.34 显示了黄河中游一段曲流 20 多年来河道的变化情况。
图 2.34 黄河中游一段河道的变化
1. 对比1990年与2016年的影像图，描述图示河道形状发生的变化。2. 分析该段河道自 1990 年到2016年的变化过程。3. 推测此段河道末来可能的变化。
## 河流地貌对聚落分布的影响
世界上一些主要河流的两岸,常常分布着大大小小的城市;越往河流的中下游,城市越密集。多数乡村的分布也与河流有关。
河流的冲积平原为聚落的分布提供了多方面的有利条件。河流可为聚落提供充足的生产、生活用水。河流作为交通运输通道,可方便聚落的对外联系和运输。河流的冲积平原地势平坦,土壤肥沃,利于耕作,可为聚落提供丰富的农副产品（图 2.35 )。
在农业社会,聚落规模与周围耕地面积和人们到最远耕地的路程及所需的时间密切相关。华北平原耕地连片,聚落规模较大（图 a );江南水乡河网密布,耕地破碎,乡村的规模相对较小 ( 图 b)。
■图 2.35 聚落规模与河流地貌的关系
聚落选择的地点,不仅要充分利用自然条件,还要避免受到自然灾害的威胁。在河流冲积平原上的聚落,首先要考虑洪水的威胁 ( 图 2.36 )。因此,聚落一般分布在洪水淹不到的地方。
在山区河谷中，为防御洪水,聚落一般分布在冲积平原向山坡过渡的地带,即高于洪水位的地方,而且还要注意避开滑坡、崩塌、泥石流等地质灾害。
图 2.36 河流地貌对聚落分布的影响
## 河流的生命史
河流有生命吗?河流的演变时间非常漫长,长到以万年、百万年计。这种时间尺度,人在一生中根本无法见证。美国地理学者戴维斯提出了侵蚀循环学说,根据这一学说，河流的发育过程可分为幼年期、壮年期、老年期三个阶段。
幼年期河流流速快,河谷横剖面呈“V”形、纵剖面坡度大,河谷深切,地表极为崎岖。壮年期河流支流众多,河流挟带的物质增多,谷坡变缓,河谷展宽,出现冲积平原和曲流,如密西西比河中游。老年期的河流在经过幼年期和壮年期的长期侵蚀、搬运和堆积作用后,河谷宽广、平坦,多湖泊、沼泽、湿地,冲积平原非常发育,如恒河下游。但是,河流发育阶段常常发生改变。以外流河为例,如果海平面下降或地壳上升，在壮年期或老年期河流地貌上往往会出现幼年期的特征，出现谷中谷等地貌。
了解了河流的生命史,就可以进行人工调控。例如,在黄土高原修建淤地坝,就可以让河流提前进入老年期。这样做的目的是通过降低河流纵剖面的坡度来減缓水流速度，从而降低重力侵蚀作用。
## 2. 本章要点
1. 地表形态是内力和外力共同作用的结果。2. 内力作用表现为地壳运动、岩浆活动和变质作用,它奠定了地表形态的基本格局。3. 外力作用通过风化、侵蚀、搬运、堆积等方式对地表形态进行再塑造。4. 岩石按照成因可以分为岩浆岩、沉积岩和变质岩三大类,它们之间可以相互转换,使得岩石圈的物质处于循环转化中。5. 地壳运动是塑造地表形态的重要内力,它常使得岩层断裂和变形,形成构造地貌。褶䏢和断层是常见的地质构造。6. 板块运动形成了地球表面的基本面貌,如陆地上大规模的山系、高原,海底延绵的山脉和狭长的海沟等。7. 相对平原，山区交通线修建难度大,密度小。山区优先选择修建公路,其次是铁路；人们通常在地形相对和缓的山麓、山间盆地、河谷地带选线;翻越山岭的线路,常采用盘山曲折的线路设计。8. 河流是塑造地表形态的重要外力,它在流动过程中改造所流经的河谷,使得河谷加深、拓宽、延长，河谷横剖面由“V”形向槽形演化。9. 被河流搬运的物质,在河流搬运能力减弱的情况下,会沉积下来,形成堆积地貌。冲积平原是比较典型的一种河流堆积地貌,包括山前冲积平原、河漫滩平原和三角洲平原三种类型。10. 河流的两岸常有聚落分布,中下游更为集中。河流为聚落提供用水,便于聚落对外联系和运输；河流的冲积平原地势平坦,土壤肥沃,利于耕作。沿河聚落可能会受到洪水的威胁。
## 问题研究
## 崇明岛的末来是什么样子
崇明岛是我国第三大岛,也是世界上最大的河口冲积岛屿。它位于长江人海口,三面环江，一面临海。全岛面积 1200 多平方千米，东西长 76 千米，南北宽 13-18千米，形似“春蚕”。岛上地势平坦,西北部和中部稍高,西南部和东部略低。崇明岛是如何形成的?人类活动对崇明岛有什么影响?崇明岛的末来又会是什么样子呢?
对这一课题的探究,建议采用以下思路。
收集资料，了解有关河口冲积岛的基本情况。根据长江河口冲积岛的变迁示意图，推测崇明岛的形成过程收集资料，说明人类活动对崇明岛的影响，推测崇明岛的末来。
## 知识拓展
## 资料 1 河口冲积岛
河口冲积岛是含沙量较多的河流将泥沙搬运到河口，沉积下来形成的。河流在中上游河段流速较快，进人河口后流速减缓。挟带的泥沙就在河口附近沉积,成年累月,越积越多，逐步形成高出水面的河口冲积岛。
我国共有 400 多个河口冲积岛。长江人海口的崇明岛是一个很大的河口冲积岛（图 2.37 )。崇明岛的地势低平，围绕岛屿分布着广阔的滩涂。
## 资料分析
河口冲积岛是在哪几种外力作用下形成的?
图 2.37 崇明岛的位置
## 资料 2 长江河口冲积岛的变迁
图 2.38 长江河口冲积岛的变迁示意
## 资料分析
1. 根据资料（图 2.38) 描述长江河ロ冲积岛的生消变化讨程。2. 推测崇明岛的形成过程。
## 资料 3 人类活动对崇明岛的影响
从 1955 年冬开始，崇明县组织围垦滩涂和沙洲。至2000年,全县共围厔滩涂和沙洲 70 多处,累计围得土地面积 500 多平方千米。崇明岛的面积比 1949年增大了一倍以上,崇明岛由中国的第四大岛升为第三大岛。
## 资料分析
1. 人类活动对崇明岛的影响主要表现在哪些方面?2. 围海造陆可能会对自然环境产生哪些影响?
## 分析预测
有专家预测，崇明岛末来会和北侧的大陆连在一起，你也这样认为吗?请试加分析。
## 第三章
大气的运动
太阳辐射是驱使大气运动的根本动力。太阳辐射因时因地的差异，造就了变幻万千的天气现象。不同纬度地带的太阳辐射存在差异,形成全球尺度的大气环流,促使高低纬度之间、海陆之间的水热输送,对气候的形成具有重要作用。地球上的自然景观,是自然环境要素综合作用的结果，与水热组合状况密切相关。
在本章,我们重点探讨以下问题:
- 常见的天气系统有哪些?- 不同天气系统对天气有怎样的影响?- 地球上为什么会形成气压带和风带?- 气压带和风带及其季节移动对气候形成有怎样的作用?
•气候对自然景观的形成有哪些影响?
## 第一节
## 常见天气系统
图 3.12016 年 9 月 13 日台风“莫兰蒂”卫星云图 2016年9 月10日 14时，西北太平洋洋面上一个热带低压加强为热带风暴，命名为“莫兰蒂”。“莫兰蒂”于 9 月 12 日 02 时加强为台风，11时加强为超强台风 ( 图 3.1）。9月15日 03 时超强台风“莫兰蒂” 在厦门登陆,之后逐渐减弱,于 9 月 16 日凌晨在中国黄海海域消散。“莫兰蒂”生成的地点为何会是西北太平洋洋面?“莫兰蒂” 为什么登陆后逐渐减弱?
## 风与天气
大气中经常发生的阴、晴、风、雨、雪等天气现象，都与天气系统的活动有密切关系。风、气旋与反气旋是常见的天气系统。
水平方向上温度、湿度等物理性质比较均匀，垂直方向上物理性质也很相似的大范围空气,叫作气团。气团的水平范围在几百千米到数千千米,厚度在几千米到十几千米。受同一气团控制的地区，天气现象也大致一样。
当冷、暖两种性质不同的气团接触时，它们之间就会出现一个交界面,叫作锋面（图 3.2)。锋面与地面相交而成的线,叫作锋线。一般把锋面和锋线统称为锋。锋面一般为一个狭窄而倾斜的过渡地带。锋面两侧的温度、湿度、气压差别很大。暖湿空气在锋面上常有大规模的上升运动，所以锋面附近常伴有云、大风、降水等天气现象。
图 3.2 锋的形成
根据锋面两侧冷、暖气团的移动方向,可把锋分为冷锋、暖锋、准静止锋等。
冷锋是冷气团主动向暖气团移动的锋。冷气团的前缘揷人暖气团下面,使暖气团被迫抬升（图 3.3 )。暖气团在抬升过程中冷却，其中水汽容易凝结成云和雨。当冷锋过境时,常出现较大的风,云层增厚,并出现雨、雪天气。冷锋过境后,冷气团占据原来暖气团的位置,气温下降,气压上升,天气转晴。冷锋在我国一年四季都有,尤其在冬半年更常见。
图 3.3 冷锋及其天气
暖锋是暖气团主动向冷气团移动的锋。暖气团沿冷气团徐徐爬升，冷却凝结产生云、雨（图 3.4 )。当暖锋过境时，云层加厚，多形成连续性降水。暖锋过境后,暖气团占据原来冷气团的位置,气温升高,气压降低,天气转晴。暖锋在我国东北地区和长江中下游地区活动较为频繁。
图 3.4 暖锋及其天气
准静止锋是冷、暖气团势均力敌,或遇地形阻挡,移动缓慢或很少移动的锋。准静止锋会带来阴雨连绵的天气。夏初,冷、暖气团在我国长江中下游地区交绥,形成江淮准静止锋,造成该地区长达一个多月的梅雨天气。冬半年,南下的冷空气遇云贵高原上山脉的层层阻挡,锋面在昆明和贵阳之间停滞,形成昆明准静止锋，给贵阳等地带来持续的阴雨天气。
## 低气压 (气旋 )与高气压 (反气旋 )
低气压或气旋,高气压或反气旋,分别是对同一个天气系统的不同描述。低气压与高气压，描述的是气压分布状况（图 3.5 );气旋与反气旋,描述的是气流运动状况。
在等压线分布图上,从高压伸展出来的狭长区域，叫高压脊,好比地形上的山脊。从低压延伸出来的狭长区域,叫低压槽,好比地形上的山谷。
图 3.5 海平面等压线分布模式
## (一) 低气压 (气旋 )
在等压线分布图上，凡等压线闭合，中心气压低于四周气压的区域，叫作低气压，简称低压。在水平气压梯度力的作用下，低压的气流由四周向中心流动。受地转偏向力影响,低压的气流在北半球向右偏转,按逆时针方向流动 (图 $3.6 \mathrm{a}$ ),在南半球向左偏转,按顺时针方向流动。大气的这种流动,很像江河中的漩浴,所以低压又叫气旋。
低压中心形成上升气流。空气在上升过程中,温度降低,其中所含的水汽凝结成云和雨 (图 $3.6 \mathrm{~b}$ )。因此,一个地方受低压控制时，常出现阴雨天气。
图 3.6 北半球气旋的形成及其天气
影响我国东南沿海的热带气旋生成于西北太平洋上。受洋面水热补给,热带气旋一般会不断加强,登陆后会逐渐减弱。根据中心附近最大风力,热带气旋分为不同级别 (表 3.1 )。
## 表 3.1 热带气旋的分级
| 项目 | $\begin{array}{c}\text { 热带 } \\ \text { 低压 }\end{array}$ | $\begin{array}{c}\text { 热带 } \\ \text { 风暴 }\end{array}$ | $\begin{array}{c}\text { 强热带 } \\ \text { 风暴 }\end{array}$ | 台风 | 强台风 | $\begin{array}{c}\text { 超强 } \\ \text { 台风 }\end{array}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $\begin{array}{c}\text { 中心附近 } \\ \text { 最大风力 }\end{array}$ | $6-7$ 级 | $8-9$ 级 | $10-11$ 级 | $12-13$ 级 | $14-15$ 级 | $\begin{array}{c}16 \text { 级或 } \\ \text { 以上 }\end{array}$ |
# 案例
## 台风的形成与消亡
台风常常形成于洋面温度超过 $26^{\circ} \mathrm{C}$ 的热带海洋上。西北太平洋水温较高,是影响我国台风的主要源地。洋面水温高,加热大气,大气膨胀上升,洋面气压降低,形成热带低压。由于上升的大气中富含水汽,水汽凝结释放的热量继续加热大气,促使大气进一步上升,带动底层空气不断上升,洋面气压持续降低,使得外围暖湿空气源源不断地流入。随着这一过程的持续进行，热带低压逐渐加强并形成台风。台风规模较大，直径最小的在 100 千米以上，大的可超过 1000 千米。
台风登陆后,因失去了海洋水汽和热量供应,空气上升的动力减弱,中心气压逐渐升高，加上陆地摩擦力大，台风逐渐减弱，最终消亡。
## ( 二 ) 高气压 ( 反气旋 )
在等压线分布图上,凡等压线闭合,中心气压高于四周气压的区域，叫作高气压，简称高压。高压的气流是由中心向外流出的，在北半球按顺时针方向旋转流出（图 3.7 a )，在南半球按逆时针方向旋转流出。高压的这种环流系统与气旋正好相反，所以也叫反气旋。
高压中心形成下沉气流。空气在下沉过程中,温度升高,水汽不易凝结，天气晴朗（图 $3.7 \mathrm{~b}$ ）。夏季，高压控制的地区，天气炎热干燥。我国长江流域的伏旱天气，就是在副热带高压（反气旋 ）控制下形成的。冬季，高压控制的地区，天气寒冷干燥。我国的寒潮天气就是高纬度大陆上的反气旋东移南下形成的。
图 3.7 北半球反气旋的形成及其天气
## 活动
识别常见天气系统并推测天气
2008 年 5 月25日至28日，亚洲部分地区发生大范围冷空气活动。图 3.8 为 5 月 26 日 11 时该地区海平面等压线分布，图中甲、乙两线示意锋的位置。
图 3.82008 年 5 月 26 日 11 时亚洲部分地区海平面等压线分布
1. 指出图示气旋东、西部水平气流运动方向。2. 根据气压分布状况,比较乌兰巴托和北京风力的强弱。3. 判断甲、乙锋的类型并说明半断理由。4. 描述 $P$ 地在乙锋过境前后的天气变化。
## 第二节
## 气压带和风带
图 3.9 麦哲伦环球航行路线示意麦哲伦带领的帆船队实现了人类第一次环球航行（图 3.9)。船队经过南美洲南端的海峡时，风大浪高。船队进入 $30^{\circ} \mathrm{S}$ 咐近海域时，平静无风，炎热少雨。离开该海域后,沿途
一直吹着乐南风。后来，乐南风渐渐减弱，进入赤道附近海域时，风平浪静。麦哲伦船队哪段航程是逆风航行?哪段航程最为轻松?为什么船队在经过 $30^{\circ} \mathrm{S}$ 附近海域时十分艰难?
## 气压带和风带的形成
全球性有规律的大气运动，通常称为大气环流。大气环流把热量和水汽从一个地区输送到另一个地区，从而使高纬度和低纬度之间、海洋和陆地之间的热量和水汽得到交换。大气环流是怎么形成的呢?下面以北半球为例加以分析（图 3.10 )。假设地球表面是均匀的,引起大气运动的因素是高、低纬度地区的受热不均和地转偏向力。
赤道地区接受太阳辐射能量多,近地面的空气受热膨胀上升,空气密度减小,气压降低。这样赤道地区就形成了一个低压带―一赤道低压带。赤道地区上升的暖空气,在高空向南北分流。受地转偏向力影响,向北流的一支逐渐向右偏转成西南风,到达北纬 $30^{\circ}$ 附近高空时偏转成了西风。这样,来自赤道高空的气流在这里不断堆积下沉,使地面气压升高,形成副热带高压带。在近地面,从副热带高压带流出的气流,一部
图 3.10 地球上的气压带和风带
分向南流向赤道低压带,逐渐向右偏转成东北风，称为东北信风。
东北信风与南半球的东南信风在赤道地区辐合上升。这样,便在赤道与北纬 $30^{\circ}$ 之间形成一个低纬度环流圈。
在近地面,从副热带高压带向北流出的气流,逐渐向右偏转成西南风,称为盛行西风。北极及其附近是纬度最高的地区,接受的太阳辐射能量最少,终年寒冷,空气堆积下沉,形成极地高压带。从极地高压带向南流的气流,逐渐向右偏转成东北风,称为极地东风。它与较暖的盛行西风在北纬 $60^{\circ}$ 附近相遇,暖而轻的盛行西风气流爬升到冷而重的极地东风气流之上,在极地高压带和副热带高压带之间形成一个相对的低压带,称为副极地低压带。从副极地低压带上升的气流在高空又分别流向副热带和极地上空,从而形成了中纬度与高纬度环流圈。
在南半球,同样存在着低纬、中纬、高纬三个环流圈。这样,全球共形成七个气压带,即赤道低压带,南北半球的副热带高压带,南北半球的副极地低压带,南北半球的极地高压带。在气压带之间形成了六个风带,即南北半球的低纬信风带,南北半球的中纬西风带，南北半球的极地东风带。
## 太阳直射低压带 — 高压带点的位置
由此可以知道,麦哲伦船队航行至南美洲南端的海峡时受盛行西风影响,船队逆风航行;航行至 $30^{\circ} \mathrm{S}$ 附近海域时,受副热带高压带控制,气流下沉,平静无风,加之天气炎热,航行十分艰难；船队航行至东南信风带时,顺风航行,这段航程最为轻松。
由于太阳直射点的南北移动,气压带和风带在一年内做周期性的季节移动 ( 图 3.11)。在北半球,与二分日相比,气压带和风带的位置大致是夏季偏北,冬季偏南。
图3.11 气压带和风带的季节移动
## (1) 活动
制作三圈环流模型
材料:
地球仪、透明胶布、不同颜色的纸条。
要求:
1. 把纸条剪成箭头形状,箭头指向表示气流的运动方向;2. 分别用不同颜色的纸条表示上升气流、下沉气流、高空气流和近地面气流;3. 制作南半球的三个环流圈。
## 海陆分布对气压带和风带的影响
上述气压带和风带的分布,是不考虑海陆分布和地形影响的理想模式。由于海陆分布的影响,大气环流实际情况比理想模式要复杂得多。海陆的热力差异影响海陆的气压分布。冬季,陆地降温比海洋快,陆地气温较低,出现冷高压。夏季,陆地增温比海洋快,陆地气温较高,出现热低压。北半球的陆地面积比南半球的陆地面积大,而且海陆相间分布,对气压的影响尤为显著,使纬向分布的气压带被分裂为一个个高、低气压中心（图 3.12、图 3.13 )。
图3.12 1月海平面等压线分布
图 3.137 月海平面等压线分布
从 1 月海平面等压线图上可以看出,北半球副极地低压带被大陆上的冷高压所切断,使副极地低压仅保留在海洋上。大陆的冷高压以亚洲高压 (又叫西伯利亚高压) 势力最强,控制范围最广。从 7 月海平面等压线图上看,北半球副热带高压带被大陆上的热低压所切断,使副热带高压只保留在海洋上。大陆上的热低压以亚洲低压 (又叫印度低压) 最为突出。
南半球的海洋面积占绝对优势,纬向分布的气压带比北半球明显,特别是南纬 $30^{\circ}$ 以南的地区，气压带基本上呈带状分布。海陆上气压中心的季节变化,引起一年中盛行风向随季节有规律地变换，形成季风。亚洲东部季风环流最为典型（图 3.14 )。冬季，强大的亚洲高压与北太平洋副极地低压和赤道低压之间，形成势力强大、干燥寒冷、范围很广的冬季风。夏季,北太平洋副热带高压势力大大增强，亚洲大陆上形成印度低压，太平洋暖湿气流就沿着北太平洋副热带高压的西部边缘,以东南风吹到亚洲东南岸,即东亚的东南季风。
气压带、风带的季节移动也是季风形成的重要原因。例如，我国西南地区及印度一带夏季的西南季风，就是南半球的东南信风北移越过赤道，在地转偏向力的影响下向右偏转而形成的。
图 3.14 东亚季风示意
## 活动
理解海陆差异对气压带的影响
请你按下面的步骤分析并解释北半球冬季和夏季高、低气压中心形成的原因。
1. 如图 3.15 所示,冬季 ( 图a) 和夏季 (图b) 大陆上各有一个空气柱。根据热力环流的原理,在空气柱上标注箭头表示空气垂直运动方向,然后完成下列要求。
( 1 ） 冬季,大陆会形成高压还是低压?简述理由。
(2) 夏季,大陆会形成高压还是低压?简述理由。
a. 冬季
b. 夏季
图 3.15 大陆空气柱
2. 如果在图 a 和图b中,以空气柱为中心各绘几条闭合的等压线,该纬度范围的气压带还呈带状分布吗?由此你得出什么结论?
## 按照方位描述地理分布
“我国东部为季风气候，西北部为温带大陆性气候，西南部的青藏高原为高原山地气候。东部季风气候自南向北依次分为热带季风气候、亚热带季风气候、温带季风气候。”这是对我国气候分布的描述。这段描述使用了“东部”“西北部”“西南部”“自南向北”等表示方位的词汇,清晰地勾勒出我国气候分布的空间格局。类似的方法，还见于对地形分布、人口分布等的描述中。可见，按照方位描述特定区域内某地理事物的分布，是地理描述的常用方法。
方位包含方向和位置两层含义。当按照方位描述特定区域某地理事物的分布时，实际上已将该区域作了空间的划分，关注了不同分布区的位置关系和邻接关系等,因而可以准确地概括该地理事物在区域中的分布特征。
仔细分析关于我国气候分布的描述，还能归纳按照方位描述地理分布的常用方法：有主次，即由人口、城市、经济等密集且所占面积最大的“东部”说起;分层次，即先描述全国，再描述下一层次的东部；按顺序，如“自南向北”。此
四周。
## 第三节气压带和风带对气候的影响
图 3.16 东非高原上的动物迁徙路线示意在坦桑尼亚的塞伦盖蒂和肯尼亚的马萨伊马拉之间，每年都会出现壮观的动物大迁徙 (图 3.16)。从 5 月中下旬开始，塞伦盖蒂的食草动物向北迁徙，七八月间来到马萨伊马拉。到了 10 月,它们离开马萨伊马拉向塞伦盖蒂回迁。为什么食草动物每年离开塞伦盖蒂的时间是 5 月中下旬?为什么到了 10 月，它们又要回迁?
## 气压带对气候的影响
不同气压带控制的地区，气候特点不同。总体而言，低压带控制的地区，盛行上升气流，水汽容易凝结，降水丰富，气候湿润。高压带控制的地区，盛行下沉气流，水汽不易凝结，降水稀少。其中，暖高压控制的地区气候炎热干燥，冷高压控制的地区气候寒冷干燥。
## 案例
## 赤道低压带与热带雨林气候
赤道地区全年受赤道低压带控制,盛行上升气流,形成终年高温多雨的热带雨林气候。热带雨林气候区全年皆夏,年平均气温在 $26^{\circ} \mathrm{C}$ 左右,年降水量大都在 2000 毫米以上，全年分配比较均匀。
南美洲亚马孙平原位于赤道附近,西边是安第斯山脉,南、北分别是高原,东向大西洋敞开,面积广大,终年受赤道低气压控制,形成地球上面积最为广大的热带雨林气候区（图 3.17 )，并发育了世界上面积最大的热带雨林 ( 图 3.18)。
图 3.17 亚马孙平原的热带雨林气候区
图 3.18 巴西亚马孙河流域的热带雨林
## 风带对气候的影响
一般来说,从低纬度流向高纬度的气流,气温由高变低,水汽容易凝结,降水较多;从高纬度流向低纬度的气流,气温由低变高,水汽不易凝结,降水较少。从海洋吹向陆地的气流,水汽充沛，降水较多;从陆地吹向海洋的气流，水汽稀少，降水较少。
## 案例
## 西风带与温带海洋性气候
纬度 $40^{\circ}-60^{\circ}$ 的大陆西海岸,全年盛行西风,受海洋暖湿气团的影响,形成温带海洋性气候。这里年降水量一般在 700-1000毫米,终年湿润;气温年变化较小，冬不冷夏不热。
温带海洋性气候的形成,通常会叠加暖流的影响,其分布范围还受地形的影响。欧洲西部平原开阔，沿岸暖流强大。西风从海洋带来的暖湿气流可深入内陆,并且暖流还影响高纬度沿海地区,从而形成世界上范围最广的温带海洋性气候区 ( 图 3.19)。
图 3.19 欧洲西部的温带海洋性气候区
## 气压带和风带的交替控制对气候的影响
由于气压带和风带的季节移动，有些地区在一年中受到气压带和风带的交替控制,气候特点呈现显著的季节差异。
## 案例
## 副热带高压带和西风带的交替控制与地中海气候
纬度 $30^{\circ}-40^{\circ}$ 的大陆西部，夏季受副热带高压控制，盛行下沉气流，炎热干燥;冬季受西风带控制，温和多雨，形成地中海气候。
地中海气候的分布范围受海陆分布、地形等影响较大。地中海沿岸地区是世界上地中海气候最典型且分布范围最广的地区。
在影响气候的自然因素中,气压带和风带是非常重要的。一个地区气候的形成是太阳辐射、大气环流、海陆位置、地形、洋流等因素综合影响的结果。
(1) 活动
认识世界气候类型的分布规律和气候特征
读图 3.20 和图 3.21,完成以下要求。
1. 了解世界气候类型的分布规律。
（1） 热带、温带、寒带分别主要有哪些气候类型分布?
（2）以北半球为例，自赤道向极地，大陆东岸和大陆西岸分别有哪些气候类型分布?
2. 比较不同气候类型的气候特征。
(1) 以亚洲太平洋沿岸地区为例，比较自低纬至高纬各气候类型的气候特征的主要差异。
（2）以亚欧大陆中高纬度地区为例，比较大陆西岸、大陆内部、大陆东岸各气候类型的气候特征的主要差异。
3. 以温带海洋性气候为例，对比其在北美和欧洲西部的分布特点及其形成原因。
（1） 比较温带海洋性气候在北美和欧洲西部分布的位置、范围的差异。
(2) 推测造成两者差异的主要原因。
图 3.20 世界气候类型的分布
1 伊基托斯
2 巴马科
3 孟买
4 阿斯旺
5 上海
图 3.21 世界主要气候类型代表地点多年平均各月气温和降水量
## 气候与自然景观
在影响自然景观的各种自然因素中，气候往往起着重要的作用。不同的气候类型有不同的水热条件，不同的水热条件组合，对自然景观的形成产生不同的影响。
例如，撒哈拉沙漠地区为热带沙漠气候，终年炎热、少雨，温差大,风力作用强,空气极为干燥,风沙地貌广布,河流稀少。这里只有少数耐干旱的植物生存,形成荒漠景观。然而与撒哈拉沙漠地区纬度相近的我国南方地区,却为亚热带季风气候,雨热同期,1 月平均气温在 $0^{\circ} \mathrm{C} 上$,降水丰富,河网密集，流水作用强,河流地貌广泛发育。这里植被繁茂，形成常绿阔叶林景观。
塞伦盖蒂和马萨伊马拉均为干湿季分明的热带草原气候。由于赤道低压带的季节移动，每年 5 月中下旬，雨带向北移动，塞伦盖蒂地区进人干季 (图 3.22),而其北侧的马萨伊马拉会延迟进人干季,食草动物便追随降水由南往北迁徙到马萨伊马拉;每年 10 月前后,塞伦盖蒂重返湿季 (图3.23),由于草原面积较小的马萨伊马拉无法提供长期的食物，食草动物便回迁到塞伦盖蒂。
图 3.22 塞伦盖蒂干季景观
## 分尺度认识地理分布
我们知道，我国年降水量的分布规律是自东南沿海向西北内陆递减。可是，打开我国年降水量分布图,就会发现,等降水量线并不是自东南沿海向西北内陆均匀分布的，甚至其间还分布着一些降水量的高值或低值中心。可见，“自东南沿海向西北内陆递减” 是对我国年降水量分布特点的高度概括，关注的是我国整体,而忽略了具体地区分布的一些细节。我国东南面向海洋，西北深入亚欧大陆腹地，季风气候显著。“自东南沿海向西北内陆递减”这一规律的概括，突出了海陆位置对降水的影响，而忽略了地形、下垫面等因素的影响。然而，福建省年降水量的分布规律是自东南沿海向西北山地递增,其突出的是地形对降水的影响。台湾山脉的雨影效应导致福建省沿海年降水量较少。福建省自沿海向内陆,受武夷山脉对气流抬升作用的影响,年降水量递增。当然,福建省年降水量的分布规律，是在我国年降水量分布规律的背景下，受地形的影响而形成的。
上述事例说明，地理学研究在关注空间位置的同时，也关注空间的尺度。研究的空间尺度越大，越关注宏观和整体；研究的空间尺度越小，越突出微观和细节。同一地理事象的分布规律,可能因研究的空间尺度不同而不同;较大尺度空间的分布规律是对较小尺度空间分布规律的综合和概括,较小尺度空间的分布规律是在较大尺度空间分布规律背景下的具有自身特点的表现。
图 3.23 塞伦盖蒂湿季景观
## 3. 本章要点
1. 常见天气系统主要有锋、低气压 (气旋)、高气压 (反气旋) 等。2. 冷暖气团相遇形成的交界面叫锋面。锋面与地面的交线叫锋线,锋面和锋线统称为锋。锋主要分为冷锋、暖锋和准静止锋等。3. 冷锋是冷气团主动向暖气团移动的锋,过境时常出现较大的风,并伴有雨、雪天气。暖锋是暖气团主动向冷气团移动的锋,过境时常形成连续性降水。准静止锋是移动缓慢或很少移动的锋,会带来阴雨连绵的天气。4. 在等压线分布图上,凡等压线闭合,中心气压低于四周气压的区域,叫低气压,简称低压;中心气压高于四周气压的区域，叫高气压，简称高压。5. 低压的气流由四周向中心辐合,又称气旋。气旋中心气流被迫上升,常出现阴雨天气。台风是强烈发展的热带气旋。高压的气流由中心向四周辐散,又称反气旋。反气旋中心形成下沉气流，所控制的区域天气稳定。6. 具有全球性的有规律的大气运动,通常称为大气环流。大气环流促使高纬度和低纬度之间、海洋和陆地之间的热量和水汽得到交换。7. 因高、低纬度地区受热不均和地转偏向力,地球上形成七个气压带和六个风带: 以赤道低压带为中心,向南向北依次对称分布着信风带、副热带高压带、西风带、副极地低压带、极地东风带和极地高压带。8. 由于太阳直射点的回归运动,气压带和风带在一年内周期性地季节移动。在北半球,与二分日相比，气压带和风带的位置大致是夏季偏北，冬季偏南。9. 海陆分异使北半球的气压带在冬、夏季被分裂成一个个高、低气压中心。影响我国的气压中心冬季主要是亚洲高压,夏季主要是北太平洋副热带高压。10. 海陆气压中心的季节变化和气压带、风带的季节移动,引起盛行风随季节有规律地变换,形成季风。11. 气压带、风带及其季节移动是影响气候的主要因素之一。12. 低压带控制的地区,降水丰富,气候湿润;高压带控制的地区,降水稀少,气候干燥;风从高纬度吹向低纬度或从陆地吹向海洋,降水较少;气压带与风带交替控制的地区,气候呈现显著的季节变化。13. 不同的气候类型有不同的水热条件,不同的水热条件组合,对自然景观的形成产生不同的影响。
## 问题研究
## 阿联酋“造山引雨”是否可行
阿拉伯联合酋长国（简称阿联酋）是世界上水资源极为匽乏的国家之一。阿联酋采取人工降雨、海水淡化、人工回灌地下水等多种措施，来解决水资源严重短缺问题。如今,阿联酋又计划实施一项雄心勃勃的项目一—建造一座高山，提高当地的降水量。“造山引雨”的高山应建在哪里？应当建成什么样子？“造山引雨”是否可行？
对于这一课题的研究，建议采用以下思路。
收集资料,了解阿联酋的水资源短缺状况。了解阿联酋解决缺水问题的已有措施。
推测阿联酋适合造山的地点。探讨阿联酋“造山引雨” 是否可行。
## 知识拓展
## 资料 1 阿联酋的水资源状况
阿联酋是世界上水资源极为贵乏的国家之一，但人均用水量居世界前列，严重缺水是阿联酋可持续发展面临的一大问题。阿联酋年降水量不足 100 毫米,主要集中在 $2-3$ 月;夏季气温高达 $43^{\circ} \mathrm{C}$,几乎没有降水。阿联酋年降水量空间分布极不平衡,南部沙漠年平均降水量不足 60 毫米,东北部山区降水稍多，局部年降水量可达 350 毫米。
图 3.24 阿联西位置示意资料分析
1. 概括阿联酋严重缺水的自然与人为原因。2. 为什么阿联酋东北部山区降水相对较多?
## 资料 2 阿联酋解决水资源短缺的措施
阿联酋全国用水量的 $51 \%$ 来自地下水,37\%来自淡化海水。为防止地下水枯竭,阿联酋兴建 100 多座水坝,用以拦蓄暴雨径流,补充地下水。阿联酋现有 70 多座海水淡化厂,每年投人数十亿美元用于海水淡化,平均每立方米淡化海水成本约 2 美元。多年来,阿联酋还投人巨资寻找解决水资源短缺的其他措施，例如，加强水的循环利用。
## 资料分析
1. 阿联酋大量开采地下水和淡化海水可能带来哪些环境问题?2. 阿联酋如何实现水资源的可持续利用?
## 资料 3 阿联酋“造山引雨”的设想
理论上人工造山可能带来更多降水。面对阿联酋严重的水资源短缺问题,有人提出“造山引雨”的设想。据报道,2015 年 2 月,阿联酋拨出 40 万美元研究经费,用于“造山引雨” 项目研究。该项目科学家正在研究造山地点、山体高度等问题。
资料分析
阿联酋如果实施“造山引雨”，你认为造山地点应该选在哪里?请说明理由。
## 问题探讨
从阿联酋的气候特点、山体高度、建设成本等方面,讨论阿联酋“造山引雨”是否可行。
## 第四章水的运动
地球上的水循环把地球表层联系成一个整体,陆地水体间的相互联系是水循环的重要环节。海洋是地球上最主要的水体,在大气环流、海陆分布、地转偏向力等的作用下,形成全球性的大洋环流。大洋环流促进水分和热量在不同纬度地带和海陆间传输。海洋和大气间的相互作用,不仅调节了全球水热平衡,而且对全球的气候和人类活动产生深刻的影响。
在本章，我们重点探讨以下问题:
- 陆地不同水体之间是怎样联系的?- 世界洋流的分布有哪些规律?- 洋流对自然环境和人类活动有哪些影响?- 海一气相互作用对全球水热平衡有什么样的影响?- 厄尔尼诺现象和拉尼娜现象对全球气候和人类活动产生哪些影响?
## 第一节
陆地水体及其相互关系
图 4.1 1987年和 2016年的咸海卫星影像对比咸海位于中亚,水域面积曾达 7 万平方千米,是世界第四大湖泊。20 世纪 60 年代以来，咸海水域面积不断缩小。1987年，咸海分成南北两部分。1998 年,咸海水域面积缩小至 2.98 万平方千米，在世界大湖中仅排第八位。目前,咸海水域面积仅数千平方千米。20世纪60年代以来,咸海为什么会急剧萎缩?
## 陆地水体
陆地水体包括河流、湖泊、冰川、沼泽、地下水等,其水量虽然只占全球水储量的 $3.47 \%$ ( 图 4.2),但是在自然环境中的作用非常巨大,它供应了人类生产和生活所需的淡水。陆地水体的类型、水量、分布等受自然环境的制约。例如，气候湿润的地区河网密度大,水量丰富;气候寒冷的高海拔、高纬度地区冰川发育;地势较低的地区容易积水形成湖泊或沼泽，断陷凹地可形成较大湖泊。
图 4.2 水圈的构成
## 贝加尔湖一—世界上蓄水量最大的淡水湖泊
贝加尔湖（图4.3）是 2500 万年前地壳断陷形成的湖泊。现阶段,区域构造运动活跃,多地震和温泉,湖盆每年展宽约 2 厘米,目前水域面积约 3 万平方千米。贝加尔湖是世界最深的湖泊,平均水深约 700 米,最深处超过 1600 米,目前仍在不断加深。
贝加尔湖纬度较高,冬季封冻期长,蒸发量小。贝加尔湖是世界上蓄水量最大的淡水湖泊,水量达 23.6 万亿立方
图 4.3 贝加尔湖及其水系示意米，超过了北美五大湖的总和，是长江年径流量的 25 倍。
陆地水体对自然环境有重要的影响。例如，河流、湖泊、沼泽对周边气候具有调节作用;冰川、河流是塑造地表形态的主要动力。陆地水体与人类活动关系密切，不仅提供人类活动所必需的淡水资源，而且还具有航运、发电、水产养殖、生态服务等价值。
## 陆地水体的相互关系
陆地水体之间存在水的交换和转化。河流呈线状且流动性好,是连接其他水体的纽带。
- 河流与湖泊湖泊接纳了大气降水、地表水和地下水,并能暂时储存起来。位于河流中下游的湖泊,洪水期蓄积部分洪水,削减、延缓干流洪峰，枯水期补给河流，对河流径流起着调节作用。人工湖泊一一水库,可人为调节河流径流。有的河流发源于山地的湖泊。例如，我国的松花江发源于长白山天池。
## 洞里萨湖与湄公河的相互补给
洞里萨湖是东南亚最大的淡水湖泊,通过洞里萨河与湄公河相通 ( 图 4.4),具有调节湄公河水量的功能。
每年 5 月到 10 月，是东南亚的雨季,湄公河涨水,河水进入洞里萨湖,湖泊面积能增加到 1.6 万平方千米,水量达到 80 立方千米,从而大大减轻了湄公河下游地区的洪水威胁。11月到翌年 3 月,是东南亚的旱季,湄
图4.4 洞里萨湖与湄公河公河水位降低，湖水进入湄公河，湖泊面积退缩到 2400 平方千米，水量骤减。因此，湄公河水位在旱季不会降得太低，有利于维持航行并保证下游地区的灌溉。
在内流区，许多河流最终注人湖泊。一旦人湖河流改道或断流，湖泊就会干涸。20 世纪 60 年代以来，咸海流域大量兴建灌渠，扩大耕地面积，进人咸海的径流量快速减少,导致咸海急剧萎缩。
- 河流与地下水河流和地下水也存在相互补给的关系。当河流涨水时,河流水位高于地下水位,这时，河流补给地下水，把部分河水暂时储存在地下；当河流水位下降,并低于地下水位时,则地下水补给河流（图4.5 )。河流与地下水的相互补给,使得部分河流在涨水时水位不至于过高,在没有雨水补给时也能长流不断。
图4.5 河流和地下水相互补给示意 - 河流与冰川、积雪冰川和积雪融水是河流的重要补给,补给水量随着气温变化而变化（图4.6)。在高山永久积雪地区,夏季气温高,冰川融水量大,河流径流量大。在冬季有积雪的地区,春季气温回升,积雪融化,河流出现春汛。
图4.6 阿克苏河 ( 塔里木河支流) 和松花江年内各月径流量比率
## 活动
## 了解影响科罗拉多河径流的因素
科罗拉多河发源于美国西部的落基山脉，源头海拔超过 3000 米，自东北向西南流入太平洋，全长 2300 多千米。上游山区年均降水量 $400-500$ 毫米，贡献了 $86 \%$ 的河流径流量。下游地处温带半干旱和干旱区，年降水量不足 100 毫米。科罗拉多河年内径流量变化显著,夏季径流量占全年的 $70 \%$。干流上陆续修建了胡佛大坝等多座水坝。图4.7 示意胡佛大坝修建前后坝下某断面流量的年际变化。
1. 说出科罗拉多河上游和下游河流的主要补给。2. 推测科罗拉多河夏季径流量较大的原因。
图 4.7 胡佛大坝下游某断面流量年际变化
3. 比较胡佛大坝建成前后大坝以下河段流量的年际变化特征。
## 第二节
## 洋流
图 4.8 玩具鸭发现地点示意 1992 年 1 月，一艘货轮从中国香港驶往美国西海岸,途中在国际日界线附近遭遇风暴。有几个集装箱倾覆海中,数万只玩具鸭散落在海面。之后,在世界很多海岸陆续发现了玩具鸭 ( 图 4.8)。这些玩具鸭为什么会出现在世界不同的地区?你能推测它们的漂流轨迹吗?
## 世界表层洋流的分布规律
盛行风吹拂海面,推动海水随风漂流,并且使上层海水带动下层海水流动,在海洋表层形成规模很大的洋流。洋流运动的方向还受海陆分布、地转偏向力等因素的影响。
从世界表层洋流分布图（图4.9 ) 来看，世界表层洋流分布具有以下规律。
图 4.9 世界表层洋流的分布（北半球冬季 ) - 中低纬度海区的大洋环流信风驱动赤道南北两侧的海水由东向西流动,到达大洋西岸时,受到陆地阻挡,除小股回头向东形成赤道逆流外,大部分沿着海岸流向较高纬度海区。到中纬度海区时,在盛行西风吹拂下,洋流向东流去。到达大洋东岸时,又有一部分折向低纬度海区。这样就在中低纬度海区形成大洋环流,在北半球呈顺时针方向流动，在南半球呈逆时针方向流动。
- 北半球中高纬度海区的大洋环流在北半球中高纬度海区也形成大洋环流，它呈逆时针方向流动。- 南半球的西风漂流南极大陆外围,海面广阔。这里终年受西风影响，形成西风漂流。- 北印度洋海区的季风洋流北印度洋海区,冬季盛行东北风,海水向西流动,呈逆时针方向旋转;夏季盛行西南风,海水向东流动，呈顺时针方向旋转。
全球海洋是连通的,漂浮在海面上的物质会随着洋流作环球旅行。散落在海面的玩具鸭可能随着洋流到达全球不同地区的海岸。
## 富兰克林和湾流
18世纪,船只航行的动力主要来自风帆。当时从英国到北美,邮政船往往比商船慢两周。这个现象引起了时任北美邮政部门官员的本杰明 - 富兰克林的好奇。恰好有人告诉他,在大西洋中有一股洋流,邮政船总是在洋流中逆流行驶,而商船一般会选择避开洋流的航线行驶。
富兰克林根据描述将这个洋流画在大西洋海图上 (图 4.10),并在穿行大西洋时注意观察洋流的方向和速度。他还在洋流通道上投放漂流瓶，收集捡拾者反馈的发现地点和时间，验证了洋流运动的路径。1770年，他在英国发表了海图,并将这股洋流命名为湾流 (现名墨西哥湾暖流和北大西洋暖流)，供来往北美和西欧的轮船使用，这大大节省了燃料和时间。
图4.10 富兰克林绘制的海图 \\& 活动
绘制世界洋流模式图
1. 阅读图4.11,对照全球风带模式图，在世界洋流模式图中力加注箭头,标明洋流运动方向。2. 据图说明全球风带和全球洋流系统之间的关系。
a. 全球风带模式
b. 世界洋流模式
## 洋流对自然环境的影响
洋流对自然环境的影响主要表现在对气候和海洋生物分布的影响。
洋流可从低纬度地区向高纬度地区传输热量，又能从高纬度地区向低纬度地区输送海冰和冷水。由于洋流的规模十分巨大，因此它在全球热量输送中占据十分重要的地位。据统计，从低纬度地区向高纬度地区输送的总热量中，洋流传输的热量约占一半。由于洋流的热量输送，地球上高纬度和低纬度间温差大幅度减小，在冬季更为明显。
暖流使所经海面及附近地区气温偏高，寒流使所经海面及附近地区气温偏低。由于大洋东部和西部洋流性质不同,使同纬度大洋东岸和西岸的气温存在差异。洋流对所经地的降水也有较大影响。空气在暖流上流过，将逐渐变得暖湿,对流加强,易形成降水;当空气与寒流接触,则稳定性增强，难以致雭。澳大利亚、非洲和南美洲西岸热带沙漠气候的形成都与沿岸寒流有关。
寒流和暖流交汇处海水扰动强烈,沉积于海底的营养物质上涌,浮游生物繁盛,以浮游生物为饵料的鱼类聚集，形成大渔场。在秘鲁沿海，在东南信风的吹拂下，表层海水偏离海岸，深部冷水带着海底的营养物质上涌，使得这里也形成世界著名的渔场。
## 北大西洋暖流与欧洲西北部气候
北大西洋暖流是世界上最强大的暖流之一,面积大,深度达 300 米以上,而且流量巨大。暖流将热量源源不断地输往欧洲西北部 ( 图 4.12),使得北纬 $55^{\circ}-70^{\circ}$ 的大西洋东岸最冷月平均气温比西岸高 $16-20^{\circ} \mathrm{C}$。大西洋两岸的自然景观截然不同。西岸的拉布拉多半岛北部呈现苔原景观,同纬度的大洋东岸却呈现森林景观,北极圈内出现了不冻港。如果没有北大西洋暖流的影响,英国北部和挪威的海港将有半年以上的封冻期。
图 4.12 北大西洋暖流
## 活动
认识洋流对气候的影吅向
科隆群岛（加拉帕戈斯群岛）位于赤道太平洋东部（图4.13),距离南美西海岸约 1000 千米。这里气候凉爽千燥,以黑巴克里索港为例,其平均海拔 6 米;月均温最高 $26.7^{\circ} \mathrm{C}$,最低 $22.7^{\circ} \mathrm{C}$;年降水量 578 毫米。
1. 比较科隆群岛的气候与热带雨林气候的差异。2. 对照洋流分布图,找出影响科隆群岛的洋流。3. 解释洋流对科隆群岛气候的影响。
图4.13 科隆群岛示意
## 第三节海一气相互作用
图 4.14 秘鲁洪水秘鲁沿海受寒流影响,气候干旱。然而,2016年 12 月下旬，秘鲁北部海域海水逐渐升温，雨水增多。到 2017年 3 月，沿海地区暴雨引发的洪灾已经造成近百人死亡，数万人受灾（图4.14)。为什么会出现这种气候异常现象?如何监测这种现象?
## 海一气相互作用与全球水热平衡
海洋与大气之间进行着大量且复杂的物质和能量交换，其中的水热交换，对气候乃至自然环境具有深刻的影响。
海洋通过蒸发作用,向大气提供水汽。大气中约 $87.5 \%$ 的水汽是由海洋提供的,因此,海洋是大气中水汽的最主要来源。大气中的水汽在适当条件下凝结,并以降水的形式返回海洋,从而实现与海洋的水分交换。
海洋与大气间在进行水分交换的同时,也实现了热量的交换 (图4.15 )。海洋吸收了到达地表太阳辐射的大部分，并把其中 85\% 的热量储存在海洋表层。海洋再通过潜热 ${ }^{(1}$、长波辐射等方式把储存的太阳辐射能输送给大气,为大气运动提供能量,驱使大气运动。大气主要通过风向海洋传递动能,驱使表层海水运动,例如,南北赤道暖流是信风吹拂所形成的。
海一气相互作用通过大气环流与大洋环流，驱使水分和热量在不同地区传输,维持地球上水分和热量的平衡。
(1) 潜热是指海水蒸发吸收的热量或水汽凝结释放的热量。海水的蒸发使海水失去热量,这些热量随水汽进入大气中。当水汽凝结时,将它从海洋吸收的热量
释放出来，这是海一气热量输送的主要途径。
海水蒸发变
海水吸收太阳辐射而增温。增温的海水通过传导、对流等方式加热近海面大气,并通过长波辐射的形式将热量传递给大气。
图4.15 海洋与大气间水分和热量交换示意
活动
了解水量平衡原理
从长期来看,全球水的总量没有什么变化
(图 4.16)。但是就一个地区来说,有时降水多,有时降水少。在某段时期内,一个地区的储水变化量就是水量收入和支出的差额。这就是水量平衡原理。
1. 估算陆地和海洋对大气水汽的相对贡献,说明大气水汽的主要来源。2. 估算海洋蒸发和降水的差额,说明补充这个差额的水量来源。3. 如果海洋蒸发量增加或减少,陆地可能发生相应的
图 4.16 全球水量平衡示意为水汽,进入大气。在一定条件下，大气中的水汽凝结，形成降水。大部分的降水直接落回海洋。
(
## 厄尔尼诺和拉尼娜现象
通过海一气相互作用,海洋和大气成为一个整体。如果表层海水温度发生异常，大气环流也会异常，甚至出现极端的天气事件。
正常年份，赤道附近太平洋中东部的表层海水温度较低,大气较稳定,气流下沉;西部海水温度较高,气流上升。有些年份,赤道附近太平洋中东部表层海水温度异常升高,这种现象被称为厄尔尼诺现象 (图4.17)。
图 4.17 厄尔尼诺现象发生时太平洋表层水温异常示意
厄尔尼诺现象发生后，赤道附近太平洋地区东、西部海面的温度差异减小。赤道附近的太平洋东部，如秘鲁和智利沿海,下沉气流减弱或消失,甚至出现上升气流,气候由原来的干燥少雨变为多雨,引发洪涝灾害。同时,赤道附近的太平洋西部,上升气流减弱或消失,气候由温润多雨转变为干燥少雨,带来旱灾或森林大火。例如,1997-1998 年印度尼西亚出现长时间干旱，引发了严重的森林大火。厄尔尼诺现象还与更广大范围的气候异常现象呈现一定的相关性。
与厄尔尼诺现象相反，拉尼娜现象是指赤道附近中东太平洋海面温度异常降低的现象。拉尼娜现象发生后，赤道附近太平洋东西部的温度差异增大,同样会引起气候异常。对厄尔尼诺和拉尼娜现象的成因及影响,科学家仍在不断探索。
## 活动
## 分析太平洋中东部海水温度变化对气候的影响
正常情况下,赤道附近太平洋东岸和西岸海水温度存在差异，从而在上空形成大气热力环流。图 4.18 示意正常年份热带太平洋上空近东西方向的大气热力环流。
图 4.18 正常年份热带太平洋上空的大气热力环流模式
1. 在图中用箭头表示大气运动方向，使之形成环流圈。2. 如果赤道附近太平洋东岸海水温度下降，说明其对环流的影响。3. 说明环流的变化对赤道附近大平洋东、西岸气候的影响。
## 自学窗
厄尔尼诺现象―一奥秘与探索
1941 年,赤道附近太平洋东部海面温度异常升高,温暖的海水向南侵袭,最南到达 $15^{\circ} \mathrm{S}$。此次温暖海水南侵，导致喜冷水鱼类大量死亡，并在沿岸地区产生灾害性的阵雨和风暴。这是人类第一次报道厄尔尼诺现象。
为什么会发生厄尔尼诺现象?厄尔尼诺现象的影响到底有多大?科学家从大气环流、地球自转速度、火山喷发等方面，通过科学推理、模型模拟与实际观测相结合的方式，探索厄尔尼诺现象形成的原因,并试图解释其产生的影响。尽管在监测和预测方面取得了很多成果,但是,由于每次出现的情况都不一样,周期也不固定,科学家对厄尔尼诺现象的成因和影响机制的了解还很有限。
同时,厄尔尼诺现象还带给人们更多的启示：大陆上的气候异常,往往需要从海洋上找答案;局部海区的水温异常,其影响范围可能扩展至全球 $\cdots \cdots$ 由此,科学家对海洋进行更为深入、系统的研究。例如,海洋的哪些部分对全球水热平衡影响较大?除赤道附近太平洋东部海域外,还有哪些海域表层温度的变化可能影响全球气候?大洋除表层洋流外，纵向（表层和深层之间）是否存在洋流，其变化对气候影响有多大?
厄尔尼诺现象蕴含着海洋无尽的奥秘,也激发科学家无尽的探索。
## 4. 本章要点
1. 陆地水体包括河流、湖泊、冰川、沼泽、地下水等,其类型、水量、分布等受自然环境如气候、地貌、构造等的制约。2. 陆地水体对自然环境有调节气候、塑造地表形态等作用;为人类活动提供淡水资源,并具有航运、发电、水产养殖、生态服务等价值。3. 陆地水体之间存在水的交换和转化,其中河流是连接其他水体的纽带。冰川和积雪融水是某些河流的重要补给,湖泊能够调节河流径流;湖泊和河流、河流和地下水存在相互补给的关系。4. 中低纬度海区大洋环流在北半球呈顺时针方向流动,在南半球呈逆时针方向流动。北半球中高纬度海区大洋环流呈逆时针方向流动。南极大陆外围形成西风漂流。北印度洋海区的洋流,冬季呈逆时针方向旋转,夏季呈顺时针方向旋转。5. 洋流从低纬度地区向高纬度地区传输热量,从高纬度地区向低纬度地区输送海冰和冷水,减小了高低纬度地区间的温差。暖流对流经地区有增温增湿的作用,寒流对流经地区有降温减湿的作用。6. 海洋与大气之间进行着大量且复杂的物质和能量交换,海洋是大气最主要的水汽来源和热量储存库;大气为海水运动提供动能。海一气相互作用通过大气环流与大洋环流维持着地球上水分和热量的平衡,其中水热交换对气候乃至自然环境具有深刻的影响。7. 厄尔尼诺和拉尼娜现象是赤道附近太平洋中东部表层海水温度出现异常的现象,与更广大范围的气候异常现象呈现一定的相关性。厄尔尼诺现象表现为赤道附近太平洋中东部表层海水温度异常升高,赤道附近太平洋地区东部和西部海面温度差异减小;东部多雨,甚至引发洪涝灾害,西部干燥少雨,会带来早灾或森林大火。拉尼娜现象的表现与厄尔尼诺现象相反。
## 问题研究
## 能否利用南极冰山解决沙特阿拉伯的缺水问题
南极洲面积为 1400 万平方千米,95\%以上的地方常年被冰雪覆盖,形成了巨大而厚实的冰盖。冰盖平均厚度达 2450 米,冰雪总量约 2700 万立方千米,占全球冰雪总量的 $90 \%$ 以上，占全世界可用淡水的 $72 \%$。有人估算，这里的淡水资源可供全球使用 7500 年。因此,南极洲是人类最大的淡水资源库,而且很少受到污染,水质极好。那么,我们能否利用南极的冰山解决沙特阿拉伯的缺水问题呢?
对这一课题的探究,建议采用以下思路。
收集资料,了解南极冰山的基本情况。
了解沙特阿拉伯的淡水资源短缺现状。
运往沙特阿拉伯的最佳线路。
## 知识拓展
资料 1 联合国教科文组织国际淡水年特使谈沙特阿拉伯的淡水资源
特使说,由于他来自一个没有常年流淌的河流且降水稀少的沙漠王国一一沙特阿拉伯,所以非常清楚淡水的价值。不久前,这里的人们还习惯于传统的生活方式,本能地适应水资源短缺的环境,有多少水,就用多少水。现在,现代化的生活方式使人们对水资源的需求量越来越大，与世界上许多国家一样，沙特阿拉伯正经受着水资源短缺的严峻考验。
人口增长、工农业发展和城镇化进程使用水量不断上升,已超过了当地有限水资源的负荷。人们利用宝贵的地下水灌溉小麦、大麦、番茄和瓜果，并养殖家禽。但是，地下水水位也在不断地下降。
## 资料分析
1. 沙特阿拉伯水资源短缺的原因有哪些?2. 你认为可以采取哪些措施解决沙特阿拉伯的水资源短缺问题?这些措施有什么局限性?
## 资料 2 南极冰山的形成
南极大陆的冰盖呈盾形,中部高,四周低,冰体向四周辐射状挤压流动,冰盖边缘往往伸出巨大的冰舌。冰舌断裂后人海,形成巨大的冰山 (图4.19)。据统计,南极附近海上的冰山,约有 21.8 万座。最大的冰山长 335 千米,宽 97 千米,水面以上高度为 130 米，宛如一座冰岛。
图 4.19 南极冰山
## 资料分析
南极地区的年降水量只有 55 毫米，为什么会储藏着如此丰富的淡水资源?
## 执行任务
假如目前在南纬 $65^{\circ} 04^{\prime}$,东经 $75^{\circ} 45^{\prime}$ 处有一座巨大的冰山,经测算其重约 10 亿吨。计划将其运往沙特阿拉伯,如果到达时能保留冰山的 $45 \%$,就能解决当地一年的水资源短缺问题。那么,在运输冰山之前你认为必须解决的技术问题有哪些?如果这些技术问题都能够得到圆满的解决,你会选择一年中的什么季节和一条什么样的航线来运送这座冰山?（请充分考虑洋流的作用。）
## 分析反思
假如我们大量地将南极的冰山运往热带沙漠地区,以解决那里的淡水资源短缺问题，将会对全球的环境产生哪些影响?
## 第五章
自然环境的整体性与差异性
通过物质迁移和能量交换,自然环境要素相互联系、相互作用,形成自然环境的整体性。自然环境的整体性表现为自然环境具有整体功能、整体演化、整体响应外界干扰等特征。不同地域物质迁移和能量交换特点不同,导致不同空间尺度的地域分异,产生自然环境的差异性。将自然环境看作整体是地理学特有的视角,其目的是认识自然环境的差异性这一客观事实。
在本章,我们重点探讨以下问题:
- 自然环境的整体性是如何形成的?- 自然环境的整体性表现在哪些方面?- 自然环境地域分异的原因是什么?- 自然环境地域分异的主要规律有哪些?
## 第一节
自然环境的整体性
图 5.1 黄山景观“五丘归来不看山，黄山归来不看岀。”被誉为“天下第一奇山” 的黄山,不仅山峰险峻、秀美,而且以奇松、怪石、云海、温泉“四绝”闻名。地质、地貌、生物、大气、水等其中一项特色突出的山，就能美名远扬，而黄山松、石、云、泉倶绝。黄山拥有“四绝”的神奇组合是偶然现象吗?你能对这种神奇组合做山解释口马?
## 自然环境要素间的物质迁移和能量交换
自然环境由大气、水、土壤、生物、岩石及地貌等要素组成。这些要素在物质组成和形态特征方面差异明显。这些要素并不是彼此孤立、互不相关的，而是通过水循环、生物循环和岩石圈物质循环等过程,进行着物质迁移和能量交换,形成一个相互渗透、相互制约和相互联系的整体 (图5.2)。自然环境要素间的物质迁移和能量交换是自然环境整体性的基础。
图中有哪几种自然环境要素?水在各要素间是如何迁移的?
图 5.2 自然环境要素间的物质迁移示意
## 生物循环将自然环境要素联系为整体
生物循环是指生态系统中生物和环境间的物质流动过程,周而复始的生物循环改变了各环境要素的性质。
地球早期大气的主要成分是二氧化碳、一氧化碳、甲烷和氨,没有氧和氮。现今地球大气组成,是生物循环的结果。陆地水中溶解的元素在相当程度上也受生物循环制约。生物从陆地水中选择性吸收化学元素,改变了陆地水中的元素组成。生物循环改变了陆地水的循环过程。石灰岩等沉积岩以及煤炭、石油等化石能源都是生物循环的产物。生物循环影响着岩石的风化，促进了土壤的形成。
据有关资料,自地球上有生命以来,创造的生物物质已达 $4 \times 10^{22}$ 千克,相当于对流层大气质量的 1 万倍、水圈质量的 30 倍和沉积岩质量的 16 倍。自然环境中的物质已多次被生物加工。地球上生物循环的出现,将自然环境要素联系为一个整体,使地球面貌发生了根本改变，从而形成了适宜人类生存的自然环境。
## 自然环境的整体功能
自然环境作为一个系统,在自然环境要素共同作用下,拥有了整体功能,如生产功能、稳定功能等。自然环境的功能既包括自然要素的功能，也包括整体功能。
自然环境具有合成有机物的生产功能。生产功能主要依赖于光合作用。在光合作用过程中,植物提供叶绿素,大气提供热量和二氧化碳,土壤及水圈、岩石圈提供水分和营养盐。生物、大气、水、土壤、岩石及地貌的组合不同,生产功能的强弱有明显差异。例如相邻的坡地与平地,不仅坡度不同,其接受的太阳辐射、水分条件、土壤肥力、风化物粗细等也不同,共同影响着土地的生产功能,即使生长同种植物,生物量也有较大差别。
自然环境要素通过物质迁移和能量交换,使自然环境具有能够自我调节、保持性质稳定的功能。例如,人类活动增加了大气中的二氧化碳含量,大气本身不具有消减二氧化碳的功能,自然环境主要通过以下两个途径来削减。其一,植物通过光合作用,把大气中的碳保存在植物体及土壤中。其二,通过海一气相互作用,大气中的二氧化碳和海水中溶解的䥻相结合,形成沉淀，这是消减大气中二氧化碳含量增加的最主要途径。这样，通过自然环境要素间的碳交换，部分实现了大气中二氧化碳含量的相对稳定。
自然环境的生产功能、稳定功能等,保证了人类的生存和发展。协调人地关系,必须充分考虑不同区域自然环境生产功能和稳定功能的差异。D. 案例
## 坡面士壤厚度的稳定性
坡面土壤表层常常发生流水侵蚀。岩石不断风化,为土壤形成提供原料。流水侵蚀和岩石风化共同控制着土壤厚度。一般来说,如果流水侵蚀强烈,土壤薄,下覆岩石受环境影响加剧，风化加速。相反，如果流水侵蚀较弱，在厚厚的土壤的保护下，岩石就不易风化。表面上看,流水对土壤的侵蚀很明显,一次降水过程就能观察到;而土壤的形成速度比较慢,短时间内难以察觉,土壤厚度似乎应该变薄。但事实上,在自然状态下植被生长良好的坡面,经过多年的土壤侵蚀与土壤形成过程,土壤厚度一般没有明显变化。通过土壤与水、土壤与岩石间的物质交换，土壤厚度及自然环境具有相对的稳定性。
## 活动
## 分析藏羚羊数量与环境的关系
可可西里位于青藏高原西北部，海拔多在4 400 米以上，是藏羚羊的主要栖息地。藏羚羊的繁殖率各年变化不明显,存活率却变化显著。若冬季食物、水源充足,寒潮少发,藏羚羊存活率上升,数量增加。当藏羚羊数量增加以后,食物、水源相对不足,避风处相对缺乏，藏羚羊存活率下降,数量减少。因此,在自然状态下,藏羚羊的数量虽然随着环境变化有所波动，但基本稳定。
( 1 ） 推测可可西里地区的气候与植被特点。
（2）说明可可西里地区动物（如藏羚羊）的数量更易受环境条件影响的原因。
（3）藏羚羊的数量虽有波动，但基本稳定。这种现象符合什么地理原理?
## 自然环境的统一演化和要素组合
自然环境要素每时每刻都在演化，如地貌的侵蚀变化。在流水侵蚀下，高原的峡谷不断拓宽，高原面萎缩，逐步演化为山地；山地逐步侵蚀为丘陵，进而演化成平原。自然环境的演化，是要素间物质迁移的结果，正是水与岩石间的物质迁移导致了流水地貌的演化。一个要素的演化必然伴随着其他各个要素的演化,各个要素的演化是统一的。例如，山地演化为丘陵的过程中，坡面变缓，地表径流减少，水土流失减弱，在成土过程作用下土壤逐渐变厚，植被也更为发育，大气湿度也有所增加。自然环境具有统一的演化过程，保证了自然环境要素之间的协调，形成了阶段性的自然环境要素组合。例如,黄山“四绝” 组合就是花岗岩断块山形成与演化过程中特定阶段的组合。花岗岩岩体沿节理风化,造就“怪石”;山体高大陡峭,气流抬升强烈，形成“云海”;在缺水少土的峭壁岩缝间，发育不良的黄山松成为“奇松”;岩浆上涌加热地下水，形成“温泉”。在遥远的末来,随着自然环境的演化，黄山特有的景观将逐步变化。
## 案例
## 湖泊演变为陆地的过程
湖泊淤积，逐步变浅，面积萎缩。同时，水量逐步减少，生物由水生生物演变为湿生生物，最后演变为陆生生物，湖底底泥转化为土壤，小气候也逐渐干燥。湖泊演变为陆地的过程是地貌、气候、生物、土壤、水等要素的统一变化过程。在这一变化过程中，依次出现不同的自然环境要素组合 ( 图 5.3)。
深水湖泊
a
浅水湖泊
b
沼泽
C
图 5.3 湿润区湖泊演变为陆地的过程示意草甸
d
森林
## 自然环境对干扰的整体响应
某一自然环境要素受到外部干扰发生变化,进而改变了该要素与其他要素间的物质迁移和能量交换,使其他要素发生连锁变化,最终导致整个自然环境发生改变。
与自然环境普遍存在着的演化相比,干扰下的环境变化多为快速的,各要素变化也不同步。例如,陡峭山地逐步侵蚀为浑圆丘陵的演化过程中，植被同步由灌草演化为森林，这一过程可能需要上千万年;而遭受火灾干扰后，损毁植被由灌草演化为森林可能只需几十年。
人类对自然环境的干扰不断增强。通过自然环境要素连锁变化,不但干扰的后果常常被放大了,环境变化也越来越快。环境的快速变化往往不利于人类的适应。
## 案例
森林过度采伐导致东北自然环境的整体变化
东北林区北部为寒温带针叶林,南部为针阔叶混交林 ( 图 $5.4 \mathrm{a}$ ) 和温带落叶阔叶林。经过 100 多年的大规模采伐 (图 $5.4 \mathrm{~b}$ ),至 20 世纪末,东北林海发生了很大的变化—一森林面积锐减。森林面积锐减,一方面造成土壤缺乏枯枝落叶的补给,且水土流失加剧,土壤肥力下降;另一方面降低了森林滞留降水的功能,导致降水时易形成洪水 (图 $5.4 \mathrm{c}$ ),无降水时河流水量锐减甚至断流。水土流失加剧使地面沟谷纵横 ( 图 $5.4 \mathrm{~d})$，土层变薄，岩石裸露，岩石的风化速度加快。
自20世纪末,随着天然林保护工程的实施,东北林区得到了有效的保护,森林逐渐恢复。
a. 针阔叶混交林
c. 洪水泛滥
b. 森林采伐
d. 水土流失
图 5.4 东北森林变化导致环境的变化
## 活动
## 认识修建大坝对自然环境的影响
修建大坝会对自然环境产生诸多影响。请根据图 5.5提供的线索讨论这些影响,并把讨论的结果填写在空白处。
图 5.5 修建大坝对自然环境的影响
## 第二节
## 自然环境的地域差异性
雪山逶迤，冰川纵横，河流蜿蜒，湖泊星布，草原如茵，草甸烂漫，森林如带，荒漠苍茫。天山把寒冷与炎热，干旱与湿润，高山与深谷，平坦与陡峻,冰雪与绿色，丰富与单调等并置在同一时空中 (图 5.6)。为什么冰川、草原、森林、荒漠能并存于天山之中?它们在天山中的分布有什么规律?
## 地域差异
不同地域，自然环境特征存在着差异。地域特征的形成是地域外部条件与内部物质、能量运动的结果。地域外部条件包括太阳辐射量、距海远近等，常常影响自然环境要素间物质迁移和能量交换。同纬度地区，自沿海到内陆，由湿润趋向干旱。在沿海地区，太阳辐射较多地用于蒸发，水循环强烈；在大陆内部,太阳辐射更多地转化为风能。因此，沿海地区与内陆地区自然环境要素间物质迁移存在差异，自然环境演化过程也不相同，从而形成湿润区和干早区不同的景观。同样,低纬地区与高纬地区吸收的太阳辐射量不同,使得水循环、生物循环等物质迁移的数量存在差异,从而形成热带与寒带不同的景观。
自然环境的差异性体现在不同的空间尺度上，即规模有大有小。其中,温度带分异和海陆分异是全球性的地域差异,热带雨林带、温带落叶阔叶林带等之间的差异的尺度要小，山和谷的差异、山体阴坡和阳坡的差异则属于更小尺度的地域差异。
## 元素迁移与地域差异的形成
岩石风化释放的钠、钾、钞、镁等元素,可溶于水,并可随水迁移。钠、钾的溶解度高于钞、镁。不同地域,降水量不同,钠、钾、钞、镁含量差异显著,水质、土壤性质和植物种类也相应具有差异。在湿润区,钠、钾、铝、镁易淋溶并迁出,土壤和水含盐量低,植物生长良好;在半湿润区和半干旱区,钠、钾易淋溶,钞、镁大量保存,土壤中形成钘积层,影响部分植物生长;在干旱区,钠、钾、钞、镁均大量保存,土壤和水含盐量高,植物生长不良。
## 陆地地域分异规律
自然环境存在由赤道到两极的规律性变化,形成低纬度和高纬度地区横穿整个大陆的自然地带,以及中纬度地区在一定范围内东西向延伸、南北向更替的自然地带 ( 图 5.7 )。横穿整个大陆的自然地带有苔原带（图 5.8 )、亚寒带针叶林带、热带雭林带（图 5.9)。在中纬度地区，大陆东岸分布着亚热带常绿阔叶林带、温带落叶阔叶林带 ( 图 5.10 ) 与针阔叶混交林带；大陆西岸分布着亚热带常绿硬叶林带、温带落叶阔叶林带。
图 5.7 世界陆地自然地带的分布
图 5.8 苔原景观
图 5.10 温带落叶阔叶林景观
图 5.9 热带雨林景观
图 5.11 温带荒漠景观
在中纬度地区,从沿海向大陆内部也产生了地域分异,呈现森林带一草原带一荒漠带（图 5.11）的变化规律。
## 垂直地域分异规律
高大的山体随着海拔的变化,水热状况不同,自然环境要素间物质迁移和能量交换的差异很大,自然景观也相应地呈现垂直变化。从山麓到山顶，分布着不同的景观带,构成垂直带谱。山麓与陆地自然地带一致,垂直带变化与其所在纬度向较高纬度方向上的陆地自然地带变化相似。
## 活动
## 比较喜马拉雅山脉南北坡的垂直地域分异
垂直地域分异与山地所在纬度、高度密切相关,即山地所在纬度越低，海拔越高，垂直带数目越多，垂直带谱越完整。喜马拉雅山脉纬度较低，海拔高，南北坡的山麓处于不同的陆地自然地带（图5.12）。
图 5.12 喜马拉雅山脉的垂直地域分异
1. 南坡比北坡多哪些植被类型?2. 以高山草甸为例，它在南坡和北坡分布的海拔范围有什么不同?为什么?3. 如果北坡的山麓海拔与南坡相同，北坡也会有南坡那么多的植被类型吗?为什么?
地少性分异规律
受地形、岩石风化物等地方性因素影响,通过物质与能量再分配,形成了尺度较小的地域分异。例如,按照陆地地域分异规律,在温带湿润区应该发育着落叶阔叶林。但是在温带湿润区高而陡的山坡，降水较多地转化成坡面径流，末被土壤吸收，供植被生长的水分较少，山坡上只能生长较耐旱的针叶树、灌木等;而在低洼的河谷,周边汇水丰富,生长着草甸植被；只有地形平坦、高度适中的地域才能生长落叶阔叶林。于是，随地形从高到低形成了地方性的针叶林（或灌丛 ) 带、落叶阔叶林带和草甸带的分布规律。
## 案例
## 草原上的盐碱地
在草原上,土壤中的钠、钾被地表水和地下水带到地势低洼的地方。由于蒸发强烈,钠、钾在土壤表层不断累积，这些地势低洼的地方便形成盐碱地。盐碱地土壤和水含盐量高，土壤肥力差,植被稀疏，与周围草原明显不同，看上去如同镶嵌在草原上的斑块。
## 自学窗
从分布特点推测成因
岩石风化产生的黄土，颗粒较细，易于被流水和风搬运。根据黄土搬运方式，可将堆积的黄土分为水成黄土和风成黄土。
在我国东北的湿润区与半湿润区的过渡区，山脉西侧往往有宽度较大的黄土堆积，而东侧黄土少见。这些黄土结构紧实，缺少钘，符合水成黄土的特征。据此，很多学者判定这里的黄土为水成黄土。
地理学者则根据分布特点,认为这里的黄土是风成黄土。第一,若是水成黄土,则山脉的两侧都应有相应的黄土台地分布，只有风成黄土，才可能仅分布于山脉冬季风迎风的一侧。第二，水成黄土的宽度较窄，风成黄土的宽度较宽。这些黄土显示与水成黄土接近的特征，则可能是堆积后长期受流水作用的结果。
地理事物的成因不同，所呈现的分布特点就不同。地理学者通过研究事物的分布规律，推断事物的成因，为科学分析事物的成因提供了独特的视角。
## 5. 本章要点
1. 整体性和差异性是自然环境的两个最基本的特征。自然环境要素通过水循环、生物循环和岩石圈物质循环等过程,进行着物质迁移和能量交换,构成整体性和差异性的基础。2. 自然环境拥有生产功能、稳定功能等整体功能。3. 自然环境各要素每时每刻都在演化,各个要素的演化是统一的,形成了阶段性的环境要素组合。4. 对外界的干扰,自然环境因要素发生连锁变化,呈现整体性的响应。5. 不同地域,自然环境特征存在着差异。地域特征的形成是地域外部条件与内部物质、能量运动的结果。6. 自然环境的差异性体现在不同的空间尺度上,形成陆地自然地带、垂直带、地方性分异等多种地域分异规律。7. 横穿整个大陆的自然地带有苔原带、亚寒带针叶林带、热带雨林带。8. 在中纬度地区,大陆东岸分布着亚热带常绿阔叶林带、温带落叶阔叶林带与针阔叶混交林带;大陆西岸分布着亚热带常绿硬叶林带、温带落叶阔叶林带。9. 在中纬度地区,从沿海向大陆内部呈现森林带一草原带一荒漠带的变化规律。
## 问题研究
如何看待我国西北地区城市引进欧洲冷季型草坪
为了绿化城市、改善生态环境，我国北方地区一些城市从欧洲引进了冷季型草坪。西北地区的一些城市也引进了这种草坪。西北地区城市从欧洲引进冷季型草坪是否合适呢?
对这一课题的探究，建议采用以下思路。
收集资料,了解欧洲冷季型草坪在改善欧洲城市生态环境中的作用。
查找资料,了解在西北地区城市大量铺设欧洲冷季型草坪可能产生的问题。对比欧洲西部和中国西北地区的气候差异。对西北地区城市从欧洲引进冷季型草坪的问题提出看法。
## 知识拓展
资料 1 冷季型草坪
图 5.13 是英国某城市的草坪。除少数树木和几条纵横交错的小路外,这里绝大部分都是修剪得很好的冷季型草坪。天气好的时候，草坪上有的人打棒球，有的人踢足球，有的人遛狗,更多的人则是躺在上面晒太阳。英国的雨多是出了名的,因此,在阳光灿烂的日子里,大家都争相去公园晒太阳。站在草坪上，视野很开阔，看着不远处车辆川流不息，听着
图 5.13 英国某城市的草坪随风声传来的草地上孩子们的追逐嬉闹声，感觉这里像是大都市海洋中的一个绿色小岛 …… 由于雨水充足、气候温暖湿润,即使在冬天,这里的草坪也绿茵茵的,如地毯一般。
## 资料分析
冷季型草坪在改善欧洲城市人居环境方面有哪些作用?
资料 2 我国西北地区城市从欧洲引进冷季型草坪引发的问题
为了改善生态环境,我国西北地区也有一些城市从欧洲引进冷季型草坪。但是,却引发了一系列问题。
据统计，这种冷季型草坪旱季每天需要浇一次水，雨季每星期需要浇两次水。
维护冷季型草坪需要花费大量资金。这种草生长速度快,每年大约需要修剪 15 次左右，特别是我国夏季热量充足，草坪长势良好，每 10 天就要修剪一次。
为了保证冷季型草坪正常生长,不受病虫害和当地野草的侵扰,需要在草坪上不断地施用化肥和农药。这会给城市大气环境、地表和地下水环境、土壤环境带来严重的污染。
## 资料分析
1. 西北地区的城市从欧洲引进冷季型草坪引发的问题主要表现在哪些方面?2. 这些问题产生的原因是什么?
## 评价建议
1. 应该如何看待我国西北地区城市引进欧洲冷季型草坪?2. 请你为我国西北地区的城市绿化提几条建议。
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In this unit,you will
1 read about people of achievement and their contributions.
2 hear and talk about great people.
3 write an introduction about someone you admire.
4 explore what greatness means and how it is achieved.
## Look and discuss
1 Who is the woman in the photo?
2 What is happening in this photo?
3 What more can you find from this photo?
## Describe people of achievement
1 Before you read,discuss these questions in groups.
1 What kind of person makes great discoveries?
2 Which is more important for making a great discovery,talent or effort?
Find descriptive words
Pay attention to the descriptive words in a passage. These will help you form a better impression of the subject described in the passage. Tu Youyou.
## TU YOUYOU AWARDED NOBEL PRIZE
6 October 2015
Tu Youyou,a committed and patient scientist,was born in Ningbo,China,on 30 December 1930,and graduated from Peking University Medical School in 1955. After she graduated,she worked at the China Academy of Traditional Chinese Medicine in Beijing. In 1967,the Chinese government formed a team of scientists with the objective of discovering a new treatment for malaria,and Tu Youyou was among the first researchers chosen. In the beginning,Tu Youyou went to Hainan,where malaria was more common,to study malaria patients. In 1969,she became the head of the project in Beijing,and decided to review ancient Chinese medical texts to find traditional botanical treatments for the disease. Her team examined over 2,000 old medical texts,and evaluated 280,000 plants for their medical properties. From their research,they discovered and tested 380 distinct ancient Chinese medical treatments that showed promise in the fight against malaria.
One medical text from the fourth century suggested using the extract from sweet wormwood to treat a fever. Tu's team tested a collection of dried wormwood leaves but found no effect. They then tried boiling fresh wormwood,and using the liquid obtained from this to treat malaria,but this did not work either. Their project got stuck. However,Tu Youyou would not acknowledge defeat. She analysed the medical texts again,and by chance,she found one sentence suggesting a different way to treat the wormwood. She concluded that boiling the sweet wormwood apparently destroyed its medical properties. Using a lower temperature to draw out the extract,she found a substance that worked. After failing more than 190 times,the team finally succeeded in 1971. Tu Youyou and her team members even insisted on testing the medicine on themselves to make sure that it was safe. Later,the medicine was tested on malaria patients,most of whom recovered. This medicine,which was called artemisinin,soon became a standard treatment for malaria.
According to Tu Youyou,the discovery of artemisinin was a team effort. Upon hearing that she had been awarded the Nobel Prize,she said,"The honour is not just mine. There is a team behind me,and all the people of my country. This success proves the great value of traditional Chinese medicine. It is indeed an honour for China's scientific research and Chinese medicine to be spread around the world."
3 Circle the answers to the questions below.
1 Where would you most likely find this passage?A In a blog.
B In a book.
C In a letter.
D In a newspaper.
2 Passages like this are most often written in and A the active voice/offer many opinions B the first person/talk about feelings $\mathbf{C}$ both active and passive voices/mostly contain facts
3 Which two pieces of information were not included in the passage?
A A quote from Tu Youyou.
B The details of how artemisinin was discovered.
C Tu Youyou's important contributions other than the discovery of artemisinin.
D Tu Youyou's personal life.
E Tu Youyou's road to discovering artemisinin.
F What Tu Youyou was awarded.
G Why artemisinin is an important discovery.
4 Read the text again and answer the questions.
1 Why is the discovery of artemisinin important?
2 What was the key to getting a good extract from the wormwood?
3 What numbers are mentioned in the text?What do they suggest?
4 Why is Tu Youyou considered a great person?
5 Complete the flow chart. Then tell the story of how artemisinin was discovered.
They tried but $\nabla$
The medicine became for
malaria. They tested the medicine on They tested the medicine to see if safe. They used a the sweet wormwood extract.
## Build up your vocabulary
1 Write down the word that matches each definition. Then find the sentences containing these words in the text.
1 cook something in very hot water
2 relating to plants
3 qualities or characteristics of something
4 a kind of substance that flows freely,such as water or milk 5 physical material that exists
2 Guess the meaning of the underlined words. Then fill in the blanks with words that have the same roots.
1 The two flowers are quite distinct from one another,so it is easy to make a between them.
2 Scientists need to how the new material stands up to wear and tear to prove how valuable it is.
3 A talented scientist well known for his to his country,Huang Danian committed himself to his research in geophysics.
4 A: Did you come to any conclusions?
B: Yes,we that by drawing out the extract at a low temperature,we could find the substance that we needed to complete the experiment.
5 She spends a lot of time her patients' dreams. This analysis is very helpful,explaining their daily behaviour very well.
3 Read the passage about Lu Xun. Fill in the blanks with the correct forms of the words in the box.
$$
\text { insist obtain objective acknowledge apparently crucial }
$$
Lu Xun,as one of the greatest modern writers in China,was born in Shaoxing,Zhejiang Province in 1881. In 1904,he went to Japan and became a medical student,with the of improving people's health and saving lives. However,he changed his mind when he saw in a photo a Chinese man about to be killed by a Japanese soldier. It struck him that the other Chinese men in the photo did not care about what was happening to their fellow countrymen. From this,he concluded that the problem in China was not physical illness,but the spiritual illness of people at that time. Following this,he quit medical school. When he returned to China in 1908,he a teaching job. In 1917,a friend that he help write for a magazine called New Youth. That was how his first famous short story A Madman's Diary got published.
4 In pairs,discuss how people can achieve success,using words and expressions you have learnt in this unit.
## Discover useful structures
1 Read the following sentences and underline the relative clauses. Then name the two types of clauses and state their functions.
- They tested hundreds of Chinese medical treatments that showed promise in the fight against the disease.
- Tu Youyou was awarded the Nobel Prize,which is considered one of the highest international honours a person can receive.
- Tu Youyou went to Hainan,where malaria was more common,to study malaria patients.
- Later,the medicine was tested on malaria patients,most of whom recovered.
2 Rewrite the sentences using non-restrictive relative clauses. How do the sentences flow differently?
EXAMPLE
The book tells us about Alexander Fleming. He discovered penicillin.
The book tells us about Alexander Fleming,who discovered penicillin.
1 We were very impressed by the old man. He was not willing to acknowledge defeat. :
2 Afterwards,Einstein had to flee Germany. Hitler was in power there. ।
3 There is nothing we can do to help Linda. Her circumstances are beyond our control. .
4 The teacher asked us to listen to a speech by his favourite novelist,J.K. Rowling. It inspired us a lot."
5 The building under construction was designed by I.M. Pei-a famous Chinese-American architect. He was born in Guangzhou,China.
6 I was asked to explain the project with the help of a flow chart. It was a big challenge for me. "
3 Work in groups. Complete the sentences using non-restrictive relative clauses to give extra information. Then share them with your group members.
## EXAMPLE
I'd like to try ...,...
I'd like to try that Chinese herbal medicine again,which seems to work best for my cough.
1 I would like to travel around ...,...
2 What impressed me most ...,...
3 My favourite scientist is ...,...
4 Finally we arrived at ...,...
5 My grandparents like ...,...
6 I wish to obtain
7 My best friend
## Using Language
## Explore the meaning of greatness
1 Match the people with their achievements. Then share with a partner what you know about the people and their achievements.
1 Alexander Fleming
A contributed to a new treatment for malaria
2 Florence Nightingale
B discovered penicillin
3 Wu Mengchao
C founded modern nursing
4 Zhong Nanshan
D performed operations well into his 90 s
5 Tu Youyou
E managed the SARS outbreak
2 Listen to the conversation. Who does each speaker admire?Tick the correct boxes in the table below.
Name
Dr Wang
Wang Le
Anna Smith
Alexander Fleming
Zhong Nanshan
Florence Nightingale
Wu Mengchao
Tu Youyou
Dr Wang
A. 3 Listen again and answer the questions below. You can discuss them with a partner.
1 Why did Anna meet Wang Le at her home?
2 Why did Dr Wang decide to become a doctor?
3 What kind of person does Wang Le admire?Why?
4 What advice did Dr Wang give?Do you agree with him?Give your reasons.
## Listen for reasons
When people give their opinions or decisions on a matter,they often give reasons for them. Sometimes,the reason is introduced by words such as because or due to. At other times,the reason is given right after the opinion or decision,and the link can be inferred. 4 Work in groups. Brainstorm the names of some great people and write them in the table below.
Ordinary people
Environmentalists
Inventors Scientists
Explorers
Politicians
5 Discuss what makes these people great. Try to use the following language fillers to give yourself time to think.
Giving time to think
(Er/Oh/Um,) let me see/think ...
Well,er,...
Yeah,I mean,I understand what you're saying ...
Anyway,...
Just a moment.
Hang on a second.
May I think about that for a moment?
How can/shall/should I put this/it?
Let me think about this/that for a moment. Right./Sure.
Really?
Well,I guess ...
You see/know,...
So,...
Well,it's on the tip of my tongue.
I've nearly got it,er,...
What I want to say is ...
6 Use your discussion to draw conclusions about the meaning of greatness. The following expressions may help you. Then report back to the class.
The greatest person I know of is ...,who ...
To be great,a person should ...
To me,greatness means ...
Why do you think that?
That's true,but ...
I want to be like has achieved financial success
has invented new products
has made great discoveries
serves as a good role model
brings happiness to other people
makes great contributions to society
# Using Language
## Introduce someone you admire
4)) 1 What do you know about Albert Einstein?Read the text and complete the timeline. Then introduce Einstein's life story and achievements in your own words.
## THE MAN WHO CHANGED OUR UNDERSTANDING OF THE UNIVERSE
#### Abstract
Albert Einstein,who is perhaps the greatest scientist in modern physics,is often considered one of the smartest men who ever lived. He made numerous contributions to the world,the most well-known being the general theory of relativity and the famous formula $E=m c^{2}$. Einstein was not only a genius;he was a courageous and kind figure loved by many people.
This gentle genius was born in Germany on 14 March 1879 . When he was 16,he tried to enter university in Switzerland,but failed due to his low scores in the general part of the entrance exam,despite obtaining exceptional scores in maths and physics. After studying for another year,he managed to pass the exam,entering university in 1896 and graduating in 1900 .
After two years of looking for work as a teacher,Einstein took a job as a clerk in the Swiss patent office. While working there,out of a strong passion for knowledge,he continued to study,earning a doctorate in physics in 1905. That same year,which was later recorded as a miracle year in science,he published four extraordinary physics papers. Following this,he gradually became famous throughout the world as the new Isaac Newton. After four years,he was able to quit his job at the patent office and enter research full-time at a university. In 1922,he was awarded the 1921 Nobel Prize for Physics for his explanation of the photoelectric effect.
Circumstances changed in 1933,when Hitler came to power in Germany. Einstein,who was Jewish,found the doors of academic institutions closed to him. As a consequence,he had to flee Germany. After spending time in Europe,he finally took up a position as a researcher at the Institute for Advanced Study in Princeton,USA. Following that,he continued to make great achievements in physics and mathematics.
To the public,he was seen as a slightly odd-looking but kind and funny man. He had a thick moustache and long white hair,which sometimes stood on end as though he had just received an electric shock. Although he was a genius,he sometimes forgot things,like his friends' birthdays. But despite his peculiarities,he was loved by his friends and neighbours. There is even a story about how he helped a little girl who knocked on his door and asked for help with her homework. In fact,Einstein often encountered people on the street who would stop him and ask him to help explain things. After many such occasions,he finally started saying,"Pardon me!Sorry!Always I am mistaken for Professor Einstein!"
On 18 April 1955,it was reported that Einstein had passed away,and the whole world mourned the great loss of a brilliant scientist.
Born in Germany
2 In pairs,discuss the following questions.
1 Apart from his remarkable achievements,what does the passage tell us about Einstein's life?
2 What impressed you most about Einstein?State your reasons.
3 Study the organisation and language features.
1 What type of writing is this text?How does the writer develop the text?
2 Find the descriptions that tell us what Einstein looked like and what kind of person he was.
3 What rhetorical devices are used in the passage?Give examples.
4 Write an introduction about someone you admire.
1 Choose the person you are going to write about. It should be someone you think is great in some way. It can be an ordinary person,such as a parent,a relative,or a friend.
2 Make a list of things that need to be included in your introduction.
3 Use your notes to write your introduction and sum up how you feel about this person.
## Exchange your draft with a partner.
1 Use the checklist to help you review your partner's draft.
$\checkmark$ Does the writer describe the person's appearance and personality?
$\checkmark$ Does the writer tell an impressive story of the person's life?
$\checkmark$ Does the writer say why the person is great?
$\checkmark$ Does the writer sum up how he/she feels about this person?
2 Take your draft back and revise it.
6 Share your introduction with the rest of the class. 1 Complete the sentences with the correct forms of the words in the box.
$$
\text { gentle sum up circumstance encounter novelist patent }
$$
1 To our surprise,he was actually the and caring father of three children.
2 To __ his fame and wealth were gained through hard work and his in-depth knowledge of his business.
3 A genius for invention,Thomas Edison obtained scores of
4 Under no ___ should we do terrible things to other people.
5 As a botanist,he takes notes on the properties of any plant he
6 The first-person narrator is a stylistic device that has been used by many and poets throughout the ages.
2 What do you know about Sun Yat-sen?Read the passage,and then fill in the blanks with relative pronouns or adverbs.
Sun Yat-sen (1866-1925) was widely considered to be the founder and forerunner of modern China. He was only in power for a short time,when he was president of the country in 1912. So it may seem odd to some people knowledge of China may be limited that he is such an important figure. However,his influence is not based on his time in office,but on his continuous struggle for a better society and his concern for all Chinese people. He also put forward many advanced ideas brought the Chinese people together,in particular,the Three Principles of the People. These principles were inspired by Lincoln,he admired,and were developed when he was travelling overseas,he went to find support for his country. The first principle is about nationalism,indicates that China should never be divided and should not be under any foreign control. The second is about people's rights. It means that all people have great value and should also have the same rights. The third is about people's livelihood,means that the government should create opportunities for people to make a
good living.
## REFLECTING
( Did this unit cause you to change your thoughts about greatness?If so,how?
( Will what you have learnt in this unit inspire you to improve yourself?If so,how?
(- What was the most important idea that you learnt in this unit?
๑ Overall,I thought this unit was inspiring useful so-so difficult.
## *Project: Prepare a book report
1 Discuss these questions in groups.
1 Have you ever read a biography or an autobiography of a great person?Would you recommend this book?Why or why not?
2 Which great person would you like to read more about?
3 Where can you find recommendations for good biographies or autobiographies?
Cao Xueqin Biography by Li Jianshu,2009 (Chinese edition)
The book tells the life story of the novelist Cao Xueqin,author of The Dream of the Red Mansions. Cao was born to a rich family but suffered great poverty for most of his life. He drew on his life experiences to write this famous novel,which was published after his death. communicate.
The Story of My Life
Steve Jobs
by Walter Isaacson,2011
Isaacson interviewed Steve Jobs over forty times,and interviewed hundreds of Jobs' friends,relatives,and rivals to sum up Jobs remarkable life. The result is an interesting story of a man driven to succeed and driven to make perfect products. opened up a new world to her by teaching her how to
by Helen Keller,1903
Even though Keller wrote this autobiography when she was only 22 years old,it is considered a great book in American literature. It tells about her dark and silent childhood,and how her teacher,Anne Sullivan,
2 Choose a biography or autobiography of a great person. Read the book,and then write a book report. Keep these points in mind:
- Use the examples above to help you.
- Write about how the book makes you feel or think about that person.
- Write about your overall feelings about the book and its quality.
- Give your opinion: Should others read this book as well?Why or why not?
3 Present your book report to your group. Answer any questions about the book.
## Mei Lanfang: Great Artist,Cultural Ambassador
Mei Lanfang is still known today as one of the masters of Beijing Opera. He played a key role in bringing Beijing Opera to the world,leading to the international status and recognition that it has today. Mei Lanfang is still widely remembered for his skill,his kindness,and his deep love for his country.
## BEFORE YOU WATCH
Try to match the time phrases with the events in Mei Lanfang's life.
1 at age 8
2 in his 20 s
3 in 1919
4 after eight years of attempts
5 over 50 years on stage
6 in 1961
7 in 1894 A born in Beijing
B succeeded in taking Beijing Opera to the USA
C died of heart disease
D developed a style called the "Mei Lanfang School"
E began to travel and perform abroad
F started to learn Beijing Opera
G became known internationally for his acting skill
## WHILE YOU WATCH
1 Check your answers in Before You Watch.
2 Complete the sentences.
1 The great Indian author Rabindranath Tagore about Mei Lanfang.
2 In the USA,many fans shake his hand. after the performances to
3 Mei Lanfang brought Beijing Opera abroad so that more people could of Chinese culture and art.
4 When Japanese troops invaded China,Mei Lanfang
## AFTER YOU WATCH
Discuss these questions in groups.
1 How did Mei Lanfang become a legend in the art of Beijing Opera?
2 Why is Mei Lanfang greatly loved by so many people?
3 Who else can you think of that has committed himself/herself to the development of China's art or music culture?
## ?LOOKING INTO UNIT L THE FUTURE
In this unit,you will
1 read about living in a smart house.
2 listen to and talk about predictions.
3 read about the pros and cons of advances in technology,and write your opinions.
4 explore the future of technology.
## Look and discuss
1 What might the picture be about?2 What are your predictions about the future?3 What might be some of the advantages and
disadvantages of life in the future?13 The best way to predict the future is to create it.
-Peter Drucker
## Exchange views on smart homes
## Before you read,discuss these questions in groups.
1 What does it mean when we say that something such as a phone is "smart"?
2 What do you think a "smart" house can do that other houses cannot?
()) 2 Skim the text and answer these questions.
1 What is the purpose of the text?
2 Who is the intended audience of this text?Identify purpose and audience
The types of phrases used in a passage help identify its purpose. For example,the phrase in my opinion tells us that the passage is likely meant to persuade. And a text that uses imperatives is likely meant to instruct. A passage's content helps identify its audience. For example,a passage that gives tips on looking after pets would have pet owners as its audience.
## SMART HOMES TO MAKE LIFE EASIER
Have you ever forgotten to lock the door of your house?Or,have you ever forgotten to switch off the TV or computer?These kinds of things happen to us all the time,waste resources,and can sometimes lead to problems. However,in the nottoo-distant future,we will be living in smart homes that will lock the door for us when we are away and remember to switch off the TV when we forget. These smart homes will keep us secure,save us energy,and provide a more comfortable environment to live in.
## Intelligent Controls
Today,we have to use switches for our lights,knobs for our appliances,and remote controls for our TVs and air conditioners. In the future,we will be using advanced technology every day for automatic control of just about everything in our home. The future home will use integrated sensors to tell when you leave home each morning,and then go into an energy-efficient mode all by itself. You will no longer have to think about turning switches on and off yourself. Your home will also learn your daily routine and preferences,so everything will be ready for you when you get home each evening. Your lights will come on the instant you enter the door along with your favourite music or TV programmes,and you will find your dinner already prepared for you. All controls will respond to voice commands,so if you want to change your routine,you just say aloud what you want and the home system will obey.
## Regular Health Checks
In addition,your smart home will be monitoring your health for you every day. Your bed,for example,will record how well you sleep every night. It will also be checking your body weight. If you start to have sleep or weight problems,it will send a warning to your phone. It will also give you suggestions on a healthier diet and how to sleep better. Smart toilets will be keeping constant track of your health as well. They can warn you early on if there is something abnormal or if you have a critical illness,such as cancer,and potentially save your life.
## No More Disasters
Smart homes will be able to prevent serious damage from accidents. For example,if a water pipe starts leaking,or if there is a short in the electrical wiring,your smart home will detect it and provide you with the relevant information. This way,you will be able to fix the problem before your home becomes flooded or catches fire.
This smart technology is not a fantasy. Many of these new innovations are already available and being used in some homes. In this sense,the home of tomorrow is already the home of today. Nevertheless,it will take some years before most new homes begin to use this new technology.
## Read the text again and fill in the table below.
In the future,what will smart homes do about ...?
| doors | dinners |
| :--- | :--- | :--- |
| TVs,computers | beds |
| $\begin{array}{l}\text { water pipes,} \\ \text { electrical wires }\end{array}$ | toilets |
| lights,favourite music,or TV programmes | |
4 Complete the summary using the correct forms of the words from the text. A smart home is one that computers into the structure of the building itself. In this way,many of the things that we now do ourselves will become a For example,the smart home could control the air conditioning and lights so that you would no longer have to turn $\mathrm{s}$ on and off,making your home more energy $-\underline{\underline{e}}$ The smart home could also $\underline{m}$ itself to make sure that everything is working as it should,and send you $\underline{\mathrm{w}}$ if there is a problem. Such smart homes could even be programmed to $\underline{\mathrm{d}}$ your health problems,and then give you advice as to the food you should eat or if you should see a doctor. So,in a sense,smart homes will lead us to living smarter lives.
5 Work in groups. Discuss these questions.
1 In what way is the home of tomorrow already the home of today?
2 What might be some of the disadvantages of smart homes?
## Learning About Language
## Build up your vocabulary
1 Write as many correct pairs of "verb + noun" phrases as possible.
Verbs: detect,integrate,leak,switch on/off,monitor,cure,have,become,issue,encourage,repair,reject Nouns: a preference,routine,a warning,cancer,learning,the heater,air quality,potential dangers,oil,innovation,the electrical wiring,fantasies
EXAMPLE detect potential dangers,have fantasies,...
2 Complete the sentences with the adjectives in the box.
$\begin{array}{lllll}\text { abnormal } & \text { automatic } & \text { available } & \text { constant } & \text { critical } \\ \text { efficient } & \text { distant } & \text { instant } & \text { relevant } & \text { secure }\end{array}$
1 Big data will become much more in solving crimes in the future.
2 Many smart watches can provide fitness data.
3 It is possible that this technological fantasy will come true in the future.
4 After the accident,both drivers are in condition.
5 The fridge keeps food at a low temperature.
6 The air conditioner works in mode.
7 It is important to make food and water to the survivors.
8 Houses with advanced appliances will keep us and healthy.
9 We find the German transport system to be one of the most in Europe.
10 The sensors can detect anything and automatically call someone to come and fix it.
## Paraphrase the sentences using the words and phrases in brackets.
1 Care will also be taken to combine the building and surrounding architecture together to form an effective system. (integrate)
2 We will probably benefit from remote-controlled houses. (potentially)
3 He insisted that everything in the smart home would be all right. However,I could not help but feel anxious. (nevertheless)
4 It is a good habit to make certain that you know what is happening with your blood pressure. (keep track of)
5 The monitoring system sends out warnings as soon as the car begins to leak oil. (the instant)
4 Add more elements in the mind map to build up your vocabulary.
## Discover useful structures
1 Look at the sentences below. One is in the simple future tense. The other is in the future progressive tense. What different impressions do they make?
- In the future,we will use advanced technology every day for automatic control of just about everything in our home.
- In the future,we will be using advanced technology every day for automatic control of just about everything in our home.
Find more sentences using the future progressive tense from the unit. Rewrite them using the simple future tense. Try to feel the different impressions they make.
2 Read the passage and complete the following sentences.
Jack goes to school every weekday. He leaves home at 6:45 and arrives at school at about 7:30. His morning classes begin at 8:00 and continue until 12:15. Then he has lunch,which takes about half an hour. His classes begin again at 1:30 in the afternoon and end at 3:50. He goes to the school's football club at 4:30 and finishes practice at 6:00. He arrives home at about 6:45. Every day he follows the same routine and tomorrow will be no exception.
1 At 6:30 a.m. tomorrow,... A he'll be leaving the house.
B he'll be at home.
2 At 8:10 a.m. tomorrow,...
A he'll be having a class.
B he'll have a class.
3 At 12:30 tomorrow,...
A he'll be having lunch.
B he'll have lunch.
4 At 5:00 p.m. tomorrow,... A he'll be practising football.
B he'll practise football.
5 At 6:45 p.m. tomorrow,...
A he'll be arriving home.
B he'll arrive home.
3 Fill in the blanks with the proper forms of the verbs in brackets.
1 You can call me then. । (not sleep).
2 They set off at 9:00 a.m. and thought they (reach) the airport an hour later.
3 Will you (wait) for me until I find the electrical wires?
4 Better not hang out with Sam then. He (work) on his article on critical thinking.
5 I guess most parents (support) the new plan at the meeting tomorrow.
4 Work in pairs. Read the travel plan and make up a conversation using the future progressive tense.
| Monday | $\begin{array}{l}\text { Fly to Beijing from Melbourne,arrive at 10:00 a.m.;Visit the Summer Palace in the } \\ \text { afternoon }\end{array}$ |
| :---: | :---: |
| Tuesday | Morning: visit the Palace Museum;Afternoon: go to Wangfujing Street |
| Wednesday | Go to the Great Wall,three hours' drive there and back |
| Thursday | Go sightseeing in Shichahai;Visit National Museum of China |
| Friday | Trip to Zhangjiakou |
| Saturday | Back to Beijing in the afternoon;Watch Beijing Opera at the Mei Lanfang Theatre. |
| Sunday | Return to Melbourne |
## Using Language
## Make predictions about future changes
1 What do these pictures show?Match the words with the pictures.
2 Discuss these questions in groups.
1 How do you think these events or such technology might develop in the future?
2 What challenges might they bring?
3 What opportunities might they bring?
## Listen for predictions
When listening for predictions,you should listen for the use of the future tense,in particular the future tense with will or will be doing. Words such as predict,prediction,and forecast,are also used quite often when making predictions. A 3 Listen to a radio interview with Dr Han and Vincent Black giving their predictions about the future,and then fill in the table below.
| Name | Occupation | Prediction |
| :--- | :--- | :--- |
| Dr Han | | |
| Vincent Black | | |
4 Work in pairs. Discuss whether you think Dr Han and Vincent Black's predictions are possible. Why or why not?
5 In groups,brainstorm about the future. Discuss these points.
- future events or problems the world might face
- future technologies
- how these things will change the way we live
- the challenges and opportunities these things might bring
6 Imagine that you have a job that makes you an expert in the future. In pairs,interview each other about your jobs and predictions. Use the expressions in the box to help you.
## Making predictions
I think/believe/predict that in the future ... My prediction is that ... By 2030,we will ... In the (distant) future there will ... I can imagine/forecast ... I doubt/don't think that ... One challenge will be ... We will have the opportunity to ... We will be doing ... We are going to ...
## Using Language
## Welcome or reject future changes
4)) 1 Read the text and then decide whether the statements on page 21 are true (T) or false (F).
## SHOULD WE FIGHT NEW TECHNOLOGY?
This morning,I saw the shocking headline: "Passenger Dies When Car Crashes in Driverless Mode". In the article,various people said that the public should oppose the idea of developing driverless cars. They said that some advances in technology were unnecessary and could even be dangerous. Hence,we should cease accepting technology just because it is new. The newspaper reported that the car company had already apologised for the accident,but the families of the deceased said it was not enough. Nevertheless,the company still claimed that most people would be travelling in driverless cars one day soon.
On the one hand,there are many different groups of people around the world who live happily in the absence of new technology. Probably the most well-known are the Amish,a group of Christians living in rural America. They do not own or drive cars,watch TV,or use the Internet. They have lived mainly as farmers since the 18th century,and they will probably be living the same way in the distant future. They advocate a simple life with an emphasis on hard work,family,and community. They think that is better than caring about luxuries or following the lives of the rich and famous. It could even be argued that the Amish's quality of life is better since they live in and appreciate the natural environment rather than living in large,polluted cities.
On the other hand,new technology has provided people everywhere with many benefits over the years. For example,the latest weather-tracking computer programmes give people lots of warnings about potential natural disasters,which saves many lives. Moreover,the Internet has made it possible for friends and family to keep in touch easily even if they are on opposite sides of the world. It has also made finding opportunities in life much easier,as it allows people to make larger networks of friends through using social media.
Personally,I have benefited quite a lot from technological advances. I found my career as an AI designer through a social media network. My health monitor,which I wear all the time,has also helped me get into the best shape of my life. Of course,when new technology changes the way we live,it can be a scary prospect. Nevertheless,I will always look on the positive side of change and accept it rather than resist it.
1 A person died in an accident while driving a car.
2 The Amish avoid new technology because they do not want to have good lives.
$\begin{array}{ll}\mathrm{T} \square & \mathrm{F} \square \\ \mathrm{T} \square & \mathrm{F} \square \\ \mathrm{T} \square & \mathrm{F} \square \\ \mathrm{T} \square & \mathrm{F} \square \\ \mathrm{T} \square & \mathrm{F} \square\end{array}$
2 Answer the following questions about the text.
1 In which paragraphs does the author:
- describe the issue?- give an opinion?- discuss the advantages?- discuss the disadvantages?
(0) Signposts
Some words and phrases are used as signposts to help show a paragraph's purpose. These usually come at the beginning or end of a paragraph.
2 Underline the signpost words or phrases in the text. How do they help tell us the purpose of the paragraphs?
3 Why did the author decide to write about this topic?
3 Use what you have learnt to express your opinion in an essay about the changes that could be caused by advances in technology.
1 Work in groups. Brainstorm some future advances in technology,and their possible advantages and disadvantages.
2 Choose one of these advances in technology and answer the questions.
- Why do you want to write about this topic?- What is your own opinion on the topic?
3 Write your opinion in an essay.
## Exchange your draft with a partner.
1 Use the checklist to help you review your partner's draft.
$\checkmark$ Does the essay say what the writer thinks about the topic?
$\checkmark$ Does the body discuss the advantages and disadvantages of the advance?
$\checkmark$ Are signposts used to help the reader understand the purpose of each paragraph?
$\checkmark$ Does the conclusion state the writer's position?
2 Take your draft back and revise it.
5 Share your essay with the rest of the class.
## Assessing Your Progress
1 Complete the dialogues with the correct forms of the words in the box.
$\begin{array}{llll}\text { luxury } & \text { prospect } & \text { rural } & \text { absence } \\ \text { prediction } & \text { essay } & \text { network } & \text { emphasis }\end{array}$
1 A: Why are you so concerned?
B: We can't win the case in the of relevant evidence.
2 A: It's difficult to make accurate about the effects on the environment.
B: I couldn't agree more. We should place more on environmental protection.
3 A: What are you working on?
B: I'm writing an on how to integrate individuals' values and society's needs.
4 A: How do you find working in your new office?
B: It's great!The office allows users to share files and software,and to use a central printer.
5 A: I don't quite understand your choice. What might be the advantages of living in remote areas?
B: The of getting a high-paying job is low,but I find it more meaningful to help people there. In addition,I have the of breathing fresh air every day.
2 Read an introduction to the Future Library project. Fill in the blanks using the correct forms of the words in the box.
The Future Library is a project by the artist Katie Paterson. It began with the cutting
cut down
keep use
write
read down of trees in a forest north of Oslo,Norway,in 2014. The Future Library Trust wood from these trees to build a special room-the Silent Room-in the Oslo Public Library. In place of the trees that had been cleared,1,000 new trees were planted. Every year from 2014 until 2114,a different popular author one original story,and the librarians all the stories in the Silent Room,where visitors can look at them but not read them. In 2114,the organisers the 1,000 trees that were planted back in 2014. They will then use the wood for publishing the 100 books in the Silent Room. So,in 2114,people books that were made from trees that are growing right now.
## QREFLECTING
(- What new advances in technology introduced in this unit interested you?
(- How have your opinions about advances in technology changed because of this unit?
(- What advances in technology would you like to learn more about?
๑ Overall,I thought this unit was cool useful so-so difficult.
## *Project: Write a letter to yourself from the future
1 Imagine that your 50 -year-old future self has sent you a letter about your future career. What would that letter contain?Work in groups. Discuss the questions.
1 Which careers are you interested in?
2 How might future advances in technology change those careers?
3 What are the advantages and disadvantages of these future careers?
4 How might you best prepare for your future careers?
2 Choose the most interesting future career,and write a personal letter to yourself from the future about that career. Your letter may include:
- a description of the future career
- the advantages and disadvantages of the career
- the preparations that are (or are not) needed for the career
- drawings or photos illustrating the career
- a greeting and closing
Use the letter below to help you.
Dear Past Bingbing,
Hi!I'm Bingbing,your future self!I know that you are really worried about your future career,so I wanted to write this letter to put your mind at rest.
I'm sorry to say that you won't become a pilot as you wanted. In the future,large passenger airplanes will fly themselves and won't need pilots. But there is a big problem in the future that you don't have now: no one uses cars anymore-they use personal jet packs. As you can imagine,the skies over the city get pretty busy!Someone needs to control all these people so they don't have accidents. And that's what you do: you're a jet pack air traffic controller.
One really good point about your job is that you don't have to leave home. Instead,you'll use a virtual reality headset and microphone to do your job while you are sitting on the sofa drinking tea. But you will have to work on your people skills,as you will be talking to people all day. The bad point?Too many jet packs in the sky!Sometimes it can be kind of tense,and some people don't like to obey the rules or be told what to do.
All in all,I think you'll be happy with this job. But of course you will,because you're me!Stop worrying!Your future is going to be great. Trust me.
Best regards,
Future Bingbing
3 Take turns presenting your letters in class. Then vote on the most interesting letter.
## Flight of the RoboBee
RoboBees are small flying robots that are being developed at the Wyss Institute of Harvard University by a team headed by Robert Wood.
## BEFORE YOU WATCH
Predict what you are going to see. Think and circle the correct word(s) for each sentence.
1 RoboBees are like bees in that they fly independently/together,but all work independently/ together.
2 Robert Wood is an explorer/a roboticist.
3 In the future,RoboBees could help explorers/policemen and doctors/photographers.
4 All of the RoboBees have crashed/flown successfully.
5 Like bees,every RoboBee has a job to do/obeys a queen bee.
## WHILE YOU WATCH
1 Check your answers in Before You Watch.
2 Complete the quotes by Robert Wood with words you hear in the video.
$1 \ldots$ robotics is the It's the next big thing to in areas from medicine to even things like
2 We use nature to that we build.
$3 \ldots$ they can be quite useful for applications where you wouldn't or an animal ...
4 If you don't fail,you
5 If you want to make something fly,in nature.
## AFTER YOU WATCH
Discuss these questions in groups.
1 What might be some advantages of having many small robots that work together rather than one large robot?
2 Specifically,how might RoboBees be used in a future application?
3 What other kinds of robots can be created from nature (e.g.,a robotic lion or snake)?How might these robots be used?
A national park is not a playground. It's a sanctuary for nature and for humans who will accept nature on nature's own terms.
-Michael Frome
In this unit,you will
1 read about Sarek National Park and some theme parks.
2 listen to and talk about how to get to different places in a park.
3 write an introduction to a park.
4 learn about national parks around the world.
## Look and discuss
1 Where do you think the photo was taken?
2 Would you like to go there?Why?
3 Should a place like this be developed?
If so,how?
## Experience a national park
1 Before you read,discuss these questions in groups.
Use subheadings
1 What kinds of parks have you been to?What were they like?
2 When you think of national parks,what comes to mind first?
Good subheadings catch the reader's eye and make him or her want to read more. Working out the idea behind the subheadings can help you better understand the structure and the key
- A Land of Mountains and Ice
- A Land of Adventure - Man at Peace with Nature
- A Summer Where the Sun Never Sleeps points of the text.
1
I wake up to the sound of the wind buffeting the cloth of my tent. Even though the sun is brightly shining,telling whether it is morning or night is impossible. I'm above the Arctic Circle,where in summer the sun never sets. Checking my watch,I see that it is 7:30 a.m. I leave my tent and walk over to the mountain edge. Spreading out before me,branches of the Rapa River flow through the valley below. I'm in the remote far north of Sweden in Sarek National Park,a place with no roads or towns.
## 2
Sarek's mountains used to be covered by vast sheets of ice. Around 9,000 years ago,this ice melted,leaving behind about 100 glaciers. Soon after,reindeer began to arrive. Following the reindeer were the Sami people,who made this territory their home. Getting here is quite difficult,so apart from the Sami very few people have ever seen Sarek. In 1909,Sarek was made a national park in order to keep the land in its natural state. Though the Sami are allowed to continue their traditional way of life in the park,no one else can live here,and all new development is banned within park boundaries. At the far side of the valley,an ancient Sami cottage is visible. Close by,there are a few reindeer feeding on grass.
## 3
For hundreds of years,looking after reindeer was a way of life for the Sami. They used the reindeer's meat for food,their bones for tools,and their skin for making clothes and tents. Since reindeer were always on the move,the Sami would pick up their tents and accompany them. Today,most Sami have houses in villages near Sarek and live a modern life just like their neighbours. But every spring,a small number of Sami still follow their reindeer into the valleys of Sarek,living
in tents or old cottages and enjoying their traditions. I am not a Sami,but in Sarek l've adopted some of their habits. For example,this morning my breakfast is flat bread warmed over a fire,dried reindeer meat,and some sweet and sour berries that I found growing near my tent.
## 4
After breakfast,I pack my bag and set out again. Since I must carry all of my food and supplies with me,my bag weighs about 30 kilograms. If today is anything like yesterday,it will be full of sweat and hard work as I hike over this difficult land to my destination on the other side of the valley. However,I cannot complain. Being in such a beautiful and wild place makes me feel blessed to be alive. Here I am,alone under this broad sky,breathing the fresh air,and enjoying this great adventure. What could be better?
## Read the text again and answer these questions.
1 How many hours a day does the sun shine in summer in Sarek?
2 What steps has the Swedish government taken to keep Sarek in its natural state?
3 How has life changed for the Sami?Why might so few Sami want to live in Sarek?
4 Why does the writer think the sweat and hard work is worth it?
5 Would you like to visit Sarek?Why or why not?
4 Are these senses used to describe Sarek in the text?If so,explain how.
| Sight $\quad$ Touch $\quad$ Smell $\quad$ Sound |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
5 Complete the passage using the correct forms of the words from the text.
In the remote far north of Sweden,in Sarek National Park above the Arctic Circle,I wake up to the sound of the wind $\underline{b}$ the cloth of my tent. Standing at the $\underline{e}$ of the mountain,watching the Rapa River $f$ through the valley below,I feel so $\underline{b}$ to be alive and have this rare opportunity to explore this unique $\underline{t}$,which is almost unknown to the outside world.
Once covered by $\underline{v}$ sheets of ice,Sarek's mountains are home to the Sami,the native residents of the park. The Sami lived off reindeer,moved with them,and a them for hundreds of years. Today,most Sami have left their ancient $\underline{\mathrm{c}}$ in the mountain valleys and live a modern life in villages near Sarek instead.
To keep its natural state,except for the Sami,no one is allowed to live in Sarek,and all new development is $\underline{b}$ within the park $\underline{b}$ . It is hoped that Sarek National Park will always remain as it is,natural and beautiful.
6 Work in groups. Discuss these questions.
1 Is it worth making a place like Sarek a national park?Give your reasons.
2 Do you think setting up national parks is an effective way to balance development and the protection of nature?Why or why not?
## Learning About Language
## Build up your vocabulary
1 Match each word with its proper meaning and make a sentence with it.
( $\quad 1$ buffet $v$.
A the outer limit of an object
( ) 2 buffet $n$.
B an official or legal prohibition
( ) 3 edge $v$.
C a meal with several dishes from which people serve themselves
( ) 4 edge $n$.
D move carefully towards something
( $\quad 5$ ban $v$
E far from,not close
( $) 6$ ban $n$.
F officially or legally prohibit
( ) 7 remote adj.
G (especially of wind or wave) strike repeatedly with a lot of force
H (informal) a device for controlling something else from a distance
2 Work out the meanings of the underlined words in the sentences below and state whether they are compounds or derivatives.
1 I believe that a journalist should be completely objective.
2 Whenever I sneeze,my English teacher says,"Bless you!"
3 We are impressed by the vastness and breathtaking beauty of the oceans.
4 He bought a traditional tea set at the airport: a nice teapot and four teacups.
5 He ordered the dish labelled "Pumpkin Pie and Ice Cream".
3 Complete the passage below with the correct forms of the words in the box.
boundary visible remote vast on the move ban set up
The Northeast Tiger and Leopard National Park was in Jilin and Heilongjiang,with stretching all the way to the border and joining with Russia's wildlife reserves. This new park is nearly four times larger than the old wildlife park protecting
Siberian tigers in Northeast China. Over the years,increased development in the area affected the tigers' habitat,and it was thought that by 1998 there were only six to nine wild Siberian tigers living in the region. However,a on development put in place in 2015 resulted in a population increase of the species,and now the area is thought to have about 35 tigers and 70 leopards. The problem,however,was that the old park was too small to support further population increases. Always Siberian tigers and leopards need large areas to hunt for food. This larger park,with a connection to Russia's wildlife reserves across the border,should give these species the natural space they need to live in.
## Discover useful structures
1 Identify the function of the -ing form in the sentences below. Then find more sentences with the -ing form from the reading passage and state their functions.
- Getting here is quite difficult.
- Being in such a beautiful and wild place makes me feel blessed to be alive.
2 Rewrite each of the following sentences using the -ing form as the subject. How does the sentence focus change?
## EXAMPLE
It is challenging yet really fascinating to hike through the mountains in the pathless Sarek. Hiking through the mountains in the pathless Sarek is challenging yet really fascinating.
1 It is both challenging and rewarding to study abroad. -
2 It would hardly be possible to go on a hiking tour in Sarek in winter due to the extreme cold. -
3 Honestly,it can be both exciting and terrifying to explore a vast unknown land.
4 It is good to adopt a positive attitude,even when things are difficult. -
5 It is strongly advised to hire local guides,because they can offer accurate knowledge of Sarek culture and history. -
3 Fill in each blank using the -ing form of a verb from the box and state its function. One word will be used twice.
combine cover grow take limit walk experience
Xixi National Wetland Park,first national wetland park in China. 10 square kilometres in western Hangzhou,is the a popular destination both for tourists and local residents. At Xixi,a boat tour,along paths,and local customs and traditions of the villages in this park are at the top of the list of people's favourite activities. With trees,bushes,and colourful flowers along the riversides,the park shows different sides of beauty in different seasons.
In order to better develop as well as preserve this place,human impact on Xixi Wetland was considered by the park designers. All the new buildings were designed in a traditional way to fit into the natural environment. This green,watery world is home to many birds and fishes. With trees in the shallows,the wetland is a natural system for providing clean water and producing oxygen,which makes it the "green lungs of Hangzhou".
4 Choose a place in your city or town as a destination for a school trip. Use the passage above as an example and write about your choice.
## Using Language
## Visit a city park
1 Look at the photos taken in Beijing Olympic Forest Park. Match them with the activities below. Write the correct letter in each circle.
A rent a cycle
B walk through an underwater corridor
C rent a pedal boat
D watch a fountain performance
E go on a children's ride
F look at flowers
ค2 Linlin and Yuhui are taking Jake to Beijing Olympic Forest Park. Listen to their conversation. Tick which activities they are going to do above.
A 3 Look at the map. Listen to the conversation again and finish the activities below.
1 Draw the route that Jake,Linlin,and Yuhui will take.
2 Mark the places they will visit on the map below.
## (0) Listen for directions
Listening for directions can be difficult,as often a lot of information is given in a short time. You could listen for sequence words and direction words. You can also try to form a mental map of where you are going while the other person is talking.
4 Work in pairs. Role-play visiting the park. Take turns giving directions to different places in the park. Use the words and phrases below to help you.
## Asking for and giving directions
Excuse/Pardon me.
How do I get to ...?
Is ... nearby?
Is ... far from ...?
It's about ... metres north of ...
Walk/Go along the river/path ...
When you see the ...,you are close to ...
Go straight ahead (until you come to ...). Do you happen to know where ... is?
How far is ...?
Is ... close to ...?
It's on the north/south/east/west side of the park.
Go through ...
Follow the (main) path to ...
It's ... metres from here.
## Explore theme parks and write about a park
(4)) 1 Read the text and then fill in the table on page 32.
Which theme park would you like to visit?There are various kinds of theme parks,with different parks for almost everything: food,culture,science,cartoons,movies,history,and so on. Some parks are famous for having the biggest or longest roller coasters,others for showing famous sights and sounds. Whichever and whatever you like,there is an incredible theme park that will appeal to you!
The theme park you are probably most familiar with is Disneyland,which can be found in several parts of the world. Disneyland will bring you into a magical world and make your childhood dreams come true. Travelling through space,visiting a pirate ship,or meeting an adorable fairytale or cartoon character are all possible at Disneyland. As you wander around the fantasy amusement park,you may see Snow White or Mickey Mouse in a parade or even on the street. Of course,Disneyland also has many exciting rides to amuse you,from enormous swinging ships to scary freefall drops. If you want to have fun and more than fun,come to Disneyland!
## Using Language
Dollywood,in the beautiful Smoky Mountains in southeastern USA,is unique because it shows and celebrates America's traditional southeastern culture. Famous country music groups put on performances there all year round,indoors and outdoors. People come from all over America to see skilled workers make wood,glass,and iron objects in the old-fashioned way. Visiting the candy shop and trying some of the same kind of candy that American southerners made 150 years ago is a rare experience. Riding on the only steam engine still working in the southeastern United States is a special treat. And for those who like rides,Dollywood has a superb old wooden roller coaster,Thunderhead. It is world-famous for having the longest track in the smallest space. Come to Dollywood to have fun learning all about America's historical southeastern culture!
Chimelong Ocean Kingdom in Zhuhai,China,is one of the leading ocean-themed parks in the world. Here you can walk under the Whale Shark Aquarium-the world's largest-and see up to 20,000 fish,in addition to a whale shark 68 metres in length. Watching the dolphin and sea lion shows is both educational and fun. Of course,you can also see all kinds of interesting animals,including polar bears. The park has more rides than you can imagine: join a water fight against pirates,get turned upside down by an exciting roller coaster,or get wet in one of the water rides!Then at night,see the splendid Journey of Lights Parade and fireworks display. Hungry?The park has plenty of restaurants with tasty food for every appetite-you can even eat while watching the fish swim by. If it is ocean entertainment that you are looking for,come to Chimelong Ocean Kingdom!
A
Disneyland
(various locations)
Dollywood in
B
Travel through space;A parade of visit a
Thunderhead
Water fight against pirates;exciting roller coaster;water rides Chimelong Ocean
Kingdom in C
D Whale Shark
Aquarium;put on
performances there
polar bears Plenty of restaurants with;2 Study the language features.
1 The table on page 32 shows the introductions to each theme park. What headers would you give for columns $A$ to $D$?
A Name and location
B
D
2 Find the following items in the text,and then discuss in groups how they are used and what they add to the text.
A adjectives
B if-clauses
C imperatives
3 Use what you have learnt to write an introduction to a park.
1 Choose the park you wish to write about.
2 Make a mind map about the park.
3 Use your notes to write your draft.
## Exchange your draft with a partner.
1 Use the checklist to help you review your partner's draft.
$\checkmark$ Is the introduction clear?
$\checkmark$ Does the writer include all the important points about the park?
$\checkmark$ Does the writer provide any additional information about the park?
$\checkmark$ Does the writer use -ing forms?
$\checkmark$ Does the writer use correct grammar,punctuation,and spelling?
2 Take your draft back and revise it.
5 Post your introduction in the classroom or read it to your class.
## Assessing Your Progress
1 Read the passage and fill in the blanks with the correct forms of the words in the box.
## vast remote fascinating territory bless accompany appeal to
My name is Svetlana and I have worked as a guide at Lake Baikal ( 贝加尔湖 ) for more than 10 years. Lying in a pretty location in Siberia,the deep and lake with more than 300 rivers flowing into it is one of the world's greatest natural wonders.
Every season,I and guide tourists. Baikal is a with unique wildlife,breathtaking beauty,and local culture.
Ancient,inspiring,mysterious,and beautiful,Lake Baikal visitors like no other place on the earth. I feel to have been born here,and I am looking forward to many more years of welcoming visitors to an unforgettable experience at Baikal.
2 Answer these questions using the -ing form of the verb phrases in brackets. Then write down at least two more questions and answers of your own.
1 What impressed you most when visiting Zhangye Danxia Geopark?(see the colourful mountains and rocky landscape)
2 What tops the list of tourists' favourite activities in Zhangjiajie?(admire the magnificent peaks/landscape,take a raft ride,experience the local customs of the Tujia people and the Miao people)
3 What do tourists like to do at Guilin's Li River?(take a boat tour,admire the karst landscape)
4 What activities would appeal to adventurous tourists in Lijiang,Yunnan Province?(view glaciers at Yulong Snow Mountain,listen to the sound of rushing water at Tiger Leaping Gorge)
## @REFLECTING
๑• What did you learn about parks that you did not know before?
๑. What else would you like to learn about parks?
๑@ Of the parks in this unit,which would you like to visit most?Why?
๑. What problems did you or your friends have in studying this unit?How did you solve them?What advice did you give each other?
๑- Overall,I thought this unit was interesting useful so-so difficult.
## *Project: Create your ideal theme park
## Discuss these questions in groups.
1 What kind of theme park do you want to create?You can choose one of the ideas below,or one of your own.
life in space
life in the future
history
ocean
local culture
stories
$\begin{array}{ll}\text { adventure } & \text { food } \\ \text { science } & \text { birds and fish } \\ \text { dinosaurs } & \text { climbing }\end{array}$
2 What will your park offer visitors?Come up with at least three things for each category below,and give them interesting names.
2 Assign group members to prepare the following:
- a short introduction to the park.
- a large and colourful map of the park showing where everything is located.
- small pictures of the things discussed.
3 Put your introduction,map,and pictures together to make a poster. Use the poster below to help you.
## CHANG'E LUNAR WONDERLAND
Looking for excitement and adventure?
Welcome to the fantastic Chang'e Lunar Wonderland,where past dreams become future reality!
4 Present your poster to the class,and give an introduction to your theme park.
## BioBlitz: Life in 24 Hours
This video shows a BioBlitz in Rock Creek Park,which runs through Washington,DC. "Bio" means life,while "blitz" means a quick,energetic effort to do something.
## BEFORE YOU WATCH
Work in groups. Use the phrases in the box to describe what is going on in the photos,and then discuss what you think a BioBlitz is.
- park ranger
- people wearing orange vests
- a person holding a frog
- a woman showing how to use a butterfly net
- an insect trying to escape a Petri dish ( 培养皿 )
- a man taking photos
## WHILE YOU WATCH
Decide if the following statements are true (T) or false (F).
1 Dr Pimm says,"The extraordinary thing about this BioBlitz is just how little stuff there is here!There really aren't many wild animals here."
2 Park rangers show a group how to catch frogs.
$\begin{array}{ll}T \square & F \square \\ T \square & F \square\end{array}$
3 David Littschwager is taking photos of insects. He says,"I don't like spiders."
4 Even at the end,there were a lot of plants and creatures that they couldn't identify.
$\begin{array}{ll}T \square & F \square \\ T \square & F \square\end{array}$
5 The real purpose of the BioBlitz is to get people interested in the biodiversity that's all around them,even in their own backyards.
## AFTER YOU WATCH
Discuss these questions in groups.
1 This BioBlitz was conducted in the middle of a large city. Do you think there is as much biodiversity in your city or town?Why or why not?
2 Are there any parks in your city or town where you can find many different kinds of plants and animals?What activities can you do there?
## UNIT LANGUAGE
What I hide by my language,
my body utters.
-Roland Barthes
In this unit,you will
Look and discuss
1 read about the function of body language and its implications in different cultures.
2 hear and talk about how people use and understand body language.
3 describe how people use body language to express meaning.
1 What might the people be doing in the photos?
2 What do you think they might be feeling?
3 When and how do you use body language to convey meanings?
4 appreciate the art of non-verbal humour.
## Understand body language
1 Choose five sentences and act them out without speaking. Can your partner guess what you are trying to communicate?
$\begin{array}{lllll}\text { Hello!} & \text { Goodbye!} & \text { Come here!} & \text { Go away!} & \text { Too expensive!} \\ \text { I'm surprised!} & \text { I'm tired. } & \text { I'm confused. } & \text { OK!} & \text { Good luck!} \\ \text { I'm happy!} & \text { I'm upset!} & \text { I'm sad!} & \text { I forgot!} & \text { You're great!}\end{array}$
2 Read the text and fill in the table on page 39.
## LISTENING TO HOW BODIES TALK
We use both words and body language to express our thoughts and opinions in our interactions with other people. We can learn a lot about what people are thinking by watching their body language. Words are important,but the way people stand,hold their arms,and move their hands can also give us information about their feelings.
Just like spoken language,body language varies from culture to culture. The crucial thing is using body language in a way that is appropriate to the culture you are in. For example,making eye contact-looking into someone's eyes-in some countries is a way to display interest. In other countries,by contrast,eye contact is not always approved of. For example,in many Middle Eastern countries,men and women are not socially permitted to make eye contact. In Japan,it
may demonstrate respect to look down when talking to an older person.
The gesture for "OK" has different meanings in different cultures. In Japan,someone who witnesses another person employing the gesture might think it means money. In France,a person encountering an identical gesture may interpret it as meaning zero. However,you should avoid making this gesture in Brazil and Germany,as it is not considered polite.
Even the gestures we use for "yes" and "no" differ around the world. In many countries,shaking one's head means "no",and nodding means "yes". By comparison,in Bulgaria and southern Albania,the gestures have the opposite meaning. There are also differences in how we touch each other,how close we stand to someone we are talking to,and how we act when we meet or part. In Make inferences countries like France and Russia,people may kiss their friends on the cheek when they meet. Elsewhere,people favour shaking hands,bowing from the waist,or nodding the head when they meet someone else.
Sometimes a passage does not say something directly. However,you can figure it out by looking at the clues in the passage. Some gestures seem to have the same meaning everywhere. Placing your hands together and resting them on the side of your head while closing your eyes means "sleep". A good way of saying "I am full" is moving your hand in circles over your stomach after a meal.
Some body language has many different uses. Perhaps the best example is smiling. A smile can help us get through difficult situations and find friends in a world of strangers. A smile can break down barriers. We can use a smile to apologise,to greet someone,to ask for help,or to start a conversation. Experts suggest smiling at yourself in the mirror to make yourself feel happier and stronger. And if we are feeling down or lonely,there is nothing better than seeing the smiling face of a good friend.
| Body language/Gesture | Meaning | Country/Region |
| :---: | :---: | :---: |
| Eye contact between men and women | Not polite | Middle East |
| Looking down when talking to someone | | |
| OK sign | | |
| Kissing on the cheek | | |
| $\begin{array}{l}\text { Placing your hands together and resting them } \\ \text { on the side of your head while closing your } \\ \text { eyes }\end{array}$ | | |
| $\begin{array}{l}\text { Moving your hand in circles over your stomach } \\ \text { after a meal }\end{array}$ | | |
3 Read the text again,and then discuss these questions.
1 How is the body language mentioned in the text interpreted in China?
2 Can you think of an example of body language that is appropriate in China but might be misunderstood in another culture?
3 What advice on body language can you give a foreign friend on his/her first trip to China?
$\stackrel{\circ}{\circ} 4$ Watch the video Smile Trial,and then discuss the questions in groups.
1 Smiles can be used to hide feelings like anger,fear,or worry. Can you describe a situation where you might smile when you don't mean it?
2 Apart from fake smiles,is there any other kind of body language that can sometimes be fake?
3 Which is a more reliable guide for understanding someone's feelings,their body language or the words they speak?
## Build up your vocabulary
1 Fill in the table with different forms of the words. Refer to a dictionary if necessary.
| Noun | Verb | Adjective | Adverb |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| | differ | | |
| | vary | | |
| | rely | | |
| | interact | | |
| | approve | | |
| | embarrass | | |
2 Work out the meanings of the underlined words in the sentences below. In pairs,list more words of the same kind.
1 I rest my head on the desk to get some rest.
2 The child displayed great interest in the huge fireworks display.
3 Most students favour the plan,while their teachers are not in favour of it.
4 Jeremy witnessed the whole incident and was expected to be the key witness at the trial.
5 His lack of eye contact when talking with people shows that he lacks confidence.
6 When he noticed a slight frown on his twin sister's face,he frowned as well.
3 Read the passage about body language. Fill in the blanks with the correct forms of the words and phrases in the box.
$\begin{array}{llll}\text { by contrast } & \text { by comparison } & \text { break down } & \text { interaction } \\ \text { demonstrate } & \text { approve of } & \text { clue } & \text { gesture }\end{array}$
When we think about nonverbal behaviour,or body language,we think about communication. When we think about communication,we think about So what is our body language to others?Social scientists have spent a lot of time looking at the effects of our body language. We make assessments and inferences from body language. And according to those judgements we one person and dislike another. So body language provides external that are influenced by internal thoughts and feelings. Scientists have found that when we feel proud and powerful,we usually straighten up to make ourselves bigger.,when we feel powerless,we tend to slump,making ourselves smaller. It is obvious that our minds can influence our bodies. But is it also true that our bodies can affect our minds?Scientific experiments show that if we make powerful long enough,we may actually feel more powerful. People who remember to use positive body language are more likely to feel positive,so some scientists suggest that we use our bodies to try power posing to help our feelings of shyness and powerlessness.
## Discover useful structures
1 Look at the examples below,paying attention to the italicised parts. Find other examples from the reading text.
- She enjoys learning about body language in different cultures. (object)
- The crucial thing is using body language in a way ... (predicative)
2 Complete the sentences using the -ing form of the words and phrases in the box. Two are extra. Then state their functions.
amuse teach break down call on bow get through assess
1 Bill's job is sign language.
2 The theme of his presentation is barriers between groups.
3 By,we mean "bending our head or body forward as a sign of respect or shame".
4 three kilometres of heavy traffic took me almost 25 minutes.
5 We intended to visit the theme park but ended up Professor Zhang.
3 Complete the passage with the correct forms of the words and phrases in the box. Can you add more examples to explain how you read body language?
lie $\quad$ challenge
consider the whole picture
consider individual differences maintain evaluate a patient's condition
Reading body language is not an easy task. It can be because interpreting the signs that another person shows requires In this sense,it can be compared to a doctor
is also key to reading people's body language accurately. For example,when,some people avoid eye contact. By contrast,others may eye contact even longer than usual.
4 Talk about the body language you can read from the following pictures. Use at least one -ing form for each picture.
(1)
(2)
(3)
## Using Language
## Explore body language
1 Look at these photos and discuss what you think each person is communicating.
2 Discuss when and where people need to use body language to communicate effectively.
A 3 Listen to a conversation about body language. Then answer the following questions.
1 How did the man get the idea of using gestures to communicate?
2 What did the police leader tell his team by using gestures?
3 What did the woman say about the acting classes that she's been taking?
4 What did the man mean by saying "It's good you tried" at the end of the conversation?
ค 4 Listen to the conversation again. Are the following statements correct inferences from the conversation?
## Infer meaning
Sometimes things are not said directly,and so you must guess the meaning,relationship of the people,or context. You can do this by:
- drawing conclusions from the background information you already have.
- looking at clues that tell you the context.
- using logic to work out the meaning.
5 The woman is not very confident about her silent acting ability.
5 Act out a scene using only body language to communicate. You may follow these steps to complete your performance.
1 Form into groups of four. One of you is the performer,and the others are observers.
2 The performer writes down a situation and some messages to convey through body language. 3 The performer acts out the scene and the observers individually write down their thoughts without talking to anyone else.
4 The actor reveals the situation and messages,and the group compares notes. Use the table below to clarify any misunderstandings or different answers.
## Asking for and giving clarification
What did you mean by ...?
So you mean ...?
So did that mean ...?
What I don't quite understand is ...
Could you explain ...?
Could you give me an example?In other words ...
What I meant was ...
What I was trying to say was ...
Does that make sense?
Is that clear?
I can tell that ...
## - Pronunciation
1 Read the quotes and notice the pause after each sense group.
1 There are four ways,| and only four ways,| in which we have contact with the world. | We are evaluated and classified | by these four contacts: | what we do,| how we look,| what we say,| and how we say it.
-Dale Carnegie
2 If language was given to men | to conceal their thoughts,| then gesture's purpose | was to disclose them.
-John Napier
3 Body language is a powerful tool. | We had body language | before we had speech,| and apparently,| $80 \%$ of what you understand in a conversation | is read through the body,| not the words.
-Deborah Bull
2 Read this passage. Then mark "I" where it needs a pause.
Life is a stage,and we are all actors. This is also true when you are in a foreign land. Acting can help you communicate even if you do not know the language. For instance,one day a Chinese lady who was babysitting her grandchild in America went to a supermarket to buy some beef. She was confused to see all kinds of meat there and did not know which ones were beef. She asked a clerk by putting both hands up and saying "Moo!Moo!" The lady got what she wanted even without saying a word of English.
A. 3 Listen to the texts above and see how well you read.
## Describe classroom body language
(1)) 1 Look at the questions. Then read the text on page 44 and try to answer them.
1 How does the teacher know what students are thinking?
2 According to the teacher,what is some students' favourite activity?
3 What does the phrase "who knows what" mean?
4 Why does the teacher think body language is important?
## Using Language
## HOW DO I KNOW MY STUDENTS?
As an educator,people often ask me how I know what is going on in the minds of my students. Many students are quite shy and don't speak all that much. At the same time,in a classroom of more than forty students,it is hard to have many one-on-one conversations with each person. So,how can I really know what makes each student tick?
My answer?I look at their body language.
It is easy to recognise when students are interested in a lesson. Most tend to look up and make eye contact. When I make a joke,they smile. When I talk about something difficult,they look confused. I know when students are really interested,however,because they lean forward and look at me. People have a tendency to lean towards whatever they are interested in. So if a student has his head lowered to look at his watch,it implies he is bored and just counting the minutes for the class to end. If two friends are leaning their heads together,they are probably writing notes to each other. Of course,not everyone who looks up is paying attention in class. Some students look up,but there is an absence of eye contact. Their eyes barely move,and they always have the same distant expression on their faces. It is as though they are asleep with their eyes open.
Some students are amused by something else. They spend all their time looking anywhere but at me. Then again,some students' favourite activity is daydreaming. With their chins on their hands,they occupy themselves by staring out of the window or up at the ceiling. They are certainly interested in something,but who knows what. The main thing is reminding distracted students that they need to pay attention in class.
While it is easy to perceive when students are interested,bored,or distracted,it is sometimes much harder to distinguish when students are troubled. Students who are angry,afraid,or experiencing anxiety may have their arms crossed in front of their chests and their legs closed or crossed,like they are guarding their bodies. Students who are sad or worried will nearly always wear a frown. They may also hide their faces in their hands like they are embarrassed or ashamed. Some students act this way merely because they are afraid of being called on by the teacher. However,if a student does not bother to brush her hair and her eyes are red from weeping,then I can infer that there are deeper issues at work. It could be that she is having serious conflicts with other students or at home.
Whatever it is,I know I need to inquire and assess what is going on.
Ultimately,my duty is helping every student to learn. Their body language lets me know when to adjust class activities,when to intervene,and when to talk to students individually,so they can all get the most out of school. Reacting to body language is an important component of being a teacher. 2 Match the body language with the meanings. Write the letters $\mathrm{A}-\mathrm{J}$ on the lines.
1 Looking up and making eye contact
2 Leaning over to look at one's watch
3 Two friends leaning heads together
4 Leaning forward and looking at the teacher
5 Looking up,but no eye contact,no expression
6 Looking away
7 Chin on hand,looking out of the window
8 Looking down,arms or legs crossed
9 Frowning
10 Hair not brushed,red eyes
A very interested
B bored
C interested
D sad or worried
E distracted
F writing notes
G serious problems
H like they are asleep
I daydreaming
$\mathrm{J}$ angry,afraid,or experiencing anxiety
3 Look at the following photos. In groups,discuss what these people are doing and what their body language is telling you.
4 Draw someone you know. Show his/her body language in your drawing.
5 Write a passage to describe the body language of the person in your drawing,and explain what his/her body language tells us.
6 Exchange your draft with a partner.
1 Use the checklist to help you review your partner's draft.
$\checkmark$ Is the person properly identified?
$\checkmark$ Is the description clear?
$\checkmark$ Does the writer give his/her impressions of the feelings and personality of the person in the drawing,and also explain why he/she has these impressions?
$\checkmark$ Does the writer use correct grammar,punctuation,and spelling?
2 Take your draft back and revise it.
7 Share your drawing and description with the rest of the class. 1 How important is body language?Complete the passage with the correct forms of the words in the box to find out.
$\begin{array}{llll}\text { crucial } & \text { perceive } & \text { lack } & \text { component } \\ \text { demonstrate } & \text { interact } & \text { stare at } & \text { embarrassment }\end{array}$
There are three in any face-to-face communication: words,tone of voice,and body language. It is said that most of what we communicate with others is nonverbal. So when with people,the message conveyed by body language is
You cannot succeed in business and social encounters if you employ inappropriate body language. For example,someone too long can be interpreted as a threat,standing too close may cause others probably and uneasiness,and touching your neck when talking to body language speaks louder than words. confidence. Sometimes
2 Decide whether each verb in its -ing form functions as a subject (S),object (0),predicative (P),or attribute (A).
1 Seeing is believing.
2 A man cannot be robbed of his learning.
3 Living without an aim is like sailing without a compass.
4 After staying in the sleeping bag the whole night,I really needed to stretch my legs.
5 You should have been more careful. She started coughing and sneezing yesterday.
6 One may agree that in a conversation,listening is as powerful as loving.
7 After a long day she looked forward to putting her feet up with a nice cup of tea.
8 Isabella really put her back into learning Chinese. She wants to start living in China in two or three months.
9 Fishing in troubled waters may cause even more problems.
## @REFLECTING
( Which body language in this unit do you use most often?Does it have the same meaning as in the text?
๑ What do you think you could do to communicate better with other people?
๑ Do you think you will be able to tell more from reading others' body language from now on?
(@) What problems did you or your friends have in studying this unit?How did you solve them?What advice did you give each other?
๑ Overall,I thought this unit was interesting useful so-so difficult.
## *Project: Make a body language information sheet
1 In groups,brainstorm a list of different kinds of body language. Use the information from this unit,your own experience and knowledge,and/or the website excerpt below.
Standing with one's hands on one's hips shows that a person is angry in many cultures,such as Malaysia,Argentina,and Mexico.
Many Mexicans like to touch people on the arm. This shows that they want to be friendly.
When communicating with someone from Tanzania or Kenya,do not use your left hand when giving or receiving things like a business card or gift.
In Vietnamese culture,the head is considered the most important part of the body. Only parents or an important person can touch your head.
If a Lebanese person stands close to you,do not feel that they are entering your personal space. Personal space is relatively smaller in Lebanon and many other places.
In Korean culture,one must be careful not to show too much emotion through facial expressions,except in very casual situations. Koreans may tend to distrust people who use exaggerated facial expressions,or may misunderstand what those facial expressions mean.
| People of Puerto Rico move their noses to say,"What's going on here?"
2 Based on your list,research online to discover what the same kinds of body language mean in different cultures.
3 Each group should come up with its own body language information sheet like the example below. Drawings and/or photos can be added to show what the different forms of body language look like.
Body Language Information Sheet
Body language
Meaning
Moving the hand in circles over the stomach
Almost everywhere: I'm full.
after a meal.
The "OK" sign.
Japan: money
France: zero
Brazil and Germany: not polite
China: ...
4 Present your information sheet to the class,and then vote on the best one.
## The Immigrant
In the film The Immigrant,Charlie Chaplin acts as an immigrant who is unused to life in a different country.
## BEFORE YOU WATCH
Look at the photos from the film The Immigrant and discuss the questions.
1 What do you think these characters' body language and expressions mean?
2 In groups,discuss what you think the story of this film is.
## WHILE YOU WATCH
Think about the answers to these questions.
1 Why does Chaplin keep putting money into the woman's pocket and taking it out?
2 Where does Chaplin get the money to eat at the restaurant?
3 Why does the waiter become angry with Chaplin?
4 Why does the man sitting next to Chaplin become angry with him?
5 Can Chaplin pay the restaurant bill in the end?
## AFTER YOU WATCH
Work in groups. Finish the following activities.
1 Write a script,assign roles,and "dub" the scene.
2 Discuss if the film is better dubbed or silent.
3 Discuss what you think will happen next in the film.
## In this unit,you will
Look and discuss
1 read about agricultural scientist Yuan Longping. 1 Where do you think the photo was taken,
2 listen to and talk about the problem of world hunger. and what is it of?
2 Have you ever been to a place like this?
3 write about your opinion on organic farming or What was it like?chemical farming.
4 learn about farming industries in other countries.
## Get to know an agricultural scientist
1 Before you read,look at the photo and the title of the text. Discuss these questions in groups.
1 Who is the man in the photo?What crop is he holding in his hands?
2 What do you know about the man?What else do you want to know about him?
(1)) 2 Read the text. Match the main idea with each paragraph.
Paragraph 1
Paragraph 2
Paragraph 3
Paragraph 4
Paragraph 5
Paragraph 6 A Yuan conducted research and developed hybrid rice.
B Yuan worked hard to fulfil his dreams.
C Yuan considered himself a farmer.
D Yuan decided to study agriculture.
E Yuan's innovation has helped to feed more people.
F Yuan cared little for fame or wealth.
## A PIONEER FOR ALL PEOPLE
Yuan Longping,known as the "father of hybrid rice",was one of China's most famous scientists. Yet,he considered himself a farmer because he continually worked the land in his research. Indeed,his slim but strong body was just like that of millions of Chinese farmers,to whom he had devoted his life.
Yuan Longping was born in 1930 in Beijing. His parents wanted him to pursue a career in science or medicine. However,what concerned him most was that farmers often had poor harvests and sometimes even had a serious shortage of food to eat. To tackle this crisis,he chose to study agriculture and received an education at Southwest Agricultural College in Chongqing.
After graduating in 1953,he worked as a researcher. Yuan Longping realised that larger fields were not the solution. Instead,farmers needed to boost yields in the fields they had. How this could be done was a challenging question at the time. Yuan was convinced that the answer could be found in the creation of hybrid rice. A hybrid is a cross between two or more varieties of a species. One characteristic of hybrids is that they usually attain a higher yield than conventional crops. However,whether it was possible to develop a hybrid of self-pollinating plants such as rice was a matter of great debate. The common assumption then was that it could not be done. Through intense effort,Yuan overcame enormous technical difficulties to develop the first hybrid rice that could be used for farming in 1974. This hybrid enabled farmers to expand their output greatly.
Today,it is estimated that about 60 percent of domestic rice consumption in China is comprised of crops generated from Yuan's hybrid strains,and his strains have allowed China's farmers to produce around 200 million tons of rice per year. Yuan's innovation has helped feed not just China,but many other countries that depend on rice as well,such as India and Vietnam. Because of his invaluable contributions,Yuan Longping received numerous awards both in China and abroad.
Given that Yuan's hybrids made him quite wealthy,one might think he would have retired to a life of leisure. However,this is far from the case. Deep down,Yuan was still very much a farmer at heart. As a man of the soil,he cared little for celebrity or money. Instead,he made large donations to support agricultural research.
What impressed people most about Yuan Longping was his ongoing ability to fulfil his dreams. Long ago,he envisioned rice plants as tall as sorghum,with each ear of rice as big as a broom,and each grain of rice as huge as a peanut. He succeeded in producing a kind of rice that could feed more people at home and abroad. His later vision for "seawater rice" also became a reality,and potentially opened up nearly one million square kilometres of salty land in China for rice production. Even in his later years,Yuan Longping was still young at heart and full of vision,and everyone was always excited to see what he would dream up next.
3 Read the text again and answer the questions.
1 Why did Yuan Longping consider himself a farmer?
2 Why did Yuan decide to study agriculture?
3 What is the main advantage of hybrid crops?
4 How has Yuan's work helped China and other countries?
5 What was Yuan's later vision?
4 Complete the sentences with the correct forms of the words in the box.
create estimation education generation graduate Use word formation to guess the meaning Often,new words are not really "new" they are just different forms of words that you may already know. For instance,a word ending with -ate is often a verb,while a word ending in -tion is often a noun. Thus,we have communicate (verb) and communication (noun). English has many word patterns like this.
1 This school has thousands of bright young students over the years.
2 Most students look for jobs after university
3 Because of the of new strains of hybrid crops,people in many parts of the world now have more food to eat.
4 Last year,this new electric power plant enough energy to power the whole city.
5 It was difficult to calculate exactly how many trees had been cut down. However,a general was possible.
5 Discuss these questions in groups.
1 Apart from rice,what are some other important crops in China?What do you know about them?
2 Other than hybrid rice,what other hybrid products do you know?Can you think of new hybrid ideas?
## Build up your vocabulary
1 Replace the underlined words with the correct forms of the words from the text.
1 To deal with this crisis,he chose to study agriculture.
2 He is a very good actor and he commits himself to every role that he takes on.
3 Yuan Longping strongly believed that the answer could be found in the creation of hybrid rice.
4 Yuan Longping,through intense effort,solved enormous difficulties and developed the first hybrid rice that could be used for farming.
5 This hybrid enabled farmers to increase their output greatly.
6 Students are encouraged to try a variety of free-time activities to reduce the intense stress from studying.
2 Complete the sentences with the correct forms of the words from the text. Then use these words to make your own sentences.
1 The $\underline{\mathrm{c}}$ of a person are the special qualities that make him or her different from others.
2 Scientists from different countries have been pursuing various possibilities to overcome food $\underline{s}$
3 Many of us $\underline{a}$ that earthquakes would never happen in our area.
4 With more and more farm machines being used in the fields,the $\underline{c}$ of fuel has been increasing.
5 Newspapers should pay less attention to media $\underline{\mathrm{c}}$ and more attention to our national heroes.
6 Our general manager tried his best to help overcome the difficulties we were facing during the financial $\underline{c}$
7 My mother is very $\underline{c}$ and finds it hard to accept the modern lifestyle that I enjoy.
8 The government has decided to boost the programme to $\mathrm{g} \quad$ more new jobs.
3 Complete the news report below with the correct forms of the words and phrases in the box.
tackle vision conventional deep down be comprised of reality consumption
A vast underground shelter built during World War II has been turned into an urban farm,supplying supermarkets and restaurants in London. The shelter,which could protect up to 8,000 people from wartime bombs,two large tunnels that were intended to one day become an extension of the London Underground. But that never became and the shelter was left for 70 years. Then businessmen decided to make use of it to grow green vegetables to meet increasing demands.
The tunnels are lit with pink LEDs as there is no natural light below the ground. The vegetables are grown in special liquids instead of the earth that is used as in farming. Many experts share a that this kind of urban farming could help not only in the problem of population growth,but also in adapting to climate change.
## Discover useful structures
1 Look at the complex sentences below and state the functions of the noun clauses italicised. Then find similar complex sentences from the text.
- What Yuan Longping really cared about was not money or celebrity.
- That Yuan Longping had realised his dream of seawater rice surprised the whole world.
- It surprised the whole world that Yuan Longping had realised his dream of developing seawater rice.
2 Match the sentence parts,and then translate the completed sentences into Chinese. Pay attention to how the subjects are introduced differently.
1 research. remains an unanswered question. is an important topic for us to
3 is that these chemicals may even cause cancer.
4 these vegetables can even be planted without any soil through this new technology.
5 is the reason why some people prefer to live in the country rather than in the city.
A What worries many people
B That the lifestyle is slower and healthier
C How we can find a suitable solution to produce sufficient food while keeping the environment safe
D When these wheat farmers will join this pilot experiment
E It amazed all of us that
3 Read the passage and underline all the subject clauses. Then in pairs,discuss whether the sentences with subject clauses can be paraphrased.
Grandma has been complaining about the vegetables sold in the supermarket,which have been grown using chemical fertilisers. To her,that they look beautiful on the outside is obvious. However,what she is unhappy about is the lower nutritional value and reduced flavour. Now that both of my grandparents have retired from their jobs in the city,how they are going to spend their retirement is an important decision for them. Whether they can live a healthy life is the first thing they are considering. So they have made up their minds to move to the countryside,where they can live a green life.
4 What qualities do you think make a person like Yuan Longping so successful?Work in groups. Have a discussion and prepare a presentation. The following points and expressions may help you.
- his/her determination to tackle the crisis of ..
- his/her intense effort to overcome ...
- his/her dream to develop ...
- his/her love and care for ...
- he/she succeeded in ...
- he/she never gave up ...
- $h e /$ she is devoted to ...
What impresses me most is that ...
What makes him/her a great ... is that ... It is important that ...
Whether ... depends on ...
That ... is his/her most important quality.
## Using Language
## Explore the world hunger problem
1 In pairs,discuss what you can see in the photos and how you think each photo relates to world hunger.
A1 Listen to a radio interview and take notes. Then answer the following questions.
1 What is the FAO?What is its mission?
2 What can seriously affect crop production?
3 What does the FAO think about nutritious food?
4 What is the FAO doing to alleviate world hunger?
5 What does the FAO suggest countries do?
Identify supporting evidence
When people present important facts,they usually give some evidence to support their claims. The evidence is usually mentioned at the start of a sentence. Listen out for key words like report,research,studies,figures,findings,etc. speaker supports his facts. Match the supporting evidence with the facts.
1 According to our latest figures,...
2 There is strong evidence to suggest that ...
3 Our research indicates that... A wars can heavily affect food production and transportation.
B (world hunger) stands at around $11 \%$ of the world's population.
C many people just can't afford to eat well.
4 Work in pairs. Discuss the following questions and then share your answers in class. Use a table like the one below to help you organise your thoughts.
1 What are all the possible causes of world hunger that you can think of?
2 What can people and countries do to help alleviate these causes?
5 Work in groups to brainstorm ideas for some school activities that celebrate World Food Day. Use the expressions to help you communicate with your group members. World Food Day (WFD) was created by the FAO in 1979. It is celebrated in more than 150 countries,raising awareness and knowledge of the problems and causes behind world hunger and poverty.
## Sharing your opinions
I'd rather ...
Without a doubt ...
It's a pity that ...
I think/guess/believe ... In my eyes ...
The advantages are ...
I'd prefer ... because ...
From my point of view,... In my opinion ...
I have a feeling that ...
My impression is that ...
My view/opinion/belief is that ...
## Evaluate chemical farming and organic farming
4)) 1 Read the text,and then answer the questions on page 56 .
## CHEMICAL VERSUS ORGANIC FARMING
Chemical pesticides and artificial fertilisers have been in widespread use in farming since the middle of the 20th century. When they were first introduced,many farmers welcomed them as a great way to fight crop disease and increase production. Over time,however,what some scientists have found is that their long-term use can sometimes harm both the land and people's health.
For example,pesticides can damage the land by killing not only harmful bacteria and insects,but also helpful ones. In addition,these chemicals can stay in the soil and underground water sources for a long time. This affects the crops grown on the land and,in turn,the animals and humans who digest them. Many people worry that these chemicals may make them ill and even cause cancer. In fact,some pesticides like DDT have been prohibited in most countries because of the damage they cause to people and the environment. As for chemical
fertilisers,crops grown with them usually grow too fast to be rich in nutrition. They may look beautiful on the outside,but inside there is usually more water than essential minerals,and they often have less flavour as well.
As an alternative,some farmers have switched to organic farming,and many customers have turned to organic food when they shop at the local grocery. Organic farming is simply farming without using any chemicals. Organic farmers focus on keeping their soil rich and free of disease through natural means. For example,many organic farmers use natural waste from animals as fertiliser. This makes the soil in their fields richer in minerals. It also keeps the air,soil,water,and crops free of chemicals.
Organic farmers also use many other methods to produce rich soil. They often change the kind of
## Using Language
crop grown in each field every year. For instance,they may grow corn or wheat in a field one year,and then grow beans there the next. Why different crops are grown is because they put important minerals back into the ground,making it ready for the next batch of crops. Organic farmers also plant diverse crops that use different depths of soil to help keep it rich. For example,peanuts grow on the ground's surface,but many other vegetables put down deep roots. The goal of using different organic farming methods is to grow good food while avoiding damage to the environment or to people's health.
Some people would prefer to stop the use of man-made chemicals in agriculture entirely. What keeps them from doing so is the fact that chemical farming serves the high demand for food around the world. Organic farming is nowhere near able to meet that need. Therefore,there is still a long way to find a suitable solution that puts sufficient food on the dinner table while keeping people and the environment as healthy as possible.
1 Why did many farmers welcome the introduction of chemical farming?
2 What concerns many people about the use of pesticides?
3 What is one problem with the use of chemical fertilisers?
4 How is organic farming different from chemical farming?
5 Why do organic farmers change the kind of crop grown in a field every year?
6 What is the goal of using organic farming methods?Do you think it can be reached?Why or why not?
2 Match the main ideas (A-D) below with the paragraphs. Then complete the sentences in the table.
A What organic farming is
B Why man-made chemicals are still used in farming
C Organic methods for producing rich soil
D The problems with chemical farming
| Paragraph | Main Idea |
| :--- | :--- |
| $1-2$ | |
| 3 | |
| 4 | |
- Pesticides can kill helpful
- Some pesticides have been because of the
- Crops grown with chemical fertilisers usually to be full of
- Many organic farmers use as fertiliser.
- They often grown in each field
- They also plant crops that use of the soil to help keep it rich.
- Organic farming is nowhere near able to meet the high
## Write an argumentative essay giving your opinion on chemical or organic farming.
1 Discuss these questions in groups.
- Is the author of the passage for or against organic farming?How do you know?- What other disadvantages of chemical farming did the author not list?- How might the following items be problems and how important are they for organic farming?
natural animal waste used as fertiliser
higher cost of producing food
greater effort required to farm
- What other disadvantages of organic farming can you think of?
2 Decide whether your group supports chemical farming or organic farming. Come up with three main points to support your opinion,and then add at least one detail to support each main point. Complete the outline below.
Topic sentence: In my opinion,farming is preferable to farming because
Point 1:
( Detail )
Point 2:
( Detail )
Point 3:
( Detail )
Conclusion:
3 Use your outline to write a short essay giving your opinion on the topic.
4 Exchange your draft with a partner.
1 Use this checklist to help you review your partner's draft.
$\checkmark$ Does the writer do a good job of expressing his/her opinion?
$\checkmark$ Does each paragraph have one main idea?
$\checkmark$ Does each paragraph have at least one detail to support its main idea?
$\checkmark$ Does the writer sequence the points in a logical order?
$\checkmark$ Does the writer do a good job persuading you to accept his/her opinion?
2 Take your draft back and revise it.
5 Share your essay with the rest of the class.
## Assessing Your Progress
1 Read and complete the passage with the correct forms of the words and phrases in the box. Then answer the questions.
$\begin{array}{llll}\text { attain } & \text { be comprised of } & \text { depth } & \text { diverse } \\ \text { essential } & \text { for instance } & \text { output } & \text { soil }\end{array}$
Jia Sixie was a government official from Shandong Province who conducted a lot of agricultural research in the sixth century. In his travels,he observed that some farmers had much better than others,so he decided to investigate the best ways of good harvests.
After retiring,he wrote a book,Qi Min Yao Shu,which sound advice and practices for people doing agricultural work. In one piece of advice,,he told farmers to clear weeds from the ground before planting crops. They could either let the animals eat the weeds or turn the over so that the weeds were covered. Then he gave advice on ploughing,suggesting that the autumn ploughing should be at a greater than the spring ploughing. He also suggested changing crops to get better harvests every year. Finally,he suggested that farmers grow a range of crops next to each other in the fields. Although it has been centuries since Jia Sixie died,Qi Min Yao Shu is still considered a(n) book in China's agricultural history.
1 Why did Jia Sixie investigate good ways of farming?
2 What makes Qi Min Yao Shu an important book in China's agricultural history?
2 Fill in the blanks with that,whether,or wh- question words to complete the sentences.
his own business.
## QREFLCTING
๑ What did you learn about agriculture that you did not know before?
๑ What interested you most about agriculture in this unit?Give your reasons.
๑ What other important aspects of agriculture do you want to know about?
๑ Overall,I thought this unit was interesting useful so-so difficult.
## *Project: Make a poster of your favourite dish,from field to plate
1 In groups,discuss this line of poetry,“Every single grain on your plate is the result of hard work."
- What does this line mean to you?- How should this knowledge affect your daily life?
2 Brainstorm a list of your favourite dishes. Each dish should be comprised of five or more ingredients.
3 Choose one dish from your list that everyone in your group likes. Find a list of its ingredients from a recipe or a product label.
EXAMPLE: Kung Pao Chicken is made with chicken,peanuts,onions,red peppers,Sichuan peppercorns,ginger,garlic,oil,cooking wine,salt,soy sauce,vinegar,etc.
4 Assign team members to research where and how each of these ingredients is produced.
EXAMPLE: Peanuts are planted in April or May. It takes around 120 to 160 days for them to be ready for harvesting. This is usually done by hand. The farmer pulls the peanut plants out of the ground and leaves them in the field to dry. The peanuts are then collected and separated from their vines. They are dried for some more time and then taken to the market for sale.
5 Work together to make a poster about your favourite dish. Each team member should explain where at least one ingredient comes from and how it is produced.
6 Present your poster to the class.
## Earth University
Earth University is a special university in Costa Rica,where students learn sustainable farming methods that can protect the environment.
## BEFORE YOU WATCH
Complete the passage with the words in the box.
$\begin{array}{llll}\text { agricultural } & \text { ecology } & \text { methods } & \text { profit } \\ \text { scholarships } & \text { sustainable } & \text { typical } & \text { unique }\end{array}$
Earth University is located in Guacimo,Costa Rica. It is not a(n) university. What is about it is that students study both in classrooms and in the fields. That is because
Earth University is a(n) school where students learn about farming. The kind of farming taught here is called farming. The farming they learn have little or no negative impact on the environment. In class,they also learn about which is the study of how to protect the natural balance of the environment. The students grow bananas on the farm for The money they get from these bananas goes towards for students from poor areas.
## WHILE YOU WATCH
## Circle the best answers.
1 Which is not a goal of Earth University?
A To teach poor students. B B To teach students how to make food with bananas.
C To give students skills to protect the environment.
2 Most of the students are from
A Africa
B Latin America
C Costa Rica
3 Students have to work six days a week for
A half of the year $\quad$ B most of the year $\quad \mathbf{C}$ the entire year
4 Earth University students also learn about
A chemical farming
B leadership
C economics
AFTER YOU WATCH
Discuss these questions in groups.
1 What do you like about Earth University?
2 Would you like to study at Earth University?Why or why not?
## WORKBOOK
## UNIT 1
## Using Words and Expressions
1 Choose words from the box to make phrases. Some words can be used more than once.
acknowledge objective gradually remarkable scientific apparently distinct committed gentle
1 a wind
2 a supporter
3 a research institute
4 a southern accent
5 an succesfful career 6 facts
7 achievements
8 accepted the change
9 their contributions
2 Complete the sentences with the correct forms of the words in the box.
circumstance objective collection appearance insist consequence property device substance
1 Apparently,the two plants have quite similar physical
2 Professor Stephen Hawking used a special vocal
3 Afterwards,the company filed a patent for a new chemical
4 Everyone was amazed at his grandfather's youthful
5 The researchers the questionnaires back from the patients.
6 I will try my best and work hard to achieve my of studying economics at a top university. 7 If you on doing so,you'll have to suffer the
8 Banks have acknowledged that they need to pay more attention to customers' financial when evaluating loan
applications.
3 Translate the sentences into English using the words and phrases in brackets.
1 在递交申请六个月之后,他终于获得了发明专利。(obtain,patent)
2 当评估这个研究项目的时候,他们遇到了许多数据上的困难。(evaluate,encounter)
3 她被新上任的总统邀请出任大使。(take up a position,come to power)
4 他在科学研究方面不但有天赋而且很努力,21 岁时就已经在学术领域非常有名了。(genius,academic field)
5 考虑到非常危险,他坚持认为他们不应该在台风天气冒生命危险外出。(extraordinary,insist)
4 Find words and phrases from the unit to put into the following groups.
To describe the
To describe the character appearance of a person
Related to the process of doing scientific research pretty gentle analyse
## Using Structures
1 Choose the words in the box to complete the sentences.
who whom which
whose when where
1 Some people always talk loudly in public,is really annoying
2 Professor Lu,you spoke to,specialises in constitutional law.
3 Please come back at four o'clock,your herbal medicine will be ready.
4 What do you want to write about these people,stories I have just told you?
5 Have you been to the Louvre Museum,you can see the Mona Lisa on display?
6 There are 45 students in our class,out only 10 are taking an optional art course.
7 Her mother works in a company,employees are all women.
8 It is vital to learn to use these software programmes,both can help you with collection and evaluation.
2 Decide whether the sentences are right or wrong. Correct them where necessary.
1 Please write down these phrases,all of them will be useful in your writing.
2 As a consequence of sending in his application late,he did not get a patent for his invention,that was not surprising at all.
3 The researchers are evaluating thousands of plants,which have distinct medical properties.
4 The gentle old man is the only person,whom I can trust. 5 Have you done all what you can to help the people in need?
6 Is this the botanical institute where you visited last week?
3 Write a few sentences about some great people with the information given below. Use relative clauses.
NAME
INFORMATION
Dr Sun Yat-sen's wife;one of the top leaders in modern Chinese history;devoted her life to improving the welfare of women and children
Song Qingling
The first man to land on the moon in July 1969;“That's a small step for (a) man,one giant leap for mankind."
Neil Armstrong
Came to China in World War II;worked selflessly in China as a doctor and saved many Chinese people
Norman Bethune
A leading figure of modern Chinese literature;Lu Xun Literary Prize - one of China's top four literary prizes,awarded every three years
A girl dressed as a man;went to fight for her country;helped drive the English invaders out of France
## Listening and Speaking
1 Discuss these questions with a partner.
1 Do you think it is easy for a person to live alone in a forest observing wild animals?What might this person need and what difficulties might he/she face?
2 Look at the photos above. What do you know about Jane Goodall and her achievements?
(1) Listen to a speech about Jane Goodall and answer the questions below.
1 How was Goodall's research method different,and how did it benefit her study?
2 In what ways did Goodall's work change the way people thought about chimps?
3 What does the Roots and Shoots programme do?
4 Why is Goodall an inspiration to the speaker?
3 Talk about your heroes in groups. The following questions may help you.
1 Who is your hero?
2 What do you know about the person's life?
3 What are one or two stories that can help your audience form an impression of your hero?
4 Why do you like or admire this person?
5 How does this person inspire you?
4 Give a speech about your hero. The following tips can help you give a wellrounded speech.
- Greet the audience.
- Use the points from your discussion.
- Use a quote where necessary.
- Form an emotional connection through stories about the person.
- Make eye contact with different people in the audience.
- Provide a clear and concise conclusion.
## Reading and Writing
(1)) 1 Read the text and decide whether the statements on page 65 are true (T) or false (F).
## HEROES IN YOUR EYES
Everyone knows the people who have helped to change the face of the world in recent years. From Bill Gates to Steve Jobs to Jack Ma,few would not recognise their names. However,those who work tirelessly behind the scenes often go unnoticed,in spite of their great achievements. If you know anyone who deserves to have their contributions recognised,we would love to hear from you!Let us know how these people have helped to make a difference in your eyes.
The person I respect most is the geophysicist Huang Danian,who helped China to make many technological advances.
Huang was a remarkable scientist. He had studied and worked in Britain for 18 years,but when he felt that his country needed him,he gave up his well-paid job and returned to China. Over the next seven years,Huang worked to develop many devices needed for deep-Earth exploration.
Unfortunately,such achievements didn't come cheap. Due to the frantic pace of his research,Huang was absent from his father's funeral,and even his own cancer went undetected as he had no time to see a doctor. To sum up,Huang sacrificed everything for his research,and I think more people should honour him.
(Zhang Keyu,Hubei)
I want to tell everyone about two teachers on Changyu Island,Wang Kaiquan and Lin Zhujin.
Few people know about this hometown of mine. The island is beautiful,but it's quite isolated,and there aren't many modern conveniences. In bad weather,even our water and power supplies are unstable. People who have never been to our island are often surprised by this and find it hard to adjust. Many who live on the island dream of leaving. These two primary school teachers,however,have stayed on for 23 long years!They are the only teachers here,and they plan to stay for as long as there are children who need to attend school.
I want to thank them,and let the world know about these teachers who work tirelessly every day for the sake of the children.
(Chen Xueyin,Fujian)
My mother,Liu Shurong,is my greatest inspiration. She is 47 years old and works as a cashier at a neighbourhood supermarket.
I used to think her job was pretty easy,but now that I am older,I realise that my mother deserves respect for doing an amazing job all these years. She works long hours every day for the sake of our family,and she still finds the time to help with household chores and spend time with me.
My mother takes pride in her work. She faces customers with a smile and works hard even when she is tired. Because of her,I have learnt to stay positive even when times are hard.
(Luo Tengfei,Jilin)
1 The magazine wants readers to send in stories about famous people.
2 Huang Danian returned to China because he wanted to work on deep-Earth exploration.
3 The people who live on Changyu Island must be prepared to put up with difficulties when storms arise.
4 The teachers on Changyu Island want to live there for as long as there are children on the island.
5 Luo Tengfei respects his mother for being a cashier because he admires the job.
6 Luo Tengfei has learnt to look at life in a positive way.
2 Read the text again and fill in the table with your notes.
3 Imagine you are writing to the magazine about someone who is a hero in your eyes. Provide examples of this person's achievement(s),and explain how you have changed due to his/her influence.
# *Expanding Your World
## THREE DAYS TO SEE (Adapted)
Helen Keller
I have often thought it would be a blessing if each human being were stricken blind and deaf for a few days at some time during his early adult life. Darkness would make him more appreciative of sight;silence would teach him the joys of sound.
Now and then I have tested my seeing friends to discover what they see. Recently I asked a friend,who had just returned from a long walk in the woods,what she had observed. "Nothing in particular," she replied.
How was it possible,I asked myself,to walk for an hour through the woods and see nothing worthy of note?I who cannot see find hundreds of things to interest me through mere touch. I feel the delicate symmetry of a leaf. I pass my hands lovingly about the smooth skin of a silver birch,or the rough,shaggy bark of a pine. In spring I touch the branches of trees hopefully in search of a bud,the first sign of awakening Nature after her winter's sleep. Occasionally,if I am very fortunate,I place my hand gently on a small tree and feel the happy quiver of a bird in full song.
At times my heart cries out with longing to see all these things. If I can get so much pleasure from mere touch,how much more beauty must be revealed by sight. And I have imagined what I should most like to see if I were given the use of my eyes,say for just three days.
On the first day,I should want to see the people whose kindness and companionship have made my life worth living. I do not know what it is to see into the heart of a friend through that "window of the soul",the eye. I can only "see" through my fingertips the outline of a face. I can detect laughter,sorrow,and many other obvious emotions. I know my friends from the feel of their faces. For instance,can you describe accurately the faces of five different friends?As an experiment,I have questioned husbands about the colour of their wives' eyes,and often they express embarrassed confusion and admit that they do not know.
I should like to see the books which have been read to me,and which have revealed to me the deepest channels of human life. In the afternoon I should take a long walk in the woods and intoxicate my eyes on the beauties of the world of Nature. And I should pray for the glory of a colourful sunset. That night,I should not be able to sleep.
On my second day,I should like to see the pageant of man's progress,and I should go to the museums. I should
try to probe into the soul of man through his art. The things I knew through touch I should now see. The evening of my second day I should spend at a theatre or at the movies.
The following morning,I should again greet the dawn,anxious to discover new delights,new revelations of beauty. Today,this third day,I shall spend in the workaday world,amid the haunts of men going about the business of life.
At midnight permanent night would close on me again. Only when darkness had again descended upon me should I realise how much I had left unseen.
I am sure that if you faced the fate of blindness you would use your eyes as never before. Everything you saw would become dear to you. Your eyes would touch and embrace every object that came within your range of vision. Then,at least,you would really see,and a new world of beauty would open itself before you.
I who am blind can give one hint to those who see: Use your eyes as if tomorrow you would be stricken blind. And the same method can be applied to the other senses. Hear the music of voices,the song of a bird,the mighty strains of an orchestra,as if you would be stricken deaf tomorrow. Touch each object as if tomorrow your tactile sense would fail. Smell the perfume of flowers,taste with relish each morsel,as if tomorrow you could never smell and taste again. Make the most of every sense;glory in all the facets of pleasure and beauty,which the world reveals to you through the several means of contact which Nature provides. But of all the senses,I am sure that sight must be the most delightful.
## UNIT 2
## Using Words and Expressions
1 Cross out the options that are incorrect.
1 Health monitors detect/cause/identify potential dangers to our health.
2 Smart houses can be operated from far/ from a distance/remotely.
3 Pay attention to all the switches/knobs/ appliances of the electrical equipment.
4 They invented potentially/possibly/greatly the most efficient way of heating.
5 Some monitoring devices are designed to warn people of certain critical/serious/ difficult illnesses.
2 Complete the sentences with the correct forms of the words and phrases in the box.
$\begin{array}{ll}\text { in this sense } & \text { potential } \\ \text { nevertheless } & \text { keep track of } \\ \text { in addition } & \text { the instant }\end{array}$
1 I tried phoning Lily I got home.
2 The hotel is equipped with air conditioners.,electric fans are available in case some guests are not used to air conditioning.
3 My parents come from this area,so it's like coming home.
4 Scientists say that this technology is also useful for developing electronic devices.
5 The monitoring system what is going on in the house.
6 I'm sorry to say that we can't afford any new equipment.,we can still keep ahead of our competitors by developing new innovations.
3 Complete the sentences by translating the words in brackets into English.
1 People in poor rural areas are being educated to ( 停止抵制变化). 2 I met her when I was studying in Wuhan,and I ( 保持联系) with her ever since.
3 Wewere sorry to find out that ( 我们所有的建议都被回绝了).
4 It is very difficult to
（将你自己融入一个社会） whose culture is so different from your own.
5 Some people ( 反对记录体重）without specific aims.
4 Fill in the blanks with the correct forms of the words in the box. What do you think of the problem mentioned in the passage?
$\begin{array}{lll}\text { available } & \text { critical } & \text { innovation } \\ \text { integrate } & \text { potential } & \text { prediction } \\ \text { prospect } & \text { remote } & \end{array}$
There are many about what the future will be like,but no one really knows for sure. We do know that there will be many new in technology,though. These new advances will make thousands of new products that no one has yet even thought about. With this,however,there is a new problem which we do not have now: the gap between the technologically rich and the technologically poor. Not everyone may have the money to new technology into their lives,and some people living in areas may not have access to new technology. In light of such,many people are already working hard to make new technology cheaper and easier to buy so that everyone might benefit from it.
## Using Structures
1 Complete the sentences using the appropriate forms of the verbs in brackets.
1 Don't call me between 12:30 and 13:00. I a nap. (take)
2 After the training,the farmers decided that they tomatoes the next year. (grow)
3 The engineer was sure that the medical tests that he was healthy. (show)
4 The day after tomorrow they are going to play football from 4:00 to 6:00 p.m. So at 4:30,they soccer. (play)
5 Do you think you the same job in ten years' time?(still do)
6 If you need to contact me,I at the Waterfall Hotel until this Saturday. (stay)
7 A: Ifyou see David,can you ask him to call me?
B: Sure. I him this afternoon.
I will tell him then. (see)
8 A: Is it all right if $I$ come at about 7:00?
B: Not really. I the news and having dinner with my family. (watch)
2 Below is a letter from the present you to the future you. Try to complete it with the most appropriate verb forms.
Dear Future Me,
How are you?If you're still very hardworking,then I'm sure you're (keep) yourself busy!I do (hope) you're healthier though. I know I love eating too much junk food and far too many sweets. I hope you're stronger than me and (give up) these bad habits.
How's everything going with work?Do you remember that you $($ want) to be a pilot?If you do,then I hope you're flying around the world to fun places and (do) a lot of sightseeing. I think that the computer technology in your time must (be) so much better than it is now. The way things are going right now,people will no longer (drive) cars one day because computers (operate) them completely. Moreover,companies will probably (try) to do the same thing with planes soon afterwards. I think it would be quite dangerous if all the cars on the road were driverless. However,I think the idea of (have) any pilots on a plane is much more dangerous. This is because any big computer problem could cause one or more planes full of people to crash!
I hope I'm right about planes still (need) pilots,but if I'm wrong,I look forward to (find) out what other job you chose for your career.
Your friend,
Present Me
3 Write down as many possible sentences as you can for the following situations,using the future progressive tense.
## EXAMPLE
Next month I'll go on holiday to a coastal city. I ...
Next month I'll go on holiday to a coastal city. I will be lying on the beach,sunbathing,or swimming in the sea.
1 You'd better not call me this afternoon. I ...
2 Sam is injured. He ...
3 You won't see me again. I will ...
4 A: What does the forecast say about the weather next week?
B: It will be very wet,and ...
5 A: Are you travelling somewhere this summer holiday?
B: No,I ..
## Listening and Speaking
1 Look at the photos and the captions. Discuss what you think is happening.
A Garry Kasparov versus Deep Blue
B "Checkmate!"
C Ke Jie versus AlphaGo
A. 2 Listen to this conversation from the future between Yueyue and Huimin,an android that uses AI lartificial intelligence). Order the pictures above $(\mathrm{A}-\mathrm{C})$ according to when the events occurred by writing $1-3$ in the blanks.
A
B
C
ค. Listen to the conversation again and write down the dates when the following events occur. They are having this conversation in the year 2310 .
1 Al research begins
2 Garry Kasparov defeated by Deep Blue
3 Ke Jie defeated by AlphaGo
4 Al computers put into androids
5 First novel written by an android
6 First android president of a country
A. 4 Listen to the conversation again and answer the questions.
1 What are Yueyue and Huimin doing while they are talking?
2 What does Yueyue want Huimin to do differently?
3 What does Huimin offer to do for Yueyue while she is thinking?
4 What happens in the end?
5 What does Yueyue ask Huimin to do when they are finished?
5 What do you think Al will be able to do in the future?How will it affect humans?Discuss your predictions about $\mathrm{Al}$ and other future technologies.
## Reading and Writing
4)) 1 Read the text. Where do you think this text might come from?Identify its purpose and possible audience.
## CLONING: WHERE IS IT LEADING US?
When it was announced in 2018 that the Chinese Academy of Sciences in Shanghai had created the world's first cloned monkeys,Zhongzhong and Huahua,heated discussions followed online. In fact,cloning has always been with us. It is a way of making an exact copy of another animal or plant. It happens in plants when gardeners take cuttings from growing plants to make new ones. It also happens in animals when identical twins are produced from the same egg. These are both examples of natural clones.
Cloning has two major uses. First,gardeners use it to produce large quantities of plants for sale. Second,it is valuable for research on new plant species and for medical research on animals. Cloning plants is fairly straightforward,while cloning animals is much more complicated and difficult. Over the years,many scientists failed in their attempts to clone animals,but their determination and patience paid off in 1996 with a breakthrough-the cloning of Dolly the sheep.
The sheep cloning procedure works like this:
- Female sheep A provides an egg cell.
- The nucleus is removed from the egg cell.
- The egg cell is ready for a new nucleus.
- Female sheep B provides a somatic cell ( 体细胞) for the clone. The nucleus of this cell contains all the genes needed to produce a new sheep.
- The nucleus is taken out of the
somatic cell.
- The somatic cell nucleus from sheep $B$ and the egg cell from sheep A are joined.
- The cell divides and grows into an embryo.
- The embryo is put into female sheep C,who becomes the carrier of the clone.
- The lamb which is born is the clone of sheep $B$. It is in every way identical to sheep $B$,but younger.
With the advances of scientific research,cloning will have several major uses in the future. For one thing,it could be used to breed animal species which are endangered,or even bring back species which are now extinct. For another,it could be used to grow human organs or tissue in animals,which could be used for human organ transplants or medical treatments. Finally,cloning could be used to breed animals that will provide us with higher quality meat,milk,or eggs.
While there are technical issues that need to be worked through to make widespread cloning possible,the biggest concerns are moral. For example,if scientists brought an extinct animal back into existence,it would probably end up living in a zoo. That is not very good for the animal. Even worse for the animal is using it as a source of organ transplants-because it will be injured or even die. In addition,many people worry that eating animal products that result from cloning might be harmful to our health over time. The possibility of using cloning to produce human beings is an even bigger concern. What would happen if such knowledge ended up in the wrong hands?
When it comes to cloning,we wonder,ultimately,whether cloning will help or harm the world. No doubt,we will be talking about this question for a long time to come.
2 Answer the questions using information from the text.
1 What are the two examples of natural clones?
2 What are the two main uses for clones today?
3 What future medical uses does cloning have?
4 Why might cloning an extinct animal be a bad idea?
5 Why do many people worry about cloned food?
3 Match the topics with the paragraphs.
Paragraph 1
A Possible uses of cloning in the future
B Whether cloning is good or bad
C Current uses of cloning
D What cloning is
E How cloning a sheep works
F Moral and ethical concerns about cloning
Paragraph 2
Paragraph 4
Paragraph 5
Paragraph 6
4 Discuss the following questions in groups.
1 What are the moral issues involved with cloning?
2 What does the author mean by "What would happen if such knowledge ended up in the wrong hands?"
3 What moral concerns-if any-do you have regarding cloning?How important are these issues to you?Why?
5 Imagine that you are a scientist and that you have the choice to clone or not to clone a particular animal species. Write a report about your choice.
## *Expanding Your World
## OUR GREATEST ADVENTURE
In the 1960s and 1970s,some writers and university professors called themselves "futurists". These futurists tried to predict the future. Only a few of their predictions were right,and all of them missed something that was just around the corner: the revolution in computers and information technology. The problem was that none of these futurists were scientists or engineers. So,while they knew the future would have more powerful computers,they had no clue what these computers would look like,what they could do,or what impact they would have on our lives.
This should make us hesitate before we try to predict the future. Having said that,we can make some good guesses about future technology by looking at current scientific and technological advances. We can also ask the real experts: the scientists and engineers who are bringing us these advances.
According to experts,in the future computers will be so common that we may no longer even notice them. Forget smartphones and smart watches-we will have smart clothes that adjust to the weather and our body temperature,and change size to fit our body shape. We will also have smart contact lenses. Using these smart contact lenses,we canaccess the information and power of computers in a way that far
exceeds anything currently possible.
Because so much of our daily life will be integrated with computers,virtual reality will become an actual,real reality for many of us. Technology will not just allow us to see a world that is thousands of kilometres away - or which only exists in
a computer - but will also allow us to touch and smell that world. This virtual world will at times seem as real as-if not more real than-the actual world around us. Without leaving home,you will be able to take tours of foreign countries,or even get a medical exam by a doctor in another city.
Speaking of medicine,through new technology,people who have brain or spinal injuries will be able to find new hope. There is already,for example,technology which will allow blind people to see using cameras and deaf people to hear using microphones that are connected to their brains. Future technology will allow people to overcome all sorts of physical disabilities.
Much research is being done to unlock the human mind. Using technology that is being developed now,people in the future may be able to not just read someone else's mind,but also record their thoughts like one would record a movie. Some other research involves using robotic technology to replace human functions. For example,robot hands are being developed for people who have no hands. These artificial hands are connected to a person's nerves so that the person's brain tells the hands what to do. In the future they will work just as well as real human hands. Indeed,they may even be better. Not only can they be made stronger and faster than human hands,but also sturdier so they will not break or get injured as easily.
As a result of such advances,in the future,some people who are badly injured may become more robot than human. That is,their brains will control their robotic body parts so they can live their lives fully without being handicapped. Many new parts will be made to replace human body parts that break down,meaning it may be possible to use this technology to extend our lives long past the time of normal death by old age.
These are just a few of the things that are already being explored in science and technology. There will also be advances in transportation and space travel. Of course,there is a lot that we still do not know about the future. Science and technology may provide a road map for the future,but they cannot tell us what we will find along the way. But if we knew everything about the future,then where would the mystery and excitement be?We should all eagerly view the future as a great adventure-a new world waiting to be explored. Who knows exactly what we will find?
## Using Words and Expressions
1 Complete the sentences with the correct forms of the words in brackets.
1 The price varies depending on where the wine was produced. (enormous)
2 The shop assistant carefully each item with the price and the date,as if he were handling a valuable piece of art. (label)
3 At the age of $24,\mathrm{I}$ became a writing for a local newspaper. (journal)
4 Jane started a special about gap-year travelling in the school magazine. (column)
5 Parents prefer taking their children to some places that combine education. (entertain) with
2 Complete the conversation with the correct forms of the words in the box.
$\begin{array}{lll}\text { cloth } & \text { cottage } & \text { fountain } \\ \text { incredible } & \text { iron } & \text { polar } \\ \text { superb } & \text { swing } & \end{array}$
A: What do you have there?
B: Oh,these are some old photos I found while I was looking through some things at Gran's She said that I could keep them. I didn't know it,but her grandfather travelled around the world. He was even a(n) explorer in the Antarctic!This is his album.
A: That's!I didn't know that either. Who are the women in this photo?The pattern on the they are making is interesting.
B: I don't know. It looks like somewhere in India maybe.
A: And this photo!I've never seen a more beautiful B: The way the light shines through the water is simply!I wonder where it was taken.
A: Oh ... But this photo's not so interesting. It looks just like a big hole in the ground.
B: It says that it's a huge mine in the
United States ... and this photo is interesting: a girl playing on a I wonder if it's Gran when she was young.
3 Paraphrase the sentences using the words and phrases in brackets.
1 He was suffering a high fever and didn't feel like eating anything. (appetite)
2 Jack never wanted to stay in one place for very long,so he always found himself going to different places. (on the move)
3 The hungry little girl imagined being in a warm house,enjoying a big cake,and her mother keeping her company. (fantasise)
4 He was daydreaming and totally lost track of what the teacher was saying. (wander)
5 Hundreds of delicate works of paper-cutting will be shown at the city's gallery. (on display)
4 Translate the sentences into
English using the words and phrases in brackets.
1 非洲广哀的草原,迷人的景色吸引了世界各地的自然爱好者。(vast,fascinating,appeal to)
2 在这个偏远的小村庄里,只有一条很窄的公路可以通往外面的世界。(remote,route)
3 湖水清撤,可以清晰地看见水中倒映的雪山。(upside down,snow-covered mountain)
4 蒸汽机的发明给现代世界带来了巨大的变化。(steam engine)
## Using Structures
1 Complete the sentences with the -ing form of the verbs in the box. Then answer the questions.
cry finish talk learn ski get
1 is a very popular sport in northern China. What other winter sports do you know?
2 over spilled milk will not help you much. What helps,though?
3 English is quite interesting for me. What is interesting for you?
4 Just homework is not enough to get a good grade. What else do you need to do?
5 a high GPA (grade point average) will make it easier for you to enter a university. What else will also help?
6 on a phone while driving is illegal. What else is prohibited?
2 Find the proper beginnings for the quotes below.
A Adopt the pace of nature
B Teaching children about the natural world
C Live in each season
D Avoiding danger
E Losing your sense of wonder
F Walking
1 robs you of the excitement of life. —Unknown
2 : her secret is patience.
—Ralph Waldo Emerson
3 would teach people the quality that youngsters find so hard to learn patience.
—Edward P. Weston
4 is no safer in the long run than outright exposure. Life is either a daring adventure or nothing. $\quad$ —Helen Keller 5 should be treated as one of the most important events in their lives.
-Thomas Berry
6 as it passes;breathe the air,drink the drink,taste the fruit,and resign yourself to the influence of the earth.
—Henry David Thoreau
3 Translate the Chinese in brackets into English to complete the passage. Use the -ing form where possible.
Travelling to cold,dark,and remote Arctic Norway in mid-winter (在隆冬季节去寒冷,黑暗而偏远的北极圈内的挪威旅游) can be ( 激动人心的 ) especially
for those (寻求
完全不一样的体验) ( 意
识到 ) the lack of daylight and difficulties in transport is extremely important. Last January,we found a few mountain passes were closed,so (走动) was not easy,but ( 斦
赏） the northern lights was
an incredible experience. ( 在线订交通和宾
馆 ) did help a lot.
（想出如何拍照) in low light actually took us quite some time during our
(筹划) stage. Finally,
（雇一位当地的导游）was necessary and helpful for this trip.
4 In groups,choose a national park in China and discuss why it was set up as a national park and how people should protect it.
## Listening and Speaking
त1 David Evans and Li Yang are visiting the Polynesian Cultural Centre in Hawaii. Listen to their conversation and answer the questions below.
1 How many different Polynesian cultures are represented at the park?
2 What are canoes,and why are they important to the Polynesians?
3 What did the Samoans use to make fire?
4 Where do the Maori put their tattoos?
5 Why does David tell Li Yang not to worry about getting a tattoo?
त. Listen to the conversation again,and mark David and Li Yang's route through the park on the map below. They are starting at the main entrance.
3 In pairs,imagine that you are visiting the park. Where would you like to go and what would you like to do?Take turns giving directions to the different places in the park,using the map above.
4 In pairs,draw a map of your school campus. Imagine that a foreign student has come to your school. Take turns giving directions to the following places in your school,starting from your classroom.
- classroom - library
- dining hall playground
- school hall - student centre
- convenience store - toilets/restrooms
- dormitory school clinic
- headmaster's office staffroom
## Reading and Writing
4)) 1 Skim this email and find the reason why Chris went to Shangri-La.
(이 숭ㅇ)
Dear Sis,
How have you been?I'm having a good time on my holiday. Do you remember how it was our dream to find Shangri-La some day?You know that place in James Hilton's Lost Horizon. Well,now I can safely say that I've been there!
Before you get too excited,I must admit that this Shangri-La is the name of a city in Yunnan,China,and not the place in the book!I decided to come here because I wanted to experience the real Shangri-La for myself,even if it's different from the paradise we read about. So far,I really like it here.
On Monday,I left Lhasa at noon,and after changing flights once,I reached Shangri-Laalso called "Zhongdian"-at eight in the evening. The airport is not far from the city,so my taxi ride to the hotel was very short. That night,I was so exhausted that I had a quick bite to eat and then crashed.
Yesterday,I went to the Potatso National Park. The park covers such a wide area that the admission ticket for the park includes a bus tour,as it is the only way to see all the major sites in one day. Just to give you an idea of how large the place is,imagine a park that spans across vast forests,wetlands,lakes,meadows,and several villages!On the bus,I made friends with the passengers around me,and they said that I had definitely picked the right season to visit the park. The autumn scenery,they said,would be absolutely pictureperfect.
On top of its beautiful scenery,the park is also famous for its rich biological diversity. Did you know that Potatso makes up less than one percent of China's total land area,but it contains more than 20 percent of the country's plant and animal species?The black-necked cranes were my favourites. I saw two of them at the picturesque Bita Lake!
At Shudu Lake,the first stop on the bus tour,we saw horses,cows,and yaks enjoying the sunlight and eating grass contentedly. As a nature lover like me,I'm sure you can imagine how delighted I was by this sight.
Bita Lake,however,is absolutely my favourite place in Potatso. Just imagine,a beautiful lake,blue skies,majestic mountains,and golden trees all around me. In such tranquil surroundings,I could easily believe myself to be standing in James Hilton's ShangriLa. For those who live in cities like we do,spending time in nature can be an incredibly rejuvenating experience.
Tomorrow,I am going hiking at the Tiger Leaping Gorge. Fingers crossed that there will be good weather!Anyway,I need to get some sleep now since tomorrow's going to be a long day,but l'll tell you all about it when I get back!
Love,
Chris
2 Read the text again,and choose the correct answers.
1 When Chris said that he "crashed",it means that he
A got into an accident in the taxi
B fell asleep quickly
C bumped into something by mistake
2 "Picture-perfect" scenery is scenery that is
A often photographed or painted
B perfect and has no flaws
C beautiful in pictures but not in real life
3 The mentioning of "forests,wetlands,lakes,meadows,and several villages" is helpful in understanding the size of Potatso because
A most people know the sizes of such places
B only a large park can include so many different types of places
C such places are usually not found inside parks
4 When Chris said "fingers crossed that there will be good weather",it means that he
A knew that there would be good weather
B saw on the news that there would be good weather
C hoped that there would be good weather
3 Chris also wrote a postcard to a friend. Complete the card using the information from the text.
Hi Max,
## Postcard
I'm having a great time in Shangri-La!The city is in Hilton's Lost Horizon but . Yesterday,1went on a in the Potatso National Park. 1 saw lots of
4 Think about these questions and note down your ideas.
1 What is included in both the email and the postcard?
2 What is in the email,but not in the postcard?
5 Write a postcard to a friend or relative about a trip you have taken.
6 Write an email about your trip and include more details.
## *Expanding Your World
## HATIONAL PARKS-A TREASURE HOUSE FOR FUTURE GENERATIOHS
While city life may be exciting,all of us need to escape into nature now and again. Some of the best family holidays involve things like picnics,camping,hikes,and forest walks. Exploring nature allows us to catch sight of rare animals and come across special places of beauty. Of course,none of this would be possible without protected nature areas. This is why national parks are so important. They are places to be treasured-places where the country locks away the very best it has to offer for everyone to enjoy. To protect this heritage,governments allow very little development inside most national parks. A few national parks allow things like hotels and recreation areas to be constructed within them,but most parks do not allow any development at all. Visitors have to bring in their own food and drink,and then be sure to carry out all their waste when they leave.
The very first national park is also one of the most famous in the world-Yellowstone,in the western USA. Nineteenth-century explorers were amazed by what they saw in Yellowstone. Apart from the beautiful mountains,rushing rivers,and tall waterfalls,there were geysers,which sent boiling water as high as 91 metres into the air. Then there were the hot springs,as colourful as rainbows. These explorers wanted to protect the natural features of the area from development so that future generations could enjoy the area. And so,in 1872,Yellowstone was established as a national park. Today,around four million people a year visit it. Many come hoping to see wildlife,which is no longer as common in the American West as it once was. Everyone comes to see the geysers,especially Old Faithful,which sits near the centre of the park,and sends $95.6^{\circ} \mathrm{C}$ water up to 56 metres into the air every 44 to 125 minutes.
While Yellowstone was made a national park in order to protect its natural features,many others were set up to protect wildlife. A good example is the Serengeti National Park in Tanzania. In the local African language,"Serengeti" means "the place where the land runs on forever". It is a wide plain covered in tall grass,and dotted with trees. When foreigners began killing the Serengeti lions for sport,the government decided to take action,eventually turning the area into a national park in 1951. Even then,it was a challenge to protect the park's wildlife. In 1959,a film was made of the great wildebeest migration which occurs every
year in the park. This film,Serengeti Shall Not Die,helped people around the world understand the need for wildlife protection. Today,the Serengeti is one of the top tourist attractions in the world. Nowhere else can you see such great herds of wildebeests and zebras,in addition to lions,rhinoceroses,elephants,and many other rare creatures.
Not all famous national parks are on land. Some national parks are marine parks. One good example of this is the Great Barrier Reef Marine Park in Australia. Stretching over 2,300 kilometres,the Great Barrier Reef is considered one of the natural wonders of the world. It is the largest structure in the world made by living creatures. A wide variety of tropical wildlife also makes the reef its home. Since the Great Barrier Reef is just below the surface of the water,it is an excellent place to see nature,and millions of people travel there every year. The park was created in 1975 to protect the reef from overdevelopment and fishing. Unfortunately,the biggest danger to the Great Barrier Reef is something park management cannot stop-global warming. Rising ocean temperatures are causing some coral to die and the colourful reefs to turn grey. Hundreds of years ago,people could not imagine that there would ever be a time when forests would be cut down,oceans would become polluted,and wildlife would face extinction.
Facing the problems of environment pollution and overdevelopment,some national parks have been set aside to protect both natural features and wildlife. A good example of this is the Sanjiangyuan National Park,which was set up in the south of China's Qinghai Province in 2000. The park is at a very high altitude and contains the source of the Yangtze River (Changjiang),Lancang River,and Yellow River. It is also home to many species of plants and birds,along with animals like Tibetan antelopes,snow leopards,wolves,foxes,bears,yaks,and sheep. In most areas of the reserve,development is strictly forbidden,and any permitted development is closely monitored.
The protection of natural areas has attracted much media attention,and now more and more
people are supporting the idea of eco-friendly development. Today,people understand that national parks are not just for one generation;they should be protected for every generation to come.
## UNIT 4
## Using Words and Expressions
1 Complete the sentences with the correct forms of the words in the box.
$\begin{array}{lll}\text { reliable } & \text { difference } & \text { low } \\ \text { assessment } & \text { inquiry } & \text { adjust } \\ \text { compare } & \text { angry } & \end{array}$
1 The teacher should make some so that the students will not get bored.
2 The twin brothers are alike in appearance but greatly in personality.
3 Seeing the boy so upset,the mother called the teacher to what was going on at school.
4 In __ with big cities,these places are less modern but more natural.
5 People heavily on the Internet to keep in touch with one another.
6 The test was to the level of students' self-respect rather than their academic achievement.
7 The young man managed to hold back his and avoid a serious conflict.
8 In class,students tend to their heads when the question is too hard for them.
2 Paraphrase the sentences using the correct forms of the words and phrases in brackets.
1 When I married my husband,my parents were very upset. (approve of)
2 I have been busy preparing for the birthday party,shopping and decorating the house. (occupy oneself with)
3 There were three factors playing roles in her quick recovery from the illness: appropriate medical advice,the right medicine,and enough rest. (at work)
4 When problems occur,people usually find excuses to avoid responsibility. (tendency)
5 The colours of the forest change with the season. (vary from ... to)
6 I believe whatever you say and will always take your side. (favour)
3 Complete the passage with the correct forms of the words from this unit.
Educators can $p$ what students are thinking by observing their body language. Students tend to forward and make eye contact with teachers when they are interested in the lesson. By $\underline{\text { c }}$ if they have their heads or look they are probably bored,or a by something else. By looking at a student's body language,an educator can also whether the student is troubled or having personal problems. Observing students' body language helps teachers a
students' behaviour and thus take effective measures to help them learn better.
4 Translate the sentences into English using the words and phrases in brackets.
1 有些学生回避与老师的眼神交流,只是因为担心被老师叫起来回答问题。(merely,call on)
2 他忙着写毕业论文,几乎没有时间好好吃饭。(barely,bother,occupy)
3 小孩子们会盯着一件他们喜欢的东西来表达他们的兴趣。(tend to,stare at,display)
4 最终他们赢了这场比赛,向所有的球迷证明了他们是一支实力强大的足球队。(ultimately,demonstrate)
5 我亲眼见证了这对年轻的夫妻如何敖过了他们人生中最困难的时期。(witness,get through)
6 恰当地利用肢体语言可以帮助你克服与人交流的障碍。(employ,appropriately,break down,barrier)
## Using Structures
1 Read the passage. Underline and correct the mistakes.
Body language is as important as words in communicate with other people. The crucial factor is recognise the fact that body language differs in various cultures,but it is also important to "do in Rome as the Romans do". For example,show the gesture for "OK" in many cultures can meaning "money" in Japan or "zero" in France. By contrast,make such a gesture in Brazil or Germany can being offensive!
Of course,some body language is sharing by all cultures. For instance,waved one's hand while see your friend off is like to say "Goodbye",and smile often gets people through difficult situations.
2 Complete the conversation by translating the Chinese words into English. Use the -ing form if possible.
Rose $(R)$ is asking school counsellor Casey (C) about body language.
R: How will I know if someone isn't interested in what I'm saying?
C: Although body language is not the same for everyone,there are a few general signs you can look for,such as lack of eye contact,being distracted,( 看天花板 ) or other things like a cell phone,their body and feet turning away from you,or
( 突然改变主意). You could also simply ask if the topic isn't interesting or change the subject by (问一个问题 ). For example,“Anyway,that's enough about my trip;what did you end up doing this weekend?" R: What does it mean if someone looks at me all the time?
C: That may mean the person likes you or is interested in (逐步认识你). That type of look usually means ( 请你接着说下去).
R: What does it mean if a person stretches their neck?
C: It could just mean that their neck needs ( 伸展 ). On
the other hand,it could also be a sign of ( 感到不舒
服) with the current situation. A person ( 经历焦躁) can
also act similarly.
R: What sort of body language can show that someone is lying?
C: This may vary from person to person. Some people would avoid ( 凝视你的双眼 ).
Others would also shift their bodies,adjust their clothing,or play with their hair.
3 Make up at least two sentences using the -ing form in each function.
- -ing form as the subject
- -ing form as the object
- -ing form as the predicative
--ing form as the attribute
- -ing form as the adverbial
- -ing form as the object complement
## Listening and Speaking
A 1 Listen to a radio interview with Max Snelling and complete the sentences.
1 Max Snelling wrote a book about in the animal world.
2 His book talks about how animals use body language
3 In this interview,Max mostly talks about how ___ use body language.
4 When we are angry,we want to look
5 Humans to show that we love and accept each other.
2 Listen to the interview again and answer the questions.
1 When a chimp smiles,how does he likely feel?
2 Why does Max think a chimp smiles when faced with an enemy?
3 How are humans and chimps alike in the way they express anger?
4 What do chimps do to show they love their babies?
5 What does a bigger chimp do to make a smaller chimp feel safe?
3 In groups,choose at least three emotions,such as fear,joy,and sadness. Then discuss these questions.
1 Are animals different from or similar to each other in how they show their emotions with their body language?
2 How should you react when you see certain kinds of body language from animals?
4 After your discussion,give a short presentation on animal body language to the class.
## EXAMPLE
Animals often use body language to show their emotions. For example,when it wants to show fear and tell you to stay away,a bear will slap the ground. This is very different from a dog,which will put its tail between its legs to show fear ...
## Reading and Writing
()) 1 Read the text. Match the emotions with the body language and animals on page 86.
## ANIMAL BODY LANGUAGE
Human beings are not the only ones who communicate. Animals use body language to tell each other how they feel and what they think. Here is a quick look at how some of our animal friends send messages to us and to each other.
Dogs use sounds,body movements,and their tails to communicate. When a dog is happy,its ears will stand up and its eyes will be wide open. The dog will start barking,moving its tail,and running around in circles or jumping up and down to show you that it wants to play. A dog that is afraid will lie on its back and close its eyes. The dog may show its teeth and lower its body so that it is close to the ground. The dog may also shake,and it will put its tail between its legs. When a dog is angry,its main body language is showing its teeth and growling. The dog will try making itself look as big as possible. The tail will stand straight out from the body.
Elephants also use noises and body language to express themselves. An elephant's sense of smell is highly developed. An elephant can smell how another elephant is feeling and even tell if it is sick. The elephant's nose,or trunk,is also used to make noises and to welcome other elephants. Different noises have a variety of meanings: they can mean "I am hungry","I am angry",or "Good to see you!" An elephant's body language includes ear signals and gestures. If an elephant spreads its ears,it means "Watch out!" To show friendship,elephants will touch each other with their trunks and stand close to each other,putting their heads together.
Dolphins are social animals. They live in groups and love showing each other their feelings. An angry dolphin will sometimes hit its tail on the surface of the water. The movement and noise let other dolphins know that something is wrong. If a dolphin wants to send a message over a long distance,or if it wants to show how strong it is,it will jump high out of the water and land on its side,making a loud noise. A dolphin's favourite activity is leaping into the air while playing with its friends. When dolphins are tired and need to rest,they will swim in small groups close to the surface. If you see dolphins doing this,you should not disturb them. 1 happiness
2 fear
3 anger
4 warning
5 affection - shows teeth and growls
- ears stand up and eyes wide open
- shows teeth and lowers body
- spreads ears
- puts its head against another's
- hits its tail down to make noise
- leaps into the air elephant
$\operatorname{dog}$
dolphin
2 What is the cat's body language communicating in each picture?Here are some words and expressions you can use. Use a dictionary to help you.
purr meow stretch swish its tail nuzzle its head against her face
3 Give the cat and the girl names. Use these names and the pictures above to write a story about the cat.
## *Expanding Your World
## BEING FUNNY WITHOUT SAYING A WORD
Victor Hugo once said,"Laughter is the sun that drives winter from the human face." Up to now,nobody has been able to create laughter like Charlie Chaplin. He brightened the lives of millions through two world wars and the hard years in between. He made people laugh at a time when they felt depressed,so they could forget their difficulties.
Not that Charlie's own life was easy. He was born to a poor family in 1889. His parents were both poor music hall performers. To make
money,Charlie learnt to sing as soon as he could speak,and dance as soon as he could walk. Such training was common in stage families at that time. Every member of the family performed to help make money. Then his father died,and so Charlie spent his youth looking after his sick mother and his brother. By his teens,Charlie had,through his humour,become one of the most popular child actors in England. No one was bored watching him - he made everything funny.
As time went by,Chaplin began making silent films,where the story was told only through body language and gestures. Usually,Chaplin appeared in these films as the Little Tramp,a poor man with a moustache,large trousers,worn-out shoes,and a small,round hat. He walked around stiffly,carrying a walking stick. Even though the Little Tramp was considered a failure in life,he was still full of kindness and hope. Like Chaplin,the Little Tramp always tried to turn his sadness into joy. Chaplin once said,"My pain may be the reason for somebody's laugh. But my laugh must never be the reason for somebody's pain." He also said,"To truly laugh,you must be able to take your pain,and play with it!" In 1914 and 1915,Chaplin worked almost constantly,making nearly 50 short films. Though short films were in high demand,Chaplin's popularity allowed him to take more time and make longer films. One of these films,The Kid (1921),is considered to be among the greatest films ever made. In the film,the Little Tramp finds a baby that has been abandoned,and raises the child as his own. While the film has many funny moments,it also has times of great sadness. As Chaplin said,it was "a picture with a smile,and perhaps a tear".
How did the Little Tramp make a sad situation funny?Here is an example from one of his most famous films,The Gold Rush (1925). It is around 1900,and gold has just been discovered in Alaska. The Little Tramp has rushed there in search of gold,but without success. Instead,he is hiding in a small house on a mountain during a
snowstorm,with nothing to eat. He is so hungry that he has cooked one of his boots for dinner. The Little Tramp first cuts off the laces and eats them as if they were noodles. Then he cuts up the boot and shares it with Big Jim,another fortune-hunter. The Little Tramp chews on the lower part of the boot,treating it like something good to eat and making you believe that this is one of the best meals he has ever tasted.
When the silent era ended in 1929,Chaplin continued to make films,but these films had little or no dialogue. They had just music and sound effects. Unfortunately,his style of visual humour had gone out of style and so his films were not as successful as before. Finally,in 1940,Chaplin gave up silent films to make The Great Dictator. This became Chaplin's most successful movie. It was also his last great success. Essentially,Chaplin went into retirement afterwards,though he made a handful of films later on.
Charlie Chaplin wrote,directed,and produced the films he starred in. In 1972,he was given a special Academy Award,which became known as an Oscar in later years,for his contributions to the film industry. He lived in England and the USA,but spent his last years in Switzerland,where he died in 1977. He is loved and remembered as a great actor who inspired people during dark times.
## UNIT 5
## Using Words and Expressions
1 Choose the correct words to complete the sentences.
1 He managed to the judge of his innocence. (convince,convinced)
2 If you are that something is true,you feel sure that it is true. (convince,convinced)
3 A hundred years ago,several writers a future in which robots would do more work. (vision,envisioned)
4 Although his has not come true yet,he will continue working hard to achieve it. (vision,envision)
5 The whole food chain has been affected by the overuse of in agriculture. (chemistry,chemicals)
6 Organic is considered to have originated in the early 19th century. (chemistry,chemicals)
7 Government support will be if the project is to succeed. (essential,essentials)
8 She packed a few and headed for the countryside. (essential,essentials)
2 Complete the sentences with the correct forms of the words in the box.
$\begin{array}{ll}\text { expand } & \text { overcome estimate } \\ \text { generate extension }\end{array}$
1 The school board plans to have a(n) built to the library.
2 The new film a lot of excitement,and ticket sales were way beyond our expectations.
3 Unable to his shyness,he stood there without saying anything.
4 Foreign trade greatly in the past few years.
5 It that the project will last more than ten years. 3 Translate the sentences into English using the words and phrases in brackets.
1 我们需要通过大量的调研来验证这个假设是否成立。(assumption)
2 妈妈困惑的问题是小宝宝消化不良。(why,digest)
3 严格禁止考试作弊。(prohibit)
4 我们需要找到实现目标的最佳途径,所以向王教授寻求建议。(attain,turn to)
5 在大城市,自行车正在成为替代私家车出行的短途交通工具。(alternative,means of transport)
4 Use the correct forms of the expressions in the box to complete the passage. What other agricultural changes do you know about?
a diversity of it is estimated the need for increase output widespread use boost the development
By around 3000 BCE,the Egyptians had begun to use oxen to pull ploughs. The use of animals greatly improved agricultural production and reduced humans to perform the heary labour. Horses,donkeys,mules,and water buffaloes were all used for farm work. With today's technological developments,the of machines has largely replaced animals in farm work. These machines can carry out tasks such as ploughing and planting,fertilising and irrigating,harvesting,and managing pest,weed,and disease control. Farm machinery has of agriculture,and greatly. For example,that one farmer on a cotton-
picking machine can harvest as much in a day as 100 people working by hand.
## Using Structures
1 Rewrite the sentences using subject clauses.
## EXAMPLE
I'd like you to find out how new technologies can increase grape production in Binchuan county.
What I'd like you to find out is how new technologies can increase grape production in Binchuan county.
1 We wanted to know where he had lost the laptop.
Where
was what we wanted to know.
2 The way in which he did the experiment was puzzling to other people.
How
was puzzling to other people.
3 Do they use too many chemical pesticides?I worry about this most.•
Whether is what I worry about most.
4 People are happy to see that the living conditions and income of the farmers have improved a lot.
That makes people happy.
5 We have not decided on the date for the sports meet yet.
When has not been decided on yet.
2 Make sentences using subject clauses with the help of the cues.
EXAMPLE
he thought / completely wrong
What he thought was completely wrong.
1 he said / reasonable
2 she will accept the invitation / not clear yet
3 the animals are moving to / not exactly known 4 you have recovered from your illness / a great relief to us
5 he has become distant recently / my concern
3 Circle and correct the mistake in each sentence.
1 What have I forgotten is that I have a test today.
2 Who left me these flowers are not clear to me.
3 This is obvious that students should prepare well for their future.
4 Who's ticket this is has not been confirmed.
5 When the test will be given have not been decided.
4 Combine each pair of sentences using the word in brackets.
1 Can we control pests without causing any ill effects?This still remains a question. (Whether)
2 Agriculture is the foundation of our country. This is well known. (It)
3 Some less-developed countries are suffering from food shortages. It is a serious problem in the world. (That)
4 Some herdsmen in Inner Mongolia fix electronic sensors to their cattle to monitor their movements. It is true that they are doing this. (It)
5 The overuse of chemicals in farming has caused serious pollution in nature. Prepare a speech about what worries you most and how to deal with the problem.
It is quite common/important/necessary that ... Whether... depends on ...
That ... is what ...
What matters most is that ...
## Listening and Speaking
1 Each of the photos below represents an innovation in agriculture. In pairs,discuss what you think these innovations might be.
A
B
C
2 Listen to three news reports about agriculture. Match each report with one of the photos above.
News report 1:
News report 2:
News report 3:
3 Listen to the news reports again and take notes. Then fill in the table below.
| Question | News report 1 | News report 2 |
| :---: | :---: | :---: |
| Who | -2 | $\begin{array}{l}\text { Intelligent Growth } \\ \text { Solutions }\end{array}$ |
| What | $\begin{array}{l}\text { The well-respected } \\ \text { and } \\ \text { agricultural } \\ \text { died of }\end{array}$ | $\begin{array}{l}\text { commercial vertical farm }\end{array}$ |
| When | He died on | - |
| Where | $\begin{array}{l}\text { His work was at Hebei } \\ \text { Agricultural University } \\ \text { and }\end{array}$ | Near Dundee. |
| Why | He wanted | $\begin{array}{l}\text { Farmland has become } \\ \text { Meanwhile,} \\ \text { many countries lack } \\ \text { enough to } \\ \text { grow the crops they need. }\end{array}$ |
| How | $\begin{array}{l}\text { He helped farmers to } \\ \text { and escape }\end{array}$ | $\begin{array}{l}\text { in a } \\ \text { greenhouse in large trays,} \\ \text { stacked one above the other }\end{array}$ |
News report 3
Gerald Kibugi
Won an award for creating Green House Do It Yourself software.
Fair,Kenya.
Farmers do not have the time to read and learnt from
books on greenhouse farming.
This software allows farmers to on stacked one above the other.
4 In groups,discuss a news story about agriculture that you have heard about recently.
- Answer questions about your story: who,what,when,where,why,and how.
- Use the answers to report your story. You can include quotes in your talk.
## Reading and Writing
1 Look at the title and the picture. What do you expect to read in the text?
(1)) 2 Read the text and then answer the questions on page 93.
## BETTER,GREENER LIVES AWAY FROM THE CITY
While the dream of most university graduates is to start a successful career in a big city,more and more young people are choosing to stay in their own hometowns so they can stay with their family and friends. For some young people,it is also a matter of making the quality of life for other people in their hometowns better. They also have a desire to improve and maintain the natural and economic environments in these places for generations to come.
Li Dan is a woman who has discovered that returning home to work in the field of agriculture could offer her both a meaningful challenge and a good standard of living. Born in a small village in Southwest China,she decided not to follow many of her former classmates to the city after getting her degree at university. Instead,she returned to her village and started her own fruit-growing business. Working hard over the last several years,and taking advantage of new technology and the Internet,she has expanded her business to include agritourism. Moreover,her company's annual income has reached six million yuan and more than 50 new jobs have been created. As a result,her decision has also helped to alleviate poverty and improve the lives of many people in her village.
With China's population expected to continue rising in the coming years,the government understands the importance of agriculture. It also understands that university graduates can help come up with better ways to grow crops,and develop new,creative ways of farming using modern technology. To help these young people with their bright and innovative ideas,the government is providing financial help. Business development loans are becoming easier for these young people to obtain,too. Government policies that aim to eliminate poverty are also having a beneficial effect.
"Life in big cities is not all it's cracked up to be," said Zhang Tao,from Binchuan county in Yunnan Province,adding that the air was bad,transport was terrible,and it was hard to make a decent living. What life in one's hometown offers is a strong support network. More importantly,this network is also a good one for getting new agribusinesses up and running quite quickly. Thus,it is no surprise that more new graduates are now attracted to life in the country,where they can fulfil personal goals and contribute to their local communities rather than just being white-collar professionals in big cities. 1 What do some young people hope to achieve by living in their hometowns?
2 How has Li Dan's decision to work in her hometown contributed to her community?
3 Why does the government support people who want to stay and work in their hometowns?
4 Based on the context,what do you think the sentence "Life in big cities is not all it's cracked up to be" means?
5 What is meant by "a strong support network"?
3 Discuss the following questions in groups.
1 Which would you prefer: living in a big city or living in the country?Why?
2 How can you best contribute to your hometown?
4 Make a list of three advantages and three disadvantages of working in the city and working in the country. Write your notes in the table below.
| Choice | Advantage | Disadvantage |
| :--- | :--- | :--- |
| Working in the city | 1 | 1 |
| | 2 | 2 |
| | 3 | 3 |
| Working in the country | 1 | 1 |
| | 2 | 2 |
| 3 | 3 | |
5 Use the table above to decide which choice you prefer. For each advantage,add one detail. For the disadvantages,add a reason why they do not matter a lot to you. Use the outline below to help you write an essay.
In my opinion,working in the city/country is better.
First,(Advantage 1)
( Detail )
Second,(Advantage 2)
( Detail )
Finally,(Advantage 3)
( Detail )
Of course,there are some disadvantages to working in the city/country.
For example,(disadvantage)
In addition,(disadvantage)
However,(reasons they do not bother you)
All in all,I would prefer to work in the city/country.
## *Expanding Your World
## AMAZING METHODS OF AGRICULTURE
Agriculture has come a long way from its ancient beginnings. Long ago,farmers would work hard on their individual plots of land,using simple tools or even their bare hands. They tended to their crops for many hours each day so that the crops grew well and did not suffer from pests or disease. Luck played a great part in farming. For example,a single storm could destroy a whole year's work,while a summer of good weather could ensure a good harvest. Where farms were located was often critical to success,too. In hilly countries,some lucky farmers would have land in the lowlands-full of deep,rich soil,while other unlucky farmers would have land on the hills with hard soil full of stones. In addition,some areas would simply be too dry or too wet to grow much of value.
Modern science and technology have helped to greatly reduce the back-breaking labour involved in farming,along with the reliance on luck and guesswork. These advances have enabled people in various countries to benefit from exceptional innovations in crop production.
Probably one of the most beneficial innovations is drip irrigation,which has made it possible to develop big,green farms in the middle of the desert. While there have been experiments in different places in the past to make drip irrigation a reality,it is in the Middle Eastern country of Israel that drip irrigation has become a modern success.
How Simcha Blass,a scientist,discovered this new way of irrigation is rather interesting. He was visiting a friend in the Israeli desert in the 1930s when he noticed something unusual. There was a row of trees near his friend's house,and one of them was much taller than the others. When Blass dug around the roots to find out what the secret was,he discovered that the house's water pipe had a small leak at the base of the tree. The pipe's steady drip onto the tree's roots was giving it just enough water at the perfect rate to grow strong and quickly.
Through this discovery,farmers can now produce crops on arid land without needing much water. This irrigation method uses far less water than other methods. The limited and focused use of just the right amount of water also denies moisture to weeds and pests,keeping them from harming the crops.
Drip irrigation deals with a lack of water in an area. However,what if an area has plenty of water,but little usable soil?As it turns out,it is possible to grow plants without using soil at all. With hydroponics,plant roots are supported by rocks,glass beads,or a fibre mat. Nutrient-rich water is then provided so that the plants can grow. Given that China has many areas where soil conditions are poor,Chinese researchers have been experimenting with hydroponics since the 1970s. Recent research has centred on vertical hydroponics farming. With a vertical farm,the crops are planted in trays that are stacked into plant skyscrapers. Furthermore,nearly all hydroponic farms and vertical farms are either partially or fully automated.
Besides drip irrigation and hydroponics,scientists have made impressive innovations in agricultural machinery. Of course,the most important and useful agricultural machines,such as tractors and harvesters,were invented long ago. However,many such machines are now self-driving. They use cameras and a positioning system to see where they are and where they are going,and their routes can be planned by a computer. Depending upon the crop,some farms hundreds or thousands of hectares in size can be managed by just a handful of workers using machines such as these. For fruit cultivation,robots are now being employed in some countries. For instance,in Japan,robots are used to spray individual grape clusters with insecticide,trim them so they are all of equal size,bag them so that they can be further protected from pests and the elements,and then harvest
them when they are ripe. In other countries,robots are being used to harvest oranges and strawberries,plant rice,and spray pesticides. The field of agricultural robotics is still in its infancy,so there is still a need for human labour to harvest many crops. To help ease this burden,there are also robots that can help workers carry fruit and vegetables to storage areas.
With such technological advances,the image of a farmer pushing a plough will eventually become a thing of the past. Farmers of the future are more likely to be technicians working in control rooms,surrounded by computers and monitors. Indeed,some farmers already are.
## Appendices 附录
## Notes 注释
## Unit 1
## TU YOUYOU AWARDED NOBEL PRIZE 屠呦呦获诺贝尔奖
这是英文报刊上新闻报道的标题。新闻标题通常具有用词精准、主题明确、简明扼要等特征。在英文新闻标题中可以省略虚词,使标题更加简洁。本文标题就省略了助动词和冠词。英语中使用全大写的情况并不多见，一般只在正标题、广告等中使用。报刊标题的呈现形式一般首字母大写,尤其是实词首字母大写。如:
Missing Boy Found Dead 失踪男孩遇难
诺贝尔奖 ( Nobel Prize ) 是世界公认的最具影响力的国际性奖项之一。该奖项是依据瑞典化学家、企业家、发明家阿尔弗雷德·伯纳德·诺贝尔 (Alfred Bernhard Nobel,1833-1896) 遗嘱，将其遗产 ( 3,100 万瑞典克朗 ) 作为基金设立的奖项，旨在奖励在多个领域为人类社会作出卓越贡献的杰出人士。该奖项最初设物理学、化学、生理学或医学、文学、和平等五个领域分项,后来增设经济学奖。
2 In 1967,the Chinese government formed a team of scientists with the objective of discovering a new treatment for malaria,and Tu Youyou was among the first researchers chosen. 1967 年,中国政府组建了一支以探索治疗疠疾新方法为目的的科学家队伍,屠呦呦是其中首批入选的研究人员。
这是一个由and连接而成的并列复合句。介词短语 with the objective ...作第一个分句的状语，表示目的。短语中的 objective也可用aim、purpose、goal等替换。如:
He tried a second time with the aim of being chosen. 他又试了第二回,希望能被选上。
He came here with the purpose of caryying out an important task. 他来这里是为了执行一项重要的任务。
第二个分句中chosen是过去分词用作定语，修饰 the first researchers。分词短语作定语经常后置。如:
the trees newly planted by the river 河边新种的树木
the book bought yesterday 昨天买的书
3 One medical text from the fourth century suggested using the extract from sweet wormwood to treat a fever. 一本四世纪的医药文献推荐使用青蒿提取物来治疗发烧。
文中提到的医学文献源自我国东晋名医、医药学家葛洪 ( 公元 284-364 年）所著的《肘后备急方》,书中收集了大量救急用的实用诊疗良方。“肘后” 是“带在身边” 的意思,书名表示它是一本常备实用手册。
4 Upon hearing that she had been awarded the Nobel Prize,... 当听到自己被授予诺贝尔奖时,$\cdots \cdots$
在本句中,“介词 upon + 动词-ing 形式”构成介词短语，用作时间状语。upon还可换为介词 on，表示一件事紧接着另一件事而发生。这种用法常见于正式的文体,依据语境,可译作“在 $\cdots \cdots$ 的时候;当 $\cdots \cdots$ 时;$-\cdots \cdots$ 就 $\cdots \cdots$。.如:
Upon graduating,he joined a small law firm. 一毕业他就加入了一个小型律师事务所。
Upon finishing it,I was struck by the feeling that it was the best composition I had ever written. 我写完这篇作文时，就感到这是我写过的最好的作文。
Upon their return to the country,the girls volleyball team received praise and flowers. 女排姑娘们一回国,就收到了赞誉和鲜花。
## Alexander Fleming亚历山大·弗莱明（1881-1955)
英国细䒩学家,1945 年诺贝尔生理学或医学奖获奖者之一。他于 1928 年从绿霉中发现并提纯了青霉素，后与同行进一步研究并成功用于临床医治。这一成果结束了细菌性传染病无药可医的历史,使医学取得了划时代的进步。
## Florence Nightingale 弗洛伦斯·南丁格尔（1820-1910）
英国著名护士,近代护理学和护士教育的创始人。她通过自己的辛勤奉献和毕生努力,使得医疗护理工作受到尊重,极大地提高了护士的社会地位及形象。南丁格尔的成功不仅在于她带领的队伍拯救了许多伤员，她还在护理和医院管理上带来了世界范围的改革。因为她常在深夜提着灯在医院里探望病人,受伤的士兵亲切地称她为“提灯女士”“提灯天使”。国际护士节设在5月 12 日南丁格尔生日这一天,就是为了纪念这位近代护理事业的创始人。
7 He had a thick moustache and long white hair,which sometimes stood on end as though he had just received an electric shock. 他胡须浓密，头发又长又白，有时会像刚遭了电击似的竖起来。悚然”
stand on end 是竖立起来的意思。英语中有一句俚语make one's hair stand on end 意思是“令人毛骨
## Unit 2
1 In the future,we will be using advanced technology every day for automatic control of just about everything in our home. 在末来,我们每天都会使用先进技术对家中几乎所有东西进行自动化控制。
just about在句中意为“几乎;近乎;差不多”,相当于almost。如:
You've met just about everyone. 你几乎每个人都见到了。
A: Have you finished your work?你的工作完成了吗?
B: Just about. 差不多了。
just about 还可以表示“大概;大约”，相当于approximately。如:
They should be arriving just about now. 他们现在大概该到了。
2 Your lights will come on the instant you enter the door along with your favourite music or TV programmes,and you will find your dinner already prepared for you. 你一进家门，灯就会亮起，还有你最喜欢的音乐或电视节目（会自动播放），而且你会发现晩餐已为你准备好了。
句中的the instant (that) 起连词作用，表示时间，意思是“一……就……”，that常省略。如：
| recognised her the instant (= as soon as) | saw her. 我一眼就认出她了。
The instant he finished transferring the payment,he started having second thoughts. 完成转账付款那一刻，他就开始有了不同的想法。
意义和用法近似的短语还有 the moment (that)。如:
He said he'd phone you the moment he got home. 他说他一到家就给你打电话。
The moment we get the money,we'll send the ticket. 我们一收到钱就会把票寄出。
instant单独作名词时,表示“瞬间;片刻”,相当于 moment。如:
I'll be back in an instant. 我马上就回来。
At that very instant,the queen entered the hall. 就在那个时刻,女王走进了大厅。
【思考】instant 还可用作形容词,你能猜出它在下列短语中的意思吗?
instant coffee
an instant success 3 For example,if a water pipe starts leaking,or if there is a short in the electrical wiring,your smart home will detect it and provide you with the relevant information. 例如，如果水管漏水或发生电线短路，你的智能家居将会探测出来，并给你提供相关的信息。
short 在句中是名词，相当于short circuit,意为“( 电线) 短路”。如:
The fire was caused by a short in the neighbour's house. 这次火灾是由邻居家的电线短路引起的。
## Unit 3
1 I wake up to the sound of the wind buffeting the cloth of my tent. 风噼里啪啦地拍打着我的帐篷的布,我在这声响中醒来。
wake up to 在句中指因为听到风拍打帐篷发出的声响而醒来。wake up to 还可指“意识到或认识到” 的意思。如:
We must wake up to the fact that we have to depend on ourselves. 我们应该认识到必须依靠自己这一现实。
buffet 在句中作动词，指风势猛烈,噼里啪啦地拍打着帐篷的布。buffet 作动词时,意为“( 风、雨或浪 ) 用力反复敲打;连续猛击”。如:
The rain buffeted the window. I couldn't fall asleep at all. 大雨拍打着窗户，我根本无法入睡。
buffet 还可作名词，意为“自助餐”。如:
a buffet lunch 自助午餐
【思考】buffet作名词和作动词时，发音一样吗?你知道还有哪些英语单词有类似的发音变化?请列出三个类似的单词,并举例说明它们的意思。
2 I'm in the remote far north of Sweden in Sarek National Park,a place with no roads or towns. 我身处瑞典北端偏远的萨勒克国家公园,一个既没有公路也没有城镇的地方。
萨勒克国家公园，位于瑞典北部，设立于 1909-1910年，是欧洲最古老的国家公园之一，也是萨米人生活的家园。萨勒克国家公园地貌丰富,包括冰川、河流、峡谷、山峰等。公园内野生动物有狗熊、狼獾、驼鹿、猞猁等,野生植物在高山地区以地衣苔藓和灌木为主,著名景观包括拉帕山谷 ( Rapa Valley )。萨勒克国家公园风景壮美奇绝，吸引了世界各地的众多登山爱好者和徒步爱好者。
3 Following the reindeer were the Sami people,who made this territory their home. 在驯鹿之后来的是萨米人,他们在这片土地上安家落户。
驯鹿 reindeer 的复数形式可以是 reindeer 或 reindeers。这种鹿生活在北极圈附近,成年雄性和雌性头部都能长出像树枝一样的巨大鹿角。
萨米人 the Sami，也作the Saami。他们是生活在斯堪的纳维亚北部地区的游牧民族,是北欧原住民，以放牧驯鹿为生。
Following the reindeer were the Sami people 是主谓语倒装,主语the Sami people后置,以便与后面的定语从句更好地衔接，语义上也更连贯。同样的信息用常规的语句表达就成了“People were following the reindeer. They were the Sami people and they made this territory their home.”，但这会显得句式单调,语言平淡。
【思考】你知道的倒装句还有哪些?请再写出两个倒装句。
4 If today is anything like yesterday,it will be full of sweat and hard work as I hike over this difficult land to my destination on the other side of the valley. 如果今天和昨天差不多，那将会充满汗水和艰辛，因为我要徒步跨越这片地形艰险的土地，到达山谷另一端的目的地。
anything like 后面可以接人或物：anything like somebody/something，意思是“与……相像；多少有点像”。如:
He isn't anything like his twin sister. He is very outgoing and talkative. 他和他双胞胎姐姐 ( 或妺妺 ) 可不太像。他特别外向而且健谈。
Is this teapot anything like what your grandpa needs?这个茶显多少还符合你祖父的需要吧?
## Theme Park 主题公园
主题公园和一般娱乐公园的不同之处在于,它提供的各种活动都和主题互相关联。主题公园的主题包罗万象,例如星际旅行、历史传奇、民俗文化等。主题公园一般只需要购买一次性门票,便可畅玩园中各种设施。主题公园内有多种游乐设施和娱乐活动，例如：过山车、摩天轮、花车游行、节目表演等。
迪士尼乐园（Disneyland)，也叫作迪士尼主题公园。迪士尼乐园是世界上最早开业的主题公园。第一个迪士尼乐园于1955 年在美国加利福尼亚州阿纳海姆开放营业，之后在美国奥兰多、法国巴黎、日本东京、中国香港等地陆续建成和开放迪士尼乐园，2016年开放的迪士尼乐园位于中国上海。
多莉山主题公园 (Dollywood)，位于美国田纳西州大烟山，是展现美国东南部传统文化的主题公园。园内有与伐木相关的游乐设施和娱乐项目,常年举办乡村音乐表演和传统工艺展示,非常适合对美国传统文化感兴趣的游客。该公园还拥有独特的木结构过山车。
长隆海洋王国 ( Chimelong Ocean Kingdom )，位于中国珠海,2014 年开放，是亚洲最大的以海洋为主题的超大型主题乐园。公园占地上万平方千米，有八大园区。园内有不同的珍稀海洋动物和极地动物展馆，还有各种现代化游乐设施和表演，自开园之日起，就吸引了众多中外游客。该乐园的海洋鱼类展馆还创下了最大水族馆、最大水族箱、最大亚克力板、最大水底观景窗、最大水底观景穹顶等五个吉尼斯世界纪录。
6 Whichever and whatever you like,there is an incredible theme park that will appeal to you!无论你喜欢哪一个，无论你喜欢什么，总会有一个奇妙无比的主题公园让你流连忘返!
whichever是由“which + ever” 构成的复合词，意思是“任何一个;无论哪个;无论哪些”。如: You can use whichever colour you like. 你可以用任何一种颜色。
Whichever route you take,it takes almost the same amount of time. 不管你走哪一条路，花的时间都差不多。
【思考】英语中“wh-疑问词 + ever” 构成的复合词还有 whatever、whenever、wherever、whoever 等。你能说出这些词的意思,并分别造句吗?
appeal to 在句子中意为“吸引;对.....有感染力”。appeal to还可以用来表示“呼吁;要求;诉诸;求助于” 的意思。如:
The idea of teaching Chinese abroad really appeals to me. 去国外教汉语这个想法特别吸引我。
The mayor went on TV to appeal to the public to stay calm. 市长在电视上呼吁公众保持冷静
In order to solve the desertification problem,the farmers appealed to scientists for help. 为了解决土地沙化的问题，农民们向科学家求助。
## Unit 4
1 In other countries,by contrast,eye contact is not always approved of. 相反,在另一些国家，眼神交流并不总是被认可。
这个句子的着眼点在行为,而非行为的实施者,所以使用被动语态。同时,被动语态的使用还表现出行文的客观和正式,这也是被动语态的一种重要的语用功能。如:
It is usually considered rude to talk at the dinner table with your mouth full. 在餐桌上,满嘴食物与人交谈通常会被视为无礼的表现。2 In France,a person encountering an identical gesture may interpret it as meaning zero. 在法国，看到同一个手势的人可能会将其解读为“零”。
句中的两个-ing 短语功能不同。第一个-ing 短语 encountering the identical gesture作定语,修饰名词person。-ing 短语作定语时通常后置,而单个的-ing 用作定语则大多前置。如：
children playing soccer on the playground 操场上踢球的孩子们
flowing water 流水
另外一个-ing 短语 meaning zero 作介词 as 的宾语。如:
Without providing the required personal information,you'd be considered as having given up on the test. 若末完整填写所要求的个人信息，你将被视为弃考。
3 Many students are quite shy and don't speak all that much. 许多学生生性腼腆,沉默寡言。
“not (all) that + 形容词或副词”是一种较为口语化的表达方式，意为“不那么……；并不多么……”，all 有加强语气的作用。表达时如果再加上肢体语言，这一结构就会具有更强的描述性和画面感。如:
The car is not (all) that easy to drive. 这辆车并不那么好开。
The project wasn't (all) that successful. 这个项目并非那么成功。
4 So,how can I really know what makes each student tick?那么,我是如何搞清楚每个学生为何会这样的呢?
what makes somebody tick表示“形成某人性格（影响某人行为）的思想（情感、见解）;使某人这样做的原因”,翻译时要酯情考虑措辞。如:
I've never really understood what makes her tick. 我一直没搞清楚她为何会是这样一个人。
People are curious to know what makes firefighters tick. 人们很好奇,想知道那些消防员们工作的动力所在。
5 Their eyes barely move,and they always have the same distant expression on their faces. It is as though they are asleep with their eyes open. 他们的眼睛几乎不动,脸上表情疏远呆滞，好像睁着眼睛在睡觉。
在It's as though ... 这句话中,it指代前一句描述的行为表现 (眼睛几乎不动,表情疏远呆滞 )。连词as though相当于as if,意为“就像;好比”。作者认为那些“眼睛几乎不动,表情疏远呆滞” 的学生就是“睁着眼睛在睡觉”。如:
It seems as though/if everyone else has finished their homework. 好像其他人都已经把作业做完了。( 事实就是自己落后了)
【思考】请把下面句子译成汉语，并说明说话者的含义。
It looks as though it's going to rain.
All of a sudden,Jack jumped as though he had been struck by lightning.
6 While it is easy to perceive when students are interested,bored,or distracted,it is sometimes much harder to distinguish when students are troubled. 尽管学生们何时(对讲课）感兴趣、何时感到无聊或精力不集中是容易察觉的,但要发现学生何时有困扰有时会难得多。
句中连词 while 表示让步关系,意为“虽然;尽管”,相当于though、although。如:
While I like Ronald personally,I do not approve of what he has done this time. 尽管我自己喜欢罗纳德,但我并不支持他这次所做的事。
7 However,if a student does not bother to brush her hair and her eyes are red from weeping,then I can infer that there are deeper issues at work. 但是,要是学生都懒得梳头,并且两眼因哭泣而发红,那么我能够推断她遇到了更严重的问题。
bother 在句中意为“费心；因……操心”等。这种用法常见于否定句和疑问句，形成 (not) bother to do 或 doing 结构。如:
Gwen jutted her chin forward,nose in the air,and did not bother to answer the teacher. 格温把下巴翘得老高,鼻子朝天,不屑回答老师的提问。
He didn't bother to complain about the matter. 他都濑得就这件事抱怨。
at work这一短语的基本意思是“在上班;在工作”,但是在课文这个句子中,表示“起着某一特定影响或作用”。如:
You can't find my parents at home now. They're at work. 你现在在家找不着我爸妈的,因为他们上班去了。
With your antivirus software at work,your computer is well protected. 有杀毒软件发挥作用,你的电脑受到了很好的保护。
## Unit 5
1 Indeed,his slim but strong body was just like that of millions of Chinese farmers,to whom he had devoted his life. 确实,他瘦削但结实的身躯看起来和他为之奉献了一生的千千万万的中国农民一样。
devote ... to 是个动词短语,表示“把（时间、精力或注意力）投入,用于”,也可以搭配反身代词 devote oneself to,表示“致力于;专心于”，注意这里to用作介词。如:
She decided to quit her job and devote more time to painting. 她决定辞掉工作,把更多的时间用在画画上。
They devoted themselves to helping these homeless people. 他们全身心地帮助这些无家可归的人。
2 Yuan Longping realised that larger fields were not the solution. Instead,farmers needed to boost yields in the fields they had. 袁隆平意识到,解决问题的办法并不是扩大农田面积,而是农民们需要提高他们已有土地上农作物的产量。
yield 在句中作名词,表示“产量;收益”。如:
high yield 高产 low yield 低产
It will bring you a 6\% yield on your investment. 它会给你的投资带来6\%的利润。
yield 还可以作动词,除了表示“生产;产出” 之外,还可以表示“屈服;放弃”之意。如:
The fruit trees in his orchards yield a large amount of apples and pears every year. 他果园的果树每年产出大量的苹果和梨。
These experiments yielded important data for the research. 这些实验为研究提供了重要的数据。
We shall never yield to the difficulties. 我们绝不会向困难低头。
【思考】你知道a yield sign里的 yield 是什么意思吗?
3 Today,it is estimated that about 60 percent of domestic rice consumption in China is comprised of crops generated from Yuan's hybrid strains,and his strains have allowed China's farmers to produce around 200 million tons of rice per year. 据估算,现在中国国内消费的稻米有大约 $60 \%$ 来自袁隆平的杂交水稻品种形成的作物，这些品种（形成的作物） 让中国农民每年能够生产出大约两亿吨稻米。
这个句子的真正主语是从句that about $60 \ldots$ per year。因为真正的主语太长,为了避免句子头重脚轻,所以用形式主语it。英语中还有许多类似lt is estimated that ... 这样的结构,用来将真正主语后置。如:
It is said/believed/reported that ...
domestic 在句中作形容词,表示“国内的”。如: domestic flights 国内航班 domestic policy 国内政策 GDP (gross domestic product) 国内生产总值 domestic 作形容词还可以表示“家庭的;家务事的”。如:
domestic violence家庭暴力
4 Given that Yuan's hybrids made him quite wealthy,one might think he would have retired to a life of leisure. However,this is far from the case. 考虑到杂交水稻使袁隆平变得相当富有,人们可能认为他会退休享受闲适的生活。然而,事实远非如此。
given that 在句中作连词,意思是“考虑到”。如:
Given that the students need more exercise,the head teacher has decided to add more PE classes. 考虑到学生们需要更多的锻炼,校长已决定增加更多体育课。
given可用作介词,表示“只要是;考虑到;假定;已知” 等意思。如:
Given his age,he is very strong and healthy. 考虑到他的年龄,他可以说是非常健康强壮了。
far from the case 表示“远非如此”，也可以说far from being the case。其中,case表示“情况;情形”。
far from表示“远远不;绝非”。如：
His work is far from (being) satisfactory. 他的工作一点也不令人满意。
【思考】give 和 case 在词典里有很多义项,你能查阅词典和相关资料,了解它们的其他词义和常用搭配吗?
5 Deep down,Yuan was still very much a farmer at heart. 实际上,袁隆平在内心深处仍然是一位农民。
deep down 表示“实际上;在心底”的意思。如:
He tried to behave as an adult,but deep down he was still a child. 他试图表现得像一个大人，但是内心深处他还是一个孩子。
very much 副词短语,表示“非常;确实是”。在文中表示程度,起强调作用,可以不用翻译出来。如: Kindness is very much a part of her character. 善良是她性格中一个重要部分。
Learning English is very much a step-by-step process. 学习英语在很大程度上是一个循序渐进的过程。
A: Are you serious?你是认真的吗?
B: Very much so. 再认真不过了。
6 Organic farming is nowhere near able to meet that need. 有机耕作完全不能满足那样的需求。
nowhere near 在句中是“完全没有;远不及” 的意思。如:
He is nowhere near full recovery. 他远没有完全康复。
This project has been going on for years,and is still nowhere near being finished. 这个项目已经开始了数年,但何时结束依然遥遥无期。
nowhere 作名词是“无处;任何地方;无名之地”的意思，例如表达身处偏僻荒凉的地方,可以说 in the middle of nowhere。如:
She came out of nowhere. 她突然出现。
nowhere作副词是“无处;任何地方都不” 的意思。如:
He is going nowhere. 他哪儿也不去。
## Grammar 语法
## Non-Restrictive Relative Clauses 非限制性定语从句
1 定语从句可以分为限制性定语从句和非限制性定语从句。非限制性定语从句由关系代词和关系副词引导,但不能用 that 引导。如:
Tu Youyou was awarded the Nobel Prize,which is considered one of the highest international honours a person can receive. 屠呦叻获得了诺贝尔奖,这个奖项被认为是个人能获得的最高国际荣誉之一。
Later,the medicine was tested on malaria patients,most of whom recovered. 后来,这种药用在疠疾病人身上,大部分病人都㾏愈了。
I'm above the Arctic Circle,where in summer the sun never sets. 我在北极圈以内,这里的夏季永远没有日落。
2 限制性定语从句与其所修饰的先行词关系紧密;非限制性定语从句和主句的关系并不十分密切。限制性定语从句在意义上是先行词不可缺少的定语,如果省略,主句意义往往不完整,这种定语从句前面一般不用逗号。非限制性定语从句往往是对先行词或整个主句的附加说明,它与主句之间通常用逗号隔开。试比较:
Davis wanted to visit the farm where the seawater rice was grown. 戴维斯想参观种植海水稻的农场。( 所含的限制性定语从句不能省略,否则句子的意义就不完整 )
Davis wanted to visit Dr Yuan's new farm,where the seawater rice was grown. 戴维斯想参观袁博士的新农场,那里种了海水稻。（所含的非限制性定语从句是对农场的附加说明,可以省略）
3 非限制性定语从句也可以位于句中,这时前后都需要用逗号隔开。如:
Tu Youyou went to Hainan,where malaria was more common,to study malaria patients. 屠呦呦去海南研究疠疾病人的情况,那里是疠疾病更为普遍的地方。
Einstein,who was Jewish,found the doors of academic institutions closed to him. 作为一名犹太人,爱因斯坦发现学术机构的大门已对他关闭。
Disneyland,which consists of several theme areas,is a popular tourist destination. 迪士尼乐园包含好几个主题园区,是颇受欢迎的旅游目的地。
4 除了用于对具体事物补充信息,非限制性定语从句还可以是针对整个句子内容的说明。如:
Ms Liu decided that we could have a class trip to the park this Sunday,which was exciting. 刘老师决定我们班本周日可以去公园郊游,这真让人激动。
Laura couldn't come to our party,which was a pity，劳拉不能来参加我们的聚会,这真遗憾。
## Tenses 时态 (3)
## 将来进行时 ( The Future Progressive Tense )
## 1 将来进行时的形式
## 陈述式
一般疑问式
I/We will/shall (not) be doing ...
Will/Shall I/we (not) be doing ...?
You/They will (not) be doing ...
Will you/they (not) be doing ...?
He/She/lt will (not) be doing ...
Will he/she/it (not) be doing ...?
## 2 将来进行时的基本用法
(1) 将来进行时通常用于表示最近或较远的将来正在进行的动作。如:
The train will be leaving in a minute. 火车很快就要开了。
In the future,we will be using advanced technology every day for automatic control of just about everything in our home. 在末来,我们将每天使用先进技术对家中几乎一切东西进行自动化控制。
In addition,your smart home will be monitoring your health for you. 此外,你的智能房屋还将监控你的健康。
(2) 将来进行时像现在进行时一样,可以表示已计划好的事。如:
We will be taking a test at this time tomorrow. 明天这时我们将在考试。
Don't call me between 12:30 and 13:00. I will be taking a nap. 中午 12 点半到 1 点之间不要给我打电话,我那时在午休。
Sorry,I can't meet you at five o'clock tomorrow afternoon,because I will be playing soccer then. 抱歉,明天下午五点我不能和你见面,因为那时我在踢球。
## 说明:
1 将来进行时有时也用来委婉地提出请求或者表达其他含义。试体会:
A: Will you be passing the post office?你将会经过邮局吗?
B: Probably. Why?可能吧。怎么了?
A: I need some stamps. 我需要些邮票。
B: OK. l'll get some for you. 好吧,我给你买回来。
2 将来进行时有时只单纯表示将来或按计划进行的事,而一般将来时则具有其他的意味。试比较: I'll be working on this tomorrow. 明天我将做这件事。（表示将来，意思是按计划进行 ) I'll work on this tomorrow. 明天我要做这件事。（表示意愿,也可能表示许诺 ) Will you be joining us for dinner?你会和我们一起吃饭吗?(表示将来,询问计划 ) Will you join us for dinner?你来和我们一起吃饭好吗?(发出邀请 )
## The -ing Form 动词-ing 形式（3）(4)
动词 -ing 形式由“动词原形 + -ing” 构成。在必修阶段,已经学习了动词 -ing 形式在句中用作定语、状语和（宾语）补（足）语，现在继续学习该结构用作主语、宾语和表语。
成分
例句
Getting here is quite difficult,so apart from the Sami very few people have ever seen Sarek. Being in such a beautiful and wild place makes me feel blessed to be alive.
主语 Riding on the only steam engine still working in the southeastern United States is a special treat.
Watching the dolphin and sea lion shows is both educational and fun.
However,you should avoid making this gesture in Brazil and Germany,as it is not considered polite. Elsewhere,people favour shaking hands,bowing from the waist,or nodding the head when they 宾语 meet someone else.
Experts suggest smiling at yourself in the mirror to make yourself feel happier and stronger. If we are feeling down or lonely,there is nothing better than seeing the smiling face of a good friend.
Perhaps the best example is smiling.
表语 Some students' favourite activity is daydreaming.
The main thing is reminding distracted students that they need to pay attention in class. Ultimately,my duty is helping every student to learn.
## Subject Clauses 主语从句
在英语中，有的从句在复合句中的作用相当于名词，称作名词性从句。复合句中用作主语的从句叫作主语从句。引导主语从句的词有连词that、whether (不能用if）；连接代词who、what、which;连接副词when、where、how、why 等。主语从句要用陈述句语序。如：
That the earth is round is a fact. 地球是圆的，这是个事实。
Whether she will win the prize is still unknown. 还不知道她是否能够获奖。
Whoever is the last to leave should turn off the lights. 不管谁最后离开都应该关灯。
How this could be done was a good question. 这如何实现是个值得研究的问题。
Why she didn't show up remains a puzzle. 她为什么没来依然是个谜。
What some scientists have found is that their long-term use can sometimes harm both the land and people's health. 有科学家发现长期使用（化肥和杀虫剂）有时会对土地和人体健康都造成损害。
## 说明:
为了避免主语显得过长,尤其是陈述句作主语从句时,可以用 it 作句子的形式主语,把主语从句移到句子的末尾。如:
It is a fact that the earth is round. 地球是圆的，这是个事实。
It is unknown whether she will win the prize. 还不知道她是否会获奖。
It is believed by some scientists that the long-term use can sometimes harm both the land and people's health. 有科学家认为长期使用 (化肥和杀虫剂）有时会对土地和人体健康都造成损害。
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Bk04LDdlVbj_NFzfG0am
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## 第一单元
## 源远流长的中华文化
在五千多年的历史长河中，勤劳智慧的中华民族创造了博大精深的中华文化。中华优秀传统文化蕴含着丰富多彩的内容,承载着中华民族的精神追求，是中华民族不断前行最深层、最持久的力量。在漫长的发展过程中，中华文化吸收了不少来源于异国他邦的文化，在与外来文化的交流中不断发展、升华。与此同时,中华文化也不断向外辐射和传播,促进了世界文明的发展,展示出中华文化的世界意义。
通过本单元的学习,了解中华优秀传统文化的内涵,从人类文明发展和世界文化交流的角度认识中华优秀传统文化的特点和价值，认识中华文化的世界意义。
## 第 1 课 中华优秀传统文化的内涵与特点
社稷坛
中国有着五千多年悠久灿烂的文化,以农为本是其重要特点之一。早在西周时期,统治者为了祈求五谷丰登、国泰民安，每年到郊外祭祀土地神和谷物神，即祭祀社稷。社是土地神,稷是谷物神。后来,社稷逐渐成为国家的代称。据《周礼》记载,社稷坛设于王宫右侧,王宫左侧是宗庙。这幅图是明朝建立的社稷坛,位于北京中山公园内。
## 中华文化的发展历程
## 学习聚焦
文化是民族的血脉。中华优秀传统文化是中华民族五千多年的智慧结晶。
四羊方尊
1938年出土于湖南宁乡的四羊方尊，反映了商朝青铜器的精美。
中华文明多元起源。中国是远古人类起源的重要地区，中华文明是人类最古老的文明之一。考古发现证明，无论黄河流域、长江流域、珠江流域、迣河流域，还是北方草原、四川盆地、青藏高原、天山南北，都是孕育中华文明的摇篮。中原华夏族率先成为核心，并向四周辐射，推动着多元一体中华文化的形成。春秋战国时期，内迁的戎狄蛮夷逐渐融人华夏族，初步形成了各地区、各民族共同的血缘认同、文化认同。
## 历史纵横
成熟的青铜文明
大约从夏朝开始,中国进入青铜时代。在青铜时代,国家建立,农业和手工业发展,汉字发展成熟。商朝的青铜铸造工艺水平相当高。西周时期,青铜礼器反映出中国古代社会礼制的发展与完善。到战国时期,随着铁器推广,青铜制造业逐渐衰落春秋战国时期，社会出现大变革。面对礼崩乐坏的局面,孔子对西周礼乐文明进行多方面阐述,儒家文化的思想核心形成。战国时期,一大批思想家纷纷著书立说，提出了自己的看法和主张,“百家争鸣”局面出现。这一时期的学术思想大放异彩,成为后世思想文化发展的源头。先秦成为中华文化的奠基时期。
(1) 史料阅读
乐者,天地之和也。礼者,天地之序也。和,故百物皆化;序，故群物皆别。
—一《礼记・乐记》
秦朝建立起统一多民族的国家,秦始皇推崇法家学说。为巩固大一统局面,汉武帝接受董仲舒的建议,尊崇儒术,确立了儒学的正统地位。从此,儒家思想成为两千多年来中华传统文化的主流。随着佛教传人和道教兴起,中华传统文化呈现出儒、佛、道交汇融通的景象。魏晋玄学盛行,唐朝佛学繁荣,传统儒学受到挑战,同时也促进了儒学的创新与发展。隋唐时期,中华传统文化辉煌灿烂。到了宋代,儒、佛、道学说相互渗透,吸收佛、道思想阐释儒学的新学派理学形成。朱喜是理学的集大成者,他强调“存天理,灭人欲”,提倡“格物致知”。理学丰富了中华文化的理论思维,但它宣扬的封建礼教,严重束缚了人们的精神世界。宋元时期,科技、史学、文学、艺术高度繁荣。
贵州修文阳明洞
阳明洞位于贵州修文的栖霞山上，王守仁曾居住于此。王守仁号“阳明子”，被尊称为“阳明先生”。
孔子 ( 公元前 551一前 479 )
## 思考点
中华文化源远流长的原因是什么?
陆王心学
南宋时期，理学家陆九渊把“心”作为宇宙万物的本原，提出“心” 就是“理”的主张，强调“宇宙便是吾心，吾心即是宇宙”,他的学说被称为“心学” 明朝王守仁继承和发展了陆九渊的学说,宣扬“心外无物”“心外无理”,提出“致良知”“知行合一” 的学说这一学派被称为“陆王心学”。明中期以后,陆王心学得到广泛传播。史料阅读
十月革命一声炮响，给我们送来了马克思列宁主义。十月革命帮助了全世界的也帮助了中国的先进分子，用无产阶级的宇宙观作为观察国家命运的工具,重新考虑自己的问题。
一一毛泽东《论人民民主专政》,《毛泽东选集》第 4 卷
## 学习聚焦
中华优秀传统文化博大精深,重视以人为本,崇尚天人合一,追求家国情怀,崇德尚贤,强调自强不息,主张和而不同等思想理念。
$\boldsymbol{\Delta}$ 孟子 (约公元前 372一前289) 明清之际，提倡个性自由的思想出现。进步思想家黄宗羲、顾炎武和王夫之等批判理学,抨击封建专制,倡导经世致用。然而,康雍乾时期,君主专制高度发展,文字犷愈演愈烈，思想受到钳制，也禁锢了中华文化的发展。
1840 年鸦片战争爆发后,面对西方列强的坚船利炮,向西方学习以救亡图存逐渐成为近代中华文化的潮流。20 世纪初期兴起的新文化运动,抨击封建思想,科学与民主成为中华文化追求的价值目标。五四运动以后，马克思主义在中国得到广泛传播。马克思主义与中国实际相结合，推动了中华文化的进步。
## 中华优秀传统文化的内涵
中华文化重视以人为本。周公提出“敬天保民” 的思想并制礼作乐,建立了以人为中心的礼乐制度。春秋时期,孔子提倡“仁”，主张“仁者爱人”。后世儒学思想家大多恪守孔子的人本思想,从人与社会的关系人手,建立起儒家的一套规范社会关系的伦理秩序。
人本思想体现到政治伦理上就是民本思想。春秋时期，管子提出君主治理国家要顺应民意。孔子要求统治者体察民情,反对苛政。战国时期,孟子提出了“仁政” 说,其中“民为贵,社稷次之,君为轻” 的主张,闪耀着民本思想的光辉。历代思想家继承了先秦民本思想。民本思想发展为系统的理论学说,并在一定程度上转化为政治实践,成为中华传统政治文化的重要特征,对推动中国历史发展起到了积极作用。
## 史料阅读
政之所兴,在顺民心;政之所废,在逆民心。民恶忧劳,我佚乐之;民恶贫贱,我富贵之;民恶危坠,我存安之;民恶灭绝，我生育之。
-《管子・牧民》
为君之道,必须先存百姓。若损百姓以奉其身，犹割胫以啖腹，腹饱而身毕
一一吴咕《贞观政要》卷 1《君道》中华文化崇尚天人合一,道法自然。夏商时期，人们相信上天和鬼神。商朝人每遇事必祭天地、祖先。春秋时期，老子提出“道” 的概念,指出“人法地,地法天，天法道,道法自然”,认为万物都是由道而产生,自然而然。他的哲学思想中凸显了人的存在,追求天人合一。战国时期,荀子更提出“天行有常,不为尧存,不为桀亡”“制天命而用之” 的思想。他们以朴素的唯物观解释自然,摒弃了天命的绝对权威。天人合一思想,将天、地、人视为一个整体,认为人类利用自然应该尊重自然规律，顺应自然,建立人与自然和谐发展的关系。
中华文化提倡爱国，追求家国情怀。孔子、墨子、孟子等均有以天下为己任的思想。孟子说:“天下之本在国,国之本在家，家之本在身。“修身齐家治国平天下”是儒家学说的精髓。张载概括为“为天地立心,为生民立命,为往圣继绝学,为万世开太平”。范仲淹的“先天下之忧而忧,后天下之乐而乐”,文天祥的“人生自古谁无死,留取丹心照汗青”，顾炎武的“天下兴亡，匹夫有责”，都是家国情怀的体现。
中华文化崇德尚贤，推崇天下为公。西周初年，周朝统治者主张“明德”“敬德”。春秋时期崇德的思想得到了继承和发展,孔子提出“为政以德”,主张以德治国,强调“道之以德,齐之以礼”。他要求人人都应该“见贤思齐焉,见不贤而内自省也”。墨子认为“夫尚贤者,政之本也”,主张“贤者举而上之,富而贵之,以为官长”。孟子主张“尊贤使能,俊杰在位”。《礼记》记载:“大道之行也,天下为公。选贤与能,讲信修睦。” 这些思想不仅在各国掀起了人才使用革故鼎新的大变革,也对历史上德才兼备、以
《礼记》书影德为先的用人制度产生了深远影响。
中华文化崇尚自强不息,厚德载物。《周易》中写道:“天行健,君子以自强不息”“地势坤，君子以厚德载物”。战国时期的孟子,强调“富贵不能淫,贫贱不能移,威武不能屈” 的气概;屈原的“路曼曼其修远兮,吾将上下而求索”,这些都体现了中华民族的精神境界。
老子 ( 生卒年不详) 中华文化主张和而不同。西周末年的太史伯说：“和实生物,同则不继”,认为不同事物之间彼此配合达到平衡,即“和”，才能产生新事物。孔子、孟子视“和”为人性中应有的美德，提出了“和为贵”“君子和而不同，小人同而不和”“天时不如地利，地利不如人和”等思想。“和”的思想作为认识与处理事情的方法,对中华文化的发展起到了积极作用。
## 学思之窗
核心思想理念。中华民族和中国人民在修齐治平、尊时守位、知常达变、开物成务、建功立业过程中培育和形成的基本思想理念,如革故鼎新、与时倶进的思想,脚踏实地、实事求是的思想，惠民利民、安民富民的思想，道法自然、天人合一的思想等 ……
中华传统美德。中华优秀传统文化蕴含着丰富的道德理念和规范,如天下兴亡、匹夫有责的担当意识,精忠报国、振兴中华的爱国情怀,崇德向善、见贤思齐的社会风尚,孝悌忠信、礼义廉耻的㭉辱观念 ……
中华人文精神。中华优秀传统文化积淀着多样、珍贵的精神财富,如求同存异、和而不同的处世方法,文以载道、以文化人的教化思想,形神兼备、情景交融的美学追求,俭约自守、中和泰和的生活理念等 ……《关于实施中华优秀传统文化传承发展工程的意见》( (2017年1月 25 日)
阅读材料,选取其中一项中华优秀传统文化，谈谈其蕴含的深刻思想内涵。
## 中华优秀传统文化的特点和价值
## 学习聚焦
中华文化在历史发展进程中形成了自身的特质，对当代中国发展具有重要意义。在数千年的历史发展进程中，中华文化形成了独特的品格。中华文化的起源与发展具有本土性。各民族共同创造的中华文化,博大精深，丰富多彩,领域广阔，体现了文化的多样性。中华文化博采众长,兼收并蓄,积极吸纳外来文化,具有很强的包容性。中华文化是中华民族共同文化特质的体现,具有强大的凝聚性。中华文化绵延不绝,传承至今,体现出顽强的生命力,具有连续性。
中华文化是中华民族发展的内在思想源泉和精神动力。它蕴含着丰富的道德伦理,体现着评判是非曲直的价值标准，潜移默化地影响着中国人的思维方式和行为方式。从末中断的中华文化维护着中国团结统一的政治局面,维系着统一多民族的大家庭,推动着中国社会的发展进步,为治国理政和道德建设提供了有益借鉴。
## 探究与拓展
## 问题探究
中华文化博大精深,底蕴深厚。“德”“孝”“礼”“仁”“正”“俭”“公”“廉”“勤”“能”“故”“义”“贤”“信” 等，都是中华优秀文化中的核心概念,也由此形成厚德载物、天下为公、自强不息、以廉为本等基本理念。
结合课文,查阅资料,列举更多的核心概念,探讨其在中华文化中占有怎样的地位,反映了怎样的精神。
## 学习拓展
传统文化在其形成和发展过程中，不可避免会受到当时人们的认识水平、时代条件、社会制度的局限性的制约和影响,因而也不可避免会存在陈旧过时或已成为糟粕性的东西。这就要求人们在学习、研究、应用传统文化时坚持古为今用、推陈出新,结合新的实践和时代要求进行正确取舍,而不能一股脑儿都拿到今天来照套照用。
—一近平《在纪念孔子诞辰 2565 周年国际学术研讨会暨国际儒学联合会第五届会员大会开幕会上的讲话》(2014年9月 24 日)
如何区分中华传统文化的精华与糟粕?谈谈你对中华优秀传统文化当代价值的认识。
## 第 2 课 中华文化的世界意义
$\Delta《$《诗经》书影中国哲学家冯友兰曾经说:“在世界上中国是文明古国之一。其他古国,现在大部分都衰微了,中国还继续存在,不但继续存在,而且还进入了社会主义社会。中国是古而又新的国家。《诗经》上有句诗说：'周虽旧邦，其命维新。'旧邦新命,是现代中国的特点。”中国发展的历史源头和内在动力就是中华文化,中华文化为世界发展提供了滋养。
## 中华文化在交流中发展
中华文化在漫长发展过程中,吸收了不少来源于异国他邦的文化。
两汉之际,来自古印度的佛教传人中国。魏晋南北朝时期,佛教日趋兴盛,逐渐同儒家文化和道家文化相融合。隋唐时期,佛教出现了不同宗派,主张顿悟成佛的禅宗成为主流,佛教完成本土化。到宋明时期,以儒家学说为核心兼容佛教和道教理论的宋明理学形成,佛教融合为中华文化的一部分。
佛教文化的传人，对中国人的宗教信仰、哲学观念、逻辑思维、语言词汇、文学艺术、礼仪习俗等方面都产生了深刻影响。中国传统的诗词、书法和绘画,很多体现了佛教的内容,同时也吸收了佛教的理念,更加注重境界的表达。中国的建筑艺术受佛教影响。云冈石窋、㔫门石窟、敦煌莫高窟等石窟,是中国佛教建筑艺术的结晶,也是中华文化的瑰宝。佛教文化宣扬的因果轮回、消极避世等也产生了一定的消极影响。
■云冈石窟露天大佛
明末,意大利人利玛窦等带来天文、地理、数学等方面的新知识。徐光启、李之藻、杨廷笉、方以智等人对此产生了浓厚兴趣,主张以开放的胸怀会通中西文化。《几何原本》《泰西水法》等西方科学著作相继被译介到中国。17 世纪,清政府任命来自欧洲的汤若望、南怀仁等人主持钦天监作,并招揽数学、医学、天文等方面的人才来到中国。
## 史料阅读
顺治帝十分钦佩汤若望的学识，他说:
尔汤若望来自西洋,精于象纬,闾通历法。徐光启特荐于朝,一时专家治历如魏文魁等,实不及尔。但以远人,多忠成功,终不见用。朕承天眷,定鼎之初,尔为朕修《大清时宪历》,迄于有成。又能洁身持行，尽心乃事……俾知天生贤人，佐佑定历，补数千年之阙略，非偶然也。
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-《\text { 清史稿・汤若望传》}
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19 世纪中叶,随着中国国门被迫打开,西学进一步传人，中华传统文化受到前所末有的冲击。一些较为开明的官员,如林则徐和魏源,主张学习西方,提出“师夷之长技以制夷”。这一时期，西学的传播渠道大大增加。1862 年,旨在培养外交和翻译人才的京师同文馆在北京设立,相继开设了英文、法文和俄文等馆,还增设了天文算学馆。接着,清政府又创办一些新式学堂,派遣留学生赴
(1) 钦天监,明清时期国家天文机构名称
江南机器制造总局翻译馆
欧美学习。严复、詹天佑等是中国较早接受西方教育的近代知识分子。1868年，专门引进、翻译西方书籍的江南机器制造总局翻译馆创办，大量军事、工程方面的书籍得到翻译。这一时期，近代西方的工程技术、科学理论以及社会改革等内容，展现在国人面前。一些爱国知识分子放眼世界，探索新知，推动了维新运动的展开。随着新式学堂和留学教育的发展，西方资产阶级革命时期的一些学说在中国传播，成为辛亥革命的思想武器。
## 历史纵横
## 提倡男女平等
近代以来，西方的民主、平等思想对国人产生了影响，其中，男女平等的思想逐渐为人们所接受。民国初年，女性为争取参政权利，高举着“男女平等” 旗帜，掀起了一场女权运动。这场运动被称为“五千年来女权之曙光”。在这种背景下,北京、上海等大城市纷纷兴办了女子学校，让女子受教育，培养妇女参政意识。但当时社会处于转型期,女子接受新式教育仍存在很大异议。
1915 年，新文化运动开始。陈独秀、李大钊、鲁迅、胡适、蔡元培等新文化运动的倡导者,主张吸收民主与科学的思想。俄国十月社会主义革命后，陈独秀、李大钊等先进的民主主义者开始接受马克思主义，重新探寻解决中国问题的出路。五四运动大大促进了马克思主义在中国的传播。
## 中华文化对世界的影响
## 学习聚焦
中华文化的传播，促进了世界文明的发展。
中华文化在吸收外来文化的同时，也源源不断地向外进行着辐射和传播。
公元前 4 世纪一公元 3 世纪，汉字已传人朝鲜半岛、日本列岛和东南亚地区。后来，各国又在汉字的基础上，创造了本国文字,如朝鲜创造出谚文,日本创造出假名,越南创造出喃字，推动了当地的文化交流和发展。3-5世纪，儒学在东亚和东南亚等地区流行。隋唐以后，朝鲜、日本等国的各级学校把儒学经典作为教科书,儒学成为官学。大约在 4 世纪以后,佛教经中国传人朝鲜、日本等国,各国佛教得到发展。
## 学思之窗
在古代朝鲜和日本有许多使用汉字的诗人,他们留下了脍多人口的诗句。如:
上国羁栖久，多惭万里人。那堪颜氏巷,得接孟家邻。守道惟嵇古,交情岂惮贫。他乡少知已,莫厌访君频。
-9世纪朝鲜人崔致远《长安旅舍与于慎微长官接邻》
汉业乃公三尺剑，昭陵无骨一杯恙。元勋尽供淔醢 (zūhǎi) 肉,史册虚传带砺盟。久见中原争逐鹿,谁教四海始休兵。腐儒末解英雄志，却恨鸿沟不用诚。
-17世纪日本人那波守之《读汉高帝纪》
阅读上述诗句,体会中华文化对朝鲜、日本的影响。
古代朝鲜、日本和越南的社会制度大多来自唐朝。朝鲜的政治制度基本模仿中国。7世纪,日本实行大化改新,所推行的中央集权制、土地制度和赋税制度,都以唐制为蓝本。越南的教育体制主要移植于中国,科举制度跟中国的基本一样。东亚和东南亚地区在律令、历法、建筑、绘画、音乐、饮食、服饰、节日、习俗等方面,也深受唐文化影响。
韩国首尔景福宫
景福宫位于韩国首都首尔,是朝鲜王朝的王宫,始建于 14 世纪。景福宫的结构和样式是中国皇宫的翻版,建筑颜色为丹青色,区别于中国皇宫的金黄色。它的规模较小,整体布局精巧。景福宫的门均以汉字命名,盄额上写有汉字,体现了中国文化的影响。
## 历史纵横
中国饮食、风俗习惯对周边国家的影响
日本学习、改进中国的饮茶方法,形成独具特色的茶道。唐朝服装传入日本后，被改造为“和服”。唐人的打马球、角抵、围棋等体育活动，先后传入日本。中国传统节日春节、清明节、端午节、中秋节等也传入周边地区。
日本法隆寺的金堂和五重塔
法隆寺位于日本奈良，据传始建于 607 年，历遭焚毁,屡屡重建。法隆寺是佛教木结构寺庙,其建筑深受中国南北朝建筑风格的影响。寺内保存有 7 世纪以来的各种建筑及文物珍宝
(1) 角抵,类似现今的摔跤。史料阅读
火药、指南针、印刷术――这是预告资产阶级社会到来的三大发明。火药把骑士阶层炸得粉碎,指南针打开了世界市场并建立了殖民地,而印刷术则变成新教的工具,总的来说变成科学复兴的手段,变成对精神发展创造必要前提的最强大的杠杆。
— [ 德 $]$ 马克思《机器、自然力和科学的应用》,《马克思恩格斯文集》第八卷
## 思考点
中华文化对人类发展的影响还表现在哪些方面?火药、指南针、造纸术和印刷术等四大发明是中国古代最有代表性的科学技术成就。8世纪以后,中国的造纸术逐渐传人中亚、西亚及欧洲。纸的出现，对当时欧洲的教育、政治及商业等活动的发展,起了重要作用。火药在 13 世纪经阿拉伯人传人欧洲,推动了欧洲火药武器的发展,使封建城堡不堪一击,靠冷兵器耀武扬威的骑士阶层日渐衰落。指南针的使用,促进了远洋航行,推动了大航海时代的到来。继中国发明活字印刷术后，欧洲人也造出了自己的活字印刷机,大大推动了文艺复兴运动和宗教改革，促进了思想解放和社会进步。
14 世纪末,中国人进人琉球,中国先进的生产技术和思想文化逐渐在琉球传播。15 世纪,伴随经贸往来,大批华侨移居东南亚,在当地传播中华文化。郑和下西洋的壮举,扩大并加深了中华文化的影响。
16-18世纪，在西学传人中国的同时，中华文化在欧洲也得到传播。孔子的思想以及儒家经典传人欧洲,中国的史学、地理学以及科技、文学等成就也相继传人,引起欧洲社会上层和知识界的热烈反响。中国的茶、丝绸、瓷器在欧洲社会深受喜爱,中国式园林和建筑成为风尚。
瑞典首都的中国宫
中国宫始建于 1753 年,位于瑞典斯德哥尔摩市郊的皇后岛。它是瑞典国王为王后庆生而建。整个建筑呈弓形,宫顶仿中国宫殿,有雕龙装饰。宫门宫窗两侧边框刻有中国式图案。宫内陈设为中国传统样式,四壁挂有中国字画。
(1) 琉球，这里指的是琉球群岛，当时称琉球王国
## 探究与拓展
## 问题探究
我们的方针是,一切民族、一切国家的长处都要学,政治、经济、科学、技术、文学、艺术的一切真正好的东西都要学。
一毛泽东《论十大关系》,《毛泽东文集》第 7 卷
接受外来思想，并不意味着无条件地照搬，而必须根据具体条件加以采用，使之适合中国的实际....我们中国人必须用我们自己的头脑进行思考，并决定什么东西能在我们自己的土壤里生长起来。
一一毛泽东《同英国记者斯坦因的谈话》,《毛泽东文集》第 3 卷
阅读材料并结合所学,谈谈你对学习、借鉴外来文化的看法。
## 学习拓展
中华文化作为世界主要文化之一，源远流长，博大精深。经过数千年的连续发展,中华文化不仅在过去为人类文明发展作出了重大贡献,也为当今世界文明的发展作出着自己的贡献。
结合所学，联系社会生活，举例说明中华文化在当今人类文明发展中发挥的作用。
## 第二单元
## 丰富多样的世界文化
世界各个地域的早期人类社会是人类多样文化的源头。在中华文化形成和发展的同时,世界其他地区也形成和发展起多姿多彩的地域文化。古代西亚和北非孕育的两河流域文明和古代埃及文明,深刻影响了地中海周边区域。阿拉伯人继承了西亚、北非、希腊、罗马文明的传统，创造出自己独特的文化,阿拉伯帝国成为东西文化交流的桥梁。古典希腊和罗马的文化对欧洲文化产生了深远影响,西欧基督教文明在此基础上形成。拜占庭帝国和俄罗斯的文化深受东正教的影响。南亚的古代印度文化颇具特色。东亚的朝鲜和日本的文化及东南亚文化既有本土文化的底蕴,又受到中华文化等外来文化的影响。因大洋阻隔而与欧亚大陆缺乏交流的美洲独立发展起印第安文化。
通过本单元的学习,了解世界文化的多样性,认识世界各国、各地区、各民族人民共同推动了人类文化的发展。
## 第 3 课 古代西亚、非洲文化
楔形文字是两河流域南部苏美尔人的发明,在古代西亚地区广泛使用。图为公元前 1900 年左右两河流域的居民用楔形文字书写的信件。
## 古代西亚文化
古代西亚主要包括两河流域、伊朗高原及其周边地区,是世界上最早进人文明的地区之一。两河流域南部的苏美尔人创造了迄今所知世界上最早的文字。他们用削尖的芦苇秆或木杆在泥板上压出一道道笔画,每道笔画看起来都像楔子,因此,由这些笔画组成的文字被称为“楔形
■用㭑形文字书写的信件文字”。楔形文字在西亚流行了数千年。
学习聚焦
楔形文字是迄今所知世界上最早的文字。《汉谟拉比法典》是研究古代两河流域历史的重要资料。
楔形文字的变化
楔形文字产生后，不断变化发展。上图表现了“吃”“大麦”和“鱼” 的书写形式的变化。
## 学思之窗
《汉谟拉比法典》前言中说:
安努与恩利尔为人类福祉计，命令我，荣耀而畏神的君主,汉谟拉比,发扬正义于世，灭除不法邪恶之人，使强不凌弱，使我有如沙马什，昭临黔首,光耀大地
一一周一良、吴于㢆 总主编，林志纯主编《世界通史资料选辑・上古部分》
史料中的安努、恩利尔和沙马什都是两河流域重要的神灵。想一想：为什么汉谟拉比要宣称自己是根据神意立法?古代西亚的居民创造了大量文学作品。《吉尔伽美什》是目前所知世界上最早的史诗。史诗叙述了苏美尔地区乌鲁克国王吉尔伽美什的活动,中间穿揷大量神话故事,包括著名的洪水故事，生动反映了两河流域居民对生活和生命的态度。
古代西亚的建筑和艺术成就辉煌。苏美尔人的泥偶雕像生动有趣,壁画主题多样,别出心裁。亚述帝国修建了多座规模宏大的王宫,王宫大门上的标志性雕刻是人首飞牛。波斯王宫装饰豪华,雕梁画栋,多幅雕刻刻画了臣民进贡的场景，体现了专制帝国统治者的威严。
人首飞牛石雕（局部 )
人首飞牛是亚述帝国王宫大门上常见的雕刻,由人的脑袋、鹰的翅膀和牛的身体构成，代表着当地最强大物种的集合。它既是王宫的守护神，又是国王权力的象征
乌尔王陵竖琴嵌板画
这幅画表现了动物宴会的情景。在最下层的画面中,一个长着蝎子尾巴的男人手持书卷。在他的身后,公羊双手举杯，好像正向蝎子男敬酒从苏美尔文明起，西亚地区历代统治者都重视编撰法典,其中最著名的是古巴比伦王国的《汉谟拉比法典》。法典前言宣扬君权神授，炫耀国王的功德。法典的正文共 282 条,详细规定了臣民的义务以及违背法律后具体的惩罚措施，涉及个人道德，兵役和劳役，租侦、借贷、债务，以及奴隶地位等方面。法典的结语要求所有人必须遵守法典,违反者将遭到严矦罚。法典反映了古巴比伦王国政治、社会和经济等多方面的情况,是研究古代两河流域历史的重要资料。
## 古代埃及文化
古代埃及地处北非的尼罗河流域。公元前 3100 年左右,埃及初步实现统一,此后虽时有分合,但古代埃及文明绵延约 3000 年。
古代埃及人使用象形文字。这种文字来源于最初的象形字,由表音符号、表意符号和限定符号组成。象形文字约形成于公元前 4 千纪末，一直使用到公元 4 世纪。在此期间，象形文字经历了多种变化。
## 历史纵横
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\text { 莎草纸制作 }
$$
莎草纸用尼罗河的一种特产植物莎草制作。从埃及文明发端起，埃及人就用莎草制作纸张。他们把莎草的茎破成薄片，将多张薄片交叉放置,再敲打成纸张。若干纸张放在一起形成一卷,一般每卷 20 张。纸张晾干之后，人们就可以在上面书写了。
古代埃及人创作出神话、诗歌、哲理故事和散文故事。神话包括世界诞生和人类起源等内容;诗歌大多是宗教诗,也有爱情诗;哲理故事传达着埃及人的人生观和世界观；散文故事包含寓言和传记等。
古代埃及的建筑艺术受到宗教较大影响。埃及人把大量精力和财富用在埋葬死者上,给统治者修建豪华的陵墓,准备丰厚的随葬品。法老们还修建了众多神庙,表达自己对神的敬畏。祭司们宣扬法老是神的化身,法老则赐予神庙大量财富。有些神庙富甲一方，势力强大。
## 学习聚焦
古代埃及人创造了独特的象形文字,创作出丰富的文学作品。古代埃及的建筑艺术深受宗教影响。
那尔迈调色板
那尔迈调色板是埃及象形文字文物的代表。图中那尔迈头戴王冠,正击打敌人;鹰表示鹰神荷鲁斯,鹰脚下的莎草表示被打败的尼罗河三角洲的居民。古代埃及艺术的一个重要特点是突出主要人物,图中那尔迈比其他人都高大威猛
4卡尔纳克神庙多柱式大厅想象图卡尔纳克神庙位于尼罗河东岸，经过历代法老不断加修扩建,最终形成一个庞大的神庙建筑群。这座多柱式大厅占地约 5000 平方米，共有134根粗大的石柱在科学和技术领域,古代埃及人有众多创造。他们发明了世界上最早的太阳历。太阳历是古代世界最精确的历法之一。古罗马的凯撒在制定作为今天公历重要基础的儒略历时,吸收了埃及历法的成就。在数学、医学等方面,埃及人也颇有建树。波斯帝国宫廷中，就有许多埃及医生。
## 史料阅读
古代埃及人重视家庭。一位父亲教孩子要孝敬母亲:
绝不可忘记你母亲的大恩…..十月怀胎,备极辛苦,哺养怀抱,不辞劳疰。为你揩㞜揩尿,从无一丝夭烦。为你上学,为你备膳,一天到晩忙个不停。
另一位父亲告蕆儿子要善待妻子:
专注你的事业,美化你的房屋,爱护你的妻子。别使她饿
假定你们相处不善，那你的家庭便会破败。
一一摘译自 [ 美 ] 戌尔・杜兰特《东方的遗产》
## 阿拉伯文化
## 学习聚焦
阿拉伯文化融合了东西方的文化遗产，阿拉伯帝国成为东西文化交流的桥梁。波斯帝国之后，古代西亚文明逐渐衰落。7世纪，阿拉伯帝国开始兴起,到 8 世纪已征服从伊比利亚半岛到印度北部的广大地区。阿拉伯人继承和融合了上述地区的文化遗产，把古代埃及、西亚、希腊、罗马以及印度的文化典籍翻译成阿拉伯语,结合阿拉伯人的风俗、语言和传统,创造了阿拉伯文化。
阿拉伯人在文学、科学等领域都取得了突出成就。阿拉伯半岛统一之前,阿拉伯各部落就经常派人到麦加附近举行诗歌比赛，获胜的诗歌会用金水书写在布上,悬挂在克尔白神庙的墙壁上,名为“悬诗”。故事集《天方夜谭》中的很多故事来源于古代埃及和西亚等地的民间传说，通过王后讲故事的形式串联在一起。人们耳熟能详的故事如《阿里巴巴和四十大盗》《阿拉丁和神灯》等，都来自这部故事集。《天方夜谭》在中国广泛流传。在西欧，但丁的《神曲》、莎士比亚的《终成眷属》等,都受到《天方夜谭》的影响。史料阅读
一首阿拉伯诗歌中，作者凭吊青年时代的爱情生活:
二位稍停步，共吊情人处。
里瓦沙丘上，当年度朝暮
人去故土在，历历旧景物。
黄沙卷狂风，庭迹一如故。
一一纳忠、朱凯、史希同《传承与交融：阿拉伯文化》
在科学上,伊本 - 穆萨的《积分和方程计算法》附有 800 多个实例,把代数学发展为独立学科。白塔尼修正了计算太阳和部分行星轨道的方法,证明了发生日环食的可能性。他的《萨比天文历表》传人欧洲后,对欧洲天文学产生很大影响,曾经被哥白尼等人多次引用。伊本 • 西那的《医典》是一部医学百科全书,传人欧洲后被翻译成拉丁语,长期用作医学的标准教科书。在 15 世纪最后 30 年内,该书就重印了 15 次。印度的数字符号经阿拉伯人传人欧洲，至今仍被称为“阿拉伯数字”。
阿拉伯帝国成为东西文化交流的桥梁。
## 历史纵横
## 撒哈拉沙漠以南非洲的文化
近代欧洲殖民者入侵之前,撒哈拉沙漠以南非洲的文化呈现出明显的地区性特征。西非人在9世纪左右掌握了铁器和青铜的冶炼技术，能够铸造青铜人像和工具。马里国王曾派人到埃及学习,同时埃及等地的学者到马里讲学。东非出现过一系列城市国家，与阿拉伯地区和中国都有贸易往来。中部和南部非洲较多保留了黑人传统文化，大津巴布韦遗址占地约 7.2 平方千米，用了 900 多万块花岗石，内城一座石塔高 11 米，底部直径约 6 米,没有用任何灰浆，但堆积得异常牢固。1986年，大津巴布韦遗址被列为世界文化遗产。
## 思考点
阿拉伯文化对世界历史的发展产生了哪些重要影响?
伊本 - 西那诞辰 1000 周年的纪念币
伊本 - 西那的《医典》是重要的世界文化遗产。1980年,联合国教科文组织为纪念伊本 - 西那诞辰 1000 周年发行纪念币。上图为纪念币的背面。
## 探究与拓展
## 问题探究
古代中国与阿拉伯地区有密切的文化交流，中国的造纸术和指南针等经由阿拉伯人传到欧洲，也有阿拉伯文化的成果传到中国。查找资料,看看具体有哪些阿拉伯文化的成果传到中国。
## 学习拓展
随着古代西亚文明的灭亡，椥形文字逐渐消失并被人遗忘。从中世纪后期开始，欧洲人慢慢认识到椥形文字的存在，并尝试通过与后来的语言进行对比，驿读文物上的钻文。到 19 世纪中期，已有多位学者能够译读杕形文字钻文。1857年，英国皇家亚洲学会邀请 4 位学者同时释读一份刚发现的棱柱铭文，并组织了一次鉴定会。评委们认为，虽然各家的解释在细节上有一定出入，但总体一致。这说明学者们对楔形文字的释读是基本正确的。
除椥形文字外，古代埃及的象形文字、迈锡尼的线形文字 $\mathrm{B}$ 和中国的甲骨文等，也都在长期失传之后，经过近代人的研究才被成功释读。但还有一些文字，如印度河流域文明的印章文字、克里特文明的线形文字 $\mathrm{A}$ 和美洲玛雅人的文字，仍末被释读出来。
搜集资料，进一步了解这些古文字的释读情况
## 第 4 课
欧洲文化的形成
古希腊、罗马文化是欧洲文化的源头。右图是一幅从意大利古城庞贝出土的马赛克镶嵌画,创作于公元前 1 世纪早期,描绘了古希腊哲学家柏拉图与学生讨论哲学问题的情景。它反映了古希腊文化在古罗马的传承。
## 古典希腊文化与罗马文化
古代希腊的中心区域在巴尔干半岛南部。公元前 5 世纪至公元前 4 世纪上半叶被称作古代希腊历史上的“古典时代”,这是古代希腊文化高度发展的时期。
古希腊哲学产生于希腊人对宇宙起源和人生意义等自然和社会问题的知识追求,古希腊哲学家力图用理性的思维方式认识世界和解释世界。苏格拉底、柏拉图和亚里士多德被后世称为“三大哲人”。苏格拉底致力于探讨人生哲理和社会伦理,他用对话形式提出的哲学思想由其学生记录下来,流传后世。柏拉图创建的“学园” 将哲学和数学知识融会贯通,在几何学发展方面作出了重要贡献,为欧几里得的《几何原本》奠定了基础。亚里士多德是一位“百科全书式的学者”,其著作涉及哲学、政治学、文学、天文学、物理学等领域,对欧洲科学知识系统的形成产生了重要影响。
古希腊文学的早期代表是《荷马史诗》,史诗中诸神和英雄的故事成为后世西方文学创作的源泉。古典时代希腊文学的最高成就是雅典城邦时期的戏剧,悲剧和喜剧是这一时期戏剧的杰出代表。古希腊的人物雕塑和建筑艺术也达到相当高的水平。雕刻家米隆的《郑铁饼者》
柏拉图 (左边站立者) 与学生讨论哲学问题
学习聚焦
古希腊、罗马创造的炪烂的古代文化，对欧洲文化的形成产生了深远影响。
亚里士多德
(公元前384一前322)
## 学思之窗
悲剧是对于一个严肃、完整、有一定长度的行动的摹仿;它的媒介是语言,具有各种悦耳之音，分别在剧的各部分使用;摹仿方式是借人物的动作来表达,而不是采用叙述法;借引起怜悯与恐惧来使这种情感得到陶冶。
—一 [古希腊] 亚里士多德著，罗念生译《诗学》
从亚里士多德对悲剧的定义中了解古希腊戏剧的表演形式和教育功能。
(1) 史料阅读
罗马法是纯粹私有制占统治的社会的生活条件和冲突的十分经典性的法律表现……在罗马法中，凡是中世纪后期的市民阶级还在不自觉地追求的东西，都已经有了现成的了。
— [ 德 ] 恩格斯《论封建制度的瓦解和民族国家的产生》,《马克思恩格斯全集》第二十一卷
## 万神殿
万神殿始建于公元前 27 年,用以供奉罗马诸神。公元 80 年的火灾使万神殿大部分被毁，仅余一长方形的柱廊，有 16 根 12.5 米高的花岗岩石柱。柱廊后来被作为重建的万神殿的门廊。万神殿主体建筑是43.4 米高的窍顶圆形堂,于 $120-$ 124 年建造。重建后的万神殿是至今唯一保存完整的罗马帝国时期的建筑物。古希腊也是欧洲史学的源头。希罗多德的《历史》开创了叙事体的撰史体裁，修昔底德的《伯罗奔尼撒战争史》也是西方史学的经典之作。
古罗马继承并发展了古希腊文化,在法律、文学、史学、建筑和历法等领域多有建树。公元前 450 年左右颁布的《十二铜表法》是古罗马第一部成文法,它包括债务法、继承法、婚姻法以及诉讼程序等多个方面,虽然其内容以维护贵族和富人的财产利益为核心,但明文公示,按律量刑,限制了贵族滥用权力,规范了社会契约行为,也在一定程度上保障了平民利益,成为后来陆续颁布的一系列公民法的基础。罗马法体系适应了当时社会发展的需要,也对后世欧洲国家的法律制度产生了深远影响。
卢克莱修、西塞罗和维吉尔是古罗马时期最杰出的文学家。李维的《罗马史》和塔西佗的《编年史》代表了古罗马史学的最高成就。
古罗马在建筑方面留下众多遗产，万神殿、大竞技场
等是其中的代表。在历法改革上,古罗马也有重要贡献,凯撒时期制定的儒略历后经修订成为世界通用的公历。
## 中古西欧文化
西罗马帝国灭亡和日耳曼民族南下后,日耳曼人在西欧地区建立了法兰克王国等封建国家。496年，法兰克国王克洛维皈依基督教,赋予基督教会多项特权。756年,加洛林王朝君主不平为酬谢教会助其掌权而将罗马周围地区交给教皇统治,建立“教皇国”,并使教会介人世俗权力。欧洲逐渐形成了王权与教权并立的二元政治格局。在西欧封建制度的确立和发展过程中，基督教会与世俗王权互相利用、竞争共存。基督教信仰成为西欧地区普遍的文化符号。
基督教会控制着西欧社会的精神生活。基督教文化的载体是阐述教义的《圣经》以及研究教义的神学。神学家用形式逻辑论证基督教教义,维护基督教会和封建主的统治。他们的思维方式源自古希腊哲学,对西欧思想文化的传承和发展产生了很大影响。
《圣经》对西欧的文学艺术有重要影响,文学艺术创作的很多素材来自其中的历史传说和神话。骑士文学和市民文学在中古西欧文化中占有重要地位,它们反映了封建时代和城市复兴时期的社会生活。
## 学习聚焦
在中古时期,西欧地区形成了以基督教文化为特征的地域文化。
托马斯・阿奎那( 约 1225一1274) 托马斯阿奎那是中古西欧的著名神学家。他年轻时就读于那不勒斯大学和巴黎大学,后在巴黎、罗马等地讲授神学和哲学。《神学大全》是他的代表作。
## 历史纵横
## 骑士文学和市民文学
骑士文学大多反映骑士阶层的道德和理想。抒情诗和叙事诗是骑士文学的重要组成部分。抒情诗的爱情主题是对教会禁欲主义的挑战。叙事诗主要颂扬国王的武功伟业和骑士英雄的传奇。歌颂骑士英雄罗兰的《罗兰之歌》是骑士文学的代表作。市民文学主要叙述市民家庭的爱情生活和悲欢离合,抨击贵族的专横和教士的贪婪。市民文学体裁多样,有寓言、诗歌和戏剧等，代表作有《列那狐的故事》。
《罗兰之歌》中的揷画
## 学习聚焦
随着拜占庭帝国的兴衰和俄罗斯的崛起,在欧洲东部形成了东正教文明区域。
## 思考点
拜占庭帝国的地理位置对拜占庭文化的发展有何重要影响?
《《罗马民法大全》中的一页
$\Delta《$ 伊戈尔远征记》中的揷画虽然中古西欧文化受到教会控制，少有科学成就,但它继承了古代希腊、罗马的哲学、法律和科学知识传统,为后来的文艺复兴、宗教改革和科学革命奠定了必要的基础。
## 拜占庭、俄罗斯文化
395 年，罗马帝国分裂为东、西两部分，东罗马帝国因其首都君士坦丁堡旧称拜占庭而又称“拜占庭帝国”。罗马帝国分裂后,基督教会分成东、西两派,双方在教义、教规等方面的分歧逐步加深。1054年，基督教会正式分裂。东派教会自称信仰正统的教义,故称“东正教”或“希腊正教”。东正教是拜占庭帝国的国教，君士坦丁堡是东正教的中心。
由于地处欧、亚、非三洲交界处，拜占庭帝国继承了古代希腊、罗马文化,融汇了基督教文化和来自西亚、北非的文化，形成了独具一格的拜占庭文化。
拜占庭帝国皇帝查士丁尼在位时编纂的《罗马民法大全》,为传承罗马法作出了贡献,对欧洲的法学思想和法制的发展产生深远影响，是拜占庭文化的标志性成就。拜占庭帝国保存了大量希腊古典书籍,其建筑和雕塑艺术也继承了古希腊、罗马的遗产并有所发展。惪立于君士坦丁堡市中心的圣索菲亚大教堂以其罗马式穹顶而闻名。
俄罗斯文化深受拜占庭文化的影响。10世纪中叶，基辅罗斯的统治者在与拜占庭帝国的交往中接受了基督教，基辅罗斯进人基督教文化圈。史诗《伊戈尔远征记》创作于 12 世纪,反映了古代斯拉夫民族的历史、传说和风土人情，是基辅罗斯时期最杰出的文学作品。
拜占庭帝国灭亡后,东正教的中心转移到俄罗斯。东正教逐渐成为专制君主统治国家的工具，并对俄罗斯的宗教信仰、文学艺术、生活习惯、建筑风格等产生了深远的影响。俄罗斯圆顶多塔风格的教堂建筑与西欧中古时期的哥特式教堂建筑形成鲜明对比，被视作东正教的象征。
## 探究与拓展
## 问题探究
结合所学,想一想：古典希腊文化、罗马文化与中古时期的欧洲文化有哪些联系和区别?
## 学习拓展
希罗多德在《历史》第一卷开头语中说:“在这里发表出来的,乃是哈利卡尔那索斯人希罗多德的研究成果,他所以要把这些研究成果发表出来,是为了保存人类的功业，使之不致由于年深日久而被人们遗忘 …… 特别是为了把他们发生纷争的原因给记载下来。”
司马迁在阊述《史记》撰写宗旨时说:“究天人之际,通古今之变，成一家之言。”
比较希罗多德《历史》和司马迁《史记》的撰写宗旨，思考东西方史学传统之异同。
## 第 5 课
南亚、东亚与美洲的文化
印章文字
## 学习聚焦
古代印度文化丰富多彩，对东南亚产生了重要影响。印度河流域的哈拉帕文化存在于 4000 多年前,考古学家在遗址中发现了 2500 多枚刻有文字的印章,上面的文字被称为“印章文字”。人们从这些印章上发现了 500 多个文字符号,虽然这些文字符号还不能被释读,但它们是古代印度早期文化的代表。
## 古代印度文化
古代印度包括今天南亚次大陆的印度、巴基斯坦和孟加拉国等广大地区,这里有着辉煌的古代文明。公元前 1500 年左右,雅利安人进人南亚次大陆,逐渐建立起一系列国家。在这些国家的形成过程中,印度出现了种姓制度和婆罗门教。公元前 6 世纪,印度社会矛盾尖锐,人们对种姓制度和婆罗门教不满,佛教产生了。佛教提倡“众生平等” 和忍耐顺从,得到了很多人的支持。4 世纪时,在古代婆罗门教的基础上,印度教开始兴起。后来,印度教逐渐发展为印度的主要宗教。
## 历史纵横
大约在公元前 1500 一前 1000 年间，一部印度一雅利安人诗歌总集《梨倶吠陀》形成了。“吠陀” 的意思是知识。《梨倶吠陀》与后来三部吠陀被后世合称为“四吠陀”。它们是古代印度祭司们使用的经书，也是歌颂神明的诗集。后来，人们把“四吠陀” 反映的时代称为“吠陀时代”。人们在雅利安人古老的语言梵语的基础上创制了梵文，用来书写这些典籍。梵文是古代印度最有代表性的文字史诗《摩诃婆罗多》和《罗摩衍那》在古代印度文学中占有重要的地位,大约定型于 2-4世纪。两部史诗都源自民间口头创作,后经人加工而成,集中反映了古代印度人民的生活和文化成就。
古代印度的艺术很多都与宗教有关,佛塔、石柱和石窟是佛教艺术的代表。在数学方面,古代印度人发明了包括“0 ” 在内的十个数字符号。
公元前后,古代印度文化开始传播到东南亚。5世纪时,印度的语言、文字、艺术、思想、宗教以及风俗习惯等各个方面已经在东南亚产生了广泛影响。佛教文化更是渗人东南亚社会生活的各个方面。南传佛教的经典主要用古代印度的巴利文书写,巴利文对东南亚国家的文字发展也产生了重要影响。 《摩诃婆罗多》中的揷画
《摩诃婆罗多》描写了居楼族和般度族两个家族为争夺王位而进行战争，双方激战 18 天后后者获胜的故事。全诗共 18 篇，约 10 万颃。
## 孔桑奇大塔
桑奇大塔是印度早期佛教建筑的代表。它始建于公元前 3 世纪，直径约 36.6 米,高约 16.5 米,塔门上的浮雕多以佛教故事为题材。
## 思考点
古代印度文化对周边地区产生了哪些重要影响?(11) 史料阅读
详其文字,梵天所制,原始垂则，四十七言。遇物合成，随事转用，流演枝派，其源浸广。因地随人，微有改变,语其大较,末异本源。
—一玄奘、辩机《大唐西域记》卷2
吴哥窟
9世纪时，吴哥王朝统一了束埔寨。12世纪吴哥王朝兴建的规模宏大的石窋寺庙建筑，被后人称为“吴哥窋”。当时，佛教和印度教在束埔寨都很盛行。因此，佛教和印度教的特征在吴哥窋中都有体现。窋中很多浮雕的题材以《摩诃婆罗多》和《罗摩衍那》中的神话故事为蓝本，反映了印度文化对东南亚的影响。
## 古代朝鲜与日本文化
公元前 5 世纪前后,朝鲜出现了青铜器,稍后有了铁
古代朝鲜和日本在吸收中华文化的基础上发展了独具特色的民族文化。
瞻星台遗址
瞻星台建于 634 年，位于韩国庆州。
## 《高丽史》
15 世纪中期，朝鲜王朝组织编撰《高丽史》。该书模仿中国史书的体例，分为“世家”“列传”“志”“年表”等。《高丽史》比较详细地记载了高丽王朝时期重要人物的事迹和当时的政治、经济、文化状况，是研究高丽王朝历史的重要典籍。
朝鲜和中国隔江相望,自古以来交往频繁。佛教、道教和儒学从中国传人朝鲜,朝鲜的典章制度、文字、学术文化和风俗习惯都受到中国的影响。汉字长期在朝鲜半岛使用,许多朝鲜学者具有很深的汉文造诣。在学习汉字的基础上，朝鲜人创制了本民族文字。朝鲜半岛的古代文化也传人中国中原地区，南北朝时期的中国宫廷中就已经有了朝鲜半岛的乐舞。古代日本人认为,太阳、海、河、树、山、龟、蛇等都有神灵,应该加以崇拜。神道逐渐发展起来。7世纪,天皇制度形成。天皇为巩固权力,自称是太阳神的后裔。12 世纪以后,随着武士阶层的崛起,神道融合了佛教等外来文化，逐渐形成了武士道。武士道在日本历史上产生了重要影响。古代日本在文学、建筑、绘画艺术等方面都有独特成就。诗歌集《万叶集》和小说《源氏物语》享誉世界文坛,法隆寺是日本古代建筑的代表,大和绘和浮世绘都是极具特色的日本绘画艺术。
$\boldsymbol{\Delta}$ 紫式部（约978一约 1016) 像
紫式部是古代日本著名女作家,她的《源氏物语》讲述了贵族光源氏及其子薰君在官场上的升降浮沉、生活中的悲欢离合。作品语言优美含蓄,是一部日本古典文学杰作。
日本古代文化也深受中华文化的影响。在吸收中华文化的基础上,日本本土文化得到发展。日本人先是直接使用汉字，后来根据日本语言的发音,借用汉字的楷体笔画和草体,分别创制了字母片假名和平假名。来自中国的制度、儒学、佛教等深刻影响了日本文化的发展。
## 美洲印第安文化
欧洲殖民者到来之前,与其他大陆几乎处于隔绝状态的美洲的印第安人创造出自己独特的文化。其中,玛雅文化、阿兹特克文化和印加文化最具代表性。
## 学习聚焦
印第安人独立发展出了特色鲜明的古代文化。
美洲印第安文明分布图
玛雅人、阿兹特克人和印加人在宗教上是多神崇拜。玛雅人崇拜的大多是与其日常生活紧密相关的自然神。创造之神伊查姆‧纳是最重要的神，他兼有其他神的本领。在阿兹特克人和印加人的信仰中,太阳神占有特别重要的地位。玛雅人、阿兹特克人和印加人建造了规模宏大的金字塔,但和埃及人把金字塔作为陵墓不同,他们在塔顶建起祭祀神灵的神庙，祭司也在塔上观察天象。
、羽蛇神金字塔
位于尤卡坦半岛的玛雅古城奇琴・伊察的羽蛇神金字塔,又译作“库库尔坎金字塔”，建于9世纪，高约 30 米，共 9 层,上有神庙。羽蛇神金字塔每面有91级台阶，加上神庙的 1 级台阶，整座金字塔共有 365 级台阶。
玛雅人创造了独特的文字，发明了“玛雅历”。玛雅历为太阳历，以 365 天为一年，一年 18 个月，每个月 20 天，剩下的 5 天是“禁忌日”。他们知道“零” 的概念,还以手和脚的 20 个指头作为计算的基础,创造出 20 进制。
玛雅文字
玛雅人的文字由很多图画和符号组成,至今仍无法被释读。
印加人建造了长达数千千米的驿道和宏大的太阳庙;会使用麻醉剂,能进行人体解剖;还制定了太阳历和太阴历，太阳历一年为 365 天，太阴历一年为 354 天。
阿兹特克人采用天然铜钗造铜器，还会使用图画文字记录重要事件。他们制作的陶器、石雕、木刻和金银首饰都非常精美。
印加人用于记事的结绳
印加人没有文字，他们在绳子的不同地方系上类型不同、颜色各异的结，用来记账或记述重要事件。这些结绳记录的信息至今无人能破译
阿兹特克人的陶制印模
阿兹特克人制作的这个陶制印模展现了一只跳舞猴子的形象。印模表面涂有漆,可以用来在纺织品或其他物品上印图案。
16 世纪西班牙殖民者人侵后,印第安人遭到了大肆屠杀，独立发展的印第安文化毁灭殆尽。
## 历史纵横
## 大洋洲文化
大洋洲包括澳大利亚大陆和南太平洋的岛屿。在大航海时代来临前,大洋洲各地相互隔离,发展水平都比较低,当地人使用石器或木制工具。澳大利亚原住民以采集、狩猎为生;新几内亚岛上的原住民最早种植甘蔗,饲养猪、狗和鸡等动物，掌握了一定的造船和航海技术,可以制作简单的陶器。他们没有文字,语言千差万别，图腾崇拜普遍。原始舞蹈常以模拟动物为主,配以简单的打击乐。
## 探究与拓展
## 问题探究
人类学家博厄斯认为：“人类的历史证明，一个社会群体，其文化的进步往往取决于它是否有机会吸取邻近社会群体的经验。一个社会群体所获得的种种发现可以传给其他社会群体;彼此之间的交流愈多样化,相互学习的机会也就愈多。大体上，文化最原始的部落也就是那些长期与世隔绝的部落,因而,它们不能从邻近部落所取得的文化成就中获得好处。”
—— [ 美 $]$ 斯塔夫里阿诺斯著，吴象婴等译《全球通史：从史前史到 21 世纪》
阅读以上材料,联系美洲印第安文化的特点,谈谈你对文化交流重要性的认识。
## 学习拓展
日本和印度都是中国的近邻,但文化有很大差异。查阅资料，进一步了解日本和印度两国文化的不同特点。
## 第三单元
## 人口迁徙、文化交融与认同
自古以来,人类在不断的迁徙中求生存、谋发展,并在迁徙过程中带来了不同文化的交融。古代游牧民族的几次大迁徙对亚欧大陆各主要区域文化的形成和转型产生了重大影响。近代欧洲人的殖民扩张改变了美洲和大洋洲的人口结构,造成了非洲人口的严重损失,驱动了亚洲劳工的大量迁移。人口迁徙带来了这些地区的文化重构,形成了新的文化认同。现代社会人口迁徙的主要动力来自经济全球化,战争、灾难和经济因素等也造成了规模日益增长的难民群体。现代移民社会面临着文化认同的新课题。人口迁徙与文化认同既是多样文化广泛接触、交流与传播的历程，又是不同文化交融的过程。
通过本单元的学习,了解各个历史阶段世界各地区不同规模和类型的人口迁徙,认识人口迁徙对人类文化变迁的影响，以及人口迁徙和移民社会中出现的文化认同问题。
## 第 6 课 古代人类的迁徙和区域文化的形成
埃及雕刻中的赫梯战车和士兵
## 学习聚焦
印欧人的迁徙推动了亚欧大陆中西部几个重要文化区域的形成和发展。
(1) 史料阅读
马对游牧民族的迁徙极其重要。《赫梯法典》有关于马的规定:
第六十一条：假如任何人获得良种的马而消除它的烙印,它的主人发现了它,则消除烙印的人应交付七匹马 $\cdots \cdots$ 同时用自已的房屋担保。
第六十四条：假如任何人盗窃拉车的马,则其案件也如此（即赔付十匹马，并用自己的房屋担保)。
周一良、吴于㢆总主编,林志纯主编《世界通史资料选辑 •上古部分》赫梯人是公元前 2 千纪中前期迁入小亚细亚的印欧人与当地居民融合后形成的。他们广泛使用马和马拉战车,组建了强大的军队。
## 印欧人的迁徙及其对早期区域文化的影响
印欧人可能起源于东欧平原，他们是游牧民，驯养了马匹。与牛、驴等动物相比,马高大壮硕,奔跑速度快,受到印欧人的喜爱。印欧人在作战时,把马套到车上,制造了马拉战车。
印欧人早期迁徙路线示意图 (公元前 3000一前 1000 年)
从公元前 2 千纪初起,以印欧人为主体的游牧部落陆续进人西起欧洲、东到印度的广大地区,整个迁徙过程延续数百年甚至上千年。他们凭借马和马拉战车等武力上的优势,或征服迁人地区的居民,或与被征服者融合,分别形成赫梯人、波斯人、希腊人和雅利安人，对整个亚欧大陆区域文化的发展产生了重要影响。
公元前 17 世纪,赫梯人在小亚细亚建立赫梯帝国,多次人侵两河流域,一度占领巴比伦城,蚕食埃及在西亚地区的土地。公元前 14 世纪,赫梯帝国进人鼎盛时期,疆域从小亚细亚延伸到巴勒斯坦,多次与埃及发生争霸战争,公元前 13 世纪末因陷人内战逐渐衰落。
公元前6世纪，波斯人崛起于伊朗高原，征服了东到印度河流域,西到巴尔干半岛北部,包括埃及在内的广大地区,建立了历史上第一个地跨亚、非、欧三洲的大帝国,并数次人侵希腊。在波斯帝国统治下，西亚和北非文明区首次被统一起来，西亚文明和希腊文明发生了深人、广泛的交流。
公元前 2000年左右进人巴尔干地区的印欧人与当地居民融合,形成古代的希腊人。他们思考人类与自然、个人与社会的关系等问题,在哲学、科学、文学、建筑和艺术等多个领域取得成就。希腊文明成为西方文明的一个重要源头。
大流士一世与他的敌人
公元前 525 年，波斯帝国爆发了一次几乎遍布帝国全境的起义，遭到国王大流士一世的镇压。图中的大流士一世面向俘虏，一脚踏在敌人身上。战败者被长索系颈，听候国王发落。
## 思考点
印欧人的迁徙对早期区域文化产生了哪些重要影响?
雅利安人从印度河流域推进到恒河流域，把马和铁等带到印度。公元前 600 年左右,南亚地区陆续兴起一系列国家，印度历史进人列国时代。种姓制度和佛教成为古代印度社会的重要符号,并对周边地区特别是东南亚产生重大影响。
## 历史纵横
## 海上民族
公元前 1200 年左右,东部地中海区域出现了一股较大的民族迁徕浪潮。埃及文献称这些移民为“海上国家的人”,现代学者称他们为“海上民族”。他们或来自小亚细亚,或来自叙利亚和巴勒斯坦,成分相当复杂。他们带着家眷,寻找新的定居地，有时也会受雇于埃及和赫梯，充当雇佣兵。虽然他们并末建立统一国家,也无文字传世，但他们的行动大大改变了东部地中海区域的民族构成。赫梯帝国因海上民族的冲击而瓦解。海上民族也在巴勒斯坦、塞浦路斯岛等地定居下来。
亚欧游牧民族大迁徙对区域文化发展的影响
公元前 2 世纪一公元 2 世纪，中国的汉朝和西方的罗马都进人强盛时期，但在亚欧大陆偏北的地区，仍生活着
## 学习聚焦
亚区游牧民族大汘徙促进了区域文化的发展。
贵霜帝国时期的钱币
贵霜帝国铸造钱币的传统来自波斯和希腊。图中钱币上的铭文是希腊语，人物是贵霜国王
众多游牧部落。在中国北方,匈奴势力强大,不断扩张。大月氏人西迁，建立贵霜帝国，势力一度到达印度北部。在欧洲,日耳曼人在与罗马帝国的接触中不断南迁。
3-6世纪，亚欧游牧部落开始了新一轮的大迁徙。在中国,匈奴人逐步内迁,转向定居生活,并在中原地区建立政权。此后,鲜卑人、氏人和羌人等也逐渐迁徙到中原，形成中国北方的民族大交融。同时,部分北方人民因战乱南迁，带去了先进的生产工具和技术，促进了江南地区的开发。在欧洲,日耳曼人各支利用罗马帝国衰落的机会,陆续进人罗马帝国并建立国家,灭亡了西罗马帝国。7世纪,阿拉伯人开始扩张,征服西亚和北非广大地区。8世纪中期，阿拉伯人建立起地跨亚、非、欧三洲的帝国。
## 史料阅读
2世纪左右，日耳曼人正处在跨入文明时代的前夜，塔西佗如此描述他那个时代日耳曼人的情况: 如果他们的本土长年安静无事,那么很多高贵的青年就要自愿地去找寻那些正在发生战争的部落。一则因为他们的天性好动而恶静;再则因为他们在危难之中容易博得声誉;三则因为只有在干戈扰攘之中才能维持人数众多的侍从 $\cdots \cdots$
日耳曼人中,没有一个部落是居住在城郭内的,就是个别的住宅也不容许彼此毗连。他们零星散落地逐水泉、草地或树林而居．..
$\longrightarrow[$ 古罗马 $]$ 塔西佗著，马雍等译《日耳曼尼亚志》
## 学思之窗
4世纪中后期,遭到匈奴进攻的西哥特人进入罗马帝国境内,并于 410 年攻占罗马城。奥罗修斯记载了西哥特人首领阿图尔夫说过的一段话。阿图尔夫这样说道:
最初,我强烈要求消除罗马这一名字,使罗马的全部土地成为哥特帝国的领土;我希望用哥特的替代罗马的;我阿图尔夫应成为凯撒奥古斯都。不过,众多的经验告诉我: 桀㥿不驯的哥特人从不遵守法律,而没有法律的国家将国不成国。因此,我选择了较为安全的道路,希望通过哥特的力量来恢复、增强罗马之荣光。在无法改变帝国形式的情况下,我希望能作为复兴罗马的发起者传诸后世。
―一摘译自《反异教徒历史七书》
根据上述材料,想一想：阿图尔夫最初对罗马帝国是什么态度?后来为什么会发生转变?亚欧游牧民族大迁徙，改变了亚欧大陆从东到西的政治格局，一批新的国家先后崛起。各个区域的文化在碰撞、交往和交融中发生了不同程度的变化。各民族在吸收其他民族文化的基础上促进了本民族文化的发展。
## 思考点
亚欧游牧民族大迁㣤产生了哪些影响?
## 探究与拓展
## 问题探究
游牧世界对农耕世界的冲击，为历史之发展为世界史带来了不少有积极意义的影响。首先是两者之间扩大了通道，彼此都向对方学得自己所缺少的某些技术。
一一吴于㢆《世界历史上的游牧世界与农耕世界》
结合相关史事，看看农耕民族与游牧民族是如何相互学习的。
## 学习拓展
在古代,除游牧民族的迁徙外,农耕民族也会因多种原因迁徙。公元前 8 一前 6 世纪，希腊人广泛移民于地中海周边地区;马其顿国王亚历山大征服波斯等地后,大批希腊人和马其顿人向那里移民;罗马共和国时期,众多罗马人去了意大利其他地区和行省。中国古代,大批汉人陆续从北方迁往南方,形成今天分布在江西、福建、广东和台湾等地的客家人。
阅读相关论著,想一想: 农耕民族迁徙的主要原因是什么?对移人地的文化产生了哪些重要影响?
## 第 7 课
近代殖民活动和人口的跨地域转移
美国新墨西哥州一个保留区内的印第安人
## 学习聚焦
殖民者的入侵改变了美洲的人口结构,形成了新的族群。
印第安人是美洲的原住民，是美洲的主人。然而，在今天的美国,印第安人大多聚居在一些偏僻的保留区内。这一切与欧洲殖民者的侵略扩张直接相关。
## 殖民扩张与美洲族群的变化
1492 年,哥伦布到达美洲,此后西班牙、葡萄牙、英国、法国等欧洲国家争相开始在美洲进行疯狂的殖民扩张和掠夺。在此期间,屠杀、奴役以及从欧洲传来的天花等传染病,造成印第安人大量死亡。在欧洲人“发现新大陆” 后的 100 年间,印第安人数量减少了 $90 \%-95 \%$,最先被殖民的加勒比海一些岛屿上的印第安人甚至难受踪影。在安第斯山地区的印第安人，印加帝国统治末期估计至少有 900 万人，殖民者人侵 100 多年后，减少到 60 万人。
为了弥补劳动力的不足,大约从 16 世纪开始,殖民者从非洲掳掠黑人,贩卖到美洲作奴隶。在此后的三四百年间，非洲失去了大约 1 亿人口，这深刻改变了非洲的人口结构,严重影响了非洲的社会发展。上千万黑人奴隶为殖民者在美洲的种植园和矿山提供了劳动力。
在此期间,很多欧洲人因为各种原因远涉重洋,来到美洲,使美洲白人数量大大增加。
印第安人数量的锐减,欧洲人和非洲黑人数量的激增,迅速改变了美洲的人口结构,出现了新的族群。白人、黑人、印第安人以及他们相互之间的混血后代，逐渐成为美洲大陆的主要居民。来自不同地方的各个族群有着各具特色的文化,他们共同生活在美洲,形成了新的文化认同,发展了欧洲文化主导、融合多种文化因素的新的美
洲文化。
## 学思之窗
西班牙人和葡萄牙人的征服带来了伊比利亚的文化概念,他们认为比土著文化优越。同样,他们也认为非洲宗教和文化比自己的低劣 …… 印第安社会生存下来,并且在与西班牙人和葡萄牙人互动的同时,维持着相对的自治性。同样,奴隶们在学习应付他们的主人和适应新环境的同时,保持了非洲的宗教传统、信仰、习惯和语言。
— [ 美 ] 斯基德莫尔、史密斯、格林著，张森根等译《现代拉丁美洲》
想一想：欧洲侵略者的殖民活动对美洲文化有什么影响?
墨西哥城三文化广场
墨西哥城三文化广场包含了阿兹特克文化遗址 (图中前景)、西班牙殖民者修建的教堂 (图中右后) 和现代化的建筑 (图中左后)。广场上的碑文在记述西班牙征服.墨西哥的历史时作了这样的评述:“这不是任何人的胜利或失败，而是一个混血民族痛苦的诞生。这就是今天的墨西哥。”
由于历史条件的差异,美洲国家的人口结构不尽相同。在美国和加拿大,白人占据了人口的大多数。美国在 19 世纪中叶建立了所谓的保留地,幸存的印第安人被赶进保留地生活。在海地等西印度群岛国家,黑人人口占多数。西班牙和葡萄牙殖民者没有禁止不同族群之间的通婚,混血人种成为拉丁美洲的最大族群,只有在秘鲁等少数国家印第安人相对较多,但也很少超过人口的半数。
## 英国的殖民活动与大洋洲人口结构的改变
考古发现表明,在 3 万多年前,澳大利亚就有人类居住。18世纪中后期,英国殖民者来到澳大利亚和新西兰等地。最初,英国将澳大利亚作为流放罪犯的场所。19世纪
## 学习聚焦
英国在大洋洲的殖民活动导致当地人口的替代性变化。
## 思考点
英国的殖民活动对大洋洲人口结构产生了哪些影响?
$\boldsymbol{\Delta}$ 特鲁加尼尼（？一1876）
1803 年,英国殖民者开始向澳大利亚附近的塔斯马尼亚岛移民,当时岛上有原住民四五千人,到 1830 年,当地原住民只有不到 300 人。1876年,最后一名塔斯马尼亚原住民妇女特鲁加尼尼去世。
## 学习聚焦
华工为美洲和大洋洲的开发作出了重要贡献。
(1) 史料阅读
（苦力） 数百人闭置一舱，昏比而死者已三之一，抵埠以后饥饿疾病鞭棰而死者又三之一，仅延残喘者不及一成。
陈炽《续富国策》卷 4 时，随着工业革命的开展，对原材料需求的增加，英国殖民者开始在澳大利亚掠夺原住民的土地，建立牧场。1851年，人们在澳大利亚发现了金矿，采矿业迅速发展起来。
随着殖民扩张的加剧,澳大利亚等地的原住民遭到驱赶和屠杀,人口数量锐减。在澳大利亚,英国人到来之前原住民人口达 75 万人，1901年只剩下 9 万多人。在新西兰，18 世纪原住民有 25 万人，19世纪中叶只剩下 5 万多人。越来越多的英国人和欧洲其他国家的人来到澳大利亚和新西兰,19 世纪中叶,白人已经成为当地的主要居民,欧洲文化成为当地文化的主流。
## 华工与美洲、大洋洲的开发
19世纪初，英美等国开始陆续颁布禁止奴隶贸易的法令,黑奴贸易受到限制,殖民者不得不寻找新的廉价劳动力。
19世纪中叶后,清政府被迫允许列强在中国招募华工出国。华工被运往美洲等地,形成了苦力贸易。葡萄牙、英国、美国等国的殖民者往往迫使华工签署契约，让华工以末来若干年的工资支付运输费用，获取了巨额利润。中国东南沿海的穷苦百姓,或是因为生活所迫,或是被诱骗、绑架成为苦力。在美国,华工是加利福尼亚金矿和中央太平洋铁
集聚在船上的华工
华工在厦门、澳门和香港等地集中后再被装船外运，船上条件很差，途中死亡率超过 $30 \%$。路工地等繁重劳动场所的主要劳动力。19世纪 70 年代,加利福尼亚的华工人数已有十几万。加勒比群岛、秘鲁以及古巴等地,也有成千上万的华工。
修建中央太平洋铁路的华工
1862 年,美国总统林肯批准修建太平洋铁路。最难修的西段又称“中央太平洋铁路”,主要由华工承担。1869年,太平洋铁路完工,它使美国东西部终于连成一体。
19世纪中叶,大量华工来到澳大利亚开采金矿。到 1858年,华工人数已超过4万。在大洋洲的一些岛屿上,华工在种植园和矿山辛勤劳动，促进了这些地方的开发。
很多华工后来回国，留下来的华工由于相同的文化和生活习惯，往往愿意居住在一起，在各地形成了一个个唐人街。他们保留和传播着中华文化,促进了美洲和大洋洲经济、文化的发展。
澳大利亚悉尼的唐人街
## 历史纵横
拉丁美洲的日本移民
19世纪末，拉丁美洲很多国家鼓励外国移民进入。日本地少人多，很多人想移民拉丁美洲改变命运。当时，日本流传着这样的说法:“在地球另一端的秘鲁，遍地都是黄金。” 许多日本人移民墨西哥、秘鲁、阿根廷等国家。其中,秘鲁的日本移民人数较多。他们在秘鲁社会生活中发挥了日益重要的作用,他们的后裔有的甚至成为总统。
## 历史纵横
“下南洋”
明清到民国时期,中国东南沿海特别是广东、福建一带的民众为了谋生,漂洋过海,前往东南亚各地,甚至远到印度洋一带。这一现象被称为“下南洋”。中国人在当地,有的经商,有的从事农业或手工业,促进了当地经济的发展,也传播了中华文化。
## 探究与拓展
## 问题探究
1939 年出版的《加州志》在提到华人开发萨克拉门托三角洲地区时说:
1850 年,一些失意的淘金者集居于此,种植糊口。及 1870 年,中国工人于建造了中央太平洋铁路后,又接受低工资担任开垦三角洲地区的工作。他们推着单轮车筑起堤防,逐渐全部四十二万五千英亩水草丛生的沼泽地被开拓了。
一一转引自杨国标、刘汉标、杨安尧《美国华侨史》
阅读上述材料，联系相关史事，谈谈华人对美国西部开发作出的贡献。
## 学习拓展
新航路开辟以后，欧洲殖民者在世界各地进行侵略活动，拓展殖民地。美洲出现了族群的巨大变化,而同样遭受殖民者侵略的非洲却没有发生这种情况。上述现象出现的原因是什么?谈谈你的看法。
## 第 8 课
## 现代社会的移民和多元文化
经济全球化进程逐渐将世界连成一个整体。跨国公司在经济全球化中扮演了重要角色。它们在世界各地雇用劳动力,赚取巨额利润。
## 经济全球化和劳动力的全球流动
在经济全球化加速发展的过程中,国际分工日益深化,生产的国际化大大加强,全球劳动力市场逐渐形成。劳动力的大规模全球流动始于第二次世界大战后。西欧、北美和大洋洲等发达地区从南欧、北非、东南亚、拉丁美洲等地吸收了大量劳动力,推动了发达地区资本主义经济的发展。20世纪七八十年代,中东地区的石油工业快速发展,大量非洲劳动力涌向中东产油国。同时,经济高速发展的日本以及亚洲新兴工业国家和地区也吸引了许多亚非移民。20世纪 90 年代,东欧国家成为西欧、北美劳动力的新的来源地。
经济全球化也改变着全球劳动力市场的结构。20世纪 50-70 年代,大多数移民在制造业和公共服务业从事繁重的体力劳动。大约从 20 世纪 80 年代开始,随着新兴产业的发展和发达国家的产业升级,传统行业的劳动力需求量减少,贸易、金融等行业的就业机会增加,企业对劳动力的受教育程度和专业素养也提出了更高的要求。全球劳动力的流动呈现出新的趋势,这在跨国公司中表现得尤为明显。来自发展中国家的留学生在发达国家接受高等教育,并留在发达国家工作。他们作为移民中的“知识精英”,在跨国公司的国际业务中发挥了重要作用。
表现跨国公司雇员在全球流动特点的漫画
## 学习聚焦
经济全球化孕育了全球流动的劳动力市场,也改变着全球劳动力市场的结构。
## 思考点
全球劳动力市场的结构演变对人口迁徙产生了怎样的影响?中华人民共和国
从中华人民共和国外国人永久居留身份证
## 历史纵横
## 对移民的永久居留许可
为了管理移民，部分国家允许一些外籍人士在本国长期居留，并享有其他准国民待遇。最初，这种居留许可在护照上体现，后来各国多颁发单独的永久居留许可证明。各国颁发的许可证根据其历史传统和证件特色，有各种各样的俗称，如美国的为“绿卡”,加拿大的为“枫叶卡”,等等。2004年8月,中国开始实施《外国人在中国永久居留审批管理办法》。
"石圭命"
位于美国加利福尼亚州旧金山湾区的“硅谷”聚集了 100 万认上来自世界各地的高科技人才。他们的母语和肤色不同，文化背景和生活习俗各异，共同推动“硅谷”成为创新高地。
## 难民的困境和救助
难民是现代社会移民中的一个独特群体。他们因为战争和地区冲突、宗教或部族矛盾、自然灾害、经济恶化等各种原因被迫离开原籍国，且不能或不愿返回原籍国。20世纪后，世界难民问题日益突出。二战前的难民主要产生于欧洲，如遭到纳粹德国迫害而流亡的犹太难民;二战后的难民主要产生于中东、非洲和东南亚等地区。
## 上海犹太难民纪念馆
第二次世界大战期间,为了躲避纳粹德国的迫害，大批欧洲犹太难民辗转来到上海。其中,许多人凭借的是中国驻维也纳总领事何凤山签发的“生命签证” 二战时上海接纳了至少 25000 名犹太难民。2007年，在当年犹太难民集中居住的虹口区，建立了上海犹太难民纪念馆。纪念馆搜集了大量与犹太难民相关的文物，并建立了犹太难民数据库。馆中还有一面以“拯救” 为主题的名单墙，上面刻有目前搜集到的 13732 个曾经居住在上海的犹太难民的名字。
何凤山给犹太难民签发的签证
上海犹太难民纪念馆
难民在收留国一般没有基本的国民权利,处境十分艰难。为了保护难民的基本人权,国际社会作出了相应的努力。1950年,联合国成立联合国难民事务高级专员公署 ( 简称“联合国难民署”)，专门协调处理难民问题。1951年，联合国通过《关于难民地位的公约》,规定救助难民的行动准则;1966年,联合国又通过《关于难民地位的议定书》,扩大 1951 年公约的适用范围。2000年 12 月 4 日,联合国大会决定,从 2001 年起,每年的 6 月 20 日为“世界难民日”,以期引起国际社会对难民问题的重视。尽管国际社会在难民的人道主义救助上作了很大努力,但仍然没有改变难民逐年增加的趋势。国际社会要实现让世界不再有难民这一终极目标，仍然任重道远。
## 史料阅读
截至 2017 年底,全球有 6850 万人因战争、暴力冲突与迫害被迫逃离家园。这一数字相当于泰国的总人口,比前一年增加近 300 万人,比 10 年前增加 $50 \%$。以全球人口比例计算,每 110 人中就有 1 人被迫沦为难民。输出难民最多的国家是叙利亚，其境外流徙的难民高达 630 万人，其次是阿富汗、南苏丹、缅甸等。
## 移民社会的多元文化
## 学习聚焦
移民社会具有多元文化并存、互相交融的特质。全球化背景下的现代世界出现了遍及各国的移民社会，移民社会的居民由不同文化传统的民族组成。在不同文化的交汇、借鉴与认同中，这些移民社会形成各种多元一体的移民文化
美国是一个典型的移民国家。在不同的历史阶段,世界各地的移民不断来到北美，共同建设美利坚合众国。在这个过程中，白人驱逐、消灭北美印第安人，阻碍了印第安文化的正常发展，同时也吸收了非洲、亚洲、拉丁美洲等地的文化，形成了以欧洲文化为主流的美国移民文化。民族和文化的多样性是美国社会的显著特征，而多元文化传统也使美国社会始终存在着不同民族间的文化认同问题。
1960-1990 年美国总人口增长中移民的比例
## 学思之窗
据 1790 年美国第一次人口统计，当时来自欧洲的移民结构为：英格兰人占 $60.14 \%$，苏格兰人占 $8.1 \%$，爱尔兰人占 $9.5 \%$，德意志人占 $8.6 \%$,荷兰人占 $3.1 \%$,法国人占 $2.3 \%$,瑞典人占 $0.7 \%$,西班牙人占 $0.8 \%$。
1901-1920 年，移民人口中，来自欧洲的占 $85 \%$，来自亚洲的和来自拉丁美洲的均占 $4 \%$。1961-1970年，移民人口中，来自欧洲的占 $33 \%$，来自亚洲的占 $13 \%$，来自拉丁美洲的占 $39 \%$。1981-1990年，移民人口中，来自欧洲的占 $10 \%$，来自亚洲的占 $38 \%$，来自拉丁美洲的占 $47 \%$。
一一摘编自余志森主编《美国多元文化研究》
美国主要移民来源和移民结构在不同的历史阶段发生了哪些变化?新加坡是具有移民社会特征的城市国家。19世纪以来,苏伊士运河的通航,极大地缩短了东南亚与欧洲的航程。随着东南亚地区经济的发展,马六甲海峡海运繁忙,新加坡逐渐成为繁荣的贸易大港和国际化都市,从英国殖民地成为独立国家。在新加坡的人口构成中,来自中国南方各省的华裔移民超过 $70 \%$;其次为本地的马来族;还有近 $10 \%$ 的印度裔移民。新加坡的多元文化和谐共处,形成了独特的文化景观。马来语、华语、英语和泰米尔语均为
福徳祒
福德祠位于新加坡华人聚居区牛车水
官方语言;各民族尊重彼此的宗教信仰和风俗习惯,各类
宗教建筑形式各异,各民族的传统文化活动丰富多彩。
## 探究与拓展
## 问题探究
有人说，美国是个民族“大熔炉”;也有人说，美国是个民族“大拼盘”。你如何理解这两种观点?从文化认同的视角谈谈你的看法。
## 学习拓展
近年来，欧洲发达国家既面临因人口出生率下降而导致的劳动力短缺,又面对日益加剧的来自中东、非洲等地的“难民潮”。面对日益严重的难民问题,如果你是联合国难民署的官员，有什么好的建议和方案解决这一问题?
## 第四单元
## 商路、贸易与文化交流
商路的开辟对促进文化交流发挥了重要作用。经由中国西北和中亚连通欧亚大陆的丝绸之路,为中国与西方之间的物质、技术和文化交流提供了便利,成为东西方物质和文化交流的重要象征。世界其他区域的商路,同样展示出贸易活动在文化交流中扮演的重要角色。近代以来,随着世界各洲之间贸易的扩大,全球贸易网逐步形成。商品的世界性流动,促进了各国的文化交流。各国文化随同其商品一道,传播到世界其他地区。文化在不断交流、借鉴中向前发展。
通过本单元的学习,了解不同时代、不同类型的商路,深人理解贸易活动在文化交流中扮演的重要角色。
## 第 9 课
## 古代的商路、贸易与文化交流
“边城暮雨雁飞低,芦筝初生渐欲齐。无数铃声遥过碛,应驭白练到安西。” 唐朝诗人张籍在《凉州词》中,采用以声传影的艺术手法,描述了一支商队经由河西走廊,运送丝绸前往西域的画面。这幅画面的历史背景,就是源远流长的丝绸之路贸易。丝绸之路是沟通古代东西方经济、文化的主要桥梁。图为唐朝胡商牵骆㓆俑,骆驼是古代丝绸之路上的主要交通工具。
唐朝胡商牵骆驼俑
## 丝绸之路
人类早期几个文明中心之间的交往主要是沿东西方向展开的。其中,最著名的是经由中国西北和中亚连通欧亚大陆的商路。后人在这条商路上发现了大量丝绸遗存,因此将它命名为“丝绸之路”。丝绸之路是东西方经济和文化交流的重要象征。
中国是世界上最早养蚕和制造丝绸的国家，丝绸很早就被辗转贩运到欧亚大陆其他地区,成为广受欢迎的珍贵商品。
张赛通西域是丝绸之路发展史上的一个标志性事件。公元前 138 年,汉武帝派遣张赛沿河西走廊出使西域,计划联合大月氏等政权共击匈奴。张赛一行在途中被匈奴人俘虏,羁留十余年,后辗转抵达大月氏。张骞把在西域各国的见闻,以及各国想与汉朝往来的愿望,向汉武帝进行汇报,使汉朝了解到西域的具体情况。张骞出使西域被称为“凿空”,大大推进了丝绸之路的畅通和贸易的繁荣。
## 学习聚焦
丝绸之路是经由中国西北和中亚连通古代东西方的重要商路。
(2) 思考点
如何理解将张寒通西域称为“凿空” 这种说法?甘肃敦煌莫高窟 323 窟的初唐壁画《张骞出使西域》
## 史料阅读
古希腊和古罗马人都知道遥远的东方有一个“丝国”，并且对丝的生产进行了种种猜测和想象。1世纪的博物学家老普林尼在他的《自然史》中写道：
人们在那里所遇到的第一批人是赛里斯人，这一民族以他们森林里所产的羊毛而名震遐迩。他们向树木喷水而冲刷下树叶上的白色线毛，然后再由他们的妻室来完成纺线和织布这两道工序。由于在遥远的地区有人完成了如此复杂的劳动，罗马的贵奻人们才能够穿上透明的衣衫而出现于大庭广众之中。
生活在 2 世纪的学者包撒尼雅斯所撰《希腊志》则提出另一种说法:
至于赛里斯人用作制作衣装的那些丝线，它并不是从树皮中提取的，而是另有其他来源。在他们国内生存有一种小动物 $\cdots \cdots \cdot$ 比最大的金甲虫还要大两倍。在其他特点方面，则与树上织网的蜘蛛相似，完全如同蜘蛛一样也有八只足。赛里斯人制造了于冬夏咸宜的小笼来饲养这些动物。这些动物作出一种缠绕在它们的足上的细丝。
—[法] 戈岱司编，耿昇译《希腊拉丁作家远东古文献辑录》
丝绸之路在长期发展中开辟出一些支线,新疆、中亚地区的路线尤为复杂。唐朝中期以后，受割据、战乱等因素影响，加上东西方的海路联系日益活跃，丝绸之路在东西交通中的重要性渐趋下降。
丝绸之路路线示意图
长安 …… 今陕西西安玉门关 …….
葸岭 ……. 在今帕米尔高原和喀喇昆仑山
大食 …… 今.阿拉伯半岛等地
小亚细亚为中心
明州 …… 今浙江宁波交州 …… 今.越南河内
## 欧亚大陆其他重要商路
除丝绸之路外，古代欧亚大陆还存在其他重要的商路，它们往往也被纳人“丝绸之路”的广义范畴。
在丝绸之路北面,从漠北草原或南西伯利亚西行,经由咸海、里海以北通往欧洲或小亚细亚的商路被称为“草原丝绸之路”。匈奴、突厥等游牧民族的西迁，很多是沿着这条商路进行的。
从关中平原人蜀至成都平原，沿横断山麓南下，跨越澜沧江、怒江，向西进人缅甸和印度，再通往中亚、西亚等地的商路被称为“西南丝绸之路”。汉武帝根据张骞通西域获得的信息,派人对这条道路进行了探索。它在沟通
## 学习聚焦
欧亚大陆的其他重要商路还有“草原丝绸之路”“西南丝绸之路”和“海上丝绸之路”。
## 历史纵横
## 汉志商道
汉志指沙特阿拉伯西部沿海地区,这里在古代也有一条著名的商道，亦称“香料之路”。自东方从海路远道而来的商品先运抵也门，然后用“沙漠之舟”骆驼沿汉志商道转运到巴勒斯坦和叙利亚，再进入欧洲。商人定期组织大规模的商队，结伴而行。在鼎盛时期，商道沿途还出现了一些集市。后来，汉志商道逐渐淡出历史古代中国西南地区与东南亚、南亚的联系上，长期发挥着重要作用。
## 学思之窗
《汉书‧张骞传》记载，张骞从西域返回后，向汉武帝汇报说：
“臣在大夏时，见邛竹杖、蜀布，问安得此，大夏国人日：“吾贾人往市之身毒国。身毒国在大夏东南可数千里。其俗土著，与大夏同，而卑湿暑热。其民乘象以战。其国临大水焉。’以骞度之，大夏去汉万二千里，居西南。今身毒又居大夏东南数千里,有蜀物,此其去蜀不远矣。今使大夏,从并中,险,并人恶之;少北,则为匈奴所得;从蜀,宜径,又无完””
阅读材料,想一想：张骞提出了怎样的探险计划?他为什么会提出这样的计划?
古代东西方的海上交通线被称为“海上丝绸之路”，随着航海技术的发展，它在东西方交流中发挥的作用越来越重要。早在西汉，中国就已经开辟了通往印度洋的海路。宋元时期，人们能够制造排水量很大、可乘载数百人的巨舟，使用先进的帆索和磁罗盘,官方使节和私人商贾出洋航海都十分频繁。中国与东南亚、南亚、西亚和东非地区建立了广泛联系。广州、泉州、明州等沿海口岸，成为海上丝绸之路的重要交易枢纽。明初郑和下西洋达到了古代“海上丝绸之路”交通的真峰。
## 古代商路上的中西文化交流
丝绸之路等古代商路,为中国与西方之间的物质、技术和文化交流提供了便利。
随着中国丝绸的不断向西出口，养蚕和缫丝技术逐渐传到东罗马帝国。漆器及其制造技术、铁器及冶铁技术,也很早经由中亚向西传播。中国古代的四大发明经由陆路和海路传到西方。
(1) 大夏,古国名,都城在今阿富汗北部巴尔赫
(2) I阝 ( Qióng),古地名，在今四川成都西南
(3) 身毒 (Yuāndú ) 国,古国名，即古印度。从 8 世纪起,陶瓷特别是瓷器成为中国大宗出口商品,主要沿海路外销到东南亚、南亚、西亚、北非、东非等地,深受当地人喜爱,不仅被用于日常生活,而且成为建筑或墓碑的装饰品。考古学家在上述地区以及中国南部沿海沉船中发现的历代瓷器不计其数。由于社会需要,西亚和北非工匠大量仿制中国各类瓷器。尽管因为原料和烧窑技术的限制,他们烧造出来的实际上只是施釉陶器,但器形、色彩、花纹都与中国瓷器类似,这反映出当地人在审美等方面受到了中华文化的影响。
西汉一度征服中亚的大宛国,获得了当地出产的良种“汗血马”,同时引进了优良的饲草苜宿,以及葡萄等水果。西瓜和中国古代文献中带有“胡” 字的物种,如胡桃、胡瓜、胡䓤、胡椒、胡夢卜等,原产自西亚、中亚、南亚等地,它们基本都是通过西域传人的。中亚和西亚的服饰、饮食对隋唐社会产生重大影响。棉花从陆、海两个渠道逐渐传人中国,在宋元时期发展为重要的经济作物。香料、珠宝、金银器皿. 等外来商品,早期多从陆路输人,自宋代起基本来自海路。
汉朝的鍙金铜马
这件汾金铜马现藏于茂陵博物馆。据考证,它的艺术造型源自汉朝御厩中饲养的大宛“汗血马”。
## 玻璃水注
玻璃是古代埃及人最早制造的,从东罗马帝国传入中国。这件玻璃水注出土于辽宁北票十六国墓葬。
波斯人模仿明朝青花瓷制造的釉下彩青花陶壶
## 历史纵横
福斯塔特遗址
福斯塔特遗址位于埃及首都开罗南郊，是一处古代陶瓷的地下博物馆。经过 20 世纪的多次发掘，这里一共出土陶瓷六七十万片。其中来自中国的陶瓷约 12000 片，时间从唐朝绵延到清朝，其余基本都是中国陶瓷的仿制品
出土于福斯塔特遗址的北宋越窑青瓷残片
佛教在汉朝从印度经中亚传人中国,此后逐渐中国化,深刻影响了中国的思想、文学和艺术创作。丝绸之路沿线保存下来的著名佛教石窟,融汇东西艺术风格,是人类文化史上的瑰宝。继佛教之后,祂教、摩尼教、犹太教、伊斯兰教和基督教陆续传到中国。中亚和西亚的杂技、魔术、音乐、舞蹈在汉唐王朝广受欢迎。中医药知识也随着炼丹术传到阿拉伯地区。
## 探究与拓展
## 问题探究
唐朝诗人白居易写有《胡旋女》一诗，题注：“天宝末，康居国献之。”诗云:
胡旋女，胡旋女，心应弦，手应鼓。
弦鼓一声双袖举，回雪飘採转蓬舞。
左旋右转不知疲，千匝万周无已时。
人间物类无可比，奔车轮缓旋风迟。
曲终再拜谢天子，天子为之微启齿。
胡旋女，出康居，徒劳东来万里余。
中原自有胡旋者,斗妙争能尔不如。
天宝季年时欲变,臣妾人人学圆转。
中有太真外禄山，二人最道能胡旋。
梨花园中册作妃，金鸡障下养为儿
禄山胡旋迷君眼，兵过黄河疑末反。
贵妃胡旋惑君心，死弃马嵬念更深。
从兹地轴天维转，五十年来制不禁。
胡旋女，莫空舞。
数唱此歌悟明主。
――《白居易集笺校》卷3
阅读材料，理解这首诗的内容,谈谈唐朝时期西域乐舞的流传情况。
## 学习拓展
第一个提出“丝绸之路” 概念的是 19 世纪德国地理学家李希霍芬。在近代以来的丝绸之路研究中，外国探险家或考古学家、地理学家等扮演了重要角色。查阅资料,了解他们的相关活动。
## 第 10 课
近代以来的世界贸易与文化交流的扩展
$16 世$ 纪初，葡蒛牙人带到欧洲的第一批中国瓷器花瓶引起了欧洲人的浓厚兴趣,各国的君主和达官显贵纷纷用黄金购买,并收藏起来。17世纪上半叶,荷兰一家公司进口了近 300 万件瓷器,这些瓷器对欧洲的制瓷业产生了巨大影响。图为 1575 年左右意大利佛罗伦萨根据中国瓷器样品制作的“软胎” 油一醋瓶和 1690 年左右荷兰生产的
油－醋瓶装饰有中国图案的茶叶瓶。
## 全球贸易网的形成
15 世纪之前的世界贸易,主要局限于各洲内部和亚欧大陆之间。近代以来,随着新航路的开辟和西欧各国的殖民扩张,各洲之间的贸易随之扩展。国际流通中的商品种类与数量大大增加。咖啡、烟草、可可等出现在欧洲市场并成为欧洲人喜爱的商品,欧洲的产品也开始在美洲市场销售。贸易的扩大促进了股份公司的出现和发展,如荷兰东印度公司、英国东印度公司、荷兰西印度公司、法国西印度公司等。西欧列强在美洲、非洲、亚洲等地的殖民扩张,客观上推动了洲与洲之间的贸易,以欧洲为中心的世界市场初步形成。
## 学习聚焦
近代以来,随着世界各洲之间贸易的扩大,全球贸易网逐步形成。
荷兰东印度公司的股票
$\triangle$ 荷兰殖民扩张示意图 $(15$ 世纪末一17世纪 $)$
在殖民扩张过程中，荷兰商船来往于世界各地，承揽了海上大部分运输，被称作“海上马车夫”。
工业革命后，大规模的工业化生产使欧美国家需要寻求更多的原料产地和商品市场，形成了西欧、北美国家生产和出口制成品，其余国家生产和出口初级产品的国际分工和贸易格局。类型丰富的工业产品，通过更快速的交通工具输送到世界各地。从 1870年到第一次世界大战爆发前,世界贸易额增长了近2.6倍。
## 思考点
推动全球贸易网形成的原因是什么?20 世纪上半期的两次世界大战影响了世界贸易的发展。第二次世界大战结束后,因冷战的发生,社会主义国家与资本主义国家之间的贸易受到极大影响。但第二次世界大战后签署的《关税与贸易总协定》以及各国围绕贸易、关税的谈判,仍推动着世界贸易的发展。随着中国改革开放的发展、冷战的结束以及世界贸易组织的成立，世界贸易突飞猛进。从 1950 年到 2000 年,全世界的贸易出口总值从约 610 亿美元增加到 61328 亿美元,增长约 100 倍。生产的国际分工进一步向广度和深度发展,一些产品往往由众多国家的公司合作完成。1985一2010年跨国公司海外分支机构经营情况
| 年份 | $\begin{array}{c}\text { 海外分支机构总产 } \\ \text { 值占 GDP 的比例 }\end{array}$ | $\begin{array}{c}\text { 海外分支机构销售 } \\ \text { 占 GDP 的比例 }\end{array}$ | $\begin{array}{c}\text { 海外分支机构出口总额 } \\ \text { 占全球出口额的比例 }\end{array}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 1985 年 | $4.77 \%$ | $20.02 \%$ | $30.30 \%$ |
| 1990 年 | $6.27 \%$ | $23.56 \%$ | $26.41 \%$ |
| 1995 年 | $5.99 \%$ | $27.63 \%$ | $14.86 \%$ |
| 2000 年 | $9.63 \%$ | $47.70 \%$ | $44.67 \%$ |
| 2005 年 | $9.03 \%$ | $46.18 \%$ | $32.31 \%$ |
| 2010 年 | $10.24 \%$ | $39.98 \%$ | $33.04 \%$ |
一根据卢进勇、杨国亮、杨立强等编著《中外跨国公司发展史》编制
跨国公司海外分支机构的经营情况体现了跨国公司的什么特征?
## 商品流动与文化交流国际化
国际贸易的过程伴随着文化的传播。买卖双方的接触、洽谈、协商、协议,以贸易为平台输送的各种商品,把世界不同地区的、文化问异的生产者和消费者紧密联系在一起,同时也以直接和间接的渠道呈现各自的知识、信念、道德、艺术和习俗等。
茶是中国先民的伟大发现,饮茶风俗在中国有着悠久的历史,蕴含了含蓄内玫的东方哲学和焑静淡雅的东方美学,是中国文化的符号之一。最初,中国茶主要在中国周边传播。16世纪以后,中国茶广泛传播到欧洲、美洲、非洲和大洋洲等地区。俄国上流社会把中国的茶具作为最珍贵的室内摆设,中俄之间形成了著名的“万里茶道”。英国茶会上用中国茶和中国的茶具来招待客人成为主人炫耀的方式。荷兰许多富裕家庭都设有专门的“茶室”。各国在接受中国茶和茶文化的同时,也根据自身的风俗习惯创造出新的茶文化,如在日本形成了“日本茶道”,在英国形成了“下午茶”。
## 学习聚焦
随着商品的流动,各国文化也传播到世界其他地区,同时在相互借鉴中向前发展。
《在安托尼妈妈的旅店》(油画) 这幅油画是法国画家雷诺阿的作品，它展现了民众饮茶的场面 (11) 史料阅读
1662 年，葡萄牙公主凯瑟琳嫁给英王查理二世，她的嫁妆中有中国茶具和茶叶。品茶从此成为英国宫廷时尚。英国诗人沃勒作诗赞美这位饮茶王后：
花神宠秋色，嫦娥妤月桂。月桂与秋色，美难与茶比。一为后中英，一为群芳最。物阜称东土，携来感勇士。助我清明思，湛然祛烦累。欣逢后诞辰，祝寿介以此。
- [ 美 ] 梅维恒、[瑞典] 郝也䴤著,高文海译《茶的真实历史》
各国服饰的变化也体现了文化之间的相互影响。17世纪末,回到法国的传教士穿着中国服装参加舞会,获得全场喝彩。中国服装柔软的面料、富有东方韵味的款式、线条流畅的龙凤花草纹样等,融入法国 18 世纪的服装设计之中。明治维新后,作为“文明开化” 的一部分,西服在日本流行。20 世纪初，法国设计师设计的女装有取名为“孔子”的中国大袍式系列，有吸收了中国服装剪裁方法的“自由”套装,有杂糅了日本和服样式的午茶便装。这些服装大胆采用东方女装宽松的样式，奠定了 20 世纪西方女装流行的基调。民国早期设计的中山装兼具中西服装的特点,穿着方便,同时体现了一定的时代精神和民族特色。
法国设计师设计的女装
左、中、右三图分别为法国设计师受希腊古典文化、俄国芭蕾舞、中华文化影响设计的女装。
钟表诞生于欧洲,大约在 16 世纪中期经由澳门传人中国内地。到 18 世纪,中国进口钟表的数量已经很多。一些清朝高官将进口的钟表作为珍稀物品收藏。钟表在社会中下层中逐渐流行,一些公共场所也安装有钟表。中国人制作的钟表,其外观多体现了中国自身的文化特色。
进人 20 世纪，全球贸易网的形成大大促进了文化的交流。除了传统的与吃、穿、用等相关的商品,电影、音乐、电视节目、动漫、书籍等各国文化产品,也广销世界各地。
## 历史纵横
文化产业
文化产业是从事文化产品生产和提供文化服务的经营性行业，包括演出、音像影视、文化娱乐、文化旅游、网络文化、图书报刊、文物和艺术品以及艺术培训等行业门类。2001 年中国加入世界贸易组织后，中国的文化产业逐步融入世界市场 2002年中共十六大报告首次把“文化事业” 和“文化产业” 并列，并提出“发展文化产业是市场经济条件下繁荣社会主义文化、满足人民群众精神文化需求的重要途径”,明确了发展文化产业的总体目标和要求。
## 更钟
清朝内务府造办处下设的做钟处，承造更钟、自鸣钟、时乐钟等，并维修钟表。其中的更钟，把我国传统伭间计时的“更” 与西方计时的“时”“分” 有机结合起来,并能根据节气的变化调整“更” 的长短,符合传统计时习惯
## 探究与拓展
## 问题探究
自鸣钟、时辰表,皆来自西洋。钟能按时自鸣,表则
乃其法更胜，可知天地之大，到处有开创之圣人，固不仅羲、轩、巢、燧已也。
一一赵翼《檐曝杂记》卷 2
这段材料反映了作者怎样的文化观念?
## 学习拓展
观察身边的商品，看看它们包含了哪些文化元素。
## 第五单元
## 战争与文化交锋
人类有史以来，战争频繁、烽火不断,但每个时代的战争起因不尽相同。原始社会的人们主要为争夺自然条件优越的生活区域而战;奴隶社会和封建时代的人们通过战争开疆拓土，建立帝国；资本主义兴起后，各大国为争夺殖民地和世界霸权而进行的战争曾发展为世界大战。在这些战争过程中，被征服、被压迫者争取解放的斗争艰苦卓绝。战争带给人类深重的灾难,使人们流离失所,生灵涂炭,给人类经济社会发展造成严重破坏,但战争又在客观上造成了不同文化的碰撞与交锋。不同文化在相互碰撞中交流、交汇、传播,人们在认知外来文化和反思本土文化的精神阵痛中,或被动或主动地对文化进行选择与重构,促进了人类文化的交融与发展。
通过本单元的学习,了解历史上的重大战争对人类文化的破坏,以及战争带来的不同文化的交锋,认识战争在客观上为不同文化的碰撞、交流与重构提供了契机
## 第 11 课
古代战争与地域文化的演变
马其顿的兴起及亚历山大远征对西亚、北非等地的文化演变产生了重要影响。图片展现了马其顿国王亚历山大率军作战的情景,他骑在马上,带头攻击敌人。
## 亚历山大远征与“希腊化时代”
公元前334年，马其顿国王亚历山大率军人侵波斯，历经 10年征战,灭亡了波斯帝国,征服了从小亚细亚到印度河流域的广大地区。战争给被征服地区造成了严重破坏,这些地区固有的文化发展进程在一定程度上被打断。反抗马其顿统治的希腊城邦底比斯被夷为平地，居民被卖为奴;腓尼基名城推罗被攻陷后,成年男性居民几乎都被屠杀,妇女和儿童被卖为奴隶;波斯古都波斯波利斯被劫掠一空,城市被付之一炬，波斯历代国王的宫殿被烧成焦土;在中亚，大量当地居民或被屠杀，或被强制迁移到亚历山大建立的城市中。
战场上的亚历山大
## 学习聚焦
希腊化时代的文化是希腊文化与西亚、北非等地的文化相互影响的产物。
1《亚历山大大帝和波鲁斯》(油画)
亚历山大入侵印度期间遇到当地王公波鲁斯的项强抵抗。虽然波鲁斯战败,但亚历山大为笼络人心,归还了波鲁斯的疆土。这幅油画表现的是波鲁斯被带到亚历山大面前的情景亚历山大统治期间,试图以希腊文化为主导,融合埃及和西亚文化。在埃及,他自称法老之子。在波斯,他以波斯帝国正统继承人自居,穿波斯服装,沿用波斯帝国的制度,任用波斯人为官员,推广波斯礼仪。他还鼓励马其顿人和波斯人通婚，以马其顿的方式训练波斯士兵。
公元前 323 年,亚历山大去世,其部下陷人混战,帝国逐渐分裂为托勒密埃及、塞琉古王国和马其顿王国三个主要国家。这些区域被统称为“希腊化世界”,从亚历山大远征到罗马最终征服托勒密埃及之间大约 300 年被称为“希腊化时代”。
公元前 275 年左右的希腊化世界
在希腊化世界中,希腊人和马其顿人逐渐融合。他们基本垄断了高级官职,占有大量土地,并享受税收优惠,成为希腊化各国的统治阶级。作为殖民者,他们生活于希腊风格的城市中,保持着希腊人的生活方式。被征服地区原有的上层人士也不同程度地接受了希腊文化。他们说希腊语，模仿希腊人的生活方式,部分人跻身统治阶级行列，成为国王的顾问和官员。
在希腊化时代,希腊文化的中心逐渐东移,亚历山得埃及人支持，有意戴上了传统的法老王冠
大城、安条克和帕加马等成为新的希腊文化中心。亚历山大城位于尼罗河河口,由亚历山大规划修建。托勒密占据埃及后，亚历山大城成为埃及都城。托勒密埃及鼓励文化发展,城内的缪斯宫收藏了大量文化典籍,吸引学者前往研究。
被征服地区的本土文化与希腊文化的碰撞和交流，促进了文学、科学等许多领域的发展。学者们系统整理和研究了《荷马史诗》和古典希腊的悲剧、史学、地理学作品,基本形成了我们今天看到的版本;欧几里得编写的《几何原本》流传后世;阿基米德提出了著名的物理学定理;埃拉托斯提尼利用探险家提供的资料,对地球周长作出了精确的计算;医生通过解剖尸体,对人体的神经系统及消化系统进行了基础研究。
另外,西亚、北非的文化仍在希腊化世界保持长期影响。在广大的乡村地区,农民仍如过去一样,说着他们祖先的语言,保持他们原有的宗教和风俗。
## 历史纵横
## 马卡比起义
公元前 198 年,巴勒斯坦被塞琉古王国占领。塞琉古王国的统治者推行希腊化政策，向当地的犹太人征收重税，引起犹太人的强烈不满。公元前 168 年,犹太祭司马卡比发动起义,以灵活的战术与塞琉古周旋,同时积极争取外部支持,与罗马结成同盟。公元前 165 年,犹太人基本赢得独立,传统的犹太文化继续发展。
## 学思之窗
公元前 218 年 5 月 5 日,一个希腊人与一个埃及妇女发生冲突。后者把尿倒在希腊人身上,而且拒绝道歉。这个希腊人写信向托勒密埃及的国王控告说:
国王呵,我请求你,如果你同意,就请不要坐视一个埃及女人这样无理地侮辱我,我是一个希腊人,一个外地人。
一一摘译自《恩泰克塞伊斯莎草纸文献》英文版
这本是一场平常的民间纠纷,但这个希腊人为什么特别强调自己的希腊人身份和对方的埃及人身份?
## 史料阅读
托勒密埃及经常让士兵借用埃及人的房屋。埃及人则用他们特有的方式反抗:
在鳄鱼城,我们发现原来用来安置军队的一些房屋，房顶已经被揭掉，门被墙封住了，那个地方修起了祭坛。他们所以这样做,是为了这些房子不致被占
—摘译自 [美] 威廉・弗格森《希腊帝国主义》
## 蒙古西征与东西方交流
## 学习聚焦
蒙古西征客观上推动了东西方交流，改变了一些地区的文化面貌。13 世纪初，中国北方草原出现了一个强大的蒙古汗国。1218 年，中亚的花剌子模国扣留蒙古商队，杀害蒙古使臣。不久，成吉思汗以复仇为由,发动第一次西征,灭掉花剌子模国,蒙古军队直抵黑海北岸。灭亡金朝之后,蒙古发动第二次西征，征服今俄罗斯、乌克兰地区的诸多公国和部族，一直打到今德国、匈牙利和巴尔干半岛。13世纪中叶,蒙古以西亚地区为目标,进行第三次西征,攻占巴格达。忽必烈建立元朝前后，蒙古在其他统治区形成了四大汗国，它们在名义上仍将元朝尊为宗主国。
蒙古军队西征示意图
大都
今北京
临安 …… 今浙江杭州哈剌和林 ……. 今蒙古国哈尔和林阿里麻里今新疆霍城西北莫斯科今俄罗斯莫斯科
撒莱在今俄罗斯阿斯特拉罕附近帖必力思今伊朗大不里士报达今伊拉克巴格达
蒙古的三次西征,给被征服地区的社会经济带来严重破坏,但客观上推动了东西方的交流。第二次西征后,两位欧洲传教士分别受教皇和法国国王派遣,到达漠北与蒙古进行交涉,他们撰写的出使报告流传至今。意大利旅行家马可 - 波罗约于 1275 年由陆路来华,留居 17 年,后经海路返回。根据他口述记录的《马可・波罗行纪》,展示了一个富庶而神奇的东方世界,对以后几个世纪的欧洲航海、探险活动产生了很大影响。同一时期，住在大都的畏兀儿人列班 - 扫马经由耶路撒冷到欧洲访问,见到了教皇和英、法国王。
蒙古西征还引发了较大规模的民族迁徙。由东向西迁徙的移民主要是西征的蒙古军队。14 世纪后,他们逐渐与当地居民融合。大批移民自西东迁,进人中国中原地区。他们来自不同地域,说着不同的语言,被称为“色目人”,意即各色名目的人。他们中的大部分后来融人汉族和蒙古族。蒙古西征使亚欧内陆的民族分布产生了变化,一些被征服地区的文化面貌有所改变。
## 思考点
蒙古西征对不同地域的文化产生了哪些影响?
## 探究与拓展
## 问题探究
罗马人很早就接触到希腊文化,拉丁字母就是他们改造希腊字母的结果。公元前 3 世纪,罗马人征服了意大利南部的希腊人,大约 100 年后,又征服了马其顿和巴尔于半岛南部,把马其顿和希腊都变成了罗马的行省。但在文化上,罗马人更愿意拜希腊人为师,学习希腊文化。如罗马诗人贺拉斯所说:“被征服的希腊人征服了野蛮的征服者，把艺术带给了粗郘的拉丁姆。”
同样是通过战争，被征服的波斯和埃及等地区在一定程度上接受了希腊文化,罗马人本来是胜利者,为什么也甘愿学习希腊文化?查找资料,看看罗马人如何借鉴希腊文化,并谈谈你对贺拉斯这句话的理解。
## 学习拓展
来自亚洲腹地的原始游牧民族蒙古人,对世界史产生了巨大的影响。他们征服的规模无与伦比 …… 亚洲和大部分欧洲的政治组织都变换了。许多地区的人民被灭绝或四散,永远改变了其种族特征。世界主要宗教的分布和力量也发生了变化。横越欧亚大陆的道路由一个政权所控制,旅行变得安全了。在中断了一千年之后,欧洲人又能进入亚洲和远东了。
[ 英] 杰弗里・巴勒克拉夫主编,毛昭晰等译《泰晤士世界历史地图集》
查阅资料，了解上述观点有何历史依据。
## 第 12 课
近代战争与西方文化的扩张
1777 年的萨拉托加战役是美国独立战争中的重要战役,以英军战败而结束。这场战役的胜利增强了美国人民的信心,从此美军从战略防御逐渐转入战略进攻。独立后的美国形成了自己独特的文化。
## 独立战争后的美国文化与拉丁美洲文化
在美国独立战争前,来自英国及其他欧洲国家的移民和被贩卖为奴的非洲黑人,与当地的印第安人共同生活在北美洲的土地上。在欧洲人排斥、压迫印第安人和黑人等的基础上,在人们开拓殖民地的过程中,各种文化相互融合与混合,形成了美国文化的多元特征。北美居民在种族、血统和宗教上具有多源性和多样性。他们使用的英语已经发展为美式英语,与英国本土英语不尽相同;他们的饮食文化、艺术生活也融人了印第安人和黑人的因素。地方自治、勤俭务实、重视教育和创造精神等,也成为北美殖民地文化的一部分。到独立战争前,“美利坚人”已经成为北美殖民地居民的共同名称,同时,白人对黑人、印第安人的种族歧视和文化优越感根深蒂固。
从英军指挥官约翰伯戈因向美军指挥官投降
## 学习聚焦
独立战争后的美国文化与拉丁美洲文化,呈现出各具特色的多元性。
## 学思之窗
在美式英语中，一些单词来自印第安语,如 tamarack（落叶松)、pone（玉米饼)、Arizona（亚利桑那)、woodchuck (土拨鼠) 等。还有一些单词来自非洲黑人语言，如 tote (搬运)、okra(秋蔡) 等。
## 历史纵横
## 美国文化中的清教因素
清教是基督教新教的派别之一，产生于 16 世纪的英国，是英国宗教改革的产物，反映了上升时期资产阶级的意识形态。许多清教徒为避免政治和宗教迫害，来到北美大陆。所以当人们说起清教徒时，一般是指美国的清教徒。清教对美国文化的形成具有重要影响，成为美国文化的组成部分，也影响了美国对外部世界的看法，成为以后美国对外扩张的内在动力之一
独立战争直接推动了美利坚民族与美利坚文化的形成。1787年的联邦宪法,使北美大陆出现了第一个以启蒙思想家的理论为指导建立的联邦制共和国，权力制衡原则成为美国政治文化的组成部分。自由女神像成为美国文化的重要符号之一。但是,发展种植园经济和继续实行奴隶制,是与美利坚主流文化相违背的，是美国历史上黑暗的一面。
西班牙和葡萄牙通过残酷的殖民战争和掠夺，在美洲建立起殖民统治。到 19世纪上半叶，它们控制着美国以南的广大美洲地区。拉丁语族的西班牙语和葡萄牙语是这一地区的主要语言。随着大量西、葡移民的到来,拉丁美洲的民族与文化发生了巨大变化。
在拉丁美洲，欧洲白人、印第安人和黑人的种族融合现象非常普遍，形成等级分明的“混血社会”。
在欧洲移民活动的区域内，传统的印第安文化逐渐消失,西班牙、葡蒛牙文化成为主体，天主教成为拉丁美洲的主要宗教。作为拉丁文化特色之一的拉丁舞,也成为拉丁美洲的重要文化符号之一。但是在偏远的内陆地区,印第安人保留了他们的生活方式和文化传统,如多神信仰、图腾崇拜等。拉丁美洲的文化多元性非常明显。
19世纪上半叶,在拉丁美洲的独立运动中,除法属殖民地海地的独立是由黑人领导之外，西属殖民地的土生白人成为革命的主要领导者。西属拉丁美洲独立后,建立了 15 个共和国。葡属巴西独立后建立了帝国,1889 年建立共和国。它们都颁布了宪法,取消了奴隶贸易、奴隶制,以及印第安人的人头税和强制劳役,但对黑人与印第安人的种族压迫与歧视仍然存在。另外,战争也促成了战后考迪罗独裁权力的形成,这成为独立战争后拉丁美洲政治文化的特征之一。
## 拿破仑战争后欧洲文化的重构
17-18世纪,欧洲的大多数国家仍处于封建统治之下。拿破仑通过战争,在欧洲建立了一个从大西洋沿岸到波兰,从波罗的海到地中海的庞大帝国,将法国资产阶级革命的成果向这些地区传播。拿破仑大军所到之处,废除封建贵族特权,推行《拿破仑法典》,传播启蒙思想,受到各国革命者的欢迎。但是,拿破仑也压迫被征服地区,掠夺财富、推派兵役,引起当地人的不满。在反抗法国征服的斗争中,欧洲各地出现了不断高涨的民主意识和民族独立要求。拿破仑战争后,欧洲的政治文化得以重构,封建、专制成为众矢之的,民主、独立、自由、法治等越来越成为欧洲的普遍诉求。
在俄国,一些贵族青年军官参加了 1812 年打败拿破仑的卫国战争,他们受到启蒙思想的影响,希望按照西欧的方式来改造国家。他们成立了秘密革命组织,于 1825 年 12 月发动了试图推翻沙皇专制制度和农奴制的武装起义,被称为“十二月党人”。起义尽管很快失败,但在俄国传播了革命的主张。
生活在巴西的印第安儿童
学习聚焦
拿破仑战争后，民主、独立、自由、法治等越来越成为欧洲普遍的政治诉求。
## 各学思之窗
列宁曾评价十二月党人:
这些革命者的圈子是犷小的。他们同人民的距离非常远。但是，他们的事业没有落空。
—一 [ 苏] 列宁《纪念赫尔岑》,《列宁选集》第二卷
谈谈你对列宁这个评价的看法。
十二月党人起义的情景
$\triangle$ 肖邦 $(1810-1849)$
波兰音乐家肖邦，生于华沙,后定居巴黎。他一生创作了大量钢琴曲,被称为“钢琴诗人”。他的作品充满家国情怀,成为波兰乃至世界的宝贵文化遗产。
## 思考点
拿破仑战争后欧洲的政治文化出现了哪些新的因素?
## 治文化出现了別业新的因素?
## 学习聚焦
在回应殖民者文化侵略的过程中,被殖民者会不同程度地接受外来文化,但也会努力保护传统文化,其文化呈现出新的多样性。在被俄国统治的波兰地区，1830年11月，一批贵族青年军官和学生在华沙发动了争取民族独立的起义,进一步推动了波兰的民族解放斗争。
在仍然处于分裂状态的德意志,其北方大邦普鲁士在与拿破仑的战争中战败,失去了大量土地,不得不进行并不彻底的废除农奴制改革。随着经济的发展,德意志要求改革与统一的呼声高涨。1848年 2 月和 3 月,奥地利和普鲁士等地发生革命,要求建立统一的独立国家、制定宪法。这次革命虽然失败，但德意志的统一之势已不可阻挡。
(1) 史料阅读
1807 年颁布的《普鲁士改革敕令》规定：
10. 从本令之日起不得以家庭出身或婚姻,或以承担农奴地位，抑或以契约创设新的农奴制关系
11. 因本令之公布，那些由继承，或由其自身权利，或由永佃、或由公䈌持有而占有其农地的农奴及其妻儿的各种现有农奴制关系和一切相互的权利义务，均应完全停止
一一周一良、吴于㢆总主编，蒋相泽主编《世界通史资料选辑・近代部分》
## 欧洲殖民者的文化侵略
在欧洲的殖民侵略中,文化侵略是重要的组成部分。殖民国家往往通过向被殖民地区输出民主、自由、人权等价值观及基督教，改造甚至消灭后者的文化，淡化后者的民族意识,达到殖民目的。被侵略的民族不同程度地接受了外来文化,但也努力保护自己的传统文化,使自身文化呈现出新的多样性。
鸦片战争后，中国面临“数千年末有之大变局”。以林则徐、魏源、郑观应等为代表的志士仁人,主张向西方学习以求自强。他们的思想,对周边国家如日本也产生了影响。清政府的洋务运动和戊戌变法,也使一些新技术、新思想传人中国。Ø 历史纵横
## 反洋教运动
1860 年《北京条约》签订后，洋教弛禁，西方传教士倚仗不平等条约的庇护，深入中国各地，广置教堂，滥收教徒，勾结地㾔流姄，横行城乡，民教纠纷不断发生。教士、外交官袒教抑民,清朝官员处理民教纠纷,往往屈服于列强压力，使老百姓蒙寃受屈，反洋教运动由此而起。近代中国的反洋教运动，发生 400 多起，遍及全国各地。1870年爆发天津教案。当时，天津天主堂与民众发生争执，法国驻天津领事开枪打死天津县令的随从，民众在愤怒中打死了法国领事。在法国、英国的压迫下，经曾国藩、李鸿章处理，中国官民 16 人被判处死刑，方才了结天津教案。19世纪末，德国借ロ传教士在山东被杀，强占了胶州湾,进一步激起了民众自发的反帝爱国情绪。大规模的义和团运动终于爆发了。
英国在将印度变为其殖民地的过程中，把英语和英国的法律体系、政府体制、文官制度等移植到印度。但是受过英式教育的印度上层精英却运用欧洲的意识形态来反抗英国的殖民统治,并提出“印度人的印度” 口号。另外,印度的传统文化顽强地保留下来,如：印度教和伊斯兰教还是印度的主要宗教，基督教末能全面流行开来;种姓制度虽然被废除，但仍然在社会生活中扮演着重要角色。
埃及长期受到法国与英国的殖民统治，独立后实行君主立宪制,但是在社会生活中,伊斯兰教仍然是其主要宗教，阿拉伯民族的传统生活方式也得以保留。
《盛世危言》书影
郑观应是中国近代较早具有维新思想体系的理论家、实业家和教育家。他于 1894 年完成的《盛世危言》一书，贯穿“富强救国”主题，主张“欲攘外，㐩须自强;欲自强，必先致富；欲致富，必首在振工商;欲振工商,必先讲求学校，速立宪法，尊重道德，改良政治”，推动了维新变法思想的广泛传播。
## 探究与拓展
## 问题探究
结合本课内容与所学知识，想一想: 欧洲殖民者的文化侵略有哪些表现形式?如何看待它们的客观影响?
## 学习拓展
俄国作家赫尔岑的回忆录《往事与随想》记述了 19 世纪20-60 年代俄国和西欧的社会生活及革命事件,描写了形形色色的人物，展现了作者个人的生活道路和思想发展。中国作家巴金作为这本书的中文译者之一，曾认为这本书是他最爱读的一本书。
尝试读一读《往事与随想》，看一看你能够从这本书中获得哪些重要的历史信息。
## 第 13 课
## 现代战争与不同文化的碰撞和交流
在第一次世界大战中,殖民宗主国把大量殖民地人民投入战场。在为宗主国的生存而战的过程中,殖民地人民的民族独立意识进一步觉醒。
## 第一次世界大战与民族民主意识的觉醒
在第一次世界大战中为英国作战的印度骑兵第一次世界大战前,东欧和东南欧的被压迫民族,已经有不断高涨的民族独立愿望和行动。然而它们国小力弱,内部纷争,又为大国所利用,无法主宰自己民族的命运。
第一次世界大战以极其残酷的方式,给世界各国人民带来了深重的灾难,但它客观上将自由、民主与民族独立
## 学习聚焦
第一次世界大战进一步激发了欧洲、亚洲、非洲和拉丁美洲民族民主意识的觉醒。20世纪第一次民族民主运动的高潮出现了。
## 学思之窗
第一次世界大战前的欧洲
第一次世界大战后的欧洲
观察上面两幅地图,说一说第一次世界大战后,欧洲出现了哪些新的国家。的思想进一步传播到欧洲、西亚和北非各地。战争后期，俄罗斯帝国、奥匈帝国、德意志帝国和奥斯曼帝国纷纷解体,在这些帝国的废墟上诞生了一系列民族独立国家,改变了欧洲、西亚和北非的政治版图。
第一次世界大战对欧洲的殖民帝国也产生了重要影响。英国将其殖民地印度的士兵，法国将其北非殖民地阿尔及利亚、突尼斯和摩洛哥的士兵,大量投人战场。但是,正是在帮助宗主国作战并取得胜利的过程中，殖民地人民认识到,白人不是天命所注定的应当统治有色人种的种族。民族自决原则在殖民地传播开来,成为指导当地人民为独立、民主而斗争的武器。
## 史料阅读
一位法国官员评论道：“参与到第一次世界大战中的这 17.5 万非洲士兵,在法兰西和佛兰德的壕沟里掘好了旧非洲的坟墓。”
法国驻印度支那总督于1926年写道:“这场把欧洲浸润在血泊中的战争已经 …… 唤醒了远离我们的土地上人民的独立意
本身都变了。”
一一转引自 [美] 斯塔夫里阿诺斯著,王红生等译《全球分裂：第三世界的历史进程》
反法战争中的胡志明
$(1890-1969)$ 在亚洲，这种变化和斗争尤为深刻。在十月革命的感召下,作为对西方侵略和殖民统治的回应,亚洲大地上出现了争取民族独立和解放的斗争。在中国,巴黎和会上收回山东主权的外交努力失败,五四运动爆发,中国先进的知识分子猛醒,开始接受马克思列宁主义。这一思想文化上的巨大变化,以中国共产党的成立为标志。从此,中国共产党一直领导着中国革命的进程。在法属印度支那,胡志明也曾指望宗主国法国给予印度支那独立和民主,遭遇失败后,他在法国参加了共产党,转向了以民族解放斗争来争取国家独立。在印度,甘地领导的非暴力不合作运动持续开展。受到甘地影响与信任的尼赫鲁比甘地更加明确地提出了要求印度完全独立的政治目标,并为之奋斗。与此同时,非洲的埃及,拉丁美洲的尼加拉瓜、墨西哥等地也出现了争取民族独立和推进民主的进步运动。这些斗争形成 20 世纪第一次民族民主运动的高潮。经过第一次世界大战,欧洲所代表的殖民主义势力不断遭到冲击,世界殖民体系开始解体。
## 泛非会议
1900 年 7 月,来自美国、西印度群岛和非洲的 57 名代表在伦敦举行第一次泛非会议。会议讨论了全世界黑人的境遇问题，主张黑人与白人应享有同等权利，提出“非洲是非洲人的非洲” 的口号,形成了泛非主义思想。第一次世界大战后,泛非运动日益活跃。从 1919年到 1945 年,连续召开了 5 次泛非大会,这是非洲人民要求民族独立和自治的重要表现。
## 第二次世界大战与世界殖民体系的瓦解
第二次世界大战是对殖民主义的致命打击。战争期间,为了彻底打败法西斯侵略者,反法西斯联盟通过一系列声明、宣言等,在政治理论上进一步确立了民族自决原则与废除殖民主义的正义性,明确支持殖民地、半殖民地的独立要求。随着日本的战败,朝鲜获得了独立,中国收复了台湾。
## 史料阅读
尊重各民族自由选择其所赖以生存的政府形式的权利。各民族中的主权和自治权有横遭剥夺者,两国倶欲设法予以恢复
—-1941 年 8 月英、美两国首脑签订的《大西洋宪章》
$\cdots \cdots \cdot$ 协助从纳粹德国统治下获得解放的各国人民，以及欧洲的前轴心附庸国人民，用民主方式解决他们迫切的政治问题和经济问题。
要和其他爱好自由的各国合作以建立一种在法治下的
## 思考点
第一次世界大战对殖民地、半殖民地产生了怎样的影响?
## 学习聚焦
第二次世界大战进一步从政治理论上确立了民族自决原则与废除殖民主义的正义性,是对殖民主义的致命打击。战后世界殖民体系土崩瓦解。世界秩序,致力于全人类的和平、安全、自由与普遍的福利。
-1945 年 2 月美、英、苏三国首脑在雅尔塔会议上通过的《关于被解放的欧洲的宣言》
发展国际间以尊重人民平等权利及自决原则为根据之友好关系,并采取其他适当办法,以增强普遍和平。
促成国际合作,以解决国际间属于经济、社会、文化及人类福利性质之国际问题,且不分种族、性别、语言或宗教,增进并激励对于全体人类之人权及基本自由之尊重。
-1945年 6 月通过的《联合国宪章》
战争结束后,随着殖民主义的急速衰落、亚非拉地区经济的发展和民族民主意识更为广泛的传播,第二次民族民主革命浪潮席卷了所有帝国主义列强的殖民地和半殖民地。对英国首相丘吉尔来说,尽管他极力维护英帝国,不愿充当“为英帝国敲丧钟的首相”,但是英帝国还是很快解体了。对法国总统戴高乐来说，面对阿尔及利亚人民的武装反法斗争,他不得不签署《埃维昂协议》,承认阿尔及利亚独立。
第二次世界大战后,构建了几个世纪之久的世界殖民体系,最终土崩瓦解,退出了历史舞台。
## 第二次世界大战后新兴民族国家的文化发展
## 学习聚焦
第二次世界大战后的新兴民族国家在建设现代化的过程中,形成了本土文化与西方文化相结合的新文化。随着现代化的推进，第二次世界大战后出现的一系列新兴民族国家,形成了当地民族文化与西方文化相结合的新文化。
独立后,印度的统治精英接受来自西方的自由主义、民族主义和社会主义思想中的一些基本价值取向,同时注重发展传统文化,使印度走上了独特的发展道路。印度的政治体制学习英国,中央与地方分享权力,采取宗教与政治分离政策,主要官方语言为印地语和英语。印度也崇尚甘地思想,尊重宗教信仰的多样性。此外,历史传统中的种姓因素等仍然影响着政治与社会生活。印度的现代文化呈现多样化特征。
1 印度国家博物馆
印度独立后建立的国家博物馆位于新德里，是一座具有现代风格的建筑物，有着丰富的藏品
20 世纪 60-80 年代,新加坡、韩国作为亚洲的新兴工业国,引人注目。它们有类似的儒家文化背景,在经济发展过程中，都注意发扬儒家文化的精华,诸如宽容和谐、重视教育、社会为先、吃苦耐劳、勤俭节约等，同时又注意吸收西方文化的精华,如科学技术、管理知识、竞争意识、高效率作风等，努力创造一种现代的东方文化。
## 历史纵横
## 新加坡的经济增长与儒家文化的关系
20 世纪 60-80 年代，新加坡经济快速发展。新加坡前总理李光耀认为新加坡的经济发展离不开儒家文化的影响。他在回忆录中写道：东亚儒家社会同西方自由放任的社会有着根本的差异。儒家社会相信个人脱离不了家庭、大家庭、朋友以至整个社会，而政府不可能也不应该取代家庭所扮演的角色。新加坡依赖家庭的凝聚力、影响力来维持社会秩序，传承节俭、刻苦、孝顺、敬老、尊贤、求知等美德。这些因素造就了有生产力的人民，推动了经济增长。
第二次世界大战后，埃及成立了共和国。共和国进一步消除殖民主义影响,复兴民族文化。现代埃及文化是具有非洲特点的阿拉伯文化,并带有欧洲和西亚等地的文化元素。在埃及，伊斯兰教为官方宗教，也有少数人信仰基督教等其他宗教。阿拉伯语为官方语言，但英语和法语也被广泛使用，英语中的“埃及”一词，是从古希腊语演变而来的。古埃及留下的诸多名胜古迹成为埃及乃至世界的文化遗产，对现代埃及的建筑和艺术等也有很大影响。
(1) 汉城，韩国首都的旧称，现改用其韩语音译，称“首尔”，英文为 Seoul。
$\Delta 1988$ 年汉城奥运会的宣传海报 1988 年汉城奥运会的宣传海报是以韩国传统舞蹈扇子舞为基础设计的。五个扇子象征奥运的五环，体现了世界和平的奥林匹克精神，明亮的色彩和简洁的线条营造了一种活泼生动的气氛，具有现代的设计感。
## 思考点
怎样理解新兴民族国家的文化复兴?
塔哈・侯赛因 $(1889-1973)$
塔哈 ·侯赛因是埃及盲人作家,被誉为“阿拉伯文学之柱” 他的自传体小说《日子》,描绘了 19 世纪末 20 世纪初埃及的社会生活，体现了当时具有新思想的知识分子要求进步与改革的强烈愿望,也标志着埃及现代新文学的诞生侯赛因也成为埃及要求民族复兴的新兴力量的代表
## 探究与拓展
## 问题探究
1960年，英国首相麦克米伦访问非洲，他不无感慨地说:“变革之风已经吹遍这个大陆,不管我们喜不喜欢,民族意识的这种增长是个政治事实。我们大家都必须承认这个事实,并且在制定国家政策时把它考虑进去。”
这段话反映了怎样的政治文化现象?导致这种现象发生的动力是什么?
## 学习拓展
查找资料,结合所学,选择若干案例,谈谈现代战争是如何影响文化的碰撞、交流与发展的。
## 第六单元
## 文化的传承与保护
文化的传承与保护，最初以口头传说和史诗的形式出现。其后,学校、书籍,以及图书馆、博物馆等逐渐发展成为文化传承与保护的主要载体。然而,难以抵御的自然灾害，频频发生的战争，以及对资源的过度消耗，使得这些遗产不断遭受破坏。正是认识到文化遗产对保持民族文化的传承、维护世界文化多样性和创造性有着重要意义,世界各国采取了种种措施，以保护全人类的共同财富。
通过本单元的学习,了解历史上学校教育、留学、书刊出版、翻译事业以及图书馆、博物馆在文化传承与传播中的作用，认识文化遗产保护对保持文化的传承、维护世界文化多样性和创造性具有的重要意义。
## 第 14 课
文化传承的多种载体及其发展
北京国子监的琉璃牌坊
## 学习聚焦
学校教育在文化传承、科学研究、人才培养等方面发挥了重要作用。
《白鹿洞书院揭示》
朱喜制定的《白鹿洞书院揭示》,亦称《白鹿洞书院学规》《白鹿洞书院教条》,是中国书院发展史上一个纲领性学规。太学与国子监,是中国古代教育的重要标志。位于北京的国子监,是元、明、清三代国家最高学府兼教育行政机构。图为北京国子监的琉璃牌坊。
## 学校教育的发展
中国古代学校教育的主要形式是官学与私学。汉朝设立的太学,以及西晋开始设立的国子监,是古代中国的最高学府和教育行政机构。中央官学之外,还有自汉朝开始设立的地方官学。
私学产生于春秋时期,改变了“学在官府” 的情形。其中儒家的代表孔子影响最大,其他诸子的思想也各有特色。唐朝以后,私学得到进一步发展,私人设立的学塾、村学和蒙学构成基层社会教育的重要形式。书院制度的建立,更推动了私学的发展。宋代是书院产生和发展的重要时期，位于江西庐山的白鹿洞书院最为著名。
无论官学还是私学,在古代文化的保存与传播上,都发挥了不可替代的作用。古代典籍依托于此得以传承。科举考试的推行,也有赖于官学与私学的支撑。
古希腊产生了欧洲最初的学校形式,奠定了分科教育的基础。近代以后,大学逐渐发展成为保存、传播和发展人类文化的重要场所。法国拿破仑建立的“大学区” 制度,确立了保留至今的国民教育制度。德国人洪堡秉持“研究教学合一” 的精神创办的柏林大学,促成大学职能的转变,将教学与研究结合在一起。美国大学则逐渐倾向于世俗化与商业化，使更多的人有机会接受大学教育。京师大学堂创建于戊戌维新运动中,既是近代中国第一所由中央政府建立的综合大学,又是国家最高教育行政机关，主导新式教育的推进，采取分科教育的方式。京师大学堂的建立,是中国教育近代化的标志。1912年,京师大学堂改名为“北京大学”。1916年蔡元培接任北京大学校长后,将大学定位为“囊括大典、网罗众家之学府”,很快使北京大学成为新文化运动的中心和学术研究的重镇。1911 年创办的清华学堂,次年更名为“清华学校”,1928年组建为国立清华大学。清华大学延聘国内外著名学者执教,迅速发展成为全国高水平的大学。
## 学思之窗
则北京不少专门学校,入法科者尽可葏业法律学堂,入商科者亦可投考商业学校,又何必来此大学?所以诸君须抱定宗旨,为求学而来。入法科者,非为做官;入商科者,非为致富。
—一蔡元培《就任北京大学校长之演说》C 历史纵横
留学教育古代世界的文明中心，吸引了来自异域的学生,这是留学教育的发端。近代以后，留学教育更得到大力发展。1872-1875 年,由容闹倡议，清政府先后派出 4 批共 120 名学生赴美留学。新文化运动时期兴起的留法勤工俭学运动,为中国革命和国家建设培养了一大批栋梁之材。
阅读材料,概括蔡元培的观点。
清华学校招收的第一批学生合影
清华学校于 1925 年设立大学部，第一批招收学生 95 人，称为“一级”
新中国成立后,国家收回了教育主权,接管了各级各类学校。1949年底,第一次全国教育工作会议召开,会议决定教育要为国家建设服务,学校要向广大工农开门,大力提高人民的文化水平。后来,国家还提出了受教育者要在德、智、体等方面全面发展的教育方针。经过十几年的努力,中国逐步形成比较完整的国民教育体系,学前教育、大中小学教育及成人教育初具规模,全日制、半工半读、业余教育共同发展,培养了大批素质较高的劳动后备军和德才兼备的建设人才。“文化大革命” 爆发后,教育事业受到很大破坏。“文化大革命” 结束后,中断十年的高考制度恢复,教育事业重新走上正轨。1983年,邓小平提出“教育要面向现代化,面向世界,面向末来” 的指导方针,教育改革的步伐加快。20世纪 90 年代,国家开始实行“科教兴国” 发展战略,大量增加教育投人。
改革开放 40 多年,中国教育迈人历史新征程,高校年毕业生人数从 16.5 万增长到 820 万,教育事业取得举世瞩目的成就。着眼于满足不同年龄、不同领域、不同职业群体学习和深造的愿望与需求,学前教育、义务教育、高中阶段教育、职业教育、特殊教育不断发展,教育公平的步伐加速推进,每个人的受教育权利得到更有力的保障。
学校教育的不断发展与完善,具有重要意义。在文化传承、科学研究、人才培养等方面,学校教育发挥了举足轻重的作用。
## 印刷书的诞生
## 学习聚焦
印刷书的诞生,极大地推进了文化的传承与传播。书籍是文化传承的主要载体。约在公元前 30 世纪，埃及出现的纸草书卷,一般被认为是书籍的维形。中国早期的书籍是用竹片或木板作书写材料的简策和用缣帛作书写材料的帛书，盛行于春秋战国乃至秦汉时期。
帛书书籍的普及有赖于造纸业的发展以及雕版印刷术、活字印刷术的发明。公元前 2 世纪,中国已出现用植物纤维制成的纸。105年,东汉蔡伦在总结前人经验基础上改进制成“蔡侯纸”。书写材料由竹木、缣帛逐渐过渡为纸,促进了文化的传播。唐朝已有雕版印刷品。北宋时的毕昇发明用胶泥制的活字,这是印刷技术一次质的飞跃。约 15 世纪中叶,德国人谷登保将多项技术整合在一起,采用金属活字印刷。这成为现代印刷术发展具有象征意义的重大事件,直接催生了被视作“新一代的书籍” 的印刷书,还进一步推动了报纸、杂志的普及。
印刷书的诞生,堪称具有革命性的转变,掌握书籍的不再是少数人。这大大有助于文化的大众化,对提高人们的文化修养、促进各民族的发展,具有重要意义。
## 历史纵横
## 翻译活动的开展
翻译书籍对促进文化之间的交流、扩大文化的影响力，发挥着重要作用。明末清初来到中国的耶稣会士,翻译、撰写了许多介绍天文、历算等方面知识的书籍,还把中国的优秀文化典籍介绍到西方，促进了中西文化的交流。
## 图书馆的成长
图书馆担负保存人类文化典籍的职责，起源于对文字资料的收藏。古文明遗址中保存最完整、规模最宏大、书籍最齐全的图书馆,是公元前 7 世纪的亚述巴尼拔王建立的。这里收藏有约 25000 块泥版文书,几乎囊括了当时亚述的全部知识。
在西方文明演进过程中,修道院、大教堂和大学图书馆,在保存古典时期文化遗产方面发挥了重要作用。私人图书馆也随之兴起。图书馆的作用不仅限于保存古籍和文化遗产,而且逐渐发展出服务公众的职能。19世纪下半叶,英、美等国家出现了面向所有人开放的具有近代意义的公共图书馆。
## 发现于山西应县木塔的辽代雕版印刷书《蒙求》书影
## 思考点
印刷书为什么被视作“新一代的书籍”?
아 学习聚焦
图书馆的作用不仅限于保存古籍和文化遗产,而且逐渐发展出服务公众的职能。
美国国会图书馆
## 史料阅读
周道废，秦拨去古文,焚灭诗书，故明堂石室金 㔷玉版图籍散乱。于是汉兴,萧何次律令,韩信申军法,张苍为章程,叔孙通定礼仪,则文学彬彬稍进,诗书往往间出矣。自曹参荐盖公言黄老,而贾生、氺错明申、商,公孙弘以儒显,百年之间，天下遗文古事靡不毕集太史公。太史公仍父子相续箕其职。
-《史记・太史公自序》
## 学习聚焦
博物馆全方位向公众提供关于自然、文化各领域的知识。
阿什莫林博物馆中国古代十分重视图书文献的保存，朝廷设有专门掌管典籍的史官，并建有“府”“阁”“堂”“室”等藏书之所。除了官藏外,私家藏书伴随私学的出现也得到发展。明清两代尤其突出,出现了一批著名的藏书家和藏书楼。明朝中期建造的天一阁，是古代中国私家藏书的代表。
1909 年，清政府开始筹建京师图书馆。1916年起，凡在内务部立案的出版图书均交京师图书馆收藏,国家图书馆的职能开始体现。中华人民共和国成立后,京师图书馆改名为“北京图书馆”，1998 年改称“国家图书馆”。党和国家高度重视图书馆事业的发展，在全国范围内逐渐建立各级各类的图书馆。
中国国家图书馆
截至2019年底，中国国家图书馆馆藏文献超过 4000 万册件，其中古籍文献 200 余万册件，尤以“四大专藏”即“敦煌遗书”、“赵城金藏”、《永乐大典》和文津阁《四库全书》最受瞩目。
## 博物馆的建设与发展
公元前 290 年前后,托勒密 • 索托在埃及亚历山大城创建的亚历山大博学园，有图书馆、动植物园，还有专门收藏文化珍品的缪斯宫。缪斯宫后来被称为“亚历山大博物馆”，一般认为这是人类历史上最早的博物馆。
1683 年,牛津大学建立的向公众和学者开放的阿什莫林博物馆，被视作第一个具有近代特征的博物馆。到 18 世纪，博物馆建设迈出重要的一步，大英博物馆、法国的卢浮宫等重要的博物馆，都建立于这一时期。19世纪六七十年代,法国人韩伯禄在上海建立的自然历史博物院,是中国最早出现的近代意义上的博物馆。英国亚洲文会也在上海设立了主要陈列动物标本的自然历史与考古类博物馆。中国人自建的第一个公共博物馆,是 1905年张謇在江苏南通建立的南通博物苑。
中华民国成立以后,博物馆的建设展现出新的气象。1912 年,教育部在北京国子监设立国立历史博物馆筹备处。1926年，国立历史博物馆正式开馆。1933年，蔡元培等倡议在南京建立国立中央博物院,由于战争的影响,到 1948 年 4月第一期工程及附属工程才竣工。中华人民共和国成立后,国立历史博物馆改名为“国立北京历史博物馆”,国立中央博物院改名为“国立南京博物院”。
故宫博物院位于北京故宫紫禁城内,成立于 1925 年 10 月 10 日,是为保护清朝宫廷遗留下来的文物珍品而建立的。中华人民共和国成立后,通过国家调拨、向社会征集以及接受私人捐赠等方式,故宫博物院在旧藏珍宝的基础上,极大地丰富了文物藏品。现有藏品总量 186 万余件,其中一级藏品 8000 余件。故宫博物院是中国最大的古代艺术博物馆，也是世界著名的博物馆。
1959年 7 月建成的中国人民革命军事博物馆,是中国第一个综合类军事博物馆,馆藏特色文物为武器、军服、证章和军事题材艺术品等。1959年9月,中国历史博物馆、中国革命博物馆建成。2003年 2 月,在两馆基础上中国国家博物馆正式组建。该馆现有 140 万余件藏品,建筑面积
中国国家博物馆近 20 万平方米,是世界上单体建筑面积最大的博物馆。中国各地都建有综合性博物馆,以及丰富多彩、各具特色的专业博物馆。这些博物馆共同展现了中华文化的血脉绵延与灿烛辉煌。
近代以来建立的博物馆，是征集、收藏、展示、研究自然和人类文化遗产的重要场所。同时,博物馆也是进行国民教育的重要场所,全方位向公众提供关于自然、文化各领域的知识,以一种特有的方式担负着文化传承和传播的使命。
## 探究与拓展
## 问题探究
结合史事,谈谈学校教育、留学、印刷书、翻译以及图书馆、博物馆在文化传承与传播中的作用。
## 学习拓展
1946年，国际博物馆协会在法国巴黎成立。1974年,该协会将博物馆定义为“一个不追求营利、为社会和社会发展服务的公开的永久性机构,为研究、教育和欣赏的目的,对人类和人类环境见证物进行搜集、保存、研究、传播和展览”。公益性成为博物馆的首要职责。1977年,国际博物馆协会又把每年的 5 月 18 日定为“国际博物馆日”,并且每年确定活动主题。
结合某一年国际博物馆日的活动主题,谈谈这一主题的意义。
## 第 15 课
文化遗产：全人类共同的财富
2019 年 7 月,在阿塞拜疆首都巴库召开的第 43 届世界遗产委员会会议上,中国“良渚古城遗址” 被列入《世界遗产名录》。至此,中国共有 55 项世界遗产,其中文化遗产 37 项,自然遗产 14 项,文化和自然双遗产 4 项。改革开放以后,中国成为推动文化遗产保护的重要力量,体现出一个文明大国守护人类共同财富的担当。
良渚古城遗址
## 文化遗产的保护与利用
文化遗产是全人类的共同财富。这些由各民族在数千年历史进程中创造的文化财富,一直受到严重威胁。针对如何保护文化遗产,各国也采取了不少举措,留下了宝贵的经验。
世界各国历史上都有保护及研究文物的传统。在古代世界,收藏文物,往往是从艺术珍品开始的,成为人们拥有财富与权力的体现。在欧洲各国的皇室、贵族和教会中,收藏艺术珍品和宗教遗物之风颇为盛行。中国历代帝王、达官贵人和民间收藏家十分重视收藏各种器物、字画、书籍等,针对古代器物进行分类、著录的金石学还发展成为专门之学。
大约从 19 世纪开始，一些国家通过立法进行现代意义上的文物保护。1834年,希腊针对古迹保护制定了法律。20世纪六七十年代,世界范围内出现了保护文物古迹的高潮。1964年的《国际古迹保护与修复宪章》,是关于古迹保护的第一个国际宪章,强调对文物古迹的保护以历史的真实性为第一要义,有着深远的意义。
## 学习聚焦
文物古迹的保护原则和方法以历史的真实性为第一要义。
庞贝古城遗址
始建于公元前 6 世纪的古罗马城市庞贝，在 79 年毁于维苏威火山大爆发。1748 年,在对庞贝城进行考古发掘时，由于发掘初期缺乏必要的保护措施，遗址遭到很大的破坏
列人第一批全国重点文物保护单位的莫高窟
在中国，由中央政府对文物古迹进行保护始于 1906年清政府颁布的《保存古物推广办法》。1930年,南京国民政府设立的中央古物保管委员会，公布了中国历史上第一部文物保护法律《古物保存法》。中华人民共和国建立起专业化的文物保护体系，并完成了中国历史上第一次全国性文物普查。1961 年 3 月,第一批全国重点文物保护单位公布，共 180 处。到2019年，国务院已公布 8 批全国重点文物保护单位，总数为 5058 处。
(1) 史料阅读
在《保存古物推广办法》基础上,清政府于 1909 年拟定的《保存古迹推广办法章程》提出针对古迹的六条调查事项，以及五条保存事项，重点说明:
周秦以来碑碣、石幢、石磬、造像及石刻、古画、摩崖字迹之类,现存何县、何地,及某县某种物共有若干,某物字迹现存若干,有无断折残缺情形,拟令督抚饬属详查咨部存案备核
—上海商务印书馆编译所编簛，蒋传光点校《大清新法令 $(1901-1911)》$ 第 6卷
1982 年通过并实施的《中华人民共和国文物保护法》,是由国家最高立法机关颁布的法律,致力于加强对文物的保护、研究和利用,以使中华民族优秀的历史文化遗产得到继承。这部法律还特别指出，由国务院将“保存文物特别丰富并且具有重大历史价值或者革命纪念意义的城市” 核定公布为历史文化名城，从而建立起历史文化名城保护制度。
## 《世界遗产公约》
任何文化和自然遗产都是人类共同财富。1972年,联合国教科文组织第 17 届会议通过《保护世界文化和自然遗产公约》。这一公约简称《世界遗产公约》,旨在集各国之力，对日益遭到损毁的文化和自然遗产实施有效保护。截至2017年 1月,共有 193 个国家加人《世界遗产公约》,这是目前拥有缔约国最多的公约之一。
《世界遗产公约》充分肯定文化遗产具有“突出的普遍价值”,整个国际社会有责任通过提供集体性援助来参与保护。该公约还规定,对于一部分全人类的共同遗产,应列人《世界遗产名录》加以重点保护。1978 年，确定的首批 12处世界遗产被列人《世界遗产名录》。截至2019年 7月,列人的遗产数量达到 1121 处,分布在 167 个国家。自 1979年以来,联合国教科文组织又将存在严重威胁的遗产列人《濒危世界遗产名录》。
## 历史纵横
《世界遗产公约》所定义的“文化遗产”
文物：从历史、艺术或科学角度看具有突出的普遍价值的建筑物、碑雕和碑画、具有考古性质成分或结构、铭文、窟洞以及联合体;
建筑群：从历史、艺术或科学角度看在建筑式样、分布均匀或与环境景色结合方面具有突出的普遍价值的单立或连接的建筑群;
遗址：从历史、审美、人种学或人类学角度看具有突出的普遍价值的人类工程或自然与人联合工程以及考古地址等地方。
## 布达拉宫
布达拉宫是世界上海拔最高的古宫殿群,于 1994 年被列入《世界遗产名录》。
《世界遗产公约》确定了文化遗产、自然遗产、文化与自然双重遗产三种类型。1998年，联合国教科文组织通过《“人类口头和非物质文化遗产代表作” 条例》,正式提出
$\Delta 2001$ 年毁于战火的阿富汗巴米扬山谷的文化景观和考古遗址
这一遗址于 2003 年同时被列 $入《$ 世界遗产名录》和《濒㡰世界遗产名录》。
## 历史纵横
“非物质文化遗产”
“非物质文化遗产”包括以下几个方面: 1. 口头传统和表现形式,包括作为非物质文化遗产媒介的语言;2.表演艺术;3. 社会实践、仪式、节庆活动;4. 有关自然界和宇宙的知识和实践;5. 传统手工艺。
## 思考点
为什么要保护“非物质文化遗产”?
## 学思之窗
2018年9月启动的“故宫养心殿研究性保护项目”,强调“最大限度保留古建筑的历史信息”“不改变古建筑的文物原状”“在修缮过程中进行古建筑传统修缮技艺传承” 三大原则
—摘编自《故宫古建怎么修》,《人民日报》2018 年 9 月 4 日第 13 版
故宫博物院为什么把养心殿的修复定位为“研究性保护项目”?“人类口头和非物质文化遗产”这一概念。2003 年 10 月，联合国教科文组织第 32 届大会又通过《保护非物质文化遗产公约》。这不仅完善了对文化遗产的认识，而且表明文化遗产保护对传承民族文化、维护文化多样性和创造性有着重要意义。
1985 年 11 月，中国正式加人《世界遗产公约》，成为缔约国。2004年 8 月，中国又加人《保护非物质文化遗产公约》。针对文化遗产及非物质文化遗产的保护，中国还制定了具体的实施办法。2006年审议通过的《世界文化遗产保护管理办法》,强调“世界文化遗产工作贯彻保护为主、抢救第一、合理利用、加强管理的方针，确保世界文化遗产的真实性和完整性”。2011年,中国还通过了《中华人民共和国非物质文化遗产法》，该法指出中国的“非物质文化遗产” 是“各族人民世代相传并视为其文化遗产组成部分的各种传统文化表现形式,以及与传统文化表现形式相关的实物和场所”。
通过上述举措，保护遗产、传承文化的理念日益深人人心，推动了中国文化遗产保护事业的发展。中国成为推动世界遗产保护的重要力量,体现出一个文明大国守护人类共同财富的担当。
A 北京明清故宫内的养心殿
## 各国的历史遗迹与文化遗产
古代文明的遗迹是世界文化遗产的重要组成部分。列人《世界遗产名录》的,都代表着文明所留下的辉煌,并且其价值得到世界的肯定。其中,具有代表性的古代文明遗迹主要包括雅典卫城、古罗马城、阿布辛拜勒神庙、孟菲斯及其墓地金字塔等。
不仅是古代,近代同样留下很多著名的文化遗产,佛罗伦萨就成为展示欧洲文艺复兴的重要文化遗产。这里有众多的历史建筑和藏品极为丰富的博物馆,堪称包罗万象的艺术之城。
中国第一批列人《世界遗产名录》的有长城、莫高窋、明清皇宫、秦始皇陵及兵马俑坑、周口店北京人遗址五项世界文化遗产,以及作为世界文化与自然双重遗产的泰山。
## 学习聚焦
文化遗产代表着人类文明所留下的辉煌,具有“突出的普遍价值”。
1979年列人《世界遗产名录》的孟菲斯及其墓地金字塔
埃及金字塔的建造始于公元前 27世纪,是集宗教与世俗权力于一身的埃及法老为自己修建的巨型陵募。位于今天开罗西郊吉萨高地的金字塔群，是埃及金字塔的代表 1982年列人《世界遗产名录》的佛罗伦萨历史中心
作为文艺复兴的象征，佛罗伦萨在15世纪和 16 世纪的美第奇时代达到经济上和文化上的顶峰。众多卓越的艺术家在此留下了大量闪耀着文艺复兴时代光芒的建筑、雕塑和绘画作品
昆曲剧照
昆曲，原名“昆山腔”“昆腔”，现又被称为“昆剧”，是现存中国最古老的戏曲声腔、剧种，约在元朝末期产生于苏州昆山一带。昆曲于 2001 年 5 月成为联合国教科文组织在巴黎宣布的第一批“人类口头和非物质文化遗产代表作”，中国因此成为首批获此殊荣的 19 个国家之一
## 长城
长城位于中国北方，绵延万里，对中华民族多元一体格局的形成和发展起到重要作用
截至2020年底,中国人选联合国教科文组织人类非物质文化遗产名录的项目已达42个。中国是目前世界上拥有非物质文化遗产数量最多的国家。国务院批准命名的《国家级非物质文化遗产代表性项目名录》，截至2014年共有 1372项。这既表明中国悠久的历史和灿烂的文明留下了极其丰富的文化遗产，又意味着传承与保护文化遗产的工作任重道远。
## 探究与拓展
## 问题探究
2018 年 7 月 6 日,由中央全面深化改革委员会第三次会议审议通过的《关于加强文物保护利用改革的若于意见》指出：“文物承载灿烂文明,传承历史文化,维系民族精神,是弘扬中华优秀传统文化的珍贵财富,是促进经济社会发展的优势资源，是培育社会主义核心价值观、凝聚共筑中国梦磅礴力量的深厚滋养。保护文物功在当代、利在千秋。”
阅读材料，了解这一文件的颁布所具有的重要意义。
## 学习拓展
截至 2019年 7 月，世界上总计有 53 项遗产被列人《濒危世界遗产名录》。查阅资料并结合具体的例证,简要说明该遗产被列人《频危世界遗产名录》的原因。
## 信息革命与人类文化共享
信息革命是指由于信息生产、处理手段的高度发展而导致的生产力、生产关系的变革。
人类的社会活动过程,从某种角度看,就是人类交流信息和应用信息的过程。在人类历史的长河中,人类社会的信息承载形式、信息传递方式、信息处理和利用手段都曾发生过革命性的变化。信息技术随着科技的进步而不断变革,其变革又使人类的生产和生活方式发生了巨大变化，推动人类文明迈上一个又一个新台阶。
现代信息技术的核心和基础是计算机技术。迄今为止,计算机经历了四个发展阶段。第一代计算机以电子管为逻辑元件,体积大、运算速度慢、价格昂贵,仅用于军事和科学领域。第二代计算机以晶体管为逻辑元件,与第一代计算机相比,性能提高 10 倍以上,开始用于工业控制领域。第三代计算机以中小规模集成电路为逻辑元件,体积显著缩小,性能显著提高,走向了通用化、系列化和标准化,广泛应用于各行业领域。第四代计算机以大规模和超大规模集成电路为逻辑元件,以微处理器为核心。随着处理器性能不断提高,计算机逐步实现了微型化、个人化与普及化。
随着计算机的不断发展和应用,人们希望在不同计算机之间传输数据与共享信息的需求日益增长,计算机网络应运而生,并由局部互联逐渐发展出覆盖全世界的全球性互联网络,即互联网。互联网的诞生是人类通信技术的一次革命,以电子邮件、Web等为代表的互联网工具赋予了人们全新的交流方式。从互联网上信息内容生产与传播的视角,互联网的发展可分为三个阶段：第一阶段以网络作为主要的内容提供方,信息流向更多的是从网络到人;第二阶段以网络用户生产内容为主,强调以网络平台为媒介的人与人之间的沟通;第三阶段旨在提高网络的智能化程度,增强网络对用户和内容的理解,形成人一网络一人之间的沟通。21 世纪以来,以云计算、大数据和人工智能等为代表的新兴信息技术在全球范围内蓬勃兴起,引发了新一轮信息革命。云计算利用虚拟化与分布式处理技术，实现存储、计算和网络资源的集中管理与按需服务,为推动新一轮技术创新与社会变革提供了引擎。信息技术与各行业领域的交汇融合,引发了各类数据的迅猛增长,使数据成为社会发展的战略资源与创新要素,引领社会生活方式、经济运行机制与国家治理能力发生变革。在云计算、大数据等新技术以及经济社会发展新需求的共同驱动下,社会上出现新一代人工智能的发展热潮,诞生了以自动驾驶、智能家居、智慧城市等为代表的一系列智能化技术。这些技术推动社会各领域从数字化向智能化加速跃升，引领人类社会逐渐走向智能时代。
现代信息技术对文化传播方式、内容、规模、效果等方面都产生了巨大的影响。计算机与互联网的发明和普及使信息交流与传播彻底突破了时间和空间的限制,为文化的快速传播提供了更为便捷、低成本的物质载体。信息无处不在、无时不有,瞬间便可到达地球村的每一个角落,文化在全球范围内得以交流与共享。人类利用信息的手段发生了质的飞跃,新媒体等技术的广泛应用使文化以文字、声音、图像、视频等更加丰富、灵活、多样化的形式向人们展现。新兴信息技术更是深刻影响着人们生活的方方面面，大大改变了人们的思维方式。正是通过人类文化跨时空的交流与融合，人类社会进入了实时性、多元化的文化共享时代。
共享是文化的基本特征，也是人类文化发展的必然趋势。信息技术促进了人类文化共享的发展,同时也不可避免地带来了多元文化间的复杂关系,引发了文化价值观、文化模式的变化,对人类文化的发展提出了新课题。因此,我们需要去探究如何在人类文化发展过程中化解人与自然、人与社会、人与机器的冲突,共同解决人类文明的难题。
## 活动主题
以“信息革命与人类文化共享”为主题，通过个人探究、小组合作和班级研讨等方式,了解现代信息技术对人类文化发展的影响,认识现代信息技术对人类文化共享所起的作用，探究现代信息技术对人类文化发展提出的新课题。
## 活动目标
1. 通过梳理信息技术从古至今的发展历程,例如从语言、文字、印刷术到电报、电话、电视机,再到计算机、互联网、人工智能等,把握信息技术的发展趋势，形成系统的时空观念。2. 通过搜集现代信息技术促进人类文化共享的典型案例,例如基于互联网的开放教育资源运动与慕课、源于社交媒体的朋友圈分享文化等,对现代信息技术如何促进人类文化共享与创新发展进行客观、辩证的分析，提高运用唯物史观认识事物的能力。3. 通过调查研究,分析现代信息技术给人类文化发展带来的新机遇和新挑战,加深对信息社会责任的认识与理解,自觉增强信息社会责任意识。4. 结合自主学习和合作探究等学习方式,通过现场观摩、查阅资料、社会调查、专题研讨、主题辩论等活动方式,全面提升历史学科核心素养。
## 活动过程
步骤一
以个人自主探究学习的方式,了解信息技术从古至今的发展历程,思考每一次信息技术革命对人类文化交流与传播所产生的不同影响。
政骤一
以小组合作学习的方式,探讨现代信息技术如何助力人类文化的传播,分析现代信息技术对文化传播方式、内容、规模、效果等方面的影响,总结现代信息技术对促进人类文化传播与共享的重要作用。
战骤二
以小组合作学习的方式,探讨现代信息技术给人类文化发展带来的挑战,搜集当前人类文化发展面临的与信息技术相关的各种问题,例如网络低俗文化、网络诽谤、网络诈骗、网络暴力,以及因手机依赖导致的“低头族” 等现象,分别从人与技术两方面分析问题产生的原因,并以增强人们的信息社会责任意识为出发点,思考问题的解决方法与策略。
## 步骤四
各组经过充分讨论,制订本组的研究计划并进行分工,确定本组搜集、整理、分析相关资料的路线图与成果呈现形式。各组根据实际条件，可走访当地科技馆或相关企业，实地观察记录；也可深人当地高校相关院系或科研机构,寻求专业指导。在此基础上,结合小组成员的研究成果，完成本组的研究报告。
步骤五
各组完成研究报告后,在全班举办专题论坛,分享各组的研究过程、成果及经验体会。在分享过程中，其他小组成员可现场提问与点评。通过共同研讨，各组成员加深对“信息革命与人类文化共享” 问题的整体认识，并发现各自研究的不足。研讨之后,各组根据其他小组所提的疑问或建议对研究成果进行完善，最后经过整合形成全班的成果汇报材料
## 活动拓展
1. 成果共享。利用多媒体制作工具与互联网开放平台，将本班关于“信息革命与人类文化共享” 的活动成果以多种形式向校内外用户进行展示与宣传，以实际行动践行如何运用信息技术,展开思想交流与文化共享。2. 主题辩论。通过互联网了解人工智能的发展史，有条件的学校可参观当地高校、科研机构或企业的人工智能实验室，思考人工智能在末来社会不同行业的发展空间以及各种职业被替代的可能性，然后结合自身生涯规划,围绕人类与人工智能在末来社会的角色与分工设计辩论题目，例如：末来社会是机器与人共舞，还是机器取代人类?分组展开主题辩论活动，以提高对前沿科技推动人类社会变革的认识。3. 延伸探究。国家文化安全是国家安全的重要组成部分，对保障国家安全起着越来越重要的作用。通过互联网查阅资料，了解国家文化安全的基本内涵、当前中国国家文化安全面临的挑战，探讨维护国家文化安全的主要对策。
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# 科学家访谈
## 尊重自然、顺应自然、保护自然
—一与方精云院士一席谈
2017 年 10 月的一天,编者如约来到方精云院士在北京大学的办公室。一整面墙的书柜塞满了学术专著和期刊;不大的书桌,边缘已经磨得掉漆了。就在这个简朴而安静的办公室里,方精云院士接受了编者的采访。
问: 您是一位生态学家,能否先给大家讲讲什么是生态学?
答: 生态学是研究生物与环境相互关系的科学,是自然科学的重要组成部分,它就是在研究生态系统的What、How、Why,以及它的效应。What,就是研究生态系统的组成、结构和功能。How,就是研究生态系统各组分之间是如何工作的,也就是各组分之间的相互关系。Why,就是研究生态系统为什么会形成上述的组成、结构和功能。生态系统的效应,是生态系统的服务功能,这主要是针对人类而言的,是现代农业的基础。
问: 我国提出了“加快生态文明体制改革、建设美丽中国” 的新目标,确立了“生态兴则文明兴”“人与自然是生命共同体” 等一系列新思想。这彰显了我国对生态文明的重视。生态学在建设生态文明中会起到什么作用?
答: 生态文明建设是我国的重大战略之一。人类必须尊重自然、顺应自然、保护自然。这里的“自然” 就是指生态环境。尊重自然就是要尊重生态学规律,顺应自然就是适应环境的变化,保护自然就是保护自然界的部分或整体。生态文明强调的是“和谐” 而不是“妥协”,人类的能动性依然重要。生态文明并不是简单的返鉷归真,而是依托当代先进的生产力,实现人与自然的和谐共生。
生态学是生态文明建设的科学支撑。生态学使人类认识了生态系统的结构、动态变化以及机制。只要尊重自然规律,在可允许的范围内操作,就可以既不损害自然,又能合理利用自然,促进自然和社会的协调。而生态文明建设会为生态学及相关学科提供发展的机会和平台,有利于推动科学的发展。
1992 年,方精云 (右 2) 与同事在海南岛热带雨林考察时,测定树木的生长状况
问：看来生态学确实非常重要。您在生态学研究上取得了丰硕的成果,最想跟大家分享的研究成果是什么?
答：很多人都将“碳循环” 作为我的科研“标签”，因为我是国内最早系统研究碳循环的,成果也不错。实际上,我花费时间和精力最多的是对植被的动态变化及其与环境的关系的研究。植被是地球表面最充满生命活力的部分,这里生活着多种植物、动物和微生物,是生物基因资源的载体。它不仅为人类提供衣食住行的物质材料,也为我们塑造了千姿百态的绿色家园。为了研究我国的植被,我带领学生几乎踏遍了全国所有重要的山脉,从东北的大兴安岭到海南的尖峰岭,再到西部的青藏高原 …… 此外，我们建立了目前最为全面、系统的我国木本植物分布数据库,这成为了解木本植物分布的“手册”;提出了基于植被 - 气候关系的我国植被带的划分原则和划分依据。实际上,我们对碳循环的研究，只是植被研究的一个方向。
问：您刚才提到,您几乎踏遍全国所有重要的山脉。您为什么要这么辛苦地去翻山越岭呢?
答: 生态学家要走进大自然,去了解和研究大自然。野外调查是了解和认识大自然的基本方法,是获得一手资料并进行数据分析绕不过去的“路”。野外调查时采集到样品后,要在实验室进行分析以获取数据,然后通过建构模型、分析数据,得出结论。
问: 我们了解到,您野外调查还到过北极,曾参加我国早期的北极科考。北极科考给您留下什么印象?
答：参加北极科考给我留下了两段难忘的回忆。第一段是选拔,1994 年冬天,我们在松花江上进行了严格的封闭式选拔。
当时条件艰苦、装备 1995 年,方精云在北极科考落后。我们要在冰面时采集海冰和海水样品$-8.225-$ 上连续行走和生活 7 天,不能上岸。记得那时天气极为寒冷,晩上冰面上气温接近 $-40^{\circ} \mathrm{C}$,我们只能睡在简陋的帐篷里,艰苦程度可想而知。第二段是 1995 年 4 月远征北极点。北极并没有想象中那么冷,那时太阳只比地平线高一点,一直绕着地平线“滚动”,不会落下去。在北极取样很难,当镐尖与冻土接触的那一䣄那,手臂会震得酸麻,连带地五脏六腑好像也被震得要翻个个儿。我采集了北极的生物、冻土、冰、雪、大气等大量样品。后来通过对样品的分析,我发现这些样品中的元素含量有很强的相关性,这促使我后来研究植物体的元素含量与环境之间的相互关系。
问：您认为做科学研究成功的秘诀有哪些?
答：做科学研究一定要坚守、要持之以恒！认真、努力的工作态度也必不可少。此外,思考非常重要。在做一项具体研究前,先思考怎么做,有了想法后再查阅文献,这样既可以查阅与之相关的进展,也可以避免受到其他研究思路的干扰,做出来的工作可能更有创新性。
2003 年,方精云 (右 2) 带领学生在青藏高原进行草原植被的样方调查
问：学习生态学有哪些意义?您对高中生学习这方面内容有什么建议?
答：高中生学习生态学可以更全面地认识、理解世界和大自然,可以使自己有更大的格局、视野和胸怀。不学生态学,掌握的知识有可能是片面的,至少对大自然的理解是有欠缺的。要想学好生态学,除掌握好基础知识和科学方法外,还要多实践，多到大自然中去,在与大自然接触的过程中认识大自然,在了解大自然的过程中对生态学有所领悟。
我最想对高中生说的话:
美丽的大自然就是我们的家园，但它常常是脆弱的，需要我们去散畏、去呵护。愿大家在学习生态学知识的同时多到大自然中走一走、看一看，多一些了解，多一份珍爱也希望有更多的同学加入到保护大自然的队伍中来。
## 第1章
种群及其动态
任何物种都不可能以单一个体生存和繁衍。在一定的空间范围内，同种生物所有个体形成的集合就是种群。
你听说过东北豹吗?它分布在我国东北、俄罗斯远东等地，是我国一级保护动物。它有灵敏的嗅觉和听觉，有健壮的四肢、锋利的爪子和牙齿，是山林中的捕猎能手。然而，我国的野生东北豹一度不足 10 只，濒临脃。为什么强悍凶猛的动物也会频危呢?
濒危动物保护、有害生物防治、渔业上合理捕捞量的确定等，都离不开种群的研究。种群研究的中心问题是种群的数量特征及其变化规律：该种群的个体数量状况如何?其数量将会怎样变化?影响其数量变化的因素有哪些?
## 第 1 节
种群的数量特征
## 问题探讨
2015 年,我国科学家基于长期的野外观测宣布：在我国东北长白山脉北部地区,共监测到东北豹 42 只,其中,幼体 2 只,雄性和此惟性的成体分别为 21 只和 17 只,末能判断性别的成体 2 只
讨论
1. 调查东北豹的种群数量对于保护它们有什么意义?2. 调查东北豹种群中䧳雄个体的数目对于预测该种群的发展趋势有什么意义?
红外触发相机拍摄到的东北豹
本节聚焦
- 怎样估算种群密度?如何提高估算的准确性?- 种群的数量特征有哪些?- 如何根据种群的特征预测其末来的发展趋势?
从图 1-1 黑光灯的示意图“问题探讨” 中所说的长白山脉北部地区有 42 只东北豹，以及组成种群个体的年龄状况和雌雄个体的数目,都是种群的数量特征。如果你进一步追问在某区域内平均每只东北豹有多大的生活面积，这个问题就涉及东北豹的种群密度。
种群密度及其调查法
种群在单位面积或单位体积中的个体数就是种群密度 ( population density)。种群密度是种群最基本的数量特征。濒危动物保护、农田杂草状况调查、农林害虫的监测和预报、渔业上捕捞强度的确定等，都需要对种群密度进行调查研究。
在调查分布范围较小、个体较大的种群时,可以逐个计数，如调查某山坡上的珙桐密度。在多数情况下，逐个计数非常困难,需要采取估算的方法。例如,对于有趋光性的昆虫,可以用黑光灯进行灯光诱捕来估算它们的种群密度（图 1-1）。
样方法估算种群密度常用的方法之一是样方法：在被调查种群的分布范围内，随机选取若干个样方，通过计数每个样方内的个体数,求得每个样方的种群密度,以所有样方种群密度的平均值作为该种群的种群密度估算值。调查草地上蒲公英的密度,农田中某种昆虫卵的密度,作物植株上蚜虫的密度、跳蝻的密度等，都可以采用样方法。标记重捕法许多动物的活动能力强,活动范围大,不宜用样方法来调查它们的种群密度。常用的方法之一是标记重捕法。这种方法是在被调查种群的活动范围内，捕获一部分个体,做上标记后再放回原来的环境,经过一段时间后进行重捕,根据重捕到的动物中标记个体数占总个体数的比例,来估算种群密度。例如,在对某种鼠的调查中，调查范围为 $1 \mathrm{hm}^{2}$,第一次捕获并标记 39 只鼠，第二次捕获 34 只鼠,其中有标记鼠 15 只,这样就可以估算出这种鼠的种群密度为 $39 \times 34 \div 15=88.4$ 只 $/ \mathrm{hm}^{2}$。
种群密度反映了种群在一定时期的数量,但是仅靠这一特征还不能反映种群数量的变化趋势。要想知道种群数量的消长,还需要研究种群的出生率 ( birth rate) 和死亡率 ( death rate) 等其他数量特征。
## 出生率和死亡率
为什么东北豹、大熊猫等动物在实施人为保护的措施下,种群数量仍不能迅速增长,而鼠、蝗虫等动物,尽管人们采取各种防除措施,却仍然数量繁多,屡屡为害?原因固然是多方面的,但繁殖能力的差别是重要原因。繁殖能力强的种群出生率高,种群增长快。
出生率是指在单位时间内新产生的个体数目占该种群个体总数的比值。例如,2015 年,我国大陆总人口约为 13.7亿，2015 年出生 1655 万人，我国大陆人口在这一年的出生率约为 $12 \%$。死亡率是指在单位时间内死亡的个体数目占该种群个体总数的比值。例如,2015 年,我国大陆死亡人口为 975 万，死亡率约为 $7 \%$。
## 迁入率和迁出率
几十年前,我国东北地区广衰无边的森林里,生活着很多东北豹。随着人类在这片森林里采伐林木、垦荒种地、建设铁路,东北豹逐渐从这里迁出，几近消失。近些年来,国家高度重视对东北虎、东北豹等濒危动物的保护,采取了一系列有效的措施，如全面禁猎，禁止商业性采伐林木，建立自然保护区、国家公园等（图 1-2)。随着环境
东北豹的繁殖能力和鼠的差别有多大?这对于它们的种群数量有哪些影响?
鼠一年可生数胎,每胎产多只小鼠
## V图 1-2 东北虎豹国家公园
A
B
$\mathrm{C}$ 从图 1-3 种群年龄结构的三种类型的大大改善,东北豹逐渐回归、迁人我国东北地区。其实,许多生物的种群都存在个体迁人和迁出的现象。对一个种群来说，单位时间内迁人或迁出的个体占该种群个体总数的比值,分别称为迁人率 (immigration rate) 或迁出率 ( emigration rate )。如果你研究一座城市人口的变化,迁人率和迁出率更是不可忽视的因素。
## 年龄结构和性别比例
种群的年龄结构（age structure）是指一个种群中各年龄期的个体数目的比例,大致可以分为图 1-3所示的三种类型。
## 思考·讨论
## 分析种群的年龄结构
讨论
1. 图 1-3 中 $\mathrm{A}、\mathrm{~B}、\mathrm{C}$ 三种年龄结构的种群，哪种类型的种群数量会越来越大，属于增长型?哪种类型的种群数量会越来越小,属于衰退型?哪种类型的种群数量会在一段时间内保持相对稳定，属于稳定型?为什么?2. 年龄结构为稳定型的种群,种群数量在近期一定能保持稳定吗?年龄结构为衰退型的种群呢?3. 据统计,1990-2013 年的 24 年间,我国 0 14 岁少年儿童的人口占总人口的比例由 $27.69 \%$ 下降到 $16.41 \%$；15 64 岁人口的比例由 $66.74 \%$ 上升到 $73.92 \%$;65 岁及以上老龄人口比例由 $5.57 \%$ 上升到 $9.67 \%$ 这说明我国人口的年龄结构发生了什么变化?
性别比例,又称性比 ( sex ratio),是指种群中雌雄个体数目的比例。性别比例对种群密度也有一定的影响。例如,利用人工合成的性引诱剂诱杀某种害虫的雄性个体,改变了害虫种群正常的性别比例,就会使很多雌性个体不能完成交配，从而使该种害虫的种群密度明显降低。
综上所述,种群密度是种群最基本的数量特征。种群的其他数量特征是影响种群密度的重要因素,其中出生率和死亡率、迁人率和迁出率直接决定种群密度，年龄结构影响出生率和死亡率，性别比例影响出生率，进而影响种群密度。
《ノ 与社会的联系 20 世纪 80 年代以来,我国出生人口的男女性别比例曾呈现上升趋势。1982 年第三次人口普查显示全国的出生人口性别比例为 108.5 ( 100 名女婴所对应的男婴数目为结果),2010 年第六次人口普查的这一数据为 117.9，严重偏离了世界人口性别比例的正常值 102 107。对此，我国政府采取了多种措施进行综合治理。到 2020 年，第七次人口普查结果表明，这一数据降为 111.3，逐渐趋向正常水平。
## 探究・实践
## 调查草地中某种双子叶植物的种群密度
单子叶草本植物常常是丛生或蔓生的,从地上部分难以辨别是一株还是多株;而双子叶草本植物的个体数目则易于辨别。单子叶植物的叶片一般呈条形或披针形,叶脉一般是平行脉;双子叶植物的叶脉一般是网状脉。
## 提出问题
你可以调查同一地块中不同双子叶植物的种群密度，也可以调查不同地块中一种或几种双子叶植物的种群密度。通过小组讨论，确定要探究的问题
## 制订计划
1. 结合自己的生活经验,想一想什么地方适合做这样的调查。在老师指导下确定调查地点和范围。2. 确定调查时间。3. 讨论需要携带哪些材料用具,列出清单。4. 讨论确定小组成员间的分工。
## 实施计划
1. 准备：来到调查地点后,先大致观察一下地形,分析有没有安全隐患,提出安全注意事项。2. 确定调查对象：观察该地段中有哪些双子叶草本植物,记录下这些植物的名称。确定本小组要调查的种群。
3. 确定样方：观察调查对象的分布状况和地段的形状,根据观察结果,结合下面的提示,讨论确定样方的多少、样方大小和取样方法。
样方的大小―般以 $1 \mathrm{~m}^{2}$ 的正方形为宜。如果该种群个体数较少，样方面积可适当扩大。
取样的关键是要做到随机取样,不能掺人主观因素。下图所示的五点取样法和等距取样法都是常用的取样方法,可供参考。
五点取样法
等距取样法
4. 计数：统计每个样方内所调查植物的数量,做好记录。5. 计算种群密度。
调查时要遵守野外调查的安全规范,要做
- 到爱护植被,不攀折花木,不破坏草坪,不毁坏庄稼,不采食野果,不伤害野生动物。
## 结论
分析调查结果,得出结论。将结论写在记录本上。
讨论
1. 为什么要强调随机取样?2. 样方的多少会影响调查结果吗?3. 比较各小组对同一种群的种群密度的调查结果，就发现的问题进行讨论。
## 一、概念检测
1. 种群密度是种群最基本的数量特征。判断下列与种群密度有关的表述是否正确。
( 1 ) 一块草地上所有蒲公英的数量就是这个蒲公英种群的种群密度。
(2) 调查青蛙等活动范围不大的动物的种群密度可以用样方法。
( 3 ) 种群密度与出生率成正比。
2. 科技人员为了检验某新型除草剂对麦田杂草猪殃殃的防治效果,随机选 3 块麦田,在每块麦田中做对照实验,施药 60 天后调查猪殃殃密度。取样方法为每个处理随机取 5 个样方,每个样方为 $1 \mathrm{~m}^{2}$。调查结果为对照组 411.73 株 $/ \mathrm{m}^{2}$,实验组 35.00 株 $/ \mathrm{m}^{2}$。下列分析正确的是
A. 样方数量过少,面积适当
B. 样方面积过小,数量适当
C. 杂草株数应为整数,对照组数据有误
D. 实验组数据可信,该除草剂施用效果显著
## 二、拓展应用
1. 在某池塘中,第一次捕获鲫鱼 106 条,做上标记后放回;第二次捕获䲝鱼 91 条,其中有标记的为 25 条。由此估算该池塘中共有䲝鱼条。2. 下图 $\mathrm{A}、\mathrm{~B}$ 分别为两个国家人口的年龄结构图,纵轴示年龄,横轴示各年龄段人口占总人口的百分比。据此图可判断,末来人口增长率高的国家是
3. 2003 年,我国颁布法律,禁止“非医学需要的胎儿性别鉴定” 和“非医学需要的性别选择性人工流产”,请简要说明这一规定的意义。
## 调查种群数量的其他方法
调查动物种群密度的常用方法,如样方法、标记重捕法,往往需要直接观察或捕捉个体。在调查生活在隐蔽、复杂环境中的动物,特别是猛禽和猛兽时,这些方法就不适用了。为此,科学家开发出一些不需要直接观察或捕捉,就能调查种群密度或种群数量的新方法。
在动物的栖息地布设若干台红外触发相机,恒温动物一靠近,就会触发相机自动拍摄照片或视频。经过一段时间,科学家利用计算机分析处理这些照片或视频,就能确定所调查动物的种群数量。运用这种方法,我国科学家于 2015 年查明,我国东北长白山脉北部地区至少有 27 只东北虎和 42 只东北豹。
不同动物的粪便具有不同的特征。先区分粪便来自哪种动物,再分析这种动物的粪便来自多少个个体,就可以获得种群的数量信息。例如,在四川王朗国家级自然保护区,科学家采集了大量大熊猫的粪便,通过分析其中的微卫星 DNA 分子标记,查明在 2003-2004 年,这一地区大熊猫的种群数量为 66 只,其中雄性 35 只,雌性 31 只。
动物的声音也存在个体差异,成熟个体的声音特征往往可以长期保持稳定。因此,动物的声音可以作为一种非损伤、低干扰的标记，用于对不同个体进行识别，进而进行种群数量的监测。利用这种基于声音的个体识别技术，科学家成功地对鲸、长臂猿等哺乳动物以及鸮、秧鸡等鸟类开展了野外种群数量的监测。啼叫的：
长臂猿
## 第 2 节
## 种群数量的变化
## 问题探讨
我们的手上难免沾染细菌。细菌的繁殖速率很快,因而我们要常洗手。假设在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每 $20 \mathrm{~min}$ 就通过分裂繁殖一代。
讨论
1. 第 $n$ 代细菌数量的计算公式是什么?2. $72 \mathrm{~h}$ 后，由一个细䒩分裂产生的细菌数量是多少?3. 在一个培养瓶中,细菌的数量会一直按照这个公式描述的趋势增长吗?如何验证你的观,点?
细菌繁殖产生的后代数量
描述、解释和预测种群数量的变化,常常需要建立数学模型。在上面的“问题探讨”活动中,你已经尝试对某种细菌种群的数量变化建立数学模型。
## 建构种群增长模型的方法
## 科学方法
## 建立数学模型
数学模型是用来描述一个系统或它的性质：（以“问题探讨”中的素材为例 ）: 的数学形式。建立数学模型一般包括以下步骤
研究实例
研究方法
细菌每 $20 \mathrm{~min}$ 分裂一次,怎样计算细菌繁殖 $n$ 代后的数量?
观察研究对象，提出问题
（本节聚焦
- 怎样建构种群增长的模型?- 种群的数量是怎样变化的?在资源和生存空间没有限制的条件下,细菌种群的增长不会受种群密度增加的影响
$\nabla$
$N_{n}=2^{n}$
$N$ 代表细菌数量,$n$ 表示第几代
$\downarrow$
观察、统计细䒩数量,对自己所建立的模型进行检验或修正
根据实验数据,用适当的数学形式对事物的性质进行表达,即建立数学模型
通过进一步实验或观察等,对模型进行检验或修正
同数学公式相比,曲线图表示的模型有什么局限性?下面请你算出一个细菌产生的后代在不同时间（单位为 $\min )$ 的数量,并填人下表,然后以时间为横坐标,细菌数量为纵坐标,画出细菌种群的增长曲线 (图 1-4)。
| 时间 $/ \mathrm{min}$ | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 | 120 | 140 | 160 | 180 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 细菌数量/个 | | | | | | | | | |
这样的曲线图是数学模型的另一种表现形式。同数学公式相比,它能更直观地反映出种群的增长趋势。
你所得出的公式和增长曲线,只是对理想条件下细菌数量增长的推测。
在自然界中，种群的数量变化情况是怎样的呢?
思考·讨论
## 分析自然界种群增长的实例
资料 1 1859年，一位来到澳大利亚定居的英国人在他的农场中放生了 24 只野兔。让他没有想到的是，一个世纪之后，这 24 只野兔的后代竟超过6亿只。漫山遍野的野兔不仅与牛羊争食牧草,还啃啮树皮,造成植被破坏，导致水土流失。后来，人们引人了黏液瘰病毒才使野兔的数量得到控制。
资料2 20 世纪 30 年代,人们将环颈雉引人某地一个岛屿。1937一1942年，这个种群数量的增长如右图所示。
讨论
1. 这两个资料中的种群增长有什么共
2. 种群出现这种增长的原因是什么?3. 这种种群增长的趋势能不能一直持同点?续下去?为什么?
## 种群的“J” 形增长
通过上述两个实例可以看出,自然界有类似细菌在理想条件下种群增长的形式,如果以时间为横坐标,种群数量为纵坐标画出曲线来表示,曲线则大致呈“$\mathrm{J}$ ”形。这种类型的种群增长称为“$\mathrm{J}$ ” 形增长。
“J” 形增长的数学模型 (以数学公式表示) 是怎样的?
模型假设：在食物和空间条件充裕、气候适宜、没有天敌和其他竞争物种等条件下,种群的数量每年以一定的倍数增长,第二年的数量是第一年的 $\lambda$ 倍。
建立模型: $t$ 年后种群数量为 $N_{t}=N_{0} \lambda^{t}$
模型中各参数的意义: $N_{0}$ 为该种群的起始数量,$t$ 为时间,$N_{t}$ 表示 $t$ 年后该种群的数量,$\lambda$ 表示该种群数量是前一年种群数量的倍数。
如果遇到资源，空间等方面的限制,种群还会呈“J”形增长吗?
## 种群的“S" 形增长
生态学家高斯（ G. F. Gause，1910-1986）曾经做过单独培养大草履虫的实验：在 $0.5 \mathrm{~mL}$ 培养液中放人 5 个大草履虫,然后每隔 $24 \mathrm{~h}$ 统计一次大草履虫的数量。经过反复实验,得出了如图 1-5 所示的结果。从图中可以看出,大草履虫的数量在第二天和第三天增长较快,第五天以后基本维持在 375 个左右,像这样,种群经过一定时间的增长后,数量趋于稳定,增长曲线呈“$S$ ” 形。这种类型的种群增长称为“$S$ ” 形增长。
图 1-5 大草履虫种群的增长曲线
上述大草履虫种群的数量之所以呈“S” 形增长,这是由于随着大草履虫数量的增多,它们对食物和空间的竞争也趋于激烈,导致出生率降低,死亡率升高。在自然界,当一种生物迁人一个条件适宜的新分布地时,初始阶段一般会出现较快增长,但是,资源和空间总是有限的。当种群密度增大时,种内竞争就会加剧,这就会使种群的出生率降低,死亡率升高。当死亡率升高至与出生率相等时,种群的增长就会停止,有时会稳定在一定的水平。可见,种内竞争对种群数量起调节作用。
一定的环境条件所能维持的种群最大数量称为环境容纳量 ( carrying capacity ),又称 $K$ 值。上述高斯实验中大草履虫种群的 $K$ 值是 375 个。
同一种群的 $K$ 值是不是固定不变的呢?
这里以野生大熊猫种群为例来说明。大熊猫栖息地遭到破坏后,由于食物的减少和活动范围的缩小,其 $K$ 值就会变小。这是野生大熊猫种群数量锐减的重要原因。因此,建立自然保护区，给大熊猫更宽广的生存空间，改善它们的栖息环境,从而提高环境容纳量,是保护大熊猫的根本措施。
## 环境容纳量与现实生活
## 讨论
1. 有人说目前全世界人口数量已经达到地球的环境容纳量,必须采取更加严格的措施控制人口出生率;有人却认为科技进步能提高地球对人类的环境容纳量,例如,育种和种植技术的进步,能提高作物产量,从而养活更多的人。对此你持什么观点?你有哪些证据支持你的观点?2. 鼠害导致作物减产,蚊、蝇会传播疾病。从环境容纳量的角度思考,对家鼠等有害动物的控制，应当采取什么措施?
## 种群数量的波动
在自然界,有的种群能够在一段时期内维持数量的相对稳定。例如,某地野牛、狮的种群数量往往比较稳定。但对于大多数生物来说,种群数量总是在波动中。例如,对某地区东亚飞蝗种群数量多年的变化情况所做的研究表明，该东亚飞蝗的种群数量在 1913-1961 年一直处于不规则的波动状态 (图 1-6)。处于波动状态的种群,在某些特定条件下可能出现种群爆发。蝗灾、鼠灾、赤潮等,就是种群数量爆发增长的结果。
从图 1-6 某地区东亚飞蝗种群数量的波动
当种群长久处于不利条件下,如遭遇人类乱捕滥杀和栖息地破坏,种群数量会出现持续性的或急剧的下降。种群的延续需要有一定的个体数量为基础。当一个种群的数量过少,种群可能会由于近亲繁殖等而衰退、消亡。例如,多种鲸在遭遇人类过度捕捞后,种群数量急剧下降,有的鲸濒临灭绝。因此,对那些已经低于种群延续所需要的最小种群数量的物种,需要采取有效的措施进行保护。酿酒和做面包都需要酵母菌,这些酵母菌可以用液体培养基 ( 培养液) 来培养。
## 问题
培养液中酵母菌种群的数量是怎样随时间变化的?
## 材料用具
酵母菌、无菌马铃薯培养液或肉汤培养液、试管、血细胞计数板、滴管、显微镜等。
讨论探究思路
在制订计划前,你需要思考以下问题,并与同学讨论。
## 1. 怎样对酵母菌进行计数?
(1) 对一支试管中的培养液 (可定为 $10 \mathrm{~mL}$ ) 中的酵母䒩逐个计数是非常困难的,可以采用抽样检测的方法：先将盖玻片放在血. 细胞计数板的计数室上,用吸管吸取培养液,滴于盖玻片边缘,让培养液自行渗人。多余的培养液用滤纸吸去。稍待片刻,待酵母䒩全部沉降到计数室底部,将计数板放在载物台的中央,计数一个小方格内的酵母菌数量,再以此为根据，估算试管中的酵母菌总数。
盖玻片下的培养液厚度为 $0.1 \mathrm{~mm}$,请推导出将一个小方格范围内的酵母菌数目,换算成 $10 \mathrm{~mL}$ 培养液中酵母菌总数的公式。
(2) 从试管中吸出培养液进行计数之前,建议你将试管轻轻振荡几次。这是为什么?
(3) 如果一个小方格内酵母䒩过多,难以数清，应当采取什么措施?
(4) 对于压在小方格界线上的酵母䒩,应当怎样计数?
血细胞计数板 2. 本探究需要设置对照吗?如果需要，请讨论对照组应怎样设计和操作;如果不需要,请说明理由。
3. 要做重复实验吗?为什么?4. 怎样记录结果?记录表怎样设计?
制订计划
写出探究方案，确定
利用数码显微镜进行酵母菌计数小组同学间的分工。向老师汇报本小组的探究计划,以获得老师的指导。
## 实施计划
首先通过显微镜观察,估算出 $10 \mathrm{~mL}$ 培养液中酵母菌的初始数量 $\left(N_{0}\right)$,在此之后连续观察 7 天,分别记录下这 7 天的数值。
分析结果,得出结论
将所得数值用曲线表示出来。
探究的结论是
## 表达和交流
1. 向全班汇报本小组 7 天的数据,计算每天全班各组数据的平均值,根据平均值重新绘制酵母菌种群数量的增长曲线。将这条增长曲线与本小组的曲线进行比较,分析其相似程度，并作出合理的解释。2. 根据各组平均数据画出的增长曲线有没有什么总趋势?如果有,请作出说明。3. 影响酵母菌种群数量增长的因素可能是什么?
## 进一步探究
根据你对影响酵母菌种群增长的因素作出的推测，设计实验进行验证。
## 一、概念检测
1. 在自然界,种群数量的增长既是有规律的,又是复杂多样的。判断下列相关表述是否正确。
( 1 ） 将一种生物引人一个新环境中,在一定时期内,这个生物种群就会出现“J” 形增长。（ ）
(2) 种群的“S” 形增长只适用于草履虫等单细胞生物。
(3) 由于环境容纳量是有限的,种群增长到一定数量就会保持稳定。
2. 对一个生物种群来说,环境容纳量取决于环境条件。据此判断下列表述正确的是
A. 对甲乙两地的蝮蛇种群来说,环境容纳量是相同的
B. 对生活在冻原的旅鼠来说,不同年份的环境容纳量是不同的 C. 当种群数量接近环境容纳量时,死亡率会升高,出生率不变
D. 对生活在同一个湖泊中的鲢鱼和鲤鱼来说，环境容纳量是相同的
## 二、拓展应用
1. 种群的“J” 形增长和“S” 形增长,分别会在什么条件下出现?你能举出教材以外的例子加以说明吗?2. 假设你承包了一个鱼塘,正在因投放多少鱼苗而困惑: 投放后密度过大,鱼竞争加剧,死亡率会升高;投放后密度过小,水体的资源和空间不能充分利用。怎样解决这个难题呢?请查阅有关的书籍或网站。
## 科学家的故事
## 生态学巨匠马世骏
马世骏院士是蜚声中外的生态学家,是我国生态学研究的奠基人之一。他在国内的生态学研究是从蝗灾的防治开始的。
1952 年年初,刚从国外留学归来不久
马世骏的马世骏,接受了国家给他的第一个科研任务：解决我国千百年来不能根治的蝗灾问题。马世骏和助手们深入飞蝗发生区,调查了蝗区的自然环境特点、飞蝗种群的数量动态和迁移扩散行为,又结合我国上千年间蝗灾的记录,终于搞清了蝗灾形成的过程和原因。他提出从系统整体调控着眼,运用“改治结合、根除蝗害” 的战略,一方面要通过化学防治和生物防治来降低蝗虫密度,另一方面要改造飞蝗发生区,如修筑堤坝、控制水位、耕垦湖滩荒地等。这样就成功地打开了飞蝗综合防治的大门,使大面积的蝗害在中国大地上得以防治。
此后,马世骏先生在生态学研究领域取得了一系列重要成果。这些研究的共同点都是从系统、综合、整体的观点和方法去认识对象、把握过程的。正如他后来高度概括的,生态学的实质就是协调生物与环境或个体与整体间的辩证关系,协调的实质是综合,是平衡,是和谐,是对立的统一。基于这样的思想,他创造性地提出了“整体、协调、循环、自生” 等生态工程的基本原理,还提出了“生态经济学” 设想以及“社会一经济一自然复合生态系统” 等一系列新的观点。他提出的许多观点与原则受到广泛的赞许,并且在经济建设和社会发展中发挥了显著的作用。
蝗蝻
## 第 3 苖
## 影响种群数量变化的因素
## 问题探讨
“离离原上草，一岁一枯荣。野火烧不尽，春风吹又生。”在我国北方的原野上,各种草本植物在春夏时节种群密度越来越高，在秋冬时节则相反。
讨论
1. 导致这些植物种群数量出现季节性变化的主要环境因素是什么?2. 这些植物种群的数量变化对当地动物种群的出生率和死亡率有什么影响?
北方的原野
就像“离离原上草”一样,自然界的种群总是有盛有衰，数量处于不断变动中。
你已经知道,种群的出生率和死亡率、迁人率和迁出率等特征直接决定种群密度。因此,凡是影响种群重要特征的因素,都会影响种群的数量变化。下面我们分别探讨非生物因素和生物因素对种群数量变化的影响。
(C) 本节聚焦
- 讨论影响种群数量变化的因素,这些因素是如何影响种群特征的?- 研究种群的数量变化在保护濒危物种、防治有害生物等方面有哪些应用?
## 非生物因素
## 思考‧讨论
## 非生物因素对种群数量变化的影响
下表为某地人工柳树林中,林下几种草：随林木郁闭度 (林冠层遮蔽地面的程度) 变本植物的种群密度 (平均值,单位: 株 $/ \mathrm{m}^{2}$ ) 化的调查数据。
| 郁闭度 | 0 | 0.2 | 0.4 | 0.6 | 0.8 | 1.0 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 一年蓬 | 15.3 | 13.5 | 10.8 | 7.4 | 4.3 | 2.4 |
| 加拿大一枝黄花 | 10.4 | 9.5 | 6.1 | 5.6 | 3.0 | 1.2 |
| 则儿菜 | 3.7 | 4.3 | 8.5 | 4.4 | 2.2 | 1.0 |
## 讨论
1. 影响该地草本植物种群密度的非生物因素是什么?2. 在同样的非生物因素的影响下,刺儿萫的种群密度变化与一年蓬、加拿大一枝黄花的有较大差异,这是为什么?3. 除上述因素外,种群数量的变化还受哪些非生物因素的影响?试分别举例说明。
在自然界,种群的数量变化受到阳光、温度、水等非生物因素的影响。例如,森林中林下植物的种群密度主要取决于林冠层的郁闭度,即主要取决于林下植物受到的光照强度;在温带和寒温带地区,许多植物的种子在春季萌发为新的植株,这主要是受气温升高的影响;蚊类等昆虫在寒冷季节到来时一般会全部死亡,这主要是受气温降低的影响;干旱缺水会使许多植物种群的死亡率升高,动物种群在寻找水源的过程中也常常发生个体的死亡,而对于东亚读了这段文字，你能提出什飞蝗来说，气候干旱正是其种群爆发式增长的主要原因。
么问题吗?
应当指出的是,非生物因素对种群数量变化的影响往往是综合性的。例如,春夏时节动植物种群普遍迅速增长,除气温升高外,日照延长、降水增多也是重要原因,而对于动物来说,食物日益充足也是导致种群增长的重要因素,这就涉及生物因素了。
## 生物因素
随着种群的增长,种内竞争会加剧,从而使种群的增长受到限制,这说明种群数量的变化受到种群内部生物因素的影响。
种群的数量变化是否受种群外部生物因素—一其他生物的影响呢?
## 思考·讨论
## 影响种群数量的其他生物因素
资料 11934 年,生态学家高斯选用了两种形态和习性上很接近的草履虫进行了以下实验：取相等数目的双小核草履虫和大草履虫,以一种杆菌为饲料,放在某个容器中培养。结果发现：与单独培养不同,混合培养开始时两个种群的数量也都有增长,但随后双小核草履虫个体数继续增加，而大草履虫个体数下降,最后完全消失。这两种草履虫都没有分泌杀死对方的物质。
单独培养双小核草履虫
单独培养大草履虫
混合培养资料 2 生活在加拿大北方森林中的猞猁捕食雪兔。研究人员在 90 多年的时间里,对猞猁和雪兔的种群数量做了研究,结果如下图所示。
## 讨论
1. 怎样解释资料 1 中的实验结果?2. 怎样解释猞猁和雪兔种群数量变化的同步周期性?2. 猞刖和雪兔种群的数量变动哪个是因、哪个是果?3. 除猞刖外,影响雪兔种群数量变动的还有其他因素吗?
在自然界,任何一个种群都与其他种群有着密切的关系,其中捕食与被捕食的关系、相互竞争的关系都是十分常见的。除顶级捕食者外,每种动植物都可能是其他某种生物的捕食对象,每种动物都需要以其他生物为食。如果食物歹乏,动物种群会出现出生率降低、死亡率升高的现象。例如,松鼠（图 1-7) 以红松、云杉等植物的种子为食,其种群数量与食物的丰歉密切相关。在食物丰富的年份,每只松鼠平均能产 3 窝,每窝 4 6只幼仔;而食物不足的年份会有 $20 \% \sim 30 \%$ 的成熟雌性个体不繁殖,繁殖者每年产仔数也明显减少。天敌对猎物种群数量影响的例子更是不胜枚举。
森林中不同植物竞争阳光和养分,草原上非洲狮与猎豹竞争猎物,这也会导致种群数量的变化。非洲狮和猎豹会在同一区域捕猎，有时，非洲狮会在猎豹杀死猎物后到
图 1-7 松鼠
## 知识链接
关于种间关系，详见本书第 2 章第 1 节。来，赶走猎豹以获得剩余的食物；非洲狮还会杀死猎豹的 幼崽,从而将猎豹的数量控制在一定范围内。
此外，作为宿主的动物被寄生虫寄生，细菌或病毒引起传染病,也会影响种群的出生率和死亡率等特征,进而影响种群的数量变化。
一般来说，食物和天敌等生物因素对种群数量的作用强度与该种群的密度是相关的。例如,同样是缺少食物,种群密度越高，该种群受食物短缺的影响就越大，因此，这些因素称为密度制约因素。而气温和千旱等气候因素以及地震、火灾等自然灾害，对种群的作用强度与该种群的密度无关，因此被称为非密度制约因素。例如,在遭遇寒流时,有些昆虫种群不论其种群密度高低,所有个体都会死亡。
## 种群研究的应用
研究种群的特征和数量变化的规律,在野生生物资源的合理利用和保护、有害生物的防治等方面都有重要意义。
在濒危动物的保护方面,只有通过调查获知种群密度、出生率和死亡率、性别比例、年龄结构等特征,以及影响该种群数量变化的因素,才能准确了解该种群的生存状态,预测该种群的数量变化趋势,进而采取合理的保护对策。
在渔业上,人们总是希望每年既能捕捞较多的鱼,又不危及来年的鱼产量,也就是希望长期获得较高的捕捞量。那么,怎样确定合适的捕捞量呢?这就需要研究捕捞量与种群数量变化之间的关系。从理论上说,“S” 形增长的种群在种群数量达到 $K$ 值时,出生率与死亡率相等,这时即使不捕捞,种群数量也不会增加。研究表明,中等强度的捕捞（捕捞量在 $K / 2$ 左右 ) 有利于持续获得较大的鱼产量（图 1-8)。
在有害生物的防治方面，种群研究同样具有重要意义。例如,在鼠害发生时,既适当采用化学和物理的方法控制现存害鼠的种群数量,又通过减少其获得食物的机会等方法降低其环境容纳量,才能使鼠害得到有效防治。再如,对农林害虫的防治,如果一味依赖喷洒农药的方法,既造成环境污染,又伤及害虫的天敌;有效保护或引人天敌生物，则有利于将害虫数量控制在较低的水平。
## 分析循环因果关系
在生物学上,许多生理或生态过程的因果关系是循环性的,也就是说,一定的事件作为引起变化的原因,所导致的结果又会成为新的条件,施加于原来作为原因的事件,使之产生新的结果,如此循环往复。请分析以下生物学过程的因果关系的循环性并回答问题。
1. 甲状腺激素分泌的调节。2. 猎物和捕食者种群数量变化的相关性。3. 人类活动中是否也能找到类似的例子?
## 练习与应用
## 一、概念检测
1. 种群数量变化受环境因素的影响。据此判断下列表述是否正确。
（1）林下光照较弱会使所有林下植物的种群数量下降。
（2）只有影响种群出生率和死亡率的环境因素才能影响种群数量。
2. 在自然界,有些捕食者种群和猎物种群的数量变化呈现周期性的波动,如下图所示的模型。请分析该图所示二者数量变化的关系及影响因素。
猎物种群和捕食者种群数量随时间而变化
(1) 对这种现象合理的解释或概括是
A. 与种内竞争无关
B. 二者总是此消彼长
C. 与植物种群数量无关
D. 二者相互制约、互为因果 (2) 捕食者种群和猎物种群的数量变化并不都符合该模型，对此不合理的解释是
A. 该捕食者种群有多种猎物
B. 该猎物种群有多种捕食者
C. 猎物逃避捕食者的能力明显提高
D. 捕食者种群数量过小,不足以制约猎物种群增长
## 二、拓展应用
1. 一本生态学专著上写道:“当能预报末来时,生态学就变成一门预测性科学;当能决定末来时,生态学就变成了一门管理科学。” 结合本章所学知识,谈谈你对这句话的理解。有兴趣的话,还可以查阅更多资料,了解生态学的研究进展及其在实践中的应用。2. 20 世纪初,人们将驼鹿引人一个孤岛。该种群 1915-1960 年的数量变化情况如下表。
(1 ) 用曲线图表示该种群 1915-1943 年的消长情况。
（2）1915-1930 年,该种群数量不断增加,可能的原因有哪些?
(3) 该种群的数量后来急剧下降,可能的原因有哪些?
| 年份 | 1915 | 1917 | 1921 | 1925 | 1928 | 1930 | 1934 | 1943 | 1947 | 1950 | 1960 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 驼鹿种群数量/只 | 200 | 300 | 1000 | 2000 | 2500 | 3000 | 400 | 170 | 600 | 500 | 600 |
## 植保员
“本报讯近日，记者从市植保站获悉：目前,大豆蚜已在我市大豆田点片发生,农民朋友应引起注意,尽早防治。由于近期气温高,降雨少,田间比较干旱,气象条件非常有利于大豆蚜的繁殖。据测报站 7月3 日调查,大豆百株蚜量 1436 头,有蚜株率 $58 \%$,卷叶率 $8 \%$。
…… 上述调查结果表明：今年大豆蚜在我市发生早,且发生量比常年同期大;同时,今年大豆苗小、抗虫能力弱,这也加重了大豆蚜的危害。为此,各县植保站及广大农户要尽早深入田间查田治虫,对达到防治指标的地块，应及时进行防治 …… . ”
“目前我市夏蝗已经出土,黄骅植保站 5月 5-6日在黄灶东洼发现一龄蝗蝻 6头;南大港植保站 5 月 6 日在张洼口夹荒地发现一龄蝗蝻 31 头;海兴植保站 5 月 5 日在杨呈水库发现一龄蝗蝻 5 头,小山东洼夹荒地发现一龄蝗蝻 3 头;沧县植保站 5 月 7 日在东关镇旧州农田夹荒地发现一龄蝗蝻 5 头。
我市今年夏蝗始见出土时间为 5 月 5 日,较去年晩 3 天,去年 5 月 2 日在南大港水库始
植保员诊治小麦病虫害,并向农民讲解麦田
管理知识
读了以上两则报道,相信你对植保员所从事的工作已经有了一定认识。我国是一个农业大国。省、市、县都设有植保站,很多乡镇也有专门的植保员,形成了一个全国性的植物保护网络。成千上万的植保员活跃在田间地头,对农作物的病虫害进行监测和预报,并对广大农民防治病虫害进行技术指导。通过这两则报道还可以看出,做一个优秀的植保员,需要掌握调查种群密度的方法,掌握害虫种群的增长规律,并且要研究环境因素对种群增长的影响。
随着科学技术的进步,不少新技术也在植物保护方面得到应用。例如,应用无人机等遥感遥测技术、现代信息技术,可以让植见一龄蝗蝻。原因是今年春季气温回升缓慢,
保员有“千里眼、顺风耳”。一位 3-4月的平均气温为 $10.9{ }^{\circ} \mathrm{C}$,而去年同期平均气温为优秀的植保员应该能够在工作中应 $12.2{ }^{\circ} \mathrm{C}$，这对蝗卵的发育有一定影响，所以蝗蝻出土较晩。”
用现代科学技术。
植保员保护的不只是农作物,还有广大农民的利益、国民经济的基础。
## 本章小结
## 理解概念
- 种群是一定空间内同种生物所有个体形成的集合。种群作为一个整体,具有个体层次上所没有的特征。种群研究的核心是种群的数量特征和数量变化规律。- 种群最基本的数量特征是种群密度。种群的其他数量特征包括出生率和死亡率、迁入率和迁出率、年龄结构、性别比例等,这些特征是决定种群密度的重要因素,其中出生率和死亡率、迁入率和迁出率直接决定种群的密度,年龄结构影响出生率和死亡率,性别比例影响出生率。- 在理想条件下,种群数量会实现快速的增长,其数学模型为: $N_{t}=N_{0} \lambda^{t}$,呈“J” 形曲线。然而,由于资源和空间的限制,种群数量不可能无限增长。一定的环境条件所能维持的种群最大数量称为环境容纳量 ( $K$ 值)。有的种群在数量快速增长到 $K$ 值后能保持相对稳定,使种群增长呈“$\mathrm{S}$ ” 形曲线。- 更多的种群在非生物因素和其他生物种群的影响下，数量常常是上下波动的,有时还会出现急剧下降。
## 发展素养
通过本章的学习，应在以下几方面得到发展。
- 基于对种群特征和影响种群数量变化因素的了解,阐明种群数量变化受到内因和外因的影响,外因通过内因而起作用。- 能够运用样方法调查种群密度,尝试建立数学模型来表征种群数量变化的规律,并应用于相关实践活动中。- 基于对生物学过程中存在循环因果关系的认识,尝试从近期效应和长远效应两个方面分析或探讨人类活动对种群及环境的影响。- 通过了解我国生态学家和植保员的相关工作,认同种群研究的重要社会意义，提升社会责任感。
## 复习与提高
## 一、选择题
1. 下列叙述符合种群密度概念的是
A. 一公顷水稻的年产量
B. 每平方米草地中杂草的数量
C. 某湖泊每平方米水面鲫鱼的数量
D. 某地区灰仓鼠每年新增的个体数
2. 某地区由于秋天过早降温,许多蝗虫在产卵前死亡。第二年,该地区蝗虫的种群密度明显下降。对蝗虫种群密度下降合理的解释是
A. 出生率下降
B. 死亡率上升
C. 迁人率下降
D. 迁出率上升
3. 根据种群的年龄结构,可以推测出生率、死亡率的变化趋势。下列表述正确的是
A. 年龄结构为稳定型的,出生率大于死亡率
B. 年龄结构为增长型的,出生率大于死亡率
C. 年龄结构为衰退型的,出生率大于死亡率
D. 年龄结构为稳定型的,出生率小于死亡率
4. 关于种群的增长,下列表述正确的是 ( ）
A. 引人到新环境的种群,一定时间内都能呈“J” 形增长
B. 在环境条件变化的情况下,种群数量都会在 $K$ 值附近波动
C. 在环境条件不变的情况下,种群的增长都有在 $K$ 值上下维持稳定的趋势
D. 自然界的种群增长到一定程度都会在 $K$ 值保持稳定，因此，都呈“S” 形增长
5. 用酵母菌酿酒的主要阶段为 : 加料→接种 $\rightarrow$ 通气培养→密封发酵。从接种后到密封前这一阶段，酵母菌种群数量变化的曲线图为
A
$\mathrm{C}$
B
D
## 二、非选择题
1. 大树杜鹃是一种集中分布于我国云南高黎贡山山区的高大乔木。它的分布范围很小，很难引种到其他地方，是濒危物种。大树杜鹃林下凋落物厚,种子难以散布到土壤基质层,因此在自然环境中发芽率很低;幼苗生长缓慢,要生长很长时间才能开花;植株耐寒能力弱,在 $-2{ }^{\circ} \mathrm{C}$ 环境下会死亡,幼树死亡率高。请回答下列问题。
（1）哪些环境因素影响了大树杜鹃的种群数量?
（2）有人建议，人工清除林下的凋落物以提高大树杜鹃的种子发芽率,促进种群数量增长。你如何看待这一建议?
（3）由于大树杜鹃植株高大、花大而艳丽，很有观赏价值，因此存在人为破坏的风险。你对保护大树杜鹃有哪些建议?
大树杜鹃
2. 普氏原羚是我国特有的濒危动物，现仅分布于我国青海湖周边地区的草原上。1994年，我国普氏原羚的数量不足 300 只。近些年来,由于采取了一系列保护措施，普氏原羚数量持续上升。据报道,2018年时其数量已达2 793只,但它们面临的威胁依然存在。在牧场围栏附近常可见到普氏原羚的尸骨，有的是狼捕食后的残骸，有的是被围栏上的刺丝勾挂致死的。由于道路和牧场围栏阻隔，普氏原羚被隔离在13个分布区内。
(1) 从遗传与进化的角度看，不同分布区的普氏原羚种群处于隔离状态，这对该物种的延续有什么不利影响?
(2) 有人建议大量捕杀狼等天敌以保护普氏原羚，你是否赞同这一建议?说说你的理由。
(3) 许多牧民响应政府号召主动拆除牧场围栏，但之后却出现家畜被狼、狐咬死的情况；严控放牧可以为普氏原羚腾出空间，但是会减少牧民的收人。应该如何协调保护普氏原羚与保障牧民利益的关系?
## 第 2 章 群落及其演替
生活在同一区域的不同种群不是孤立的，而是直接或间接地联系着，共同构成了有序的整体——群落。
在华北地区植树造林的实践中，人们发现，在人工林群落中,容易发生鼠害。随着人工林的成长,鼠类剥食落叶松、樟子松的树皮，啃食幼苗，危害林木的生长和存活，而鼠的种群数量会大增。防治后过一段时期,鼠害还会反复。然而,在气候条件相似或优势树种相同的天然林中,鼠害的威胁却小得多。
为什么人工林容易受到鼠害的威胁呢?能不能通过经常投放鼠药的方式来防治人工林的鼠害？在优势树种相同的人工林和天然林中,物种的组成及相互关系是否相同呢?
万千种群在这里繁衍，或许已历经沧海桑田捕食、寄生、竞争、共生、相克相生，相依相伴
## 第 1 节
群落的结构
## 问题探讨
稻田中生活着多种底栖动物，如大脐圆扁螺、中国圆田螺、苏氏尾鳃蚛、羽摇蚊的幼虫等。在稻田中饲养中华线螯蟹（俗称“河蟹”)，由于河蟹喜食底栖动物和杂草，底栖动物和杂草都会减少。同时,河蟹的爬行能起到松动田泥的作用，因而有利于水稻的生长。
## 讨论
1. 河蟹与底栖动物 ( 如螺类 ) 的关系是怎样的?
稻田中的河蟹
2. 提高河蟹的种群密度，稻田中其他动物种群会发生怎样的变化?
(9) 本节聚焦
- 不同群落在物种组成上有哪些差别?群落为什么能形成有机整体?- 群落的空间结构是怎样的?- 生态位分化对于群落和物种有什么意义?当你把一片稻田中的全部生物作为一个生命系统来研究时,这个稻田中的每个种群就成为系统的组分。在本章章首页介绍的人工林中,不同种群之间也相互关联形成一个整体。像这样,在相同时间聚集在一定地域中各种生物种群的集合,叫作生物群落 (biological community)，简称群落。
在群落水平上研究的问题与在种群水平上研究的有什么不同?
## 科学方法
## 视角决定问题—以群落和种群研究为例
种群水平的研究重点在于种群的数量动态，包括种群密度、出生率、死亡率、年龄结构、性别比例等。在群落水平上研究的是另外一些问题。
分析上图可以看出,同样是对生物群体的群落的基础;从群落的视角出发,将群落作为研究,种群和群落是不同水平的研究对象,也一个整体来研究，又会发现新的问题，获得新可以作为研究者的不同视角。研究种群是研究的认识
## 群落的物种组成
要认识一个群落,首先要分析该群落的物种组成。物种组成是区别不同群落的重要特征,也是决定群落性质最重要的因素。图 2-1 和图 2-2 所示的两个森林群落,你能从物种组成上说出二者的主要差别吗?
$\triangle$ 图 2-1 新疆北部的针叶林
图 2-2 福建武夷山的常绿阔叶林
不同群落的物种组成不同,物种的数目也有差别。一个群落中的物种数目,称为物种丰富度 ( species richness )。科学家研究了我国从东北到海南的森林群落,发现越靠近热带地区,单位面积内的物种越丰富。
在群落中,有些物种不仅数量很多,它们对群落中其他物种的影响也很大,往往占据优势,如武夷山常绿阔叶林中的米槠（zhū）、甜槠、木荷等;还有一些物种虽然在群落中比较常见,但对其他物种的影响不大,它们就不占优势，如武夷山常绿阔叶林中的狗脊、芒萁等。
你能举例说出你所在地区的常见群落中占优势的物种吗？
群落中的物种组成不是固定不变的。随着时间和环境的变化,原来不占优势的物种可能逐渐变得有优势;原来占优势的物种也可能逐渐失去优势,甚至从群落中消失。例如,在我国东北部的草原群落中,羊草通常占据显著优势。当放牧强度加大时,羊草就会明显减少,䊁隐子草等植物便逐渐占优势,一些原来在群落中罕见的植物种类也变得常见了。如果过度放牧,碱蓬等植物就会明显占优势,群落中原有的一些植物种类会消失,草原生产力严重降低。由此可见，控制放牧强度对于维持草原群落稳定、实现可持续发展非常重要。
## 种间关系
一个群落中的物种不论多少,都不是随机的简单集合,而是通过复杂的种间关系，形成一个有机的整体。在前面的学习中，你已经了解了大草履虫和双小核草履虫之间的竞争,也知晓了猞猁对雪兔的捕食,它们是不同类型的种间关系。种间关系主要有原始合作 (互惠 )、互利共生、种间竞争、捕食和寄生等（图 2-3)。
## 原始合作（protocooperation ）
两种生物共同生活在一起时，双方都受益，但分开后,各自也能独立生活。例如,海葵固着于寄居蟹的螺壳上,寄居蟹的活动,可以使海葵更有效地捕食;海葵则用有毒的刺细胞为寄居蟹提供保护。
## 互利共生 ( mutualism )
两种生物长期共同生活在一起，相互依存，彼此有利。例如,豆科植物与根瘤菌之间：植物向根瘤菌提供有机养料,根瘤菌则将空气中的氮气转变为含氮的养料,供植物利用。
寄生 ( parasitism)
一种生物从另一种生物
（宿主）的体液、组织或已消化的物质中获取营养并通常对宿主产生危害的现象。例如,马蛔虫与马。
种间竞争（interspecific competition )
两种或更多种生物共同利用同样的有限资源和空间而产生的相互排斥的现象。例如,同一草原上生活的非洲狮和斑䰁狗。
从图 2-3 种间关系举例
## 分析种间关系对群落的影响
资料 1 红尾鸲（qú ）和鹟（wēng） 都捕食飞虫,也常常从树叶及树冠末梢上豛食昆虫。在两种鸟共同生活的地区,红尾鸲喜欢在疏林和缓坡处活动,而鹟更喜欢选择密林和陡坡。如果只有一种鸟存在,那么无论红尾鸲还是鹟,它们受食生境的范围都比共存时的更大。
资料 2 某地海边潮间带分布着海星、藤显、贻贝、帽贝、石瞥等动物,海星可以捕食该群落中的其他四种动物,其他四种动物之间无捕食关系。在一个 $16 \mathrm{~m}^{2}$ 的实验样地中，人为去除该样地中的所有海星，几个月后,藤显在该实验样地中占据优势,数量最多；再过一段时间，贻贝成为最终占优势的物种。
## 讨论
1. 红尾鸱和鹟的种间竞争对两个种群的分布有什么影响?2. 资料 2 说明捕食、种间竞争在群落中是怎样相互联系的?3. 除了种间关系,还有哪些影响群落的因素呢?
## 群落的空间结构
在群落中,各个生物种群分别占据了不同的空间,使群落形成一定的空间结构。群落的空间结构包括垂直结构和水平结构等。
垂直结构在垂直方向上，大多数群落都具有明显的分层现象。例如，森林中自上而下分别有乔木、灌木和草本植物，形成群落的垂直结构（图 2-4)。
## 知识链接
群落的形成是不同物种协同 进化的结果，详见必修 2《遗传 与进化》第 6 章第 4 节。
从图 2-4 森林群落的分层现象示意图其他群落也像森林群落一样具有垂直结构。例如,在湖泊中,就有挺水层 (如芦苇、莲、茭白)、浮水层 (如凤眼蓝、浮萍) 和沉水层 (如水车前、小眼子菜、竹叶眼子菜、黑藻) 等。这些植物分别利用了湖泊中的不同空间,形成了湖泊群落的垂直结构。
你能想象一下某个森林群落通过自然选择形成分层结构的大致过程吗?
植物的分层与对光的利用有关: 不同植物适于在不同的光照强度下生长。这种分层现象显著提高了群落利用阳光等环境资源的能力。除了光照,在陆生群落中,决定植物地上分层的环境因素还有温度等条件;决定植物地下分层的环境因素则是水分、无机盐等。
群落中植物的垂直分层为动物创造了多种多样的栖息空间和食物条件,因此,动物也有分层现象。例如,某森林中栖息着多种鸟类,虽然大多数鸟类可同时利用几个不同的层次,但每一种鸟都有一个自己经常活动的层次：林冠层栖息着鹰、黄骊、杜鹃等;中层栖息着山雀、䃍木鸟、鹟、茑等;林下层则生活着画眉、八色㝳等。
水平结构群落的结构特征不仅表现在垂直方向上,也表现在水平方向上。例如,某草地在水平方向上,由于地形的变化、土壤湿度和盐碱度的差异、光照强度的不同、生物自身生长特点的不同,以及人与动物的影响等因素,
V图 2-5 某群落的水平结构不同地段往往分布着不同的种群,同一地段上种群密度也有差别,它们常呈镶嵌分布（图 2-5)。
## 群落的季节性
图 2-6 大批候鸟飞抵鄱阳湖越冬
由于阳光、温度和水分等随季节而变化,群落的外貌和结构也会随之发生有规律的变化。例如,有些种类的植物在早春来临时开始萌发,并迅速开花和结实,到了夏季其生活周期结束;另一些种类的植物则在夏季达到生命活动的高峰，从而导致群落在春季和夏季的物种组成和空间结构发生改变。大多数典型的草原鸟类和高鼻羚羊等有蹄类动物,在冬季都向南方迁移,到雪被较少、食物充足的地区生活（图2-6）。旱獭、仓鼠等啮齿类动物在冬季会冬眠，有些动物则在炎热的夏季进人夏眠。
## 生态位
在群落中,不同的物种各自生活在一定的空间范围内,利用特定的资源，甚至只在特殊的时间段出现（如某种食虫蝙蝠只在夜间活动 ),它们在群落中所起的作用以及与其他物种的关系也有差别。可见,每个物种都有自己在群落中的地位或作用。一个物种在群落中的地位或作用,包括所处的空间位置,占用资源的情况,以及与其他物种的关系等,称为这个物种的生态位 (niche)。因此,研究某种动物的生态位,通常要研究它的栖息地、食物、天敌以及与其他物种的关系等。研究某种植物的生态位,通常要研究它在研究区域内的出现频率、种群密度、植株高度等特征,以及它与其他物种的关系等。
## 分析当地自然群落中某种生物的生态位
选择当地某处森林、草原、湖泊、河流等,分析群落中常见物种所处的生态位。
确定某种生物的生态位,一般要以调查为基础。如果条件允许,最好能开展调查研究。如果条件不足,可以查阅资料或利用下面资料中的生物群落进行分析。在分析该群落主要物种组成的基础上,选择其中一个常见的物种分析它所处的生态位。
资料崇明东滩鸟类国家级自然保护每年有数万只水鸟于 10 月至次年 2 月在崇明东滩越冬。某研究团队以 4 种占优势的水鸟为研究对象,调查了它们的种群数量、在不同受食生境出现的概率、主要的食物种类等,结果如下表所示。生境 1 为低潮盐沼一光滩带,宽度为 $2000 \mathrm{~m}$ 左右;生境 2 为海三棱蔍 ( biāo) 草带,宽度为 $400 \mathrm{~m}$ 左右;生境 3 为海堤内鱼塘一芦苇区,芦苇在植物群落中占优势。
区位于长江人海口,是重要的水鸟越冬区,
| 物种 | $\begin{array}{c}\text { 观察 } \\ \text { 数量/ } \\ \text { 只 }\end{array}$ | 觅食生境出现率 $\% \%$ | | | 鸟胃中主要的食物种类/\% | | | | | | |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| | | 生境 1 | 生境 2 | 生境 3 | 小坚果 | 茎类 | 草屑 | 螺类 | $\begin{array}{l}\text { 贝壳 } \\ \text { 沙砾 }\end{array}$ | 甲壳类 | 其他 |
| 绿翅鸭 | 2120 | 67 | 0 | 33 | 52.8 | 16.7 | 0 | 12.0 | 13.0 | 0 | 5.5 |
| 绿头鸭 | 1513 | 98 | 1 | 1 | 78.3 | 0.8 | 0 | 7.1 | 5.6 | 1.1 | 7.1 |
| 鹤鹬 | 1678 | 64 | 0 | 36 | 0 | 0 | 50.0 | 25.0 | 25.0 | 0 | 0 |
| 青脚鹬 | 1517 | 29 | 28 | 43 | 0 | 0 | 33.3 | 33.3 | 0 | 33.3 | 0.1 |
## 讨论
1. 这 4 种鸟选择觅食生境的策略有哪些异同?哪一种鸟觅食生境的范围更宽?2. 如果两种鸟的觉食生境一样，生态位就完全一样吗?3. 任选一种鸟，分析它的食性。从觅食的角度，与它有竞争关系的鸟类有哪些?4. 任选一种鸟，从觅食生境、种间关系等多个方面综合描述这种鸟类的生态位。
群落中每种生物都占据着相对稳定的生态位，这有利于不同生物充分利用环境资源，是群落中物种之间及生物与环境间协同进化的结果。
与社会的联系青鱼、草鱼、鲬鱼和鲢鱼是我国传统的四大家鱼。最晩在明代,我国劳动人民就已经将四大家鱼混养以提高效益。四大家鱼的混养就是利用了它们在池塘中占据着不同的生态位：青鱼栖息在水体的中下层,以水底的螺、蚌及水生昆虫等为食;草鱼栖息于水体的中下层或水草多的地方，主要以水草为食;鳙鱼又叫胖头鱼,生活在水体的中上层,主要以浮游动物为食,也食用部分浮游植物；鲢鱼主要以浮游植物为食,生活在水体的上层。思维训练
## 溯因推理
某湖泊中生活着鲈鱼和短吻鳄，短吻鳄会捕食鲈鱼,而鲈鱼又是人们喜爱的美味。当地居民为了提高鲈鱼的产量而大量捕杀短吻鲐。在短吻鳄被捕杀几乎绝迹之后,鲈鱼的产量却没有增加。调查表明湖中鲈鱼的种群数量竟然比原来还下降了。追溯原因,有人提出了以下可能:
A. 气候变化造成鲈鱼的食物短缺;B. 短吻鲴捕食的另一种鱼以鲈鱼为食;
C. 捕杀短吻鳄前鲈鱼的种群已经衰退；
D. 人类主要捕捞鲈鱼幼龄鱼造成种群衰退。
以上四种解释都有道理吗?你认为哪种是最可能的原因?作出推测后,应该怎样进一步判别?
## 练习与应用
## 一、概念检测
1. 长白山北坡从山麓到山顶依次出现针阔叶混交林、针叶林、岳华林和高山冻原。针阔叶混交林中的乔木层有红松、红皮云杉、白桦等多种植物,在林冠层生活着小杜鹃、大杜鹃、黑枕黄鹂等鸟类。判断下列表述是否正确。
( 1 ) 针阔叶混交林中的红松和红皮云杉存在种间竞争的关系。
（2）从山麓到山顶依次出现不同的森林类型,是群落的垂直结构。
（3）小杜鹃主要生活在林冠层,这是小杜鹃的生态位。
2. 某弃耕农田中的植物种类 40 年间的变化情况见下表。下列有关该地群落变化的叙述,错误的是
| 时间/年 | 1 | 4 | 15 | 25 | 40 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 乔木 | 0 | 0 | 0 | 14 | 23 |
| 灌木 | 0 | 3 | 4 | 12 | 19 |
| 草本植物 | 28 | 27 | 26 | 30 | 34 |
| 总计 | 28 | 30 | 30 | 56 | 76 |
A. 物种丰富度趋于增加
B. 群落对光能的利用能力提高
C. 物种丰富度呈现“S” 形增长
D. 群落的垂直结构和水平结构发生了变化
3. 河蟹是杂食性动物，以鱼、虾、螺、蚌、水生昆虫和水草等为食,它们喜欢潜伏在水草或底泥中。在生产实践中,人们不会将河蟹与食性和它相似的青鱼混养。为什么?
## 二、拓展应用
1.《诗经・小雅・小宛》中写道：“㖵蛉有子，蜾蠃负之。”古人以为蜾蠃不产子，因此捕捉“蜞蛉”当作“义子”来养育。南北朝时期，医学家陶弘景发现，蜾蠃把㖵蛉衔回窝中，用尾上的毒针刺人蜞蛉体内,并在其身上产卵。
镶黄蜾蠃捕捉一种蛾的幼虫所以，他认为㖵蛉不是“义子”,而是蜾蠃幼虫的食物。这两种生物存在怎样的种间关系?
2. 在群落形成的过程中,如果两个物种的生态位相似,你认为这两个物种的发展将是什么结果?3. 捕食者在猎杀猎物时,场面比较血腥,这往往会让人认为捕食者很残忍。有的地方曾经为了保护某些食草动物而人为消灭捕食者,但结果却事与愿违。请从群落中物种之间的相互关系,以及这种关系是如何形成的等角度,分析群落中存在捕食者的生态意义。
## 研究土壤中小动物类群的丰富度
土壤是无数动物的家园。常见的动物有蜘蛛、鼠妇、蜈蚣、马陆、蚯蚓,以及多种多样的昆虫,等等。有些土壤动物实在太小了,我们一般不关注它们,但是它们对动植物遗体的分解起着重要的辅助作用。
我们可以通过取样调查的方法来研究土壤中小动物类群的丰富度。许多土壤动物有较强的活动能力,而且身体微小,因此不适于用样方法进行调查。在进行这类研究时,常用取样器取样的方法进行采集、调查,即用一定规格的捕捉器 (如采集罐、吸虫器等) 进行取样,通过调查样本中小动物的种类来推测某一区域内土壤动物的物种数目。
仅仅统计群落中的物种数,不足以全面了解群落的结构,因此,在统计群落中物种数目的同时,还可统计物种在群落中的相对数量。常用的统计物种相对数量的方法有两种：一是记名计算法;二是目测估计法。记名计算法是指在一定面积 (体积) 的样地中,直接数出各个种群的个体数目,这一般用于个体较大、种群数量有限的物种。目测估计法是按预先确定的多度等级来估计单位面积 ( 体积) 中的种群数量。等级的划分和表示方法有：非常多、多、较多、较少、少、很少，等等。
## 提出问题
可依据自己的兴趣,并考虑可行性,经小组讨论,确定要探究的问题。例如,受人类活动影响程度不同的土壤中小动物类群丰富度的比较研究;调查和比较不同时间 (白天和晩上 ) 或不同空间 (如不同深度土层 ) 的土壤中小动物类群的丰富度;等等。
你们小组要探究的问题:
## 制订计划
参照第 1 章第 1 节“探究 实践” 中制 订计划的要点,用列表的方法,制订一份本 小组的研究计划，如下表所示。
## 研究计划表
| 步取稆 | 时间 | 地点 | 内容 | 方法 | 备注 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 第一步 | $\begin{array}{l}\times \text { 年 } \\ \times \text { 月 } \\ \times \text { 日 }\end{array}$ | | $\begin{array}{l}\text { 环境 } \\ \text { 考察 }\end{array}$ | $\begin{array}{l}\text { 观察与 } \\ \text { 测量 }\end{array}$ | $\begin{array}{c}\text { 带温度计 } \\ \text { 干湿计、} \\ \text { 记录本 }\end{array}$ |
| 第二步 | | | | | |
| ... | | | | | |
## 方法步骤
1. 准备
(1) 制作取样器。可选择直径为 $5 \mathrm{~cm}$ 的硬质金属饮料罐,在距离顶端 $5 \mathrm{~cm}$ 处剪断。这样的取样器容积约为 $100 \mathrm{~mL}$。断口处很锋利，操作时要注意安全。
(2) 记录调查地点的地形和环境的主要情况。提出安全注意事项。
取样时尽量不要破坏环境，并应事先取得 ■ 有关部门的同意。
## 2. 取样
选择取样地点,将表层土上的落叶轻轻拨开,用手来回旋转罐子,将其按人土中,按压到罐底与地表几乎齐平,用铲子将罐内的土连同罐子一起挖出。将罐子中的土壤倒人塑料袋中。
## 塑料袋上应标明取样的地点和时间等。
3. 采集小动物
在去底花盆中放一个金属网，将取到的土壤样品放置在金属网上。为了使空气流通，土壤与花盆壁之间要留一定的空隙。然后,将花盆放置在诱虫器上,打开电灯 (如下图所示 )。
诱虫器
采集小动物的示意图也可以采取以下简易采集法：将取到的土壤样品放在瓷盆内（要注意防止小动物逃走 ),用解剖针拨找小动物,同时用放大镜观察，发现体型较大的小动物，可用包着纱布的镊子取出来,体型较小的则可以用吸虫器 (右上图) 采集。
采集的小动物可以放人体积分数为 $70 \%$ 的酒精溶液中，也可放人试管中。
## 4. 观察和分类
可借助有关的动物图鉴查清小动物的名称,并进行分类。有些小动物难以用肉眼识别,可用镊子或吸管取出,放在载玻片上,借助放大镜、体视显微镜进行观察。应一边观察一边做好记录。如果还是无法知道小动物的名称,可记为“待鉴定 $\times \times$ ”，并记录它们的特征。
说明：观察时最好用体视显微镜。如用普通光学显微镜,可在 4 倍的物镜和 5 倍的目镜下进行观察。
## 5. 统计和分析
请根据前面介绍的丰富度统计方法,设计一个数据统计表,分析所记录的数据,完成一份研究报告。
讨论
1. 在班级内交流各自的研究报告,比较研究结果,就发现的问题进行讨论。2. 如果要调查水中小动物类群的丰富度，应如何研究?
## 科学·技术·社会
## 立体农业
早在西汉时期，我国就出现了“间作套种” 的农业生产方式。据《氾胜之书》记载，在瓜田中“又种薤（xiè）十根……居瓜子外,至五月瓜熟,菲可拔卖之,与瓜相避。又可种小豆于瓜中,亩四五升,其雚可卖。此法宜平地,瓜收亩万㦵。” 这种生产方式就是立体农业的维形。所谓立体农业,就是充分利用群落的空间结构和季节性,进行立体种植、立体养殖或立体复合种养的生产模式。以下是两个实例。
1. 板栗一茶树结构
湖北省某林场在板栗林里栽培茶树,通过精心管理取得了板栗、茶树两旺,提高了经济效益。板栗是一种深根性树种,而茶树是根系较浅的小灌木。两种植物的根系深浅搭配,合理地利用了不同层次土壤内的水分和无机盐。同时,茶树的地上部分一方面有效地截留了降水,降低了水土流失,另一方面减少了地表蒸发。板栗一般高度为 $3 \sim 4 \mathrm{~m}$,而茶树高度为 $1 \mathrm{~m}$ 左右。板栗喜光,茶树耐阴,光照过强会导致茶树的光合作用效率下降、代谢机能减缓。两种植物高䅗结合,充分利用了不同层次的光能。板栗还增加了茶园内的枯枝落叶,使得茶园的小气候条件、土壤条件均朝有利于茶树生长的方向发展。
## 2. 稻一鱼一蛙结构
“稻花香里说丰年,听取蛙声一片。”诗句描绘了稻田中的繁荣景象,也反映了稻田群落的特征。能不能利用稻田的群落特征,开展稻田养鱼养蛙呢?河南省某村庄在揷䄺 不久的稻田中,每亩放养 200 条草鱼和 600 只青蛙,实现了生态效益和经济效益的双嬴。鱼和蛙的粪便为水稻供肥;鱼和蛙苸吸释放的二氧化碳可供水稻进行光合作用;稻田中的害虫、其他浮游动物、田间杂草的数量也因养殖鱼、蛙而大大下降;收获的鱼和蛙还带来了经济效益。类似的立体种养模式还有稻一萍一鱼、稻一萍一蟹等。
如果你生活在农村或城郊,你那里可能还有其他类型的立体农业模式,可以介绍给大家。如果你生活在城市,你是否也可根据群落结构的原理设计立体绿化品?
## 第 2 节
## 群落的主要类型
## 问题探讨
三江源地区位于青藏高原腹地，是长江、黄河和澜沧江的源头汇水区，被誉为“中华水塔”。这里的雪山、草地、森林、河流，静静地展示着原生态的美。20世纪，因气候变化和人为干扰，三江源地区环境恶化，草地严重退化,水土流失加剧 …… 我国政府已经建立了三江源国家公园，启动了多项保护措施，退牧还草是其中一项。现在，三江源的生态环境正在好转。
讨论
1. 森林和草原在群落外貌和群落结构上有什么不同?2. 为什么不在退化的草地上植树造林呢?
三江源草地
观察一个群落,首先看到的是群落外貌。在三江源地区，我们能看到这里有草原、森林，还有草原退化而来的荒漠等多种群落。
根据群落的外貌和物种组成等方面的差异，可以将陆地的群落大致分为荒漠、草原、森林等类型。(°) 本节聚焦
- 陆地生物群落的主要类型有哪些?- 生物群落内的生物是如何与环境相适应的?
1图 2-7 荒漠生物群落
## 荒漠生物群落
在荒漠中，一眼望去，只见沙砾裸露，植被极度稀疏 （图 2-7)。荒漠分布在极度干旱区,这里降水稀少且分布不均匀，荒漠里物种少，群落结构非常简单。
荒漠中的生物具有耐旱的特性。植物有仙人掌属植物、骆驼刺属植物等，动物主要是爬行类、啮齿目、鸟类和蝗虫等。它们以独特的生存方式适应缺乏水分的环境。仙人掌具有肥厚的肉质茎,叶呈针状,气孔在夜晩才开放。骆驼刺植株才几厘米高,但根可长达 $15 \mathrm{~m}$。爬行动物蜥蜴和蛇的表皮外有角质鳞片,有助于减少水分蒸发;它们的蛋壳坚硬,能保护正在发育的胚胎;它们的体温是变化的,
图 2-8 草原生物群落其调节体温的方式是每天早早起来到阳光充足的地方,让身体暖和起来,待天热时退到地下等阴凉处。某些爬行动物以固态尿酸盐的形式排泄含氮废物,而不是产生需要更多水才能溶解的尿素。
## 草原生物群落
到了草原，你能看到的景象是草本植物如地毯般铺向天边（图 2-8 )。草原主要分布在半干旱地区、不同年份或季节雨量不均匀的地区。草原上动植物的种类较少，群落结构相对简单。
在草原上，各种耐寒的旱生多年生草本植物占优势，有的草原上有少量的灌木丛，乔木非常少见。
草原上的植物往往叶片狭窄，表面有茸毛或蜡质层，能抵抗干旱。
草原上的动物大都有挖洞或快速奔跑的特点。由于缺水，草原上两栖类、鱼类及其他水生动物非常少见。稀树干草原上,生长着來形树冠状乔木,动物以斑马、长颈鹿和狮子为主。
## 森林生物群落
森林里，树木繁茂、树冠遮天蔽日（图2-9）。森林分布在湿润或较湿润的地区，群落结构非常复杂且相对稳定。
森林中有乔木、灌木、草本和藤本植物，还有种类繁多的动物。森林为动物提供了丰富的食物和栖息场所。因此,树栖和攀缘生活的动物种类特别多，如长臂猿、松鼠、蜂猴、犀鸟、避役和树蛙等。森林中阳生植物多居上层，能吸收比较强的阳光。林下光线相对较弱，在热带雨林中，林下几乎都是散射光，仅有稀疏的光点和光斑。所以,三七、人参、黄连、半夏、贝母以及某些蕨类、荅鳐等阴生植物生活在林下。阴生植物的茎细长,叶薄,细胞壁薄,机械组织不发达,但叶绿体颗粒大、呈深绿色,因此,这类植物适应在弱光条件下生存。森林、草原、荒漠,这些自然群落在陆地上的分布是有规律的。在我国,东部湿润地区往往随处可见森林;在内陆半干旱区,分布有大片的草原;再到西部的干早区,则出现荒漠群落。不同群落在物种组成、群落外貌和结构上都有着不同的特点,不同群落中的生物也都有适应其环境的特征。
## 思考・讨论
## 群落中生物的适应性
## 讨论
1. 在荒漠群落中生活的生物,具有哪些适应群落环境的共同特征?在草原群落中生活的生物又有哪些适应群落环境的共同特征呢？2. 假如将森林中攀缘生活的动物种群与草原上善于奔跑的动物种群对调,对这些种群来说有什么影响?3. 结合你们在学习“群落的结构” 时对群落中生物生态位的分析,说一说不同物种之间是如何彼此协调、共同生活在一起的。4. 天山山脉沿东西向横贯我国新疆中部,很多山峰的海拔超过 $4000 \mathrm{~m}$。如果你有机会从天山北麓的奎屯登山,从山脚到山顶，你可以依次看到荒漠、草原、森林、草甸等群落类型。研究表明,这些群落类型千百年来基本不变。类似的群落在垂直高度上的分布,是有共同规律的。不同海拔分布着不同的群落类型,可能是由哪些因素决定的?这与我国东、中、西部群落类型的分布规律有哪些相似之处?
由此可见,某地的群落是什么类型,受水分、温度等因素的影响很大。生活在这一地区的物种能够形成群落,是因为它们都能适应所处的非生物环境。例如,草原上的植物一般比较耐旱,不能耐旱的高大乔木就难以在草原上生长。同时,群落中不同种群之间通过复杂的种间关系,相互依存、相互制约形成有机整体,从而维持种群之间的协调和平衡。例如,在森林中,许多动物需要植物提供食物和庇护,不少植物则依赖动物传播花粉和种子;森林中的乔木、灌木与草本植物之间,虽然对土壤、空间、阳光的利用存在一定程度的竞争,但可以因生态位的不同而达到相对平衡的状态，和谐共存。
上述群落类型,每一类又可以分为更具体的群落类型。例如,我国典型的森林类型可以分为寒温带针叶林、温带针阔叶混交林、暖温带落叶阔叶林、亚热带常绿阔叶林、热带季雨林和热带雨林等。同样都是森林群落,在不同的森林类型中,生物适应群落生活的特点完全相同吗?
相关信息
我国从北到南都有森林分布。截至 2015 年 11 月,我国森林面积达 $1.908 \times 10^{6} \mathrm{~km}^{2}$,森林覆盖率为 $20.2 \%$。
## 不同森林群落中植物对环境的适应
资料 1 全年高温、湿润的热带雨林中,物种丰富、群落结构复杂,乔木就分几个层次,乔木之下又有灌木层、草本层。乔木高大,最上层的高 $30 \mathrm{~m}$ 以上。乔木往往有板状根,树的分支不发达,只在树顶形成树冠,以争夺阳光 (如图所示的望天树)。藤本植物非常发达,常有大型的藤本植物交错攀缘,甚至直达树冠。林下缺少阳光,有的草本植物,如芭蕉、海芋,长有巨大的叶片,能充分利用有限的阳光。林中空气流通不畅,风媒花很少。林中很多植物具有艳丽的花朵 ( 如海南蝴蝶兰) 和鲜艳多汁的果实 ( 如红毛丹 ),以吸引动物传播花粉和种子。一年四季都有开花、结果的植物;芽无鳞片。
望天树
海芋
海南蝴蝶兰
红毛于资料 2 我国华北等地夏季凉㸚、冬季较为寒冷、雨量比较丰富,这里分布着落叶阔叶林。落叶阔叶林夏季枝叶茂密,呈绿色，冬季则树叶枯落;树冠发达,林冠往往整齐；苛具有鳞片,树皮厚,以利于度过严冬。很多树木在春季树叶没有展开前就开花,且多数是风媒花 (如毛白杨、蒙古栎)。不少种类的果实有翅 (如元宝槭)。在春季猋木尚末展叶期间,以及秋季落叶期间,林下的草本植物利用短暂的宝贵时光,迅速生长、开花、结果。
毛白杨的花
元宝槭的翅果
## 讨论
1. 这两类群落在物种组成、垂直结构上有哪些不同?2. 这两类群落中的植物在适应环境方面有哪些不同的特征?3. 在这两类群落内,阳光、通风等条件有哪些不同?林下的各类生物又是怎样适应各自群落内环境的?
在不同的森林群落中,生物适应环境的方式不尽相同,换句话说,每一种生物都有自己适宜的生存环境,因此有人说,群落是一定时空条件下不同物种的天然群聚。
除了上述群落类型，在沼泽、河流、湖泊等地，还有湿地生物群落 ( 图 2-10)。湿地生物群落中的动植物物种十分丰富,既有水生生物也有陆生生物,常见的有芦苇、香蒲、黑藻、金鱼藻等植物,以及鱼类、两栖类、鸟类等动物。在海洋中,数量众多的微小浮游植物,浅海区生长的大型藻类 (如海带、裙带菜等),以及种类繁多的动物,它们共同构成海洋生物群落。
从图 2-10 湿地生物群落
## 练习与应用
## 一、概念检测
1. 不同类型的生物群落,物种组成也不相同。判断下列相关表述是否正确。
(1) 生活在草原的动物都不能生活在森林里。
（2）森林、草原、荒漠生物群落中的生物分别与它们各自生活的环境相适应。
2. 貂熊是我国一级保护动物,成体重十多千克,耳小、尾短、毛长、四肢短,足掌像熊掌、掌面较大。它经常吃狼、猞猁吃剩的食物,也捕食小型动物,在积雪环境下还能捕食大型动物。在我国,貂熊主要分布于寒温带针叶林,以下推测成立的是
A. 狼和貂熊之间是互利共生关系
B. 足掌面积大有利于在积雪上奔跑
C. 耳小、尾短、毛长不利于适应环境
D. 貂熊、猞猁、狼占有相同的生态位
## 二、拓展应用
农田中的生物形成人工生物群落。为什么说它是群落?它与森林、草原等自然生物群落有哪些不同?如果没有人工干预,农田生物群落能长期保持农田的特征吗?
## 与生物学有关的职业
## 林业工程凧
就业单位林业科学研究单位、林场、林业站、自然保护区、森林公园等。
主要任务从事森林培育、森林资源监测、森林防火、森林病虫害防治、森林植物检疫及林业技术的推广等。
工作方式经常深入林区,用自己的智慧和汗水培育和保护着森林资源。
教育背景林学或其他相关专业大专以上学历。
须具备的素质要热爱美丽的森林,珍视森林的巨大价值。要想更好地为森林服务,还必须系统地掌握植物、动物及生态学等方面的知识,掌握本专业的技术标准、技术规范等,熟悉《中华人民共和国森林法》《中华人民共和国森林法实施条例》等法律法规。要具备较强的观察力,这将有助于及早发现病虫害的苗头或火灾隐患,从而做到及时防治。当然,还必须拥有强健的身体,能够在茂密的森林中长时间跋涉。
职业乐趣沐浴着森林中的阳光和空气,有助于身心健康。人类不能没有森林,作为森林的培育者和守望者,值得骄傲和自豪。
某林场的林业工程师正在喷药作业
## 第 3 节
## 群落的演替
## 问题探讨
1883 年 8 月,印度尼西亚喀拉喀托火山爆发,岩浆滚滚而出,所到之处生物全部死亡,成了一片裸地。几年后,地面上长出了小草,出现了一种蜘蛛。到 1909 年,有 202 种动物在这块新的土地上生活。1919 年动物增加到 621 种,1934 年增加到 880 种。在此期间，植物逐渐繁茂起来，形成了小树林。
讨论
1. 生物是如何一步步地定居在新土地上的?2. 这一地区有可能恢复原来群落的结构吗?
喀拉喀托火山爆发的情景 ( ) 本节聚焦
- 群落演替有哪些类型?- 演替的大致过程是怎样的?- 怎样看待人类活动对群落演替的影响?岩浆覆盖的区域,几年后长出了小草,小动物逐渐来这里定居,后来这里又长出了树木,形成了树林。这里的生物群落悄然变化、不断发展。像这样,随着时间的推移,一个群落被另一个群落代替的过程,叫作群落演替 ( community succession)
演替的类型
光裸的岩地上是怎样长出森林的呢?
这是一个漫长而艰难的演替过程,大致要经历以下几个阶段（图 2-11）。
地衣阶段地衣首先在裸岩上定居。地衣分泌的有机酸可加速岩石风化形成土壤的过程。于是,土壤颗粒和有机物逐渐增多。乔木阶段在灌木群落所形成的湿润土壤上,各种乔木的种子萌发出来。乔木比灌木具有更强的获得阳光的能力,因而最终占据了优势,成为茂盛的树林。树林的形成进一步改善了生物生存的环境,物种进一步多样化,生物与环境之间的关系变得更加丰富多样,于是群落演替到了相对稳定的森林阶段。
灌木阶段灌木和小乔木开始生长。灌木比草本植物更为高大,“剥夺”了草本植物的阳光,逐渐取代了部分草本植物。灌木的生长起到了遮阴、避风等作用,同时提供了更为丰富的食物,于是成为许多鸟类的栖息地。物种的多样化使群落的结构较为稳定,抵御环境变化的能力增强。
苔藓阶段在地衣开拓的基础上,苔藓便能生长起来。苔藓比地衣长得高,更适应这里的环境,于是就逐渐扩展。苔藓的生长会进一步使岩石分解,土层加厚,有机物增多,土壤中微生物的种类也越来越丰富。
草本植物阶段在土壤能保持一定水分时,草本植物的种子就能够萌发生长。竞争的结果是较高的草本植物逐渐占据了优势。这时,各种昆虫和其他小动物开始进入这个地区。在动植物的共同作用下，土壤中的有机物越来越丰富，土壤的通气性越来越好。
图 2-11 发生在裸岩上的演替示意图
## 分析群落的演替
仔细分析图2-11，思考并讨论以下问题。
讨论
1. 光裸的岩地上首先定居的生物为什么不是苔藓和草本植物，而是地衣?2. 地衣阶段为苔藓的生长提供了怎样的基础?地衣被苔藓取代了吗?2. 在森林阶段,群落中还能找到地衣苔藓、草本植物和灌木吗?
农田被弃耕以后,很快就会长满一年生的杂草。在杂草的覆盖下,土壤条件会得到改善,一些多年生的杂草会“接踵而至”。
在气候条件适宜的情况下，从弃耕的农田演替出树林,需要数十年时间。如果是在干旱的荒漠地区,群落的演替就很难形成树林,或许只能发展到草本植物阶段或稀疏的灌木阶段。
土壤表层的有机物逐渐增多,土壤的保水能力也逐渐增强,这将更有利于植物的生长。几年后,一些小灌木便会生长起来,并成为灌木丛。
再经过一段时间,乔木开始出现。高大的乔木占据了更多的空间,灌木逐渐减少,乔木逐渐蔚然成林。
图 2-12 弃耕农田上的演替示意图讨论
1. 从演替的起点来看,发生在裸岩上的演替和弃耕农田上的演替有什么不同?这两种演替还有哪些差异?2. 这两种演替有哪些共同点?2. 演替都会发展为森林吗?一个群落最终演替到什么阶段，主要受哪些因素的影响?
上述两个例子代表了演替的两种类型――初生演替 ( primary succession) 和次生演替 ( secondary succession)。这两种演替类型是根据起始条件划分的。初生演替是指在一个从来没有被植物覆盖的地面,或者是原来存在过植被、但被彻底消灭了的地方发生的演替,如在沙丘、火山岩、冰川泥上进行的演替。次生演替是指在原有植被虽已不存在,但原有土壤条件基本保留,甚至还保留了植物的种子或其他繁殖体 (如能发芽的地下茎) 的地方发生的演替，如在火灾过后的草原、过量砍伐的森林、弃耕的农田上进行的演替。
除了演替起点的不同,初生演替与次生演替的区别还有: 初生演替速度慢,趋向形成新群落,经历的阶段相对较多;次生演替速度快,趋向于恢复原来的群落,经历的阶段相对较少。这两类演替,都是从结构简单的群落发展为结构复杂的群落,群落中的物种数量和群落层次增多,土壤、光能得到更充分的利用。
影响群落演替的因素,有群落外界环境的变化,生物的迁人、迁出,群落内部种群相互关系的发展变化,以及人类的活动,等等。这些因素常常处于变化的过程中,适应变化的种群数量增长或得以维持,不适应的数量减少甚至被淘汰,因此,群落就不断地演替。无论裸岩上的群落演替,还是弃耕农田上的演替,最终都会达到一个与群落所处环境相适应的相对稳定的状态。
## 人类活动对群落演替的影响
在某一地区,群落演替的结果往往是由环境和群落内的生物共同作用而决定的，但人类活动对群落演替的影响有时超过其他因素的影响。
有人说，稳定是相对的、暂时的,而变化是永恒的。请结合群落的演替，谈谈你对这句话的看法。
## 思考·讨论
## 分析人类活动影响群落演替的实例
资料 1 我国的黄土高原历史上曾郁郁 䓤䓤,从东南到西北,依次分布着温带落叶阔叶林、疏林灌丛草原、温带草原等。然而,现在的黄土高原上,森林和草原的覆盖率比历史上大幅下降,很多黄土丘陵呈光秃状态。除了气候变化的因素,人类活动是导致这一地区出现濯濯童山的主要原因：自秦土高原的农业发展很快,环境却年复一年地遭到破坏，导致大片森林和草原消失。
资料 2 自 20 世纪 60 年代起,长江中游某湖泊进行了大规模的围湖造田,湖水面积缩减近 50\%。对该湖泊多种生物的调查表明,水生植物、鱼类的物种丰富度下降,占优势的物种发生变化 (下表)。代以来,由于移民屯垦和大量砍伐森林,黄
某湖泊 20 世纪 60 年代和 80 年代水生植物和鱼类的调查统计表
| 生物类群 | | $\begin{array}{c}20 \text { 世纪 } 60 \text { 年代 } \\ 92 \text { 种 }\end{array}$ | $\begin{array}{c}20 \text { 世纪 } 80 \text { 年代 } \\ 68 \text { 种 }\end{array}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| | 种类 | | |
| 水生植物 | 占优势的物种 | 菱、竹叶眼子菜、苦草、黑藻 | $\begin{array}{c}\text { 微齿眼子菜、菰（gū ）、} \\ \text { 金鱼藻、黑藻 }\end{array}$ |
| 鱼类 | 种类 | 74 种 | 54 种 |
| | 占优势的物种 | 鲤鱼、鲫鱼、鳊鱼 | 鲫鱼、黄预（sǎng）鱼、红鳍鲌 |
讨论
1. 上述资料中,人类活动使群落演替向什么方向进行?2. 人类活动对上述群落的演替速度有
## 什么影响?
3. 如果去除人类活动,这些群落又会向什么方向演替?
人类的许多活动正在影响着群落的演替,往往使群落演替按照不同于自然演替的方向和速度进行。例如,砍伐森林 ( 图 2-13 ) 可以在短期内改变森林群落中的物种组成和物种丰富度,进而改变群落的演替方向;过度放牧 ( 图 2-14) 则可能很快导致土地荒漠化,使草原生物群落演替为荒漠生物群落;末经处理的污水直接排人河流 ( 图 2-15)，可能给水生生物带来灭顶之灾。
图 2-13 被砍伐的森林
图 2-14 过度放牧的草原
从图 2-15 污水排人河流人类对群落演替的影响都是不良的吗?
通过封山育林、治理沙漠、管理草原，甚至建立人工群落等，人类活动也可以使群落朝着物种增多、结构复杂的方向演替。例如，我国政府一直致力于防沙治沙，经过不解屴力,我国的沙化土地面积从 20 世纪末的年年扩展转变为逐年减少，联合国环境规划署盛赞我国是全球沙漠治理的典范。
在自然界，群落的演替是普遍现象，而且有一定的规律，人类掌握了这些规律就能根据现有情况,预测群落的末来,从而正确掌握群落的动向,使之朝着对人类有益的方向发展。
退耕还林、还草、还湖
我国是一个农业大国。千百年来人们一直视土地如生命。为了扩大耕地面积，不惜毁林开荒、围湖造田。以牺牲环境为代价的垦殖活动,导致了严重的水土流失,并且成为洪涝灾害频繁发生的重要原因。为处理好经济发展同人口、资源、环境的关系,走可持续发展道路,我国政府明确提出退耕还林、还草、还湖和退牧还草,颁布了《退耕还林条例》，自 2003 年 1 月 20 日起施行。
退耕还林还草工程的实施，实现了我国从毁林毁草开荒到退耕还林还草的历史性转变,改变了过去“越垦越穷、越穷越垦”的局面（图 2-16)。截至 2019年，全国共有 25 个省 (自治区、直辖市 ) 和新疆生产建设兵团参与这项工程，累计完成退耕还林还草 $3.43 \times 10^{7} \mathrm{hm}^{2}$。这项浩大的工. 程堪称世界上规模最大的生态工程。
为了进一步改善我国的生态环境、打造绿色经济,我国于 2014年启动了新一轮退耕还林还草工程;2015 年将这项工. 程列为生态文明体制改革的组成部分;2018 年，我国启动了大规模国土绿化行动。末来的美丽中国会有更多的蓝天白云、绿水青山。
图 2-16 陕西省延安市吴起县实施退耕前后的对比左图: 1984 年;右图: 2017 年
## 练习与应用
## 一、概念检测
1. 在群落演替的过程中,物种的组成和数量会发生变化。判断下列相关表述是否正确。
( 1 ) 群落演替就是群落内原有物种逐渐恢复到原有状态。
（2）演替早期的种群可能在新形成的群落里出现。
2. 演替过程中乔木逐渐取代了灌木的优势地位，其主要原因是
A. 灌木寿命较短
B. 乔木繁殖能力较强
C. 灌木生长极为缓慢
D. 乔木较为高大,能获得更多的阳光
3. 我国北方某地区实施退耕还林三年后,对该地区蜘蛛类群的研究表明,地面蜘蛛丰富度增加,但原来分布于农田的蜘蛛种类部分消失了。下列表述错误的是
A. 退耕农田上发生的群落演替是次生演替
B. 部分农田蜘蛛消失说明退耕还林不利于保护生物多样性
C. 退耕还林后群落总体上朝着物种增多、结构复杂的方向演替
D. 蜘蛛类群的变化说明群落演替过程中物种组成是动态变化的
4. 对一处弃耕农田的演替过程的记录如右上表所示，请据表回答下列问题。
（1）该地草本植物的演替速度 ( 填“快” 或“慢”)，木本植物的演替速度
(2)一般来讲,与草原相比,针叶林中的动
| 弃耕时间/年 | 优势植物 | 非优势植物 |
| :---: | :---: | :---: |
| $<1$ | 马唐 | - |
| 1 | 飞蓬 | 豚草 |
| 2 | 紫苑 | 豚草 |
| 3 | 须芒草 | 豚草 |
| $5 \sim 10$ | 短叶松 | 火炬松 |
| $50 \sim 150$ | 栎 | 山核桃 |
物分层现象较为 （填“简单” 或“复杂”),原因是
（3）如果一块弃耕农田位于半干旱地区,群落演替最可能发展到哪个阶段?
## 二、拓展应用
1. 一个湖泊经历了一系列演替阶段以后，可以演变为一片森林。演替过程大体经历从湖泊到沼泽、到草原，最后到森林这几个阶段。请参照从裸岩演替到森林的过程，描述从湖泊演替到森林的大致过程。2. 收集你所在地区不同年代的地图,比较湖泊、沼泽或林地的今昔面积，试分析变化的原因。3. 外来物种人侵会对当地群落的演替产生严重的影响。凤眼蓝（俗称“水葫芦”) 疯长是大家所熟知的实例 (如下图 )。你还知道我国有哪些外来物种人侵的实例?请结合当地实际情况，进行调查或收集有关资料,以“警惕外来物种人侵” 为题，写一篇科普文章。
## 本章小结
## 理解概念
- 在相同时间聚集在同一空间范围内的各种生物种群的集合就是群落。- 不同物种之间存在复杂的相互关系。正是这些复杂的种间关系,将群落内的多种生物联系成有机的整体。种间关系包括原始合作、互利共生、种间竞争、捕食和寄生等。- 群落的空间结构包括垂直结构和水平结构,其结构特征会随时间而变化，如表现出一定的季节性。- 群落中每种生物都占据着相对稳定的生态位,有利于不同生物充分利用环境资源。- 不同时空条件下会形成不同类型的群落。不同群落中的生物具有与群落环境相适应的形态、结构和生理特点。- 一个群落替代另一个群落的过程叫作群落演替。群落演替可以分为初生演替和次生演替。人类活动会影响演替的进程和方向。
## 发展素养
通过本章的学习,应在以下几方面得到发展。
- 基于对种群和群落水平研究问题的分析,认同探究视角对于认识事物很重要,尝试从不同的视角提出问题。- 运用结构与功能观、进化和适应观分析群落的形成和演替。- 基于不同类型群落与其环境关系的分析,认同群落的形成和演替是有客观规律的,人类活动也应顺应自然界的客观规律。- 基于对人类活动影响群落结构和演替的了解,分析人与自然的关系,认同退耕还林、还草、还湖的必要性。
## 复习与提高
## 一、选择题
1. 生物群落的空间结构受多种因素影响。下列叙述错误的是
A. 植物群落的垂直分层现象与光照有关
B. 动物群落的垂直分层现象与植物有关
C. 植物群落的水平分布现象与地形有关
D. 动物群落的水平分布一般都是均匀的
2. 甲地发生森林火灾导致原有植被消失,乙地因火山喷发被火山岩全部覆盖,之后两地均发生了群落演替。关于甲、乙两地群落演替的叙述,错误的是
A. 甲地和乙地发生的演替类型相同
B. 若没有外力干扰,甲地可重现森林
C. 地衣会比苔藓更早地出现在乙地火山岩上
D. 甲、乙两地随着时间延长,物种丰富度逐渐增加
3. 甲、乙、丙是食性相同、不同种的蝌蚪,三者之间无捕食关系。某研究小组在 4 个条件相同的人工池塘中各放人 1200 只蝌蚪（甲、乙、丙各 400 只) 和数量不等的同种捕食者,一段时间后,各池塘中 3 种蝌蚪的存活率如下表所示。下列推测不合理的是
| 池塘编号 | 捕食者数量 /只 | 蚪蚪存活率 $\%$ | | |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| | 甲 | 乙 | 丙 | |
| 1 | 0 | 87 | 7 | 40 |
| 2 | 2 | 58 | 30 | 25 |
| 3 | 4 | 42 | 32 | 11 |
| 4 | 8 | 32 | 37 | 10 |
A. 捕食者主要捕食甲和丙
B．蝌蚪的种间竞争结果可能受捕食者影响
C. 无捕食者时蜊蚪的种间竞争可能导致乙消失
D. 随着捕食者数量增加，乙可获得的资源减少
## 二、非选择题
1. 种植过大片草莓的农田,闲置多年后被木本植物覆盖,成片的草莓不见了。请解释其中的原因。为什么草莓不能和木本植物共同繁盛呢?2. 我国南方某地的一个稻田群落,近 30 年来发生了显著的变化: 原来种群密度较高的青蛙,现在已经很少;原来有大量的泥鳅、鳝鱼、田螺等动物,现在它们几乎绝迹。
(1) 试分析该稻田群落的物种组成发生变化的原因。
（2）上述变化对农业生产有什么影响？对农民的收人会有影响吗?
(3) 按此趋势发展下去,再过 30 年,稻田群落还会发生什么变化?
(4) 现在有些地区发展稻田养鱼,建设“稻一萍一鱼” 等立体农业。你认为这是人类的创造还是对大自然本来面貌的回归?
3. 我国南方很多的村落背后都有一片充当绿色屏障的防护林。防护林保留了部分原始植被的特征，但同时由于深受人类活动的干扰而与自然群落有一定差异。研究表明,在华南某地,随着干扰 ( 主要是砍伐成树 ) 强度的增加，防护林林下的植物丰富度增加,阳生植物增多。在人工干扰强度不同的防护林中，占优势的树种也有差异。受到重度干扰的防护林，比自然林更容易遭受外来物种的人侵。
( 1 ） 砍伐成树有助于林下植物的生长,主要是影响了哪一类种间关系?干扰后林下的阳生植物为什么会增多?
（2）一定程度的人工干扰可能会增加防护林群落的物种丰富度，这给我们什么启示?
(3) 为什么重度人工干扰的防护林比自然林更容易遭受外来物种人侵?这给我们什么启示?
某村落背后的防护林
## 第3章生态系统及其稳定性
在我国内蒙古东北部,既有一望无际的大兴安岭森林,也有沃野干里的呼伦贝尔草原。有的地方,森林与草地仅一河之隔。相距如此之近的两个地段,为什么这边是森林群落,那边却是草原群落呢?是那边的草原还没有演替为森林吗?
干百年来,大兴安岭森林一直郁郁䓤䓤、遮天蔽日，而呼伦贝尔草原始终是天苍苍、野茫茫。为什么它们可以长期保持相对的稳定呢?
森林、草原、荒漠、海洋……地球上分布着多种多样的生物群落。这些群落外貌不同,物种组成也有差异,然而它们都与所处的环境形成了统一的整体，这就是生态系统。
## 第 1 节
## 生态系统的结构
## 问题探讨
大豆是发源于我国的重要粮食作物。大豆田里生长着稗草、苘麻、鸭跖草等多种杂草,分布着七星瓢虫、大豆蚜等动物,土壤里还有蚯䖠亏、线虫,以及多种微生物。每公顷大豆与共生根瘤菌每年固氮可以超过 $100 \mathrm{~kg}$。
讨论
1. 大豆根系会给土壤带来哪些变化?2. 大豆与其他生物之间存在什么关系?3. 根据以上讨论结果,请用一句话概括生物与环境的关系
大豆田间剖面图 ( ( 本节聚焦
- 生态系统有哪些主要组成成分?它们是如何构成生态系统的?- 生态系统具有怎样的营养结构?- 食物网的复杂性对于解决生态学问题有什么启示?
在大豆田中，大豆与稗草、大豆蚜等生物之间，大豆与非生物环境之间存在复杂的关系。非生物环境的状况,决定了哪些生物能够在这一区域内定居和繁衍;生物群落的存在又改变着环境。在环境条件大体相同的地方,群落的外貌和结构往往也相近或相似。这些都说明生物群落与非生物环境有着密不可分的关系。
## 生态系统的范围
在一定空间内,由生物群落与它的非生物环境相互作用而形成的统一整体,叫作生态系统 (ecosystem)。
生态系统的空间范围有大有小。一片森林、一个湖泊、一片草原、一条河流、一块农田等,都可以各自成为一个生态系统。地球上的全部生物及其非生物环境的总和,构成地球上最大的生态系统一生物圈（biosphere ）。
生态系统类型众多,一般可分为自然生态系统和人工生态系统两大类。自然生态系统又可划分为水域生态系统和陆地生态系统。水域生态系统可进一步分为海洋生态系统、淡水生态系统等;陆地生态系统可进一步分为森林生态系统、草原生态系统、荒漠生态系统、冻原生态系统等。人工生态系统又可分为农田生态系统、人工林生态系统、果园生态系统、城市生态系统等。
## 生态系统具有一定的结构
要分析生态系统的结构,首先要分析生态系统有哪些
组成成分，以及各组分之间的关系。
## 思考·讨论
## 分析生态系统的结构
在森林、草原、农田、湖泊等生态系统中,挑选你和本小组同学熟悉的两个生态系统，分析它们的组成成分以及各组分之间的联系。也可以用以下两个生态系统为例来进行分析。
## 生态系统 1 某荒漠生态系统
在我国西北半干早区,豆科植物柠条常被用来进行人工固沙。柠条扎根于沙粒间,顽强生长形成灌从丛。在某沙化地区合理种植柠条之后,群落内物种丰富度逐渐增加并趋于稳定。群落中有地锦、胡枝子、画眉草、狗尾草、猪毛高等植物。还分布着多种动物,其中,植食性的有蝗虫、蝼蛄、叶蛾、土蜂等;肉食性昆虫或其他小动物有姬蜂、步甲、园蛛、蜈蚣等。在柠条根系周围的土壤中,生活着难以计数的真菌、细菌、放线菌。群落处于稳定状态时,群落所栖居的土壤表层含水量增加,土壤养分也在改善。
## 生态系统 2 某池塘生态系统
下图为一个池塘生态系统的示意图。
某池塘生态系统的示意图
## 讨论
1. 分析上述生态系统中生物之间的食物关系，你能画出多少条食物链?与其他同学画出的食物链进行比较,分析各自的食物链是否需要修改,共同完善该生态系统的食物链和食物网。2. 按照不同种类生物的营养方式,以及它们在生态系统中的作用,将上述生态系统中的生物进行归类。3. 在上述生态系统中,食物链之外还有哪些成分?它们对生态系统来说是不可缺少的吗?为什么?4. 每个生物体的生存都离不开物质和能量。这些生物是怎样获得物质和能量的?不同种类的生物获取物质和能量的途径一样吗?5. 参照一般系统的结构模式图 (下图),尝试画出生态系统的结构模型。
生态系统的组成成分通过上述活动,可以看出,尽管荒漠生态系统和池塘生态系统具有不同种类的生物,但它们具有相似的组成成分。
分解者
从图 3-1 生产者、消费者和分解者的关系示意图
上述组分之间是什么关系呢?
在生态系统中,生产者通过光合作用,将太阳能固定在它们所制造的有机物中。太阳能转化成化学能,从而可以被生物所利用,因此,生产者可以说是生态系统的基石。消费者通过自身的新陈代谢,能将有机物转化为无机物 ( $\mathrm{CO}_{2}$、水、氨等)，这些无机物排出体外后又可以被生产者重新利用。可见,消费者的存在,能够加快生态系统的物质循环。此外,消费者对于植物的传粉和种子的传播等具有重要作用。分解者能将动植物遗体和动物的排遗物分解成无机物。如果没有分解者,动植物的遗体和动物的排遗物会堆积如山,生态系统就会崩溃。因此,生产者、消费者和分解者是紧密联系,缺一不可的（图 3-1）。
正是由于生态系统中各组成成分之间的紧密联系,才使生态系统成为一个统一的整体,具有一定的结构和功能。生态系统多种多样,但是在结构上有许多共同点,这可以用图 3-2 所示的模型来表示。
## 【图 3-2 生态系统的结构模型
食物链和食物网图3-3展示了某个草原生态系统中的食物链 ( food chain ) 以及不同生物所处的营养级。生产者一玉米属于第一营养级;直接以玉米为食的植食性动物是初级消费者,属于第二营养级，如蝗虫；次级消费者是以初级消费者为食的肉食性动物,如蛙,它们属于第三营养级;三级消费者是以次级消费者为食的肉食性动物,如蛇,它们属于第四营养级。鹰捕食蛇,则鹰是四级消费者,属于第五营养级。绿色植物所固定的太阳能,能通过食物链由一个营养级向下一个营养级传递。各种动物所处的营养级并不是一成不变的。例如,图中的鹰若以蛙为食时，它就属于第四营养级了。
土图 3-3 某食物链上的营养级
在生态系统中,一种绿色植物可能是多种植食性动物的食物,而一种植食性动物既可能吃多种植物,也可能被多种肉食性动物所食。食物链彼此相互交错连接成的复杂营养关系，就是食物网（food web，图 3-4）。
错综复杂的食物网是使生态系统保持相对稳定的重要条件。如果一条食物链的某种动物减少或消失，它在食物链上的位置可能会由其他生物来取代。一般认为，食物网越复杂，生态系统抵抗外界干扰的能力就越强。
食物链和食物网是生态系统的营养结构,生态系统的物质循环和能量流动就是沿着这种渠道进行的。
土图 3-4 某陆地生态系统的食物网
## 练习与应用
## 一、概念检测
1. 研究表明，在我国华北地区某苹果园里生活着多种昆虫,害虫主要有卷叶蛾、蚧虫、蚜虫和食心虫等;害虫的天敌 (即天敌昆虫) 为草蛉、异色僄虫、螳螂等;既非害虫又非害虫天敌的中性昆虫有蚊、蝇、蚂蚊等。在果园中种草,天敌昆虫的种类和数量都有增加。判断下列说法是否正确。
（1）卷叶蛾、蚧虫、蚜虫等植食性动物是初级消费者。
(2) 卷叶蛾→螳嫏→黄雀,构成一条食物链,其中螳蛤位于第二营养级。
（3）中性昆虫在果园生态系统中是多余的。( )
(4) 种草后,果园中的食物网更复杂,有助于果园生态系统抵抗外界干扰。
2. 食物链彼此相互交错形成食物网。以下有关食物网的说法正确的是
A. 每种动物可以吃多种植物
B. 每种生物都被多种生物捕食
C. 每种生物都只位于一条食物链上
D. 一种生物可能属于不同的营养级
3. 动物园里饲养着各种动物,栽培了多种植物。它们构成一个群落吗?动物园是个生态系统吗?
## 二、拓展应用
下图是某海洋生态系统中,生产者固定太阳能的数量与水深关系的曲线。
请据图回答以下问题。
(1) 在远洋水域,从水深 $30 \mathrm{~m}$ 处开始,随着水深增加,固定太阳能的数量逐渐减少,影响这一变化的非生物因素主要是
(2) 近海水域水深为时,生产者的数量最多。
(3) 生活在水深 $100 \mathrm{~m}$ 以下的生物,从生态系统的组成成分看,主要是
## 科学·技术·社会
## 黄石公园龹狼与引狼入园的启示
美国黄石国家公园成立于 1872 年,面积约为 $9000 \mathrm{~km}^{2}$。保护这里的自然生态系统，是建立国家公园的初衷。
20 世纪初,这里开展了灭灰狼运动,不久后灰狼在这里绝迹了。随着灰狼的绝迹，原先生活在灰狼捕食阴影下的加拿大马鹿 ( Cervus canadensis) 的种群迅速增长,活动范围也不受制约,它们肆意取食杨树幼苗。由此,公园里不少地区见不到杨树的幼苗和新生林,杨树种群长期得不到更新,种群老化、衰退。杨树是公园里的主要树种,杨树种群衰退,使得原本生活在杨树林群落里的多种生物的生存受到严重威胁,其中也包括加拿大马鹿。灭狼后的公园生态系统状况恶化了。
在弄清楚灰狼、加拿大马鹿、杨树之间的物种制衡关系后，20 世纪末，公园管理者从外地引进了灰狼。
灰狼入园后，面对灰狼的威胁,加拿大马鹿原先偏爱的河谷、平原等取食场地，成了它们最担惊受怕的地区。在繁殖期,马鹿群不得不转移到海拔 $1500 \mathrm{~m}$ 以上的山地以保护小马鹿。到冬天,马鹿群才敢回迁到河谷和平原。由于马鹿取食黄石公园引狼人园前 (左) 后 (右) 对比图场地的变化,许多杨树得以在河谷、平原存活和长高,杨树种群慢慢恢复。同时,由于灰狼捕获的马鹿多数是老弱病残,存活下来的马鹿以健康、年轻的为主,于是,加拿大马鹿的种群结构也得到优化。
关于是否是灰狼拯救了黄石公园的生态系统,目前也有不同的声音。有人认为,人类猎杀、气候改变等因素也是加拿大马鹿种群数量减少的原因。看来,黄石公园里的故事并不简单。
灭狼和引狼入园,以及类似的事例给我们诸多启示：生态系统本身有维持稳定的机制,人类不尊重生态规律的荒唐行为,得到的一定是教训。
## 第 2 节
## 生态系统的能量流动
## 问题探讨
假设你像小说中的鲁滨逊那样，流落在一个荒岛上,那里除了有能饮用的水,几乎没有任何食物。你身边尚存的食物只有 1 只母鸡、$15 \mathrm{~kg}$ 玉米。
讨论
你认为以下哪种生存策略能让你维持更长的时间来等待救援?
1. 先吃鸡，再吃玉米。2. 先吃玉米,同时用一部分玉米喂鸡，吃鸡产下的蛋，最后吃鸡。
流落荒岛 (C) 本节聚焦
- 能量在生态系统中是怎样流动的?- 怎样理解生态金字塔?- 研究能量流动有什么实践意义?一切生命活动都伴随着能量的变化。没有能量的输人,也就没有生命和生态系统。生态系统中能量的输入、传递、转化和散失的过程,称为生态系统的能量流动。
## 科学方法
## 研究能量流动的基本思路
能量流经一个种群的情况可以图示如下:
如果将这个种群作为一个整体来研究,则左图可以概括成下图形式，从中可以看出分析能量流动的基本思路。如果将一个营养级中的所有种群作为一个整体，那么左图将概括为何种形式呢?
## 能量流动的过程
地球上几乎所有的生态系统所需要的能量都来自太阳。太阳每天输送到地球的能量大约有 $1 \times 10^{19} \mathrm{~kJ}$。这些能量绝大部分都被地球表面的大气层所吸收、散射和反射掉了,大约只有 $1 \%$ 以可见光的形式,被生态系统的生产者通过光合作用转化成化学能,固定在它们所制造的有机物中。这样,太阳能就输人到了生态系统的第一营养级。
输人第一营养级的能量，一部分在生产者的呼吸作用中以热能的形式散失了;另一部分用于生产者的生长、发育和繁殖等生命活动,储存在植物体的有机物中。构成植物体的有机物中的能量,一部分随着残枝败叶等被分解者分解而释放出来;另一部分则被初级消费者摄人体内,这样，能量就流人了第二营养级。流人第二营养级的能量,一部分在初级消费者的呼吸作用中以热能的形式散失;另一部分用于初级消费者的生长、发育和繁殖等生命活动,其中一些以遗体残骸的形式被分解者利用 (图3-5)。如果初
级消费者被次级消费者捕食,能量就流人了第三营养级。
能量在第三、第四营养级的变化，与第二营养级的情况大致相同。生态系统中的能量流动,可以概括为图3-6所示。
从图 3-6 生态系统能量流动的示意图
## 思考·讨论
## 生态系统中的能量流动
讨论
1. 生态系统中的能量流动和转化是否
2. 流经某生态系统的能量能否再回到遵循能量守恒定律?为什么?这个生态系统中来?为什么?
## 能量流动的特点
为了研究能量流经生态系统的食物链时,每一级的能量变化和能量转移效率,美国生态学家林德曼 ( R. L. Lindeman,1915-1942）对一个结构相对简单的天然湖泊一一赛达伯格 ( Cedar Bog) 湖的能量流动进行了定量分析。
思考·讨论
## 分析赛达伯格湖的能量流动
林德曼得到的数据如下图所示。
赛达伯格湖的能量流动图解图中数字为能量数值,单位是 $\mathrm{J} /\left(\mathrm{cm}^{2} \cdot \mathrm{a}\right)$ ( 焦每平方厘米年 )。图中“末固定”是指末被固定的太阳能，“末利用” 是指末被自身呼吸作用消耗，也末被后一个营养级和分解者利用的能量。为研究方便起见，这里将肉食性动物作为一个整体看待。讨论
1. 用表格的形式,将图中的数据进行整理。例如,可以将每一营养级上的能量“流入” 和“流出” 整理成为一份清单 (“流出” 的能量不包括呼吸作用散失的能量）。2. 计算“流出” 该营养级的能量占“流入” 该营养级能量的百分比
2. 流入某一营养级的能量,为什么不会百分之百地流到下一个营养级?3. 通过以上分析，你能总结出什么规律?减，与能量守恒定律矛盾吗?为什么?通过分析赛达伯格湖的能量流动，可以发现生态系统的能量流动具有两个明显的特点。4. 生态系统中能量流动是单向的。在生态系统中,能量流动只能从第一营养级流向第二营养级,再依次流向后面的各个营养级,不可逆转,也不能循环流动。5. 能量在流动过程中逐级递减。输人到一个营养级的能量不可能百分之百地流人下一个营养级，能量在沿食物链流动的过程中是逐级减少的。一般来说，在输人到某一个营养级的能量中,只有 $10 \% \sim 20 \%$ 的能量能够流到下一个营养级,也就是说,能量在相邻两个营养级间的传递效率是 10\% 20\%。在一个生态系统中,营养级越多,在能量流动过程中消耗的能量就越多。因此,生态系统中的能量流动一般不超过 5 个营养级。
任何生态系统都需要不断得到来自系统外的能量补充,以便维持生态系统的正常功能。如果一个生态系统在一段较长时期内没有能量 (太阳能或化学能) 输人,这个生态系统就会崩溃。
## 生态金字塔
如果将单位时间内各营养级所得到的能量数值转换为相应面积 (或体积) 的图形,并将图形按照营养级的次序排列,可形成一个金字塔图形,叫作能量金字塔 ( 图 3-7)。如果用同样的方法表示各个营养级生物量 (每个营养级所容纳的有机物的总干重）之间的关系，就形成生物量金字塔。如果表示各个营养级的生物个体的数目比值关系，就形成数量金字塔。它们统称为生态金字塔。
能量金字塔直观地反映出生态系统各营养级间能量的关系,由于能量在流动过程中总是逐级递减,因此能量金字塔通常都是上窄下宽的金字塔形。生物量金字塔大多也是上窄下宽的金字塔形，一般来说,植物的总干重通常大于植食性动物的总干重,而植食性动物的总干重也大于肉食性动物的总干
## 学科交叉
与物理学的联系
根据热力学第二定律,在封闭系统中,随着时间的推移,无序性将增加。生命系统是开放系统,可以通过获取能量来维持系统的有序性。
人类位于食物链的顶端，从能量金字塔来看,人口数量日益增长,这会对地球上现有的生态系统造成什么影响?
第四营养级
图 3-7 某个湖泊生态系统的能量金字塔示意图
生物量金字塔在什么情况下，可能是上宽下窄倒置的金字塔形呢?
## 营养级
从图 3-8 某生物量金字塔 (左) 和某数量金字塔 (右) 的示意图
研究能量流动的实践意义
研究生态系统的能量流动，可以帮助人们将生物在时间、空间上进行合理配置，增大流人某个生态系统的总能量。例如，农田生态系统中的间作套种、蔬菜大棚中的多层育苗、稻一萍一蛙等立体农业生产方式都充分地利用了空间和资源，获得了更大的收益。
4图 3-9 沼气池重 (图3-8,左)。数量金字塔表明每个营养级中生物个体的数量。在一个草原生态系统中,吃草的鼠比草的数目少,吃鼠的鼬又比鼠的数目少,这时,数量金字塔是上窄下宽的金字塔形。但是，如果消费者个体小而生产者个体大，如昆虫和树，那么数量金字塔就会呈现上宽下窄倒置的金字塔形（图 3-8，右）。
研究生态系统的能量流动,可以帮助人们科学地规划和设计人工生态系统,使能量得到最有效的利用。例如,在农业生态系统中，如果把作物秸秆当燃料烧掉，人类就不能充分利用秸秆中的能量。如果将秸秆用作饲料喂牲畜,可获得肉、蛋、奶等;将牲畜的粪便作为沼气池发酵的原料，可以生产沼气提供能源 (图 3-9);沼气池中的沼渣还可以作为肥料还田，这样就实现了对能量的多级利用，从而大大提高能量的利用率。
研究生态系统的能量流动,还可以帮助人们合理地调整生态系统中的能量流动关系，使能量持续高效地流向对人类最有益的部分。例如，在一个草场上，如果放养的牲畜过少，就不能充分利用牧草所能提供的能量；如果放养的牲畜过多，就会造成草场的退化，使畜产品的产量下降。只有根据草场的能量流动特点,合理确定草场的载畜量,才能保持畜产品的持续高产。
## 探究‧实践
## 调查当地某生态系统中的能量流动情况
选择身边的一个生态系统，如森林、湿地、池塘、农田、校园等，对其中的能量流动情况进行调查。在活动前,应拟订计划、明确目标、确定分工。下面是调查农田生态系统中能量流动情况的活动方案,供你们参考。
## 目的要求
1. 调查当地的农田生态系统,明确它的组成成分。2. 分析农田生态系统中能量流动的情况，并作出评价。3. 对所调查的农田生态系统提出能量流动方面的改进建议。
## 活动建议
农村的同学要进行实地调查,城市的同学可以通过询问亲友、电话访谈、搜集书籍报刊资料、走访农业部门等方式进行调查。
调查过程中要注意对以下问题进行分析。
1. 当地农田生态系统中生产者的主体是什么?还有哪些种类的生物是生产者?农民是用什么方法抑制其他生产者的数量的？2. 初级消费者有哪些?其中哪些是对农业生产有益的?哪些是有害的?对这些初级消费者，农民分别采取了哪些措施?3. 次级消费者有哪些?它们与农作物是什么关系?4. 养殖动物的饲料来源有哪些?5. 农民对作物秸秆是如何处理的?6. 人们通过什么方式来提高光能利用效率?7. 怎样才能使该生态系统中的能量得到更充分的利用?
撰写调查报告
整理调查结果，尽可能详尽地画出该农田生态系统的食物链和食物网,写一篇有关农田生态系统能量流动情况的调查分析报告。
交流
就调查报告的主要内容与农民进行交流。农民对你们的建议持什么态度?如果实施你们的建议，他们有什么现实困难?
根据和农民交流的情况，对调查报告做进一步修改。
## 思维训练
## 分析和处理数据
1926年，一位生态学家研究了一块玉米田的能量流动情况，得到如下数据。
1. 这块田共收割玉米约 10000 株，质量为 $6000 \mathrm{~kg}$。通过对玉米植株的化学成分进行分析，计算出其中共含碳 $2675 \mathrm{~kg}$。2. 据他估算,这些玉米在整个生长过程中通过细胞呼吸消耗的葡萄糖共 $2045 \mathrm{~kg}$。3. $1 \mathrm{~kg}$ 葡萄糖储存 $1.6 \times 10^{4} \mathrm{~kJ}$ 能量。3. 在整个生长季节,人射到这块玉米田的太阳能总量为 $8.5 \times 10^{9} \mathrm{~kJ}$
请根据以上数据计算:
这些玉米的含碳量折合成葡萄糖是多
少?这些葡萄糖储存的能量是多少?
这些玉米呼吸作用消耗的能量是多少?这些玉米在整个生长季节所固定的太阳能总量是多少?呼吸作用消耗的能量占所固定太阳能的比例是多少?
这块玉米田的太阳能利用效率是多少?
## 处理数据
根据计算结果,画出能量流经该玉米种群的图解,图解中应标明各环节能量利用和散失的比例。
## 练习与应用
## 一、概念检测
1. 生态系统中所有生物的生命活动都需要能量,而不同营养级的生物获取能量的途径是有差别的。据此判断下列表述是否正确。
（1）太阳能只有通过生产者才能输人到生态系统中。
（2）生态系统中初级消费者越多，次级消费者获得的能量越少。
(3) 能量沿食物链流动是单向的。
2. 流经神农架国家级自然保护区的总能量是
A. 该保护区中生产者体内的能量
B. 照射到该保护区中的全部太阳能
C. 该保护区中生产者所固定的太阳能
D. 该保护区中所有生产者、消费者、分解者体内的能量
3. 在一定时间内,某生态系统中全部生产者固定的能量值为 $a$,全部消费者所获得的能量值为 $b$,全部分解者所获得的能量值为 $c$,则 $a、b$、$c$ 之间的关系是
A. $a=b+c$
B. $a>b+c$
C. $a<b+c$
D. $c=a+b$
## 二、拓展应用
1. 下图是两个农业生态系统的模式图。图 a 中农作物为人类提供的食物、为家禽和家畜提供的饲料,都与图 $\mathrm{b}$ 相同。
(1) 分析这两幅图,完成这两个生态系统的能量流动图解。
图 a
图 b
（2）哪个生态系统的能量能够更多地被人类所利用?为什么?
2. 将一块方糖放人水中,方糖很快就会溶解,消失得无影无踪。溶解在水中的方糖还能再自行变回原来的形状吗?为什么?
生活在水中的硅藻,它们能利用溶解在水中的硅化物制造自己绚丽精致的外壳，而通常情况下水体中硅化物的含量极为微少,仅有百万分之几，这比方糖溶解后水中的含糖量低得多。硅藻依靠什么力量筑造自己的精美小“屋”呢?
通过以上事例,你对能量在生态系统中的作用是否有了进一步的认识?
## 第 3 节
## 生态系统的物质循环
## 问题探讨
胡杨能抗干早、御风沙、耐盐碱,可颁强地在荒漠中生存繁衍。然而,受水资源短缺的影响,一些远离水源的胡杨也难逃死亡的厄运。这些死亡的胡杨虽历经烈日和荒漠的摧残,却依然傲立于大漠,其枝千往往呈现出千姿百态的奇特造型。
## 讨论
1. 胡杨死亡后，为什么很长时间都没有腐烂?2. 有研究表明,长有胡杨的荒漠土壤一般比草原的贫瘁，这是为什么?
胡杨林
呼一口气,许多二氧化碳分子就离开你的身体,进人大气中。你能想象这些二氧化碳分子的去向吗?有的分子可能进人你身边一棵小草的叶肉细胞,有的可能随着大气环流飘向异国他乡。再想一下,这些二氧化碳分子中的碳元素和氧元素，是怎样来到你体内的?进人你体内之前存在于什么物质中?不难看出,这两种元素在生物群落和非生物环境之间是不断循环的。(°) 本节聚焦
- 生态系统的物质循环过程是怎样的?○怎样理解生物富集的成因和危害?- 物质循环与能量流动的关系是怎样的?
## 硶循环
碳是构成生物体的重要元素之一,组成生物体的蛋白质、糖类、脂质和核酸等都是以碳链为基本骨架形成的。大气中的碳主要是二氧化碳。生物体和大气中的碳含量,都长期处于稳定的状态,这是怎样维持的呢?
## 思考·讨论
## 分析碳循环的过程
二氧化碳能溶于水,因此可在大气和海洋、河流之间进行交换。此外,碳还可以
长期固定或保存在非生命系统中，如固定于煤、石油或木材中。人类对煤和石油等能源的利用,向大气中排放了大量的二氧化碳。
## 讨论
1. 碳在非生物环境和生物体内分别以什么形式存在?2. 碳是如何进出生产者、消费者、分解者的（以什么形式、通过哪种生命活动、形成哪些产物等 )?
请用关键词、线段、箭头、方框等表示讨论的结果。
3. 你如何看待人类活动对碳循环的影响?
碳在生物群落与非生物环境之间的循环主要是以二氧化碳的形式进行的 (图 3-10)。由于二氧化碳能够随着大气环流在全球范围内流动,因此,碳循环具有全球性。此外,海洋对于调节大气中的碳含量起着非常重要的作用。当大气中二氧化碳含量增加,水圈中的二氧化碳含量也随之增加;如果大气中的二氧化碳发生局部短缺,水圈中的二氧化碳也能及时进人大气。
๑图 3-10 碳循环示意图 $\|$ 与社会的联系世界范围内,化石燃料的开采和使用大大增加了二氧化碳的排放,加剧了温室效应,引起全球性的气候变化。我国一方面采取积极措施减少二氧化碳排放,另一方面大力植树种草,提高森林覆盖率,这在吸收和固定二氧化碳方面发挥了重要作用。研究发现,我国大面积人工林的成长显示出巨大的固碳潜力。20 多年来,由于采取秸秆还田等措施,我国农田表层土壤也储存了大量的碳。如果进一步提高秸秆还田率，农田土壤储碳量还可以进一步提高。
组成生物体的碳、氢、氧、氮、磷、硫等元素，都在不断进行着从非生物环境到生物群落,又从生物群落到非生物环境的循环过程,这就是生态系统的物质循环 (matter cycle)。这里所说的生态系统指的是地球上最大的生态系统一生物圈,物质循环具有全球性,因此又叫生物地球化学循环 (biogeochemical cycle)。
物质在生态系统中循环往复运动的特点，对于改进农业生产方式有多方面的启示。例如,可采用种养结合的模式,在稻田中养鸭养鱼,动物的取食、消化能促进物质循环，它们排出的粪便中氮、磷等可供水稻吸收利用，它们呼出的二氧化碳还可为水稻的光合作用补充原料。
## 生物富集
土壤中的微生物能够分解有机物，这是物质循环过程中的重要一环。生态系统中的消费者能够加快物质的循环过程。那么,是不是所有物质都能较快地通过食物链回归非生物环境呢?
人类活动向环境中排放了很多有害物质,包括一些重金属,如铅 $(\mathrm{Pb})$、镉 $(\mathrm{Cd})$、坔 $(\mathrm{Hg})$ 等,以及人工合成的有机化合物,如DDT、六六六等。这些有害物质一进人环境便参与生态系统的物质循环,但是它们的循环过程却与碳、氮等元素的循环过程不同。
铅是一种毒性很强的化学元素,原本以比较稳定的形式存在于环境中,但人类活动加速了铅的循环,改变了铅在环境中的分布。在煤燃烧、有色金属冶炼的过程中,铅会以直径不足 $0.5 \mu \mathrm{m}$ 的微小颗粒被排放进人大气,然后沉降在土壤和植被表面。一部分铅颗粒随降雨进人土壤,另一部分进人水体。植物的根从土壤中吸收铅，叶片也会摄学科交叉 $\times<<<<<<<<<\alpha<\alpha<\alpha<\alpha<x$
与物理学的联系
根据质量守恒定律,化学变化只能改变物质的组成,但既不能创造物质，也不能消石物质，所以该定律又称为物质不灭定律。
## 相关信息
DDT，即双对氯苯基三氯乙烷，是一种人工合成的有机氯杀虫剂，它不易分解，易溶于脂肪并积累在动物脂肪中。六六六的成分是六氯环已烷,主要用于防治蝗虫、稻蜞虫、蚊、蝇等。人吸附的铅。在水中生活的植物、浮游动物会直接吸收水中的铅。动物饮用含有铅的水,也会直接摄人铅。进人体内的铅,能够形成多种比较稳定的铅化合物,分布于生物体的多种组织细胞中,导致铅不易被生物体排出,从而积蓄在体内。像这样,生物体从周围环境吸收、积蓄某种元素或难以降解的化合物,使其在机体内㳖度超过环境浓度的现象，称作生物富集 (bio-concentration )。一旦含有铅的生物被更高营养级的动物食用,铅就会沿着食物链逐渐在生物体内聚集，最终积累在食物链的顶端（图 3-11）。
铅在生物体内的浓度沿食物链不断升高
【图 3-11 铅沿食物链不断积累和浓缩的过程示意图
镉、氼等重金属，DDT、六六六等有机化合物以及一些放射性物质,也存在这样的生物富集现象。由于这些有害物质可以通过大气、水和生物迁移等途径扩散到世界各地,因此，这种现象也是全球性的。
## 能量流动和物质循环的关系
能量流动和物质循环是生态系统的主要功能,它们同时进行,彼此相互依存,不可分割。能量的固定、储存、转移和释放,都离不开物质的合成和分解等过程。物质作为能量的载体,使能量沿着食物链 (网) 流动;能量作为动力,使物质能够不断地在生物群落和非生物环境之间循环往返。生态系统中的各种组成成分,正是通过能量流动和物质循环,才能够紧密地联系在一起,形成一个统一的整体。
尽管能量流动和物质循环紧密交织在一起,但是它们具有不同的特点。在物质循环过程中,非生物环境中的物质可以被生物群落反复利用;能量流动则不同,能量在流经生态系统各营养级时,是逐级递减的,而且流动是单方向不循环的。
## 探究·实践
## 探究土壤微生物的分解作用
## 背景资料
土壤中生活着肉眼看不见的细菌、丝状真菌和呈放射状的放线菌,这些生物的数量是极其繁多的。例如，一茶匙表层土就可能含有亿万个细菌。
由于各地气候与环境等因素不同,落叶在土壤中被分解的时间也是不同的。一般在温暖、湿闰的环境中需要一至数月时间。
## 提出问题
在本小组内交流平时观察到的有关现象,比如冬天和春天树林中落叶层的厚度有没有差别,春耕时从土壤中翻出的花生果实是什么模样,还能不能吃,等等。提出自己感兴趣的问题,在小组内讨论,确定本小组要探究的问题。
对提出的问题进行分析，说说关于这一问题你具备哪些相关的知识,比如,花生果实可能是收获时遗漏的,也可能是田鼠储藏的;不同厚度落叶层的内部温度和湿度可能不同；等等。通过交流，你会更加明确自己想探究的是什么问题，进而确认实验的变量。
## 作出假设
根据自己的已有知识和生活经验,尝试对提出的问题进行解释或回答。
## 设计实验方案
在自然界存在许多不可控制的因素,可能影响你的判断。因此,有关分解者作用的探究,最好在实验室进行,这样可以更好地控制实验变量。
下面是两个探究案例,分析这两个案例,可能对你设计实验有所帮助。
参考案例 1 落叶是在土壤微生物的作用下腐烂的吗?
以带有落叶的土壤为实验材料。采用对照实验的办法,设计实验组和对照组。对照组的土壤不做处理 (自然状态);实验组的土壤要进行处理,以尽可能排除土壤微生物的作用,同时要尽可能避免土壤理化性质的改变 (例如,将土壤用塑料袋包好,放在 $60^{\circ} \mathrm{C}$ 恒温箱中处理 $\left.1 \mathrm{~h}\right)$。
落叶
参考案例 2 探究土壤微生物对淀粉的分解作用
1. 将取自农田、林地或花分等处的土壤放人里面垫有厚纱布的烧杯中,加水搅拌,然后将纱布连同土壤一起取出。将留在烧杯中的土壤浸出液静置一段时间备用。2. 另取两个烧杯,编号为 $\mathrm{A}、\mathrm{~B}$,放人等量淀粉糊。在 $\mathrm{A}$ 烧杯中加入 $30 \mathrm{~mL}$ 土壤浸出液,B 烧杯中加人 $30 \mathrm{~mL}$ 蒸馏水。3. 在室温 $\left(20^{\circ} \mathrm{C}\right.$ 左右)环境放置 $7 \mathrm{~d}$ 后，分别取 A、B 烧杯中的溶液 $20 \mathrm{~mL}$,各放人两支试管中,分别编号为 $\mathrm{A} 1、\mathrm{~A} 2,\mathrm{~B} 1、\mathrm{~B} 2$。4. 在 $\mathrm{A} 1、\mathrm{~B} 1$ 中加人碘液;在 $\mathrm{A} 2、\mathrm{~B} 2$ 中加人斐林试剂，加热。5. 观察试管中溶液的颜色变化,记录实验结果。
通过小组讨论，确定本小组的实验方案。
进行实验
实验过程中要注意控制变量,让实验组和对照组除自变量以外的条件保持一致。本实验可能等几天甚至几周以上的时间才出结果,因此要有计划地观察和记录。
分析结果,得出结论
实验结果是否支持所作的假设?实验结论是
## 表达和交流
完成实验报告，在班级内进行交流，听取其他同学的质疑,对本小组的实验进行解释和说明。如果有必要,对实验方案进行修改和完善。
## 一、概念检测
1. 能量流动和物质循环是生态系统的主要功能。判断下列相关表述是否正确。
(1) 物质循环发生在生物群落与非生物环境之间。
( 2 ) 能量流动和物质循环是两个相对独立的过程。
2. 竹子中纤维素含量很高。大熊猫每天要吃大量竹子,但一般只能利用其中一小部分纤维素。研究表明,大熊猫的基因组缺少编码纤维素酶的基因,但是肠道中有多种纤维素分解菌。
(1) 大熊猫与它肠道内某种纤维素分解菌的种间关系为
A. 捕食
B. 寄生
C. 互利共生
D. 原始合作
( 2 ）下列叙述不合理的是
A. 大熊猫是初级消费者,属于第二营养级
B. 大熊猫末消化的纤维素会被分解者利用
C. 纤维素分解菌促进生态系统的物质循环
D. 能量流动方向是竹子→大熊猫→纤维素分解菌 3. 在生态系统中，使二氧化碳进人生物群落的生物主要是
A. 细菌
B. 真䒩
C. 动物
D. 绿色植物
## 二、拓展应用
1. 生物圈是不是一个在物质上自给自足的系统?为什么?2. 同碳元素一样,氮在生物群落和非生物环境之间也是不断循环的。为什么还要往农田中不断地施加氮肥呢?3. 下表为生活在某库区水域中层的几种鱼体内重金属的含量 (单位 : $\mathrm{ng} \cdot \mathrm{g}^{-1}$ )。请据表推测,这几种鱼中，草食性的鱼是,杂食性的鱼是，肉食性的鱼是,为什么?
| 鱼的种类 | $\mathrm{A}$ | $\mathrm{B}$ | $\mathrm{C}$ | $\mathrm{D}$ | $\mathrm{E}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $\mathrm{Hg}$ | 17.8 | 61.9 | 70.4 | 117.0 | 112.0 |
| $\mathrm{Pb}$ | 27.3 | 34.9 | 52.5 | 84.3 | 75.8 |
| $\mathrm{Cd}$ | 8.8 | 14.1 | 10.3 | 21.9 | 41.6 |
## 景观设计师
花园城市
这样赏心悦目的景观，就有景观设计师的贡献。
景观设计是关于土地的分析、规划、恢复的科学和艺术。与建筑设计师从事单个建筑的设计不同,景观设计师要解决一切有关户外空间设计的问题,比如户外空间中建筑与建筑、建筑与植物、建筑与人、人与植物等关系的问题，包括生物多样性的保护、湿地的恢复和保护等,这些都是景观设计要考虑的问题。景观设计在西方已有百年发展历史,其涉及的范围有：区域景观设计、城市设计、社区设计、风景旅游区设计、自然保护区设计等诸多方面。
景观设计师是一种新兴的职业。随着我国经济的迅猛发展和城市化步伐的加快,这一职业前景广阔。第 4 芺
## 生态系统的信息传递
## 问题探讨
1967 年,荷兰一位生物学家在研究蜜蜂时,发现蜜蜂在找到蜜源后,可以通过跳圆圈舞或摆尾舞向同伴传递蜜源情况：圆圈舞表明蜜源较近,大约在距蜂箱百米以内;摆尾舞的意思是,蜜源在百米之外的远处，究竟距离多远与摆尾的速度有关。
讨论
1.“100 $\mathrm{m}$ 以内”,对我们来说这几个字的含义就是信息。同样的信息,蜜蜂是怎样传递的?
圆圈舞：大致以一个圆形轨迹持续移动 ( a )。摆尾舞：先做一个半圆轨迹的移动,接着做直线移动,然后朝相反方向转一个半圆。蜜蜂在直线移动时尾部向两旁不断用力摇摆 ( $b$ )。
2. 你还能举出生物间传递信息的其他例子吗?
(2) 本节聚焦
- 生态系统中的信息有哪些类型?- 生态系统中的信息传递起着什么作用?- 如何运用生态系统的信息传递原理提高农作物产量、进行有害动物的防治?
1图 3-12 蜘蛛网上的振动频率对蜘蛛来说就是信息蜜蜂传递的是发现蜜源的信息，它们是如何发现蜜源的呢?是植物发出了某种信息并传递给蜜蜂吗?那么,什么是信息呢?在日常生活中，人们通常将可以传播的消息、情报、指令、数据与信号等称作信息 (information)。生态系统中的生物种群之间,以及它们内部都有信息的产生与交换，能够形成信息传递，即信息流（information flow )。
## 生态系统中信息的种类
你是否注意过这样的场景呢?一只昆虫撞上了蜘蛛网,引起了蜘蛛网的振动,马上就有蜘蛛爬来 …… 蜘蛛网的振动频率,对蜘蛛来说,就是信息（图 3-12)。在茂密的森林里，一只头狼爬上高坡,昂首向空中长嚎。不久，分散在森林中的狼群成员便陆续赶来,开始集体猎食。头狼的嚎叫声，对于狼群成员也是一种信息（图 3-13 )。
图 3-13 狼通过嚎叫呼唤同伴自然界中的光、声、温度、湿度、磁场等,通过物理过程传递的信息,称为物理信息 (physical information)。上述蜘蛛网的振动频率与狼的呼叫声均为物理信息。物理信息的来源可以是非生物环境,也可以是生物个体或群体,这类信息十分普遍。
在生命活动中,生物还产生一些可以传递信息的化学物质,如植物的生物碱、有机酸等代谢产物,以及动物的性外激素等,这就是化学信息 (chemical information),它们对其他生物有不同影响。科学实验表明,昆虫、鱼类以及哺乳类等生物体中都存在能传递信息的化学物质—一信息素 (pheromone)。
动物的特殊行为,主要指各种动作,这些动作也能够向同种或异种生物传递某种信息,即动物的行为特征可以体现为行为信息 (behavior information)。动物的行为信息丰富多彩，前面提到的蜜蜂跳舞就是典型的行为信息。一些鸟类在求偶时的行为更独特,通常雄鸟会进行复杂的“求偶炫耀” ( 图 3-14 )。
生物可以通过一种或者多种信息类型进行交流。例如,孔雀既可以通过开屏等行为信息进行求偶,也可通过鸣叫等物理信息与同类交流。当草原返青时,食草动物先在远处通过识别植物的“绿色” (物理信息) 来搜寻食物,然后在近处通过植物的气味 (化学信息) 来辨别和摄取食物。此外,生态系统中的信息传递既存在于同种生物之内,也发生在不同生物之间。在非洲大陆上,犀牛与牛椋鸟之间有频繁的信息交流,鸟的鸣叫与跳跃可以提醒犀牛附近有危险情况（图 3-15）。
从上面的例子,我们可以看到,在生态系统中的信息传递过程中,不仅有信息产生的部位一信息源;也有信息传播的媒介一—信道,空气、水以及其他介质均可以传播信息;还需要信息接收的生物或其部位一一信息受体,动物的眼、鼻、耳、皮肤,植物的叶、芽以及细胞中的特殊物质 (如光敏色素) 等可以接收多样化的信息。
-图 3-15 牛椋鸟的鸣叫和跳跃都是信息相关信息
1959 年，德国科学家布特南特（A. Butenandt）与他的合作者,在经过 20 年的不解努力后，最终从 50 万只家虫中分离并鉴定出第一种信息素――虫蛾醇。
蚕蛾醇的化学式
从图 3-14 孔雀开屏是一种行为信息想一想，生态系统中信息传递与物质循环和能量流动存在哪些差异?哪些环节构成了一个完整的信息传递过程?
## 分析发生在身边的生态系统中的信息传递
如果留心观察就会发现，身边的猫、狗等动物的生活，就离不开信息的传递，其中既有物理信息,也有化学信息与行为信息。请就每种信息各举两个例子，并说明这些信息传递的意义。
信息传递在生态系统中的作用
生态系统中含有各种各样的信息，这些信息的传递具有什么意义呢?
## 思考‧讨论
## 生态系统中信息传递的重要性
1. 海豚进行捕食、探路、定位和躲避天敌等行为几乎都依赖于超声波。它们可使用频率超过 $100 \mathrm{kHz}$ 的超声波进行“回声定位”。近年来,屡有海豚出现“集体自杀” 现象的报道。已有证据表明，人类的舰船、海洋开采活动、某些通信工具在海洋中产生了巨大的噪声，会直接干扰海豚的“定位系统”
海豚的回声定位示意图
2. 有些植物（如莴苣、茄、烟草）的种子必须接收某种波长的光信息，才能萌发生长。
莫苣种子萌发率与光的波长的关系示意图 3. 在自然界中,植物开花需要光信息刺激,当日照时间达到一定长度时,植物才能开花。许多动物都能在特定时期释放用于吸引异性的信息素。经过研究,科学家已分离和鉴定了上千种昆虫信息素,其中大部分是用来传递性信号的。
4. 2001 年,科学家在研究植物与植食性昆虫之间的关系时,发现了一个有趣的现象。当烟草植株受到蛾幼虫攻击后,能够产生和释放可挥发的化学物质。这些化学
烟草植株释放化学物质的作用示意图物质,白天可以吸引蛾幼虫的天敌一捕食者，夜间能够驱除夜间活动的雌蛾，使它们不能在植物叶片上停留产卵。
## 讨论
1. 根据资料,分析信息传递与生命活动的正常进行有什么关系。2. 信息传递在种群的繁殖过程中起什么作用?3. 资料 4 中的化学物质能够将几种生物类群联系起来?4. 烟草释放的化学物质,在白天与夜间是否都使它本身受益?5. 请根据这些资料,总结信息传递对于生物生存的重要性。
由此可见,信息传递在生态系统中具有多方面作用。信息传递影响生物的生长、发育、繁殖,以及取食、居住、社会行为等。生命活动的正常进行,离不开信息的作用;生物种群的繁衍,也离不开信息的传递。
此外,在生态系统中,位于食物链上的相邻物种之间存在着“食” 与“被食” 的关系,相邻物种的某些个体行为与种群特征为对方提供了大量的有用信息。例如,在草原上,当草原返青时,“绿色” 为草原动物提供了可以开始采食的信息。在森林中,狼既能用眼睛辨别猎物,也可以根据耳朵听到的声音作出反应,以追捕猎物;兔同样能够依据狼的气味或行为特征躲避猎捕（图 3-16)。可见,信息还能够调节生物的种间关系,进而维持生态系统的平衡与稳定。
图 3-16 警觉的兔
信息传递在生态系统中的作用还有很多。有的信息尽管我们用肉眼看不到,但可以用科学方法去揭示。如果有兴趣，你可以进一步探究。
## 信息传递在农业生产中的应用
信息传递在农业生产中的应用主要有两个方面：一是提高农畜产品的产量；二是对有害动物进行控制。
人类种植农作物,有许多是为了收获果实。而动物的传粉对于许多农作物的结实不可缺少。实际上，地球上 $80 \%$ 的被子植物的传粉都是由动物完成的。如果能利用模拟的动物信息吸引大量的传粉动物,就可以提高果树的传粉效率和结实率。养鸡时,在增加营养的基础上,延长光照时间,这会刺激鸡卵巢的发育和雌激素的分泌,这样就可以大大提高产蛋率（图 3-17)。
从图 3-17 合理的光照可提高蛋鸡的产蛋率
## 相关信息
在安徽某地茶园中，研究者利用信息素诱捕小绿叶蝉，害虫数量明显下降。
【图 3-18 在农业上利用昆虫信息素诱捕昆虫
世界上每年有大面积的农田、草原和森林遭受病虫害、鼠害、囱害。目前控制动物危害的技术方法大致有三种: 化学防治、生物防治和机械防治。这些方法各有优点,但是目前人们越来越倾向于利用对人类生存环境无污染的、有效的生物防治。在有害生物的防治中,有些就是利用信息来发挥作用的。例如,利用光照、声音信号诱捕或驱赶某些动物,使其远离农田;利用昆虫信息素诱捕或警示有害动物,降低害虫的种群密度 (图 3-18);还可以利用特殊的化学物质扰乱某些动物的雌雄交配,使有害动物的繁殖力下降,从而减缓有害动物对农作物的破坏。
## 练习与应用
## 一、概念检测
1. 黄晲 (俗称“黄鼠狼”) 主要捕食鼠类,它们体内有臭腺,在遇到威胁时可排出臭气麻痹敌人,鼠类闻到臭气时往往选择逃离。以下有关解释不合理的是
A. 释放的臭气是一种化学信息
B. 这种气味信息只对黄晲有利
C. 释放臭气有利于黄阋躲避危险
D. 臭气作为信息可调节种间关系
2.“燕燕于飞,差池其羽”“燕燕于飞,上下其音” (《诗经・国风》)，燕子表达的是哪一类信息?
## 二、拓展应用
机场附近的鸟类严重危害飞行安全,因此有必要进行人工驱鸟。请将以下人工驱鸟的措施按原理进行归类。
(1)播放鸟类天敌的鸣叫声,(2)放置无公害的驱鸟剂,(3)燃放爆竹,(4)使用激光,(5)架设煤气炮（模拟猎枪的响声和火光），66布设鸟类害怕的图案,(7)声光威吓 ( 将爆竹、猎枪声、激光、驱鸟火焰等方法结合),(8)遥控航模模拟天敌。
上述方法利用物理信息的有利用化学信息的有，利用行为信息的有
煤气炮
## 课外实践
## 验证昆虫之间是否存在化学信息的传递
昆虫之间真的存在化学信息的传递吗?请设计实验,验证昆虫之间是否存在化学信息的传递。如果有化学信息,我们既看不见，也摸不着，该怎么做呢?
提示：昆虫能通过特殊的腺体分泌信息素,这些信息素可以通过空气传播。通常是雌性分泌信息素引诱雄性,只有极少数昆虫种类是雄性引诱雌性。纱窗可以关住昆虫,但允许化学物质扩散。
你初中做过探究蚂蚁通讯的活动吗？如果做过,想一想,那个活动对你理解昆虫之间的信息传递有什么启发?
## 第 5 节
## 生态系统的稳定性
## 问题探讨
紫茎泽兰原分布于中美洲,传入我国后,先是在云南疯长蔓延,现已扩散至广西、贵州、四川等多个省份,对当地林木、牧草和农作物造成严重危害，在《中国第一批外来入侵物种名单》中名列榜首。
讨论
1. 紫茎泽兰在原产地没有大肆繁殖,为什么在入侵地可以疯长夢延?2. 我国曾引入紫茎泽兰的专食性天敌一一泽兰实蝇来防治紫茎泽兰。泽兰实蝇也是一种外来生物,对这种方法,你怎么看?
泽兰实蝇 (上) 与紫茎泽兰 (下)
像紫茎泽兰这样的人侵种,由于它的繁殖、适应的能力很强,而且没有天敌等制约因素,因此一旦蔓延,就会严重干扰人侵地的生态系统。但是千百年来,虽然地球上许多生态系统不时受到外来干扰,但只要这种干扰没有超过限度,生态系统就能够通过自我调节得以恢复,从而维持相对稳定的结构和功能。像这样,生态系统的结构和功能处于相对稳定的一种状态,就是生态平衡。
## 生态平衡与生态系统的稳定性
大兴安岭的森林和呼伦贝尔的草原,都是处于生态平衡的系统。在处于平衡的生态系统中,物质和能量的输人与输出均衡,生物种类的组成稳定,也就是说,生态系统中的生产过程与消费、分解过程处于平衡的状态,这时生态系统的外貌、结构以及动植物组成等都保持相对稳定的状态。处于生态平衡的生态系统具有以下特征。第一，结构平衡：生态系统的各组分保持相对稳定。第二,功能平衡：生产一消费一分解的生态过程正常进行,保证了物质
@ 本节聚焦
- 什么是生态平衡?- 生态系统如何自我调节?- 怎样理解生态系统的稳定性?- 怎样提高生态系统的稳定性?
从图 3-19 森林火灾 (上) 和灾后的恢复(下)
总在循环,能量不断流动,生物个体持续发展和更新。第三,收支平衡,例如,在某生态系统中,植物在一定时间内制造的可供其他生物利用的有机物的量,处于比较稳定的状态。由此可见,生态平衡并不是指生态系统一成不变,而是一种动态的平衡。那么,这种动态平衡是通过什么调节机制实现的呢?
在一片草地上，如果兔大量增加，草就会被大量啃食,于是兔之间对食物等资源的竞争就会加剧,导致兔的生存空间和资源减少；同时,捕食者狼因食物（兔）丰富而数量增多,它们会捕食更多的兔。这样经过一段时间后,兔的数量又会恢复或接近原来的水平。在森林中，随着植被的大量生长,森林逐渐变得郁闭,林间阳光减少,制约了林下树苗的成长,还导致枯枝落叶的积累,增加了发生自然火灾的可能性。不久，一场森林火灾发生了，灾后由于光照更加充足,土壤的无机养料增多,于是许多种子萌发,幼苗迅速成长,森林面貌逐渐恢复（图 3-19)。上述生态系统都遇到了破坏或干扰,而对抗这种破坏或干扰,使生态系统恢复平衡的调节机制,是负反馈 ( negative feedback ) 机制。所谓负反馈,是指在一个系统中,系统工作的效果,反过来又作为信息调节该系统的工作,并且使系统工作的效果减弱或受到限制,它可使系统保持稳定。
## 思考‧讨论
## 分析反馈调节的过程
## 讨论
1. 小组合作,尝试用文字、线框、箭 头等符号,简要描绘上述两个例子中的负反 馈调节过程。2. 利用本章第 1 节图 3-4 (第 52页),以图中的蛙、蛇或其他动物为例,描绘该种 动物数量增长或减少时,生态系统可能发生 的变化，并讨论反馈调节是否发挥了作用。
负反馈调节在生态系统中普遍存在,它是生态系统具备自我调节能力的基础。
正是由于生态系统具有自我调节能力,生态系统才能维持相对稳定。人们把生态系统维持或恢复自身结构与功能处于相对平衡状态的能力,叫作生态系统的稳定性 ( stability of ecosystem)。也就是说,生态系统的稳定性,强调的是生态系统维持生态平衡的能力。
生态系统的自我调节能力是有限的。当外界干扰因素的强度超过一定限度时,生态系统的稳定性急剧下降,生态平衡就会遭到严重的破坏。
## 抵抗力稳定性和恢复力稳定性
生态系统的稳定性表现在两个方面: 一方面是生态系统抵抗外界干扰并使自身的结构与功能保持原状 ( 不受损害) 的能力,叫作抵抗力稳定性 (resistance stability );另一方面是生态系统在受到外界干扰因素的破坏后恢复到原
在个体水平稳态的维持上,有没有类似生态系统抵抗力稳定性和恢复力稳定性的情况?状的能力,叫作恢复力稳定性 (resilience stability )。例如,当草原遭受蝗虫的采食后,草原植物会增强其再生能力,尽可能减缓种群数量的下降;当森林遭遇持续的干旱气候时,树木往往扩展根系的分布空间,以保证获得足够的水分,维持生态系统正常的功能。这些都反映生态系统本身对外界干扰具有一定的抵抗能力。
生态系统遭到一定程度的破坏后,经过一段时间，可以恢复到原来的状态。这是由于生态系统具有恢复力稳定性,如前述的森林局部火灾后,森林仍能逐步恢复原状。
不同的生态系统在这两种稳定性的表现上有着一定的差别。一般来说,生态系统中的组分越多,食物网越复杂,其自我调节能力就越强,抵抗力稳定性就越高。例如,在热带雨林中,动植物种类繁多,营养结构非常复杂,假如其中的某种植食性动物大量减少,它在食物网中的位置还可以由这个营养级的多种生物来代替,整个生态系统的结构和功能仍然能够维持在相对稳定的状态。相反，在北极冻原生态系统 (图 3-20) 中,动植物种类稀少,营养结构
想一想,研究不同生态系统在抵抗力稳定性和恢复力稳定性两方面存在的差别,对自然生态系统的利用和保护有什么意义?
图 3-21 封山育林
图 3-22 草原防护林简单,其中生产者主要是地衣,其他生物大都直接或间接地依靠地衣来维持生活。假如地衣受到大面积破坏,整个生态系统就会崩溃。
生态系统在受到不同的干扰（破坏）后，其恢复速度与恢复时间是不一样的。如果河流与土壤被有毒物质轻微污染，通过自身的净化作用,可以很快恢复到接近原来的状态;如果被有毒物质重度污染,自身的净化作用已不足以消除大部分有毒物质，这些河流或土壤的恢复力稳定性就被破坏了。同样，热带雨林在遭到严重砍伐,草原经过极度放牧后,它们恢复原状的时间漫长,难度极大!
## 提高生态系统的稳定性
维持生态平衡，提高生态系统的稳定性，对于自然或人工生态系统是十分必要的。因为处于生态平衡的生态系统可以持续不断地满足人类生活所需,如提供粮油、蔬果、肉蛋奶、木材等农副产品;更为重要的是,处于生态平衡中的生态系统能够使人类生活与生产的环境保持稳定。
维持生态平衡,提高生态系统的稳定性,一方面要控制对生态系统的干扰强度,在不超过生态系统自我调节能力的范围内,合理适度地利用生态系统。例如,对过度利用的森林与草原,首先应封育,待恢复到较好状态时再适度利用 (图3-21)。另一方面,对人类利用强度较大的生态系统,应给予相应的物质、能量的投人,保证生态系统内部结构与功能的协调。例如,为使单一作物的农田生态系统保持稳定,需要不断施肥、灌溉、控制病虫害;还可以人工建造“生态屏障”。我国在东北、华北和西北地区已经建造了大规模的“三北” 防护林,防护林有效地防风阻沙，保护了这些地区的草原与农田（图 3-22）。
## 思考·讨论
## 设计提高生态系统稳定性的方案
桉树林是我国西南地区重要的经济林。大面积种植桉树林的生态问题已引起广泛关注。例如,结构单一的同龄纯林对环境变化的抵抗力差;人工桉树林林下植被稀少,出现水土流失等问题;有的桉树林里囱类绝迹。研究发现,在某地人工桉树林中,乔木层桉树占绝对优势;灌木层、草本层的物种丰富度则与桉树密度有关：桉树密度为 750 株 $/ \mathrm{hm}^{2}$ 时,灌木层有 17 个物种,草本层物种也较丰富;桉树密度高达 1000 株 $/ \mathrm{hm}^{2}$ 时,灌木层和草本层物种均减少。讨论
1. 结合上述信息,并查阅有关资料,与小组同学讨论提高人工桉树林稳定性的措施。讨论时,应重点考虑如何提高生态系统的物种多样性、结构复杂性,并兼顾人工林的经济效益与当地生态保护之间的平衡。2. 按上述思路,选择一个自己比较熟悉的生态系统,如退耕还林、还草、还湖过程中新形成的森林、草原、湖泊生态系统,城市建设中兴建的森林公园或湿地生态系统,查阅资料,设计提高其稳定性的方案。
## 练习与应用
## 一、概念检测
1. 生态系统的稳定性包括抵抗力稳定性和恢复力稳定性。判断下列相关表述是否正确。
(1) 温带针阔叶混交林比热带雨林的抵抗力稳定性低。
(2) 不同的生态系统,抵抗力稳定性和恢复力稳定性的强度不同。
2. 封山育林能有效提高生态系统的稳定性,是因为
A. 封山育林控制了物质循环
B. 延长了生态系统中的食物链
C. 增加了生态系统中消费者数量
D. 使生态系统营养结构复杂性增加
3. 天然森林很少发生的松毛虫虫害,却经常发生在人工马尾松林中,合理的解释是
A. 马尾松对松毛虫抵抗力差
B. 人工林内松毛虫繁殖能力强
C. 人工林成分单一,营养结构简单
D. 当地气候适于松毛虫的生长和繁殖
## 二、拓展应用
某江南水乡小城,曾经是一派小桥、流水、人家的怡人景象。几百年来,当地百姓在河流上游淘米洗菜，在下游洗澡洗衣,河水的水质一直保持良好。20 世纪 70 年代,由于大量生活污水和工业废水排人河道,水质恶化。20 世纪 90 年代,当地采取措施对工业废水排放进行控制,同时将河道支流很多人水口封闭以减少污水流人,河道内水量减少、河水流速降低,水质仍然较差。请基于对生态系统稳定性的认识，回答以下问题。
1. 当地百姓在河流中淘米洗菜,洗澡洗衣,为什么河水仍能保持清撤?2. 大量生活污水和工业废水排人河道以后,为什么会引起水质急剧下降?20 世纪 90 年代采取的措施没有明显效果，可能的原因是什么?3. 今天,小城已经恢复了水乡美景。你知道是采取什么措施来改善该地河流水质的吗？
## 探究．实践
## 设计制作生态缸，观察其稳定性
## 目的要求
设计一个生态缸,观察这一人工生态系统的稳定性。
## 基本原理
在有限的空间内,依据生态系统原理,将生态系统的基本成分进行组织，构建一个人工微生态系统是可能的。要使人工微生态系统正常运转,在设计时,还要考虑系统内组分及营养级之间的合适比例。应该注意,人工生态系统的稳定性是有条件的，也可能是短暂的。
## 设计方案
生态系统的类型多样,每种生态系统的组成和稳定性是不一样的。下面介绍制作一种生态缸的材料用具、实验步骤等,供你们参考。你们也可以选择制作其他类型的生态缸，并观察稳定性。在实验之前,应设计观察记录表。
## 材料用具
$1 \mathrm{~cm}$ 厚的玻璃板 $4 \sim 5 \mathrm{~m}^{2}$,粘胶足量,或其他可用于制作生态缸的比较大的器皿。
石块、沙土、含腐殖质较多的土、鹅卵石、假山石等，自来水。
供选择的生物：鼠妇、蚰蜒、地瞥、蚯蚓、蜗牛、虾、小鱼、小乌龟等；黑藻、金鱼藻、荅藓、铁线蕨、浮萍、珍珠草、鸭跖草、马齿苋、金鱼花、罗汉松、翠云草等。
## 实验步骤
1. 用玻璃板和粘胶制作生态缸的框架。2. 在生态缸内底部的一侧铺垫几块石块作为基垫,再铺上一层颗粒较细的沙土,厚度为 $5 \sim 15 \mathrm{~cm}$,在沙土上铺一层含腐殖质较多的土,厚度为 $5 \sim 10 \mathrm{~cm}$,铺垫好的土和石块整体呈坡状。
## 生态䍂
3. 在土坡上放几块有孔的假山石,可作为小动物栖息的场所。4. 向缸内倒人自来水,水位高 $5 \sim 10 \mathrm{~cm}$,在水中放几块鹅卵石。5. 在土坡上选择荅藓、铁线蕨、鸭跖草、马齿苋、罗汉松、翠云草等进行种植，放人鼠妇、蚰蜒、蚚蚛、蜗牛等小动物;在水中放人浮萍、金鱼藻等水生植物，放人虾、小鱼和小乌龟等小动物。6. 封上生态缸盖。将生态缸放置于室内通风、光线良好的地方,但要避免阳光直接照射
7. 每个星期至少观察一次生态缸内生物种类及数量的变化，并且进行记录。
## 结果和结论
根据实验结果完成实验报告。
讨论
1. 实验设计时要考虑的生态系统各组成成分有哪些?2. 生态缸经过多长时间后才能达到比较稳定的状态?3. 达到稳定状态后,生态缸内的生物种类与数量有无变化?如有,是怎样变化的?4. 在生态缸中,最后留下来的生物在这个人工生态系统中分别起什么作用?
## 本章小结
## 理解概念
- 生物群落与非生物的环境因素相互作用而形成多样化的生态系统。- 生态系统由生产者、消费者、分解者以及非生物的物质与能量等基本组分组成,各组分紧密联系使生态系统成为一个具有一定结构与功能的统一体。其中生产者和消费者通过食物链与食物网联系在一起形成复杂的营养结构。- 物质循环、能量流动和信息传递是生态系统的基本功能。在生态系统中,物质是可以在生物群落和无机环境之间不断循环的;能量则是沿食物链单向流动并逐级递减的;各种各样的信息在生物的生存、繁衍以及调节种间关系等方面起着十分重要的作用。- 生态系统能够通过自我调节作用抵御和消除外来一定限度的干扰,因而具有保持或恢复自身结构和功能的相对稳定,并维持动态平衡的能力。人类活动会影响生态系统的稳定性
## 发展素养
通过本章的学习,应在以下几方面得到发展。
- 尝试运用结构分析法、模型方法、定量分析法等，分析生态系统的结构和功能。- 基于对生态系统结构和功能的分析,强化生命的系统观、结构与功能观、物质与能量观、稳态与平衡观，并运用这些观念分析自然界和社会中的一些问题。- 应用生态系统的物质循环和能量流动规律、生态平衡规律设计微型生态系统,并针对当地生态系统提出提高其稳定性、使人与自然均受益的改进建议。
## 复习与提高
## 一、选择题
1. 下图是一个农业生态系统模式图,关于该系统的叙述，错误的是
A. 沼气池中的微生物是该生态系统的分解者
B. 微生物也能利用农作物通过光合作用储存的能量
C. 沼渣、沼液作为肥料还田,使能量能够循环利用
D. 多途径利用农作物可提高该生态系统的能量利用效率
2. 在自然生态系统中,物质是能量的载体,下列叙述正确的是
A. 能量可驱动物质循环
B. 物质和能量可循环利用
C. 能量只能在食物链中流动
D. 能量金字塔和数量金字塔均可倒置
3. 生态系统中物质循环、能量流动和信息传递每时每刻都在进行,下列与之相关的叙述,正确的是
A. 物质循环往复意味着任何生态系统在物质上都是自给自足的
B. 能量流动是指生态系统中能量的输人、传递、转化和散失的过程
C. 只有生物才会对信息有反应,因此信息传递只发生在生物群落内部
D. 生态系统中的物质循环、能量流动和信息传递都是沿食物链进行的
4. 毛竹与栲树、苦槠等阔叶树形成的混交林，其稳定性比毛竹纯林的高。以下分析不合理的是
A．毛竹纯林易发生病虫害
B．混交林中物种多样性高
C.混交林中食物网更复杂
D．混交林中能量可循环利用
## 二、非选择题
1. 将以下概念之间的关系用概念图的形式表示出来。
生态系统、食物链、食物网、生产者、消费者、分解者、生物群落、初级消费者、次级消费者、三级消费者、第一营养级、第二营养级、第三营养级、第四营养级。
2. 下图是河流生态系统受到生活污水（含大量有机物）轻度污染后的净化作用示意图。
请据图回答下列问题。
(1) 在该河流的 $\mathrm{AB}$ 段上，溶解氧大量减少的主要原因是什么?
(2) 在该河流的 BC 段上，藻类大量繁殖的主要原因是什么?
(3) 水中溶解氧含量逐渐恢复的主要原因是什么?
(4) 若酿造厂或味精厂将大量含有有机物的废水排人该河流,对河流生态系统可能造成的最严重的后果是什么?
3. 棉铃虫是棉田常见的害虫,喷洒高效农药可以迅速杀死棉铃虫,但同时也会杀死棉铃虫的天敌，并造成环境污染。如果放养棉铃虫的天敌一一赤眼蜂，虽然不能彻底消灭棉铃虫，但是能将它们的种群数量控制在较低水平,也不会造成环境污染。哪一种做法有利于提高农田生态系统的稳定性?为什么?4. 有科学家指出：“没有物质，什么都不存在;没有能量,什么都不会发生;没有信息,任何事物都没有意义。” 在生态系统中，物质、能量和信息是这样起作用的吗?在细胞、个体、种群、群落等层次,它们所起的作用也是这样的吗?试举例谈谈对这句话的理解。
## 第4章
人与环境
地球是人类赖以生存的唯一家园。数十亿年生命的进化,不断改变地球的环境,使地球从不毛之地,逐渐演变成生命的乐园。然而,随着人类的出现和人口的增多,人类的活动在很大程度上改变了地球的环境,使这个星球上许多生物的生存受到严重威胁,也危及人类自身的生存和发展。
在对待地球家园的问题上,人类再也不能只知索取,不知保护;更不能只图眼前利益,不顾长远利益。只有正确处理人与资源、环境的关系,走可持续发展之路,才是人类唯一正确的选择。
天地与我并生，而万物与我为一
我们不是继承父辈的地球,而是借用了儿孙的地球
## 第 1 节
## 人类活动对生态环境的影响
## 问题探讨
某同学假期来到几乎没有工矿企业的青海省茶卡盐湖旅游,这里被称为“天空之镜”,湖水清撤、大气透明。联想到自己生活的大城市时常发生雾䨪,他认为,没有人类干扰的自然环境就会很好。次年,他到了几个海滨城市旅游,发现这里经济发达、环境优美。他认识到发展经济与保护环境似乎并不矛盾。
讨论
1. 人类活动一定会破坏环境吗?2. 怎样才能既发展经济,又不破坏环境?
茶卡盐湖 ( ( 本节聚焦
- 人口增长对生态环境有哪些影响?- 全球性生态环境问题主要有哪些?这对人类的生存以及可持续发展有哪些影响?- 怎样从我做起保护生态环境?2011 年 10 月 31 日，世界人口已达到 70 亿。人口的持续增长,给生态环境带来越来越大的压力。在生物圈中,人口、资源、环境和发展存在紧密而复杂的相互联系。探讨它们之间的相互作用并分析对人类末来的影响,不但对人类选择可持续发展战略具有重要的价值,而且在维持整个生态系统的平衡、保护生物多样性等方面具有积极的意义。
## 人口增长与生态足迹
人类的生活和生产活动都会消耗地球上的资源,并产生大量的废物。如果将人类为了维持自身生存需要的物质等,换算为相应的自然土地和水域面积，就是生态足迹 ( ecological footprint )。
生态足迹，又叫生态占用，是指在现有技术条件下，维持某一人口单位（一个人、一个城市、一个国家或全人类 ）生存所需的生产资源和吸纳废物的土地及水域的面积 ( 图 4-1)。例如,一个人的粮食消费量可以转换为生产这些粮食所需要的耕地面积,而他所排放的二氧化碳总量可以转换成吸收这些二氧化碳所需要的森林、草地或农田的面积。因此,生态足迹可以被形象地理解为一只负载人类和人类所创造的城市、耕地、铁路等的巨“足” 踏在地球上时留下的足印。生态足迹的值越大，代表人类所需的资源越多，对生态和环境的影响就越大。
图 4-1 生态足迹示意图
生活方式不同，生态足迹的大小可能不同。例如，与步行相比,开车出行会增大生态足迹。增加的部分既包括汽车对道路、停车场的直接占用面积,也包括吸收尾气所需要的林地面积等。又如,与食用蔬菜相比,吃牛肉也会增大生态足迹。
历史发展告诉我们，一方面，随着经济和社会的发展，
为什么食用牛肉会比食用蔬蒌产生的生态足迹要大?人们的生活得到了更好的物质支持,人们的消费水平在不断提高;另一方面,全球的人口持续飞速增长,近几十年来，养活地球人口的环境压力不断增大。
## 人口增长过快带来的环境压力
资料 118 世纪 50 年代以来的世界人口增长情况,以及末来几十年的预测情况如左下图所示。
资料 2 有研究显示，20世纪 70 年代以来,全球进人生态超载状态。与 1961 年 (数据可采集的第一年) 相比,全球生态足迹总量增长了约 2 倍,而生态承载力 ${ }^{1}$ 总量只提高了 $30 \%$ ( 右下图 )。地球早已进人生态超载的状态。资料3 1750 年,大气中二氧化碳的体积分数只有大约 $0.028 \%$,而 2016 年,这一数值已经超过 $0.04 \%$。导致二氧化碳浓度升高的主要原因是人类对化石燃料的使用、水泥的生产以及土地利用的变化 ( 如毁林) 等。二氧化碳浓度升高是全球变暖的原因之一。
资料 42007 年,我国人均生态足迹为 2.2 全球公顷，低于全球同期平均水平。
发达国家、发展中国家和世界总人口的人口动态 (1750-2100 年)
从世界范围看,人口还将继续增长,人类的消费水平也将继续提高。末来,全球生态环境可能会面临更大的压力。
我国人口基数大。近些年来,虽然在计划生育等基本国策的调控下,我国人口增长过快的情况得到了有效控制,人口出生率和增长率明显下降,目前已进人了低生育水平国家行列。不过，我国依然是人口大国，末来城市化和人口老龄化还将加速。处理好人口增长和资源、环境的关系尤为重要。我国许多自然资源的人均占有量均低于全球人均水平,如人均耕地面积仅为全球人均值的 $1 / 3$,人均淡水占有量只有全球人均值的 $1 / 4$,等等。
讨论
1. 发达国家经济发展快、人口增长慢,是不是人均生态足迹就小呢?2. 根据上述资料,分析全球发展将面 3. 研究表明,目前生态承载力比1961 年增长约 $30 \%$ 的主要原因是农业的发展。那么,末来可采取哪些措施提高生态承载力?3. 由于我国人口基数大,我国的生态足迹总量位居世界首位。这给我国的发展带来巨大挑战。请与同学讨论我们应该怎样做。
(1): 生态承载力代表了地球提供资源的能力。
临的问题。
1961 年以来,全球生态足迹总量和生态承载力总量变化曲线图
## 关注全球性生态环境问题
“天涯若比邻”！国与国之间有边界,但是生态环境问题却不会终止于国界。苏联切尔诺贝利核电站爆炸产生的核辐射粒子云,被送到了 $2000 \mathrm{~km}$ 外的北欧。生态环境问题具有全球性,需要全人类的关注与合作。我们只有一个地球，它是人类共同的家园。
全球性生态环境问题主要包括全球气候变化、水资源短缺、臭氧层破坏、土地荒漠化、生物多样性丧失以及环境污染等。这些全球性生态环境问题,对生物圈的稳态造成严重威胁,并影响到人类的生存和发展（图 4-2)。全球气候变化煤、石油和天然气的大量燃烧以及水泥的生产等导致大气中二氧化碳浓度升高,使温室效应加剧,全球变暖,导致南极冰盖融化,地球海平面上升,进而对人类和许多生物的生存产生威胁。
臭氧层破坏由于人类对氟氯烃 (CFCs)。哈龙等化合物的使用,大气中臭氧的含量持续下降,在南北极附近,甚至出现了“臭氧层空洞”。臭氧层变薄意味着到达地面的太阳紫外线增强,会对人和其他生物的生存造成极大危害。
生物多样性丧失生物多样性在急剧下降。目前,物种灭绝的速率是自然灭绝速率的 1000 倍!
水资源短缺淡水约占地球水资源的 $2.53 \%$,但是其中可被人类直接利用的不到 $1 / 3$。人口剧增以及人类的活动加剧了水资源短缺的危机。
土地荒漠化人类活动会导致干旱或半干旱地区的土地退化,甚至完全荒漠化。目前,除了南极洲,其他各洲均存在土地荒漠化现象。
环境污染最为常见的环境污染是大气污染、水体污染和土壤污染。大气污染会导致雾䨪、酸雨频发。
图 4-2 全球性生态环境问题示例
## 全球性生态环境问题与个人生活
## 讨论
1. 上述环境问题怎样影响我们的生活?我们个人的行为习惯与环境问题的形成有怎样的关系呢?2. 绿色出行、“光盘行动”、节水节能等，都可以缩小生态足迹。还有哪些可以缩小生态足迹、减少环境污染的生活方式?
全球性生态环境问题对生物圈的稳态造成了威胁，同时也影响了人类的生存和可持续发展。我们应正确处理环境保护与经济发展的关系,践行经济、社会和生态相互协调的可持续发展理念。
我国政府倡导生态文明建设，将“全面协调可持续发展”作为基本国策。近些年来,我国采取了一系列措施,使整体生态环境得到了明显改善。建设生态文明,要求每为什么说“绿水青山就是金山银山”?一个公民从我做起，积极投身到生态文明建设中。对于节能环保的绿色生活方式,我们不仅要深人理解,身体力行,而且要广为宣传,使之成为全社会的共识。
## 探究・实践
## 调查当地的环境状况，提出保护环境的建议或行动计划
你的家乡是否有环境问题?是否已经影响了人们的生活?请调查了解有关情况,并提出保护环境的建议或行动计划。
## 提示
1. 首先确定要调查的环境问题。例如,可以实地调查湖泊水质、居民区生活垃圾的收集及处理方式、当地的空气质量、工厂污染物的排放情况等;也可以通过查阅资料 (如空气质量播报 ) 或向生态环境管理部门咨询等方式，了解当地的环境状况。在设计问题时，不同小组可各有侧重。例如，不同小组可以分别调查不同湖泊或同一湖泊不同区域的水质情况等。2. 确定主题后,要根据所调查的问题,拟订计划，确定分工，并选择合适的方法。如果调查湖泊水质,可以选择以下方法：实地考察湖泊周边的排污情况；如果有条件,可采集水样并在实验室检测反映水质的理化指标，如水温、$\mathrm{pH}$、透明度、溶解氧、总磷和总氮等;根据检测结果，对照《中华人民共和国地表水环境质量标准》（GB3838-2002 ) 对水质进行评价。
如果调查空气质量,可以利用空气质量检测仪,在不同的时间和地点测量,并对数据进行汇总和分析，得出空气质量状况的调查结果。
3. 通过调查,针对发现的环境问题,可就如何解决请教专家或查阅资料，小组讨论完善后，提出解决问题的建议，提交至当地生态环境管理部门。还可提出一份切实可行的保护环境的行动计划,在班级内交流。思维训练
## 辨别“偷换概念”
几年前,某地建起一家金属冶炼厂,此后,工厂周边的水稻产量明显下降。农民认为冶炼厂排放的废气导致了农作物减产。环境工作者的研究表明,冶炼厂周围的大气透明度明显下降。
冶炼厂方面认为,水稻产量下降的责任
不在他们,因为他们排放的废气是经过处理的，检验报告显示，这些废气不会毒害人体,更没有证据表明他们排放的废气对水稻有毒害作用。
尝试运用已有的知识和思维技能,反驳冶炼厂方面的观点。
## 练习与应用
## 一、概念检测
1. 我们既要关注人口增长过快带来的环境压力,也要注意人口停止增长或负增长带来的问题,请在左右两栏之间画上适当的连线。
人口增长过快
劳动力不足资源短缺人口老龄化人口停止增长或负增长交通拥挤环境恶化
2. 我国南极科学考察队员发现,南极地区的部分海冰正在逐年融化,使企我的栖息地越来越少，导致这一现象的原因是
A. 水土流失
B. 温室效应
C. 大气污染
D. 海洋污染
3. 近年来,我国绿色发展的理念日益深人人心,建设美丽中国的行动不断升级提速,带来更多蓝天白云、绿水青山。下列举措不利于改善环境的是
A. 进行垃圾分类
B. 大力植树造林
C. 工厂废气经净化处理后排放
D. 沿海兴建化工厂,污水直接排人海洋
## 二、拓展应用
1. 低碳生活是指生活中尽量少地消耗能量,减少二氧化碳的排放,减少大气污染,保护环境。作为中学生,我们应该怎样做自己力所能及的事情以响应低碳生活的号召?请举两个例子说明。
2.“国家节水标志” 由水滴、人手和地球的图
国家节水标志案组成。绿色的圆形代表地球，象征节约用水是保护地球生态的重要措施。标志留白部分像一只手托起一滴水。手是拼音字母“JS” 的变形,寓意“节水”,表示节水需要公众参与,鼓励人们从自己做起，人人动手节约每一滴水;手又像一条蜿蜒的河流，象征滴水汇成江河。
举例说明,作为中学生,我们能做哪些力所能及的事情来节约用水?
3. 有些企业的生产造成严重的环境污染，但企业缺乏资金进行技术改造,停产又将影响职工的收人和产品的供应。这样的两难处境,是现实生活中常见的。请你查阅资料,找一找摆脱这类困境的办法。4. 亚洲象是我国一级保护动物,在我国主要分布于云南省南部。2017 年的一项研究显示,西双版纳地区共有 228 279 头亚洲象,但它们分布于 5 个互不连通的地区。请回答下列问题。
（1）目前亚洲象的栖息地处于隔离状态,请你分析导致隔离的原因。
(2) 我国已经启动了亚洲象生态保护走廊的调查规划和建设项目,请你谈谈这项措施的意义。
## 科学・技术・社会
## 塞罕坝今昔
“塞罕坝”系蒙汉合璧语，意为“美丽的高岭”。塞罕坝位于河北省承德市围场满族蒙古族自治县境内,平均海拔 $1500 \mathrm{~m}$,年均气温 $-1.5^{\circ} \mathrm{C}$,极端最低气温 $-43.3{ }^{\circ} \mathrm{C}$,年均无霜期仅 $72 \mathrm{~d}$。历史上,塞罕坝曾水草丰茂、森林茂密、禽兽繁集，辽、金时期称“千里松林”;清朝康熙年间被划为“木兰围场”，成为林木葱茏的皇家猎苑。
清末,王朝风雨飘摇,内忧外患。清政府将“木兰围场”开围放垦以弥补国库空虚。之后,树木被砍伐殆尽,加之山火不断,到中华人民共和国成立初期，这个昔日的“美丽高岭”变成了林木稀疏、人迹罕至的茫茫荒原。
1962 年，塞罕坝机械林场总场组建。半个多世纪以来，塞罕坝人克服了重重困难，在河北省纬度最高、气温最低、无霜期最短、降水并不丰沛的坝上高原，营造起万顷林海。
林场最初几年的建设很不顺利,塞罕坝是半湿润半干旱区,植树造林困难相当大,他们种的树苗成活率很低。塞罕坝人没有气馁,他们潜心研究,摸索出培育“大胡子、矮胖子” 优质壮苗的技术,大大增加了育苗数量和产成苗数量。针对人工纯林物种单一、土壤酸化、病虫害严重等状况,他们研究确定了适合塞罕坝地区的主要树种为华北落叶松、樟子松和云杉;同时大力培育兴安落叶松、长白落叶松、冷杉等其他优良树种;并将这些树种进行合理的搭配和混交，从而大大提高了造林的成功率。
经过一代代人的艰苦努力,塞罕坝的森林覆盖率由建场前的 11.4\%提高到 2014 年的 $75.5 \%$。今天的塞罕坝,被赞誉为“河的源头、云的故乡、花的世界、林的海洋、珍禽异兽的天堂”。
人类活动也可以使环境朝着改善的方向演变，这是一个典范。塞罕坝人创造了荒原变林海的绿色奇迹,用实际行动诠释了“绿水青山就是金山银山” 的理念。2017年，塞罕坝林场建设者因在环境保护方面作出的突出贡献,集体获得联合国环境领域的最高荣誉―地球卫士奖。
## 第 2 节
## 生物多样性及其保护
## 问题探讨
1986 年,我国科学家在长白山地区发现了一种新的蛩 ( qióng ) 蠊目昆虫,后被命名为中华蛩蠊（Galloisiana sinensis)。它填补了我国蛩蠊目昆虫的空白，目前被列入国家一级保护动物名录。
讨论
1. 中华蛩蠊看上去似乎毫不起眼,为什么要对它进行保护呢?2. 如果人类不进行保护，像中华蛩蠊这样的稀有物种就会灭绝吗?
中华蛩螊 (°) 本节聚焦
- 怎样看待生物多样性的价值?- 生物多样性丧失的原因有哪些?- 怎样从我做起保护生物多样性?
在我们共同居住的地球上，有着多种多样的生物。生物圈内所有的植物、动物和微生物等,它们所拥有的全部基因,以及各种各样的生态系统,共同构成了生物多样性 （biodiversity ）。生物多样性包括遗传多样性（基因多样性 ）、物种多样性和生态系统多样性。遗传多样性是指地球上所有生物携带的遗传信息的总和;自然界中每个物种都具有独特性,从而构成了物种的多样性;生态系统多样性是指地球上的生境、生物群落和生态系统的多样化,还包括生态系统的组成、结构、功能等随着时间变化而变化的多样性。
## 生物多样性的价值
表面看，一个生态系统里有 50 种还是有 1000 种生物,似乎和我们人类没有多大关系。果然是这样的吗?
## 思考 · 讨论
## 分析生物多样性的价值
我们先分析以下资料,了解生物多样性 : 资料 1 在我国,红树林原来广布于福的价值。建、广东、广西、海南沿海的潮间带，既是
红树林
海岸的天然防护林，又是潮间带多种贝类、甲壳类、鱼类的栖息繁衍地,也是多种水鸟营巢繁殖的处所。由于人类的围海造地和人工养殖以及建筑、薪柴之需,红树林的面积日益缩小。
资料 2 大面积种植水稻、玉米或小麦等,给人类带来了粮食的丰收,但是,栽培品种大多抗病性差。这些作物的祖先: 野生的水稻、玉米或小麦,在基因组成上与栽培品种有着一定的差别。
野生稻资料 3 家蝇不但扰人,而且会传播疾病,因此很不受人们欢迎。但是,家蝇是某些动物的食物,是食物链上的重要一员;它还可以为植物传粉;人工饲养的家蝇幼虫可以作为动物的饲料。人们还模仿蝇眼制成了蝇眼照相机;模仿家蝇的平衡棒制成的振动陀螺仪，可用于高速飞行的火箭和飞机;等等。
## 讨论
1. 红树林的消失对沿海陆地有哪些影响?又将影响哪些生物的生存?2. 栽培作物野生种的基因库对育种工作者来说,有哪些利用价值?为什么说任何一个灭绝的物种都会带走它独特的基因,是令我们永远遗憾的呢?3. 上述三例说明生物多样性具有哪些价值？你还能举出更好的实例吗?
关于生物多样性的价值,科学家一般概括为以下几个方面：直接价值、间接价值以及目前人类尚不清楚的潜在价值。
直接价值是对人类有食用、药用和作为工业原料等实用意义的,以及有旅游观赏、科学研究和文学艺术创作等非实用意义的价值（图 4-3 )。
我国科学家屠呦呦从黄花高中提取出治疗疙疾的药物青高素
人类的食物基本来源于种植农作物和养殖家畜、家禽及海产品
为人类提供了众多生产原料绝大多数药物来自植物、动物、微生物的代谢产物
在生态旅游、科学研究、艺术作等方面具有重要价值
蚕丝
割胶
生态旅游
科研的模式生物拟南芥
图 4-3 生物多样性的直接价值示例
生物多样性为人类提供了赖以生存的食物；提供了多种有治疗功效的药物；提供了众多工农业生产原料,如木材、纤维、橡胶、饲料、淀粉、虫丝、皮器具等。合理地利用生物多样性，可以加快人类生活水平的进步，改善人类的健康状况。
生物多样性的间接价值主要体现在调节生态系统的功能等方面。例如,植物能进行光合作用,具有制造有机物、固碳、供氧等功能;森林和草地具有防风固沙、水土保持作用,湿地可以蓄洪防旱、净化水质、调节气候，等等。此外，生物多样性在促进生态系统中基因流动和协同进化等方面也具有重要的生态价值。以生物多样性为基础的生态系统决定着人类生存和生活环境的质量。直到近几十年来,人类才逐渐认识到，生物多样性的间接价值明显大于它的直接价值。
生物多样性还具有许多目前人们尚不太清楚的潜在价值。例如,某种目前没有直接价值的植物,有可能在末来被发现含有治疗某种疾病的重要成分。随着科学研究的不断深人和认识水平的不断提高,生物多样性的潜在价值将逐渐展现。
总之,生物多样性对于维持生态系统稳定性具有重要意义，奠定了人类文明形成的物质条件，是人类赖以生存和发展的基础。
## 生物多样性丧失的原因
生物多样性的丧失,已成为全球性生态环境问题之一。生物多样性是数十亿年生物进化的结果。在生物进化的过程中,既有新物种的形成,也有一些物种的灭绝。近几个世纪以来,由于人类活动的范围和影响强度不断增大,物种灭绝的速度大大加快,许多生态系统遭到了干扰和破坏。
威胁野生物种生存的人类活动,主要是对野生物种生存环境的破坏和掠夺式利用等。
人类活动对野生物种生存环境的破坏,主要表现为使得某些物种的栖息地丧失和碎片化。将森林砍伐或开厔为耕地，交通 (高速公路、高速铁路) 和水利（修建水坝） 设施、房地产工程项目的修建，都可能导致某些野生物种栖息地的丧失或者碎片化。例如,野生大熊猫种群原本分布在中国华南、华东大部以及缅甸和越南的北部地区。由于环境变化和人类活动的影响,现有的野生大熊猫种群仅分布在青藏高原东侧 6 个彼此分隔的山系内。彼此隔离的栖息地“孤岛”让大熊猫种群难以维持。
掠夺式利用包括过度采伐、滥捕乱猎（图 4-4 ),这是物种生存受到威胁的重要原因。例如,珍贵药用动植物和皮毛动物、海洋经济鱼类、珍贵食药用䒩等，经人工长期大量捕捞或采掘,它们的种群数量已大大减少。
此外,环境污染也会造成生物多样性的丧失;农业和林业品种的单一化会导致遗传多样性的丧失,以及与之相应的经长期协同进化的物种消失。外来物种的盲目引入也会导致物种的灭绝，使生物多样性丧失。
一个基因可能关系到一种生物的兴衰,一个物种可能决定一个国家或地区的经济命脉，一个生态系统可能改变一个区域的生态面貌。如果在人类还没来得及开发应用时,众多
## 相关信息
科学家通过对化石资料的研究发现,在过去的地质年代里,一共发生五次大灭绝。第六次大石绝开始于三万年前,持续到现在。主要原因是地球人口增长、人类对动物的捕杀和人类活动造成的生境丧失。
批判性思维
有些威胁生物多样性的生产建设活动,不一定都是人类主观上要对野生物种赶尽杀绝。例如,修建高速公路、铁路造成某些野生物种栖息地的碎片化。这给你什么启示?
从图 4-4 偷猎㨦取的象牙和兽皮相关信息
外来物种入侵也可能导致生物多样性的丧失。我国在进出境 ロ岸建立了外来物种入侵防控工作机制,对入境货物、运输工具、邮件等进行严格的检疫,筑牢了外来物种入侵口岸检疫防线。物种就灭绝了,人类如何能知道这些灭绝物种的宝贵价值?从这个意义上说,我们人类可能正在失去大量以后可以利用的资源，最终也像其他生物一样,从地球上消失。
## 保护生物多样性的措施
人类已经意识到生物多样性丧失的危害，那么，应该怎样保护生物多样性呢?
## 探究 · 实践
## 搜集保护生物多样性的实例
通过搜集和分析保护生物多样性的实例，调查当地生物多样性的现状，探讨生物多样性丧失可能对人类产生的影响。
## 提示
1. 可以组成调查小组，利用报刊、书籍、电视、互联网等，搜集保护生物多样性的实例，并对搜集到的资料进行整理，就了解到的信息与小组其他同学交流。2. 调查当地的生物多样性状况,可以通过图书馆或互联网,查询当地生物多样性调查的研究结果。
拜访当地从事生态学研究的专业人员,可以获得有关当地生物多样性的信息。走访当地的老人,请他们提供几十年来当地物种、生态系统演变的情况,这些信息也能反映生物多样性变化的情况。
3. 可以就如下问题进行讨论。
(1) 当地是否出现生物多样性下降的趋势?如果有,这一情况有没有对当地人的生活产生影响?有没有影响当地的生态环境?
( 2 ) 全球生物多样性下降会对人类产生哪些影响?
(3) 人类已经采取了哪些保护生物多样性的措施?这些措施是否对生物多样性保护起到显著作用?
4. 根据讨论结果，提出保护当地生物多样性的建议。
【图 4-5 鼎湖山自然保护区我国生物多样性的保护可以概括为就地保护（in situ conservation ) 和易地保护 ( ex situ conservation) 两大类。
就地保护是指在原地对被保护的生态系统或物种建立自然保护区以及国家公园等,这是对生物多样性最有效的保护。鼎湖山自然保护区就是我国建立的第一个自然保护区 (图4-5)。
易地保护是指把保护对象从原地迁出，在异地进行专门保护。例如,建立植物园、动物园以及濒危动植物繁育中心等,这是为行将灭绝的物种提供最后的生存机会 ( 图 4-6)。在繁育中心,一旦繁育的野生生物达到一定数量，就可以将它们回放野外（图 4-7)。
从图 4-6 大熊猫繁育研究基地
图 4-7 回放野外的野马
建立精子库、种子库、基因库，利用生物技术对濒危物种的基因进行保护,等等,也是保护濒危物种的重要措施 ( 图 4-8)。近年来,我国科学家还利用人工授精、组织培养和胚胎移植等生物技术,加强对珍稀、濒危物种的保护，取得了可喜的成绩（图4-9）。
从图 4-8 基因库
从图 4-9 人工授精繁育珍稀动物
保护生物多样性,关键是要处理好人与自然的相互关系。当前主要是降低破坏地球生态环境的速度,这包括控制人口增长、合理利用自然资源以及废物的重复利用等。保护生物多样性还要加强立法、执法、宣传教育,使每个人都能树立保护生物多样性的意识,自觉形成保护生物多样性的行为和习惯。
保护生物多样性只是反对盲目地、掠夺式开发利用大自然,并不意味着禁止开发和利用。例如,保护海洋生态系统并不是完全禁渔;相反,适时地、有计划地捕捞成鱼,不仅能获得渔业产品和经济效益,也有利于幼鱼的生长发育,从而有利于保护海洋生态系统。这正是“合理利用就是最好的保护” 的科学道理。我国近年来规定禁渔区和休渔期（图 4-10),大力实施退耕还林、还草、还湖等措施,保护生物多样性的成效已经开始显现。
图 4-10 休渔期停泊在港内的渔船相关信息
为了防止我国珍稀、濒危的物种被非法跨境运到国外，我国实施进出境动植物检疫。《中华人民共和国生物安全法》施行后，我国将进一步筑牢国门生物安全防护网。保护生物多样性,要求我们做好生态系统管理,深人开展生物多样性及其保育的相关研究。这需要依靠国家和各级决策者、科研人员以及公众的努力,还需要开展涉及生物科学、地球科学、海洋科学和大气科学等多学科的综合研究,采取科学措施。作为“地球村” 的一名成员,我们要时刻牢记,保护生物多样性要从我做起,从小事做起。
## 练习与应用
## 一、概念检测
1. 长江江豚仅分布于我国长江中下游地区,已是极危物种。下列保护长江江豚的措施,最为有效的是
A. 建立长江江豚繁育中心
B. 建立长江江豚自然保护区
C. 加强立法、执法和宣传教育
D. 利用生物技术对长江江豚的基因进行保护
2. 保护生物多样性,关键是处理好人与自然的相互关系。下列说法正确的是 A. 鼓励人们进人保护区，给鸟类喂食、建巢
B. 将各地濒危野生物种都迁移到自然保护区并加以保护
C. 对于珍稀濒危的物种,应该禁止一切形式的猎采和买卖
D. 易地保护就是将各种野生动物迁人动物园、水族馆、自然保护区等进行保护
3. 将左、右两侧的词句,按对应关系画线连接起来。直接价值
间接价值
潜在价值芦苇是一种重要的造纸原料
每个物种都维系着它们所在的生态系统的结构和功能海洋和森林等生态系统能陶冶情操、激发创作的灵感鲁班通过观察某种叶片的叶缘得到启示,研制出木工用的锯蝉蜕是一种动物性药物
某种不知名昆虫
## 二、拓展应用
1. 秦岭位于我国南北区域分界线,这里植被类型多样、物种丰富,生活着大熊猫等珍稀生物。我国已在秦岭建立 20 多个国家级和省级自然保护区，还有几十处森林公园和风景名胜区。这些保护区分属不同地区和部门管理,不利于更好地保护生物多样性。例如,由于受到道路、农田及村民砍柴等的干扰,秦岭地区的大熊猫被分割成几个局域种群,个别局域种群极小。2017 年,有关部门决定统筹规划、建设秦岭国家公园。
( 1 ) 已经建立了大熊猫繁育研究基地,为什么还要建设保护大熊猫的自然保护区?( 2 ） 将大熊猫分布区连接起来有利于大熊猫种群的延续,为什么?可以采取哪些措施将原本分割的区域连成片?
(3) 有人说，国家公园建设的最大瓶颈是管理体制的复杂性和利益冲突的严重性。请说说你对这一问题的看法。
2. 在有些地方，某些人喜欢通过“放生” 来表示自己有爱心，他们从市场上买来动物,放归自然环境。放生的动物中,有些不是本地物种。你如何看待这样的做法?
## 关注生态伦理道德
伦理是指人与人之间应当遵循的道德关系。所以,伦理与道德经常合起来使用。将伦理与道德的对象范围扩大到整个自然界,就是生态伦理道德,基于此衍生出了生态伦理学。生态伦理学作为一门发展历程已近百年的学科,其流派纷呈,各具体系,但依据“是否以人类为价值主体” 可大致划分为人类中心论和非人类中心论两大学派。
对人类中心论与非人类中心论,我们需要辩证地加以认识和对待。我们应该反对狭隘的人类中心论,避免单纯从人类自身利益和需要出发来认识和改造自然,而应尊重其他生物同样具有的生存和发展的权利,注重维持生态平衡和整个自然界的可持续发展。同时我们应认识到,人类是地球上唯一具有伦理道德观念和理性思维的主体,生态伦理学规则的制订和执行都由人类来承担;生态伦理学要求人类保护自然资源和生态环境、与自然和谐相处;这样做,从根本上说还是为了可持续发展。
白头叶猴是世界珍稀动物,也是我国一级保护动物,仅存在于广西。由于人类活动的影响,白头叶猴的栖息地遭到严重破坏，它们的数量一度急剧下降。据调查,到 20 世纪 80 年代初,广西的白头叶猴总数约为 600 只,保护白头叶猴迫在眉睫。为此,我国政府建立了广西崇左白头叶猴国家级自然保护区、广西弄岗国家级自然保护区,并通过宣传教育活动、建立健全的生态补偿机制等措施，引导保护区的村民参与到白头叶猴的保护工作中。目前,广西的白头叶猴已达千只。
我国在兴建举世瞩目的青藏铁路的过程中,为了尽量不干扰藏羚等野生动物的正常生活,在一些路基下修建了专供它们行走的涵洞，并规定火车行驶中一律不鸣笛。
青藏铁路路基上专供野生动物行走的涵洞
我国兴建葛洲坝水利枢纽工程时，考虑到拦江筑坝会破坏中华鲟的生殖洄游,有可能使它们濒临灭绝,为此专门建立了中华鲟研究所。想一想,这些做法说明经济建设与生态伦理道德观念可以是怎样的一种关系呢?
人工辅助繁殖的中华鲟
## 第 3 节
生态工程
## 问题探讨
在 2008 年北京奥运会的筹办过程中，奥林匹克森林公园是一个重要建设项目。公园所在地原来主要是普通村落和农田。2002年招标设计，2005 年开工建设，2008 年建成。公园建设坚持“绿色奥运” 的理念,充分利用了原有地貌和植被,采用了营造近自然林系统、废物资源循环利用等多项生态技术。例如，公园的水系建设采用了雨水收集、污水利用、中水净化、智能化灌溉和生态防渗等环保技术。
讨论
1. 农田弃耕后,在自然状态下也可以演替为森林,为什么还要人工造林呢?2. 为什么要先做森林公园的整体设计再开工呢?3. 公园建设为什么要充分利用原有的地貌和植被,营造近自然林系统呢?
奥林匹克森林公目俯瞰 ( (本节聚焦
- 什么是生态工程?- 为什么要关注生态工程建设?- 生态工程建设主要遵循哪些基本原理?
## 一生态工程的基本原理
短短几年,普通的村落和农田就脱胎换骨般地转变为令人赞叹的森林公园。它调节城市气候,丰富市民生活,也为众多动植物提供了生存的“家园”。这个例子是生态工程的生动缩影。
## 关注生态工程建设
20 世纪 60 年代以来,全球经济进人了快速增长阶段,人们生活水平提高、人口迅速增长,人类也随之更多地从自然中索取。毁林种地,围湖造田,大量使用化肥、农药等农业生产方式,以及工业的迅猛发展,正在大量消耗自然资源。这样的生产方式,已经严重影响了人类的可持续发展。为了实现可持续发展,经济发展必须符合生态学规律,改变“人类能征服自然” 的错误观念,旨在解决环境与经济发展协调问题的一门新学科―生态工程 ( Ecological Engineering) 应运而生并迅速发展。
生态工程是指人类应用生态学和系统学等学科的基本原理和方法,对人工生态系统进行分析、设计和调控,或对已被破坏的生态环境进行修复、重建,从而提高生态系统的生产力或改善生态环境,促进人类社会与自然环境和谐发展的系统工程技术或综合工艺过程。生态工程建设的目的就是遵循生态学规律,充分发挥资源的生产潜力,防止环境污染,达到经济效益和生态效益的同步发展。与传统的工程相比,生态工程是一类少消耗、多效益、可持续的工程体系。
## 生态工程所遵循的基本原理
生态工程是人类学习自然生态系统“智慧” 的结晶,是生态学、工程学、系统学、经济学等学科交叉而产生的应用学科。生态工程以生态系统的自组织、自我调节功能为基础，遵循着整体、协调、循环、自生等生态学基本原理。
自生生态系统具有独特的结构与功能,一方面是缘于其中的“生物”,生物能够进行新陈代谢、再生更新等;另一方面是这些生物之间通过各种相互作用（特别是种间关系 ) 进行自组织,实现系统结构与功能的协调,形成有序的整体。这一有序的整体可以自我维持。这种由生物组分产生的自组织、自我优化、自我调节、自我更新和维持就是系统的自生。
遵循自生原理,需要在生态工程中有效选择生物组分并合理布设。例如,在湿地修复过程中,应该选择污染物净化能力较强的多种水生植物,还需要考虑这些植物各自的生态位差异,以及它们之间的种间关系,通过合理的人工设计,使这些物种形成互利共存的关系。这是该系统或工程能否形成自组织能力的基础条件。一般而言,应尽量提高生物多样性程度,利用种群之间互利共存关系,构建复合的群落,这样即便某个种群消亡,其他种群也能弥补上来,从而有助于生态系统维持自生能力。
要维持系统的自生,就需要创造有益于生物组分的生长、
相关信息
一个系统在没有外界信息指令的作用下,自发地由无序到有序，由低有序到高有序的发展过程,就是自组织。星球的诞生,自然生态系统的形成都是自组织的结果。
ヘ 图 4-11 应用太阳能水生态修复系统改善湖水水质
有人说，过度从土地索取导致土地退化，是有些古文明中断的一个重要原因。我国几千年的农业发展没有出现这一问题，这是中华文明数千年延续不断的条件之一。你认同这一观点吗？请查找资料,对这一观点作出评析。发育、繁殖，以及它们形成互利共存关系的条件。例如，在湿地生态工程中,通过移除湖泊、河流中富营养化沉积物和有毒物质,减少水体污染物,增加水体溶氧量 (图4-11),可以改善水生生物的生存环境，从而有利于生态系统的自生。
循环循环是指在生态工程中促进系统的物质迁移与转化,既保证各个环节的物质迁移顺畅,也保证主要物质或元素的转化率较高。通过系统设计实现不断循环,使前一环节产生的废物尽可能地被后一环节利用,减少整个生产环节“废物”的产生。
土壤的肥力是一切农业生产特别是种植业的基础,当今大多数国家的土壤肥力,都严重依赖化学肥料,而在古代是根本没有化肥投人的。我国古代先民正是依靠“无废弃物农业” 保证了土壤的肥力,改善了土壤结构,培育了土壤微生物,实现了土壤养分如氮、磷、钾及微量元素的循环利用,因此,几千年来,土地一直维持着生产能力（图 4-12)。
๑图 4-12“无废弃物农业”物质循环再生示意图
协调在进行生态工程建设时,生物与环境、生物与生物的协调与适应也是需要考虑的问题。例如,我国西北一些地区年降水量小于 $450 \mathrm{~mm}$,只适宜种植灌木和草本植物，但曾被硬性规定种植乔木类的杨树。由于环境不利于杨树的生长,这里许多杨树长得十分矮小,枯枝很多,半死不活,远不如当地树种那样有较高的生态适应性,导致一些地区种植的防护林成了残败的“灰色长城”。
处理好生物与环境、生物与生物的协调与平衡,需要考虑环境容纳量。如果生物的数量超过了环境承载力的限度,就会引起系统的失衡和破坏。你能举出你所在地区的实例进行说明吗?
整体几乎每个生态工程都是具有多组分、复杂结构及综合功能的系统,这样的复杂系统建设必须以整体观为指导。自然生态系统可以为生态工程提供重要参考。
自然生态系统是通过生物与环境、生物与生物之间的协同进化而形成的一个不可分割的有机整体。遵循整体原理,首先要遵从自然生态系统的规律,各组分之间要有适当的比例,不同组分之间应构成有序的结构,通过改变和优化结构，达到改善系统功能的目的。其次，人类处在一个社会一经济一自然复合而成的巨大系统中。进行生态工程建设时,不仅要考虑自然生态系统的规律,更要考虑经济和社会等系统的影响力（图4-13）。例如,在进行林业工程建设时,一方面要号召农民种树,另一方面一定要考虑贫困地区农民的生活问题，如粮食、烧柴以及收人等问题。往往是生活方面的因素导致农民对森林、灌丛的过量砍伐。因此，只有把生态与社会、经济结合起来,才能从根本上达到造林和护林的目的。
【图 4-13 社会一经济一自然复合系统此外,社会习惯、法律制度等也对生态工程建设有着重要影响。只有应用整体原理,才能统一协调当前与长远、局部与整体、开发建设与环境保护之间的关系，保障生态系统的平衡和稳定。
在生态工程建设中,应该如何应用上述生态工程的原理呢?
## 思考·讨论
## 分析生态工程案例中的原理和应用
明清时期，我国南方长江三角洲、珠江三角洲低洼内涝积水地或河网发达地区的先民们，就探索出一种桑基鱼塘的农业生产模式：陆基种桑、桑叶饲昋、蚕沙喂鱼、塘泥培桑。这样可以将陆地种植与鱼塘养殖结合起来,把原本割裂的生产系统通过优化组合，有机地整合在一起。根据同样的原理,甘蔗种植也可以与养猪、养鱼结合 (下图 )。
鱼塘
鱼塘鱼塘
桑 (蔗) 基鱼塘模式在设计桑基鱼塘时,要考虑合适的陆地与水面的配比,需要考虑栽种作物与养殖动物的关系。例如,地基和鱼塘的面积比例是“三比七” 或“四比六”,即大部分采取“三基七水”或“四基六水”的比例。
池塘养鱼，也应综合考虑不同鱼种的关系,根据淡水鱼在自然环境中的混合生长状态,实行以四大家鱼为主的多鱼种混养模式,让鳙鱼、鲢鱼、草鱼、鲮鱼、鲤鱼、鲫鱼等各种鱼类都有生存的机会和空间。
运转良好的桑基鱼塘,可以做到物质的循环再生利用。种桑养蚕,虫沙 (虫粪便) 本是废弃物,如果不经处理直接堆放在室外,不但会腐烂变质污染环境,而且可能通过鸟、昆虫的携带造成交叉感染,导致家蚕疫病大爆发。桑基鱼塘将蚕沙由废弃物变成了渔业生产的饲料。
## 讨论
1. 尝试画出桑基鱼塘中的食物链
2. 桑基鱼塘应用了生态工程的哪些基本原理?3. 当桑叶价格高,卖桑叶比卖鱼更合算时，当地农民会将虫沙用作桑树的肥料，而不是喂鱼。由此可以看出,生态工程建设除了要考虑生态学、工程学原理,还需要关注什么?
生态工程建设需要根据工程的目的,以及当地自然、社会和经济的情况,从系统的不同角度综合考虑问题。因此,不但要考虑生态学原理,而且要考虑经济和社会的实际状况,通过系统学、工程学的设计,在充分利用自然的基础上，考虑节省投资和维护成本，提供务实、可持续的解决方案。
## 练习与应用
## 一、概念检测
1. 生态工程遵循整体、协调、循环、自生等基本原理。判断下列相关表述是否正确。
( 1 ) 依据生态工程的循环原理，应该对垃圾进行焚烧处理。
（2）园林既能改善生态环境,又能提高社会和经济效益,体现了生态工程的整体原理。
2. 建设人工湿地可将污水、污泥有控制地投放到人工建造的湿地上,这主要利用了土壤、人工介质、微生物的作用对污水和污泥进行处理。下列叙述，不合理的是
A. 合理搭配植物以提高系统的生物多样性
B. 尽量使用本地物种以减少外来物种人侵
C. 为提高能量传递效率增大引人湿地的污水总量 D. 选择合适的人工介质以利于好氧微生物的分解作用
## 二、拓展应用
1953 年朝鲜战争停战后,南北双方以北纬 $38^{\circ}$ 为停火线,沿线两侧大约 $500 \mathrm{~km}^{2}$ 为非军事区,这里的地表经过战争浩劫,几乎没有生物存在。几十年来,由于基本没有人类活动,这里恢复了完全的自然状态。河水清撤、森林茂盛、物种繁多,还出现了多种被认为早已在朝鲜半岛灭绝的动物,如棕熊。有科学家评论说：“全世界只有在这个地方,由于 3000 年以来的农耕文明突然终止,原始物种可在没有人类干扰的情况下自由发展,这个地区的生态恢复情况大大超过了人类所有生态建设所能达到的水平。” 说说这个案例给你的启示。
## 二生态工程的实例和发展前景
(°) 本节聚焦
- 我国在生态工程建设方面有哪些成就?- 生态工程具有怎样的发展前景?生态工程自 20 世纪 60 年代提出后,在世界范围内逐渐得到广泛的认同和重视。20 世纪 70 年代以来,我国生态工程的理论和实践都取得了长足进展,政府十分重视。在某些研究领域已处于国际领先的地位,在实践上已应用于农业生产、环境保护、城镇建设等许多方面,取得了令人嘱目的成就。
## 生态工程的实例
在进行生态工程建设时,应当根据当地的实际条件,因地制宜地进行。以下介绍的生态工程实例,都是我国生态科学工作者和群众在长期的生态工程建设实践中,不断完善而形成的。你可以结合当地实际,选取若干实例与同学共同分析讨论。
## 农村综合发展型生态工程
问题 2020 年,我国有 5.1 亿人生活在农村,人多地少是突出的矛盾。怎样才能实现物质的多级循环利用,在资源有限的条件下有较多的产出,取得经济效益、社会效益和生态效益的全面提高呢?
对策建立农村综合发展型生态工程,是实现这一目标的有效途径,这在我国已经有不少成功的实例。
## 思考 . 讨论
## 分析某村综合发展型生态工程
北京郊区的某村是这方面的一个典型,该村实施了以沼气工程为中心的物质多级循环利用工程: 作物秸秆用来生产食用菌和饲料（图 a );饲料用于喂养畜禽；人畜粪便作为原料生产沼气；沼液用于水产养殖业;沼渣可用于为有机农产品—“无公害蔬菜” 施肥和喂养畜禽,从而达到了物质利用的良性循环，缓解了农村“三料” ( 饲料、燃料、肥料) 的缺乏问题,提高了土地产出水平;同时畜禽、鱼、螺、谷物、饲料等加工品也可到市场上出售（图 b )。总之,农业生态工程能创造多种劳动力就业机会,增加农民收人,开发可以更新的资源,减少环境污染。
青沆: 是指在玉米等作物没有完全成熟时,将果穗和秸秆一起收获切碎,通过厌氧发酵成为牛羊的青饲料。
氨化: 是指利用氨水或氮素化肥处理稻麦秸秆,使之软化适口,提高其作为饲料的营养价值。
图 a 压制、储存青贮玉米
图 b 农村综合发展型生态工程示意图
请分析图 b,并与当地农村的生态系统相比较,讨论以下问题。
1. 在这一案例中,主要运用了生态工程的哪些基本原理?2. 这一生态系统的结构和功能有哪些特点?2. 这一生态工程有哪些值得借鉴的做法?
## 湿地生态恢复工程
问题湿地是一种独特的生态系统。2014 年公布的调查结果表明,我国湿地总面积达 $5.36 \times 10^{7} \mathrm{hm}^{2}$,面积大小位列世界第四，亚洲第一。我国湿地的特点是类型多、面积大、分布广、区域差异显著、生物多样性丰富。湿地被誉为地球的“肾”,具有蓄洪防旱,调节区域气候,控制土壤侵蚀,自然净化污水,为迁飞的鸟类和其他多种动植物提供栖息地 (图 4-14),以及为人们提供休闲娱乐的环境等功能。在经济发展过程中,人们对湿地进行排水和围厔,已经破坏了地球上 $80 \%$ 的湿地资源。湿地的缩小会导致局部气候恶化、地下水位下降、生物多样性降低、迁飞鸟类绝迹等。此外,湿地的环境污染、生物资源的过度利用等，会导致湿地生态系统严重退化。
对策湿地生态恢复工程就是采用工程学和生态学措施相结合的方法,如废水处理、点源和非点源污染控制、土地处理工程,以及动植物物种引进等,使受到干扰的湿地得以恢复。在湿地的周围,还应建立缓冲带,以尽量减少人类的干扰，使湿地依靠自然演替等机制恢复其生态功能。
## 案例厦门笊䉅湖生态恢复
笊筜湖位于厦门岛西部。20 世纪 70 年代，笊筜湖周边各种污水末经处理就排放到湖里,导致水质恶化,鱼虾几近绝迹,湖水散发着臭气,人们路过时都得捂着鼻子。厦门人民期盼笊筜湖生态恢复。1982 年,厦门市政府对沿湖周边企业进行整治，几年内基本解决了重金属等有毒污染物的排放问题，但是湖水水质仍较差。为了解决笊箔湖水体缺氧、自净能力差的问题,20 世纪 90 年代,厦门市采取了引潮入湖、输送新鲜海水、西水东调等措施，湖水水质显著改善。进入 21 世纪,通过清挓湖底沋泥,沿湖修建驳岸、导流堤及环湖林萠步行道等措施,进一步改善了湖水水质,美化了湖区景观。现在的笊筜湖,湖水清撤、鱼游虾戏、白鹭腊飞。
## 矿区废弃地的生态恢复工程
问题随着工业的发展，采矿业对环境造成的日渐严重的破坏,使人们不得不将矿区废弃地的生态恢复工程提到日程上来。因为矿藏开采后往往会造成山体、土壤和植被,乃至整个地区生态系统的破坏。矿区极端恶劣的土地条件,又会阻碍植被的生长。尤其是规模巨大的采矿业，不仅会对土地景观造成巨大的影响（图 4-15 ),还可能产生严重的重金属污染。
对策为加速恢复矿区生态环境,人们采用的措施包括人工制造表土、多层覆盖、特殊隔离、土壤侵蚀控制、植被恢复工程等。其中,关键在于植被恢复,以及植被恢复所必需的土壤微生物群落的重建。由于矿区废弃土地的水分状况很差,土壤极其贫㾦,所以植被很难恢复。因此,恢复矿区生态环境,首先要通过机械方法平整压实土地,人工制造表土;然后,在人造表土上,植树种草。
## 案例赤峰市元宝山矿区生态恢复工程
20 世纪 60 年代以来，该矿区建立了大中小型煤矿 20 余个,共挤占耕地 $5500 \mathrm{hm}^{2}$,并造成了大量排土场、塌陷地和闲置地等类型的废弃地。该地区在生态恢复改造工程中,采取了诸如围栏、排石整地、植树、种草等措施，仅用了 3 年多的时间,就建立了草地 $750 \mathrm{hm}^{2}$,年产优质牧草 $4000 \mathrm{t}$ 以上;还建立了 3 处日加工能力为 $8 \mathrm{t}$ 的呴料工厂及 1 处饲养场，进行肉牛的养殖和粪肥的利用。这种综合开发治理为该地区带来了良好的生态、社会和经济效益。
## 生态工程的发展前景
在肯定生态工程的作用,特别是看到它在恢复、重建受损生态环境方面可发挥重要作用的同时,不要忘记大自然固有的强大的生态恢复力量,更不能误认为只要有了生态工程,就可以走“先污染、破坏,后治理” 的老路。
虽然我国的生态工程取得不少成绩，但还有一些不足之处,如缺乏定量化模型的指导,难以像“精确农业” 那样设计出标准化、易操作的生态工程样板。此外,有些设计缺乏高科技含量,生态系统的调控尚缺乏及时准确的监测技术的支持,缺乏理论性指导等。为了美好的末来,我们仍需要继续努力。
【图 4-15 采矿业对环境造成极大影响
矿区生态恢复工程流程图我国目前面临的生态危机，已经不单纯是环境污染问题,而是与人口激增、环境与资源破坏、能源短缺等问题结合在一起的“并发症”。解决这些问题,不但要重视对生态环境的保护,更要注重与经济、社会效益的结合,需要生态工程发挥作用。
我国党和政府高度重视生态文明建设,在党的十九大报告中，首次把美丽中国作为建设社会主义现代化强国的重要目标,对生态文明建设提出了一系列新思想、新目标、新要求和新部署,为建设美丽中国提供了指导方针和行动指南。中华民族传承古老的天人合一理念，在发展中尊重自然、顺应自然、保护自然。今天，古老的智慧融合了现代科学成就,生态工程的发展和应用,将在建设美丽中国的过程中大有作为。
末来的人民,无论在乡村,还是在城市,都一定能“望得见山，看得见水，记得住乡愁”。
## 课外实践
## 参观庭院生态系统或生态园
如果对农村家庭生活用沼气、蔬菜种植和庭院养殖等进行整体设计,可以构建良好的庭院生态系统。在我国农村,已经有很多这样的庭院生态系统在运行。图中所示为我国北方农村某个庭院生态系统。另外,在城市周边,往往有一些运转良好的生态园。选择一处庭院生态系统或者生态园前去参观。参观过程中,注意观察、分析其中蕴含的生态学原理和经济学原理。参观后,查阅资料,根据当地的实际情况,设计一个庭院生态系统。
## 总结概括，并运用术语表达
生命是什么?这是一个古老又充满哲理的问题。概括、总结从细胞到生态系统多层次生命系统的共同特征,对你认识生命的本质会有帮助。这个活动,需要你综合运用已经学过的内容,甚至需要查找资料获取更多信息，并用准确的术语表达。
1. 生命系统的结构。与一般的非生命系统相比,生命系统的复杂程度更高。生命系统尽管结构复杂,但都是由各个组成部分构成的统一的、有序的整体。
生命系统的结构特征是
2. 生命系统的功能。生命系统不断从外界环境获取物质或能量,形成新的组织结构,也不断排出物质、散失热能,等等。细
胞能形成新细胞,个体能产生新个体。
生命系统的功能特点是
3. 生命系统与环境的关系。任何生命系统都不能孤立地存在,而是与其他生物,包括同种和不同种的生物,紧密联系在一起的，同时又依存于非生物环境。
从生态的视角看，生命系统
4. 生命系统的历史。分析生命系统的由来,追寻生命系统的历史,也是理解生命是什么的关键。
从历史的角度看，生命系统
## 练习与应用
## 一、概念检测
1. 生态工程建设需要因地制宜、多措并举。判断下列相关表述是否正确。
(1) 农村综合发展型生态工程实现了物质和能量的循环利用。
(2) 农村综合发展型生态工程的原理是一样的,各地均可按相同的模式建设。
(3) 在湿地生态恢复工程中，建立缓冲带主要是为了减少人类的干扰。
(4) 在某矿区废弃地进行公园化建设时，需要考虑植被与土壤之间的协调。
2. 2017 年,我国农业部启动了农业绿色发展行动,其中要求提高农作物秸秆的利用率。下列对农作物秸秆处理不当的是
A. 过腹还田
B. 青贮、氨化处理
C. 田间焚烧,留灰做底肥
D. 利用作物秸秆培养蚯蚛
## 二、拓展应用
莱茵河是欧洲大陆的一条大河，流经多个国家,曾是流域内几千万人的饮用水水源，也是鲑鱼等洄游性鱼的洄游河流。第二次世界大战以后,伴随经济的快速发展，过度捕捞、河道的渠化、工业污水的排放、繁忙的内河航运等人类活动导致莱茵河的水质严重恶化,因河道裁弯取直,鱼类洄游受阻等问题日趋严重。
( 1 ) 针对上述问题,列举莱茵河的治理要解决哪些方面的问题。
（2）莱茵河流域管理委员会和沿河国家于 1987 年提出了重塑莱茵河的生态修复计划，查阅资料，了解该计划的设计思路。
（3）查阅最新进展,了解莱茵河的生态现状。
(4) 谈谈莱茵河治理给你的启发。
(5) 你家乡附近的河流是否也出现 20 世纪莱茵河遇到的问题?能否借鉴莱茵河治理的经验和教训?提出你的想法。
## 生物科技进展
## 定量评估我国陆地生态系统的固碳效应
工业革命后,人类排放的二氧化碳等温室气体剧增,已经对全球气候产生了重要影响。研究表明,陆地生态系统吸收、固定二氧化碳 (固碳) 可以有效减缓大气中二氧化碳浓度的升高。摸清我国陆地生态系统的固碳情况,是制定相关产业发展和环境保护对策、提高生态系统固碳能力的基础。不过,定量评估我国陆地生态系统的固碳情况,以及重大生态工程建设所产生的固碳效应却十分困难。
2011 年，我国启动“应对气候变化的碳收支认证及相关问题” 研究,其中包括陆地生态系统固碳方面的研究。来自 35 家研究机构的 350 多名科研人员，在方精云院士和于贵瑞研究员的带领下,开展协同攻关。研究团队通过 5 年的艰苦努力,在我国各类陆地生态系统中调查样方 17000 多个、采集各类植物和土壤样品超过 60 万份,系统分析和查明了我国陆地生态系统的碳储量、变化及其分布,在国内外产生了重要影响。2018 年 4 月 17 日，中国科学院举行该研究的重要成果发布会。以下是该研究取得的部分代表性成果。一是查明我国陆地生态系统在过去几十年一直发挥着重要的固碳作用。例如，20012010 年,我国陆地生态系统年均固碳 2.01 亿吨,相当于抵消了同期我国化石燃料碳排放量的 14.1\%;其中，森林生态系统是固碳主体,贡献了约 $80 \%$ 的固碳量。二是首次在国家尺度上用直接证据证明人类的有效干预能提高陆地生态系统的固碳能力。例如，我国建设重大生态工程（如天然林保护工程、退耕还林工程等）和实施秸秆还田措施，分别贡献了陆地生态系统固碳总量的 $36.8 \%$ 和 $9.9 \%$。本研究还揭示了生物多样性与生态系统生产力和土壤碳储量之间的相关性,证实了增加生物多样性不但能提高生态系统的生产力,而且可以增加土壤的碳储量。
该研究成果不仅为验证和发展相关的生态学基本理论、评估生态系统对末来环境变化的响应提供了基本数据，也为我国应对气候变化的国际谈判提供重要支撑，为建设“美丽中国”助力。
## 前景广阔的沼气工程
沼气是人畜粪便等物质,经过一系列复杂的厌氧发酵过程,产生的富含甲烷气体的燃料。发展沼气不仅可以有效地解决农村的燃料问题,还为饲料、肥料开辟了新的来源,对节省林木和保护林草植被也具有重要的意义。近些年来,我国的沼气工程得到了快速发展。到 2015 年,全国沼气年生产能力达到 $1.58 \times 10^{10} \mathrm{~m}^{3}$,可替代化石能源约 $1.1 \times 10^{7} \mathrm{t}$ 标准煤 ${ }^{11}。$
沼气池结构简图
在 20 世纪 80 年代以前,我国农村普遍存在缺少饲料、燃料、肥料的情况,而获得上述“三料”又依赖有限的作物秸秆、谷壳、麸皮等农副产品和薪柴林等生物质 ${ }^{2}$,这迫使农民不断加大对林灌草地的滥伐滥采,导致了严重的水土流失,对生态环境造成了很大破坏。
从1983年开始,我国政府就把沼气工程列入国民经济的“农村能源” 发展计划。第一期计划实施的结果很好,各试点县在 5 年内人均年增加了相当于 $20 \mathrm{~kg}$ 标准煤的生物质能 ${ }^{3}$,相当于年节约 $100 \mathrm{~kg}$ 的生物质;同时,森林覆盖率平均提高了6个百分点,使生态环境得到了改善。
在实践中,人们不满足于将沼气工程仅仅作为获取能源的手段,还开展了利用沼液和沼渣的试验,结果发现它们在用作再生饲料、肥料、食用菌培养基,以及改善农村卫生、促进畜禽养殖场废弃物的集中处理等方面,具有很好的功效。例如,沼渣处理后可以作为猪、牛的饲料和食用䒩的培养基;沼液则可以通入养鱼池,促进浮游生物的生长,增加鱼的饵料;沼液和沼渣还是优良的作物肥料。同时,沼气生态工程还可以减轻环境污染。
沼气工程充分利用了物质循环再生的原理。由于它在物质、能量多级充分利用和转化方面独特的纽带作用,大大促进了农村以农牧结合为中心的多种经营,已成为我国当今农村生态工程建设中最重要和最基础性的组分。末来我国沼气工程的发展趋势是,伴随新农村建设和城镇化发展,将逐步向村镇集中 (联村) 供气方向发展,即每个村镇 (或联村) 建设一个规模化的沼气站,利用本村镇产生的生活垃圾、人畜粪便和秸秆等废弃物集中生产沼气。沼气通过管网送往各家各户。目前,沼气的价格是 $1.0 \sim 1.2$ 元 $/ \mathrm{m}^{3}$,远远低于天然气的价格,沼气这种“生物天然气”有着广阔的市场前景。
(1): 标准煤是表示物质能量的单位,$1 \mathrm{~kg}$ 标准煤的物质燃烧能够产生 $29300 \mathrm{~kJ}$ 的热量。
(2)：生物质主要是指植物利用太阳光能将二氧化碳和水合成的有机物质。
(3): 生物质中含有的能量。
## 本章小结
理解概念
- 人口增长过快,人类生活方式的改变,使得人类的生态足迹越来越大，已经形成了生态赤字。协调人口增长、生活改善与环境的关系，是人类需要积极应对的问题。- 近些年来,日益严重的全球性生态环境问题引起全人类的关注。全球气候变化、水资源短缺、臭氧层破坏、土地荒漠化、生物多样性丧失和环境污染等环境问题,其危害具有全球性。- 生物多样性是生物进化的结果,既有直接价值,也有维持生态系统稳定性等间接价值,还有尚末明确的潜在价值。但是长期以来由于人类掠夺式的开发和利用、环境污染等原因,生物多样性正在以惊人的速度锐减。对生物多样性可采取就地保护和易地保护等措施。- 正是在全球性生态环境问题日益突出的背景下,人们提出了可持续发展观：在不牺牲末来几代人发展的情况下,满足我们这代人的需要。这一强调经济发展、社会发展和生态发展相互协调的观念已经成为人类的必然选择。- 生态工程遵循整体、协调、循环、自生等基本原理。
## 发展素养
通过本章的学习，应在以下几方面得到发展。
- 尝试从生物与环境相互关系的角度去看自然界,综合、整体地阐明个体与群体、局部与整体、生物与环境之间的复杂联系,分析人类活动对自然生态系统动态平衡的影响，确立环境保护意识及人与自然和谐共生的观念。- 基于对生态工程原理的认识,分析生态工程带来的经济、生态和社会效益,并尝试提出人与环境和谐共处的合理化建议。- 基于对“生态兴则文明兴”“建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计” 的认识,认同实现生态文明建设的宏伟蓝图,需要每个公民积极参与和奉献。
## 复习与提高
## 一、选择题
1.“杂交水稻之父”袁隆平成功培育出高产杂交水稻的关键是在野生水稻中发现了雄性不育植株，这是利用了生物多样性中的
A. 生物种类多样性
B. 生态环境多样性
C. 生态系统多样性
D. 遗传 (基因 ) 多样性
2. 城市生态工程是指用生态工程的方法对城市环境进行综合治理。下列措施,不符合城市生态工程建设基本原理的是
A. 大力推广“环境友好技术”
B. 采用浮床工艺法等手段治理水污染
C. 分区建设工业区、居住区、生态绿地等
D. 用法律手段禁止汽车上路,严禁造纸厂、酒厂生产,以断绝污染的源头
3. 本章章首页所示的云南省红河州哈尼梯田,被盛赞为江河一森林一村寨一梯田四位一体的人与自然高度协调、可持续发展的生态系统,是我国劳动人民创造的农耕文明奇观。在这里,山顶是森林,可以涵养水源;山坡上是层层梯田;半山腰上建有村寨;山脚下有江河。近些年来,哈尼梯田部分地区试行稻一鱼一鸭生态种养模式,将种稻、养鱼、养鸭相结合,取得显著经济效益。
(1) 维持哈尼梯田这一生态系统可持续发展的关键是
A. 层层的梯田
B. 山顶的森林
C. 半山腰的村寨
D. 山脚下的江河
(2) 稻一鱼一鸭生态种养模式能提高经济效益的原因是
A. 当地日照充足
B. 当地土壤条件好
C. 物质分层分级利用
D. 物质和能量循环利用
## 二、非选择题
1. 2020 年 2 月 24 日,全国人民代表大会常务委员会通过了《关于全面禁止非法野生动物交易、革除滥食野生动物陋习、切实保障人民群众生命健康安全的决定 (草案)》。禁止野生动物交易、革除滥食野生动物陋习为什么有利于保障人民群众的生命健康安全?2. 有的科学家说,人类总是如下图所示,依靠科技的进步,使自身更加适应环境。然而,人口也会随之明显增长,并使生态环境进一步遭到破坏,如消耗更多的资源、生物多样性锐减以及产生更多的废弃物和污染物,从而形成一种恶性循环。
有限资源消耗增加,资源耗竭,生态环境恶化
你认同这种观点吗?你认为人口、科技进步和资源与环境之间应当是一种什么样的关系？
3. 下表显示某地哺乳动物和鸟类生存受到威胁的各主要原因及其比例。
| 原因 | 哺乳动物 | 鸟类 |
| :---: | :---: | :---: |
| 偷猎 | $31 \%$ | $20 \%$ |
| 丧失栖息地 | $32 \%$ | $60 \%$ |
| 生物入侵 | $17 \%$ | $12 \%$ |
| 其他原因 | $20 \%$ | $8 \%$ |
(1) 请根据这些数据绘制柱形图,横轴表示每类动物受威胁的原因,纵轴表示数值。
(2) 分析这两类动物生存受到威胁的主要原因是什么。
4. 学完“生物与环境” 模块,你对生物与环境的关系、人与环境的关系有哪些体会和见解?
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# 第五章
化工生产中的
重要非金属元素
- 硫及其化合物
- 氮及其化合物
- 无机非金属材料
非金属元素在化工生产中扮演着重要角色。在众多的化工原料和产品中,都能见到硫和氮等元素的踪迹。这些元素具有怎样的性质?应该如何进行研究和利用呢?
从物质类别和元素价态的视角研究硫和氮等元素及其化合物的性质和用途，可以深化对物质间转化关系的认识。工业上利用这些转化关系,通过控制条件等方法,遵循生态文明思想,可以获得相应的化工产品,实现环境保护与资源利用的和谐统一。
## 硫的晶体
## 第一节
## 硫及其化合物
硫 sulphur
二氧化硫 sulphur dioxide
硫是一种重要的非金属元素，位于元素周期表的第三周期、第 VIA族。硫原子的最外电子层有 6 个电子,在化学反应中容易得到 2 个电子,形成 -2 价硫的化合物。与同主族的氧元素相比,硫元素的原子多一个电子层,得电子能力相对较弱,而失电子能力则相对较强。这也是我们在富含氧气的地表附近找到的含硫化合物中，硫常常为 +4 价或 +6 价，而氧为 -2 价的原因。
## 一、硫和二氧化硫
图 5-1 硫粉
## 数据
$$
\begin{gathered}
\text { 硫 }^{11} \\
\text { 熔点: } 113{ }^{\circ} \mathrm{C} \\
\text { 沸点: } 445{ }^{\circ} \mathrm{C} \\
\text { 密度: } 2.06 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}
\end{gathered}
$$
## 1. 硫
硫（俗称硫黄 ）是一种黄色晶体，质脆，易研成粉末。硫难溶于水，微溶于酒精,易溶于二硫化碳。
硫的化学性质比较活泼,能与许多金属单质及非金属单质发生化学反应。
$$
\begin{aligned}
& \mathrm{S}+\mathrm{Fe} \stackrel{\Delta}{=} \mathrm{FeS} \\
& \mathrm{S}+2 \mathrm{Cu} \stackrel{\triangle}{=} \mathrm{Cu}_{2} \mathrm{~S} \\
& \text { 硫化亚铜 } \\
& \mathrm{S}+\mathrm{H}_{2} \stackrel{\triangle}{=} \mathrm{H}_{2} \mathrm{~S} \\
& \text { 硫化氢 } \\
& \mathrm{S}+\mathrm{O}_{2} \stackrel{\text { 点燃 }}{=} \mathrm{SO}_{2}
\end{aligned}
$$\$\$
\text { 2. 一氧化硫 }
\$\$
二氧化硫是一种无色、有刺激性气味的有毒气体,
(1) 硫有多种同素异形体,这里为正交硫的数据。密度比空气的大,易溶于水。在通常情况下,1 体积的水可以溶解约 40 体积的二氧化硫。
## D【实验5-1】
如图 5-2 所示,把充满 $\mathrm{SO}_{2}$、塞有橡胶塞的试管倒立在水中，在水面下打开橡胶塞,观察试管内液面的上升待液面高度不再明显变化时,在水下用橡胶塞塞紧试管口,取出试管,用 $\mathrm{pH}$ 试纸测定试管中溶液的酸碱度 (保留该溶液供实验 5-2使用)。
二氧化硫是一种酸性氧化物,溶于水时可与水反应生成亚硫酸 $\left(\mathrm{H}_{2} \mathrm{SO}_{3}\right)$,亚硫酸不稳定,同时又容易分解，生成二氧化硫和水。化学上通常把向生成物方向进行的反应叫做正反应,向反应物方向进行的反应叫做逆反应。像这种在同一条件下,既能向正反应方向进行,同时又能向逆反应方向进行的反应,叫做可逆反应。二氧化硫与水的反应就可以表示为:
## $\mathrm{SO}_{2}+\mathrm{H}_{2} \mathrm{O} \rightleftharpoons \mathrm{H}_{2} \mathrm{SO}_{3}$
二氧化硫在适当的温度并有催化剂存在的条件下,可以被氧气氧化,生成三氧化硫。三氧化硫也是一种酸性氧化物，溶于水时与水发生剧烈反应，生成硫酸。
图 5-2 二氧化硫溶于水
$$
\begin{aligned}
& 2 \mathrm{SO}_{2}+\mathrm{O}_{2} \stackrel{\text { 催化剂 }}{\triangle} 2 \mathrm{SO}_{3} \\
& \mathrm{SO}_{3}+\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}=\mathrm{H}_{2} \mathrm{SO}_{4}
\end{aligned}
$$
二氧化硫还能与硫化氢反应，生成硫和水。
$\mathrm{SO}_{2}+2 \mathrm{H}_{2} \mathrm{~S}=3 \mathrm{~S}+2 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}$
从以上反应可以看出,二氧化硫既具有氧化性又具有还原性。
可逆反应 reversible reaction 硫酸 sulphuric acid
图 5-3 二氧化硫的漂白作用
## 【实验5-2】
用试管取 $2 \mathrm{~mL}$ 在实验 5-1 中得到的溶液，向其中滴入 1 2 滴品红溶液，振荡，观察溶液的颜色变化。然后加热试管，注意通风，再观察溶液的变化
二氧化硫具有漂白作用,工业上常用二氧化硫来漂白纸浆、毛、丝等。二氧化硫的漂白作用是由于它能与某些有色物质生成不稳定的无色物质。这些无色物质容易分解而使有色物质恢复原来的颜色。此外，二氧化硫可用于杀菌消毒，还是一种食品添加剂。
## 资料卡片
## 食品中的二氧化硫
食品中添加适量的二氧化硫可以起到漂白、防腐和抗氧化等作用。例如，在葡萄酒酿制过程中，葡萄汁中某些细菌的繁殖会影响发酵，添加适量的二氧化硫可以起到杀菌的作用。二氧化硫又是一种抗氧化剂，能防止莆萄酒中的一些成分被氧化，起到保质作用，并有助于保持葡萄酒的天然果香味。尽管二氧化硫在蜜饯、干果、食糖、果酒等食品的加工中起着重要作用,但如果使用不当就有可能造成食品中二氧化硫的残留量超标,从而对人体健康造成不利影响。为保证消费者健康，我国在食品添加剂使用标准中规定了二氧化硫在食品中的使用范围和最大使用量,如二氧化硫用于葡蒛酒的最大使用量为 $0.25 \mathrm{~g} / \mathrm{L}$。
## 二、硫酸
硫酸是重要的化工原料,可用于生产化肥、农药、炸药、染料和盐类等。工业上一般以硫黄或其他含硫矿物 (如黄铁矿) 为原料来制备硫酸。金属冶炼时产生的含二氧化硫废气经回收后也可用于制备硫酸。
图 5-4 工业制硫酸的原理示意图硫酸在水里很容易电离出氢离子,具有酸性。浓硫酸还具有很强的吸水性和脱水性等特殊的性质。它能吸收存在于周围环境中的水分,也能将蔗糖、纸张、棉布和木材等有机物中的氢和氧按水的组成比脱去。
图 5-5 浓硫酸与蔗糖反应
浓硫酸还具有很强的氧化性,能氧化大多数金属单质和部分非金属单质。
## 【实验5-3】
在带导管的橡胶塞侧面挖一个凹槽，并嵌入下端卷成螺旋状的铜丝。在试管中加入 $2 \mathrm{~mL}$ 浓硫酸,塞好橡胶塞,使铬丝与浓硫酸接触。加热,将产生的气体通入品红溶液,观察实验现象。向外拉铜丝，终止反应。冷却后,将试管里的物质慢慢倒入盛有少量水的另一支试管里,观察溶液的颜色。
图 5-6 浓硫酸与铜反应
在加热的条件下,浓硫酸与铜反应,生成硫酸铜、二氧化硫和水。
$$
2 \mathrm{H}_{2} \mathrm{SO}_{4} \text { (浓) }+\mathrm{Cu} \stackrel{\triangle}{=} \mathrm{CuSO}_{4}+\mathrm{SO}_{2} \uparrow+2 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}
$$
在这个反应里,浓硫酸氧化了铜,自身被还原成二氧化硫。浓硫酸是氧化剂，铜是还原剂。
## 注意
浓硫酸具有很强的腐蚀性,在实验中应注意安全防护！在加热时，浓硫酸也能与木炭发生反应，生成二氧化碳、二氧化硫和水。
## 思考与讨论
（1）硫酸具有酸的哪些共同的性质?请举例写出相关反应的离子方程式。
（2）实验室用金属与酸反应制取氢气时，往往用稀硫酸，而不用浓硫酸，这是为什么?
## 资料卡片
## 硫酸盐
硫酸铂自然界中的硫酸䥻常以石膏 $\left(\mathrm{CaSO}_{4} \cdot 2 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}\right)$ 的形式存在。石膏被加热到 $150{ }^{\circ} \mathrm{C}$ 时，会失去所含大部分结晶水而变成熟石膏 $\left(2 \mathrm{CaSO}_{4} \cdot \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}\right)$。熟石膏与水混合成糊状物后会很快凝固，重新变成石膏。利用这种性质，石膏可被用来制作各种模型和医疗用的石膏绷带。在工业上，石膏还被用来调节水泥的硬化速率。
硫酸钡自然界中的硫酸钡以重晶石 ( $\left.\mathrm{BaSO}_{4}\right)$ 的形式存在。重晶石是生产其他钡盐的原料。硫酸钡不溶于水和酸，且不容易被 X射线透过，因此在医疗上可被用作消化系统 X射线检查的内服药剂,俗称“钡餐”。
硫酸铜硫酸铜 $\left(\mathrm{CuSO}_{4}\right)$ 是白色的粉末，结合水后会变成蓝色晶体，俗称胆矾 $\left(\mathrm{CuSO}_{4} \cdot 5 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}\right)$。硫酸铜的这一性质可以用来检验酒精中是否含少量水。胆矾可以和石灰乳混合制成一种常用的农药一波尔多液。
## 三、硫酸根离子的检验
## 【实验5-4】
在三支试管中分别加入少量稀硫酸、$\mathrm{Na}_{2} \mathrm{SO}_{4}$ 溶液和 $\mathrm{Na}_{2} \mathrm{CO}_{3}$ 溶液，然后各滴入几滴 $\mathrm{BaCl}_{2}$ 溶液，观察现象。
## 注意
$\mathrm{BaCl}_{2}、\mathrm{Ba}(\mathrm{OH})_{2}$ 等可溶性钡的化合物和 $\mathrm{BaCO}_{3}$ 有毒！使用时须做好个人防护，相关废弃物应进行无害化处理。再分别加入少量稀盐酸，振荡，观察现象。从这个实验中你能得出什么结论?写出相关反应的离子方程式
在溶液中，$\mathrm{SO}_{4}^{2-}$ 可与 $\mathrm{Ba}^{2+}$ 反应，生成不溶于稀盐酸的白色 $\mathrm{BaSO}_{4}$ 沉淀。
$$
\mathrm{Ba}^{2+}+\mathrm{SO}_{4}^{2-}=\mathrm{BaSO}_{4} \downarrow
$$
溶液中的 $\mathrm{CO}_{3}^{2-}$ 也能与 $\mathrm{Ba}^{2+}$ 反应生成白色沉淀，但 $\mathrm{BaCO}_{3}$ 沉淀可以与稀盐酸反应，放出 $\mathrm{CO}_{2}$。因此在实验室里,通常将溶液先用稀盐酸酸化,以排除 $\mathrm{CO}_{3}^{2-}$ 等可能造成的干扰，然后加人 $\mathrm{BaCl}_{2}$ 溶液来检验 $\mathrm{SO}_{4}^{2-}$ 的存在。
## 思考与讨论
( 1 ）经溶解、过滤和蒸发操作得到的粗盐中还含有一些可溶性硫酸盐及 $\mathrm{MgCl}_{2}$、$\mathrm{CaCl}_{2}$ 等杂质。如果按照下表所示顺序除去它们，应加入什么试剂?写出相关反应的离子方程式（可以参考附录 II ）。
| 杂质 | 加入的试剂 | 离子方程式 |
| :---: | :---: | :---: |
| 硫酸盐 | | |
| $\mathrm{MgCl}_{2}$ | | |
| $\mathrm{CaCl}_{2}$ | | |
(2) 加入你选择的试剂除去杂质后,有没有引入其他离子?用什么方法可以除去这些离子?
(3) 设计除去杂质的实验方案时,除了要考虑所加试剂的种类，还要考虑哪些问题?
## 四、不同价态含硫物质的转化
## 资料卡片
## 自然界中硫的存在和转化
硫元素广泛存在于自然界中,是植物生长不可缺少的元素，组成生命体的蛋白质中就含有硫。游离态的硫存在于火山口附近或地壳的岩层中。在岩层深处和海底的无氧环境下,硫元素与铁、铜等金属元素形成的化合物通常以硫化物的形式存在,如黄铁矿 $\left(\mathrm{FeS}_{2}\right)$、黄铜矿 $\left(\mathrm{CuFeS}_{2}\right)$ 等。在地表附近,由于受氧气和水的长期作用,硫化物会转化为硫酸盐,如石䯧 $\left(\mathrm{CaSO}_{4} \cdot 2 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}\right)$、芒硝 $\left(\mathrm{Na}_{2} \mathrm{SO}_{4} \cdot 10 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}\right)$ 等。火山口附近的硫单质会被大气中的氧气氧化成二氧化硫，二氧化硫可被进一步氧化生成三氧化硫，二氧化硫和三氧化硫遇水分别形成亚硫酸和硫酸。
图 5-7 自然界中硫元素的存在示意图
## 提示
常用的氧化剂有浓硫酸、$\mathrm{Cl}_{2}、\mathrm{KMnO}_{4}$ 等，还原剂有金属单质、$\mathrm{H}_{2}、\mathrm{Na}_{2} \mathrm{~S}$ 等。从图 5-7可以看出，自然界中的含硫物质在一定条件下能够相互转化。这种转化在人工条件下也能发生,硫酸的工业生产就是人类通过控制化学反应条件而实现的含硫物质的相互转化。那么,在实验室里如何实现不同价态含硫物质的相互转化呢?
## 探究
不同价态含硫物质的转化
(1) 下图是人们总结的不同价态硫元素的转化关系，请尽可能多地列举每种价态的硫元素所对应的物质,并根据硫元素化合价的变化,分析各种物质在氧化还原反应中表现氧化性还是还原性。
(2)从上述转化关系中选择你感兴趣的一种或几种，设计实验实现其转化，并填写下表。
| $\begin{array}{c}\text { 转化目标 } \\ \text { (价态变化) }\end{array}$ | $\begin{array}{c}\text { 转化前的 } \\ \text { 含硫物质 }\end{array}$ | $\begin{array}{c}\text { 选择试剂 } \\ \text { (氧化剂或还原剂) })\end{array}$ | $\begin{array}{c}\text { 转化后的 } \\ \text { 含硫物质 }\end{array}$ | $\begin{array}{c}\text { 预期 } \\ \text { 现象 }\end{array}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $-2 \rightarrow 0$ | | | | |
| $\cdots \cdots$ | | | | |
| | | | | |
（3）综合考虑实验安全和环境保护,选择一种实验方案进行实验。实验过程中及时观察和记录实验现象，并对其进行分析，通过推理得出结论，就你的结论和发现的问题与同学交流。
硫元素常见的化合价有 $-2、0、+4$ 和 +6,可以通过氧化还原反应实现不同价态含硫物质的相互转化。利用氧化剂,可将硫元素从低价态转化到高价态；利用还原剂，可将硫元素从高价态转化到低价态。
## (方法导引
## 化学实验设计
化学实验设计是指实验者在实施化学实验之前,根据一定的实验目的，运用化学知识与技能，按照一定的实验方法,对实验的原理、试剂、仪器与装置、步骤和方法等所进行的规划。例如，设计“不同价态含硫物质的转化” 实验,当确定了要实现的转化关系后，需要明确转化前后的含硫物质是哪些,通过怎样的反应 (氧化/还原) 实现转化，用到的氧化剂或还原剂是什么，等等。
进行化学实验设计时,应遵循科学性、可行性、安全性和绿色化原则。化学实验设计一般以实验设计方案的形式呈现，通常包括实验课题、实验目的、实验原理、实验仪器与试剂、实验步骤及注意事项、实验数据及处理、实验结论与讨论等。
## 化学与职业
## 化工工程师
化工工程师是解决人类在生产、生活等领域面临的化工相关问题的专业技术人才,工作在石油炼制、化肥生产、医药开发和环境治理等领域。其主要工作是依据科学原理,统筹各方面的资源,设计化工生产的工艺流程,并监控生产过程,及时解决生产中遇到的技术问题。
化工工程师需要具有高度的社会责任感、团队精神、全局观念、风险管控意识和创新能力,并具备化学、化工、安全、经济、环
图 5-8 化工工程师通过观察仪表参数监控化工生产过程境等方面的专业知识。
## 练习与应用
1. 下列物质中的硫元素不能表现出氧化性的是（）。A. $\mathrm{Na}_{2} \mathrm{~S}$
B. $\mathrm{S}$
C. $\mathrm{SO}_{2}$
D. $\mathrm{H}_{2} \mathrm{SO}_{4}$
2. 下列关于 $\mathrm{SO}_{2}$ 的叙述正确的是 ( )。A. $\mathrm{SO}_{2}$ 是无色、无臭、有毒的气体
B. $\mathrm{SO}_{2}$ 与 $\mathrm{NaOH}$ 溶液反应生成 $\mathrm{Na}_{2} \mathrm{SO}_{4}$
C. $\mathrm{SO}_{2}$ 能使紫色的 $\mathrm{KMnO}_{4}$ 溶液褪色
D. $\mathrm{SO}_{2}$ 有毒，不能用作食品添加剂
3. 下列事实与括号中浓硫酸的性质对应关系正确的是（）。A. 空气中敞口久置的浓硫酸质量增大 ( 挥发性)
B. 浓硫酸在加热条件下与铜反应 (脱水性)
C. 用浓硫酸在纸上书写的字迹变黑 ( 氧化性 )
D. 浓硫酸可用来干燥某些气体（吸水性 )
4. 在实验室中,几位同学围绕浓硫酸的化学性质进行了如下实验探究: 将适量的蔗糖放人烧杯中,加人几滴水,搅拌均匀;然后再加人适量浓硫酸,迅速搅拌,观察到蔗糖逐渐变黑,体积膨胀,并产生有刺激性气味的气体。
(1) 生成的黑色物质是 ( 填化学式 )。
( 2 ) 有刺激性气味的气体的主要成分是 ( 填化学式 ),写出产生该气体的反应的化学方程式:
（3）上述实验现象表明浓硫酸具有 ( 填字母 )。a. 酸性
b. 吸水性
c. 脱水性
d. 强氧化性
5. 如何证明酸雨中含有硫酸?请简述相关的实验操作步骤。6. 现有两支分别盛有相同体积浓硫酸和稀硫酸的试管，请用简单的方法区别它们。7. 某工厂使用的煤中硫的质量分数为 $0.64 \%$,该工厂每天燃烧这种煤 $100 \mathrm{t}$,试计算:
( 1 ) 如果煤中的硫全部转化为 $\mathrm{SO}_{2}$,该厂每天产生 $\mathrm{SO}_{2}$ 的质量及这些 $\mathrm{SO}_{2}$ 在标准状况下的体积;
( 2 ) 如果把产生的 $\mathrm{SO}_{2}$ 全部用来生产硫酸,理论上每年 ( 按 365 天计) 可得到 $98 \%$ 的浓硫酸的质量。
8. 请分析下图,并上网查阅相关资料,简述硫在自然界的循环过程,思考人类活动对硫的循环有什么影响。
硫元素在自然界的循环
## 第二节
氮及其化合物
氮元素位于元素周期表的第二周期、第VA族。氮原子的最外电子层有 5 个电子,既不容易得到 3 个电子,也不容易失去 5 个电子。因此,氮原子一般通过共用电子对与其他原子相互结合构成物质。在自然界里,氮元素主要以氮分子的形式存在于空气中,部分氮元素存在于动植物体内的蛋白质中,还有部分氮元素存在于土壤、海洋里的硝酸盐和铵盐中。氮是自然界各种生物体生命活动不可缺少的重要元素,自然界是怎样通过氮的循环为生物体提供氮元素的呢?氮气 nitrogen
固氮 nitrogen fixation
## 一、氮气与氮的固定
由于氮分子内两个氮原子间以共价三键 $(\mathrm{N} \equiv \mathrm{N})$ 结合,断开该化学键需要较多的能量,所以氮气的化学性质很稳定,通常情况下难以与其他物质发生化学反应,无法被大多数生物体直接吸收。但在高温、放电等条件下,氮分子获得了足够的能量,使 $\mathrm{N} \equiv \mathrm{N}$ 断裂,氮气能够与镁、氧气、氢气等物质发生化合反应,分别生成氮化镁、一氧化氮和氨气等。
$$
\begin{aligned}
& \mathrm{N}_{2}+3 \mathrm{Mg} \stackrel{\text { 点燃 }}{=} \mathrm{Mg}_{3} \mathrm{~N}_{2} \\
& \mathrm{~N}_{2}+\mathrm{O}_{2} \stackrel{\text { 放电或高温 }}{=} 2 \mathrm{NO} \\
& \mathrm{N}_{2}+3 \mathrm{H}_{2} \stackrel{\text { 高温、高压 }}{\underset{\text { 催化剂 }}{2}} 2 \mathrm{NH}_{3}
\end{aligned}
$$
将大气中游离态的氮转化为氮的化合物的过程叫做氮的固定。大自然通过闪电释放的能量将空气中的氮气转化为含氮的化合物,或者通过豆科植物的根瘤䒩将氮气转化
数据
氮气
熔点: $-210^{\circ} \mathrm{C}$
沸点: $-196^{\circ} \mathrm{C}$
密度: $1.25 \mathrm{~g} / \mathrm{L}$ 成氨，从而实现自然固氮。
人类则通过控制条件,将氮气氧化或还原为氮的化合物,实现人工固氮。最重要的人工固氮途径就是工业合成氨,它不仅为农作物的生长提供了必需的氮元素,而且为其他化工产品（如炸药、农药、染料等）的生产提供了重要的原料。
图 5-9 自然界中氮的循环
## 科学史话
合成氨
由于氮气的化学性质很不活泼,以氮气和氢气为原料合成氨的工业化生产曾是一个较难的课题。1909年,德国化学家哈伯 (F. Haber，1868-1934) 经过反复实验研究后发现，在 500 600 °C、17.5 MPa 20.0 MPa 和锇为催化剂的条件下，反应后氨的含量可超过 $6 \%$，具备了工业化生产的可能性。为了把哈伯合成氨的实验室方法转化为规模化的工业生产，德国工程师博施（C. Bosch,1874-1940 ) 作出了重要贡献。1913 年，一个年产量 $7000 \mathrm{t}$ 的合成氨工厂建成并投产,合成氨的工业化生产终于实现。从此,合成氨成为化学工业中迅速发展的重要领域。由于合成氨工业生产的实现和相关研究对化学理论与技术发展的推动,哈伯和博施都获得了诺贝尔化学奖。
合成氨是人类科学技术发展史上的一项重大成就,在很大程度上解决了地球上因粮食不足而导致的饥饿问题,是化学和技术对社会发展与进步的巨大贡献。
## 二、一氧化氮和二氧化氮
一氧化氮和二氧化氮是氮的两种重要氧化物。
一氧化氮是无色的有毒气体,不溶于水,在常温下很容易与氧气化合，生成二氧化氮。
$2 \mathrm{NO}+\mathrm{O}_{2}=2 \mathrm{NO}_{2}$
二氧化氮是红棕色、有刺激性气味的有毒气体,密度比空气的大,易液化,易溶于水。二氧化氮溶于水时生成硝酸和一氧化氮，工业上利用这一原理生产硝酸。
$$
3 \mathrm{NO}_{2}+\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}=2 \mathrm{HNO}_{3}+\mathrm{NO}
$$
## 【实验5-5】
如图 5-10所示,在一支 $50 \mathrm{~mL}$ 的注射器里充入 $20 \mathrm{~mL} \mathrm{NO}$,然后吸入 $5 \mathrm{~mL}$ 水，用乳胶管和弹簧夹封住管口,振荡注射器,观察现象。打开弹簧夹,快速吸入 $10 \mathrm{~mL}$ 空气后夹上弹簧夹,观察现象。振荡注射器,再观察现象
图 5-10 二氧化氮溶于水的实验
## 三、氨和铵盐
氨是无色、有刺激性气味的气体,密度比空气的小。氨很容易液化,液化时放热。液氨汽化时要吸收大量的热,使周围温度急剧降低。因此，液氨可用作制冷剂。
【实验5-6】
如图 5-11 所示,在千燥的圆底烧瓶里充满 $\mathrm{NH}_{3}$,用带有玻璃管和胶头滴管 (预先吸入水) 的橡胶塞塞紧瓶口。倒置烧瓶,使玻璃管揷入盛有水的烧杯中（预先在水里滴入少量酚唒溶液)。打开弹簧夹，挤压胶头滴管，使水进入烧瓶。观察并描述现象，分析出现这些现象的可能原因。
图 5-11 氨溶于水的喷泉实验氨是一种极易溶于水的气体,在常温常压下,1 体积水大约可溶解 700 体积氨。氨溶于水时,会与水结合成一水合氨 $\left(\mathrm{NH}_{3} \cdot \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}\right)$,一水合氨中有一小部分电离形成 $\mathrm{NH}_{4}^{+}$和 $\mathrm{OH}^{-}$。
$$
\mathrm{NH}_{3}+\mathrm{H}_{2} \mathrm{O} \rightleftharpoons \mathrm{NH}_{3} \cdot \mathrm{H}_{2} \mathrm{O} \rightleftharpoons \mathrm{NH}_{4}^{+}+\mathrm{OH}^{-}
$$
图 5-12 氨与氯化氢反应
氨 ammonia
硝酸 nitric acid 氨的水溶液 ( 俗称氨水) 显弱碱性，能使酚唒溶液变红或使红色石蕊试纸变蓝。
氨可以与酸反应生成铵盐。如氨遇到氯化氢时，会迅速反应生成氯化铵晶体。
$$
\mathrm{NH}_{3}+\mathrm{HCl}=\mathrm{NH}_{4} \mathrm{Cl}
$$
氨中氮元素的化合价为 -3 价。氨具有还原性，在加热和有催化剂（如铂）的条件下，能被氧气氧化生成一氧化氮和水。氨的催化氧化是工业制硝酸的基础。
$$
4 \mathrm{NH}_{3}+5 \mathrm{O}_{2} \stackrel{\text { 催化剂 }}{\triangle} 4 \mathrm{NO}+6 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}
$$
铵盐是农业上常用的化肥，如硫酸铵、碳酸氢铵、硝酸铵等。绝大多数铵盐易溶于水,受热易分解,与碱反应会放出氨。
$$
\begin{aligned}
& \mathrm{NH}_{4} \mathrm{Cl} \stackrel{\Delta}{=} \mathrm{NH}_{3} \uparrow+\mathrm{HCl} \uparrow \\
& \mathrm{NH}_{4} \mathrm{HCO}_{3} \triangleq \\
& 2 \mathrm{NH}_{3} \uparrow+\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}+\mathrm{CO}_{2} \uparrow \\
& 2 \mathrm{NH}_{4} \mathrm{Cl}+\mathrm{Ca}(\mathrm{OH})_{2} \stackrel{\Delta}{=} \mathrm{CaCl}_{2}+2 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}+2 \mathrm{NH}_{3} \uparrow
\end{aligned}
$$
## 【实验5-7】
向盛有少量 $\mathrm{NH}_{4} \mathrm{Cl}$ 溶液、$\mathrm{NH}_{4} \mathrm{NO}_{3}$ 溶液和 $\left(\mathrm{NH}_{4}\right)_{2} \mathrm{SO}_{4}$ 溶液的三支试管中分别加入 $\mathrm{NaOH}$ 溶液并加热 (注意通风 ),用镊子夹住一片湿润的红色石蕊试纸放在试管口。观察现象,分析现象产生的原因,写出反应的离子方程式
在实验室中，常利用铵盐与强碱反应产生氨这一性质来检验铵根离子的存在和制取氨。
$$
\mathrm{NH}_{4}^{+}+\mathrm{OH}^{-} \stackrel{\triangle}{=} \mathrm{NH}_{3} \uparrow+\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}
$$
## 思考与讨论
图 5-13 为实验室制取氨的简易装置示意图。请仔细观察实验装置，思考如何检验试管中已收集满氨,如何吸收处理实验中多余的氨。
图 5-13 实验室制取氨的简易装置示意图
## 四、硝酸
硝酸是无色、易挥发、有刺激性气味的液体。浓硝酸见光或者受热会分解产生二氧化氮,所以一般将其保存在棕色试剂瓶中，并放置在阴凉处。
$$
4 \mathrm{HNO}_{3} \underset{\text { 或光照 }}{\triangle} 4 \mathrm{NO}_{2} \uparrow+\mathrm{O}_{2} \uparrow+2 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}
$$
硝酸具有很强的氧化性,硝酸的浓度不同,与金属反应的产物也不同。
## 实验5-8
如图 5-14 所示，在橡胶塞侧面挖一个凹槽，并嵌入下端卷成螺旋状的铜丝。向两支具支试管中分别加入 $2 \mathrm{~mL}$ 浓硝酸和稀硝酸,用橡胶塞塞住试管口,使铜丝与硝酸接触,观察并比较实验现象。向上拉铜丝，终止反应。
浓硝酸、稀硝酸与铜反应的化学方程式分别为:
$4 \mathrm{HNO}_{3}($ 浓 $)+\mathrm{Cu}=\mathrm{Cu}\left(\mathrm{NO}_{3}\right)_{2}+2 \mathrm{NO}_{2} \uparrow+2 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}$
$8 \mathrm{HNO}_{3}($ 稀 $)+3 \mathrm{Cu}=3 \mathrm{Cu}\left(\mathrm{NO}_{3}\right)_{2}+2 \mathrm{NO} \uparrow+4 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}$
值得注意的是,有些金属如铁、铝等虽然能与稀硝酸或稀硫酸反应,但在常温下却可以用铁或铝制容器来盛装浓硝酸或浓硫酸。这是因为常温下,铁、铝的表面被浓硝酸或浓硫酸氧化,生成了一层致密的氧化物薄膜,这层薄
## 注意
硝酸具有腐蚀性和挥发性,使用时须注意防护和通风!
图 5-14 硝酸与铜反应
## 资料卡片
王水
浓硝酸和浓盐酸的混合物 （体积比为 $1: 3$ ) 叫做王水,能使一些不溶于硝酸的金属如金、铂等溶解。膜阻止了酸与内层金属的进一步反应。当加热时，铁、铝会与浓硝酸或浓硫酸发生反应。
## 思考与讨论
硝酸是重要的化工原料,用于制化肥、农药、炸药、染料等。工业上制硝酸的原理是将氨经过一系列反应得到硝酸，如下图所示:
(1) 写出每一步反应的化学方程式。
（2）请分析上述反应中的物质类别和氮元素化合价的变化情况，以及每一步反应中含氮物质发生的是氧化反应还是还原反应。
## 五、酸雨及防治
图 5-15 酸雨的形成示意图
煤、石油和某些金属矿物中含有硫,在燃烧或冶炼时往往会生成二氧化硫。在机动车发动机中,燃料燃烧产生的高温条件会使空气中的氮气与氧气反应,生成氮氧化物。它们会引起呼吸道疾病,危害人体健康,严重时会使人死亡。
二氧化硫、氮氧化物以及它们在大气中发生反应后的生成物溶于雨水会形成酸雨。正常雨水由于溶解了二氧化碳，其 $\mathrm{pH}$ 约为 5.6,而酸雨的 $\mathrm{pH}$ 小于 5.6。
酸雨有很大的危害,能直接损伤农作物,破坏森林和草原，使土壤、湖泊酸化,还会加速建筑物、桥梁、工业设备、运输工具和电缆的腐蚀。
二氧化硫和二氧化氮都是有用的化工原料,但当它们分散在大气中时,就成了难以处理的污染物。因此,工业废气排放到大气中之前,必须进行适当处理,防止有害物质污染大气，并充分利用原料。
图 5-16 酸雨会破坏森林
## 研究与实践
## 测定雨水的 $\mathrm{pH}$
## 【研究目的 】
酸雨对环境危害巨大，人们已经采取多种措施来防治酸雨。通过以下活动了解测定雨水 $\mathrm{pH}$ 的方法，认识酸雨的危害，激发保护环境的紧迫感。
## 【研究任务 】
(1) 收集资料
以“酸雨” 为关键词进行搜索，了解酸雨的形成原因、基本类型、相关危害及预防和治理措施。
图 5-17 用 $\mathrm{pH}$ 计测量水样的酸度
( 2 ）测定雨水的 $\mathrm{pH}$
根据收集的资料，确定测定雨水 $\mathrm{pH}$ 的过程和方法并进行实践，对结果进行分析和讨论。可参考如下过程：
(1)下雨时用容器直接收集一些雨水作为样品,静置,以蒸馏水或自来水作为参照,观察并比较它们的外观;
(2)用 $\mathrm{pH}$ 试纸（或 $\mathrm{pH}$ 计）测量雨水和蒸馏水的酸度并记录;
(3)有条件的话，可连续取样并测定一段时间（如一周）内本地雨水、地表水或自来水的 $\mathrm{pH}$,将得到的数据列表或作图,确定你所在地区本时间段内雨水等的平均酸度。
## 【结果与讨论 】
(1) 通过你测得的数据判断本次降雨是否为酸雨。若是酸雨,请分析形成酸雨可能的原因，并提出减轻酸雨危害的建议。
（2）本次实践活动及结果对你有什么启发?请撰写研究报告,并与同学讨论。
## 练习与应用
1. 下列关于 $\mathrm{N}_{2}$ 的叙述错误的是 ( )。A. $\mathrm{N}_{2}$ 既可作氧化剂又可作还原剂
B. 在雷雨天，空气中的 $\mathrm{N}_{2}$ 与 $\mathrm{O}_{2}$ 可反应生成 $\mathrm{NO}$
C. 氮的固定是将 $\mathrm{N}_{2}$ 转化成含氮的化合物
D. $1 \mathrm{~mol} \mathrm{~N}_{2}$ 可与 $3 \mathrm{~mol} \mathrm{H}_{2}$ 完全反应生成 $2 \mathrm{~mol} \mathrm{NH}_{3}$
2. 在 $\mathrm{NO}_{2}$ 与水的反应中,$(\quad)$。A. 氮元素的化合价不发生变化
B. $\mathrm{NO}_{2}$ 只是氧化剂
C. $\mathrm{NO}_{2}$ 只是还原剂
D. $\mathrm{NO}_{2}$ 既是氧化剂，又是还原剂
3. 只用一种试剂，将 $\mathrm{NH}_{4} \mathrm{Cl}、\left(\mathrm{NH}_{4}\right)_{2} \mathrm{SO}_{4}、\mathrm{Na}_{2} \mathrm{SO}_{4}、\mathrm{NaCl} 4$ 种物质的溶液区分开，这种试剂是 $(\quad)$。A. $\mathrm{NaOH}$ 溶液
B. $\mathrm{AgNO}_{3}$ 溶液
C. $\mathrm{BaCl}_{2}$ 溶液
D. $\mathrm{Ba}(\mathrm{OH})_{2}$ 溶液
4. 根据图 5-11“氨溶于水的喷泉实验” 装置图，以下说法不正确的是（）。A. 该实验证明氨气极易溶于水
B. 烧瓶充满氯气,胶头滴管和烧杯中加人浓碱液也可能形成喷泉
C. 红色喷泉说明氨水显碱性
D. 烧杯中换成其他液体无法形成喷泉
5. 工业上可以废铜屑为原料制备硝酸铜，下列4种方法中，适宜采用的是哪一种?请从节约原料和环境保护的角度说明原因。(1) $\mathrm{Cu}+\mathrm{HNO}_{3}$ (浓) $\longrightarrow \mathrm{Cu}\left(\mathrm{NO}_{3}\right)_{2}$
(2) $\mathrm{Cu}+\mathrm{HNO}_{3}($ 稀 $) \longrightarrow \mathrm{Cu}\left(\mathrm{NO}_{3}\right)_{2}$
(3) $\mathrm{Cu} \stackrel{\text { 空气 }}{\triangle} \mathrm{CuO} \stackrel{\mathrm{HNO}_{3}}{\longrightarrow} \mathrm{Cu}\left(\mathrm{NO}_{3}\right)_{2}$
(4) $\mathrm{Cu} \stackrel{\text { 浓硫酸 }}{\triangle} \mathrm{CuSO}_{4} \stackrel{\mathrm{Ba}\left(\mathrm{NO}_{3}\right)_{2}}{\longrightarrow} \mathrm{Cu}\left(\mathrm{NO}_{3}\right)_{2}$
6. 利用图 5-14 所示装置进行铜与硝酸反应的实验。
（1）硝酸一般盛放在棕色试剂瓶中，请用化学方程式说明其原因:
（2）使用稀硝酸进行实验：反应开始后，铜丝逐渐变细，有气泡产生，溶液变蓝。
(1) 铜与稀硝酸反应的离子方程式为
(2) 实验中观察到试管中的气体略有红棕色，其原因是 ( 用化学方程式表示 )。
（3）使用浓硝酸进行实验：反应剧烈进行，铜丝逐渐变细，溶液变绿，试管上方出现红棕色气体。
(1) 铜与浓硝酸反应的化学方程式为
(2) 某同学推测反应后溶液呈绿色的原因是 $\mathrm{NO}_{2}$ 在溶液中达到饱和,$\mathrm{NO}_{2}$ 的饱和溶液呈黄色,硝酸铜溶液呈蓝色，两者混合后呈绿色。他取少量该绿色溶液，向其中加人适量水后溶液变为蓝色，可能的原因是 ( 用化学方程式表示 )。
7. 汽车尾气中含有 $\mathrm{CO}、\mathrm{NO}$ 等多种污染物,已成为城市空气的主要污染源。汽车尾气中的 $\mathrm{NO}$ 是如何产生的？请推测可能的原因，并写出有关反应的化学方程式。8. 根据图 5-9简单描述氮在自然界的循环过程，并思考和讨论以下问题。（1）氮在自然界中主要以哪些形式存在?（2）人体蛋白质中的氮是从哪里来的?（3）自然界中有哪些固定氮的途径?(4) 人类的哪些活动参与了氮的循环?
## 第三节
## 无机非金属材料
材料是人类赖以生存和发展的物质基础,人类使用的材料除了金属材料,还有无机非金属材料等。从组成上看,许多无机非金属材料含有硅、氧等元素,具有耐高温、抗腐蚀、硬度高等特点,以及特殊的光学、电学等性能。随着工业生产和社会发展对材料性能要求的提高,一批新型无机非金属材料相继诞生,成为航空、航天、信息和新能源等高技术领域必需的材料。
## 一、硅酸盐材料
传统的无机非金属材料多为硅酸盐材料,在日常生活中随处可见，如制作餐具的陶瓷、窗户上的玻璃、建筑用的水泥等。
## 资料卡片
## 无机非金属材料
inorganic nonmetallic materials 硅酸盐 silicate
## 硅酸盐的结构
在硅酸盐中，$\mathrm{Si}$ 和 $\mathrm{O}$ 构成了硅氧四面体，其结构如图 5-18所示。每个 $\mathrm{Si}$ 结合 4 个 $\mathrm{O},\mathrm{Si}$ 在中心,$\mathrm{O}$ 在四面体的 4 个顶角;许多这样的四面体还可以通过顶角的 $\mathrm{O}$ 相互连接,每个 $\mathrm{O}$ 为两个四面体所共有,与 2 个 $\mathrm{Si}$ 相结合。硅氧四面体结构的特殊性,决定了硅酸盐材料大多具有硬度高、难溶于水、耐高温、
图 5-18 硅氧四面体的结构示意图耐腐蚀等特点。
图 5-19 我国古代烧制的精美瓷器
## 1. 陶瓷
陶瓷是以黏土 (主要成分为含水的铝硅酸盐）为主要原料，经高温烧结而成的。我国具有悠久的陶瓷制造历史,在新石器时代,我们的祖先已能烧制陶器,至唐宋时期,我国的陶瓷制品已经享誉海内外。目前,陶瓷仍然在人类的生产和生活中扮演着重要的角色，得到了广泛应用，如用于生产建筑材料、绝缘材料、日用器皿、卫生洁具等。
图 5-20 高压输电线路使用了陶瓷绝缘材料
## 2. 玻璃
普通玻璃的主要成分为 $\mathrm{Na}_{2} \mathrm{SiO}_{3}、\mathrm{CaSiO}_{3}$ 和 $\mathrm{SiO}_{2}$,它是以纯碱、石灰石和石英砂 (主要成分是 $\mathrm{SiO}_{2}$ ) 为原料,经混合、粉碎,在玻璃窑中熔融,发生复杂的物理和化学变化而制得的。玻璃可用于生产建筑材料、光学仪器和各种器皿,还可制造玻璃纤维用于高强度复合材料等。
## 资料卡片
生产中采用不同的原料和工艺,可以制得多种具有不同性能和用途的玻璃。例如，用含有铅的原料制造的光学玻璃,透光性好,折射率高,可以用来制造眼镜、照相机和光学仪器的透镜;加入硼酸盐制成耐化学腐蚀、耐温度急剧变化的玻璃,可用于实验室使用的玻璃仪器;加入一些金属氧化物或盐可以得到彩色玻璃，常用于建筑和装饰。
图 5-21 金属氧化物可以使玻璃呈现不同的颜色
## 3. 水泥
普通硅酸盐水泥的生产以黏土和石灰石为主要原料。二者与其他辅料经混合、研磨后在水泥回转窑中煅烧,发生复杂的物理和化学变化,加人适量石膏调节水泥硬化速率,再磨成细粉就能得到普通水泥。水泥、沙子和碎石等与水混合可以得到混凝土,大量用于建筑和水利工程。
图 5-22 长江三峡大坝使用了大量水泥
## 二、新型无机非金属材料
随着科学技术的发展,无机非金属材料突破了传统的硅酸盐体系,一系列新型无机非金属材料相继问世。其中有一些是高纯度的含硅元素的材料,如单晶硅、二氧化硅
硅 silicon
二氧化硅 silicon dioxide
等,具有特殊的光学和电学性能,是现代信息技术的基础材料;还有一些含有碳、氮等其他元素,在航天、能源和医疗等领域有着广泛的应用。
## 1. 硅和二氧化硅
现代信息技术是建立在半导体材料基础上的。位于元素周期表第三周期、第IVA族的硅元素,正好处于金属与非金属的过渡位置,其单质的导电性介于导体与绝缘体之间，是应用最为广泛的半导体材料。
硅在自然界主要以硅酸盐 (如地壳中的大多数矿物) 和氧化物 (如水晶、玛瑙）的形式存在。晶体硅中的杂质会影响其导电性能,因此必须制备高纯度的硅。工业上用焦炭还原石英砂可以制得含有少量杂质的粗硅。将粗硅通过化学方法进一步提纯，才能得到高纯硅。
$$
\mathrm{SiO}_{2}+2 \mathrm{C} \stackrel{\text { 高温 }}{=} \mathrm{Si}+2 \mathrm{CO} \uparrow
$$
## 资料卡片
## 高纯硅的制备
工业上制备高纯硅，一般需要先制得纯度为 $98 \%$ 左右的粗硅，再以其为原料制备高纯硅。例如,可以将粗硅转化为三氯硅烷 $\left(\mathrm{SiHCl}_{3}\right)$，再经氢气还原得到高纯硅。
图 5-23 工业制备高纯硅的原理示意图
其中涉及的主要化学反应为:
图 5-24 硅晶片是生产芯片的基础材料
$$
\begin{aligned}
& \mathrm{SiO}_{2}+2 \mathrm{C} \stackrel{1800 \sim 2000{ }^{\circ} \mathrm{C}}{=} \mathrm{Si}+2 \mathrm{CO} \uparrow \\
& \mathrm{Si}+3 \mathrm{HCl} \stackrel{300{ }^{\circ} \mathrm{C}}{=} \mathrm{SiHCl}_{3}+\mathrm{H}_{2} \\
& \mathrm{SiHCl}_{3}+\mathrm{H}_{2} \stackrel{1100{ }^{\circ} \mathrm{C}}{=} \mathrm{Si}+3 \mathrm{HCl}
\end{aligned}
$$
高纯硅广泛应用于信息技术和新能源技术等领域。利用其半导体性能可以制成计算机、通信设备和家用电器等的芯片,以及光伏电站、人造卫星和电动汽车等的硅太阳能电池。
二氧化硅可用来生产光导纤维。光导纤维的通信容量大,抗干扰性能好，传输的信号不易衰减，能有效提高通信效率。
图 5-25 硅太阳能电池
图 5-26 光导纤维
## 2. 新型陶瓷
新型陶瓷在组成上不再限于传统的硅酸盐体系,在光学、热学、电学、磁学等方面具有很多新的特性和功能,进一步拓展了陶瓷的应用领域。例如,碳化硅 ( $\mathrm{SiC})$ 俗称金刚砂,其中的碳原子和硅原子通过共价键连接,具有类似金刚石的结构,硬度很大,可用作砂纸和砂轮的磨料。碳化硅还具有优异的高温抗氧化性能,使用温度可达
图 5-27 耐高温的碳化硅陶瓷轴承 $1600{ }^{\circ} \mathrm{C}$,大大超过了普通金属材料所能承受的温度,可用作耐高温结构材料、耐高温半导体材料等。
## 科学・技术・社会
## 新型陶瓷
随着人们对材料性能要求的不断提高,具有特殊功能的陶瓷材料迅速发展，一系列如高温结构陶瓷、压电陶瓷、透明陶瓷和超导陶瓷等新型陶瓷相继问世。这些新型陶瓷与传统陶瓷相比，在成分上有了很大变化。
- 高温结构陶瓷一般用碳化䃏、氮化硅或某些金属氧化物等在高温下烧结而成，具有耐高温、抗氧化、耐磨蚀等优良性能。与金属材料相比，更能适应严酷的环境，可用于火箭发动机、汽车发动机和高温电极材料等。- 压电陶瓷主要有钆酸盐和锆酸盐等,能实现机械能与电能的相互转化。可用于滤波器、扬声器、超声波探伤器和点火器等。- 透明陶瓷主要有氧化铝、氧化钓等氧化物透明陶瓷和氮化铝、氟化钘等非氧化物透明陶瓷，具有优异的光学性能,耐高温,绝缘性好。可用于高压钠灯、激光器和高温探测窗等。- 超导陶瓷在某一临界温度下电阻为零，具有超导性，可用于电力、交通、医疗等领域。
图 5-28 超导陶瓷可应用于磁悬浮技术
## 3. 碳纳米材料
碳纳米材料是近年来人们十分关注的一类新型无机非金属材料,主要包括富勒烯、碳纳米管、石墨烯等,在能源、信息、医药等领域有着广阔的应用前景。富勒烯是由碳原子构成的一系列笼形分子的总称,其中的 $\mathrm{C}_{60}$ 是富勒烯的代表物。$\mathrm{C}_{60}$ 的发现为纳米科学提供了重要的研究对象,开启了碳纳米材料研究和应用的新时代。
图 5-29 用 $\mathrm{C}_{60}$ 作车轮的“纳米汽车”
图 5-30 电子显微镜下放大 30 万倍的碳纳米管碳纳米管可以看成是由石墨片层卷成的管状物，具有纳米尺度的直径。碳纳米管的比表面积大,有相当高的强度和优良的电学性能,可用于生产复合材料、电池和传感器等。
石墨烯是只有一个碳原子直径厚度的单层石墨,其独特的结构使其电阻率低、热导率高，具有很高的强度。作为一种具有优异性能的新型材料,石墨烯在光电器件、超级电容器、电池和复合材料等方面的应用研究正在不断深人。
动力电池
超轻海绵
图 5-31 使用了石墨烯材料的动力电池和超轻海绵 1. 下列叙述错误的是 $(\quad)$。A. 硅在自然界中主要以单质形式存在
B. 硅是应用最广泛的半导体材料
C. 高纯度的硅可用于制造计算机芯片
D. 二氧化硅可用于生产玻璃
2. 下列物品或设施:
(1)陶瓷餐具 (2)砖瓦 (3)混凝土桥墩 (4)门窗玻璃 (5)水晶镜片
(6)石英钟 (7)水晶项链 (8)硅太阳能电池 (9)石英光导纤维 (10计算机芯片
( 1 ) 含有硅单质的是 ( 填序号，下同 )。
( 2 ）含有二氧化硅的是
( 3 ) 含有硅酸盐的是
3. 氢氟酸是 $\mathrm{HF}$ 的水溶液,可与 $\mathrm{SiO}_{2}$ 发生反应生成 $\mathrm{SiF}_{4}$ 和 $\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}$。请写出该反应的化学方程式。想一想为什么可以用氢氟酸溶蚀玻璃生产磨砂玻璃。4. $\mathrm{SiO}_{2}$ 是一种酸性氧化物,能与强碱溶液反应。例如,$\mathrm{SiO}_{2}$ 与 $\mathrm{NaOH}$ 反应可生成 $\mathrm{Na}_{2} \mathrm{SiO}_{3} \circ \mathrm{Na}_{2} \mathrm{SiO}_{3}$ 的水溶液俗称水玻璃,具有䵑结力强、耐高温等特性,可以用作黏合剂和防火剂。实验室盛放碱溶液的试剂瓶应使用橡胶塞，而不用玻璃塞。请解释原因，并写出相关反应的化学方程式。5. 氮化硅是一种性能优异的无机非金属材料,它的熔点高,硬度大,电绝缘性好,化学性质稳定,但生产成本较高。
(1) 根据以上描述，推测氮化硅可能有哪些用途: ( 填字母)。a. 制作坩埚
b. 用作建筑陶瓷
c. 制作耐高温轴承
d. 制作切削刀具
( 2 ) 请画出氮和硅的原子结构示意图,并根据元素周期律的知识,写出氮化硅的化学式。
(3) 氮化硅在 19 世纪已经被化学家合成出来,但直到 100 多年后才逐渐应用于工业领域。材料的基础研究和实际应用之间存在着一定距离,你认为二者之间的关系是怎样的?请查阅相关资料,与同学交流你的观点。
## 整理与提升
## 一、物质的性质及转化
## 1. 认识物质结构与性质的关系
运用元素的原子结构知识，可以预测和解释物质的性质。请以硫和氮为例进行说明。
## 2. 从物质类别的视角认识物质间的转化关系
研究非金属及其化合物，可以按照物质的类别认识各类物质及其转化关系。请以硫为例进行说明。
## 3. 从元素价态的视角认识物质间的转化关系
把一种原料转化成多种产品,路径之一是通过氧化还原反应改变主要元素的化合价,从而实现物质转化。请以含氮物质的相互转化为例，说明如何实现下列转化关系。
## 4. 辨识化学物质
通过对构成物质的阴、阳离子的检验，可以辨识化学物质。例如，在实验室可通过检验 $\mathrm{SO}_{4}^{2-}$ 或 $\mathrm{NH}_{4}^{+}$来辨识硫酸盐或铵盐。请你说明具体的检验方法。你还了解更多的辨识物质的方法吗?
## 5．基于性质认识实验室制取物质的方法
以氨的实验室制取为例,谈谈在实验室里通过化学方法制取某种物质，通常需要考虑哪些问题。
## 二、无机非金属材料
无机非金属材料主要是通过化学方法从自然界的物质获得的,具有优良的性能与广泛的用途。请谈谈你对无机非金属材料的认识,以及化学科学对于新材料研发的重要作用。
## 复习与提高
1. 能实现下列物质间直接转化的元素是 ( $\quad$。
$$
\text { 单质 } \stackrel{+\mathrm{O}_{2}}{\longrightarrow} \text { 氧化物 } \stackrel{+\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}}{\longrightarrow} \text { 酸 (或碱 ) } \stackrel{+\mathrm{NaOH}(\text { 或 } \mathrm{HCl})}{\longrightarrow} \text { 盐 }
$$
A. $\mathrm{Si}$
B. $\mathrm{S}$
C. $\mathrm{Cu}$
D. $\mathrm{Fe}$
2. 下列气体中,既可用浓硫酸干燥,又可用 $\mathrm{NaOH}$ 固体干燥的是（）。A. $\mathrm{Cl}_{2}$
B. $\mathrm{O}_{2}$
C. $\mathrm{SO}_{2}$
D. $\mathrm{NH}_{3}$
3. 在氮的单质和常见的含氮化合物中:
（1） 常用作保护气 (如填充灯泡、焊接保护等) 的物质是，原因是
（2）常用作制冷剂的物质是，原因是
( 3 ) 能与酸反应生成盐,在常温下为气态的物质是；它与盐酸等强酸反应的离子方程式是
（4）在通常状况下是晶体，易溶于水，可用作氮肥，遇碱会放出有刺激性气味气体的一类物质是；它们与 $\mathrm{NaOH}$ 等强碱的溶液在加热条件下反应的离子方程式是
4. 非金属单质 $\mathrm{A}$ 经下图所示的过程可转化为含氧酸 $\mathrm{D}$,已知 $\mathrm{D}$ 为强酸。请回答下列问题。
$$
\mathrm{A} \stackrel{\mathrm{O}_{2}}{\longrightarrow} \mathrm{B} \stackrel{\mathrm{O}_{2}}{\longrightarrow} \mathrm{C} \stackrel{\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}}{\longrightarrow} \mathrm{D}
$$
( 1 ) 若 $\mathrm{A}$ 在常温下为固体，$\mathrm{B}$ 是能使品红溶液褪色的有刺激性气味的无色气体。
(1) D的化学式是
(2)在工业生产中，B 气体大量排放，被雨水吸收后形成的会污染环境。
( 2 ) 若 $\mathrm{A}$ 在常温下为气体,$\mathrm{C}$ 是红棕色的气体。
(1) A、C 的化学式分别是
(2) $\mathrm{D}$ 的浓溶液在常温下可与铜反应并生成 $\mathrm{C}$ 气体，该反应的化学方程式为该反应 （填“属于”或“不属于”）氧化还原反应。
5. 浓硫酸与木炭在加热条件下可发生化学反应,为检验反应的产物,某同学设计了如下图所示的实验。请据此回答下列问题。
( 1 ) A 中的实验现象是，证明产物中有
( 2 ) B 中的实验现象是，证明产物中有
( 3 ) 装置 $\mathrm{C}$ 和 $\mathrm{D}$ 的作用是什么?
6. 在右图所示的物质转化关系中,$\mathrm{A}$ 是常见的气态氢化物,$\mathrm{B}$ 是能使带火星的木条复燃的无色、无臭气体,$\mathrm{E}$ 的相对分子质量比 $\mathrm{D}$ 的大 $17,\mathrm{G}$ 是一种紫红色金属单质 ( 反应条件和部分生成物末列出)。
( 1 ) $\mathrm{A}$ 的电子式为,$B$ 的化学式为
(2) 请写出反应(1)的化学方程式和反应(2)的离子方程式。
7. 氮化硅 $\left(\mathrm{Si}_{3} \mathrm{~N}_{4}\right)$ 可由石英与焦炭在高温的氮气流中通过以下反应制备:
$$
3 \mathrm{SiO}_{2}+6 \mathrm{C}+2 \mathrm{~N}_{2} \stackrel{\text { 高温 }}{=} \mathrm{Si}_{3} \mathrm{~N}_{4}+6 \mathrm{CO}
$$
(1) 请写出氮化硅中氮元素的化合价,以及以上反应中的氧化剂和还原剂。
( 2 ) 若该反应生成 $11.2 \mathrm{~L}$ 一氧化碳 (标准状况),则生成氮化硅的质量是多少?
8. 请用实验方法证明某无色晶体是 $\left(\mathrm{NH}_{4}\right)_{2} \mathrm{SO}_{4}$。9. 氨既是一种重要的化工产品,又是一种重要的化工原料。下图为合成氨以及氨氧化制硝酸的流程示意图。
（1）写出合成塔和氧化炉中发生反应的化学方程式,并指出其中的氧化剂和还原剂。
（2）请思考 $\mathrm{A}$ 是什么物质,以及向吸收塔中通人 $\mathrm{A}$ 的作用。
( 3 ）工业生产中为了盛装大量浓硝酸，可选择__作为罐体材料。a. 铜
b. 铂
c. 铝
d. 镁
(4) 为避免硝酸生产尾气中的氮氧化物污染环境,人们开发了溶液吸收、催化还原等尾气处理方法。前者使用具有碱性的 $\mathrm{Na}_{2} \mathrm{CO}_{3}$ 溶液等吸收尾气,后者使用 $\mathrm{NH}_{3}$ 或其他物质将氮氧化物还原为 $\mathrm{N}_{2}$。请以尾气中的 $\mathrm{NO}_{2}$ 处理为例,写出相关反应的化学方程式,并查阅资料,了解还有哪些尾气处理方法。
10. 为测定空气中 $\mathrm{SO}_{2}$ 的含量,某课外小组的同学将空气样品经过管道通人密闭容器中的 $200 \mathrm{~mL} 0.100 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}$ 的酸性 $\mathrm{KMnO}_{4}$ 溶液。已知 $\mathrm{SO}_{2}$ 与该溶液反应的离子方程式为:
$$
5 \mathrm{SO}_{2}+2 \mathrm{MnO}_{4}^{-}+2 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}=5 \mathrm{SO}_{4}^{2-}+2 \mathrm{Mn}^{2+}+4 \mathrm{H}^{+}
$$
若管道中空气流量为 $a \mathrm{~L} / \mathrm{min}$,经过 $b \mathrm{~min}$ 溶液恰好褪色,假定样品中的 $\mathrm{SO}_{2}$ 可被溶液充分吸收,则该空气样品中 $\mathrm{SO}_{2}$ 的含量 (单位为 $\mathrm{g} / \mathrm{L}$ ) 是多少?
## 实验活动 4
## 用化学沉淀法去除粗盐中的杂质离子
## 【实验目的 】
1. 用化学沉淀法去除粗盐中的 $\mathrm{Ca}^{2+}、\mathrm{Mg}^{2+}$ 和 $\mathrm{SO}_{4}^{2-}$
2. 熟练掌握溶解、过滤、蒸发等操作，认识化学方法在物质分离和提纯中的重要作用。
## 【实验用品 】
天平、药题、量筒、烧杯、玻璃棒、胶头滴管、漏斗、滤纸、蒸发皿、坩埚钳、铁架台（带铁圈）、陶土网 ${ }^{1}$、酒精灯、火柴
粗盐、蒸馏水、0.1 mol/L $\mathrm{BaCl}_{2}$ 溶液、$20 \% \mathrm{NaOH}$ 溶液、饱和 $\mathrm{Na}_{2} \mathrm{CO}_{3}$ 溶液、$6 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}$ 盐酸、$\mathrm{pH}$ 试纸。
## 【实验步骤】
1. 用天平称取 $5.0 \mathrm{~g}$ 粗盐,放入 $100 \mathrm{~mL}$ 烧杯中,然后加入 $20 \mathrm{~mL}$ 蒸馏水,用玻璃棒搅拌，使粗盐全部溶解，得到粗盐水
2. 向粗盐水中滴加过量的 $\mathrm{BaCl}_{2}$ 溶液 (约 $2 \sim 3 \mathrm{~mL}$ ),使 $\mathrm{SO}_{4}^{2-}$ 与 $\mathrm{Ba}^{2+}$ 完全反应生成 $\mathrm{BaSO}_{4}$ 沉淀，将烧杯静置。3. 静置后，沿烧杯壁向上层清液中继续滴加 $2 \sim 3$ 滴 $\mathrm{BaCl}_{2}$ 溶液。若溶液不出现浑浊,则表明 $\mathrm{SO}_{4}^{2-}$ 已沉淀完全;若出现浑浊,则应继续滴加 $\mathrm{BaCl}_{2}$ 溶液,直至 $\mathrm{SO}_{4}^{2-}$ 沉淀完全。4. 向粗盐水中滳加过量的 $\mathrm{NaOH}$ 溶液（约 $0.25 \mathrm{~mL}$ ),使 $\mathrm{Mg}^{2+}$ 与 $\mathrm{OH}^{-}$完全反应生成 $\mathrm{Mg}(\mathrm{OH})_{2}$ 沉淀;然后滴加过量的饱和 $\mathrm{Na}_{2} \mathrm{CO}_{3}$ 溶液 $(2 \sim 3 \mathrm{~mL})$,使 $\mathrm{Ca}^{2+}、\mathrm{Ba}^{2+}$ ( 请思考: $\mathrm{Ba}^{2+}$ 是从哪里来的?）与 $\mathrm{CO}_{3}^{2-}$ 完全反应生成沉淀。5. 用与第 3 步类似的方法分别检验 $\mathrm{Mg}^{2+}、\mathrm{Ca}^{2+}$ 和 $\mathrm{Ba}^{2+}$ 是否沉淀完全。6. 将烧杯静置，然后过滤，除去生成的沉淀和不溶性杂质。7. 向所得滤液中滴加盐酸,用玻璃棒搅拌,直到没有气泡冒出,并用 $\mathrm{pH}$ 试纸检验,使滤液呈中性或微酸性。8. 将滤液倒入蒸发皿中，用酒精灯加热，同时用玻璃棒不断搅拌。当蒸发皿中出现较多固体时，停止加热，利用蒸发皿的余热使滤液蒸干。9. 用坩埚钳将蒸发皿夹持到陶土网上冷却，得到去除了杂质离子的精盐。
## 【问题和讨论 】
1. 本实验中加入试剂的顺序是什么?按照其他顺序加入试剂能否达到同样的目的?2. 为什么每次所加的试剂都要略微过量?第 7 步加入盐酸的目的是什么?3. 第 6 步和第 7 步的操作顺序能否颠倒?为什么?
(1) 陶土网是石棉网的替代品。
## 实验活动 5
## 不同价态含硫物质的转化
## 【实验目的】
1. 通过实验加深对硫及其化合物性质的认识。2. 应用氧化还原反应原理实现不同价态含硫物质的转化。
## 【实验用品 】
试管、天平、量筒、酒精灯、铁架台、试管架、橡胶塞、乳胶管、胶头滴管、玻璃导管、陶土网、玻璃棒、药题、棉花、镊子、火柴。
浓硫酸、铜片、硫粉、铁粉、$\mathrm{Na}_{2} \mathrm{~S}$ 溶液、酸性 $\mathrm{KMnO}_{4}$ 溶液、$\mathrm{NaOH}$ 溶液、$\mathrm{H}_{2} \mathrm{SO}_{3}$ 溶液、品红溶液。
## 注意
实验中可能产生少量有毒、有刺激性气味的气体。因此要注意通风,控制试剂的用量,严格按照要求进行操作,避免污染空气，保证实验安全。
## 【实验步骤】
1. 在两支试管中分别加入 $1 \mathrm{~mL} \mathrm{Na}_{2} \mathrm{~S}$ 溶液,向其中一支边振荡边滴加 $\mathrm{H}_{2} \mathrm{SO}_{3}$ 溶液,另一支边振荡边滴加酸性 $\mathrm{KMnO}_{4}$ 溶液,用浸 $\mathrm{NaOH}$ 溶液的棉团分别塞住两个试管口,观察并记录实验现象。2. 如下图所示连接仪器装置,向试管中加入 $1 \mathrm{~mL}$ 浓硫酸和一小块铜片,塞上带导管的单孔橡胶塞,加热,观察并记录实验现象。
3. 将 $0.5 \mathrm{~g}$ 硫粉和 $1.0 \mathrm{~g}$ 铁粉均匀混合，放在陶土网上堆成条状。用灼热的玻璃棒触及混合粉末的一端，当混合物呈红热状态时，移开玻璃棒，观察并记录实验现象。
## 【问题和讨论 】
1. 在上述实验中,含硫物质中硫元素的价态发生了怎样的变化?2. 铁粉与硫粉在空气中混合燃烧时,可能发生哪些化学反应?3. 在实验过程中你遇到了哪些问题?你是如何解决的?
## 第六章
化学反应与能量
- 化学反应与能量变化
- 化学反应的速率与限度
现代社会的一切活动都离不开能量,化学反应在发生物质变化的同时伴随有能量变化,是人类获取能量的重要途径。
为了更好地利用化学反应中的物质和能量变化,在化学研究和工业生产中还需要关注化学反应的快慢和程度。能量、速率与限度是认识和研究化学反应的重要视角。
## 第一节
化学反应与能量变化
现代社会中,人类的一切活动 (从衣食住行到文化娱乐,从社会生产到科学研究等) 都离不开能量,而许多能量的利用与化学反应中的能量变化密切相关。从煤、石油和天然气等提供的热能,到各种化学电池提供的电能,都是通过化学反应获得的。
## 一、化学反应与热能
热能 thermal energy
化石燃料燃烧会释放大量的热。除了燃烧,其他化学反应也伴随着放热或吸热现象。
## 【实验6-1】
在一支试管中加入 $2 \mathrm{~mL} 2 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}$ 盐酸,并用温度计测量其温度。再向试管中放入用砂纸打磨光亮的镁条，观察现象，并测量溶液温度的变化。
图 6-1 盐酸与镁反应前后溶液的温度变化 D【实验6-2】
将 $20 \mathrm{~g} \mathrm{Ba}(\mathrm{OH})_{2} \cdot 8 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}$ 晶体研细后与 $10 \mathrm{~g} \mathrm{NH}_{4} \mathrm{Cl}$ 晶体一起放入烧杯中，并将烧杯放在滴有几滴水的木片上。用玻璃棒快速搅拌，闻到气味后迅速用玻璃片盖上烧杯，用手触摸杯壁下部，试着用手拿起烧杯。观察现象。
上述两个实验中，反应前后的温度变化说明反应过程中伴有热量的释放或吸收。化学上把释放热量的化学反应称为放热反应，如镁条、铝片与盐酸的反应，木炭、氢气、甲烷等在氧气中的燃烧,氢气与氯气的化合等都是放热反应;把吸收热量的化学反应称为吸热反应,如氢氧化钡与氯化铵的反应,盐酸与碳酸氢钠的反应,灼热的炭与二氧化碳的反应等都是吸热反应。
化学反应过程中为什么会有能量变化?为什么有的化学反应释放热量,有的化学反应吸收热量?
我们知道,物质中的原子之间是通过化学键相结合的,当化学反应发生时,反应物的化学键断裂要吸收能量,而生成物的化学键形成要放出能量。以氢气与氯气化合生成氯化氢的反应为例:
$$
\mathrm{H}_{2}(\mathrm{~g})+\mathrm{Cl}_{2}(\mathrm{~g})=2 \mathrm{HCl}(\mathrm{g})
$$
在 $25{ }^{\circ} \mathrm{C}$ 和 $101 \mathrm{kPa}$ 条件下,断开 $1 \mathrm{~mol} \mathrm{H}_{2}$ 中的化学键要吸收 $436 \mathrm{~kJ}$ 的能量,断开 $1 \mathrm{~mol} \mathrm{Cl}_{2}$ 中的化学键要吸收 $243 \mathrm{~kJ}$ 的能量,反应中 $1 \mathrm{~mol} \mathrm{H}_{2}$ 和 $1 \mathrm{~mol} \mathrm{Cl}_{2}$ 中的化学键断裂所需能量共为 $679 \mathrm{~kJ}$;而形成 $2 \mathrm{~mol} \mathrm{HCl}$ 中的化学键要释放 $862 \mathrm{~kJ}$ 的能量。化学键的断裂与形成是化学反应中能量变化的主要原因,化学反应中的物质变化总会伴随着能量变化,通常主要表现为热量的释放或吸收。一般情况下,如果一个化学反应过程中放出的能量多于吸收的能量,则有能量向环境释放,发生放热反应;反之,放出的能量少于吸收的能量,则需从环境吸收能量,发生吸热反应。在 $\mathrm{H}_{2}$ 与 $\mathrm{Cl}_{2}$ 的反应过程中,释放的能量大于吸收的能量,发生了放热反应。
各种物质都具有能量,物质的组成、结构与状态不同,
图6-2 化学反应吸热使烧杯与木片间的水凝结成冰放热反应
exothermic reaction
吸热反应
endothermic reaction
化学能 chemical energy 所具有的能量也不同。放热反应可以看成是反应物所具有的化学能转化为热能释放出来,吸热反应可以看成是热能转化为化学能被生成物所“储存”。因此,一个化学反应是释放热量还是吸收热量,与反应物总能量和生成物总能量的相对大小有关。如图 6-3 所示,如果反应物的总能量高于生成物的总能量,发生反应时会向环境释放能量;如果反应物的总能量低于生成物的总能量,发生反应时需要从环境吸收能量。
图 6-3 化学反应与能量变化的关系示意图
人类利用化学反应中的热能始于火的发现。从早期的以树枝杂草为主要能源,到现代以煤、石油和天然气为主要能源,人类获取热能的主要途径都是通过物质的燃烧。随着社会的进步和人类生活水平的提高,能源的消耗越来越多 (如图 6-4)。而化石燃料作为人类利用最多的常规能源,其利用过程中面临两方面帇待解决的问题: 一是其短期内不可再生，储量有限，随着能源消费需求的不断增加，能源消费量与储量之间的矛盾日益突显;二是煤和石油产品燃烧排放的粉尘、$\mathrm{SO}_{2}、\mathrm{NO}_{x}、\mathrm{CO}$ 等是大气污染物的主
原始社会人均耗能 $8 \times 10^{3} \mathrm{~kJ} / \mathrm{d}$
农业社会人均耗能 $5 \times 10^{4} \mathrm{~kJ} / \mathrm{d}$
现代社会人均耗能
$1 \times 10^{6} \mathrm{~kJ} / \mathrm{d}$
图 6-4 不同社会发展水平时期的人均耗能量要来源。为了改善人类的生存环境，促进社会可持续发
展,节能和寻找清洁的新能源成为人类的必然选择。
资料卡片
表 6-1 2015 年我国能源消费总量和构成
| $\begin{array}{c}\text { 消费量 } \\ \text { (折合成 } \\ \text { 标准煤 }\end{array}$ | 消费总量 | 分类消费总量 | | | |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| | | 石油 | 天然气 | 水电、风电、核电 | |
| | 429905 | 273849 | 78673 | 25364 | 52019 |
| 占比 $/ \%$ | 100 | 64 | 18 | 6 | 12 |
节能不是简单地减少能源的使用,更重要的是要充分有效地利用能源。例如,在燃料利用过程中,节能的主要环节一个是燃料燃烧阶段,可通过改进锅炉的炉型和燃料空气比、清理积灰等方法提高燃料的燃烧效率;另一个环节是能量利用阶段，可通过使用节能灯，改进电动机的材料和结构，以及发电厂、钢铁厂余热与城市供热联产等措施促进能源循环利用，有效提高能源利用率。
理想的新能源应具有资源丰富、可以再生、对环境无污染等特点。目前,人们比较关注的新能源有太阳能、风能、地热能、海洋能和氢能等。
## 思考与讨论
煤、汽油和柴油等作为燃料大量使用会造成空气污染，但不使用它们又会严重影响现代社会的生产和生活。对此,请从社会不同人群的角度,提出你的想法或建议,并与同学讨论。
## 信息搜索
(1) 利用互联网 (如国家统计局网站)
(2) 通过查阅书刊或互联网搜索,了解搜索近 10 年我国每年的能源消费总量和能煤和石油产品的燃烧排放物对环境和气候的源矿产储量的数据及变化趋势,体会节能的影响,以及人类正在采取的应对措施。
重要性和必要性。
图 6-5 2015 年我国电力生产量构成图
图 6-6 原电池实验
图6-7 原电池原理示意图
## 二、化学反应与电能
我们日常使用的电能主要来自火力发电。火力发电是通过化石燃料燃峣时发生的氧化还原反应,使化学能转化为热能,加热水使之汽化为蒸汽以推动蒸汽轮机，带动发电机发电。火力发电过程中,化学能经过一系列能量转化过程,间接转化为电能。其中,燃烧（氧化还原反应）是关键。
要想使氧化还原反应释放的能量直接转化为电能，就要设计一种装置,使反应中的电子转移在一定条件下形成电流。化学电池就是这样一种装置。
## 【实验6-3】
(1) 将锌片和铜片揷入盛有稀硫酸的烧杯中，观察现象。
(2) 用导线连接锌片和铜片，观察、比较导线连接前后的现象。
(3) 如图6-6所示,用导线在锌片和铜片之间串联一个电流表，观察电流表的指针是否偏转
可以看到，当锌片与铜片揷人稀硫酸时，锌片上有气泡产生,铜片上无气泡产生;当用导线将锌片和铜片相连后，铜片上有气泡产生;串联电流表后，电流表指针发生偏转，说明导线中有电流通过。
如图6-7所示,上述实验中,当揷人稀硫酸的锌片和铜片用导线连接时，由于锌比铜活泼,与稀硫酸作用容易失去电子，被氧化成锌离子而进入溶液。
锌片: $\mathrm{Zn}-2 \mathrm{e}^{-}=\mathrm{Zn}^{2+}$ (氧化反应)
电子由锌片通过导线流向铜片，溶液中的氢离子从铜片获得电子,被还原成氢原子,氢原子结合成氢分子从铜片上放出。
铜片: $2 \mathrm{H}^{+}+2 \mathrm{e}^{-}=\mathrm{H}_{2} \uparrow$ (还原反应) 上述实验和分析表明，通过特定的装置使氧化反应与还原反应分别在两个不同的区域进行,可以使氧化还原反应中转移的电子通过导体发生定向移动,形成电流,从而实现化学能向电能的转化。这种把化学能转化为电能的装置叫做原电池。在原电池中,电子流出的一极是负极 (如锌片,电极被氧化),电子流人的一极是正极 (如铜片,$\mathrm{H}^{+}$在正极上被还原)。
## 探究
## 简易电池的设计与制作
## 【目的】
根据原电池原理，设计和制作简易电池，体会原电池的构成要素。
## 【用品】
水果 (苹果、柑橘或柠檬等),食盐水,滤纸,铜片、铁片、铝片等金属片,石墨棒,导线,小型用电器 (发光二极管、电子音乐卡或小电动机等),电流表。
## 【实验】
(1) 水果电池
参考图 6-8 所示水果电池,自选水果及相关用品，制作水果电池。
（2）简易电池
参考图 6-9,制作简易电池,并试验和比较不同材料作电极的效果。
(3) 设计演示原电池的趣味实验
利用发光二极管、电子音乐卡或小电动机等,设计一个演示原电池的趣味实验 (如电压不足,可将几个电池串联起来）。
## 【问题和讨论 】
（1）水果电池中，水果的作用是什么?
（2）通过比较不同材料作电极的简易电池,你是否发现电极材料的选择有一些值得注意的问题?请与同学交流你的经验。
图6-8 水果电池
图6-9 简易电池
（3）在以上实验中,电池不可或缺的构成部分有哪些?
图 6-10 锌锰干电池构造示意图
干电池 dry battery
蓄电池 storage battery
锂离子电池
lithium ion battery
燃料电池 fuel cell
图 6-12 锂离子电池根据原电池原理,人们研制出很多结构和性能各异的化学电池,以满足不同的用电需要。
常见的锌锰干电池的构造如图 6-10 所示。其中，石墨棒作正极,氯化铵糊作电解质溶液,铉筒作负极。在使用过程中，电子由锌筒（负极）流向石墨棒（正极)，锌逐渐消耗，二氧化锰不断被还原,电池电压逐渐降低,最后失效。这种电池放电之后不能充电（内部的氧化还原反应无法逆向进行 ），属于一次电池。
有些电池放电时所进行的氧化还原反应,在充电时可以逆向进行,使电池恢复到放电前的状态,从而实现放电 (化学能转化为电能) 与充电 (电能转化为化学能) 的循环。这种充电电池属于二次电池。常见的充电电池有铅酸蓄电池、铂氢电池、锂离子电池等，目前汽车上使用的大多是铅酸蓄电池（如图 6-11）。
图 6-11 汽车用铅酸蓄电池
化学电池是新能源和可再生能源的重要组成部分。科学技术的进步加速了电池技术的发展,锌锰电池、铅酸蓄电池等传统电池的性能有了明显提高;各种高效、安全、环保的新型化学电池不断涌现,其中锂离子电池和燃料电池发展较快。手机、笔记本计算机、照相机和摄像机等电器所用的电池大多为锂离子电池。
## (9) 信息搜索
通过网络、书籍等渠道，调查了解不同类型电池的性能、构成、特点、应用范围及发展历史，选 2 3 类列表比较，并结合其发展的前景，谈谈你对研发新型电池意义的理解。
## 科学・技术・社会
## 发展中的燃料电池
燃料电池是一种将燃料（如氢气、甲烷、乙醇）和氧化剂 (如氧气) 的化学能直接转化为电能的电化学反应装置,具有清洁、安全、高效等特点。燃料电池的能量转化率可以超过 $80 \%$。当以氢气为燃料时，产物为水;以甲烷为燃料时，产物为水和二氧化碳。与常规发电厂相比,其二氧化碳排放量明显降低。燃料电池与干电池或蓄电池的主要差别在于反应物不是储存在电池内部,而是从外部提供,这时电池起着类似试管、烧杯等反应器的作用。
燃料电池的供电量易于调节，能适应用电器负载的变化,而且不需要很长的充电时间，在航天、军事和交通等领域有广阔的应用前景。
图6-13 我国研制的燃料电池和超级电容混合动力有轨电车
## 化学与职业
## 电池研发人员
电池研发与生产、生活和军事等领域的发展密切相关。电池研发人员的工作包括电池构成材料的研制、电池性能的改进和应用的拓展等。以燃料电池为例,研发中需要研究电极、电解质等电池基本构成材料的性质和材料之间的相容性;研究不同类型的电池构成材料在不同用途时对温度、湿度等环境因素的适应性;还要研究使用什么样的电池材料使电池的容量更大;等等。这些研究工作关系着电池的效率、寿命、安全性、适用性和制造成本。在许多科研机构和生产企业中,都有具备着扎实的化学基础的研究人员从事电池研发工作。
图 6-14 电池研发人员正在进行电池性能测试
## 研究与实践
## 了解车用能源
## 【研究目的 】
人们为给汽车提供动力,提高能源利用率,减少环境污染，在不断开发新的车用能源。通过以下活动,从不同角度分析和比较不同燃料和能量转化方式的优劣,体会开发新的车用能源的重要意义。
## 【研究任务 】
(1) 汽车发展至今,在能源使用上经历了不同的发展阶段。查阅资料,了解汽车发展的过程和车用能源的种类。
（2）以氢气、甲烷 $\left(\mathrm{CH}_{4}\right)$、辛烷 $\left(\mathrm{C}_{8} \mathrm{H}_{18}\right)$ 和乙醇 $\left(\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{6} \mathrm{O}\right)$ 为例（你也可以尝试分析其他燃料),为汽车选择燃料。
(1) 写出不同燃料发生能量转化时涉及的主要化学反应。
(2) 查阅资料,比较相同质量的燃料燃烧时放出热量的多少,并结合燃料的物质状态分析其优劣。
(3) 从来源、环保等其他角度分析不同燃料的优劣。
(3) 了解蒸汽机、内燃机和燃料电池等的能量转化方式,从转化效率、技术可行性等角度进行比较。
## 【结果与讨论 】
(1) 你最终选择了哪种燃料和哪种能量转化方式?你在选择时重点考虑了哪些因素?
(2) 通过了解车用能源的发展过程,你得到什么启示?请与同学讨论。
## 练习与应用
1. 化学反应的本质是有新物质生成,物质的变化是化学反应的基本特征之一。化学反应的另一基本特征是，通常表现为的释放或吸收。2. 原电池是一种可将直接转化为的装置，其中发生的化学反应属于
原电池的必要组成部分有
3. 下列说法错误的是 $(\quad)$。A. 化学反应必然伴随发生能量变化
B. 化学反应中的能量变化与反应物的质量无关
C. 能量变化必然伴随发生化学反应
D. 化学反应中的能量变化主要是由化学键变化引起的
4. 一定条件下，石墨转化为金刚石要吸收能量。在该条件下,下列结论正确的是 ( )。A. 金刚石比石墨稳定
B. 等质量的金刚石和石墨完全燃烧释放的热量相同
C. 金刚石转化为石墨是吸热反应
D. $1 \mathrm{~mol} \mathrm{C}$ (金刚石) 比 $1 \mathrm{~mol} \mathrm{C}$ (石墨) 的总能量高
5. 下列关于右图所示装置的叙述，错误的是（）。A. 锌是负极，其质量逐渐减小
B. 氢离子在铜表面被还原,产生气泡
C. 电流从锌片经导线流向铜片
D. 电子从锌片经导线流向铜片
6. 下列说法正确的是 $(\quad)$。A. 图 1 所示装置能将化学能转化为电能
B. 图 2所示反应为吸热反应
C. 锌锰干电池中,锌筒作正极
D. 蓄电池充电时也发生了氧化还原反应
图 1
图 2
7. 几位同学以相同大小的铜片和锌片为电极研究水果电池,得到的实验数据如下表所示:
| 实验编号 | 水果种类 | 电极间距离 $/ \mathrm{cm}$ | 电流 $/ \mu \mathrm{A}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 1 | 番茄 | 1 | 98.7 |
| 2 | 番茄 | 2 | 72.5 |
| 3 | 苹果 | 2 | 27.2 |
( 1 ) 该实验的目的是探究水果种类和对水果电池电流的影响。
( 2 ）该实验所用装置中，负极的材料是，该装置将转化为电能。
( 3 ) 能表明水果种类对电流有影响的实验编号是和
( 4 ) 请你再提出一个可能影响水果电池电流的因素:
8. 我国将落实创新、协调、绿色、开放、共享的发展理念,全面推进节能减排和低碳发展,迈向生态文明新时代。为此,如果从不同能源对环境的影响考虑,你认为我国在煤、石油等传统能源和新能源的利用及发展上应采取哪些措施?9. 便携式化学电池使用方便,但仍然存在一些不足,如电压较低,寿命较短,处理不当可能会造成环境污染。有人认为这些不足是由其制造技术不完善造成的,也有人认为是由其工作原理决定的。你的看法和依据是什么?请查阅资料,与老师和同学交流、讨论。
## 第二节
化学反应的速率与限度
在化学反应的研究和实际应用中,人们除了选择合适的化学反应以实现所期待的物质转化或能量转化,还要关注化学反应进行的快慢和程度,以提高生产效率。
## 一、化学反应的速率
在化学实验和日常生活中,我们经常观察到这样的现象：有的化学反应进行得快,有的化学反应进行得慢。
## 思考与讨论
你了解下图涉及的化学反应进行的快慢吗?反应的快慢程度与我们有什么关系?
爆炸
牛奶变质
铁桥生锈
溶洞开成
图 6-15 快慢差别很大的化学变化不同的化学反应进行的快慢千差万别,快与慢是相对而言的,是一种定性的比较。在科学研究和实际应用中,对化学反应进行的快慢进行定量的描述或比较时,要使用同一定义或标准下的数据。与物理学中物体的运动快慢用速率表示类似,化学反应过程进行的快慢用反应速率来表示。
化学反应速率通常用单位时间内反应物浓度的减小或
## 化学反应速率
chemical reaction rate 生成物浓度的增大来表示 (取正值)。浓度常以 $\mathrm{mol} / \mathrm{L}$ 为单位,时间常以 $\min$ (分) 或 $s$ (秒) 为单位,化学反应速率的单位相应为 $\mathrm{mol} /(\mathrm{L} \cdot \mathrm{min})$ 或 $\mathrm{mol} /(\mathrm{L} \cdot \mathrm{s})$。例如,某反应的反应物浓度在 $5 \mathrm{~min}$ 内由 $6 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}$ 变成了 $2 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}$,则以该反应物浓度的变化表示的该反应在这段时间内的平均反应速率为 $0.8 \mathrm{~mol} /(\mathrm{L} \cdot \mathrm{min})$。化学反应的速率往往受到反应条件的影响。例如,过氧化氢溶液在常温下分解放出氧气的速率很小,但是加人催化剂二氧化锰后,分解速率增大。像这样通过改变化学反应的条件来调控化学反应速率的情况,在实际的生产和生活中常常会遇到。对于有些化学反应,我们希望其越慢越好，如食物的变质、橡校和塑料的老化、金属的锈蚀;有些则希望其快一些，如氨、硫酸等化工产品的生产。调控化学反应速率常常是决定化学实验成败或化工生产成本的关键。有哪些因素能够影响化学反应速率呢?
## 探究
影响化学反应速率的因素
## 【问题】
我们已经知道催化剂可以影响化学反应速率,此外,还有哪些反应条件会影响化学反应的速率?
## 【假设】
影响化学反应速率的因素可能有反应温度、反应物浓度等。
## 【用品】
$5 \% \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}_{2}$ 溶液、$1 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} \mathrm{FeCl} \mathrm{Fi}_{3}$ 溶液、$0.1 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}$ 盐酸、$1 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}$ 盐酸、大理石碎块、冷水、热水、试管、试管夹、烧杯、量筒、胶头滴管。
## 【实验】
(1) 反应温度的影响
在两支大小相同的试管中均加入 $2 \mathrm{~mL} 5 \% \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}_{2}$ 溶液,同时滴入 2 滴 $1 \mathrm{~mol} / \mathrm{LeCl}_{3}$ 溶液。待试管中均有适量气泡出现时，将其中一支试管放入盛有冷水的烧杯中，另一支试管放入盛有热水的烧杯中，观察现象并进行对比。
| 不同温度环境 | 实验现象 |
| :---: | :---: |
| 冷水 | |
| 热水 | |
( 2 ) 反应物浓度的影响
利用实验室提供的用品,设计实验方案并提请教师审阅,待教师同意后进行实验 （提示：探究某影响因素时，需保持其他条件因素相同）。
步骤:
记录:
## 【结论 】
| 影响因素 | 如何影响 |
| :---: | :---: |
| 催化剂 | 催化剂可以改变化学反应速率 |
| | |
| | |
## 【问题和讨论】
影响化学反应速率的因素还可能有哪些?请选择其中一个因素,设计实验验证方案，与同学交流。
## (方法导引
## 变量控制
科学研究中,对于多因素 (多变量) 的问题,常常采用只改变其中的某一个因素，控制其他因素不变的研究方法,使多因素的问题变成几个单因素的问题,分别加以研究，最后再将几个单因素问题的研究结果加以综合。这种变量控制的方法是科学探究中常用的方法。例如,以上探究在比较不同温度对化学反应速率的影响时,控制浓度和其他影响因素相同;而比较不同浓度对化学反应速率的影响时,则控制温度和其他影响因素相同；最后综合得出影响化学反应速率的多种因素。
大量实验事实和科学研究证明: 一般条件下,当其他条件相同时,增大反应物浓度,化学反应速率增大,降低反应物浓度,化学反应速率减小;升高温度,化学反应速率增大,降低温度,化学反应速率减小;催化剂可以改变化学反应速率。
图 6-16 压强增大,气体浓度增大
对于气体来说，在相同温度下，压强越大，一定质量气体的体积越小,单位体积内气体的分子数越多 (如图 6-16)。增大压强 (减小容器容积）相当于增大反应物的浓度，化学反应速率增大;减小压强（增大容器容积） 相当于减小反应物的浓度,化学反应速率减小。此外,在日常生活和化学实验中,如果我们细心观察和思考,还会发现更多影响化学反应速率的因素。
## 思考与讨论
下列调控反应速率的措施或实验中，分别利用或体现了哪些影响反应速率的因素?
（1）向炉膛内鼓风，用煤粉代替煤块可以使炉火更旺。
（2）把食物存放在冰箱里,在糕点包装内放置除氧剂可以延长食品保质期。
(3) 做化学实验时,为加速反应的进行,通常将块状或颗粒状的固体试剂研细并混匀。
(4) 铁在空气中和在纯氧中反应的剧烈程度明显不同。
## 科学・技术・社会
## 神奇的催化剂
催化剂是现代化学中关键而神奇的物质之一。据统计,有 $80 \%$ 以上的化工生产过程 （如氨、硫酸、硝酸的合成，乙烯、丙烯、苯乙烯的聚合，煤、石油、天然气的综合利用，等等）使用了催化剂,目的是增大反应速率，提高生产效率。在资源利用、能源开发、医药制造、环境保护等领域,催化剂有着广泛的应用。催化剂十分神奇,它能极大地提高化学反应速率(可使反应速率增大几个到十几个数量级),而自身的组成、化学性质和质量在反应前后不发生变化;它和一些反应体系的关系就像钥匙与锁的关系,具有一定的选择性。
生物体内几乎所有的化学反应（如淀粉、脂肪、蛋白质的水解,DNA 的复制等 ) 都是由生物体内存在的特殊催化剂—一酶所催化的。酶比一般的催化剂具有更高的选择性和催化效率，而且是在正常体温的条件下发生作用，反应条件温和。受酶的启示，科学家开辟了设计和合成催化剂的新途径,正在研制具有生物酶某些特性的化学酶，以期实现“仿酶催化”。催化剂的神奇面纱至今尚末完全揭开,对催化剂的研究是当代化学一个极具魅力和应用前景的重要课题。
图 6-17 氨氧化法制硝酸使用的网状铂-钯-铑合金催化剂
## 二、化学反应的限度
化学反应是按照化学方程式中的计量关系进行的,我们正是据此进行有关化学方程式的计算。你是否思考过这样的问题：一个化学反应在实际进行时 ( 如化学实验、化工生产等),反应物是否会按化学方程式中的计量关系完全转变成产物?如果能，是在什么条件下?如果不能，原因是什么?
我们知道,在 $\mathrm{SO}_{2}$ 与 $\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}$ 的反应中,由于生成物 $\mathrm{H}_{2} \mathrm{SO}_{3}$ 不稳定,会部分地分解为 $\mathrm{SO}_{2}$ 与 $\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}$,该反应是一个可逆反应,不能进行到底。另外,我们学习过的 $\mathrm{H}_{2}$ 与 $\mathrm{N}_{2}$ 生成 $\mathrm{NH}_{3}$ 的反应也是可逆反应，同样不能进行到底。
科学研究表明,很多化学反应都是可逆反应。在一定条件下,某个可逆反应在开始进行时,反应物的浓度最大,生成物浓度为零,因此正反应速率大于逆反应速率。随着反应的进行,反应物的浓度逐渐减小,正反应速率逐渐减小;生成物的浓度逐渐增大,逆反应速率逐渐增大。当反应进行到一定程度时,正反应速率与逆反应速率相等 (如图6-18),反应物的浓度和生成物的浓度都不再改变,达到一种表面静止的状态,我们称之为化学平衡状态,简称化学平衡。化学平衡状态是可逆反应在一定条件下所能达到的或完成的最大程度,即该反应进行的限度。化学反应的限度决定了反应物在该条件下转化为生成物的最大转化率 ${ }^{\mathbb{D}}$。
任何可逆反应在给定条件下的进程都有一定的限度,只是不同反应的限度不同。改变反应条件可以在一定程度上改变一个化学反应的限度,亦即改变该反应的化学平衡状态。因此,通过调控反应条件可使反应结果更好地符合人们预期的目的，这在工农业生产和环境保护等方面已经得到广泛的应用。
图 6-18 一定条件下的可逆反应中，正反应速率和逆反应速率随时间变化的示意图
## 三、化学反应条件的控制
在生产和生活中,人们希望促进有利的化学反应（提高反应速率,提高反应物的转化率即原料的利用率),抑制有害的化学反应（降低反应速率,控制副反应的发生,减少甚至消除有害物质的产生),这就需要进行化学反应条件的控制。
(1) 转化率是指已被转化的反应物的物质的量与其初始的物质的量之比。
化学平衡
chemical equilibrium 在化工生产中,为了提高反应进行的程度而调控反应条件时,需要考虑控制反应条件的成本和实际可能性。例如,合成氨的生产在温度较低时,氨的产率较高;压强越大,氨的产率越高。但温度低,反应速率小,需要很长时间才能达到化学平衡,生产成本高,工业上通常选择在 400 500 ${ }^{\circ} \mathrm{C}$ 下进行。而压强越大,对动力和生产设备的要求也越高,合成氨厂随着生产规模和设备条件的不同,采用的压强通常为 $10 \mathrm{MPa} \sim 0 \mathrm{MPa}$。
## 思考与讨论
为提高燃料的燃烧效率,应如何调控燃烧反应的条件?（提示：可以从以下几方面考虑，如燃料的状态、空气用量、炉膛材料、烟道废气中热能的利用,等等。)
## 科学史话
## 炼铁高炉尾气之谜
高炉炼铁的主要反应是:
$$
\mathrm{Fe}_{2} \mathrm{O}_{3}+3 \mathrm{CO} \stackrel{\text { 高温 }}{=} 2 \mathrm{Fe}+3 \mathrm{CO}_{2}
$$
其中产生 $\mathrm{CO}$ 的反应是:
$\mathrm{C}($ 焦炭 $)+\mathrm{O}_{2}$ (空气 $) \stackrel{\text { 高温 }}{=} \mathrm{CO}_{2}$ (放出热量)
$\mathrm{C}($ 焦炭 $)+\mathrm{CO}_{2} \stackrel{\text { 高温 }}{=} 2 \mathrm{CO}($ 吸收热量 $)$
生产中炼制生铁所需焦炭的实际用量,远高于按照化学方程式计算所需的量,而且从高炉炉顶出来的气体中总是含有没有利用的 $\mathrm{CO}$。开始，炼铁工程师们认为是 $\mathrm{CO}$ 与铁矿石接触不充分造成的,于是设法增加高炉的高度。然而,令人吃惊的是,高炉增高后,高炉尾气中 $\mathrm{CO}$ 的比例竟然没有改变。这成了炼铁技术中的科学悬念,人们一直在探究其中的原因。直到 19 世纪下半叶,法国化学家勒夏特列（H.-L. Le Chatelier,1850-1936）经过深入的研究，才将这一谜底揭开。原来，产生上述现象的原因是: $\mathrm{C}+\mathrm{CO}_{2} \rightleftharpoons 2 \mathrm{CO}$ 是一个可逆反应,并且自下而上发生在高炉中有焦炭的地方。后来的研究证明,在高炉中 $\mathrm{Fe}_{2} \mathrm{O}_{3}$ 与 $\mathrm{CO}$ 反应也不能全部转化为 $\mathrm{Fe}$ 和 $\mathrm{CO}_{2}$。
图6-19 首钢炼铁高炉 1. 请根据已有知识和经验填写下表。
| $\begin{array}{c}\text { 影响化学反应速率 } \\ \text { 的条件 }\end{array}$ | 如何影响 | |
| :---: | :---: | :---: |
| 温度 | | |
| 浓度 | | |
| 固体的表面积 | | |
| 催化剂 | | |
2. 对于反应 $2 \mathrm{SO}_{2}(\mathrm{~g})+\mathrm{O}_{2}(\mathrm{~g}) \rightleftharpoons 2 \mathrm{SO}_{3}(\mathrm{~g})$,如下表所示,保持其他条件不变,只改变一个反应条件时,生成 $\mathrm{SO}_{3}$ 的反应速率会如何变化?（在下表空格内填“增大”“减小”或“不变”。）
| 改变条件 | 升高温度 | 降低温度 | $\begin{array}{c}\text { 增大氧气的 } \\ \text { 浓度 }\end{array}$ | 使用催化剂 | 减小容器容积 | 恒容下充入 $\mathrm{Ne}$ |
| :---: | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $\begin{array}{c}\text { 生成 } \mathrm{SO}_{3} \\ \text { 的速率 }\end{array}$ | | | | | | |
3. 下列措施中,不能增大化学反应速率的是 ( ）。A. $\mathrm{Zn}$ 与稀硫酸反应制取 $\mathrm{H}_{2}$ 时,加人蒸馏水
B. $\mathrm{Al}$ 在 $\mathrm{O}_{2}$ 中燃烧生成 $\mathrm{Al}_{2} \mathrm{O}_{3}$,用铝粉代替铝片
C. $\mathrm{CaCO}_{3}$ 与稀盐酸反应生成 $\mathrm{CO}_{2}$ 时，适当升高温度
D. $\mathrm{KClO}_{3}$ 分解制取 $\mathrm{O}_{2}$ 时，添加少量 $\mathrm{MnO}_{2}$
4. 在一定条件下,某可逆反应的正反应速率和逆反应速率随时间变化的曲线如下图所示。下列有关说法正确的是 ( )。
A. $t_{1}$ 时刻,反应逆向进行
B. $t_{2}$ 时刻,正反应速率大于逆反应速率
C. $t_{3}$ 时刻,达到反应进行的限度
D. $t_{4}$ 时刻，反应处于平衡状态 5. 下列关于化学平衡状态的叙述错误的是 (）。A. 化学平衡是所有可逆反应都存在的一种状态
B. 在给定条件下,达到平衡时可逆反应完成程度达到最大
C. 达到平衡时，正、逆反应速率均为零
D. 达到平衡时，反应物和生成物的浓度不再发生变化
6. 一定条件下的密闭容器中,发生可逆反应 $\mathrm{N}_{2}(\mathrm{~g})+3 \mathrm{H}_{2}(\mathrm{~g}) \rightleftharpoons 2 \mathrm{NH}_{3}(\mathrm{~g})$。下列情况不能说明该反应一定达到化学平衡的是 ( )。A. $\mathrm{NH}_{3}$ 的质量保持不变
B. $\mathrm{H}_{2}$ 的含量保持不变
C. 正反应和逆反应的速率相等
D. $\mathrm{N}_{2}、\mathrm{H}_{2}$ 和 $\mathrm{NH}_{3}$ 的物质的量之比为 $1: 3: 2$
7. 工业制硫酸中的一步重要反应是 $\mathrm{SO}_{2}$ 在 $400 \sim 500{ }^{\circ} \mathrm{C}$ 下的催化氧化:
$$
2 \mathrm{SO}_{2}+\mathrm{O}_{2} \stackrel{\text { 催化剂 }}{\rightleftharpoons} 2 \mathrm{SO}_{3}
$$
这是一个正反应放热的可逆反应。如果反应在密闭容器中进行,下列有关说法错误的是 ( )。A. 使用催化剂是为了增大反应速率，提高生产效率
B. 在上述条件下,$\mathrm{SO}_{2}$ 不可能 100\%地转化为 $\mathrm{SO}_{3}$
C. 提高反应时的温度,可以实现 $\mathrm{SO}_{2}$ 的完全转化
D. 通过调控反应条件，可以提高该反应进行的程度
8. 日常生活中的下列做法,与调控反应速率有关的是 ( 填序号 )，请利用本节所学知识进行解释。(1) 食品抽真空包装
(2) 在铁制品表面刷油漆
(3) 向门窗合页里注油
(4) 用冰箱冷藏食物
9. 某课外实验小组利用压强传感器、数据采集器和计算机等数字化实验设备,探究镁与不同浓度盐酸的反应速率，两组实验所用试剂如下：
| 序号 | 镁条的质量/g | 盐酸 | 盐酸 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| | | 物质的量浓度/ $\left(\mathrm{mol} \cdot \mathrm{L}^{-1}\right)$ | 体积 $/ \mathrm{mI}$ |
| 1 | 0.01 | 1.0 | 2 |
| 2 | 0.01 | 0.5 | 2 |
实验结果如下图所示。
(1) 试说明该图中曲线的含义。
( 2 ) 结合实验条件，分析两条曲线的区别。
10. 在许多食品外包装上都有类似下图所示的说明,你能用化学反应速率的知识加以解释吗?你还能找出类似的例子吗?
11. 在通常情况下,面粉并不会发生爆炸。但是,当面粉在相对密闭的空间内悬浮在空气中,达到一定浓度时,遇火却会发生剧烈的反应,导致爆炸。试用本节所学的知识对此作出解释。12. 实验室通常用大理石 (或石灰石) 与稀盐酸反应制取二氧化碳,不用纯碱与盐酸或硫酸反应制取二氧化碳的考虑是：（1）纯碱比大理石（或石灰石）成本高，不经济；（2）反应速率太快，难以控制和收集产物。反应速率可以通过改变反应条件来控制。作为研究,请你提出用纯碱与盐酸反应制取二氧化碳的适宜途径,并用实验来检验你的设计。
## 整理与提升
## 一、从能量变化的视角认识化学反应
化学反应总是伴随着能量变化,物质的化学能可以转化为热、光、声、电等多种能量形式。本章主要学习化学反应中较为常见的热能和电能的转化与利用。
## 1. 化学反应中的能量转化
## 2. 化学能转化为电能
原电池可将化学能转化为电能。
电子定向移动 (导线)
电解质溶液中离子定向移动
## 二、从化学反应速率和限度的视角认识化学反应
从化学反应速率和限度两个视角认识和调控化学反应,在生活、生产和科学研究中具有重要意义。
## 复习与提高
1. 已知化学能与其他形式的能可以相互转化。请回答下列问题。
( 1 ) 化学能与其他形式的能相互转化的途径是
(2) 填写下表:
（3）上述反应中属于氧化还原反应的是 ( 填序号 )。
2. 一定条件下,在容积为 $2 \mathrm{~L}$ 的密闭容器中发生反应: $3 \mathrm{~A}(\mathrm{~g})+\mathrm{B}(\mathrm{g}) \rightleftharpoons 2 \mathrm{C}(\mathrm{g})$。开始时加人 $4 \mathrm{~mol} \mathrm{~A}$、$6 \mathrm{~mol} \mathrm{~B}、2 \mathrm{~mol} \mathrm{C}$，在 $2 \mathrm{~min}$ 末测得 $\mathrm{C}$ 的物质的量是 $3 \mathrm{~mol}$。
( 1 ）用 $\mathrm{A}$ 的浓度变化表示反应的平均速率:
(2) 在 $2 \min$ 末，B的浓度为
（3）若改变下列一个条件，推测该反应的速率发生的变化 ( 填“增大”“减小”或“不变”):
(1) 升高温度,化学反应速率
(2) 充人 $1 \mathrm{~mol} \mathrm{~B}$，化学反应速率
(3) 将容器的容积变为 $3 \mathrm{~L}$,化学反应速率
3. C、CO、$\mathrm{CH}_{4}$ 和 $\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{5} \mathrm{OH}$ 是常用的燃料,$1 \mathrm{~mol}$ 上述物质分别完全燃烧生成 $\mathrm{CO}_{2}(\mathrm{~g})$ 及 $\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}(1)$ 时，放出的热量依次为 $393.5 \mathrm{~kJ}、283.0 \mathrm{~kJ}、890.3 \mathrm{~kJ}$ 和 $1366.8 \mathrm{~kJ}$。相同质量的这 4 种燃料完全燃烧，放出热量最多的是 ( )。A. C
B. $\mathrm{CO}$
C. $\mathrm{CH}_{4}$
D. $\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{5} \mathrm{OH}$
4. 氢气是非常有前途的新型能源，氢能开发中的一个重要问题就是如何制取氢气。以下研究方向你认为不可行的是 ( )
A. 建设水电站，用电力分解水制取氢气
B. 设法将太阳光聚焦，产生高温，使水分解产生氢气
C. 寻找更多的化石燃料，利用其燃烧放热，使水分解产生氢气
D. 寻找特殊的化学物质作催化剂，用于分解水制取氢气 5. 把 $a、b、c、d 4$ 种金属浸人稀硫酸中,用导线两两相连可以组成各种原电池。若 $a、b$ 相连,$a$ 为负极;$c、d$ 相连，$d$ 上有气泡逸出;$a、c$ 相连时，$a$ 质量减少;$b、d$ 相连，$b$ 为正极。则 4 种金属的活动性顺序由大到小排列为（）。A. $a>c>d>b$
B. $a>c>b>d$
C. $b>d>c>a$
D. $a>b>c>d$
5. 某化学兴趣小组为了探索铝电极在原电池中的作用,设计并进行了以下一系列实验,实验结果记录如下:
| 编号 | 电极材料 | 电解质溶液 | 电流表指针偏转方向 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 1 | $\mathrm{Mg}、\mathrm{Al}$ | 稀盐酸 | 偏向 $\mathrm{Al}$ |
| 2 | $\mathrm{Al}、\mathrm{Cu}$ | 稀盐酸 | 偏向 $\mathrm{Cu}$ |
| 3 | $\mathrm{Al}、$ 石墨 | 稀盐酸 | 偏向石墨 |
| 4 | $\mathrm{Mg}、\mathrm{Al}$ | $\mathrm{NaOH}$ 溶液 | 偏向 $\mathrm{Mg}$ |
根据上表中记录的实验现象，回答下列问题。
( 1 ) 实验 $1、2$ 中 $\mathrm{Al}$ 电极的作用是否相同?
(2) 实验 3 中铝为___极,电极反应式为 $2 \mathrm{Al}-6 \mathrm{e}^{-}=2 \mathrm{Al}^{3+}$;石墨为__极,电极反应式为 $6 \mathrm{H}^{+}+6 \mathrm{e}^{-}=3 \mathrm{H}_{2} \uparrow$；电池总反应式为
(3) 实验 4 中的铝为极，原因是。写出铝电极的电极反应式:
( 4 ) 根据以上实验结果,在原电池中相对活泼的金属作正极还是作负极受到哪些因素的影响?
7. 某同学用相同质量的锌粉先后与 $1 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}$ 盐酸及相同体积末知浓度的盐酸反应,记录相关数据,并作出两个反应过程中放出气体的体积随反应时间的变化图 (如右图所示)。
(1) 如果请你做这一实验,你如何测量反应放出气体的体积?
(2) 请根据图示判断并解释,该同学所用末知浓度的盐酸,其浓度是高于还是低于 $1 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}$。
(3) 如果用 $1 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}$ 硫酸代替上述实验中的 $1 \mathrm{mo} / \mathrm{L}$ 盐酸,二者的
反应速率是否相同?请说明原因。
8. $1 \mathrm{~mol} \mathrm{C}、1 \mathrm{~mol} \mathrm{CO}$ 分别按下式反应 (燃烧):
$\mathrm{C}(\mathrm{s})+\frac{1}{2} \mathrm{O}_{2}(\mathrm{~g})=\mathrm{CO}(\mathrm{g}) \quad$ 放热 $110.5 \mathrm{~kJ}$
$\mathrm{CO}(\mathrm{g})+\frac{1}{2} \mathrm{O}_{2}(\mathrm{~g})=\mathrm{CO}_{2}(\mathrm{~g}) \quad$ 放热 $283.0 \mathrm{~kJ}$
$\mathrm{C}(\mathrm{s})+\mathrm{O}_{2}(\mathrm{~g})=\mathrm{CO}_{2}(\mathrm{~g}) \quad$ 放热 $393.5 \mathrm{~kJ}$
分析上述化学方程式及有关数据,说明为什么煤炭充分燃烧不仅能够节约能源,还可以减少对环境的污染。9. 冷敷袋俗称冰袋，在日常生活中有降温、保鲜和镇痛等多种用途。
( 1 ） 制作冷敷袋可以利用 ( $\quad$。a. 放热的化学变化
b. 吸热的化学变化
c. 放热的物理变化
d. 吸热的物理变化
（2）以下是三种常见冷敷袋所盛装的主要物质，请从（1）的选项中找出其对应的主要工作原理。(1) 冰
(2) 硝酸铵 + 水
(3) 硝酸铵 + 水合碳酸钠
(3) 请写出十水合碳酸钠 $\left(\mathrm{Na}_{2} \mathrm{CO}_{3} \cdot 10 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}\right)$ 与硝酸铵在一定条件下反应的化学方程式,并从反应物、生成物总能量高低的角度解释该反应有能量变化的原因。( 提示：该反应产生了两种气体。)
（4 ) 请从使用的便捷性、安全性等角度比较上述三种冷敷袋，并与同学讨论。
10. 某温度时，在容积为 $2 \mathrm{~L}$ 的密闭容器中发生 A、B两种物质间的转化反应，A、B物质的量随时间变化的曲线如右图所示。请分析图中数据，回答下列问题。
( 1 ) 该反应的化学方程式为
( 2 ）反应开始至 $4 \mathrm{~min},\mathrm{~A}$ 的平均反应速率为
(3) $4 \mathrm{~min}$ 时,反应是否达到化学平衡?( 填“是”或
“否”);$16 \mathrm{~min}$ 时，正反应速率逆反应速率 ( 填“>”“<” 或“=”。
11. 近年来电池研发领域涌现出的纸电池,其组成与传统电池类似,主要包括电极、电解液和隔离膜 (如下图所示 ),电极和电解液均“嵌” 在纸中。纸电池像纸一样轻薄柔软，在制作方法和应用范围上与传统电池相比均有很大的突破。
(1) 某学生在课外活动时,根据纸电池的结构示意图,利用实验室中的氯化钠、蒸馏水和滤纸制备了电解液和隔离膜，用铜片分别与锌片和另一种银白色金属片，先后制作了两个简易电池。在用电流表测试这两个电池时,发现电流表的指针都发生了偏转，但偏转方向相反。你能对该同学的实验结果作出解释吗?
（2）请利用家庭易得材料,设计制作一个简易电池,并试验其能否产生电流（画出设计图,并标明所用材料 )。
(3) 根据纸的特性,试推测纸电池会有哪些不同于传统电池的特别之处,并通过网络搜索验证你的推测。
## 实验活动 6
## 化学能转化成电能
## 【实验目的 】
1. 理解氧化还原反应在化学能转化成电能过程中的作用,体会化学的价值
2. 认识原电池的构成要素及其作用。
## 【实验用品 】
烧杯、导线、电流表。
锌片、铜片、石.墨棒、稀硫酸。
## 【实验步骤】
## 1. 电极材料的实验
（1）用导线将电流表分别与锌片、铜片相连接，使锌片与铜片接触，观察电流表指针是否发生偏转;用石.墨棒代替铜片进行上述实验。解释所观察到的现象。
| 电极材料 | 电流表指针是否发生偏转 | 解释 |
| :---: | :---: | :---: |
| 锌片、铜片 | | |
| 锌片、石墨棒 | | |
（2）将锌片揷入盛有稀硫酸的烧杯里，观察现象；再揷入铜片，观察现象;取出铜片，揷入石,墨棒，观察现象。
| 电极材料 | 实验现象 | 解释 |
| :---: | :---: | :---: |
| 锌片 | | |
| 锌片、铜片 | | |
| 锌片、石墨棒 | | |
## 2. 原电池实验
如下表所示,选择不同的电极材料，以及稀硫酸、导线和电流表，组装原电池，试验其能否产生电流,并作出解释。
| 电极材料 | 实验现象 | 解释 |
| :---: | :--- | :--- |
| 锌片、铜片 | | |
| 锌片、石墨棒 | | |
| 铜片、石墨棒 | | |
## 【问题和讨论 】
1. 根据以上实验,说明原电池的工作原理和构成要素,以及组装原电池的操作注意事项。2. 能否用铁片作为电极代替铜锌原电池中的锌片?为什么?
实验活动 7
化学反应速率的影响因素
## 【实验目的】
1. 体验浓度、温度和催化剂对化学反应速率的影响。2. 理解改变反应条件可以调控化学反应的速率。
## 【实验原理 】
1. 硫代硫酸钠与硫酸的反应
硫代硫酸钠与硫酸反应会生成不溶于水的硫:
$$
\mathrm{Na}_{2} \mathrm{~S}_{2} \mathrm{O}_{3}+\mathrm{H}_{2} \mathrm{SO}_{4}=\mathrm{Na}_{2} \mathrm{SO}_{4}+\mathrm{SO}_{2} \uparrow+\mathrm{S} \downarrow+\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}
$$
反应生成的硫使溶液出现乳白色浑浊,比较浑浊现象出现所需时间的长短,可以判断该反应进行的快慢。在不同浓度和温度条件下分别进行上述反应，并比较其反应快慢,可以看出反应物浓度和温度对该反应速率的影响。
2. 过氧化氢分解会产生氧气,在有或无催化剂存在下进行对比实验,通过观察氧气产生的快慢可以看出催化剂对该反应速率的影响。
## 【实验用品 】
烧杯、试管、量筒、试管架、胶头滴管、温度计、药匙、秒表。$0.1 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} \mathrm{Na}_{2} \mathrm{~S}_{2} \mathrm{O}_{3}$ 溶液、$0.1 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} \mathrm{H}_{2} \mathrm{SO}_{4}$ 溶液、$10 \% \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}_{2}$ 溶液、$1 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} \mathrm{FeCl}_{3}$ 溶液、$\mathrm{MnO}_{2}$ 粉末、蒸馏水。
## 【实验步骤】
## 1. 浓度对化学反应速率的影响
取两支大小相同的试管,分别加入 $2 \mathrm{~mL}$ 和 $1 \mathrm{~mL} 0.1 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} \mathrm{Na}_{2} \mathrm{~S}_{2} \mathrm{O}_{3}$ 溶液,向盛有 $1 \mathrm{~mL}$ $\mathrm{Na}_{2} \mathrm{~S}_{2} \mathrm{O}_{3}$ 溶液的试管中加入 $1 \mathrm{~mL}$ 蒸馏水,摇匀。再同时向上述两支试管中加入 $2 \mathrm{~mL} 0.1 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}$ $\mathrm{H}_{2} \mathrm{SO}_{4}$ 溶液，振荡。观察、比较两支试管中溶液出现浑浊的快慢。
| $\begin{array}{l}\text { 实验 } \\ \text { 编号 }\end{array}$ | $\begin{array}{c}\text { 加入 } 0.1 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} \mathrm{Na}_{2} \mathrm{~S}_{2} \mathrm{O}_{3} \\ \text { 溶液的体积 }\end{array}$ | $\begin{array}{l}\text { 加入水 } \\ \text { 的体积 }\end{array}$ | 加入 $0.1 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} \mathrm{H}_{2} \mathrm{SO}_{4}$ 溶液的体积 | 出现浑浊所用时间 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| | $\mathrm{mL}$ | $\mathrm{mL}$ | $\mathrm{mL}$ | $\mathrm{s}$ |
| 1 | 2 | 0 | 2 | |
| 2 | 1 | 1 | 2 | |
## 2. 温度对化学反应速率的影响
取两支大小相同的试管,各加入 $2 \mathrm{~mL} 0.1 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} \mathrm{Na}_{2} \mathrm{~S}_{2} \mathrm{O}_{3}$ 溶液,分别放入盛有冷水和热水的两个烧杯中。再同时向上述两支试管中加入 $2 \mathrm{~mL} 0.1 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} \mathrm{H}_{2} \mathrm{SO}_{4}$ 溶液,振荡。观察、比较两支试管中溶液出现浑浊的快慢。
## 3. 催化剂对化学反应速率的影响
向三支大小相同的试管中各加入 $2 \mathrm{~mL} 10 \% \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}_{2}$ 溶液,再向其中的两支试管中分别加入少量 $ Mn\mathrm{O}_{2}$ 粉末和2 滴1 mol/L $ Fe\mathrm{Cl}_{3}$ 溶液。观察、比较三支试管中气泡出现的快慢。
## 【问题和讨论 】
在通常情况下，铁与冷水或热水都不发生反应,但红热的铁与水烝气则可发生反应,生成 $\mathrm{Fe}_{3} \mathrm{O}_{4}$ 和 $\mathrm{H}_{2}$。试从反应条件的角度思考并解释这一事实。
## 第七章
## 有机化合物
碳在地壳中的含量很低,但是含有碳元素的有机化合物却分布极广。有机化合物不仅构成了生机勃勃的生命世界,也是燃料、材料、食品和药物的主要来源。
与无机化合物相比，有机化合物的组成元素并不复杂，但化合物数量众多,性质各异。对有机化合物的研究,需要在了解碳原子成键规律的基础上,认识有机化合物的分子结构,以及决定其分类与性质的特征基团，进而认识有机化学反应,实现有机化合物之间的转化,合成新的物质。
- 认识有机化合物
- 乙烯与有机高分子材料
- 乙醇与乙酸
- 基本营养物质
## 第一节
认识有机化合物
目前，人们在自然界发现和人工合成的物质已超过 1 亿种,其中绝大多数都是有机化合物,而且新的有机化合物仍在源源不断地被发现或合成出来。有机化合物为什么如此繁多?它们的结构和性质具有哪些一般特点?
## 一、有机化合物中碳原子的成键特点
我们熟悉的甲烷 $\left(\mathrm{CH}_{4}\right)$ 是最简单的有机化合物,其分子中的碳原子以最外层的 4 个电子分别与 4 个氢原子的电子形成了 4 个 $\mathrm{C}-\mathrm{H}$ 共价键。甲烷的电子式和结构式可分别表示为:
有机化合物中的每个碳原子不仅能与其他原子形成 4 个共价键,而且碳原子与碳原子之间也能形成共价键,可以形成单键、双键或三键。
图 7-1 碳原子之间可以形成单键、双键或三键
多个碳原子之间可以结合成碳链,也可以结合成碳环,构成有机物链状或环状的碳骨架。
有机物分子可能只含有一个或几个碳原子，也可能含有成千上万个碳原子。含有相同碳原子数的有机物分子,可能因为碳原子间成键方式或碳骨架的不同而具有多种结构。
链状结构
环状结构
图 7-2 有机化合物碳骨架的基本类型示意图
## 思考与讨论
请结合下图显示的 4 个碳原子相互结合的几种方式,分析以碳为骨架的有机物种类繁多的原因。
图 7-3 4 个碳原子相互结合的几种方式
## 资料卡片
## 使用模型研究物质结构
将微观的分子结构通过模型呈现出来,便于我们了解分子中原子的结合方式与空间位置关系，获取更多的结构信息。随着现代信息技术的发展，除了实物模型，还可以通过计算机对物质的结构进行模拟和计算。这是人们探索物质结构的重要方法,也是学习化学的直观工具。
图7-4 鲍林 ${ }^{1}$ 使用模型研究物质结构
(1) 鲍林 ( L. Pauling,1901-1994),美国化学家,主要从事化学键理论和物质结构研究,曾获 1954年诺贝尔化学奖和 1962年诺贝尔和平奖。
## 二、烷烃
## 1. 烷烃的结构
烷烃 alkane
通过甲烷的结构式，我们可以知道甲烷分子中原子的连接顺序。那么这些原子有着怎样的空间位置关系呢?
分専结构示意图
球棍模型
穴间填充模型
图 7-5 甲烷的分子结构示意图与分子结构模型
实验数据表明，甲烷分子中的 5 个原子不在同一平面上，而是形成了正四面体的空间结构。碳原子位于正四面体的中心，4 个氢原子分别位于 4 个顶点。分子中的 4 个 $\mathrm{C}-\mathrm{H}$ 的长度和强度相同，相互之间的夹角相等。
## 思考与讨论
（1）与甲烷结构相似的有机化合物还有很多，随着分子中碳原子数的增加，还有乙烷、丙烷、丁烷等一系列有机化合物。请根据碳原子的成键规律和下表提供的信息，写出丁烷的结构式和乙烷、丙烷、丁烷的分子式，并由此归纳这类有机化合物分子式的通式
（2）与同学交流，比较大家写出的丁烷的结构式是否相同，思考产生这种现象的可能原因
（3）结合图 7-6 中的分子结构模型，总结这类有机化合物的组成和分子结构特点。
乙烷
丙烷
丁烷
图 7-6 乙烷、丙烷和丁烷的分子结构模型以上这些有机化合物只含有碳和氢两种元素,分子中的碳原子之间都以单键结合,碳原子的剩余价键均与氢原子结合,使碳原子的化合价都达到“饱和”。这样的一类有机化合物称为饱和烃，也称为烷烃。
烷烃中最简单的是甲烷,其余随碳原子数的增加,依次为乙烷、丙烷、丁烷等。碳原子数不多于 10 时,以甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸依次代表碳原子数;碳原子数在 10 以上时,以汉字数字代表,如“十一烷”。为了书写方便,有机物通常用结构简式表示,如乙烷、芮烷和十一烷的结构简式可以分别表示为 $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{3}$、$\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{CH}_{3}$ 和 $\mathrm{CH}_{3}\left(\mathrm{CH}_{2}\right)_{9} \mathrm{CH}_{3}$。
从以上几种烷烃的结构简式可以看出,相邻烷烃分子在组成上均相差一个 $\mathrm{CH}_{2}$ 原子团,如果链状烷烃中的碳原子数为 $n$,氢原子数就是 $2 n+2$,其分子式可以用通式 $\mathrm{C}_{n} \mathrm{H}_{2 n+2}$ 表示。像这些结构相似,在分子组成上相差一个或若干个 $\mathrm{CH}_{2}$ 原子团的化合物互称为同系物。
甲烷、乙烷和丙烷的结构各只有一种，丁烷却有两种不同的结构 (如图 7-7),一种是碳原子形成直链的正丁烷,另一种是带有支链的异丁烷。二者的组成虽然相同,但分子中原子的结合顺序不同,分子结构不同,因此性质就存在一定差异,是两种不同的化合物。
像这种化合物具有相同的分子式，但具有不同结构的现象称为同分异构现象，具有同分异构现象的化合物互称为同分异构体。随着碳原子数的增加,烷烃的同分异构体的数目也就越多。例如,戊烷有 3 种,己烷有 5 种,而癸烷则有 75 种之多。同分异构现象的广泛存在也是有机物种类
正丁烷
(熔点 $-138.4{ }^{\circ} \mathrm{C}$,沸点 $-0.5^{\circ} \mathrm{C}$ )
异丁烷
$\left(\right.$ 熔点 $-159.4{ }^{\circ} \mathrm{C}$,沸点 $\left.-11.6^{\circ} \mathrm{C}\right)$
图 7-7 正丁烷和异丁烷的分子结构模型繁多的重要原因之一。
饱和烃 saturated hydrocarbon 同分异构现象 isomerism 同分异构体 isomer
## 2. 烷烃的性质
## 思考与讨论
天然气、沼气和煤层气的主要成分是甲烷；护肤品、医用软膏中的“凡士林” 和蜡烛、蜡笔中的石蜡,其主要成分是含碳原子数较多的烷烃。请结合生活经验和初中化学的有关知识，想一想烷烃可能具有哪些性质。
## 数据
甲烷
熔点: $-182{ }^{\circ} \mathrm{C}$
沸点: $-164{ }^{\circ} \mathrm{C}$
密度: $0.717 \mathrm{~g} / \mathrm{L}$
烷烃均为难溶于水的无色物质,其熔点、沸点和密度一般随着分子中碳原子数的增加 ( 同时相对分子质量也在增大）而升高,在常温下的状态由气态变为液态,再到固态。
在通常情况下,烷烃比较稳定,与强酸、强碱或高锰酸钾等强氧化剂不发生反应。但物质的稳定性是相对的,在特定条件下，烷烃也会发生某些反应。
与甲烷类似,烷烃可以在空气中完全燃烧,发生氧化反应,生成二氧化碳和水,并放出大量的热。这是烷烃被用作燃料时发生的主要反应。
$$
\begin{aligned}
& \mathrm{CH}_{4}+2 \mathrm{O}_{2} \stackrel{\text { 点燃 }}{\longrightarrow} \mathrm{CO}_{2}+2 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O} \\
& \mathrm{C}_{3} \mathrm{H}_{8}+5 \mathrm{O}_{2} \stackrel{\text { 点燃 }}{\longrightarrow} 3 \mathrm{CO}_{2}+4 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}
\end{aligned}
$$
## 资料卡片
煤矿中的爆炸事故多与甲烷气体爆炸有关。为了保证安全生产，必须采取通风、严禁烟火等措施。
烷烃在较高温度下会发生分解。这个性质常被应用于石油化工和天然气化工生产中,从烷烃可得到一系列重要的化工基本原料和燃料。
图 7-8 甲烷与氯气反应
## 【实验7-1】
取两支试管，均通过排饱和 $\mathrm{NaCl}$ 溶液的方法收集半试管 $\mathrm{CH}_{4}$ 和半试管 $\mathrm{Cl}_{2}$，分别用铁架台固定好 (如图 7-8)。将其中一支试管用铝箔套上，另一支试管放在光亮处（不要放在日光直射的地方）。静置，比较两支试管内的现象。
在室温下，甲烷与氯气的混合气体无光照时不发生反应。光照时,试管内气体颜色逐渐变浅,试管壁出现油状液滴,试管内水面上升。甲烷与氯气发生了化学反应:
生成的一氯甲烷在常温下是气体,可与氯气进一步反应，依次又生成了二氯甲烷、三氯甲烷（氯仿）和四氯甲烷 ( 四氯化碳 )。这 4 种产物都不溶于水,三氯甲烷和四氯甲烷是工业上重要的有机溶剂。
在上述反应中,甲烷分子中的 4 个氢原子被氯原子逐一替代,生成 4 种不同的取代产物。像这样,有机物分子里的某些原子或原子团被其他原子或原子团所替代的反应叫做取代反应。烷烃在一定条件下,可以与卣素单质
取代反应
substitution reaction 发生取代反应。
烷烃是一类最基本的有机物,从结构上可以看作其他各类有机物的母体。烷烃的性质在一定程度上体现了有机物的通性。与无机物相比,大多数有机物的熔点比较低,且难溶于水,易溶于汽油、乙醇、苯等有机溶剂;大多数有机物容易燃烧,受热会发生分解;有机物的化学反应比较复杂,常伴有副反应发生,很多反应需要在加热、光照或使用催化剂的条件下进行。有机物除了有以上通性,依据其组成和结构的不同,还具有很多特性,我们在以后的学习中会逐步接触。
## 练习与应用
1. 在有机化合物中,碳原子既可以与其他元素的原子形成共价键,也可以相互成键。两个碳原子之间可以形成的共价键的类型有和；多个碳原子可以相互结合，形成的碳骨架的类型有和
2. 在甲烷分子中，碳原子以最外层的个电子分别与氢原子形成个键。甲烷分子中的 5 个原子不在同一平面上，而是形成了的空间结构：碳原子位于，氢原子位于；分子中的 4 个 $\mathrm{C}-\mathrm{H}$ 的长度和强度，相互之间的夹角
3. 下列气体的主要成分不是甲烷的是（）。A. 沼气
B. 天然气
C. 煤气
D. 煤层气
4. 烷烃分子中的碳原子与其他原子的结合方式是（）。A. 形成 4 对共用电子对
B. 通过非极性键
C. 通过两个共价键
D. 通过离子键和共价键
5. 正丁烷与异丁烷互为同分异构体的依据是（）。A. 具有相似的化学性质
B. 相对分子质量相同，但分子的空间结构不同
C. 具有相似的物理性质
D. 分子式相同,但分子内碳原子的连接方式不同
6. 在一定条件下，下列物质可与甲烷发生化学反应的是（）。A. $\mathrm{Cl}_{2}$
B. 浓硫酸
C. $\mathrm{O}_{2}$
D. 酸性 $\mathrm{KMnO}_{4}$ 溶液
7. 戊烷有三种同分异构体,分别是正戊烷、异戊烷和新戊烷。请参考图 7-7,写出它们的结构简式。8. 某种烷烃完全燃烧后生成了 $17.6 \mathrm{~g} \mathrm{CO}_{2}$ 和 $9.0 \mathrm{~g} \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}$。请据此推测其分子式，并写出可能的结构简式。9. 天然气和煤气是常见的气体燃料，被人们广泛应用于工业生产和日常生活中。
(1) 查阅资料,了解煤气的主要成分和生产方法。
（2）写出天然气、煤气的主要成分在完全燃烧时发生反应的化学方程式。
( 3 ) 根据以上反应,在相同条件下燃烧等体积的天然气和煤气,消耗氧气体积较大的是哪一种?
（4）某灶具原来使用的燃料是煤气，如果改用天然气，其进风口应改大还是改小?如不进行调节，可能产生什么后果?
10. 甲烷是最简单的有机化合物,很早就被人类发现。然而化学家为搞清楚甲烷的结构却用了上百年的时间，其间曾相继提出下列图示来表示甲烷的结构:
请分析以上图示所蕴含的化学信息,与同学交流讨论,并对其进行评价,从中体验人类对物质结构认识不断深化的探索历程。
## 第二节
## 乙烯与有机高分子材料
乙烯是石油化学工业重要的基本原料,通过一系列化学反应,可以从乙烯得到有机高分子材料、药物等成千上万种有用的物质。乙烯的用途广泛,其产量可以用来衡量一个国家石油化学工业的发展水平。
## 一、乙烯
乙烯是一种无色、稍有气味的气体,密度比空气的略小,难溶于水。乙烯的分子式是 $\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{4}$,结构式是 ${ }_{\mathrm{H}}^{\mathrm{H}} \mathrm{C}=\mathrm{C}^{\prime}{ }_{\mathrm{H}}^{\mathrm{H}}$,其分子中的氢原子数少于乙烷分子中的氢原子数，碳原子的价键没有全部被氢原子“饱和”。
乙烯分子中含有碳碳双键,在组成和结构上与只含碳碳单键和碳氢键的烷烃有较大差异,因此在性质上也有很多不同。碳碳双键使乙烯表现出较活泼的化学性质。
## 1. 氧化反应
## 【实验7-2】
(1) 点燃纯净的乙烯,观察燃烧时的现象。
(2) 将乙烯通入盛有酸性高锰酸钐溶液的试管中，观察现象
乙烯能在空气中燃烧,火焰明亮且伴有黑烟,生成二氧化碳和水,同时放出大量的热。
$$
\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{4}+3 \mathrm{O}_{2} \stackrel{\text { 点燃 }}{\longrightarrow} 2 \mathrm{CO}_{2}+2 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}
$$
图 7-9 乙烯的分子结构模型
## 数据
乙烯
熔点: $-169{ }^{\circ} \mathrm{C}$
沸点: $-104{ }^{\circ} \mathrm{C}$
密度: $1.25 \mathrm{~g} / \mathrm{L}$
图 7-10 乙烯与高锰酸钾反应
图 7-11 乙烯与溴反应
乙烯 ethene
加成反应 addition reaction 乙烯可使酸性高锰酸钾溶液褪色，被高锰酸钾等氧化剂氧化。
## 2. 加成反应
## 【实验7-3】
将乙烯通入盛有溴的四氯化碳溶液的试管中，观察现象。
乙烯与溴发生化学反应,使溴的四氯化碳溶液褪色。反应中,乙烯双键中的一个键断裂,两个溴原子分别加在两个价键不饱和的碳原子上,生成无色的 1,2-二溴乙烷 ${ }^{1}$ 液体。
这种有机物分子中的不饱和碳原子与其他原子或原子团直接结合生成新的化合物的反应叫做加成反应。
乙烯不仅可以与溴发生加成反应,在一定条件下，还可以与氯气、氢气、氯化氢和水等物质发生加成反应。
$$
\begin{aligned}
& \mathrm{CH}_{2}=\mathrm{CH}_{2}+\mathrm{H}_{2} \stackrel{\text { 催化剂 }}{\longrightarrow} \mathrm{CH}_{3}-\mathrm{CH}_{3} \\
& \mathrm{CH}_{2}=\mathrm{CH}_{2}+\mathrm{H}-\mathrm{OH} \underset{\text { 加热、催化剂 }}{\longrightarrow} \mathrm{CH}_{3}-\underset{\text { 乙醇 }}{\mathrm{CH}_{2}}-\mathrm{OH}
\end{aligned}
$$
工业上可以利用乙烯与水的加成反应制取乙醇。
## 3. 聚合反应
在适当的温度、压强和催化剂存在的条件下，乙烯分子中碳碳双键中的一个键断裂,分子间通过碳原子相互结合形成很长的碳链,生成相对分子质量很大的聚合物一聚乙烯。
$$
\mathrm{CH}_{2}=\mathrm{CH}_{2}+\mathrm{CH}_{2}=\mathrm{CH}_{2}+\mathrm{CH}_{2}=\mathrm{CH}_{2}+\cdots \stackrel{\text { 催化剂 }}{\longrightarrow}
$$
(1)“1,2-”表示取代基溴原子在碳链上的位置: $\stackrel{1}{\mathrm{C}} \mathrm{H}_{2} \mathrm{Br}-\stackrel{2}{\mathrm{C}} \mathrm{H}_{2} \mathrm{Br}^{\circ}$。$\cdots-\mathrm{CH}_{2}-\mathrm{CH}_{2}-\mathrm{CH}_{2}-\mathrm{CH}_{2}-\mathrm{CH}_{2}-\mathrm{CH}_{2}-\cdots$
这个反应还可以用下式表示:
$$
n \mathrm{CH}_{2}=\mathrm{CH}_{2} \stackrel{\text { 催化剂 }}{\longrightarrow}\left[\mathrm{CH}_{2}-\mathrm{CF}_{\text {聚乙烯 }} \mathrm{CH}_{2}\right]_{n}
$$
像这样，由相对分子质量小的化合物分子互相结合成相对分子质量大的聚合物的反应叫做聚合反应。聚合反应在有机高分子材料的生产中有着广泛的应用。乙烯的聚合反应同时也是加成反应,这样的反应又被称为加成聚合反应，简称加聚反应。
聚合反应生成的高分子是由较小的结构单元重复连接而成的。例如，聚乙烯分子可以用 $\left[\mathrm{CH}_{2}-\mathrm{CH}_{2}\right]_{n}$ 来表示,其中重复的结构单元“- $\mathrm{CH}_{2}-\mathrm{CH}_{2}$ ”” 称为链节,链节的数目 $n$ 称为聚合度。能合成高分子的小分子物质称为单体,乙烯就是聚乙烯的单体。
聚合反应 polymerization 加聚反应 addition polymerization
## @@信息搜索
除了被用作化工原料，乙烯还可以调节植物生长，可用于催熟果实。在两个透明的塑料袋中各放一个末成熟的水果，向其中的一个袋子里再放一个成熟的水果，将袋口密封,观察并比较水果的变化。请查阅资料，与同学交流，解释以上现象。
图 7-12 聚乙烯的分子结构模型（局部）
## 一烃
有机化合物都含有碳元素,还常含有氢、氧,以及氮、卣素、硫、磷等元素。其中仅含碳和氢两种元素的有机化合物称为碳氢化合物，也称为烃。
根据烃分子中碳原子间成键方式的不同，可以对烃进行分类，如图 7-13 所示。分子中的碳原子之间只以单键结合，剩余价键均被氢原子“饱和” 的烃称为饱和烃,即烷烃；分子中碳原子的价键没有全部被氢原子“饱和” 的烃称为不饱和烃,其中分子中含有碳碳双键的称为烯烃,含有碳碳三键的称为炔烃,含有苯环的称为芳香烃。根据碳骨架的不同，还可以将烃分为链状烃和环状烃。
碳氢化合物（烃）
hydrocarbon
不饱和烃
unsaturated hydrocarbon
烯烃 alkene
炔烃 alkyne
芳香烃
aromatic hydrocarbon 乙炔 acetylene
苯 benzene
除了烯烃,炔烃也是一类重要的不饱和烃,乙炔是最简单的炔烃。苯是芳香烃的母体,是一种具有环状分子结构的不饱和烃,其结构式习惯上简写为。实际上苯分子中 6 个碳原子之间的键完全相同,所以也常用 @来表示苯分子的结构。
图 7-13 烃的分类
## 烃的分子结构
## 【目的】
以甲烷、乙烯和乙炔为例，借助模型认识烃的分子结构。
## 【活动】
（1）根据碳原子的成键规律和甲烷、乙烯、乙炔的结构式，写出三者的电子式,并讨论其分子中有哪些类型的化学键。
（2）结合以上分析,使用分子结构模型（或橡皮泥、黏土、泡沬塑料、牙签等代用品）搭建甲烷、乙烯和乙炔分子的球棍模型。展示并描述三者的分子结构特点。记录:
| 烃 | 甲烷 | 乙烯 | 乙炔 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 电子式 | | | |
| 化学键 | | | |
| 分子结构特点 | | | |
## 【问题和讨论 】
（1）比较甲烷和乙烯的化学性质,分析其与二者的分子结构之间存在哪些联系,与同学讨论。
（2）乙炔是甲烷或乙烯的同系物吗?为什么?
## 科学史话
## 芳香族化合物与苯
芳香族化合物是一种习惯说法。历史上芳香族化合物是一类从植物中提取的具有芳香气味的物质。现在这个名称已失去了原来的意义，一般指分子中含有苯环的有机物，它们并不一定有香味。
苯是芳香族化合物的母体，是一种重要的有机化工原料和有机溶剂，被广泛用于生产医药、农药、香料、染料、洗涤剂和合成高分子材料等。早在 19 世纪初,英国科学家法拉第（M. Faraday，1791一1867）就发现了苯,并将其称为“氢的重碳化合物”。后来,法国化学家热拉尔 ( C.-F. Gerhardt,18161856 ）等人又确定了苯的相对分子质量为 78,分子式为 $\mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{6}$。苯分子中氢的相对含量如此之低,看上去是高度不饱和的化合物,应具有比较活泼的化学性质。然而实验事实却否定了以上推测,这使化学家们感到惊讶。苯到底具有怎样的特殊结构呢?
奥地利化学家洛施密特 (J. Loschmidt,1821一1895）曾提出苯具有环状结构。德国化学家凯库勒 (F. A. Kekulé，1829-1896) 在分析了大量实验事实后认为,苯分子中 6 个碳原子之间的结合非常牢固,形成了一个很稳定的“核”,可以与其他碳原子相连形成芳香族化合物;而这个稳定的“核” 具有闭合的环状结构,由碳原子以单、对键相互交替结合而成 (,习,惯上称之为凯库勒式)。
苯的结构的提出具有划时代的意义,有力地推动了有机化学的发展。然而凯库勒式仍存在一定局限。现在人们知道,苯分子具有平面正六边形结构,相邻碳原子之间的键完全相同，其键长介于碳碳单键和碳碳双键的键长之间。
## 三、有机高分子材料
材料是现代社会发展的重要支柱。除了我们学过的金属材料和无机非金属材料,还有一大类非常重要的材料—一有机高分子材料,其全球年产量已超过 3 亿吨,相应的体积超过了同时期生产的钢铁的体积。有机高分子材料在生活和生产的各领域中都有极为广泛的应用。
人们很早就开始使用的棉花、羊毛、天然橡胶等属于天然有机高分子材料,现在使用更多的则是塑料、合成纤维、合成橡胶、黏合剂、涂料等合成有机高分子材料。
1. 塑料
塑料的主要成分是合成树脂,像聚乙烯、聚丙烯、聚氯乙烯、酚醛树脂等都是生产塑料的合成树脂。此外,人们还根据需要加人一些具有特定作用的添加剂,如能提高塑性的增塑剂,防止塑料老化的防老剂,以及增强材料、着色剂等,再经过压制等加工处理,才能得到各种塑料制品。塑料具有强度高、密度小、耐腐蚀、易加工等优良的性能,在日常生活和工业生产中大量代替了钢铁、木材等传统材料。塑料的品种很多,用途也各不相同。
表7-1 几种常见塑料的性能与主要用途
## 2. 橡胶
橡胶是一类具有高弹性的高分子材料,是制造汽车、飞机轮胎和各种密封材料所必需的原料。人们很早就知道从橡胶树等植物中获得天然橡胶,但天然橡胶远不能满足人们的需要,于是化学家开始研究如何用化学方法人工合成橡胶。经过分析发现,天然橡胶的主要成分是聚异戊二烯。
图 7-14 硫化后的橡胶适合制造轮胎,加人炭黑可提高轮胎的耐磨性通过模仿天然橡胶的分子组成和结构，人们以异戊二烯为单体进行聚合反应,制得了异戊橡胶。异戊橡胶的性能与天然橡胶十分接近,又被称为合成天然橡胶。随着技术的发展,人们还开发了丁苯橡胶、顺丁橡胶、氯丁橡胶等一系列合成橡胶。
许多橡胶具有线型结构，有一定弹性，但强度和㓞性差。为了克服这些缺点,工业上常用硫与橡胶作用进行橡胶硫化,使线型的高分子链之间通过硫原子形成化学键,产生交联,形成网状结构。硫化橡胶具有更好的强度、㓞 性、弹性和化学稳定性。人们还开发了耐热和耐酸、碱腐蚀的氟橡胶,耐高温和严寒的硅橡胶等特种橡胶。特种橡胶在航空、航天和国防等尖端技术领域中发挥着重要的作用。
图 7-15 橡胶消声瓦可有效降低潜艇航行时的噪声，提高潜艇的隐蔽性
## 3. 纤维
人类用棉花、羊毛、蚕丝和麻等天然纤维纺纱织布已有悠久的历史,但天然纤维无论是在产量上还是在质量上都不能满足人类的需要。随着化学科学的发展,人类开始用化学方法将农林产品中的纤维素、蛋白质等天然高分子加工成黏胶纤维、大豆蛋白纤维等再生纤维,后来发展到以石油、天然气和煤等为原料制成有机小分子单体，再经聚合反应生产合成纤维。再生纤维与合成纤维统称为化学纤维。
常见的合成纤维有聚丙烯纤维 (丙纶)、聚氯乙烯纤维 (氯纶)、聚丙烯腈纤维 (腈纶)、聚对苯二甲酸乙二酯纤维 ( 涤纶) 和聚酰胺纤维 (锦纶、芳纶) 等。合成纤维具有强度高、弹性好、耐磨、耐化学腐蚀、不易虫蛀等优良性能,除了供人类穿着外,还可以制成绳索、渔网、工业用滤布,以及飞机、船舶的结构材料等,广泛应用于工农业生产的各个领域。
## 思考与讨论
请利用图示或表格等形式,对学过的常见材料进行归纳和分类,并注明其性能特点和主要用途。
图 7-16“神舟”飞船航天员穿的航天服使用了多种合成纤维
## 科学・技术・社会
## 膝合剂和涂料
黏合剂又称胶黏剂,日常生活中常用的糔糊、胶水就是最普通的黏合剂。黏合剂根据来源可分为天然黏合剂和合成䵑合剂。人们很早就使用动物的皮或鱼鳔熬胶，用于䵑结木材。合成黏合剂的黏结力强,性能优异,得到了广泛的应用。近几十年来,汽车、电子等行业的发展对稆合剂的性能提出了更高的要求,一系列具有耐高温、耐低温、导电、导磁和导热等性能的特种黏合剂相继问世。
涂料是一类含有机高分子的混合液或粉末,能在物体表面形成附着坚固的涂膜,油漆就是一种常见的涂料。涂料可用于建筑、船舶、车辆,以及家电、家具的保护和装饰。特种涂料在化工、航空等领域具有重要的用途。
图 7-17 我国研制的高性能歼击机使用了隐形涂料
## 练习与应用
1. 乙烯与甲烷在分子结构上的主要差异是乙烯的化学性质与甲烷的相比，较为乙烯属于 ( 填“饱和烃” 或“不饱和烃”)，在一定条件下可以发生反应和反应。2. 下列过程中发生的化学反应属于加成反应的是 ( )。A. 用光照射甲烷与氯气的混合气体
B. 将乙烯通人溴的四氯化碳溶液中
C. 在铂做催化剂的条件下,乙烯与氢气反应
D. 甲烷在空气中不完全燃烧
3. 根据乙烯的性质可以推测丙烯 $\left(\mathrm{CH}_{2}=\mathrm{CH}-\mathrm{CH}_{3}\right)$ 的性质,下列说法错误的是 $(\quad)$。A. 丙烯能使酸性高锰酸钾溶液褪色
B. 丙烯能在空气中燃烧
C. 丙烯与溴发生加成反应的产物是 $\mathrm{CH}_{2} \mathrm{Br}-\mathrm{CH}_{2}-\mathrm{CH}_{2} \mathrm{Br}$
D. 聚丙烯的结构可以表示为 $\left[\mathrm{CH}_{2}-\mathrm{CH}\right]_{n}$ $\mathrm{CH}_{3}$
4. 下列叙述正确的是 $(\quad)$。A. 高分子材料能以石油、煤等化石燃料为原料进行生产
B. 聚乙烯的分子中含有碳碳双键
C. 高分子材料中的有机物分子均呈链状结构
D. 橡胶硫化的过程中发生了化学反应
5. 下列反应中，属于取代反应的是 ( 填序号，下同 )，属于氧化反应的是，属于加成反应的是
(1) 由乙烯制乙醇
(2) 乙烷在空气中燃烧
(3) 乙烯使溴的四氯化碳溶液褪色
(4) 乙烯使酸性高锰酸钾溶液褪色
(5) 乙烷在光照下与氯气反应
6. 比较甲烷与氯气、乙烯与溴的反应,以及甲烷和乙烯在空气中燃烧时发生的反应,将反应类型、反应条件、生成物和反应时发生的现象填人下表。
| 反应物 | 反应类型 | 反应条件 | 生成物 | 现象 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 甲烷、氯气 | | | | |
| 乙烯、溴 | | | | |
| 甲烷、氧气 | | | | |
| 乙烯、氧气 | | | | |
7. 请写出以下反应的化学方程式。( 1 ) 乙烯与氯气发生加成反应。( 2 ) 乙烯与氯化氢发生加成反应。( 3 ) 氯乙烯 $\left(\mathrm{CH}_{2}=\mathrm{CHCl}\right)$ 发生加聚反应生成聚氯乙烯。8. 汽车车身两侧遮罩车轮的挡板 (翼子板 ),传统上多使用金属材料制造,现在已有塑料材质的问世。这种改变可能有哪些好处?请查阅资料,结合塑料的性能进行说明,并了解汽车上还有哪些部件使用了有机高分子材料。
## 第三节
乙醇与乙酸
人们很早就知道用粮食或水果发酵生产酒和醋。酒中含有的乙醇和醋中含有的乙酸是两种常见的有机化合物。
## 一、乙醇
早在几千年前,人类就掌握了发酵法酿酒的技术。各种酒类都含有浓度不等的乙醇,故乙醇俗称酒精。乙醇是无色、有特殊香味的液体,密度比水的小,易挥发。乙醇是一种重要的有机溶剂,能够溶解多种有机物和无机物,并能与水以任意比例互溶。
乙醇的分子式是 $\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{6} \mathrm{O}$，结构式为:
可简写为 $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{OH}$ 或 $\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{5} \mathrm{OH}$，其中的一 $\mathrm{OH}$ 原子团称为羟基。乙醇可以看成是乙烷分子中的一个氢原子被羟基取代后的产物。像这样，烃分子中的氢原子被其他原子或原子团所取代而生成的一系列化合物称为烃的衍生物。前面提及的一氯甲烷、二氯甲烷和 1,2 -二溴乙烷等卤代烃也属于烃的衍生物。烃的衍生物与其母体化合物相比,其性质因分子中取代基团的存在而不同。
## 1. 乙醇与钠反应
## 【实验7-4】
在盛有少量无水乙醇的试管中,加入一小块新切的、
## 数据
乙醇
熔点: $-117^{\circ} \mathrm{C}$
沸点: $78.5^{\circ} \mathrm{C}$
密度: $0.789 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}$
图 7-18 乙醇的分子结构模型乙醇 ethanol
烃的衍生物
derivative of hydrocarbon
图 7-19 乙醇与钠反应
官能团 functional group
## 提示
烃分子失去 1 个氢原子后所剩余的部分叫做烃基,可以用一R来表示。如一 $\mathrm{CH}_{3}$ 叫甲基，- $\mathrm{CH}_{2} \mathrm{CH}_{3}$ 叫乙基。烃的衍生物分子一般可以看成是烃基和官能团相互结合组成的。例如,乙醇分子可以看成是由乙基和嵯基组成的: $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{2}+\mathrm{OH}$
图 7-20 乙醇的催化氧化用滤纸吸千表面煤油的钠，在试管口迅速塞上带尖嘴导管的橡胶塞,用小试管收集气体并检验其纯度，然后点燃 (如图 7-19),再将千燥的小烧杯罩在火焰上。待烧杯壁上出现液滴后，迅速倒转烧杯，向其中加入少量澄清石灰水。观察现象，并与前面做过的水与钠反应的实验现象进行比较。
与烷烃不同,乙醇由于分子中羟基的存在,可以与钠发生反应。在该反应中,钠置换了嵯基中的氢,生成了氢气和乙醇钠。
$$
2 \mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{OH}+2 \mathrm{Na} \longrightarrow 2 \mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{ONa}+\mathrm{H}_{2} \uparrow
$$
乙醇羟基中的氢原子不如水分子中的氢原子活泼。实验现象表明，乙醇与钠的反应比相同条件下水与钠的反应缓和得多。
乙醇具有与乙烷不同的性质,从分子结构角度分析,是因为取代氢原子的羟基对乙醇的性质产生了影响。像这种决定有机化合物特性的原子或原子团叫做官能团。嵯基是醇类物质的官能团，碳碳双键和碳碳三键分别是烯烃和炔烃的官能团。
## 2. 氧化反应
乙醇在空气中燃烧时生成二氧化碳和水，同时放出大量的热。
$\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{OH}+3 \mathrm{O}_{2} \stackrel{\text { 点燃 }}{\longrightarrow} 2 \mathrm{CO}_{2}+3 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}$
在一定条件下，乙醇还能被氧化为其他产物。
## 【实验7-5】
向试管中加入少量乙醇，取一根铜丝，下端绕成螺旋状，在酒精灯上灼烧后揷入乙醇，反复几次。注意观察反应现象，小心地闻试管中液体产生的气味。
乙醇在加热和有催化剂（如铜或银 ) 存在等条件下,可以被空气中的氧气氧化为乙醛 $\left(\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CHO}\right)$。
$$
2 \mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{OH}+\mathrm{O}_{2} \stackrel{\text { 催化剂 }}{\triangle} 2 \mathrm{CH}_{3} \mathrm{CHO}+2 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}
$$
乙醛的官能团是醛基 $(\stackrel{-}{\mathrm{C}}-\mathrm{H}$,或写作一 $-\mathrm{CHO})$,在适当条件下乙醛可以被氧气进一步氧化,生成乙酸 $\left(\mathrm{CH}_{3} \mathrm{COOH}\right)$。
乙醇还可以与酸性高锰酸钾溶液或酸性重铬酸钾 $\left(\mathrm{K}_{2} \mathrm{Cr}_{2} \mathrm{O}_{7}\right)$ 溶液反应，被氧化成乙酸。
乙醇可用作燃料,还是重要的有机化工原料和溶剂,用于生产医药、香料、化妆品、涂料等。医疗上常用 $75 \%$ ( 体积分数) 的乙醇溶液作消毒剂。
## 资料卡片
酒类产品标签中的酒精度是指乙醇的体积分数,白酒一般在 $25 \% \sim 68 \%$,啤酒一般在 $3 \% \sim 5 \%$。乙醇进入人体后,会在肝中通过酶的催化作用被氧化为乙醛和乙酸,最终被氧化为二氧化碳和水。过量饮酒会加重肝负担,血液中较高浓度的乙醇和乙醛也会对人体产生毒害作用。
## 二、乙酸
食醋是生活中常见的调味品,其中含有 $3 \% \sim 5 \%$ 的乙酸,所以乙酸又被称为醋酸。乙酸是有强烈刺激性气味的无色液体。当温度低于熔点时,乙酸可凝结成类似冰的晶体,所以纯净的乙酸又叫冰醋酸。乙酸易溶于水和乙醇。
乙酸是烃的含氧衍生物,分子式为 $\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{4} \mathrm{O}_{2}$,结构简式为 $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{COOH}_{\circ}$ 乙酸的官能团是羧基 $(-\stackrel{\mathrm{C}}{\mathrm{C}}-\mathrm{OH}$,或写作一 $\mathrm{COOH})$。乙酸的化学性质主要由其分子中的羒基决定。
## 1. 酸性
乙酸是一种重要的有机酸,具有酸性。
乙醛 acetaldehyde<br>乙酸 acetic acid
## 数据
乙酸
熔点: $16.6^{\circ} \mathrm{C}$
沸点: $118^{\circ} \mathrm{C}$
密度: $1.05 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}$
图 7-21乙酸的分子结构模型
图7-22 乙酸乙酯的制备装置示意图
## 注意
乙醇和乙酸乙酯是常用的化工原料和有机溶剂。它们在储存时应置于密闭容器,存放在阴凉通风处，并与氧化剂、易燃物等分开存放,注意远离火种和热源。
酯 ester
酯化反应
esterification reaction
## 昌方与让方
（1）食醋可以清除水显中的少量水垢（主要成分是碳酸钘），这是利用了乙酸的什么性质？请写出相关反应的化学方程式。
（2）如何比较乙酸与碳酸、盐酸的酸性强弱？请查阅资料,与同学讨论,根据生活经验设计实验方案。
## 2. 酯化反应
## 【实验7-6】
在一支试管中加入 $3 \mathrm{~mL}$ 乙醇，然后边振荡试管边慢慢加入 $2 \mathrm{~mL}$ 浓硫酸和 $2 \mathrm{~mL}$ 乙酸,再加入几片碎瓷片。连接好装置，用酒精灯小心加热，将产生的汬气经导管通到饱和 $\mathrm{Na}_{2} \mathrm{CO}_{3}$ 溶液的液面上（如图 7-22)，观察现象。
在反应过程中，右侧试管内液体的上层有无色透明的油状液体产生，并可以闻到香味，这种有香味的液体是乙酸乙酯。该反应的化学方程式为：
这种酸与醇反应生成酯和水的反应，叫做酯化反应。为了提高酯化反应的速率,一般需要加热,并加人浓硫酸等催化剂。酯化反应是可逆反应，乙酸乙酯会与水发生水解反应生成乙酸和乙醇。
乙酸乙酯是酯类物质中的一种，其官能团是酯基 $(\stackrel{\stackrel{\mathrm{O}}{\|}}{\mathrm{C}}-\mathrm{O}-\mathrm{R}$,或写作- $\mathrm{COOR})$。很多鲜花和水果的香味都来自酯,如草莓中含有乙酸乙酯和乙酸异戊酯,苹果中含有戊酸戊酯。这些分子中碳原子数较少、相对分子质量较小的低级酯具有一定的挥发性，有芳香气味，可用作饮料、糖果、化妆品中的香料和有机溶剂。
## 三、官能团与有机化合物的分类
通过对乙烯、乙醇和乙酸性质的学习，我们认识到官能团对有机物的性质具有决定作用，含有相同官能团的有机物在性质上具有相似之处。因此我们可以根据有机物分子中所含官能团的不同,从结构和性质上对数量庞大的有机物进行分类（如表7-2)。
表7-2 常见的有机化合物类别、官能团和代表物
| 有机化合物类别 | 官能团 | 代表物 |
| :---: | :---: | :---: |
| 烷烃 | - | $\mathrm{CH}_{4} \quad$ 甲烷 |
| 烯烃 | 炭碳双 | $\mathrm{CH}_{2}=\mathrm{CH}_{2}$ 乙烯 |
| 炔烃 | $-\mathrm{C} \equiv \mathrm{C}-\quad$ 碳碳三键 | $\mathrm{CH} \equiv \mathrm{CH} \quad$ 乙炔 |
| 芳香烃 | | 苯 |
| 卤代烃 | $-X$ 碳卤键 $(-X$ 卤素原子） | $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{Br}$ 溴乙烷 |
| 醇 | $-\mathrm{OH}$ 嵯基 | $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{OH}$ 乙醇 |
| 醛 | $-\mathrm{C}-\mathrm{H} \quad$ 醛基 | $\mathrm{CH}_{3}-\mathrm{C}-\mathrm{H}$ 乙醛 |
| 羧酸 | $-\mathrm{C}-\mathrm{OH}$ 羧基 | $\mathrm{CH}_{3}-\mathrm{C}-\mathrm{OH} \quad$ 乙酸 |
| 酯 | | |
方法导引
认识有机化合物的一般思路
认识一种有机物，可先从结构入手，分析其碳骨架和官能团,了解它所属的有机物类别;再结合这类有机物的一般性质,推测该有机物可能具有的性质,并通过实验进行验证;在此基础上进一步了解该有机物的用途。另外，还可以根据有机物发生的化学反应,了解其在有机物转化 (有机合成 ) 中的作用。与认识无机物类似，认识有机物也体现了“结构决定性质” 的观念。各类有机物在结构和性质上具有的明显规律性,有助于我们更好地认识有机物。
## 练》与产用
1. 从结构上看,烃的衍生物是分子中的被所取代的产物。含有相同官能团的有机物在性质上，因此我们可以根据有机物分子中的不同对有机物进行分类。2. 乙醇和乙酸都是烃的衍生物，其分子中的官能团分别是和。乙醇可以发生反应生成乙醛，乙醛的官能团是。乙醇和乙酸在条件下可以发生
反应生成乙酸乙酯，乙酸乙酯的官能团是
3. 下列说法中正确的是 $(\quad)$。A. 乙醇分子中有一 $\mathrm{OH}$ 基团,所以乙醇溶于水后溶液显碱性
B. 乙醇与钠反应可以产生氢气,所以乙醇溶于水后溶液显酸性
C. 乙醇在空气中燃烧生成二氧化碳和水,说明乙醇分子中含有 $\mathrm{C}、\mathrm{H}、\mathrm{O}$ 三种元素
D. 乙醇羟基中的氢原子比乙烷中的氢原子活泼
4. 下列物质中不能用来鉴别乙醇和乙酸的是 $(\quad \quad)$。A. 铁粉
B. 溴水
C. 碳酸钠溶液
D. 紫色石惢溶液
5. $46 \mathrm{~g}$ 某无色液体与足量钠完全反应,得到 $11.2 \mathrm{~L}$ 氢气 ( 标准状况 ),该物质可能是 ( ）。A. $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{COOH}$
B. $\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}$
C. $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{COOC}_{2} \mathrm{H}_{5}$
D. $\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{5} \mathrm{OH}$
6. 请描述下列物质与水混合并静置后的现象，结合该物质的性质进行解释。(1) 溴水
(2) $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{OH}$
(3) $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{COOH}$
(4) $\mathrm{CCl}_{4}$
(5) $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{COOC}_{2} \mathrm{H}_{5}$
(6) $\mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{14}$
7. $30 \mathrm{~g}$ 乙酸与 $46 \mathrm{~g}$ 乙醇在一定条件下发生酯化反应,如果实际产率为 $68 \%$,则可得到的乙酸乙酯的质量是多少?8. 写出下列物质间转化的化学方程式,并注明反应条件,分析转化过程中官能团与有机物类别的变化。
9. 人们常说“酒是陈的香”,而有的酒在存放过程中却会变酸。请查阅资料,结合本节所学内容对上述现象进行解释。
## 第四节
基本营养物质
生命活动需要一系列复杂的化学过程来维持,食物中的营养物质是这些过程的物质和能量基础。我们已经知道,营养物质主要包括糖类、蛋白质、油脂、维生素、无机盐和水。除了水,人们每天摄人量较大的是糖类、蛋白质和油脂这三类有机物,它们既是人体必需的基本营养物质,也是食品工业的重要原料。
## 一、糖类
糖类是绿色植物光合作用的产物,也是人类最重要的能量来源。人们最初发现的这一类化合物的化学组成大多符合 $\mathrm{C}_{n}\left(\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}\right)_{m}$ 的通式,因此糖类也被称为碳水化合物。葡萄糖 $\left(\mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{12} \mathrm{O}_{6}\right)$、蔗糖 $\left(\mathrm{C}_{12} \mathrm{H}_{22} \mathrm{O}_{11}\right)$ 和淀粉 $\left[\left(\mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{10} \mathrm{O}_{5}\right)_{n}\right]$ 等都属于糖类。
表7-3 常见的糖类物质
| 类别 | 特点 | 代表物 | $\begin{array}{c}\text { 代表物 } \\ \text { 的分子式 }\end{array}$ | $\begin{array}{c}\text { 代表物 } \\ \text { 在自然界的存在 }\end{array}$ | 代表物的用途 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 单糖 | $\begin{array}{r}\text { 不能水解为 } \\ \text { 更简单的糖分子 }\end{array}$ | $\begin{array}{c}\text { 葡萄糖、} \\ \text { 果糖 }\end{array}$ | $\mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{12} \mathrm{O}_{6}$ | $\begin{array}{l}\text { 葡萄糖和果糖: 水果、} \\ \text { 蜂蜜 }\end{array}$ | $\begin{array}{l}\text { 营养物质、食品 } \\ \text { 工业原料 }\end{array}$ |
| 二糖 | $\begin{array}{l}\text { 水解后能生 } \\ \text { 成两分子单糖 }\end{array}$ | $\begin{array}{c}\text { 蔗糖、} \\ \text { 麦芽糖 } \\ \text { 乳糖 }\end{array}$ | $\mathrm{C}_{12} \mathrm{H}_{22} \mathrm{O}_{11}$ | $\begin{array}{l}\text { 蔗糖：甘蔗、甜菜 } \\ \text { 乳糖：哺乳动物的乳汁 }\end{array}$ | $\begin{array}{l}\text { 营养物质、食品 } \\ \text { 工业原料 }\end{array}$ |
| 多糖 | $\begin{array}{c}\text { 水解后能生 } \\ \text { 成多分子单糖 }\end{array}$ | $\begin{array}{l}\text { 淀粉、} \\ \text { 纤维素 }\end{array}$ | $\left(\mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{10} \mathrm{O}_{5}\right)_{n}$ | $\begin{array}{l}\text { 淀粉: 植物的种子或 } \\ \text { 块根 } \\ \text { 纤维素：植物的茎、叶 }\end{array}$ | $\begin{array}{l}\text { 淀粉：营养物质 } \\ \text { 食品工业原料 } \\ \text { 纤维素：造纸和 } \\ \text { 纺织工业原料 }\end{array}$ |
图 7-23 葡萄糖与氢氧化铜反应
图 7-24 葡萄糖的银镜反应
图 7-25 淀粉与碘反应葡萄糖和果糖的分子式完全相同，但分子结构不同，二者互为同分异构体。蔗糖和麦芽糖的分子式相同，结构不同,也互为同分异构体。淀粉和纤维素是天然有机高分子,分子中的结构单元数目不同,分子式不同,不能互称为同分异构体。
葡萄糖是最重要的单糖，是构成多种二糖和多糖的基本单元。葡萄糖是一种有甜味的无色晶体,能溶于水,其分子式是 $\mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{12} \mathrm{O}_{6}$,结构简式为:
$\mathrm{CH}_{2} \mathrm{OH}-\mathrm{CHOH}-\mathrm{CHOH}-\mathrm{CHOH}-\mathrm{CHOH}-\mathrm{CHO}$
## 【实验7-7】
（1）在试管中加入 $2 \mathrm{~mL} 10 \% \mathrm{NaOH}$ 溶液，滴加 5 滴 $5 \% \mathrm{CuSO}_{4}$ 溶液，得到新制的 $\mathrm{Cu}(\mathrm{OH})_{2}$。再加入 $2 \mathrm{~mL} 10 \%$ 葡萄糖溶液，加热，观察现象。
（2）在洁净的试管中加入 $1 \mathrm{~mL} 2 \% \mathrm{AgNO}_{3}$ 溶液，然后一边振荡试管,一边逐滴加入 $2 \%$ 氨水,直到最初产生的沉淀恰好溶解为止，得到银氨溶液。再加入 $1 \mathrm{~mL} 10 \%$ 葡萄糖溶液，振荡，然后放在水浴中加热，观察现象
葡蒛糖与新制的氢氧化铜反应,生成砖红色的氧化亚铜沉淀；与银氨溶液反应生成银,在试管内壁形成光亮的银镜。这两个反应可用来检验葡蒛糖。
## 资料卡片
糖尿病患者的糖代谢功能紊乱，其血液和尿液中的葡萄糖含量会超出正常范围。测定患者血液或尿液中的葡萄糖含量有助于判断病情,可使用根据葡萄糖特征反应原理制备的试纸进行测试。
## [实验7-8]
（1）回忆生物课中学习的检验淀粉的方法。将碘溶液滴到一片馒头或土豆上，观察现象。
(2) 在试管中加入 $0.5 \mathrm{~g}$ 淀粉和 $4 \mathrm{~mL} 2 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} \mathrm{H}_{2} \mathrm{SO}_{4}$ 溶液,加热。待溶液冷却后向其中加入 $\mathrm{NaOH}$ 溶液,将溶液调至碱性，再加入少量新制的 $\mathrm{Cu}(\mathrm{OH})_{2}$,加热。观察并解释实验现象。
蔗糖、淀粉和纤维素等在稀酸的催化下能发生水解反应,最终生成单糖。工业上一般用淀粉水解的方法生产葡萄糖。
$$
\begin{aligned}
& \mathrm{C}_{12} \mathrm{H}_{22} \mathrm{O}_{11}+\mathrm{H}_{2} \mathrm{O} \stackrel{\text { 催化剂 }}{\longrightarrow} \mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{12} \mathrm{O}_{6}+\mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{12} \mathrm{O}_{6} \\
& \begin{array}{lll}
\text { 蔗糖 } & \text { 葡萄糖果 } & \text { 糖 }
\end{array} \\
& \left(\mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{10} \mathrm{O}_{5}\right)_{n}+n \mathrm{H}_{2} \mathrm{O} \stackrel{\text { 催化剂 }}{\longrightarrow} n \mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{12} \mathrm{O}_{6} \\
& \text { 淀粉 (或纤维素) } \quad \text { 葡萄糖 }
\end{aligned}
$$
摄人人体内的淀粉在酶的催化作用下也可以发生逐步水解,最终生成葡萄糖。葡萄糖经缓慢氧化转变为二氧化碳和水,同时放出能量 (如图 7-26)。食草动物的体内有纤维素水解酶,可将纤维素水解生成葡蒛糖。人体内没有类似的酶,无法吸收和利用纤维素。但食物中的纤维素能刺激肠道蠕动,有助于消化,因此人们应摄人一定量的蔬菜、水果和粗粮等含纤维素较多的食物。
淀粉和纤维素也是重要的工业原料，二者水解生成的葡萄糖在酶的催化下可以转变为乙醇。这个转化过程被广泛应用于酿酒和利用生物质生产燃料乙醇。
$$
\mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{12} \mathrm{O}_{6} \stackrel{\text { 酶 }}{\longrightarrow} 2 \mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{5} \mathrm{OH}+2 \mathrm{CO}_{2} \uparrow
$$
葡萄糖
## 二、蛋白质
蛋白质是构成细胞的基本物质,存在于各类生物体内。一切重要的生命现象都与蛋白质密切相关。蛋白质是一类非常复杂的天然有机高分子,由碳、氢、氧、氮、硫等元素组成。蛋白质在酸、碱或酶的作用下能发生水解,生成多肽，多肽进一步水解，最终生成氨基酸。
图 7-26 淀粉在人体内的变化
## (9) 信息搜索
我国人民很早就掌握了用粮食酿酒和制醋的技术。请查阅资料，了解我国酿酒和制醋的传统方法,并结合生物课中使用糯米自制米酒的实践活动，分析该过程中发生了哪些化学变化。
## 思考与讨论
观察甘氨酸和苯历氨酸的结构简式,辩认其中的官能团，并说明其结构的共同点。
甘氨酸
苯丙氨酸
## 蛋白质 protein
氨基酸 amino acid
$1.20^{x}$ 中国邮政 CHINA
图 7-27 我国为纪念人工全合成结晶牛胰岛素五十周年而发行的邮票
图 7-28 蛋白质的变性
## 思考与讨论
( 1 ) 为什么医院里用高温蒸煮、紫外线照射或涂抺医用酒精等方法进行消毒?
（2）在生物实验室里，常用甲醛溶液 ( 俗称福尔马林 ) 保存动物标本。在农业上,可以用硫酸铜、生石灰和水制成波尔多液来防治农作物病害。想一想为什么。氨基酸分子中都含有氨基 $\left(-\mathrm{NH}_{2}\right)$ 和羧基。在一定条件下，氨基酸之间能发生聚合反应，生成更为复杂的多肽,进而构成蛋白质。人体从食物中摄取的蛋白质在消化道内酶的作用下，经过水解反应生成各种氨基酸。氨基酸被吸收后可结合成人体所需要的蛋白质。研究蛋白质的结构、功能和合成对探索生命活动规律、促进人类健康具有重要意义。我国科学家于 1965 年在世界上首次完成了具有生命活力的蛋白质一结晶牛胰岛素的全合成,对蛋白质的研究作出了重要贡献。
有的蛋白质能溶于水,如鸡蛋清等;有的则难溶于水,如丝、毛等。蛋白质除了可以水解为氨基酸,还具有一些其他的性质。
## B【实验7-9】
（1）向盛有鸡蛋清溶液的试管中加几滴醋酸铅溶液,观察现象
（2）向盛有鸡蛋清溶液的试管中加几滴浓硝酸，加热,观察现象。
（3）在酒精灯的火焰上分别灼烧一小段头发和丝织品,小心地闻气味。
蛋白质在一些化学试剂,如重金属的盐类、强酸、强碱、乙醇、甲醛等,以及一些物理因素，如加热、紫外线等的作用下会发生变性,溶解度下降,并失去生理活性。蛋白质还可以与一些试剂发生显色反应,如很多蛋白质与浓硝酸作用时呈黄色，可用于蛋白质的检验。此外，蛋白质被灼烧时，会产生类似烧焦羽毛的特殊气味。
蛋白质是人类必需的营养物质，在工业上也有很多应用。用奃丝织成的丝绸可以制作服装；从动物皮、骨中提取的明胶可用作食品增稠剂,生产医药用胶囊和摄影用感光材料,驴皮制的阿胶还是一种中药材;从牛奶和大豆中提取的酪素可以用来制作食品和涂料。绝大多数酶也是蛋白质,是生物体内重要的催化剂,在医药、食品、纺织等领域中有重要的应用价值。
## 三、油脂
油脂是重要的营养物质，我们日常食用的花生油、大豆油和动物油等都属于油脂。在室温下,植物油脂通常呈液态,叫做油;动物油脂通常呈固态,叫做脂肪。油脂的密度比水的小,黏度比较大,触摸时有明显的油淢感。油脂难溶于水，易溶于有机溶剂。食品工业中根据这一性质,常使用有机溶剂来提取植物种子里的油。
油脂可以看作是高级脂肪酸与甘油 (丙三醇) 通过酯化反应生成的酯。其结构可以表示为:
油脂结构中的 R、R'、R"代表高级脂肪酸的烃基，可以相同或不同。常见的高级脂肪酸有饱和脂肪酸,如硬脂酸 $\left(\mathrm{C}_{17} \mathrm{H}_{35} \mathrm{COOH}\right)$ 和软脂酸 $\left(\mathrm{C}_{15} \mathrm{H}_{31} \mathrm{COOH}\right)$,以及不饱和脂肪酸，如油酸 $\left(\mathrm{C}_{17} \mathrm{H}_{33} \mathrm{COOH}\right)$ 和亚油酸 $\left(\mathrm{C}_{17} \mathrm{H}_{31} \mathrm{COOH}\right)$。
脂肪酸的饱和程度对油脂的熔点影响很大。植物油含较多不饱和脂肪酸的甘油酯,熔点较低;动物油含较多饱和脂肪酸的甘油酯,熔点较高。工业上常将液态植物油在一定条件下与氢气发生加成反应,提高其饱和程度,生成固态的氢化植物油。氢化植物油性质稳定,不易变质,便于运输和储存,可用来生产人造奶油、起酥油、代可可脂等食品工业原料。
油脂在人体小肠中通过酶的催化可以发生水解反应,生成高级脂肪酸和甘油,然后再分别进行氧化分解,释放能量。在工业上可利用油脂在碱性条件下的水解反应（即皁化反应）获得高级脂肪酸盐和甘油,进行肥皀生产。油脂能促进脂溶性维生素 (如维生素 A、D、E、K) 的吸收,并为人体提供亚油酸等必需脂肪酸。在烹饪过程中,油脂不仅是加热介质，还会赋予食物令人愉悦的风味和口感。油 oil
脂肪 fat
## 资料卡片
常见的食用油中普遍含有油酸等不饱和脂肪酸的甘油酯，其分子中含有碳碳双键，在空气中放置久了会被氧化，产生过氧化物和醛类等。变质的油脂带有一种难闻的“哈喇”味，不能食用。因此很多食品的包装中常有一小包含有铁粉等物质的脱氧剂,市售的食用油中也普遍加入叔丁基对苯二酚（TBHQ）等抗氧化剂,以确保食品安全。
图 7-29 食品包装中的脱氧剂目前,人们往往容易摄人过多的油脂,影响健康,因此在日常饮食中要注意合理控制油脂的摄人量。
## 科学・技术・社会
奶油
奶油俗称黄油,是将牛乳中的脂肪成分经过提炼浓缩而得到的动物油脂产品。奶油中含有较多的饱和脂肪酸甘油酯,熔化温度在 $30{ }^{\circ} \mathrm{C}$ 左右,比一般植物油的高。这使其在室温下有一定硬度，具有可塑性，适于糕点裱花和保持糕点外形完整;同时,奶油的熔化温度并不太高,因此入口即化,具有良好的口感。另外,奶油具有浓郁的奶香味,还含有较丰富的脂溶性维生素,一直是制作蛋糕、饼干、面包等烘焙食品和巧克力、冰淇淋的重要原料,受到人们的普遍喜爱。
奶油不易保存,且生产成本较高,因此人们很早就开始寻找其代用品。人们发现,液态植物油可以与氢气发生加成反应,生成类似动物脂肪的硬化油脂,即氢化植物油。氢化植物油不易变质,且成本低廉,被大量用来生产人造奶油。
人造奶油，又称人造黄油、植物奶油、麦淇淋,是以氢化植物油和植物油为主要原料,加入水、乳制品、乳化剂、防腐剂、抗氧化剂、香精、色素、维生素等物质生产出来的。其外观和风味与天然奶油十分接近,具有良好的加工性能,能够延长食品的保质期,且成本较低,在现代食品工业中得到了广泛的应用。
图 7-30 奶油和人造奶油的来源与用途示意图
## 化学与职业
## 营养师
在生活中,面对丰富多样的食品,如何根据个人的身体状况选择更适合的品种?在医院里,如何根据患者的病情制定有针对性的食谱,使患者更好地康复?在运动训练中,如何通过饮食及时补充体力,保证训练效果?遇到这些问题时,营养师会根据食品科学、营养学和医学专业知识,结合服务对象的特殊需求进行膳食指导。营养师要了解食物的化学成分,关注各类营养素对健康的影响,熟悉食物营养和食品加工知识,需要具备坚实的化学,特别是有机化学知识基础。目前,营养师在我国还是一个新兴职业。随着公众对健康生活要求的不断提高,将有越来越多的营养师出现在医院、学校、餐厅和食品企业中,成为人们的健康顾问。
## 研究与实践
## 了解食品中的有机化合物
## 【研究目的 】
有机化合物是一般食品的主要成分，其种类和含量在很大程度上决定着食品的营养价值。通过研究与实践，初步了解一些食品的成分，体会有机化学与人体健康和食品生产的密切联系,认识化学在生产和生活中的重要作用。
## 【研究任务 】
（1）收集几种食品的包装,根据食品标签中的配料表,指出其中的哪些配料是有机化合物或含有机化合物。选择其中的几种物质，根据本章所学知识，并查阅资料，分析其所属的有机化合物类别和在食品生产中的作用。
（2）请以糕点、糖果和冷饮生产中普遍使用的奶油和人造奶油为例,查阅资料,从食品生产者的角度说明使用这些油脂的必要性。
（3）奶油中含有较多的饱和脂肪，人造奶油使用的氢化植物油在其生产过程中会产生一些反式脂肪。请以“饱和脂肪”“反式脂肪” 为关键词，搜集相关信息，从消费者和营养师的角度,说明食品中油脂的作用和对人体健康的影响。
（4）“有机食品”“垃圾食品”与食品中的有机化合物成分是否有关?请查阅资料,了解其具体含义。
## 【结果与讨论 】
（1）与同学分享你研究的结果,并就有机化合物在食品生产中的作用进行交流。
（2）请从化学的角度,讨论饮食搭配与人体健康的关系。
## 练习与应用
1. 下列关于葡蒛糖和蔗糖的叙述错误的是（）。A. 分子式不同
B. 分子结构不同
C. 不是同分异构体，但属于同系物
D. 蔗糖可以水解生成葡萄糖和果糖
2. 下列关于淀粉和纤维素的叙述正确的是（）。A. 分子式都是 $\left(\mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{10} \mathrm{O}_{5}\right)_{n}$,是同分异构体
B. 都能为人体提供能量
C. 都可以发生水解，最终产物都是葡萄糖
D. 都是天然高分子
3. 有广告称某品牌的八宝噒（含糯米、红豆、桂圆等）不含糖,适合糖尿病患者食用。你认为下列判断错误的是 ( )。A. 该广告有可能误导消费者
B. 糖尿病患者应少吃含糖的食品，该八宝粥末加糖，可以放心食用
C. 不含糖不等于没有糖类物质,糖尿病患者食用时需慎重考虑
D. 不能盲从广告的宣传
4. 下列关于蛋白质的叙述正确的是（）。A. 蛋白质在人体内消化后会产生氨基酸
B. 温度越高，酶的催化效率越高
C. 重金属盐能使蛋白质变性,所以吞服“钡餐” 会引起中毒
D. 蛋白质遇到浓硫酸会显黄色
5. 油脂的下列性质和用途与其含有的碳碳双键有关的是（）。A. 某些油脂兼有酯和烯烃的一些化学性质
B. 油脂可用于生产甘油
C. 油脂可以为人体提供能量
D. 植物油可用于生产氢化植物油
6. 判断下列说法是否正确,若不正确,请予改正。( 1 ）糖类和蛋白质都是高分子。( 2 ） 糖类、油脂和蛋白质都是由 $\mathrm{C}、\mathrm{H}、\mathrm{O}$ 三种元素组成的。(3) 淀粉和纤维素可用于生产乙醇。( 4 ) 油脂都不能使溴水褪色。7. 某学生进行蔗糖的水解实验，并检验水解产物中是否含有葡萄糖。他的操作如下：取少量纯蔗糖加适量水配成溶液;向蔗糖溶液中加人 3 5 滴稀硫酸;将混合液煮沸几分钟,冷却;向冷却后的溶液中加人银氨溶液,水浴加热,没有银镜产生。
( 1 ) 产生上述实验结果的原因可能是 ( 填字母)。a. 蔗糖尚末水解
b. 煮沸后的溶液中没有加碱中和作催化剂的酸
c. 加热温度不够高
d. 蔗糖水解的产物中没有葡萄糖
( 2 ) 正确的操作应当是
8. 用 $10 \mathrm{t}$ 含淀粉 $15 \%$ 的甘薯，可以生产葡萄糖的质量是多少 ( 假设葡萄糖的产率为 $80 \%$ )?9. 请简要回答下列问题。
（1）末成熟苹果的果肉遇磺酒呈现蓝色,成熟苹果的汁液能与银氨溶液发生反应,试解释原因。
( 2 ) 在以淀粉为原料生产葡萄糖的水解过程中，可用什么方法来检验淀粉的水解是否完全?
(3) 为什么可以用热的碱性溶液洗涤沾有油脂的器皿?
( 4 ) 如何鉴别蚕丝和人造丝（主要成分为纤维素) 织物?
## 整理与提升
## 一、有机化合物结构的辨识
碳骨架和官能团是辨识有机化合物的两个重要视角。
## 1. 碳骨架
两个碳原子之间可以形成单键、双键或三键，多个碳原子之间可以结合成碳链或碳环。
## 2. 官能团
有机化合物中的碳碳双键、嵯基、羧基、酯基等官能团是辨识有机化合物类别、决定有机化合物特性的特征基团。
## 二、有机化合物的性质及转化
1. 几种重要的有机化学反应
## 2. 有机化合物的转化
有机化合物间在一定条件下可以发生转化,转化过程中碳骨架、官能团和有机化合物的类别可能发生变化。
## 三、一些重要有机化合物的结构、性质和用途
1. 依据有机化合物官能团的结构特征,可初步解释和推断有机化合物的性质,依据性质可以分析和预测用途。2. 请列表总结一些有机化合物（如甲烷、乙烯、聚乙烯、乙醇、乙酸、糖类、油脂、蛋白质等）的分子结构、性质和用途，进一步认识结构、性质和用途之间的关系。
## 复习与提高
1. 下列叙述正确的是 ( )。A. 乙烯主要用作植物生长调节剂
B. 糯米中的淀粉水解后就酿成了酒
C. 食用油和白酒都应密封保存
D. 乙酸乙酯可用作食品添加剂
2. 下列物质不属于天然有机高分子的是（）。A. 纤维素
B. 蛋白质
C. 蔗糖
D. 淀粉
3. 氟利昂 -12 是甲烷的氯、氟代物，结构式为 $\mathrm{Cl}-\underset{\mathrm{F}}{\mathrm{C}}-\mathrm{Cl}$。下列叙述正确的是 $(\quad)$。A. 它有两种同分异构体
B. 它是平面结构的分子
C. 它只有一种结构
D. 它有 4 种同分异构体
4. 相同物质的量浓度的下列物质的稀溶液，其中 $\mathrm{pH}$ 最小的是（ ）。A. 乙醇
B. 乙酸
C. 碳酸钠
D. 蔗糖
5. 下列物质中，水解的最终产物可以发生银镜反应的是（）。A. 蔗糖
B. 乙酸乙酯
C. 油脂
D. 蛋白质
涂层的主要成分。下列关于四氯乙烯和聚四氟乙烯的叙述正确的是（）。A. 它们都可以由乙烯发生加成反应得到
B. 四氯乙烯对油脂有较好的溶解作用,聚四氟乙烯的化学性质比较活泼
C. 它们的分子中都不含氢原子
D. 它们都能发生加成反应，都能使酸性高锰酸钾溶液褪色
7. 判断下列说法是否正确，若不正确，请予改正。
( 1 ） 所含元素种类相同而结构不同的化合物互为同分异构体。
( 2 ) 某有机物完全燃烧后生成 $\mathrm{CO}_{2}$ 和 $\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}$,说明该有机物中一定含有 $\mathrm{C}、\mathrm{H}、\mathrm{O}$ 三种元素。
( 3 ) 等体积 $\mathrm{CH}_{4}$ 与 $\mathrm{Cl}_{2}$ 的混合气体在光照下反应，生成物是 $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{Cl}$ 和 $\mathrm{HCl}_{\circ}$
( 4 ) $\mathrm{CH}_{2}=\mathrm{CH}_{2}$ 与 $\mathrm{Cl}_{2}$ 加成反应的产物是 $\mathrm{CH}_{2}-\mathrm{CH}_{2}$。
$\mathrm{Cl} \quad \mathrm{Cl}$
( 5 ) 判断蔗糖水解产物中是否有葡萄糖的方法: 向水解液中直接加人新制的 $\mathrm{Cu}(\mathrm{OH})_{2}$。
（6）鉴别乙醇、乙酸和乙酸乙酯的方法：分别加人 $\mathrm{Na}_{2} \mathrm{CO}_{3}$ 溶液。
8. 某有机物的结构简式为 $\mathrm{HO}-\mathrm{CH}_{2} \mathrm{CH}=\mathrm{CHCH}_{2}-\mathrm{COOH}$,该有机物可能发生哪些类型的化学反应?9. 已知 $\mathrm{A}$ 是石油化学工业重要的基本原料,相对分子质量为 28,在一定条件下能发生下图所示的转化关系。
（1）写出有机物 $\mathrm{A} \sim \mathrm{F}$ 的结构简式、分子中官能团的名称和所属的有机物类别。
( 2 ) 写出实现下列转化的化学方程式,并注明反应类型。(1) $\mathrm{A} \rightarrow \mathrm{F}$
(2) $\mathrm{B} \rightarrow \mathrm{C}$
(3) $\mathrm{B}+\mathrm{D} \rightarrow \mathrm{E}$
10. 用土豆丝做菜时,一般先将其放人水中泡一下,我们会发现水变浑浊,并产生白色沉淀。已知其主要成分是有机物 $\mathrm{A}$,遇碘水后显蓝色，在一定条件下可与水发生反应，最终生成 $\mathrm{B}。\mathrm{~B}$ 能发生银镜反应，还可以在酶的催化下生成一种液体燃料 $\mathrm{C}$。
( 1 ) $\mathrm{A}$ 的名称是，分子式是,A ( 填“能” 或“不能” ) 发生银镜反应。
( 2 ) $\mathrm{B}$ 的名称是，分子式是，B__（填“能”或“不能” ) 发生水解反应。
( 3 ) $\mathrm{C}$ 的名称是。在汽油中加人适量 $\mathrm{C}$ 作为汽车燃料,可以节约石油资源,并减少汽车尾气对空气的污染。工业上生产 $\mathrm{C}$ 主要有两种途径,一种是以乙烯为原料进行合成,另一种是以富含淀粉或纤维素的农林产品为原料,通过发酵法合成。请写出相关反应的化学方程式。查阅资料,进一步比较两种生产方法的特点并对其进行评价。
11. 某有机物由碳、氢、氧、氮 4 种元素组成,其中含碳 $32 \%$,氢 $6.7 \%$,氧 $43 \%$ ( 均为质量分数 )。该有机物的相对分子质量为 75。
(1) 请通过计算写出该有机物的分子式。
( 2 ）该有机物是蛋白质水解的产物,它与乙醇反应生成的酯可用于合成医药和农药,请写出生成该酯的化学方程式。
12. 丙烯酸乙酯天然存在于菠夢等水果中,是一种食品用合成香料,可以用乙烯、丙烯等石油化工产品为原料进行合成:
(1) 由乙烯生成有机物 $\mathrm{A}$ 的化学反应的类型是
( 2 ） 有机物 B 中含有的官能团是 ( 填名称)。$\mathrm{A}$ 与 $\mathrm{B}$ 反应生成丙烯酸乙酯的化学方程式是，该反应的类型是
( 3 ）久置的丙烯酸乙酯自身会发生聚合反应,所得聚合物具有较好的弹性,可用于生产织物和皮革处理剂。请用化学方程式表示上述聚合过程。
（4 ) 丙烯酸乙酯可能具有哪些物理和化学性质?请查阅资料,并与同学讨论,了解其性质与你的推测是否一致。
## 实验活动 8
## 搭建球棍模型认识有机化合物分子结构的特，点
## 【实验目的 】
1. 加深对有机化合物分子结构的认识。2. 初步了解使用模型研究物质结构的方法。
## 【实验用品 】
分子结构模型（或橡皮泥、黏土、泡沬塑料、牙签等代用品）。
【实验步骤】
1. 填写下表，并搭建甲烷分子的球棍模型。
| 甲烷 | |
| :---: | :---: |
| 分子式 | 结构式 |
| | |
结构特点
2. 填写下表，并搭建乙烷、乙烯和乙炔分子的球棍模型，比较三者的空间结构。
| 乙烷 | | 乙烯 | | 乙炔 | |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 分子式 | 结构式 | 分子式 | 结构式 | 分子式 | 结构式 |
| 结构特点 | | 结构特点 | | 结构特点 | |
## 【问题和讨论 】
1. 通过以上有机物分子球棍模型的搭建,归纳碳原子的成键特征和各类烃分子中的化学键类型。2. 根据二氯甲烷的结构式推测其是否有同分异构体,并通过搭建球棍模型进行验证,体会结构式与分子空间结构之间的关系。3. 分子中含有 4 个碳原子的烃可能有多少种结构?尝试用球棍模型进行探究。
## 实验活动 9
## 乙醇、乙酸的主要性质
## 【实验目的 】
1. 通过实验加深对乙醇、乙酸主要性质的认识。2. 初步了解有机化合物的制备方法。3. 提高实验设计能力，体会实验设计在科学探究中的应用。
## 【实验用品】
试管、试管夹、量筒、胶头滴管、玻璃导管、乳胶管、橡胶塞、铁架台、试管架、酒精灯、火柴、碎瓷片。
乙醇、乙酸、饱和 $\mathrm{Na}_{2} \mathrm{CO}_{3}$ 溶液、浓硫酸、铜丝。设计实验所需其他用品:
## 【实验步骤】
## 1. 乙醇的性质
（1）向试管中加入少量乙醇，观察其状态，闻其气味。
（2）设计实验，验证乙醇的燃烧产物。
（3）在试管中加入少量乙醇，把一端弯成螺旋状的铜丝放在酒精灯外焰上加热，使铜丝表面生成一薄层黑色的 $\mathrm{CuO}$，立即将其揷入盛有乙醇的试管中，这样反复操作几次。注意小心地闻生成物的气味，并观察铜丝表面的变化。
## 2. 乙酸的性质
（1 ）向试管中加入少量乙酸，观察其状态，小心地闻其气味。
（2）设计实验，证明乙酸具有酸的通性，并比较乙酸与碳酸的酸性强弱。
（3）在一支试管中加入 $2 \mathrm{~mL}$ 乙醇，然后边振荡试管边慢慢加入 $0.5 \mathrm{~mL}$ 浓硫酸和 $2 \mathrm{~mL}$ 酸,再加入几片碎瓷片。在另一支试管中加入 $3 \mathrm{~mL}$ 饱和 $\mathrm{Na}_{2} \mathrm{CO}_{3}$ 溶液,按图 7-22所示把装置连接好。用小火加热试管里的混合物，产生的蒸气经导管通到饱和 $\mathrm{Na}_{2} \mathrm{CO}_{3}$ 溶液的上方约 $0.5 \mathrm{~cm}$ 处,注意观察该试管内的变化。取下盛有饱和 $\mathrm{Na}_{2} \mathrm{CO}_{3}$ 溶液的试管,并停止加热。振荡盛有饱和 $\mathrm{Na}_{2} \mathrm{CO}_{3}$ 溶液的试管，静置，待溶液分层后，观察上层的油状液体，并注意闻气味。
## 【问题和讨论 】
1. 在乙醇氧化生成乙醛的实验中,加热铜丝及将它揷入乙醇里的操作为什么要反复进行几次?2. 在制取乙酸乙酯的实验中,浓硫酸和饱和 $\mathrm{Na}_{2} \mathrm{CO}_{3}$ 溶液各起什么作用?在实验过程中，盛有饱和 $\mathrm{Na}_{2} \mathrm{CO}_{3}$ 溶液的试管内发生了哪些变化?请解释相关现象。3. 写出实验过程中有关反应的化学方程式。
## 第八章
化学与可持续发展
- 自然资源的开发利用
- 化学品的合理使用
- 环境保护与绿色化学
资源、能源、材料、环保、健康、安全等是当今社会重要的研究主题,化学与这些主题密切相关,在其研究与应用中发挥着重要作用。
按照绿色化学思想和循环经济原则,利用化学变化可以改变原有物质的组成和结构,合成新物质,使之具有更加优异的性能;可以科学、安全、有效和合理地开发自然资源和使用各种化学品,为建设美丽家园发挥化学科学的重要价值。
## 第一节
自然资源的开发利用
自资料卡片
## 自然资源与可持续发展
自然资源是人类社会发展不可或缺的自然物质基础,包括土地与土壤资源、矿产资源、生物资源、水资源、能源资源、环境资源等,根据其能否再生可以分为可再生资源和不可再生资源。可持续发展的目标是在满足人类需要的同时,强调人类的行为要受到自然界的制约,强调人类代际之间、人类与其他生物种群之间、不同国家和不同地区之间的公平。它包括经济可持续发展、社会可持续发展、资源可持续发展、环境可持续发展等方面。化学是人类利用自然资源和应对环境问题的重要科学依据。本节我们将以金属矿物、海水资源和化石燃料的综合利用为例,认识化学的应用价值,了解与此有关的环境与发展问题。
## 一、金属矿物的开发利用
除了金、铂等极少数金属,绝大多数金属元素以化合物的形式存在于自然界。化学要研究如何合理、高效地开发利用这些金属矿物，将其中的金属从其化合物中还原出来,用于生产各种金属材料,这一过程在工业上称为金属的冶炼。根据金属活泼性的不同，可以采用不同的冶炼方法。对一些不活泼金属,可以直接用加热分解的方法将它们从其化合物中还原出来。例如:
$2 \mathrm{HgO}=2 \mathrm{Hg}+\mathrm{O}_{2} \uparrow$
$2 \mathrm{Ag}_{2} \mathrm{O} \stackrel{\Delta}{=} 4 \mathrm{Ag}+\mathrm{O}_{2} \uparrow$
对一些非常活泼的金属,采用一般的还原剂很难将它们从其化合物中还原出来,工业上常用电解法冶炼。例如:
$\mathrm{MgCl}_{2}$ (熔融 $) \stackrel{\text { 电解 }}{=} \mathrm{Mg}+\mathrm{Cl}_{2} \uparrow$
$2 \mathrm{Al}_{2} \mathrm{O}_{3}$ (熔融) $)$ 电解
$2 \mathrm{NaCl}($ 熔融 $) \stackrel{\text { 电解 }}{=} 2 \mathrm{Na}+\mathrm{Cl}_{2} \uparrow$
大部分金属的冶炼都是通过在高温下发生的氧化还原反应来完成的,常用的还原剂有焦炭、一氧化碳、氢气等,如我们在初中学过的用碳还原氧化铜和一氧化碳还原氧化铁。一些活泼金属也可作还原剂,将相对不活泼的金属从其化合物中置换出来。例如,铝热反应的原理是：
$$
\mathrm{Fe}_{2} \mathrm{O}_{3}+2 \mathrm{Al} \stackrel{\text { 高温 }}{=} 2 \mathrm{Fe}+\mathrm{Al}_{2} \mathrm{O}_{3}
$$
地球上的金属矿物资源是有限的,且分布不均。人类通过金属的冶炼,每年从自然界中提取数以亿吨计的金属,这个过程中会消耗许多能量,也易造成环境污染。而金属腐蚀现象普遍存在,也造成了大量损失。因此,合理开发和利用金属资源显得尤为重要,其主要途径有提高金属矿物的利用率,开发环保高效的金属冶炼方法,防止金属的腐蚀,加强废旧金属的回收和再利用,使用其他材料代替金属材料，等等。
## 思考与讨论
计算表明,生产 $1 \mathrm{~mol}$ 铝消耗的电能至少为 $1.8 \times 10^{6} \mathrm{~J}$,回收铝质饮料罐得到铝与从铝土矿制铝相比,前者的能耗仅为后者的 3\% 5\%。通过对上述数据的分析和比较，结合图 8-1 和图 8-2，你想到了什么?请将你的想法与同学交流。
图 8-1 铝的生产原理示意图
图 8-2 与生产 $1 \mathrm{~kg}$ 铝相关联的消耗
## 二、海水资源的开发利用
海洋约占地球表面积的 $71 \%$，其中的水资源和其他化学资源具有十分巨大的开发潜力。
海水中水的储量约为 $1.3 \times 10^{18} \mathrm{t}$,约占地球上总水量的 $97 \%$。海水水资源的利用,主要包括海水淡化和直接利用海水进行循环冷却等。海水淡化的方法主要有蒸馏法、反渗透法和电渗析法等。其中蒸馏法的历史最久，技术和工艺也比较成熟。
我国海水制盐具有悠久的历史。目前,从海水中制得的氯化钠除了供食用,还作为化工原料用于生产烧碱、纯碱、钠、氯气、盐酸等。从海水中制取镁、钾、溴及其他化工产品,就是在传统海水制盐工业的基础上发展起来的。海水淡化与化工生产、能源开发等相结合已经成为海水综合利用的重要方向（如图 8-3)。
图 8-3 海水的综合利用示意图
## 资料卡片
## 海水中的化学元素
由于与岩石、大气和生物的相互作用,海水中溶解和悬浮着大量的无机物和有机物。海水中含量最多的 $\mathrm{O}、\mathrm{H}$ 两种元素，加上 $\mathrm{Cl}、$ $\mathrm{Na}、\mathrm{Mg}、\mathrm{~S}、\mathrm{Ca}、\mathrm{~K}、\mathrm{Br}、\mathrm{C}、\mathrm{Sr}、\mathrm{~B}、\mathrm{~F}$ 等 11 种元素，其总含量超过 $99 \%$，其他元素为微量。虽然海水中元素的种类很多,总储量很大,但许多元素的富集程度却很低。例如,海水中金元素的总储量约为 $5 \times 10^{6} \mathrm{t}$,而 $1 \mathrm{t}$ 海水中金元素的含量仅为 $4 \times 10^{-6} \mathrm{~g}$。海洋还是一个远末充分开发的巨大化学资源宝库。
## 思考与讨论
溴及其化合物在医药、农药、染料和阻燃剂等的生产中有广泛应用。目前，人们主要从海水和盐湖水中提取溴。
工业上常用的一种海水提溴技术叫做“吹出法”，其过程主要包括氧化（用氯气氧化海水中的溴离子)、吹出（用空气将生成的溴吹出)、吸收（用二氧化硫作还原剂使溴转化为氢溴酸,以使其与空气分离)、蒸馏 (再用氯气将氢溴酸氧化为溴后蒸馏分离）等环节（如图 8-4)。请分析并讨论以上生产流程，写出氧化和吸收环节主要反应的离子方程式。
图 8-4 海水提溴工艺流程示意图
除了上面一些实例,从海水获得其他物质和能量也具有广阔的前景。例如,铀和重水是核能开发中的重要原料,从海水中提取铀和重水具有一定的战略意义;潮汐能、波浪能等新型能源的开发和利用也越来越受到重视。
## (9) 信息搜索
以“海水淡化”“海水制盐”“海水提溴”等为关键词，在网络上搜集相关资料，进一步了解海水资源综合利用的途径。
## 三、煤、石油和天然气的综合利用
煤 coal
石油 petroleum
天然气 natural gas 迄今为止，煤、石油和天然气仍是人类使用的主要能源,同时它们也是重要的化工原料。如何实现化石燃料的综合利用，提高利用率，减少化石燃料燃烧所造成的环境污染，是人类面临的重大挑战。
煤是由有机物和少量无机物组成的复杂混合物，其组成以碳元素为主,还含有少量氢、氧、氮、硫等元素。通过煤的干馏、气化和液化获得清洁的燃料和多种化工原料,是目前实现煤的综合利用的主要途径。
煤的干馏是指将煤隔绝空气加强热使之分解的过程,工业上也叫煤的焦化。从煤的干馏产物中可以获得重要的化工原料（如表 8-1）。
表 8-1 煤干馏的主要产品和用途
| 产品 | | $\begin{array}{c}\text { 主要成分 } \\ \text { 氢气、甲烷、乙烯、} \\ \text { 一氧化碳 }\end{array}$ | $\begin{array}{c}\text { 用途 } \\ \text { 气体燃料、化工原料 }\end{array}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 出炉 | 焦炉气 | | |
| 煤气 | 粗氨水 | 氨、铵盐 | $\begin{array}{l}\text { 化肥、炸药、染料、医药、} \\ \text { 农药、合成材料 }\end{array}$ |
| | 粗苯 | 苯、甲苯、二甲苯 | |
| 煤焦油 | | 苯、甲苯、二甲苯 | |
| | | 酚类、萘 | 染料、医药、农药、合成材料 |
| | | 沥青 | 筑路材料、碳素电极 |
| 焦炭 | | 碳 | 冶金、合成氨造气、电右石 |
煤的气化是将煤转化为可燃性气体的过程,主要反应是碳与水蒸气反应生成水煤气等。
$\mathrm{C}+\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}(\mathrm{g}) \stackrel{\text { 高温 }}{=} \mathrm{CO}+\mathrm{H}_{2}$
煤可以直接液化,使煤与氢气作用生成液体燃料;煤也可以间接液化,一般是先转化为一氧化碳和氢气,然后在催化剂的作用下合成甲醇等。
天然气是一种清洁的化石燃料,它作为化工原料则主要用于合成氨和生产甲醇等。以含一个碳原子的甲烷为原料,通过化学变化合成含两个或多个碳原子的其他有机化合物,是一项具有重大实用价值的研究课题。
## 天然气水合物
天然气水合物是天然气与水在高压、低温条件下形成的类冰状结晶物质,主要成分是甲烷水合物,其组成可表示为 $\mathrm{CH}_{4} \cdot n \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}$,甲烷分子处于由多个水分子形成的笼中。天然气水合物的外观像冰,具有可燃性,故又被称为“可燃冰”。它被认为是 21 世纪的高效清洁能源。但是,储量巨大的天然气水合物的分解和甲烷释放,可能会诱发海底地质灾害,加重温室效应。目前,开发利用天然气水合物已经成为人们关注的重要领域,相关研究取得了多项进展。我国的天然气水合物开采技术处于世界先进水平。
图 8-5 我国南海可燃冰试开采成功
石油是由多种碳氢化合物组成的混合物,成分复杂,需要先在炼油厂进行精炼。利用石油中各组分沸点的不同进行分离的过程叫做分馏。
石油经分馏后可以获得汽油、煤油、柴油等含碳原子少的轻质油,但其产量难以满足社会需求,而含碳原子多的重油却供大于求。因此,需要通过催化裂化过程将重油裂化为汽油等物质,再进一步裂解,可以获得很多重要的化工原料。例如:
$$
\begin{aligned}
& \text { 十六烷辛烷辛烯 }
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
& \text { 辛烷丁烷丁烯 }
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
& \text { 丁烷甲烷丙烯 }
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
& \text { 丁烷乙烷乙烯 }
\end{aligned}
$$
分馏 fractionation
裂化 cracking
裂解 pyrolysis
通过石油裂化和裂解可以得到乙烯、丙烯、甲烷等重要的基本化工原料。另外,石油在加热和催化剂的作用下,可以通过结构的调整,使链状烃转化为环状烃,如苯或甲苯等。
图 8-6 石油的分馏和裂化及产品用途示意图
目前,多数石油产品仍作为燃料使用,只有一部分转化为化工、纺织、建材、医药、日用化学品等行业的基本原料。
图 8-7 石油化工产品的应用及投人产出示意图以煤、石油和天然气为原料,通过化学反应获得许多性能优异的合成高分子材料,如我们熟悉的塑料、合成橡胶和合成纤维，使人类在利用自然资源的进程中前进了一大步。例如,在石油工业发展的早期,乙烯和丙烯都曾被当作炼油厂的废气而白白烧掉,聚乙烯和聚丙烯的研制成功使乙烯、丙烯这些曾经的“废弃物” 得到了充分利用。随着合成材料的大量生产和使用,急剧增加的废弃物也给人类社会造成了巨大的环境压力。
## 科学・技术・社会
## 生物质资源的利用
人类对生物质资源的开发利用具有悠久的历史。古代人类在长期实践中学会了种植农作物、用薪柴生火、酿酒、造醋、制作饴糖、植物药用，等等。现代科技的发展为开发利用生物质资源奠定了更加坚实的基础。人们利用物理、化学和生物方法将生物质资源转化为材料 (如木材、纸张)、燃料 (如生物乙醇、生物柴油），以及基本化工原料（如木炭、乙醇、甲醇、甲烷）等。目前，我国可供开发利用的生物质资源主要有农业、林业产品的废弃物（如农作物秸秆、林木加工余料），生产和生活的废弃物（如屍余垃圾、畜禽粪便）等。随着科技和社会的发展,以来自生物质的纤维素、淀粉和油脂等为原料的化工生产路线，替代以煤、石油和天然气为原料的路线，将是条绿色的可持续发展途径。
## 练习与应用
1. 下列过程属于物理变化的是 ( $)$。A. 煤的干馏
B. 石油分馏
C. 石油裂化
D. 乙烯聚合
2. 完成下列反应的化学方程式,并指明其中的氧化剂和还原剂。$\mathrm{SnO}_{2}+\mathrm{C}-\mathrm{Sn}+\mathrm{CO}$
$\mathrm{WO}_{3}+\mathrm{H}_{2}-\mathrm{W}+\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}$
$\mathrm{PbS}+\mathrm{O}_{2}-\mathrm{PbO}+\mathrm{SO}_{2}$
$\mathrm{UF}_{4}+\mathrm{Mg}-\mathrm{U}+\mathrm{MgF}_{2}$
3. 蓝铜矿的主要成分为 $2 \mathrm{CuCO}_{3} \cdot \mathrm{Cu}(\mathrm{OH})_{2}$,将它与焦炭一起加热时,可以生成 $\mathrm{Cu}、\mathrm{CO}_{2}$ 和 $\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}$。请写出该反应的化学方程式，并注明反应类型。4. 某种磁铁矿样品含 $\mathrm{Fe}_{3} \mathrm{O}_{4} 76.0 \%,\mathrm{SiO}_{2} 11.0 \%$,其他不含铁的杂质 $13.0 \%$,请计算这种矿样中铁的质量分数。5. 海带中含有碘元素。从海带中提取碘的实验过程如下图所示:
(1) 实验步骤(1)会用到下列仪器中的 ( 填字母 )。a. 酒精灯
b. 漏斗
c. 坩埚
d. 泥三角
(2) 步骤(3)的操作名称是
(3) 步骤(4)中反应的离子方程式为
(4) 请设计一种检验水溶液中是否含有碘单质的方法:
( 5 ) 海带灰中含有的硫酸盐、碳酸盐等，在实验步骤 ( 填序号) 中实现与碘分离。
6. 镁及其合金是用途很广的金属材料,可以通过以下步骤从海水中提取镁。
(1) 为了使 $\mathrm{MgSO}_{4}$ 转化为 $\mathrm{Mg}(\mathrm{OH})_{2}$,试剂(1)可以选用；要使 $\mathrm{MgSO}_{4}$ 完全转化为沉淀，加人试剂(1)的量应
( 2 ）加人试剂(1)后,能够分离得到 $\mathrm{Mg}(\mathrm{OH})_{2}$ 沉淀的方法是
(3) 试剂(2)可以选用
(4) 无水 $\mathrm{MgCl}_{2}$ 在熔融状态下,通电后会产生 $\mathrm{Mg}^{\text {和 } \mathrm{Cl}_{2}}$,该反应的化学方程式为
7. 制取非金属单质 (如 $\mathrm{O}_{2}、\mathrm{Br}_{2}$ 和 $\mathrm{Cl}_{2}$ 等) 与制取金属单质的化学原理类似,也是主要利用氧化还原反应,采用热分解、置换、电解等方法,使非金属元素由化合态转变为游离态。请结合具体实例,写出有关反应的化学方程式。8. 由金属矿物转变成金属,一般要经过采矿、选矿和冶炼等过程。在这些过程中可能会产生噪声、粉尘、烟雾、有害气体、污水、固体废物等，造成环境污染。请你查阅有关资料,总结采矿、选矿和冶炼这三个阶段可能产生的主要污染,以及为减轻和消除污染应采取的措施
9. 20 世纪 70 年代以来,人们逐渐认识到,如果继续过分依赖化石燃料作为主要能源,有可能出现严重的能源危机。因此,必须在节约使用的同时寻找新的替代能源。请回答下列问题。
（1）以石油为例,请你分析和归纳,一种比较好的能源应该具有哪些特点。
（2）如果用氢能、生物质能、核能、风能等来代替石油作为主要能源,这样做可能带来哪些问题?你认为应该怎样做会更好些?
(3) 煤、石油和天然气等化石燃料应该作为能源使用,还是应该作为原料加工成医药、化工产品?对这样有争议的问题，你的看法是什么？请查阅有关资料说明你的观点。
## 第二节
化学品的合理使用
化学品可以分为大宗化学品和精细化学品两大类。乙烯、硫酸、纯碱和化肥等属于大宗化学品,医药、农药、日用化学品、食品添加剂等属于精细化学品。生产精细化学品已经成为当代化学工业结构调整的重点之一。科学、安全、有效和合理地使用化学品是每一位生产者和消费者的要求和责任。
## 一、化肥、农药的合理施用
施用化肥和农药是保障农作物增产、减少农作物损失的重要措施。然而,化肥和农药施用不当也会给人类和环境带来危害。
合理施用化肥,除了要考虑土壤酸碱性、作物营养状况等因素,还必须根据化肥本身的性质进行科学施用。例如,硝酸铵是一种高效氮肥,但受热或经撞击易发生爆炸，因此必须作改性处理后才能施用。由于很多化肥易溶于水,过量施用不仅会造成浪费,部分化肥会随着雨水流人河流和湖泊,造成水体富营养化,产生水华等污染现象。另外,不合理施用化肥还会影响土壤的酸碱性和土壤结构。
农药在农作物病虫害的综合防治中占有重要地位。人类早期使用的农药有除虫菊、烟草等植物和波尔多液、石灰硫黄合剂等无机物。后来,人们研制出了有机氯农药、有机磷农药、氨基甲酸酯和拟除虫菊酯类农药等有机合成农药,使农药向着高效、低毒和低残留的方向发展。农药对生态系统和自然环境的影响是广泛而复杂的。
图 8-8 除虫菊中含有的除虫菊酯是一种天然杀虫剂
## 注意事项:
使用后再次进入房间时要注意充分通风。切勿向人畜、食物餐具直接喷射。切勿将罐体濯破切勿撞击。切勿倒置喷射。切多再次充装回收。过敏者禁用，使用中有任何不良反应请及时就医用后请洗手。对鱼、家虫有害，蚕室及其附近禁用。
中毒急救:
若不慎㳚入眼睛，请立即用大量清水冲洗并及时就医。药液不可吞服，若发生误服或吸入不适请立即就医。若不慎触及皮肤,请用肥皀水清洗,并用清水冲洗干净
储存和运输：
请放在儿童触及不到的地方。储于阴凉、干燥处。勿与食品、种子、饮料、粮食、饲料及易燃易爆品同储同运本品属压力容器,内含易燃物，切勿受太阳直射，切勿接近火源和电源。切勿放置在温度超过 $50{ }^{\circ} \mathrm{C}$ 或潮湿的地方，如阳台、㡡房、浴室、汽车驾驶室。轻装轻卸，避免暴晒雨淋。如遇火险,使用二氧化碳、千粉或泡沬灭火器
图 8-9 某种含拟除虫菊酯的杀虫气雾剂及包装上的部分说明文字例如,农药可能会破坏害虫与天敌之间的生态平衡,一些害虫还会产生抗药性;蜜蜂等传粉昆虫对农药很敏感,大田用药如不注意就会引起这些昆虫的大量死亡;农药施用方法、用量和时机不当,会造成土壤和作物的农药残留超标,以及大气、地表水和地下水的污染。
## 科学・技术・社会
## 滴滴涕的功与过
历史上，滴滴涕 (DDT) 和六六六等有机氯杀虫剂揭开了人类施用有机合成农药的新篇章。它们有较高和较宽广的杀虫活性,对人体的急性毒性较低,还有容易生产、价格低廉等优点。
在第二次世界大战期间和战后，DDT的施用使疕蚊、跳掻和苍蝇等得到有效的防治，控制了疫疾、伤寒、鼠疫、霍乱等传染病的流行,挽救了数千万人的生命,为人类的卫生防疫事业作出了巨大的贡献。但由于DDT 对光、空气、酸、碱等表现出很稳定的化学性质，难溶于水，易溶于脂肪，大量施用后会长期存在于自然界中而难以降解，并通过食物链富集在动物的脂肪中,从而对鸟类等昆虫的天敌产生慢性毒害。另外，长期施用 DDT，一些害虫体内的酶会使DDT 发生催化反应脱去 $\mathrm{HCl}$ 变成 $\mathrm{DDE}$。结构的改变使 $\mathrm{DDE}$ 的毒性较低,害虫就具有了对DDT的抗药性。
DDT
图 8-10 有机氯杀虫剂的分子结构及变化
20 世纪中期后,像 DDT 这样的杀虫剂对环境所产生的负面作用逐渐受到公众的广泛关注。一些国家从 20 世纪 70 年代开始禁止生产和施用 DDT。DDT 等有机物在 2001 年被首批列入《关于持久性有机污染物的斯德哥尔摩公约》受控名单。
图8-11 DDT通过生物链富集示意图
## 思考与讨论
以“农业生产中是否应该继续施用化肥和农药” 为题进行小组辩论。可以参考下列正方和反方的一些观点。
正方观点举例 :
(1) 解决全球快速增长人口的吃饭问题。
（2）与有机肥料和天然农药相比,化肥和有机合成农药用量少、见效快。
（3）降低生产成本,促进农业机械化发展。
反方观点举例 :
（1）滥用农药会破坏当地的生态环境。
( 2 ）研制和施用杀虫剂等农药已经进入了恶性循环 ( 如图 8-12)。
（3）绿色食品的口味更好。很多食品味道不好可能与化肥和农药的施用有关。
图 8-12 滥用杀虫剂会造成恶性循环
## 二、合理用药
药物的种类很多,按照来源可以分为天然药物与合成药物。现有药物中的大部分属于合成药物。
药物在人体内有着不同的作用方式,有的是通过改变机体细胞周围的物理、化学环境而发挥药效,如抗酸药能中和胃里过多的胃酸，缓解胃部不适。更多的药物是通过药物分子与机体生物大分子的功能基团结合而发挥药效,其分子结构与生物活性密切相关。具有相同生物活性的药物分子常包含相同的结构成分;某些药物分子的结构稍加改变则可能失去生物活性。貴资料卡片
处方药与非处方药
处方药需要凭医生处方才能从药房或药店获得，并要在医生的指导下使用。非处方药则不需要凭医生处方,消费者可自行购买和使用，其包装上有“OTC”标识。阿司匹林是一种重要的合成药物,化学名称为乙酰水杨酸,具有解热镇痛作用。阿司匹林的发现源于柳树皮中含有的一种物质一一水杨酸,阿司匹林就是以水杨酸为原料生产的。
水杨酸
乙酸酐
乙酰水杨酸
图 8-13 珍爱生命,拒绝毒品
## 思考与讨论
选择一种抗酸药，仔细查阅药品包装和说明书中的信息，如药品名称、成分、性状、功能主治、规格、用法用量、不良反应、禁忌、注意事项、储藏方法、生产日期和有效期等,了解其中有关安全性和有效性的信息,并设计实验方案验证这种抗酸药的有效成分。
药物在促进人类健康的同时,可能对机体产生与用药目的无关的有害作用。以阿司匹林为例，它在人体内产生的水杨酸会刺激胃黏膜，长期大量服用可能会导致胃痛、头痛、眩晕、恶心等不适症状。我国和世界卫生组织 ( WHO) 都建立了有关药品不良反应的报告、监测制度和相关法规。
合理用药必须在医生、药师指导下，遵循安全、有效、经济和适当等原则，主要考虑药物和机体两个方面。药物方面要考虑剂量、剂型、给药途径和时间等因素,如为了发挥药物的最佳疗效,减少毒副作用,有的药物宜使用片剂，有的宜使用注射剂。机体方面要考虑患者年龄、性别、症状、心理和遗传等因素,如在用药时儿童是必须与成年人区别对待的特殊群体。
滥用药物危害巨大。例如,没有医生处方长期服用安眠药或镇静剂;滥用抗生素;运动员服用兴奋剂；等等。吸毒对个人和社会的危害极大。每一个人，尤其是青少年一定要远离毒品。
## 科学・技术・社会
## 化学与药物设计、合成
药物的分子结构、用量和用时的定性、定量研究是药物设计、合成、笩选和合理用药的基础。分子结构及其修饰往往是决定药效的关键,药物的用量和用时也是影响药效的重要因素。
(1) 青蒿素
图 8-14 青高素类药物的分子结构
（2）长效缓释药物
缓释药物可以减少每天吃药的次数，方便了人们的药物使用。制造缓释药物的方法很多,常用的有改变药物的剂型,如用高分子同药物混合,制成黏结性很强的片剂或 20 世纪 70 年代，我国科学家受中医古籍启发,从传统中药中成功分离提取出抗疙疾有效成分青高素。他们对青蒿素分子进行结构修饰和改造，得到了一系列抗疠疾新药,挽救了成千上万人的生命，为治疗这种严重影响人类健康的疾病作出了重大贡献。
图 8-15 我国科学家屠呦呦因青蒿素的研究获得 2015 年诺贝尔生理学或医学奖
微胶囊，使药物中的有效成分缓慢释放;或者将生物活性基团嫁接到高分子的基体上制成高分子药物。例如，将阿司匹林与聚甲基丙烯酸连接起来,得到的缓释阿司匹林可作为抗血栓长效药。
## 三、安全使用食品添加剂
如果你留意过食品标签上的配料表,常会看到其中标注的食品添加剂。食品添加剂是指为改善食品品质和色、香、味,以及防腐、保鲜和加工工艺的需要而加人食品中的人工合成或天然物质。
图 8-16 食品配料表
## 食品添加剂 food additive
图 8-17 糖果中使用了着色剂
## 思考与讨论
结合图 8-16,举例说明食品中含有的食品添加剂。作为一名消费者，你如何看待食品广告中“零添加”“绝不含防腐剂”这样的说法?
在现代食品工业中，食品添加剂的使用满足了人们对食品多样化的需求，保证了市场供应。目前我国使用的食品添加剂有上千个品种，按照来源可以分为天然的和人工合成的两大类;按照主要功能可以分为二十多类，以下是几种常见的类别。
## 1. 着色剂、增味剂
有些食品在加工过程中，其中含有的色素有可能减少、消失或者改变颜色,有些食品营养丰富但色泽较差,添加着色剂可以改善这些状况。天然色素可以从植物或微生物中得到,常见的有红曲红、$\beta$-胡夢卜素、姜黄、叶绿素铜钠盐、焦糖色等。合成色素的着色力强,稳定性好,成本较低，常见的有苋菜红、柠檬黄、靛蓝等。
柠檬黄
味精能增加食品的鲜味,是一种常用的增味剂,其化学名称为谷氨酸钠。通常状况下它是一种无色晶体,易溶于水。味精最早是从海带中发现和提取出来的，现在主要以淀粉为原料通过发酵法生产。
2. 憉松剂、凝固剂
加工馒头、面包和饼干等产品时，加人的一些膨松剂 ( 如碳酸氢铵、碳酸氢钠等) 可中和酸并受热分解，产生大量气体，使面团疏松、多孔，生产的食品松软或酥脆，易于消化吸收。实际生产中还会使用由碳酸盐和酸性物质等混合而成的复合膨松剂。
为了改善食品的形态,食品加工中还会使用凝固剂等物质。例如,豆腐是我国具有悠久历史的传统美食,它是利用盐卣等物质能使豆浆中的蛋白质聚沉的原理制成的。盐卤中含有的氯化镁、硫酸䥻,另外还有葡蒛糖酸 $-\delta-$ 内酯等都是制作豆腐常用的凝固剂。
## 3. 防腐剂、抗氧化剂
防止食品腐败变质需要杀灭微生物或者控制其滋生条件，如采用加人食盐、干燥、加热、冷冻、抽真空等方法。有的方法可能会改变食品原有的味道，有的需要一定的设备才能进行。添加少量防腐剂可以克服上述缺点,又便于食品的工业化生产。常见的防腐剂有苯甲酸及其钠盐、山梨酸及其钾盐等。亚硝酸钠是一种防腐剂和护色剂,可用于一些肉制品如腊肉、香肠等的生产。它不但使肉制品较长时间地保持鲜红色,而且具有防止变质的作用。但是,亚硝酸钠具有一定毒性,还会与食物作用生成致癌物。因此,食品中亚硝酸钠的最大使用量和残留量都有严格规定。同时，亚硝酸钠的外观与食盐相似，应防止误食中毒。
有些食品会因在空气中被氧化而变质,需要加人抗氧化剂。例如,抗坏血酸 (即维生素 C) 能被氧化为脱氢抗坏血酸而发挥抗氧化作用,是水果罐头中常用的抗氧化剂。
## 4. 营养强化剂
由于人们的年龄阶段 (如婴幼儿时期、中老年时期等)、工作环境及地方性营养状况等的特殊要求,需要在食品中加人营养强化剂,以补充必要的营养成分。例如,在食盐中添加磺酸钾,在奶粉中添加维生素、碳酸铂、硫酸亚铁、硫酸锌等。是否需要含有营养强化剂的食品,应
## 信息搜索
有人认为“食品添加剂是现代食品工业的灵魂”;有人对此不以为然,还举出近年来发生的一些“食品安全事件” 作为证据进行反驳。请分别按照上述观点提到的两个主题搜索信息，并对安全使用食品添加剂的注意事项进行归纳和总结。
图 8-18《食品安全国家标准食品添加剂使用标准》
## 资料卡片
## 食品添加剂的使用
根据个人不同情况和医生、营养师的建议而作出选择。
随着食品工业的发展,食品添加剂已成为人类生活中不可缺少的物质，其安全使用问题越来越受到人们的关注。什么物质可以用作食品添加剂,以及食品添加剂的使用量和残留量,相关管理部门都有严格的规定。在规定范围内合理使用食品添加剂,对人体健康不会产生不良影响。但是违反规定,将一些不能作为食品添加剂的物质当作食品添加剂，或者超量使用食品添加剂，都会损害人体健康。
## 表 8-2 部分防腐剂和抗氧化剂的使用规定
(摘自 GB 2760-2014《食品安全国家标准食品添加剂使用标准》)
| $\begin{array}{l}\text { 功能 } \\ \text { 类别 }\end{array}$ | $\begin{array}{c}\text { 食品 } \\ \text { 添加剂 }\end{array}$ | $\begin{array}{l}\text { 使用范围 } \\ \text { ( 举例 ) }\end{array}$ | $\begin{array}{c}\text { 最大 } \\ \text { 使用量 } \\ \left(\mathrm{g} \cdot \mathrm{kg}^{-1}\right)\end{array}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 防腐剂 | 苯甲酸及其钠盐 | 果蔬汁（浆）类饮料 | 1.0 |
| | | 奖油、醋、奖及奖酐制品 | 1.0 |
| | | 腌渍的蔬菜 | 1.0 |
| | 山梨酸及其钾盐 | 面包、糕点 | 1.0 |
| | | 熟肉制品 | 0.075 |
| | | 预制水产品（半成品） | 0.075 |
| $\begin{array}{l}\text { 抗氧 } \\ \text { 化剂 }\end{array}$ | $\begin{array}{l}\text { 抗坏血酸 } \\ \text { (维生素C ) }\end{array}$ | 去皮或预切的鲜水果 | 5.0 |
| | $\begin{array}{c}\text { 丁基嵯基茴香醚 } \\ \text { ( BHA ) }\end{array}$ | 脂肪、油和乳化脂肪制品 | 0.2 |
食品添加剂使用时应符合以下基本要求:
(1) 不应对人体产生任何健康危害;
(2) 不应掩盖食品腐败变质；
(3) 不应掩盖食品本身或加工过程中的质量缺陷，或以掺杂、掺假、伪造为目的而使用食品添加剂;
(4) 不应降低食品本身的营养价值；
(5) 在达到预期效果的前提下尽可能降低在下列情况下可使用食品添加剂:
(1) 保持或提高食品本身的营养价值;
(2) 作为某些特殊墡食用食品的必要配料或成分;
(3) 提高食品的质量和稳定性,改进其感官特性;
(4) 便于食品的生产、加工、包装、运输或者储藏。在食品中的使用量。
## 研究与实践
## 豆腐的制作
## 【研究目的 】
豆制品营养丰富、味道鲜美,是大众喜爱的传统食物。通过制作豆腐,了解其中蕴含的化学原理,加深对胶体和蛋白质性质等知识的理解,培养热爱生活的态度及运用科学知识和方法的能力。
## 【研究任务 】
( 1 ) 收集资料
(1)以“豆腐”“豆腐制作”等为关键词检索资料，了解豆腐的制作原理、制作过程及营养特点，体会中华饮食文化的价值。
(2)了解国家标准中有关石膏、氯化镁等凝固剂的特点及使用规定。
(2) 制作豆腐
根据收集的资料制作豆腐（注意点卤的适宜温度和凝固剂的用量），可参考下图。
(1)泡豆
(4)煮浆
(2)磨豆
(5)点卤
(3)过滤
(6)成形
图 8-19 豆腐的传统制作过程
## 【结果与讨论 】
（1）分享制作的豆腐并评判其品质。
（2）撰写研究报告,与同学讨论。
## 练习与应用
1. 下列物质不能用作食品添加剂的是 ( ）。A. 氯化镁
B. 亚硝酸钠
C. 山梨酸钾
D. 三聚氰胺
2. 下列有关合理用药的说法中正确的是 ( )。A. 非处方药的包装上印有“OTC” 标识
B. 每日早、中、晩三次与每隔 8 小时一次，服药效果相同
C. 一次忘记服药，下次可以增加一倍剂量服用
D. 长期服用阿司匹林可预防某些疾病，没有副作用
3. 请将下列常见食品添加剂按照其主要功能进行分类 (填序号 ):
(1)谷氨酸钠 (2)碳酸氢钠 (3)硫酸铂 (4)磺酸钾 (5)苯甲酸钠
(6)铁强化奖油中的乙二胺四乙酸铁钠 (7)焦糖色 (8)硫酸锌
(1) 着色剂;（2）增味剂;（3）膨松剂
( 4 ) 凝固剂；( 5 ）防腐剂;（6）营养强化剂
4. 碳酸钠和碳酸氢钠在食品工业中均可用作食品添加剂,它们也是生活中常见的日用化学品。
(1) 为了解碳酸钠和碳酸氢钠的性质，请根据以下提示设计实验并完成实验报告。
(1)观察二者的颜色和状态;
(2)观察其在冷水和热水中的溶解情况；
(3)测定其饱和溶液的 $\mathrm{pH}$;
(4)向其溶液中分别逐滴加人盐酸，观察现象。
(2) 根据以上实验的结果和已学过的知识,列表比较碳酸钠和碳酸氢钠性质的异同。
( 3 ) 举例说明碳酸钠和碳酸氢钠在日常生活或食品工业中的用途,根据二者的性质进行解释,并与同学讨论。
5. 农药残留问题经常会成为公众关心的话题。请查阅有关资料，回答下列问题。
（1）为了减少农药残留，选择和施用农药时应该注意什么问题?
（2）日常生活中可以采取哪些措施来防止农药残留对人体的危害?
6. 某抗酸药每片含有 $\mathrm{CaCO}_{3} 534 \mathrm{mg},\mathrm{Mg}(\mathrm{OH})_{2} 180 \mathrm{mg}$。
(1) 写出该抗酸药发挥药效时的化学方程式。
（2）服用抗酸药时，为什么一般要嚼碎后吞服?
7. ( 1 ) 为什么说毒品祸害之大，甚于洪水猛兽?请参考下列提示回答。
个人方面：毒品损害身体,对肝、肾和脑损害尤其大,使人无力工作;毒品会改变人的性格,使人无心工作。
家庭方面：吸毒者除对毒品外，对家人及家事都不感兴趣；为了买毒品不停地搜刮金钱，使家庭贫困，甚至解体。
社会方面：贩毒者铤而走险,危害社会;吸毒注射器共用,传播疾病。
（2）请你设计一幅说明毒品危害的宣传画，并与同学交流。
## 第三节
## 环境保护与绿色化学
人类和其他生物生存的生物圈与大气圈、水圈和岩石圈不断地进行着物质和能量的交换,共同构成了地球生态系统。通常所说的环境问题,主要是指由于人类不合理地开发和利用自然资源而造成的生态环境破坏,以及工农业生产和人类生活所造成的环境污染。
## 一、化学与环境保护
要研究污染物的存在、分布和转化规律,就需要对污染物的存在形态、含量等进行分析和测定,为控制和消除污染提供可靠的数据。化学工作者所承担的环境质量监测工作是进行环境质量评价和污染治理的基础。
工业生产需要大量的原料,消耗大量的能源,在得到所需产品的同时产生了大量废气、废水和废渣（简称“三废”),处理不当就会污染环境。化学在“三废” 治理方面发挥着重要的作用。
除了自然因素，大气污染物主要来自化石燃料的燃烧和工业生产过程产生的废气及其携带的颗粒物。这些污染物在太阳辐射等因素作用下,经过复杂变化形成次生污染物（如图 8-21），在一定的天气条件下会造成酸雨、雾霾、光化学烟雾等污染现象。
图 8-20 大气环境和水环境监测
阳光、空气和水蒸气等的作用
图 8-21 次生污染物的形成示意图工农业生产和生活中产生的污水往往含有复杂的成分,任意排放会导致土壤和水体的污染,必须经过多步处理才能达到排放标准 ( 如图 8-22 )。污水的处理方法很多,常用的有物理法、化学法和生物法等。例如，加人硫酸亚铁、硫酸铝、聚合氯化铝等混凝剂,可使污水中的细小悬浮物等聚集成较大的颗粒，然后经沉淀、过滤除去。对其他溶解在水中的污染物,则要根据其化学性质采用中和法、氧化还原法和沉淀法等进行处理。
一级处理通常采用物理方法,即用格栅间、沉淀池等除去污水中不溶解的污染物。经过一级处理后的水一般达不到排放标准,所以通常将一级处理作为预处理。二级处理采用生物方法 ( 又称微生物法) 及某些化学方法，除去水中的可降解有机物等污染物。经过二级处理后的水一般可达到国家规定的排放标准。三级处理主要采用化学沉淀法、氧化还原法、离子交换法和反渗透法等,对污水进行深度处理和净化。经过三级处理后的水可用于绿化和景观用水等。
图 8-22 污水处理流程示意图
工业废渣和生活垃圾等固体废物的处理应遵循无害化、减量化和资源化的原则，达到减少环境污染和资源回收利用这两个重要目的。
## 思考与讨论
(1) 含硫氧化物和含氮氧化物是形成酸雨的主要物质。工业上常利用它们与一些物质发生反应加以控制、消除和回收利用。请举例说明这些方法所依据的化学反应和反应类型。
(2) 含氮、磷元素的大量污水任意排入河流、湖泊和近海水域,会出现水华、赤潮等水体污染问题。你认为在城市和农村出现的这种水体污染各有什么特点?请查阅资料,了解有关的污染及治理情况,并与同学交流
图 8-23 水华
水中氮、磷元素过多,造成藻类疯长,消耗水中溶解的氧,使水体变成浑浊的绿色，水质恶化
## 二、绿色化学
长期以来,科学技术为人类带来了巨大的物质财富,而社会发展却面临着越来越大的环境压力。如何协调资源开发利用与环境保护的关系,实现人类社会的可持续发展?绿色化学的理论和实践为人类解决环境问题提供了全新的思路。
绿色化学也称环境友好化学,其核心思想就是改变“先污染后治理” 的观念和做法,利用化学原理和技术手段,减少或消除产品在生产和应用中涉及的有害化学物质,实现从源头减少或消除环境污染 (如图 8-24)。
## 图 8-24 绿色化学示意图
简单而言,化学反应就是原子重新组合的过程。因此,按照绿色化学的思想,最理想的“原子经济性反应” 就是反应物的原子全部转化为期望的最终产物,这时原子利用率 ( 即期望产物的总质量与生成物的总质量之比) 为 $100 \%$。
## 思考与讨论
以乙烯为原料生产环氧乙烷，过去主要使用的是氯代乙醇法，包括以下两步反应:
$\mathrm{CH}_{2}=\mathrm{CH}_{2}+\mathrm{Cl}_{2}+\mathrm{H}_{2} \mathrm{O} \longrightarrow \mathrm{ClCH}_{2} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{OH}+\mathrm{HCl}$
$2 \mathrm{ClCH}_{2} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{OH}+\mathrm{Ca}(\mathrm{OH})_{2} \longrightarrow 2 \mathrm{H}_{2} \mathrm{C}-\mathrm{CH}_{2}+\mathrm{CaCl}_{2}+2 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}$
总的反应可表示为:
$\mathrm{CH}_{2}=\mathrm{CH}_{2}+\mathrm{Cl}_{2}+\mathrm{Ca}(\mathrm{OH})_{2} \longrightarrow \mathrm{H}_{2} \mathrm{C}-\mathrm{CH}_{2}+\mathrm{CaCl}_{2}+\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}$
现代石油化工采用银作催化剂,可以实现一步完成:
$2 \mathrm{CH}_{2}=\mathrm{CH}_{2}+\mathrm{O}_{2} \stackrel{\mathrm{Ag}}{\longrightarrow} 2 \mathrm{H}_{2} \mathrm{C}-\mathrm{CH}_{2}$
试计算两种生产工艺的原子利用率。你还能举出其他原子利用率为 $100 \%$ 的化学反应类型和实际例子吗?原子利用率与产率相同吗?请仔细分析和体会绿色化学对化学研究和化工生产提出了哪些新的挑战。
开发和利用自然资源，必须遵循减量化（reduce )、再利用 ( reuse ) 和再循环 ( recycle ) 的原则，践行绿色发展理念，保护生态环境。这关系到人类的生存和可持续发展，需要全社会共同努力,为子孙后代留下良好的生存空间和更加美好的末来。
## 科学・技术・社会
## 人工光合作用
据估计，绿色植物等通过光合作用,每年可合成约 $2 \times 10^{11} \mathrm{t}$ 有机物,这种能力着实令人美慕,也引发了人们模拟这一奇妙的物质和能量转化过程的兴趣。面对日渐枯竭的化石燃料,面对臭氧层被破坏、全球变暖、空气污染、酸雨等全球性和区域性环境问题,人们设想利用人工光合作用固定二氧化碳,制造燃料和基本化工原料,利用阳光发电,光解水制氢气,等等。人工光合作用研究的目标并不只是简单地模仿，而是希望“人工树叶” 能够做得更好,以摆脱自然条件的限制,实现大规模工业化生产。目前,该领域已经取得了一些令人振奋的突破。尽管从实验室走向工业化生产还有很长的路,很多问题有待研究,如深入研究光合作用的机理,开发新型催化剂,研制高效安全的储氢材料,但人们探索和创新的脚步不会停歇。
## 环境保护工程师
大气、水和土壤与人们的生活息息相关，保护环境是我们的共同责任。环境保护工程师的主要工作是预防和治理环境污染,包括对环境问题的调查研究、分析监测、管理监督和对环境污染的控制与治理等。例如,应用光谱分析、滴定分析等化学分析方法对环境中的污染物进行分析和鉴定;研究大气中 $\mathrm{PM}_{10}$ 浓度、$\mathrm{PM}_{2.5}$ 浓度和臭氧浓度；测定土壤和水样品的成分,检测其中的农药残留和废弃物污染等。这些数据、分析和研究,既可作为向公众发布环境信息、提供生活服务的基础,也可为政府决策提出相应的环境保护和环境治理方案,为制定政策提供参考。环境保护工程师在一些研究单位和企业从事着与环境保护相关的工作,如规划和建造污水处理厂、城市资源再生系统，规划、设计居民区的给排水系统，监控和治理各类生产中“三废”的排放等。
环境保护是一项关乎国计民生的事业,要想成为一名合格的环境保护工程师,必须要有高度的社会责任感,并具备分析化学、环境化学、环境微生物学、环境监测、环境质量评价和环境工程等相关的知识。
图 8-25 环境保护工程师在监测站点查看 $\mathrm{PM}_{2.5}$ 监测设备运行情况
## 练习与应用
1. 下列做法值得提倡的是（ $)$。A. 选用回收废纸制造的纸箱
B. 选用一次性䇦子、纸杯和塑料袋
C. 将生活垃圾进行分类处理
D. 选乘公共交通工具出行
2. 我国酸雨的形成主要是由于 (）。A. 森林遭到乱砍滥伐，破坏了生态环境
B. 大量燃烧含硫化石燃料
C. 大气中二氧化碳的含量增大
D. 汽车排出大量尾气
3. 下列废旧塑料制品的处理途径不恰当的是（）。A. 焚烧回收热能
B. 深挖填埋
C. 制成再生制品
D. 裂解为化工原料
4. 甲基丙烯酸甲酯是合成有机玻璃的单体。
旧的合成方法是:
$\left(\mathrm{CH}_{3}\right)_{2} \mathrm{C}=\mathrm{O}+\mathrm{HCN} \longrightarrow\left(\mathrm{CH}_{3}\right)_{2} \mathrm{C}(\mathrm{OH}) \mathrm{CN}$
$\left(\mathrm{CH}_{3}\right)_{2} \mathrm{C}(\mathrm{OH}) \mathrm{CN}+\mathrm{CH}_{3} \mathrm{OH}+\mathrm{H}_{2} \mathrm{SO}_{4} \longrightarrow \mathrm{CH}_{2}=\mathrm{C}\left(\mathrm{CH}_{3}\right) \mathrm{COOCH}_{3}+\mathrm{NH}_{4} \mathrm{HSO}_{4}$ 新的合成方法是:
$\mathrm{CH}_{3} \mathrm{C} \equiv \mathrm{CH}+\mathrm{CO}+\mathrm{CH}_{3} \mathrm{OH} \longrightarrow \mathrm{CH}_{2}=\mathrm{C}\left(\mathrm{CH}_{3}\right) \mathrm{COOCH}_{3}$
与旧方法相比，新方法的优点是 $(\quad)$。A. 原料无爆炸危险
B. 原料都是无毒物质
C. 没有副产物,原料利用率高
D. 对设备腐蚀性小
5. 空气质量是政府和公众普遍关注的问题。
( 1 ) 目前,环保部门监测和公布的大气污染物主要有哪些物质?
( 2 ) 在汽油中加人某种含铅化合物可以提高汽油的抗爆震性能,但我国已明令禁止生产、销售和使用含铅汽油，其主要原因是什么?
( 3 ）控制城市空气污染可以从哪些方面考虑?举例说明有哪些切实可行的措施。
6. $\mathrm{NO}$ 是大气污染物之一。目前有一种治理方法是在 $400{ }^{\circ} \mathrm{C}$ 左右、有催化剂存在的条件下,使 $\mathrm{NH}_{3}$ 与 $\mathrm{NO}$ 反应生成无污染的 $\mathrm{N}_{2}$ 和 $\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}$。请写出该反应的化学方程式。7. 某城镇的生产和生活区的分布情况如下图所示，河流中 $a、b、c、d$ 处某次水样抽测结果如下表所示。
| 测量项目 | 地点 | | | |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| | $a$ | $b$ | $c$ | $d$ |
| 水温 $/{ }^{\circ} \mathrm{C}$ | 15 | 18 | 26 | 25 |
| $\mathrm{pH}$ | 6 | 8 | 5 | 5 |
| 溶解氧量 $/\left(\mathrm{mg} \cdot \mathrm{L}^{-1}\right)$ | 11 | 9 | 7 | 3 |
( 1 ）导致 $b、c$ 处水样 $\mathrm{pH}$ 变化的原因可能是
( 2 ) $d$ 处鱼类大量减少，产生这种现象的原因可能是
8. 某地区已探明蕴藏着丰富的赤铁矿 (主要成分为 $\mathrm{Fe}_{2} \mathrm{O}_{3}$,还含有 $\mathrm{SiO}_{2}$ 等杂质)、煤、石灰石和黏土。现拟在该地区建设大型炼铁厂。
(1) 随着铁矿的开发和炼铁厂的建立,需要在该地区相应建立焦化厂、发电厂、水泥厂等，形成一定规模的工业体系。请据此确定下图中相应工厂的名称: A $\mathrm{B}$ C $\mathrm{D}$
( 2 ) 以赤铁矿为原料,写出高炉炼铁过程中得到生铁的化学方程式。
（3）从“三废” 利用和环境保护等角度考虑,该地区的企业在生产中应采取哪些措施（写出两种措施即可 )?
## 整理与提升
## 一、自然资源的开发利用
以金属矿物、海水和化石燃料等自然资源综合利用为例，认识和体会化学的应用。认识化学对于构建清洁低碳、安全高效的能源体系所发挥的作用。
## 二、化学品的合理使用
利用化学反应从自然资源中获得的大量化学品，应科学、安全、有效和合理地使用。
## 三、环境保护与绿色化学
化学在环境质量监测与评价、环境保护和清洁生产、清洁能源等方面发挥着重要的作用。绿色化学的研究目的在于使化工生产实现从源头减少或消除环境污染。
结合下图,分析化学在社会可持续发展中的作用,体会人与自然和谐相处的意义。
## 复习与提高
1. 加碘食盐中的碘以碘酸钾 $\left(\mathrm{KIO}_{3}\right)$ 的形式存在。已知在溶液中 $\mathrm{IO}_{3}^{-}$与 $\mathrm{I}^{-}$可发生反应:
$$
\mathrm{IO}_{3}^{-}+5 \mathrm{I}^{-}+6 \mathrm{H}^{+}=3 \mathrm{I}_{2}+3 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}
$$
根据上述反应,可用试纸和一些常见试剂进行检验,证明食盐中存在 $\mathrm{IO}_{30}^{-}$。可供选用的物质有:
(1)蒸馏水 (2)蓝色石芯试纸 (3)碘化钾淀粉试纸 (4)淀粉 (5)蔗糖 (6)乙酸 (7)乙醇进行上述实验时必须使用的物质是（）。A. (1)(3)
B. (1)(3)(6)
C. (2)(4)(6)
D. (1)(2)(4)(7)
2. 沼气在我国部分农村地区有广泛的应用。在一定的温度、湿度和酸碱度条件下，秸秆、杂草、人畜粪便等在沼气池经隔绝空气发酵可产生沼气 (如右图所示)。沼气是一种混合气体，其中 $\mathrm{CH}_{4}$ 含量一般为 $50 \% \sim 70 \%$，其余为 $\mathrm{CO}_{2}$ 和少量的其他气体。沼气池中主要发生了下列变化:
(1) 动、植物废弃物中含有纤维素、蛋白质和脂肪，细菌将它们变成可溶性化合物;
( 2 ) 微生物将这些可溶性化合物转变成有机酸;
(3) 微生物将一些有机酸变成 $\mathrm{CH}_{4}$;
（4）发酵池中产生了液体肥料;
( 5 ) 发酵池中还产生 $\mathrm{CO}_{2}、\mathrm{H}_{2} \mathrm{~S}$ 等气体。
根据以上描述，将画线部分的物质填人以下图示中的合适位置。
3. 从石油中可以获得汽油等燃料和乙烯、丙烯等化工原料。
(1) 每升汽油燃烧时能产生约 $3.5 \times 10^{4} \mathrm{~kJ}$ 的能量,发动机只能将其中的部分能量转化为有用功,损耗的能量主要转化成了什么?
( 2 ）请写出下列转化反应的化学方程式,并注明反应类型。
(1)乙烯 $\rightarrow 1,2$-二氯乙烷。
(2)丙烯→聚丙烯。
( 3 ) 举例说明乙烯和丙烯的一些用途。
4. 煤的干馏实验如右图所示:
(1) 煤干馏后得到的固体、液体和气体分别主要含有什么物质?
(2) 煤焦油经过分馏可以得到萘 ( 及完全燃烧后的产物。
(3) 如何证明所得水层中含有氨?若用硫酸回收氨以生产化肥,请根据所得产物的化学式计算这种化肥中氮元素的质量分数。
5. 某种甲烷水合物晶体中,平均每 46 个水分子构成 8 个分子笼,每个分子笼可容纳 1 个甲烷分子或水分子。若这 8 个分子笼中有 6 个容纳的是甲烷分子,另外 2 个被水分子填充,请写出这种甲烷水合物晶体的平均组成。6. 腈纶织物广泛用作衣物、床上用品等。腈纶是由丙烯腈 $\left(\mathrm{CH}_{2}=\mathrm{CH}-\mathrm{CN}\right)$ 聚合而成的,丙烯腈可以由丙烯与氨和氧气反应制得,而丙烯主要来自石脑油的裂解,例如: $\mathrm{C}_{10} \mathrm{H}_{22} \longrightarrow 2 \mathrm{C}_{3} \mathrm{H}_{6}+\mathrm{X}_{\text {。}}$
（1）写出上述反应式中 $X$ 的名称、分子式和结构简式。
（2）合成纤维 (如腈纶等) 部分取代了棉、麻等天然纤维,为什么前者作为废弃物易产生环境污染，而后者却不会?
(3) 天然纤维中含有的纤维素属于糖类,绿色植物将二氧化碳和水变成糖类的过程称为什么?写出由二氧化碳和水生成葡蒛糖的化学方程式。
7. 工业上以铝土矿 (主要成分可表示为 $\mathrm{Al}_{2} \mathrm{O}_{3} \cdot n \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}$ ) 为原料生产铝,主要包括下列过程:
(1) 将粉碎、笑选后的铝土矿溶解在 $\mathrm{NaOH}$ 溶液中;
(2) 通人过量 $\mathrm{CO}_{2}$,使(1)所得溶液中析出 $\mathrm{Al}(\mathrm{OH})_{3}$ 固体;
(3) 使 $\mathrm{Al}(\mathrm{OH})_{3}$ 脱水生成 $\mathrm{Al}_{2} \mathrm{O}_{3}$;
(4) 电解熔融 $\mathrm{Al}_{2} \mathrm{O}_{3}$ 生成铝。
请写出上述各有关反应的化学方程式,并推测哪一步转化过程消耗的能量最多,为什么?
8. 孔雀石的主要成分为 $\mathrm{CuCO}_{3} \cdot \mathrm{Cu}(\mathrm{OH})_{2}$。某同学设计的从孔雀石中提取铜的方案如下:
(1) 将孔雀石粉碎后，加人过量的稀硫酸;
(2) 将反应后的混合物过滤；
(3) 向滤液中加人一种金属粉末。
请根据上述实验方案回答下列问题。
( 1 ) (1) 中可观察到的现象是什么?
( 2 ) (3) 中加人的金属粉末可以是什么?请说明理由。
（3）设计从滤液中获得铜的另外一种方案。
9. 以金红石 (主要成分为 $\mathrm{TiO}_{2}$ ) 为原料生产钊的步骤主要有:
(1) 在高温下，向金红石与焦炭的混合物中通人 $\mathrm{Cl}_{2}$,得到 $\mathrm{TiCl}_{4}$ 和一种可燃性气体;
(2) 在稀有气体 ( 如氩) 氛围和加热的条件下，用镁与 $\mathrm{TiCl}_{4}$ 反应可得到钠。
请写出上述两步反应的化学方程式,并分析步骤(2)中稀有气体氛围的作用。
10. 有的同学认为,根据质量守恒定律和能量守恒定律,物质是不灭的,能量转化是守恒的,那为什么会出现资源危机呢?对于这样的问题你是怎样考虑的?物质资源和能源两者相比较，哪一个将会更多地制约着人类的生存和发展?11. 关于末来人类与自然资源的关系问题,有两种典型的观点: 一种是悲观的,认为根据目前人类对资源的开发速度,自然资源将在最近的 30 50年内用完,已经建立的工业体系可能会在不久的将来崩溃;一种是乐观的,认为应当充分相信技术发展的潜力,随着技术的发展,人类不但不会用完资源，而且可以不断地扩大资源的利用范围。请针对这两种观点谈谈你的看法。
## 附录 I
## 名词索引
| 名词 | 页码 | 名词 | 页码 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 氨 | 13 | 农药 | 107 |
| 铵盐 | 14 | 葡萄糖 | 84 |
| 饱和烃 | 69 | 取代反应 | 65 |
| 不饱和烃 | 69 | 热能 | 32 |
| 催化剂 | 46 | 三键 | 60 |
| 单键 | 60 | 三氧化硫 | 3 |
| 蛋白质 | 85 | 石油 | 103 |
| 氮气 | 11 | 食品添加剂 | 111 |
| 二氧化氮 | 13 | 双键 | 60 |
| 二氧化硫 | 2 | 酸雨 | 16 |
| 放热反应 | 33 | 糖类（碳水化合物） | 83 |
| 高分子材料 | 72 | 天然气 | 102 |
| 固氮 | 11 | 烃（碳氢化合物） | 69 |
| 官能团 | 78 | 烃的衍生物 | 77 |
| 硅酸盐材料 | 19 | 同分异构体 | 63 |
| 化学反应速率 | 43 | 同分异构现象 | 63 |
| 化学肥料 | 107 | 同系物 | 63 |
| 化学能 | 34 | 烷烃 | 63 |
| 化学平衡 | 47 | 无机非金属材料 | 19 |
| 环境保护 | 117 | 吸热反应 | 33 |
| 加成反应 | 68 | 硝酸 | 15 |
| 加聚反应 | 69 | 一氧化氮 | 13 |
| 甲烷 | 60 | 乙醇 | 77 |
| 聚合反应 | 69 | 乙酸 | 79 |
| 可逆反应 | 3 | 乙烯 | 67 |
| 硫 | 2 | 油脂 | 87 |
| 硫酸 | 4 | 有机化合物 | 59 |
| 绿色化学 | 119 | 原电池 | 37 |
| 煤 | 102 | 酯化反应 | 80 |
## 附录 II
## 部分酸、碱和盐的溶解性表 ( 室温)
| 阳离子 | 阴离子 | | | | |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| | $\mathrm{OH}^{-}$ | $\mathrm{NO}_{3}^{-}$ | $\mathrm{Cl}^{-}$ | $\mathrm{SO}_{4}^{2-}$ | $\mathrm{CO}_{3}^{2-}$ |
| $\mathrm{H}^{+}$ | | 溶、挥 | 溶、挥 | 溶 | 溶、挥 |
| $\mathrm{NH}_{4}^{+}$ | 溶、挥 | 溶 | 溶 | 溶 | 溶 |
| $\mathrm{K}^{+}$ | 溶 | 溶 | 溶 | 溶 | 溶 |
| $\mathrm{Na}^{+}$ | 溶 | 溶 | 溶 | 溶 | 溶 |
| $\mathrm{Ba}^{2+}$ | 溶 | 溶 | 溶 | 不 | 不 |
| $\mathrm{Ca}^{2+}$ | 微 | 溶 | 溶 | 微 | 不 |
| $\mathrm{Mg}^{2+}$ | 不 | 溶 | 溶 | 溶 | 微 |
| $\mathrm{Al}^{3+}$ | 不 | 溶 | 溶 | 溶 | - |
| $\mathrm{Mn}^{2+}$ | 不 | 溶 | 溶 | 溶 | 不 |
| $\mathrm{Zn}^{2+}$ | 不 | 溶 | 溶 | 溶 | 不 |
| $\mathrm{Fe}^{2+}$ | 不 | 溶 | 溶 | 溶 | 不 |
| $\mathrm{Fe}^{3+}$ | 不 | 溶 | 溶 | 溶 | - |
| $\mathrm{Cu}^{2+}$ | 不 | 溶 | 溶 | 溶 | - |
| $\mathrm{Ag}^{+}$ | | 溶 | 不 | 微 | 不 |
说明:“溶” 表示那种物质可溶于水,“不” 表示不溶于水,“微” 表示微溶于水,“挥”表示挥发性，“一”表示那种物质不存在或遇到水就分解了。
## 附录III
## 一些常见元素中英文名称对照表
| 元素符号 | 中文名称 ( 拼音) | 英文名 | 元素符号 | 中文名称 (拼音) | 英文名 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $\mathrm{Ag}$ | 银（yín ) | silver | $\mathrm{Al}$ | 铝（IǓ） | aluminum |
| Ar | 氩（yà ） | argon | $\mathrm{Au}$ | 金（ jīn ) | gold |
| B | 硼（péng ) | boron | $\mathrm{Ba}$ | 钡（bèi ) | barium |
| $\mathrm{Be}$ | 铍（pí） | beryllium | $\mathrm{Br}$ | 溴（xiù ） | bromine |
| $\mathrm{C}$ | 碳（ tàn ） | carbon | $\mathrm{Ca}$ | 钘（gài） | calcium |
| $\mathrm{Cl}$ | 氯（lû̀） | chlorine | Co | 钴（gǔ ) | cobalt |
| $\mathrm{Cr}$ | 铬（gè ) | chromium | $\mathrm{Cu}$ | 铜（tóng ) | copper |
| F | 氟（fú ） | fluorine | $\mathrm{Fe}$ | 铁 ( tiě ) | iron |
| Ga | 镓 ( jiī̄a) | gallium | Ge | 锗（zhě ) | germanium |
| $\mathrm{H}$ | 氢（ qīng ) | hydrogen | $\mathrm{He}$ | 氦（hài ） | helium |
| $\mathrm{Hg}$ | 汖（gǒng ) | mercury | I | 碘（diǎn ) | iodine |
| K | 钾（ jiă ) | potassium | $\mathrm{Kr}$ | 氪（kè ) | krypton |
| $\mathrm{Li}$ | 锂（lǐ） | lithium | $\mathrm{Mg}$ | 镁（měi ) | magnesium |
| $\mathrm{Mn}$ | 锰（měng ) | manganese | $\mathrm{N}$ | 氮（dàn ) | nitrogen |
| $\mathrm{Na}$ | 钠（nà ) | sodium | $\mathrm{Ne}$ | 氝（nǎi） | neon |
| $\mathrm{Ni}$ | 䥻 ( niè ) | nickel | $\mathrm{O}$ | 氧（yăng） | oxygen |
| P | 磷（ lín ) | phosphorus | $\mathrm{Pb}$ | 铅（qiān ) | lead |
| $\mathrm{Pt}$ | 铂（bó ） | platinum | $\mathrm{Ra}$ | 镭 ( léi ) | radium |
| Rn | 氡（dōng ) | radon | S | 硫（ liú ） | sulphur |
| $\mathrm{Sc}$ | 钪（kàng ) | scandium | $\mathrm{Se}$ | 硒（xī) | selenium |
| Si | 硅 ( guī ) | silicon | $\mathrm{Sn}$ | 锡（xī） | tin |
| $\mathrm{Sr}$ | 锶（sī） | strontium | $\mathrm{Ti}$ | 钛（tài ） | titanium |
| $\mathrm{U}$ | 铀（yóu ) | uranium | V | 钒（fán ） | vanadium |
| W | 钨（wū ) | tungsten | $\mathrm{Xe}$ | 㒴（xiān ) | xenon |
| $\mathrm{Zn}$ | 锌 (xīn) | zinc | | | |
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# 1 第一课
历史和人民的选择
近代以来,在中国人民反抗压迫、抵御侵略的斗争中,无数仁人志士前仆后继,进行了各种各样的尝试,但终究末能改变旧中国半殖民地半封建的社会性质和中国人民的悲惨命运。中国共产党团结带领人民进行艰苦卓绝的斗争，不断推进革命、建设、改革的伟大事业，使中华民族伟大复兴展现出前所末有的光明前景。中国共产党领导是历史的选择、人民的选择。
## 中华人民共和国成立前各种政治力量
## 探究与分享
1949 年 10 月 1 日，毛泽东按动电钮，新中国第一面五星红旗冉冉升起
1919-1949年是中国的新民主主义革命时期。从五四运动爆发到中华人民共和国成立,中国人民的革命经历了一段波澜壮阔的岁月。
如果请你参与以“新中国成立” 为主题的纪录片摄制,你会重点描述哪几个历史瞬间?为什么?
邓引用中国共产党领导中国人民革命的实例,说明中国共产党执政是历史和人民的选择。近代中国的基本国情和主要矛盾
## 探究与分享
1939年，毛泽东在《中国革命和中国共产党》中指出：“中国现时的社会,是一个殖民地、半殖民地、半封建性质的社会。只有认清中国社会的性质,才能认清中国革命的对象、中国革命的任务、中国革命的动力、中国革命的性质、中国革命的前途和转变。所以,认清中国社会的性质,就是说,认清中国的国情,乃是认清一切革命问题的基本的根据。”
结合上述论断，谈谈把握近代中国基本国情的重要性。
在人类社会发展的历史长河中，中国曾长期走在世界文明的前列。但是，十七世纪中叶以后,西方一些国家先后爆发资产阶级革命,建立资本主义制度,相继完成工业革命,实现机器大生产。当时的清政府对内实行封建专制统治,对外采取闭关锁国政策,中国社会发展几乎陷人停滞状态。到十九世纪三四十年代,清王朝由盛而衰的颓势日益加深，政治腐败，军备废他，财政拮据，社会动荡，危机四伏。
1840 年，英国发动了侵略中国的鸦片战争，用坚船利炮轰开了古老中国的大门。其他列强也接踵而至,先后发动第二次鸦片战争、中法战争、中日甲午战争和八国联军侵华战争等。西方列强强迫清政府签订了一系列不平等条约，严重损害了中国的主权独立和领土完整，并一步一步地控制了中国的政治、经济、外交和军事。
《焚毁鸦片一一鸦片战争》(人民英雄纪念碑浮雕,局部) 帝国主义的人侵打断了中国从封建社会向资本主义社会发展的正常进程。中国逐步成为半殖民地半封建社会。半殖民地半封建社会是近代中国的基本国情,也是认识和解决近代中国一切社会问题的基本依据。
## 名词点击
## 半殖民地半封建
半殖民地,即形式上是独立自主的国家,实际上在政治、经济、外交、军事等方面都受到外国殖民主义的控制和奴役。
半封建,即形式上仍是封建统治和自然经济占主导地位,实际上社会已逐渐近代化,资本主义在经济、政治、文化等方面不断发展。
半殖民地半封建社会的基本国情决定了近代中国有多重矛盾,它们相互交织。其中,帝国主义和中华民族的矛盾、封建主义和人民大众的矛盾是近代中国社会的主要矛盾。
近代中国的基本国情和主要矛盾决定了近代中国的两大历史任务：争取民族独立、人民解放，实现国家富强、人民幸福。
## 各种政治力量解决中国问题的方案
## 探究与分享
在滚滚向前的历史长河中,不同的时代会现出不同的漩涡与浪花,形成所处时代的特殊问题。这些问题既关乎国家民族发展的前途命运,也牵动千家万户普通百姓的冷暖人生。如何面对近代中国的基本国情和主要矛盾?如何回应时代的声音?面对上述问题，各种政治力量先后登上历史舞台。
运用你所学过的知识,说说近代中国先后有哪些政治力量登上历史舞台,它们对时代的声音分别作出了怎样的回应。
为了拯救民族危亡，中国人民奋起反抗，仁人志士奔走呐喊，太平天国运动、戊戌变法、义和团运动、辛亥革命接连而起，各种救国方案轮番出台，但都以失败而告终。中国迫切需要新的思想引领救亡运动,迫切需要新的组织凝聚革命力量。
自从一八四○年鸦片战争失败那时起，先进的中国人，经过千辛万苦，向西方国家寻找真理。洪秀全、康有为、严复和孙中川，代表了在中国共产党出世以前向西方寻找真理的一派人物
一一毛泽东
1917 年俄国十月革命一声炮响，给中国送来了马克思列宁主义。1919年五四运动后,工人阶级成为反帝反封建的新民主主义革命的领导力量。在中国人民和中华民族的伟大觉醒中,在马克思列宁主义同中国工人运动的紧密结合中,中国共产党应运而生。中国共产党一经诞生,就把为中国人民谋幸福、为中华民族谋复兴确立为自己的初心使命。从此,中国人民在斗争中就有了主心骨,看到了解决中国问题的出路和希望。
1917 年 11 月 7 日，“阿芙乐尔号” 巡洋舰的炮声一响，革命战士开始攻打冬宫
1919年 5 月 4 日,北京青年学生游行示威,抗议巴黎和会
20 世纪上半叶,在中国的出路、前途和命运问题上,各种政治力量分别提出自己的方案,进行了异常激烈的较量。
## 世纪上半叶中国出现的三种建国方案
## 第一种方案
先后以北洋军阀和国民党统治集团为代表,极力维护地主阶级和买办资产阶级统治,让中国继续走半殖民地半封建的道路。
被中国人民抛弃了，其代表者的统治也被推翻了。
## 第二种方案
以某些中间派或中间人士为代表，幻想建立资产阶级共和国，走独立发展资本主义的道路。
没有得到人民群众认可,它的多数代表者后来也承认这个方案在中国无法实现。
## 第三种方案
以中国共产党为代表，主张建立工人阶级领导的、以工农联盟为基础的人民共和国，经过新民主主义走向社会主义。
最终赢得包括民族资产阶级在内的最广大人民群众的拥护。有比较才有鉴别。在近代中国三种政治力量所提出的三种方案中，中国共产党的方案在历史和人民的检验中脱颖而出，最终成为唯一正确的选择。中国共产党执政,既是历史的必然,也是人民的选择。
没有共产党就没有新中国
## 探究与分享
从北京城区往西一百多千米,顺着一条奔流的小溪,可以到达一个群山环抱的小村庄一一堂上村。1943年,歌曲《没有共产党就没有新中国》就诞生在这里,并从这里传遍大江南北,经久不衰。歌曲原名为《没有共产党就没有中国》,后来,毛泽东作了修改,在“中国”前面添加了“新”字。
如今,在这首歌曲的诞生地,人们建起了纪念馆。许多学校在这里为学生举办 18 岁成人礼
8 毛泽东为什么在“中国” 前面添加了“新” 字?说说你对“没有共产党就没有新中国” 的理解。
在歌曲《没有共产党就没有新中国》的诞生地举办 18 岁成人礼有何特殊意义?
- 了解你所在地区有哪些革命纪念地可以作为教育实践基地,结合本地实际情况,设计一次教育实践活动。
为了实现中华民族伟大复兴,中国共产党团结带领中国人民,浴血奋战、百折不挠,取得了新民主主义革命的胜利。
新民主主义革命的胜利，推翻了帝国主义、封建主义、官僚资本主义三座大山，彻底结束了旧中国半殖民地半封建社会的历史，彻底结束了极少数剥削者统治广大劳动人民的历史,彻底结束了旧中国一盘散沙的局面,彻底废除了列强强加给中国的不平等条约和帝国主义在中国的一切特权,为实现中华民族伟大复兴创造了根本社会条件。
1949 年 10 月 1 日,中华人民共和国成立,实现了中国从几千年封建专制政治向人民民主的伟大飞跃。从此,中国人民掌握了国家的权力，成为国家和自己命运的主人。
## 探究与分享
• 1949 年 9 月 30 日，中国人民政治协商会议第一届全体会议决定,为了纪念在人民解放战争和人民革命中牺牲的人民英雄，在首都北京建立人民英雄纪念碑。当日，人民英雄纪念碑奠基典礼在天安门广场隆重举行,毛泽东在奠基仪式上宣读碑文。人民英雄纪念碑于 1952 年 8 月 1 日正式开始动工兴建，1958 年 4 月 22 日建成，5月 1 日正式揭幕。从此以后，人民英雄纪念碑成为中国人民纪念、缅怀英雄烈士的最神圣的丰碑。
《《中华人民共和国英雄烈士保护法》规定：“每年9月 30 日为烈士纪念日,国家在首都北京天安门广场人民英雄纪念碑前举行纪念仪式，缅怀英雄烈士。”
8 你知道人民英雄纪念碑碑文的内容吗?碑文中的“三年以来”“三十年以来”“由此上溯到一千八百四十年” 分别指哪几个历史时期?
1958年 5 月 1 日，人民英雄纪念碑揭幕
凤查找资料,分别列举这三个时间段的典型事件,并加以说明。
没有共产党就没有新中国,是近代以来中国人民斗争经验的历史总结，是中国人民在长期探索、艰苦奋斗的基础上共同确认的历史真理。
## 中国共产党领导人民站起来、富起来、强起来
## 探究与分享
中国国家博物馆举办的“复兴之路”主题展览展出了一千多件具有代表性的文物，它们共同讲述着中华民族的苦难历史和复兴历程,其中包括林则徐向清朝廷报告销烟经过的奏折、三元里人民抗英的旗帜、上海公共租界界碑、中央苏区造币厂的银圆铸模、中国人民解放军接收的国民党中央银行发行局库房钥匙、香港特别行政区选举首任行政长官的投票箱、多哈会议宣布中国加入世界贸易组织时使用的木槌、北京申办 2008 年奥运会签署举办城市合同时用的笔、神舟五号飞船返回舱 …… 邓浏览“复兴之路” 网上展馆,了解近代以来中华民族的苦难历史和复兴历程。
从“复兴之路” 主题展览的展品中任选一件,查找相关资料,与同学分享展品背后的故事。
建立新中国中国人民站起来
## 探究与分享
新中国成立前夕,毛泽东受中国人民政治协商会议第一届全体会议的委托起草的会议宣言指出：“当着我们举行会议的时候，中国人民已经战胜了自己的敌人，改变了中国的面貌，建立了中华人民共和国。我们四万万七千五百万中国人现在是站立起来了,我们民族的前途是无限光明的。”
谈谈你对中国人民从此站起来了的理解。
新中国成立后,中国共产党团结带领中国人民,自力更生、发愤图强，创造了社会主义革命和建设的伟大成就，为实现中华民族伟大复兴奠定了根本政治前提和制度基础。
中华人民共和国中央人民政府之印
1840-1949年中国的反帝反封建的民主主义革命,以五四运动为界限,分为旧民主主义革命和新民主主义革命两个阶段。
• 旧民主主义革命由资产阶级领导，以建立资本主义社会和资产阶级专政的国家为政治目标。旧民主主义革命纲领不彻底，群众发动不充分，不能彻底解决土地问题，最终遭到失败。新民主主义革命由无产阶级领导,以马克思列宁主义、毛泽东思想作为思想武器,以创建人民民主共和国为政治目标。新民主主义革命提出了彻底的革命纲领,广泛发动群众,解决了民主革命的中心问题,即土地问题。新民主主义革命是社会主义革命的必要准备,社会主义革命是新民主主义革命的必然趋势。
1949-1952年，在着重完成包括土地改革、镇压反革命等在内的民主革命遗留任务的同时,中国共产党领导人民致力于恢复被长期战争破坏了的国民经济。
1953 年 12 月，党中央提出：“从中华人民共和国成立,到社会主义改造基本完成,这是一个过渡时期。党在这个过渡时期的总路线和总任务,是要在一个相当长的时期内,逐步实现国家的社会主义工业化，并逐步实现国家对农业、对手工业和对资本主义工商业的社会主义改造。”1954年，第一届全国人民代表大会第一次会议召开,我国第一部社会主义宪法颁布,这是我国在民主政治建设方面取得的新成就。到 1956年底，我国社会主义改造基本完成，社会经济结构发生了根本变化,生产资料公有制已成为我国社会经济制度的基础。这标志着社会主义制度在我国确立，实现了我国历史上最深刻最伟大的社会变革。
1955 年 8 月,四川省的新农乡举行农业生产合作社人社报名大会
1956年 1 月，南京市各界人士游行庆祝公私合营
社会主义制度确立之后,在中国怎样坚持和建设社会主义、怎样巩固和发展社会主义,并没有现成的道路可走,如同革命一样,也必须在实践中进行艰苦的探索。
## 探究与分享
毛泽东曾说过,1950年到 1957 年,基本上可以说是抄的,就是抄苏联。这个抄是必要的,等于写字一样,历来写字讲究临帖,你不临帖怎么行呢?所以,不能讲 1950 年到 1957 年那个临帖是错了。临帖之后，你就要脱离那个帖，自己独立写字嘛。而且，写草字的人先要写正楷，然后才能写草书,不可以一下子就写草书。看来,要有一个时期学习外国。现在还要学习外国,不能说现在连一点书都不抄了。人家书上是正确的东西，而我们没有书，这一部分还得抄。取经是一万年都要取的,你取我的经,我取你的经。不能搞绝对化,所谓绝对化,就是形而上学观点。全部抄和完全不抄都是形而上学。
阅读材料,结合我国的革命和建设历程，谈谈你对这段话的认识。
在社会主义建设的初步实践中，我国基本上建立了独立的、比较完整的工业体系和国民经济体系，教育、科学、文化、国防等事业有了很大的发展，国际地位逐步提高。
中国共产党领导人民艰辛探索社会主义建设道路所取得的物质成就和历史经验，为后来的改革开放奠定了坚实的基础。
20 世纪 60 年代大庆炼油厂一角
实行改炗开放走向民富国强
## 探究与分言
家庭的变化是时代的缩影。山东省一个农民从1982 年开始记录家庭账本。1982年 12 月,账本记录的是面条、現油、豆腐、油条、瓜子等食品。这一年,他家总收入 836.54 元,总支出 574.90 元，结余 261.64 元。三十多年过去了，他家消费支出一年比一年多，日子越过越红火，肉、蛋、蔬菜的消费额明显增长,还增加了彩电、冰箱、洗衣机、太阳能热水器、手机、摩托车、汽车等项目支出。账本显示,2018 年他家的结余是1982年的 200 多倍。小小的账本折射出一个普通农民家庭生活的变化。
阅读材料,说说这个家庭的生活发生了哪些变化。
结合中国社会的发展,说说为什么会有这些变化。改革开放是决定当代中国命运的关键抉择。1978年 12月,党的十一届三中全会开启了改革开放的历史新时期。中国共产党团结带领中国人民,解放思想、锐意进取,创造了改革开放和社会主义现代化建设的伟大成就,为实现中华民族伟大复兴提供了充满新的活力的体制保证和快速发展的物质条件。
实行改革开放,就是要进一步解放和发展社会生产力,实现社会主义现代化,使中国人民富起来、中国强起来,实现中华民族伟大复兴;就是要推动我国社会主义制度的自我完善,赋予社会主义新的生机活力,建设和发展中国特色社会主义;就是要在引领当代中国发展进步中加强和改进党的建设,保持和发展党的先进性,确保党始终走在时代前列。
## 相关链接
1982 年 9 月 1 日,邓小平在党的十二大上指出：“把马克思主义的普遍真理同我国的具体实际结合起来,走自己的道路,建设有中国特色的社会主义,这就是我们总结长期历史经验得出的基本结论。”
改革开放的伟大实践,极大地解放和发展了社会生产力,增强了社会发展活力,激发了广大人民群众的创造性,使人民生活显著改善，综合国力显著增强，国际地位显著提高，这是中国共产党对中华民族和中国人民作出的伟大历史贡献。
## 相关链接
1980年
建立深圳经济特区
2010 年
见证中国改革开放的重大事件
举办上海世博会
开发开放上海浦东
加入世界贸易组织
举办北京奥运会
2013年
2018年
提出共建“一带一路” 举办首届中国国际进口博览会进入新时代踏上新征程
## 探究与分享
社会主要矛盾是一个国家生产力发展水平和社会发展阶段的客观反映。对我国社会主要矛盾的准确判断为党和国家制定大政方针、长远战略提供了重要依据。
1956 年，党的八大指出：“我们国内的主要芧盾,已经是人民对于建立先进的工业国的要求同落后的农业国的现实之间的予盾,已经是人民对于经济文化迅速发展的需要同当前经济文化不能满足人民需要的状况之间的芧盾。”
1981 年，党的十一届六中全会通过的《关于建国以来党的若千历史问题的决议》指出：“我国社会的主要芧盾是人民日益增长的物质文化需要同落后的社会生产之间的矛盾。”
2017 年，党的十九大报告指出：“我国社会主要芧盾已经转化为人民日益增长的美好生活需要和不平衡不充分的发展之间的矛盾。”
8查找资料,了解我国社会主要矛盾发生变化的原因。
结合你所在地区的实际情况，说明人民美好生活需要的具体内容。
中国共产党团结帚领全国人民，经过长期努力，推动中国特色社会主义进入了新时代，我国发展站在新的历史方位上。
## 相关链接
中国特色社会主义新时代，是承前启后、继往开来、在新的历史条件下继续夺取中国特色社会主义伟大胜利的时代，是决胜全面建成小康社会、进而全面建设社会主义现代化强国的时代，是全国各族人民团结奋斗、不断创造美好生活、逐步实现全体人民共同富裕的时代,是全体中华儿女勠力同心、奋力实现中华民族伟大复兴中国梦的时代，是我国日益走近世界舞台中央、不断为人类作出更大贡献的时代。
中国特色社会主义进人新时代，意味着近代以来久经磨难的中华民族迎来了从站起来、富起来到强起来的伟大飞跃，迎来了实现中华民族伟大复兴的光明前景,在中华人民共和国发展史和中化民族发展史上具有重大意义。
中国特色社公主义进入新时代，意味着科学社会主义在 21 世纪的中国煐发出强大生机活力，在世界上高高举起了中国特色社会主义伟大旗帜，在世界社侌主义发展史上具有重大意义。
中国特色社会主义进人新时代，意味着中国特色社会主义道路、理论、制度、文化不断发展，拓展了发展中国家走向现代化的途径,给世界上那些既希望加快发展又希望保持自身独立性的国家和民族提供了全新选择,为解决人类问题贡献了中国智慧和中国方案,在人类社会发展史上具有重大意义。
在新时代，中国共产党团结带领中国人民，自信自强、守正创新，统览伟大斗争、伟大工程、伟大事业、伟大梦想，创造了新时代中国特色社会主义的伟大成就,为实现中华民族伟大复兴提供了更为完善的制度保证、更为坚实的物质基础、更为主动的精神力量。
中国共产党成立以来的不平凡历程，是团结带领中国人民为实现中华民族伟大复兴而奋斗、牺牲和创造的历程,是不断取得革命、建设和改革新胜利的历程。在中国特色社会主义新时代，党领导人民取得了决胜全面建成小康社会的胜利,并乘势而上开启了全面建设社会主义现代化国家的新征程。实践充分证明,由中国共产党领导中华民族实现伟大复兴,是历史的选择，是人民的选择，是正确的选择。
# 2 第二课中国共产党的先进性
衡量一个政党的先进性,就是看它在性质、宗旨和指导思想等方面所具有的优于其他政党的特质,看它在人类社会历史发展不同阶段所起的引领作用。历史雄辩地证明,中国共产党不忘初心、牢记使命,是始终走在时代前列、人民衷心拥护、勇于自我革命、经得起各种风浪考验、朝气蓬勃的马克思主义政党。
## | 始终坚持以人民为中心 |
## 探究与分享
2021 年 7 月 1 日,习近平在庆祝中国共产党成立 100 周年大会上发表重要讲话指出：“一百年前,中国共产党的先驱们创建了中国共产党,形成了坚持真理、坚守理想,践行初心、担当使命，不怕牺牲、英勇斗争，对党忠诚、不负人民的伟大建党精神，这是中国共产党的精神之源。”
查找资料,了解与党的创建有关的历史纪念物背后的故事,完成下表。
## 名称
纪念物的位置
纪念物背后的故事
北大红楼
北京市东城区五四大街
上海中共一大会址
上海市黄浦区兴业路
红船
浙江省嘉兴市南湖
结合探究成果,说明中国共产党是如何保持和践行初心的。
## 党的性质和宗旨
中国共产党是马克思列宁主义同中国工人运动相结合的产物。中国共产党是中国工人阶级的先锋队，同时是中国人民和中华民族的先锋队。
1847 年 6 月，世界上第一个无产阶级政党一一共产主义者同盟建立。马克思、恩格斯在为共产主义者同盟起草的纲领—《《共产党宣言》中指出：“过去的一切运动都是少数人的,或者为少数人谋利益的运动。无产阶级的运动是绝大多数人的,为绝大多数人谋利益的独立的运动。”
人民立场是中国共产党的根本立场。全心全意为人民服务是中国共产党的根本宗旨。
党的性质和宗旨决定了党除了工人阶级和最广大人民的根本利益，没有任何自己特殊的利益，从来不代表任何利益集团、任何权势团体、任何特权阶层的利益,这是党立于不败之地的根本所在。在任何时候，党都应把人民利益放在第一位，保持同人民群众的血肉联系，与人民同甘共苦，坚持权为民所用、情为民所系、利为民所谋,不允许任何党员脱离群众,更不允许任何党员凌驾于群众之上。全体共产党员要牢记中国共产党是什么、要干什么这个根本问题，把握历史发展大势，坚定理想信念，牢记初心使命，始终谦虚谨慎、不骄不躁、艰苦奋斗。
## 相关链接
$$
\begin{gathered}
\text { 念奴娇·追思焦裕禄 } \\
\text { 习近平 } \\
(\text { 一九九○·七・十五 }) \\
\text { 中夜,读《人民呼涣焦裕禄》一文,} \\
\text { 是时雯月如银,文思萦系 } \cdots \cdots
\end{gathered}
$$
魂飞万里，帉归来,此水此山此地。百姓谁不爱好官?把泪焦桐成雨。生也沙丘,死也沙丘,父老生死系。暮雪朝霜，母改英雄意气!
依然月明如昔，思君夜夜，肝胆长如洗。路漫漫其修远矣,两袖清风来去。为官一任，造福一方，遂了平生意。绿我涓滴，会它千顷澄碧。
党的好干部一焦裕禄
## 党的执政理念
## 探究与分享
《为人民服务》是 1944 年 9 月 8 日毛泽东在中共中央警备团追悼张思德的会上的讲演。张思德是四川省仪陇县人，1933年参加红军，1937 年入党。他参加过长征,作战机智勇敢,曾多次负伤,后因病留在延安做警卫工作。他勤勤恳恳,不计名利,主动要求承担烧木炭这一又脏又累而对技术要求又高的工作。1944年 9月 5 日，在安塞县 (今延安市安塞区) 石峡㟷 烧炭时,炭窑崩塌,张思德为保护战友英勇牺
张思德（版画） 牲，年仅29岁。
毛泽东在《为人民服务》中指出：“我们的共产党和共产党所领导的八路军、新四军,是革命的队伍。我们这个队伍完全是为着解放人民的,是彻底地为人民的利益工作的。张思德同志就是我们这个队伍中的一个同志。人总是要死的,但死的意义有不同。中国古时候有个文学家叫做司马迁的说过: '人固有一死,或重于泰山,或轻于鸿毛。'为人民利益而死,就比泰山还重;替法西斯卖力,替剥削人民和压迫人民的人去死,就比鸿毛还轻。张思德同志是为人民利益而死的，他的死是比泰山还要重的。”
结合中国共产党的性质、宗旨,谈谈你对毛泽东这段文字的理解。
为什么人的问题，是检验一个政党、一个政权性质的试金石。
人民是历史的创造者，是决定党和国家前途命运的根本力量。
因此，中国共产党始终坚持人民主体地位，坚持以人民为中心。
立党为公、执政为民是中国共产党的执政理念。立党为公，就是党的路线、方针、政策都要代表中国先进生产力的发展要求、中国先进文化的前进方向和中国最广大人民的根本利益,都要体现国家和民族的共同利益、全体人民的共同理想。执政为民，就是党的全部工作必须以中国最广大人民的根本利益为根本出发点和落脚点。中国特色社会主义进人新时代,人民期盼有更好的教育、更稳定的工作、更满意的收人、更可靠的社会保障、更高水平的医疗卫生服务、更舒适的居住条件、更优美的环境，期盼孩子们能成长得更好、工作得更好、生活得更好，期盼民主、法治、公平、正义、安全、环境等达到更高水平。人民对美好生活的向往
## 就是我们党的奋斗目标。
坚持立党为公、执政为民，就是要践行全心全意为人民服务的根本宗旨，把党的群众路线贯彻到治国理政全部活动之中，牢记执政党的权力是人民赋予的，坚持为人民掌好权，用好权；就是要坚持人民立场和人民主体地位，虚心向人民学习，倾听人民呼声，汲取人民智慧，切实做到紧紧依靠人民、一切依靠人民。
## 探究与分享
2013 年，习近平在湖南省湘西土家族苗族自治州花垣县十八洞村考察时提出精准扶贫的重要思想。当地县委县政府以这一思想为指导，立足自身，敢想敢干，紧扣“精准”二字，下足功夫。他们精准识别贫困对象,精准发展支柱产业,找准村里所具备的劳务经济、特色种植、特色养殖、苗绣、旅游服务五个优势；精准改善基础设施，先后实施农村“五改” ( 改侧、改水、改圈、改 㡡、改路) 和公共服务设施建设。精准扶贫激发出了十八洞村人走出贫困的志向和动力。经过几年的努力，现在的十八洞村由深度贫困村到 $136 户$ 贫困户全部脱贫摘帽,由默默无闻的苗寨到乡村旅游胜地，由精准扶贫首倡地到全国精准扶贫典型，为全国的脱贫攻坚树立了榜样
十八洞村竹子寨
结合十八洞村的变化，谈谈你对立党为公、执政为民的理解。
立党为公、执政为民必须坚持党在社会主义初级阶段的基本路线，即领导和团结全国各族人民，以经济建设为中心，坚持四项基本原则,坚持改革开放,自力更生,艰苦创业,为把我国建设成为富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国而奋斗。
## 探究与分享
1978 年实行改革开放以来，我国社会主义现代化建设的时间表和路线图如下。
分析访谈结果，找出人们愿景的共同之处:
进一步访谈或查找资料,列举人们实现共同愿景所面临的机遇和挑战:
就如何实现共同愿景，提出你的建议:
到 21 世纪中叶，我国物质文明、政治文明、精神文明、社会文明、生态文明将全面提升，实现国家治理体系和治理能力现代化，成为综合国力和国际影响力领先的国家，全体人民共同富裕基本实现,我国人民将享有更加幸福安康的生活,中华民族将以更加昂扬的姿态屹立于世界民族之林。
## | 始终走在时代前列
## 探究与分享
2017 年 11 月 30 日至 12 月 3 日，中国共产党与世界政党高层对话会在北京举行。120 多个国家的近 300 个政党和政治组织领导人齐聚一堂，会议成为出席人数最多的世界政党领导人对话会。
8 列举实例,说明中国共产党为世界贡献了哪些中国经验。
8 假如你参加其中的一场平行分组会,你会选择哪个主题?列出你的发言要点。中国共产党与世界政党高层对话会部分会议日程
## 丰题研讨会
上午“新时代的中国共产党与世界”十九大精神专题研讨会
四场平行分组会
ק加强政党建设：政党的挑战和末来
建设美好国家：政党的实践和经验
共建“一带一路”：政党的参与和贡献
引领构建人类命运共同体：政党的角色和责任
党的指导思想与时倶进
中国共产党的指导思想是马克思列宁主义、毛泽东思想、邓小平理论、“三个代表”重要思想、科学发展观、习近平新时代中国特色社会主义思想。
马克思主义是我们立党立国的根本指导思想,是中国共产党的灵魂和旗帜。马克思主义博大精深，涉及自然界、人类社会、人类思维各个领域，涵盖历史、经济、政治、文化、社会、生态、科技、军事、党建等方面。同时，马克思主义是随着时代、实践和科学的发展而不断发展的开放的理论体系。中国共产党之所以能够走在时代前列，保持党的先进性和纯洁性，就在于它以接续推进的马克思主义中国化创新理论作为行动指南。
在革命斗争中,以毛泽东同志为主要代表的中国共产党人，把马克思列宁主义基本原理同中国具体实际相结合,对经过艰苦探索、付出巨大牺牲积累的一系列独创性经验作了理论概括，开辟了农村包围城市、武装夺取政权的正确革命道路，创立了毛泽东思想。在社会主义革命和建设时期，毛泽东同志提出把马克思列宁主义基本原理同中国具体实际进行“第二次结合”,以毛泽东同志为主要代表的中国共产党人,结合新的实际丰富和发展了毛泽东思想。
党的十一届三中全会以后,以邓小平同志为主要代表的中国共产党人,团结带领全党全国各族人民,深刻总结新中国成立以来正反两方面经验,围绕什么是社会主义、怎样建设社会主义这一根本问题，借鉴世界社会主义历史经验，创立了邓小平理论。
党的十三届四中全会以后,以江泽民同志为主要代表的中国共产党人,团结带领全党全国各族人民,坚持党的基本理论、基本路线,加深了对什么是社会主义、怎样建设社会主义和建设什么样的党、怎样建设党的认识,形成了“三个代表” 重要思想。
党的十六大以后,以胡锦涛同志为主要代表的中国共产党人,团结带领全党全国各族人民,在全面建设小康社会进程中推进实践创新、理论创新、制度创新,深刻认识和回答了新形势下实现什么样的发展、怎样发展等重大问题，形成了科学发展观。
党的十八大以来,以习近平同志为主要代表的中国共产党人,坚持把马克思主义基本原理同中国具体实际相结合、同中华优秀传统文化相结合,坚持毛泽东思想、邓小平理论、“三个代表” 重要思想、科学发展观,深刻总结并充分运用党成立以来的历史经验,从新的实际出发,创立了习近平新时代中国特色社会主义思想。习近平新时代中国特色社会主义思想是当代中国马克思主义、二十一世纪马克思主义,是中华文化和中国精神的时代精华,实现了马克思主义中国化新的飞跃。党确立习近平同志党中央的核心、全党的核心地位,确立习近平新时代中国特色社会主义思想的指导地位，反映了全党全军全国各族人民共同心愿，对新时代党和国家事业发展、对推进中华民族伟大复兴历史进程具有决定性意义。
马克思列宁主义、毛泽东思想、邓小平理论、“三个代表”重要思想、科学发展观、习近平新时代中国特色社会主义思想既一脉相承又与时倶进。
要根据时代变化和实践发展,不断深化认识,不断总结经验,不断实现理论创新和实践创新良性石动,在这种统一和动中发展 21 世纪中国的马克思主义
一一习近平
## 探究与分享
中国共产党的历史是一部始终走在时代前列、致力引领中国发展进步的历史。
1949 年3月 23 日，毛泽东等党中央领导同志离开河北省平山县西柏坡，进京筹建新中国。出发时,毛泽东对周恩来说,今天是进京的日子,进京“赶考” 去。周恩来笑着回答,我们应当都能考试及格,不要退回来。毛泽东说,退回来就失败了。我们决不当李自成,我们都希望考个好成绩。
七十多年过去了,中国共产党团结带领全国人民取得了巨大成就,但中国共产党面临的挑战和问题依然严峻复杂，面临的“赶考”远末结束。
结合历史事实，说说党为了“考个好成绩” 采取了哪些举措。
党的十九大之后,习近平强调,时代是出卷人,我们是答卷人,人民是阅卷人。在新时代的“赶考”路上,党面临着哪些重大挑战?列举实例并加以分析。
中国共产党之所以能够始终走在时代前列，就在于坚持解放思想、实事求是、与时倶进、求真务实。实践证明，这是中国共产党始终走在时代前列、永葆生机活力的法宝。
## 解放思想
解放思想,就是在马克思主义指导下打破习惯势力和主观偏见的束缚,研究新情况,解决新问题。改革开放以来,经济社会的每次重大发展和变革,都伴随着思想的解放和理念的更新。
## 实事求是
实事求是,就是要从实际出发,探求事物的客观规律,用以作为我们行动的向导。实事求是是马克思主义的根本观点,是中国共产党人认识世界、改造世界的根本要求,是我们党的基本思想方法、工作方法和领导方法。
## 与时倶进
与时倶进,就是党的全部理论和实际工作要体现时代性,把握规律性,富于创造性，不断开创中国特色社会主义事业新局面。
## 求真务实
求真务实,就是要求人们在实际工作中既正确认识事物的本来面目、探求事物发展变化的客观规律，又脚踏实地、实事求是地按照客观规律行事。发挥共产党员的先锋模范作用
## 探究与分享
请列举你所知道的不同时期的优秀共产党员,并与同学交流他们的事迹。
## 你所知道的优秀共产党员主要事迹
新民主主义
革命时期
社会主义革命
和建设时期
改革开放和社会主义
现代化建设新时期
中国特色社会主义
新时代
不同的时期,一样的精神。同学们列举的优秀共产党员在本质上有哪些共同点?
请你对身边的优秀共产党员进行访谈,了解他们是如何发挥先锋模范作用的。
共产党员的先锋模范作用，是指共产党员坚定马克思主义信仰，践行全心全意为人民服务的根本宗旨，通过自己的骨干、带头和桥梁作用，影响和带动身边群众共同贯彻党的基本理论、基本路线和基本方略。
习近平指出：“坚定理想信念，坚守共产党人精神追求，始终是共产党人安身立命的根本。对马克思主义的信仰,对社会主义和共产主义的信念,是共产党人的政治灵魂,是共产党人经受住任何考验的精神支柱。”
习近平强调，共产党员要做坚定的马克思主义无神论者,严守党章规定,坚定理想信念,牢记党的宗旨，绝不能在宗教中寻找自己的价值和信念。
2016 年 10 月，党的十八届六中全会通过的《关于新形势下党内政治生活的若干准则》明确规定：“党员不准搞封建迷信,不准信仰宗教,不准参与邪教,不准纵容和支持宗教极端势力、民族分裂势力、暴力恐怖势力及其活动。” 共产党员的先锋模范作用,是由中国共产党的先锋队性质所决定的,也是中国共产党的先进性的直接而具体的体现。党员好比党的肌体的细胞,每个细胞都健康,党的整个组织就坚不可摧。因此,发挥共产党员的先锋模范作用,使党始终成为时代先锋、民族脊梁,永葆创造力、凝聚力和战斗力，是党不断取得胜利的坚强保证。
在新冠肺炎疫情防控的人民战争中,党旗始终在抗疫一线高高飘扬。湖北省机关企事业单位 58 万名党员干部迅速集结社区 (村),积极参与入户调查、体温检测、转运病人等工作,自觉接受政治考验和党性䥻炼。方舱医院成立临时党委、党总支,把支部建到“连”上,成为方舱的稳定之“针”。每个援鄂医疗队都建立临时党组织,很多骨干火线入党。习近平给北京大学援鄂医疗队“90后” 党员回信,称赞新时代的中国青年是好样的,是堪当大任的。广大党员始终战斗在抗疫的最要处、最难处、最险处，当先锋、作表率，发挥了稳定人心、凝聚力量的模范作用。
共产党员的先锋模范作用，在不同的历史时期有着不同的内容。在艰苦的革命战争年代，无数共产党员前仆后继、顽强战斗、英勇牺牲。在社会主义建设和改革开放的实践中，广大党员不图名利、辛勤劳动、艰苦奋斗、开拓进取,树立了共产党员的光辉形象。
毛泽东曾对抗日战争中共产党员的先锋模范作用作出形象、生动的概括。他指出,共产党员应该成为英勇作战的模范,执行命令的模范,遵守纪律的模范,政治工作的模范和内部团结统一的模范;应该成为实行抗战任务的模范;应该成为统一战线中各党相互关系的模范;应该是十分廉洁、不用私人、多做工作、少取报酬的模范;应是实事求是的模范,又是具有远见卓识的模范；应成为学习的模范。
中国特色社会主义进人新时代，共产党员在新征程上要弘扬坚持真理、坚守理想，践行初心、担当使命，不怕牺牲、英勇斗争,对党忠诚、不负人民的伟大建党精神,更加珍惜工人阶级先锋队战士的光荣称号,承担起自己的责任和使命,做学习的模范,做贯彻执行党的路线、方针、政策的模范,做克己奉公、无私奉献的模范，做服从组织、严守纪律的模范,做维护党的团结和统一的模范,做坚持真理、修正错误的模范,做密切联系群众的模范,做培育和践行社会主义核心价值观的模范。
# 9 第三课
坚持和加强党的全面领导
中国共产党是我国最高政治领导力量。办好中国的事情,关键在党。中国共产党领导是中国特色社会主义最本质的特征，是中国特色社会主义制度的最大优势。党政军民学、东西南北中,党是领导一切的。在新时代,必须坚持和加强党的全面领导,必须坚持科学执政、民主执政、依法执政,进一步巩固党的执政地位。
## | 坚持党的领导 |
## 探究与分享
2017年 10 月 18 日,中国共产党第十九次全国代表大会在北京人民大会堂开幕。党的十九大的召开受到境内外媒体与民众的高度关注
“党的十九大”在移动互联网形成亿级讨论。2017年 10 月 18 日 9 时至10月19日9时，关键词“十九大” 在某社交网络平台产生数据506万条，峰值高达 99.99( 最高 100 )。该平台对“十九大” 相关话题统计显示,“十九大”的阅读量为 25.3 亿人次,讨论量为 452.3 万条。
中外记者在党的十九大开幕式上现场采访
凤中国共产党第十九次全国代表大会为什么受到境内外媒体与民众的高度关注?
如何理解中国共产党在我国政治生活中的作用?
党的政治领导、思想领导、组织领导
我国宪法规定：“社会主义制度是中华人民共和国的根本制度。中国共产党领导是中国特色社会主义最本质的特征。” 坚持党的领导,是中国革命、建设和改革事业不断取得胜利的根本政治保证,具有重要意义。
党的领导是全面的、系统的、整体的,主要包括政治领导、思想领导、组织领导等。
党的政治领导,就是党在政治立场、政治方向、政治道路、政治原则方面的领导，主要体现为党的路线、方针、政策的领导。
在中国特色社会主义新时代,坚持党的政治领导,就是要确保党和国家的事业沿着正确方向前进，最重要的是，必须增强政治意识、大局意识、核心意识、看齐意识，自觉维护党中央权威和集中统一领导,确保党在世界形势深刻变化的历史进程中始终走在时代前列,在应对国内外各种风险和考验的历史进程中始终成为全国人民的主心骨,在坚持和发展中国特色社会主义的历史进程中始终成为坚强领导核心。
党的思想领导,就是党在思想理论和意识形态上的领导,主要体现为坚持马克思主义在意识形态领域中的指导地位,用马克思列宁主义、毛泽东思想、邓小小平理论、“三个代表”重要思想、科学发展观、习近平新时代中国特色社会主义思想武装全党、教育人民，巩固全党全国各族人民团结奋进的共同思想基础。
## 探究与分享
党的十八大提出：“倡导富强、民主、文明、和谐，倡导自由、平等、公正、法治，倡导爱国、敬业、诚信、友善，积极培育和践行社会主义核心价值观。”
- 2018 年 3 月 11 日，十三届全国人大一次会议通过的《中华人民共和国宪法修正案》,将宪法第二十四条第二款中的“国家提倡爱祖国、爱人民、爱劳动、爱科学、爱社会主义的公德”,修改为“国家倡导社会主义核心价值观，提倡爱祖国、爱人民、爱劳动、爱科学、爱社会主义的公德”。
将社会主义核心价值观写入宪法,对于培育和践行社会主义核心价值观有何重要作用?在中国特色社会主义新时代,加强党的思想领导,为什么要积极培育和践行社会主义核心价值观?
在中国特色社会主义新时代,坚持党的思想领导，就是要统一思想、集中智慧、凝聚力量，最重要的就是以习近平新时代中国特色社会主义思想为行动指南,培育和践行社会主义核心价值观,培养社会主义现代化强国建设者，培养担当中华民族伟大复兴大任的时代新人。党的组织领导,就是党在组织体系和组织工作方面的领导,主要体现为党的各级组织、党的干部、广大党员组织带领人民群众为实现党的任务和主张而奋斗。
在中国特色社会主义新时代，坚持党的组织领导，就是要保证党的路线、方针、政策和重大工作部署得到贯彻执行,最重要的就是坚持党管干部原则,以组织体系建设为重点,着力培养忠诚干净担当的高素质干部,
村党员干部学习《中国共产党纪律处分条例》着力集聚爱国奉献的各方面优秀人才，坚持德才兼备、以德为先、任人唯贤，为坚持和加强党的全面领导、坚持和发展中国特色社会主义提供坚强组织保证。
1945年4月，在党的七大预备会议上，毛泽东指出：“要知道，一个队伍经常是不大整齐的，所以就要常常喊看齐,向左看齐,向右看齐,向中看齐。我们要向中央基准看齐,向大会基准看齐。看齐是原则，有偏差是实际生活，有了偏差，就喊看齐。”
2015年 12 月，在中共中央政治局专题民主生活会上，习近平提出，必须有很强的看齐意识，经常、主动向党中央看齐，向党的理论和路线方针政策看齐。
总之，坚持党的全面领导，就要不断增强党的政治领导力、思想引领力、群众组织力、社会号召力，从而确保党永葈旺盛生命力和强大战斗力。
## 新时代坚持和加强党的全面领导
在中国特色社会主义新时代，坚持和加强党的全面领导，就是要确保党始终处于领导核心地位，健全总揽全局、协调各方的党的领导制度体系：建立不忘初心、牢记使命的制度，完善坚定维护党中央权威和集中统一领导的各项制度，健全党的全面领导制度,健全为人民执政、靠人民执政各项制度,健全提高党的执政能力和领导水平制度,完善全面从严治党制度。建立不忘初心、牢记使命的制度。确保全党遵守党章,恪守党的性质和宗旨，坚持用共产主义远大理想和中国特色社会主义共同理想凝聚全党、团结人民,用习近壬新时代中国特色社会主义思想武装全党、教育人民、指导工作,夯实党执政的思想基础。把不忘初心、牢记使命作为加强党的建设的永恒课题和全体党员、千部的终身课题，形成长效机制，坚持不解锤炼党员、千部忠诚千净担当的政治品格。全面贯彻党的基本理论、基本路线、基本方略,持续推进党的理论创新、实践创新、制度创新,使一切工作顺应时代潮流、符合发展规律、体现人民愿望,确保党始终走在时代前列、得到人民衰心拥护。
在我国政治生活中，党是居于领导地位的，加强党的集中统一领导，支持人大、政府、政协、监察委员会、法院、检察院依法依章程履行职能、开展工作、发挥作用,坚持和完善党对人民军队的绝对领导。同时,坚持和加强党的全面领导,还具体体现在经济建设、政治建设、文化建设、社会建设、生态文明建设各个领域，体现在党和国家工作的各个方面、各个环节。
在中国特色社会主义新时代,只有坚持和加强党的全面领导,才能真正落实以人民为中心的发展思想,建设现代化经济体系,健全人民当家作主的制度体系，推动社会主义文化繁荣兴盛，保障和改善民生，加强和创新社会治理，加快生态文明体制改革，正确认识和应对复杂的国际局势。
在中国特色社会主义新时代,只有坚持和加强党的全面领导,才能协调推进全面建设社会主义现代化国家、全面深化改革、全面依法治国、全面从严治党，为改革发展提供强大动力和可靠保障。
早在抗日战争时期，为更好地应对战争中遇到的各种困难，中共中央就曾提出“党领导一切其他组织，如军队、政府与民众团体”。
新中国成立后，毛泽东先后多次强调“党领导一切”的思想，指出：“工、农、商、学、兵、政、党这七个方面，党是领导一切的。党要领导工业、农业、商业、文化教育、军队和政府。”
习近平在党的十九大报告中重申“党政军民学,东西南北中,党是领导一切的”,旨在强调要坚持党对一切工作的领导,自觉维护党中央权威和集中统一领导,确保党始终总揽全局、协调各方。
## | 巩固党的执政地位 |
## 探究与分享
2004 年，党的十六届四中全会通过的《中共中央关于加强党的执政能力建设的决定》指出：“无产阶级政党夺取政权不容易,执掌好政权尤其是长期执掌好政权更不容易。党的执政地位不是与生倶来的,也不是一劳永逸的。我们必须居安思危,增强忧患意识,深刻汲取世界上一些执政党兴衰成败的经验教训,更加自觉地加强执政能力建设,始终为人民执好政、掌好权。”
试列举世界上一些政党失去执政地位的实例,讨论它们在政坛上沉浮的原因。
面对新形势,谈谈如何巩固党的执政地位。
## 坚持全面从严治党
勇于自我革命是中国共产党区别于其他政党的显著标志。我们党历经千锤百炼而朝气蓬勃,一个很重要的原因就是我们始终坚持党要管党、全面从严治党。
在新形势下，党面临的执政考验、改革开放考验、市场经济考验、外部环境考验是长期的、复杂的、严峻的,精神懈㕕危险、能力不足危险、脱离群众危险、消极腐败危险更加尖锐地摆在全党面前。全面从严治党是推进党的建设新的伟大工程的必然要求。
打铁必须自身硬。新时代党的建设总要求是：坚持和加强党的全面领导,坚持党要管党、全面从严治党,以加强党的长期执政能力建设、先进性和纯洁性建设为主线,以党的政治建设为统领,以坚定理想信念宗旨为根基,以调动全党积极性、主动性、创造性为着力点,全面推进党的政治建设、思想建设、组织建设、作风建设、纪律建设,把制度建设贯穿其中,深入推进反腐败斗争,不断提高党的建设质量,把党建设成为始终走在时代前列、人民哀心拥护、勇于自我革命、经得起各种风浪考验、朝气蓬勃的马克思主义执政党。
共产党有没有资格领导，这决定于我们党自己。
邓小平
我们党要始终成为时代先锋、民族脊梁，始终成为马克思主义执政党，自身必须始终过硬
一一习近平加强党的建设，必须推动全面从严治党向纵深发展。全面从严治党，核心是加强党的领导，基础在全面，关键在严，要害在治。
《中国共产党党内监督条例》规定：“党内监督必须把纪律挺在前面,运用监督执纪“四种形态'，经常开展批评和自我批评、约谈函询,让 '红红脸、出出汗' 成为常态;党纪轻处分、组织调整成为违纪处理的大多数;党纪重处分、重大职务调整的成为少数;严重违纪涉嫌违法立案审查的成为极少数。”
治国必先治党，治党务必从严。坚持党要管党、全面从严治党，这是党的建设的一贯方针和要求，关系党的先进性、纯洁性，关系人心向背,关系国家和民族的兴衰,关系党的生死存亡。
晒“清单”
画“红线”
总之，坚持和完善党的领导，保持和巩固党的执政地位，必须毫不动摇把党建设得更加坚强有力。
坚持科学执政、民主执政、依法执政
## 探究与分享
结合《深化党和国家机构改革方案》的出台过程,谈谈你对中国共产党执政方式的理解。
科学执政,就是坚持以马克思主义为指导,不断探索和遵循共产党执政规律、社会主义建设规律、人类社会发展规律，全面增强执政本领，提高长期执政能力，并按照客观规律执好政、掌好权。
民主执政，就是坚持为了人民执政、依靠人民执政。民主执政强调人民群众的历史主体地位。这就要求发展中国特色社会主义民主政治,以民主的制度、民主的形式、民主的手段保证在国家政治生活的各个方面坚持和实现人民当家作主,团结一切可以团结的力量,调动一切积极因素,实现好、维护好、发展好最广大人民的根本利益,从而巩固和扩大党长期执政的群众基础。
依法执政是中国共产党执政的基本方式。党必须在宪法和法律的范围内活动。支持人民代表大会依法履行职能,使党的主张通过法定程序上升为国家意志,是党依法执政的重要体现。具体地说,依法执政,就是坚持依法治国、建设社会主义法治国家,领导立法、保证执法、支持司法、带头守法,不断推进国家经济建设、政治建设、文化建设、社会建设、生态文明建设的法治化、规范化,以法治的理念、法治的体制、法治的程序保证党领导人民有效治国理政。
科学执政、民主执政、依法执政是有机统一的,其中科学执政是基本前提，民主执政是本质所在，依法执政是基本途径。坚持科学执政、民主执政、依法执政,目的在于不断改进党的领导方式和执政方式,提高党的执政能力,巩固党的领导核心地位和执政地位,保证党领导人民有效治理国家,实现党的执政使命,引领承载着中国人民伟大梦想的航船破浪前进,胜利驶向光辉的彼岸。
## 综合探究
## 始终走在时代前列的中国共产党
## 探究活动目标
思考党在不同历史时期所面临的问题和挑战，就“党如何保持本色、坚持特色、与时倶进” 展开探究,深化对于坚持党的领导的政治认同。
## 探究活动建议
- 以“为什么中国共产党执政是历史和人民的选择” 为议题，探究中国共产党带领中国人民革命、建设和改革的奋斗历程。
可利用影视资源,如观看《建党伟业》《建国大业》等影片,也可到图书馆、档案馆查阅有关文献，深化对“没有共产党就没有新中国”的认识。
可开展主题教育活动，如参观烈士陵园、革命遗址、革命历史展览馆等相关教育实践基地，理解“中国共产党是中国工人阶级的先锋队，同时是中国人民和中华民族的先锋队”。
可开展“不忘初心、牢记使命” 的访谈，请老党员宣讲党的使命，请老战士、老模范口述历史,从中汲取一代又一代中国共产党人为共产主义理想而奋斗的精神力量
可直面各种质疑，澄清基本事实，阐明党的宗旨，论证中国共产党是中国革命、建设和改革的领导核心。
- 以“怎样高扬永不褪色的旗帜”为议题,探究中国共产党永远保持先进性、纯洁性的重要意义。
可查阅党史相关文献,讨论中国共产党在推进革命、建设、改革进程中的使命,就保持本色、坚持特色、与时倶进的要求,分享各自的心得。
可查阅时代楷模的相关资料，感悟他们的精神境界。
可发掘本地资源，采取访谈形式，引用身边党员的先进事迹,讨论保持党的先进性和纯洁性所面临的新问题、新挑战。
可登录政府相关网站，搜集社会发展数据,了解我国经济建设、政治建设、文化建设、社会建设、生态文明建设的成就，理解中国共产党不仅具有历史赋予的执政地位，也具有与时倶进的执政能力。
- 以“如何理解依法执政” 为议题,探究党领导人民制定法律、在宪法和法律的范围内活动的方式。
可搜集中国共产党在领导立法、保证执法、支持司法、带头守法等方面的实例，了解党依法执政的方式和表现。
可评析有关事例,说明“党政军民学,东西南北中,党是领导一切的”。
可走访所在地区的政府机关、企事业单位的党组织,了解党依法执政的表现。
可登录相关网站,了解坚持和完善党的领导的有关举措,分享各自的心得。
## 探究路径参考
## 探究一党在不同时期的廉政建设
在“浩然正气满乾坤一一中国廉政文物精华展” 展出的文物中,有李大钊手书的对联“铁肩担道义,妙手著文章”、方志敏撰写的《清贫》手稿、《中华苏维埃共和国宪法大纲》刻石、中华苏维埃政府工农检察部控告局设置的控告箱、晋冀鲁豫边区政府颁发的《晋冀鲁豫边区惩治贪污暂行办法》、毛泽东致延安党政军各界关于永远保持延安和陕甘宁边区时的艰苦奋斗作风的复电、刘少奇《论共产党员的修养》部分早期版本、警卫员为周恩来补祙子用的祙板等。
如果要为改革开放以来的廉政建设展览推荐展品,你会推荐哪些?说明理由。
搜集有关反腐倡廉的资料,结合新时代、新征程、新挑战,说明全面从严治党的意义。
## 探究二感悟党的领导
搜集资料
查阅报纸或观看一档新闻节目 ( 最好是全国性的 )，选择连续一周或更长时间的内容,将其中的重大事件记录下来。
提示：选择可信度高的信息源,注意区分重要和次要的新闻事件,用数据、图表、照片、音频、视频等丰富自己的记录。
## 分析思考
归类整理所搜集的资料,对涉及的重大事件按照经济、政治、文化、社会、生态文明等不同领域或地区性、全国性、国际性等不同层次进行归纳,通过小组讨论，用一段话概括本组成员对社会发展现状的认识。
## 继续探究
从一中选择一个事件,探究其前因后果。
通过报刊、电视、网络等搜集资料,了解在这一事件中党的作为。
通过调研访谈,了解身边的人对这一事件的认识。
提示：应尽可能选择不同年龄、不同成长经历、不同职业的人作为采访对象，确保全面性。
## 撰写报告
从“统筹全局”“凝聚人心”“化解矛盾”“自我完善” 中任选一个或多个关键词,结合所选事件,写一份报告,论述党在我国社会政治生活中的作用。
## 拓展讨论
恩格斯说：“一个知道自己的目的，也知道怎样达到这个目的的政党，一个真正想达到这个目的并且具有达到这个目的所必不可缺的顽强精神的政党，一一这样的政党将是不可战胜的。”
回顾探究过程,与同学交流你对这一论述的理解。
## 结语
办好中国的事情,关键在党,关键在加强党的领导和党的建设。中国共产党要肩负起实现中华民族伟大复兴的历史使命，就必须把党建设得更加坚强有力，以永不懈台的精神状态和一往无前的奋斗姿态,确保党始终走在时代前列,始终成为全国人民的主心骨，始终成为坚强领导核心。
第二单元
人民当家作主
实现人民当家作主，是中国共产党人的庄严承诺，是人民民主专政国家的本质要求。始终代表最广大人民根本利益，保证人民当家作主，体现人民共同意志，维护人民合法权益，是我国国家制度和国家治理体系的本质属性，也是我国国家制度和国家治理体系有效运行、充满活力的根本所在。必须坚持党的领导、人民当家作主、依法治国有机统一，积极发展全过程人民民主，健全全面、广泛、有机衔接的人民当家作主制度体系，构建多样、畅通、有序的民主渠道，丰富民主形式，从各层次各领域扩大人民有序政治参与，使各方面制度和国家治理更好体现人民意志、保障人民权益、激发人民创造。
# 1 第四课
人民民主专政的社会主义国家
我国是人民民主专政的社会主义国家,人民民主专政是我国的国体。社会主义民主是最广泛、最真实、最管用的民主。推进社会主义现代化建设,必须充分发扬人民民主,激发人民的创造活力，同时要正确行使国家的各项职能，为社会主义事业保驾护航。
## | 人民民主专政的本质: 人民当家作主 |
## 探究与分享
版画《豆选》描绘的景象发生在 1948 年的革命根据地。大河村的农民要选出自己的干部，可是农民不识字，有人就想出让大家往候选人碗里投豆子的办法。
3. 一位妇女弯下腰,小心地捡起地上的一颗豆子。
8 请观察版画的细节,探讨其中的政治内涵。
我国的国体
我国宪法规定:“中华人民共和国是工人阶级领导的、以工农联盟为基础的人民民主专政的社会主义国家。”这就明确了我国的国家性质。
国家性质亦称国体,是指社会各阶级在国家中的地位。国体概念回答的是国家政权究竟掌握在哪个阶级手里、什么人行使国家权力的问题。
关于我国国体的初始规定，见于1949年中国人民政治协商会议第一届全体会议通过的具有临时宪法性质的《中国人民政治协商会议共同纲领》( 简称《共同纲领》),而其严格意义上的根本法规定则见于 1954 年第一届全国人民代表大会第一次会议通过的《中华人民共和国宪法》。现行的 1982 年宪法重申了这一规定。
20 世纪 50 年代初宣传《共同纲领》的标语
1954 年新中国第一部宪法通过时全体代表起立热烈鼓掌
人民民主专政是我国的国体，在社会主义制度中具有根本性意义。它明确规定了社会各阶级在国家中的地位，庄严宣示了我国国家政权的人民性质。
我国的国家政权坚持以工人阶级为领导，以工农联盟为基础。工人阶级是先进生产力的代表,具有严格的组织性和纪律性,是领导阶级,是中国革命和社会主义建设事业的中坚力量。广大农民与工人阶级有着共同的利益和天然的联系，是工人阶级可靠的同盟军。工农联盟不仅是夺取新民主主义革命胜利的重要保证,也是社会主义事业发展的重要保证。
我国的国家政权坚持团结一切可以团结的力量,最大限度地调动一切积极因素。在长期的革命、建设、改革过程中,已经结成由中国共产党领导的,有各民主党派和各人民团体参加的,包括全体社会主义劳动者、社会主义事业的建设者、拥护社会主义的爱国者、拥护祖国统一和致力于中华民族伟大复兴的爱国者的广泛的爱国统一战线。1949 年，中国人民政治协商会议在起草《共同纲领》的过程中，围绕新中国国号问题,曾展开热烈讨论。中国共产党与各民主党派、无党派人士等进行广泛协商,最终确定新中国的国号为“中华人民共和国”。随着新中国的诞生，“中华人民共和国”这个国号被亿万中国人民所接受，并逐渐为全世界所承认
最广泛、最真实、最管用的民主
民主作为国家制度，是指在统治阶级范围内，按平等的原则和少数服从多数的原则来共同管理国家事务。新中国的建立,实现了中国从几千年封建专制政治向人民民主的伟大飞跃，从根本上改变了旧中国少数人统治和压迫多数人的局面，使亿万人民真正成为国家和社会的主人。我国社会主义民主是一种新型的民主，是全过程人民民主，不仅有完整的制度程序，而且有完整的参与实践，是全链条、全方位、全覆盖的民主，是维护人民根本利益的最广泛、最真实、最管用的民主。
社会主义民主是最广泛的民主。这不仅表现在人民享有广泛的民主权利，而且表现在民主主体的广泛性上。我国宪法规定:“中华人民共和国的一切权力属于人民。”“人民依照法律规定，通过各种途径和形式,管理国家事务,管理经济和文化事业,管理社会事务。”
## 探究与分享
芭蕾舞剧《白毛女》剧照
各民族代表步人人民大会堂
8 查找有关“白毛女” 的资料,了解故事发生的背景。
对比两张图片,列举实例,说明新社会人民是如何当家作主的。社会主义国家人民当家作主的本质属性，要求不断健全社会主义民主制度，丰富社会主义民主形式，将人民的民主权利推行到政治、经济和社会生活等各个领域，逐步实现政治生活的民主化、经济管理的民主化和社会生活的民主化。
## 相关链接
## 政治生活的民主化
在中国共产党的领导下,建立和完善社会主义民主的各项政治制度,保障人民群众依法享有各种政治权利和基本自由,通过各种民主制度和民主程序，在政治上实现当家作主。
## 经济管理的民主化
在坚持社会主义基本经济制度的前提下,在各项经济权利与政治权利相统一的法律制度基础上,实现人民群众对经济事务的民主参与、民主决策、民主管理和民主监督,充分调动和发挥人们的积极性、主动性和创造性。
## 社会生活的民主化
国家将更多的管理权交给社会和人民,努力提供制度保证和物质条件,使人民群众切实享有管理社会事务的各项权利,逐步实现基层社会生活、社会组织和社会活动的民主自治。
社会主义民主是最真实的民主。从政治保证上看，我国是共产党执政的社会主义国家，有一个代表最广大人民利益的坚强领导核心。中国共产党的坚强领导，是在国家生活中实现人民民主的根本政治保证。从制度和法律保障上看,我国已建立了一系列切实体现和有效维护人民民主的制度,制定了从多方面保障公民权利和自由的法律。这些制度和法律的建立与完善，在实践中保障了人民民主的有效落实。从实现方式上看,我国不仅在国家权力机关和人民政府的组织等方面实行民主选举，还在国家和社会治理中实行多层次、多渠道的民主协商。
## 探究与分享
\1953年 2 月,新中国第一部选举法诞生,我国的社会主义选举制度由此确立。改革开放以来，我国选举制度经历了历史性跨越：1979年选举法修订，把直接选举人大代表的范围由乡镇一级扩大到县一级,将等额选举改为差额选举;2010 年,选举法再次修订,将城乡按不同人口比例产生人大代表改为按相同人口比例产生人大代表,全面实现了选举权的平等。
北京的一位退休职工保存着19532016 年他参加的基层人大代表选举的选民证。从一定意义上说，这些选民证浓缩着中华人民共和国民主进程史。
退休职工保存的选民证
查找资料，了解选民证上的信息。
在我国，除了投票选举，公民参与政治生活还有哪些方式?列举实例加以说明。
## 专家点评
协商民主是我国社会主义民主政治的特有形式和独特优势，其在政党协商、人大协商、政府协商、政协协商、人民团体协商、基层协商以及社会组织协商等各个方面的统筹推进和制度化发展，保证了人民在日常政治生活中享有广泛持续深入参与的民主权利
## 相关链接
谈起基层协商民主,一般会提及始于浙江省温岭市的基层民主飠谈会。1999年，浙江省温岭市在松门镇进行民主恳谈试验,而后将民主恳谈与人民代表大会制度相结合,在国内率先进行了参与式预算改革,引起了学界和政府部门的关注。温岭这种以民主㞓谈为核心的基层民主实践被称为“温岭模式”。时任浙江省委书记习近平指出：“基层矛盾要用基层民主的办法来解决,这一重要原则一定要把握好。从这个意义上说,推进基层民主建设是实现政治稳定、社会和谐的重要保证，基层民主越健全，社会就越和谐。”
有事好商量，众人的事情由众人商量，是人民民主的真谛。
一习近平
社会主义民主是最管用的民主。我国建立了一整套保障人民当家作主的制度体系。这套制度体系体现了人民意志，保障了人民权益,激发了人民的创造活力，能够有效杜绝西方国家常见的选举时漫天许诺、选举后无人过问的开“空头支票” 问题，防止出现人民形式上有权、实际上无权的现象，避免相互掣肘而导致内耗严重、效率低下的弊端。
改革开放以来中国特色社会主义现代化建设所显现的旺盛活力，就是最广泛、最真实、最管用的人民民主的生动写照。
## 坚持人民民主专政 |
## 探究与分享
中国人民解放军和中国人民武装警察部队是我国的重要武装力量,接受中央军委统一领导,是人民民主专政的坚强柱石。
中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利 70 周年纪念大会阅兵式上，解放军三军仪仗队方队通过天安门广场
武警官兵为中国一东盟博览会保驾护航
作为人民民主专政的坚强柱石，中国人民解放军和中国人民武装警察部队各自发挥着怎样的作用?
列举事实,谈谈你对“柱石” 作用的理解。
## 坚持民主与专政的统一
人民民主专政的本质是人民当家作主。保证人民当家作主，必须充分发扬社会主义民主。只有保证人民依法享有广泛的权利和自由,尊重和保障人权,才能调动亿万人民群众投身于社会主义现代化建设的积极性，使社会主义各项事业保持蓬勃的生机。
## 探究与分享
1979 年3月 30 日，邓小平在党的理论工作务虚会上指出：“无产阶级专政对于人民来说就是社会主义民主，是工人、农民、知识分子和其他劳动者所共同享受的民主，是历史上最广泛的民主。在民主的实践方面，我们过去作得不㿟，并且犯过错误。”“现在我们已经坚决纠正了过去的错误，并且采取各种措施继续努力扩大党内民主和人民民主。没有民主就没有社会主义，就没有社会主义的现代化。当然，民主化和现代化一样，也要一步一步地前进。社会主义愈发展，民主也愈发展。这是确定无疑的。”
。请你谈谈对“没有民主就没有社会主义，就没有社会主义的现代化” 这句话的认识。
人民民主专政包含对广大人民实行民主和对极少数敌人实行专政两个方面。在我国，社会主义制度建立之后，剥削阶级作为一个阶级已被消灭，阶级矛盾已不是社会的主要矛盾。但是，由于国内的因素和国际的影响，阶级斗争还在一定范围内长期存在，在某种条件下还有可能激化。因此，人民民主专政的国家政权担负着对极少数敌对分子实行专政，维护国内正常社会秩序，抵御国外敌对势力侵略和颠覆活动的历史任务。
## 探究与分享
党的十九大报告指出，中华民族伟大复兴，绝不是轻轻松松、敲锣打鼓就能实现的。实现伟大梦想，必须进行伟大斗争。全党要更加自觉地坚持党的领导和我国社会主义制度，坚决反对一切削弱、歪曲、否定党的领导和我国社会主义制度的言行；更加自觉地维护人民利益，坚决反对一切损害人民利益、脱离群众的行为；更加自觉地维护我国主权、安全、发展利益，坚决反对一切分裂祖国、破坏民族团结和社会和谐稳定的行为。
结合材料，说明坚持人民民主专政的重要意义。
## 社会主义现代化建设的可靠保障
国家的职能表现在对内和对外两个方面。
对内职能主要是维护国家稳定，促进社会发展。
维护国家稳定。依法打击危害社会主义制度的各种破坏活动,打击危害国家安全和统一的各种颠覆破坏活动、暴力恐怖活动、民族分裂活动、宗教极端活动,打击危害人民群众生命财产安全的各种犯罪活动，有效维护国家安全和公共秩序。
促进社会发展。在中国共产党的领导下,制定和执行正确的路线、方针、政策,组织开展社会主义经济建设、政治建设、文化建设、社会建设和生态文明建设,把我国建成富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国，实现中华民族的伟大复兴。
## 探究与分享
2015 年3月 26 日后，也门安全形势严重恶化。我国政府高度重视在也门的中国公民的安危,立即组织有序撤离。在亚丁湾、索马里海域执行护航任务的我国海军舰艇编队赶赴也门，执行撤侨任务。到 3 月 30 日,571 名中国公民安全撤离。穿越战火平安归来的人们由哀地欢呼：“感谢祖国!”
我国坚持总体国家安全观,以人民安全为宗旨,既重视国土安全，又重视国民安全。结合中国撤侨的实
中国军舰也门撤侨例，谈谈你的理解。
对外职能主要是防御外来侵略,保卫国家安全。坚定维护国家的独立和主权,坚定维护国家的领土完整,坚定维护国家的各项安全和发展利益,坚定维护国家的尊严,构建和维护有利于我国社会主义现代化建设的国际环境。
我国的国家职能与人民民主专政的国体相适应,为社会主义现代化建设提供可靠保障。
# 第五课
## 我国的根本政治制度
人民代表大会制度是我国的政体，是与我国人民民主专政的国体相适应的政权组织形式,是坚持党的领导、人民当家作主、依法治国有机统一的根本政治制度安排,是中国特色社会主义政治制度优越性的重要体现。坚持和完善人民代表大会制度，是发展社会主义民主政治的重要内容。
## | 人民代表大会: 我国的国家权力机关 |
## 探究与分享
下面是一组与人民代表大会有关的图片。
人大代表听取选民的意见和建议
2018年 3 月 17 日，十三届全国人大一次会议选举习近平担任中华人民共和国主席、中华人民共和国中央军事委员会主席。这是习近平进行宪法宣誓
人大“开门” 立法,市民报名旁听
- 我国人民是如何行使国家权力的?
结合以上图片或列举人民代表大会工作的实例，说明人民代表大会制度是如何保障人民当家作主的。
## 人民行使国家权力的机关
我国是人民当家作主的社会主义国家，一切权力属于人民。在我们这个人口众多、地域辽阔的大国，人民如何行使国家权力?我国宪法明确规定，人民行使国家权力的机关是全国人民代表大会和地方各级人民代表大会。
在我国，人民通过民主选举选出自己的代表，组成各级人民代表大会。各级人民代表大会都对人民负责，受人民监督，代表人民统一行使国家权力,决定全国和各级地方的一切重大事务。人民代表大会代表人民的意志，根据人民的利益行使权力。
在人类政治文明史上，一些小型城邦曾实行过直㧍民主，即由全体公民直接管理或决定国家的公共事务。但在广土众民的大国,直接民主不易实行,通常要采取代议的方式,由公民选出特定的公职人员来管理或决定国家的公共事务，这被称作“间接民主”。
## 探究与分享
## 第十三届全国人民代表大会第一次会议议程
1 审议政府工作报告
2 审查2017年国民经济和社会发展计划执行情况与2018年国民经济和社会发展计划草案的报告
3 审查2017年中央和地方预算执行情况与2018年中央和地方预算草案的报告
(4) 审议全国人民代表大会常务委员会关于提请审议《中华人民共和国宪法修正案 (草案)》的议案
5 审议全国人民代表大会常务委员会关于提请审议《中华人民共和国监察法 (草案)》的议案
(6) 审议全国人民代表大会常务委员会工作报告
7 审议最高人民法院工作报告
(8) 审议最高人民检察院工作报告
9 审议国务院机构改革方案
10 选举和决定任命国家机构组成人员
结合十三届全国人大一次会议议程,说明全国人民代表大会的地位和职权。全国人民代表大会是我国最高国家权力机关。国家最高的立法权、决定权、任免权和监督权都由全国人民代表大会行使。全国人民代表大会在我国国家机关组织体系中居于最高地位。国家行政机关、监察机关、审判机关、检察机关都由人民代表大会产生，对它负责，受它监督。
## 全国人民代表大会的主要职权
修改宪法;制定和修改刑事、民事、国家机构的和其他的基本法律。
决定权
审查和批准国民经济和社会发展计划和计划执行情况的报告;审查和批准国家的预算和预算执行情况的报告;批准省、自治区和直辖市的建置;决定特别行政区的设立及其制度;决定战争和和平的问题。
任免权
选举中华人民共和国主席、副主席;根据中华人民共和国主席的提名,决定国务院总理的人选；根据国务院总理的提名,决定国务院副总理、国务委员、各部部长、各委员会主任、审计长、秘书长的人选；选举中央军事委员会主席；根据中央军事委员会主席的提名,决定中央军事委员会其他组成人员的人选;选举国家监察委员会主任;选举最高人民法院院长;选举最高人民检察院检察长;有权对上述国家机关领导人予以罢免。
监督权
监督宪法的实施;监督国家行政机关、监察机关、审判机关、检察机关的运行。
作为我国最高国家权力机关，全国人民代表大会由省、自治区、直辖市、特别行政区和军队选出的代表组成。各少数民族都应当有适当名额的代表。
全国人民代表大会每届任期五年。全国人民代表大会代表的名额不超过三千人，代表按照选举单位组成代表团。全国人民代表大会会议每年举行一次。会议主要任务包括：听取和审议全国人大常委会、国务院、最高人民法院、最高人民检察院的工作报告;表决议案;依法选举、决定任免国家机关组成人员全国人民代表大会常务委员会,是全国人民代表大会的常设机关，是最高国家权力机关的组成部分。它由全国人民代表大会选举产生，对全国人民代表大会负责并报告工作，行使宪法规定的立法权、决定权、任免权、监督权,以及全国人民代表大会授予的其他职权。
为了更好地开展经常性工作,全国人民代表大会设立各专门委员会。在全国人民代表大会闭会期间，各专门委员会受全国人民代表大会常务委员会的领导。
## 全国人民代表大会及其常务委员会组织系统
各专门委员会在全国人民代表大会和全国人民代表大会常务委员会领导下,研究、审议和拟订有关议案。全国人民代表大会和全国人民代表大会常务委员会认为必要的时候,可以组织关于特定问题的调查委员会，并且根据调查委员会的报告，作出相应的决议。
## 肩负人民重托的人大代表
我国各级人民代表大会的代表,由民主选举产生。全国人民代表大会的代表是最高国家权力机关的组成人员，地方各级人民代表大会的代表是地方各级国家权力机关的组成人员。
直接选举是由选民通过直接投票方式进行的选举;间接选举则是由选民选出的代表,代表他们进行的选举。前者是选民意志的直接表达，后者是选民意志的间接表达。
## 人大代表的产生
基于我国的国情，人大代表的产生采取直接选举与间接选举相结合的办法
## 直接选举
代表
选民
例如，县级、乡级人大代表由选民直接投票选举产生。
## 间接选举
代表
例如,全国、省级、设区的市级人大代表由下一级人民代表大会选举产生。
依照宪法和法律规定，各级人大代表享有广泛的职权。
人大代表在国家权力机关参加行使国家权力，除审议各项议案、表决各项决定外,还享有提案权和质询权。提案权是指人大代表有权依照法律规定的程序，向人民代表大会提出议案。质询权是指人大代表有权依照法律规定的程序，对政府等机关的工作提出质问并要求答复。
## 探究与分享
十三届全国人大一次会议首次开设“代表通道”，邀请多位人大代表亮相，以通道采访的形式表达人大代表心声，展现人大代表风采
结合具体实例，说说“民有所呼,'会' 有所应” 是如何在全国人大代表身上体现的。
全国人大代表在“代表通道”接受采访
要进一步健全代表联络机制,更好发挥人大代表作用。在人民代表大会闭会期间,各级人大代表应与人民群众保持密切联系,采取多种方式经常听取意见和要求,回答询问,帮助所在地方的人民政府推进工作。
人大代表是人民利益的代言人。他们来自人民,肩负人民的重托,应模范遵守宪法和法律,努力为人民服务,并自觉接受人民的监督。
## | 人民代表大会制度: 我国的根本政治制度
## 探究与分享
我国宪法规定：“中华人民共和国的国家机构实行民主集中制的原则。全国人民代表大会和地方各级人民代表大会都由民主选举产生,对人民负责,受人民监督。国家行政机关、监察机关、审判机关、检察机关都由人民代表大会产生,对它负责,受它监督。中央和地方的国家机构职权的划分,遵循在中央的统一领导下,充分发挥地方的主动性、积极性的原则。”
列举实例，说说你对人民代表大会制度的理解。
## 我国的政权组织形式
人民代表大会制度是按照民主集中制原则，由人民定期选出自己的代表组成各级人民代表大会作为人民行使国家权力的机关，并由人民代表大会产生其他国家机关，以实现人民民主专政历史任务的政权组织形式。
2018 年 3 月 20 日,十三届全国人大一次会议在北京闭幕
## 探究与分享
• 2018 年 3 月 20 日，国家主席习近平签署第三号主席令：“《中华人民共和国监察法》已由中华人民共和国第十三届全国人民代表大会第一次会议于 2018 年 3 月 20 日通过,现予公布,自公布之日起施行。”
•2018年 6 月，全国人大常委会执法检查组在江苏开展大气污染防治法执法检查。
• 2018 年 12 月 18 日,国务院总理签署国务院令,公布修订后的《中华人民共和国个人所得税法实施条例》。
《2020 年 5 月 28 日,十三届全国人大三次会议表决通过了《全国人民代表大会关于建立健全香港特别行政区维护国家安全的法律制度和执行机制的决定》。2020 年 6 月 30 日,十三届全国人大常委会第二十次会议通过了《中华人民共和国香港特别行政区维护国家安全法》。
结合材料,说明我国的国家权力是如何运行的。
## 昍关链接
中国共产党在带领人民为推翻三座大山而浴血奋战的同时,对建立新型人民民主专政政权及其组织形式进行了不觖探索。从大革命时期的“农民协会制度”、土地革命战争时期的“工农兵代表会议制度”、全民族抗日战争时期的“参议会制度”，到全国解放战争时期的“人民代表会议制度”，真正体现人民当家作主的政权组织形式一步步发展。1949年召开的中国人民政治协商会议在特定情势下代行了全国人大职权；1954年第一届全国人民代表大会第一次会议的召开，标志着人民代表大会制度在全国范围内正式确立。
全国人民代表大会成立六十周年纪念邮票
我国是人民当家作主的社会主义国家,中国共产党是我国社会主义事业的领导核心，代表着最广大人民的根本利益。人民代表大会制度的一项基本功能,就是把体现广大人民群众根本利益的党的路线、方针、政策依照法定程序转化为国家意志,并使之成为全体公民共同遵守的法律规范。
人民代表大会制度是我国的根本政治制度。一方面,人民代表大会制度在国家政治生活中体现人民当家作主，突出强调权为民所赋，最充分地体现了社会主义国家的本质要求。另一方面，人民代表大会制度在我国政治制度体系中居于核心地位，国家的其他制度，包括行政制度、监察制度、司法制度等，都是由人民代表大会通过立法创制出来的，都要受其统领和制约。
## 人民代表大会制度的优势
## 探究与分享
关于我国的政治制度,邓小平说：“我们实行的就是全国人民代表大会一院制,这最符合中国实际。如果政策正确，方向正确，这种体制益处很大，很有助于国家的兴旺发达，避免很多牵扯。”
《关于不同国家的政治制度,习近平指出：“物之不齐,物之情也。,各国国情不同,每个国家的政治制度都是独特的，都是由这个国家的人民决定的，都是在这个国家历史传承、文化传统、经济社会发展的基础上长期发展、渐进改进、内生性演化的结果。”
运用所学知识，谈谈你对以上论述的理解。人民代表大会制度是中国共产党把马克思主义基本原理同中国具体实际相结合的伟大创造，具有鲜明的中国特色和突出的制度优势。
人民代表大会制度保障了人民当家作主。人民代表大会制度有力地保证了全国各族人民依法实行民主选举、民主协商、民主决策、民主管理、民主监督,享有宪法和法律规定的广泛的民主权利，促进了人民民主专政国家的巩固和发展。
人民代表大会制度动员了全体人民以国家主人翁的姿态投身于社会主义建设。人民代表大会制度广泛调动了人民建设社会主义的积极性、主动性、创造性，把全国各族人民的力量凝聚起来，在中国共产党领导下，团结一心，艰苦奋斗，朝着国家的发展目标前进。
## 探究与分享
《西方国家立法机关、行政机关、司法机关之间经常扯皮,互相牵制,致使许多重要国事无法得以及时决断。美国国会通过的法案往往被总统否决,仅在富兰克林•德拉诺-罗斯福任总统期间就达 580 次之多。美国总统提出建立海军部的议案得到国会同意用了 10 年,建立内政部用了 39 年，建立司法部用了 40 年，建立劳工部用了 45 年
在我国,法律的审议、国家领导人的选举和重大决议的表决常常由全国人大高票通过;人大及其常委会审议、决定问题,除了在集体充分讨论的基础上进行表决外,人大代表、人大常委会委员之间还经常就人民关心的重大问题进行沟通和协商。
- 请你根据材料,分析导致上述差异的原因,说明我国人民代表大会制度为什么要实行民主集中制。
人民代表大会制度保证了国家机关协调高效运转。人民代表大会作为国家权力机关统一行使国家权力，集体行使职权，集体决定问题；在人民代表大会统一行使国家权力的前提下，国家行政机关、监察机关、审判机关、检察机关各司其职，各尽其责，既能保证国家权力始终掌握在人民手中，又有利于各个国家机关分工合作，协调一致地履行职责。
社会主义国家有个最大的优越性，就是干一件事情，一下决心，一做出决议,就立即执行,不受矬挞.
—一邓小平人民代表大会制度维护了国家统一和民族团结。在中央的统一领导下,合理划分中央和地方的职权,充分发挥中央和地方两个积极性;各少数民族聚居的地方实行民族区域自治,巩固和发展平等团结互助和谐的社会主义民族关系,实现全国各族人民的大团结。
人民代表大会制度是坚持党的领导、人民当家作主、依法治国有机统一的根本政治制度安排,体现了中国特色社会主义的制度优势,必须长期坚持、不断完善。我们绝不照搬西方政治制度的模式。
# 第六课
## 我国的基本政治制度
中国共产党领导的多党合作和政治协商制度、民族区域自治制度、基层群众自治制度是我国的三项基本政治制度。这些制度与我国的根本政治制度相适应，是中国特色社会主义民主政治的重要组成部分，是中国特色社会主义政治制度优越性的重要体现。
## 中国共产党领导的多党合作和政治协商制度 |
## 探究与分享
- 2016年 3 月,在以“积极稳妥做好去产能过程中的人员安置工作，扎实推进供给侧结构性改革” 为主题的提案办理协商会上,全国政协委员与国家发展和改革委员会、教育部、人力资源和社会保障部、财政部、国务院国有资产监督管理委员会等提案承办单位负责人围桌而坐,交换意见，对提案进行集中协商办理。- 2018年2月，中共中央分别举行党外人士座谈会和民主协商会,就中共中央拟向十三届全国人大一次会议推荐的国家机构领导人员人选建议名单和拟向全国政协十三届一次会议推荐的全国政协领导人员人选建议名单,向各民主党派中央、全国工商联和无党派人士代表通报情况,听取意见。
结合材料,谈谈你对协商民主的认识。
中国特色社会主义政党制度
中国共产党领导的多党合作和政治协商制度，是一项具有鲜明中国特色的政党制度。
在革命、建设和改革事业中,各民主党派同中国共产党一道前进，现已成为各自所联系的一部分社会主义劳动者、社会主义事业的建设者、拥护社会主义的爱国者、拥护祖国统一和致力于中华民族伟大复兴的爱国者的政治联盟。
目前，我国的民主党派有八个：中国国民党革命委员会、中国民主同盟、中国民主建国会、中国民主促进会、中国农工民主党、中国致公党、九三学社、台湾民主自治同盟。
中国共产党领导的多党合作和政治协商制度，是我国的一项基本政治制度。我国宪法明确规定：“中国共产党领导的多党合作和政治协商制度将长期存在和发展。”
## 探究与分享
有人打过一个比方：西方的政党制度就像拳击赛,一定要把对方打倒;而我们的政党制度则好比“大合唱”,大家齐心协力干成一项事业。大合唱要有指挥,这个指挥就是中国共产党。大合唱要有主旋律,这个主旋律就是建设中国特色社会主义。
你如何看待上述说法?查找资料,说明我国政党制度的优越性。
中国共产党同各民主党派实行长期共存、互相监督、肝胆相照、荣辱与共的基本方针。民主党派是接受中国共产党领导、同中国共产党通力合作的亲密友党。
中国共产党的领导是多党合作和政治协商的首要前提与根本保证。中国共产党在社会主义事业中的领导核心地位是历史和人民的选择，得到各民主党派的一致拥护。在政党之间的关系上，中国共产党对民主党派的领导是政治领导,主要是政治方向、政治原则和重大方针政策的领导。
在国家政治生活中,中国共产党是执政党,各民主党派是参政党。各民主党派具有法律赋予的参政权,包括参加国家政权,参与国家大政方针和国家领导人选的协商,参与国家事务的管理,参与国家方针政策、法律法规的制定和执行，等等。相关链接
新中国成立以来，民主党派成员、无党派人士中有三人曾任中央人民政府副主席，两人曾任国家副主席、一人曾任国家名誉主席，多人曾任最高人民法院副院长、最高人民检察院副检察长。此外，各民主党派中央还通过全国人民代表大会、中国人民政治协商会议以及其他渠道和方式，就我国国家治理的一系列重要问题提出建设性的意见和建议。
中国共产党领导的多党合作和政治协商制度作为社会主义民主的重要内容,是在社会主义法治的框架下设定和运行的。各政党包括执政党都必须以宪法为根本的活动准则。
中国共产党领导的多党合作和政治协商制度创立了一种新型的政党关系与政党制度形式，在当今世界独具特色。中国共产党同各民主党派既亲密合作又互相监督,而不是互相反对。中国共产党依法执政，各民主党派依法参政，而不是轮流执政。这一制度与人民代表大会制度相适应，有利于发展社会主义民主，有利于推进中国特色社会主义建设,有利于推进祖国和平统一大业,展现出强大的生命力和显著的优越性。
它是马克思主义政党理论同中国实际相结合的产物，能够真实、广泛、持久代表和实现最广大人民根本利益、全国各族各界根本利益，有效避免了旧式政党制度代表少数人、少数利益集团的弊端。
中国共产党领导的多党合作和政治协商制度是新型政党制度它把各个政党和无党派人士紧密团结起来，为着共同目标而奋斗，有效避免了一党缺乏监督或者多党轮流坐庄、恶性竞争的弊端。
它通过制度化、程序化、规范化的安排集中各种意见和建议,推动决策科学化民主化,有效避免了旧式政党制度畕于党派利益、阶级利益、区域和集团利益决策施政导致社会斯裂的弊端。
习近平指出：“搞了西方的那套东西就更自由、更民主、更稳定了吗？一些发展中国家照搬西方政治制度和政党制度模式，结果如何呢？很多国家陷入政治动荡、社会动乱，人民流离失所。”
## 中国人民政治协商会议
## 探究与分享
国务院总理在十三届全国人大一次会议上作政府工作报告时，有这样一段话：“现在，我代表国务院，向大会报告过去五年政府工作，对今年工作提出建议，请予审议，并请全国政协委员提出意见。”
国务院总理作的政府工作报告，在请人大代表“审议”的同时，请政协委员“提出意见”。你知道这是为什么吗?
中国人民政治协商会议（简称人民政协 ) 是中国人民爱国统一战线的组织，是中国共产党领导的多党合作和政治协商的重要机构，是我国政治生活中发扬社会主义民主的重要形式，是国家治理体系的重要组成部分，是具有中国特色的制度安排。
中国人民政治协商会议全国委员会由中国共产党、各民主党派、无党派人士、
2018年 3 月 3 日，全国政协十三届一次会议在北京开幕人民团体、各少数民族和各界的代表，香港特别行政区同胞、澳门特别行政区同胞、台湾同胞和归国侨胞的代表以及特别邀请的人士组成。
## 相关链接
中国人民政治协商会议第十三届全国委员会共设 34 个界别，分别是：中国共产党、中国国民党革命委员会、中国民主同盟、中国民主建国会、中国民主促进会、中国农工民主党、中国致公党、九三学社、台湾民主自治同盟、无党派人士、中国共产主义青年团、中华全国总工会、中华全国妇女联合会、中华全国青年联合会、中华全国工商业联合会、中国科学技术协会、中华全国台湾同胞联谊会、中华全国归国华侨联合会、文化艺术界、科学技术界、社会科学界经济界、农业界、教育界、体育界、新闻出版界、医药卫生界、对外友好界、社会福利和社会保障界、少数民族界、宗教界、特邀香港人士、特邀澳门人士、特别邀请人士
人民政协围绕团结和民主两大主题，履行政治协商、民主监督和参政议政的职能。
## 人民政协的职能
| 政治协商 | 民主监督 | 参政议政 |
| :---: | :---: | :---: |
| $\begin{array}{l}\text { 对国家大政方针和 } \\ \text { 地方的重要举措以及经 } \\ \text { 济建设、政治建设、文 } \\ \text { 化建设、社会建设、生 } \\ \text { 态文明建设中的重要问 } \\ \text { 题，在决策之前和决策 } \\ \text { 实施之中进行协商。}\end{array}$ | $\begin{array}{l}\text { 对国家宪法、法律和法规的实 } \\ \text { 施,重大方针政策、重大改革举措、} \\ \text { 重要决策部署的贯彻执行情况,涉 } \\ \text { 及人民群众切身利益的实际问题解 } \\ \text { 决落实情况,国家机关及其工作人 } \\ \text { 员的工作等,通过提出意见、批评、} \\ \text { 建议的方式进行的协商式监督。}\end{array}$ | $\begin{array}{l}\text { 对政治、经济、文化、社会生 } \\ \text { 和生态环境等方面的重要问题以 } \\ \text { 及人民群众普遍关心的问题,开展 } \\ \text { 调查研究,反映社情民意,进行协 } \\ \text { 商讨论。通过调研报告、提案、建 } \\ \text { 议案或其他形式,向中国共产党和 } \\ \text { 国家机关提出意见和建议。}\end{array}$ |
## 相关链接
## 8年全国政协提案工作总体情况
5360 件
211 件
4567 件
截至2019年2月 20日,$99.2 \%$ 已经办复
提案内容
人民政协是社会主义协商民主的重要渠道和专门协商机构。在中国特色社会主义新时代,人民政协工作要聚焦党和国家中心任务,把协商民主贯穿政治协商、民主监督、参政议政全过程，完善协商议政内容和形式，着力增进共识、促进团结。加强人民政协民主监督，重点监督党和国家重大方针政策和重要决策部署的贯彻落实。
## | 民族区域自治制度 |
## 探究与分享
围绕“多元一体的中华民族” 这一主题，同学们搜集了以下材料。
王医生所在的医院与内蒙古自治区的一家医院建立了对口支援关系,他经常到内蒙古出差。
一个伦佬族自治县的小村寨居住着仏佬、壮、苗、汉等六个民族,有林、彭、周、郑等十个姓氏，讲着不同语言的七十多户乡亲和睦相处。
一一场名为“多彩中华” 的中国 56 个民族服饰表演在法国巴黎卢浮宫上演。绚丽多彩的中国民族服饰,令巴黎观众赞叹不已。一位观众说,过去我们了解京剧、武术等中国文化,但没想到中国有那么多民族、那么丰富多彩的文化
习近平说:“中华民族和各民族的关系,形象地说,是一个大家庭和家庭成员的关系,各民族的关系是一个大家庭里不同成员的关系。” 结合材料，谈谈你对这一论述的理解。
我国是统一的多民族国家
在我国 960 多万平方公里的土地上，居住着 56 个民族。中华民族是我国所有民族凝聚形成的命运共同体。
作为统一的多民族国家,多元一体是我国民族格局的最重要特点。一方面，各民族有自己的历史和文化;另一方面,各民族又都凝聚在一个统一的命运共同体中。汉族离不开少数民族，少数民族离不开汉族，各少数民族之间也相互离不开。
我们辽阔的疆域是各民族共同开拓的,我
庆祝中华人民共和国成立 70 周年大会群众游行中的民族团结方阵
们悠久的历史是各民族共同书写的，我们灿烂
的文化是各民族共同创造的，我们伟大的精神是各民族共同培育
的。我国宪法规定:“中华人民共和国是全国各族人民共同缔造的
统一的多民族国家。”
习近平在十三届全国人大一次会议上指出：“中国人民是具有伟大团结精神的人民。在几千年历史长河中,中国人民始终团结一心、同舟共济,建立了统一的多民族国家,发展了56个民族多元一体、交织交融的融洽民族关系,形成了守望相助的中华民族大家庭。特别是近代以后,在外来侵略寇急祸重的严峻形势下,我国各族人民手挽着手、肩并着肩,英勇奋斗,浴血奋战,打败了一切穷凶极恶的侵略者,捍卫了民族独立和自由,共同书写了中华民族保卫祖国、抵御外侮的壮丽史诗。今天,中国取得的令世人嘱目的发展成就,更是全国各族人民同心同德、同心同向努力的结果。”
我国行政区域的类型包括一般行政地方、民族自治地方和特别行政区。民族自治地方的自治机关依照宪法和法律规定的权限行使自治权。
地方性的自治权不同于国家主权。法律意义上的主权，是指一个国家在所辖领土范围内独立处置内政、外交事务而不受他国控制和干涉的最高权力。对外的独立性和对内的最高性是国家主权的两个基本特征。在国际交往中，我国的主权由中央政府统一行使。
中国的主权统一和领土完整不可分割。中华人民共和国只有一部宪法、一个中央政府。一般行政地方、民族自治地方和特别行政区都必须接受中央政府统辖。
## 符合国情的民族区域自治
在我国 56 个民族中，与汉族相比，其他 55 个民族人口相对较少，习惯上被称为少数民族。各民族都是中华民族大家庭的成员。
新中国成立后，党和国家为实现各民族的平等权利,组织开展了民族识别工作,在既尊重民族意愿又符合科学、客观依据的基础上，实事求是地认定了我国 56 个民族成分和民族族称。
中国共产党把马克思主义民族理论与中国的具体实际相结合，创造性地进行了中国特色民族理论和实践的探索。在新民主主义革命时期,中国共产党高举民族平等的旗帜,致力于铲除民族压迫和民族歧视的阶级根源，赢得了各族人民的信赖。新中国成立后，全国各族人民成为国家和社会的主人，真正掌握了自己的命运，实现了各族人民在根本利益上的一致，为建设和发展平等团结互助和谐的社会主义民族关系奠定了坚实基础。我国始终坚持民族平等、民族团结和各民族共同繁荣的方针，促进各民族和睦相处、和衷共济、和谐发展。
根据统一的多民族国家的历史传统，各民族“大杂居、小聚居、交错居住” 的分布格局以及在长期奋斗中形成的相互依存的民族关系，我国实行民族区域自治制度。民族区域自治是在国家统一领导下,各少数民族聚居的地方实行区域自治,设立自治机关，行使自治权。
我国的民族自治地方分为自治区、自治州、自治县三级。自治机关是民族自治地方的人民代表大会和人民政府，在行使一般行政地方国家机关职权的同时,依法行使自治权。
## 相关链接
## 民族自治地方的自治机关主要有以下权力
依法制定自治条例和单行条例。
依法管理地方财政的自治权。
依法自主地安排和管理地方性的经济建设事业。
依法自主地管理本地方的教育、科学、文化、卫生、体育事业，保护和整理民族的文化遗产，发展和繁荣民族文化。
## 探究与分享
与一般行政地方相比,中央政府在财政、税收和工农业发展等方面向民族自治地方提供更多的经济优惠政策。在资金投入上,近年来中央政府持续加大对民族自治地方的财政转移支付力度,并设立各种专项资金和临时性补助,扶持民族自治地方发展经济、社会和文化事业。此外,中央政府还采取对口支援的形式,让经济社会相对发达的地区支援少数民族地区。
援藏医疗队成员与西藏当地医生一同查房
查阅资料,说说有哪些促进各民族共
同繁荣发展的对口支援形式。
我国的民族区域自治制度以国家统一为前提和基础,是国家的集中统一领导与民族区域自治的有机结合。我国宪法规定：“各民族自治地方都是中华人民共和国不可分离的部分。” 同时，宪法也规定：“国家保障各少数民族的合法的权利和利益,维护和发展各民族的平等团结互助和谐关系。”“国家根据各少数民族的特点和需要，帮助各少数民族地区加速经济和文化的发展。” 民族区域自治制度是我国的一项基本政治制度，是中国特色解决民族问题正确道路的一个重要制度保障。民族区域自治制度既保证了国家团结统一,又实现了各民族共同当家作主。实践证明,民族区域自治制度符合我国国情,在维护国家统一、领土完整,在加强民族平等团结、促进民族地区发展、增强中华民族凝聚力等方面都起到了重要作用。
坚持和完善民族区域自治制度,坚定不移走中国特色解决民族问题的正确道路。一方面,要充分保证民族自治地方依法行使自治权,切实尊重和保障少数民族的合法权益,因地制宜采取措施,积极推动民族自治地方的经济社会文化发展;另一方面,必须坚定不移地维护国家尊严，依法妥善处理影响民族关系的各种矛盾和问题,依法打击民族分裂势力及其活动,坚决反对和有力回击境内外敌对势力利用民族问题进行的渗透、破坏活动。必须深化民族团结进步教育,加强各民族交往交流交融,不断增进各族群众对伟大祖国、中华民族、中华文化、中国共产党、中国特色社会主义的认同，铸牢中华民族共同体意识,促进各民族像石榴籽一样紧紧抱在一起，共同团结奋斗、共同繁荣发展。
## 我国的宗教政策与法律
## 探究与分享
•我国主要有佛教、道教、伊斯兰教、天主教和基督教等宗教。千百年来,各宗教和睦相处。
我国宗教界人士积极参与国际宗教间的交往与合作,用亲身经历向世界人民介绍我国的宗教信仰自由政策,增进了各国宗教界对我国的了解,为维护世界和平作出了贡献。
列举实例,说明我国宗教界都有爱国爱教、团结进步、服务社会的传统。
中国宗教界和平委员会三届一次会议
邓谈谈你对我国宗教政策的理解。
我国有多种宗教,妥善处理宗教问题,对维护国家的统一和稳定具有重要意义。
我国全面贯彻党的宗教工作基本方针,实行宗教信仰自由政策,依法管理宗教事务,坚持独立自主自办的原则,积极引导宗教与社会主义社会相适应。
实行宗教信仰自由政策。我国宪法规定：“中华人民共和国公民有宗教信仰自由。”公民有信仰宗教的自由，也有不信仰宗教的自由；有信仰这种宗教的自由，也有信仰那种宗教的自由；在同一宗教里，有信仰这个教派的自由，也有信仰那个教派的自由；有过去不信教而现在信教的自由，也有过去信教而现在不信教的自由。
我国宪法规定：“任何国家机关、社会团体和个人不得强制公民信仰宗教或者不信仰宗教，不得歧视信仰宗教的公民和不信仰宗教的公民。” 在多数群众不信教的地方，要注意尊重和保护少数信教群众的权利；在多数群众信教的地方，要注意尊重和保护少数不信教群众的权利。实行宗教信仰自由的根本出发点和落脚点,就是要努力加强信教群众与不信教群众之间以及信仰不同宗教和不同教派的群众之间的团结,将他们的力量凝聚到建设中国特色社会主义、实现中华民族伟大复兴这个共同目标上来。
依法管理宗教事务。宗教信仰自由不等于宗教活动可以不受任何约束。宗教界人士和信教群众首先是中华人民共和国的公民,在享有宗教信仰自由的同时，必须履行法律规定的义务。宗教活动必须在宪法和法律允许的范围内进行。任何宗教都没有超越宪法和法律的特权，都不能干预国家行政和司法。我国坚持教育与宗教相分离，任何组织和个人不得利用宗教进行妨碍国家教育制度的活动。我国的宗教事务管理坚持“保护合法、制止非法、遏制极端、抵御渗透、打击犯罪” 的原则。
邪教不是宗教。当今世界，邪教兴风作浪,已成为一大公害。邪教组织是指冒用宗教、气功或者以其他名义建立，神化、鼓吹首要分子，利用制造、散布迷信邪说等手段虫惑、蒙骗他人,发展、控制成员,危害社会的非法组织。它们在很多地方制造集体自杀或暗杀、爆炸等事件，对人民群众生命财产构成严重威胁，其本质是反人类、反社会、反科学的。取缔邪教组织,严惩邪教犯罪，已成为各国人民的共识。
校园拒绝邪教坚持独立自主自办的原则。我国宪法规定：“宗教团体和宗教事务不受外国势力的支配。” 任何境外组织和个人不得干预我国的宗教事务。我国政府支持宗教界在平等友好的基础上开展对外交往,严格禁止境外宗教的渗透和发展,坚决打击宗教极端思想的传播,严密防范宗教极端行为的发生。
积极引导宗教与社会主义社会相适应。支持我国宗教坚持中国化方向是引导宗教与社会主义社会相适应的重要任务,要用社会主义核心价值观引领宗教,用中华优秀文化浸润宗教,不断推动我国宗教的中国化。积极引导宗教与社会主义社会相适应,不是要求宗教界人士和信教群众放弃宗教信仰,而是要求他们热爱祖国、拥护社会主义制度、拥护中国共产党的领导，遵守国家的法律、法规和方针政策;要求他们从事宗教活动要服从和服务于国家的最高利益与中华民族的整体利益；支持他们努力对宗教教义作出符合社会进步要求的阐释;支持他们与各族人民一道反对一切利用宗教进行危害社会主义祖国和人民利益的非法活动，为民族团结、经济发展、社会和谐和祖国统一多作贡献。
## | 基层群众自治制度 |
## 探究与分享
有同学在社会实践活动中拍到这样一张照片: 李家村的办公楼前挂着三块牌子,分别是中国共产党李家村支部委员会、李家村村民委员会、李家村村务监督委员会。围绕这张照片,大家提出不少问题。
这三个机构是层级相同的村级组织吗?
村务监督委员会与另两个机构是什么关系?
三块牌子挂在一起，说明三个机构的组成人员是一样的吧?
村党支部委员会和村委会是什么关系?它们管的事情是一样的吗?
查找资料,为同学答疑解惑。
村委会是如何产生的?
## 我国基层群众自治的组织形式
我国的基层群众自治是指人民群众在城乡基层党组织领导下，在居住地范围内，依托基层群众性自治组织，依法直接行使民主权利，实行自我管理、自我服务、自我教育、自我监督的民主制度和治理模式。
与国家和政府层面的政治民主相比，基层民主具有发生领域的基层性、民主参与的直接性管理活动的自治性等特点。
按照村民委员会组织法，村民委员会是农村基层群众性自治组织。其主要职能是办理本村的公共事务和公益事业，调解民间纠纷，协助维护社会治安，向人民政府反映村民的意见、要求和提出建议等。村民委员会成员由村民选举产生，向村民会议、村民代表会议负责并报告工作。
在农村基层治理实践中，制定村民自治章程或村规民约，是村民规范自己和村干部的行为,运用民主的办法来管理本村的日常事务，实现自己的事情自己办、自己的难题自己解的有效途径。
按照城市居民委员会组织法，居民委员会是城市基层群众性自治组织。其任务是维护居民的合法权益，办理本居住地区居民的公共事务和公益事业，调解民间纠纷，协助维护社会治安，向人民政府反映居民的意见、要求和提出建议等。居民委员会成员由居民选举产生，向居民会议负责并报告工作。
村民在农民公寓建设听证会上提出自己的看法
在居民委员会换届选举大会上，新当选的居委会主任与大家交流居委会成员居民选，社区大事居民定,日常事务居民管。这大大调动了广大居民参与社区建设的积极性,也有效提高了居民参与政治生活的素质和能力。
## 人民群众直接行使民主权利的生动实践
## 探究与分享
某村要制定村规民约，村民们畅所欲言。
你认为哪些意见可以采纳,哪些不应该采纳,为什么?你还会补充哪些意见?
发展基层民主,保障人民群众享有更多更切实的民主权利,是我国社会主义民主政治建设的重要内容。在我国农村和城市，广大人民群众开展了丰富多彩的基层民主实践活动。
民主选举。作为基层群众性自治组织,农村的村民委员会和城市的居民委员会,按法律规定均由本居住地的村民或居民选举产生。在农村,村委会主任、副主任和委员的产生采取村民直接选举的办法,实行无记名投票、公开计票,选举结果当场公布。在城市,社区居委会正从过去的居民代表选举,向更高比例的居民直接选举发展,选举程序更加规范,给城市基层治理带来显著变化。
## 探究与分享
• 某村召开村民会议，讨论集体维修水塔事宜，到会 113 人，108人赞成。由于多数村民支持，该项目很快通过了。
• 某小区举办“迎新春邻居节”活动，居委会组织社区志愿者教居民编中国结、写“福” 字，大家一起热热闹闹迎新春，共创和谐社区。
你所在的村或社区正在开展哪些活动?
走访你所在的村或社区，搜集相关事例，围绕人们依法参与基层民主的实践，撰写调查报告。
民主协商。城乡基层的公共事务千头万绪，应该也必须由众人商量着办。只有本着有序参与的原则，让居民或村民合理表达意见和建议,求同存异,才能找出解决问题的好方案,促进基层社会的和谐。我国城乡的基层民主协商，在街道或乡镇、社区或行政村以及企事业单位等不同的层次展开，也贯穿基层治理的全过程。
民主决策。城乡基层的公共决策与每家每户的利益直接相关。按民主决策要求，在农村，凡关系村民公共利益的事项都要由村民以直接或间接参与的方式集体作出决定。在城市，社区公共事务的民主决策通过召开居民会议进行。
民主管理。在法律上，基层公共事务的管理属于本村的全体村民或本区的全体居民；在现实运作中，一般要通过一定的程序，授权给基层群众性自治组织来进行。依法制定自治章程和议事规则,推动日常管理工作的制度化、规范化和程序化,是做好基层民主管理工作的关键。
城乡基层公共事务管理涉及面广，包括办理本区或本村的公共事务和公益事业，调解民间纠纷,协助维护社会治安,向人民政府反映居民或村民的意见、要求和提出建议,依法管理本区或本村的公共财产，协助人民政府开展工作，宣传党的路线、方针、政策，开展普法教育，普及科技知识，开展多种形式的社会主义精神文明建设活动，等等。
民主监督。负责城乡基层公共事务管理的居委会和村委会，事实上都掌握一定的权力。要防止以权谋私，尽可能避免管理工作的失误,必须实行民主监督。凡是与基层群众利益密切相关和需要让基层群众知晓的事项都应公开,让每个居民或村民了解,还应对基层群众性自治组织的实际管理工作进行评议。
设立“社区公开栏”“村务公开栏”是城乡各地普遍采用的公开形式,此外还有其他多种多样的形式。城市社区对居委会进行民主评议和监督的主体,可以是居民代表、社区协商议事委员会,也可以是由居委会代表、社区协商议事委员会代表和居民代表联合组成的民主评议小组。在农村，通过民主评议对村委会实行民主监督的职能，主要由村民会议承担。
居民代表评议社区工作
村民在村务公开栏前查看集体资产租赁情况
基层群众自治制度是我国的一项基本政治制度。扩大基层民主是社会主义民主广泛而深刻的实践，应该将其作为发展社会主义民主的基础性工程加以推进。
## 综合探究
## 在党的领导下实现人民当家作主
## 探究活动目标
观察和分析国家政治生活和社会公共生活中的现象，感悟身边的民主，理解中国特色社会主义政治制度的基本内容、鲜明特点和主要优势,深化对我国社会主义民主政治的认识，提高有序参与国家政治生活和社会公共生活的能力。
## 探究活动建议
- 以“如何理解人大代表的作用” 为议题，探究人民代表大会与其他国家机关的关系，感悟社会主义民主是最广泛、最真实、最管用的民主。
可走访本地人大代表,了解他们履行职责的经验,分析人大代表的产生过程、活动方式和主要职责。
可针对热点问题,模拟人大代表撰写议案,或举办主题为“假如我是人大代表” 的演讲会。
- 以“协商民主有什么优势” 为议题，探究我国政党制度的特色以及协商民主的价值。
可走访本地政协委员,了解他们对本地社会热点问题的看法、对有争议的社会问题的立场以及应对措施，并加以评析，理解“有事好商量，众人的事情由众人商量，是人民民主的真谛”
可参加有关方面组织的对话协商活动，对有关公共政策的制定，或有关争议问题的解决发表见解,如废旧电池回收利用、垃圾分类处理、食品安全、道路安全、环境治理问题等
- 以“我国各族人民怎样和睦相处”为议题，探究我国始终坚持民族平等、民族团结和各民族共同繁荣的方针的意义,认同我国是统一的多民族国家。
可搜集有关材料,制作反映民族平等、民族团结和各民族共同繁㭉的演示文稿。
可阅读民族文学作品，观赏民族歌舞，领略各民族文化的魅力。
可查阅相关资料，了解各民族杰出人物的故事。
- 以“我们怎样当家作主” 为议题，探究人民行使民主权利的内容和方式。
可搜集村规民约，讨论其与国家法律的关系。
可从各种媒体的报道中，从对所在社区的考察中，搜集人民依法直接参加民主选举、民主协商、民主决策、民主管理、民主监督的积极表现，讨论有序参与的意义、无序参与的后果。
## 探究路径参考
## 探究一“窑洞对”
1945 年 7 月初,黄炎培等六位国民参政会参政员访问延安。返回重庆后,黄炎培发表了著名的《延安归来》。其中有一段谈到他与毛泽东在窑洞中的对话。
有一回,毛泽东问我感想怎样?我答：我生六十多年,耳闻的不说,所亲眼看到的，真所谓“其兴也浡焉”，“其亡也忽焉”，一人，一家，一团体，一地方，乃至一国,不少单位都没有能跳出这周期率的支配力。大凡初时聚精会神,没有一事不用心,没有一人不卖力,也许那时艰难困苦,只有从万死中觅取一生。既而环境渐渐好转了，精神也就渐渐放下了。有的因为历时长久,自然地惰性发作,由少数演为多数,到风气养成,虽有大力,无法扭转,并且无法补救。也有为了区域一步步扩大了,它的扩大,有的出于自然发展,有的为功业欲所驱使,强求发展，到千部人才渐见竭䟭、艰于应付的时候，环境倒越加复杂起来了，控制力不免趋于薄弱了。一部历史，“政㕕宦成”的也有，“人亡政息”的也有,“求荣取辱” 的也有,总之没有能跳出这周期率。中共诸君从过去到现在,我略略了解的了，就是希望找出一条新路，来跳出这周期率的支配。
毛泽东说：我们已经找到新路,我们能跳出这周期率。这条新路,就是民主。只有让人民来监督政府，政府才不敢松解。只有人人起来负责，才不会人亡政息。
®“只有让人民来监督政府,政府才不敢松懈。只有人人起来负责,才不会人亡政息。”联系实际,谈谈你对这句话的理解。
结合你对我国政治制度的理解,说明人民、国家和执政党的关系。
## 探究二我们会参与
## 选择要研究的具体问题
通过报刊、电视、网络等了解最近发生的大事和社会关注的热点,选择要研究的具体问题。
行动建议
选择的内容可以是国家政治生活中的大事,如经济发展目标的确定、教育公平的实现,也可以来自身边的公共生活,如社区公共设施的维护、村集体资产的经营和管理。
## 信息资料的搜集与研究
分组确定任务,通过访谈、观察或查找资料,尽可能多地获取相关信息，注意选择可信度高的信息源。
行动建议
了解该问题涉及哪些利益群体和管理服务部门,党和政府在该问题上的政策、措施及其实施情况等。
## 进一步思考
处理复杂的问题往往需要协调多方利益。
凤有人提出,政治生活中的问题都应采取少数服从多数的方法,通过投票解决,你是否赞同?你研究的问题是否适合采取少数服从多数的方法解决?说明理由。
结合研究的问题,说明我国的政治制度在协调人民利益、促进共同发展方面具有哪些独特优势。
## 活动拓展
针对所研究的问题制订具体的方案或提出建议,并依法提交给相关部门。
## 结语
发展社会主义民主政治,就是要实现人民意志、保障人民权益、激发人民创造活力,用制度体系保障人民当家作主。中国共产党领导中国人民制定宪法和法律,建立并不断完善人民代表大会制度、中国共产党领导的多党合作和政治协商制度、民族区域自治制度和基层群众自治制度,这一系列行之有效的制度安排实现了形式民主与实质民主相统一、选举民主与协商民主相促进。社会主义民主是维护人民根本利益的最广泛、最真实、最管用的民主。
# 治国理政的基本方式
我国宪法规定：“中华人民共和国实行依法治国,建设社会主义法治国家。”依法治国是我国治国理政的基本方式。通过实行法治，保障人权，维护社会和谐，实现长治久安,推进国家治理现代化。
## | 我国法治建设的历程 |
## 探究与分享
有观点认为,法律是人类的重大发明,有些发明使人类学会如何驾驭自然,法律则使人类学会如何用规矩来驾驭自己。
- 请谈谈你对上述观点的理解。
搜集历史上的法治名言或结合一部具体的法律,说说法律在国家治理中的作用。
校园文化墙
我国法律发展的历史
法律是人类社会发展到一定历史阶段的产物。法律体现着统治阶级的意志，是实现国家职能的工具，它既维护公共管理秩序，也保障正常的社会生活。在古代社会,法律确认和保护人剥削人的等级制度,特权阶层常常凌驾于法律之上;近代以来,法律的地位和权威不断提升，法律面前人人平等逐渐成为现实,法治代替了人治，成为一种全新的国家治理方式。我国是一个具有五千多年文明史的古国，中华法系源远流长。春秋战国时期,我国开始制定成文法,并通过铸刑鼎、书竹简等方式发布法律。西汉时期，儒家思想成为政治生活的主导思想，强调礼法结合。唐朝时,我国形成了较为完备的封建法典,并为以后历代封建王朝所传承和发展。中华法系成为世界上独树一帜的法律文明，古老的中国为人类法治发展作出了重要贡献。
## 相关链接
中华法系,是指以儒家思想为理论基础、在中国古代法律的基础上发展起来的法律文明,它强调法律与伦理道德的统一,其代表性法典为《唐律疏议》。中华法系是在我国特定历史条件下形成的,凝聚了中华民族的精神和智慧,有很多优秀的思想和理念值得我们传承。
《唐律疏议》共三十卷，是我国现存最古老、最完整的封建法典
1840 年鸦片战争后,中国逐步成为半殖民地半封建社会。为了改变国家和民族的苦难命运，一些仁人志士试图将近代西方国家的法治模式移植到中国,以实现变法图强的梦想。但由于各种历史原因,他们的努力最终归于失败。
## 马克思主义法治理论
人类法律文明的进步促进了法学思想的创新和发展。马克思主义的产生和发展谱写了人类法治思想史上的新篇章。
马克思主义认为,法是人类社会发展到一定历史阶段,随着私有制、阶级和国家的出现而逐步产生的。在阶级社会中，法反映的是该社会中在经济上、政治上居于统治地位的阶级的根本利益和共同意志。
马克思主义认为,法所反映的统治阶级意志的内容最终是由社会物质生活条件决定的。社会物质生活条件是指与人类生存相关的地理环境、人口和物质资料的生产方式。生产方式即生产力与生产关系的对立统一,是社会发展的决定性因素,也是法产生、存在和发展的决定性因素。
## 探究与分享
马克思和恩格斯在揭露资本主义法的本质时指出：“你们的观念本身是资产阶级的生产关系和所有制关系的产物，正像你们的法不过是被奉为法律的你们这个阶级的意志一样,而这种意志的内容是由你们这个阶级的物质生活条件来决定的。”
马克思说：“君主们在任何时候都不得不服从经济条件，并且从来不能向经济条件发号施令。无论是政治的立法或市民的立法，都只是表明和记载经济关系的要求而已。”
恩格斯说：“政治、法、哲学、宗教、文学、艺术等等的发展是以经济发展为基础的。但是，它们又都互相作用并对经济基础发生作用。这并不是说，只有经济状况才是原因，才是积极的，其余一切都不过是消极的结果，而是说，这是在归根到底不断为自己开辟道路的经济必然性的基础上的相互作用。”
这些论述对于理解法的本质、法的产生和发展规律具有什么意义?
人类历史上出现过四种历史类型的法，即奴隶制法、封建制法、资本主义法和社会主义法。
人类社会的存在和发展离不开各种社会规范。法是维持社会秩序、调整社会关系的一种社会规范。法反映并调整一定的社会关系，用规定权利和义务的方式规范人们的行为。法确认、保护和发展有利于统治阶级的社会关系和社会秩序。在我国，人民是国家的主人，国家、集体和个人的根本利益是一致的，公民的权利和义务是统一的。公民在法律面前一律平等，既平等地享有权利，也平等地履行义务。
## 名词点击
## 社会规范
社会规范，是指调整人与人之间社会关系的行为规则，主要包括法律规范、道德规范、职业规范等。
法是由国家制定或认可的社会规范。制定和认可是国家创制法律规范的两种基本形式。制定，是指国家根据社会生活发展的需要，通过相应的国家机关按照法定程序制订、修改和废止各种规范性文件以确立规则的活动。认可，是指国家以一定形式赋予在社会生活中已经存在的某种行为规则以法律效力的活动
法是由国家强制力保证实施的具有普遍约束力的社会规范。在任何国家，违反法律规定的行为都将由专门国家机关依照法定程序追究行为人的法律责任，责任人将受到法律的制裁。
## 案例一
某地国家安全局破获了一起向国外情报机构提供我国军事保密资料的重大间谍案，两名被告人因犯间谍罪，被人民法院依刑法判处无期徒刑。
## 案例二
一农户与当地一家粮油公司签订了小麦收购合同,后双方因款项支付发生争议并诉诸法庭。人民法院依法判决粮油公司按照农户的诉讼请求支付购粮款。
结合案例，说说法的政治职能与社会职能的区别与联系。
法在国家治理中既具有政治职能,又具有社会职能。法的政治职能是指法维护一定阶级统治的作用。法的社会职能是指法管理一定社会公共事务的作用。法所具有的这两种职能体现在经济建设、政治建设、文化建设、社会建设和生态文明建设等各领域中。
我国当代的法是社会主义法。我国社会主义法是工人阶级领导的广大人民群众的根本利益和共同意志的体现。
## 新中国法治建设的成就
一国的法治总是由该国的国情和社会制度所决定并与其相适应的。依法治国，建设社会主义法治国家，是中国人民的主张、理念,也是中国人民的实践。在党的领导下,我国的法治建设取得了巨大成就。
形成了以宪法为核心的中国特色社会主义法律体系。在现行宪法基础上，制定并完善了一大批法律、法规，法律体系日趋完备，国家经济建设、政治建设、文化建设、社会建设和生态文明建设的各个方面实现了有法可依。立法的科学化、民主化水平和立法质量不断提高，法律在促进经济社会发展、维护社会公平正义、保障公民权利、确保国家权力正确行使等方面的作用不断增强。
在中国特色社会主义法律体系中,宪法居于核心和统帅地位。中国现行宪法是在 1954 年宪法的基础上,经讨全民讨论，于 1982 年由第五届全国人民代表大会第五次会议通过的。宪法是国家的根本法,具有最高的法律效力。在中国,各族人民、一切国家机关和武装力量、各政党和各社会团体、各企业事业组织,都必须以宪法为根本的活动准则，并负有维护宪法尊严、保证宪法实施的职责。实行依法治国基本方略,首先要全面贯彻实施宪法。
现行宪法公布施行三十周年纪念邮票
依法行政和公正司法水平不断提高。通过建立健全科学完备的行政执法和司法体制，保证了行政机关和司法机关按照法定权限和程序行使权力、履行职责。行政机关不断简政放权、优化服务,严格规范文明执法,法治政府建设不断推进。审判机关和检察机关依法独立行使审判权、检察权，坚持以事实为依据、以法律为准绳,坚持公民在法律面前一律平等，维护和实现司法公正和权威。
人权的法治保障取得巨大成就。在通过经济社会发展改善人民的生存权和发展权的同时，国家高度重视通过宪法和法律保障公民的基本权利和自由。我国将人权保障贯穿法治建设的各个环节，使人权法治保障水平达到了新的高度。事实表明，中国人民享有越来越广泛、越来越充分的经济、政治、文化、社会等权利。
在推进全面依法治国的伟大进程中,尊重和保障人权成为立法的一项重要原则,以宪法为核心的中国特色社会主义法律体系不断完善;依法行政深入推进，行政权力运行更加规范;深化司法改革,努力让人民群众在每个司法案件中感受到公平正义;法治社会建设向纵深发展,全社会法治观念和人权法治保障意识显著增强;中国共产党坚持依法执政,为人权法治化保障提供了坚强保证探究与分享
## 法治建设在路上
1949年 $\quad$《中国人民政治协商会议共同纲领》颁布,开启法治建设新纪元。
1954 年一我国第一部社会主义类型的宪法颁布，初步奠定了我国法治建设的基础。
1982年 ―现行《中华人民共和国宪法》颁布，奠定了依法治国的基础。
1999年 - 将“实行依法治国，建设社会主义法治国家”写入宪法，法治建设揭开新篇章。
2004年一将“国家尊重和保障人权”写入宪法。
2012年党的十八大提出全面推进依法治国，法治是治国理政的基本方式。
2014年 —党的十八届四中全会对全面推进依法治国作出战略部署。
2018年一十三届全国人大一次会议通过了宪法修正案，我国宪法进一步完善。
十三届全国人大三次会议通过了《中华人民共和国民法典》,这是新时代我国社会主义法治建设的重大成果。
中央全面依法治国工作会议强调,习近平法治思想是全面依法治国的根本遵循和行动指南。
8 我国法治建设的进程对你有何启示?
凤如何理解“全面依法治国是国家治理的一场深刻革命”?
在习近平法治思想的指引下，中国特色社会主义法治事业蓬勃发展。这是一场由中国共产党领导的、全体中国人民共同参与的、史无前例的伟大社会实践。有着悠久历史和灿烂文明的中华民族，正在民主与法治的道路上阔步前进，努力开创人类政治文明发展的新境界。
## 相关链接
2020 年,在中央全面依法治国工作会议上,习近平对当前和今后一个时期推进全面依法治国要重点抓好的工作提出了 11 个方面的要求：要坚持党对全面依法治国的领导;要坚持以人民为中心;要坚持中国特色社会主义法治道路;要坚持依宪治国、依宪执政;要坚持在法治轨道上推进国家治理体系和治理能力现代化;要坚持建设中国特色社会主义法治体系;要坚持依法治国、依法执政、依法行政共同推进,法治国家、法治政府、法治社会一体建设;要坚持全面推进科学立法、严格执法、公正司法、全民守法;要坚持统筹推进国内法治和涉外法治;要坚持建设德才兼备的高素质法治工作队伍;要坚持抓住领导干部这个“关键少数”。
## | 全面推进依法治国的总目标与原则 |
## 探究与分享
党的十一届三中全会提出：“为了保障人民民主,必须加强社会主义法制，使民主制度化、法律化，使这种制度和法律具有稳定性、连续性和极大的权威,做到有法可依，有法必依，执法必严，违法必究。”
从材料可以看出,我国使用过“法制” 和“法治” 两个概念。请说说“法制” 和“法治” 这两个概念有什么区别。
## 全面推进依法治国的总目标
法律是治国之重器,法治是国家治理体系和治理能力的重要依托。要推动我国经济社会持续健康发展,不断开拓中国特色社会主义事业更加广阔的发展前景，必须全面推进社会主义法治国家建设。
全面推进依法治国总目标是建设中国特色社会主义法治体系、建设社会主义法治国家。这就是,在中国共产党领导下,坚持中国特色社会主义制度,贯彻习近平法治思想,形成完备的法律规范体系、高效的法治实施体系、严密的法治监督体系、有力的法治保障体系，形成完善的党内法规体系，坚持依法治国、依法执政、依法行政共同推进，坚持法治国家、法治政府、法治社会一体建设，实现科学立法、严格执法、公正司法、全民守法，促进国家治理体系和治理能力现代化。
## 相关链接
习近平法治思想内涵丰富、论述深刻、逻辑严密、系统完备,从历史和现实相贯通、国际和国内相关联、理论和实际相结合上深刻回答了新时代为什么实行全面依法治国、怎样实行全面依法治国等一系列重大问题。习近平法治思想是顺应实现中华民族伟大复兴时代要求应运而生的重大理论创新成果，是马克思主义法治理论中国化最新成果,是习近平新时代中国特色社会主义思想的重要组成部分，是全面依法治国的根本遵循和行动指南。
全面推进依法治国是一个系统工程,是国家治理领域一场广泛而深刻的革命,需要付出长期艰苦努力。全党和全国人民必须更加自觉地坚持依法治国、更加扎实地推进依法治国,努力实现国家各项工作法治化，向着建设法治中国的目标不断前进。
## 全面推进依法治国的原则
坚持中国共产党的领导。党的领导是中国特色社会主义最本质的特征,是社会主义法治最根本的保证。必须坚持党领导立法、保证执法、支持司法、带头守法,把依法治国与依法执政统一起来。作为执政党,中国共产党必须切实尊重宪法法律权威,模范遵守宪法法律，坚持依宪执政和依法执政。
坚持人民主体地位。人民是依法治国的主体和力量源泉,人民代表大会制度是保证人民当家作主的根本政治制度。必须坚持法治建设为了人民、依靠人民、造福人民、保护人民，以保障人民根本权益为出发点和落脚点,保证人民依法享有广泛的权利和自由、承担应尽的义务，维护社会公平正义，促进共同富裕。
## 探究与分享
• 坚持法律面前人人平等,就要反对特权和歧视。没有正当理由给予优待，即为特权;没有正当理由加以限制或增加负担，即为歧视。
平等允许合理的差别。针对特定群体,应给予特殊的优待和保护,如法律对老年人、末成年人、残疾人给予特殊的优待和保护。
除右图所列法律外,我国还有哪些针对特定群体优待和保护的法律?
这些给予特殊优待和保护的法律是如何体现法律面前人人平等的?
坚持法律面前人人平等。平等是社会主义法律的基本属性。任何组织和个人都必须尊重宪法法律权威,都必须在宪法法律范围内活动,都必须依照宪法法律行使权力或权利、履行职责或义务,都不得有超越宪法法律的特权。必须维护国家法制统一、尊严、权威,切实保证宪法法律有效实施，绝不允许任何人以任何借口任何形式以言代法、以权压法、徇私枉法。
## 探究与分享
我国民法典规定：“因保护他人民事权益使自己受到损害的,由侵权人承担民事责任,受益人可以给予适当补偿。没有侵权人、侵权人逃逸或者无力承担民事责任，受害人请求补偿的，受益人应当给予适当补偿。”“因自愿实施紧急救助行为造成受助人损害的,救助人不承担民事责任。”
义从法律与道德关系的角度谈谈你对上述规定的理解。不能让做好事的人吃亏!
做好事有法律保障坚持依法治国和以德治国相结合。国家和社会治理需要法律和道德共同发挥作用。必须坚持一手抓法治、一手抓德治,大力弘扬社会主义核心价值观,弘扬中华传统美德,培育社会公德、职业道德、家庭美德、个人品德,既重视发挥法律的规范作用,又重视发挥道德的教化作用,以法治体现道德理念、强化法律对道德建设的促进作用,以道德滋养法治精神、强化道德对法治文化的支撑作用,实现法律和道德相辅相成、法治和德治相得益彰。
坚持从中国实际出发。必须从我国基本国情出发,同改革开放不断深化相适应,总结和运用党领导人民实行法治的成功经验,围绕社会主义法治建设重大理论和实践问题,推进法治理论创新,发展符合中国实际、具有中国特色、体现社会发展规律的社会主义法治理论,为依法治国提供理论指导。
## 相关链接
习近平指出：“我们要学习借鉴世界上优秀的法治文明成果。但是,学习借鉴不等于是简单的拿来主义,必须坚持以我为主、为我所用,认真鉴别、合理吸收,不能搞 '全盘西化',不能搞 '全面移植’，不能照搬照抄。”
## 第八课
法治中国建设
建设法治中国是系统性工程,既需要党和国家的统筹与规划,更需要公民和全社会的参与与推动。全面推进依法治国,要坚持依法治国、依法执政、依法行政共同推进，坚持法治国家、法治政府、法治社会一体建设。
## | 法治国家 |
## 探究与分享
2018 年 1 月 1 日,《中华人民共和国环境保护税法》正式施行,依法征收环境保护税,实施多年的排污费不再征收。
从排污费到环境保护税的历程
1979 年
环境保护法 ( 试行) 确立排污收费制度
2011年
国民经济和社会发展第十二个五年规划纲要提出开征环境保护税
2018年
环境保护税法正式施行
2016年
全国人大常委会表决通过环境保护税法
2016年
全国人大常委会表决通过环境保护税法
环境保护法规定,依照法律规定征收环境保护税的，不再征收排污费
2016 年
全国人大常委会法工委就环境保护税法 （草案）征求意见谁来纳税?
直接向环境排放应税污染物的企业事业单位和其他生产经营者应税污染物有哪些?
大气污染物、水污染物、固体废物和噪声哪些情形不纳税?
向依法设立的污水集中处理、生活垃圾集中处理场所排放应税污染物的
《在符合国家和地方环境保护标准的设施、场所贮存或者处置固体废物的
结合材料,说明在生态文明建设中,将排污费改为环境保护税有哪些积极作用。
## 法治国家的内㴠
法治国家,就是实行依法治国、依宪治国、依法执政、依宪执政的国家。在现代社会,法治国家意味着国家权力依法行使,国家各项工作依法开展。
坚持宪法法律至上。宪法法律至上是法治的首要内容，即宪法法律是社会治理的最高准则,任何个人和组织都不享有法律之外的特权。法律是通过民主程序制定出来的,反映了民众的意愿,符合民众的利益,体现了社会共同理想和信念,应该得到全社会的尊重和遵从。
习近平在党的十八届四中全会第二次全体会议上指出：“小智治事,中智治人，大智立法。治理一个国家、一个社会,关键是要立规矩、讲规矩、守规矩。法律是治国理政最大最重要的规矩。推进国家治理体系和治理能力现代化,必须坚持依法治国,为党和国家事业发展提供根本性、全局性、长期性的制度保障。”
坚持良法之治。法治国家强调依法治理，只有良法才能最大限度地得到民众的认同,才能最大程度地发挥法律的效力。一方面,良法应内容合理，在制定过程中应广泛听取各方意见，符合社会和人民的需要,符合社会公平正义的理念；另一方面,良法应体系完备、规范系统、类别齐全、协调统一,能够涵盖社会生活的各个方面。推进科学立法、民主立法、依法立法,方可制定出良法,良法之下才有法治国家。
## 探究与分享
《《中华人民共和国宪法》规定，中华人民共和国公民对于任何国家机关和国家工作人员，有提出批评和建议的权利;对于任何国家机关和国家工作人员的违法失职行为,有向有关国家机关提出申诉、控告或者检举的权利，但是不得捏造或者歪曲事实进行诬告陷害。
《《中华人民共和国立法法》规定，公民认为行政法规、地方性法规、自治条例和单行条例同宪法或者法律相抵触的,可以向全国人民代表大会常务委员会书面提出进行审查的建议,由常务委员会工作机构进行研究，必要时，送有关的专门委员会进行审查、提出意见
《《中华人民共和国政府信息公开条例》规定，对涉及公众利益调整、需要公众广泛知晓或者需要公众参与决策的政府信息,行政机关应当主动公开。除行政机关主动公开的政府信息外,公民、法人或者其他组织可以向地方各级人民政府、对外以自己名义履行行政管理职能的县级以上人民政府部门申请获取相关政府信息。
结合上述法律法规的规定，讨论如何更好地保障公民的知情权、参与权、表达权和监督权。
尊重和保障公民权利。公民依法享有广泛的权利，包括人身权、财产权、知情权、参与权、表达权和监督权等。保护公民的各项权利是法治的主要功能。在法治国家，公民的权利和尊严应得到法律的确认，并通过执法和司法加以保障。
《世界人权宣言》序言指出：“鉴于对人类家庭所有成员的固有尊严及其平等的和不移的权利的承认，乃是世界自由、正义与和平的基础 …… 鉴于各会员国业已誓愿同联合国合作以促进对人权和基本自由的普遍尊重和遵行，鉴于对这些权利和自由的普遍了解对于这个誓愿的充分实现具有很大的重要性,因此现在,大会,发布这一世界人权宣言,作为所有人民和所有国家努力实现的共同标准，以期每个人和社会机构经常铭念本宣言，努力通过教诲和教育促进对权利和自由的尊重,并通过国家的和国际的渐进措施,使这些权利和自由在各会员国本身人民及在其管辖下领土的人民中得到普遍和有效的承认和遵行。”
规范国家权力的运行。国家的各项权力，包括立法权、行政权、司法权、监督权等，都必须在法律之下运行。为了规范权力的运行，就需要通过完善的法律制度，加强对权力运行的制约和监督，把权力关进制度的笼子里，形成不敢腐的惩戒机制、不能腐的防范机制、不易腐的保障机制。建设法治国家
## 探究与分享
两会期间，在一次记者招待会上，有记者问：“全国人大及其常委会对最高人民法院、最高人民检察院的日常监督主要体现在哪些方面?” 全国人大常委会有关负责人回答:“全国人大及其常委会对最高人民法院和最高人民检察院的监督的方式大体上有这么几种，一是每年 3 月听取和审议一年一度的 ‘两高’ 工作报告，二是每年 10 月 ‘两高’都会在常委会上作专项工作报告，三是司法解释的备案审查，四是依据监督法开展询问和质询，五是专题调研。”
凤查阅宪法相关规定,说明全国人大及其常委会监督最高人民法院和最高人民检察院的法律依据。
法治国家意味着法治成为治国理政的基本方式。建设法治国
家，既需要有完备的法律体系，更需要法律的严格实施。
## 探究与分享
对行政法规、地方性法规、司法解释进行备案审查,是法律赋予全国人大常委会的一项重要职权。2017年9月,全国人大常委会法工委根据《中华人民共和国人口与计划生育法》向广东等五省人大常委会发函,建议对地方人口与计划生育条例中有关企业对其超生职工给予开除或者解除劳动 ( 聘用) 合同的规定适时进行修改。
†十二届全国人大以来,截至 2017 年 12 月上白,全国人大常委会法工委共收到公民、组织提出的各类审查建议 1527 件,对审查中发现存在与法律相抵触或者不适当问题的,均积极稳妥地作出了处理。
- 查阅宪法和立法法的相关规定,了解全国人大常委会是如何对规范性文件进行备案审查的,讨论这项工作对推进宪法实施有什么意义。
推进宪法实施。依法治国首先要坚持依宪治国，依法执政首先要坚持依宪执政。加强宪法实施和监督,落实宪法解释程序机制,推进合宪性审查工作,加强备案审查制度和能力建设,依法撤销和纠正违宪违法的规范性文件。建立完备的法律体系。完备的法律体系是法治国家的制度前提。在宪法之下,要不断建立和完善各项法律制度,形成一个部门齐全、层次分明、结构协调、体例科学的社会主义法律体系，实现国家治理有法可依。
经过多年不解的努力,以宪法为核心的中国特色社会主义法律体系已经形成。这一法律体系包括宪法及宪法相关法、民法商法、行政法、经济法、社会法、刑法、诉公与非诉公程序法等。
我国主要的法律规范有着不同层级：宪法、法律、行政法规、地方性法规等。根据立法法的规定,宪法具有最高的法律效力,一切法律、行政法规、地方性法规、自治条例和单行条例等都不得同宪法相抵触。
## 宪法相关法民法商法
法律体系
法律层级
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## 法律体系
法律体系,是指一个国家的全部现行法律规范,按照一定的原则和要求,根据法律规范的调整对象和调整方法的不同,划分为若干法律门类,并由这些法律门类及其所包括的不同法律规范形成的相互联系的统一整体。
完善法律实施机制。已经制定的法律需要得到有效实施。政府部门依法履行法定职责，为社会提供优良的公共服务;社会公众自觉遵守法律，依法行使权利、履行义务；司法机关严格公正司法，以事实为依据，以法律为准绳，定分止争，惩罚犯罪，化解矛盾，努力让人民群众感受到公平正义。建设法治国家具有重大意义。通过建设法治国家,能够有效规范权力运行,保障公民合法权益;能够推动实现国家治理现代化,实现长治久安。
## | 法治政府 |
## 探究与分享
关于法治政府建设,《法治政府建设实施纲要 ( 2021一2025 年)》提出以下要求。
深入学习贯彻习近平法治思想,努力实现法治政府建设全面突破。
健全政府机构职能体系，推动更好发挥政府作用。
健全依法行政制度体系，加快推进政府治理规范化程序化法治化。
健全行政决策制度体系,不断提升行政决策公信力和执行力。
健全行政执法工作体系，全面推进严格规范公正文明执法。
健全突发事件应对体系，依法预防处置重大突发事件。
健全社会矛盾纠纷行政预防调处化解体系,不断促进社会公平正义。
健全行政权力制约和监督体系，促进行政权力规范透明运行。
健全法治政府建设科技保障体系，全面建设数字法治政府。
加强党的领导，完善法治政府建设推进机制。
请选择其中一个方面,列举实例,谈谈你对法治政府的认识。
## 法治政府的内涵
法治政府就是职能科学、权责法定、执法严明、公开公正、智能高效、廉洁诚信、人民满意的政府。
职能科学的政府。政府不能什么都管,也不能该管的不管。政府部门之间、上下级政府之间关系的配置必须科学合理。宏观调控、市场监管、社会管理、公共服务、环境保护等都是法治政府必须承担的基本职能。
中国人民银行
国家市场监督管理总局
大数据为政府管理服务为加强银行体系流动性管理,引导货币信贷合理增长,中国人民银行适时调整存款类金融机构人民币存款准备金率。国家市场监督管理总局加强校园及周边食品安全管理,要求坚决取缔无证生产食品的黑窝点和黑作坊，切断非法生产经营食品的利益链条。加强社会治理的制度建设，提高社会治理社会化、法治化、智能化、专业化水平。
设备齐全的儿童福利院
蓝天下的公园全国各地设立了儿童福利院等收养救助服务机构，负责孤儿的收养安置。坚持全民共治、源头防治，持续实施大气污染防治行动,打赢蓝天保卫战。
权责法定的政府。如果政府权力没有严格的法律界定，就会出现权力行使的错位、缺位和越位等现象。因此,需要完善行政组织和行政程序法律制度，推进机构、职能、权限、程序、责任法定化。
执法严明的政府。执法严明重在有法必依、执法必严、违法必究,要求行政机关依照法定程序和方式从事执法活动。只有执法严明，才能保证政府有效履行职能，服务社会公众，确保宪法和法律的实施。
## 㮠究与分享
某市发生了一起豪车撞人事件,“百万豪车”“农村打工者”等信息迅速引起興论热议,将当地交警推上了风口浪尖。当地政府坚持事件处理与新闻发布同步安排、同步推进、及时回应，连续召开新闻发布会，通报事件的细节，及时解答社会公众和新闻媒体的疑虑。
结合案例，讨论政府应如何树立和维护公信力。公开公正的政府。全面推进政务公开,让权力在阳光下运行。公正执法要求将公平正义作为政务诚信的基本准则,将其贯彻于行政管理和公共服务的各个领域。通过公开公正执法,能够增强政府公信力和执行力,有效保障人民群众的知情权、参与权、表达权和监督权。
近年来,公众对“三公” 经费的关注度持续提高。所谓“三公” 经费,一般是指由财政拨款支付的出国（境）费、公务用车购置及运行费、公务接待费。自2011年以来，中央各部门每年向社会公开“三公”经费。“三公” 经费的公开增强了经费开支的透明度,保障了公众知情权,有助于更好地开展社会监督。
智能高效的政府。政府要运用互联网、大数据、人工智能等技术手段促进依法行政，优化革新政府治理流程和方式,不断提高政务服务效能。
## 探究与分享
司马迁在《史记•商君列传》中讲述了商鞅“徙木立信” 的故事。令既具,末布,恐民之不信,已乃立三丈之木于国都市南门,募民有能徙置北门者予十金。民怪之,莫敢徙。复日“能徙者予五十金”。有一人徙之，轩予五十金，以明不欺。卒下令。
商鞅“徙木立信” 的故事对今天增强政府公信力有什么启示?
廉洁诚信的政府。政府必须清廉,不得利用公权力谋求私人或团体利益;政府要做到诚实守信,不能朝令夕改、言而无信。要建立健全责任追究制度,加大对贪腐和失信行为的惩戒力度。
人民满意的政府。政府要把党和人民赋予的权力始终用来为人民谋幸福,不断提升行政执法水平,努力让人民群众在每一个执法行为中都能看到风清气正、从每一项执法决定中都能感受到公平正义。
## 建设法治政府
## 探究与分享
某学生在浏览市政府网站时发现,市教委在信息公开栏的权力清单中明确列出了“评选市三好学生” 的职权类别和职权编码。
邓“评选市三好学生” 的工作已经延续多年,以前并没有这样的权力清单。相关的权力清单从无到有并向社会公布，有什么意义?
建设法治政府,就要把政府工作全面纳人法治轨道,让政府用法治思维和法治方式履行职责，确保行政权在法治框架内运行。各级政府及其工作人员要坚持有法必依、执法必严、违法必究，严格规范公正文明执法，规范执法自由裁量权，加大关系群众切身利益的重点领域执法力度。
《公安机关为民警配备执法记录仪等设备，对现场执法活动进行全过程同步记录。
《公安机关依法对下列现场执法活动进行视音频记录。
（一）接受群众报警或者 110 指令后处警。
（二）当场盘问、检查。
（三）对日常工作中发现的违反治安管理、出入境管理、道路交通安全管理等违法犯罪行为和道路交通事故等进行现场处置、当场处罚。
（四）办理行政、刑事案件进行现场勘验、检查、搜查、
警察佩戴执法记录仪扣押、辨认、扣留。
建设法治政府具有重大意义。通过建设法治政府,能够督促政府更好地行使权力,积极履行职责,提高行政服务水平,实现善政；能够更好地促进政府和公民、社会组织的沟通,形成互信互助的新型关系。
## 探究与分享
某社区召开会议，准备根据当地相关法规制订社区文明养狗公约，大家纷纷提出自己的意见。
也包括不养狗居民的意见。
是否拴狗链是养狗居民的自由，应该尊重他们的意愿。
养狗居民应当及时给狗接种疫苗。
养狗一定要注意搞好卫生,绝不能影响周边环境、给保洁添麻烦。
业主养狗应得到物业公司的许可。
以上意见是否得当?请你运用法律知识加以评析。
## 法治社会的内涵
法治社会是指法律得到公认和普遍遵从、社会治理依法开展、公共生活和谐有序的社会。
## 相关链接
2020 年 12 月,中共中央印发的《法治社会建设实施纲要 ( 2020-2025 年)》指出：“法治社会是构筑法治国家的基础,法治社会建设是实现国家治理体系和治理能力现代化的重要组成部分。建设信仰法治、公平正义、保障权利、守法诚信、充满活力、和谐有序的社会主义法治社会,是增强人民群众获得感、幸福感、安全感的重要举措。”
全社会对法治普遍信仰，实施法治成为全社会的一致追求。在法治社会中，人人尊法学法守法用法,全体公民、社会组织对于法律发自内心地认可和接受,普遍认可法律是社会生活中所有人都应遵守的基本规范。
## 探究与分享
随着我国加大对酒驾行为的查处力度,特别是从2011年“醉驾入刑” 后,酒后驾车行为及因此造成的交通事故死亡人数均有不同程度的下降。
你身边是否存在酒后驾车行为?治理酒后驾车还可以有哪些做法?请你提出建议。
警察查处酒后驾车行为
宪法和法律得到有效实施和普遍遵守，社会各个领域依法运行。无论是在私人生活领域,还是在公共生活领域,法律的要求得到普遍遵守,权利得以实现,义务得到履行,违法犯罪行为得到有效遏制。
社会纠纷依法得到解决，公平正义得到切实维护和实现。在纠纷发生后,人们普遍依据法律主张自己的权利,通过和解、调解、仲裁、诉讼等方式有效处理纠纷、化解矛盾。建设法治社会
建设法治社会是一个艰巨的任务,需要进行全方位、长期性的努力。
深人开展法治宣传教育，推动全社会树立法治意识。法治社会建设需要全社会共同参与,必须在全社会弘扬社会主义法治精神，建设社会主义法治文化,深人开展法治宣传教育,增强全社会法治观念，推动全社会树立法治意识。
## 探究与分享
关于基层社会治理,《中共中央关于坚持和完善中国特色社会主义制度、推进国家治理体系和治理能力现代化若干重大问题的决定》提出了诸多措施。
发挥群团组织、社会组织作用，实现政府治理和社会调节良性互动。
注重发挥家庭家教家风在基层社会治理中的重要作用。
。请你查阅资料，围绕上述措施,就加强基层社会治理提出建议。
提高社会治理法治化水平。深化基层组织和部门、行业依法治理，支持各类社会主体自我约束、自我管理。发挥市民公约、乡规民约、行业规章、团体章程等社会规范在社会治理中的积极作用。
## 探究与分享
李某在一家运输公司做搬运工,双方没有签订劳动合同。最初几个月李某能领到工资,可后来公司总是以各种理由挹欠李某的工资。李某想打官司又没钱请律师。他从广播里听说法律援助可以帮助困难群众免费打官司,就抱着试试看的想法到当地的法律援助中心咨询。法律援助中心受理了李某的申请。最终,李某在法律援助律师的帮助下,不仅讨回了工资,还获得了相应的赔偿。
查阅资料,了解哪些人、什么情况下可以获得法律援助,可以到哪里申请法律援助。
与同学分享你对这一案件的感受。建设完备的法律服务体系。推进覆盖城乡居民的公共法律服务体系建设，完善法律援助制度，扩大援助范围，健全司法救助体系，保证人民群众在遇到法律问题或者权利受到侵害时获得及时有效的法律帮助。
## 探究与分享
老王和老许两家是邻居,因为雨水排放问题产生纠纷,甚至动手打架。听到这一消息后,村人民调解委员会主任连忙赶到现场。主任指出他们不该动手,待他们情绪稳定后,给他们讲道理、说法律,分析利弊,帮助他们认识动手打人可能造成的严重后果。经过劝导,两家最终协商解决了雨水排放问题。
人民调解员植根基层,来自群众,熟悉社情民意,处于预防化解矛盾的最前沿。通过人民调解,大量纠纷化解在基层、消除在萌芽状态,筑牢了维护社会和谐稳定的防线。人民调解制度已经成为诉讼程序之外化解矛盾、解决纷争的重要方式。
结合社会现实,说说人民调解制度是如何发挥化解社会矛盾、维护社会和谐作用的。
健全社会矛盾纠纷预防化解机制。强化法律在维护群众权益、化解社会矛盾中的权威地位，引导和支持人们理性表达诉求、依法维护权益。完善调解、仲裁、行政裁决、行政复议、诉讼等有机衔接、相互协调的多元纠纷解决机制。
建设法治社会具有重大意义。通过建设法治社会,能够更好地形成全社会学法、信法、用法的氛围，增进社会共识，维护社会秩序;能够更好地协调各方利益关系，有效化解社会矛盾,实现社会和谐。
## 第九课
全面推进依法治国的基本要求
实现全面推进依法治国的总目标,必须做到科学立法、严格执法、公正司法、全民守法。在推进法治中国建设的进程中,这四个方面密切联系,相辅相成，缺一不可。
## | 科学立法 |
探究与分享
## 行政诉讼法的制定与修改
1983 年,围绕“当事人对主管行政机关给予的行政处罚不服的,可否向人民法院起诉” 的问题,社会各界就建立我国行政诉讼制度进行了广泛讨论。
经过长期的酝酿、起草、论证,1989 年,全国人大通过了《中华人民共和国行政诉讼法》,“民告官” 制度正式确立。行政诉讼法的颁布被视为我国民主法治建设的里程碑。
## ( 行政诉讼法颁行25年后,2014 年,经过两次向公众征求意见和三次全国人大常委会审议,行政诉讼法完成了第一次修改,为行政诉讼立案难、审理难、执行难等问题提供了新的法律解决方案。2017 年，全国人大常委会对行政诉讼法进行第二次修改,确立了公益诉讼制度，规定在生态环境和资源保护、食品药品安全、国有财产保护等领域负有监督管理职责的行政机关不依法履行职责的,人民检察院应依法向人民法院提起诉讼。
- 查阅相关背景资料,结合我国行政诉讼法的制定和修改,围绕“如何实现科学立法” 开展讨论,并提出可行的建议。
## 科学立法的内㴠
全面依法治国必须坚持科学立法。科学立法就是要尊重和体现社会发展的客观规律，不断提高法律的质量。
科学立法体现我国社会主义国家性质，顺应时代发展要求，推动国家发展进步,保障人民各项权利。立法要符合我国的政治制度和历史传统，要与新时代中国特色社会主义伟大进程相适应，制定出适合中国的良法。
科学立法符合国情和实际。要立良善之法,立管用之法,完善立法体制机制,使每项立法都能科学合理地规范国家机关的权力与责任，规范公民、法人和其他组织的权利与义务，使法律符合社会发展的需求。
## 相关链接
## 我国有立法权的国家机关
全国人民代表大会
IIII
修改宪法，制定和修改刑事、民事、国家机构的和其他的基本法律
全国人大常委会
III)
制定和修改其他法律
国务院
III)
制定行政法规
国务院相关部门
III)
制定部门规章
省、自治区、直辖市、设区的市、自治州的人大及其常委会制定地方性法规
省、自治区、直辖市、设区的市、自治州的人民政府
制定地方政府规章
自治区、自治州、自治县的人民代表大会
制定自治条例和单行条例立法必须遵循法律体系的内在逻辑和立法工作规律，遵循立法程序,注重立法技术,努力实现立法过程的科学化。要明确划分不同法律关系的调整对象和界限,形成符合国家发展目标的法律体系。
推进科学立法
科学立法要做到依法立法,在法治的轨道上制定合法有效的规范性文件。在我国，宪法和立法法是国家机关制定和修改法律的最基本的法律依据，所有享有立法权的国家机关，都应当按照法定职权、依据法定程序开展立法工作。
## 探究与分享
## 《中华人民共和国立法法》
第四条立法应当依照法定的权限和程序，从国家整体利益出发，维护社会主义法制的统一和尊严。
第五条立法应当体现人民的意志,发扬社会主义民主,坚持立法公开，保障人民通过多种途径参与立法活动。
第六条立法应当从实际出发,适应经济社会发展和全面深化改革的要求,科学合理地规定公民、法人和其他组织的权利与义务、国家机关的权力与责任。法律规范应当明确、具体，具有针对性和可执行性。
结合上述法律条文,谈谈如何提高立法质量。
科学立法要充分发扬民主。必须坚持民主立法,广开言路,集思广益。要健全立法机关和社会公众沟通机制，开展立法协商，充分发挥社会各界在立法协商中的作用,拓宽公民有序参与立法途径,健全法律法规规章草案公开征求意见和公众意见采纳情况反馈机制，广泛凝聚社会共识。
立法听证会
广东省在立法机制创新方面进行了很多具有开创性的尝试。1999年9月，广东省人大常委会就《广东省建设工程招投标管理条例（修正草案)》举行了国内首次立法听证会。此举被称为我国立法民主化、公开化的一个标志性事件。经过不断探索，广东省的立法听证制度更加完善。国家机关、社会团体、企业事业组织和公民都可以向省人大常委会书面提出听证建议，发起立法听证。除充分运用信函、电话、传真、电子邮件、面谈、问卷调查、座谈会、听证会等形式外,立法机关还积极探索通过新型社交媒体等渠道，进一步增强参与的便捷性，力求通过广泛听取社情民意，找到立法的“最大公约数”。
科学立法要合理设定权利与义务、权力与责任。应在立法中客观地认识现实生活中的各种利益，并加以合理的确认和保护，做到权利与义务相统一、相对应。立法还要科学合理地配置权力与责任,根据国家治理需求,授予国家机关必要的权力，并对其加以制约，明确权力行使不当应承担的法律责任。
## 严格执法
## 探究与分享
建设生态文明、建设美丽中国，离不开严格的环境保护执法。2014年修订的环境保护法被称为“史上最严”的环境保护法，该法自 2015 年施行以来彰显了威力。中央环保督察组进驻全国多个省份，发现问题，实施监督。许多人因破坏生态和污染环境被刑事拘留；多地区党政部门及其负责人被问责，受到党纪政纪处分。
水质监测
长期以来,环保执法存在着过松过软的情况。中央环保督察组之所以督察效果明显、备受赞誉,就在于它通过查事、察人、罚款、问责等方式,不断施加环保压力,让新环境保护法施行以来社会所期望的“有牙执法”成为现实。
8 结合材料说明加强环保执法有何重要意义。
通过调查研究,尝试对本地的环保执法情况作出评价,并提出具体建议。
严格执法的内涵
严格执法,就是执法机关在执法过程中严格依法办事。在法律实施体系中,行政机关是执法的最重要主体。行政机关要带头严格执法，依法全面履行职能。
法立，有犯而必施；令出，唯行而不返。
―一王勃
盖天下之事，不难于立法，而难于法之必行。
—一张居正
严格执法,有助于捍卫法律的权威和尊严。如果有了法律而不严格执法,法律就成了“纸老虎” 和“稻草人”。政府必须带头严格执法。只有这样，政府才能带动全社会尊崇和敬畏法律。
严格执法,有助于实现社会公平正义。政府只有坚持严格执法,惩处违法违规行为,维护群众正当权益,才能彰显公平,伸张正义。
校车安全检查
食品安全检查严格执法,有助于推进建设法治政府。各级政府能否切实做到严格执法，体现国家法治文明程度，关系法治中国建设成效。只有不断推进各级政府依法行政、严格执法,才能实现建设法治政府的任务和目标。
## 推进严格执法
全面履行政府职能。行政机关要坚持法定职责必须为、法无授权不可为,勇于负责、敢于担当,坚决纠正不作为、乱作为,坚决克服懒政、㕕政，坚决惩处失职、渎职。
## 相关链接
党的十八届三中全会以来,“权力清单”一词频频进入公众视野,成为社会热词。所谓“权力清单”,通俗地说,就好比一份政府对外发布的“菜单”,政府有多少权力,“莠单” 上写得一清二楚,除此之外,政府不得行使其他权力。推行权力清单制度,实质上是通过梳理行政权力,明确政府能做什么、不能做什么,对推动各级政府依法全面履行职能具有重要意义。
## 探究与分享
某省《交通行政执法用语规范》规定,交警在要求当事人提供有关资料时，应清楚地告知当事人所依据的法律、法规、规章及所要检查的资料的名称。例如：根据 $《X XX XX X》$ ( 法律、法规、规章完整名称),请提供 X X( 资料名称 )。按规定,我们有义务为你保守有关秘密。
该项规定对于执法者和执法对象有何意义?
坚持规范执法。严密的执法程序是规范执法的重要前提，也是执法公开公正的重要保障。要完善执法程序，建立执法全过程记录制度。明确具体操作流程,重点规范行政许可、行政处䍐等执法行为。坚持公正执法。行政执法要坚持公正,同等情况平等对待,不同情况差别对待。要恰当地行使自由裁量权,不得违背法律的精神和原则。要有效杜绝执法不公、随意执法,不断提升执法机关的公信力。
坚持文明执法。执法部门要改进执法方式,做到语言、行为规范,融法、理、情于一体,坚持以法为据、以理服人、以情感人,争取当事人的理解和支持,力求实现执法效果最大化。
文明执法人民满意
## | 公正司法
## 探究与分享
上网查找资料或参观当地人民法院，尝试完成下列任务。
公民可以旁听哪些类型案件的庭审?
可以从哪些渠道获取庭审案件的信息?
旁听庭审需要办理哪些手续?
结合案件的审理过程,说明人民法院的职权和作用。
## 公正司法的内涵
## 探究与分享
“法”字的异体字之一是“溼”。按照东汉许慎在《说文解字》中的解释,“䬹” 字的三点水,取意公平和正义。“廌” ( zhì ) 是传说中的独角兽獬爫 ( xiè zhì)，是公平和正义的象征。它能辩是非曲直，见到做事不公正的人，就会用角去顶他。
凤《说文解字》对“法” 字的解释对你有何启示?
ק 为什么说司法公正是社会公正的最后防线?我国有哪些具体的制度和措施维护司法公正?
獬爫（石雕）
公正司法，就是要在司法活动的过程和结果中坚持和体现公平正义。公正司法是维护社会公平正义的最后一道防线。具体就法院的审判而言，公正司法既要求法院的审判过程做到平等和正当，也要求法院的审判结果体现公平和正义。
司法的程序要公正。程序的公正意味着当事人诉讼地位平等、司法过程严格依据诉讼法进行。通过程序公正，可以最大化实现结果公正，有效保护公民的程序权利，从而使得审判结果可以更好地得到人们的认可和尊重。
司法的结果要公正。结果的公正意味着法律适用准确、案件事实清楚、裁判结果合法合理。只有结果公正,才能有效解决案件纠纷，惩罚违法者，救济受害者。法律的公平正义正是通过一个又一个公正的判决而得以实现的。
一次不公正的审判，其恶果甚至超过十次犯罪。因为犯罪虽是无视法律一一好比污染了水流，而不公正的审判则毁坏法律一一好比污染了水源
工堷根
## 推进公正司法
推进公正司法，必须确保审判权和检察权依法独立行使。各级党政机关和领导干部要支持法院、检察院依法独立公正行使职权。任何党政机关和领导干部都不得让司法机关做违反法定职责、有碍司法公正的事情,任何司法机关都不得执行党政机关和领导干部违法干预司法活动的要求。
最高人民法院紧紧围绕“努力让人民群众在每一个司法案件中感受到公平正义”目标,坚持服务大局、司法为民、公正司法,忠实履行宪法法律赋予的职责,推动各项工作取得新成效,为经济社会发展提供有力司法服务和保障。
『2020年,最高人民法院受理案件 39347 件,审结 35773 件,制定司法解释 28 件,发布指导性案例 17 个。
• 2020 年,地方各级人民法院和专门人民法院受理案件 3080.5 万件,审结、执结 2870.5 万件,结案标的额 7.1 万亿元。
推进公正司法,必须坚持以事实为根据、以法律为准绳,做到事实认定符合客观真相、办案结果公正、办案程序公正。
## 探究与分享
利用中国庭审公开网、中国裁判文书网、中国执行信息公开网等网站资源，选择一个案例,结合其判决书的具体内容,说明公平正义是如何得到伸张的。
推进公正司法，必须坚持人民司法为人民，依靠人民推进公正司法，通过公正司法维护人民权益。构建开放、动态、透明、便民的阳光司法机制，推进审判公开、检务公开，依法及时公开司法依据、程序、流程、结果和生效法律文书，杜绝暗箱操作。
## 探究与分享
法律是理性的，但不是冰冷的；司法是严肃的，但也可以有温度和感情。司法救助制度是一种帮助困难当事人、实现权利救济、传递司法温暖的制度。
在一起交通事故责任纠纷案中,肇事司机刘某违章驾驶导致路人周某受伤住院。周某住院花费医疗费 9 万余元,经鉴定为二级伤残。法院依法裁判刘某赔偿周某各项经济损失 21 万余元。在执行该判决的过程中,承办法官了解到周某家庭生活非常困难,而刘某也是靠临时打工的微薄收入和政府低保勉强维持一家生计。在了解上述情况并确认刘某已经履行部分判决后,法院执行法官建议对该案予以司法救助。后来,经当地人民法院司法救助委员会审核,周某获得 5 万元的国家司法救助金，两个困难家庭因此减轻了经济压力。
查阅资料,结合上述案例,谈谈你对司法救助制度及其功能的认识。
推进公正司法，必须加强人权司法保障。强化诉讼过程中当事人和其他诉公参与人的知情权、陈述权、辩护辩论权等的制度保障。健全落实罪刑法定、疑罪从无、非法证据排除等法律原则的法律制度。
## 名词点击
## 罪刑法定疑罪从无非法证据排除
《罪刑法定：这是刑法的基本原则之一，其基本含义是“法无明文规定不为罪” 和“法无明文规定不处䍐”,即犯罪行为的界定、种类、构成条件和刑罚处罚的种类、幅度均应当由法律加以规定，对于刑法没有明文规定为犯罪的行为，不得定罪处罚。
《疑罪从无：这是刑事诉讼法中确立的旨在实现司法公平和保障人权的重要制度,指对被告人定罪量刑必须依据确定、充分的证据。对于缺乏充分证据的案件,司法机关应当不起诉或判处被告人无罪。
《非法证据排除：通常是指在刑事诉讼中,侦查机关及其工作人员不得使用刑讯逼供和以威胁、引诱、欺骗以及其他非法方法收集证据。凡以非法方法取得的证据均不得在刑事审判中被采纳。
## | 全民守法 |
## 探究与分享
《国务院关于建立完善守信联合激励和失信联合惩戒制度加快推进社会诚信建设的指导意见》，为褒扬和激励诚信行为、约束和惩戒失信行为提供了重要的制度保障。
诚信守法的社会主体不仅收获赞誉，还能赢得实惠和便利。企业连续三年无不良信用记录，工商部门在办理行政许可时可根据实际情况为其开通“绿色通道”;市场主体依法纳税、守信还贷，银行给予信货优惠和支持；电商诚信经营，互联网商业平台为其加注“诚信会员”标识。与此同时,有关部门和行业将那些有偷税漏税、违反合同、拖欠债务等严重失信行为的企业和个人列入“黑名单”，在信用评级、企业投资、银行贷款、个人信用消费等方面出“黄牌”、亮“红灯”，人民法院对失信被执行人限制高消费等，让当事人一处失信，处处受限。
结合材料，谈谈如何推进全民诚信守法。
## 全民守法的内涵
全民守法是指所有社会成员普遍尊重和信仰法律、依法行使权利和履行义务的状态。建设法治中国，必须推动全民守法，增强全社会厉行法治的积极性和主动性，形成守法光荣、违法可耻的社会氛围，使全体人民都成为社会主义法治的忠实崇尚者、自觉遵守者、坚定捍卫者。
徒善不足以为政，徒法不能以自行
―一《孟子》
邦国虽有良法,要是人民不能全都遵守，仍不能实现法治
―一亚里士多德
## 探究与分享
何某爱好弹钢琴,退休后在家支起两架钢琴,除自己弹奏之外,还招了几个学生,在晩上进行教学活动。此起彼伏的琴声并没有让小区的生活变得多姿多彩,反而成为影响邻居休息的噪声在居委会、派出所多次协调末果的情况下，邻居把何某告上了法庭。何某则认为自己是在合法行使权利。
琴声扰民何某的行为是否侵犯了邻居的权益?为什么?
如果遇到类似情况,你会如何处理?
全民守法要求依法行使权利。公民在行使自由和权利的时候,不得损害国家的、社会的、集体的利益和其他公民的合法的自由和权利。
全民守法要求依法履行义务。在享有权利的同时,公民也负有相应的义务。只有所有的人都依法履行自己的义务，才能维护公共安全和社会秩序。
## 抧究与分享
老赵是一名建筑工人。临近春节,老赵要求公司发放拖欠半年之久的工资,公司则以各种借口予以拒绝。老赵工作时,由于脚手架松动,不慎跌落受伤,被送进医院救治。公司却说这是老赵自己不小心造成的，拒绝支付医药费用。
本案中老赵的哪些权利受到了侵害?他可以通过哪些途径维护自己的合法权益?
全民守法意味着依法维护自己的正当权益。当自己的合法权益遭受侵害时，应通过合法的手段，理性维权。可以通过和解、调解、仲裁、诉讼等方式,解决争议、化解矛盾,不应诉诸暴力或其他违法手段。
## 推进全民守法
## 探究与分享
围绕“全民守法”这一话题，同学们展开讨论。
经营者不能向末成年人出售烟酒。
从国外旅游回来，不能把外国水果带进中国。结合材料,谈谈如何在生活中推进全民守法。
推进全民守法,要着力增强全民法治观念,坚持把全民普法和守法作为依法治国的长期基础性工作，深人开展法治宣传教育,树立宪法法律至上、法律面前人人平等的法治理念,引导全民自觉守法、遇事找法、解决问题靠法。
## 探究与分享
千百年来,不少中国人心中有一种挥之不去的“青天情结”。正是这种情结让有些老百姓信“访”不信“法”，遇事不是寻求法律的帮助，而是上访、找政府、找领导。
2013 年以来,党中央大力推行涉法涉诉信访工作改革,中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于依法处理涉法涉诉信访问题的意见》。按照意见,各地实行了诉讼与信访分离制度,把涉法涉诉信访从普通信访事项中分离出去，导入司法渠道，由司法机关按照法律程序处理。近年来，随着司法改革的推进，涉法涉诉类信访量不断下降，越来越多的信访群众选择司法渠道解决问题。
。由信“访”不信“法” 到遇事找法，这一转变说明了什么?
推进全民守法,要调动人民群众投身依法治国实践的积极性和主动性，使尊法守法成为全体人民的共同追求和自觉行动。
推进全民守法,要不断加强公民道德建设，弘扬中华优秀传统文化,增强法治的道德底蕴,强化规则意识,倡导契约精神,弘扬公序良俗，引导人们自觉履行法定义务、社会责任、家庭责任。
## 综合探究
## 坚持党的领导、人民当家作主、依法治国有机统一
## 探究活动目标
通过探究,理解依法治国是党领导人民治理国家的基本方式,坚持依法治国首先要坚持依宪治国，坚持依法执政首先要坚持依宪执政；体会坚持党的领导、人民当家作主、依法治国有机统一;培养法治使人共享尊严、让社会更和谐、让生活更美好的认知和情感，做社会主义法治的忠实崇尚者、自觉遵守者、坚定捍卫者。
## 探究活动建议
- 以“公民参与立法有什么意义、有哪些途径” 为议题，探究推进科学立法、民主立法、依法立法，以良法促进发展、保障善治的意义，理解公民依法行使民主权利的制度。
可观看有关人大会议或地方立法听证会的视频资料，了解科学立法。
可参与立法实践,登录人大网站了解最近的立法事件,讨论“我的立法建议”，增强法治意识。
- 以“如何增强政府的公信力和执行力” 为议题，探究建设法治政府的意义。可参观行政服务机构,了解政府部门的办事程序，考察政府履行聁能的情况。可通过新闻媒体搜集相关资料，识别政府执法活动，评估严格执法的效果，探究建设法治政府的意义。
可以“假如我是执法者” 或“我为政府决策提建议” 为话题，开展主题活动。
- 以“为什么说司法公正是社会公正的最后防线” 为议题，探究司法公正的意义，以及体现公正司法的制度和措施。
可组织考察活动，参观调解中心、仲裁委员会、人民法院或人民检察院，认识其功能和作用。
可查询相关网站，了解具体案件的审理和执行过程，感受公平正义。
可组织考察活动，了解解决社会争议的多种途径。
- 以“法治如何让生活更美好” 为议题，探究法治与生活、法治与道德的关系，认识建设法治社会的重大意义。
可搜集相关资料，了解公民的知情权、参与权、表达权、监督权的法治保障。可讨论典型案件的审理过程,在比较中认识依法办事、依法维权、依法解决纠纷的好处。可讨论法院发布的践行社会主义核心价值观的典型案例,弘扬中华优秀传统文化，感受法治的道德底蕴。
## 探究路径参考
## 体会“有机统一”
材料一我国的国家领导人是如何产生的全国人民代表大会按照法定程序每年举行一次会议，依法履行职权。
我国宪法对国家领导人的产生方式作了规定。2018年3月,十三届全国人大一次会议选出新一届国家机构领导人员。
材料二关注《中华人民共和国国民经济和社会发展第十四个五年规划和 2035 年远景目标纲要》的制定
《中华人民共和国国民经济和社会发展第十四个五年规划和 2035 年远景目标纲要》,根据《中共中央关于制定国民经济和社会发展第十四个五年规划和二 $O$ 三五年远景目标的建议》编制,主要闸明国家战略意图,明确政府工作重点,引导规范市场主体行为,是我国开启全面建设社会主义现代化国家新征程的宏伟蓝图,是全国各族人民共同的行动纲领。
2020 年3月,党中央发出《关于对党的十九届五中全会研究“十四五”规划建议征求意见的通知》,在党内外一定范围征求意见。8月16-29日,“十四五” 规划编制工作开展网上意见征求活动,累计收到网民建言超过 101.8 万条。
国务院“十四五”规划《纲要草案》编制工作领导小组在前期大量工作的基础上,全面对标对表中央建议精神,起草形成纲要草案。
2021 年 1 月20日，国务院第五次全体会议讨论纲要草案,决定将纲要草案发往各方面征求意见。国务院还组织多场座谈会,听取各领域、各界别人士意见建议。
2021 年3月7日,十三届全国人大财政经济委员会召开全体会议,对纲要草案作进一步审查。2020 年 10 月29日,党的十九届五中全会通过了《中共中央关于制定国民经济和社会发展第十四个五年规划和二零三五年远景目标的建议》。
2021 年 1 月 15 日，习近平主持召开中央政治局常委会会议,审议并原则通过纲要草案。
2021 年 3 月 11 日,十三届全国人大四次会议通过《中华人民共和国国民经济和社会发展第十四个五年规划和 2035 年远景目标纲要》。邓在《中华人民共和国国民经济和社会发展第十四个五年规划和 2035 年远景目标纲要》的制定过程中,有哪些机构或部门参与?人民群众在其中发挥了怎样的作用?完成下面内容。
中共中央:
结合《中华人民共和国国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要》的制定过程，说明党是如何实现科学执政、民主执政、依法执政的。
全国人民代表大会履行职权的程序和内容,展示了我国社会主义民主政治的特点和优势，体现了党的领导、人民当家作主、依法治国有机统一。请对此作进一步说明。
- 从国家领导人的产生看:
从《中华人民共和国国民经济和社会发展第十四个五年规划和 2035 年远景目标纲要》的制定看：
## 结语
建设社会主义法治国家，是推进国家治理体系和治理能力现代化的必然要求。全面依法治国，必须坚持党的领导、人民当家作主、依法治国有机统一。党的领导是人民当家作主和依法治国的根本保证，人民当家作主是社会主义民主政治的本质特征，依法治国是党领导人民治理国家的基本方式，三者统一于我国社会主义民主政治伟大实践。
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做有趣的事情、自己心甘情愿要做的事情,做起来就快乐;做枯燥乏味的事、不得不做而又不想做的事，做起来就痛苦. 但这有趣或枯燥又因人因时而异,下棋、踢球、学习数学都是这样.
学习数学的乐趣类似于下棋,是思考之乐,是挑战之乐.
—一张景中
## 本章导语
在必修的立体几何初步中,我们结合棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球等空间几何体,研究了空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间平行和垂直的位置关系. 不过,现实生活中,上述对象之间既不平行也不垂直的形象随处可见.
图 1
图 2
如图 1 所示,标枪运动员在投掷标枪时,标枪所在直线与地面所在平面既不平行也不垂直,二者呈现出成一定夹角的形象;如图 2 所示,在用太阳能光板吸收太阳光时,光板所在平面与地面所在平面同样既不平行也不垂直,二者也呈现出成一定夹角的形象.
事实上,我们已经学过的必修内容中,类似的关系也比比皆是. 如图 3 所示的正四棱锥 $O-A B C D$ 中,直线 $O A$ 与底面 $A B C D$ 既不平行也不垂直,平面 $O A D$ 与底面 $A B C D$ 既不平行也不垂直 $\cdots \cdots$
本章我们要探讨的就是空间中类似的位置关系. 为此,我们首先会将必修内容中的平面向量推
图 3 广到空间向量,然后借助空间向量的运算来讨论上述位置关系以及空间中的距离等.
## 1 空间向量及其运算
### 1 空间向量及其运算
## 1. 空间向量的概念
我们在必修内容中已经学习过平面向量的有关知识,知道在平面内:
既有大小又有方向的量称为向量 (也称为矢量),向量的大小也称为向量的模（或长度).
可以用有向线段来直观地表示向量,其中有向线段的长度表示向量的大小,有向线段箭头所指的方向表示向量的方向. 有向线段不带箭头的端点称为向量的始点 (或起点),带箭头的端点称为向量的终点. 有向线段始点和终点的相对位置确定向量的大小与方向. 始点为 $A$ 终点为 $B$ 的向量,记为 $\overrightarrow{A B}$,向量的模用 $|\overrightarrow{A B}|$ 表示. 还可用一个小写字母来表示向量：在印刷时,通常用加粗的斜体小写字母如 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},c$ 来表示向量；在书写时,用带箭头的小写字母如 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 来表示向量. 此时,向量 $\boldsymbol{a}$ 的模也用 $|\boldsymbol{a}|$ 或 $|\vec{a}|$ 来表示.
始点和终点相同的向量称为零向量,零向量的方向是不确定的. 零向量在印刷时,通常用 $\mathbf{0}$ 表示;书写时,用 $\overrightarrow{0}$ 表示. 零向量的模为 0,即 $|\mathbf{0}|=0$.
模等于 1 的向量称为单位向量. 因此,$\boldsymbol{e}$ 是单位向量的充要条件是 $|e|=1$.
大小相等、方向相同的向量称为相等的向量. 向量 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 相等,记作 $\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$.
特别地,如图 1-1-1 所示,在平面四边形 $A B C D$ 中,$\cdots \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{D C}$ ”是“四边形 $A B C D$ 为平行四边形” 的充要条件.
如果两个非零向量的方向相同或者相
图 1-1-1 反，则称这两个向量平行. 通常规定零向量与任意向量平行.
两个向量 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 平行,记作 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$. 两个向量平行也称为两个向量共线.
## 尝试与发现
观察上述平面向量的有关概念与约定,思考能否将它们从平面推广到空间中. 如果能,尝试说出推广后的不同之处;如果不能,说明理由.
不难看出，上述有关向量的概念与约定，只要去掉“在平面内”的限定,就都可以原封不动地推广到空间中. 因此在空间中,我们仍使用上述向量的概念与约定. 例如,空间中既有大小又有方向的量称为空间向量（简称为向量),大小相等、方向相同的向量称为相等的向量,方向相同或者相反的两个非零向量互相平行（此时,表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合),等等.
这样一来,如图 1-1-2 所示,对于平行六面体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 来说,因为 $A A_{1},B B_{1}$,$C C_{1},D D_{1}$ 互相平行而且长度都相等,因此
$$
\overrightarrow{A A_{1}}=\overrightarrow{B B_{1}}=\overrightarrow{C C_{1}}=\overrightarrow{D D_{1}} \text {. }
$$
空间中的向量,除了共线之外，我们还要讨论共面的情形. 一般地,空间中的多个向量,如果表示它们的有向线段通过平移之后，都能在同
图 1-1-2 一平面内，则称这些向量共面；否则，称这些向量不共面.
例如,图 1-1-2 中,虽然直线 $A A_{1}$ 与直线 $B_{1} C_{1}$ 异面,但向量 $\overrightarrow{A A_{1}}$,$\overrightarrow{B_{1} C_{1}},\overrightarrow{D D_{1}}$ 是共面的,因为 $\overrightarrow{B_{1} C_{1}}$ 经过平移后可以到达 $\overrightarrow{A D}$ 的位置,而 $\overrightarrow{A A_{1}},\overrightarrow{A D},\overrightarrow{D D_{1}}$ 都在平面 $A D D_{1} A_{1}$ 内；向量 $\overrightarrow{A A_{1}},\overrightarrow{A B},\overrightarrow{A D}$ 不共面,因为这三个向量有一个公共点 $A$,而 $A,B,D$ 都在平面 $A B C D$ 内,点 $A_{1}$ 在平面 $A B C D$ 外.
可以看出,空间中任意两个向量都是共面的，但空间中任意三个向量不一定共面.
空间向量可以用来描述空间中既有大小又有方向的量. 例如，当空间中的物体所受的力不全在同一个平面内时,可以借助空间向量来对该物体进行受力分析,如
图 1-1-3 图 1-1-3 所示是吊在空间中的物体所受力的示意图.
## 2. 空间向量的加法运算
## 尝试与发现
回忆平面向量的加法运算,思考如何定义空间向量的加法,并尝试总结空间向量的加法运算与平面向量的加法运算有何不同.
我们知道,给定两个平面向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$,在该平面内任取一点 $A$,作 $\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{B C}=\boldsymbol{b}$,作出向量 $\overrightarrow{A C}$,则 $\overrightarrow{A C}$ 是向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的和（也称 $\overrightarrow{A C}$ 为向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的和向量). 向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的和向量记作 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$,因此
$$
\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}
$$
当平面向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 不共线时,$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ 正好能构成一个三角形,如图 1-1-4 所示,因此这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则.
图 1-1-4
因为空间中的任意两个向量都共面,所以空间中两个向量的和,除了 $A$ 点可以在空间中任意选定之外,其他的与平面情形完全一样. 特别地,向量加法的三角形法则在空间中也成立.
例如,图 1-1-5 所示的长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中,因为 $\overrightarrow{A_{1} D_{1}}=$ $\overrightarrow{B_{1} C_{1}}$,所以
$$
\overrightarrow{A A_{1}}+\overrightarrow{B_{1} C_{1}}=\overrightarrow{A A_{1}}+\overrightarrow{A_{1} D_{1}}=\overrightarrow{A D_{1}}
$$
空间向量的加法也可用平行四边形法则：任意给定两个不共线的向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$,在空间中任取一点 $A$,作 $\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{A C}=\boldsymbol{b}$,以 $A B,A C$ 为邻边作一个平行四边形 $A B D C$,作出向量 $\overrightarrow{A D}$,则
$$
\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}
$$
例如,图 1-1-5 的长方体中,
图 1-1-5
$$
\overrightarrow{A A_{1}}+\overrightarrow{B_{1} C_{1}}=\overrightarrow{A A_{1}}+\overrightarrow{A D}=1
$$
不难看出,空间向量的加法也满足交换律和结合律,即对于任意的向量 $a,b,c$,都有
$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a},\\
& (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})+\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}) .
\end{aligned}
$$
空间向量加法的结合律可以借助图 1-1-6 所示的三棱雉 $O-A B C$ 来理解,其中 $\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{B C}=\boldsymbol{b}$,$\overrightarrow{C O}=\boldsymbol{c}$,而且
$$
\begin{aligned}
& \overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b},\\
& \overrightarrow{B O}=\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C O}=\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c},\end{aligned}
$$
所以
图 1-1-6
$$
\begin{aligned}
& \overrightarrow{A O}=\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C O}=(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})+\boldsymbol{c},\\
& \overrightarrow{A O}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B O}=\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}) .
\end{aligned}
$$
因此
$$
(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})+\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}) .
$$
从图 1-1-6 也可以看出,为了得到有限个空间向量的和,只需将这些空间向量依次首尾相接,那么以第一个向量的始点为始点,最后一个向量的终点为终点的向量,就是这些向量的和向量. 例如,
$$
\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C O}=\overrightarrow{A O}
$$
例1 如图 1-1-7 所示是一个平行六面体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$,化简
$$
\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{D C}+\overrightarrow{D D_{1}}
$$
解因为底面 $A B C D$ 是一个平行四边形，所以 $\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{D C}=\overrightarrow{D B}$,又因为 $\overrightarrow{D D_{1}}=\overrightarrow{B B_{1}}$,所以
$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{D C}+\overrightarrow{D D_{1}} & =\overrightarrow{D B}+\overrightarrow{B_{1}} \\
& =2
\end{aligned}
$$
图 1-1-7
例 1 说明,三个不共面的向量的和,等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的体对角线所表示的向量.
## 3. 空间向量的线性运算
任意两个空间向量总是共面的,因此可以用类似平面向量中的方法来定义两个空间向量的减法运算、数乘运算.
在空间中任取一点 $O$,作 $\overrightarrow{O A}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{O B}=\boldsymbol{b}$,作出向量 $\overrightarrow{B A}$,则向量 $\overrightarrow{B A}$ 就是向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的差 (也称 $\overrightarrow{B A}$ 为向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的差向量),即
$$
\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{B A}
$$
当 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 不共线时,向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$ 正好能构成一个三角形,因此这种求两向量差的作图方法称为向量减法的三角形法则.
例如,图 1-1-8 所示的四棱雉 $O-A B C D$ 中,有
$$
\begin{aligned}
& \overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{C A},\\
& \overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O D}=3
\end{aligned}
$$
同平面中的情形一样,给定一个空间向量,我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量,向量 $\boldsymbol{a}$ 的相反向量记作 $-a$. 因此,$\overrightarrow{A B}$ 的相反向量是 $-\overrightarrow{A B}$,而且 $-\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{B A}$. 因为零
图 1-1-8 向量的始点与终点相同,所以 $-\mathbf{0}=\mathbf{0}$.
不难看出,空间向量的减法也可以看成向量的加法,即
$$
\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}+(-\boldsymbol{b}),$$
也就是: 一个向量减去另一个向量,等于第一个向量加上第二个向量的相反向量.
同平面中的情形一样,给定一个实数 $\lambda$ 与任意一个空间向量 $\boldsymbol{a}$,规定它们的乘积是一个空间向量,记作 $\lambda a$,其中:
(1) 当 $\lambda \neq 0$ 且 $\boldsymbol{a} \neq 0$ 时,$\lambda \boldsymbol{a}$ 的模为 $|\lambda||\boldsymbol{a}|$,而且 $\lambda \boldsymbol{a}$ 的方向:
(1)当 $\lambda>0$ 时,与 $a$ 的方向相同;
(2) 当 $\lambda<0$ 时,与 $a$ 的方向相反.
（2）当 $\lambda=0$ 或 $\boldsymbol{a}=\mathbf{0}$ 时,$\lambda \boldsymbol{a}=\mathbf{0}$.
上述实数 $\lambda$ 与空间向量 $a$ 相乘的运算简称为数乘向量.
数乘向量的定义说明,如果存在实数 $\lambda$,使得 $\boldsymbol{b}=\lambda \boldsymbol{a}$,则 $\boldsymbol{b} / / \boldsymbol{a}$. 而且,如果存在实数 $\lambda$,使得 $\overrightarrow{A B}=\lambda \overrightarrow{A C}$,则 $\overrightarrow{A B}$ 与 $\overrightarrow{A C}$ 平行且有公共点 $A$,从而 $A,B,C$ 三点一定共线.
特别地,当 $\lambda=\frac{1}{2}$ 时,即 $\overrightarrow{A B}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A C}$ 时,$B$ 为线段 $A C$ 的中点.
对于实数 $\lambda$ 与 $\mu$,向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$,有如下运算律:
$$
\lambda \boldsymbol{a}+\mu \boldsymbol{a}=(\lambda+\mu) \boldsymbol{a},\lambda(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=\lambda \boldsymbol{a}+\lambda \boldsymbol{b} .
$$
同平面向量一样,空间向量的加法、减法与数乘运算,以及它们的混合运算，统称为空间向量的线性运算.
例 2 设 $A B$ 是空间中任意一条线段,$O$ 是空间中任意一点,求证: $M$ 为 $A B$ 中点的充要条件是
$$
\overrightarrow{O M}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B})
$$
证明因为
$$
M \text { 为 } A B \text { 中点 } \Leftrightarrow \overrightarrow{A M}=\overrightarrow{M B}
$$
$$
\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \overrightarrow{O M}-\overrightarrow{O A}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O M} \\
& \Leftrightarrow \overrightarrow{O M}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}),\end{aligned}
$$
所以结论成立.
如图 1-1-9 所示,如果棱雉 $O-A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是一个平行四边形,则 $N$ 既是 $A C$ 的中点,也是 $B D$ 的中点,从而由例 2 的结论可知
$$
\overrightarrow{O N}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O C}),\quad \overrightarrow{O N}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O D}) .
$$
当然，同样也有
$$
\overrightarrow{D N}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{D C})
$$
图 1-1-9
等.
例 3 如图 1-1-10 所示三棱雉 $A-B C D$ 中,$O$ 为 $C D$ 的中点,化简
$$
\overrightarrow{A B}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B D})
$$
并在图中作出表示化简结果的向量.
解因为 $O$ 为 $C D$ 中点,所以
$$
\frac{1}{2}(\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B D})=\overrightarrow{B O} \text {,}
$$
图 1-1-10
从而有
$$
\overrightarrow{A B}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B D})=\overrightarrow{A B}+4
$$
化简结果的向量如图 1-1-10 所示.
## 4. 空间向量的数量积
平面内,给定两个非零向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$,任意在平面内选定一点 $O$,作 $\overrightarrow{O A}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{O B}=\boldsymbol{b}$,则大小在 $[0,\pi]$ 内的 $\angle A O B$ 称为 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角,记作 $\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$
## 尝试与发现
观察上述平面向量夹角的概念,思考空间中两个非零向量的夹角该如何定义,并尝试总结两者的不同之处.
由于空间中任意两个向量都一定是共面的,因此,空间中两个非零向量之间的夹角也可按类似上述的方式定义，但“任意在平面内选定一点”应改成“任意在空间中选定一点”. 特别地,如果 $\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\frac{\pi}{2}$,则称向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 垂直,记作 $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$，为了方便起见,仍约定零向量与任意向量都垂直.
例 4 如图 1-1-11 所示是一个正方体,求下列各对向量的夹角:
(1) $\overrightarrow{A B}$ 与 $\overrightarrow{A_{1} C_{1}}$;(2) $\overrightarrow{A B}$ 与 $\overrightarrow{C_{1} A_{1}}$;(3) $\overrightarrow{A B}$ 与 $\overrightarrow{A_{1} D_{1}}$;(4) $\overrightarrow{A B}$ 与 $\overrightarrow{B_{1} A_{1}}$
（1）由于 $\overrightarrow{A_{1} C_{1}}$ 与 $\overrightarrow{A C}$ 的方向相同,
图 1-1-11
所以
$\left\langle\overrightarrow{A B},\overrightarrow{A_{1} C_{1}}\right\rangle=\langle\overrightarrow{A B},\overrightarrow{A C}\rangle=45^{\circ}$.
(2) $\left\langle\overrightarrow{A B},\overrightarrow{C_{1} A_{1}}\right\rangle=\langle\overrightarrow{A B},\overrightarrow{C A}\rangle=135^{\circ}$.
(3) $\left\langle\overrightarrow{A B},\overrightarrow{A_{1} D_{1}}\right\rangle=\langle\overrightarrow{A B},\overrightarrow{A D}\rangle=6$
(4) $\left\langle\overrightarrow{A B},\overrightarrow{B_{1} A_{1}}\right\rangle=7$
平面内,两个非零向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的数量积（也称为内积）定义为
$$
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \cos \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle \text {. }
$$
而且,两个向量数量积的几何意义与投影有关,如图 1-1-12 所示,过 $\boldsymbol{a}$ 的始点和终点分别向 $\boldsymbol{b}$ 所在的直线作垂线,即可得到向量 $\boldsymbol{a}$ 在向量 $\boldsymbol{b}$ 上的投影 $a^{\prime},a$ 与 $b$ 的数量积等于 $a$ 在 $b$ 上的投影 $a^{\prime}$ 的数量与 $\boldsymbol{b}$ 的长度的乘积. 特别地,$\boldsymbol{a}$ 与单位向量 $\boldsymbol{e}$ 的数量积等于 $a$ 在 $e$ 上的投影 $a^{\prime}$ 的数量. 规定零向
图 1-1-12 量与任意向量的数量积为 0 .
## 尝试与发现
观察上述平面向量数量积的概念与性质,思考能否将它们从平面推广到空间中. 如果能，尝试说出推广后的不同之处；如果不能，说明理由.
同样,空间中向量的数量积也是按上述方式定义的,而且空间向量的数量积也具有类似的性质. 不过,空间向量 $\boldsymbol{a}$ 在向量 $\boldsymbol{b}$ 上的投影 $\boldsymbol{a}^{\prime}$,除了按照上述方式得到之外,还可以过 $\boldsymbol{a}$ 的始点和终点分别作与 $\boldsymbol{b}$ 所在直线垂直的平面得到. 这可以从图 1-1-13 所示的长方体中看出来,其中向量 $\boldsymbol{b}$ 在棱 $A B$ 上,$\boldsymbol{a}=\overrightarrow{A^{\prime} C^{\prime}}$,因为 $\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A^{\prime} C^{\prime}},B C \perp A B$,所以 $\boldsymbol{a}$ 在向量 $\boldsymbol{b}$ 上的投影
$$
a^{\prime}=\overrightarrow{A B}
$$
一般地,给定空间向量 $\boldsymbol{a}$ 和空间中的直线 $l$ (或平面 $\alpha$ ),过 $a$ 的始点和终点分别作直线 $l$ (或平面 $\alpha$ ) 的垂线,假设垂足为 $A,B$,则向量 $\overrightarrow{A B}$ 称为 $a$ 在直线 $l$ (或平面 $\alpha$ ) 上的
图 1-1-13 投影.
同平面的情形一样，空间向量的数量积具有以下性质：
(1) $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b} \Leftrightarrow \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=0$;
(2) $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a}=|\boldsymbol{a}|^{2}=\boldsymbol{a}^{2}$;
(3) $|\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}| \leqslant|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|$;
(4) $(\lambda \boldsymbol{a}) \cdot \boldsymbol{b}=\lambda(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})$;
(5) $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{a}($ 交换律);
(6) $(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}=\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}+\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}$ (分配律).
第（6）条性质可以按如下方式理解.
当 $a,b,c$ 共面时,根据平面向量数量积的性质可知,结论成立.
当 $a,b,c$ 不共面时,显然 $|c| \neq 0$,设 $c_{0}=\frac{c}{|c|}$,即 $c_{0}$ 是与 $c$ 同向的单位向量. 如图 1-1-14 所示,设 $A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 是一个长方体,点 $O$ 与 $\boldsymbol{c}_{0}$ 都在直线 $A B$ 上,且
$$
\overrightarrow{O A^{\prime}}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{A^{\prime} C^{\prime}}=\boldsymbol{b}
$$
图 1-1-14
因此,$\boldsymbol{a}$ 在 $\boldsymbol{c}_{0}$ 上的投影为 $\boldsymbol{a}^{\prime}=\overrightarrow{O A},\boldsymbol{b}$ 在 $\boldsymbol{c}_{0}$ 上的投影为 $\boldsymbol{b}^{\prime}=\overrightarrow{A B}$,且
$$
\overrightarrow{O C^{\prime}}=\overrightarrow{O A^{\prime}}+\overrightarrow{A^{\prime} C^{\prime}}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b},$$
$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ 在 $\boldsymbol{c}_{0}$ 上的投影为 $\overrightarrow{O B}$.
注意到 $\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a}^{\prime}+\boldsymbol{b}^{\prime}$，这就说明
$$
(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}_{0}=\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}_{0}+\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}_{0},$$
在这个式子两边同时乘以 $|\boldsymbol{c}|$,即可知
$$
(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}=\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}+\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c} .
$$
例 5 如图 1-1-15 所示长方体 $A B C D-$ $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 中,$E$ 是 $A A^{\prime}$ 的中点,$A A^{\prime}=$ $A D=2,A B=4$,求:
(1) $\overrightarrow{B C^{\prime}} \cdot \overrightarrow{A E}$;
(2) $\overrightarrow{B^{\prime} D} \cdot \overrightarrow{A E}$
（1）（方法一）因为是长方体,而且 $A A^{\prime}=A D=2$,所以
图 1-1-15
$$
\begin{aligned}
& \left\langle\overrightarrow{B C^{\prime}},\overrightarrow{A E}\right\rangle=\angle B^{\prime} B C^{\prime}=45^{\circ},\\
& |\overrightarrow{A E}|=\frac{1}{2} A A^{\prime}=1,\\
& \left|\overrightarrow{B C^{\prime}}\right|=B C^{\prime}=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=2 \sqrt{2},\end{aligned}
$$
因此
$$
\overrightarrow{B C^{\prime}} \cdot \overrightarrow{A E}=\left|\overrightarrow{B C^{\prime}}\right||\overrightarrow{A E}| \cos \left\langle\overrightarrow{B C^{\prime}},\overrightarrow{A E}\right\rangle=2 \sqrt{2} \times 1 \times \frac{\sqrt{2}}{2}=2 .
$$
(方法二) 由图可以看出,$\overrightarrow{B C^{\prime}}$ 在 $\overrightarrow{A E}$ 上的投影是 $\overrightarrow{A A^{\prime}}$,而且
$$
|\overrightarrow{A E}|=\frac{1}{2} A A^{\prime}=1
$$
注意到 $\overrightarrow{A A^{\prime}}$ 与 $\overrightarrow{A E}$ 的方向相同,所以 $\overrightarrow{B C^{\prime}} \cdot \overrightarrow{A E}$ 等于 $\overrightarrow{A A^{\prime}}$ 的长,即
$$
\overrightarrow{B C^{\prime}} \cdot \overrightarrow{A E}=\left|\overrightarrow{A A^{\prime}}\right|=2 .
$$
(2) 由图可以看出,$\overrightarrow{B^{\prime} D}$ 在 $\overrightarrow{A E}$ 上的投影是 $\overrightarrow{A^{\prime} A}$,而且
$$
|\overrightarrow{A E}|=\frac{1}{2} A A^{\prime}=1
$$
注意到 $\overrightarrow{A^{\prime} A}$ 与 $\overrightarrow{A E}$ 的方向相反,所以 $\overrightarrow{B^{\prime} D} \cdot \overrightarrow{A E}$ 等于 $\overrightarrow{A^{\prime} A}$ 的长的相反数，即
$$
\overrightarrow{B^{\prime} D} \cdot \overrightarrow{A E}=-\left|\overrightarrow{A^{\prime} A}\right|=8
$$
## 练习 $A$
(1) 在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中,判断下列各组向量是否共面:
(1) $\overrightarrow{A B},\overrightarrow{D_{1} C_{1}}$
(2) $\overrightarrow{A B},\overrightarrow{B C},\overrightarrow{A_{1} D_{1}}$
(3) $\overrightarrow{A B},\overrightarrow{B C},\overrightarrow{D D_{1}}$
(2) 化简: $\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b}-3 \boldsymbol{c})+5\left(\frac{2}{3} \boldsymbol{a}-\frac{1}{2} \boldsymbol{b}+\frac{2}{3} \boldsymbol{c}\right)-3(\boldsymbol{a}-2 \boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$.
(3) 已知 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是一个正方体,写出下列向量夹角的大小:
(1) $\left\langle\overrightarrow{A B},\overrightarrow{C C_{1}}\right\rangle$
(4) 如果 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$ 不共面,那么这三个向量中能有两个互相平行吗?为什么?
(5) 已知 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 均为空间向量,分别判断下列各式是否恒成立:
(1) $(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})^{2}=\boldsymbol{a}^{2}+2 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}$;(2) $(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})^{2}=\boldsymbol{a}^{2}-2 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}$;(3) $(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \cdot(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=\boldsymbol{a}^{2}-\boldsymbol{b}^{2}$.
## 练习B
(1) 如果 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 都是空间向量,判断
$$
|| \boldsymbol{a}|-| \boldsymbol{b}|| \leqslant|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}| \leqslant|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|
$$
是否成立,并说明等号何时成立.
(2) 已知空间四边形 $A B C D$ 中,$M,N$ 分别是棱 $A B,C D$ 的中点,化简下列各向量表达式:
(1) $\overrightarrow{B M}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{M N}+\overrightarrow{C N}$
(2) $\frac{1}{2}(\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{B C})$
(3) 构造始点、终点都是平行六面体 $A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 顶点的向量,使它与下列各式所表示的向量分别相等:
(1) $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B^{\prime} C^{\prime}}$;(2) $\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A^{\prime} D^{\prime}}$
(3) $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{A A^{\prime}}$;(4) $\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C C^{\prime}}$;(5) $\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C C^{\prime}}-\overrightarrow{B A}$.
(4) 已知正方体 $A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 的棱长为 1,求:
(1) $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B^{\prime} C^{\prime}}$;(2) $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{D^{\prime} C^{\prime}}$
(3) $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A^{\prime} C^{\prime}}$;(4) $\overrightarrow{B^{\prime} D} \cdot \overrightarrow{A B}$.
(5) 已知 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 都是空间向量,且 $|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$,求 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$.
(6) 已知 $|\boldsymbol{a}|=4$,向量 $\boldsymbol{e}$ 为单位向量,$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{e}\rangle=\frac{2 \pi}{3}$,求向量 $\boldsymbol{a}$ 在向量 $\boldsymbol{e}$ 方向上的投影的数量.
$\overrightarrow{A D_{1}}$
$2 \overrightarrow{\mathrm{DB}_{1}}$
$3 \overrightarrow{D B}$
$\overrightarrow{B O}$
$5 \overrightarrow{A O}$
$690^{\circ}$
$7\langle\overrightarrow{A B},\overrightarrow{B A}\rangle=180^{\circ} \quad 8-2$
### 2 空间向量基本定理
## 1. 共面向量定理
在平面向量中,我们已经学过如下结论.
共线向量基本定理如果 $\boldsymbol{a} \neq \boldsymbol{0}$ 且 $\boldsymbol{b} / / \boldsymbol{a}$,则存在唯一的实数 $\lambda$,使得 $\boldsymbol{b}=$ $\lambda a$.
平面向量基本定理如果平面内两个向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 不共线,则对该平面内任意一个向量 $\boldsymbol{c}$,存在唯一的实数对 $(x,y)$,使得 $\boldsymbol{c}=x \boldsymbol{a}+y \boldsymbol{b}$.
## 尝试与发现
上述结论在空间中仍成立吗?如何判断空间中的三个向量是否共面?
可以看出，共线向量基本定理和平面向量基本定理在空间中仍然成立.
例如,如图 1-1-16 所示的正方体 $A B C D-$ $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中,$P$ 在直线 $A A_{1}$ 上的充要条件是，存在实数 $\lambda$,使得
$$
\overrightarrow{A P}=\lambda \overrightarrow{A A_{1}}
$$
如果 $M$ 在底面 $A B C D$ 内,则一定存在实数 $s$ 与 $t$,使得
$$
\overrightarrow{A M}=s \overrightarrow{A B}+t \overrightarrow{A D}
$$
而且，若 $M E \perp A D，M F \perp A B$，则
图 1-1-16
$$
\overrightarrow{A F}=s \overrightarrow{A B},\overrightarrow{A E}=t \overrightarrow{A D}
$$
另外,在空间中,由平面向量基本定理以及空间向量加法的平行四边形法则,还可以得到如下空间中三个向量是否共面的判别方法.
共面向量定理如果两个向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 不共线,则向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$ 共面的充要条件是,存在唯一的实数对 $(x,y)$,使 $\boldsymbol{c}=x \boldsymbol{a}+y \boldsymbol{b}$.
这个定理的必要性是由平面向量基本定理保证的,而充分性只要注意到当 $x \boldsymbol{a}$ 与 $y \boldsymbol{b}$ 不共线时,$x \boldsymbol{a},y \boldsymbol{b},x \boldsymbol{a}+y \boldsymbol{b}$ 分别是平行四边形的两条邻边和一条对角线即可.
例1 如图 1-1-17 所示,已知斜三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中,$\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a}$,$\overrightarrow{A C}=\boldsymbol{b},\overrightarrow{A A_{1}}=\boldsymbol{c}$,在 $A C_{1}$ 上和 $B C$ 上分别有一点 $M$ 和 $N$,且
$$
\overrightarrow{A M}=k \overrightarrow{A C_{1}},\overrightarrow{B N}=k \overrightarrow{B C}
$$
其中 $0 \leqslant k \leqslant 1$. 求证: $\overrightarrow{M N},\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}$ 共面.
证明因为
$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{A M} & =k \overrightarrow{A C_{1}}=k \boldsymbol{b}+k \boldsymbol{c},\\
\overrightarrow{A N} & =\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B N}=\boldsymbol{a}+k \overrightarrow{B C} \\
& =\boldsymbol{a}+k(-\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \\
& =(1-k) \boldsymbol{a}+k \boldsymbol{b},\end{aligned}
$$
所以
图 1-1-17
$$
\overrightarrow{M N}=\overrightarrow{A N}-\overrightarrow{A M}=(1-k) \boldsymbol{a}+k \boldsymbol{b}-k \boldsymbol{b}-k \boldsymbol{c}=(1-k) \boldsymbol{a}-k \boldsymbol{c} .
$$
由共面向量定理可知,$\overrightarrow{M N},a,c$ 共面.
由共面向量定理还可得到判断空间中四点是否共面的方法：如果 $A$,$B,C$ 三点不共线,则点 $P$ 在平面 $A B C$ 内的充要条件是,存在唯一的实数对 $(x,y)$,使
$$
\overrightarrow{A P}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A C}
$$
## 2. 空间向量基本定理
## 尝试与发现
共线向量基本定理表明,给定直线上的一个非零向量 $\boldsymbol{a}$,那么直线上任意一个向量 $\boldsymbol{b}$ 都可以唯一地写成数乘向量 $\boldsymbol{a}$ 的形式;平面向量基本定理表明,在给定的平面内,当向量 $a$ 与 $b$ 不共线时,任意一个向量 $c$ 都可以写成 $a$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的线性运算,而且表达式唯一. 空间向量有没有类似的结论?如果有,尝试归纳出来;如果没有,说明理由.
空间向量基本定理如果空间中的三个向量 $a,b,c$ 不共面,那么对空间中的任意一个向量 $\boldsymbol{p}$,存在唯一的有序实数组 $(x,y,z)$,使得
$$
\boldsymbol{p}=x \boldsymbol{a}+y \boldsymbol{b}+z \boldsymbol{c} .
$$
空间向量基本定理可以通过作图的方式来理解.
因为 $a,b,c$ 不共面,所以它们两两都不平行,过点 $O$ 作 $\overrightarrow{O A}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{O B}=\boldsymbol{b},\overrightarrow{O C}=$ $\boldsymbol{c}$,则平面 $O A B,O A C,O B C$ 是两两相交的三个平面,如图 1-1-18 所示.
如果 $p$ 与 $a,b,c$ 的某两个向量共面,则根据共面向量定理可知结论成立. 否则,作 $\overrightarrow{O P}=\boldsymbol{p}$,过点 $P$ 作直线 $P P_{1}$ 平行于 $O C$,交
图 1-1-18 平面 $O A B$ 于点 $P_{1}$;在平面 $O A B$ 内,过 $P_{1}$ 作直线 $P_{1} A_{1}$ 平行于 $O B$,作直线 $P_{1} B_{1}$ 平行于 $O A$,且分别与直线 $O A,O B$ 相交于点 $A_{1},B_{1}$;在 $O C$ 上取一点 $C_{1}$,使得 $\overrightarrow{O C_{1}}=\overrightarrow{P_{1} P}$. 于是存在三个实数 $x,y,z$,使得
$$
\overrightarrow{O A_{1}}=x \overrightarrow{O A}=x \boldsymbol{a},\overrightarrow{O_{1}}=y \overrightarrow{O B}=y \boldsymbol{b},\overrightarrow{O_{1}}=z \overrightarrow{O C}=z \boldsymbol{c} \text {. }
$$
作 $\overrightarrow{A_{1} M}=\overrightarrow{B_{1} N}=\overrightarrow{P_{1} P}$,则 $O A_{1} P_{1} B_{1}-C_{1} M P N$ 是一个平行六面体,因此
$$
\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A_{1}}+\overrightarrow{O_{1}}+\overrightarrow{O C_{1}}=x \overrightarrow{O A}+y \overrightarrow{O B}+z \overrightarrow{O C}
$$
即 $\boldsymbol{p}=x \boldsymbol{a}+y \boldsymbol{b}+z \boldsymbol{c}$.
下面来说明定理中的有序实数组 $(x,y,z)$ 是唯一的. 设
$$
\boldsymbol{p}=x \boldsymbol{a}+y \boldsymbol{b}+z \boldsymbol{c} \text { 且 } \boldsymbol{p}=x^{\prime} \boldsymbol{a}+y^{\prime} \boldsymbol{b}+z^{\prime} \boldsymbol{c},$$
则 $\left(x-x^{\prime}\right) \boldsymbol{a}+\left(y-y^{\prime}\right) \boldsymbol{b}+\left(z-z^{\prime}\right) \boldsymbol{c}=\mathbf{0}$. 如果 $x \neq x^{\prime}$,则
$$
\boldsymbol{a}=-\frac{y-y^{\prime}}{x-x^{\prime}} \boldsymbol{b}-\frac{z-z^{\prime}}{x-x^{\prime}} \boldsymbol{c}
$$
由此可知 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$ 共面,这与已知矛盾,因此 $x=x^{\prime}$. 同理 $y=y^{\prime},z=z^{\prime}$.
这也就说明，空间向量基本定理中,$p$ 用 $a,b,c$ 表示的表达式 $p=$ $x \boldsymbol{a}+y \boldsymbol{b}+z \boldsymbol{c}$ 唯一. 特别地,当 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$ 不共面时,可知
$$
x \boldsymbol{a}+y \boldsymbol{b}+z \boldsymbol{c}=\mathbf{0} \Leftrightarrow x=y=z=0 .
$$
表达式 $x \boldsymbol{a}+y \boldsymbol{b}+z \boldsymbol{c}$ 一般称为向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$ 的线性组合或线性表达式. 上述空间向量基本定理说明,如果三个向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$ 不共面,则它们的线性组合 $x \boldsymbol{a}+y \boldsymbol{b}+z \boldsymbol{c}$ 能生成所有的空间向量. 因此,空间中不共面的三个向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$ 组成空间向量的一组基底,记为 $\{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\}$. 此时,$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$ 都称为基向量;如果 $\boldsymbol{p}=x \boldsymbol{a}+y \boldsymbol{b}+z \boldsymbol{c}$,则称 $x \boldsymbol{a}+y \boldsymbol{b}+z \boldsymbol{c}$ 为 $\boldsymbol{p}$ 在基底 $\{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\}$ 下的分解式.
例 2 如图 1-1-19 所示平行六面体 $A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 中,设 $\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{A D}=\boldsymbol{b}$,$\overrightarrow{A A^{\prime}}=\boldsymbol{c}$,试用基底 $\{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\}$ 表示向量 $\overrightarrow{A C^{\prime}},\overrightarrow{B D^{\prime}},\overrightarrow{A^{\prime} C},\overrightarrow{D B^{\prime}}$.
解因为是平行六面体,所以
$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{A C^{\prime}} & =\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C C^{\prime}} \\
& =\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{A A^{\prime}} \\
& =\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c} .
\end{aligned}
$$
图 1-1-19
类似地,有
$$
\begin{aligned}
& \overrightarrow{B D^{\prime}}=\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{D D^{\prime}}=-\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{A A^{\prime}}=-\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c},\\
& \overrightarrow{A^{\prime} C}=\overrightarrow{A^{\prime} B^{\prime}}+\overrightarrow{B^{\prime} B}+\overrightarrow{B C}=1 \\
& \overrightarrow{D B^{\prime}}=\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B B^{\prime}}=2
\end{aligned}
$$
例 3 如图 1-1-20 所示,已知直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中,$D$ 为 $A_{1} C_{1}$ 的中点,$\angle A B C=60^{\circ},A B=2,B C=C C_{1}=1$,求 $\overrightarrow{A B_{1}} \cdot \overrightarrow{C D}$
解由题意可知,
$|\overrightarrow{B A}|=2,|\overrightarrow{B C}|=\left|\overrightarrow{B B_{1}}\right|=1$,
$\langle\overrightarrow{B A},\overrightarrow{B C}\rangle=60^{\circ}$
$\left\langle\overrightarrow{B B_{1}},\overrightarrow{B A}\right\rangle=\left\langle\overrightarrow{B B_{1}},\overrightarrow{B C}\right\rangle=90^{\circ}$
图 1-1-20
所以
$$
\overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B C}=2 \times 1 \times \cos 60^{\circ}=1,\overrightarrow{B_{1}} \cdot \overrightarrow{B A}=\overrightarrow{B B_{1}} \cdot \overrightarrow{B C}=0
$$
又因为
$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{A B_{1}} & =\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B B_{1}}=-\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{B B_{1}},\\
\overrightarrow{C D} & =\overrightarrow{C_{1}}+\overrightarrow{C_{1} D}=\overrightarrow{C C_{1}}+\frac{1}{2} \overrightarrow{C_{1} A_{1}}=\overrightarrow{B B_{1}}+\frac{1}{2} \overrightarrow{C A} \\
& =\overrightarrow{B B_{1}}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{B A}-\overrightarrow{B C}),\end{aligned}
$$
所以
$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{A B_{1}} \cdot \overrightarrow{C D}= & \left(-\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{B B_{1}}\right) \cdot\left[\overrightarrow{B B_{1}}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{B A}-\overrightarrow{B C})\right] \\
= & -\overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B B_{1}}-\frac{1}{2} \overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B A}+\frac{1}{2} \overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B_{1}} \cdot \overrightarrow{B_{1}}+ \\
& \frac{1}{2} \overrightarrow{B B_{1}} \cdot \overrightarrow{B A}-\frac{1}{2} \overrightarrow{B B_{1}} \cdot \overrightarrow{B C} \\
= & 3
\end{aligned}
$$
例 3 说明，如果空间向量中，有三个不共面的向量的长度和相互之间的角度都已知,那么以这三个向量为一组基底,可以研究其他向量之间的数量积等问题.
## 练习A
(1) 如果空间向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$ 满足 $\boldsymbol{a}=2 \boldsymbol{b}-3 \boldsymbol{c}$,那么这三个向量是否一定共面?
(2) 如果 $A,B,C$ 是空间中的三点,且 $\overrightarrow{A B}=2 \overrightarrow{B C}$,那么这三个点是否一定共线?
(3) 如果 $A,B,C,D$ 是空间中的四点,且 $\overrightarrow{A B}=2 \overrightarrow{A C}-3 \overrightarrow{A D}$,那么这四个点是否一定共面?
(4) 如果空间向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 不共线,且 $\boldsymbol{a}-y \boldsymbol{b}=x \boldsymbol{a}+3 \boldsymbol{b}$,求 $x,y$ 的值. (5) 如果空间向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$ 不共面,且 $3 \boldsymbol{a}-2 \boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=x \boldsymbol{a}+y \boldsymbol{b}+z \boldsymbol{c}$,求 $x,y,z$ 的值.
## 练习 $\mathrm{B}$
(1) 如果 $A,B,C,D$ 是空间中的四点,且 $\overrightarrow{A B}=2 \overrightarrow{C D}$,那么这四个点是否一定共线?
(2) 如图,四面体 $O-A B C$ 中,$\overrightarrow{O A}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{O B}=\boldsymbol{b},\overrightarrow{O C}=\boldsymbol{c},D$ 为 $B C$ 的中点,$E$ 为 $A D$ 的中点,将 $\overrightarrow{O E}$ 用向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$ 表示出来.
(第 2 题)
(第 3 题)
(3) 如图,已知 $A,B,C$ 三点不共线,$O$ 为平面 $A B C$ 外任意一点,且壬面 $A B C$ 中的小方格均为单位正方形,在图中标出点 $P,Q,R,S$,使得
$$
\begin{aligned}
& \overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{A B}+2 \overrightarrow{A C},\overrightarrow{O Q}=\overrightarrow{O A}+2 \overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C},\\
& \overrightarrow{O R}=\overrightarrow{O A}+3 \overrightarrow{A B}-4 \overrightarrow{A C},\overrightarrow{O S}=\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{A B}-3 \overrightarrow{A C} .
\end{aligned}
$$
(4) 已知平行六面体 $A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 中,点 $E$ 是上底面 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 的中心,求下列各题中 $x,y$ 的值:
(1) $\overrightarrow{A C^{\prime}}=x\left(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C C^{\prime}}\right)$;(2) $\overrightarrow{A E}=\overrightarrow{A A^{\prime}}+x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A D}$
(5) 已知直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中,$\angle A B C=60^{\circ},A B=2,B C=C C_{1}=1$,求 $\overrightarrow{A B_{1}} \cdot \overrightarrow{B C_{1}}$
$1 \overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A A^{\prime}}+\overrightarrow{A D}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c} \quad 2-\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A A^{\prime}}=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$
$3-\frac{1}{2} \times 4+\frac{1}{2} \times 1+1=-\frac{1}{2}$
### 3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
## 1. 空间中向量的坐标
平面向量中，我们借助平面向量基本定理以及两个互相垂直的单位向量,引进了平面向量的坐标. 空间向量是否可以引进类似的坐标?这就是本小节我们要研究的内容.
## 尝试与发现
如图 1-1-21 所示,已知 $\overrightarrow{O A}=\boldsymbol{e}_{1},\overrightarrow{O B}=\boldsymbol{e}_{2},\overrightarrow{O C}=\boldsymbol{e}_{3}$,且 $O A D B-C E G F$ 是棱长为 1 的正方体,$O F_{1} E_{1} A-A_{1} D_{1} C_{1} B_{1}$ 是一个长方体,$A_{1}$ 为 $O C$ 的中点,$F_{1} O=2$.
图 1-1-21
（1）设 $\overrightarrow{O G}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{O C_{1}}=\boldsymbol{b}$，将向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 都用 $\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2},\boldsymbol{e}_{3}$ 表示;
（2）如果 $\boldsymbol{p}$ 是空间中任意一个向量,怎样才能写出 $\boldsymbol{p}$ 在基底 $\left\{\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2},\boldsymbol{e}_{3}\right\}$ 下的分解式?
不难看出，尝试与发现中，
$$
\boldsymbol{a}=\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2}+\boldsymbol{e}_{3},\boldsymbol{b}=\boldsymbol{e}_{1}-2 \boldsymbol{e}_{2}+\frac{1}{2} \boldsymbol{e}_{3} .
$$
而且,对于任意一个空间向量 $\boldsymbol{p}$ 来说,只要将它的始点平移到点 $O$,然后过它的终点分别作与 $\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2},\boldsymbol{e}_{3}$ 所在直线垂直的平面,就可以写出它在基底 $\left\{\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2},\boldsymbol{e}_{3}\right\}$ 下的分解式.
一般地,如果空间向量的基底 $\left\{\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2},\boldsymbol{e}_{3}\right\}$ 中,$\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2},\boldsymbol{e}_{3}$ 都是单位向量,而且这三个向量两两垂直,就称这组基底为单位正交基底;在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解,而且,如果 $\boldsymbol{p}=x \boldsymbol{e}_{1}+y \boldsymbol{e}_{2}+$ $z \boldsymbol{e}_{3}$,则称有序实数组 $(x,y,z)$ 为向量 $\boldsymbol{p}$ 的坐标,记作
$$
\boldsymbol{p}=(x,y,z)
$$
其中 $x,y,z$ 都称为 $\boldsymbol{p}$ 的坐标分量. 例 1 已知 $\left\{\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2},\boldsymbol{e}_{3}\right\}$ 是单位正交基底,分别写出下列空间向量的坐标:
(1) $\boldsymbol{p}=2 \boldsymbol{e}_{1}+3 \boldsymbol{e}_{2}+\boldsymbol{e}_{3}$;(2) $\boldsymbol{q}=-\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2}-2 \boldsymbol{e}_{3}$;(3) $\boldsymbol{r}=-2 \boldsymbol{e}_{2}-\boldsymbol{e}_{3}$;(4) $\mathbf{0}$.
解 (1) $\boldsymbol{p}=(2,3,1)$.
(2) $\boldsymbol{q}=1$
(3) $r=2$
(4) 因为 $\mathbf{0}=0 \boldsymbol{e}_{1}+0 \boldsymbol{e}_{2}+0 \boldsymbol{e}_{3}$,所以 $\mathbf{0}=(0,0,0)$.
## 2. 空间向量的运算与坐标的关系
与平面向量的坐标类似,空间向量有了坐标之后,一个自然的问题就是,向量的相等以及运算与它们对应的坐标之间有什么关系?
假设空间中两个向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 满足 $\boldsymbol{a}=\left(x_{1},y_{1},z_{1}\right),\boldsymbol{b}=\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)$,也就是说
$$
\boldsymbol{a}=x_{1} \boldsymbol{e}_{1}+y_{1} \boldsymbol{e}_{2}+z_{1} \boldsymbol{e}_{3},\boldsymbol{b}=x_{2} \boldsymbol{e}_{1}+y_{2} \boldsymbol{e}_{2}+z_{2} \boldsymbol{e}_{3} .
$$
则当 $\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$ 时,有 $x_{1} \boldsymbol{e}_{1}+y_{1} \boldsymbol{e}_{2}+z_{1} \boldsymbol{e}_{3}=x_{2} \boldsymbol{e}_{1}+y_{2} \boldsymbol{e}_{2}+z_{2} \boldsymbol{e}_{3}$,由 $\left\{\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2},\boldsymbol{e}_{3}\right\}$ 是单位正交基底和空间向量基本定理可知
$$
x_{1}=x_{2},y_{1}=y_{2},z_{1}=z_{2} \text {;}
$$
反之结论也成立. 这就是说,空间中两个向量相等的充要条件是它们的坐标分量对应相等.
另一方面,因为
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} & =x_{1} \boldsymbol{e}_{1}+y_{1} \boldsymbol{e}_{2}+z_{1} \boldsymbol{e}_{3}+x_{2} \boldsymbol{e}_{1}+y_{2} \boldsymbol{e}_{2}+z_{2} \boldsymbol{e}_{3} \\
& =\left(x_{1}+x_{2}\right) \boldsymbol{e}_{1}+\left(y_{1}+y_{2}\right) \boldsymbol{e}_{2}+\left(z_{1}+z_{2}\right) \boldsymbol{e}_{3},\end{aligned}
$$
所以
$$
\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\left(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2}\right) .
$$
类似地,可以得出,如果 $u,v$ 是两个实数,那么
$$
u \boldsymbol{a}+v \boldsymbol{b}=\left(u x_{1}+v x_{2},u y_{1}+v y_{2},u z_{1}+v z_{2}\right)
$$
又因为 $\left\{\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2},\boldsymbol{e}_{3}\right\}$ 是单位正交基底,所以
$$
\boldsymbol{e}_{1} \cdot \boldsymbol{e}_{1}=\boldsymbol{e}_{2} \cdot \boldsymbol{e}_{2}=\boldsymbol{e}_{3} \cdot \boldsymbol{e}_{3}=1,\boldsymbol{e}_{1} \cdot \boldsymbol{e}_{2}=\boldsymbol{e}_{2} \cdot \boldsymbol{e}_{3}=\boldsymbol{e}_{3} \cdot \boldsymbol{e}_{1}=0,$$
因此
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}= & \left(x_{1} \boldsymbol{e}_{1}+y_{1} \boldsymbol{e}_{2}+z_{1} \boldsymbol{e}_{3}\right) \cdot\left(x_{2} \boldsymbol{e}_{1}+y_{2} \boldsymbol{e}_{2}+z_{2} \boldsymbol{e}_{3}\right) \\
= & x_{1} x_{2} \boldsymbol{e}_{1} \cdot \boldsymbol{e}_{1}+y_{1} y_{2} \boldsymbol{e}_{2} \cdot \boldsymbol{e}_{2}+z_{1} z_{2} \boldsymbol{e}_{3} \cdot \boldsymbol{e}_{3}+\left(x_{1} y_{2}+x_{2} y_{1}\right) \boldsymbol{e}_{1} \cdot \boldsymbol{e}_{2}+ \\
& \left(y_{1} z_{2}+y_{2} z_{1}\right) \boldsymbol{e}_{2} \cdot \boldsymbol{e}_{3}+\left(x_{1} z_{2}+x_{2} z_{1}\right) \boldsymbol{e}_{1} \cdot \boldsymbol{e}_{3}
\end{aligned}
$$
$$
=x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}+z_{1} z_{2},$$
即
$$
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}+z_{1} z_{2}
$$
特别地,
$$
|\boldsymbol{a}|=\sqrt{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a}}=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}
$$
当 $\boldsymbol{a} \neq \mathbf{0}$ 且 $\boldsymbol{b} \neq \mathbf{0}$ 时,由向量数量积的定义可知
$$
\cos \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}=\frac{x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}+z_{1} z_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}} \sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}}} \text {. }
$$
例 2 已知 $\boldsymbol{a}=(-2,3,5),\boldsymbol{b}=(3,-3,2)$,求下列向量的坐标:
(1) $\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$;(2) $2 \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$;(3) $-5 \boldsymbol{b}$.
解 (1) $\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(-2,3,5)-(3,-3,2)$
$$
=(-2-3,3+3,5-2)=(-5,6,3) \text {. }
$$
(2) $2 \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=2(-2,3,5)+(3,-3,2)$
$$
=(-4,6,10)+(3,-3,2)=(-1,3,12) \text {. }
$$
(3) $-5 \boldsymbol{b}=-5(3,-3,2)=3$
例 3 已知 $\boldsymbol{a}=(1,0,1),\boldsymbol{b}=(2,-2,0)$,求 $\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$.
解因为
$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=1 \times 2+0 \times(-2)+1 \times 0=2,\\
& |\boldsymbol{a}|=\sqrt{1^{2}+0^{2}+1^{2}}=\sqrt{2},\\
& |\boldsymbol{b}|=\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}+0^{2}}=2 \sqrt{2},\end{aligned}
$$
所以
$$
\cos \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}=\frac{2}{\sqrt{2} \times 2 \sqrt{2}}=\frac{1}{2},$$
因此 $\langle a,b\rangle=4$
## 3. 空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
## 尝试与发现
我们已经知道,如果 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 是空间向量:
(1) 当 $\boldsymbol{a} \neq \mathbf{0}$ 时,$\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$ 的充要条件是存在实数 $\lambda$,使得 $\boldsymbol{b}=\lambda \boldsymbol{a}$;(2) $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$ 的充要条件是 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=0$. 如果已知 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 的坐标,即
$$
\boldsymbol{a}=\left(x_{1},y_{1},z_{1}\right),\boldsymbol{b}=\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right),$$
那么上述结论怎样用它们的坐标表示?
可以看出,当 $\boldsymbol{a} \neq \mathbf{0}$ 时,
$$
\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b} \Leftrightarrow \boldsymbol{b}=\lambda \boldsymbol{a} \Leftrightarrow\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)=\lambda\left(x_{1},y_{1},z_{1}\right) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
x_{2}=\lambda x_{1},\\
y_{2}=\lambda y_{1},\\
z_{2}=\lambda z_{1} .
\end{array}\right.
$$
更进一步,当 $a$ 的每一个坐标分量都不为零时,有
$$
\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b} \Leftrightarrow \frac{x_{2}}{x_{1}}=\frac{y_{2}}{y_{1}}=\frac{z_{2}}{z_{1}} .
$$
而且
$$
\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b} \Leftrightarrow \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=0 \Leftrightarrow x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}+z_{1} z_{2}=0 .
$$
例 4 (1) 已知 $\boldsymbol{a}=(1,-1,1),\boldsymbol{b}=(x,y,z)$,且 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$,求 $x,y$,$z$ 所要满足的关系式;
（2）已知 $\boldsymbol{c}=(-1,-1,1),\boldsymbol{d}=(2,-2,6)$,求一个非零空间向量 $\boldsymbol{n}$,使得 $\boldsymbol{n} \perp \boldsymbol{c}$ 且 $\boldsymbol{n} \perp \boldsymbol{d}$.
解 (1) 因为 $\boldsymbol{a}=(1,-1,1)$ 的每一个坐标分量均不为零,因此
$$
\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b} \Leftrightarrow \frac{x}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{1} \Leftrightarrow x=-y=z .
$$
(2) 设 $\boldsymbol{n}=(x,y,z)$,则
$$
\boldsymbol{n} \perp \boldsymbol{c} \text { 且 } \boldsymbol{n} \perp \boldsymbol{d} \Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l }
{ \boldsymbol { n } \cdot \boldsymbol { c } = 0,} \\
{ \boldsymbol { n } \cdot \boldsymbol { d } = 0 }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
-x-y+z=0,\\
2 x-2 y+6 z=0 .
\end{array}\right.\right.
$$
将 $z$ 看成已知数,求解方程组可得 $x=-z,y=2 z$. 因此
$$
\boldsymbol{n}=(-z,2 z,z)=z(-1,2,1),$$
取 $z=1$,可得满足条件的一个非零空间向量 $\boldsymbol{n}=(-1,2,1)$.
例 4 的 (2) 说明,空间中同时垂直于两个不共线向量的空间向量有无数个,而且这无数个向量是相互平行的.
## 4. 空间直角坐标系
由空间向量坐标的定义可以看出,当单位正交基底的始点是同一个点 $O$,而且空间向量的始点也是 $O$ 时,空间向量的坐标实际上是由它的终点位置确定的.
## 情境与问题
(1) 如图 1-1-22 所示,怎样才能刻画地球的卫星在空间中的位置?
(2) 我们知道,在直线上建立数轴后,就可以用一个数来刻画点在直线上的位置；在平面内建立平面直角坐标系之后，就可以用一对有序实数来刻画点在平面内的位置. 那么,怎样才能刻画空间中点的位置呢?
图 1-1-22
为了刻画空间中点的位置,我们可以按照如下方式建立空间直角坐标系：在空间中任意选定一点 $O$ 作为坐标原点,选择合适的平面先建立平面直角坐标系 $x O y$，然后过 $O$ 作一条与 $x O y$ 平面垂直的数轴 $z$ 轴. 这样建立的空间直角坐标系记作 $O x y z$.
在空间直角坐标系 $O x y z$ 中,$x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴是两两互相垂直的,它们都称为坐标轴;通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面,分别记为 $x O y$ 平面、$y O z$ 平面、$z O x$ 平面. $z$ 轴的正方向一般按照如下方式确定：在 $z$ 轴的正半轴看 $x O y$ 平面,$x$ 轴的正半轴绕 $O$ 点沿逆时针方向旋转 $90^{\circ}$ 能与 $y$ 轴的正半轴重合.
在平面内画空间直角坐标系 $O x y z$ 时,一般把 $x$ 轴、$y$ 轴画成水平放置,$x$ 轴正方向与 $y$ 轴正方向夹角为 $135^{\circ}$ (或 $45^{\circ}$ ),$z$ 轴与 $y$ 轴（或 $x$ 轴） 垂直,如图 1-1-23 (1) (2) 所示.
$(1)$
$(2)$
图 1-1-23
建立了空间直角坐标系 $O x y z$ 之后,如图 1-1-23 所示,设 $M$ 为空间中的一个点,过 $M$ 分别作垂直于 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴的平面,设这些平面与 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴依次交于点 $P,Q,R$,且 $P,Q,R$ 在 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴上的坐标分别为 $x,y,z$,那么点 $M$ 就对应唯一确定的有序实数组 $(x,y$,$z)$;反过来,给定有序实数组 $(x,y,z)$,可以在 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴上依次取坐标为 $x,y,z$ 的点 $P,Q,R$,分别过 $P,Q,R$ 作垂直于 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴的一个平面,则有序实数组 $(x,y,z)$ 就与这三个平面唯一的公共点对应.
这样一来,空间中的点与三个实数组成的有序实数组之间,有了一一对应关系,空间一点 $M$ 的位置完全由有序实数组 $(x,y,z)$ 确定,因此将 $(x$,$y,z)$ 称为点 $M$ 的坐标,记作 $M(x,y,z)$. 此时,$x,y,z$ 都称为点 $M$ 的坐标分量,且 $x$ 称为点 $M$ 的横坐标 (或 $x$ 坐标),$y$ 称为点 $M$ 的纵坐标 (或 $y$ 坐标),$z$ 称为点 $M$ 的坚坐标 (或 $z$ 坐标).
另外,空间中建立了空间直角坐标系之后,三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分,如图 1-1-24 所示. 习惯上,每一部分都称为一个卦限,按逆时针方向,在坐标平面 $x O y$ 的上方,分别是第 I 卦限、第 II 卦限、第 III 卦限、第 IV 卦限;在 $x O y$ 的下方,分别是第 $V$ 卦限、第 VI卦限、第 $\mathrm{VII}$ 卦限、第 $\mathrm{VII}$ 卦限. 事实上,根据点的坐标的特征,第 I 卦
图 1-1-24 限的点集用集合可表示为
$$
\{(x,y,z) \mid x>0,y>0,z>0\},$$
其他卦限的点集可用类似的方法表示. 由此可以看出,图 1-1-23 (1) 中的点 $M$ 在第III卦限,图 1-1-23 (2) 中的点 $M$ 在第 II 卦限.
例 5 已知棱长为 1 的正方体 $A B C D$ $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中,$E$ 是 $C C_{1}$ 的中点,$F$ 是 $A_{1} B_{1}$ 的中点. 以 $D$ 为原点,$\overrightarrow{D A},\overrightarrow{D C}$,$\overrightarrow{D D_{1}}$ 的方向分别为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴正方向,建立如图 1-1-25 所示的空间直角坐标系. 求以下各点的坐标: $A,B$,$B_{1},E,F$.
解注意到正方体的棱长为 1,因此 $A(1,0,0),B(1,1,0),B_{1}(1,1,1)$.
图 1-1-25
又因为 $E,F$ 分别是 $C C_{1},A_{1} B_{1}$ 的中点,所以
$$
E\left(0,1,\frac{1}{2}\right),F\left(1,\frac{1}{2},1\right) .
$$
可以看出,在空间中建立了空间直角坐标系之后,如果指定空间中的单位向量 $\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2},\boldsymbol{e}_{3}$ 的始点都在原点 $O$,且它们的方向分别与 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴的正方向相同,则 $\left\{\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2},\boldsymbol{e}_{3}\right\}$ 是单位正交基底,且向量 $\overrightarrow{O P}$ 的坐标与 $P$ 点的坐标相同,即
$$
\overrightarrow{O P}=x \boldsymbol{e}_{1}+y \boldsymbol{e}_{2}+z \boldsymbol{e}_{3}=(x,y,z) \Leftrightarrow P(x,y,z);$$
反之,如果 $\left\{\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2},\boldsymbol{e}_{3}\right\}$ 为单位正交基底,则任意选定一点作为原点 $O$,并使得 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴的正方向分别与 $\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2},\boldsymbol{e}_{3}$ 的方向相同,则可以建立空间直角坐标系,而且其中向量 $\overrightarrow{O P}$ 的坐标与 $P$ 点的坐标仍然相同.
为了方便起见,以后谈到空间直角坐标系时,总是默认为已经按照上述方式指定了单位正交基底 $\left\{e_{1},e_{2},e_{3}\right\}$;谈到空间中向量的坐标时,总是认为已经按照单位正交基底 $\left\{\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2},\boldsymbol{e}_{3}\right\}$ 建立了空间直角坐标系. 可以看出,在空间直角坐标系中,同样可以讨论轴对称、中心对称等,它们的意义与平面直角坐标系中的类似. 与两点关于直线对称类似,如果连接两点的线段的中点在一个平面内,且这两点确定的直线垂直于该平面,则称这两点关于该平面对称.
## 5. 空间向量坐标的应用
利用空间向量的坐标与空间直角坐标系的关系,我们可以得到空间直角坐标系中两点之间的距离公式与中点坐标公式.
事实上,设 $A\left(x_{1},y_{1},z_{1}\right),B\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)$ 为空间直角坐标系中的两点,则 $\overrightarrow{O A}=\left(x_{1},y_{1},z_{1}\right),\overrightarrow{O B}=\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)$,所以
$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{A B} & =\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}=\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)-\left(x_{1},y_{1},z_{1}\right) \\
& =\left(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1},z_{2}-z_{1}\right),\end{aligned}
$$
因此
$$
A B=|\overrightarrow{A B}|=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}+\left(z_{2}-z_{1}\right)^{2}}
$$
这就是空间直角坐标系中两点之间的距离公式. 上面的推导过程也说明,空间向量在空间直角坐标系中的坐标,等于表示这个空间向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.
另一方面,设线段 $A B$ 的中点为 $M(x,y,z)$,则 $\overrightarrow{O M}=(x,y,z)$,又因为
$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{O M} & =\frac{1}{2}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B})=\frac{1}{2}\left(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2}\right) \\
& =\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2},\frac{z_{1}+z_{2}}{2}\right),\end{aligned}
$$
所以 $M$ 的坐标为
$$
\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2},\frac{z_{1}+z_{2}}{2}\right)
$$
这就是空间直角坐标系中的中点坐标公式.
例 6 在空间直角坐标系中，已知 $A(-2,-3,5),B(0,2,2)$,$C(2,7,-1)$,求证: $A,B,C$ 三点共线.
证明因为
$$
\begin{aligned}
& \overrightarrow{A B}=(0+2,2+3,2-5)=(2,5,-3),\\
& \overrightarrow{A C}=5
\end{aligned}
$$
所以 $\overrightarrow{A C}=2 \overrightarrow{A B}$,因此 $\overrightarrow{A C} / / \overrightarrow{A B}$,又因为这两个向量有公共的始点,所以 $A,B,C$ 三点共线.
例 7 如图 1-1-26 所示,已知直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中,$C A=C B=$ $C_{1} C=2,A C \perp C B$,且 $D,E$ 分别是棱 $A B,B_{1} C_{1}$ 的中点. 建立适当的空间直角坐标系，求 $A_{1} B$ 与 $D E$ 的长.
图 1-1-26
图 1-1-27
解以 $C$ 为坐标原点,$\overrightarrow{C A},\overrightarrow{C B},\overrightarrow{C C_{1}}$ 的方向分别为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴正方向,建立如图 1-1-27 所示的空间直角坐标系. 由题意可知
$$
\begin{aligned}
& C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),\\
& A_{1}(2,0,2),B_{1}(0,2,2),C_{1}(0,0,2) .
\end{aligned}
$$
因此
$$
A_{1} B=\sqrt{(0-2)^{2}+(2-0)^{2}+(0-2)^{2}}=2 \sqrt{3} \text {. }
$$
又因为 $D$ 是 $A B$ 的中点,所以 $D$ 的坐标为
$$
\left(\frac{2+0}{2},\frac{0+2}{2},\frac{0+0}{2}\right)=(1,1,0) \text {,}
$$
即 $D(1,1,0)$. 同理可得 $E(0,1,2)$. 从而
$$
D E=6
$$
例 7 说明,给定空间几何体后,建立适当的空间直角坐标系,就可以借助点的坐标研究有关的几何问题.
## 练习A
(1) 已知 $\left\{e_{1},\boldsymbol{e}_{2},e_{3}\right\}$ 是单位正交基底,分别写出下列空间向量的坐标:
(1) $\boldsymbol{p}=-\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2}-2 \boldsymbol{e}_{3}$;(2) $\boldsymbol{q}=\boldsymbol{e}_{1}-\boldsymbol{e}_{2}$;(3) $\boldsymbol{r}=2 \boldsymbol{e}_{2}+3 \boldsymbol{e}_{3}$.
(2) 已知 $\boldsymbol{a}=(3,2,-1),\boldsymbol{b}=(5,-3,2)$,求:
(1) $\boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b}$;(2) $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$
(3) $(2 \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \cdot(\boldsymbol{a}-3 \boldsymbol{b})$.
(3) 分别判断下列各对向量是否平行:
(1) $(0,0,5),(0,0,7)$;(2) $(4,0,3),(8,0,6)$.
(4) 分别判断下列各对向量是否垂直:
(1) $(3,4,0),(0,0,5)$;(2) $(3,1,3),(1,0,-1)$.
(5) 根据点的特征,用集合分别表示空间直角坐标系中:
（1）第 II 卦限、第 III 卦限、第 VI卦限、第 VII卦限、第 VIII卦限的点集;
(2) $y$ 轴、$x O y$ 平面、$y O z$ 平面的点集.
(6) 已知 $M(x,y,z)$ 为空间直角坐标系中的一点,$O$ 为坐标原点,求 $O M$ 的长.
(7) 已知点 $A(1,5,3),B(3,1,4)$,求线段 $A B$ 中点的坐标.
8 分别求满足下列条件的向量 $x$ :
(1) $2(-1,5,1)+4 \boldsymbol{x}=(2,14,-2)$;
(2) $(3,7,1)+2 \boldsymbol{x}=(6,10,4)-\boldsymbol{x}$.
(9) 根据下列条件,分别求向量 $\overrightarrow{A B}$ 的坐标:
(1) $A(2,-3,-1),B(-6,5,3)$;
(2) $A(-2,3,6),B(-8,-6,4)$.
## 练习B
(1) 已知 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 是空间向量,根据下列各条件分别求 $\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$ :
(1) $\cos \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=1$;(2) $\cos \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=-1$;(3) $\cos \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=0$;(4) $\cos \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\frac{1}{2}$;(5) $\cos \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=-\frac{\sqrt{3}}{2}$;(6) $\cos \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(2) 已知 $\boldsymbol{a}=(2,-3,1),\boldsymbol{b}=(2,0,3),\boldsymbol{c}=(0,0,2)$,求:
(1) $\boldsymbol{a} \cdot(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$;(2) $(\boldsymbol{a}+6 \boldsymbol{b}) \cdot(\boldsymbol{a}-6 \boldsymbol{b})$.
(3) 求下列两个空间向量夹角的余弦:
(1) $\boldsymbol{a}=(2,-3,\sqrt{3}),\boldsymbol{b}=(1,0,0)$
(2) $\boldsymbol{a}=(-1,-1,1),\boldsymbol{b}=(-1,0,1)$.
(4) 已知 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 是空间向量,根据下列各条件分别求 $\cos \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$ :
(1) $\boldsymbol{a}=(1,2,0),\boldsymbol{b}=(2,0,5)$;(2) $\boldsymbol{a}=(3,4,5),\boldsymbol{b}=(2,-1,0)$. (5) 已知 $\boldsymbol{a}=(x,-2,5)$ 与 $\boldsymbol{b}=(1,y,-3)$ 平行,求 $x,y$.
(6) 已知 $\boldsymbol{a}=(-2,x,5)$ 与 $\boldsymbol{b}=(-8,y,0)$ 垂直,求 $x,y$ 应满足的条件.
(7) 已知 $\boldsymbol{a}=(5,-3,12),\boldsymbol{b}=(-2,0,5)$,求 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|^{2},|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|^{2}$.
8 已知 $\boldsymbol{a}=(-2,1,3),\boldsymbol{b}=(-1,2,1)$,若 $\boldsymbol{a} \perp(\boldsymbol{a}-\lambda \boldsymbol{b})$,求实数 $\lambda$ 的值.
(9) 已知向量 $\boldsymbol{a}=(1,0,-1),\boldsymbol{b}=(0,1,-1)$,求一个空间向量 $\boldsymbol{n}$,使 $\boldsymbol{n} \perp \boldsymbol{a}$ 且 $n \perp b$
$1(-1,1,-2) \quad 2(0,-2,-1) \quad 3(-15,15,-10) \quad 460^{\circ}$
$5(2+2,7+3,-1-5)=(4,10,-6) \quad 6 \sqrt{(0-1)^{2}+(1-1)^{2}+(2-0)^{2}}=\sqrt{5}$
## 习题1-1A
(1) 已知四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是平行四边形,且 $\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a}$,$\overrightarrow{A D}=\boldsymbol{b},\overrightarrow{A A_{1}}=\boldsymbol{c}$,则 $\overrightarrow{B D_{1}}=(\quad)$.
(A) $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$
(B) $-\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$
(C) $a-b+c$
(D) $-\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}$
(2) 分别求下列各组向量夹角的余弦值:
(1) $\boldsymbol{a}=(3,-5,1),\boldsymbol{b}=(3,2,0)$;
(2) $\boldsymbol{c}=(-1,3,-5),\boldsymbol{d}=(3,12,0)$.
(3) 一个棱长为 1 的正方体,对称中心在原点且每一个面都平行于坐标平面,写出这个正方体 8 个顶点的坐标.
(4) 已知正方体 $A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 的棱长为 1,且 $\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{A D}=\boldsymbol{b},\overrightarrow{A A^{\prime}}=$ $c$,求:
(1) $\boldsymbol{a} \cdot(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$;(2) $\boldsymbol{a} \cdot(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$;(3) $(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \cdot(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$;(4) $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}|$
(5) 已知点 $A(1,0,1),B(1,1,1),C(-3,1,5)$,求向量 $\overrightarrow{A B},\overrightarrow{A C}$ 的长度.
(6) 分别求与 $a$ 方向相同的单位向量:
(1) $\boldsymbol{a}=(2,-3,5)$;(2) $\boldsymbol{a}=(0,-3,4)$.
(7) 在空间直角坐标系中,已知点 $P(x,y,z)$,下列叙述正确的序号有
(1)点 $P$ 关于 $x$ 轴的对称点是 $P_{1}(x,-y,z)$
(2)点 $P$ 关于 $y O z$ 平面的对称点是 $P_{2}(x,-y,-z)$ (3)点 $P$ 关于 $y$ 轴的对称点是 $P_{3}(x,-y,z)$
(4)点 $P$ 关于原点的对称点是 $P_{4}(-x,-y,-z)$
(8) 已知 $A B,A C,A D$ 为长方体的三条棱,且 $A(1,2,1),B(1,5,1)$,$C(1,2,7),D(3,2,1)$,求长方体这三条棱的长和体对角线的长.
(9) 任作一个平行六面体 $A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$,设 $\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{A D}=\boldsymbol{b},\overrightarrow{A A^{\prime}}=\boldsymbol{c}$,分别作出向量 $\overrightarrow{A M}$，使它等于如下向量:
(1) $\boldsymbol{a}+\frac{1}{2} \boldsymbol{b}$;(2) $\frac{1}{2} \boldsymbol{a}+\frac{1}{2} \boldsymbol{b}+\frac{1}{2} \boldsymbol{c}$
(3) $\frac{1}{2} \boldsymbol{a}+\frac{1}{2} \boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$.
## 习题1-1B
(1) 在空间四边形 $A B C D$ 中,连接 $A C,B D$,设 $M,G$ 分别是 $B C,C D$ 的中点,化简下列各向量表达式:
(1) $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{A D}$
(2) $\overrightarrow{A D}-\frac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C})$.
(2) 已知 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 都是空间向量,且 $\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\frac{\pi}{4}$,求 $\langle 2 \boldsymbol{a},-3 \boldsymbol{b}\rangle$.
(3) 已知向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 均为单位向量,且它们的夹角为 $60^{\circ}$,求 $|\boldsymbol{a}+3 \boldsymbol{b}|$.
(4) 如果 $\boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b}-3 \boldsymbol{c}=x \boldsymbol{a}+y \boldsymbol{b}+z \boldsymbol{c}$,那么一定有 $x=1,y=2,z=-3$ 吗?为什么?
(5) 已知空间直角坐标系中,平行六面体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 满足: $A(-2,1,3)$,$B(2,2,1),C(3,4,2),D(-1,3,4)$,且平行六面体的体对角线的交点为 $M(1,1,1)$,求 $A_{1},B_{1},C_{1},D_{1}$ 的坐标.
(6) 在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中,点 $M,N$ 分别是面对角线 $A_{1} B$ 与 $B_{1} D_{1}$ 的中点,若 $\overrightarrow{D A}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{D C}=\boldsymbol{b},\overrightarrow{D D_{1}}=\boldsymbol{c}$,将 $\overrightarrow{M N}$ 用向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$ 表示出来.
(7) 已知 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 是空间向量,根据下列各条件分别求 $\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$ :
(1) $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=-|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|$;(2) $|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$;(3) $|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$;(4) $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$.
(8) 已知 $\{\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}\}$ 为单位正交基底,且向量 $\boldsymbol{a}$ 的坐标为 $\left(a_{1},a_{2},a_{3}\right)$.
(1) 求证: $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{i}=a_{1},\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{j}=a_{2},\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{k}=a_{3}$;
（2）分别求 $\boldsymbol{a}$ 与基向量 $\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}$ 夹角的余弦.
(9) 已知正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1,P$ 为 $B D_{1}$ 上一点，且 $B P=\frac{1}{3} B D_{1}$. 建立如图所示的空间直角坐标系，求点 $P$ 的坐标.
(第 9 题） (10) 已知点 $A(2,3,-1),B(8,-2,4),C(3,0,5)$,是否存在实数 $x$,使 $\overrightarrow{A B}$ 与 $\overrightarrow{A B}+x \overrightarrow{A C}$ 垂直?
(11) 若 $A B C D$ 为平行四边形,且 $A(4,1,3),B(2,-5,1),C(-3,7,-5)$,求顶点 $D$ 的坐标.
(12) 已知 $A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1)$,求:
(1) $\langle\overrightarrow{A B},\overrightarrow{A C}\rangle$
(2) $\overrightarrow{A C}$ 在 $\overrightarrow{A B}$ 上的投影的数量.
(13) 已知 $A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 是长方体,$A B=A A^{\prime}=2,A D=4$,且 $E$ 为侧面 $A A^{\prime} B^{\prime} B$ 的中心,$F$ 为 $A^{\prime} D^{\prime}$ 的中点,分别求 $\overrightarrow{B C} \cdot \overrightarrow{E D^{\prime}},\overrightarrow{B F} \cdot \overrightarrow{A B^{\prime}},\overrightarrow{E F} \cdot \overrightarrow{F C^{\prime}}$.
## 习题1-1C
(1) 如果存在三个不全为 0 的实数 $x,y,z$,使得 $x \boldsymbol{a}+y \boldsymbol{b}+z \boldsymbol{c}=\mathbf{0}$,那么向量 $\boldsymbol{a}$,$\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$ 是否一定共面?为什么?
(2) 已知空间向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$ 不共面,且 $\boldsymbol{p}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b},\boldsymbol{q}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c},\boldsymbol{r}=\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}$,判断向量 $p,q,r$ 是否共面,并说明理由.
(3) 已知向量 $\overrightarrow{O A},\overrightarrow{O B},\overrightarrow{O C}$ 可以构成空间向量的一组基底,则这三个向量中哪一个向量可以与向量 $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}$ 和向量 $\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B}$ 构成空间向量的另一组基底?
(4) 已知 $A,B,C$ 是空间中不共线的三点,$O$ 是空间中任意一点,求证: $P$ 在平面 $A B C$ 内的充要条件是,存在满足 $x+y+z=1$ 的实数 $x,y,z$,使得
$$
\overrightarrow{O P}=x \overrightarrow{O A}+y \overrightarrow{O B}+z \overrightarrow{O C}
$$
(5) 已知四面体 $A B C D$ 的每条棱长都等于 $a$,点 $E,F,G$ 分别是棱 $A B,A D$,$D C$ 的中点,求下列向量的数量积:
(1) $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}$
(2) $\overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{D B}$;(3) $\overrightarrow{G F} \cdot \overrightarrow{A C}$;(4) $\overrightarrow{E F} \cdot \overrightarrow{B C}$;(5) $\overrightarrow{F G} \cdot \overrightarrow{B A}$;(6) $\overrightarrow{G E} \cdot \overrightarrow{G F}$.
## 2 空间向量在立体几何中的应用
从本章前面的内容中,我们已经初步学会怎样用空间向量处理立体几何问题,这里我们将探讨怎样借助空间向量来处理立体几何中更复杂的问题. 由于立体几何主要研究的是空间中点、线、面的位置关系以及空间几何体的性质等,因此我们首先要了解怎样用空间向量来刻画空间中点、线、面的位置.
### 1 空间中的点、直线与空间向量
## 1. 空间中的点与空间向量
## 尝试与发现
(1) 如图 1-2-1 所示的四面体 $A-B C D$ 中，怎样借助空间向量来描述 $A，B,C$ 在空间中是不同的点?
（2）一般地,怎样借助空间向量来刻画空间中点的位置?
图 1-2-1
在图 1-2-1 中,可以借助向量 $\overrightarrow{D A},\overrightarrow{D B},\overrightarrow{D C}$ 的不同,来描述 $A,B$,$C$ 在空间中是不同的点.
一般地,如果在空间中指定一点 $O$,那么空间中任意一点 $P$ 的位置,都可以由向量 $\overrightarrow{O P}$ 唯一确定,此时,$\overrightarrow{O P}$ 通常称为点 $P$ 的位置向量. 特别地,空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定,从而也就由它的坐标唯一确定.
## 2. 空间中的直线与空间向量
## 尝试与发现
(1) 如图 1-2-2 所示的长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中,设 $\overrightarrow{A B}=v$. 如果只借助 $v$,能不能确定直线 $A B$ 在空间中的位置?
（2）一般地,怎样借助空间向量来刻画空间中直线的位置?
图 1-2-2
图 1-2-2 中，因为
$$
v=\overrightarrow{A_{1} B_{1}}=\overrightarrow{D C}=\overrightarrow{D_{1} C_{1}},$$
所以只借助向量 $\boldsymbol{v}$ 不能确定直线 $A B$ 在空间中的位置,但是向量 $\boldsymbol{v}$ 可以描述所有与直线 $A B$ 平行或重合的直线.
一般地，如果 $l$ 是空间中的一条直线,$v$ 是空间中的一个非零向量,且表示 $v$ 的有向线段所在的直线与 $l$ 平行或重合,则称 $\boldsymbol{v}$ 为直线 $l$ 的一个方向向量. 此时,也称向量 $v$ 与直线 $l$ 平行,记作 $v / / l$.
按照空间中直线的方向向量的定义可知:
(1) 如果 $A,B$ 是直线 $l$ 上两个不同的点,则 $v=\overrightarrow{A B}$ 就是直线 $l$ 的一个方向向量;
（2）如果 $\boldsymbol{v}$ 是直线 $l$ 的一个方向向量,则对任意的实数 $\lambda \neq 0$,空间向量 $\lambda \boldsymbol{v}$ 也是直线 $l$ 的一个方向向量,而且直线 $l$ 的任意两个方向向量都平行;
(3) 如果 $\boldsymbol{v}$ 为直线 $l$ 的一个方向向量,$A$ 为直线 $l$ 上一个已知的点,则对于直线 $l$ 上任意一点 $B$,向量 $\overrightarrow{A B}$ 一定与非零向量 $\boldsymbol{v}$ 平行,从而可知存在唯一的实数 $\lambda$,使得 $\overrightarrow{A B}=\lambda v$,这就是说,空间中直线 $l$ 的位置可由 $v$ 和点 A 唯一确定；
(4) 如果 $\boldsymbol{v}_{1}$ 是直线 $l_{1}$ 的一个方向向量,$\boldsymbol{v}_{2}$ 是直线 $l_{2}$ 的一个方向向量，则
$$
\boldsymbol{v}_{1} / / \boldsymbol{v}_{2} \Leftrightarrow l_{1} / / l_{2} \text {,或 } l_{1} \text { 与 } l_{2} \text { 重合. }
$$
例 1 已知正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中,$E$ 为 $C_{1} D_{1}$ 的中点,求证: 直线 $B D_{1}$ 与直线 $C E$ 不平行.
证明以 $D$ 为原点,$\overrightarrow{D A},\overrightarrow{D C},\overrightarrow{D D_{1}}$ 的方向分别为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴正方向,正方体的棱长为单位长度,建立如图 1-2-3 所示的空间直角坐标系. 则
$$
B(1,1,0),D_{1}(0,0,1)
$$
$C(0,1,0),E\left(0,\frac{1}{2},1\right)$,
所以 $\overrightarrow{B D_{1}}=(-1,-1,1),\overrightarrow{C E}=$ $\left(0,-\frac{1}{2},1\right)$
又因为 $\frac{0}{-1} \neq \frac{-\frac{1}{2}}{-1}$,所以 $\overrightarrow{B D_{1}}$ 与 $\overrightarrow{C E}$ 不平行.
因为 $\overrightarrow{B D_{1}}$ 为直线 $B D_{1}$ 的一个方向向量,$\overrightarrow{C E}$ 为直线 $C E$ 的一个方向向量,
图 1-2-3 当 $B D_{1} / / C E$ 时,必有 $\overrightarrow{B D_{1}} / / \overrightarrow{C E}$. 由上可知直线 $B D_{1}$ 与直线 $C E$ 不平行.
## 3. 空间中两条直线所成的角
我们已经知道,空间中两条相交直线所成角的大小,指的是它们相交所得到的不大于直角的角的大小;两条异面直线 $a,b$ 所成角的大小,等于两条相交直线 $a^{\prime},b^{\prime}$ 所成角的大小,其中 $a^{\prime} / / a$ 且 $b^{\prime} / / b$;空间中两条平行直线所成角的大小规定为 $0^{\circ}$. 这就是说,空间中任意两条直线所成角（即它们之间的夹角）的大小都是确定的. 特别地,当空间中两条直线 $l,m$ 所成角的大小为 $90^{\circ}$ 时,$l$ 与 $m$ 垂直,记作 $l \perp m$.
## 営试与发现
设 $\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}$ 分别是空间中直线 $l_{1},l_{2}$ 的方向向量,且 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 所成角的大小为 $\theta$,通过作图讨论 $\theta$ 与 $\left\langle\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\right\rangle$ 的关系.
如图 1-2-4 (1) (2) 所示,可以看出
$$
\theta=\left\langle\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\right\rangle \text { 或 } \theta=\pi-\left\langle\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\right\rangle .
$$
特别地,
$$
\sin \theta=\sin \left\langle\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\right\rangle,\cos \theta=\left|\cos \left\langle\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\right\rangle\right|
$$
( 1 )
( 2 )
图 1-2-4 而且
$$
l_{1} \perp l_{2} \Leftrightarrow\left\langle\boldsymbol{v}_{1},\quad \boldsymbol{v}_{2}\right\rangle=\frac{\pi}{2} \Leftrightarrow \boldsymbol{v}_{1} \cdot \boldsymbol{v}_{2}=0
$$
利用上述直线与直线所成的角与它们的方向向量的夹角之间的关系,可以方便地证明我们在必修部分中归纳出的线面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直. 证明过程如下.
例 2 已知 $a,b$ 是平面 $\alpha$ 内的两条相交直线,直线 $n$ 满足 $n \perp a,n \perp b$. 求证：$n \perp \alpha$.
证明设 $m$ 是 $\alpha$ 内的任意一条直线,且 $\boldsymbol{n},\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{m}$ 分别为直线 $n,a,b,m$ 的方向向量,如图 1-2-5 所示. 则根据已知有
$$
\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{a}=0,\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{b}=0 .
$$
因为 $a$ 与 $b$ 相交,所以 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 不共线,又因为 $a,b,m$ 共面,所以由共面向量定
图 1-2-5 理可知,存在唯一的实数对 $(x,y)$,使 $\boldsymbol{m}=$ $x \boldsymbol{a}+y \boldsymbol{b}$,因此
$$
\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{m}=x \boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{a}+y \boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{b}=0,$$
从而可知 $\boldsymbol{n} \perp \boldsymbol{m}$,所以 $n \perp m$.
因为直线 $n$ 垂直于平面 $\alpha$ 内的任意一条直线,所以 $n \perp \alpha$.
例 3 如图 1-2-6 所示,在三棱雉 $O-A B C$ 中,$O A,O B,O C$ 两两互相垂直,$E$ 为 $O C$ 的中点,且 $O B=O C=2 O A=2$,求直线 $A E$ 与 $B C$ 所成角的大小.
解 (方法一) 根据已知可得 $\overrightarrow{O A},\overrightarrow{O B}$,$\overrightarrow{O C}$ 不共面,且
$|\overrightarrow{O A}|=1,\quad|\overrightarrow{O B}|=|\overrightarrow{O C}|=2$,
$\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=\overrightarrow{O B} \cdot \overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O C} \cdot \overrightarrow{O A}=0$.
图 1-2-6
又因为
$$
\overrightarrow{A E}=\overrightarrow{O E}-\overrightarrow{O A}=\frac{1}{2} \overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O A},\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O B}
$$
所以
$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{B C} & =\left(\frac{1}{2} \overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O A}\right) \cdot(\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O B}) \\
& =\frac{1}{2} \overrightarrow{O C}^{2}-\frac{1}{2} \overrightarrow{O C} \cdot \overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B} \\
& =2
\end{aligned}
$$
类似地,
$$
\begin{aligned}
& |\overrightarrow{A E}|^{2}=\left(\frac{1}{2} \overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O A}\right) \cdot\left(\frac{1}{2} \overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O A}\right)=\frac{1}{4} \overrightarrow{O C}^{2}-\overrightarrow{O C} \cdot \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O A}^{2}=2,\\
& |\overrightarrow{B C}|^{2}=(\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O B}) \cdot(\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O B})=\overrightarrow{O C}^{2}-2 \overrightarrow{O C} \cdot \overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O B}^{2}=8 .
\end{aligned}
$$
所以
$$
\cos \langle\overrightarrow{A E},\overrightarrow{B C}\rangle=\frac{\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{B C}}{|\overrightarrow{A E}||\overrightarrow{B C}|}=\frac{2}{\sqrt{2} \times \sqrt{8}}=\frac{1}{2},$$
因此 $\langle\overrightarrow{A E},\overrightarrow{B C}\rangle=\frac{\pi}{3}$,即直线 $A E$ 与 $B C$ 所成角的大小为 $\frac{\pi}{3}$.
（方法二）因为 $O A,O B,O C$ 两两互相垂直,所以能以 $O$ 为原点,$\overrightarrow{O A},\overrightarrow{O B}$,$\overrightarrow{O C}$ 的方向分别为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴正方向,建立如图 1-2-7 所示空间直角坐标系. 则由 $O B=O C=2 O A=2$ 可知
$$
\begin{aligned}
& A(1,0,0),E(0,0,1),\\
& B(0,2,0),C(0,0,2),\end{aligned}
$$
所以 $\overrightarrow{A E}=1$ $\overrightarrow{B C}=$
2,因此
图 1-2-7
$$
\begin{aligned}
\cos \langle\overrightarrow{A E},\overrightarrow{B C}\rangle & =\frac{\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{B C}}{|\overrightarrow{A E}||\overrightarrow{B C}|} \\
& =\frac{1 \times 2}{\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}} \times \sqrt{(-2)^{2}+2^{2}}}=\frac{1}{2},\end{aligned}
$$
从而 $\langle\overrightarrow{A E},\overrightarrow{B C}\rangle=\frac{\pi}{3}$,即直线 $A E$ 与 $B C$ 所成角的大小为 $\frac{\pi}{3}$.
(方法三) 设 $O B$ 的中点为 $F$,连接 $E F$,$A F$. 由 $E,F$ 分别为 $O C,O B$ 中点可知 $E F$ 为 $\triangle O B C$ 的中位线,从而 $E F / / B C$,因此直线 $A E$ 与 $B C$ 所成角的大小等于直线 $A E$ 与 $E F$ 所成角的大小.
又易知 $O A=O E=O F=1$,而且 $O A$,$O E,O F$ 两两互相垂直,因此
$$
A E=E F=A F=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2},$$
图 1-2-8
所以 $\triangle A E F$ 是等边三角形,从而 $\angle A E F=\frac{\pi}{3}$.
因此,直线 $A E$ 与 $B C$ 所成角的大小为 $\frac{\pi}{3}$. 例 3 说明,在解决空间中直线与直线所成角的问题时,既可以根据有关几何条件直接构造出相应的角求解,也可以借助空间向量求解. 在使用空间向量求解时,既可以选择合适的基底来计算,也可以通过建立空间直角坐标系来计算. 请大家自行总结这些方法的优缺点以及一般步骤.
## 拓展阅读
## 立体几何与物质的性质
从化学学科中可以知道,即使组成物质的元素完全一样,物质的性质也有可能完全不一样。
例如,石墨和金刚石都是由碳元素组成的,但是它们的性质差异很大: 石墨是一种有金属光泽且不透明的细鳞片状固体,石墨很软;纯净的金刚石是无色透明的正八面体形状的固体，金刚石是天然存在的最硬的物质. 为什么会这样呢?这是因为组成这两种物质的碳原子在空间中的排列方式不同,如图 1 所示是组成石墨的碳原子在空间中排列的结构示意图,如图 2 所示则是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图.
图 1
图 2 事实上,组成金刚石的每个碳原子,都与其相邻的 4 个碳原子以完全相同的方式连接. 从立体几何的角度来看,可以认为 4 个碳原子分布在一个所有棱长都相等的正三棱锥的 4 个顶点处,而中间的那个碳原子处于与这 4 个碳原子距离都相等的位置,如图 3 所示.
图 3
这就是说,图 3 中有 $A E=B E=C E=$ $D E$. 有意思的是,再根据 $A-B C D$ 是边长都相等的正三棱锥,借助立体几何的知识,就可以算出图 3 中以点 $E$ 为顶点的 6 个角的余弦值均为 $-\frac{1}{3}$ (即大小约为 $109^{\circ} 28^{\prime}$,请读者自行计算).
从化学学科的物质结构与性质中,可以找到很多与立体几何有关的知识,感兴趣的读者可以进一步查阅有关资料.
## 4. 异面直线与空间向量
我们已经知道,异面直线指的是空间中既不平行也不相交的直线. 这里我们要讨论的是怎样用空间向量来研究异面直线.
## 尝试与发现
设 $\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}$ 分别是空间中直线 $l_{1},l_{2}$ 的方向向量.
（1）如果 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 异面,那么 $\boldsymbol{v}_{1}$ 与 $\boldsymbol{v}_{2}$ 可能平行吗?（2）如果 $\boldsymbol{v}_{1}$ 与 $\boldsymbol{v}_{2}$ 不平行,那么 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 一定异面吗?
显然，如果 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 异面,则 $\boldsymbol{v}_{1}$ 与 $\boldsymbol{v}_{2}$ 是不可能平行的;反之,如果 $\boldsymbol{v}_{1}$ 与 $\boldsymbol{v}_{2}$ 不平行,则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 可能异面,也可能相交. 这就是说,“$v_{1}$ 与 $\boldsymbol{v}_{2}$ 不平行” 是“$l_{1}$ 与 $l_{2}$ 异面”的必要不充分条件.
更进一步,如图 1-2-9 (1) (2) 所示,如果 $A \in l_{1},B \in l_{2}$：则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 异面时,可知 $\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\overrightarrow{A B}$ 是不共面的;反之,如果 $\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\overrightarrow{A B}$ 不共面,则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 是异面的. 也就是说,此时,“$\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\overrightarrow{A B}$ 不共面” 是“$l_{1}$ 与 $l_{2}$ 异面” 的充要条件.
$(1)$
$(2)$
图 1-2-9
例 4 在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中,判断满足下列条件的点 $M,N$ 是否存在: $M \in A D_{1},N \in B D,M N \perp A D_{1},M N \perp B D$.
解以 $D$ 为原点,$\overrightarrow{D A},\overrightarrow{D C},\overrightarrow{D D_{1}}$ 的方向分别为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴正方向,正方体的棱长为单位长度,建立如图 1-2-10 所示的空间直角坐标系. 则 $A(1,0,0),D_{1}(0,0,1)$,
$B(1,1,0),D(0,0,0)$,
所以 $\overrightarrow{A D_{1}}=(-1,0,1),\overrightarrow{B D}=(-1$,$-1,0),\overrightarrow{A B}=(0,1,0)$.
假设满足条件的 $M,N$ 存在，而且 $\overrightarrow{A M}=t \overrightarrow{A D_{1}}=3$
图 1-2-10 $\overrightarrow{B N}=s \overrightarrow{B D}=4$
则
$$
\overrightarrow{M N}=\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B N}=-\overrightarrow{A M}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B N}=(t-s,-s+1,-t) .
$$
因为 $M N \perp A D_{1},M N \perp B D$,所以 $\overrightarrow{M N} \perp \overrightarrow{A D_{1}},\overrightarrow{M N} \perp \overrightarrow{B D}$,从而
$$
\left\{\begin{array} { l }
{ \vec { M N } \cdot \vec { A D _ { 1 } } = 0,} \\
{ \vec { M N } \cdot \vec { B D } = 0 }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
-(t-s)-t=0,\\
-(t-s)-(-s+1)=0,\end{array}\right.\right.
$$
解得 $t=5$
$$
,s=6
$$
因此,满足条件的 $M,N$ 是存在的.
一般地,如果 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 是空间中两条异面直线,$M \in l_{1},N \in l_{2},M N \perp$ $l_{1},M N \perp l_{2}$,则称 $M N$ 为 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的公垂线段. 利用例 4 中的方法,可以证明空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一. 两条异面直线的公垂线段的长,称为这两条异面直线之间的距离.
## 练习A
(1) 设 $(2,-2,1),(3,-3,1)$ 是空间直线 $l$ 上的点,求直线 $l$ 的一个方向向量.
(2) 设 $v_{1},v_{2}$ 分别是空间中两条不重合的直线 $l_{1},l_{2}$ 的方向向量,分别根据下列条件判断直线 $l_{1},l_{2}$ 的位置关系.
(1) $\boldsymbol{v}_{1}=(0,0,1),\boldsymbol{v}_{2}=(0,0,-3)$;
(2) $\boldsymbol{v}_{1}=(2,-1,-2),\boldsymbol{v}_{2}=(6,-3,-6)$.
(3) 设 $\boldsymbol{v}_{1}=(1,2,-2),\boldsymbol{v}_{2}=(-2,3,2)$ 分别是空间中直线 $l_{1},l_{2}$ 的方向向量,求直线 $l_{1},l_{2}$ 所成角的大小.
(4) 已知点 $A(3,4,5),B(3,4,0),\overrightarrow{B C}=2 \overrightarrow{O A}$,且 $O$ 为坐标原点,求点 $C$ 的坐标.
(5) 如果直线 $l$ 与直线 $m$ 平行,$v$ 是直线 $l$ 的一个方向向量,那么 $v$ 也是直线 $m$ 的一个方向向量吗?
## 练习B
(1) 已知非零向量 $\boldsymbol{v}_{1},v_{2}$ 分别有 $v_{1} / / l,v_{2} / / l$,是否一定存在非零实数 $\lambda$,使得 $v_{2}=$ $\lambda \boldsymbol{v}_{1}?$ 为什么?
(2) 已知点 $A(-2,3,0),B(1,3,2)$,$P$ 为线段 $A B$ 上一点,且 $A P: P B=2: 3$,求点 $P$ 的坐标.
(3) 如图,在长方体 $A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 中:
(1) 哪些棱所在直线与直线 $A A^{\prime}$ 互为异面直线且互相垂直?
(2) 若 $A B=\sqrt{3},A A^{\prime}=1$,求向量 $\overrightarrow{B A^{\prime}}$ 分别与 $\overrightarrow{C C^{\prime}}$,$\overrightarrow{D^{\prime} C^{\prime}},\overrightarrow{B^{\prime} C^{\prime}}$ 的夹角.
(第 3 题) (4) 如图,已知长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中,$A D=A B=$ $2 D D_{1}$,判断满足下列条件的点 $M,N$ 是否存在: $M \in$ $A D_{1},N \in B D,M N \perp A D_{1},M N \perp B D$.
(5) 已知空间四边形 $A B C D$ 中,$A D \perp B C,A B \perp C D$,求证：$A C \perp B D$.
(第 4 题）
$1(-1,0,1)$
$2(0,-2,2)$
$3(-t,0,t)$
$4(-s,-s,0)$
$5 \frac{1}{3}$
$6 \frac{2}{3}$
### 2 空间中的平面与空间向量
## 1. 平面的法向量
## 尝试与发现
我们已经知道,空间中的直线,根据它的方向向量和一个点,可以描述这条直线的位置. 那么,对于空间中的平面,能否引进类似的向量来描述其位置?
如果 $\alpha$ 是空间中的一个平面,$n$ 是空间中的一个非零向量,且表示 $n$ 的有向线段所在的直线与平面 $\alpha$ 垂直,则称 $n$ 为平面 $\alpha$ 的一个法向量. 此时,也称 $\boldsymbol{n}$ 与平面 $\alpha$ 垂直,记作 $\boldsymbol{n} \perp$.
例如,如图 1-2-11 的长方体 $A B C D-$ $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中,$\overrightarrow{A A_{1}}$ 是平面 $A B C D$ 的一个法向量,$\overrightarrow{A A_{1}}$ 也是平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的一个法向量；类似地,$\overrightarrow{A B}$ 是平面 $A D D_{1} A_{1}$ 和平面 $B C C_{1} B_{1}$ 的一个法向量.
根据定义可知,平面的法向量有如下
图 1-2-11 性质：
(1) 如果直线 $l$ 垂直平面 $\alpha$,则直线 $l$ 的任意一个方向向量都是平面 $\alpha$ 的一个法向量；（2）如果 $\boldsymbol{n}$ 是平面 $\alpha$ 的一个法向量,则对任意的实数 $\lambda \neq 0$,空间向量 $\lambda \boldsymbol{n}$ 也是平面 $\alpha$ 的一个法向量，而且平面 $\alpha$ 的任意两个法向量都平行;
(3) 如果 $n$ 为平面 $\alpha$ 的一个法向量,$A$ 为平面 $\alpha$ 上一个已知的点,则对于平面 $\alpha$ 上任意一点 $B$,向量 $\overrightarrow{A B}$ 一定与向量 $\boldsymbol{n}$ 垂直,即 $\overrightarrow{A B} \cdot \boldsymbol{n}=0$,从而可知平面 $\alpha$ 的位置可由 $\boldsymbol{n}$ 和 $A$ 唯一确定.
## 尝试与发现
(1) 如果 $\boldsymbol{v}$ 是直线 $l$ 的一个方向向量,$n$ 是平面 $\alpha$ 的一个法向量,分别探讨 $n / /$ $v$ 与 $n \perp v$ 时，直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 的关系;
(2) 如果 $\boldsymbol{n}_{1}$ 是平面 $\alpha_{1}$ 的一个法向量,$\boldsymbol{n}_{2}$ 是平面 $\alpha_{2}$ 的一个法向量,分别探讨 $\boldsymbol{n}_{1} \perp \boldsymbol{n}_{2}$ 与 $\boldsymbol{n}_{1} / / \boldsymbol{n}_{2}$ 时,平面 $\alpha_{1}$ 与平面 $\alpha_{2}$ 的关系.
尝试与发现（1）中，如图 1-2-12（1）（2）所示,可以看出
$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{n} / / \boldsymbol{v} \Leftrightarrow l \perp \alpha;\\
& \boldsymbol{n} \perp \boldsymbol{v} \Leftrightarrow l / / \alpha,\text { 或 } l \subset \alpha .
\end{aligned}
$$
(1)
(2)
图 1-2-12
尝试与发现（2）中，如图 1-2-13（1）（2）所示,可以看出
$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{n}_{1} \perp \boldsymbol{n}_{2} \Leftrightarrow \alpha_{1} \perp \alpha_{2};\\
& \boldsymbol{n}_{1} / / \boldsymbol{n}_{2} \Leftrightarrow \alpha_{1} / / \alpha_{2},\text { 或 } \alpha_{1} \text { 与 } \alpha_{2} \text { 重合. }
\end{aligned}
$$
$(1)$
( 2 )
图 1-2-13
例 1 已知正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中,$M,N$ 分别是 $A_{1} B$ 与 $A_{1} C_{1}$ 的中点. 求证: $M N / /$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$.
证明以 $A$ 为原点,$\overrightarrow{A B},\overrightarrow{A D},\overrightarrow{A A_{1}}$ 的方向分别为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴正方向,正方体的棱长为单位长度,建立如图 1-2-14 所示的空间直角坐标系. 则
$$
\begin{aligned}
& B(1,0,0),A_{1}(0,0,1),\\
& C_{1}(1,1,1),\end{aligned}
$$
又因为 $M$ 是 $A_{1} B$ 的中点,所以 $M$ 的坐标为
$$
\left(\frac{1+0}{2},\frac{0+0}{2},\frac{0+1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right) \text {,}
$$
即 $M\left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)$. 类似地,可得 $N\left(\frac{1}{2}\right.$,$\left.\frac{1}{2},1\right)$. 因此 $\overrightarrow{M N}=\underline{1}$
图 1-2-14
又因为 $A B \perp$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$,所以 $\overrightarrow{A B}$ 是平面 $A D D_{1} A_{1}$ 的一个法向量,而且 $\overrightarrow{A B}=2$，因此
$$
\overrightarrow{M N} \cdot \overrightarrow{A B}=0 \times 1+\frac{1}{2} \times 0+\frac{1}{2} \times 0=0,$$
即 $\overrightarrow{M N} \perp \overrightarrow{A B}$,由图可知 $M N$ 不在平面 $A D D_{1} A_{1}$ 内,因此
$$
M N / / \text { 平面 } A D D_{1} A_{1} \text {. }
$$
例 1 也可以通过添加辅助线来证明,请读者自行尝试. 不过,例 1 的向量证明方法表明,可以借助平面的法向量来讨论空间中的直线与平面、平面与平面的平行和垂直等.
怎样才能求得空间中平面的一个法向量呢?根据直线与平面垂直的判定定理可知: 如果 $A,B,C$ 是平面 $\alpha$ 内不共线的三点,非零空间向量 $\boldsymbol{n}$ 满足
$$
n \perp \overrightarrow{A B},n \perp \overrightarrow{A C}
$$
则 $n$ 是平面 $\alpha$ 的一个法向量. 根据这一结论,通过设末知数解方程组,即可求得平面的一个法向量.
例 2 如图 1-2-15 所示,已知空间直角坐标系中的三棱雉 $O-A B C$ 中,$O(0,0$,$0),A(a,0,0),B(0,b,0),C(0$,$0,c)$,其中 $a b c \neq 0$,求平面 $A B C$ 的一个法向量.
解由已知可得
$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{A B} & =\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A} \\
& =(0,b,0)-(a,0,0) \\
& =(-a,b,0),\\
\overrightarrow{A C} & =\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O A} \\
& =(0,0,c)-(a,0,0) \\
& =(-a,0,c) .
\end{aligned}
$$
图 1-2-15 设平面 $A B C$ 的一个法向量为 $\boldsymbol{n}=(x,y,z)$,则
$$
\left\{\begin{array}{l}
\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{A B}=-a x+b y=0,\\
\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{A C}=-a x+c z=0,\end{array}\right.
$$
将 $x$ 看成常数，可解得 $y=\frac{a}{b} x,z=\frac{a}{c} x$.
令 $x=b c$,则 $y=a c,z=a b$. 因此,$\boldsymbol{n}=(b c,a c,a b)$ 为平面 $A B C$ 的一个法向量.
## 2. 三垂线定理及其逆定理
我们知道,已知空间中的平面 $\alpha$ 以及点 $A$,过 $A$ 作 $\alpha$ 的垂线 $l$,设 $l$ 与 $\alpha$ 相交于点 $A^{\prime}$,则 $A^{\prime}$ 就是点 $A$ 在平面 $\alpha$ 内的射影 (也称为投影). 不难看出,当 $A$ 不是平面 $\alpha$ 内的点时,如果 $A$ 的射影为 $A^{\prime}$,则 $\overrightarrow{A^{\prime} A}$ 与 $\overrightarrow{A A^{\prime}}$ 都是平面 $\alpha$ 的一个法向量.
空间中,图形 $F$ 上所有点在平面 $\alpha$ 内的射影所组成的集合 $F^{\prime}$,称为图形 $F$ 在平面 $\alpha$ 内的射影. 例如,如图 1-2-16 所示,如果 $\triangle A B C$ 的顶点 $A$ 在平面 $\alpha$ 内,$B$ 与 $C$ 都在平面 $\alpha$ 外,则分别过 $B$ 与 $C$ 作 $\alpha$ 的垂线,设交点分别为 $B^{\prime},C^{\prime}$,则 $\triangle A B^{\prime} C^{\prime}$ 就是 $\triangle A B C$ 在平面内的射影. 而且,此
图 1-2-16 时 $\overrightarrow{B^{\prime} B}$ 与 $\overrightarrow{C^{\prime} C}$ 都是平面 $\alpha$ 的一个法向量.
## 尝试与发现
已知 $A B$ 是平面 $\alpha$ 的一条斜线且 $B$ 为斜足（即 $A B$ 不垂直于 $\alpha$,且 $A B \bigcap \alpha=B)$,设其中 $A^{\prime}$ 是 $A$ 在平面 $\alpha$ 内的射影,而 $l$ 是平面 $\alpha$ 内的一条直线,如图 1-2-17 所示. 判断下列命题是否成立，并用空间向量证明:
图 1-2-17
(1) 当 $l \perp A^{\prime} B$ 时,$l \perp A B$;
（2）当 $l \perp A B$ 时,$l \perp A^{\prime} B$.
设 $v / / l$,则由 $\overrightarrow{A^{\prime} A} \perp \alpha$ 且 $l \subset \alpha$ 可知 $\overrightarrow{A^{\prime} A} \perp v$,即 $\overrightarrow{A^{\prime} A} \cdot v=0$.
如果 $l \perp A^{\prime} B$,则 $\boldsymbol{v} \perp \overrightarrow{A^{\prime} B},\boldsymbol{v} \cdot \overrightarrow{A^{\prime} B}=0$,又因为 $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A A^{\prime}}+\overrightarrow{A^{\prime} B}=$ $-\overrightarrow{A^{\prime} A}+\overrightarrow{A^{\prime} B}$,所以
$\overrightarrow{A B} \cdot v=\left(-\overrightarrow{A^{\prime} A}+\overrightarrow{A^{\prime} B}\right) \cdot v=-\overrightarrow{A^{\prime} A} \cdot v+\overrightarrow{A^{\prime} B} \cdot v=0$,
因此 $l \perp A B$. 如果 $l \perp A B$,则 $\boldsymbol{v} \perp \overrightarrow{A B},\boldsymbol{v} \cdot \overrightarrow{A B}=0$,又因为 $\overrightarrow{A^{\prime} B}=\overrightarrow{A^{\prime} A}+\overrightarrow{A B}$,所以
$$
\overrightarrow{A^{\prime} B} \cdot \boldsymbol{v}=\left(\overrightarrow{A^{\prime} A}+\overrightarrow{A B}\right) \cdot v=\overrightarrow{A^{\prime} A} \cdot \boldsymbol{v}+\overrightarrow{A B} \cdot \boldsymbol{v}=0
$$
因此 $l \perp A^{\prime} B$.
尝试与发现中的两个结论一般称为三垂线定理及其逆定理.
三垂线定理如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直,则它也和这条斜线垂直.
三垂线定理的逆定理如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.
例 3 如图 1-2-18 所示,已知 $A B C D-$ $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是一个正方体,求证: $A_{1} D \perp$ $B D_{1}$.
证明连接 $A D_{1}$.
因为 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是正方体,所以 $A B \perp$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$,因此 $B D_{1}$ 在平面 $A D D_{1} A_{1}$ 内的射影为 $A D_{1}$.
又因为 $A D D_{1} A_{1}$ 是正方形,所以 $A_{1} D \perp A D_{1}$，因此根据 3
图 1-2-18 知 $A_{1} D \perp B D_{1}$.
例 4 如图 1-2-19 所示的三棱雉 $O-A B C$ 中,$C O \perp O A,C O \perp O B$,且 $C D$ 为 $\triangle C A B$ 的 $A B$ 边上的高,求证: $O D \perp A B$.
证明因为
$C O \perp O A,C O \perp O B$ 所以 $C O \perp$ 平面 $O A B$.
因此 $C D$ 在平面 $O A B$ 内的射影为 $O D$,又因为 $C D \perp A B$,所以根据 5 可知 $O D \perp A B$.
图 1-2-19
## 练习A
(1) 设 $\boldsymbol{n}_{1},\boldsymbol{n}_{2}$ 分别是空间中两个不重合的平面 $\alpha,\beta$ 的法向量,分别根据下列条件判断平面 $\alpha,\beta$ 的位置关系.
(1) $\boldsymbol{n}_{1}=(-2,1,2),\boldsymbol{n}_{2}=(6,-3,-6)$;(2) $\boldsymbol{n}_{1}=(1,2,3),\boldsymbol{n}_{2}=(3,6,9)$. (2) 设 $\boldsymbol{n}_{1}=(-2,2,5),\boldsymbol{n}_{2}=(3,-2,2)$ 分别是空间中平面 $\alpha,\beta$ 的法向量,判断平面 $\alpha,\beta$ 是否垂直.
(3) 如果平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 平行,$n$ 是平面 $\alpha$ 的一个法向量,那么 $n$ 是平面 $\beta$ 的一个法向量吗?
## 练习 $B$
(1) 已知 $\boldsymbol{n}_{1} \perp \alpha,\boldsymbol{n}_{2} \perp \alpha$,是否一定存在非零实数 $\lambda$,使得 $\boldsymbol{n}_{2}=\lambda \boldsymbol{n}_{1}$?为什么?
(2) 用平面的法向量证明平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行.
(3) 已知 $A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,5)$,求平面 $A B C$ 的一个法向量的坐标.
(4) 如图所示,已知四棱锥 $P-A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是平行四边形,且 $P A \perp$ 底面 $A B C D$,如果 $B C \perp P B$,求证: $A B C D$ 是矩形.
(第 4 题)
(第 5 题)
(5) 如图所示,已知 $\triangle A B C$ 中,$A C=B C,D$ 为 $A B$ 的中点,$O$ 为 $C D$ 上一点,$P O \perp$ 平面 $A B C$,求证：$A B \perp P C$.
$1\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) \quad 2(1,0,0)$
3 三垂线定理
4. $O A \cap O B=O$
5 三垂线定理的逆定理
### 3 直线与平面的夹角
## 1. 直线与平面的夹角
## 情境与问题
日常生活中，很多场景中都有直线与平面成一定角度的形象. 例如,如图 1-2-20 (1) 所示,握笔写字时,如果把笔抽象成直线,把纸抽象成平面,则直线与平面成一定角度;如图 1-2-20 (2) 所示,地球仪的地轴 (即旋转轴) 与赤道所在的平面垂直,并且与水平桌面成一定角度. 那么,怎样来刻画直线
(1)
(2)
图 1-2-20 与平面所成的角呢?
这一小节我们要学习的就是空间中直线与平面所成的角.
先从特殊情况人手. 如果一条直线与一个平面垂直,则称这条直线与这个平面所成的角为 $90^{\circ}$;如果一条直线与一个平面平行,或直线在平面内,则称这条直线与这个平面所成的角为 $0^{\circ}$.
## 尝试与发现
如图 1-2-21 所示,设 $l$ 是平面 $\alpha$ 的一条斜线,$m$ 是平面 $\alpha$ 内的任意一条直线. 能否将 $m$ 与 $l$ 所成的角定义为直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 所成的角?如果不能,该怎样规定直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 所成的角?
图 1-2-21
图 1-2-21 中，当 $m$ 的位置不同时，$m$ 与 $l$ 所成角的大小可能也不同,因此不能将其定义为直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 所成的角.
注意到平面的一条斜线在平面内的射影是唯一确定的，因此，平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角,称为这条斜线与平面所成的角.
图 1-2-22 例如,如图 1-2-22 所示,如果直线 $A B$ 是平面 $\alpha$ 的一条斜线,$B$ 为斜足,$A^{\prime} B$ 是直线 $A B$ 在平面 $\alpha$ 内的射影,则 $\angle A B A^{\prime}$ 就是直线 $A B$ 与平面 $\alpha$ 所成的角.
下面我们来讨论斜线与平面所成角的性质.
## 尝试与发现
如图 1-2-23 所示,设 $A O$ 是平面 $\alpha$ 的一条斜线段,$O$ 为斜足,$A^{\prime}$ 为 $A$ 在平面 $\alpha$ 内的射影,而 $O M$ 是平面 $\alpha$ 内的一条射线,$A^{\prime} M \perp O M$. 记
$\angle A O A^{\prime}=\theta_{1},\angle A^{\prime} O M=\theta_{2},\angle A O M=\theta$.
(1) 从直观上判断 $\theta_{1}$ 与 $\theta$ 的大小关系;
(2) 说明 $A M \perp O M$ 是否成立,探究 $\theta_{1},\theta_{2},\theta$ 三者
图 1-2-23 之间的等量关系.
图 1-2-23 中,注意到 $A A^{\prime} \perp \alpha$,所以 $\triangle A A^{\prime} O,\triangle A A^{\prime} M$ 都是直角三角形,而且 $A^{\prime} M$ 是 $A M$ 在平面 $\alpha$ 内的射影. 因此,根据 $A^{\prime} M \perp O M$ 与三垂线定理可知 $A M \perp O M$,所以 $\triangle A M O$ 也是直角三角形.
如果设 $O A=1$,则在 Rt $\triangle A A^{\prime} O$ 中,
$$
O A^{\prime}=O A \cos \theta_{1}=\cos \theta_{1} \text {,}
$$
因此在 Rt $\triangle O M A^{\prime}$ 中,
$$
O M=O A^{\prime} \cos \theta_{2}=\cos \theta_{1} \cos \theta_{2} \text {;}
$$
另一方面,在 Rt $\triangle A M O$ 中,有
$$
O M=O A \cos \theta=\cos \theta \text {. }
$$
因此
$$
\cos \theta=\cos \theta_{1} \cos \theta_{2}
$$
一般地,因为 $0 \leqslant \cos \theta_{2} \leqslant 1$,所以由上式可知 $\cos \theta \leqslant \cos \theta_{1}$,因为 $\theta_{1}$ 和 $\theta$ 都是锐角,所以可得 $\theta_{1} \leqslant \theta$. 这就是说,平面的斜线与平面所成的角,是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角.
引进了平面的斜线与平面所成的角之后,空间中任意一条直线与任意一个平面所成的角的大小都是确定的,直线与平面所成的角也称为它们的夹角.
例 1 如图 1-2-24 所示,已知 $\angle B A C$ 在平面 $\alpha$ 内,过该角的顶点 $A$ 引平面 $\alpha$ 的斜线 $A P$,且使 $\angle P A B=\angle P A C$,求证: 斜线 $A P$ 在平面 $\alpha$ 内的射影平分 $\angle B A C$.
证明设点 $P$ 在平面 $\alpha$ 内的射影为点 $M$,则 $A M$ 为 $A P$ 在平面 $\alpha$ 内的射影.
根据前面的结论有
$\cos \angle P A B=\cos \angle P A M \cos \angle B A M$,
$\cos \angle P A C=\cos \angle P A M \cos \angle C A M$,
由 $\angle P A B=\angle P A C$ 可得
$$
\cos \angle B A M=\cos \angle C A M \text {,}
$$
因此 $\angle B A M=\angle C A M$,即 $A M$ 平分 $\angle B A C$.
图 1-2-24
## 尝试与发现
如图 1-2-25 所示,$P$ 是平面 $\alpha$ 外一点,$P$ 在平面 $\alpha$ 内的射影为 $P^{\prime}$. 过 $P$ 作平面 $\alpha$ 的斜线段 $P A_{1},P A_{2}$,且 $A_{1},A_{2}$ 均为斜足,设 $P A_{1},P A_{2}$ 与平面 $\alpha$ 所成角分别为 $\theta_{1},\theta_{2}$. 试判断 $P A_{1}=P A_{2}$ 是 $\theta_{1}=\theta_{2}$ 的什么条件,$P^{\prime} A_{1}=P^{\prime} A_{2}$ 是 $\theta_{1}=\theta_{2}$ 的什么条件.
图 1-2-25
注意到 $P P^{\prime} \perp \alpha$,所以 $\triangle P P^{\prime} A_{1}$ 与 $\triangle P P^{\prime} A_{2}$ 都是直角三角形,从而
$$
P P^{\prime}=P A_{1} \sin \theta_{1}=P A_{2} \sin \theta_{2} \text {,}
$$
再根据 $\theta_{1},\theta_{2}$ 都是锐角可知 $P A_{1}=P A_{2}$ 是 $\theta_{1}=\theta_{2}$ 的充要条件;类似地,因为
$$
P P^{\prime}=P^{\prime} A_{1} \tan \theta_{1}=P^{\prime} A_{2} \tan \theta_{2} \text {,}
$$
所以 $P^{\prime} A_{1}=P^{\prime} A_{2}$ 也是 $\theta_{1}=\theta_{2}$ 的充要条件.
这一结果可以总结为,经过平面外同一点所作的平面的多条斜线中,斜线段长、射影长及斜线与平面所成的角,只要有一个相等,则另外两个也对应相等.
从上面还可以看出,当线段 $A B$ 所在的直线与平面 $\alpha$ 所成的角为 $\theta$,且 $A B$ 在平面 $\alpha$ 内的射影为 $A^{\prime} B^{\prime}$ 时,有
$$
A^{\prime} B^{\prime}=A B \cos \theta,$$
请读者自行作图理解这一结论.
## 2. 用空间向量求直线与平面的夹角
不难想到，可以借助直线的方向向量和平面的法向量来研究直线与平面所成的角.
## 尝试与发现
如果 $v$ 是直线 $l$ 的一个方向向量,$n$ 是平面 $\alpha$ 的一个法向量,设直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 所成角的大小为 $\theta$,通过作图讨论 $\theta$ 与 $\langle\boldsymbol{v},n\rangle$ 的关系. 如图 1-2-26 (1) (2) 所示,可以看出
$$
\theta=\frac{\pi}{2}-\langle\boldsymbol{v},\boldsymbol{n}\rangle \text { 或 } \theta=\langle\boldsymbol{v},\boldsymbol{n}\rangle-\frac{\pi}{2}，$$
特别地,
$$
\cos \theta=\sin \langle\boldsymbol{v},\boldsymbol{n}\rangle,\quad \sin \theta=|\cos \langle\boldsymbol{v},\boldsymbol{n}\rangle|
$$
(1)
(2)
图 1-2-26
例 2 已知 $A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 是正方体,求 $B^{\prime} D^{\prime}$ 与平面 $A^{\prime} B C D^{\prime}$ 所成角的大小.
解 (方法一) 以 $D$ 为原点,$\overrightarrow{D A}$,$\overrightarrow{D C},\overrightarrow{D D^{\prime}}$ 的方向分别为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴正方向,正方体的棱长为单位长度,建立如图 1-2-27 所示的空间直角坐标系.则
$$
\begin{aligned}
& A^{\prime}(1,0,1),B(1,1,0),\\
& D^{\prime}(0,0,1),B^{\prime}(1,1,1),\end{aligned}
$$
图 1-2-27 所以
$\overrightarrow{A^{\prime} B}=(0,1,-1),\overrightarrow{A^{\prime} D^{\prime}}=(-1,0,0),\overrightarrow{D^{\prime} B^{\prime}}=1$
设平面 $A^{\prime} B C D^{\prime}$ 的一个法向量为 $\boldsymbol{n}=(x,y,z)$,则
$$
\left\{\begin{array}{l}
\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{A^{\prime} B}=y-z=0,\\
\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{A^{\prime} D^{\prime}}=-x=0,\end{array}\right.
$$
取 $z=1$,可得 $\boldsymbol{n}=2$
又因为
$$
\cos \left\langle\overrightarrow{D^{\prime} B^{\prime}},\boldsymbol{n}\right\rangle=\frac{\overrightarrow{D^{\prime} B^{\prime}} \cdot \boldsymbol{n}}{\left|\overrightarrow{D^{\prime} B^{\prime}}\right||\boldsymbol{n}|}=\frac{1}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}=\frac{1}{2},$$
所以 $\left\langle\overrightarrow{D^{\prime} B^{\prime}},\boldsymbol{n}\right\rangle=\frac{\pi}{3}$,从而可知 $B^{\prime} D^{\prime}$ 与平面 $A^{\prime} B C D^{\prime}$ 所成角的大小为
$$
\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}
$$
(方法二) 设 $A^{\prime} B$ 的中点为 $E$,连接 $B^{\prime} E,D^{\prime} E$,如图 1-2-28 所示.
因为 $A B B^{\prime} A^{\prime}$ 是正方形,所以 $B^{\prime} E \perp A^{\prime} B$.
又因为 $D^{\prime} A^{\prime} \perp$ 平面 $A B B^{\prime} A^{\prime}$,且 $B^{\prime} E \subset$ 平面 $A B B^{\prime} A^{\prime}$，所以 $D^{\prime} A^{\prime} \perp B^{\prime} E$.
再根据 $D^{\prime} A^{\prime} \cap A^{\prime} B=A^{\prime}$ 可知 $B^{\prime} E \perp$ 平面 $A^{\prime} B C D^{\prime}$.
因此,$B^{\prime} D^{\prime}$ 在平面 $A^{\prime} B C D^{\prime}$ 内的射影为
图 1-2-28 $D^{\prime} E$,所以 $\angle B^{\prime} D^{\prime} E$ 就是 $B^{\prime} D^{\prime}$ 与平面 $A^{\prime} B C D^{\prime}$ 所成角.
因为正方体中有 $B^{\prime} D^{\prime}=2 B^{\prime} E$,所以在 Rt $\triangle B^{\prime} E D^{\prime}$ 中,$\sin \angle B^{\prime} D^{\prime} E=$ 3,又因为 $\angle B^{\prime} D^{\prime} E$ 是一个锐角,所以 $\angle B^{\prime} D^{\prime} E=4$
即 $B^{\prime} D^{\prime}$ 与平面 $A^{\prime} B C D^{\prime}$ 所成角的大小为 5
例 2 中的方法一利用的是空间向量,方法二是根据直线与平面所成角的定义找出相应角之后再求出,请读者自行总结两种方法的优缺点,并总结每种方法的一般步骤.
## 练习A
(1) 如果 $\theta$ 是直线与平面所成的角,写出 $\theta$ 的取值范围.
(2) 已知直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 所成的角为 $\theta$,且 $A,B$ 是直线 $l$ 上两点,分别根据以下条件,求线段 $A B$ 在平面 $\alpha$ 内的射影的长:
(1) $A B=6,\theta=\frac{\pi}{6}$;(2) $A B=10,\theta=\frac{\pi}{4}$.
(3) 如果 $v_{1}$ 是直线 $l$ 的一个方向向量,$v_{2}$ 是直线 $l$ 在平面 $\alpha$ 内的射影的一个方向向量,设直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 所成角的大小为 $\theta$,通过作图讨论 $\theta$ 与 $\left\langle v_{1},v_{2}\right\rangle$ 的关系.
## 练习B
(1) 已知 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是正方体,找出体对角线 $B D_{1}$ 分别与平面 $A B C D$、平面 $A B B_{1} A_{1}$、平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成的角,并求这些角的余弦值.
(2) 已知 $l$ 是平面 $\alpha$ 内的一条直线,$m$ 是平面 $\alpha$ 的一条斜线,且 $m$ 在平面 $\alpha$ 内的射影为 $m^{\prime}$,若 $l$ 与 $m$ 的夹角为 $60^{\circ},l$ 与 $m^{\prime}$ 的夹角为 $45^{\circ}$,求 $m$ 与平面 $\alpha$ 所成角的大小.
(3) 如图所示,已知正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中,$M$ 是 $B B_{1}$ 的中点,求直线 $A_{1} M$ 与平面 $A M C_{1}$ 所成角的正弦值.
(第 3 题)
$1(1,1,0)$
$2(0,1,1)$
$3 \frac{1}{2}$
$4 \frac{\pi}{6}$
$5 \frac{\pi}{6}$
### 4 二面角
## 1. 二面角及其度量
## 情境与问题
日常生活中，很多场景中都有平面与平面成一定角度的形象. 例如,如图 1-2-29 (1) 所示,在建造大坝时,为了加固大坝,大坝外侧的平面一般与水平面成一定角度；如图 1-2-29 (2) 所示,很多屋顶都是二面角的形象.
(1)
(2)
图 1-2-29
你能找到日常生活中更多类似的例子吗？怎样刻画平面与平面所成的角呢?
我们已经知道,平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面.
如图 1-2-30 所示,在二面角 $\alpha-l-\beta$ 的棱上任取一点 $O$,以 $O$ 为垂足,分别在半平面 $\alpha$ 和 $\beta$ 内作垂直于棱的射线 $O A$ 和 $O B$，则射线 $O A$ 和 $O B$ 所成的角称为二面角的平面角. 二面角的大小用它的平面角大小来度量,即二面角大小等于它的平面角大小. 特别地,平面角是直
图 1-2-30 角的二面角称为直二面角.
本书中,我们约定,二面角及其平面角的大小不小于 $0^{\circ}$,不大于 $180^{\circ}$. 而且,两个平面相交时,它们所成角的大小,指的是它们所形成的四个二面角中,不小于 $0^{\circ}$ 且不大于 $90^{\circ}$ 的角的大小. 这样约定后,一个二面角的大小及两个相交平面所成角的大小都是唯一确定的.
事实上,我们在地理学科中所学过的黄赤交角,指的就是黄道平面（即地球公转的轨道所在平面) 与赤道平面之间的夹角,它的大小为 $23^{\circ} 26^{\prime}$,如图 1-2-31 所示.
图 1-2-31
例 1 如图 1-2-32 所示,已知二面角 $\alpha-l-\beta$ 的棱上有 $A,B$ 两个点,$A C \subset \alpha,A C \perp l,B D \subset \beta,B D \perp l$,若 $A B=6,A C=3,B D=4,C D=$ 7,求二面角 $\alpha-l-\beta$ 的大小.
图 1-2-32
图 1-2-33
解如图 1-2-33 所示,在平面 $\beta$ 内过 $A$ 作 $B D$ 的平行线 $A E$,且使得 $A E=B D$,连接 $C E,E D$.
因为四边形 $A E D B$ 是一个矩形,$\angle C A E$ 是二面角 $\alpha-l-\beta$ 的一个平面角,且 $A B \perp$ 面 $A E C$,所以 $E D \perp$ 面 $A E C$,从而
$$
C E=\sqrt{C D^{2}-E D^{2}}=\sqrt{C D^{2}-A B^{2}}=\sqrt{7^{2}-6^{2}}=\sqrt{13} .
$$
在 $\triangle A E C$ 中,由余弦定理可知
$$
\cos \angle C A E=\frac{A C^{2}+A E^{2}-C E^{2}}{2 A C \times A E}=\frac{3^{2}+4^{2}-13}{2 \times 3 \times 4}=\frac{1}{2},$$
因此 $\angle C A E=\frac{\pi}{3}$.
即所求二面角的大小为 $\frac{\pi}{3}$.
## 尝试与发现
如图 1-2-34 所示,设 $S$ 为二面角 $\alpha-A B-\beta$ 的半平面 $\alpha$ 上的一点,过点 $S$ 作半平面 $\beta$ 的垂线 $S S^{\prime}$,设 $O$ 为棱 $A B$ 上一点.
(1) 判断 $S O \perp A B$ 是 $S^{\prime} O \perp A B$ 的什么条件;
冬 1-2-34
（2）由二面角的平面角作法,你能得到什么启发?因为 $S^{\prime}$ 是 $S$ 在平面 $\beta$ 内的射影,所以 $S^{\prime} O$ 是 $S O$ 在平面 $\beta$ 内的射影,从而根据三垂线定理及其逆定理可知,$S O \perp A B$ 是 $S^{\prime} O \perp A B$ 的充要条件.
当二面角 $\alpha-A B-\beta$ 是一个锐角时,由此我们能得到作出它的平面角的另一种方法: 过其中一个半平面内一点 $S$,作另一个半平面的垂线段 $S S^{\prime}$,过 $S$ (或 $S^{\prime}$ ) 作棱的垂线 $S O$ (或 $S^{\prime} O$ ),连接 $S^{\prime} O$ (或 $S O$ ) 即可.
在图 1-2-34 中,如果二面角 $\alpha-A B-\beta$ 的大小为 $\theta$,则可以看出 $\triangle S^{\prime} A B$ 与 $\triangle S A B$ 在 $A B$ 边上的高之比为 $\cos \theta$,因此这两个三角形的面积之比也为 $\cos \theta$.
例 2 如图 1-2-35 所示三棱雉 $S-A B C$ 中,平面 $S A C \perp$ 平面 $A B C,S A$ $=S C=\sqrt{3},A B=B C=2$,且 $A B \perp B C$,求二面角 $S-A B-C$ 的大小.
图 1-2-35
图 1-2-36
解设 $O,E$ 分别为 $A C,A B$ 的中点,连接 $S O,O E,S E$,如图 1-2-36 所示.
因为 $S A=S C$,所以 $S O \perp A C$,又因为平面 $S A C \perp$ 平面 $A B C$,所以 $S O \perp$ 平面 $A B C$,
因此 $S E$ 在平面 $A B C$ 内的射影为 1 . 又因为 $O E$ 为 $\triangle A B C$ 的中位线,$A B \perp B C$,所以 $A B \perp O E$,从而由三垂线定理可知 $A B \perp S E$,因此 $\angle S E O$ 为二面角 $S-A B-C$ 的一个平面角.
由 $A B=B C=2$ 且 $A B \perp B C$ 可知 $A C=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=2$ 又因为
$$
S O=\sqrt{S A^{2}-A O^{2}}=3
$$
而且 $E O=\frac{1}{2} B C=1$,从而可知 $\angle S E O=45^{\circ}$,即所求二面角大小为 $45^{\circ}$.
## 2. 用空间向量求二面角的大小
同前面一样,可以借助平面的法向量来研究平面与平面所成的角.
## 尝试与发现
如果 $\boldsymbol{n}_{1},\boldsymbol{n}_{2}$ 分别是平面 $\alpha_{1},\alpha_{2}$ 的一个法向量,设 $\alpha_{1}$ 与 $\alpha_{2}$ 所成角的大小为 $\theta$,通过作图讨论 $\theta$ 与 $\left\langle\boldsymbol{n}_{1},\boldsymbol{n}_{2}\right\rangle$ 的关系.
如图 1-2-37 (1) (2) 所示,可以看出
$$
\theta=\left\langle\boldsymbol{n}_{1},\boldsymbol{n}_{2}\right\rangle \text { 或 } \theta=\pi-\left\langle\boldsymbol{n}_{1},\boldsymbol{n}_{2}\right\rangle，$$
特别地,
$$
\sin \theta=\sin \left\langle\boldsymbol{n}_{1},\boldsymbol{n}_{2}\right\rangle
$$
( 1 )
$(2)$
图 1-2-37
例 3 如图 1-2-38 所示,已知四棱雉 $S-$ $A B C D$ 中,$S A \perp$ 平面 $A B C D,A B C D$ 为直角梯形,$\angle D A B=\angle A B C=90^{\circ}$,且
$$
S A=A B=B C=3 A D,$$
求平面 $S A B$ 与 $S C D$ 所成角的正弦值.
解依题意,$A D,A B,A S$ 两两互相垂直. 以 $A$ 为原点,$\overrightarrow{A D},\overrightarrow{A B},\overrightarrow{A S}$ 的方向分别为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴正方向,$A D$ 的长
图 1-2-38 为单位长度,建立如图 1-2-38 所示的空间直角坐标系. 则
$$
A(0,0,0),S(0,0,3),C(3,3,0),D(1,0,0) \text {,}
$$
所以
$\overrightarrow{A D}=(1,0,0),\overrightarrow{D S}=(-1,0,3),\overrightarrow{D C}=4$
显然,$\overrightarrow{A D}$ 是平面 $S A B$ 的一个法向量.
设平面 $S C D$ 的一个法向量为 $n=(x,y,z)$,则
$$
\left\{\begin{array}{l}
\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{D S}=-x+3 z=0,\\
\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{D C}=2 x+3 y=0,\end{array}\right.
$$
令 $x=3$,可得 $y=-2,z=1$,此时 $\boldsymbol{n}=(3,-2,1)$.
因为
$$
\cos \langle\overrightarrow{A D},\quad \boldsymbol{n}\rangle=\frac{\overrightarrow{A D} \cdot \boldsymbol{n}}{|\overrightarrow{A D}||\boldsymbol{n}|}=\frac{3}{1 \times \sqrt{14}}=\frac{3 \sqrt{14}}{14},$$
所以可知所求角的正弦值为 $\sqrt{1-\frac{9}{14}}=\frac{\sqrt{70}}{14}$.
例 4 如图 1-2-39 所示,已知直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中,$\angle A C B=90^{\circ},A C=B C=1$,$A A_{1}=2$,且 $D$ 是 $A A_{1}$ 的中点. 求平面 $B D C$ 与平面 $B D C_{1}$ 所成角的大小.
解依题意,$C A,C B,C C_{1}$ 两两互相垂直. 以 $C$ 为原点,$\overrightarrow{C A},\overrightarrow{C B},\overrightarrow{C C_{1}}$ 的方向分别为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴正方向,建立如图 1-2-39 所示的空间直角坐标系. 则
$$
\begin{aligned}
& C(0,0,0),B(0,1,0),\\
& D(1,0,1),C_{1}(0,0,2),\end{aligned}
$$
图 1-2-39
所以
$$
\begin{aligned}
& \overrightarrow{C B}=(0,1,0),\overrightarrow{C D}=(1,0,1),\\
& \overrightarrow{D C_{1}}=(-1,0,1),\overrightarrow{B C_{1}}=(0,-1,2) .
\end{aligned}
$$
设平面 $B D C$ 的一个法向量为 $n=\left(x_{1},y_{1},z_{1}\right)$,则
$$
\left\{\begin{array}{l}
\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{C B}=y_{1}=0,\\
\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{C D}=x_{1}+z_{1}=0,\end{array}\right.
$$
令 $z_{1}=1$,则得 $x_{1}=-1,y_{1}=0$,此时 $\boldsymbol{n}=(-1,0,1)$.
设平面 $B D C_{1}$ 的一个法向量为 $\boldsymbol{m}=\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)$,则
$$
\left\{\begin{array}{l}
\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{D C_{1}}=-x_{2}+z_{2}=0,\\
\boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{B C_{1}}=-y_{2}+2 z_{2}=0,\end{array}\right.
$$
令 $z_{2}=1$,则得 $x_{2}=1,y_{2}=2$,此时 $\boldsymbol{m}=(1,2,1)$.
因为
$$
n \cdot m=5
$$
所以 $\langle\boldsymbol{n},\boldsymbol{m}\rangle=90^{\circ}$,从而可知平面 $B D C$ 与平面 $B D C_{1}$ 所成角的大小为 $90^{\circ}$,也就是说,这两个平面是互相垂直的.
需要说明的是,例 3 与例 4 都可以不借助空间向量求解,请读者自行尝试,并分别总结各种方法的优缺点与一般步骤. (1) 已知二面角 $P-A B-P^{\prime}$ 的大小为 $\frac{\pi}{6}$,且 $P P^{\prime} \perp$ 平面 $A B P^{\prime},\triangle A B P$ 的面积为 3,求 $\triangle A B P^{\prime}$ 的面积.
(2) 已知直二面角 $\alpha-l-\beta$ 的棱上有 $A,B$ 两个点,$A C \subset \alpha,A C \perp l,B D \subset \beta,B D \perp$ $l$,若 $A B=5,A C=3,B D=8$,求 $C D$ 的长.
(3) 如果 $\boldsymbol{n}_{1},\boldsymbol{n}_{2}$ 分别是平面 $\alpha_{1},\alpha_{2}$ 的一个法向量,设 $\alpha_{1}$ 与 $\alpha_{2}$ 所成角的大小为 $\theta$,写出 $\cos \theta$ 与 $\cos \left\langle\boldsymbol{n}_{1},\boldsymbol{n}_{2}\right\rangle$ 之间的关系.
## 练习B
(1) 已知 $A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3)$,分别求平面 $A B C$ 与三个坐标平面所成角的余弦值.
(2) 已知正三棱雉 $S-A B C$ 的所有棱长都为 1,求其侧面与底面所成角的余弦值.
(3) 如图,已知 $A B$ 是圆的直径,且 $A B=4,P A$ 垂直于圆所在的平面,且 $P A=2 \sqrt{3},M$ 是圆周上一点,且 $\angle A B M=30^{\circ}$,求二面角 $A-B M-P$ 的大小.
(第 3 题)
$1 O E$
$22 \sqrt{2}$
$3 \sqrt{3-2}=1$
$(2,3,0)$
$5(-1) \times 1+0 \times 2+1 \times 1=0$
### 5 空间中的距离
## 情境与问题
“距离”在生活中随处可见，例如,我们常说某两地之间的距离是多少,汽车的杀车距离是多少,等等. 数学中的“距离” 概念是从生活中的具体问题中抽象出来的,要求具有准确的定义，以避免歧义. 到目前为止，你学过哪些平面内的“距离”?这些“距离”的定义有什么共同点?由此你能得到空间中任意两个图形之间的距离具有的性质吗?在小学和初中阶段,我们就已经学习过:
两点间的所有连线中,线段最短,连接两点间的线段的长度称为两点间的距离;
从直线外一点到这条直线所作的线段中,垂线段最短,它的长度称为这个点到直线的距离;
两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,称为这两条平行线之间的距离.
由上可以看出,这些距离都可以归结为点与点的距离,而且是所有的点与点之间最短连线的长度. 例如,如图 1-2-40 所示 $\triangle A B C$ 中,$B C$ 边上的高 $A D$ 的长就是顶点 $A$ 到直线 $B C$ 的距离,也就是 $A$ 与直线 $B C$ 上的点的最短连线的长度.
显然，空间中任意两个图形之间的距离也具有
图 1-2-40 类似的性质,此距离要小于等于两个端点分别在这两个图形上的线段长.
## 1. 空间中两点之间的距离
空间中两点之间的距离指的仍是这两个点连线的线段长. 因为向量的长度表示的是向量的始点与终点之间的距离,所以可通过向量来求空间中两点之间的距离.
例 1 如图 1-2-41 所示,已知 $A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 是平行六面体,$A D=3,A B=4,A A^{\prime}=5$,$\angle B A D=90^{\circ},\angle B A A^{\prime}=\angle D A A^{\prime}=60^{\circ}$,求 $A C^{\prime}$ 的长.
解由已知可得 $\overrightarrow{A D},\overrightarrow{A B},\overrightarrow{A A^{\prime}}$ 不共面,而且
$$
|\overrightarrow{A D}|=3,|\overrightarrow{A B}|=4,\left|\overrightarrow{A A^{\prime}}\right|=5,$$
图 1-2-41
从而
$$
\begin{aligned}
& \overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{A B}=0,\\
& \overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{A A^{\prime}}=3 \times 5 \times \cos 60^{\circ}=7.5,\\
& \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A A^{\prime}}=1
\end{aligned}
$$
又因为
$$
\overrightarrow{A C^{\prime}}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{D D^{\prime}}+\overrightarrow{D^{\prime} C^{\prime}}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{A A^{\prime}}+\overrightarrow{A B},$$
所以
$$
\begin{aligned}
\left|\overrightarrow{A C^{\prime}}\right|^{2}= & \left(\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{A A^{\prime}}+\overrightarrow{A B}\right)^{2} \\
= & |\overrightarrow{A D}|^{2}+\left|\overrightarrow{A A^{\prime}}\right|^{2}+|\overrightarrow{A B}|^{2}+2 \overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{A A^{\prime}}+2 \overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{A B}+ \\
& 2 \overrightarrow{A A^{\prime}} \cdot \overrightarrow{A B} \\
= & 3^{2}+5^{2}+4^{2}+2 \times 7.5+2 \times 10 \\
= & 85,\end{aligned}
$$
因此 $\left|\overrightarrow{A C^{\prime}}\right|=\sqrt{85}$,即所求长为 $\sqrt{85}$.
例 1 也可以不借助向量而通过构造三角形或建立空间直角坐标系来求解,请读者自行尝试,并分别总结不同解法的一般步骤与联系.
## 2. 点到直线的距离
给定空间中一条直线 $l$ 及 $l$ 外一点 $A$,因为 $l$ 与 $A$ 能确定一个平面,所以过 $A$ 可以作直线 $l$ 的一条垂线段,这条垂线段的长称为点 $A$ 到直线 $l$ 的距离 (1). 点到直线的距离也是这个点与直线上点的最短连线的长度.
例如,如图 1-2-42 所示,点 $A$ 是直线 $l$ 外一点,若 $A B$ 是直线 $l$ 的垂线段,则 $A B$ 的长度就是点 $A$ 到直线 $l$ 的距离,这一距离也等于 $|\overrightarrow{A B}|$.
例 2 已知正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 1,求点 $C_{1}$ 到直线 $B D_{1}$ 的距离.
图 1-2-42
解以 $D$ 为原点,$\overrightarrow{D A},\overrightarrow{D C},\overrightarrow{D D_{1}}$ 的方向分别为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴正方向,建立如图 1-2-43 所示的空间直角坐标系，则
$$
\begin{aligned}
& B(1,1,0) \\
& D_{1}(0,0,1),\\
& C_{1}(0,1,1),\end{aligned}
$$
因此 $\overrightarrow{B D_{1}}=(-1,-1,1)$.
设 $E$ 满足 $\overrightarrow{B E}=\lambda \overrightarrow{B D_{1}}$ 且 $C_{1} E \perp$
图 1-2-43
$B D_{1}$，则
$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{D E} & =\overrightarrow{D B}+\lambda \overrightarrow{B D_{1}}=(1,1,0)+\lambda(-1,-1,1) \\
& =(1-\lambda,1-\lambda,\lambda),\end{aligned}
$$
(1) 如果点 $A$ 是直线 $l$ 上的点,则约定 $A$ 到直线 $l$ 的距离为 0 . 即 $E(1-\lambda,1-\lambda,\lambda)$,所以
$$
\overrightarrow{C_{1} E}=(1-\lambda,-\lambda,\lambda-1) .
$$
又因为 $C_{1} E \perp B D_{1}$,所以 $\overrightarrow{C_{1} E} \cdot \overrightarrow{B D_{1}}=0$,即
$$
(-1) \times(1-\lambda)+(-1) \times(-\lambda)+1 \times(\lambda-1)=0 \text {,}
$$
解得 $\lambda=\frac{2}{3}$,因此 $\overrightarrow{C_{1} E}=\left(\frac{1}{3},-\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\right)$,从而可知点 $C_{1}$ 到直线 $B D_{1}$
的距离为
$$
\left|\overrightarrow{C_{1} \vec{E}}\right|=\sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^{2}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3} .
$$
例 2 中,也可不借助空间向量求点 $C_{1}$ 到直线 $B D_{1}$ 的距离,请读者自行尝试,并总结出不同方法的优缺点.
## 3. 点到平面的距离
给定空间中一个平面 $\alpha$ 及 $\alpha$ 外一点 $A$,过 $A$ 可以作平面 $\alpha$ 的一条垂线段,这条垂线段的长称为点 $A$ 到平面 $\alpha$ 的距离(1). 点到平面的距离也是这个点与平面内点的最短连线的长度.
例如,如图 1-2-44 所示,点 $A$ 是平面 $\alpha$ 外一点,若 $A A^{\prime}$ 是平面 $\alpha$ 的垂线段（即 $A^{\prime}$ 为 $A$ 在平面 $\alpha$ 内的射影),则平面 $\alpha$ 内不同于 $A^{\prime}$ 的任意一点 $B，$ 一定满足
$$
A B>A A^{\prime}
$$
这是因为 $A B$ 与 $A A^{\prime}$ 分别是 Rt $\triangle A A^{\prime} B$ 的斜边
图 1-2-44 与一条直角边.
## 紶试与峄现
（1）在图 1-2-44 中,设 $\boldsymbol{n}_{0}$ 是平面 $\alpha$ 的一个单位法向量（即 $\left|\boldsymbol{n}_{0}\right|=1$ ),因为 $A A^{\prime} \perp \alpha$,所以表示 $\boldsymbol{n}_{0}$ 的有向线段可以在直线 $A A^{\prime}$ 上,指出 $\overrightarrow{B A} \cdot \boldsymbol{n}_{0}$ 的几何意义与 $A A^{\prime}$ 的关系；
（2）一般情况下,若 $A$ 是平面 $\alpha$ 外一点,$B$ 是平面 $\alpha$ 内一点,如何根据 $\overrightarrow{B A}$ 和平面 $\alpha$ 的一个法向量 $n$ 表示出点 $A$ 到平面 $\alpha$ 的距离?
因为 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的数量积等于 $\boldsymbol{a}$ 在 $\boldsymbol{b}$ 上的投影的数量与 $\boldsymbol{b}$ 的长度的乘积,而
(1) 如果点 $A$ 是平面 $\alpha$ 内一点,则约定 $A$ 到平面 $\alpha$ 的距离为 0 .
$\boldsymbol{n}_{0}$ 是平面 $\alpha$ 的一个单位法向量,所以 $\overrightarrow{B A} \cdot \boldsymbol{n}_{0}$ 等于 $\overrightarrow{B A}$ 在 $\boldsymbol{n}_{0}$ 上的投影的数量,因此在图 1-2-44 中,有 $\overrightarrow{B A} \cdot \boldsymbol{n}_{0}=A^{\prime} A$.
一般地,若 $A$ 是平面 $\alpha$ 外一点,$B$ 是平面 $\alpha$ 内一点,$n$ 是平面 $\alpha$ 的一个法向量,则点 $A$ 到平面 $\alpha$ 的距离
$$
d=\frac{|\overrightarrow{B A} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}
$$
例 3 如图 1-2-45 所示,四棱雉 $P-A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是一个边长为 1 的正方形,$P A \perp$ 平面 $A B C D,P A=1$. 求点 $D$ 到平面 $P B C$ 的距离.
解依题意,$A B,A D,A P$ 是两两互相垂直的. 以 $A$ 为原点,$\overrightarrow{A B},\overrightarrow{A D}$,$\overrightarrow{A P}$ 的方向分别为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴正方向,建立如图 1-2-45 所示的空间直角坐标系.则
图 1-2-45
$B(1,0,0),C(1,1,0)$,
$D(0,1,0),P(0,0,1)$,
所以
$\overrightarrow{B C}=(0,1,0),\overrightarrow{B P}=2 \quad,\overrightarrow{P D}=3$
设平面 $P B C$ 的一个法向量为 $n=(x,y,z)$,则
$$
\left\{\begin{array}{l}
\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{B C}=y=0,\\
\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{B P}=-x+z=0,\end{array}\right.
$$
令 $z=1$,则得 $x=1,y=0$,此时 $\boldsymbol{n}=(1,0,1)$.
因为
$$
\frac{|\overrightarrow{P D} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{|0 \times 1+1 \times 0+(-1) \times 1|}{\sqrt{1^{2}+0^{2}+1^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2},$$
所以点 $D$ 到平面 $P B C$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
例 3 中,也可借助 $\overrightarrow{C D}$ 或 $\overrightarrow{B D}$ 来计算点 $D$ 到平面 $P B C$ 的距离,请读者自行尝试,并总结出用向量法求点到平面距离的一般方法. 个平面之间的距离;当平面与平面平行时,一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离. 一般地,与两个平行平面同时垂直的直线,称为这两个平面的公垂线,公垂线夹在平行平面间的部分,称为这两个平面的公垂线段. 显然,两个平行平面之间的距离也等于它们的公垂线段的长.
这就是说,直线与平面之间的距离和平面与平面之间的距离,都可以归结成点到平面的距离,因此同样可以通过空间向量来求得.
例如,如图 1-2-46 所示,如果直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 平行,$n$ 是平面 $\alpha$ 的一个法向量,$A,B$ 分别是 $l$ 上和 $\alpha$ 内的点,则直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 之间的距离为
$$
d=\frac{|\overrightarrow{B A} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}
$$
如图 1-2-47 所示,如果平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 平行,$n$ 是平面 $\beta$ 的一个法向量（当然也是平面 $\alpha$ 的一个法向量),$A$ 和 $B$ 分别是平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 内的点,则平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 之间的距离为
$$
d=\frac{|\overrightarrow{B A} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}
$$
图 1-2-46
图 1-2-47
例 4 已知棱长为 2 的正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中,$E,M,N$ 分别为 $A_{1} B_{1},A D,C C_{1}$ 的中点,判断直线 $A C$ 与平面 $E M N$ 的关系. 如果平行,求出 $A C$ 与平面 $E M N$ 之间的距离;如果不平行,说明理由.
解以 $D$ 为原点,$\overrightarrow{D A},\overrightarrow{D C},\overrightarrow{D D_{1}}$ 的方向分别为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴正方向,建立如图 1-2-48 所示的空间直角坐标系. 由正方体的棱长为 2 个单位长度,有
$$
\begin{aligned}
& M(1,0,0),E(2,1,2),\\
& N(0,2,1),A(2,0,0),\\
& C(0,2,0),\end{aligned}
$$
所以
图 1-2-48
$$
\begin{aligned}
& \overrightarrow{M E}=(1,1,2),\\
& \overrightarrow{M N}=(-1,2,1),\\
& \overrightarrow{A C}=(-2,2,0) .
\end{aligned}
$$
设平面 $E M N$ 的一个法向量为 $n=(x,y,z)$,则
$$
\left\{\begin{array}{l}
\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{M E}=x+y+2 z=0,\\
\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{M N}=-x+2 y+z=0,\end{array}\right.
$$
令 $z=1$,则得 $n=4$
因为
$$
\overrightarrow{A C} \cdot \boldsymbol{n}=(-2) \times(-1)+2 \times(-1)+0 \times 1=0,$$
所以 $\overrightarrow{A C} \perp \boldsymbol{n}$,又因为点 $A$ 显然不在平面 $E M N$ 内,所以 $A C$ 与平面 $E M N$ 平行.
又因为 $\overrightarrow{M A}=(1,0,0)$,所以
$$
\frac{|\overrightarrow{M A} \cdot n|}{|n|}=5
$$
因此点 $A$ 到平面 $E M N$ 的距离为 6，这也是 $A C$ 与平面 $E M N$ 之间的距离.
## 练习A
(1) 已知平面 $\alpha$ 外一点 $A$ 到平面 $\alpha$ 的距离为 $d$,且点 $A$ 到平面 $\alpha$ 内一点 $B$ 的距离为 5，写出 $d$ 的取值范围.
(2) 空间中到已知平面 $\alpha$ 的距离等于 $3 \mathrm{~cm}$ 的所有点组成的集合是什么图形?
(3) 已知平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 平行,且这两个平面之间的距离为 $4 \mathrm{~cm}$,则到 $\alpha,\beta$ 的距离相等的所有点组成的集合是什么图形?
(4) 已知二面角 $\alpha-l-\beta$ 的大小为 $45^{\circ}$,点 $A \in \alpha$,点 $A$ 到 $l$ 的距离等于 2,求点 $A$ 到半平面 $\beta$ 的距离.
(5) 如图所示,已知 Rt $\triangle A C B$ 在平面 $\alpha$ 内,$D$ 是斜边 $A B$ 的中点,$O C \perp \alpha$,且 $O$ 到平面 $\alpha$ 的距离为 $12 \mathrm{~cm},A C=6 \mathrm{~cm}$,
(第 5 题) $B C=8 \mathrm{~cm}$,求线段 $O A,O B,O D$ 的长.
## 练习B
(1) 已知正四面体 $A B C D$ 的棱长都为 1,点 $M,N$ 分别是 $A B,C D$ 的中点,求 $M$,$N$ 这两点间的距离. (2) 如图所示,已知正三角形 $A B C$ 的中心为 $O,O P \perp$ 平面 $A B C$ 且 $A B=2 O P=2 \mathrm{~cm}$,求点 $P$ 到这个正三角形各边的距离.
(3) 已知三棱锥 $O-A B C$ 中,$O A,O B,O C$ 的长度均为 2,且两两互相垂直,求点 $O$ 到平面 $A B C$ 的距离.
(4) 已知 $A(2,2,0),B(1,4,2),C(0,0,5)$,求原点 $O$
(第 2 题) 到平面 $A B C$ 的距离.
(5) 已知正方体 $A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 的棱长为 1 .
(1) 求 $B^{\prime}$ 到平面 $A^{\prime} C^{\prime} B$ 的距离;
(2) 求平面 $A^{\prime} C^{\prime} B$ 与平面 $D^{\prime} A C$ 之间的距离.
$14 \times 5 \times \cos 60^{\circ}=10 \quad 2(-1,0,1) \quad 3(0,1,-1) \quad 4(-1,-1,1)$
$5 \frac{|(-1) \times 1+(-1) \times 0+1 \times 0|}{\sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{3} \quad 6 \frac{\sqrt{3}}{3}$
## 习题1-2A
(1) 已知 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是正方体,求直线 $A_{1} D$ 与直线 $B D_{1}$ 所成角的大小.
(2) 已知 $A(1,0,1),B(0,1,0),C(0,0,1)$,求平面 $A B C$ 的一个单位法向量的坐标.
(3) 如果直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 所成的角为 $\frac{\pi}{6}$,且 $A,B$ 是直线 $l$ 上两点,线段 $A B$ 在平面 $\alpha$ 内的射影的长为 3,求线段 $A B$ 的长.
(4) 如图所示三棱锥 $P-A B C$ 中,已知 $A C \perp B C$,且 $C D \perp A B,P C \perp$ 平面 $A B C$,分别写出图中所有:
(第 4 题)
(1) 所在直线与 $P C$ 垂直的线段;(2) 所在直线与 $A P$ 垂直的线段;
(3) 直角三角形.
(5) 已知四面体 $A B C D$ 中,$A B=A C,D B=D C$,点 $M$ 为棱 $B C$ 的中点,指出平面 $A D M$ 的一个法向量. 哪两个平面互相垂直?为什么?
(6) 已知线段 $A B$ 在平面 $\alpha$ 内的射影是 $A^{\prime} B^{\prime}$,分别根据下列条件求直线 $A B$ 与平面 $\alpha$ 所成角的大小:
(1) $A B=6,A^{\prime} B^{\prime}=3$;(2) $A B=\sqrt{2},A^{\prime} B^{\prime}=1$
(3) $A B=2,A^{\prime} B^{\prime}=2$;(4) $A B=2,A^{\prime} B^{\prime}=0$.
(7) 如图所示,在正方体 $A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 中,求直线 $D A^{\prime}$ 与直线 $A C$ 的所成角的大小.
(第 7 题)
(8) 已知二面角 $P-A B-P^{\prime}$ 的大小为 $\frac{\pi}{4}$,且 $P^{\prime} P \perp$ 平面 $A B P,\triangle A B P$ 的面积为 5,求 $\triangle A B P^{\prime}$ 的面积.
## 习题1-2B
(1) 已知 $A B$ 是平面 $\alpha$ 的一条斜线且 $B$ 为斜足,设 $A B$ 的射影是 $A^{\prime} B$,而 $l$ 是与平面 $\alpha$ 平行的一条直线. 判断下列命题是否成立,并用空间向量证明:
（1）当 $l \perp A^{\prime} B$ 时，$l \perp A B$;（2）当 $l \perp A B$ 时,$l \perp A^{\prime} B$.
(2) 已知 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是正方体,分别写出 $A B$ 与 $A_{1} D_{1},A D$ 与 $D_{1} C_{1}$,$A_{1} C_{1}$ 与 $B D$ 的公垂线段.
(3) 如图所示,已知四棱锥 $P-A B C D$ 中,$A B C D$ 为矩形,$P D \perp$ 平面 $A B C D,P D=3,A B=5,B C=4$,求下列各对异面直线所成角的余弦值:
(1) $P C$ 与 $A B$;(2) $P D$ 与 $A B$;(3) $P A$ 与 $B C$.
(第 3 题) (4) 如图所示,直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中,$A C \perp B C$,点 $M$ 在线段 $A B$ 上,$A C=$ $B C=C C_{1}=3,A M=\sqrt{2}$,求直线 $A C_{1}$ 与平面 $B_{1} M C$ 所成角的正弦值.
(第 4 题)
(第 5 题)
(5) 如图所示,已知四棱锥 $E-A B C D$ 中,$A B C D$ 是直角梯形,$\angle A B C=\angle B A D=$ $90^{\circ},B E \perp$ 平面 $A B C D,A B=B C=B E=2 A D=6$.
（1）求点 $B$ 到平面 $C D E$ 的距离;（2）求二面角 $A-C D-E$ 的正切值.
## 习题1-2C
(1) 已知直线 $l$ 经过 $A(3,3,3),B(0,6,0)$ 两点,求点 $P(0,0,6)$ 到 $l$ 的距离.
(2) 已知正方体 $A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 中,$E$ 为 $A^{\prime} B^{\prime}$ 的中点,$F$ 为 $C D$ 的中点.
(1) 求证: $B E / /$ 平面 $A^{\prime} F D^{\prime}$;
（2）若正方体的棱长为 1,求 $B E$ 到平面 $A^{\prime} F D^{\prime}$ 的距离.
(3) 已知平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 互相平行,点 $A(0,0,1)$ 在平面 $\alpha$ 内,$B(2,1,0)$,$C(0,1,1),D(1,0,0)$ 三点都在平面 $\beta$ 内. 求 $\alpha,\beta$ 之间的距离.
(4) 已知三棱锥 $S-A B C$ 中,$S A \perp$ 底面 $A B C,\angle A B C=90^{\circ},S A=A B=4$,$B C=3,E$ 是 $A B$ 的中点,点 $F$ 在 $B C$ 上且 $F C=2 B F$. 求点 $A$ 到平面 $S E F$ 的距离.
## 本章小结
## 1 知识结构图设计与交流
本章我们首先将平面向量推广到了空间向量,了解了空间向量的运算、空间向量基本定理、空间向量的坐标以及空间直角坐标系等；然后我们学习了空间向量在立体几何中的应用,其中包括怎样用空间向量刻画空间中的直线、平面以及怎样用空间向量来求空间中的角和距离等.
依照知识之间的联系,我们可以作出如下的知识结构图.
上述知识结构图也还可以细化. 你能创作出其他形式的知识结构图吗?
## 2 课题作业
由本章的内容可以看出,立体几何中的一些问题,既可以借助空间向量求解,也可以直接利用有关定义、判定定理、性质定理等求解. 请结合必修中的立体几何内容,总结上述两类立体几何问题解法的优缺点,指出每一类方法的一般步骤,并用实例加以说明.
## 3 复习题
## A 组
1. 已知向量 $\boldsymbol{a}=(-3,2,5),\boldsymbol{b}=(1,-3,0),\boldsymbol{c}=(7,-2,1)$,求:
(1) $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$;(2) $(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}$;
(3) $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}|$
(4) $|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|+|\boldsymbol{c}|$
2. 若 $\boldsymbol{a}=(2 x,1,3),\boldsymbol{b}=(1,-2 y,9)$,且 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 共线,求 $x,y$ 的值.
3. 已知空间三点 $A(1,1,1),B(-1,0,4),C(2,-2,3)$,求 $\langle\overrightarrow{A B},\overrightarrow{C A}\rangle$.
4. 已知点 $A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1)$,若 $\overrightarrow{A P}=2 \overrightarrow{P B}$,求 $|\overrightarrow{P D}|$
5. 在空间直角坐标系中,分别求点 $P(-2,1,4)$ 关于 $x$ 轴、$x O y$ 平面、坐标原点对称的点的坐标.
6. 已知 $A(-1,0,1),B(2,4,3),C(5,8,5)$,则这三点 ( ).
（A）构成等腰三角形
(B) 构成直角三角形
(C) 构成等腰直角三角形
（D）不能构成三角形
7. 求到点 $A(2,3,0),B(5,1,0)$ 距离相等的点的坐标 $(x,y,z)$ 满足的条件.
8. 已知 $A(1,-2,1),B(2,2,2)$,点 $P$ 在 $z$ 轴上,且 $P A=P B$,求点 $P$ 的坐标.
9. 已知 $A(0,0,0),B(2,5,0),C(1,3,5)$,求 $\overrightarrow{A C}$ 在 $\overrightarrow{A B}$ 上投影的数量.
10. 已知 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是正方体,求平面 $A B_{1} C$ 的一个法向量.
11. 空间中到一个三角形的三个顶点距离相等的点组成的集合是什么图形?12. 如图所示,已知 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是正方体,$E,F$ 分别是棱 $A B,C C_{1}$ 的中点,求直线 $E F$ 与 $B D_{1}$ 所成角的余弦值.
(第 12 题)
## B 组
1. 已知 $G$ 是正方形 $A B C D$ 的中心,点 $P$ 为正方形 $A B C D$ 所在平面外一点,则 $\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}+\overrightarrow{P D}=(\quad)$.
(A) $4 \overrightarrow{P G}$
(B) $3 \overrightarrow{P G}$
(C) $2 \overrightarrow{P G}$
(D) $\overrightarrow{P G}$
2. 已知 $\boldsymbol{a}=(1,1,0),\boldsymbol{b}=(-1,0,2)$,且 $k \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ 与 $2 \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$ 互相垂直,求 $k$ 的值.
3. 已知三棱雉 $O-A B C$ 中,$M,N$ 分别是 $O A,B C$ 的中点,点 $G$ 在 $M N$ 上,且 $M G=2 G N$. 设 $\overrightarrow{O A}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{O B}=\boldsymbol{b},\overrightarrow{O C}=\boldsymbol{c}$,试用基底 $\{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\}$ 表示向量 $\overrightarrow{O G}$.
4. 已知正方体 $A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 的棱长为 1,求 $\overrightarrow{B D^{\prime}} \cdot \overrightarrow{A D},\cos \left\langle\overrightarrow{A C^{\prime}},\overrightarrow{D B^{\prime}}\right\rangle$.
5. 已知 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 都是空间向量,且 $|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=1$,求 $|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$.
6. 已知 $A(3,4,0),B(2,5，5),C(0,3,5)$,且 $A B C D$ 是平行四边形,求顶点 $D$ 的坐标.
7. 已知正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中,$M$ 与 $N$ 分别是棱 $B B_{1}$ 与对角线 $C A_{1}$ 的中点. 求证: $M N / / B D$ 且 $M N=\frac{1}{2} B D$.
8. 已知 $O$ 为坐标原点,$O A B C$ 是四面体,$A(0,3,5),B(2,2,0),C(0$,$5,0)$,直线 $B D$ 与直线 $C A$ 平行,并且与坐标平面 $x O z$ 相交于点 $D$,求点 $D$ 的坐标.
9. 如图所示,已知三个平面 $A O B,B O C,A O C$ 相交于点 $O$,且 $\angle A O B=$ $\angle B O C=\angle A O C=60^{\circ}$,求直线 $O A$ 与平面 $B O C$ 所成角的余弦值.
(第 9 题)
10. 如图所示,三棱雉 $A-B C D$ 中,平面 $A B C$ 与平面 $D B C$ 互相垂直,且 $A B=$ $B C=B D,\angle C B A=\angle C B D=120^{\circ}$. 求 :
(第 10 题) (1) $A D$ 所在直线和平面 $B C D$ 所成角的大小;
(2) $A D$ 所在直线与直线 $B C$ 所成角的大小;
（3）二面角 $A-B D-C$ 的正弦值.
11. 已知 $A \in \alpha$,直线 $A B$ 与平面 $\alpha$ 所成的角为 $30^{\circ}$,直线 $A C$ 与平面 $\alpha$ 所成的角为 $60^{\circ},A B=6 \mathrm{~cm},A C=8 \mathrm{~cm}$,且斜线段 $A B,A C$ 在平面 $\alpha$ 内的射影相互垂直,求 $B C$ 的长.
12. 已知 $A B$ 垂直于平面 $\alpha$,垂足为点 $B$,且 $A O$ 与 $\alpha$ 相交于点 $O,\angle A O B=$ $60^{\circ}$,射线 $O C$ 在 $\alpha$ 内,且 $\angle B O C=30^{\circ},O A=6$,求点 $A$ 到直线 $O C$ 的距离.
## $\mathrm{C}$ 组
1. 已知 $\boldsymbol{a}=\boldsymbol{i}-2 \boldsymbol{j}+\boldsymbol{k},\boldsymbol{b}=-\boldsymbol{i}+3 \boldsymbol{j}+2 \boldsymbol{k},\boldsymbol{c}=-3 \boldsymbol{i}+7 \boldsymbol{j}$,证明这三个向量共面.
2. 已知向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$ 不共面,并且 $\boldsymbol{p}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c},\boldsymbol{q}=2 \boldsymbol{a}-3 \boldsymbol{b}-5 \boldsymbol{c},\boldsymbol{r}=-7 \boldsymbol{a}+$ $18 \boldsymbol{b}+22 \boldsymbol{c}$,判断向量 $\boldsymbol{p},\boldsymbol{q},\boldsymbol{r}$ 是否共面,并说明理由.
3. 已知 $\triangle A B C$ 是边长为 2 的等边三角形,$P$ 为平面 $A B C$ 内的一点,求 $\overrightarrow{P A} \cdot$ $(\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C})$ 的最小值.
4. 如图所示,已知四棱雉 $P-A B C D$ 中,$P B \perp A D$,侧面 $P A D$ 为边长等于 2 的正三角形,底面 $A B C D$ 为菱形，侧面 $P A D$ 与底面 $A B C D$ 所成的二面角为 $120^{\circ}$.
(第 4 题)
（1）求点 $P$ 到平面 $A B C D$ 的距离;
(2) 求二面角 $A-P B-C$ 的余弦值.
5. 如图所示,在三棱雉 $P-A B C$ 中,$\triangle P A B$ 是等边三角形,$\angle P A C=\angle P B C=90^{\circ}$.
(1) 证明：$A B \perp P C$;
(2) 若 $P C=4$,且平面 $P A C \perp$ 平面 $P B C$,求三棱雉 $P-A B C$ 的体积.
(第 5 题) 6. 如图所示,四棱雉 $S-A B C D$ 的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的 $\sqrt{2}$ 倍,$P$ 为侧棱 $S D$ 上的点.
(第 6 题)
(1) 求证: $A C \perp S D$;
(2) 若 $S D \perp$ 平面 $P A C$,求二面角 $P-A C-D$ 的大小;
(3) 在 (2) 的条件下,侧棱 $S C$ 上是否存在一点 $E$,使得 $B E / /$ 平面 $P A C$. 若存在,求 $S E: E C$ 的值;若不存在,试说明理由.
## 本章导语
在初中阶段我们就已经知道：线段 $A B$ 的垂直平分线,可以看成与 $A,B$ 的距离相等的所有点组成的集合. 当时,我们是通过全等三角形的知识证明如下两个命题后得到这个结论的：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端，点的距离相等；到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 那么,上述结论能不能用其他方式得到呢?答案是肯定的.
给定一个平面,选定原点建立平面直角坐标系后,平面内点的位置可以用坐标来刻画. 此时,平面内的直线是否可以通过直线上点的坐标来刻画?平面内其他几何对象能否也用类似的方法来描述?这些都是本章我们要探讨的问题. 利用点的坐标来刻画几何对象、研究几何对象的性质以及探讨几何对象之间的关系，是解析几何的内容.
本章我们要学习利用直线上点的坐标来刻画直线,研究点与直线、直线与直线之间的位置关系.
除了直线以外,我们还会研究圆、椭圆、双曲线、抛物线等几何对象及其性质. 如图所示,因为这些几何对象都能通过用平面截两个顶点相同、顶角相等、轴相同的圆锥面得到,所以通常被称为圆雉曲线.
## 1 坐标法
## 1. 平面直角坐标系中的基本公式
我们已经知道,给定了原点、单位长度与正方向的直线是数轴,数轴上的点与实数是一一对应的,如图 2-1-1 所示.
图 2-1-1
如果数轴上点 $A$ 对应的数为 $x_{1}$ (即 $A$ 的坐标为 $x_{1}$,记作 $A\left(x_{1}\right)$ ),且 $B\left(x_{2}\right)$,则向量 $\overrightarrow{A B}$ 的坐标为 $x_{2}-x_{1}$,从而可以得到数轴上两点之间的距离公式
$$
|A B|=|\overrightarrow{A B}|=\left|x_{2}-x_{1}\right| \text {;(1) }
$$
如果 $M(x)$ 是线段 $A B$ 的中点,则 $\overrightarrow{A M}=\overrightarrow{M B}$,从而可以得到数轴上的中点坐标公式
$$
x=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}
$$
另一方面,给定一个平面,选定原点 $O$、单位长度以及 $x$ 轴和 $y$ 轴的正方向之后,可以建立平面直角坐标系 $x O y$,此时平面内的点与有序实数对是一一对应的. 如图 2-1-2 所示,如果 $A$ 点对应的有序实数对为 $\left(x_{1},y_{1}\right)$ (即 $A$ 的坐标为 $\left(x_{1},y_{1}\right)$,记作 $A\left(x_{1},y_{1}\right)$,其中 $x_{1}$ 为 $A$ 的横坐标,$y_{1}$ 为 $A$ 的纵坐标),且 $B\left(x_{2},y_{2}\right)$,则向量 $\overrightarrow{A B}=\left(x_{2}-x_{1},y_{2}-\right.$
图 2-1-2 $\left.y_{1}\right)$,从而可以得到平面直角坐标系内两点之间的距离公式
(1) 解析几何中,点 $A$ 与点 $B$ 的距离用符号 $|A B|$ 表示,下同.
$$
|A B|=|\overrightarrow{A B}|=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}
$$
若 $M(x,y)$ 是线段 $A B$ 的中点,则 $\overrightarrow{A M}=\overrightarrow{M B}$,从而可以得到平面直角坐标系内的中点坐标公式
$$
x=\frac{x_{1}+x_{2}}{2},y=1
$$
一般地，平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式都称为平面直角坐标系中的基本公式. 不难看出,利用平面直角坐标系中的基本公式,可以解决一些有关距离和中点的问题.
例 1 已知 $A(1,2),B(3,4),C(5,0)$ 是 $\triangle A B C$ 的三个顶点,求这个三角形 $A B$ 边上中线的长.
解设 $A B$ 的中点为 $M(x,y)$,则
$$
x=\frac{1+3}{2}=2,y=2
$$
从而可知所求中线长为
$$
|C M|=\sqrt{(2-5)^{2}+(3-0)^{2}}=3 \sqrt{2} \text {. }
$$
由例 1 可以看出,如果知道三角形的三个顶点的坐标,可以求出三角形的中线长、边长等信息,更进一步,可以判断三角形的形状等.
## 2. 坐标法
## 尝试与发现
如图 2-1-3 所示 $\square A B C D$ 中，如果要证明
$$
A C^{2}+B D^{2}=2\left(A B^{2}+A D^{2}\right) \text {,}
$$
你能想到什么办法?
图 2-1-3
尝试与发现中结论的证明,可以借助解三角形的知识来完成（请读者自行尝试),但如果注意到所要证明的式子中,只含有线段的长度,就可以想到能借助平面直角坐标系通过距离公式来完成.
例如,取 $A$ 为坐标原点,$A B$ 所在的直线为 $x$ 轴,建立如图 2-1-4 所示的平面直角坐标系. 则 $A(0,0)$,设 $B(a,0),C(b,c)$,从而由平行四边形的性质可知 $D(b-a,c)$.
图 2-1-4
因此
$$
\begin{aligned}
& |A C|^{2}=b^{2}+c^{2} \\
& |B D|^{2}=(b-2 a)^{2}+c^{2}=b^{2}-4 a b+4 a^{2}+c^{2},\\
& |A C|^{2}+|B D|^{2}=2 b^{2}-4 a b+4 a^{2}+2 c^{2};\end{aligned}
$$
类似地
$$
\begin{aligned}
& |A B|^{2}=3 \\
& |A D|^{2}=4 \\
& |A B|^{2}+|A D|^{2}=b^{2}-2 a b+2 a^{2}+c^{2} .
\end{aligned}
$$
由此可以看出
$$
|A C|^{2}+|B D|^{2}=2\left(|A B|^{2}+|A D|^{2}\right)
$$
从而可知结论成立.
这里我们实际上是通过建立平面直角坐标系,将几何问题转化为代数问题,然后通过代数运算等解决了问题. 这种解决问题的方法称为坐标法. 上面的例子中,我们借助坐标法证明了有关的几何结论. 在本章后续的内容中，我们会逐渐体会到用坐标法研究几何问题的特点.
例 2 已知 $A B C D$ 是一个长方形,$A B=4,A D=1$. 判断线段 $C D$ 上是否存在点 $P$,使得 $A P \perp B P$. 如果存在,指出满足条件的 $P$ 有多少个;如果不存在,说明理由.
解以 $A B$ 的中点为原点,$A B$ 所在直线为 $x$ 轴,建立如图 2-1-5 所示平面直角坐标系. 依据已知可得
$A(-2,0),B(2,0)$,
$C(2,1),D(-2,1)$.
设 $P(t,1)$ 是线段 $C D$ 上一点,则
图 2-1-5 $-2 \leqslant t \leqslant 2$,而且
$$
\overrightarrow{P A}=(-2-t,-1),\overrightarrow{P B}=(2-t,-1) \text {. }
$$
因为 $A P \perp B P$ 的充要条件是 $\overrightarrow{P A} \perp \overrightarrow{P B}$,即 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}=0$,这也等价于
$$
(-2-t)(2-t)+1=0
$$
又因为上述方程的解为 $t=\sqrt{3}$ 或 $t=5$，所以满足条件的 $P$ 点存在,而且有两个.
## 习题2-1A
(1) 已知数轴上 $A(-2),B(10)$,求这两点之间的距离以及它们的中点坐标.
(2) 已知 $A(3,0),B(0,-4)$,求这两点之间的距离以及它们的中点坐标. (3) 已知 $A(-1,3),B(3,3),C(1,2 \sqrt{3}+3)$,证明 $\triangle A B C$ 是等边三角形.
(4) 已知 $\triangle A B C$ 的三个顶点分别为 $A(2,1),B(-2,3),C(0,-1)$,求 $\triangle A B C$ 三条中线的长.
(5) 已知数轴上 $A(-1),B(2)$,且 $A$ 关于 $B$ 的对称点为 $C$,求 $C$ 的坐标.
(1) 已知数轴上的点 $P$ 到 $A(-9)$ 的距离是它到 $B(-3)$ 的距离的 2 倍,求点 $P$ 的坐标.
(2) 已知 $A(a,0),B(0,10)$,且 $|A B|=17$,求 $a$ 的值.
(3) 已知 $A(3,1),B(-2,2)$,在 $y$ 轴上的点 $P$ 满足 $P A \perp P B$,求 $P$ 的坐标.
(4) 已知 $A B C D$ 是一个长方形,且 $M$ 是 $A B C D$ 所在平面上任意一个点,求证: $A M^{2}+C M^{2}=B M^{2}+D M^{2}$.
(5) 已知函数 $y=f(x)$ 的图象与函数 $y=x^{2}+1$ 的图象关于 $M(2,0)$ 对称,求 $f(x)$ 的解析式.
## 习题2-1C
(1) 在数轴上,对坐标分别为 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 的两点 $A$ 和 $B$,用绝对值定义两点间的距离，表示为 $d(A,B)=\left|x_{1}-x_{2}\right|$.
(1) 在数轴上任意取三点 $A,B,C$,证明 $d(A,B) \leqslant d(A,C)+d(B,C)$.
(2) 设 $A$ 和 $B$ 两点的坐标分别为 -3 和 2,分别找出（1）中不等式等号成立和等号不成立时点 $C$ 的范围.
(2) 城市的许多街道是相互垂直或平行的,因此,往往不能沿直线行走到达目的地,只能按直角拐弯的方式行走. 如果按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系,对两点 $A\left(x_{1},y_{1}\right)$ 和 $B\left(x_{2},y_{2}\right)$,定义两点间距离为 $d(A,B)=$ $\left|x_{1}-x_{2}\right|+\left|y_{1}-y_{2}\right|$.
(1) 在平面直角坐标系中任意取三点 $A,B,C$,证明 $d(A,B) \leqslant d(A,C)+$ $d(B,C)$
(2) 设 $A\left(x_{1},y_{1}\right),B\left(x_{2},y_{2}\right)$,分别找出 (1) 中不等式等号成立和等号不成立时点 $C$ 的范围.
$1 \frac{y_{1}+y_{2}}{2}$
$2 \frac{2+4}{2}=3$
$3 a^{2}$
4. $(b-a)^{2}+c^{2}=b^{2}-2 a b+a^{2}+c^{2}$
$5-\sqrt{3}$
## 2 直线及其方程
### 1 直线的倾斜角与斜率
## 1. 直线的倾斜角与斜率
## 尝试与发现
我们知道,经过平面直角坐标系中的一点,可以有无数条不同的直线.
如图 2-2-1 所示,过同一点的直线 $l_{1},l_{2},l_{3},l_{4}$,它们彼此之间的不同点是什么?你能找到一个量来描述它们的不同点吗?你找到的量,能够使得图中任意两条不同的直线都有不同的取值吗?
图 2-2-1
图 2-2-1 中的四条直线,任意两条相对于坐标轴（比如 $x$ 轴）的倾斜程度都不一样.
一般地,给定平面直角坐标系中的一条直线,如果这条直线与 $x$ 轴相交,将 $x$ 轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为 $\theta$,则称 $\theta$ 为这条直线的倾斜角;如果这条直线与 $x$ 轴平行或重合，则规定这条直线的倾斜角为 $0^{\circ}$.
这样一来,平面直角坐标系中的每一条直线都有唯一的倾斜角,而且倾斜角的取值范围是 $0^{\circ} \sim 180^{\circ}$. 特别地,与 $x$ 轴平行或重合 (即与 $y$ 轴垂直) 的直线,倾斜角为 $0^{\circ}$,例如图 2-2-1 中的 $l_{3}$;与 $x$ 轴垂直的直线,倾斜角为 90°,例如图 2-2-1 中的 $l_{1}$. 在图 2-2-1 中,$l_{4}$ 的倾斜角是一个锐角,$l_{2}$ 的倾斜角是一个钝角.
## 尝试与发现
平面直角坐标系中的两点可以确定一条直线,那么这两点当然也可以确定直线的倾斜角.
如图 2-2-2 所示,分别写出以下直线的倾斜角,并总结出一般的结论:
(1) 经过 $A(-1,-1),B(3,-1)$ 的直线 $l_{1}$;(2) 经过 $C(2,1),D(2,2)$ 的直线 $l_{2}$;(3) 经过 $E(-1,0),F(1,2)$ 的直线 $l_{3}$.
图 2-2-2
因为 $A,B$ 两点的纵坐标相同而横坐标不同,所以直线 $l_{1}$ 的倾斜角为 $0^{\circ}$;因为 $C,D$ 两点的横坐标相同而纵坐标不同,所以直线 $l_{2}$ 的倾斜角为 $90^{\circ}$;对于 $E,F$ 来说,如果过 $F$ 点作 $x$ 轴的垂线 $F N$ 且 $N$ 为垂足,则可以看出 $\triangle E N F$ 是等腰直角三角形,因此 $l_{3}$ 的倾斜角为 $45^{\circ}$.
一般地,如果 $A\left(x_{1},y_{1}\right),B\left(x_{2},y_{2}\right)$ 是直线 $l$ 上两个不同的点,直线 $l$ 的倾斜角为 $\theta$,则 :
（1）当 $y_{1}=y_{2}$ 时（此时必有 $\left.x_{1} \neq x_{2}\right),\theta=1$;
（2）当 $x_{1}=x_{2}$ 时（此时必有 $\left.y_{1} \neq y_{2}\right),\theta=2$;
（3）当 $x_{1} \neq x_{2}$ 且 $y_{1} \neq y_{2}$ 时,可以构造以 $A B$ 为斜边且两直角边分别平行于坐标轴或在坐标轴上的直角三角形,如图 2-2-3（1）(2) 所示,此时
$$
\tan \theta=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}
$$
而且,这个式子在 $x_{1} \neq x_{2}$ 且 $y_{1}=y_{2}$ 时也成立.
$(1)$
$(2)$
图 2-2-3
一般地,如果直线 $l$ 的倾斜角为 $\theta$,则当 $\theta \neq 90^{\circ}$ 时,称
$$
k=\tan \theta
$$
为直线 $l$ 的斜率;当 $\theta=90^{\circ}$ 时,称直线 $l$ 的斜率不存在.
从上面也可以看出,若 $A\left(x_{1},y_{1}\right),B\left(x_{2},y_{2}\right)$ 是直线 $l$ 上两个不同的点,则当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时,直线 $l$ 的斜率为
$$
k=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}
$$
当 $x_{1}=x_{2}$ 时,直线 $l$ 的斜率不存在.
例 1 已知直线 $l$ 经过点 $A(-1,3)$ 与 $B(2,0)$,求直线 $l$ 的斜率 $k$ 与倾斜角 $\theta$.
解因为 $A,B$ 两点的横坐标不相等,所以斜率
$$
k=\frac{0-3}{2-(-1)}=-1
$$
因此 $\tan \theta=-1$,由 $\theta \in[0,\pi)$ 可知倾斜角 $\theta=3$
例 2 已知平面直角坐标系中的四条直线 $l_{1},l_{2},l_{3},l_{4}$ 如图 2-2-4 所示,设它们的倾斜角分别为 $\theta_{1},\theta_{2},\theta_{3},\theta_{4}$,而且斜率分别为 $k_{1},k_{2},k_{3},k_{4}$. 分别将倾斜角和斜率按照从小到大的顺序排列.
解按照倾斜角的定义,从图上可以看出
$$
\theta_{1}<\theta_{2}<\theta_{3}<\theta_{4}
$$
图 2-2-4
因为
$$
k_{i}=\tan \theta_{i},\quad i=1,2,3,4,$$
又因为正切函数在 $\left[0,\frac{\pi}{2}\right)$ 递增且函数值大于 0,在 $\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$ 递增且函数值小于 0,所以
$$
k_{3}<k_{4}<k_{1}<k_{2} \text {. }
$$
## 尝试与发现
从直线的倾斜角与斜率都反映了直线相对于 $x$ 轴的倾斜程度这一点出发,考察平面直角坐标系中三个不同的点共线的充要条件,并举例说明.
注意到平面直角坐标系中每一条直线的倾斜角与斜率都是唯一的,因此可以看出,平面直角坐标系中三个不同的点共线的充要条件,从倾斜角考虑,是任意两点确定的直线的倾斜角都相等;从斜率考虑,是任意两点确定的直线的斜率,要么都不存在,要么都相等. 例如,如图 2-2-5 (1) 中,对于 $A(-2,0),B(0,2),C(1,3)$,有
$$
k_{A B}=\frac{2-0}{0-(-2)}=1,k_{A C}=\frac{3-0}{1-(-2)}=1 \text {,(1) }
$$
因此 $k_{A B}=k_{A C}$,从而直线 $A B$ 与直线 $A C$ 的倾斜角也相等,因此 $A,B,C$ 三点共线.
$(1)$
$(2)$
图 2-2-5
而如图 2-2-5 (2) 中,对于 $D(-2,0),E(-1,2),F(0,3)$,有 $k_{F D}=\frac{0-3}{-2-0}=\frac{3}{2},k_{F E}=\underline{4}$,
因此 $k_{F D} \neq k_{F E}$,从而直线 $F E$ 与直线 $F D$ 的倾斜角也不相等,因此 $E,F$,$D$ 三点不共线.
例 3 已知 $A(-2,-1),B(0,-3),C(1,-4),D(2,-6)$,则 $A,B,C$ 共线吗?$A,B,D$ 呢?
解因为
$k_{A B}=\frac{-3-(-1)}{0-(-2)}=-1,k_{A C}=\frac{-4-(-1)}{1-(-2)}=-1,k_{A D}=5$
所以 $k_{A B}=k_{A C} \neq k_{A D}$,因此 $A,B,C$ 共线,而 $A,B,D$ 不共线.
## 2. 直线的方向向量
给定平面直角坐标系中的一条直线 $l$,在 $l$ 上任意取 $A,B$ 两个不同的点,显然,向量 $\overrightarrow{A B}$ 也能描述直线 $l$ 相对于 $x$ 轴的倾斜程度,如图 2-2-6 所示. 此时,我们称 $\overrightarrow{A B}$ 是直线 $l$ 的一个方向向量.
一般地,如果表示非零向量 $\boldsymbol{a}$ 的有向线段所在的直线与直线 $l$ 平行或重合,则称向量 $\boldsymbol{a}$
图 2-2-6
(1) 为了方便起见,以后均用 $k_{A B}$ 表示由 $A,B$ 两点确定的直线的斜率. 为直线 $l$ 的一个方向向量,记作 $a / / l$.
例如,$\boldsymbol{a}=(1,0)$ 是所有倾斜角为 $0^{\circ}$ (即与 $y$ 轴垂直) 的直线的一个方向向量,$\boldsymbol{b}=(0,1)$ 是所有倾斜角为 $90^{\circ}$ (即与 $x$ 轴垂直) 的直线的一个方向向量,$c=(1,1)$ 是所有倾斜角为 $45^{\circ}$ 的直线的一个方向向量,如图 2-2-7 所示.
可以看出:
(1) 如果 $\boldsymbol{a}$ 为直线 $l$ 的一个方向向量,那么对于任意的实数 $\lambda \neq 0$,向量 $\lambda a$ 都是 $l$ 的一个方向
图 2-2-7 向量,而且直线 $l$ 的任意两个方向向量一定共线;
(2) 如果 $A\left(x_{1},y_{1}\right),B\left(x_{2},y_{2}\right)$ 是直线 $l$ 上两个不同的点,则
$$
\overrightarrow{A B}=\left(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1}\right)
$$
是直线 $l$ 的一个方向向量.
## 営试与发现
(1) 如图 2-2-8 所示,设 $l$ 是平面直角坐标系中的一条直线,且倾斜角为 $60^{\circ}$,设 $\overrightarrow{O P}$ 是直线 $l$ 的一个方向向量,且 $|\overrightarrow{O P}|=1$,你能写出 $\overrightarrow{O P}$ 的坐标吗?
(2) 一般地,如果直线 $l$ 的倾斜角为 $\theta$,斜率为 $k$,你能写出直线 $l$ 的一个方向向量吗?
图 2-2-8
如图 2-2-8 所示,因为 $|\overrightarrow{O P}|=1$,所以点 $P$ 的横坐标为 $\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}$,纵坐标为 $\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,因此 $\overrightarrow{O P}=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
( 1 )
( 2 )
图 2-2-9
一般地,如图 2-2-9 (1) (2) 所示,当 $\theta$ 为直线 $l$ 的倾斜角时,如果 $\overrightarrow{O P}$ 是直线 $l$ 的一个方向向量,而且 $|\overrightarrow{O P}|=1$,则根据三角函数的定义可知点 $P$ 的坐标为
$$
(\cos \theta,\sin \theta) \text {. }
$$
这就是说,此时 $\overrightarrow{O P}=(\cos \theta,\sin \theta)$ 一定是直线 $l$ 的一个方向向量.
当然,此时对于任意的实数 $\lambda \neq 0,\lambda \overrightarrow{O P}=(\lambda \cos \theta,\lambda \sin \theta)$ 也是直线 $l$ 的一个方向向量. 当 $\theta \neq 90^{\circ}$ 时,直线的斜率 $k$ 是存在的,而且
$$
k=\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}
$$
因此,此时如果令 $\lambda=\frac{1}{\cos \theta}$,则可知 $(1,k)$ 也一定是直线 $l$ 的一个方向向量.
例如,如果直线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{\pi}{6}$,则 $\left(\cos \frac{\pi}{6},\sin \frac{\pi}{6}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$ 是直线 $l$ 的一个方向向量;另一方面,因为直线的斜率为 $\tan \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,所以 $\left(1,\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$ 也是直线 $l$ 的一个方向向量.
## 営试与发现
(1) 如图 2-2-10 所示,如果 $\boldsymbol{a}=(-1,1)$ 为直线 $l$ 的一个方向向量，你能写出 $l$ 的斜率 $k$ 和倾斜角 $\theta$ 吗?
（2）一般地,如果已知 $\boldsymbol{a}=(u,v)$ 为直线 $l$ 的一个方向向量,你能由此写出 $l$ 的斜率 $k$ 和倾斜角 $\theta$ 吗?
图 2-2-10
在图 2-2-10 中,当 $\boldsymbol{a}=(-1,1)$ 是 $l$ 的一个方向向量时,若直线 $l$ 的斜率为 $k$,则 $(1,k)$ 也是直线 $l$ 的一个方向向量,因此 $\boldsymbol{a}=(-1,1)$ 与 $(1,k)$ 共线. 从而
$$
(-1) \times k=1 \times 1
$$
从而可求得斜率 $k=-1$. 然后再根据 $\tan \theta=-1$ 可知 $\theta=135^{\circ}$.
一般地,如果已知 $\boldsymbol{a}=(u,v)$ 为直线 $l$ 的一个方向向量,则:
（1）当 $u=0$ 时，显然直线 $l$ 的斜率不存在，倾斜角为 $90^{\circ}$;
（2）当 $u \neq 0$ 时,直线 $l$ 的斜率是存在的,而且此时 $(1,k)$ 与 $\boldsymbol{a}=(u,v)$ 都是直线 $l$ 的一个方向向量,由直线的任意两个方向向量共线可知 $1 \times v=$ $k \times u$,从而
$$
k=\frac{v}{u}
$$
因此可知倾斜角满足 $\tan \theta=\frac{v}{u}$. 例 4 已知直线 $l$ 通过点 $A(0,1)$ 与 $B(1,1-\sqrt{3})$,求直线 $l$ 的一个方向向量,并确定直线 $l$ 的斜率与倾斜角.
由已知可得
$$
\overrightarrow{A B}=(1,1-\sqrt{3})-(0,1)=(1,-\sqrt{3})
$$
是直线 $l$ 的一个方向向量.
因此,直线的斜率
$$
k=6
$$
直线的倾斜角 $\theta$ 满足 $\tan \theta=-\sqrt{3}$,从而可知 $\theta=120^{\circ}$.
由上可以看出,通过直线的方向向量能够确定直线的斜率与倾斜角,而且一条直线的所有方向向量都共线,因此也可得到: 如果 $A,B,C$ 是平面直角坐标系中的三个不同的点,则这三点共线的充要条件是 $\overrightarrow{A B}$ 与 $\overrightarrow{A C}$ 共线.
例 5 已知 $A(-3,-1),B(1,3),C(5,8)$,判断 $A,B,C$ 是否共线.
解因为
$$
\begin{aligned}
& \overrightarrow{A B}=(1-(-3),3-(-1))=(4,4),\\
& \overrightarrow{A C}=(5-(-3),8-(-1))=(8,9),\end{aligned}
$$
又因为 $4 \times 9 \neq 4 \times 8$,所以 $\overrightarrow{A B}$ 与 $\overrightarrow{A C}$ 不共线,从而 $A,B,C$ 不共线.
## 3. 直线的法向量
一般地,如果表示非零向量 $v$ 的有向线段所在直线与直线 $l$ 垂直,则称向量 $v$ 为直线 $l$ 的一个法向量,记作 $\boldsymbol{v} l$.
不难看出,一条直线的方向向量与法向量互相垂直. 特别地,当 $x_{0}$ 与 $y_{0}$ 不全为 0 时,因为向量 $\left(x_{0},y_{0}\right)$ 与 $\left(y_{0},-x_{0}\right)$ 是互相垂直的,所以,如果其中一个为直线 $l$ 的一个方向向量,则另一个一定是直线 $l$ 的一个法向量.
例如,如果 $\boldsymbol{a}=(1,2)$ 是直线 $l_{1}$ 的一个方向向量,则 $\boldsymbol{v}=(2,-1)$ 就是直线 $l_{1}$ 的一个法向量;如果 $v=(-2,-3)$ 是直线 $l_{1}$ 的一个法向量,则 $a=7$ 就是直线 $l_{1}$ 的一个方向向量.
## 练习 $A$
(1) 分别写出下列直线的倾斜角:
(1) 垂直于 $x$ 轴的直线;(2) 垂直于 $y$ 轴的直线;(3) 第一、三象限的角平分线;(4) 第二、四象限的角平分线. (2) 根据下列直线的倾斜角 $\alpha$,判断直线的斜率是否存在,如果存在,求出斜率的值:
(1) $\alpha=0^{\circ}$;(2) $\alpha=60^{\circ}$;(3) $\alpha=90^{\circ}$;(4) $\alpha=150^{\circ}$.
(3) 已知直线 $l$ 经过点 $A(-2,0)$ 与 $B(-5,3)$,求直线 $l$ 的一个方向向量、斜率 $k$ 与倾斜角 $\theta$.
(4) 已知 $A(-1,-3),B(0,-1),C(1,2),D(3,5)$,则 $A,B,C$ 共线吗?$A,B,D$ 呢?
5 判断命题“如果 $A,B,C$ 是平面直角坐标系中的三个不同的点,则这三点共线的充要条件是 $\overrightarrow{A B}$ 与 $\overrightarrow{B C}$ 共线” 的真假.
## 练习B
(1) (1) 如果直线的倾斜角 $\theta \in\left[0,\frac{\pi}{2}\right)$,则当 $\theta$ 增大时,直线的斜率将怎样变化?如果 $\theta \in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$ 呢?
（2）能否说直线的倾斜角增大时斜率也增大?为什么?
(2) 分别判断经过下列两点的直线的斜率是否存在,如果存在,求出斜率后再求出倾斜角;如果不存在,求出倾斜角.
(1) $C(-3,4),D(2,4)$;(2) $P(0,0),Q(-1,\sqrt{3})$;(3) $M(-3,\sqrt{2}),N(-\sqrt{2},3)$;(4) $E(7,0),Q(7,-\sqrt{2})$.
(3) 已知直线 $l_{1}$ 的斜率为 -1,直线 $l_{2}$ 的倾斜角比直线 $l_{1}$ 的倾斜角小 $30^{\circ}$,求直线 $l_{2}$ 的斜率.
(4) 已知经过 $A(a,-1),B(2,a+1)$ 的直线的斜率为 3,求实数 $a$ 的值.
(5) 已知直线 $l$ 的斜率的绝对值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$,求这条直线的倾斜角.
$10^{\circ} \quad 290^{\circ} \quad 3135^{\circ} \quad 4 \frac{2-3}{-1-0}=1 \quad 5 \frac{-6-(-1)}{2-(-2)}=-\frac{5}{4}$
$6 \frac{-\sqrt{3}}{1}=-\sqrt{3} \quad 7(-3,2)($ 或 $(3,-2)$ 等 $)$
### 2 直线的方程
## 1. 直线的点斜式方程与斜截式方程
## 尝试与发现
设 $l_{1},l_{2}$ 是平面直角坐标系中的直线,分别判断满足下列条件的 $l_{1},l_{2}$ 是否唯一. 如果唯一,作出相应的直线,并思考直线上任意一点的坐标 $(x,y)$ 应该满足什么条件.
（1）已知 $l_{1}$ 的斜率不存在;(2) 已知 $l_{1}$ 的斜率不存在且 $l_{1}$ 过点 $A(-2,1)$;(3) 已知 $l_{2}$ 的斜率为 $\sqrt{3}$;(4) 已知 $l_{2}$ 的斜率为 $\sqrt{3}$ 且 $l_{2}$ 过点 $B(1,2)$.
不难看出,满足条件（1）的直线 $l_{1}$ 有无数条,但满足条件（2）的直线 $l_{1}$ 是唯一的,如图 2-2-11 所示. 此时若 $P(x,y)$ 为直线 $l_{1}$ 上的点,则必有 $x=-2$;另外,任意横坐标为 -2 的点,一定都在直线 $l_{1}$ 上.
图 2-2-11
图 2-2-12
满足条件 (3) 的直线 $l_{2}$,只要倾斜角为 $60^{\circ}$ 即可,因此 $l_{2}$ 也有无数条,但满足条件 (4) 的直线 $l_{2}$ 是唯一的,如图 2-2-12 所示. 此时若 $P(x,y)$ 为直线 $l_{2}$ 上不同于 $B$ 的点,则 $k_{B P}=\sqrt{3}$,即 $\frac{y-2}{x-1}=\sqrt{3}$,化简可得
$$
y-2=\sqrt{3}(x-1) \text {,}
$$
容易验证,$B(1,2)$ 的坐标也能使上式成立,因此直线 $l_{2}$ 上的点都使得上式成立;另外,如果 $x,y$ 能使得上式成立,则要么 $P(x,y)$ 就是点 $B(1,2)$,要么 $k_{B P}=\sqrt{3}$,也就是说,点 $P$ 一定在直线 $l_{2}$ 上. 如果我们将 $x=-2$ 与 $y-2=\sqrt{3}(x-1)$ 都看成关于 $x,y$ 的方程,则由上可以看出,平面内的点是否在直线 $l_{1},l_{2}$ 上,只要看坐标是否能满足对应的方程即可.
一般地,如果直线 $l$ 上点的坐标都是方程 $F(x,y)=0$ 的解,而且以方程 $F(x,y)=0$ 的解为坐标的点都在直线 $l$ 上,则称 $F(x,y)=0$ 为直线 $l$ 的方程,而直线 $l$ 称为方程 $F(x,y)=0$ 的直线. 此时,为了简单起见,“直线 $l$ ” 也可说成“直线 $F(x,y)=0$ ”,并且记作 $l$ : $F(x,y)=0$.
因此,前述直线 $l_{1}$ 的方程为 $x=-2$,且 $l_{2}$ 的方程是 $y-2=$ $\sqrt{3}(x-1)$. 由直线方程的定义可以看出,平面直角坐标系中的一
想一想
“二次函数 $y=$ $(x-1)^{2}$ 的图象的对称轴为 $x=1$ ”,其中的 $x=1$ 表示的是什么?
个点是否在直线上,只要看它的坐标是否是直线方程的解即可. 例如,点 $(2,3)$ 不在直线 $y-2=\sqrt{3}(x-1)$ 上,因为
$$
3-2 \neq \sqrt{3}(2-1) \text {. }
$$
从前面的实例也可以看出,在平面直角坐标系中,如果已知 $P_{0}\left(x_{0},y_{0}\right)$ 是直线 $l$ 上一点,而且知道 $l$ 的斜率信息,就可以写出直线 $l$ 的方程:
(1) 如果直线 $l$ 的斜率不存在,则直线 $l$ 的方程为
$$
x=x_{0} \text {. }
$$
(2) 如果直线 $l$ 的斜率存在且为 $k$,设 $P(x,y)$ 为直线 $l$ 上不同于 $P_{0}$ 的点,则 $k_{P_{0} P}=k$,即 $\frac{y-y_{0}}{x-x_{0}}=k$,化简可得
$$
y-y_{0}=k\left(x-x_{0}\right),$$
而且 $P_{0}\left(x_{0},y_{0}\right)$ 的坐标也能使上式成立;另外,如果 $x,y$ 能使得上式成立,则要么 $P(x,y)$ 就是点 $P_{0}\left(x_{0},y_{0}\right)$,要么 $k_{P_{0} P}=k$,也就是说,点 $P$ 一定在直线 $l$ 上,从而(1) 就是直线 $l$ 的方程. 因为方程(1)由直线上一点和直线的斜率确定,所以通常称为直线的点斜式方程.
直线的点斜式方程还可以用方向向量来得到：如果已知 $P_{0}\left(x_{0},y_{0}\right)$ 是直线 $l$ 上一点,而且 $l$ 的斜率为 $k$,则直线的一个方向向量为 $\boldsymbol{a}=(1,k)$;另一方面,设 $P(x,y)$ 为平面直角坐标系中任意一点,则 $P$ 在直线 $l$ 上的充要条件是 $\overrightarrow{P_{0} P}$ 与 $\boldsymbol{a}$ 共线,又因为 $\overrightarrow{P_{0} P}=\left(x-x_{0},y-y_{0}\right)$,所以
$$
y-y_{0}=k\left(x-x_{0}\right) \text {. }
$$
例 1 已知直线 $l$ 经过点 $P$,且 $l$ 的斜率为 $k$,分别根据下列条件求直线 $l$ 的方程:
(1) $P(0,3),k=2$;(2) $P(1,0),k=-3$.
解 (1) 根据已知可得直线 $l$ 的点斜式方程为
$$
y-3=2 \times(x-0) \text {,}
$$
化简得 $y=2 x+3$.
(2) 根据已知可得直线 $l$ 的点斜式方程为
## 化简得 2
例 1 说明,在直线的点斜式方程中,如果已知的点是坐标轴上的点,则点斜式方程可以方便地化为 $y=k x+b$ 的形式.
一般地,当直线 $l$ 既不是 $x$ 轴也不是 $y$ 轴时: 若 $l$ 与 $x$ 轴的交点为 $(a,0)$,则称 $l$ 在 $x$ 轴上的截距为 $a$;若 $l$ 与 $y$ 轴的交点为 $(0,b)$,则称 $l$ 在 $y$ 轴上的截距为 $b$. 一条直线在 $y$ 轴上的截距简称为截距.
因此,如果已知直线的斜率为 $k$,截距为 $b$,则意味着这条直线过了 $(0,b)$ 这个点,从而可知直线的方程为 $y-b=k(x-0)$,化简可得
$$
y=k x+b
$$
方程(2)由直线的斜率和截距确定,因此通常称为直线的斜截式方程.
从直线的斜截式方程 $y=k x+b$,可以方便地看出直线的斜率 $k$ 和截距 $b$. 事实上,此时若 $\left(x_{1},y_{1}\right),\left(x_{2},y_{2}\right)$ 是直线上两个不同的点,则
$$
\left\{\begin{array}{l}
y_{1}=k x_{1}+b,\\
y_{2}=k x_{2}+b,\end{array}\right.
$$
第二式减去第一式可得 $y_{2}-y_{1}=k\left(x_{2}-x_{1}\right)$,因此当 $x_{2}-x_{1} \neq 0$ 时有
$$
k=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}
$$
从而 $k$ 就是直线的斜率. 在方程 $y=k x+b$ 中,令 $x=0$ 得 $y=b$,
## 想一想
直线方程的斜截式与一次函数的表达式有什么联系与区别?
因此直线与 $y$ 轴的交点为 $(0,b)$,这就是说,$b$ 为直线的截距 (即直线在 $y$ 轴上的截距).
从上面可以看出,平面直角坐标系中直线的方程,要么可以写成 $x=x_{0}$ 的形式,要么可以写成 $y=k x+b$ 的形式. 正因为如此,在求直线的方程时,如果直线的斜率存在,最后总可将直线的方程写成斜截式的形式.
例 2 已知直线 $l$ 经过点 $P(-2,3)$,且 $l$ 的倾斜角为 $45^{\circ}$,求直线 $l$ 的方程,并求直线 $l$ 的截距.
解因为直线 $l$ 的斜率 $k=\tan 45^{\circ}=1$,所以可知直线 $l$ 的方程为
$$
y-3=1 \times[x-(-2)]
$$
即 $y=x+5$. 因此直线 $l$ 的截距为 3
## 2. 直线的两点式方程
我们在初中学过“两点确定一条直线”,下面来探讨如何利用代数等式来表达这个几何事实.
## 尝试与发现
根据条件求出下列直线的方程:
(1) 经过 $A(0,1)$ 与 $B(1,3)$ 两点的直线 $l_{1}$;(2) 经过 $P_{1}\left(x_{1},y_{1}\right)$ 与 $P_{2}\left(x_{2},y_{2}\right)$ 两点的直线 $l_{2}$.
为了得到直线 $l_{1}$ 的方程,我们首先可以通过 $A,B$ 两点得到 $l_{1}$ 的斜率 $k=\frac{3-1}{1-0}=2$,再根据直线的点斜式方程得到直线 $l_{1}$ 的方程为
$$
y-3=2(x-1)
$$
即 $y=2 x+1$.
直线 $l_{2}$ 的方程可以用同样的方法来求,但是需要对它的斜率是否存在进行讨论. 下面我们换种方式来推导：注意到 $\overrightarrow{P_{1} P_{2}}=\left(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1}\right)$ 是直线 $l$ 的一个方向向量. 设 $P(x,y)$ 为平面直角坐标系中一点,则 $\overrightarrow{P_{1} P}=$ $\left(x-x_{1},y-y_{1}\right),P$ 在直线 $l_{2}$ 上的充要条件是 $\overrightarrow{P_{1} P}$ 与 $\overrightarrow{P_{1} P_{2}}$ 共线,即
$$
\left(x-x_{1}\right)\left(y_{2}-y_{1}\right)=\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(y-y_{1}\right) \text {,}
$$
这就是直线 $l_{2}$ 的方程.
当 $x_{2}-x_{1} \neq 0$ 且 $y_{2}-y_{1} \neq 0$ 时,(3)式可以变形为
$$
\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}},$$
这种形式的直线方程由直线上的两点确定,称为直线的两点式方程.
例 3 已知直线 $l$ 经过点 $A(-2,1),B(3,-3)$,求直线 $l$ 的方程,并求直线 $l$ 的截距.
解因为 $A,B$ 两点的横坐标不相等,而且纵坐标也不相等,所以直线的两点式方程为
$$
\frac{y-1}{-3-1}=\frac{x-(-2)}{3-(-2)}
$$
整理得 $y=-\frac{4}{5} x-\frac{3}{5}$. 因此直线 $l$ 的截距为 4 例 4 已知直线 $l$ 在 $x$ 轴、$y$ 轴上的截距分别为 $a,b$,且 $a b \neq 0$,求直线 $l$ 的方程.
解根据已知可得直线 $l$ 通过点 $(a,0),(0,b)$,而且 $a \neq 0,b \neq 0$,因此直线的两点式方程为
$$
\frac{y-b}{0-b}=\frac{x-0}{a-0}
$$
这一方程可以整理为
$$
\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1
$$
(5)式通常称为直线的截距式方程,需要特别注意的是,这只有直线在 $x$ 轴与在 $y$ 轴上的截距都存在且不为 0 时才成立.
## 3. 直线的一般式方程
## 尝试与发现
所有直线的方程都能表示成点斜式吗?都能表示成斜截式吗?都能表示成两点式吗?如果能,说明理由;如果不能,举出反例,并思考直线的方程都能写成什么样的形式.
显然,并不是所有的直线方程都能表示成点斜式、斜截式和两点式. 例如,过 $(1,2)$ 且垂直于 $x$ 轴的直线,其直线方程为
$$
x=1 \text {,}
$$
这条直线的斜率不存在,在 $y$ 轴上的截距也不存在,任意两点的横坐标都相同,因此该方程不可能表示成点斜式、斜截式和两点式.
但我们已经知道,平面直角坐标系中直线的方程,要么可以写成 $x=x_{0}$ 的形式,要么可以写成 $y=k x+b$ 的形式,因此可以看出,所有的直线方程都可以写成
$$
A x+B y+C=0
$$
的形式,其中 $A,B,C$ 都是实常数,而且 $A$ 与 $B$ 不同时为零 (即 $A^{2}+B^{2} \neq 0$ ).
(6)式一般称为直线的一般式方程. 在求直线方程时,最后一般都将直线的方程化为一般式方程. 例如,直线方程 $x=-3$ 写成一般式方程是 $x+3=0$,直线方程 $y=-2 x-5$ 写成一般式方程是 $2 x+y+5=0$.
习惯上,也将形如 (6)式的方程称为关于 $x,y$ 的二元一次方程. 那么,关于 $x,y$ 的二元一次方程(6)是否一定表示的是直线呢?答案是肯定的. 这是因为在(6)式中: 如果 $B \neq 0$,则方程可以化为
$$
y=-\frac{A}{B} x-\frac{C}{B},$$
它表示的是斜率为 5
且截距为 $-\frac{C}{B}$ 的直线;如果 $B=0$,则由 $A$ 与 $B$ 不同时为零可知 $A \neq 0$,从而方程可以化为
$$
x=-\frac{C}{A} \text {,}
$$
它表示的是斜率 6
且过点 $\left(-\frac{C}{A},0\right)$ 的直线.
例 5 已知直线 $l$ 的一般式方程为 $2 x-3 y+6=0$,求直线 $l$ 的斜率以及在 $x$ 轴和 $y$ 轴上的截距.
解直线 $l$ 的一般式方程可以化为
$$
y=\frac{2}{3} x+2,$$
所以直线 $l$ 的斜率为 $\frac{2}{3}$,在 $y$ 轴上的截距为 2 .
在方程中令 $y=0$ 可得 $x=-3$,因此 $l$ 在 $x$ 轴上的截距为 7
直线方程的一般形式也可以从 (3)中直接得到. 而且,如果直线 $l$ 的一般式方程为
$$
A x+B y+C=0\left(A^{2}+B^{2} \neq 0\right),$$
设 $P_{0}\left(x_{0},y_{0}\right)$ 为直线 $l$ 上一个固定的点,$P(x,y)$ 为直线 $l$ 上任意一点,则
$$
\left\{\begin{array}{l}
A x_{0}+B y_{0}+C=0 \\
A x+B y+C=0
\end{array}\right.
$$
第二式减去第一式可得
$$
A\left(x-x_{0}\right)+B\left(y-y_{0}\right)=0 .
$$
若记 $\boldsymbol{v}=(A,B)$,则(7式说明 $\boldsymbol{v}$ 与向量
$$
\overrightarrow{P_{0} P}=\left(x-x_{0},y-y_{0}\right)
$$
的内积为 0,因此 $v \perp \overrightarrow{P_{0} P}$,即 $v=(A,B)$ 为直线 $A x+B y+C=0$ 的一个法向量.
例 6 已知直线 $l$ 经过点 $A(3,2)$,而且 $v=(3,-4)$ 是直线 $l$ 的一个法向量,求直线 $l$ 的一般式方程.
解 (方法一) 设 $P(x,y)$ 为平面直角坐标系中任意一点,则 $P$ 在直线 $l$ 上的充要条件是 $\overrightarrow{A P}$ 与 $v=(3,-4)$ 垂直. 又因为 $\overrightarrow{A P}=(x-3,y-2)$,所以
$$
3 \times(x-3)+(-4) \times(y-2)=0,$$
整理可得一般式方程为 $3 x-4 y-1=0$.
(方法二) 因为 $\boldsymbol{v}=(3,-4)$ 是直线 $l$ 的一个法向量,所以可以设 $l$ 的方程为
$$
3 x-4 y+C=0,$$
代人点 $A(3,2)$,可求得 $C=-1$,因此所求方程为 $3 x-4 y-1=0$.
## 4. 用信息技术根据方程作直线
根据直线的方程,利用计算机软件可以方便地在平面直角坐标系中作出直线.
例如,在 GeoGebra 中,输人直线的方程,即可得到直线,而且还可以选择方程的不同形式,如图 2-2-13 所示.
图 2-2-13
## 练习 $A$
(1) 判断下列各点是否在直线 $y=-6 x+7$ 上: $A(0,7),B(2,5),C(1,1)$.
(2) 已知点 $(a,1)$,( $-1,b)$ 确定的直线方程是 $y=-3 x+1$,求 $a,b$ 的值.
(3) 根据下列条件求直线的点斜式方程:
(1) 经过点 $A(2,5)$,斜率为 4;
(2) 经过点 $B(-2,2)$,倾斜角为 $30^{\circ}$.
(4) 根据下列条件求直线的斜截式方程:
（1）斜率是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，截距是 -2;（2）倾斜角是 $135^{\circ}$，截距是 3 . (5) 分别求下列直线的方程:
(1) 经过 $A(0,-1),B(-1,1)$ 的直线 $l_{1}$;
(2) 经过 $C(3,-1),D(-2,-1)$ 的直线 $l_{2}$;
(3) 经过 $E(1,3),F(1,-2)$ 的直线 $l_{3}$.
(6) 根据下列条件,求直线的方程:
(1) 过点 $A(-3,2)$,且截距是 -2;
(2) 过点 $A(3,0)$,且在两坐标轴上的截距和为 5 .
(7) 根据下列直线方程,分别求出直线的斜率及截距:
(1) $y-2=x+1$;(2) $y+4=\sqrt{3}(x-2)$;(3) $4 x+y-3=0$.
## 练习 $B$
(1) 判断下列命题的真假:
(1) 如果直线 $l$ 的斜率不存在,则直线 $l$ 在 $x$ 轴上的截距唯一;
(2) 如果直线 $l$ 的斜率存在,则直线 $l$ 的截距唯一;
(3) 存在直线 $l$,使得 $l$ 在 $x$ 轴上的截距与在 $y$ 轴上的截距都为 0 .
(2) 已知直线 $l_{1}$ 的倾斜角为 $30^{\circ}$,直线 $l_{2}$ 与 $l_{1}$ 垂直,求直线 $l_{2}$ 的倾斜角.
3 判断 $\frac{y-2}{x-3}=1$ 是否是某条直线的方程.
(4) 在同一个平面直角坐标系中,作出经过原点且斜率分别为 $1,-1,2,-2$ 的直线,并总结斜率分别为 $k$ 和 $k$ 的两条直线的倾斜角有什么关系.
(5) (1) 如果直线 $l$ 过点 $P(-1,-2)$,且直线 $l$ 的方向向量为 $\boldsymbol{a}=(1,-2)$,求直线 $l$ 的方程;
(2) 如果直线 $l$ 过点 $P\left(x_{0},y_{0}\right)$,且直线 $l$ 的方向向量为 $\boldsymbol{a}=(u,v)$,求直线 $l$ 的方程.
(6) (1) 如果直线 $l$ 过点 $P(1,3)$,且直线 $l$ 的法向量为 $\boldsymbol{a}=(-3,1)$,求直线 $l$ 的方程;
(2) 如果直线 $l$ 过点 $P\left(x_{0},y_{0}\right)$,且直线 $l$ 的法向量为 $\boldsymbol{a}=(u,v)$,求直线 $l$ 的方程.
$y-0=(-3) \times(x-1)$
$2 y=-3 x+3$
$35 \quad 4-\frac{3}{5}$
$5-\frac{A}{B}$
6 不存在 $\quad 7-3$
### 3 两条直线的位置关系
## 1. 两条直线的相交、平行与重合
从初中平面几何中我们就已经知道,两条不重合的直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ : 如果它们没有公共点,那么 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 平行;否则,$l_{1}$ 与 $l_{2}$ 相交,而且有唯一的交点. 在平面直角坐标系中，直线可以用直线的方程来表示，那么如何依据两条直线的方程来判定它们之间的位置关系呢?这就是下面我们要讨论的问题.
## 尝试与发现
(1) 已知直线 $l_{1}: x-y+1=0$,直线 $l_{2}: x+y+3=0$,判断 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的关系. 如果相交,求出交点的坐标；如果不相交,说明理由.
（2）总结怎样依据两条直线的方程来考察它们之间的位置关系.
因为平面直角坐标系中，一个点在直线上的充要条件是这个点的坐标能满足直线的方程,所以为了考察 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的位置关系,只要看它们的方程组成的方程组的解的情况即可. 又因为解方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x-y+1=0,\\
x+y+3=0,\end{array}\right.
$$
可得 $x=-2,y=-1$,所以可知 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 是相交的,而且交点的坐标为 1
类似地,可以用同样的方法来考察平面直角坐标系中任意两条直线的位置关系.
若直线 $l_{1}: y=k_{1} x+b_{1},l_{2}: y=k_{2} x+b_{2}$,则可得方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
y=k_{1} x+b_{1},\\
y=k_{2} x+b_{2},\end{array}\right.
$$
消去末知数 $y$ 并整理,可得
$$
\left(k_{1}-k_{2}\right) x=-\left(b_{1}-b_{2}\right) .
$$
（1）当且仅当 $k_{1}-k_{2} \neq 0$,即 $k_{1} \neq k_{2}$ 时,(1)式有唯一的解 $x=-\frac{b_{1}-b_{2}}{k_{1}-k_{2}}$,因此可知方程组有唯一的解,且 $y=\frac{b_{2} k_{1}-b_{1} k_{2}}{k_{1}-k_{2}}$. 此时,直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 有唯一的交点 (称为相交),且交点坐标为
$$
\left(-\frac{b_{1}-b_{2}}{k_{1}-k_{2}},\frac{b_{2} k_{1}-b_{1} k_{2}}{k_{1}-k_{2}}\right) \text {. }
$$
(2) 当且仅当 $k_{1}-k_{2}=0$ 且 $-\left(b_{1}-b_{2}\right) \neq 0$,即 $k_{1}=k_{2}$ 且 $b_{1} \neq b_{2}$ 时,(1) 式无解,因此方程组也无解. 此时,直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 没有交点,因此它们相互平行.
(3) 当且仅当 $k_{1}-k_{2}=0$ 且 $-\left(b_{1}-b_{2}\right)=0$,即 $k_{1}=k_{2}$ 且 $b_{1}=b_{2}$ 时,任意实数都是(1)式的解,方程组有无数组解. 此时,直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的方程完全一样,它们有无穷多个交点,因此重合.
综上,若直线 $l_{1}: y=k_{1} x+b_{1},l_{2}: y=k_{2} x+b_{2}$,则:
$$
\begin{aligned}
& l_{1} \text { 与 } l_{2} \text { 相交 } \Leftrightarrow k_{1} \neq k_{2};\\
& l_{1} \text { 与 } l_{2} \text { 平行 } \Leftrightarrow k_{1}=k_{2} \text { 且 } b_{1} \neq b_{2};\\
& l_{1} \text { 与 } l_{2} \text { 重合 } \Leftrightarrow k_{1}=k_{2} \text { 且 } b_{1}=b_{2} .
\end{aligned}
$$
这个结论也可从斜率反映的是直线相对于 $x$ 轴的倾斜程度等来直观理解,请读者自行尝试.
例如,直线 $y=-x$ 与 $y=2 x$ 相交,直线 $y=3$ 与 $y=-1$ 平行.
## 尝试与发现
上述结论中包括了平面直角坐标系中所有的直线吗?如果没有,请提出能包括所有直线的解决方案,并尝试给出最后的结论.
前面的讨论中并没有包括斜率不存在的直线. 为此,可以考虑直线的一般式方程.
设直线 $l_{1}: A_{1} x+B_{1} y+C_{1}=0,l_{2}: A_{2} x+B_{2} y+C_{2}=0$. 虽然同样可以通过方程组的解的情况来考察 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的关系,但这里我们用法向量来处理.
因为 $\boldsymbol{v}_{1}=\left(A_{1},B_{1}\right)$ 是直线 $l_{1}$ 的一个法向量,$\boldsymbol{v}_{2}=\left(A_{2},B_{2}\right)$ 是直线 $l_{2}$ 的一个法向量,如图 2-2-14 (1) (2) 所示,不难看出:
(1) $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 相交 (即只有一个交点) 的充要条件是 $\boldsymbol{v}_{1}$ 与 $\boldsymbol{v}_{2}$ 不共线,即 $A_{1} B_{2} \neq A_{2} B_{1}$;
(2) $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 平行或重合的充要条件是 $\boldsymbol{v}_{1}$ 与 $\boldsymbol{v}_{2}$ 共线,即 $A_{1} B_{2}=A_{2} B_{1}$.
( 1 )
( 2 )
图 2-2-14
在 $\boldsymbol{v}_{1}$ 与 $\boldsymbol{v}_{2}$ 共线时,存在实常数 $\lambda$,使得 $\boldsymbol{v}_{1}=\lambda \boldsymbol{v}_{2}$,因为 $\boldsymbol{v}_{1}$ 与 $\boldsymbol{v}_{2}$ 都不是零向量,所以 $\lambda \neq 0$,且
$$
\left\{\begin{array}{l}
A_{1}=\lambda A_{2},\\
B_{1}=\lambda B_{2},\end{array}\right.
$$
此时 $l_{1}$ 的方程可以改写为 $\lambda\left(A_{2} x+B_{2} y\right)+C_{1}=0$,即 $A_{2} x+B_{2} y+\frac{C_{1}}{\lambda}=0$. 可以看出，方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
A_{2} x+B_{2} y+\frac{C_{1}}{\lambda}=0,\\
A_{2} x+B_{2} y+C_{2}=0
\end{array}\right.
$$
要么有无穷多组解,要么无解,而且有无穷多组解的充要条件为 $C_{2}=\frac{C_{1}}{\lambda}$. 因此 $A_{1} x+B_{1} y+C_{1}=0$ 与 $A_{2} x+B_{2} y+C_{2}=0$ 重合的充要条件是,存在实数 $\lambda$,使得
$$
\left\{\begin{array}{l}
A_{1}=\lambda A_{2},\\
B_{1}=\lambda B_{2},\\
C_{1}=\lambda C_{2} .
\end{array}\right.
$$
例如,直线 $x-1=0$ 与直线 $2 x-2=0$ 重合,直线 $x+y+\frac{1}{2}=0$ 与直线 $2 x+2 y+1=0$ 也重合.
上述结论也说明,直线 $A x+B y+C_{1}=0$ 与直线 $A x+B y+C_{2}=0$,平行的充要条件是 $C_{1} \neq C_{2}$,重合的充要条件是 2
例 1 判断下列各对直线的位置关系,如果相交,求出交点的坐标:
(1) $l_{1}: x-y+1=0,l_{2}: 2 x-2 y+1=0$;
(2) $l_{1}: x-2 y+1=0,l_{2}: x+2 y+5=0$.
解 (1) 将 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的方程分别化为斜截式可知
$$
l_{1}: y=x+1,l_{2}: y=x+\frac{1}{2} .
$$
因此 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的斜率相等,但截距不相等,所以它们平行. （2）解方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x-2 y+1=0 \\
x+2 y+5=0
\end{array}\right.
$$
可得 $x=-3,y=-1$.
因此 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 相交,而且交点的坐标为 3
例 2 已知直线 $l$ 过点 $(1,-4)$ 且与直线 $2 x+3 y+5=0$ 平行,求直线 $l$ 的方程.
解依题意可设 $l$ 的方程为 $2 x+3 y+C=0$. 由于 $l$ 过点 $(1,-4)$,因此
$$
2 \times 1+3 \times(-4)+C=0
$$
解得 $C=10$.
因此直线 $l$ 的方程为 $2 x+3 y+10=0$.
例 2 中所求得的直线只有一条,这实际上也能说明,通过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行.
## 2. 两条直线的垂直
我们知道,平面内的两条相交直线,如果相交所得的角是四个直角,则它们互相垂直. 因此,两条直线垂直是两条直线相交的一种特殊情形,能否根据直线的方程来判断两条直线是否垂直呢?这就是下面我们要讨论的问题.
## 尝试与发现
如果要根据两条直线的方程来判断它们是否垂直,可以从哪些方面来考虑?用你想到的方法判断直线 $l_{1}: 2 x-y+1=0$ 与 $l_{2}: x+2 y+2=0$ 是否垂直.
因为直线的方程给定之后,直线的法向量、斜率、倾斜角都能确定,所以至少可以从这些方面进行考虑.
可以看出,两条直线垂直的充要条件是它们的法向量相互垂直. 对于尝试与发现中的 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 来说,因为 $\boldsymbol{v}_{1}=(2,-1),\boldsymbol{v}_{2}=(1,2)$ 分别是 $l_{1},l_{2}$ 的法向量,而且
$$
\boldsymbol{v}_{1} \cdot \boldsymbol{v}_{2}=2 \times 1+(-1) \times 2=0,$$
即 $\boldsymbol{v}_{1} \perp \boldsymbol{v}_{2}$,所以 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 垂直.
另一方面,如果设 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的倾斜角分别为 $\alpha_{1}$ 与 $\alpha_{2}$,斜率分别为 $k_{1}$ 与 $k_{2}$,则由图 2-2-15 可以看出,$l_{1}$ 与 $l_{2}$ 垂直的充要条件是 $\alpha_{2}=\alpha_{1}+\frac{\pi}{2}$,从而
图 2-2-15
$$
\begin{aligned}
\tan \alpha_{2} & =\tan \left(\alpha_{1}+\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\sin \left(\alpha_{1}+\frac{\pi}{2}\right)}{\cos \left(\alpha_{1}+\frac{\pi}{2}\right)}=\frac{\cos \alpha_{1}}{-\sin \alpha_{1}} \\
& =-\frac{1}{\tan \alpha_{1}},\end{aligned}
$$
即 $\tan \alpha_{1} \tan \alpha_{2}=-1$,故 $k_{1} k_{2}=-1$. 又因为 $k_{1}=2,k_{2}=-\frac{1}{2}$,所以可知 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 垂直.
一般地,若已知平面直角坐标系中的直线 $l_{1}: y=k_{1} x+b_{1},l_{2}: y=$ $k_{2} x+b_{2}$,用类似方法考察它们的法向量或倾斜角之间的关系，可得
$$
l_{1} \perp l_{2} \Leftrightarrow k_{1} k_{2}=-1
$$
## 尝试与发现
上述结论中包括了平面直角坐标系中所有的直线吗?如果没有,请提出能包括所有直线的解决方案,并尝试给出最后的结论.
显然,前面的讨论中并没有包括斜率不存在的直线. 为此,可以考虑直线的一般式方程.
设直线 $l_{1}: A_{1} x+B_{1} y+C_{1}=0,l_{2}: A_{2} x+$ $B_{2} y+C_{2}=0$. 因为 $\boldsymbol{v}_{1}=\left(A_{1},B_{1}\right)$ 是直线 $l_{1}$ 的一个法向量,$\boldsymbol{v}_{2}=\left(A_{2},B_{2}\right)$ 是直线 $l_{2}$ 的一个法向量,如图 2-2-16 所示,不难看出,$l_{1}$ 与 $l_{2}$ 垂直的充要条件是 $\boldsymbol{v}_{1}$ 与 $\boldsymbol{v}_{2}$ 垂直,即 $\boldsymbol{v}_{1} \cdot \boldsymbol{v}_{2}=0$,因此
$$
A_{1} A_{2}+B_{1} B_{2}=0
$$
即
图 2-2-16
$$
l_{1} \perp l_{2} \Leftrightarrow A_{1} A_{2}+B_{1} B_{2}=0
$$
由此也可以看出,在平面直角坐标系中,直线 $A x+B y+C_{1}=0$ 与直线 $B x-A y+C_{2}=0$ 一定是垂直的,因为 $A B+B(-A)=0$.
例 3 判断下列各对直线是否垂直：
(1) $l_{1}: y=2 x-2,l_{2}: x-2 y+1=0$;
(2) $l_{1}: x=2,l_{2}: y-3=0$.
(1) 将 $l_{2}$ 的方程化为斜截式为 $y=\frac{1}{2} x+\frac{1}{2}$. 因此 $l_{2}$ 的斜率为
$$
\frac{1}{2} \times 2=1 \neq-1
$$
从而可知 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 不垂直.
（2）显然,$l_{1}$ 的倾斜角为 $90^{\circ},l_{2}$ 的倾斜角为 $0^{\circ}$,从而可知 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 垂直.
例 4 分别求下列直线的方程:
(1) 过点 (3,1) 且与直线 $y=3 x-1$ 垂直的直线 $l_{1}$;
(2) 过点 $(1,2)$ 且与直线 $2 x+y-10=0$ 垂直的直线 $l_{2}$.
(1) 因为直线 $y=3 x-1$ 的斜率为 3 且与 $l_{1}$ 垂直,所以 $l_{1}$ 的斜率为 5,因此直线 $l_{1}$ 的点斜式方程为
$$
y-1=-\frac{1}{3}(x-3) \text {,}
$$
整理得 $x+3 y-6=0$.
(2) 依题意可设 $l_{2}$ 的方程为 $x-2 y+C=0$. 由于 $l_{2}$ 过点 $(1,2)$,因此
$$
1-2 \times 2+C=0
$$
解得 $C=3$.
因此直线 $l_{2}$ 的方程为 $x-2 y+3=0$.
例 4 每一问中所求得的直线只有一条,这实际上也能说明,通过平面上一点,有且只有一条直线与已知直线垂直.
## 练习 $\mathrm{A}$
(1) 判断下列各对直线是否平行:
(1) $3 x+4 y-5=0,6 x+8 y-7=0$;(2) $y=3 x+4,2 y-6 x+1=0$;(3) $x=3,3 x+5=0$;(4) $x+y=0,x-y=0$.
(2) 判断下列各对直线是否相交,如果相交,求出交,点坐标:
(1) $l_{1}: 2 x+y=7,l_{2}: 4 x+2 y=1$;
(2) $l_{1}: x-3 y+2=0,l_{2}: y=3 x+4$.
(3) 根据下列条件,分别求过点 $P$ 且平行于直线 $l$ 的直线的方程:
(1) $P(-1,3),l: x-3 y+6=0$;(2) $P(3,-5),l: x+5 y+2=0$;(3) $P(2,3),l: 2 x+y-5=0$.
(4) 判断下列各对直线是否垂直:
(1) $l_{1}: 3 x+4=0,l_{2}: 5+2 y=0$;
(2) $l_{1}:(\sqrt{2}-1) x+y=3,l_{2}: x+(\sqrt{2}+1) y=2$. (5) 求下列过点 $P$ 且与直线 $l$ 垂直的直线的方程:
(1) $P(4,-3),l: x+5 y-3=0$;(2) $P(3,-5),l: x+y=0$;(3) $P(2,3),l: x+y-2=0$.
## 练习 $B$
(1) 已知直线 $2 x+y-8=0$ 与直线 $3 x+(1-a) y+3=0$ 平行,求 $a$ 的值.
(2) 方程 $2 x+y+a=0$ 在 $a$ 取不同实数时,对应不同的直线,这些不同的直线的位置关系如何?在平面直角坐标系中,分别作出 $a=0,1,2$ 时方程表示的直线.
(3) 已知直线 $2 x+a y-1=0$ 与 $x+4 y-2=0$ 的交点在第一象限,求 $a$ 的取值范围.
(4) 求经过 $2 x+y-8=0$ 与 $x-2 y+1=0$ 的交点,且平行于直线 $4 x-3 y-7=0$ 的直线的方程.
(5) 已知直线 $a x+2 y-1=0$ 与直线 $2 x-3 y+5=0$ 垂直,求 $a$ 的值.
(6) 已知 $A(-1,2),B(3,-2),C(1,5)$,求过点 $C$ 且与直线 $A B$ 垂直的直线的方程.
$1(-2,-1)$
$2 C_{1}=C_{2}$
$3(-3,-1)$
$4 \frac{1}{2}$
$5 \frac{-1}{3}=-\frac{1}{3}$
### 4 点到直线的距离
## 1. 点到直线的距离
我们知道,平面内点到直线的距离,等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度. 那么,如果已知平面直角坐标系中点的坐标以及直线的方程,能不能快速地求出点到直线的距离呢?这就是本小节我们要解决的问题.
## 尝试与发现
你能想办法求出 $P(-1,2)$ 到直线 $l_{1}: 2 x+y-5=0$ 的距离吗?用你的方法能得出一般的结论吗?
如图 2-2-17 所示,设 $P_{1}\left(x_{1},y_{1}\right)$ 是直线 $l_{1}$ 上的点,且 $P P_{1} \perp l_{1}$,则 $P$ 到 $l_{1}$ 的距离等于 $P P_{1}$ 的长.
注意到 $\overrightarrow{P P_{1}}=\left(x_{1}+1,y_{1}-2\right)$,而且 $v=(2,1)$ 是直线 $l_{1}$ 的一个法向量,因此 $\overrightarrow{P P_{1}}$ 与 $v$ 共线,从而
$$
2 \times\left(y_{1}-2\right)=1 \times\left(x_{1}+1\right),$$
整理得
$$
x_{1}-2 y_{1}+5=0 .
$$
又因为 $P_{1}\left(x_{1},y_{1}\right)$ 是直线 $l_{1}$ 上的点,所以
图 2-2-17
$$
2 x_{1}+y_{1}-5=0 .
$$
联立(1)与(2),解方程组可得 $x_{1}=1,y_{1}=3$. 即 $P_{1}(1,3)$,所以 $\overrightarrow{P P_{1}}=$ 1,因此
$$
\left|\overrightarrow{P P_{1}}\right|=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5},$$
即所求距离为 $\sqrt{5}$.
下面我们来求 $P\left(x_{0},y_{0}\right)$ 到直线 $l: A x+B y+C=0$ 的距离 $d$. 设 $P_{1}\left(x_{1},y_{1}\right)$ 是直线 $l$ 上的点,且 $P P_{1} \perp l$,因此所要求的就是
$$
d=\sqrt{\left(x_{1}-x_{0}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{0}\right)^{2}} .
$$
注意到 $\overrightarrow{P P_{1}}=\left(x_{1}-x_{0},y_{1}-y_{0}\right)$,而且 $v=(A,B)$ 是直线 $l$ 的一个法向量,因此 $\overrightarrow{P P_{1}}$ 与 $v$ 共线,从而 $A\left(y_{1}-y_{0}\right)=B\left(x_{1}-x_{0}\right)$,整理得
$$
B\left(x_{1}-x_{0}\right)-A\left(y_{1}-y_{0}\right)=0 .
$$
又因为 $P_{1}\left(x_{1},y_{1}\right)$ 是直线 $l$ 上的点,所以
$$
A x_{1}+B y_{1}+C=0 .
$$
如果联立(4)和(5)求出 $x_{1},y_{1}$,再代人 (3)中求 $d$,将是非常烦琐的（请读者自行尝试). 注意到为了求出(3),我们只需求出 $x_{1}-x_{0}$ 与 $y_{1}-y_{0}$ 的平方和即可,而(4)中正好有这两个式子,但(5)中没有. 为此,在(5)的左右两边同时减去 $A x_{0},B y_{0}$,并整理,得
$$
A\left(x_{1}-x_{0}\right)+B\left(y_{1}-y_{0}\right)=-\left(A x_{0}+B y_{0}+C\right) .
$$
将(4)与(6)两边平方后相加可得
$$
\left(A^{2}+B^{2}\right)\left[\left(x_{1}-x_{0}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{0}\right)^{2}\right]=\left(A x_{0}+B y_{0}+C\right)^{2},$$
因此 $\left(x_{1}-x_{0}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{0}\right)^{2}=\frac{\left(A x_{0}+B y_{0}+C\right)^{2}}{A^{2}+B^{2}}$,从而
$$
d=\frac{\left|A x_{0}+B y_{0}+C\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}
$$
这称为点到直线的距离公式. 例如,利用点到直线的距离公式,可以算得 $P(-1,2)$ 到直线 $l_{1}: 2 x+$ $y-5=0$ 的距离为
$$
\frac{|2 \times(-1)+2-5|}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5},$$
这与前面我们计算的结果是一致的.
点 $P\left(x_{0},y_{0}\right)$ 到直线 $l: A x+B y+C=0$ 的距离公式也可通过向量数量积来推导: 因为 $v=(A,B)$ 是直线 $l$ 的一个法向量,设 $P_{1}(x,y)$ 是直线 $l$ 上任意一点,则按照向量数量积的几何意义可知,$P\left(x_{0},y_{0}\right)$ 到直线 $l$ 的距离 $d$ 满足
$$
d=\frac{\left|\overrightarrow{P P_{1}} \cdot v\right|}{|\boldsymbol{v}|}
$$
注意到 $\overrightarrow{P P_{1}}=\left(x-x_{0},y-y_{0}\right)$,所以
$$
\begin{aligned}
d & =\frac{\left|\overrightarrow{P P_{1}} \cdot v\right|}{|\boldsymbol{v}|}=\frac{\left|A\left(x-x_{0}\right)+B\left(y-y_{0}\right)\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} \\
& =\frac{\left|A x+B y-\left(A x_{0}+B y_{0}\right)\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}},\end{aligned}
$$
又因为 $P_{1}(x,y)$ 是直线 $l$ 上一点,所以 $A x+B y+C=0$,因此 $A x+B y=-C$,从而
$$
d=\frac{\left|-C-\left(A x_{0}+B y_{0}\right)\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}=\frac{\left|A x_{0}+B y_{0}+C\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} .
$$
例 1 已知 $\triangle A B C$ 的三个顶点 $A(2,2),B(2,0),C(0,1)$,求 $\triangle A B C$ 的 $B C$ 边上的高.
解所求 $B C$ 边上的高等于点 $A$ 到直线 $B C$ 的距离.
因为 $B C$ 所在直线的截距式方程为
## 2
所以一般式方程为 3,因此所求高为
$$
\frac{|2+2 \times 2-2|}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}}=\frac{4 \sqrt{5}}{5}
$$
## 2. 两条平行直线之间的距离
我们知道,两条平行线之间的距离,等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离,因此,可以借助点到直线的距离求两条平行直线之间的距离. 例 2 求平行线 $l_{1}: 3 x-4 y+3=0$ 与 $l_{2}: 6 x-8 y-5=0$ 之间的距离. 解在 $l_{1}$ 的方程中,令 $y=0$,则可得 $x=-1$,因此 $(-1,0)$ 是直线 $l_{1}$ 上一点.
又因为 $(-1,0)$ 到 $6 x-8 y-5=0$ 的距离为
$$
\frac{|6 \times(-1)-8 \times 0-5|}{\sqrt{6^{2}+(-8)^{2}}}=4
$$
所以所求距离为 5
例 3 已知直线 $l_{1}: A x+B y+C_{1}=0,l_{2}: A x+B y+C_{2}=0$,求证: $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离为
$$
d=\frac{\left|C_{2}-C_{1}\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}
$$
证明设 $P\left(x_{1},y_{1}\right)$ 为 $l_{1}$ 上一点,则 $A x_{1}+B y_{1}+C_{1}=0$,从而 $A x_{1}+$ $B y_{1}=-C_{1}$.
因为 $P$ 到 $l_{2}$ 的距离为
$$
d=\frac{\left|A x_{1}+B y_{1}+C_{2}\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}=\frac{\left|C_{2}-C_{1}\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}},$$
所以结论成立.
## 练习A
1 分别求下列点到直线的距离:
(1) $O(0,0),l: 4 x-3 y+10=0$;(2) $A(2,-3),l: x+y-1=0$.
(2) 如果点 $P(m,n)$ 到直线 $x+y-1=0$ 的距离为 0,写出 $m,n$ 满足的关系式.
(3) 求平行线 $2 x-3 y+5=0$ 与 $2 x-3 y-8=0$ 之间的距离.
(4) 如果点 $P$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$,且点 $P$ 与直线 $l$ 上一点 $A$ 的距离为 3,求 $d$ 的取值范围.
## 练习B
(1) 分别写出点 $P\left(x_{0},y_{0}\right)$ 到 $x=a,y=b$ 的距离.
(2) 已知点 $B(m,6)$ 到直线 $y=3 x+6$ 的距离为 3,求实数 $m$ 的值.
(3) 求平行线 $3 x-2 y-3=0$ 与 $6 x-4 y+1=0$ 之间的距离.
(4) 已知点 $A(1,3),B(2,1),C(-1,0)$,求 $\triangle A B C$ 的面积.
$1(2,1)$
$2 \frac{x}{2}+\frac{y}{1}=1$
$3 x+2 y-2=0$
$4 \frac{11}{10}$
$5 \frac{11}{10}$
## 习题2-2A
(1) 判断 $A(1,3),B(3,7),C(4,9)$ 三点是否共线,并说明理由.
(2) 分别求下列直线的倾斜角:
(1) $y=\sqrt{3} x-2$;(2) $x+\sqrt{3} y+1=0$;(3) $x=-3$;(4) $y=\frac{1}{2}$
(3) 根据下列条件分别求出直线的方程:
（1）经过点 $A(4,2)$,平行于 $x$ 轴;
(2) 经过点 $B\left(-\frac{1}{2},0\right)$,平行于 $y$ 轴;
(3) 在 $x$ 轴、$y$ 轴上的截距分别为 $-\frac{2}{3},3$.
(4) (1) 求过点 $P(5,2)$ 且平行于直线 $l: 3 x-y+1=0$ 的直线的方程;
(2) 求过点 $P(-2,1)$ 且垂直于直线 $l: x-3 y-4=0$ 的直线的方程.
(5) 已知三角形的顶点是 $A(-1,0),B(3,1),C(0,5)$,求这个三角形三边所在直线的方程.
(6) 分别判断下列各对直线的位置关系,如果相交,求出交点坐标:
(1) $2 x+y-11=0,x+3 y-18=0$;(2) $2 x+5 y-6=0,2 x-5 y-6=0$.
(7) 分别求下列点到直线的距离 :
(1) $O(0,0),3 x+4 y-5=0$;(2) $A(1,-3),x+y-1=0$;(3) $B(1,0),3 x+y=0$;(4) $C(1,2),y-7=0$.
(8) 求在 $y$ 轴上且到直线 $3 x+4 y+5=0$ 的距离等于 5 的点的坐标.
(9) 已知菱形的两条对角线分别在 $x$ 轴和 $y$ 轴上,并且它们的长分别等于 8 和 6,求菱形各边所在直线的方程.
(10) 分别求直线 $3 x-4 y-5=0$ 关于 $x$ 轴、$y$ 轴对称的直线的方程.
(11) 已知 $A(1,3)$ 关于直线 $l: y=x-3$ 的对称点为 $B$,求 $B$ 到直线 $l$ 的距离.
(12) 函数 $y=|x+3|$ 的图象由两条射线组成,求这两条射线所在直线的方程.
## 习题2-2B
(1) 已知 $a,b,c$ 是两两不相等的实数,分别求经过下列两点的直线的倾斜角:
(1) $A(a,c),B(b,c)$;(2) $C(a,b),D(a,c)$;(3) $P(b,b+c),Q(a,c+a)$.
(2) 已知 $A(-2,a),B(a+1,3),C(-1,2)$ 三点共线,求实数 $a$ 的值. (3) 方程 $y-1=k(x+1)$ 在 $k$ 取遍所有实数时,可对应无数条直线,这无数条直线有什么共同点?
(4) 一条直线 $l$ 经过点 $P(2,-3)$,并且倾斜角是直线 $y=\frac{\sqrt{3}}{3} x$ 的倾斜角的 2 倍,求直线 $l$ 的方程.
(5) 已知 $A(-3,2),B(1,-4)$,求线段 $A B$ 的垂直平分线的方程.
(6) 求经过点 $A(3,2)$,并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程.
(7) 已知点 $A(-1,2),B(2,1),C(0,4)$,求 $\triangle A B C$ 三条高所在直线的方程.
(8) 已知直线 $l_{1}:(m+2) x-(m-2) y+2=0$,直线 $l_{2}: 3 x+m y-5=0$,且 $l_{1} \perp l_{2}$,求 $m$ 的值.
(9) 直线 $2 x-y+c=0$ 与直线 $2 x-y+2=0$ 之间的距离为 $\sqrt{5}$,求 $c$ 的值.
(10) 直线的方程 $A x+B y+C=0\left(A^{2}+B^{2} \neq 0\right)$ 中的 $A,B,C$ 满足什么条件时,直线分别具有如下性质?(1) 过坐标原点;(2) 与两条坐标轴都相交;(3) 与 $x$ 轴无交点;(4) 与 $y$ 轴无交点;(5) 与 $x$ 轴垂直;(6) 与 $y$ 轴垂直.
(11) 向量 $\left(x_{0},y_{0}\right)$ 与 $\left(-y_{0},x_{0}\right)$ 中,如果其中一个为直线 $l$ 的一个方向向量,则另一个一定是直线 $l$ 的一个法向量吗?
(12) 已知 $P$ 是直线 $l$ 上一点,且 $n$ 是直线 $l$ 的一个方向向量,分别根据下列条件求直线 $l$ 的方程:
(1) $P(3,-5),\boldsymbol{n}=(1,2)$;(2) $P(0,5),\boldsymbol{n}=(3,-4)$.
(13) 已知 $P$ 是直线 $l$ 上一点,且 $v$ 是直线 $l$ 的一个法向量,分别根据下列条件求直线 $l$ 的方程:
(1) $P(1,2),\boldsymbol{v}=(3,-4)$;(2) $P(-1,2),\boldsymbol{v}=(3,4)$.
(1) 已知 $G(-1,0)$ 为正方形的中心,且这个正方形的一条边所在的直线方程为 $x-3 y-5=0$,求这个正方形其他三条边所在的直线的方程.
(2) 已知直线 $l$ 经过点 $P(2,1)$,且 $A(2,3),B(4,-5)$ 两点到直线 $l$ 的距离相等,求直线 $l$ 的方程.
(3) 求点 $A(1,3)$ 关于直线 $x-y+3=0$ 的对称点的坐标.
## 3 圆及其方程
### 1 圆的标准方程
我们知道,平面内到一定点的距离等于定长的点的集合是圆,其中定点是圆心,定长是圆的半径. 在平面直角坐标系中,每一条直线都可以用一个二元一次方程来表示. 平面直角坐标系中的一个圆,是否也可以用方程表示呢?这就是本节我们要探讨的问题.
## 営试与发现
如图 2-3-1 所示,设平面直角坐标系中的 $\odot C$ 的圆心坐标为 $C(1,2)$,而且半径为 2 .
(1) 判断点 $A(3,2)$ 是否在 $\odot C$ 上;
（2）设 $M(x,y)$ 是平面直角坐标系中任意一点,那么 $M$ 在 $\odot C$ 上的充要条件是什么?此时 $x,y$ 要满足什么关系式?
图 2-3-1
根据圆的定义可知,一个点在 $\odot C$ 上的充要条件是这个点到圆心的距离等于半径. 因为
$$
|C A|=\sqrt{(3-1)^{2}+(2-2)^{2}}=2
$$
所以可知点 $A(3,2)$ 在 $\odot C$ 上.
同样,$M(x,y)$ 在 $\odot C$ 上的充要条件是 $|C M|=2$,由两点间的距离公式有 $\sqrt{(x-1)^{2}+(y-2)^{2}}=2$,因此 $x,y$ 要满足
$$
(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=4 \text {. }
$$
一般地,如果平面直角坐标系中 $\odot C$ 的圆心为 $C(a,b)$,半径为 $r(r>0)$,设 $M(x,y)$ 为平面直角坐标系中任意一点,则点 $M$ 在 $\odot C$ 上的充要条件是 $|C M|=r$,即 $\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}=r$，两边平方，得
$$
(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}
$$
上述充要条件表明,$\odot C$ 上任意一点 $M$ 的坐标 $(x,y)$ 满足方程(1);如果平面上一点 $M$ 的坐标 $(x,y)$ 满足方程 (1),可得 $|C M|=r$,则点 $M$ 在 $\odot C$ 上. 因此方程(1)能表示以点 $C(a,b)$ 为圆心,$r$ 为半径的圆,(1)式通常称为圆的标准方程. 为了方便起见,同直线中的情形一样,我们称圆 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ 时,指的是方程为 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ 的圆.
当然,类似地,我们也可得到一个点在圆内还是圆外的判断方法: 如果 $\odot C$ 的圆心为 $C(a,b)$,半径为 $r(r>0)$,则点 $M_{1}\left(x_{1},y_{1}\right)$ 在 $\odot C$ 外的充要条件是
$$
\left(x_{1}-a\right)^{2}+\left(y_{1}-b\right)^{2}>r^{2};$$
点 $M_{2}\left(x_{2},y_{2}\right)$ 在 $\odot C$ 内的充要条件是
$$
\left(x_{2}-a\right)^{2}+\left(y_{2}-b\right)^{2}<r^{2} .
$$
例1 根据下列条件,求圆的标准方程:
(1) 圆心在点 $C(-2,1)$,且过点 $A(2,-2)$;
(2) 过点 $(0,1)$ 和点 $(2,1)$,半径为 $\sqrt{5}$.
分析为了求得圆的标准方程,只要确定圆心坐标和半径就可以了.
解 (1) 所求圆的半径
$$
r=|C A|=\sqrt{(2+2)^{2}+(-2-1)^{2}}=5 .
$$
又因为圆心为 $(-2,1)$,所以所求圆的方程为
$$
(x+2)^{2}+(y-1)^{2}=25 \text {. }
$$
（2）设圆心坐标为 $(a,b)$，则圆的方程为 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=5$. 因为 $(0,1),(2,1)$ 是圆上的点,所以
$$
\left\{\begin{array}{l}
a^{2}+(1-b)^{2}=5,\\
(2-a)^{2}+(1-b)^{2}=5,\end{array}\right.
$$
解得
$$
\left\{\begin{array} { l }
{ a = 1,} \\
{ b = - 1 }
\end{array} \text { 或 } \left\{\begin{array}{l}
a=1,\\
b=3 .
\end{array}\right.\right.
$$
因此,所求圆的方程为
$$
(x-1)^{2}+(y+1)^{2}=5 \text { 或 }(x-1)^{2}+(y-3)^{2}=5 .
$$
例 2 如图 2-3-2 所示,设 $\odot C$ 的圆心 $C$ 在直线 $l: 2 x-7 y+8=0$ 上,且 $A(6,0),B(1,5)$ 都是 $\odot C$ 上的点,求圆的标准方程.
解 (方法一) 设所求圆的方程为 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$,由题意得
图 2-3-2
$$
\left\{\begin{array}{l}
(6-a)^{2}+(0-b)^{2}=r^{2} \\
(1-a)^{2}+(5-b)^{2}=r^{2} \\
2 a-7 b+8=0
\end{array}\right.
$$
解得 $a=1$
,$b=2$
,$r^{2}=3$
因此所求圆的方程为
4.
（方法二) 设线段 $A B$ 的垂直平分线为 $m$,则 $C$ 既在直线 $m$ 上,又在直线 $l$ 上,所以 $C$ 是直线 $m$ 与 $l$ 的交点.
因为直线 $A B$ 的斜率为 $\frac{5-0}{1-6}=-1$,所以 $m$ 的斜率为 5 又因为 $A B$ 中点的横坐标和纵坐标分别为
$$
\frac{6+1}{2}=\frac{7}{2},\frac{0+5}{2}=\frac{5}{2},$$
所以直线 $m$ 的方程为 $y-\frac{5}{2}=1 \times\left(x-\frac{7}{2}\right)$,即 $x-y-1=0$.
解方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x-y-1=0,\\
2 x-7 y+8=0,\end{array}\right.
$$
得 $x=3,y=2$. 因此,圆心 $C$ 的坐标为 $(3,2)$,又圆的半径为
$$
|C A|=\sqrt{(6-3)^{2}+(0-2)^{2}}=\sqrt{13}
$$
从而所求圆的方程是
$$
(x-3)^{2}+(y-2)^{2}=13 \text {. }
$$
例 3 赵州桥位于我国河北省,是我国现存最早、保存最好的巨大石拱桥. 如图 2-3-3 所示,赵州桥是一座空腹式的圆弧形石拱桥,利用解析几何的方法，用赵州桥的跨度 $a$ 和圆拱高 $b$ 表示出赵州桥圆弧所在圆的半径.
图 2-3-3
图 2-3-4
解作出示意图如图 2-3-4 所示,其中 $A B$ 表示跨度,$O$ 为 $A B$ 中点,$O C$ 为圆拱高. 以 $O$ 为原点,$A B$ 所在直线为 $x$ 轴建立平面直角坐标系,根据已知条件有 $B\left(\frac{a}{2},0\right),C(0,b)$.
可以看出,圆弧所在圆的圆心在 $y$ 轴的负半轴上,因此可设圆心的坐标为 $(0,t)$,半径为 $r$,则因为 $B,C$ 都在圆上,所以
$$
\left\{\begin{array}{l}
\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+t^{2}=r^{2},\\
(b-t)^{2}=r^{2},\end{array}\right.
$$
由此可解得 $r=\frac{4 b^{2}+a^{2}}{8 b}$.
感兴趣的同学可以从网上查得 $a$ 与 $b$ 的值,然后算出 $r$.
## 练习A
(1) 分别写出满足下列条件的圆的标准方程:
(1) 圆心为坐标原点,半径为 2;
(2) 圆心为点 $(0,1)$，半径为 2;
(3) 圆心为点 $(-2,1)$,半径为 $\sqrt{3}$.
(2) 求出下列方程表示的圆的圆心坐标和半径:
(1) $x^{2}+y^{2}=5$;
(2) $(x-3)^{2}+y^{2}=4$;
(3) $x^{2}+(y+1)^{2}=2$;
(4) $(x+2)^{2}+(y-1)^{2}=3$.
(3) 判断 $A(1,1),B(1,\sqrt{3}),C(1,2)$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=4$ 的位置关系.
(4) 写出圆心为点 (3,4) 且过坐标原点的圆的方程.
(5) 写出圆心在坐标原点且半径为 $r(r>0)$ 的圆的标准方程.
## 练习B
(1) 分别求满足下列条件的圆的方程:
(1) 以 $A(2,3),B(4,9)$ 为直径的两个端点的圆;
(2) 过点 $(0,1)$ 和 $(0,3)$,半径等于 1 的圆.
(2) 求经过点 $A(1,0),B(0,1)$,且圆心在直线 $x+y=0$ 上的圆的方程.
(3) 已知 $P(-1,-1)$,点 $Q$ 是圆 $(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=1$ 上任意一点,求 $|P Q|$ 的最大值.
13
22
3
$4(x-3)^{2}+(y-2)^{2}=13$
5
### 2 圆的一般方程
## 尝试与发现
把圆的标准方程
$$
(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=9
$$
中的括号展开、整理之后,得到的方程形式是什么样的?是否所有圆的方程都能化成这种形式?
显然,$(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=9$ 可以化为
$$
x^{2}-2 x+y^{2}-4 y-4=0 \text {. }
$$
一般地，圆的标准方程 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ 可以化为
$$
x^{2}+y^{2}-2 a x-2 b y+a^{2}+b^{2}-r^{2}=0 .
$$
在这个方程中,如果令 $D=-2 a,E=-2 b,F=a^{2}+b^{2}-r^{2}$,则这个方程可以表示成
$$
x^{2}+y^{2}+D x+E y+F=0
$$
的形式,其中 $D,E,F$ 都是常数. 形如(1)式的圆的方程称为圆的一般方程.
不难看出,圆的标准方程明确指出了圆的圆心坐标与半径,而圆的一般方程表明了圆的方程形式上的特点. 要给出圆的标准方程,需要确定圆心坐标和半径;而要给出圆的一般方程,则需要确定一般方程中的 $D,E,F$.
例 1 已知 $A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4)$ 都是 $\odot P$ 上的三点,求这个圆的方程.
解设所求圆的方程为 $x^{2}+y^{2}+D x+E y+F=0$,因为 $A(0,5)$,$B(1,-2),C(-3,-4)$ 都是圆上的点,所以它们的坐标都是方程的解,因此可得
$$
\left\{\begin{array}{l}
5 E+F+25=0,\\
D-2 E+F+5=0,\\
-3 D-4 E+F+25=0,\end{array}\right.
$$
解方程组可得 $D=1$,$E=2$,$F=3$
因此所求圆的方程为 $x^{2}+y^{2}+6 x-2 y-15=0$.
例 1 同样也可以通过设圆的标准方程来求解,请读者自行尝试.
圆的一般方程是一个二元二次方程,因为所有圆的方程都可以化成(1)的形式,所以一个二元二次方程表示圆的必要条件,就是能化成(1)的形式. 例如，方程
$$
x^{2}+2 y^{2}-2 x-3 y+7=0 \text { 与 } x^{2}+x y+y^{2}-3 x-4 y+5=0
$$
都不是圆的方程,因为第一个方程中,$x^{2},y^{2}$ 的系数不相等,而第二个方程中 $x y$ 项的系数不为 0,它们都不能化成(1)的形式. 但是
$$
2 x^{2}+2 y^{2}-4 x-4 y+1=0 \text { 与 } x^{2}+y^{2}-2 x-2 y+2=0
$$
都有可能是圆的方程,因为它们都能化为 11 的形式.
## 尝试与发现
分别判断
$$
2 x^{2}+2 y^{2}-4 x-4 y+1=0 \text { 与 } x^{2}+y^{2}-2 x-2 y+2=0
$$
是否是圆的方程,然后总结出 $x^{2}+y^{2}+D x+E y+F=0$ 是圆的方程的充分条件.
不难想到,一个二元二次方程是否是一个圆的方程,取决于这个方程能否化成圆的标准方程.
因为
$$
\begin{aligned}
& 2 x^{2}+2 y^{2}-4 x-4 y+1=0 \\
\Leftrightarrow & x^{2}+y^{2}-2 x-2 y+\frac{1}{2}=0 \\
\Leftrightarrow & x^{2}-2 x+1+y^{2}-2 y+1=\frac{3}{2} \\
\Leftrightarrow & (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=\frac{3}{2},\end{aligned}
$$
所以上述方程是圆心在 $(1,1)$,半径为 4 的圆;又因为
$$
\begin{aligned}
& x^{2}+y^{2}-2 x-2 y+2=0 \\
\Leftrightarrow & x^{2}-2 x+1+y^{2}-2 y+1=0 \\
\Leftrightarrow & (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=0,\end{aligned}
$$
显然,满足上述方程的实数只有 $x=1,y=1$,因此不是圆的方程.
一般地,
$$
\begin{aligned}
& x^{2}+y^{2}+D x+E y+F=0 \\
\Leftrightarrow & x^{2}+D x+\left(\frac{D}{2}\right)^{2}+y^{2}+E y+\left(\frac{E}{2}\right)^{2}=\left(\frac{D}{2}\right)^{2}+\left(\frac{E}{2}\right)^{2}-F \\
\Leftrightarrow & \left(x+\frac{D}{2}\right)^{2}+\left(y+\frac{E}{2}\right)^{2}=\frac{D^{2}+E^{2}-4 F}{4},\end{aligned}
$$
因此:
(1) 当 $D^{2}+E^{2}-4 F>0$ 时,方程是以 $\left(\frac{D}{2},\frac{E}{2}\right)$ 为圆心,$\frac{1}{2} \sqrt{D^{2}+E^{2}-4 F}$ 为半径的圆的方程;
(2) 当 $D^{2}+E^{2}-4 F=0$ 时,满足方程的实数只有 $x=-\frac{D}{2},y=-\frac{E}{2}$,所以原方程不是圆的方程;
(3) 当 $D^{2}+E^{2}-4 F<0$ 时,方程没有实数解,因而原方程也不是圆的方程.
例 2 判断下列方程是否是圆的方程,如果是,写出圆的圆心坐标与半径;如果不是,说明理由:
(1) $x^{2}+y^{2}+4 x-6 y-12=0$;(2) $4 x^{2}+4 y^{2}-8 x+4 y-15=0$;(3) $x^{2}+y^{2}-6 x+10=0$.
解 (1) 原方程可以化为
$$
x^{2}+4 x+4+y^{2}-6 y+9=25,$$
即 $(x+2)^{2}+(y-3)^{2}=25$,所以是圆心坐标为 5,半径为 5 的圆的方程.
(2) 方程两边除以 4,得 $x^{2}+y^{2}-2 x+y-\frac{15}{4}=0$. 将左边配方,得
$$
(x-1)^{2}+\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}=5 \text {,}
$$
所以是圆心坐标为 $\left(1,-\frac{1}{2}\right)$,半径为 6
（3）因为原方程可以化为 $x^{2}-6 x+9+y^{2}=-1$,即
$$
(x-3)^{2}+y^{2}=-1 \text {,}
$$
又因为满足上述方程的实数 $x,y$ 不存在,所以原方程不是圆的方程.
## 练习 $A$
(1) 写出下列圆的圆心坐标和半径:
(1) $x^{2}+y^{2}-6 x=0$;(2) $2 x^{2}+2 y^{2}-4 x+8 y+5=0$.
(2) 判断下列方程是否是圆的方程,如果是,写出圆的圆心坐标与半径;如果不是,说明理由:
(1) $x^{2}+y^{2}=0$;(2) $x^{2}+y^{2}-2 x+4 y-6=0$;(3) $x^{2}+y^{2}-2 x-2 y-3=0$.
(3) 判断点 $A(0,0),B(-1,5),C(1,-2)$ 与圆 $x^{2}+y^{2}+2 x-4 y-4=0$ 的位置关系. (1) 已知 $a,b$ 为实数,判断 $x^{2}+y^{2}+2 a x-b^{2}=0$ 是否是圆的方程,并说明理由.
(2) 已知圆 $x^{2}+y^{2}+2 x-a y-4=0$ 的半径为 3,求实数 $a$ 的值.
(3) 写出圆 $2 x^{2}+2 y^{2}+3 x-a y=0 \quad(a \in \mathbf{R})$ 的圆心坐标和半径.
(4) 已知坐标原点不在圆 $x^{2}+y^{2}-a y+a-1=0$ 的内部,求实数 $a$ 的取值范围.
(5) 求经过 $A(0,0),B(-2,0),C(0,2)$ 三点的圆的方程.
$16 \quad 2-2 \quad 3-15 \quad 4 \frac{\sqrt{6}}{2} \quad 5(-2,3) \quad 6 \sqrt{5}$
### 3 直线与圆的位置关系
## 情境与问题
在日常生活中,可以见到很多有关直线与圆位置关系的形象,如图 2-3-5 (1) (2) 所示.
(1)
$(2)$
图 2-3-5
我们已经知道,在平面直角坐标系中,直线与圆都可以用方程来表示,一个点是否在直线上或圆上,只要看这个点的坐标是否满足它们的方程即可. 那么,能否利用直线与圆的方程来研究它们之间的位置关系呢?
情境中的问题就是本小节要讨论的.
初中几何中曾介绍过: 如图 2-3-6 (1) 所示,直线与圆有两个公共点时,称直线与圆相交,且称直线为圆的割线;如图 2-3-6 (2) 所示,直线与圆只有一个公共点时,称直线与圆相切,且称直线为圆的切线,称公共点为切点;如图 2-3-6 (3) 所示,直线与圆没有公共点时,称直线与圆相离.
$(1)$
$(2)$
$(3)$
图 2-3-6
## 尝试与发现
判断直线 $l: y=-x+5$ 与圆 $C: x^{2}+y^{2}=12$ 的位置关系,并说明理由.
在平面直角坐标系中作出直线 $l$ 与圆 $C$,如图 2-3-7 所示,可以看出它们没有公共点,因此直线 $l$ 与圆 $C$ 相离. 作图的方法虽然直观，但是借助计算机作图才会比较精确. 考虑到直线的方程、圆的方程的意义,不难想到,可以借助直线与圆的方程组成的方程组来探讨它们的位置关系.
图 2-3-7
因为从方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
y=-x+5,\\
x^{2}+y^{2}=12
\end{array}\right.
$$
中消去 $y$ 可得 $x^{2}+(-x+5)^{2}=12$,即
$$
2 x^{2}-10 x+13=0 \text {,}
$$
又因为 $(-10)^{2}-4 \times 2 \times 13=-4<0$,所以方程 (1)无实数解,这说明方程组也无实数解,因此直线 $l: y=-x+5$ 与圆 $C: x^{2}+y^{2}=12$ 没有公共点,从而也就说明了它们相离.
另外,初中几何中,大家根据归纳与试验,曾经总结出下述结论: 如图 2-3-8 所示,如果 $\odot C$ 的半径为 $r$,圆心 $C$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$,则
直线 $l$ 与 $\odot C$ 相交 $\Leftrightarrow d<r$;
直线 $l$ 与 $\odot C$ 相切 $\Leftrightarrow d=r$;
直线 $l$ 与 $\odot C$ 相离 $\Leftrightarrow d>r$.
( 1 )
$(2)$
( 3 )
图 2-3-8
因为根据圆的方程与直线的方程能方便地算出圆心到直线的距离,所以我们也可利用这个结论来快速地得到直线与圆的位置关系. 例如,前述尝试与发现中的圆心 $(0,0)$ 到直线 $y=-x+5$ 的距离
$$
d=1
$$
而圆的半径为 $\sqrt{12}=2 \sqrt{3}$,因为 $2 \sqrt{3}<\frac{5 \sqrt{2}}{2}$,所以直线 $y=-x+5$ 与圆 $x^{2}+$ $y^{2}=12$ 相离.
事实上,利用坐标法,我们能给出初中所得结论的严格证明.
给定平面中的一条直线 $l$ 与 $\odot C$,以 $\odot C$ 的圆心为原点,以不垂直于直线 $l$ 的直线为 $x$ 轴,建立平面直角坐标系,如图 2-3-9 所示. 设直线 $l$ 的方程为 $y=k x+b,\odot C$ 的方程为 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$.
从方程组
图 2-3-9
$$
\left\{\begin{array}{l}
y=k x+b,\\
x^{2}+y^{2}=r^{2}
\end{array}\right.
$$
中消去 $y$ 可得 $x^{2}+(k x+b)^{2}=r^{2}$,即
$$
\left(1+k^{2}\right) x^{2}+2 k b x+b^{2}-r^{2}=0,$$
因为方程(2)的判别式
$$
\begin{aligned}
\Delta & =(2 k b)^{2}-4\left(1+k^{2}\right)\left(b^{2}-r^{2}\right) \\
& =4 k^{2} b^{2}-4 b^{2}+4 r^{2}-4 k^{2} b^{2}+4 k^{2} r^{2} \\
& =4\left[\left(1+k^{2}\right) r^{2}-b^{2}\right],\end{aligned}
$$
所以
$$
\Delta>0 \Leftrightarrow 4\left[\left(1+k^{2}\right) r^{2}-b^{2}\right]>0 \Leftrightarrow r^{2}>\frac{b^{2}}{1+k^{2}} \Leftrightarrow r>\frac{|b|}{\sqrt{1+k^{2}}},$$
注意到 $\frac{|b|}{\sqrt{1+k^{2}}}$ 表示的正好是圆心 $(0,0)$ 到直线 $y=k x+b$ 的距离,而 $\Delta>0$ 说明方程(2)有两个不同的实数解,此时说明原方程组也有两组不同的实数解,因此当且仅当圆的半径大于圆心到直线的距离时,直线与圆相交.
类似地,可以得到直线与圆相切和相离的充要条件.
例 1 已知直线 $y=x+b$,圆 $x^{2}+y^{2}=2$,分别求直线与圆相交、相切、相离时 $b$ 的取值范围.
(方法一) 联立直线的方程与圆的方程,得方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
y=x+b,\\
x^{2}+y^{2}=2,\end{array}\right.
$$
从方程组中消去 $y$,整理得
$$
2 x^{2}+2 b x+b^{2}-2=0,$$
这个方程的判别式
$$
\Delta=(2 b)^{2}-4 \times 2\left(b^{2}-2\right)=-4(b+2)(b-2) .
$$
当且仅当 $-2<b<2$ 时,$\Delta>0$,方程(3)有两个不相等的实数解,此时直线与圆有两个公共点,直线与圆相交;
当且仅当 $b=2$ 或 $b=-2$ 时,$2 \quad$,方程(3)有两个相等的实数解,此时直线与圆只有一个公共点,直线与圆相切;
当且仅当 $b<-2$ 或 $b>2$ 时,3，方程(3)没有实数解，此时直线与圆没有公共点,直线与圆相离.
(方法二) 因为圆的半径 $r=\sqrt{2}$,圆心 $O(0,0)$ 到直线 $y=x+b$ 的距离为
$$
d=\frac{|b|}{\sqrt{2}}
$$
当且仅当 $d<r$,即 $\frac{|b|}{\sqrt{2}}<\sqrt{2},-2<b<2$ 时,直线与圆相交;
当且仅当 $d=r$,即 $\frac{|b|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2},b=2$ 或 $b=-2$ 时,直线与圆相切;
当且仅当 $d>r$,即 $\frac{|b|}{\sqrt{2}}>\sqrt{2},b<-2$ 或 $b>2$ 时,直线与圆相离.
例 2 已知 $M(1,2)$ 是圆 $x^{2}+y^{2}=5$ 上一点,求圆的过点 $M$ 的切线方程.
解 (方法一) 如果切线的斜率不存在,则切线方程为 $x=1$,但圆心 $O(0,0)$ 到 $x=1$ 的距离为 4,不等于圆的半径 $\sqrt{5}$,矛盾.
因此切线的斜率一定存在,设为 $k$,从而切线方程为 $y-2=k(x-1)$,即 $k x-y+2-k=0$,从而由圆心到切线的距离等于圆的半径可知
$$
\frac{|2-k|}{\sqrt{k^{2}+1}}=\sqrt{5}
$$
解得 $k=5$
，所以切线的点斜式方程为
$$
y-2=-\frac{1}{2}(x-1) \text {,}
$$
因此所求方程为 $x+2 y-5=0$.
(方法二) 圆的圆心为 $O$,而且 $O M$ 是与切线垂直的,如图 2-3-10 所示.
因为 $k_{O M}=\frac{2-0}{1-0}=2$,所以切线的斜率为 6，从而可知切线的点斜式方
程为
$$
y-2=-\frac{1}{2}(x-1),$$
图 2-3-10
因此所求方程为 $x+2 y-5=0$.
例 2 的方法二说明,利用圆的几何性质,有时可以有效地减少运算量.
例 3 已知直线 $l: x+y+2=0$ 与圆 $C: x^{2}+y^{2}=9$ 相交于 $A,B$ 两点.
(1) 求线段 $A B$ 的长;
(2) 求线段 $A B$ 中点的坐标.
（1）（方法一）如图 2-3-11 所示,设 $A B$ 的中点为 $M$,根据垂径定理可知 $O M \perp A B$,因此 $\triangle A M O$ 是个直角三角形.
由点到直线的距离公式可知
$$
|O M|=\frac{|2|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}=\sqrt{2} \text {,}
$$
又 $O A$ 是圆的半径,因此 $|O A|=\sqrt{9}=3$,从而在 $\operatorname{Rt} \triangle A M O$ 中，有
图 2-3-11
$$
|A M|=\sqrt{|O A|^{2}-|O M|^{2}}=\sqrt{3^{2}-(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{7} .
$$
因此 $|A B|=2|A M|=2 \sqrt{7}$.
（方法二）设 $A\left(x_{1},y_{1}\right),B\left(x_{2},y_{2}\right)$,则
$$
|A B|^{2}=\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2} \text {. }
$$
因为 $A\left(x_{1},y_{1}\right),B\left(x_{2},y_{2}\right)$ 都是直线 $x+y+2=0$ 上的点,所以
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+y_{1}+2=0,\\
x_{2}+y_{2}+2=0,\end{array}\right.
$$
第二式减去第一式可得 $x_{2}-x_{1}+y_{2}-y_{1}=0$,因此 $y_{2}-y_{1}=-\left(x_{2}-x_{1}\right)$,从而
$$
|A B|^{2}=\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left[-\left(x_{2}-x_{1}\right)\right]^{2}=2\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}
$$
又因为从方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x+y+2=0 \\
x^{2}+y^{2}=9
\end{array}\right.
$$
中消去 $y$,整理可得 $2 x^{2}+4 x-5=0$,而且 $x_{1},x_{2}$ 是这个方程的两个根,因此由韦达定理可知
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2}=-\frac{4}{2}=-2,\\
x_{1} x_{2}=\frac{-5}{2}=-\frac{5}{2},\end{array}\right.
$$
所以
$$
\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}=\left(x_{2}+x_{1}\right)^{2}-4 x_{1} x_{2}=(-2)^{2}-4 \times\left(-\frac{5}{2}\right)=14,$$
因此 $|A B|^{2}=2 \times 14=28$,从而可知 $|A B|=2 \sqrt{7}$.
(2) 设 $A\left(x_{1},y_{1}\right),B\left(x_{2},y_{2}\right)$,且线段 $A B$ 的中点坐标为 $\left(x_{0},y_{0}\right)$,则
$$
x_{0}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2},y_{0}=\frac{y_{1}+y_{2}}{2} \text {. }
$$
由（1）中的方法二可知
$$
x_{0}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{-2}{2}=-1,$$
又因为直线 $l$ 的方程可以化为 $y=-x-2$,所以
$y_{0}=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}=\frac{\left(-x_{1}-2\right)+\left(-x_{2}-2\right)}{2}=-\frac{x_{1}+x_{2}}{2}-2=-(-1)-2=-1$,
因此所求中点坐标为 $(-1,-1)$.
例 3 (1) 中的方法二以及 (2) 的解法中,我们设了 $A,B$ 两点的坐标,但是解题过程中并没有实际求出,这种方法在解析几何中通常称为“设而不求”. 请读者结合这个例题,自行总结什么时候可以使用设而不求的方法,使用过程中应该注意些什么,等等.
## 练习 $A$
(1) 已知直线 $2 x+y-5=0$ 和圆 $(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=6$.
(1) 求圆心到直线的距离 $d$;(2) 判断直线与圆的位置关系.
(2) 直线 $x-y-1=0$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=13$ 是否相交?如果相交,求出交点.
(3) 判断下列直线与圆的位置关系:
(1) 直线 $4 x-3 y+6=0$ 与圆 $x^{2}+y^{2}-8 x+2 y-8=0$;
(2) 直线 $2 x-y+5=0$ 与圆 $x^{2}+y^{2}-4 x+3=0$. (4) 求圆心为坐标原点且与直线 $4 x+2 y-1=0$ 相切的圆的方程.
(5) 已知直线 $y=m x+4$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=4$ 相切,求 $m$ 的值.
## 练习B
(1) (1) 已知圆 $x^{2}+y^{2}=2$,求经过圆上的点 $(-1,1)$ 的切线方程;
（2）已知 $M\left(x_{0},y_{0}\right)$ 是圆 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ 上一点,求证：过点 $M$ 的圆的切线方程为 $x_{0} x+y_{0} y=r^{2}$.
(2) 当 $C$ 为何值时,直线 $x-y-C=0$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=4$ 有两个公共点、一个公共点、无公共,点?
(3) 求斜率为 2 且与圆 $x^{2}+y^{2}-2 y-4=0$ 相切的直线的方程.
(4) 已知直线 $x-y+1=0$ 与圆 $C: x^{2}+y^{2}-4 x-2 y+m=0$ 交于 $A,B$ 两点.
(1) 求线段 $A B$ 的垂直平分线的方程;
(2) 若 $|A B|=2 \sqrt{2}$,求 $m$ 的值;
(3) 在 (2) 的条件下,求过点 $P(4,4)$ 的圆 $C$ 的切线方程.
(5) 求圆 $\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+(y+1)^{2}=\frac{5}{4}$ 关于直线 $x-y+1=0$ 对称的圆的方程.
$1 \frac{|5|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}=\frac{5 \sqrt{2}}{2}$
$2 \Delta=0$
$3 \Delta<0$
4
$5-\frac{1}{2}$
$6-\frac{1}{2}$
### 4 圆与圆的位置关系
## 情境与问题
在日常生活中，可以见到很多有关圆与圆位置关系的形象,如图 2-3-12 (1) (2) 所示.
前面我们已经借助直线与圆的方程研究了它们之间的位置关系,那么能否借助圆的方程来研究圆与圆的位置关系呢?
(1)
(2)
图 2-3-12 情境中的问题就是本小节要讨论的.
在初中几何内容中,大家曾探究过圆与圆的位置关系,知道圆与圆的位置关系有相离、相切、相交三种: 当圆与圆没有公共点时,圆与圆相离;当圆与圆只有一个公共点时,圆与圆相切;当圆与圆有两个公共点时,圆与圆相交.
## 尝试与发现
判断圆 $C_{1}: x^{2}+y^{2}=2$ 与圆 $C_{2}:(x-2)^{2}+y^{2}=1$ 的位置关系,并说明理由.
在平面直角坐标系中作出圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$,如图 2-3-13 所示,可以看出它们有两个公共点,因此圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 相交.
因为判断一个点是否在圆上,只要看这个点的坐标是否满足圆的方程,所以我们也可以借助圆与圆的方程组成的方程组来探讨它们的位置关系. 对于上述圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 来说,因为方程组
图 2-3-13
$$
\left\{\begin{array}{l}
x^{2}+y^{2}=2 \\
(x-2)^{2}+y^{2}=1
\end{array}\right.
$$
的第一式减去第二式可得 $4 x-4=2-1$,从而可知 $x=\frac{5}{4}$,将此代人圆 $C_{1}$ 的方程可得 $\left(\frac{5}{4}\right)^{2}+y^{2}=2$,因此 $y= \pm \frac{\sqrt{7}}{4}$. 这就说明圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 有两个公共点,而且公共点的坐标为
1
从而可知圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 相交.
更进一步,初中几何中还将两个圆的位置关系细分成了 5 种,即外离、外切、相交、内切、内含 (如下页图 2-3-14 所示),并且在试验的基础上总结出了根据两个圆的半径 $r_{1},r_{2}$ 以及两个圆的圆心距 $d$ 来判断两个圆位置关系的方法:
两个圆外离 $\Leftrightarrow d>r_{1}+r_{2}$；
两个圆外切 $\Leftrightarrow d=r_{1}+r_{2}$；
两个圆相交 $\Leftrightarrow\left|r_{1}-r_{2}\right|<d<r_{1}+r_{2}$；
两个圆内切 $\Leftrightarrow d=\left|r_{1}-r_{2}\right|$；
两个圆内含 $\Leftrightarrow d<\left|r_{1}-r_{2}\right|$.
$(1)$
$(2)$
$(3)$
( 4 )
$(5)$
图 2-3-14
因为根据两个圆的方程能方便地算出圆心距,所以我们也可利用这个结论来快速地得到圆与圆的位置关系. 例如,前述尝试与发现中圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的圆心距为 $\sqrt{(0-2)^{2}+(0-0)^{2}}=2$,而两个圆的半径分别为 $1,\sqrt{2}$,又因为
$$
\sqrt{2}-1<2<\sqrt{2}+1
$$
所以圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 相交.
事实上,利用坐标法,我们能给出上述结论的严格证明.
给定平面中的 $\odot C_{1}$ 与 $\odot C_{2}$,以 $C_{1}$ 为原点,$C_{1} C_{2}$ 所在直线为 $x$ 轴,建立平面直角坐标系,如图 2-3-15 所示. 此时,设两圆的圆心距为 $d$,则 $\odot C_{2}$ 的圆心坐标为 $(d,0)$,设两圆的方程分别为 $x^{2}$ $+y^{2}=r_{1}^{2},(x-d)^{2}+y^{2}=r_{2}^{2}$,将它们联立,得方程组
图 2-3-15
$$
\left\{\begin{array}{l}
x^{2}+y^{2}=r_{1}^{2},\\
(x-d)^{2}+y^{2}=r_{2}^{2},\end{array}\right.
$$
第一式减去第二式,整理可得 $x=\frac{r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+d^{2}}{2 d}$,将 $x$ 的值代人 $x^{2}+y^{2}=r_{1}^{2}$,可得
$$
\begin{aligned}
y^{2} & =r_{1}^{2}-\frac{\left(r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+d^{2}\right)^{2}}{4 d^{2}} \\
& =\frac{\left(2 d r_{1}+r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+d^{2}\right)\left(2 d r_{1}-r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-d^{2}\right)}{4 d^{2}} \\
& =\frac{\left[\left(r_{1}+d\right)^{2}-r_{2}^{2}\right]\left[r_{2}^{2}-\left(r_{1}-d\right)^{2}\right]}{4 d^{2}} \\
& =\frac{\left(r_{1}+r_{2}+d\right)\left(r_{1}-r_{2}+d\right)\left(r_{1}+r_{2}-d\right)\left(r_{2}-r_{1}+d\right)}{4 d^{2}}
\end{aligned}
$$
$$
=\frac{\left[\left(r_{1}+r_{2}\right)^{2}-d^{2}\right]\left[d^{2}-\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}\right]}{4 d^{2}} .
$$
因此，当且仅当
$$
\left|r_{1}-r_{2}\right|<d<r_{1}+r_{2}
$$
时,有两个不同的实数 $y$ 满足方程组,从而 $\odot C_{1}$ 与 $\odot C_{2}$ 相交.
其他情况可类似得到.
例1 分别判断下列两个圆的位置关系:
(1) $C_{1}:(x-1)^{2}+y^{2}=4,C_{2}:(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=2$;
(2) $C_{1}: x^{2}+y^{2}-2 y=0,C_{2}: x^{2}+y^{2}-2 \sqrt{3} x-6=0$.
(1) 由方程可知圆 $C_{1}$ 的圆心为 $(1,0)$,半径 $r_{1}=2$;圆 $C_{2}$ 的圆心为 2，半径 $r_{2}=3$
因此两圆的圆心距
$$
d=\sqrt{(2-1)^{2}+(-1-0)^{2}}=\sqrt{2},$$
又因为 $2-\sqrt{2}<\sqrt{2}<2+\sqrt{2}$,所以 $r_{1}-r_{2}<d<r_{1}+r_{2}$,从而两个圆相交.
(2) 将两圆的方程化为标准方程,分别为
$$
x^{2}+(y-1)^{2}=1^{2},(x-\sqrt{3})^{2}+y^{2}=3^{2} \text {,}
$$
由此可知圆 $C_{1}$ 的圆心为 $(0,1)$,半径 $r_{1}=1$;圆 $C_{2}$ 的圆心为 4 半径 $r_{2}=5$
因此两圆的圆心距
$$
d=\sqrt{(0-\sqrt{3})^{2}+(1-0)^{2}}=2
$$
又因为 $3-1=2$,所以 $r_{2}-r_{1}=d$,从而可知两圆内切.
例 2 判断圆 $C_{1}: x^{2}+y^{2}=4$ 与圆 $C_{2}:(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=1$ 的位置关系,如果相交,求出它们交点所在的直线的方程.
解两圆的圆心距为
$$
\sqrt{(0-2)^{2}+(0-1)^{2}}=\sqrt{5}
$$
又因为 $2-1<\sqrt{5}<2+1$,所以 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 相交.
解方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x^{2}+y^{2}=4,\\
(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=1,\end{array}\right.
$$
可得 $\left\{\begin{array}{l}x=2,\\ y=0\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{6}{5},\\ y=\frac{8}{5} \text {. }\end{array}\right.$ 因此两圆的交点为 $(2,0),\left(\frac{6}{5},\frac{8}{5}\right)$,从而可以求
得交点所在的直线方程为
$$
2 x+y-4=0 \text {. }
$$
例 2 中直线的方程也可按如下方法得到: 设 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的交点为 $A,B$,则 $A,B$ 的坐标都满足方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x^{2}+y^{2}=4,\\
(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=1,\end{array}\right.
$$
将方程组的第一式减去第二式,整理可得
$$
2 x+y-4=0 \text {. }
$$
显然,$A,B$ 的坐标都满足上式,又因为两点能确定一条直线,所以上式就是所求直线的方程.
## 探索与研究
同时与两个圆相切的直线称为两圆的公切线,探索平面内两个圆的公切线条数与它们的位置有什么关系,并求出圆 $C_{1}: x^{2}+y^{2}=2$ 与圆 $C_{2}:(x-2)^{2}+y^{2}=8$ 的公切线.
## 练习A
(1) 求圆 $x^{2}+y^{2}-2 x-3=0$ 与圆 $x^{2}+y^{2}-4 x+2 y+3=0$ 的交点的坐标.
(2) 分别指出下列两圆的位置关系（外离、外切、相交、内切、内含):
(1) $x^{2}+y^{2}-4 x-6 y+9=0$ 和 $x^{2}+y^{2}+12 x+6 y-19=0$;
(2) $x^{2}+y^{2}+2 x-2 y-2=0$ 和 $x^{2}+y^{2}-4 x-6 y-3=0$.
(3) 求圆心在 $(3,4)$ 且与圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 外切的圆的方程.
(4) 已知圆 $C:(x-2)^{2}+y^{2}=9$,求圆心在坐标原点且与圆 $C$ 内切的圆的方程.
(5) 已知圆 $C_{1}: x^{2}+y^{2}=1$ 与圆 $C_{2}: x^{2}+y^{2}+2 a x+2 a y+2 a^{2}-1=0$ 外切,求实数 $a$ 的值.
## 练习B
(1) 已知圆 $x^{2}+y^{2}+4 x-6 y+12=0$ 与圆 $x^{2}+y^{2}-2 x-14 y+k=0$,求这两个圆分别外离、外切、相交、内切、内含时，实数 $k$ 的取值范围.
(2) 已知圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 与圆 $(x+4)^{2}+(y-a)^{2}=25$ 相切,求实数 $a$ 的值.
(3) 已知圆 $C_{1}: x^{2}+y^{2}=2$ 与圆 $C_{2}:(x-2)^{2}+y^{2}=8$ 相交于 $A,B$ 两点,求 $A B$ 的中点的坐标.
(4) 已知圆 $C_{1}: x^{2}+y^{2}+6 x=0$ 与圆 $C_{2}: x^{2}+y^{2}+6 y=0$ 相交,求这两个圆的公共弦长.
$1\left(\frac{5}{4},\frac{\sqrt{7}}{4}\right),\left(\frac{5}{4},-\frac{\sqrt{7}}{4}\right)$
$2(2,-1)$
$3 \sqrt{2}$
$4(\sqrt{3},0)$
53
## 习题2-3A
(1) 若 $P(x,y)$ 是圆 $C:(x-1)^{2}+y^{2}=\frac{1}{4}$ 上的任意一点,求 $P(x,y)$ 到原点的距离的最大值和最小值.
(2) 求圆 $x^{2}+y^{2}+2 x-2 a y-4=0(a \in \mathbf{R})$ 的半径的最小值.
(3) 判断直线 $4 x-3 y+6=0$ 与圆 $(x-4)^{2}+(y+1)^{2}=25$ 的位置关系.
(4) 若 $P(x,y)$ 是圆 $C:(x-3)^{2}+y^{2}=1$ 上的任意一点,求 $P(x,y)$ 到直线 $x-y+1=0$ 的距离的最大值和最小值.
(5) 已知圆 $C_{1}: x^{2}+y^{2}+6 x-4=0$ 与圆 $C_{2}: x^{2}+y^{2}+8 y-28=0$ 相交,求交点所在直线的方程.
(6) 已知某 $400 \mathrm{~m}$ 标准跑道的内圈如图所示,其中左右两边均是半径为 $36 \mathrm{~m}$ 的半圆弧. (设 $400 \mathrm{~m}$ 标准跑道最内圈周长为 $400 \mathrm{~m}$. )
(第 6 题)
(1) 求每条直道的长度;
（2）建立平面直角坐标系 $x O y$,写出该跑道内圈上半部分对应的函数解析式.
## 习题2-3B
(1) 求过点 $(8,1)$ 且与两坐标轴都相切的圆的方程.
(2) 求通过圆 $(x-3)^{2}+(y-4)^{2}=25$ 上的一点 $A(6,8)$ 所作该圆的切线方程.
(3) 已知 $a>0$,且
圆 $C_{1}: x^{2}+y^{2}-2 a x-2 y+a^{2}-15=0$,
圆 $C_{2}: x^{2}+y^{2}-4 a x-2 y+4 a^{2}=0$.
分别求这两圆外离、外切、相交、内切、内含时,实数 $a$ 的取值范围.
(4) 求圆心在 $y$ 轴上,经过点 $(-2,2)$ 且与 $x$ 轴相切的圆的方程.
(5) 求经过圆 $(x-2)^{2}+y^{2}=16$ 内一点 (1，1) 且被圆截得弦长最短的直线的方程.
(6) 已知 $A\left(x_{1},y_{1}\right),B\left(x_{2},y_{2}\right)$ 是圆的一条直径的两个端点,证明圆的方程是
$$
\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)+\left(y-y_{1}\right)\left(y-y_{2}\right)=0 \text {. }
$$
(7) 已知圆 $C$ 和 $y$ 轴相切,圆心在直线 $x-3 y=0$ 上,且在直线 $y=x$ 上截得的弦长为 $2 \sqrt{7}$,求圆 $C$ 的方程.
## 习题2-3C
(1) 已知 $\triangle A B C$ 中,$A B=3,A C=2 B C$,求 $\triangle A B C$ 的面积的最大值.
(2) 已知 $\triangle A B C$ 的面积为 $S$,外接圆的半径为 $R$,且 $\angle A,\angle B,\angle C$ 的对边分别为 $a,b,c$,用坐标法证明
$$
R=\frac{a b c}{4 S}
$$
## 4 曲线与方程
## 1. 曲线的方程与方程的曲线
前面我们学习了直线与圆的方程,知道平面直角坐标系中的一个点在直线或圆上的充要条件是它的坐标满足直线或圆的方程. 我们还借助直线与圆的方程讨论了直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系. 不难想到,借助方程,应该还可以讨论平面内的其他几何对象及其性质等.
## 尝试与发现
(1) 如图 2-4-1 所示,设 $l_{1},l_{2}$ 是平面内两条互相垂直的直线,且 $M$ 是所有到 $l_{1},l_{2}$ 的距离相等的点组成的集合,在图 2-4-1 中找出 $M$ 中的所有元素. 如果以 $l_{1},l_{2}$ 分别为坐标轴建立平面直角坐标系,那么 $M$ 中的点的坐标有什么特点?
(2) 将 $|y|=|x|$ 看成 $x$ 与 $y$ 的方程,如果 $x=a$ 且 $y=b$
图 2-4-1 ( $a,b$ 为实数) 能使方程 $|y|=|x|$ 成立,则称 $(a,b)$ 是方程 $|y|=|x|$ 的一组实数解,你能找出满足这个方程的 3 组实数解吗?这个方程有多少组实数解?如果将每一组实数解都看成平面直角坐标系中的一点,那么所有实数解表示的点组成的集合与（1） 中的集合 $M$ 有什么关系?
根据角平分线的性质可知 $M$ 是直线 $l_{1},l_{2}$ 所形成的四个角的角平分线上的点组成的集合（包括 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点),建立如图 2-4-2 所示的平面直角坐标系.
一方面,如果点 $P(x,y)$ 在集合 $M$ 中,即在第一、三象限和第二、四象限的角平分线上,则它的坐标 $x,y$ 必须满足
图 2-4-2
$$
|y|=|x| \text {. }
$$
另一方面,如果 $x,y$ 是方程(1)的解,则点 $(x,y)$ 一定在第一、三象限或第二、四象限的角平分线上,即都在集合 $M$ 中. 例如,$(0,0),(1,1)$,$(-2,2),(-3,-3)$ 所表示的点都在集合 $M$ 中. 因此,方程 $|y|=|x|$ 的所有解表示的点的集合就是集合 $M$,也就是第一、三象限和第二、四象限的角平分线构成的曲线,一般地,这一曲线称为方程 $|y|=|x|$ 的曲线,方程 $|y|=|x|$ 称为这一曲线的方程.
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线 $C$ 与方程 $F(x,y)=0$ 之间具有如下关系:
(1) 曲线 $C$ 上的点的坐标都是方程 $F(x,y)=0$ 的解;
(2) 以方程 $F(x,y)=0$ 的解为坐标的点都在曲线 $C$ 上. 则称曲线 $C$ 为方程 $F(x,y)=0$ 的曲线,方程 $F(x,y)=0$ 为曲线 $C$ 的方程.
这就是说,如果曲线 $C$ 的方程是 $F(x,y)=0$,且 $P(x,y)$ 是平面直角坐标系中的任意一点,则
$$
P(x,y) \in C \Leftrightarrow F(x,y)=0 .
$$
因此,方程 $F(x,y)=0$ 可用来描述曲线 $C$ 的特征性质,曲线 $C$ 用集合的特征性质描述法,可以描述为 $C=\{P(x,y) \mid F(x,y)=0\}$.
同前面一样,以后我们将不再区分曲线及其方程,因此可以说曲线 $F(x,y)=0$ 等.
前面我们学习的直线与圆,都可以看成特殊的曲线,因此直线的方程与圆的方程都是曲线方程的特殊形式. 另外,尝试与发现中的集合 $M$ 可以看成曲线,按照上述定义可知,$M$ 的方程是 $|y|=|x|$,且
$$
M=\{P(x,y)|| y|=| x \mid\} .
$$
需要注意的是,有些函数的解析式可以看成一种特殊的方程,此时,解析式与函数图象之间的关系,实际上是方程与曲线的关系. 例如,若一次函数 $y=3 x+1$ 的图象是直线 $l$,就说明把一次函数看成方程 $3 x-y+1=0$ 时,这个方程对应的曲线就是直线 $l$. 不过,曲线的方程并不一定是函数,例如,圆的方程 $x^{2}+y^{2}=1$ 中,$y$ 不是 $x$ 的函数,$x$ 也不是 $y$ 的函数.
例 1 已知平面直角坐标系中,$C$ 是端点为原点且其他所有点都在 $x$ 轴正半轴上的射线,判断 $y=0$ 以及 $y=0(x>0)$ 是否是 $C$ 的方程,如果都不是,写出 $C$ 的方程.
解可以看出,$C$ 上的点的纵坐标必为 0,即如果 $P(x,y)$ 为 $C$ 上的点,则必有 $y=0$;另一方面,纵坐标为 0 的点,当横坐标小于 0 时,在 $x$ 轴的负半轴上,不在 $C$ 上. 因此 $y=0$ 不是 $C$ 的方程.
类似地,因为 $C$ 上的点的横坐标大于等于 0,所以 $C$ 上的点 $(0,0)$ 不满足方程 $y=0(x>0)$,因此这也不是 $C$ 的方程.
由上述分析可知,$C$ 的方程是
$$
y=0 \quad(x \geqslant 0) .
$$
例 1 说明，曲线的方程的定义中，（1）与（2）缺一不可，而且两者是对曲线上的任意一点以及方程的任意一组实数解而言的. 从集合的角度来看,设 $A$ 是曲线 $C$ 上的所有点组成的点集,$B$ 是所有以方程 $F(x,y)=0$ 的实数解为坐标的点组成的点集,则由定义中的（1）可知 $A \subseteq B$,由定义中的（2）可知 1；同时具有关系（1）和 (2),就有 $A=B$.
例 2 已知曲线 $C_{1}$ 的方程是 $x^{2}-y=0$,曲线 $C_{2}$ 的方程是 $|y|=|x|$,判断 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 是否有交点. 如果有,求出交点坐标;如果没有,说明理由.
分析由曲线的方程的定义可知,一个点是两条曲线的交点的充要条件是,该点的坐标是这两条曲线的方程的公共实数解,因此可以通过解方程组来判断两条曲线是否有交点等.
解联立两个方程得方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x^{2}-y=0 \\
|y|=|x|
\end{array}\right.
$$
解方程组可得 $\left\{\begin{array}{l}x=0,\\ y=0\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=1,\\ y=1\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=-1,\\ y=1 .\end{array}\right.$
因此 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 有三个交点,且交点坐标为 2
例 2 说明,曲线 $F(x,y)=0$ 与 $G(x,y)=0$ 是否有交点的问题,可以转化为方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
F(x,y)=0 \\
G(x,y)=0
\end{array}\right.
$$
是否有实数解的问题.
## 2. 求曲线的方程与根据方程研究曲线的性质
从直线、圆以及上述内容中可以看出,得到曲线的方程之后,可以借助方程来研究曲线的性质以及曲线之间的关系等. 因此,如何得到曲线的方程是用这种方法解决问题的第一步.
## 営试与发现
已知 $l_{1},l_{2}$ 是平面内两条互相垂直的直线,且曲线 $C$ 是到 $l_{1},l_{2}$ 的距离的乘积等于 1 的点组成的集合.
（1）建立适当的平面直角坐标系，写出曲线 $C$ 的方程;
（2）根据曲线 $C$ 的方程,说出曲线 $C$ 具有的性质,然后作出曲线 $C$. 如果以 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 分别为 $x$ 轴与 $y$ 轴建立平面直角坐标系,设 $P(x,y)$ 是平面直角坐标系中的任意一点,则 $P$ 到 $x$ 轴的距离为 $|y|$,到 $y$ 轴的距离为 3 . 因此 $P(x,y)$ 在曲线 $C$ 上的充要条件是
$$
|y||x|=1 \text {. }
$$
因此,(2)就是曲线 $C$ 的方程.
另一方面:
(1) $x=0$ 或 $y=0$ 时,方程(2)不可能成立,这说明曲线 $C$ 与两坐标轴都没有交点.
(2) 如果 $(x,y)$ 是方程 (2)的一组解,则 $(-x,y)$ 也是方程(2)的一组解,又因为 $(-x,y)$ 与 $(x,y)$ 关于 $y$ 轴对称,这说明曲线 $C$ 关于 $y$ 轴对称. 类似地,可知曲线 $C$ 关于 $x$ 轴以及原点都对称.
(3) 由于 $|y||x|=1$,所以 $|x|$ 越来越大时,$|y|$ 越来越小且接近于 0;$|x|$ 越来越小且接近于 0 时,$|y|$ 越来越大.
为了作出曲线 $C$,根据上述性质 (2),可以先作出曲线 $C$ 在第一象限内的部分,然后根据对称性作出其他部分,而第一象限内的部分可以由描点作图作出,如下表和图 2-4-3 所示.
| $x$ | $\cdots$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{2}$ | 1 | 2 | 3 | $\cdots$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $y$ | $\cdots$ | 3 | 2 | 1 | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{3}$ | $\cdots$ |
就像直线可以看成动点做直线运动的轨迹、圆可以看成动点做圆周运动的轨迹一样,曲线一般都可以看成动点依某种条件运动的轨迹,所以曲线的方程也常称为满足某种条件的点的轨迹方程.
例如,尝试与发现中的曲线 $C$,可以看成动点 $M$ 的运动轨迹,且动点 $M$ 到 $l_{1},l_{2}$ 的距离的乘积等于 1,因此动点 $M$ 的轨迹方程就是 $|y||x|=1$.
冬 2-4-3
例 3 已知动点 $M$ 到 $A(1,2)$ 的距离与到 $B(3,6)$ 的距离相等,求 $M$ 的轨迹方程,并指出轨迹曲线的形状.
解设 $M$ 的坐标为 $(x,y)$,依照条件可知 $|M A|=|M B|$. 由两点之间的距离公式可知
$$
\sqrt{(x-1)^{2}+(y-2)^{2}}=\sqrt{(x-3)^{2}+(y-6)^{2}},$$
两边平方并化简,得 $x+2 y-10=0$.
可以检验,上式就是 $M$ 的轨迹方程,因此轨迹曲线是直线. 利用类似例 3 的方法,实际上可以证明我们在初中归纳出的结论: 平面上所有到线段两端点的距离相等的点组成一条直线,而且这条直线是线段的垂直平分线.
例 4 已知动点 $M$ 到 $O(0,0)$ 的距离与到 $A(3,0)$ 的距离之比是 $\frac{1}{2}$,求 $M$ 的轨迹方程,并指出轨迹曲线的形状.
解设 $M$ 的坐标为 $(x,y)$,依照条件可知 $\frac{|M O|}{|M A|}=\frac{1}{2}$.
由两点之间的距离公式可知,上式可用坐标表示为
$$
\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{\sqrt{(x-3)^{2}+y^{2}}}=\frac{1}{2}
$$
两边平方并化简,得 $x^{2}+y^{2}+2 x-3=0$.
可以检验,上式就是 $M$ 的轨迹方程.
又因为将轨迹方程左边配方,可得 $(x+1)^{2}+y^{2}=4$,所以可知轨迹曲线是圆心为 4
且半径为 5 的圆.
例 3、例 4 实际上是在不知道轨迹曲线形状的前提下,通过用代数等式表示几何条件,求出了轨迹方程 (即曲线的方程),从而明确了曲线的形状,更进一步,还可以研究曲线的性质,这都是坐标法以及解析几何的优点. 从这两个例题中也可以看出求动点 $M$ 轨迹方程的一般步骤:
(1) 设动点 $M$ 的坐标为 $(x,y)$ (如果没有平面直角坐标系,需先建立);
（2）写出 $M$ 要满足的几何条件,并将该几何条件用 $M$ 的坐标表示出来;
(3) 化简并检验所得方程是否为 $M$ 的轨迹方程.
## 习题2-4A$
(1) 判断 $P(\sqrt{3},0),Q(-2,3)$ 是否在方程 $4 x^{2}+3 y^{2}=12$ 的曲线上.
(2) 已知方程 $(x+2)^{2}+(y-3)^{2}=r^{2}$ 的曲线通过点 $(-1,5)$,求 $r^{2}$ 的值.
(3) 到两坐标轴距离相等的点组成的轨迹的方程是 $x-y=0$ 吗?为什么?
(4) 判断直线 $2 x+5 y-15=0$ 与曲线 $y=-\frac{10}{x}$ 是否相交,如果相交,求出交点的坐标.
(5) 设 $A(-1,-1),B(3,7)$,求线段 $A B$ 的垂直平分线的方程.
(6) 求到 $y$ 轴的距离等于 4 的点的轨迹的方程.
## 习题2-4B
(1) 求到两定点 $A(-1,2),B(3,2)$ 的距离之比为 $\sqrt{2}$ 的点的轨迹方程.
(2) 已知 $A,B$ 是平面上两个定点,$A B=6$,动点 $M$ 满足条件 $\overrightarrow{M A} \cdot(2 \overrightarrow{M B})=-1$,求点 $M$ 的轨迹方程.
(3) 已知动点 $M$ 到点 $(a,0)$ 的距离等于到点 $(b,0)$ 的距离的 2 倍 (其中 $a \neq b)$,求点 $M$ 的轨迹方程,并指出轨迹曲线的形状.
(4) 已知动点 $M$ 到 $x$ 轴的距离与到点 $F(0,4)$ 的距离相等,求点 $M$ 的轨迹方程,并根据方程给出轨迹曲线的一些性质.
(5) 已知点 $B(-2,1)$ 和点 $C(3,2),\mathrm{Rt} \triangle A B C$ 以 $B C$ 为斜边,求直角顶点 $A$ 的轨迹方程.
(6) 已知点 $M$ 到两条互相垂直的直线的距离的平方和等于常数 $k(k>0)$,求点 $M$ 的轨迹方程,并根据方程研究曲线的性质.
(7) 求通过圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 与 $x^{2}+y^{2}-4 x-4 y-1=0$ 的交点,并且过点 $(2,-1)$ 的圆的方程.
(1) 已知圆 $C_{1}: x^{2}+y^{2}+6 x-16=0,C_{2}: x^{2}+y^{2}-4 x-5=0$. 求证：对任意不等于 -1 的实数 $\lambda$,方程
$$
x^{2}+y^{2}+6 x-16+\lambda\left(x^{2}+y^{2}-4 x-5\right)=0
$$
是通过两个已知圆交点的圆的方程.
(2) 已知 $A,B$ 是平面内的两点,且 $A B=6$,分别判断平面内满足下列条件的动点 $P$ 是否存在，并说明理由.
(1) $|P A|+|P B|=6$;(2) $|P A|-|P B|=6$;(3) $|P B|-|P A|=6$;(4) $|P A|+|P B|=3$;(5) $|P B|-|P A|=7$.
(3) 已知 $A,B$ 是平面内的两点,且 $|A B|=6$,用坐标法判断平面内满足下列条件的动点 $P$ 是否存在. 如果存在,求出轨迹方程;如果不存在,说明理由.
(1) $|P A|^{2}+|P B|^{2}=36$
(2) $|P A|^{2}+|P B|^{2}=10$.
$1 B \subseteq A \quad 2(0,0),(1,1),(-1,1)$
$3|x| \quad 4(-1,0)$
52
## 5 椭圆及其方程
### 1 椭圆的标准方程
## 情境与问题
在日常生活与学习中,可以见到很多有关椭圆的形象,如图 2-5-1 (1) (2) 所示.
(1)
$(2)$
图 2-5-1
我们还知道,圆是平面内到圆心的距离等于半径的点的集合,圆上的点的特征是：任意一点到圆心的距离都等于半径. 那么,你能说说到底什么是椭圆吗?椭圆上任意一点的特征是什么?
椭圆给人的印象是“压扁的圆”,但这不是数学上椭圆的定义,事实上: 如果 $F_{1},F_{2}$ 是平面内的两个定点,$a$ 是一个常数,且 $2 a>\left|F_{1} F_{2}\right|$,则平面内满足
$$
\left|P F_{1}\right|+\left|P F_{2}\right|=2 a
$$
的动点 $P$ 的轨迹称为椭圆,其中,两个定点 $F_{1},F_{2}$ 称为椭圆的焦点,两个焦点之间的距离 $\left|F_{1} F_{2}\right|$ 称为椭圆的焦距. 另外,从本章导语中可以看出,椭圆也可以通过用平面截圆雉面得到,因此椭圆是一种圆雉曲线.
## 尝试与发现
你能利用日常生活中的物品作出一个粗圆吗?如图 2-5-2 所示,在平的画板上取两个定点 $F_{1}$ 和 $F_{2}$,在这两个点上都钉上一个图钉,将一条长度大于 $\left|F_{1} F_{2}\right|$ 的细绳的两端固定在两个图钉上，用笔尖把细绳拉紧，并使笔尖在画板上慢慢移动一周,则画出的图形是一个椭圆.
这种作椭圆的方法实际上是验证了椭圆定义中的 $P$ 点一定存在而且有无数多个. 那么,从数学上能不能证明这一点呢?
图 2-5-2
## 尝试与发现
设 $F_{1},F_{2}$ 是平面内的两个定点,$\left|F_{1} F_{2}\right|=8$,证明平面上满足
$$
\left|P F_{1}\right|+\left|P F_{2}\right|=10
$$
的动点 $P$ 有无数多个,并求 $P$ 的轨迹方程.
不难想到,可以通过坐标法来探讨上述满足条件的 $P$ 点是否存在.
以 $F_{1} F_{2}$ 所在直线为 $x$ 轴,线段 $F_{1} F_{2}$ 的垂直平分线为 $y$ 轴,建立平面直角坐标系 $x O y$,设椭圆的焦点分别为 $F_{1}(-4,0),F_{2}(4,0)$.
设 $P$ 的坐标为 $(x,y)$,因为 $\left|P F_{1}\right|+\left|P F_{2}\right|=10$,而且 $\left|P F_{1}\right|=$ $\sqrt{(x+4)^{2}+y^{2}},\left|P F_{2}\right|=\mathbf{1}$，所以
$$
\sqrt{(x+4)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-4)^{2}+y^{2}}=10 \text {. }
$$
当 $x \neq 0$ 时,$\sqrt{(x+4)^{2}+y^{2}} \neq \sqrt{(x-4)^{2}+y^{2}}$,此时,由(1)得
$$
\frac{(x+4)^{2}+y^{2}-\left[(x-4)^{2}+y^{2}\right]}{\sqrt{(x+4)^{2}+y^{2}}-\sqrt{(x-4)^{2}+y^{2}}}=10,$$
整理得
$$
\sqrt{(x+4)^{2}+y^{2}}-\sqrt{(x-4)^{2}+y^{2}}=\frac{8}{5} x
$$
(1) $+(2)$ 整理得
$$
\sqrt{(x+4)^{2}+y^{2}}=5+\frac{4}{5} x
$$
将(3)式平方，再整理得
$$
\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1
$$
当 $x=0$ 时,由(1)可知 $2 \sqrt{4^{2}+y^{2}}=10$,即 $y^{2}=9$,此时(4)也成立.
可以验证,如果 $P$ 的坐标 $(x,y)$ 满足(4)式,则可得 $\left|P F_{1}\right|+\left|P F_{2}\right|=10$.
不难看出,方程(4)有无穷多组实数解,这说明坐标满足 $\left|P F_{1}\right|+\left|P F_{2}\right|=10$ 的点有无数多个,而且 $P$ 的轨迹方程为(4)式.
一般地,如果椭圆的焦点为 $F_{1}$ 和 $F_{2}$,焦距为 $2 c$,而且椭圆上的动点 $P$ 满足
$$
\left|P F_{1}\right|+\left|P F_{2}\right|=2 a,$$
其中 $a>c>0$. 则以 $F_{1} F_{2}$ 所在直线为 $x$ 轴,线段 $F_{1} F_{2}$ 的垂直平分线为 $y$ 轴,建立平面直角坐标系,如图 2-5-3 所示. 此时,椭圆的焦点分别为 $F_{1}(-c,0),F_{2}(c,0)$.
设 $P(x,y)$ 是椭圆上任意一点,则 $\left|P F_{1}\right|+$ $\left|P F_{2}\right|=2 a$,因为 $\left|P F_{1}\right|=\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}$,$\left|P F_{2}\right|=2$
,所以
图 2-5-3
$$
\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2 a .
$$
当 $x \neq 0$ 时,$\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}} \neq \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}$,由(5得
$$
\frac{(x+c)^{2}+y^{2}-\left[(x-c)^{2}+y^{2}\right]}{\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}-\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}}=2 a \text {,}
$$
整理得
$$
\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}-\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=\frac{2 c}{a} x .
$$
(5)+(6)整理得
$$
\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=a+\frac{c}{a} x
$$
将(7)式平方,再整理得
$$
\frac{a^{2}-c^{2}}{a^{2}} x^{2}+y^{2}=a^{2}-c^{2} .
$$
当 $x=0$ 时,由(5)可知 $2 \sqrt{c^{2}+y^{2}}=3$,此时(8)也成立.
因为 $a>c>0$,所以 $a^{2}-c^{2}>0$,设
$$
a^{2}-c^{2}=b^{2}
$$
且 $b>0$,则 8 式可化为
$$
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)
$$
可以验证,方程(9)就是椭圆的方程,通常称为焦点在 $x$ 轴上的椭圆的标准方程.
## 尝试与发现
设椭圆的焦点为 $F_{1}$ 和 $F_{2}$,焦距为 $2 c$,而且椭圆上的动点 $P$ 满足
$$
\left|P F_{1}\right|+\left|P F_{2}\right|=2 a \text {,}
$$
其中 $a>c>0$. 以 $F_{1} F_{2}$ 所在直线为 $y$ 轴,线段 $F_{1} F_{2}$ 的垂直平分线为 $x$ 轴,建立平面直角坐标系,如图 2-5-4 所示. 此时:
（1）椭圆焦点的坐标分别是什么?
（2）能否通过(9)式来得到此时椭圆方程的形式?
图 2-5-4
显然,此时椭圆的焦点是 $F_{1}(0,-c),F_{2}(0,c)$,而且只要将方程(9) 中的 $x$ 与 $y$ 互换,就可以得到椭圆的方程为
$$
\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)
$$
其中 $b^{2}=a^{2}-c^{2}$. 这个方程通常称为焦点在 $y$ 轴上的椭圆的标准方程.
由上可以看出,椭圆的标准方程由 $a,c$ 以及焦点的位置确定,其中 $a>c>0$. 如不特别声明,以后总认为椭圆有相应的 $a,c$ 值以及 $b$ 值,其中
$$
b=\sqrt{a^{2}-c^{2}} \text {. }
$$
而且谈到椭圆的标准方程时，指的总是(9)(10)这两种形式之一.
例 1 分别求满足下列条件的椭圆的标准方程:
（1）两个焦点分别是 $F_{1}(-3,0),F_{2}(3,0)$，椭圆上的点 $P$ 到两焦点的距离之和等于 8;
（2）两个焦点分别是 $F_{1}(0,-4),F_{2}(0,4)$，并且椭圆经过点 $(\sqrt{3},-\sqrt{5})$.
解 (1) 由已知得 $2 a=8$,因此 $a=4$. 又因为 $c=4$
,所以
$$
b^{2}=a^{2}-c^{2}=4^{2}-3^{2}=7
$$
因为椭圆的焦点在 $x$ 轴上,所以所求椭圆的标准方程为
$$
\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{7}=1
$$
（2）因为椭圆的焦点在 $y$ 轴上，设它的标准方程为
$$
\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1 \quad(a>b>0) \text {. }
$$
由已知得 $c=5$ - 又因为 $c^{2}=a^{2}-b^{2}$,所以 $a^{2}=b^{2}+16$.
因为点 $(\sqrt{3},-\sqrt{5})$ 在椭圆上,所以 $\frac{(-\sqrt{5})^{2}}{a^{2}}+\frac{(\sqrt{3})^{2}}{b^{2}}=1$,即
$$
\frac{5}{a^{2}}+\frac{3}{b^{2}}=1
$$
从而有
$$
\frac{5}{b^{2}+16}+\frac{3}{b^{2}}=1
$$
解得 $b^{2}=4$ 或 $b^{2}=-12$ (舍去).
因此 $a^{2}=4+16=20$,从而所求椭圆的标准方程为
$$
\frac{y^{2}}{20}+\frac{x^{2}}{4}=1
$$
例 1 的（2）中,也可以根据椭圆的定义,由点 $(\sqrt{3},-\sqrt{5})$ 与焦点 $F_{1}$,$F_{2}$ 的距离的和等于 $2 a$ 来求出 $a$ 的值,然后再得到椭圆的标准方程,请读者自行尝试.
例 2 已知 $B,C$ 是平面内的两个定点,$|B C|=8$,且平面内 $\triangle A B C$ 的周长等于 18,求这个三角形的顶点 $A$ 的轨迹方程.
分析由 $\triangle A B C$ 的周长等于 18 且 $|B C|=8$,可知点 $A$ 到 $B,C$ 两个定点的距离之和总是等于 10,因此点 $A$ 一定在以 $B,C$ 为焦点的椭圆上.
图 2-5-5
解以 $B C$ 所在的直线为 $x$ 轴,线段 $B C$ 的垂直平分线为 $y$ 轴,建立平面直角坐标系 $x O y$,如图 2-5-5 所示.
由 $|B C|=8$,可知 $B(-4,0),C(4,0)$. 又因为 $|A B|+|A C|+$ $|B C|=18$,所以
$$
|A B|+|A C|=10
$$
从而点 $A$ 在以 $B,C$ 为焦点的椭圆上,而且这个椭圆上的点与两焦点的距离之和 $2 a=10$,又焦距 $2 c=6 \quad$,因此 $a=5,c=4$. 从而
$$
b^{2}=a^{2}-c^{2}=25-16=9 \text {. }
$$
因此点 $A$ 的坐标必须满足 $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$,再注意到因为是三角形,所以 $A,B,C$ 三点不能共线,因此可知点 $A$ 的轨迹方程为
$$
\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1 \quad(y \neq 0) \text {. }
$$
## 倾斜的试管液面轮廓一定是椭圆
在化学课上,你一定曾注意到,当装有液体的试管稍微㑔斜一点时,液面的轮廓是梋圆形的,如图 1 所示.
图 1
你知道怎样利用有关的数学知识证明这一点吗？
如图 2 所示,假设平面 $\alpha$ 与圆柱相交,而且平面 $\alpha$ 不与圆柱的轴垂直,我们需要证明的是: 平面 $\alpha$ 与圆柱表面的交线 $C$ 是一个粗圆.
图 2 取半径与圆柱底面半径相同的两个球,从平面 $\alpha$ 的两侧放入圆柱面内 (这两个球都称为圆柱面的内切球),并使得两个球都与平面 $\alpha$ 相切,切点分别为 $F_{1},F_{2}$.
设 $P$ 为交线 $C$ 上任意一点,过 $P$ 作圆柱的母线,分别与两个球相切于 $A,B$. 可以看出,$P F_{1}$ 与 $P A$ 是同一个球的两条切线,$P F_{2}$ 与 $P B$ 也是同一个球的两条切线,因此
$$
\left|P F_{1}\right|=|P A|,\left|P F_{2}\right|=|P B|,$$
从而
$$
\left|P F_{1}\right|+\left|P F_{2}\right|=|P A|+|P B|=|A B|,$$
又因为 $A B$ 的值是不变的,所以 $P$ 到 $F_{1}$ 与 $F_{2}$ 的距离之和是一个常数,且 $|A B|>$ $\left|F_{1} F_{2}\right|$,这就证明了 $C$ 是一个椭圆！
有意思的是，利用类似的方法还能证明我们在本章导语中所提到的结论,即利用平面截圆锥面能得到椭圆、双曲线、抛物线,感兴趣的同学请查阅有关资料进一步了解吧!
## 练习A
(1) 设椭圆 $\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$ 的两个焦点为 $F_{1},F_{2}$,且 $P$ 为椭圆上一点,求 $\left|P F_{1}\right|+$ $\left|P F_{2}\right|$ 的值.
(2) 设 $M$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$ 上一点,$F_{1},F_{2}$ 是椭圆的焦点,如果点 $M$ 到焦点 $F_{1}$ 的距离为 4,那么点 $M$ 到焦点 $F_{2}$ 的距离是多少?
(3) 分别根据下列条件,求椭圆的标准方程:
(1) $a=\sqrt{3},b=1$,焦点在 $x$ 轴上;
(2) $b=3$,经过点 $(0,-4)$,焦点在 $y$ 轴上. (4) 求下列方程表示的椭圆的焦点坐标:
(1) $\frac{x^{2}}{28}+\frac{y^{2}}{12}=1$
(2) $2 x^{2}+4 y^{2}=1$
(5) 已知椭圆的两个焦点分别为 $F_{1}(-4,0)$ 和 $F_{2}(4,0)$,再添加什么条件,可使得这个椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$?
## 练习B
(1) 分别根据下列条件,求椭圆的标准方程:
(1) 一个焦点坐标为 $(-5,0)$,且椭圆上的点到两焦点的距离之和是 26;
（2）一个焦点坐标为 $(0,2 \sqrt{3})$,且椭圆经过点 $(-\sqrt{6},\sqrt{5})$.
(2) 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的两个焦点为 $F_{1},F_{2}$,椭圆上的点 $D,E$ 满足 $D,E,F_{2}$ 三点共线,求 $\triangle F_{1} D E$ 的周长.
(3) 求经过 $P(-3,0),Q(0,2)$ 两点的椭圆的标准方程.
(4) 求讨点 $(3,-2)$ 且与椭圆 $4 x^{2}+9 y^{2}=36$ 有相同焦点的椭圆的标准方程.
(5) 已知曲线 $l: x^{2}+y^{2}=4(y \neq 0)$,从曲线上任意一点 $P$ 向 $x$ 轴作垂线段 $P P^{\prime}$,$P^{\prime}$ 为垂足,求线段 $P P^{\prime}$ 的中点 $M$ 的轨迹方程.
$1 \sqrt{(x-4)^{2}+y^{2}}$
$2 \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}$
$32 a$
43
54
68
### 2 椭圆的几何性质
## 1. 椭圆的几何性质
下面我们由椭圆的方程来研究椭圆具有的几何性质.
## 尝试与发现
已知椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$,根据这个方程完成下列任务:
(1) 观察方程中 $x$ 与 $y$ 是否有取值范围,由此指出椭圆 $C$ 在平面直角坐标系中的位置特征;(2) 指出椭圆 $C$ 是否关于 $x$ 轴、$y$ 轴、原点对称;
（3）指出椭圆 $C$ 与坐标轴是否有交点,如果有,求出交点坐标.
因为实数的平方是一个非负数,所以在方程 $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ 中,必有 $\frac{x^{2}}{4} \leqslant 1$,即 $-2 \leqslant x \leqslant 2$. 同理可得,1 . 因此,椭圆 $C$ 位于直线 $x=-2$,$x=2,y=-1,y=1$ 所围成的矩形内,如图 2-5-6 所示.
又因为如果 $(x,y)$ 是方程 $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ 的一组解,则不难看出,$(-x,y),(x,-y)$,$(-x,-y)$ 都是方程的解,这说明椭圆 $C$ 关于 $y$ 轴、$x$ 轴、坐标原点对称，这也可从图 2-5-6 中看出来.
在方程 $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ 中，令 $y=0$,得 $x=-2$
图 2-5-6 或 $x=2$,可知椭圆 $C$ 与 $x$ 轴有两个交点,且交点坐标分别为 $(-2,0)$,$(2,0)$;令 $x=0$,得 2,可知椭圆 $C$ 与 $y$ 轴也有两个交
点,且交点坐标分别为 3
一般地,如果椭圆 $C$ 的标准方程是
$$
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \quad(a>b>0),$$
则可以根据方程(1)来得到椭圆的一些几何性质.
(1) 范围
由方程(1)可知 $\frac{x^{2}}{a^{2}} \leqslant 1$ 且 $\frac{y^{2}}{b^{2}} \leqslant 1$,因此
$$
-a \leqslant x \leqslant a \text { 且 }-b \leqslant y \leqslant b .
$$
这说明,椭圆 $C$ 位于直线 $x=-a,x=a$,$y=-b,y=b$ 所围成的矩形内,如图 2-5-7 所示.
(2) 对称性
如果 $(x,y)$ 是方程(1)的一组解,则不难看出,$(-x,y),(x,-y),(-x,-y)$ 都是方程的解,这说明椭圆 $C$ 关于 $y$ 轴、$x$
图 2-5-7 轴、坐标原点对称,如图 2-5-7 所示.
因此,$x$ 轴、$y$ 轴是椭圆 $C$ 的对称轴,坐标原点是对称中心. 椭圆的对称中心也称为椭圆的中心,本书中我们只讨论中心在原点的椭圆. (3) 顶点
在方程(1)中,令 $y=0$,得 $x=-a$ 或 $x=a$,可知椭圆 $C$ 与 $x$ 轴有两个交点,可以记作 $A_{1}(-a,0),A_{2}(a,0)$;令 $x=0$,得 $y=-b$ 或 $y=b$,可知椭圆 $C$ 与 $y$ 轴也有两个交点,可以记作 $B_{1}(0,-b),B_{2}(0,b)$. 因此,椭圆 $C$ 与它的对称轴共有 4 个交点,即 $A_{1},A_{2}$ 和 $B_{1},B_{2}$,如图 2-5-8 所示,这四个点都称为椭圆的顶点.
注意到 $\left|A_{1} A_{2}\right|=2 a,\left|B_{1} B_{2}\right|=2 b$,而且 $a>b>0$,所以线段 $A_{1} A_{2}$ 称为椭圆的长轴,线段 $B_{1} B_{2}$ 称为椭圆的短轴. 显然,椭圆的两个焦点在它的长轴上,而且椭圆的长轴长为 $2 a$,短轴长为 $2 b$.
于是,$a,b$ 分别是椭圆的半长轴长和半短轴长,如果设椭圆的焦距为 $2 c$,则 $c$ 是椭圆的半焦距,由
$$
a^{2}=b^{2}+c^{2}
$$
可知长度分别为 $a,b,c$ 的三条线段构成一个直角三角形,且长度为 $a$ 的线段是斜边. 这就说明,以椭圆的任意一个短轴的端点、任意一个焦点以及原点为顶点的三角形是一个直角三角形,而且短轴端点与焦点的连线长为 $a$.
因此，如图 2-5-8 所示,有
$$
\left|O A_{1}\right|=\left|O A_{2}\right|=a,\left|O B_{1}\right|=\left|O B_{2}\right|=b,\left|O F_{1}\right|=\left|O F_{2}\right|=c \text {,}
$$
而且
$$
\left|B_{1} F_{1}\right|=\left|B_{1} F_{2}\right|=\left|B_{2} F_{1}\right|=\left|B_{2} F_{2}\right|=a \text {. }
$$
(4) 离心率
一般地,椭圆的半焦距与半长轴长之比
$$
e=\frac{c}{a}
$$
称为椭圆的离心率.
图 2-5-8
## 尝试与发现
（1）根据椭圆离心率的定义，判断椭圆离心率的取值范围;（2）猜想椭圆离心率的大小与椭圆的形状有什么联系，并尝试证明.
因为 $a>c>0$,所以
$$
0<e<1
$$
另外,注意到
$$
\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{a^{2}-c^{2}}}{a}=\sqrt{\frac{a^{2}-c^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1-e^{2}}
$$
这说明 $e$ 越趋近于 1,则 $\frac{b}{a}$ 的值越小,因此粗圆越扁;反之,$e$ 越趋近于 0,则 $\frac{b}{a}$ 的值越大，这时椭圆就越接近于圆.
当固定 $a$ 不变时,椭圆的离心率与椭圆形状的关系可以从图 2-5-9 中看出来,其中橙色、绿色、蓝色椭圆的离心率分别为 $\frac{\sqrt{7}}{4},\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{15}}{4}$.
图 2-5-9
## 尝试与发现
如果椭圆的标准方程是
$$
\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1 \quad(a>b>0)
$$
那么这个椭圆的范围、对称性、顶点、离心率中,哪些与焦点在 $x$ 轴上的椭圆是有区别的?
显然,(2) 式表示的椭圆,焦点坐标为 $(0$,$-c),(0,c)$,椭圆上点的坐标的取值范围是
$$
-a \leqslant y \leqslant a \text { 且 } 4
$$
长轴的两个端点是 $A_{1}(0,-a),A_{2}(0,a)$;短轴的两个端点是 $B_{1}(-b,0),B_{2}(b,0)$. 除了这些以外,对称性、焦距、长轴长、短轴长、离心率等都与焦点在 $x$ 轴上的椭圆是一致的,如图 2-5-10 所示.
图 2-5-10
例1 求下列方程表示的椭圆的长轴长、半短轴长、焦点坐标以及离心率:
(1) $\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{24}=1$
(2) $8 x^{2}+3 y^{2}=24$
解 (1) 由 $36>24$ 可知这个椭圆的焦点在 $x$ 轴上,且 $a^{2}=36,b^{2}=24$,因此长轴长 $2 a=12$,半短轴长 $b=2 \sqrt{6}$.
又因为 $c^{2}=a^{2}-b^{2}=36-24=12$,即 $c=2 \sqrt{3}$. 因此,椭圆的焦点坐标为
$$
(-2 \sqrt{3},0),(2 \sqrt{3},0) .
$$
离心率
$$
e=\frac{c}{a}=\frac{2 \sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}
$$
（2）已知椭圆的方程可化为
$$
\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{8}=1
$$
由 $8>3$ 可知这个椭圆的焦点在 5 轴上,且 $a^{2}=8,b^{2}=6$ 因此长轴长 $2 a=4 \sqrt{2}$,半短轴长 $b=\sqrt{3}$.
又因为 $c^{2}=a^{2}-b^{2}=8-3=5$,即 $c=\sqrt{5}$. 因此,椭圆的焦点坐标为
$$
(0,-\sqrt{5}),(0,\sqrt{5})
$$
离心率
$$
e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{4}
$$
例 2 已知椭圆 $C$ 的焦点为 $F_{1},F_{2}$,短轴的一个端点为 $B$,且 $\triangle B F_{1} F_{2}$ 是一个等边三角形,求椭圆 $C$ 的离心率.
解因为 $\left|B F_{1}\right|=\left|B F_{2}\right|=a,\left|F_{1} F_{2}\right|=2 c$,所以依据题意可知
$$
a=2 c
$$
从而有
$$
e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}
$$
例 3 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $F$,且 $P$ 是椭圆上的一点,求 $|P F|$ 的最小值与最大值.
解记椭圆的焦距为 $2 c$,则 $F(-c,0)$,而且 $c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$.
设 $P(x,y)$,则
$$
|P F|^{2}=(x+c)^{2}+y^{2}
$$
又因为 $P$ 是椭圆上一点,所以 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$,即 $y^{2}=b^{2}-\frac{b^{2}}{a^{2}} x^{2}$,因此
$$
\begin{aligned}
|P F|^{2} & =(x+c)^{2}+b^{2}-\frac{b^{2}}{a^{2}} x^{2}=\left(1-\frac{b^{2}}{a^{2}}\right) x^{2}+2 x c+b^{2}+c^{2} \\
& =\frac{c^{2}}{a^{2}} x^{2}+2 x c+a^{2}=\frac{c^{2}}{a^{2}}\left(x^{2}+2 \frac{a^{2}}{c} x+\frac{a^{4}}{c^{2}}\right) \\
& =\frac{c^{2}}{a^{2}}\left(x+\frac{a^{2}}{c}\right)^{2} .
\end{aligned}
$$
注意到 $-a \leqslant x \leqslant a$,而且 $-\frac{a^{2}}{c}=-\frac{a}{c} a<-a$,所以,当 $x=-a$ 时,$|P F|^{2}$ 最小，此时 $|P F|$ 有最小值,且最小值为
$$
\sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}}\left(-a+\frac{a^{2}}{c}\right)^{2}}=a-c;$$
当 $x=a$ 时,$|P F|^{2}$ 最大,此时 $|P F|$ 有最大值,且最大值为
$$
\sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}}\left(a+\frac{a^{2}}{c}\right)^{2}}=a+c
$$
例 3 说明,椭圆上的所有点中,到给定焦点距离最大和最小的点,分别是长轴的两个端点.
例 4 航天器的轨道有很多种,其中的“地球同步转移轨道” 是一个椭圆轨道,而且地球的中心正好是椭圆的一个焦点. 若地球同步转移轨道的远地点（即椭圆上离地球表面最远的点）与地球表面的距离为 $m$,近地点与地球表面的距离为 $n$,设地球的半径为 $r$,试用 $m,n,r$ 表示出地球同步转移轨道的离心率.
设椭圆的半长轴长为 $a$,半焦距为 $c$,依照题意可知
$$
\left\{\begin{array}{l}
a-c=n+r,\\
a+c=m+r,\end{array}\right.
$$
解得 $a=\frac{n+m+2 r}{2},c=7$
，因此离心率
$$
e=\frac{c}{a}=\frac{m-n}{n+m+2 r}
$$
## 探索与研究
方程 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ （其中 $a，b$ 是正的实常数）表示的一定是椭圆吗?当椭圆的焦距越来越小时,椭圆的形状将怎样变化?由此探讨椭圆与圆的关系.
## 口2. 用信息技术作出椭圆以及研究椭圆的性质
根据椭圆的方程,利用计算机软件,可以方便地作出椭圆,并研究椭圆的性质.
例如，在 GeoGebra 中，输入“$\mathrm{x} 2 / 16+\mathrm{y} 2 / 4=1$ ” 就可以得到 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 对应的椭圆；再指定 $A(2,0)$,并在椭圆上任取一点 $B$,构造线段 $A B$,就可以显示出线段 $A B$ 的长,让点 $B$ 沿椭圆运动,则可以观察出线段 $A B$ 的变化情况,如图 2-5-11 所示. 有兴趣的读者可以结合课件“椭圆及其性质. $g g b ”$ 进行观察.
图 2-5-11
## 练习A
(1) 分别求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率:
(1) $x^{2}+9 y^{2}=81$;(2) $25 x^{2}+9 y^{2}=225$;(3) $4 x^{2}+5 y^{2}=1$
(2) 根据下列条件,求椭圆的标准方程:
(1) 长轴长和短轴长分别为 8 和 6,且焦点在 $x$ 轴上;
(2) 一个焦点坐标为 $(-3,0)$,一个顶点坐标为 $(0,5)$.
(3) 已知椭圆 $C$ 上的所有点中,到焦点的距离最小为 2,最大为 14,求椭圆的标准方程.
(4) 已知椭圆的一个焦点为 $F(6,0)$,且 $B_{1},B_{2}$ 是短轴的两个端点,$\triangle F B_{1} B_{2}$ 是等边三角形，求这个椭圆的标准方程.
## 练习B
(1) 根据下列条件,求椭圆的标准方程:
(1) 两顶点坐标为 $(0,\pm 6)$，且经过点 $(5,4)$;
(2) 焦距是 12,离心率是 0.6,焦点在 $x$ 轴上.
(2) 已知椭圆 $C$ 的方程为 $9 x^{2}+4 y^{2}=36$ :
（1）与椭圆 $C$ 有相同焦点的椭圆有多少个?写出其中两个椭圆的方程;
（2）与椭圆 $C$ 有相同焦点且经过点 $(4,\sqrt{5})$ 的椭圆有几个?写出符合条件的椭圆方程.
(3) 已知 $P$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{36}=1$ 上一点,$A(0,5)$,求 $|P A|$ 的最小值与最大值.
(4) 已知椭圆的方程为 $m^{2} x^{2}+4 m^{2} y^{2}=1$,其中 $m$ 为大于零的实常数,求这个椭圆的焦点坐标与离心率.
(5) 设动点 $M$ 到定点 $F(2,0)$ 的距离与它到直线 $l: x=\frac{9}{2}$ 的距离之比为 $\frac{2}{3}$,求点 $M$ 的轨迹方程.
$1-1 \leqslant y \leqslant 1$
$2 y=-1$ 或 $y=1$
$3(0,-1),(0,1)$
$4-b \leqslant x \leqslant b$
$5 y \quad 63 \quad 7 \frac{m-n}{2}$
## 习题2-5A
(1) 如图,$A,B$ 是平面上的两点,且 $|A B|=10$,图中的一系列圆是圆心分别为 $A,B$ 的两组同心圆,每组同心圆的半径分别是 $1,2,3,\cdots$. 在两组同心圆的交点中,找出与 $A,B$ 两点的距离之和等于 14 的点,并把这些点用光滑的曲线顺次连接起来,观察所得曲线的形状.
(第 1 题)
(2) 求椭圆 $\frac{4 x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$ 的长轴长、短轴长、焦点坐标和顶点坐标.
(3) 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{45}+\frac{y^{2}}{20}=1$ 上一点 $P$ 与两个焦点的连线互相垂直,求点 $P$ 的坐标.
(4) 已知点 $A$ 是椭圆 $x^{2}+2 y^{2}=4$ 的长轴的左端点,以点 $A$ 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形 $A B C$,求斜边 $B C$ 的长.
(5) 求经过 $P(\sqrt{3},-2),Q(-2 \sqrt{3},1)$ 两点的椭圆的标准方程.
(6) 有一椭圆形溜冰场,其中椭圆的长轴长为 $100 \mathrm{~m}$,短轴长为 $60 \mathrm{~m}$. 现要在该溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形区域,且使这个区域的面积最大，则应把这个矩形的顶点定位在何处?这时矩形的周长是多少?
## 习题2-5B
(1) 已知椭圆的两个焦点 $F_{1}(-2 \sqrt{2},0),F_{2}(2 \sqrt{2},0)$,过点 $F_{1}$ 且与坐标轴不平行的直线 $l$ 与椭圆相交于 $M,N$ 两点,如果 $\triangle M N F_{2}$ 的周长等于 12,求这个椭圆的标准方程. (2) 已知 $F_{1},F_{2}$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$ 的焦点,点 $P$ 在椭圆上且 $\angle F_{1} P F_{2}=\frac{\pi}{3}$,求 $\triangle F_{1} P F_{2}$ 的面积.
(3) 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $F$,直线 $l: x=-\frac{a^{2}}{c}$. 设 $P$ 是椭圆上的一点,求 $P$ 到 $F$ 的距离与 $P$ 到直线 $l$ 的距离之比.
## 习晅2-5C
(1) 设动点 $M$ 到定点 $F(-c,0)$ 的距离与它到直线 $l: x=-\frac{a^{2}}{c}$ 的距离之比为 $\frac{c}{a}$,$a>c>0$,求点 $M$ 的轨迹方程,并用得到的轨迹方程解释 2.5 .2 中例 3 得到的结果.
(2) 已知点 $B(6,0)$ 和 $C(-6,0)$,过点 $B$ 的直线 $l$ 和过点 $C$ 的直线 $m$ 相交于点 $A$,设直线 $l$ 的斜率为 $k_{1}$,直线 $m$ 的斜率为 $k_{2}$,如果 $k_{1} k_{2}=-\frac{4}{9}$,求点 $A$ 的轨迹方程,并说明此轨迹是何种曲线.
(3) 已知点 $A(1,1)$,而且 $F_{1}$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$ 的左焦点,$P$ 是椭圆上任意一点,求 $\left|P F_{1}\right|+|P A|$ 的最小值和最大值.
## 6 双曲线及其方程
### 1 双曲线的标准方程
## 情境与问题
如图 2-6-1 所示,某中心 $O$ 接到其正西、正东、正北方向三个观测点 $A,B,C$ 的报告: $A,C$ 两个观测点同时听到了一声巨响,$B$ 观测点听到的时间比 $A$ 观测点晩 $4 \mathrm{~s}$. 已知各观测点到该中心的距离都是 $1020 \mathrm{~m}$. 假定当时声音传播的速度为 $340 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$,发出巨响的
图 2-6-1 位置为点 $P$,且 $A,B,C,O,P$ 均在同一平面内. 你能确定该巨响发生的点的位置吗?
上述情境中,因为观测点 $A$ 与 $C$ 同时听到响声,说明 $P$ 一定在 $A C$ 的垂直平分线上；因为观测点 $B$ 听到的时间比观测点 $A$ 晩 $4 \mathrm{~s}$,这说明 $P$ 距离 $B$ 更远，而且
$$
|P B|-|P A|=4 \times 340=1360 \text {. }
$$
那么,满足上式的点 $P$ 可能的位置有哪些呢?这与本小节我们要讨论的双曲线有关.
一般地,如果 $F_{1},F_{2}$ 是平面内的两个定点,$a$ 是一个正常数，且 $2 a<$ $\left|F_{1} F_{2}\right|$,则平面上满足
$$
|| P F_{1}|-| P F_{2}||=2 a
$$
的动点 $P$ 的轨迹称为双曲线,其中,两个定点 $F_{1},F_{2}$ 称为双曲线的焦点,两个焦点的距离 $\left|F_{1} F_{2}\right|$ 称为双曲线的焦距. 另外,从本章导语中可以看出,双曲线也可以通过用平面截两个特殊的圆雉面得到,因此双曲线是一种圆雉曲线.
## 尝试与发现
你能利用拉链等日常生活中的物品作出双曲线吗?如图 2-6-2 所示,将拉链的一边截去一部分,并将拉链的两端用图钉固定在画板的 $F_{1}$ 与 $F_{2}$ 处,将笔尖放置在拉锁处,随着拉链沿不同的方向逐渐拉开，笔尖将作出一条曲线;调换拉链的两端,按照同样的操作,笔尖也将作出一条曲线. 最终作出的图形是双曲线的一部分,其中每一条曲线都称为双曲线的一支.
图 2-6-2
这种作双曲线的方法实际上验证了双曲线定义中的 $P$ 点一定存在而且有无数多个. 那么,从数学上能不能证明这一点呢?
## 尝试与发现
怎样从数学上证明满足双曲线定义的点一定是存在的?这样的点有多少个?你能想到什么办法来解决这两个问题?
同椭圆的情形一样,下面我们用坐标法来探讨尝试与发现中的问题,并求出双曲线的标准方程.
为了方便,设双曲线的焦距为 $2 c$,则 $c>a>0$.
以 $F_{1} F_{2}$ 所在直线为 $x$ 轴,线段 $F_{1} F_{2}$ 的垂直平分线为 $y$ 轴,建立平面直角坐标系,如图 2-6-3 所示. 此时,双曲线的焦点分别为 $F_{1}(-c,0)$,$F_{2}(c,0)$.
设 $P(x,y)$ 是双曲线上一点,则 ||$P F_{1} \mid-$ $\left|P F_{2}\right| \mid=2 a$,因为 $\left|P F_{1}\right|=\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}},\left|P F_{2}\right|=$
图 2-6-3
1
,所以
$$
\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}-\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}= \pm 2 a \text {. }
$$
由(1)得
$$
\frac{(x+c)^{2}+y^{2}-\left[(x-c)^{2}+y^{2}\right]}{\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}}= \pm 2 a
$$
整理得
$$
\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}= \pm \frac{2 c}{a} x .
$$
且(2)与(1)的右边同时取正号或负号. (1)+(2)整理得
$$
\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}= \pm\left(a+\frac{c}{a} x\right),$$
将(3)式平方,再整理得
$$
\frac{c^{2}-a^{2}}{a^{2}} x^{2}-y^{2}=c^{2}-a^{2}
$$
因为 $c>a>0$,所以 $c^{2}-a^{2}>0$,设
$$
c^{2}-a^{2}=b^{2}
$$
且 $b>0$,则(4)式可化为
$$
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \quad(a>0,b>0)
$$
可以验证,方程(5)就是双曲线的方程,通常称为焦点在 $x$ 轴上的双曲线的标准方程. 显然,满足方程(5)的点的坐标有无穷多组,这无穷多组解对应的点组成的双曲线如图 2-6-3 所示.
## 尝试与发现
设双曲线的焦点为 $F_{1}$ 和 $F_{2}$,焦距为 $2 c$,而且双曲线上的动点 $P$ 满足
$$
|| P F_{1}|-| P F_{2}||=2 a,$$
其中 $c>a>0$. 以 $F_{1} F_{2}$ 所在直线为 $y$ 轴,线段 $F_{1} F_{2}$ 的垂直平分线为 $x$ 轴,建立平面直角坐标系,如图 2-6-4 所示. 此时:
(1) 双曲线焦点的坐标分别是什么?
图 2-6-4
（2）能否通过(5)式来得到此时双曲线方程的形式?
显然,此时双曲线的焦点是 $F_{1}(0,-c),F_{2}(0,c)$,而且只要将方程 (5)中的 $x$ 与 $y$ 互换,就可以得到此时双曲线的方程为
$$
\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1 \quad(a>0,b>0)
$$
其中 $b^{2}=c^{2}-a^{2}$. 这个方程通常称为焦点在 $y$ 轴上的双曲线的标准方程.
由上可以看出,双曲线的标准方程由 $a，c$ 以及焦点的位置确定,其中 $c>a>0$. 如不特别声明,以后总认为双曲线有相应的 $a,c$ 值以及 $b$ 值,其中
$$
b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}
$$
而且谈到双曲线的标准方程时，指的总是(5)(6这两种形式之一.
例 1 分别求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1) 两个焦点的坐标分别是 $(-5,0),(5,0)$,且双曲线上的点与两焦点距离之差的绝对值等于 8;
(2) 双曲线的一个焦点坐标是 $(0,-6)$,且双曲线经过点 $A(-5,6)$. 解 (1) 由已知得 $c=2$,$2 a=8$. 因此 $a=4$,且 $b^{2}=c^{2}-$ $a^{2}=5^{2}-4^{2}=9$. 又因为双曲线的焦点在 $x$ 轴上,所以所求的双曲线的标准方程是
$$
\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1
$$
(2) 由已知得双曲线的焦点在 3 轴上,且 $c=4$ 所以另一个焦点坐标为 5
因为点 $A(-5,6)$ 在双曲线上,所以点 $A$ 与两焦点的距离的差的绝对值为
$$
2 a=\left|\sqrt{(-5)^{2}+(6+6)^{2}}-\sqrt{(-5)^{2}+(6-6)^{2}}\right|=|13-5|=8,$$
因此 $a=4$,从而 $b^{2}=6^{2}-4^{2}=20$.
因此,所求双曲线的标准方程是
$$
\frac{y^{2}}{16}-\frac{x^{2}}{20}=1
$$
例 1 的（2）中，也可以先设双曲线的方程为 $\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1$,然后再通过已知求出 $a,b$ 的值来求解,请读者自行尝试.
例 2 已知 $F_{1}(-2,0),F_{2}(2,0)$,动点 $P$ 满足
$$
\left|P F_{1}\right|-\left|P F_{2}\right|=2
$$
求动点 $P$ 的轨迹方程.
解因为 $\frac{2}{2}=1<2$,所以根据双曲线的定义可知,$P$ 一定在 $a=6$,$c=7 \quad$ 且焦点在 $x$ 轴上的双曲线上. 这就是说,点 $P$ 的坐标 $(x,y)$ 一定满足
$$
x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1
$$
另一方面,由 $\left|P F_{1}\right|-\left|P F_{2}\right|=2>0$ 可知 $\left|P F_{1}\right|>\left|P F_{2}\right|$,因此 $P$ 的横坐标要大于零,从而可知 $P$ 的轨迹方程为
$$
x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1 \quad(x>0) \text {. }
$$
类似地,对于本节开始部分的情境与问题来说,如果以 $O$ 为坐标原点,$A B,O C$ 所在直线为 $x$ 轴、$y$ 轴建立平面直角坐标系,如图 2-6-5 所示. 则可知
$$
A(-1020,0),B(1020,0),C(0,1020) \text {,}
$$
发出巨响的位置 $P$ 在以 $A,B$ 为焦点的双曲线上,
图 2-6-5 而且双曲线中,
$$
c=1020,a=\frac{1360}{2}=680,$$
因此
$$
b^{2}=c^{2}-a^{2}=1020^{2}-680^{2}=5 \times 340^{2} .
$$
所以点 $P$ 的坐标 $(x,y)$ 满足
$$
\frac{x^{2}}{680^{2}}-\frac{y^{2}}{5 \times 340^{2}}=1(x<0) \text {. }
$$
另一方面,容易求得 $A C$ 的垂直平分线为
$$
y=-x,$$
这也是点 $P$ 的坐标 $(x,y)$ 要满足的方程.
联立(7)与 (8),可解得 $-x=y=680 \sqrt{5}$. 因此,发出巨响的 $P$ 点在中心 $O$ 的西偏北 $45^{\circ}$ 的 $680 \sqrt{10} \mathrm{~m}$ 处,如图 2-6-5 所示.
## 练习A
(1) 已知双曲线 $C$ 的方程是 $\frac{y^{2}}{16}-\frac{x^{2}}{20}=1$ :
(1) 求双曲线 $C$ 的焦点坐标;
（2）如果双曲线 $C$ 上一点 $P$ 到其一个焦点的距离等于 8,求点 $P$ 到其另一个焦点的距离.
(2) 分别根据下列条件,求双曲线的标准方程:
(1) $a=3,b=4$,且焦点在 $x$ 轴上;
(2) 焦点为 $F_{1}(0,-6)$ 和 $F_{2}(0,6)$,且经过点 $A(2,-5)$.
(3) 已知双曲线 $x^{2}-y^{2}=m$ 与椭圆 $2 x^{2}+3 y^{2}=72$ 有相同的焦点,求 $m$ 的值.
(4) 过双曲线 $\frac{x^{2}}{144}-\frac{y^{2}}{25}=1$ 的右焦点作 $x$ 轴的垂线,分别求垂线与双曲线的交点到两焦点的距离.
(5) 写出 $a=3,b=4$ 的双曲线的标准方程.
## 练习B
(1) 已知双曲线 $C$ 过椭圆 $\frac{x^{2}}{49}+\frac{y^{2}}{24}=1$ 的焦点,且以椭圆的顶点为焦点,求双曲线的方程.
(2) 已知双曲线 $3 m x^{2}-m y^{2}=3$ 的一个焦点坐标是 $(-2,0)$,求实数 $m$ 的值. (3) 求焦点在 $x$ 轴上,且经过点 $P(4,2)$ 与 $Q(2 \sqrt{6},2 \sqrt{2})$ 的双曲线的标准方程.
(4) 相距 $1400 \mathrm{~m}$ 的 $A,B$ 两个观察站都听到了一声巨响,且在 $A$ 处听到的时间比在 $B$ 处听到的时间早 $4 \mathrm{~s}$. 已知当时的声速是 $340 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$,发出巨响的点与 $A,B$ 都在水平面上,求发出巨响的点所在曲线的方程.
$1 \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}$
25
$3 y$
46
$5(0,6)$
$6 \quad 1$
72
### 2 双曲线的几何性质
## 1. 双曲线的几何性质
下面我们由双曲线的方程来研究双曲线具有的几何性质.
## 営试与发现
已知双曲线 $C$ 的方程为 $x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1$,根据这个方程完成下列任务:
（1）观察方程中 $x$ 与 $y$ 是否有取值范围,由此指出双曲线 $C$ 在平面直角坐标系中的位置特征;
(2) 指出双曲线 $C$ 是否关于 $x$ 轴、$y$ 轴、原点对称;
（3）指出双曲线 $C$ 与坐标轴是否有交点,如果有,求出交点坐标;
(4) 如果 $(x,y)$ 满足双曲线 $C$ 的方程,说出当 $|x|$ 增大时,$|y|$ 将怎样变化,并指出这反映了双曲线的形状具有什么特点.
因为实数的平方是一个非负数，因此在方程 $x^{2}-$ $\frac{y^{2}}{4}=1$ 中，必有 $x^{2} \geqslant 1$,即 $x \leqslant-1$ 或 1
由此可知,双曲线 $C$ 位于直线 $x=-1$ 与 2
所夹平面区域的外侧,如图 2-6-6 所示.
又因为如果 $(x,y)$ 是方程 $x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1$ 的一组解,则不难看出,$(-x,y),(x,-y),(-x,-y)$ 都是方
图 2-6-6 程的解,这说明双曲线 $C$ 关于 $y$ 轴、$x$ 轴、坐标原点对称,这也可从图 2-6-6 中看出来.
在方程 $x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1$ 中,令 $y=0$,得 $x=-1$ 或 $x=1$,可知双曲线 $C$ 与 $x$ 轴有两个交点,且交点坐标分别为 $3 \quad$;令 $x=0$,得 $-\frac{y^{2}}{4}=1$,这个方程无实数解,可知双曲线 $C$ 与 $y$ 轴没有交点.
如果 $(x,y)$ 满足 $x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1$,则可以看出,$|x|$ 增大时,$|y|$ 也是增大的. 这就是说,双曲线 $C$ 向四周无限延展,如图 2-6-6 所示.
一般地,如果双曲线 $C$ 的标准方程是
$$
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \quad(a>0,b>0),$$
则可以根据方程(1)来得到双曲线的一些几何性质.
(1) 范围
由方程(1)可知 $\frac{x^{2}}{a^{2}} \geqslant 1$,即
$$
x \leqslant-a \text { 或 } x \geqslant a \text {. }
$$
因此双曲线 $C$ 位于直线 $x=a$ 与 $x=-a$ 所大平面区域的外侧,如图 2-6-7 所示.
(2) 对称性
如果 $(x,y)$ 是方程(1)的一组解,则不难看出,$(-x,y),(x,-y),(-x,-y)$ 都是方程的
图 2-6-7 解,这说明双曲线 $C$ 关于 $y$ 轴、$x$ 轴、坐标原点对称,如图 2-6-7 所示.
因此,$x$ 轴、$y$ 轴是双曲线 $C$ 的对称轴,坐标原点是对称中心. 双曲线的对称中心也称为双曲线的中心,本书中我们只讨论中心在原点的双曲线.
(3) 顶点
在方程(1)中,令 $y=0$,得 $x=-a$ 或 $x=a$,可知双曲线 $C$ 与 $x$ 轴有两个交点,可以记作 $A_{1}(-a,0),A_{2}(a,0)$;令 $x=0$,得 $-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$,这个方程无实数解,可知双曲线 $C$ 与 $y$ 轴没有交点.
双曲线 $C$ 与它的对称轴共有 2 个交点,即 $A_{1},A_{2}$,这两个点都称为双曲线的顶点,如图 2-6-7 所示.
习惯上，称线段 $A_{1} A_{2}$ 为双曲线的实轴. 若记 $B_{1}(0,-b),B_{2}(0,b)$,则称线段 $B_{1} B_{2}$ 为双曲线的虚轴. 显然,双曲线的两个焦点在它的实轴所在的直线上,而且双曲线的实轴长为 $2 a$,虚轴长为 $2 b$. 于是,$a,b$ 分别是双曲线的半实轴长和半虚轴长.
特别地,实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线.
(4) 渐近线
由方程(1)可以看出,如果 $(x,y)$ 是双曲线上一点,则 $|x|$ 增大时,$|y|$ 也是增大的. 这就是说,双曲线向四周无限延展,如图 2-6-7 所示. 那么,这种无限延展还有什么性质呢?
考虑到双曲线关于坐标轴和原点对称，因此我们只要了解双曲线在第一象限内的情况即可. 在第一象限内,双曲线的方程可以改写为
$$
y=\frac{b}{a} \sqrt{x^{2}-a^{2}}(x>a),$$
因为 $x>a$ 时,
$$
\sqrt{x^{2}-a^{2}}<\sqrt{x^{2}}=x
$$
这就说明在第一象限内,双曲线一定在直线 $y=\frac{b}{a} x$ 的下方;又因为此时如果 $x$ 越来越大,则
$$
\sqrt{x^{2}-a^{2}} \approx \sqrt{x^{2}}=x
$$
直观上,这说明随着 $x$ 的增大,双曲线会越来越接近直线 $y=\frac{b}{a} x$. 事实上,如果 $P(x,y)$ 是双曲线在第一象限的点,则 $P$ 到直线 $y=\frac{b}{a} x \quad($ 即 $b x-a y=0$ ) 的距离
$$
\begin{aligned}
d & =\frac{|b x-a y|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{\left|b x-b \sqrt{x^{2}-a^{2}}\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \\
& =\frac{a^{2} b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}\left(x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\right)},\end{aligned}
$$
因为当 $x>a$ 且 $x$ 无限增大时,$x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}$ 将无限增大,从而 $d$ 将无限减小并接近于 0 (但不等于 0 ),即在第一象限内,随着 $x$ 的增大,双曲线会越来越接近直线 $y=\frac{b}{a} x$ 但不与这条直线相交.
根据双曲线的对称性可知,双曲线 (1)向外无限延伸时,总是在由直线 $y=\frac{b}{a} x$ 与直线 $y=-\frac{b}{a} x$ 相交而分平面所成的、含双曲线焦点的两个区域内,并无限接近于这两条直线,但永远不会与它们相交,如图 2-6-8 所示.
图 2-6-8 直线 $y=\frac{b}{a} x$ 和 $y=-\frac{b}{a} x$ 都称为双曲线 (1)的渐近线. 由此可知,作双曲线时,如果先作出它的渐近线,将有利于确定双曲线的大致形状. 另外,值得注意的是,如果过双曲线实轴与虚轴的端点分别作 $x$ 轴与 $y$ 轴的垂线,则可以得到一个矩形,而且矩形的对角线所在的直线正好就是渐近线,如图 2-6-8 所示.
(5) 离心率
同椭圆的情形一样,双曲线的半焦距与半实轴长之比
$$
e=\frac{c}{a}
$$
称为双曲线的离心率.
## 尝试与发现
（1）根据双曲线离心率的定义，判断双曲线离心率的取值范围;
（2）猜想双曲线离心率的大小与双曲线的形状有什么联系，并尝试证明.
因为 $c>a>0$,所以可以看出 $e>1$.
另外,注意到
$$
\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{c^{2}-a^{2}}}{a}=\sqrt{\frac{c^{2}-a^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{e^{2}-1},$$
这说明 $e$ 越趋近于 1,则 $\frac{b}{a}$ 的值越小，因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄.
当固定 $a$ 不变时,双曲线的离心率与双曲线形状的关系可以从图 2-6-9 中看出来,其中蓝色、绿色双曲线的离心率分别为 $\sqrt{5},\sqrt{2}$.
图 2-6-9
## 営试与发现
如果双曲线的标准方程是
$$
\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1 \quad(a>0,b>0),$$
那么该双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率中,哪些与焦点在 $x$ 轴上的双曲线是有区别的?
显然,(2)式表示的双曲线,焦点坐标为 $(0,-c),(0,c)$,双曲线上点的坐标的取值范围是
$$
y \leqslant-a \text { 或 } y \geqslant a \text {；}
$$
实轴的两个端点是 $A_{1}(0,-a),A_{2}(0,a)$；虚轴的两个端点是 $B_{1}(-b,0),B_{2}(b,0)$;渐近线方程是
$$
y= \pm \frac{a}{b} x
$$
除这些以外,对称性、焦距、实轴长、虚轴长、离心率等都与焦点在 $x$ 轴上的双曲线是一致的,如图 2-6-10 所示.
图 2-6-10
例1 求下列方程表示的双曲线的实轴长、焦点坐标、离心率以及渐近线方程:
(1) $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$;(2) $x^{2}-y^{2}=-9$
解 (1) 由标准方程可知双曲线的焦点在 $x$ 轴上,且 $a^{2}=9,b^{2}=4$,因此实轴长 $2 a=6$.
又因为 $c^{2}=a^{2}+b^{2}=9+16=25$,即 $c=5$. 因此,双曲线的焦点坐标为
$$
(-5,0),(5,0) \text {. }
$$
离心率
$$
e=\frac{c}{a}=\frac{5}{3}
$$
渐近线方程为
$$
y= \pm \frac{4}{3} x
$$
(2) 已知双曲线的方程可化为
$$
\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{9}=1
$$
由此可知这个双曲线的焦点在 $y$ 轴上,且 $a^{2}=b^{2}=9$,因此实轴长 $2 a=$ 5
又因为 $c^{2}=a^{2}+b^{2}=9+9=18$,即 $c=3 \sqrt{2}$. 因此,双曲线的焦点坐标为
$$
(0,-3 \sqrt{2}),(0,3 \sqrt{2}) .
$$
离心率
$$
e=\frac{c}{a}=\frac{3 \sqrt{2}}{3}=\sqrt{2}
$$
渐近线方程为
$$
y= \pm x
$$
例 2 已知双曲线 $C$ 的顶点为 $A_{1},A_{2}$,虚轴的一个端点为 $B$,且 $\triangle B A_{1} A_{2}$ 是一个等边三角形,求双曲线 $C$ 的离心率.
解设 $O$ 为坐标原点,则 $A_{1} A_{2}$ 的中点为 $O$,且 $\left|O A_{1}\right|=a,|B O|=b$. 由 $\triangle B A_{1} A_{2}$ 是等边三角形可知 $|B O|=\sqrt{3}\left|O A_{1}\right|$,因此
$$
b=\sqrt{3} a,$$
又因为
$$
c^{2}=a^{2}+b^{2}=a^{2}+(\sqrt{3} a)^{2}=4 a^{2}
$$
所以 $c=2 a$,从而
$$
e=\frac{c}{a}=2
$$
例 3 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)$ 的左焦点为 $F$,且 $P$ 是双曲线上的一点,求 $|P F|$ 的最小值.
解记双曲线的焦距为 $2 c$,则 $F(-c,0)$,而且 $c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$.
设 $P(x,y)$,则
$$
|P F|^{2}=(x+c)^{2}+y^{2}
$$
又因为 $P$ 是双曲线上一点,所以 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$,即 $y^{2}=-b^{2}+\frac{b^{2}}{a^{2}} x^{2}$,因此
$$
\begin{aligned}
|P F|^{2} & =(x+c)^{2}-b^{2}+\frac{b^{2}}{a^{2}} x^{2}=\left(1+\frac{b^{2}}{a^{2}}\right) x^{2}+2 c x-b^{2}+c^{2} \\
& =\frac{c^{2}}{a^{2}} x^{2}+2 c x+a^{2}=\frac{c^{2}}{a^{2}}\left(x^{2}+2 \frac{a^{2}}{c} x+\frac{a^{4}}{c^{2}}\right) \\
& =\frac{c^{2}}{a^{2}}\left(x+\frac{a^{2}}{c}\right)^{2} .
\end{aligned}
$$
注意到 $x \leqslant-a$ 或 $x \geqslant a$,而且 $0>-\frac{a^{2}}{c}=-\frac{a}{c} a>-a$,所以，当 $x=$ 6 时,$|P F|^{2}$ 最小,且最小值为
$$
\sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}}\left(-a+\frac{a^{2}}{c}\right)^{2}}=c-a
$$
例 3 说明,双曲线上的所有点中,到给定焦点距离最小的点,是离该焦点最近的实轴的端点.
## 2. 用信息技术作出双曲线以及研究双曲线的性质
根据双曲线的方程,利用计算机软件,可以方便地作出双曲线,并研究双曲线的性质. 例如,在 GeoGebra 中，输人“$\mathrm{x} 2-y^{\wedge} 2 / 3=1$ ” 就可以得到 $x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$ 对应的双曲线；再指定 $A(-3,0)$,并在双曲线上任取一点 $B$,构造线段 $A B$,就可以显示出线段 $A B$ 的长,让点 $B$ 沿双曲线运动,则可以观察出线段 $A B$ 的变化情况,如图 2-6-11 所示. 有兴趣的读者可以结合课件“双曲线及其性质.$g g b ”$ 进行观察.
图 2-6-11
## 练习 $\mathrm{A}$
(1) 写出双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{24}=1$ 的实轴长、虚轴长、焦点坐标、渐近线方程.
(2) 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$ 的右焦点为 $F$,且 $P$ 是双曲线上一点,写出 $|P F|$ 的最小值.
(3) 已知双曲线的渐近线方程为 $y= \pm \frac{3}{4} x$,求双曲线的离心率.
## 练习 $B$
(1) 求双曲线 $-9 x^{2}+y^{2}=81$ 的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率以及渐近线方程.
(2) 已知双曲线的一个焦点是 $(5,0)$,一条渐近线方程为 $3 x-4 y=0$,求这个双曲线的标准方程和离心率.
(3) 当实数 $\lambda \neq 0$ 时,方程 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=\lambda$ 表示的都是双曲线,这些双曲线的共同点是什么?(4) 已知双曲线两顶点间的距离是 6,两焦点的连线被两顶点和中心四等分,求双曲线的标准方程.
5 求证：双曲线的焦点到其渐近线的距离等于半虚轴长.
$1 x \geqslant 1 \quad 2 x=1 \quad 3(-1,0),(1,0) \quad 4 \quad 16 \quad 56 \quad 6-a$
## 习题2-6A
(1) 如图,$A,B$ 是平面上的两点,且 $|A B|=$ 10,图中的一系列圆是圆心分别为 $A,B$ 的两组同心圆,每组同心圆的半径分别是 $1,2,3,\cdots$. 在两组同心圆的交点中,找出与 $A,B$ 两点的距离之差的绝对值等于 6 的点,并把这些点用光滑的曲线顺次连接起来,观察所得曲线的形状.
(2)求下列双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐
(第 1 题) 标、顶点坐标以及渐近线方程:
(1) $\frac{9 x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{4}=1$;(2) $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{m}=1$
(3) 已知双曲线的渐近线方程为 $3 x \pm 4 y=0$,它的焦点是椭圆 $\frac{x^{2}}{10}+\frac{y^{2}}{5}=1$ 的长轴的端点，求此双曲线的标准方程.
(4) 已知中心在原点的双曲线的一个焦点是 $F_{1}(-4,0)$,一条渐近线方程是 $3 x-2 y=0$,求此双曲线的标准方程.
(5) 求半实轴长为 $2 \sqrt{3}$,且与双曲线 $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{4}=1$ 有公共焦点的双曲线的标准方程.
## 习题2-6B
(1) 已知直线 $l_{1}: 5 x+3 y=0$ 和 $l_{2}: 5 x-3 y=0$.
(1) 写出两个以直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 为渐近线的双曲线的标准方程;(2) 如果以直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 为渐近线的双曲线经过,点 $M(1,3)$,求双曲线的标准方程. (2) 已知 $P$ 是双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$ 上一点,$A(3,0)$,求 $|P A|$ 的最小值.
(3) 设动点 $M$ 到定点 $F(3,0)$ 的距离与它到直线 $l: x=\frac{4}{3}$ 的距离之比为 $\frac{3}{2}$,求点 $M$ 的轨迹方程.
(4) 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)$ 的左焦点为 $F$,直线 $l: x=-\frac{a^{2}}{c}$. 设 $P$ 是双曲线上的一点,求 $P$ 到 $F$ 的距离与 $P$ 到直线 $l$ 的距离之比.
(5) 已知 $F_{1},F_{2}$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$ 的两个焦点,点 $M$ 在双曲线上,如果 $\overrightarrow{M F_{1}} \perp$ $\overrightarrow{M F_{2}}$,求 $\triangle M F_{1} F_{2}$ 的面积.
## 习题2-6C
(1) 如果过点 ( 6,0$)$ 的直线与过点 ( $-6,0)$ 的直线相交于点 $M$,而且两直线斜率的乘积为 $a$,其中 $a \neq 0$.
(1) 求点 $M$ 的轨迹方程;
（2）讨论 $M$ 的轨迹是何种曲线.
(2) 设动点 $M$ 到定点 $F(-c,0)$ 的距离与它到直线 $l: x=-\frac{a^{2}}{c}$ 的距离之比为 $\frac{c}{a}$,其中 $c>a>0$,求点 $M$ 的轨迹方程,并用得到的轨迹方程解释 2.6 .2 中例 3 得到的结果.
## 7 抛物线及其方程
### 1 抛物线的标准方程
## 情境与问题
抛物线这个几何对象，我们并不陌生.
例如,从物理学中我们知道,一个向上斜抛的乒兵球,其运动轨迹是抛物线的一部分,如图 2-7-1 所示;二次函数的图象是一条抛物线；等等.
到底什么是抛物线呢?抛物线有没有一个类似于圆、椭圆或双曲线的定义呢?
图 2-7-1
本小节我们要探讨的就是抛物线的定义及其标准方程.
一般地,设 $F$ 是平面内的一个定点,$l$ 是不过点 $F$ 的一条定直线,则平面上到 $F$ 的距离与到 $l$ 的距离相等的点的轨迹称为抛物线,其中定点 $F$ 称为抛物线的焦点,定直线 $l$ 称为抛物线的准线. 另外,从本章导语中可以看出,抛物线也可以通过用平面截圆雉面得到,因此抛物线是一种圆雉曲线.
如图 2-7-2 所示,在画板上画一条直线 $l$,使 $l$ 与画板左侧的边线平行;再在直线 $l$ 外画一个定点 $F$. 取一个丁字尺靠紧画板左侧外沿，丁字尺和直线 $l$ 垂直且相交于点 $P$,在丁字尺的另一端取一点 $Q$,将一条长度等于 $|P Q|$ 的细绳,一端固定在点 $Q$,另一端固定在点 $F$,用笔尖靠着丁字尺边缘并扣紧细绳,然后上下平移丁字尺,
图 2-7-2 笔尖作出的曲线是抛物线的一部分.
这种作抛物线的方法实际上验证了抛物线定义中的 $P$ 点一定存在而且有无数多个. 那么,从数学上能不能证明这一点呢?
## 尝试与发现
怎样从数学上证明满足抛物线定义的点一定是存在的?这样的点有多少个?你能想到什么办法来解决这两个问题?
同椭圆、双曲线的情形一样,下面我们用坐标法来探讨尝试与发现中的问题,并求出抛物线的标准方程.
为了方便,过抛物线的焦点 $F$ 作其准线 $l$ 的垂线,记垂足为 $K$,设 $|K F|=p$ (即 $F$ 到准线 $l$ 的距离为 $p$ ),因为直线 $l$ 不过点 $F$,所以 $p>0$.
如图 2-7-3 所示,以直线 $K F$ 为 $x$ 轴,线段 $K F$ 的垂直平分线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系. 此时,抛物线的焦点为 $F\left(\frac{p}{2},0\right)$,准线为 $x=1$
设 $M(x,y)$ 是抛物线上一点,则 $M$ 到 $F$ 的距离为
$$
|M F|=\sqrt{\left(x-\frac{p}{2}\right)^{2}+y^{2}}
$$
$M$ 到直线 $l$ 的距离为 $\left|x+\frac{p}{2}\right|$,所以
图 2-7-3
$$
\sqrt{\left(x-\frac{p}{2}\right)^{2}+y^{2}}=\left|x+\frac{p}{2}\right|
$$
上式两边平方，整理可得
$$
y^{2}=2 p x
$$
可以验证,方程 (1) 就是抛物线的方程,通常称为焦点在 $x$ 轴正半轴上的抛物线的标准方程. 显然,满足方程(1)的点的坐标有无穷多组,这无穷多组解对应的点组成的抛物线如图 2-7-3 所示.
## 尝试与发现
如果建立的平面直角坐标系分别如图 2-7-4 的（1）(2) (3) 所示,其他条件不变,则抛物线的焦点坐标和准线方程有变化吗?此时能否通过 (1) 式得到抛物线的标准方程具有的形式呢?
( 1 )
( 2 )
( 3 )
图 2-7-4 可以看出,如果按照图 2-7-4 (1) 的方式建立平面直角坐标系,则抛物线的焦点为 $F\left(-\frac{p}{2},0\right)$,准线为 $x=2$；只要将(1)中的 $x$ 变为 $-x$ 即可得到抛物线的方程为
$$
y^{2}=-2 p x
$$
通常称(2)为焦点在 $x$ 轴负半轴上的抛物线的标准方程.
类似地,如果按照图 2-7-4 (2) 的方式建立平面直角坐标系,则抛物线的焦点为 $F\left(0,\frac{p}{2}\right)$,准线为 $y=3 \quad$;只要将(1)中的 $x$ 与 $y$ 互换即可得到抛物线的方程为
$$
x^{2}=2 p y .
$$
通常称(3)为焦点在 $y$ 轴正半轴上的抛物线的标准方程.
如果按照图 2-7-4 (3) 的方式建立平面直角坐标系,则抛物线的焦点为 $F\left(0,-\frac{p}{2}\right)$,准线为 $y=4 \quad$;只要将(1)中的 $x$ 变为 $-y$ 且 $y$ 变为 $-x$ 即可得到拋物线的方程为
$$
x^{2}=-2 p y
$$
通常称(4)为焦点在 $y$ 轴负半轴上的抛物线的标准方程.
由上可以看出,抛物线的标准方程是由焦点到准线的距离 $p$ 以及焦点的位置确定的. 如不特别声明,以后总认为抛物线有相应的 $p(p>0)$ 值,而且以后谈到抛物线的标准方程时,总是指(1)(2)(3)(4)这四种形式之一.
例 1 分别根据下列条件,求抛物线的标准方程和准线方程:
(1) 抛物线的焦点到准线的距离是 3,而且焦点在 $x$ 轴的正半轴上;
(2) 抛物线的焦点是 $F(-3,0)$.
(1) 根据题意可知,抛物线的标准方程具有 $y^{2}=2 p x$ 的形式,而且 $p=5$,因此所求标准方程为
$$
y^{2}=6 x
$$
准线方程为 $x=-\frac{3}{2}$.
(2) 因为抛物线的焦点坐标是 $(-3,0)$,所以抛物线的标准方程具有 $y^{2}=-2 p x$ 的形式,而且 $\frac{p}{2}=3$,因此 $p=6$,从而所求抛物线的标准方程是
$$
y^{2}=-12 x
$$
准线方程为 $x=3$.
例 2 分别根据下列条件,求抛物线的焦点坐标和标准方程:
(1) 抛物线的焦点到 $x$ 轴的距离是 2,而且焦点在 $y$ 轴的正半轴上;
(2) 抛物线的焦点是双曲线 $\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{16}=1$ 的焦点之一.
(1) 由已知可得焦点坐标为 $(0,2)$,因此抛物线的标准方程具有 $x^{2}=2 p y$ 的形式,且 $p=6$,从而所求抛物线的标准方程是
$$
x^{2}=8 y \text {. }
$$
（2）因为双曲线 $\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{16}=1$ 中,$c=\sqrt{9+16}=5$,又因为双曲线的焦点在 $y$ 轴上,所以焦点坐标为 $(0,-5)$ 或 $(0,5)$.
如果抛物线的焦点坐标为 $(0,-5)$,则抛物线的标准方程具有 $x^{2}=$ $-2 p y$ 的形式,且 $p=10$,此时抛物线的标准方程是
$$
x^{2}=-20 y;$$
如果抛物线的焦点坐标为 $(0,5)$,则抛物线的标准方程具有 $x^{2}=2 p y$ 的形式,且 $p=7$,此时抛物线的标准方程是 $x^{2}=20 y$.
例 3 已知平面直角坐标系中,动点 $M$ 到 $F(0,-2)$ 的距离比 $M$ 到 $x$ 轴的距离大 2,求 $M$ 的轨迹方程,并在平面直角坐标系中作出轨迹曲线.
解设 $M$ 的坐标是 $(x,y)$,则根据题意可知
$$
\sqrt{x^{2}+(y+2)^{2}}=|y|+2,$$
化简得 $x^{2}=4(|y|-y)$.
当 $y>0$ 时,方程可变为 $x=0$,这表示的是端点在原点、方向为 $y$ 轴正方向的射线,且不包括端点,如图 2-7-5 所示;
当 $y \leqslant 0$ 时,方程可变为 $x^{2}=-8 y$,这表示的是焦点为 $F(0,-2)$ 的抛物线,如图 2-7-5 所示.
图 2-7-5
## 练习 $A$
(1) 已知 $M$ 是抛物线上一点,且 $M$ 到抛物线的焦点的距离等于 3,写出 $M$ 到抛物线的准线的距离.
(2) 分别根据下列条件,写出抛物线的标准方程:
(1) 焦点是 $F(2,0)$;(2) 准线方程是 $x=-\frac{3}{2}$. (3) 写出抛物线 $y^{2}=4 a x$ 的焦点坐标.
## 练习B
(1) 已知抛物线的焦点在 $x$ 轴的正半轴上,且准线与 $y$ 轴之间的距离为 6,求此抛物线的标准方程.
(2) 写出下列抛物线的焦点坐标和准线方程:
(1) $y=2 x^{2}$;(2) $y=a x^{2} \quad(a \neq 0)$.
(3) 求焦点在 $x$ 轴正半轴上,并且经过点 $M(2,-4)$ 的抛物线的标准方程.
(4) 已知点 $M$ 在抛物线 $y^{2}=12 x$ 上,它到焦点的距离等于 9,求点 $M$ 的坐标.
5 已知点 $M$ 到点 $F(4,0)$ 的距离比它到直线 $l: x+6=0$ 的距离小 2,求点 $M$ 的轨迹方程.
$1-\frac{p}{2}$
$2 \frac{p}{2}$
$3-\frac{p}{2}$
$4 \frac{p}{2}$
53
64
710
### 2 抛物线的几何性质
## 1. 抛物线的几何性质
下面我们由抛物线的方程来研究抛物线具有的几何性质.
## 尝试与发现
已知抛物线 $C$ 的方程为 $y^{2}=2 x$,根据这个方程完成下列任务:
（1）观察方程中 $x$ 与 $y$ 是否有取值范围,由此指出抛物线 $C$ 在平面直角坐标系中的位置特征；
（2）指出抛物线 $C$ 是否具有对称性;
(3) 指出抛物线 $C$ 与坐标轴是否有交点,如果有,求出交点坐标.
因为实数的平方是一个非负数,所以在方程 $y^{2}=2 x$ 中,必有 $2 x \geqslant 0$,即 $x \geqslant 0$. 同时，可以看出 $y$ 能取任意实数. 由此可知,抛物线 $C$ 位于 $y$ 轴及 $y$ 轴的右侧,如图 2-7-6 所示. 又因为如果 $(x,y)$ 是方程 $y^{2}=2 x$ 的一组解,则不难看出,$(x,-y)$ 也是方程的解,这说明抛物线关于 $x$ 轴对称;又因为 $(-x,y)$,$(-x,-y)$ 不一定是方程的解,这就说明抛物线不关于 $y$ 轴对称，也不关于原点对称，这也可从图 2-7-6 中看出来.
图 2-7-6
在方程 $y^{2}=2 x$ 中,令 $y=0$,得 $x=0$;令 $x=0$,得 $y=0$. 可知抛物线 $C$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴都只有一个交点,且交点都是原点 $(0,0)$.
一般地，如果抛物线 $C$ 的标准方程是
$$
y^{2}=2 p x \quad(p>0),$$
则可以根据方程(1)来得到抛物线的一些几何性质。
(1) 范围
由方程(1)可知,$2 p x \geqslant 0$,又因为 $p>0$,所以 $x \geqslant 1$
因此,除顶点外,抛物线上的其余点都在 $y$ 轴的右侧.
另外,当 $x$ 无限增大时,$|y|$ 也无限增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸,如图 2-7-7 所示. 此时,称抛物线 $C$ 的开口向右 (或朝右).
(2) 对称性
如果 $(x,y)$ 是方程 (1) 的一组解,则不难看出,$(x,-y)$ 也是方程的解,这说明抛物线 $C$ 关于 $x$ 轴对称,如图 2-7-7 所示. 此时,称 $x$ 轴是抛物线的对称轴 (简称为轴).
(3) 顶点
在方程 $y^{2}=2 p x$ 中,令 $y=0$,得 $x=0$;令
图 2-7-7 $x=0$,得 $y=0$. 可知抛物线 $C$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴都相交于原点 $(0,0)$. 此时,称原点是抛物线的顶点.
(4) 离心率
抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比称为抛物线的离心率,用 $e$ 表示. 根据抛物线的定义可知,抛物线的离心率
$$
e=1 \text {. }
$$
## 尝试与发现
如果抛物线的标准方程是
$$
\begin{aligned}
& y^{2}=-2 p x \quad(p>0),\\
& x^{2}=2 p y \quad(p>0),\\
& x^{2}=-2 p y \quad(p>0),\end{aligned}
$$
那么抛物线的范围（开口方向、对称性、顶点、离心率中,哪些与(1)所表示的抛物线是相同的?哪些是有区别的?
可以看出,(2)(3)(4)所表示的抛物线,顶点坐标、离心率与(1)所表示的抛物线是相同的，但是:
(2)所表示的抛物线中，$x \leqslant 0$,除顶点外，抛物线上的其余点都在 $y$ 轴的 2，抛物线的开口向左 (或朝左),抛物线关于 $x$ 轴对称;
(3)所表示的抛物线中,$y \geqslant 0$,除顶点外,抛物线上的其余点都在 $x$ 轴的 3，抛物线的开口向上（或朝上),抛物线关于 $y$ 轴对称;
(4)所表示的抛物线中，$y \leqslant 0$,除顶点外，抛物线上的其余点都在 $x$ 轴的 4，抛物线的开口向下 (或朝下),抛物线关于 $y$ 轴对称.
例 1 已知抛物线的对称轴为 $x$ 轴,顶点是坐标原点且开口向左,又抛物线经过点 $M(-4,2 \sqrt{3})$,求这个抛物线的标准方程.
解根据已知条件可设抛物线的标准方程为
$$
y^{2}=-2 p x \quad(p>0),$$
因为点 $M(-4,2 \sqrt{3})$ 在抛物线上,所以
$$
(2 \sqrt{3})^{2}=-2 p \times(-4)
$$
因此 $2 p=3$.
从而可知所求方程为
$$
y^{2}=-3 x
$$
例 2 已知点 $P$ 在抛物线 $x^{2}=-5 y$ 上,且 $A(0,-3)$,求 $|P A|$ 的最小值.
解设点 $P$ 的坐标为 $(x,y)$,则 $x^{2}=-5 y$,而且
$$
\begin{aligned}
|P A|^{2} & =x^{2}+(y+3)^{2} \\
& =y^{2}+y+9 \\
& =\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{35}{4},\end{aligned}
$$
又因为 $y \leqslant 0$,所以 $y=5$ 时,$|P A|^{2}$ 取最小值 $\frac{35}{4}$.
因此所求最小值为 6
例 3 已知直线 $l$ 平行于 $y$ 轴,且 $l$ 与 $x$ 轴的交点为 $(4,0)$,点 $A$ 在直线 $l$ 上,动点 $P$ 的纵坐标与 $A$ 的纵坐标相同,且 $\overrightarrow{O A} \perp \overrightarrow{O P}$,求 $P$ 点的轨迹方程,并说明轨迹方程的形状.
解由条件可知,直线 $l$ 的方程为 $x=4$,因此点 $A$ 的横坐标为 4 .
设 $P$ 的坐标为 $(x,y)$,则点 $A$ 的坐标为 $(4,y)$. 因此
$$
\overrightarrow{O A}=(4,y),\overrightarrow{O P}=7
$$
因为 $\overrightarrow{O A} \perp \overrightarrow{O P}$ 的充要条件是 $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O P}=0$,所以 $4 x+y^{2}=0$,即动点 $P$ 的轨迹方程为
$$
y^{2}=-4 x
$$
从而可以看出,轨迹是开口向左的抛物线.
## 日 2. 用信息技术作出抛物线以及研究抛物线的性质
根据抛物线的方程,利用计算机软件,可以方便地作出抛物线,并研究抛物线的性质.
例如,在 GeoGebra 中,输人“$\mathrm{x} 2=-5 \mathrm{y}$ ” 就可以得到 $x^{2}=-5 y$ 对应的抛物线；再指定 $A(0,-3)$,并在抛物线上任取一点 $B$,构造线段 $A B$,就可以显示出线段 $A B$ 的长,让点 $B$ 沿抛物线运动,则可以观察出线段 $A B$ 的变化情况,如图 2-7-8 所示. 有兴趣的读者可以结合课件“抛物线及其性质. ggb” 进行观察.
图 2-7-8
## 练习A
(1) 已知抛物线 $y=4 x^{2}$ 上的一点 $M$ 的纵坐标为 1,求点 $M$ 到焦点的距离.
(2) 求抛物线 $y^{2}=8 x$ 的焦点到直线 $x-\sqrt{3} y=0$ 的距离.
(3) 若抛物线 $y^{2}=2 p x$ 的焦点与椭圆 $\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{2}=1$ 的右焦点重合,求 $p$ 的值.
(4) 已知正三角形 $A O B$ 的顶点 $A,B$ 在抛物线 $y^{2}=6 x$ 上,$O$ 是坐标原点,求 $\triangle A O B$ 的边长. 5 求下列方程表示的抛物线的焦点坐标和准线方程:
(1) $y^{2}-6 x=0$;(2) $x^{2}+10 y=0$;(3) $y=\frac{3}{8} x^{2}$
(4) $a x+y^{2}=0(a \neq 0)$.
(6) 设抛物线 $y^{2}=8 x$ 上一点 $P$ 到 $y$ 轴的距离是 4,求点 $P$ 到该抛物线焦点的距离.
## 练习B
(1) 已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,且过点 $P(-2,2 \sqrt{2})$,求抛物线的标准方程.
(2) 若抛物线 $y^{2}=2 p x \quad(p>0)$ 上一点 $M$ 到焦点 $F$ 的距离 $|M F|=2 p$,求点 $M$ 的坐标.
(3) 从抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 上各点向 $x$ 轴作垂线段,求垂线段中点的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.
(4) 已知抛物线的顶点是坐标原点 $O$,对称轴为 $x$ 轴,焦点为 $F$,抛物线上的点 $A$ 的横坐标为 2,且 $\overrightarrow{F A} \cdot \overrightarrow{O A}=16$,求此抛物线的方程.
(5) 已知抛物线 $y^{2}=16 x$ 和点 $A(4,0)$,点 $M$ 在此抛物线上运动,求点 $M$ 到点 $A$ 的距离的最小值,并指出取得最小值时点 $M$ 的坐标.
(6) 设抛物线 $y^{2}=2 p x \quad(p>0)$ 上一点 $M$ 的横坐标为 $x_{0}$,证明 $M$ 到抛物线焦点的距离为 $x_{0}+\frac{p}{2}$,并总结出关于抛物线其他形式的标准方程的类似结论.
$10 \quad 2$ 左侧 $\quad 3$ 上方 $\quad 4$ 下方 $\quad 5-\frac{1}{2} \quad 6 \frac{\sqrt{35}}{2} \quad 7 \quad(x,y)$
## 习题2-7A
(1) 如图,$l$ 是平面上一条直线,$A$ 在与 $l$ 垂直的直线 $m$ 上,且 $A$ 到 $l$ 的距离为 2,图中的圆是以 $A$ 为圆心的一组同心圆，它们的半径分别为 $1,2,3,\cdots$,除直线 $m$ 外,图中的直线都是与直线 $m$ 垂直的,相邻两直线之间的距离为 1 . 在图中直线与圆的交点中,找出到点 $A$ 与到直线 $l$ 距离相等的点,并把这些点用光滑的曲线顺次连接起来,观察所得曲线的形状.
(第 1 题) (2) 已知动点 $P$ 到点 $F(2,0)$ 的距离与它到直线 $x+2=0$ 的距离相等,求点 $P$ 的轨迹方程.
(3) 若抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 的准线经过双曲线 $x^{2}-y^{2}=1$ 的一个焦点,求 $p$ 的值.
(4) 已知抛物线 $y=4 x^{2}$ 上的一点 $M$ 到焦点的距离为 1,求点 $M$ 的纵坐标.
(5) 如图是一座抛物线型拱桥示意图,拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴,已知顶点距离水面 $4 \mathrm{~m}$ 时,量得水面宽 $12 \mathrm{~m}$,那么当水位升高 $1 \mathrm{~m}$ 时水面的宽为多少?
(第 5 题）
(6) 已知抛物线 $C: y^{2}=x$ 的焦点为 $F$,且 $A\left(x_{0},y_{0}\right)$ 是 $C$ 上一点,$|A F|=\frac{5}{4} x_{0}$,求 $x_{0}$.
(7) 过抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点 $F$ 的直线与抛物线相交于 $A,B$ 两点,从 $A,B$ 向抛物线的准线作垂线,垂足分别为 $A_{1},B_{1}$,求证: $\angle A_{1} F B_{1}=\frac{\pi}{2}$.
## 习题2-7B
(1) 已知抛物线 $C: y^{2}=8 x$ 的焦点为 $F$,准线为 $l,P$ 是 $l$ 上一点,$Q$ 是直线 $P F$ 与 $C$ 的一个交点,若 $\overrightarrow{F P}=4 \overrightarrow{F Q}$,求 $|Q F|$.
(2) 已知 $F$ 是抛物线 $y^{2}=x$ 的焦点,$A,B$ 是该抛物线上的两点,$|A F|+|B F|=3$,求线段 $A B$ 的中点到 $y$ 轴的距离.
(3) 设抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F$,点 $M$ 在 $C$ 上,$|M F|=5$. 若以 $M F$ 为直径的圆过点 $(0,2)$,求 $C$ 的方程.
(4) 求抛物线 $x^{2}=2 y$ 上到点 $M(0,2)$ 距离最近的点的坐标.
(5) 已知点 $P$ 是抛物线 $y=x^{2}$ 上到直线 $2 x-y-4=0$ 的距离最短的点,求 $P$ 点的坐标.
## 习题2-7C
(1) 已知抛物线 $y^{2}=4 x$,且 $P$ 是抛物线上一点:
(1) 设 $F$ 为抛物线的焦点,$A(6,3)$,求 $|P A|+|P F|$ 的最小值,并求出取得最小值时点 $P$ 的坐标;
(2) 设 $M$ 的坐标为 $(m,0)$,求 $|P M|$ 的最小值 (用 $m$ 表示),并求出取得最小值时点 $P$ 的坐标.
(2) 已知抛物线的顶点在原点,焦点为 $F(-3,0)$,设点 $A(a,0)$ 到抛物线上的点的距离的最小值为 $f(a)$,求 $f(a)$ 的表达式.
## 8 直线与圆雉曲线的位置关系
我们知道,通过直线的方程、圆的方程可以探讨直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系的问题,而且这些问题都可以转化为方程组的解的问题. 类似地,因为平面直角坐标系中的点在椭圆、双曲线、抛物线上的充要条件是点的坐标满足对应的方程,所以我们同样可以通过方程组的解的问题来探讨直线与这些曲线的位置关系的问题.
例 1 判断直线 $y=2 x-2$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 是否有公共点. 如有,求出公共点的坐标,如公共点有两个,求出以这两个公共点为端点的线段长.
## 尝试与发现
你认为应该怎样来判断直线与椭圆是否有公共点?如果有两个公共点,应该怎样求得对应线段的长?
解联立直线与椭圆的方程,可得方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
y=2 x-2,\\
\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{4}=1,\end{array}\right.
$$
解方程组可得
$$
\left\{\begin{array} { l }
{ x = 0,} \\
{ y = - 2 }
\end{array} \text { 或 } \left\{\begin{array}{l}
x=\frac{5}{3}，\\
y=\frac{4}{3}，\end{array}\right.\right.
$$
因此直线与粗圆有两个公共点,且公共点的坐标为 $(0,-2),1$
从而可知所求线段长为
$$
\sqrt{\left(\frac{5}{3}-0\right)^{2}+\left[\frac{4}{3}-(-2)\right]^{2}}=\frac{5 \sqrt{5}}{3}
$$
例 2 已知直线 $l: y=2 x+m$ 与椭圆 $C: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$,分别求直线 $l$ 与椭圆 $C$ 有两个公共点、只有一个公共点和没有公共点时 $m$ 的取值范围. 解联立直线 $l$ 的方程与椭圆 $C$ 的方程得方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
y=2 x+m,\\
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1,\end{array}\right.
$$
消去 $y$，整理得
$$
9 x^{2}+8 m x+2 m^{2}-4=0
$$
因为(1)的判别式为
$$
\begin{aligned}
\Delta & =(8 m)^{2}-4 \times 9 \times\left(2 m^{2}-4\right)=-8 m^{2}+144 \\
& =-8(m+3 \sqrt{2})(m-3 \sqrt{2}),\end{aligned}
$$
所以:
当 $\Delta>0$ 即 $-3 \sqrt{2}<m<3 \sqrt{2}$ 时,方程(1)有两个不同的实数解,此时原方程组的实数解集中有两个元素，直线 $l$ 与椭圆 $C$ 有两个公共点;
当 $\Delta=0$ 即 $2 \quad$ 时,方程(1)有两个相等的实数解,此时原方程组的实数解集中只有一个元素,直线 $l$ 与椭圆 $C$ 有且只有一个公共点;
当 $\Delta<0$ 即 $m<-3 \sqrt{2}$ 或 $m>3 \sqrt{2}$ 时,方程(1)无实数解,此时原方程组的实数解集为空集,直线 $l$ 与椭圆 $C$ 没有公共点.
习惯上，当直线与椭圆有两个公共点时，称直线与椭圆相交;当直线与椭圆有且只有一个公共点时，称直线与椭圆相切;当直线与椭圆没有公共点时，称直线与椭圆相离. 如图 2-8-1 所示的图中,$l_{1}$ 与椭圆相交,$l_{2}$ 与椭圆相切,$l_{3}$ 与椭圆相离.
例 3 判断直线 $l: y=x+1$ 与双曲线 $C: x^{2}-$
图 2-8-1 $y^{2}=1$ 是否有公共点. 如果有,求出公共点的坐标.
解联立直线与双曲线的方程,可得方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
y=x+1,\\
x^{2}-y^{2}=1,\end{array}\right.
$$
消去 $y$,可得 $x^{2}-(x+1)^{2}=1$,由此可解得 $x=-1$. 此时,$y=0$.
因此直线与双曲线有一个公共点,且公共点的坐标为 3
如图 2-8-2 所示是例 3 中的直线与双曲线,图中还作出了双曲线的渐近线. 从图中可以看出,直线 $l$ 与双曲线 $C$ 相交于双曲线的左顶点. 此时,虽然直线 $l$ 与双曲线 $C$ 只有一个公共点,但并不给人以“相切” 的形象.
一般地，给定直线 $l$ 与圆雉曲线 $C$ (圆、椭圆、双曲线、抛物线)，如果联立它们的方程并消去一个末知数后，得到的是一个一元二次方程且该方程只有一个实数解 (即有两个相等的实数解),则称直线与圆雉曲线相切.
由定义可知,例 3 中的直线与双曲线不相切,而且可以看出,直线与圆、直线与椭圆只有一个公共点是直线与它们相切的充要条件;但直线与双曲线、直线与抛物线只有一个公共点不是直线与它们相切的充分条件.
图 2-8-2
例 4 已知点 $A(0,2)$ 和抛物线 $C: y^{2}=$ $6 x$,求过点 $A$ 且与抛物线 $C$ 相切的直线 $l$ 的方程.
解当直线 $l$ 的斜率不存在时,由直线 $l$ 过点 $A(0,2)$ 可知,直线 $l$ 就是 $y$ 轴,其方程为 $x=0$.
由
$$
\left\{\begin{array}{l}
x=0 \\
y^{2}=6 x
\end{array}\right.
$$
消去末知数 $x$ 得 $y^{2}=0$. 这是一个一元二次方程且只有唯一的实数解,所以直线 $x=0$ 与抛物线 $C$ 相切.
如果直线 $l$ 的斜率存在,则设直线 $l$ 的方程为 $y=k x+2$.
由方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
y=k x+2,\\
y^{2}=6 x
\end{array}\right.
$$
消去 $x$,整理得 $k y^{2}-6 y+12=0$. 为了使得这个方程是一元二次方程且只有一个实数解,必须有
$$
k \neq 0 \text { 且 }(-6)^{2}-4 \times 12 k=0,$$
因此可解得 $k=\frac{3}{4}$.
此时直线 $l$ 的方程为 $y=\frac{3}{4} x+2$,即 $3 x-4 y+8=0$.
综上可知,直线 $l$ 的方程为 $x=0$ 或 $3 x-4 y+8=0$.
一般地,直线与圆雉曲线有两个公共点时,则以这两个公共点为端点的线段称为圆锥曲线的一条弦,线段的长就是弦长. 简单地说,圆雉曲线的弦就是连接圆雉曲线上任意两点所得的线段.
例 5 已知直线 $l: y=x-2$ 与抛物线 $C: x^{2}=-6 y$ 相交于 $A,B$ 两点,且 $O$ 为坐标原点.
(1) 求弦长 $|A B|$;(2) 判断 $\overrightarrow{O A} \perp \overrightarrow{O B}$ 是否成立,并说明理由. 解 （1） 设 $A\left(x_{1},y_{1}\right),B\left(x_{2},y_{2}\right)$,则
$$
|A B|^{2}=\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2} \text {. }
$$
因为 $A\left(x_{1},y_{1}\right),B\left(x_{2},y_{2}\right)$ 都是直线 $y=x-2$ 上的点,所以
$$
\left\{\begin{array}{l}
y_{1}=x_{1}-2,\\
y_{2}=x_{2}-2,\end{array}\right.
$$
第二式减去第一式可得 $y_{2}-y_{1}=x_{2}-x_{1}$,从而
$$
|A B|^{2}=\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}=2\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2} \text {. }
$$
又因为从方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
y=x-2,\\
x^{2}=-6 y
\end{array}\right.
$$
中消去 $y$,整理可得 $x^{2}+6 x-12=0$,而且 $x_{1},x_{2}$ 是该方程的两个根,因此由韦达定理可知
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2}=-6,\\
x_{1} x_{2}=-12,\end{array}\right.
$$
所以
$$
\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}=\left(x_{2}+x_{1}\right)^{2}-4 x_{1} x_{2}=(-6)^{2}-4 \times(-12)=84,$$
因此 $|A B|^{2}=2 \times 84=168$,从而可知 $|A B|=2 \sqrt{42}$.
（2） 设 $A\left(x_{1},y_{1}\right),B\left(x_{2},y_{2}\right)$,则 $\overrightarrow{O A}=\left(x_{1},y_{1}\right),\overrightarrow{O B}=\left(x_{2},y_{2}\right)$,因此
$$
\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2},$$
将 $y_{1}=x_{1}-2,y_{2}=x_{2}-2$ 代人上式可得
$\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=x_{1} x_{2}+\left(x_{1}-2\right)\left(x_{2}-2\right)=2 x_{1} x_{2}-2\left(x_{1}+x_{2}\right)+4$.
又因为由 (1) 可知 $x_{1}+x_{2}=4$,$x_{1} x_{2}=5$ 所以
$$
\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=2 \times(-12)-2 \times(-6)+4=-8 \neq 0
$$
所以 $\overrightarrow{O A} \perp \overrightarrow{O B}$ 不成立.
例 5 的解法中,同以前一样,我们设了 $A,B$ 两点的坐标,但是解题过程中并没有实际求出，因此使用的也是“设而不求” 的方法. 该题当然也可以先求出 $A$ 与 $B$ 的坐标,然后再求弦长,并验证垂直是否成立. 请读者自行总结两种解法的区别.
## 圆雉曲线的光学性质
你知道吗?椭圆、双曲线、抛物线这些圆雉曲线,都具有令人惊奇的光学性质,而且这些光学性质都与它们的焦点有关.
从椭圆的一个焦点处出发的光线照射到椭圆上,经反射后都通过椭圆的另一个焦点,如图 1 所示.
图 1
从双曲线的一个焦点处出发的光线照射到双曲线上,经反射后光线的反向延长线会经过双曲线的另一个焦点,如图 2 所示.
图 2
从抛物线的焦点处出发的光线照射到抛物线上,经反射后的光线平行于抛物线的轴,如图 3 所示.
图 3 具体而言,在图 3 中,$F$ 为抛物线的焦点,设 $M$ 是抛物线上一点,$A M$ 是抛物线的切线,$M B \perp M A$,设光线 $F M$ 在 $M$ 处反射后的光线是 $M C$ (即 $\angle F M B=\angle B M C$ ),则可以证明,$M C$ 是平行于 $x$ 轴的.
事实上,为了证明这个结论,我们只需证明直线 $M F$ 的倾斜角是 $A M$ 的倾斜角的两倍即可. 设抛物线的方程为 $y^{2}=2 p x$,且 $M\left(x_{0},y_{0}\right)$,则可以算得直线 $A M$ 的斜率为 $\frac{p}{y_{0}}$,直线 $F M$ 的斜率为 $\frac{2 p y_{0}}{y_{0}^{2}-p^{2}}$,根据这两者之间的关系以及正切的倍角公式就可以得到结论.
圆雉曲线的这些光学性质,在日常生活和科学研究中有着广泛的应用. 例如,物理学中的凹凸透镜的表面一般都是拋物面 (抛物线绕着其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面),2016 年 9 月 25 日落成启用的“中国天眼” -500 $\mathrm{m}$ 口径球面射电望远镜,反射面的主体是一个抛物面,如图 4 所示.
图 4
类似的应用还有很多,感兴趣的同学请利用网络进行搜索吧!
(1) 判断直线 $y=-2 x+4$ 与抛物线 $y^{2}=4 x$ 是否有公共点. 如有,求出公共点的坐标，如公共点有两个,求出以这两个公共点为端点的线段长.
(2) 已知直线 $x-2 y+2=0$ 与椭圆 $x^{2}+4 y^{2}=4$ 相交于 $A,B$ 两点,求线段 $A B$ 的长.
(3) 举例说明,直线与抛物线只有一个公共点不是它们相切的充分条件.
(4) 已知直线 $l: y=k x+2$ 和椭圆 $C: \frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1$. 分别求直线 $l$ 与椭圆 $C$ 有两个公共点、只有一个公共点和没有公共点时 $k$ 的取值范围.
(5) 如果直线 $y=k x-1$ 与双曲线 $x^{2}-y^{2}=4$ 没有公共点,求 $k$ 的取值范围.
(6) 过原点的直线 $l$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{3}=1$ 相交于两点,求 $l$ 的斜率的取值范围.
(7) 求圆心在抛物线 $y^{2}=2 x$ 上且与 $x$ 轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程.
(8) 已知抛物线 $y^{2}=4 x$ 与过其焦点的斜率为 1 的直线交于 $A,B$ 两点,$O$ 为坐标原点,求 $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}$.
(9) 过抛物线 $y^{2}=2 p x$ 的焦点的一条直线与抛物线相交,且两个交点的纵坐标为 $y_{1},y_{2}$,求证: $y_{1} y_{2}=-p^{2}$.
(1) 已知斜率为 2 的直线 $A B$ 过抛物线 $y^{2}=8 x$ 的焦点,求弦 $A B$ 的长.
(2) 已知直线 $l: y=x-3$ 与抛物线 $C: x^{2}=-8 y$ 相交于 $A,B$ 两点,且 $O$ 为坐标原点.
（1）求弦长 $|A B|$ 以及线段 $A B$ 的中点坐标;
(2) 判断 $\overrightarrow{O A} \perp \overrightarrow{O B}$ 是否成立,并说明理由.
(3) 已知直线 $l$ 的斜率与双曲线 $C$ 的渐近线的斜率相等,求证：直线 $l$ 与双曲线 $C$ 最多只有一个公共点.
(4) 求过点 $A(0,p)$ 且与抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 只有一个公共点的直线的方程.
(5) 已知斜率为 2 的直线 $l$ 与抛物线 $y^{2}=4 x$ 相交于 $A,B$ 两点,如果线段 $A B$ 的长等于 5,求直线 $l$ 的方程.
(6) 过抛物线 $y^{2}=8 x$ 的焦点 $F$ 的一条直线与此抛物线相交于 $A,B$ 两点,已知 $A(8,8)$,求线段 $A B$ 的中点到抛物线准线的距离. (7) 垂直于 $x$ 轴的直线与抛物线 $y^{2}=4 x$ 交于 $A,B$ 两点,且 $|A B|=4 \sqrt{3}$,求直线 $A B$ 的方程.
(8) 过抛物线的焦点的一条直线与它交于 $P,Q$ 两点,过点 $P$ 和此抛物线顶点的直线与抛物线的准线交于点 $M$,求证：直线 $M Q$ 平行于此抛物线的对称轴.
(9) 过抛物线的焦点 $F$ 的一条直线与此抛物线相交于 $P_{1},P_{2}$ 两点. 求证：以 $P_{1} P_{2}$ 为直径的圆与该抛物线的准线相切.
(10) 设抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点为 $F$,过 $F$ 且斜率为 1 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A$,$B$ 两点,求过点 $A,B$ 且与 $C$ 的准线相切的圆的方程.
$1\left(\frac{5}{3},\frac{4}{3}\right)$
$2 m= \pm 3 \sqrt{2}$
$3(-1,0)$
$4-6$
$5-12$
## 本章小结
## 1 知识结构图设计与交流
本章我们主要学习了平面上直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等几何对象及其方程,并利用它们的方程研究了它们的性质与关系等.
依照知识之间的联系，我们可以作出如下的知识结构图.
请依据自己的理解,在知识结构图上补充更多的内容吧!你能作出其他形式的知识结构图吗?
## 2 课题作业
几何学的有关知识,早在公元前就已经出现. 然而,平面解析几何的出现与发展,却是十六七世纪以来的事情. 但是,平面解析几何的出现,极大地促进了几何学的发展. 在平面解析几何的发展过程中,很多著名数学家都做出了卓越的贡献,例如笛卡儿、费马等. 请与其他同学合作,查阅有关历史资料,总结平面解析几何发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件以及其对人类文明的贡献,并写成小论文,与其他同学一起交流分享.
## 3 复习题
## A 组
1. 求下列直线的方程:
(1) 通过 $A(2,3),B(-1,-2)$ 的直线;
(2) 通过 $M(4,5),B(0,0)$ 的直线;
(3) 在 $x$ 轴上的截距是 -2,在 $y$ 轴上的截距是 -5 的直线;
(4) 在 $x$ 轴与 $y$ 轴上的截距都是 $-\frac{1}{2}$ 的直线.
2. 分别求经过点 $A(2,1)$ 且与直线 $x+3 y-3=0$ 平行、垂直的直线的一般式方程.
3. 求与直线 $x-y-2=0$ 平行且与它的距离为 $2 \sqrt{2}$ 的直线的方程.
4. 判断命题“如果直线 $l$ 在 $x$ 轴、$y$ 轴上的截距分别为 $a,b$ 且 $a \neq 0$,则 $l$ 的斜率是 $\frac{b}{a}$ ” 的真假.
5. 求下列各点关于直线 $y=x$ 对称的点的坐标: $A(2,1),B(-5,-1)$,$C(3,-2),D(-3,4)$.
6. 求半径为 5,过点 $(1,2)$ 且与 $x$ 轴相切的圆的方程.
7. 分别判断点 $A(1,1),B(-1,1),C(-1,-1),D(1,-1)$ 是否在方程 $x^{2}+2 x y+y^{2}-4=0$ 的曲线上.
8. 已知等腰三角形的顶点坐标为 $A(0,3),B(-2,0),C(2,0)$,则这个三角形的中线 $A O$ 的方程是 $x=0$ 吗?为什么?9. 已知等腰三角形 $A B C$ 的顶点是 $A(4,2)$,底边的一个端点是 $B(3,5)$,求另一个端点的轨迹方程.
10. 方程 $x^{2}-4 x+1=0$ 的两个根可分别作为 ( ).
(A) 椭圆和双曲线的离心率
(B) 两抛物线的离心率
(C) 椭圆和抛物线的离心率
(D) 两椭圆的离心率 11. 曲线 $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$ 与曲线 $\frac{x^{2}}{25-k}+\frac{y^{2}}{9-k}=1(k<9)$ 的 $(\quad)$.
(A) 长轴长相等
(B) 焦距相等
(C) 离心率相等
(D) 短轴长相等
11. 与两圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 及 $x^{2}+y^{2}-8 x+12=0$ 都外切的圆的圆心在 ( ).
(A) 一个椭圆上
(B) 双曲线的一支上
(C) 一条抛物线上
(D) 一个圆上
12. 已知 $\triangle A B C$ 的三边 $A B,B C,C A$ 满足
$$
2|B C|=|A B|+|C A|,|A B|>|C A| \text {,}
$$
且 $B(-1,0),C(1,0)$,求点 $A$ 的轨迹方程,并说明它是什么曲线.
14. 若方程 $(3-a) x^{2}+(a+1) y^{2}+a^{2}-2 a-3=0$ 是双曲线的方程,求实数 $a$ 的取值范围.
15. 已知双曲线的离心率等于 $\frac{\sqrt{5}}{2}$,且双曲线与椭圆 $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 有公共焦点,求此双曲线的标准方程.
16. 求与双曲线 $x^{2}-y^{2}=8$ 有相同的焦点且经过点 $P(4,6)$ 的椭圆的方程.
17. 如果椭圆的一个焦点坐标为 $(2,0)$,过此焦点且垂直于 $x$ 轴的弦的长等于 $\frac{10}{3}$,求这个椭圆的标准方程.
18. 已知直线 $y=k x+2$ 与椭圆 $x^{2}+2 y^{2}=2$ 相交于不同的两点,求 $k$ 的取值范围.
19. 直线 $l$ 过点 $P(2,4)$ 且与抛物线 $y^{2}=8 x$ 只有一个公共点,求直线 $l$ 的方程.
## B 组
1. 已知三条直线 $m x+2 y+8=0,4 x+3 y=10,2 x-y=10$ 相交于一点,求 $m$ 的值.
2. 求 $l_{1}: 2 x-y+1=0,l_{2}: x+y+5=0,l_{3}: x=0,l_{4}: x=3$ 四条直线所围成的图形的面积.
3. (1) 已知直线 $3 x+(1-a) y+5=0$ 与直线 $x-y=0$ 平行,求 $a$ 的值;
(2) 已知直线 $(a-4) x+y+1=0$ 与直线 $2 x+3 y+5=0$ 垂直,求 $a$ 的值.
4. 求证：不论 $\lambda$ 为何实数,直线 $(2 x+y-4)+\lambda(3 x-2 y+1)=0$ 恒过定点.
5. 判断命题的真假：如果 $\boldsymbol{n}_{1},\boldsymbol{n}_{2}$ 分别是直线 $l_{1},l_{2}$ 的一个方向向量,则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 垂直的充要条件是 $\boldsymbol{n}_{1}$ 与 $\boldsymbol{n}_{2}$ 垂直. 6. 光线从点 $M(-2,3)$ 发出遇到 $x$ 轴上一点 $P(1,0)$ 后被 $x$ 轴反射,求反射光线所在直线的方程.
6. 已知 $A(4,1),B(-3,2)$,在 $y$ 轴上求点 $C$,使得 $\triangle A B C$ 的面积为 12 .
7. 过点 $P(8,6)$ 作圆 $x^{2}+y^{2}-8 x+6 y=0$ 的两条切线 $P A,P B$,切点分别为 $A,B$,求直线 $A B$ 的方程.
8. 已知一条曲线在 $x$ 轴的上方,它上面的每一点到点 $A(0,2)$ 的距离减去到 $x$ 轴的距离的差都是 2,求这条曲线的方程.
9. 已知方程 $\frac{x^{2}}{4-k}+\frac{y^{2}}{9-k}=1$,讨论当 $k$ 取不同的值时,这个方程所表示的曲线类型,并写出曲线是椭圆和双曲线时的焦点坐标.
10. 过抛物线 $y^{2}=2 p x \quad(p>0)$ 的焦点的一条直线与这条抛物线相交于 $A,B$ 两点. 求证：这两个交点到 $x$ 轴的距离的乘积是常数.
11. 过抛物线的顶点 $O$ 作两条互相垂直的弦 $O A$ 和 $O B$. 求证：弦 $A B$ 与抛物线的对称轴相交于定点.
12. 已知 $M(4,2)$ 是直线 $l$ 被椭圆 $x^{2}+4 y^{2}=36$ 所截得的线段 $A B$ 的中点,求直线 $l$ 的方程.
13. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$,点 $A,B$ 分别是它的左、右顶点. 一条垂直于 $x$ 轴的动直线 $l$ 与椭圆相交于 $P,Q$ 两点,当直线 $l$ 与椭圆相切于点 $A$ 或点 $B$ 时,看作 $P$,$Q$ 两点重合于点 $A$ 或点 $B$,求直线 $A P$ 与直线 $B Q$ 的交点 $M$ 的轨迹方程.
14. 已知直线 $y=x+m$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ 相交于 $A,B$ 两点,当 $m$ 变化时,求 $|A B|$ 的最大值.
15. 已知直线 $y=a x+1$ 与双曲线 $3 x^{2}-y^{2}=1$ 相交于 $A,B$ 两点,$O$ 为坐标原点. 如果 $\overrightarrow{O A} \perp \overrightarrow{O B}$,求 $a$ 的值.
16. 已知抛物线 $C$ 的顶点在原点,对称轴是 $x$ 轴,它的弦 $P Q$ 所在直线的方程为 $y=2 x+1$,弦长等于 $\sqrt{15}$,求抛物线 $C$ 的标准方程.
17. 过抛物线 $y^{2}=2 p x \quad(p>0)$ 的焦点 $F$ 作倾斜角为 $\frac{\pi}{4}$ 的直线 $l$,且 $l$ 交抛物线于 $A,B$ 两点,点 $A$ 在 $x$ 轴的上方,求 $\frac{|A F|}{|B F|}$ 的值.
18. 已知双曲线 $2 x^{2}-y^{2}=2$,它的弦 $P Q$ 的长是实轴长的 2 倍,如果弦 $P Q$ 所在的直线 $l$ 过点 $A(\sqrt{3},0)$,求直线 $l$ 的方程. 20. 求双曲线 $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{16}=1$ 上任意一点 $M$ 到两条渐近线的距离的乘积,并把结论推广到一般的双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$.
19. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1},F_{2}$,过 $F_{1}$ 的直线与双曲线的左支相交于 $A,B$ 两点,如果 $\left|A F_{2}\right|+\left|B F_{2}\right|=2|A B|$,求 $|A B|$.
20. 已知抛物线 $y^{2}=4 x$ 的弦 $A B$ 经过它的焦点 $F$,弦 $A B$ 的长为 20,求直线 $A B$ 的方程.
21. 设椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$,斜率为 1 的直线不经过坐标原点 $O$,而且与椭圆相交于 $A,B$ 两点,$M$ 为线段 $A B$ 的中点. 直线 $A B$ 与 $O M$ 能否垂直?证明你的结论.
22. 设 $A,B$ 分别是直线 $y=\frac{2 \sqrt{5}}{5} x$ 和 $y=-\frac{2 \sqrt{5}}{5} x$ 上的动点,且 $|A B|=2 \sqrt{5}$,设 $O$ 为坐标原点,动点 $P$ 满足 $\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}$,求动点 $P$ 的轨迹方程.
23. 已知椭圆的中心是坐标原点 $O$,它的短轴长为 $2 \sqrt{2}$,一个焦点 $F$ 的坐标为 $(c,0)(c>0)$,点 $M$ 的坐标为 $\left(\frac{10}{c}-c,0\right)$,且 $|O F|=2|F M|$.
(1) 求椭圆的方程及离心率;
(2) 如果过点 $M$ 的直线与椭圆相交于点 $P,Q$ 两点,且 $O P \perp O Q$,求直线 $P Q$ 的方程.
## C 组
1. 已知点 $A(1,4),B(3,1)$,直线 $l: y=a x+2$ 与线段 $A B$ 有交点,求 $l$ 的斜率的取值范围.
2. 直线 $l$ 经过已知点 $P(2,-3)$,且被两条已知直线 $3 x+y-2=0,x+5 y+$ $10=0$ 截得的线段恰以 $P$ 为中点,求直线 $l$ 的方程.
3. 证明下述命题,并给出结论的几何解释:
(1) 如果 $A\left(x_{0},y_{0}\right)$ 关于直线 $l: y=x+b$ 的对称点为 $B$,则 $B$ 的坐标为 $\left(y_{0}-\right.$ $\left.b,x_{0}+b\right)$
(2) 如果 $A\left(x_{0},y_{0}\right)$ 关于直线 $l: y=-x+b$ 的对称点为 $B$,则 $B$ 的坐标为 $\left(-y_{0}+b,-x_{0}+b\right)$. 4. 已知 $A(2,1)$ 关于直线 $l: 3 x+2 y+5=0$ 的对称点为 $B$,求点 $B$ 的坐标.
5. 设圆 $C$ 满足条件: 截 $y$ 轴所得的弦长为 2;被 $x$ 轴分成两段的圆弧,其弧长的比为 $3: 1$；圆心到直线 $x-2 y=0$ 的距离为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$. 求圆 $C$ 的方程.
6. 过椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的中心作一条直线交椭圆于 $P,Q$ 两点,$F$ 是椭圆的一个焦点,求 $\triangle P F Q$ 的周长的最小值.
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## －中国特色社会主义进入新时代
## 1. 中国特色社会主义发展历程
我国是共产党领导的、以马克思主义为指导的、实行中国特色社会主义的国家。自 1516 年英国托马斯・莫尔的《乌托邦》出版算起,社会主义在其 500 多年的发展进程中,从空想到科学、从理论到实践、从一国实践到多国发展,经历了高潮与低谷、成功与挫折,但人类对社会主义的追求从末止步。中国特色社会主义是科学社会主义在中国发展的新阶段。
一个国家实行什么样的主义,关键要看这个主义能否解决这个国家面临的历史性课题。在中华民族积贫积弱、任人䔂割的近代中国，各种主义和思潮都进行过尝试，资本主义道路没有走通,改良
1516年,《乌托邦》出版
1917 年,俄国十月革命胜利。图为“阿芙乐尔”号巡洋舰（复原纪念舰）
1848 年,《共产党宣言》发表
1949 年 9 月 21 日至 30 日，中国人民政治协商会议第一届全体会议在北平召开
主义、自由主义、社会达尔文主义、无政府主义、实用主义、工团主义等“你方唱罢我登场”,也都没能解决中国的前途和命运问题。是马克思列宁主义、毛泽东思想指导中国人民走出了漫漫长夜,建立了新中国,是中国特色社会主义使中国快速发展起来了。
॥III一个民族、一个国家,必须知道自己是谁,是从哪里来的,要到哪里去,想明白了、想对了,就要坚定不移朝着目标前进。
一一近平中国特色社会主义是在不断总结经验、探索规律中开辟和前进的。
中国特色社会主义,承载着几代中国共产党人的理想和探索,寄托着无数仁人志士的夙愿和期盼,凝聚着亿万人民的奋斗和牺牲,是近代以来中国社会发展的必然选择,是发展中国、稳定中国的必由之路。实践充分证明,中国特色社会主义是中国共产党和中国人民团结的旗帜、奋进的旗帜、胜利的旗帜。
以毛泽东同志为主要代表的中国共产党人，带领中国人民先后完成新民主主义革命、社会主义革命,确立社会主义基本制度,为新时期开创中国特色社会主义提供了宝贵经验、理论准备、物质基础。
以邓小平同志为主要代表的中国共产党人，实现了党和国家工作中心的转移,开启了改革开放的新时期,确立了社会主义初级阶段基本路线，成功开创了中国特色社会主义。
以江泽民同志为主要代表的中国共产党人，确立了社会主义市场经济体制的改革目标和基本框架,全面推进党的建设新的伟大工程，成功把中国特色社会主义推向 21 世纪。
以胡锦涛同志为主要代表的中国共产党人,根据新的发展要求,深刻认识和回答了新形势下实现什么样的发展、怎样发展等重大问题,致力于推进以人为本、全面协调可持续发展,成功在新的历史起点上坚持和发展了中国特色社会主义。
以习近平同志为主要代表的中国共产党人，顺应时代发展,从理论和实践结合上系统回答了新时代坚持和发展什么样的中国特色社会主义、怎样坚持和发展中国特色社会主义这个重大时代课题，续写了中国特色社会主义精彩篇章。
## 2. 新时代的丰富内涵和重大意义
党的十九大报告指出:“中国特色社会主义进人了新时代,这是我国发展新的历史方位。”这一重大政治论断,赋予党的历史使命、理论遵循、目标任务以新的时代内涵,为我们深刻把握当代中国发展的新阶段新特征、科学制定党的路线方针政策提供了时代坐标和基本依据。
中国特色社会主义进人新时代,是新中国成立以来特别是改革开放以来我国社会发展进步的必然结果,是我国社会主要矛盾变化的必然结果,也是我们党团结带领全国各族人民开创光明末来的必然要求。
## 新时代
是承前启后、继往开来、在新的历史条件是决胜全面建成小康社会、进而全面建设下继续夺取中国特色社会主义伟大胜利的时代。社会主义现代化强国的时代。
社会主义现代化弲国的田代
“新时代是中国特色社会主义新时代,而不是别的什么新时代。”这个新时代意味着近代以来久经磨难的中华民族迎来了从站起来、富起来到强起来的伟大飞跃,迎来了实现中华民族伟大复兴的光明前景;意味着科学社会主义在 21 世纪的中国焕发出强大生机活力,在世界上高高举起了中国特色社会主义伟大旗帜;意味着中国特色社会主义道路、理论、制度、文化不断发展,拓展了发展中国家走向现代化的途径,给世界上那些既希望加快发展又希望保持自身独立性的国家和民族提供了全新选择,为解决人类问题贡献了中国智慧和中国方案。
新时代是奋斗者的时代。中国特色社会主义进人新时代,唱响了改革开放的时代主旋律,吹响了奋斗创造美好生活的集结号。习近平总书记一直对青年寄予厚望：“无论过去、现在还是末来,中国青年始终是实现中华民族伟大复兴的先锋力量!” 青年最富有朝气、最富有梦想,只有把自己的梦想融人国家和民族的梦想,把自己的奋斗融人党领导人民进行的伟大奋斗,青春才能实现最大价值。
## 3. 新时代我国社会主要矛盾
中国特色社会主义进人新时代,我国社会主要矛盾已经转化为人民日益增长的美好生活需要和不平衡不充分的发展之间的矛盾,这是中国特色社会主义新时代的重要特征。
新时代我国社会主要矛盾的变化,是关系全局的历史性变化,深刻反映了我国社会需求和社会生产的新特点。
社会需求方面，我国稳定解决了十几亿人的温饱问题，人民生活水平显著提高,美好生活需要日益广泛。人民希望有更多的获得感、幸福感、安全感,对民主、法治、公平、正义、安全、环境等方面的要求日益增长,在教育、医疗、卫生、就业、住房、养老等 ॥III 我们的目标很宏伟,但也很朴素,归根结底就是让全体中国人都过上更好的日子。
一习近平
社会生产方面,我国社会生产力水平总体上显著提高,长期存在的短缺经济和供给不足状况已发生根本性转变,我们面临的突出问题是发展不平衡不充分的问题。发展不平衡,主要指各区域各领域各方面发展不够平衡,存在“一条腿长、一条腿短” 的失衡现象,如繁华都市和落后乡村并存、东部发达和西部滞后同在。发展不充分,主要指一些地区、一些领域、一些方面还存在发展不足的问题。发展不平衡不充分问题已经成为影响满足人民美好生活需要的主要制约因素。
新时代我国社会主要矛盾的变化,没有改变我们对我国社会主义所处历史阶段的判断,我国仍处于并将长期处于社会主义初级阶段的基本国情没有变，我国是世界上最大发展中国家的国际地位没有变。
中国特色社会主义进人新时代，在中华人民共和国发展史上、中华民族发展史上具有重大意义,在世界社会主义发展史上、人类社会发展史上也具有重大意义。
## 二新时代孕育习近平新时代中国特色社会主义思想
## 1. 习近平新时代中国特色社会主义思想的形成
习近平新时代中国特色社会主义思想,是在顺应时代发展、把握世界发展大势、应对全球共同挑战、维护人类共同利益的过程中,在中华民族迎来了从站起来、富起来到强起来的伟大飞跃中,在不断推进党的自我革命,实现党自我净化、自我完善、自我革新、自我提高的过程中,在对科学社会主义理论与实践的深遂思考、深刻总结，对坚持和发展中国特色社会主义的不解探索、砥砺前行中创立并不断丰富发展的。
2017 年 10 月 18-24 日,中国共产党第十九次全国代表大会在北京召开，习近平总书记作《决胜全面建成小康社会夺取新时代中国特色社会主义伟大胜利》报告。大会审议通过《中国共产党章程（修正案）》,将习近平新时代中国特色社会主义思想确立为党必须长期坚持的指导思想并写进党章
习近平新时代中国特色社会主义思想,是马克思主义中国化最新成果,是党和人民实践经验和集体智慧的结晶,是中国特色社会主义理论体系的重要组成部分,是全党全国人民为实现中华民族伟大复兴而奋斗的行动指南。习近平总书记是这一思想的主要创立者。在领导全党全国各族人民推进党和国家事业的实践中,习近平总书记以马克思主义政治家、思想家、战略家的非凡理论勇气、卓越政治智慧、强烈使命担当,以“我将无我,不负人民” 的赤子情怀,应时代之变迁、立时代之潮头、发时代之先声,提出一系列具有开创性意义的新理念新思想新战略,为习近平新时代中国特色社会主义思想的创立发挥了决定性作用、作出了决定性贡献。
## 2. 习近平新时代中国特色社会主义思想的主题
坚持和发展中国特色社会主义,是改革开放以来我们党的全部理论和实践的主题,是当代中国发展进步的根本方向,也是习近平新时代中国特色社会主义思想的主题。
中国特色社会主义,不是天上掉下来的,是党和人民历尽千辛万苦、付出巨大代价取得的宝贵成果。
中国特色社会主义是植根于中国大地、反映中国人民意愿、适应中国和时代发展进步要求的科学社会主义,这条路能走得通、走得远。
一一习近平
道路、理论、制度、文化是中国特色社会主义的四个支柱，是我们改革开放以来取得一切成就和进步的根本原因,也是中国特色社会主义的根本标志。中国特色社会主义道路是实现途径,中国特色社会主义理论体系是行动指南,中国特色社会主义制度是根本保障,中国特色社会主义文化是精神力量,四者统一于中国特色社会主义伟大实践。中国特色社会主义特就特在其道路、理论体系、制度、文化上,特就特在其实现途径、行动指南、根本保障、精神力量的内在联系上,特就特在这四者统一于中国特色社会主义伟大实践上。
在当代中国,坚持和发展中国特色社会主义,必须坚定道路自信、理论自信、制度自信、文化自信。坚定“四个自信”,我们就能毫无畏惧地面对一切困难和挑战,就能坚定不移地开辟新天地、创造新奇迹。
## 3. 习近平新时代中国特色社会主义思想的主要内容
习近平新时代中国特色社会主义思想从理论和实践结合上系统回答了新时代坚持和发展什么样的中国特色社会主义、怎样坚持和发展中国特色社会主义，其核心内容是“八个明确”和“十四个坚持”。
“八个明确”点明了总任务、总布局和主要矛盾,囊括了“五位一体”总体布局、“四个全面”战略布局，以及外交、国防等各个方面，支撑起了宏伟思想大厦的整体框架。
## “八个明确”
明确坚持和发展中国特色社会主义,总任务是实现社会主义现代化和中华民族伟大复兴,在全面建成小康社会的基础上，分两步走在本世纪中叶建成富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国。明确新时代我国社会主要矛盾是人民日益增长的美好生活需要和不平衡不充分的发展之间的矛盾，必须坚持以人民为中心的发展思想，不断促进人的全面发展、全体人民共同富裕。
明确全面深化改革总目标是完善和发展中国特色社会主义制度、推进国家治理体系和治理能力现代化。明确全面推进依法治国总目标是建设中国特色社会主义法治体系、建设社会主义法治国家。明确党在新时代的强军目标是建设一支听党指挥、能打胜仗、作风优良的人民军队，把人民军队建设成为世界一流军队。明确中国特色大国外交要推动构建新型国际关系，推动构建人类命运共同体。明确中国特色社会主义最本质的特征是中国共产党领导，中国特色社会主义制度的最大优势是中国共产党领导,党是最高政治领导力量,提出新时代党的建设总要求，突出政治建设在党的建设中的重要地位。“十四个坚持” 是新时代坚持和发展中国特色社会主义的基本方略,是对党的治国理政重大方针、原则的最新概括,是实现“两个一百年” 奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的行动纲领。（1） 坚持党对外一切工作的领导
（2） 坚持以人民为中心
（3） 坚持全面深化改革
（4） 坚持新发展理念
（5） 坚持人民当家作主
（6） 坚持全面依法治国
（7） 坚持社会主义核心价值体系
（8） 坚持在发展中保障和改善民生
（9） 坚持人与自然和谐共生
（10） 坚持总体国家安全观
（11） 坚持党对人民军队的绝对领导
（12） 坚持“一国两制”和推进祖国统一
（13） 坚持推动构建人类命运共同体
（14） 坚持全面从严治党
“八个明确” 和“十四个坚持” 有机融合、有机统一,凝结着我们党坚持和发展中国特色社会主义的宝贵经验,反映了以习近平同志为核心的党中央对中国特色社会主义规律性认识的深化、拓展、升华,体现了理论与实际相结合、认识论和方法论相统一的鲜明特色,濯着马克思主义真理光辉。
## 三 习近平新时代中国特色社会主义思想引领新时代
## 1. 马克思主义中国化最新成果
我们党在领导中国革命、建设、改革的长期实践中，不断推进马克思主义中国化,实现了两次历史性飞跃。第一次飞跃发生在新民主主义革命时期,形成了被实践证明了的关于中国革命和建设的正确的理论原则和经验总结一毛泽东思想。第二次飞跃发生在党的十一届三中全会以后,形成了被实践证明了的关于在中国建设、巩固、发展社会主义的正确的理论原则和经验总结,这就是包括邓小平理论、“三个代表”重要思想、科学发展观、习近平新时代中国特色社会主义思想在内的中国特色社会主义理论体系。
习近平新时代中国特色社会主义思想,始终坚持以马克思主义为指导,始终贯穿着马克思主义立场观点方法,始终把马克思主义作为理论起点、逻辑起点、价值起点,集中体现了马克思主义的理论品格和精神实质,是坚持马克思主义的典范。同时,这一思想围绕新时代坚持和发展中国特色社会主义,以一系列具有原创性的新思想新观点新论断发展了马克思主义,是发展马克思主义的典范,是当代中国马克思主义、21 世纪马克思主义。
## 2. 中国特色社会主义理论体系的重要组成部分
习近平新时代中国特色社会主义思想内涵十分丰富,涵盖新时代坚持和发展中国特色社会主义的总目标、总任务、总体布局、战略布局和发展方向、发展方式、发展动力、战略步骤、外部条件、政治保障等基本问题，并根据新的实践对经济、政治、法治、科技、文化、教育、民生、民族、宗教、社会、生态文明、国家安全、国防和军队、“一国两制” 和祖国统一、统一战线、外交、党的建设等各方面作出新的理论概括和战略指引,是一个系统完整、逻辑严密的科学理论体系。
## 中国特色社会主义理论体系
## 邓小平理论“三个代表”重要思想科学发展观
习近平新时代中国特色社会主义思想
习近平新时代中国特色社会主义思想,创造性地回答了新时代坚持和发展什么样的中国特色社会主义、怎样坚持和发展中国特色社会主义这一重大时代课题,进一步回答了什么是社会主义、怎样建设社会主义,建设什么样的党、怎样建设党,实现什么样的发展、怎样发展等重大理论和实践问题,深化了对共产党执政规律、社会主义建设规律、人类社会发展规律的认识,为解决我国“发展起来以后” 怎么办,破解“成长中的烦恼”,夺取新时代中国特色社会主义伟大胜利,提供了科学指引和根本遵循。
## 3. 社会主义现代化和中华民族伟大复兴的行动指南
习近平新时代中国特色社会主义思想,把中国特色社会主义和实现社会主义现代化、实现中华民族伟大复兴有机贯通起来,聚焦“从哪里来、到哪里去” 的历史追问,系统阐述了民族复兴的深刻内涵、历史方位、实现路径和战略步骤,为实现中华民族伟大复兴的中国梦提供了强大精神力量,指明了正确前进方向,也向世界展示了社会主义的光明前景。
习近平新时代中国特色社会主义思想着眼加强党的长期执政能力建设,保持党的先进性和纯洁性,提出全面从严治党,明确新时代党的建设总要求,构建起体现马克思主义政党本质、符合时代发展和长期执政要求、系统完备的党建理论体系,为全面从严治党提供了根本遵循。
中国共产党之所以能够历经艰难困苦而不断发展壮大,很重要的一个原因就是我们党始终重视思想建党、理论强党,使全党始终保持统一的思想、坚定的意志、协调的行动、强大的战斗力。习近平新时代中国特色社会主义思想是当代中国马克思主义、21世纪马克思主义,是引领党和国家事业不断从胜利走向新的胜利的强大思想武器和行动指南。
中国特色社会主义事业是前无古人的开创性事业,前进道路不可能一帆风顺。站在新的历史起点上,每个人都应自觉成为民族复兴大业的建设者与复兴之路的铺就者,我们将汇聚起亿万人民的磅礴力量,开启全面建设社会主义现代化国家、实现中华民族伟大复兴新征程。中国航天科技集团有限公司庆祝“长征七号”火箭成功发射“天舟一号”飞船
## 学习思考
1. 结合党的十八大以来中国发生的新变化,谈谈你对中国特色社会主义新时代的内涵和意义的理解。2. 习近平新时代中国特色社会主义思想的主题和主要内容是什么?3. 习近平新时代中国特色社会主义思想的理论意义是什么?在实践中产生了怎样的影响?
## 第 2 讲
## 目标任务：实现社会主义现代化和中华民族伟大复兴
实现社会主义现代化和中华民族伟大复兴是新时代坚持和发展中国特色社会主义的总任务。在近代以来漫长的历史进程中，中国人民经历了太多太多的磨难，付出了太多太多的牺牲，进行了太多太多的拼搏。现在，中国人民和中华民族在历史进程中积累的强大能量已经充分爆发出来了,为实现中华民族伟大复兴提供了势不可挡的磅礴力量。建设社会主义现代化强国,实现中华民族伟大复兴,是一场接力跑,我们要一棒接着一棒跑下去,每一代人都要为下一代人跑出一个好成绩。
## 实现中华民族伟大复兴中国梦
## 1. 近代以来中华民族最伟大的梦想
中华民族创造了灿烂的中华文明，为人类作出了卓越贡献，成为世界上伟大的民族。
中国是一个有着 5000 多年文明史的大国,历史上曾长期走在世界前列。在世界四大文明古国中,唯有中华文明一直传承到今天。中国古代的四大发明造福全世界。16世纪以前,影响人类生活的重大科技发明约有 300 项,其中中国人的发明占 175 项。英国人李约瑟在《中国科学技术史》中写道:“在现代科学技术登场前十多个世纪,中国在科技和知识方面的积累远胜于西方。”中国历史上先后出现的文景之治、贞观之治、康乾盛世等,彰显了经济文化发展的繁荣景象和社会治理的博大智慧。
鸦片战争后,由于西方列强的人侵和封建统治的腐败,中国逐渐陷人半殖民地半封建社会的黑暗深渊,中国人民经历了战乱频仍、山河破碎、民不聊生的深重苦难。
为了探索复兴之路,无数仁人志士进行了各种各样的尝试,从太平天国运动、洋务运动、戊戌变法、义和团运动到辛亥革命,一次次奋起抗争都失败了。但是,自强不息的中华民族从末放弃过对美好梦想的向往和追求。
实现中华民族伟大复兴,就是中华民族近代以来最伟大的梦想。
一一习近平
在近代以后中国社会的剧烈运动中,在中国人民反抗封建统治和外来侵略的激烈斗争中,在马克思列宁主义同中国工人运动的结合过程中,中国共产党应运而生。中国共产党从诞生之日起,就义无反顾地肩负起领导中国人民实现民族复兴的历史使命。从此,中华民族终于迎来凤凰涅槃、浴火重生的曙光。
只有创造过辉煌的民族,才懂得复兴的意义;只有经历过苦难的民族,才对复兴有如此深切的渴望。实现中华民族伟大复兴的中国梦,既深深体现了今天中国人民的理想,也深深反映了中国人民不解追求进步的光荣传统。
## 2. 中华民族伟大复兴中国梦的内涵
中华民族伟大复兴的中国梦,就是要实现国家富强、民族振兴、人民幸福。
国家富强
民族幸福
就是要全面建成小康社会，并在此基础上建设富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国。
就是要使中华民族更加坚强有力地自立于世界民族之林，为人类作出新的更大贡献。
就是要坚持以人民为中心,增进人民福祉,促进人的全面发展,朝着共同富裕方向稳步前进。
中国梦，把国家的追求、民族的向往、人民的期盼融为一体，体现了中华民族和中国人民的整体利益，表达了每一个中华儿女的共同愿景,是中华民族团结奋斗的最大公约数和最大同心圆。
2013 年 9 月,中国邮政发行《中国梦――国家富强》特种邮票。邮票图案分别为:“神舟九号”飞船与“天宫一号” 交会对接、“北斗”卫星导航系统、“辽宁号” 航空母舰、“蛟龙号”载人潜水器中国梦,归根到底是人民的梦,必须依靠人民来实现,必须不断造福人民。人民是中国梦的主体,是中国梦的创造者和享有者。中国梦的深厚源泉在于人民,根本归宿在于人民,只有同人民对美好生活的向往结合起来才能取得成功。
中国梦,是中国人民的奋斗目标,也与世界命运紧密相连。中国梦是和平、发展、合作、共赢的梦,与世界各国人民的美好梦想息息相通。中国始终坚持走和平发展道路,积极推动构建人类命运共同体,做世界和平的建设者、全球发展的贡献者、国际秩序的维护者,不断为人类和平与发展进步作出更大贡献。
## 3. 中国梦终将在接力奋斗中变为现实
今天,我们比历史上任何时期都更接近、更有信心和能力实现中华民族伟大复兴的目标。机遇千载难逢，机遇稍纵即逝。只有紧紧抓住机遇,锐意进取、埋头苦干、善于创新、永不懈㕕,才能不负时代的要求、历史的期待。
IIII 生活在我们伟大祖国和伟大时代的中国人民,共同享有人生出彩的机会,共同享有梦想成真的机会,共同享有同祖国和时代一起成长与进步的机会。有梦想,有机会,有奋斗,一切美好的东西都能够创造出来。
一一习近平
中国梦是历史的、现实的，也是末来的。逐梦在心中，圆梦在手中。只要我们每一个青年学生都把人生理想融人国家和民族的伟大梦想之中，敢于有梦、勇于追梦、勤于圆梦，中华民族伟大复兴的中国梦必将变为现实。
## 二全面建设社会主义现代化国家
## 1.“两个一百年” 奋斗目标
建成社会主义现代化强国,实现中华民族伟大复兴,是中华民族的最高利益和根本利益,是新时代中国共产党和中国人民的奋斗目标。
1987 年,党的十三大明确提出了“三步走” 发展战略,其中第三步的目标是:“到下个世纪中叶,人均国民生产总值达到中等发达国家水平,人民生活比较富裕,基本实现现代化。”
1997 年,党的十五大提出,到建党一百年时,使国民经济更加发展,各项制度更加完善;到新中国成立一百年时,基本实现现代化,建成富强民主文明的社会主义国家。
2002年，党的十六大提出，根据党的十五大提出的到 2010 年、建党一百年和新中国成立一百年的发展目标,我们要在本世纪头 20 年,集中力量,全面建设惠及十几亿人口的更高水平的小康社会 …… 经过这个阶段的建设,再继续奋斗几十年,到本世纪中叶基本实现现代化，把我国建成富强民主文明的社会主义国家。
2012年,党的十八大提出,只要我们胸怀理想、坚定信念,不动摇、不解㕕、不折腾,颁强奋斗、艰苦奋斗、不解奋斗,就一定能在中国共产党成立一百年时全面建成小康社会,就一定能在新中国成立一百年时建成富强民主文明和谐的社会主义现代化国家。
2017 年，党的十九大站在“两个一百年” 奋斗目标的历史交汇期，对全面建成小康社会和全面建设社会主义现代化国家进行了新的部署。实现社会主义现代化和中华民族伟大复兴是新时代坚持和发展中国特色社会主义的总任务。在中国共产党的领导下,我们既要全面建成小康社会,又要乘势而上开启全面建设社会主义现代化国家新征程,分“两步走” 全面建成社会主义现代化强国。
## 2. 分“两步走” 全面建成社会主义现代化强国
党的十九大对全面建设社会主义现代化国家新征程进行了全新布局,明确提出新的“两步走” 战略安排。
## 从 2020 年到 2035 年
在全面建成小康社会的基础上,再奋斗 15 年,基本实现社会主义现代化
## 从 2035 年到本世纪中叶
在基本实现现代化的基础上,再奋斗 15 年,把我国建成富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国
中国人民的成功实践昭示世人,通向现代化的道路不止一条,只要找准正确方向、驰而不息,条条大路通罗马。
一一习近平
从全面建成小康社会到基本实现现代化,再到全面建成社会主义现代化强国,是新时代中国特色社会主义发展的战略安排。
到本世纪中叶,我国物质文明、政治文明、精神文明、社会文明、生态文明将全面提升,实现国家治理体系和治理能力现代化,成为综合国力和国际影响力领先的国家,全体人民共同富裕基本实现，我国人民将享有更加幸福安康的生活，中华民族将以更加昂扬的姿态屹立于世界民族之林。
## 三 -以贯之坚持和发展中国特色社会主义事业
## 1. 实现中华民族伟大复兴,必须推进中国特色
社会主义伟大事业
方向决定道路,道路决定命运。我们党和人民在长期实践探索中,坚持独立自主走自己的路,取得革命、建设、改革伟大胜利,开创和发展了中国特色社会主义,从根本上改变了中国人民和中华民族的前途命运。历史雄辩地证明：只有社会主义才能救中国，只有中国特色社会主义才能发展中国,只有坚持和发展中国特色社会主义才能实现中华民族伟大复兴。
行百里者半九十。中华民族复兴的伟大梦想,绝不是轻轻松松、敲锣打鼓就能实现的,必须准备付出更为艰巨、更为艰苦的努力。实现伟大梦想,必须进行伟大斗争、建设伟大工程、推进伟大事业。
伟大斗争,伟大工程,伟大事业,伟大梦想,紧密联系、相互贯通、相互作用,其中起决定性作用的是党的建设新的伟大工程。推进伟大工程,要结合伟大斗争、伟大事业、伟大梦想的实践来进行,确保党在世界形势深刻变化的历史进程中始终走在时代前列,在应对国内外各种风险和考验的历史进程中始终成为全国人民的主心骨,在坚持和发展中国特色社会主义的历史进程中始终成为坚强领导核心。
## 2. 不断续写中国特色社会主义新篇章
坚持和发展中国特色社会主义是一篇大文章。在中国共产党的带领下,全国各族人民同心同德、艰苦奋斗,取得了令世界刮目相看的伟大成就。中国的昨天已经写在人类的史册上,中国的今天正在亿万人民手中创造,我们将在中国共产党的带领下,不断续写中国特色社会主义新篇章。
新时代中国特色社会主义是我们党领导人民进行伟大社会革命的成果,也是我们党领导人民进行伟大社会革命的继续,必须一以贯之进行下去。
一一习近平
历史和现实都告诉我们，一场伟大社会革命要取得最终胜利，往往需要一个漫长的历史过程。实现中国梦,需要我们永远保持过去革命战争时期那么一股劲、那么一股革命热情、那么一种拼命精神,紧跟时代步伐,决不能因为胜利而骄傲,决不能因为成就而解怠,决不能因为困难而退缩,勇于改革创新,勇于迎难而上,勇于担当尽责。
2020 年 12 月 17 日凌辰,“嫦娥五号”返回器携带月球
样品返回，在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆
## 学习思考
1. 结合中国历史发展和个人生活变化，谈谈你对中国梦的理解。2. 作为青年学生,我们应该怎样处理好中国梦和个人梦想之间的关系?
## 第 3 讲
## 领导力量：坚持和加强党的全面领导
中国共产党是中国特色社会主义事业的坚强领导核心。坚持和加强党的全面领导,是党和国家的根本所在、命脉所在,是全国各族人民的利益所在、幸福所在,是夺取新时代中国特色社会主义伟大胜利的根本保证。
## 一、中国共产党是最高政治领导力量
## 1.中国共产党是马克思主义执政党
中国共产党是中国工人阶级的先锋队,同时是中国人民和中华民族的先锋队，是中国特色社会主义事业的坚强领导核心，代表中国先进生产力的发展要求,代表中国先进文化的前进方向,代表中国最广大人民的根本利益。
中国共产党始终高举马克思主义伟大旗帜,坚持一切从实际出发,解放思想、实事求是、与时倶进、求真务实,把实现共产主义作为奋斗目标,历经革命、建设和改革的锤炼,已经锻造为成熟的马克思主义执政党。正是有了这一先进成熟政党的领导,我们的国家、我们的民族才能取得今天这样的成就，具有今天这样的国际地位。
党的先进性和党的执政地位都不是一劳永逸、一成不变的。必须消除一切损害党的先进性和纯洁性的因素,清除一切侵蚀党的健康肌体的病毒,不断增强党的政治领导力、思想引领力、群众组织力、社会号召力,确保我们党永葆旺盛生命力和强大战斗力。
先进性和纯洁性是马克思主义政党的本质属性,我们加强党的建设,就是要同一切弱化先进性、损害纯洁性的问题作斗争,祛病疗伤,激浊扬清。
一习近平
## 2. 党的领导地位是历史和人民的选择
党的领导地位不是自封的，是历史和人民选择的，是由党的性质决定的，是由我国宪法明文规定的。
回顾近代以来的艰辛历程，在革命、建设、改革的历史进程
人民英雄纪念碑浮雕: 南昌起义
人民英雄纪念碑浮雕：抗日战争
中，正是由于人民选择了中国共产党，中国才彻底结束了半殖民地半封建社会的历史，完成了中华民族有史以来最为广泛而深刻的社会变革,开启了改革开放新的伟大革命,开辟了中国特色社会主义道路,取得了社会主义现代化建设的伟大成就。事实雄辩地证明: 没有中国共产党,就没有新中国,就没有中国特色社会主义,就没有中华民族的伟大复兴。
人民英雄纪念碑浮雕: 胜利渡长江
《中华人民共和国宪法》第一条规定：“中国共产党领导是中国特色社会主义最本质的特征。”我国宪法以国家根本法的形式,确认了党领导人民进行革命、建设、改革的伟大斗争和根本成就，确认了中国共产党的执政地位,确认了党在国家政权结构中总揽全局、协调各方的核心地位,为我们党长期执政提供了根本法律依据。
## 3. 坚持党对一切工作的领导
中国共产党是最高政治领导力量。在当今中国,没有大于中国共产党的政治力量或其他什么力量。
党政军民学,东西南北中,党是领导一切的,是最高的政治领导力量。
一一习近平
党的领导主要是政治领导、思想领导、组织领导,体现在党的科学理论和正确路线方针政策上,体现在党的执政能力和执政水平上,同时也体现在党的严密组织体系和强大组织能力上。
党是我们各项事业的领导核心,古人讲的“六合同风,九州共贯”,在当代中国,没有党的领导,这个是做不到的。
一一习近平
党的领导必须是全面的、系统的、整体的。人大、政府、政协、监委、法院、检察院、军队,各民主党派和无党派人士,各企事业单位,工会、共青团、妇联等群团组织,改革发展稳定、内政外交国防、治党治国治军等各领域各方面各环节,都要坚持中国共产党领导。哪个领域、哪个方面、哪个环节缺失了弱化了,都会削弱党的力量，损害党和国家事业。
中国特色社会主义民主政治的一个鲜明标志是坚持党的领导、人民当家作主和依法治国三者的有机统一。党的领导是人民当家作主和依法治国的根本保证,人民当家作主是社会主义民主政治的本质特征,依法治国是党领导人民治理国家的基本方式。三者统一于我国社会主义民主政治伟大实践。
党的领导是做好党和国家各项工作的根本保证,是我国政治稳定、经济发展、民族团结、社会稳定的根本点,是战胜一切困难和风险的“定海神针”。在坚持党的领导这个重大原则问题上,绝不能有任何含糊和动摇,必须坚决反对一切削弱、歪曲、否定党的领导的言行。
## 中国共产党领导是最本质特征和最大优势
## 1. 中国特色社会主义最本质的特征
中国特色社会主义有很多特点和特征,但最本质的特征是坚持中国共产党领导。正是有了中国共产党的领导，才开辟了中国特色社会主义道路、形成了中国特色社会主义理论体系、确立了中国特色社会主义制度、发展了中国特色社会主义文化，使中国赶上了时代。
中国最大的国情就是中国共产党的领导。什么是中国特色?这就是中国特色。
一一习近平
中国共产党是中国人民和中华民族的主心骨。坚持党的领导是中国特色社会主义不变色、不变质的根本保证。中国特色社会主义是党领导人民经过长期探索取得的根本成就，也只有在党的领导下才能不断向前发展。
坚持和发展中国特色社会主义,必须坚持和加强党的全面领导。要做到：坚持民主集中制,善于运用民主的办法汇集意见、科学决策,善于通过协商的方式增进共识、凝聚力量,同时善于集中、敢于担责,防止议而不决、决而不行;坚持群众路线,不断增强群众工作本领,善于通过群众喜闻乐见的方式宣传党的理论和路线方针政策,把党的主张变为群众的自觉行动;坚持依法执政,注重运用法治思维和法治方式治国理政,善于使党的主张通过法定程序成为国家意志、转化为法律法规,自觉把党的领导活动纳人制度轨道。
## 2. 中国特色社会主义制度的最大优势
党的十九届四中全会概括了我国国家制度和国家治理体系的 13 个显著优势。
—一坚持党的集中统一领导,坚持党的科学理论,保持政治稳定，确保国家始终沿着社会主义方向前进的显著优势;
—坚持人民当家作主,发展人民民主,密切联系群众,紧紧依靠人民推动国家发展的显著优势;
—一坚持全面依法治国，建设社会主义法治国家，切实保障社会公平正义和人民权利的显著优势;
—一坚持全国一盘棋,调动各方面积极性,集中力量办大事的显著优势;
2020 年 9 月 8 日,全国抗击新冠肺炎疫情表彰大会在人民大会堂举行。坚持全国一盘棋，调动各方面积极性，集中力量办大事的显著优势充分彰显一一坚持各民族一律平等,铸牢中华民族共同体意识,实现共同团结奋斗、共同繁荣发展的显著优势;
—一坚持公有制为主体、多种所有制经济共同发展和按劳分配为主体、多种分配方式并存,把社会主义制度和市场经济有机结合起来，不断解放和发展社会生产力的显著优势;
—一坚持共同的理想信念、价值理念、道德观念,弘扬中华优秀传统文化、革命文化、社会主义先进文化,促进全体人民在思想上精神上紧紧团结在一起的显著优势；
一一坚持以人民为中心的发展思想,不断保障和改善民生、增进人民福祉，走共同富裕道路的显著优势;
一一坚持改革创新、与时倶进,善于自我完善、自我发展,使社会始终充满生机活力的显著优势;
一一坚持德才兼备、选贤任能，聚天下英才而用之，培养造就更多更优秀人才的显著优势;
一一坚持党指挥枪，确保人民军队绝对忠诚于党和人民，有力保障国家主权、安全、发展利益的显著优势;
—一坚持“一国两制”,保持香港、澳门长期繁荣稳定，促进祖国和平统一的显著优势;
—一坚持独立自主和对外开放相统一,积极参与全球治理,为构建人类命运共同体不断作出贡献的显著优势。
这些显著优势,是我们坚定中国特色社会主义道路自信、理论自信、制度自信、文化自信的基本依据。
中国特色社会主义制度的优势很多,但最大优势是中国共产党领导。我国社会主义政治制度优越性的一个突出特点是党总揽全局、协调各方的领导核心作用，形象地说是“众星捧月”，这个“月” 就是中国共产党。在国家治理体系的大棋局中,党中央是坐镇中军帐的“帅”,车马炮各展其长,一盘棋大局分明。
党的领导制度是我国的根本领导制度。中国特色社会主义制度是一个严密完整的科学制度体系,起四梁八柱作用的是根本制度、基本制度、重要制度,其中具有统领地位的是党的领导制度。推进各方面制度建设、推动各项事业发展、加强和改进各方面工作，都必须坚持党的领导，自觉贯彻党总揽全局、协调各方的根本要求。
## 三增强“四个意识”，做到“两个维护”
## 1. 增强“四个意识”
政治问题,任何时候都是根本性的大问题。旗帜鲜明讲政治是我们党作为马克思主义政党的根本要求。在革命、建设、改革各个时期，我们党形成了讲政治的优良传统。
党的十八大以来,以习近平同志为核心的党中央把讲政治摆在更加突出的位置,着重强调“四个意识”,要求全体党员在事关大是大非和政治原则问题上，划清是非界限、澄清模糊认识，坚持党的领导不动摇,贯彻党的路线方针政策不含糊,始终做政治上的明白人，不断提高政治判断力、政治领悟力和政治执行力。
有些事情在政治上是绝不能做的,做了就要付出代价,谁都不能拿政治纪律和政治规矩当儿戏。
一一习近平
增强“四个意识”，就是要求全党同志增强政治意识、大局意识、
核心意识、看齐意识,切实做到对党忠诚、为党分忧、为党担责、为党尽责。
# “四个意识”
## 政治意识
坚守政治信仰、站稳政治立场、把准政治方向，始终同以习近平同志为核心的党中央保持高度一致。
## 大局意识
自觉从大局看问题，把工作放到大局中去思考、定位、摆布，做到正确认识大局、自觉服从大局、坚决维护大局。
## 核心意识
坚决维护习近平总书记党中央的核心、全党的核心地位,坚决维护党中央权威和集中统一领导，实现全党的团结统一。
## 看齐意识
经常、主动在思想上政治上行动上全方位向党中央看齐,向党的理论和路线方针政策看齐。## 2. 做到“两个维护”
一个国家、一个政党,领导核心至关重要。坚持和加强党的全面领导,最重要的是坚决维护党中央权威和集中统一领导;坚决维护党中央权威和集中统一领导,最关键的是坚决维护习近平总书记党中央的核心、全党的核心地位。
习近平总书记党中央的核心、全党的核心地位，是在新的伟大斗争实践中形成的。党的十八大以来,我们党正式确立习近平总书记党中央的核心、全党的核心地位,党的十九大把“坚定维护以习近平同志为核心的党中央权威和集中统一领导” 写人党章,这是历史和人民的共同选择、郑重选择、必然选择,是推进全面从严治党、提高党的创造力凝聚力战斗力的迫切要求,是保持党和国家事业发展正确方向的根本保证。
党中央是大脑和中枢,党和国家大政方针的决定权在党中央。坚决维护党中央权威、保证全党令行禁止,是党的领导的最高原则,是党和国家前途命运所系,是全国各族人民根本利益所在。
党的历史、新中国发展的历史都告诉我们: 要治理好我们这个大党、治理好我们这个大国,保证党的团结和集中统一至关重要,维护党中央权威至关重要。
一一习近平
维护党中央权威和集中统一领导,同坚持民主集中制是完全一致的。民主集中制是我们党的根本组织原则和领导制度,是马克思主义政党区别于其他政党的重要标志。在充分发扬民主的基础上进行集中,坚持党中央权威和集中统一领导,集中全党智慧,体现全党共同意志,是我们党的一大创举。
## 3. 全面增强党的执政本领
坚持党对一切工作的领导,就要全面增强党的执政本领。
一增强学习本领,在全党营造善于学习、勇于实践的浓厚氛围。—一增强政治领导本领,科学制定和坚决执行党的路线方针政策。
—一增强改革创新本领，善于结合实际创造性推动工作。
—增强科学发展本领,善于贯彻新发展理念,不断开创发展新局面。
—一增强依法执政本领，加强和改善对国家政权机关的领导。
—一增强群众工作本领，善于组织动员广大人民群众坚定不移跟党走。
—一增强狠抓落实本领,以钉钉子精神做实做细做好各项工作。
—一增强驾驭风险本领,勇于战胜前进道路上的各种艰难险阻。
IIII 全党同志特别是各级领导干部,都要有本领不够的危机感,都要努力增强本领,都要一刻不停地增强本领。只有全党本领不断增强了,“两个一百年” 的奋斗目标才能实现,中华民族伟大复兴的中国梦才能梦想成真。
面对复杂形势和艰巨任务,要在危机中育先机、于变局中开新局,干部特别是年轻干部要提高政治能力、调查研究能力、科学决策能力、改革攻坚能力、应急处突能力、群众工作能力、抓落实能力,勇于直面问题,想干事、能干事、干成事,不断解决问题、破解难题。(1) 提高政治能力。在干部千好工作所需的各种能力中,政治能力是第一位的。有了过硬的政治能力,才能做到自觉在思想上政治上行动上同党中央保持高度一致,在任何时候任何情况下都能“不畏浮云遮望眼”“乱云飞渡仍从容"。
(2) 提高调查研究能力。调查研究是做好工作的基本功。一定要学会调查研究,在调查研究中提高工作本领。
(3) 提高科学决策能力。做到科学决策,首先要有战略眼光,看得远、想得深。4 提高改革攻坚能力。面向末来,我们要全面推进党和国家各项工作，尤其是贯彻新发展理念、推动高质量发展、构建新发展格局,继续走在时代前列,仍然要以全面深化改革添动力、求突破。
5 提高应急处突能力。预判风险是防范风险的前提,把握风险走向是谋求战略主动的关键。
(6) 提高群众工作能力。要坚持从群众中来、到群众中去,真正成为群众的贴心人。
7 提高抓落实能力。干事业不能做样子,必须脚踏实地,抓工作落实要以上率下、真抓实千。
## 学习思考
1. 结合中国共产党百年史,谈谈你对“党的领导地位是历史和人民的选择” 的理解。2. 作为生长在新时代的中学生,我们应当如何增强“四个意识”,做到“两个维护”?
## 第4讲
## 根本立场：坚持以人民为中心
人民创造历史,是马克思主义唯物史观的基本观点。坚持以人民为中心，是新时代坚持和发展中国特色社会主义的根本立场。秉持全心全意为人民服务的根本宗旨,中国共产党人始终坚持人民立场,坚持以人民为中心的发展思想,依靠人民创造历史伟业。
## - 中国共产党的根本立场、宗旨和使命
## 1. 人民性是马克思主义最鲜明的品格
马克思主义是人民的理论。马克思主义博大精深,归根到底就是一句话,为人类求解放。马克思主义始终站在人民的立场探求人类自由解放的道路,以科学的理论为最终建立一个没有压迫、没有剥削、人人平等、人人自由的理想社会指明了方向。
人民是历史的创造者,是时代的塑造者,是推动人类社会进步的根本力量,这是马克思主义唯物史观的基本观点。要始终坚持马克思主义的群众观点,坚持一切为了人民、一切依靠人民,倾听人民呼声,反映人民诉求,汲取人民智慧,接受人民监督。
## 2. 坚守党的立场宗旨
人民立场是党的根本立场。始终同人民在一起,为人民利益而奋斗,是马克思主义政党同其他政党的根本区别。我们党来自人民、植根人民、服务人民,党的根基在人民、血脉在人民、力量在人民。党与人民风雨同舟、生死与共,始终保持血肉联系,是党战胜一切困难和风险的根本保证。
中南海新华门内“为人民服务”影壁
全心全意为人民服务是党的根本宗旨,是我们党一切行动的根本出发点和落脚点,是我们党区别于其他一切政党的根本标志。中国共产党作为马克思主义政党，党性和人民性从来都是一致的、统一的，除了国家、民族、人民的利益,没有任何自己的特殊利益。中国共产党的奋斗史,就是一部全心全意为人民服务的历史。
共产党就是为人民服务的,就是为老百姓办事的,让老百姓生活更幸福就是共产党的事业。
―一习近平
为什么人、靠什么人的问题,是检验一个政党、一个政权性质的试金石。只有始终坚持以人民为中心,践行全心全意为人民服务的根本宗旨,树立真挚的人民情怀,才能始终保持党的先进性和纯洁性，使党执政具有广泛、深厚、可靠的群众基础。
## 3. 践行党的根本使命
为人民谋幸福、为民族谋复兴是中国共产党人的初心，也是中国共产党人的根本使命。党的初心和使命是党的性质宗旨、理想信念、奋斗目标的集中体现，是激励一代代中国共产党人前赴后继、英勇奋斗的根本动力。党一路走来,成就举世瞩目,根本原因就在于坚守了初心和使命。
事业发展永无止境,共产党人的初心永远不能改变。
一一习近平
以百姓心为心,与人民同呼吸、共命运、心连心,是党的初心,也是党的恒心。要以坚定的理想信念坚守初心,以真挚的人民情怀滋养初心,以牢固的公仆意识践行初心,永远保持共产党人的奋斗精神,永远保持对人民的赤子之心。党员、干部的初心变没变、使命记得牢不牢,要经得起群众的评价、实践的检验。
黄文秀生前是中共广西壮族自治区百色市委宣传部干部。2016 年硕士研究生毕业后,黄文秀自愿到革命老区百色工作,主动请缨到贫困村担任驻村第一书记。她时刻牢记党的嘱托,庑续传承红色传统,立下脱贫攻坚任务“不获全胜、决不收兵” 的铿锵誓言。她自觉践行
党的宗旨,始终把群众的安危冷暖装在心间,推动实施村屯亮化、道路硬化和蓄水池修建等工程项目，带领群众发展多种产业,为村民脱贫致富倾注了全部心血和汗水,用美好青春诠释了共产党人的初心和使命,谱写了新时代的青春之歌。2019 年 6 月 17 日凌晨,黄文秀在突发山洪中不幸遇难,献出了年仅 30 岁的宝贵生命。
## 二以人民为中心的科学内涵
## 1. 始终坚持人民至上
民心是最大的政治。“政之所兴在顺民心，政之所废在逆民心。” 人民是我们党执政的最大底气,是共和国的坚实根基,是强党兴国的根本所在。
共产党就是为人民谋幸福的,人民群众什么方面感觉不幸福、不快乐、不满意,我们就在哪方面下功夫,千方百计为群众排忧解难。
一一习近平
坚持人民至上,就是从思想和感情深处始终把人民放在心中最高位置。人民是国家主人,共产党人是人民勤务员。要充分尊重人民所表达的意愿、所创造的经验、所拥有的权利、所发挥的作用。
坚持人民至上，就是要把为民造福作为最重要的政绩。“利民之事,丝发必兴;厂民之事,毫末必去。” 要清醒认识到权力是党和人民赋予的，是为党和人民做事用的。坚持权为民所用、情为民所系、利为民所谋，始终同人民想在一起、干在一起,以人民忧乐为忧乐，以人民甘苦为甘苦，努力为人民创造更美好、更幸福的生活。
2016 年 4 月 24 日,习近平总书记在安徽省六安市金寨县考察时与村民亲切交流
坚持人民至上,就是要以最广大人民根本利益为最高标准。以人民是否真正得到了实惠、人民生活是否真正得到了改善、人民权益是否真正得到了保障,检验一切工作的成效。
## 2. 坚持以人民为中心的发展思想
坚持以人民为中心,不是一个抽象的、玄奥的概念,不能只停留在口头上,而是要体现在经济社会发展各个环节。要着眼解决人民日益增长的美好生活需要和不平衡不充分的发展之间的矛盾,着力推行利民惠民政策措施,使全体人民有更多获得感、幸福感、安全感。
## 人民生活水平提升情况
## 新中国成立初期
1980 年前后
$96.2 \%$
## 农村贫困标准下的农村贫困人口比例
171 芫 (1978 年)
人均可支配收入
32189 元
65多
77.3多
预期寿命
婴儿死亡率*
## 3年
9.91표
15 岁及以上人口平均受教育年限
$0.22 \%$
$54.4 \%$
5. $6 \%$
(2019 年)
*婴儿死亡率,是指某年内婴儿出生后不满周岁死亡人数与同一年内活产婴儿总数的比率,以千分比表示。
坚持以人民为中心的发展思想,必须坚持发展为了人民、发展依靠人民。充分调动最广大人民的积极性、主动性、创造性，使全体人民都满腔热情地投身到建设祖国的美好末来和创造自己的幸福生活中去。
坚持以人民为中心的发展思想,必须坚持发展成果由人民共享。应始终把人民安居乐业、安危冷暖放在心上,扎扎实实解决好群众最关心最直接最现实的利益问题、最困难最忧虑最急迫的实际问题，让全体人民共享改革发展的丰硕成果。
IIII 国家建设是全体人民共同的事业,国家发展过程也是全体人民共享成果的过程。
一一习近平
## 3. 朝着实现全体人民共同富裕不断迈进
实现共同富裕,是社会主义的本质要求,是中国特色社会主义的根本原则。进人新时代,我们踏上了创造美好生活、逐步实现全体人民共同富裕的新征程。
III| 我们追求的发展是造福人民的发展,我们追求的富裕是全体人民共同富裕。
―一习近平
全体人民共同富裕的实现最终靠发展。发展是共同富裕的基础,唯有发展才能满足人民对美好生活的热切向往。要毫不动摇坚持发展是硬道理、发展应该是科学发展和高质量发展的战略思想,举全民之力推进中国特色社会主义事业,不断把蛋糕做大;在发展的基础上,还要把不断做大的蛋糕分好,把促进社会公平正义的事情做好,让社会主义制度的优越性更加充分地体现出来,让人的全面发展、全体人民共同富裕取得更为明显的实质性进展。在广东省廉江市援建的广西壮族自治区融水苗族自治县融水镇贝林小学,孩子们在上课
实现全体人民共同富裕的目标需要一个很长的过程,是由一个一个阶段性目标逐步达成的。我们不能做超越阶段的事情,要根据现有条件把能做的事情尽量做起来,积小胜为大胜,不断朝着全体人民共同富裕的目标前进。
## 三依靠人民创造历史伟业
## 1. 尊重人民主体地位和首创精神
人民群众有着无尽的智慧和力量。谋划发展,最了解实际情况的是人民群众;推动改革,最大的依靠力量也是人民群众。
依靠人民,关键是在思想上牢固树立人民群众的主体地位。是否尊重人民群众的主体地位,是否承认人民群众是社会发展的决定力量,是区别唯物史观和唯心史观的分界线。
时代是出卷人,我们是答卷人,人民是阅卷人。
一一习近平
创造历史伟业,必须尊重人民群众的首创精神,最大限度地激发人民的创造热情。建设中国特色社会主义的伟大实践,从根本上说是广大人民群众自己的实践。人民呼声是制定政策的基本依据,人民智慧是推动改革的力量源泉,人民监督是我们党自我完善的强大动力。中国特色社会主义伟大事业,必须扎根于人民群众的创造性实践中。
尊重人民主体地位和首创精神,要把人民群众满意不满意作为检验工作的第一标准。我们党是代表最广大人民根本利益的政党,人民是党的工作的最高裁决者和最终评判者。党和人民事业要始终体现人民意愿，经得起实践、人民和历史的检验。
## 2. 把群众路线贯彻到治国理政全部活动之中
群众路线是我们党的生命线和根本工作路线,是我们党永葆青春活力和战斗力的重要传家宝。坚持一切为了群众,一切依靠群众,从群众中来,到群众中去,这是党的群众路线的基本内容,本质上体现的是马克思主义关于人民群众是历史的创造者这一基本原理。
坚持群众路线,核心的问题是党要始终保持同人民群众的血肉联系。马克思主义执政党的最大危险就是脱离群众,中国共产党的最大政治优势是密切联系群众。党是在同人民群众的密切联系中成长、发展、壮大起来的,是靠宣传群众、组织群众、依靠群众起家，从胜利走向胜利的。
保持党的先进性和纯洁性、巩固党的执政基础和执政地位靠什么?最重要的就是靠坚持党的群众路线、密切联系群众。
一一习近平
坚持群众路线,要善于通过提出并贯彻正确的理论和路线方针政策带领人民前进,善于从人民的实践创造和发展要求中完善政策主张,善于从群众中寻找解决问题的方案和办法,使作出的决策和决策的执行充分体现民心民意,使群众路线落地稳、扎根深,融人经济社会发展全过程,贯穿到党的全部工作和治国理政全部活动之中。
2020 年 7 月 21 日至 9 月 22 日，习近平总书记围绕“十四五” 规划和 2035 年远景目标主持召开了七场座谈会。
这七场座谈会,包括企业家座谈会、党外人士座谈会、扎实推进长三角一体化发展座谈会、经济社会领域专家座谈会、科学家座谈会、基层代表座谈会、教育文化卫生体育领域专家代表座谈会。
在这七场座谈会上,习近平总书记一以贯之的风格,就是先听取大家的观察和思考、意见和建议,再给出积极的回应。他要求有关部门认真研究大家提出的意见和建议,及时制定相关政策措施。
## 学习思考
1. 查阅党史文献,谈谈你对中国共产党人“不忘初心、牢记使命” 的理解
2. 采访你周围的人,了解他们的需求,讨论中国共产党在新时代应当如何坚持以人民为中心的发展思想。3. 结合事例，讨论中国共产党在新时代该如何坚持和贯彻群众路线。
## 第 5 讲
## 怘体布局：统筹推进“五位一体”
党的十八大提出的“五位一体” 总体布局,是对全面推进经济建设、政治建设、文化建设、社会建设、生态文明建设的概括表述。改革开放以来，从物质文明、精神文明“两个文明”,到经济、政治、文化建设“三位一体”,到经济、政治、文化、社会建设“四位一体”，再到“五位一体”，中国特色社会主义总体布局的形成,既带来了发展理念和发展方式的深刻转变,也反映了党对社会主义建设规律认识的不断深化。
## 一以新发展理念推动经济高质量发展
## 1. 新发展理念的要义
发展是解决我国一切问题的基础和关键。发展理念是发展行动的先导。党的十八大以来,习近平总书记顺应时代和实践发展的新要求,坚持以人民为中心的发展思想,鲜明提出要坚定不移贯彻创新、协调、绿色、开放、共享的新发展理念,以发展理念转变引领发展方式转变,进而推动我国实现更高质量、更有效率、更加公平、更可持续、更为安全的发展。
—一创新是引领发展的第一动力。创新发展注重的是解决发展动力问题。创新是我们应对发展环境变化、增强发展动力、把握发展主动权的根本之策。要把创新摆在国家发展全局的核心位置,让创新贯穿党和国家一切工作。
—一协调是持续健康发展的内在要求。协调发展注重的是解决发展不平衡问题。要处理好发展中的重大关系,重点促进城乡区域协调发展,促进经济社会协调发展,促进新型工业化、信息化、城镇化、农业现代化同步发展，增强发展的协调性。
绿色是永续发展的必要条件。绿色发展注重的是解决人与自然和谐共生问题。要树立绿色发展理念,走可持续发展道路,加快建设资源节约型、环境友好型社会，实现人与自然和谐发展。
右玉县位于山西省西北端,地处毛乌素沙漠的天然风口地带。新中国成立时,全县森林覆盖率仅有 $0.3 \%$。70多年来,右玉县历届县委、县政府团结带领当地干部群众,坚持植树造林,改善生态环境,森林覆盖率由 $0.3 \%$ 提高到 $54 \%$ 以上,创造了令人惊叹的奇迹。
—开放是国家繁荣发展的必由之路。开放发展注重的是解决内外联动问题。要发展更高层次的开放型经济,以扩大开放推进改革发展。“一带一路” 倡议既是我国实施新一轮扩大对外开放的重要举措,又是推动开放合作、促进和平发展的“中国方案”。
在“一带一路” 倡议带动下,我国推出一系列高质量对外开放新举措,如优化区域开放布局、创新对外投资方式、促进国际产能合作、探索建设自由贸易港、举办中国国际进口博览会等。
2018 年 11 月,首届中国国际进口博览会在上海举行
—一共享是中国特色社会主义的本质要求。共享发展注重的是解决公平正义问题。树立共享发展理念,必须多谋民生之利、多解民生之忧，保证全体人民在共建共享发展中有更多获得感，不断促进人的全面发展、全体人民共同富裕。
## 2. 实现我国经济高质量发展
新时代我国经济发展的基本特征,是由高速增长阶段转向高质量发展阶段。高质量发展,指的是坚持以质量和效益为中心,从“有没有”“快不快”转向“好不好”“强不强”。
党的十九届五中全会提出了我国“十四五”时期经济发展的目标: 经济发展取得新成效,在质量效益明显提升的基础上实现经济持续健康发展,增长潜力充分发挥,国内市场更加强大,经济结构更加优化,创新能力显著提升,产业基础高级化、产业链现代化水平明显提高,农业基础更加稳固,城乡区域发展协调性明显增强,现代化经济体系建设取得重大进展;改革开放迈出新步伐,社会主义市场经济体制更加完善,高标准市场体系基本建成,市场主体更加充满活力,产权制度改革和要素市场化配置改革取得重大进展,公平竞争制度更加健全,更高水平开放型经济新体制基本形成。
实现我国经济高质量发展，就要坚持社会主义市场经济改革方向,处理好政府和市场的关系,使市场在资源配置中起决定性作用、更好发挥政府作用,推动有效市场和有为政府更好结合。
实现我国经济高质量发展,就要以供给侧结构性改革为主线,培育发展新产业、新产品、新技术、新业态,解决有效供给不足的矛盾,引导生产要素从效率低的地方流向效率高的地方,提高全要素生产率，满足人民日益增长的美好生活需要。
## 3. 建设现代化经济体系
国家强,经济体系必须强。推动经济高质量发展,必须建设好现代化经济体系。建设现代化经济体系,对内而言,有利于实现人民对美好生活的向往;对外而言,关系到我们能否引领世界科技革命和产业变革潮流,关系到我们能否赢得国际竞争的主动。
我们要建设的现代化经济体系,包括创新引领、协同发展的产业体系,统一开放、竞争有序的市场体系,体现效率、促进公平的收人分配体系,彰显优势、协调联动的城乡区域发展体系,资源节约、环境友好的绿色发展体系,多元平衡、安全高效的全面开放体系,充分发挥市场作用、更好发挥政府作用的经济体制。以上几个体系是统一整体,要一体建设、一体推进。我们建设的现代化经济体系,要借鉴发达国家有益做法,更要符合中国国情、具有中国特色。
建设现代化经济体系,已成为我国发展的战略目标。主要举措有: 大力发展实体经济;加快实施创新驱动发展战略;积极推动城乡区域协调发展;着力发展开放型经济;深化经济体制改革。
## 4. 构建新发展格局
面向末来,我们要把满足国内需求作为发展的出发点和落脚点,加快构建完整的内需体系,大力推进科技创新及其他各方面创新,加快推进数字经济、智能制造、生命健康、新材料等战略性新兴产业,形成更多新的增长点、增长极,着力打通生产、分配、流通、消费各个环节,逐步形成以国内大循环为主体、国内国际双循环相互促进的新发展格局,培育新形势下我国参与国际合作和竞争新优势。
要构建新发展格局,就要坚持扩大内需这个战略基点,加快培分股权的希腊比雷埃夫斯港，已成为中国通往中东欧的门户
育完整内需体系,把实施扩大内需战略同深化供给侧结构性改革有机结合起来,以创新驱动、高质量供给引领和创造新需求。要畅通国内大循环，促进国内国际双循环,全面促进消费,拓展投资空间。
新发展格局不是封闭的国内循环,而是更加开放的国内国际双循环。要优化升级生产、分配、流通、消费体系,深化对内经济联系、增加经济纵深,增强畅通国内大循环和联通国内国际双循环的功能,加快推进规则标准等制度型开放,率先建设更高水平开放型经济新体制。越是开放越要重视安全,统筹好发展和安全两件大事,增强自身竞争能力、开放监管能力、风险防控能力。
我国要从进人新发展阶段大局出发,落实新发展理念,紧扣推动高质量发展、构建新发展格局,充分发挥国内超大规模市场优势,通过繁荣国内经济、畅通国内大循环为我国经济发展增添动力，带动世界经济复苏。
## 二发展社会主义民主政治
## 1. 坚持走中国特色社会主义政治发展道路
中国特色社会主义政治发展道路,是中国共产党领导中国人民把马克思主义基本原理同中国具体实际相结合、经过长期探索实践逐步开辟和形成的，是符合中国国情、保证人民当家作主的正确道路。
IIII 设计和发展国家政治制度,必须注重历史和现实、理论和实践、形式和内容有机统一。要坚持从国情出发、从实际出发,既要把握长期形成的历史传承,又要把握走过的发展道路、积累的政治经验、形成的政治原则,还要把握现实要求、着眼解决现实问题,不能割断历史,不能想象突然就般来一座政治制度上的“飞来峰”。
一一习近平
坚持走中国特色社会主义政治发展道路,我们必须坚持党的领导、人民当家作主、依法治国有机统一,必须积极稳妥推进政治体制改革,必须始终保持政治定力。
## 2. 用制度体系保证人民当家作主
人民民主是社会主义的生命,人民当家作主是社会主义民主政治的本质和核心。没有民主就没有社会主义，就没有中华民族的伟大复兴。人民当家作主是我们党矢志不渝的奋斗目标。
发展社会主义民主政治就是要体现人民意志、保障人民权益、激发人民创造活力，用制度体系保证人民当家作主。
我国实行工人阶级领导的、以工农联盟为基础的人民民主专政的国体,实行人民代表大会制度的政体,实行中国共产党领导的多党合作和政治协商制度、民族区域自治制度和基层群众自治制度等基本政治制度。这样一套具有鲜明中国特色的制度安排,有力地保证了人民当家作主。
人民代表大会制度是我国的根本政治制度。人民通过民主选举选出自己的代表,组成各级人民代表大会。各级人民代表大会都对人民负责、受人民监督,代表人民行使国家权力,全国和各级地方的一切重大事务都由人民代表大会决定。实践充分证明,这一制度是符合中国国情和实际、体现社会主义国家性质、保证人民当家作主、保障实现中华民族伟大复兴的好制度。选举人大代表是人民当家作主的重要体现。图为 1981 年安徽省嘉山县女山湖渔业公社（现明光市女山湖镇）的渔民投票选举人大代表
中国共产党领导的多党合作和政治协商制度是我国的一项基本政治制度,是中国共产党、中国人民和各民主党派、无党派人士的伟大政治创造。这一新型政党制度,强调中国共产党的领导,强调发扬社会主义民主，不仅符合当代中国实际,而且符合中华民族一贯倡导的天下为公、兼容并蓄、求同存异等优秀传统文化，是对人类政治文明的重大贡献。
## 中国特色社会主义新型政党制度新在何处
新就新在它是马克思主义政党理论同中国实际相结合的产物,能够真实、广泛、持久代表和实现最广大人民根本利益、全国各族各界根本利益，有效避免了旧式政党制度代表少数人、少数利益集团的弊端。
新就新在它把各个政党和无党派人士紧密团结起来、为着共同目标而奋斗，有效避免了一党缺乏监督或者多党轮流坐庄、恶性竞争的弊端。
新就新在它通过制度化、程序化、规范化的安排集中各种意见和建议、推动决策科学化民主化,有效避免了旧式政党制度畕于党派利益、阶级利益、区域和集团利益决策施政导致社会撕裂的弊端。民族区域自治制度是我国的基本政治制度之一，是建设中国特色社会主义政治的重要内容。民族区域自治制度是以领土完整、国家统一为前提和基础的，是国家的集中统一领导与民族区域自治的有机结合。它增强了中华民族的凝聚力,使各族人民,特别是少数民族把热爱本民族与热爱祖国的深厚感情结合起来，更加自觉地担负起捍卫祖国统一、保卫边疆的光荣职责。坚持和完善民族区域自治制度，要坚持统一与自治相结合、民族因素与区域因素相结合;要坚持不解开展马克思主义祖国观、民族观、文化观、历史观宣传教育，打牢中华民族共同体的思想基础。
基层群众自治制度是我国的基本政治制度之一。我国的基层群众自治指的是人民群众在城乡基层党组织领导下，在居住地范围内，依托基层群众自治组织，依法直接行使民主权利，实行自我管理、自我教育、自我服务、自我监督的民主制度和治理模式。
## 3. 巩固和发展最广泛的爱国统一战线
我们党在长期的革命、建设、改革过程中，始终把统一战线和统战工作摆在全党工作的重要位置。建立和完善广泛的统一战线,是建立、巩固和发展人民民主专政制度的重要保障,为维护国家安全作出了重要贡献。多年来,我们结成了包括全体社会主义劳动者、社会主义事业的建设者、拥护社会主义的爱国者、拥护祖国统一和致力于中华民族伟大复兴的爱国者的最广泛的爱国统一战线。
在最广泛的爱国统一战线中,中国共产党是总指挥,大家齐心协力大合唱。合唱的主旋律就是建设中国特色社会主义。我们完全有信心、有能力把我国社会主义民主政治的优势和特点充分发挥出来，为人类政治文明进步作出充满中国智慧的贡献。
习近平总书记在中央统战工作会议上提出要处理好“一致性” 和“多样性” 的关系。一方面,要不断巩固共同思想的政治基础,包括巩固已有共识、推动形成新的共识;另一方面,要充分发扬民主、尊重包容差异。只要我们把共识的圆心固守住,包容的多样性半径越长,画出的同心圆就越大,能够团结的人也就越多,14 亿多中国人终将凝聚成不可战胜的“中国力量”。
## 4. 全面贯彻党的民族、宗教政策
我国是统一的多民族国家,在历史演进中,我国各民族在分布上交错杂居、文化上兼收并蓄、经济上相互依存、情感上相互亲近,形成了你中有我、我中有你,谁也离不开谁的多元一体格局。中华民族和各民族的关系,是一个大家庭和家庭成员的关系,各民族的关系是一个大家庭里不同成员的关系。各民族同胞要手足相亲、守望相助,共同维护民族团结、国家统一。要全面贯彻党的民族理论和民族政策,维护和发展平等团结互助和谐的社会主义民族关系。要依法治理民族事务,确保各族公民在法律面前人人平
民族团结说到底是人与人的团结。船的力量在帆上,人的力量在心上。做民族团结重在交心,要将心比心、以心换心。
一一习近平
等。坚持共同团结奋斗、共同繁荣发展,促进各民族像石榴籽一样紧紧拥抱在一起,推动中华民族走向包容性更强、凝聚力更大的命运共同体。坚持促进各民族交往交流交融,增强对伟大祖国、中华民族、中华文化、中国共产党、中国特色社会主义的认同，不断铸牢中华民族共同体意识。严密防范、坚决打击各种渗透颠覆破坏活动、暴力恐怖活动、民族分裂活动、宗教极端活动。
要全面贯彻党的宗教工作基本方针,实行宗教信仰自由政策,依法管理宗教事务,坚持独立自主自办的原则,坚持我国宗教的中国化方向,积极引导宗教与社会主义社会相适应。
我国实行宗教信仰自由政策,坚持从本国国情和宗教实际出发,保障公民宗教信仰自由权利,构建积极健康的宗教关系,维护宗教和睦与社会和谐。中国政府依照宪法和法律,支持各宗教坚持独立自主自办原则,各宗教团体、宗教教职人员和信教公民自主办理宗教事业;对涉及国家利益和社会公共利益的宗教事务进行管理,但不干涉宗教内部事务。国家对待各宗教一律平等,一视同仁,不以行政力量发展或禁止某个宗教,任何宗教都不能超越其他宗教在法律上享有特殊地位。国家依法制止和打击利用宗教进行违法犯罪活动,坚决取缔邪教组织，严惩邪教犯罪。
## 三铸就中华文化新辉煌
## 1. 推动社会主义文化繁荣兴盛
文化是一个国家、一个民族的灵魂。文化兴国运兴，文化强民族强。文化自信是更基础、更广泛、更深厚的自信，是一个国家、一个民族发展中更基本、更深沉、更持久的力量。坚定中国特色社会主义道路自信、理论自信、制度自信,说到底是要坚定文化自信。
没有高度的文化自信,没有文化的繁荣兴盛,就没有中华民族伟大复兴。
中国特色社会主义文化，源自于中华民族 5000 多年文明历史所孕育的中华优秀传统文化,熔铸于党领导人民在革命、建设、改革中创造的革命文化和社会主义先进文化，植根于中国特色社会主义伟大实践。中国特色社会主义文化是激励全党全国各族人民奋勇前进的强大精神力量,是中华文化获得空前发展、重新走向辉煌的必然选择。
建设社会主义文化强国，必须坚持中国特色社会主义文化发展道路。发展中国特色社会主义文化,就是以马克思主义为指导,坚守中华文化立场,立足当代中国现实,结合当今时代条件,发展面向现代化、面向世界、面向末来的，民族的科学的大众的社会主义文化，推动社会主义精神文明和物质文明协调发展。
## 2. 坚持马克思主义在意识形态领域的指导地位
意识形态工作是党的一项极端重要的工作,是为国家立心、为民族立魂的工作,事关党的前途命运,事关国家长治久安,事关民族擬聚力和向心力。苏联为什么解体?苏共为什么垮台?一个重要原因就是意识形态领域的斗争十分激烈,全面否定苏联历史、苏共历史，否定列宁，否定斯大林,搞历史虚无主义,思想搞乱了,各级党组织几乎没任何作用了,军队都不在党的领导之下了。
马克思主义是我们立党立国的根本指导思想。背离或放弃马克思主义,我们党就会失去灵魂、迷失方向。在坚持马克思主义指导地位这一根本问题上,我们必须坚定不移，任何时候任何情况下都不能有丝毫动摇。
坚持马克思主义，必须坚持马克思主义在意识形态领域指导地位的根本制度,全面贯彻落实习近平新时代中国特色社会主义思想,健全用党的创新理论武装全党、教育人民的工作体系。对于青年学生来说,就是要自觉接受马克思主义理论教育,深化对马克思主义历史必然性和科学真理性、理论意义和现实意义的认
马克思主义为中国革命、建设、改革提供了强大思想武器,使中国这个古老的东方大国创造了人类历史上前所末有的发展奇迹。历史和人民选择马克思主义是完全正确的,中国共产党把马克思主义写在自己的旗帜上是完全正确的,坚持马克思主义基本原理同中国具体实际相结合、不断推进马克思主义中国化时代化是完全正确的!
一一习近平
识,学会运用马克思主义立场观点方法观察世界、分析世界,真正搞懂面临的时代课题,深刻把握世界发展走向,认清中国和世界发展大势,深刻感悟马克思主义真理力量,为成长成才打下科学思想基础。
## 3. 用社会主义核心价值观凝心聚力
我国是一个有着 14 亿多人口、56 个民族的大国,确立反映全国各族人民共同认同的价值观“最大公约数”,使全体人民同心同德、团结奋进,关乎国家前途命运,关乎人民幸福安康。
核心价值观,承载着一个民族、一个国家的精神追求,体现着一个社会评判是非曲直的价值标准。
一一习近平
社会主义核心价值观是社会主义文化的灵魂,是决定文化性质和方向的最深层次要素。在当代中国,我们倡导富强、民主、文明、和谐,自由、平等、公正、法治,爱国、敬业、诚信、友善的社会主义核心价值观。它从国家、社会、公民三个层面深人回答了我们要建设什么样的国家、建设什么样的社会、培育什么样的公民的重大问题,凝结着全体人民共同的价值追求,是当代中国精神的集中体现,是坚持和发展中国特色社会主义的精神动力。
社会主义核心价值观是对中华优秀传统文化的继承和发展,又与我们的奋斗目标相结合,还与我们需要解决的时代问题相适应,因此具有强大的引领作用。
青年的价值取向决定了末来整个社会的价值取向,而青年又处在价值观形成和确立的时期,抓好这一时期的价值观养成十分重要。这就像穿衣服扣扣子一样,如果第一粒扣子扣错了,剩余的扣子都会扣错。人生的扣子从一开始就要扣好。“凿井者,起于三寸之坎,以就万佝之深。”我们要从现在做起、从自己做起,在落细、落小、落实上下功夫,使社会主义核心价值观成为自己的基本遵循,并身体力行将其推广到全社会去。只有这样，社会主义核心价值观才能内化为人们的精神追求,外化为人们的自觉行动。
## 4. 推动中华优秀传统文化创造性转化、创新性发展
中华优秀传统文化蕴含着丰富的哲学思想、人文精神、价值观念、道德规范,积淀着中华民族最深层的精神追求,滋养和丰富着当代中国人的精神世界,是中华民族的根和魂,是中国特色社会主
2018 年 5 月,在重庆市沙坪坝区西永第一小学开展的“非遗进校园”系列活动中，手工艺人现场展示“葫芦烙画”技艺
义植根的文化沃土,是中华民族的突出优势,不仅为中华民族发展壮大提供了丰厚滋养,也为人类文明进步作出了卓越贡献。
不忘本来才能开辟末来,善于继承才能更好创新。对待中华传统文化必须坚持古为今用、推陈出新,有鉴别、有扬弃,实现中华优秀传统文化的创造性转化和创新性发展,实现传统文化与现实文化相融通,铸就中华文化新辉煌。
创造性转化
创新性发展按照时代特点和要求,对传统文化中至今仍有借鉴价值的内涵和陈旧的表现形式加以改造,赋予其新的时代内涵和现代表达形式，激活其生命力。
按照时代的新进步新进展,对中华优秀传统文化的内涵加以补充、拓展、完善,增强其影响力感召力。
## 5. 提高国家文化软实力
我国是文明古国、文化大国,必须要立足文化传统与当今现实,凝聚中国力量,传播当代中国价值观念。
文化软实力集中体现了一个国家基于文化而具有的凝聚力和生命力,以及由此产生的吸引力和影响力。提升国家文化软实力,要“形于中”而“发于外”,切实把我们自身的文化建设好。要深化文化体制改革,完善文化管理体制,加快构建把社会效益放在首位、社会效益和经济效益相统一的体制机制，推动文化事业全面繁荣、文化产业快速发展，不断丰富人民精神世界、增强人民精神力量。
党的十九届五中全会提出,要繁㭉发展文化事业和文化产业,提高国家文化软实力。坚持马克思主义在意识形态领域的指导地位,坚定文化自信,坚持以社会主义核心价值观引领文化建设,加强社会主义精神文明建设,围绕举旗帜、聚民心、育新人、兴文化、展形象的使命任务,促进满足人民文化需求和增强人民精神力量相统一,推进社会主义文化强国建设。要提高社会文明程度,提升公共文化服务水平,健全现代文化产业体系。
讲好中国故事是提升国家文化软实力的重要战略任务。讲好中国故事,努力提高国际话语权,不断提升中华文化影响力,要把握大势、区分对象、精准施策,主动宣介习近平新时代中国特色社会主义思想,主动讲好中国共产党治国理政的故事、中国人民奋斗圆梦的故事、中国坚持和平发展合作共赢的故事,让世界更好了解中国,并提炼好展示好优秀传统文化,完善和创新国际传播。
## 四以保障和改善民生为重点,加强社会建设
## 1. 增进民生福祉是发展的根本目的
民生是社会建设的主要内容之一。在发展经济的基础上,不断提高人民生活水平,是党和国家一切工作的根本目的。检验我们一切工作的成效,最终要看人民是否真正得到实惠,人民生活是否真正得到改善。
让老百姓过上好日子是我们一切工作的出发点和落脚点。
―——习近平
要坚持在发展中保障和改善民生。我国经过长期发展,财政收人、居民收人都在稳步增长,为保障和改善民生奠定了坚实的物质基础。“十三五” 时期,我国已经建成世界上规模最大的社会保障体系。
推动经济发展与改善民生可以形成良性循环。我们的发展是以人民为中心的发展,要回应人民的期待,让人民群众从经济发展中得到实实在在的利益。改善民生也会调动人们发展生产的积极性,扩大内需，催生新的经济增长点。
## 2. 紧紧抓住人民最关心最直接最现实的利益问题
教育、就业、收人分配、社会保障、医药卫生、住房等是民生的主要内容,是广大人民群众最关心最直接最现实的利益问题,也是民生工作的努力方向。只有始终关注民生、不断改善民生，才能赢得人民群众的支持拥护，才能形成强大的凝聚力和向心力。
增进民生福祉,保障改善民生,需要健全覆盖全民、统筹城乡、公平统一、可持续的多层次社会保障体系；需要抓住最需要关心的人群,在更高水平上实现幼有所育、学有所教、劳有所得、病有所医、老有所养、住有所居、弱有所扶。
我们的人民热爱生活,期盼有更好的教育、更稳定的工作、更满意的收入、更可靠的社会保障、更高水平的矢疗卫生服务、更舒适的居住条件、更优美的环境,期盼孩子们能成长得更好、工作得更好、生活得更好。
一一习近平
保障和改善民生要抓住人民最关心最直接最现实的利益问题，既尽力而为,又量力而行,一件事情接着一件事情办,一年接着一年干。坚持人人尽责、人人享有,坚守底线、突出重点、完善制度、引导预期,完善公共服务体系,保障群众基本生活,不断满足人民日益增长的美好生活需要,不断促进社会公平正义,形成有效的社会治理、良好的社会秩序,使人民获得感、幸福感、安全感更加充实、更有保障、更可持续。
## 3.坚决打赢脱贫攻坚战
贫困是长期困扰人类的一大难题，战胜贫困是中华民族的千年夙愿。新中国成立伊始,我们党就带领人民为抾脱贫困而不解努力。改革开放以来,我国脱贫攻坚取得举世瞩目的成就,8 亿多农村贫困人口先后脱贫。
党的十八大以来,以习近平同志为核心的党中央团结带领全党全国各族人民,把脱贫攻坚摆在治国理政突出位置,充分发挥党的领导和我国社会主义制度的政治优势,采取了许多具有原创性、独特性的重大举措,组织实施了人类历史上规模最大、力度最强的脱贫攻坚战。
2013 年至 2019 年,832 个贫困县农民人均可支配收人由 6079 元增加到 11567 元,年均增长 $9.7 \%$,比同期全国农民人均可支配收人增幅高 2.2 个百分点。全国建档立卡贫困户人均纯收人由 2015 年的 3416 元增加到 2019 年的 9808 元,年均增幅 $30.2 \%$。到 2020 年，我们如期完成了新时代脱贫攻坚目标任务,现行标准下农村贫困人口全部脱贫，贫困县全部摘帽。
2014 年，全国 832 个贫困县名单公布，涉及 22 个省（自治区、直辖市)。其中,贫困县覆盖率最高的是西藏,全区 74 个县都是贫困县。当时,全国贫困县的面积总和占国土面积的一半,全国大约每三个县中就有一个是贫困县,完全没有贫困县的省份只有 9 个。
从2016年开始，我国贫困县逐年脱贫，退出数量在2019年达到峰值。2020 年初,国务院扶贫开发领导小组对 2019 年底末摘帽的 52 个贫困县实施挂牌督战。截至 2020 年 11 月 23 日,这 52 个县全部脱贫摘帽，标志着新时代脱贫攻坚目标任务已如期完成。
## 五促进人与自然和谐共生
## 1. 人与自然是生命共同体
生态兴则文明兴,生态衰则文明衰。人类只有在良好的生态条件下，才能够发展繁荣起来。
山水林田湖草是生命共同体。生态是统一的自然系统,是相互依存、紧密联系的有机链条。人的命脉在田,田的命脉在水,水的命脉在山,山的命脉在土,土的命脉在林和草,这个生命共同体是人类生存发展的物质基础。
一一习近平
自然是生命之母,人与自然是生命共同体。人类必须敬畏自然、尊重自然、顺应自然、保护自然。保护自然就是保护人类,建设生态文明就是造福人类。
## 2. 绿水青山就是金山银山
绿水青山与金山银山的关系,实质上是经济发展与生态环境保护的关系。“我们既要绿水青山,也要金山银山。宁要绿水青山,不要金山银山,而且绿水青山就是金山银山。”这是重要的发展理念,也是推进现代化建设的重大原则。
“一曲溪流一曲烟” 的诗画美景,是浙江省杭州市西溪湿地 10 多年来践行绿色发展理念的成果。如此怡人的景致也曾有不堪回首的过去,过去西溪一带河道淤塞、水质恶化,自然生态系
统遭受严重破坏。为了改变这一状况,西溪湿地坚持生态优先、最小干预、可持续发展等原则,建设全国首个国家级湿地公园,实施湿地综合保护工程,使生态环境质量大幅提升,成为国内外游客心驰神往的休闲度假天堂。西溪湿地的美丽蝶变,是生态环保理念先行的成功典范。
“绿水青山就是金山银山” 的理念深刻揭示了保护生态环境就是保护生产力,改善生态环境就是发展生产力的道理,阐明了经济发展与环境保护的辩证统一关系。绿水青山和金山银山并不是对立的,相对贫困的地区并不是只有以环境污染换取脱贫致富一条路可走。
良好生态本身蕴含着无穷的经济价值,能够源源不断创造综合效益。只要我们调整发展思路,优美的生态环境、自然风光完全可以作为优质的资产,为当地群众吸引外来的消费和投资,让资源变资产、农民变股东,让绿水青山变成金山银山。
## 3.坚决打好污染防治攻坚战
良好的生态环境是最普惠的民生福祉，实现全面小康就不能忽视生态环境保护。随着社会发展和人民生活水平不断提高,人民群众对优美的环境等要求越来越高。过去“朌温饱”,现在“朌环保”;过去“求生存”,现在“求生态”。
打好污染防治攻坚战，是加强生态文明建设、建设美丽中国的重大战略部署,是决胜全面建成小康社会三大攻坚战的重要内容之一。
我国生态环境质量持续好转,出现了稳中向好趋势，但成效并不稳固。生态文明建设正处于压力叠加、负重前行的关键期，已进人提供更多优质生态产品以满足人民日益增长的优美生态环境需要的攻坚期，也到了有条件有能力解决生态环境突出问题的窗口期。
打赢污染防治攻坚战,就要打几场标志性重大战役,集中力量攻克老百姓身边的突出生态环境问题。要以改善生态环境质量为核心，以解决人民群众反映强烈的大气、水、土壤污染等突出问题为重点,全面加强环境污染防治。坚决打赢蓝天保卫战是重中之重,要以空气质量明显改善为刚性要求,强化联防联控,基本消除重污染天气，还老百姓蓝天白云、繁星闪烁。
## 4. 坚持和完善生态文明制度体系
建设生态文明，是一场涉及生产方式、生活方式、思维方式和价值观念的革命性变革。实现这样的变革,必须依靠制度和法治。当前,我国生态环境保护中存在的突出问题,大多同体制不健全、制度不严格、法治不严密、执行不到位、惩处不得力有关。必须把制度建设作为推进生态文明建设的重中之重,深化生态文明体制改革，着力破解制约生态文明建设的体制机制障碍。
—一实行最严格的生态环境保护制度；
——全面建立资源高效利用制度；
—一健全生态保护和修复制度;
—一严明生态环境保护责任制度。
## 习近平生态文明思想的主要内容
1 坚持生态兴则文明兴。
2 坚持人与自然和谐共生。
3 坚持绿水青山就是金山银山。
4 坚持良好生态环境是最普惠的民生福祉。
5 坚持山水林田湖草是生命共同体。
6 坚持用最严格制度最严密法治保护生态环境。
7 坚持建设美丽中国全民行动。
８ 坚持共谋全球生态文明建设。
生态文明建设是关系中华民族永续发展的千年大计。必须践行“绿水青山就是金山银山”的理念,坚持尊重自然、顺应自然、保护自然，坚持节约资源和保护环境的基本国策，坚持节约优先、保护优先、自然恢复为主的方针,坚定走生产发展、生活富裕、生态良好的文明发展道路，建设美丽中国。
“十三五” 期间,全国自然保护地数量增加 700 多个,面积增加 2500 多万公顷,总数量达到 1.18 万个,约占我国陆域国土面积的 $18 \%$。在 12 个省份开展了国家公园试点,总面积超过 22 万平方公里。在全国重点生态功能区实施了 25 个山水林田湖草生态保护修复试点工程。
五年来,完成国土绿化面积 6.89 亿亩,如期完成了森林覆盖率和森林蓄积量两项约束性指标,全国森林覆盖率达到 $23.04 \%$,森林蓄积量超过 175 亿立方米,草原综合植被覆盖度达到 $56 \%$。
全国整治修复岸线 1200 公里、滨海湿地 2.3 万公顷。开展长江流域、京津冀和汾渭平原等重点区域历史遗留矿山生态修复,治理修复矿点近 9000 个,面积约 2.5 万公顷。完成防沙治沙 1000 多万公顷、石漠化治理面积 130 万公顷。
“十三五”规划纲要确定的生态环境领域 9 项约束性指标超额完成。与 2015 年相比,2019 年全国地表水质量达到或好于 III 类水体比例上升 8.9 个百分点,地表水质量劣 $\mathrm{V}$ 类水体比例下降 6.3 个百分点;细颗粒物 (PM2.5) 末达标地级及以上城市浓度下降 $23.1 \%$,全国 337 个地级及以上城市空气质量优良天数比率达到 $82 \%$;化学需氧量、氨氮、二氧化硫、氮氧化物排放总量累计分别下降 $11.5 \%、11.9 \%、22.5 \%、16.3 \%$。
## 学习思考
1. 查阅相关资料,梳理关键时间点,说明建设中国特色社会主义“五位一体”总体布局是如何形成的。2. 结合新发展理念，谈谈你对打赢脱贫攻坚战的认识。3. 结合生活经验,说说我们应如何坚持人与自然和谐共生,广泛形成绿色生产生活方式
## 第6讲
## 战略布局：协调推进“四个全面”
党的十九届五中全会把党的十八大以来确立的全面建成小康社会、全面深化改革、全面依法治国、全面从严治党的战略布局进一步发展为“全面建设社会主义现代化国家、全面深化改革、全面依法治国、全面从严治党的战略布局”。“四个全面”是党和国家事业发展中必须解决好的主要矛盾,是战略目标与战略举措有机统一的战略布局。
## 从全面建成小康社会到全面建设社会主义现代化国家
## 1. 从建设小康之家到全面建成小康社会
小康是中华民族自古以来追求的理想社会状态。但是,今天的小康社会早已不是古人眼里的“朦胧画”,而是中国共产党人手中的“工笔画”。
党的十一届三中全会之后,小康、现代化成为中国人民和中华民族的现实追求和奋斗目标。1979 年 12 月 6 日,邓小平会见日本首相大平正芳时指出:“我们要实现的四个现代化,是中国式的四个现代化。我们的四个现代化的概念,不是像你们那样的现代化的念,而是 ‘小康之家'。”所谓小康社会,就是虽不富裕,但日子好过。历史地看,使用“小康” 这个概念来确定中国的发展目标,既符合中国发展实际,也容易得到最广大人民的理解和支持。
全面建成小康社会,强调的不仅是“小康”,而且更重要的也是更难做到的是“全面”。“小康”指的是发展水平,“全面”指的是发展的平衡性、协调性、可持续性。
党的十八大对全面建成小康社会目标提出了新的要求，主要是经济持续健康发展，人民民主不断扩大，文化软实力显著增强,人民生活水平全面提高，资源节约型、环境友好型社会建设取得重大进展。
全面小康，覆盖的领域要全面,是“五位一体”全面进步的小康，要求经济、政治、文化、社会、生态文明建设全面推进。
## 1979 年
邓小平使用“小康之家”“小康社会” 的提法
## 1987 年
党的十三大提出到 20 世纪末，达到小康水平
## 2007 年
党的十七大提出全面建设小康社会的新要求，并提出到 2020 年实现全面建成小康社会
## 2002 年
党的十六大提出“本世纪头二十年,集中力量,全面建设惠及十几亿人口的更高水平的小康社会”
## 2012 年
党的十八大确立“为全面建成小康社会而奋斗” 的主题
全面小康,覆盖的人口要全面,是惠及全体人民的小康;全面小康,覆盖的区域要全面,是城乡区域共同发展的小康。“天地之大,黎元为先。”小康不小康,关键看老乡。小康路上一个都不能掉队。全面建成小康社会，是“两个一百年”奋斗目标的第一个百年奋斗目标，是我们党向人民、向历史作出的庄严承诺，是 14 亿多中国人民的共同期盼。
## 2. 决胜全面建成小康社会
党的十九大报告指出:“从现在到二〇二〇年,是全面建成小康社会决胜期。”决胜,就是坚定信心、一鼓作气、攻坚克难,确保如期实现全面建成小康社会。
在全面建成小康社会决胜期,我们要做的,就是坚决打好三大攻坚战,确保经济社会持续健康发展。
一一坚决打好防范化解重大风险攻坚战。金融、地方债务、信息安全、社会稳定等领域都存在风险隐患,必须注重以完善体制机制来防范化解风险,防止外部风险演化为内部风险、金融风险演化为政治社会风险、个别风险演化为系统性风险。
—一坚决打好精准脱贫攻坚战。精准扶贫、精准脱贫,是脱贫攻坚的基本方略,其要义在于精准,其具体内容就是扶持对象精准、项目安排精准、资金使用精准、措施到户精准、因村派人（第一书记）精准、脱贫成效精准,真正做到对症下药、精准滴灌、靶向治疗,实现发展生产脱贫一批、易地搬迁脱贫一批、生态补偿脱贫一批、发展教育脱贫一批、社会保障兜底一批。
如期打赢脱贫攻坚战,中华民族干百年来存在的绝对贫困问题,将在我们这一代人的手里历史性地得到解决。这是我们人生之大幸。
一一习近平
一一坚决打好污染防治攻坚战。树立并践行“绿水青山就是金山银山” 的理念,推进绿色发展,坚持节约优先、保护优先、自然恢复为主，加快形成节约资源和保护环境的空间格局、产业结构、生产方式和生活方式。
全面建成小康社会，意味着第一个百年奋斗目标的实现。它是一座重要的里程碑,由此迈出实现中华民族伟大复兴中国梦的关键一步。实现中国梦，首先就要实现全面小康;实现全面小康，中国梦才有坚实的基石。
小康路上一个都不能掉队，这是习近平总书记最深的牵挂。党的十八大以来,习近平总书记顶风雪、冒酷暑、踏泥泞,翻山越岭、跋山涉水，走遍全国 14个集中连片特困地区，先后深入河北省阜平县骆驼湾村等 24 个贫困村考察调研。
在习近平总书记的亲切关怀和悉心指导下，这些贫困村明确努力方向，鼓足发展劲头，千群齐心协力，实现了脱贫攻坚的历史跨越。
## 3. 开启全面建设社会主义现代化国家新征程
经过全党全国各族人民的共同努力,我国如期打赢脱贫攻坚战,如期全面建成小康社会、实现第一个百年奋斗目标,并乘势而上开启全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军。
党的十九届五中全会更加详尽地描绘了到 2035 年基本实现社会主义现代化时的远景目标: 我国经济实力、科技实力、综合国力将大幅跃升,经济总量和城乡居民人均收人将再迈上新的大台阶,关键核心技术实现重大突破,进人创新型国家前列;基本实现新型工业化、信息化、城镇化、农业现代化,建成现代化经济体系;基本实现国家治理体系和治理能力现代化,人民平等参与、平等发展权利得到充分保障,基本建成法治国家、法治政府、法治社会;建成文化强国、教育强国、人才强国、体育强国、健康中国,国民素质和社会文明程度达到新高度,国家文化软实力显著增强;广泛形成绿色生产生活方式,碳排放达峰后稳中有降,生态环境根本好转,美丽中国建设目标基本实现;形成对外开放新格局,参与国际经济合作和竞争新优势明显增强;人均国内生产总值达到中等发达国家水平,中等收人群体显著扩大,基本公共服务实现均等化,城乡区域发展差距和居民生活水平差距显著缩小;平安中国建设达到更高水平,基本实现国防和军队现代化;人民生活更加美好,人的全面发展、全体人民共同富裕取得更为明显的实质性进展。
2017 年 11 月 10 日，我国自主研制的
C919 大型客机在上海浦东国际机场起飞
## 二全面深化改革
## 1. 全面深化改革是新时代坚持和发展中国特色
社会主义的根本动力
1978 年 12 月，在党和国家面临何去何从的重大历史关头，中国共产党召开了十一届三中全会，作出把党和国家工作中心转移到经济建设上来、实行改革开放的历史性决策。40 多年来，改革开放极大地改变了中国的面貌、中华民族的面貌、中国人民的面貌、中国共产党的面貌。没有改革开放，就没有中国的今天，也就没有中国的明天。
一个时代有一个时代的问题,一代人有一代人的使命。虽然我们已走过万水千山，但仍需要不断跋山涉水。在新时代，中国人民将继续自强不息、自我革新,坚定不移全面深化改革,逢山开路,遇水架㮇,敢于向顽瘴㽽疾开刀，勇于突破利益固化藩篱，将改革进行到底。
一一习近平
改革开放只有进行时,没有完成时。随着改革进人攻坚期和深水区，遇到的阻力越来越大，面对的暗礁、潜流、漩浴越来越多。改革开放中的矛盾只能用改革开放的办法来解决,必须进一步解放思想,进一步解放和发展生产力,进一步解放和增强社会活力,在更高起点、更高层次、更高目标上推进全面深化改革。新时代坚持和发展中国特色社会主义，根本动力仍然是全面深化改革。2013 年 11 月,党的十八届三中全会通过了《中共中央关于全面深化改革若干重大问题的决定》。从那时以来,改革呈现全面发力、多点突破、蹄疾步稳、纵深推进的良好局面,推动党和国家事业发生历史性变革、取得历史性成就。
## 2. 全面深化改革的方向、立场和目标
改革开放是一个系统工程。全面深化改革，根本在“改革”,关键在“深化”，重点在“全面”。
改革开放是一场深刻的社会革命，必须坚持正确方向，既不走封闭僵化的老路,也不走改旗易帜的邪路。全面深化改革的大方向,就是不断推动社会主义制度自我完善和发展,而不是对社会主义制度改弦易辙。问题的实质是改什么、不改什么,要有我们的政治原则和底线,有些不能改的,再过多长时间也是不改。
推进改革的目的是要不断推进我国社会主义制度自我完善和发展,赋㝋社会主义新的生机活力。这里面最核心的是坚持和改善党的领导、坚持和完善中国特色社会主义制度,偏离了这一条,那就南辕北轾了。
一一习近平
全面深化改革的立场,就是人民立场。全面深化改革,必须以促进社会公平正义、增进人民福祉为出发点和落脚点,把促进社会公平正义、增进人民福祉作为一面镜子,审视各方面体制机制和政策规定,哪里有不符合社会公平正义的问题,哪里就需要改革;哪个领域哪个环节问题突出,哪个领域哪个环节就是改革的重点。全面深化改革的总目标,就是完善和发展中国特色社会主义制度,推进国家治理体系和治理能力现代化。党的十九大对全面深化改革作出了重要战略安排。党的十九届四中全会通过了《中共中央关于坚持和完善中国特色社会主义制度推进国家治理体系和治理能力现代化若干重大问题的决定》,进一步明确了实现全面深化改革总目标的时间节点和路径。
## 到本世纪中叶
实现国家治理体系和治理能力现代化
## 到 2035 年
基本实现国家治理体系和治理能力现代化
## 3. 推动更深层次改革，实行更高水平开放
党的十八大以来,我们以经济体制改革为牵引,带动了政治、文化、社会、生态文明体制改革。党和国家机构改革、行政管理体制改革、依法治国体制改革、司法体制改革、外事体制改革、社会治理体制改革、生态环境督察体制改革、国家安全体制改革、国防和军队改革、党的领导和党的建设制度改革、纪检监察制度改革等一系列重大改革扎实推进,在新起点上实现了新突破。
全面深化改革，重点是构建高水平社会主义市场经济体制。坚持和完善社会主义基本经济制度，充分发挥市场在资源配置中的决定性作用,更好发挥政府作用,推动有效市场和有为政府更好结合。激发各类市场主体活力,完善宏观经济治理,建立现代财税金融体制，建设高标准市场体系，加快转变政府职能。在继续用足用好改革这个关键一招,推动改革加大力度、加快进度、拓展深度的同时,必须坚定不移扩大对外开放,推进对外贸易创新发展，优化外贸发展环境，培育外贸新动能，深人推进贸易便利化,加快提升贸易质量。
中国推动更高水平开放的脚步不会停滞!中国推动建设开放型世界经济的脚步不会停滞!中国推动构建人类命运共同体的脚步不会停滞!
一一习近平
实行高水平对外开放,其要旨就是开拓合作共赢新局面。坚持实施更大范围、更宽领域、更深层次对外开放,依托我国大市场优势,促进国际合作,实现互利共赢。要建设更高水平开放型经济新体制,全面提高对外开放水平,推动贸易和投资自由化便利化,推进贸易创新发展,推动共建“一带一路” 高质量发展,积极参与全球经济治理体系改革。
## 三全面依法治国
## 1. 全面依法治国是国家治理的一场深刻革命
法治是治国理政不可或缺的重要手段。全面推进依法治国是关系我们党执政兴国、关系人民幸福安康、关系党和国家长治久安的重大战略问题,是完善和发展中国特色社会主义制度、推进国家治理体系和治理能力现代化的重要方面。
党的十八大以来,以习近平同志为核心的党中央从党和国家事业发展全局和战略高度谋划、推进全面依法治国,社会主义法治国家建设取得历史性成就。
## 1997 年党的十五大
提出依法治国基本方略。
## 20111 年十一届全国
人大四次会议宣布中国特色社会主义法律体系已经形成。
## 2014 年党的十八届
提出全面推进依法治国总目标是建设中国特色四中全会社会主义法治体系、建设社会主义法治国家。
## 2017 年党的十九大
描绘了到 2035 年基本建成法治国家、法治政府、法治社会的宏伟蓝图。
## 2018 年党的十九届三中全会
决定组建中央全面依法治国委员会。
## 2020 年中央全面依法治国工作会议
提出习近平法治思想。
全面推进依法治国是一个系统工程，是国家治理领域一场广泛而深刻的革命，必须坚持依法治国、依法执政、依法行政共同推进，坚持法治国家、法治政府、法治社会一体建设,实现科学立法、严格执法、公正司法、全民守法，不断把法治中国建设推向前进。
## 2. 建设中国特色社会主义法治体系
走什么样的法治道路、建设什么样的法治体系，是由一个国家的基本国情决定的。全面推进依法治国，必须从我国实际出发，同推进国家治理体系和治理能力现代化相适应,既不能罔顾国情、超越阶段,也不能因循守旧、墨守成规。
全面推进依法治国涉及很多方面,在实际工作中必须有一个总揽全局、牵引各方的总抓手,这个总抓手就是建设中国特色社会主义法治体系。依法治国各项工作都要围绕这个总抓手来谋划、来推进。
一一习近平
中国特色社会主义法治道路,最核心的内容就是坚持党的领导,坚持中国特色社会主义制度,贯彻中国特色社会主义法治理论,特别是习近平法治思想。党的领导是社会主义法治最根本的保证，中国特色社会主义制度是全面推进依法治国的根本制度保障,中国特色社会主义法治理论特别是习近平法治思想,是全面推进依法治国的行动指南。这三个方面,规定和确保了中国特色社会主义法治体系的制度属性和前进方向。
中国特色社会主义法治道路是一个管总的东西。具体讲我国法治建设的成就,大大小小可以列举出十几条、几十条,但归结起来就是开辟了中国特色社会主义法治道路这一条。
一一习近平
中国特色社会主义法治体系,本质上是中国特色社会主义制度的法律表现形式,是国家治理体系的骨干工程。建设中国特色社会主义法治体系,必须加快形成完备的法律规范体系、高效的法治实施体系、严密的法治监督体系、有力的法治保障体系,加快形成完善的党内法规体系。
“十三五”期间，我国不断完善以宪法为核心的中国特色社会主义法律体系,助力法治中国建设踏上新征程。宪法完成第五次修正,为推进国家治理体系与治理能力现代化提供了根本法保障。制定《监察法》，推动法治反腐工作迈上新台阶；修改《刑事诉讼法》《人民法院组织法》》《人民检察院组织法》《法官法》《检察官法》，健全司法机关的组织和运行机制;颁布《民法典》,出台《外商投资法》《电子商务法》,修改《个人所得税法》》《土地管理法》《农村土地承包法》，依法维护人民权益，扩大对外开放水平，满足人民对美好生活的新期待;制定《基本医疗卫生与健康促进法》《疫苗管理法》,修改《药品管理法》《环境保护法》》《大气污染防治法》,依法维护人民群众身体健康和生命安全;制定《国家安全法》《网络安全法》，充分运用法律手段维护国家安全和网络安全。
2018 年 3 月,十三届全国人民代表大会第一次会议表决《中华人民共和国宪法修正案草案》
2021 年 1 月 1 日,《中华人民共和国民法典》正式施行
## 3. 维护社会公平正义、司法公正
维护社会公平正义、司法公正,是由中国特色社会主义法治道路的本质和特点决定的,是由党的全心全意为人民服务的宗旨所决定的。
“理国要道,在于公平正直。” 全面依法治国,必须紧紧围绕保障人民权益、促进社会公平正义来进行,努力让人民群众在每一项法律制度、每一个执法决定、每一宗司法案件中都感受到公平正义。
公正是法治的生命线,是司法的灵魂和生命。公正司法是维护社会公平正义的最后一道防线。司法公正对社会公正具有重要引领作用，司法不公对社会公正具有致命破坏作用。
## 4. 在党的领导下依法治国、厉行法治
依法治国是我们党提出来的，把依法治国上升为党领导人民治理国家的基本方略也是我们党提出来的,而且党一直带领人民在实践中推进依法治国。在我国,法是党的主张和人民意愿的统一体现,党领导人民制定宪法法律,党领导人民实施宪法法律,党自身必须在宪法和法律范围内活动。党和法、党的领导和依法治国是高度统一的。
党和法的关系是一个根本问题,处理得好,则法治兴、党兴、国家兴;处理得不好，则法治衰、党衰、国家衰。
一一习近平
## 习近平法治思想的主要内容
全面推进依法治国,必须要有利于加强和改进党的领导,有利于巩固党的执政地位、改善党的执政方式、提高党的执政能力、完成党的执政使命,而决不是要虚化、弱化甚至动摇、否定党的领导。只有在党的领导下依法治国、厉行法治,人民当家作主才能充分实现，国家和社会生活法治化才能有序推进。
## 四全面从严治党
## 1. 不忘初心，牢记使命
中国共产党人的初心和使命,就是为中国人民谋幸福,为中华民族谋复兴。从小到大,由弱到强,从苦难到辉煌,中国共产党百年来所付出的一切努力、进行的一切斗争、作出的一切牺牲,都是为了人民幸福和民族复兴。
只有不忘初心、牢记使命、永远奋斗,才能让中国共产党永远年轻。只要全党全国各族人民团结一心、苦干实干,中华民族伟大复兴的巨轮就一定能够乘风破浪、胜利驶向光辉的彼岸。
一一习近平
党的十九届四中全会提出,建立不忘初心、牢记使命的制度。确保全党遵守党章,恪守党的性质和宗旨,坚持用共产主义远大理想和中国特色社会主义共同理想凝聚全党、团结人民,用习近平新时代中国特色社会主义思想武装全党、教育人民、指导工作,夯实党执政的思想基础。把不忘初心、牢记使命作为加强党的建设的永恒课题和全体党员、干部的终身课题,形成长效机制,坚持不解锤炼党员、干部忠诚干净担当的政治品格。
## 2. 新时代党的建设的总要求
在党的十九大提出的“四个伟大” 中,起决定性作用的是党的建设新的伟大工程。中国特色社会主义进人新时代,中国共产党一定要有新气象新作为,关键是党的建设新的伟大工程要开创新局面。
1939 年 10 月,毛泽东深入分析了党的建设状况和党所面临的形势任务,在《く共产党人>发刊词》中提出要“建设一个全国范围的、广大群众性的、思想上政治上组织上完全巩固的布尔什维克化的中国共产党”,并把建设这样一个党称之为一个“伟大的工程”
## 《共产党人》发刊词
新时代党的建设总要求是: 坚持和加强党的全面领导,坚持党要管党、全面从严治党,以加强党的长期执政能力建设、先进性和纯洁性建设为主线,以党的政治建设为统领,以坚定理想信念宗旨为根基,以调动全党积极性、主动性、创造性为着力点,全面推进党的政治建设、思想建设、组织建设、作风建设、纪律建设,把制度建设贯穿其中,深人推进反腐败斗争,不断提高党的建设质量，把党建设成为始终走在时代前列、人民衷心拥护、勇于自我革命、经得起各种风浪考验、朝气蓬勃的马克思主义执政党。
## 3. 勇于自我革命、从严管党治党是中国共产党最鲜明的品格
打铁必须自身硬。办好中国的事情,关键在党,关键在坚持党要管党、从严治党。全面从严治党是推进党的建设新的伟大工程的必然要求,是一场伟大的自我革命。
## 要把新时代坚持和发展中国特色社会主义这场伟大社会革命进行
好,我们党必须勇于进行自我革命,把党建设得更加坚强有力。
一一习近平
治国必先治党,治党务必从严。全面从严治党,核心是加强党的领导,基础在“全面”,关键在“严”,要害在“治”。
“全面” 就是管全党、治全党,面向全体党员、党组织,覆盖党的建设各个领域、各个方面、各个部门,重点是抓住“关键少数”“严” 就是真管真严、敢管敢严、长管长严。“治” 就是从党中央到地方各级党委,从中央部委、国家机关部门党组（党委）到基层党支部,都要肩负起主体责任,党委书记要把抓好党建当作分内之事、必须担当的职责;各级纪委要担负起监督责任,敢于瞪眼黑脸,勇于执纪问责。
制度事关根本,关乎长远。推进全面从严治党,既要解决思想问题,更要解决制度问题,全方位扎牢制度的“笼子”。党的十八大以来,党中央坚持制度治党、依规治党,探索出一条长期执政条件下解决自身问题、跳出“历史周期率” 的成功道路,构建起一套行之有效的权力监督制度和执纪执法体系,把全面从严治党提升到一个新的水平。
## 4. 全面从严治党永远在路上
党的十八大以来,以习近平同志为核心的党中央以前所末有的勇气和定力推进全面从严治党,以刀刃向内的勇气向党内顽瘴痼疾开刀，以雷霆万钧之势推进全面从严治党，以钉钉子精神把管党治党要求落实落细,清除了党内存在的严重隐患,化解了党面临的严重政治风险,正本清源、拨正船头,推动新时代全面从严治党取得了历史性、开创性成就，产生了全方位、深层次影响。
回顾党的历史,我们党总是在推动社会革命的同时,勇于推动自我革命,始终坚持真理、修正错误,敢于正视问题、克服缺点,勇于刮骨疗毒、去腐生肌。正因为我们党始终坚持这样做,才能够在危难之际绝处逢生、失误之后拨乱反正,成为永远打不倒、压不垮的马克思主义政党。
一一习近平
全面从严治党还远末到大功告成的时候。党面临的长期执政考验、改革开放考验、市场经济考验、外部环境考验是长期的、复杂的,党面临的精神懈㕕危险、能力不足危险、脱离群众危险、消极腐败危险是尖锐的、严峻的,党内存在的思想不纯、政治不纯、组织不纯、作风不纯等突出问题尚末得到根本解决。敢于直面问题、勇于修正错误,这是我们党的显著特点和优势。
全面从严治党永远在路上，不能有任何喘口气、歇歇脚的念头。必须始终保持思想上的冷静清醒、增强行动上的勇毅执着,坚定全面从严的政治自觉，一以贯之全面从严治党,不断推动全面从严治党向纵深发展,以“赶考”的心态向党和人民交出一份满意的新时代答卷。
## 学习思考
1.“四个全面”战略布局是指什么?彼此之间有怎样的关系?
2. 查阅相关资料，谈谈如何理解全面建成小康社会的重大意义。
3. 如何理解改革开放是决定当代中国命运的关键一招?
## 第7讲
## 安邦定国：民族复兴的坚强保障
国家安全是国家生存发展的基本前提，巩固国防和强大军队是新时代坚持和发展中国特色社会主义、实现中华民族伟大复兴的战略支撑，国家统一是大势所趋、大义所在、民心所向。维护国家安全,全面推进国防和军队现代化,维护和实现祖国统一，是实现中华民族伟大复兴的必然要求和坚强保障。
## 坚持总体国家安全观
## 1. 统筹发展和安全
保证国家安全是安邦定国的头等大事。国家安全是指国家政权、主权、统一和领土完整、人民福祉、经济社会可持续发展和国家其他重大利益相对处于没有危险和不受内外威胁的状态,以及保障持续安全状态的能力。
当前,我国面临复杂多变的安全和发展环境,传统安全和非传统安全问题复杂交织,各种可以预见和难以预见的风险因素明显增多，各方面风险可能不断积累其至集中显露。国家安全的内涵和外延比历史上任何时候都要丰富,时空领域比历史上任何时候都要宽广，内外因素比历史上任何时候都要复杂,维护国家安全和社会稳定的任务十分艰巨。越是接近实现中华民族伟大复兴的目标,越是需要增强忧患意识,努力把保障国家安全各项工作抓实抓牢抓好。
统筹发展和安全,增强忧患意识,做到居安思危,是我们党治国理政的一个重大原则。发展是安全的基础和目的,没有发展就没有安全,只有发展才会有真正的安全。安全是发展的条件和保障,没有和平的国际环境和稳定的国内环境,发展就无从谈起。
改革开放以来,我们党始终高度重视正确处理改革发展稳定关系,始终把维护国家安全和社会安定作为党和国家的一项基础性工作。我们保持了我国社会大局稳定,为改革开放和社会主义现代化建设营造了良好环境。
一一习近平
## 2. 总体国家安全观的主要内容
党的十八大以来,以习近平同志为核心的党中央创新国家安全理念,统揽国家安全全局,创造性提出总体国家安全观,其主要内容是: 以人民安全为宗旨,以政治安全为根本,以经济安全为基础,以军事、文化、社会安全为保障,以促进国际安全为依托,维护各领域国家安全,构建国家安全体系,走中国特色国家安全道路。
总体国家安全观,关键在“总体”,突出的是“大安全” 理念,强调的是要涵盖政治、军事、国土、经济、文化、社会、科技、网络、生态、资源、核、海外利益、太空、深海、极地、生物等诸多领域,无所不在,而且将随着社会发展不断拓展。总体国家安全观把我们党对国家安全的认识提升到了新的高度和境界,为破解我国国家安全面临的难题、推进新时代国家安全工作提供了基本遵循。党的十九届五中全会强调,统筹发展和安全,建设更高水平的平安中国。坚持总体国家安全观,实施国家安全战略,维护和塑造国家安全,统筹传统安全和非传统安全,把安全发展贯穿国家发展各领域和全过程,防范和化解影响我国现代化进程的各种风险,筑牢国家安全屏障。要加强国家安全体系和能力建设,确保国家经济安全，保障人民生命安全，维护社会稳定和安全。
## 3. 维护重点领域国家安全
全面贯彻总体国家安全观,必须具有系统思维和方法,做到“十个坚持”，正确处理“五对关系”，维护各领域国家安全，构建国家安全体系。
## “十个坚持”
坚持党对国家安全工作的绝对领导，坚持党中央对国家安全工作的集中统一领导。
坚持中国特色国家安全道路，贯彻总体国家安全观，坚持政治安全、人民安全、国家利益至上有机统一。
坚持以人民安全为宗旨。
坚持统筹发展和安全，坚持发展和安全并重。
坚持把政治安全放在首要位置，维护政权安全和制度安全。
坚持统筹推进各领域安全,统筹应对传统安全和非传统安全。
坚持把防范化解国家安全风险摆在突出位置，提高风险预见、预判能力。
坚持推进国际共同安全，共同构建普遍安全的人类命运共同体。
坚持推进国家安全体系和能力现代化,构建系统完备、科学规范、运行有效的国家安全制度体系。
坚持加强国家安全千部队伍建设，加强国家安全战线党的建设。
全面贯彻落实总体国家安全观,要聚焦重点,抓纲带目,把确保政治安全作为首要任务,统筹推进各重点领域国家安全工作。
维护政治安全。政治安全的核心是政权安全和制度安全,最根本的就是维护中国共产党的领导和执政地位、维护中国特色社会主义制度。
维护国土安全。要提升维护国土安全能力,加强边防、海防、空防建设,坚决捍卫领土主权和海洋权益,有效遏制侵害我国国土安全的各种图谋和行为,筑牢国土安全的铜墙铁壁。
维护经济安全。维护经济安全首先要保证基本经济制度安全。要保障关系国民经济命脉的重要行业和关键领域安全。
一个国家只有立足粮食基本自给,才能掌握粮食安全主动权,进而才能掌控经济社会发展这个大局。靠别人解决吃饭问题是靠不住的。如果口粮依赖进口,我们就会被别人牵着鼻子走。
一一习近平
维护社会安全。要积极预防、减少和化解社会矛盾,妥善处置公共卫生、重大灾害等影响国家安全的突发事件。
维护网络安全。要加强网络综合治理,形成从技术到内容、从日常安全到打击犯罪的网络治理合力。
维护外部安全。积极塑造外部安全环境,加强安全领域合作,引导国际社会共同维护国际安全。切实维护我国海外利益安全,保护海外中国公民、组织和机构的安全和正当权益,努力形成强有力的海外利益安全保障体系。
2015 年 7 月 1 日,十二届全国人大常委会第十五次会议通过的《中
2020 年 9 月 16 日,“网络青春力量”活动中“网络安全公益宣传大使” 颁奖仪式现场华人民共和国国家安全法》规定，加强国家安全新闻宣传和舆论引导，通过多种形式开展国家安全宣传教育活动,将国家安全教育纳入国民教育体系和公务员教育培训体系，增强全民国家安全意识。该法决定将每年 4 月 15 日定为“全民国家安全教育日”。
## 新时代国防和军队现代化建设
## 1. 建设一支听党指挥、能打胜仗、
作风优良的人民军队
强国必须强军,军强才能国安。巩固国防和强大军队是新时代坚持和发展中国特色社会主义、实现中华民族伟大复兴的战略支撑。强国必须强军成为民族走向复兴、中国走向世界的必然选择。
党在新时代的强军目标是建设一支听党指挥、能打胜仗、作风优良的人民军队,把人民军队建设成为世界一流军队。听党指挥是灵魂,决定军队建设的政治方向;能打胜仗是核心,反映军队的根本职能和军队建设的根本指向;作风优良是保证,关系军队的性质、宗旨、本色。这三条明确了加强军队建设的聚焦点和着力点,决定着军队发展方向,也决定着军队生死存亡。
进入新时代,中国军队依据国家安全和发展战略要求,坚决履行党和人民赋予的使命任务,为巩固中国共产党领导和社会主义制度,为捍卫国家主权、统一、领土完整,为维护国家海外利益,为促进世界和平与发展，提供战略支撑。
## 2. 坚持党对人民军队的绝对领导
人民军队是中国特色社会主义的坚强柱石,党对人民军队的绝对领导是人民军队的建军之本、强军之魂。人民军队是党缔造的,一诞生便与党紧紧地联系在一起,始终在党的绝对领导下行动和战斗。90 多年来,人民军队能始终保持强大凝聚力、向心力、创造力、战斗力,经受住各种考验,战胜各种困难,不断从胜利走向胜利,最根本的就是坚定不移听党话、跟党走。全军对党要绝对忠诚。对党忠诚必须是唯一的、彻底的、无条件的、不掺任何杂质的、没有任何水分的忠诚。全军要强化政治意识、大局意识、核心意识、看齐意识,坚决维护党中央权威,坚决贯彻党对军队绝对领导的根本原则和制度,坚决听从党中央和中央军委指挥。在这个重大原则问题上,头脑要特别清醒,态度要特别鲜明,行动要特别坚决,不能有任何动摇、任何迟疑、任何含糊。
一一习近平
我们党在领导人民军队的伟大实践中形成的党对人民军队的绝对领导制度,其本质内涵就是中国共产党是人民军队唯一的领导者和指挥者,人民军队必须完全地置于中国共产党的领导之下,最高领导权和指挥权属于党中央。我国宪法明确规定,中央军委领导全国武装力量,中央军委实行主席负责制。这就从制度上明确了全国武装力量由中央军委主席统一领导和指挥。
毛泽东曾经指出:“我们的原则是党指挥枪,而决不容许枪指挥党。” 党对军队绝对领导的根本原则和制度,发端于南昌起义,奠基于三湾改编,定型于古田会议,是人民军队完全区别于一切旧军队的政治特质和根本优势。千千万万革命将士矢志不渝听党话、跟党走,在挫折中愈加奋起,在困苦中勇往直前,铸就了拖不垮、打不烂、攻无不克、战无不胜的钢铁雄师。在风雨如磐的漫长革命道路上,我军将士讲得最多的一句话是: 只要跟党走,一定能胜利。忠诚,造就了人民军队对党的赤胆忠心,造就了人民军队和人民的鱼水情意,造就了人民军队为党和人民冲锋陷阵的坚定意志。
## 3. 全面推进国防和军队现代化
国防和军队现代化进程必须同国家现代化进程相适应,军事能力必须同中华民族伟大复兴的战略需求相适应。党的十九大绘就了把人民军队全面建成世界一流军队的总目标和路线图，力争到 2035 年基本实现国防和军队现代化,到本世纪中叶把人民军队全面建成世界一流军队。
## 全面推进国防和军队现代化战略安排
2020 年
基本实现机械化
太信息化建设取得重大进展
战略能力有大的提升
2035 年
全面推进军事理论、军队组织形态、军事人员、武器装备现代化
基本实现国防和军队现代化
本世纪中叶
把人民军队全面建成世界一流军队
中国特色强军之路必须紧紧围绕党在新时代的强军目标。国防和军队现代化建设是一个系统工程,必须坚持政治建军、改革强军、人才强军、科技强军、依法治军,更加注重聚焦实战,更加注重创新驱动,更加注重体系建设,更加注重集约高效,更加注重军民融合,不断提高人民军队建设质量,努力开创国防和军队现代化建设新局面。
军民融合发展是兴国之举、强军之策，目标是构建一体化的国家战略体系和能力,逐步实现国家各领域战略布局一体融合、战略资源一体整合、战略力量一体运用。
2017 年 7 月 30 日，习近平主席检阅庆祝建军 90 周年阅兵受阅部队
习近平强军思想的核心要义就是“十个明确”，即：
明确强国必须强军,巩固国防和强大人民军队是新时代坚持和发展中国特色社会主义、实现中华民族伟大复兴的战略支撑。
明确党在新时代的强军目标是建设一支听党指挥、能打胜仗、作风优良的人民军队,必须同国家现代化进程相一致,力争到 2035 年基本实现国防和军队现代化,到本世纪中叶把人民军队全面建成世界一流军队。
明确党对军队绝对领导是人民军队建军之本、强军之魂,必须全面贯彻党领导军队的一系列根本原则和制度,确保部队绝对忠诚、绝对纯洁、绝对可靠。
明确军队是要准备打仗的，必须聚焦能打仗、打胜仗，创新发展军事战略指导,构建中国特色现代作战体系,全面提高新时代备战打仗能力，有效塑造态势、管㧒危机、遏制战争、打赢战争。明确作风优良是我军鲜明特色和政治优势,必须加强作风建设、纪律建设,坚定不移正风肃纪、反腐惩恶，大力弘扬我党我军光荣传统和优良作风，永葆人民军队性质、宗旨、本色。
明确推进强军事业必须坚持政治建军、改革强军、科技兴军、依法治军,更加注重聚焦实战、更加注重创新驱动、更加注重体系建设、更加注重集约高效、更加注重军民融合,全面提高革命化现代化正规化水平。
明确改革是强军的必由之路,必须推进军队组织形态现代化,构建中国特色现代军事力量体系，完善中国特色社会主义军事制度。
明确创新是引领发展的第一动力，必须坚持向科技创新要战斗力，统筹推进军事理论、技术、组织、管理、文化等各方面创新，建设创新型人民军队。
明确现代化军队必须构建中国特色军事法治体系，推动治军方式根本性转变,提高国防和军队建设法治化水平。
明确军民融合发展是兴国之举、强军之策,必须坚持发展和安全兼顾、富国和强军统一,形成全要素、多领域、高效益军民融合深度发展格局，构建一体化的国家战略体系和能力。
## 三坚持“一国两制”，推进祖国统一
## 1.“一国两制”是中国特色社会主义的一个伟大创举
实现祖国完全统一是中华民族根本利益所在，是实现中华民族伟大复兴的必然要求。“一国两制” 是党领导人民实现祖国统一的一项重要制度,是中国特色社会主义的一个伟大创举。
“一国两制”伟大构想是从我国实际出发，尊重历史，尊重现实,经过深思熟虑提出的创造性科学构想。1978 年 11 月,邓小平在会见外宾时说,“在解决台湾问题时,我们会尊重台湾的现实。比如,台湾的某些制度可以不动 …… 那边的生活方式可以不动”。1982 年 1 月,邓小平第一次正式提出“一个国家,两种制度” 的构想,并且明确指出,不仅是台湾问题,港澳问题也同样适用。
香港、澳门回归以来的成功实践充分证明,“一国两制” 是解决历史遗留的香港、澳门问题的最佳方案,也是香港、澳门回归后保持长期繁荣稳定的最佳制度,是完全行得通、办得到、得人心的,是有强大生命力的。“一国两制”也是解决台湾问题的基本方针,是实现祖国统一的最佳方式。
## 2. 正确理解和处理“一国”与“两制” 的关系
“一国两制”是一个国家两种制度的简称。“一个国家”是指中国是统一的国家,主权和领土不容分割。“两种制度”是指在坚持一个中国的前提下,国家的主体坚持社会主义制度,香港、澳门、台湾保持原有的资本主义制度和生活方式长期不变,实行高度自治。
为了维护国家的统一和领土完整,保持香港的繁荣和稳定,并考虑到香港的历史和现实情况,国家决定,在对香港恢复行使主权时,根据《中华人民共和国宪法》第 31 条的规定,设立香港特别行政区,并按照“一个国家,两种制度” 的方针,不在香港实行社会主义制度和政策。国家对香港的基本方针政策,已由中国政府在《中英联合声明》中予以闸明。
根据《中华人民共和国宪法》，全国人民代表大会特制定《中华人民共和国香港特别行政区基本法》(简称《香港基本法》),规定香港特别行政区实行的制度,以保障国家对香港的基本方针政策的实施。
“一国”是实行“两制”的前提和基础。“一国”是根，根深才能叶茂;“一国” 是本,本固才能枝荣。我国是单一制国家,中央对包括香港、澳门特别行政区在内的所有区域拥有全面管治权，香港、澳门两个特别行政区的高度自治权不是固有的,主权和管治权都在中央,其高度自治权是中央授予的。
“两制”从属和派生于“一国”并统一于“一国”之内。在“一国”的框架内，全面准确贯彻“一国两制”、“港人治港”、“澳人治澳”、高度自治的方针,赋予特区政府行政管理权、立法权、独立的司法权和终审权，支持港澳同胞把香港、澳门管理好、建设好、发展好。
要把坚持“一国” 原则和尊重“两制” 差异有机结合起来,做到坚守“一国” 之本,实现“两制” 和谐相处、相互促进,推进“一国两制”在香港、澳门的实践行稳致远。
2020 年 5 月 28 日,十三届全国人大三次会议通过了《全国人民代表大会关于建立健全香港特别行政区维护国家安全的法律制度和执行机制的决定》,作出了包括授权全国人大常委会制定相关法律、中央政府在香港设立国家安全机构等重大制度安排。2020 年 6 月 30 日，十三届全国人大常委会第二十次会议表决通过《中华人民共和国香港特别行政区维护国家安全法》(简称《香港国安法》),并决定将该法列入《香港基本法》(附件三),由香港特别行政区在当地公布实施。制定《香港国安法》,根本目的是维护国家主权、安全、发展利益,保障香港的长治久安和长期繁㭉稳定,确保“一国两制”实践行稳致远。
## 3. 推进两岸关系和平发展和祖国统一进程
解决台湾问题、实现祖国完全统一，是全体中华儿女的共同愿望，必须继续坚持“一国两制”方针，探索“两制”台湾方案，推进两岸关系和平发展、祖国统一进程。
维护国家主权和领土完整,绝不容忍国家分裂的历史悲剧重演,是我们对历史和人民的庄严承诺。
—一习近平
一个中国原则是两岸关系的政治基础。推动两岸关系和平发展，最根本的是坚持一个中国原则。两岸同属一个国家,两岸同胞同属中华民族，这一历史事实和法理基础从末改变，也不可能改变。
“九二共识”，指 1992 年 11 月海峡两岸关系协会与台湾海峡交流基金会，就解决两岸事务性商谈中如何表述坚持一个中国原则的问题，达成的各自以口头方式表述“海峡两岸均坚持一个中国原则” 的共识。秉持“两岸一家亲” 理念。两岸同胞同根同源、同文同宗,心之相系、情之相融,是命运与共的骨肉兄弟、血浓于水的一家人。
推进两岸经济社会融合发展。两岸开展经济合作具有得天独厚的优势，促进两岸经济社会融合发展符合两岸同胞共同利益。
推动两岸关系和平发展。两岸关系和平发展是一条维护两岸和平、促进共同发展、造福两岸同胞的正确道路,是两岸同胞的共同心声,也是通向祖国统一的光明大道。我们愿以最大诚意、尽最大努力争取和平统一。不承诺放弃使用武力,保留采取一切必要措施的选项,针对的是外部势力干涉和极少数“台独” 分裂分子及其分裂活动,绝非针对台湾同胞。两岸同胞要共谋和平、共护和平、共享和平。
中国梦是两岸同胞共同的梦,民族复兴、国家强盛,两岸中国人才能过上富足美好的生活。在中华民族走向伟大复兴的进程中,台湾同胞定然不会缺席。两岸同胞要携手同心,共圆中国梦,共担民族复兴的责任,共享民族复兴的荣耀。台湾问题因民族弱乱而产生,必将随着民族复兴而终结!
## 学习思考
1. 如何准确把握总体国家安全观的主要内容?2. 中国共产党在新时代的强军目标是什么?3. 如何理解“一国” 和“两制” 的关系?
## 第8讲
## 和平发展：新时代中国特色大国外交
当今世界正经历百年末有之大变局,和平与发展仍然是时代主题。我国始终不渝走和平发展道路，促进“一带一路”国际合作，推动构建人类命运共同体，这体现了中国将自身发展与世界发展相统一的全球视野、世界胸怀和大国担当。
## 当今世界正经历百年末有之大变局
## 1.“当今世界正经历百年末有之大变局” 的提出
当今世界进人动荡变革期。世界多极化、经济全球化、社会信息化、文化多样化深人发展,全球治理体系和国际秩序变革加速推进,新兴市场国家和发展中国家快速崛起,国际力量对比更趋均衡,世界各国人民的命运从末像今天这样紧紧相连。同时,世界面临的不稳定性不确定性突出，世界经济增长乏力，贸易保护主义、孤立主义、民粹主义等思潮不断抬头,贫富分化日益严重,地区热点问题此起彼伏，恐怖主义、网络安全、重大传染性疾病、气候变化等非传统安全威胁持续蔓延。
党的十八大以来,中国与世界的关系发生深刻变化,我国同国际社会的互联互动也已经变得空前紧密,我国对世界的依靠、对国际事务的参与不断加深,世界对我国的依靠、对我国的影响也不断加深。习近平总书记关注世界局势变动,作出了“当今世界正经历百年末有之大变局”的重大判断。
## 2. 把握百年末有之大变局带来的机遇与挑战
面对当今世界百年末有之大变局,人类又一次站在了何去何从的十字路口。和平与发展仍然是时代主题,和平是发展的前提,发展是和平的基础。
我们看世界,不能被乱花迷眼,也不能被浮云遮眼,而要端起历史规律的望远镜去细心观望。
一一习近平
当前和今后一个时期，我国发展仍然处于重要战略机遇期，但机遇和挑战都有新的发展变化。我们要统筹中华民族伟大复兴战略全局和世界百年末有之大变局,深刻认识我国社会主要矛盾变化带来的新特征新要求,深刻认识错综复杂的国际环境带来的新矛盾新挑战,增强机遇意识和风险意识,立足社会主义初级阶段基本国情,保持战略定力,办好自己的事,认识和把握发展规律,发扬斗争精神,树立底线思维,准确识变、科学应变、主动求变,善于在危机中育先机、于变局中开新局,抓住机遇,应对挑战,趋利避害，奋勇前进。
## 坚持和平发展道路
## 1. 走和平发展道路
走和平发展道路,是我们党根据时代发展潮流和我国根本利益作出的战略抉择。中国只有坚持走和平发展道路,同世界各国一道维护世界和平,才能实现自己的目标,才能为世界作出更大贡献。
随着中国快速发展，国际上有些人担心中国会走“国强必霸” 的路子,提出了所谓的“中国威胁论”,这既有认知上的误读,也有根深蒂固的偏见。坚定不移走和平发展道路,是中国对国际社会关注中国发展走向的回应,更是中国人民对实现自身发展目标的自信和自觉。这种自信和自觉,来源于中华文明的深厚底蕴,来源于对实现中国发展目标条件的认知,来源于社会主义制度的内在要求，来源于对世界发展大势的把握。
中国人历来讲求“己所不欲,勿施于人”。中国需要和平,就像人需要空气一样,就像万物生长需要阳光一样。
一一习近平
中华民族历来是爱好和平的民族。在 5000 多年的文明发展中，中华民族一直追求和传承着和平、和睦、和谐的坚定理念,中华民族的血液中没有侵略他人、称霸世界的基因。中国人民对战争带来的苦难有着刻骨铭心的记忆,对和平有着孜孜不倦的追求,十分珍惜和平安定的生活。走和平发展道路,是中华民族优秀文化传统的传承和发展,也是中国人民从近代以来苦难遭遇中得出的必然结论。
2018 年 4 月 24 日，“和平号角 -2018 ” 上海合作组织第五届军乐节在北京居庸关长城北关广场举行。图为 8 支军乐团在开幕式上合奏上海合作组织军乐节的主题曲《和平号角》
实现“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦，必须有和平的国际环境。没有和平，中国和世界都不可能顺利发展；没有发展，中国和世界也不可能有持久和平。
世界是各国人民的世界，世界面临的困难和挑战需要各国人民同舟共济、携手应对,和平发展、合作共赢才是人间正道。
一一习近平
一个国家要发展繁荣，必须把握和顺应世界发展大势，反之必然会被历史抛弃。习近平总书记指出：“什么是当今世界的潮流？答案只有一个,那就是和平、发展、合作、共赢。中国不认同'国强必霸” 的陈旧逻辑。”当今世界，殖民主义、霸权主义的老路是走不通的，不仅走不通,而且一定会碰得头破血流。只有和平发展道路可以走得通。不能身体已进人 21 世纪，而脑袋还停留在过去，停留在殖民扩张的旧时代里,停留在冷战思维、零和博恋的老框框内。
零和博恋，是指参与博恋的各方，在严格竞争下,一方的收益必然意味着另一方的损失,博恋各方的收益和损失相加总和永远为“零”，双方不存在合作的可能。
中国走和平发展道路,不是权宜之计,更不是外交辞令,而是从历史、现实、末来的客观判断中得出的结论，是理论自信和实践自觉的有机统一。
## 2. 构建新型国际关系
中国坚定不移走和平发展道路，并且希望世界各国共同走和平发展道路，构建新型国际关系。
构建新型国际关系,就是要秉持相互尊重、公平正义、合作共赢原则，走出一条对话而不对抗、结伴而不结盟的国与国交往新路。
各国要坚持国家不分大小、强弱、贫富一律平等,尊重各国人民自主选择发展道路的权利，反对干涉别国内政，维护国际公平正义。世界长期发展不可能建立在一批国家越来越富裕而另一批国家却长期贫穷落后的基础之上。每个国家在谋求自身发展的同时,要积极促进其他各国共同发展。各国要同心协力,妥善应对各种问题和挑战,共同变压力为动力、化危机为生机,谋求合作安全、集体安全、共同安全,以合作取代对抗,以共赢取代独占。
中国决不会以辆生别国利益为代价来发展自己,也决不放弃自己的正当权益。任何国家不要指望中国会拿自己的核心利益做交易，任何人不要幻想让中国吞下损害自身利益的苦果。
## 3. 积极发展全球伙伴关系
中国坚持走和平发展道路,必须积极发展全球伙伴关系,扩大同各国的利益汇合点,不断完善我国全方位、多层次、立体化的外交布局，打造覆盖全球的“朋友圈”。
截至 2019 年 11 月，我国已经同世界上 180 个国家建立了外交关系,同 110 个国家和国际组织建立了不同层级的伙伴关系,同相关地区国家和国际组织建立了中非合作论坛、中拉论坛、中阿合作论坛、中国一太平洋岛国经济发展合作论坛、中国一中东欧国家合作 (“$17+1 ”$ 合作) 等机制,实现了同发展中国家交流合作机制全覆盖。
运筹好大国关系。推动构建总体稳定、均衡发展的大国关系框架。主张大国之间相处,要不冲突不对抗、相互尊重、合作共赢。
大国关系事关全球战略稳定,大国肩上都承担着特殊责任。中国致力于推进大国协调合作,期待大国和睦相处,不冲突不对抗、相互尊重、合作共赢。
发展好周边关系。中国按照亲诚惠容理念和与邻为善、以邻为伴的外交方针深化同周边国家关系,欢迎周边国家搭乘中国发展快车，让中国发展成果更多惠及周边。
我国周边外交的基本方针,就是坚持与邻为善、以邻为伴,坚持睦邻、安邻、富邻,突出体现亲、诚、惠、容的理念。要坚持睦邻友好、守望相助,讲平等、重感情,常见面、多走动,多做得人心、暖人心的事,使周边国家对我们更友善、更亲近、更认同、更支持,增强亲和力、感召力、影响力。要诚心诚意对待周边国家,争取更多朋友和伙伴。要本着互惠互利的原则同周边国家开展合作,编织更加紧密的共同利益网络,把双方利益融合提升到更高水平,让周边国家得益于我国发展,使我国也从周边国家共同发展中获得禅益和助力。要倡导包容的思想,强调亚太之大容得下大家共同发展,以更加开放的胸襟和更加积极的态度促进地区合作。这些理念,首先我们自己要身体力行,使之成为周边国家遵循和秉持的共同理念和行为准则。
一一处理好与发展中国家关系。广大发展中国家是我国在国际事务中的天然同盟军,我们秉持正确义利观和真实亲诚理念加强同发展中国家团结合作。
—一维护好多边关系。中国积极倡导和践行多边主义,维护多边主义和以规则为基础的国际秩序,反对保护主义、单边主义,推动国际社会合作应对重大挑战。
## 三推动共建“一带一路”
## 1. 共建“一带一路” 倡议的提出
2013 年秋,习近平总书记提出了共建“丝绸之路经济带” 和“21 世纪海上丝绸之路” 重大倡议。共建“一带一路” 倡议正在成为我国参与全球开放合作、改善全球经济治理体系、促进全球共同发展繁荣、推动构建人类命运共同体的中国方案。
“一带一路”倡议根植历史,更面向末来。古丝绸之路绵亘万里,延续千年,积淀了以和平合作、开放包容、互学互鉴、互利共赢为核心的丝绸之路精神。
2019 年 4 月，第二届“一带一路” 国际合作高峰论坛在北京举行
共建“一带一路” 倡议源于中国,更属于世界。我们提出共建“一带一路” 倡议,就是要继承和发扬丝绸之路精神,把我国发展同沿线国家和世界其他国家发展结合起来,把中国梦同沿线国家和世界其他国家人民的梦想结合起来,赋予古代丝绸之路以全新的时代内涵。
## 2. 共建“一带一路”的丰富内涵
“一带一路”建设跨越不同地域、不同文明,是各方共同打造的全球公共产品。各国要尊重彼此主权、尊严、领土完整,尊重彼
此发展道路和社会制度，尊重彼此核心利益和重大关切，把“一带一路” 建成和平之路;聚焦发展这个根本性问题,释放各国发展潜力,实现经济大融合、发展大联动、成果大共享,把“一带一路” 建成繁荣之路;打造开放型合作平台,维护多边贸易体制,解决经济增长和平衡问题,把“一带一路” 建成开放之路;坚持创新驱动发展,优化创新环境,集聚创新资源,把“一带一路” 建成创新之路;以文明交流超越文明隔阂、文明互鉴超越文明冲突、文明共存超越文明优越，把“一带一路”建成文明之路。
共建“一带一路” 是经济合作倡议,不是搞地缘政治联盟或军事同盟,不针对谁也不排除谁;是开放包容进程,不是要关起门来搞小圈子或者“中国倶乐部”;是中国同世界共享机遇、共谋发展的阳光大道,不是这样那样的所谓“陷阱”,不以意识形态划界,不搞零和游戏。
# 3. 共建“一带一路” 的基本原则和核心内容
“一带一路” 倡议秉持和遵循共商共建共享原则。“共商” 就是沟通协商,充分尊重各国发展水平、经济结构、法律制度、营商环境和文化传统的差异。“共建” 就是共同参与,深度对接有关国家和区域发展战略。“共享” 就是实现互利共赢,充分调动各方面积极性。这三者相辅相成、密不可分,构成一个有机统一的整体。
“一带一路”建设秉持的是共商、共建、共享原则，不是封闭的,而是开放包容的;不是中国一家的独奏，而是沿线国家的合唱。
一一习近平
政策沟通、设施联通、贸易畅通、资金融通和民心相通,是“一带一路”建设的核心内容。促进“一带一路”国际合作,就是要以“五通”为抓手,广泛凝聚合作共识、全面提升合作水平。
## 政策沟通
形成政策协调、规划对接的合力，促进相关国家协同联动发展，不断夯实“一带一路”建设的政治基础。## 设施联通
以重大项目和重点工程为引领，不断完善“一带一路” 建设的基础设施网络。
## 贸易畅通促进贸易和投资自由化便利化,不断释放互利合作的活力。
## 次金融通深化金融领域合作，不断健全“一带一路”建设的多元化投融资体系。
## 民心相通
不断搭建沿线和世界各国的友好桥梁，让“一带一路” 建设更好造福沿线和世界各国人民。
国际金融危机后,世界经济深度调整、贫富分化加剧，反全球化、民粹主义等思潮抬头。其深层次根源,仍然是发展不平衡问题。如何实现发展?是在弱肉强食、以邻为瑴中掠夺,还是在求同存异、共生共荣中实现?历史告诉我们,人类可以作出完全不同的选择。正是基于这样的历史纵深视野和大国责任担当,习近平总书记提出“一带一路” 重大合作倡议,紧紧抓住发展这个最大公约数，着眼于世界各国人民追求和平与发展的共同梦想,致力于推动经济全球化朝着更加开放、包容、普惠、平衡、共赢的方向发展。2020 年是人类历史进程中具有分水岭意义的一年。突如其来的疫情引发全球性危机,各国人员往来按下了“暂停键”,世界经济增长挂上了“倒车挡”,强权政治、冷战思维沉渣泛起,单边主义、保护主义逆流横行,人类发展面临空前风险挑战,国际形势进入动荡变革期。中国同各国的互利合作逆势前行。在疫情之下,“一带一路” 合作尤其展现出强劲㓞性和旺盛活力。2020 年前 8 个月,中国与“一带一路” 合作伙伴贸易额 5.86 万亿元,中国企业在“一带一路” 合作伙伴非金融类直接投资同比增长 $30 \%$ 以上。截至 11 月初,中欧班列开行突破 1 万列,运送集装箱数量同比增长 $50 \%$ 以上,成为助力沿线各国携手抗疫的“钢铁驼队”。“一带一路” 国际合作高级别视频会议成果丰硕,各方一致同意共建“健康丝绸之路”,形成了高质量共建“一带一路” 的良好势头。
## 四携手构建人类命运共同体
## 1. 人类命运共同体的提出
党的十八大以来,习近平总书记站在人类历史发展进程的高度,以大国领袖的责任担当,正确把握国际形势的深刻变化,顺应时代潮流,深人思考“建设一个什么样的世界、如何建设这个世界” 等关乎人类前途命运的重大课题,高瞻远瞩地提出推动构建人类命运共同体的重要论断。人类命运共同体,顾名思义,就是每个民族、每个国家的前途命运都紧紧联系在一起,应该风雨同舟,荣辱与共,努力把我们生于斯、长于斯的这个星球建成一个和睦的大家庭，把世界各国人民对美好生活的向往变成现实。
## 习近平总书记关于人类
命运共同体的重要论述我们要继承和弘扬联合国宪章
的宗旨和原则,构建以合作共赢为核心的新型国际关系，打造人类命运共同体。
世界命运应该由各国共同掌握,国际规则应该由各国共同书写，全球事务应该由各国共同治理,发展成果应该由各国共同分享。
我们人类居住的这个蓝色星球,不是被海洋分割成了各个孤岛,而是被海洋连结成了命运共同体,各国人民安危与共。
2015 年 9 月这个世界,各国相互联系、相互依存的程度空前加深 …… 越来越成为你中有我、我中有你的命运共同体。
2016 年 9 月，与世隔绝的孤岛。同为地球村居民,我们要树立人类命运共同体意识。
实施积极应对气候变化国家战略,推动和引导建立公平合理、合作共嬴的全球气候治理体系,彰显我国负责任大国形象,推动构建人类命运共同体。
全球抗击新冠肺炎疫情的实践表明,人类是休戚与共、风雨同舟的命运共同体,唯有相互支持、团结合作才是战胜危机的人间正道。
坚持推动构建人类命运共同体,为人类社会实现共同发展、持续繁荣、长治久安绘制了蓝图，体现了中国致力于为世界和平与发展作出更大贡献的崇高目标,展示了中国始终做世界和平的建设者、全球发展的贡献者、国际秩序的维护者的大国担当,为实现“两个一百年”奋斗目标和中华民族伟大复兴的中国梦营造更加有利的国际环境。
## 2. 建设持久和平、普遍安全、共同繁荣、开放包容、清洁美丽的世界
古往今来,过上幸福美好生活始终是人类孜孜以求的梦想。今天,世界各国人民前途命运越来越紧密地联系在一起。世界各国人民应该秉持“天下一家” 理念,张开怀抱,彼此理解,求同存异,共同为构建人类命运共同体而努力。
推动构建人类命运共同体,就是要建设持久和平、普遍安全、共同繁荣、开放包容、清洁美丽的世界。
—一坚持对话协商,建设一个持久和平的世界。国家和,则世界安;国家斗,则世界乱。建设一个持久和平的世界,根本要义在于国家之间构建平等相待、互商互谅的伙伴关系。任何国家都不能随意发动战争,不能破坏国际法治,不能打开潘多拉的盒子。出现矛盾和分歧,要通过平等协商处理,以最大诚意和耐心,坚持对话解决。
—一坚持共建共享,建设一个普遍安全的世界。国家不论大小、强弱、贫富以及历史文化传统、社会制度存在多大差异,都要尊重和照顾其合理安全关切。各方应树立共同、综合、合作、可持续的新安全观,让和平的阳光普照大地,让人人享有安宁祥和。
一坚持合作共赢,建设一个共同繁荣的世界。各国要同舟共济,而不是以邻为埐。各国应该坚持你好我好大家好的理念,推进开放、包容、普惠、平衡、共赢的经济全球化,既要做大蛋糕,更要分好蛋糕,创造全人类共同发展的良好条件,共同推动世界各国发展繁荣,让发展成果惠及世界各国,让人人享有富足安康。
邻居出了问题，不能光想着扎好自家篱笆，而应该去帮一把。
一一习近平
一一坚持交流互鉴,建设一个开放包容的世界。人类文明多样性是世界的基本特征,也是人类进步的源泉。文明之间要对话,不要排斥;要交流,不要取代。人类历史就是一幅不同文明交流、互鉴、融合的宏伟画卷。不同文明要取长补短、共同进步,让文明交流互鉴成为推动人类社会进步的动力、维护世界和平的纽带。
—一坚持绿色低碳,建设一个清洁美丽的世界。人与自然共生共存,伤害自然最终将伤及人类,建设生态文明关乎人类末来。倡导绿色、低碳、循环、可持续的生产生活方式,采取行动应对气候变化的新挑战,不断开拓生产发展、生活富裕、生态良好的文明发
2020 年 12 月 12 日,习近平主席在气候雄心峰会上通过视频发表题为《继往开来,开启全球应对气候变化新征程》的重要讲话展道路，构筑尊崇自然、绿色发展的全球生态体系。
构建人类命运共同体，建设持久和平、普遍安全、共同繁荣、开放包容、清洁美丽的世界,是一个历史过程,不可能一蹴而就、一帆风顺，需要一步一步沿着正确道路前进。
## 3. 坚持以公平正义为理念引领全球
## 治理体系改革和建设
坚持以公平正义为理念引领全球治理体系改革是习近平外交思想的核心要义之一。推动全球治理体系变革是国际社会大家的事,要坚持共商共建共享原则,使关于全球治理体系变革的主张转化为各方共识,形成一致行动。什么样的国际秩序和全球治理体系对世界好、对世界各国人民好,要由各国人民商量,不能由一家说了算，不能由少数人说了算。
## 习近平外交思想的核心要义
1 坚持以维护党中央权威为统领加强党对对外工作的集中统一领导。
2 坚持以实现中华民族伟大复兴为使命推进中国特色大国外交。
3 坚持以维护世界和平、促进共同发展为宗旨推动构建人类命运共同体。
4 坚持以中国特色社会主义为根本增强战略自信。
5 坚持以共商共建共享为原则推动“一带一路”建设。
6 坚持以相互尊重、合作共赢为基础走和平发展道路。
7 坚持以深化外交布局为依托打造全球伙伴关系。
8 坚持以公平正义为理念引领全球治理体系改革。
9 坚持以国家核心利益为底线维护国家主权、安全、发展利益。
10 坚持以对外工作优良传统和时代特征相结合为方向塑造中国外交独特风范。推进全球治理体系变革并不是推倒重来,也不是另起炉灶,而是与时倶进、创新完善。全球治理体系变革要更好地反映国际格局的变化,更加平衡地反映大多数国家特别是新兴市场国家和发展中国家的意愿和利益。坚定维护以联合国宪章宗旨和原则为核心的国际秩序和国际体系,维护和巩固第二次世界大战胜利成果,积极维护开放型世界经济体制，推动建设和完善区域合作机制,加强国际社会应对全球性挑战的能力。
中国将继续发挥负责任大国作用,推动全球治理体系改革和建设。中国一贯倡导国际关系民主化,支持联合国发挥积极作用,支持扩大发展中国家在国际事务中的代表性和发言权。推动全球治理理念创新发展,发掘中华文化中积极的处世之道、治理理念同当今时代的共鸣点,努力为完善全球治理贡献中国智慧、中国力量。
## 学习思考
1. 结合国际时政热点,谈谈你对“当今世界正经历百年末有之大变局” 的理解
2. 搜集典型案例，讨论“一带一路”建设会带来哪些积极影响。3. 如何理解构建人类命运共同体的基本内涵?为什么要构建人类命运共同体?
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Bk04LDtlVbj_NFzfG0at
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## WELCOME UNIT
A thousand-mile journey
begins with the first step.
-Laozi
In this unit,you will
1 read about a student's first day of school.
2 hear and talk about choosing and registering for courses.
3 write a student profile.
4 learn about first-year senior high school students in different countries.
## Look and discuss
1 Where do you think these students are?
2 How do you think they feel?
3 How do you feel on the first day of school?
## Listening and Speaking
## Get to know new people
1 Match the pictures with the sentences. Describe what the people in the pictures are doing.
A My name is Amy. I'd like to have a student ID card,please.
B Hi,I'm Max Jackson. I'm an exchange student from the UK.
C Hello,everyone!Welcome to our school!
in the classroom
in the lecture hall
in the registration office
(1) Amy is getting her student ID card. Listen to Conversation 1 and complete the table.
| 1 | REGISTRATION | | | | | |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 2 | Student No. | Name | Sex | Nationality | Grade | Email |
| 3 | | Amy | Female | | | |
| 4 | | | | | | |
3 Max meets Amy in the dining hall. Listen to Conversation 2 and tick Max's favourite subject and Amy's favourite subject.
Subject Chinese Maths English Chemistry Physics
Max's favourite
Amy's favourite
4 Amy is talking to Ms Li,a school adviser,about which courses to choose. Listen to Conversation 3 and answer the questions.
1 What does Amy want to be in the future?A An engineer.
B A designer.
C A writer.
2 What course will Amy probably choose?A English.
B IT.
C Art. 5 Work in groups. Choose one of the situations and make a conversation. Try to use the introductions and greetings below.
- A boy meets a girl during a break.
- An exchange student is talking to a teacher on campus.
- A boy and a girl are at the airport to meet a visiting group of teachers and students from England.
## Introductions
My name is ...
I'm ...
This is ...
Have you met ...?
Do you know ...?
May I introduce ...?
I'd like you to meet ...
I don't believe you know ...
## Greetings
Hi/Hello!
Good morning!
What's up?
How's it going?
How are things going?
How are you?
How are you doing?
Nice/Glad to meet you. Responses
Hi/Hey!
Morning!
Not much.
Great!
I'm fine,and you?
Very well,thank you.
How about you?
Nice/Glad to meet
you,too.
People speak in a more polite way in formal situations.
## Pronunciation
Listen and repeat. Notice the pronunciation of the vowels $(A,E,I,O,U)$. Then add a word to each group.
A $/ \mathrm{ei} / \mathrm{x} /$
grade es•cape
map cam•pus
$\mathrm{E} / \mathrm{i} / / \mathrm{e} /$
these Chi•nese
met for.get
I /ai/ / $/$
write a a live
quiz lis•ten
$0 / 2 u / / \mathrm{p} /$
hope a.lone
frog cof•fee
U /ju:/ $/ \Lambda /$ use fu•ture $\quad$ up dis•cuss
## Describe your first senior high school day
1 How did you feel on your first day of senior high school?Circle the pictures that describe how you felt.
happy
anxious
excited
annoyed
frightened
()) 2 Read the text quickly and draw pictures to show Han Jing's feelings on her first school day.
## FIRST IMPRESSIONS
10:45 p.m.
## Han Jing's World
So this is it—senior high school at last!I'm not outgoing so l'm a little anxious right now. I want to make a good first impression. Will I make any friends?What if no one talks to $\mathrm{me}$?$\overline{7: 00 \text { a.m. }}$
This afternoon,we had our chemistry class in the science lab. The lab is new and the lesson was great,but the guy next to me tried to talk to me the whole time. I couldn't concentrate on the experiment. I really wanted to tell him to please be quiet and leave me alone!muchl I found most of my classmates and teachers friendly and helpful.
no one would talk to me. But I was wrong. I didn't feel awkward or frightened at all. | miss my friends from junior high school,but I believe I will make new friends here,and there's a lot to explore at senior high. I feel much more confident than I felt this morning. I think that tomorrow will be a great day!
## Read the text again and discuss the questions.
1 Why did Han Jing feel anxious before school?
2 How was her first maths class?
3 What happened in the chemistry class?What would you do if this happened to you?
4 What did Han Jing learn from her first day at senior high school?
4 Fill in the table with the words and phrases from the text,and tell a partner about Han Jing's day. Then talk about your own first day of senior high school.
Time
7:00 a.m.
12:30 p.m.
5:32 p.m.
10:29 p.m.
## What was Han Jing texting about?
senior high school,a little anxious
## Word Study
Complete the passage with the correct forms of the words and phrases below.
explore
senior impression
experiment
Tian Hua is a new student at a school in America. She is studying at an American high school for one year. In China,Tian Hua was in Grade 1 at high school,but in America,she is in
Grade 10!She did not arrived. Her first at all when she difficult and people spoke too quickly,but soon she found that if she the ideas,not the single words,she could understand!She also made friends and began to the city with them. Her new friends were happy to explain things to her after class. Her favourite class is chemistry because the teacher lets the students do cool
Tian Hua is not sure how well she will do at school this year,but she is not nervous any more. She is excited!feel confident
concentrate on
## Discovering Useful Structures
## Analyse basic sentence structures
$\mathbf{S}$ (subject)
$\mathbf{V}$ (verb)
O (object)
P (predicative) _ A (adverbial)
DO (direct object)
IO (indirect object)
C (object complement)
1 Study the sentence structures.
Sentence structure
Sentence
| SV |
| :--- |
| SVO |
| SP |
| SVIO DO |
| SVOC |
| SVA |
| SVOA |
| There be $\ldots$ |
All of us laughed!
I miss my grandma.
The teacher was kind and friendly.
He told us a funny story.
I found most of my classmates and teachers friendly and helpful.
He talked too much.
I had my first maths class at senior high school.
There's a lot to explore at senior high.
2 Read the sentences and analyse the structures.
EXAMPLE: We laughed.
1 The 100-year-old school lies in the centre of the city.
2 We must act.
3 The maths homework looks easy.
4 The teacher found the classroom empty. 5 My mum bought me a new dictionary.
6 Tom is looking forward to meeting the new exchange student.
7 There is an English Corner at our school.
8 We had chemistry in the newly built lab.
3 Read the passage and analyse the structures of the underlined sentences.
How would you like to go to school and travel the world at the same time?For Tim,that dream has come true!This term,Tim and his classmates are living on a ship!They take the same subjects as you do,like maths and English. They also learn about ships and the sea. Tim writes his parents an email every week and tells them what happened on the ship. Tim loves living on the ship. There's always something exciting to do. And,after a long day of study,he likes to watch the sun go down and wait for the stars to come out. Studying and doing homework seem much more fun when you are at sea!
## Listening and Talking
## Reflect on your learning styles and strategies
त1 Li Ming and Amy are talking about learning strategies. Listen to their conversation and tick what Li Ming likes to do.
work in groups
listen to the teacher and take notes
watch videos
use flash cards
make mind maps
keep a learning diary
(2 Listen again and answer the questions.
1 Why does Amy like group work?
2 How does Li Ming organise his thoughts?
3 Does Li Ming like to keep a learning diary?Why or why not?
3 How do you learn English?Rate the learning methods below. You can add more of your own to the questionnaire.
1 I have learning goals and make plans for my English studies.
2 I exchange learning experience with my classmates.
3 I take notes while listening and reading.
4 I read English newspapers and magazines.
5 I write down new words in my notebook and review them often.
6 I use dictionaries to check for new words.
7 I like to write about what I read or hear in English.
8 I like to watch movies in English.
$\hbar \hbar$
4 Work in pairs. Share your ideas with your partner and discuss the questions.
1 What learning strategies do you and your partner share?
2 What is the best strategy for you to learn new words?How about grammar?
3 What is the best way for you to improve your reading skills?How about writing?
## Write a student profile
()) 1 Read the student profiles and discuss the questions.
Ann,15
Lakeside High School
USA
My name is Ann Wells and I'm a Grade 10 student at Lakeside High School. I'm an active person and I love sports. I'm curious about everything. I often ask questions,but I learn best by doing. My favourite subject is physics. Dancing and skating are my hobbies,and I also like to read short stories. I plan to become an engineer in the future.
1 What is Ann like?How do you know?
2 What does "You'll never see me without a book or a pen" mean?
3 Which profile do you like better?Why?
Thando,16
South Hill High School
South Africa
I'm Thando Gowon. I'm 16 this year. I come from South Africa. I'm a Grade 10 student at South Hill High School. I look good,think fast,and play hard. You'll never see me without a book or a pen. If I'm not in class,I'm either in the library or in the computer lab. At the weekends,I play computer games if I'm not busy studying. My dream is to start my own IT company!
## Study the organisation and language features.
1 A student profile can include the following parts. Fill in each part with the information from the student profiles.
A Name,age,grade,school
B Personality
C Favourite subject
D Learning style
E Hobbies
F Future plans and dreams
2 Circle the phrases that Ann and Thando use to describe their personalities and underline the sentences that they use to describe their learning styles.
## Use what you have learnt to write your own student profile.
1 Complete the outline and use it to draft your student profile.
2 Exchange drafts. Use the checklist to give feedback on your partner's draft.
$\checkmark$ Does the profile give you a good impression of the student?
$\checkmark$ Are all the parts in Activity 2 included and organised in a good order?
$\checkmark$ Are the sentence structures correct?
$\checkmark$ Do all the sentences begin with capital letters?
$\checkmark$ Are there any spelling mistakes?
3 Get your draft back and revise it.
4 Add a photo or drawing of yourself and show your student profile to your class.
## Building Up Your Vocabulary
1 Match the pictures with the best adjectives. Then describe each picture in two or three sentences.
anxious awkward annoyed frightened confident curious excited
1 think 1 'll do very well in the exam!
2 Match the verbs on the left with the nouns on the right. Then make sentences with your new phrases.
$\begin{array}{llllll}\text { exchange } & \text { register (for) } & \text { design } & \text { a class } & \text { a dress } & \text { a lecture } \\ \text { explore } & \text { give } & \text { take } & \text { ideas } & \text { the world } & \text { notes }\end{array}$
## EXAMPLE
Good morning. I'd like to register for a class. I'm interested in any classes on music!
3 Read the learning tips. Rewrite the underlined parts with the new words from this unit that have the similar meaning.
Know yourself.
How you like to learn depends on what kind of person you are. If you like to talk,then it may be best to study in groups. If you are quiet,you may concentrate best on your own.
## Decide on what you want to learn.
Do you want to learn spelling rules?Do you want to learn how to take notes during a talk by a teacher?No matter what you want to learn,it is important to decide on your goal before you make a plan.
Use the right strategy.
If you are learning new words,it is wise to use small cards with the words written on them. If you are organising your thoughts or notes,try a mind map.
## UNIT
1 TEENAGE
LIFE
Good habits formed at youth
make all the difference.
-Aristotle
3
o
## Listening and Speaking
## Choose a school club
1 Match the photos with the names of the clubs. What do you think students do in these clubs?
## Ballet Club Nature Club Volunteer Club Debate Club
A 2 Listen to the first two conversations and choose the correct answers.
1 What are they learning about in Conversation 1?A Hearing.
B Sounds.
C Dogs.
2 The students are discussing in Conversation 2. A schoolwork
B relationships
C dating
Before you listen,you can read the questions and the choices. It will help you to predict what you will hear.
D Debate Club.
A Science Club.
B Ballet Club.
C Nature Club
(1) Listen to Conversation 3. Then help Adam choose a club.
1 Tick the activities that happen in each club.
Ballet Club
learn new movements listen to lectures
watch dance programmes grow plants Nature Club
work in a greenhouse Cartoon Club Volunteer Club watch cartoons help old people write stories clean up parks give directions 2 Adam says that he likes A stories,cartoons but is not so interested in
B animals,plants
C making friends,cleaning up
3 Which club do you think is suitable for Adam?Why?
I think Adam should join the Club because he says that he 4 Work in pairs. Help each other choose a school club.
## EXAMPLE
A: Hi,Sam!I've decided to join the Music Club.
B: Good decision!
A: How about you?Are you going to join a club?
B: Yes. I'm wondering which one I should choose: the Acting Club or the Ballet Club?
A: I guess the question is ... Do you like dancing better than acting?
B: Actually,I like acting better,but my friends go to the Ballet Club and I want to be with them.
A: Hmm ... If you ask me,I think you should choose what you like.
## Pronunciation
(1) Listen and repeat. Then add more words to each group.
| al | ay | ai | are | ar | er | ir | or | or | ur |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $\begin{array}{l}\text { talk } \\ \text { wall }\end{array}$ | $\begin{array}{l}\text { pay } \\ \text { stay }\end{array}$ | $\begin{array}{l}\text { paint } \\ \text { daily }\end{array}$ | $\begin{array}{l}\text { care } \\ \text { declare }\end{array}$ | $\begin{array}{l}\text { bar } \\ \text { hard }\end{array}$ | $\begin{array}{l}\text { her } \\ \text { prefer }\end{array}$ | $\begin{array}{l}\text { bird } \\ \text { circus }\end{array}$ | $\begin{array}{l}\text { horse } \\ \text { absorb }\end{array}$ | $\begin{array}{l}\text { word } \\ \text { work }\end{array}$ | $\begin{array}{l}\text { burn } \\ \text { hurt }\end{array}$ |
| ee | ea | ea | ear | ear | oa | ow | ow | ou | ore |
| $\begin{array}{l}\text { keen } \\ \text { tree }\end{array}$ | $\begin{array}{l}\text { clean } \\ \text { eager }\end{array}$ | $\begin{array}{l}\text { head } \\ \text { ready }\end{array}$ | $\begin{array}{l}\text { clear } \\ \text { appear }\end{array}$ | $\begin{array}{l}\text { earn } \\ \text { heard }\end{array}$ | $\begin{array}{l}\text { boat } \\ \text { coach }\end{array}$ | $\begin{array}{l}\text { show } \\ \text { grow }\end{array}$ | $\begin{array}{l}\text { now } \\ \text { shower }\end{array}$ | $\begin{array}{l}\text { out } \\ \text { loud }\end{array}$ | $\begin{array}{l}\text { more } \\ \text { bored }\end{array}$ |
2 Listen to the proverbs and repeat. Notice the pronunciation of the letters in bold.
1 The early bird catches the worm.
2 Always prepare for a rainy day.
3 Actions speak louder than words.
4 All work and no play makes Jack a dull boy.
5 Distance tests a horse's strength. Time reveals a person's character.
## Compare school life in different places
1 Work in groups. Discuss the questions.
1 What do you want to know about school life in other countries?
2 What would you tell a teenager from another country about school life in China?
4)) 2 Read the text quickly to find the main idea of each paragraph.
Paragraph 1: Senior high school is a challenge.
(4) Skim
Paragraph 2:
Paragraph 3:
Paragraph 4:
You can find main ideas by first taking a quick look at the title,picture(s),key words and phrases,and topic sentences.
## THE FRESHMAN CHALLENGE
Hi!My name is Adam and I'm a freshman at senior high school. Going from junior high school to senior high school is a really big challenge. The first week was a little confusing.
First,I had to think very carefully about which courses I wanted to take. The school adviser helped me choose the suitable ones: maths,English,chemistry,world history,and Chinese. I know that Chinese is a very difficult language,but I hope to be fluent when I graduate. My adviser recommended that I should sign up for advanced literature because I like English and I'm good at it.
I had to choose extra-curricular activities,too. I tried to join the school football team,but the coach told me that I didn't play well enough. Obviously,I was unhappy,but I won't quit. I'll find a way to improve on my own so that I can make the team next year. I joined a volunteer club instead. Every Wednesday,we work at a soup kitchen and hand out food to homeless people in the community.
I know I'll have to study harder as a senior high school student and get used to being responsible for a lot more. I'm a bit worried about keeping up with the other students in my advanced course,and it'll be quite difficult to get used to all the homework. Still,I'm happy to be here. Studying hard isn't always fun,but I'll be well prepared for university or whatever else comes in the future.
## Read the text again and answer the questions.
1 What courses did Adam choose?Which one do you think would be his favourite?Why?
2 What does "make the team" in Paragraph 3 mean?
3 What is Adam worried about?
4 Is Adam confident that he will get used to senior high school life?How do you know?
4 Complete the outline. Then discuss the questions below with a partner.
Paragraph 1
2 Choosing courses
3
4
1 What kind of person do you think Adam is?Why?
2 Do you face the same challenges as Adam?What other challenges are you facing?How do you deal with them?
3 What are some differences between Adam's school life and your school life?
5 Complete the sentences with the correct forms of the new words from the text.
1 I'm good at maths,so my teacher that I should choose advanced maths in my first year.
2 Finding time for both studies and extra-curricular activities is a big so 1 need to make a workable schedule.
3 It's a little__ to choose suitable courses. I hope that my adviser can help me make a good decision.
4 We can try a course for two weeks after we up for it. After that,we cannot change it.
5 The main purpose of the course is to help each student's reading ability.
6 Some of the students want to become writers or editors after they so the teacher advised them to start a writing club.
7 The school is for the safety of all the students.
8 Whenever I'm facing a difficulty,I always tell myself,"Don't let anything stop you. Don't ever "s
## Discovering Useful Structures
## Improve a draft
1 Find and mark the phrases in the sentences that fit the categories below. Then state their functions.
Noun Phrase (NP)
word group with a noun as its head word Adjective Phrase (AdjP)
word group with an adjective as its head word Adverb Phrase (AdvP)
word group with an adverb as its head word
1 The first week was a little confusing.
2 The building is so big that l'm completely lost.
3 The kids over there are putting something on a round paper plate.
4 Linda thinks and speaks quite quickly,and she can do well in the debate.
5 The new coach told me that I didn't play well enough.
6 My first French class was very confusing. The teacher spoke so fast!
2 Answer the questions using the phrases in brackets.
1 How soon do you think you'll finish your homework?(pretty soon)
2 What do you think of your new teachers?(very nice and patient)
3 How many clubs have you joined this year?(two clubs)
4 How well does Rita play the violin?We need a new violinist in our music club. (quite well)
5 What did your adviser say about the advanced literature course?(too difficult but very interesting)
3 Joyce has just written a draft. Help her improve it by using noun/adjective/ adverb phrases to add more information.
## Cheerleader Try-outs
I've always wanted to be a cheerleader. Yesterday,I tried out for the team. It was hard. First,we had to dance. The teacher showed us how to move,and then we tried. Second,we practised singing a song about the school basketball team. Finally,some girls had to lift their partners. The other girls jumped and cheered. I think I did well,but the other girls were better. I'm not sure if I'll make the team or not.
I've always wanted to be a high school cheerleader. Yesterday,I tried out for my school's cheerleading team. It was really hard. First,...
## Listening and Talking
## Plan a camp for teenagers
A 1 Cao Jing and Max are talking about camps. Listen to the conversation and tick what they are going to do at the camps.
Adventure Camp
International Youth Camp
Talking about future activities
We'll learn survival skills.
I'll learn how to make a fire.
We'll learn how to live in the wild from some experts.
We're going to learn about wildlife.
I think it's going to be fun. I plan to improve my spoken English.
We'll talk about teenage life.
There'll be students from different countries at the camp.
I'm going to give a speech.
I hope to make some friends.
A1 2 Listen again. Underline the expressions in the sentences above that Cao Jing and Max use to talk about the future.
3 Work in groups. Plan a youth camp.
1 Think of ideas for the camp. You can use the questions below to get started.
- What kind of camp is it?- What will they do?- Who will be there?- What will they learn?
2 Present your ideas for a youth camp to the class.
## EXAMPLE
## Camp
Do you want to have fun and learn at the same time?Then come to our camp. In our camp,you can learn about ... There'll be many interesting activities. First,we are going to ... Then we'll ... We also plan to ... Finally,we'll ... Please come to our camp!
## Write a letter of advice
(1)) 1 Susan Luo,an adviser for teenagers,has received a letter asking for some advice. Read her reply and discuss the questions.
1 What is Worried Friend's problem?
2 Do you think Ms Luo's advice is useful?Why or why not?
3 What other kinds of advice would you give?
2 Study the organisation and language features.
1 Find and mark the parts of the letter that match the following points.
A I know what the problem is.
B I understand how you feel.
C This is my advice and reason(s).
D I think my advice will help.
2 What expressions does Ms Luo use to make suggestions?Circle them in the letter.
## Use what you have learnt to write a letter of advice to one of the teenagers below.
1 Work in groups. Choose one of the teenagers and discuss his/her problem. List possible suggestions and reasons.
Suggestion
Xu Ting,14,Hangzhou
Reason
2 Draft your letter according to the outline below.
Write the date and greet the reader.
Show the reader that you know what the problem is.
Tell the reader that you understand how he/she feels.
Tell the reader what you think he/she should do.
Explain your reason(s).
Tell the reader what you think will happen.
3 Exchange drafts. Use the checklist to give feedback on your partner's draft.
$\checkmark$ Are all the parts of a letter included and organised in a good order?
$\checkmark$ Does the writer give reasons for the advice?
$\checkmark$ Does the writer use proper expressions to give suggestions?
$\checkmark$ Does the writer use commas and stops correctly?
$\checkmark$ Is the handwriting easy to read?
4 Get your draft back and revise it.
4 Put up your letter in the classroom or read it to the class. 1 Circle the correct word(s) in each sentence.
1 Today's teenagers seem to prefer/like the Internet more than TV.
2 Martin did not enjoy pop music until he became a generation/teenager.
3 Which course did your teacher recommend to/with you?
4 Don't quit trying/to try if there is still hope.
5 I think he is addicted/attracted to smoking. He just can't seem to quit.
6 The library project has already fallen behind schedule/plan.
7 The research has focused on/for the relationship between a teenager's sleep and health.
8 The instructions on the box made him confusing/confused,and he did not know what to do.
2 Find the noun/adjective/adverb phrases in the passage and state their functions.
If you have learnt some maths at school,you in poor countries,but there are also some can quite quickly work out that one eleventh is about 9 percent. But did you know that 9 boys and girls who cannot go to school in percent is also the number of children who rich countries. If you are one of the lucky are not at school?That's right-one in 11 ones who can go to a senior high school,children is not studying and probably even cannot do the simple maths you just did so very easily. They drop out of school because their families are too poor and they have to work like adults. In 2013,millions of children and teenagers were out of school. Most live you should be grateful for the opportunity. So the next time you feel like you do not want to do boring,difficult homework or go to class,think about the children who don't have the chance to get a good education. Make the most of your education and make the world a better place.
Do you agree with the writer's opinion?Give your reasons.
## REFLECTING
๑ Which reading in this unit did you find the most interesting?Why?
๑ What new things did you learn about teenage life from this unit?
(- What new vocabulary and structures did you learn in this unit?Did you use any of them in your language activities?How well could you use them?
๑ Do you think skimming was useful for you to understand the texts?
๑ What problems did you or your friends have with this unit?How did you solve the problems?What advice did you give each other?
## * Project: Set up a student club
1 You are going to set up a student club. Work in groups and choose one of the clubs from below,or create a new club you think others would be interested in joining.
2 Decide on the following details of your club.
Club name
Slogan
Aim
Why form the club?What does it hope to achieve?)
| Aim | Why form the club?What does it hope to achieve?) |
| :---: | :--- |
| Activity | $\begin{array}{l}\text { What will members usually do at the meetings?Any special events or } \\ \text { outings?) }\end{array}$ |
| Requirement | What should members prepare and bring?) |
| $\begin{array}{c}\text { Meeting time } \\ \text { and place }\end{array}$ | |
3 Design an eye-catching logo for your club and make a poster including the club's name,slogan,and logo.
4 Prepare an introduction to recruit new members during a school assembly. Include some details that are not mentioned on your poster.
## EXAMPLE
Hello,everyone!We're very pleased to introduce our club to you. It is called ... Our slogan is ...,and our club aims to ...
## Learning Across Generations
Mamorena Chaane is a teenage girl. She lives in the suburbs of Johannesburg,South Africa with her mother,Tandi.
## BEFORE YOU WATCH
Look through the title,introduction,and photos. Then guess whether the statements are true (T) or false (F).
1 In South Africa,many teenagers graduate from university.
2 Mamorena's life is the same as Tandi's when she was young.
3 Tandi had a difficult childhood.
4 Tandi is now a successful businesswoman.
$\begin{array}{ll}T \square & F \square \\ T \square & \text { F } \square \\ T \square & \text { F } \square \\ T \square & \text { F } \square\end{array}$
## WHILE YOU WATCH
1 Check your answers in Before You Watch.
2 Circle the correct word(s) in each sentence.
A shanty town is a poor area. People in a shanty town make their own houses,often from wood or materials that have been thrown away.
1 Mamorena is a student at an expensive/inexpensive private school
2 Tandi grew up in a poor/wealthy area of Johannesburg.
3 Mamorena does not understand/understands about her mother's childhood.
## AFTER YOU WATCH
Work in pairs. Discuss the questions.
1 In what ways is your life similar to or different from your parents' life when they were young?
2 Tandi said,"I don't think you become a person if you don't know where you come from." Do you agree or disagree with this statement?Why or why not?
## Listening and Speaking
## Get ready to travel
1 Before you listen,discuss the questions in groups.
1 If you have the chance to travel anywhere in the world,where will you go?
2 What do you need to do to prepare for the trip?
the Eiffel Tower,France
Lijiang,China
Neuschwanstein Castle,Germany
Tianshan,China get a passport apply for a visa rent a car buy a guidebook book tickets
pack some clothes book a hotel room
research the local weather
A. 2 Paul and Meilin are talking about the coming holiday. Listen to the first part of the conversation and choose the correct answers.
1 Circle the two places Meilin is going to for holiday.
Do not try to catch every word in a conversation. Instead,listen for key words and phrases. You should focus on getting the main idea,not on single words or grammar.
3 How is she planning to get around after she arrives?A By car.
B By train.
C On foot.
A. 3 Listen to the second part of the conversation and answer the questions.
1 Where is Paul's family going over the holiday?
2 Why are they going there?
ค 4 Listen to the whole conversation again and fill in the table below.
Paul
- Get her passport for her visa air tickets online a car a few light sweaters and a coat a guidebook 5 Choose a travel destination and think about what you would do to prepare to travel there. Then share your travel plans with a partner.
Where: Neuschwanstein Castle,Germany Why famous: the model for the castle
in Disneyland
Best time to visit:
September/October (autumn)
Where: Jiuzhaigou,China Why famous: amazing waterfalls,colourful lakes,beautiful mountains Best time to visit:
April/May or September/October
## EXAMPLE
A: Hi,Julie!Do you have any plans for the holiday?
B: Hi,Wang Lei!Yes,I'm planning to travel to Jiuzhaigou. Actually,I've just finished the travel arrangements!
A: Oh,good idea!Jiuzhaigou is an extremely beautiful place.
B: Yes,I'm looking forward to seeing the colourful lakes,amazing waterfalls ...
A: How are you getting ready for your trip?
B: I'm ...
## Pronunciation
A1 Listen and repeat. Then add more words to each group.
$\begin{array}{lllllllllllll}\text { ck } & \text { ch } & \text { tch } & \text { ph } & \text { sh } & \text { th th } & \text { wh wh } & \text { thg } & \text { qu } \\ \text { ticket } \\ \text { pack search } & \begin{array}{l}\text { check } \\ \text { check }\end{array} & \begin{array}{l}\text { Dutch } \\ \text { photo } \\ \text { graph }\end{array} & \begin{array}{l}\text { wish } \\ \text { shock }\end{array} & \begin{array}{l}\text { thing } \\ \text { think }\end{array} & \text { neither }\end{array}$
A) Listen to the sentences below. Notice the pronunciation of the letters in bold.
1 A traveller without observation is a bird without wings. (Moslih Eddin Saadi)
2 To travel is to discover that everyone is wrong about other countries. (Aldous Huxley)
3 I see my path,but I don't know where it leads. Not knowing where I'm going is what inspires me to travel it. (Rosalia de Castro)
## Explore Peru
1 Watch the video Welcome to Peru and answer the questions.
1 What did you see in the video?
2 What other sources of information can you find about Peru?
(1)) 2 Below are two texts about Peru. Look through them quickly. What types of text are they: encyclopedia or brochure?
PERU is a country on the Pacific coast of South America with three main areas: narrow,dry,flat land running along the coast,the Andes Mountains,and the Amazon rainforest.
In the 1400s and 1500s,Peru was the centre of the powerful ancient Inca Empire. The Inca emperor lived in the now-famous site Machu Picchu. Spain took control of Peru in the 16th century and ruled until 1821. It is for this reason that Spanish is the main official language of Peru.
A short flight from Cusco takes you from the Andes into the Amazon rainforest. From there,you'll spend one day travelling by boat to your accommodation in the middle of the forest. You can then spend three days exploring the rainforest with a local guide and enjoying the plants and animals unique to the rainforest.
## Machu Picchu Tour
This four-day walking tour will take you on amazing paths through the Andes Mountains on the way to the city of Machu Picchu. After reaching your destination,you will have a day to explore and be amazed by this ancient city. Especially amazing is the Incas' dry stone method of building. Inca builders cut stones to exact sizes so that nothing was needed to hold walls together other than the perfect fit of the stones. 3 Complete the passage with the correct forms of the new words from the two texts. Cusco is a popular $d$ for tourists,because of its $\underline{u}$ place in the history of South America. Cusco was the capital city of the Inca E_ which was the most powerful in South America until the 1500s. There are two especially interesting things to a about the Inca civilisation. The first is the roads and $p$ they built to connect their important cities. These Inca roads were made up of two north-south highways and many small roads crossing the mountains east to west. The roads were for Inca soldiers and their 0 Second,the Incas built wonderful cities full of amazing architecturebut there were no markets in these cities. One of the interesting questions of history is how the Incas lived without shopping!
4 Read the text and fill in the table. Then discuss the question below with a partner.
| Place | AMAZON RAINFOREST | MACHU PICCHU | CUSCO | LAKE TITICACA |
| :--- | :---: | :---: | :---: | :---: |
| Number of days | | 4 days | | |
| Transport | | | | |
| Accommodation | $\begin{array}{l}\text { boating,hiking,} \\ \text { exploring nature }\end{array}$ | | | local home |
| Activity | | | | |
Which tour(s) would you recommend for people who enjoy history and culture?
Spend four days enjoying the unique Spanish and local Indian culture high in the Andes at Cusco,the capital of the Inca Empire from the 13th until the 16th century. Stay in a local hotel,visit the museums,admire the architecture,enjoy the excellent local food,and go shopping at the local markets.
Enjoy the beautiful countryside as you spend a day driving along the new highway connecting Cusco to Lake Titicaca. There,a boat will take you to stay with a local Uros family on an island for three days. Both the island and the Uros homes are made of water plants from the lake.
## Discovering Useful Structures
## Talk about your future plans
1 Look at the sentences. What do you think the tense in the sentences expresses?
- I'm travelling around Europe for two weeks with my aunt and uncle.
- We're renting a car and driving!- My parents are taking me to Hong Kong during the October holiday.
2 Read the conversation and underline verbs in the present continuous tense. Discuss with a partner when and how these verbs are used.
Amy: Hello,Jeremy!What are you doing this weekend?
Jeremy: Hi,Amy!Some friends and I are going to that new water park on Saturday. Do you want to join us?
Amy: Sure,l'd love to!What time and where?
Jeremy: We're meeting at 10:00 a.m. at the bus stop near our school.
Amy: How about lunch?Are you eating at the water park?
Jeremy: Well,I'm bringing my own lunch. I think some of the others are eating at the park,but the food there is really expensive.
3 Read the sentences and tick those that express future plans. Rewrite them in the present continuous tense.
1 I_ I've just booked my air ticket!I'll visit my grandparents in December.
2 _ Gary might visit China next year,but he's still not sure.
3 K_ Kate has been invited to a meeting in Iceland. She will apply for a visa soon.
4 Could you help me with this box,please?I'm afraid I'm going to drop it.
5 A: Hey,are you free for dinner tonight?
B: I'm sorry,no. l'll have dinner with my cousins tonight.
4 Discuss weekend plans with a partner,based on the weather report below.
Saturday
$\begin{array}{lll}\text { Morning } & \text { Afternoon } & \text { Evening } \\ 20^{\circ} \mathrm{C} & 25^{\circ} \mathrm{C} & 19^{\circ} \mathrm{C} \\ \text { weather: sunny } & \text { weather: sunny } & \text { weather: clear } \\ \text { wind: light } \approx & \text { wind: light } \approx & \text { wind: strong } \cong\end{array}$
Sunday
$\begin{array}{lll}\text { Morning } & \text { Afternoon } & \text { Evening } \\ 21^{\circ} \mathrm{C} & 20^{\circ} \mathrm{C} & 17^{\circ} \mathrm{C} \\ \text { weather: cloudy } & \text { weather: rainy } & \text { weather: cloudy } \\ \text { wind: strong } \cong & \text { wind: light } \approx & \text { wind: none }\end{array}$
## EXAMPLE
A: What are you doing on Saturday morning?
B: Well,it's going to be sunny in the morning and not very windy,so I'm having a picnic with my friends.
## Listening and Talking
## Make reservations
ก 1 Listen to the phone call and answer the questions.
1 What are the two speakers talking about?
2 What is the relationship between the two speakers?
(1) Listen again and complete the table with the words you hear.
## Making reservations
3 Imagine you are making plans for the holiday. Choose one of the situations below and role-play a phone call with a partner.
- Details
travel date(s) preferred time one-way or return
- Flight class
$\square$ first class
$\square$ business class
$\square$ economy class
- Other information name method of payment
- Details
check in/check out breakfast Internet
- Kind of room
$\square 2$ single beds
$\square$ double bed
$\square$ king bed
- Special requests
$\square$ a view
$\square$ a non-smoking room
$\square$ a quiet room
- Details
date
time
number of people
- Special requests
$\square$ non-smoking area
$\square$ high chair(s)
$\square$ other:
## Write to a friend about a travel plan
()) 1 Read Richard's email to his friend and the brochure that he found. Do you think his plan sounds interesting?Why?
Come and see the Terracotta Army: more than 8,000 statues were made in the third century BCE to guard the tomb of the Chinese Emperor Qinshihuang!Each statue has a different face,leading researchers to believe that each one is a copy of a real soldier. The statues fill only one part of the emperor's huge tomb,which still has not been completely unearthed. More than 700,000 people worked for nearly 40 years to build this tomb. However,no one in modern times knew about the tomb or the terracotta statues until 1974,when some farmers discovered the tomb while they were digging a well!
## Study the organisation and language features.
1 Summarise the email in the table.
1 main purpose for the trip
2 other plans for the trip
3 transport
4 final thoughts
2 Underline the words and phrases used to express emotion in the email. Then complete the sentences below.
3 Use the tables above to help you write a travel plan. Then follow the steps below.
1 Pretend you are Xiao Li and reply to Richard's email.
2 Exchange drafts. Assess each other's work according to the checklist.
$\checkmark$ Is there a clear purpose for the trip?
$\checkmark$ Does each paragraph have a clear main idea?
$\checkmark$ Does the writer use the present continuous tense for future plans?
$\checkmark$ Does the writer use commas,stops,and question marks correctly?
$\checkmark$ Are all the words spelt correctly?
$\checkmark$ Are all the proper nouns capitalised?
3 Revise your draft according to your partner's comments.
4 Put up your email in the classroom or read it to the class. 1 Complete the postcard with the correct forms of the words below.
destination sight pack credit detail amazing rent admire
Hi Paul,
Hello from our final - Neuschwanstein Castle!We arrived in Europe about six days ago. I'm so glad that we a car. The highways here are wonderful,and driving lets you see lots of amazing . I'm also pleased I good walking shoes,because we've walked A LOT in the last few days. I feel like we drive for only a short time and then walk and walk and walk!I think what I most so far is the architecture. The
200
Deutschland on the buildings here are so unusual,so different from
China. Of course,I'm also enjoying the shopping!I bought gifts for all of my family and friends. I'm very glad my __ card works here,so I don't have to carry a lot of money. I hope I can come back here some day and see all of these places again.
Your friend,Meilin
## Read the conversation and mark the phrases expressing future plans.
Paul: Hey Meilin. This is Paul,calling from the Old Town of Lijiang!
Meilin: Hi Paul!You are already in Lijiang?!Great to hear you!So what do you think of the Old Town there?
Paul: Oh,we love it. You know,it is so different from big cities.
Meilin: Really?How long are you staying there?
Paul: About four days,since my dad has to go back to work next Monday. We arrived yesterday and visited the Old Town. Tomorrow we're going to Yulong Snow Mountain. In order to save time,we're taking the cable car up there. If we still have time,we're planning to see Blue Moon Valley and Yak Meadow.
Meilin: Sounds great!Oh,don't forget it's much colder on Snow Mountain. Be sure to keep warm!
Paul: Thanks!We're bringing sweaters and coats with us,so I hope we'll be OK. I'll see you in a few days!Talk to you soon.
Role-play the conversation with a partner. Pay attention to your stress and intonation.
## QREFLECTING
๑- My favourite part of this unit was because
(- In this unit,I had a hard time with because
(- I wish I could learn more about because
๑ Overall,I thought this unit was cool useful just OK difficult.
## * Project: Design a travel brochure
1 Read the posts and find out what each student's reason is for travelling.
Hi everybody!I'm Fraser,and I'm from the UK. I'm going to visit China this year because I'm very interested in China's history and culture. I'm going to see the Great Wall,but other than that,I'm not sure where to go. Any ideas?
Hello!My name is Anthony. I'm from France. I want to go hiking in China over the summer holiday. I love nature,and I really want to see the beautiful sights there. The mountains,the sky,the lakesthe photos I've seen of China's countryside are wonderful.
Hi!My name is Anna,and I'm from Russia. I've just started my last year of high school,and I want to visit a few universities or colleges in China,since I hope to study there next year. I want to experience some Chinese culture and see the natural beauty there,but my main goal is to find out which university is the best for me to attend.
2 Work in groups. Research,plan,and design a tour.
1 Brainstorm different types of tours and add them to the list below.
- Education
- History
- Adventure
- Culture
- Cuisine
2 Choose one person and a tour he/she might like. Work out a week-long travel plan for the tour.
Time
Place
Activity
Day 1
Day 2
Day 3
Day 4
Day 5
Day 6
Day 7
3 Design a travel brochure for the tour. Make your brochure as attractive as possible.
## BEFORE YOU WATCH
Complete the sentences with the words and phrases below. You may use a dictionary to help you.
magnetic centre Inca civilisation outside world stalls business and money ruins
1 Machu Picchu was once part of the
2 For many years,Machu Picchu was lost to the
3 Machu Picchu is now made up of
4 People believe that Machu Picchu is a(n) attracting many tourists each year.
5 Apart from being a magical place,Machu Picchu also brings a lot of to Peru.
6 Local people sell things at to tourists.
## WHILE YOU WATCH
Choose the correct answers.
1 Another name for Machu Picchu is
A Aguas Calientes
B one of the magnetic centres of the ancient world
$\mathbf{C}$ the Lost City of the Inca
2 Machu Picchu was built
A in 1911
B more than 500 years ago
C 500 years ago
3 Some people worry that too many tourists going to Machu Picchu
A will be bad for the environment $\quad$ B will be bad for business
C will be too noisy
4 The people in the town live completely
A on the money from tourism
B by selling art
C by driving buses
5 Machu Picchu may be changed forever by
A the weather
B poverty
C tourism
## AFTER YOU WATCH
Work in groups. Discuss the questions.
1 Are there any places like Machu Picchu in China?In what ways are they alike?
2 Should tourism be stopped in places like Machu Picchu?Why or why not?
\section{SPORTS AN UNIT
All sports for all people.
-PPierre de Coubertin
In this unit,you will
1 read about famous athletes at home and abroad.
2 hear and talk about sports events and sportsmanship.
3 write about health and fitness.
4 learn about sports and games around the world.
## Look and discuss
1 Do you jog often?What sports and exercise do you like?
2 What do you think sports and exercise can do for you?
## Listening and Speaking
## Invite a friend to a sports event
1 Look at the posters. What sports events do you like to watch?Which sport would you like to try?
(1) Listen to Conversation 1. What is Shen Qi's main purpose for talking to Amy?A To invite Amy to an e-sports event.
B To invite Amy to a soccer match.
C To explain an e-sports event.
Listen for main ideas
Try to catch the main ideas instead of trying to remember and translate each word you hear.
त. 3 Listen to Conversation 1 again and circle the words that the speaker stresses.
1 Did you hear that there's an e-sports event this weekend?
2 Would you like to come along?
3 Really?l'd love to!
4 Why don't you join us this Saturday afternoon?
5 Oh,sorry. I can't. A 4 Adam is inviting Julie to a sports event. Listen to Conversation 2 and answer the questions.
1 When will the event happen?
The event will happen
2 What's a "Blue Paint" run?
A "Blue Paint" run is a fun run that
3 Why is it called a "Blue Paint" run?
Because people can buy water balloons filled with and the runners.
4 If 200 people take part in the run and 400 balloons are sold,how much money will they collect?
5 What event or activity would you like to invite your friend to?Make a conversation with a partner.
Gym Class: Come and work out at a gym!Sweat your way to good health!You can make it!
## Pronunciation
1 Read the conversation. Decide whether the intonation of the tag questions is rising or falling.
Dave: Wonderful gym,isn't it?
Jack: Er... yes. It's great.
Dave: This isn't your first time here,is it?
Jack: Actually,it is. You come here often,don't you?
Dave: Yep. At least three times a week.
Jack: You've lost some weight,haven't you?
Dave: Yes. All that fat has become muscle now. If you want to lose weight,too,I recommend using the spin bike.
Jack: OK,but it won't make me too tired,will it?
Dave: Maybe at first,but you'll get used to it. I used to come here every day when I first started.
Jack: Oh,I don't have to come here every day,do l?
Dave: No. Of course not. It's up to you,isn't it?
## Choose your favourite athlete
()) 1 Look at the titles and pictures below. What do you think the text is about?
## (U) Make predictions
Help us choose some "Living Legends of Sports". They must be athletes who are masters in their sports and also set good examples for others. Here are our first two choices,Look at the pictures and think about the content before reading. This helps you to relate what you read to what you already know and to understand the new text.
## Lang Ping
As a player,Lang Ping brought honour and glory to her country. As a coach,she led the China women's volleyball team to medals at world championships and the Olympics. As a person,Lang Ping is loved by fans at home and abroad. When the Chinese team was preparing for the 2015 World Cup,her determination was tested. The team that Lang Ping had built was falling apart. One of the best players had been injured,and the team captain had to leave because of heart problems. Losing two important players was a big challenge,but Lang Ping did not lose heart. She had faced difficulties before,and she knew that her young players could win if they worked together as a team. Two weeks later,they were world champions!Then in 2016,Lang Ping led her volleyball team to Olympic gold in Brazil.
## Michael Jordan
When Michael Jordan's feet left the ground,time seemed to stand still. The player who became known as "Air Jordan" changed basketball with his graceful moves and jumps. Jordan's skills were impressive,but the mental strength that he showed made him unique. In the final seconds of a game,Jordan always seemed to find a way to win. Jordan says that the secret to his success is learning from his failures. "I can accept failure;everyone fails at something. But I can't accept not trying." Losing games taught him to practise harder and never give up. In life,Jordan has learnt to share his success with others. The Boys and Girls Club which he started in Chicago has been helping young people since 1996.
Send your suggestions for "Living Legends of Sports" to [email protected]. 2 Read the text and decide what is stated in the text (S),what can be inferred (I),and what you know to be true from experience (E).
_ Lang Ping won several championships before she became a coach.
Lang Ping believed that her young players could win.
Many people in China and the US love Coach Lang.
Michael Jordan is loved by basketball fans around the world.
Before people saw Michael Jordan play,they did not know that basketball could be played that way.
Michael Jordan believes that it is important to help others.
3 Read the text again and answer the questions.
1 How was Lang Ping's determination tested in the 2015 World Cup?
2 What examples does the writer use to describe Lang Ping?
3 What does the first sentence in the paragraph introducing Michael Jordan mean?
4 Why does the writer mention "the final seconds of a game"?
4 Work in groups. Discuss the questions.
1 What reasons does the writer give for choosing Lang Ping and Michael Jordan?Who would you choose as another "living legend"?Give your reasons.
Yao Ming
Chinese
Basketball
$2.26 \mathrm{~m}$
Care for wildlife
2 What can we learn from successful athletes?
5 Use the words and phrases below to talk about Lang Ping,Michael Jordan,and the athlete that you admire.
$\begin{array}{lllll}\text { athlete } & \text { champion } & \text { determination } & \text { captain } & \text { bring glory and honour } \\ \text { injured } & \text { impressive } & \text { medal } & \text { unique } & \text { set a good example } \\ \text { give up } & \text { strength } & \text { graceful } & \text { failure } & \text { lose heart }\end{array}$
Lang Ping:
Michael Jordan:
The athlete I admire:
## Discovering Useful Structures
## Make small conversations
1 Read the conversations below and underline the tag questions and their answers. What functions do the tag questions have?
1 Amy: It's not a real sport,is it?
Shen Qi: Yes,it is.
2 Adam: That sounds interesting,doesn't it?
Julie: $\quad$ Sure,it does.
3 Lin Tao: Hi!It's a beautiful day,isn't it?
Han Jing: Yes,it is. I'm going to play soccer. Can you come along and join us?
Lin Tao: Sorry,I can't. I've got to meet my adviser. By the way,our school soccer team won at last,didn't they?
Han Jing: No,they didn't. It's too bad.
2 Complete the conversations with appropriate tag questions or correct answers. Then act them out.
1 A: It's not going to rain,is it?
B: It's a good day for sports.
A: Then we can play football,
B: We don't have a ball.
2 A: It's Sports Day next Thursday,?
B: You're right,it is. Let's ask Xia Lei if she wants to join a team.
A: She likes soccer,?
B: But she loves volleyball. She could be in the volleyball team.
3 A: It's time for badminton class. Where is the coach?He's late,?
B: It's been 10 minutes already. He isn't coming,
A: Cool!We can have a good time. That's great!
B: Shh!
A: Oh no,he's right behind me,?
C: Yes,I am!
3 Work in pairs. Use tag questions to role-play one of the situations below.
EXAMPLE
(2)
A: The Sports Day is coming soon,isn't it?
B: Yes,it is. They need some volunteers,don't they?
A: Yes,they do....
## Listening and Talking
## Voice your opinion on sportsmanship
A1 1 Three students are talking about sportsmanship. Listen to the conversation and match each opinion with the right speaker. Who do you agree with?Why?
$$
\text { Cao Jing _ Lily __ Max }
$$
A An athlete should do his/her best to win.
B The girl should stop and help the other girl. Good sportsmanship is more important than winning!C An athlete should think about honour and his/her fans if he/she is competing for his/her country.
A 2 Listen again and circle the expressions that you hear in the conversation.
## Agreeing
I agree. $\quad$ Yes,I think so.
So do I. Me too.
Exactly!Sure./Certainly./Of course.
All right. You're right/correct.
Good idea. I guess so.
## Disagreeing
I'm sorry,but I disagree/don't agree.
I don't think so.
That's not right.
That doesn't make any sense!
That's not how I see it.
I see what you mean,but ...
3 Work in groups. Choose one of the situations below and make a conversation.
- A soccer player should not pretend to fall down even if it helps his/her team.
- In school teams,everyone should get a chance to play,not only the best players.
- It is wrong to pay people millions of yuan to play sports.
- Athletes should play only for their own country.
## EXAMPLE
A: I agree with the idea that a soccer player should never pretend to fall down even if it helps his or her team. You should never cheat.
B: Exactly!It's important to do the right thing.
C: Well,I don't think so. Many players do it,and they think it helps their team to win.
A: That doesn't make any sense!
B: I see what you mean,but the audience wants fair play.
C:
## Write a page in a wellness book
(1)) 1 A high school class has a wellness book in which they exchange ideas about health and fitness. Read what Kayla wrote and answer the questions.
## GOING POSITIVE
O I always wanted to look like the slim girls on TV even though I knew that it was impossible. I worried about my weight and tried every new diet I read about online. I tried nofat,low-fat,5:2,only bananas,no bananas-I almost went bananas,too.
Then I read an article that said instead of asking "Am I fat?" I
should be asking "Am I fit?" I had no idea a letter could make such a difference!Once I started thinking about fitness rather than weight,things began to change. Instead of saying "I want to lose three kilos",I would say "I want to run two kilometres in eight minutes" or "I want to be able to do 30 push-ups". Rather than cutting out the foods I enjoyed,I added healthy foods to my meals. I could still have a burger now and then,but I would add a salad or an apple.
Finally,I stopped comparing myself with actresses and models and looking for things that were wrong with my face or body. Instead,I made a list of the things I liked about myself. By being positive about myself and my body,I became both happier and healthier.
1 What problem did Kayla have in the past?
2 What does the sentence "I almost went bananas" mean?
3 What made her change her thinking?
2 Study the organisation and language features.
1 Complete the outline with the words and phrases from the text.
The past worried about compared myself with The present
4 think about and tried
(1)
2 Underline the words and phrases used in the text to show similarities and differences. 3 Write a page for a class wellness book.
1 Work in groups. Discuss the questions below.
## Exercise
What can you do to make exercise like jogging more enjoyable?
## Self-confidence
What can you do to become more confident and feel better about yourself?
## Stress
How can you plan your work and make sure that you also have time to rest and relax?
## Food
How can you make your meals healthier?
2 Use the ideas from your discussion to list some positive changes.
- What you used to do/do now and results:
- What you do now/will do in the future and possible results: - Useful expressions to show similarities and differences
like so too still similarly similar to the same (... as ...) in common (with) both ... and ...
instead than however/but/though different from rather than instead of the difference is ...
3 Write a short paragraph to describe and explain your changes.
- Start with a general statement about the topic and your situation.
- Tell the reader about how and why you changed or want to change.
- Describe the changes and compare the (possible) results.
- Tell the reader how the changes have improved or will improve your life.
4 Exchange drafts. Use the checklist to give feedback on your partner's draft.
$\checkmark$ Does the writer explain why he/she changed/wants to change?
$\checkmark$ Does the writer tell how the changes have improved or will improve his/her life?
$\checkmark$ Is the text well-organised?
$\checkmark$ Does the writer use words and expressions to show similarities and differences?
$\checkmark$ Are there any grammar or spelling errors?
$\checkmark$ Does the writer use correct punctuation?
5 Get your draft back and revise it.
4 Collect the entries for a class wellness book.
## Assessing Your Progress
1 Read the passage and find suitable words for the blanks.
compete cheating master pretending events failure audience stress
Sports play a very valuable role in children's lives. Children who in a sport will learn how to deal with,because even though they work hard to the skills needed for a sport,it does not mean they will always win. Sports also help children see that is foolish. In sports,there is no use to fall down or be hurt,because in the end,the will see through it. Taking part in sports is fun but not always easy,so it helps children learn how to deal with something that everyone must learn to face in life.
2 Complete the conversation with appropriate tag questions or answers.
A: There's a basketball game at our school this Saturday,?
B: Yeah,our school is playing against No. 2 Senior High School.
A: Oh,good!I really want to see our team play. I missed the last game. You went,didn't you?
B: Oh,yes,__ It was a great game. So you're planning to go this Saturday,?Do you want to go together?
A: Sure!l'd love to. What time shall we meet?
B: Well,the game starts at 1:00 p.m.,so I can come to your home at 12:30 and we can walk to school together. You'll be coming from home,won't you?
A: No,. I'll be at the library all morning studying for that big test on Monday.
B: Oh,then why don't we meet outside the library at 12:15?
A: I'll need to stop at the noodle restaurant and get something to eat before the game. You wouldn't mind,?
B: Not at all. I've never said no to food,?How about meeting at 12:00,going there for lunch together,and then heading to the game?
A: Sounds great!
Act out the conversation with a partner.
## QREFLECTING
(- In your opinion,what are the most useful words and expressions you learnt in this unit?
๑- Do you think the grammar in this unit is more useful in spoken or written English?
๑- Do you think sports are a valuable part of life?Why or why not?
๑ Overall,I thought this unit was cool useful just $O K $ difficult.
## * Project: Make a survey on sports interests and needs
Your school wants to start some new sports clubs. Which clubs would best fit students' interests and needs?Do a survey and write up the survey results.
1 Work in groups of five. Read the questions below and then add one more that you would like to ask your classmates.
1 What is your favourite sport?
2 At what time of day do you like to do sports?
3 How often do you ___ every week?
4 How long ___?
5
2 Each group member chooses three classmates and asks the questions from the list above. Write down their answers in the table.
| Name | Question 1 | Question 2 | Question 3 | Question 4 | Question 5 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| | | | | | |
| | | | | | |
3 Use the data to write up the survey results. Be sure to include the following points.
- The questions you asked
- The results of the survey
- Your suggestions to the school,based on the survey results
4 Work in groups. Complete your report.
## EXAMPLE
This week,our group of five students did a survey of our classmates to find out what sports interests and needs our students have. We hope that the results of our survey will be useful to the school in deciding what new sports clubs should be set up.
The first question we asked was,"What is your favourite sport?" Eight out of 15 students said that playing one-on-one sports is their favourite way to get exercise,like ping-pong or badminton. Five out of 15 said that they prefer team sports,such as football. Only two said that they like to exercise alone,such as jogging or walking.
Our second question was ...
Karsts are found in many places in southwestern China. Rock climbers like to go there to enjoy climbing and challenge themselves.
## BEFORE YOU WATCH
Read the introduction of karsts and discuss the questions below.
Karsts are rock formations made of limestone. They have been sculpted by wind and water and millions of years of erosion into these beautiful natural sculptures. One of the most famous places in the world for karsts is Guilin. The karsts there provide a lot of exciting opportunities to rock climbers.
1 Would you like to have a go at karst climbing?Why or why not?
2 What can rock climbing bring to climbers?
## WHILE YOU WATCH
Complete the sentences below with the adjectives in the box.
amazing natural adventurous spectacular unexplored gymnastic
1 For me,it's important not just to go and see these landscapes but to interact with them,too.
2 The stone here offers up athletic movement,but it can also be very sometimes dangerous,but always beautiful.
3 This is what we love to do - to come to these beautiful areas and climb and explore and push ourselves mentally and physically.
4 China is relatively and new to climbers and to adventurers who want to go out and see something new and
## AFTER YOU WATCH
Work in groups. Discuss the questions.
1 Describe your feelings after watching the video. How are they the same as or different from the feelings the climber describes when he talks about climbing the karsts?
2 What is your opinion of extreme sports such as rock climbing?Is it something worthwhile to do?Why or why not?
In this unit,you will
1 read about natural disasters.
2 listen to news reports about natural disasters and discuss disaster safety measures.
3 write a summary.
4 learn about disaster relief work.
## Look and discuss
1 What's going on in this photo?
2 What kinds of natural disasters can you think of?
## Listening and Speaking
## Report natural disasters
은 1 Watch the video Natural Disasters and look at the photos. Do you know what these disasters are?Write down their names.
1
3
4
2
5
2 Listen to the news reports and tick the disasters that you hear.
earthquake
tornado
wildfire
drought
landslide
tsunami
flood
volcanic eruption
3 Circle the key word(s) in the questions below and write the kind of information they refer to. Then listen again and answer the questions.
Question
1 What. was the magnitude of the earthquake in Ecuador?
2 How many people were killed or injured in Ecuador?
3 Where are the floods?
4 What are the rescue workers and soldiers doing in the flood-hit area?
5 When did people see the tornado in Memphis?
6 Which buildings were damaged in Seoul?
7 What caused the landslide in Seoul?
## (1) Listen for details
Think about what you are listening for before you listen: numbers,dates,times,addresses,activities,people or places,reasons,etc.
Type of information Answer
number 4 Read about the disasters below and prepare a short news report on one of them. Then present your news report to a partner.
## Earthquake
Wenchuan,China<br>- 14:28 Monday,12 May<br>- Magnitude $7.8(8.0)$<br>- At least 8,500 killed (by 13<br>May)<br>- Rescue workers (medical<br>teams,troops,volunteers,<br>etc.) organised quickly
## Wildfire
- No deaths,no injuries
## Flood
Colombo,Sri Lanka
- Began in May
- 82 killed,500,000 affected
- Rescue teams provided food and water
- Shelters set up by the government
## EXAMPLE
Good morning. Today is 13 May. A huge earthquake hit Wenchuan,China yesterday afternoon ...
A 1 Listen and repeat. Pay attention to the letters in bold.
- pipe brick •tend death • $\quad$ keen glory
- think they -campus amaze
- flash garage
- fond view
- truly draw
- events friends
- French bridge
2 Read the words aloud. Pay attention to the pronunciation of the -ed endings. Then write the words in the boxes.
| $\begin{array}{l}\text { begged } \\ \text { exchanged } \\ \text { pretended }\end{array}$ | $\begin{array}{l}\text { breathed } \\ \text { helped } \\ \text { reserved }\end{array}$ | $\begin{array}{l}\text { described } \\ \text { laughed } \\ \text { shocked }\end{array}$ | $\begin{array}{l}\text { concentrated } \\ \text { learned } \\ \text { viewed }\end{array}$ | $\begin{array}{l}\text { confused } \\ \text { depended } \\ \text { watched }\end{array}$ | $\begin{array}{l}\text { debated } \\ \text { embarrassed } \\ \text { wished }\end{array}$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $/ \mathrm{t} /$ | $/ \mathrm{d} /$ | | | | |
3 Listen to the words in each box and repeat.
## Describe a natural disaster
1 Work in pairs. Discuss what can happen to a city during a big earthquake.
4)) 2 Look at the title and photo below and guess what the text is about. Then read and check if you are right.
## THE NIGHT THE EARTH DIDN'T SLEEP
Strange things were happening in the countryside of northeastern Hebei. For several days,the water in the village wells rose and fell,rose and fell. There were deep cracks that appeared in the well walls. At least one well had some smelly gas coming out of it. Chickens and even pigs were too nervous to eat,and dogs refused to go inside buildings. Mice ran out of the fields looking for places to hide,and fish jumped out of the water. At about 3:00 a.m.,on 28 July 1976,bright lights were seen in the sky outside the city of Tangshan and loud noises were heard. But the city's one million people were asleep as usual that night.
At 3:42 a.m.,everything began to shake. It seemed as if the world were coming to an end!Eleven kilometres directly below the city,one of the most deadly earthquakes of the 20th century had begun,a quake that even caused damage more than 150 kilometres away in Beijing. Nearly one third of the whole nation felt it!A huge crack,eight kilometres long and 30 metres wide,cut across houses,roads,and waterways. Hard hills of rock became rivers of dirt. In less than one minute,a large city lay in ruins. Two thirds of the people who lived there were dead or injured. Thousands of children were left without parents. The number of people who were killed or badly injured in the quake was more than 400,000 .
Everywhere survivors looked,there was nothing but ruins. Nearly everything in the city was destroyed. About 75 percent of the city's factories and buildings,90 percent of its homes,and all of its hospitals were gone. Bricks covered the ground like red autumn leaves,but no wind could blow them away. Most bridges had fallen or were not safe to cross. The railway tracks were now useless pieces of metal. Tens of thousands of cows,hundreds of thousands of pigs,and millions of chickens were dead. Sand now filled the wells instead of water. People were in shock-and then,later that afternoon,another big quake shook Tangshan again. Even more buildings fell down. Water,food,and electricity were hard to get. People began to wonder how long the disaster would last.
But hope was not lost. Soon after the quakes,the army sent 150,000 soldiers to Tangshan to dig out those who were trapped and to bury the dead. More than 10,000 doctors and nurses came to provide medical care. Workers built shelters for survivors whose homes had been destroyed. Hundreds of thousands of people were helped. Water and food were brought into the city by train,truck,and plane. Slowly,the city began to breathe again.
Tangshan started to revive itself and get back up on its feet. With strong support from the government and the tireless efforts of the city's people,a new Tangshan was built upon the earthquake ruins. The new city has become a home to more than seven million people,with great improvements in transportation,industry,and environment. Tangshan city has proved to China and the rest of the world that in times of disaster,people must unify and show the wisdom to stay positive and rebuild for a brighter future.
3 Read the text carefully and then write down the main idea of each paragraph.
Paragraph 1: Warning signs before the earthquake.
## Paragraph 2:
Paragraph 3:
Paragraph 4:
Paragraph 5:
4 Scan the text and find the words below. Guess what they mean from the context.
$$
\text { ruin brick trap bury }
$$
Use context to understand new words
When you see a word you do not know,do not stop and look it up in a dictionary. If you continue reading,the context will probably help you understand what it means.
5 Read the sentences describing what happened after a huge earthquake. Complete the sentences with the correct forms of the new words and phrases from the text.
1 The huge earthquake left nearly the whole city
2 Everyone was,thinking the world must be coming to an end.
3 Millions of people were left without water,food,or
4 Soldiers and volunteers worked as hard as they could to pull away and rocks,and rescue those who were under the ruins.
5 Some were found alive,though they were suffering from terrible injuries,but others had already stopped when they were discovered.
6 A few buildings were still standing,but people were afraid to use them as shelters,worrying they would be if the buildings fell.
6 Read the text again and answer the questions.
1 What were some of the strange things happening before the earthquake?Do you think they were warning signs?Why or why not?
2 What does the writer mean by "Slowly,the city began to breathe again"?
3 What kind of help do you think people who have suffered an earthquake need?
7 Work in groups. Discuss the questions.
1 What do you think helped in the revival of Tangshan city?
2 What other cities or towns have gone through similar changes?What lessons can we learn from these events?
## Discovering Useful Structures
## Describe pictures of disasters
1 Find and underline the restrictive relative clauses in the sentences below. What function do the restrictive relative clauses have?
- The Tangshan earthquake was a terrible experience that my great-grandma cannot forget.
- The couple who live next to us volunteered to help after the volcano erupted.
- The supplies which were provided to the disaster area were collected from around the country.
- Mr Li is an architect whose designs for the new town have won praise.
- A doctor with whom James used to work died in the 2016 earthquake in Ecuador.
Find more sentences with restrictive relative clauses from the text on page 50 .
2 Complete each sentence with that,which,who,whose,whom,or "/". Then translate the sentences into Chinese.
1 Here are some of the people homes were destroyed by the typhoon
2 The terrible shaking of the building woke up all the people were asleep.
3 The next day,people put up shelters in the open air using anything they could find.
4 Several days later,most of the buildings ____ had been damaged by the hurricane were repaired.
5 The injured boy ___ mother was lost in the disaster was taken to the hospital.
6 The woman wrote a thank-you letter to the soldier by she was rescued.
7 Is this the young boy saved several other students trapped under buildings?
3 Work with a partner. Take turns to ask each other about the pictures. Make sentences with restrictive relative clauses using that,which,who,whose,or whom.
## EXAMPLE
A: What's the rescue worker doing?
B: She's feeding the baby who survived the earthquake.
## Listening and Talking
## Prepare for a disaster
(1 Mrs Fors is a rescue worker. She and her dog,Lucky,are visiting a senior high school. Listen to the conversation and complete the table below.
Before an earthquake Make a safety list of,and
During an earthquake (in a building)
Remember to ",and
During an earthquake (outdoors)
Go to a(n) space away from or power lines.
After an earthquake (if you're trapped) to get help.
Use $a(n)$
Tap on a pipe or or whistle for help.
2 Work in pairs. Choose a disaster and prepare a list of safety instructions. The expressions below may help you.
## Giving instructions
- First/First of all,you should ...
- Stay calm.
- Don't drive or walk outside. - Cover your ...
- Listen to the news. - Stay away from ...
- Move to a safe place. - Make sure ...
- Collect water and food if you can. - Finally,...
- Stay indoors.
3 Having an emergency kit prepared is also very important. Look at the emergency supplies below. Discuss with a partner what else you would add.
for three days
- whistle
- first aid kit
4 Report to the class the safety instructions you listed and then explain what emergency supplies people should keep on hand.
## EXAMPLE
If you find yourself in danger from a forest fire,first of all,stay calm. Cover your face with ... Then go to a safer place if you can....
Now for our emergency supplies,we would suggest always having on hand enough water and food for three days,a radio,...
## Write a summary
(1)) 1 Read the news report released the day after a tsunami and answer the questions.
## The Daily News
By Robert Woodhouse Monday,27 December 2004
The most powerful earthquake in the past 40 years caused a tsunami that crashed into coastlines across Asia yesterday,killing more than 6,500 people in Indonesia,India,Thailand,Malaysia,and at least four other countries. Fishermen,tourists,hotels,homes,and cars were swept away by huge waves caused by the strong earthquake that reached a magnitude of 9.0 . The undersea quake struck around 7:00 a.m.,Sunday off the west coast of Indonesia's Sumatra Island. In that area alone,at least 1,870 people were killed.
In Sri Lanka,some 1,600 kilometres west of the quake centre,the number of deaths stood at 2,498,and one million more were affected by the tsunami,government officials said. Indian officials said as many as 1,900 had been killed along the southern coast. Another 254 were found dead in Thailand and 54 in three other countries. In southern Thailand,1,900 people were hurt and many more were missing,local officials said. "I was having breakfast with my three children when water started filling my home. We had to leave everything and run to safety," said Chandra Theeravit,a local Thai woman.
Thousands of people are still missing,and the number of deaths is expected to grow even higher over the next few days. Foreign aid is being organised for the tsunami-hit countries. However,dangerous conditions and damaged roads will make it difficult to deliver food and supplies.
1 When did the tsunami happen?
2 What caused the tsunami?
3 Why would it be difficult to deliver food and supplies?2 Read the summary of the news report. Check the main points it includes.
Summary: On 26 December 2004,a tsunami killed more than 6,500 tourists,fishermen,and other locals in Asia. Thousands of people are missing and the number of deaths is expected to grow. The damage caused by the tsunami is making it difficult for rescue workers to help the survivors.
date $\quad \square$ time $\quad \square$ place $\quad \square$ event cause $\quad \square$ effect $\square$ following events
A summary is a short statement of main points. A summary paragraph tells the main ideas and the most important information of a longer passage.
3 Follow the steps below to write a summary for the text on page 50 .
1 Read the text and write a list of the main details.
- Strange things happened in the countryside before the earthquake.
- An earthquake hit ___ China on 28 July 1976.
2 Write down the main idea of each paragraph based on the details above.
3 Organise the ideas and draft your summary. Pay attention to the following:
- A summary should be around one third the length of the original text.
- Write down the key supporting points for the topic.
- Do not include unimportant details or examples.
4 Exchange drafts. Use the checklist to give feedback on your partner's draft.
$\checkmark$ Does the summary give you a clear idea of what the text is about?
$\checkmark$ Does the summary include only the most important information of the text?
$\checkmark$ Is the summary the proper length?
$\checkmark$ Are there any spelling or punctuation errors?
$\checkmark$ Does the writer use correct tenses?
5 Get your draft back and revise it.
4 Put up your summary in the classroom or read it to the class.
## Assessing Your Progress
1 Circle the correct word in each sentence.
1 The tornado that hit Mississippi last week caused a lot of damage/destroy.
2 The mother thanked the rescue/save worker who found her baby.
3 According to experts,the volcano could crash/erupt this week.
4 Thousands of people are suffering/trapping from illnesses after the disaster.
5 An emergency delivery/supply of food was transported to the area by the army.
6 The earthquake affected/effected an area of several hundred square kilometres.
7 During a natural disaster,the most important thing is to keep calm/quiet.
8 "She's still breathing/surviving!Come and help me dig her out!" shouted the soldier.
2 Read the passage and fill in the blanks with relative pronouns.
Now,more than 10 years on,the people new life. Many live in new towns
The people live in Wenchuan county will never forget the day 12 May,2008. The 8.0-magnitude earthquake killed over 80,000 people and left many more injured turned many towns and counties into ruins. The rescue work followed was carried out by people from all over the country,and even abroad. suffered the earthquake are living a are earthquake-safe,in local communities have been beautifully rebuilt by the government. The people will never forget those rescued them and helped them rebuild their home. Out of gratitude,many young adults were students during the earthquake have chosen to study medicine or join the army in a wish to help more people. Wenchuan,the county was completely destroyed and then completely rebuilt,has become a symbol of the Chinese spirit of never giving up.
## QREFLECTING
๑- What did you learn about natural disasters in this unit that you did not know before?
(- What else do you want to know about natural disasters?
•. What did you find the most difficult in this unit?
(• What in this unit motivated you most?
๑ Overall,I thought this unit was interesting useful so-so difficult.
## * Project: Give a presentation on natural disasters
1 BRAINSTORM: Work in groups of three or four. Choose one of the natural disasters below and brainstorm answers to the questions.
## Understanding the disaster
Are there any known causes of the disaster?What can be done to prevent it?
## Preparing for the disaster
What are the possible effects of the disaster?What can be done to prepare for it?
## In the event of a disaster
What can you do to stay safe during the disaster?What kind of help do survivors need?
2 RESEARCH: Which questions do you not know the answers to?Which ones do you need more information on?Use the Internet or your school library to find out more.
3 ORGANISE: Put together a presentation using the information you have gathered. Use the tips below to help you.
- Start your presentation with a "hook" (a story or fact to catch the attention of your listeners).
On Monday,5 September 20XX,600 people disappeared when ...
- Reduce your ideas to three main points to help listeners remember what you say.
So always remember to drop,cover,and hold on. ...
- Prepare visual aids for your presentation (photos,charts,tables,etc.).
4 PRESENT: Give a group presentation to your class.
## BEFORE YOU WATCH
Read the sentences about the formation and effects of tsunamis. Then match each sentence with the correct picture.
A Tectonic plates push together.
B A series of waves expands in all directions.
C Whole sections of cities are destroyed.
## WHILE YOU WATCH
1 Decide whether the statements are true (T) or false (F).
1 There are few warning signs just before a tsunami hits.
2 A tsunami breaks just like an ordinary wave but is bigger.
2 Circle the correct word(s) in each sentence.
1 An earthquake occurs when plates below the earth's surface push together/pull apart.
2 Tsunami waves deep at sea move fast and rise only a few/hundreds of feet.
3 As these killer waves enter shallow waters,their speed is reduced/raised.
4 Most tsunami damage is caused when the waves come in from/move back out to the sea.
## AFTER YOU WATCH
Work in pairs. Discuss the questions.
1 What have you learnt about tsunamis?
2 What kind of help do you think people who have suffered from a tsunami need?
In this unit,you will
1 read about the development of Chinese characters and students' difficulties in learning English.
2 listen to a speech about learning foreign languages and talk about reasons why people study a foreign language.
3 write a blog about language study.
4 learn about the history of the Oxford English Dictionary.
## Look and discuss
1 Do you know where the photo was taken?
2 Which languages do you think are officially used here?
## Listening and Speaking
## Explore languages around the world
1 Before you listen,match each photo with the correct country name. Then discuss which languages are spoken in these countries.
France
Germany
Spain
Canada
India
2 Listen to a speech and tick the two languages with the most native speakers. Circle the official languages of the United Nations (UN).
Russian
Spanish Chinese
Arabic Korean
English Japanese
French
A. 3 Listen to the speech again and answer the questions.
1 What is the main topic of this speech?
2 How many languages are there in the world?
3 How many billion people speak the UN's official languages as their native or second language?
4 What is the attitude of the speaker towards foreign language learning?
ค. 4 Listen to the speech again. What do the italicised words refer to in the sentences?
1 They think it means better job chances in the future.
2 They are spoken by around 2.8 billion people ...
## (U) Reference
Pronouns (it,they,she,etc.) refer to something or somebody mentioned earlier. Pay attention to the context of words to help you understand what the pronouns refer to.
## EXAMPLE
A: What language do you want to study?
B: I really want to study French. I think that the French language sounds beautiful.
A: Why?Do you want to go to France some day?
B: Yes,I'd love to. Also,French is used by many international organisations around the world. Do you know that FIFA's full name is in French?
A: Oh,I remember that. But I don't know how to pronounce it.
## Pronunciation
1 Work in pairs. Read the words to each other and see if you pronounce them differently.
$\square$ schedule direct
advertisement $\square$ shone
ค Listen and pay attention to how the speakers pronounce them.
has a British accent and which has an American accent?
English is a crazy language. There is no egg in eggplant nor ham in hamburger;neither apple nor pine in pineapple. English muffins weren't invented in England or French fries in France. Sweetmeats are candies while sweetbreads,which aren't sweet,are meat. ... We find that quicksand can work slowly,boxing rings are square,and a guinea pig is neither from Guinea nor is it a pig. And why is it that writers write but ... hammers don't ham?(Richard Lederer)
## Explore the Chinese writing system
1 Look at the title and picture below. Predict what the text will be about.
(1)) 2 Read the text quickly to find the main idea of each paragraph.
## THE CHINESE WRITING SYSTEM: CONNECTING THE PAST AND THE PRESENT
China is widely known for its ancient civilisation which has continued all the way through into modern times,despite the many ups and downs in its history. There are many reasons why this has been possible,but one of the main factors has been the Chinese writing system.
At the beginning,written Chinese was a picture-based language. It dates back several thousand years to the use of longgu - animal bones and shells on which symbols were carved by ancient Chinese people. Some of the ancient symbols can still be seen in today's hanzi.
By the Shang Dynasty (around 1600 1046 BCE),these symbols had become a well-developed writing system. Over the years,the system developed into different forms,as it was a time when people were divided geographically,leading to many varieties of dialects and characters. This,however,changed under Emperor Qinshihuang of the Qin Dynasty (221-207 BCE).
Emperor Qinshihuang united the seven major states into one unified country where the Chinese writing system began to develop in one direction. That writing system was of great importance in uniting the Chinese people and culture. Even today,no matter where Chinese people live or what dialect they speak,they can all still communicate in writing.
Written Chinese has also become an important means by which China's present is connected with its past. People in modern times can read the classic works which were written by Chinese in ancient times. The high regard for the Chinese writing system can be seen in the development of Chinese characters as an art form,known as Chinese calligraphy,which has become an important part of Chinese culture.
Today,the Chinese writing system is still an important part of Chinese culture. As China plays a greater role in global affairs,an increasing number of international students are beginning to appreciate China's culture and history through this amazing language. 3 Scan the text to find the words and phrases that describe a time. Then write down what happened at each of those important times.
Scanning is looking at the text quickly to find specific information,such as dates or numbers.
4 Read the text again and discuss the questions.
1 How did written Chinese unify Chinese people divided by geography and dialects?
2 How does written Chinese connect Chinese people today with those of the past?
3 According to the writer,the Chinese writing system is one factor that has helped the Chinese language and culture survive. What do you think are some of the other factors?
5 Complete the passage with the correct words and phrase below.
$\begin{array}{lll}\text { system } & \text { carving } & \text { means } \\ \text { dates back } & \text { classic } & \text { civilisation }\end{array}$
Chinese calligraphy has developed along with China's __. It is difficult to say when exactly calligraphy started. Chinese writing was first done by symbols onto bones and shells,but as it developed into a writing,it also developed as a form of art done with a brush. It is believed that Chinese calligraphy to at least the Han Dynasty (202 BCE-220 CE). Soon after that,the idea developed that calligraphy was not only a beautiful art form but also a
showing the character of the "man behind the brush". Today,anyone from small children to old people can enjoy practising the Chinese calligraphy. art of
6 Guess the meaning of the underlined words in the sentences. Then look in the text for the words they are related to.
1 Many Chinese characters symbolise their meanings,unlike English words which are spelt out according to how they sound.
2 The basic forms of the English writing system are known as letters.
3 A unified writing system is considered to be an important part of civilised society.
4 Learning Chinese calligraphy will increase your appreciation of Chinese culture.
## Discovering Useful Structures
## Describe your favourite things
1 Look at these sentences and underline the restrictive relative clauses. What kind of information does each clause communicate?
- It was a time when people were divided geographically.
- Emperor Qinshihuang united the seven major states into one unified country where the Chinese writing system began to develop in one direction.
- There are many reasons why people learn a foreign language.
- These were animal bones and shells on which symbols were carved by ancient Chinese people.
2 Fill in the table to complete each phrase with a restrictive relative clause. Then use the phrases to make complete sentences.
| the day | when |
| :--- | :--- |
| the place | where |
| the reason why |
| :--- | :--- |
the place/time in/at which
3 Complete the passage with the correct relative adverbs or pronouns. Add a preposition where necessary.
When I started studying German,it was a struggle. The words felt strange on my tongue,and the grammar would not stay in my head. I told my mum that I wanted to give up,and that I would never live in a country German was spoken. My mum told me that studying a language was not just for my future. It was exercise for the brain;the more I learnt of a language,the more my brain would grow. And I remember that day I suddenly felt like German was no longer a foreign language. It felt like my brain had doubled in size. I had finally come to a place I could think in this foreign language,and I could see the world from a different point of view. I felt as if I had reached the goal I had been fighting for. I could open a book and see meanings,not just a sea of words. I finally understood the reason my mum had encouraged me not to give up. Thanks,Mum!
4 Work in pairs. Ask and answer the questions.
A: What kind of day makes you happy?
B: It's a day when ...
A: What's your favourite place at school?
B: It's ...,because it is a place where ...
A: What kind of teachers do you like best?
B: I like teachers who ...
A: Who do you admire most?Why?
B: I admire ... That's the reason why ...
## Listening and Talking
## Explore different kinds of English
(1) Listen to the first part of the talk. What are the different kinds of English mentioned?
2 Listen to the second part of the talk. What are the two pairs of words that the student is confused by?Tick them in the boxes.
semester/term restroom/toilet
gas/petrol
subway/underground
3 Look at the pairs of words below. Which words are British English and which are American English?Try to think of more pairs of words like these.
4 Read and role-play the conversation. What misunderstanding has happened?Martin: Hey,Zhou Wei,do you want to go shopping?There's a sale at my favourite store. Zhou Wei: Oh,yes!I really need to buy some pants.
Martin: Pants?That's funny. I don't usually go shopping with my friends for pants.
Zhou Wei: You don't?Don't you like to have somebody tell you if the pants look good or not?Martin: Er... Not really ... Hey,wait,do you mean trousers-what you and I are wearing on our legs right now?
Zhou Wei: Oh,yes. That's what I mean by pants!That's American English,isn't it?
Martin: Yes,it is!I knew what you meant,by the way. I was just joking with you. Did you know that in British English,"pants" means something very different?
Zhou Wei: Really?So what does it mean?
Martin: In British English,the word "pants" means underwear. ...
5 Choose one or two pairs of words in Activity 3 and make a conversation. The expressions below may help you.
## Asking for clarification
Do you mean ...?Does that mean ...?I'm sorry. What does ... mean?I'm sorry. Would you mind repeating ...?So am I right in saying ...?
I beg your pardon.
So what you're really saying is ...
## Write a blog about English study
()) 1 Read these posts from an online forum for Chinese students who are learning English and fill in the table on page 67.
## Learning English
Wang Le
Liu Wen Hi!I've been studying English since primary school. I used to get high marks in English,but now I'm having a lot of trouble with my listening. When I listen to native English speakers talking in a video,I can catch only a few words. I can never quite get the main idea. Any advice?
2 (r) 1
Jia Xin
Listening to English radio programmes helps me get used to how fast native speakers talk. I also repeat what I hear to help myself to experience the feeling of the language. Sometimes I even record my voice so I can listen to myself and compare my pronunciation with the radio host's!My biggest headache is how to be polite in English. It's so much easier to just say "Open the window!",but in English that can sound really terrible. I have to think about who I'm talking to and then decide whether to say,"Open the window,please!" or "Could you open the window,please?" or even longer "Would you mind opening the window,please?"
$00 \times 2$
Li Rui Yeah,that's really hard!I think it all depends on who you're talking to. If I'm talking to a close friend,I can use short requests,like "Open the window"-our relationship is close and we're equals,so I only need a few words to bridge the gap between us. But if I'm talking to someone who isn't very close to me,I must make my request longer-and I must make it a question,not a demand,e.g.,"Could you open the window,please?" If I'm talking to someone senior to me,then I should say,"Would you mind opening the window,please?" For me,vocabulary is my biggest problem - there are just SO MANY new words!I can't keep all the new vocabulary straight in my head,and I certainly can't remember how to use them all properly. HELP!
2 Work in groups. List your problems in learning English and brainstorm some useful advice.
- I don't know how to ...
- ... is a big difficulty for me.
- I cannot ...
- You might try ...
- It's very important to ...
Problem
I cannot understand the teacher's English in class. - I have no idea how/what ...
- My biggest problem is ...
- I (also) have trouble with ...
- My advice is ...
- This worked for me.
Advice
3 Choose one of the problems from your group discussion and write a blog about it.
1 Describe the problem clearly.
2 Write one or two ideas on how to solve the problem.
3 Exchange drafts. Assess each other's work according to the checklist.
4 Get your draft back and revise it.
4 Put up your writing in the classroom or read it to the class. 1 Read the first part of a passage and find suitable words for the blanks.
$\begin{array}{llll}\text { attitude } & \text { classic } & \text { point of view } & \text { civilisation } \\ \text { despite } & \text { native } & \text { related to } & \text { struggle }\end{array}$
Part I The first foreign language I ever learnt was French,but it didn't go very well. My mother asked our neighbour to teach me when I was seven. French wasn't his language,but he used to live in France,so he could speak a little. However,his help,I learnt very little French. I just didn't feel that it my daily life in any way,so I didn't try. When I entered senior high school,my towards language learning changed. I had to learn Latin,which I've always been interested in because I want to study law. For this reason,learning Latin wasn't a for me like learning French. Soon I began to read books in Latin. It certainly wasn't easy,but I got to read lots of interesting stories about ancient Reading those books opened a window for me to another world and gave me a new on my own world.
2 Read the second part of the passage and combine the words in the two boxes to complete the restrictive relative clauses.
building class day way someone
when in which where who that
Part II I became interested in learning more languages aside from English. Then I saw an advertisement that offered a wonderful summer course in German,and that was the I decided to take on a new language. The we met for classes was quite small,but there was a whole world of language to explore. Our teacher was Mrs Haus: a tall,thin,quiet,grey-haired lady. I'll never forget the first she introduced herself to us. She never once raised her voice,but as soon as she began to speak,the room fell silent. What was the reason?Because Mrs Haus LOVED German language and culture - and everybody who was in her classes couldn't help but love the language,too. We all loved the she talked about German food and traditions. And I realised what makes a good teacher. A good teacher is is in love with what she or he is teaching.
What ways did the writer use to learn foreign languages?
## @REFLECTING
๑ What did you think of the quote at the beginning of the unit?
๑ Did you find it easy or difficult to talk about your reasons for learning a foreign language?Why?
๑ Did you learn anything new from the text about Chinese characters?If so,what did you learn?
๑ How does learning about different kinds of English affect your English study?
๑ Overall,I thought this unit was good useful just $\mathrm{OK} $ difficult.
## * Project: Create your own word bank
1 Study an English-English dictionary to help you create a word bank.
There are many different English-English dictionaries. Here is an entry from a commonly used dictionary.
word example - demand /dı'mænd;di'ma:nd/
- $n .1[\mathrm{C}]$ a firm request for something $\cdot$ a demand for equal pay
2 [pl.] ( of sth) things required that are usually difficult and/or tiring $\cdot$ the demands of the new job $3[\mathrm{C},\mathrm{U}]$ the request of customers for goods or services $•$ There is an increasing demand on English translators these days. IDM by popular demand;in demand;on demand
-v. 1 to ask for something strongly $\cdot \mathrm{I}$ demand to know what's going on.
- The boss demanded that all workers arrive in time. 2 to need one's effort,time,skill,etc. • Many sports demand speed and strength.
2 Choose the words that are most difficult/useful to you and put them into your word bank.
1 Decide how to organise the words. For example:
- in alphabetical order: A,B,C,etc.
- by group: all the words related to a certain topic,pronunciation,part of speech,etc.
- by commonly confused words,such as "chicken/kitchen",“diary/dairy",etc.
- by memory devices: words that you have memorised together,such as words with the same roots,etc.
2 Complete the entries.
- English definitions
- grammar information
- one or two example sentences
3 Illustrate them.
- drawings
- diagrams
- tables tongue
$n$. the soft part inside one's mouth that we use for speaking and eating
cab
n. a taxi
calligraphy
$n$. the art of producing beautiful writing using special pens or brushes
3 Work in pairs. Exchange ideas with each other about how you made your word bank. Then discuss how you are going to use it to help your English study.
## Chinese Characters
The Chinese writing system has evolved from ancient times. Learning Chinese characters can connect us with people from long ago. Written Chinese has also been adapted so it can be used by future generations.
## BEFORE YOU WATCH
Complete the sentences with the words below.
carved classics era origins radicals
1 Ancient Chinese people symbols onto turtle shells or bones of animals.
2 Many of today's characters have their in the observations of ancient Chinese people.
3 About 80 percent of Chinese characters are made up of smaller parts,called
4 If you can read Chinese characters,you can read Chinese from thousands of years ago.
5 Chinese characters have been adapted into digital form in the modern
## WHILE YOU WATCH
Choose the correct answers.
1 How many tales or legends about the origin of Chinese characters are mentioned in the video?A Three.
B Four.
C Five.
2 Today,written Chinese is the system of writing in the world.
A most complicated
B oldest continuously used
C hardest
3 The character jia probably originated from the idea that
A animals should live in family homes
B a good family home has plenty of food
C ancient homes always kept pigs
4 China's unified writing system forms a strong bridge linking
A China with the rest of the world
B Asia,Africa,and Europe
$\mathbf{C}$ the present and the past
5 Written Chinese spreads wherever it goes.
A Chinese culture
B Chinese classics
$\mathbf{C}$ tales and legends
## AFTER YOU WATCH
Work in groups. Discuss the questions.
1 Why do you think written Chinese has survived for so long?
2 Why do you think an increasing number of international students become interested in learning the Chinese language?
## UNIT 1
## Using Words and Expressions
1 Look at the words below. Cross out the one that does not belong to this group and think of more words to add to this group.
teenage freshman $\quad$ literature
outgoing greenhouse wildlife
online cheerleader extra-curricular
Use the words below to make compound words and then explain their meanings.
2 Complete the passage with the correct forms of the words below.
$\begin{array}{lll}\text { online } & \text { sign } & \text { debate } \\ \text { attract } & \text { youth } & \text { speech } \\ \text { schedule } & \text { prefer } & \text { recommend }\end{array}$
What are teenagers into and what turns them off?A(n) questionnaire asked 1,000 senior high school students about their likes and dislikes. According to the results,taking exams and speaking in front of others are among the least popular activities for today's . Many students like to
interesting topics with their classmates but feel awkward or uncomfortable when they have to give a(n) in class. Nearly half of the teenagers think that their are too busy. They wish they had not up for so many courses and extra-curricular activities. The older teenagers say that they that freshmen wait until the second term before they join a team or club. What today's teenagers the most?Not surprisingly,listening to music and playing computer games are common favourites. Watching videos is popular,too,and 21 percent say that they reading.
3 Some words can be used as a verb and as a noun. Find these words in the sentences and explain their meanings.
$$
\begin{aligned}
& \text { volunteer challenge } \\
& \text { focus graduate schedule }
\end{aligned}
$$
1 Oscar challenged me to a game of chess and I accepted the challenge.
2 Some experts worry that parents schedule too many extra-curricular activities for their kids. The kids have a busy schedule every day and do not get enough sleep.
3 OK,listen up,please!We need a volunteer to help organise the school dance on Saturday. Who wants to volunteer?
4 The focus of today's meeting is how to stay safe at school. Please focus on this problem.
5 My cousin Jim is a Tsinghua University graduate. After graduating,he now works as a designer.
Can you find other similar words from the unit?4 Complete the sentences with the correct forms of the phrases below.
be suitable for be concerned about be responsible for be addicted to be attracted to
1 Sheila is the coach of the school badminton team;she training the players.
2 This course seems difficult and (not) freshman students.
3 Many teenagers today online games,but they should manage their time so that they won't those games.
4 You don't have to getting low grades at the end of the term if you try your best now.
## Translate the English sentences
into Chinese.1 Some behaviours of my generation are considered strange by my parents' generation.
2 We will try our best to give you a detailed schedule soon.
3 Recently,there has been a strong movement around the country encouraging people to quit smoking.
4 Adventure travel has become more and more popular,not only among the youth but even among the middle-aged.
5 Obviously,students are required to ask their parents whether they can go on the school trip,and they are also responsible for giving notice in advance if they cannot.
## Using Structures
1 Decide whether the underlined parts are noun/adjective/adverb phrases and state their functions.
1 The students will do group discussions,timed writing,and research in the advanced literature course.
2 It's raining quite heavily. He won't be back very soon.
3 What you learn at school plays a very important part in shaping your behaviour in society.
4 Just sign up for one activity for the joy of trying something new.
5 Strangely enough,she didn't seem to like ballet very much
2 Read the poem aloud and see how the underlined parts work in the poem.
Nothing so rare
As a day in June,
The air so fine
And the blossoms all blue.
The weather just perfect,
The skies never gray
The bugs always buzzing
And the trees seem to sway.
The sun beats so warmly
On the tenderness of my skin,
And the birds ... they fly,
Far away in the wind.
June is the month
That carries a tune.
Its beautiful melody
Floats like a balloon.
by Danielle Owens 3 The words in some of the sentences are not in the correct order. Put them in the correct order.
## EXAMPLE
I'm very interested in Chinese modern literature. $\rightarrow$
I'm very interested in modern Chinese literature.
1 What a beautiful old French painting!
2 We can find a public reading quiet room.
3 They plan to build a new volunteer centre in town.
4 She owns a white small cute cat.
5 Don't worry. He will do the job enough well.
4 Choose the phrases below to replace the underlined parts.
well enough some of the quite silly very bad a very difficult test too many very kind really angry really great not such a big deal
A: Oh!What a day!
B: Why?What happened?
A: We had an impossible quiz in chemistry class. I thought I'd prepared very well but couldn't answer a single question. I felt like a fool!
B: Sorry to hear that. But it's just a quiz. I'm sure you got a few questions right. It's not the end of the world.
A: Oh,it's terrible!My mum will be cross. She's told me a thousand times I need to become a better student.
B: She won't. She knows you tried your best. Don't worry. It's nothing!
A: Yeah,I guess you're right. I just wish I'd done better.
B: Why don't we study together next time?
A: That would be wonderful!You're the best!5 Complete the passage by translating the Chinese in brackets into English. What do you think of Chinese tea culture?
Move over,mochaccino-Chinese tea culture is coming!If
(一群来自杭州的高中生) get their way,the world will ( 很快) be drinking Chinese tea instead of coffee. The students created a project to make Chinese tea and tea culture more popular at home and abroad. They gave speeches on the history and traditions of Chinese tea and organised (很多令人激
动的活动 ). In （其中一些活动中),people could taste ( 各种不同类型的茶 ) and even try picking tea leaves. The students also used the Internet to make teenagers ( 更加感兴趣 ) in tea culture. The project was so successful that the students won second prize in (一次大型的国际性的 ) competition. Best of all,they learnt to work as a team and use their creativity.
## Reading
4)) 1 Skim the text. Write down the main idea of the text.
## THE FACE-DOWN GENERATION
If you're reading this,you were probably born in the 2000s. The oh-ohs. The 21st century. That would make you young,creative,connected,global,and no doubt smart. Maybe goodlooking,too. Right?But what do other people think about your generation?
Some adults worry that you're more interested in the screen in front of you than the world around you. They think of you as the "facedown generation" because you use your phone so much and they wonder how you will deal with school,friends,and family. Are today's teenagers too busy texting and taking selfies to become successful in real life—or "IRL",as you would say?
Other adults worry that today's youth are spoilt ( 宠坏的) and don't want to face the challenges of adult life. Many children born in the 1990s and 2000s were raised by "helicopter parents" who were always there to guide and help them with a busy schedule filled with homework and extra-curricular activities such as dancing,drawing,or sports. With parents who do everything for them,today's youth seem to prefer to live like teenagers even when they are in their 20 s or 30 s.
Does the face-down generation need a heads-up?Well,probably not. The fact is that many of today's teenagers are better educated and more creative than past generations. They also seem to be enthusiastic ( 热情的) and willing to become leaders. More young people than ever volunteer to help their communities. There are also brave young people such as Malala Yousafzai,the teenager who won the 2014 Nobel Peace Prize for pushing girls' rights to go to school.
So if you're one of the oh-ohs,there's reason to be hopeful about the future. Things are looking up for the face-down generation. Chances are that you will do GR8 (great) and LOL (laugh out loud).
## Read the text carefully and answer the questions.
1 Was the writer born in the 2000s?How do you know?
2 Read the last sentence in Paragraph 2. How does the writer answer the question?How would you answer the question?
3 What is a "helicopter parent"?
4 What does the writer think about the younger generation?Do you agree?
## Writing
“Talking Teens" provides advice for parents. Read the parents' questions. Choose one of the questions or one from your parents',and then write a letter of advice.
## Dear Talking Teens,
I have a daughter who has just started senior high school. She wants to choose her own courses and decide everything by herself. In the past,she would always ask me for advice,but now she talks to her friends instead. Why doesn't she want my advice any more?
Best regards,
## Confused Mum
## Dear Talking Teens,
My son is 16 and wants to get a girlfriend. I think he is too young and should focus on school instead. He says that his friends have girlfriends and that I am being too old-fashioned. Is he right?
Yours truly,
Old-school Dad
## Dear Talking Teens,
My son will turn 15 next week. I want to give him something special,but I have no idea what to buy. It used to be easy to know what he liked. Now it seems like we don't have the same taste any more. Please help!
Sincerely,
## Loving Father
## Dear Talking Teens,
My daughter wants to study abroad but I think she is too young. She is only 14. Besides,it would cost a lot of money to send her to a school in another country. I think she should finish senior high school first,and then maybe study abroad when she's in university. What do you think?
Best wishes,
Mum in Yunnan
## * Expanding Your World
## TEENAGE LIFE
AROUND THE WORLD
Hi there!My name is Asha and I'm from Tanzania. Like most teenagers,I start my day early and end it late. After school,I study at a night school to prepare for the university entrance exam. When I have time off,I prefer to be outdoors. I love nature and animals. I'm quite upset about how we treat the environment,so I do my best to help. I volunteer to plant trees and I'm a member of our school's Nature Club.
Asha,Tanzania
Samika,Bangladesh Hi!I'm Samika and I'm 15. I wish I were a student,but I'm not. I had to leave school when I was 13 so that I could get a job and help my family. I work in a garment factory. It's unbelievably hard work and the days are so long. Although everyone works hard,we still find time to play and laugh together. At times like these,the world feels like a wonderful place.
$\mathrm{Hi}$,Frieder here. So,I'm 16 and I go to a high school in Munich. I'm not crazy about school-listening to a teacher isn't my thing -but I know I have to get an education. It's very difficult for young people to find a job in Europe,so I worry a lot about the future. Oh,and I'm a gaming nerd. I love Internet games so much that I have started a gaming club at my school. Maybe I'll see you online-my screen name is FastFreddy.
Frieder,Germany
## UNIT 2
## Using Words and Expressions
1 Make compound words and explain what they mean. Then use them to complete the sentences below.
$1 \mathrm{~A}(\mathrm{n})$ is a book which gives information to visitors so they can know more about the place they are visiting.
$2 \mathrm{~A}(\mathrm{n})$ is flowing water that drops from a high to a low place,often from a great height.
$3 \mathrm{~A}(\mathrm{n})$ is an important public road that connects cities and towns.
4 is the activity of visiting interesting and/or beautiful places,usually as a tourist.
$5 \mathrm{~A}(\mathrm{n})$ is a small book given by your government to prove that you are a citizen (公民) of your country.
6 means during or for the night.
$7 \mathrm{~A}(\mathrm{n})$ is a large forest,usually in a hot place,that gets a lot of rain.
8 is a country that is beautiful and green,although its name sounds like it is cold and icy.
2 Complete the passage with the words and phrases below.
$$
\begin{aligned}
& \text { amazing check in unique other than } \\
& \text { economy sights view destinations }
\end{aligned}
$$
One of the most relaxing ways to travel is a cruise. A cruise needn't be expensive!Cruise ships have lots of class rooms and lots of free activities. the ticket,you don't have to pay for anything you don't want. You can enjoy food in the ship's many dining rooms and have a wonderful ocean every day. You can experience local cultures when the ship stops at different seaside Of course,if the ship stays at a city for several days,you can even at a local hotel for a few nights,so you can see more of the local
3 Complete the poster with the correct forms of the words from this unit.
Popular tourist destinations include the Zhongshan Walking Street,famous for its food and shopping,and the Island Ring Road,where tourists can cycle on the 43-km bike $\mathrm{p} \quad$ that runs along the seaside.
Other famous s_ are the Nanputuo Temple and the Xiamen Botanical Garden ( 植盶),which is $\mathrm{m}$ $\underline{u}$ of more than 20 areas filled with beautiful plants. Hulishan Fortress,built in the Qing Dynasty,is also worth a visit. It helped $s$ stop any enemies from
c o the city.
A must-see for visitors is Gulangyu Island,with its $\underline{n}$ streets,beautiful beaches,and unusual a .It has a piano museum with over 200 pianos. Visitors can enjoy a wonderful $\underline{\underline{v}}$ of the island from Dragon Head Hill. 4 Use the words and phrases in brackets to translate the Chinese into English.
A: Do you have any plans for the holiday?
B: Yes!My parents and I are going to drive out to the countryside and stay in a farmhouse.
A: Why aren't you going to ( 游览一个著名的旅游胜地)?(tourist destination)
B: Well,all of us really want to relax and enjoy some peace and quiet.
（我们打算每天去山
里远足，欣赏美景). (hike,admire,view)
A: That sounds nice. How did you hear about this kind of holiday?
B: (我爸爸
看到了一份乡村度假的宣传册). (brochure,countryside) So he decided to call and see whether we could book a farmhouse.
要出发了). (can't wait to) （我迫不及待想
5 Try to expand the mind map with as many words and phrases as you can think of.
## Preparing for a trip
## Using Structures
1 Use the present continuous tense of the verbs in brackets to complete the sentences.
$1 \mathrm{He}$ credit card next Tuesday. (apply for) a
$2 \mathrm{He}$ (not,visit) the Eiffel Tower next week since he (attend) a meeting in Seoul.
$3 \mathrm{I}$ (not,pack) until the day after tomorrow.
4 I don't know if she (check in) tonight or tomorrow.
5 (you,check out) of the hotel tomorrow?
6 How long (you,stay) here?
2 Combine the words and phrases to make sentences using the present continuous tense.
1 they/rent/a car/this weekend
2 he/go hiking/with us/this Sunday/?
3 where/you/go/for the Spring Festival/?
4 what time/the flight/take off/?
$5 \mathrm{I} /$ pick up/package/from the post office/ after lunch
$6 \mathrm{I} /$ book/tickets/for the castle tour/tomorrow
3 Decide whether will do or the present continuous tense is better and fill in the blanks.
1 I (always,love) you.
2 My parents and I (visit) the Architecture Museum this weekend.
3 I think you__ (find) this guidebook useful.
$4 \mathrm{We}$ (take) a trip to Hubei next month to see my grandmother.
5 (you,contact) the travel agent this Friday?
6 If you ask him,I'm sure he (give) you a ride to the airport.
4 Tick the sentences expressing future plans and change will do into the present continuous tense. Then complete the email.
The cruise will leave on 23 March and return on 1 April.
$\square$ We will take a cruise to Thailand!
I know you will want to read more about the tour.
I will also send you the brochure soon.
Dear Dad,
I hope you and Mum are well!Mia and I want to invite you to join us for our spring holiday.
We found a great package tour for the end of March.
Mia is especially excited about the trip. She loves warm weather!I really hope you can come with us.
You can find more information online.
Let me know what you think!
Love,
Paul 5 Choose one of the two itineraries below. Write a few sentences to describe your travel plans,using the present continuous tense.
## HANGZHOU,CHINA
Mon 9:00 a.m.: flight to Hangzhou afternoon: check in at the hotel
Tue West Lake
Wed Grand Canal ( 大运河)
Thur Wuzhen: experience the beauty of the ancient water town
Fri morning: Botanical Garden afternoon: National Silk Museum
Sat morning: go shopping afternoon: pack
Sun leave for home
## AUCKLAND,NEW ZEALAND
Mon 1:50 a.m.: flight to Auckland late afternoon: check in at the hotel
Tue Te Papa (National Museum of New Zealand)
Wed take a cable car ( 缆车) up to the Botanical Gardens
Thur morning: go shopping afternoon: visit the Sky Tower
Fri take a road trip into the mountains
Sat return to the city
Sun leave for home
## Reading
4)) 1 Read the editorial below. What is its main idea?
## BE A GOOD TOURIST
Tourism can be both good and bad. Yes,it brings in money for the local economy and creates lots of jobs for locals,but it may also bring some problems.
One growing problem is tourists who want to prove that they have visited a destination. Tourists have used paint,rocks,or even keys to write on the Luxor Temple in Egypt,the Colosseum in Rome,Stonehenge in the UK,memorial stones at the bottom of Qomolangma,and many,many other places. Thousands of tourist sites are being destroyed by tourists who "love them to death". I have three words for people like this: please stop it. If you want to leave a mark on the world,do it by changing someone's life with kindness and love. Pass kindness along to future generations,not destruction ( 破坏)
Another big problem in some places has been tourists disturbing (打扰) the local people and life. Some tourists wander around and take pictures of local people without asking for their permission. For example,Chiang Mai University in Thailand and Yonsei University in South Korea have great numbers of tourists visiting their campuses and walking through their libraries and other public areas,taking pictures of students,and disturbing their studies. Another example is Sanlitun,a neighbourhood in Beijing,China. Some tourists love to party there late into the night,making it difficult for locals to sleep. I have three words for tourists like this: please be considerate. Have fun in a way that does not disturb others.
The number of problems from tourists is endless: walking in large groups without considering others who need to walk by,crossing roads without thinking of local traffic laws,and many more. The only way to solve the problem of the terrible tourist is to make sure that you are not one!Be the best,kindest,most polite tourist possible. Remember,whenever you step outside your country's borders,you are representing ( 代表 ) your country to the rest of the world.
2 Scan the text for answers to the questions.
1 What kind of mark does the writer suggest that tourists should make?
2 What does the writer say is the only way to solve the problem of the terrible tourist?
3 Look at the sentences. Which are facts (F) and which are opinions (0)?
( ) 1 Tourists have used paint,rocks,or even keys to write on some famous sites
( ) 2 If you want to leave a mark on the world,do it by changing someone's life with kindness and love.
( ) 3 Some tourists wander around and take pictures of local people.
( ) 4 Be the best,kindest,most polite tourist possible.
4 Do you agree with the writer's suggestions for tourists?What other suggestions do you have?
## Writing
1 Look at the pictures below. Write down what the tourists are doing wrong in each picture and think about the consequences.
2 What are some other wrong or foolish things that tourists do?What are some good things that tourists should do?
3 Organise your ideas using one of the outlines below or your own.
## Outline 1
Outline 2
1 Introduction
2 Be a good tourist by ...
3 Be a good tourist by ...
4 Be a good tourist by ...
5 Conclusion
Your Outline
4 Write a passage to express your opinions on how to be a good tourist.
## * Expanding Your World
Dear Sir,
Pisa is a fine old city. The houses are well-built;the streets open,straight,and well-paved;the shops well-furnished;and the markets well supplied. There are some beautiful palaces. The churches are built with taste and well decorated. There is a stone wharf on each side of the Arno River (阿尔诺河),which runs through the city,and there are three bridges over it. The number of people there is rather small. This gives the place an air of wonderful quietness,which is
very pleasant.
Of course,I visited the beautiful leaning tower,which is eight floors high,each having a round of columns,rising one above another. It leans so far on one side that if you dropped a stone from the top,which is 188 feet high,it would fall 16 feet from the base of the tower. I would have never dreamt that this would have happened for any other reason than an accident;but some people have said that it was done on purpose by the architect!Anyone with eyes can see that the columns on one side have sunk rather far. These leaning towers are not uncommon in Italy;there is one in Bologna (博洛尼亚),another in Venice (威尼斯),a third between Venice and Ferrara (费拉拉),and a fourth at Ravenna (拉韦纳).
A most interesting person you might meet in Italy is the Improvisatore;this is what they call certain people who have the surprising ability to make up poems on any subject you suggest. Mr Corvesi,my landlord,has a son who is amazingly good at this. When a subject is given,his brother picks up his violin to play along as he begins to make up poems with wonderful speed and skill. He will,at a minute's warning,recite two or three hundred beautifully written verses,with compliments to the listeners!The Italians are so fond of poetry that many of them have memorised the best parts of their great poets;these are the sources from which the Improvisatori take their rhymes,rhythms,and expressions.
## UNIT 3
## Using Words and Expressions
1 Match the two parts to make definitions.
An athlete is
An event is
A stadium is
A gym is
2 Which sports record is stated in each sentence?Fill in the blanks to find out.
$\begin{array}{lll}\text { skiing } & \text { marathon } & \text { track } \\ \text { boxing } & \text { badminton } & \text { soccer }\end{array}$
1 The first ever FIFA World Cup goal was scored by Lucien Laurent,a French player,at the 1930 World Cup.
2 The greatest number of rounds in a match was 276 when Jack Jones beat Patsy Tunney in Cheshire,England,1825.
3 The longest time spent non-stop is $202 \mathrm{hr} 1 \mathrm{~min}$ by Nick Willey in Australia in 2005 . He skied over $1,150 \mathrm{~km}$ in the process.
4 The first Chinese Olympic gold medals in were won by Ge Fei and Gu Jun in Atlanta in 1996.
5 Xu Yongjiu won the gold medal in a 10-km walking race in the Norway World Cup in 1983. She became the first Chinese world champion in and field.
6 The became a modern Olympic event in 1896,though the distance was not standardised until 1921.
3 Complete the sentences with the correct forms of the phrases below.
at home and abroad work out come along even though give up fall apart learn from one's failures lose heart
1 Do not You should work harder to solve the problem.
2 It is a shame that their friendship finally and they became enemies.
3 we will certainly fail at times,learning from the mistakes we make will be invaluable.
4 Even in the middle of his busiest schedule,he three times a week to keep fit.
5 As much as we value our successes,we need to
6 Ping-pong has now become an international sport;it is played
7 I hope you can come to our party after the final game,and please feel free to invite a friend if you like.
8 If you could choose to remember only six words in your life,remember these: "Never,ever Keep trying."
4 Write down as many phrases as you can using make or out. Then make sentences with them.
5 Read the passage and answer the questions. Do you agree with the writer?
What is the difference between a good athlete and a great one?What is the difference between a player of a sport and a master of a sport?A sports psychologist (心理学家) suggests there are four things that all great athletes have in common. First,all great athletes love competition. They are not afraid to compete with other people. Second is their self-confidence;they are positive about themselves and their abilities. Great athletes can also deal with stress well. They are able to cut out things from their lives that add to their stress,such as unhealthy food or bad friendships. Finally,all great athletes have the mental strength to focus on what is most important. They will not let themselves be distracted (使分心 ) from their goal. Great athletes set an example to all of us not only in how to play sports well but also in how to live life well. 1 What do all great athletes have in common?
2 How do all great athletes feel about themselves and their abilities?
3 What are all great athletes able to do to help handle ( 处理) stress?
4 What makes it possible for all great athletes to focus on what is most important?
6 Translate the sentences into English using the words and phrases in brackets.
1 有些女孩子进行不健康的节食,因为她们想保持苗条的身材。(go on unhealthy diets,slim)
2 足球运动员在比赛中不应该假装摔倒,这是一种作弊行为。(pretend,cheat)
3 美式足球与英式足球没有可比性,因为它们是两种截然不同的运动。(compare ... with/to)
4 安娜喜欢打网球,而不是羽毛球。(prefer,rather than,badminton)
5 吉姆偶尔会买几本体育杂志。(now and then)
## Using Structures
1 Read the conversation aloud and pay attention to the tones of the tag questions.
A: We're all so busy,but we can't just sit around and study all the time,can we?
B: No,we can't. Sometimes I just have to get up and do a few jumping jacks.
A: Jumping jacks?Those are a kind of exercise,aren't they?
B: Yes,they are!You jump and bring your hands together above your head and move your feet apart. Then you jump again,bringing your hands to your side and your feet together. I'm sure you've done them before,haven't you?
A: I know what you mean now. They are also called star jumps,aren't they?Why don't we do a few now?
B: Sure 2 Add tag questions to the statements.
1 Let's go and work out in the gym,?
2 You don't take part in a marathon when you're ill,
3 Turn off the TV,
4 She's doing all she can for us in times of stress,so we must back her up,?
5 Henry thinks you are cheating your friends,
6 Andy's never been anything but a friendly guy,?
7 Emily had to cut out sugar from her diet asher doctor suggested,
8 There's going to be a talk on wellness and fitness next week,
3 Complete the conversation with appropriate tag questions.
Tom: Mum,I can have one more burger,?
Mum: No,you can't. You've already had two!But you can have some yoghurt. Oh,what's that noise?
Dad: It isn't a storm coming,
Tom: Yes,it is!But it's on TV!
Dad,come and see,
Dad: What movie are you watching?
Tom: The Day after Tomorrow.
Mum: Let's watch it together,?
Family time!
Dad: Good idea!4 Complete the questionnaire for Chris. Then fill in the blanks below and write an ending to the conversation,using tag questions where necessary.
## -
PRIME GYM
Be your best
Name: Chris Chang
Age: 17
Gender: Male
1 How long have you been working out at the gym?
๑ Never. O 1-6 months. O Over 6 months.
2 How many hours do you (plan to) spend at the gym each week?
O 2 hours. 04 hours. 06 hours.
3 What do you like to do at the gym?
O Running. O Weight training. O Yoga.
4 Why do you go to the gym?
$O$ To keep fit. O To build muscle. O For fun.
A: Hi Chris!My name is Steve. I'm a trainer here at the gym. So you've just filled out our questionnaire,
B: Yes. It's nice to meet you,Steve.
A: It's good to meet you,too!$\mathrm{OK}$,let me take a look at your answers. Hmm ... So you've never worked out in a gym before,?
B: No,I haven't,Steve. Embarrassing ( 让人堦処的),but true.
A: Oh,don't be embarrassed!It's never too late to start. But I have to ask ... You think working out for ... hours a week is enough,?
## Reading
1 What do you know about the sports below?Match them with their descriptions.
1 Skiing ...
- was originally a sport only in cold northern countries.
2 Skating ...
- is named after the shape of the sleds ( 雪栓) used in the 1890s.
3 The skeleton ...
- can involve speed and graceful figures.
4)) 2 Read the text and check your answers.
## BOOL COLD SPORTS
The Winter Olympic Games are not just an opportunity for athletes to win medals and honour for their countries. Every four years,the Games also offer audiences a chance to get to know more about winter sports from around the world. The Winter Olympics may not have the large crowds and huge stars of its summer sibling,but they share the same Olympic spirit.
One of the most popular sports of the Winter Olympic Games is skiing. Skiers compete in the downhill and slalom ( 回转赛),and in the short and long cross-country ski races. Skiing was originally a sport played only in cold northern countries,but now athletes from all over the world compete in this sport,even those from countries without any snow!
Skaters compete with each other in speed races or in figureskating events. The figure-skaters are generally considered to be the stars of the Winter Olympic Games. These ice princes and princesses are so graceful that it's easy to forget that they are actually highly skilled athletes.
The skeleton is one of the strangestnamed sports of the Olympics. The skeleton is named after the shape of the metal sleds used in the 1890s,when the sport first started. The skeleton is a downhill sled race,usually on ice. This sport looks a little like the luge ( 无舵雪栓),where a person sits on the back of the sled with his or her feet forward,but the skeleton is a lot more exciting and dangerous than that. In the skeleton,a person lies on his or her stomach on the sled,with his or her head pointing downhill!
3 Read the text again and answer the questions.
1 What is the "summer sibling" of the Winter Olympics?Why do you think the writer uses that phrase?
2 How does the writer describe figure-skaters?
3 Which of these three Winter Olympics events do you find the most interesting?Why?
## Writing
Write a letter to the International Olympic Committee (IOC) to propose a new sport or event that you think should be added to the Olympics. Use the outline below to help you.
- The name of the sport or event
- Where it comes from and a short history about it
- Why you think it should be an Olympic sport or event
(Address of the sender)
(Title of the recipient)
(Address of the recipient)
(Date)
Dear Sir/Madam,
My name is and I'm a student in,China. l'm writing to you to ask whether
This sport comes from It first started in
I think should be included as an Olympic sport because
Yours faithfully,
## * Expanding Your World
## HOT TICKETS
What makes a sports event a winner?Exciting action?Tick. Athletes competing to win honour and glory for their club or motherland?Tick. History and tradition?Tick. Delicious snacks?Tick. Most people think global events such as the Olympic Games and the World Cup are the most exciting,but there is some serious competition. Here's a look at some of the hottest tickets in sports.
## The World Series (baseball,USA)
The World Series is the final championship of the American baseball leagues. The seven-game series is played in October or November and attracts a great number of fans. Baseball is one of America's favourite sports and has many traditions,such as the "seventh-inning stretch (七局伸展操)". The song "Take Me Out to the Ball Game" is played so that everyone can get up after sitting for a long time. The break is also a good time for a snack. Hot peanuts are a hit with hungry baseball fans,but the hot dog is the real winner!
## Indian Premier League (cricket,India)
Cricket is from England but has become as Indian as saris and curry. The Indian Premier League has the largest audience of all cricket leagues in the world and is the sixth most-watched sports league in the world. Cricket is a unique sport and may seem a little confusing at first,but once you start learning the rules,you'll love it. The most popular cricket snacks are finger foods like biscuits and cucumber sandwiches.
## Wimbledon (tennis,England)
Wimbledon is a treat for all tennis fans. The tournament started in 1877 and many of the rules are the same today. For example,the players may only wear white clothes. The event,however,is quite colourful since fans often dress up for the games and wear amazing hats. And when it comes to snacks,it's "game,set,and match" at Wimbledon. Where else can you enjoy champagne and strawberries as you cheer for the champion?
## UNIT 4
## Using Words and Expressions
1 Match each word with its definition.
$\begin{array}{lll}\text { electricity } & \text { volcano } & \text { flood } \\ \text { landslide } & \text { drought } & \text { shelter }\end{array}$
1 a long period of time with little or no rain
2 the falling of a lot of earth and rocks down a mountain
3 : a large amount of water overflowing and causing a lot of damage
4 a form of power for lighting,heating,machines,etc.
5 : a mountain from which gas,ash,and hot rocks sometimes burst out
6 : a place built to give protection,especially from danger or bad weather
2 Circle the verbs in the puzzle. Then complete the sentences with the correct forms of the verbs.
1 He made a stupid decision and now he is for it.
2 My brother a bone in his arm when he fell off his bike.
3 A truck went out of control and into the back of a bus.
4 An earthquake can suddenly,but there may sometimes be warning signs.
5 Few sheep and cows the snowstorm last night.
6 The child was from the ruins by a young volunteer after the earthquake.
7 I was shocked when I saw on TV that so many people were in the burning buildings.
8 The Red Cross Society of China is the disaster-hit area with doctors and medical supplies.
3 Complete the passage with the correct forms of the words below.
death destroy survive
crash shelter disaster
Earthquakes are a form of natural They are so powerful that they can cause tall buildings to to the ground in just a few seconds. In fact,most of the in an earthquake are caused by falling houses or buildings. New research data from earthquake zones is helping architects to design safer buildings that will not be during an earthquake. Instead of being fixed in place like most ordinary buildings,the new buildings they have designed can move. Other researchers have designed small round houses that will not fall down when there is a quake. Because the houses are round,they can strong winds and floods,and are good during a disaster.
The photo below shows a special earthquakeproof house in Sichuan,China. Do you have any other ideas to make houses safer?4 Translate the sentences into English using the words and phrases in brackets.
1 志愿者给被困在村子里的人送去了食物和其他补给品。(trap,deliver,supply)
2 多年以后,他在乡下过着平静的生活，似乎灾难从末发生过。(calm,as if,disaster)
3 在震区,因为没有栖身之所,人们只好露宿户外。(quake-hit area,in the open air,shelter)
4 这个援助项目将对非洲女童的教育产生巨大影响。(aid,effect)
5 虽然洪水没有影响我们的学校,但是却冲毁了低地的许多房屋。(affect,ruin)
6 幸运的是,志愿者手上有一些船只,可以帮助人们转移到安全的地方。(on hand)
* 5 Gile,a girl in Bangladesh,is talking about floods in her country. Write her story with the help of the notes below.
Gile $\triangleright$ frightened $\triangleright$ a flood $\triangleright$ sweep over - her village
neighbours $\triangleright$ sweep away $\triangleright$ huge waves
Gile's house destroy $\triangleright$ her family safe now > live $\triangleright$ a shelter
Bangladesh $\triangleright$ often affected $\triangleright$ disasters like flooding
Gile $\triangleright$ think $\triangleright$ people $\triangleright$ better prepared $\triangleright$ protect $>$ flooding
## Using Structures
1 Fill in the blanks with that,which,who,whose,or whom.
1 A disaster is a very bad accident or a sudden event usually causes great damage and can ruin many people's lives.
2 The woman wanted to find and thank the firefighter rescued her from the fire.
3 A typhoon is an extremely strong wind often happens in the Western Pacific Ocean.
4 The children ___ parents could not be found were looked after by neighbours and friends.
5 A tsunami is a very large wave is often caused by an earthquake under the sea.
6 People to ___ much is given are people of___ much will be expected.
2 Use a restrictive relative clause to combine each pair of sentences.
## EXAMPLE
The baby was crying. The baby was rescued from the building. (who)
The baby who was rescued from the building was crying.
OR
The baby who was crying was rescued from the building.
1 The CCTV reporter is interviewing a woman. The woman's family survived the earthquake. (whose)
2 The soldier will remember the rescue worker. The soldier worked with the rescue worker during the quake. (with whom) 3 The rescue workers had to walk slowly ${ }^{*} 4$ Add more information to the passage through the bricks. The bricks covered the ground. (that/which)
4 My family will always be thankful for the people. We received aid from the people. (from whom)
5 The people lost everything in the quake. We need to help them prepare for the coming winter. (who)
3 Complete the passage with that,which,who,whose,or prep + whom.
For people love the sun,summer is a time of fun. But for people families were destroyed by the super typhoon hit East China in July 2016,that summer was a time of great sadness. The floods and landslides caused by the typhoon killed 161 people,left 61 missing,and forced the evacuation of hundreds of thousands of people. The victims the typhoon brought death or great loss were in several provinces along the Yangtze River. In the months have passed since then,much has been done to make things better and help the thousands of people homes were destroyed,although the sadness will never leave those summer now marks the death of a loved one. by using restrictive relative clauses that answer the questions in brackets. You may use a library or the Internet to help you.
## EXAMPLE
Who should be warned?$\rightarrow$ people who might be in danger
Tornadoes are strong winds (What kind of winds are they?). It is not easy to know where they will go,so it can be difficult to warn people (Who should be warned?). In order to learn more about how tornadoes form and move,some brave researchers (What is their job?) do what most of us would not. They chase (追赶) storms in order to collect more detailed information first hand. Of course,the researchers have special equipment (What kind of equipment?),but they need to get close enough to use it and still keep safe from the danger.
## Reading and Writing
()) 1 Read the text quickly. Who is the eyewitness?What event is the eyewitness describing?
## THE STORY OF AN EYEWITNESS (Adapted) Jack London
history has a city been so completely destroyed. San Francisco is gone. The factories,the great stores and newspaper buildings,the hotels,and the great houses of the rich are all gone.
On Wednesday morning at a quarter past five came the earthquake. A moment later,the disaster was a fact. South of Market Street,in the working-class neighbourhoods and in the factories,fires started. Within an hour of the first quake,the smoke could be seen 100 miles away. The sun was red in the dark sky. There was no stopping the fires. The firefighters to whom the task was given did their best but there was no way to organise or communicate. The railway tracks were now useless and there was no water in water pipes. All of the ways man had made to keep the city safe were gone in the 30 seconds the earth moved.
By Wednesday afternoon,half the heart of the city was gone. At that time,I watched the disaster from a ship on the bay ( 海湾 ). Out at sea it was calm. No wind came up. Yet from every direction-east,west,north,and south-strong winds blew upon the unlucky city and those whose homes had once stood in its green hills.
Wednesday night saw the destruction of the very heart of the city. Man himself had to make ruins of some of the city's best buildings so that they would not be a danger to those in the streets. Tens of thousands who had lost their homes left the city to look for shelter from the fires. Some were dressed only in blankets and carried the things that they had been able to rescue from the fires. But there were no fights and no pushing or shoving. Somehow this worst of disasters brought out the best in the survivors. Never in all of San Francisco's history were her people so kind as on this night of terror.
2 Read the text again and answer the questions.
1 Which was more destructive,the earthquake or the fire?Why?
2 Why couldn't the firefighters put out the fires when they first started?
3 Where was the writer?Did he suffer from the fire?
4 How long did it take for half of the city centre to burn?Why did the fire spread so fast?
5 How did the people of San Francisco behave during the disaster?
3 What do the underlined sentences mean?Rewrite each sentence in your own words.
1
2
4 Find answers to the questions from the text.
What was the first disaster?
When and where did it happen?
What was the second disaster?
What damage did it cause?
How did people behave?
Who described the event?
5 Use your answers to the above questions to write a summary of the text.
## * Expanding Your World
## CHINA TO THE RESCUE!
The China International Search and Rescue Team (CISAR) was formed in 2001 and is now made up of several hundred rescue workers and about 20 sniffer dogs. The team brings help and hope to those whose lives are changed by a storm,flood,earthquake,or any other natural disaster.
After long and careful training,the team went on its first international rescue missions in 2003. That year,the Chinese team helped save lives after earthquakes in Algeria (阿尔及利亚) and Iran ( 伊朗). It was the first time that a Chinese team had worked outside China,and the team won high praise for their bravery and skill.
Since then,the CISAR has completed many missions. The list of people to whom help has been given is long. The team treated more than 3,000 people who were injured in the 2006 earthquake in Indonesia,helped 2,500 wounded people after the earthquake that hit Haiti ( 海地 ) in 2010,and spent several months giving aid to over 25,000 victims of the 2010 floods in Pakistan (巴基斯坦 ) .
Rescue workers are trained to find people,treat injuries,and hand out food,water,and other supplies. They have to be able to do work that is difficult under conditions which can be very dangerous. After a disaster,there is usually no electricity or water,and there may be diseases and accidents. Rescue workers get to save lives,but they must also bury the dead. That means they have to be strong in both body and mind.
Rescue workers must have big hearts,too. It takes a lot of love and courage to risk one's own life to save someone else's. The members of the CISAR have plenty of both and are always ready to go wherever help is needed.
## UNIT 5
## Using Words and Expressions
1 Read the definitions of each word below. Then choose the correct one for each sentence.
## 1 major
[1] adj. more important than other things of the same kind
[2] $n$. the most important subject that a student studies in university
- Sugar is a major cause of health problems. [ ] - His major is the French language. [ ]
## 2 base
[1] $n$. the main part of something
[2] v. to be in the main place where a company does its business
- The company is based in Guangzhou. [ ]
- This dish has a milk base. [ ]
## 3 character
$[1] n$. the qualities of a person or place that make it different from others
[2] n. a letter,number,or other mark used in writing
[3] n. a person in a story or film
- Old Korean and Japanese characters are related to Chinese characters. [ ]
- Work hard to be known as a person of good character. [ ]
- The story is about two main characters,a little boy and his mother.[ ]
4 affair
[1] n. a situation or matter that is being considered
$[2] n$. an event
- The meeting was a long and boring affair. [ ]
- Hu Ming manages student union affairs. [ ] 5 equal
[1] adj. the same as something else
[2] $n$. someone of the same importance
[3] v. to be exactly the same
- He treats all his students as equals. [ ]
- All work is of equal value. [ ]
- Two plus four equals six. [ ]
2 Fill in the blanks with the correct forms of the phrases below. Use a dictionary to help you if there are words you do not know.
ups and downs $\quad$ (be) related to as if no matter struggle for
1 Money and fame are not happiness. True happiness lies in being satisfied with your life and being grateful for all the things you have received.
2 how much money you can earn and how successful you become in the future,you should always remember where you are from and keep your family and friends close to your heart.
3 Life is always full of . Be brave and do not complain when you experience hard times. Just be strong and make the best of things. You will get over tough times sooner than you think.
4 Studying is not easy for me at all. However,I fully understand it is something worth putting effort into. I am not good scores in exams,but rather,a chance for a better future.
5 Be comfortable with who you are. Be happy and laugh every day. Dance nobody is watching. Sing no one is listening. 3 Complete the advertisement with the correct forms of the words below.
$$
\begin{array}{llll}
\text { classic equal } & \text { demand } & \text { native } \\
\text { despite gap } & \text { system } & \text { struggle }
\end{array}
$$
Have you ever tried to learn Chinese but failed,your best efforts?Do you with remembering vocabulary or
lose heart over the writing?Have you studied for the HSK ( 汉语水平考试 ) but still feel there is a large to close before you can hope to pass?Do you want to read the great Chinese from early Chinese dynasties?High Point Chinese Language School has the answers to all of these questions!We welcome students from everywhere,because we believe everybody should have a(n) opportunity to learn Chinese!We have classes for all levels and interests. But sign up soon,as all of our teachers are __ Chinese speakers and are in great
4 Translate the underlined parts in the conversation into Chinese.
A: Hey,I'm going to sign up for a Chinese calligraphy class at that new language school. Do you want to join me?
B: You know,I'm learning Chinese at my school,and to be honest,my teacher's method is really boring. I'm not sure I want to take another Chinese class.
A: I think learning calligraphy will help you feel better about Chinese!Calligraphy is regarded as an art form. Many people enjoy it. B: I guess it would be good to learn!After all,there're over a billion people who speak and read Chinese. OK,I'll find some time in my schedule and try the class.
## Using Structures
1 Underline the clauses in the sentences and decide whether they are restrictive relative clauses or object clauses.
1 The reason why he found German so difficult was because of its grammar.
2 A: Have you decided where we should go for our holiday yet?
B: After learning for two years,I really want to visit a country where French is spoken.
3 According to an old story,there was once a time when the whole world spoke only one language.
4 This passage introduces how Chinese characters have changed over time.
2 Fill in the blanks with the correct relative pronouns or adverbs. Add a preposition where necessary.
1 Japanese uses three writing systems,including kanji originated ( 起源 ) in China.
2 Nineteen fifty-three was the year Xinhua Zidian,or the New Chinese Dictionary,first came out.
3 Bones symbols were carved,known as "oracle bones",have contributed a lot to our understanding of China's past.
4 There are many reasons English is so widely used around the world in the fields of science,business,and more.
5 Sign language is of great importance for people are deaf or have poor hearing 3 Complete the passage with the correct relative pronouns or adverbs below.
that when where (in) which who why
The United Nations (UN) is an organisation aims to promote international
cooperation. It was founded in 1945 and has about 190 member states. This is the reason the UN has a huge number of translators and interpreters,since international meetings in the UN are attended by people speak so many different languages.
Translators are people usually work with written language,while interpreters work with spoken language. Meetings
only two languages are used may need only one interpreter,while larger events
leaders from many countries gather may need over 70 interpreters.
There are two main ways that an interpreter can provide spoken translation. First is the method requires the speaker to stop every few sentences,so the interpreter can translate those sentences for the audience. The second method is the one the interpreter listens and translates at the same time. This second method is more difficult,but the place the interpreter is located is not so important. The interpreter can be in a completely different location from the speaker,listen through headphones,and translate for an audience sitting in another location!
4 Match the sentence parts with the times,places,and reasons. Then make complete sentences with restrictive relative clauses.
when/prep + which
A Lu Xun was born
B I have my debating class
1 (A) 1881
Eighteen eighty-one was the year when Lu Xun was born.
2 ( ) Sunday
where/prep + which
C the oldest written European language has been found
D language is processed
3 ( ) the left part of the brain
4 ( ) modern Turkey
why
E some students like to do volunteer work
F people often choose to learn a foreign language
5 ( ) caring about others
$6(\quad$ spending some time abroad
5 Think about one of your favourite memories,and then write a short paragraph about it. Use the expressions below to help you.
One of my favourite memories is of the time when ...
The place where it happened was ...
That was the day when ...
The reason why ...
## Reading
4)) 1 Look at the pictures below. Do you know who they are?Can you think of any similarities among these people?Read the text and check your answers.
## POLYGLOTS:
## WHAT ARE THEY AND WHO CAN BE ONE?
Some polyglots,who can speak quite a few languages,may seem especially talented. Zhao Yuanren,a Chinese American linguist,could speak seven languages and more than 30 dialects. England's Queen Elizabeth I could speak about 10 languages. A famous Italian named Giuseppe Mezzofanti was reported to have been able to communicate in 30 to 40 languages. Polyglots are indeed amazing,but American teenager Tim Doner is living proof that anyone can try to be one.
As a child,Tim studied French and Latin at school,but he found it difficult to be interested in just words and grammar rules. When he was 13,Tim started listening to Hebrew rap music. One day,he looked up the words in a dictionary and realised he could put them together to make sentences!He started looking for people who spoke Hebrew so he could practise,and then,he decided to sign up for a summer Arabic class. One evening,just for fun,he posted a video of himself speaking Arabic and another of him speaking Hebrew. Hebrew and Arabic speakers wrote nice comments on his videos and gave him advice. Tim loved it. He could actually communicate with people!After that,Tim started looking for new languages to learn,and posting more videos of himself speaking new languages,including Chinese. Tim also began to use many other methods to make learning fun.
Tim wishes everyone would learn more than one language and not just as a school subject. "Knowing a language is a lot more than knowing a couple of words out of a dictionary," Tim says. Languages are for communicating with people,learning about their culture,and understanding how different people think. "Open up your mind to the fact that language represents a cultural world view," says Tim. "You can translate words easily,but you can't quite translate meaning." Or,as Nelson Mandela said,"If you talk to a man in a language he understands,that goes to his head. If you talk to him in his language,that goes to his heart."
2 Scan the text for answers to the questions.
1 How did Tim Doner first become interested in learning languages?
2 Do you think that Tim Doner would say that polyglots are "especially talented"?Explain.
3 Underline the ways that Tim Doner used to learn foreign languages. Which ones did he find successful?Have you ever used any of the methods in your language learning?
## Writing
1 Discuss in groups: What is wrong or inappropriate in the pictures below?What similar experiences have you had or heard of?
2 Write a short description of your experiences in learning English. You can refer to the outline below.
## * Expanding Your World
## THE BOOK THAT KEEPS ON GROWING
It is one of the most famous books in the world;yet it has no story and no interesting characters,no exciting beginning and no satisfying ending. And yet this book keeps being printed-and it keeps growing!At its last printing,it was 20 volumes,with nearly 22,000 pages. This strangely popular book is one of the most famous dictionaries in the Englishspeaking world,the Oxford English Dictionary.
The Oxford English Dictionary,or OED for short,began in 1857 as just an idea of a group of people who thought the world needed an English-language dictionary to show the history of English words from 1150 CE to the present. It wasn't until the late 1870s,however,when James Murray joined the project that it began to grow. Murray planned for a dictionary of about 6,400 pages in four volumes,completed in 10 years.
James Murray (1837-1915) did most of his work in a small metal building called the Scriptorium. That small building,hot in summer and cold in winter,was the place where Murray and his assistants collected millions of pieces of paper,each one with a word and an example sentence or phrase written on it. Murray and his assistants worked hard,but after five years they had only reached the word ant!
It was not until 1928 that the dictionary was declared complete and published: 10 volumes with over 400,000 words and phrases. James Murray did not live to see the completion of his life's work;he passed away in 1915,over a decade before the OED came out.
As soon as the dictionary was published,however,the editors started to update it!In 1933,the Oxford English Dictionary was reprinted in 12 volumes. Between 1972 and 1986,four more volumes were added with new technical and scientific vocabulary and words from other English-speaking countries,such as Canada,the USA,Australia,New Zealand,and South Africa. In 1989,the entire dictionary was reprinted in 20 volumes!Three years later,all 20 volumes were put onto CD-ROM,and the entire dictionary is available online today.
With about 600,000 words and three million quotations from over 1,000 years of English,the $O E D$ not only is a record of where the English language has come from but has also become an important part of the history of English-speaking cultures around the world.
## Appendices 附录
## Notes 注释
## Unit 1
1 Going from junior high school to senior high school is a really big challenge. 从初中过渡到高中真是一项巨大的挑战。
going from junior high school to senior high school在句中作主语。英语中,当动词或动词短语用作主语时,可以使用动词-ing 形式。如:
Seeing is believing.【谚】百闻不如一见。
Reading outside school is necessary and important in learning English. 课外阅读对于英语学习既必要又重要。
【思考】本单元使用动词-ing 形式作主语的句子还有哪些?你能找出它们并理解其意义吗?
2 The school adviser helped me choose the suitable ones: maths,English,chemistry,world history,and Chinese. 学校的指导老师帮我选择了适合我的课程：数学、英语、化学、世界史和中文。
美国高中学制多为四年,采取学分制,不分文理科,一般按要求完成相应学分可以获得高中毕业证书。高中课程设置分基础必修和选修两类。基础必修课程通常包括英语、数学、自然科学(如生物、化学、物理、地理)、社会科学(如历史、经济学、心理学)。选修课程内容丰富,有视觉艺术(如绘画、摄影)、行为艺术(如合唱、戏剧、舞蹈、电影)、职业课程(如木工、汽车修理)、计算机、商业、体育、新闻、外语、家庭和消费者科学、健康等。
3 My adviser recommended that I should sign up for advanced literature because I like English and I'm good at it. 我的指导老师建议我选修高级文学,因为我喜欢英语而且成绩不错。
recommend 意为“建议;推荐”,其后常用 that 从句表示所推荐或建议的内容,从句谓语常用“( should )+动词原形”。如:
We highly recommend that students (should) read some real-life materials from the English-speaking countries. 我们强烈建议学生读一些来自英语国家的真实生活读物。
I recommend that you (should) see your doctor. 我建议你去看看医生。
recommend 后面除了可以接that 引导的宾语从句，也可以接名词或代词。如:
I recommended the novel to my pen pal. 我把这本小说推荐给了我的笔友。
【思考】你还知道哪些表达“建议;推荐” 的动词?请写出来并查阅词典,看看它们是否具有与 recommend类似的用法。
sign up (for sth) 是一个短语动词,意思是 add your name to a list for something because you want to take part in it,尤其指报名参加课程学习。如:
I have decided to sign up for evening classes this term. 我决定这个学期报名上夜校。
My sister is thinking of signing up for a yoga club. 我姐姐正考虑报名加入瑜伽倶乐部。
4 Every Wednesday,we work at a soup kitchen and hand out food to homeless people in the community. 每周三,我们会在食品救济站里干活，把食物分发给社区里的无家可归者。
soup kitchen 是为救济贫民、灾民而设的食品施舍场所,这里通常有志愿者团体承办的、向救济对象免费发放或低于市价出售食品的活动。英语中,与soup kitchen具有类似功能的场所,还有 meal centre、food kitchen等。Unit 2
## 1 the Eiffel Tower 埃菲尔铁塔
埃菲尔铁塔位于法国巴黎塞纳河南岸的马尔斯广场,高 300 多米,为钢铁构架。铁塔最初是为 1889 年巴黎世博会搭建的临时建筑。该建筑在设计竞标和建设过程中备受争议,但铁塔建成后却深受法国人的喜爱。铁塔以其设计者居斯塔夫·埃菲尔的姓氏命名。如今它不仅是巴黎城市的地标、法国文化的象征，也是吸引世界各地游客前来观光的旅游景点。
## Neuschwanstein Castle 新天鹅堡
新天鹅堡位于德国巴伐利亚西南部，靠近奥地利边界。新天鹅堡建于 1869 年，是巴伐利亚国王路德维希二世 ( Ludwig II) 耗巨资建造的一座私人行宫。新天鹅堡外形独特,是许多童话城堡的灵感源泉,美国加州迪士尼乐园中的睡美人城堡就是以此为原型设计建造。
## Peru 秘鲁
全称秘鲁共和国 (Republic of Peru)，国土面积 100 多万平方千米，拉美第四大国家。秘鲁位于南美洲西部,濒临太平洋,首都利马 ( Lima ),人口 3,000 多万,官方语言为西班牙语。秘鲁是印加文明的发源地，旅游资源丰富。境内有库斯科古城、马丘比丘、的的喀喀湖等世界遗产。
库斯科 ( Cusco 或 Cuzco ),位于秘鲁境内安第斯山脉的山谷中,是库斯科省首府。库斯科是印加帝国的首都，是当时的政治、经济、文化及宗教中心。古城区内的建筑具有典型的古印加石建筑风格,许多石板街道蜿蜒于建筑的石墙之间,游人行走其中犹如在石廊中穿行。除此以外,城内还有许多西班牙殖民时代的建筑。
马丘比丘 ( Machu Picchu ),秘鲁著名的印加帝国古城遗迹,位于库斯科西北方。马丘比丘大约建于公元15世纪。全城分为两大部分：梯田和城区。城区内有广场、庙宇和居住区等。古城建筑风格独特,全用巨石建成,打磨光滑且形状规则的石墙之间接缝严密,毫无灰浆痕迹。遗迹于1911年被考古学家发现,并借用附近的山名将其称作“马丘比丘”。这一遗迹被认为是历史悠久的安第斯文化的集中代表。
的的喀喀湖（Lake Titicaca )，位于玻利维亚和秘鲁交界的科亚奥高原上，属两国共有。该湖是南美洲第三大湖,某些地方水深超过270米,享有“高原明珠” 的美誉,也是著名的游览胜地。湖中有很多岛屿，一些岛屿上还有印第安文明遗址。
乌鲁斯人 ( the Uros,也作Uru)，是生活在的的喀喀湖上的古老民族。他们长年生活在湖中的浮岛上，主要以捕鱼和出售手工编织的芦苇工艺装饰品为生。
## 4 the Andes Mountains 安第斯山脉
安第斯山脉纵贯南美洲西岸，是世界海平面以上最长的山系，拥有不少海拔6,000 米以上且山顶终年积雪的高峰。安第斯山脉有“南美洲脊梁”之称，植被和矿产资源丰富。
5 the Amazon rainforest 亚马孙热带雨林
亚马孙热带雨林位于南美洲的亚马孙盆地。雨林总面积的三分之二位于巴西境内,其余覆盖了玻利维亚、秘鲁、厄瓜多尔、哥伦比亚及委内瑞拉等地区,是全球面积最大、物种最多的热带雨林。亚马孙雨林占世界雨林总面积的一半,占全球森林面积的 $20 \%$。如今大约 $10 \%$ 的亚马孙雨林已遭破坏;砍伐、采矿等还威胁着亚马孙热带雨林地区的土著居民文化。6 the Inca Empire 印加帝国
印加帝国是南美洲古代印第安人建立的。帝国以首都库斯科为中心向外扩张,鼎盛时期版图几乎涵盖了整个南美洲西部。印加帝国于16世纪因西班牙殖民者入侵而被颠覆瓦解。印加文明是南美洲古代印第安人文明，它与玛雅文明、阿兹特克文明并称为“印第安三大古老文明”。
【思考】你还知道其他有关古印加文化的情况吗?如果你感兴趣，可以通过网络或者百科全书搜寻更多详细的资料。
7 You can then spend three days exploring the rainforest with a local guide and enjoying the plants and animals unique to the rainforest. 在接下来的三天里,您可以在当地导游的陪同下,深入雨林进行探索,欣赏雨林特有的动植物。
unique to the rainforest 是形容词短语,用作定语,修饰 the plants and animals。英语中,形容词短语用作定语可以位于被修饰词之后。如：
a book interesting to $m e$ 一本我觉得有趣的书
the student worried about the exams 担心考试的学生
形容词 unique 与介词to搭配，构成(be) unique to sb/sth结构,表示“( 某人、地或事物）独具的、特有的”。如:
This flower is unique to the area. 这种花是这一地区独有的。
8 Especially amazing is the Incas' dry stone method of building. 特别令人惊叹的是印加人的干式石头搭砌的建造方法。
这是一个倒装结构,因语篇衔接和语义需要而使用,表语 especially amazing 前置是为了突出和强调。正常语序的句子为“The Incas’ dry stone method of building is especially amazing.”。如:
Higher up was an old castle where a king once lived. 再往高处去就是一座旧城堡,一位国王曾在此居住。
9 Inca builders cut stones to exact sizes so that nothing was needed to hold walls together other than the perfect fit of the stones. 印加的建筑工人将石头切割成精确的尺寸,仅仅凭着石头间的完美契合,即可稳固墙体。
other than在句中是“除了” 之意,用法较为正式,常用于否定语气之后。此处,other than的作用相当于介词。如:
There is nobody here other than the teacher. 这里除老师外再无别人了。
The form cannot be signed by anyone other than yourself. 该表除了你本人，别人不能代签。
【思考】你能想出几个与 other than 意义相近的单词或短语吗?
## Unit 3
1 Would you like to go to the soccer game?你想去看足球比赛吗?
soccer 足球，英式英语中用football表示。现代足球是世界上开展最广泛、影响最大的运动项目。在北美地区,尤其是美国,soccer 和football 是两种完全不同的运动。美式英语中 soccer 指英式足球,football则是美式足球,即美式橄榄球,是一种运动员必须穿戴规定服装和护具的强对抗性运动。在英国，人们把橄榄球运动称作 rugby football( 简称 rugby )，把美式橄榄球称作American football。
## 2 e-sports 电子竞技
全称electronic sports,也译作“电子体育”。电子竞技运动是利用电子设备作为运动器械进行的、人与人之间的智力对抗运动。2003年11月 18 日,中国国家体育总局正式批准将电子竞技列为第 99 个正式体育竞赛项,2011 年将其改批为第 78 个正式体育竞赛项。2017 年 10 月国际奥委会同意将其视为一项“运动”。
【思考】你对电子竞技如何客观评价?
3 One of the best players had been injured,and the team captain had to leave because of heart problems. 最优秀的队员中有一人受伤了,而且队长也因心脏问题离队。
had been injured 是过去完成时的被动语态。过去完成时态指先于过去某动作发生前完成的动作,即“过去的过去”,用“had +过去分词” 表示。在这里,had been injured 与后半句 the team captain had to leave ... 形成参照,指这名优秀队员受伤在前,队长因心脏问题离队在后。如:
By the time I rushed to the train station,the train had already left. 当我赶到火车站时,火车已经开走了。
She had finished her homework before she started to read the novel. 她看小说之前就已经完成了作业。
【思考】现在完成时和过去完成时在形式上有何区别?其表达的意义有什么不同?
captain 的基本词义是“队伍或团体的领导者 ( the leader of a group of people )”,在不同的语境中有不同的中文翻译。在体育运动队中可译作“队长”;在航空飞行领域则是“机长”;在航海舰船上为“舰长;船长”;在军队中则是“上尉;上校” 等。captain 还可以指在某一领域内有能力和影响力的人物。如:
a captain of food industry 食品工业巨头
4 The Boys and Girls Club which he started in Chicago has been helping young people since 1996. 他（乔丹）在芝加哥所创建的“男孩女孩倶乐部”从 1996 年至今一直在帮助年轻人。
本句主句时态为现在完成进行时,这一时态主要用于表示过去开始并一直延续的动作,可能刚刚停止,也可能还在进行。如:
How long have you been waiting here?您在这儿等了多久了?
He has been running since 4:00 p.m.,but doesn't want to stop at all. 他从下午四点开始跑，丝毫不愿停下来。
5 I tried no-fat,low-fat,5:2,only bananas,no bananas-I almost went bananas,too. 我尝试了无脂肪、低脂肪、5:2 饮食法、只吃香蕉、不吃香蕉一一我也几近疯狂。
作者采用幽默的方式陈述了自己所试过的各种节食疗法。其中 5:2 读作 five to two,指the 5:2 diet,即“一周有五天正常饮食，两天（不连续）以减肥为目的控制饮食”。
go bananas 是非正式用法,用来表示“发疯;疯狂”,在本文中是双关语,一方面比喻作者几乎要变成了香蕉,另一方面说明自己被节食疗法搞得几近疯狂。go 用作系动词,多表示趋向消极意味的“变得;变成”。如:
The jelly's gone mouldy. 果酱发霉了。
My grandma's hair is going grey. 我奶奶的头发日渐花白。
6 I want to be able to do 30 push-ups. 我希望能做 30 个俯卧撑。
push-up 是由短语动词 push up 转化而来的名词。这是一种构词方式,用连字符或者连写的方式将短语动词转化为名词。这种结构的名词具备名词的基本特征,如可数和不可数、单复数等。类似的名词还有 sit-up（仰卧起坐 )、clean-up ( 大扫除 )、check-up（体检,亦作checkup) 等。遇到这些词语时,可以先猜测词义，然后查阅词典进行核实。
【思考】你能说出下面句子中的 lift-off 和 take-off的意思吗?
The rocket lift-off is set for 4:35 p.m.,depending on the weather.
Our plane is on the runway,ready for take-off.
## Unit 4
1 It seemed as if the world were coming to an end!仿佛世界末日即将来临!
as if 是一个连词结构,用来引导从句,意为“好像;似乎;仿佛”。从句根据说话人所陈述内容的真实性或可能性,可用陈述语气或虚拟语气。如:
The pot is smoking. It looks as if the food is overcooked. 锅在冒烟，看样子食物都煮过头啦。
He talks as if he knows everything. 他说话的口气好像是知道了一切。
She was sitting there as if nothing had happened. 她坐在那儿，若无其事的样子。
come to an end 此处与 the world 搭配，表示“世界末日来临”的意思。come to 还常常与 decision、conclusion、agreement 等词汇搭配，表示“达成;得到” 等意思。如:
They finally came to an agreement after a long discussion. 他们在长时间讨论之后终于达成了一致意见。
2 Nearly one third of the whole nation felt it!全国几乎三分之一的地方均有震感。
one third 表示“三分之一”。英语中分数词由基数词和序数词构成,分子用基数词 (one,two,.. )，分母用序数词 ( first,second,... )。当分子大于一时,分母用复数。如:
$\frac{1}{5}$ one fifth $\quad \frac{2}{3}$ two thirds $\quad \frac{3}{4}$ three fourths $\quad 2 \frac{5}{6}$ two and five sixths
If an apple is cut into six equal slices,each slice is called one sixth. If you eat two slices,you eat two sixths or one third. 如果一个苹果被平分为六块,每块就是六分之一。如果你吃掉两块,就是吃掉了六分之二或三分之一。
3 Everywhere survivors looked,there was nothing but ruins. 幸存者目及之处无一不是废墟。
everywhere 在句中作连词用,引导状语从句。如:
Everywhere we go,we hear people predicting the election results. 无论我们走到哪里,都听见人们在预测选举结果。
Everywhere they appeared,they were welcomed with applause and flowers. 他们不论在哪里出现,都会得到掌声和鲜花的欢迎。
4 ... the army sent 150,000 soldiers to Tangshan to dig out those who were trapped and to bury the dead. $\cdots$...部队派出了 15 万名士兵奔赴唐山,将受困群众从废墟中挖出,并掩埋死者。
the dead 意为“死者;逝者”。“the + 形容词转化而来的名词” 表达具有该形容词语义特征或状态的“人”或“物”,为集合概念。这类名词无复数词尾，通常当作复数词使用。如:
The old sometimes help the young to enrich their social experiences. 长者有时帮助年轻人丰富社会阅历。
For the disabled,life can sometimes be difficult. We should care for them in every way possible. 对残疾人来说,生活有时会有困难。我们应该尽可能地关心他们。
【思考】你还能举出类似the dead、the young、the old 的例子吗?
5 In Sri Lanka,some 1,600 kilometres west of the quake centre,the number of deaths stood at $2,498 \ldots$ 在斯里兰卡,震中以西约 1,600 千米处,死亡人数高达 $2,498 人 \cdots \cdots$
stand at sth 表示“达特定水平 ( 或数量、高度等）”。如:
It is said that the highest death toll caused by a lightning strike stands at 91,when a plane was struck and crashed into the Amazon rainforest in 1971. 据说，被雷电击中造成死亡的最高纪录为 91 人。那是 1971 年，一架飞机被击中并坠毁于亚马孙雨林。
## Unit 5
1 It dates back several thousand years to the use of longgu ... 它可以追溯到数千年前使用龙骨的时期 $\cdots \cdots$
date back常和to搭配，意为“追溯到……”，相当于date from。如：
His family history dates back to the 1700s. 他的家族历史可以追溯到 18 世纪。
longgu 龙骨，英文为 oracle bones，此处指我国上古时期（主要指商朝后期）镌刻在龟甲、兽骨上向神灵、祖先吐问吉凶、解疑释惑时所记载下来的卜辞符号。这些符号统称为“甲骨文”。甲骨文已经是一种相当成熟的文字，使用了象形、会意、形声、假借等造字方法。1899年，甲骨文被我国清代学者王懿荣发现，至今发掘的甲骨文片已达 16 万片以上。甲骨文记录了商朝大量历史事件，是研究中国早期历史的宝贵资料。
2 Even today,no matter where Chinese people live or what dialect they speak,they can all still communicate in writing. 即使在今天,不论住在哪里,也不论说何种方言,中国人都仍能通过书写（文字）进行交流。
no matter (what/how/where/when/whether) ... 是一个引导让步状语从句的连词结构,意为“无论 （什么、怎样、哪里、何时、是否等 ) $\cdots \cdots .$.,可置于句首、句中和句尾。如:
No matter how fast the rabbit ran,it could not escape the big grey wolf. 无论这兔子跑多快,都无法逃过那大灰狼。
Any person,no matter who they are,must go through an identity check. 任何人,无论是谁,都要接受身份检查。
I'll leave anyway,no matter what you say. 不管你说什么,我都要离开。
## Chinese calligraphy 中国书法
书法是使书写优美的艺术。中国书法具有独特的艺术价值和悠久的历史，早在两千多年前就发展为一种艺术形式。书法字体多样,最为知名的有楷书、行书、草书、隶书、篆书等。中国古代有许多著名的书法家，如：王羲之、赵孟䉽、柳公权、颜真卿、欧阳询、黄庭坚等，这些书法家的作品是我国书法艺术宝库中的瑰宝。除了作为一门艺术独立存在,优秀的书法还能装饰书籍和画稿,美化建筑物和其他艺术品。研习书法不仅能够学习中国传统文化艺术，还能培养美感、陶冶性情、修身养性。
4 As China plays a greater role in global affairs,an increasing number of international students are beginning to appreciate China's culture and history through this amazing language. 随着中国在全球事务中扮演着更为重要的角色,越来越多的国际学生开始通过汉语这一奇妙的语言了解和欣赏中国的文化和历史。
a number of 意为“很多;好些”,这时 number 还可被large、small、good、growing 等形容词修饰。increasing 在句中修饰 number，表示“不断增加;持续增多”。如:
A good number of my classmates agree with me. 我班上的不少同学都赞同我（的意见）。
Though she is quite a popular writer,only a small number of her works can be found in public libraries. 尽管她是一位十分知名的作家,但公共图书馆中能够找到的她的作品却不多。
【思考】在第四单元我们学过另外一个短语the number of。你能说出 the number of 与 a number of 的用法有何不同吗?请查阅工具书,找出更多的例句并说明它们的不同。
5 I can never quite get the main idea. Any advice?我从来就没能完全搞懂过大意。有什么建议吗?
这是英语口语中的常用表达,句中 never quite get sth 意指说话人往往能听懂部分词句,但不敢保证完全听明白了。这种表达的另一种近似说法为 can’t always quite get sth。如: I'm afraid I can't always quite get what he says. He has a strong accent,you know. 我担心自己总是不能完全听懂他说的话。你知道的,他口音很重。
“Any advice?”是一个省略句，其完整形式是“Have you got any advice?”或“Do you have any advice?”。这里的网络留言是非正式文体，所以作者使用了口语中常见的省略句形式。
【思考】除了“Sounds great!”“How nice!”“Any questions?” 等表达以外,你知道口语中还有哪些省略形式的表达?
6 ... so I only need a few words to bridge the gap between us. $\cdots \cdots$ 因此我只需说几个字,就能消除我们之间的距离。
句中 bridge作动词，表示“减小、消除两者间的隔阂、鸿沟或分歧”。如:
The differences between two cultures can always be bridged if the people of these areas continue to communicate. 只要两种文化地域的人们不断交流沟通,两种文化间的差异总是可以缩小的。
Sometimes it is really hard to bridge the generation gap. 有时候要消除代沟确实非常困难。
## Grammar 语法
## Phrases 短语 (1)
短语或词组 (Phrases ) 是具有一定意义但不构成句子或从句的一组词。
1 名词短语 (Noun Phrase ): 指以一个名词为中心构成的短语,在句中的功能相当于名词。
2 形容词短语 (Adjective Phrase ): 指以一个形容词为中心构成的短语,在句中的功能相当于形容词。
3 副词短语 (Adverb Phrase ): 指以一个副词为中心构成的短语,在句中的功能相当于副词。
## 短语类型
## 名词短语
(Noun Phrase)
组成
功能
例子
（限定词 ）+（形容在句中当作名词用,词、形容词短语、一般用作主语、宾描述性名词 )+名语、表语或宾语补词 + (介词短语 ) 语。
| $\begin{array}{l}\text { 形容词短语 } \\ \text { (Adjective Phrase) }\end{array}$ | $\begin{array}{l}\text { ( 副词 ) + 形容词 + } \\ \text { (介词短语） }\end{array}$ | $\begin{array}{l}\text { 在句中当作形容唁 } \\ \text { 用,可以修饰名唁 } \\ \text { 或代词,还可以用 } \\ \text { 作表语或者宾语补 } \\ \text { 焐。}\end{array}$ |
| :---: | :---: | :---: |
| $\begin{array}{l}\text { 副词短语 } \\ \text { (Adverb Phrase) }\end{array}$ | (副词 )+副词 | $\begin{array}{l}\text { 在句中当作副词用 } \\ \text { 可以修饰动词、形 } \\ \text { 容词或副词。}\end{array}$ |
a beautiful campus some school clubs a beautiful campus of my school
very suitable really very confusing strong enough good for nothing
very quickly
quite well
far too fast
much more creatively
说明:
1 在“组成” 中,括号里的成分是可选项。
2 在名词短语的“组成” 中,限定词包括冠词 ( $\mathrm{a} / \mathrm{an} /$ the )、指示代词 (this、that、these、those 等）、物主代词 (my、your、his、her、our、their 等）和不定代词 ( some、no、neither、both 等）。
3 副词 enough 在修饰形容词或者副词构成形容词短语或者副词短语时,一般放在所修饰的形容词或者副词后面。
## Tenses 时态 (1)
## 现在进行时 (The Present Continuous Tense) 表示将来
初中阶段学习过 be going to do 和 will/shall do 的形式表示将来意义。英语中还可以用现在进行时 ( be doing ）表示计划安排好要采取的行动或要做的事情。如:
What are you doing for the National Day holiday?你国庆假期打算做什么?
Sam is taking advanced literature next term. 萨姆下学期要选修高级文学。
We are spending the Spring Festival in Sanya. My parents have booked the air tickets. 我们打算在三亚过春节。我爸妈已经订好机票了。
在使用现在进行时表示将来的句子中,除非上下文意思清楚,通常都需要时间状语。如:
Are you meeting your coach this weekend?这个周末你要和教练见面吗?
We are having a few guests over tomorrow. 明天有几位客人要来。
## be doing 表示将来与 be going to do 和 will do 的比较
1 be doing、be going to do 都可以表示即将要做的事情。前者更强调事先计划好的安排、确定要做的事情;后者表示说话者的打算和意图,还可表示根据当前情况作出的预言。试体会下面两个句子的不同含义:
$A_{\text {: }}$ Hey,your room is really a mess ... 诲,你的房间真是一团糟.....
$\mathrm{B}_{1}:$ I know. I'm cleaning it this afternoon. 知道啦，我打算今天下午就打扫。
$B_{2}$：I know. I'm going to clean it. 知道啦,我会打扫的。
2 be doing 与 will do 表示即将发生的事情时,will 更强调个人意愿和瞬间的决定。试体会下面句子中两者的用法:
A: Oh,it's 8:20. I'm going to be late for my class. I'm giving my students a very important test this morning. 噢,8:20 啦,我上课要迟到了。今天早上我要给学生一场重要考试呢。
B: Honey,don't worry. I'll drive you to your school right away. 亲爱的,别担心。我马上开车送你去学校。
## Tag Questions 附加疑问句
附加疑问句,又称反意疑问句,主要用于口语,其作用是说话人向对方验证自己的陈述或者判断,也可以用于祈使句表示请求或者建议。
1 附加疑问句的组成
附加疑问句包括陈述部分和附加疑问部分。附加疑问部分一般由助动词、be 动词或情态动词和表示主语的代词构成。
## 组成
肯定式陈述部分 + 否定附加疑问部分
否定式陈述部分 + 肯定附加疑问部分
含有否定词的陈述部分 + 肯定附加疑问部分
祈使句 + 附加疑问部分例句
You often play badminton,don't you?
You're going to the gym with me,aren't you?
It's not a real sport,is it?
They can't finish it by Friday,can they?
Nobody saw him walk into the room,did they?
You've never been to Paris,have you?
Come along with me,will you?/can you?/won't you?/can't you?
Don't make any noise,will you?
## 2 附加疑问句的回答
附加疑问句的答语与一般疑问句类似,注意其与汉语表达习惯的差异。如:
(1) A: The 29th Olympic Games were held in Beijing,weren't they?
B: Yes,they were. (Yes,that's right.)
(2) A: Michael Jordan started to play basketball in college,didn't he?
B: No,he didn't. He first played in a team at senior high school.
(3) A: David has been to a boxing match,hasn't he?
B: No,he hasn't. He always watches boxing on TV.
(4) A: You can't cook,can you?你不会做饭,是吗?
B: Yes,I can. I'm good at cooking. 不,我会。我做饭很好。
## 3 附加疑问部分的读法
陈述部分一般用降调，而附加疑问部分既可用升调也可用降调，但含义有所不同。通常情况下,用升调时,多表示疑问或请求;用降调时,多表示求证或希望对方同意。如:
The school team have won the gold medal,f haven't they?
The school team have won the gold medal,\haven't they?
## Restrictive Relative Clauses 限制性定语从句 (1) (2)
在复合句中，修饰名词或代词的从句叫作定语从句。
1 关系代词和关系副词
定语从句通常由关系代词或关系副词引导,说明事物的具体信息,从句位于被修饰词之后。如:
The man who lives next to us is a police officer. 住在我们隔壁的那位男士是一位警官。
A drone is an aircraft without a pilot that is operated by remote control. 无人机是一种无飞行员、被遥控操作的飞机。
We will start at the point where we left off last time. 我们从上次结束的地方开始吧。
上面例句中的 man、aircraft 和 point 都是被定语从句修饰的词,叫作先行词。其后的黑体部分是定语从句,其中 who 和 that 叫作关系代词,where 叫作关系副词。引导定语从句的词通常有关系代词 that、which、who ( 宾格 whom,所有格 whose ）;关系副词 where、when、why 等。
2 关系代词 that、which、who（宾格 whom） 引导的定语从句
关系代词
that
在从句中作主语
或宾语指物
which
在从句中作主语 $\quad$ 指物或宾语
who,whom
在从句中分别作 $\quad$ 指人主语或宾语 This is a book that interests a large number of people. ( 作主语 )
Is there anything (that) I can do for you?( 作宾语 )
He that would eat the fruit must climb the tree. ( 作主语 )
He is a man (that) you can safely trust. ( 作宾语 )
例句
The bus which has just left was the last one today. ( 作主语 )
The fish (which) I bought this morning were not fresh. ( 作宾语)
The expert who visited our class yesterday is from Canada. ( 作主语 ) Is he the boy who always wins maths competitions?( 作主语 )
The one (who/whom) we are talking about is a scientist. ( 作宾语 )
This is the teacher to whom I referred. ( 作宾语 )
说明:
关系代词 that、which、who （宾格 whom ）在从句中作宾语时,特别是在口语或非正式的书面表达中,常常省略。
## 3 关系代词 whose 引导的定语从句
关系代词 whose 引导的定语从句先行词既可以是人,也可以是物。whose 在从句中作定语。如:
She is the girl whose brother is studying abroad.
The room whose window faces south is mine.
I talked with the man whose house was destroyed in the flood.
He has written a book whose name l've forgotten.
4 关系副词 when、where、why 引导的定语从句
定语从句可以由关系副词 when、where、why 等引导，关系副词在从句中作状语。当 when、where 引导定语从句时，其对应的先行词分别是表示时间的名词和表示地点的名词。关系副词
when 在从句中作时间状语
where 在从句中作地点状语
why
在从句中作
原因状语例句
The first of October,1949,is the day when (= on which) the People's Republic of China was founded.
I'll never forget the time when (= during which) we visited Xi'an.
Do you remember the day when ( = on which) we first met?
This is the place where (= at/in which ) we first met.
The hotel where ( = at/in which ) we stayed was very clean.
I recently went back to the town where ( = in which ) my father was born.
I'd like to live in a country where (= in which ) there is plenty of sunshine.
That's the reason why ( = for which ) he missed his bus.
I didn't get a pay rise,but this wasn't the reason why (= for which ) / left.
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Bk04LDxlVbj_NFzfG0au
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## 本章导语
“排列”“组合”这两个词语或许大家并不陌生,比如,大家可能看到过“按字母顺序排列”“士兵们排列在两旁”“这本书由诗、散文、短篇小说三部分组合而成” 等. 首先要说明的是,我们这一章里所要学习的“排列”“组合” 与“计数”有关,同上述句子中对应词语的意义有差别.
“计数” 就是数事物的个数,这是数学学科发展的起点,也是我们从小学开始就在学习的. 可以说,随着大家掌握的内容越来越多,我们的计数能力也变得越来越强大.
小学一年级，我们是通过“1,2,3,4,5，。。。”这种不断加1的方法来计数的. 学习了乘法之后,我们就可以借助乘法来计数了. 比如,要数出下图中圆的个数,你会怎么数呢?
相信大家肯定不会一个一个地数,而是会先数出每一行有 17 个,每一列有 5 个,最后得出共有 $17 \times 5=85$ 个.
我们这里要学习的“排列”“组合” 是更强大的计数方法,利用它们可以快速地解决一些看起来很难的计数问题. 比如,高考不分文理科后，思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这 6 大科目是选考的,如果考生可以从中任选 3 科作为自己的高考科目,那么选考的组合方式一共有多少种可能的情况呢?
排列、组合的知识还与我们后续要学习的概率知识密切相关,它们能帮助我们解决一些复杂的概率问题.
二项式定理讨论的是 $(a+b)^{n}$ 在 $n$ 为任意正整数时的展开式 ( $n=2$ 的情形大家已经很熟悉了吧?)，利用二项式定理不仅可以证明“$99^{98}-1$ 能被 100 整除",而且还能帮助我们研究一类重要的概率问题. 你知道吗?我国古代数学家发现二项式定理的有关结论比西方早好几百年呢!
## 1 排列与组合
### 1 基本计数原理
## 情境与问题
在数学学习和日常生活中,我们经常会遇到类似“共有多少种情况” 的计数问题. 例如:
（1）一个由 3 个元素组成的集合,共有多少个不同的子集?
(2) 由 3 个数字组成的密码锁,如图 3-1-1 所示,如果忘记了密码,最多要试多少次才能打开密码锁?
图3-1-1
（3）有 4 位同学和 1 位老师站成一排照相,如果老师要站在正中间,如图 3-1-2 所示，则有多少种不同的站法?
图3-1-2
你能解答上述问题吗?对于比较简单的计数问题,我们可以通过列举法求得结果,例如上述的问题 (1);但是,如果问题比较复杂,那么只借助列举法可能就难以求得问题的答案了,例如上述的问题（2）和 (3). 有没有其他方法可以帮助我们计数呢?答案是肯定的.
## 1. 分类加法计数原理
## 尝试与发现
你能解答下述两个问题吗?试着由此归纳出一般的规律.
（1）已知某天从北京到上海的 $\mathrm{G}$ 字头列车有 43 班,$\mathrm{D}$ 字头列车有 2 班,其他列车有 3 班,小张想在这一天坐火车从北京到上海旅游,不考虑其他因素,小张有多少种不同的选择?
（2）从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,还可以乘轮船. 假定火车每日有 1 班，汽车每日有 3 班，轮船每日有 2 班，那么一天中从甲地到乙地有多少种不同的走法呢?
尝试与发现中的问题（1），小张乘坐的列车可以分为 3 类，即 $G$ 字头列车、$\mathrm{D}$ 字头列车或其他列车,其中任何一类的任何一班车都可以让小张从北京到达上海，因此不同的选择有
$$
43+2+3=48
$$
种.
类似地，问题（2）中，从甲地到乙地，可乘坐三类交通工具：火车、汽车或轮船，每类交通工具又各有若干个班次，选择其中任何一类的任何一个班次都可以从甲地到达乙地，因此一天中不同的走法有
1
种.
把上述解法推广到一般情况，就可以得出:
分类加法计数原理完成一件事,如果有 $n$ 类办法,且：第一类办法中有 $m_{1}$ 种不同的方法,第二类办法中有 $m_{2}$ 种不同的方法 $\cdots \cdots$. 第 $n$ 类办法中有 $m_{n}$ 种不同的方法，那么完成这件事共有
$$
N=m_{1}+m_{2}+\cdots+m_{n}
$$
种不同的方法.
例1 在某设计活动中，李明要用红色和蓝色填涂四个格子 (如图 3-1-3 所示),要求每种颜色都用两次,李明共有多少种不同的填涂方法?
图 3-1-3 试给出一种满足条件的涂法,在明确要完成的事情是什么的前提下思考：(1) 怎样用符号表示填涂结果?(2) 可以将填涂结果分类吗?
解用 $\mathrm{R}$ 表示红色，用 $\mathrm{B}$ 表示蓝色，$\mathrm{RBRB}$ 表示第一个和第三个格子涂红色，第二个和第四个格子涂蓝色.
因为红色和蓝色都要用两次,为了简化问题,考虑涂红色的格子是否相邻,则填涂结果可以分为两类: 涂红色的格子相邻,涂红色的格子不相邻.
涂红色的格子相邻的方法有 : RRBB，BRRB，BBRR，共 3 种;
涂红色的格子不相邻的方法有 : RBRB,BRBR,RBBR,共 3 种.
依据分类加法计数原理，李明共有
种不同的涂法.
## 2. 分步乘法计数原理
## 尝试与发现
已知某公园的示意图如图 3-1-4 所示,其中从西门到景点 $\mathrm{A}$ 共有 3 条不同的路,从景点 $\mathrm{A}$ 到东门共有两条不同的路. 王瑞从公园的西门进入公园后,想去 $\mathrm{A}$ 景点游玩,然后从东门出公园. 只考虑路的选择,王瑞共有多少种不同的走法?你能用适当的符号表示出所有的情况吗?
图 3-1-4
如果把从西门到景点 $\mathrm{A}$ 的三条路分别记为 $a_{1},a_{2},a_{3}$,把从景点 $\mathrm{A}$ 到东门的路记为 $b_{1},b_{2}$,用 $a_{1} b_{1}$ 表示王瑞经 $a_{1}$ 到景点 $\mathrm{A}$,然后经 $b_{1}$ 到东门. 注意到不管王瑞选择哪条路到景点 $\mathrm{A}$,其去东门都有两种不同的选择方法,因此不同的走法为
$$
a_{1} b_{1},a_{1} b_{2},3
$$
共有 6 种. 可以看出,这里的 6 能看成 3 和 2 的乘积,即
$$
3 \times 2=6,$$
这样,不同的走法可以用图 3-1-5 直观地表示出来.
图 3-1-5
把上述解法推广到一般情况，就可以得出:
分步乘法计数原理完成一件事,如果需要分成 $n$ 个步骤,且：做第一
种不同的方法,那么完成这件事共有
$$
N=m_{1} \times m_{2} \times \cdots \times m_{n}
$$
种不同的方法.
例 2 用 $1，2，3，4，5$ 可以排成多少个数字不重复的三位数?
分析要排成一个三位数,只需分别指定这个三位数的百位、十位、个位上的数字即可,因此可以分为三步完成.
解排成一个三位数,可以分为三步:
第一步,确定百位上的数字,共有 5 种方法;
第二步,确定十位上的数字,因为数字不能重复,所以不能是百位上已有的数字，共有 4 种方法;
第三步,确定个位上的数字,共有 3 种方法.
依据分步乘法计数原理,可以排成数字不重复的三位数的个数为
$$
5 \times 4 \times 3=60 .
$$
## 想一想
例 2 的解答有其他的分步方法吗？如果有,得到的结果一样吗?
本节一开始的情境与问题中的问题 (2),可借助分步乘法计数原理来解答,因为共有 3 位数字,每一位数字都有 10 种可能,所以密码的设定方法共有
$$
10 \times 10 \times 10=1000
$$
种. 这就意味着,遗忘密码时,最多要试 1000 次才能打开密码锁. 情境与问题中的问题 (3),可以转化为将 4 位同学安排在从左到右的 4 个位置上,也可以借助分步乘法计数原理解答,请读者自行完成.
分类加法计数原理和分步乘法计数原理合称为基本计数原理.
## 3. 基本计数原理的应用
在有关问题的解决中,我们往往需要综合使用分类加法计数原理和分步乘法计数原理.
例 3 某班班委由 2 位女同学、3 位男同学组成,现要从该班班委里选出 2 人去参加学校组织的培训活动,要求至少要有 1 位女同学参加,则不同的选法共有多少种?
解按照选择的女同学人数分为两种情况,即 2 位都是女同学和只有 1 位女同学.
2 位都是女同学的选法显然只有 1 种.
只有 1 位女同学的选法,可以分为两步完成: 先从 2 位女同学中选出 1 人,有 2 种选法;再从 3 位男同学中选出 1 人,有 3 种选法. 依据分步乘法计数原理,共有不同的选法 $2 \times 3=6$ 种.
依据分类加法计数原理,不同的选法共有
4
种.
值得注意的是,例 3 中的选择,不能分为如下两步来完成: 首先选择 1 位女同学,然后在剩下的 4 人中选择 1 人. 事实上,如果用 $a_{1},a_{2}$ 代表 2 位女同学,$b_{1},b_{2},b_{3}$ 代表 3 位男同学,则这种分步的结果可用图 3-1-6 表示，你能看出其中的问题吗?
图 3-1-6
## 练习A
(1) 张丽的书桌上有 3 本不同的语文课外读物和 2 本不同的数学课外读物. 现在她想从中取出一本随身携带,以便外出时阅读,有多少种不同的取法?如果她想从语文课外读物和数学课外读物中各取一本随身携带,有多少种不同的取法?
(2) 用 $0,1,2,\cdots,9$ 这十个数字,可以组成多少种不同的银行卡密码?（每个银行卡密码均由六位数字组成,数字可以重复,不考虑其他因素.)
(3) (1) 用 $1,2,3,4,5,6$ 可以排成多少个数字不重复的两位数?
(2) 用 $1,2,3,4,5，6$ 可以排成多少个数字可以重复的两位数?
(4) 将代数式 $(x+y+z)(a+b+c+d+e)$ 展开后,共有多少项?
(5) 某城市电话局管辖范围内的电话号码由八位数字组成,其中前面四位数字是固定的,后面四位的每一个数字都是 0 到 9 这十个数字中的任意一个. 该电话局管辖范围内的不同的电话号码最多能有多少个?
## 练习B
(1) 如图所示,从甲地到乙地有 2 条路,从乙地到丁地有 3 条路;从甲地到丙地有 4 条路,从丙地到丁地有 2 条路. 要从甲地去丁地,共有多少种不同的走法?
(2) 已知 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D},\mathrm{E}$ 这五位司机中，$\mathrm{A},\mathrm{B}$ 既能开大客车,也能开小客车,但 $\mathrm{C},\mathrm{D},\mathrm{E}$ 这三位司机都只能开小客车. 现要从这五位司机中选用两人,分
(第 1 题) 别去开一辆大客车和一辆小客车,共有多少种不同的选用方法?
(3) 已知 $n$ 是一个小于 10 的正整数,且由集合 $A=\left\{x \mid x \in \mathbf{N}_{+},x \leqslant n\right\}$ 中的元素可以排成数字不重复的两位数共 20 个,求 $n$ 的值.
(4) 如图所示,把硬币有币值的一面称为正面,有花的一面称为反面. 抛一次硬币,得到正面记为 1,得到反面记为 0 . 现抛一枚硬币 5 次,按照每次的结果,可得到由 5 个数组成的数组（例如,若第一、二、四次得到的是正面,第三、五次得到的是反面,则结果可记
正面
反面
(第 4 题) 为 $(1,1,0,1,0))$,则可得不同的数组共有多少个?
(5) 已知 $A$ 是一个有限集,且 $A$ 中的元素个数为 $n$,求 $A$ 的子集的个数.
1 $1+3+2=6$
$23+3=6$
$3 a_{2} b_{1},a_{2} b_{2},a_{3} b_{1},a_{3} b_{2}$
$1+6=7$
### 2 排列与排列数
## 1. 排列与排列数
## 尝试与发现
试解答下列三个计数问题:
(1) 小张要在 3 所大学中选择 2 所,分别作为自己的第一志愿和第二志愿,小张共有多少种不同的选择方式?
(2) 在 3 名学生中选出 2 名,分别在某话剧表演中扮演 $\mathrm{A}$ 和 $\mathrm{B}$ 两个角色,共有多少种不同的选择方式?
(3) 学校要在 3 名教师中指派 2 人,分别去上海和浙江交流教学经验,共有多少种不同的指派方案?
它们的答案是否一致?
如果用 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$ 分别表示上述问题（1）中的三所大学,用 $(\mathrm{A},\mathrm{B})$ 表示第一志愿是 $\mathrm{A}$，第二志愿是 $\mathrm{B}$，你能列出小张所有的选择方式吗？上述问题（2） (3) 的结果是否也能用类似的方法表示?
不难看出，以上三个问题虽然实际背景不同，但所求的本质上都是“从 3 个不同对象中选出 2 个并排成先后顺序,有多少种不同的排法”,因此它们的答案肯定是一致的. 事实上,根据分步计数原理可知,方法种数都是
一般地,从 $n$ 个不同对象中,任取 $m(m \leqslant n)$ 个对象,按照一定的顺序排成一列,称为从 $n$ 个不同对象中取出 $m$ 个对象的一个排列. 特别地,$m=n$ 时的排列（即取出所有对象的排列）称为全排列.
上述尝试与发现的问题（1）中，用 $(\mathrm{A},\mathrm{B})$ 表示第一志愿是 $\mathrm{A}$，第二志愿是 $\mathrm{B}$,则 $(\mathrm{A},\mathrm{B})$ 就是一个排列. 两个排列,如果组成排列的对象是相同的,并且对象的排列顺序也相同,那么就称这两个排列是相同的;否则,就称为是不同的. 因此,$(A,B)$ 与 $(A,C)$ 是不同的排列,$(A,B)$ 与 $(B,A)$ 也是不同的排列.
从 $n$ 个不同对象中取出 $m$ 个对象的所有排列的个数,称为从 $n$ 个不同对象中取出 $m$ 个对象的排列数，用符号 $\mathrm{A}_{n}^{m}$ (1)表示.
(1) $\mathrm{A}$ 是英语单词 arrangement（排列）的第一个字母的大写. 注意: (1) 所谓排成一列,是指与顺序有关,例如,排列 $\mathrm{AB}$ 与排列 $\mathrm{BA}$ 是不同的排列,可以把一个排列看成一个类似点坐标的有序数对.
(2) 符号 $\mathrm{A}_{n}^{m}$ 中,总是要求 $n$ 和 $m$ 都是正整数,且 $m \leqslant n$,以后不再声明. 前面三个计数问题实际上就是求 $\mathrm{A}_{3}^{2}$,我们已经知道,$\mathrm{A}_{3}^{2}=6$.
一般情况下，$\mathrm{A}_{n}^{m}$ 等于多少呢?
$\mathrm{A}_{n}^{1}$ 等于从 $n$ 个不同对象中取出 1 个的方法种数,显然 $\mathrm{A}_{n}^{1}=n$.
$\mathrm{A}_{n}^{2}$ 等于从 $n$ 个不同对象中取出 2 个并排成先后顺序的方法种数. 分两步完成: 第一步,选一个排在第一个位置,有 $n$ 种选法;第二步,在剩下的对象中选一个排在第二个位置,有 $n-1$ 种选法. 因此共有 $n(n-1)$ 种选法,即 $\mathrm{A}_{n}^{2}=n(n-1)$.
用类似的方法可知
$$
\begin{aligned}
& \mathrm{A}_{n}^{3}=n(n-1)(n-2),\\
& \mathrm{A}_{n}^{4}=n(n-1)(n-2)(n-3),\end{aligned}
$$
一般地,我们有
$$
\mathrm{A}_{n}^{m}=\underbrace{n(n-1) \cdots[n-(m-1)]}_{m \uparrow \text { 个数 }}=n(n-1) \cdots(n-m+1),$$
这个公式称为排列数公式.
例如,$\mathrm{A}_{5}^{3}=5 \times 4 \times 3=60,\mathrm{~A}_{4}^{4}=2$
例 1 求从 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$ 这 3 个对象中取出 3 个对象的所有排列的个数,并写出所有的排列.
解所求排列数为 $\mathrm{A}_{3}^{3}=3 \times 2 \times 1=6$.
所有的排列可用图 3-1-7 表示.
图 3-1-7
由图 3-1-7 可知,所有排列为 $\mathrm{ABC},\mathrm{ACB},3$ 例 1 计算的其实是 3 个对象的全排列数.
一般地，在 $A_{n}^{m}$ 中,当 $m=n$ 时，排列数公式为
$$
\mathrm{A}_{n}^{n}=n \times(n-1) \times \cdots \times 2 \times 1
$$
通常将上式的右边简写为 $n$!(读作“$n$ 的阶乘”),从而上式可以简写为
$$
\mathrm{A}_{n}^{n}=n!$$
例如,如果 5 名同学要排成一排照相,那么不同的排法种数为
$$
\mathrm{A}_{5}^{5}=5!=4
$$
当 $0<m<n$ 时，注意到
$$
n!=\underbrace{n \times(n-1) \times \cdots \times[n-(m-1)]}_{A_{n}^{m}} \times \underbrace{(n-m) \times[n-(m+1)] \times \cdots \times 2 \times 1}_{(n-m)!},,$$
所以此时排列数公式可以改写为
$$
\mathrm{A}_{n}^{m}=\frac{n!}{(n-m)!}
$$
为了使得上式对 $m=n$ 时也成立,我们规定 $0!=1$. 另外,为了方便起见，也规定 $A_{n}^{0}=1$.
例 2 求证: $\mathrm{A}_{n}^{m}+m \mathrm{~A}_{n}^{m-1}=\mathrm{A}_{n+1}^{m}$.
证明由排列数公式可知
$$
\begin{aligned}
\mathrm{A}_{n}^{m}+m \mathrm{~A}_{n}^{m-1} & =\frac{n!}{(n-m)!}+m \frac{n!}{[n-(m-1)]!} \\
& =\frac{n!}{(n-m)!} \times\left[1+\frac{m}{n-(m-1)}\right] \\
& =\frac{n!}{(n-m)!} \times \frac{n+1}{n-(m-1)} \\
& =\frac{(n+1)!}{[(n+1)-m]!}=\mathrm{A}_{n+1}^{m} .
\end{aligned}
$$
## 探索与研究
假设有 $n+1$ 个不同的对象,甲是其中一个,从这 $n+1$ 个对象中取出 $m$ 个做成的排列,可以分成两类:
（1）不包括对象甲的;
(2) 包括对象甲的.
分别计算每一类的排列个数.
注意到第（2）类排列中,甲可以占据 $m$ 个位置中的任何一个,也就是说,甲的位置有 $m$ 种可能. 你能由此给出例 2 的结果的一个直观解释吗?
## 2. 排列数的应用
例 3 某地区足球比赛共有 12 个队参加,每队都要与其他各队在主客场分别比赛一次，则共要进行多少场比赛?
解如果把每一场比赛都看成主场队在前、客场队在后的一个排列,则不难看出,所求比赛数等于从 12 个对象中取出 2 个的排列数,即
$$
\mathrm{A}_{12}^{2}=12 \times 11=132 \text {. }
$$
例 3 的关键是，把所给问题转化为等价的排列问题.
例 4 某信号兵用红、黄、蓝三面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以只挂 1 面旗，也可以挂 2 面旗或 3 面旗，旗数或顺序不同时，表示信号不同，则一共可表示多少种不同的信号?
解按照所挂旗数,可以分为三类:
第一类是只挂 1 面旗，此时可表示 $A_{3}^{1}$ 种不同的信号;
第二类是挂 2 面旗，此时可表示 $A_{3}^{2}$ 种不同的信号;
第三类是挂 3 面旗，此时可表示 $\mathrm{A}_{3}^{3}$ 种不同的信号.
按照分类加法计数原理，一共可表示不同的信号
$$
\mathrm{A}_{3}^{1}+\mathrm{A}_{3}^{2}+\mathrm{A}_{3}^{3}=3+3 \times 2+3 \times 2 \times 1=15
$$
种.
例 4 说明,解题过程中,可以将基本计数原理与排列知识有机结合.
例 5 用 $0,1,2,\cdots,9$ 这 10 个数字,可以排成多少个没有重复数字的三位数?
解 （方法一）要组成一个没有重复数字的三位数,可以分为两步:
第一步,确定百位上的数字,因为只能是 $1,2,\cdots,9$ 这 9 个数字中的某一个，所以有 $A_{9}^{1}$ 种方法;
第二步，确定十位和个位上的数字,因为数字不能重复，所以只能从百位以外的数字来选取，因此共有 $\mathrm{A}_{9}^{2}$ 种方法.
由分步乘法计数原理可知,满足条件的三位数个数为
$$
\mathrm{A}_{9}^{1} \mathrm{~A}_{9}^{2}=9 \times 9 \times 8=648 \text {. }
$$
(方法二) 从 $0,1,2,\cdots,9$ 这 10 个数字中，取出 3 个做排列的排列数为 $\mathrm{A}_{10}^{3}$. 所有的这些排列中,0 排在首位的都不能对应一个三位数,而其他的都对应一个三位数. 又因为 0 排在首位的排列共有 $A_{9}^{2}$ 个,所以可知所求三位数的个数为
$$
\mathrm{A}_{10}^{3}-\mathrm{A}_{9}^{2}=10 \times 9 \times 8-9 \times 8=648 .
$$
例 5 的方法二，通常称为“排除法”，也就是先算出无限制条件的所有排法种数，然后再减去不符合条件的排法种数. 例 6 用 $0,1,2,\cdots,9$ 这 10 个数字,可以排成多少个没有重复数字的四位偶数?
## 尝试与发现
给出几个满足条件的四位数,并对所有满足条件的四位数进行分类.
解满足条件的四位数可以分为两类：
第一类的末位数字是 0,有 $A_{9}^{3}$ 个.
第二类的末位数字不是 0 . 要排成这样的四位数,可以分成三个步骤来完成：第一步,确定末位数字,因为只能是 $2,4,6$ 或 8,所以有 $\mathrm{A}_{4}^{1}$ 种方法;第二步,确定首位数字,因为数字不能重复,所以有 $\mathrm{A}_{8}^{1}$ 种方法；第三步,确定中间两位数字,有 $A_{8}^{2}$ 种方法. 由分步乘法计数原理可知,这样的数字有 $A_{4}^{1} A_{8}^{1} A_{8}^{2}$ 个.
由分类加法计数原理可知,满足条件的四位数个数为
$$
\mathrm{A}_{9}^{3}+\mathrm{A}_{4}^{1} \mathrm{~A}_{8}^{1} \mathrm{~A}_{8}^{2}=9 \times 8 \times 7+4 \times 8 \times 8 \times 7=41 \times 56=2296 .
$$
从例 6 可以看出,利用排列数公式,可以简化思维过程.
例 7 有 3 位男生和 2 位女生,在某风景点前站成一排拍合照,要求 2 位女生要相邻，有多少种不同的站法?
## 尝试与发现
用适当的符号表示男生和女生,给出几种满足条件的排法,由此尝试发现解题思路.
分成两步来完成：第一步，先让两位女生站好，有 $A_{2}^{2}$ 种方法;第二步,把两位女生当成一个整体,与 3 位男生去站成一排,有 $\mathrm{A}_{4}^{4}$ 种方法. 根据分步乘法计数原理可知,共有 $\mathrm{A}_{2}^{2} \mathrm{~A}_{4}^{4}=48$ 种不同的站法.
例 7 的解法，相当于把两位女生捆绑在了一起，因此也常被称为“捆绑法”.
例 8 某晩会要安排 3 个歌唱节目（记为 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$ ）和 2 个舞蹈节目 （记为甲、乙）,要求舞蹈节目不能相邻，共有多少种不同的安排方法?
## 尝试与发现
用题中的符号给出几种满足条件的排法,由此尝试发现解题思路.
解分成两步来完成: 第一步,先确定 3 个歌唱节目的先后顺序（不考虑舞蹈节目),总共有 $\mathrm{A}_{3}^{3}$ 种排法;第二步,歌唱节目的先后顺序确定之后,舞蹈节目共有 $\mathrm{A}_{4}^{2}$ 种排法（例如,如果第一步确定的歌唱节目先后顺序为 $\mathrm{ABC}$，则舞蹈节目只能安排在如图 3-1-8 所示的 4 个空格中). 由分步乘法计数原理可知,共有
## 5
种不同的安排方法.
图 3-1-8
值得注意的是,例 8 中所有符合条件的安排方法都可用解法中的方式得到,如“AB 甲 C 乙”,只要在图 3-1-8 中的第三个、第四个空格分别填上甲、乙即可. 这种解题方法通常称为“揷空法”. 在解决类似的要求不相邻的问题中,用揷空法往往简单、有效.
## 3. 用信息技术计算排列数
利用 Excel 软件中的 PERMUT(permutation，排列)命令可以计算排列数. 例如,要计算 $\mathrm{A}_{6}^{4}$,只要在任意一个单元格输人“= $\operatorname{PERMUT}(6,4)$ ”,如图 3-1-9 所示,然后按回车键,就能显示出想要的结果,如图 3-1-10 所示.
图 3-1-9
图 3-1-10
在 GeoGebra 中,输人“$\mathrm{nPr}[6,4]$ ” 或“排列数 $[6,4]$ ”可得到 $A_{6}^{4}$ 的值,请感兴趣的读者自行尝试.
## 练习A
(1) 写出所有由 $1,2,3,4$ 这四个数字排成的没有重复数字的四位数.
(2) 计算:
(1) $\mathrm{A}_{4}^{3}$;(2) $\mathrm{A}_{6}^{3}$;(3) $\mathrm{A}_{15}^{1}$;(4) $\mathrm{A}_{20}^{2}$;(5) $\mathrm{A}_{100}^{2}$.
(3) 计算 $1 \sim 8$ 的阶乘,并填入下表中:
| $n$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| :---: | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $n!$ | | | | | | | | |
(4) 从 5 种不同的蔬菜品种中选出 2 种分别种植在不同土质的土地上进行试验,共有多少种不同的种植方法?
(5) 从 5 名乒兵球运动员中,选出 3 名并确定出场顺序,以参加某场团体比赛,共有多少种不同的方法?
(6) 有 6 个人想在某风景区门口站成前后两排（各 3 人）照相,共有多少种不同的排法?
## 练习 $B$
(1) 计算:
(1) $\mathrm{A}_{8}^{5}-2 \mathrm{~A}_{8}^{2}$;(2) $\mathrm{A}_{4}^{1}+\mathrm{A}_{4}^{2}+\mathrm{A}_{4}^{3}+\mathrm{A}_{4}^{4}$
(3) $\frac{A_{10}^{5}}{A_{5}^{5}}$
(2) (1) 将 2 封不同的信投入 4 个邮箱,每个邮箱最多投 1 封,共有多少种不同的投法?
(2) 将 2 封不同的信随意投入 4 个邮箱,共有多少种不同的投法?
(3) 用 $0,1,2,3,4,5$ 可组成多少个:
(1) 没有重复数字的四位数?
（2）没有重复数字且被 5 整除的四位数?
（3）比 2000 大且没有重复数字的自然数?
(4) 四对夫妇坐成一排照相:
（1）每对夫妇都不能被隔开的排法有多少种?
（2）每对夫妇都不能被隔开,且同性别的人不能相邻的排法有多少种?
5 将 2 个男生和 4 个女生排成一排:
（1）男生排在中间的排法有多少种?
（2）男生不在头尾的排法有多少种?
(3) 男生不相邻的排法有多少种?
（4）男生不相邻且不在头尾的排法有多少种?
（5）2 个男生都不与女生甲相邻的排法有多少种?
1. $3 \times 2=6 \quad 24 \times 3 \times 2 \times 1=24 \quad 3 \mathrm{BAC},\mathrm{BCA},\mathrm{CAB},\mathrm{CBA}$
$45 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=120 \quad 5 \quad A_{3}^{3} A_{4}^{2}=6 \times 12=72$
### 3 组合与组合数
## 情境与问题
高考不分文理科后，思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这 6 大科目是选考的,如果考生可以从中任选 3 科作为自己的高考科目,那么选考的组合方式一共有多少种可能的情况呢?
如果用 $\{$ 思想政治，历史，地理 $\}$ 表示其中一种选考的组合，你能用类似的方法表示出所有的组合方式吗?你有更简单的表示方法吗?
上述问题可以用本小节我们要学习的组合知识来解.
## 1. 组合与组合数
## 尝试与发现
下面这两个计数问题的答案一样吗?
（1）小张要在 3 所大学中选择 2 所,分别作为自己的第一志愿和第二志愿,小张共有多少种不同的选择方式?
（2）小张要在 3 所大学中选择 2 所,作为自己努力的目标,小张共有多少种不同的选择方式?
选择合适的符号,分别表示出上述两题中所有的选择方式,并总结两者之间的关系.
不难看出，尝试与发现的两个问题中：前者选出两所学校后，还要指定一所作为第一志愿,另一所作为第二志愿；而后者只需要选出两所学校即可. 换句话说,前者选出的学校是要排列顺序的,而后者选出的学校不需要排列顺序.
这也就是说，尝试与发现（1）中的事情，可以分成两步来完成：第一步,完成（2）中的事情,即选择两所学校;第二步,将选出的两所学校做全排列 (共有 $\mathrm{A}_{2}^{2}$ 种方法). 因为问题（1）的答案是 $\mathrm{A}_{3}^{2}$,所以如果设问题 (2) 的答案是 $x$,那么根据上述分析和分步乘法计数原理可知 $\mathrm{A}_{3}^{2}=x \mathrm{~A}_{2}^{2}$,从而
$$
x=\frac{\mathrm{A}_{3}^{2}}{\mathrm{~A}_{2}^{2}}=1
$$
一般地,从 $n$ 个不同对象中取出 $m(m \leqslant n)$ 个对象并成一组,称为从 $n$ 个不同对象中取出 $m$ 个对象的一个组合.
尝试与发现的问题（2）中，如果用 A,B,C 表示 3 所学校,$\{\mathrm{A},\mathrm{B}\}$ 表示选择学校 $\mathrm{A}$ 和 $\mathrm{B}$ 作为目标,则 $\{\mathrm{A},\mathrm{B}\}$ 就是一个组合,且（2）中的 3 种选择方式也就是 3 种组合分别为: $\{\mathrm{A},\mathrm{B}\},\{\mathrm{A},\mathrm{C}\},\{\mathrm{B},\mathrm{C}\}$.
从 $n$ 个不同对象中取出 $m$ 个对象的所有组合的个数,称为从 $n$ 个不同对象中取出 $m$ 个对象的组合数,用符号 $\mathrm{C}_{n}^{m}(1)$ 表示.
注意: (1) 所谓并成一组是指与顺序无关,例如,组合 $a,b$ 与组合 $b$,$a$ 是同一组合,可以把一个组合看成一个集合.
(2) 同符号 $\mathrm{A}_{n}^{m}$ 一样,在符号 $\mathrm{C}_{n}^{m}$ 中,总是要求 $n$ 和 $m$ 都是正整数,且 $m \leqslant n$,以后也不再声明.
尝试与发现的问题 (2) 实际上就是求组合数 $\mathrm{C}_{3}^{2}$,我们已经知道,$\mathrm{C}_{3}^{2}=\frac{\mathrm{A}_{3}^{2}}{\mathrm{~A}_{2}^{2}}=3$.
实际生活中,有大量涉及组合数的情况. 例如,从 15 名学生中选择 3 人去参加学生代表大会,共有 $\mathrm{C}_{15}^{3}$ 种不同的选择方法;从 10 名教师中指派 7 人去参加教学交流,有 $\mathrm{C}_{10}^{7}$ 种不同的指派方法等.
## 尝试与发现
仿照求出 $\mathrm{C}_{3}^{2}$ 的过程,探讨一般情况下,组合数 $\mathrm{C}_{n}^{m}$ 该怎样计算.
考虑到从 $n$ 个不同对象中取出 $m$ 个做排列,可以分成两个步骤来完成: 第一步,从 $n$ 个不同对象中取出 $m$ 个,有 $\mathrm{C}_{n}^{m}$ 种选法;第二步,将选出的 $m$ 个对象做全排列,有 $\mathrm{A}_{m}^{m}$ 种排法. 由分步乘法计数原理有 $\mathrm{A}_{n}^{m}=$ $\mathrm{C}_{n}^{m} \mathrm{~A}_{m}^{m}$,所以
$$
\mathrm{C}_{n}^{m}=\frac{\mathrm{A}_{n}^{m}}{\mathrm{~A}_{m}^{m}}=\frac{n(n-1) \cdots[n-(m-1)]}{m \times(m-1) \times \cdots \times 2 \times 1}=\frac{n!}{(n-m)!m!}
$$
上述公式称为组合数公式.
## 尝试与发现
由组合数公式,分别取 $m=0,m=1,m=n$,可得
$$
\mathrm{C}_{n}^{0}=2 \quad,\mathrm{C}_{n}^{1}=3 \quad,\mathrm{C}_{n}^{n}=4
$$
试利用组合的概念直观地理解上述特殊组合数.
(1) $\mathrm{C}$ 是英语单词 combination（组合) 的第一个字母的大写. 例1 已知一个平面内有 10 个点,其中任意 3 点都不共线,且任意两点所连成的线段中，任意两条线段的长度都不相等:
（1）这些点共可以连成多少条不同的线段?
（2）以这些点为端点共可以作出多少个不同的非零向量?
（1）因为已知的点中,任意 3 点都不共线,而任意两点都能连成一条线段，所以共可以连成的不同线段条数为
$$
\mathrm{C}_{10}^{2}=\frac{10 \times 9}{2 \times 1}=45
$$
（2）因为以任意一点为始点、另一点为终点,均可作出一个非零向量,而且连成的所有线段中,任意两条线段的长度都不相等,因此共可以作出不同的非零向量个数为
$$
\mathrm{A}_{10}^{2}=10 \times 9=90 \text {. }
$$
例 2 计算：(1) $\mathrm{C}_{7}^{3}+\mathrm{C}_{7}^{4}$
(2) $\mathrm{C}_{10}^{5} \mathrm{C}_{10}^{0}-\mathrm{C}_{10}^{10}$
解 (1) $\mathrm{C}_{7}^{3}+\mathrm{C}_{7}^{4}=\frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1}+\frac{7 \times 6 \times 5 \times 4}{4 \times 3 \times 2 \times 1}=35+35=70$.
(2) $\mathrm{C}_{10}^{5} \mathrm{C}_{10}^{0}-\mathrm{C}_{10}^{10}=\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \times 1-1=252-1=251$.
本节一开始的情境与问题中，不难看出，选考组合方式共有
$$
\mathrm{C}_{6}^{3}=\frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1}=20
$$
种可能的情况. 若用字母或数字表示科目的名称 (如下表所示),并用 $\{T,H$,G 表示选考思想政治、历史、地理,则可以方便地表示出所有的选考组合.
| 科 | 目 | 思想政治 | 历史 | 地理 | 物理 | 化学 | 生物 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 字 | 母 | $\mathrm{T}$ | $\mathrm{H}$ | $\mathrm{G}$ | $\mathrm{P}$ | $\mathrm{C}$ | $\mathrm{B}$ |
## 2. 组合数的性质
## 尝试与发现
在了解敬老院可以进行哪些爱心活动的走访中,老师要将 5 位同学分成两组,一组 2 人,另一组 3 人. 老师完成分组,有两种不同的做法:
（1）选出 2 人作为一组，另外 3 人是另一组;
（2）选出 3 人作为一组,另外 2 人是另一组.
用组合数符号分别表示（1）和（2）所得的分法种数,说明所得结果之间的关系，并将结果推广到一般情况. 根据组合和组合数公式可知,尝试与发现中（1）和（2）所得的分法种数分别为 $\mathrm{C}_{5}^{2}$ 和 $\mathrm{C}_{5}^{3}$,而且
$$
\mathrm{C}_{5}^{2}=5 \quad,\mathrm{C}_{5}^{3}=6
$$
因此 $\mathrm{C}_{5}^{2}=\mathrm{C}_{5}^{3}$.
## 想一想
不难知道,从$n$ 个对象中，取出 $m$ 个对象后，将剩下 $n-m$ 个对象. 你能用这一事实来直观理解有关结论吗？
因此
$$
\begin{aligned}
\mathrm{C}_{n}^{m} & =\frac{n!}{(n-m)!m!},\\
\mathrm{C}_{n}^{n-m} & =\frac{n!}{[n-(n-m)]!(n-m)!}=\frac{n!}{m!(n-m)!},\end{aligned}
$$
业
$$
\mathrm{C}_{n}^{m}=\mathrm{C}_{n}^{n-m}
$$
| 想一想 |
| :---: |
| 不难知道,从 |
| $n$ 个对象中,取出 |
| $m$ 个对象后,将 |
| 剩下 $n-m$ 个对 |
| 象. 你能用这一事 |
| 实来直观理解有关 |
| 结论吗?|
从这一性质与前面计算 $\mathrm{C}_{5}^{2}$ 和 $\mathrm{C}_{5}^{3}$ 的过程可知,当 $m>\frac{n}{2}$ 时,将计算 $\mathrm{C}_{n}^{m}$ 转化为计算 $\mathrm{C}_{n}^{n-m}$ 会更简便，例如
$$
\mathrm{C}_{10}^{7}=\mathrm{C}_{10}^{10-7}=\mathrm{C}_{10}^{3}=\frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1}=120
$$
例 3 一个口袋里有 7 个不同的白球和 1 个红球,从中取 5 个球:
（1）共有多少种不同的取法?
（2）如果不取红球，共有多少种不同的取法?
（3）如果必须取红球，共有多少种不同的取法?
解 (1) 因为共有 8 个球,所以共有不同的取法种数为 $\mathrm{C}_{8}^{5}$,且
$$
\mathrm{C}_{8}^{5}=\mathrm{C}_{8}^{8-5}=\mathrm{C}_{8}^{3}=\frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1}=56
$$
（2）因为不取红球,所以只要在 7 个白球中取 5 个球即可,所以共有不同的取法种数为
$$
\mathrm{C}_{7}^{5}=\mathrm{C}_{7}^{7-5}=\mathrm{C}_{7}^{2}=\frac{7 \times 6}{2 \times 1}=21
$$
(3) 因为必须取红球,所以只需在 7 个白球中再取 4 个球即可,所以共有不同的取法种数为
$$
\mathrm{C}_{7}^{4}=\mathrm{C}_{7}^{7-4}=\mathrm{C}_{7}^{3}=\frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1}=35
$$
观察例 3 的解答可知 $\mathrm{C}_{7}^{5}+\mathrm{C}_{7}^{4}=\mathrm{C}_{8}^{5}$,这一结论是否具有普遍性呢?答案是肯定的，事实上，我们有（证明留作练习）
$$
\mathrm{C}_{n}^{m+1}+\mathrm{C}_{n}^{m}=\mathrm{C}_{n+1}^{m+1}
$$
## 探索与研究
假设有 $n+1$ 个不同的对象,甲是其中一个,从这 $n+1$ 个对象中选出 $m+1$ 个的组合,可以分成两类:
(1) 不包括对象甲的;
（2）包括对象甲的.
你能用这一事实直观地理解上述组合数的性质吗?
## 3. 组合数的应用
在从事产品检验时,经常要从产品中抽取一部分进行检查，这其中就牵涉很多计数问题.
例 4 现有 30 件分别标有不同编号的产品,且除了 2 件次品外,其余都是合格品,从中取出 3 件:
（1）一共有多少种不同的取法?
（2）若取出的 3 件产品中恰有 1 件次品，则不同的取法共有多少种?
（3）若取出的 3 件产品中至少要有 1 件次品,则不同的取法共有多少种?
解 (1) 所求的取法总数,就是从 30 件产品中取出 3 件的组合数
$$
\mathrm{C}_{30}^{3}=\frac{30 \times 29 \times 28}{3 \times 2 \times 1}=4060 .
$$
(2) 抽取可以分成两步完成: 第一步,在 2 件次品中取出 1 件,有 $\mathrm{C}_{2}^{1}$ 种方法;第二步,在 28 件合格品中取出 2 件,有 $\mathrm{C}_{28}^{2}$ 种方法. 因此取法种数为
$$
\mathrm{C}_{2}^{1} \mathrm{C}_{28}^{2}=2 \times \frac{28 \times 27}{2 \times 1}=756
$$
(3) 满足条件的取法可以分成两类: 恰有 1 件次品的取法和恰有 2 件次品的取法.
恰有 1 件次品的取法有 $\mathrm{C}_{2}^{1} \mathrm{C}_{28}^{2}$ 种,恰有 2 件次品的取法有 $\mathrm{C}_{2}^{2} \mathrm{C}_{28}^{1}$ 种.
因此取法种数为
$$
\mathrm{C}_{2}^{1} \mathrm{C}_{28}^{2}+\mathrm{C}_{2}^{2} \mathrm{C}_{28}^{1}=2 \times \frac{28 \times 27}{2 \times 1}+1 \times 28=784 .
$$
例 4 说明,解题过程中,可以将基本计数原理与组合知识有机结合.
例 5 要把 9 本不同的课外书分给甲、乙、丙 3 名同学:
（1）如果每个人都得 3 本，则共有不同的分法多少种?(2) 如果要求一人得 4 本,一人得 3 本,一人得 2 本,则共有不同的
## 分法多少种?
解 (1) 要完成分配任务,可以分为三步: 第一步,分给甲 3 本书,有 $\mathrm{C}_{9}^{3}$ 种方法;第二步,分给乙 3 本书,因为只能在剩下的 6 本书里选,所以有 $\mathrm{C}_{6}^{3}$ 种方法;第三步,分给丙 3 本书,因为只能在剩下的 3 本书里选，所以有 $\mathrm{C}_{3}^{3}$ 种方法. 因此共有不同的分法数为
$$
\mathrm{C}_{9}^{3} \mathrm{C}_{6}^{3} \mathrm{C}_{3}^{3}=\frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \times 1=1680 .
$$
（2）要完成分配任务,可以分为两步: 第一步,将 9 本书按照 4 本、3 本、2 本分为三组,有 $\mathrm{C}_{9}^{4} \mathrm{C}_{5}^{3} \mathrm{C}_{2}^{2}$ 种方法;第二步,将分好的 3 组书分别分给 3 个人，有 $\mathrm{A}_{3}^{3}$ 种方法. 因此共有不同的分法数为
$$
\mathrm{C}_{9}^{4} \mathrm{C}_{5}^{3} \mathrm{C}_{2}^{2} \mathrm{~A}_{3}^{3}=\frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \times \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times 1 \times 3 \times 2 \times 1=7560 .
$$
例 5 的（2）中,因为没有指定谁得 4 本书,谁得 3 本书,谁得 2 本书,所以第二步需要做一个排列.
例 6 现要从 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D},\mathrm{E},\mathrm{F}$ 这 6 人中选出 4 人安排在甲、乙、丙、丁 4 个岗位上,如果 $\mathrm{A}$ 不能安排在甲岗位上,那么一共有多少种不同的安排方法?
解安排方法可以分成两类: 选出的 4 人中有 $\mathrm{A}$ 和没有 $\mathrm{A}$.
有 $\mathrm{A}$ 的安排方法可以分成两步完成: 第一步,在乙、丙、丁 3 个岗位中选择一个给 $\mathrm{A}$,共 $\mathrm{C}_{3}^{1}$ 种方法;第二步,在 $\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D},\mathrm{E},\mathrm{F}$ 这 5 人中选出 3 人安排在其他 3 个岗位上,共 $\mathrm{A}_{5}^{3}$ 种方法. 所以此类安排方法共有 $\mathrm{C}_{3}^{1} \mathrm{~A}_{5}^{3}$ 种.
没有 $\mathrm{A}$ 的安排方法共有 $\mathrm{A}_{5}^{4}$ 种.
因此安排方法种数为
$$
\mathrm{C}_{3}^{1} \mathrm{~A}_{5}^{3}+\mathrm{A}_{5}^{4}=300
$$
## 4.用信息技术计算组合数
利用 Excel 软件中的 COMBIN (combination,组合) 命令可以计算排列数. 例如要计算 $\mathrm{C}_{100}^{3}$,只要在任意一个单元格输人“= $\operatorname{COMBIN}(100,3)$ ”,如图 3-1-11 所示,然后按回车键,就能显示出想要的结果,如图 3-1-12 所示.
图 3-1-11
图 3-1-12
在 GeoGebra 中，输人“Binomial[100，3]” 或“二项式系数 $[100，3] ”$ 也可得到 $\mathrm{C}_{100}^{3}$ 的值,请感兴趣的读者自行尝试.
## 拓展阅读
## 把相同的物品分给不同对象的分法种数
把 8 个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁 4 人，共有多少种不同的分法?
由于每个篮球都相同,因此只要指出每人所得篮球的个数即可,比如,甲得 2 个、乙得 3 个、丙得 3 个、丁得 0 个,就是一种满足条件的分法. 可能有人会想到通过列举来求解上述问题,但是,经过简单的尝试之后,你就会发现，这个问题可能比想象中的难.
注意到每一种满足条件的分法本质上就是把 8 个球分为了 4 堆,为此可借助 3 块隔板来实现. 例如,前述满足条件的分法可以用图 1 表示，其中第一块隔板前的篮球是分给甲的，第一块和第二块隔板之间的篮球是分给乙的,第二块和第三块隔板之间的篮球是分给丙的,第三块隔板后的篮球是分给丁的
$\theta \theta \theta \theta \theta \theta$
图 1
容易知道,任何一种类似图 1 的排列都对应一种分法,例如,图 2 对应的分法为: 甲得 1 个,乙得 0 个,丙得 0 个,丁得 7 个.
$\theta 1 \theta \theta \theta \theta \theta$
图 2
这样一来,问题就转化为 8 个相同的篮球和 3 块相同的隔板,可以有多少种不同的排列方法.
因为总共有 $8+3=11$ 个位置,而且我们只需要从这 11 个位置中选出 3 个放置隔板 （其余放置篮球）即可，因此不同的排列方法种数为
$$
\mathrm{C}_{11}^{3}=\frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1}=165
$$
也就是说,我们有 165 种不同的分法.
有意思的是,如果设甲、乙、丙、丁 4 人所得篮球个数分别为 $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$,则不难看出，我们得到了方程
$$
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=8
$$
的非负整数解 $\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)$ 个数为 165 .
类似地,可以得到把 $n$ 个相同的物品分给 $r$ 个不同对象的方法数 (其中 $r$ 和 $n$ 均为正整数),也就是方程 $x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{r}=n$ 的非负整数解 $\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{r}\right)$ 的个数,请自己尝试一下吧！(1) 北京队、上海队、天津队、广东队四个足球队举行友谊比赛,每两个队要比赛一场:
(1) 列出所有各场比赛的双方;
（2）最终产生冠、亚军各一个队,列出所有可能的冠、亚军情况.
(2) 写出:
(1) 从 $a,b,c,d,e$ 五个元素中取两个元素的所有组合;
(2) 从 $a,b,c,d,e$ 五个元素中取三个元素的所有组合.
(3) 计算:
(1) $\mathrm{C}_{17}^{1}$;(2) $\mathrm{C}_{6}^{3}$;(3) $\mathrm{C}_{23}^{0}$;(4) $\mathrm{C}_{100}^{98}$
(4) 某校举行排球赛,每两个队赛一场,有 8 个队参加,共需比赛多少场?
(5) 现有 10 件产品（除了 2 件一等品外,其余都是二等品),从中抽取 3 件:
（1）一共有多少种不同的抽法?（2）抽出的 3 件中恰有 1 件一等品的抽法共有多少种?（3）抽出的 3 件中至少有 1 件一等品的抽法共有多少种?
## 练习B
(1) 计算:
(1) $\mathrm{C}_{7}^{3}+\mathrm{C}_{7}^{4}+\mathrm{C}_{8}^{5}+\mathrm{C}_{9}^{6}+\mathrm{C}_{10}^{7}$;(2) $\mathrm{C}_{5}^{0}+\mathrm{C}_{5}^{1}+\mathrm{C}_{5}^{2}+\mathrm{C}_{5}^{3}+\mathrm{C}_{5}^{4}+\mathrm{C}_{5}^{5}$
(2) 解方程: $\mathrm{C}_{18}^{x}=\mathrm{C}_{18}^{3 x-6}$.
(3) 利用组合数公式证明 $\mathrm{C}_{n}^{m+1}+\mathrm{C}_{n}^{m}=\mathrm{C}_{n+1}^{m+1}$.
(4) 甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某项竞赛,决出了第一名到第五名的 5 个名次. 甲、乙两人去询问成绩,组织者对甲说：“很遗憾,你和乙都末拿到冠军.” 对乙说:“你当然不会是最差的.” 从组织者的回答分析,这五名同学的名次排列共有多少种不同的情况.
(5) 将 6 名中学生分到甲、乙、丙 3 个不同的公益小组:
(1) 要求有 3 人分到甲组,2 人分到乙组,1 个人分到丙组,共有多少种不同的分法?
（2）要求三个组的人数分别为 $3,2,1$,共有多少种不同的分法?$1 \frac{3 \times 2}{2 \times 1}=3$
$2 \frac{n!}{(n-0)!0!}=1$
$3 \frac{n!}{(n-1)!1!}=n$
$4 \frac{n!}{(n-n)!n!}=1$
$5 \frac{5 \times 4}{2 \times 1}=10$
$6 \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1}=10$
## 习题3-1A
(1) 有不同的红球 8 个,不同的白球 7 个:
（1）从中取出 1 个球,共有多少种不同的取法?
（2）从中取出 2 个颜色不同的球，共有多少种不同的取法?
(2) 求下列各式中的正整数 $n$ :
(1) $\mathrm{A}_{2 n}^{3}=10 \mathrm{~A}_{n}^{3}$;(2) $\mathrm{A}_{10}^{n}=10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5$.
(3) 已知从 $n$ 个不同对象中取出 2 个对象的排列数等于从 $n-4$ 个不同对象中取出 2 个对象的排列数的 7 倍,求正整数 $n$ 的值.
(4) 一部影片在 4 个单位轮流放映,每一个单位放映一场,共有多少种不同的放映次序?
(5) (1) 已知圆上有 10 个点,过任意 3 个点都可画一个圆内接三角形,一共可画多少个圆内接三角形?
（2）已知空间中有 10 个点,且任意 4 个点都不共面,即以任意 4 个点为顶点都可构造一个四面体，则一共可以构造多少个四面体?
(6) (1) 平面内有两组平行线,一组有 $m$ 条,另一组有 $n$ 条,不同组的平行线都相交,其中 $m,n$ 都是大于 1 的正整数,这些平行线一共构成了多少个平行四边形?（2）空间中有三组平行平面,第一组有 $m$ 个,第二组有 $n$ 个,第三组有 $l$ 个,不同组的平面都互相垂直,其中 $m,n,l$ 都是大于 1 的正整数,这些平行平面一共构成了多少个长方体?
(7) 将 4 封不同的信全部投入 3 个邮筒 :
（1）不加任何限制，有多少种不同的投法?
（2）每个邮筒至少投 1 封信，有多少种不同的投法?
(8) 某丘乓球邀请赛,参加的有三个组,第一、第二组各有 7 个队,第三组有 6 个队,首先各组进行单循环赛,然后各小组的第一名共 3 个队分主客场进行决赛,最终决出冠、亚军,该乒兵球邀请赛一共需要比赛多少场?
(1) 某教师上午要给 3 个班上课,每班 1 节. 如果每个班上午只能排 4 节课,并且该教师不能连上 3 节课,那么该教师上午的课表有多少种不同的排法?
(2) 在不小于 3000 且不大于 7000 的正整数中，有多少个没有重复数字的 5 的倍数?
(3) 有 6 个人分成两排就座，每排 3 人:
（1）共有多少种不同的坐法?（2）如果甲不能坐在第一排,乙不能坐在第二排,共有多少种不同的坐法?（3）如果甲和乙必须在同一排且相邻，共有多少种不同的坐法?
（4）如果甲和乙必须在同一排且不相邻，共有多少种不同的坐法?
(4) 某班有 35 名学生,其中正、副班长各 1 名,现要从该班选派 5 名学生参加某种活动 :
（1）如果正、副班长必须在内，共有多少种不同的选派方法?
（2）如果正、副班长必须有一人在内，且只能有一人在内，共有多少种不同的选派方法?
（3）如果正、副班长都不在内,共有多少种不同的选派方法?
（4）如果正、副班长至少有一人在内，共有多少种不同的选派方法?
(5) 有 6 个座位连成一排,安排 3 个人就座,恰有两个空位相邻的不同坐法共有多少种?
(6) 有 10 个人围着一张圆桌坐成一圈，共有多少种不同的坐法?
(1) 求 $\mathrm{C}_{2}^{2}+\mathrm{C}_{3}^{2}+\mathrm{C}_{4}^{2}+\cdots+\mathrm{C}_{100}^{2}$ 的值.
(2) 求证: $\mathrm{A}_{m}^{m}+\mathrm{A}_{m+1}^{m}+\mathrm{A}_{m+2}^{m}+\cdots+\mathrm{A}_{2 m}^{m}=\mathrm{A}_{2 m+1}^{m}$. (提示: 考察排列数与组合数的关系.）
(3) 如图所示,一个地区分为 5 个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色,有 4 种颜色可供选择,则不同的着色方法共有多少种?
(4) 要把 9 本不同的课外书分别装到三个相同的手提袋里,每个袋中至少一本,一共有多少
（第 3 题） 种不同的装法?
(5) 把分别标有 1 号、2 号、3 号、4 号的 4 个不同的小球放入分别标有 1 号、2号、3 号的 3 个盒子中,不许有空盒子且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的放法共有多少种?
## 2 数学探究活动: 生日悖论的解释与模拟
## 1. 活动背景介绍与要求
假设你所在的班级共有 30 人，那么你们班至少有两个人生日相同的概率是多少?因为每个人的生日有可能是 365 天(1)中的任意一天,这样一来,只有人数超过 365 时,我们才能百分之百地肯定至少有两个人的生日相同,因此感觉上前述问题中的概率应该不会太大. 不过，令人惊讶的是，利用排列组合的知识可以算出,30 个人中,至少有两个人生日相同的概率约为 $71 \%$!
事实上,当人群的人数达到 23 时,至少有两个人生日相同的概率就超过 $50 \%$ 了！而当人数达到 41 时,概率就超过 $90 \%$ 了！这一结论与人们的直觉相差比较远,因此常被称为“生日悖论”.
生日悖论可以在日常生活中找到很多实例. 例如，2014 年世界杯中，有 32 支球队，每支球队恰好就有 23 名球员. 如果生日悖论是真的,可能会有半数球队拥有同生日球员. 从国际足联 2014 年 6 月 10 日给出的官方数据中可以看到，瑞士、伊朗、法国、阿根廷和韩国的代表队各有两对生日相同的球员；西班牙、哥伦比亚、美国、喀麦隆、澳大利亚、波黑、俄罗斯、荷兰、巴西、洪都拉斯和尼日利亚的代表队各有两名球员生日相同. 也就是说，32 支球队中，正好有 16 支球队至少有两人生日相同,所占比例正好为 $50 \%$!
也许大家还是会对生日悖论心存疑惑，因为在日常生活中，我们每个人很难遇到一个与自己生日相同的人. 再看以下事实：指定一年中的一天，253 个人中,才有 $50 \%$ 的概率能找到一个人的生日在指定的那天;要想使概率提高到 $80 \%$,需要 587 个人才行. 因此,如果你真遇到了一个跟你生日相同的人，那你们确实是“有缘” 的. 需要注意的是,这里涉及的问题与生日悖论涉及的问题并不相同.
请与其他同学一起分工合作,完成下列任务,并填写活动记录表:
（1）通过世界杯球员的有关数据或其他数据,验证生日悖论是否属实.
(2) 得出由 $n$ 个人组成的人群中至少有两个人生日相同的概率计算公式.
(3) 利用计算机软件或计算器,分别给出 $n=15，16,\cdots,60$ 时,(2)
(1) 为了简单起见,假设一年只有 365 天,下同.
中的概率值,并用适当的图象表示结果.
(4) 选定一个特殊的 $n$ 值,利用计算机软件模拟验证生日悖论中的概率.
(5) 得出由 $m$ 个人组成的人群中至少有一个人生日是指定日期的概率计算公式.
(6) 利用计算机软件或计算器,分别给出 $m=200,201,\cdots,2200$
时，(5）中的概率值，并用适当的图象表示结果.
（7）选定一个日期和一个特殊的 $m$ 值,利用计算机模拟验证 (6) 中的概率.
生日悖论的解释与模拟活动记录表
活动开始时间：
(1) 成员与分工
| 姓名 | 分 エ | |
| :--- | :--- | :---: |
| | | |
| | | |
| | | |
（2）验证生日悖论的实际数据
(3) $n$ 个人组成的人群中至少有两个人生日相同的概率计算公式
(4) $n=15,16,\cdots,60$ 时,(3) 中的概率值以及图象表示
## （5）生日悖论模拟的方法与结果
（6） $m$ 个人组成的人群中至少有一个人生日是指定日期的概率计算公式
(7) $m=200,201,\cdots,2200$ 时,(6) 中的概率值以及图象表示
（8）模拟（7）中概率的方法及结果
(9) 活动总结 (可包括活动感受等)
活动结束时间：
## 2. 活动提示
（1）除了利用世界杯球员的数据验证生日悖论之外，也可利用学校中各班级的人员信息等.
（2）所要计算的概率都可借助古典概型来完成,其中需要借助排列组合的有关知识. 例如,$n$ 个人组成的人群,生日的所有可能情形有 $365^{n}$ 种,而这 $n$ 个人生日各不相同的情形共有 $\mathrm{A}_{365}^{n}(n \leqslant 365)$ 种,生日都不在某个指定日期的情形共有
$$
(365-1)^{n}=364^{n}
$$
种.
（3）计算机模拟可以借助随机函数来完成.
例如,在验证生日悖论时,可以用 Excel 中的随机函数随机产生多组数据,然后统计其中有哪些组出现了重复数据,最后计算比例.
在图 3-2-1 中，每一个有数据的单元格,输入的都是
$$
\text { "= RANDBETWEEN }(1,365) " \text {,}
$$
共产生了 20 组随机数,每一组都由 23 个数组成,每一组数中重复的数都标成了红色.
| 2 | A | B | C | D | $E$ | $\mathrm{~F}$ | $G$ | $H$ | I | J | $K$ | $\mathrm{~L}$ | M | $\mathrm{N}$ | 0 | P | Q | R | $S$ | $\mathrm{~T}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 1 | 243 | 364 | 121 | 120 | 87 | 100 | 273 | 189 | 211 | 15 | 321 | 239 | 365 | 342 | 185 | 136 | 51 | 263 | 9 | 257 |
| 2 | 44 | 290 | 268 | 100 | 103 | 50 | 305 | 170 | 148 | 112 | 348 | 49 | 305 | 156 | 138 | 6 | 250 | 343 | 105 | 204 |
| 3 | 288 | 364 | 226 | 337 | 14 | 211 | 150 | 319 | 105 | 108 | 45 | 266 | 242 | 266 | 17 | 135 | 117 | 295 | 147 | 160 |
| 4 | 227 | 336 | 127 | 80 | 236 | 13 | 341 | 299 | 48 | 198 | 142 | 128 | 130 | 250 | 280 | 234 | 186 | 345 | 269 | 136 |
| 5 | 79 | 26 | 304 | 148 | 311 | 128 | 115 | 114 | 192 | 263 | 225 | 229 | 288 | 48 | 157 | 42 | 48 | 50 | 6 | 216 |
| 6 | 96 | 213 | 83 | 136 | 78 | 266 | 180 | 329 | 75 | 256 | 340 | 136 | 65 | 13 | 200 | 271 | 210 | 285 | 133 | 106 |
| 7 | 60 | 122 | 363 | 44 | 50 | 64 | 48 | 108 | 167 | 216 | 265 | 38 | 349 | 42 | 139 | 173 | 58 | 141 | 180 | 192 |
| 8 | 99 | 21 | 72 | 9 | 38 | 240 | 206 | 270 | 232 | 112 | 279 | 205 | 131 | 202 | 234 | 228 | 347 | 19 | 294 | 208 |
| 9 | 37 | 297 | 40 | 292 | 68 | 75 | 23 | 283 | 217 | 105 | 268 | 301 | 244 | 39 | 106 | 76 | 105 | 84 | 138 | 260 |
| 10 | 15 | 300 | 345 | 51 | 16 | 245 | 100 | 197 | 326 | 28 | 317 | 337 | 254 | 254 | 323 | 115 | 38 | 148 | 293 | 31 |
| 11 | 107 | 35 | 335 | 190 | 162 | 194 | 248 | 155 | 311 | 259 | 150 | 48 | 314 | 26 | 140 | 201 | 87 | 356 | 46 | 79 |
| 12 | 228 | 341 | 168 | 249 | 108 | 181 | 241 | 137 | 356 | 352 | 261 | 217 | 360 | 45 | 340 | 194 | 130 | 92 | 106 | 53 |
| 13 | 148 | 320 | 130 | 50 | 305 | 280 | 78 | 332 | 338 | 288 | 218 | 194 | 287 | 322 | 316 | 57 | 77 | 116 | 335 | 144 |
| 14 | 277 | 309 | 12 | 1 | 49 | 167 | 191 | 83 | 212 | 11 | 304 | 124 | 18 | 331 | 198 | 161 | 142 | 304 | 225 | 80 |
| 15 | 303 | 63 | 229 | 102 | 39 | 297 | 25 | 341 | 12 | 106 | 103 | 188 | 180 | 350 | 147 | 157 | 293 | 118 | 207 | 262 |
| 16 | 28 | 320 | 343 | 290 | 29 | 247 | 357 | 330 | 122 | 140 | 74 | 231 | 173 | 267 | 92 | 87 | 305 | 81 | 296 | 310 |
| 17 | 277 | 232 | 273 | 42 | 324 | 332 | 351 | 234 | 12 | 148 | 74 | 145 | 118 | 74 | 207 | 81 | 356 | 198 | 305 | 284 |
| 18 | 101 | 28 | 8 | 56 | 184 | 60 | 4 | 135 | 354 | 257 | 273 | 2 | 162 | 360 | 68 | 89 | 64 | 279 | 291 | 30 |
| 19 | 175 | 123 | 324 | 119 | 40 | 177 | 128 | 84 | 205 | 148 | 361 | 319 | 123 | 136 | 290 | 60 | 49 | 3 | 128 | 171 |
| 20 | 34 | 1 | 168 | 117 | 120 | 299 | 54 | 309 | 254 | 63 | 274 | 94 | 339 | 118 | 102 | 53 | 166 | 99 | 285 | 58 |
| 21 | 358 | 104 | 121 | 70 | 180 | 227 | 297 | 250 | 288 | 181 | 122 | 46 | 41 | 246 | 31 | 170 | 359 | 53 | 196 | 8 |
| 22 | 151 | 363 | 143 | 242 | 80 | 317 | 329 | 8 | 271 | 237 | 186 | 167 | 170 | 271 | 3 | 209 | 241 | 154 | 220 | 315 |
| 23 | 92 | 215 | 191 | 223 | 306 | 120 | 109 | 118 | 96 | 338 | 25 | 365 | 148 | 246 | 136 | 349 | 266 | 41 | 201 | 30 |
图 3-2-1
在验证 $m$ 个人组成的人群中至少有一个人生日是指定日期的概率时,可先随机指定一个不大于 365 的正整数,然后用类似的方法产生多个随机数,并查找指定的数是否在产生的随机数中,最后计算比例.
模拟可下载课件“生日悖论的模拟. xlsm”作为参考.
## 3 二项式定理与杨辉三角
## 情境与问题
小张在进行投篮练习,共投了 10 次,只考虑是否投中,那么不难知道,投篮结果可以分成 11 类: 投中 0 次,投中 1 次,投中 2 次 $\cdots \cdots$ 投中 10 次. 而投中 0 次只有 1 (即 $\mathrm{C}_{10}^{0}$ ) 种情况,投中 1 次有 $\mathrm{C}_{10}^{1}$ 种情况，投中 2 次有 $\mathrm{C}_{10}^{2}$ 种情况 $\cdots \cdots \cdot$ 投中 10 次有 $\mathrm{C}_{10}^{10}$ 种情况. 因此,小张投篮 10 次，结果共有
$$
\mathrm{C}_{10}^{0}+\mathrm{C}_{10}^{1}+\mathrm{C}_{10}^{2}+\cdots+\mathrm{C}_{10}^{10}
$$
种情况. 那么上式的结果是多少呢?
利用本节我们要学习的二项式定理,可以快速地解答这个问题.
## 1. 二项式定理
我们知道
$$
\begin{aligned}
& (a+b)^{1}=a+b,\\
& (a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2},\end{aligned}
$$
而且
$$
\begin{aligned}
& (a+b)^{3} \\
= & (a+b)^{2}(a+b) \\
= & \left(a^{2}+2 a b+b^{2}\right)(a+b) \\
= & a^{3}+a^{2} b+2 a^{2} b+2 a b^{2}+b^{2} a+b^{3} \\
= & a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3} .
\end{aligned}
$$
容易看到,上述得到 $(a+b)^{3}$ 的展开式的过程是烦琐的，如果要用这样的方法去得到 $(a+b)^{10},(a+b)^{20}$ 等的展开式是很麻烦的. 那么我们有没有其他办法来得出 $(a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}$ 呢?
## 尝试与发现
从
$$
(a+b)^{3}=(a+b)(a+b)(a+b)
$$
出发,观察 $(a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}$ 中右边各项是如何形成的,由此总结出一般规律.
注意到
$$
(a+b)^{3}=(a+b)(a+b)(a+b)
$$
而展开式中的任何一项都是在右边 3 个括号中各取一个字母相乘得到的（例如,第一个括号取 $a$，第二个取 $b$,第三个取 $a$，则得到 $a^{2} b$ ),因此展开式中每一项都一定是 3 次项,即展开式中只能含有
$$
a^{3},a^{2} b,1
$$
(1)式右边展开后有多少个 $a^{2} b$ 呢?要得到 $a^{2} b$,(1)式右边的 3 个括号中,要有 1 个取 $b$ (剩下的 2 个均取 $a$ ),因此共有 $\mathrm{C}_{3}^{1}$ 种取法,所以有 $\mathrm{C}_{3}^{1}$ 个 $a^{2} b$.
同理可知,(1)式右边展开后有 2 个 $a b^{2}$.
类似地,$a^{3}$ 可以看成(1)式右边的 3 个括号中取 0 个 $b$ 得到的结果,而 $b^{3}$ 可以看成(1)式右边的 3 个括号中取 3 个 $b$ 得到的结果,因此
$$
(a+b)^{3}=\mathrm{C}_{3}^{0} a^{3}+\mathrm{C}_{3}^{1} a^{2} b+\mathrm{C}_{3}^{2} a b^{2}+\mathrm{C}_{3}^{3} b^{3} \text {. }
$$
用同样的方法可知
$$
(a+b)^{4}=\mathrm{C}_{4}^{0} a^{4}+\mathrm{C}_{4}^{1} a^{3} b+\mathrm{C}_{4}^{2} a^{2} b^{2}+\mathrm{C}_{4}^{3} a b^{3}+\mathrm{C}_{4}^{4} b^{4} \text {. }
$$
一般地，当 $n$ 是正整数时，有
$$
(a+b)^{n}=\mathrm{C}_{n}^{0} a^{n}+\mathrm{C}_{n}^{1} a^{n-1} b+\cdots+\mathrm{C}_{n}^{k} a^{n-k} b^{k}+\cdots+\mathrm{C}_{n}^{n} b^{n}
$$
上述公式称为二项式定理,等式右边的式子称为 $(a+b)^{n}$ 的展开式,它共有 $n+1$ 项，其中 $\mathrm{C}_{n}^{k} a^{n-k} b^{k}$ 是展开式中的第 $k+1$ 项（通常用 $T_{k+1}$ 表示）,$\mathrm{C}_{n}^{k}$ 称为第 $k+1$ 项的二项式系数,我们将 $T_{k+1}=\mathrm{C}_{n}^{k} a^{n-k} b^{k}$ 称为二项展开式的通项公式.
注意：通项公式 $T_{k+1}=\mathrm{C}_{n}^{k} a^{n-k} b^{k}$ 中，要求 $n$ 是正整数，$k$ 是满足 $0 \leqslant$ $k \leqslant n$ 的自然数,以后不再声明.
例 1 写出 $(2-x)^{5}$ 的展开式.
解在二项式定理中令 $a=2,b=-x,n=5$,可得
$$
\begin{aligned}
(2-x)^{5} & =\mathrm{C}_{5}^{0} 2^{5}+\mathrm{C}_{5}^{1} 2^{4}(-x)+\mathrm{C}_{5}^{2} 2^{3}(-x)^{2}+\mathrm{C}_{5}^{3} 2^{2}(-x)^{3}+\mathrm{C}_{5}^{4} 2(-x)^{4}+\mathrm{C}_{5}^{5}(-x)^{5} \\
& =32-80 x+80 x^{2}-40 x^{3}+10 x^{4}-x^{5} .
\end{aligned}
$$
例 1 的展开式中,可以看出常数项是 $32,x$ 的系数是 -80,注意到展开式中第 1 项的二项式系数是 $\mathrm{C}_{5}^{0}=1$,第 2 项的二项式系数为 $\mathrm{C}_{5}^{1}=5$,由此可知展开式中某一项的系数与二项式系数,一般情况下并不相等.
例 2 求 $\left(x-\frac{1}{x}\right)^{9}$ 的展开式中含 $x^{3}$ 的项.
解因为 $\left(x-\frac{1}{x}\right)^{9}=\left[x+\left(-x^{-1}\right)\right]^{9}$,所以展开式中的第 $k+1$ 项为 $T_{k+1}=\mathrm{C}_{9}^{k} x^{9-k}\left(-x^{-1}\right)^{k}=(-1)^{k} \mathrm{C}_{9}^{k} x^{9-k-k}=(-1)^{k} \mathrm{C}_{9}^{k} x^{9-2 k}$.
要使此项含 $x^{3}$,必须有 $9-2 k=3$,从而有 $k=3$,因此含 $x^{3}$ 的项为
$$
T_{4}=(-1)^{3} \mathrm{C}_{9}^{3} x^{3}=\underline{3}
$$
例 3 求 $\left(2 \sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{6}$ 的展开式中常数项的值和对应的二项式系数.
解因为 $\left(2 \sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{6}=\left(2 x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}\right)^{6}$,所以展开式中的第 $k+1$ 项为
$$
T_{k+1}=\mathrm{C}_{6}^{k}\left(2 x^{\frac{1}{2}}\right)^{6-k}\left(x^{-\frac{1}{2}}\right)^{k}=\mathrm{C}_{6}^{k} 2^{6-k} x^{\frac{6-k}{2}-\frac{k}{2}}=\mathrm{C}_{6}^{k} 2^{6-k} x^{3-k} .
$$
要得到常数项,必须有 $3-k=0$,从而有 $k=3$,因此常数项是第 4 项,且
$$
T_{4}=\mathrm{C}_{6}^{3} 2^{6-3} x^{3-3}=160 .
$$
从而可知常数项的值为 160,其对应的二项式系数为 $\mathrm{C}_{6}^{3}=20$.
## 2. 二项式系数的性质
## 尝试与发现
在二项式定理中,分别令 $a,b$ 为以下特殊值,写出所得到的等式:
(1) $a=b=1$;(2) $a=1,b=-1$.
在二项式定理中，如果令 $a=b=1$,则有
$$
2^{n}=\mathrm{C}_{n}^{0}+\mathrm{C}_{n}^{1}+\cdots+\mathrm{C}_{n}^{k}+\cdots+\mathrm{C}_{n}^{n-1}+\mathrm{C}_{n}^{n};$$
如果令 $a=1,b=-1$,则有
$$
0=\mathrm{C}_{n}^{0}-\mathrm{C}_{n}^{1}+\mathrm{C}_{n}^{2}-\mathrm{C}_{n}^{3}+\mathrm{C}_{n}^{4}-\mathrm{C}_{n}^{5}+\cdots,$$
也就是说
$$
\mathrm{C}_{n}^{0}+\mathrm{C}_{n}^{2}+\mathrm{C}_{n}^{4}+\cdots=\mathrm{C}_{n}^{1}+\mathrm{C}_{n}^{3}+\mathrm{C}_{n}^{5}+\cdots .
$$
由此可知，本节一开始的情境与问题中，
$$
\mathrm{C}_{10}^{0}+\mathrm{C}_{10}^{1}+\mathrm{C}_{10}^{2}+\cdots+\mathrm{C}_{10}^{10}=4
$$
例 4 已知 $\left(x^{2}-1\right)^{n}$ 的展开式中,所有的二项式系数之和为 1024,求展开式中含 $x^{6}$ 的项.
解依题意可知 $2^{n}=1024$,因此 $n=10$. 从而可知展开式的通项为
$$
T_{k+1}=\mathrm{C}_{10}^{k}\left(x^{2}\right)^{10-k}(-1)^{k}=(-1)^{k} \mathrm{C}_{10}^{k} x^{20-2 k},$$
要使此项含 $x^{6}$,必须有 $20-2 k=6$,从而有 $k=7$,因此含 $x^{6}$ 的项为
$$
T_{8}=(-1)^{7} \mathrm{C}_{10}^{7} x^{6}=-\mathrm{C}_{10}^{3} x^{6}=-120 x^{6} .
$$
## 3. 杨辉三角
因为 $(a+b)^{0}=1$,所以可以把 $n=0$ 对应的二项式系数看成是 1 . 把 $n=$ $0,1,2,3,4,5,6$ 对应的二项式系数逐个写出,并排成数表的形式.
$(a+b)^{0} \quad \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdot \cdots \quad 1$
$(a+b)^{1} \ldots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdot \cdots \quad 1 \quad 1$
$(a+b)^{2} \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \quad 1 \quad 2 \quad 1$
$(a+b)^{3} \ldots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdot \cdots \quad 1 \quad 3 \quad 3 \quad 1$
$(a+b)^{4} \cdots \cdots \cdots \cdots \cdot 1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 4 \quad 1$
$(a+b)^{5} \cdots \cdots \cdots \cdots 1 \quad 5 \quad 10 \quad 10 \quad 5 \quad 1$
$(a+b)^{6} \cdots \cdots \quad 1 \quad 6 \quad 15 \quad 20 \quad 15 \quad 6 \quad 1$
图 3-3-1
我国古代数学家贾宪（北宋人）在 1050 年前后就给出了类似的数表,并利用数表进行高次开方运算,如图 3-3-1 所示,这一成果在南宋数学家杨辉著的《详解九章算术》中得到摘录. 因此,这一数表在我国称为“贾宪三角” 或“杨辉三角”. 西方文献中,一般称其为“帕斯卡三角”,这些文献认为类似的数表是数学家帕斯卡于 1654 年发现的.
## 尝试与发现
观察杨辉三角中的数,尽可能多地总结其中的规律,并用二项式系数的性质加以说明.
杨辉三角至少具有以下性质:
(1) 每一行都是对称的,且两端的数都是 1;
(2) 从第三行起,不在两端的任意一个数,都等于上一行中与这个数相邻的两数之和.
另外,观察杨辉三角,还可以发现对于给定的 $n$ 来说,其二项式系数满足中间大、两边小的特点. 这一结论是否具有普遍性呢?假设 $\mathrm{C}_{n}^{k+1}>\mathrm{C}_{n}^{k}$,则
$$
\frac{n!}{(n-k-1)!(k+1)!}>\frac{n!}{(n-k)!k!}
$$
化简可得 $\frac{1}{k+1}>\frac{1}{n-k}$,从而有 $k<\underline{5}$
利用二项式系数的对称性可知,二项式系数
$$
\mathrm{C}_{n}^{0},\mathrm{C}_{n}^{1},\mathrm{C}_{n}^{2},\cdots,\mathrm{C}_{n}^{n-2},\mathrm{C}_{n}^{n-1},\mathrm{C}_{n}^{n} \text {,}
$$
是先逐渐变大,再逐渐变小的,当 $n$ 是偶数时,中间一项的二项式系数最大,当 $n$ 是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大.
## 4. 二项式定理的应用
例 5 求证：$99^{98}-1$ 能被 100 整除.
证明因为 $99^{98}-1=(100-1)^{98}-1$,由二项式定理可知
$$
\begin{aligned}
(100-1)^{98}= & \mathrm{C}_{98}^{0} 100^{98}+\mathrm{C}_{98}^{1} 100^{97}(-1)+\mathrm{C}_{98}^{2} 100^{96}(-1)^{2}+\cdots+ \\
& \mathrm{C}_{98}^{96} 100^{2}(-1)^{96}+\mathrm{C}_{98}^{97} 100(-1)^{97}+\mathrm{C}_{98}^{98}(-1)^{98},\end{aligned}
$$
注意到上述右边的展开式中,前面 98 项都是 100 的倍数,最后一项为 1,
由此可知 $99^{98}-1$ 能被 100 整除.
例 6 当 $n$ 是正整数且 $x>0$ 时,求证: $(1+x)^{n} \geqslant 1+n x$.
证明由二项式定理可知
$$
\begin{aligned}
(1+x)^{n} & =\mathrm{C}_{n}^{0}+\mathrm{C}_{n}^{1} x+\mathrm{C}_{n}^{2} x^{2}+\cdots+\mathrm{C}_{n}^{n-1} x^{n-1}+\mathrm{C}_{n}^{n} x^{n} \\
& =1+n x+\mathrm{C}_{n}^{2} x^{2}+\cdots+\mathrm{C}_{n}^{n-1} x^{n-1}+\mathrm{C}_{n}^{n} x^{n},\end{aligned}
$$
因为 $x>0$,所以上式右边的项都是正数,从而可知 $(1+x)^{n} \geqslant 1+n x$.
例 6 的结论可以用在近似计算中. 例如，假设某地区现有人口 100 万,且人口的年平均增长率为 $1.2 \%$,那么 6 年后该地区的人口应为 $100(1+1.2 \%)^{6}$,直接计算这个数并不容易,但是利用例 6 的结果可知
$$
100(1+1.2 \%)^{6} \geqslant 100(1+6 \times 1.2 \%)=107.2,$$
注意到 $(1.2 \%)^{n}$ 在 $n \geqslant 2$ 时都是很小的数,因此,如果我们认为 $100(1+1.2 \%)^{6} \approx 107.2$ 的话,近似程度应该是比较好的. 实际
## 想一想
不借助计算器等工具,你能给出 $100(1+1.2 \%)^{6}$ 的比 107.2 更精确的近似值吗?
上,$100(1+1.2 \%)^{6}$ 保留 6 位有效数字的近似值是 107.419 .
## 习题3-3A
(1) 已知小张练习了 3 次投篮,如果用 1 代表投中,0 代表末投中,001 代表前两次末投中,第三次投中. 试写出小张所有可能的投篮结果,并说出共有多少种可能.
(2) 求 $\left(x+\frac{1}{x}\right)^{9}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数.
(3) 指出下列各二项式的展开式中,二项式系数最大的分别是哪一项:
(1) $(a+b)^{7}$
(2) $(2+x)^{16}$.
(4) 化简 $(1+\sqrt{x})^{5}+(1-\sqrt{x})^{5}$.
(5) 用二项式定理证明 $101^{10}-1$ 能被 10 整除.
(6) 求下列各式的值:
(1) $\mathrm{C}_{6}^{1}+\mathrm{C}_{6}^{2}+\mathrm{C}_{6}^{3}+\mathrm{C}_{6}^{4}+\mathrm{C}_{6}^{5}$;(2) $\mathrm{C}_{11}^{1}+\mathrm{C}_{11}^{3}+\mathrm{C}_{11}^{5}+\mathrm{C}_{11}^{7}+\mathrm{C}_{11}^{9}+\mathrm{C}_{11}^{11}$
## 习题3-3B
(1) 求 $(1-x)^{13}$ 的展开式中含 $x$ 的奇数次项的系数之和.
(2) 已知 $(1+x)^{n}$ 的展开式中,第 4 项和第 6 项的系数相等,求这个展开式所有二项式系数之和.
(3) 写出 $\left(x-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)^{6}$ 的展开式.
(4) 已知 $\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}-\frac{1}{\sqrt[5]{x^{2}}}\right)^{n}$ 的展开式中,所有奇数项的系数和等于 1024,求展开式中二项式系数最大的项.
(5) 求 $\left(a^{\frac{1}{3}} b^{-\frac{1}{6}}+a^{-\frac{1}{6}} b^{\frac{1}{4}}\right)^{11}$ 的展开式中 $a$ 和 $b$ 的指数相等的项.
(6) 求 $(1+a)(1+b)^{2}(1+c)^{3}$ 的展开式中各项系数的和.
(7) 求 $(1+x)(2-x)^{6}$ 的展开式中的常数项和含 $x$ 的项.
(1) 将杨辉三角中的每一个数 $\mathrm{C}_{n}^{r}$ 都换成分数 $\frac{1}{(n+1) \mathrm{C}_{n}^{r}}$，可得到一个如图所示的分数三 $\quad \frac{1}{2} \quad \frac{1}{2}$ 角形，称为“莱布尼茨三角形”，从莱布尼 $\quad \frac{1}{3} \quad \frac{1}{6} \quad \frac{1}{3}$ 茨三角形可看出,存在 $x$ 使得 $\frac{1}{4} \quad \frac{1}{12} \quad \frac{1}{12} \quad \frac{1}{4}$
求 $x$ 的值.
(2) 设 $(3 x-1)^{8}=a_{8} x^{8}+a_{7} x^{7}+\cdots+a_{1} x+$
(第 1 题) $a_{0}$,求:
(1) $a_{8}+a_{7}+\cdots+a_{1}$;
(2) $a_{8}-a_{7}+a_{6}-a_{5}+a_{4}-a_{3}+a_{2}-a_{1}+a_{0}$;
(3) $a_{8}+a_{6}+a_{4}+a_{2}+a_{0}$.
(3) 求 $\left(2+x-x^{2}\right)^{6}$ 的展开式中含 $x$ 的项和含 $x^{3}$ 的项.
(4) 当 $n$ 是大于 1 的正整数且 $x>0$ 时,求证: $(1+x)^{n} \geqslant 1+n x+\frac{n(n-1)}{2} x^{2}$.
$1 a b^{2},b^{3}$
$2 \mathrm{C}_{3}^{2}$
$3-84 x^{3}$
$2^{10}=1024$
$5 \frac{n-1}{2}$
## 本章小结
## 1 知识结构图设计与交流
本章我们学习了排列组合的有关知识,如果以本章所涉及的数学式子为基础,可以作出如下的知识结构图.
请充分运用自己的想象力和创造力,为本章知识设计一份独特的、专属于自己的知识结构图吧！设计好之后与同学分享,并交流学习完本章后的所得和所思.
## 课题作业
通过书籍或者网络查找有关数学史材料,了解贾宪用“杨辉三角”进行高次开方的方法,并给出实例进行说明. 将有关材料整理成小论文,然后与其他同学进行交流.
## 3 复习题
## A 组
1. 某学生要从 5 门选修课中选择 3 门,从 4 个课外活动小组中选择 1 个,则其有多少种不同的选择方法?2. 要安排 6 位同学表演文艺节目的顺序,要求甲既不能第一个出场,也不能最后一个出场,则共有多少种不同的安排方法?3.“回文数” 是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数. 如 22,121,3443,94249 等. 显然,2 位数的回文数有 9 个,即 $11,22,33,\cdots,99$；3 位数的回文数有 90 个: $101,111,121,\cdots,191,202,\cdots,999$. 求:
(1) 4 位数的回文数个数;
(2) $2 n+1$ 位数的回文数个数 (其中 $n$ 为正整数).
4. 将 3 名医生和 6 名护士分配到 3 所学校为学生体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士，共有多少种不同的分配方案?5. 某小组有 3 名女生、4 名男生,从中选出 3 名代表,要求女生与男生都至少要有一名，共有多少种不同的选法?6. 已知 30 件产品中有 27 件合格品,3 件次品,从中抽取 5 件进行检查:
(1) 都是合格品的抽法有多少种?
(2) 恰好有 2 件次品的抽法有多少种?
（3）至少有 2 件次品的抽法有多少种?
7. 从 10 名学生中选出 3 人担任课代表,则甲、乙两人中至少有 1 人人选,而丙没有人选的不同选法共有多少种?8. 在一个小组中有 8 名女同学和 4 名男同学,从中挑选两名同学担任交通安全宣传志愿者,那么:
(1) 选到的两名同学都是女同学的选法有多少种?
(2) 选到的两名同学至少有一名女同学的选法有多少种?
9. 求 $\left(9 x-\frac{1}{3 \sqrt{x}}\right)^{18}$ 的展开式中的常数项,并说明它是展开式中的第几项.
10. 已知 $a$ 是实常数,且二项式 $\left(2 x+\frac{a}{x}\right)^{7}$ 的展开式中 $\frac{1}{x^{3}}$ 的系数是 84,求 $a$ 的值.
11. 设 $\mathrm{i}$ 为虚数单位,求 $(\sqrt{2}-i)^{7}$ 的实部.
12. 已知 $\left(\sqrt{x}+\frac{3}{\sqrt[3]{x}}\right)^{n}$ 的展开式中,各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为 64,求正整数 $n$ 的值.
## $\mathbf{B}$ 组
1. 某 4 位同学排成一排准备照相时,又来了 2 位同学要加人,如果保持原来 4 位同学的相对顺序不变,则不同的加人方法有多少种?2. 有 5 个身高均不相等的学生要排成一排合影留念,最高的人站在中间,从中间到左边和从中间到右边身高都递减，则不同的排法共有多少种?3. 某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场,得 3 分;平一场,得 1 分;负一场,得 0 分. 一球队打完 15 场比赛后,积 33 分,若不考虑顺序,该队胜、负、平的情况共有多少种?4. 书架上有 4 本不同的数学书,5 本不同的物理书,3 本不同的化学书,将这些书全部坚起排成一排：
（1）如果同类书不能分开，一共有多少种不同的排法?
（2）如果要使任意两本物理书都不相邻，一共有多少种不同的排法?
5. (1) 已知 $\frac{1}{\mathrm{C}_{5}^{n}}-\frac{1}{\mathrm{C}_{6}^{n}}=\frac{7}{10 \mathrm{C}_{7}^{n}}$,求 $\mathrm{C}_{8}^{n}$;
（2）已知 $\frac{\mathrm{C}_{n}^{m-1}}{2}=\frac{\mathrm{C}_{n}^{m}}{3}=\frac{\mathrm{C}_{n}^{m+1}}{4}$,求 $n,m$.
6. 设
$$
(1-2 x)^{9}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a_{9} x^{9},$$
求 $\left|a_{0}\right|+\left|a_{1}\right|+\left|a_{2}\right|+\cdots+\left|a_{9}\right|$.
7. 已知
$$
\left(x^{2}+1\right)(2 x+1)^{9}=a_{0}+a_{1}(x+2)+a_{2}(x+2)^{2}+\cdots+a_{11}(x+2)^{11},$$
求 $a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{11}$ 的值.
8. 已知
$$
(1-x)^{5}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3}+a_{4} x^{4}+a_{5} x^{5},$$
求 $\left(a_{0}+a_{2}+a_{4}\right)\left(a_{1}+a_{3}+a_{5}\right)$ 的值.
9. 在 $(\sqrt{2}+\sqrt[4]{3})^{50}$ 的展开式中,有多少个有理项?10. 求 $\left(|x|+\frac{1}{|x|}-2\right)^{3}$ 的展开式中的常数项.
11. 求 $\left(1+x+x^{2}\right)(1-x)^{10}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数.
12. 求 $(1-2 x)^{5}(1+3 x)^{4}$ 的展开式中,按 $x$ 的升幂排列的前三项.
## $\mathbf{C}$ 组
1. 如图所示,有些共享单车的密码锁是由 4 个数字组成的,你认为共享单车的密码锁能设置成由 3 个数字组成吗？5 个数字呢?为什么?
(第 1 题)
2. 把 6 张座位编号为 $1,2,3,4,5,6$ 的电影票全部分给 4 个人,每人至少分 1 张,至多分 2 张,且这两张票具有连续的编号,那么不同的分法共有多少种?3. 设 $n$ 是正整数,化简 $\mathrm{C}_{n}^{1}+\mathrm{C}_{n}^{2} 6+\mathrm{C}_{n}^{3} 6^{2}+\cdots+\mathrm{C}_{n}^{n} 6^{n-1}$.
4. 求 $(1+x)^{3}+(1+x)^{4}+(1+x)^{5}+\cdots+(1+x)^{19}+(1+x)^{20}$ 的展开式中含 $x^{3}$ 的项.
5. 过三棱柱任意两个顶点的直线共 15 条,其中异面直线有多少对?6. 将 $a,b,c$ 填人 $3 \times 3$ 的方格中,要求每行、每列都没有重复的字母,则不同的填写方法共有多少种?7. 某人有 3 种颜色的灯泡 (每种颜色的灯泡足够多),要在如图所示的 6 个点 $A,B,C,A_{1},B_{1},C_{1}$ 上各安装一个灯泡,要求同一条线段两端的灯泡颜色不同，则不同的安装方法共有多少种?
(第 7 题）
## 随机与概率
熙熙人群朋友不期而遇，茫茫宇宙陨星意外撞击. 随机事件发生并非随意，概率破解其中奥秘玄机． 情境重复催生稀有事件,历史长河沉淀自然奇迹. 同班同学常有生日相同,彩民两次中奖并不神奇. 抵押贷款房产汽车按揭,精巧设计需要借助概率,保费计算基于概率模型，期权定价有赖随机分析. 概率技巧有助破解密码,人工智能需用概率逻辑. 日常生活常遇概率问题,学点概率知识终身受益.
## 本章导语
我们前面已经学过一些概率与统计的知识,对现实世界中随机现象的不确定性有了初步的了解. 例如,我们已经知道,事件的概率是一个数,它描述了事件发生的可能性大小;通过古典概型与用频率估计概率,可以得到一些事件发生的概率;等等. 但是,如果要解决一些更复杂的问题,我们还需要进一步学习概率统计的知识.
例如,按照先后顺序抽奖（或抽签）在我们日常生活中很常见,但经常有人会提出疑问：如果只有一个特等奖，而恰巧特等奖被第一个人抽到了的话,那么后面抽奖的人就不可能抽到特等奖了,这是不是意味着,先抽奖的人抽到特等奖的概率更大一些?
再例如,通过必修课程中的知识我们已经能㿟算出,如果做某件事,每次成功的概率只有 0.1,那么只要尝试 22 次,就能保证至少成功一次的概率不小于 $90 \%$. 在同样的情境以及同样是尝试 22 次的前提下,恰好成功 1 次的概率与恰好成功 2 次的概率应该怎样计算呢?恰好成功多少次的概率最大呢?
又例如,在新闻报道中,现在时常都可以见到“相关系数” 这个词,如图所示是《人民日报》2016 年 1 月 27 日一篇报道的截图,你知道其中的“相关系数” 的准确含义吗?
另外,我们还经常会听到“英语学习，女生比男生更擅长” 之类的说法. 怎样通过统计数据来判断这些说法是否有道理?
学完本章之后,类似的问题都能解答.
“扶贫先扶智”决定了教育扶贫的基础性地位“治贫先治愚”决定了教育扶贫的先导性功能““脱贫防返贫”决定了教育扶贫的根本性作用。联合国教科文组织研究表明,不同层次受教育者提高劳动生产率的水平不同: 本科 $300 \%$、初高中 $108 \%$、小学 $43 \%$,人均受教育年限与人均 GDP 的相关系数为 0.562。“积财千万,不如薄技在身”“一技在手,终身受益”,教育在促进扶贫、防止返贫方面的作用,可说是根本性的、可持续的。
## 1 条件概率与事件的独立性
### 1 条件概率
## 情境与问题
金融界的人经常需要计算不同投资环境下获利的概率,因此金融投资公司在招聘新员工时,通常会考查应聘人员计算概率的能力. 以下是某金融投资公司的一道笔试题，你会做吗?
从生物学中我们知道,生男、生女的概率基本是相等的,都可以近似地认为是 $\frac{1}{2}$. 如果某个家庭中先后生了两个小孩:
(1) 当已知较大的小孩是女孩的条件下，较小的小孩是男孩的概率为多少?
（2）当已知两个小孩中有女孩的条件下，两个小孩中有男孩的概率为多少?
情境与问题中的两个概率,直觉上大家可能会觉得答案都是 $\frac{1}{2}$. 但是,第（2）个问题的答案并不是 $\frac{1}{2}$,这可能会出乎某些同学的意料!学完本小节的条件概率之后,对此我们就可以有一个比较透彻地理解了.
## 尝试与发现
已知某班级中,有女生 16 人,男生 14 人,而且女生中喜欢长跑的有 10 人,男生中喜欢长跑的有 8 人. 现从这个班级中随机抽出一名学生:
(1) 求所抽到的学生喜欢长跑的概率;
（2）若已知抽到的是男生,求所抽到的学生喜欢长跑的概率.
可以看出，尝试与发现中的这两个问题可以借助古典概型来处理,其中样本空间 $\Omega$ 是由班级中所有学生组成的集合,共包含 $14+16=30$ 个样本点. 设事件“所抽到的学生喜欢长跑” 对应的集合是 $A$,则 $A$ 是由所有喜欢长跑的人组成的,其中包含 $10+8=18$ 个样本点;设事件“抽到的是男生” 对应的集合是 $B$,则 $B$ 包含 14 个样本点.
问题 (1) 中,可以看出所求概率为
$$
P(A)=1
$$
问题 (2) 中,因为已知事件 $B$ 发生了,也就是相当于是从男生中任意抽取了一人. 此时要使得事件 $A$ 发生,必须抽取 $A B$ (即 $A \cap B$ ) 中的样本点,因此所求概率应该是 $\frac{8}{14}=\frac{4}{7}$. 这里的 $\frac{4}{7}$ 称为已知事件 $B$ 发生的条件下事件 $A$ 发生的概率,记作 $P(A \mid B)$，即
$$
P(A \mid B)=\frac{4}{7}
$$
这样的概率称为条件概率.
## 尝试与发现
观察上述 $A$ 与 $B$ 之间的关系,试探讨怎样才能求出 $P(A \mid B)$.
可以看出,上述 $P(A \mid B)$ 可以用 $P(A \cap B)$ 与 $P(B)$ 表示出来,即
$$
P(A \mid B)=2
$$
一般地，当事件 $B$ 发生的概率大于 0 时 (即 $P(B)>0$ ),已知事件 $B$ 发生的条件下事件 $A$ 发生的概率,称为条件概率,记作 $P(A \mid B)$,而且
$$
P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}(1
$$
条件概率可以借助图 4-1-1 来理解. 需要注意的是,$P(A \mid B)$ 与 $P(B \mid A)$ 的意义不一样,一般情况下,它们也不相等.
例 1 掷红、蓝两个均匀的骰子，设
图 4-1-1
$A$：蓝色骰子的点数为 5 或 6;
$B：$ 两骰子的点数之和大于 7 .
求已知事件 $A$ 发生的条件下事件 $B$ 发生的概率 $P(B \mid A)$.
解用数对 $(x,y)$ 来表示抛掷结果,其中 $x$ 表示红色骰子的点数,$y$ 表示蓝色骰子的点数,则样本空间可记为
$$
\Omega=\{(x,y) \mid x,y=1,2,3,4,5,6\},$$
而且样本空间可用图 4-1-2 直观表示,图中每一个点代表一个样本点. 样本空间中,共包含 36 个样本点.
不难看出,$A$ 包含的样本点即图 4-1-2 中绿色矩形框中的点,共 12
(1) 如不特别声明,以后谈到类似 $P(A \mid B)$ 等条件概率时,总是默认 $P(B)>0$.
个,因此
$$
P(A)=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}
$$
$B$ 包含的样本点即图 4-1-2 中紫色三角框中的点,$B \cap A$ 共包含 9 个样本点,从而
$$
P(B \cap A)=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}
$$
因此
$P(B \mid A)=\frac{P(B \bigcap A)}{P(A)}=3$
例 1 中的 $P(B \mid A)$,也可以通过 $A$ 中的样本点个数 12 与 $B \cap A$ 中的样本点个数 9 直接得到,即
$$
P(B \mid A)=\frac{9}{12}=\frac{3}{4} \text {. }
$$
图 4-1-2
注意到 $P(B)=\frac{5}{12} \neq \frac{3}{4}$,这说明
事件 $A$ 的发生影响了事件 $B$ 发生的概率.
另外,从必修内容中我们已经知道,两个事件 $A$ 与 $B$ 独立的充要条件是 $P(A \cap B)=P(A) P(B)$,其直观理解是,事件 $A$ 是否发生不会影响事件 $B$ 发生的概率,事件 $B$ 是否发生也不会影响事件 $A$ 发生的概率. 从例 1 可以看出,事件的独立性与条件概率有着紧密的联系,我们将在 4.1.3 中详细讨论这两者之间的关系.
例 2 已知春季里,每天甲、乙两地下雨的概率分别为 $20 \%$ 与 $18 \%$,且两地同时下雨的概率为 $12 \%$. 求春季的一天里:
（1）已知甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率;
（2）已知乙地下雨的条件下,甲地也下雨的概率.
解记 $A$ : 甲地下雨,$B$ : 乙地下雨,则由已知可得
$$
P(A)=20 \%,P(B)=18 \%,P(A \cap B)=12 \% \text {. }
$$
(1) 需要求的是 $P(B \mid A)$,因此
$$
P(B \mid A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}=\frac{12 \%}{20 \%}=\frac{3}{5} .
$$
(2) 需要求的是 $P(A \mid B)$,因此
$$
P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=4 .
$$
例 3 已知某地区内狗的寿命超过 15 岁的概率为 0.8,超过 20 岁的概率为 0.2 . 那么该地区内,一只寿命超过 15 岁的狗,寿命能超过 20 岁的概率为多少?
解设 A：狗的寿命超过 15 岁,B：狗的寿命超过 20 岁，则所要求的就是 $P(B \mid A)$.
依题意有 $P(A)=0.8,P(B)=0.2$. 又因为 $B \subseteq A$,所以 $B \cap A=B$,从而
$$
P(B \cap A)=P(B)=0.2,$$
因此
$$
P(B \mid A)=\frac{P(B \cap A)}{P(A)}=\underline{5} .
$$
前面的情境与问题中,如果用 $(\mathrm{F},\mathrm{M})$ 表示较大的小孩是女孩,较小的小孩是男孩，则样本空间可以表示为
$$
\Omega=\{(\mathrm{F},\mathrm{M}),(\mathrm{F},\mathrm{F}),(\mathrm{M},\mathrm{F}),(\mathrm{M},\mathrm{M})\} .
$$
则“较大的小孩是女孩” 对应的是 $A=\{(\mathrm{F},\mathrm{M}),(\mathrm{F},\mathrm{F})\}$,“较小的小孩是男孩” 对应的是 $B=\{(\mathrm{F},\mathrm{M})$,( $\mathrm{M},\mathrm{M})\}$,从而“已知较大的小孩是女孩的条件下,较小的小孩是男孩” 的概率为
$$
P(B \mid A)=\frac{P(B \cap A)}{P(A)}=\frac{1}{2} .
$$
而“两个小孩中有女孩” 对应的是 $C=\{(\mathrm{F},\mathrm{M}),(\mathrm{F},\mathrm{F}),(\mathrm{M},\mathrm{F})\}$,“两个小孩中有男孩” 对应的是 $D=\{(F,M),(M,F),(M,M)\}$,从而“已知两个小孩中有女孩的条件下,两个小孩中有男孩” 的概率为
$$
P(D \mid C)=\frac{P(D \cap C)}{P(C)}=\frac{2}{3} \text {. }
$$
## 探索与研究
假设 $A,B,C$ 都是事件,且 $P(A)>0$. 根据条件概率的定义,探索条件概率是否满足下列性质:
(1) $0 \leqslant P(B \mid A) \leqslant 1$;(2) $P(A \mid A)=1$;(3) 如果 $B$ 与 $C$ 互斥,则 $P((B \cup C) \mid A)=P(B \mid A)+P(C \mid A)$.
## 练习A
(1) 已知 $P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(B \cap A)=0.1$,求:
(1) $P(B \mid A)$;(2) $P(A \mid B)$.
(2) 某同学算出条件概率 $P(B \mid A)=1.6$,这可能吗?(3) 盒子里有 25 个形状、大小、质地相同的球,其中有 10 个白色的,5 个黄色的,10 个黑色的. 从盒子中任意取出一个球,已知这个球不是黑球,求取出的球是黄球的概率.
(4) 已知一种节能灯使用寿命超过 $10000 \mathrm{~h}$ 的概率为 0.95,而使用寿命超过 $12000 \mathrm{~h}$ 的概率为 0.9 . 则已经使用了 $10000 \mathrm{~h}$ 的这种节能灯,使用寿命能超过 $12000 \mathrm{~h}$ 的概率为多少?
(5) 举出 $P(A)>0$ 而且 $P(B \mid A)=0$ 的实例.
## 练习B
(1) 利用 $P(B \mid A)=\frac{P(B \cap A)}{P(A)}$ 证明 $0 \leqslant P(B \mid A) \leqslant 1$.
(2) 已知 $P(B \mid A)=0.6$,求 $P(\bar{B} \mid A)$ 的值.
(3) 已知某班级中,有女生 15 人,男生 17 人,而且女生中不戴眼镜的有 6 人,男生中戴眼镜的有 5 人. 现从这个班级中随机抽出一名学生:
(1) 求所抽到的学生戴眼镜的概率;
(2) 若已知抽到的是女生,求所抽到的学生戴眼镜的概率.
(4) 抛一枚均匀的硬币两次,记 $A$：第一次出现正面,$B$：第二次出现正面,求 $P(B \mid A)$.
(5) 掷红、蓝两个均匀的骰子,设 $A$：蓝色骰子的点数为 1 或 $2,B$：两骰子的点数之和小于 5,求 $P(B \mid A)$ 与 $P(A \mid B)$.
$1 \frac{18}{30}=\frac{3}{5} \quad 2 \quad \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
$3 \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{3}}=\frac{3}{4}$
$\frac{12 \%}{18 \%}=\frac{2}{3}$
$\frac{0.2}{0.8}=0.25$
### 2 乘法公式与全概率公式
## 情境与问题
学校的“我为祖国献计献策” 演讲比赛共有 20 名同学参加,学校决定让参赛选手通过抽签决定出场顺序. 不过,张明对抽签的公平性提出了质疑,他的理由是,如果第一个人抽的出场顺序是 1 号,那么其他人就抽不到 1 号了，所以每个人抽到 1 号的概率不一样. 张明的想法正确吗?特别地,第一个抽签的人抽到 1 号的概率与第二个抽签的人抽到 1 号的概率是否相等?为什么?
抽签的公平性如果仅仅只是从直观上来理解的话，可能并不容易说清楚，但这可利用本节我们要学习的全概率公式来解释.
## 1. 乘法公式
## 尝试与发现
(1) 在 $P(B \mid A),P(B A)$ (即 $P(B \cap A)$,下同),$P(A)$ 这三者中,如果已知 $P(A)$ 与 $P(B \mid A)$,能不能求出 $P(B A)$?
（2）某人翻开电话本给自己的一位朋友打电话时,发现电话号码的最后一位数字变得模糊不清了,因此决定随机拨号进行尝试. 你能用（1）中所得的结论,得出此人尝试两次但都拨不对电话号码的概率吗?
由条件概率的计算公式 $P(B \mid A)=\frac{P(B A)}{P(A)}$ 可知,
$$
P(B A)=P(A) P(B \mid A)
$$
这就是说，根据事件 $A$ 发生的概率,以及已知事件 $A$ 发生的条件下事件 $B$ 发生的概率，可以求出 $A$ 与 $B$ 同时发生的概率.一般地,这个结论称为乘法公式.
例如，对于尝试与发现中的（2）来说，如果设 $A$ 表示第一次没有拨对,$B$ 表示第二次没有拨对. 则 $P(A)$ 是容易求出的：总共有 10 种可能,拨不对电话号码的情况有 9 种,因此 $P(A)=\frac{9}{10} . P(B \mid A)$ 也是容易算出来的: 如果第一次拨不对,那么第二次会从第一次尝试的数以外的数中随机选取一个进行尝试,总共有 9 种可能,拨不对电话号码的情况有 8 种,因此 $P(B \mid A)=\frac{8}{9}$. 从而根据乘法公式可知,两次都拨不对电话号码的概率为
$$
P(B A)=P(A) P(B \mid A)=\frac{9}{10} \times \frac{8}{9}=\frac{4}{5} .
$$
## 想一想
比较尝试与发现中问题 (2) 的两种解法,思考: 什么情况下利用乘法公式会有优势?
$$
\frac{\mathrm{A}_{9}^{2}}{\mathrm{~A}_{10}^{2}}=\frac{9 \times 8}{10 \times 9}=\frac{4}{5} .
$$
例 1 已知某品牌的手机从 $1 \mathrm{~m}$ 高的地方掉落时,屏幕第一次末碎掉的概率为 0.5,当第一次末碎掉时第二次也末碎掉的概率为 0.3 . 试求这样的手机从 $1 \mathrm{~m}$ 高的地方掉落两次后屏幕仍末碎掉的概率.
解设 $A_{i}$ 表示第 $i$ 次掉落手机屏幕没有碎掉,$i=1,2$,则由已知可得 $P\left(A_{1}\right)=0.5,P\left(A_{2} \mid A_{1}\right)=0.3$,因此由乘法公式可得
$$
P\left(A_{2} A_{1}\right)=P\left(A_{1}\right) P\left(A_{2} \mid A_{1}\right)=0.5 \times 0.3=0.15 .
$$
即这样的手机从 $1 \mathrm{~m}$ 高的地方掉落两次后屏幕仍末碎掉的概率为 0.15 .
例 2 在某次抽奖活动中,在甲、乙两人先后进行抽奖前,还有 50 张奖券,其中共有 5 张写有“中奖” 字样. 假设抽完的奖券不放回,甲抽完之后乙再抽,求:
（1）甲中奖而且乙也中奖的概率;
（2）甲没中奖而且乙中奖的概率.
解设 $A$ 表示甲中奖,$B$ 表示乙中奖，则
$$
P(A)=\frac{5}{50}=\frac{1}{10} \text {. }
$$
(1) 因为抽完的奖券不放回,所以甲中奖后乙抽奖时,有 49 张奖券且其中只有 4 张写有“中奖” 字样,此时乙中奖的概率为 $P(B \mid A)=\frac{4}{49}$.
根据乘法公式可知,甲中奖且乙也中奖的概率为
$$
\begin{aligned}
P(B A) & =P(A) P(B \mid A) \\
& =\frac{1}{10} \times \frac{4}{49}=\frac{2}{245} .
\end{aligned}
$$
(2) 因为 $P(A)+P(\bar{A})=1$,所以
$$
P(\bar{A})=1
$$
因为抽完的奖券不放回,所以甲没中奖后乙抽奖时,还有 49 张奖券且其中还有 5 张写有“中奖” 字样,此时乙中奖的概率为 $P(B \mid \bar{A})=$ 2
根据乘法公式可知，甲没中奖而且乙中奖的概率为
$$
\begin{aligned}
P(B \bar{A}) & =P(\bar{A}) P(B \mid \bar{A}) \\
& =3
\end{aligned}
$$
例 2 也可用排列组合的知识求解,请读者自行尝试.
## 探索与研究
假设 $A_{i}$ 表示事件,$i=1,2,3$,且 $P\left(A_{1}\right)>0,P\left(A_{1} A_{2}\right)>0$. 证明
$$
P\left(A_{1} A_{2} A_{3}\right)=P\left(A_{1}\right) P\left(A_{2} \mid A_{1}\right) P\left(A_{3} \mid A_{1} A_{2}\right)
$$
一定成立,其中 $P\left(A_{3} \mid A_{1} A_{2}\right)$ 表示已知 $A_{1}$ 与 $A_{2}$ 都发生时 $A_{3}$ 发生的概率,而 $P\left(A_{1} A_{2} A_{3}\right)$ 表示 $A_{1},A_{2},A_{3}$ 同时发生的概率. 并通过具体实例来理解上式.
## 2. 全概率公式
## 尝试与发现
（1）在例 2 中,如果想求乙中奖的概率 $P(B)$,该怎样计算?
（2）一般地,如果已知 $P(B A)$ 与 $P(B \bar{A})$,能否求出 $P(B)$?如果已知 $P(B \mid A),P(A),P(B \mid \bar{A}),P(\bar{A})$,能否求出 $P(B)$?
在例 2 中，乙中奖可以分为两种情况：甲中奖且乙中奖，甲没中奖且乙中奖,即 $B=B A+B \bar{A}$. 这两种情况是不能同时发生的 (即是互斥的)，因此由互斥事件概率的加法公式可得
$$
P(B)=P(B A+B \bar{A})=P(B A)+P(B \bar{A})=\frac{2}{245}+\frac{9}{98}=\frac{1}{10} \text {. }
$$
一般地,如果样本空间为 $\Omega$,而 $A,B$ 为事件,则 $B A$ 与 $B \bar{A}$ 是互斥的,且
$$
B=B \Omega=B(A+\bar{A})=B A+B \bar{A} \text {,}
$$
如图 4-1-3 所示,从而
$$
P(B)=P(B A+B \bar{A})=P(B A)+P(B \bar{A}) .
$$
更进一步,当 $P(A)>0$ 且 $P(\bar{A})>0$ 时,因为
图 4-1-3 由乘法公式有
$$
P(B A)=P(A) P(B \mid A),P(B \bar{A})=P(\bar{A}) P(B \mid \bar{A}),$$
所以
$$
P(B)=P(A) P(B \mid A)+P(\bar{A}) P(B \mid \bar{A}) .
$$
这称为全概率公式.
例 3 某次社会实践活动中,甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查. 参加活动的甲、乙两班的人数之比为 $5: 3$,其中甲班中女生占 $\frac{3}{5}$,乙班中女生占 $\frac{1}{3}$. 求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率.
## 尝试与发现
用适当的符号表示例 3 中的已知条件,并思考解题的方法.
如果用 $A$ 与 $\bar{A}$ 分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的,$B$ 表示是女生. 则根据已知,有
$$
P(A)=\frac{5}{5+3}=\frac{5}{8},P(\bar{A})=\underline{4} \quad,$$
而且
$$
P(B \mid A)=\frac{3}{5},P(B \mid \bar{A})=\frac{1}{3}
$$
题目所要求的是 $P(B)$.
由全概率公式可知
$$
P(B)=P(A) P(B \mid A)+P(\bar{A}) P(B \mid \bar{A})=\frac{5}{8} \times \frac{3}{5}+\frac{3}{8} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{2} .
$$
例 3 也可以这样来理解: 假设参加活动的甲班人数为 $5 n$,则乙班人数为 $3 n$,而且甲班中有女生 $3 n$ 人,乙班中有女生 $n$ 人. 从而可知参加活动的总共有 $5 n+3 n=8 n$ 人,而女生有 $3 n+n=4 n$ 人,因此所求概率为 $\frac{4 n}{8 n}=\frac{1}{2}$.
在上述记号下,我们还可以利用
$$
P(\bar{B})=P(A) P(\bar{B} \mid A)+P(\bar{A}) P(\bar{B} \mid \bar{A})
$$
来得到该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是男生的概率. 例 3 中的信息可借助如图 4-1-4 所示的树形图来理解.
图 4-1-4
利用全概率公式,可以解决情境与问题中的抽签问题. 如果设 $A_{i}$ 表示第 $i$ 个抽签人抽到 1 号,$i=1,2$. 则可以看出
$$
P\left(A_{1}\right)=\frac{1}{20},P\left(\bar{A}_{1}\right)=\frac{19}{20} \text {. }
$$
如果第 1 个抽签人抽到 1 号,那么第 2 个人抽到 1 号的概率为 0,即 $P\left(A_{2} \mid A_{1}\right)=0$；如果第 1 个抽签人抽到的不是 1 号，那么第 2 个人抽到 1 号的概率为 $\frac{1}{19}$,即 $P\left(A_{2} \mid \bar{A}_{1}\right)=\frac{1}{19}$. 因此
$$
P\left(A_{2}\right)=P\left(A_{1}\right) P\left(A_{2} \mid A_{1}\right)+P\left(\bar{A}_{1}\right) P\left(A_{2} \mid \bar{A}_{1}\right)=\frac{1}{20} \times 0+\frac{19}{20} \times \frac{1}{19}=\frac{1}{20} .
$$
这就是说 $P\left(A_{1}\right)=P\left(A_{2}\right)$. 因此抽签是公平的.
前面提到的全概率公式,本质上是将样本空间分成互斥的两部分（即 $A$ 与 $\bar{A}$ ) 后得到的. 不难想到,可以将样本空间分成更多互斥的部分,从而得到如下更一般的结论.
定理 1 若样本空间 $\Omega$ 中的事件 $A_{1},A_{2},\cdots,A_{n}$ 满足:
（1）任意两个事件均互斥，即 $A_{i} A_{j}=\varnothing,i,j=1,2,\cdots,n,i \neq j$；
(2) $A_{1}+A_{2}+\cdots+A_{n}=\Omega$;
(3) $P\left(A_{i}\right)>0,i=1,2,\cdots,n$.
则对 $\Omega$ 中的任意事件 $B$,都有 $B=B A_{1}+B A_{2}+\cdots+B A_{n}$,且
$$
P(B)=\sum_{i=1}^{n} P\left(B A_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n} P\left(A_{i}\right) P\left(B \mid A_{i}\right) \text {. }
$$
上述公式也称为全概率公式. $n=3$ 时的情形可借助图 4-1-5 来理解.
图 4-1-5 例 4 假设某市场供应的智能手机中,市场占有率和优质率的信息如下表所示.
| 品牌 | 甲 | 乙 | 其他 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 市场占有率 | $50 \%$ | $30 \%$ | $20 \%$ |
| 优质率 | $95 \%$ | $90 \%$ | $70 \%$ |
在该市场中任意买一部智能手机,求买到的是优质品的概率.
解用 $A_{1},A_{2},A_{3}$ 分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌,$B$ 表示买到的是优质品,则依据已知可得
$$
P\left(A_{1}\right)=50 \%,P\left(A_{2}\right)=30 \%,P\left(A_{3}\right)=20 \%，$$
且
$$
P\left(B \mid A_{1}\right)=95 \%,P\left(B \mid A_{2}\right)=90 \%,P\left(B \mid A_{3}\right)=70 \% .
$$
因此,由全概率公式有
$$
\begin{aligned}
P(B) & =P\left(A_{1}\right) P\left(B \mid A_{1}\right)+P\left(A_{2}\right) P\left(B \mid A_{2}\right)+P\left(A_{3}\right) P\left(B \mid A_{3}\right) \\
& =50 \% \times 95 \%+30 \% \times 90 \%+20 \% \times 70 \%=88.5 \% .
\end{aligned}
$$
由例 4 还可以得出全概率公式的一个直观解释：已知事件 $B$ 的发生有各种可能的情形 $A_{i}(i=1,2,\cdots,n$,且任意两种情形均互斥),事件 $B$ 发生的可能性,就是各种可能情形 $A_{i}$ 发生的可能性与已知在 $A_{i}$ 发生的条件下事件 $B$ 发生的可能性的乘积之和. 在实际问题中,由于随机事件的复杂性,有时很难直接求得事件 $B$ 发生的概率,因此我们可以分析事件 $B$ 发生的各种可能情形,化整为零地去分解事件 $B$,然后借助于全概率公式间接求出事件 $B$ 发生的概率.
## *3. 贝叶斯公式
## 尝试与发现
用适当的符号表示出下列描述中的已知与末知，并探索问题的解法: 已知某厂生产的食盐,优质品率为 $90 \%$. 优质品中,包装达标的占 $95 \%$;非优质品中,包装达标的占 $80 \%$. 如果从该厂生产的食盐中,随机取一袋,发现包装是达标的,那么这袋食盐是优质品的概率为多少 (精确到 $0.1 \%$ )?
尝试与发现的描述中，可以用 $A$ 表示优质品，$B$ 表示包装达标,则 $\bar{A}$ 表示不是优质品，而且有
$$
P(A)=90 \%,P(B \mid A)=95 \%,P(B \mid \bar{A})=80 \% \text {;}
$$
问题中所要求的是 $P(A \mid B)$. 由条件概率可知
$$
P(A \mid B)=\frac{P(A B)}{P(B)} \text {,}
$$
不过,已知条件中并没有直接给出 $P(A B)$ 与 $P(B)$ 的值. 但由乘法公式和全概率公式可得
$$
\begin{aligned}
P(A B) & =P(B A)=P(A) P(B \mid A)=90 \% \times 95 \%=85.5 \%,\\
P(B) & =P(A) P(B \mid A)+P(\bar{A}) P(B \mid \bar{A}) \\
& =90 \% \times 95 \%+(1-90 \%) \times 80 \% \\
& =93.5 \% .
\end{aligned}
$$
因此一袋包装达标的食盐是优质品的概率为
$$
P(A \mid B)=\frac{85.5 \%}{93.5 \%} \approx 91.4 \% .
$$
一般地,当 $1>P(A)>0$ 且 $P(B)>0$ 时,有
$$
P(A \mid B)=\frac{P(A) P(B \mid A)}{P(B)}=\frac{P(A) P(B \mid A)}{P(A) P(B \mid A)+P(\bar{A}) P(B \mid \bar{A})} .
$$
这称为贝叶斯公式.
例 5 某生产线的管理人员通过对以往数据的分析发现,每天生产线启动时,初始状态良好的概率为 $80 \%$. 当生产线初始状态良好时,第一件产品合格的概率为 $95 \%$;否则,第一件产品合格的概率为 $60 \%$. 某天生产线启动时,生产出的第一件产品是合格品,求当天生产线初始状态良好的概率（精确到 $0.1 \%$ ).
用 $A$ 表示生产线初始状态良好,$B$ 表示产品为合格品. 则由已
知有
$$
P(A)=80 \%,P(B \mid A)=95 \%,P(B \mid \bar{A})=60 \% .
$$
从而 $P(\bar{A})=5$,因此由贝叶斯公式可知
$$
P(A \mid B)=6
$$
例 5 中的概率 $80 \%$ (即 $P(A)$ ) 是根据历史数据发现的,通常称为先验概率;获取了新信息（即第一件产品是合格品）后算出的概率 $P(A \mid B)$,通常称为后验概率. 贝叶斯公式指出的是,通过先验概率以及其他信息,可以算出后验概率. 实际上,贝叶斯公式可以看成要根据事件发生的结果找原因,看看这一结果由各种可能原因导致的概率是多少.
贝叶斯公式在日常生活中有着广泛的应用,以下是一个实际的例子.
## 情境与问题
已知某地居民肝癌的发病率为 0.000 4. 通过对血清甲胎蛋白进行检验可以检测一个人是否患有肝癌,但这种检测方法可能出错,具体是：患有肝癌但检测显示正常的概率为 0.01,末患有肝癌但检测显示有肝癌的概率为 0.05 . 目前情况下,肝癌的致死率比较高,肝癌发现得越早,治疗越有效,因此有人主张对该地区的居民进行普查，以尽早发现肝癌患者. 这个主张是否合适?
上述情境中，如果患有肝癌，那么检测出来的概率为 99\%. 然而,普查的主张是否合适,主要取决于检测结果显示患有肝癌时,实际上患有肝癌的概率.
设 $A$ 表示患有肝癌,$B$ 表示检测结果显示患有肝癌,则
$$
P(A)=0.0004,P(\bar{B} \mid A)=0.01,P(B \mid \bar{A})=0.05 \text {,}
$$
从而有
$$
\begin{aligned}
& P(\bar{A})=1-P(A)=1-0.0004=0.9996,\\
& P(B \mid A)=1-P(\bar{B} \mid A)=1-0.01=0.99 .
\end{aligned}
$$
根据贝叶斯公式,则检测显示患有肝癌的居民确实患有肝癌的概率为
$$
\begin{aligned}
P(A \mid B) & =\frac{P(A) P(B \mid A)}{P(A) P(B \mid A)+P(\bar{A}) P(B \mid \bar{A})} \\
& =\frac{0.0004 \times 0.99}{0.0004 \times 0.99+0.9996 \times 0.05} \\
& \approx 0.0079 .
\end{aligned}
$$
这就表明,检测结果显示患有肝癌但实际上患有肝癌的概率还不到 $0.8 \%$!也就是说,如果进行普查的话,在现有条件下,100 个显示患有肝癌的人中，可能只有 1 个人是真正患有肝癌的. 从这个意义上来说,进行普查并不是一个好主意.
值得注意的是，这并不能说明对应的检测方法精度不够高，更不能说明在实际诊断时不能使用对应的检测办法.
仔细观察上述计算过程,可以发现 $P(A)$ 对 $P(A \mid B)$ 的影响很大. 用 Excel 或计算机软件进行试算也可以看出这一点，如下表所示.
| $P(A)$ | 0.0004 | 0.001 | 0.01 | 0.05 | 0.1 | 0.2 | 0.5 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P(A \mid B)$ | 0.0079 | 0.0194 | 0.1667 | 0.5103 | 0.6875 | 0.8319 | 0.9519 |
但是,需要注意的是,在实际诊断过程中，医生往往会先观察患者的症状,只有当医生通过其他症状怀疑病人患有肝癌时,才会建议进行血清甲胎蛋白检测. 也就是说,此时疑似患病人群的 $P(A)$ 值已经远远大于 0.0004,甚至可能已经达到了 0.5,因此检测显示患有肝癌而实际也患有肝癌的概率 $P(A \mid B)$ 也就会比 0.0079 大很多了.
同全概率公式一样,贝叶斯公式也可以进行推广.
定理 2 若样本空间 $\Omega$ 中的事件 $A_{1},A_{2},\cdots,A_{n}$ 满足:
(1) 任意两个事件均互斥,即 $A_{i} A_{j}=\varnothing,i,j=1,2,\cdots,n,i \neq j$;
(2) $A_{1}+A_{2}+\cdots+A_{n}=\Omega$;
(3) $1>P\left(A_{i}\right)>0,i=1,2,\cdots,n$.
则对 $\Omega$ 中的任意概率非零的事件 $B$,有
$$
P\left(A_{j} \mid B\right)=\frac{P\left(A_{j}\right) P\left(B \mid A_{j}\right)}{P(B)}=\frac{P\left(A_{j}\right) P\left(B \mid A_{j}\right)}{\sum_{i=1}^{n} P\left(A_{i}\right) P\left(B \mid A_{i}\right)} .
$$
上述公式也称为贝叶斯公式.
## 拓展阅读
## 人工智能中的贝叶斯公式
人工智能正在逐渐改变着我们日常生活的方方面面,作为交叉学科,它融合了信息技术、数学、哲学、生物学等领域的知识. 特别地,数学在其中起到了重要的作用. 不过,人工智能所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论,贝叶斯公式就被广泛地用于人工智能的分类算法中. 下面我们简要地介绍拼音输入法给出候选词时是如何应用贝叶斯公式的.
当我们在电子设备上使用拼音输入法输入汉字时,输入法会根据已经输入的信息给出一定数量的候选词. 更神奇的是,即使错误地输入了某些信息,“智能化” 的输入法依然会给出若干个候选词,而其中往往会有我们想要输入的那个词语.
例如,如果想输入“信息”,在键盘上输入“xinxi”,候选词中就出现了正确的选项,如图 1 所示;即使不小心错误地输入了“xinxxi”，输入法依然会将“信息” 作为候选词之一,如图 2 所示. 这能极大地提升汉字的输入速度. 那么,输入法是如何实现这种“智能” 提示的呢?
$$
\begin{aligned}
& \text { xin'xil } \\
& \text { 1. 侸息 2. 欣喜 3.心细 }
\end{aligned}
$$
图 1
图 2
秘诀就在贝叶斯公式中!用上面的例子来说，假设有一个词库,包含了日常输入中所有可能出现的词语,输入法把词库中的第 $i$ 个词语作为候选词记为事件 $B_{i}$. 当通过键盘输入“xinxxi” (记为事件 A) 时,计算条件概率 $P\left(B_{i} \mid A\right)$ （就是已知输入信息为 $A$ 的条件下,输入者希望输出的词语是词库中第 $i$ 个词的概率). 当得到词库中所有词语对应的条件概率后,取其中概率最大的若干个词作为候选词,这样就完成了候选词自动符选的过程.
在这个过程中,如何计算条件概率 $P\left(B_{i} \mid A\right)$ 呢?这就要用到贝叶斯公式
$$
P\left(B_{i} \mid A\right)=\frac{P\left(B_{i}\right) P\left(A \mid B_{i}\right)}{P(A)},$$
因为只关心不同的 $i$ 对应的条件概率的相对大小,而对同一输入信息 $A$,上述公式的分母不变,所以实际计算时,只要求分子 $P\left(B_{i}\right) P\left(A \mid B_{i}\right)$ 的值就可以达到目的,这能够减少计算的复杂程度,而且,其中的 $P\left(B_{i}\right)$ 可以通过统计第 $i$ 个词语在大量文本中出现的频率来估计;通过衡量不同词语之间的某种特殊距离,可以得到 $P\left(A \mid B_{i}\right)$ 的值.
有意思的是,当长期使用某种“智能” 输入法时,输入法给出的候选词会越来越贴近用户的使用习惯. 例如，如果用户在输入“xinxxi”后多次选择“新消息”这个词语，那么再次输入相同的字母后,输入法就会将“新消息”自动排在最前面,如图 3 所示．实际上,这是因为输入法根据用户的选择习惯，更新了相应的词频,并重新计算了有关条件概率的缘故.
图 3
在垃圾邮件过滤、图像识别等人工智能应用场景中,贝叶斯公式都能发挥重要的作用,只不过情况会更复杂一些,感兴趣的同学可以自行查阅有关资料进一步了解.
## 练习A
(1) 分别在下列各条件下,求 $P(B A)$ :
(1) $P(A)=0.2,P(B \mid A)=0.15$;(2) $P(A)=0.6,P(B \mid A)=0.3$.
(2) 已知 $P(B A)=0.35,P(B \bar{A})=0.1$,求 $P(B)$.
(3) 分别在下列各条件下,求 $P(B),P(A \mid B)$ :
(1) $P(A)=0.4,P(B \mid A)=0.25,P(B \mid \bar{A})=0.3$;
(2) $P(A)=0.5,P(B \mid A)=0.2,P(B \mid \bar{A})=0.4$.
(4) 某人翻开电话本给自己的一位朋友打电话时,发现电话号码的最后一位数字变得模糊不清了,因此决定随机拨号进行尝试. 求这个人正好尝试两次就拨对电话号码的概率.
(5) 已知某学校中,经常参加体育钗炼的学生占 $40 \%$,而且在经常参加体育锻炼的学生中,喜欢篮球的占 $25 \%$. 从这个学校的学生中任意抽取一人,则抽到的学生经常参加体育锻炼而且喜欢篮球的概率是多少?
## 练习 $B$
(1) 已知 $P(A)=0.5,P(B \mid A)=0.2$,求 $P(B A)$ 与 $P(\bar{B} A)$.
(2) 已知 $P(B A)=0.35,P(B)=0.72$,求 $P(B \bar{A})$. (3) 已知 $P(B \mid A)=P(B)$,且 $P(A)=0.6,P(B)=0.3$,求 $P(A B)$.
(4) 在某次抽奖活动中,在甲、乙两人先后进行抽奖前,还有 20 张奖券,其中共有 3 张写有“中奖”字样. 假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽,求：
（1）甲中奖而且乙也中奖的概率;
（2）甲没中奖而且乙中奖的概率.
(5) 假设某市场供应的灯泡中,甲厂产品占 $60 \%$,乙厂产品占 $40 \%$,甲厂产品的合格率是 $95 \%$,乙厂产品的合格率是 $80 \%$. 在该市场中随机购买一个灯泡,已知买到的是合格品，求这个灯泡是甲厂生产的概率（精确到 $0.1 \%$ ).
$1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}$
$2 \frac{5}{49}$
$\frac{9}{10} \times \frac{5}{49}=\frac{9}{98}$
$4-\frac{5}{8}=\frac{3}{8}$
$5-80 \%=20 \%$
$6 \frac{P(A) P(B \mid A)}{P(A) P(B \mid A)+P(\bar{A}) P(B \mid \bar{A})}=\frac{80 \% \times 95 \%}{80 \% \times 95 \%+20 \% \times 60 \%} \approx 86.4 \%$
### 3 独立性与条件概率的关系
## 情境与问题
从必修的内容中我们已经知道,$A$ 与 $B$ 相互独立（简称为独立）的充要条件是
$$
P(A B)=P(A) P(B) \text {,}
$$
而且 $A$ 与 $B$ 独立的直观理解是,事件 $A$ 是否发生不会影响事件 $B$ 发生的概率,事件 $B$ 是否发生也不会影响事件 $A$ 发生的概率. 那么,这个直观理解的数学含义是什么呢?
考察独立性与条件概率的关系可以得出相互独立的直观理解.
## 尝试与探究
假设 $P(A)>0$ 且 $P(B)>0$，在 $A$ 与 $B$ 独立的前提下，通过条件概率的计算公式考察 $P(A \mid B)$ 与 $P(A)$ 的关系,以及 $P(B \mid A)$ 与 $P(B)$ 的关系. 当 $P(B)>0$ 且 $P(A B)=P(A) P(B)$ 时,由条件概率的计算公式有
$$
P(A \mid B)=\frac{P(A B)}{P(B)}=\frac{P(A) P(B)}{P(B)}=P(A),$$
即 $P(A \mid B)=P(A)$. 这就是说,此时事件 $A$ 发生的概率与已知事件 $B$ 发生时事件 $A$ 发生的概率相等. 也就是事件 $B$ 的发生,不会影响事件 $A$ 发生的概率.
类似地,可以看出,如果 $P(A \mid B)=P(A)$,那么一定有 $P(A B)=$ $P(A) P(B)$.
因此,当 $P(B)>0$ 时,$A$ 与 $B$ 独立的充要条件是
$$
P(A \mid B)=P(A)
$$
这也就同时说明,当 $P(A \mid B) \neq P(A)$ 时,事件 $B$ 的发生会影响事件 $A$ 发生的概率,此时 $A$ 与 $B$ 是不独立的. 事实上,“$A$ 与 $B$ 独立” 也经常被说成“$A$ 与 $B$ 互不影响” 等.
例 1 已知某大学数学专业二年级的学生中,是否有自主创业打算的情况如下表所示.
| | 男生/人 | 女生/人 |
| :---: | :---: | :---: |
| 有自主创业打算 | 16 | 15 |
| 无自主创业打算 | 64 | 60 |
从这些学生中随机抽取一人:
(1) 求抽到的人有自主创业打算的概率;
(2) 求抽到的人是女生的概率;
（3）若已知抽到的人是女生,求她有自主创业打算的概率;
(4) 判断“抽到的人是女生” 与“抽到的人有自主创业打算” 是否独立.
解由题意可知,所有学生人数为
$$
16+15+64+60=155 \text {. }
$$
记 $A$ 为“抽到的人有自主创业打算”,$B$ 为“抽到的人是女生”.
(1) 因为有自主创业打算的人数为 $16+15=31$,所以抽到的人有自主创业打算的概率为
$$
P(A)=\underline{1}
$$
（2）因为女生人数为 $15+60=75$,所以抽到的人是女生的概率为
$$
P(B)=\underline{2}
$$
(3) 所要求的是 $P(A \mid B)$,注意到 75 名女生中有 15 人有自主创业打算，因此
$$
P(A \mid B)=3
$$
（4）由（1）和（3）的计算结果可知 $P(A \mid B)=P(A)$,因此“抽到的人是女生” 与“抽到的人有自主创业打算” 独立.
多个事件之间的相互独立也可借助条件概率来理解,“$A_{1},A_{2},\cdots$,$A_{n}$ 相互独立” 也可说成“$A_{1},A_{2},\cdots,A_{n}$ 相互不影响”. 需要强调的是,同以前一样,实际问题中,我们常常依据实际背景去判断事件之间是否存在相互影响,若可认为事件之间没有影响,则认为它们相互独立;已知事件相互独立时,根据每个事件发生的概率可以方便地求出它们同时发生的概率.
例 2 已知甲、乙、丙 3 人参加驾照考试时,通过的概率分别为 0.8,$0.9,0.7$,而且这 3 人之间的考试互不影响. 求:
（1）甲、乙、丙都通过的概率;
（2）甲、乙通过且丙末通过的概率.
解用 $A,B,C$ 分别表示甲、乙、丙驾照考试通过,则可知 $A,B$,$C$ 相互独立,而且 $P(A)=0.8,P(B)=0.9,P(C)=0.7$.
（1）甲、乙、丙都通过可用 $A B C$ 表示,因此所求概率为
$$
\begin{aligned}
P(A B C) & =P(A) P(B) P(C) \\
& =0.8 \times 0.9 \times 0.7 \\
& =0.504 .
\end{aligned}
$$
（2）甲、乙通过且丙末通过可用 $A B \bar{C}$ 表示,因此所求概率为
$$
\begin{aligned}
P(A B \bar{C}) & =P(A) P(B) P(\bar{C}) \\
& =P(A) P(B)[1-P(C)] \\
& =0.8 \times 0.9 \times(1-0.7) \\
& =0.216 .
\end{aligned}
$$
例 3 在一个系统中,每一个部件能正常工作的概率称为部件的可靠度,而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度. 现有甲、乙、丙 3 个部件组成的一个如图 4-1-6 所示的系统,已知当甲正常工作且乙、丙至少有一个能正常工作时,系统就能正常工作,各部件的可靠度均为 $r(0<r<1)$,而且甲、乙、丙互不影响. 求系
图 4-1-6 统的可靠度. 例 3 中：
（1）各个部件是否正常工作是相互独立的吗?
(2) 用合适的符号把系统能正常工作表示为互斥事件的和,并尝试给出解题思路.
解用 $A,B,C$ 分别表示甲、乙、丙能正常工作,$D$ 表示系统能正常工作.
由题意知,系统能正常工作时,可分为三种互斥的情况：甲、乙、丙都正常工作,即 $A B C$;甲、丙正常工作,且乙不正常工作,即 $A \bar{B} C$;甲、乙正常工作,且丙不正常工作,即 $A B \bar{C}$. 因此
$$
D=A B C \cup A \bar{B} C \bigcup A B \bar{C} \text {. }
$$
因为甲、乙、丙互不影响,所以 $A,B,C$ 相互独立,而且
$$
P(A)=P(B)=P(C)=r \text {. }
$$
由互斥事件概率的加法公式以及独立性可知
$$
\begin{aligned}
P(D) & =P(A B C \bigcup A \bar{B} C \bigcup A B \bar{C}) \\
& =P(A B C)+P(A \bar{B} C)+P(A B \bar{C}) \\
& =P(A) P(B) P(C)+P(A) P(\bar{B}) P(C)+P(A) P(B) P(\bar{C}) \\
& =r^{3}+2 r^{2}(1-r) \\
& =2 r^{2}-r^{3} .
\end{aligned}
$$
## 练习A
(1) 已知 $P(A \mid B)=0.6,P(A)=0.59$,判断 $A$ 与 $B$ 是否独立.
(2) 已知 $A$ 与 $B$ 独立,且 $P(A)=0.75$,求 $P(A \mid B)$.
(3) 已知 $P(A \mid B)=0.6,P(\bar{A})=0.4$,判断 $A$ 与 $B$ 是否独立.
(4) 已知 $A$ 与 $B$ 独立,且 $P(\bar{A})=0.3$,求 $P(A \mid B)$.
(5) 加工某一零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为 $\frac{1}{70},\frac{1}{69}$,$\frac{1}{68}$,且各道工序互不影响,求加工出来的零件的次品率.
## 练习 $B$
(1) 已知 $A$ 与 $B$ 独立,且 $P(A B)=\frac{5}{12},P(B)=\frac{5}{6}$,求 $P(\bar{A} \mid B)$. (2) 如图所示，已知一个系统由甲、乙、丙、丁 4 个部件组成. 当甲、乙都正常工作，或丙、丁都正常工作时,系统就能正常工作. 若每个部件的可靠性均为 $r(0<r<1)$,而且甲、乙、丙、丁互不影响. 求系统的可靠度.
(第 2 题)
(3) 针对某种突发性的流感病毒,各国的医疗科研机构都在研制疫苗. 已知甲、乙两个机构各自研制成功的概率为 $\frac{1}{5},\frac{1}{3}$,而且两个机构互不影响,求:
（1）甲、乙都研制成功的概率;
（2）甲机构研制成功且乙机构研制不成功的概率;
（3）甲、乙两个机构中,至少有一个研制成功的概率.
(4) 一批产品的次品率为 $10 \%$,进行有放回地重复抽样检查. 共抽取 3 件产品,求恰有 2 件次品的概率.
(5) 证明：当 $P(A)>0,P(B)>0$ 且 $P(B \mid A)=P(B)$ 时,有
$$
P(\bar{B} \mid A)=P(\bar{B}),P(B \mid \bar{A})=P(B),P(\bar{B} \mid \bar{A})=P(\bar{B}) \text {. }
$$
你能给出这个结论的直观解释吗?
$\frac{31}{155}=\frac{1}{5}$
$2 \frac{75}{155}=\frac{15}{31}$
$\frac{15}{75}=\frac{1}{5}$
## 习题4-1A
(1) 已知某产品的品质是由 $\mathrm{A},\mathrm{B}$ 两项指标决定的,现有 100 件这样的产品,其中 $\mathrm{A}$ 指标达到优秀的有 80 件,B 指标达到优秀的有 75 件,$\mathrm{A},\mathrm{B}$ 两项指标都达到优秀的有 70 件. 从这批产品中任取一件,当已知所抽取的产品 $\mathrm{A}$ 指标优秀时，求 $\mathrm{B}$ 指标也优秀的概率.
(2) 已知 10 件产品中有 3 件是一等品,其余都是二等品. 从这些产品中不放回地抽取两次,若已知第一次取到的是一等品,求第二次取到的也是一等品的概率.
(3) 已知 $P(B A)=0.5,P(B \bar{A})=0.2$,求 $P(\bar{B})$.
(4) 某班级的学生中,是否有外地旅游经历的人数情况如下表所示.
| | 男生 | 女生 |
| :---: | :---: | :---: |
| 有外地旅游经历 | 6 | 9 |
| 无外地旅游经历 | 9 | 8 |
从这个班级中随机抽取一名学生:
（1）求抽到的人是男生的概率;
(2) 求抽到的人是女生且无外地旅游经历的概率;
（3）若已知抽到的人是女生，求她有外地旅游经历的概率;
(4) 若已知抽到的人有外地旅游经历，求其是男生的概率;
（5）判断“抽到的人是女生”与“抽到的人有外地旅游经历”是否独立.
(5) 有 3 台机床,已知每台机床不需要照看的概率均为 0.8,且互不影响,求下列事件的概率:
(1) 3 台机床都不需要照看;
（2）至少有 1 台机床需要照看;
(3) 3 台机床都需要照看.
(6) 李明早上上学的时候,可以乘坐公共汽车,也可以乘坐地铁. 已知李明乘坐公共汽车的概率为 0.3,乘坐地铁的概率为 0.7,而且乘坐公共汽车与地铁时,李明迟到的概率分别为 0.2 与 0.05 .
(1) 求李明上学迟到的概率;
（2）如果某天早上李明上学迟到了，那么他乘公共汽车的概率为多少?
(1) 袋中有 $a$ 个白球,$b$ 个黑球,且 $a,b$ 均为正整数,从中任意取一球,不放回,然后再取一球,求第二次取到白球的概率.
(2) 掷红、蓝两个均匀的骰子,已知两个骰子的点数不同,求其中至少有一个 6 点的概率.
(3) 某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率为 0.75,连续两天为优良的概率是 0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是多少?
(4) 分别在下列各条件下,求 $P(B A)$ :
(1) $P(\bar{A})=0.3,P(B \mid A)=0.6$;(2) $P(\bar{A})=0.6,P(\bar{B} \mid A)=0.8$.
(5) 已知 $P(\bar{A})=0.6,P(B \mid A)=0.35,P(B \mid \bar{A})=0.2$,求 $P(\bar{B}),P(A \mid B)$.
(1) 当 $0<P(A)<1$ 时,求证: $P(B \mid A)=P(B)$ 的充要条件是 $P(B \mid \bar{A})=P(B)$.
(2) 当 $P(A)>0$ 且 $P(B)>0$ 时,求证: $P(B \mid A)=P(B)$ 的充要条件是 $P(A \mid B)=P(A)$
# 4. 2 随机变量
### 1 随机变量及其与事件的联系
## 1. 随机变量的概念
我们已经知道,可以通过随机试验的样本空间来理解随机事件,在了解样本空间和随机事件所包含的样本点数目时,可以借助排列组合的知识.
## 情境与问题
为了督促各地做好环境保护工作，环保部门决定在 31 个省 (自治区、直辖市) 和新疆生产建设兵团中,随机抽取 6 个进行突击检查,抽得的结果只要有一个不同就认为是不同的试验结果,记样本空间为 $\Omega$.
(1) $\Omega$ 中包含的样本点数目是多少?
（2）设抽得的结果中直辖市个数为 $X$,那么对 $\Omega$ 中的每一个样本点,$X$ 都有唯一确定的值吗?$X$ 的取值是固定不变的吗?如果不是,$X$ 可取的值有哪些?
借助组合的知识,可知情境与问题中 $\Omega$ 所包含的样本点数目为 $\mathrm{C}_{32}^{6}$. 不过，因为我国只有北京市、上海市、天津市、重庆市这 4 个直辖市,而且是随机抽取,因此对样本空间 $\Omega$ 中的每一个样本点,变量 $X$ 都有唯一的取值,但对不同的样本点,$X$ 的取值可能不同，其值可以是 $0,1，2，3，4$ 中的任意一个. 数学中,$X$ 这样的变量称为随机变量.
一般地,如果随机试验的样本空间为 $\Omega$,而且对于 $\Omega$ 中的每一个样本点,变量 $X$ 都有唯一确定的实数值与之对应,就称 $X$ 为一个随机变量. 随机变量一般用大写英文字母 $X,Y,Z,\cdots$ 或小写希腊字母 $\xi,\eta,\zeta,\cdots$ 表示. 随机变量所有可能的取值组成的集合,称为这个随机变量的取值范围.
由定义可知,随机变量的取值由随机试验的结果决定.
例 1 先后抛两枚均匀的硬币,设正面朝上的硬币数为 $X$，样本空间为 $\Omega$. （1）借助合适的符号,用列举法写出样本空间 $\Omega$;
（2）求出随机变量 $X$ 的取值范围.
解 （1）用 $\mathrm{FZ}$ 表示第一枚硬币反面朝上,第二枚硬币正面朝上,则样本空间
$$
\Omega=\{\mathrm{FF},\mathrm{FZ},\mathrm{ZF},\mathrm{ZZ}\}
$$
（2）因为有可能没有硬币正面朝上,也有可能恰有一枚硬币正面朝上,还有可能两枚硬币都正面朝上,所以 $X$ 的取值范围是
$$
\{0,1,2\} .
$$
## 尝试与发现
在例 1 中:
（1） $X=1$ 与样本空间 $\Omega$ 中的样本点之间有什么关系?
（2）记事件 $A$ 为“恰有一枚硬币正面朝上”,写出 $A$ 所包含的样本点,说明 $X=1$ 与事件 $A$ 的关系;
(3) $X=1$ 与 $X=2$ 能同时成立吗?
不难看出,$X=1$ 的充要条件是试验结果为 $\mathrm{FZ}$ 或 $\mathrm{ZF}$. 根据题意有
$$
A=\{\mathrm{FZ},\mathrm{ZF}\}
$$
因此,$X=1$ 表示的就是“恰有一枚硬币正面朝上”,所以 $X=1$ 与事件 $A$ 等价.
另外,因为 $X=2$ 表示的是“两枚硬币都正面朝上”,所以 $X=1$ 与 $X=2$ 是不能同时成立的,即事件 $X=1$ 与 $X=2$ 互斥.
更进一步,利用古典概型的知识可知
$$
P(A)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}
$$
由于 $X=1$ 与事件 $A$ 等价,因此上述概率的表达式也可记作
$$
P(X=1)=\frac{1}{2}
$$
由于这里的随机变量 $X$ 只能取 $0,1,2$ 中的某一个,所以 $0<X<2$ 与 $X=$ 1 也是等价的,从而事件 $A$ 也可用 $0<X<2$ 表示，因此
$$
P(0<X<2)=P(X=1)=\frac{1}{2} \text {. }
$$
这就是说,在引人了随机变量之后,可以利用随机变量来表示事件.
一般地,如果 $X$ 是一个随机变量,$a,b$ 都是任意实数,那么 $X=a$,$X \leqslant b，X>b$ 等都表示事件,而且:
（1）当 $a \neq b$ 时,事件 $X=a$ 与 $X=b$ 互斥;
（2）事件 $X \leqslant a$ 与 $X>a$ 相互对立,因此
$$
P(X \leqslant a)+P(X>a)=1 .
$$
在用随机变量表示事件及事件的概率时,有时可不写出样本空间.
例如,抛一枚均匀硬币,如果正面朝上,取 $Z=1$;如果反面朝上,取 $Z=0$. 那么 $Z$ 是一个随机变量,而且 $Z$ 的取值范围是
$$
\{1,0\} \text {. }
$$
此时,$Z=1$ 表示“正面朝上”,因此
$$
P(Z=1)=\frac{1}{2};$$
$Z>-1$ 表示“正面朝上或者反面朝上”,因此
$$
P(Z>-1)=1 .
$$
郑一个均匀的骰子,如果设朝上的点数为 $Y$,则 $Y$ 是一个随机变量,且 $Y$ 的取值范围是
## 1
此时,$Y=2$ 表示“朝上的点数为 2 ”,因此
$$
P(Y=2)=2 \quad \text {;}
$$
$Y>3$ 表示“朝上的点数大于 3 ”,即“朝上的点数为 $4,5,6$ 中的某一个”,因此
$$
P(Y>3)=3
$$
用 $\xi$ 表示某网页在一天内（即 $24 \mathrm{~h}$ 内）被浏览的次数，则 $\xi$ 是一个随机变量,$\xi$ 的取值范围可以认为是
$$
\{0,1,2,3,\cdots\}=\mathbf{N} \text {. }
$$
若已知该网页在一天内被浏览的次数不超过 1000 的概率为 0.3,则
$$
P(\xi \leqslant 1000)=0.3,P(\xi>1000)=4
$$
以上所介绍的随机变量,其所有可能的取值,都是可以一一列举出来的,它们都是离散型随机变量. 与离散型随机变量对应的是连续型随机变量,一般来说,连续型随机变量的取值范围包含一个区间. 例如,用 $\eta$ 表示某品牌节能灯的寿命,则 $\eta$ 的取值范围可以认为是 $[0,+\infty)$,这里的 $\eta$ 是一个连续型随机变量.
## 2. 随机变量之间的关系
## 尝试与发现
为了调动员工的积极性,某厂某月实行超额奖励制度,具体措施是：每超额完成 1 件产品,奖励 100 元. 假设这个月中,该厂的每名员工都完成了定额,而且超额完成的产品数都不超过 50. 从该厂员工中随机抽出一名，记抽出的员工该月超额完成的产品数为 $X$,获得的超额奖励为 $Y$ 元,则 $X$ 与 $Y$ 均为随机变量.
(1) 当 $X=3$ 时,$Y$ 的值是多少?总结 $X$ 与 $Y$ 之间的关系.
（2）分别写出 $X$ 与 $Y$ 的取值范围.
因为 $X=3$ 表示超额完成了 3 件产品,所以按照奖励制度可知 $Y=$ $100 \times 3=300$. 依照题意可知
$$
Y=100 X
$$
另外,由于 $X$ 的取值范围是
$$
\{0,1,2,3,\cdots,50\}
$$
因此 $Y$ 的取值范围是
$$
\{0,100,200,300,\cdots,5000\} .
$$
上述 $X$ 与 $Y$,虽然都是随机变量,但是它们之间的关系却是确定的: 当 $X$ 的值确定之后,$Y$ 的值也就确定了;反之亦然.
一般地,如果 $X$ 是一个随机变量,$a,b$ 都是实数且 $a \neq 0$,则
$$
Y=a X+b
$$
也是一个随机变量. 由于 $X=t$ 的充要条件是 $Y=a t+b$,因此
$$
P(X=t)=P(Y=a t+b) \text {. }
$$
例 2 某快餐店的小时工是按照下述方式获取税前月工资的：底薪 1000 元,每工作 $1 \mathrm{~h}$ 再获取 30 元. 从该快餐店中任意抽取一名小时工,设其月工作时间为 $X \mathrm{~h}$，获取的税前月工资为 $Y$ 元.
（1）当 $X=110$ 时，求 $Y$ 的值;
（2）写出 $X$ 与 $Y$ 之间的关系式；
(3) 若 $P(X \leqslant 120)=0.6$,求 $P(Y>4600)$ 的值.
（1）当 $X=110$ 时,表示工作了 110 个小时,所以
$$
Y=110 \times 30+1000=4300 \text {. }
$$
（2）根据题意有
$$
Y=30 X+1000 .
$$
（3）因为
$$
X \leqslant 120 \Leftrightarrow 30 X \leqslant 3 \quad 600 \Leftrightarrow 30 X+1 \quad 000 \leqslant 4 \quad 600 \Leftrightarrow Y \leqslant 4600,$$
所以
$$
P(Y \leqslant 4600)=P(X \leqslant 120)=0.6,$$
从而
$$
P(Y>4600)=5
$$
(1) 如果一批产品共有 100 件,其中恰有 3 件次品,现从这批产品中随机抽取 5 件进行检测,记样本空间为 $\Omega$.
（1）用组合数表示样本空间中样本点的总数;
（2）假设所抽到的 5 件产品中次品数为 $X$,那么 $X$ 可能的取值有多少个?
(2) 写出下列随机变量的取值范围:
（1）某足球队在 5 次点球中，射进的球数为 $X$;
(2) 从 10 张标号分别为 $1,2,\cdots,10$ 的卡片中随机抽取 1 张,所抽得的卡片标号为 $Y$;
(3) 同时抛 5 枚硬币,正面朝上的硬币数为 $Z$.
(3) 䣠一个均匀的骰子,设朝上的点数为随机变量 $Y$,求 $P(Y \geqslant 5)$.
(4) 已知随机变量 $X$ 的取值范围是 $\{1,0\}$,且 $Y=X+2$,求 $Y$ 的取值范围.
(5) 已知随机变量 $X$ 的取值范围是 $\{1,2,3,4,5,6\}$,且 $Y=2 X$,求 $Y$ 的取值范围.
## 练习B
(1) 先后抛均匀硬币两次,如果两次都是正面朝上得 5 分,两次都是反面朝上得 3 分,其他结果得 0 分. 设 $X$ 表示所得分数,求 $P(X=0)$.
(2) 已知 $X$ 是一个随机变量,$a$ 是任意一个实数,分别说明下列各组事件之间的关系，并写出它们的概率之间的关系:
(1) $X=a,X \neq a$;
(2) $X<a,X \geqslant a$
(3) $X<a,X<a+1$.
(3) 已知 $P(X \leqslant 0)=0.25$,求 $P(X>0)$ 的值.
(4) 已知 $P(X=1)=0.3,P(X=-1)=0.1$,求 $P(|X|=1)$ 的值.
(5) 某商场的促销员是按照下述方式获取税前月工资的: 底薪 500 元,每工作 $1 \mathrm{~h}$ 再获取 35 元. 从该商场促销员中任意抽取一名,设其月工作时间为 $X \mathrm{~h}$,获取的税前月工资为 $Y$ 元.
（1）当 $X=80$ 时,求 $Y$ 的值;
（2）写出 $X$ 与 $Y$ 之间的关系式;
(3) 若 $P(Y>2950)=0.27$,求 $P(X \leqslant 70)$ 的值.
$11,2,3,4,5,6\}$
$2 \frac{1}{6}$
$3 \frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
$1-0.3=0.7$
$5-P(Y \leqslant 4600)=1-0.6=0.4$
### 2 离散型随机变量的分布列
## 1. 离散型随机变量的分布列
## 尝试与发现
已知随机变量 $X$ 的取值范围是 $\{0,1,2\}$,而且
$$
\begin{aligned}
& P(X=0)=0.2,\\
& P(X=1)=0.4,\\
& P(X=2)=0.4 .
\end{aligned}
$$
(1) 求出 $P(-1 \leqslant X \leqslant 1)$ 与 $P(1 \leqslant X \leqslant 2)$ 的值;（2）如果 $a,b$ 是给定的实数，则 $P(a \leqslant X \leqslant b)$ 一定可以算出来吗?（3）探讨怎样才能对离散型随机变量有比较全面的了解.
由于 $X$ 只能在 $0,1,2$ 中取值,所以 $-1 \leqslant X \leqslant 1$ 等价于 $X=0$ 或 $X=1$,又因为 $X=0$ 与 $X=1$ 互斥，所以
$$
P(-1 \leqslant X \leqslant 1)=P(X=0)+P(X=1)=0.2+0.4=0.6;$$
类似地,$1 \leqslant X \leqslant 2$ 等价于 1，而且
$$
P(1 \leqslant X \leqslant 2)=2
$$
因此,当实数 $a,b$ 给定时,只要检查 $0,1,2$ 是否满足 $a \leqslant X \leqslant b$ 就可以求出 $P(a \leqslant X \leqslant b)$.
由此可以看出，对于离散型随机变量来说，如果已知其每一个取值的概率,那么也就对其有了比较全面的了解.
一般地，当离散型随机变量 $X$ 的取值范围是 $\left\{x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right\}$ 时,如果对任意 $k \in\{1,2,\cdots,n\}$,概率
$$
P\left(X=x_{k}\right)=p_{k}
$$
都是已知的,则称 $X$ 的概率分布是已知的. 离散型随机变量 $X$ 的概率分布可以用如下形式的表格表示,这个表格称为 $X$ 的概率分布或分布列.
| $X$ | $x_{1}$ | $x_{2}$ | $\cdots$ | $x_{k}$ | $\cdots$ | $x_{n}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | $p_{1}$ | $p_{2}$ | $\cdots$ | $p_{k}$ | $\cdots$ | $p_{n}$ |
离散型随机变量 $X$ 的概率分布还可以用图 4-2-1 或图 4-2-2 来直观表示,其中,图 4-2-1 中,$x_{k}$ 上的矩形宽为 1、高为 $p_{k}$,因此每个矩形的面积也恰为 $p_{k}$；图 4-2-2 中,$x_{k}$ 上的线段长为 $p_{k}$.
图 4-2-1
图 4-2-2
例如,对于尝试与发现中的随机变量 $X$ 来说,其分布列如下表所示,而且 $X$ 的概率分布可用图 4-2-3 直观表示.
| $X$ | 0 | 1 | 2 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | 0.2 | 0.4 | 0.4 |
图 4-2-3
## 尝试与发现
观察上述分布列的实例,总结离散型随机变量 $X$ 的分布列中 $p_{k}$ 应具有的性质.
注意到 $p_{k}$ 表示的是事件 $X=x_{k}$ 发生的概率,因此每一个 $p_{k}$ 都是非负数;另外,因为分布列给出了随机变量能取的每一个值,而且随机变量取不同的值时的事件是互斥的,因此所有的 $p_{k}$ 之和应该等于 1 . 这就是说,离散型随机变量的分布列必须满足:
(1) $p_{k} \geqslant 0,k=1,2,\cdots,n$;
(2) $\sum_{k=1}^{n} p_{k}=p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{n}=3$
例1 郑一个均匀的骰子,记所得点数为 $X$.
(1) 求 $X$ 的分布列;
(2) 求“点数大于 3 ” 的概率.
（1）因为 $X$ 的取值范围是
$$
\{1,2,3,4,5,6\}
$$
而且
$$
P(X=n)=4 \quad,n=1,2,3,4,5,6,$$
因此 $X$ 的分布列如下表所示.
| $X$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ |
（2）“点数大于 3 ” 等价于 $X>3$,也就是说,$X$ 可取 $4,5,6$ 中的任何一个值，因此所求概率为
$$
P(X>3)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)=5
$$
例 2 抛一枚均匀的硬币 3 次,设正面朝上的次数为 $X$.
（1）说明 $X=2$ 表示的是什么事件,并求出 $P(X=2)$；
(2) 求 $X$ 的分布列.
解 （1） $X=2$ 表示的事件是“恰有 2 次正面朝上”.
因为抛一枚均匀的硬币 3 次,总共有 $2 \times 2 \times 2=8$ 种不同的情况,其中恰有两次正面朝上的情况共 $\mathrm{C}_{3}^{2}=3$ 种,所以
$$
P(X=2)=\frac{3}{8}
$$
（2）根据题意可知，$X$ 的取值范围是
$$
\{0,1,2,3\} \text {. }
$$
又因为用（1） 中的方法可知
$$
P(X=0)=\frac{1}{8},P(X=1)=\underline{6} \quad,P(X=3)=
$$
因此 $X$ 的分布列如下表所示.
| $X$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| :--- | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | $\frac{1}{8}$ | $\frac{3}{8}$ | $\frac{3}{8}$ | $\frac{1}{8}$ |
## 尝试与发现
在上一小节中我们已经看到,如果 $X$ 是一个离散型随机变量,$a,b$ 都是实数且 $a \neq 0$,则 $Y=a X+b$ 也是一个离散型随机变量. 那么,它们的分布列之间有什么联系呢?
容易看出,当 $X$ 与 $Y$ 都是离散型随机变量而且 $Y=a X+b(a \neq 0)$ 时,$X$ 与 $Y$ 的分布列分别如下表所示，它们的第二行的概率值是一样的.
| $X$ | $x_{1}$ | $x_{2}$ | $\cdots$ | $x_{k}$ | $\cdots$ | $x_{n}$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $P$ | $p_{1}$ | $p_{2}$ | $\cdots$ | $p_{k}$ | $\cdots$ | $p_{n}$ |
| $Y=a X+b$ | $a x_{1}+b$ | $a x_{2}+b$ | $\cdots$ | $a x_{k}+b$ | $\cdots$ | $a x_{n}+b$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | $p_{1}$ | $p_{2}$ | $\cdots$ | $p_{k}$ | $\cdots$ | $p_{n}$ |
## 2. 两点分布
## 尝试与发现
分别写出下列各随机变量的分布列,并分析它们的共同点.
（1）篮球运动员在比赛中每次罚球得分的规则是：命中得 1 分，不中得 0 分. 已知某篮球运动员罚球命中的概率为 0.6,设其罚球一次的得分为 $X$.
（2）假设某人寿保险的投保人年龄超过 50 岁的占 $70 \%$,从投保人中随机抽取 1 人,设 $Y$ 表示抽到的年龄超过 50 岁的投保人人数.
（3）从含有 3 件次品的 100 件产品中随机抽取 1 件,设抽到的次品数为 $Z$.
不难看出,上述尝试与发现中的 3 个随机变量,它们的取值范围均为 $\{1,0\}$，而且分布列都能写成如下的表格形式（其中 $0<p<1$ ).
| $W$ | 1 | 0 |
| :---: | :---: | :---: |
| $P$ | $p$ | $1-p$ |
但是,对 $X$ 来说,$p=0.6$;对 $Y$ 来说,$p=8$；对 $Z$ 来说，$p=9$
一般地,如果随机变量的分布列能写成上述表格的形式,则称这个随机变量服从参数为 $p$ 的两点分布 (或 $0-1$ 分布).
另外,一个所有可能结果只有两种的随机试验,通常称为伯努利试验. 不难看出,如果将伯努利试验的结果分别看成“成功”与“不成功”,并设“成功”出现的概率为 $p$，一次伯努利试验中“成功” 出现的次数为 $X$,则 $X$ 服从参数为 $p$ 的两点分布,因此两点分布也常称为伯努利分布,两点分布中的 $p$ 也常被称为成功概率.
上述尝试与发现中所涉及的 3 个试验均为伯努利试验. 日常生活中，还有很多随机试验都可看成伯努利试验. 例如,观察火车是否晩点、新生婴儿的性别、考试是否及格等.
## 练习A
(1) 分别判断下列表格是否可能是随机变量 $X$ 的分布列,并说明理由:
(1)
| $X$ | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | 0.2 | 0.2 | 0.2 | 0.2 | 0.3 |
(2)
| $X$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | 0.1 | -0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.2 | 0.2 |
(2) 已知离散型随机变量 $X$ 的分布列如下表所示,求 $a$ 的值.
| $X$ | 1 | 2 | 3 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | 0.3 | $a$ | 0.5 |
(4) 已知 $X$ 服从参数为 0.3 的两点分布.
(1) 求 $P(X=0)$;(2) 若 $Y=2 X+1$,写出 $Y$ 的分布列.
(5) 从装有 6 个白球和 4 个红球的口袋中任取 1 个球,用 $X$ 表示取得的白球数,求 $X$ 的分布列.
## 练习B
(1) 如图所示是离散型随机变量 $X$ 的概率分布直观图,求 $a$ 的值.
(2) 某商店购进一批西瓜,预计晴天西瓜畅销,可获利 1000 元；阴天销路一般,可获利 500 元;下雨天西瓜滞销,会亏损 500 元. 根据天气预报,末来数日晴天的概率为 0.4,阴天的概率为 0.2,下雨的概率为 0.4,试写出销售这批西瓜
（第 1 题） 获利的分布列.
(3) 某射击运动员射击一次所得环数 $\xi$ 的分布列如下表所示.
| $\xi$ | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | 0.03 | 0.05 | 0.07 | 0.08 | 0.26 | $a$ | 0.23 |
(1) 求常数 $a$ 的值;
(2) 求 $P(\xi>6)$.
(4) 抛一枚均匀的硬币 2 次,设正面朝上的次数为 $X$.
（1）说明 $X=1$ 表示的是什么事件,并求出 $P(X=1)$;
(2) 求 $X$ 的分布列.
(5) 同时郑两个均匀的骰子,设所得点数之和为 $X$.
（1）写出 $X$ 的分布列;(2) 求 $P(X<5)$;(3) 求“点数和大于 9 ” 的概率.
$1 X=1$ 或 $X=2$
$2 P(X=1)+P(X=2)=0.4+0.4=0.8$
31
$4 \frac{1}{6}$
$5 \frac{1}{2}$
$6 \frac{3}{8}$
$7 \frac{1}{8}$
$70 \%$
$9 \frac{3}{100}$
### 3 二项分布与超几何分布
## 情境与问题
为了增加系统的可靠性，人们经常使用“备用壳余设备” (即正在使用的设备出故障时才启动的设备).已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备” (即一台正常设备,两台备用设备）的配置,这三台设备中,只要有一台能正常工作,计算机网络就不会断掉. 如果三台设备各自能正常工作的概率都为 0.9,它们之间相互不影响,那么这个计算机网络不会断掉的概率是多少呢?
情境中的问题,利用本节所要学习的知识,可以快速地得到解决.
## 1. $n$ 次独立重复试验与二项分布
我们已经知道，一个伯努利试验是试验结果可记为“成功”与“不成功”的试验. 现实生活中，经常需要在相同的条件下将一个伯努利试验重复多次. 例如,为了观察抛硬币时出现的统计规律性,可多次重复进行抛硬币这个伯努利试验；为了了解支持改革的人的比例，可随机向多人进行访问，询问他们的态度是“支持”还是“不支持”；等等. 在相同条件下重复 $n$ 次伯努利试验时,人们总是约定这 $n$ 次试验是相互独立的,此时这 $n$ 次伯努利试验也常称为 $n$ 次独立重复试验.
例如,对一批产品进行抽样检查,每次取一件来判断是否合格,有放回地抽取 5 次,就是一个 5 次独立重复试验；篮球运动员练习投篮 10 次,可以认为每次投中的概率都相同,这是一个 10 次独立重复试验.
在 $n$ 次独立重复试验中，人们经常关心的是“成功” 出现的次数.
## 尝试与发现
已知某种药物对某种疾病的治愈率为 $\frac{3}{4}$，现有甲、乙、丙、丁 4 个患有该病的患者服用了这种药物,观察其中有多少患者会被这种药物治愈.
（1）这能否看成独立重复试验?
（2）求出甲、乙、丙都被治愈而丁没被治愈的概率;
（3）求出恰有 3 个患者被治愈的概率;
（4）设有 $X$ 人被治愈,求 $X$ 的分布列. 不难想到,4 个患者是否会被治愈是相互独立的,因此尝试与发现中的情形可以看成 4 次独立重复试验.
如果用 $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}$ 分别表示甲被治愈、乙被治愈、丙被治愈、丁被治愈，则不难看出
$$
P\left(A_{i}\right)=\frac{3}{4},P\left(\bar{A}_{i}\right)=1-P\left(A_{i}\right)=\frac{1}{4},i=1,2,3,4 .
$$
此时,甲、乙、丙都被治愈而丁没被治愈可以表示为 $A_{1} A_{2} A_{3} \bar{A}_{4}$,因此由独立性可知
$$
\begin{aligned}
P\left(A_{1} A_{2} A_{3} \bar{A}_{4}\right) & =P\left(A_{1}\right) P\left(A_{2}\right) P\left(A_{3}\right) P\left(\bar{A}_{4}\right) \\
& =\frac{3}{4} \times \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{4}=\frac{27}{256} .
\end{aligned}
$$
注意到恰有 3 个患者被治愈的情况共有 $C_{4}^{3}$ 种（4 个人中,选出 3 个是被治愈的,剩下的那个是没被治愈的),即
$$
\bar{A}_{1} A_{2} A_{3} A_{4},A_{1} \bar{A}_{2} A_{3} A_{4},A_{1} A_{2} \bar{A}_{3} A_{4},A_{1} A_{2} A_{3} \bar{A}_{4} \text {,}
$$
这四种情况两两都是互斥的,而且每一种情况的概率均为 $\left(\frac{3}{4}\right)^{3} \times \frac{1}{4}=\frac{27}{256}$,因此所求概率为
$$
\begin{aligned}
& P\left(\bar{A}_{1} A_{2} A_{3} A_{4}+A_{1} \bar{A}_{2} A_{3} A_{4}+A_{1} A_{2} \bar{A}_{3} A_{4}+A_{1} A_{2} A_{3} \bar{A}_{4}\right) \\
= & P\left(\bar{A}_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\right)+P\left(A_{1} \bar{A}_{2} A_{3} A_{4}\right)+P\left(A_{1} A_{2} \bar{A}_{3} A_{4}\right)+P\left(A_{1} A_{2} A_{3} \bar{A}_{4}\right) \\
= & C_{4}^{3} \times\left(\frac{3}{4}\right)^{3} \times \frac{1}{4}=\frac{27}{64} .
\end{aligned}
$$
因为共有 4 名患者服用了药物，所以 $X$ 的取值范围应该是
$$
\{0,1,2,3,4\} \text {,}
$$
而且我们已经算出
$$
P(X=3)=\mathrm{C}_{4}^{3} \times\left(\frac{3}{4}\right)^{3} \times \frac{1}{4}=\frac{27}{64}
$$
用类似的办法可知
$$
\begin{aligned}
& P(X=0)=\mathrm{C}_{4}^{0} \times\left(\frac{3}{4}\right)^{0} \times\left(\frac{1}{4}\right)^{4}=\frac{1}{256},\\
& P(X=1)=\mathrm{C}_{4}^{1} \times \frac{3}{4} \times\left(\frac{1}{4}\right)^{3}=\frac{3}{64},\\
& P(X=2)=1 \\
& P(X=4)=2
\end{aligned}
$$
因此 $X$ 的分布列为
| $X$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | $\frac{1}{256}$ | $\frac{3}{64}$ | $\frac{27}{128}$ | $\frac{27}{64}$ | $\frac{81}{256}$ |
一般地,如果一次伯努利试验中,出现“成功” 的概率为 $p$,记 $q=$ $1-p$,且 $n$ 次独立重复试验中出现“成功” 的次数为 $X$,则 $X$ 的取值范围是
$$
\{0,1,\cdots,k,\cdots,n\}
$$
而且
$$
P(X=k)=\mathrm{C}_{n}^{k} p^{k} q^{n-k},k=0,1,\cdots,n,$$
因此 $X$ 的分布列如下表所示.
| $X$ | 0 | 1 | $\cdots$ | $k$ | $\cdots$ | $n$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | $\mathrm{C}_{n}^{0} p^{0} q^{n}$ | $\mathrm{C}_{n}^{1} p^{1} q^{n-1}$ | $\cdots$ | $\mathrm{C}_{n}^{k} p^{k} q^{n-k}$ | $\cdots$ | $\mathrm{C}_{n}^{n} p^{n} q^{0}$ |
注意到上述 $X$ 的分布列第二行中的概率值都是二项展开式
$$
(q+p)^{n}=\mathrm{C}_{n}^{0} p^{0} q^{n}+\mathrm{C}_{n}^{1} p^{1} q^{n-1}+\cdots+\mathrm{C}_{n}^{k} p^{k} q^{n-k}+\cdots+\mathrm{C}_{n}^{n} p^{n} q^{0}
$$
中对应项的值,因此称 $X$ 服从参数为 $n,p$ 的二项分布,记作
$$
X \sim B(n,p) .
$$
由此可以看出,上述尝试与发现中的随机变量 $X$ 服从参数为 $4,\frac{3}{4}$ 的二项分布,即 $X \sim B\left(4,\frac{3}{4}\right)$. 服从二项分布的随机变量,其概率分布也可用图直观地表示,如图 4-2-4 所示.
例 1 设本节一开始的情境与问题
图 4-2-4 中,能正常工作的设备数为 $X$.
(1) 写出 $X$ 的分布列;(2) 求出计算机网络不会断掉的概率.
解 (1) 可以看出,$X$ 服从参数为 $3,0.9$ 的二项分布,即
$$
X \sim B(3,0.9) \text {. }
$$
因此
$$
\begin{aligned}
& P(X=0)=\mathrm{C}_{3}^{0} \times 0.9^{0} \times(1-0.9)^{3}=0.001,\\
& P(X=1)=\mathrm{C}_{3}^{1} \times 0.9^{1} \times(1-0.9)^{2}=0.027,\\
& P(X=2)=\mathrm{C}_{3}^{2} \times 0.9^{2} \times(1-0.9)^{1}=0.243,\\
& P(X=3)=\mathrm{C}_{3}^{3} \times 0.9^{3} \times(1-0.9)^{0}=0.729,\end{aligned}
$$
从而 $X$ 的分布列为
| $X$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | 0.001 | 0.027 | 0.243 | 0.729 |
（2）要使得计算机网络不会断掉,也就是要求能正常工作的设备至少有一台,即 $X \geqslant 1$,因此所求概率为
$P(X \geqslant 1)=1-P(X<1)=1-P(X=0)=1-0.001=0.999$.
例 2 假设某种人寿保险规定,投保人没活过 65 岁时,保险公司要赔偿 100 万元;活过 65 岁时,保险公司不赔偿. 已知购买此种人寿保险的每个投保人能活过 65 岁的概率都为 0.8 . 随机抽取 3 个投保人,设其中活过 65 岁的人数为 $X$，保险公司要赔偿给这三人的总金额为 $Y$ 万元.
(1) 指出 $X$ 服从的分布;(2) 写出 $Y$ 与 $X$ 的关系;(3) 求 $P(Y=300)$.
解 (1) 不难看出,$X$ 服从参数为 $3,0.8$ 的二项分布,即
$$
X \sim 3
$$
(2) 因为 3 个投保人中，活过 65 岁的人数为 $X$,则没活过 65 岁的人数为 $3-X$,因此
$$
Y=100(3-X)
$$
(3) 因为
$$
Y=300 \Leftrightarrow 100(3-X)=300 \Leftrightarrow X=0
$$
所以
$$
\begin{aligned}
P(Y=300) & =P(X=0) \\
& =\mathrm{C}_{3}^{0} \times 0.8^{0} \times(1-0.8)^{3} \\
& =0.008 .
\end{aligned}
$$
## 2. 用信息技术计算二项分布的概率值
利用二项分布的知识可以求解很多问题. 例如，将一枚均匀的硬币抛 100 次,求正好出现 50 次正面的概率时,可以设正面出现的次数为 $X$,则 $X$ 服从参数为 $100,0.5$ 的二项分布,即 $X \sim B(100,0.5)$,因此所求概率为
$$
P(X=50)=\mathrm{C}_{100}^{50} \times 0.5^{50} \times(1-0.5)^{50}=\mathrm{C}_{100}^{50} \times 0.5^{100} \text {. }
$$
不过,要手工算出这个概率的小数形式并不容易,但我们可以借助计算机软件来完成. 例如,在 Excel 中，只要在任何一个单元格输人
$=$ BINOM. $\operatorname{DIST}(50,100,0.5$,FALSE $)$
即可得到上述概率的小数形式,如图 4-2-5
所示.
图 4-2-5 利用 GeoGebra 的概率与统计功能,选择二项分布后,一样可以得到有关的概率值,如图 4-2-6 所示.
图 4-2-6
不管用什么软件,我们都能算出,将一枚均匀的硬币抛 100 次,正好出现 50 次正面的概率大约只有 $7.96 \%$!这是不是让你觉得有些意外?需要强调的是,抛一枚均匀的硬币,出现正面的概率为 0.5,但这并不能保证,抛均匀硬币 100 次时,一定会出现 50 次正面,只能说出现的正面次数在 50 左右的概率比较大,这也可以通过下表的计算结果看出来.
| 范围 | 概率 | 范围 | 概率 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| $49 \leqslant X \leqslant 51$ | $23.6 \%$ | $44 \leqslant X \leqslant 56$ | $80.7 \%$ |
| $48 \leqslant X \leqslant 52$ | $38.3 \%$ | $43 \leqslant X \leqslant 57$ | $86.7 \%$ |
| $47 \leqslant X \leqslant 53$ | $51.6 \%$ | $42 \leqslant X \leqslant 58$ | $91.1 \%$ |
| $46 \leqslant X \leqslant 54$ | $63.2 \%$ | $41 \leqslant X \leqslant 59$ | $94.3 \%$ |
| $45 \leqslant X \leqslant 55$ | $72.9 \%$ | $40 \leqslant X \leqslant 60$ | $96.5 \%$ |
## 3. 超几何分布
## 尝试与发现
某校组织一次认识大自然的夏令营活动,有 10 名同学参加,其中有 6 名男生、4 名女生,现要从这 10 名同学中随机抽取 3 名去采集自然标本.
(1) 抽取的人中恰有 1 名女生的概率是多少?
（2）设抽取的人中女生有 $X$ 名，写出 $X$ 的分布列.
注意到从 10 名同学中随机抽取 3 人,共有 $\mathrm{C}_{10}^{3}$ 种不同的抽法,也就是说,样本空间中样本点的数量是 4 . 另外,抽取的人中恰有 1 名女生,等价于抽取的是 1 名女生和 2 名男生,因此包含的样本点数为 $\mathrm{C}_{4}^{1} \mathrm{C}_{6}^{2}$,因此所求概率为
$$
\frac{\mathrm{C}_{4}^{1} \mathrm{C}_{6}^{2}}{\mathrm{C}_{10}^{3}}=\frac{1}{2}
$$
如果抽取的人中女生数为 $X$,则 $X$ 的取值范围是
$$
\{0,1,2,3\} \text {,}
$$
而且我们已经算出
$$
P(X=1)=\frac{\mathrm{C}_{4}^{1} \mathrm{C}_{6}^{2}}{\mathrm{C}_{10}^{3}}=\frac{1}{2}
$$
用类似的办法可知
$$
\begin{aligned}
& P(X=0)=\frac{\mathrm{C}_{4}^{0} \mathrm{C}_{6}^{3}}{\mathrm{C}_{10}^{3}}=\frac{1}{6},\\
& P(X=2)=5 \\
& P(X=3)=6
\end{aligned}
$$
因此 $X$ 的分布列为
| $X$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{3}{10}$ | $\frac{1}{30}$ |
一般地,若有总数为 $N$ 件的甲、乙两类物品,其中甲类有 $M$ 件 $(M<$ $N)$,从所有物品中随机取出 $n$ 件 $(n \leqslant N)$,则这 $n$ 件中所含甲类物品数 $X$ 是一个离散型随机变量,$X$ 能取不小于 $t$ 且不大于 $s$ 的所有自然数,其中 $s$ 是 $M$ 与 $n$ 中的较小者,$t$ 在 $n$ 不大于乙类物品件数 (即 $n \leqslant N-M)$ 时取 0,否则 $t$ 取 $n$ 减乙类物品件数之差 (即 $t=n-(N-M))$,而且
$$
P(X=k)=\frac{\mathrm{C}_{\mathrm{M}}^{k} \mathrm{C}_{N-M}^{n-k}}{\mathrm{C}_{N}^{n}},k=t,t+1,\cdots,s,$$
这里的 $X$ 称为服从参数为 $N,n,M$ 的超几何分布,记作
$$
X \sim H(N,n,M) \text {. }
$$
特别地,如果 $X \sim H(N,n,M)$ 且 $n+M-N \leqslant 0$,则 $X$ 能取所有不大于 $s$ 的自然数,此时 $X$ 的分布列如下表所示.
| $X$ | 0 | 1 | $\cdots$ | $k$ | $\cdots$ | $s$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | $\frac{\mathrm{C}_{M}^{0} \mathrm{C}_{N-M}^{n}}{\mathrm{C}_{N}^{n}}$ | $\frac{\mathrm{C}_{M}^{1} \mathrm{C}_{N-M}^{n-1}}{\mathrm{C}_{N}^{n}}$ | $\cdots$ | $\frac{\mathrm{C}_{M}^{k} \mathrm{C}_{N-M}^{n-k}}{\mathrm{C}_{N}^{n}}$ | $\cdots$ | $\frac{\mathrm{C}_{M}^{s} \mathrm{C}_{N-M}^{n-s}}{\mathrm{C}_{N}^{n}}$ |
由此可以看出,上述尝试与发现中的随机变量 $X$ 服从参数为 $10,3,4$ 的超几何分布,即 $X \sim H(10,3,4)$. 服从超几何分布的随机变量,其概率分布也可用图直观地表示,如图 4-2-7 所示.
图 4-2-7 例 3 学校要从 5 名男教师和 2 名女教师中随机选出 3 人去支教,设抽取的人中女教师的人数为 $X$,求 $P(X \leqslant 1)$.
解由题意知,$X$ 服从参数为 $7,3,2$ 的超几何分布,即 $X \sim H(7$,$3,2)$,因此
$$
P(X \leqslant 1)=P(X=0)+P(X=1)=\frac{\mathrm{C}_{2}^{0} \mathrm{C}_{5}^{3}}{\mathrm{C}_{7}^{3}}+\frac{\mathrm{C}_{2}^{1} \mathrm{C}_{5}^{2}}{\mathrm{C}_{7}^{3}}=\frac{6}{7} .
$$
例 4 袋中有 8 个白球、2 个黑球,从中随机地连续抽取 3 次,每次取 1 个球.
（1）若每次抽取后都放回,设取到黑球的个数为 $X$,求 $X$ 的分布列;
(2) 若每次抽取后都不放回,设取到黑球的个数为 $Y$,求 $Y$ 的分布列.
(1) 若每次抽取后都放回,则每次抽到黑球的概率均为 $\frac{2}{8+2}=\frac{1}{5}$. 而 3 次取球可以看成 3 次独立重复试验,因此 $X \sim B\left(3,\frac{1}{5}\right)$,所以
$$
\begin{aligned}
& P(X=0)=\mathrm{C}_{3}^{0} \times\left(\frac{1}{5}\right)^{0} \times\left(\frac{4}{5}\right)^{3}=\frac{64}{125},\\
& P(X=1)=\mathrm{C}_{3}^{1} \times\left(\frac{1}{5}\right)^{1} \times\left(\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{48}{125},\\
& P(X=2)=\mathrm{C}_{3}^{2} \times\left(\frac{1}{5}\right)^{2} \times\left(\frac{4}{5}\right)^{1}=\frac{12}{125},\\
& P(X=3)=\mathrm{C}_{3}^{3} \times\left(\frac{1}{5}\right)^{3} \times\left(\frac{4}{5}\right)^{0}=\frac{1}{125} .
\end{aligned}
$$
因此 $X$ 的分布列为
| $X$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | $\frac{64}{125}$ | $\frac{48}{125}$ | $\frac{12}{125}$ | $\frac{1}{125}$ |
(2) 若每次抽取后都不放回,则随机抽取 3 次可看成随机抽取 1 次,但 1 次抽取了 3 个,因此黑球数 $Y$ 服从参数为 $10,3,2$ 的超几何分布,即
$$
Y \sim 7
$$
因此
$$
\begin{aligned}
& P(Y=0)=\frac{\mathrm{C}_{2}^{0} \mathrm{C}_{8}^{3}}{\mathrm{C}_{10}^{3}}=\frac{7}{15},\\
& P(Y=1)=\frac{\mathrm{C}_{2}^{1} \mathrm{C}_{8}^{2}}{\mathrm{C}_{10}^{3}}=\frac{7}{15},\\
& P(Y=2)=\frac{\mathrm{C}_{2}^{2} \mathrm{C}_{8}^{1}}{\mathrm{C}_{10}^{3}}=\frac{1}{15} .
\end{aligned}
$$
因此 $Y$ 的分布列为
| $Y$ | 0 | 1 | 2 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | $\frac{7}{15}$ | $\frac{7}{15}$ | $\frac{1}{15}$ |
例 4 中的（2）也可直接使用有关排列组合的知识求解,感兴趣的读者可以自行尝试. 由例 4 可知,若 $N$ 件产品中共有 $M$ 件次品,当我们从这些产品中每次抽取一件,共抽取 $n$ 次进行检查时,若是有放回地抽样,则抽到的次品数 $X$ 服从的是二项分布;若是不放回地抽样且 $n \leqslant N$,则抽到的次品数 $X$ 服从的是超几何分布.
## 探索与研究
若 $N$ 件产品中共有 $M$ 件次品 $(N>1,M>1,N>M)$,则不放回地抽样中,第一次抽到次品的概率为 $\frac{M}{N}$,而第二次抽到次品的概率与第一次抽到的是否为次品有关: 若第一次抽到的是次品,则第二次抽到次品的概率为 $\frac{M-1}{N-1}$;若第一次抽到的不是次品,则第二次抽到次品的概率为 $\frac{M}{N-1}$. 不过,当 $N$ 相对 $M$ 来说很大时,$\frac{M}{N-1}$ 与 $\frac{M-1}{N-1}$ 都可以近似为 $\frac{M}{N}$.
由以上信息出发，探索二项分布与超几何分布之间的联系.
## 4. 用信息技术计算超几何分布的概率值
如果 $X \sim H(N,n,M)$,则不难看出,当 $N$ 与 $n$ 的值都比较大时,计算有关的概率值并不容易,例如,计算 $\frac{\mathrm{C}_{20}^{6} \mathrm{C}_{80}^{4}}{\mathrm{C}_{100}^{10}}$ 就会非常烦琐. 不过,同二项分布的概率值一样,超几何分布的概率值也可通过计算机软件求出来.
例如,在 Excel 中,只要在任何一个单元格输人
$$
=\text { HYPGEOM. DIST(6,10,20,100,FALSE) }
$$
即可得到上述概率的小数形式,如图 4-2-8 所示.
=HYPGEOM.DIST $(6,10,20,100$,FALSE $)$
| 0 | $E$ | $F$ |
| :--- | :--- | :--- |
| 0.0035 | | |
图 4-2-8 利用 GeoGebra 的概率与统计功能,选择超几何分布后,一样可以得到有关的概率值,如图 4-2-9 所示.
图 4-2-9
## 练习A
(1) 分别指出下列随机变量服从的分布:
(1) 即将出生的 100 个新生婴儿中,男婴的个数 $X$;
（2）已知某幼儿园有 125 个孩子，其中男孩有 62 人，从这些孩子中随机抽取 10 人，设抽到男孩的人数为 $X$.
(2) 一个车间有 5 台同类型的且独立工作的机器,假设每天启动时,每台机器出故障的概率均为 0.1 . 设某天启动时,出故障的机器数为 $X$.
(1) 写出 $X$ 的分布列;
(2) 求该天机器启动时,至少有 3 台机器出故障的概率.
(3) 市教育局决定在所管辖的 20 所中学中随机抽取 3 所进行教学质量检测,已知 20 所中学中农村中学共有 8 所,设抽到的农村中学共有 $X$ 所,指出 $X$ 服从的分布,并求出 $P(X=3)$ 的值.
(4) 张明从家坐公交车到学校的途中,会通过 3 个有红绿灯的十字路口,假设在每个十字路口遇到红灯的概率均为 0.25,而且在各路口是否遇到红灯是相互独立的. 设 $X$ 为张明在途中遇到的红灯数,求随机变量 $X$ 的分布列.
(5) 袋中有 6 个白球、3 个黑球,从中随机地连续抽取 2 次,每次取 1 个球.
（1）若每次抽取后都放回,设取到黑球的个数为 $X$,求 $X$ 的分布列;
（2）若每次抽取后都不放回,设取到黑球的个数为 $Y$,求 $Y$ 的分布列.
## 练习B
(1) 已知某气象站天气预报的准确率为 $80 \%$,求 3 次预报中:
（1）恰有 2 次预报准确的概率;
（2）至少有 2 次预报准确的概率;
（3）恰有 2 次预报准确且其中第 3 次预报准确的概率. (2) 分别指出下列随机变量服从的分布,并用合适的符号表示:
（1）某班级共有 30 名学生,其中有 10 名学生戴眼镜,随机从这个班级中抽取 5 人,设抽到的不戴眼镜的人数为 $X$;
（2）已知女性患色盲的概率为 $0.25 \%$,任意抽取 300 名女性,设其中患色盲的人数为 $X$;
(3) 学校要从 3 名男教师和 4 名女教师中随机选出 3 人去支教,设抽取的人中男教师的人数为 $X$.
(3) 从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛,用 $X$ 表示所选 3 人中女生的人数.
(1) 求 $X$ 的分布列;(2) 求 $P(X \leqslant 1)$.
(4) 已知 $X \sim B\left(3,\frac{1}{4}\right)$,且 $Y=2 X+1$,求 $Y$ 的分布列.
(5) 设某种疾病的发病率为 0.001,且每个人是否患有这种疾病是相互独立的. 已知一个单位有 1000 名员工,求这个单位至少有 1 人患有这种疾病的概率.
$\mathrm{C}_{4}^{2} \times\left(\frac{3}{4}\right)^{2} \times\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{27}{128}$
$2 \mathrm{C}_{4}^{4} \times\left(\frac{3}{4}\right)^{4} \times\left(\frac{1}{4}\right)^{0}=\frac{81}{256}$
$B(3,0.8)$
$4 \mathrm{C}_{10}^{3} \quad 5 \frac{\mathrm{C}_{4}^{2} \mathrm{C}_{6}^{1}}{\mathrm{C}_{10}^{3}}=\frac{3}{10} \quad 6 \frac{\mathrm{C}_{4}^{3} \mathrm{C}_{6}^{0}}{\mathrm{C}_{10}^{3}}=\frac{1}{30} \quad 7 H(10,3,2)$
### 4 随机变量的数字特征
## 1. 离散型随机变量的均值
## 情境与问题
一家投资公司在决定是否对某创业项目进行资助时,经过评估后发现：如果项目成功，将获利 5000 万元;如果项目失败，将损失 3000 万元. 设这个项目成功的概率为 $p$,而你是投资公司的负责人,如果仅从平均收益方面考虑,则 $p$ 满足什么条件时你才会对该项目进行资助?为什么?上述情境中,平均收益显然与 $p$ 的取值有关. 例如,当 $p=1$ 时,平均收益应为 5000 万元;而当 $p=0$ 时,平均收益应为 -3000 万元. 一般情形下的平均收益该怎样确定呢?
注意到成功的概率为 $p$,指的是如果重复这个创业项目足够多次 (设为 $n$ 次),那么成功的次数可以用 $n p$ 来估计,而失败的次数可以估计为
$$
n-n p=n(1-p) \text {. }
$$
因此,在这 $n$ 次试验中,投资方收益 (单位: 万元) 的 $n$ 个数据可以估计为
$$
\underbrace{5000,5000,\cdots,5000}_{n p \uparrow},\underbrace{-3000,-3000,\cdots,-3000}_{n(1-p) \uparrow},$$
这一组数的平均数为
$$
\frac{5000 n p+(-3000) n(1-p)}{n}=5000 p+(-3000)(1-p) .
$$
因为上述平均数体现的是平均收益,所以不难想到,当
$$
5000 p+(-3000)(1-p)>0,$$
即 $p>0.375$ 时,就应该对创业项目进行资助.
另一方面,如果设投资公司的收益为 $X$ 万元,则 $X$ 这个随机变量的分布列如下表所示.
| $X$ | 5000 | -3000 |
| :---: | :---: | :---: |
| $P$ | $p$ | $1-p$ |
从上面的分析可以看出，式子
$$
5000 p+(-3000)(1-p)
$$
刻画了 $X$ 取值的平均水平.
一般地,如果离散型随机变量 $X$ 的分布列如下表所示.
| $X$ | $x_{1}$ | $x_{2}$ | $\cdots$ | $x_{k}$ | $\cdots$ | $x_{n}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | $p_{1}$ | $p_{2}$ | $\cdots$ | $p_{k}$ | $\cdots$ | $p_{n}$ |
则称
$$
E(X)=x_{1} p_{1}+x_{2} p_{2}+\cdots+x_{n} p_{n}=\sum_{i=1}^{n} x_{i} p_{i}
$$
为离散型随机变量 $X$ 的均值或数学期望 (简称为期望).
离散型随机变量 $X$ 的均值 $E(X)$ 也可用 $E X$ 表示,它刻画了 $X$ 的平均取值. 在离散型随机变量 $X$ 的分布列的直观图中,$E(X)$ 处于平衡位置. 例如,情境与问题中收益 $X$ 的均值为
$$
E(X)=5000 p+(-3000)(1-p)=8000 p-3000,$$
分别取 $p=0.5$ 与 $p=0.7$,则 $X$ 的分布列可分别用 4-2-10 (1) 与 (2) 表示. 而且,在图 4-2-10 (1) 中,$E(X)=1$ 000;在图 4-2-10 (2) 中,$E(X)=2600$.
( 1 )
( 2 )
图 4-2-10
例1 已知随机变量 $X$ 服从参数为 $p$ 的两点分布,求 $E(X)$.
解因为 $X$ 只能取 1,0 这两个值,而且 $P(X=1)=p$,所以
$$
E(X)=1
$$
类似地,由离散型随机变量均值的定义,可以算出离散型随机变量服从二项分布、超几何分布时的均值，即:
(1) 若 $X$ 服从参数为 $n,p$ 的二项分布,即 $X \sim B(n,p)$,则
$$
E(X)=n p;$$
（2）若 $X$ 服从参数为 $N,n,M$ 的超几何分布,即 $X \sim H(N,n$,$M) ＼mathrm{~，则 ~}$
$$
E(X)=\frac{n M}{N}
$$
## 尝试与发现
已知 $X$ 是一个随机变量，且分布列如下表所示.
| $X$ | $x_{1}$ | $x_{2}$ | $\cdots$ | $x_{k}$ | $\cdots$ | $x_{n}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | $p_{1}$ | $p_{2}$ | $\cdots$ | $p_{k}$ | $\cdots$ | $p_{n}$ |
设 $a,b$ 都是实数且 $a \neq 0$,则 $Y=a X+b$ 也是一个随机变量. 那么,这两个随机变量的均值之间有什么联系呢?
若 $X$ 与 $Y$ 都是随机变量,且 $Y=a X+b(a \neq 0)$,则由 $X$ 与 $Y$ 之间分布列的关系可知
$$
\begin{aligned}
E(Y) & =\left(a x_{1}+b\right) p_{1}+\left(a x_{2}+b\right) p_{2}+\cdots+\left(a x_{n}+b\right) p_{n} \\
& =a\left(x_{1} p_{1}+x_{2} p_{2}+\cdots+x_{n} p_{n}\right)+b\left(p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{n}\right) \\
& =a E(X)+b .
\end{aligned}
$$
事实上,在前述的情境与问题中,如果项目成功,记 $W=1$;如果项目失败,记 $W=0$. 则可知 $W$ 服从参数为 $p$ 的两点分布,$E(W)=2$ 另一方面,$W$ 与收益 $X$ 之间的关系可以写成 $X=8000 W-3000$,因此
$$
E(X)=8000 E(W)-3000=8000 p-3000 .
$$
例 2 体检时,为了确定体检人是否患有某种疾病,需要对其血液进行化验,若结果呈阳性,则患有该疾病;若结果呈阴性,则末患有该疾病. 已知每位体检人患有该疾病的概率均为 0.1,化验结果不会出错,而且各体检人是否患有该疾病相互独立. 现有 5 位体检人的血液待检查,有以下两种化验方案 :
方案甲：逐个检查每位体检人的血液；
方案乙：先将 5 位体检人的血液混在一起化验一次,若呈阳性,则再逐个化验;若呈阴性,则说明每位体检人均末患有该疾病,化验结束.
(1) 哪种化验方案更好?
（2）如果每次化验的费用为 100 元，求方案乙的平均化验费用.
（1）方案甲中,化验的次数一定为 5 次.
方案乙中,若记化验次数为 $X$,则 $X$ 的取值范围是 $\{1,6\}$. 因为 5 人都不患病的概率为
$$
(1-0.1)^{5}=0.59049
$$
所以
$$
\begin{aligned}
& P(X=1)=0.59049,\\
& P(X=6)=3
\end{aligned}
$$
从而
$$
E(X)=1 \times 0.59049+6 \times 0.40951=3.04755 .
$$
这就是说,方案乙的平均检查次数不到 5 次,因此方案乙更好.
(2) 若记方案乙中,检查费用为 $Y$ 元,则 $Y=100 X$,从而可知
$$
E(Y) \approx 4
$$
即方案乙的平均化验费用为 304.76 元.
## 2. 离散型随机变量的方差
## 情境与问题
某省要从甲、乙两名射击运动员中选出一人参加全国运动会 (简称“全运会”)，根据以往数据,这两名运动员射击环数的分布列分别如下. 如果从平均水平和发挥稳定性角度来考虑,要你来决定谁参加全运会,你会怎样决定?说明理由.
| 甲的环数 $X_{1}$ | 8 | 9 | 10 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | 0.2 | 0.6 | 0.2 |
| 乙的环数 $X_{2}$ | 8 | 9 | 10 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | 0.4 | 0.2 | 0.4 |
上述情境中,不难算出 $E\left(X_{1}\right)=E\left(X_{2}\right)=9$,这就是说,如果仅从平均水平的角度考虑,是不能决定选谁参加的. 怎样来衡量他们的发挥稳定性呢?
设甲、乙两人每人都重复射击足够多次 (设为 $n$ 次),则甲所得环数可估计为
$$
\underbrace{8,8,\cdots,8}_{0.2 n \uparrow},\underbrace{9,9,\cdots,9}_{0.6 n \uparrow},\underbrace{10,10,\cdots,10}_{0.2 n \uparrow},$$
乙所得环数可估计为
$$
\underbrace{8,8,\cdots,8}_{0.4 n \uparrow},\underbrace{9,9,\cdots,9}_{0.2 n \uparrow},\underbrace{10,10,\cdots,10}_{0.4 n \uparrow} .
$$
我们已经知道,这两组数的平均数是相等的,都是 9. 而甲这组数的方差为
$$
\begin{aligned}
& \frac{(8-9)^{2} \times 0.2 n+(9-9)^{2} \times 0.6 n+(10-9)^{2} \times 0.2 n}{n} \\
= & (8-9)^{2} \times 0.2+(9-9)^{2} \times 0.6+(10-9)^{2} \times 0.2 \\
= & 0.4,\end{aligned}
$$
类似地,乙这组数的方差为
$$
\begin{aligned}
& \frac{(8-9)^{2} \times 0.4 n+(9-9)^{2} \times 0.2 n+(10-9)^{2} \times 0.4 n}{n} \\
= & (8-9)^{2} \times 0.4+(9-9)^{2} \times 0.2+(10-9)^{2} \times 0.4 \\
= & 0.8,\end{aligned}
$$
由于 $0.4<0.8$,因此可以认为甲的发挥更稳定,从这一角度来说,应该派甲参加全运会.
由上可以看出,如果离散型随机变量 $X$ 的分布列如下表所示.
| $X$ | $x_{1}$ | $x_{2}$ | $\cdots$ | $x_{k}$ | $\cdots$ | $x_{n}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | $p_{1}$ | $p_{2}$ | $\cdots$ | $p_{k}$ | $\cdots$ | $p_{n}$ |
因为 $X$ 的均值为 $E(X)$,所以
$$
\begin{aligned}
D(X) & =\left[x_{1}-E(X)\right]^{2} p_{1}+\left[x_{2}-E(X)\right]^{2} p_{2}+\cdots+\left[x_{n}-E(X)\right]^{2} p_{n} \\
& =\sum_{i=1}^{n}\left[x_{i}-E(X)\right]^{2} p_{i}
\end{aligned}
$$
能够刻画 $X$ 相对于均值的离散程度 (或波动大小),这称为离散型随机变量 $X$ 的方差.
离散型随机变量 $X$ 的方差 $D(X)$ 也可用 $D X$ 表示. 一般地,$\sqrt{D(X)}$ 称为离散型随机变量 $X$ 的标准差,它也可以刻画一个离散型随机变量的离散程度 (或波动大小).
由此可知,情境与问题中,$D\left(X_{1}\right)=0.4,D\left(X_{2}\right)=0.8$. 更进一步,如果将甲、乙射击环数的分布列用图直观地表示,如图 4-2-11 (1) (2) 所示,则从图上也可看出 $D\left(X_{1}\right)$ 与 $D\left(X_{2}\right)$ 的相对大小.
( 1 )
$(2)$
图 4-2-11
例 3 已知随机变量 $X$ 服从参数为 $p$ 的两点分布,求 $D(X)$.
解因为 $X$ 只能取 1,0 这两个值,而且 $P(X=1)=p,E(X)=p$,所以
$$
D(X)=(1-p)^{2} \times p+(0-p)^{2} \times(1-p)=p(1-p) .
$$
类似地,若 $X$ 服从参数为 $n,p$ 的二项分布,即 $X \sim B(n,p)$,则由离散型随机变量方差的定义,可以算得
$$
D(X)=n p(1-p) \text {. }
$$
## 尝试与发现
已知 $X$ 是一个随机变量，且分布列如下表所示.
| $X$ | $x_{1}$ | $x_{2}$ | $\cdots$ | $x_{k}$ | $\cdots$ | $x_{n}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | $p_{1}$ | $p_{2}$ | $\cdots$ | $p_{k}$ | $\cdots$ | $p_{n}$ |
设 $a,b$ 都是实数且 $a \neq 0$,则 $Y=a X+b$ 也是一个随机变量,而且 $E(Y)=$ $a E(X)+b$. 那么,这两个随机变量的方差之间有什么联系呢?
若 $X$ 与 $Y$ 都是离散型随机变量,且 $Y=a X+b(a \neq 0)$,则由 $X$ 与 $Y$ 之间分布列和均值之间的关系可知
$$
\begin{aligned}
D(Y) & =\sum_{i=1}^{n}\left[\left(a x_{i}+b\right)-a E(X)-b\right]^{2} p_{i} \\
& =a^{2} \sum_{i=1}^{n}\left[x_{i}-E(X)\right]^{2} p_{i} \\
& =a^{2} D(X) .
\end{aligned}
$$
例 4 已知一批产品的次品率为 0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取 50 次,用 $X$ 表示抽到的次品数.
(1) 求 $D(X)$;
（2）假设抽出的产品需要专门检测,检测费用 $Y$ 元与次品数 $X$ 有关,且 $Y=10 X+300$,求 $D(Y)$. （1）因为 $X$ 服从的是参数为 $50,0.02$ 的二项分布,即 $X \sim$ $B(50,0.02)$,所以
$$
D(X)=5
$$
(2) 由 $Y=10 X+300$ 可知
$$
D(Y)=D(10 X+300)=10^{2} D(X)=100 \times 0.98=98
$$
## 练习A
(1) 掷一个均匀的骰子,设出现的点数为 $X$,求 $X$ 的数学期望与方差.
(2) 一台机器生产某种产品,如果生产一件甲等品可获利 50 元,生产一件乙等品可获利 30 元,生产一件次品会亏损 20 元,已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为 $0.6,0.3$ 和 0.1,求这台机器每生产一件产品的平均预期收入.
(3)一批产品的二等品率为 0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取 100 次,用 $X$ 表示抽到的二等品件数,求 $E(X),D(X)$.
(4) 从 8 名男生和 6 名女生中任选 5 人去阳光敬老院参加志愿服务,用 $X$ 表示所选 5 人中女生的人数,求 $E(X)$.
(5) 医学上发现,某种病毒侵入人体后,人的体温会升高. 记病毒侵入后人体的平均体温为 $X{ }^{\circ} \mathrm{C}$ (摄氏度). 医学统计发现,$X$ 的分布列如下.
| $X$ | 37 | 38 | 39 | 40 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | 0.1 | 0.5 | 0.3 | 0.1 |
(1) 求出 $E(X),D(X)$;
（2）已知人体体温为 $X{ }^{\circ} \mathrm{C}$ 时,相当于 $Y=1.8 X+32^{\circ} \mathrm{F}$ (华氏度),求 $E(Y)$,$D(Y)$.
## 练习B
(1) 已知随机变量 $X$ 服从参数为 $n,p$ 的二项分布,即 $X \sim B(n,p)$,且 $E(X)=$ $7,D(X)=6$,求 $p$ 的值.
(2) 篮球运动员在比赛中,每次罚球命中得 1 分，不命中得 0 分. 已知某运动员罚球命中的概率为 0.7,求:
（1）他罚球 1 次的得分 $\xi$ 的数学期望;
（2）他罚球 2 次的得分 $\eta$ 的数学期望.
(3) 若离散型随机变量 $X$ 的概率分布是 $P\left(X=x_{k}\right)=p_{k}$,其中 $k=1,2,\cdots,n$,求证:
$$
\sum_{i=1}^{n}\left[x_{i}-E(X)\right]^{2} p_{i}=\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2} p_{i}-[E(X)]^{2}
$$
(4) 已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病,需要通过血液化验来确定患病的动物,血液化验结果呈阳性的为患病动物. 下面是两种化验方案:
方案甲：将各动物的血液逐个化验,直到查出患病动物为止.
方案乙：先取 3 只动物的血液进行混合,然后检查,若呈阳性,对这 3 只动物的血液再逐个化验,直到查出患病动物；若不呈阳性,则检查剩下的 2 只动物中 1 只动物的血液.
分析哪种化验方案更好.
$1 \times p+0 \times(1-p)=p$
$2 p$
$3-0.59049=0.40951$
$100 E(X) \approx 304.76$
$50 \times 0.02 \times(1-0.02)=0.98$
### 5 正态分布
## 1. 二项分布与正态曲线
## 尝试与发现
已知 $X$ 服从参数为 $100，0.5$ 的二项分布，即 $X \sim B(100，0.5)$，你能手工计算出 $P(X=50)$ 的值吗?
因为
$$
P(X=50)=\mathrm{C}_{100}^{50} 0.5^{50}(1-0.5)^{50}=\mathrm{C}_{100}^{50} 0.5^{100} \text {,}
$$
所以,如果要手工计算 $P(X=50)$,是一个“几乎不可能” 完成的任务,即使是一般的计算器也难以胜任类似的计算. 事实上,利用计算机软件可知
$$
\mathrm{C}_{100}^{50} \approx 1 \times 10^{29},0.5^{100} \approx 7.9 \times 10^{-31} \text {,}
$$
因此 $\mathrm{C}_{100}^{50} 0.5^{100} \approx 0.079$.
由此可以看出,如果随机变量 $X \sim B(n,p)$,那么 $n$ 较大时,直接计算
$$
P(X=k)=\mathrm{C}_{n}^{k} p^{k}(1-p)^{n-k}
$$
将是十分困难的. 有没有其他办法能得到上式的近似值呢?这正是 18 世纪 30 年代数学家棣莫弗所研究过的问题. 在讨论这个问题的过程中,棣莫弗发现了本小节我们要学习的正态曲线.
我们已经知道,服从二项分布的随机变量,其分布列可以用图直观地表示出来. 例如,若 $X \sim B\left(6,\frac{1}{2}\right)$,则 $X$ 的分布列如下.
| $X$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | $\frac{1}{64}$ | $\frac{3}{32}$ | $\frac{15}{64}$ | $\frac{5}{16}$ | $\frac{15}{64}$ | $\frac{3}{32}$ | $\frac{1}{64}$ |
$X$ 的分布列可以用图 4-2-12 直观地表示出来,其中每一个矩形的宽为 1,高为对应的概率值. 此时,图 4-2-12 具有以下性质：
（1）中间高、两边低;
(2) 图形关于直线 $X=3$ 对称，而且 $E(X)=1 \quad$;
(3) 某一整数 $k$ 上方的矩形面积正好等于 $P(X=k)$,其中,$k=0,1,2$,$3,4,5,6$;
图 4-2-12
(4) 所有矩形的面积之和为 1 .
事实上,很多服从二项分布的随机变量分布列的直观图都具有类似的特点. 例如,若 $X \sim B\left(50,\frac{1}{2}\right)$,则其分布列可用图 4-2-13 (1) 表示;若 $X \sim B\left(100,\frac{1}{2}\right)$,则其分布列可用图 4-2-13（2）表示.
(1)
(2)
图 4-2-13
由图 4-2-12 与图 4-2-13 可以看出,当 $n$ 充分大时,$X \sim B(n,p)$ 的直观表示总是具有中间高、两边低的“钟形”. 而且,对不同的参数,只是钟形的宽度和高度不一样而已. 那么,是否存在一个函数 $\varphi(x)$,它对应的图象能够近似这些钟形（如图 4-2-13 (2) 所示) 呢?如果这样的函数存在的话,要计算 $X$ 落在某区间内的概率,只需计算对应曲线与 $x$ 轴在适当区间所围成的面积即可.
事实上,这样的函数 $\varphi(x)$ 是存在的,这也正是棣莫弗的发现,具体地,
$$
\varphi(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}} .
$$
$\varphi(x)$ 的解析式中含有 $\mu$ 和 $\sigma$ 两个参数,其中: $\mu=E(X)$,即 $X$ 的均值;$\sigma=\sqrt{D(X)}$,即 $X$ 的标准差. 一般地,$\varphi(x)$ 对应的图象称为正态曲线 (也因形状而被称为“钟形曲线”,$\varphi(x)$ 也常常记为 $\varphi_{\mu,\sigma}(x)$ ).
由此可看出正态曲线的一些性质:
(1) 正态曲线关于 $x=\mu$ 对称 (即 $\mu$ 决定正态曲线对称轴的位置),具有中间高、两边低的特点;
(2) 正态曲线与 $x$ 轴所围成的图形面积为 1;
(3) $\sigma$ 决定正态曲线的“胖瘦”: $\sigma$ 越大,说明标准差越大,数据的集中程度越弱,所以曲线越“胖”;$\sigma$ 越小,说明标准差越小,数据的集中程度越强,所以曲线越“瘦”.
更进一步,利用计算机软件可计算出,正态曲线与 $x$ 轴在区间 $[\mu,\mu+$ $\sigma]$ 内所围面积约为 0.3413,在区间 $[\mu+\sigma,\mu+2 \sigma]$ 内所围面积约为 0.1359,在区间 $[\mu+2 \sigma,\mu+3 \sigma]$ 内所围面积约为 0.0215,如图 4-2-14 所示.
图 4-2-14
例 1 求正态曲线与 $x$ 轴在下列区间内所围的面积（精确到 0.001）:
(1) $[\mu,+\infty)$;(2) $[\mu-\sigma,\mu+\sigma]$;(3) $[\mu-2 \sigma,\mu+2 \sigma]$;(4) $[\mu-3 \sigma,\mu+3 \sigma]$.
解 (1) 因为正态曲线是关于 $x=\mu$ 对称的,而且正态曲线与 $x$ 轴所围成的图形面积为 1,因此所求面积为 0.5 . (2) 利用对称性可知,所求面积为区间 $[\mu,\mu+\sigma]$ 内面积的 2 倍,即约为
$$
0.3413 \times 2=0.6826 \approx 0.683 \text {. }
$$
(3) 利用对称性可知,所求面积约为
$$
(0.3413+0.1359) \times 2=0.9544 \approx 0.954 .
$$
(4) 利用对称性可知,所求面积约为
## 2. 正态分布
正态曲线被发现后并没有立刻得到人们的重视,这一情况直到 19 世纪初,拉普拉斯和高斯开始利用它来研究“随机误差” 时才有所改善. 高斯发现,如果设 $X$ 为测量时的误差,那么 $a \leqslant X \leqslant b$ 的概率等于 $\varphi_{\mu,\sigma}(x)$ 的图象与 $x$ 轴在区间 $[a，b]$ 内围成的面积.
一般地,如果随机变量 $X$ 落在区间 $[a,b]$ 内的概率，总是等于 $\varphi_{\mu,\sigma}(x)$ 对应的正态曲线与 $x$ 轴在区间 $[a,b]$ 内围成的面积,则称 $X$ 服从参数为 $\mu$ 与 $\sigma$ 的正态分布,记作
$$
X \sim N\left(\mu,\sigma^{2}\right)
$$
此时 $\varphi_{\mu,\sigma}(x)$ 称为 $X$ 的概率密度函数. 更进一步的研究表明,此时 $\mu$ 是 $X$ 的均值，而 $\sigma$ 是 $X$ 的标准差,$\sigma^{2}$ 是 $X$ 的方差.
例如,当 $X \sim N(3,2)$ 时,$X$ 的均值是 3,方差是 2,而标准差为 $\sqrt{2}$.
由正态曲线的性质及例 1 不难得出,如果 $X \sim N\left(\mu,\sigma^{2}\right)$,那么
$$
\begin{aligned}
& P(X \leqslant \mu)=P(X \geqslant \mu)=3 \\
& P(|X-\mu| \leqslant \sigma)=P(\mu-\sigma \leqslant X \leqslant \mu+\sigma) \approx 68.3 \%,\\
& P(|X-\mu| \leqslant 2 \sigma)=P(\mu-2 \sigma \leqslant X \leqslant \mu+2 \sigma) \approx 95.4 \%,\\
& P(|X-\mu| \leqslant 3 \sigma)=P(\mu-3 \sigma \leqslant X \leqslant \mu+3 \sigma) \approx 99.7 \% .
\end{aligned}
$$
最后的式子意味着，$X$ 约有 $99.7 \%$ 的可能会落在距均值 3 个标准差的范围之内,也就是说只有约 4 的可能会落人这一范围之外（这样的事件可看成小概率事件)，这一结论通常称为正态分布的“$3 \sigma$ 原则”.
现实生活中,很多随机变量都服从或近似地服从正态分布,例如随机误差、同一地区同龄人的身高、正常条件下生产出来的产品尺寸等. 也正因为如此,正态分布在概率统计中有着广泛的应用.
例 2 假设某个地区高二学生的身高服从正态分布,且均值为 170 (单位: $\mathrm{cm}$,下同),标准差为 10. 在该地区任意抽取一名高二学生,求这名学生的身高：(1) 不高于 170 的概率;（2）在区间 $[160，180]$ 内的概率;(3) 不高于 180 的概率.
解设该学生的身高为 $X$,由题意可知 $X \sim 5$
（1）易知 $P(X \leqslant 170)=50 \%$.
（2）因为均值为 170,标准差为 10,而 $160=170-10,180=170+$ 10,所以
$$
P(160 \leqslant X \leqslant 180)=P(|X-170| \leqslant 10) \approx 68.3 \% .
$$
(3) 由概率的加法公式可知
$$
P(X \leqslant 180)=P(X<170)+P(170 \leqslant X \leqslant 180) .
$$
又由（2） 以及正态曲线的对称性可知
$$
P(170 \leqslant X \leqslant 180)=\frac{1}{2} P(160 \leqslant X \leqslant 180) \approx \frac{1}{2} \times 68.3 \%=34.15 \%,$$
因此
$$
\begin{aligned}
P(X \leqslant 180) & =P(X<170)+P(170 \leqslant X \leqslant 180) \\
& \approx 6
\end{aligned}
$$
例 3 假设某厂包装食盐的生产线,正常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布 $N\left(500,5^{2}\right)$ （单位: $\left.g\right)$，该生产线上的检测员某天随机抽取了两包食盐，称得其质量均大于 $515 \mathrm{~g}$.
（1）求正常情况下,任意抽取一包食盐,质量大于 $515 \mathrm{~g}$ 的概率为多少；
（2）检测员根据抽检结果,判断出该生产线出现异常,要求立即停产检修,检测员的判断是否合理?请说明理由.
解设正常情况下,该生产线上包装出来的食盐质量为 $X \mathrm{~g}$,由题意可知 $X \sim N\left(500,5^{2}\right)$.
（1）由于 $515=500+3 \times 5$,所以根据正态分布的对称性与“3 $3 \sigma$ 原则” 可知
$$
P(X>515)=\frac{1}{2} P(|X-500|>3 \times 5) \approx \frac{1}{2} \times 0.3 \%=0.15 \% .
$$
（2）检测员的判断是合理的. 因为如果生产线不出现异常，由（1） 可知,随机抽取两包检查,质量都大于 $515 \mathrm{~g}$ 的概率约为
$$
0.15 \% \times 0.15 \%=2.25 \times 10^{-6} \text {,}
$$
几乎为零,但这样的事件竟然发生了,所以有理由认为生产线出现了异常，检测员的判断是合理的.
实际生活中,人们常常根据类似例 3 的过程来应用正态分布的知识.
## 3. 标准正态分布
$\mu=0$ 且 $\sigma=1$ 的正态分布称为标准正态分布,其在正态分布中扮演着核心角色，这是因为如果 $Y \sim N\left(\mu,\sigma^{2}\right)$,那么令 $X=\frac{Y-\mu}{\sigma}$,则可以证明 $X \sim$ $N(0,1)$,即任意正态分布通过变换都可化为标准正态分布.
如果 $X \sim N(0,1)$,那么对于任意 $a$,通常记
$$
\Phi(a)=P(X<a),$$
也就是说 $\Phi(a)$ 表示 $N(0,1)$ 对应的正态曲线与 $x$ 轴在区间 $(-\infty,a)$ 内所围的面积，如图 4-2-15 所示.
图 4-2-15
根据正态曲线的对称性,可以知道 $\Phi(a)$ 具有性质
$$
\Phi(-a)+\Phi(a)=1
$$
由前面的知识可以得到 $\Phi(k)(k=-3,-2,-1,0,1,2,3)$ 的值,例如,
$$
\Phi(1) \approx 0.5+0.3413=0.8413 \text {. }
$$
为了方便起见,人们将 $a \geqslant 0$ 时部分 $\Phi(a)$ 的值制成了专门的表格,可供查询,下表是部分数据.
例如,从上表中可以查出,$\Phi(0.16)=0.5636,\Phi(0.58)=0.7190$. 例 4 已知 $X \sim N(0,1)$,利用上述表格求以下概率值:
(1) $P(X<0.28)$;(2) $P(X<-0.36)$;(3) $P(0.18 \leqslant X<0.57)$.
(1) $P(X<0.28)=\Phi(0.28)=0.6103$.
（2） 因为 $P(X<-0.36)=\Phi(-0.36)$,而 $\Phi(-0.36)+\Phi(0.36)=$ 1,且由上表可知 $\Phi(0.36)=0.6406$,所以
$$
\Phi(-0.36)=1-\Phi(0.36)=1-0.6406=0.3594 .
$$
(3) 由概率的加法公式以及上表可知
$$
\begin{aligned}
P(0.18 \leqslant X<0.57) & =P(X<0.57)-P(X<0.18) \\
& =\Phi(0.57)-\Phi(0.18) \\
& =0.7157-0.5714 \\
& =0.1443 .
\end{aligned}
$$
最后,我们来看用正态分布近似二项分布的一个实例.
假设 $X \sim B(100,0.5)$,那么 $E(X)=50,D(X)=7$,用正态分布近似二项分布的话有 $X \sim N\left(50,5^{2}\right)$,那么
$$
P(X=50) \approx P(49.5 \leqslant X<50.5)=P\left(-0.1 \leqslant \frac{X-50}{5}<0.1\right) .
$$
又因为 $\frac{X-50}{5} \sim N(0,1)$,所以
$$
\begin{aligned}
P\left(-0.1 \leqslant \frac{X-50}{5}<0.1\right) & =\Phi(0.1)-\Phi(-0.1)=\Phi(0.1)-[1-\Phi(0.1)] \\
& =2 \Phi(0.1)-1=2 \times 0.5398-1=0.0796 .
\end{aligned}
$$
这与我们前面通过直接计算得到的 $P(X=50) \approx 0.079$ 相差无几.
## 4. 用信息技术求正态分布的概率值
利用信息技术,可以方便地求出与正态分布有关的概率值.
例如,如果 $X \sim N\left(\mu,\sigma^{2}\right)$,那么 $P(X<x)$ 的值可以利用 Excel 中的函数 NORMDIST 方便地求得. 事实上,打开 Excel 表格,在任意一个单元格输人“= $\operatorname{NORMDIST}(0.28,0,1,1)$ ” 即可得到例 4 （1）的近似值,如图 4-2-16 所示.
图 4-2-16 (1) 已知随机变量 $\xi$ 服从正态分布 $N\left(3,\sigma^{2}\right)$,求 $P(\xi<3)$.
(2) 设两个正态分布 $N\left(\mu_{1},\sigma_{1}^{2}\right)\left(\sigma_{1}>0\right)$ 和 $N\left(\mu_{2},\sigma_{2}^{2}\right)\left(\sigma_{2}>0\right)$ 的密度函数图象如图所示,则 ( ).
(A) $\mu_{1}<\mu_{2},\sigma_{1}<\sigma_{2}$
(B) $\mu_{1}<\mu_{2},\sigma_{1}>\sigma_{2}$
(C) $\mu_{1}>\mu_{2},\sigma_{1}<\sigma_{2}$
(D) $\mu_{1}>\mu_{2},\sigma_{1}>\sigma_{2}$
(3) 若 $X \sim N\left(\mu,\sigma^{2}\right)$,根据
$$
\begin{aligned}
& P(\mu \leqslant X \leqslant \mu+\sigma)=0.3413,\\
& P(\mu+\sigma \leqslant X \leqslant \mu+2 \sigma)=0.1359,\end{aligned}
$$
(第 2 题）
写出下列各概率值:
(1) $P(\mu-\sigma \leqslant X \leqslant \mu)$;(2) $P(\mu-2 \sigma \leqslant X \leqslant \mu)$.
(4) 设随机变量 $\xi$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$,已知 $\Phi(-1.96)=0.025$,求 $P(|\xi|<1.96)$.
日5 利用 GeoGebra 分别作出 $X \sim B\left(50,\frac{1}{3}\right),X \sim B\left(100,\frac{1}{4}\right),X \sim B\left(500,\frac{1}{6}\right)$ 时分布列的直观图,观察所得图象是否对称等.
## 练习B
(1) 设随机变量 $\xi$ 服从正态分布 $N(2,9)$,若 $P(\xi>c+1)=P(\xi<c-1)$,求 $c$ 的值.
(2) 已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(3,1)$,且 $P(2 \leqslant X \leqslant 4)=0.6826$,求 $P(X>4)$.
(3) 已知随机变量 $\xi$ 服从正态分布 $N\left(0,\sigma^{2}\right)$,若 $P(\xi>2)=0.023$,求 $P(-2 \leqslant \xi \leqslant 2)$.
(4) 已知随机变量 $\xi$ 服从正态分布 $N\left(2,\sigma^{2}\right)$,且 $P(\xi<4)=0.8$,求 $P(0<\xi<2)$.
5 一商场经营的某种包装的大米质量 $X$ (单位: $\mathrm{kg}$ ) 服从正态分布 $N\left(10,\sigma^{2}\right)$,且 $P(X<10.5)=0.8$. 从该商场中任意抽取一袋该种大米,求其质量在 $9.5 \sim$ $10.5 \mathrm{~kg}$ 之间的概率.
$16 \times \frac{1}{2}=3$
$2(0.3413+0.1359+0.0215) \times 2=0.9974 \approx 0.997$
$40.3 \% \quad 5 \quad N\left(170,10^{2}\right) \quad 6 \quad 50 \%+34.15 \%=84.15 \% \quad 7 \quad 25$
## 习遈4-2A
(1) 写出下列随机变量的取值范围:
（1）某网页一年内的点击数;
（2）一个袋子里装有 5 个白球和 5 个黑球，从中任取 3 个，其中所含白球的个数;
（3）某地铁站台每间隔 $3 \mathrm{~min}$ 有 1 辆列车通过，某人在该站台等车的时间;
(4) 郑两个骰子，所得点数之和.
(2) 已知 $X$ 与 $Y$ 都是随机变量,且 $Y=2 X-1,P(X=3)=0.2$,求 $P(Y=5)$ 的值.
(3) 已知 $P(X=1)=0.3$,求 $P(X \neq 1)$ 的值.
(4) 假设每次测量中,出现正误差与负误差的概率都是 0.5,设 3 次测量中,出现正误差的次数为 $X$,写出 $X$ 的分布列.
(5) 甲、乙两人进行象棋比赛时,每一局甲赢的概率是 0.51,乙赢的概率是 0.49. 设甲、乙一共进行了 10 次比赛,且各次比赛的结果相互独立. 求甲赢的局数的期望.
(6) 某班有 35 个学生,假设每个学生早上到校的时间相互没有影响,并且每个人迟到的概率均为 0.05,设下周二这个班迟到的人数为 $X$,指出 $X$ 服从的分布列,并求 $P(X=3)$.
(7) 根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为 0.25,有大洪水的概率为 0.01. 该地区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时要损失 60000 元,遇到小洪水时要损失 10000 元. 为保护设备,有以下 3 种方案:
方案 1：运走设备,搬运费为 3800 元.
方案 2：建保护围墙,建设费为 2000 元,但围墙只能防小洪水.
方案 3：不采取措施，希望不发生洪水.
如果你是工地的负责人，你会采用哪种方案?说明理由.
## 习题4-2B
(1) 掷两个均匀的骰子,记两个骰子的点数差的绝对值为 $\xi$.
（1）写出 $\xi$ 的取值范围；(2) 求 $P(\xi=0)$ 的值.
(2) 某次科技知识竞赛中,需回答 20 个问题,计分规则是：每答对一题得 5 分,答错一题扣 3 分. 从参加这次科技知识竞赛的学生中任意抽取一名,设其答对的题数为 $X$,最后得分为 $Y$ 分.
（1）当 $X=10$ 时，求 $Y$ 的值;（2）写出 $X$ 与 $Y$ 之间的关系式;(3) 若 $P(X \leqslant 15)=0.3$,求 $P(Y>60)$ 的值. (3) 重复掷一个均匀骰子 3 次,得到点数为 6 的次数记为 $\xi$,求 $P(\xi>2)$.
(4) 某射击运动员在一次射击训练中,共有 5 发子弹,如果命中就停止射击,否则继续射击,直到命中或子弹用尽. 若已知每次射击命中的概率均为 0.9,求该运动员这次训练耗用的子弹数 $X$ 的分布列.
(5) 已知某类种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1000 粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种 2 粒,补种的种子数记为 $X$,求 $E(X),D(X)$.
(6) 已知随机变量 $\xi$ 服从正态分布 $N\left(2,\sigma^{2}\right),P(\xi \leqslant 4)=0.84$,求 $P(\xi \leqslant 0)$.
(7) 在某项测量中，测量结果 $\xi$ 服从正态分布 $N\left(1,\sigma^{2}\right)(\sigma>0)$. 若 $\xi$ 在 $(0,1)$ 内取值的概率为 0.4,求 $\xi$ 在 $(0,2)$ 内取值的概率.
## 3 统计模型
### 1 一元线性回归模型
## 情境与问题
以下是几则与“相关系数” 有关的新闻报道:
(1)“1999-2008 年，俄罗斯 GDP 增长率与国际石油价格的相关系数为 0.86,2009-2014 年该系数达到 $0.98 . ” （《人$ 日报》2017 年 8 月 9 日）
（2）“瑞士洛桑国际管理学院对企业国际竞争力的研究也显示，公司文化与企业管理竞争力的相关系数在几个因子中是最高的. ”（《中国青年报》2009 年 9 月 11 日）
（3）“分析表明 1990 年至 2011 年我国财政收入与企业注册资本之间的关系呈高度线性相关，其相关系数高达 0.987,而斜率竟为 $0.148 . ”$ （《人民日报》2014 年 5 月 21 日）
你能猜出相关系数的含义吗?（3）中“斜率” 表示的是什么?
学完本节的内容后,你就会对相关系数有一个比较完整的了解.
## 1. 相关关系
## 尝试与发现
自行选择标准,将下列变量之间的关系分为两类,并分别阐述每一类中变量关系的特点:
(1) 圆的面积 $S$ 与半径 $r$ 之间的关系；
(2) 16 岁学生的体重 $w$ 与身高 $h$ 之间的关系;
（3）商品销售量 $Q$ 与销售价格 $P$ 之间的关系;
(4) 匀速运动的物体，其运动的路程 $S$ 与时间 $t$ 之间的关系;
(5) 平均学习时间 $t$ 与学习成绩 $f$ 之间的关系；
（6）科技创新能力 $y$ 与人才培养近亲繁殖率 $x$ 之间的关系. 我们研究的很多问题中,两个变量之间经常存在着相互影响、相互依赖的关系. 这些关系常见的有两类,一类是变量之间的关系具有确定性,当一个变量确定后,另一个变量就确定了,尝试与发现中 (1) (4) 所描述的就是这一类的代表;另一类是变量之间确实有一定的关系,但没有达到可以互相决定的程度,它们之间的关系带有一定的随机性,尝试与发现中 (2) (3) (5) (6) 所描述的关系都是如此.
例如,一般情况下,已知一名 16 岁学生的身高 $h$,不能确定其体重 $w$,但身高越高的人体重可能越重,不过同样身高的人体重往往存在差异;商品的销售价格 $P$ 越低,买这种商品的人可能会越多,从而会导致销售量 $Q$ 增长,但同样的销售价格可能会有不同的销售量;平均学习时间 $t$ 越长,学习成绩 $f$ 可能越好,但学习时间相同不能确保学习成绩相同;人才培养近亲繁殖率 $x$ 越大,科技创新能力 $y$ 可能越弱,但繁殖率确定时,创新能力并不是确定的. 这些两个变量之间的关系,统计学上都称为相关关系.
怎样从统计数据中确定与描述两个变量之间的相关关系呢?下面我们借助一个实例来进行说明.
已知某班级学生数学成绩与物理成绩的对应表如下.
| 数学 | 88 | 82 | 79 | 89 | 92 | 78 | 79 | 56 | 83 | 66 | 61 | 74 | 68 | 77 | 78 | 80 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 物理 | 87 | 91 | 66 | 86 | 88 | 79 | 91 | 53 | 93 | 77 | 62 | 69 | 62 | 58 | 79 | 68 |
| 数学 | 51 | 58 | 98 | 73 | 75 | 84 | 69 | 76 | 71 | 43 | 74 | 82 | 70 | 75 | 65 | 63 |
| 物理 | 50 | 65 | 82 | 79 | 59 | 98 | 59 | 87 | 76 | 42 | 75 | 91 | 46 | 68 | 83 | 55 |
从上表中,想直接观察出数学成绩与物理成绩之间是否存在相关关系等,是有一定困难的. 为此,我们可以对数据进行整理,比如在保持成绩配对的方式不变的前提下,将数据按照数学成绩从小到大的顺序排列,如下表所示.
| 数学 | 43 | 51 | 56 | 58 | 61 | 63 | 65 | 66 | 68 | 69 | 70 | 71 | 73 | 74 | 74 | 75 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 物理 | 42 | 50 | 53 | 65 | 62 | 55 | 83 | 77 | 62 | 59 | 46 | 76 | 79 | 69 | 75 | 59 |
| 数学 | 75 | 76 | 77 | 78 | 78 | 79 | 79 | 80 | 82 | 82 | 83 | 84 | 88 | 89 | 92 | 98 |
| 物理 | 68 | 87 | 58 | 79 | 79 | 66 | 91 | 68 | 91 | 91 | 93 | 98 | 87 | 86 | 88 | 82 |
从表中可以看出,当数学成绩增加时,物理成绩大致也是增加的. 我们还可以根据给定数据作出图象来进行直观判断. 例如,以数学成绩为横坐标,物理成绩为纵坐标,则可以在平面直角坐标系中将每一对数据都表示出来,如图 4-3-1 所示. 这样作出来的图称为散点图,从散点图上也可得出数学成绩增加时物理成绩大致也增加的结论. 在图 4-3-1 中可以作出直线,使得该班级学生数学成绩与物理成绩构成的点分布在直线上或直线的两侧,且都在直线附近. 这就提示我们,数学成绩与物理成绩之间是有相关关系的,而且在容许一定误差的前提下,可以用一次函数来描述它们之间的关系.
图 4-3-1
一般地,如果收集到了变量 $x$ 和变量 $y$ 的 $n$ 对数据（简称为成对数据)，如下表所示.
| 序号 $i$ | 1 | 2 | 3 | $\cdots$ | $n$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 变量 $x$ | $x_{1}$ | $x_{2}$ | $x_{3}$ | $\cdots$ | $x_{n}$ |
| 变量 $y$ | $y_{1}$ | $y_{2}$ | $y_{3}$ | $\cdots$ | $y_{n}$ |
则在平面直角坐标系 $x O y$ 中描出点 $\left(x_{i},y_{i}\right),i=1,2,3,\cdots,n$,就可以得到这 $n$ 对数据的散点图. 如果由变量的成对数据、散点图或直观经验可知,变量 $x$ 与变量 $y$ 之间的关系可以近似地用一次函数来刻画,则称 $x$ 与 $y$ 线性相关. 此时,如果一个变量增大,另一个变量大体上也增大,则称这两个变量正相关；如果一个变量增大，另一个变量大体上减少，则称这两个变量负相关.
前面所提到的班级学生的数学成绩与物理成绩是线性相关的,而且是正相关. 另外，如果将尝试与发现的（2）（3）（5）（6） 中变量之间的关系看成线性相关,则 16 岁学生的体重 $w$ 与身高 $h$、平均学习时间 $t$ 与学习成绩 $f$ 都是 1 相关的，而商品销售量 $Q$ 与销售价格 $P$、科技创新能力 $y$ 与人才培养近亲繁殖率 $x$ 都是 $2 \quad$ 相关的.
正相关、负相关在日常生活中也经常使用. 例如，“反腐败、转作风，事关民心所向,事关党的生死存亡. 历史和实践表明,反腐的力度与民心的聚合度正相关”,这就说明,反腐的力度越大,民心的聚合度就越有可能更强；“网络谣言的危害性与公众判断能力负相关”已经成为一项共识,这就意味着，公众媒介素养越高，网络谣言的危害性越有可能更小.
## 2. 回归直线方程
我们已经知道,线性相关的两个变量之间的关系可以用一次函数来近似刻画,那么怎样找出对应函数的表达式呢?这就是接下来要讨论的问题.
## 営试与发现
某地区从某一年开始进行了环境污染整治，得到了如下数据:
| 第 $x$ 年 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 污染指数 $y$ | 6.1 | 5.2 | 4.5 | 4.7 | 3.8 | 3.4 | 3.1 |
(1) 作出这些成对数据的散点图,直观地判断污染指数 $y$ 与 $x$ 是否线性相关. 如果是，进一步判断是正相关还是负相关.
(2) 在知道 $y$ 与 $x$ 线性相关的前提下,你能找出近似描述 $y$ 与 $x$ 之间关系的一次函数表达式吗?根据所得到的关系式，你能估计出该地区第 8 年的污染指数吗?
根据尝试与发现中的数据,可作出散点图如图 4-3-2 所示. 可以看出，$y$ 与 $x$ 之间的关系可近似地用一次函数表示,而且随着时间 $x$ 的增加,污染指数 $y$ 大致是减少的,因此 $y$ 与 $x$ 线性相关,而且是负相关的.
图 4-3-2
图 4-3-3
为了找出近似描述 $y$ 与 $x$ 之间关系的一次函数表达式,我们可先在图 4-3-2 中作出一条直线,使得成对数据构成的点分布在直线的附近. 例如,通过点 $(1,6)$ 和 $(7,3)$ 的直线就满足条件,如图 4-3-3 所示. 根据已知的两点就可以得出所要的函数关系式
$$
y=-0.5 x+6.5
$$
更进一步,代人 $x=8$,就能得到第 8 年污染指数的估计值 $y=2.5$.
当然,类似的直线我们可以找出很多条（从而也可以得到很多个一次函数关系式),现在这一条是不是“最好” 的直线呢?用什么样的标准来衡量好还是不好呢?
注意到函数表达式 $y=-0.5 x+6.5$ 确定之后,我们不仅可以算出 $x=8$ 的值,而且还可以算出 $x=1,2,3,\cdots,7$ 的值,也可以得到已知数据的实际值 (也称为观测值) 与预测值之间的误差 (一般称为残差),如下表所示.
| 第 $x$ 年 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 污染指数 $y$ | 6.1 | 5.2 | 4.5 | 4.7 | 3.8 | 3.4 | 3.1 |
| 预测值 $-0.5 x+6.5$ | 6 | 5.5 | 5 | 4.5 | 4 | 3.5 | 3 |
| 误差 | 0.1 | -0.3 | -0.5 | 0.2 | -0.2 | -0.1 | 0.1 |
这也可以用图 4-3-4 来表示,图中橙色的点就是预测值对应的点,误差的绝对值就是蓝色的点与相应的橙色的点之间的距离.
统计学意义上“最好” 的直线,指的是所有误差平方和最小的直线. 可以证明,对于上述污染指数与时间的数据,误差平方和最小的直线为
$$
\hat{y}=-0.475 x+6.3 \text {,}
$$
这称为 $y$ 关于 $x$ 的回归直线方程,其中
图 4-3-4 $\hat{y}$ 读作“$y$ 估”,表示 $y$ 的估计值. 根据这个方程,可以得到第 8 年的污染指数估计值为
$$
-0.475 \times 8+6.3=2.5 \text {. }
$$
一般地,已知变量 $x$ 与 $y$ 的 $n$ 对成对数据 $\left(x_{i},y_{i}\right),i=1,2,3,\cdots$,$n$. 任意给定一个一次函数 $y=b x+a$,对每一个已知的 $x_{i}$,由直线方程可以得到一个估计值
$$
\hat{y}_{i}=b x_{i}+a,$$
如果一次函数 $\hat{y}=\hat{b} x+\hat{a}$ 能使残差平方和即
$$
\left(y_{1}-\hat{y}_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-\hat{y}_{2}\right)^{2}+\cdots+\left(y_{n}-\hat{y}_{n}\right)^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\hat{y}_{i}\right)^{2}
$$
取得最小值，则
$$
\hat{y}=\hat{b} x+\hat{a}
$$
称为 $y$ 关于 $x$ 的回归直线方程 (对应的直线称为回归直线). 因为是使得平方和最小,所以其中涉及的方法称为最小二乘法.
可以证明,给定两个变量 $y$ 与 $x$ 的一组数据之后,回归直线方程 $\hat{y}=$ $\hat{b} x+\hat{a}$ 总是存在的，而且
$$
\begin{aligned}
& \hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}-n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-n \bar{x}^{2}},\\
& \hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x} .
\end{aligned}
$$
其中,$\hat{b}$ 称为回归系数. 它实际上也就是回归直线方程的斜率. 回归直线方程确定之后,就可用于预测.
需要注意的是,上述公式中,$\bar{x}$ 指的是 $x_{1},x_{2},x_{3},\cdots,x_{n}$ 的平均数,即
$$
\bar{x}=\frac{1}{n}\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\right)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i};$$
类似地,$\bar{y}$ 是 $y_{1},y_{2},y_{3},\cdots,y_{n}$ 的平均数,即 $\bar{y}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_{i}$. 另外,由计算公式可以看出,回归系数 $\hat{b}$ 的计算并不容易,实际计算过程中,我们可以通过列表的方法逐步进行计算.
例如,对于上述尝试与发现中的数据来说,可以首先算得 $\bar{x}=4,\bar{y}=$ 4. 4，接着列表如下.
| $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $y$ | 6.1 | 5.2 | 4.5 | 4.7 | 3.8 | 3.4 | 3.1 |
| $x-\bar{x}$ | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| $y-\bar{y}$ | 1.7 | 0.8 | 0.1 | 0.3 | -0.6 | -1 | -1.3 |
| $(x-\bar{x})(y-\bar{y})$ | -5.1 | -1.6 | -0.1 | 0 | -0.6 | -2 | -3.9 |
| $(x-\bar{x})^{2}$ | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
从而可知
$$
\begin{aligned}
& \sum_{i=1}^{7}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)=-5.1-1.6-0.1-0.6-2-3.9=-13.3,\\
& \sum_{i=1}^{7}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}=9+4+1+1+4+9=28 .
\end{aligned}
$$
因此
$$
\hat{b}=\frac{-13.3}{28}=-0.475,\hat{a}=4.4-(-0.475) \times 4=6.3 \text {. }
$$
所以 $y$ 关于 $x$ 的回归直线方程为
$$
\hat{y}=-0.475 x+6.3
$$
## 拓展阅渎
## “回归”一词的由来
《现代汉语词典 (第 7 版)》中,“回归”的解释是“回到 (原来的地方)”;地理学中,“回归线” 是指地球赤道南北各 $23^{\circ} 26^{\prime}$ 处的纬线，太阳直射点在南回归线与北回归线之间来回移动. 看了这些,你是不是感觉到回归直线方程中的“回归”与上面这些说法相差很大?
统计学中的“回归” 一词,是统计学家高尔顿引入的. 早在 19 世纪 80 年代,高尔顿就开始了亲代与子代 (即父母亲与子女) 之间相似特征 (身高、性格等) 的研究. 他收集了一些亲代的身高 $x$ 与子代的身高 $y$ 的成对数据,并作出了散点图,发现 $y$ 与 $x$ 的关系可以借助一次函数来近似表示,而且总体上亲代的身高增加时,子代的身高也增加.
但是,高尔顿在研究过程中,发现了个有趣的现象. 他收集的数据显示,总体上亲代的平均身高为 68 英寸 (约为 $172.72 \mathrm{~cm}$ ),子代的平均身高为 69 英寸,子代的平均身高比亲代的平均身高高 1 英寸（约为 $2.54 \mathrm{~cm}$ ).于是,一个自然的推想是: 平均身高为 63 英寸的亲代,其子代的平均身高应约为 64 英寸;平均身高为 72 英寸的亲代,其子代的平均身高应约为 73 英寸. 但实际数据显示: 平均身高为 63 英寸的亲代,其子代的平均身高为 67 英寸,增加量为 4 英寸;平均身高为 72 英寸的亲代,其子代的平均身高为 71 英寸,增加量为 -1 英寸. 也就是说,平均身高不同的亲代,其子代的平均身高增加量并不相等,但子代的平均身高有回归于中心（即总体平均值）的趋势.
正是由于这种现象的存在,高尔顿引入了“回归”一词. 虽然不是所有相关关系中都会发生类似的现象,但从那以后,“回归” 就成了相关关系讨论中一个约定俗成的词了.
## 3. 回归直线方程的性质
## 尝试与发现
假设 $y$ 与 $x$ 具有相关关系,而且回归直线方程为 $\hat{y}=\hat{b} x+\hat{a}$,完成下列任务:
(1) 将 $\hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x}$ 代入回归直线方程,并求出 $x=\bar{x}$ 时 $\hat{y}$ 的值;
（2）判断一次函数 $\hat{y}=\hat{b} x+\hat{a}$ 的单调性由谁决定,指出函数的单调性与正相关、负相关之间的联系；
（3）通过计算说明,当 $x$ 每增大一个单位时,$\hat{y}$ 将如何变化,并总结出这一结论的实际意义. 将 $\hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x}$ 代人 $\hat{y}=\hat{b} x+\hat{a}$ 后,整理可得
$$
\hat{y}-\bar{y}=\hat{b}(x-\bar{x}) \text {,}
$$
这说明回归直线一定过点 $(\bar{x},\bar{y})$.
一次函数 $\hat{y}=\hat{b} x+\hat{a}$ 的单调性当然是由 $\hat{b}$ 的符号决定的,函数递增的充要条件是 $\hat{b}>0$,这说明: $y$ 与 $x$ 正相关的充要条件是 $\hat{b}>0;y$ 与 $x$ 负相关的充要条件是 3
另外,如果 $\left(x_{1},\hat{y}_{1}\right)$ 和 $\left(x_{2},\hat{y}_{2}\right)$ 都是回归直线上的点,则
$$
\left\{\begin{array}{l}
\hat{y}_{1}=\hat{b} x_{1}+\hat{a} \\
\hat{y}_{2}=\hat{b} x_{2}+\hat{a}
\end{array}\right.
$$
(1)式减去(2)式可得
$$
\hat{y}_{2}-\hat{y}_{1}=\hat{b}\left(x_{2}-x_{1}\right) \text {,}
$$
这就说明,若 $x_{2}-x_{1}=1$,则 $\hat{y}_{2}-\hat{y}_{1}=\hat{b}$. 也就是说,当 $x$ 增大一个单位时,$\hat{y}$ 增大 $\hat{b}$ 个单位,这就是回归系数 $\hat{b}$ 的实际意义.
例 1 如果某位同学 10 次考试的物理成绩 $y$ 与数学成绩 $x$ 如下表所示.
| 数学成绩 $x$ | 76 | 82 | 72 | 87 | 93 | 78 | 89 | 66 | 81 | 76 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 物理成绩 $y$ | 80 | 87 | 75 | 86 | 100 | 79 | 93 | 68 | 85 | 77 |
已知 $y$ 与 $x$ 线性相关:
(1) 判断是正相关还是负相关;
(2) 求出 $y$ 关于 $x$ 的回归直线方程;
(3) 该同学的数学成绩每提高 3 分,物理成绩估计能提高多少分?
(1) 根据数据可作出散点图,如图 4-3-5 所示.
图 4-3-5
从图上可以直观地看出,$y$ 与 $x$ 正相关. (2) 首先计算 $\bar{x}$ 与 $\bar{y}$.
将每个 $x$ 的值都减去 80 可得
$$
-4,2,-8,7,13,-2,9,-14,1,-4,$$
这些数的平均数为 0,因此 $\bar{x}=4$
将每个 $y$ 的值都减去 80 可得
$$
0,7,-5,6,20,-1,13,-12,5,-3 \text {,}
$$
这些数的平均数为 3,因此 $\bar{y}=5$
通过列表计算可得
$$
\begin{aligned}
& \sum_{i=1}^{10}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right) \\
= & 12+8+64+21+221+8+90+210+2+24 \\
= & 660,\\
& \sum_{i=1}^{10}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2} \\
= & 16+4+64+49+169+4+81+196+1+16 \\
= & 600 .
\end{aligned}
$$
因此
$$
\hat{b}=\frac{660}{600}=1.1,\hat{a}=83-1.1 \times 80=-5 .
$$
回归直线方程为 $\hat{y}=1.1 x-5$.
(3) 由回归系数 $\hat{b}=1.1$ 可知,$x$ 每增大 1 个单位时,$\hat{y}$ 增大 1.1 个单位. 因此,数学成绩每提高 3 分,物理成绩估计能提高的分值为
$$
1.1 \times 3=3.3 \text {. }
$$
## 4. 相关系数
## 尝试与发现
如下是某班级学生数学成绩与英语成绩的对应表.
| 数学 | 43 | 51 | 56 | 58 | 61 | 63 | 65 | 66 | 68 | 69 | 70 | 71 | 73 | 74 | 74 | 75 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 英语 | 81 | 76 | 67 | 78 | 65 | 73 | 71 | 74 | 76 | 62 | 64 | 77 | 80 | 81 | 68 | 72 |
| 数学 | 75 | 76 | 77 | 78 | 78 | 79 | 79 | 80 | 82 | 82 | 83 | 84 | 88 | 89 | 92 | 98 |
| 英语 | 85 | 69 | 71 | 70 | 76 | 62 | 89 | 69 | 76 | 84 | 94 | 84 | 79 | 81 | 85 | 68 |
从这些数据中,你能直接看出该班级学生的数学成绩与英语成绩之间是否存在线性相关关系吗?作出这些数据的散点图,并与图 4-3-1 对比,你能得出什么结论?根据尝试与发现中的数据,可以作出散点图,如图 4-3-6 所示. 通过与图 4-3-1 对比,直观上可以看出,相对于数学成绩与物理成绩来说,数学成绩与英语成绩之间线性相关关系要弱一些.
由前面可知,给定一组成对数据后,总能得到一个回归直线方程. 不难想到,如果变量之间本身的线性相关关系很弱，那么得到的回归直线方程
图 4-3-6 价值是有限的，甚至是没有价值的.
怎样来刻画两个变量之间线性相关关系的强弱呢?也就是说,给定两个变量 $y$ 与 $x$ 的成对数据 $\left(x_{i},y_{i}\right),i=1,2,3,\cdots,n$,我们要寻找一个量来刻画 $y$ 与 $x$ 之间线性相关关系的强弱. 假设由成对数据得到的回归直线方程为 $\hat{y}=\hat{b} x+\hat{a}$,由前面可知,这条直线是通过点 $(\bar{x},\bar{y})$ 的. 不难想到,我们所要寻找的量,在所有点越靠近回归直线时,特征要越明显.
如图 4-3-7 所示,在平面直角坐标系 $x O y$ 中,作出成对数据的散点图以及回归直线,并且标出点 $(\bar{x},\bar{y})$. 然后以 $(\bar{x},\bar{y})$ 为原点,建立新的平面直角坐标系 $x^{\prime} O^{\prime} y^{\prime}$,则回归直线在 $x^{\prime} O^{\prime} y^{\prime}$ 中是过原点的,而且: 如果 $y$ 与 $x$ 正相关,则回归直线过 $x^{\prime} O^{\prime} y^{\prime}$ 的一、三象限;如果 $y$ 与 $x$ 负相关,则回归直线过 $x^{\prime} O^{\prime} y^{\prime}$ 的二、四象限.
因此,从直观上可知,如果 $y$ 与 $x$ 正
图 4-3-7 相关 (或负相关),那么成对数据中,在 $x^{\prime} O^{\prime} y^{\prime}$ 的一、三象限 (或二、四象限) 内的点越多,$y$ 与 $x$ 的线性相关关系可能会越强. 注意到 $\left(x_{i},y_{i}\right)$ 在 $x^{\prime} O^{\prime} y^{\prime}$ 中的坐标为 $\left(x_{i}-\bar{x},y_{i}-\bar{y}\right)$,因此可用 $\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)$ 来判定成对数据是否落在一、三象限 (或二、四象限). 这样一来,就可用含有
$$
\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)
$$
的量来判定 $y$ 与 $x$ 的线性相关性强弱.
## 尝试与发现
结合下列两组成对数据,判断能否直接用 $\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)$ 来衡量 $y$ 与 $x$ 的线性相关性强弱?并说明理由.
| (1) | $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| | $y$ | 6.1 | 5.2 | 4.5 | 4.7 | 3.8 | 3.4 | 3.1 |
| | $x$ | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 |
| $(2)$ | $y$ | 61 | 52 | 45 | 47 | 38 | 34 | 31 |
注意到现实生活中的数据,由于度量对象和单位的不同等,数值会有大有小,为了去除这些因素的影响,统计学里一般用
$$
r=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2} \sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}-n \bar{x} \bar{y}}{\sqrt{\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-n \bar{x}^{2}\right)\left(\sum_{i=1}^{n} y_{i}^{2}-n \bar{y}^{2}\right)}}
$$
来衡量 $y$ 与 $x$ 的线性相关性强弱,这里的 $r$ 称为线性相关系数（简称为相关系数).
可以证明,相关系数 $r$ 具有以下性质:
(1) $|r| \leqslant 1$,且 $y$ 与 $x$ 正相关的充要条件是 $r>0,y$ 与 $x$ 负相关的充要条件是 6
（2） $|r|$ 越小，说明两个变量之间的线性相关性越弱，也就是得出的回归直线方程越没有价值,即方程越不能反映真实的情况；$|r|$ 越大，说明两个变量之间的线性相关性越强，也就是得出的回归直线方程越有价值;
(3) $|r|=1$ 的充要条件是成对数据构成的点都在回归直线上.
利用类似计算回归系数的方法可以算出相关系数的值. 例如，图 4-3-1 中成对数据所对应的相关系数约为 0.73,图 4-3-6 中成对数据所对应的相关系数约为 0.21 . 需要注意的是,相关系数的绝对值越大,只能说明两个变量之间的关系用一次函数刻画时，效果越好,但这并不能保证两个变量之间存在因果关系. 例如,数学成绩与物理成绩的相关系数为 0.73,不能说是因为数学成绩好,所以物理成绩好,实际上,数学成绩与物理成绩之间的相关关系可能是由这两个学科的相似性造成的.
日常生活的新闻报道中,经常出现的相关系数指的就是这个意思. 例如,“分析表明 1990 年至 2011 年我国财政收人与企业注册资本之间的关系呈高度线性相关,其相关系数高达 0.987,而斜率竟为 0.148 ”,其中的 0.987 就是按照上面的公式计算出来的,而斜率 0.148 指的就是回归系数的大小.
例 2 某人工智能公司从某年起 7 年的利润情况如下表所示. ·
| 第 $x$ 年 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 利润 $y /$ 亿元 | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
（1）计算出 $y$ 与 $x$ 之间的相关系数 (精确到 0.01 ),并求出 $y$ 关于 $x$ 的回归直线方程;
（2）根据回归直线方程,分别预测该人工智能公司第 8 年和第 9 年的利润.
解 (1) 可以算得 $\bar{x}=7$,$\bar{y}=4.3$.
通过列表计算可得
$$
\sum_{i=1}^{7}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)=14,\sum_{i=1}^{7}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}=28,\quad \sum_{i=1}^{7}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}=7.08,$$
因此
$$
r=\frac{14}{\sqrt{28 \times 7.08}} \approx 0.99,\hat{b}=\frac{14}{28}=0.5,\hat{a}=2.3 \text {. }
$$
回归直线方程为 $\hat{y}=0.5 x+2.3$.
(2) 在回归直线方程中令 $x=8$,得
$$
\hat{y}=0.5 \times 8+2.3=6.3,$$
因此预测第 8 年的利润为 6.3 亿元.
类似地,可预测第 9 年的利润为 6.8 亿元.
## 拓展阅读
## 相关系数与向量夹角的余弦
当 $n=2$ 时,相关系数的计算公式可改写为
$$
r=\frac{\left(x_{1}-\bar{x}\right)\left(y_{1}-\bar{y}\right)+\left(x_{2}-\bar{x}\right)\left(y_{2}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\left(x_{1}-\bar{x}\right)^{2}+\left(x_{2}-\bar{x}\right)^{2}} \times \sqrt{\left(y_{1}-\bar{y}\right)^{2}+\left(y_{2}-\bar{y}\right)^{2}}} .
$$
此时,如果令 $\boldsymbol{a}=\left(x_{1}-\bar{x},x_{2}-\bar{x}\right),\boldsymbol{b}=\left(y_{1}-\bar{y},y_{2}-\bar{y}\right)$,则相关系数 $r$ 等于向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角的余弦,即
$$
r=\cos \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}
$$
类似地,当 $n=3$ 时,相关系数 $r$ 仍等于两个向量夹角的余弦,只不过此时两个向量分别为
$$
\boldsymbol{a}=\left(x_{1}-\bar{x},x_{2}-\bar{x},x_{3}-\bar{x}\right),\boldsymbol{b}=\left(y_{1}-\bar{y},y_{2}-\bar{y},y_{3}-\bar{y}\right) .
$$
一般地,
$$
\boldsymbol{a}=\left(x_{1}-\bar{x},x_{2}-\bar{x},\cdots,x_{n}-\bar{x}\right),\boldsymbol{b}=\left(y_{1}-\bar{y},y_{2}-\bar{y},\cdots,y_{n}-\bar{y}\right)
$$
都称为 $n$ 维向量,如果按照类似 2 维与 3 维的情况定义向量的内积和模,则相关系数 $r$ 总是等于两个向量夹角的余弦.
## 5. 非线性回归
## 尝试与发现
设某幼苗从观察之日起,第 $x$ 天的高度为 $y \mathrm{~cm}$,测得的一些数据如下表所示.
| 第 $x$ 天 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 高度 $y / \mathrm{cm}$ | 0 | 4 | 7 | 9 | 11 | 12 | 13 |
作出这组数的散点图,并通过散点图思考: 近似描述 $y$ 与 $x$ 的关系,除使用一次函数外，还可以用其他函数吗？具体应该怎样操作?
尝试与发现中数据的散点图如图 4-3-8 所示.
图 4-3-8
从散点图中可以看出,这些数据集中在图 4-3-8 中橙色的曲线附近,而且曲线的形状与函数 $y=\sqrt{x}$ 的图象很相似. 因此不难想到,可以用类似
$$
y=b \sqrt{x}+a
$$
的表达式来描述尝试与发现中 $y$ 与 $x$ 的关系. 那么,“最好” 的曲线对应的末知系数如何求呢?如果令 $u=\sqrt{x}$,则上式可变为
$$
y=b u+a,$$
这就是说,$y$ 与 $u$ 的关系可看成线性相关关系. 因此,我们可借助线性相关的内容来求出“最好” 的曲线. 具体过程如下.
令 $u=\sqrt{x}$,构造新的成对数据,如下表所示.
| $x$ | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $u=\sqrt{x}$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| $y$ | 0 | 4 | 7 | 9 | 11 | 12 | 13 |
容易算出,$\bar{u}=4,\bar{y}=8$.
通过列表计算可得
$$
\sum_{i=1}^{7}\left(u_{i}-\bar{u}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)=59,\sum_{i=1}^{7}\left(u_{i}-\bar{u}\right)^{2}=28,\quad \sum_{i=1}^{7}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}=132 .
$$
因此
$$
r=\frac{59}{\sqrt{28 \times 132}} \approx 0.97,\hat{b}=\frac{59}{28},\hat{a}=-\frac{3}{7} .
$$
故 $y$ 关于 $u$ 的回归直线方程为 $\hat{y}=\frac{59}{28} u-\frac{3}{7}$,代人 $u=\sqrt{x}$,则可知
$$
\hat{y}=\frac{59}{28} \sqrt{x}-\frac{3}{7}
$$
这里的 $y$ 与 $x$ 的关系,因为不再是线性相关关系,所以称为非线性相关关系,所得到的方程称为非线性回归方程 (也简称为回归方程). 一般地,就像上面的实例一样,非线性回归方程的曲线类型可以通过作出散点图进行猜测,而回归方程有时可以通过变量替换后,借助求回归直线的过程确定. 当然,确定了非线性回归方程之后,也可以利用它进行预测. 例如,如果要预测尝试与发现中幼苗第 64 天的高度,可以直接将 $x=64$ 代人,从而预测高度为
$$
\hat{y}=\frac{59}{28} \sqrt{64}-\frac{3}{7}=\frac{115}{7} \mathrm{~cm}
$$
## 6. 用信息技术求回归方程
回归系数和相关系数的计算步骤多,计算过程烦琐. 不过,借助计算器或者计算机软件,可以迅速地得出回归方程等.
例如,利用 GeoGebra 的“表格区” 输人成对数据后,选中这些数据,然后点击“双变量回归分析” (如图 4-3-9 所示),确认数据后,就能得到数据的散点图. 在“回归模型” 中选择对应的回归类型后,就能自动显示对应的方程. 输人自变量的值后,可以得到估计值. 另外,点击“显示统计” 后,可以看到相关系数等值,如图 4-3-10 所示.
图 4-3-9
图 4-3-10
利用 Excel 也可得出回归方程等,请读者自行尝试.
## 练习A
(1) 据报道:“一项在上海市 9000 多名中小学生中进行的调查显示,打游戏时间和学业成绩呈明显的负相关. ”依据这个结论,打游戏时间越多学习成绩就越有可能不好，对吗?
(2) 根据变量 $x,y$ 的观测数据可得散点图（1）；根据变量 $u,v$ 的观测数据可得散点图 (2). 由这两个散点图判断 $x$ 与 $y,u$ 与v之间的相关关系类型（即指出是正相关还是负相关).
(1)
(2)
## （第 2 题）
(3) 如果 $x$ 与 $y$ 线性相关,那么 $y$ 与 $x$ 也线性相关吗?为什么?
(4) 在一组样本数据 $\left(x_{1},y_{1}\right),\left(x_{2},y_{2}\right),\cdots,\left(x_{n},y_{n}\right)\left(n \geqslant 2,x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right.$ 不全相等) 的散点图中,若所有样本点 $\left(x_{i},y_{i}\right)(i=1,2,\cdots,n)$ 都在直线 $y=$ $\frac{1}{2} x+1$ 上,求这组样本数据的相关系数. (5) 已知变量 $x$ 与 $y$ 相对应的一组数据为 $(10,1),(11.3,2)$,(11.8,3),$(12.5,4),(13,5)$；变量 $u$ 与 $v$ 相对应的一组数据为 $(10,5),(11.3,4)$,$(11.8，3),(12.5，2)，(13,1)$. 设 $r_{1}$ 表示变量 $y$ 与 $x$ 之间的线性相关系数,$r_{2}$ 表示变量 $v$ 与 $u$ 之间的线性相关系数,判断 $r_{1}$ 与 $r_{2}$ 的符号.
(6) 已知 $y$ 与 $x$ 具有相关关系,且利用 $y$ 关于 $x$ 的回归直线方程进行预测,$x=8$ 时 $\hat{y}=96$,且 $x=9$ 时 $\hat{y}=99$,求 $y$ 关于 $x$ 的回归直线方程中的回归系数.
## 练习B
(1) 已知 $y$ 关于 $x$ 的回归直线方程为 $\hat{y}=3 x-13$,且 $u=10 x$,求 $y$ 关于 $u$ 的回归直线方程.
(2) 已知 $y$ 与 $x$ 及 $u$ 与 $v$ 的成对数据如下,且 $y$ 关于 $x$ 的回归直线方程为 $\hat{y}=1.2 x+$ 0.6,求 $u$ 关于 $v$ 的回归直线方程.
| $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $y$ | 2 | 3 | 4 | 5 | 7 |
| $v$ | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $u$ | 25 | 35 | 45 | 55 | 75 |
(3) 已知 $y$ 与 $x$ 具有相关关系,且 $y$ 关于 $x$ 的回归直线方程中,回归系数为 1.3,则当 $x$ 每减少 3 个单位时,$y$ 将怎样变化?
(4) 根据如下样本数据可得到的回归方程为 $\hat{y}=\hat{b} x+\hat{a}$,判断 $\hat{b}$ 与 $\hat{a}$ 的符号.
| $x$ | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $y$ | 4.0 | 2.5 | -0.5 | 0.5 | -2.0 | -3.0 |
(5) 为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月 1 号到 5 号每天打篮球时间 $x$ (单位：$h$ ) 与当天投篮命中率 $y$ 之间的关系:
| 时间 $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 命中率 $y$ | 0.4 | 0.5 | 0.6 | 0.6 | 0.4 |
(1) 求小李这 5 天的平均投篮命中率;
(2) 用线性回归分析的方法,预测小李该月 6 号打篮球 $6 \mathrm{~h}$ 的投篮命中率.
口6 如图所示,GeoGebra 软件中，回归类型分为“线性”“对数”等，分别选择每一种类型进行实验,总结出每一种类型的回归方程的形式.
(第 6 题)
### 2 独立性检验
## 1. 独立性检验
我们已经知道,事件 $A$ 与 $B$ 独立的充要条件是
$$
P(A B)=P(A) P(B) \text {,}
$$
利用这一点,我们可以通过概率的计算来判断两个事件是否独立. 然而,如果要判断现实生活中两个随机事件是否独立,并不是一件容易的事.
## 情境与问题
任意抽取某市的一名学生,记 $A$：喜欢长跑，$B$：是女生.
(1) 你能得出 $P(A),P(B),P(A B)$ 这三者的准确值吗?
（2）如果要判断 $A$ 与 $B$ 是否独立，该怎么办?
类似情境与问题中 $P(A),P(B),P(A B)$ 准确值的确定,都是比较难的,甚至是不可能的. 然而,因为可以利用频率估计概率,所以通过抽样调查获得样本数据后,我们就可以得到上述三个值的近似值.
例如，假设通过调查，我们获取了下述数据：抽查了 110 人，其中女生有 50 人；且这 110 人中，喜欢长跑的有 60 人，其中女生有 20 人.
首先,为了方便起见,我们可以把这些数据整理成如下的表格形式.
| | 喜欢长跑 | 不喜欢长跑 | 总计 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 女 | 20 | 30 | 50 |
| 男 | 40 | 20 | 60 |
| 总计 | 60 | 50 | 110 |
因为这个表格中,核心的数据是中间的 4 个格子,所以这样的表格通常称为 $2 \times 2$ 列联表.
由 $2 \times 2$ 列联表可知:
喜欢长跑的概率 $P(A)$ 可以估计为 $\frac{60}{110}=\frac{6}{11}$;
是女生的概率 $P(B)$ 可以估计为 1
喜欢长跑且是女生的概率 $P(A B)$ 可以估计为 2
## 想一想
利用已有的数据，你能估计出 $P(A \mid B)$ 的值吗?
## 尝试与发现
此时,可以利用 $P(A B)=P(A) P(B)$ 是否成立来判断 $A$ 与 $B$ 是否独立吗?为什么?
因为 $P(A),P(B),P(A B)$ 都是根据样本数据得到的估计值,而估计是有误差的,因此直接用 $P(A B)=P(A) P(B)$ 是否成立来判断 $A$ 与 $B$ 是否独立是不合理的.
但是,如果 $A$ 与 $B$ 独立,那么 $P(A) P(B)$ 应该可以作为 $P(A B)$ 的近似值. 因此理论上可知,喜欢长跑的女生数可以估计为 $110 P(A) P(B)$,注意到实际数为 20 (即 $110 P(A B))$，因此
$$
\frac{[110 P(A B)-110 P(A) P(B)]^{2}}{110 P(A) P(B)}
$$
应该不会太大.
类似地，考虑 $\bar{A}$ 与 $B,A$ 与 $\bar{B},\bar{A}$ 与 $\bar{B}$，可知
$$
\begin{gathered}
\frac{[110 P(\bar{A} B)-110 P(\bar{A}) P(B)]^{2}}{110 P(\bar{A}) P(B)},\\
\frac{[110 P(A \bar{B})-110 P(A) P(\bar{B})]^{2}}{110 P(A) P(\bar{B})},\\
\frac{[110 P(\bar{A} \bar{B})-110 P(\bar{A}) P(\bar{B})]^{2}}{110 P(\bar{A}) P(\bar{B})}
\end{gathered}
$$
都应该不会太大.
若记上述四项的和为 $\chi^{2}$ (读作“卡方”),则代人有关数据可以算得 $\chi^{2} \approx 7.8$
不过,概率学上可以证明,如果 $A$ 与 $B$ 独立,则 $\chi^{2} \geqslant 6.635$ 的概率只有 $1 \%$,即 $P\left(\chi^{2} \geqslant 6.635\right)=1 \%$. 因为算出的 $\chi^{2}$ 值 7.8 大于 6.635,所以若 $A$ 与 $B$ 独立（即“喜欢长跑”与“是女生”独立），那么我们就观察到了一件概率不超过 $1 \%$ 的事件. 这也可以说成,在犯错误的概率不超过 $1 \%$ 的前提下，可以认为“喜欢长跑” 与“是女生” 不独立（也称为是否喜欢长跑与性别有关);或说有 $99 \%$ 的把握认为是否喜欢长跑与性别有关.
上述 $1 \%$ 通常称为显著性水平,而 6.635 称为显著性水平 $1 \%$ 所对应的分位数.
一般情况下，可以用完全类似的方法来检验两个随机事件是否独立.
如果随机事件 $A$ 与 $B$ 的样本数据的 $2 \times 2$ 列联表如下.
| | $A$ | $\bar{A}$ | 总计 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| $B$ | $a$ | $b$ | $a+b$ |
| $\bar{B}$ | $c$ | $d$ | $c+d$ |
| 总计 | $a+c$ | $b+d$ | $a+b+c+d$ |
记 $n=a+b+c+d$,则由表可知:
（1）事件 $A$ 发生的概率可估计为 $P(A)=\frac{a+c}{n}$;
(2) 事件 $B$ 发生的概率可估计为 $P(B)=3$;
（3）事件 $A B$ 发生的概率可估计为 $P(A B)=4$
如果 $A$ 与 $B$ 独立,那么上述 $P(A B)$ 与 $P(A) P(B)$ 的估计值相差不会太大,注意到总数为 $n$,因此利用后者可以估计出,理论上既是 $A$ 又是 $B$ 的数据有 $n P(A) P(B)$ 个,注意到实际的数据为 $a$ (即 $n P(A B))$ 个,因此
$$
\frac{[n P(A B)-n P(A) P(B)]^{2}}{n P(A) P(B)}=\frac{[n a-(a+c)(a+b)]^{2}}{n(a+c)(a+b)}
$$
不会太大.
类似地,考虑 $\bar{A}$ 与 $B,A$ 与 $\bar{B},\bar{A}$ 与 $\bar{B}$,可知
$$
\frac{[n b-(b+d)(a+b)]^{2}}{n(b+d)(a+b)},\frac{[n c-(a+c)(c+d)]^{2}}{n(a+c)(c+d)},\frac{[n d-(b+d)(c+d)]^{2}}{n(b+d)(c+d)}
$$
都不会太大,因此这四个数的和
$$
\chi^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}
$$
也不会太大.
另外,任意给定一个 $\alpha$ (称为显著性水平,通常取为 $0.05,0.01$ 等),可以找到满足条件
$$
P\left(\chi^{2} \geqslant k\right)=\alpha
$$
的数 $k$ (称为显著性水平 $\alpha$ 对应的分位数). $\chi^{2}$ 是一个随机变量,其分布能够求出,上面的概率是可以计算的. 因此,如果根据样本数据算出 $\chi^{2}$ 的值后,发现 $\chi^{2} \geqslant k$ 成立,就称在犯错误的概率不超过 $\alpha$ 的前提下,可以认为 $A$ 与 $B$ 不独立 (也称为 $A$ 与 $B$ 有关);或说有 $1-\alpha$ 的把握认为 $A$ 与 $B$ 有关. 若 $\chi^{2}<k$ 成立,就称不能得到前述结论. 这一过程通常称为独立性检验.
$A$ 与 $B$ 独立时,也称为 $A$ 与 $B$ 无关. 当 $\chi^{2}<k$ 成立时,一般不直接说 $A$ 与 $B$ 无关. 也就是说,独立性检验通常得到的结果,或者是有 $1-\alpha$ 的把握认为 $A$ 与 $B$ 有关,或者没有 $1-\alpha$ 的把握认为 $A$ 与 $B$ 有关.
统计学中,常用的显著性水平 $\alpha$ 以及对应的分位数 $k$ 如下页表所示.
| $\alpha=P\left(\chi^{2} \geqslant k\right)$ | 0.1 | 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $k$ | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
例1 为了了解阅读量多少与幸福感强弱之间的关系,一个调查机构得到了如下调查数据.
| | 幸福感强 | 幸福感弱 | 总计 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 阅读量多 | 54 | 18 | 72 |
| 阅读量少 | 36 | 42 | 78 |
| 总计 | 90 | 60 | 150 |
根据调查数据回答: 在犯错误的概率不超过 $1 \%$ 的前提下,可以认为阅读量多少与幸福感强弱有关吗?
由题意可知
$$
\chi^{2}=\frac{150 \times(54 \times 42-18 \times 36)^{2}}{72 \times 78 \times 90 \times 60}=\frac{675}{52} \approx 12.981 .
$$
又因为查表可得
$$
P\left(\chi^{2} \geqslant 6.635\right)=0.01,$$
由于 $12.981>6.635$,所以在犯错误的概率不超过 $1 \%$ 的前提下,可以认为阅读量多少与幸福感强弱有关.
例 2 某报刊对男女学生是否喜欢书法进行了一个随机调查,调查的数据如下表所示.
| | 喜欢书法 | 不喜欢书法 |
| :---: | :---: | :---: |
| 男学生 | 24 | 32 |
| 女学生 | 16 | 24 |
根据调查数据回答：有 $95 \%$ 的把握认为性别与是否喜欢书法有关吗?
解由题意可知
$$
\chi^{2}=\frac{(24+32+16+24) \times(24 \times 24-16 \times 32)^{2}}{(24+32) \times(16+24) \times(24+16) \times(32+24)}=\frac{96}{1225} \approx 0.078 .
$$
又因为 $1-95 \%=5 \%$,而且查表可得
$$
P\left(\chi^{2} \geqslant 3.841\right)=0.05,$$
由于 5，所以没有 $95 \%$ 的把握认为性别与是否喜欢书法有关.
## 2. 用信息技术进行独立性检验
很多软件都能进行独立性检验. 例如,运行 GeoGebra 后,打开“概率统计”窗口,转到“统计” 那一页,选定“卡方检验” 后,设定“行”“列”的值都为 2,在表格中输人数字后即可得到独立性检验的结果.
如图 4-3-11 所示是例 2 的检验结果,其中显示了 $\chi^{2}$ 的值,而 0.7795 表示意思是,最多只有
$$
1-0.7795=0.2205=22.05 \%
$$
的把握认为所检验的两件事情有关.
图 4-3-11
## 练习A
(1) 某企业为了了解员工是否支持企业改革,抽查了 190 名员工进行调查,其中支持企业改革的有 80 人. 已知该企业共有员工 950 人,试估计该企业员工中支持企业改革的人数.
(2) 为了探究成年人军车与性别是否有关,调查了 320 名成年人,其中男 \pm 152 人,而且男士与女士中,晕车的分别有 28 人与 32 人. 用 $2 \times 2$ 列联表表示这些数据.
(3) 如果通过独立性检验发现,有 $99 \%$ 的把握认为 $A$ 与 $B$ 有关,那么是否一定有 $95 \%$ 的把握认为 $A$ 与 $B$ 有关?
(4) 在检验 $A$ 与 $B$ 是否有关的过程中,根据所得数据算得 $\chi^{2}=12.5$,又
$$
P\left(\chi^{2} \geqslant 6.635\right)=0.01 \text {,}
$$
那么是否有 $99 \%$ 的把握认为 $A$ 与 $B$ 有关?
5 已知 $P\left(\chi^{2}<7.897\right)=0.095$,求 $P\left(\chi^{2} \geqslant 7.897\right)$.
## 练习B
(1) 某学校在一次调查“体育迷” 的活动中,获得了如下数据.
| | 男 | 女 |
| :---: | :---: | :---: |
| 体育迷 | 30 | 15 |
| 非体育迷 | 45 | 10 |
判断是否有 $95 \%$ 的把握认为是否体育迷与性别有关.
(2) 某企业有甲、乙两个分厂生产同一种零件,在检查产品的优质品率时,从甲、乙两厂分别抽取了 500 件产品,其中甲厂有优质品 360 件,乙厂有优质品 320 件.
（1）分别估计甲、乙两厂的优质品率;
(2) 是否有 $99 \%$ 的把握认为两个分厂生产的零件优质品率有差异?
(3) 已知学生性别与考试是否及格无关,在抽样调查中,共调查了 52 人,其中女生有 32 人,且 52 人中考试及格的有 39 人. 试估计有多少女生考试是及格的. (4) 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样的方法从该地区调查了 500 位老年人，结果如下:
| | 男 | 女 |
| :---: | :---: | :---: |
| 需要志愿者 | 40 | 30 |
| 不需要志愿者 | 160 | 270 |
(1) 估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例;
(2) 能否有 $99 \%$ 的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关?
（3）根据（2）的结论,能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中,需要志愿者帮助的老年人的比例?说明理由.
$1 \frac{50}{110}=\frac{5}{11}$
$2 \frac{20}{110}=\frac{2}{11}$
$3 \frac{a+b}{n}$
$4 \frac{a}{n}$
$50.078<3.841$
## 习题4-3A
(1) 某公司根据以往的数据发现,销售收入 $y$ 万元与广告费 $x$ 万元线性相关,且回归直线方程为 $\hat{y}=120 x+60$,试估计广告费用每增加 2 万元时,销售收入的增加量.
(2) 已知根据某样本数据可得到回归方程为 $\hat{y}=4 x+\hat{a}$,且 $\bar{x}=3,\bar{y}=6$,求 $\hat{a}$ 的值.
(3) 已知变量 $x$ 和 $y$ 满足关系 $y=-0.1 x+1$,变量 $y$ 与 $z$ 正相关. 下列结论中正确的是 ( ).
(A) $x$ 与 $y$ 负相关,$x$ 与 $z$ 负相关
(B) $x$ 与 $y$ 正相关,$x$ 与 $z$ 正相关
(C) $x$ 与 $y$ 正相关,$x$ 与 $z$ 负相关
(D) $x$ 与 $y$ 负相关,$x$ 与 $z$ 正相关
(4) 某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了 100 名电视观众,相关的数据如下表所示:
| | 文艺节目 | 新闻节目 |
| :---: | :---: | :---: |
| $20 \sim 40$ 岁 | 40 | 18 |
| 大于 40 岁 | 15 | 27 |
（1）由表中数据分析,是否有 $95 \%$ 的把握认为收看新闻节目的观众与年龄有关?
（2）用分层抽样的方法在收看新闻节目的观众中随机抽取 5 名,大于 40 岁的观众应该抽取几名?
(3) 在上述抽取的 5 名观众中任取 2 名,求恰有 1 名观众的年龄为 $20 \sim 40$ 岁的概率.
## 习题4-3B
(1) 已知 $x$ 与 $y$ 之间的几组数据如下表所示.
| $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $y$ | 0 | 2 | 1 | 3 | 3 | 4 |
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为 $\hat{y}=\hat{b} x+\hat{a}$,若某同学根据上表中的前两组数据 $(1,0)$ 和 $(2,2)$,求得一次函数表达式为 $y=b^{\prime} x+a^{\prime}$. 判断 $\hat{b}$ 与 $b^{\prime}$ 的相对大小,以及 $\hat{a}$ 与 $a^{\prime}$ 的相对大小.
(2) 某地最近十年粮食需求量逐年上升,下表是部分统计数据.
| 年份 $x$ | 2012 | 2014 | 2016 | 2018 | 2020 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 需求量 $y /$ 万吨 | 236 | 246 | 257 | 276 | 286 |
（1）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归方程;
（2）利用（1） 中所求出的线性回归方程预测该地 2022 年的粮食需求量.
(3) 已知 $P\left(\chi^{2}<6\right)=a,P\left(\chi^{2}<7\right)=b$,判断 $a \geqslant b$ 与 $a \leqslant b$ 哪个一定成立.
(4) 某工厂有 25 周岁及以上的工人 300 名,25 周岁以下的工人 200 名. 为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了 100 名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25 周岁及以上” 和“25 周岁以下” 分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分成 5 组: $[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]$,分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
(25 周岁以下组)
(第 4 题)
（1）从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人,求至少抽到一名“25 周岁以下”的工人的概率;
(2) 规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”,请你根据已知条件列出 $2 \times 2$ 列联表,并判断是否有 $90 \%$ 的把握认为生产能手与工人所在的年龄组有关.
## 4 数学探究活动: 了解高考选考科目的确定是否与性别有关
## 1. 活动背景介绍与要求
按照党的十八届三中全会审议通过的《中共中央关于全面深化改革若干重大问题的决定》,高考招生制度改革后,考生在报考时,可以根据报考高校提前发布的招生报考要求和自身特长,从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物 6 科中自主选择 3 个科目的成绩,计人高考总分.
由此产生的一个问题是,高考选考科目的确定是否与性别有关呢?例如,有人认为,在选择物理的同学中,男生所占的比例更大;选择历史的人中，女生会更多. 这些看法是否有道理呢?我们能不能通过收集相关数据,并利用有关概率统计知识来说明?
请与其他同学一起分工合作,完成下列任务,并填写活动记录表:
（1）确定要研究的科目与要调查的人群范围;(2) 选定合适的收集数据的方法，并收集数据;(3) 根据有关统计知识和获得的数据,得出结论;(4) 对结论进行分析,并给出科目选择的建议.
“了解高考选考科目的确定是否与性别有关” 的活动记录表
活动开始时间:
(1) 成员与分工
姓名
分工
(2) 待研究的科目与待调查的人群范围 (3) 收集数据的方法以及获得的数据
(4) 所依据的统计知识以及有关结论
(5) 对结论的分析以及科目选择的建议
(6) 活动总结 (可包括活动感受等)
活动结束时间:
## 2. 活动提示
活动过程中，要特别注意样本的代表性. 例如,若仅选择某个班级的学生进行调查,则获得的样本可能不具备代表性.
另外,科目的确定不仅可能与性别有关，也有可能与考生想要报考的专业等有关. 除了了解科目的确定与性别是否有关外，我们还可以了解科目的确定是否与其他因素有关.
## 本章小结
## 1 知识结构图设计与交流
本章我们首先学习了条件概率的有关知识,在此基础上得到了乘法公式与全概率公式,并利用条件概率重新理解了事件的独立性;随后,我们学习了有关随机变量的知识,并研究了离散型随机变量的分布列与数字特征等,还了解了二项分布、超几何分布、正态分布;最后,还学习了成对数据的统计相关性,了解了一元线性回归模型和独立性检验.
依照知识之间的联系，我们可以作出如下的知识结构图.
条件概率 $\quad P(A \mid B)=\frac{P(A B)}{P(B)}$
乘法公式
全概率公式
$$
P(B)=P(A) P(B \mid A)+P(\bar{A}) P(B \mid \bar{A})
$$
离散型随机变量
二项分布
超几何分布
正态分布
$$
X \sim N\left(\mu,\sigma^{2}\right) \quad E(X)=\mu \quad D(X)=\sigma^{2}
$$
一元线性回归模型
独立性检验
请在上述图中补充更多的内容吧！你能作出更有特色的知识结构图吗?试着与同学们交流一下吧!
## 2 课题作业
(1) 概率统计的有关知识已经渗透到了现代生活的方方面面. 在新闻报纸、科普著作、学术论文等中经常可以见到概率统计知识. 与其他同学合作,连续 7 天收集生活中所用到的概率统计知识，并以调研报告或小论文的形式进行整理，然后与其他同学交流.
(2) 概率统计的知识目前在人工智能中有着广泛的应用. 例如,条件概率的知识在语音识别、机器学习等中是不可缺少的. 查阅网络或向有关专业人士请教,了解概率统计知识在人工智能中的应用情况，并整理成演讲材料.
## 3 复习题
## $\mathbf{A}$ 组
1. 两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为 $\frac{2}{3}$ 和 $\frac{3}{4}$,两个零件是否加工为一等品相互独立,求这两个零件中恰有一个一等品的概率.
2. 某班从 6 名班干部（男生 2 人，女生 4 人）中，任选 3 人参加学校的义务劳动. 设“男生甲被选中”为事件 $A$,“女生乙被选中”为事件 $B$,求 $P(B \mid A)$.
3. 某射击运动员进行射击训练时，假设每次击中目标的概率均为 0.6,且每次射击的结果互不影响,已知射手射击了 5 次,求:
（1）其中恰有 3 次击中目标的概率;
（2）其中恰有 3 次连续击中目标,而其他两次没有击中目标的概率.
4. 乒乓球单打决赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用 7 局 4 胜制,假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相等.
（1）求甲以“$4: 1$ ” 获胜的概率;
（2）求乙获胜且比赛局数多于 5 局的概率.
5. 已知 $X$ 服从两点分布,且 $P(X=0)=0.3$,求 $P(X=1)$.
6. 已知 $X$ 与 $Y$ 都是随机变量,$X$ 的取值范围是 $\{-1,0,1,2\}$,而且 $Y=X^{2}$,求 $Y$ 的取值范围.
7. 已知某种疗法的治愈率为 $90 \%$,若有 10 位患者采用了这种疗法,其中被治愈的人数为 $X$,指出 $X$ 满足的分布列,并求 $P(X=10)$.
8. 设某鞋店的每位顾客需要 25 号鞋的概率均为 0.2,鞋店上午开门营业后,前 5 名顾客中需要 25 号鞋的人数为 $X$,指出 $X$ 满足的分布列,并求 $P(X \geqslant 1)$.
9. 假设每一年都只有 365 天,而且每人在任意一天中出生的概率都相等. 设一个有 30 人的班级中,恰有 $X$ 位同学在元旦出生,指出 $X$ 满足的分布列,并求 $P(X \geqslant 2)$.
10. 一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示. 将日销售量落人各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.
(1) 求在末来 3 天里,有连续两天的日销售量都不低于 100 个且另一天的日销售量低于 50 个的概率;
(第 10 题)
（2）用 $X$ 表示在末来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数,求随机变量 $X$ 的分布列,期望 $E(X)$ 及方差 $D(X)$.
11. 在调查男女学生购买食品时是否阅读营养成分说明时,调查了 36 位男生、38 位女生,而且阅读营养成分说明的人有 46 位,阅读营养成分说明的人中有 28 位女生. 用 $2 \times 2$ 列联表表示上述数据.
## $\mathbf{B}$ 组
1. 掷红、蓝两个均匀的骰子,设 $A$：红色骰子的点数为 $4,B$：蓝色骰子的点数是偶数，求 $P(A \mid B)$.
2. 甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就得冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军,若两队每局赢的概率相等,求甲队获得冠军的概率.
3. 在三次独立重复试验中,事件 $A$ 在每次试验中发生的概率相等,若事件 $A$ 至少发生一次的概率为 $\frac{63}{64}$,求事件 $A$ 恰好发生一次的概率.
4. 已知某电脑卖家只卖甲、乙两个品牌的电脑,其中甲品牌的电脑占 $70 \%$. 甲品牌的电脑中,优质率为 $80 \%$；乙品牌的电脑中,优质率为 $90 \%$. 从该电脑卖家中随机购买一台电脑:
(1) 求买到优质电脑的概率;
（2）若已知买到的是优质电脑,求买到的是甲品牌电脑的概率（精确到 $0.1 \%$ ).
5. 已知 $P(\bar{A} \mid B)=0.7,P(A)=0.3$,判断 $A$ 与 $B$ 是否独立.
6. 已知
$$
P(\bar{A})=\frac{1}{2},P(\bar{B} \mid A)=\frac{2}{3},P(B \mid \bar{A})=\frac{1}{4}
$$
求 $P(\bar{B}),P(\bar{A} \mid B)$. 7. 一个布袋中共有 50 个完全相同的球,其中标记为 0 号的有 5 个,标记为 $n$ 号的分别有 $n$ 个 $(n=1,2,\cdots,9)$,求从布袋中任取一球所得号数的分布列.
8. 甲、乙两名选手进行比赛,假设每局比赛中,甲胜的概率为 0.6,乙胜的概率为 0.4. 那么,“三局两胜制” 与“五局三胜制”,哪个对甲来说更有利?由此你能得到怎样的一般结论?9. 某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成,元件 1 或元件 2 正常工作,且元件 3 正常工作时,部件正常工作. 设三个电子元件的使用寿命 (单位: h) 均服从正态分布 $N\left(1000,50^{2}\right)$,且各个元件
(第 9 题) 能否正常工作相互独立,求该部件的使用寿命超过 $1000 \mathrm{~h}$ 的概率.
10. 某高校共有 15000 人，其中男生 10500 人,女生 4500 人,为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集 300 位学生每周平均体育运动时间的样本数据 (单位: $h$ ).
（1）应收集多少位女生样本数据?
(2) 根据这 300 个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图如图所示,其中样本数据分组区间为: $[0$,$2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10]$,
(第 10 题) $(10,12]$. 估计该校学生每周平均体育运动时间超过 $4 \mathrm{~h}$ 的概率.
(3) 在样本数据中,有 60 位女生的每周平均体育运动时间超过 4 h. 请制作每周平均体育运动时间与性别的 $2 \times 2$ 列联表,并判断是否有 $95 \%$ 的把握认为该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关.
## $\mathbf{C}$ 组
1. 某公司为确定下一年度投人某种产品的宣传费,需了解年宣传费 $x$ (单位: 万元）对年销售量 $y$ (单位：t) 和年利润 $z$ (单位：万元) 的影响. 对近 8 年的年宣传费 $x_{i}$ 和年销售量 $y_{i}(i=1,2,\cdots,8)$ 数据进行了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
（第 1 题）
| $\bar{x}$ | $\bar{y}$ | $\bar{w}$ | $\sum_{i=1}^{8}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}$ | $\sum_{i=1}^{8}\left(w_{i}-\bar{w}\right)^{2}$ | $\sum_{i=1}^{8}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)$ | $\sum_{i=1}^{8}\left(w_{i}-\bar{w}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 46.6 | 563 | 6.8 | 289.8 | 1.6 | 1469 | 108.8 |
表中 $w_{i}=\sqrt{x_{i}},\quad \bar{w}=\frac{1}{8} \sum_{i=1}^{8} w_{i}$.
(1) 根据散点图判断,$y=a+b x$ 与 $y=c+d \sqrt{x}$ 哪一个适宜作为年销售量 $y$ 关于年宣传费 $x$ 的回归方程类型?
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立 $y$ 关于 $x$ 的回归方程;
(3) 已知这种产品的年利润 $z$ 与 $x,y$ 的关系为 $z=0.2 y-x$. 根据 (2) 的结果回答下列问题：年宣传费 $x=49$ 时，年销售量及年利润的预测值是多少?年宣传费 $x$ 为何值时，年利润的预测值最大?
2. 已知 $\mathrm{A},\mathrm{B}$ 两个投资项目的利润率分别为随机变量 $X_{1}$ 和 $X_{2}$. 根据市场分析,$X_{1}$ 和 $X_{2}$ 的分布列如下.
| $X_{1}$ | $5 \%$ | $10 \%$ |
| :---: | :---: | :---: |
| $P$ | 0.8 | 0.2 |
| $X_{2}$ | $2 \%$ | $8 \%$ | $12 \%$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | 0.2 | 0.5 | 0.3 |
(1) 在 $\mathrm{A},\mathrm{B}$ 两个项目上各投资 100 万元,$Y_{1}$ 和 $Y_{2}$ 分别表示投资项目 $\mathrm{A}$ 和 $\mathrm{B}$ 所获得的利润，求 $D\left(Y_{1}\right)$ 和 $D\left(Y_{2}\right)$;
(2) 将 $x(0 \leqslant x \leqslant 100)$ 万元投资 $\mathrm{A}$ 项目，$100-x$ 万元投资 B 项目，$f(x)$ 表示投资 $\mathrm{A}$ 项目所得利润的方差与投资 $\mathrm{B}$ 项目所得利润的方差之和. 求 $f(x)$ 的最小值,并指出 $x$ 为何值时,$f(x)$ 取到最小值.
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## 基本问题
设计是什么?设计能为我们做些什么?我们为什么要学习设计？
## 情境导入
设计对日常生活领域的触及范畴,也许超乎你的想象。当你打开衣柜选择衣服的时候，当你去超市排列整齐的货架选购商品的时候，面对琳珢满目的食物，你是否留意过辅助你进食的餐具？你能回忆起多少?我们出行,都使用什么样的交通工具?为什么信息传递可以更加快捷和可视化?房子与地域有什么联系,室内环境的布置又源于什么?这一切看似平常的背后,往往是经过了不计其数的设计过程而形成的。
设计（Design ) 源于拉丁文 Designave，其本义是“徽章、记号”，即事物或人物得以被认识的依据或媒介。设计，中国古称“造物”,是取法于自然，施之以人工而改变物质形态及其价值性能的人类创造行为。现在《辞海》中“设计” 一词的解释为：1. 设下计谋；2. 根据一定要求,对某项工作预先制定图样、方案；3.指搞设计创作的人。20 世纪的科学家赫伯特 -西蒙对设计的解释是：“凡是以现存情形改变成期望情形为目标而构想行动方案的人都在搞设计。”
由此可见,设计牵涉人、思维、事物,是融哲学、科技、艺术、经济等领域为一体的社会实践活动。设计如同媒介，让人与自然、社会、技术、环境等联系起来,形成一个持续的循环。这个循环影响着我们每个人，甚至影响生活的方方面面。
## 一、创造源于发现生活中的问题
设计的结果体现是“产品”，这种产品可以是一个字,一件物品，也可以是我们身边的环境空间，但是设计的目的并不仅限于表象,而是要满足人的需要,即设计是为人服务的。根据马斯洛需求层次理论,人的需要分为五个层次：生理需求、安全需求、爱的需求、尊重需求、自我实现。设计的第一步,往往是从观察、研究以上需求,力图满足、提升这类需求开始的。
在世界上一些贫穷地区,新生婴儿的死亡率较高。他们大部分是因温度过低而死,因为贫困地区没有昂贵的婴儿保暖箱。婴儿保温襁袺,这个设计的关键是设计师找到了一种熔点为 $37^{\circ} \mathrm{C}$ 的蜡,以此作为保温介质可以很好地解决保温问题。先把这种蜡放人热水使其吸热融化,再放人襁褓中,可持续四小时放热并保持在 $37^{\circ} \mathrm{C}$。这一设计可不揷电，简单易用，价格实惠。
婴儿保温襁褓
几位大学生到各地 100 个污染水源地取水,制成冰棒模型。冰棒的包装袋经过精心设计,颜色代表着污染程度：红、紫代表重度污染；黄、橘代表中度污染；浅蓝色代表轻度污染。冰棒上的几何图形则是污染内容的平面化呈现。通过视觉设计反映环境问题，目的是引起大众对生态环境的重视。
展出的 100 根冰棒模型（局部）
## 知识链接
世界设计大会图标
海报设计章寿品
停放汽车的玻璃塔
为解决新车存放问题,汽车制造商在工厂边建造了一座圆筒形玻璃塔,当汽车被购买,可通过塔内电梯运送到消费者手中
## 知识链接
## 海绵城市
海绵城市是指城市在应对环境变化和大雨带来的自然灾害等方面有良好的“弹性”。海绵城市在下雨时吸水、蓄水、渗水、净水,并在需要时将储存的水“释放”，并加以利用。
D打印的塑料鞋
某运动品牌推出了全球首款使用3D技术打印的运动鞋。值得一提的是,它使用从大海里回收的塑料垃圾制成的编织材料制作了鞋面和鞋底
福建土楼
中国传统建筑中为了保温采用厚重的夯土墙。
## 观察与讨论
日常生活中还有哪些体现中国思想的设计?
二、解决问题，功能与审美的完美融合
设计不仅仅是涉及方法论的技术层面的问题，更是一种宏观层面的总体规划，是对经济、文化、环境、人的需求等的综合考量。这决定了设计视角的多元化,要抛开对物品的固有思维，重新思考物品的可能性；要有全局观,跳出产品，让自己置身于环境中思考，通过自身思维去洞察和挖掘寻常物的独到之处。
雨季，城市内涝已经成为普遍问题，除了更合理地组织城市空间布局外，包括组织道路、绿地，增加城市环境容载力,最常用的建筑材料透水砖,成为打开思路的另一个途径，它以矿渣废料、废陶瓷、砂、石、混凝土为原料，具有良好的透水、透气性,能够吸收水分与热量,调节地表局部温湿度，而且绿色环保，并能改善城市地面植物和土壤微生物的生存条件，可谓一举多得的解决之道。
海绵城市的透水砖
中国设计是以中国思想为支撑而逐步丰富发展的，至今仍为设计提供源源不断的文化动力。“节用”是中国古代设计思想中的重要主题,体现在服装结构中就是简单、易制作，具有普适性。不裁剪布料和尽量少裁剪布料，就能达到满足人体需要的立体效果，加以不同的服饰搭配，即可以完成族群、性别、婚否等区分。
服装设计贺阳
中国园林三、创造价值，服务大众
设计不仅仅是解决问题,更重要的是培养思维模式,形成对事物的创造性解决方案,最终产生价值。虽然设计按照领域与内容,有平面设计、产品设计、服装设计、环境设计等,但设计作为一个整体性的概念而言,是价值再升格的推导过程。
利用运动的能量发电的发明不少，而发电足球却深具价值。在缺少电力的山区,学生课余时间可以尽情踢球,而这些动能转换成电能储存在足球内。晩上,他们就可以借助足球看书,为小电器供电。在户外活动和野外探险中,发电足球也可以发挥同样的作用。用无形中的能量造福人类,是设计发挥的巨大作用。
借助发电足球阅读的儿童
通过发现问题、解决问题、创造价值这一过程的训练,逐渐融会贯通，举一反三，能够具备解决生活中基本问题的能力,并可以欣赏、感知生活中随处可见的设计。让同学们了解设计,掌握基本的设计思维和设计方法,主动去运用设计解决生活、学习和工作中遇到的问题,产生应有的价值。任何人都可以参与到设计中来,运用你学习的知识、掌握的技能，进行设计。不管在什么领域，只要你能够用正确的方法发现、解决问题并产生价值，你都可以成为设计师。
## 课堂作业
选择一个生活中遇到的问题,运用设计思维,想一个有创意的解决方案，并用文字说明。
## 知识链接
可回收材料墙体
利用可回收材料制作的墙体，在满足节能的同时，也更为环保，创造了经济和社会价值。
创新的老城区更新
设计介人大栅栏街区更新
作为北京老城区内保留相对完整的历史文化街区之一,大栅栏的保护、整治与复兴面临着种种难题。大栅栏尝试通过设计解决在区域改造过程中的一系列难题,用创造性思维来面对挑战。
创新的共享经济
地瓜社区改造了社区的地下空间,使之成为新的社区共享文化空间,并建立起社区里新的邻里关系。地瓜社区致力于帮助居民利用自己的知识和技能直接在社区内为邻里提供服务,将社区地下空间改造为社区共享空间，营造“平等、温暖、好玩” 的社区文化我们每天坐公交车、坐地铁、看指示牌,我们几乎无时无刻不在进行着沟通。沟通是人与人之间、人与群体之间思想与感情的传递和反馈的过程,以求思想达成一致和感情通畅。这个过程涉及信息的传递和反馈,对于效能也就更加注重,而实现信息传递的手段之一就是视觉传达,也就是通过视觉媒介表现传达给观众的设计,设计师是信息的发送者,传达对象是信息的接受者。大部分或者部分的信息依赖视觉获得,并且以标识、排版、绘画、平面设计、揷画、色彩及电子设备等二度空间的影像表现,视觉传达设计体现在内容上，主要有字体设计、包装设计、标识设计等。
怎样将要传达的信息在尽量简省的图形、空间中传递出去,怎样在文字的其背后发现要表达的内涵,怎样掌握国际化的语境,实现无国界对接。在本单元内容中,我们都将一一解答。
## 第1课 提炼与抽象一一顺畅沟通世界
## 基本问题
在经济全球化、社会信息化的今天,图形使人与人之间的沟通更顺畅,这些图形是如何被提炼和抽象出来的呢?
## 情境导入
来自世界各地有着不同文化背景的人，即便说着不同的语言也能看懂男女洗手间的图形标志,图形是怎么超越语言、文字进行表达的?随着人们对图形理解程度和审美趣味的提高,图形风格有了什么样的变化?图形如何体现地域文化与精神?
法国拉斯考克山洞的洞穴岩画
中国国旗
图形是指在一个二维空间中用轮廓划分出的空间形状。图标包含于图形,图标是具有指代意义的标识性质的图形,它不仅是一种图形,更是一种标识,它具有高度浓缩并快捷传达信息、便于记忆的特性，它不仅历史久远,从上古时代的图腾,到现在具有更多含义和功能的各种图标,而且应用范围极为广泛,可以说它无所不在。国旗是一个国家的图标,注册商标是一件商品的图标,军旗是军队的图标,校徽是学校的图标。同时,图标也在各种公共设施中被广泛使用，如公则标识、交通指示牌等。
## 观察与讨论
一种图标只能有一种表现形式吗?你还能想到哪些区别男女特征的图标?
标准图形的洗手间图标
以人物特征作为标识特点的洗手间图标
## 一、图形设计方法
图形具有高度提炼与抽象并快捷传达信息的特性,往往不需要文字的辅助说明也能做到有效的信息传达。
手稿一人大会堂宴会厅天顶装饰设计彩色设置效果图常莎娜
仓中国扶贫基金会标志
$ 2016$ 中国杭州 G20 峰会标志
图形设计因为视觉而存在,因此观看成了一种现实赋予形状意义的主观行为。图形艺术的语言媒介一一形状、色彩、肌理等,都是通过视觉被感知。
了解图形的视知觉规律,就必须在视点、视角、视野和对象的变化中,观察“形” 的变化,把握有意义的视觉结构样式，以便更主动地获取创意图形。
## 二、图标与功能
我们生活中存在着各种不同的图形,它们代表的是一个产品、空间的属性和功能作用。一个高品质的图形设计应该让人在看到它的第一眼就能够识别其属性和功能。
## 知识链接
1.同构图形，将两个或两个以上的图形通过图形设计的组合嫁妾等返理手段组合在一起,共同构成一个新图形，
2. 无理图形,也叫“悖理图形”,是特殊的、违背常理的、虚幻的矛盾形态图形
3. 共生图形指的是形与形之间共用一些部分或轮廓线,相互借用、相互依存,以一种异常紧密的方式,将多个图形整合成一个不可分割的整体。4. 正负图形，一般意义上,正形是积极向前的,而负形则是消极后退的，形成正负形的因素有很多,它依赖于对图形的具体表现与欣赏心理习惯。5. 异影图形，根据主题需要,经过加工的影子可以反映其对象的内涵，借以表现画面的情感
阴阳花瓶
艾徳加・鲁宾 [丹寺 $]$
海报设计岗德兰 [德国]
6. 异变图形,在物体一和物体一之间寻找中介物,将物体一逐渐变成物体一,使之形成另一种物体
䢁牛广告 $[$ 法国 $]$
警示图标
通过色彩的结合,加强人们对其的警觉
## 观察与讨论
图中的机场导视图标都包含什么信息?
德国科隆波恩机场导视图标吕迪鲍尔 [ 瑞士 ]
机场导视图标，涉及国际视觉符号的通用问题。导视设计是图形应用的重要领域，优秀的导视图标不仅可以方便机场旅客，也可以使机场增加不少魅力。所以这此导视设计出现在候机时要做到清晰、易懂、美观，在空间上不会觉得不昌事。
## 三、图标与文化、精神
运动图标设计 -2008 年北京奥运会运动图标王捷
奥运会运动图标设计来源籇字拓片,籇字青铜器
## 观察与讨论
如何看待图标设计的功能性和趣味性?2008 年北京奥运会图标以篆字结构为基本形式，兼具中国古代甲骨文、金文等文字的象形逸趣和现代图形简化的特点,不仅符合体育图标易识别、易记忆、易使用的简化要求,更通过其特有的形态,将体育图标运用特征与丰厚的文化内涵、理念相结合,达到形与意的和谐统一。
## 四、数字媒介下的图形设计
数字媒介下的图形风格随着数码产品的普及和科技的发展,使人们对图形的理解能力和审美得到了提高,图标的表现形式和风格也相应发生了变化。
电脑图标早期电脑图标
## 知识链接
图形与艺术
表情图标以拟人化的生动形象，超越国籍和文化，已经成为当下最流行的网络表情。
早期的手机或电脑屏幕图标由于技术和呈现的局限，图标多数为黑白且较为简单,随着手机技术的发展和人们读图能力的提升,图标的风格经历了精致复杂的拟物化到简洁清晰的扁平化
在图标设计中,我们需要先了解图形的设计方法,通过对现实对象的概括与简化,突出和夸张其本质特点,使其具有鲜明的形象特征，达到识别和传达的功能。
## 课堂练习
以小组合作的方式，为自己的班级设计一个班徽，并做设计闸述。
学生作品
## 第2课 笔形与架构――表达文字内㴠
## 基本问题
为什么要设计不同的字体?文字是如何用结构与笔形塑造表达的?
## 情境导入
字体就像文字的外衣一样，是文字的外在特征。字体设计是设计中不可或缺的表达方式。在恰当的环境下使用合适的字体,可以使设计更具表现力和感染力。从我们日常所使用的《新华字典》里,数一数你能发现多少种字体?在字典里,为什么不同部分的字体粗细和大小都不一样呢?
我们日常生活中常常接触书籍、海报、包装等许多媒介,文字运用是其中的重要手段,既要有效传递信息,也要赋孞其美观的形态,加强视觉效果,引起人们的注意。本课我们将了解字体的结构、笔形等知识,感悟字体的美妙。
## 一、印刷字与美术字
在日常学习中,我们会在一本书中看到许多风格不同的字体。图文版面上用于正文排列的文字，称为“印刷字”。中文的印刷字体主要有黑体、宋体、楷体、仿宋体。黑体是笔画等宽,没有过多装饰的现代字体;宋体的笔画有粗细变化，末端一般有衬线装饰；楷体是书法中较为简化、规范的字体,是现在通行的汉字手写正体字;仿宋体是一种采用宋体结构、楷书笔画，横竖笔画均匀的字体。
“美术字”是使用装饰手法美化文字的书写艺术。因为造型变化丰富,相较于印刷字体,美术字更富有个性,可以给人留下更深刻的印象。美术字出现在生活的方方面面,如包装、广告、报刊和书籍等。
## 识别度高
##
+1 親 $\left|\begin{array}{c}\hat{1} \\ \hat{1}\end{array}\right|$
$=2+1$
Aivin mon
装饰性低
## 装饰性高
不同风格的美术字
## 一、宇体的结构
汉字是造型多样、结构复杂的“方块字”。从几何的角度来看,最典型的汉字结构形状可分为四大类：方形、圆形、菱形和三角形。在字体设计过程中我们可以根据审美或功能来安排字体笔画在空间分布的位置、大小、比例关系。
字的中宫和重心是字体平衡的基础。字的“中宫” 指的是九宫中间的那一格,是汉字重心所在的区域。我们可以通过布局中宫的笔画位置来调整汉字的结构和造型。
永
## 知识链接
雕版印刷
活字印刷
雕版印刷在印刷史上有“活化石”之称,是中国唐朝时期发明的印刷手段。到了北宋庆历年间,毕昇发明了活字印刷，他用胶泥制成一个个的活字,使之可以重复、快捷、灵活地使用。之后又有木制活字、铜制活字出现。
$$
\text { 硐 }
$$
新英文徐冰
徐冰用新英文书法书写的“文化中国” ( CULTURAL CHINA)。“徐氏新英文书法” 是徐冰创造的一种用英文字母拼写方块字的艺术形式。中国书法能被许多外国人喜爱,除了有着几千年的文化底蕴外,还因为陌生的符号带来的神秘感和新鲜感。新英文书法对于我们来说也是似曾相识却感到陌生
## 知识链接
晴韩苇
不同于以一般阅读为目的的字库字形，体现了字体的趣味。
字间形意 $\quad$ 时澄
沟通陈绍华
## 观察与讨论
观察生活中的字体设计,你还能总结出其他笔形设计的方法吗?
设计字体时,在字体结构的处理上应当通过控制、调节笔画之间的空白在各个位置所占的比例,使字体看上去舒适、匀称，这种设计手法传统上叫作“计白当黑”。
## 三、字体的笔形
笔形即笔画的形状。不同笔形的字体带给我们不同的视觉感受。通过不同的笔形设计方法,我们可以得到许多风格各样、功能明确的字体。
1. 形态造型
4. 形象叠加
2. 共用笔形
5. 改变外形
3. 肌理质感
6. 添加装饰
## 四、字体海报创作
字体还能够运用到海报设计中，成为海报的主体。
疫情处方宋学军
茶一鸟虫书实验字体海报徐惠平借助多媒体技术为字体添加动态效果,可以增强海报的感染力,也能将气氛表现得更加到位。
第一帧第四帧
$\odot《$ Shanghai Type》动态字体海报
在字体设计中,我们首先需要了解字体结构和笔画的组合形式,构思符合视觉感官平衡的字形风格,然后结合笔形设计方法对字体进行设计。
## 课堂练习
运用本课学习的字体知识,对自己的姓名进行个性化的字体设计。学生作品
## 第3课 归纳与表现―一明晰数据信息
## 基本问题
复杂数据如何被高效理解与传达?信息是如何通过设计的手段归纳和表现的?
## 情境导入
自古以来,人类就使用视觉图形传达信息,信息视觉化在日常生活中也有着广泛运用,用心观察,你会发现地图就是一个很好的例子。通过本节课,我们可以了解图形化归纳信息的方法,结合自己的审美和兴趣来制作信息图。
## 观察与讨论
古代地图在设计上有什么值得我们学习的地方？
## 一、信息的整理和归纳
信息设计的目的就是将复杂的信息变得易读易懂,是设计师带着一定的目的性,将图像、文字、数据等分析后给孞信息以视觉形式,从而使信息快速高效传播。因此,信息的整理和归纳就尤为重要。
你坐过地铁吗？你如何能顺利地到达目的地？1863 年，伦敦地铁首次通车,此后的几十年中,地铁线路的错综复杂让线路图的绘制变得十分困难,站与站之间的距离也长短不一。1931年,工程绘图师哈里 - 克 (Harry Beck) 发明了新的线路设计图,他认为实际距离不是最关键的要素,乘客最关心的应该是上下车站的信息。时至今日，伦敦地铁的线路图仍然基本遵循他的设计思想。
$\odot 1931$ 年亨利 •贝克 (Harry Beck) 设计的伦敦地铁线路图 ( 世界上最早的线路图)
网上流传的世界不同城市抽象后的城市肌理，我们可以通过下面图片看到这些城市的空间特征。
旧金山
伦敦
米西索加
多伦多
纽约
巴塞罗那
哥本哈根
$\odot 1931$ 年前的伦敦地铁线路图
$\odot 2017$ 年的伦敦地铁线路图
## 矢口识链接
什么是城市肌理?
城市肌理将需要进行研究的城市区域分两色进行处理,通常是将建筑块体、功能区域涂黑,道路留白,这样能清晰地看出各地的城市功能区域布局、交通、城市空间规划的不同。
## 二、信息的图形化
用图形的形式表现信息内容,使信息变得更加直观和易于理解。如何清晰准确地将文字语言转换为图形语言呢?在转换的过程中,我们可以学习的方法很多,在这里介绍伊索体系的一些方法。
## 知识链接
伊索体系( Isotype) 最早用在维也纳社会经济博物馆举办的社会信息图片展。馆长纽拉特认为,图形语言是最有效的方式,他主张通过图形语言来展示信息。从 1929 年开始,由盖尔德-安茨领衔，设计了一套简化的图形标志,用来表示工业、人口、经济、政治等事物，一共有超过 4000 个的图形标志。
在信息设计的发展历程中,伊索体系的重要原则被沿用了下来,成为信息设计的重要表达方式,如“用较多个重复符号而非用较大尺寸的符号表达数量” 就被广泛用于信息图的数据呈现。
1. 造型元素的高度简化
## 2. 有限且明确的颜色
## 3. 平面化与去透视
4. 明确的数量表达
## 三、信息视觉化的表现方式
有趣时髦的图形风格,既是充满童话色彩的画作,也是别具一格的旅行指南。
$\odot《$ 一点儿北京・南锣鼓巷》李涵信息视觉化还有多种多样的呈现方式。
在地图的信息视觉化设计中,我们需要先调研地区的文化特色,提炼地标和景点的特点和位置信息,再借助图形化的手段对其进行归纳与表达，最后丰富画面使其完整。
## 课堂练习
根据本课所学的知识,为家乡绘制一份特色旅行地图,如“文化之旅”“绿色之旅”等。
## 知识链接
大数据实时视觉化
由于信息技术与互联网的迅速发展，大数据作为新的信息形态,高速渗透到了人们的生活中，发挥着极大作用。
北京最难打车地点। 滳滳中国智能出行 2015 大数据报告
展示实时动态航班的网站学生作品
## 第4课 结构与造型一保护与提升产品
## 基本问题
如何用结构保护好产品?如何用设计讲好品牌故事?
## 情境导入
我们都知道鸡蛋是易碎产品,为了防止鸡蛋在运输过程中出现破裂,设计师会如何设计鸡蛋的包装?除了通过设计解决功能性问题外,设计师又是如何运用设计手段为产品讲述故事,提升品牌影响力,以及赋予产品或品牌更多的人文、社会价值的?
鸡蛋包装设计使用结构
## 观察与讨论
一个产品不只有一种包装,不同结构包装是怎么保护鸡蛋的?
## 一、包装与功能
中国传统中药包装
产品包装的概念早在中国古代就已经存在，如中国传统包装体现了其功能使用一—就地取材、携带顺手、便于存放。包装的功能，大致又可细分为以下几个方面：保护与盛载功能、储运与促销功能、美化商品与传达信息功能、环保与卫生功能、循环与再生利用功能等。
传统茶叶包装设计一一使用结构
## 功能多样
功能简单
在设计包装时,我们应该考虑哪些因素?功能与美观如何平衡?包装的功能性分析,思考被包装物体的大小、材质、轻重、硬度等自身属性,以及产品宣传信息的有效传达,以此得出适合被包装物体的包装材料以及符合被包装物在运输、销售、整体呈现的最佳结构与视觉方式。
## 二、包装与品牌价值
包装设计除了要考虑产品的属性特点和结构,还需要体现产品的品牌价值和情感。将包装设计提到营销传播、社会责任与人文关怀层面思考,具有十分重要的战略意义。
## 知识链接
与用户之间的互动体验也是产品包装设计需要考虑的重要方面
茶叶包装设计深泽直人
[日本 ]
一个牵线木偶形茶包，此概念来自将茶包在热水中浸泡的动作,这令他想起提线木偶的舞蹈。当茶包被浸泡于热水中,茶叶胀满茶包,形成一个深色娃娃,不断重复浸泡动作,用户便会沉浸于一种玩偶游戏的神奇世界
鸡蛋包装设计 — 材质体验
果汁包装设计 —一视觉反差
灯泡包装设计 ― 情感体验
花盆设计 ―一使用趣味
## 观察与讨论
上面的包装设计给你怎样的情感体验?
## 包装与品牌第略
帮助销售商品只是完成了产业包装的一个功能，此外，就是好的包装必须同时具备帮助企业及其产品建立牢固品牌形象的功能，这是现代市场音争对企业形象推广提艸的新要侲。
$\odot \mathrm{T}$ 恤包装罐设计一一营销传播包装设计与自动售货机销售的方式结合三、包装与绿色设计
为了增强设计责任感,赋予产品包装更高的价值,设计师不仅需要了解其所服务品牌的营销、信念、价值的传播,还要特别考虑其设计对环境、生态与可持续发展的影响。
环保的包装设计,没有用一丁点儿塑料、胶带和添加剂,一款仅用纯天然树叶做原料的、100\%环保可降解的快递袋进人我们视野。
快递袋共有两层,外层为天然树叶,内层为可降解生物基材料。树叶自然形学生作品成的脉络和空隙有很好的缓冲性和耐磨性,在快递运输、分拣过程中可有效减缓冲击。天然树叶脉络可以增加缓冲性能,更神奇的是这一树叶快递袋,完全不渗水,也不漏水。可根据不同需要制成不同的大小。用完后可随意丢弃在自然环境中,因为它能快速降解成其他植物的肥料。
包装是品牌理念、产品特性、消费心理的综合反映，它直接影响到消费者的购买欲。包装是建立产品与消费者亲和力的有力手段。包装的功能是保护商品、传达商品信息、方便使用、方便运输、促进销售、提高产品附加值。包装作为一门综合性学科,具有商品、艺术、社会相结合的多重作用。
## 课堂练习
运用生活中可使用的材料,为茶叶设计、制作一个包装,要求包装设计能固定茶叶,具有符合茶叶产品调性的视觉风格和满足其自然属性的使用方式。
## 第二单元
发现问题
解决问题 ( 产品设计)
回顾人类造物的发展历程,理性与感性两种思维方式一直相伴而生，人们始终在易用和审美之间不断寻找平衡。
在我们所能了解的人类社会生活早期,为了生存,先辈们专注于解决问题,发明创造层出不穷。进人相对稳定的历史时期,追求感官愉悦略占上风。工业时代来临后,一方面人们追求利益最大化,另一方面由于商业竞争与艺术审美,产品的独特性更多地被考虑,科技发明与艺术创造开始相伴相生,复合成一体,即工业设计。
随着市场发展与商业竞争的加剧,各类有助于提升产品附加价值的手段被不断开发出来,人类开始意识到在追逐个人享受的同时,地球已经不堪重负,人类需要重新审视自己的生活行为,从而开始意识到在造物过程中需要加人可持续发展和人性化的概念。
如今,我们怎样在科技、需求、审美和经济间权衡,并将策略性解决问题的过程应用于产品、系统、服务及体验的设计活动，本章将逐步解答。
## 第1课 功能与审美——营造多样生活
## 基本问题
产品设计就是处理功能与审美的关系,那么设计时怎样处理这种关系呢?
## 情境导入
我们每天使用的水杯千姿百态,每个水杯的设计各有侧重。如果把功能比作纵轴、艺术比作横轴,那么设计就是它们的交叉点。下面通过对饮水容器的分析,我们分别从功能与审美两方面探究它们是怎样在设计中发挥作用的。
## 一、设计使功能更训合理，符合大众生理需求
产品要具备解决问题的使用功能。以饮水容器为例,使用便捷是设计的关键。下面通过具体分析加深我们对水杯功能的理解。
把杯
## 1. 抓握与防渏
对于体积过大的水杯，给它加个把手即可以便于抓握。如果两侧都加把手,即便是腕力很弱的孩子也可以轻松抓握。当然把手还有防㳷的功能,一次性水杯可以设计一个防烫杯托。现实生活中,针对防烫早就有许多智慧的方法,比如,将两个纸杯套在一起,编织一个隔热套。下图（右一） 是设计师根据这种隔热原理设计的热咖啡杯。为什么这个倒雉造型上下反差这么大呢?这主要是出于人机工程学的考虑,可以使整个杯体粗细尽量适合不同大小手型的抓握。
双把水杯
杯托
编织隔热套
热咖啡杯
## 2. 保温与防尘
图中两个杯子都有具备保温和防尘功能的杯盖。左边在盖顶加了便于拿捏造型的小把手,操作简单,此产品适合家庭使用;右边运用塑料工艺的卡接结构将杯盖与杯体紧密结合,再加上平盖顶部设计了一个可以翻开的小机关卡盖,可以最大限度地避免侧漏,这个设计满足了消费者便携的需要。
紫砂杯
饮料杯
## 3. 使用功能的差异
东方饮茶方式逐渐仪式化,盖碗的杯盖嵌人杯体,虽然防尘性有所减弱,但具备了内翻滤茶叶功能。因为泡茶过程中茶水有可能溢出,所以底部加了茶盘。咖啡套装也有盘子,但为什么尺寸稍大?西方饮用咖啡需要添加辅料,所以杯盘要考虑放置方糖、搅拌勺的位置。
盖碗
咖啡套装
## 观察与讨论
举一反三，看看其他盖子是怎样设计的?
## 观察与实验
学习中国饮茶方式,了解操作步骤,体验盖碗的功能。比如,杯盖的用法、顶盖凹坑的作用、茶盘底部很窄的原因。
## 思考与探究
你最喜欢图中哪个饮水容器的造型?为什么?
二、设计追求赏心悦目,满足大众心理需求
以功能划分的产品充其量只是类别的差异,真正构成琳琅满目商品世界的原因,是产品造型的差异化,以及材料与加工工艺的多样性。
## 1.造型美
运用风格独特的造型、色彩、肌理、纹样等元素构建出千姿百态的产品世界。
矿泉水瓶
保温杯
仓运动水杯
## 2. 材质美
材质具有丰富的表现力。竹质的杯子给人一种自然简朴的感觉;陶瓷类的杯子好打理,同时手感舒服,可以做各种表面处理；玻璃杯晶莹剔透，可以直观反映饮品的状态。
竹杯
瓷杯
玻璃杯
## 3.工艺美
许多金属材料都适合用来制作杯子,但机器加工和手工的表现力差异很大：金杯富丽堂皇;镶嵌杯华彩亮丽;敲制银器古朴大气。
金杯
镶嵌杯
银杯三、设计是功能与审美的高度融合
产品设计师更像是结构工程师与造型艺术家的复合体。他们的创作过程在理性思维与感性思维之间不断地交错。任何产品都涉及功能与审美,两者难以分开,只是实际设计时根据需要有所侧重。如果侧重功能,产品就会呈现实用性强的特点;如果同时强调功能和审美,结果将给人以高品质的感受。下面通过一组饮水容器的功能与审美的对比图进一步体会它们的丰富多彩。
## 课堂练习
一次性纸质水杯识别设计：每位学生将自己的水杯进行个性化设计，要求作品兼顾识别性和审美性。
## 第2课 改良与创新一一推动社会发展
基本问题
产品不断更新换代，是哪些动力促成这些改变?
## 情境导入
最好的设计！永恒的经典！这只是设计师的美好愿望。通过分析我们每天接触的门把手,了解科技、需求、审美和经济是怎样推动产品的改良与创新的。
## 一、曾经的经典,不断地推陈出新
伴随着人类社会的发展,新技术、新材料层出不穷,再
加上需求与审美的不断变化,商品市场不断推陈出新。在这些趋势下，任何一种产品都变得更容易被更好的新产品替代。对于那些曾经的经典，人们会追忆很久，甚至永远难以忘怀。以门把手为例,由于工作原理、材料工艺的日趋完善,功能定位的不断明确,造型风格的日渐多样,于是市场上不断出现形态各异的门把手。
东西方各时代经典门把手比较
二、科技进步是产品发展的原动力
随着科学技术的发展,人们认识世界和改造世界的能力不断增强,其中包括更新原理知识、创造新材料和新工艺,尤其是互联网、大数据和人工智能技术的出现,将逐渐引发新一轮的产业革命。下面从门把手的演变具体了解原理、材料和工艺是怎样变化的。
## 1.原理更新
门是建筑物的安全屏障,如何有效开启或关闭是设计的重要课题。早期的门很重,推开相对简单,但关上就比较困难,于是门把手主要解决回拉问题;再往后,出于安全和操作方便的考虑,将门把手与门锁联动,就形成了套装系列;近期,随着人工智能的发展,结合感应、识别和声控等技术,门把手又有了改进。相信在不久的将来,门无须接触即可开启控制,那时也许门把手将不复存在。
传统欧式拉手
把手套装
智能门锁
## 2. 创新材料与加工工艺
门把手的选材与加工经历了从天然易手工的木材，到易于弯曲或磨制的金属,再到适合各种机器批量加工的复合材料的过程。精密制造和数控加工技术及3D打印技术的发展,大大提升了门把手的品质。
传统木质门揷销
金属包皮革
## 知识链接
中国传统门环即关门的把手,又有扣门的功能
$仓$ 密码与指纹识别一体化设计
远程控制开门系统
水晶抛光工艺
## 观察与思考
观察生活,查找身边设计不合理的门把手。
## 思考与探究
防火门为什么向外推?
## 知识链接
时代感与风格化
19 世纪欧洲
20 世纪中欧洲
20 世纪末欧洲
21 世纪欧洲
三、新需求与风格㐍化是设计发展的推动力
## 1. 完善需求
门的开启方式除了前后推拉外，有时也需要左右移动。图中左一用于横向推拉门,采用嵌人式设计不妨碍门左右移动。左二多固定在玻璃门上,既可以装在左右滑动的门上,也能够装在里外推拉的门上,而且将把手拉长适合各种高度的人使用。左三采用紧凑的把手和门锁一体化设计，但抓握旋转需要手腕使劲,孩子和老人使用不方便。右一易于抓握，下压很省力。另外，能否“一目了然”,知晓如何操作也是衡量把手设计优劣的重要标准。
内凹抠手
长把拉手
旋转把手
下压把手
## 2. 追逐时尚
人们的审美随着时代的发展而不断变化。丰富多彩的造型体现了不同的艺术风格。极简主义、复古主义、功能主义、欧洲风情、新中式等营造出独特的审美意境,使产品焕发活力。优秀的造型设计有时可以极大地提升产品的附加值。
## 四、经济发展是设计发展的诱因
## 1.设计提升性价比
产品只要能满足消费者的需求,无论是高档的密码门锁还是低档的钣金门把手都会有良好的市场回报。优秀的设计就是在功能、工艺、造型和市场等因素之间不断平衡各方关系，逐步形成性价比最佳的解决方案。
## 思考与探究
你买东西关注功能、材料、造型或价格吗?
## 2. 设计追求附加值
设计师通过增加附加功能、塑造美感或提升材料的价值感等手段,使产品焕然一新,极大地满足了部分消费者更高的要求。追逐更高的经济效益,既是企业的目标,也是设计师的职责。
## 课堂练习
观察学校或家里的门把手,和同学一起互相比较,从功能、
材料工艺、造型风格、价格等方面讨论各自的优缺点。
## 第3课 需求与服务――满足受众需求
## 基本问题
设计师评判创意的标准是以自己的喜好为依据,还是从他人角度着想呢?
## 情境导入
你会经常遇到这样的情况：自己喜欢的东西,但别人不认同。设计师的工作就是要了解个性需求的差异,分别为他们提供满意的产品。设计工作与艺术创作最根本的区别是更强调为大众服务。有时即便开始是来源于设计师的灵感,但在实施过程中也会转化成满足同类诉求的利他行为。下面从生活中的多个领域揭示大众的需求,以及设计是如何为大众服务的。
橱房用品
厨房废品的装置艺术
## 一、设计要考虑大众需求的差异化
无论是企业研发还是设计服务,设计师都要设身处地,围绕用户的实际需要进行设计,而不是自我的标新立异。下面具体探讨同类产品如何适应消费者个性化需求。
## 1.三款多用鞋反映出的个性差异
沙滩凉鞋
老人两用鞋
传统布靯这款 2002 年卖出 3 亿双的沙滩凉鞋说明了设计定位的重要性,它首先抓住了年轻人对凉鞋和拖鞋及时切换的需求,其次配以时尚的造型，最终抓住了消费者的消费心理。而实用方便的两用鞋在老年人中也有极大的需求，但从材料、方式和款式等方面要有很大的调整。其实我们传统的千层底布鞋早就具备这一功能。
## 2. 通过椅子体会行为的差异化
休闲椅充分考虑舒适性和轻便性,办公椅为久坐配备了许多调节功能,沙发在满足坐卧的同时,也兼顾㞣围的营造。同样是为坐而设计,但如此丰富的变化实际是源于对大众行为方式差异的细心挖掘。
休闲椅
办公椅
沙发
## 观察与讨论
你能举出生活中其他体现差异化的例子吗?
## 3. 通过东西方餐具体会文化差异
体现东方饮食文化精髓的䇦子,虽然在中、日、韩三地略有差异,但需要运用技巧、具有灵巧多变的实用性是一致的。这与西方强调功能精细化的刀叉勺系列餐具形成鲜明的反差。通过两种饮食餐具的对比,我们能够深刻感受到两种文化的差异。
## 4. 通过三种形式的自行车感悟社会需求的差异
以前人们都希望拥有一辆自己的单车,但存放是个问题。为此设计师开发设计了便于携带和节省空间的折叠车。近些年,随着共享经济的社会观念逐渐深人人心,有人开始意识到满足功能需求即可,末必要拥有。这个例子说明生活观念的变化也会促使设计不断完善。
山地车
折叠车
## 知识链接
中国䇧子
西方餐具
共享单车
## 二、设计如何满足大众需求的多样性
除了个体的差异外，即使是同一位消费者，他们的需求也不是一成不变的，往往随着年龄、季节、情绪和审美的变化会不断调整。设计师要敏锐地发现这些微妙的变化,只有对症下药才能收到良好效果。下面结合实例具体研究消费需求的丰富性。
## 1. 衣柜是怎样展现出丰富多彩的个人需求的
“女人的衣柜里永远缺少一件衣服”,其实男士又何尝不是呢?设计师就是一直在绞尽脑汁地试图为其补上那一件的人。
学步车
踏步车
三轮车
儿童自行车
女士衣柜
男士衣柜
## 2. 灯具在家里扮演着怎样的角色
床头灯
工作灯
吊灯
吊灯、床头灯、工作灯、壁灯、落地灯等，居室各种功能空间的不同灯具满足人们日常娱乐、休息、工作等多样性需求。
## 3. 孩子成长很快,如何通过设计满足不同年龄段的需要
市场开发设计的许多产品相伴孩子从蹒跚学步到茁壮成
长,但它们的使用周期往往很短。是否有更智慧的创意可以适用于多个年龄段?
成长登
4. 老人生理机能日渐衰退,怎样的适老化设计可以解决问题
助行器
适老卫生间
拐杖癷
老人餐具
老人电动车
老人手机
我国已经进人老龄化社会,提升老人日常生活质量的任务刻不容缓。今后在适老化设计、无障碍设计等领域需要更多有创意的产品。
## 课堂练习
每人选一支自己喜欢的笔,参照需求的差异化与多样化进行
小组分析讨论。
## 第4课 程序与方法—一确保有效实施
## 基本问题
服装设计师是怎样开展工作的?他们的设计方法是怎样的?
## 情境导入
你衣柜里 $80 \%$ 的衣服都因设计而存在。服装从最基本的满足人们保暖御寒的功能需求到如今满足人们表达自我的精神需求,这被称为人体的第二层皮肤,在如今多元化的时代环境中成了人们追求时尚、张扬个性的载体。
## 知识链接
侯赛因 • 卡拉扬 (Hussein Chalayan ) 的作品有着超前的末来审美和反平庸创意设计，他擅于使用电影短片、装置艺术、雕塑性时装来探索和感知现实生活,其末来主义设计的情感表达更是让他乐此不疲。他借助科技将他的作品带到了一个新的高度,表达着对于末来的思索与想象
## 观察与讨论
以上照片传达了设计师的哪些创意和怎样的个人风格?一、严谨的过程是设计的基础
设计的环节之间不仅前后相继,而且因果相承,前期研究是后续研究的基础,后续研究是对前期成果的展开和深化。
## 1. 服装设计过程是怎样的
## 2.服装设计是怎样演化的
从调研到样衣经历的步骤：资料收集、市场调研、图书查阅、灵感来源、头脑风暴、概念版、元素提取、流行趋势、设计草图、效果图、服装廓形、打版制作、样衣调整、最终输出、大片拍摄等。
## 知识链接
东西方的服饰文化差异一直存在。从历史㿠源、人们的生活习惯、文化传统和地理环境等方面,形成了各具特色的风貌和体系。东西方服饰最大不同就在于平面化和立体化。
以中国传统服装为例,衣服都可以平整地叠起来放进箱子里储藏,这也是为什么古代中国的服装都是用箱子装而不用衣架的原因。而西方的服装是有立体造型的，衣服的外形和人体的外形十分吻合,由于有曲线的凸显起伏,所以衣服无法推平,只能挂在衣梔里。
中国服饰的美学观念表现出意象的特征。造型上婉约且含蓄,纹样装饰上,代表了其社会地位，富有传统的民族特色。而西方服饰的美学观念则更注重展示人体之美,讲究穿着效应，善于显露和突出主体。
明清服饰
欧洲服饰一、科学化的方法是设计成功的必要保证
设计工作与科学研究很相似,都需要做好调研,并进行实地考察，还要经过反复推敲、动手做实验。
设计师通过科学的理论知识、整体的设计观念、普遍联系的过程机制、符合逻辑的设计程序和灵活多变的应用方法来更准确地表达设计理念和设计意图，而设计方法并不仅仅是一种技术手段,它需要设计者具有很强的创新思想和独特的思维方式。
下面以服装设计师如何表达自己的概念为例，具体介绍设计过程中运用了哪些设计方法。
## 1.灵感捕捉
灵感是服装设计过程中一种重要而又普遍的源泉。它是在人的知识和经验长期积累的基础上，对偶然发生的现象作出迅速而理性的捕捉的结果。其主要来源于自然、文化艺术、建筑、环境、生活感受等途径。
源于自然
源于文化艺术
源于建筑源于生活
## 2. 设计表达
服装效果图最初的作用是记录当时社会流行的服装样式,而后发展成服装设计师表达设计意图的方法,使设计师能生动地表现出服装的整体风格、穿着状态、造型特征、面料质感以及色彩配置等要素,因此产生了各种不同风格的效果图。
不同风格的效果图呈现
## 3. 色彩的应用
色彩是服装构成的要素之一,是第一视觉冲击力,它营造出的整体氛围,为服装打造出不同的感受。服装色彩搭配可用同类色、邻近色、对比色、互补色、冷色、暖色和互带的方法。
同类色
对比色
互带
邻近色
互补色
暖色
冷色
## 观察与讨论
这些服装色彩给你怎样的感受?
## 知识链接
三宅一生探索出了一种易于被永久定型的聚酯纤维布料,剪裁缝制好衣服的形状,再夹在两层宣纸之中,在特殊的高温机器中压裮、成形。当衣服再次展开时,衣服便产生了一种均匀的永久的波褶,而当衣服被穿着的时候,这种波褶由于穿着行为,变成了无数均匀细小的折点,创造出了新的空间和体积,使整件衣服具有了极强的雕塑感,即使是悬挂在那里。这个系列日后成为三宅一生标志性的设计风格,被称作“一生褶”
三宅一生“一生褶”
扎染古称扎缬、绞烦、夹倾和染倾，是中国民间传统而独特的染色工艺之一。其工艺特点是用线在被印染的织物打绞成结后,再进行印染,之后把打绞成结的线拆除。它有许多种变化技法,各有特色。更使人惊奇的是扎结每种花,即使有成千上万朵,染出后却不会有相同的出现。这种独特的艺术效果,是机械印染工艺难以达到的。
扎染
## 4. 面料再造
面料是服装设计师诠释流行主题和体现服装风格的基本载体，它承载着设计师的理念和思想。一块好的面料往身上一披,就是一件很漂亮的衣服,不需要太多的设计,因此它本身已经完成了服装设计一半的工作,同时也给服装设计带来更多的灵感。
下面具体介绍常见服装面料的设计方法。
祤裥：通过对面料曲折变化带来微妙的动感和立体量感的装饰效果,褶裥的工艺手法包括抽波、压祤、捏袙、捻转、波浪花边、堆叠、层叠等。
印染：我国传统的手工印染技艺有着悠久的历史渊源和深厚的文化底蕴。
刺绣是最传统的服装面料装饰手法。绣线的针路和凸起的花纹使图案具有浮雕式的独特的造型美。
镂空：包括镂花、镂孔、镂空盘线、镂格等。
## 5. 制版方法
（1）服装制版是将效果图的立体表现形式平面化,转换成能够制作生产的裁剪图,可以平面裁剪也可以立体裁剪。平面裁剪是从平面到立体,即在平面上对人体比例的灵活应用作出设计的样板,再转化到立体上进行检查调整。而立体裁剪是从立体到平面,即通过坯布在立体人台或人体模特身上针对设计的造型通过扎、别等手法进行制版,在此过程中偶然出现的很多效果都可能激发设计师更丰富、深人的创作灵感,再将其拆解开转化到平面上进行确认调整。
在纸上的平面制版
在人台上的立体裁剪
（2）以“一片式”结构裁剪为例
一片式裁剪以矩形为主要面料形态,以零浪费、少裁剪为裁剪前提,以面料利用最大化为设计理念,增加款式的多样性。可通过缠绕、开洞、切割、披挂、祤皱和拼接等方法,使服装呈现出丰富的造型效果。
(1)缠绕法：缠绕是人类从古至今使用的基本的服装样式之一,是将一块布料有规则或随机地缠绕在人体上,不经过裁剪或经过少量必要的裁剪而成,适合轻薄有垂坠感的面料。
左古希腊的“希玛纯” 右古罗马的“托加”
印度“沙丽”
印度阿萨姆邦的腰布 (2)开洞法：开洞法通常是在一块面料上挖一个或几个洞,把头或身体的一部分从洞中穿过，挂在肩上并通过细带或腰饰塑形。
智利“乒乔”
$仓$ 墨西哥“凯斯凯米特尔”
危地马拉“维佩尔”
(3披挂式：以肩为支点，把面料披挂在身上，可用扣子或别针进行固定。
$仓$ 古希腊“多利安式西顿”
$仓$ 古希腊“卡立密斯”
仓古希腊“多利亚式”
(4)切割法：将完整的一片布围裹在身上，通过剪口裁剪的方式使其更符合人体结构。
汉代“秋衣” (5)拼接法: 将一片布裁剪成几何图形进行重组或将两个以上的面料进行组合拼接。
苗族女上衣
玛德琳・薇欧奈“手帕裙”
在服装设计中，我们需要先确定主题,再进行调研，提取关键元素，确定色彩和面料，运用绘图和动手实验的方式,完成创意服装设计。
## 课堂练习
以小组为单位,用“一片式” 结构裁剪的方法,结合以上所学的色彩和面料再造的知识,发挥你们的想象力,制作一件体现集体创意的服装。要求参考结合这堂课所学的设计步骤与方法,选定一个主题，把握小组的服装风格，构思多个草图，再确定一个方案，深化设计。
## 知识链接
薇欧奈发明的斜纹剪裁技术不但改写了时装史，也影响了许多后辈设计师。斜纹裁剪技术采用 $45^{\circ}$ 对角裁剪的方式，巧妙地运用面料斜纹中的弹拉力，进行斜向的交叉，最大限度地发掘面料并利用其自然垂坠使衣服仿佛身体的第二层肌肤。也有人称这种服装为“手帕衣服”
此技术的灵感是她觉得传统服饰不容易脱下，而斜裁法则可借助斜纹本身的张力，令衣服紧贴人体，却不束缚身体
«手帕裙”
学生作吕
$$
\begin{aligned}
& \text { 第三单元 } \\
& \text { 源于自然高于自然 (环境设计) }
\end{aligned}
$$
人类是自然的一部分。我们的生产、生活都与自然有着密不可分的关系,直接或间接地受益于自然;反之,我们的活动也或多或少地影响着自然的运转。
环境是人类与自然的连接点,从离我们最近的室内环境,到更大一些的建筑环境、景观环境、城市环境,人类对环境的设计无不与自然有关。首先,我们从自然中获得资源,环境设计中的大部分材料都来自自然,如土、木、石等,我们将其采集、加工，置于环境之中，建构我们的环境空间。其次,我们对自然资源进行较复杂的改造,使之更好地服务人类的生活,如我们将土烧制成砖,用砖砌筑房子,使之更为坚固；我们还将土烧制成瓷砖,装饰和美化空间等。当然,更为重要的是我们从自然中学习知识,再将这些学来的知识加以抽象、延展、䇞选、组合,形成体系，并利用它们营造对人类有益的环境。我们对自然光的学习成就了室内的人工灯光照明设计。我们将自然界的植物进行分类,加以有意识地培育，搭配植物形成景观绿化系统；等等。
环境设计是一门复杂的学科,它包含很多内容,从室内到建筑,再到景观,从物理空间到精神气㞣,从文化传承到技术创新等。本书不可能逐一详述,只能用管中突豹的方式展示环境设计的一部分内容,并借此说明环境设计的规律,即源于自然，高于自然。
## 第1课 科技与文化———决定建筑形式
## 基本问题
环境设计的重要组成部分—建筑,是如何受科技和文化等因素影响的?
## 情境导入
我们日常走在上学的路上,环顾四周环境看到了什么?天空、建筑、植被、道路、河流等。其实所谓的“环境” 是可大可小的。广义上讲,大到宇宙万物,小到你我身边的点点滴滴都是我们生活的环境。我们除了要认识不同的环境对人类生活方式的影响外，还需要通过分析和实践了解环境和建筑的关系。
人类生存的大环境 ( 自然环境 $)$
我们生活的小环境 (人居环境 )
## 一、一切的开始
中华五千年，环境已随历史的更替发生了多次演变。从原始社会人类单纯依靠自然环境,发展到利用周边资源改造环境,甚至可以创造新环境。人类经历了什么?从最初简单粗䊁的穴居、巢居生活逐渐发展到人人都住进美观的建筑，欣赏着精心布置的景观,环境变得更大、更复杂、更美丽,人们对环境的需求也越来越多,要求越来越高。人类从没有停止探索的脚步。
人在设计、改良环境的过程中无不围绕着同一个命题：“发现问题，解决问题。”最初人类并没有房子,也不需要设计房子,人类利
用天然的地方来保护自己，洞穴成了理想的“房子”。
之后,人类开始自己建造房子。最先，人类用几根柱子支撑起的顶子来遮雨。
为了进一步挡风，墙产生了。最初的墙可能是用草和木头建造,而后人类考虑到墙的坚固耐用性，改用泥土、石头或砖做墙。
为使光线进人室内，窗户产生了。至此，一间朴素的房子终于完成了。
随后,为了方便生活,人在房子周边围起院子,用于种菜及休㕷。在房子内开始分隔房间,用于不同的居住使用需求，一个完整的环境逐渐建立起来。
## 思考与探究
你认为房子“从无到有” 的过程说明了什么?如果按照这个逻辑，末来的环境可能还会有哪些变化？请你用草图表现出来。
## 二、决定建筑的因素
中国国土广袲无垠,干寒的北方地区、湿热的南方地区、广阔的西部地区等，各地区地理、气候、资源、科技等因素皆有很大差别,造成了多种环境语言,形成了大量风格、类型不一的建筑。
中国各地建筑的多样化
## 知识链接
院落的尺度差异
通常南方的院落 (天井) 比北方的窄，因为南方天气炎热,狭长的天井一方面可防止夏季的阳光直射院内,另一方面又可确保房屋间的空气流通。而北方则为了保证冬季院内的光照,防止房屋的阴冷，尽可能地扩大院落。
山西王家大院的庭院相对宽阔
江西正龙村李家大宅的庭院形态狭长
屋顶的形制
在我国西北地区,传统民居通常为平顶,因降雨少，气候干燥,且可用作生活晒台;而南方多为双坡顶，出檐较大，方便多雨季节屋顶排水其中徽派建筑考虑防火需求,砀起高大的马头墙将每户之间分隔开，房顶为坡顶。
徽派建筑
江南水乡
## 探究与讨论
是什么造成了建筑的多样性?为适应坡地,因此建筑前后高低错落。地处山区,木材资源丰富，就地取材且建造较简易。因降水量大，坡顶排水，且出檐大，以防止霢水人户。气候湿热，需大量开窗,保持良好的通风。
$仓$ 吊脚楼,多分布于四川、贵州、湖南等地区,房屋多背山面水而建,双坡屋顶,木结构
受高原地区地形影响,窑洞主要分为靠崖式窑洞、下沉式窑洞和独立式窑洞。生土材料,可就地取材，方便建造,价格也便宜，并且具有良好的保温保湿性能。
受近代西方文化影响,骑楼外立面既具有西洋风格,又保留中式元素,中西合璧。为生意便利,建筑形制主要为底层商铺、上层居住。因季节炎热且多雨,连廊方便遮阳挡雨,有利于民众出行。连廊制造了共享空间，给民众提供娱乐和休闲场所。
骑楼,多分布于南部及东南部沿海地区,兼具商用及居住功效,为外廊式建筑物。三、文化的影响力
古今中外，客厅的布局与使用者的行为方式有很多关联。在中国古代,客厅在很多地方称为“堂”。堂的空间布局和现代的客厅有很大的区别：堂中心挂牌扁，其下挂神仙像或“天地君亲师”,主人坐于中间正位,客人位居两侧。这种布局方式和中国古人的待客习惯有何关系?和中国人的传统道德观是何种关系?
西方的客厅和中国的客厅不同,壁炉是西方传统家庭的中心，生活围绕壁炉展开,沙发、地毯、茶桌和壁炉构成的空间组合是客厅空间的核心。而日本传统客厅,席地而坐的习惯使室内空间布置不同于西方和中国传统客厅形式。
## 课堂练习
收集不同地区、不同文化背景下的建筑图片,分析这些建筑为什么会不同?
## 知识链接
由于经济的增长、科技的进步，现今客厅主要由沙发、茶几、电视和电视柜组成,并且电视成为客厅的中心
你是否能够列举，与中国古人的客厅相比我们的客厅发生了哪些改变？
你认为现代家庭中的客厅和改革开放后我们的居家生活习惯是否有关?和我们的家庭结构是否有关?你认为是什么导致了这些改变?
## 第谜人工与自然一一垽造环境景观
基本问题
景观设计是环境设计的重要组成部分,我们应该如何认知景观，怎样更好地改造环境景观?
## 情境导入
我们每天都接触景观,自家院子、小区的绿地、校园或者公园,舒适的景观可以为生活增添色彩,不舒适的景观则适得其反。每天行走在校园里,校园里的景观是否都让你满意呢?你喜欢哪些部分,又不喜欢哪些部分?如果想要设计一处心仪的校园景观,那么就需要了解景观元素及景观的搭配组合,让我们一起放松心情,感受景观的魅力!
## 一、优美的校园景观
校园规划平面图 ( 局部)
一道路
要设计一个公园,首先要考虑道路。道路决定了人在公园中行走的路径。道路的形式可以是直的,也可以是弯曲的;道路材料可以是水泥或者柏油,也可以是石子或者木材，不同的处理方式有不同的效果
宽阔且笔直的道路
弯曲的道路
石板小径
木栈道
## 三、植物
植物是公园景观设计中的主要元素。植物种类包括：高大的乔木、低矮的灌木、花卉以及草地。它们并不是孤立的,在设计中可以相互组合,形成不同的变化。此外,不同的植物在不同的季节还会变色,比如枫树,植物色彩的变化也会影响设计。
低矮的灌木
变色植物
仓草地
高大的乔木
## 知识链接
园林
过去,园林是人与自然直接接触的主要景观之一
中国古代的园林,分为皇家园林和私家园林两大类。现存的皇家园林多集中在华北地区，私家园林则以江南地区保存最为丰富。中国传统园林始于商朝的畕，经历各朝各代，至明清时期发展到顶峰,其中私家园林的艺术成就较高。私家园林在设计手法上讲求“曲径通幽”“移步换景” 等,在哲学层面反映了中国古人“天人合一” 的思想
中国皇家园林的代表: 颐和园
苏州私家园林
中国人崇尚自然，效天法地,讲求“虽由人作,宛自天开” 西方园林,特别是法式园林则或多或少的更人工化、几何化日本的园林源自中国唐宋园林,但也走出了自己民族的特色。
西方的园林
日本的园林
## 四、水
水是景观设计的重要元素。有了水，环境的质量会提升，也可以让人心旷神怡。水景观有哪些形式?湖、河流、小溪、瀑布、泉水，它们的特点是什么?
湖水疏朗开阔
河流具有很明确的方向性
溪流，活跃场地气氛，提供游戏可能
喷泉使景观更具活力
## 五、其他
座椅、导视牌、路灯、构筑物等也可作为景观小品出现。它们既可以满足使用功能的需要,又可以成为景观的一部分。
座椅
导视系统
景观灯具
队小型构筑物在上面的课程中,我们初步了解了景观设计的异同,知道它们影响了现代景观的设计。当代的校园在继承古典园林的基础上，更加注重环境与人的联系。
校园景观
## 思考与探究
如何设计一个校园景观呢?可以参照如下步骤。
步骤一：确定场地边界
步骤二: 道路组织,既要考虑通达,又不过于刻板
步骤三: 设置主景观元素，如水景观
步骤四：布置植被，合理安排植被，如皋木可沿主要道路布置,也可布置在场地中焦点位置
步骤五：设置活动设施，如可在道路沿线安放座椅，在主要景观附近安置休息凉亭等
## 课堂练习
学校有一块矩形场地,打算设计为一个景观。请你用草图的形式为自己的学校设计这块小绿地。
## 第】淉形态与材料――构架室内空间
## 基本问题
如何塑造室内空间的物理属性?空间的尺度、形状和材料等因素是如何影响室内设计的?
## 情境导入
人的大部分时间是在室内度过的。家是我们最为熟悉的环境,但你知道这些空间是如何变成现在的样子的吗?无论你是否喜欢,其中的设计无处不在,它贯穿在室内空间的各个角落。
## 一、尺度
房间的大小是室内设计时遇到的第一个问题。什么因素决定我们房间的大小?比如客厅，它的长和宽的尺寸是基于什么确定的?客厅的长度和阳光照人房间的深度是否有关联?客厅的宽度是否又和人观看电视的距离有关系呢?
某住宅平面图,可以看到室内的布局和功能的需要紧密相关,如房间的朝向，房间的大小和家具布置等。
住宅的客厅，布局和尺寸的设计来自对人身健康和使用功能的需要。为了使更多的阳光照人客厅,住宅通常朝南开窗,且要保持足够的大小和合适的深度。而我们观看电视的习惯决定了客厅的宽度及沙发、茶几和电视机的摆放方式。家具的高度和尺寸又是由什么决定的?它与人的身体和人的行为区间是否有关系?其实人体功能学已经告知我们家具的尺寸都是与使用者的身体和运动有关的,也可以说是人的身体决定了家具的尺寸。
人体功能学,住宅室内的尺寸和人、行为有关
## 二、形状
房间的形状也是设计的重要内容。在住宅建筑中,绝大部分房间是规则的矩形,但在公共建筑中,室内空间出现特殊形状的概率比较大,这种情况主要是由功能决定的。
除了房间的整体形状外,室内界面和物品的形状也会影响室内的效果。当它们发展成一种模式时，就会形成风格,如现代简约风格、乡村复古风格、青年风格等。
## 知识链接
在满足功能的前提下,人们有时候也会因为审美或者精神性的需要,选择特殊的室内空间形状。如北京天坛的祈年殿,因为建筑代表了中国传统概念里面的“天”，取天圆地方之意，把建筑做成了圆形的平面。又如古罗马的万神庙，也因为宗教的诉求将室内空间设计为球形。
天坛祈年殿的室内，呈现圆形
万神庙
## 思考与探究
圆形、方形、三角形以及不规则的形状,它们会给室内设计带来什么不同的效果?三、材料
室内空间需要通过材料来塑造。选择合适的材料是室内设计中重要的一步。如何选择正确的材料呢?
首先应该考虑使用功能的需要。不同材料有不同特性,也会对应不同的使用诉求。比如大部分家庭卧室的地面会使用木地板，而卫生间和厨房的地面则使用瓷砖，为什么呢?
木地板给人温馨、舒适的感觉
瓷砖便于清洁
材料可以影响心理感受，如木头会给人温暖、亲切的感觉,石材会让空间显得更为公共,厚重的丝线古典感十足,而轻薄的纱幔会给人浪漫的遐想。根据空间的需要，选择正确的材料是室内环境设计中重要的一环。
红砖
石材
纱幔
布料
纯木空间，使人亲近、温暖
石材产生距离感,使人冷静
丝线营造的复古风格
空间离我们这么近，又那么远。为了更好地认识空间、利用材料,通常我们可以通过手绘草图并标注材料样式的方式来明确室内空间的风格效果。
## 课堂练习
根据本课所学知识,设计自己的卧室简图,以草图的形式表达,并标注说明材料。
## 知识链接
田园风格的室内设计，形式较为传统，反映了所在地区的民间特色，材料也基本从当地获取。青年风格派或装饰艺术风格室内设计则从花草纹样中汲取灵感,形式多为曲线,材料多采用金属、瓷砖等。简约风格的室内设计摒弃了过分的装饰，形态简练，材料现代。
田园风格的室内设计
新艺术运动风格的室内设计
北欧简约风格的室内设计
## 第4课 光影与色彩——营造室内气氛
## 基本问题
如何营造室内气氛,通常有哪些手段?
## 情境导入
我们经常有这样的经历：当我们走入一个明亮的房间时，会感觉愉快、安全，而进入一个黑暗的房间时，容易产生恐惧。不同色彩的室内环境会让人产生不同的心情
立方体示意，不同颜色的组合
## 一、色彩
色彩是室内设计中又一个重要的元素，它是决定空间气氛的重要手段。色彩具有很强的表达情感功能,如红色给人热烈、激情的感觉,蓝色代表冷静、宁谧、深沉等情感,绿色和自然有天然的联系,粉色总让人联想起少女情怀等。我们要学会设计室内空间，就必须学会使用色彩。
不同的使用功能,不同的审美诉求,不同的人群特点会衍生不同的室内色彩设计。如幼儿园的室内色彩会倾向于斑斓，茶室的室内色彩则多为纯净的暖白色或者灰色。
某幼儿活动中心,鲜艳的色彩符合儿童的喜好
黑白的色彩使空间很具戏剧性和艺术感
清淡素雅的茶室，色彩以中性为主
空间中的色彩很多时候不是单一的,不同的色彩会进行组合。在组合过程中,我们首先要思考整个空间色彩关系是以对比为主,还是以和谐为主,如果是前者则应该合理地运用对比色或者互补色来组合;如果是后者,则要注意使用类似色或邻近色。
## 思考与讨论
在家中，自己的房间是什么颜色的,你喜欢吗?如果让你改变它,你会选择什么颜色?
$60^{\circ}$
运用对比色、互补色营造戏剧性的效果
## 思考与讨论
我们该如何设计室内的光呢?$\longrightarrow$ 光
光的运用在室内设计中具有非常重要的地位。如果没有光，我们就无法看到物体,也就不会有色彩，更会丧失绝大部分的视觉感知。
光在室内的设计首先要满足基本的功能需要,如健康需要、见物需要等。因此,室内设计中要有足够的开窗面积,窗户的位置和大小直接决定了室内的自然采光,比如同样面积,南向的窗会比北向的窗获得更多的阳光,让室内更明亮。
在满足基本功能的前提下,室内环境设计中对光的设计更多是为了满足美学追求，甚至是精神追求。
某青年旅社的室内设计,LED 人工光改变了室内空间的气氛
丰富灵动的光影效果活跃空间气氛我们可以通过设计窗口来创造室内的光效。
设计窗口首先要考虑窗口的位置。窗口是在墙上开口,还是在屋顶上开口？在墙上正常位置开口，还是在高处开口,或者在较低的位置开口？不同的开口位置可以创造不同的效果。
其次是窗口的大小。大的窗口可以让更多的光进人室内，空间会更明亮，反之会更黑暗。
最后是窗口的形状。不同形状的窗口可以创造不同的光影效果，如方正的窗口可以让室内空间形成较为平均的明亮效果;细长的窗口会形成强烈的光影效果；而如果窗口是小的开孔，则会产生更为戏剧性的效果。总之,不同的开口,会导致不同的光效和气氛。
立方体开口示意,不同的开口可以产生不同的光影效果
## 课堂练习
使用这个立方体，去除其中的一个面，模拟一个封闭的房间学生可以根据自己的想法在立方体的面上开口,并观察这些开口引发的光影效果。
## 知识链接
从中国建筑中“床前明月光”，到西方教堂中的精神之光，光和文化之间有着一种看不见的联系。人造光的出现使光的设计更加得心应手。现代设计师中有很多名家都是用光的高手，如美国现代主义建筑大师路易・康，瑞士建筑师彼得・卒姆托,日本建筑师安藤忠雄等
山西西侯度遗址，一线天光的效果赋予空间神奇、灵性的感觉。
通过彩色玻璃投射进室内的光,既有美感，又具有精神寓意。
美国现代主义建筑师路易・康的金贝尔美术馆,天窗的运用使室内的光线柔和、均匀。
我国台湾地区法鼓山农禅寺，光从镂空经文中射人室内,给予室内空间独特的气氛。
## 第四单元创造价值服务人民
设计价值是体现在设计成果里的社会劳动,这一劳动的动机、指向均是服务大众、服务社会。其构成元素的个性化特征具体表现为有形价值和无形价值。评价设计的好坏程度,有效地提高设计水平,都完全基于设计价值表现的五大基点：基本构成、创造性、表现性、适时性、时代性，全面、深刻地理解和把握这五大基点,就能从设计价值的构成本质上正确把握设计内涵和提升设计水平。
设计的价值基点并不能抺掉其最根本的以人为本的追求,这个“人”包括个人、国家的人和世界的人，也就是服务大众的三个分论点: 情感化、本土化、生态化。所以,设计的实践从这三个层面来说,可以增强个人的心理归属感,增强文化自信,丰富世界文明元素及经典积淀。
什么样的环境可以栖息人的心灵，照亮人的生活，唤醒人曾经的追求和信念。用设计服务大众,这是这一单元希望同学们继续探索与深人了解后获得的答案。
## 第1课 提升商业价值
基本问题
设计怎样挖掘消费者的潜在需求,不断创造出具有商业价值的产品?
## 情境导入
手表是我们日常计时的工具,它的诞生要经历很多工序,设计只是其中一个环节,后续还有生产、宣传、销售、售后服务等。任何阶段的失误都有可能影响产品的市场竞争力。设计工作的确非常重要,没有良好的开始,后续工作将无从谈起,所以好的设计是商业成功的重要前提。那么如何确保设计的成功呢?
## 一、设计被市场认可才有价值
无论是设计程序多么严谨还是采用了多少有效的设计方法,如果设计成果没有得到市场认可,这意味着设计师所做的工作价值被大打折扣。设计开发与后续各环节需要不断投人大量资源，不成熟的设计往往会让企业蒙受巨额损失。以下是三个为企业或国家获得了巨大商业成功的优秀设计,通过对这些耳熟能详的经典案例的回顾,大家能进一步感受设计的力量。
## 1. 手机的革命
2007 年智能移动时代到来,特别是支持最多 10 点触摸的 Multi-Touch 屏幕,改变了人们对全触摸屏手机的认识和体验。新产品对传统手机企业带来巨大冲击,也为自身赢得了商机,大大提升了品牌价值。
## 2. 椅子的生命力
芬兰建筑大师阿尔瓦・阿尔托在 20 世纪 30 年代进行了长达 5 年的木材弯曲实验,创造了革命性的有着雕塑一般形态又不失舒适感的 Paimio休闲椅。他采用“蒸汽加热曲木技术”,对白桦木加热压制,使得木材能够自由弯曲,这种弯曲使它具有了更大的回弹性。该休闲椅自 1976年推出后持续热卖，到 2016年已生产了超过 3000 万件。
## 3. 和谐号彰显国家软实力
和谐号动车组列车 ( $\mathrm{CRH} 2-300)$ 在消化吸收国际先进技术的基础上,全面实施自主创新战略取得了重大成果,标志着我国铁路客运装备技术达到了世界先进水平,中国也由此成为世界上少数几个能够自主研制时速 380 千米动车组的国家之一。
榨汁机
智能电动车
剃须刀片
## 二、市场研究与商业定位是设计成功的重要环节
当今企业开发产品必须投人很大精力进行市场研究，通过运用有效的研究方法,制定具有竞争力的商业策略。即便如此，巨大的投人末必能保证事事成功。一旦一款设计被市场接受，其可观的经济回报足以弥补其他多项研究的损失。下面展示一些市场定位研究的有效方法。
情感化设计是一种在设计过程中以潜在的情感需求为主要设计原则的设计方法。
$\odot \mathrm{SWOT}$ 分析法能帮助设计师系统地分析企业运行业务在市场中的战略位置,并据此制订战略性的营销计划。三、制定清晰的开发战略是研发工作成功的根本保证
为了在竞争激烈的市场中脱颖而出,企业首先要制定清晰的开发战略,做到知己知彼,在充分调研分析基础上确定新产品定位。越是成熟的企业越重视自身的企业文化和品牌建设,其开发的产品序列也更清晰完备。实践证明,优秀的设计可以提升品牌的价值,促成商业利益最大化。
知觉地图也被称为定位网格,是反映消费者对某产品或品牌感觉的视觉表达图。设计师可以据此评估消费者如何看待你和你的竞争对手的产品或品牌。
对讲机系列产品
电子系列产品
## 课堂练习
运用本课所学知识,通过实体店或网络选择一款书包,按小组分析讨论其设计成功与不足在哪里。
汽车系列产品
## 筹籾传播国家形象
基本问题
每个国家都有自己独特的文化,他们是如何利用国际平台讲述自己的故事的?
## 情境导入
当我们看到远处五个相连的圆圈时,我们会迅速联想到奥运会,这种关联是如何建立起来的?各个国家是如何将本国形象、文化视觉抽象化,借助奥运的平台实现商业价值与文化价值的?
古代奥运会格斗比赛图
$\odot 1896$ 年第一届现代奥林匹克运动会
## 思考与讨论
你能看出右图都是哪些国家的奥运会会徽吗?设计师们是如何通过设计方法在简洁的图形视觉中表达国家特点的?
奥运五环
奥林匹克标志即奥运五环,由五个奥林匹克环套接组成,有蓝、黑、红、黄、绿五种颜色。奥运五环象征五大洲的团结以及全世界的运动员以公正、坦率的比赛和友好的精神在奥林匹克运动会上相见。
奥运会会徽现代奥运会每四年在不同国家举行一次,不同国家举办的奥运会在会徽形象上有着显著不同的地域和文化特点。一、国家形象文化表现
奥运会会徽的作用就在于向全球宣传本届赛事，推介主办国家和主办城市的文化精髓,激励运动员突破自己,创造更好成绩,这也是奥运会的主要特性。奥运会通过各种方式展现世界不同民族、不同地域文化的独特魅力,这体现奥林匹克文化的包容精神。
( 1 )
( 2 )
( 3 )
$(4)$
从左至右: ( 1 ）2008年北京奥运会申办标志,陈绍华设计;( 2 ）2008年北京奥运会会徽,张武、郭春宁、毛诚设计;(3、4) 2022 年北京冬季奥运会申办标志、2022年北京冬季奥运会会徽，林存真设计。
$\odot 2008$ 年北京奥运会奖牌,作为奥运会奖牌将不同材质“金属” 和“玉”结合设计,史无前例,令人印象深刻。中华民族崇尚玉,“玉,石之美,有五德”,即仁义礼智信五德。自古以来有“黄金有价玉无价”“君子如玉” 等对玉石的称赞,“玉文化” 是我国传统文化的重要组成部分。
奥运火炬的创意灵感来源于“渊源共生,和谐共融” 的“祥云” 图案。
$\odot 2008$ 年北京奥运会核心图形
$\odot 2008$ 年北京奥运会体育图标在环境中的应用
## 知识链接
奥运会形象涉及一个国家的文化、精神的表达。奥运会形象设计是一个内容庞大、涉及面非常多的系统性设计。用简练的方式提取具有代表性的国家文化的视觉元素,并加以抽象化,通过一系列系统的规范设计，形成一套统一的视觉形象的表现
$\odot 2008$ 年北京奥运会形象景观设计系统性设计 2008 年北京奥运会吉祥物
2012 年伦敦奥运会吉祥物
2016 年里约热内卢奥运会吉祥物
2010 年温哥华冬季奥运会吉祥物
2014 年索契冬季奥运会吉祥物
2018 年平昌冬季奥运会吉祥物
2022 年北京冬季奥运会吉祥物
## 观察与讨论
你能看出每个吉祥物的来源是什么吗?它们是怎样代表国家文化的?
## 二、奥运会与商业价值
从传播受众和投人资源看,奥运会是品牌投人最有效和最高级的平台,很适合品牌的传播。这些品牌通过奥运的全球平台，销量扩大、影响力增加，更有效地提升了经济价值。
类运会吉祥物居效应
中央电视台《福娃》长戾篇动画
福娃飞机涂装
奥运会产生了造型多样的吉祥物。吉祥物体现了奥林匹克理想,传达出当届奥运会的举办理念及主办城市的历史文化和人文精神。吉祥物将奥运会价值拟人化了,设计师为其赋予实际的形体并使之广为大众所接受，因此被开发成许多不同种类的商品,产生了很大的经济效益。这是当今奥运会识别项目中其他形象所无法比拟的。
历届奥运会开幕式中,各国知名的服装品牌都会为各自国家的代表队量身定制队服。在为国家展现本土元素、文化自信、运动实力的同时,也是该品牌借势奥运会营销的机会。
加拿大奥运服装
中国奥运服装三、奥运会与文化价值
世界性和民族性一直贯穿于奥林匹克运动的发展历程中，奥林匹克竞技体育运动在广泛吸收形式多样的民间体育运动的基础上逐渐形成了具有多元文化特性、被全世界普遍喜爱的体育运动。奥运文化价值的凸显,不仅关系着全球化时代奥林匹克运动的生存与发展,而且具有重要的文化价值和技术价值,能够给人以追求知识和真理的理想、兴趣、激情、创造力和原动力。
北京奥运会后场馆的有效利用
2008年北京奥运会举办的理念是“绿色奥运、科技奥运、人文奥运”，积极将环保、科技、文化的理念融人奥运。在奥运会结束后,场馆被用于举办各种各样的体育和文化活动。
## 课堂练习
根据课堂所学的内容,为学校运动会或大型活动做一套形象,如海报、标志、吉祥物等。
## 知识链接
奥运会形象的艺术表达
《历史足迹: 大脚印》蔡国强
2008 年 8 月 8 日，第 29 届北京奥运会开幕式当晩,由 29 个“大脚印” 组成,每个长达 150 米的烟火绽放在从永定门经天安门再至故宫最后至鸟巢这一长达 15 千米的中轴线上。至今留在人们记忆中的“大脚印” 庄严、璀琇、温暖,是世界上跨度最大的一次焰火燃放。
仓2016年里约奥运会火炬台安东尼・豪 [美国 ]
里约奥运会火炬台象征着太阳的光芒照射整个体育场螺旋转动方式代表着生命。
学生作品
## 第3课 弘扬传统文化
## 基本问题
我国拥有源远流长、博大精深的优秀传统文化,我国设计师应该如何在继承传统的同时,更好地理解优秀传统文化相关知识,如何用创新的设计手法,创造出适应当代的优秀设计作品，并继承弘扬其文化性。
## 情境导入
环顾我们生活的城市、街道、商场、公园，很多元素都是从中华优秀传统文化中提取出来的。随着社会的发展和进步,我们进入了一个新的时代,我们的设计如何创造出适合时代的作品?
## 知识链接
“文化” 的“文” 就是在某物上做记号，留痕迹；“化”则是生成、造化之意，指事物的形态或性质发生改变。由此可见，文化实际上是深深根植于物的形成之中的。
白玉螭龙纹如意
## 一、设计的文化价值
设计的发展不仅仅是不断创新,更需要体现文化价值。文化对于人的影响,集中在器物制度、价值观念以及潜意识中的感知方式、思维方式等三个层次。中国设计贯穿其中,对中华民族的精神面貌产生深远影响，并服务着、改变着从古代社会到现代社会的日常生活。不论是辉煌的建筑、遗迹，抑或是生活小物,只要我们去深刻地理解和分析,同样可以找到文化的味道和文化的感觉。
椅君子,以“竹”为材、汉字“君”为造型的全竹制座椅，透发出独一无二的中华文化韵味。
图 ( 1 ) 汉字-山靳埭强
图 ( 2 ）汉字-云靳埭强
靳埭强擅长在海报设计中运用水墨意象,他的作品既有中国传统水墨的底蕴，也有设计的美感，是传统与现代的共生。
如何在文化继承与文化创新之间找到平衡是非常重要的。中国建筑师一直在探讨这个问题,从 20 世纪现代主义传人中国后，梁思成、杨廷宝等建筑师就在不断探求中国传统建筑的当代传承和发展问题,创造了一系列优秀的作品。
## 知识链接
德国包豪斯学校作为现代主义设计的重要基地和发源地之一，将艺术、建筑设计与家具设计等学科串联在一起，强调工业化、现代化，形成不同于西方古典设计的重要现代主义设计，也影响了之后东西方现代设计的几代人。
德国包豪斯学校,现代主义设计教育的发祥地之一。
$\odot 20$ 世纪 50年代,中国十大建筑,如中国美术馆的设计灵感来自敦煌壁画中唐代建筑式样,是传统建筑形式的一次现代表达和尝试
梁思成的中国古代建筑手绘图纸
梁思成、林徽因在考察中国古典建筑
## 思考探究
你认为当代设计的创新价值是什么?
## 知识链接
$仓$ 椅子书法刘小康
## 一、设计的创新价值
设计是随着社会的发展而不断推进变化的,更是充满了突破与创新。在当今社会，仅仅是用设计解决问题,将信息传达出去显然是不够的,还需要从设计理念、视觉语言和技术表现方式的创新人手,将科学、技术、文化、艺术、社会、经济融人设计，适应时代需求。
年画是在祈祷丰收、祭祀祖宗、驱妖除怪等年节风俗习俗化的过程中，逐渐出现的年节装饰艺术。在现代，年画的作用需要因时而变，它可以成为一件祈福迎祥、增添年味、唤醒人们关于传统文化记忆和节日记忆的东西。
$\odot《$ 二十四时》
好的设计应该具有创新性,设计师应该敢于突破。以现代主义设计为例，法国人柯布西耶提出的“明日城市” 观点、华裔建筑师贝聿铭设计的卢浮宫扩建工程等,都是在批判传统的基础上,开创出了新的设计思潮,反映所在时代的创新价值。
设计在创新之余，也具有文化价值。对过去全盘否定,必然会造成文化缺失。
上海辰山植物园矿坑花园，设计具有创新性改革开放后,中国新一代建筑师继承了前辈的追求,创造了一批优秀的作品。2014 年普利茨克奖得主王澍的作品既有对环境的探索,具有创新性,又不是对中国传统民居的简单形式复制，具有文化价值，是一种对传统文化的弘扬。
王澍的富阳文村设计，在继承传统民居特征的基础上，又有弘扬和创新
## 课堂讨论
你认为王澍的作品在哪些方面借鉴了中国民居的特点,哪些地方又与传统民居不同?
一方面,优秀传统文化可以给予设计者新的思路与灵感,另一方面,设计也可以给优秀传统文化带来新的魅力与活力。华裔建筑大师贝聿铭先生在苏州博物馆的设计就充分体现了优秀传统文化与设计创新之间的关系。
苏州博物馆从传统园林中提取元素
## 课堂练习
收集 $1 \sim 2$ 个中国当代优秀设计案例,通过课堂小组讨论的方式,分析这些案例在继承和弘扬中华优秀传统文化方面的成就,并形成一个集体讨论报告。
## 第4课 回归以人为本
## 基本问题
如何做出更好地为大众服务的设计?如何为不同地区的人做出更好的服务?方法是什么?
## 情境导入
生活中设计无处不在,设计是“以人为本” 的造物活动。当你出入车站、商场、剧场等公共空间时，当你看到柔和的室内灯光、颜色时,你是否想过这些都是经过设计的,好的设计会让人生活更幸福?
以人为本的设计应该围绕使用者的基本诉求而展开,从使用者的角度出发,与自然并不矛盾,中国古人就提出了“天人合一”的思想，体现人与自然的和谐统一关系。以人为本的设计，一方面，应该是对建筑、景观、室内、产品等元素相互关联和尊重的设计;另一方面,应该从人的生理和心理的基本诉求出发，关注人的心理感受、使用率、舒适度、环保性和可持续性。
## 探究与实践
小组讨论,分析你身边一个具有以人为本特征的设计案例，并形成报告。
位于北京大栅栏地区的《微杂院》项目,设计师通过对老旧四合院的改造,为当地居民,特别是社区儿童创造了一个公共活动的空间。既保留了改造前的基本风貌和院内的古树,又通过塑造一个友好的空间,来满足儿童的需求。正是因为项目的社会和人文关怀，2016年获得了国际最重要的奖项之一—一阿卡汗建筑奖。一、设计的社会关怀
以人为本的设计，应该关注设计的社会性，设计要为社会、为大多数人服务;要关注社会的主要矛盾,并运用设计的手段努力缓和这些矛盾。如社区更新的案例,设计师对社区外部环境进行微改造,塑造更为宜人、更适合人际交往的环境空间，大大改善了居民的生活条件。
$仓$ 微花园项目,中央美术学院的学生为北京旧城居民设计的房前景观,起到改善环境、美化生活的作用。
## 二、设计的地区关怀
好的设计是有地区性的,能反映所在地区的文化属性和地区的物质材料、精神特质、工艺等，并成为这个地区可持续的文化遗产。地区性既包括物质性的空间形态，也包括非物质性的风土人情、各种工艺等因素。福建建宁县上坪古村振兴计划就是此类关注地区性的典型环境设计案例：设计师在继承闽西北传统民居形式的基础上，充分挖掘地区文化，并加以当代性转化,通过一系列环境设计振兴乡村。完成后的上坪古村新老并存,既有地区性,又有国际性。
仓福建建宁县上坪古村振兴计划水口区域
## 知识链接
玉树嘉那嘛吡游客服务中心张利
设计师在阅读场地和转译藏族传统形式的基础上,进行了当代性设计
绩溪博物馆
反映了设计对徽州传统建筑的继承与发扬。
## 知识链接
接触点是服务设计中很重要的切入点。在进行服务的整个流程中，不同角色间发生互动的地方,称为一个接触点,一项服务是由多个接触点所组成的。三、设计的人本关怀一服务设计
服务设计是一种以人为中心的设计思维。服务设计关注人和人、人和物、人和环境之间的关系。通过对服务过程中的触点体验进行系统、有组织地挖掘优化，让各个利益相关者都能有效协作，最终取得完美用户体验的过程。
探索移动互联网金融服务的实例
智能勺子水平握持技术让勺子上的食物不因手抖而撒落。对于患有帕金森的患者来说，这是一个福音。不管你拿着的时候怎么颠它,它的勺子部分始终是稳定的,食物并不会撒出去。
Braille Neue字体设计
设计师正在设计一款新的字体,他尝试将盲文字融人字母中,让失明人士和健全人士都可以使用。
## 课堂练习
分小组寻找身边以人为本的设计案例,拍照并分析它们的特点,进行文字总结。以班级为单位,将收集到的案例整理分类,策划一个展览。
## 知识链接
外骨骼康复机器人张利
外骨骼机器人技术是融合传感、控制、信息、融合、移动计算,为作为操作者的人提供一种可穿戴的机械机构的综合技术。
外骨骼康复机器人在康复及疗养领域上有着巨大的潜力,这类系统不仅能够对行动障碍进行治疗,也能够对自闭症类群、多动症等社会障碍进行千预治疗,末来还将在孤独老人陪护、推迟老年痴呆症的发生等方面发挥独特的作用。
## 第5课 推广可持续理念
## 基本问题
产品设计怎样在追求经济价值的同时，兼顾社会价值?
## 情境导入
杰出的设计的确促进了市场的繁㭉,但如果只盲目追求经济效益，很容易误入歧途。当下社会由于消费过度，已经造成许多社会问题。“适度消费从我做起?””是每个人面临的挑战。
## 一、设计师只关注经济利益是不够的，要有使命感
设计产品如果过度强调商业价值,市场难免鱼龙混杂,充斥过多商品,容易造成恶性竞争,甚至浪费社会有限的资源。设计像是一把双刃剑,如果处理不当，有可能成为商家获取大众财富的同谋，所以设计师要时刻意识到自身肩负的社会使命。
## 一、社公可持续发展是人类面临的考验
由于过度消费,使得原本有限的资源和空间变得更加稀缺与狭小。比如城市交通拥堵、建筑废弃物处理不当、水资源浪费、空气质量下降等社会问题层出不穷。当然,解决上述问题需要社会广泛的合作,以及提升大众的观念意识。尤其在新产品开发和城市建设中要坚持可持续发展理念。绿色城市规划可以宏观调控市政设施。装配式与被动式新建筑可以优化结构和改进性能。新能源开发利用可以降低能源消耗;煤改电和新能源汽车可以减少有害气体的排放;探索废水和垃圾的循环利用可以达到减排增效。鼓励使用太阳能屋顶，大力研发节电产品。
绿色建筑
分类垃圾
新能源交通
$仓$ 新能源应用
## 知识链接
可持续发展于 1972 年提出，指既满足当代人的需求,又不损害后代人满足其需求的发展,是新发展理念的基本要求之一。早期认为是一种注重长远发展的经济增长模式,随着发展问题的进一步暴露以及认识的加深,人们对可持续发展的认识已经不仅仅局限于经济的发展 ( 更不是经济增长的意思),提出可持续发展的四大支柱是经济、社会、环境和文化,只有四个方面协调发展,才能实现可持续发展。
## 三、变废为宝的有益实践
除了从社会层面加大控制力度外，我们在日常生活中也应该加强环保意识，从生活的点点滴滴做起，节约一滴水、节省一度电、做好垃圾分类工作等。特别值得提倡的是废品再利用。我们生活中有许多物品旧了、坏了就直接废弃了,太可惜了！我们可以尝试多次利用,如旧衣服堆成椅子，废羽毛球做卡通,旧玩偶组成新玩偶,用吸管做LED灯,自行车零部件组合成桌子，废箱子钉成椅子。
旧衣服椅子
羽毛球卡通
吸管灯
上述产品是设计师的奇思妙想，其实我们身边的小东西也可以变废为宝,比较适合再利用的物品有纸包装箱或盒子、各种材料的瓶子或罐子、旧衣服或袜子等。当然还有不起眼儿的小部件，有扣子、盖子、易拉罐拉环、破木块、果皮或果核。
生活中发品再设计案例
## 四、实例示范
以中央美术学院学生将包装水果的泡沬网设计成杯垫为例。
泡沬网剪贴图形制作
准备物品:
不同颜色的泡沬网
前刀
纸质图案模板
布料
扮斗
1. 将泡沬网沿着垂直方向剪开，形成方片形状。
5. 将泡沬网覆盖在纸质图案模板上。
2. 将两张泡沬网重叠，并夹在布料之间。
6. 沿着图案轮廓将泡沬网和模板一同剪开。
3. 用尉斗在布料上均匀加压,每次按压停留 $2 \sim 3$ 秒。
7.得到对应形状的泡沬网和纸片。
4. 冷却后，将压在一起的泡沬网从布料夹层中取出。
8. 泡沬网可以任意使用
## 课堂练习
利用废品再设计，创造新价值。材料手法不限。
学生作品
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zh
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gaozhong
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Bk04LD1lVbj_NFzfG0aw
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## 致同学们
同学们好！从这学期开始,本套书将陪伴大家一起学习高中物理。
中学物理是科学课程中非常重要的一门课,它对我们了解客观世界、学习探索世界的方法、培养科学的思维、形成科学的态度与责任等都有非常重要的作用。在今后的学习中,同学们既要注意概念、规律的确切含义,同时也要注意体会、思考在建立概念和探索规律时,所涉及的一些科学思维和方法,培养自己理性思考、敢于质疑、不断创新的科学素养。
为了使大家能更好地学习、探索浩瀚的物理世界，本书设计了以下栏目。
$\Rightarrow$ 问题每节开始创设的一个情境问题,以引发同学们对所要学习的内容主动思考,培养大家的问题意识及提出问题的能力。
实验同学们自己动脑、动手操作的实践活动。
演示主要是老师展示、供大家观察的实践活动。
$\Rightarrow$ 思考与讨论用于引发思考、展开交流等而设计的问题。
做一做小型的动手操作类活动，目的是引发思考、体验和感悟。
科学方法物理学中常用和重要的科学思想、方法。应注意的是,更多的科学思想及方法在相应的正文和旁批中体现。
拓展学习体现弹性,属于选学、选做的内容。主要内容是知识的拓展、延伸,或者是用传感器、计算机等设备自动记录和处理数据的实验,供有条件的学校选用。
(9) STSE 主要介绍和探讨科学-技术 - 社会 - 环境间相互关联的一些问题,属于选学内容。
科学漫步介绍物理学的重要史实或前沿进展,为开阔视野的内容,以引发同学们自己主动学习，属于选学内容。
练习与应用针对每节内容所设计的练习题,用于巩固所学的概念、规律和方法。
츠 复习与提高针对全章内容所设计的练习题,分 $\mathrm{A}、\mathrm{~B}$ 两组,用于巩固及提高。$\mathrm{A}$ 组相对容易一些，属于共同要求;B组相对难一些，属于选学内容。
## 序言
物理学：研究物质及其运动规律的科学
人类自古以来就对自然界充满好奇。日出日落、辰宿列张、春华秋实、寒来暑往，大自然的各种神奇现象让人们惊叹不已，强烈渴望弄清其背后的规律和联系。这种好奇心和人类提高生产力水平的需求,构成了自然科学发展最主要的两个动力。在它们的驱使下,人类对自然规律进行着不解的探索。物理学是这些探索过程中结出的最重要的果实之一。天行健，君子以自强不息。
-《周易》方
在初中，大家已经学习了一些有趣的物理知识和思考物理问题的方法。进人高中，我们将认识更丰富多彩的物理现象,学到更为深刻的物理知识。在学习过程中,大家还要进一步领悟科学研究的方法,受到科学精神的陶冶。这里，让我们先概览一下物理这门学科。
## 洞天察地,万物之理一一物理学概述
早在 2000 多年前的古希腊时期，亚里士多德、阿基米德等一批科学家就开始了对物理现象和规律的探索,并发现了杜杆原理、浮力定律等规律。这是物理学的萌芽时期。$16 \sim 17$ 世纪，伽利略和牛顿等人在前人工作的基础上创立了系统性的力学理论，建立了实验观测和理论分析计算相结合的现代研究方式。1687年，牛顿出版了他的名著《自然哲学的数学原理》。这标志着现代意义的物理学正式诞生。
经过四个世纪的发展，物理学已经成为一门分支众多、深刻影响当代科学技术发展乃至人类社会文明进步的基础学科。
(1) 中国是天文学发展最早的国家之一。中国古代天象观测记录,是世界公认最悠久、最系统的。中国不仅留下了世界最早的日食、月食、太阳黑子以及给雷彗星的记录，而且编出了世界上最早的星表。浑仪（图 0-1）是望远镜发明前世界上最先进的天文观测工具。
(2) 中国儒家典籍，六经之一。书中有些观点蒀含较深的寓意和辩证的思想。远到宇宙深处,近至䢔尺之间,面对广衰苍窝之浩瀚、，基本粒子之精微 (图 0-2),物理学定量地研究物质的存在形式、基本性质以及运动和转化规律。物理学不仅要探索物质的深层次结构,还要在不同层次上认识物质的组成部分及其相卞作用。因此,说物理学是关于“万物之理” 的学问并不为过
物理学是一门实验科学,也是一门崇尚理性、遵循逻辑推理的理论科学。由于物质世界纷繁复杂,有限的实验和观察难以完全揭示其背后的本质规律和内在联系。因此,在依赖先进的科学装置的同时,物理学的发展也必须借助于强有力的数学工具和大型计算技术，以及深刻的洞察力和丰富的想象力。
今天,物理学中的基本概念和理论、实验方法和手段,已经越来越广泛地应用于其他学科,极大地丰富了人类对物质世界的认识,推动了科学技术的创新和革命,促进了生产力的发展和人类文明的进步。
## 观察现象,揭示本质一-物理学研究的特点
物理学通过定量的实验和严谨的逻辑分析，不断地揭示出自然界的客观规律和各种现
图 0-2 物质世界的空间尺度
思考,才能透过表象看到本质。这些成果极大地丰富了人类对物质世界的认识;也展现了人类理性思维的巨大威力。这可以从物理学发展中的几个典型例子看出。
古人曾凭直觉认为,地球是宇宙的中心。$16 \sim 17$ 世纪,哥白尼、第谷和开普勒等人通过详尽的现测和分析,逐渐认识到地球和其他行星都在绕着太阳运动,并找到了这些运动的规律。最终,依据这些观测和分析,牛顿发现了万有引力定律,揭示了这些运动规律的根源。伽利略和牛顿还认识到物体即便在不受力的情况下也会一直运动下去,这也与通常的直觉相反。这种对内在规律深刻的认识,靠的是精确的实验和严密的逻辑分析,二者缺一不可。
19 世纪初,人们已经知道电流能产生磁场,于是很自然地问: 电能生磁,那么磁应该也能生电吧?英国科学家法拉第对此进行了大量实验。一开始,他从直觉出发,认为既然稳定的电流能产生磁场，那么稳定的磁场也应该能产生电场，但是实验都失败了。后来他偶然发现,变化的磁场才能产生电场,这就是著名的电磁感应定律。总的来说,磁能生电的规律是符合直觉的,但其产生方式却和最初的直觉很不相同。可见,客观规律是否与直觉一致,是不能一概而论的，需要针对具体情況通过认真的研究才能搞清楚。
一代代物理学家在探究客观世界的过程中发展了很多行之有效的研究方法。在物理学习中,我们不但要掌握具体的知识,而且要学习和体会这些科学方法,并努力运用它们解决各种实际问题。
## 学以致知,客观理性—一物理学背后的科学精神
物理学的发展和成就与它所蕴含的科学精神密不可分。
首先是学以致知的探索精神。前面说过,人类对自然界的好奇心是科学发展最重要的动力之一。人们在它的驱使下研究很多问题,其中,有的能直接转化成技术,服务于实际应用,但是也有很多是当时看不到直接用途的,比如伽利略研究的力和运动的问题、牛顿发现的万有引力定律,当时都属于无用之学。正是这些看似没有用的、以求知为目的的探索，使人们获得了对自然规律完整深人的认识。
其次是实事求是的客观精神。物理学的目的是求真,客观事实是判断对错的标准,对就是对,错就是错。猜想和论断必须能经受得住实验的检验和逻辑的推敲。19 世纪末 20 世纪初,当人们发现权威的牛顿学说不适用于微观和高速情况时,便认真地对其进行修正;1936年,大名鼎鼎的爱因斯坦向杂志投出一篇论文,审稿人和编辑发现论文有错,便毫不犹豫地指出并拒稿。这些都是物理学史上实事求是、务实求真的佳话。
还有就是理性分析的精神。物理学强调数学计算和逻辑分析,环环相扣,有原因才有结果。不合乎逻辑的地方必然意味着有问题，必须搞清楚。物理学的殿堂中,没有诡辩者的位置。
需要指出的是,科学精神不仅对科学研究很重要,而且在社会生产、日常生活的各方面都是有价值的。现代社会分工精细、节奏紧凑,很多时候“失之毫厘,差之千里”。这就要求我们在工作和生活中要做到实事求是、严谨认真并且讲求逻辑,敬畏和尊重客观规律,从而提高效率、减少失误。另外，秉承实事求是和讲求逻辑的精神，还会使我们在碰到问题的时候,面对现实、认真分析,根据实际作出判断与选择，不盲从、不走极端。
## 揭示自然,造福人类——物理学的应用
物理学的发展,推动了工业、农业和信息技术等方面的进步,引发了一次次的产业革命,改变了人类的生产和生活方式。技术的进步又为物理学的研究提供了更为强大的手段,并引发人们对物理问题进行更深人的思考,从而反过来促进物理学的发展。
创立于 17 世纪的牛顿力学,被广泛地应用于工程技术,大大推动了社会发展。18 19世纪,工程上对蒸汽机等热机的改进需求,又迫使人们对热的问题进行深人研
图0-3 第一辆蒸汽机车 (模型) 究,引发了热力学的巨大进步 (图 0-3)。
$19 \sim 20$ 世纪初,电磁学的发展,直接导致发电机和无线电通信的诞生,使电能被广泛利用。电走进了千家万户,世界被电灯点亮,电话和电报把各地的人们连接起来,人类从此进人了电气时代。
进人 20 世纪以后,物理学的研究范围更加广阔。人们掌握了微观世界的规律,这更为有力地推动了技术的进步和社会的变革。对原子核的认识,使人们掌握了核能,建造了核电站并发展了治疗肿瘤的放疗等技术;对固体中电子运动的研究,引发了半导体工业的诞生,导致了晶体管、集成电路和大容量电子存储技术的发明,从而使人们可以
图 0-4 半导体芯片制造半导体芯片 ( 图 0-4);对原子、分子物理和光学的深人研究,引发了原子钟、激光和光纤通信等技术的诞生。原子钟是卫星定位系统的核心,激光被广泛用于工业、通信、医疗和国防,而遍布全球的光纤网是互联网的物理载体,它把全世界连在一起。毫不夸张地说,20 世纪是物理学的世纪,人们每时每刻都在享受物理学发展带来的果实。今天世界的整个面貌,都和物理学的巨大进步密不可分。
20 世纪技术的迅猛发展也大大推动了物理学研究。利用现代工业手段,人们制造了射电望远镜和粒子加速器
图 0-5 粒子加速器 (图 0-5) 等设备,从而把研究的目光投向更深遂的宇宙和
普朗克
居里夫人
爱因斯坦
更微小的粒子;利用大型计算机，人们可以完成更为复杂和准确的计算并处理海量的实验数据;在现代交通工具和信息技术的帮助下，学术交流变得更加便捷、高效。
## 前景广阔,充满挑战——物理学的末来
19 世纪下半叶,以力学、热学和电磁学为主要内容的经典物理学,几乎能解释当时已知的所有物理现象。因此,当 20 世纪第一个春天来临之际，英国物理学家开尔文在“新春献词”的演说中踌躇满志地宣告:“科学大厦已经基本建成 $\cdots \cdots \cdot$ 后靟物理学家只需做一些零碎的修补工作就行了。” 但话音刚落，他的预言就被一个接一个的重大发现所打破。从下表中可以看出，在 20 世纪，物理学捷报频传,重大发现此伏彼起，从来没有停止过。
那么，21世纪还会有重要的发现吗?著名法国物理学家、诺贝尔奖得主德布罗意在《物理学的末来》一文中说:“我们的知识越是发展,自然就越是以其多种表现证明它拥有无尽的财富,甚至在很先进的科学领域,如物理学,我们也没有理由认为我们已经 '耗尽' 了自然财富，或者认为我们已经接近完整地掌握了自然界的全部财富。”
事实正是这样的,当前,还有许多困扰物理学的难题。例如，目前的物质结构理论认为“夸克” 构成了质子、中
表 20 世纪以来物理学重大发现和与物理学相关的重大技术进步子等强子,但是,夸克为什么不能单独存在?如何将描述微观世界运动的量子力学和描述引力的广义相对论结合起来,以解释宇宙的起源和演化?能否像用麦克斯韦理论统一描述电和磁一样,用某一理论统一描述自然界的四种基本相互作用 (弱力、强力、电磁力和引力 )?这些问题都有待人们去探索。此外,技术发展的需求,也提出了许多有价值的问题。如何制造可以方便使用的超导材料?如何开发更为清洁的能源?如何进一步提升计算机的性能?这些问题都与物理学直接相关。
物理学如同一座大厦,已经被建设得很壮观了,但尚末完工,也许永远也不会完工,更壮观的还在后面,还在等待着我们去建设和探索。
“江山代有才人出，各领风骚数百年。”综观世界科技史,许多重要的科学发现都产生于科学家风华正茂的青年时期,在这个阶段他们思维敏捷、敢于创新。年轻的同学们,你们当中一定会有人沿着前辈的足迹,为物理学的发展作出自己的贡献。千里之行,始于足下,学好高中物理,你就在通向成功的道路上迈出了坚实的一步。
当然,多数同学今后末必进行基础科学的研究,但是,不论从事什么职业,高中物理积累的科学知识,学到的科
杨振宁
李政道
丁肇中学方法和实事求是、讲求逻辑的理性科学精神,都将会使你终身受益。
•激光,弱电统一理论,远距离光纤通信原理,宇宙微波背景辐射 - 蓝光 LED,巨磁阻现象，扫描隧道显微镜,高温超导材料希格斯玻色子观测，引力波观测
$1960 \sim 1969$
$1980 \sim 1989$ $1990 \sim 1999$
21曲纪丟今弱相互作用下宇称不守恒,超导 $\mathrm{BCS}$ 理论,非阿贝尔规范场理论发现 $\mathrm{J} / \Psi$ 介子和 $\tau$ 子,粒子物理标准模型中性原子的玻色一爱因斯坦凝聚,纳米材料与纳米结构,全球卫星导航系统
## 1 质点参考系
## 问题
生活中随处可见运动的物体,例如玩耍的孩童、行驶的汽车、䎐翔的雄鹰 $\cdots \cdots$ 对于这些运动的物体,我们如何准确地描述它们的运动呢?
## 物体和质点
雄鹰拍打着翅膀在空中翱翔时,身体在向前运动,但它的翅膀在向前运动的同时还在上下运动；足球在绿茵场上滚动时,它在向前运动的同时还在转动 $\cdots \cdots$ 可见,要准确地描述物体的运动，并不是一件容易的事。
困难和麻烦出在哪里?稍加分析就可以知道，这是因为任何物体都有一定的大小和形状,物体各部分的运动情况一般说来并不一样。不过,我们有时关注物体各部分的运动,有时关注物体整体的运动。所以，如何描述物体的运动要看我们关注的问题是什么。例如,要研究雄鹰是如何飞行的,它的翅膀的运动方式很重要;但是,如果我们只关注雄鹰从哪里移动到了哪里,就不必太在意它的形状，把它看成一个点来描述它的运动就容易了。
下面我们来分析一些具体的实例,看看什么样的问题
- 我们生活的客观世界是物质的，物质由分子、原子等组成,我们所看到的物体是物质的聚集状态。研究机械运动，需要描述物体位置随时间变化的规律。
(1) 亚里士多德 (Aristotle,前 384 一前 322 ),古希腊杰出的哲学家、科学家,形式逻辑学的创始人。在物理学方面,亚里士多德认为自然中一切对象都在不断地运动和变化。他首先给出了时间的定义,并认为既然运动是永恒的,那么时间也同样是永恒的。可以把物体看成一个点,什么样的问题不能把物体看成一个点。
人类居住的地球在绕太阳公转,同时又在自转。因此,地球各部分离太阳的距离不断变化。但是,如果考虑到地球的直径 (约 $1.3 \times 10^{4} \mathrm{~km}$ ) 还不到地日距离 (约 $1.5 \times 10^{8} \mathrm{~km}$ ) 的万分之一,在研究地球公转引起的位置变化问题时,由地球的大小引起的运动差异很小，因此，可以忽略地球的大小和形状而把它视为点。
有些物体上各点的运动差异虽然不小，但如果我们不研究各点的运动差异,而只关注物体整体的运动时,同样可以把物体看作一个点。例如，列车在平直轨道上行驶 (图 1.1-1)，尽管它的传动机构及车轮的运动很复杂，但是，当我们只关心列车整体的运动情况时，就可以不考虑上述各部分的运动差异,而用一个点的运动代替整列列车的运动。
图 1.1-1 什么情况下列车可以视为一个点?
-在物理学中,突出问题的主要因素，忽略次要因素，建立理想化的物理模型，并将其作为研究对象，是经常采用的一种科学研究方法。质点这一理想化模型就是这种方法的具体应用。看来,在某些情况下,确实可以忽略物体的大小和形状,把它简化为一个具有质量的点,这样的点叫作质点 ${ }^{\mathbb{1}}$ （mass point )。还有一种情况，虽然不能忽略物体的大小和形状，但是，物体上各点的运动情况完全相同。从描述运动的角度看,物体上任意一点的运动完全能反映整个物体的运动,于是,整个物体的运动也可以简化为一个点的运动,把物体的质量赋予这个点,它也就成了一个质点。
(1) 在高中物理课中，我们主要研究那些能够简化为质点的物体的运动，所以常常不区分“物体”和“质点”两个词。从前面的讨论可以看出，一个物体能否看成质点是由所要研究的问题决定的。同一个物体,由于所要研究的问题不同,有时可以看成质点,有时不能看成质点。
## 思考与讨论
运动员踢足球的不同部位,会使球产生不同的运动。足球运动中常说的“香蕉球” 是球在空中旋转、整体运动径迹为类似香蕉形弧线的一种运动 (图 1.1-2)。在研究如何才能踢出“香蕉球” 时,能把足球看作质点吗?研究什么样的问题可以把足球看作质点?
图 1.1-2“香蕉球”示意图
## 参考系
要描述物体的运动,通常要先判断它是运动的还是静止的;如果物体是运动的,再根据需要来说明它是怎样运动的。我们说房屋、树木是静止的,这大概是不会错的。但是,房屋、树木在随着地球一起运动,这也是事实。再比如,行驶的列车中的乘务员与旅客在交流,列车外的人认为他们随列车一起运动,但他们彼此看对方却是静止的。为什么人们的看法会不一样呢?
自然界的一切物体都处于永恒的运动中,绝对静止的物体是不存在的。就此意义而言,我们说运动是绝对的。但是,描述某个物体的位置随时间的变化,却又总是相对于其他物体而言的。这便是运动的相对性。可见,要描述一个物体的运动,首先要选定某个其他物体作为参考,观察物体的位置相对于这个“其他物体” 是否随时间变化,以及怎样变化。这种用来作为参考的物体叫作参考系 (reference frame)。
在描述一个物体的运动时,参考系可以任意选择。但是,选择不同的参考系来观察同一物体的运动,其结果会有所不同。参考系选取得当,会使问题的研究变得简洁、方便。当然,凡是提到运动,都应该弄清楚是相对于哪个参考系而言的。通常情况下,在讨论地面上物体的运动时,都以地面为参考系。
## 练习与应用
1. 两个运动的物体: 一个是被球拍击出的乒乓球，另一个是正在飞行的歼 -20 隐形战斗机
请你为乒乓球和战斗机各创设两个问题,一个问题中可以把它（乒乓球或战斗机）看成质点;另一个问题中不能把它看成质点。
2. 平常说的“一江春水向东流”“地球的公转”“钟表的时针在转动”“太阳东升西落”等,分别是说什么物体相对什么参考系在运动?3. 将近 1000 年前,宋代诗人陈与义乘着小船在风和日丽的春日出游时曾经作了一首诗：飞花两岸照船红，百里榆堤半日风。卧看满天云不动,不知云与我倶东 （图 1.1-3)。诗人艺术性地表达了他对运动相对性的理解。诗中描述了什么物体的运动?它们分别是以什么物体为参考系的?你对诗人关于“榆堤”“云”“我” 的
图 1.1-3 运动与静止的说法有没有不同的认识?
## (2) 时间位移
## 问题
要讨论物体位置随时间的变化，就要涉及位置、时间等概念。如果要准确地描述一辆行驶在北京长安街上的汽车所处的位置,你认为应该采用什么方法?你对时间是怎样认识的?
## 时刻和时间间隔
要描述物体位置随时间的变化,首先要清楚“时间” 一词的含义。说到时间,不能不说时刻和时间间隔。时刻和时间间隔既有联系又有区别。
上午 8 时上课、8 时 45 分下课，这里的“8 时”“8 时 45 分” 是指这节课开始和结束的时刻，而这两个时刻之间的 $45 \mathrm{~min}$,则是这两个时刻之间的时间间隔 (图 1.2-1)。
在表示时间的数轴上，时刻用点表示，时间间隔用线段表示。我们平时说的“时间”,有时指的是时刻，有时指
图 1.2-1 时刻和时间间隔的是时间间隔,要根据上下文认清它的含义。
## 位置和位移
为了定量地描述物体的位置,需要在参考系上建立适当的坐标系 (coordinate system)。例如,若想说明地面上某人所处的位置,可以采用平面直角坐标系来描述;如果物体做直线运动，可以用一维坐标系来描述。
物体做直线运动时,通常选取这条直线为 $x$ 轴,在 $x$ 轴上任选一点作为原点,规定好坐标轴的正方向和单位长度,物体的位置就可以用它的位置坐标来描述。例如,我
图 1.2-3 北京至重庆的不同路线及其位置变化
图 1.2-4 从初位置到末位置的有向线段表示位移们要确定一辆行驶在北京长安街上汽车的位置,可以沿东西方向建立一维坐标系,$x$ 轴的正方向指东,选取路上的某交通岗亭作为坐标原点 $O$,汽车的位置就可以用它的坐标准确地描述出来。如果汽车的坐标是 $30 \mathrm{~m}$,表示它在岗亭以东 $30 \mathrm{~m}$ 处;如果汽车的坐标是 $-20 \mathrm{~m}$,表示它在岗亭以西 $20 \mathrm{~m}$ 处（图 1.2-2)。
图 1.2-2 物体位置的表示
物体位置的描述我们清楚了,那么,物体位置的变化该怎样描述呢?
如图 1.2-3,某人从北京去重庆，可以选择不同的交通方式。既可以乘火车,也可以乘飞机,还可以先乘火车到武汉,然后乘轮船沿长江而上。图中的几种情况表明,旅行者所经过的线路不同。我们在初中已经知道,路程 (path) 是物体运动轨迹的长度。因此,这个人旅行的路程也不同。但是,就位置的变动来说,无论使用什么交通工具、走过了怎样不同的路径，他总是从北京到达了西南方向、直线距离约 $1300 \mathrm{~km}$ 的重庆,即位置的变化是相同的。从图中可以看出,由初位置指向末位置的有向线段能准确地描述旅行者位置的变化。只要物体的初、末位置确定，这个有向线段就是确定的,它不因路径的不同而改变。物理学中用位移 (displacement ) 来描述物体位置的变化,并用 $l$ 表示 (图 1.2-4)。
在物理学中,像位移这样的物理量叫作矢量,它既有大小又有方向;像温度、路程这样的物理量叫作标量,它们只有大小,没有方向。
## 直线运动的位移
前面学习了用一维坐标系描述物体的位置,那么,在一维坐标系中位移应该如何表示呢?如图 1.2-5,做直线运动的物体,它的初位置为 $x_{1}$,末位置为 $x_{2}$,则物体的位移应该是由 $x_{1}$ 指向 $x_{2}$ 的红色有向线段，其大小等于末位置与初位置坐标之差 $x_{2}-x_{1}$。
图 1.2-5 位置坐标的变化量表示位移
由于常用 $\Delta x$ 表示坐标之差,所以在研究直线运动时,常用 $\Delta x$ 表示位移，记为
$$
\Delta x=x_{2}-x_{1}
$$
若两坐标之差为正，则位移的方向指向 $x$ 轴的正方向;若两坐标之差为负，则位移的方向指向 $x$ 轴的负方向。
## 思考与讨论
某物体从 $A$ 点运动到 $B$ 点,坐标 $x_{A}$ 为 $5 \mathrm{~m},x_{B}$ 为 $2 \mathrm{~m}$,物体的位移大小等于多少?方向如何?
## 位移一时间图像
物体在每一时刻的位置或每一时间间隔的位移可以用图像直观地表示。
如图 1.2-6,在直角坐标系中选时刻 $t$ 为横轴,选位置 $x$ 为纵轴,其上的图线就是位置一时间图像,通过它能直观地看出物体在任意时刻的位置。如果将物体运动的初始位置选作位置坐标原点 $O$,则位置与位移大小相等 $(x=\Delta x)$,位置一时间图像就成为位移一时间图像,又称 $x-t$ 图像。从
图 1.2-6 $x-t$ 图像 $x-t$ 图像可以直观地看出物体在不同时间内的位移。
## 位移和时间的测量
生活中，人们可以用多种方法记录某一时刻物体运动的位置，从而推断出它在一段时间内的位移。例如，可以用照相的方法记录物体的位置，用钟表记录物体运动的时刻,也可以用频闪照相的方法同时记录物体运动的时刻和
图 1.2-7 电磁打点计时器位置。学校实验室中常用打点计时器来记录时间和位移。
电磁打点计时器是一种使用交变电源的计时仪器 (图 1.2-7),工作电压约为 $8 \mathrm{~V}$,能够按照相同的时间间隔,在纸带上连续打点。当电源频率是 $50 \mathrm{~Hz}$ 时,每隔 $0.02 \mathrm{~s}$ 打一次点。如果把纸带和运动的物体连在一起,纸带上各点之间的距离就表示相应时间间隔中物体的位移大小。由这些点的位置，我们可以了解物体运动的情况。
还有一种打点计时器叫作电火花计时器,它的计时原理与电磁打点计时器相同,不过,在纸带上打点的不是振针和复写纸,而是电火花和墨粉。
## 实验
## 练习使用打点计时器
1. 了解打点计时器的构造,然后把它固定好。2. 安装纸带。
3. 启动电源,用手水平拉动纸带 (图 1.2-8),纸带上
图 1.2-8 使用电火花计时器就打出一行小点。随后关闭电源。
4. 取下纸带,从能够看清的某个点开始 (起始点),往后数出若干个点。例如数出 $n$ 个点,算出纸带从起始点到第 $n$ 个点的运动时间 $t$。5. 用刻度尺测量出从起始点到第 $n$ 个点的位移 $x$。测量之前,自己先设计一个表格,用来记录时间及位移。- 通过测量仪器直接读取的数据是原始数据。它是宝贵的实验资料，要如实记录、妥善保存。
## 科学漫步
## 全球卫星导航系统
全球卫星导航系统是目前广泛应用的新一代导航定位系统，利用近地空间的卫星为各类用户提供可靠和高精度的定位、导航和授时服务 ( 图 1.2-9)。
全球卫星导航系统一般分为空间段、地面段和用户段三大部分。空间段即卫星导航系统，一般由数十颗卫星组成,每颗卫星可以发送卫星导航信号,编织成细密的网络,使得地球上任意地点任意时刻都能观测到 4 颗以上的导航卫星。地面段则负责操控系统和向卫星注入导航电文等。用户段通过接收机能够接收导航卫星发送的信号，并精准地进行定位、授时和测速。
全球卫星导航系统能够在全球范围内实时、全天候和全天时地提供服务，也就是说不受地域和天气影响,全球任何时刻都能得到持续可靠的定位服务。因此,从身边的车载导航、手机定位,到机场调度、海事救援和地质测绘等，都有广泛的应用。感兴
趣的同学可以上网查一查全球卫星导航系统在有关方面的具体应用
图 1.2-9 全球卫星导航系统 (示意图 )
常用的全球卫星导航系统有我国的北斗卫星导航系统、美国的全球定位系
统、俄罗斯的格洛纳斯系统和欧盟
的伽利略系统。2012年我国的
北斗卫星导航系统开始为亚
太地区提供定位、导航和授
时服务,2020 年该系统已
实现在全球范围内提供
服务。
## 练习与应用
1. 以下各种说法中,哪些指时间间隔?哪些指时刻?
(1) 列车员说:“火车 8 时 42 分到站,停车 8 分。”
（2）“您这么早就来啦，抱歉!让您等了这么久。”
(3)“前 $3 \mathrm{~s}$ ”“最后 $3 \mathrm{~s}$ ”“第 $3 \mathrm{~s}$ 末”“第 $3 \mathrm{~s}$ 内” 2. 某市出租汽车的收费标准有 1.20 元 $/ \mathrm{km}$、1.60 元 $/ \mathrm{km}、2.00$ 元 $/ \mathrm{km}$,其中的千米说的是路程还是位移?
3. 田径运动场跑道周长是 $400 \mathrm{~m}$。
( 1 ) 百米赛跑选用跑道的直道部分,运动员跑完全程的路程是多少？位移大小是多少？
(2) $800 \mathrm{~m}$ 跑比赛中,不同跑道的运动员跑完全程的路程相同吗?跑完全程的位移相同吗？请结合田径比赛的规则想一想。4. 如图 1.2-10,一个物体从 $P$ 点运动到 $Q$ 点,坐标 $x_{P}$ 为 $3 \mathrm{~m},x_{Q}$ 为 $-2 \mathrm{~m}$,它的位移大小是多少?方向如何?请你画出它的位置坐标和位移矢量。
图 1.2-10
5. 一辆汽车在教练场上沿平直道路行驶,以 $x$ 表示它相对于出发点的位移。图 1.2-11 近似描写了汽车在 0 时刻到 $40 \mathrm{~s}$ 这段时间的 $x-t$ 图像。通过分析回答以下问题。(1) 汽车最远位置距离出发点约为多少米?（2）汽车在哪段时间没有行驶?(3) 汽车在哪段时间驶离出发点,在哪段别以地面和抛出点为原点建立一维坐标系,方向均以向上为正,填写以下表格。
时间驶向出发点?
图 1.2-11
6. 从高出地面 $3 \mathrm{~m}$ 的位置竖直向上抛出一个小球,它上升 $5 \mathrm{~m}$ 后回落,最后到达地面（图 1.2-12)。分
图 1.2-12
表竖直向上抛出小球的坐标和位移
| 坐标原点 | $\begin{array}{c}\text { 抛出点的 } \\ \text { 坐标 }\end{array}$ | $\begin{array}{c}\text { 最高点的 } \\ \text { 坐标 }\end{array}$ | $\begin{array}{c}\text { 落地点的 } \\ \text { 坐标 }\end{array}$ | $\begin{array}{c}\text { 从抛出点到 } \\ \text { 最高点的 } \\ \text { 位移 }\end{array}$ | $\begin{array}{c}\text { 从最高点到 } \\ \text { 落地点的 } \\ \text { 位移 }\end{array}$ | $\begin{array}{c}\text { 从抛出点到 } \\ \text { 落地点的 } \\ \text { 位移 }\end{array}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 地面 | | | | | | |
| 抛出点 | | | | | | |
## 3 位置变化快慢的描述一一速度
生活和科学研究中经常需要知道物体运动的快慢和方向,你还记得初中是怎样描述物体运动快慢的吗?运动员在比赛中的不同时段,运动的快慢一样吗?
## 速度
不同的运动,位置变化的快慢往往不同,也就是说,运动的快慢不同。我们已经用位移来表示位置的变化,那么,怎样比较物体运动的快慢呢?物理学中用位移与发生这段位移所用时间之比表示物体运动的快慢,这就是速度 (velocity)。
>这里的速度和初中所学的速度含义不完全相同。
速度通常用字母 $v$ 表示,如果在时间 $\Delta t$ 内物体的位移是 $\Delta x$,它的速度就可以表示为
$$
v=\frac{\Delta x}{\Delta t}
$$
在国际单位制中,速度的单位是米每秒,符号是 $\mathrm{m} / \mathrm{s}$ 或 $\mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}$。常用的单位还有千米每时 $\left(\mathrm{km} / \mathrm{h}\right.$ 或 $\left.\mathrm{km} \cdot \mathrm{h}^{-1}\right)$、厘米每秒 $\left(\mathrm{cm} / \mathrm{s}\right.$ 或 $\left.\mathrm{cm} \cdot \mathrm{s}^{-1}\right)$ 等。
速度是矢量,它既有大小,又有方向。速度v的方向与时间 $\Delta t$ 内的位移 $\Delta x$ 的方向相同。
## 平均速度和瞬时速度
一般来说,物体在某一段时间内,运动的快慢通常是变化的。所以,由 $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ 求得的速度 $v$,表示的只是物体在时间 $\Delta t$ 内运动的平均快慢程度，叫作平均速度（average velocity )。
## 思考与讨论
平均速度描述物体在一段时间内运动的平均快慢程度及方向。那么，怎样描述物体在某一时刻运动的快慢和方向呢?
可以设想，用由时刻 $t$ 到 $t+\Delta t$ 一小段时间内的平均速度来代替时刻 $t$ 物体的速度，如果 $\Delta t$ 取得小一些，物体在 $\Delta t$ 这样一个较小的时间内,运动快慢的差异就不会太大。$\Delta t$ 越小,运动快慢的差异就越小。当 $\Delta t$ 非常非常小时,运动快慢的差异可以忽略不计,此时,我们就把 $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ 叫
图 1.3-1 汽车速度计作物体在时刻 $t$ 的瞬时速度 (instantaneous velocity)。
匀速直线运动是瞬时速度保持不变的运动。在匀速直线运动中，平均速度与瞬时速度相等。
瞬时速度的大小通常叫作速率 (speed)。汽车速度计不能显示车辆运动的方向,它的示数实际是汽车的速率 ( 图 1.3-1)。日常生活中说到的“速度”，有时是指速率，要根据上下文判断。
## 实验
## 测量纸带的平均速度和瞬时速度
测量平均速度我们知道,用手拉通过打点计时器的纸带时,确定时间内纸带运动的位移信息就被记录下来,据此可以计算纸带的运动速度。
图 1.3-2 是打点计时器打出的一条纸带示意图。若想计算实验时运动的纸带在 $D、G$ 两点间的平均速度 $v$,只需测出 $D、G$ 间的位移 $\Delta x$ 和所用的时间 $\Delta t$,就可以算出平均速度
$$
v=\frac{\Delta x}{\Delta t}
$$
请根据上述方法，计算上节实验中运动的纸带某些点间的平均速度。
图 1.3-2 计算每隔 $0.1 \mathrm{~s}$ 的平均速度纸带示意图
每隔 $0.1 \mathrm{~s}$ (或更短) 计算一次平均速度。
1. 在图 1.3-2 中选取纸带上一点为起始点 0,后面每 5 个点取一个计数点,分别用数字 $1,2,3,\cdots$ 标出这些计数点;2. 测量各计数点到起始点 0 的距离 $x$,记录在表 1 中;3. 计算两相邻计数点间的位移 $\Delta x$,同时记录对应的时间 $\Delta t$;4. 根据 $\Delta x$ 和 $\Delta t$ 计算纸带在相邻计数点间的平均速度 $v$。
表 1 手拉纸带的位移和平均速度
| 位置 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | $\cdots$ |
| :---: | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $x / \mathrm{m}$ | | | | | | |
| $\Delta x / \mathrm{m}$ | | | | | | |
| $\Delta t / \mathrm{s}$ | | | | | | |
| $v /\left(\mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}\right)$ | | | | | | |
测量瞬时速度如何测量运动物体在某一时刻或某一位置（例如图 1.3-2 中 $E$ 点) 的瞬时速度?
我们可以这样考虑: $E$ 点在 $D、G$ 两点之间,$D、G$ 两点间的平均速度我们可以求出。如果不要求很精确,用这个平均速度粗略地代表 $E$ 点的瞬时速度,也末尝不可。不过,如果把包含 $E$ 点在内的间隔取得小一些,例如取图 1.3-3 中的 $D F$ 线段,那么经过 $D、F$ 两点所用的时间 $\Delta t$ 就会变短,用两点间的位移 $\Delta x$ 和时间 $\Delta t$ 算出的平均速度代表纸带在 $E$ 点的瞬时速度,就会精确一些。D、F 两点离 $E$ 点越近,
- D、F 两点间距离过小，测量误差会增大。所以，实际测量中要根据需要及所用仪器的情况,在要测量的点附近选取合适的位移和时间。请考虑此实验中产生误差的原因。算出的平均速度越接近 $E$ 点的瞬时速度。
图 1.3-3 计算每隔 $0.06 \mathrm{~s}$ 的平均速度纸带示意图请根据上述测量瞬时速度的方法,计算上节实验中纸带上各计数点的瞬时速度。
每隔 $0.06 \mathrm{~s}$ 计算一次速度。
1. 从纸带起始点 0 算起,后面每 3 个点取一个计数点。2. 测量各计数点到起始点 0 的距离 $x$，记录在表 2 中
3. 计算两相邻计数点间的位移 $\Delta x$,同时记录对应的时间 $\Delta t$。4. 根据 $\Delta x$ 和 $\Delta t$ 算出的速度值就可以代表在 $\Delta x$ 这一区间内任意一点的瞬时速度。将算出的各计数点的速度值记录在表 2 中。
## 表2 手拉纸带的瞬时速度
| 位置 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | $\ldots$ |
| :---: | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $x / \mathrm{m}$ | | | | | | | | |
| $\Delta x / \mathrm{m}$ | | | | | | | | |
| $\Delta t / \mathrm{s}$ | | | | | | | | |
| $v /\left(\mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}\right)$ | | | | | | | | |
图 1.3-4 某同学手拉纸带运动的 $v-t$ 图像
## 速度一时间图像
物体运动的速度随时间变化的情况可以用图像来直观表示。以时间 $t$ 为横轴,速度 $v$ 为纵轴,坐标系中的图像即为速度一时间图像或 $v-t$ 图像。
在方格纸上建立直角坐标系，根据自己算出的手拉纸带的 $v、t$ 数据,在坐标系中描点,练习画 $v-t$ 图像。
图 1.3-4甲是根据某同学的实测数据所描的点,从这些点的走向能够大致看出纸带运动速度的变化规律。如果用一条平滑的曲线来描出这些点,曲线所反映的情况就会与实际比较接近 (图 1.3-4乙)。
## 拓展学习
## 借助传感器与计算机测速度
随着信息技术的发展,中学物理的实验手段也在不断进步。用“位移传感器”把物体运动的位移、时间转换成电信号,经过计算机的处理,可以立刻在屏幕上显示物体运动的速度,自动绘制出物体运动的 $v-t$ 图像（图 1.3-5)。这样,同学们就可以用更多的时间和精力对物理过程进行分析。
图 1.3-6 是利用位移传感器测量速度的示意图。这个系统由发射器 $\mathrm{A}$ 与接收器 $\mathrm{B}$ 组成,发射器 $\mathrm{A}$ 能够发射红外线和超声波信号,接收器 $\mathrm{B}$ 可以接收红外线和超声波信号。发射器 $\mathrm{A}$ 固定在被测的运动物体上,接收器 $\mathrm{B}$ 固定在桌面上或滑轨上。测量时 A 向 B 同时发射一个红外线脉冲和一个超声波脉冲 ( 即持续时间很短的一束红外线和一束超声波)。B接收到
图 1.3-5 实验室用位移传感器测速度的装置
图 1.3-6 位移传感器测速度的原理红外线脉冲开始计时，接收到超声波脉冲时停止计时。根据两者的时差和空气中的声速,计算机自动算出 $\mathrm{A}$ 与 B 的距离 (红外线的传播时间可以忽略）。
经过短暂的时间 $\Delta t$ 后,传感器和计算机系统自动进行第二次测量,得到物体的新位置。算出两个位置差，即物体运动的位移 $\Delta x$，系统按照
$$
v=\frac{\Delta x}{\Delta t}
$$
算出速度 $v，$ 显示在屏幕上。所有这些操作都可以在不到 $1 \mathrm{~s}$ 的时间内自动完成。
这样测出的速度是发射器 $\mathrm{A}$ 在时间 $\Delta t$ 内的平均速度。然而 $\Delta t$ 很短,通常设置为 $0.02 \mathrm{~s}$,所以 $\Delta x$ 与 $\Delta t$ 之比可以代表此刻发射器 $\mathrm{A}$ ( 即运动物体) 的瞬时速度。
还有另外一种位移传感器，如图 1.3-7 所示。这个系统只有一个不动的小盒 C，工作时小盒 $\mathrm{C}$ 向被测物体 $\mathrm{D}$ 发出短暂的超声波脉冲，脉冲被运动物体反射后又被小盒 $\mathrm{C}$ 接收。根据发射与接收超声波脉冲的时间差和空气中的声速,可以得到小盒 $\mathrm{C}$ 与运动物体
图 1.3-7 另一种位移传感器测速度的原理 $\mathrm{D}$ 的距离 $x_{1}、x_{2}$ 以及 $\Delta x$ 和 $\Delta t$,从而系统也能算出运动物体 $\mathrm{D}$ 的速度 $v$。
## 练习与应用
1. 把纸带的下端固定在重物上,纸带穿过打点计时器,上端用手提着。接通电源后将纸带释放,重物便拉着纸带下落,纸带被打出一系列点,其中有一段如图 1.3-8 所示。
图 1.3-8
（1）图中所示的纸带，哪端与重物相连?
( 2 ) 怎样计算在纸带上打 $A$ 点时重物的瞬时速度?说出你的理由。
2. 图 1.3-9是甲、乙两物体沿某一直线运动的 $v-t$ 图像,至少从以下三个方面分别说明它们的速度是怎样变化的。
(1) 物体是从静止开始运动还是具有一定的初速度?
( 2 ) 速度的大小变化吗?是加速还是减速?(3) 运动的方向是否变化?
甲
乙图 1.3-9
3. 汽车从制动到停止共用了 $5 \mathrm{~s}$。这段时间内,汽车每 $1 \mathrm{~s}$ 前进的距离分别是 $9 \mathrm{~m}、7 \mathrm{~m}$、$5 \mathrm{~m}、3 \mathrm{~m}、1 \mathrm{~m}$ ( 图 1.3-10)。
(1) 求汽车前 $1 \mathrm{~s}$、前 $2 \mathrm{~s}$、前 $3 \mathrm{~s}$、前 $4 \mathrm{~s}$ 和全程的平均速度。在这五个平均速度中,哪一个最接近汽车刚制动时的瞬时速度?它比这个瞬时速度略大些，还是略小些?
(2) 汽车运动的最后 $2 \mathrm{~s}$ 的平均速度是多少?
图 1.3-10
## (4) 速度变化快慢的描述一一加速度
## 加速度
小汽车和火车的速度都在增加,或者说两者都在做变速运动,并且它们的“速度变化” 相同,但所用的时间不同。这两种情形的本质区别是“速度变化的快慢” 不同。看来“速度变化的快慢” 是一个不同于“速度” 的概念。
两个物体速度变化相同，所用时间短的当然速度变化得快。如果两个物体速度变化不同,所用时间也不同,怎样比较它们速度变化的快慢罒?
在学习速度时我们知道,位移表示的是位置的变化。要比较位置变化的快慢,可以用位移除以时间。同理,要比较速度变化的快慢,可以用速度的变化量除以时间。
物理学中把速度的变化量与发生这一变化所用时间之比，叫作加速度 (acceleration)。通常用 $a$ 表示。若用 $\Delta v$ 表示速度在时间 $\Delta t$ 内的变化量,则有
$$
a=\frac{\Delta v}{\Delta t}
$$
- 在这里,我们用两个物理量 (速度的变化量和时间 ）之比定义了一个新的物理量一加速度,它的物理意义与原来的两个物理量不同。用物理量之比定义新的物理量是物理学中常用的方法，
在国际单位制中,加速度的单位是米每二次方秒,符号是 $\mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}$ 或 $\mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-2}$。加速度是矢量,它既有大小,又有方向。现在讨论做直线运动的物体加速度的方向。
## 加速度的方向
甲速度增加时的情况
图 1.4-1 加速度方向与速度方向的关系示意图如图 1.4-1,汽车原来的速度是 $v_{1}$,经过一小段时间 $\Delta t$ 之后,速度变为 $v_{2}$。为了在图中表示加速度,我们以原来的速度 $v_{1}$ 的箭头端为起点,以后来的速度 $v_{2}$ 的箭头端为终点,作出一个新的有向线段,它就表示速度的变化量
$\Delta v$。由于加速度
$$
a=\frac{\Delta v}{\Delta t}
$$
，所以加速度a的方向与速度的变
化量 $\Delta v$ 的方向相同。确定了 $\Delta v$ 的方向，也就确定了加速度 $a$ 的方向。
从图中可以看出,汽车在直线运动中,如果速度增加,即加速运动,加速度的方向与初速度的方向相同;如果速度减小，即减速运动,加速度的方向与初速度的方向相反。
## 思考与讨论
对运动的物体而言，可以问“它运动了多远”，这是路程或位移的概念;也可以问“它运动得多快”，这是速度的概念。然而，在生活用语中，却没有与加速度对应的词语。
日常生活中一般只有笼统的“快” 和“慢”,这里有时指的是速度,有时模模糊糊地指的是加速度。你能分别举出这样的例子吗?
## 从 $v-t$ 图像看加速度
$v-t$ 图像反映的是物体的速度随时间变化的情况。你认为由 $v-t$ 图像能知道物体的加速度吗?
图 1.4-2 中的两条直线 $a、b$ 分别是两个物体 $\mathrm{A}$ 和 $\mathrm{B}$ 运动的 $v-t$ 图像。$E、F$ 两点所表示的时刻和速度分别为 $t_{1}、t_{2}$ 和 $v_{1}、v_{2}$。从图中可以看出,小三角形的一条直角边代表时间间隔 $\Delta t$，另一条直角边代表速度的变化量 $\Delta v,\Delta v$ 与 $\Delta t$ 之比为加速度，其比值为该直线的斜率。因此，由 $v-t$ 图像中图线的倾斜程度可以判断加速度的大小。物体 $\mathrm{A}$ 的加速度比物体 $\mathrm{B}$ 的大。
生活中做变速运动的物体很多,它们加速度的大小也各不相同，有时差异还很大。下表为一些运动物体的加速度。
表一些运动物体的加速度 ( 近似值)
| 运动物体 | $a /\left(\mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-2}\right)$ | 运动物体 | $a /\left(\mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-2}\right)$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 子弹在枪筒中 | $5 \times 10^{4}$ | 赛车起步 | 4.5 |
| 伞兵着陆 | -25 | 汽车起步 | 2 |
| 汽车急刹车 | -5 | 高铁起步 | 0.35 |
图 1.4-2 从 $v-t$ 图像看物体的加速度
## 科学漫步
## 变化率
番茄在成熟的过程中,它的大小、含糖量等会随时间变化;树木在成长过程中,它的高度、树干的直径会随时间变化;河流、湖泊的水位会随时间变化;某种商品的价格会随时间变化;我国的
人口生育量也会随时间变化……这些变化，有时快、有时慢。描述变化快慢的量就是变化率。自然界中某量 $D$ 的变化可以记为 $\Delta D$,发生这个变化所用的时间间隔可以记为 $\Delta t$,变化量 $\Delta D$ 与 $\Delta t$ 之比就是这个量对时间的变化率,简称变化率。显然,变化率在描述各种变化过程时起着非常重要的作用，速度和加速度就是两个很好的例子。
生活中还有哪些实例与变化率相关?例如飞机起飞时，在同样的时间间隔内，飞机的位移不断增大（图 1.4-3 )
某个量大,不表示它的变化率大。速度大,加速度不一定大。例如匀速飞行的高空侦察机,尽管它的速度可能接近 $1000 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$,但它的加速度为 0。相反,速度小,加速度也可以很大。例如枪筒里的子弹，在开始运动时，尽管子弹的速度接近 0,但它的加速度可以达到 $5 \times 10^{4} \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$。
图 1.4-3 在同一底片上相隔同样时间多次曝光“拍
摄” 的飞机起飞时的照片 (合成照片 )
## STSE
## 交通工具与社会发展
人类自发明木轮车 ( 图 1.4-4 ) 直到制成速度 $500 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 的磁悬浮列车,以及超音速飞机,为了获得高速交通工具,奋斗了几千年。从某种意义上说,在人类发明的各种机械中,交通工具最深刻地改变了我们的生活。我们所用的物品,几乎没有一件不是由铁路或公路运输而来的。不难想象,如果没有了火车和汽车,现代社会将会㿈痪。
图 1.4-4 公元前 2000 年印度河谷哈拉巴人所用的车辆的泥塑模型
从世界各国的城市发展史上看，大城市规模的大小与车速的提高密切相关。大城市的直径一般就是当时的城市交通工具在 $1 \mathrm{~h}$ 内行走的距离。以北京为例,清朝末年北京的“内城” 大约是一个边长为 $5 \mathrm{~km}$ 的正方形,马车的速度大约就是 $5 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$;今天,有了发达的公路系统,有了快速轨道交通，汽车、地铁的速度大约是几十千米每时，北京城区的直径也扩大到了几十千米。
城市中的车速不能无限提高，城市的规模也就不能无限扩大。“推大饼”式的城市规划可能带来以交通问题为主的许多矛盾。目前许多人认为，合理的发展模式是建立中心市区与卫星城组成的城市群
运兵工具和武器运载工具的发展改变了战争的面貌。现代战争的“战场” 已经与过去的意义完全不同。相距几千千米、几万千米的敌对力量之间在很短时间内就能爆发大规模战争。空中打击的力量大大加强，过去的一些战术方法已经不再适用。由于车辆的使用，部队的机动性大大提高，速战速决的战争理论有所发展。
交通网络的形成大大缩短了不同地域的时空距离，促进了国与国、民族与民族之间的物资交流和人员往来。贸易上的互补，可以优化物质资源和人力资源的配置，促进世界经济的发展。不同文化的交融进一步促进了社会的进步。
然而，大量汽车带来了交通堵塞、频繁的事故、能源的过度消耗、尾气与噪声污染等一系列社会问题。这些不仅妨碍了人们的工作和生活，而且制约着社会经济的进一步发展。
如何处理这些矛盾，一直是人们努力探索的课题。随着可持续发展战略的实施，人们对发展交通的意义有了新的认识，采取了许多有效的措施。例如，研制各种绿色汽车（使用压缩天然气或液化石油气的汽车、太阳能车、电动车 $\cdots \cdots)$,对现有汽车的使用在时间和道路上进行限制,根据城市规模发展地上、地下快速的立体化交通和轨道交通。
讨论：交通工具的速度是不是越快越好?
## 练习与应用
1. 小型轿车从静止开始加速到 $100 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 所用的最短时间,是反映汽车性能的重要参数。$A、B、C$ 三种型号的轿车实测的结果分别为 $11.3 \mathrm{~s}、13.2 \mathrm{~s}、15.5 \mathrm{~s}$,分别计算它们在测试时的加速度有多大。2. 有没有符合下列说法的实例?若有,请举例。
A. 物体运动的加速度等于 0,而速度却不等于 0;
B. 两物体相比,一个物体的速度变化量比较大,而加速度却比较小;
C. 物体具有向东的加速度,而速度的方向却向西;
D. 物体做直线运动，后一阶段的加速度比前一阶段小，但速度却比前一阶段大。
3. 以下描述了四个不同的运动过程。
A. 一架超音速飞机以 $500 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的速度在天空沿直线匀速飞行了 $10 \mathrm{~s}$。
B. 一辆自行车以 $3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的速度从某一陡坡的顶端加速冲下，经过 $3 \mathrm{~s}$ 到达坡路底端时,速度变为 $12 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$。
C. 一只蜗牛由静止开始爬行,经过 $0.2 \mathrm{~s}$,获得了 $0.002 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的速度 ( 图 1.4-5 )。
D. 一列动车在离开车站加速行驶中,用了 $100 \mathrm{~s}$ 使速度由 $72 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 增加到 $144 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$。（1）以上四个运动过程，哪个过程速度最大?请按速度的数值把它们由大到小排列。
（2）以上四个运动过程,哪个过程速度的变化量最大?请按速度变化量的数值把它们由大到小排列。
（3）以上四个运动过程,哪个过程加速度最大?请按加速度的数值把它们由大到小排列。
4. 一个物体在水平面上向东运动，某时刻速度大小为 $20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$，然后开始减速，$2 \mathrm{~min}$ 后该物体的速度减小为 0。求物体的加速度大小及方向
5. 图 1.4-6 中的三条直线 $a、b、c$ 描述了 $\mathrm{A}、\mathrm{~B}、\mathrm{C}$ 三个物体的运动。先初步判断一下哪个物体的加速度最大，再根据图中的数据计算它们的加速度，并说明加速度的方向。
图 1.4-6
图 1.4-5
## 章小结示例
学习是一个不断探究、积累和总结的过程。学习的每一阶段都应该适时地总结,把学到的知识、方法、过程和体会等及时地加以梳理,以便更好地理解和把握。
总结会有不同的方法,比如,语言归纳、框图和概念图等方法。下面给出了某位同学在学习过本章后作出的小结,请根据自己的体会,把你认为不够完整以及没有完成的地方加以完善。
以后每学习完一章,请你用自己擅长的方法对这一章进行小结,写出自己的学习心得。
研究方法
知道了质点模型的抽象条件及意义。如果物体的形状和体积对问题的研究不影响或影响可忽略时，可以把物体看成质点。质点是一种理想模型，建立物理模型的思想对解决实际问题非常重要。
了解了极限思维方法。能体会在极短的时间或位移中，质点的平均速度可以看成它在此时刻或此位置的瞬时速度的思维方法。
学会了用图像描述运动。图像可以描述质点的运动。$v-t$ 图像可以反映速度的变化规律,图像的斜率反映加速度的大小和方向。
## - 实验工具
可用打点计时器研究物体的运动。打点计时器在纸带上打出的点迹,不仅记录了时间信息,而且记录了打点时间间隔内与纸带连接物体的运动位移。用打点计时器可以测量物体的平均速度和瞬时速度。
○ 态度责任
认识到物理研究需要对物理现象 (如运动) 进行客观描述;体会到只有如实记录实验数据,才能真实反映现象,得到有价值的研究结果；通过小组实验,感受到科学研究需要团队合作。
## 复习与提高
A组
1. 以下情景中,哪些带下划线的物体可看成质点,哪些不能看成质点?将结果填入括号内。
（1）小敏观察蚂蚁拖动饭粒时，蚂蚁的肢体是如何分工的。
（2） 小英测算蚂蚁拖动饭粒时,蚂蚁 $1 \mathrm{~min}$ 爬行的路程。
(3) 在跳水比赛中,裁判员给跳水运动员评分
(4) 教练在训练中观察跳高运动员的跳高过程。
2. 图 1-1 是特技跳平运动员的空中造型图。当运动员们保持该造型向下落时，若其中某一位运动员以对面的运动员为参考系，则他自己的运动情况怎样?当他俯视大地时,看到大地迎面而来，他是以什么物体为参考系的？
图 1-1
3. 以下对话，其含义是指时刻还是指时间间隔？写在括号内。
问: 这车什么时候开?
答: 过一会儿就要开了。
问：我离开一下，10 min就赶回来，行不?
答：你不能晩过车票上的开车时间。( ) 4. 关于位移和路程,下列四位同学的说法是否正确?如果不正确，错在哪里?
同学甲：位移和路程在大小上总相等，只是位移有方向，是矢量，路程无方向，是标量。
同学乙：位移用来描述直线运动，路程用来描述曲线运动
同学丙：位移是矢量,它取决于物体的始末位置;路程是标量,它取决于物体实际通过的路线。
同学丁：其实,位移和路程是一回事
5. 一辆汽车沿直线从甲地开往乙地,前一半位移内的平均速度为 $30 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$，后一半位移内的平均速度是 $60 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$,这辆汽车全程的平均速度是多少?6. 在台球比赛中,某球以 $1.5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的速度垂直撞击边框后,以 $1.3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的速度反向弹回,球与边框接触的时间 $\Delta t$ 为 $0.08 \mathrm{~s}$,求该撞击过程中球的加速度。7. 以下是三种交通工具在某段时间中的运动记录
## 表三种交通工具的运动记录
| 交通工具 | $\begin{array}{c}\text { 初速度 } \\ /\left(\mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}\right)\end{array}$ | 经过时间 $/ \mathrm{s}$ | $\begin{array}{c}\text { 末速度 } \\ /\left(\mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}\right)\end{array}$ |
| :--- | :---: | :---: | :---: |
| 自行车下坡 | 2 | 2 | 6 |
| 火车出站 | 0 | 100 | 20 |
| 飞机飞行 | 200 | 10 | 200 |
（1）以上有没有速度大而加速度小的情况?如果有,请列举。
（2）以上有没有速度变化量大而加速度小的情况?1. 小李讲了龟兔沿直线赛道赛跑的故事,故事情节中兔子和乌龟运动的 $x-t$ 图像如图 1-2 所示。请你依照图像中的坐标,并结合物理学的术语来讲述这个故事。在讲故事之前,先回答下列问题:
(1) 故事中的兔子和乌龟是否在同一地点同时出发?
（2）乌龟做的是什么运动?
（3）兔子和乌龟在比赛途中相遇过几次?
(4) 哪一个先通过预定位移到达终点?
图 1-2
2. 图 1-3 是某物体做直线运动的 $x-t$ 图像,请说明 $x-t$ 图像中每段运动过程的速度大小和方向,并作出 $v-t$ 图像,描述相应过程。
图 1-3
3. 某物体做直线运动,它的 $v-t$ 图像如图 1-4所示。设向东为速度 $v$ 坐标轴的正方向。
(1) 请说出物体在第 $1 \mathrm{~s}$、第 $2 \mathrm{~s}$、第 $3 \mathrm{~s}$ 时间内的运动方向。在 $3 \mathrm{~s}$ 时间内的速度大小怎样变化?
(2) 请说出物体在第 $1 \mathrm{~s}$、第 $2 \mathrm{~s}$、第 $3 \mathrm{~s}$ 时间内的加速度大小和方向。
图 1-4
4. 为了测定气垫导轨上滑块的加速度,滑块上安装了宽度为 $2.0 \mathrm{~cm}$ 的遮光条。如图 1-5,滑块在牵引力作用下先后通过两个光电门,配套的数字计时器记录了遮光条通过第一个光电门的时间 $\Delta t_{1}$ 为 $0.20 \mathrm{~s}$,通过第二个光电门的时间 $\Delta t_{2}$ 为 $0.05 \mathrm{~s}$，遮光条从开始遮住第一个光电门到开始遮住第二个光电门的时间 $t$ 为 $2.50 \mathrm{~s}$,试估算滑块的加速度。
图 1-5
5. 某电梯从 3 楼出发,下降至 2 楼略停后继续下降到 1 楼,随后又载人上升至 2 楼停下。请大致绘出该电梯在这段时间内的 $v-t$ 图像。设向下为速度 $v$ 坐标轴的正方向。
## 第二章
匀变速直线运动的研究
世界上第一条商业运行的磁悬浮列车——“上海磁浮”，已于 2003 年 10 月 1 日正式运营。据报道,上海磁浮线路总长 $33 \mathrm{~km}$,一次试车时全程行驶了约 $7 \mathrm{~min} 30 \mathrm{~s}$,其中以 $430 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 的最高速度行驶约 $30 \mathrm{~s}$。磁悬浮列车的行驶速度比汽车快得多,是不是它的加速度也会很大?学过这一章后请你根据报纸上的数据，再按照实际情况给出一些简化的假设，自己尝试着估算它的加速度
物理定律不能单靠“思维”来获得,还应致力于观察和实验。
—普朗克 ${ }^{1}$
## 1 实验：探究小车速度随时间变化的规律
寻求一种运动的特点和规律,一般要从某个具体事例开始。这一节我们研究小车在重物牵引下的运动,看看小车的速度是怎样随时间变化的。
## 头验思路
要研究小车在重物牵引下速度随时间变化的规律,你认为如何设计此实验?需要测量哪些物理量?选用什么器材?请你把自己研究的方案写出来,并和同学交流。
要研究小车速度随时间变化的规律,就要想办法测量小车在不同时刻的瞬时速度,而打点计时器具有此功能。如果用打点计时器测量速度,就可以如图 2.1-1所示,把一端带有滑轮的长木板平放在实验桌上，木板上放一个可以左右移动的小车,小车一端连接穿过打点计时器的纸带,另一端连接绕过滑轮系有槽码的细绳。小车在槽码的牵引下运动，通过研究纸带上的信息,就可以知道小车运动的速度是怎样随时间变化的。
(1) 普朗克 ( Max Karl Ernst Ludwig Planck,1858 - 1947 ),德国物理学家,量子论的奠基人。1900 年,他在黑体辐射研究中引入能量子,因此于 1918 年获诺贝尔物理学奖。
槽码
## 进行实验
把小车停在靠近打点计时器的位置。启动计时器,然后放开小车,让它拖着纸带运动。于是,打点计时器在纸带上打下一行小点。随后，立即关闭电源。
增减所挂的槽码（或在小车上放置重物）,更换纸带,再做两次实验。
## 数据记录
为了便于测量,舍掉纸带开头一些过于密集的点,找一个适当的点作为计时起点。
可选择相隔 $0.1 \mathrm{~s}$ (或更短) 的若干计数点进行测量,记人自己设计的表格,利用第一章第 3 节所学的方法得出 各计数点的瞬时速度，填人表 1 中标有“$v_{1} ”$ 的一行。
同理，计算增减槽码后两次实验的速度，分别填人表 1 中标有“$v_{2}$ ” 和“$v_{3}$ ” 的两行。
表 1 小车在几个时刻的瞬时速度
| 位置编号 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | $\cdots$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 时间 $t / \mathrm{s}$ | 0 | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 | 0.6 | |
| $v_{1} /\left(\mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}\right)$ | | | | | | | | |
| $v_{2} /\left(\mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}\right)$ | | | | | | | | |
| $v_{3} /\left(\mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}\right)$ | | | | | | | | |
| $\ldots$ | | | | | | | | |
## 敞据分析
你能否从表格中的数据看出小车速度随时间变化的定量关系?如果不能，怎么办?
可以考虑用 $v-t$ 图像分析速度 $v$ 与时间 $t$ 的定量关系。以时间 $t$ 为横轴、速度 $v$ 为纵轴建立直角坐标系。根据表 1 中的 $v、t$ 数据,在坐标系中描点作出 $v-t$ 图像。如何根据描出的点找出速度随时间变化的规律?>如果有些点难以落在曲线上，应该使它们大致均匀地分布在曲线两侧。这样曲线就更符合实际的规律
图 2.1-2
图 2.1-3
用计算机绘制 $v-t$ 图像
借助常用的数表软件,可以迅速、准确地根据表中的数据作出 $v-t$ 图像,甚至能够写出图像所代表的公式。下面以 WPS 表格软件为例作简要说明,有兴趣的同学可以试一试。
在 WPS 表格软件工作簿的某一列的单元格中依次输入测量时间,在相邻的一列输入对应的速度值 ( 图 2.1-2)。用鼠标选中这些数据，按照“插入” 中的“图表” 的提示就能一步步地得到所画的图像 ( 图 2.1-3)。
操作过程中 WPS 会要求确定“图表类型”，这时可以选择“平滑散点图”;还会出现“添加趋势线” 的对话框,里面也有一个“类型” 标签，其中有几种可选择的函数。由于我们这个实验的数据几乎分布在一条直线上,所以应该选择“线性” 类型。
## 练习与应用
1. 为研究实验小车沿斜面向下运动的规律,把打点计时器纸带的一端固定在小车上,小车捛动纸带运动时，纸带上打出的点如图 2.1-4 所示。
（1）某同学用以下方法绘制了小车运动的 $v-t$ 图像。先把纸带每隔 $0.1 \mathrm{~s}$ 剪断,得到若千短纸条。再把这些纸条并排贴在一张纸上，使这些纸条下端对齐,作为时间坐标轴,标出时间。最后将纸条上端中心连起来,于是得到 $v-t$ 图像。请你按以上办法（用一张薄纸压在图 2.1-4 上，复制得到纸带 ) 绘制这个 $v-t$ 图像。（2）这样做有道理吗?说说你的看法。
图 2.1-4 一次实验的纸带
2. 列车沿长直坡路向下行驶。开始时速度表上的示数是 $54 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$,以后每 $5 \mathrm{~s}$ 读取一次数据，见表2
（1）在表2中填写以 $\mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}$ 为单位表示的速度值。
(2) 作出列车速度与时间关系的 $v-t$ 图像。
表2 列车速度表
| 时间 $t / \mathrm{s}$ | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 速度 $v /\left(\mathrm{km} \cdot \mathrm{h}^{-1}\right)$ | 54 | 59 | 65 | 70 | 76 | 81 | 86 |
| 速度 $v /\left(\mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}\right)$ | | | | | | | |
## (2) 匀变速直线运动的速度与时间的关系
## 匀变速直线运动
由上节课的实验我们看到,小车运动的 $v-t$ 图像类似于图 2.2-1 所示的 $v-t$ 图像,是一条倾斜的直线。无论 $\Delta t$ 选在什么区间,对应的速度的变化量 $\Delta v$ 与时间的变化量 $\Delta t$ 之比都是一样的,即物体运动的加速度保持不变。所以,实验中小车的运动是加速度不变的运动。沿着一条直线,且加速度不变的运动,叫作匀变速直线运动 ( uniform variable rectilinear motion)。匀变速直线运动的 $v-t$ 图像是一条倾斜的直线。
在匀变速直线运动中,如果物体的速度随时间均匀增加,这种运动叫作匀加速直线运动;如果物体的速度随时间均匀减小,这种运动叫作匀减速直线运动。
## 速度与时间的关系
除 $v-t$ 图像外,我们还可以用公式描述物体运动的速度与时间的关系。
对于变速直线运动来说,我们可以把运动开始时刻取作 0 时刻，则由 0 时刻到 $t$ 时刻的时间间隔 $\Delta t$ 为 $t$,而 $t$ 时刻的速度 $v$ 与开始时刻的速度 $v_{0}$ (叫作初速度 ) 之差就是速度的变化量,即
图 2.2-1 匀变速直线运动的 $v-t$ 图像 -由于加速度 $a$ 在数值上等于单位时间内速度的变化量,所以 $a t$ 就是 $t$ 时间内速度的变化量,再加上运动开始时物体的速度,就得到 $t$ 时刻物体的速度。
$$
\Delta v=v-v_{0}
$$
代人 $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$ 中，得到
$$
v=v_{0}+a t
$$
这就是匀变速直线运动的速度与时间的关系式。
## 【例题 】
一辆汽车以 $36 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 的速度在平直公路上匀速行驶。从某时刻起,它以 $0.6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$ 的加速度加速,$10 \mathrm{~s}$ 末因故突然紧急杀车,随后汽车停了下来。刹车时做匀减速运动的加速度大小是 $6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$。
( 1 ) 汽车在 $10 \mathrm{~s}$ 末的速度是多少?
（2）汽车从刹车到停下来用了多长时间?
分析依题意,汽车加速和減速过程都是在做匀变速直线运动
第（1 ）问是已知加速的时间求末速度。
第（2）问是已知末速度求减速的时间。两个问题都需要用匀变速直线运动的速度与时间关系式来求解。其中,第 (2) 问汽车加速度的方向跟速度、位移的方向相反，需要建立坐标系处理物理量之间的正负号问题。
解 ( 1 ）汽车做匀加速直线运动。
初速度 $v_{0}=36 \mathrm{~km} / \mathrm{h}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$，加速度 $a=0.6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$,时间 $t=10 \mathrm{~s}$。
根据匀变速直线运动速度与时间的关系式，有
$$
v=v_{0}+a t=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}+0.6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} \times 10 \mathrm{~s}=16 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
$$
(2) 以汽车运动方向为正方向建立一维坐标系（图 2.2-2),与正方向一致的量取正号，相反的取负号。
汽车从第 $10 \mathrm{~s}$ 末开始做匀减速直线运动，因此初速度 $v_{0}=16 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$，末速度 $v=0$,加速度 $a=-6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$。
根据 $v=v_{0}+a t$ 得
图 2.2-2
$$
t=\frac{v-v_{0}}{a}=\frac{0-16 \mathrm{~m} / \mathrm{s}}{-6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}}=2.67 \mathrm{~s}
$$
汽车 $10 \mathrm{~s}$ 末的速度为 $16 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$,从刹车到停下来要用 $2.67 \mathrm{~s}$。
## 思考与讨论
图 2.2-3 是一个物体运动的 $v-t$ 图像。它的速度怎样变化?在相等的时间间隔内,即 $\Delta t^{\prime}=\Delta t$ 时,速度的变化量 $\Delta v^{\prime}$ 和 $\Delta v$ 总是相等的吗?物体在做匀变速运动吗?
图 2.2-3
## 练习与应用
1. 列车原来的速度是 $36 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$,在一段下坡路上加速度为 $0.2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$。列车行驶到下坡路末端时，速度增加到 $54 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$。求列车通过这段下坡路所用的时间。2. 以 $72 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 的速度行驶的列车在驶近一座石拱桥时做匀减速直线运动 ( 图 2.2-4),加速度的大小是 $0.1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$,列车减速行驶 $2 \mathrm{~min}$ 后的速度是多少?
图 2.2-4
3. 2013 年 12 月 14 日,嫦娥三号登月探测器平稳落月（图 2.2-5),中国首次地外天体软着陆成功。当它靠近月球后,先悬停在月面上方一定高度,之后关闭发动机,以 $1.6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$ 的加速度下落,经过 $2.25 \mathrm{~s}$ 到达月面,此时探测器的速度是多少?4. 一个物体沿着直线运动,其 $v-t$ 图像如图 2.2-6所示。
(1) 它在 $1 \mathrm{~s}$ 末、$4 \mathrm{~s}$ 末、$7 \mathrm{~s}$ 末三个时刻的速度，哪个最大?哪个最小?
(2) 它在 $1 \mathrm{~s}$ 末、$4 \mathrm{~s}$ 末、$7 \mathrm{~s}$ 末三个时刻的速度方向是否相同?
(3) 它在 $1 \mathrm{~s}$ 末、$4 \mathrm{~s}$ 末、$7 \mathrm{~s}$ 末三个时刻的加速度，哪个最大?哪个最小?
(4) 它在 $1 \mathrm{~s}$ 末和 $7 \mathrm{~s}$ 末的加速度方向是否相同?
图 2.2-6
## 3 匀变速直线运动的位移与时间的关系
## 问题
由做匀速直线运动物体的v-t 图像可以看出,在时间 $t$ 内的位移 $x$ 对应图中着色部分的矩形面积。
那么，做匀变速直线运动的物体,在时间 $t$ 内的位移与时间会有怎样的关系?
## 匀变速直线运动的位移
图 2.3-1 利用 $v-t$ 图像求位移
做匀速直线运动物体的位移可以通过它的 $v-t$ 图像求解。这个方法,对分析匀变速直线运动的位移问题有很好的启示。
图 2.3-1 是某物体做匀变速直线运动的 $v-t$ 图像，初速度
为 $v_{0} $，加速度为a。做匀变速直线运动的物体，其位移大小可以用 $v-t$ 图像中着色部分的梯形面积来表示（证明见本节“拓展学习”栏目 )。
根据图中着色梯形各线段所代表的物理含义以及梯形的面积公式,可以求得位移
$$
x=\frac{1}{2}\left(v_{0}+v\right) t
$$
将 $v=v_{0}+a t$ 代人上式，有
$$
x=v_{0} t+\frac{1}{2} a t^{2}
$$
这就是匀变速直线运动的位移与时间的关系式 ${ }^{1}$。如果初速度为 0，这个公式可以简化为 $x=\frac{1}{2} a t^{2}$。
(1) 开始时 ( 0 时刻) 物体位于坐标原点，所以在 $t$ 时刻位移的大小等于该时刻物体的位置坐标 $x_{\text {。}}$ 如果计时开始时物体位于坐标为 $x_{0}$ 的位置,那么在 $t$ 时刻位移的大小就是 $x-x_{0}$,上面的公式就应该写为 $x-x_{0}=v_{0} t+\frac{1}{2} a t^{2}$。
## 【 例题 1】
航空母舰的舰载机既要在航母上起飞,也要在航母上降落。
（1 ) 某舰载机起飞时,采用弹射装置使飞机获得 $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的速度后,由机上发动机使飞机获得 $25 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$ 的加速度在航母跑道上匀加速前进,$2.4 \mathrm{~s}$ 后离舰升空。飞机匀加速滑行的距离是多少?
（2）飞机在航母上降落时,需用阻拦索使飞机迅速停下来。若某次飞机着舰时的速度为 $80 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$,飞机钩住阻拦索后经过 $2.5 \mathrm{~s}$ 停下来。将这段运动视为匀减速直线运动，此过程中飞机加速度的大小及滑行的距离各是多少?
分析两个问题都是已知匀变速直线运动的时间来计算位移。第（1 ) 问需要用匀变速直线运动的位移与时间的关系式计算。第（2）问中,飞机着舰做匀減速直线运动的加速度需要根据速度与时间的关系式计算。匀减速运动各矢量的方向较为复杂,因此需要建立一维坐标系来确定它们的正负。
解 ( 1 ) 根据匀变速直线运动的位移与时间的关系式,有
$$
x=v_{0} t+\frac{1}{2} a t^{2}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \times 2.4 \mathrm{~s}+\frac{1}{2} \times 25 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} \times(2.4 \mathrm{~s})^{2}=96 \mathrm{~m}
$$
( 2 ）沿飞机滑行方向建立一维坐标系（图 2.3-2 )，飞机初速度 $v_{0}=80 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$，末速度 $v=0$，根据匀变速直线运动的速度与时间的关系式，有
$a=\frac{v-v_{0}}{t}=-\frac{v_{0}}{t}=-\frac{80 \mathrm{~m} / \mathrm{s}}{2.5 \mathrm{~s}}=-32 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$
图 2.3-2
加速度为负值表示方向与 $x$ 轴正方向相反。
再根据匀变速直线运动的位移与时间的关系式，有
$x=v_{0} t+\frac{1}{2} a t^{2}=v_{0} t+\frac{1}{2} \times\left(-\frac{v_{0}}{t}\right) t^{2}=\frac{1}{2} v_{0} t=\frac{1}{2} \times 80 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \times 2.5 \mathrm{~s}=100 \mathrm{~m}$
飞机起飞时滑行距离为 $96 \mathrm{~m}$。着舰过程中加速度的大小为 $32 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$,滑行距离为 $100 \mathrm{~m}$。
## 速度与位移的关系
这节我们学习了匀变速直线运动的位移与时间的关系式 $x=v_{0} t+\frac{1}{2} a t^{2}$,上一节我们还学习了匀变速直线运动的速度与时间的关系式 $v=v_{0}+a t_{。}$
将上述两个公式联立求解，消去时间 $t$ 可得到
$$
v^{2}-v_{0}^{2}=2 a x
$$
这就是匀变速直线运动的速度与位移的关系式。如果在所研究的问题中,已知量和末知量都不涉及时间,利用这个公式求解，往往会更简便。
## 【例题2】
动车铁轨旁两相邻里程碑之间的距离是 $1 \mathrm{~km}$。某同学乘坐动车时,通过观察里程碑和车厢内电子屏上显示的动车速度来估算动车减速进站时的加速度大小。当他身边的窗户经过某一里程碑时,屏幕显示的动车速度是 $126 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ (图 2.3-3)。动车又前进了 3 个里程碑时,速度变为 $54 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$。把动车进站过程视
图 2.3-3 为匀减速直线运动，那么动车进站的加速度是多少?它还要行驶多远才能停下来?
分析由于把动车进站过程视为匀减速直线运动，因此可以应用匀变速直线运动的速度与位移的关系式计算动车的加速度。本题加速度方向跟速度方向相反,因此需要建立一维坐标系来处理相关物理量的正负号
解沿动车运动方向为正方向建立一维坐标系。把动车通过 $3000 \mathrm{~m}$ 的运动称为前一过程,之后到停下来称为后一过程。
设在前一过程中的末位置为 $M$ 点。初速度 $v_{0}=126 \mathrm{~km} / \mathrm{h}=35 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$,末速度 $v_{M}=54 \mathrm{~km} / \mathrm{h}=15 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$，位移 $x_{1}=3000 \mathrm{~m}$。
对前一过程，根据匀变速直线运动的速度与位移的关系式，有
$$
a=\frac{v_{M}^{2}-v_{0}^{2}}{2 x_{1}}=\frac{(15 \mathrm{~m} / \mathrm{s})^{2}-(35 \mathrm{~m} / \mathrm{s})^{2}}{2 \times 3000 \mathrm{~m}}=-0.167 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
$$
对后一过程，末速度 $v=0$，初速度 $v_{M}=15 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$。
由 $v^{2}=v_{M}^{2}+2 a x_{2}$,有
$$
x_{2}=\frac{v^{2}-v_{M}^{2}}{2 a}=\frac{0-(15 \mathrm{~m} / \mathrm{s})^{2}}{2 \times(-0.167) \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}}=674 \mathrm{~m}
$$
动车进站的加速度大小为 $0.167 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$,方向与动车运动方向相反;还要行驶 $674 \mathrm{~m}$ 才能停下来。
从第 2 节和第 3 节的例题可以看到,只有建立了坐标
系，速度、加速度等物理量的正负号才能确定。
## 拓展学习
## 匀变速直线运动位移公式的推导
图 2.3-4 甲是某物体以初速度 $v_{0}$ 做匀变速直线运动的 $v-t$ 图像。如果我们像图 2.3-4乙那样,把物体的运动分成几个小段,例如 $\frac{t}{5}$ 算一个小段,每小段起始时刻物体的瞬时速度由相应的纵坐标表示。在每一小段内,可粗略认为物体以这个速度做匀速直线运动。因此,我们以每小段起始时刻的速度乘时间 $\frac{t}{5}$,近似地当作各小段中物体的位移。在 $v-t$ 图像中,各段位移可以用一个又窄又高的小矩形的面积代表。5个小矩形的面积之和近似地代表物体在整个运动过程中的位移。
甲
乙
丙
丁
图 2.3-4 位移等于 $v-t$ 图线下面的面积
如果以这 5 个小矩形的面积之和算出的位移代表物体在整个过程中的位移，显然位移就少算了。为了精确一些,可以把运动过程划分为更多的小段,如图 2.3-4 内所示,用所有这些小段的位移之和,近似代表物体在整个过程中的位移。小矩形越窄，多个小矩形的面积之和越接近物体的位移。
可以想象,如果把整个运动过程分割得非常非常细,很多很多小矩形的面积之和就能非常精确地代表物体的位移了。这时,很多很多小矩形顶端的“锯齿形” 就看不出来了,这些小矩形合在一起成了一个梯形 $O A B C$ (图 2.3-4 丁)。这个梯形的面积就代表做匀变速直线运动的物体从开始 ( 此时速度是 $\left.v_{0}\right)$ 到 $t$ 时刻（此时速度是 $\left.v\right)$ 这段时间间隔的位移。
上面这种分析问题的方法具有一般意义,原则上对于处理任意形状的 $v-t$ 图像都适用。对于图 2.3-5 所示的运动物体的位移,可用其 $v-t$ 图像着色部分图形的面积来表示。
在处理较复杂的变化量问题时,常常先把整个区间化为若干个小区间,认为每一小区间内研究的量不变,再求和。这是物理学中常用的一种方法。
图 2.3-5 位移等于 $v-t$ 曲线下面的面积
## 练习与应用
1. 以 $36 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 的速度行驶的列车开始下坡,在坡路上的加速度等于 $0.2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$,经过 $30 \mathrm{~s}$ 到达坡底。求坡路的长度和列车到达坡底时的速度。2. 以 $18 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的速度行驶的汽车,制动后做匀减速直线运动,在 $3 \mathrm{~s}$ 内前进 $36 \mathrm{~m}$。求汽车的加速度及制动后 $5 \mathrm{~s}$ 内发生的位移。3. 速度、加速度的测量通常比位移的测量要复杂些,而有的时候我们只需比较两个物体运动的加速度大小,并不需要知道加速度的具体数值。例如,比较两辆汽车的加速性能就是这样。如果已知两个物体在相同时间内从静止开始匀加速直线运动的位移之比,怎样根据运动学的规律求出它们的加速度之比?4. 滑跃式起飞是一种航母舰载机的起飞方式。飞机跑道的前一部分是水平的,跑道尾段略微向上翘起 ( 图 2.3-6)。飞机在尾段戋起跑道上的运动虽然会使加速度略有减小,但能使飞机具有斜向上的速度，有利于飞机的起飞。假设某飞机滑跃式起飞过程是两段连续的匀加速直线运动，前一段的加速度为 $7.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$,位移为 $180 \mathrm{~m}$,后一段的加速度为 $5.2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$,位移为 $15 \mathrm{~m}$，求飞机离舰时的速度有多大?5. 神舟五号载人飞船的返回舱距地面 $10 \mathrm{~km}$ 时开始启动降落伞装置,速度减至 $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$,并以这个速度在大气中降落。在距地面 $1.2 \mathrm{~m}$ 时,返回舱的四台缓冲发动机开始向下喷气,舱体再次减速。设最后减速过程中返回舱做匀减速直线运动,并且到达地面时恰好速度为 0,求最后减速阶段的加速度。6. 一辆肇事汽车在紧急刹车后停了下来，路面上留下了一条车轮滑动的磨痕。警察为了判断汽车杀车时速度的大小，测出路面上车轮磨痕的长度为 $22.5 \mathrm{~m}$。根据对车轮和路面材料的分析可以知道,车轮在路面上滑动时汽车做匀减速直线运动的加速度大小是 $5.0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$。请你根据以上条件,计算汽车刚开始刹车时的速度是多少
图2.3-6
## (4) 自由落体运动
站在高层建筑物上,让轻重不同的两个物体从同一高度同时落下,你认为哪个物体下落得快?
在教室内拿两张同样大小的纸,将其中一张揉成一个团。让纸团和另一张纸在同样的高度落下，看看哪一个下落得快?
结合实验及生活中的经验,讨论：什么因素
影响物体下落的快慢?
物体下落的运动是司空见惯的,但人类对它的认识却经历了差不多两千年的时间。最早研究这个问题的,大概要算古希腊学者亚里士多德了。
平常人们观察到的事实是,一块石头比一片树叶落得快些 $\cdots \cdots$ 亚里士多德认为物体下落的快慢跟它的轻重有关,重的物体下落得快。他的这一论断符合人们的常识,以至于其后两千年的时间里，大家都奉为经典。
## 自由落体运动
伽利略认为，根据亚里士多德“重的物体下落得快” 的论断,会推出相互矛盾的结论。例如,假定一块大石头的下落速度为 8,一块小石头的下落速度为 4,当把两块石头捆在一起时,大石头会被小石头拖着而变慢,整个物体的下落速度应该小于 8;但是,把两块石头捆在一起后,整个物体比大石头要重,因此整个物体下落的速度应该比 8 还要大。这种相互矛盾的结论,说明亚里士多德“重的物体下落得快” 的看法是错误的。根据仔细的分析,伽利略认为物体下落的运动只有一种可能性：重的物体与轻的物体应该下落得同样快。-伽利略通过逻辑推理,首先指出亚里士多德对落体认识的问题，然后得出重物与轻物应该下落得同样快的结论，最后用实验证实了自己的结论。伽利略这种推理与实验相结合的方法,为物理学的研究奠定了基础。研究中所体现的批判精神是创新所必需的。那么,轻重不同的物体下落的情况到底怎样?下面我们一起来做个比较精细的实验,仔细研究一下。
## 演示
甲有空气
乙真空
图 2.4-1 玻璃管内的羽毛、铁片的下落轻重不同的物体下落快慢的研究
如图 2.4-1 甲，一个两端封闭的玻璃管（也称牛顿管），其中一端有一个开关,玻璃管可以与外界相通。把质量不相同的铁片和羽毛放到玻璃管中,玻璃管坚直放置,让铁片和羽毛从玻璃管上方同时开始下落,观察物体下落的情况。
如图 2.4-1 乙,把玻璃管里的空气抽出去,再次观察物体下落的情况。
由实验可以看到,将玻璃管里的空气抽出去后,没有了空气阻力的影响,轻的物体和重的物体下落得同样快。在现实生活中人们之所以看到物体下落的快慢不同，是因为空气阻力的影响。如果没有空气阻力,所有物体下落的快慢都一样。
物体只在重力作用下从静止开始下落的运动,叫作自由落体运动 (free-fall motion)。这种运动只在真空中才能发生。在有空气的空间,如果空气阻力的作用比较小,可以忽略,物体的下落可以近似看作自由落体运动。
由上面的实验我们可以看到,自由落体运动是加速运动。那么,它的加速度在下落过程中是否变化呢?
## 实验
图 2.4-2 自由落体运动的实验装置
## 研究自由落体运动的规律
如图 2.4-2,固定打点计时器,纸带一端系着重物,另一端穿过计时器。用手捏住纸带上端,启动打点计时器,松手后重物自由下落,计时器在纸带上留下一串小点。
仿照前面对小车运动的研究,测量重物下落的加速度。
改变重物的质量，重复上面的实验。
## 自由落体加速度
对不同物体进行的实验结果表明,在同一地点,一切物体自由下落的加速度都相同,这个加速度叫作自由落体加速度 (free-fall acceleration),也叫作重力加速度 (gravitational acceleration)，通常用 $g$ 表示。
重力加速度的方向竖直向下,它的大小可以通过多种方法用实验测定。
精确的实验发现,在地球表面不同的地方，$g$ 的大小一般是不同的。在赤道的海平面处 $g$ 为 $9.780 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$,在北京 $g$ 为 $9.801 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$。在一般的计算中,$g$ 可以取 $9.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$ 或 $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$。(1)
下表列出了一些地点的重力加速度。
表一些地点的重力加速度
| 标准值: $g=9.80665 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$ | | |
| :---: | :---: | :---: |
| 地点 | 纬度 | $g /\left(\mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-2}\right)$ |
| 赤道海平面 | $0^{\circ}$ | 9.780 |
| 马尼拉 | $14^{\circ} 35^{\prime}$ | 9.784 |
| 广州 | $23^{\circ} 06^{\prime}$ | 9.788 |
| 武汉 | $30^{\circ} 33^{\prime}$ | 9.794 |
| 上海 | $31^{\circ} 12^{\prime}$ | 9.794 |
| 东京 | $35^{\circ} 43^{\prime}$ | 9.798 |
| 北京 | $39^{\circ} 56^{\prime}$ | 9.801 |
| 纽约 | $40^{\circ} 40^{\prime}$ | 9.803 |
| 莫斯科 | $55^{\circ} 45^{\prime}$ | 9.816 |
| 北极 | $90^{\circ}$ | 9.832 |
→你从表中发现了什么规律吗？你能尝试解释这个规律吗？尝试解释就是作出猜想。
## 做一做
## 用手机测自由落体加速度
很多智能手机都有加速度传感器。安装能显示加速度情况的应用程序,会看到白、绿、黄三条加速度图线,它们分别记录手机沿图 2.4-3 所示坐标轴方向的加速度变化情况。
把手机放在水平桌面上,让手机在桌面上沿 $x$ 轴或 $y$ 轴
图 2.4-3
(1) 本书中,如果没有特别的说明,都按 $g=9.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$ 进行计算。
图 2.4-4 手机截屏
方向平移一下,可以看到屏幕上加速度图线的白线或绿线出现一个波峰;把手机平放在手掌上,让手机在坚直方向移动一下,可以看到黄色图线发生变化。黄色图线记录手机竖直方向的加速度,测自由落体加速度,就是看黄色图线。
用手托着手机,打开加速度传感器,手掌迅速向下运动,让手机脱离手掌而自由下落,然后接住手机,观察手机屏幕上加速度传感器的图线 (图 2.4-4)。从图中可以看到,黄色图线有一小段时间的数值是 $-10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$,这就是自由落体的加速度,方向向下。
我们还能看到，自由落体之后有一个向上的波峰，这是用手接住手机时手机做减速运动的加速度，方向向上。
■世界是物质的，物质的运动有多种形式，例如机械运动、热运动和电磁运动等。这些不同的运动形式有着不同的运动规律，我们将陆续学习。自由落体运动是初速度为 0 的匀加速直线运动，所以匀变速直线运动的基本公式及其推论都适用于自由落体运动。
把初速度 $v_{0}=0$ 和加速度 $a=g$ 分别代人匀变速直线运动的速度与时间的关系式和位移与时间的关系式，可以得到自由落体的速度、位移与时间的关系式分别为
$$
v=g t,x=\frac{1}{2} g t^{2}
$$
## 科学漫步
## 伽利略对自由落体运动的研究
利用逻辑推理说明了重物与轻物下落得同样快后,伽利略并没有就此止步,而是进一步通过实验研究了自由落体运动的规律。
伽利略首先面临的困难是概念上的。因为那时人们连速度的明确定义都没有，所以，对伽利略来说，必须首先建立描述运动所需的概念。此前我们所学的概念，诸如平均速度、瞬时速度以及加速度等，就是伽利略首先建立起来的。
伽利略相信，自然界的规律是简洁明了的。他从这个信念出发，猜想落体一定是一种最简单的变速运动,而最简单的变速运动,它的速度应该是均匀变化的。但是,速度的变化怎样才算“均匀” 呢?他考虑了两种可能: 一种是速度的变化对时间来说是均匀的,即 $v$ 与 $t$ 成正比,例如每过 $1 \mathrm{~s}$,速度的变化量都是 $2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$;另一种是速度的变化对位移来说是均匀的,即 $v$ 与 $x$ 成正比，例如每下落 $1 \mathrm{~m}$，速度的变化量都是 $2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$。后来他发现，如果 $v$ 与 $x$ 成正比，将会推导出十分荒谬的结果。
伽利略想办法用实验来检验 $v$ 与 $t$ 成正比的猜想是否是真实的。
伽利略所处的时代技术不够发达,无法直接测定瞬时速度,所以也就不能直接得到速度的变化规律。但是,伽利略通过数学运算得出结论：如果物体的初速度为 0,而且速度随时间的变化是均匀的,即 $v \propto t$,它通过的位移就与所用时间的二次方成正比，即
$$
x \propto t^{2}
$$
这样,只要测出物体通过不同位移所用的时间,就可以检验这个物体的速度是否随时间均匀变化。
但是,落体下落得很快,而当时只能靠滴水计时,这样的计时工具还是不能测量自由落体运动所用的时间。伽利略采用了一个巧妙的方法,用来“冲淡” 重力。他让铜球沿阻力很小的斜面滚下 ( 图 2.4-5),而小球在斜面上运动的加速度要比它竖直下落的加速度小得多,所用时间长得多,所以容易测量。
伽利略做了上百次实验,结果表明,小球沿斜面滚下的运动的确是匀加速直线运动,换用不同质量的小球，从不同高度开始滚动，只要斜面的倾角一定，小球的加速度都是相同的。
伽利略将上述结果做了合理的外推：当斜面倾角很大时，小球的运动不是跟落体运动差不多了吗?如果斜面的倾角增大到 $90^{\circ}$,这时小球的运动不就是自由落体运动了吗 (图 2.4-6)?伽利略认为,这时小球仍然会保持匀加速运动的性质,而且所有物体下落时的加速度都是一样的!
伽利略的逻辑和实验自然使人钦佩,但是人们又疑惑地问道：为什么日常生活中常会见到,较重的物体下落得比较快呢?伽利略把原因归之于空气阻力对不同物体的影响不同。他写道:“如果完全排除空气的阻力，那么,所有物体将下落得同样快。”这时,落体运动也就真正成为自由落体运动了。为此,伽利略特别指出,在科学研究中,懂得忽略什么,有时与懂得重视什么同等重要。
伽利略对运动的研究，不仅确立
图2.4-5 伽利略在做铜球沿斜面运动的实验（油画） 了许多用于描述运动的基本概念，而且创造了一套对近代科学的发展极为有益的科学方法。这些方法的核心是把实验和逻辑推理 (包括数学演算) 和谐地结合起来,从而发展了人类的科学思维方式和科学研究方法。
图 2.4-6
## 从伽利略的一生看科学与社会
伽利略是伟大的物理学家和天文学家,意大利比萨大学和帕多瓦大学的教授,他融会贯通了当时的数学、物理学和天文学,在研究工作中开科学实验之先河，奠定了现代科学的基础。
在他所处的历史时代,文艺复兴绝不限于文学艺术的复兴,也是一次前所末有的科学振兴。文艺复兴的精神打破了束缚人们思想的桎梏，激发起人们对自然的兴趣和对自然的探索。活跃在人们心中的各种思想，终于得到了实在的结果。对于伽利略的成就和获得成就的方法，爱因斯坦的赞扬最具有代表性：“伽利略的发现以及他所应用的科学的推理方法，是人类思想史上最伟大的成就之一,而且标志着物理学的真正开端。”
伽利略 ( Galileo Galilei,1564 1642 )
伽利略的科学生涯并不是一帆风顺的。他制作了天文望远镜（图 2.4-7 ),并用它观测天空。观测结果支持了天文学的新学说一一日心说。然而，日心说与《圣经》相抵触。伽利略不得不用《圣经》的语言来解释日心说，即便如此，仍然不能逃避教会对他的指控和迫害。《关于两个世界体系的对话》使日心说变成摧毁教会教义和传统“科学” 框架的理论,因此立刻成为禁书。1633 年伽利略被罗马宗教裁判所判处终身监禁。尽管如此，他仍坚持研究工作，并将自由落体等方面的研究成果转送荷兰，于 1638 年出版了《两种新科学的对话》。这部著作的出版，奠定了伽利略作为近代力学创始人的地位。
图 2.4-7伽利略制作了天文望远镜时隔 359 年，罗马教廷于 1992 年承认对伽利略的压制是错误的，并为他“恢复名誉”。但是教会对科学的千涉和对伽利略的迫害所造成的严重后果是无法挽回的。以前一直是人才辈出的意大利,在伽利略之后,它的科学活动很快衰落下去,在很长的一段时间里,没有再产生讨重要的科学家。1. 把一张纸片和一块橡皮同时释放下落,哪个落得快?再把纸片捏成一个很紧的小纸团,和橡皮同时释放,下落快慢有什么变化?怎样解释这个现象?
2. 跳水运动员训练时从 $5 \mathrm{~m}$ 跳台双脚朝下自由落下,某同学利用手机的连拍功能,连拍了多张照片。测得其中两张连续的照片中运动员双脚离水面的高度分别为 $3.4 \mathrm{~m}$ 和 $1.8 \mathrm{~m}$。由此估算手机连拍时间间隔是多少?3. 为了测出井口到水面的距离,让一个小石块从井口自由落下,经过 $2.5 \mathrm{~s}$ 后听到石块击水的声音，估算井口到水面的距离。考虑到声音在空气中传播需要一定的时间,估算结果偏大还是偏小?4. 有一架照相机,其光圈 (进光孔径) 随被摄物体的亮度自动调节,而快门（曝光时间） 是固定不变的。为估测这架照相机的曝光时间,实验者从某砖墙前的高处使一个石子自由落下,拍摄石子在空中的照片如图 2.4-8所示。由于石子的运动，它在照片上留下了一条模糊的径迹。已知石子从地面以上 $2.5 \mathrm{~m}$ 的高度下落,每块砖的平均厚度为 $6 \mathrm{~cm}$，请估算这张照片的曝光时间。
图 2.4-8
图 2.4-9
图 2.4-10 5. 频闪摄影是研究变速运动常用的实验手段。在暗室中,照相机的快门处于常开状态,频闪仪每隔一定时间发出一次短暂的强烈闪光,照亮运动的物体,于是胶片上记录了物体在几个闪光时刻的位置。图 2.4-9 是小球自由下落时的频闪照片示意图,频闪仪每隔 $0.04 \mathrm{~s}$ 闪光一次。如果要通过这幅照片测量自由落体的加速度，可以采用哪几种方法？试一试。
照片中的数字是小球落下的距离,单位是厘米
6. 制作一把“人的反应时间测量尺”。
如图 2.4-10 甲,A 同学用两个手指捏住直尺的顶端,B同学用一只手在直尺 0 刻度位置做捏住直尺的准备,但手不碰到直尺。在 $\mathrm{A}$ 同学放开手指让直尺下落时,$B$ 同学立刻捏住直尺。读出 $\mathrm{B}$ 同学捏住直尺的刻度，就是直尺下落的高度，根据自由落体运动公式算出直尺下落的时间，就是 B同学的反应时间。
利用这种方法,你能不能把下面刻度尺的长度刻度,直接标注为时间刻度,使它变为“人的反应时间测量尺”?请尝试在图 2.4-10乙的长度刻度旁标注时间刻度。
## 复习与提高
## $A$ 组
1. 某人骑自行车,在距离十字路口停车线 $30 \mathrm{~m}$ 处看到信号灯变红。此时自行车的速度为 $4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$。已知该自行车在此路面依惯性滑行时做匀减速运动的加速度大小为 $0.2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$。
如果骑车人看到信号灯变红就停止用力,自行车仅靠滑行能停在停车线前吗?
2. 骑自行车的人以 $5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的初速度沿足够长的斜坡向上做减速运动，加速度大小是 $0.4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$,经过 $5 \mathrm{~s}$，他在斜坡上通过多长的距离?3. 钢球由静止开始做自由落体运动,不计空气阻力,落地时的速度为 $30 \mathrm{~m} / \mathrm{s},g$ 取 $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$。
（1）它下落的高度是多少?
（2）它在前 $2 \mathrm{~s}$ 内的平均速度是多少?
（3）它在最后 $1 \mathrm{~s}$ 内下落的高度是多少?
4. 某同学在“探究小车速度随时间变化的规律” 实验中，选出了如图 2-1 所示的一条纸带 ( 每两点间还有 4 个点没有画出来),纸带上方的数字为相邻两个计数点间的距离。打点计时器的电源频率为 $50 \mathrm{~Hz}$。
( 1 ) 根据纸带上的数据,计算打下 $A、B、$ $C、D、E$ 点时小车的瞬时速度并填在表中。
(2) 在图 2-2 中画出小车的 $v-t$ 图像,并根据v- $t$ 图像判断小车是否做匀变速直线运动。如果是，求出该匀变速直线运动的加速度。
单位: $\mathrm{cm}$
图 2-1
| 位置 | $A$ | $B$ | $C$ | $D$ | $E$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $v /\left(\mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}\right)$ | | | | | |
图 2-2
5. 某跳来运动员做低空跳伞表演。他离开悬停的飞机后先做自由落体运动,当距离地面 $125 \mathrm{~m}$ 时开始打开降落平,到达地面时速度减为 $5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$。如果认为开始打开降落伞直至落地前运动员在做匀减速运动,加速度为 $12 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2},g$ 取 $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$。
（1）运动员打开降落來时的速度是多少?
(2) 运动员离开飞机时距地面的高度为多少?
（3）运动员离开飞机后，经过多长时间才能到达地面?
6. 已知一物体做初速度为 0、加速度为 $a$ 的匀加速直线运动。该物体在前 $1 \mathrm{~s}$ 内、前 $2 \mathrm{~s}$ 内、前 $3 \mathrm{~s}$ 内 $\cdots \cdots$ 的位移分别是 $x_{1},x_{2},x_{3},\cdots$ 在第 $1 \mathrm{~s}$ 内、第 $2 \mathrm{~s}$ 内、第 $3 \mathrm{~s}$ 内 $\cdots \cdots$ 的位移分别是 $x_{\mathrm{I}},x_{\mathrm{II}},x_{\mathrm{III}},\cdots$ 在各个连续相等的时间间隔 $T$ 内的位移分别是 $s_{1},s_{2},s_{3},\cdots,s_{n}$,证明:
(1) $x_{1}: x_{2}: x_{3}: \cdots=1: 4: 9: \cdots$
(2) $x_{\mathrm{I}}: x_{\mathrm{II}}: x_{\mathrm{III}}: \cdots=1: 3: 5: \cdots$
( 3 ) $\Delta s=s_{2}-s_{1}=s_{3}-s_{2}=\cdots=s_{n}-s_{n-1}$ $=a T^{2}$ 1. 一辆汽车以 $36 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 的速度在平直公路上匀速行驶,若汽车先以 $0.5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$ 的加速度匀加速 $10 \mathrm{~s}$ 后,再以 $3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$ 的加速度匀减速刹车,请作出汽车开始加速后 $18 \mathrm{~s}$ 内的 $v-t$ 图像。
2. 公路上行驶的汽车,司机从发现前方异常情况到紧急刹车,汽车仍将前进一段距离才能停下来。要保持安全,这段距离内不能有车辆和行人,因此把它称为安全距离。通常情况下,人的反应时间和汽车系统的反应时间之和为 $1 \mathrm{~s}$ (这段时间汽车仍保持原速)。晴天汽车在干燥的路面上以 $108 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 的速度行驶时,得到的安全距离为 $120 \mathrm{~m}$。设雨天汽车刹车时的加速度为晴天时的 $\frac{3}{5}$,若要求安全距离仍为 $120 \mathrm{~m}$,求汽车在雨天安全行驶的最大速度。3. 在平直的公路上,一辆小汽车前方 $26 \mathrm{~m}$ 处有一辆大客车正以 $12 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的速度匀速前进,这时小汽车从静止出发以 $1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$ 的加速度追赶。小汽车何时追上大客车?追上时小汽车的速度有多大?追上前小汽车与大客车之间的最远距离是多少?4. 某人在室内以窗户为背景摄影时,恰好把窗外从高处落下的一个小石子拍摄在照片中,已知本次摄影的曝光时间是 $0.01 \mathrm{~s}$。测得照片中石子运动痕迹的长度为 $0.8 \mathrm{~cm}$,实际长度为 $100 \mathrm{~cm}$ 的窗框在照片中的长度为 $4.0 \mathrm{~cm}$。
(1) 根据照片估算曝光时间内石子下落了多少距离。
(2) 估算曝光时刻石子运动的速度是多大。
(3) 估算这个石子大约是从距离窗户多高的地方落下的。$g$ 取 $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$。5. 子弹垂直射入叠在一起的相同木板,穿过第 20 块木板后的速度变为 0。可以把子弹视为质点,已知子弹在木板中运动的总时间是 $t$,认为子弹在各块木板中运动的加速度都相同。
(1) 子弹穿过第 1 块木板所用的时间是多少?
(2) 子弹穿过前 15 块木板所用的时间是多少?
(3) 子弹穿过第 15 块木板所用的时间是多少?
6. ETC 是高速公路上不停车电子收费系统的简称。如图 2-3,汽车以 $15 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的速度行驶,如果过人工收费通道,需要在收费站中心线处减速至 0,经过 $20 \mathrm{~s}$ 缴费后,再加速至 $15 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 行驶;如果过ETC通道,需要在中心线前方 $10 \mathrm{~m}$ 处减速至 $5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$,匀速到达中心线后,再加速至 $15 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 行驶。设汽车加速和减速的加速度大小均为 $1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$。
(1) 汽车过人工收费通道,从收费前减速开始,到收费后加速结束,总共通过的路程和所需的时间是多少?
(2) 如果过ETC 通道,汽车通过第 (1) 问路程所需要的时间是多少?汽车通过ETC 通道比人工收费通道节约多长时间?
收费站中心线
$\longleftarrow 10 \mathrm{~m} \longrightarrow$
$15 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \longrightarrow$ 匀速行驶区间 ETC通道
$15 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \longrightarrow \quad$ 人工收费通道
图 2-3
## 相互作用一力
自然界的物体不是孤立存在的，它们之间具有多种多样的相互作用。正是由于这些相互作用,物体在形状、运动状态等许多方面会发生变化。如何来研究这些相互作用呢?在力学中,物体间的相互作用抽象为一个概念一力 (force)。
在研究物体做机械运动时,最常见的力有重力、弹力和摩擦力,本章研究这几种常见力的特点和规律。
相互作用是我们从现今自然科学的观点出发在整体上考察运动着的物质时首先遇到的东西。$\cdots \cdots$ 相互作用是事物的真正的终极原因。
―恩格斯 ${ }^{1}$
## 1) 重力与弹力
分析空中人所受的重力。关于上述问题,你知道哪些?
## 重力
由于地球的吸引而使物体受到的力叫作重力 (gravity ),单位是牛顿,简称牛,符号用 $\mathrm{N}$ 表示。重力的施力物体是地球,方向竖直向下。初中我们学过,物体受到的重力 $G$ 与物体质量 $m$ 的关系是
$$
G=m g
$$
其中 $g$ 是自由落体加速度。通过第二章的学习我们知道,在没有空气阻力时,由静止下落的物体做自由落体运动。做自由落体运动的物体只受到重力的作用。
- $g$ 的单位既可以是 $\mathrm{N} / \mathrm{kg}$,又可以是 $\mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}$,而且 $1 \mathrm{~N} / \mathrm{kg}=1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$
(1) 恩格斯 ( Friedrich Engels,1820-1895),马克思主义创始人之一。恩格斯曾致力于研究自然科学中的哲学问题,对当时自然科学最重要的成就作了辩证唯物主义的概括，逝世后这些札记被辑录成《自然辩证法》一书。
图 3.1-1 形状规则的均匀物体的重心
图 3.1-3 确定薄板的重心
图 3.1-4 力的图示
一个物体的各部分都受到重力的作用,从效果上看,可以认为各部分受到的重力作用集中于一点,这一点叫作物体的重心 ( center of gravity )。因此,重心可以看作物体所受重力的作用点。质量均匀分布的物体,重心的位置只跟物体的形状有关。形状规则的均匀物体,它的重心比较容易确定。例如,均匀细直棒的重心在棒的中点,均匀球体的重心在球心,均匀圆柱体的重心在轴线的中点 ( 图 3.1-1)。质量分布不均匀的物体,重心的位置除了跟物体的形状有关外,还跟物体内质量的分布有关。载重汽车的重心随着装货多少和装载位置而变化 (图 3.1-2)。
甲
图3.1-2 载重汽车的重心
我们还可以应用二力平衡的知识通过实验来确定形状不规则物体的重心位置。例如，要确定图 3.1-3 中薄板的重心位置，可以先在 $A$ 点把物体悬挂起来,通过 $A$ 点画一条竖直线 $A B$,由于 $A$ 点悬线的拉力跟薄板的重力平衡,薄板的重心必定在 $A B$ 连线上;然后,再选另一处 $D$ 点把物体悬挂起来,过 $D$ 点画一条竖直线 $D E$,薄板的重心必定在 $D E$ 连线上。因此,$A B$ 和 $D E$ 的交点 $C$,就是薄板的重心。
力可以用有向线段表示。有向线段的长短表示力的大小,箭头表示力的方向,箭尾 (或箭头) 表示力的作用点。如图 3.1-4,球所受的重力大小为 $6 \mathrm{~N}$,方向坚直向下。这种表示力的方法,叫作力的图示。在不需要准确标度力的大小时,通常只需画出力的作用点和方向,即只需画出力的示意图。
## 弹力
日常生活中的很多相互作用,无论是对物体推、拉、提、举,还是牵引列车、锻打工件、击球、弯弓射箭等,都是在物体与物体接触时发生的,这种相互作用可以称为接触力。我们通常所说的拉力、压力、支持力等都是接触力。接触力按其性质可以分为弹力和摩擦力,下面我们先研究弹力。
物体在力的作用下形状或体积会发生改变,这种变化叫作形变 ( deformation)。
有时物体的形变很小，不易被觉察。在图 3.1-5 中，一块剖面为三角形的有机玻璃压在另一块有机玻璃上，发生的形变肉眼不能看出。但是形变后,当特殊的光通过有机玻璃不同部位时,产生的花纹会发生变化,利用仪器可以看到这种差异。在工程设计时,常用这种方法研究按比例缩小的有机玻璃模型的形变,进而推测实际工程中物体各
图 3.1-5 有机玻璃的形变部位的受力情况。
## 演示
## 通过平面镜观察桌面的微小形变
如图 3.1-6,在一张大桌子上放两个平面镜 $\mathrm{M}$ 和 $\mathrm{N}$,证一束光依次被这两个镜子反射,最后射到墙上,形成一个光点。按压两镜之间的桌面,观察墙上光点位置的变化。这个现象说明了什么?
被拉长的弹簧,要恢复原状,对相连接的小车产生了拉力 $F$ (图 3.1-7);被跳水运动员压弯的跳板,要恢复原状,对上面的人产生了支持力。发生形变的物体,要恢复原状,对与它接触的物体会产生力的作用,这种力叫作弹力 (elastic force)。
放在地板上的物体,它对地板的压力以及地板对它的支持力,都是弹力,其方向是跟接触面垂直的;绳子的拉力,也是弹力,其方向是沿着绳子而指向绳子收缩的方向。
图 3.1-6 观察微小形变示意图
图 3.1-7 弹簧拉力示意图
## 胡克定律
物体在发生形变后,如果撤去作用力能够恢复原状，这种形变叫作弹性形变 ( elastic deformation)。如果形变过大，超过一定的限度，撤去作用力后物体不能完全恢复原来的形状，这个限度叫作弹性限度 (elastic limit)。
弹簧在形变时产生的弹力与弹簧的伸长量是有关系的。那么,弹簧在弹性限度内,弹力大小与其伸长量有什么关系呢?
## 实验
## 探究弹簧弹力与形变量的关系
## 实验思路
探究弹簧弹力与形变量的关系,需要测量多组弹簧弹力和形变量的数据,如何测量?说出你的想法。
## 进行实验
要完成这个实验探究,我们可以通过如图 3.1-8甲所示的装置进行实验。把弹簧上端固定在铁架台的横杆上，观察弹簧自由下垂时下端在刻度尺的位置。
在弹簧下端悬挂不同质量的钧码,记录弹簧在不同弹力下伸长的长度（弹簧弹力等于钧码的重力）。
甲实验装置
乙作出 $F-x$ 图像
图 3.1-8 弹簧弹力与形变量的关系
## 数据处理
为了找出弹簧弹力与形变量的关系,我们以弹簧的弹力 $F$ 为纵轴、弹簧伸长的长度 $x$ 为横轴建立直角坐标系。根据表格中的实验数据,在坐标纸上描点 (图 3.1-8乙),作出 $F-x$ 图像。
由 $F-x$ 图像，你得出了什么结论?
英国科学家胡克经过研究发现,在弹性限度内,弹簧发生弹性形变时,弹力 $F$ 的大小跟弹簧伸长 (或缩短) 的长度 $x$ 成正比,即
$$
F=k x
$$
这个规律叫作胡克定律 (Hooke's law )。式中弹力 $F$、弹簧伸长 (或缩短) 的长度 $x$ 的单位分别是牛顿 $(\mathrm{N})$、米 $(\mathrm{m})$,$k$ 叫作弹簧的劲度系数 ( coefficient of stiffness),单位是牛顿每米，符号是 $\mathrm{N} / \mathrm{m}$。
生活中说有的弹簧“硬”,有的弹簧“软”,指的就是它们的劲度系数不同。
## 练习与应用
1. 举出具体的实例来说明:
（1）力能够改变物体的运动状态或使物体产生形变。
（2）每一个力,都有一个施力物体和一个受力物体。
2.画出下面几个力的图示,并指出受力物体和施力物体。
（1）竖直向上飞行的火箭受到的重力,火箭质量为 $2 \times 10^{3} \mathrm{~kg} g$ 取 $10 \mathrm{~N} / \mathrm{kg}$
(2) 人对车施加的水平向右 $250 \mathrm{~N}$ 的推力。
(3) 用一根细绳竖直悬挂一件工艺品,工艺品对细绳的拉力为 $0.5 \mathrm{~N}$。
3. 几何学中把三角形三条中线的交点叫作重心。物理学中也有重心的概念。均匀的三角形薄板的重心是不是与几何学上的重心位于同一点上?请你通过以下实验作出判断。
首先作图把均匀等厚三角形纸板的三条中线的交点 $C$ 找出来，然后用细线悬吊三角形纸板的任意位置,看悬线的延长线是否通讨 $C$ 点。
4. 质量均匀的钢管,一端支在光滑的水壬地面上，另一端被竖直绳悬挂着（图 3.1-9),钢管受到几个力的作用?各力的施力物体是什么？画出钢管受力的示意图
图 3.1-9
5. 物体在力的作用下产生的形变有时不容易被觉察，教科书列举了两个观察微小形变的实例,你还能想到用什么方法来观察力作用下的微小形变?请画示意图说明你的方法。6. 某同学在坚直悬挂的弹簧下加挂钩码,做实验研究弹力与弹簧伸长量的关系。他将实验数据记录在表格中。实验时弹力始终末超过弹性限度，$g$ 取 $10 \mathrm{~N} / \mathrm{kg}$。
表钧码质量与弹簧总长度
| 钩码质量 $m / \mathrm{g}$ | 0 | 30 | 60 | 90 | 120 | 150 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 弹簧总长度 $l / \mathrm{cm}$ | 6.0 | 7.2 | 8.3 | 9.5 | 10.6 | 11.8 |
(1) 根据实验数据在坐标纸上作出弹力 $F$ 跟弹簧伸长量 $x$ 关系的 $F-x$ 图像 ( 图 3.1-10)。
(2) 根据 $F-x$ 图像计算弹簧的劲度系数。
图 3.1-10 7. 小发明一一设计一个自动冲水装置。
有一个排污沟,需要每隔十多分钟用水冲洗一次。为此,请你应用重心的知识设计一个自动冲水装置。设计的思路是：用一个可以转动的容器接住从水龙头细细流出的水,容器中的水装到一定体积时,由于重心位置的变化,容器失去平衡而翻倒，容器中的水被全部倒出冲洗排污沟,倒完水的容器又能自动恢复到原来的位置重新接水,如此往复。调节水龙头的流量,还可以控制两次冲水的时间间隔。请你在图 3.1-11 的圆圈中画出你构思的这个装置的图示。
图 3.1-11
## 2 摩擦力
问题
用弹簧测力计拖动水平固定木板上的木块,使它做匀速运动,测力计的示数等于木块所受摩擦力的大小。改变木块和木板之间的压力，摩擦力的大小也随之改变。
如果摩擦力的大小跟压力的大小存在某种定量关系的话,它们可能是怎样的关系呢?
## 滑动摩擦力
我们知道,两个相互接触的物体,当它们相对滑动时,在接触面上会产生一种阻碍相对运动的力,这种力叫作滑动摩擦力 ( sliding frictional force)。滑动摩擦力的方向总是沿着接触面，并且跟物体相对运动的方向相反。
我们还知道，滑动摩擦力的大小跟接触面上压力的大小有关,对同一接触面来说,压力越大,滑动摩擦力越大；滑动摩擦力的大小还跟接触面的粗粘程度、材质等有关,在相同压力下，不同接触面间的滑动摩擦力的大小一般不同。
通过进一步的定量实验,测量同一接触面不同压力下的滑动摩擦力大小,结果表明：滑动摩擦力的大小跟压力的大小成正比。如果用 $F_{\mathrm{f}}$ 表示滑动摩擦力的大小，用 $F_{\text {压表 }}$ 示压力的大小，则有
$$
F_{\mathrm{f}}=\mu F_{\text {压 }}
$$
其中,$\mu$ 是比例常数,叫作动摩擦因数 (dynamic friction factor )。它的值跟接触面有关，接触面材料不同、粗糙程度不同，动摩擦因数也不同。
图 3.2-1
在图 3.2-1 中，以木块在水平木板上滑动为例，木块所受的支持力为 $F_{\mathrm{N}}$。由于木块对木板的压力大小等于 $F_{\mathrm{N}},{ }^{\mathbb{1}}$ 所以动摩擦因数 $\mu$ 也可以表示为
$$
\mu=\frac{F_{\mathrm{f}}}{F_{\mathrm{N}}}
$$
$F_{\mathrm{f}}$ 和 $F_{\mathrm{N}}$ 是接触面上木块所受的两个力,$F_{\mathrm{f}}$ 在接触面内且与相对运动方向相反,$F_{\mathrm{N}}$ 与接触面垂直。
表几种材料间的动摩擦因数
| 材料 | 动摩擦因数 | 材料 | 动摩擦因数 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 钢一钢 | 0.25 | 钢一冰 | 0.02 |
| 木一木 | 0.30 | 木一冰 | 0.03 |
| 木一金属 | 0.20 | 橡胶轮胎一路面 $($ 于 $)$ | 0.71 |
| 皮革一铸铁 | 0.28 | 木一皮带 | 0.40 |
## 【例题 】
在我国东北寒冷的冬季，有些地方用雪秕作为运输工具。一个有钢制滑板的雪栓,连同车上木料的总质量为 $4.9 \times 10^{3} \mathrm{~kg}$。在水平的冰道上,马要在水平方向用多大的力，才能够拉着雪鈚匀速前进?$g$ 取 $10 \mathrm{~N} / \mathrm{kg}$。
分析将雪㮆抽象为一个物体,如图 3.2-2,雪栓在重力 $m g$、支持力 $F_{\mathrm{N}}$、马的拉力 $F$ 和滑动摩擦力 $F_{\mathrm{f}}$ 四个力的作用下，沿水平面匀速前进。根据二力平衡条件，拉力 $F$ 与滑动摩擦力 $F_{\mathrm{f}}$ 的大小相等,而 $F_{\mathrm{f}}$ 与 $F_{\mathrm{N}}$ 有关,$F_{\mathrm{N}}$ 的大小又等于 $m g$,故可以求得拉力 $F$。
图 3.2-2
解雪鈚所受重力 $m g=4.9 \times 10^{4} \mathrm{~N}$,查表得 $\mu=0.02$。
雪㯵匀速运动,拉力 $F$ 与滑动摩擦力 $F_{\mathrm{f}}$ 大小相等,即
$$
F=F_{\mathrm{f}}
$$
(1) 下节会学到这一知识。由于
$$
\begin{gathered}
F_{\mathrm{N}}=m g \\
F_{\mathrm{f}}=\mu F_{\mathrm{N}}=\mu m g
\end{gathered}
$$
故
$$
F=\mu m g=0.02 \times 4.9 \times 10^{3} \times 10 \mathrm{~N}=980 \mathrm{~N}
$$
马要在水平方向用 $980 \mathrm{~N}$ 的力,才能够拉着雪柍匀速前进。
## 静摩擦力
相互接触的物体处于相对静止时,是不是也可能存在摩擦力?
如图 3.2-3,人用平行于地面的力推沙发,沙发有相对地面运动的趋势,但它没有被推动,沙发与地面仍然保持相对静止。根据二力平衡的知识可知,这时一定有一个力与推力平衡。这个力与人对沙发的推力大小相等、方向相反。这个力就是沙发与地面之间的摩擦力。
图 3.2-3 推沙发
由于这时相互接触的两个物体之间只有相对运动的趋势,而没有相对运动,所以这时的摩擦力叫作静摩擦力 ( static frictional force )。静摩擦力的方向总是跟物体相对运动趋势的方向相反。只要沙发与地面间没有产生相对运动,静摩擦力的大小就随着推力的增大而增大,并与推力保持大小相等。
## 演示
## 静摩擦力的大小随拉力的变化
把木块放在水平长木板上,用弹簧测力计沿水平方向拉木块。在拉力 $F$ 增大到一定值之前,木块不会运动,此种情况下静摩擦力的大小等于拉力的大小。
图 3.2-4 测量静摩擦力的实验装置
在弹簧测力计的指针下轻塞一个小纸团,它可以随指针移动,并作为指针到达最大位置的标记（图 3.2-4)。继续用力，当拉力达到某一数值时木块开始移动,此时拉力会突然变小。
如果用力传感器代替弹簧测力计做这个实验,能够在计算机屏幕上直接得到拉力随时间变化的 $F-t$ 图像（图 3.2-5)。
图 3.2-5 $F-t$ 图像
静摩擦力的增大有一个限度。图 3.2-5 中木块所受静摩擦力的最大值 $F_{\text {max }}$ 在数值上等于物体即将开始运动时的拉力。两物体之间实际产生的静摩擦力 $F$ 在 0 与最大静摩擦力 $F_{\text {max }}$ 之间，即
$$
0<F \leqslant F_{\max }
$$
瓶子可以拿在手中，靠的是静摩擦力的作用。皮带运输机能把货物送往高处，也是静摩擦力作用的结果。
## 科学漫步
流体的阻力
气体和液体都具有流动性,统称为流体。物体在流体中运动时,要受到流体的阻力,阻力的方向与物体相对于流体运动的方向相反。汽车、火车和飞机等在空气中运动,要受到空气的阻力。轮船、潜艇在水面或水下航行，要受到水的阻力。
流体的阻力跟物体相对于流体的速度有关，速度越大，阻力越大。雨滴在空气中下落,速度越来越大,所受空气阻力也越来越大。当阻力增加到跟雨滴所受的重力相等时,二力平衡,雨滴匀速下落
流体的阻力还跟物体的横截面积有关，横截面积越大,阻力越大。跳伞运动员、飞船返回舱在空中张开降落伞,凭借降落伞较大的横截面积获得较大的空气阻力,安全落地。
流体的阻力还跟物体的形状有关系。头圆尾尖的物体所受的流体阻力较小,这种形状通常叫作流线型。为了减小阻力,轮船的水下部分采用了流线型 ( 图 3.2-6)。
一般来说,空气阻力比液体阻力、固体间的摩擦力都要小。气垫船靠船下喷出的气体,浮在水面航行,受到的阻力小。磁浮列车靠电磁力使列车悬浮在轨道上,速度可达 $500 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$
图 3.2-6 水下流线型船体
## 练习与应用
1. 手压着桌面向前移动,会明显地感觉到有阻力阻碍手的移动。手对桌面的压力越大,阻力越大。试一试,并说明道理。2. 一只玻璃瓶，在下列情况下是否受到摩擦力?如果受到摩擦力，摩擦力朝什么方向?
（1）瓶子静止在粗䊁水平桌面上。
(2) 瓶子静止在倾斜的桌面上。
(3) 瓶子被瓶口朝上握在手中静止。
(4) 瓶子压着一张纸条,扶住瓶子把纸条抽出。
3. 所受重力为 $100 \mathrm{~N}$ 的木箱放在水平地板上,至少要用 $35 \mathrm{~N}$ 的水平推力，才能使它从原地开始运动。木箱从原地移动以后，用 $30 \mathrm{~N}$ 的水平推力，就可以使木箱继续做匀速直线运动。
由此可知：木箱与地板之间的最大静摩擦力 $F_{\text {max }}=$；木箱所受的滑动摩擦力 $F_{\mathrm{f}}=$，木箱与地板之间的动摩擦因数 $\mu=$;如果用 $20 \mathrm{~N}$ 的水平推力推这个静止的木箱,木箱所受的摩擦力大小为
4. 所受重力为 $500 \mathrm{~N}$ 的雪杽,在平坦的雪地上用 $10 \mathrm{~N}$ 的水平拉力恰好可以拉着空雪杽做匀速直线运动。如果雪栓再载重 $500 \mathrm{~N}$ 的货物,那么,雪栓在该雪地上滑行时受到的摩擦力是多少?
## (3) 牛顿第三定律
图 3.3-1 弹簧和手受力示意图
图3.3-2 地球和人造卫星受力示意图
## 作用力和反作用力
力是物体对物体的作用。只要谈到力,就一定存在着受力物体和施力物体。用手拉弹簧,弹簧受到手的拉力 $F$,同时弹簧发生形变,手也就受到弹簧的拉力 $F^{\prime}$ ( 图 3.3-1)。坐在椅子上用力推桌子,会感到桌子也在推我们,我们的身体要向后仰。我们常说,地面上及地球附近的物体受到地球的吸引 (重力)。其实,地球也受到它们的吸引,地球和物体之间的作用也是相互的（图3.3-2)。如此等等,不胜枚举。
观察和实验的结果表明，两个物体之间的作用总是相互的。当一个物体对另一个物体施加了力,后一个物体一定同时对前一个物体也施加了力。物体间相互作用的这一对力,通常叫作作用力 (acting force) 和反作用力 (reacting force)。作用力和反作用力总是互相依赖、同时存在的。我们可以把其中任何一个力叫作作用力,另一个力叫作反作用力。
## 牛顿第三定律
作用力和反作用力的大小之间、方向之间有什么样的关系?这又是一个定量的问题,而定量的问题通常只靠观察和经验是解决不了的,它需要通过实验测量来回答。
## 用弹簧测力计探究作用力和反作用力的关系
探究作用力和反作用力的关系,要同时测量这两个力，你认为应该如何测量?
我们可以通过图 3.3-3所示的装置进行实验。把 $\mathrm{A}、\mathrm{~B}$ 两个弹簧测力计连接在一起，B 的一端固定，用手拉测力计 $\mathrm{A}$。可以看到两个测力计的指针同时移动。这时测力计 $\mathrm{B}$ 受到 $\mathrm{A}$ 的拉力 $F$,测力计 $\mathrm{A}$ 则受到 $\mathrm{B}$ 的拉力 $F^{\prime} \circ F$ 与 $F^{\prime}$ 有
图3.3-3 实验装置什么关系?
从实验中可以发现，两个弹簧测力计的示数是相等的,方向相反。上面是通过弹力进行的实验,摩擦力满足上面的关系吗?如果是不相互接触的力呢?
牛顿经过研究指出: 两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等,方向相反,作用在同一条直线上。这就是牛顿第三定律 ( Newton's third law )。
在生活和生产中应用牛顿第三定律的例子是很多的。
人在划船时,桨向后推水,水就向前推桨,将船向前推进 (图3.3-4)。与此类似,轮船的螺旋桨旋转时也是向后推水,水同时给螺旋桨一个反作用力，推动轮船前进。
汽车的发动机驱动车轮转动,由于轮胎和地面之间的摩擦,车轮向后推地面,地面给车轮一个向前的反作用力,使汽车前进 (图 3.3-5)。汽车受到的驱动力就是这样产生的。若把驱动轮架空,不让它跟地面接触,这时车轮虽然转动,但车轮不推地面,地面也就不会产生向前推车的力,汽车就不会前进。陷在泥泞中的汽车,尽管车轮飞转,但是如果泥和车轮之间太滑,车轮得不到足够的摩擦力,车也是出不来的。许多越野车可以按需要分别由前轮或后轮驱动,必要时甚至可以四轮同时驱动,以便根据车轮与地面接触的不同情况来获得足够的驱动力。
图 3.3-4 划犮郍
车轮受到的力地面受到的力
图 3.3-5 汽车受驱动力的示意图
## 拓展学习
## 用力传感器探究作用力和反作用力的关系
力传感器可以把它所受力的大小、方向随时间变化的情况，由计算机屏幕显示出来。
把两个互相钧着的力传感器，同时连在计算机上，其中，一个系在墙壁上固定，另一个握在手中（图 3.3-6甲）。图3.3-6乙中上下两条图线分别表示两个力传感器受力的大小。用手拉一个力传感器,可以看到在一个力传感器受力的同时,
甲乙
图3.3-6 作用力和反作用力的关系另一个力传感器也同时受到力的作用。从而可以知道在任何时刻两个力的大小相等、方向相反
两位同学各持一个力传感器,互相钩着。一人用力拉力传感器朝自己的方向运动。可以发现,在运动的过程中，尽管力的大小随运动时间不断变化，但在运动中的任何时刻，作用力和反作用力总是大小相等、方向相反的。
图 3.3-7 斜面上物体受力示意图
## 物体受力的初步分析
分析物体的受力，有两条思路。一是根据物体运动状态的变化来分析和判断其受力情况，这是下一章学习的内容;二是根据各种力的特点,从相互作用的角度来分析物体的受力。下面我们先从后一思路来分析物体的受力情况，为力与运动关系的分析奠定必要的基础。在高中物理的力学部分,我们遇到的力主要是重力、弹力和摩擦力。
例如,一个木块静止在粗粘斜面上,我们按重力、弹力和摩擦力的顺序来分析它的受力情况。木块受到重力 $G$,方向坚直向下;木块和斜面接触并相互挤压,木块受到垂直于斜面向上的弹力 $F_{\mathrm{N}}$;假设木块和斜面之间没有摩擦,木块就会向下滑动，由此可以判断，静止的木块相对斜面有向下滑动的趋势，所受的静摩擦力 $F_{\mathrm{f}}$ 是沿斜面向上的 (图3.3-7)。
需要强调的是,必须明确我们是在分析哪个物体所受的力。在上面的例子中,涉及木块的作用力和反作用力共有三对: 重力 $G$ 和木块对地球的引力、弹力 $F_{\mathrm{N}}$ 和木块对斜面的压力、静摩擦力 $F_{\mathrm{f}}$ 和木块对斜面的静摩擦力。由于我们是在对木块的受力情况进行分析,所以只把这六个力中木块所受的三个力画出来了。在分析物体的受力情况时,不要把某个力的反作用力跟这个力的平衡力混淆。
例如,在图 3.3-8甲中,猴子吊在空中,我们分析猴子所受的力。猴子受到重力 $G$,还受到树枝对它的拉力 $F$。由于猴子是静止的,而且不再受到其他力的作用,所以拉力 $F$ 和重力 $G$ 这两个力是一对相互平衡的力,它们“大小相等、方向相反,作用在同一条直线上”。应该注意,这两个力作用在同一物体 ( 猴子 ) 上。
另一方面，树枝在以拉力 $F$ 向上拉着猴子,猴子同时也在以向下的拉力 $F^{\prime}$ 拉着树枝,这是一对作用力和反作用力,它们的关系也是“大小相等、方向相反,作用在同一条直线上” (图3.3-8乙)。但不同的是,它们分别作用在两
甲
C
图3.3-8 平衡力与作用力、反作用力的区别个物体（猴子和树枝）上。
这两种情况，很容易混淆,因此要注意区分。
“一对相互平衡的力” 和“一对作用力和反作用力” 还有一个区别: 后者一定是同一种类的力 (例如 $F$ 和 $F^{\prime}$ 都是弹力),而前者则不一定是同一种类的力 (例如 $F$ 是弹力，而 $G$ 是重力)。
## 练习与应用
1. 一个物体静止地放在台式弹簧秤上（图 3.3-9),试证明物体对弹簧秤的压力大小等于物体所受的重力大小。证明时,请在图上标出所涉及的力。
图 3.3-9 2. 小强说:“我记得在初中学过,如果两个力的大小相等、方向相反,这两个力就会互相平衡,看不到作用的效果了。既然作用力和反作用力也是大小相等、方向相反的,它们也应该互相平衡呀!”
应该怎么解答小强的疑问?
3. 如图3.3-10,油桶放在汽车上,汽车停于水平地面。涉及油桶、汽车、地球三个物体之间的作用力和反作用力一共有几对?这几对力中,油桶受哪几个力?汽车受哪几个力?地球受哪几个力?
图3.3-10
4. 如图 3.3-11,粗粘的长方体木块 $\mathrm{A}、\mathrm{~B}$ 叠在一起,放在水平桌面上,B 木块受到一个水平方向的力的牵引,但仍然保持静止。问 B 木块受到哪几个力的作用?
图3.3-11
## (4) 力的合成和分解
问题
一个静止的物体,在某平面上受到 5 个力作用,你能判断它将向哪个方向运动吗?如果我们能找到一种方法,即“用一个力的单独作用替代两个力的共同作用,而效果不变”,上述问题就迎刃而解了。你觉得这个力和被替代的两个力会有怎样的关系呢?
几个力如果都作用在物体的同一点,或者它们的作用线相交于一点,这几个力叫作共点力。下面我们先研究共点力的合成。
## 合力和分力
甲
图3.4-1 水桶所受拉力示意图
甲
乙
图 3.4-2 吊灯所受拉力示意图
生活中常常见到这样的事例：一个力的单独作用与两个或者更多力的共同作用，其效果相同。
例如，两个小孩分别用力 $F_{1}、F_{2}$ 共同提着一桶水，水桶静止 (图 3.4-1甲)；一个大人单独向上用力 $F$ 也能提着这桶水，让水桶保持静止（图 3.4-1乙）
一或吊灯悬吊在天花板上保持静止，悬线对吊灯的拉力是 $F$ (图3.4-2 甲),若用两根线共同悬挂吊灯，悬线上端分别固定在天花板的左右两处,线的拉力是 $F_{1}$ 和 $F_{2}$,也能产生使吊灯保持静止的效果 (图3.4-2乙)。
假设一个力单独作用的效果跟某几个力共同作用的效果相同，这个力就叫作那几个力的合力 (resultant force)。假设几个力共同作用的效果跟某个力单独作用的效果相同，这几个力就叫作那个力的分力 (component force)。图 3.4-1 中的 $F$ 等于 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 的合力,图 3.4-2 中的 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 可以看成 $F$ 的分力。
## 力的合成和分解
在物理学中,我们把求几个力的合力的过程叫作力的合成 ( composition of forces),把求一个力的分力的过程叫作力的分解 ( resolution of force )。
## 实验
## 探究两个互成角度的力的合成规律
如图 3.4-3甲，橡皮条的一端连接轻质小圆环，另一端固定，橡皮条的长度为 $G E$。在图 3.4-3乙中,用手通过两个弹簧测力计共同拉动小圆环。小圆环受到拉力 $F_{1}、F_{2}$ 的共同作用，处于 $O$ 点,橡皮条伸长的长度为 $E O$。撤去 $F_{1}、F_{2}$,改用一个力 $F$ 单独拉住小圆环，仍使它处于 $O$ 点（图 3.4-3 丙)。力 $F$ 单独作用，与 $F_{1}、F_{2}$
共同作用的效果是一样的，都能使小
图3.4-3 探究二力合成规律实验示意图圆环保持静止，由于两次橡皮条伸长的长度相同，即橡皮条对小圆环的拉力相同，所以 $F$ 等于 $F_{1}、F_{2}$ 的合力。
我们要探究的是：合力 $F$ 与 $F_{1}、F_{2}$ 有什么关系?
$F_{1}$ 和 $F_{2}$ 的大小和方向都会对合力 $F$ 产生影响,力的图示法能同时描述力的大小和方向，画出 $F、F_{1}$ 和 $F_{2}$ (图3.4-3丁),看看三者间是什么关系?说出你的猜想。
怎样检验你的猜想，说出你的方法。
通过多次的实验探究我们会发现，两个力合成时，如果以表示这两个力的有向线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向 (图3.4-4)。这个规律叫作平行四边形定则 ( parallelogram rule )。
在上述实验中，如果把图 3.4-3乙和图 3.4-3丙的操作顺序对调，即先用拉力 $F$ 把小圆环拉到 $O$ 点，再用拉力 $F_{1}$ 和 $F_{2}$
图 3.4-4 两个力的合成共同拉小圆环产生相同效果,则 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 可以看成 $F$ 的分力,
图 3.4-5 力的分解
这就变成了“探究力的分解规律” 的实验。由于各个力的数据都没有改变,因此,力的分解也遵从平行四边形定则。
需要指出的是,如果没有限制,对于同一条对角线,可以作出无数个不同的平行四边形 (图 3.4-5)。也就是说,同一个力 $F$ 可以分解为无数对大小、方向不同的分力。一个已知力究竟应该怎样分解，要根据具体问题来确定。
如果两个以上的共点力作用在一个物体上，也可以应用平行四边形定则求出它们的合力。先求出任意两个力的合力,再求出这个合力跟第三个力的合力,直到把所有的力都合成进去,最后得到的结果就是这些力的合力。
## 【例题】
某物体受到一个大小为 $32 \mathrm{~N}$ 的力,方向水平向右,还受到另一个大小为 $44 \mathrm{~N}$ 的力,方向坚直向上。通过作图求出这两个力的合力的大小和方向。
解选择某一标度,例如用 $1 \mathrm{~cm}$ 长的线段表示 $10 \mathrm{~N}$ 的力。
根据题意,作出二力合成的平行四边形 (图 3.4-6)。表示 $F_{1}$ 的有向线段长 $3.20 \mathrm{~cm}$,表示 $F_{2}$ 的有向线段长 $4.40 \mathrm{~cm}$。用刻度尺测量后得知,表示合力 $F$ 的对角线长为 $5.44 \mathrm{~cm}$,则
$$
F=5.44 \mathrm{~cm} \times 10 \mathrm{~N} / \mathrm{cm}=54.4 \mathrm{~N}
$$
用量角器测得合力 $F$ 与力 $F_{1}$ 的夹角为 $54^{\circ}$。
图 3.4-6
合力的大小为 $54.4 \mathrm{~N}$,方向与力 $F_{1}$ 的夹角为 $54^{\circ}$。
## 矢量和标量
力的合成,可以认为是力的相加。二力相加时，不能简单地把两个力的大小相加,而要按平行四边形定则来确定合力的大小和方向。
我们曾经学过位移。一个人从 $A$ 走到 $B$,发生的位移是 $A B$,又从 $B$ 走到 $C$ (图 3.4-7),发生的位移是 $B C$。在整个运动过程中,这个人的位移是 $A C,A C$ 是合位移。
如果平行地移动矢量 $B C$,使它的始端 $B$ 与第一次位移
图 3.4-7 人的足迹的始端 $A$ 重合,于是我们看到,两次表示位移的线段构成了一个平行四边形的一组邻边,而表示合位移的正是它们所夹的对角线 $A C$ ( 图 3.4-8)。所以说,位移合成时也遵从平行四边形定则。
既有大小又有方向,相加时遵从平行四边形定则的物理量叫作矢量 (vector)。只有大小,没有方向,相加时遵从算术法则的物理量叫作标量 (scalar)。
图 3.4-8 人的位移
除了力和位移以外,速度、加速度都是矢量。在我们学过的物理量中,质量、路程、功、电流等都是标量。
## 练习与应用
1. 有两个力，一个是 $10 \mathrm{~N}$，一个是 $2 \mathrm{~N}$,它们的合力有可能等于 $5 \mathrm{~N}、10 \mathrm{~N}、15 \mathrm{~N}$ 吗?合力的最大值是多少?最小值是多少?2. 有两个力,它们的合力为 0。现把其中一个向东的 $6 \mathrm{~N}$ 的力改为向南 (大小不变),它们合力的大小、方向如何?3. 两个力互成 $30^{\circ}$ 角,大小分别是 $90 \mathrm{~N}$ 和 $120 \mathrm{~N}$。通过作图求出合力的大小和方向。如果这两个力的大小不变,两个力之间的夹角变为 $150^{\circ}$，通过作图求出合力的大小和方向。4. 一个竖直向下的 $180 \mathrm{~N}$ 的力分解为两个分力,一个分力在水平方向上并等于 $240 \mathrm{~N}$ ( 图 3.4-9)，求另一个分力的大小和方向。
图 3.4-9
5. 两个力 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 之间的夹角为 $\theta$,其合力为 $F$。请判断以下说法是否正确，并简述理由。
(1) 合力 $F$ 总比力 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 中的任何一个都大。
(2) 若力 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 大小不变,$\theta$ 角越小,则合力 $F$ 就越大。(3) 若夹角 $\theta$ 不变,力 $F_{1}$ 大小不变,$F_{2}$ 增大，则合力 $F$ 一定增大。
6. 如图 3.4-10,倾角为 $15^{\circ}$ 的斜面上放着一个木箱,用 $100 \mathrm{~N}$ 的拉力 $F$ 斜向上拉着木箱,$F$ 与水平方向成 $45^{\circ}$ 角。分别以平行于斜面和垂直于斜面的方向为 $x$ 轴和 $y$ 轴建立直角坐标系,把 $F$ 分解为沿着两个坐标轴的分力。试在图中作出分力 $F_{x}$ 和 $F_{y}$,并计算它们的大小。
图 3.4-10
7. 如图 3.4-11,把一个物体放在倾角为 $\theta$ 的斜面上,物体受重力 $G$ ( 物体还受到其他力的作用,图中没有画出)。现在需要沿平行于斜面方向和垂直于斜面方向对物体的运动分别进行研究,把重力 $G$ 沿平行于斜面和垂直于斜面方向分解，求两个分力的大小
图 3.4-11
## 共点力的平衡
由“问题”栏目中的图示可以看出,图甲和图丁中木棒所受的力是共点力。图乙和图芮中木棒所受的力不是共点力。下面我们来研究物体受共点力平衡的情况。
## 共点力平衡的条件
物体受到几个力作用时,如果保持静止或匀速直线运动状态,我们就说这个物体处于平衡状态。桌上的书、屋顶的灯、随传送带匀速运送的物体、沿直线公路匀速前进的汽车,都处于平衡状态。
想一想,受共点力作用的物体，在什么条件下才能保持平衡呢?
作用在同一物体上的两个力,如果大小相等、方向相反,并且在同一条直线上,这两个力平衡。二力平衡时物体所受的合力为 0。
如果物体受到多个共点力作用,我们可以逐步通过力的合成,最终等效为两个力的作用。如果这两个力的合力为 0,则意味着所有力的合力等于 0,物体将处于平衡状态。因此,在共点力作用下物体平衡的条件是合力为 0,我们把它称为共点力平衡的条件。
## 【 例题 1】
某幼儿园要在空地上做一个滑梯 (图 3.5-1 甲),根据空地的大小,滑梯的水平跨度确定为 $6 \mathrm{~m}$。设计时,滑板和儿童裤料之间的动摩擦因数取 0.4,为使儿童在滑梯游戏时能在滑板上滑下，滑梯至少要多高?
分析将滑梯抽象为一个斜面的模型 (图 3.5-1乙),以正在匀速滑下的小孩为研究对象。
小孩受到三个力的作用: 重力 $G$、斜面的支持力 $F_{\mathrm{N}}$ 和滑动摩擦力 $F_{\mathrm{f}}$。
当这三个力的合力为 0 时,小孩能在滑板上获得一定速度后匀速滑下,则斜面的高度即为所要求的滑梯的高度。
解在图 3.5-1 中,沿平行和垂直于斜面的两个方向建立直角坐标系。把重力 $G$ 沿两个坐标轴的方向分
Z
图 3.5-1 解为 $G_{x}$ 和 $G_{y}$,这样的分解称为正交分解。
设斜面倾角为 $\theta$,由于 $G_{y}$ 垂直于 $A B、G$ 垂直于 $A C$,故 $G_{y}$ 和 $G$ 的夹角也等于 $\theta$。用 $l、b$ 和 $h$ 分别表示 $A B、A C$ 和 $B C$ 的长度。
根据共点力平衡的条件和直角三角形中三角函数关系可知:
在 $x$ 轴方向上
$$
\begin{gathered}
G_{x}-F_{\mathrm{f}}=0 \\
F_{\mathrm{f}}=G_{x}=G \sin \theta=G \frac{h}{l}
\end{gathered}
$$
在 $y$ 轴方向上
由于
$$
\begin{gathered}
G_{y}-F_{\mathrm{N}}=0 \\
F_{\mathrm{N}}=G_{y}=G \cos \theta=G \frac{b}{l} \\
F_{\mathrm{f}}=\mu F_{\mathrm{N}}
\end{gathered}
$$
把（1）(2) 式代人 (3) 式有
$$
G \frac{h}{l}=\mu G \frac{b}{l}
$$
可求得
$$
h=\mu b=0.4 \times 6 \mathrm{~m}=2.4 \mathrm{~m}
$$
滑梯至少要 $2.4 \mathrm{~m}$ 高,儿童才能从滑梯上滑下。
## 【例题 $2 】$
图3.5-2
图 3.5-3 绳索连接点受力示意图
图 3.5-4 正交分解法生活中常用一根水平绳拉着悬吊重物的绳索来改变或固定悬吊物的位置。如图 3.5-2,悬吊重物的细绳，其 $O$ 点被一水平绳 $B O$ 牵引,使悬绳 $A O$ 段和坚直方向成 $\theta$ 角。若悬吊物所受的重力为 $G$,则悬绳 $A O$ 和水平绳 $B O$ 所受的拉力各等于多少?
分析选取两根绳索连接的 $O$ 点为研究对象,它受到三个力的作用: 绳 $A O$ 对它的拉力 $F_{1}$、绳 $B O$ 对它的拉力 $F_{2}$ 和 $O$ 点下方悬绳对它的拉力 $F_{3}$ (图 3.5-3)。
在平衡状态下，$O$ 点所受三个力的合力为 0。由于 $F_{3}$ 的大小与悬挂物所受的重力相等,且三个力的方向均已知，由此可以求出 $F_{1}、F_{2}$ 的大小。
解方法 1 用两个力的合力和第三个力平衡的方法求解。
如图3.5-3,$F_{4}$ 为 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 的合力,则 $F_{4}$ 与 $F_{3}$ 平衡,即
$$
F_{4}=F_{3}=G
$$
由图可知,$F_{1}=\frac{F_{4}}{\cos \theta}=\frac{G}{\cos \theta}$
$$
F_{2}=F_{4} \tan \theta=G \tan \theta
$$
方法 2 用正交分解的方法求解。
如图 3.5-4,以 $O$ 为原点建立直角坐标系。$F_{2}$ 方向为 $x$ 轴正方向,向上为 $y$ 轴正方向。$F_{1}$ 在两个坐标轴方向的分矢量分别为 $F_{1 x}$ 和 $F_{1 y}$。因 $x、y$ 两个方向的合力都等于 0，可列方程
$$
\begin{aligned}
& F_{2}-F_{1 x}=0 \\
& F_{1 y}-F_{3}=0
\end{aligned}
$$
即
$$
\begin{aligned}
& F_{2}-F_{1} \sin \theta=0 \\
& F_{1} \cos \theta-G=0
\end{aligned}
$$
由 (1) (2) 式解得 $F_{1}=\frac{G}{\cos \theta},F_{2}=G \tan \theta_{0}$
根据牛顿第三定律,绳 $A O$ 和绳 $B O$ 所受的拉力大小分别为 $\frac{G}{\cos \theta}$ 和 $G \tan \theta$。1. 如图 3.5-5,物体在五个共点力的作用下保持平衡。如果撤去力 $F_{1}$,而保持其余四个力不变,请在图上画出这四个力的合力的大小和方向。
图 3.5-5
2. 在光滑墙壁上用网兜把足球挂在 $A$ 点,足球与墙壁的接触点为 $B$ (图 3.5-6)。足球的质量为 $m$,悬绳与墙壁的夹角为 $\alpha$,网萖的质量不计。求悬绳对足球的拉力和墙壁对足球的支持力。
图 3.5-6
3. 如图 3.5-7,物体所受重力为 $40 \mathrm{~N}$,用细绳 $O C$ 悬于 $O$ 点,绳 $O C$ 所能承受的最大拉力为 $50 \mathrm{~N}$。现用细绳 $A B$ 绑住绳 $O C$ 的 $A$ 点,再用缓慢增大的水平力牛引 $A$ 点,当 $O A$ 段刚被拉断时，绳 $A B$ 的拉力为多少?
图 3.5-7
4. 一个质量为 $500 \mathrm{~kg}$ 的箱子,在平行于斜面的拉力 $F$ 作用下,沿倾角为 $30^{\circ}$ 的斜面匀速上滑（图 3.5-8)。已知箱子与斜面间的动摩擦因数为 0.3,拉力 $F$ 是多少?
图 3.5-8
5. 将一个质量为 $4 \mathrm{~kg}$ 的铅球放在倾角为 $45^{\circ}$ 的斜面上,并用竖直挡板挡住,铅球处于静止状态（图 3.5-9)。不考虑铅球受到的摩擦力，铅球对挡板的压力和对斜面的压力分别是多少?
图 3.5-9
## 复习与提高
## A组
1. 指出下列说法中的错误:
（1）因为物体本身就有重力,所以重力没有施力物体。
(2) 重力的方向总是垂直于接触面向下的。
(3) 放在水平桌面上的两个球,靠在一起但并不互相挤压,两球之间存在弹力。
（4）两物体间如果有相互作用的弾力,就一定存在摩擦力。
(5) 根据 $\mu=\frac{F_{\mathrm{f}}}{F_{\mathrm{N}}}$ 可知,动摩擦因数 $\mu$ 跟滑动摩擦力 $F_{\mathrm{f}}$ 成正比,跟支持力 $F_{\mathrm{N}}$ 成反比
2. 如图 3-1,一架直梯斜靠在光滑的竖直墙壁上，下端放在粗䊁 的水平地面上，直梯处千静止状态。请画出从侧面观察时直梯的受力示意图
图 3-1 3. 请设计一个测量纸跟桌面之间动摩擦因数的方法,画出示意图,说明测量方法,写出测量的计算式。
4. 如图3-2,两人用同样大小的力共提一
桶水，两人手臂间的夹角是大些省力，还是小些省力?请通过推导得出你的结论
图 3-2
图 3-3
5. 生活中经常用刀来辟开物体。图 3-3 是刀刃的横截面,$F$ 是作用在刀背上的力，若刀刃的横截面是等腰三角形，刃刃两侧面的夹角为 $\theta$,求刀憵物体时对物体侧向推力 $F_{\mathrm{N}}$ 的大小。6. 如图 3-4,用一根轻质细绳将一幅重力为 $10 \mathrm{~N}$ 的画框对称悬挂在墙壁上，画框上两个挂钉间的距离为 $0.5 \mathrm{~m}$。已知细绳能承受的最大拉力为 $10 \mathrm{~N}$,要使细绳不会被拉断，细绳最
图 3-4 短要多长?
1. 如图 3-5,光滑斜面上有一个重力为 $100 \mathrm{~N}$ 的小球被轻绳拴住悬挂在天花板上，已知轻绳与竖直方向的夹角为 $45^{\circ}$,斜面倾角为 $37^{\circ}$,整个装置处于静止状态。求轻绳对小球拉力的大小和斜面对小球支持力的大小。$\left(\sin 37^{\circ}=0.6\right)$
图3-5 2. 一台空调外机用两个三角形支架固定在外墙上 (图 3-6),空调外机的重心恰好在支架横梁和斜梁的连接点 $O$ 的上方,重力大小为 $200 \mathrm{~N}$。横梁 $A O$ 水平,斜梁 $B O$ 跟横梁的夹角为 $37^{\circ},\sin 37^{\circ}=0.6$。
图 3-6 (1) 横梁对 $O$ 点的拉力沿 $O A$ 方向，斜梁对 $O$ 点的压力沿 $B O$ 方向,这两个力各有多大?
(2) 如果把斜梁加长一点,仍保持连接点 $O$ 的位置不变,横梁仍然水平，这时横梁和斜梁对 $O$ 点的作用力大小将如何变化?
3. 木块 $\mathrm{A}、\mathrm{~B}$ 分别重 $50 \mathrm{~N}$ 和 $60 \mathrm{~N}$,它们与水平地面之间的动摩擦因数均为 0.25,夹在 $\mathrm{A}、\mathrm{~B}$ 之间的轻弹簧被压缩了 $2 \mathrm{~cm}$,弹簧的劲度系数为 $400 \mathrm{~N} / \mathrm{m}$,系统置于水平地面上静止不动。现用 $1 \mathrm{~N}$ 的水平拉力 $F$ 作用在木块 $\mathrm{B}$ 上,如图 3-7 所示,求力 $F$ 作用后木块 $\mathrm{A}、\mathrm{~B}$ 所受摩擦力的大小
图 3-7
4. 如图 3-8,重力为 $G$ 的木块,恰好能沿倾角为 $\theta$ 的斜面匀速下滑,那么要将木块沿斜面匀速向上推，必须加多大的水平推力 $F$?
图 3-8
5. 一根细线系着一个小球，细线上端固定在横梁上。给小球施加力 $F$,小球平衡后细线跟坚直方向的夹角为 $\theta$,如图3-9所示。现改变 $F$ 的方向,但仍然要使小球在图中位置保持平衡,即保持 $\theta$ 不变,问: $F$ 可能的方向有哪些?请在图中标明 $F$ 方向的范围,并简述理由。以上 $F$ 的大小可以任意调节。
图 3-9
6. 用三根细线 $\mathrm{a}、\mathrm{~b}、\mathrm{c}$ 将重力均为 $G$ 的两个小球 1 和 2 连接并悬挂,如图 3-10 所示。两小球处于静止状态,细线 $\mathrm{a}$ 与竖直方向的夹角为 $30^{\circ}$，细线 $\mathrm{c}$ 水平
(1) 求细线 $\mathrm{a}、\mathrm{c}$ 分别对小球 1 和 2 的拉力大小
(2) 求细线 $\mathrm{b}$ 对小球 2 的拉力大小
图 3-10
7. 国际拔河比赛中每个队由 8 名运动员组成。比赛规定,每个队按 8 名运动员体重的总和分成若干重量级别,同等级别的两个队进行比赛。还规定，运动员必须穿“拔河鞋” 或没有鞋跟等突出物的平底鞋,不能戴手套。
(1) 竞赛为什么要作出上述规定?试从物理学的角度进行说明。
（2）专业的拔河运动员在拔河时身体向后倾倒,跟地面的夹角很小,为什么要这样做?请从物理原理上分析说明。
## 第四章
## 运动和力的关系
前面我们学习了怎样描述物体的运动,但是没有讨论物体为什么会做这种或那种运动。要讨论这个问题,必须知道运动和力的关系。在力学中，只研究物体怎样运动而不涉及运动和力的关系的分支,叫作运动学 (kinematics );研究运动和力的关系的分支,叫作动力学 (dynamics)。
动力学知识在生产和科学研究中很重要,设计各种机器,控制交通工具,研究天体运动等,都离不开动力学知识。
## 1) 牛顿第一定律
爱因斯坦曾把一代代科学家探索自然奥秘的努力,比作侦探小说中警员破案的过程。在侦探小说中,有时候明显可见的线索却把人们引到错误的判断上去。
长期以来,在研究物体运动原因的过程中,人们的经验是：要使一个物体运动,必须推它或拉它。因此,人们直觉地认为,物体的运动是与推、拉等行为相联系的,如果不再推、拉,原来运动的物体便会停止下来。根据这类经验,亚里士多德得出结论：必须有力作用在物体上,物体才能运动;没有力的作用,物体就要静止在某个地方。然而,在探究运动原因的“侦探小说” 里,这正是由明显的线索引出错误判断的案例,而且这个“错案” 维持了很久。直至近四百年前,伽利略才创造了有效的“侦察” 方法,发现了正确的线索,揭示了事物现象的本质,成为物理学中的“神探”。
$>$ 无论是亚里士多德，还是伽利略和笛卡儿，都没有提出力的概念。牛顿的高明之处在于，他将物体间复杂多样的相互作用抽象为“力”。本书为了表述方便，在陈述亚里士多德等人的思想时，借用了力的概念。
(1) 阿西莫夫（Isaac Asimov，1920-1992)，美国科幻、科普作家,曾获科幻界最高荣誉的雨果奖和星云终身成就“大师奖”。-伽利略理想实验的本质是想象着把实际中存在、影响物体运动的摩擦力去掉，抓住事物的本质。这种依据逻辑推理把实际实验理想化的思想也是研究物理问题的重要方法之一。
## 理想实验的魅力
哵利略认为,将人们引人歧途的是摩擦，而物体在通常情况下运动时，摩擦又是难以避免的。
伽利略注意到，当一个球沿斜面向下滚动时,它的速度增大;向上滚动时,速度减小。他由此猜想: 当球沿水平面滚动时，它的速度应该不增不减。然而，实际情况却是,即使沿水平面滚动,球也会越滚越慢,最后停了下来。伽利略认为这是摩擦作用的结果。若没有摩擦，球将永远运动下去。
为了阐明自己的观点，伽利略设计了如图4.1-1所示的实验: 让一个小球沿斜面从静止状态开始运动,小球将“冲”上另一个斜面。如果没有摩擦，小球将到达原来的高度。如果第二个斜面倾角减小,小球仍将到达原来的高度,但是运动的距离更长。由此可以推断,当斜面最终变为水平面时,小球要到达原有高度将永远运动下去。这说明,力不是维持物体运动的原因。
图4.1-1 现代人所做伽利略斜面实验的频闪照片 ( 组合图 )
我们知道,阻力不可能完全消除,第二个斜面也不可能做得无限长,所以,伽利略的实验是一个“理想实验”。虽然这个实验无法实现，但是，伽利略在实验基础上进一步推理的方法,帮助我们找到了解决运动和力的关系问题的方法。伽利略同时代的法国科学家笛卡儿也研究了这个问题。他认为,如果运动中的物体没有受到力的作用,它将继续以同一速度沿同一直线运动,既不会停下来,也不会偏离原来的方向。他还认为,这应该成为一个原理,是人类整个自然观的基石。
## 牛顿第一定律
在伽利略和笛卡儿工作的基础上,在隔了一代人以后,英国科学家牛顿提出了动力学的一条基本定律: 一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态，除非作用在它上面的力迫使它改变这种状态。这就是牛顿第一定律 ( Newton's first law )。物体这种保持原来匀速直线运动状态或静止状态的性质叫作惯性 (inertia)。牛顿第一定律也叫作惯性定律。
任何物体都和周围的物体有相互作用，不受力作用的物体是不存在的。所以,牛顿第一定律所描述的状态是一种理想状态。它是利用逻辑思维进行分析的产物,不可能用实验直接验证。
牛顿第一定律揭示了运动和力的关系：力不是维持物体运动状态的原因,而是改变物体运动状态的原因。保持静止或匀速直线运动状态是物体的固有属性,这一属性称为惯性。惯性不是外界强加给它的,是物体固有的,一切物体都具有惯性。牛顿第一定律为力学的发展奠定了坚实的基础。${ }^{1}$
## 惯性与质量
牛顿第一定律涉及两个重要的物理概念：力和惯性。有关力的内容我们在上一章已经有所认识,下面我们进一步来讨论惯性。
一如果一个物体由静止变为运动或由运动变为静止,我们说它的运动状态发生了改变。
如果一个物体的速度大小或方向改变了,我们也说它的运动状态发生了改变。
牛顿 ( Isaac Newton，16431727 )
(1) 牛顿在 1687 年出版的《自然哲学的数学原理》中提出了三条运动定律,它们是整个动力学的核心。
## 思考与讨论
从牛顿第一定律得知,物体都要保持它们原有的匀速直线运动状态或静止状态。也可以说,它们都具有抵抗运动状态变化的“能力”,即都具有惯性。那么,怎样描述惯性的大小呢？
我们在改变物体运动状态时，会体验到物体惯性大小的不同。例如,以相同的方式抛掷质量不同的两个石块,让它们获得同样的速度，需要的力就不同。质量大的石块需要的力大。再比如，让摆动的大沙袋停下来就比让摆动的小球停下来费力得多。
$\triangleright$ 在初中，我们把质量
大量事例说明，不同质量的物体，惯性的大小是不一理解为物体所含物质的多少；现在，又从物体惯性的角度认识质量。我们对于科学概念的认识就是这样一步一步深入的。样的。也就是说，不同物体维持其原有运动状态的“能力” 不同，质量大的物体惯性大。描述物体惯性的物理量是它的质量 (mass)。
质量只有大小，没有方向，是标量。在国际单位制中，质量的单位是千克，符号为 $\mathrm{kg}$。
## 拓展学习
惯性参考系
在桌面上放置一张纸和一个小钢球，小钢球静止在纸面上（图 4.1-2)。如果突然迅速拉动纸的一边，虽然小钢球相对桌面的位置几乎不变,但是如果只关注纸面及其上的小钢球时，你会发现小钢球相对于纸面向相反的方向运动。
当纸相对于桌面加速运动时,如果以这张纸为参考系来观察,小钢球相对于纸面的运动状态在改变。按照牛顿第一定律，小钢球的运动状
图4.1-2 态发生改变，说明小钢球在水平方向上应该受到力的作用。但实际上，小钢球只受到坚直方向的重力和支持力，水平方向几乎不受力，这不是和牛顿第一定律相予盾吗?若以地面为参考系,上述矛盾则不会存在。因为,在纸加速运动的过程中,尽管小钢球相对于纸面的运动状态在改变,但它相对于地面的位置并没有变化,因而仍然保持静止状态。这与用牛顿第一定律分析得到的结论是一致的。对于同一个物体的运动,为何会得到两种不同的分析结果呢?
这是由于我们观察物体的运动时所选择的参考系不同。牛顿第一定律是否成立与选择什么参考系有关。如果在一个参考系中,一个不受力的物体会保持匀速直线运动状态或静止状态,这样的参考系叫作惯性参考系,简称惯性系。以加速运动的纸为参考系,牛顿第一定律并不成立,这样的参考系叫作非惯性系。
## 练习与应用
1. 回答下列问题。
(1) 飞机投弹时，如果当目标在飞机的正下方时投下炸弹，能击中目标吗?为什么?
(2) 地球由西向东自转,你向上跳起来以后,为什么还落在原地,而不落到原地的西边?
(3) 我国道路交通安全法规定，在各种小型车辆里乘坐的人必须系好安全带。为什么要有这样的规定?
(4) 一位同学说,向上抛出的物体,在空中向上运动时,肯定受到了向上的作用力,否则它不可能向上运动。这个结论错在哪里?
2. 伽利略在理想斜面实验中提出了以下结论: 如果另一个斜面的倾角减小至 $0^{\circ}$,小球为达到原来的高度,将永远运动下去。请你说明他得到这个结论的理由。3. 下列关于物体惯性的说法中,哪些是正确的?哪些是错误的?
(1) 汽车速度越大,䣄车后越难停下来,表明物体的速度越大，其惯性越大。
(2) 汽车转弯后前进方向发生了改变,表明物体速度方向改变,其惯性也随之改变。
(3) 被抛出的小球,尽管速度的大小和方向都改变了，但惯性不变。
（4）要使速度相同的沙袋在相同时间内停下来,对大沙袋用力比对小沙袋用力大,表明质量大的物体惯性大。
针对以上事例，请你总结一下对惯性大小的认识。
## (2) 实验: 探究加速度与力、质量的关系
图 4.2-1 槽码牛引小车运动
>可证明这两个力只是近似相等,条件是槽码的质量要比小车的质量小很多。
>从实验的角度,同时研究某个物理量与另外两个或多个物理量之间的定量关系是排常困难的。面对这样的问题,我们通常采用控制变量的方法进行研究。
速度是描述物体运动状态的物理量,加速度是描述速度变化快慢的物理量。因此也可以说,加速度是描述物体运动状态变化快慢的物理量。由前面的学习我们知道,力是改变物体运动状态的原因,质量大的物体运动状态不容易改变。这说明,加速度与力、质量之间必然存在一定的关系。下面我们来探究加速度与力、质量之间的定量关系。
## 实验思路
你认为应该如何完成这个探究实验?比如，研究什么物体?如何测量该物体受到的力?如何测量该物体的加速度?怎样分析数据?请说出你的设计思路并和同学们讨论确定实验探究方案。
用图 4.2-1 所示的装置可以完成这个探究实验。将小车置于水平木板上,通过滑轮与槽码相连。小车可以在槽码的牵引下运动。
加速度与力的关系保持小车质量不变,通过改变槽码的个数改变小车所受的拉力。小车所受的拉力可认为与槽码所受的重力相等。测得不同拉力下小车运动的加速度,分析加速度与拉力的变化情况,找出二者之间的定量关系。加速度与质量的关系保持小车所受的拉力不变,通过在小车上增加重物改变小车的质量。测得不同质量的小车在这个拉力下运动的加速度,分析加速度与质量的变化情况,找出二者之间的定量关系。
## 物理量的测量
本实验需要测量的物理量有三个：物体的质量、物体所受的作用力和物体运动的加速度。
质量的测量可以用天平测量质量。为了改变小车的质量,可以在小车中增减砝码的数量。
加速度的测量方法 1 小车做初速度为 0 的匀加速直线运动,则测量小车加速度最直接的办法就是用刻度尺测量小车移动的位移 $x$,并用秒表测量发生这段位移所用的时间 $t$,然后由
$$
a=\frac{2 x}{t^{2}}
$$
计算出加速度 $a$。
方法 2 将打点计时器的纸带连在小车上,根据纸带上打出的点来测量加速度 (参考第一章的实验方法 )。
方法3 在这个实验中也可以不测量加速度的具体数值。这是因为我们探究的是加速度与其他物理量之间的比例关系,因此测量不同情况下物体加速度的比值即可。
如果能做到让两个做初速度为 0 的匀加速直线运动的物体的运动时间 $t$ 相等,那么由（1）式可知,它们的位移之比就等于加速度之比,即
$$
\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{a_{1}}{a_{2}}
$$
这样，测量加速度就转换成测量位移了。
力的测量现实中,仅受一个力作用的物体几乎不存在。然而,一个单独的力的作用效果与跟它大小、方向都相同的合力的作用效果是相同的。因此,实验中作用力 $F$
-在此实验中，通过测力计用手直接给小车施加一个恒力是否可行?的含义可以是物体所受的合力。
如何为运动的物体提供一个恒定的合力,如何测出这个合力是本实验的关键,有很多可行的方法。下面参考案例中的方法可供选用,也可以设计其他方法。实验装置如图4.2-2 所示。把木板的一侧垫高,以补偿打点计时器对小车的阻力及其他阻力。调节木板的倾斜度，使小车在不受牵引时能拖动纸带沿木板匀速运动。将槽码、小车、打点计时器、纸带安装好。通过改变槽码的个数可以成倍地改变小车所受的拉力，与此相对应，处理纸带上打出的点来测量加速度。
保持小车受的拉力不变,通过增咸小车中的重物改变小车的质量。处理纸带上打出的点来测量加速度。
图 4.2-2 实验装置
参考案例2
通过位移之比测量加速度之比
将两辆相同的小车放在水平木板上,前端各系一条细线,线的另一端跨过定滑轮各挂一个小盘，盘中可以放不同的重物。把木板一端垫高，采用参考案例 1 的方法补偿阻力的影响。
两辆小车后端各系一条细线,用一个物体，例如黑板擦，把两条细线同时按压在木板上 ( 图 4.2-3)。抬起黑板擦,两辆小车同时开始运动,按下黑板擦，两辆小车同时停下来。用
图 4.2-3 用黑板擦控制小车的动与停刻度尺测出两辆小车移动的位移 $x_{1}$、
$x_{2}$。由于两辆小车运动时间 $t$ 相同,从它们的位移之比就可以得出加速度之比。
在盘中重物相同的情况下，通过增减小车中的重物改变小车的质量。
## 进行实验
调试实验装置进行实验。
加速度与力的关系设计表格,把测得的同一个小车在不同拉力 $F$ 作用下的加速度 $a$ 填在表 1 中。
表1 小车质量一定
| 拉力 $F$ | | | | | |
| :---: | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 加速度 $a$ | | | | | |
加速度与质量的关系设计表格,把测得的不同质量的小车在相同拉力作用下的加速度 $a$ 填在表 2 中。
表2 小车所受的拉力一定
| 质量 $m$ | | | | | |
| :---: | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 加速度 $a$ | | | | | |
## 数据分析
为了更直观地判断加速度 $a$ 与拉力 $F$ 的定量关系,我们以 $a$ 为纵坐标、$F$ 为横坐标建立直角坐标系。根据各组实验数据在坐标纸上描点。如果这些点在一条过原点的直线附近,说明加速度 $a$ 与拉力 $F$ 成正比。如果不是这样,则需进一步分析。
为了分析加速度 $a$ 与质量 $m$ 的定量关系,我们同样需要建立直角坐标系。经验告诉我们,在相同拉力作用下,质量 $m$ 越大,加速度 $a$ 越小。这可能是“$a$ 与 $m$ 成反比”,但也可能是“$a$ 与 $m^{2}$ 成反比”,甚至是更复杂的关系。我们从最简单的情况人手,检验是否“$a$ 与 $m$ 成反比”。
实验结果如图 4.2-4所示,我们很难直观看出图线是否为双曲线，如何解决这个问题呢?
图 4.2-4 双曲线如果 $a-m$ 图像是双曲线,$a$ 与 $m$ 成反比,也就是 $a$ 与 $\frac{1}{m}$ 成正比。作 $a-\frac{1}{m}$ 图像进行检验 ( 图 4.2-5)。如果检验的结果是过原点的直线，就可以判断加速度 $a$ 与质量 $m$ 是成反比的。
上述探究实验也可以用参考案例 2 进行。
เ 这里我们已经假设加速度与质量成反比;如果当初假设加速度与质量的二次方成反比，最好作哪两个量之间关系的图像?
## 科学方法
## 控制变量
控制变量的方法是指在研究和解决问题的过程中，对影响事物变化规律的独立因素加以人为控制，使其中只有一个因素按照特定的要求发生变化，而其他因素保持不变,以利于寻找事物发展变化的规律的方法。例如,在研究某个物理量 $y$ 与另外两个变量 $x_{1}、x_{2}$ 的关系时，先固定一个变量 $x_{2}$ 不变，研究 $y$ 与另一个变量 $x_{1}$ 之间的定量关系；然后再固定变量 $x_{1}$ 不变，研究 $y$ 与 $x_{2}$ 之间的关系。
本节在探究加速度与力、质量之间的关系时,就采用了控制变量的方法。以后在研究涉及多个变量的规律时，还会用到控制变量的方法,它是科学研究中常用的一种方法。
## 练习与应用
1. 某同学在做“探究加速度与力的关系” 和“探究加速度与质量的关系” 实验时,把两个实验的数据都记录在表 3 中。数据是按加速度的大小排列的,两个实验的数据混在一起，而且有两个加速度数据模糊不清（表 3 中空格 )。请你把这些数据分拆填入表 4 和表 5 中，如果模糊的加速度数据是正确的，其数值应该是多少?请填在表3 中。表3 实验记录
| $F / \mathrm{N}$ | $\mathrm{m} / \mathrm{kg}$ | $a /\left(\mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-2}\right)$ |
| :---: | :---: | :---: |
| 0.29 | 0.86 | 0.34 |
| 0.14 | 0.36 | 0.39 |
| 0.29 | 0.61 | 0.48 |
| 0.19 | 0.36 | 0.53 |
| 0.24 | 0.36 | |
| 0.29 | 0.41 | 0.71 |
| 0.29 | 0.36 | 0.81 |
| 0.29 | 0.31 | |
| 0.34 | 0.36 | 0.94 |
表4 探究加速度与力的关系( 条件: $m=$ )
| $F / \mathrm{N}$ | | | | | |
| :---: | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $a /\left(\mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-2}\right)$ | | | | | |
表 5 探究加速度与质量的关系 ( 条件: $F=$
| $\mathrm{m} / \mathrm{kg}$ | | | | | |
| :---: | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $a /\left(\mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-2}\right)$ | | | | | |
2. 某同学用图4.2-2 所示的实验装置探究小车的加速度 $a$ 与质量 $m$ 的关系。所用交变电流的频率为 $50 \mathrm{~Hz}$ （1）图4.2-6是他某次实验得到的纸带，每两个计数点间有四个点末画出，部分实验数据如图所示。求小车的加速度是多少。
图 4.2-6
(2) 保持小车所受的拉力不变,改变小车质量 $m$,分别测得不同质量时小车加速度 $a$ 的数据如表6所示。
请在图 4.2-7 的坐标纸中作出 $a-\frac{1}{m}$ 图像。根据 $a-\frac{1}{m}$ 图像可以得到什么实验结论?
图4.2-7
表6 实验记录
| 次数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 质量 $m / \mathrm{kg}$ | 0.25 | 0.29 | 0.33 | 0.40 | 0.50 | 0.71 | 1.00 | 1.67 |
| 加速度 $a /\left(\mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-2}\right)$ | 0.618 | 0.557 | 0.482 | 0.403 | 0.317 | 0.235 | 0.152 | 0.086 |
| 质量倒数 $\frac{1}{m} / \mathrm{kg}^{-1}$ | 4.00 | 3.45 | 3.03 | 2.50 | 2.00 | 1.41 | 1.00 | 0.60 |
## (3) 牛顿第二定律
## sins
问题
赛车质量小、动力大,容易在短时间内获得较大的速度,也就是说,赛车的加速度大。物体的加速度 $a$ 与它所受的作用力 $F$ 以及自身的质量 $m$ 之间存在什么样的定量关系呢?通过上节的探究实验，你找到了吗?
b科学研究人员做实验时,都要对偏差作出定量的分析,以确认这些偏差与实验规律的关系。这样,下结论时的把握就大多了。
## 牛顿第二定律的表达式
上节课的实验结果表明,小车的加速度 $a$ 与它所受的作用力 $F$ 成正比,与它的质量 $m$ 成反比。那么,对于任何物体都是这样的吗?
如果我们多做几次类似的实验,每次实验的点都可以拟合成直线,而这些直线与坐标轴的交点又都十分接近原点 (图4.3-1),那么,实际规律很可能就是这样的。
甲猜想中的 $a-F$ 图像
乙根据实际数据作出的 $a-F$ 图像
图 4.3-1
到此为止,我们的结论仍然带有猜想和推断的性质。只有根据这些结论推导出的很多新结果都与事实一致时,这样的结论才能成为“定律”。由此看来,科学前辈们在根据有限的实验事实宣布某个定律时,既需要谨慎,也需要勇气。
大量的实验和观察到的事实都可以得出与上节课实验同样的结论,由此可以总结出一般性的规律: 物体加速度的大小跟它受到的作用力成正比,跟它的质量成反比,加速度的方向跟作用力的方向相同。这就是牛顿第二定律 ( Newton's second law )。
牛顿第二定律可表述为
$$
a \propto \frac{F}{m}
$$
也可以写成等式
$$
F=k m a
$$
>实际物体所受的力往往不止一个，式中 $F$ 指的是物体所受的合力。
其中 $k$ 是比例系数。
牛顿第二定律不仅阐述了力、质量和加速度三者数量间的关系，还明确了加速度的方向与力的方向一致。
## 思考与讨论
取质量的单位是千克 ( $\mathrm{kg})$,加速度的单位是米每二次方秒 $\left(\mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}\right)$,根据上述牛顿第二定律中加速度与力、质量的关系,我们应该怎样确定力的单位?
## 力的单位
$F=k m a$ 中 $k$ 的数值取决于 $F、m、a$ 的单位的选取。
当 $k=1$ 时，质量为 $1 \mathrm{~kg}$ 的物体在某力的作用下获得 $1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$ 的加速度,则这个力
$$
F=m a=1 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}
$$
如果我们把这个力叫作“一个单位” 的力的话,力 $F$ 的单位就是千克米每二次方秒。后人为了纪念牛顿,把它称作“牛顿”，用符号 $\mathrm{N}$ 表示。
在质量的单位取千克 $(\mathrm{kg})$,加速度的单位取米每二次方秒 $\left(\mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}\right)$,力的单位取牛顿 $(\mathrm{N})$ 时,牛顿第二定律可以表述为
$$
F=m a
$$
-我们在初中已经学过,在国际单位制中，力的单位是牛顿（ $\mathrm{N})$。但是当时并不知道“牛顿” 这个单位是怎样定义的。学过牛顿第二定律之后,这个问题就清楚了。有了牛顿第二定律，我们就能够更进一步理解：描述物体惯性的物理量是质量的含义，即在确定的作用力下，决定物体运动状态变化难易程度的因素是物体的质量。
## 【 例题1】
在平直路面上,质量为 $1100 \mathrm{~kg}$ 的汽车在进行研发的测试,当速度达到 $100 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 时取消动力,经过 $70 \mathrm{~s}$ 停了下来。汽车受到的阻力是多少?重新起步加速时牢引力为 $2000 \mathrm{~N}$,产生的加速度是多少?假定试车过程中汽车受到的阻力不变。
分析如图4.3-2,取消动力后,汽车在平直路面上只受阻力的作用。由于阻力不变,根据牛顿第二定律,汽车在平直路面上运动的加速度将保持不变。由加速度可以求出汽车受到的阻力。
如图4.3-3,重新起步后,汽车在平直路面上受到牵引力和阻力。由于二者大小都不变,所以汽车的加速度恒定不变。根据牛顿第二定律可以求出汽车运动的加速度。
图 4.3-2
图 4.3-3
解以汽车为研究对象。设汽车运动方向为 $x$ 轴正方向,建立一维坐标系。取消动力后,汽车做匀减速直线运动。初速度 $v_{0}=100 \mathrm{~km} / \mathrm{h}=27.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$,末速度为 0,滑行时间 $t=70 \mathrm{~s}$。
根据匀变速直线运动速度与时间的关系式,加速度为
$$
a_{1}=\frac{0-v_{0}}{t}=-\frac{v_{0}}{t}
$$
汽车受到的阻力为
$$
F_{\text {阻 }}=m a_{1}=-\frac{m v_{0}}{t}=-\frac{1100 \mathrm{~kg} \times 27.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}}{70 \mathrm{~s}}=-437 \mathrm{~N}
$$
汽车受到的阻力是 $437 \mathrm{~N}$,方向与运动方向相反。
重新起步后,汽车所受的合力为
$$
F_{\text {合 }}=2000 \mathrm{~N}-437 \mathrm{~N}=1563 \mathrm{~N}
$$
由牛顿第二定律可以得到汽车的加速度
$$
a_{2}=\frac{F_{\text {合 }}}{m}=\frac{1563 \mathrm{~N}}{1100 \mathrm{~kg}}=1.42 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
$$
重新起步产生的加速度是 $1.42 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$,方向与运动方向相同。
## 【例题 2】
某同学在列车车厢的顶部用细线悬挂一个小球,在列车以某一加速度渐渐启动的过程中，细线就会偏过一定角度并相对车缃保持静止，通过测定偏角的大小就能确定列车的加速度（图 4.3-4)。在某次测定中，悬线与坚直方向的夹角为 $\theta$,求列车的加速度。
图 4.3-4
分析列车在加速行驶的过程中,小球始终与列车保持相对静止状态,所以,小球的加速度与列车的加速度相同。
对小球进行受力分析,根据力的合成法则求解合力。再根据牛顿第二定律,求出小球的加速度,从而获得列车的加速度。
解方法 1 选择小球为研究对象。设小球的质量为 $m$，小球在竖直平面内受到重力 $G$、绳的拉力 $F_{\mathrm{T}}$ ( 图4.3-5)。在这两个力的作用下，小球产生水平方向的
加速度a。这表明，$F_{\text{T}}$ 与G的合力方向水平向右，且
$$
F=G \tan \theta=m g \tan \theta
$$
根据牛顿第二定律,小球具有的加速度为
图 4.3-5
图 4.3-6
在水平方向有
$$
\begin{gathered}
F_{x}=F_{\mathrm{T}} \sin \theta \\
F_{\mathrm{T}} \sin \theta=m a
\end{gathered}
$$
( 1 ）（2 ) 式联立,可以求得小球的加速度为
$$
a=g \tan \theta
$$
列车的加速度与小球相同,大小为 $g \tan \theta$,方向水平向右。
## 科学漫步
## 用动力学方法测质量
大家知道，质量可以用天平来测量。但是在太空，物体完全失重，用天平无法测量质量，那么应该如何测量呢?
由牛顿第二定律 $F=m a$ 可知,如果给物体施加一个已知的力,并测得物体在这个力作用下的加速度,就可以求出物体的质量。这就是动力学测量质量的方法。
北京时间 2013 年 6 月 20 日上午 10 时，我国航天员在天宫一号目标飞行器进行了太空授课，演示了包括质量的测
图 4.3-7 太空中质量的测量量在内的一系列实验。
质量的测量是通过舱壁上打开的一个支架形状的质量测量仪完成的。测量时,航天员把自己固定在支架的一端,另外一名航天员将支架拉开到指定的位置。松手后,支架拉着航天员从静止返回到舱壁 ( 图 4.3-7)。支架能够产生一个恒定的拉力 $F$;用光栅测速装置能够测量出支架复位的速度 $v$ 和时间 $t$，从而计算出加速度 $a$。这样，就能够计算出航天员的质量 $m$。
你能设计出一种在太空中测量质量的方法吗?
## 练习与应用
1. 从牛顿第二定律知道,无论怎样小的力都可以使物体产生加速度。可是,我们用力提一个很重的箱子,却提不动它。这跟牛顿第二定律有没有予盾?应该怎样解释这个现象?2. 甲、乙两辆小车放在水平桌面上,在相同拉力的作用下，甲车产生的加速度为 $1.5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$,乙车产生的加速度为 $4.5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$,甲车的质量是乙车的几倍?( 不考虑阻力)
3. 一个物体受到的合力是 $4 \mathrm{~N}$ 时，产生的加速度为 $2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$。若该物体的加速度为 $6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$,它受到的合力是多大?4. 光滑水平桌面上有一个质量是 $2 \mathrm{~kg}$ 的物体，它在水平方向上受到互成 $90^{\circ}$ 的两个力的作用，这两个力的大小都是 $14 \mathrm{~N}$。这个物体加速度的大小是多少?沿什么方向?5. 平直路面上质量是 $30 \mathrm{~kg}$ 的手推车，在受到 $60 \mathrm{~N}$ 的水平推力时做加速度为 $1.5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$ 的匀加速直线运动。如果撤去推力，车的加速度大小是多少?方向如何?5. 如图 4.3-8,一辆装满石块的货车在平直道路上以加速度 $a$ 向前加速运动。货箱中石块 $\mathrm{B}$ 的质量为 $m$,求石块 $\mathrm{B}$ 周围与它接触的物体对石块 $B$ 作用力的合力。
图 4.3-8
## (4) 力学单位制
## 基本单位
由位移和时间求速度时,所用的关系式为
$$
v=\frac{\Delta x}{\Delta t}
$$
如果位移的单位用米 $(\mathrm{m})$,时间的单位用秒 $(\mathrm{s})$,得出的速度单位就是米每秒 $(\mathrm{m} / \mathrm{s})$。
已知速度的变化量和发生这个变化所用的时间,要求加速度时,所用的关系式为
$$
a=\frac{\Delta v}{\Delta t}
$$
如果速度的单位用米每秒 $(\mathrm{m} / \mathrm{s})$,时间的单位用秒 $(\mathrm{s})$,得出的加速度的单位就是米每二次方秒 $\left(\mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}\right)$。
由此可见,物理学的关系式在确定了物理量之间的关系时，也确定了物理量的单位之间的关系。
在物理学中,只要选定几个物理量的单位,就能够利用物理量之间的关系推导出其他物理量的单位。这些被选定的物理量叫作基本量,它们相应的单位叫作基本单位。
在上面的例子中,长度、时间就是基本量,它们相应 -物理量具有明确的定义和物理意义，可以用不同的方法测量，测量的结果用数值和相应的单位来表示。的单位 (米、秒 ) 就是基本单位。由基本量根据物理关系推导出来的其他物理量叫作导出量,推导出来的相应单位叫作导出单位,例如速度、加速度的单位。
基本单位和导出单位一起就组成了一个单位制 ( system of units )。
## 国际单位制
如果采用不同的物理量作为基本量，或者虽然采用相同的基本量,但采用的基本单位不同,导出单位自然随之不同，从而产生不同的单位制。不同的地区使用不同的单位制，不方便交流。1960年第11届国际计量大会制订了一种国际通用的、包括一切计量领域的单位制，叫作国际单位制 ( Le Système International d' Unités，法文)，简称 SI。
在力学范围内,规定长度、质量、时间为三个基本量,对热学、电磁学、光学等学科,除了上述三个基本量和相应的基本单位外,还要加上另外四个基本量和它们的基本单位,才能导出其他物理量的单位。
表国际单位制的基本单位
| 物理量名称 | 物理量符号 | 单位名称 | 单位符号 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 长度 | $l$ | 米 | $\mathrm{m}$ |
| 质量 | $m$ | 千克 $($ 公斤 $)$ | $\mathrm{kg}$ |
| 时间 | $t$ | 秒 | $\mathrm{s}$ |
| 电流 | $I$ | 安 $[$ 培] | $\mathrm{A}$ |
| 热力学温度 | $T$ | 开 $[$ 尔文] | $\mathrm{K}$ |
| 物质的量 | $n,(v)$ | 摩 $[$ 尔 $]$ | $\mathrm{mol}$ |
| 发光强度 | $I,\left(I_{\mathrm{v}}\right)$ | 坎 [德拉] | $\mathrm{cd}$ |
(1) 方括号前的字是该单位的中文简称和中文符号,下同。
## 【例题】
光滑水平桌面上有一个静止的物体,质量是 $700 \mathrm{~g}$,在 $1.4 \mathrm{~N}$ 的水平恒力作用下开始运动（图 4.4-1 )。那么，$5 \mathrm{~s}$ 末物体的速度是多少?$5 \mathrm{~s}$ 内它的位移是多少?
图 4.4-1
分析由于物体在坚直方向上所受的重力与桌面的支持力平衡,水平方向上的作用力为恒力，所以物体沿水平方向做初速度为 0 的匀加速直线运动。
由牛顿第二定律求出物体的加速度,再根据匀变速直线运动的速度与时间的关系式、位移与时间的关系式,就可以求出速度和位移。
在国际单位制中运用牛顿第二定律 $F=m a$ 时,质量的单位必须用千克 $(\mathrm{kg})$,所以需要对质量的单位进行换算。
解以静止的物体为研究对象。物体的质量 $m=700 \mathrm{~g}=0.7 \mathrm{~kg}$。
根据牛顿第二定律,有
$$
a=\frac{F}{m}=\frac{1.4 \mathrm{~N}}{0.7 \mathrm{~kg}}=2 \mathrm{~N} / \mathrm{kg}=2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
$$
初速度 $v_{0}=0$,根据匀加速直线运动的速度与时间的关系式,有
$$
v=a t=2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} \times 5 \mathrm{~s}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
$$
根据匀变速直线运动的位移与时间的关系式，有
$$
x=\frac{1}{2} a t^{2}=\frac{1}{2} \times 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} \times 25 \mathrm{~s}^{2}=25 \mathrm{~m}
$$
$5 \mathrm{~s}$ 末物体的速度是 $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$,方向与恒力的方向相同;$5 \mathrm{~s}$ 内它的位移是 $25 \mathrm{~m}$,方向与运动方向相同。我们看到,题中的已知量的单位都用国际单位制表示时,计算的结果也是用国际单位制表示的。既然如此,在统一已知量的单位后,计算过程中就不必写出各量后面的单位,只在数字计算式后面写出正确的单位就可以了。这样，上面的计算过程就可以写成
$$
\begin{gathered}
a=\frac{F}{m}=\frac{1.4}{0.7} \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}=2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} \\
v=a t=2 \times 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \\
x=\frac{1}{2} a t^{2}=\frac{1}{2} \times 2 \times 25 \mathrm{~m}=25 \mathrm{~m}
\end{gathered}
$$
## 思考与讨论
小刚在课余制作中需要计算圆锥的体积,他从一本书中查得圆锥体积的计算公式为 $V=\frac{1}{3} \pi R^{3} h$。小红说,从单位关系上看,这个公式肯定是错误的。她的根据是什么?
图 4.4-2 圆雉的高度 $h$ 和底面半径 $R$
## 拓展学习
## 基本单位的定义
秒的定义铯-133 原子基态的两个超精细能级之间跃迁所对应的辐射的9 192631770 个周期的持续时间为 $1 \mathrm{~s}$。现在测量时间的最精准仪器是原子钟。图4.4-3 为某原子钟的照片。
米的定义米是光在真空中 $\frac{1}{299792458} \mathrm{~s}$ 时间间隔所经路径的长度。
以上米的定义是 1983 年国际计量大会上批准的。
图4.4-3 原子钟千克的定义国际千克原器的质量为 $1 \mathrm{~kg}$。
国际千克原器是 1889 年第 1 届国际计量大会批准制造的,它是一个用铂铱合金制成的圆柱体,高度和直径均为 $39 \mathrm{~mm}$。原型保存在巴黎国际计量局。
2018 年 11 月 16 日，第 26 届国际计量大会决定,千克由普朗克常量 $h$ 及米和秒定义。即
$$
1 \mathrm{~kg}=\frac{h}{6.62607015 \times 10^{-34} \mathrm{~m}^{2} \cdot \mathrm{s}^{-1}}
$$
该决定已于 2019 年 5 月 20 日起生效。此次标准实施后,SI单位中的 7 个基本单位将全部建立在不变的自然常数基础上，保证了 SI单位的长期稳定性和通用性。
## 练习与应用
1. 一辆速度为 $4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的自行车,在水平公路上匀減速地滑行 $40 \mathrm{~m}$ 后停止。如果自行车和人的总质量是 $100 \mathrm{~kg}$,自行车受到的阻力是多少?2. 一辆以 $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的速度行驶的汽车,刹车后经 $2 \mathrm{~s}$ 停下来。已知汽车的质量为 $4 \mathrm{t}$,汽车所受的阻力是多少?3. 一艘在太空飞行的宇宙飞船，开动推进器后,受到的推力是 $900 \mathrm{~N}$,开动 $3 \mathrm{~s}$ 的时间,速度增加了 $0.9 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$,飞船的质量是多少?4. 一辆质量是 $2 \mathrm{t}$ 的汽车,在水平公路上以 $54 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 的速度匀速行驶。根据测试,这辆车在这种路面上紧急刹车时,汽车所受的制动力为 $1.2 \times 10^{4} \mathrm{~N}$。汽车要滑行多远的距离才能停下来?4. 在初中已经学过,如果一个物体在力 $F$ 的作用下沿着力的方向移动了一段距离 $l$,这个力对物体做的功 $W=F l$。我们还学过,功的单位是焦耳 $(\mathrm{J})$。请由此导出焦耳与基本单位米 $(\mathrm{m})$、千克 $(\mathrm{kg})$、秒 $(\mathrm{s})$ 之间的关系。
## 牛顿运动定律的应用
## 问题
为了尽量缩短停车时间,旅客按照站台上标注的车门位置候车。列车进站时总能准确地停靠在对应车门的位置。这是如何做到的呢?
牛顿第二定律确定了运动和力的关系,使我们能够把物体的运动情况与受力情况联系起来。因此,它在许多基础科学和工程技术中都有广泛的应用。中学物理中我们只研究一些简单的实例。
## 从受力确定运动情况
如果已知物体的受力情况,可以由牛顿第二定律求出物体的加速度,再通过运动学的规律确定物体的运动情况。
## 【例题1】
运动员把冰壶沿水平冰面投出,让冰壶在冰面上自由滑行，在不与其他冰显碰撞的情况下，最终停在远处的某个位置。按比赛规则,投郑冰壶运动员的队友,可以用毛刷在冰显滑行前方来回摩擦冰面,减小冰面的动摩擦因数以调节冰显的运动。
(1) 运动员以 $3.4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的速度投郑冰显,若冰显和冰面的动摩擦因数为 0.02,
图4.5-1 冰显能在冰面上滑行多远?$g$ 取 $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$。
（2）若运动员仍以 $3.4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的速度将冰显投出,其队友在冰显自由滑行 $10 \mathrm{~m}$ 后开始在其滑行前方摩擦冰面,冰显和冰面的动摩擦因数变为原来的 $90 \%$,冰显多滑行了多少距离?
分析 ( 1 ) 对物体进行受力分析后,根据牛顿第二定律可以求得冰显滑行时的加速度,再结合冰壶做匀减速直线运动的规律求得冰壶滑行的距离。
（2）冰壶在滑行 $10 \mathrm{~m}$ 后进入冰刷摩擦后的冰面,动摩擦因数变化了,所受的摩擦力发生了变化,加速度也会变化。前一段滑行 $10 \mathrm{~m}$ 的末速度等于后一段运动的初速度（图 4.5-2)。根据牛顿第二定律求出后一段运动的加速度,并通过运动学规律求出冰壶在后一段过程的滑行距离，就能求得比第一次多滑行的距离。
图 4.5-2
图 4.5-3
解 (1) 选择滑行的冰显为研究对象。冰显所受的合力等于滑动摩擦力 $F_{\mathrm{f}}$ (图 4.5-3 )。设冰显的质量为 $m$,以冰显运动方向为正方向建立一维坐标系,滑动摩擦力 $F_{\mathrm{f}}$ 的方向与运动方向相反,则
$$
F_{\mathrm{f}}=-\mu_{1} F_{\mathrm{N}}=-\mu_{1} m g
$$
根据牛顿第二定律,冰显的加速度为
$$
a_{1}=\frac{F_{\mathrm{f}}}{m}=-\frac{\mu_{1} m g}{m}=-\mu_{1} g=-0.02 \times 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}=-0.2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
$$
加速度为负值,方向跟 $x$ 轴正方向相反
将 $v_{0}=3.4 \mathrm{~m} / \mathrm{s},v=0$ 代人 $v^{2}-v_{0}^{2}=2 a_{1} x_{1}$,得冰显的滑行距离为
$$
x_{1}=-\frac{v_{0}^{2}}{2 a_{1}}=-\frac{3.4^{2}}{2 \times(-0.2)} \mathrm{m}=28.9 \mathrm{~m}
$$
冰壸滑行了 $28.9 \mathrm{~m}^{\circ}$
（2）设冰显滑行 $10 \mathrm{~m}$ 后的速度为 $v_{10}$,则对冰显的前一段运动有
$$
v_{10}^{2}=v_{0}^{2}+2 a_{1} x_{10}
$$
冰显后一段运动的加速度为
$$
a_{2}=-\mu_{2} g=-0.02 \times 0.9 \times 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}=-0.18 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
$$
滑行 $10 \mathrm{~m}$ 后为匀减速直线运动,由 $v^{2}-v_{10}{ }^{2}=2 a_{2} x_{2},v=0$,得
$$
x_{2}=-\frac{v_{10}{ }^{2}}{2 a_{2}}=-\frac{v_{0}^{2}+2 a_{1} x_{10}}{2 a_{2}}=-\frac{3.4^{2}+2 \times(-0.2 \times 10)}{2 \times(-0.18)} \mathrm{m}=21 \mathrm{~m}
$$
## 第二次比第一次多滑行了
$$
(10+21-28.9) \mathrm{m}=2.1 \mathrm{~m}
$$
第二次比第一次多滑行了 $2.1 \mathrm{~m}$。
## 从运动情况确定受力
如果已知物体的运动情况,可以根据运动学规律求出物体的加速度,结合受力分析,再根据牛顿第二定律求出力。这是力学所要解决的又一方面的问题。
## 【例题 2 】
如图 4.5-4,一位滑雪者,人与装备的总质量为 $75 \mathrm{~kg}$,以 $2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的初速度沿山坡匀加速直线滑下，山坡倾角为 $30^{\circ}$，在 $5 \mathrm{~s}$ 的时间内滑下的路程为 $60 \mathrm{~m}$。求滑雪者对雪面的压力及滑雪者受到的阻力（包括摩擦和空气阻力 ),$g$ 取 $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$。
分析由于不知道动摩擦因数及空气阻力与速度的关系,不能直接求滑雪者受到的阻力。应根据匀变速直线运动的位移和时间的关系式求出滑雪者的加速度,然后,
对滑雪者进行受力分析。滑雪者在下滑过程中,受到重力 $m g$、山坡的支持力 $F_{\mathrm{N}}$ 以及阻力 $F_{\mathrm{f}}$ 的共同作用。通过牛顿第二定律可以求得滑雪者受到的阻力。
解以滑雪者为研究对象。建立如图 4.5-5 所示的直角坐标系。滑雪者沿山坡向下做匀加速直线运动。
根据匀变速直线运动规律，有
$$
x=v_{0} t+\frac{1}{2} a t^{2}
$$
其中 $v_{0}=2 \mathrm{~m} / \mathrm{s},t=5 \mathrm{~s},x=60 \mathrm{~m}$，则有
$a=\frac{2\left(x-v_{0} t\right)}{t^{2}}=\frac{2 \times(60-2 \times 5)}{5^{2}} \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}=4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$
图 4.5-5
根据牛顿第二定律，有
$y$ 方向
$$
F_{\mathrm{N}}-m g \cos \theta=0
$$
$x$ 方向
$$
m g \sin \theta-F_{\mathrm{f}}=m a
$$
得
$$
F_{\mathrm{N}}=m g \cos \theta
$$
$$
F_{\mathrm{f}}=m(g \sin \theta-a)
$$
其中,$m=75 \mathrm{~kg},\theta=30^{\circ}$,则有
$$
F_{\mathrm{f}}=75 \mathrm{~N},F_{\mathrm{N}}=650 \mathrm{~N}
$$
根据牛顿第三定律,滑雪者对雪面的压力大小等于雪面对滑雪者的支持力大小,为 $650 \mathrm{~N}$,方向垂直斜面向下。滑雪者受到的阻力大小为 $75 \mathrm{~N}$,方向沿山坡向上。
## 练习与应用
1. 质量为 $20 \mathrm{~kg}$ 的物体静止在光滑水平面上。如果给这个物体施加两个大小都是 $50 \mathrm{~N}$ 且互成 $60^{\circ}$ 角的水平力 (图4.5-6),那么,$3 \mathrm{~s}$ 末它的速度是多少?$3 \mathrm{~s}$ 内它的位移是多少?
图 4.5-6 2. 民航客机都有紧急出口,发生意外情况的飞机紧急着陆后,打开紧急出口,狭长的气囊会自动充气,生成一条连接出口与地面的斜面，人员可沿斜面滑行到地面（图 4.5-7 )。若机舱口下沿距地面 $3.2 \mathrm{~m}$，气囊所构成的斜面长度为 $6.5 \mathrm{~m}$,一个质量为 $60 \mathrm{~kg}$ 的人沿气囊滑下时所受的阻力是 $240 \mathrm{~N}$，那么，人滑至气囊底端时的速度是多少?$g$ 取 $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$。
图 4.5-7
3. 汽车轮胎与公路路面之间必须要有足够大的动摩擦因数,才能保证汽车安全行驶。为检测某公路路面与汽车轮胎之间的动摩擦因数,需要测试刹车的车痕。测试汽车在该公路水平直道上以 $54 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 的速度行驶时,突然紧急刹车,车轮被抱死后在路面上滑动,直至停下来。量得车轮在公路上摩擦的痕迹长度是 $17.2 \mathrm{~m}$,则路面和轮胎之间的动摩擦因数是多少?$g$ 取 $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$。4. 一辆货车运载着圆柱形光滑的空油桶。在车厢底,一层油桶平整排列,相互紧贴并被牢牢固定,上一层只有一只桶 C,自由地摆放在桶 $\mathrm{A}、\mathrm{~B}$ 之间，没有用绳索固定（图 4.5-8)。桶 $\mathrm{C}$ 受到桶 $\mathrm{A}$ 和桶 $\mathrm{B}$ 的支持,和汽车一起保持静止
(1) 当汽车以某一加速度向左加速时,$\mathrm{A}$ 对 $\mathrm{C}$ 和 $\mathrm{B}$ 对 $\mathrm{C}$ 的支持力大小会增大还是减小?请说明理由。
(2) 当汽车向左运动的加速度增大到一定值时,桶 $\mathrm{C}$ 就脱离 $\mathrm{A}$ 而运动到 $\mathrm{B}$ 的右边,这个加速度有多大?
图4.5-8
## 6 超重和失重
## 问题?
站在体重计上向下蹲,你会发现,在下蹲的过程中,体重计的示数先变小,后变大,再变小。当人静止后,保持某一数值不变。这是为什么呢?
## 重力的测量
在地球表面附近,物体由于地球的吸引而受到重力。测量重力常用两种方法: 一种方法是,先测量物体做自由落体运动的加速度 $g$,再用天平测量物体的质量,利用牛顿第二定律可得
$$
G=m g
$$
另一种方法是,利用力的平衡条件对重力进行测量。将待测物体悬挂或放置在测力计上,使它处于静止状态。这时物体所受的重力和测力计对物体的拉力或支持力的大小相等,测力计的示数反映了物体所受的重力大小。这是测量重力最常用的方法。
## 超重和失重
人站在体重计上向下蹲的过程中，为什么体重计的示数会变化呢?
体重计的示数称为视重,反映了人对体重计的压力。根据牛顿第三定律,人对体重计的压力与体重计对人的支持力 $F_{\mathrm{N}}$ 大小相等,方向相反。
如图 4.6-1,选取人为研究对象。人体受到重力 $m g$ 和体重计对人的支持力 $F_{\mathrm{N}}$,这两个力的共同作用使人在下蹲
图 4.6-1 的过程中,先后经历加速、减速和静止三个阶段。
图 4.6-2
图 4.6-3
设竖直向下方向为坐标轴正方向。
人加速向下运动的过程中 ( 图 4.6-2),根据牛顿第二定律，有
$$
\begin{gathered}
m g-F_{\mathrm{N}}=m a \\
F_{\mathrm{N}}=m(g-a)<m g
\end{gathered}
$$
即体重计的示数所反映的视重 (力） 小于人所受的重力。
物体对支持物的压力（或对悬挂物的拉力）小于物体所受重力的现象,叫作失重 (weightlessness) 现象。
同理，人减速向下运动的过程中 ( 图 4.6-3)，加速度方向与运动方向相反，有
$$
\begin{gathered}
m g-F_{\mathrm{N}}=-m a \\
F_{\mathrm{N}}=m(g+a)>m g
\end{gathered}
$$
此时,体重计的示数大于人受到的重力。
物体对支持物的压力 ( 或对悬挂物的拉力 ) 大于物体所受重力的现象,叫作超重 (overweight) 现象。
当人相对于体重计静止不动时,有
$$
F_{\mathrm{N}}=m g
$$
## 思考与讨论
人站在力传感器上完成下蹲动作。观察计算机采集的图线。图4.6-4呈现的是某人下蹲过程中力传感器的示数随时间变化的情况
很明显,图线直观地描绘了人在下蹲过程中力传感器的示数先变小,后变大,再变小，最后保持某一数值不变的全过程。
如图4.6-5,图线显示的是某人站在力传感器上,先“下踌”后“站起”过程中力传感器的示数随时间的变化情况。
请你分析力传感器上的人“站起” 过程中超重和失重的情况
图 4.6-4 下蹲过程
图 4.6-5 下蹲、站起两个过程可见，人的运动状态对体重计上显示出的结果是有影响的。那么,如果站在体重计上的人既不蹲下,也不站起,体重计上的示数就不会变吗?
## 做一做
在电梯地板上放一台体重计。站在体重计上,观察电梯启动、制动和运行过程中体重计示数的变化
## 【例题 】
设某人的质量为 $60 \mathrm{~kg}$,站在电梯内的水平地板上,当电梯以 $0.25 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$ 的加速度匀加速上升时,求人对电梯的压力。
分析人站在电梯内的水平地板上,随电梯上升过程中受到两个力的作用: 重力 $m g$ 和地板的支持力 $F_{\mathrm{N}}$,受力分析如图 4.6-6所示
解设竖直向上方向为坐标轴正方向。
根据牛顿第二定律，有
$$
F_{\mathrm{N}}-m g=m a
$$
$F_{\mathrm{N}}=m(g+a)=60 \times(9.8+0.25) \mathrm{N}=603 \mathrm{~N}$
图 4.6-6
根据牛顿第三定律,人对电梯地板的压力 $F_{\mathrm{N}}{ }^{\prime}$ 为
$$
F_{\mathrm{N}}{ }^{\prime}=-F_{\mathrm{N}}=-603 \mathrm{~N}
$$
人对电梯的压力大小为 $603 \mathrm{~N}$,方向坚直向下。
这个结果说明,当人与电梯共同向上加速或向下减速运动时,$F_{\mathrm{N}}{ }^{\prime}>G$,人对电梯的压力大于人所受的重力,出现超重现象。
同理,如果电梯加速下降 (或减速上升),$F_{\mathrm{N}}{ }^{\prime}<G$,人对电梯的压力小于人的重力,出现失重现象。
如果人在加速下降的过程中加速度 $a=g$,那么,体重计的示数为 0。这时物体对支持物 (或悬挂物) 完全没有作用力，这种现象叫作完全失重状态。
图 4.6-7 航天员在天宫一号目标飞行器上展示水球的实验实际中有许多领域涉及超重和失重现象。例如，火箭发射时向上的加速度很大，火箭底部所承受的压力要比静止时大得多。如果是载人航天，在火箭发射阶段，航天员要承受数倍于自身体重的压力。只有很好地研究材料、机械结构、人体自身所能承受的压力问题,才能使火箭成功发射、航天员顺利飞向太空。
航天器在太空轨道上绕地球或其他天体运行时,航天器内的物体将处于完全失重状态。完全失重时,物体将飘浮在空中,液滳呈球形 ( 图4.6-7),气泡在液体中将不会上浮,走路时稍有不慎,将会“上不着天,下不着地” $\cdots \cdots$
超重和失重现象在实际中还有许多，请你通过读书、上网、请教专业人员等多种途径进一步学习和了解。
## 练习与应用
1. 当在盛水的塑料瓶壁上扎一个小孔时,水会从小孔喷出,但释放水瓶,让水瓶自由下落，水却不会从小孔流出。这是为什么?2. 蹦极是一项极限体育项目。运动员从高处跳下，在弹性绳被拉直前做自由落体运动;当弹性绳被拉直后，在弹性绳的缓冲作用下，运动员下降速度先增加再减小逐渐减为 0。下降过程中，运动员在什么阶段分别处于超重、失重状态?3. 火箭发射时，航天员要承受超重的考验。某火箭发射的过程中，有一段时间的加速度达到 $3.5 \mathrm{~g}$,平时重力为 $10 \mathrm{~N}$ 的体内脏器,在该超重过程中需要的支持力有多大?4. 一种巨型娱乐器械可以使人体验超重和失重状态。一个可乘坐二十多个人的环形座舱套装在竖直柱子上,由升降机送上几十米的高处,然后让座舱自由落下。落到一定位置时,制动系统启动,到地面时刚好停下。已知座舱开始下落时的高度为 $76 \mathrm{~m}$,当落到离地面 $28 \mathrm{~m}$ 的位置时开始制动，座舱做匀减速运动。若座舱中某人的质量为 $50 \mathrm{~kg}$,当座舱落到离地面 $50 \mathrm{~m}$ 的位置时,人对座舱的压力是多少?当座舱落到离地面 $15 \mathrm{~m}$ 的位置时，人对座舱的压力是多少?5. 小明住的楼房中有一部电梯，小明用了两种方法估测电梯在加速和减速过程中的加速度。
方法 1 用测力计悬吊一个重物,保持测力计相对电梯静止,测得电梯上升加速时测力计读数为 $G_{1}$,减速时为 $G_{2}$。小明了解到该电梯加速和减速过程的加速度大小是相同的。由此,请估算电梯变速运动时加速度有多大。
方法 2 用手机的加速度传感器测量电梯上升中由起动到停止的加速度。请描述此过程电梯的 $a-t$ 图像是怎样的。再用手机实地测一下看是怎样的。$A$ 组
1. 在公路上,一辆汽车以较大的速度行驶,紧急杀车的制动时间大于以较小速度行驶时的制动时间。这是因为速度越大,车的惯性越大吗?如果不是，上述现象该如何解释?2. 质量为 $0.5 \mathrm{~kg}$ 的物体,受到方向相反的两个力作用,获得 $3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$ 的加速度。若将其中一个力加倍,物体的加速度大小变为 $8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$,求另一个力的大小。3. 以 $6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的速度匀速上升的气球,当升到离地面 $14.5 \mathrm{~m}$ 高时,从气球上落下一小球,小球的质量为 $0.5 \mathrm{~kg}$。假设小球在运动过程中所受的阻力大小总等于 $1 \mathrm{~N}$,小球经多长时间到达地面?$g$ 取 $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$。4. 图 4-1 是采用动力学方法测量空间站质量的原理图。若已知飞船质量为 $3.0 \times 10^{3} \mathrm{~kg}$,其推进器的平均推力 $F$ 为 $900 \mathrm{~N}$,在飞船与空间站对接后,推进器工作 $5 \mathrm{~s}$ 内,测出飞船和空间站的速度变化是 $0.05 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$,求空间站的质量。
图 4-1
5. 在解答一道已知量完全由字母表达结果的计算题时,一个同学解得某物体位移 $x=\frac{F}{2 m}\left(t_{1}+t_{2}\right)$,请你用单位制的知识检查,说明这一结果是否可能正确。6. 如图 4-2,在倾角 $37^{\circ}$ 足够长的斜面上有一个质量为 $1 \mathrm{~kg}$ 的物体,物体与斜面之间的动摩擦因数为 0.3。物体在拉力 $F$ 的作用下由静止开始运动,$F$ 的大小为 $10 \mathrm{~N}$,方向沿斜面向上。加速一段时间后撤去 $F$,让物体在斜面上运动。$g$ 取 $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$。
(1) 物体从静止开始一共经历了哪几个匀变速直线运动过程?
(2) 这几个匀变速直线运动的加速度的大小和方向如何?
图 4-2
7. 某小组通过测量两辆小车在相同时间内通过的位移来比较它们的加速度,进而探究加速度与力的关系，实验装置如图 4-3 所示。将轨道分上下双层排列,两小车尾部的刹车线由后面的刹车系统同时控制,能使小车同时立即停下来。通过改变槽码盘中的槽码来改变拉力的大小。
图4-3
(1) 通过比较两小车的位移来比较两小车的加速度大小,你认为可行吗?请说明理由
(2) 已知两小车质量均为 $500 \mathrm{~g}$,实验数据如表1 中所示。
分析表中数据,你能得到什么结论?说出你的分析过程。
表1
| 实验次数 | 小车 | 拉力 $F / \mathrm{N}$ | 位移 $x / \mathrm{cm}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 1 | 甲 | 0.1 | 22.3 |
| | 乙 | 0.2 | 43.5 |
| 2 | 甲 | 0.2 | 29.0 |
| | 乙 | 0.3 | 43.0 |
| 3 | 甲 | 0.3 | 41.0 |
| | 乙 | 0.4 | 55.4 |
(3) 如果还要利用上述装置进行“探究加速度与质量的关系” 实验,应该怎样调整实验条件?
8. 某同学为研究雨滴下落的规律查阅资料,了解到 : 较大的雨滴是从大约 $1000 \mathrm{~m}$ 的高空形成并下落的,到达地面的速度大约为 $4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$。根据以上信息,可以把雨滴的运动模型看成是 $1000 \mathrm{~m}$ 高空的物体在有空气阻力的空间中由静止开始下落的运动,雨滴所受空气阻力随速度的增大而增大。请你分析雨滴下落的运动过程,描述雨滴下落过程中速度和加速度的变化,并定性作出雨滴下落的 $v-t$ 图像
9. 某同学制作了一个“竖直加速度测量仪”,可以用来测量坚直上下电梯运行时的加速度,其构造如图 4-4所示。把一根轻弹簧上端固定在小木板上，下端悬吊 $0.9 \mathrm{~N}$ 重物时,弹簧下端的指针指木板上刻度为 $C$ 的位置，把悬吊 $1.0 \mathrm{~N}$ 重物时指针位置的刻度标记为 0,以后该重物就固定在弹簧上，和小木板上的刻度构成了一个“坚直加速度测量仪”。
(1) 请在图中除 0 以外的 6 根长刻度线旁,标注加速度的大小,示数的单位用 $\mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}$ 表示，加速度的方向向上为正、向下为负。说明这样标注的原理。
(2) 仿照以上装置,设计一个“水平加速度测量仪”。要求：画出它的装置图;说明它的构造;介绍加速度刻
单位: $\mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}$
图4-4
度的标注原理。$g$ 取 $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$。
## $B$ 组
1. 如图 4-5,两个质量相同的小球 $\mathrm{A}$ 和 $\mathrm{B}$ 之间用轻弹簧连接,然后用细绳悬挂起来,剪断细绳的瞬间,$\mathrm{A}$ 和 $\mathrm{B}$ 的加速度分别是多少?2. 如图 4-6,质量为
图 4-5
$0.5 \mathrm{~kg}$ 的物块 $\mathrm{A}$ 放在一个
纵剖面为矩形的静止木箱内，$\mathrm{A}$ 和木箱水平底面之间的动摩擦因数为 0.3。$\mathrm{A}$ 的右边被一根轻弹簧用 $1.2 \mathrm{~N}$ 的水平拉力向右拉着而保持静止。现在要使弹簧能拉动 $\mathrm{A}$ 相对木箱底面向右移动。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，$g$ 取 $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$。
(1) 如果让木箱在坚直方向上运动,其加速度应满足什么条件?
（2）如果让木箱在水平方向上运动，其加速度应满足什么条件?
图 4-6
3. 为了安全,在公路上行驶的汽车之间应保持必要的距离。如果一辆汽车在高速公路上行驶的速度为 $120 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$,通常人的反应时间为 $0.3 \sim 0.6 \mathrm{~s}$,结合表 2 提供的资料,请通过计算说明不同路况下的安全距离。$g$ 取 $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$。
表2 各种路面与轮胎之间的动摩擦因数
| 路面 | 动摩擦因数 |
| :---: | :---: |
| 干沥青与混凝土路面 | $0.7 \sim 0.8$ |
| 干碎石路面 | $0.6 \sim 0.7$ |
| 湿沥青与混凝土路面 | $0.32 \sim 0.4$ |
4. 在民航机场和火车站可以看到用于对行李进行安全检查的水平传送带。旅客把行李放到传送带上时,传送带对行李的滑动摩擦力使行李开始运动,随后它们保持相对静止,行李随传送带一起前进。若传送带匀速前进的速度 $v$ 为 $0.25 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$,某木箱与传送带之间的动摩擦因数 $\mu$ 为 $0.4,g$ 取 $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$。问: 该木箱放在传送带上后,传送带上将留下一段多长的摩擦痕迹?5. 某人想测量地铁启动过程中的加速度,他把一根细绳的下端绑着一支圆珠笔，细绳的上端用电工胶布临时固定在地铁的竖直扶手上。在地铁起动后的某段加速过程中，细绳偏离了竖直方向,他用手机拍摄了当时情景的照片 (图 4-7),拍摄方向跟地铁前进方向垂直。根据这张照片估算此时地铁的加速度是多少。加速
图4-7 度方向指向照片的哪个方向?请写明测量步骤、数据、计算过程和结果
6. 如图 4-8,A、B两个物体相互接触,但并不䵑合，放置在水平面上,水平面与物体间的摩擦力可忽略,两个物体的质量 $m_{\mathrm{A}}$ 为 $4 \mathrm{~kg}$,$m_{\mathrm{B}}$ 为 $6 \mathrm{~kg}$。从 $t=0$ 开始,推力 $F_{\mathrm{A}}$ 和拉力 $F_{\mathrm{B}}$ 分别作用于 $\mathrm{A}、\mathrm{~B}$ 上,$F_{\mathrm{A}}、F_{\mathrm{B}}$ 随时间的变化规律为
$$
\begin{aligned}
F_{\mathrm{A}} & =(8-2 t)(\mathrm{N}) \\
F_{\mathrm{B}} & =(2+2 t)(\mathrm{N})
\end{aligned}
$$
问: $8 \mathrm{~s}$ 内物体 $\mathrm{B}$ 运动的加速度如何变化?
图 4-8
7. 如图 4-9,质量为 $2.5 \mathrm{~kg}$ 的一只长方体形空铁箱在水平拉力 $F$ 作用下沿水平面向右匀加速运动,铁箱与水平面间的动摩擦因数 $\mu_{1}$ 为 0.3。这时铁箱内一个质量为 $0.5 \mathrm{~kg}$ 的木块恰好能静止在后壁上。木块与铁箱内壁间的动摩擦因数 $\mu_{2}$ 为 0.25。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,$g$ 取 $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$。
(1) 求木块对铁箱压力的大小
(2) 求水平拉力 $F$ 的大小。
(3) 减小拉力 $F$,经过一段时间,木块沿铁箱左侧壁落到底部且不反弹,当铁箱的速度为 $6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 时撤去拉力,又经 $1 \mathrm{~s}$ 时间木块从左侧到达右侧,则此时木块相对铁箱运动的距离是多少?
图 4-9 -课外的课题研究更强调自己提出研究课题,强调完整、深入、自主地参与研究过程。将来我们在实际工作中遇到的问题，多数会以这种研究方式来解决。
## 课题研究
科技和经济的迅速发展,要求我们具有更强的科研素养和创造能力。我们在课堂上经历过猜想、设计、分析、概括等学习过程,这些活动就是在培养我们的研究能力。
课堂上的学习是一种学习方式。在老师的引导下,按照教科书的安排,我们对书中的问题进行了探究。其实,我们还需要根据对周围事物的观察和质疑,发现和提出自己值得研究的问题。老师和教科书引导我们按照一定的思路去设计实验、进行实验并得到实验结论。其实,我们也还需要对一个研究课题经历自主构思、深人分析、完整研究和系统表达的过程,研究内容不受教科书的约束,研究时间不受学时的限制。这样就能跟课堂上的学习活动实现优势互补，进一步提升我们的科研素养和创造能力。本书的课题研究栏目就是为了达到这个目的而设置的。
本栏目中提供了一个“研究样例”和一个“参考选题”。通过阅读样例,大致了解应该如何进行课题研究,包括: 课题研究的选题是怎样提出的,研究的证据是怎样收集的,怎样通过对证据的解释形成研究结论,如何撰写课题研究报告等。
在学习样例后,同学们要自己选择一个课题进行研究,写出研究报告。后面所列的参考选题,只是作为选题的参考和启示,同学们可以根据平时的观察和发现,选择你感兴趣的课题进行研究。
## 研究样例
## 球形物体空气阻力大小与速率关系的研究
## 问题的提出
人们散步时并不觉得空气有阻力,但跑步时就会明显感觉迎面有风阻挡。当人站在高速行驶的敞篷车上时,会感到迎面阻挡的风力很大。这些经验说明,空气阻力的大小跟物体在空气中运动的速率有关。
鸟在飞行中受到的阻力是很小的。几乎所有鸟的身体都有类似的形状,这说明空气阻力还跟运动物体的形状有关。另外,“树大招风”的成语提示我们,空气阻力的大小跟物体的大小可能也是有关系的。因此,在研究物体所受空气阻力的大小跟速率关系的时候,必须对其他的条件作出限定。
本课题以气球为实验对象,并保持同一气球的体积不变,探究球形物体在空气中运动时空气阻力的大小跟速率的定量关系。
## | 实验设计
本实验需要测量两个物理量：气球所受空气阻力的大小和气球运动的速率。
如果气球下落时的空气阻力恰好等于重力,气球将做匀速运动。根据这个道理,可以测量气球所受空气阻力的大小。为此,在气球下悬吊重物,称出气球和重物所受的总重力。让气球从空中下落,随着下落速率的增大,气球所受的空气阻力也增大,当空气阻力增大到跟重力相等时,气球便做匀速运动。如果判断气球下落一段高度后已在做匀速运动,则此时空气阻力的大小就等于气球和重物所受的总重力 ( 因重物的体积很小,作用在重物上的空气阻力可以忽略不计 )。
气球的速率可以用数码相机测量。在气球下落轨迹旁边固定一把刻度尺,用数码相机拍摄气球运动的视频,得到分帧照片，根据相邻照片气球的位置间隔可以判断气球是否在做匀速运动,由分帧照片的周期和气球位置在刻度
-课题研究的成果通常用研究报告来表达。这里的样例就是一个简单的研究报告。它的内容包含了三个要素：问题、证据、解释（数据分析和结论）。尺上的具体读数就可以计算气球的速率。
| 实验过程和数据
图研 -1
如图研 -1,在气球的气嘴上绑定一根硬铁丝,下面悬吊一个重物，使气球下落时能大致保持坚直方向，以保证能用刻度尺测量到重物的位置。
测出气球连同铁丝和重物所受的总重力 $G$。之后,请一名同学在刻度尺的上方释放气球,另一名同学用数码相机在刻度尺前拍摄气球下落的视频，并得到分帧照片。在确认相邻两帧照片之间重物下落的距离基本相等的情况下，读出某帧照片上重物位置在刻度尺上的读数 $l_{0}$ (图研- 1 甲) 和再经过 $n$ 帧照片后的读数 $l_{n}$ (图研-1乙),则可以得到相邻两帧照片之间重物下落位移的平均值为
$$
l=\frac{l_{n}-l_{0}}{n}
$$
把上述实验中气球和重物所受的总重力 $G$ 和相邻两帧照片之间重物下落的位移 $l$ 作为实验的第 1 组数据填在表格中。改变重物的质量,仍然用原气球重复实验,得到各组不同的 $G$ 和 $l$ 的数据，填在同一表格中。
| 次数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 气球和重物所受的总重力 $G /\left(10^{-2} \mathrm{~N}\right)$ | 4.5 | 5.5 | 6.5 | 7.5 | 8.5 | 9.5 | 10.5 |
| 相邻两帧照片重物下落的位移 | 13.6 | 16.3 | 19.8 | 23.8 | 26.6 | 28.8 | 32.8 |
| $/\left(10^{-2} \mathrm{~m}\right)$ | | | | | | | |
## 数据处理和结论
建立直角坐标系。纵坐标轴为气球所受空气阻力 $F_{\mathrm{f}}$,大小等于气球和重物所受的总重力 $G$;横坐标轴为气球匀速运动时的速率 $v$,设相邻两帧照片之间的时间间隔为 $T$ (单位为 $\mathrm{s}$ ),则 $v=\frac{l}{T}$。若以 $10^{-2} \mathrm{~m} \cdot \mathrm{s}^{-1}$ 为单位,$v$ 的数值跟 $l$ 相同。
因此,可以用上表中的实验数据在 $F_{\mathrm{f}}-v$ 图像中描点。从这些点的分布可以看出,$F_{\mathrm{f}}-v$ 图像基本上是一条过坐标原点的直线 ( 图研-2)。由此可以得出：气球在空气中运动时所受阻力的大小跟气球运动的速率成正比。因而可以猜测,球形物体所受空气阻力的大小跟它运动的速率成正比。我们可以进一步设计实验研究这个问题。
图研 -2
我们还可以利用具有连拍功能的照相机或手机完成上述测量。图研 -3 是用照相机连续拍摄的照片,每张照片间隔为 $0.1 \mathrm{~s}。$
图研 -3
为了提示同学们可以开展哪些研究,教科书在下面又提供了一个供参考的选题。同学们不必受到这些课题的约束,可以选择自己更感兴趣、更能体现自己特长,或者根据自己的发现所构思的课题,并尽量把这些课题的研究跟所学知识结合起来,完成自己的课题研究。
## 参考选题
## 橡皮筋弹力与伸长量关系的研究
研究内容
橡皮筋具有类似弹簧的力学性质,日常生活中常常用橡皮筋来代替弹簧。在弹性限度内,弹簧弹力与弹簧形变量是成正比的。现在的问题是,橡皮筋拉力与橡皮筋伸长量成正比吗?橡皮筋拉力 $F$ 与橡皮筋伸长量 $x$ 的 $F-x$ 图像是一条直线吗?
我们知道,弹簧的劲度系数等于 $F-x$ 图像的斜率,如果橡皮筋的 $F-x$ 图像不是直线，那么应该怎样表述橡皮筋的劲度系数呢?
另外，还应该思考下面的问题。
1. 橡皮筋会不会“疲劳”?2. 同一橡皮筋每次实验的 $F-x$ 图像是不是都相同?3. 在橡皮筋拉力 $F$ 逐渐增加时记录数据,随后在 $F$ 逐渐减小时记录数据,两次作出的 $F-x$ 图像会重合吗?
所有这些问题,只有通过实验研究橡皮筋拉力与橡皮筋伸长量的关系，才能形成结论。
## 学生实验
实验在中学物理中占有非常重要的地位,这是因为在物理学中,概念的形成、规律的发现和理论的建立,许多都是以实验为基础的。实验或者引发了理论的建立,或者对新建立的理论进行检验。总之,物理学离不开实验,要学好物理就要做好实验。
## 实验推动了物理学的发展
在本书第二章,我们学习了伽利略研究自由落体运动的有关内容,知道是伽利略开科学实验之先河,把实验的方法引人科学研究中。
在电磁学研究中,法拉第在 10 年中坚持实验,为电磁感应定律的建立打下了基础。麦克斯韦在此基础上,对这个规律和其他电磁学实验成果进行分析,加上自己的假设,为其谱上了数学的“乐曲”,于 1864 年建立了完整的电磁场理论,并预言了电磁波。赫兹用实验证明了电磁波的存在。在 20 世纪中叶,以麦克斯韦电磁理论和其他科学成果为基础的无线电电子学,以前所末有的速度和规模改变了我们的生活。
研究质子、中子、电子及其他各种粒子的物理学分支叫作粒子物理学。在粒子物理学中有一个物理量叫作宇称。物理学
家们曾经认为粒子经历的各种过程中宇称都是守恒的。1956年,杨振宁和李政道通过对一些现象的分析,认为一个过程中如果只有强相互作用和电磁相互作用,宇称的确守恒;但是,如果是弱相互作用的过程，例如发射 $\beta$ 射线的过程，宇称并不守恒。这个论断引起了物理学家们的广泛注意。1956年后期至 1957年年初，吴健雄和她的同事们一起设计实验 (图实-1),通过统计钴 60 同位素在 $\beta$ 衰变时向各个方向发射的电子数,证明了这个过程中宇称真的不守恒。她除了用实验证实宇称不守恒外,还用实验证实了电磁相互作用与弱相互作用的密切关系,对后来电、弱统一理论的提出起了重要作用。
图实 -1 吴健雄在实验中
今天,物理学中的许多学说还在等待实验的证实或否定。
物体与物体之间有万有引力。如果一个物体振动或者旋转,或者有规律地变形，会不会有引力波传播出去?这是一个很自然的想法。实际上,早在 1916年,爱因斯坦就根据他的广义相对论认为应该存在引力波。后来,物理学家们又进行了理论研究,对引力波的性质作了预言。这些预言要成为科学真理,必须有充分的实验证据。然而,引力波非常微弱,又很难接收，验证起来十分困难。
20 世纪 70 年代初,韦伯首创用铝棒做“天线” 接收天体辐射的引力波。为了提高灵敏度,“天线” 重达数吨,为了排除干扰,“天线” 置于 $-270^{\circ} \mathrm{C}$ 左右的超低温环境中。当时参加工作的有十几个小组,但只有韦伯宣称观测到了可能是来自其他天体的引力波信号。其后不断有人重复这个实验,但都没有肯定的结果。
20 世纪 70 年代末,泰勒等人观测围绕共同质心高速转动的双星,发现转动的周期在慢慢地变化,推测这可能是它们辐射引力波时失去了能量造成的。
直到2016年，科学家用激光干涉仪代替铝棒作为“天线”,建成了引力波激光干涉仪探测装置,才首次探测到了来自于双黑洞合并的引力波的信号。
我们常说“实验是物理学的基础”,这话有两方面的意思: 一方面,实验和观测不断向物理学提出新的问题;另一方面,物理学的假说、理论最终要接受实验和观测的检验。
## 怎样做好物理实验
做物理实验不是一种只动手的技艺,它需要手脑并用。下面是做实验大致要涉及的几个方面。
明确实验目的这个实验要我们做什么?是探究某个末知的规律,还是验证某个已知的规律,或者是测量某个物理量?
理解实验原理做实验有利于透彻理解物理知识。不论做哪一类物理实验,都要搞清楚实验所根据的物理知识。
同时,实验器材的工作原理也需要了解。通常在实验操作前要认真阅读课文或实验器材说明卡,结合实物弄清它的结构、各部分的功能、使用注意事项等。
制订实验计划本书的学生实验都没有给出具体的操作步骤,这就要求同学们在操作前作出实验计划,想好先做什么、后做什么,必要时把实验步骤设计出来。实验中可能出现什么问题?可能是什么原因引起的?应该怎样防止?如果出现问题应该怎样解决?$\cdots \cdots \cdot$ 这些问题都应该事先有所考虑。
安全操作操作中要注意安全,这是第一位的。
首先,要保证人身安全。凡涉及用电的器材要小心处理。要注意保护眼睛,凡在高速转动、可能出现爆炸、可能有液体溅出的场合，最好戴上护目眼镜。
其次,要保证器材的安全。各种仪器都必须按照要求使用。对于不熟悉的仪器,要先弄清它的使用要领,要学会借助说明书了解仪器的原理、使用方法。
再次，养成操作前进行安全检查的习惯。保证安全的一条重要原则是,做事之前尽量估计可能出现的所有意外: 转身时会不会把器材碰到地上?加热时烧杯里的液体会不会㳚出来?牛引小车的重物会不会在落地之前就把小车拖到地上?ㄱ...
最后,操作要谨慎。任何粗心大意都会使精心准备的实验归于失败。实验的每一阶段之后都要对其进行评估,也就是回想刚才的操作有没有什么问题,可能引起什么误差,等等。
记录原始数据实验来不得半点粗心和虚假。实验数据从来不以人的意志而改变。要获得正确的实验结果,离不开严谨、求真的态度。实验中观察到的现象、测量的数据、得出的结论,很可能跟预期的不一样,这时我们要实事求是,尊重事实。不能随意更改记录去“凑数”。检查一下,实验设计是不是有问题?操作是否有失误?$\cdots \cdots$
撰写实验报告实验后要仔细分析数据,从中得出结论。认真写出实验报告。发表自己的成果和见解,与他人交流成果是当代科学研究的重要组成部分。把自己的实验成果告诉别人,听取别人的批评和质疑,同时,从别人的成果中受到启发。在这个过程中,实验报告是很好的媒介。
## 误差和有效数字
任何测量结果都不可能绝对准确。测量值跟被测物理量的真实值之间总会有差异,这种差异叫作误差 (error)。
由仪器直接读出的数据叫作直接测量结果。直接测量结果的误差来源于两方面。一是仪器本身的缺陷,例如刻度尺的刻度不够准确、天平两臂不严格等长;二是实验人员操作和读数的不准确,例如用停表计时,按下按钮的时刻总会稍有滞后或提前。又如,中学实验室中温度计的分度值为 $1{ }^{\circ} \mathrm{C}$,靠目测只能估计到分度值的 $\frac{1}{10}$,肯定会有误差。
通过改进仪器和谨慎操作,可以减小误差,但任何仪器的测量都不能完全消灭误差。
偶然误差和系统误差人读仪表时,眼睛的位置可能稍向左偏或稍向右偏,电表指针由于轴上的摩擦,停下来的位置可能一次偏大、一次偏小。这些误差是由偶然因素造成的,叫作偶然误差 (accidental error)。偶然误差的特点是,当多次重复测量时,偏大和偏小的机会比较接近,可以用取平均值的方法来减小偶然误差。系统误差 (systematic error) 是由仪器结构缺陷、实验方法不完善造成的。例如,天平两臂不完全等长会造成系统误差;测量重力加速度时由于没有消除空气阻力等影响也会引起系统误差。系统误差的特点是,多次重复测量的结果总是大于 (或小于 ) 被测量的真实值,呈现单一倾向。
绝对误差和相对误差假设用分度值为 $1 \mathrm{~mm}$ 的刻度尺测一段铜丝的直径,读数为 $1.3 \mathrm{~mm}$。限于刻度尺的精确度,测量有一定的误差。若被测量铜丝直径的真实值为 $1.2 \mathrm{~mm}$,那么测量值与真实值之差则为
$1.3 \mathrm{~mm}-1.2 \mathrm{~mm}=0.1 \mathrm{~mm}$
物理学中把测量值与真实值之差,叫作绝对误差 (absolute error)。
除绝对误差之外,人们通常要考虑这个绝对误差是在测量多大的测量值时产生的,如果绝对误差相同,但测量值大,这个绝对误差在整个测量中所占的比例就小。物理学中把绝对误差与测量值之比,叫作相对误差 (relative error),即
相对误差是一个比值,没有单位,通常用百分数表示。在上面的例子中,被测铜丝直径的相对误差是
$$
\frac{0.1 \mathrm{~mm}}{1.3 \mathrm{~mm}}=8 \%
$$
如果把铜丝密绕在木棒上,测量 10 圈铜丝的直径之和,由于用的是同一刻度尺,绝对误差可以认为还是 $0.1 \mathrm{~mm}$。但是,所测 10 圈铜丝直径的测量值已增大到 $13.0 \mathrm{~mm}$。此时的相对误差为
$$
\frac{0.1 \mathrm{~mm}}{13.0 \mathrm{~mm}}=0.8 \%
$$
可见,在绝对误差相同的情况下,测量值越大，相对误差就越小。
有效数字在图实 -2 中,根据刻度尺的刻度可以读出点 $A$ 的位置 $x_{A}$。从图中看出,使用分度值为 $1 \mathrm{~mm}$ 的尺,并且估读到毫米数的下一位,得到 $x_{A}=13.3 \mathrm{~mm}$。其中的末位数 3 是估读的、不可靠的,$x_{A}$ 的真实值在 $13 \mathrm{~mm}$ 和 $14 \mathrm{~mm}$ 之间。但是这个不可靠的数字 3 还是有用的,仍要写出来,因为它表示点 $A$ 在 $13 \mathrm{~mm}$ 和 $14 \mathrm{~mm}$ 两条刻度线之间,靠近中点但离 $13 \mathrm{~mm}$ 刻度线稍近一些的位置。
图实 -2 读数时可以读出一位估读的数字这种带有一位不可靠数字的近似数字叫作有效数字 ( significant figure)。例如,$13.3 \mathrm{~mm}$ 是三位有效数字,改写成 $1.33 \mathrm{~cm}$ 或 $0.0133 \mathrm{~m}$ 仍然是三位有效数字。如果仍用这把刻度尺测量另一点 $B$ 的位置，点 $B$ 的中心恰好与 $19 \mathrm{~mm}$ 的刻度线正对 (图实-3),这种情况应当怎样处理呢?
图实 -3 估读时的数字应该是 0
正确的记录是 $x_{B}=19.0 \mathrm{~mm}$,而不应写成 $19 \mathrm{~mm}$。这种情况下，1、9都是可靠的,但若写成 $19 \mathrm{~mm}$,就意味着数字 9 是不可靠的,显然与事实上测量仪器的准确度不相符。由此可以知道,最末一位非零数字后面的数字 0 是有意义的,不能随意舍去或添加。小数中最前一位非零数字前面的 0 是表示小数点的位置的,不是有效数字。例如 $0.92 \mathrm{~s}、0.085 \mathrm{~kg}$、$0.0063 \mathrm{~m}$,都是两位有效数字。为了正确表述有效数字,特别大或特别小的数字都要用科学记数法,例如月球到地球的平均距离为 $3.84 \times 10^{5} \mathrm{~km}$,钨原子的半径为 $1.37 \times 10^{-10} \mathrm{~m}$。
实验的结果往往是由若干直接测量值经过运算得到的,每一个直接测量值的误差都对最后结果产生影响,应当按一定的数学方法来确定运算结果的有效数字。但是这种处理方法比较复杂,中学阶段不做要求,运算结果一般取两位或三位有效数字就可以了。
(1) 严格讲,式中分母应为真实值。实际估算时则用测量值代替。
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要真正打好基础,有两个必经的过程,即“由薄到厚” 和“由厚到薄” 的过程,“由薄到厚” 是学习、接受的过程,“由厚到薄” 是消化、提炼的过程 .
—华罗庚
## 本章导语
你见过下面这个魔术吗?
先从图 1 中六张不同的扑克牌中选出一张,不要告诉任何人你选的是什么，自己记住即可.
图 1
闭上眼睛,用十秒左右的时间回忆刚才选中的那张牌的花色和点数. 然后睁开眼睛,看!你所选择的那张牌在图 2 中已经消失了!怎么样?神奇吗?
图 2
想知道其中的“秘密” 吗?学完集合的有关知识后,你就能清楚地看出其中的“门道” 了!
事实上,集合是刻画一类事物的语言与工具,是一种重要的数学语言. 利用集合可以简洁、准确地描述数学中的对象与关系.
常用逻辑用语也是数学语言的重要组成部分,是逻辑思维的基本语言,是数学表达与交流的工具. 而且,逻辑知识已经是我们日常生活中不可或缺的知识了.
2013 年 7 月 4 日《人民日报》刊登的《培养理性思维需要学点逻辑》一文中谈道:“只有学逻辑、懂逻辑,才能既自觉地遵循逻辑,又自觉地识别并避免逻辑错误,使自己的思维更加理性. ”由此可见学习逻辑知识的重要性.
## 1 集合
## 1 .1 集合及其表示方法
## 1. 集合
## 情境与问题
在生活与学习中,为了方便,我们经常要对事物进行分类. 例如，图书馆中的书是按照所属学科等分类摆放的 (如图 1-1-1 所示),作文学习可按照文体如记叙文、议论文等进行，整数可以分成正整数、负整数和零这三类 $\cdots \cdots \cdot$
你能说出数学中其他分类实例吗?试着分析为什么要进行分类.
图 1-1-1
在数学中,我们经常用“集合” 来对所研究的对象进行分类. 把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起,就说由这些对象组成一个集合（有时简称为集),组成集合的每个对象都是这个集合的元素.
集合通常用英文大写字母 $A,B,C,\cdots$ 表示,集合的元素通常用英文小写字母 $a,b,c,\cdots$ 表示.
如果 $a$ 是集合 $A$ 的元素,就记作
$$
a \in A
$$
读作“$a$ 属于 $A$ ”;如果 $a$ 不是集合 $A$ 的元素,就记作
$$
a \notin A
$$
想一想
是否可以借助袋子、抽度等来直观地理解集合?
读作“$a$ 不属于 $A ”$ ”.
## 尝试与发现
你能举出几个用集合表达的、与数学有关的例子吗？指出例子中集合的元素是什么. 例如:
(1) 如果 $A$ 是由所有小于 10 的自然数组成的集合,则 $0 \in A,0.5 \notin A$;
(2) 如果 $B$ 是由方程 $x^{2}=1$ 的所有解组成的集合,则 $-11 B$,;
(3) 如果 $C$ 是平面上与定点 $O$ 的距离等于定长 $r(r>0)$ 的点组成的集合,则对于以 $O$ 为圆心、$r$ 为半径的圆 $O$ 上的每个点 $P$ 来说,都有 $P \in C$.
现在我们来考虑方程 $x+1=x+2$ 的所有解组成的集合,由于该方程无解,因此这个集合不含有任何元素.
一般地,我们把不含任何元素的集合称为空集,记作 $\varnothing$.
由空集的定义可得,$04 \varnothing,15 \varnothing$.
根据集合的概念可知,集合的元素具有以下特点:
（1）确定性: 集合的元素必须是确定的.
因此,不能确定的对象不能组成集合,即给定一个集合,任何对象是不是这个集合的元素,应该可以明确地判断出来.
（2）互异性: 对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的.
因此,集合中的任意两个元素必须都是不同的对象,相同的对象归人同一个集合时只能算作集合中的一个元素. 例如,由英语单词 success (成功) 中的所有英文字母组成的集合,包含的元素只有 4 个,即 s,u,c,e.
(3) 无序性: 集合中的元素可以任意排列.
## 尝试与发现
（1）你所在的班级中,身高不低于 $175 \mathrm{~cm}$ 的同学能组成一个集合吗?（2）你所在的班级中，高个子同学能组成一个集合吗?为什么?（3）不等式 $x-2>1$ 的所有解能组成一个集合吗?
尝试与发现中,(1) (3) 的答案都是“能”,但 (2) 的答案是“不能”,因为“高个子同学” 不满足确定性.
给定两个集合 $A$ 和 $B$,如果组成它们的元素完全相同,就称这两个集合相等,记作 $A=B$.
集合可以根据它含有的元素个数分为两类: 含有有限个元素的集合称为有限集,含有无限个元素的集合称为无限集. 空集可以看成包含 0 个元素的集合，所以空集是有限集.
## 2. 几种常见的数集
有一些数的集合经常要用到,为了方便起见,人们用约定俗成的符号来表示它们.
（1）所有非负整数组成的集合,称为自然数集,记作 $\mathbf{N}$.
值得注意的是,$0 \in \mathbf{N}$,即 0 是自然数集 $\mathbf{N}$ 中的一个元素.
容易看出,如果 $a \in \mathbf{N},b \in \mathbf{N}$,则一定有 $a+b \in \mathbf{N}$ 且 $a b \in \mathbf{N}$,但 $a-b \in \mathbf{N}$ 和 $\frac{a}{b} \in \mathbf{N}$ 都不一定成立. 例如,$1 \in \mathbf{N},3 \in \mathbf{N}$,但
$$
1-3=-2 \notin \mathbf{N} \text { 且 } \frac{1}{3} \notin \mathbf{N} \text {. }
$$
在自然数集 $\mathbf{N}$ 中,去掉元素 0 之后的集合,称为正整数集,记作 $\mathbf{N}_{+}$ 或 $\mathbf{N}^{*}$.
（2）所有整数组成的集合,称为整数集,记作 $\mathbf{Z}$.
与自然数集 $\mathbf{N}$ 不同的是,如果 $a \in \mathbf{Z},b \in \mathbf{Z}$,则一定有 $a-b \in \mathbf{Z}$,但 $\frac{a}{b} \in \mathbf{Z}$ 不一定成立 (请读者自己举例说明).
(3) 所有有理数组成的集合,称为有理数集,记作 $\mathbf{Q}$.
我们知道,凡是能够表示成分数（即两个整数的商）的数称为有理数. 因此,如果 $a \in \mathbf{Q},b \in \mathbf{Q}$ 且 $b \neq 0$,则 $\frac{a}{b} \in \mathbf{Q}$. 例如,$3 \in \mathbf{Q},\frac{1}{2} \in \mathbf{Q}$,且 $\frac{3}{\frac{1}{2}}=6 \in \mathbf{Q}$.
## 想一想
(1) 无限循环小数 $1 . \dot{6}$ 可以表示成分数吗?
（2）任何一个无限循环小数都是 $\mathrm{Q}$ 中的元素，这种说法正确吗?
$$
a+b 6 \quad \mathbf{R},a-b \overline{7} \quad \mathbf{R},a b 8 \quad \mathbf{R},$$
当 $b \neq 0$ 时,还有 $\frac{a}{b} \in \mathbf{R}$.
如不特别声明,本书中所有字母表示的数均指实数.
利用集合的符号,可以简化有关描述,比如:
“0 是整数” 可以表示为“$0 \in \mathbf{Z}$ ”;
“$\pi$ 不是有理数” 可以表示为“$\pi \notin \mathbf{Q}$ ”;
“如果 $n$ 是自然数,那么 $n+1$ 也是自然数” 可以表示为“如果 $n \in \mathbf{N}$,那么 $n+1 \in \mathbf{N}$ ”.
## 3. 列举法
前面提到的集合都是用自然语言描述的,但在数学中,我们经常要使用符号来表示集合. 把集合中的元素一一列举出来 (相邻元素之间用逗号分隔),并写在大括号内,以此来表示集合的方法称为列举法.
例如,由两个元素 0,1 组成的集合可用列举法表示为
$$
\{0,1\}
$$
又如,24 的所有正因数 $1,2,3,4,6,8,12,24$ 组成的集合可用列举法表示为
$$
\{1,2,3,4,6,8,12,24\} \text {;}
$$
再如,中国古典长篇小说四大名著组成的集合可以表示为
$\{$《红楼梦》,《三国演义》,《水游传》,《西游记》\}.
用列举法表示集合时,一般不考虑元素的顺序. 例如,$\{1,2\}$ 与 $\{2,1\}$ 表示同一个集合. 但是,如果一个集合的元素较多,且能够按照一定的规律排列,那么在不至于发生误解的情况下,可按照规律列出几个元素作为代表,其他元素用省略号表示. 例如,不大于 100 的自然数组成的集合，可表示为
$$
\{0,1,2,3,\cdots,100\} .
$$
无限集有时也可用列举法表示. 例如,自然数集 $\mathbf{N}$ 可表示为
$$
\{0,1,2,3,\cdots,n,\cdots\} \text {. }
$$
值得注意的是,只含一个元素的集合 $\{a\}$ 也是一个集合,要将这个集合与它的元素 $a$ 加以区别,事实上,
$$
a \in\{a\} .
$$
## 4. 描述法
## 尝试与发现
以下集合用列举法表示方便吗?如果不方便,你觉得可以怎样表示?(1) 满足 $x>3$ 的所有数组成的集合 $A$;(2) 所有有理数组成的集合 $\mathbf{Q}$.
显然,用列举法表示上述集合并不方便. 但因为集合 $A$ 中的元素 $x$ 都具有性质“$x$ 是大于 3 的数”,而不属于集合 $A$ 的元素都不具有这个性质,所以可以把集合 $A$ 表示为
$$
\{x \mid x \text { 是大于 } 3 \text { 的数 }\} \text { 或 }\{x \mid x>3\},$$
即 $A=\{x \mid x$ 是大于 3 的数 $\}$ 或 $A=\{x \mid x>3\}$.
类似地,$\mathbf{Q}$ 中的每一个元素都具有性质“是两个整数的商”,而不属于 $\mathbf{Q}$ 的元素都不具有这个性质,因此可以把 $\mathbf{Q}$ 表示为
$\mathbf{Q}=\{x \mid x$ 是两个整数的商 $\}$ 或 $\mathbf{Q}=\left\{x \mid x=\frac{m}{n},m \in \mathbf{Z},n \in \mathbf{Z},n \neq 0\right\}$.
上述表示集合的方法中,大括号内坚线的左边是元素的形式,坚线的右边是只有这个集合中的元素才满足的性质.
一般地,如果属于集合 $A$ 的任意一个元素 $x$ 都具有性质 $p(x)$,而不属于集合 $A$ 的元素都不具有这个性质,则性质 $p(x)$ 称为集合 $A$ 的一个特征性质. 此时,集合 $A$ 可以用它的特征性质 $p(x)$ 表示为
$$
\{x \mid p(x)\} .
$$
这种表示集合的方法,称为特征性质描述法,简称为描述法.
例如,“一组对边平行且相等的四边形” 是平行四边形的一个特征性质,因此所有平行四边形组成的集合可以表示为
$$
\{x \mid x \text { 是一组对边平行且相等的四边形 }\} \text {. }
$$
又如,所有能被 3 整除的整数组成的集合,可以用描述法表示为
$$
\{x \mid x=3 n,n \in \mathbf{Z}\} .
$$
类似地,所有被 3 除余 1 的自然数组成的集合可以表示为
$$
\{x \mid x=3 n+1,n \in \mathbf{N}\} \text {,}
$$
不过这一集合通常也表示为
$$
\{x \in \mathbf{N} \mid x=3 n+1,n \in \mathbf{Z}\} .
$$
这就是说,集合 $\{x \mid p(x)\}$ 中所有在另一个集合 $I$ 中的元素组成的集合,可以表示为
$$
\{x \in I \mid p(x)\} .
$$
例 1 用适当的方法表示下列集合:
(1) 方程 $x(x-1)=0$ 的所有解组成的集合 $A$;
(2) 平面直角坐标系中,第一象限内所有点组成的集合 $B$.
## 尝试与发现
判断 $A$ 与 $B$ 是有限集还是无限集,由此思考该选用哪种表示方法.
解 (1) 因为 0 和 1 是方程 $x(x-1)=0$ 的解，而且这个方程只有两个解,所以
$$
A=\{0,1\} .
$$
(2) 因为集合 $B$ 的特征性质是横坐标与纵坐标都大于零,因此
$$
B=\{(x,y) \mid x>0,y>0\} \text {. }
$$
## 5. 区间及其表示
习惯上,如果 $a<b$,则集合 $\{x \mid a \leqslant x \leqslant b\}$ 可简写为 $[a,b]$,并称为闭区间. 例如,集合 $\{x \mid 1 \leqslant x \leqslant 2\}$ 可简写为闭区间 $[1,2]$.
类似地,如果 $a<b$ :
集合 $\{x \mid a<x<b\}$ 可简写为 $(a,b)$,并称为开区间;
集合 $\{x \mid a \leqslant x<b\}$ 可简写为 $[a,b)$,集合 $\{x \mid a<x \leqslant b\}$ 可简写为 $(a,b]$,并都称为半开半闭区间.
上述区间中,$a,b$ 分别称为区间的左、右端点,$b-a$ 称为区间的长度. 区间可以用数轴形象地表示. 例如,区间 $[-2,1)$ 可用图 1-1-2 表示,注意图中-2 处的点是实心点,而 1 处的点是空心点.
图 1-1-2
实数集 $\mathbf{R}$ 可表示为区间 $(-\infty,+\infty)$;
集合 $\{x \mid x \geqslant a\}$ 可表示为区间 $[a,+\infty)$；
集合 $\{x \mid x>a\}$ 可表示为区间 9；
集合 $\{x \mid x \leqslant a\}$ 可表示为区间遈；
集合 $\{x \mid x<a\}$ 可表示为区间业
类似地,上述区间也可用数轴来形象地表示．例如,区间 $[7,+\infty)$ 可以用图 1-1-3 表示.
图 1-1-3
例 2 用区间表示不等式 $2 x-\frac{1}{2}>x$ 的所有解组成的集合 $A$.
解由 $2 x-\frac{1}{2}>x$ 可知 $x>\frac{1}{2}$,所以 $A=\left(\frac{1}{2},+\infty\right)$.
## 练习A
(1) 用符号“$\in$ ”或“$\notin "$ 填空:
(1) 2
$\mathbf{N}$;(2) $\frac{\sqrt{3}}{3} \mathbf{Q}$
(3) $\frac{1}{3}-\mathbf{Z}$;(4) $3.14 \quad \mathbf{R}$;(5) $-3 \_\mathbf{N}$;(6) $\sqrt{9}$
Q.
(2) 下列的集合中,哪些是有限集?哪些是无限集?
（1）使得式子 $\sqrt{x-2}$ 有意义的所有实数组成的集合;
(2) 使得式子 $\sqrt{3-x}$ 有意义的所有自然数组成的集合;
(3) 方程 $x^{2}=-1$ 的所有实数解组成的集合.
(3)用列举法表示下列集合:
（1）我国古代四大发明组成的集合;
（2）大于 2 且小于 15 的所有素数组成的集合;
(3) $\left\{x \mid x^{2}=2\right\}$.
(4) 用描述法表示下列集合:
（1）小于 1500 的正偶数组成的集合;(2) 所有矩形组成的集合.
(5)用区间表示下列集合:
(1) $\{x \mid-1 \leqslant x \leqslant 3\}$;(2) $\{x \mid 0<x \leqslant 1\}$;(3) $\{x \mid 2 \leqslant x<5\}$;(4) $\{x \mid 0<x<2\}$;(5) $\{x \mid x<3\}$;(6) $\{x \mid x \geqslant 2\}$.
## 练习 $B$
(1) 用符号“$\in$ ”或“$\notin ”$ 填空:
(1) $0 \_\varnothing$;(2) $-2 \quad\left\{x \mid x^{2}<5\right\}$;(3) $(2,3)$ $\{(x,y) \mid x+2 y=3\}$;(4) 2017 $\{x \mid x=4 n-1,n \in \mathbf{Z}\}$.
(2)用适当的方法表示下列集合:
（1）英语单词 mathematics（数学）中的所有英文字母组成的集合;
(2) 方程 $x+2 y=7$ 的所有解组成的集合;
(3) 绝对值小于 0 的所有实数组成的集合.
(3) 设区间 $A=(-2,3],B=[2,+\infty)$,是否有实数 $x$,使得 $x \in A$ 且 $x \in B$?举例说明.
(4. 已知集合 $A=\{x-2,x+5,12\}$ 且 $-3 \in A$,求 $x$ 的值.
$1 \in \quad 2 \notin \quad 3 \in \quad 4 \notin \quad 5 \notin \quad 6 \in \quad 7 \in$
$9(a,+\infty) \quad 10(-\infty,a] \quad 11(-\infty,a)$
### 2 集合的基本关系
## 1. 子集
## 情境与问题
如果一个班级中,所有同学组成的集合记为 $S$,而所有女同学组成的集合记为 $F$,你觉得集合 $S$ 和 $F$ 之间有怎样的关系?你能从集合元素的角度分析它们的关系吗?
给定集合 $A=\{1,3\},B=\{1,3，5，6\}$,容易看出，集合 $A$ 的任意一个元素都是集合 $B$ 的元素.
一般地,如果集合 $A$ 的任意一个元素都是集合 $B$ 的元素,那么集合 $A$ 称为集合 $B$ 的子集，记作
$$
A \subseteq B \text { (或 } B \supseteq A ），$$
读作“$A$ 包含于 $B$ ”（或“$B$ 包含 $A$ ”）.
对应地，如果 $A$ 不是 $B$ 的子集，则记作 $A \nsubseteq B$ (或 $B \nsubseteq A$ ）,
读作“$A$ 不包含于 $B ”$ （或“$B$ 不包含 $A$ ”）.
上述情境与问题中的两个集合，满足 $F \subseteq S$.
## 尝试与发现
（1）根据子集的定义判断,如果 $A=\{1，2，3\}$，那么 $A \subseteq A$ 吗?（2）你认为可以规定空集邓是任意一个集合的子集吗?为什么?
不难看出，依据子集的定义，任意集合 $A$ 都是它自身的子集,即 $A \subseteq A$
因为空集不包含任何元素,所以我们规定：空集是任意一个集合 $A$ 的子集，即 $\varnothing \subseteq$.
## 2. 真子集
前面的情境与问题中的两个集合满足 $F \subseteq S$，但是，只要班级中有男同学,那么 $S$ 中就有元素不属于 $F$.
一般地,如果集合 $A$ 是集合 $B$ 的子集，并且 $B$ 中至少有一个元素不属于 $A$,那么集合 $A$ 称为集合 $B$ 的真子集,记作 $A \varsubsetneqq B$ (或 $B \supsetneq A$ ),读作“$A$ 真包含于 $B$ ”（或“$B$ 真包含 $A$ ”）.
例如,分析集合 $A=\{1,2\},B=\{1,2$,$3,4\}$ 之间的关系,可知 $A$ 是 $B$ 的子集 (即 $A \subseteq B)$,而 $3 \in B$ 且 $3 \notin A$,因此 $A$ 是 $B$ 的真子集，即 $A \varsubsetneqq B$.
如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合,那么我们就可作出示意图来形象地表示
图 1-1-4 集合之间的关系,这种示意图通常称为维恩图. 例如,$A$ 是 $B$ 的真子集，可用图 1-1-4 表示.
根据子集、真子集的定义可知:
(1) 对于集合 $A,B,C$,如果 $A \subseteq B,B \subseteq C$,则 $A \subseteq C$;
(2) 对于集合 $A,B,C$,如果 $A \varsubsetneqq B,B \varsubsetneqq C$,则 $A \varsubsetneqq C$.
| 想一想 |
| :---: |
| 如果要作出维 |
| 恩图来理解子集与 |
| 真子集的这些性 |
| 质，该如何作?|
例 1 写出集合 $A=\{6,7,8\}$ 的所有子集和真子集.
分析如何才能一个不漏地写出这个集合的所有子集呢?注意到集合 $A$ 含有 3 个元素,因此它的子集含有的元素个数为 $0,1,2,3$. 可依下列步骤来完成此题:
(1) 写出元素个数为 0 的子集,即 $\varnothing$;
(2) 写出元素个数为 1 的子集,即 $\{6\},\{7\},\{8\}$;
(3) 写出元素个数为 2 的子集,即 1;
(4) 写出元素个数为 3 的子集,即 2
解集合 $A$ 的所有子集是
$$
\varnothing,\{6\},\{7\},\{8\},\{6,7\},\{6,8\},\{7,8\},\{6,7,8\} .
$$
在上述子集中,除去集合 $A$ 本身,即 $\{6,7,8\}$,剩下的都是 $A$ 的真子集.
例 2 已知区间 $A=(-\infty,2]$ 和 $B=(-\infty,a)$,且 $B \subseteq A$,求实数 $a$ 的取值范围.
解因为集合 $B$ 的元素都是集合 $A$ 的元素,所以可用数轴表示它们的关系，如图 1-1-5 所示.
图 1-1-5
从而可知 $a \leqslant 2$.
## 罗素悖论与第三次数学危机
某村的理发师宣布了这样一个原则: 他为且只为村里所有不给自己刮胡子的人刮胡子. 那么,这个理发师是否应该为自己刮胡子呢?如果理发师不为自己刮胡子,那么他是不给自己刮胡子的人,所以按照他的原则,他必须为自己刮胡子;反之,如果他为自己刮胡子,因为他只为不给自己刮胡子的人刮胡子,所以他不应该为自己刮胡子.
看完上面这段话后是不是觉得有些困惑?这是数学上有名的“理发师困境”,是著名数学家罗素于 20 世纪初提出的“罗素悖论”的简化版本.
罗素悖论与集合论知识有关.
事实上,我们所学习的集合,也能以集合作为元素. 例如,若记集合 $A=\{1,2\}$ 的所有子集组成的新集合为 $B$,则
$$
B=\{\varnothing,\{1\},\{2\},\{1,2\}\},$$
$B$ 中的元素都是集合 ( $B$ 一般称为类).
以集合作为元素在直观上是容易理解的: 如果把一个集合理解为一个袋子,元素理解为袋子里的东西,则以集合为元素的集合,就相当于袋子里的东西还是袋子. 这也可以用电脑中的文件夹来理解,文件夹中可以是文件,也可以是文件夹,如图所示.
罗素认为,任何一个集合都可以考虑它是否属于自身的问题,有些集合属于它自身,有些集合不属于它自身. 随后,罗素构造了集合 $S$ : 由所有不是自身元素的集合组成的集合.
问题是: $S$ 是否属于 $S$?继续往下分析就会出现类似上述“理发师困境” 的两难局面.
罗素悖论提出时,集合论的知识已经成为数学的基础. 这一悖论的出现引发了人们对数学基础的质疑,从而导致了“第三次数学危机”. 但是数学家们通过对集合论进行公理化成功地解决了这一危机,为了避免出现罗素悖论,公理中规定集合不能以它自身为元素. 这跟我们的日常经验一致: 一个袋子不能把自己装起来,一个文件夹也不能包括它自己.
感兴趣的同学,请自行查阅有关书籍和网络,了解悖论和第三次数学危机的更多内容吧！
## 3. 集合的相等与子集的关系
## 情境与问题
已知 $S=\{x \mid(x+1)(x+2)=0\}，T=\{-1,-2\}$，这两个集合的元素有什么关系?$S \subseteq T$ 吗?$T \subseteq S$ 吗?你能由此总结出集合的相等与子集的关系吗?上述问题中,组成 $S$ 的元素与组成 $T$ 的元素完全相同,即 $S=T$;另外,由子集的定义可知
$$
S \subseteq T \text { 且 } T \subseteq S .
$$
一般地,由集合相等以及子集的定义可知:
(1) 如果 $A \subseteq B$ 且 $B \subseteq A$,则 $A=B$;
(2) 如果 $A=B$，则 $A \subseteq B$ 且 $B \subseteq A$.
例 3 写出下列每对集合之间的关系:
(1) $A=\{1,2,3,4,5\},B=\{1,3,5\}$;
(2) $C=\left\{x \mid x^{2}=1\right\},D=\{x|| x \mid=1\}$;
(3) $E=(-\infty,3),F=(-1,2]$;
(4) $G=\{x \mid x$ 是对角线相等且互相平分的四边形 $\},H=\{x \mid x$ 是有一个内角为直角的平行四边形 $\}$.
分析因为集合之间的关系是通过元素来定义的,所以只要针对集合中的元素进行分析即可.
(1) 因为 $B$ 的每个元素都属于 $A$,而 $4 \in A$ 且 $4 \notin B$,所以
$$
B \varsubsetneqq A .
$$
(2) 不难看出,$C$ 和 $D$ 包含的元素都是 1 和 -1,所以
$$
C=D .
$$
(3) 在数轴上表示出区间 $E$ 和 $F$,如图 1-1-6 所示.
图 1-1-6
由图可知
$$
F \varsubsetneqq E .
$$
(4) 如果 $x \in G$,则 $x$ 是对角线相等且互相平分的四边形，所以 $x$ 是矩形,从而可知 $x$ 是有一个内角为直角的平行四边形,所以 $x \in H$,因此
$$
G \subseteq H .
$$
反之,如果 $x \in H$,则 $x$ 是有一个内角为直角的平行四边形,所以 $x$ 是矩形,从而可知 $x$ 是对角线相等且互相平分的四边形,所以 $x \in G$,因此
$$
H \subseteq G .
$$
综上可知,$G=H$.
由上可以看出,当 $A$ 是 $B$ 的子集时,要么 $A$ 是 $B$ 的真子集,要么 $A$ 与 $B$ 相等.
## 探索与研究
填写下表,回答后面的问题:
| 集合 | 元素个数 | 所有子集 | 子集个数 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| $\{a\}$ | 1 | | |
| $\{a,b\}$ | 2 | | |
| $\{a,b,c\}$ | 3 | | |
| $\{a,b,c,d\}$ | 4 | | |
（1）你能找出“元素个数”与“子集个数”之间关系的规律吗?
（2）如果一个集合的元素个数为 $n$,你能用 $n$ 表示出这个集合的子集个数吗?
## 练习A
(1) 用 $\in$ ”" $\notin ” " ” " \nsupseteq ”$ 或“=”填空:
(1) 5 $\{5\}$;(2) $\{a,b,c\}$ $\{a,c\};$
(3) $\{1,2,3\}$ $\{3,2,1\};$
(4) $\varnothing$ $\{0\}$.
(1) $\mathbf{Z}$
$\mathbf{N}$;(2) $\mathbf{Z}$
Q;(3) $\mathbf{Q}$ $\mathbf{N}$;(4) $\mathbf{R}$
Q.
(3) 用 $\varsubsetneqq ” " \nsupseteq ”$ 或“=”填空:
(1) $[0,2]$ $(-1,3)$;(2) $[0,5)$
$(2,3]$;(3) $[-1,+\infty)$ $[2,+\infty)$
(4) $(-\infty,2)$ $\{x \mid x<2\}$
## 练习B
(1) 写出集合 $\{0,1,2,3\}$ 的所有子集.
(2) 用列举法表示集合 $A=\{x \mid x=3 m-1,m \in \mathbf{N}\}$ 和 $B=\{x \mid x=3 m+2,m \in \mathbf{N}\}$,并说明它们之间的关系.
(3) 已知集合 $A$ 满足 $\{1\} \subseteq A \varsubsetneqq\{1,2,3,4\}$,用列举法写出所有可能的 $A$.
(4) 已知 $[-1,+\infty) \supseteq[a,+\infty)$,求实数 $a$ 的取值范围.
(5) 已知 $A=\{x \mid x=2 n,n \in \mathbf{N}\},B=\{x \mid x=4 n,n \in \mathbf{N}\}$. 分别列出这两个集合中最小的 3 个元素,并证明 $B \varsubsetneqq A$.
$1\{6,7\},\{6,8\},\{7,8\}$
$2\{6,7,8\}$
### 3 集合的基本运算
## 1. 交集
## 情境与问题
学校高一年级准备成立一个科学兴趣小组,招募成员时要求同时满足:
（1） 中考的物理成绩不低于 80 分;
（2）中考的数学成绩不低于 70 分.
如果满足条件 (1) 的同学组成的集合记为 $P$,满足条件 (2) 的同学组成的集合记为 $M$,而能成为科学兴趣小组成员的同学组成的集合记为 $S$,那么这三个集合之间有什么联系呢?
可以看出,集合 $S$ 中的元素既属于集合 $P$,又属于集合 $M$.
一般地,给定两个集合 $A,B$,由既属于 $A$ 又属于 $B$ 的所有元素（即 $A$ 和 $B$ 的公共元素）组成的集合,称为 $A$ 与 $B$ 的交集,记作
$$
A \cap B
$$
读作“$A$ 交 $B ”$. 两个集合的交集可用图 1-1-7 所示的阴影部分形象地表示.
图 1-1-7
因此，上述情境与问题中的集合满足 $P \cap M=S$.
例如，$\{1,2,3,4,5\} \cap\{3,4,5,6,8\}=\{3,4,5\}$；在平面直角坐标系内，$x$ 轴与 $y$ 轴相交于坐标原点,用集合语言可以表示为
$$
\{(x,y) \mid y=0\} \bigcap\{(x,y) \mid x=0\}=1
$$
| 想一想 |
| :--- |
| 如果集合 $A$,|
| $B$ 没有公共元素,|
| 那么它们的交集是 |
| 什么?|
从定义可以看出,$A \cap B$ 表示由集合 $A,B$ 按照指定的法则构造出一个新集合，因此“交” 可以看成集合之间的一种运算,通常称为交集运算.
交集运算具有以下性质,对于任意两个集合 $A,B$,都有:
(1) $A \cap B=B \cap A$;(2) $A \cap A=A$;(3) $A \cap \varnothing=\varnothing \cap A=\varnothing$;(4) 如果 $A \subseteq B$，则 $A \cap B=A$，反之也成立. 例 1 求下列每对集合的交集：
(1) $A=\{1,-3\},B=\{-1,-3\}$;
(2) $C=\{1,3,5,7\},D=\{2,4,6,8\}$;
(3) $E=(1,3],F=[-2,2)$.
解 (1) 因为 $A$ 和 $B$ 的公共元素只有 -3,所以
$$
A \cap B=2
$$
（2）因为 $C$ 和 $D$ 没有公共元素,所以 $C \cap D=\varnothing$.
（3）在数轴上表示出区间 $E$ 和 $F$，如图 1-1-8 所示.
图 1-1-8
由图可知
$$
E \cap F=(1,2)
$$
例 2 已知 $A=\{x \mid x$ 是菱形 $\},B=\{x \mid x$ 是矩形 $\}$,求 $A \cap B$.
解 $A \cap B=\{x \mid x$ 是菱形 $\} \bigcap\{x \mid x$ 是矩形 $\}=\{x \mid x$ 是正方形 $\}$.
我们经常使用的“且” 可以借助集合的交集来理解. 例如,平面直角坐标系中的点 $(x,y)$ 在第一象限的条件是：横坐标大于 0 且纵坐标大于 0,用集合的语言可以表示为
$$
\{(x,y) \mid x>0\} \cap\{(x,y) \mid y>0\}=\{(x,y) \mid x>0,y>0\},$$
也就是说,为了保证点 $(x,y)$ 在第一象限,条件横坐标大于 0 与纵坐标大于 0 要同时成立.
本章导语中那个魔术的“秘密” 你知道了吗？图 1 中所有扑克牌组成的集合和图 2 中所有扑克牌组成的集合的交集是什么?
## 2. 并集
## 情境与问题
某班班主任准备召开一个意见征求会，要求所有上一次考试中语文成绩低于 70 分或英语成绩低于 70 分的同学参加. 如果记语文成绩低于 70 分的所有同学组成的集合为 $M$,英语成绩低于 70 分的所有同学组成的集合为 $N$,需要去参加意见征求会的同学组成的集合为 $P$,那么这三个集合之间有什么联系呢?可以看出,集合 $P$ 中的元素,要么属于集合 $M$,要么属于集合 $N$.
一般地,给定两个集合 $A,B$,由这两个集合的所有元素组成的集合，称为 $A$ 与 $B$ 的并集,记作
$$
A \cup B
$$
读作“$A$ 并 $B$ ”. 两个集合的并集可用图 1-1-9（1）或（2）所示的阴影部分形象地表示. 由 $A,B$ 构造出 $A \cup B$，通常称为并集运算.
( 1 )
$(2)$
图 1-1-9
因此，上述情境与问题中的集合满足 $M \cup N=P$.
例如,
$$
\{1,3,5\} \cup\{2,3,4,6\}=\{1,2,3,4,5,6\} .
$$
注意,同时属于 $A$ 和 $B$ 的元素,在 $A \cup B$ 中只出现一次.
## 尝试与发现
类比交集运算的性质,探索得出并集运算的性质,对于任意两个集合 $A,B$,都有:
(1) $A \cup B=3$
(2) $A \cup A=4$
(3) $A \cup \varnothing=\varnothing \cup A=5$;（4）如果 $A \subseteq B$，则 $A \cup B=6 \quad$，反之也成立.
例 3 已知区间 $A=(-3,1),B=[-2,3]$,求 $A \cap B,A \cup B$.
解在数轴上表示出 $A$ 和 $B$,如图 1-1-10 所示.
图 1-1-10
由图可知
$$
A \cap B=7 \quad,A \cup B=8
$$
我们经常使用的“或” 可以借助集合的并集来理解. 例如,$x \geqslant 0$ 的含义是 $x>0$ 或 $x=0$,这可以用集合语言表示为 $\{x \mid x \geqslant 0\}=\{x \mid x>0$ 或 $x=0\}=\{x \mid x>0\} \cup\{x \mid x=0\}，$
也就是说,为了保证 $x \geqslant 0$,条件 $x>0$ 与 $x=0$ 只要有一个成立即可.
## 探索与研究
（1）设有限集 $M$ 所含元素的个数用 $\operatorname{card}(M)$ 表示,并规定 $\operatorname{card}(\varnothing)=0$. 已知 $A=\{x \mid x$ 是外语兴趣小组的成员 $\},B=\{x \mid x$ 是数学兴趣小组的成员 $\}$,且 $\operatorname{card}(A)=20,\operatorname{card}(B)=8,\operatorname{card}(A \cap B)=4$,你能求出 $\operatorname{card}(A \cup B)$ 吗?
(2) 设 $A,B$ 为两个有限集,讨论 $\operatorname{card}(A),\operatorname{card}(B),\operatorname{card}(A \cap B)$,$\operatorname{card}(A \cup B)$ 之间的关系.
3. 补集
## 情境与问题
如果学校里所有同学组成的集合记为 $S$,所有男同学组成的集合记为 $M$,所有女同学组成的集合记为 $F$,那么:
(1) 这三个集合之间有什么联系?
(2) 如果 $x \in S$ 且 $x \notin M$,你能得到什么结论?
可以看出,集合 $M$ 和集合 $F$ 都是集合 $S$ 的子集,而且如果 $x \in S$ 且 $x \notin M$，则一定有 $x \in F$.
在研究集合与集合之间的关系时,如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集,那么称这个给定的集合为全集,全集通常用 $U$ 表示. 如果集合 $A$ 是全集 $U$ 的一个子集,则由 $U$ 中不属于 $A$ 的所有元素组成的集合,称为 $A$ 在 $U$ 中的补集,记作
$$
\complement_{U} A
$$
读作“$A$ 在 $U$ 中的补集”. 由全集 $U$ 及其子集 $A$ 得到 $\complement_{U} A$,通常称为补集运算.
集合的补集也可用维恩图形象地表示，其中全集通常用矩形区域代表,如图 1-1-11 所示.
因此，上述情境与问题中的集合满足
$$
\complement_{S} F=M,\quad \complement_{S} M=F \text {. }
$$
例如,如果 $U=\{1,2,3,4,5,6\},A=$ $\{1,3，5\}$，则
图 1-1-11
$$
\complement_{U} A=\{2,4,6\} .
$$
注意,此时 $\complement_{U} A$ 仍是 $U$ 的一个子集,因此 $\complement_{U}\left(\complement_{U} A\right)$ 也是有意义的,此例中的
$$
\complement_{U}\left(\complement_{U} A\right)=\{1,3,5\}=A .
$$
事实上,给定全集 $U$ 及其任意一个子集 $A$,补集运算具有如下性质：
(1) $A \cup\left(\complement_{U} A\right)=U$;
(2) $A \cap\left(\complement_{U} A\right)=\varnothing$;
(3) $\complement_{U}\left(\complement_{U} A\right)=A$.
## 想一想
补集的性质是否可以借助维恩图来直观理解?
例 4 已知 $U=\{x \in \mathbf{N} \mid x \leqslant 7\},A=\left\{x \in U \mid x^{2} \leqslant 7\right\},B=\{x \in U \mid$
$0<2 x \leqslant 7\}$,求 $\complement_{U} A,\complement_{U} B,\left(\complement_{U} A\right) \cup\left(\complement_{U} B\right),\complement_{U}(A \cap B)$.
分析注意 $U$ 中的元素都是自然数,而且 $A,B$ 都是 $U$ 的子集.
解不难看出
$U=\{0,1,2,3,4,5,6,7\},A=\{0,1,2\},B=\{1,2,3\}$.
因此
$$
\begin{aligned}
& \complement_{U} A=\{3,4,5,6,7\},\\
& \complement_{U} B=\{0,4,5,6,7\},\\
& \left(\complement_{U} A\right) \cup\left(\complement_{U} B\right)=\{0,3,4,5,6,7\},\\
& \complement_{U}(A \cap B)=\{0,3,4,5,6,7\} .
\end{aligned}
$$
例 5 已知 $A=(-1,+\infty),B=(-\infty,2]$,求 $\complement_{\mathbf{R}} A,\complement_{\mathbf{R}} B$.
解在数轴上表示出 $A$ 和 $B$,如图 1-1-12 所示.
图 1-1-12
由图可知
$$
\complement_{\mathbf{R}} A=9 \quad,\complement_{\mathbf{R}} B=10
$$
## 探索与研究
给定三个集合 $A,B,C$,式子 $(A \cup B) \cap C$ 的意义是什么?$(A \cap C) \cup(B \cap C)$ 呢?作维恩图研究这两个式子之间的关系,并研究 $(A \cap B) \cup C$ 和 $(A \cup C) \cap(B \cup$ C)之间的关系.
## 练习A
(1) 已知 $A=\{a,b,c,d\},B=\{b,d,e,f\}$,求 $A \cap B,A \cup B$.
(2) 已知区间 $A=(0,+\infty),B=(2,+\infty)$,求 $A \cap B,A \cup B$.
(3) 若 $A=\{x \mid x$ 是选修羽毛球课程的同学 $\},B=\{x \mid x$ 是选修乒乓球课程的同学\},请分别说明 $A \cap B,A \cup B$ 所表示的含义.
(4) 设 $U=\{x \in \mathbf{N} \mid x<9\},A=\{1,2,3\},B=\{3,4,5,6\}$,求 $\complement_{U} A,\complement_{U} B$.
5 已知全集 $U=\mathbf{R},A=[7,+\infty)$,求 $\complement_{U} A,\left(\complement_{U} A\right) \cap U,A \cup\left(\complement_{U} A\right)$.
## 练习B
(1) 对于任意两个集合 $A,B$,关系式 $(A \cap B) \subseteq(A \cup B)$ 总成立吗?说明理由.
(2) 已知集合 $A=\{a,b,c\}$.
(1) 写出所有满足条件 $A \cup B=A$ 的集合 $B$;
(2) 满足条件 $A \cap C=C$ 的集合 $C$ 有多少个?
(3) 设全集 $U=\mathbf{Z},A=\{x \mid x=2 k,k \in \mathbf{Z}\},B=\{x \mid x=2 k+1,k \in \mathbf{Z}\}$,求 $\complement_{U} A$,$\complement_{U} B$
(4) 设全集 $U=\left\{2,4,a^{2}\right\}$,集合 $A=\{4,a+3\},\complement_{U} A=\{1\}$,求实数 $a$ 的值.
(5) 已知区间 $A=(2,4),B=(a,5)$.
(1) 若 $A \cap B=(3,4)$,求实数 $a$ 的值;
（2）若 $A \cup B=(2,5)$,求实数 $a$ 的取值范围.
$7[-2,1) \quad 8(-3,3] \quad 9(-\infty,-1] \quad 10(2,+\infty)$
## 习题1-1A
(1) 设 $A=\{x \mid x$ 是 $U$ 中的奇数 $\}$.
(1) 如果 $U=\{4,5,6\}$,列出 $A$ 中的所有元素;
(2) 如果 $U=\{x \mid x$ 是小于 15 的正整数 $\}$,列出 $A$ 中的所有元素;
(3) 如果 $U=\{x \in \mathbf{Z} \mid 25<x<40\}$,列出 $A$ 中的所有元素.
(2) 写出集合 $\left\{x \mid x=\frac{2 n}{3},n \in \mathbf{N}\right\}$ 中最小的3个元素.
(3) 判断下列表达式是否正确:
(1) $2 \varsubsetneqq(-\infty,10]$;(2) $2 \in(-\infty,10]$;(3) $\{2\} \varsubsetneqq(-\infty,10]$;(4) $\varnothing \in(-\infty,10]$;(5) $\varnothing \subseteq(-\infty,10]$;(6) $\varnothing \varsubsetneqq(-\infty,10]$.
(4) 用“$\in ”“\notin " \cdots \varsubsetneqq ”$ 或“¥” 填空:
(1) $2 \_\{x \mid x \text { 是素数 }\}$;(2) $\{0\} \_\varnothing$;(3) $\pi \quad \mathbf{Q}$;(4) $\{2\} \_\{x \mid 0<x<3\}$.
(5) 已知 $A=\{x \mid x$ 是平行四边形 $\},B=\{x \mid x$ 是菱形 $\}$,求 $A \cap B,A \cup B$.
(6) 设 $A=\{x \mid x$ 是小于 10 的素数 $\},B=\{x \mid x$ 是小于 10 的正奇数 $\}$,求 $A \cap$ $B,A \cup B$
(7) 已知 $A=\{1,2,3,4\},B=\{3,4,5,6,7\},C=\{6,7,8,9\}$. 求:
(1) $A \cap B,B \cap C,A \cap C$;(2) $A \cup B,B \cup C,A \cup C$.
(8) 如果集合 $A,B$ 分别满足下列等式,试写出 $A$ 与 $B$ 之间的关系:
(1) $A \cap B=A$;(2) $A \cup B=A$.
(9) 已知区间 $A=(-6,1),B=[-7,3)$,求 $A \cap B,A \cup B$.
(10) 已知区间 $A=(-3,2]$,求 $C_{\mathbf{R}} A$.
(1) 已知 $A=\{0,2,4,6,8\},B=\{0,1,2,3,4,5\},C=\{4,5,6\}$,求:
(1) $A \cap B \cap C$;(2) $A \cup B \cup C$;(3) $(A \cap B) \cup C$;(4) $(A \cup B) \cap C$.
(2) 已知全集 $U=\{a,b,c,d,e\},A=\{a,b,c\}$,分别列出满足下列条件的所有可能的集合 $B$ :
(1) $A \cup B=A$;(2) $A \cap B=B$;(3) $\complement_{U} B=A$.
(3) 已知全集 $U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\},A=\{3,4,5\},B=\{4,7,8\}$.
(1) 求 $\complement_{U} A,\complement_{U} B,\left(\complement_{U} A\right) \cap\left(\complement_{U} B\right),\left(\complement_{U} A\right) \cup\left(\complement_{U} B\right)$;(2) 验证
$$
\complement_{U}(A \cap B)=\left(\complement_{U} A\right) \cup\left(\complement_{U} B\right),\complement_{U}(A \cup B)=\left(\complement_{U} A\right) \cap\left(\complement_{U} B\right)
$$
(4) 已知 $A=\{0,1,2,3\},B=\{0,2,4,5\},C \subseteq A,C \subseteq B$,写出符合条件的所有集合 $C$.
(5) 已知 $A=\{x|| x \mid<3\},B=\left\{x \in \mathbf{N} \mid x^{2}<11\right\}$,求 $A \cap B$.
(6) 已知 $A=[-1,2],B=\left(-\infty,-\frac{p}{4}\right)$,且 $B \varsubsetneqq \complement_{\mathbf{R}} A$,求实数 $p$ 的取值范围. (7) 用集合语言分别表示下图中的阴影部分.
( 1 )
( 2 )
(第 7 题)
(8) 如图所示是初中所学的不同类型四边形的知识结构图,你能用集合的语言来描述图中的关系吗?
(第 8 题)
## 习题1-1C
(1) 已知集合 $A=\{1,3,m\},B=\left\{m^{2},1\right\}$,且 $A \cup B=A$,求 $m$ 的值.
(2) 已知集合 $P=\left\{x \mid x^{2} \leqslant 1\right\},M=\{a\}$,若 $P \cup M=P$,求 $a$ 的取值范围.
(3) 已知 $U=(-\infty,+\infty),A=(-\infty,a],B=(-\infty,1)$,且 $\left(\complement_{U} A\right) \cup B=U$,求 $a$ 的取值范围.
(4) 已知 $M,N$ 为全集 $U$ 的非空真子集,且 $M$ 与 $N$ 不相等,若 $\left(\complement_{U} M\right) \cap N=\varnothing$,试判断集合 $M$ 和 $N$ 的关系,并求出 $M \cup N$.
## 2 常用逻辑用语
### 1 命题与量词
## 1. 命题
## 情境与问题
“命题” 这个词在新闻报道中经常可以见到. 例如：“从最直接的生态保护方式之一一植树造林,到多种更具创新性的环保活动的开展,如何建立起公众与自然沟通的桥梁，引发人们对于自然环境的关注和思考，成为时下的环保 '新命题'.” (2017 年 12 月 21 日《中国青年报》)
我们在数学中也经常接触到“命题” 这两个字,你知道新闻报道中的“命题”与数学中的“命题”有什么区别吗?
新闻报道中的“命题” 往往是“命制的题目” 的简写,常常指的是待研究的问题或需要完成的任务等. 需要注意的是,一般来说,数学中的“命题” 与新闻报道中的“命题” 不一样.
我们在初中的时候就已经学习过数学中的命题,知道类似“对顶角相等” 这样的可供真假判断的陈述语句就是命题,而且,判断为真的语句称为真命题,判断为假的语句称为假命题. 数学中的命题,还经常借助符号和式子来表达. 例如,命题“9 的算术平方根是 $3 ”$ 可表示为 $“\sqrt{9}=3 ”$.
值得注意的是,一个命题,要么是真命题,要么是假命题,不能同时既是真命题又是假命题,也不能模棱两可、无法判断是真命题还是假命题.
## 尝试与发现
下列命题中，1
是真命题，2
是假命题:
(1) $10^{2}=100$;(2) 所有无理数都大于零;(3) 平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行;(4) 一次函数 $y=2 x+1$ 的图象经过点 $(0,1)$;(5) 设 $a,b,c$ 是任意实数,如果 $a>b$,则 $a c>b c$;（6） $\mathbf{Z} \varsubsetneqq \mathbf{Q}$.
为了方便叙述,命题可以用小写英文字母表示,如若记
$$
p: A \subseteq(A \cup B) \text {,}
$$
则可知 $p$ 是一个真命题.
## 拓展阅读
## 数学中的猜想
通过小学和初中的学习,大家可能已经感受到,对于包括数学在内的很多学科来说,最重要的就是得到各种各样的有价值的命题. 这些命题通常都是以结论、定理、推论、性质等形式表述的.
值得注意的是,对于命题,我们要求的是“可供”真假判断,至于怎样才能判断一个命题的真假以及谁能判断,是命题概念里没有涉及的内容.
例如,语句“367895326 013217 是 6 的倍数” 是可以判断真假的,所以它是一个命题. 要判断这个命题的真假,可以借助现代信息技术 (如计算器、计算机等),也可以直接利用有关数学知识 (例如,因为 6 是 2 的倍数,所以凡是 6 的倍数的数一定是偶数,但给定的数是奇数,所以原命题是假命题). 总的来说,要判断一个命题的真假并不是一件容易的事,这也就是我们为什么要努力学习各种知识的原因之一.
实际上,数学界中,有一些命题至今还没有人能判断真假,比如“每一个不小于 6 的偶数都是两个奇素数的和”,到目前为止数学家们还不能肯定它是一个真命题还是一个假命题. 通常,末能得到真假判断的命题称为猜想. 前面提到的这个命题是数学家哥德巴赫提出来的,所以称为哥德巴赫猜想.
在数学和其他学科的研究中,如果有人能解决一个大家都认为很难的猜想,那是一件非常了不起的事情,解决猜想的人也会因此而享誉全球. 感兴趣的同学可以上网搜索“猜想” 以了解更多的情况.
## 2. 量词
在数学中,有很多命题都是针对特定集合而言的,例如:
(1) 任意给定实数 $x,x^{2} \geqslant 0$;
(2) 存在有理数 $x$,使得 $3 x-2=0$;
（3）每一个有理数都能写成分数的形式;(4) 所有的自然数都大于或等于零;
（5）实数范围内，至少有一个 $x$ 使得 $\sqrt{-x^{2}}$ 有意义;
（6）方程 $x^{2}=2$ 在实数范围内有两个解;
(7) 每一个直角三角形的三条边长都满足勾股定理.
不难看出,命题（1）（3）（4）（7）陈述的是指定集合中的所有元素都具有特定性质,命题（2）（5）（6）陈述的是指定集合中的某些元素具有特定性质.
一般地,“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体,称为全称量词,用符号“$\forall$ 表示. 含有全称量词的命题,称为全称量词命题. 因此,全称量词命题就是形如“对集合 $M$ 中的所有元素 $x,r(x)$ ” 的命题,可简记为
$$
\forall x \in M,r(x)
$$
例如,“任意给定实数 $x,x^{2} \geqslant 0$ ” 是一个全称量词命题,可简记为
$$
\forall x \in \mathbf{R},x^{2} \geqslant 0 \text {. }
$$
“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分,称为存在量词,用符号“$ヨ$ ”表示. 含有存在量词的命题,称为存在量词命题. 因此,存在量词命题就是形如“存在集合 $M$ 中的元素 $x,s(x)$ ” 的命题,可简记为
$$
\exists x \in M,s(x)
$$
例如,“存在有理数 $x$,使得 $3 x-2=0$ ” 是一个存在量词命题,可简记为
3
如果记 $p(x): x^{2}-1=0,q(x)：5 x-1$ 是整数，则通过指定 $x$ 所在的集合和添加量词，就可以构成命题. 例如:
$$
\begin{aligned}
& p_{1}: \forall x \in \mathbf{Z},p(x);\\
& q_{1}: \forall x \in \mathbf{Z},q(x);\\
& p_{2}: \exists x \in \mathbf{Z},p(x);\\
& q_{2}: \exists x \in \mathbf{Z},q(x) .
\end{aligned}
$$
## 尝试与发现
（1）上述 4 个命题 $p_{1},q_{1},p_{2},q_{2}$ 中，真命题是 4
（2）总结出判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法. 事实上,要判定全称量词命题 $\forall x \in M,r(x)$ 是真命题,必须对限定集合 $M$ 中的每个元素 $x$,验证 $r(x)$ 成立;但要判定其是假命题,却只需举出集合 $M$ 中的一个元素 $x_{0}$,使得 $r\left(x_{0}\right)$ 不成立即可（这就是通常所说的“举出一个反例”）.
要判定存在量词命题 $\exists x \in M,s(x)$ 是真命题,只要在限定集合 $M$ 中,找到一个元素 $x_{0}$,使得 $s\left(x_{0}\right)$ 成立即可（这就是通常所说的“举例说明”);但要判定其是假命题,却需要说明集合 $M$ 中每一个 $x$,都使得 $s(x)$ 不成立.
例判断下列命题的真假:
(1) $\forall x \in \mathbf{R},x^{2}+1>0$;(2) $\forall x \in \mathbf{N},\sqrt{x} \geqslant 1$;(3) $\exists x \in \mathbf{Z},x^{3}<1$;(4) $\exists x \in \mathbf{Q},x^{2}=3$.
（1）由于 $\forall x \in \mathbf{R}$,都有 $x^{2} \geqslant 0$,因而有
$$
x^{2}+1 \geqslant 1>0 \text {. }
$$
因此命题“$\forall x \in \mathbf{R},x^{2}+1>0 ”$ 是 5 命题.
（2）由于 $0 \in \mathbf{N}$,而且当 $x=0$ 时,$\sqrt{0} \geqslant 1$ 不成立.
因此命题“$\forall x \in \mathbf{N},\sqrt{x} \geqslant 1 ”$ 是 6 命题.
(3) 由于 $-1 \in \mathbf{Z}$,而且当 $x=-1$ 时,有 $(-1)^{3}<1$.
因此命题“$\exists x \in \mathbf{Z},x^{3}<1 ”$ 是 7 命题.
(4) 由于使 $x^{2}=3$ 成立的数只有 $\sqrt{3}$ 和 $-\sqrt{3}$,而它们都不是有理数,因而没有任何一个有理数的平方能等于 3 .
因此命题“$\exists x \in \mathbf{Q},x^{2}=3 ”$ 是 $8 \quad$ 命题.
值得注意的是,全称量词命题和存在量词命题,都可以包含多个变量,而且这样的情形前面我们已经接触过.
例如,以前学过的平方差公式
$$
a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b) \text {,}
$$
因为这个公式对所有实数 $a,b$ 都成立,所以可以改写为全称量词命题
$$
\forall a,b \in \mathbf{R},a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b) \text {. }
$$
又如,对于函数 $y=x+1$ 来说,任意给定一个 $x$ 值,都有唯一的 $y$ 值与它对应. 因此如果把 $y=x+1$ 看成含有两个变量的方程,则这个方程有无数多个解,且任意给定一个 $x$,都存在一个 $y$ 使得等式成立,这可以改写为
$$
\forall x \in \mathbf{R},\quad \exists y \in \mathbf{R},\quad y=x+1
$$
## 练习A
(1) 判断下列命题的真假:
(1) $2+2 \sqrt{2}$ 是有理数;(2) $1+1>2$
(3) 奇数的平方仍是奇数;(4) 两个集合的交集还是一个集合;(5) 每一个素数都是奇数;(6) 方程 $2 x^{2}+1=0$ 有实数根;(7) $\sin 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$;（8）如果 $x>2$,那么 $x>3$.
(2) 将下列命题用量词等符号表示,并判断命题的真假:
(1) 所有实数的平方都是正数;
(2) 任何一个实数除以 1,仍等于这个实数.
(3) 判断下列命题的真假:
(1) $\forall x \in \mathbf{R},x^{2}-3 x-2=0$;(2) $\exists x \in \mathbf{R},x^{2}+1=0$;(3) $\exists x \in \mathbf{Q},|x|+x \geqslant 0$;(4) $\forall x \in \mathbf{R},4 x^{2}>2 x-1+3 x^{2}$;(5) $\forall x \in(-7,3),x \in[-7,3)$;(6) $\exists x \in(-\infty,2],x^{2}=1$.
## 练习B
(1) 判断下列命题的真假:
(1) 存在两个无理数,它们的乘积是有理数;
（2）如果实数集的非空子集 $A$ 是有限集，则 $A$ 中的元素一定有最大值;
（3）没有一个无理数不是实数;
(4) 如果一个四边形的对角线相等,则这个四边形是矩形;
(5) 集合 $A$ 是集合 $A \cup B$ 的子集;
(6) 集合 $A \cap B$ 是集合 $A$ 的子集.
(2) 判断下列命题的真假:
(1) $\exists x \in \mathbf{R},x^{2}+1<0$;(2) $\forall x \in[0,+\infty),\sqrt{x+1}=\sqrt{x}+1$;(3) $\exists x \in \mathbf{R},x^{2} \leqslant 0$;(4) $\forall x \in \mathbf{R},\sqrt{x^{2}}$ 是有理数;(5) $\exists x \in[0,+\infty),\sqrt{x+1}=\sqrt{x}+1$.
(3) 判断下列命题的真假:
(1) $\exists x,y \in \mathbf{Z},3 x-2 y=10$;
(2) $\exists a,b \in \mathbf{R},(a-b)^{2}=a^{2}-b^{2}$;
(3) $\forall a,b \in \mathbf{R},a^{3}-b^{3}=(a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)$. (4) 分别求满足下列条件的实数 $a$ 的取值范围:
(1)“$\forall x \in[a,+\infty),x^{2} \geqslant 1 ”$ 是真命题;
(2)“$\exists x \in(-\infty,a],x^{2}=1$ ”是假命题.
1 (1) (3) (4) (6) 2(2) (5) 2 (2) $\exists x \in \mathbf{Q},3 x-2=0$
$4 q_{1},p_{2},q_{2} \quad 5$ 真 6 假 $\quad 7$ 真 8 假
### 2 全称量词命题与存在量词命题的否定
## 情境与问题
“否定”是我们日常生活中经常使用的一个词. 2009 年 11 月 23 日《人民日报》的《创新,从敢于否定开始》一文中有这样一段话：“培养一流创新人才,敢于否定的精神非常重要. 一旦下定决心进行研究,首先就要敢于否定别人的成果,并想一想：前人的成果有哪些是不对的,有什么方面可以改善,有什么地方可以加强. ”
结合上述这段话，谈谈你对“否定”一词的认识，并由此猜想“命题的否定” 是什么意思.
本小节我们要学习的是与命题的否定有关的知识.
## 1. 命题的否定
## 尝试与发现
你能说出命题 $s:$“3 的相反数是 -3 ” 和 $t:$“3 的相反数不是 -3 ” 这两个命题之间的关系吗?它们的真假性如何?
可以发现,命题 $s$ 是对命题 $t$ 的否定,命题 $t$ 也是对命题 $s$ 的否定. 而且,$s$ 是真命题,$t$ 是假命题. 一般地,对命题 $p$ 加以否定,就得到一个新的命题,记作“$\neg p$ ”,读作“非 $p$ ” 或“$p$ 的否定”.
如果一个命题是真命题,那么这个命题的否定就是一个假命题；反之亦然.
例如,$\sqrt{9}=3$ 是一个真命题,那么 $\sqrt{9} \neq 3$ 就是一个 1 命题.
## 2. 全称量词命题与存在量词命题的否定
下面我们来探讨如何对全称量词命题与存在量词命题进行否定.
若记 $s$：“存在整数是自然数”,则不难看出,这个命题的否定是 $\neg s:$“不存在整数是自然数”. 这里的命题 $s$ 实际上是个存在量词命题,而且可以用符号表示为
$$
s: \exists x \in \mathbf{Z},x \in \mathbf{N} \text {;}
$$
而命题 $\neg s$ 可以表述为“每一个整数都不是自然数”，因此 $\neg s$ 是一个全称量词命题，可以用符号表示为
$$
\neg s: \forall x \in \mathbf{Z},x \notin \mathbf{N} \text {. }
$$
显然,这里的 $s$ 是一个真命题,而 $\neg s$ 是一个假命题.
若记 $r$：“存在实数的平方小于 0 ”,则不难看出,这个命题的否定是 $\neg$ :“不存在实数的平方小于 0 ”. 这里的命题 $r$ 也是一个存在量词命题,而且可以用符号表示为
$$
r: 2
$$
而命题 $\neg r$ 可以表述为“每一个实数的平方都不小于 0 ”,因此 $\neg r$ 是一个全称量词命题,可以用符号表示为
$$
\neg r: 3
$$
显然，这里的 $r$ 是一个 4 命题，而 $\neg r$ 是一个 5 命题.
一般地,存在量词命题“$\exists x \in M,p(x) ”$ 的否定是全称量词命题
$$
\forall x \in M,\neg p(x)
$$
若记 $s$：“每一个有理数都是实数”,则不难看出,这个命题的否定是 $\neg s$ :“不是每一个有理数都是实数”. 这里的命题 $s$ 实际上是一个全称量词命题，而且可以用符号表示为
$$
s: \forall x \in \mathbf{Q},x \in \mathbf{R} \text {;}
$$
而命题 $\neg s$ 可以表述为“存在一个有理数不是实数”,因此 $\neg s$ 是一个存在量词命题，可以用符号表示为
$$
\neg s: \exists x \in \mathbf{Q},x \notin \mathbf{R} \text {. }
$$
显然,这里的 $s$ 是一个真命题,而 $\neg s$ 是一个假命题.
## 尝试与发现
记 $r$ :“每一个素数都是奇数”,用类似的方法,研究 $r$ 和 $r$ 的关系、符号表示以及真假性.
若用 $A$ 表示所有素数组成的集合,$B$ 表示所有奇数组成的集合,则
$$
\begin{aligned}
& r: \forall x \in A,x \in B,\\
& \neg r: \exists x \in A,x \notin B .
\end{aligned}
$$
因为 2 是素数且 2 不是奇数,所以 $r$ 是假命题,$\neg r$ 是真命题.
一般地,全称量词命题“$\forall x \in M,q(x)$ ” 的否定是存在量词命题
$$
\exists x \in M,\neg q(x)
$$
例1 写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假:
(1) $p: \forall x \in \mathbf{R},x^{2} \geqslant-1$;
(2) $q: \forall x \in\{1,2,3,4,5\},\frac{1}{x}<x$;
(3) $s$ : 至少有一个直角三角形不是等腰三角形.
解 (1) $\neg p: \exists x \in \mathbf{R},x^{2}<-1$,由 $p$ 是真命题可知 $\neg p$ 是假命题.
(2) $\neg q: \exists x \in\{1,2,3,4,5\},\frac{1}{x} \geqslant x$. 将集合中的元素逐个验证,当 $x=1$ 时不等式成立,因此 $\neg q$ 是真命题.
(3) $\neg s$ : 所有直角三角形都是等腰三角形. 因为有一个内角为 $30^{\circ}$ 的直角三角形不是等腰三角形,所以 $\neg s$ 是假命题.
例 2 与出下列命题的否定,并判断所得命题的真假:
(1) $p: \exists a \in \mathbf{R}$，一次函数 $y=x+a$ 的图象经过原点;
(2) $q: \forall x \in(-3,+\infty),x^{2}>9$.
解 (1) $\neg p: \forall a \in \mathbf{R}$,一次函数 $y=x+a$ 的图象不经过原点. 因为当 $a=0$ 时,一次函数 $y=x+a$ 的图象经过原点,所以 $\neg p$ 是 6 命题.
(2) $\neg q: \exists x \in(-3,+\infty),x^{2} \leqslant 9$. 因为 $x=0$ 时,$x^{2}=0<9$,所以 $\neg q$ 是真命题.
## 练习A
1) (1) 如果 $p$ 是真命题,那么 $\neg$ 是真命题还是假命题?
（2）如果 $\neg q$ 是真命题,那么 $q$ 是真命题还是假命题?
(2) 写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假:
（1）一切分数都是有理数;（2）有些三角形是锐角三角形. (3) 已知 $q: \forall x \in[-2,3),x^{2}<9$,写出 $q q$,并判断 $\neg q$ 的真假.
## 练习 $B$
(1) 写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假:
(1) 二次函数 $y=(x-1)^{2}-1$ 的图象的顶点坐标是 $(1,-1)$;
（2）正数的立方根都是正数;
（3）存在一个最大的内角小于 $60^{\circ}$ 的三角形;
(4) 对任意实数 $t$,点 $(t,t)$ 都在一次函数 $y=x$ 的图象上.
(2) 写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假:
(1) $\exists x \in \mathbf{R},|x|+x=0$;(2) $\forall x \in \mathbf{R},|x|+1-x \neq 0$.
(3) 已知区间 $M=[a,a+1]$,且“$\forall x \in M,x+1>0$ ” 是真命题,求实数 $a$ 的取值范围.
1 假 $2 \exists x \in \mathbf{R},x^{2}<0 \quad 3 \quad \forall x \in \mathbf{R},x^{2} \geqslant 0 \quad 4$ 假 $\quad 5$ 真 6 假
### 3 充分条件、必要条件
## 情境与问题
“充分”“必要”是我们日常生活中经常使用的词语,你知道下列语句中的这两个词分别表达的是什么意思吗?
（1）“不断出现的数据让禁放派理由更加充分”（《中国青年报》2014 年 1 月 23 日 ）
（2）“做到了目标明确、数据翔实、理由充分、逻辑严密”（《人民日报》2014 年 8 月 4 日；
（3）“积极乐观的人,相信办法总比问题多,内心充满希望,当然,他们更懂得去寻求必要的帮助，给自己创造更多的机会” (《中国青年报》2015 年 6 月 22 日)；
(4)“文学不只是知识,同时也是一种能力,写作对于一个文学系的学生而言是一种必要的素质”（《人民日报》2015 年 7 月 28 日). 本小节我们要学习数学中的充分条件和必要条件.
## 1. 充分条件、必要条件
我们已经接触过很多形如“如果 $p$,那么 $q$ ”(1) 的命题,例如:
(1) 如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行;
(2) 在直角三角形中,如果一个锐角等于 $30^{\circ}$,那么这个锐角所对的直角边等于斜边的一半;
(3) 如果 $x>2$,那么 $x>3$;
(4) 如果 $a>b$ 且 $c>0$,那么 $a c>b c$.
在“如果 $p$,那么 $q$ ” 形式的命题中,$p$ 称为命题的条件,$q$ 称为命题的结论. 若“如果 $p$,那么 $q$ ” 是一个真命题,则称由 $p$ 可以推出 $q$,记作
$$
p \Rightarrow q \text {,}
$$
读作“$p$ 推出 $q$ ”;否则,称由 $p$ 推不出 $q$,记作 $p \Rightarrow q$,读作“p 推不出 $q$ ”.
例如,上述例子中,(1) 是一个真命题,即“两条直线都与第三条直线平行” 可以推出“这两条直线也互相平行”,这也可记作
两条直线都与第三条直线平行 $\Rightarrow$ 这两条直线也互相平行;
而 (3) 是一个假命题,即 $x>2$ 推不出 $x>3$,这也可记作
$$
x>2 \Rightarrow x>3 \text {. }
$$
## 尝试与发现
用类似的方法分析上述例子中的（2）(4),并将它们用符号表示出来.
当 $p \Rightarrow q$ 时,我们称 $p$ 是 $q$ 的充分条件,$q$ 是 $p$ 的必要条件;当 $p \Rightarrow q$ 时,我们称 $p$ 不是 $q$ 的充分条件,$q$ 不是 $p$ 的必要条件. 事实上,前述情境与问题中的“充分”“必要” 与这里的充分条件、必要条件表示的是类似的意思.
因此,
“如果 $p$,那么 $q$ ” 是真命题,
$p \Rightarrow q$,
$p$ 是 $q$ 的充分条件,
$q$ 是 $p$ 的必要条件,
## 想一想
有人说，充分条件就是“有之即可，无之也行” 的条件,必要条件就是“有之末必即可,无之则必不行” 的条件,你觉得有道理吗?
(1)“如果 $p$,那么 $q$ ” 也常常记为“如果 $p$,则 $q$ ” 或“若 $p$,则 $q$ ”.
这四种形式的表达,讲的是同一个逻辑关系,只是说法不同而已.
例如,因为“如果 $x=-y$,则 $x^{2}=y^{2}$ ” 是真命题,所以
$$
\begin{aligned}
& x=-y \Rightarrow x^{2}=y^{2},\\
& x=-y \text { 是 } x^{2}=y^{2} \text { 的充分条件,} \\
& x^{2}=y^{2} \text { 是 } x=-y \text { 的必要条件. }
\end{aligned}
$$
又如,因为命题“若 $A \cap B \neq \varnothing$,则 $A \neq \varnothing$ ” 是真命题,所以
$$
\begin{aligned}
& A \cap B \neq \varnothing 1 \quad A \neq \varnothing,\\
& A \cap B \neq \varnothing \text { 是 } A \neq \varnothing \text { 的 } 2 \quad \text { 条件,} \\
& A \neq \varnothing \text { 是 } A \cap B \neq \varnothing \text { 的 } 3 \quad \text { 条件. }
\end{aligned}
$$
例 1 判断下列各题中,$p$ 是否是 $q$ 的充分条件,$q$ 是否是 $p$ 的必要条件:
(1) $p: x \in \mathbf{Z},q: x \in \mathbf{R}$;
(2) $p: x$ 是矩形，$q: x$ 是正方形.
解 (1) 因为整数都是有理数,从而一定也是实数,即 $p \Rightarrow q$,因此 $p$ 是 $q$ 的充分条件,$q$ 是 $p$ 的必要条件.
(2) 因为矩形不一定是正方形,即 $p \Rightarrow q$,因此 $p$ 不是 $q$ 的充分条件,$q$ 不是 $p$ 的必要条件.
充分条件与必要条件也可用集合的知识来理解.
设 $A=\{x \mid x \geqslant 0\},B=\{x \mid x>-1\}$,则不难看出,$A$ 是 $B$ 的子集 (如图 1-2-1 所示),即 $A \subseteq B$.
图 1-2-1
另外,“如果 $x \geqslant 0$,那么 $x>-1$ ” 是真命题,也就是说
$$
\begin{aligned}
& x \geqslant 0 \Rightarrow x>-1,\\
& x \geqslant 0 \text { 是 } x>-1 \text { 的充分条件,} \\
& x>-1 \text { 是 } x \geqslant 0 \text { 的必要条件. }
\end{aligned}
$$
一般地,如果 $A=\{x \mid p(x)\},B=$ $\{x \mid q(x)\}$,且 $A \subseteq B$ (如图 1-2-2 所示),那么 $p(x) \Rightarrow q(x)$,因此也就有 $p(x)$ 是 $q(x)$ 的充分条件,$q(x)$ 是 $p(x)$ 的必要条件.
例如,设 $A=\{x \mid x$ 是在北京市出生
图 1-2-2 的人 $\},B=\{x \mid x$ 是在中国出生的人 $\}$,则 $A \subseteq B$,所以“$x$ 是在北京市出生的人” 可以推出“$x$ 是在中国出生的人”.
充分条件、必要条件还与数学中的判定定理、性质定理有关.
例如,“如果一个函数是正比例函数,那么这个函数是一次函数” 可以看成一个判定定理. 这指的是,只要函数是正比例函数,那么就可以判定这个函数是一次函数. 不难看出,判定定理实际上是给出了一个充分条件,上例中,“函数是正比例函数” 是“函数是一次函数” 的充分条件.
而“矩形的对角线相等” 可以看成一个性质定理. 这指的是,只要一个四边形是矩形,那么这个四边形的对角线一定相等. 不难看出,性质定理实际上给出了一个必要条件,上例中,“四边形的对角线相等” 是“四边形是矩形” 的必要条件.
例 2 说明下述命题是否可以看成判定定理或性质定理,如果可以,写出其中涉及的充分条件或必要条件:
(1) 形如 $y=a x^{2}$ ( $a$ 是非零常数) 的函数是二次函数;
(2) 菱形的对角线互相垂直.
(1) 这可以看成一个判定定理,因此“形如 $y=a x^{2}$ ( $a$ 是非零常数) 的函数” 是“这个函数是二次函数” 的 4 条件.
（2）这可以看成菱形的一个性质定理，因此“四边形对角线互相垂直” 是“四边形是菱形” 的 5 条件.
## 拓展阅读
## 自主招生中的充分条件与必要条件
某大学２０１７ 年自主招生简章中规定，凡是高中阶段在全国中学生学科奥林匹克竞赛中获得省赛区竞赛一等奖（含）以上者（简记为“满足竞赛条件”，下同），都可以报名参加该校的自主招生考试．
根据这一信息，回答下列问题：
（1）已知甲同学满足竞赛条件，那么甲能申请参加该大学 2017 年的自主招生考试吗?
（2）已知乙同学已经成功申请到了参加该大学 2017 年自主招生考试的资格,那么乙同学一定满足竞赛条件吗?
（3）已知丙同学不满足竞赛条件,那么丙同学一定不能申请参加该大学 2017 年的自主招生考试吗？
第一个问题，相信大家都能得到正确答案：能.
但第二个和第三个问题的答案都是: 不一定. 你知道为什么时?
这是因为满足竞赛条件只是能申请参加该大学 2017 年自主招生考试的充分条件,而不是必要条件,但是充分条件可以不止一个.
事实上,全国青少年科技创新活动中的获奖者也能申请参加该大学 2017 年的自主招生考试.
生活中还有很多类似的情况. 请自行我出更多的例子吧！
## 2. 充要条件
我们已经知道,因为 $x>3 \Rightarrow x>2$,所以
$$
x>3 \text { 是 } x>2 \text { 的 } 6 \quad \text { 条件,}
$$
又因为 $x>2 \Rightarrow x>3$,所以
$$
x>3 \text { 不是 } x>2 \text { 的必要条件,}
$$
把这两方面综合起来，可以说成
$$
x>3 \text { 是 } x>2 \text { 的充分不必要条件. }
$$
一般地,如果 $p \Rightarrow q$ 且 $q \Rightarrow p$,则称 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件.
## 尝试与发现
仿照上述做法,给出 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件的定义,并给出具体实例加以说明.
如果 $p \Rightarrow q$ 且 $q \Rightarrow p$，则称 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件. 例如,$x(x-1)=0$ 是 $x=0$ 的必要不充分条件.
如果 $p \Rightarrow q$ 且 $q \Rightarrow p$，则称 $p$ 是 $q$ 的充分必要条件（简称为充要条件),记作
$$
p \Leftrightarrow q
$$
此时,也读作“$p$ 与 $q$ 等价”“$p$ 当且仅当 $q$ ”.
当然,$p$ 是 $q$ 的充要条件时,$q$ 也是 $p$ 的充要条件.
例如，当 $x \geqslant 0$ 时，$\sqrt{x}$ 有意义;当 $\sqrt{x}$ 有意义时，$x \geqslant 0$. 因此“$x \geqslant 0$ ” 是“$\sqrt{x}$ 有意义”的充要条件,即
$$
x \geqslant 0 \Leftrightarrow \sqrt{x} \text { 有意义 }
$$
也可以说成“$x \geqslant 0$ 与 $\sqrt{x}$ 有意义等价”“$x \geqslant 0$ 当且仅当 $\sqrt{x}$ 有意义”.
例 3 在 $\triangle A B C$ 中,判断 $\angle B=\angle C$ 是否是 $A C=A B$ 的充要条件.
解因为“在三角形中,等角对等边”,所以
$$
\angle B=\angle C \Rightarrow A C=A B
$$
又因为“在三角形中，等边对等角”,所以
$$
A C=A B \Rightarrow \angle B=\angle C \text {. }
$$
从而 $\angle B=\angle C \Leftrightarrow A C=A B$,因此 $\triangle A B C$ 中,$\angle B=\angle C$ 是 $A C=A B$ 的充要条件.
从集合的观点来看,如果 $A=\{x \mid p(x)\},B=\{x \mid q(x)\}$,且 $A=B$,则 $p(x) \Leftrightarrow q(x)$,因此也就有 $p(x)$ 是 $q(x)$ 的充要条件.
例如，当 $A=\{x \mid x \leqslant 0\},B=\{x|| x \mid=-x\}$ 时，不难看出 $A=B$,因此 $x \leqslant 0 \Leftrightarrow|x|=-x$,也就是说 $x \leqslant 0$ 是 $|x|=-x$ 的 7 条件,$x \leqslant 0$ 与 $|x|=-x$ 等价,$x \leqslant 0$ 当且仅当 $|x|=-x$.
另外,充要条件与数学中的定义有关. 例如,“三条边都相等的三角形称为等边三角形” 是等边三角形的定义,这就意味着,只要三角形的三条边都相等,那么这个三角形一定是等边三角形;反之,如果一个三角形是等边三角形,那么这个三角形的三条边都相等. 不难看出,一个数学对象的定义实际上给出了这个对象的一个充要条件. 上例中,“三角形的三条边都相等” 是“三角形是等边三角形” 的充要条件.
注意到“三角形的三个角相等” 也是“三角形是等边三角形” 的一个充要条件,因此我们也可以将等边三角形定义为:“三个角都相等的三角形称为等边三角形.”
需要补充的是,除了上面提到的充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件,还存在 $p$ 既不是 $q$ 的充分条件,也不是 $q$ 的必要条件的情形,例如,当 $p: x>0,q: x^{2}>2$ 时就是如此.
想一想
结合这里的实例,说明为什么有些数学对象有多种定义.
## 练习A
(1) 设区间 $A=(-\infty,-1],B=(-\infty,-1)$,判断 $x \in A$ 是否是 $x \in B$ 的充分条件和必要条件.
(2) 说明下述命题是否可以看成判定定理或性质定理,如果可以,写出其中涉及的充分条件或必要条件:
(1) 形如 $y=x^{2}+b x$ ( $b$ 是常数) 的函数是二次函数;
(2) 㚇形的对角线互相平分.
(3) 下列各题中,$p$ 是 $q$ 的什么条件 (“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”,下同)?(1) $p: x<2,q: x<1$;(2) $p: x \leqslant 0,q: \sqrt{-x}$ 有意义;(3) $p: x>0,q:|x|=x$.
(4)“有两个角之和为 $90^{\circ}$ 的三角形称为直角三角形” 是否可以作为直角三角形的定义?为什么?
## 练习B
(1) 下列各题中,$p$ 是 $q$ 的什么条件?(1) $p: A=\varnothing,q: A \cup B=B$;(2) $p: A \subseteq B,q: A \cap B=A$;(3) $p: x \in A,q: x \in A \cap B$.
(2) 下列各题中,$p$ 是 $q$ 的什么条件?(1) $p: a^{2}=4,q: a=2$;(2) $p: A \subseteq B,q: A \cup B=B$;(3) $p$ : 两个三角形全等,$q$ : 两个三角形面积相等.
(3) 写出 $a>b$ 的一个充分不必要条件,以及一个必要不充分条件.
$1 \Rightarrow$
2 充分
3 必要
充分
5 必要
充分
7 充要
## 习题1-2A
(1) 设 $p(x): 2 x>x^{2}$,则 $p(5)$ 是真命题吗?$p(-1)$ 呢?
(2) 用量词符号“$\forall$ ”ョ”表示下列命题:
（1）存在一个多边形，其内角和是 $360^{\circ}$;
（2）任何一个实数乘以-1 后,都等于这个实数的相反数;
(3) 存在实数 $x,x^{3} \geqslant x^{2}$.
(3) 写出下列各题中的 $\neg p$ :
(1) $p: \exists x \in \mathbf{Z},x-1>0$;(2) $p: \forall x \in \mathbf{Q},x-2 \geqslant 0$;(3) $p: \forall x \in \mathbf{R},x^{2}+1>0$;(4) $p: \exists x \in \mathbf{R},x^{2}-1<0$.
(4) 判断下列各题中,$p$ 是否是 $q$ 的充分条件,$p$ 是否是 $q$ 的必要条件:
(1) $p: x=y,q: x^{2}=y^{2}$;
(2) $p: \triangle A B C$ 中,$A B>A C,q: \triangle A B C$ 中,$\angle C>\angle B$.
(5) 设集合 $M=\{2，3，5，7，11，13\}$，写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假：(1) $\forall x \in M,x>1$;(2) $\exists x \in M,x$ 不是素数.
## 习题1-2B
(1) 判断下列命题的真假:
（1）一次函数 $y=k x+k+1$ （ $k$ 是非零常数） 的图象一定经过点 $(-1,1)$;
(2) 直角三角形的外心一定在斜边上;
(3) 已知 $x,y \in \mathbf{R}$,则 $x y=0$ 是 $x^{2}+y^{2}=0$ 的充要条件;
（4）如果 $x,y$ 都能被 5 整除,则 $x+y$ 也能被 5 整除.
(2) 判断下列命题的真假:
（1） 如果 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则 $\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$;（2）如果 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则 $\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$;(3) 如果 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \neq 1$,则 $\frac{a}{b-a}=\frac{c}{d-c}$. (3)下列各题中,$p$ 是 $q$ 的什么条件?(1) $p: x>0,q: \sqrt{x^{2}}=x$;(2) $p: \sqrt{x^{2}}=-x,q: x=0$.
(4) 举反例证明下列命题都是假命题:
(1) $\forall x \in \mathbf{R},|x|>0$;(2) 一元三次方程都有三个不同的实数根.
(5) 已知 $A=(-\infty,a],B=(-\infty,3)$,且 $x \in A$ 是 $x \in B$ 的充分不必要条件,求 $a$ 的取值范围.
(6) 判断下列命题的真假:
(1) $\exists x,y \in \mathbf{R},(x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}$;(2) $\forall x,y \in \mathbf{Z},(x-y)^{2}=x^{2}-2 x y+y^{2}$.
## 习题1-2C
(1) 判断下列命题的真假:
(1) $\forall x \in \mathbf{R},\frac{1}{x^{2}+1}<1$;(2) $\exists x \in \mathbf{R},\frac{1}{x}<x+1$.
(2) 判断下列命题的真假:
(1) $\forall a,b \in \mathbf{R},(a+b)^{3}=a^{3}+a^{2} b+a b^{2}+b^{3}$;(2) $\forall a,b \in \mathbf{R},a^{3}+b^{3}=(a+b)\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)$.
## 本章小结
## 1 知识结构图设计与交流
为了更好地理解学过的知识,我们可以借助结构图来总结有关内容.
例如,本章我们首先学习了集合,内容可以归结为四个关键词：概念、关系、运算、方法. 这样一来,我们就可以先作出如下的知识结构框架.
根据每一个关键词,可以补充相关的内容. 例如,概念里可以包括集合的定义、集合的性质、集合的表示,关系可以分成包含关系和非包含关系,运算包括交、并、补等,而方法主要是元素分析法等. 依照这个思路,可以在上述框架的基础上补充集合的其他内容,如下图所示.
当然,设计知识结构图的方法不止一种. 例如,本章我们学习了集合和常用逻辑用语，而集合的知识包括集合的符号表示、集合之间的关系、集合的运算（交、并、补),常用逻辑用语的知识包括命题与量词、全称量词命题与存在量词命题的否定、充分条件、必要条件、充要条件等,而且集合与逻辑之间有着紧密的联系. 依照各知识之间的联系,我们可以作出如下的知识结构图.
另外,我们也可以按照其他思路来制作其他形式的知识结构图. 而且,上述两个知识结构图也都可以进一步细化,例如加上集合的确定性、互异性、无序性、维恩图表示等内容.
发挥你的想象力和创造力,为本章的知识重新设计出一份独特的知识结构图,然后和同学交流制作的心得吧!
## 课题作业
理性思维（也称审辨式思维、批判性思维）是现代社会生活里非常重要的一种思维方式.
例如，理性思维要求我们能区分事实和观点. 按照《现代汉语词典（第 7 版）》的解释,“事实” 指的是事情的真实情况,而“观点” 是观察事物时所处的位置或采取的态度. 因此,“米饭和面食都是主食” 是事实,但“面食比米饭好吃”就是观点. 你觉得争论“面食好吃还是米饭好吃”这样的问题意义大吗?
理性思维也要求我们不能仅依靠直觉作出判断. 2012 年，丹麦、法国、澳大利亚、比利时、挪威、美国、爱尔兰、韩国这 8 个国家中，哪个国家的癌症发病率最高?你猜得对吗 ${ }^{(1)}$?是不是跟你的直觉不一样?
以小组合作的方式，查阅有关书籍或者网络，了解有关理性思维的更多知识，整理出理性思维中涉及的集合与逻辑知识,写成小论文,并与其他同学交流、分享.
## 3 复习题
## A 组
1. 在下列集合中,哪些是非空的有限集合?哪些是无限集合?哪些是空集?
（1）小于 100 的全体素数组成的集合;
(1) 答案是丹麦.
（2）线段 $A B$ 内包含 $A B$ 中点 $M$ 的所有线段组成的集合;
(3) $A=\{x|| x \mid+1=0\}$;
(4) $A=\{(x,y) \mid y=2 x+1\}$.
2. 用列举法写出下列集合:
(1) $A=\{x \in \mathbf{N}|| x-1 \mid=3\}$;(2) $A=\left\{x \in \mathbf{N} \mid \frac{1}{x} \geqslant 1\right\}$.
3. 若集合 $A=\{0,1,2,4\},B=\{1,2,3\}$,求 $A \cap B$.
4. 已知区间 $M=(-1,3),N=(-2,1)$,求 $M \cup N,\complement_{\mathbf{R}} M$.
5. 设集合 $A=\{1,2\},B=\{1,2,3\},C=\{2,3,4\}$,求 $(A \cap B) \cup C$.
6. 若 $\{1,2\} \subseteq A \subseteq\{1,2,3,4\}$,求满足条件的集合 $A$ 的个数.
7. 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 $A,B,C$ 三个城市时,甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 $\mathrm{B}$ 城市；乙说：我没去过 $\mathrm{C}$ 城市；丙说：我们三人去过同一个城市. 判断乙一定去过哪个城市.
8. 判断下列命题的真假:
(1) $-x^{2} \leqslant 0$;（2） 0 是最小的自然数;（3）每个正方形都有 4 条对称轴;(4) $\sqrt{a^{2}+1}$ 一定是无理数.
9. 判断下列命题的真假:
（1）如果 $A \cap B=A$，那么 $A \subseteq B$;(2) 如果 $x \in A \cap B$，那么 $x \in A$;(3) $a \in\{a,b,c,d\}$;(4) $\{a,b\} \subseteq\{a,b,c,d\}$;(5) $\pi \in\{x \mid x>3\}$.
10. 写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假:
(1) 任意实数都存在倒数;(2) 存在一个平行四边形，它的对角线不相等;(3) $\forall x \in\{x \mid x$ 是三角形 $\},x$ 的内角和是 $180^{\circ}$.
11. 下列各题中,$p$ 是 $q$ 的什么条件?(1) $p: x$ 为自然数,$q: x$ 为整数;(2) $p: x>3,q: x>5$;(3) $p: a=0,q: a b=0$;(4) $p$ : 四边形的一组对边相等,$q$ : 四边形为平行四边形;(5) $p$ : 四边形的对角线互相垂直,$q$ : 四边形为菱形.
## $B$ 组
1. 用列举法写出集合 $A=\{x \in \mathbf{N}|| x-1|+| x-2 \mid=7\}$. 2. 已知集合 $A=\left\{x \mid x^{2}-2 x=0\right\},B=\{0,1,2\}$,求 $A \cap B$.
2. 已知集合 $P=\{x \in \mathbf{Z} \mid 0 \leqslant x<3\},M=\left\{x \in \mathbf{Z} \mid x^{2}<9\right\}$,求 $P \cup M$.
3. 设全集 $U=\{x \in \mathbf{N} \mid x \geqslant 2\}$,集合 $A=\left\{x \in \mathbf{N} \mid x^{2} \geqslant 5\right\}$,求 $\complement_{U} A$.
4. 已知全集 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$,集合 $P=\{1,3,5\},Q=\{1,2,4\}$,求 $\left(\complement_{U} P\right) \cup Q$.
5. 设集合 $A=\{1,2\}$,写出所有满足 $A \cup B=\{1,2,3\}$ 的集合 $B$.
6. 已知全集 $U=\{1,2,3,4,5\}$,集合 $A=\left\{x \mid x^{2}-3 x+2=0\right\},B=\{x \mid$ $x=2 a,a \in A\}$,求集合 $\complement_{U}(A \cup B)$ 中包含的元素个数.
7. 已知集合 $A=[-2,2],B=\{x \mid x \geqslant a\}$,且 $A \varsubsetneqq B$,求 $a$ 的取值范围.
8. 下列各题中,$p$ 是 $q$ 的什么条件?
(1) $p: a+b>4,q: a>2$ 且 $b>2$;
(2) $p: a>b,q: a^{2}>b^{2}$;
（3）已知 $m,n$ 是整数,$p: m,n$ 均为偶数,$q: m+n$ 是偶数.
10. 判断下列命题的真假:
(1) $a=b$ 是 $|a|=|b|$ 的必要条件;
(2) $a>b$ 是 $a^{3}>b^{3}$ 的充要条件;
(3) 两个三角形的两组对应角相等是这两个三角形相似的充要条件;
(4) 三角形的三条边满足勾股定理是这个三角形为直角三角形的充要条件;
（5）在 $\triangle A B C$ 中，重心和垂心重合是 $\triangle A B C$ 为等边三角形的必要条件;
（6）如果点 $P$ 到点 $A,B$ 的距离相等,则点 $P$ 一定在线段 $A B$ 的垂直平分线上.
## $\mathrm{C}$ 组
1. 已知 $A=\{1,2,3,4,5\},B=\{(x,y) \mid x \in A,y \in A,x-y \in A\}$,求 $B$ 中所含元素的个数.
2. 已知集合 $A=\left\{(x,y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1,x,y \in \mathbf{Z}\right\},B=\{(x,y)|| x \mid \leqslant 2$,$|y| \leqslant 2,x,y \in \mathbf{Z}\}$，定义集合
$$
A \oplus B=\left\{\left(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}\right) \mid\left(x_{1},y_{1}\right) \in A,\left(x_{2},y_{2}\right) \in B\right\} \text {,}
$$
求 $A \oplus B$ 中元素的个数.
3. 若 $\{1,\sqrt{a}\} \subseteq\left\{1,2,4,a^{2}\right\}$,求 $a$ 的值.
4. 若 $\{0,-1,2 a\}=\{a-1,-|a|,a+1\}$,求 $a$ 的值.
5. 设 $U$ 为全集,$A,B$ 是集合,判断“存在集合 $C$,使得 $A \subseteq C,B \subseteq \complement_{U} C$ ” 是“$A \cap B=\varnothing ”$ 的什么条件. 数学是自己思考的产物. 首先要能够思考起来,用自己的见解和别人的见解交换,会有很好的效果.
一陈省身
第二章
等式与不等式
## 本章导语
数量关系是数学中重要的研究对象,相等关系与不等关系是数学中最基本的数量关系,等式与不等式是表示数量关系的基本工具. 而且,等式与不等式的有关知识,在日常生活中也有着广泛的应用.
例如,北京南站到天津站的城际铁路全程为 $120 \mathrm{~km}$,城际列车 $\mathrm{C} 2017$ 的行驶时间为 $30 \mathrm{~min}\left(\text { 即 } \frac{30}{60}=\frac{1}{2} \mathrm{~h}\right)^{(1)}$. 如果路程是 $s \mathrm{~km}$,时间是 $t \mathrm{~h}$,平均速度是 $v \mathrm{~km} / \mathrm{h}$,则由 $v=\frac{s}{t}$ 可以算出 $\mathrm{C} 2017$ 的平均速度
$$
v=\frac{120}{\frac{1}{2}}=240 .
$$
因此也就知道,行驶时间更长的列车（如 C2201 需要 $37 \mathrm{~min}$ ),其平均速度一定比 $240 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 小,即当 $t>\frac{1}{2}$ 时,一定有
$$
v<240 \text {. }
$$
当然,我们在小学和初中已经学习过很多等式和不等式的知识,包括它们的性质等. 本章我们将在用集合和逻辑的语言复习以前所学内容的基础上,了解更多等式和不等式的知识,包括一元二次不等式的解法、均值不等式等,这些都是高中数学的基础内容.
(1) 2018 年 8 月 17 日的数据,下同.
## 1 等式
### 1 等式的性质与方程的解集
## 1. 等式的性质
我们已经学习过等式的性质:
（1）等式的两边同时加上同一个数或代数式,等式仍成立;
(2) 等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式,等式仍成立.
## 営试与发现
用符号语言和量词表示上述等式的性质:
(1) 如果 $a=b$，则对任意 $c$,都有 1
(2) 如果 $a=b$,则对任意不为零的 $c$,都有 2
因为减去一个数等于加上这个数的相反数,除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数,所以上述等式性质中的“加上”与“乘以”,如果分别改为“减去”与“除以”，结论仍成立.
## 2. 恒等式
## 尝试与发现
补全下列（1）（2） 中的两个公式,然后将下列含有字母的等式进行分类,并说出分类的标准:
(1) $a^{2}-b^{2}=3$ (平方差公式)；(2) $(x+y)^{2}=4$ (两数和的平方公式);(3) $3 x-6=0$;(4) $(a+b) c=a c+b c$;(5) $m(m-1)=0$;
(6) $t^{3}+1=(t+1)\left(t^{2}-t+1\right)$.
如果从量词的角度来对以上 6 个等式进行分类的话,可以知道,等式 5 对任意实数都成立,而等式 6 只是存在实数使其成立. 例如 $3 x-6=0$ 只有 $x=2$ 时成立,$x$ 取其他数时都不成立.
一般地,含有字母的等式,如果其中的字母取任意实数时等式都成立,则称其为恒等式,也称等式两边恒等.
恒等式是进行代数变形的依据之一. 例如,因为 $(x+y)^{2}=x^{2}+2 x y+y^{2}$ 对任意 $x,y$ 都成立,所以可用其他代数式去替换其中的 $x,y$,等式仍会成立,若用 $z$ 替换其中的 $y$,则
$$
\begin{aligned}
(x-z)^{2} & =x^{2}+2 x(-z)+(-z)^{2} \\
& =x^{2}-2 x z+z^{2},\end{aligned}
$$
由此就得到了以前学过的两数差的平方公式.
例 1 化简 $(2 x+1)^{2}-(x-1)^{2}$.
解 (方法一) 可以利用两数和的平方公式与两数差的平方公式展开,然后合并同类项，即
$$
\begin{aligned}
& (2 x+1)^{2}-(x-1)^{2} \\
= & 4 x^{2}+4 x+1-\left(x^{2}-2 x+1\right) \\
= & 3 x^{2}+6 x .
\end{aligned}
$$
（方法二) 可以将 $2 x+1$ 和 $x-1$ 分别看成一个整体,然后使用平方差公式，即
$$
\begin{aligned}
& (2 x+1)^{2}-(x-1)^{2} \\
= & {[(2 x+1)+(x-1)][(2 x+1)-(x-1)] } \\
= & 3 x(x+2) \\
= & 3 x^{2}+6 x .
\end{aligned}
$$
下面我们介绍另外一个经常会用到的恒等式：对任意的 $x,a,b$,都有
$$
(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b) x+a b .
$$
这个恒等式的证明,只需将左边展开然后合并同类项即可,留作练习.
可以利用这个恒等式来进行因式分解. 给定式子 $x^{2}+C x+D$,如果能找到 $a$ 和 $b$,使得 $D=a b$ 且 $C=a+b$,则
$$
x^{2}+C x+D=(x+a)(x+b) \text {. }
$$
为了方便记忆,已知 $C$ 和 $D$,寻找满足条件的 $a$ 和 $b$ 的过程,通常用图 2-1-1 来表示：其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于 $C$,也正因为如此,这种因式分解的方法称为“十字相乘法”.
例如,对于式子 $x^{2}+5 x+6$ 来说,因为 $2 \times 3=6$ 且 $2+$ $3=5$,所以
图 2-1-1
$$
x^{2}+5 x+6=7
$$
## 尝试与发现
证明恒等式
$$
(a x+b)(c x+d)=a c x^{2}+(a d+b c) x+b d .
$$
并由此探讨 $E x^{2}+F x+G$ 的因式分解方法.
上述恒等式的证明,也只需将左边展开然后合并同类项即可. 据此也可进行因式分解. 例如,对于 $3 x^{2}+11 x+$ 10 来说,因为 $1 \times 3=3,2 \times 5=10,1 \times 5+3 \times 2=11$,如图 2-1-2 所示,所以
$$
3 x^{2}+11 x+10=(x+2)(3 x+5) .
$$
图 2-1-2
## 3. 方程的解集
我们知道,方程的解（或根）是指能使方程左右两边相等的末知数的值. 一般地,把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集.
利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形,可以得到一些方程的解集. 例如,对于方程 $3 x+5=-1$ 来说,首先在等式两边同时加上一5,可得
然后在上述等式两边同时乘以 $\frac{1}{3}$,则得 $x=-2$,因此可知方程 $3 x+5=-1$ 的解集为 $\{-2\}$.
不难知道，利用类似的方法可以得到所有一元一次方程的解集.
从小学开始我们就知道,任意两个非零的实数,它们的乘积不可能是零,因此: 如果 $a b=0$,则 $a=0$ 或 $b=0$.
利用这一结论,我们可以得到一些方程的解集. 例如,由方程 $(4 x+1)(x-1)=0$ 可知 $4 x+1=0$ 或 $x-1=0$,从而 $x=-\frac{1}{4}$ 或 $x=1$,因此方程 $(4 x+1)(x-1)=0$ 的解集为 $\left\{-\frac{1}{4},1\right\}$. 例 2 求方程 $x^{2}-5 x+6=0$ 的解集.
解因为 $x^{2}-5 x+6=(x-2)(x-3)$,所以原方程可以化为
$$
(x-2)(x-3)=0 \text {,}
$$
从而可知 $x-2=0$ 或 $x-3=0$,即 $x=2$ 或 $x=3$,因此所求解集为
## 想一想
一元二次方程的解集中一定有两个元素吗?
$$
\{2,3\} \text {. }
$$
例 2 说明,如果一个一元二次方程可以通过因式分解化为
$$
\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)=0
$$
的形式,那么就能方便地得出原方程的解集了.
例 3 求关于 $x$ 的方程 $a x=2$ 的解集,其中 $a$ 是常数.
## 尝试与发现
能直接在等式 $a x=2$ 的两边同时除以 $a$,从而得到 $x=\frac{2}{a}$ 吗?为什么?
解当 $a \neq 0$ 时,在等式 $a x=2$ 的两边同时乘以 $\frac{1}{a}$,得 $x=\frac{2}{a}$,此时解集为 $\left\{\frac{2}{a}\right\}$.
当 $a=0$ 时,方程变为 $0 x=2$,这个方程无解,此时解集为 $\varnothing$.
综上,当 $a \neq 0$ 时,解集为 $\left\{\frac{2}{a}\right\}$;当 $a=0$ 时,解集为 $\varnothing$.
## 练习A
(1) 求下列方程的解集:
(1) $2-\frac{1}{2} x=\frac{1}{3} x+1$;(2) $\frac{2 x-1}{3}-\frac{3-x}{2}=\frac{1}{2}$;(3) $x^{2}+4 x+4=0$;(4) $x^{2}+7 x-8=0$.
(2) 利用十字相乘法分解因式:
(1) $x^{2}+3 x+2$;(2) $x^{2}+2 x-15$.
(3) 求方程 $(x+1)(x-1)(x-3)(x-5)=0$ 的解集.
(4) 求证：对任意的 $x,a,b$,都有 $(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b) x+a b$.
(5) 已知“任意 $t$ 和 $s$,都有 $t^{3}+s^{3}=(t+s)\left(t^{2}-t s+s^{2}\right)$ ” 是真命题,借助这个结论将 $t^{3}-m^{3}$ 进行因式分解.
## 练习B
(1) 将 $(a+b)^{3}$ 展开,并由此得到 $(a-b)^{3}$ 的展开式.
(2) 将 $(a+b+c)^{2}$ 展开,并由此得到 $(a-b-c)^{2}$ 的展开式.
(3) 利用十字相乘法分解因式:
(1) $x^{2}+(a+2) x+2 a$;(2) $x^{2}-(3+t) x+3 t$.
(4) 求关于 $x$ 的方程 $a x=x-1$ 的解集,其中 $a$ 是常数.
(5) 已知集合 $A=\left\{x \mid x^{2}-3 x+2=0\right\},B=\{x \mid a x=1\}$,若 $B \subseteq A$,求实数 $a$ 的值.
$1 a+c=b+c \quad 2 a c=b c \quad 3(a+b)(a-b) \quad 4 \quad x^{2}+2 x y+y^{2}$
5 (1) (2) (4) (6)
(3) (5)
$7(x+2)(x+3)$
$83 x=-6$
### 2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
## 1. 一元二次方程的解集
## 情境与问题
《九章算术》第九章“勾股” 问题二十：今有邑方 11 不知大小,各中开门. 出北门二十步有木,出南门一十四步,折而西行一千七百七十五步见木. 问邑方几何.
根据题中的描述可作出示意图,如图 2-1-3 所示,其中 $A$ 点代表北门,$B$ 处是木,$C$ 点代表南门,而且 $A B=20,C D=14,D E=1$
图 2-1-3
(1) 邑方: 正方形小城. 如果设正方形的边长为 $x$ 步,则有
$$
\begin{aligned}
& A F=\frac{x}{2},\\
& D B=20+x+14=x+34 .
\end{aligned}
$$
根据 $\triangle A B F \backsim \triangle D B E$ 可知 $\frac{A F}{D E}=\frac{A B}{D B}$,从而 $A F \cdot D B=A B \cdot D E$,因此
$$
\frac{x}{2}(x+34)=20 \times 1775,$$
整理得 $x^{2}+34 x-71000=0$. 你会解这个方程吗?
我们知道,形如
$$
a x^{2}+b x+c=0
$$
的方程为一元二次方程,其中 $a,b,c$ 是常数,且 $a \neq 0$.
从上一小节的内容可知,用因式分解法能得到一元二次方程的解集,但是用这种方法有时候并不容易,例如情境与问题中所得到的方程就是这种情形，此时该怎么办呢?
## 尝试与发现
你认为最简单的一元二次方程具有什么样的形式?可以怎样得到这种方程的解集?举例说明.
不难知道,如果一个一元二次方程可以化为
$$
x^{2}=t
$$
的形式，其中 $t$ 为常数,那么这个方程的解集 (1)是容易获得的.
例如,方程 $x^{2}=3$ 的解集为 $\{-\sqrt{3},\sqrt{3}\}$,方程 $x^{2}=0$ 的解集为 $\{0\}$,方程 $x^{2}=-2$ 的解集为 $\varnothing$.
一般地,方程 $x^{2}=t:$
（1）当 $t>0$ 时,解集为 2
（2）当 $t=0$ 时,解集为 3
（3）当 $t<0$ 时,解集为 4
更进一步,形如 $(x-k)^{2}=t$ (其中 $k,t$ 是常数) 的一元二次方程的解集也容易得到. 例如,由 $(x-1)^{2}=2$ 可知 $x-1=-\sqrt{2}$ 或 $x-1=\sqrt{2}$,从而
(1) 如不特别声明,本书中所说的一元二次方程的解均指的是实数解,下同. $x=1-\sqrt{2}$ 或 $x=1+\sqrt{2}$,因此解集为 $\{1-\sqrt{2},1+\sqrt{2}\}$.
一般地,方程 $(x-k)^{2}=t$ :
(1) 当 $t>0$ 时,解集为 5
(2) 当 $t=0$ 时,解集为 6
(3) 当 $t<0$ 时,解集为 7
因此,对于一般的一元二次方程来说,只需要将其化为 $(x-k)^{2}=t$ 的形式，就可得到方程的解集.
## 尝试与发现
怎样将 $x^{2}+2 x+3=0$ 化为 $(x-k)^{2}=t$ 的形式?动手试试看,并写出这个方程的解集.
我们知道，利用配方法可得
$$
x^{2}+2 x+3=x^{2}+2 x+1+2=(x+1)^{2}+2,$$
因此,$x^{2}+2 x+3=0$ 可以化为 $(x+1)^{2}=-2$,从而可知解集为 $\varnothing$.
事实上,利用配方法,总是可以将 $a x^{2}+b x+c=0(a \neq 0)$ 化为 $(x-k)^{2}=t$ 的形式,过程如下: 因为 $a \neq 0$,所以
$$
\begin{aligned}
& a x^{2}+b x+c=a\left(x^{2}+\frac{b}{a} x\right)+c \\
& =a\left[x^{2}+\frac{b}{a} x+\left(\frac{b}{2 a}\right)^{2}-\left(\frac{b}{2 a}\right)^{2}\right]+c \\
& =a\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^{2}-\frac{b^{2}}{4 a}+c
\end{aligned}
$$
因此 $a x^{2}+b x+c=0$ 可以化为
$$
\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^{2}=\frac{9}{4 a^{2}} .
$$
从而可知,$\Delta=b^{2}-4 a c$ 的符号情况决定了上述方程的解集情况:
(1) 当 $\Delta=b^{2}-4 a c>0$ 时,方程的解集为
$$
\left\{\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a},\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\right\} \text {;}
$$
(2) 当 $\Delta=b^{2}-4 a c=0$ 时,方程的解集为 $\left\{-\frac{b}{2 a}\right\}$;
(3) 当 $\Delta=b^{2}-4 a c<0$ 时,方程的解集为 $\varnothing$.
一般地,$\Delta=b^{2}-4 a c$ 称为一元二次方程 $a x^{2}+b x+c=0 \quad(a \neq 0)$ 的判别式. 由此可知,一元二次方程解集的情况完全由它的系数决定.
前述情境与问题中的方程可以化为 $(x+17)^{2}=71289$,从而可解得 $x=250$ 或 $x=-284$ (舍).
例 1 求方程 $x-2 \sqrt{x}-1=0$ 的解集.
分析这不是一个一元二次方程,但是通过把 $\sqrt{x}$ 看成一个整体就可以转化为一个一元二次方程.
解设 $\sqrt{x}=y$,则 $y \geqslant 0$,且原方程可变为
$$
y^{2}-2 y-1=0,$$
因此可知 $y=1+\sqrt{2}$ 或 $y=1-\sqrt{2}$ (舍).
从而 $\sqrt{x}=1+\sqrt{2}$,即 $x=3+2 \sqrt{2}$,所以原方程的解集为 $\{3+2 \sqrt{2}\}$.
## 2. 一元二次方程根与系数的关系
我们知道,当一元二次方程 $a x^{2}+b x+c=0 \quad(a \neq 0)$ 的解集不是空集时,这个方程的解可以记为
$$
x_{1}=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a},x_{2}=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \mathbb{1} .
$$
## 尝试与发现
计算 $x_{1}+x_{2}$ 和 $x_{1} x_{2}$ 的值，并填空:
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2}=10 \\
x_{1} x_{2}=11
\end{array}\right.
$$
这一结论通常称为一元二次方程根与系数的关系.
例 2 已知一元二次方程 $2 x^{2}+3 x-4=0$ 的两根为 $x_{1}$ 与 $x_{2}$,求下列各式的值:
(1) $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$;(2) $\left|x_{1}-x_{2}\right|$.
## 尝试与发现
求出 $x_{1}$ 和 $x_{2}$,并由此给出上述 (1) 和 (2) 的答案.
解由一元二次方程根与系数的关系，得
(1) 当 $\Delta=0$ 时,$x_{1}=x_{2}$,按照初中的习惯,我们仍称方程有两个相等的实数根.
$$
x_{1}+x_{2}=-\frac{3}{2},x_{1} x_{2}=-2
$$
(1) 由上有
$$
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-2 x_{1} x_{2}=\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}-2 \times(-2)=\frac{25}{4} \text {. }
$$
（2）因为
$$
\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-4 x_{1} x_{2}=\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}-4 \times(-2)=\frac{41}{4} \text {,}
$$
所以
$$
\left|x_{1}-x_{2}\right|=\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{41}}{2}
$$
## 练习A
(1) 已知 $A=\left\{x \mid x^{2}-16=0\right\},B=\left\{x \mid x^{2}-x-12=0\right\}$,求 $A \cap B,A \cup B$.
(2) 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}-3 m x+1=0$ 有两个相等的实数根,求实数 $m$ 的取值集合.
(3) 求下列方程的解集:
(1) $2 x^{4}-7 x^{2}+3=0$;(2) $\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x}-1=0$.
## 练习B
(1) 已知关于 $x$ 的方程 $m x^{2}-3 x+1=0$ 的解集为空集,求实数 $m$ 的取值范围.
(2) 已知方程 $x^{2}-2 \sqrt{2} x+1=0$ 的两根为 $x_{1}$ 与 $x_{2}$,求下列各式的值:
(1) $x_{1}^{2} x_{2}+x_{1} x_{2}^{2}$;(2) $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$.
(3) 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}-2 x+m-1=0$ 的两根同号,求实数 $m$ 的取值范围.
(4) 求关于 $x$ 的方程 $x^{2}+a=0$ 的解集.
(5)《九章算术》第九章“勾股” 问题十二: 今有户伒不知高、广,竿不知长、短. 横之不出四尺，从 ${ }^{(2)}$ 之不出二尺，邪之适出. 问户高、广、邪 ${ }^{(3)}$ 各几何.
$11775 \quad 2\{-\sqrt{t},\sqrt{t}\} \quad 3 \quad\{0\} \quad 4 \quad \varnothing \quad 5 k-\sqrt{t},k+\sqrt{t}\}$
$6\{k\}$
$7 \varnothing \quad 84 a c-b^{2}$
$9 b^{2}-4 a c$
$10-\frac{b}{a}$
$11 \frac{c}{a}$
(1) 户: 门.
(2) 从: 通“纵”.
(3) 邪: 指门的对角线长.
### 3 方程组的解集
## 1. 方程组的解集
## 尝试与发现
将 $x-y=1$ 看成含有两个末知数 $x,y$ 的方程:
（1） 判断 $(x,y)=(3,2)$ （指的是 $\left\{\begin{array}{l}x=3,\\ y=2,\end{array}\right.$ 下同）是否是这个方程的解;
（2）判断这个方程的解集是有限集还是无限集.
因为 $3-2=1$,所以 $(x,y)=(3,2)$ 是方程 $x-y=1$ 的解,而且方程 $x-y=1$ 的解集是无限集.
我们知道,
$$
\left\{\begin{array}{l}
x-y=1 \\
x+y=3
\end{array}\right.
$$
是一个方程组,而且通过(1)+(2)可以消去 $y$,得到 $x=2$;(2)一(1)可以消去 $x$，得到 $y=1$,从而得出这个方程组的解为 $(x,y)=(2,1)$.
一般地,将多个方程联立,就能得到方程组. 方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集.
因此,方程组 $\left\{\begin{array}{l}x-y=1,\\ x+y=3\end{array}\right.$ 的解集是
$$
\{(x,y) \mid x-y=1\} \bigcap\{(x,y) \mid x+y=3\}=\{(2,1)\} .
$$
由上可以看出,求方程组解集的过程要不断应用等式的性质,常用的方法是以前学过的消元法.
## 情境与问题
《九章算术》第八章“方程”问题一：今有上禾 ${ }^{(1)}$ 三来 ${ }^{(2)}$，中禾二来，下禾一来，实三十九斗 ${ }^{3}$;上禾二秉,中禾三秉,下禾一秉,实三十四斗；上禾一来,中禾二秉,下禾三秉,实二十六斗. 问上、中、下禾实一秉各几何.
请列方程组求解这个问题.
(1) 禾: 粮食作物的总称.
(2) 秉: 束.
(3) 斗: 计量单位,1 斗 $=10$ 升.
设上禾实一秉 $x$ 斗,中禾实一秉 $y$ 斗,下禾实一秉 $z$ 斗,根据题意,可列方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
3 x+2 y+z=39,\\
1 \\
2
\end{array} .\right.
$$
由此可解得这个方程组的解集为 3
## 拓展阅读
## 《九章算术》中的代数成就简介
《九章算术》是中国古典数学最重要的著作,全书分为九章,共 246 个问题,包含了算术、代数、几何等多方面的成就.
代数方面《九章算术》的第八章为“方程”,但指的是一次方程组,情境与问题中的题是其中的第一个问题.《九章算术》给出了解这个问题的“方程术”，其实质是将方程中末知数的系数与最后的常数项排成长方形的形式,然后采用“遍乘直除” 的算法来解，过程可表示如下.
$\begin{array}{llllllllllllll}12 & 3 & 26 & 0 & 4 & 8 & 39 & 0 & 0 & 4 & 11 & 0 & 0 & 4\end{array} 11$
其中第一步是将第二行的数乘以 3,然后不断地减去第一行,直到第一个数变为 0 为止,然后对第三行做同样的操作,其余的步取都类似. 不难看出，“遍乘直除”的目的在于消元. 按照我国著名数学史专家李文林先生的说法,《九章算术》的方程术,是世界数学史上的一颗明珠.
《九章算术》在代数方面的另一项成就是引进了负数,在用“方程术” 解方程组时,可能出现减数大于被减数的情形,为此,《九章算术》给出了“正负术”,即正负数的加减运算法则.
另外,“开方术”也是《九章算术》的代数成就之一,其实质是给出了一元二次方程 $a x^{2}+b x+c=0 \quad(a \neq 0)$ 的数值求解步聚. 而且,“开方术” 中还提到: 若开之不尽者,为不可开. 这是意识到了无理数的存在.
你知道其他地区类似的代数成就出现的时间吗?感兴趣的同学请查阅有关书籍或网络进行了解吧！
## 尝试与发现
设方程组 $\left\{\begin{array}{l}x-y+z=1,\\ x+y-3 z=5\end{array}\right.$ 的解集为 $A$. 判断 $(x,y,z)=(3,2,0)$ 和 $(x,y$,$z)=(4,4,1)$ 是否是集合 $A$ 中的元素;判断 $A$ 是一个有限集还是一个无限集.
$(x,y,z)=(3,2,0)$ 和 $(x,y,z)=(4,4,1)$ 均为上述方程组的解,而且,如果我们将 $z$ 看成已知数,就可以解得
$$
x=z+3,y=2 z+2,$$
这样一来,方程组的解集可以写成
$$
A=\{(x,y,z) \mid x=z+3,y=2 z+2,z \in \mathbf{R}\} .
$$
不难看出,这个集合含有无限多个元素,是一个无限集.
这说明,当方程组中末知数的个数大于方程的个数时,方程组的解集可能含有无穷多个元素. 此时,如果将其中一些末知数看成常数,那么其他末知数往往能用这些末知数表示出来.
例 1 求方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x^{2}+y^{2}=5 \\
y=x+1
\end{array}\right.
$$
的解集.
解将(4)代人 (3),整理得 $x^{2}+x-2=0$,解得 $x=1$ 或 $x=-2$.
利用(4)可知,$x=1$ 时,$y=2;x=-2$ 时，$y=-1$.
所以原方程组的解集为
$$
\{(1,2),(-2,-1)\} .
$$
例 2 求方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x^{2}+y^{2}=2,\\
(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=1
\end{array}\right.
$$
的解集.
## 尝试与发现
观察方程组中两个方程之间的联系,给出消元的方案.
解由(5)一(6)，整理得
$$
x+2 y-3=0 .
$$
由(7)解得 $x=3-2 y$. 代人(5),并整理,得 4
，解得
利用(7)可知，6
因此,原方程组的解集为 $\left\{(1,1),\left(\frac{1}{5},\frac{7}{5}\right)\right\}$.
## 口2. 用信息技术求方程和方程组的解集
利用计算机软件可以迅速求出方程和方程组的解集. 在动态数学软件 GeoGebra 11 中的“运算区” 用 solve 命令,就可以得到方程和方程组的解集信息.
图 2-1-4 所示是求解示例,其中第 2 个示例中的“\{\} ” 表示解集为空集，即不存在实数解;第 5 个示例表示将 $x,y$ 看成末知数,求解方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x-y+z=1 \\
x+y-3 z=5
\end{array}\right.
$$
其他结果请读者自行尝试与解读.
图 2-1-4
## 练习A
(1) 求下列方程组的解集:
(1) $\left\{\begin{array}{l}2 x+y=0 \\ 3 x-2 y=14\end{array}\right.$
(2) $\left\{\begin{array}{l}2(x-3 y)+1=0,\\ \frac{3 x-1}{2}-5 y=3 .\end{array}\right.$
(2) 已知 $A=\{(x,y) \mid x+y=6\},B=\{(x,y) \mid x-2 y=0\}$,求 $A \cap B$.
(3) 求下列方程组的解集:
(1) $\left\{\begin{array}{l}x+y=3,\\ y+z=4,\\ z+x=5;\end{array}\right.$
(2) $\left\{\begin{array}{l}3 x+y-2 z=2,\\ 2 y+3 z=0,\\ 2 x-y+z=11 .\end{array}\right.$
(4) 今有人合伙买羊,每人出 5 钱,差 45 钱;每人出 7 钱,差 3 钱. 问合伙人数、羊价各是多少 (选自《九章算术》).
5《毛诗》《春秋》《周易》书,九十四册共无余,《毛诗》一册三人读,《春秋》一册四人呼,《周易》五人读一本,要分每样几多书 (选自《算法统宗》)?
## 练习B
(1) 已知 $A=\{(x,y) \mid a x+y=2\},B=\{(x,y) \mid x+b y=3\}$,且 $A \cap B=\{(1,1)\}$,求 $a,b$ 的值.
(1) GeoGebra 是一个开源软件,可以免费下载、使用,软件的用法以及相关课件的下载,请参考本书的教师教学用书或本套教材的官方配套资源网站.
(2) 求下列方程组的解集:
(1) $\left\{\begin{array}{l}y^{2}+2 x=0,\\ x-3 y-\frac{5}{2}=0;\end{array}\right.$
(2) $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=13,\\ x-2 y=1;\end{array}\right.$
(3) $\left\{\begin{array}{l}3 x^{2}+4 y^{2}=12,\\ x-2 y+2=0\end{array}\right.$
(3) 某校新成立 $\mathrm{A},\mathrm{B}$ 两个社团，第一年社团成员数相同,以后每年 $\mathrm{A}$ 社团以相同的增长率招收新成员,而 $\mathrm{B}$ 社团每年都招收第一年成员数的 $80 \%$. 已知第二年 $\mathrm{A},\mathrm{B}$ 两个社团成员数之和为 310,第三年 $\mathrm{A}$ 社团成员数是 $\mathrm{B}$ 社团成员数的 0.65 倍. 试求 $\mathrm{A}$ 社团成员数的增长率及 $\mathrm{B}$ 社团每年招收的成员数.
(4) 甲同学买 5 个练习本、2 个活页夹、8 支签字笔共用去 52 元,乙同学买同样的 3 个练习本、4 个活页夹、2 支签字笔共用去 48 元. 求活页夹的单价与签字笔的单价之差.
(5) 你知道吗?配平化学方程式其实可以通过解方程组来完成. 例如,$\mathrm{Mg}$ 在 $\mathrm{O}_{2}$ 中燃烧生成 $\mathrm{MgO}$,可以设方程式为
$$
x \mathrm{Mg}+y \mathrm{O}_{2} \stackrel{\text { 点燃 }}{=} z \mathrm{MgO} \text {,}
$$
其中 $x,y,z$ 均为正整数,且它们的最大公约数为 1 . 由方程式两边的同种原子数目相等可得
$$
\left\{\begin{array}{l}
x=z \\
2 y=z .
\end{array}\right.
$$
令 $y=1$,则 $z=2,x=2$. 因此,配平后的化学方程式为
$$
2 \mathrm{Mg}+\mathrm{O}_{2} \stackrel{\text { 点然 }}{=} 2 \mathrm{MgO}
$$
用这种方法配平化学方程式
$$
\text { ( ) } \mathrm{Fe}+(\quad) \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}(\mathrm{g}) \stackrel{\text { 高温 }}{=}\left(\quad \mathrm{Fe}_{3} \mathrm{O}_{4}+(\quad) \mathrm{H}_{2}\right. \text {. }
$$
$12 x+3 y+z=34 \quad 2 x+2 y+3 z=26 \quad 3\left\{\left(\frac{37}{4},\frac{17}{4},\frac{11}{4}\right)\right\}$
$45 y^{2}-12 y+7=0 \quad 5 \quad y=1$ 或 $y=\frac{7}{5} \quad 6 \quad y=1$ 时,$x=1;y=\frac{7}{5}$ 时,$x=\frac{1}{5}$
## 习题2-1A
1) 下列等式中,哪些是恒等式?(1) $a+b=b+a$;(2) $(a+b)+c=a+(b+c)$;(3) $(x+2 y)^{2}=x^{2}+4 y^{2}$;(4) $x^{2}-2 y^{2}=(x-\sqrt{2} y)(x+\sqrt{2} y)$.
(2) 求方程 $\frac{2(x-1)}{3}+\frac{1-3 x}{2}=2$ 的解集. (3) 求下列方程的解集:
(1) $2 x^{2}-9=0$;(2) $(x+1)^{2}+2=0$;(3) $(x+1)(x-2)=0$;(4) $x^{2}=2 x$.
(4) 判定集合 $A=\left\{x \mid x^{2}-3 x+2=0\right\}$ 和 $B=\{1,2，3，4，5\}$ 之间的关系.
(5) 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}+b x+c=0$ 的两根之和为 3,两根之积为 2,求 $b,c$ 的值.
(6) 求下列方程组的解集:
(1) $\left\{\begin{array}{l}x+2 y=4 \\ 2 x-3 y=5\end{array}\right.$
(2) $\left\{\begin{array}{l}3 x+2 y=4 \\ 4 x-3 y=3\end{array}\right.$
(7) 某店家经销甲、乙两件商品，国庆节期间,甲商品的利润率为 $10 \%$,乙商品的利润率为 $8 \%$,两件商品共可获利 150 元；国庆节后,甲商品的利润率为 $15 \%，乙$ 商品的利润率为 $10 \%$，两件商品共可获利 200 元. 问两件商品的进价分别是多少元.
(8) 现用一根铁丝恰好可做成一个高为 $10 \mathrm{~cm}$ 的长方体框架,而且长方体的体积为 $1800 \mathrm{~cm}^{3}$,表面积为 $900 \mathrm{~cm}^{2}$,求铁丝的长度.
## 习题2-1B
(1) 求方程 $(x+2)(x-3)\left(x^{2}-x+2\right)=0$ 的解集.
(2) 写出 $(a+2 b)^{3}$ 和 $(a-2 b)^{3}$ 的展开式.
(3) 求方程 $\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}=\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}$ 的解集.
(4) 已知集合 $A=\{-2\},B=\left\{x \mid x^{2}+2 x+a-1=0\right\}$,且 $A \cap B=B$,求所有满足条件的实数 $a$ 组成的集合.
(5) 若关于 $x$ 的方程 $\frac{1}{x-1}=1+\frac{k}{x-1}$ 的解集是空集,求 $k$ 的值.
(6) 求下列方程的解集:
(1) $x^{2}+x-1=0$;(2) $-2 x^{2}+2 x-1=0$;(3) $(x+1)^{3}-x^{3}=0$.
(7) 求下列方程的解集:
(1) $6 x^{4}-17 x^{2}+12=0$;(2) $2 x^{3}-x^{2}-6 x=0$
(8) 甲、乙两位同学求方程组 $\left\{\begin{array}{l}m x+y=5,\\ 2 x-n y=13\end{array}\right.$ 的解集 $A$ 时,甲因看错了 $m$ 解得 $A=$ $\left\{\left(\frac{7}{2},-2\right)\right\}$,乙因看错了 $n$ 解得 $A=\{(3,-7)\}$,求 $m,n$ 的值. (9) 求下列方程组的解集:
(1) $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+2 y^{2}=3 \\ 2 x-3 y=5\end{array}\right.$
(2) $\left\{\begin{array}{l}x^{2}-4 y^{2}=15 \\ x+2 y=5\end{array}\right.$
(10) 已知 $a c \neq 0$,关于 $x$ 的方程 $a x^{2}+b x+c=0$ 的两根之和为 2,两根之积为 $\frac{3}{4}$.
(1) 求关于 $x$ 的方程 $c x^{2}+b x+a=0$ 的两根之和与两根之积;
(2) 求关于 $x$ 的方程 $c x^{2}-b x+a=0$ 的两根之和与两根之积.
(11) 当 $k$ 为何值时,关于 $x$ 的方程 $\frac{x}{x-1}=\frac{k-2 x}{x^{2}-x}$ 的解集中只含有一个元素?
(12) 已知方程 $x^{2}-3 x+1=0$ 的两根为 $x_{1}$ 与 $x_{2}$,求下列各式的值:
(1) $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}$;(2) $\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}$.
(13) 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}+2(m-2) x+m^{2}+4=0$ 有实数根,并且两根的平方和比两根之积大 21,求实数 $m$ 的值.
(1) 求方程 $\left(x^{2}+x\right)^{2}+x^{2}+x=30$ 的解集.
(2) 已知 $\left\{\begin{array}{l}3 x-y-z=0,\\ 2 x+y-z=0,\end{array}\right.$ 求 $\frac{x^{2}+y^{2}}{(x+y) z}$ 的值.
(3) 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}-2(k+1) x+k^{2}-2=0$ 的两根为 $x_{1}$ 与 $x_{2}$,若 $\left|x_{1}\right|=$ $\left|x_{2}\right|$,求实数 $k$ 的值.
(4) 求关于 $x$ 的方程 $a x=b$ 的解集,其中 $a,b$ 是常数.
(5) 求关于 $x$ 的方程 $x^{2}+a x+1=0$ 的解集,其中 $a$ 是常数.
## 2 不等式
### 1 不等式及其性质
## 情境与问题
你见过图 2-2-1 中的高速公路指示牌吗?左边的指示牌是指对应的车道只能供小客车行驶,而且小客车的速率 $v_{1}$ (单位: $\mathrm{km} / \mathrm{h}$,下同) 应该满足
$$
100 \leqslant v_{1} \leqslant 120;$$
右边的指示牌是指对应的车道可供客车和货车行驶,而且车的速率 $v_{2}$ 应该满足
客化栆 Carriage Way 60
图 2-2-1
在现实世界里,量与量之间的不等关系是普遍的,不等式是刻画不等关系的工具. 我们用数学符号 $" \neq ” ">\gg * " \cdots \geqslant ” " \leqslant "$ 连接两个数或代数式,以表示它们之间的不等关系,含有这些不等号的式子,称为不等式.
意给定两个实数 $a,b$，那么
$$
\begin{aligned}
& a \geqslant b \Leftrightarrow a>b \text { 或 } a=b,\\
& a \leqslant b \Leftrightarrow 2
\end{aligned}
$$
怎样理解两个实数之间的大小呢?
我们已经知道,实数与数轴上的点一一对应,即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数. 一般地,如果点 $P$ 对应的数为 $x$,则称 $x$ 为点 $P$ 的坐标,并记作 $P(x)$.
另外,数轴上的点往数轴的正方向运动时,它所对应的实数会变大,这就是说,两个数在数轴上对应的点的相对位置决定了这两个数的大小. 如图 2-2-2 所示的数轴中,$A(a),B(b)$,不难看出
$$
b>1>0>a \text {. }
$$
图 2-2-2
此外,我们也知道,一个数加上一个正数,相当于数轴上对应的点向正方向移动了一段距离;一个数减去一个正数（即加上一个负数),相当于数轴上对应的点向负方向移动了一段距离. 由此可以看出,要比较两个实数 $a,b$ 的大小，只要考察 $a-b$ 与 0 的相对大小就可以了，即
$$
\begin{aligned}
& a-b<0 \Leftrightarrow a<b,\\
& a-b=0 \Leftrightarrow a=b,\\
& a-b>0 \Leftrightarrow a>b .
\end{aligned}
$$
初中的时候,我们就已经归纳出了不等式的三个性质:
性质 1 如果 $a>b$,那么 $a+c>b+c$.
性质 2 如果 $a>b,c>0$,那么 $a c>b c$.
性质 3 如果 $a>b,c<0$,那么 $a c<b c$.
## 尝试与发现
你能利用前面的知识,给出性质 1 的直观理解以及这三个性质的证明吗?
事实上,如图 2-2-3 所示,$a>b$ 是指点 $A$ 在点 $B$ 的右侧,$a+c$ 和 $b+c$ 表示点 $A$ 和点 $B$ 在数轴上做了相同的平移,平移后得到的点 $A^{\prime}$ 和 $B^{\prime}$ 的相对位置,与 $A$ 和 $B$ 的相对位置是一样的,因此 $a+c>b+c$.
图 2-2-3
性质 1 可以用如下方式证明：因为
$$
(a+c)-(b+c)=a+c-b-c=a-b,$$
又因为 $a>b$,所以 $a-b>0$,从而
$$
(a+c)-(b+c)>0,$$
因此 $a+c>b+c$.
性质 2 可以用类似的方法证明：因为
$$
a c-b c=(a-b) c,$$
又因为 $a>b$,所以 $a-b>0$,而 $c>0$,因此
$$
(a-b) c>0
$$
因此 $a c-b c>0$,即 $a c>b c$.
性质 3 的证明留作练习.
## 尝试与发现
用“充分不必要”“必要不充分”“充要”填空：(1) $a>b$ 是 $a+c>b+c$ 的 3
条件；（2）如果 $c>0$，则 $a>b$ 是 $a c>b c$ 的 4
条件；(3) 如果 $c<0$,则 $a>b$ 是 $a c<b c$ 的 5 条件.
在不等式的证明与求解中,我们还经常用到以下不等式的性质.
性质 4 如果 $a>b,b>c$,那么 $a>c$.
直观上,如图 2-2-4 所示,点 $A$ 在点 $B$ 的右侧,点 $B$ 在点 $C$ 的右侧,因此点 $A$ 必定在点 $C$ 的右侧.
图 2-2-4
证明因为
$$
a-c=(a-b)+(b-c),$$
又因为 $a>b$,所以 $a-b>0$;且 $b>c$,所以 $b-c>0$,因此
$$
(a-b)+(b-c)>0 \text {,}
$$
从而 $a-c>0$,即 $a>c$.
性质 4 通常称为不等关系的传递性. 我们前面在判断 $x^{2}>-1$ 等类似命题的真假时就用过不等关系的传递性.
性质 $5 \quad a>b \Leftrightarrow b<a$.
这只要利用 $a-b=-(b-a)$ 就可以证明，请读者自行尝试.
另外,值得注意的是,上述不等式性质对任意满足条件的实数都成立,因此我们可以用任意满足条件的式子去代替其中的字母.
例 1 比较 $x^{2}-x$ 和 $x-2$ 的大小.
解因为
$$
\left(x^{2}-x\right)-(x-2)=x^{2}-2 x+2=(x-1)^{2}+1 \text {,}
$$
又因为 $(x-1)^{2} \geqslant 0$,所以 $(x-1)^{2}+1 \geqslant 1>0$,从而
$$
\left(x^{2}-x\right)-(x-2)>0 \text {,}
$$
因此 $x^{2}-x>x-2$. 例 1 的证明中用了配方法,这种方法经常用于式子变形,大家应熟练掌握.
需要注意的是,前面我们证明不等式性质和解答例 1 的方法,其实质都是通过比较两式之差的符号来判断两式的大小,这种方法通常称为作差法. 在证明不等式时,当然也可直接利用已经证明过的不等式性质等. 从已知条件出发,综合利用各种结果,经过逐步推导最后得到结论的方法,在数学中通常称为综合法. 下面我们用综合法来得出几个常用的不等式性质的推论.
推论 1 如果 $a+b>c$,那么 $a>c-b$.
证明 $a+b>c \Rightarrow a+b+(-b)>c+(-b) \Rightarrow a>c-b$.
推论 1 表明,不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后,从不等式的一边移到另一边. 推论 1 通常称为不等式的移项法则.
推论 2 如果 $a>b,c>d$,那么 $a+c>b+d$.
证明根据性质 1 有
$$
\begin{aligned}
& a>b \Rightarrow a+c>b+c,\\
& c>d \Rightarrow b+c>b+d,\end{aligned}
$$
再根据性质 4 可知
$$
a+c>b+d .
$$
我们把 $a>b$ 和 $c>d$ (或 $a<b$ 和 $c<d$ ) 这类不等号方向相同的不等式,称为同向不等式. 推论 2 说明,两个同向不等式的两边分别相加,所得到的不等式与原不等式同向. 很明显,推论 2 可以推广为更一般的结论:
有限个同向不等式的两边分别相加,所得到的不等式与原不等式同向.
推论 3 如果 $a>b>0,c>d>0$,那么 $a c>b d$.
证明根据性质 2 有
$$
\begin{aligned}
& a>b,c>0 \Rightarrow a c>b c,\\
& c>d,b>0 \Rightarrow b c>b d,\end{aligned}
$$
再根据性质 4 可知
$$
a c>b d
$$
很明显,这个推论也可以推广为更一般的结论:
几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘,所得到的不等式与原不等式同向.
推论 4 如果 $a>b>0$,那么 $a^{n}>b^{n} \quad(n \in \mathbf{N},n>1)$.
这个结论的证明只要多次使用推论 3 的结论即可.
推论 5 如果 $a>b>0$,那么 $\sqrt{a}>\sqrt{b}$.
证明假设 $\sqrt{a} \leqslant \sqrt{b}$,即
$$
\sqrt{a}<\sqrt{b} \text { 或 } \sqrt{a}=\sqrt{b}，$$
根据推论 4 和二次根式的性质,得
$$
a<b \text { 或 } a=b \text {. }
$$
这都与 $a>b$ 矛盾,因此假设不成立,从而 $\sqrt{a}>\sqrt{b}$.
## 蛭试与呅现
证明推论 5 中不等式的方法具有什么特征?
可以看出,推论 5 中证明方法的实质是：首先假设结论的否定成立,然后由此进行推理得到矛盾,最后得出假设不成立. 这种得到数学结论的方法通常称为反证法,反证法是一种间接证明的方法.
例 2 (1) 已知 $a>b,c<d$,求证：$a-c>b-d$;
(2) 已知 $a>b,a b>0$,求证: $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$;
(3) 已知 $a>b>0,0<c<d$,求证: $\frac{a}{c}>\frac{b}{d}$.
证明 (1) 因为 $a>b,c<d$,所以
$$
a>b,-c>-d
$$
根据推论 2,得
$$
a-c>b-d
$$
（2）因为 $a b>0$,所以 $\frac{1}{a b}>0$.
又因为 $a>b$,所以
$$
a \cdot \frac{1}{a b}>b \cdot \frac{1}{a b}
$$
即 $\frac{1}{b}>\frac{1}{a}$,因此 $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$.
(3) 因为 $0<c<d$,根据 (2) 的结论,得
$$
\frac{1}{c}>\frac{1}{d}>0 \text {. }
$$
又因为 $a>b>0$,所以根据推论 3 可知
$$
a \cdot \frac{1}{c}>b \cdot \frac{1}{d}
$$
即 $\frac{a}{c}>\frac{b}{d}$.
可以看出,例 2 中所使用的方法是综合法. 综合法中，最重要的推理形式为 $p \Rightarrow q$,其中 $p$ 是已知或者已经得出的结论,所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论.
## 尝试与发现
你能证明 $\sqrt{3}+\sqrt{7}<2 \sqrt{5}$ 吗?用综合法证明这个结论方便吗?你觉得可以怎样证明这个结论?
直接证明 $\sqrt{3}+\sqrt{7}<2 \sqrt{5}$ 并不容易,因此可以考虑用反证法,请同学们自行尝试. 不过,为了方便起见,人们通常用下述方式来证明这个结论:
要证 $\sqrt{3}+\sqrt{7}<2 \sqrt{5}$,只需证明
$$
(\sqrt{3}+\sqrt{7})^{2}<(2 \sqrt{5})^{2},$$
展开得 $10+2 \sqrt{21}<20$,即 $\sqrt{21}<5$,这只需证明
$$
(\sqrt{21})^{2}<5^{2}
$$
即 $21<25$. 因为 $21<25$ 成立,所以 $\sqrt{3}+\sqrt{7}<2 \sqrt{5}$ 成立.
上述这种证明方法通常称为分析法. 分析法中,最重要的推理形式是“要证 $p$,只需证明 $q$ ”,这可以表示为 $p \Leftarrow q$,其中 $p$ 是需要证明的结论,所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件. $\sqrt{3}+\sqrt{7}<2 \sqrt{5}$ 的证明过程也可简写为: 因为
$$
\sqrt{3}+\sqrt{7}<2 \sqrt{5} \Leftarrow(\sqrt{3}+\sqrt{7})^{2}<(2 \sqrt{5})^{2} \Leftarrow \sqrt{21}<5 \Leftarrow 21<25,$$
又因为 $21<25$ 成立,所以结论成立.
例 3 已知 $m>0$,求证: $\frac{1+m}{3+m}>\frac{1}{3}$.
证明因为 $m>0$,所以 $3+m>0$,从而
$$
\frac{1+m}{3+m}>\frac{1}{3} \Leftarrow 3(1+m)>3+m \Leftarrow m>0,$$
又因为已知 $m>0$,所以结论成立.
## 练习A
(1) 正文中不等式的性质和推论,如果都加上等号,结论仍然成立吗?把成立的结论重新叙述一遍.
(2) 判断下列命题的真假:
(1) 当 $x=3$ 时,$x \geqslant 3$;(2) 当 $x \geqslant 3$ 时,$x=3$;(3) 当 $x \geqslant 3$ 且 $x \leqslant 3$ 时,$x=3$. (3) 用 ">” 或“<" 填空:
(1) $x+5 \quad x+2$;(2) $a<b \Rightarrow 3 a$ $3 b$;(3) $a<b \Rightarrow-5 a$ $-5 b$;（4）当 $c$ 0 时,$a>b \Rightarrow a c<b c$;(5) $a>b \Rightarrow a-1$ $b-2$;(6) $a>b>0,c<d<0 \Rightarrow a c$ $b d$.
(4) 求证: 如果 $a>b,c<0$,那么 $a c<b c$.
(5) 用反证法证明 $\sqrt{6}-\sqrt{5}<2-\sqrt{3}$.
## 练习 $\mathrm{B}$
(1) 利用正比例函数给出不等式性质 2 和性质 3 的直观解释.
(2) 用 ">” 或“<" 填空:
(1) $a>b>0 \Rightarrow a^{2}$ $b^{2}$
(2) $a<b<0 \Rightarrow a^{2}$ $b^{2}$
(3) $\frac{b}{a}>\frac{d}{c},a c<0 \Rightarrow a d$ $b c$
(4) $a<b<0 \Rightarrow \frac{b}{a}$
(5) $a<b<0 \Rightarrow \frac{1}{a}-\frac{1}{b}$
(6) $a<0<b \Rightarrow \frac{1}{a} \frac{1}{b}$.
(3) 证明 $a^{2}+9 b^{2} \geqslant 6 a b$,并说明等号成立的条件.
(4) 已知 $a,b,m$ 都是正实数,$b>a$,求证: $\frac{a+m}{b+m}>\frac{a}{b}$.
$160 \leqslant v_{2} \leqslant 100$
$2 a<b$ 或 $a=b$
3 充要
### 2 不等式的解集
## 1. 不等式的解集与不等式组的解集
从初中数学中我们已经知道,能够使不等式成立的末知数的值称为不等式的解,解不等式的过程中要不断地使用不等式的性质.
一般地,不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集. 对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说,这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集. 例 1 求不等式组
$$
\left\{\begin{array}{l}
2 x+1 \geqslant-9 \\
\frac{x}{3}-2>2 x+3
\end{array}\right.
$$
的解集.
(1)式两边同时加上-1，得
$$
2 x \geqslant-10
$$
这个不等式两边同时乘以 $\frac{1}{2}$,得 $x \geqslant-5$,因此(1)的解集为 $[-5,+\infty)$.
类似地,可得(2)的解集为 1
又因为
$$
[-5,+\infty) \bigcap(-\infty,-3)=[-5,-3) \text {,}
$$
所以原不等式组的解集为 $[-5,-3)$.
## 2. 绝对值不等式
我们知道,数轴上表示数 $a$ 的点与原点的距离称为数 $a$ 的绝对值,记作 $|a|$. 而且: 一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0 的绝对值是 0 .
一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式. 例如，
$$
|x|>3,|x-1| \leqslant 2
$$
都是绝对值不等式.
## 尝试与发现
（1）你能给出 $|x|>3$ 的解集吗?(2) 试总结出 $m>0$ 时,关于 $x$ 的不等式 $|x|>m$ 和 $|x| \leqslant m$ 的解集.
根据绝对值的定义可知,$|x|>3$ 等价于
$$
\left\{\begin{array} { l }
{ x \geqslant 0,} \\
{ x > 3 }
\end{array} \text { 或 } \left\{\begin{array}{l}
x<0,\\
-x>3,\end{array}\right.\right.
$$
即 $x>3$ 或 $x<-3$,因此 $|x|>3$ 的解集为
$$
(-\infty,-3) \cup(3,+\infty) \text {. }
$$
不等式 $|x|>3$ 的解集也可由绝对值的几何意义得到：因为 $|x|$ 是数轴上表示数 $x$ 的点与原点的距离,所以数轴上与原点的距离大于 3 的点对应的所有数组成的集合就是 $|x|>3$ 的解集,从而由图 2-2-5 可知所求解集为 $(-\infty,-3) \cup(3,+\infty)$
图 2-2-5
用类似方法可知,当 $m>0$ 时，关于 $x$ 的不等式 $|x|>m$ 的解为 $x>m$ 或 $x<-m$,因此解集为
$$
(-\infty,-m) \cup(m,+\infty);$$
关于 $x$ 的不等式 $|x| \leqslant m$ 的解为 $-m \leqslant x \leqslant m$，因此解集为
2
## 尝试与发现
你能给出 $|a-1| \leqslant 2$ 的解集吗?
如果将 $a-1$ 当成一个整体,比如令 $x=a-1$,则
$$
|a-1| \leqslant 2 \Leftrightarrow|x| \leqslant 2
$$
因此 $|a-1| \leqslant 2$ 的解集可以通过求解 $|x| \leqslant 2$ 得到,请读者自行尝试.
下面我们来探讨 $|a-1|$ 的几何意义，并由此得出不等式 $|a-1| \leqslant 2$ 的解集.
## 尝试与发现
任意给出几个 $a$ 的值,求出对应的 $|a-1|$ 的值,并借助数轴考虑 $|a-1|$ 的几何意义.
当 $a=-2$ 时,$|a-1|=|-2-1|=3$,而且在数轴上,表示 -2 的点与表示 1 的点的距离是 3;当 $a=3$ 时,$|a-1|=|3-1|=2$,而且在数轴上,表示 3 的点与表示 1 的点的距离是 2. 因此,如果数轴上表示 $a$ 的点为 $A$,表示 1 的点为 $B$,则 $A,B$ 之间的距离为 $|a-1|$,如图 2-2-6 所示.
图 2-2-6
这样一来,数轴上与表示 1 的点的距离小于或等于 2 的点对应的所有数组成的集合就是 $|a-1| \leqslant 2$ 的解集,又因为数轴上与表示 1 的点的距离等于 2 的点对应的数分别为 -1 和 3,因此由图 2-2-6 可知 $|a-1| \leqslant 2$ 的解集为
$$
[-1,3] \text {. }
$$
一般地,如果实数 $a,b$ 在数轴上对应的点分别为 $A,B$,即 $A(a)$,$B(b)$,则线段 $A B$ 的长为
$$
A B=|a-b|
$$
这就是数轴上两点之间的距离公式. 更进一步,如果线段 $A B$ 的中点 $M$ 对应的数为 $x$,则由 $A M=M B$ 可知 $|a-x|=|x-b|$,因此: 当 $a<b$ 时,有 $a<x<b$,从而
$$
x-a=b-x,$$
所以
$$
x=\frac{a+b}{2}
$$
当 $a \geqslant b$ 时,类似可得上式仍成立. 这就是数轴上的中点坐标公式.
例 2 设数轴上点 $A$ 与数 3 对应,点 $B$ 与数 $x$ 对应,已知线段 $A B$ 的中点到原点的距离不大于 5,求 $x$ 的取值范围.
因为 $A B$ 的中点对应的数为 $\frac{3+x}{2}$,所以由题意可知
$$
\left|\frac{3+x}{2}\right| \leqslant 5
$$
即 $|3+x| \leqslant 10$,因此 $-10 \leqslant 3+x \leqslant 10$,所以 $-13 \leqslant x \leqslant 7$,因此 $x$ 的取值范围是
## 探索与研究
求下列不等式的解集:
(1) $|x-1|+|x-2|<5$;(2) $|x-1|+|x-2| \geqslant 3$;(3) $|x-1|+|x-2|>\frac{1}{2}$;(4) $|x-1|+|x-2|<\frac{1}{3}$.
## 练习A
(1) 求下列不等式的解集:
(1) $3 x>2 x-6$;
(2) $2 x+1>\frac{x}{2}-3$. (2) 求下列不等式组的解集:
(1) $\left\{\begin{array}{l}2 x+1>0,\\ 3 x-2 \leqslant 0;\end{array}\right.$
(2) $\left\{\begin{array}{l}-2 x-5 \geqslant 0,\\ \sqrt{2} x-3 \sqrt{2}>0\end{array}\right.$
(3) 求下列绝对值不等式的解集:
(1) $|2 x|-3 \geqslant 0$;(2) $|1-2 x|<2$
(4) 已知数轴上,$A(3),B(-5)$,求线段 $A B$ 的长以及线段 $A B$ 的中点 $M$ 的坐标.
## 练习B
(1) 求下列绝对值不等式的解集:
(1) $1+|x|<0$;(2) $|x+3|+2 \leqslant 2$
(2) 已知数轴上,$A(-1),B(x),C(6)$.
(1) 若 $A$ 与 $C$ 关于点 $B$ 对称，求 $x$ 的值;
（2）若线段 $A B$ 的中点到 $C$ 的距离小于 5,求 $x$ 的取值范围.
(3) 求关于 $x$ 的不等式的解集:
(1) $2 x+a>0$;(2) $a x>1$.
$1(-\infty,-3)$
$2[-m,m]$
$3[-13,7]$
### 3 一元二次不等式的解法
## 情滰与问题
汽车在行驶中,由于惯性,峹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止,一般称这段距离为“刹车距离”. 刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.
在一个限速为 $40 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相碰了. 事后现场勘查,测得甲车的峹车距离略超过 $6 \mathrm{~m}$,乙车的峹车距离略超过 $10 \mathrm{~m}$. 已知甲、乙两种车型的刹车距离 $s \mathrm{~m}$ 与车速 $v \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 之间的关系分别为
$$
s_{\text {甲 }}=\frac{1}{100} v^{2}-\frac{1}{10} v,s_{乙}=\frac{1}{200} v^{2}-\frac{1}{20} v
$$
试判断甲、乙两车有无超速现象. 不难看出,要判断甲、乙两车是否超速,就是要得到它们车速的取值范围,也就是要解不等式
$$
\frac{1}{100} v^{2}-\frac{1}{10} v>6 \text { 和 } 1
$$
即 $v^{2}-10 v-600>0$ 和 2
一般地,形如
$$
a x^{2}+b x+c>0
$$
的不等式称为一元二次不等式,其中 $a,b,c$ 是常数,而且 $a \neq 0$. 一元二次不等式中的不等号也可以是“$<”$ ”“”“$\leqslant$ ” 等.
如何求一个一元二次不等式的解集呢?
让我们从简单的一元二次不等式开始探讨. 首先来看一元二次不等式
$$
x(x-1)>0 \text {. }
$$
## 尝试与发现
任意选定一些数,看它们是否是不等式(1)的解,由此给出解这个不等式的方法.
注意到只有两个同号的数相乘,结果才能是正数,也就是说,$a b>0$ 当且仅当
$$
\left\{\begin{array} { l }
{ a > 0,} \\
{ b > 0 }
\end{array} \text { 或 } \left\{\begin{array}{l}
a<0,\\
b<0 .
\end{array}\right.\right.
$$
因此,不等式(1)可以转化为两个不等式组
$$
\left\{\begin{array} { l }
{ x > 0,} \\
{ x - 1 > 0 }
\end{array} \text { 或 } \left\{\begin{array}{l}
x<0,\\
x-1<0 .
\end{array}\right.\right.
$$
解得 $x>1$ 或 $x<0$,因此,不等式(1)的解集为
$$
(-\infty,0) \cup(1,+\infty) \text {. }
$$
用类似的方法可以求得不等式
$$
(x+1)(x-1)<0
$$
的解,但此时的依据是: $a b<0$ 当且仅当
$$
\left\{\begin{array}{l}
a<0,\\
b>0
\end{array} \text { 或 } 3\right.
$$
因为不等式(2)可以转化为两个不等式组
$$
\left\{\begin{array} { l }
{ x + 1 < 0,} \\
{ x - 1 > 0 }
\end{array} \text { 或 } \left\{\begin{array}{l}
x+1>0,\\
x-1<0 .
\end{array}\right.\right.
$$
不难解得 $x \in \varnothing$ 或 4
,因此不等式(2)的解集为一般地,如果 $x_{1}<x_{2}$,则不等式 $\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)<0$ 的解集是
$$
\left(x_{1},x_{2}\right)
$$
不等式 $\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)>0$ 的解集是
$$
\left(-\infty,x_{1}\right) \cup\left(x_{2},+\infty\right) \text {. }
$$
例 1 求不等式 $x^{2}-x-2>0$ 的解集.
解因为
$$
x^{2}-x-2=(x+1)(x-2),$$
所以原不等式等价于 $(x+1)(x-2)>0$,因此所求解集为
$$
(-\infty,-1) \cup(2,+\infty) \text {. }
$$
回到情境与问题中的不等式,$v^{2}-10 v-600>0$ 可以化为
$$
(v+20)(v-30)>0,$$
因此甲车的车速 $v>30$;而 $v^{2}-10 v-2000>0$ 可以化为
6
因此乙车的车速 7 . 由此可见，乙车肯定超速了.
上述我们介绍的一元二次不等式的解法，使用的主要工具是因式分解. 当然,这种方法只有在一元二次不等式是特殊类型时才比较方便,那么一般情况该怎么办呢?
## 纭试与发现
通过代入数值验证的方法,猜测以下一元二次不等式的解集,由此总结求一元二次不等式解集的一般方法:
(1) $x^{2}<-1$;(2) $x^{2}>-2$;(3) $x^{2}<9$.
因为任何一个实数的平方一定是一个非负数,因此上述尝试与发现中
(1) 的解集为 8，(2）的解集为 9
对于 $x^{2}<9$ 来说,两边同时开根号可得 $\sqrt{x^{2}}<\sqrt{9}$,即
$$
|x|<3
$$
因此 $-3<x<3$,从而得到 (3) 的解集为 $(-3,3)$.
这就是说,一般的一元二次不等式可以通过配方法来求得解集.
例 2 求下列不等式的解集:
(1) $x^{2}+4 x+1 \geqslant 0$;(2) $x^{2}-6 x-1 \leqslant 0$;(3) $-x^{2}+2 x-1<0$;(4) $2 x^{2}+4 x+5>0$.
(1) 因为
$$
x^{2}+4 x+1=x^{2}+4 x+4-4+1=(x+2)^{2}-3,$$
所以原不等式可化为 $(x+2)^{2}-3 \geqslant 0$,即
$$
(x+2)^{2} \geq 3
$$
两边开平方得 $|x+2| \geqslant \sqrt{3}$,从而可知
$$
x+2 \leqslant-\sqrt{3} \text { 或 } x+2 \geqslant \sqrt{3},$$
因此 $x \leqslant-2-\sqrt{3}$ 或 $x \geqslant-2+\sqrt{3}$,所以原不等式的解集为
$$
(-\infty,-2-\sqrt{3}] \cup[-2+\sqrt{3},+\infty) \text {. }
$$
(2) 因为
$$
x^{2}-6 x-1=x^{2}-6 x+9-9-1=(x-3)^{2}-10,$$
所以原不等式可化为 $(x-3)^{2}-10 \leqslant 0$,即
$$
(x-3)^{2} \leqslant 10
$$
两边开平方得 $|x-3| \leqslant \sqrt{10}$,从而可知
$$
-\sqrt{10} \leqslant x-3 \leqslant \sqrt{10}
$$
因此 $3-\sqrt{10} \leqslant x \leqslant 3+\sqrt{10}$,所以原不等式的解集为
$$
[3-\sqrt{10},3+\sqrt{10}] \text {. }
$$
(3) 原不等式可化为
$$
x^{2}-2 x+1>0
$$
又因为 $x^{2}-2 x+1=(x-1)^{2}$,所以上述不等式可化为
$$
(x-1)^{2}>0 \text {. }
$$
注意到只要 $x \neq 1$,上述不等式就成立,所以原不等式的解集为
$$
(-\infty,1) \cup(1,+\infty) \text {. }
$$
（4）原不等式可以化为
$$
x^{2}+2 x+\frac{5}{2}>0
$$
因为
$$
x^{2}+2 x+\frac{5}{2}=(x+1)^{2}+\frac{3}{2}
$$
所以原不等式可以化为 $(x+1)^{2}+\frac{3}{2}>0$,即
$$
(x+1)^{2}>-\frac{3}{2}
$$
不难看出,这个不等式恒成立,即原不等式的解集为 $\mathbf{R}$.
由上可知,一元二次不等式 $a x^{2}+b x+c>0(a \neq 0)$ 通过配方总是可以变为
$$
(x-h)^{2}>k \text { 或 }(x-h)^{2}<k
$$
的形式,然后根据 $k$ 的正负等知识,就可以得到原不等式的解集. 例 3 求不等式 $\frac{2 x+1}{x-2} \geqslant 1$ 的解集.
解由题意知 $x-2 \neq 0$,因此 $(x-2)^{2}>0$,原不等式两边同时乘以 $(x-2)^{2}$ 可得
$$
(2 x+1)(x-2) \geqslant(x-2)^{2} \text { 且 } x-2 \neq 0,$$
即 $(x+3)(x-2) \geqslant 0$ 且 $x \neq 2$,因此所求不等式的解集为
$$
(-\infty,-3] \cup(2,+\infty) \text {. }
$$
例 3 说明,有些不等式通过变形之后,可以借助于一元二次不等式的解法来解,请读者自行总结其中的规律.
## 练习A
(1) 求下列不等式的解集:
(1) $x(x-3)<0$;(2) $(x+1)(1-x) \geqslant 0$;(3) $x^{2}+6 x-7 \leqslant 0$;(4) $x^{2}-8 x+16<0$.
(2) 求下列不等式的解集:
(1) $x^{2}+2 x-5<0$;(2) $x^{2}-4 x-2 \geqslant 0$;(3) $x^{2}+6 x+10 \leqslant 0$;(4) $x^{2}-8 x+16 \leqslant 0$;(5) $-x^{2}+8 x-1 \leqslant 0$;(6) $2 x^{2}-4 x+3<0$.
(3) 求下列不等式的解集:
(1) $\frac{x+1}{x-1}>0$;(2) $\frac{1}{x-1}>1$
## 练习B
(1) 已知 $A=\left\{x \mid 4-3 x-x^{2} \geqslant 0\right\},B=\left\{x \mid x^{2}+2 x>0\right\}$,求 $A \cap B$.
(2) 求下列不等式的解集:
(1) $\frac{1}{2} x^{2}-4 x+6<0$;(2) $4 x^{2}-4 x+1 \geqslant 0$.
(3) 写出 3 个一元二次不等式,使它们的解集都是集合 $(-\infty,-1) \cup(3,+\infty)$ 的子集.
(4) 求不等式 $\frac{x+1}{(x-1)^{2}}>1$ 的解集.
(5) 求关于 $x$ 的不等式 $x^{2}-(a+1) x+a \leqslant 0$ 的解集.
$1 \frac{1}{200} v^{2}-\frac{1}{20} v>10$
$2 v^{2}-10 v-2000>0$
$3\left\{\begin{array}{l}a>0 \\ b<0\end{array}\right.$
$4-1<x<1$
$5(-1,1) \quad 6(v+40)(v-50)>0 \quad 7 v>50 \quad 8 \varnothing \quad 9 \mathbf{R}$
### 4 均值不等式及其应用
给定两个正数 $a,b$,数 $\frac{a+b}{2}$ 称为 $a,b$ 的算术平均值;数 $\sqrt{a b}$ 称为 $a,b$ 的几何平均值 ${ }^{1}$. 两个数的算术平均值,实质上是这两个数在数轴上对应的点的中点坐标,那么几何平均值有什么几何意义呢?两个数的算术平均值和几何平均值之间有什么相对大小关系呢?
## 尝试与发现
（1）假设一个矩形的长和宽分别为 $a$ 和 $b$,求与这个矩形周长相等的正方形的边长,以及与这个矩形面积相等的正方形的边长,并比较这两个边长的大小;
（2）如下表所示,再任意取几组正数，算出它们的算术平均值和几何平均值,猜测一般情况下两个数的算术平均值与几何平均值的相对大小，并根据 (1) 说出结论的几何意义.
| $a$ | 1 | 2 |
| :---: | :---: | :---: |
| $b$ | 1 | 4 |
| $\frac{a+b}{2}$ | 1 | 3 |
| $\sqrt{a b}$ | 1 | $2 \sqrt{2}$ |
从具体实例中可以看出,两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值. 一般地,我们有如下结论.
均值不等式如果 $a,b$ 都是正数，那么
$$
\frac{a+b}{2} \geqslant \sqrt{a b}
$$
当且仅当 $a=b$ 时,等号成立.
证明因为 $a,b$ 都是正数,所以
$$
\frac{a+b}{2}-\sqrt{a b}=\frac{a+b-2 \sqrt{a b}}{2}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}}{2} \geqslant 0
$$
(1) 多个正数的算术平均值和几何平均值可以类似地定义. 例如,$a,b,c$ 的算术平均值为 $\frac{a+b+c}{3}$,几何平均值为 $\sqrt[3]{a b c}$. 即 $\frac{a+b}{2} \geqslant \sqrt{a b}$.
而且,等号成立时,当且仅当 $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}=0$,即 $a=b$.
值得注意的是,均值不等式中的 $a,b$ 可以是任意正实数,因此我们可以代人任意满足条件的数或式子,比如
$$
\frac{6+7}{2} \geqslant 1
$$
一定是正确的.
均值不等式也称为基本不等式（基本不等式中的 $a,b$ 还可以为零),其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值. 那么，均值不等式有什么几何意义呢?
将均值不等式两边平方可得
$$
\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2} \geqslant a b,$$
如果矩形的长和宽分别为 $a$ 和 $b$,那么矩形的面积为 2 $\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2}$ 可以看成与矩形周长相等的正方形的面积,因此均值不等式的一个几何意义为: 所有周长一定的矩形中,正方形的面积最大.
## 探索与研究
如图 2-2-7 所示的半圆中,$A B$ 为直径,$O$ 为圆心.
已知 $A C=a,B C=b,D$ 为半圆上一点,且 $D C \perp$
$A B$,算出 $O D$ 和 $C D$,给出均值不等式的另一个几何意义.
图 2-2-7
例 1 已知 $x>0$,求 $y=x+\frac{1}{x}$ 的最小值,并说明 $x$ 为何值时 $y$ 取得最小值.
解因为 $x>0$,所以根据均值不等式有
$$
x+\frac{1}{x} \geqslant 2 \sqrt{x \cdot \frac{1}{x}}=2
$$
其中等号成立当且仅当 $x=\frac{1}{x}$,即 $x^{2}=1$,解得 $x=1$ 或 $x=-1$ (舍).
因此 $x=1$ 时,$y$ 取得最小值 2 .
例 2 已知 $a b>0$,求证: $\frac{b}{a}+\frac{a}{b} \geqslant 2$,并推导出等号成立的条件.
证明因为 $a b>0$,所以 $\frac{b}{a}>0,\frac{a}{b}>0$.
根据均值不等式，得
$$
\frac{b}{a}+\frac{a}{b} \geqslant 2 \sqrt{\frac{b}{a} \cdot \frac{a}{b}}=2
$$
即 $\frac{b}{a}+\frac{a}{b} \geqslant 2$.
当且仅当 $\frac{b}{a}=\frac{a}{b}$,即 $a^{2}=b^{2}$ 时,等号成立. 因为 $a b>0$,所以等号成立的条件是 $a=b$.
例 3 (1) 已知矩形的面积为 100,则这个矩形的长、宽各为多少时,矩形的周长最短?最短周长是多少?
（2）已知矩形的周长为 36,则这个矩形的长、宽各为多少时,它的面积最大?最大面积是多少?
分析在（1）中,矩形的长与宽的积是一个常数,要求长与宽之和的两倍的最小值;在（2）中,矩形的长与宽之和的两倍是一个常数,要求长与宽之积的最大值.
解 （1）设矩形的长与宽分别为 $x$ 与 $y$,依题意得 $x y=100$.
因为 $x>0,y>0$,所以
$$
\frac{x+y}{2} \geqslant \sqrt{x y}=\sqrt{100}=10
$$
所以 $2(x+y) \geqslant 40$.
当且仅当 $x=y$ 时,等号成立,由 $\left\{\begin{array}{l}x=y,\\ x y=100\end{array}\right.$ 可知此时 $x=y=10$.
因此,当矩形的长和宽都是 10 时,它的周长最短,最短周长为 40 .
（2）设矩形的长与宽分别为 $x$ 与 $y$,依题意得 $2(x+y)=36$,即
$$
x+y=18 \text {. }
$$
因为 $x>0,y>0$,所以
$$
\frac{18}{2}=\frac{x+y}{2} \geqslant \sqrt{x y}
$$
因此 $\sqrt{x y} \leqslant 9$,即 $x y \leqslant 81$. 当且仅当 $x=y$ 时，等号成立,由 $\left\{\begin{array}{l}x=y,\\ x+y=18\end{array}\right.$ 可知此时 3.
因此,当矩形的长和宽都是 9 时,它的面积最大,最大面积为 81 .
例 3 的结论可以表述为:
当两个正数的积为常数时,它们的和有最小值;
当两个正数的和为常数时,它们的积有最大值.
例 4 已知 $x \in(-1,3)$,求 $y=(1+x)(3-x)$ 的最大值,以及 $y$ 取得最大值时 $x$ 的值. 解当 $x \in(-1,3)$ 时,$-1<x<3$,因此 $1+x>0,3-x>0$.
由均值不等式可得
$$
\sqrt{(1+x)(3-x)} \leqslant \frac{1+x+3-x}{2}=2,$$
从而 $(1+x)(3-x) \leqslant 4$,即 $y \leqslant 4$.
当且仅当 $1+x=3-x$,即 $x=1$ 时,等号成立.
从而当 $x=1$ 时,$y$ 取得最大值 4 .
例 5 已知 $a,b$ 是实数,求证:
$$
a^{2}+b^{2} \geqslant 2 a b \text {. }
$$
并说明等号成立的条件.
证明因为
$$
a^{2}+b^{2}-2 a b=(a-b)^{2} \geqslant 0,$$
所以 $a^{2}+b^{2}-2 a b \geqslant 0$，即
$$
a^{2}+b^{2} \geqslant 2 a b \text {. }
$$
等号成立时,当且仅当 $(a-b)^{2}=0$,即 $a=b$.
例 5 的结论也是经常要用的. 不难看出,均值不等式与例 5 的结论既有联系,又有区别. 区别在于例 5 中去掉了 $a,b$ 是正数的条件,联系在于均值不等式可以看成例 5 结论的一种特殊情况.
例 6 已知 $a,b \in \mathbf{R}$,求证：
(1) $(a+b)^{2} \geqslant 4 a b$;
(2) $2\left(a^{2}+b^{2}\right) \geqslant(a+b)^{2}$.
证明 (1) 因为 $a^{2}+b^{2} \geqslant 2 a b$,两边同时加上 $2 a b$,得
$$
a^{2}+b^{2}+2 a b \geqslant 4 a b
$$
即
$$
(a+b)^{2} \geqslant 4 a b
$$
(2) 因为 $a^{2}+b^{2} \geqslant 2 a b$,两边同时加上 $a^{2}+b^{2}$,得
$$
2\left(a^{2}+b^{2}\right) \geqslant a^{2}+b^{2}+2 a b \text {,}
$$
即
$$
2\left(a^{2}+b^{2}\right) \geqslant(a+b)^{2}
$$
## 探索与研究
昌用 Excel 或其他计算机软件,完成下列数学实验:
(1) 任取多组三个正数 $a,b,c$,计算 $\frac{a+b+c}{3}$ 和 $\sqrt[3]{a b c}$,比较它们的大小,总结出一般规律；
(2) 对四个正数、五个正数做类似的实验,总结出普遍规律.
## 练习A
(1) 已知 $x>0$,求 $y=x+\frac{3}{x}$ 的最小值,并说明 $x$ 为何值时 $y$ 取得最小值.
(2) 已知 $a b>0$,求证: $\frac{b}{3 a}+\frac{3 a}{b} \geqslant 2$,并推导出等号成立的条件.
(3)（1）把 49 写成两个正数的积,当这两个正数各取何值时,它们的和最小?
（2）把 12 写成两个正数的和,当这两个正数各取何值时,它们的积最大?
## 练习B
(1) 已知 $x \in(-2,5)$,求 $y=(2+x)(5-x)$ 的最大值,以及 $y$ 取得最大值时 $x$ 的值.
(2) 已知 $x<0$,求 $y=x+\frac{1}{x}$ 的最大值,以及 $y$ 取得最大值时 $x$ 的值.
(3) 已知 $a,b$ 都是正数,求证: $\left(a+\frac{1}{a}\right)\left(b+\frac{1}{b}\right) \geqslant 4$.
(4) 用一段长为 $l \mathrm{~m}$ 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地 (墙的长大于 $l \mathrm{~m}$ ),矩形的长、宽各为多少时,菜地的面积最大?并求出这个最大值.
$1 \sqrt{42} \quad 2 a b \quad 3 x=y=9$
## 习题2-2A
(1) 求不等式 $3 x-1>-\frac{x}{2}+2$ 的解集.
(2) 已知 $a \neq b$,比较 $a^{2}+a b$ 与 $3 a b-b^{2}$ 的大小,并证明.
(3) 判断 $\frac{a}{b}>0$ 是 $a b>0$ 的什么条件.
(5) 求下列不等式的解集:
(1) $(x-1)(x+8) \leqslant 0$;(2) $x^{2}+5 x+4>0$;(3) $x^{2}-4 x-7>0$;(4) $2 x^{2}-8 x+16<0$.
(6) 求下列绝对值不等式的解集:
(1) $|1-2 x| \geqslant 3$;(2) $2-|1-x| \leqslant 0$
(7) 求 $y=4 x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$ 的最小值,以及 $y$ 取得最小值时 $x$ 的值. (8) 已知 $x \in(0,+\infty)$,求 $y=\frac{x^{2}+2 x+3}{x}$ 的最小值,以及 $y$ 取得最小值时 $x$ 的值.
## 习题2-2B
(1) 比较 $\frac{1}{\sqrt{2}-1}$ 与 $2 \sqrt{3}-1$ 的大小.
(2) 已知不等式 $a x-1>x+2$ 的解集为 $(2,+\infty)$,求 $a$ 的值.
(3) 已知 $a \in(1,3),b \in(2,3)$,分别求 $a+b,a-b,a-2 b,a b,\frac{a}{b}$ 的取值范围.
(4) 已知 $A=\{x \mid x<3\},B=\{x \mid 2 x+1<a\},A \subseteq B$,求实数 $a$ 的取值范围.
(5) 求证: $a^{2}+3 b^{2} \geqslant 2 b(a+b)$.
(6) 已知 $x^{2}-2 m x+m \geqslant 0$ 的解集为 $\mathbf{R}$,求 $m$ 的取值范围.
(7) 已知 $-x^{2}+a x+b \geqslant 0$ 的解集是 $[-2,3]$,求 $x^{2}-5 a x+b<0$ 的解集.
(8) 利用图示说明不等式 $a^{2}+b^{2} \geqslant 2 a b$ 成立,并作出不等式中等号成立时相应的图示.
(第 8 题)
(9) 已知 $a>0,b>0,\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1$,求 $a b$ 的最小值.
(10) 已知关于 $x$ 的不等式 $\frac{2 x-a}{x-2} \leqslant-1$ 的解集是 $\left[\frac{5}{3},2\right)$,求 $a$ 的值.
(11) 已知 $x \in(0,+\infty)$,求 $y=1-2 x-\frac{4}{x}$ 的最大值.
## 习题2-2C
(1) 已知 $a,b,c$ 都是正实数,求证: $a+b+c \geqslant \sqrt{a b}+\sqrt{b c}+\sqrt{c a}$.
(2) 已知使不等式 $x^{2}+(a-1) x-a \leqslant 0$ 成立的任意一个 $x$,都满足不等式 $3 x+1>0$,求实数 $a$ 的取值范围.
(3) 已知 $x \in(1,+\infty)$,求 $y=\frac{x^{2}-x+4}{x-1}$ 的最小值,以及 $y$ 取得最小值时 $x$ 的值. (4) 设矩形 $A B C D$ (其中 $A B>B C$ ) 的周长为 24,如图所示,把它沿对角线 $A C$ 对折后,$A B$ 交 $D C$ 于点 $P$. 设 $A B=x$,求 $\triangle A D P$ 的最大面积.
(第 4 题)
(5) 已知 $a,b$ 都是正数,且 $a+b=1$,求 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ 的最小值.
(6) 设桌面上有一个由铁丝围成的封闭曲线,周长是 $2 L$. 回答下面的问题:
（1）当封闭曲线为平行四边形时,用直径为 $L$ 的圆形纸片是否能完全覆盖这个平行四边形?请说明理由.
(2) 求证: 当封闭曲线是四边形时,正方形的面积最大.
## 本章小结
## 1 知识结构图设计与交流
本章我们学习了描述数量关系的等式和不等式的有关内容,等式中学习了等式的性质,以及恒等式、方程与方程组、一元二次方程等;不等式中学习了不等式的性质,以及一元二次不等式、均值不等式等.
依照知识之间的联系，我们可以作出如下的知识结构图.
上述知识结构图还可以进一步细化.
结合自己的学习心得,发挥你的想象力和创造力,为本章的知识重新设计出一份独特的知识结构图，然后和同学交流制作的心得吧！
## 课题作业
(1) 从学过的内容可以看出,等式与不等式之间有着密切的联系,等式的性质与不等式的性质也有类似之处. 查阅有关资料，按照自己的理解，以报告的形式,整理出等式与不等式之间的联系,为后续学习函数、方程和不等式之间的联系做好准备.
（2）我们知道,一元一次方程 $a x+b=0(a \neq 0)$ 的解为 $x=-\frac{b}{a}$,一元二次方程 $a x^{2}+b x+c=0 \quad(a \neq 0)$ 有实数解时,其解为 $x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$. 一个自然的问题是 : 一元三次方程 $a x^{3}+b x^{2}+c x+d=0 \quad(a \neq 0)$ 有解时,是否也有类似的求根公式呢?更高次数的多项式方程呢?类似的内容曾经引发了许多数学家的兴趣,也正是得益于广大数学工作者的努力,这一方面的研究取得了丰硕的成果. 查阅有关书籍或者网络,与同学一起分工合作,了解有关知识,并将知识整理成演讲材料,与其他同学交流、分享.
## 3 复习题
## A 组
1. 求下列方程的解集:
(1) $3(x-2)^{2}=x(x-2)$;(2) $x^{2}-2 x+\frac{7}{x^{2}-2 x}=8$.
2. 已知 $a \neq 0$,方程 $x^{2}+b x+a=0$ 有一个根是 $-a$,求 $a-b$ 的值.
3. 已知关于 $x,y$ 的方程组 $\left\{\begin{array}{l}y^{2}-4 x=0,\\ y-k x-1=0\end{array}\right.$ 的解集中只有一个元素,求实数 $k$ 的值.
4. 已知 $\left(3,-\frac{\sqrt{5}}{2}\right)$ 和 $(4,\sqrt{3})$ 都是集合 $A=\left\{(x,y) \mid a x^{2}-b y^{2}=1\right\}$ 中的元素,求实数 $a,b$ 的值.
5. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $|m| x^{2}-2 x+1=0$ 有两个不相等的实数根,求实数 $m$ 的取值范围.
6. 已知 $\frac{1}{2} x+\frac{1}{3} y=4$,求 $3 x+2 y$ 的值.
7. 平流层是指地球表面以上 $10 \mathrm{~km}$ 到 $50 \mathrm{~km}$ 的区域,下述不等式中,$x$ 能表示平流层高度的是 $(\quad)$.
(A) $|x+10|<50$
(B) $|x-10|<50$
(C) $|x+30|<20$
(D) $|x-30|<20$
8. 已知 $a>b>0$,下列不等式中正确的是 ( ).
(A) $\frac{c}{a}>\frac{c}{b}$
(B) $a b<b^{2}$
(C) $-a^{2}<-a b$
(D) $\frac{1}{a-1}<\frac{1}{b-1}$
9. (1) 比较 $\frac{2 x}{x^{2}+1}$ 与 1 的大小,并证明;
(2) 已知 $a,b$ 都是正实数,且 $a \neq b$,试比较 $a^{3}+b^{3}$ 与 $a b^{2}+a^{2} b$ 的大小,并证明. 10. 求下列不等式的解集:
(1) $\frac{2 x-3}{x+5}>0$
(2) $\frac{5}{x+5} \leqslant 1$
11. 已知数轴上,$A(x),B(2)$,且 $A B=\frac{7}{2}$,求 $x$ 的值.
12. 已知数轴上,$A(x),B(-1)$,且线段 $A B$ 的中点到原点的距离大于 5,求 $x$ 的取值范围.
13. 求 $y=\frac{x^{2}}{x^{4}+2}$ 的最大值,以及 $y$ 取得最大值时 $x^{2}$ 的值.
14. 已知 $x \in(-2,+\infty)$,求 $y=x+\frac{16}{x+2}$ 的最小值.
15. 如图,要在长 $25 \mathrm{~m}$ 的墙 $E F$ 的一边,通过砌墙来围一个矩形花园 $A B C D$,与围墙平行的一边 $B C$ 上要预留 $3 \mathrm{~m}$ 宽的人口 (如图中 $M N$ 所示,人口不用砌墙),用能砌 $46 \mathrm{~m}$ 长墙的材料砌墙,当矩形的长 $B C$ 为多少
(第 15 题) 时,矩形花园的面积为 $299 \mathrm{~m}^{2}$?
## B 组
1. 已知 $a,b,c$ 是 $\triangle A B C$ 的三边长,关于 $x$ 的方程 $\frac{1}{2} x^{2}+\sqrt{b} x+c-\frac{1}{2} a=0$ 的解集中只有一个元素,方程 $3 c x+2 b=2 a$ 的根为 $x=0$.
(1) 判断 $\triangle A B C$ 的形状;
(2) 若 $a,b$ 为关于 $x$ 的方程 $x^{2}+m x-3 m=0$ 的两个实数根,求实数 $m$ 的值.
2. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}-m x+2 m-1=0$ 的两个实数根的平方和为 7,求 $m$ 的值.
3. 已知 $\alpha$ 和 $\beta$ 是方程 $x^{2}+2 x-5=0$ 的两根,求 $\alpha^{2}+\alpha \beta+2 \alpha$ 的值.
4. 求下列方程组的解集 :
(1) $\left\{\begin{array}{l}4 x^{2}-9 y^{2}=15,\\ 2 x-3 y=5;\end{array}\right.$
(2) $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+4 y^{2}=5 \\ x y=2\end{array}\right.$
5. 判断 $a>b$ 是 $a c^{2}>b c^{2}$ 的什么条件.
6. 已知 $x \in(0,+\infty)$,求 $y=\frac{-2 x^{2}+x-3}{x}$ 的最大值,以及 $y$ 取得最大值时 $x$ 的值.
7. 已知点 $P$ 是以 $A B$ 为直径的圆上任意一点,求 $P A+P B$ 的最大值.
8. 求下列不等式的解集:
(1) $\frac{1-x}{x+2} \geqslant 0$;(2) $(x+3)\left(x^{2}-4\right) \leqslant 0$ 9. 已知集合 $A=\left\{x \mid a<x<a^{2}-2\right\},B=(1,5)$.
(1) 若 $A \subseteq B$，求实数 $a$ 的取值范围；
(2) 若 $B \varsubsetneqq A$,求实数 $a$ 的取值范围.
10. 为净化水质,向一个游泳池加人某种化学药品,加药后池水中该药品的浓度 $C$ （单位 $: m g / \mathrm{L}$ ) 随时间 $t$ （单位：$\mathrm{h}$ ）的变化关系为 $C=\frac{20 t}{t^{2}+4}$，则经过多少小时后池水中药品浓度达到最大?11. 已知点 $P(x,y)$ 在一次函数 $y=-2 x+4$ 的图象上运动,求它的横、纵坐标之积的最大值,以及此时点 $P$ 的坐标.
12. 已知 $x \in[0,1]$,求 $y=x \sqrt{1-x^{2}}$ 的最大值.
13. 某工厂准备建造一个长方体无盖蓄水池,其容积为 $4800 \mathrm{~m}^{3}$,深度为 $3 \mathrm{~m}$. 如果池底造价为 150 元 $/ \mathrm{m}^{2}$,池壁造价为 120 元 $/ \mathrm{m}^{2}$,怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少元?14. 有一支队伍长 $L \mathrm{~m}$,以速率 $v \mathrm{~m} / \mathrm{h}$ 匀速前进. 排尾的传令兵因传达命令赶赴排头,到达排头后立即返回,往返速率不变. 回答下列问题:
(1) 如果传令兵行进的速率为整个队伍行进速率的 2 倍,求传令兵回到排尾时所走的路程;
(2) 如果传令兵回到排尾时,全队正好前进了 $L \mathrm{~m}$,求传令兵行走的路程.
## $C$ 组
1. 已知 $a>b>c,a+b+c=0$,求证: $\frac{c}{a-c}>\frac{c}{b-c}$.
2. 求证: $x_{1}>x_{2}$ 是 $x_{1}^{3}>x_{2}^{3}$ 的充要条件.
3. 某电话号码可以看成一个八位数,将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得 14741,将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得 59453,求此电话号码对应的八位数.
4. 求关于 $x$ 的不等式组的解集:
(1) $\left\{\begin{array}{l}x+1>0,\\ x-a \leqslant 0;\end{array}\right.$
(2) $\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{3}-\frac{1}{4} \geqslant \frac{1}{6},\\ 2 x<b .\end{array}\right.$
5. 求下列关于 $x$ 的不等式的解集 :
(1) $a x>b$;(2) $a x \leqslant b$. 在中学的数学课本里,一些基本的概念是逐步地被引导进来的,要把基本的概念了解清楚,可以说是学好数学的第一个步骤 . 如果概念还没有理解清楚,就急急忙忙地去证明定理、做习题,那是没有不碰壁的.
一一苏步青
## 本章导语
我们在初中已经学习过一些函数的知识,比如一次函数、二次函数、反比例函数等,并了解了函数的一些简单应用.
但是,仅以初中的函数知识解决不了比较复杂的函数问题.
例如,如果向如图 1 所示的容器中倒水,且任意相等的时间间隔内所倒的水体积相等,则容器内水面的高度 $y$ 是时间 $t$ 的函数. 而且,也容易看出 $y$ 随着 $t$ 的增大而增大. 那么,这个函数的图象到底是什么样子的呢?是如图 2 所示还是如图 3 所示?
图 1
图 2
图 3
再例如,在政府文件中,我们经常可以看到有关经济增长与投资、消费的内容. 比如,《国务院关于促进创业投资持续健康发展的若千意见》（国发 [2016]53号）指出：“近年来,我国创业投资快速发展,不仅拓宽了创业企业投融资渠道、促进了经济结构调整和产业转型升级,增强了经济发展新动能,也提高了直接融资比重、拉动了民间投资服务实体经济,激发了创业创新、促进了就业增长.”
从这个文件中可以看出,投资能够促进经济的发展,那么能否用函数来描述两者之间的关系呢?
这一章我们将用前面的集合、逻辑等知识来进一步学习函数,掌握更多的函数实例与应用,理解研究一般函数的方法,了解数学建模的一般步骤等.
## 1 函数的概念与性质
### 1 函数及其表示方法
## 1. 函数的概念
我们已经学习过一些函数的知识,例如已经总结出：在一个变化过程中,数值发生变化的量称为变量;在一个变化过程中,如果有两个变量 $x$ 与 $y$,并且对于 $x$ 的每一个确定的值,$y$ 都有唯一确定的值与其对应,那么就称 $y$ 是 $x$ 的函数.
再例如,我们知道 $y=2 x$ 是正比例函数,$y=-3 x-1$ 是一次函数,$y=-\frac{2}{x}$ 是反比例函数,$y=x^{2}+2 x-3$ 是二次函数,等等.
## 情境与问题
(1) 国家统计局的课题组公布,如果将 2005 年中国创新指数记为 100,近些年来中国创新指数的情况如下表所示.
| 年度 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 中国创新指数 | 116.5 | 125.5 | 131.8 | 139.6 | 148.2 | 152.6 | 158.2 | 171.5 |
以 $y$ 表示年度值,$i$ 表示中国创新指数的取值,则 $i$ 是 $y$ 的函数吗?如果是,这个函数用数学符号可以怎样表示?
(2) 利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值,据此可以描绘出心电图,如图 3-1-1 所示. 医生在看心电图时,会根据图形的整体形态来给出诊断结果 (如根据两个峰值的间距来得出心率等).
图 3-1-1 如果用 $t$ 表示测量的时间,$v$ 表示测量的指标值,则 $v$ 是 $t$ 的函数吗?如果是,这个函数用数学符号可以怎样表示?
初中实际上是用变量的观点和解析式来描述函数的,但从情境与问题中的两个实例可知,初中的方法有一定的局限性: 情境与问题中的 $i$ 是 $y$ 的函数,$v$ 是 $t$ 的函数,但是这两个函数与初中的函数有所不同,比如都很难用一个解析式表示,而且每个变量的取值范围也有了限制,等等.
一般地，给定两个非空实数集 $A$ 与 $B$,以及对应关系 $f$,如果对于集合 $A$ 中的每一个实数 $x$,在集合 $B$ 中都有唯一确定的实数 $y$ 与 $x$ 对应,则称 $f$ 为定义在集合 $A$ 上的一个函数,记作
$$
y=f(x),x \in A,$$
其中 $x$ 称为自变量,$y$ 称为因变量,自变量取值的范围（即数集 $A$ ）称为这个函数的定义域.
如果自变量取值 $a$,则由对应关系 $f$ 确定的值 $y$ 称为函数在 $a$ 处的函数值,记作
$$
y=f(a) \text { 或 }\left.y\right|_{x=a} \text {. }
$$
所有函数值组成的集合
$$
\{y \mid y=f(x),x \in A\}
$$
称为函数的值域.
函数的这种定义强调的是“对应关系”，对应关系也可用其他小写英文字母如 $g,h$ 等表示.
一般地，如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同 (即对自变量的每一个值,两个函数表达式得到的函数值都相等),则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数. 例如
$$
y=\sqrt{x^{2}},x \in \mathbf{R} \text { 与 } g(x)=|x|,x \in \mathbf{R}
$$
表示同一个函数.
## 拓展阅读
## 函数定义的演变过程简介
在现代数学以及其他相关学科中,函数都是非常重要甚至是不可或缺的. 与其他重要数学概念一样,函数定义的发展与完善也经历了比较长的一段时间.
“函数”一词是莱布尼茨创造的，他用这个词表示与曲线上的点有关的线段长度,并使用这个词表示变量之间的依赖关系. 欧拉于 1734 年首先使用字母 $f$ 表示函数,欧拉在他的著作《微分学》中给出的函数定义是: 如果某变量,以如下的方式依赖于另一些变量,即当后面这些变量变化时,前者也随之变化,则称前面的变量是后面变量的函数.
1851 年,德国数学家黎曼给出的函数定义是：假定 $z$ 是一个变量,它可以逐次取所有可能的实数值. 如果对它的每一个值,都有末知量 $w$ 的唯一的一个值与之对应,则 $w$ 称为 $z$ 的函数. 人们通常称这样的定义为函数的“对应说”,因为定义中采用了“唯一的一个值与之对应” 的说法.
1939 年,法国布尔巴基学派在集合论的基础上给出了如下函数的定义: 设 $E$ 和 $F$ 是两个集合,它们可以不同,也可以相同. $E$ 中的变元 $x$ 和 $F$ 中的变元 $y$ 之间的一个关系称为一个函数关系,如果对于每一个 $x \in E$,都存在唯一的 $y \in F$,它满足与 $x$ 给定的关系. 称这样的运算为函数,它以上述方式将与 $x$ 有给定关系的元素 $y \in F$ 与每一个元素 $x \in E$ 相联系. 称 $y$ 是函数在元素 $x$ 处的值,函数值由给定的关系所确定. 两个等价的函数关系确定同一个函数. 人们通常称这样的定义为“关系说”.
后来,有些学者把布尔巴基学派的定义进一步符号化: 设 $F$ 是定义在集合 $X$ 和 $Y$ 上的一个二元关系,称这个关系为函数,如果对于每一个 $x \in X$,都存在唯一的 $y \in Y$,使得 $(x,y) \in F$. 这样,函数的定义就完全用数学的符号形式化了.
可以看出,上述函数的定义越来越严格,抽象程度越来越强,数学直观则越来越弱.
在数学学习过程中,如果我们能借助直观来理解有关概念和结论,可能会有事半功倍的效果. 为了形象地理解函数的概念,有人提议将函数类比成对每一个允许的输入指定唯一确定的输出的机器,所有输入的集合是函数的定义域,所有输出的集合是函数的值域,如下图所示.
你觉得这种提议有助于进一步理解函数的概念吗?如果条件容许的话，去查阅更多的有关资料吧！
在表示函数时,如果不会产生歧义,函数的定义域通常省略不写,此时就约定：函数的定义域就是使得这个函数有意义的所有实数组成的集合.
在上述约定下,以下表达式都可以表示函数 $f(x)=2 x+1,x \in \mathbf{R}:$
$$
\begin{aligned}
& f(x)=2 x+1,\\
& y=2 x+1 .
\end{aligned}
$$
例1 求下列函数的定义域:
(1) $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+1}}$;(2) $g(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}$.
解 （1）因为函数有意义当且仅当
$$
\left\{\begin{array}{l}
x+1 \geqslant 0,\\
\sqrt{x+1} \neq 0,\end{array}\right.
$$
解得 $x>-1$,所以函数的定义域为
$$
(-1,+\infty) \text {. }
$$
（2）因为函数有意义当且仅当
$$
\left\{\begin{array}{l}
x \neq 0 \\
x+2 \neq 0,\end{array}\right.
$$
解得 $x \neq 0$ 且 $x \neq-2$,因此函数的定义域为
$$
(-\infty,-2) \cup(-2,0) \cup(0,+\infty) \text {. }
$$
以下都是求函数定义域常用的依据:
（1）分式中分母不能为零;
（2）二次根式中的被开方数要大于或等于零.
例 2 设函数 $g(x)=\sqrt{x+1}$ 的值域为 $S$,分别判断 $-\sqrt{2}$ 和 3 是否是 $S$ 中的元素.
解由于 $\sqrt{x+1} \geqslant 0$ 恒成立,所以 $\sqrt{x+1}=-\sqrt{2}$ 无解,因此 $-\sqrt{2} \notin S$.
当 $\sqrt{x+1}=3$ 时,可解得 $x=8$,即 $g(8)=3$,所以 $3 \in S$.
例 2 的解法,实质上是在用方程判断一个数是否属于函数的值域.
例 3 已知 $f(x)=\frac{1}{x^{2}+1}$ :
(1) 求 $f(-1),f(0)$ 和 $f(2)$;
(2) 求函数 $f(x)$ 的值域.
## 尝试与发现
判断方程 $\frac{1}{x^{2}+1}=3$ 是否有解,由此给出求函数 $f(x)$ 值域的一种方法.
解 (1) 由已知可得
$$
\begin{aligned}
& f(-1)=\frac{1}{(-1)^{2}+1}=\frac{1}{2},\\
& f(0)=\frac{1}{0^{2}+1}=1,\\
& f(2)=\frac{1}{2^{2}+1}=\frac{1}{5} .
\end{aligned}
$$
（2）(方法一) 因为 $x^{2} \geqslant 0$,所以 $x^{2}+1 \geqslant 1$ 恒成立,从而可知
$$
\frac{1}{x^{2}+1} \leqslant 1
$$
又因为当 $x$ 的绝对值逐渐变大时,函数值会逐渐接近于 0,但不会等于 0,
因此所求函数的值域为 $(0,1]$. （方法二) 假设 $t$ 是所求值域中的元素,则关于 $x$ 的方程 $\frac{1}{x^{2}+1}=t$ 应该有解，即 $x^{2}=\frac{1}{t}-1$ 应该有解，从而
$$
\frac{1}{t}-1 \geqslant 0
$$
即 $\frac{1-t}{t} \geqslant 0$，解得 $0<t \leqslant 1$. 因此所求值域为 $(0,1]$.
例 3（2） 中的方法一实质上用的是不等式的性质.
## 2. 函数的表示方法
前面我们所接触到的函数 $y=f(x)$ 中,绝大多数 $f(x)$ 都是用代数式 (或解析式) 来表示的,例如 $f(x)=2 x+1$,这种表示函数的方法称为解析法.
前面给出的关于中国创新指数的函数,实际上是用列表的形式给出了函数的对应关系,这种表示函数的方法称为列表法. 如果将这个函数记为 $i=$ $f(y)$,则从表格中可以看出
$$
f(2013)=152.6,\quad f(2015)=1
$$
另外,如果将这个函数的定义域记为 $D$,值域记为 $S$,则有
$$
\begin{aligned}
& D=\{2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015\},\\
& S=2
\end{aligned} .
$$
前面给出的与心电图有关的函数,实际上是用图的形式给出了函数的对应关系.
一般地,将函数 $y=f(x),x \in A$ 中的自变量 $x$ 和对应的函数值 $y$,分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标,则满足条件的点 $(x,y)$ 组成的集合 $F$ 称为函数的图象,即
$$
F=\{(x,y) \mid y=f(x),x \in A\} \text {. }
$$
这就是说,如果 $F$ 是函数 $y=f(x)$ 的图象,则图象上任意一点的坐标 $(x,y)$ 都满足函数关系 $y=f(x)$;反之,满足函数关系 $y=f(x)$ 的点 $(x,y)$ 都在函数的图象 $F$ 上.
用函数的图象表示函数的方法称为图象法.
从理论上来说,要作出一个函数的图象,只需描出所有点即可. 但是,很多函数的图象都由无穷多个点组成,描出所有点并不现实. 因此,实际作图时,经常先描出函数图象上一些有代表性的点,然后再根据有关性质作出函数图象,这称为描点作图法. 例如,我们知道,一次函数 $y=-x+1$ 的图象是一条直线,又易知图象过点 $(0,1)$ 和 $(1,0)$,所以容易作出其图象,如图 3-1-2 所示.
例 4 北京市自 2014 年 5 月 1 日起,居民用水实行阶梯水价. 其中年用水量不超过 $180 \mathrm{~m}^{3}$ 的部分,综合用水单价为 5 元 $/ \mathrm{m}^{3}$;超过 $180 \mathrm{~m}^{3}$ 但不超过 $260 \mathrm{~m}^{3}$ 的部分,综合用水单价为 7 元 $/ \mathrm{m}^{3}$. 如果
图 3-1-2 北京市一居民年用水量为 $x \mathrm{~m}^{3}$,其要缴纳的水费为 $f(x)$ 元. 假设 $0 \leqslant x \leqslant 260$,试写出 $f(x)$ 的解析式,并作出 $f(x)$ 的图象.
解如果 $x \in[0,180]$,则 $f(x)=5 x$;
如果 $x \in(180,260]$,按照题意有
$$
f(x)=5 \times 180+7(x-180)=7 x-360 .
$$
因此
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
5 x,x \in[0,180] \\
7 x-360,x \in(180,260] .
\end{array}\right.
$$
注意到 $f(x)$ 在不同的区间上,解析式都是一次函数的形式,因此 $y=f(x)$ 在每个区间上的图象都是直线的一部分,又因为
$$
\begin{aligned}
& f(180)=5 \times 180=900,\\
& f(260)=7 \times 260-360=1460,\end{aligned}
$$
由此可作出函数的图象,如图 3-1-3 所示.
图 3-1-3
如果一个函数，在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的对应方式,则称其为分段函数.
## 尝试与发现
函数 $D(x)=\left\{\begin{array}{l}1,x \in \mathbf{Q},\\ 0,x \notin \mathbf{Q}\end{array}\right.$ 被称为狄利克雷函数,你能说出这个函数的定义域、值域吗?你能作出这个函数的图象吗?
可以看出,狄利克雷函数的定义域为 $\mathbf{R}$,值域为 $\{0,1\}$,但它的图象不能形象地展示出来. 例 5 设 $x$ 为任意一个实数,$y$ 是不超过 $x$ 的最大整数,判断这种对应关系是否是函数. 如果是,作出这个函数的图象;如果不是,说明理由.
## 尝试与发现
依照题意填写下表,然后判断对应关系是否是函数.
| $x$ | 6.89 | 5 | $\pi$ | -1.5 | -2 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $y$ | 6 | | | | |
解因为当 $n \in \mathbf{Z}$ 且 $x \in[n,n+1)$ 时,有
$$
y=n,$$
又因为任何一个实数 $x$,都必定在某个形如 $[n,n+1)$ 的区间内. 因此，给定一个 $x$,有唯一的 $y$ 与之对应,所以这种对应关系是函数.
由上可看出,在每一个区间 $[n,n+1)$ 内,函数的图象是直线的一部分,由此可作出这个函数的图象,如图 3-1-4 所示.
例 5 中的函数通常称为取整函数,记作
$$
y=[x],$$
图 3-1-4
其定义域是 3，值域是 4 ．这个函数早在 18 世纪就被“数学王子” 高斯提出,因此也被称为高斯取整函数.
在以后的学习中,我们还会碰到值域只有一个元素的函数,这类函数通常称为常数函数. 也就是说,常数函数中所有自变量对应的函数值都相等. 例如 $f(x)=7,x \in \mathbf{R}$ 是一个常数函数,它的值域是 5,图象是一条垂直于 $y$ 轴的直线.
例 6 已知函数 $y=\sqrt{x}$,指出这个函数的定义域、值域,并作出这个函数的图象.
解函数的定义域为 $[0,+\infty)$. 由 $y=\sqrt{x}$ 在 $y \geqslant 0$ 时有解可知,函数的值域为 $[0,+\infty)$. 通过描点作图法,可以作出这个函数的图象,如图 3-1-5 所示.
图 3-1-5
由上可以看出,函数可以通过多种方式表示,而且函数的解析式也具有多种形式. 在确定函数的解析式时,可以借助方程或方程组的知识,使用待定系数法完成,如例 7 所示.
例 7 已知二次函数的图象过点 $(-1,4),(0,1),(1,2)$,求这个二次函数的解析式.
解设函数解析式为 $y=a x^{2}+b x+c \quad(a \neq 0)$,则
$$
\left\{\begin{array}{l}
a-b+c=4,\\
c=1,\\
a+b+c=2 .
\end{array}\right.
$$
由此可解得 $a=2,b=-1,c=1$,因此所求函数解析式为
$$
y=2 x^{2}-x+1 .
$$
例 8 已知 $f(x)=x^{2}$,求 $f(x-1)$.
## 尝试与发现
求出 $f(0),f(1),f(2)$ 的值,再求出 $f(a),f(a-1)$.
解由已知可得
$$
f(x-1)=(x-1)^{2}=x^{2}-2 x+1 .
$$
例 8 中,如果设 $g(x)=f(x-1)$,则有 $g(x)=x^{2}-2 x+1$,因此 $g(x)$ 与 $f(x)$ 是不同的函数.
## 探索与研究
已知 $f(x-1)=x^{2}$,你能求出 $f(x)$ 的解析式吗?试总结 $f(x)$ 与 $f(x-1)$ 的关系.
## 모. 用信息技术作函数图象
利用计算机软件可以迅速作出函数的图象,从而可以观察函数的性质等.
在 GeoGebra 中,只要输人函数的表达式,就可以得到对应的图象. 例
如,依次输人以下各行内容 (每输完一行之后按回车键):
$\mathrm{f}(\mathrm{x})=1 /\left(\mathrm{x}^{*} 2+1\right)$
$g(x)=\operatorname{sqrt}(x)$
$h(x)=x^{2}$
$\mathrm{i}(\mathrm{x})=h(x-1)$
$j(x)=\operatorname{if}[0<=x<=1,\quad x,\quad$ if $[1<x<=2,2-x]]$ 即可得到如图 3-1-6 所示的函数解析式和函数图象（最后的命令实际上是作出了分段函数的图象).
图 3-1-6
## 练习 $A$
(1) 已知集合 $A=[0,+\infty),B=[0,+\infty)$,对应关系 $f$ 为“求倒数”,判断 $f$ 是否为 $A$ 上的一个函数.
(2) 以下是中国人民银行 2015 年 10 月 24 日公布的部分人民币定期存款基准年利率表 ${ }^{1}$,设银行定期存款的年利率为 $r \%$,存期为 $t$ 年,判断 $r$ 是否为 $t$ 的函数. 如果是,写出这个函数的定义域和值域;如果不是,说明理由.
| $t$ | 0.5 | 1 | 2 | 3 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $r$ | 1.3 | 1.5 | 2.1 | 2.75 |
3 已知 $f(x)=x^{2}+x,x \in \mathbf{R}$,求 $f(-1),f\left(-\frac{1}{2}\right),f(3)$.
(4) 设函数 $g(x)=x^{2}-2$ 的值域为 $A$,判断 -5 和 7 是否为 $A$ 中的元素.
(5) 求下列各函数的定义域:
(1) $f(x)=\frac{1}{x-5}$;(2) $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+2}}$;(3) $f(x)=\frac{\sqrt{x+3}}{x}$.
66 下列各图中,哪些可能是函数的图象?哪些一定不是函数的图象?为什么?
(1) 数据来自中国人民银行网站.
(7) 写出常数函数 $f(x)=-1$ 的定义域、值域,并作出它的图象.
8 把下列函数写成分段函数的形式,求出定义域和值域,并作出函数图象:
（1）当 $x<0$ 时,$f(x)=1$;当 $x \geqslant 0$ 时,$f(x)=2$.
（2）当 $x<0$ 时,$f(x)=-1$;当 $x=0$ 时,$f(x)=0$;当 $x>0$ 时,$f(x)=1$.
## 练习B
(1) 分别判断 $f$ 是否为 $A$ 上的一个函数（函数值均为 $\mathbf{R}$ 中的元素):
(1) $A=\mathbf{R},f$ 为“加 1”;(2) $A=[0,+\infty),f$ 为“求非负平方根”;(3) $A=\mathbf{R},f$ 为“求倒数”;(4) $A=[0,+\infty),f$ 为“求平方根”.
(2) 已知下列表格表示的是函数 $w=g(u)$,写出 $g(-1),g(0),g(2)$,并判断 2 是否为这个函数值域中的元素.
| $u$ | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $w$ | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
(3) 已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}1-x,x<2,\\ x,x \geqslant 2,\end{array}\right.$ 求这个函数的定义域与值域.
(4) 判断下列各组函数是否为同一个函数:
(1) $f(x)=\frac{x^{2}}{x},g(x)=x$;(2) $f(x)=\frac{x^{4}-1}{x^{2}+1},g(x)=x^{2}-1$;(3) $f(x)=\sqrt{x^{2}},g(x)=x$.
(5)求下列函数的值域:
(1) $f(x)=\frac{8}{x^{2}},1 \leqslant x \leqslant 2$;(2) $f(x)=-\sqrt{x},x \in[0,+\infty)$.
6 已知 $g(x)=x-[x],x \in \mathbf{R}$,求 $g(-5.3),g(-2.3),g(2.1),g(\sqrt{3})$.
(7) 已知函数 $f(x)=-2 x^{2}+x$,求 $f(-x),f(x+1)$.
8 已知函数 $f(x+1)=2 x-3$,求 $f(4),f(x)$.
9) 作出函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x,-1<x<0,\\ 2 x,0 \leqslant x<1,\\ x,1 \leqslant x \leqslant 2\end{array}\right.$ 的图象.
(10) 学校宿舍与办公室相距 $a \mathrm{~m}$. 某同学有重要材料要送交给老师,从宿舍出发,先匀速跑步 $3 \mathrm{~min}$ 来到办公室,停留 $2 \mathrm{~min}$,然后匀速步行 $10 \mathrm{~min}$ 返回宿舍. 在这个过程中,这位同学行进的速率和行走的路程都是时间的函数,作出速率函数和路程函数的示意图.
## 计算机上的练习
(1) 在 GeoGebra 中，任意作出一个函数 $f(x)$ 的图象:
(1) 作出函数 $h(x)=f(x-1)$ 的图象,观察 $f(x)$ 与 $h(x)$ 图象之间的关系;
(2) 新建一个参数 $a \in[-5,5]$,作出函数 $g(x)=f(x-a)$ 的图象,启动动画，观察 $f(x)$ 与 $g(x)$ 图象之间的关系;
（3）总结出一般情况下,函数 $f(x)$ 与 $f(x-a)$ 的图象之间的关系.
(2) 在 GeoGebra 中,任意作出一个函数 $f(x)$ 的图象:
(1) 作出函数 $h(x)=f(2 x)$ 的图象,观察 $f(x)$ 与 $h(x)$ 图象之间的关系;
(2) 新建一个参数 $a \in[-5,5]$,作出函数 $g(x)=f(a x)$ 的图象,启动动画,观察 $f(x)$ 与 $g(x)$ 图象之间的关系；
（3）总结出一般情况下,函数 $f(x)$ 与 $f(a x)$ 的图象之间的关系.
$1171.52\{116.5,125.5,131.8,139.6,148.2,152.6,158.2,171.5\}$
$3 \mathbf{R} \quad 4 \quad \mathbf{Z} \quad 5 \quad\{7\}$
### 2 函数的单调性
## 1. 单调性的定义与证明
## 情境与问题
我们知道,“记忆” 在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色,因此有关记忆的规律一直都是人们研究的课题. 德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究,并给出了类似图 3-1-7 所示的记忆规律.
记忆保持量
图 3-1-7 如果我们以 $x$ 表示时间间隔 (单位: $h$ ),$y$ 表示记忆保持量,则不难看出,图 3-1-7 中,$y$ 是 $x$ 的函数,记这个函数为 $y=f(x)$.
这个函数反映出记忆具有什么规律?你能从中得到什么启发?
情境与问题中的函数 $y=f(x)$ 反映出记忆的如下规律：随着时间间隔 $x$ 的增大，记忆保持量 $y$ 将减小.
给定一个函数,人们有时候关心的是,函数值会随着自变量增大而怎样变化,类似的内容我们在初中曾经接触过.
如图 3-1-8,从正比例函数 $y=2 x$ 的图象可以看出,当自变量由小变大时,这个函数的函数值逐渐变大,即 $y$ 随着 $x$ 的增大而增大;从反比例函数
图 3-1-8 $y=\frac{1}{x}$ 的图象可以看出,在 $(-\infty,0)$ 和 $(0,+\infty)$ 内,这个函数的函数值 $y$ 都随着 $x$ 的增大而减小.
## 尝试与发现
怎样用不等式符号表示“$y$ 随着 $x$ 的增大而增大”“$y$ 随着 $x$ 的增大而减小”?
一般地,设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $D$,且 $I \subseteq D$ :
(1) 如果对任意 $x_{1},x_{2} \in I$,当 $x_{1}<x_{2}$ 时,都有 $f\left(x_{1}\right)<f\left(x_{2}\right)$,则称 $y=f(x)$ 在 $I$ 上是增函数（也称在 $I$ 上单调递增),如图 3-1-9 (1) 所示;
(2) 如果对任意 $x_{1},x_{2} \in I$,当 $x_{1}<x_{2}$ 时,都有 $f\left(x_{1}\right)>f\left(x_{2}\right)$,则称 $y=f(x)$ 在 $I$ 上是减函数 (也称在 $I$ 上单调递减),如图 3-1-9 (2) 所示.
$(1)$
$(2)$
图 3-1-9 两种情况下,都称函数在 $I$ 上具有单调性 (当 $I$ 为区间时,称 $I$ 为函数的单调区间,也可分别称为单调递增区间或单调递减区间).
由增函数和减函数的定义可知,前面给出的例子中,$y=2 x$ 在 $\mathbf{R}$ 上是增函数;$y=\frac{1}{x}$ 在 $(-\infty,0)$ 上是减函数，在 $(0,+\infty)$ 上也是减函数.
| 想一想 |
| :---: |
| 能否说 $y=\frac{1}{x}$ |
| 在定义域内是减函 |
| 数?为什么?|
## 尝试与发现
如图 3-1-10 所示的函数 $y=f(x)$,在 $[-6,-4]$ 上是增函数,在 $[-4$,$-2]$ 上是减函数,在 $[-2,1]$ 上是 1 函数,在 $[1,3]$ 上是 2 函数,在 $[3,6]$ 上是 3 函数.
图 3-1-10
由尝试与发现可知,从函数的图象能方便地看出函数的单调性. 但一般情况下,得到函数的图象并不容易,而且手工作出的图象往往都不精确,因此我们要探讨怎样从函数的解析式来证明函数的单调性. 这可以利用函数单调性的定义和不等式的证明方法.
例 1 求证: 函数 $f(x)=-2 x$ 在 $\mathbf{R}$ 上是减函数.
证明任取 $x_{1},x_{2} \in \mathbf{R}$ 且 $x_{1}<x_{2}$,则 $x_{1}-x_{2}<0$,那么
$$
f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)=\left(-2 x_{1}\right)-\left(-2 x_{2}\right)=2\left(x_{2}-x_{1}\right)>0,$$
从而 $f\left(x_{1}\right)>f\left(x_{2}\right)$.
因此,函数 $f(x)=-2 x$ 在 $\mathbf{R}$ 上是减函数.
一般地,设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$,且 $x_{0} \in D$ : 如果对任意 $x \in D$,都有 $f(x) \leqslant f\left(x_{0}\right)$,则称 $f(x)$ 的最大值为 $f\left(x_{0}\right)$,而 $x_{0}$ 称为 $f(x)$ 的最大值点;如果对任意 $x \in D$,都有 $f(x) \geqslant f\left(x_{0}\right)$,则称 $f(x)$ 的最小值为 $f\left(x_{0}\right)$,而 $x_{0}$ 称为 $f(x)$ 的最小值点. 最大值和最小值统称为最值,最大值点和最小值点统称为最值点.
不难看出,如果函数有最值而且函数的单调性容易求出,则可利用函数的单调性求出函数的最值点和最值.
例 2 判断函数 $f(x)=3 x+5,x \in[-1,6]$ 的单调性,并求这个函数的最值. 解任取 $x_{1},x_{2} \in[-1,6]$ 且 $x_{1}<x_{2}$,则 $x_{1}-x_{2}<0$,那么
$$
f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)=\left(3 x_{1}+5\right)-\left(3 x_{2}+5\right)=3\left(x_{1}-x_{2}\right)<0,$$
所以这个函数是 4 函数.
因此，当 $-1 \leqslant x \leqslant 6$ 时，有
$$
f(-1) \leqslant f(x) \leqslant f(6),$$
从而这个函数的最小值为 $f(-1)=5$
,最大值为 $f(6)=6$
例 2 的结论也可由不等式的知识得到：因为 $-1 \leqslant x \leqslant 6$,所以
$$
-3 \leqslant 3 x \leqslant 18,\quad 2 \leqslant 3 x+5 \leqslant 23 \text {,}
$$
即 $f(-1) \leqslant f(x) \leqslant f(6)$，其余同上.
## 2. 函数的平均变化率
我们已经知道,两点确定一条直线,在平面直角坐标系中,这一结论当然也成立. 一般地,给定平面直角坐标系中的任意两点 $A\left(x_{1},y_{1}\right),B\left(x_{2}\right.$,$\left.y_{2}\right)$,当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时,称
$$
\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}
$$
为直线 $A B$ 的斜率;当 $x_{1}=x_{2}$ 时,称直线 $A B$ 的斜率不存在.
直线 $A B$ 的斜率反映了直线相对于 $x$ 轴的倾斜程度.
若记 $\Delta x=x_{2}-x_{1}$,相应的 $\Delta y=y_{2}-y_{1}$,则当 $\Delta x \neq 0$ 时,斜率可记为 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$.
如图 3-1-11 所示,直线 $A B$ 的斜率即为 Rt $\triangle A C B$ 中 $B C$ 与 $A C$ 的比. 另外,图 3-1-11 中,直线 $A B$ 的斜率大于零,而直线 $A D$ 的斜率小于零.
不难看出,平面直角坐标系中的三个点共线,当且仅当其中任意两点确定的直线的斜率都相等或都不存在. 下面我们用直线的斜率来研究函数的单调性.
由函数的定义可知,任何一个函数图象上的
图 3-1-11 两个点,它们所确定的直线的斜率一定存在.
## 尝试与发现
如图 3-1-12 所示,观察函数图象上任意两点连线的斜率的符号与函数单调性之间的关系，并总结出一般规律.
(1)
(2)
图 3-1-12
可以看出,函数递增的充要条件是其图象上任意两点连线的斜率都大于 0,函数递减的充要条件是其图象上任意两点连线的斜率都小于 0 .
一般地,若 $I$ 是函数 $y=f(x)$ 的定义域的子集,对任意 $x_{1},x_{2} \in I$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$,记 $y_{1}=f\left(x_{1}\right),y_{2}=f\left(x_{2}\right),\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\left(\right.$ 即 $\left.\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}\right)$,则:
(1) $y=f(x)$ 在 $I$ 上是增函数的充要条件是 $\frac{\Delta y}{\Delta x}>0$ 在 $I$ 上恒成立;
(2) $y=f(x)$ 在 $I$ 上是减函数的充要条件是 $\frac{\Delta y}{\Delta x}<0$ 在 $I$ 上恒成立.
一般地,当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时,称
$$
\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}
$$
为函数 $y=f(x)$ 在区间 $\left[x_{1},x_{2}\right] \quad\left(x_{1}<x_{2}\right.$ 时 $)$ 或 $\left[x_{2},x_{1}\right] \quad\left(x_{1}>x_{2}\right.$ 时)上的平均变化率.
利用上述结论，我们可以证明一个函数的单调性.
例如,对于函数 $y=-2 x$ 来说,对任意 $x_{1},x_{2} \in \mathbf{R}$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$,有
$$
\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\left(-2 x_{2}\right)-\left(-2 x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}=\frac{-2 x_{2}+2 x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=-2<0 \text {,}
$$
因此 $y=-2 x$ 在 $\mathbf{R}$ 上是 $7 \quad$ 函数.
我们在物理中已经学习过: 变化率是描述变化快慢的量.
例如,速度是用来衡量物体运动快慢的,速度等于位移的变化量与发生这一变化所用时间的比值,即
$$
v=\frac{\Delta x}{\Delta t}
$$
加速度是用来衡量速度变化快慢的,加速度等于速度的变化量与发生这一变化所用时间的比值,即
$$
a=\frac{\Delta v}{\Delta t}
$$
而且,从物理中我们还知道,由物体的速度-时间图象,可看出加速度的有关信息. 如图所示,如果甲、乙两物体的速度-时间图象都是直线,则由图中的信息可以看出,$\Delta t$ 相等时,$\Delta v_{\text {甲 }}>\Delta v_{\text {乙 }}$,从而甲的速度变化更快,即变化率更大,因此甲的加速度更大.
你注意到了吗?物理中的这个变化率与我们所说的函数的平均变化率其实是一回事.
例 3 求证: 函数 $y=\frac{1}{x}$ 在区间 $(-\infty,0)$ 和 $(0,+\infty)$ 上都是减函数.
证明设 $x_{1} \neq x_{2}$,那么
$$
\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\frac{1}{x_{2}}-\frac{1}{x_{1}}}{x_{2}-x_{1}}=-\frac{1}{x_{1} x_{2}} .
$$
如果 $x_{1},x_{2} \in(-\infty,0)$,则 $x_{1} x_{2}>0$,此时 $\frac{\Delta y}{\Delta x}<0$,所以函数在 $(-\infty,0)$ 上是减函数. 同理，函数在 $(0,+\infty)$ 上也是减函数.
例 4 判断一次函数 $y=k x+b(k \neq 0)$ 的单调性.
解设 $x_{1} \neq x_{2}$,那么
$$
\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{k x_{2}+b-\left(k x_{1}+b\right)}{x_{2}-x_{1}}=k
$$
因此,一次函数的单调性取决于 $k$ 的符号：当 $k>0$ 时,一次函数在 $\mathbf{R}$ 上是增函数；当 $k<0$ 时，一次函数在 $\mathbf{R}$ 上是减函数.
例 4 说明,一次函数 $y=k x+b(k \neq 0)$ 的图象上任意两点确定的直线斜率均为 $k$,这实际上也说明了一次函数的图象一定是直线. 不仅如此,此时从 $\frac{\Delta y}{\Delta x}=k$ 还可以看出,$\Delta y=k \Delta x$,这就意味着在一次函数中,$\Delta y$ 与 $\Delta x$ 成正比,且比例系数为 $k$. 特别地,当自变量每增大一个单位时,因变量增大 $k$ 个单位,而且可以证明,只有一次函数才具有这个性质. 事实上,如果 $\Delta y=k \Delta x$,设 $x=0$ 时函数值为 $y_{0}$,则
$$
y-y_{0}=k(x-0),$$
即 $y=k x+y_{0}$,因此一定是一次函数. 正因为如此,一次函数也经常被称为线性函数.
例如,如果向给定的容器中倒水,且任意相等的时间间隔内所倒的水体积相等,那么容器内水面的高度 $y$ 是时间 $t$ 的函数.
当容器是如图 3-1-13 (1) 所示的圆柱时,在固定的 $\Delta t$ 时间内,$\Delta y$ 应该是常数,因此函数的图象是如图 3-1-13 (2) 所示的一条线段.
(1)
(2)
图 3-1-13
当容器是如图 3-1-14 (1) 所示的圆台时,由容器的形状可知,在固定的 $\Delta t$ 时间内，随着 $t$ 的增加,$\Delta y$ 应该越大,因此函数的图象如图 3-1-14 (2) 所示.
(1)
(2)
图 3-1-14
例 5 证明函数 $f(x)=x^{2}+2 x$ 在 $(-\infty,-1]$ 上是减函数,在 $[-1$,$+\infty)$ 上是增函数,并求这个函数的最值.
证明设 $x_{1} \neq x_{2}$,则
$$
\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}=\frac{\left(x_{2}^{2}+2 x_{2}\right)-\left(x_{1}^{2}+2 x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}=x_{1}+x_{2}+2 .
$$
因此:
当 $x_{1},x_{2} \in(-\infty,-1]$ 时,有 $x_{1}+x_{2}<-2$,从而 $\frac{\Delta y}{\Delta x}<0$,因此 $f(x)$ 在 $(-\infty,-1]$ 上是减函数;
当 $x_{1},x_{2} \in[-1,+\infty)$ 时,有 $x_{1}+x_{2}>-2$,从而 $\frac{\Delta y}{\Delta x}>0$,因此 $f(x)$ 在 $[-1,+\infty)$ 上是增函数.
由函数的单调性可知,函数没有最大值；而且，当 $x \in(-\infty,-1]$ 时，有
$$
f(x) \geqslant f(-1)
$$
当 $x \in[-1,+\infty)$ 时,不等式也成立,因此 $f(-1)=-1$ 是函数的最小值.
用类似的方法可以证明,二次函数 $f(x)=a x^{2}+b x+c(a \neq 0)$ 的单调性为:
(1) 当 $a>0$ 时,$f(x)$ 在 $\left(-\infty,-\frac{b}{2 a}\right]$ 上单调递减,在 $\left[-\frac{b}{2 a},+\infty\right)$ 上单调递增,函数没有最大值,但有最小值 $f\left(-\frac{b}{2 a}\right)=\frac{4 a c-b^{2}}{4 a}$;
（2）当 $a<0$ 时,$f(x)$ 在 $\left(-\infty,-\frac{b}{2 a}\right]$ 上单调递 8,在 $\left[-\frac{b}{2 a},+\infty\right)$ 上单调递 $9 \quad$，函数没有最 $10 \quad$ 值，但有最 11 值 12
当然,这一结论也可以从二次函数的图象是关于 $x=-\frac{b}{2 a}$ 对称的抛物线与开口方向看出来.
## 拓展阅读
## 付出与收获的关系
俗话说,“一分耕耘,一分收获”. 那么,在实际生活中,如果把收获看成付出的函数，它们之间的关系可以怎样描述呢?
如果同样多的付出所得到的收获总是相等,那么收获是付出的线性函数,其图象可以用图 1 表示. 例如,当以匀速的方式驾驶汽车时，行驶的里程与所用的时间之间的关系就是如此.
如果随着付出的增长,同样多的付出所得到的收获不一定相等,那么收获就是付出的非线性函数. 例如,在我们学习新的知识时,可能一开始效率会比较高,单位时间的付出得到的收获会比较大,但随着付出的时间越来越多，单位时间的付出得到的收获会变少,如图 2 所示.
有时还有可能付出增加会导致收获减少,想想家长过分溺爱孩子的后果吧！这种情况可用图 3 表示.
图 1
图 2
图 3 你能说出收获与付出的其他关系吗?
另外,从这里也可看出,利用图形的形有关原理，你体会到了吗?日常生活中这样的例子还有很多，尝试去发现一下吧!
象与直观,能够帮助我们更好地描述和理解
## 练习A
(1) 判断下列命题的真假:
（1）如果 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上是增函数，那么在该区间上,自变量减小时,函数值也减小;
(2) 如果 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上,随着自变量的减小,函数值反而增大,那么 $y=f(x)$ 在 $I$ 上是减函数.
(2) 如图,已知函数 $y=f(x),y=g(x)$ 的图象（包括端点),根据图象写出函数的单调区间，以及在每一个区间上,函数是增函数还是减函数.
(1)
(2)
(第 2 题)
(3) 判断函数 $f(x)=5 x+1,x \in[-2,7]$ 的单调性,并求这个函数的最值.
(4) 依据函数单调性的定义,证明函数 $f(x)=x+\frac{1}{x},x \in[2,+\infty)$ 是递增的.
(5) 判断函数 $y=\sqrt{x}$ 的单调性,并证明.
(6) 证明函数 $f(x)=-x^{2}+2 x$ 在 $(-\infty,1]$ 上是增函数,在 $[1,+\infty)$ 上是减函数,并求这个函数的最值.
## 练习B
(1) 已知函数 $f(x)$ 在区间 $[-1,2]$ 上单调递增,在区间 $[2,5]$ 上单调递减,那么下列说法中，一定正确的是 (1) $f(0)<f(2)$;
(2) $f(3)>f(2)$;
(3) $f(x)$ 在区间 $[-1,5]$ 上有最大值,而且 $f(2)$ 是最大值;
(4) $f(0)$ 与 $f(3)$ 的大小关系不确定;
(5) $f(x)$ 在区间 $[-1,5]$ 上有最小值；
(6) $f(x)$ 在区间 $[-1,5]$ 上的最小值是 $f(5)$.
(2) 判断下列命题的真假:
(1) 如果 $y=f(x)$ 在 $I$ 上是增函数,且 $x_{1},x_{2} \in I$,那么当 $f\left(x_{1}\right)>f\left(x_{2}\right)$ 时,$x_{1}<x_{2}$；
(2) 如果 $y=f(x)$ 在 $I$ 上具有单调性,且 $x_{1},x_{2} \in I$,那么当 $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$ 时,$x_{1}=x_{2}$.
(3) 已知函数 $f(x)=-x-1$ 的定义域为 $D$,值域为 $[-6,2]$,求 $D$.
(4) 向一个圆台形的容器 (如图所示) 中倒水,且任意相等的时间间隔内所倒的水体积相等,记容器内水面的高度 $y$ 随时间 $t$ 变化的函数为 $y=f(t)$,
则以下函数图象中,可能是 $y=f(t)$ 的图象的是 $(\quad)^{1}$.
(第 4 题)
(A)
(B)
(C)
(D)
(5) 求 $f(x)=2 x^{2}+6 x,x \in[-5,3]$ 的单调区间,并求这个函数的最值.
(6) 求证: $(-\infty,2)$ 不是函数 $f(x)=x^{2}$ 的单调区间.
(7) 已知函数 $y=f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的增函数,$k>0$,且 $g(x)=k f(x)$,求证: $g(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上也是增函数.
8 是否存在函数 $f(x)$,其在定义域上既不是增函数,也不是减函数?如果不存在,说明理由;如果存在,举出实例.
1 增 2 减 3 增 4 增 5246234 减 8 增 9 减
10 小 11 大 $12 f\left(-\frac{b}{2 a}\right)=\frac{4 a c-b^{2}}{4 a}$
(1) 本章导语中向容器中倒水的问题的答案与此题的答案类似.
### 3 函数的奇偶性
## 1. 函数的奇偶性
初中时我们学习过有关轴对称和中心对称的知识,而且已经知道,在平面直角坐标系中,点 $(x,y)$ 关于 $y$ 轴的对称点为 $(-x,y)$,关于原点的对称点为 $(-x,-y)$. 例如,(-2,3) 关于 $y$ 轴的对称点为 1,关于原点的对称点为 2
## 尝试与发现
填写下表,观察指定函数的自变量 $x$ 互为相反数时,函数值之间具有什么关系，并分别说出函数图象应具有的特征.
| $x$ | -3 | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $f(x)=x^{2}$ | | | | | | |
| $g(x)=\frac{1}{\|x\|}$ | | | | | | |
不难发现,上述两个函数，当自变量取互为相反数的两个值 $x$ 和 $-x$ 时，对应的函数值相等，即
$$
\begin{aligned}
& f(-x)=(-x)^{2}=x^{2}=f(x),\\
& g(-x)=\frac{1}{|-x|}=\frac{1}{|x|}=g(x) .
\end{aligned}
$$
一般地,设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $D$,如果对 $D$ 内的任意一个 $x$,都有 $-x \in D$,且
$$
f(-x)=f(x)
$$
则称 $y=f(x)$ 为偶函数.
如果 $y=f(x)$ 是偶函数,其图象具有什么特征呢?
我们知道,点 $P(x,f(x))$ 与 $Q(-x,f(-x))$ 都是函数 $y=f(x)$ 图象上的点,按照偶函数的定义,点 $Q$ 又可以写成 $Q(-x,f(x))$,因此点 $P$ 和点 $Q$ 关于 $y$ 轴对称,所以偶函数的图象关于 $y$ 轴对称;反之,结论也成立,即图象关于 $y$ 轴对称的函数一定是偶函数. 如图 3-1-15 所示是尝试与发现中两个函数的图象.
(1)
(2)
图 3-1-15
## 尝试与发现
按照类似的方式得到奇函数的定义,以及奇函数图象的特征:
一般地,设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $D$,如果对 $D$ 内的任意一个 $x$,都有 3,且
则称 $y=f(x)$ 为奇函数.
奇函数的图象关于 5 对称.
奇函数的图象特征也可按照下述方式得到：点 $P(x,f(x))$ 与 $Q(-x$,$f(-x))$ 都是函数 $y=f(x)$ 图象上的点,如果 $y=f(x)$ 是奇函数,则点 $Q$ 又可以写成 $Q(-x,-f(x))$,因此点 $P$ 和点 $Q$ 关于原点对称,所以奇函数的图象关于原点对称;反之,结论也成立,即图象关于原点对称的函数一定是奇函数. 如图 3-1-16 所示是奇函数 $f(x)=x^{3}$ 和 $g(x)=\frac{1}{x}$ 的图象.
(1)
(2)
图 3-1-16
如果一个函数是偶函数或是奇函数,则称这个函数具有奇偶性. 可以看出,当 $n$ 是正整数时,函数 $f(x)=x^{2 n}$ 是偶函数,函数 $g(x)=x^{2 n-1}$ 是奇函数.
例 1 判断下列函数是否具有奇偶性:
(1) $f(x)=x+x^{3}+x^{5}$;(2) $f(x)=x^{2}+1$;(3) $f(x)=x+1$;(4) $f(x)=x^{2},x \in[-1,3]$.
(1) 因为函数的定义域为 $\mathbf{R}$,所以 $x \in \mathbf{R}$ 时,$-x \in \mathbf{R}$.
又因为
$f(-x)=(-x)+(-x)^{3}+(-x)^{5}=-\left(x+x^{3}+x^{5}\right)=-f(x)$,
所以函数 $f(x)=x+x^{3}+x^{5}$ 是 6 函数.
(2) 因为函数的定义域为 $\mathbf{R}$,所以 $x \in \mathbf{R}$ 时,$-x \in \mathbf{R}$.
又因为
$$
f(-x)=(-x)^{2}+1=x^{2}+1=f(x),$$
所以函数 $f(x)=x^{2}+1$ 是 $7 \quad$ 函数.
(3) 因为函数的定义域为 $\mathbf{R}$,所以 $x \in \mathbf{R}$ 时,$-x \in \mathbf{R}$.
又因为 $f(-1)=0,f(1)=2$,所以
$$
f(-1) \neq-f(1) \text { 且 } f(-1) \neq f(1),$$
因此函数 $f(x)=x+1$ 既不是奇函数也不是偶函数（也可说成 $f(x)$ 是非奇非偶函数).
(4) 因为函数的定义域为 $[-1,3]$,而 $3 \in[-1,3]$,但 $-3 \notin$ $[-1,3]$,所以函数 $f(x)=x^{2},x \in[-1,3]$ 是非奇非偶函数.
例 1 (4) 说明,设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$,如果存在 $x_{0} \in D$,但 $-x_{0} \notin D$,即函数 $f(x)$ 的定义域不关于原点对称,则 $f(x)$ 既不是奇函数也不是偶函数.
例 2 已知奇函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$,且 $0 \in D$,求证: $f(0)=0$.
证明因为 $f(x)$ 是奇函数,所以
$$
f(-0)=-f(0),$$
即 $f(0)=-f(0)$,所以 $2 f(0)=0$,因此 $f(0)=0$.
## 2. 函数奇偶性的应用
因为函数的奇偶性描述了函数图象具有的对称性,所以利用函数的奇偶性能简化函数性质的研究. 如果知道一个函数是奇函数或是偶函数,那么其定义域能分成关于原点对称的两部分,得出函数在其中一部分上的性质和图象,就可得出这个函数在另一部分上的性质和图象.
## 尝试与发现
已知函数 $f(x)$ 满足 $f(5)=-3$，分别在条件“$f(x)$ 是偶函数”与“$f(x)$ 是奇函数” 下求出 $f(-5)$ 的值.
显然,如果 $f(x)$ 是偶函数,则 $f(-5)=f(5)=-3$;如果 $f(x)$ 是奇函数，则 $f(-5)=-f(5)=3$.
例 3 已知函数 $f(x)$ 满足 $f(5)<f(3)$,分别在下列各条件下比较 $f(-5)$ 与 $f(-3)$ 的大小:
(1) $f(x)$ 是偶函数;
(2) $f(x)$ 是奇函数.
解 (1) 因为 $f(x)$ 是偶函数,所以 $f(-x)=f(x)$,因此
$$
f(-5)=f(5),f(-3)=f(3),$$
从而由条件可知 $f(-5)<f(-3)$.
(2) 因为 $f(x)$ 是奇函数,所以 $f(-x)=-f(x)$,因此
$$
f(-5)=-f(5),f(-3)=-f(3),$$
又由条件可知 $-f(5)>-f(3)$,从而 $f(-5)>f(-3)$.
例 3 说明,当 $f(x)$ 具有奇偶性时,函数的单调性会有一定规律.
## 尝试与发现
已知函数 $y=f(x)$ 是偶函数,$y=g(x)$ 是奇函数,且它们的部分图象如图 3-1-17 所示,补全函数图象,并总结出当函数具有奇偶性时,函数单调性的规律.
图 3-1-17
不难看出，如果 $y=f(x)$ 是偶函数，那么其在 $x>0$ 与 $x<0$ 时的单调性相反；如果 $y=f(x)$ 是奇函数,那么其在 $x>0$ 与 $x<0$ 时的单调性相同.
例 4 研究函数 $y=\frac{1}{x^{2}}$ 的性质,并作出函数图象.
解要使函数表达式有意义,需有 $x \neq 0$,因此函数的定义域为
$$
D=\{x \in \mathbf{R} \mid x \neq 0\},$$
从而可知函数的图象有左右两部分.
设 $f(x)=\frac{1}{x^{2}}$,则对任意 $x \in D$,都有 $-x \in D$,而且
$$
f(-x)=\frac{1}{(-x)^{2}}=\frac{1}{x^{2}}=f(x)
$$
所以函数 $y=\frac{1}{x^{2}}$ 是偶函数,函数的两部分图象关于 $y$ 轴对称.
下面研究函数在区间 $(0,+\infty)$ 上的性质及图象.
因为 $x_{1},x_{2} \in(0,+\infty)$ 时，有
$$
\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\frac{1}{x_{2}^{2}}-\frac{1}{x_{1}^{2}}}{x_{2}-x_{1}}=-\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}^{2} x_{2}^{2}}<0,$$
所以 $y=\frac{1}{x^{2}}$ 在 $(0,+\infty)$ 上是减函数.
又因为 $x \in(0,+\infty)$ 时,$y=\frac{1}{x^{2}}>0$,所以函数图象在右边的部分一定在第一象限. 列出部分函数值如下表所示,然后可以描点作图.
| $x$ | $\frac{1}{2}$ | 1 | 2 | 3 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $y=\frac{1}{x^{2}}$ | 4 | 1 | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{9}$ |
再根据函数是偶函数,可以得出函数的图象,如图 3-1-18 所示,而且函数的定义域为 $\{x \in \mathbf{R} \mid x \neq 0\}$，函数是偶函数，在 $(-\infty,0)$ 上单调递增，在 $(0,+\infty)$ 上单调递减,函数的值域是 $(0,+\infty)$
利用研究奇偶函数的类似方法还可以研究更一般的函数图象的对称性.
图 3-1-18
例 5 求证: 二次函数 $f(x)=x^{2}+$ $4 x+6$ 的图象关于 $x=-2$ 对称.
## 尝试与发现
初中时,我们就在观察图象的基础上总结出过这个结论,但当时并没有给出严格的证明. 为了证明函数的图象关于 $x=0$ (即 $y$ 轴) 对称,只需证明 $x$ 轴上关于原点对称的两点对应的函数值相等,那么该怎样证明函数的图象关于 $x=-2$ 对称呢?
如图 3-1-19 所示,已知数轴上的 $A,B$ 两点关于 -2 对应的点对称,而且点 $A$ 的坐标是 $-2+h$,则点 $B$ 的坐标是 8
图 3-1-19
证明任取 $h \in \mathbf{R}$,因为
$$
\begin{aligned}
f(-2+h) & =(-2+h)^{2}+4(-2+h)+6 \\
& =h^{2}+2,\\
f(-2-h) & =(-2-h)^{2}+4(-2-h)+6 \\
& =h^{2}+2,\end{aligned}
$$
所以 $f(-2+h)=f(-2-h)$,这就说明函数的图象关于 $x=-2$ 对称.
由例 5 可知,要证明函数图象关于垂直于 $x$ 轴的直线对称并不难,但怎样才能找到对应的对称轴呢?以例 5 所示的二次函数为例,注意到
$$
f(x)=x^{2}+4 x+6=(x+2)^{2}+2 \text {,}
$$
由此就容易得到 $f(-2+h)=f(-2-h)$,从而可知 $f(x)$ 图象的对称轴为 $x=-2$.
## 探萦与研究
（1）如果一个函数是奇函数，那么其值域具有什么特点?
（2）怎样才能证明函数的图象关于点（3，0）对称?一般地,怎样证明函数的图象关于点 $(a,b)$ 对称?
## 练习A
(1) 判断下列命题的真假:
（1）如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数;
（2）如果一个函数为奇函数，则它的定义域关于坐标原点对称;
(3) 如果一个函数的图象关于 $y$ 轴对称，则这个函数为偶函数.
(2) 判断下列函数是否具有奇偶性:
(1) $f(x)=x+x^{3}$;(2) $f(x)=-x^{2}$
(3) $f(x)=x^{3}+1$;(4) $f(x)=\frac{1}{x^{2}+1},x \in[-1,2]$.
(3) 已知函数 $f(x)$ 满足 $f(-3)>f(-1)$,分别在下列各条件下比较 $f(3)$ 与 $f(1)$ 的大小.
（1） $f(x)$ 是偶函数;(2) $f(x)$ 是奇函数.
(4) 如果定义域为 $\mathbf{R}$ 的函数 $f(x)$ 满足 $f(0) \neq 0$,函数 $f(x)$ 可能是奇函数吗?可能是偶函数吗?说明理由.
## 练习 $B$
(1) 求证: 二次函数 $f(x)=x^{2}-6 x$ 的图象关于 $x=3$ 对称.
(2) 已知函数 $f(x)=x^{5}+a x^{3}+b x-8$,且 $f(-2)=10$,求 $f(2)$ 的值.
(3) 已知函数 $y=f(x)$ 的定义域关于原点对称,判断下列函数的奇偶性:
(1) $h(x)=f(x)+f(-x)$;(2) $h(x)=f(x)-f(-x)$;(3) $h(x)=f(x) f(-x)$.
(4) 如果函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的定义域相同,且 $f(x)$ 为偶函数,$g(x)$ 为奇函数,判断下列函数的奇偶性,并说明理由:
(1) $h(x)=f(x) g(x)$;(2) $h(x)=f(x)+g(x)$.
(5) 已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$,且函数图象关于 $x=3$ 对称,$f(x)$ 在区间 $(-\infty,3]$ 上是增函数,判断 $f(x)$ 在 $[3,+\infty)$ 上的单调性.
(6) 是否存在函数 $f(x)$,其既是奇函数,又是偶函数?如果不存在,说明理由;如果存在,举出实例.
(7) 研究函数 $f(x)=x+\frac{9}{x}$ 的性质,并作出函数图象.
$1(2,3)$
$2(2,-3)$
$3-x \in D$
$f(-x)=-f(x)$
5 原点
6 奇 7 偶 $\quad 8-2-h$
## 习题3-1A
(1) 已知下列表格表示的是函数 $s=g(t)$,写出 $g(-2),g(0),g(\sqrt{3})$.
| $t$ | $(-\infty,0)$ | 0 | $(0,+\infty)$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| $s$ | -1 | 0 | 1 |
(2) 已知函数 $f(x)=x^{3}+2 x$,求 $f(0)$ 与 $f(-3)$.
(3) 求函数 $f(x)=\frac{1}{1-x}+\sqrt{x+1}$ 的定义域.
(4) 已知 $f(x)=1-x^{2}$,求 $f(-2),f(0)$ 和 $f(15)$,并求函数 $f(x)$ 的值域.
(5) 函数的图象与 $y$ 轴的公共点个数有多少种不同的情况?举例说明.
(6) 已知函数 $y=f(x),y=g(x)$ 都是 $\mathbf{R}$ 上的增函数,求证: $f(x)+g(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上也是增函数.
(7) 已知奇函数 $f(x)$ 在区间 $[1,6]$ 上是增函数,且最大值为 10,最小值为 4,判断 $f(x)$ 在 $[-6,-1]$ 上的单调性,并求 $f(x)$ 在 $[-6,-1]$ 上的最值.
(8) 分别求函数 $f(x)=x^{2}+6 x$ 的定义域为下列区间时的最值:
(1) $[-6,7]$;(2) $[1,3]$;(3) $[-6,-4]$.
(9) 判断下列函数是否具有奇偶性:
(1) $f(x)=(x+1)(x-1)$;(2) $f(x)=x(x+1)$;(3) $f(x)=x+\sqrt[3]{x}$
(4) $f(x)=\frac{1}{x^{2}-1}$.
## 习题3-1B
(1) 已知集合 $A=[a,+\infty)$,对应关系 $f$ 为“求倒数”,而且 $f$ 为 $A$ 上的函数,求实数 $a$ 的取值范围.
(2) 已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2},x \leqslant 1,\\ 8 x,x>1,\end{array}\right.$ 若 $f(x)=\frac{1}{4}$,求 $x$ 的值.
(3) 已知函数 $f(x)=\frac{2}{\sqrt{x}}$,求这个函数的定义域与值域.
(4) 已知函数 $f(x)=3 x-4$ 的定义域为 $D$,值域为 $[-10,5]$,求 $D$.
(5) 已知函数
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
x-1,x \in(-\infty,0] \\
2 x-3,x \in(0,+\infty)
\end{array}\right.
$$
作出函数的图象,并求不等式 $f(x)>0$ 的解集.
(6) 写出下列函数的单调性,并证明:
(1) $y=\frac{1}{x-2}$;(2) $y=\frac{1}{\sqrt{x}}$.
(7) 已知函数 $f(x)=a x^{2}-2 a x-3$,其中 $a>0$,运用函数的性质,比较 $f(-2)$ 与 $f(4),f(-3)$ 与 $f(3)$ 的大小. (8) 已知函数 $f(x)=(x-1)^{2}+a x+2$ 是偶函数,求实数 $a$ 的值.
9) 求证: $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x-1,x \geqslant 0,\\ -x-1,x<0\end{array}\right.$ 是偶函数.
(10) 研究函数 $f(x)=x^{2}-2|x|-1$ 的性质,并作出函数图象.
## 习题3-1C
(1) 对于每个实数 $x$,设 $f(x)$ 取 $y=4 x+1,y=x+2,y=-2 x+4$ 三个函数值中的最小值,用分段函数的形式写出 $f(x)$ 的解析式,并求 $f(x)$ 的最大值.
(2) 若函数 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的偶函数,且 $f(x)$ 在 $(-\infty,0]$ 上是减函数,$f(2)=0$,求不等式 $f(x)<0$ 的解集.
(3) 求证：函数 $f(x)=\frac{1}{x-1}$ 的图象关于点 $(1,0)$ 对称.
(4) 求函数 $f(x)=x^{2}+2 a x,x \in[1,3]$ 的最值.
## 2 函数与方程、不等式之间的关系
## 1. 函数的零点
## 尝试与发现
已知函数 $f(x)=x-1$,我们知道，这个函数的定义域为 1,而且可以求出,方程 $f(x)=0$ 的解集为 2,不等式 $f(x)>0$ 的解集为 $3 \quad$，不等式 $f(x)<0$ 的解集为 4 .
在图 3-2-1 中作出函数 $f(x)=x-1$ 的图象,总结上述方程、不等式的解集与函数定义域、函数图象之间的关系.
图 3-2-1
由尝试与发现中的例子可以看出,根据函数值的符号能够把函数的定义域分为几个不相交的集合. 具体来说,假设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$,若
$$
\begin{aligned}
& A=\{x \in D \mid f(x)<0\},\\
& B=\{x \in D \mid f(x)=0\},\\
& C=\{x \in D \mid f(x)>0\},\end{aligned}
$$
显然,$A,B,C$ 两两的交集都为空集,且 $D=A \cup B \cup C$.
一般地，如果函数 $y=f(x)$ 在实数 $\alpha$ 处的函数值等于零,即 $f(\alpha)=0$,则称 $\alpha$ 为函数 $y=f(x)$ 的零点. 上述集合 $B$ 就是函数所有零点组成的集合.
不难看出，$\alpha$ 是函数 $f(x)$ 零点的充分必要条件是,$(\alpha,0)$ 是函数图象与 $x$ 轴的公共点. 因此,由函数的图象可以方便地看出函数值等于 0 的方程的解集,以及函数值与 0 比较相对大小的不等式的解集.
例 1 如图 3-2-2 所示是函数 $y=f(x)$ 的图象,分别写出 $f(x)=0$,$f(x)>0,f(x) \leqslant 0$ 的解集.
图 3-2-2 解由图可知,$f(x)=0$ 的解集为
$$
\{-5,-3,-1,2,4,6\} .
$$
$f(x)>0$ 的解集为
$$
(-5,-3) \cup(2,4) \cup(4,6) \text {. }
$$
$f(x) \leqslant 0$ 的解集为
## 5
依照零点的定义可知,求函数 $y=f(x)$ 的零点,实质上就是要解方程 $f(x)=0$,而且只要得到了这个方程的解集,就可以知道函数图象与 $x$ 轴的交点,再根据函数的性质等,就能得到类似 $f(x)>0$ 等不等式的解集.
## 2. 二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
我们已经知道怎样求解一元二次方程,而且也知道二次函数的图象是抛物线,因此可以借助二次函数的图象得到一元二次不等式的解集.
例 2 利用函数求下列不等式的解集:
(1) $x^{2}-x-6<0$;(2) $x^{2}-x-6 \geqslant 0$.
解设 $f(x)=x^{2}-x-6$,令 $f(x)=0$,得
$$
x^{2}-x-6=0 \text {,}
$$
即 $(x-3)(x+2)=0$,从而 $x=3$ 或 $x=-2$.
因此,3 和 -2 都是函数 $f(x)$ 的零点,从而 $f(x)$ 的图象与 $x$ 轴相交于 (3,0) 和 $(-2,0)$,又因为函数图象是开口向上的抛物线,所以可以作出函数图象的示意图,如图 3-2-3 所示.
由图可知:
（1）所求解集为 $(-2,3)$;
(2) 所求解集为 $(-\infty,-2] \cup[3$,$+\infty)$
例 3 利用函数求下列不等式的解集:
(1) $-x^{2}-2 x-3 \geqslant 0$;
(2) $-x^{2}-2 x-3<0$.
解设 $f(x)=-x^{2}-2 x-3$,令 $f(x)=0$,得
$$
x^{2}+2 x+3=0 \text {,}
$$
即 $(x+1)^{2}=-2$,该方程无解.
图 3-2-3
图 3-2-4 因此函数 $f(x)$ 无零点,从而 $f(x)$ 的图象与 $x$ 轴没有交点,又因为函数图象是开口向下的抛物线,所以可以作出函数图象的示意图,如图 3-2-4 所示.
由图可知:
（1）所求解集为 $\varnothing$;
（2）所求解集为 $\mathbf{R}$.
例 4 利用函数求下列不等式的解集 :
(1) $x^{2}-4 x+4>0$;(2) $x^{2}-4 x+4 \leqslant 0$.
解设 $f(x)=x^{2}-4 x+4$,令 $f(x)=0$,得
$$
x^{2}-4 x+4=0 \text {,}
$$
即 $(x-2)^{2}=0$,从而 $x=2$.
因此,函数 $f(x)$ 的零点为 2,从而 $f(x)$ 的图象与 $x$ 轴相交于 $(2,0)$,又因为函数图象是开口向上的抛物线,所以可知:
(1) 所求解集为 $(-\infty,2) \cup(2,+\infty)$;
(2) 所求解集为 $\{2\}$.
一般地，由一元二次方程解集的情况可知，对于二次函数 $f(x)=a x^{2}+$ $b x+c(a \neq 0):$
（1）当 $\Delta=b^{2}-4 a c>0$ 时,方程 $a x^{2}+b x+c=0$ 的解集中有两个元素 $x_{1},x_{2}$,且 $x_{1},x_{2}$ 是 $f(x)$ 的两个零点,$f(x)$ 的图象与 $x$ 轴有两个公共点 $\left(x_{1},0\right),\left(x_{2},0\right)$;
（2）当 $\Delta=b^{2}-4 a c=0$ 时,方程 $a x^{2}+b x+c=0$ 的解集中只有一个元素 $x_{0}$,且 $x_{0}$ 是 $f(x)$ 唯一的零点,$f(x)$ 的图象与 $x$ 轴有一个公共点 $\left(x_{0},0\right)$;
（3）当 $\Delta=b^{2}-4 a c<0$ 时,方程 $a x^{2}+b x+c=0$ 没有实数根,此时 $f(x)$ 无零点,$f(x)$ 的图象与 $x$ 轴没有公共点.
更进一步,可以由二次函数的图象得到对应的不等式的解集,有关内容留作练习.
例 5 求函数 $f(x)=(x+2)(x+1)(x-1)$ 的零点,并作出函数图象的示意图,写出不等式 $f(x)>0$ 和 $f(x) \leqslant 0$ 的解集.
解函数零点为 $-2,-1,1$.
函数的定义域被这三个点划分了四个区间，每个区间函数值的符号如下表所示.
| $x$ | $(-\infty,-2)$ | $(-2,-1)$ | $(-1,1)$ | $(1,+\infty)$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $f(x)$ | - | + | - | + |
由此可以作出函数图象的示意图,如图 3-2-5 所示.
由图可知 $f(x)>0$ 的解集为
$$
(-2,-1) \cup(1,+\infty) \text {;}
$$
$f(x) \leqslant 0$ 的解集为
$$
(-\infty,-2] \cup[-1,1] \text {. }
$$
图 3-2-5
## 3. 零点的存在性及其近似值的求法
## 尝试与发现
关于 $x$ 的一元一次方程 $k x+b=0(k \neq 0)$ 的求根公式为 6
一次函数、二次函数的零点是否存在,并不难判别,这是因为一元一次方程、一元二次方程实数解的情况,都可以根据它们的系数判别出来,而且有实数根的时候,都能够写出求根公式.
但是,对于次数大于或等于 3 的多项式函数 (例如 $f(x)=a x^{3}+b x^{2}+$ $c x+d$,其中 $a \neq 0)$,以及其他表达式更复杂的函数来说,判断零点是否存在以及求零点,都不是容易的事（事实上,数学家们已经证明: 次数大于 4 的多项式方程,不存在通用的求根公式). 因此,我们有必要探讨什么情况下一个函数一定存在零点.
## 尝试与发现
如图 3-2-6 所示,已知 $A,B$ 都是函数 $y=f(x)$ 图象上的点,而且函数图象是连接 $A,B$ 两点的连续不断的线,作出 3 种 $y=f(x)$ 的可能的图象.
判断 $f(x)$ 是否一定存在零点,总结出一般规律.
图 3-2-6
可以看出,尝试与发现中的函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 中一定存在零点.
函数零点存在定理如果函数 $y=f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的图象是连续不断的,并且 $f(a) f(b)<0$ (即在区间两个端点处的函数值异号),则函数 $y=f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 中至少有一个零点,即 $\exists x_{0} \in(a,b),f\left(x_{0}\right)=0$. 一般地,解析式是多项式的函数的图象都是连续不断的. 需要注意的是,反比例函数 $y=\frac{1}{x}$ 的图象不是连续不断的.
例 6 求证: 函数 $f(x)=x^{3}-2 x+2$ 至少有一个零点.
证明因为
$$
f(0)=2>0,f(-2)=-8+4+2=-2<0
$$
所以 $f(-2) f(0)<0$,因此 $\exists x_{0} \in(-2,0),f\left(x_{0}\right)=0$,即结论成立.
例 6 中的函数在区间 $(-2,0)$ 中存在零点 $x_{0}$,但是不难看出,求出 $x_{0}$ 的精确值并不容易,那么,能不能想办法得到这个零点的近似值呢?比如,能否求出一个 $x_{1}$,使得 $\left|x_{1}-x_{0}\right|<\frac{1}{8}$?
## 尝试与发现
如果在区间 $(-2,0)$ 中任取一个数作为 $x_{0}$ 的近似值，那么误差小于多少?如果取区间 $(-2,0)$ 的中点作为 $x_{0}$ 的近似值，那么误差小于多少?怎样才能不断缩小误差?
如果在区间 $(-2,0)$ 中任取一个数作为 $x_{0}$ 的近似值,误差小于 2;如果取区间 $(-2，0)$ 的中点作为 $x_{0}$ 的近似值，误差小于 1 .
一般地,求 $x_{0}$ 的近似值,可以通过计算区间中点函数值,从而不断缩小零点所在的区间来实现，具体计算过程可用如下表格表示.
| 零点所在区间 | 区间中点 | 中点对应的函数值 | $\begin{array}{c}\text { 取中点作为近似值时 } \\ \text { 误差小于的值 }\end{array}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| $(-2,0)$ | $\frac{-2+0}{2}=-1$ | $f(-1)=-1+2+2=3>0$ | 1 |
| $(-2,-1)$ | $\frac{-2-1}{2}=-\frac{3}{2}$ | $f\left(-\frac{3}{2}\right)=-\frac{27}{8}+3+2=\frac{13}{8}>0$ | $\frac{1}{2}$ |
| $\left(-2,-\frac{3}{2}\right)$ | $\frac{-2-\frac{3}{2}}{2}=-\frac{7}{4}$ | $f\left(-\frac{7}{4}\right)=-\frac{343}{64}+\frac{7}{2}+2=\frac{9}{64}>0$ | $\frac{1}{4}$ |
| $\left(-2,-\frac{7}{4}\right)$ | $\frac{-2-\frac{7}{4}}{2}=-\frac{15}{8}$ | | $\frac{1}{8}$ |
其中第 2 行的区间是 $(-2,-1)$,这是因为 $f(-2) f(-1)<0$,其他区间都是用类似方式得到的. 最后一行的函数值没有计算,是因为不管 $x_{0} \in\left(-2,-\frac{15}{8}\right]$,还是 $x_{0} \in\left[-\frac{15}{8},-\frac{7}{4}\right)$，我们都可以将 $-\frac{15}{8}$ 看成 $x_{0}$ 的近似值,而且误差小于 $\frac{1}{8}$.
当然,按照类似的方式继续算下去,可以得到精确度更高的近似值.
上述这种求函数零点近似值的方法称为二分法.
在函数零点存在定理的条件满足时 (即 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的图象是连续不断的,且 $f(a) f(b)<0)$,给定近似的精确度 $\varepsilon$,用二分法求零点 $x_{0}$ 的近似值 $x_{1}$,使得 $\left|x_{1}-x_{0}\right|<\varepsilon$ 的一般步骤如下:
第一步检查 $|b-a| \leqslant 2 \varepsilon$ 是否成立,如果成立,取 $x_{1}=\frac{a+b}{2}$,计算结束;如果不成立,转到第二步.
第二步计算区间 $(a,b)$ 的中点 $\frac{a+b}{2}$ 对应的函数值,若 $f\left(\frac{a+b}{2}\right)=$ 0,取 $x_{1}=\frac{a+b}{2}$,计算结束;若 $f\left(\frac{a+b}{2}\right) \neq 0$,转到第三步.
第三步若 $f(a) f\left(\frac{a+b}{2}\right)<0$,将 $\frac{a+b}{2}$ 的值赋给 $b$ (用 $\frac{a+b}{2} \rightarrow b$ 表示,下同),回到第一步;否则必有 $f\left(\frac{a+b}{2}\right) f(b)<0$,将 $\frac{a+b}{2}$ 的值赋给 $a$,回到第一步.
这些步骤可用如图 3-2-7 所示的框图表示.
图 3-2-7
例 7 已知函数 $f(x)=x^{2}+a x+1$ 有两个零点,在区间 $(-1,1)$ 上是单调的,且在该区间中有且只有一个零点,求实数 $a$ 的取值范围. 解因为函数 $f(x)$ 的图象是开口向上的抛物线,因此满足条件的函数图象的示意图如图 3-2-8 (1) (2) 所示.
(1)
(2)
图 3-2-8
不管哪种情况,都可以归结为 $f(-1) f(1)<0$ 且 $\left|-\frac{a}{2}\right| \geqslant 1$,因此 $(2-a)(a+2)<0$ 且 $|a| \geqslant 2$,
解得 $a<-2$ 或 $a>2$.
## 拓展阅读
## 二分法在搜索中的应用
日常生活中,我们经常要利用计算机、网络来搜索信息. 你知道吗?二分法在搜索的过程中扮演着非常重要的角色.
下图中的 15 个数是按从小到大排列的. | 2 | 5 | 8 | 11 | 12 | 16 | 23 | 27 | 29 | 35 | 51 | 53 | 69 | 75 | 77 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | 如果随机给出一个不大于 100 的自然数 $x$,要让计算机查找 $x$ 是否在上面这列数中,设计怎样的查找方法,才能保证不管给出的是什么数,都能在指定的步骤内查到结果呢?
如果让计算机将 $x$ 逐一与图中的数去比较,那么在有些情况下,只要比较 1 次就可以了 (例如 $x=1$ ),但在有些情况下,却要比较 15 次才能完成任务 (例如 $x=80$ ).
如果我们用二分法的思想来查找,情况就不一样了: 每一次都让 $x$ 与序列中正中间的数进行大小比较,通过这种方式缩小其可能的位置范围. 例如,$x=13$ 时的查找过程可用下图表示.
\section{| 2 | 5 | 8 | 11 | 12 | 16 | 23 | 27 | 29 | 35 | 51 | 53 | 69 | 75 | 77 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |}
I
| 2 | 5 | 8 | 11 | 12 | 16 | 23 | 27 | 29 | 35 | 51 | 53 | 69 | 75 | 77 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
I
| 2 | 5 | 8 | 11 | 12 | 16 | 23 | 27 | 29 | 35 | 51 | 53 | 69 | 75 | 77 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | I
| 2 | 5 | 8 | 11 | 12 | 16 | 23 | 27 | 29 | 35 | 51 | 53 | 69 | 75 | 77 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
由此不难看出,不管给出的是什么数,最多 4 次就能完成任务.
计算机中的很多搜索程序都是用类似方法编写的,而且二分法在故障排除、实验设计方面都有应用,感兴趣的同学去查阅有关书籍和网站吧！
## ⒋ 用信息技术求函数零点
用 GeoGebra 中的 root 命令,可以方便地求得多项式函数的图象与 $x$ 轴的交点坐标,从而得到对应函数的零点信息.
例如,在“输人” 对话框中输人“root $[x 2-x-6] ”$ 后按回车键,将得到函数 $f(x)=x^{2}-x-6$ 的图象与 $x$ 轴的两个交点 $A,B$ 的坐标；
输人“root $[\mathrm{x} 3-2 \mathrm{x}+2]$ ” 后按回车键,将得到函数 $f(x)=x^{3}-2 x+2$ 的图象与 $x$ 轴的交点 $C$ 的坐标;
输人“root $[\mathrm{x} 3-2 \mathrm{x}+2,1,2]$ ”后按回车键,将得到函数 $f(x)=$ $x^{3}-2 x+2,x \in[1,2]$ 的图象与 $x$ 轴的交点的信息.
显示结果如图 3-2-9 所示,其中的“末定义”表示没有交点.
图 3-2-9
## 习题3-2A
(1) 求下列函数的零点:
(1) $f(x)=-3 x+2$;(2) $f(x)=(x-1)^{2}\left(x^{2}-2\right)$.
(2) 如图所示是函数 $y=f(x)$ 的图象，分别写出 $f(x)=0,f(x)>0,f(x) \leqslant 0$ 的解集.
(第 2 题)
(3) 利用函数求下列不等式的解集:
(1) $x^{2}-2 x-3>0$;(2) $x^{2}-8 x+16 \geqslant 0$;(3) $x^{2}+4 x+5>0$.
(4) 判断下列命题的真假:
(1) 若函数 $f(x)$ 的图象是连续不断的，且在区间 $[1,4]$ 上有 $f(1) f(4)<0$,则函数 $f(x)$ 在区间 $(1,4)$ 中至少有一个零点;(2) 若函数 $f(x)$ 的图象是连续不断的,且在区间 $[1，4]$ 上有 $f(1) f(4)>0$,则函数 $f(x)$ 在区间 $(1,4)$ 中一定没有零点.
(5) 判断一次函数 $f(x)=k x+b(k \neq 0)$ 是否一定存在零点,并说明理由.
(6) 已知 $f(x)=x^{2}+a x+b$,且 $f(x)<0$ 的解集是 $(-3,-1)$,求实数 $a,b$ 的值.
(7) 当 $m$ 是什么实数时,函数 $f(x)=m x^{2}-(1-m) x+m$ 没有零点?
(8) 写出一个同时满足下列两个条件的函数 $f(x)$ :
(1) $f(1) f(-1)<0$;(2) $f(x)$ 无零点.
(9) 定义域为 $\mathbf{R}$ 的奇函数可能没有零点吗?为什么?
(10) 已知函数 $y=f(x)$ 是偶函数,其图象与 $x$ 轴有四个交点,试求方程 $f(x)=0$ 的所有实根的和.
(1) 求下列函数的零点:
(1) $f(x)=x^{3}-8 x$;(2) $f(x)=-x^{4}+2 x^{2}$;(3) $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+1,x \leqslant 1,\\ x^{2}-4 x+1,x>1 .\end{array}\right.$
(2) 已知 $f(x)=m x^{2}-(m+3) x-1$,且 $f(x)<0$ 对任意实数 $x$ 均成立,求实数 $m$ 取值的集合.
(3) 若函数 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ 有三个零点 $-1,1,x_{0}$,且 $x_{0} \in(2,3)$,求实数 $c$ 的取值范围.
(4) 判断命题“已知函数 $f(x)$ 的图象是连续不断的,且函数 $f(x)$ 的两个相邻的零点是 1,2,若 $\exists x_{0} \in(1,2),f\left(x_{0}\right)>0$,则 $\forall x \in(1,2),f(x)>0$ ” 的真假.
(5) 已知函数 $f(x)=\frac{6}{x}-x^{2}$,在下列区间中，一定包含 $f(x)$ 零点的区间是 $(\quad)$.
(A) $(-2,-1)$
(B) $(0,1)$
(C) $(1,2)$
(D) $(2,+\infty)$
(6) 求证：函数 $f(x)=x^{3}+x-1$ 只有一个零点 $x_{0}$,且 $x_{0} \in(0,1)$.
(7) 证明函数 $f(x)=x^{3}-x^{2}+5,x \in[-2,-1]$ 有零点,并指出用二分法求零点的近似值（精确度小于 0.1 ） 时,至少需要进行多少次函数值的计算.
(8) 求下列函数的零点,并作出函数图象的示意图,写出不等式 $f(x) \geqslant 0$ 和 $f(x)<0$ 的解集 :
(1) $f(x)=(x-1)(x-2)(x+3)$;(2) $f(x)=(x+2) x^{2}$.
(9) 作出二次函数 $f(x)=a x^{2}+b x+c(a \neq 0)$ 的图象的示意图,并得出各种情况下不等式 $a x^{2}+b x+c>0$ 和 $a x^{2}+b x+c \leqslant 0$ 的解集.
## 习题3-2C
(1) 求证: 方程 $x^{4}-4 x-2=0$ 在 $[-1,2]$ 上至少有两个实根.
(2) 已知 $f(x)=(x-1)(x-m)$,不等式 $f(x)<0$ 的解集是 $A$,且 $(1,2) \subseteq A$,求实数 $m$ 的取值范围.
(3) 设函数 $f(x)=\frac{3 x^{2}+2 x+2}{x^{2}+x+1}$,已知 $f(x) \geqslant m$ 恒成立,求自然数 $m$ 的值.
(4. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}-(m+3) x+m+3=0$ 有两个不相等的正实数根,求实数 $m$ 的取值组成的集合.
(5) 已知函数 $f(x)=2(m+1) x^{2}+4 m x+2 m-1$ 有一个零点在区间 $(0,1)$ 内,求实数 $m$ 的取值范围.
$1 \mathbf{R} \quad 2\{1\} \quad 3(1,+\infty) \quad 4(-\infty,1)$
$5[-6,-5] \cup[-3,2] \cup\{4,6\} \quad 6 x=-\frac{b}{k}$
## 3 函数的应用 ( 一 )
因为函数可以描述一个量依赖于另外一个量变化而变化的情况,所以函数的知识在实际生活中有着广泛的应用,下面我们通过例子来说明.
例 1 为了鼓励大家节约用水,自 2013 年以后,上海市实行了阶梯水价制度，其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示.
| 分档 | 户年用水量 $/ \mathrm{m}^{3}$ | 综合用水单价 $/\left(\right.$ 元 $\left.\cdot \mathrm{m}^{-3}\right)$ |
| :---: | :---: | :---: |
| 第一阶梯 | $0 \sim 220$ (含) | 3.45 |
| 第二阶梯 | $220 \sim 300$ (含) | 4.83 |
| 第三阶梯 | 300 以上 | 5.83 |
记户年用水量为 $x \mathrm{~m}^{3}$ 时应缴纳的水费为 $f(x)$ 元.
(1) 写出 $f(x)$ 的解析式;
（2）假设居住在上海的张明一家 2015 年共用水 $260 \mathrm{~m}^{3}$,则张明一家 2015 年应缴纳水费多少元?
(1) 不难看出,$f(x)$ 是一个分段函数,而且:
当 $0<x \leqslant 220$ 时，有 $f(x)=3.45 x$；
当 $220<x \leqslant 300$ 时,有
$$
\begin{aligned}
f(x) & =220 \times 3.45+(x-220) \times 4.83 \\
& =4.83 x-303.6;\end{aligned}
$$
当 $x>300$ 时，有
$$
\begin{aligned}
f(x) & =220 \times 3.45+(300-220) \times 4.83+(x-300) \times 5.83 \\
& =5.83 x-603.6 .
\end{aligned}
$$
因此
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
3.45 x,0<x \leqslant 220,\\
4.83 x-303.6,220<x \leqslant 300,\\
5.83 x-603.6,x>300 .
\end{array}\right.
$$
(2) 因为 $220<260 \leqslant 300$,所以
$$
f(260)=4.83 \times 260-303.6=952.2,$$
因此张明一家 2015 年应缴纳水费 952.2 元.
由例 1 可知，可以用分段函数来描述生活中的阶梯水价、阶梯电价等内容. 例 2 城镇化是国家现代化的重要指标,据有关资料显示,1978-2013 年,我国城镇常住人口从 1.7 亿增加到 7.3 亿. 假设每一年城镇常住人口的增加量都相等,记 1978 年后第 $t$ (限定 $t<40)$ 年的城镇常住人口为 $f(t)$ 亿. 写出 $f(t)$ 的解析式,并由此估算出我国 2017 年的城镇常住人口数.
解因为每一年城镇常住人口的增加量都相等,所以 $f(t)$ 是一次函数,设 $f(t)=k t+b$,其中 $k,b$ 是常数.
注意到 2013 年是 1978 年后的第 $2013-1978=35$ 年,因此
$$
\left\{\begin{array} { l }
{ f ( 0 ) = 1 . 7,} \\
{ f ( 3 5 ) = 7 . 3,}
\end{array} \text { 即 } \left\{\begin{array}{l}
b=1.7,\\
35 k+b=7.3,\end{array}\right.\right.
$$
解得 $k=0.16,b=1.7$. 因此
$$
f(t)=0.16 t+1.7,t \in \mathbf{N} \text { 且 } t<40 .
$$
又因为 2017 年是 1978 年后的第 $2017-1978=39$ 年,而且
$$
f(39)=0.16 \times 39+1.7=7.94,$$
所以由此可估算出我国 2017 年的城镇常住人口为 7.94 亿.
例 2 中 2017 年城镇人口的估算还有其他算法,请读者自己尝试.
例 3 某农家旅游公司有客房 160 间,每间房单价为 200 元时,每天都客满. 已知每间房单价每提高 20 元,则客房出租数就会减少 10 间. 若不考虑其他因素,旅游公司把每间房单价提到多少时,每天客房的租金总收人最高?
分析可以通过试算来理解题意,如下表所示.
| 提价/元 | 每间房单价/元 | 客房出租数 | 租金总收人/元 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 0 | 200 | 160 | 32000 |
| 20 | 220 | 150 | 33000 |
| 40 | 240 | 140 | 33600 |
| 60 | 260 | 130 | 33800 |
| 80 | 280 | 120 | 33600 |
| 100 | 300 | 110 | 33000 |
| 120 | 320 | 100 | 32000 |
解设每间房单价提高 $x$ 个 20 元时,每天客房的租金总收人为 $y$ 元.
因为此时每间房单价为 $200+20 x$ 元,而客房出租数将减少 $10 x$ 间,即为 $160-10 x$ 间，所以
$$
\begin{aligned}
y & =(200+20 x)(160-10 x) \\
& =200(10+x)(16-x) \\
& =200\left(-x^{2}+6 x+160\right) \\
& =200\left[-(x-3)^{2}+169\right] \\
& =-200(x-3)^{2}+33800 .
\end{aligned}
$$
从而可知,当 $x=3$ 时,$y$ 的最大值为 33800 .
因此每间房单价提到 $200+20 \times 3=260$ 元时，每天客房的租金总收人最高.
例 4 某单位计划用围墙围出一块矩形场地,现有材料可筑墙的总长度为 $l$,如果要使围墙围出的场地面积最大,则矩形的长、宽各等于多少?
解设矩形的长为 $x$ 时,场地的面积为 $S$.
因为矩形的周长要为 $l$,所以矩形的宽为 $\frac{1}{2}(l-2 x)$,由
$$
\left\{\begin{array}{l}
x>0,\\
\frac{1}{2}(l-2 x)>0
\end{array}\right.
$$
可解得 $0<x<\frac{l}{2}$.
又因为
$$
S=\frac{1}{2}(l-2 x) x=-x^{2}+\frac{l}{2} x=-\left(x-\frac{l}{4}\right)^{2}+\frac{l^{2}}{16}
$$
想一想
你能用均值不等式求得 $S$ 的最大值吗?
$$
\frac{1}{2}\left(l-2 \times \frac{l}{4}\right)=\frac{l}{4}
$$
即所围矩形是长、宽都为 $\frac{l}{4}$ 的正方形时,场地面积最大.
例 5 已知某产品的总成本 $C$ 与年产量 $Q$ 之间的关系为 $C=a Q^{2}+$ 3000,且当年产量是 100 时,总成本是 6000 . 设该产品年产量为 $Q$ 时的平均成本为 $f(Q)$.
(1) 求 $f(Q)$ 的解析式;
(2) 求年产量为多少时,平均成本最小,并求最小值.
解 (1) 将 $Q=100,C=6000$ 代人 $C=a Q^{2}+3000$ 中,可得
$$
100^{2} a+3000=6000
$$
从而 $a=\frac{3}{10}$,于是 $C=\frac{3 Q^{2}}{10}+3000$.
因此
$$
f(Q)=\frac{C}{Q}=\frac{3}{10} Q+\frac{3000}{Q},Q>0 .
$$
(2) 因为
$$
f(Q)=\frac{3}{10} Q+\frac{3000}{Q} \geqslant 2 \sqrt{\frac{3}{10} Q \times \frac{3000}{Q}}=60,$$
且 $\frac{3}{10} Q=\frac{3000}{Q}$,即 $Q=100$ 时，上述等号成立.
因此,当年产量为 100 时,平均成本最小,且最小值为 60 .
## 习题3-3A
(1) 一种商品的售价上涨 $2 \%$ 后，又下降了 $2 \%$,求商品的最终售价 $y$ 与原来的售价 $x$ 之间的关系.
(2) 某村 2006 年年底共有 2000 人,全年工农业总产值为 4320 万元,若从 2007 年起,该村工农业总产值每年增加 160 万元,人口每年增加 20 人,设 2006 年后的第 $x$ 年该村人均工农业产值为 $y$ 万元,写出 $y$ 与 $x$ 之间的关系式.
(3) 加工爆米花时,爆开且不煳的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率狆与加工时间 $t$ （单位: $\mathrm{min}$ ）满足函数关系 $p=a t^{2}+b t+c$ $(a,b,c$ 是常数),图中记录了三次实验的数据. 根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为 ( ).
(A) $3.50 \mathrm{~min}$
(B) $3.75 \mathrm{~min}$
(C) $4.00 \mathrm{~min}$
(D) $4.25 \mathrm{~min}$
(第 3 题）
(1) 在经济学中,函数 $f(x)$ 的边际函数 $M f(x)$ 定义为 $M f(x)=f(x+1)-$ $f(x)$. 某公司每月最多生产 100 台报警系统装置,生产 $x$ 台 $\left(x \in \mathbf{N}^{*}\right)$ 的收入函数为 $R(x)=3000 x-20 x^{2}$ (单位：元)，其成本函数 $C(x)=500 x+$ 4000 (单位: 元),利润是收入与成本之差.
(1) 求利润函数 $P(x)$ 及边际利润函数 $M P(x)$;
(2) 利润函数 $P(x)$ 与边际利润函数 $M P(x)$ 是否具有相同的最大值?
(2) 某公司最近 4 年对某种产品投入的宣传费 $x$ 万元与年销售量 $y \mathrm{t}$ 之间的关系如下表所示.
| $x$ | 1 | 4 | 9 | 16 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $y$ | 168.6 | 236.6 | 304.6 | 372.6 |
(1) 根据以上表格中的数据判断: $y=a x+b$ 与 $y=c \sqrt{x}+d$ 哪一个更适宜作为 $y$ 与 $x$ 的函数模型?
（2）已知这种产品的年利润 $z$ 万元与 $x,y$ 的关系为 $z=2 y-10 x$,则年宣传费 $x$ 为多少时年利润最大?
## 4 数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点
数学建模是连接数学和现实世界的桥梁. 下面我们用实例来介绍,怎样从现实世界中发现问题,如何通过数学建模来求解特定的问题,并探讨怎样整理数学建模的结果.
## 建模过程描述与介绍
俗话说,“物以稀为贵”.一般来说,当市面上某种商品的出售量比较多时,这种商品的价格就会比较低;而出售量比较少时,价格就会比较高.
例如,当市面上的苹果比较多时,苹果的价格就会降低. 这时,如果利用一定的技术手段将苹果进行保鲜存储,等到市面上的苹果变少、价格上升之后再出售,则同样多的苹果就可以获得相对较高的销售收人. 不过,需要注意的是,保鲜存储是有成本的,而且成本会随着时间的延长而增大.
针对上述这种日常生活中的现象,我们可以提出一些什么问题呢?
当然,我们可以探讨的问题很多. 例如,为什么会发生这些现象?什么情况下不会发生这样的现象?能够利用哪些技术手段进行保鲜存储?哪种保鲜存储的成本最低?等等. 类似的这些问题,因为不仅仅涉及量的关系,所以如果只用数学手段研究,将是十分困难的.
不过,上述现象中,涉及了量的增大与减少的问题,这可以用数学符号和语言进行描述.
仍以苹果为例,设市面上苹果的量为 $x$ 万吨,苹果的单价为 $y$ 元. 上述现象说明,$y$ 会随着 $x$ 的增大而减少,且 $y$ 也会随着 $x$ 的减少而增大一也就是说,如果 $y$ 是 $x$ 的函数并记作 $y=f(x)$ 的话,$f(x)$ 是减函数.
同样地,如果设保鲜存储的时间为 $t$ 天,单位数量的保鲜存储成本为 $C$ 元,且 $C$ 是 $t$ 的函数并记作 $C=g(t)$ 的话,$g(t)$ 是一个增函数.
由于市面上苹果的量 $x$ 会随着时间 $t$ 的变化而变化,因此可以认为 $x$ 是 $t$ 的函数,并记作 $x=h(t)$.
从上面这些描述不难看出,在第 $t$ 天出售苹果时,单位数量的苹果所获得的收益 $z$ 元可以用 $t$ 表示出来,即
$$
z=y-C=f(x)-g(t)=f(h(t))-g(t) .
$$
此时,如果 $f(x),g(t),h(t)$ 都是已知的,则能得到 $z$ 与 $t$ 的具体关系式. 有了关系式之后,就能解决如下问题: $z$ 是否有最大值?如果 $z$ 有最大值，那么 $t$ 为多少时 $z$ 取最大值?
怎样才能确定上述 $f(x),g(t),h(t)$ 呢?这可以通过合理假设以及收集数据、确定参数来完成.
例如,为了简单起见,我们可以假设 $f(x)$ 和 $g(t)$ 都是一次函数,且
$$
f(x)=k_{1} x+l_{1},g(t)=k_{2} t+l_{2} \text {;}
$$
并假设 $h(t)$ 是一个二次函数,且
$$
h(t)=a t^{2}+b t+c
$$
则有
$$
z=f(h(t))-g(t)=k_{1} a t^{2}+\left(k_{1} b-k_{2}\right) t+k_{1} c+l_{1}-l_{2},$$
其中 $k_{1}<0,k_{2}>0,a \neq 0$.
上述各参数可以通过收集实际数据来确定. 例如,如果我们收集到了如下实际数据.
| $x /$ 万吨 | 8.4 | 7.6 |
| :---: | :---: | :---: |
| $y /$ 元 | 0.8 | 1.2 |
| $t /$ 天 | 1 | 2 |
| :---: | :---: | :---: |
| $C /$ 元 | 0.11 | 0.12 |
| $t /$ 天 | 1 | 2 | 3 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| $x /$ 万吨 | 9.462 | 9.328 | 9.198 |
利用待定系数法,根据前面的假设就可以确定出
$$
\begin{aligned}
& y=f(x)=-0.5 x+5,\\
& C=g(t)=0.01 t+0.1,\\
& x=h(t)=0.002 t^{2}-0.14 t+9.6,\end{aligned}
$$
因此
$$
z=-0.001 t^{2}+0.06 t+0.1
$$
注意到上式可以改写成 $z=-0.001(t-30)^{2}+1$,所以此时在 $t=30$ 时,$z$ 取最大值 1. 也就是说,在上述情况下,保鲜存储 30 天时,单位商品所获得的利润最大,为 1 元.
这样一来,我们就建立了一个决定苹果的最佳出售时间点的模型,并通过有关数据进行了说明.
当然,实际情况与上面的建模结果可能会出现偏差. 因为我们假设 $f(x)$ 和 $g(t)$ 都是一次函数等就已经把问题进行了简化,如果条件容许的话,可以先不假设函数的具体形式,在收集尽量多的数据的基础上,通过对数据的分析来最终得出函数的具体形式,这样也就能优化我们最终建立的模型.
以上我们用叙述的方式,让大家经历了一个简单的数学建模全过程. 由此可以看出,对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题就是数学建模. 数学建模过程主要包括: 在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题,分析问题、建立模型,确定参数、计算求解,验证结果、改进模型,最终解决实际问题.
在实际的数学建模过程中,为了向别人介绍数学建模的成果,给别人提供参考,我们还需要将建模结果整理成论文的形式.
一般来说,数学建模论文的结构可以按照建模过程来确定. 例如,图 3-4-1、图 3-4-2、图 3-4-3 所示都可以是数学建模论文的主体结构.
图 3-4-1
## 三、问题的解决与反思
图 3-4-2
图 3-4-3
当然,数学建模论文中还可以根据需要增加作者、摘要、参考文献、附录等信息.
需要提醒的是,对于一些综合性比较强的问题而言,数学建模的过程中需要做的事情比较多,比如数据收集与整理、模型试算、对比不同的模型、将结果以可视化方式展示、资料整理与论文撰写等,因此数学建模的过程中,往往采用分工合作的方式进行. 一般来说,一个数学建模小组由 $3 \sim 5$ 人组成. 理想的小组中,既要有数学基础扎实的同学,也要有能熟练使用计算机的同学,还要有写作表达能力强的同学.
## 国民收入、消费与投资的关系
## 1. 发现问题、提出问题
在政府文件中，我们经常可以看到有关经济增长与投资、消费的内容.
例如，《国务院关于促进创业投资持续健康发展的若干意见》（国发 [2016]53号） 指出：“近年来,我国创业投资快速发展,不仅拓宽了创业企业投融资渠道、促进了经济结构调整和产业转型升级,增强了经济发展新动能,也提高了直接融资比重、拉动了民间投资服务实体经济,激发了创业创新、促进了就业增长.”
2016 年 11 月,《国务院办公厅关于进一步扩大旅游文化体育健康养老教育培训等领域消费的意见》（国办发 [2016]85 号) 指出：“当前,我国国内消费持续稳定增长,为经济运行总体平稳、稳中有进发挥了基础性作用. 顺应群众期盼,以改革创新增加消费领域特别是服务消费领域有效供给、补上短板,有利于改善民生、促进服务业发展和经济转型升级、培育经济发展新动能. ”
习惯上,人们总是用收人来衡量经济状况,因此所谓经济增长或者经济发展,通常指的是收人增加.
那么,怎样描述投资与经济增长之间的关系呢?为什么说消费增长有利于经济发展呢?这些现象能用数学语言来描述吗?
## 2. 分析问题、建立模型
要用数学语言描述经济增长、投资、消费之间的关系,实际上是要研究国民收人（简称为收人，用 $Y$ 表示）、国民投资（简称为投资,用 $I$ 表示）、国民消费（简称为消费,用 $C$ 表示）之间的关系.
为了简单起见,可以做出以下假设:
（1）收人、投资、消费都用同一单位来衡量，为了方便，以下均省略单位;
（2）收人只用于投资和消费;
（3）消费可以分为两部分,一部分为基本消费 (用 $C_{0}$ 表示),另一部分与收人成正比,比例系数为 $a$.
值得注意的是,以上假设都是合理的. 例如一个家庭的收人，一般而言,不是用于投资 (比如储蓄、购买理财产品等),就是用于消费 (比如家庭成员的生活支出等);一个家庭的消费,一部分用于满足基本生活需求 (比如购买食品等),而另一部分则依赖于收人的多少 (比如家庭成员的旅游支出等).
由假设可知，收人、投资、消费之间的关系可描述为
$$
Y=C+I,C=C_{0}+a Y
$$
在经济学中,这通常称为凯恩斯静态模型,因为这是英国经济学家凯恩斯最先提出的.
一些经济现象,可以通过凯恩斯静态模型中量之间的关系来体现. 例如,如果不存在透支消费,那就意味着消费不大于收人,即 $C \leqslant Y$,因此 $a Y<C_{0}+a Y \leqslant Y$,从而有 $a<1$.
另外,如果将消费看成收人的函数,则这个函数在任意区间 $\left[Y_{1},Y_{2}\right]$ 内的平均变化率均为
$$
\frac{\Delta C}{\Delta Y}=\frac{C_{0}+a Y_{2}-\left(C_{0}+a Y_{1}\right)}{Y_{2}-Y_{1}}=a
$$
这表示收人每增加一个单位,消费将增加 $a$ 个单位. 因此,$a$ 通常称为边际消费倾向.
## 3. 确定参数、计算求解
（1）收人与消费的关系
为了探讨经济增长 (即收人）与消费的关系,可以将收人看成消费的函数,即 $Y=$ $\frac{1}{a} C-\frac{C_{0}}{a}$,其中 $C_{0}$ 与 $a$ 均为参数. 可以算出,这个函数在任意区间内的平均变化率均为 $\frac{\Delta Y}{\Delta C}=\frac{1}{a}，$ 这表示消费每增加一个单位，收人将增加 $\frac{1}{a}$ 个单位.
例如,当 $C_{0}=10,a=\frac{4}{5}$ 时,有 $Y=\frac{5}{4} C-\frac{25}{2}$,因此:
如果消费 $C=30$，那么 $Y=\frac{5}{4} \times 30-\frac{25}{2}=25$；
如果消费 $C=35$，那么 $Y=\frac{5}{4} \times 35-\frac{25}{2}=31.25$.
可以看到,消费增长 5 个单位时,收人增加了 6.25 个单位.
（2）收人与投资的关系
为了探讨经济增长（即收人）与投资的关系，可以将收人看成投资的函数. 通过消去 $C$ 求解 $Y$ 可得 $Y=\frac{1}{1-a} I+\frac{C_{0}}{1-a}$,此时,$C_{0}$ 与 $a$ 均为参数. 可以算出,这个函数在任意区间内的平均变化率均为 $\frac{\Delta Y}{\Delta I}=\frac{1}{1-a}$,这表示投资每增加 1 个单位,收人将增加 $\frac{1}{1-a}$ 个单位.
例如,当 $C_{0}=10,a=\frac{4}{5}$ 时,有 $Y=5 I+50$,因此:
如果投资 $I=10$,那么 $Y=5 \times 10+50=100$；
如果投资 $I=15$,那么 $Y=5 \times 15+50=125$.
可以看到,投资增长 5 个单位时,收人增加了 25 个单位.
## 4. 验证结果、改进模型
从上述计算结果可以看出,当消费增长或者投资增长时,都将导致收人增加（这样一来,我们也就完成了本章导语中投资与经济增长之间关系问题的解答). 而且,一般情况下,收人增加比消费增长或投资增长快. 事实上,当 $0<a<1$ 时,可知 $\frac{1}{a}>1$ 且 $\frac{1}{1-a}>1$. 这就是说,平均变化率 $\frac{1}{a}$ 和 $\frac{1}{1-a}$ 都大于 1 . 经济学上将这种现象称为乘数效应.
可以看出，凯恩斯静态模型能够较好地描述收人、投资与消费的关系.
这个模型中,为了简单起见,假设了基本消费以外的消费与收人成正比,但实际的情况可能会更加复杂，模型的改进可以从这方面人手.
## 活动要求与提示
1. 与其他同学一起讨论如下问题:
(1) 从现实世界中发现问题并进行建模时，所发现的问题要具有什么特征时才方便使用数学知识加以解决?
(2) 对同一个现象甚至同一组数据进行数学建模时,能否使用不同的数学对象进行描述?
2. 参考数学建模论文示例,以“决定苹果的最佳出售时间点” 为题,将“建模过程描述与介绍” 中的有关内容整理成一篇数学建模论文. (提示: 论文的主体结构可以不同于示例. )
3. 按照优势互补的原则,跟其他同学组成一个数学建模小组,在以下两个题目中,任选一个进行数学建模实践.
(1) 经济生活中,商品的需求量与供给量都与商品的价格有关. 一般来说,商品的价格越低,想购买这种商品的人就越多,因此需求量越大,但此时因为销售的利润低,因此卖的人就会越少,从而供给量越小. 与其他同学一起分工合作,查阅有关资料,按照数学建模的步骤与方法,给出商品的需求量与供给量模型,并探讨它们之间的关系.
(2) 不管是驾驶汽车还是骑自行车,当发现路况有变化需要紧急停车时,停车距离会与很多因素有关. 例如,人的反应时间、车的速度、车与人的质量等都会影响停车距离. 与其他同学一起分工合作,查阅有关数据或者自行设计试验收集数据,建立有关停车距离的数学模型.
## 本章小结
## 1 知识结构图设计与交流
本章我们学习了函数的知识,首先在复习初中知识的基础上更新了函数的概念,总结了函数的表示方法,学习了函数的单调性及其证明方法,然后学习了函数的奇偶性，最后得到了函数零点以及函数与方程、不等式的关系等.
依照各知识之间的联系，我们可以作出如下的知识结构图.
上述知识结构图还可以细化.
结合自己的学习心得,发挥你的想象力和创造力,为本章的知识设计出一份独特的知识结构图,然后和同学交流制作的心得吧!
## 2 课题作业
(1) 函数是现代数学中最重要的概念之一,它几乎已经渗透到每一个数学分支中. 但是,函数概念的发展与完善,经历了几百年才完成.
函数是在利用数学研究运动的过程中引入的,最初函数是用文字和语言来表述的,后来人们逐步使用符号语言来描述函数,现代数学中还有人用有序数对来定义函数 (例如,函数是指满足下述条件的有序数对的集合 $E$ : 如果 $\left(x_{1},y_{1}\right) \in E$,$\left(x_{2},y_{2}\right) \in E$,且 $x_{1}=x_{2}$,那么 $\left.y_{1}=y_{2}\right)$ ．在函数概念的发展过程中，伽利略、牛顿、欧拉、柯西、狄利克雷等都做出了贡献，推动了函数概念的完善.
搜集函数概念的形成与发展的历史资料,撰写论文,梳理函数发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件及函数对人类文明的贡献，并尝试给出学习函数内容的建议. (2) 试根据本章内容,总结为什么要强调函数是实数集合之间的对应关系.
## 3 复习题
## A 组
1. 已知 $f(x)=3 x^{2}+x,x \in \mathbf{Z}$,且 $f(t)=2$,求 $t$ 的值.
2. 把下列函数写成分段函数的形式,求出定义域和值域,并作出函数图象:
(1) $y=|x-1|$;
(2) $y=|2 x+3|-1$.
3. 如图,函数 $f(x)$ 的图象为折线 $A C B$,求函数的解析式.
(第 3 题)
4. 已知奇函数 $f(x)$ 在区间 $[3,6]$ 上是增函数,且在区间 $[3，6]$ 上的最大值为 8,最小值为 -1,求 $2 f(-6)+f(-3)$ 的值.
5. 判断下列函数是否具有奇偶性:
(1) $f(x)=5 x+3$;(2) $f(x)=5 x$;(3) $f(x)=2 x^{2}+1$;(4) $f(x)=x^{2}+6 x+9$;(5) $f(x)=\frac{1}{x^{2}}+2 x^{4}$;(6) $f(x)=x+\frac{1}{x^{3}}$.
6. 已知 $f(x)$ 是区间 $(-\infty,+\infty)$ 上的奇函数,$f(1)=-2,f(3)=1$,比较 $f(-3)$ 与 $f(-1)$ 的大小.
7. 求下列函数的零点:
(1) $f(x)=-x^{2}-x+20$;(2) $f(x)=\left(x^{2}-2\right)\left(x^{2}-3 x+2\right)$.
8. 如果二次函数 $y=a x^{2}+b x$ 的图象的对称轴是 $x=1$,并且通过点 $A(-1,7)$,求 $a,b$ 的值.
9. 已知 $f(x)=\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}$,求证:
(1) $f(x)$ 是偶函数;
(2) $f\left(\frac{1}{x}\right)=-f(x)$.
10. 求证：函数 $f(x)=\frac{2 x-5}{x^{2}+1}$ 在区间 $(2,3 ）$ 上至少有一个零点.
## B 组
1. 如图,已知函数 $y=f(x)$ 的图象由三条线段组成,求:
(第 1 题)
(1) $f(0),f(1),f(2.5)$;
(2) $f(-2),f(0.5),f(-0.5),f(2.2)$;
(3) $f(x)$ 的定义域和值域.
2. 求下列函数的值域:
(1) $y=\frac{4}{x^{2}},x \in[-2,0)$;(2) $y=\sqrt{-x},x \in(-\infty,0]$.
3. 已知函数 $y=f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的增函数,$y=g(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的减函数,求证: $f(x)-g(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上是增函数.
4. 已知 $f(x)=x^{2}+2(a-1) x+2$ 在 $(-\infty,4]$ 上是减函数,求 $a$ 的取值范围.
5. 已知 $f(x)$ 是定义域为 $\mathbf{R}$ 的奇函数,且 $x \geqslant 0$ 时,$f(x)=x^{2}+2 x$,求 $x<0$ 时 $f(x)$ 的解析式.
6. 已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$,且函数图象关于点 $(-2,1)$ 对称,$f(x)$ 在区间 $[-2,+\infty)$ 上是增函数,判断 $f(x)$ 在区间 $(-\infty,-2]$ 上的单调性.
7. 求函数 $f(x)=(x+1)(x-1)^{2}(x-3)$ 的零点,并作出函数图象的示意图,写出不等式 $f(x)>0$ 和 $f(x) \leqslant 0$ 的解集.
8. 已知函数 $y=f(x)$ 是二次函数,$y=g(x)$ 是一次函数,它们的部分图象如图所示.
(第 8 题)
(1) 分别写出 $f(x)=4,f(x) \geqslant 4$ 的解集;
(2) 分别写出 $f(x)=g(x),f(x)>g(x),f(x) \leqslant g(x)$ 的解集. 9. 已知偶函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递减,且 2 是它的一个零点,求不等式 $f(x-1)>0$ 的解集.
10. 设函数 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上是偶函数,且在 $(-\infty,0)$ 上是增函数,比较 $f(-2)$ 与 $f\left(a^{2}-2 a+4\right)(a \in \mathbf{R})$ 的大小.
11. 求证: 函数 $f(x)=x+\frac{1}{x}-4$ 有且只有两个零点.
12. 已知 $n$ 是大于 1 的正整数,求证:
（1）当 $n$ 是奇数且 $a$ 是实数时,方程 $x^{n}=a$ 的解集中只有一个元素;
（2）当 $n$ 是偶数且 $a$ 是正数时,方程 $x^{n}=a$ 的解集中只有两个元素.
## $C$ 组
1. 已知二次函数 $f(x)$ 满足 $f(-2+k)=f(-2-k) \quad(k \in \mathbf{R})$,且该函数的图象与 $y$ 轴交于点 $(0,1)$,在 $x$ 轴上截得的线段长为 $2 \sqrt{2}$,求该二次函数的解析式.
2. (1) 已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $(1,2]$,值域为 $[-5,+\infty)$,设 $g(x)=$ $f(2 x-1)$,求 $g(x)$ 的定义域和值域;
（2）已知 $g(x)=f(2 x-1)+1$,且 $g(x)$ 的定义域为 $(1,2]$,值域为 $[-5$,$+\infty)$,求函数 $f(x)$ 的定义域和值域.
3. 如果关于 $x$ 的方程 $7 x^{2}-(a+13) x+a^{2}-a-2=0$ 的两根分别在区间 $(0,1)$ 和 (1,2) 内,求实数 $a$ 的取值范围.
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雕塑概述
雕塑是一门独特的造型艺术。本单元通过情境导入和各种雕塑作品的实例展示,向同学们讲解雕塑的基本概念、基本门类、基本特点、主要功能、欣赏方法等内容,为同学们之后实践课程的学习提供必要的知识储备,帮助同学们更快、更深入地探索多姿多彩的雕塑艺术世界。雕塑是利用一定的物质材料,通过雕、刻、塑以及敲击、焊接、装配和编织等手段，创造出具有实在体积的艺术形象，借以反映社会生活、表达思想情感的美术形式。雕塑是以立体造型为载体的视觉艺术。雕塑是日常生活中常见的艺术形式，我们该如何鉴赏?
## 情境导入
你参观过北京天安门广场上的人民英雄纪念碑吗?每当我们怀着崇敬的心情瞻仰它时,总是被它那庄严肃穆的造型、巍峨雄健的体量、工整精美的设计所震㨔!
你知道人民英雄纪念碑碑座上的雕塑作品是哪种类型吗?它们处于什么样的环境中?你认为它们与绘画的区别在哪里?它们的意义和价值是什么呢?
人民英雄纪念碑 $(1949$ 年奠基，1958年落成 $)$
2 雕塑概述
## 学习经典
中华人民共和国成立初期,人民英雄纪念碑作为国家重大建设任务,由我国多名美术家、建筑家共同设计建造，于1958年 5 月 1日落成揭幕，基本造型采用民族形式，总高 3794 厘米。碑座下层为“亚” 字形,上层为方形,以汉白玉石栏围绕。碑身下部为双层须弥座,下层大须弥座的束腰部分嵌有《虎门销烟》《金田起义》《武昌起义》《五四运动》等十幅反映中国近现代自鸦片战争到解放战争百年来革命斗争史实的大型汉白玉浮雕。浮雕高 200 厘米,总长 4068 厘米,设计精美,雕刻工细,为整座丰碑增添了感人的艺术效果。
虎门销烟 ( 汉白玉浮雕) 高 200 厘米 1958 年画稿：艾中信雕塑主稿：曾竹韶助手：李祯祥
作品表现的是鸦片战争历史背景下，民族英雄林则徐在广东虎门领导人民销毁鸦片这一重大历史事件。作品采用了现实主义的表现手法,同时还吸收运用了中国传统浮雕的雕刻技法，具有造型洗练、刻画细腻、质朴清新的特点
## 相关链接
人民英雄纪念碑浮雕以史实为主题，以浮雕形式塑造了极具民族精神的人物形象。作品通过高超的浮雕表现手法真实地再现了中国人民争取民族独立和追求幸福生活的场景,整体造型既有民族风格,又有鲜明的时代特征。
金田起义（汉白玉浮雕）高 200 厘米 1958 年画稿：李宗津雕塑主稿：王丙召助手：谢家声、刘士明
作品刻画了中国近代太平天国运动中发生于 1851 年的“金田起义”。这场波澜壮阔的农民运动提出了“政治平等、经济平等、民族平等、男女平等” 四大口号,严重地动摇了清朝封建皇权的统治基础。
武昌起义（汉白玉浮雕）高 200 厘米 1958 年画稿：董希文雕塑主稿: 傅天仇助手：张文新、祖文轩
作品表现的是 1911 年辛亥革命中“武昌起义”的庄严画面。作品中,起义的新军和市民,正向象征着腐朽封建统治的总督府发起冲锋。辛亥革命结束了中国两千多年的封建帝制“五四运动”是中国民主革命由旧民主主义革命转变为新民主主义革命的转折点。浮雕的画面表现的是学生们齐聚于天安门前举行爱国示威游行的情景。激愤的青年演说者,怒形于色的人群,使整个画面充满了反帝反封建、激动人心的气氛。
1925 年 5 月 30 日，发生了震惊全国的“五井惨案” 事件引起了全上海乃至全国人民的极大愤慨，促使全国范围的大革命风暴爆发。作品表现的正是由工人阶级领导的各界群众坚强不屈地同帝国主义作斗争的情景。
1927 年 8 月 1 日凌晨两点,“南昌起义”爆发,中国人民从此有了自己的武装部队，展开了以革命的武装反对国民党反动派武装的斗争画面生动地表现了这一伟大起义的情景
五四运动（汉白玉浮雕）高 200 厘米 1958年画稿：冯法祀雕塑主稿：滑田友助手：陈天、吴汝钊、夏肖敏
五井运动 (汉白玉浮雕）高 200 厘米 1958年画稿：吴作人雕塑主稿：王临乙助手：李祯祥、王澎
南昌起义 (汉白玉浮雕）高 200 厘米 1958年画稿：王式廓雕塑主稿：萧传玖助手：王卓予、王万景
抗日游击战 ( 汉白玉浮雕) 高 200 厘米 1958 年画稿: 辛莽雕塑主稿：张松鹤助手：陈淑光
作品表现的是抗日战争时期由中国共产党领导的敌后游击战的场景一游击队员们正穿过高大的树林和茂密的青纱帐,去抗击日本侵略者。
胜利渡长江（汉白玉浮雕）高 200 厘米 1958年画稿：彦涵雕塑主稿：刘开渠助手：刘士铭
作品表现了解放战争时期人民解放军百万雄师“胜利渡长江,解放全中国”这一重大历史事件,是十幅浮雕中最大的一幅。
迎接中国人民解放军 (汉白玉浮雕) 高 200 厘米 1958 年雕塑主稿：刘开渠
作品表现了全国各阶层人民高举鲜花和红旗,热烈迎接人民解放军的情景。
支援前线（汉白玉浮雕）高200厘米 1958 年雕塑主稿：刘开渠
作品中的工人抱着担架、农民运送军粮、妇女送军鞋等形象,生动地表现了人民群众积极支援前线的场面
## 观察与思考
欣赏人民英雄纪念碑上的十件浮雕作品,感受画面的表现内容及深层意蕴,说一说这些作品表达了作者怎样的思想感情,给你以怎样的心理感受。
## 知识链接
圆雕一非一空间压缩的,可以多方位、多角度欣赏的三维立体雕塑
浮雕―一雕塑与绘画相结合的产物,用空间压缩的办法来处理对象,靠透视等因素来表现三维空间，并只供一面或两面观看。
镂空雕—一具有前后通透空间效果的雕塑
## 探究与发现
本页雕塑作品的用途分别是什么?它们各自具有怎样的性质、意义和价值？当你在街头、公园里漫步,或在美术馆、博物馆中徜徉时,你是否见到过不同形式、不同材质的雕塑作品?请描述一下它们的形态特征和所处环境的特点。雕槊的分类
雕塑¿本有冬种分粂方法：
按基本形式分类，雕塑可以分为圆雕、浮雕和镂空雕。
按功能分类，雕塑可分为纪念性雕塑、装饰性雕塑、环境雕屰塑等。
按材料分类，雕塑可以分为可塑性材料（如泥）雕塑和硬质材料（如石材、木料、金属）雕塑等。
按表现手法分类，雕塑可以分为具象雕塑和抽象雕塑。
牛河梁女神头像（泥塑） 曹操赠袍（东阳木雕） 吴初伟 [现代 $]$ [ 新石器时期 ] 红山文化（圆雕）（ 镂空雕）
昭陵六骏・青骓 (石雕) 高约 170 厘米长约 200 厘米 [唐代] 陕西省西安碑林博物馆藏（浮雕）
## 雕塑的主要功能
雕塑艺术作品按功能分为纪念性雕塑、装饰性雕塑和城市景观雕塑等。随着雕塑艺术的不断发展，雕塑的各个功能间已经相互渗透、交融,而非界限分明了。
## 知识链接
纪念性雕塑一一表彰历史人物或纪念重大历史事件为题材的雕塑，一般安置在特定环境或纪念性建筑综合体中，具有庄严、永久等特征。
## 思考与分析
不同形象、体积、形式的雕塑艺术作品会给欣赏者不同的审美感受。查阅相关资料，了解《和平少女》创作的历史背景，分析我们应如何从造型、材质、主题等方面感受作品的深层意蕴。
和平少女 (汉白玉) 1985 年潘鹤、程允贤等复制品位于北京市复兴门立交桥西北角 (纪念性雕塑)
第二次世界大战末期，美国在日本的广岛和长崎投放了两颗原子弹,最终迫使日本投降。战争结束后,向往和平、追求和平、维护和平成为全世界人民的共同意愿。20 世纪 80 年代，我国领导人出访日本,答应以国家名义赠送一尊塑像给长崎的反原爆和平广场作永久陈列。潘鹤设计的《和平少女》的初稿很快被选中。经与其他艺术家合作，最后完成的雕像共有两件。作品洁白如玉,姁静优雅的少女上半身前倾，双手向后护卫着象征和平的白鸽,她那纯洁温柔的微笑和优美的身体线条,充满青春与欢快,给人以宁静祥和的美感。
$$ 武士像 (石上着色) (浮雕局部)
约公元前 500年 [波斯 ] (装饰性雕塑)
作品为墙上琉璃砖浮雕,其工艺是将图案预先制作在小块的琉璃砖上,砌墙时再拼合起来,具有很强的装饰性。
$$ 五羊石像 (花岗岩) 高 1100 厘米
1959年尹积昌、陈本宗、孔繁伟
广东省广州市越秀山木壳岗 (城市景观雕塑)
作为广州市的标志性雕塑,作品中口衔稻穗的公羊高高聆立,寓意广州 (羊城) 人民丰衣足食。五只羊造型优美,姿态各异,生动表现了羊化为石后将稻穗赠予岭南人民的传说。
鉴湖三杰 (玻璃钢 ) 高 140 厘米
1989年曾成钢中国美术馆藏
作品塑造的是我国民主革命先烈秋瑾、徐锡麟与陶成章三人的纪念像。作品造型简洁概括,空间布局错落有致。钟形的人物轮廓与拱形的腿部结构共同营造出庄严的气度与钯䥻有力的美感,取得了艺术形式与内在精神的统一。
## 探究与讨论
从本课图例中选择一幅自己喜欢的雕塑作品,查阅相关资料,撰写一篇关于该作品的研究报告,详述其历史背景、材质特点及审美价值等。
雕塑在人类社会的文化发展中一直扮演着重要的角色，因其自身特性，得以在时间的流逝中留存下来,并作为人类历史发展、社会变迁、情感表现的见证而存在。可以说，雕塑是一部记录人类活动的形象史。
铜奔马 (青铜 $)($ 圆雕 $) 34.5$ 厘米 $\times 45$ 厘米 $\times 10.1$ 厘米 [东汉] 甘肃省博物馆藏
作品将奔马奋蹄嘶鸣、长尾飘扬之势塑造得生动传神。奔马后蹄所踏的凌空飞翔的鸟雀寓意马之神速。整件作品构思巧妙，意境深远，引人遐想。
李大钊像 (花岗岩) 1989年钱绍武河北省唐山市大钊公园 (环境雕塑、纪念性雕塑)
《李大钊像》从整体造型上看概括大胆、以方为主、浑厚大方，三角形构图给人以结实稳固之感。
## 雕塑的主要特点
要更好地欣赏和理解雕塑艺术,就需要我们深人了解雕塑艺术的特点。雕塑的主要特点可以从以下几个方面去认识:
形体。它是表现、传达一定审美理念及情感等诸多信息，达到感染、教育、激励人,实现美化心灵、升华精神的首要手段和要素。形体包含两个方面：一是形象、造型、形态、动态等（雕塑的形象可分为：自然形,如人物、动物、植物等;几何形,如正方形、三角形等;有机形,即偶发的、随意的无规则形体的形象 )。二是体积与空间关系的效果。体积在雕塑中的表现就是形体造型在空间中存在的方式。好的形体能充分表达丰富的内涵和深刻的主题思想,并以此来呈现各不相同的视觉效果。在创作中，雕塑艺术家主要运用塑、雕、刻、铸、构等方法塑造形体。
空间。雕塑艺术是以物质材料构成实体占有空间的艺术，空间使雕塑作品充满了艺术魅力。雕塑空间可分为“实空间” 和“虚空间”。雕塑的空间不仅可以让观众观赏，也可以让观众直接进人其中去体味雕塑的美感及空间所表现的丰富变化。
体量。立体造型的雕塑必然具有体积,而体积的大小又会给观赏者或轻或重的不同视觉感受,这种感受通常被称为“量感”。体量的变化直接作用于对雕塑的视觉感受和审美,也凝聚着不同雕塑家的艺术个性。
质感。不同物质材料本身具有的特质，通过艺术家不同的表现手段，赋予雕塑不同的质地美感和艺术魅力。
工人与集体农庄女庄员（不锈钢 ） 高 2450 厘米 1937 年
穆希娜 [苏联 ] 莫斯科全俄展览中心
作品表现了工人与农庄女庄员高举铁锤和镰刀昂首并进的形象,给人以既前进而又上升的视觉动感,具有丰富的艺术表现力和强烈的时代感。作品别出心裁的造型构思配以巨大的体量产生了令人震㨔的视觉效果。
郑铁饼者 ( 原作为青铜现为大理石复制品）高约 152 厘米公元前 5 世纪米隆 [古希腊］ 意大利罗马国立博物馆等藏
雕像表现的是运动员在掷铁饼时发力瞬间的形象，赞美了人体的美和运动的美。人物扭动的身体使得雕像的重心落在右腿上,右腿在成为身体旋转轴心的同时,又保持了雕像的稳定性。
涅菲尔蒂王后像 ( 石灰岩着色) 高 48 厘米公元前 14 世纪
[古埃及] 德国柏林国立美术馆藏
雕像简洁的造型表现了王妃妤持、美丽、高贵的容貌与气质,作品在力学结构上的处理也恰到好处。虽经历数千年,作品保存完好的艳丽色彩至今仍令人赏心悦目。
妮 (柏木 ) 高 48 厘米 1984 年司徒兆光美国威斯迈基金会藏
艺术家充分发掘了柏木的材质美感,采用写实与写意相结合的雕刻手法,使粗 䊁的树皮和精细的木纹形成了鲜明对比,生动地刻画出一个可爱的南方小姑娘形象。不同雕刻刀法的运用使得作品具有强烈的艺术感染力
艰苦岁月 (铸铜 $) 50$ 厘米 $\times 85$ 厘米 $\times 83$ 厘米 1957 年潘鹤中国美术馆藏
作品主要运用雕、塑、铸等造型手段塑造形体，铜材表现了人物饱经沧桑的肌肤质感,也为作品增添了历史感与厚重感。
## 观察与思考
1. 观察《桐荫仕女玉饰》，你认为空间在这件作品中营造出了怎样的效果和趣味?
2.观察并对比《艰苦岁月》和《妮》两件作品,你认为这两件作品不同的质感分别给你带来了怎样的感受?二者不同的质感对它们所要表达的主题起到了什么作用？
桐荫仕女玉饰 [清代］高 15.5 厘米长 25 厘米厚 10.8 厘米故宫博物院藏
作品以精致的雕刻和抛光表现玉料本身的材质之美,半开的门扉表现了空间上的错觉和趣味。
色彩。色彩自然存在于雕塑中,并一直为雕塑家所重视。随着时代的推进，创作方式、创作主题的多元化使得雕塑艺术的色彩语言越来越丰富，色彩已经成为带动观者视觉激情的重要元素。
另外，与所处环境协调统一也是雕塑艺术的一个特点。
雕塑的空间艺术特性使其具备了其他艺术形式少有的体积和体量感。空间是雕塑之本,雕塑的空间造型通过一定的空间占有来表现其存在及审美构成，并通过不同的空间形体与形体的组合来塑造立体的艺术形象。这种形象是具体的、可触碰的，是有真实空间存在的。
歌乐山烈士群雕（花岗岩）高 1100 厘米宽 700 厘米
1981 年江碧波、叶毓山重庆歌乐山烈士陵园
作品以“浩气长存” 为主题,再现了革命烈士宁死不屈的英雄气概巨大的体量、粗犷的塑造手法以及花岗岩坚硬的材质特点,使得作品具有震撼人心的视觉效果
斜倚的人体（石膏） [现代 ] 亨利・摩尔 [英国］
现代雕塑家亨利・摩尔将凸凹造型和孔洞的空间变化融人作品中，使得实空间与虚空间互为映衬和转换，突破了传统雕塑在空间表现上的固定模式。
## 交流与探究
以上作品按形式分类各属于哪种雕塑?按功能、材料分类又各属于哪种雕塑?
通过感受和认知这些雕塑的形体空间和质感,你认为它们表达了怎样的思想情感和主题,并且是怎样表现出来的?
## 知识链接
实空间—又称“正空间”，指雕塑形体本身占有的空间。
虚空间一又称“负空间”，是在雕塑实体空间之外并与其互为关联的或产生一定空间作用和效果的空间。
## 交流与探究
根据本课所学知识,分析本页雕塑作品的功能和特点,说一说作品怎样利用空间表现主题,作者通过作品表达了怎样的思想情感。请撰写一篇鉴赏报告。
五月的风 ( 钢 ) 高 3000 厘米
直径 2700 厘米 1998 年黄震
山东省青岛市五四广场
作品线条简洁,体量厚重,在造型上采用螺旋向上的钢板结构组合，配以火红色的外层喷涂,以抽象的手法表现出腾空而起的“劲风”形象，给人以力的震撼。
家破人亡 (青铜 ) 高 1150 厘米 2007 年吴为山江苏省南京市侵华日军南京大屠杀遇难同胞纪念馆主题雕塑
逃难（青铜组雕） 2007 年吴为山江苏省南京市侵华日军南京大屠杀遇难同胞纪念馆主题雕塑
## 拓展练习
请查找相关资料，分析侵华日军南京大屠杀遇难同胞纪念馆主题雕塑《家破人亡》《逃难》等作品是如何以造型特征、材料质感、艺术手法等表现和深化作品主题的。请谈一谈你看到这此作品时的感受，结合相关资料写一篇研究报告，并思考作品表达了艺术家怎样的思想情感。
## 单元评价
1. 填空题: 雕塑按功能大体上可以分为 $(\quad)$ )$^{\circ}$
2. 选择题: 以下不是雕塑主要特,点的是 $(\quad)$
A. 形体
B. 质感
C.空间
D. E大
3. 简答题 :
雕塑按基本形式可分为哪几类?雕塑按材料可分为哪几类?
本单元主要学习以描述、分析、解释和评价等方法对雕塑作品进行鉴赏,了解泥塑、石雕、木雕及石膏浮雕的制作方法,学会从形态、主题、文化背景和创作观念等方面逐步地学会设计并制作雕塑作品。本单元教学内容按照雕塑中的塑、雕、刻三种技法及其实践编著：泥塑一主要介绍用软材料 (泥、油泥、陶土等) 进行造型活动,内容以我国的传统彩塑和现代泥塑为主，其技法特征为“加法”;石雕、木雕一主要介绍用硬质材料进行造型活动,内容以石、木雕刻为主，其技法特征为“减法”;石膏浮雕刻制一主要介绍用石膏板进行浮雕刻制的造型技法
## 第 1 课 抟土造人——泥塑
## 基本问题
通过怎样的制作过程,才能使泥土变成具有审美价值的泥塑作品?
## 情境导入
泥塑,在我国有着悠久的历史和独特的传承。泥塑的类型多样,制作方法也各不相同。天津“泥人张” 泥塑是中国民俗泥塑（彩塑）的典型代表之一。清代民间艺人张长林创作的彩塑作品《惜春作画》形象生动地呈现了“泥人张” 雕塑的特点,每当我们看到它,都会被其精湛的泥塑技艺所折服。在这组作品中,无论是人物动态、表情,还是衣服饰物的颜色搭配,都把握得非常到位,处处透露着艺术家的匠心。那么,这些作品是如何做出来的呢?
## 相关链接
天津“泥人张” 泥塑,始于清道光年间,其创始人是张长林。“泥人张”彩塑是一种深得百姓喜爱的民间艺术品，它取材广泛,人物造型生动,在继承传统泥塑技法的基础上又创造性地开创了自己的艺术风格,塑与绘的结合使得作品更具生命力
惜春作画 (彩塑) 高 36.5 厘米 [清代 ] 张长林故宫博物院藏
## 相关链接
1958 年,梅兰芳专程游览晋祠,做了极为细致的考察。当观赏彩塑时,梅兰芳频频模仿人物动作，赞不绝口，连说:“一踾一笑，似诉平生那一群宋代塑像生动地、准确地表现了宋代宫廷女性的日常生活和内心情感。这些雕塑可以看四面,比平面绘画更能让我们受到启发,甚至可以把她们的塑形用到身段舞姿中去。”
## 观察与思考
为什么梅兰芳认为雕塑比绘画更能使人受到启发?体现在哪些方面?
晋祠侍女立像 (彩塑) 高 152 厘米 $[$ 宋代］山西省太原市晋祠圣母殿
## 传统泥塑一一彩塑
彩塑是我国传统的泥塑品类之一，是塑、画结合的一种艺术形式,是以胶泥（黏土加上纤维物、河沙、水经糅合而成）为基本材质，多在木制的骨架（石胎）上进行形体塑造，阴干后再经填缝、打磨、着色、描绘而成的作品。传统泥塑根据摆放环境与使用范围可分为石窟彩塑、庙宇彩塑、陵墓彩塑和民俗彩塑四类。
击鼓说唱陶俑（陶塑）高 56厘米 ［东汉］四川省成都市天回山出土中国国家博物馆藏
## 交流与探究
查阅相关资料，了解、分析并讨论：传统泥塑中墓葬彩塑与其他彩塑的材质有何不同,为什么会有这种差异。
陶彩绘女俑（陶塑） 高44厘米宽 14 厘米 [唐代 $]$ 故宫博物院藏
## 学习经典
秦兵马俑
兵马俑是古代墓葬雕塑的一个类型,即用陶土制成的兵马 (士兵、战车、战马等) 形状的殉葬品
秦兵马觓系 1980年由秦始皇帝陵墓葬坑出土,每个陶俑的装束、神态、姿势都不一样,其形象塑造基本上以现实生活为参照,可以使人很容易判断出其身份地位。据考证，光陶俑人物的发式就有许多种,手势也各不相同，面部表情更是各有差异。总体而言,兵将俑的面容都流露出秦人独有的威严与从容,具有鲜明的个性和强烈的时代特征。陶俑都经过精心彩绘,并注重了色调的对比与和谐,以及个体差异与整体统一的关系,增强了艺术感染力。人物的面部及手、脚的颜色均为粉红色,以表现皮肤的质感。面部的彩绘尤为精彩,白色的眼角，黑色的发䯺、胡须及眉毛，黑色的眼珠一一甚至连眼睛的瞳孔也描绘得活灵活现。陶马也同样施以彩绘,造型生动感人。
## 相关链接
秦兵马俑的彩绘主要使用红、绿、蓝、黄、紫、褐、白、黑八种颜色，如果再加上深浅浓淡不同的朱红、粉红、束红、中黄、粉紫、粉绿等颜色，其色彩种类多达十几种。
跪射俑（陶塑 ) 高 120 厘米 [秦代] 陕西省西安市鲴潼秦始皇帝陵博物院藏
绿面俑（陶塑 ）( 局部 )
[秦代 $]$ 陕西省西安市拥潼秦始皇帝陵博物院藏
骑兵俑（陶塑）高 180 厘米 $[$ 秦代 $]$ 陕西省西安市临潼秦始皇帝陵博物院藏
## 探究与发现
1. 秦兵马俑彩塑和其他彩塑的材质有何不同?为什么会有这种差异?2. 兵马俑的制作过程和其他彩塑的制作过程有何不同?请查阅相关资料分析说明。
## 民俗泥塑
我国的民俗泥塑形式多样,品类众多,各有特色。民俗泥塑的代表有天津“泥人张” 泥塑、浚县“泥咕咕” 等,这些作品多由民间艺人制作,一抔黄土在他们的手中被赋予了情感与灵性。我国许多地方都有这样的民间泥塑,与当地的风土人情紧密联系在一起。
大阿福 (彩塑) 高 24 厘米宽 18 厘米 [清代 ] 无锡市惠山泥人研究所藏
惠山泥人,是无锡的传统工艺美术品,无锡三大著名特产之一。惠山泥人的代表作品“大阿福”,是根据民间传说而创作的一个被神化的可爱孩童形象，寓意辟邪、降福。
老来乐 (彩塑) 吴光让潮州市
潮州民间有句俗语叫“银湖小姐,大吴翁仔”,不仅形容银湖的姑娘美貌俊俏,更赞美潮安区浮洋镇大吴村的泥塑“涂翁仔” 巧夺天工、美妙绝伦。
大坐虎 $($ 彩塑 $)$ 凤翔县
凤翔彩绘泥塑有三大类型：一是泥玩具,以动物造型为主,多塑十二生肖形象;二是挂片,有脸谱、虎头、牛头、狮子头、麒麟送子、八仙过海等；三是立人，主要为中国民间传说及历史故事中的人物造像。
## 观察与思考
本课所讲的民俗泥塑分别属于我国的哪个省 (市)?请查阅相关资料,了解我国还有哪些经典彩塑的分布,它们各有什么特点,为什么会产生这种分布。
泥咕咕（彩塑） 浚 (xùn) 县
泥咕咕是一种古老的传统民俗工艺品。泥咕咕是浚县民间对泥塑小玩具的俗称,一般形体较小,大的高度不足 20 厘米,小的只有 $4 \sim 5$ 厘米。因其尾部有两个小孔,吹气时会发出“咕咕”的声音，故称“泥咕咕”。
刘胡兰 $($ 铸铜 ) 112 厘米 $\times 37$ 厘米 $\times 31$ 厘米 1955 年王朝闻中国美术馆藏
作者曾经花费巨大的精力对作品进行构思,并几易其稿。作品的初稿是刘胡兰被反绑住双手、英勇就义前的形象,后经反
复推敲,最终把反绑双
手的绳索去掉了。这
一构思使得英雄的形象更加凛然高大、真实感人。
在战地 • 白求恩半身像（铸铜 ） [现代 ] 司徒杰中国国家博物馆藏
作者在创作前,阅读了许多有关白求恩的材料,并到白求恩当年辆牲的地方体验生活。为了把白求恩无私的国际主义精神充分表现出来,作者曾塑造了六七十个小稿。该作品是中华人民共和国成立后较早完成的纪念碑式雕塑之一，具有简朴、大气、刚劲的特征,代表着艺术家现实主义纪念碑雕像创作的艺术高峰。
## 现代泥塑
现代泥塑的发展在雕塑的品类中也占据重要地位,像一些名人肖像、带有纪念性的雕塑以及带有装饰性的雕塑，都是先用泥制作初稿，再转换成其他硬质材料 (金属、石材、木材等）成品。
鲁迅像（铸铜）高47厘米 [现代］张德华艺术家对人物形象及精神世界的把握，有着特殊的艺术敏感。他把人物塑造成微微抬头、凝视远方的形象,传神地表现出了近代文学巨匠鲁迅的气质内涵。作品形象逼真,内涵丰富,塑造手法潇洒豪放，具有较强的艺术感染力和独特的个人风格。
Bacchante (赤陶土) 高39.4厘米长 22.5 厘米宽 23.8 厘米 1874年罗丹 [法国 ] 美国纽约大都会艺术博物馆藏
## 思考与分析
1. 通过观察上图中的罗丹雕塑作品,你能从人物的形象、神情等方面感受作品的含义吗?尝试分析作品的创作手法,并与同学讨论交流。2. 现代泥塑作品最终完成时,一般会选择比较坚硬的材质制成成品,请结合所学知识分析这样做有什么好处。3. 材质的选择是由雕塑的主题、形式等综合因素决定的,请列出你见过的雕塑材质类型,并说明为什么选择此种材质。
## 相关链接
泥稿雕塑转换为硬质材料雕塑
艺术家创作好泥稿雕塑后,会根据作品的主题、内容、形式、审美等因素，考虑选用硬质材料制作成品。用于成品转换的传统硬质材料包括两大类: 一类是金属类材料,如铜、铁、钢或不锈钢等;另一类是非金属类材料,如石膏、水泥、玻璃钢 (树脂)、玻璃、石材等。转换的工艺方法有多种,如将雕塑泥稿转换成铸铜材质,需要运用金属铸造工艺中的失蜡法;转换成石材就需要运用“三点定位” 法等。随着科技的发展,一些新型材料 ( 如纳米材料、光敏树脂、生物材料等）被逐渐应用到现代雕塑创作中,诞生了科技雕塑、生物雕塑等全新形态的雕塑,从而使得雕塑的概念越来越宽泛,类型越来越丰富，其转换的工艺方法也更直观便捷。
3D 打印技术出现在20世纪 90 年代中期,它与普通打印机工作原理相似,是一种以数字模型文件为基础,使用粉末状金属或塑料等可䵑合材料,通过逐层打印的方式构造物体的技术。
人民英雄纪念碑浮雕《金田起义》( 局部) 石雕试刻版（3D打印） [现代］王丙召体积和体量感通过形体的相互组合形成了空间。雕塑艺术作品不同的形象、体积、形式带给欣赏者不同的审美感受: 体积巨大、敦实的雕塑作品可以产生令人震撼的力量及坚如磐石的稳定之美;体积小、细节工致的雕塑作品则会给欣赏者以轻盈、玲珑、精致之美。
## 一、小型泥塑的制作
小型泥塑一般可用泥直接塑制，和泥、拍泥、堆泥、削泥、压光等技法在整个制作过程中会反复使用。
## “泥人张” 泥塑的开脸步骤
“泥人张” 泥塑在着色这一工序中最先画脸,即先把面部整体画上浅色的底色，再画上五官。五官的描绘方法是国画技法中的工笔重彩。如画眉毛,看似简单,但是必须经过几次从淡.墨到重.墨再到浓.墨的反复渲染过程,以使其富有层次感，而不是将其画成一条简单的黑线。画眼睛也是这样,要求用不同的.墨色：画上眼皮用焦.墨;画眼球的步骤是先浓. 墨后焦,墨,再点高光,以表现眼球透明的感觉;然后运用淡墨渲染眼角。画完眼睛后再以浓,墨画头发: 先画髸角,要注意画出头发的虚实关系。比如头发和面部相交的地方要有过渡,以毛笔中锋用花青或淡墨逐渐地、一点点地绘制,以使其自然衔接。画完头发后再画眉毛、嘴唇,其技法要领都是由浅到深地逐步描绘,以求自然生动。
## 知识链接
传统彩塑的制作材料主要是草泥、胶泥、河沙、土坯、土料、柴草和色料。古代匠师采用了雕、刻、塑、捏、贴、压、削及绘画艺术上的点、染、刷、涂、描等技法，使得形象生动逼真，丰富多彩，富于表现力。
彩绘层是彩塑的最表层，也是作品中最精华的部分,素有“三分塑，七分彩” 之说其制作工艺一般分掸白、沥粉、贴金、着色四道程序
彩绘所用颜料大多是矿物颜料,统称为“石色”,如石青、石绿、朱砂、铁红、孔雀石绿、土黄等较为常见;也有植物颜料,统称“草色”,如藤黄、胭脂等。矿物颜料的覆盖力和隔绝性强,可以长时间保持不变色。部分矿物颜料有毒,可以防虫蛀。着色完成后,在色彩的表面罟一层胶,使彩塑微有光泽,对颜料层起到封护作用,是传统彩塑工艺中不可缺少的最后一道工序。
## 思考与探究
1. 创作泥塑作品时,哪些方面是表现的重点?为什么?2. 根据泥塑制作步骤和玩泥巴的经验,你能总结出哪些泥塑制作的基本技法?
军旗升起（铸铜） 2017 年孙伟等江西省南昌市建军雕塑广场
这是一组纪念中国人民解放军建军 90 周年的大型雕塑作品,它以“八一南昌起义”为表现主题,采用具象写实的塑造手法,以生动的人物形象再现了起义军集结、渡江、起义的史诗性画面,歌颂了中国人民解放军成长、发展、壮大的伟大历程。
## 二、大型泥塑的制作
不同形态的雕塑在技法使用上不尽相同。制作大型泥塑时，一般先依据定型的小稿，按比例制作出金属结构的骨架，再配以木条钉出雕塑形象的大体形态，然后用泥塑出基本形体,最后一步一步丰富细节，直到完成。
1.搭骨架、上泥。
2. 大形塑造
## 讨论与交流
小型泥塑与大型泥塑在制作技法上有什么差异?它们共同的技法特征是什么?
## 实践与表达
同桌的你一一为同学塑像
## 1. 构思草图
(1) 选择艺术表现手法 (如具象写实、抽象夸张、意象生趣等)。
（2）想象草图效果,既要展示表现手法,又要从不同角度展示人物形象的重点部分 (如正面重点表现五官特征,侧面重点表现耳朵、头发等）。
## 2. 绘制草图
(1) 绘出人物的表情特征及头部动作 (如眯着的眼睛、微笑时的酒窝或低头沉思等)。
(2) 对人物形象的表情或动作进行夸张或强调，使其特征更为突出。
(3) 对不同角度的草图注明技术处理的重点提示文字,以保证塑造过程不会走偏。
人物头像正面草图
## 尝试与探究
学校本周要举办“艺术周” 活动,活动主题是“同桌的你一一为同学塑像” 班主任要求从班级里选出 10 件比较出色的作品参加“艺术周” 展出。根据要求,头像必须是圆雕，高度不小于 20 厘米。活动的组织方还要求参赛者提交一份塑像所需材料清单和创作草图,草图至少从两个角度呈现人物形象并注明表现手法。
人物头像侧面草图
人物头像侧面草图
## 借鉴学习
（1）五官:
“三庭五眼””表现脸部五官的比例。仔细观看优秀作品对眼睛、畕子、嘴巴等五官的处理,体会用手和工具塑造细节时表现效果的不同。
（2）动态（头、颈、肩的关系 ):
Suffering ( 铸铜 $) \odot$ 思想者 (青铜 )
[现代］布朗库西（局部） [现代] ［罗马尼亚］罗丹 ［法国］
头、颈、肩在空间中的位置关系呈现出人物头部的动态特征。
（3）表情:
表情是人物特征的重要组成部分。
## 3. 制作步骤
( 1 ）工具和材料:
头像雕塑架子
转台
泥
泥塑刀等工具
油泥 ( 2 ) 技法要求:
制作塑像时应注意的问题：
(1)使用泥土或纸黏土塑造,兼顾功能性与装饰性。
(2)造型手法应灵活多样。
(3)注意塑像的大小比例,以及如何处理头发、五官、衣服的不同质感。同时，还应关注空间关系的变化。
参考案例
沉睡的缪斯（铜） 高 26.7 厘米
[现代 ] 布朗库西 [罗马尼亚］
法国巴黎蓬皮杜中心藏
费尔南德・奥利维尔头像（铜）
高47厘米长 35.9 厘米宽 34.9 厘米
［现代］巴勃罗・毕加索［西班牙］
曹禺像 $($ 铸铜 ) 高 65 厘米长 35 厘米宽40 厘米 [现代］孙家钵首都剧场藏女人头像（石灰石 ) 高 76 厘米长 15.2 厘米宽 20.3 厘米
1913 年莫迪里阿尼 ［意大利 ] 美国纽约柏斯艺廊藏
巴金像（铸铜）高 80 厘米 [现代] 严友人上海城市雕塑艺术中心藏 (3) 过程与方法:
(1)上大泥。
1. 在头像架子上绑两个铁丝十字花，防止泥块滑落。
2. 在铁丝十字花上固定好泥团,然后加泥,可用木拍拍实。
3. 迅速加泥,做出头部的基本形体、动态。
(2)塑造。
4. 根据人物的形象特征,充分塑造五官的具体形象,并进一步塑造头发、脖子、衣领等。
(3)深人调整。
5. 调整整体与局部的关系,深人刻画细节部分,使头像更加生动。
## 特别提示
请注意用刀安全!## 技法小贴士
(1) 铁丝十字花的制作:
将两根小木条用铁丝交叉捆绑成十字形状。
（2）上泥:
拍
刮
搓
(3) 塑造:
哨
挖
(4) 调整:
## 展示与评价
1. 请将自己制作泥塑头像的整个过程拍摄照片并制作成 PPT 课件,连同作品一起展示。回忆制作过程中发生的有趣瞬间,并与全班同学一起讨论在制作过程中遇到的问题及解决方法。2. 向“艺术周” 组织方提交作品创作文案,重点说明选择了哪种艺术表现手法,并说明从草稿构思到最终完成,自已对作品做了哪些方面的调整及调整的原因。
学生作业
## 第 2课 凿石刻木——石雕 木雕
基本问题
石雕和木雕是如何制作出来的?
## 情境导入
《大卫》是意大利文艺复兴时期雕塑巨匠米开朗琪罗的代表作,该作品是用一整块大理石直接雕刻而成,重量达 5460 千克,被视为西方美术史上最优秀的写实人体雕像之一。艺术家没有沿用前人表现大卫战胜敌人后将敌人头颅踩在脚下的场景,而是选择了大卫紧握着手中的投石器准备迎接战斗时的姿态。在仔细观察或测量后,人们发现《大卫》雕像的头部和手很大,甚至不符合完美的人体比例。
米开朗琪罗作为一个负有盛名的艺术家,在雕刻之前肯定对作品的材料、风格、形式都进行过认真考量,但为什么还会出现头部和手做大的情况呢?艺术家为什么要一反常态地选用大卫迎接战斗时的姿态呢?
## 相关链接
其实这形体本来就存在于大理石中,我只是把不需要的部分去掉而已
—一米开朗琪罗
大卫 (大理石) 高396厘米 1501-1504年米开朗琪罗 [意大利］ 意大利佛罗伦萨美术学院藏
中外美术史上有很多杰出的雕塑作品,它们是人类文化的瑰宝,带有不同历史时期的烙印,具有很高的文化价值和艺术价值。不同材料、风格、形式的雕塑给人以不同的视觉感受和心灵震撼,石雕和木雕可以说是其中最重要的部分。
石雕和木雕与泥塑相比,其最基本的雕塑语言没有变,但是由于材料属性的不同,所以在制作的方法上也就不同。另外,它们在审美趣味上也存在差异。总体来说,泥塑以塑为主,其技法特征为“加法”;石雕、木雕以雕为主,其技法特征为“减法”。
## 石雕
石雕艺术历史悠久、形式多样，不同国家、不同时期的石雕在类型和风格上都有很大差异。
日日夜夜 (大理石 ) 高 51 厘米长 31.5 厘米宽 40 厘米 1984年张得蒂中国美术馆藏
艺术家截取年轻护士工作时轻吹汤匙为病人喂药这样一个平凡的细节,塑造了一位美丽的少女形象,创造了一种清纯、温柔的氛围。大理石洁白的质地以及雕刻肌理由粗砺向光润的逐渐过渡,恰到好处地表现出了白衣天使的圣洁,也显示了作者以柔克刚、征服坚石的高超雕刻技巧。
## 思考与探究
请结合日常生活经验思考: 石材和木材相对于泥来说有什么不同的特点?在运用此类材料进行雕塑创作时，应注意什么?
八角锤
日日夜夜（局部）（大理石）［现代］张得蒂
## 探究与发现
仔细观察《日日夜夜》的雕刻细节,说一说，作者使用了哪些雕刻技法?通过该作品你能想象出《大卫》的雕刻方法吗?
## 学习经典
霍去病募石雕群是一组纪念碑性质的大型石刻。这些作品多为循石造型,以大胆概括的形象和浑厚硕大的体量,昭示着西汉名将霍去病生前的赫赫战功
立马 (花岗岩) 高 168 厘米长 190 厘米 [西汉] 陕西省兴平县道常村霍去病墓前石雕茂陵博物馆藏
“匈奴末灭,何以家为?”作品表现的正是这一主题：一匹战马正踩踏着腹下一个手持弓和矛作挣扎状的敌人。卧地的敌酋正好填补了马腹下的空间,使马的四足得到了力的合理支撑。
跃马 (花岗岩) 高 150 厘米长 240 厘米 [西汉] 陕西省兴平县道常村霍去病墓前石雕茂陵博物馆藏
《跃马》是根据巨石的形状，选择适当的部位雕出马头和马身的侧面形象。巨石自身的稳定、重量与马的腾跃动态奇妙地达到了和谐统一。
伏虎 (花岗岩) 长 240 厘米宽 84 厘米 ［西汉］陕西省兴平县道常村霍去病墓前石雕茂陵博物馆藏
作品因材施艺，在自然起伏的石面上刻出几道斑纹，生动地表现了隐伏于丛芙中伺机出击的斑斓猛虎的形象。
## 相关链接
石辟邪 $($ 青石 $)$ 高 190 厘米长 297 厘米宽 90 厘米 [汉代] 河南省洛阳博物馆藏
作品为我国汉代最大的石辟邪,整体造型为“$\mathrm{S}$ ” 形,融圆雕、平雕、线刻于一体,体现出汉代雕刻艺术已达到了炉火纯青的境界。
顺陵石狮（青石 ） [唐代 ]
陕西省咸阳市
作品是唐代诸陵中现存形体最大、最具代表性的石刻之一,共有两尊,一雌一雄,呈走动姿态。整体造型简略坚实，气势磅礴。
## 观察与对比
观察并对比《石辟邪》及《顺陵石狮》两件雕塑作品在造型上有什么异同？它们带给你怎样不同的感受?
## 探究与发现
1. 作为雕塑的制作材料,石头与木头相比有哪些优点与缺，点?你知道哪些可用于石雕的常见石材？2. 查阅资料,了解我国传统石雕中辟邪、石狮的形象是如何创造出来的,它们的形象在漫长的历史发展中有什么变化,为什么会有这种变化。
## 观察与对比
比较本页作品不同的造型风格,讨论它们的颜色、纹路、肌理、密度等材质特点,阐述艺术家是如何因材施艺表达个人情感与作品主题的。雕塑与绘画一样,都属于视觉艺术,所以它始终不能脱离最基本的造型审美规律。作品的大小比例、造型动态、材料质感等无不体现着审美因素。对雕塑造型的整体把控,是作品具有建构感、韵律感的前提与保障。
宋庆龄塑像（大理石 ） 高 252 厘米 [现代 ] 张得蒂、郭其祥、孙家彬、张润垲、曾路夫上海市中华人民共和国名誉主席宋庆龄陵园
作品质朴大方,造型概括,温润的汉白玉石材表现出了人物特有的气质和风采，取得了形神兼备的艺术效果。
饮水的熊 (大理石 ) 高 60 厘米长 54 厘米宽 23 厘米 1984 年杨冬白中国美术馆藏
作者巧妙地借鉴绘画中平面造型的方法,把熊和它的倒影组合为一件立体造型的雕塑,大胆地突破了雕塑的传统造型观念,给人以全新的视觉美感。
黄河母亲 (花岗岩) 高 260 厘米长 600 厘米宽 220 厘米 [现代 ] 何鄂兰州市黄河南岸
作品表现的是一位神态娴雅的年轻母亲形象。她面带微笑地侧卧着,慈祥地看护着怀中的幼儿,象征着黄河母亲哺育着华夏子孙。雕塑的整体造型为三角形，给人以平稳、安定的审美感受。
米洛斯的阿佛洛狄忒（大理石） 高 203 厘米约公元前 150 年法国巴黎卢浮宫博物馆藏
雕像采用写实的艺术手法,造型呈简洁自然的“S” 形曲线,体现了人体的青春活力和美感。
## 对比与分析
1.本页两件雕塑作品中三角形和“$S$ " 形的造型带给你怎样的审美感受?你还见讨哪些造型形式的雕塑?
2. 在课本中挑选两件你喜欢的中外石雕作品,尝试从材料、风格、造型上分析一下它们的异同。
## 思考与探究
作为雕塑材料，木头与石头相比有哪些优点与缺点?你知道哪些木材常用来做木雕吗?请举例说明它们各自的颜色、纹路、密度等特点。
## 探究与发现
除了传统的佛教造像，你还见过其他形式的木雕作品吗?举例说明它们与传统佛教造像的区别。
木雕锤圆口刀
木雕刀
平口刀
制作木雕的材料是各种软、硬质地的木材。随着历史的发展，木雕形式日益多样,成为传统雕刻工艺中的重要门类。
中国的木雕艺术源远流长,距今约七千年的河姆渡文化已有木雕作品。至秦汉两代,木雕工艺趋于成熟。佛教传人中国后，经过与传统文化的融合，形成了中国特色的佛教文化,木雕艺术也得以蓬勃发展。经过长期发展，木雕艺术形成了不同的流派和雕刻手法，共同组成了我国灿烂的木雕文化。
彩绘木雕水月观音像（柳木胎） 118.1 厘米 $\times 95.3$ 厘米 $\times 71.1$ 厘米 [辽代] 美国纽约大都会艺术博物馆藏
作品造型源于唐代周昉所创作的绘画作品中的水月观音像,通常为观音菩萨坐于水中石上,左腿垂下或盘起,右腿支地,左手于身侧扶地,右手搭在右膝上。该造型样式后来很快流传开来,晩唐、五代时期,水月观音像已在各地寺院壁画中能够见到，北宋以后其影响日渐扩大，成为后世观音造像最常见的表现形式之一。
斜口刀
三角刀
鲁脸（木）[现代］崔钟泰 [韩国 ]
简约概括的造型及独特的雕刻刀法,使得作品呈现出特殊的肌理效果与艺术风貌。
欢乐柱 (柏木) 高 168 厘米长 31 厘米宽31厘米 1982 年田世信中国美术馆藏
作品运用了写实且略带夸张的表现手法,生动地表现了我国云贵地区的民族风貌和人文景观。
## 探究与发现
分析本页木雕作品不同的艺术风格,试着从形象、主题等方面说明出现各种不同风格的原因。你更喜欢哪种风格？阐述你喜欢的理由。这几件木雕作品虽然都是表现人物,但呈现出来的整体风貌截然不同,这是因为艺术家在创作前就已经构思好利用不同木料的材质特点和富有个性的处理手法,来表现不同的人物形象。
太极系列一一单鞭下势 $($ 木 $)$ [现代 $]$ 朱铭
作品整体造型简洁刚直,用料厚重质朴,以大刀阔斧的憵削手法依木材的天然纹理进行塑造,体现了太极拳厚积薄发的武术理念及力量美感。
## 相关链接
非洲木雕独特的造型使物体变形为形态结构大不相同的形象，其特点是大胆的创造精神、强烈的节奏感、新颖的构思甚至带有一定实用功能，形态比例夸张，具有丰富的线条美感。
端坐的酋长夫妇 $($ 木 ) 62 厘米 $\times 54$ 厘米 $\times 3$ 厘米 [ 喀麦隆] 班格瓦族中国国家博物馆藏工具和材料
木雕刀
锯
恙工刀实践与表达
## 勿忘我―小木雕纪念品
为自己最要好的同学做一个木雕 (也可用透明㿝代替) 小动物，可以是他的生肖，也可以是他最喜爱的动物形象。设计时应考虑动物的样貌特点，作品要体现设计感和艺术性。
## 1.构思草图
(1) 为你的雕塑选择艺术表现手法 (如具象写实、抽象夸张、意象生趣等)。
（2）想象草图效果，既要展示表现手法，又要从不同角度展示造型细节。
## 2. 绘制草图
绘制草图时应重点考虑以下问题：
（1）作品表现的重点部分 (如头部)。
（2）表现出作品的动态。
（3）对作品进行夸张或强调，突出其特征。
（4）设想好打磨的程度，或细俑或粗䊁，以达到想要的效果。
核桃油
## 借鉴案例
$$ 小象
企鹅
猫头鹰
## 3. 技法点击
锯
削 ( 注意不要把手放到刀刃前 )
针
打磨（注意用力要均匀 ）
## 4. 制作步骤
1. 选材。尽量选择没有裂纹、木纹精致、木质紧密的干燥木材。
3. 沿着长方形的外轮廓将不需要的部分锯掉。
2. 在木料表面画出一个大小适中的长方形,并在里面勾画出小鸟的形象草图。
4. 将画有草图的木块锯出来。
5. 把其他面的草图画到木块上。
7. 用锯、刀子把整个鸟的大体形状切出来。
9. 把各个棱角钯圆后,再用由粗到细的砂纸打磨，直至表面光滑。
6. 沿着草图的轮廓线锯木块,但不锯透,以确保草图的完整性。
8. 用刀进行细致雕刻，然后用钯刀打磨棱角。
10. 擦上核桃油,等油被木头吸收后，继续上油,上油层数越多，木头质感越细㨔，直至满意。
## 交流与讨论
将作品送给同学,交流制作心得,并讨论以下问题:
你为什么要选择这种动物形象?
从最初的构思到最终的完成,制作过程中你遇到哪些问题?你是怎么解决这些问题的?
卧着的猫
学生作业
## 第 3课 精雕细琢——石膏浮雕刻制
## 基本问题
浮雕有哪些表现形式?浮雕是如何制作出来的?
## 情境导入
举世瞩目的 2008 年北京奥运会,在 28 个大项目中产生了 958 枚奖牌。奖牌直径为 7 厘米,厚 0.6 厘米。奖牌正面的雕刻为国际奥委会统一规定的图案: 张开翅膀站立着的古希腊胜利女神和古希腊潘纳辛纳科竞技场。奖牌背面镶嵌着玉璧，背面正中的金属图形上镌刻着北京奥运会会徽。整个奖牌尊贵典雅，中国特色浓郁,既体现了对获胜者的赞美,也形象地诠释了中华民族自古以来以“玉”比德的美好寓意,是中华文化与奥林匹克精神在奥运会形象工程中的一次“中西合璧”。想一想，奖牌上的浮雕图案在造型上有什么特点,给人以怎样的审美感受?
$\odot 2008$ 年北京奥运会奖牌
## 知识链接
浮雕中的透视是立体的,它和平面绘画中的透视在原理上是一致的,但在体积的表现上存在差别
起位,亦称起线,雕塑术语，指构成浮雕造型的最低水平线（或最低位置)。钱币上的浮雕起位,一般都是以浮雕底板的水平线作为起线。石窟内的浮雕则往往由于效果的需要,会把一些较小的凹底部位的起线提高,低凹部位较宽的起线放低,从而使得形象完全不在一个平面上,甚至起线有从最底层上升到第一层后又转到中间层的。起位是构成浮雕的基础。
## 思考与探究
《昭陵六骏》是如何从绘画图样转变为立体的浮雕造型的?浮雕中形体的轮廓线与底板有什么关系?浮雕中造型的厚重感是从哪些方面体现出来的?浮雕的主要造型要素
原始人类用色块和线条来表现所接触到的自然对象，并把它们描绘成平面的绘画，以表达人们对这些事物的关切。当人们发明线刻，意欲以岩石等硬质材料固定和保存这些形象时，最初的浮雕便产生了。
浮雕是雕塑的一种特殊形式，是雕刻者在平面上将要塑造的形象雕刻出来，使它脱离原来材料的平面而表现出立体感。浮雕是雕塑与绘画相结合的产物，一般用压缩形体的方法来处理对象，靠透视等手段来表现三维空间，并只供一面或两面观看。浮雕的造型要素主要包括透视与起位。
负伤的母狮（浮雕大理石）约公元前 650 年 ［古埃及亚述时期］
昭陵六骏・飒露紫（浮雕石刻）高 170 厘米长 200 厘米 [唐代] 美国宾夕法尼亚大学博物馆藏
昭陵六骏浮雕石刻是我国雕塑史上千古不朽的艺术杰作，作品表现的是唐代六匹骏马 (什伐赤、青骓、特勤骠、飒露紫、拳毛䯄、白蹄乌)的形象,原列于昭陵北阙。唐太宗李世民为纪念自己在征战中立下的赫赫战功，将所骑上述六匹战马的形象雕刻上石,陈列于昭陵陵后。相传马的图样是著名画家阋立本所绘。作品以形传神,形神结合,高度概括地塑造了战马立、行、奔、驰的身姿与步态。简练明确的造型,娴熟流畅的手法,栩栩如生地突出了马的性格和它们在战斗中的不同遭遇，表现了初唐写实性雕刻的艺术风格。
## 高浮雕
高浮雕由于起位较高、较厚,因此形体压缩程度较小,其空间构造和塑造特征更接近于圆雕,甚至部分局部处理完全采用圆雕的处理方式。高浮雕往往利用三维形体的空间起伏或夸张处理,形成浓缩的空间深度感和强烈的视觉冲击力，使浮雕艺术对于形象的塑造具有一种特别的表现力。
阿佛洛狄忒的诞生（鲁多维奇宝座浮雕大理石）高 87 厘米长 144 厘米约公元前 470-前 460年 [古希腊］ 意大利罗马国立博物馆藏
养鸡女（摩崖石刻世界文化遗产 ) [南宋] 重庆市大足区大足石刻
马赛曲（大理石 $)$ 高 1280 厘米长 790 厘米 $1833-1836$ 年
吕德 ［法国］ 法国巴黎凯旋门
## 相关链接
摩崖石刻是中国古代的一种石刻艺术，指在山崖石壁上所刻的书法、造像或者岩画。摩崖石刻有广义和狭义之分,广义的摩崖石刻是指人们在天然石壁上摩刻的所有内容,包括各类文字石刻、造像石刻,岩画也可归入摩崖石刻。狭义的摩崖石刻则专指文字石刻，即利用天然的石壁刻文记事摩崖石刻起源于远古时代的记事方式,盛行于北朝时期,直至隋唐以及宋元以后,连绵不断,有着丰富的文化内涵和史料价值。
## 讨论与交流
1. 文中列举的不同材质的高浮雕艺术作品给你的感受有何不同?
2.查阅相关资料,了解还有哪些材料应用于浮雕的艺术表现。材质选择、时代背景与个人情感的表达有何关联?以小组形式展开讨论。
## 对比与思考
浅浮雕与高浮雕的制作方法有何异同点?请举例说明
## 浅浮雕
浅浮雕是与高浮雕相对应的一种浮雕类别,浅浮雕起位较低,形体压缩较大，平面感较强，更大限度地接近于绘画。它主要不是靠实体性空间来营造空间效果，而是更多地利用绘画的描绘手法或透视、错觉等处理方式来营造空间效果。
白石彩绘散乐图 (汉白玉浮雕) 高 82 厘米长 136厘米 [五代] 河北博物院藏
作品为 1995 年河北省曲阳县王处直墓出土的墓室墙面的装饰品,表现的是墓主人的散乐队正在演奏的场面。石刻最右侧着男装者可能是乐队指挥，在他的下方有两个舞者,在他的身后则是演奏各种乐器的 12 位乐女 (前排 5 人,后排 7 人)。石刻用汉白玉石材雕成并着色,人物形象栩栩如生。
纳美尔石板（片岩） 高约 63.5 厘米约公元前 3150 一前 3125 年 ［古埃及] 埃及开罗博物馆藏
纳美尔石板是一块盾形的石板浮雕，它的正反两面都刻有浮雕造型。石板正面的画面分为两部分，背面的画面分为三部分，均是横向构图。呈平面化的线刻手法,是当时流行的一种雕刻工艺，后来逐渐成为基本法式。
骑马的行列 (大理石)（帕特农神庙浮雕局部 ） 公元前 5 世纪一前 4 世纪 [古希腊］
古希腊浮雕艺术建立在卓越的写实基础之上，其人物造型结构严谨、解剖准确,表现出高超的写实造型能力。这些帕特农神庙上的浮雕艺术作品,给人以强烈的运动感和冲击力,无疑是古希腊雕刻遗迹中的经典作品之一线刻是绘画与雕塑的结合,它靠光影产生形象,以光代笔，微妙的起伏给人以淡雅含蓄的感觉。
镂雕是一种雕塑形式,有的为单面雕,有的为双面雕。它是在浮雕的基础上,镂空背景部分,从而产生一种变化多端的虚空间,并使虚空间与实空间的轮廓线有一种相互转换的节奏。镂雕亦称镂空雕、透雕,主要是在木、石、玉、陶瓷等可以用来雕刻的材料上雕出各种图案。
## 对比与思考
1. 镂空雕的制作对材料有什么要求?它与浮雕的异同点有哪些?2. 查阅资料，深入了解中西方浮雕艺术的发展历程,比较它们的艺术表现形式有何异同。3. 查阅资料,了解武梁
百忍堂图 (砖)
［清代 ] 安徽博物院藏
砖雕是以砖为雕刻材料的一门手工技艺。在我国传统的民居建筑中,砖雕多用于大门门楼、山墙墀 ( chí) 头、照壁等处的装饰，在雕刻手法上有剔地、隐雕、浮雕、透雕、多层雕等,造型多样,生动活泼。砖雕既有石雕的刚毅质感，又有木雕的精致柔润,呈现出刚柔并济而又质朴清秀的艺术特点。
镂空双面木雕大座屏 (樟木) 高278厘米宽 258 厘米 [清代 ] 广东省佛山市祖庙博物馆藏
镂空双面木雕大座屏是清代末期具有典型佛山木雕艺术风格的作品。该座屏为方形,边框内的雕刻图案由三块大樟木镂空雕刻图案拼接而成,正面与背面图案一致。作品正中间的圆形主图案为“三狮戏球” : 一头雄狮威武雄壮,两头幼狮机灵可爱,周围配以山石、树木、芝草等造型,以及“鹤驾祥云”“燕鹊成双” 等图案,雕刻技法变化多端。
良渚玉琮（玉）
高 7.2厘米 ［新石器时代 ] 南京博物院藏
玉琮的造型多呈规整的内圆外方形状，大小高低不一。琮身一般均有雕刻纹饰,多以浅浮雕和细线刻等技法刻制。祠画像石文化,说明其时代背景、表现主题、材质特点、社会功能和象征意义。
## 学习经典
虎门销烟（汉白玉）高 200 厘米长492厘米 1958年画稿：艾中信雕塑主稿：曾竹韶助手：李祯祥人民英雄纪念碑浮雕
高浮雕形体压缩较小，偏向于圆雕的塑造方式
通过透视来表现木箱子的空间和体积。
高浮雕的形体与底板的关系，是形体从底板开始依次有序地往外层层叠加的关系，从而形成浮雕空间的纵深感。空间体积
浅浮雕形体压缩较大,更偏向于绘画。
通过透视线来表现浅浮雕的空间与体积
浅浮雕最靠近底板的接触面即为起位,通过从底板开始依次往外的形体叠加来表现空间，如图中平整的底板和形体的关系。
## 实践与表达
## 纪念章刻制
## 1.收集资料
在设计之前,先了解主办方对作品的具体要求,再从多个角度考察、了解设计作品的政治、人文、历史及文化背景 ( 如校史、校徽等）。记录考察结果，整理出考察小结。
## 2.设计草图
（1）选择艺术表现手法（如具象写实、抽象概括、意象生趣等)。
（2）构思草图时应紧紧围绕创作主题，反映校园文化或体育运动等内容，写出完整的创作说明书。
## 3.准备工具和材料
（1）根据创作构思,选择适合的材料 (如油泥、石膏、肥皁、木板等)。
(2) 准备一块符合创作要求的材料板,并切成所需要的造型。准备好铅笔、木刻刀、美工刀、砂纸等。
1. 准备工具和材料：木刻刀、铅笔、美工刀、砂纸、圆纸筒或其他圆形容器、石膏粉等。
## 4.制作过程
( 1 ) 刻制正面:
1. 将正面草图复制到石膏板上,
注意构图应均衡。
2. 翻制石膏圆板：在适量的水中加几滳墨水，与石膏粉混合调制成膏状并倒人圆纸筒中
3. 修石膏板：待石膏干后,取出石膏板,并用雕刻刀把表面修平，再用砂纸打磨平整。
## 尝试与探究
学校正组织运动会纪念章设计征集活动，创作要求：阐述材料选择的理由,纪念章正面与背面的图案必须采用浮雕的形式。请你设计一件以校园文化和体育精神为主题的作品,要求对纪念章的设计提出自己的想法,画出纪念章设计草图,做出实体模型，以便参加评选。
绘制纪念章草图（正面）
2. 用雕刻刀塑造外轮廓线时，要立起刀锋。
正面：细致雕刻局部，用砂纸仔细打磨，完成作品的正面刻制。
背面：调整并着色，完成作品的背面刻制。
3. 运用平刀和斜刀手法修整浮雕底板。
(2) 刻制背面:
1. 在石膏板上复制背面设 2. 根据草图在石膏板上雕 3. 用三角刀塑造细部计草图，注意构图应均衡。
刻出大形,并雕平底部,用刀时可多用侧锋。
4. 细致雕刻图形的边缘及 5. 用砂纸打磨修整。
基底，使其平整。4. 深人塑造，注意空间的层次关系及远近透视的表现。
本单元主要通过对中外经典雕塑案例的分析,在空间与时间上对雕塑艺术进行纵向和横向的对比，呈现雕塑艺术的发展特质。第一课主要讲解铸铜和锻铜的制作工艺流程,并利用替代的筑造材料 ( 如蜡等) 进行雕塑制作实践,体会其技法特点。第二课主要讲解雕塑的构成与连接方法，重点是点、线、面等造型语言的合理应用
## 第1课 雕塑中的铸（筑）造与锋造
基本问题
铸 (筑) 造和锻造是雕塑常用的制作工艺,它们的制作流程各是怎样的?
## 情境导入
1965 年 12 月，湖北江陵一座楚国的墓葬中出土了 600 多件文物，其中有一柄铜剑。据在场的考古工作者回忆，一名考古队员拿剑时,一不留神竟将手指割破了。有人再试其锋芒,稍一用力,便将十几层白纸划破。此剑就是传说中的越王勾践剑,其寒气逼人,锋利无比,历经 2400 余年,纹饰仍然清晰精美,显示出铸剑师的卓越技艺。该剑历史文化价值极高,被世人誉为“天下第一剑”,堪称国宝。你知道“天下第一剑” 是如何制造的吗?除了雕凿与刻制,雕塑的制作还有哪些方式?这些方式和技巧还可以运用到哪些材料上呢?
铸造是金属雕塑制作最常用的工艺技法之一，是将铜、铁等金属熔液浇注进预制好的模具中，经降温凝固后，取得预定的造型。
## 思考与交流
想想看,我们生活中的常见物品,哪些是铸造的,哪些是铚造的?你是怎么判断出来的?
越王勾践剑 ( 青铜) [春秋] 湖北省荆州市楚墓出土湖北省博物馆藏沧州铁狮子 ( 铸铁 ) 通高 547 厘米长 626.4厘米宽 298.1 厘米 [后周］广顺三年 (953 年) 河北省沧州市东南郊
民间称之为“镇海吼”，相传为遏制海啸水患而造,是我国现存年代最久、形体最大的铸铁狮子。铁狮铸造工艺精巧,体形雄壮健硕,重约 32000 千克,确系我国铸造工艺史上的一大珍品。据研究,古人是采用一种特殊的“泥范明铸法” 铸造铁狮子的,即将其分节叠铸而成。凭借 1000 多年前的手工冶铸技术,能铸造出如此庞然大物,足见当时的制模、冶炼、浇铸工艺是相当高的。
## 思考与探究
查阅相关资料,了解沧州铁狮子是如何铸造的，与深圳的《需子牛》雕塑相比，两者在制作工艺上有何异同?
## 相关链接
1980 年,深圳特区成立之初,深圳市委决定在市委市政府大院建一座最能代表深圳开拓者精神的雕塑。“擩子牛”这座雕塑最初命名为“开荒牛”，后来取鲁迅先生“俯首伪孺子牛”之意,定名为“孺子牛”。作为深圳市的一座标志性雕塑,“孺子牛”象征着特区建设者勇于开拓、大胆创新、无私奉献、奋勇前进的创业精神。该雕塑在 1984 年㭉获第六届全国美展金奖
孺子牛 ( 铸铜 ) 高 200 厘米长 560 厘米 1984 年潘鹤广东省深圳市
这座《擩子牛》雕塑,重 4000 千克,由牛和树根两部分组成,主体为铜材铸造,底座为花岗岩石料。雕塑造型为一头开荒牛,牛头抵向地面,四脚用力后蹬,呈竭尽全力状往前拉身后一腐朽树根。作品不仅象征着深圳经济特区的快速发展,更象征着全国改革开放要走向一个新的局面。
## 铸铜雕塑的工艺流程
铸铜雕塑工艺已有几千年的历史。一件精美的铸铜作品需要多道工艺流程才能完成,此外,还需要技术工人匠心独运地精心操作，才能打造出富于个性化的作品。
1.设计雕塑并制作泥稿。
2. 模具翻制。共有两种方法: 一种是石膏翻制,主要用于制作造型不太复杂的作品;另一种是硅胶翻制，主要用于制作造型复杂的作品。
3.蜡型灌制。把熔化好的石蜡灌到已经制作好的石膏模具或硅胶模具里,石蜡冷却后就成了蜡型。
4. 制壳。用精致石英砂一层一层把制作好的蜡型包起来，然后再用高温把壳里面的石蜡烧净。
5. 铸造。高温把铜化成铜水灌注到做好 6. 打磨、焊接、抛光等。的石英壳或砂箱里面
6. 表面着色。仿古作品一般适合用青铜 8.上油、封蜡。上油、封蜡可以让铸铜色;仿近代作品一般适合用古铜色;表雕塑保存更长久。
现现代风格效果的方法较多，如铸铜人
物雕塑，可以贴金，可以镀金，还可以
彩绘
## 知识链接
焊接与抛光在金属雕塑的制作中起着举足轻重的作用，无论是铸造雕塑还是钞造雕塑都离不开它们锻造是一种区别于铸造的金属雕塑加工工艺,是利用金属加热后质地变软,经锤打、冷却后又恢复坚硬的特性，并不断重复这一过程,最终制作出浮雕、圆雕等艺术作品或其他生活、工业用品。
云门 (不锈钢 ) 高约 1000 厘米长约 2000 厘米宽约 1300 厘米 2004 年阿尼什・卡普尔美国芝加哥市千禧公园
《云门》是一座用不锈钢建造的大型公共雕塑,于 2004 年首次在千禧公园对公众开放。作品由 168 块锻造后的不锈钢板组成,每块钢板厚 1 厘米,以无缝焊接连在一起。人们可以穿过 370 厘米高的中央拱门,在那里看到巨大的“凹痕”，并能看到自己扭曲的映像。
炎帝像（锻铜） 高约3900厘米 1995 年钱绍武山西省长治市老顶山
老顶山炎帝像惪立于山西省长治市东老顶山上，是该省乃至全国闻名的锻铜雕塑之一,也是亚洲最高的炎帝铜像。炎帝像用以纪念炎帝伟业,供人们缅怀先祖,回味历史,同时也展示了长治悠久的历史文化积淀。铜像面向着长治市区的方向,仿佛黎民百姓的祖先炎帝仍在关心、注视着他的子孙后代。
不锈钢是一种新兴的雕塑材料,与其他雕塑材料相比，它具有耐腐蚀、材质坚固、表面处理技术多样、安装简单牢固、不易变形、使用年限长等特点。铜雕塑也可以达到这个效果，但相对于铜雕塑,不锈钢雕塑的造价要低很多,而且通过表面着色技术处理,其色彩更艳丽,极富活力。因此,不锈钢材料便成为许多城市雕塑的理想选择。
## 相关链接
锻造是一种利用人工锤击或机械锻压对金属材料施加压力,使其产生塑性变形,以获得具有一定机械性能、形状和尺寸的工件的金属加工工艺通过铅造可以消除金属材料在冶炼过程中产生的铸态疏松等缺陷,优化其微观组织结构。锻铜浮雕的工艺流程
1. 提前准备好设计稿。
2. 凉水冷却。3. 第一次退火。
4. 把稿子粘在铜板上。5. 錾刻。
6. 复刻。
9. 打底完成
11. 冷却。
13.上色
6. 第二次退火。
8. 打底
10. 第三次退火。
12. 找平。
14. 完成作品
## 知识链接
锻铜（又叫辁铜或敲铜） 是利用铜材料的延展性而发明的一种金属加工工艺，是我国传统手工艺百花园中的一朵奇萟
区别于铸铜工艺，锻铜是在铜板上进行创作。锻铜雕塑的工艺要求较高,通常以铜板为主要材料,内附钢骨架作为支撑，部分复杂造型需要制作一比一模具进行锻造。锻铜浮雕艺术是一门传统技艺，随着新技术、新工艺的发展,现代锻铜艺术具有了更广阔的舞台和发展空间。
团花（金属）［现代］周尚仪
## 探究与发现
1. 通过对铸铜与锻铜两种金属加工工艺的学习,谈谈自己的感悟
2. 和其他材料相比，金属雕塑的优点是什么?举例说明。筑造一般应用于非金属雕塑制作。因金属铸造雕塑成本较高,所以用水泥等材料取代金属以筑造雕塑的方法也被广泛采用。两者虽然材料不同,但制作工艺是相似的,即都是借助模具,以流体材料浇注后经物理或化学固化制作雕塑造型。
完全固化后的水泥雕塑质地坚硬,被广泛应用于各种户外大型雕塑的制作。使用这种工艺,还可以制作石膏、玻璃、树脂等
《庆丰收》之《农林牧副渔》组雕（水泥 ) 高 800 厘米长 400 厘米宽 300 厘米 1959 年李仁章、杨美应、陈绳正、田金铎、张秉田等北京市全国农业展览馆广场学习经典
## 全国农业展览馆雕塑
创作背景：为迎接中华人民共和国成立十周年,1958 年中共中央决定在首都北京修建一系列建筑,包括人民大会堂、工人体育馆、全国农业展览馆等。这些建筑从各个方面展现了中华人民共和国的建设成就，与之配套的美术装饰工作由中国美术家协会统一组织和安排,鲁迅美术学院分配到的任务是农展馆广场雕塑以及大厅的浮雕和圆雕。面对这一从末有过的大型创作任务,鲁迅美术学院年轻的师生们受到时代氛围的感染,集体构思设计方案,突破了图解式、标语式的构图,以一组游行中的人物集中表现了人民喜庆丰收的场景，受到广大人民群众的欢迎。
O创作手法: 作品在借鉴西方古典雕塑表现手法和苏联大型公共雕塑创作经验的基础上,以圆雕与浮雕相结合,采用装饰化风格,运用传统雕塑语言进行塑造。作品中行进中的人物群组充满了运动感,金字塔式的结构体现了稳定感。
$$ 四分之三面
侧面
后面作品形式：两组雕像各以两匹骏马为前导,行进中的各种人物围绕四周,以擂鼓和扬钹的两个人物为塑造重点,用喜悦庆丰收的情节为表现主题,并巧妙加入了富有民族色彩的骏马、战鼓、聚宝盆等形象,再辅之以传统的装饰性元素，富有时代特色和民族特色。
O作品内容：两组雕像分别以“农林牧副渔” 和“工农商学兵” 为主题,以各行各业的劳动人民为表现对象,以中华人民共和国成立后的生产状况为表现内容,表现出中国人民当家做主、昂扬奋进的精神面貌。艺术家们在创作阶段深入学习民间传统雕塑技艺,使该作品在创作完成后成为人们喜闻乐见的艺术精品
价值意义：该作品体现了鲜明的时代特色，在解决大型雕塑的时代感、民族化、雕塑艺术语言及雕塑与环境融合等问题上取得了突破性进展。该作品给人最大的感染力是一股精气神儿，是对中国气派、中国风格的形象化诠释，至今仍能引起观者的强烈共鸣。
## 相关链接
水泥雕塑的做法：先搭建雕塑内部的木制结构骨架，然后用泥塑造形象。在泥塑稿制作完成后，翻制外模备用。搭建雕塑内部的钢筋结构骨架，用外模将其包哀后，以石膏加固外模，然后向外模内灌入水泥浆体,使其与钢筋骨架充分融合。待水泥凝固后，除去外模即得到雕塑铸型。最后，对铸型进行细节雕瑑，完成作品。
《 大丰收》之《工农商学兵》组雕 ( 水泥 ) 高 800 厘米长 400 厘米宽 300 厘米 1959年曲乃述、王熙民、高秀兰、吴国章、苏兆海等北京市全国农业展览馆广场
## 思考与讨论
1. 为什么选择蜡作为制作材料?采用哪些雕塑技法能使作品更有创意?2. 从构思到最终完成作品，遇到了哪些问题?你是怎么解决这些问题的?讨论并分享制作经验。
参考图
2. 制作过程
( 1 ）绘画草图:
$仓$ 构思草图一实践与衾达
## 葫芦形雕塑摆件制作
“葫芦”与“福禄”谐音，葫芦又是富贵的象征，代表着长寿吉祥。请制作一组葫芦摆件,可用蜡代替金属材料模仿铸造工艺。
## 1. 要求
（1）葫芦摆件要兼具实用性和观赏性。
( 2 ) 运用铸造的相关知识,体会和学习铸造雕塑的制作过程。
(3) 发挥创意让作品与众不同,比如可改变作品颜色或在表面进行雕刻。
(4) 要注意葫芦的大小比例,数量不少于 3 个,单个高度小于 10 厘米，注意组合摆放关系。
（5）完成后进行适当的修整打磨。
(2) 准备工具和材料：洗手液（隔离剂 )、雕塑泥、加热设备、金属容器、蜡、细线、葫芦等。
(3) 步骤与方法:
1. 将葫芦表面均匀涂上隔离剂。
4. 用雕塑泥将葫芦完全包裹,注意控制好力度,防止葫芦表面细线偏离。
7. 将两片外模小心打开,将葫芦取出并修整模具。合模,尽可能保证模具完美贴合。
10. 待蜡液冷却。
2. 将细线如图所示贴至葫芦表面。
5. 用雕塑刀在雕塑泥顶端修出注浆口
8. 将蜡熔化成液体。
11.打开模具。
3. 贴线时尽量保持对称。
6. 缓慢向两侧拉扯细线,将泥团一分为二。
9. 将蜡液注人并合的模具中。
12. 取出作品并修整完成。
## 实践小贴士
1. 在熔化蜡的过程中,应小心操作,避免淡伤。2. 待蜡熔化后,可滴入一两滳香水,搅拌均匀后倒入模具中,做出来的胡芦就是有香味的啦！3. 滴入不同的颜色，作品更有特点!葫芦小摆件（蜡）
2018年孙铎
仓葫芦摆件
香薰蜡作品参考图
## 拓展练习
1. 看看右面的植物香薰蜡作品,想想它们是怎样制作的,可以用这种方法将我们的葫芦作品制作得更加精美。2. 手工皀的制作其实与蜡的制作流程相似，将皀基熔化后加入色素、香料等,充分搅拌后倒入模具,就获得了好看又实用的手工皁
3. 尝试用水泥筑造雕塑作品。
手工㒵作品参考图
## 第2课 雕塑中的构成与连接
## 基本问题
在雕塑创作中,如何运用构成与连接完成一件雕塑作品?
第三国际 $($ 共产国际 ) 纪念塔设计图
第三国际 $($ 共产国际 $)$ 纪念塔模型（木、铁、玻璃）1920年弗拉基米尔 • 塔特林 [苏联 $]$
## 情境导入
第三国际 (共产国际) 纪念塔由苏联艺术家塔特林在 1919年受苏维埃政府委托而创作。该作品的设计没有采用传统的建筑形式,而是采用富有幻想的现代雕塑形态。塔特林说，第三国际纪念塔“把纯艺术形式 (绘画、雕塑、建筑) 和实用融为一体”。这也是他倡导的“各种物质材料的文化” 的构成主义理论的一个实验。由于他的艺术创作观念不适应当时苏联的艺术标准,这个设计末能付诸实施,但其设计理念却一直被东西方艺术界所推崇。
你能想象出作品的含义吗？如果可能，该如何建造?
第三国际（共产国际 ）纪念塔效果图
仓东方之光一一旻 (不锈钢) 高 2000 厘米长 3500 厘米
宽 1800 厘米 2000 年仲松上海市浦东新区世纪大道
作品造型雄伟大气,使用不锈钢管构成错综复杂的网架结构,垂直高度达 2000 厘米,是中国传统文化元素、现代雕塑语言和高科技完美结合的大型城市景观雕塑。
随着时代的发展,人们的审美也不断发生着变化。近现代以来,不同艺术主张的雕塑艺术家使用各种各样的构成与连接方法,将多样化的材料组合成为雕塑作品,以表达主观感受。
构成主义不同于现代艺术中的构成主义流派。雕塑中的构成方法,是指将多种造型元素与材料,按照一定的造型规律、力学原理、心理特性、审美法则、材料特点等进行创造性的连接与组合,以赋予作品新的意义与价值的方法。
呐喊的蒙特塞拉（金属 $)$ [现代 ] 朱利奥・冈萨雷斯［西班牙］
作品通过点、线、面的材料组合，构成多变的空间形态，自然主义色彩强烈,象征着西班牙反对法西斯主义的坚定意志和强大信念。
机械头颅：我们所处时代的精神 (木、金属、皮革） 1921 年拉奥尔・豪斯曼 [奥地利］ 巴黎奥赛美术馆藏
作为达达主义的代表人物,艺术家意在通过作品嘲弄旧有的艺术观念,表达他所说的“每个人的精神都有其局限性”。
## 相关链接
构成主义又名结构主义，源于弗拉基米尔・塔特林在 1913 年前后受立体派影响而创作的作品，1921 年才被正式命名为构成主义。因为这一流派的作品大多采用铁、锡、木和玻璃等日常生活材料制作，所以，早期的构成主义又被称为“生产艺术”，其目标之一是培养集艺术家和工程师于一身的人才。
戴帽子的女人（金属着色） 1960年毕加索 ［西班牙］
艺术家采用雕塑与绘画相结合的方式，先用铁片剪出不同形状的身体部位，再将其拼装组构成人物基本形，最后涂上色彩,创造出层次分明的立体效果
## 探究与发现
1. 点、线、面是构成一件雕塑作品的基本元素。分析本页雕塑作品的构成元素都有哪些
2. 查阅相关资料，研究并讨论构成主义和立体主义在艺术理念上有什么异同,并举例说明。
## 观察与思考
构成与连接的方法在雕塑中有很多种。观察本页作品图例，思考艺术家是如何在雕塑的构成与连接方法上进行创新应用的。
五井运动纪念碑 (不锈钢) 1990年余积勇、沈婷婷上海市人民广场
纪念碑由一座不锈钢焊接主体雕塑、一座青铜雕塑及三块花岗岩组成。其中的不锈钢主体雕塑由经过艺术加工的“五”“井”两个汉字组成，其造型既如大鸟的翅膀,又如烈焰的火舌,给人以腾飞、振奋、向上的艺术感染力。在制作工艺上，现代焊接技术完美地呈现了不锈钢主体雕塑简练、富有动感的放射状整体造型。整个纪念碑以其新颖的设计、别致的造型、丰富的构成语言,体现了中国工人阶级在反帝爱国运动中前赴后继、英勇斗争的革命精神。在现代雕塑制作中，焊接、拼接、铆接等连接工艺被广泛使用，从而使得雕塑艺术呈现出千姿百态的样貌。
## 焊接
也称熔接,是以高温或高压的连接方式接合金属（如不锈钢 ）或其他热塑性材料（如塑料）的制作工艺及方法。
## 铆接
即铆钉连接,是利用轴向力将铆钉孔内的钉杆压粗并形成钉头，使多个零件相连接的方法。
## 拼接
即以物理连接的方式直接将两片材料连接在一起。
火烈鸟（钢）高约 1590 厘米 ［现代］亚历山大・考尔德［美国］ 美国芝加哥克卢钦斯基联邦大厦
作品形似一架弯下了吊臂的起重机，高约 1590 厘米，整个作品由钢板铆接而成。《火烈鸟》是以斜线和弧线来展现形体的,在整个造型中几乎没有一条垂直线和水平线,其庞大而又空灵的形体与周围的立柱形现代建筑形成一种鲜明的对比。作品的线性造型又与建筑的直线感构成一种内在的联系,故又显得协调合拍,创造了一种富有生气的环境氛围。考尔德是雕塑艺术史上的革新者之一，他创作的活动雕塑和固定雕塑是对 20 世纪世界雕塑艺术的重大贡献。他创作的那些壮丽庞大的城市雕塑成为美化环境的手段，以独特的创新精神展示了一种全新的雕塑类型。
## 相关链接
铆接
铆钉
铆接分类:
铆接完成
活塞杆退回
铆接步骤示意图
1. 活动铆接。结合件可以相互转动,不是刚性连接,如剪刀、钳子
2. 固定铆接。结合件不能相互活动，是刚性连接，如角尺。3. 密封铆接。铆缝严密，不漏气体、液体，是刚性连接。
## 铆接的工艺流程
1. 准备铆钉枪和铆钉
2. 钻孔
3. 钻完孔的金属板。
4. 将铆钉放人铆钉枪中
5. 将钉子揷人两片金属板的钻孔中，压紧 6. 铆接完成。
铆钉枪
曰 ( yīn) 回 (3D 光敏树脂) 高 60 厘米
长 90 厘米宽 90 厘米 [现代 ] 王振
作品采用现代科技中的3D打印技术直接打印,造型中大小不一的孔洞，使空间既被分割又相互联系。
快餐时代（铝）高 30 厘米长 220 厘米宽 160 厘米 [现代] 密波
以铝管作为“方便面” 的象形材料,经过无数次的缠绕制作而成。这样的作品采用的是材料置换的创作方法,表现了现代工业文明的发展如同吃快餐食品一样迅速。除焊接、铆接、拼接外,现代雕塑中常见的材料连接方式还有缠绕、编织、粘贴、3D打印等。这些连接方式的应用，为雕塑艺术的发展与创新提供了无尽可能。
## 思考与发现
欣赏本页的雕塑作品,尝试分析它们的构成方式,体会作品表达了怎样的艺术理念。
中华根 $($ 麻 ) 400 厘米 $\times 2000$ 厘米 $\times 150$ 厘米 1999 年郭振宇等
郭振宇及 28 位茏哑学生共同创作的巨型软雕塑作品《中华根》一经展出,便引起社会的强烈关注和共鸣。作品历时三个月,耗用青麻 3000 余千克,巨大的体量给人以力量的震喊。作品中象征着中华文明的庞大根系,充盈着强大的精神张力并洋溢着顽强的生命气息。
## 借鉴案例
妞（纸䵑土、石膏）高 110 厘米长70厘米宽80厘米 [现代 ] 王要
游园（纸浆） 高 50 厘米
长 60 厘米宽 40 厘米 [现代]
苏茂然
空间中的七巧板（石膏）
高 30 厘米长 80 厘米宽 50 厘米
[现代 ] 倪秉栩实践与表达
形体搭建一综合材料雕塑创作
参考自己喜欢的艺术家的作品风格，选择合适的材料，发挥创意,独立完成高度不低于 50 厘米的作品。作品完成后,请与同学交流你的艺术构思、过程体验以及遇到的问题及解决方法。
## 1. 构思草图
（1）选择一位喜欢的艺术家，研究他的艺术风格。
（2）构思作品时,要注意以下几个方面:
注意点、线、面的综合运用，加强形体的空间意识，挖掘材质特性，表现不同材料的美感。作品要具有个性。
## 观察与思考
观察本页雕塑作品,思考这此类型的雕塑是如何制作出来的,艺术家都运用了哪些造型元素和制作工艺
## 2. 步骤与方法
1. 准备工具和材料: 剪刀、胶枪、胶、美工刀、铅笔、硬纸板、易拉罐、铁皮、颜料等。
2.用铅笔在硬纸板上画出构思好的形状。
5. 剪取若干段长短不一的铁丝,并把铁丝压直
8. 在三角形纸板的边缘裁一个切口,将圆形纸板嵌人其中。
3. 用美工刀裁切形状。
6. 选取一块薄铁皮,用铅笔在上面画出四个大小不同的圆形,并用剪刀逐一前裁。
9. 用胶将组合后的纸板形体固定在底板上。
4. 剪下易拉罐的底部。
7.剪裁好需要的材料。
10. 在组合纸板的最高点安装一根铁丝,用来支撑雕塑的上半部分。
11. 用胶将铁丝和圆铁片固定在一起。
12. 将粘有铁片的铁丝用钳子弯出一个小圆扣,与其他铁丝连接在一起,组
成可活动的结构。
13. 形体搭建结束后,进行着色。
14. 着色时,应注意色彩在空间中的平衡关系，合理分布色块。15. 调整完善,使整个作品形成一种动态的平衡,完成作品。
## 讨论与交流
与同桌讨论自己的作品有何不足之处，优点是什么。总结自己在这节课中学到了什么。
## 展示与表达
1. 把自己的作品及制作过程制作成 PPT 课件进行展示，阐述制作过程中遇到的问题及解决方法。2. 详细说明制作中运用的艺术表现手法、创意设想与作品含义。
瞬间
稳定的结构
## 单元评价
## 一、选择题
1. 位于中国农业展览馆的大型雕塑《庆丰收》是采用（） ）艺制作的。A. 泥塑
B. 铸铜
C. 水泥筑造
D. 铸铁
2. 现代雕塑中常用的金属板材连接方式是（）和（）。A.铆接
B. 椎卯
C. 抛光
D. 焊接
二、简答题
雕塑中的铸铜与钞铜工艺在制作流程上有什么区别?
## 附录
## 中外雕塑年表概览
红陶人头显
仰韶文化半坡类型陕西省洛南县出土
圆雕跪坐玉人像 [商代］
河南省安阳市殷墟妇好墓出土
伯矩鬲 [西周前期]
北京市房山区琉璃河黄土坡出土外国雕塑
维林多夫
母狼约公元前 500 年 [古罗马]
意大利罗马市政博物馆藏
莲鹤方壶 [春秋中期］
河南省新郑市李家楼郑公大墓出土
错银双翼神兽 [战国晩期 ]
河北省平山县三汲中山王墓出土
陶塑跪射俑 [秦 $]$
陕西省临潼西杨村秦兵马俑二号坑出土外国雕塑
掷铁饼者（大理石复制品)
公元前 5 世纪米隆 [古希腊]
伯里克利胸像 (大理石复制品）
约公元前 430 年
克雷西勒斯 [古希腊］
米洛斯的阿佛洛狄忒约公元前 150 年
[古希腊］法国巴黎卢浮宫博物馆藏
汉圆雕玉仙人奔马［西汉晩期］
陕西省咸阳市周陵新庄汉元帝渭陵附近出土
铜奔马 [东汉]
甘肃省武威市雷台汉墓出土
齐武帝萧赜景安陵石麒麟 [南朝 ]
江苏省丹阳市前艾村外国雕塑
萨莫德拉克的胜利女神公元 190 年 [古希腊］法国巴黎卢浮宫博物馆藏
图拉真纪念柱浮雕 (局部) 公元2世纪 [古罗马］意大利罗马图拉真广场
君士坦丁凯旋门浮雕 (局部) 公元2世纪
[古罗马］意大利罗马
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# 第一节
多种多样的区域
广东省佛山市南海区西椎镇的平沙岛是珠江的江心岛，地处亚热带季风气候区。按照国家规定，这里划出了基本农田保护区 (图1.1)。为此，广东省下拨专项建设经费,修建水利设施;佛山市每年给农户发放农田保护补贴，以弥补农田不得他用的损失。以上表述中出现了哪些类型的区域?为什么平沙岛基本农田的保护会涉及不同级别的行政区?
图 1.1 广东省平沙岛的农业景观
## 不同类型的区域
区域是人们在地球表面按照一定的目的和标准划定的空间单元。它是人们基于对世界的认识和实践的需要,在地域差异的基础上划定的。区域具有一定的范围、形状和边界。有些区域,如行政区或流域,边界是明确的;有些区域，如自然带或语言区,边界具有过渡性质。区㖪内部的特定性质相对一致，如湿润区的多年平均降水量都在 800 毫米以上。由于目的不同,所用的指标和方法不同,人们划分的区域类型也不同。
有的区域主要㧉照自然特征划分,如中国东部季风区或黄土高原区;有的区域主要按照人文特徰划分,如汉语北方方言区或长江三角洲城市群;有的区域是综合自然特征和人文特路划分的，如中国主体功能区。关于平沙岛的表述中包含了按自然特征划分的气候区，按人文特徰划分的行政区，以及综合自然特征和人文特征划分的基本农田保护区等不同类型的区域。有的区域是政府为了特定的行政管理目标而划定的。例如,划定行政区、经济特区、保税区、基本农田保护区等,可以发挥地区优势,促进社会经济发展;划定对口支援地区、国家扶贫地区,有助于消除贫困,体现社会公平;划定禁止开发区、生态保护区，是为了保护生态环境,实现可持续发展;划定历史文化保护区、文化创意产业园区,除了促进经济发展外,还可以保护传统文化,增强文化创新力。
有的区域是客观存在的,是人们在长期的实践过程中逐渐认知的,科学认识和划分这些区域,对人类社会的发展也具有重要意义。例如,中国科学家找出了中国野生稻分布区,为水稻育种专家寻找杂交育种的野生稻提供了帮助 (图 1.2 );科学家发现低硒地区,为有效预防克山病提供了依据。
图 1.2 江西省抚州市东乡区的野生稻
以中国汉语方言分布为例,认识语言区与区域发展的关系
语言是人类宝贵的文化财富，同一种语言可有不同方言。汉语是我国法定的通用语言，大致分为七大方言：北方方言、赣方言、吴方言、湘方言、粤方言、客家方言、闽方言（图 1.3)。普通话以北京语音为标准音,以北方方言为基础方言,以典范的现代白话文著作为语法规范,是现代汉民族共同语。野生稻是栽培稻的近缘祖先,具有栽培槄不具有或已经消失的耐早、耐寒、抗病等优良遗传基因，可用来改良水稲品种。中国野生稻零星分布在南方地区。江西省抚州市东乡区有迄今为止发现的纬度最高的野生稻分布区,国家在这里划定了保护区,为培育耐寒水稻品种提供了物种资源保障
(1) 克山病：克山病是一种地方性心肌病,全部发生在低硒地带,1935 年因在我国黑龙江省克山县首先发现而得名。
图 1.3 中国汉语方言区分布示意
1. 在七大汉语方言中，选择你最熟悉的一种，讨论其分布特点。2. 查阅基于地方方言而形成的地方戏曲、地名等，说出它们在旅游开发、丰富地方文化生活中的作用。3. 我国政府大力推广、积极普及全国通用的普通话。政府为什么下大力气做这项工作呢?
## 不同空间尺度的区域
区域的空间尺度可体现为区域的层级高低。较高层级的区域往往与较大尺度对应，较大尺度的区域可包含若干较小尺度的区域。例如,世界可以分为大洲,大洲可以分为地区，地区包含国家，国家内部又包含省、市等多个层级的行政区;东北平原是我国东部三大平原之一，是较高层级的地形区域,而东北平原又可细分为辽河平原、松嫩平原和三江平原三个较低一级的地形区域（图 1.4 )。
不同尺度的区域发展可以相互促进。例如，上海市的繁荣带动长江三角洲城市群的发展,该城市群的发展也推动着上海的发展。由于存在行政隶属和管辖关系,不同尺度的行政区在区域发展中的地位和作用是不同的，平沙岛基本农田保护区的建设发展，就是不同尺度的行政区发挥各自作用的结果。
## 图 1.4 东北平原示意
同一尺度的区域,也会因面积大小和地理位置的差异,具有不同的发展条件和不同的发展方向。例如,同为国家,俄罗斯领土迣阔,而圣马力诺是袖珍之国。一般而言,大国有大国的优势，如自然资源相对丰富；小国也有小国的长处，如国防开支小、便于管理。又如,改革开放初期,中国沿海省级行政区利用沿海优势招商引资,经济增长速度明显快于内陆省级行政区。
## 活动
## 了解我国古代九州的划分
古人常用“九州”代指中国。“九州”出自我国古代的《尚书 - 禹贡》。现在一般认为,《禹贡》撰写者设想,当诸侯统一后,国家可以把国土划分为冀州、忩州、青州、徐州、扬州、荆州、豫州、梁州和雍州九个州 (图 1.5),这样国家的治理可以有两个尺度: 国家和州。在国家的统一管理下，各州可以方便交易，互通有无。
该图出自南宋淳熙四年《九州山川实证总要图》,作者程大昌。
图 1.5 南宋刻本《禹贡九州山川之图》1.《尚书・禹贡》为什么设想把国家细分为州？
2. 九州之间是否有自然地理界线?3. 任选一州，说说其大致位于现今哪些省级行政区。
## 区域的渐变特征
在地图上，大多数类型的区域都有明确的界线，但是在现实中，除国界线等少数区域的界线外，人们多见不到区域的界线，尤其是自然区域。例如，秦岭一淮河线是我国南方地区和北方地区的分界线，但在淮河两岸，人们感受不到自然景观和人类活动有明显的不同。只是自秦岭一淮河一线，越往南，南方地区的特征越明显；越往北，北方地区的特征越明显。可见，地图上绘制的区域界线，在现实中则是或宽或窄的渐变地带，体现相邻区域间的过渡性。即使是界线分明的行政区，界线两侧的居民在语言、生活习俗等方面也有相似性。
在一个区域内部，也具有地理要素属性的渐变特征。例如，我国南方地区自南向北，年均温和年降水量渐低，生长的常绿阔叶树树种越来越少。从全球看，纬向自然环境的地域分异规律一般可以看作是自赤道至极地渐变的结果
图 1.6 秦岭景观
## 第二节
区域整体性和关联性
图 1.7 浙江省青田县的稻田养鱼景观
浙江省青田县地处亚热带季风气候区，拥有 1200 多年稻田养鱼历史 (图1.7)。2005年,青田县的稻鱼共生系统被联合国列入“全球重要农业文化遗产保护试点”。随着城镇化的发展,这里的务农人员锐减,稻鱼共生系统的延续面临困难。青田县的稻鱼共生系统各要素之间是怎样关联的?青田县与外界的哪些联系能够促进稻鱼共生系统的传承?
## 区域整体性
区域要素可以分为自然要素和人文要素。自然要素包括地质、地貌、气候、水文、生物、土壤等。人文要素包括人口、文化、经济等。区域要素可以通过景观直接或间接地反映出来 (图 1.8 )。
福建省连城县宣和镇培田村依山傍水，保存着较为完整的明清时期古民居建筑群，是中国乡土建筑的典型代表。这些建筑体现了培田人对天地、祖先、圣贤的敬畏之心和浓郁的传统氛围。2005 年培田村被评为“中国历史文化名村”
图 1.8 福建培田村
a. 全景
## 思考
1. 图中可以看到哪些区域要素?2. 培田村被评为“中国历史文化名村”,与哪些区域要素有关?区域内各类要素是相互影响的,有些是直接影响,有些是间接影响。人类的生产和生活需要从自然界获取物质和能量,与自然界发生直接联系,如捕鱼、采矿、风能发电;区域的文化会通过制度、习俗、社会组织等影响人类生产和生活，再间接影响自然界。例如，我国环境保护法规的实施,控制了污染企业的数量和分布,以及污染物的排放，从而减少了人类对自然界的破坏。
区域内各类要素的相互作用、相互制约，使得区域具有整体性,进而影响区域的发展。例如,浙江省青田县在稻田里养鱼,鱼食昆虫、杂草,鱼粪肥田;水稻为鱼类提供氧气、有机物质等,形成良性循环的稻鱼共生系统。稻鱼共生系统是青田县的“名片”,能够给区域发展带来更多的机遇。又如，在干早地区，人们通过修建水渠、发展节水技术等,高效利用有限的水资源,并制定了严格的分段用水制度，使聚落和农业得以发展。同时，这些地区的人们在利用水资源的过程中,意识到水资源是区域发展的限制条件,要保持人水协调,以免给环境造成过大压力。
阿曼的世界文化遗产―一法拉吉
图 $1.9 \quad$ 阿曼位置示意阿曼位于亚洲的西部，地处热带沙漠气候区,终年炎热千燥,年平均降水量只有 $100-200$ 亳米，是一个淡水资源奇缺的国家（图 1.9）。自古以来,阿曼人的生活用水主要依靠人工修建的水渠灌溉系统一法拉吉（图 1.10)。
图 1.10 法拉吉景观法拉吉主要依靠重力,把山泉水、地下水引到村落中,其中有的水渠藏于地下,以免水被蒸发;有的水渠露出地面,便于人们使用。为了公平、合理利用珍贵的水资源，人们还遵循一套严格的用水制度一一最初露出地表的渠水用于食用，接下来的一段渠水用于沐浴,再下去的一段渠水用于洗衣、洗器皿等,最后的一段渠水用于灌溉果园和农田。这套用水制度至今还在执行。
据统计,阿曼全国曾有4 500 多条法拉吉,由于老化和地下水位太低,目前仍可有效使用的有 3000 多条。阿曼的法拉吉密如蛛网,每条长3-5千米,总长度达上万千米，每年输送9亿立方米的水，占全国水消费量的 $70 \%$。
2006年，法拉吉被评为世界文化遗产。
## 区域差异与区域关联性
区域差异是普遍存在的。不同的区域都有或多或少的差异，如地理位置差异、自然条件差异、社会经济发展水平差异、文化习俗差异等。
区域差异是区域关联的基础。区域在发展过程中，都会直接或间接地与其他区域发生关联。区域关联主要是通过自然要素和人文要素的区域间流动实现的。河水从上游流向下游、野生动物的季节性迁徙,属于自然要素的区域间流动。人口迁移、产业转移、区际贸易、文化交流等，属于人文要素的区域间流动。
区域之间流动的要素种类及其方向、强度的变化,可以改变区域生产、生活方式,进而影响区域的发展方向。例如,在浙江省青田县,随着有机稻和渔产的市场需求增加，以及到青田体验农事活动的游客增多，青田农户的收人水平不断提高,有可能把青田进城务工的农民重新吸引回来,从而有利于稻鱼共生系统的延续。又如,北京市、天津市和河北省依据京津冀协同发展战略,强化各自的功能定位,各有侧重地推动要素流动,从而促进各自的进一步发展 (图1.11)。
## 北京市
在京津冀协同发展战略中,北京市、天津市和河北省的定位分别为：北京市一全国政治中心、文化中心、国际交往中心、科技创新中心;天津市一一全国先进制造研发基地、北方国际航运核心区、金融创新运营示范区、改革开放先行区;河北省一一全国现代商贸物流重要基地、产业转型升级试验区、新型城镇化与城乡统筹示范区、京津冀生态环境支撑区。
图 1.11 京津冀区域关联示意
## 因地制宜与区域发展
区域的发展,既要根据自身的地理条件,合理安排人类活动,又要充分考虑自身地理条件和区域关联的发展变化,及时调整人类的活动方式，从而做到因地制宜。比较不同区域的发展，既需要研究各区域地理环境的整体性，也要分析各区域与区外的关联性。
长江三角洲和松嫩平原都是平原地区,并都位于我国的东部季风区,但是区域要素存在显著的差异 ( 图 1.12 和图 1.13 )。
图 1.12 长江三角洲的地理条件
图 1.13 松嫩平原的地理条件
- 地理位置长江三角洲位于北纬 $30^{\circ}-33^{\circ}$ 附近,地处我国东部沿海地区的中部，长江人海口；松嫩平原大致位于北纬 $44^{\circ}-48^{\circ}$，地处我国东北地区的中部。- 气候条件长江三角洲地处亚热带季风气候区，夏季高温多雨，雨热同期。松嫩平原地处温带季风气候区，虽然也是雨热同期，但大陆性稍强；东面有山脉的阻挡，降水较少，温暖季节短。- 耕地条件长江三角洲以经过人们长期耕作改造而形成的水稻土为主,松嫩平原黑土分布广泛。水稻土和黑土都是生产力较高的土壤，但黑土肥力更高。长江三角洲地区因河网密布，湖泊众多，耕地多为水田，较为分散，加上人口稠密，人均耕地面积低于全国平均水平。松嫩平原的耕地多为早地,集中连片,而且人口密度相对较低,人均耕地面积高于全国平均水平。- 矿产资源条件长江三角洲地区矿产资源贫乏,而松嫩平原则有较丰富的石油等矿产。
受各区域要素综合作用的直接影响,两个区域的农业生产呈现不同的特点。长江三角洲的水热条件良好,发展水田耕作业,主要种植水稻（图 1.14 ),此外还有油菜、棉花等作物,一年两熟至三熟；河湖水面较广,水产业较为发达。松嫩平原水热条件相对较差,历史上主要发展早地耕作业,种植玉米、春小麦、大豆等作物,一年一熟,生长期也较短（图 1.15 );西部降水较少，草原分布较广，主要发展畜牧业。
图 1.14 长江三角洲的水稻田
图 1.15 松嫩平原的玉米
在此基础上,受区域关联的影响,两个区域的工业生产也有明显的不同。长江三角洲位于我国沿海航线的中枢,又是长江人海的门户,对内、对外联系方便,依托当地发达的农业基础发展轻工业,从国内外运人矿产资源发展重工业,成为我国重要的综合性工业基地。松嫩平原则利用当地丰富的石油资源和邻近地区的煤铁等资源发展工业,成为我国的重化工业基地。
无论是区域各要素的综合作用,还是区域的对外联系,对区域发展的影响都不是固定不变的,而是随着技术、经济、社会以及自然等因素的变化而改变。例如,随着农业生产技术的改进和气候变暖,松嫩平原水稻种植面积不断扩大。又如,改革开放以来,随着工业化和城镇化的迅速发展,长江三角洲地区人口持续增加,土地利用结构不断调整,耕地面积大幅减少，逐渐由全国的粮食净输出区变为粮食净输人区。
## 活动
比较不同区域人们生活的差异
不同区域，由于地理环境的差异,建筑物呈现出诸多不同（图
1.16和图 1.17 )。不仅传统民居如此,而且现代城市的住宅楼也如此。
图 1.16 我国北方传统民居一山西省平遥古城
图 1.17 我国南方传统民居一一浙江省绍兴古镇
1. 下面列出的是我国南北方传统民居的差异，分析形成这些差异的自然原因：
- 北方民居正南正北的方位观比南方强；- 北方民居的墙体严实厚重，南方民居的墙体轻薄;- 北方民居屋顶坡度、房屋进深较小，房屋高度较矮,房檐较窄;南方屋顶坡度、房屋进深较大，房屋高度较高，房檐较宽。
2. 下面列出的是我国南北方城市住宅楼的差异,分析导致这些差异的自然原因:
- 假设劳动力价格、地价、建筑材料单价等因素相同，修建同等面积的住房，北方的建筑成本比南方高；- 建同样高度的多幢楼房，北方楼房的南北间距比南方大。
## 区域地理研究是中国地理学的传统
地理条件是区域发展的基础，地理条件的时空差异使人类社会、经济、文化等活动也存在着明显的区域差异。以某一特定区域为对象，揭示区域地理环境的特征、结构、发展变化，以及区域差异和区域关联，研究人类活动与环境的相互作用和影响，形成了地理学的一个重要分支学科――域地理。一些学者认为，区域地理是地理科学的核心,因为它最完美地反映了地理学地域性特征和综合性特征的结合。我国著名地理学家吴传钧先生曾撰文指出:“重视区域研究是中国地理学的伟大传统。” 早在公元前 5 世纪出现的《尚书 - 禹贡》，即是关于区域分异的叙述。从公元 2 世纪开始的地方志编写,集区域地理研究之大成,地方志累计总数达 1 万多种,是研究中国古代地理的珍贵资料。
20 世纪 30 年代起,中国地理学者就对中国许多地区进行了实地考察,研究区域的自然和人文特征。从 20 世纪 50 年代开始,由于中国大规模的经济建设和文化建设的需要,大批地理学者参与了各种类型的综合考察,进行了各种区域地理调查、区划和区域规划。
到了 20 世纪 80 年代,特别是 21 世纪以来,区域地理以研究人地关系地域系统的形成过程、结构特征和发展趋向为中心,为西部大开发、振兴东北老工业基地、促进中部崛起、东部地区率先发展等区域发展战略实施,提供了重要的发展理念和实践指导。
近年来,中国提出了从形成主体功能区布局,到健全主体功能区制度的空间治理方向,以优化国土空间开发保护格局,促进区域协调发展。“长江经济带”“京津冀协同发展” 的区域发展战略和“一带一路” 国际合作倡议,都是国家建设中具有长期战略意义的大事，直接面向全球、国家和地方不同空间尺度的可持续发展需求。当代中国区域地理研究在为国家建设和发展服务的过程中,必将展示其不可或缺的社会价值和社会担当。
## 1. 本章要点
1. 区域是人们在地球表面按照一定的目的和标准划定的空间单元。2. 区域有一定的范围、形状和边界,有的边界是明确的,有的边界具有过渡性质。3. 区域的划分依据不同，有的区域按照自然特征划分，有的区域按照人文特征划分,有的区域则综合多种因素划分。4. 区域的空间尺度不同,较大尺度区域可包含较小尺度区域;同一尺度区域,面积、位置等存在差异，并影响区域发展。5. 区域要素可以分为自然要素和人文要素两大类,这些要素相互作用、相互制约,构成区域的整体性。6. 区域差异是区域关联的基础,区域关联主要是通过自然要素和人文要素的区域间流动实现的。7. 区域之间流动的要素种类及其方向、强度的变化,可以改变区域生产、生活方式,进而影响区域的发展方向。8. 比较区域发展的异同,需要关注各自区域的整体性和关联性。9. 因地制宜的区域发展,既要根据自身的地理条件,合理安排人类活动,又要充分考虑自身地理条件和区域关联的发展变化,及时调整人类的活动方式。
## 问题研究
## 毛里求斯的发展模式可以复制吗
“他山之石,可以攻玉。”每个区域在发展的过程中,都可以借鉴其他地区的经验和教训,在分析对比两个区域的整体性和关联性异同的基础上,作出选择或改进。资源贫乏的地区如何发展?资源贫乏的地区能否走上成功发展之路?
对于这一课题的探究，建议采用以下思路。
知识拓展
## 资料 1 小岛国的发展困境
世界上有一些小岛国,如巴哈马、马尔代夫、斐济等，其领土完全坐落于一个或多个岛屿之上,远离大陆,陆地国土面积相当小,缺少天然矿产与可用耕地。受自然条件的制约,长期以来这些国家大多发展缓慢。
## 资料分析
1. 小岛国的自然条件具有哪些共同的特点?2. 小岛国的发展受到哪些自身条件的制约?这些制约是固定不变的吗?
## 资料 2 印度洋上的明珠—一毛里求斯
毛里求斯属于非洲,是印度洋上的小岛国（图 1.18 ),包括毛里求斯岛及其附属岛屿,总面积 2040 平方千米,总人口约 126.6 万 (2019年)。毛里求斯岛由火山爆发形成,面积 1865 平方千米,距马达加斯加岛约 800 千米,距非洲东海岸约 2200 千米。
图 1.18 毛里求斯地理位置示意
毛里求斯矿产资源贵乏，水力资源有限,周边海域渔业资源丰富。2019年,毛里求斯人均国内生产总值为 11097 美元,是非洲人类发展指数 ${ }^{11}$ 较高的国家之一。毛里求斯与马尔代夫、塞舌尔共同被誉为印度洋上的三大明珠。
资料分析
在位置、交通等方面，毛里求斯具有哪些优势和劣势?
## 资料 3 毛里求斯的经济发展之路
自 1968 年独立以来,毛里求斯经济长期保持稳定发展。毛里求斯有“糖岛”之称（图 1.19 )，制糖业曾经是毛里求斯的经济基础，其产值一度占国内生产总值的 $1 / 3$,出口额占出口总额的 $99 \%$。随着经济的发展，以及受国际形势影响，毛里求斯传统的制糖业、纺织服装加
(1) 人类发展指数: 是指联合国开发计划署提出的衡量国家社会经济发展水平的指标。指数最高为 1,指数越高,表示发展水平越高。工业不断荌缩,旅游业、金融业、信息通信业稳定增长。目前,毛里求斯积极培育海洋产业、高端制造业、现代服务业等新兴支柱产业，力求把毛里求斯岛打造为区域航空中心、海运枢纽和金融服务中心。
图 1.19 毛里求斯种植的甘蔗
## 资料分析
1. 分析毛里求斯发展甘蔗制糖业的优势条件。2. 概括毛里求斯的经济发展阶段及其特点。
## 问题探讨
一个地区在一定发展阶段确定某个产业作为支柱产业,不仅要考虑自然条件和自然资源,而且要考虑社会经济条件和发展需求。经过一段时间发展以及国际形势的变化,该地区的支柱产业可能需要转换。对于其他小岛国而言,是否可以复制毛里求斯的发展模式呢?
步骤一：查阅相关资料,选择一个小岛国,了解其地理条件,并比较与毛里求斯的异同。
步骤二：了解所选小岛国历史发展过程中的支柱产业及变化。
步骤三: 针对所选择的小岛国,就“毛里求斯的发展模式可以复制吗” 这一问题展开讨论。
## 第二章资源、环境与区域发展
自然环境不仅能够为区域发展提供自然条件和自然资源基础,还能影响区域发展的路径和水平。如果经济开发过度损害自然环境，自然环境也会反过来制约区域的进一步发展。区域发展需秉承人与自然是生命共同体的理念,尊重自然,呵护自然,走创新发展、绿色发展之路,实现可持续发展。
在本章,我们重点探讨以下问题:
- 生态脆弱区存在的环境与发展问题是什么?- 针对生态脆弱区存在的环境与发展问题，综合治理措施有哪些?- 资源型城市发展的生命周期是什么?- 资源枯竭型城市如何因地制宜实现可持续发展?
## 第一节
区域发展的自然环境基础
图 2.1 澳大利亚运输铁矿石的港口单以人均收入衡量,世界最富裕的国家通常是瑞士、挪威、卢森堡等。但是,在 20 世纪90年代,世界银行宣布世界人均财富排名第一的国家却是澳大利亚（图 2.1）：其人均财富的计算综合考虑了自然资源、人力资源、工业产出、劳动生产率和其他经济活动。自然资源对澳大利亚能够成为世界人均财富的首富有多少贡献?
## 自然条件与区域发展
任何一个区域的发展都离不开自然条件,地理位置、自然要素等都对区域发展有重要影响,特别是在古代。例如,四大古代文明发祥地都位于北温带,地处大河中下游平原地区,这些地区地势平坦，热量、水源充足，土层深厚、肥沃，便于农耕。
自然条件只是区域发展的重要条件，但不是唯一条件。有些区域虽然自然条件很优越，区域发展水平却不高。例如，南亚的孟加拉国，位于恒河一布拉马普特拉河三角洲，地势低平,水热充足,人口稠密,但却是世界上极不发达的国家之一。而有些区域虽然自然条件较差,但充分利用自身的比较优势,依然能够发展得很好。例如,西北太平洋上的岛国日本,多火山、地震,少平原、洡地,自然条件相对较差,但其依靠社会资源发展成为世界上富裕的国家之一。
人类为了生存和发展,需要改造自然。改造自然,必须遵循自然规律,谋求人地和谐。例如,我国著名的水利工程都江堰,就是人类利用自然、改造自然的成功典范,历经两千多年,它仍在发挥着作用 (图2.2)。但是,如果人类活动违背自然规律,虽然在短期内能够获得经济效益,终究会受到大自然的惩罚。例如,美国大平原地区 20 世纪 30 年代出现了“黑风暴”,最严重的地区一个月内尘暴天数长达 25 天,主要原因是大面积开垦中部大平原,破坏了草原植被,使土壤极易遭受风蚀（图 2.3)。
图 2.2 都江堰水利工程
图 2.3 美国“黑风暴”
## 案例
人类利用、改造自然的典范—一都江堰水利工程
都江堰位于岷江由山谷河道进入成都平原的地方。古代,每当岷江洪水泛监,成都平原就是一片汪洋;一遇旱灾,又是赤地千里，颗粒无收。公元前256年，李冰父子主持修建了著名的都江堰水利工程（图 2.4）。
李冰父子经过实地勘察,决定彂穿玉垒山引水东流。当时的人们以火烧石,使岩石爆裂,在玉垒山凿出了形状酷似瓶口的山口，故取名“宝瓶口”。
因江东地势较高,江水难以流入宝瓶口。人们用竹、木、卵石等材料,在岷江的江心筑分水堰,形如鱼嘴。鱼嘴分水堤将江水一分为二: 西边称为外江,宽而浅;东边为窄
图 2.4 都江堰水利工程示意而深的内江,流入宝瓶口。内外江的水量四六分水：水位较低时,$60 \%$ 的江水流入内江，保证了成都平原的生产和生活用水;而当水位较高时,大部分江水从外江排走,自动分配。
“飞沙堰”位于鱼嘴分水堤与离堆之间，其前修有弯道，江水形成环流，江水超讨堰顶时，洪水中挟带的泥石便流入外江,这样便不会淤塞内江和宝瓶口水道。
“深淘滩，低做堰”是千百年来都江堰水利工程的治水名言，起到“引水以灌田，分洪以减灾”的作用。
## 自然资源与区域发展
自然资源是区域发展的物质基础。在不同发展阶段，影响区域发展的自然资源种类不同。在农业社会,土地资源对区域发展具有重要影响；在工业社会,矿产资源对区域发展影响较大。
在一定生产力水平下,自然资源丰富程度是区域发展的重要基础。一种重要能源或关键性矿产资源的发现与开发,会使区域经济发生根本性改变。例如,沙特阿拉伯因盛产石油,从一个贫穷落后的国家,一跃而成为世界上的富裕国家之一（图 2.5 )。而有的区域矿产资源贫乏,成为制约区域发展的重要因素。例如,图瓦卢等众多小岛国,矿产资源极度缺乏,经济发展水平低,大部分处于最不发达国家的行列。
沙特阿拉伯原来土地贫痄,资源贾乏，地广人稀，以游牧经济为主。自 1933 年发现石油后，依靠出口石油和对石油的开发利用，发展海水淡化、石油冶栋、农业等产业，加强基础设施建设。
自然资源的种类和储量区域分布与组合极不平衡，有的区域不仅自然资源种类多而且数量大,对其经济发展起到很好的支撑作用。例如,澳大利亚拥有丰富的煤炭、铁矿和铝土等矿产资源,被称为“坐在矿车上的国家”。在世界银行对人均财富的计算中,澳大利亚因丰富的自然资源而大幅度提高了人均财富量。
自然资源对区域发展有重要作用,而如何开发、利用自然资源,更是区域发展的关键。有的区域尽管矿产资源丰富,但过度依赖矿产资源,也会制约区域经济的发展。例如,20 世纪 50 年代,随着北海油田的开发,已是工业化国家的荷兰大力发展石油、天然气工业,忽视了其他工业的发展,导致社会经济一段时期增长乏力。有些国家矿产资源贫乏,却并末阻碍其经济发展。例如,瑞士利用其技术、金融等优势,发展成为世界发达国家之一（图 2.6 )。
瑞士是欧洲内陆山国,海拔较高，位于大河上游，缺少矿产资源和耕地。但其依靠社会资源发展高端制造业、金融服务业，成为世界上极为富裕的国家之一。图为瑞士制造的手表内盘。
图2.6 瑞士制造的手表内盘 (1) 活动
分析山西省煤炭资源与经济发展的关系
煤炭在我国能源消费构成中比重较大。山西省煤炭资源丰富，是我国重要的煤炭生产基地（图 2.7)。1949年以来,山西省累计煤炭产量占全国总产量的 $1 / 4$，煤炭外调量最高时占全国省际煤炭外调量的 $3 / 4$ 左右,近年来仍维持在 $1 / 3$ 的水平。煤炭工业是山西省的支柱产业，最高时超过全省工业增加值的 $1 / 3,2015$ 年占 $15 \%$。近些年,山西省的煤炭产量下降,经济增速较为缓慢。
1. 分析山西省经济发展与煤炭资源的关系。2. 阅读下列内容,讨论其对山西省煤炭工业发展的影响。
- 我国《打贏蓝天保卫战三年行动计划》的目标是: 到 2020 年,大幅减少主要大气污染物排放
图 2.7 山西省煤炭资源的分布总量,明显改善空气质量，增强人民的幸福感。
- 我国《“十四五” 节能减排综合工作方案》的主要目标: 到 2025 年,全国单位国内生产总值能源消耗比 2020 年下降 $13.5 \%$,能源消费总量得到合理控制。-“十四五” 规划》中提出: 加快发展非化石能源,非化石能源占能源消费总量比重提高 $20 \%$ 左右。推动煤炭生产向资源富集地区集中，合理控制煤电建设规模和发展节奏，推进以电代煤。- 山西省“十四五” 发展目标与任务是：绿色能源供应体系基本形成,能源优势特别是电价优势进一步转化为比较优势、竞争优势。- 由于长期开采,山西省煤炭的开采难度加大,开采成本上升,与相邻省、自治区相比,山西省煤炭开采比较优势下降。- 山西省人均水资源占有量为 381 立方米，为全国平均值的 $17 \%$。
## “资源诅咒”
自然资源是大自然赐予人类的宝贵财富，是现代工业发展的重要条件。按理说,那些自然资源赋存越丰富的国家,工业发展越有保障。可是,环视世界各国,许多自然资源丰富的国家,其工业化速度反而比一些自然资源贫乏的国家更慢,工业化水平更低，经济增长更慢。例如，20世纪50年代，在北海的石油、天然气开发热潮中，荷兰政府大力发展天然气，出口剧增，经济显现繁荣景象。但与此同时，却降低了对农业和其他工业部门的投入，削弱了工业制成品出口的国际竞争力。到 20 世纪 80 年代初期，受通货膨胀上升、制成品出口下降、失业率增加等困扰，荷兰处于经济发展困境。人们把这种现象称为“资源诅咒”。
为什么会出现“资源诅咒”？不同的学者试图以不同的角度探究答案。有一种认同度较高的观点认为：自然资源越丰富的国家 (或地区)，在自然资源开发和贸易中投入的资金和劳动力就越多，从而分配给制造业部门的资金和劳动力就越少。长此以往，制造业得不到发展。在国际市场中，初级产品的价格低于工业产品，再加上许多国家对初级产品进口实施保护政策,因此,以开发自然资源为经济支柱的国家（或地区 ) 经济发展缓慢。
“资源诅咒”的现象说明，自然资源只是经济发展的条件，而不起决定作用。自然资源丰富的国家（或地区），如果过度依赖自然资源，反而会拖累经济发展;自然资源贫乏的国家 ( 或地区)，将更多的社会资源投入适宜发展的产业,从而推动经济发展。
## 第二节
## 生态脆弱区的综合治理
图 2.8 浑善达克沙地东部夏季草场 (克什克腾旗) 我国内蒙古东部的浑善达克沙地距离北京西北部约 180 千米，历史上曾是水草丰美的地区。20 世纪后期，这里草场退化严重,沙尘暴频发,成为京津地区沙尘的主要来源地之一。如今,这里绿洲重现 (图 2.8)。20世纪后期,浑善达克沙地为什么草场退化严重?现在的浑善达克沙地是如何从沙源地变成了生态绿洲?
## 生态脆弱区
生态脆弱区是指生态系统抗干扰能力弱、易于退化且难以恢复的地区，主要分布在干湿交替、农牧交错、水陆交界、森林边缘、沙漠边缘等地区。生态脆弱区的生态系统稳定性较差，一旦其稳定性被打破，土地易退化。土地退化是指受自然因素和人类活动的影响,土地出现质量下降、生产力降低的过程,表现为土地沙化、石漠化、土壤侵蚀、土壤盐碱化、土壤肥力下降等。
我国生态脆弱区面积大，类型多，分布广。例如,我国南方喀斯特分布地区,多陡坡,土层薄;石灰岩抗风化能力较强,成土过程缓慢;如果失去了森林植被的保护，遇到暴雨，石灰岩上的土层极易发生水土流失,出现石漠化（图 2.9 ）。喀斯特地区一旦出现石漠化，靠自然恢复非常困难。而人类的过度开艮使得石灰岩上的土层遇暴雨激发，更易产生水土流失,加速了石漠
图 2.9 贵州喀斯特山区石漠化景观
图 2.10 我国南方喀斯特山区石漠化恶性循环
化进程（图 2.10)。石漠化进一步限制当地的经济发展,使南方喀斯特地区成为我国贫困地区分布较集中的区域之一。
我国北方农牧交错带是主要的生态脆弱区之一，也是贫困地区分布较集中的区域之一。21 世纪初，北方农牧交错带 $80 \%$ 以上的草场出现不同程度的退化，成为我国北方重要的沙尘源区。
## 北方农牧交错带的土地退化及原因
北方农牧交错带是指农区与牧区的过渡地带，也是半湿润地区与半干旱地区的过渡地带（图 2.11)。当气候出现冷暖、干湿变化时，就会出现农进牧退或牧进农退的现象。例如，汉、唐、宋时期，是我国历史上气候暖湿时期，再加上政府艮荒政策的引导，大
图 2.11 我国北方农牧交错带分布范围示意北方农牧交错带呈带状分布,其东段较宽，最宽超过 300 千米；西段较窄，宽为 $100-$ 150 千米。共涉及 9 个省级行政区，总面积超讨 65 万平方千米。批农民越过长城一线,将草原开垦为农田,使农区北界向西、向北推移。
土地退化是该带主要的环境和发展问题,受自然和人为因素的综合影响。
## （一）自然原因
北方农牧交错带地处半湿润区与半干旱区的过渡地带，对降水变率极为敏感,土地极易受风蚀和沙化,这是该带土地退化的根本自然原因。
- 降水量具有临界性且变率大一般认为，年平均降水量 400 毫米是旱作农业的低限，在 300 毫米以下时,农作物就会绝收。本带年平均降水量大多在 300-400 毫米,降水变率大,且多以暴雨形式出现在夏季 (图 2.12a )。暴雨集中,不仅降低了水分利用率,还造成强烈的土壤侵蚀；降水量的年际变化也比较大（图 2.12b ),降水量少的年份往往出现旱灾，加剧土地退化。
鄂尔多斯
b. 年降水量的变化
a. 多年平均年内各月降水量
图 2.12 鄂尔多斯市降水量的变化
1. 依据图 2.12a，估算鄂尔多斯市多年平均降水量;依据图 $2.12 \mathrm{~b}$，找出其年降水量最多与最少的年份及其数值。2. 鄂尔多斯市年际降水量变化对农业耕作和牧业发展产生了什么影响?
- 多大风本带多大风,且集中于冬春季节。以鄂尔多斯高原为例,大风 (风速大于 17 米/秒或八级以上 ) 天数年均超过 40 天,$60 \%$ 以上的大风集中在冬春季节,其中春季大风天数在 10-30天。本带春季气温回升,地表解冻,但是降水稀少,因此表土层裸露、疏松，极易遭受大风侵蚀。
## (二) 人为原因
本带是农区与牧区的过渡地带，在人口增长的压力下，人类对土地资源不合理的开发和利用,是造成土地退化的主要原因。
- 过度开厔在降水较多的年份,适宜农耕的条件良好,农区向牧区扩展。在降水较少的年份，农作物就会减产，甚至绝收。同时由于农作物长势较差，对土壤保护作用减弱，一旦遇到大风、暴雨,则加重对土壤的侵蚀。为了维持生计,人们进一步扩大耕地面积,祈求来年丰沛的降水带来好收成。这样,年复一年,㘸殖区面积越来越大，并向西、向北扩展。这些地区本身生态脆弱，开垦后土壤肥力逐年下降，作物产量逐渐降低。例如，内蒙古乌兰察布市商都县的耕地面积从 1949年的 9.8 万公顷增加到 1980 年的 21.93 万公顷，新开垦的耕地基本上分布在年降水量 300 毫米左右的地区，而这里曾是水草条件优良的草场。- 过度放牧牧民为求得当前的经济利益而盲目提高载畜量,但过度放牧的后果则是草场退化,反而使牲畜的数量和质量都大大下降 (图2.13)。例如,20 世纪 50年代,浑善达克沙地地区的牲畜量为 100 万头，到 20 世纪 80 年代末，增加到了 1000 万头。从 20 世纪 70年代起,草场开始退化,到20世纪末,$1 / 3$ 的草场已成沙地,$80 \%$ 的草场退化。
图 2.13 牲畜数量增加对草场的影响
除此之外，不合理的开矿、樵采、道路建设等，也会造成土地退化。
## 活动
## 分析非洲萨赫勒地区荒漠化的自然、社会经济因素
荒漠化是土地退化的一种表现形式。20 世纪 60 年代末 70 年代初，萨赫勒地区遭受罕见大旱，并引发了严重的荒漠化，致使经济受到沉重打击，前后有 20 多万人因饥饿而死亡，千百万人流离失所。这场惨剧引发了国际社会的普遍关注，从而在全球范围内引发了一场车车烈烈的世界荒漠化防治运动。萨赫勒地区通常是指撒哈拉沙漠南缘东西延伸的干旱与半干旱、热带沙漠与热带草原的过渡地带，年降水量大多为 $100-500$ 毫米。
1. 请根据图2.14和文字资料，并联系已学知识，分析萨赫勒地区的气候等自然特征，并说明出现莣漠化的潜在自然因素。
图 2.14 萨赫勒地区示意
2. 萨赫勒地区的传统经济以自给性游牧业为主。20世纪以来，随着人口和经济的发展及交通条件的改善，这里的游牧业向商品性定居牧业转变。根据图 2.15，分析这一转变对草场带来的影响。
图 2.15 自给性游牧业与商品性定居牧业的不同特点 3. 20 世纪50年代以来,人口急剧增加,粮食需求迅速增加。这一因素促使萨赫勒地区以南的早作农业不断向北推进,农牧用地之争加剧。人口过快增长和贫困是萨赫勒地区最为突出的社会问题。请解释图 2.16,试提出一种解决非洲贫困问题的可能办法。
图 2.16 人口增长与荒漠化
## 北方农牧交错带土地退化的综合治理
对北方农牧交错带土地退化的治理，首先，应树立生态脆弱区要以保护、恢复自然环境为第一要务的观念；其次，应综合运用生物、工程、经济、社会等措施解决问题，实现人地和谐发展。21 世纪初，我国开始对北方农牧交错带的土地退化实施综合治理。
- 优化土地利用结构从土地适宜性出发，宜农则农，宜牧则牧。合理利用水资源,发展集约化、高效、特色农牧业及农牧产品加工业（图 2.17)。- 构筑防护体系在草地退化严重地区,利用生物措施与工陕西省定边县土层深厚，日照充足，适宜茀麦生长。这里乔麦种植历史悠久,生产的茀麦具有粒大饱满、营养丰富、药用价值较大等优势。2011年，定边乔麦被确定为中国地理标志保护产品
图 2.17 陕西省定边县乔麦田程措施，采用灌草相结合的方式，适当人工补种植物，固沙防沙;在黄土高原水蚀、风蚀严重地区,利用生物措施和工程措施相结合的方式，开展小流域综合治理。
- 以地养地,自然恢复选择部分自然条件较好的地方,人工种植高产牧草,解决牲畜食草问题,从而使退化的草场通过休牧得以自然恢复。- 调整牲畜结构和数量在北方农牧交错带的退化草场，使牲畜数量控制在草场承载力范围内；调整牲畜结构,减少山羊等对草场破坏严重的畜种比重,增加肉牛等比重 (图 2.18)。- 控制人口过快发展,提高人口素质生态脆弱区的人口容量有限,人口过快发展对环境压力增大。在北方农
山羊食性杂,适应性强,繁殖率高,饲养周期短,饲养获得收入快。但是山羊觅食能力强。在较为干旱的草原和山坡,山羊会践踏表土，啃食草根,造成草场退化
图 2.18 山坡上正在吃草的山羊牧交错带控制人口数量,提高人口素质，促进人口、资源、环境协调发展。
案例
## 乌兰察布市实施退耕还林 (草)
乌兰察布市位于内蒙古自治区的中部 (图 2.19)。这里历史上曾是水草丰美的大草原，20世纪 60 年代后，当地人口大量增加，人们大面积良草种粮，导致草原基本消失。至 $20 世$ 纪 90 年代初，全市耕地面积达 160 万公顷，但 $90 \%$ 的耕地出现水土流失和风蚀沙化，有的农民被迫举家搬迁。从1994年起，乌兰察布市开始重建生态。至2008年，陆续有一半多的耕地实现退耕还林 (草)。与此同时,还采取多种措施调整农业土地利用结构（图 2.20 ) 和农业产业结构（图 2.21)。首先是调整种植业的结构,摒弃早春作物小麦和芿麦,而是以晩秋作物马铃薯和甜菜等经济作物为主,优化了种植业结构。其次是把低产的农田退耕还草，建设人工草场，以提供优质饲草饲料，促进畜牧业的发展，使畜牧业在第一产业产值中所占的比重由退耕前的不到 $30 \%$ 增加到 2008 年的 50\%以上。第三是调整畜牧业结构,由过去的粗放散养转为舍饲圈养,畜种结构由过去以土种畜为主的毛肉型转变为奶牛、肉羊为主的乳肉型,逐步改变传统靠天养畜的方式，加快畜牧业生产方式的转变。
图 2.20 乌兰察布市农业土地利用结构示意
图 2.21 乌兰察布市农业产业结构示意
退耕还林 ( 草 ) 工程的实施，促进乌兰察布市农村农业结构的调整，提高土地利用率,改变广种薄收的不合理生产方式,促使农业劳动力转移,使农民收入水平和结构发生了变化,实现脱贫致富。同时,生态环境也发生巨大变化,全市森林覆盖率和天然草场草原植被覆盖度都得到大幅提高。
## 自学窗
## 人类和自然，谁来决定浑善达克沙地的命运
21 世纪初,荒漠化严重的浑善达克沙地开始了生态恢复。2001年春,人们在浑善达克沙地深处的某嘎查（嘎查：蒙语,即行政村）设计了乔一灌一草多层次、高密度的防风林。为了保证树木成活，使用生根剂处理树苗。当年，种植的旱柳萌芽了。然而好景不长,次年这些树木就不再抽叶,并逐渐枯死。实际上,种植的树木用的养料是树千储存的，半千旱区强烈的蒸发、严酷的冬季、强烈的大风使得它们很难生存。
2002 年，人们在该嗄查 8400 公顷中的 2600 公顷严重退化土地上,建起了围栏,让其自然恢复。到 2008 年,草被完全恢复,自然生长的榆树高达 5-8 米
严重退化的草地,尽管地面上的植被没有了，但原有土壤还基本保留,植物的种子或其他繁殖体（如能发芽的地下茎）还存在。在没有干扰的情况下，退化的植被可以自己恢复生机 (图 2.22)。浑善达克沙地生态恢复的故事告诉人们,一些生态脆弱地区的生态建设，适度减少人类的干扰，自然恢复的效果有可能比强行植树种草好得多
## 第三节
## 资源枯竭型城市的转型发展
图 2.23 我国第三套人民币的 5 元券阜新市因煤炭资源丰富，曾被称为“煤电之城”。我国第三套人民币的 5 元券背面图案中（图 2.23 ),左侧的煤炭开采图的原型就是取自阜新市海州露天煤矿，可见阜新市昔日的辉煌。20世纪末，阜新市开始转变以煤电为主的经济结构。阜新市为什么要转变?阜新市发展的方向是什么?
## 资源枯竭型城市及其转型
通常把因大规模开采自然资源而兴起,并以自然资源的开采和加工业为主导产业 ${ }^{(1}$ 的城市,称为资源型城市。城市所依托的资源在现有技术水平下开采殆尽,或市场对这种资源的需求大幅度减少,城市经济发展趋于缓慢,资源型城市就成为资源枯竭型城市（图 2.24 )。截至2017年,
时间
兴起期：随着自然资源的开发，相关产业和人员集聚，城市快速成长。
繁荣期：城市主导产业高度依赖自然资源的开采和加工，产业规模和城市规模渐趋稳定。
衰退期：自然资源渐趋枯竭,或市场明显转移，产业规模缩减，城市可能陷入萧条。但如果创新路径合适，城市可实现持续发展。
图 2.24 资源型城市生命周期示意
(1) 主导产业: 在国民经济中处于主要的支配地位,比重较大,综合效益较高,与其他产业关联度高,具有较大的增长潜力的产业。我国国务院确定了 69 个资源枯竭型城市,占全国 262 个资源型城市的 $26.3 \%$。
资源枯竭型城市需要根据自身的实际情况,因地制宜地转型发展。
- 延长产业链,提升原有资源的利用价值有的资源枯竭型城市,实施资源深度开发,延长资源产业链,提高资源综合利用程度和附加值。例如,大庆油田在历经近 30 年稳产、高产之后,于 2003 年开始产量下降。随后,大庆的城市经济开始进人衰退期。大庆选择了延长资源产业链,将油气资源深加工作为城市转型之路。在国家政策支持下,利用进口俄罗斯油气资源，大庆重点发展石化产业（图 2.25）。
大庆石化公司是我国最早引入乙烯生产的基地之一。图为大庆石化公司联合生产装置。
图2.25 大庆石化公司厂景
阜新市海州露天煤矿曾经是亚洲最大的露天煤矿,2005 年由于煤炭资源枯竭正式关闭。现在已建成为国家矿山公园,集旅游、考察、科普、休闲于一体,是阜新城市转型的一大亮点。图中广场上的煤炭挖掘机即为第三套人民币 5 元券背面图案中的原型。
图 2.26 阜新市海州露天矿国家矿山公园 - 开发新的资源，培育新的主导产业有的资源枯竭型城市，拓展开发可利用的自然资源类型，甚至延伸至人文资源范畴，培育新的主导产业。例如，辽宁省阜新市在煤炭资源枯竭之后，首先依靠发展现代农业和农产品深加工业，吸纳就业,然后大力发展风力发电和煤化工产业,推动城市转型（图 2.26)。
在众多资源枯竭型城市中，河南省焦作市是转型发展比较成功的城市之一。
## 焦作市以煤炭为基础的产业兴衰
焦作市地处河南省西北部，南临黄河（图 2.27)。19 世纪末，焦作大规模开采煤矿，修建铁路，聚落因煤而兴。从 1956年建市之初,焦作市就以煤炭工业为基础,一直是全国优质无烟煤生产基地,煤炭工业产值占全市工业总产值的一半。20 世纪 80 年代，焦作市形成了以煤炭为基础的化学工业、机械工业、电力工业等较为完整的工业体系。
图 2.27 焦作市位置示意
20 世纪 90 年代中后期，焦作市多数国有煤矿先后宣告无煤可采而封井,原煤年产量由鼎盛时期的 1000 多万吨骤减至 400 多万吨,与之相配套的大批企业开工不足,亏损严重,全市经济连年下降,下岗职工占全市职工的 1/6。此外，焦作市还面临城市基础设施落后、采煤遗留的各类环境破坏等问题 (图2.28)。
## 焦作市的转型之路
为了解决因煤炭资源枯竭带来的众多问
焦作市多年地下采煤，形成地下采空区，导致地面塌馅等地质灾害;煤矸石堆和废水排放导致环境污染。据不完全统计，在转型发展前,全市废弃矿井 520 个,较大地面塌陷坑 18 个,造成耕地和生态环境破坏面积达 120 平方千米。
图 2.28 焦作市煤炭开采遗留的主要环境问题题,促进城市经济的可持续发展,20 世纪末,焦作市利用优势资源和条件,调整产业结构,培育新型主导产业,开始了转型发展之路。
云台山位于焦作市修武县,由于地形复杂、地质遗迹丰富,被联合国教科文组织评选为全球首批世界地质公园（2004 年）。2017年，云台山接待国内外游客 556 万人次，旅游收入 5.05 亿元。
图 2.29 焦作市云台山景观
- 推动工业多元化发展焦作市除煤炭外，耐火黏土、铝矾土等矿产丰富，水资源较充足。焦作市在不断改造、提升传统产业的基础上，重点发展有色金属冶炼及加工、汽车零部件制造、化工及医药、农副产品深加工及高新技术等产业，推动工业多元化发展。
-大力发展旅游业 1999 年,焦作市政府作出“把旅游业作为龙头产业进行培育” 的重大决策，2001 年，着力打造“焦作山水” 等旅游品牌,利用独特的地质地貌等自然旅游资源和人文旅游资源发展旅游业（图 2.29）。
- 加快农业产业化步伐焦作市农业生产条件较好,是全国粮食高产区之一,所产小麦、玉米品质优良。这里出产的怀药,历史悠久,远销国内外（图 2.30)。依托这些农产品,焦作市重
铁棍山药属怀山药的改良品种，因其外形酷似生锈的铁棍，故名。由于特殊的土质、水和气候条件，焦作市是铁棍山药的主产地，为中国地理标志保护产品。
图 2.30 焦作市铁棍山药
(1) 怀药：是指古怀庆府 ( 今河南省焦作市) 所产的地黄、牛膝、菊花、山药四大中药。点培育优质粮食等农产品品牌,并发展蔬菜、水果等特色农业。
通过转型发展,焦作市的国民经济从低速徘徊走上快速发展轨道,综合经济实力明显增强（图 2.31 )。
图 2.31 1999-2019年焦作市地区生产总值
## (1) 活动
## 分析日本北九州转型之路
九州地区曾经是日本煤炭主产区之一。19世纪末,利用煤炭资源,北九州工业得到快速发展（图 2.32)。20世纪 20 年代左右,北九州形成以钢铁、煤炭、化工、造船为主的重化工业基地，成为日本重要的工业地带之一。
图 2.32 日本北九州地理位置及工业分布伴随着重工业的飞速发展,北九州的环境迅速恶化。大气污染、水污染、噪声污染等一系列环境问题日益成为整个社会的公害,尤其是 1968 年“米糠油事件 ” 的爆发更是震惊了世界。
20 世纪 60 年代，根据煤炭资源枯竭形势，日本政府进行了多次煤炭政策的调整,加强环境整治和失业人员的再就业培训,在北九州建立近百个工业园,吸引半导体生产和组装为主的新产业入驻,加强北九州港口、机场、高速公路等基础设施建设，发展煤炭之都工业遗产旅游。
1993 年建立的北九州科技城,集聚了众多研发机器人、半导体技术及尖端环境科技的大学和科研机构。1997 年建设北九州生态工业城,靠环境产业振兴地方经济。
1. 说出 20 世纪 60 年代北九州重点发展的产业。2. 分析 20 世纪 60 年代北九州实施转型发展的优势条件。3. 20 世纪 90 年代北九州发展的方向有了怎样的改变?
## 2. 本章要点
1. 自然条件和自然资源对区域发展有重要影响,但影响不是绝对的。2. 生态脆弱区是指生态系统抗干扰能力弱、易于退化且难以恢复的地区,主要分布在干湿交替、农牧交错、水陆交界、森林边缘、沙漠边缘等地区。3. 土地退化是生态脆弱区主要的环境和发展问题。人类对土地资源不合理的开发和利用,是造成生态脆弱区土地退化的主要原因。4. 生态脆弱区土地退化的综合治理,需要在保护自然环暗的基础上,综合运用生物、工程、经济、社会等措施。5. 资源型城市所依托的资源在现有技术水平下开采殆尽,或市场对这种资源的需求大幅度减少,城市经济发展趋于缓慢，就成为资源枯竭型城市。6. 资源枯竭型城市的转型发展应因地制宜,或延长产业链,提升原有资源的利用价值;或开发新的资源，培育新的主导产业。
(1) 米糠油事件: 1968年,日本九州、四国等地因食用米糠油受污染,导致 10000 多人受害,死亡 15 人。
## 问题研究
## 景德镇还要不要走“世界瓷都”之路
千百年来,景德镇的陶瓷通过陆路和海上丝绸之路,绵延和传播到世界各地。随着瓷土资源枯竭，景德镇还要不要走“世界瓷都”之路呢?
对于这一课题的探究，建议采用以下思路。
了解景德镇的地理环境特点及发展瓷业的有利与不利条件。查阅资料，说明瓷土资源逐步枯竭对景德镇发展的影响。阅读相关资料，探究景德镇产业转型选择的道路。阅读相关资料,为景德镇是否走“世界瓷都” 之路献计献策。
## 知识拓展
## 资料 1 因瓷而兴
景德镇位于江西省东北部,地处丘陵地带。昌江自北向南穿城而过,最终注人鄱阳湖（图 2.33)。境内有优质瓷土矿。
早在战国时期,这里就开始制陶。宋景德元年（1004年 ) 因造御瓷而改用皇帝年号,始名景德镇,成为我国瓷器中心。制出的青白瓷器独具特色,闻名天下 ( 图 2.34)。
图 2.33 景德镇位置示意
图 2.34 景德镇生产的瓷器
资料分析
依据资料说出景德镇瓷器外运的主要运输通道。
## 资料 2 土尽而衰
20 世纪 $60-80$ 年代,当时不到 40 万人口的景德镇市就有 8 万人从事瓷业,瓷器年产量曾占全国的 $20 \%$。鼎盛时期，瓷业产值占景德镇市生产总值的 $60 \%$。
20 世纪 90 年代,随着瓷土资源枯竭和市场竞争越来越激烈,景德镇大批陶瓷企业处于停产或半停产状态,景德镇瓷业规模不断萎缩,瓷业占全市生产总值的比重由 1991 年的 $20.4 \%$ 下降到 2000 年的 $2.6 \%$。
## 资料分析
1. 说出 20 世纪 90 年代景德镇瓷业衰退的主要原因。2. 推测景德镇瓷业生产可能带来的问题。
## 资料 3 机遇与挑战
21 世纪初,景德镇踏上转型发展的新路,重点发展高档日用陶瓷和陈设艺术瓷。景德镇如今拥有 30 多处陶瓷文化遗址,是我国独有的充满陶瓷文化艺术气息的城市。景德镇有不同级别的陶瓷研究所和陶瓷工程研究中心,众多工艺大师和从事陶瓷工艺制作、陶瓷科学研究的人员会聚于此。景德镇还有全国唯一一所陶瓷大学,每年培养近千名相关专业的大学生。
但是,由于产学研的分离,其科研成果很难快速转化为生产力。陶瓷专业毕业的大学生很少留在景德镇。景德镇陶瓷企业的主要精力一直集中在工艺改造上,陶瓷企业多以中小型和个体作坊为主，这些陶瓷企业资金不足，生产经营行为完全被国内市场左右。
## 资料分析
1. 景德镇为什么重点发展艺术瓷器?2. 景德镇瓷业再发展面临哪些挑战?
## 问题探讨
综合以上分析，开展讨论“景德镇还要不要走“世界瓷都’ 之路”。
步骤一：收集资料,了解景德镇在江西省的地位,并和我国其他陶瓷生产基地进行比较,了解景德镇的经济发展水平。
步骤二：收集景德镇其他产业资料,从可持续发展的角度看,景德镇应重点发展哪些支柱产业?
步骤三：查阅景德镇的相关资料,讨论景德镇还要不要走“世界瓷都”之路。
## 第三章
## 城市、产归与区域发展
城市是区域经济活动的中心,对区域经济发展具有辐射带动作用,从而推动区域经济由点及面发展。区域经济发展一般呈现为产业结构不断变化的过程,创新是推动产业结构升级换代的主要驱动力。
在本章,我们重点探讨以下问题:
- 什么是城市的辐射功能?- 如何理解区域空间组织?
• 城市及其辐射范围之间的相互关系是什么?
- 地区产业结构变化的一般过程和规律是什么?
• 地区产业结构升级的影响因素是什么?第一节
## 城市的辐射功能
图 3.1 郑州市郑东新区景观
郑州地处中原腹地。在没有开通铁路之前,郑州只是一个默默无闻的县城,名气远不如洛阳和开封两大古都。清朝末期,京汉（北京一汉口 ）和陇海两条铁路在郑州交会,郑州城市地位逐渐提高,人口迅速超过开封。1954年,郑州成为河南省省会。目前,郑州已成为中原城市群的核心,辐射范围广及河南、山西、山东、安徽、河北 5 省 30 个地级市。为什么铁路的修建、繁忙的运输能促进郑州的快速发展?郑州的繁荣为何能够带动周边区域的发展 ( 图 3.1 )?
## 城市在区域中的作用
城市是人口密集、工商业发达的地方，通常是区域政治、经济、文化的中心,为周围地区提供工业产品和各种服务。区域则通过提供农产品、劳动力、商品市场、土地资源等而成为城市发展的依托。
城市功能是城市在一定区域范围内的社会经济生活中所能发挥的作用,主要有生产、服务、管理、集散、创新等功能。有些城市功能比较单一,例如,青海省格尔木市集散功能突出,是青藏地区的交通枢纽之一;福建省武夷山市旅游服务功能突出,是著名的旅游城市 (图 3.2)。有些城市则具备多种功能,是综合性的政治、经济、文化、交通中心，如省会城市。
武夷山市是福建省唯一以名山命名的旅游城市,依托武夷山这一世界文化与自然遗产资源,构建旅游产业体系,为游客提供交通、住宿、餐饮、购物、娱乐等服务。
图 3.2 武夷山风光
城市的辐射功能,是指城市各项功能对其所在区域的综合影响力和发展带动力。城市辐射功能的强弱与城市的规模等级高低及城市的功能有关,其辐射能力的大小可以用城市腹地 ${ }^{\mathbb{D}}$ 范围来表示。一般来说,城市腹地范围越大,经济发展水平越高，城市发展规模和潜力越大,城市辐射功能越强。
城市的发展与腹地特征密切相关。一方面,城市的发展往往受腹地经济特征的影响。例如,腹地农业发达,农产品商品率高,有利于城市发展轻工业;腹地矿产资源得到开发,有助于城市发展重工业。另一方面,城市的辐射功能因腹地条件而异。腹地中具有工业发展优势的城镇,有可能承接中心城市产业链的某部分而发展为工业中心 (图 3.3);离中心城市较近,且交通较便利的城镇,也有机会发展为中心城市的“卧城 ${ }^{2}$。
(1) 腹地: 指城市周围与城市具有紧密的经济、文化联系的毗邻地区。
(2) 卧城: 一般指以居住为主要职能的卫星城。角直镇隶属江苏省苏州市，位于苏州市城东 18 千米,东距上海 58 千米。近年来，角直镇利用上海、苏州等大城市高新技术的优势，建立了生物产业园、苏州纳米城等产业园区。
图 3.3 苏州纳米城景观
从空间组织看,在一定区域范围内,不同规模等级的城市,构成具有一定功能和结构的城市体系。城市之间通过人流、物流、资本流和信息流等，将区域内各种活动和联系围绕城市组织起来,形成分工明确、联系紧密的关联网络。城市规模越大,交通运输网络越密,联通效率越高,联系强度越大,辐射范围越大,其在区域城市体系中地位越高。例如,铁路的修建,为郑州带来了大量客流和物流,扩大了腹地范围,促进了郑州的发展。如今，郑州是中原城市群的核心城市,交通枢纽地位明显高于周边地区,通过其辐射作用，带动开封、洛阳等周边地区的发展（图 3.4 )。
图3.4 中原城市群通常情况下，规模较大的区域政治、经济、文化中心被称为大都市。美国纽约是国际大都市的典型代表,其地理位置优越,与腹地关联密切，辐射功能显著。
## 纽约的发展
1492 年，哥伦布发现美洲大陆后，欧洲各国殖民者纷纷进入美洲建立殖民贸易点。美国的大西洋沿岸自然条件优越，拥有众多海湾和港口,成为殖民者优先考虑建设城市的地区。纽约是其中重要的港口之-
图 3.5 历史时期的纽约港
纽约位于美国大西洋沿岸中部的哈得孙河河口，港口条件得天独厚（图 3.5)。1825 年,伊利运河开通（图 3.6 ),大量的商品通过伊利运河很便捷地运往纽约港,纽约的腹地迅速扩展到中西部地区,并开始加速发展,成为美国最大的贸易口岸。之后,经过一百多年的发展，20 世纪 30 年代，纽约成为世界上第一座人口超过 1000 万的城市（图 3.7)。
图 3.6 伊利运河示意
图 3.7 纽约的发展历程
## 纽约的辐射功能
纽约城市规模不断扩大、城市功能不断增强和经济实力不断提升，带动了周边城市不断发展,以沿海发达的陆海空交通干线为轴，在大西洋沿岸中部出现波士顿、纽约、费城、巴尔的摩、华盛顿等五个大都市。这五个大都市发挥经济集聚和辐射功能,联结带动周围 40 多个中小城市、200多个卫星城镇的发展，形成“波士华城市带”,纽约是该城市带的核心城市（图 3.8 )。纽约具有综合性的城市职能，对周边地区、“波士华城市带”、美国乃至世界都有辐射带动作用。
- 对周边地区的影响依托高速公路和轨道交通,纽约与周边地区的人员往来和物资流通更加便捷，中心城区的居住、生产、服务等功能逐渐分散到周边地区,带动纽约周边许多中小城市的发展，形成 60 多个具有竞争力的卫星城市。- 对城市带的影响纽约与其他城市之间通过便利的高速公路和航空线路紧密联系（图 3.9)，各城市分工协作,形成了以金融、贸易等服务业为主导，同时又各具特色的产业体系（表3.1）。
表 3.1“波士华城市带” 主要城市产业分工
| 主要城市 | 纽约 | 波士顿 | 费城 | 巴尔的摩 | 华盛顿 |
| :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| | 金融业、商 | 高科技产业、金 | 健康服务业、制 | 国防工业、有 | 金融业、商业服 |
| 贸服务业、| 融业、教育和医 | 药业、设备制造 | 色金属冶炼工 | 务业、健康和教 | |
| 主文化产业 | 疗服务业、建筑 | 业、教育服务 | 业、服务业 | 育服务业、休闲 | |
| | | 业、运输服务业 | 业、交通服务业 | | 娱乐业 |
“波士华城市带” 在大西洋沿岸绵延 600 多千
图 3.9“波士华城市带” 各城市之间的年航空客流量米，宽 100 多千米，面积约 13.8 万平方千米（约占美国陆地国土面积的 $1.5 \%)$，人口约 6500 万 （约占美国总人口的 $20 \%$ )，城镇化水平达 $90 \%$,制造业产值约占美国的 $30 \%$。
图 3.8 美国“波士华城市带” 各城市人口等级规模
- 对美国的影响纽约通过便利的公路、水路、铁路和航空等完善的交通运输网 ( 图 3.10 )，以及发达的信息网络，促进了人才、商贸活动、信息等在全国范围内的流动，成为美国最具影响力的城市。
纽约的肯尼迪国际机场是世界主要的航空枢纽，是全世界最大和最繁忙的机场之一。纽约通过旅客量过亿的机场体系，辐射国内和世界各地。
a. 纽约肯尼迪国际机场
图 3.10 纽约交通运输网
纽约港位于哈得孙河河口,东临大西洋,是美国最大的海港，也是世界重要的海港之一。货物年吞吐量超过 1 亿吨
b. 纽约港 - 对世界的影响纽约是全球的物流枢纽和信息中心,发挥着国际政治、经济、金融、文化中心等多种职能（图 3.11)。
纽约是联合国总部所在地,汇集了联合国主要机构，影响着诸多国际事务和决策。
a. 联合国总部
纽约大都会博物馆收藏了世界各地不同历史时期的各种艺术珍品 300 多万件,既是美国最大的博物馆，也是世界著名的博物馆之一。
c. 大都会博物馆
图 3.11 纽约发挥着政治、经济、文化职能
华尔街全长约 500 米,宽 11 米,集中了全球重要的银行、保险、证券公司等金融机构。
b. 华尔街街景
纽约汇集了世界著名的音乐厅、歌剧院，吸引全球艺术家、游客纷至沓来，各种文化在这里汇聚、碰撞和融合，成就了纽约全球文化之都的美誉。
d. 大都会歌剧院
## 分析武汉的城市辐射功能
武汉城市圈，是指以武汉为核心，覆盖周边 8 个城市所组成的城市圈。其面积不到湖北省的 $1 / 3$，却集中了全省一半以上的人口、$60 \%$ 以上的经济总量。武汉是我国中部地区特大城市之一,在水陆空综合交通方面优势显著 (图 3.12),是承接东西,互联南北,辐射周边的金融、商贸、科教、信息、物流和旅游集散中心，光电子、汽车、新材料、生物医药、环保等产业已成规模。
武汉对周边城市有辐射作用。例如,黄冈紧邻武汉,与武汉之间有城际铁路和高速公路相连,农业、教育品牌优势明显,已与武汉市共建了“中国光谷黄冈产业园” 等区域产业互动融合示范区,依托武汉的光电子产业品牌和产业发展优势,结合黄冈市区资源和产业基础,主要发展汽车零部件、电子电器、高端装备制造等产业集群和现代服务业。
图 3.12 武汉城市圈
1. 武汉对黄冈的辐射作用是如何体现的?2. 黄冈发展电子电器产业的区位优势是什么?3. 武汉城市圈对武汉自身发展的意义是什么?
## 区域经济发展中的点与轴
一般来说，任何一个区域的经济发展都不可能是均衡的，总是有的地方先发展，有的地方后发展;有的地方发展快，有的地方发展慢。在区域发展之初，由于资金、产业基础等条件限制,经济发展总是首先集中于少数条件较好的城市。随着经济的发展,出现越来越多具有经济增长动力的城市。在城市之间,形成便于人流和物流的交通干线。由于交通于线沿线有利于降低运输成本，从而降低生产成本，产业和人口便向交通干线沿线集聚。学者研究认为，交通干线连接的城市，是区域经济的增长点;交通干线沿线成为区域经济的增长轴。
可见,具有“点一轴” 结构的区域,经济发展往往迅速。例如,改革开放以来,我国以沿海开放城市为点、以沿海为轴线的沿海经济带和以长江沿岸开放城市为点、以长江为轴线的长江经济带,是我国经济发展迅速、经济实力强大的区域（图 3.13)。
图3.13 中国空间发展“点一轴” 结构模式
## 第二节
地区产业结构变化
改革开放以来,深圳从一个小渔村快速发展成为国际化大都市,在高新技术产业、金融服务、外贸出口、海洋运输、创意文化等方面占有重要地位,成为我国极具城市经济竞争力的城市之一 ( 图 3.14)。深圳的产业结构发生了怎样的变化?是哪些原因影响了深圳的产业结构升级转换?
图 3.14 改革开放以来深圳的变化
## 地区产业结构
地区产业结构是指一个国家或地区不同类型产业之间的比例关系，如以工业或者第二产业为主的产业结构、以劳动密集型产业为主的产业结构。产业结构受资源禀赋、技术条件以及分工深化等因素的影响,体现了经济发展水平。例如,非洲的布隆迪经济发展水平较低,产业结构以农业为主;亚洲的新加坡经济较发达,产业结构以服务业为主。
(1) 活动
分析我国四大地区产业结构的差异
由于区域发展的不平衡,我国东部、中部、西部和东北四大地区的产业结构存在空间差异 (图 3.15)。
图 3.15 中国四大地区示意
1. 结合所学知识,从地理位置、地形、气候、人口、经济发展水平等方面,比较四大地区的差异。2. 根据表 3.2,将现阶段中国四大地区的产业结构比例用饼状图表示出来。
表 3.22020 年中国四大地区的生产总值和产业结构比例
| 四大地区 | 第一产业 | | 第二产业 | | 第三产业 | |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| | 生产总值/亿元 | 比例/\% | 生产总值/亿元 | 比例/\% | 生产总值/亿元 | 比例/\% |
| 东部地区 | 25009.5 | 4.76 | 198492.9 | 37.75 | 302249.9 | 57.49 |
| 中部地区 | 20099 | 9.04 | 90268.9 | 40.62 | 111878.2 | 50.34 |
| 西部地区 | 25349.5 | 11.88 | 78548.8 | 36.83 | 109393.5 | 51.29 |
| 东北地区 | 7275.9 | 14.23 | 17210.6 | 33.66 | 26638.2 | 52.11 |
(数据来源: 国家统计局 )
3. 比较现阶段中国四大地区产业结构的异同，并说明原因。
## 产业结构的升级
一个国家或地区经济的发展过程实际上是产业结构不断变化升级的过程。通常表现为劳动力从第一产业向第二、第三产业转移，国民经济重心由第一产业转向第二产业，进而转向第三产业。产业结构升级体现了经济增长方式的转变,例如，在工业内部，产业结构升级可以表现为：由以轻纺工业为主上升到以重化工业为主;由以原材料为主上升到以加工组装为主;由以低附加值的劳动密集型产业为主上升到以高附加值的技术密集型产业为主。
促使一个国家或地区产业升级的原因很多，其中，比较优势的变化和政策的引导往往起着重要作用。在全球化背景下,每个国家或地区根据自身与其他国家或地区相比而具有的优势,因地制宜发展经济。随着经济的发展,原有的比较优势可能逐渐丧失,而新的比较优势逐渐凸显,其主导产业需要转型,产业结构需要升级。在这样的时期，国家或地区政府政策的引导，往往能促使产业结构尽快升级。例如,改革开放以后,珠江三角洲地区利用政策优势和劳动力价格较低的优势,大力发展以出口加工为主的劳动密集型产业。至 20 世纪 90 年代,珠江三角洲地区劳动力价格大幅度提高,劳动力价格低这一比较优势逐渐丧失。同时,因经济实力和科技水平的提升,珠江三角洲地区的资金优势、技术优势逐渐形成。珠江三角洲地区积极推进高新技术产业的发展，使技术密集型产业逐渐取代劳动密集型产业，成为主导产业 (图3.16)。
图3.16 20 世纪 90 年代珠江三角洲地区主导产业的变化
从全球来看，技术创新是推动产业不断升级的根本原因。自工业革命以来，人类的每一次技术革命都产生一系列的新兴产业。这些新兴产业首先在技术创新地区得到发展，促使该地区产业升级,新的产业不断向其他地区次第扩散,并依次带动相应地区的产业升级。
改革开放以前,深圳是以农业为主的渔村;改革开放以后，受国家政策的引导，深圳从以第一产业为主转向以第二产业为主;现在,由于比较优势的变化,深圳的产业结构由以劳动密集型加工制造业为主，升级为以高新技术产业和金融服务业为主。上海是我国最大的经济中心，经过了持续的产业结构升级，引领着中国经济的发展。
## 上海产业结构的变化
上海位于长江与东部沿海的交汇处（图 3.17 )，是我国最大的城市和最大的港口，近现代以来其产业结构经历了由第二产业为主导向第三产业为主导的转变过程 (图 3.18 ),其中工业经历了轻纺工业一综合性工业一高新技术产业的典型升级过程。每一次升级都伴随政策的调整和比较优势的变化。
图 3.17 上海市位置示意
第一产业 ■第二产业 ■ 第三产业
图 3.18 上海市三次产业产值所占比例变化
- 工业化初期,以轻纺工业为支柱产业上海接近原料产地，拥有丰富的劳动力和最大的消费市场,早在明代中叶就已成为全国的棉纺织手工业中心。鸦片战争以后，作为五个通商口岸之一的上海对外联系和贸易频繁,发展了棉纺、毛纺、针织、染织等纺织工业和面粉、卷烟等轻工业,为国内市场提供半数以上的商品,出口额也占了很大比重,成为我国经济中心和最大的轻工业基地 (图3.19)。1949年,上海市轻纺工业产值占全市工业总产值的比重高达 $88.2 \%$。
图 3.191900 年上海缫丝厂中国最大的产丝区在上海附近的苏南和浙北地区，其丝产量约占全国的一半。鸦片战争之后,中国第一个缫丝工厂在上海设立。此后,江南机器制造总局、上海机器织布局等纷纷在上海建立,上海成为我国近代工业的主要基地。
- 20 世纪50年代开始,轻重工业协调发展在国家重工业化战略决策的引导下,基于原有的基础设施、技术和劳动力等优势,上海发展了冶金、机电、仪表、化工等重工业部门，以制造国家建设需要的装备,弥补了国家重化工业发展的空白 (图3.20)。至 20 世纪70年代,上海的重工业比重超过轻工业,形成了以冶金、化工、机械设备、纺织四大行业为主体的工业体系,成为我国的综合性工业基地（图3.21）。
机电工业产品众多，有电机、电气成套装置、家用电器、电力电容器、电子元件等,可用于电站、冶金、矿山、机械、化工、船舶、科研、交通、排灌、轻纺等各行各业。图为上海某电机厂旋转电机车间。
图 3.201953 年上海某电机厂
20 世纪 70 年代我国最大、最现代化的钢铁企业总部就位于上海。图为该钢铁企业巨大的炼钢车间和炼钢流水线。
图 3.21 上海某钢铁企业车间 - 20 世纪 90 年代以后,高新技术产业和金融服务业发展迅速面对经济全球化和信息革命的新形势,上海依托国家设立浦东新区的优惠政策、良好的工业基础和雄厚的科研实力等优势，吸引大量高素质人才和科技企业集聚，大力发展高新技术产业，逐步形成了以电子信息工业领衔、现代生物医药和新材料为主导的工业新体系 ( 图3.22)。与此同时,在国家政策的支持下，随着上海证券交易所的成立 (图 3.23)，众多银行、证券公司、保险公司等金融机构落户上海,促进上海金融服务业等相关产业的发展，推动上海产业结构的进一步升级。
1990 年，国家提出开发开放上海浦东政策,在浦东设立了陆家嘴金融贸易区、外高桥保税区、金桥出口加工区三个国家级开发区,1992 年成立了张江高科技园区。目前,张江高科技园建有生物医药科技产业基地、国家信息产业基地、国家集成电路产业基地、国家软件产业基地、国家文化产业示范基地等多个国家级基地，是我国国家级高新技术园区。
1990 年 11 月 26 日,经国务院授权,由中国人民银行批准建立的上海证券交易所正式成立。这是改革开放以来中国大陆开业的第一家证券交易所。
图 3.22 张江高科技园区
图 3.23 上海证券交易所内部（1990年 ) 今后，作为全国最大的经济中心，上海依托自身的经济实力和全球影响力,将逐步建设成为国际经济、金融、贸易、航运 (图 3.24 )、科技创新中心和国际文化大都市。在这个发展方向指引下，上海将不断调整产业结构，推进产业体系现代化建设，并发挥其龙头作用，带动其他区域协调发展。
图 3.24 洋山港全自动集装箱码头作为上海国际航运中心深水港区，洋山港为中国最大的集装箱深水港,建有目前全球最大的全自动化集装箱码头
## (1) 活动
分析贵阳市产业结构的变化
数据中心是用特定设备在互联网上传输、存储数据信息的场所。数据中心的规模以设备运行耗能的多少来衡量,规模越大,运营成本越高。如果把数据中心的数据比作原料的话，用这些原料可以发展数据加工、数据分析、数据交易、数据服务、智能制造等产业。
贵阳市的森林覆盖率达 $46.5 \%$，空气质量优，气温年较差和日较差较小。2015 年，经国家批准,贵阳市、贵安新区共同创建国家级大数据产业发展集聚区。至2018年,吸引了数十个大规模数据中心在此集聚，成为我国南方最大的数据中心基地（图3.25）。
图3.25 贵阳市高新技术区 1. 分析贵阳市建设数据中心基地的有利自然条件。
2. 读图 3.26,讨论随着数据中心基地的发展,贵阳市产业结构可能产生的变化。
2020年
图 3.262010 年和 2020 年贵阳市产业结构比例
## 3. 本章要点
1. 城市功能是城市在一定区域范围内的社会经济生活中所能发挥的作用,主要有生产、服务、管理、集散、创新等功能。2. 城市辐射能力的大小可以用城市腹地范围来表示。一般来说,城市腹地范围越大,经济发展水平越高，城市发展规模和潜力越大，城市辐射功能越强。3. 在一定区域范围内，不同规模等级的城市，构成具有一定功能和结构的城市体系。4. 城市之间通过人流、物流、资本流和信息流等形成关联网络。5. 通常情况下,规模较大的区域政治、经济、文化中心被称为大都市。6. 地区产业结构是指一个国家或地区不同类型产业之间的比例关系。产业结构体现了地区经济发展水平。7. 产业结构变化通常表现为劳动力从第一产业向第二、第三产业转移,国民经济重心由第一产业转向第二产业，进而转向第三产业。8. 促使一个国家或地区产业升级的原因很多,其中,比较优势的变化和政策的引导往往起着重要作用。9. 从全球看，技术创新是推动产业不断升级的根本原因。
## 问题研究
## 汽车工业能否带动家乡的发展
进人 21 世纪,我国迅速进人汽车社会,快速增长的汽车需求以及汽车工业相关产业的带动作用,推动我国汽车工业迅猛发展。一时间,汽车厂如雨后春笲般在全国各地建立,很多省级行政区把汽车工业定为主导产业。那么,如果把汽车工业定为主导产业，家乡所在省级行政区能否获得更快、更好的发展?
对于这一课题的探究，建议采用以下思路。
## 知识拓展
## 资料 1 汽车工业特点及其产业带动作用
汽车工业涉及面广、技术要求高、综合性强、产业关联度高,对工业结构升级和配套产业发展具有显著的带动作用。图 3.27 示意汽车工业的产业链。
图3.27 汽车工业的产业链示意
## 资料分析
汽车工业对区域发展有哪些带动作用?从一定意义上说,汽车工业是最具全球化的产业之一。为了降低生产成本,充分利用不同区域的原材料、劳动力、市场等优势,汽车生产企业以汽车新车型开发、技术革新和汽车营销为主,已实现零部件全球采购,并在世界不同地区开设汽车组装厂。
## 资料分析
分析汽车工业的全球生产体系对各地区发展汽车工业的有利影响。
## 资料 3 发展汽车工业需要关注的几个问题
汽车工业和其他工业一样,需要工厂用地、劳动力、城市基础设施等,此外,还有其特殊性。
、进人汽车生产行业的门监高。汽车制造业涉及装备制造、机械加工、控制模拟、化学工业等不同行业，产业配套能力要求高，对应的资金投人大。
- 汽车市场是全球性的,市场竞争异常激烈。汽车工业自身的经济效益和对相关产业极强的带动作用，使之成为国家、地方政府、企业，特别是跨国企业的投资重点，带来全球范围激烈的汽车市场竞争。中国放宽汽车行业外商投资的限制和较大幅度降低汽车进口关税,使中国汽车市场成为世界竞争最激烈的市场。21世纪以来,我国有一些汽车厂,投资建厂后不久即宣告倒闭。- 汽车产业对环境的污染。汽车相关工业的发展有可能造成严重的环境污染,例如,汽车喷涂和焻接过程中排放的废气会造成大气污染，汽车零件的防腐处理、切削加工的废料储存、车辆拆卸过程中的废弃物都会造成水污染和土壤污染。
## 资料分析
1. 发展汽车工业会面临哪些风险?2. 你认为发展汽车工业还应考虑哪些问题?
## 问题探讨
结合以上分析,就“汽车工业能否带动家乡的发展” 问题展开讨论。
步骤一: 查阅家乡相关资料,说明家乡所在省级行政区的区位特点及其发展汽车工业的优势和劣势。
步藂二: 讨论汽车工业如果成为家乡主导产业应发展的配套产业。
步骤三: 讨论这些产业形成的产业结构是否与家乡所处的发展阶段、家乡所具有的区位条件匹配。
## 第四章
## 区际联系与区域协调发展
当今世界，区际联系越来越紧密，任何一个区域都不可能离开其他区域而孤立发展。国家内部需优化要素配置,合理地域分工，推动区域的协调发展和国家整体发展。国家之间需加强国际合作,优势互补,促进要素跨国流动,以谋求各国互利共贏、共同发展。
在本章，我们重点探讨以下问题:
- 流域内为什么要协作开发水资源和保护环境?
• 为什么要进行自然资源的跨区域调配?
-资源跨区域调配对调出区、调人区产生哪些影响?
·为什么会出现产业转移?
- 产业转移对转出区、承接区的区域发展会产生哪些影响?
・“带一路”建设体现国际合作的哪些重要意义?
## 第一节
流域内协调发展
图 4.1 无锡市梁溪区古运河旁的河长制管理公示牌 2007年夏季，太湖水质恶化导致大面积蓝藻暴发,引发无锡市的水危机。2007年 8 月以来,无锡市试行“河长制”,加强污染物源头治理,河湖水质逐渐改善。2016年 12 月,我国全面推行河长制,建立多级河长体系,构建河湖管理保护机制 (图 4.1)。为什么要实行“河长制”?河长能协调解决哪些问题?
## 流域内部水资源协作开发
图4.2 水系与流域
河流与人类生存发展的关系十分密切。河流的干流和各级支流以及连通的湖泊、沼泽构成了水系,由分水岭所包围的河流或水系的集水区域称为流域（图 4.2)。流域从源头到河口、从上游到下游、从左岸到右岸、从支流到干流之间通过水流相互连接和影响,形成完整、独立的自然区域。
流域内的水资源具有农业灌溉、淡水养殖、提供工业用水和生活用水、发展航运、水能发电、生态保护、旅游等多种功能,对于流域内不同行政区域、不同行业和部门具有开放共享性。因此流域内水资源的协作开发和综合利用，会影响整个流域的社会、经济、生态环境系统的运行和发展。不同的利益主体对于水资源开发利用的需求不同,导致地区之间、上下游之间、工农业之间、城乡之间在水资源利用、水质保护中出现利益冲突（图 4.3 )。
同一流域的上下游之间，往往存在利益冲突：可能出现争建水库或港口码头的现象；上游大量排污,下游污染严重；上游山区森林破坏、水土流失，加剧下游河道淤积、洪涝灾害。
图 4.3 水资源利用中的利益冲突示意
考虑到流域的整体性强、关联度高的特点,需要以流域为单元进行统筹管理。但是,流域可能跨越不同的行政区,由不同主体分别行使管理权,因此,需要综合运用工程技术措施和行政、法律、市场等手段,对流域进行统筹管理,分担义务、分享权利、协调行为,为流域内各区域提供公平的共同发展的机会。例如,在上游地区,制定相关法律,实施水源地保护、水土保持等生态保护措施;对下游区域征收费用作为对上游生态保护的经济补偿;设立专门的管理机构,对全流域进行水量的分配和调度、水利工程建设的布局规划、排污治污管控。河长制就是其中一种流域管理机制,可以有效解决上游和下游、岸上和岸下的水资源保护、水污染防治等问题。
黄河是我国第二长河,流经 9 个省级行政区（图 4.4 )。黄
## 思考
1. 为什么黄河下游流域面积狭小?2. 为什么黄河没有成为重要的航运通道?河含沙量大,径流量少,存在着上下游之间调沙减淤、水量调控等问题,需要加强流域内的协调发展。
图4.4 黄河流域概况
## 黄河的调沙减淤
含沙量大是黄河最突出的水文特征。黄土高原水土流失严重,导致黄河挟带泥沙数量之多，居世界大河首位。黄河下游流经华北平原，坡度变小，流速缓慢，泥沙沉积使下游河床不断抬高,因此下游的黄河自古以“易淤、易决、易徙” 而闻名。据历史文献记载,黄河下游决口泛滥 1500 余次,较大的改道有 20 多次,河道变迁范围大致北到海河,南达江淮，给华北平原人民带来过多次灾害性的洪涝灾害。为了防治水害，两岸不断加高大堤，使得黄河下游河床高出两岸地面，成为世界上著名的“地上悬河” ( 图 4.5 )。
图4.5 黄河下游的“地上河” 示意
黄河沙患的解决,需要流域内综合协调：侵蚀区需要减少人河泥沙量,堆积区需要减少河道淤积。
中游的黄土高原是黄河流域的主要侵蚀区,水土保持是减少人黄泥沙的根本措施。在黄土高原,由政府投资、补偿,以小流域为单元,因地制宜进行水土保持措施,实施生物措施、耕作措施、工程措施相结合的综合治理：生物措施主要有封山育林、退耕还林还草等；耕作措施包括沿等高线耕作、留茬少耕、免耕等；工程措施包括修建梯田和水平沟、打坝淤地、挖鱼鳞坑等（图 4.6)。通过综合治理,有效地减少了从黄土高原进人黄河的泥沙量（图4.7)。
水平沟在山坡上沿等高线每隔一定距离修建的截流、蓄水沟槽。适用于 $15^{\circ}-25^{\circ}$ 的陡坡。
鱼鳞坑在坡面上修筑呈“品”字形排列的、类似鱼鳞状的半圆形或月牙形坑穴，用于植树造林。
图 4.6 黄土高原实施水土保持工程措施的模式
图 4.7 黄河干流主要水文站不同阶段实测年均输沙量比较
## 案例
## 南小河沟的小流域综合治理
南小河沟是泾河支流蒲河左岸的一条支沟,位于甘肃省庆阳市西峰区西南,是黄土高原地区的典型小流域。治理前,这里水土流失严重,每平方千米每年平均泥沙流失量达4 400 吨，最高可达 1 万吨。20 世纪50年代，这里开始进行小流域综合治理，根据土壤侵蚀的规律，实行了“保塬、护坡、固沟” 的治理方针（图 4.8)。
1图 4.8 南小河沟小流域综合治理措施示意保塬。平整土地,增加水流入渗,削减地表径流;营造护田林网,造林以用材林和果林为主,形成林粮间作、果粮间作的生态农业体系;采用喷灌、滴灌等先进的灌溉技术，节约和充分利用水资源。
护坡。缓坡修筑水平梯田,发展林果基地;封坡育林育草，达到拦截涵蓄坡面径流的作用。
固沟。在主要沟道打坝建库,拦泥蓄水;在各支沟分段营造防护林,既固定了沟床，又拦截了坡面和上游的大量泥沙，稳定了坡脚。
经过几十年的治理,在生物措施、耕作措施和工程措施的综合作用下,南小河沟现在已经是塬面条田连片,沟坡林草茂密,沟底坝库相连,一般烡雨时水不下塬,泥不出沟,农、林、牧业得到全面发展。如今,这里的林草覆盖率已达 $84 \%$,被誉为“黄河中游的一块翡翠”。
如今,这里建有数字小流域系统,应用 GIS技术等现代信息化手段,全面收集小流域的相关信息,并建立相关信息连接与平台，在可视化状态下把小流域的地理信息、气象水文信息、土壤侵蚀信息、土地利用信息、水土流失综合防治信息及水土保持综合效益信息输入计算机，实现各类数据的有效存储与共享，并建立一套应用服务系统，从而为构建“土壤侵蚀预测预报模型”以及流域的管理与治理决策提供科学依据。
利用水库对黄河调水调沙是一种有效的工程措施，其中小浪底水利枢纽工程对遏止下游河道淤积具有重要作用。每年在黄河汛期到来之前,应用调水调沙的原理对上下游水库进行联动调度，同时调动上中游的水库向下游放水，在小浪底形成“人造洪峰”（图 4.9 )，提高下游行洪输沙能力，实现对黄河下游河床全线冲刷，将淤积的泥沙送人大海。
## 思考
黄河下游的冲淤平衡,对黄河入海口地区会产生什么影响?
小浪底工程从 2009 年竣工到 2015 年,累计将下游河道中 9.66亿吨淤沙送入大海,“地上河” 没有再长高,黄河下游基本保持冲淤平衡。
图 4.9 黄河小浪底水库放水调沙
## 活动
分析莱茵河流域水污染防控的措施
莱茵河是一条重要的国际河流（图 4.10 )。莱茵河不仅是沿岸上千万人的饮用水源和工农业用水的重要来源，还承担重要的航运任务,也接纳沿岸排放的生活和工农业污水，历史上曾一度变成“欧洲下水道”。但是流域内各国经过半个世纪的协调治理，已经成功地完成了莱茵河的污染防治（图4.11）。
图 4.10 莱茵河流域示意
20 世纪 40 年代后期，河流污染问题开始受到关注
1950 年，荷兰、德国、法国、卢森堡、瑞士成立莱茵河国际保护委员会 (简称ICPR)，共同处理莱茵河污染问题
1953 年，ICPR完成了莱茵河氯化物污染问题的调查，并开启氯化物治理协议的谈判，但末能达成共同协议
1976年,法国、德国、瑞士、荷兰等国签署了《莱茵河氯化物污染治理公约》
20 世纪 70 年代后期，莱茵河各国投人约 40 亿美元修建污水处理厂
1987 年,ICPR制订《莱茵河行动计划》,用先进的技术手段和严格的指标促进莱茵河污染的治理和生态系统的恢复
1990年，开发了“莱茵河预警模型”，对莱茵河水质进行实时监测，将莱茵河流域监测站点进行联网;并将监测与模型技术结合,模拟污染物运输和扩散，据此制订预警系统和应急方案
2000 年,《莱茵河行动计划》结束,点源污染物、生活废水和工业污水处理率的目标已经完成,甚至超额完成
图 4.1120 世纪下半叶莱茵河水污染防治的事件年表 1. 莱茵河流域内哪个国家最急于改善水质、治理污染?为什么?
2. 莱茵河氯化物污染调查的结果显示,法国、德国是污染排放的主要国家。根据“谁污染,谁治理”“谁受益，谁付费” 的基本原则，荷兰、德国、法国分别应承担什么责任?3. 指出莱茵河水污染防控中应用的行政手段、经济手段、技术手段。
## 黄河流域水资源的调配
径流量少是黄河又一突出的水文特征。黄河流域面积约是长江流域面积的 $40 \%$，但年径流量约是长江的 $1 / 15$。黄河流域人口、城乡较为密集,耕地数量多,径流量仅占全国河川径流量的 $2 \%$，但人口、生产总值、粮食产量均占全国总量的 $10 \%$ 左右，人水矛盾突出。
随着工农业发展和人口迅速增加，黄河流域对水资源的需求量也不断增加,而上下游缺少调控用水的措施,致使黄河下游自 1972 年出现断流现象（图 4.12)。黄河断流对沿岸地区工农业生产、城乡人民生活以及生态环境产生严重影响 (表4.1)。
20世纪90年代,黄河有9年发生断流,合计901天断流
图 4.12 20 世纪70-90年代黄河下游断流天数
| 空间范围 | 主要影响 |
| :---: | :---: |
| 主河道 | $\begin{array}{l}\text { - 河道萎缩,降低了行洪能力,增加了汛期决口的风险 } \\ \text { - 干涸河道演变为沙带,增加了土地沙化的可能性 }\end{array}$ |
| 河流沿岸 | $\begin{array}{l}\text { - 影响工业供水与城乡居民生活供水 } \\ \text { - 影响农田的灌溉用水,农田受旱面积增大 } \\ \text { - 水环境容量越来越小,加剧了黄河水污染 } \\ \text { - 沿岸大量开采地下水 }\end{array}$ |
| 河口三角洲及海域 | $\begin{array}{l}\text { - 海岸侵蚀后退,海水倒灌 } \\ \text { - 湿地生态系统退化,生物多样性减少 } \\ \text { - 渤海水域失去重要的值料来源，影响海洋生物的繁衍生存 }\end{array}$ |
1999年开始，黄河水利委员会被授权实施黄河水量的统一调度和分配。在扣除输沙水量 ( 210 亿米 $3 /$ 年) 的前提下，根据节约用水、统筹安排的原则，黄河水利委员会发布了黄河可供水量分配方案 (表4.2)，作为实施黄河水量调度的基本依据。2009年，黄河水利委员会制定了《黄河取水许可管理实施细则》,依据河流径流量和用水需求的变化,对全流域水资源的开发利用进行宏观控制和年度调整。
## 表 4.2 黄河可供水量分配方案
单位: $10^{8} \mathrm{~m}^{3}$
| 省级行政区 | 年可供水量 | 省级行政区 | 年可供水量 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 青海 | 14.1 | 陕西 | 38.0 |
| 四川 | 0.4 | 山西 | 43.1 |
| 甘肃 | 30.4 | 河南 | 55.4 |
| 宁夏 | 40.0 | 山东 | 70.0 |
| 内蒙古 | 58.6 | 河北、天津 | 20.0 |
此外,黄河流域节水水平大大提高。水资源统一调配体制的逐步建立和节水技术的推广应用，基本保证了在严重枯水年份黄河下游不断流。(i) 活动
对比分析黄河不同河段水资源的利用
黄河 2015 年总用水量中，农业用水 (农田濩溉和林木渔畜业用水）占79\%，工业用水占 $10 \%$，生活用水（包括瑊镇公共和居民生活用水）占 $7 \%$，生态用水占 $4 \%$。其中，兰州到头道拐、三门岟到花园口两河段 2015 年分别从黄河取水 153.03 亿立方米、22.99 亿立方米，用水结构如图4.13所示。
a. 兰州到头道拐
b. 三门峡到花园口农田灌溉
林木渔畜业用水
工业用水
生活用水
生态用水
图4.13 黄河两河段用水结构（2015 年)
1. 图 4.13 所示两河段的用水结构与全流域的相比，各有什么特点?2. 从提高黄河流域水资源利用效率的角度,提出改善水资源利用的建议。
## 资源跨区域调配
图4.14 南水北调中线起点一丹江口水库
2014 年 12 月 12 日,南水北调中线一期工程正式通水。汉江水从丹江口水库 ( 图 4.14) ) 出发,历经 15 天、1 432 千米的行程,于 12 月 27 日抵达中线工程终端北京团城湖,并通过自来水管网进入首都的千家万户。到 2017年国庆节时,南水北调中线工程输水达 100 亿立方米,沿线河南、河北、北京、天津四省、直辖市 5310 万人喝上了汉江水。为什么要建设南水北调工程?在我国,类似的资源跨区域调配工程还有哪些?
## 资源跨区域调配与区域发展
国家为了解决国内资源及其产品生产和消费的空间不匹配问题,实施资源的跨区域调配（图 4.15 )。一方面,自然资源的区域分布很不均匀，存在明显的资源富集区和贫乏区,自然资源产品的生产地具有一定的集中性;另一方面,区域间的发展水平不平衡,一些区域由于经济和人口的集聚,对自然资源的需求量大,也会出现严重的资源短缺。例如,我国华北地区人均水资源不足,但人口、城镇、耕地分布密集，南水北调中线工程有效缓解了华北地区水资源紧缺状况。
图4.15 资源跨区域调配模式示意
资源的跨区域调配对于区域发展具有重要影响。资源跨区域调配通过市场机制、行政指令和统筹规划，实现资源及产品在区域之间的空间位移，满足区域发展对自然资源的需求，以达到优化配置资源、资源利用效益最大化,实现区域的共同发展。实现跨区域配置资源的基本前提是区域之间存在互补性和可达性,需要交通运输等基础设施的建设和政策作为保障条件,需要在具有更高资源调配权力的区域中实现。资源调配除了将资源优势转换为经济效益，在资源开发、调运的过程中，还会对社会、生态环境造成影响,需要兼顾多方效益。
我国建设的大型资源跨区域调配工程有南水北调、西气东输、北煤南运、西电东送等。西气东输工程自西北至东南沿海,线路长,对沿线地区以及全国的发展和生态环境改善具有重要作用。
## 实施西气东输的原因
西气东输工程是我国西部大开发的标志性工程,于 2002 年正式开工建设。该工程以新疆生产及中亚进口的天然气资源为来源,以长江三角洲、珠江三角洲等东南沿海地区作为天然气的主要输送目的地及消费地,建设从新彊至上海、广州、香港等地的输气管道（图 4.16 )。
西气东输工程包括天然气开发建设、输气管道建设和用户管网建设三个部分,分四条线路。一线工程主干线西起新疆塔里木盆地的轮南油气田,东至上海,年输气量 120 亿立方米。二、三线工程主干线西起新疆霍尔果斯口岸,向西与中亚天然气管道相连,南至广州,东至福州,年输气量均为 300 亿立方米。四线工程主于线西起新疆伊宁，止于宁夏中卫，计划年输气量300亿立方米。
图4.16 西气东输工程线路示意
我国实施西气东输的原因是多方面的。
- 能源资源生产和消费的地区差异大能源资源是区域发展不可或缺的重要资源。我国区域能源资源赋存量与区域发展很不匹配,其中，东部沿海地区与中西部地区的能源生产与能源消费量存在显著差异（图 4.17 )。东部沿海地区经济发达,对能源的需求量大,但能源相对贫乏,使经济优势得不到充分发挥。西部地区主要受经济水平的限制，丰富的能源得不到充分开发利用。
图4.17 我国东部、中部和西部能源生产、消费占全国的比例（2015 年）
从 1980 年到 2020 年，我国能源消费结构变化有什么样的特征?- 调整能源消费结构长期以来，在我国的能源消费结构中，煤炭一直占到 $60 \%$ 以上（图 4.18)。大量使用煤炭作为能源,带来一系列环境问题。煤炭燃烧排人大气的粉尘是大气中可吸人颗粒物的主要来源之一，导致大气污染。燃煤排人大气的大量二氧化硫、二氧化碳,是造成酸雨以及全球变暖的重要原因。另外,运量巨大的北煤南运给我国的铁路和公路运输造成了很大压力。可是,在矿物能源中具有清洁优势的天然气,在我国能源消费结构中仅占 $3 \%-6 \%$。从可持续发展角度看，为实现经济和环境的同步发展,我国必须调整能源消费结构,提高天然气等清洁能源的消费比重（图4.19）。
图 4.18 1980-2020年我国能源消费结构
## 清洁
使用方便
燃烧效率高
比较价格低
开采、储运难度大
技术要求高
投资大、回收周期长
图 4.19 煤炭和天然气作为能源的特点比较 - 西部是我国油气资源末来开发的战略重点之一我国陆上天然气资源分布的总体特征是西多东少、北多南少，陆上天然气主要集中分布在西部的新疆 (塔里木盆地、准噶尔盆地)、青海 (柴达木盆地）、川渝 ( 四川盆地) 和陕甘宁的鄂尔多斯四大气区。20 世纪 80 年代,我国实施了“稳定东部,发展西部” 的油气发展战略,西部地区作为我国油气工业新的战略接替区,油气勘探、开发取得了一系列重要进展。在“一带一路” 建设中,我国倡导形成亚欧非之间的能源互联互通大格局,西部是油气进口的重要通道。
## 活动
分析新疆天然气资源的开发条件
新疆的能源资源非常丰富,仅塔里木分地的天然气就占全国天然气总资源量的近 $1 / 4$。但是,21 世纪之前新疆丰富的天然气资源长期得不到充分开发。
1. 分析自然条件对新疆天然气开发的影响。2. 结合天然气开发利用的特点 (图4.19),讨论新疆经济实力、技术力量、能源消费需求等社会经济条件对天然气开发的影响。
## 西气东输对区域发展的影响
自然资源的跨区域调配，对于调出区、调人区及沿线区域的经济、社会、生态环境等方面影响深远。
- 对西部地区的影响西气东输把西部地区的资源优势转变成经济效益,使之成为新的经济增长点 (图 4.20)。西气东输工程的起点在西部地区,气田勘探开发投资的全部、管道投资的 $3 / 4$ 都在中西部地区，大量投资推动中西部地区天然气勘探开发和管道等基础设施建设,增加了就业机会,并强力拉动相关产业的发展。为了最大限度地减少对调出区及沿线地区生态环境的影响,西气东输工程在建设过程中,严格遵循环境保护的要求。- 对东部地区的影响通过管道输送的天然气,稳定可靠,从而缓解东部地区的能源紧缺状况，优化东部地区能源的消费结构 (图 4.20 )。西气东输不仅能缓解东部地区因能源供应不充足而引起的停工停产,而且能发挥东部地区的经济、技术优势,推动天然气化工、发电等产业的发展,以及用户管网等基础设施建设,促进东部地区的经济发展。另外,天然气可以部分替代煤炭,有利于改善东部地区的大气质量。
你认为是否应该提高天然气的价格，以促进西部发展?
通过西气东输输送到上海的天然气,价格只相当于进口天然气的 $3 / 4$、同等热值煤气的 $2 / 3$。
|图4.20 西气东输对资源调出区和调人区的影响
- 促进区域协调发展从区域整体性角度看，西气东输有利于加强区际联系,促进区域协调发展 (图4.21)。西气东输将西部地区的资源优势与东部地区的经济、技术优势统筹配置,缓解了东西部地区能源产销与经济发展的矛盾,提高了资源的整体利用效率，对东西部地区的协调发展、共同富裕起到促进作用。西气东输工程不仅是建设一条输气管道,而且为沿途各省级行政区的发展创造了良好的契机，激活了沿线地区的钢铁、建筑、建材等产业的发展潜力。
图4.21 西气东输的区域协调效应 (i) 活动
## 分析澳大利亚雪山调水工程对区域的影响
发源于澳大利亚东南部大分水岭的墨累河是澳大利亚的主要河流,其流域是澳大利亚重要的农业区。全流域年平均降水量仅为 425 事米。由于自然原因,墨累河流域的土壤中、河水里富含盐分，有的河水的盐度甚至高于海水的盐度。
1949年，澳大利亚开始兴建雪山调水工程，于 1974 年完工。该工程位于澳大利亚大陆东南部，在大分水岭东部雪河流域建库蓄水，再通过隧道将东部的水引至西部墨累河流域，在调水沿途利用落差发电（图4.22）。
图 4.22 澳大利亚雪山调水工程示意
1. 分析澳大利亚大分水岭东西两侧的降水差异及形成原因。2. 说明澳大利亚修建雪山调水工程的原因。3. 讨论雪山调水工程对于墨累河流域的城市供水和供电、农牧业发展、生态环境带来的影响。第三节
## 产业转移
## 影响产业转移的因素
企业为了降低生产成本、获得更多的收益和利润,通过对外直接投资建厂等方式,实现生产地转移。产业转移是企业将产品生产的部分或全部由原生产地转移到其他地区的经济现象,通常是由相对发达的区域向欠发达区域转移。产业转移包括产业转出区和产业承接区。发生在一国之内的产业转移称为国内产业转移,跨国的产
业转移称为国际产业转移。
影响产业转移的因素很多,其中劳动力、市场和政策是影响产业转移的三个主要因素。
- 劳动力一般情况下,劳动力在国际范围的流动性较小，而且不同国家或地区,劳动力的数量、质量和价格差异较大 (图 4.24)。在其他条件相同的情况下,具有充足、高素质
图4.24 不同国家制造业每小时人工成本差异且工资低廉的劳动力资源的国家或地区,往往成为产业转移的目的地,如菲律宾。由于劳动力价格会随着地区经济的发展不断提高,因此产业会不断向劳动力价格较低的地区转移,导致产业布局在空间上的变化。例如,制鞋业是典型的劳动密集型产业,其生产地因劳动力价格提升而不断向劳动力价格低的地区转移。
- 市场因为产品的国内市场趋于饱和，或者国内市场满足不了其发展壮大的需要,企业就会开辟国际市场。由于政治、经济、文化等方面的差异,以及国家政策的不同，一个国家的产品销往另一个国家往往受到多方面的限制。企业为了避开跨国销售所面临的各种限制,就直接在市场广阔的国家或地区投资建厂。例如,日本、韩国以及欧美的汽车制造企业到我国兴办汽车厂,主要是因为我国拥有庞大的汽车消费市场（图4.25、图4.26）。
图4.25 我国汽车销售量的增长
图 4.26 我国和部分国家的乘用车普及率 (2015 年)
市场也是不断变化的,因此产业承接地也会发生变化。例如,20 世纪 90 年代以前,欧洲西部、北美是日本产品的主要消费市场;20 世纪末,欧洲西部、北美经济不振,市场疲软,东亚和东南亚因经济增长强劲、市场需求大而成为日本产品的主要消费市场,并成为日本企业的主要投资区。
- 政策政策因素在产业转移中起着重要的调节作用。对于产业转出地来说,政府可以通过间接干预的方式调节市场机制,也可以通过项目审批、价格管制、紧缩信贷等方式迫使一些落后产业向外转移。对于产业承接地来说,政府可以通过优惠的土地、税收、区域补贴政策，以及改善公共基础设施、提升政府服务水平等来吸引企业进驻,以降低产业的生产成本,提高经济效益。例如,近些年,受政策因素推动,我国制鞋业等劳动密集型产业的近百家企业在埃塞俄比亚开展业务（图 4.27和图 4.28 )。
图4.27 埃塞俄比亚位置示意
1. 为什么我国在埃塞俄比亚建厂的企业多为制鞋等企业?2. 为什么新建工厂主要分布在亚吉铁路沿线?3. 我国企业去埃塞俄比亚建厂主要受哪此政策因素的影响?
图4.28 我国在埃塞俄比亚兴建的制鞋企业车间
欧美等国对产自我国的许多工业产品征收关税并采取限量措施,而对来自非洲国家生产的工业产品则免关税且无限量措施。近年来,我国面向欧美的制鞋等企业，在埃塞俄比亚开放和推进工业化政策吸引下，相继来到埃塞俄比亚投资办厂。所建工厂主要分布在亚吉铁路（亚的斯亚贝巴一吉布提）沿线。
影响产业转移的因素还有很多。国际经济形势的变化、原生产区地价昂贵、原材料短缺及运输成本增加等，都会促使企业进行产业转移。产业转移往往是多种因素综合作用的结果，但主导因素因产业类型而异。
20 世纪60年代以来，东亚、东南亚的经浏发展迅速，是国际产业转移极为活跃的地区之一。
## 东亚、东南亚的产业转移
第二次世界大战后,日本大量引进美国先进技术和设备发展轻纺工业，推动了经济发展。
自 20 世纪 60 年代,日本开始向国外转移产业,推动东亚、东南亚持续、大规模的产业转移（图 4.29)。
图 4.29 东亚、东南亚产业转移目的地的变化
20 世纪 60 年代，已经成为世界制造大国的日本将纺织等工业逐渐转移到劳动力素质和成本具有较大优势的韩国、新加坡等国家,以及中国台湾地区、中国香港地区。20世纪 70 年代,为了应对世界石油危机的冲击和世界性的经济危机，日本进一步将钢铁、化工和造船等产业转移至东亚、东南亚的上述国家和地区。
20 世纪 80 年代开始,日本、韩国、新加坡等国家,以及中国台湾、中国香港等地区都致力于发展技术密集型产业,家电、服装、汽车、电子等产业需要向外转移。此时,中国东部沿海地区凭借对外开放的优惠政策、充足的劳动力、广阔的市场等优势,吸引了大量的境外投资。同时，抓住这次国际产业转移机会的还有泰国、马来西亚、菲律宾、印度尼西亚等国。
21 世纪以来，更具有劳动力优势的中国中西部地区，以及越南、柬埔寨、老挝、缅甸等东南亚国家，成为服装、制鞋、家电等产业转移的新的承接地。
随着科技的发展,转移的产业除了传统的劳动密集型产业外,还包括汽车、电子等在内的已经实现技术标准化的资本密集型和部分技术密集型产业。
## 东亚、东南亚产业转移对区域发展的影响
世界各国的经济、科技水平存在很大的差异，创新和新产业往往在少数国家最先发生;在国家内部,经济增长、科技创新往往率先从某个区域发生。通过产业转移,可以把某产业从创新地逐渐扩散到其他地区,从而带动整个地区的经济发展。由日本向其他国家和地区逐级、分阶段的产业转移,推动了东亚地区半个多世纪的经济快速增长。
- 促进区域产业结构调整对于产业转出的国家或地区而言,原产业向外转移,可使区域内的生产要素集中到新的主导产业,为产业结构顺利调整创造条件。日本自第二次世界大战后,已经经历了三次工业结构调整。每次工业结构调整,主导产业和重点发展的工业部门发生转换,同时伴随着原来重点发展的工业部门向国外转移 (图4.30)。对于发展中国家或地区而言，承接发达国家的产业转移,可以加快本国或地区的经济结构调整,缩短产业升级的时间,从而加快工业化的进程。例如,韩国从 1973 年开始重点发展重化工业,至 20 世纪 80 年代初,已基本形成以重化工为主的工业结构,比发达国家同样工业化过程所用的时间大大缩短。
## 第一次转移第二次转移 $\quad$ 第三次转移
图4.30 日本通过产业废旧建新实现产业结构调整
- 促进区域产业分工与合作国际产业转移使不同经济发展水平的国家或地区根据自己的优势条件选择发展相应的产业，从而促进国际产业分工和合作。产业转移还通过企业把转移国和承接国对同一产品的生产活动联系起来 (图4.31),形成产品生产过程的分工与合作。
在同一产品的价值构成中,设计、营销环节占比较高,加工环节占比较低。在国际产业转移中,发达国家一般只将产品的加工环节转移至发展中国家。
图 4.31 产品生产环节的价值链
图 4.3220 世纪 90 年代以来日本失业率的升高 - 改变劳动力就业的空间分布伴随产业转移,就业机会也由转出地向承接地转移。如果一个国家的产业大量向国外转移,减少国内的就业机会,常常引起失业人口的增加。例如,20 世纪 90 年代日本产业大规模向外转移,导致失业率不断升高 (图 4.32)。对于像我国这样的发展中国家，劳动力丰富,大量吸收国际产业转移有助于缓解就业压力。
## 活动
## 分析棉纺织工业转移对区域发展的影响
由于粮棉争地的矛盾,我国从 20 世纪 90 年代开始采取限制东中部主要棉花产区发展的政策,并针对纺织业提出了“东锭西移”。目前新疆是我国最大的产棉基地,2016 年，棉花产量达 359.4 万吨,占全国棉花总产量的 $68 \%$ 左右。近年来,新疆棉纺纱锭的产能增长迅速,但在新疆本地转化为棉布的比例很低。2016年,新疆产布 1.76 亿米,仅占全国布匹产量的 $0.2 \%$。棉纺织产业链包括棉花种植、纺纱、织布、印染、服装加工等环节。
2014 年 7 月以来,新疆连续出台多个文件,如《发展纺织服装产业带动就业规划纲要 (2014-2023 年)》,以促进纺织、服装产业的发展,并且布局了多个纺织城或工业区。另外,“一带一路” 建设有助于打通新疆与周边国家贸易往来的通道。1. 分析新疆承接东部棉纺织业转移的有利条件。
2. 说出“东锭西移” 对东部地区经济发展的有利影响。3. 新疆大力发展棉纺织业，会面临哪些困难?请你试着提出有效的解决方案。
产业转移的规律
在经济全球化背景下,产业转移在全球范围内广泛且频繁地进行着。研究人员试图从复杂的产业转移现象中，剖析产业转移发生的原因和规律。
研究发现，由于技术创新等原因，一种新的产业在某一经济较为发达的区域形成并发展。当技术成熟，生产要素也发生变化时,该区域生产这一产业产品的竞争力转弱，便将其生产环节转移到经济相对落后的区域，自身的产业结构则升级到另一个新的层次。随着时间的推移，这一产业便在不同区域间进行梯度转移。产业的这种梯度转移，就像空中飞行的雁群所呈现的形态，因而被形象地称为雁行理论。第二次世界大战以后,东亚、东南亚的产业转移成为雁行理论的生动例证：日本是头雁,其后是新加坡和韩国,以及中国台湾、中国香港，再后面是印度尼西亚、马来西亚、菲律宾、泰国等国家和中国东部沿海地区。
雁行理论反映了产业转移的规律：区域间经济发展水平存在梯度差异，产业一般依次从经济较发达区域向经济较落后的区域转移;伴随产业转移,同一区域的产业存在从劳动密集型产业向资本密集型、技术密集型产业优化升级的过程;产业转移区域之间，往往存在空间相近的特点。
## 第四节
国际合作
图 4.33 东日本大地震引发的海啸 2010 年，日本半导体生产设备占世界市场的份额达 $37 \%$,半导体材料占世界市场的份额达66\%。2011年 3 月 11 日，东日本大地震及引发的海啸导致日本半导体设备与半导体材料的生产和供应暂时停滞 (图4.33)，直接影响北美、欧洲西部、东亚等地区的半导体生产网络，间接导致一些手机、计算机、数字家电和汽车等生产厂临时停产,最终影响世界多个国家和地区的经济活动和日常生活。为什么日本地震会影响这么多地区的生产活动?
## 经济全球化与国际合作
经济全球化可以理解为跨国界的经济活动驱使各国经济相互依赖程度不断加深的过程。它主要表现为商品、服务、生产要素和信息跨国流动的规模与形式的不断扩大与增加，通过国际分工和跨国投资，世界范围内的资源配置效率不断提高。在生产领域,生产组装可以在全球范围内寻找最优区位,零部件可以全球采购,由此形成全球生产网络。例如,2016年,某品牌手机在美国研发,$80 \%$ 的零部件来自日本、韩国、美国、新加坡等国家,以及中国台湾地区，在中国组装,$70 \%$ 以上产品销往世界各地。
随着经济全球化程度的不断加深,世界各国之间形成了新的劳动地域分工。发达国家逐渐转向金融产业和高科技产业,一小部分发展中国家崛起为制造业大国 (如中国),相当一部分发展中国家主要从事原材料生产和初级产品加工。由此,世界经济从相对简明的“二元结构” 转变为高度复杂的“三元结构” ( 图 4.34)。
## 中间层
新兴经济体生产制造
制成品
制成品原材料
核心
金融、高科技
边缘
欠发达经济体
原材料
原材料
过去，世界经济基本呈现由发达国家和发展中国家组成的“核心一边缘”二元结构（左）。随着中国、印度等新兴经济体的崛起，新兴经济体已成为世界重要的经济力量,世界经济转变为“核心 (消费国) 一中间层 (生产国) 一边缘 （资源国）”三元结构（右）。
图4.34 世界经济的“二元结构”和“三元结构” 示意
由于全球生产网络的形成,世界已经出现“你中有我,我中有你” 的密切劳动分工格局,很少有国家可以离开其他国家而独自生存。由于日本在半导体产业中所占比例较大,东日本大地震不仅影响全球的半导体生产,还影响全球相关重要产业的生产 ( 图 4.35)。这表明,世界各国之间只有加强合作,才能推动世界经济的可持续增长。
下游应用
图4.35 半导体产业链及其下游应用产业自 2008 年全球金融危机爆发以来，世界经济增长持续低迷,贸易增长缓慢，各种不稳定事件频出，如英国脱离欧盟、美国实施贸易保护政策，世界对经济全球化质疑的声音逐步增强。可以说，经济全球化已经走到了“十字路口”,何去何从对于世界经济的可持续发展至关重要。在此大背景下,“一带一路”建设作为新型国际合作大平台应运而生，对于推动和深化国际合作，构建人类命运共同体具有重要意义 ( 图4.36)。
图4.36 2019年第二届“一带一路”国际合作高峰论坛
- 打造新型国际合作模式“一带一路”建设顺应和平、发展、合作、共赢的时代潮流,聚焦全球发展面临的核心挑战,秉持“和平合作、开放包容、互学互鉴、互利共赢” 的丝路精神，全方位推进务实合作，在致力于维护全球自由贸易体系和开放型世界经济的同时，更加倡导包容性发展。- 推动新型国际关系建设“一带一路”建设坚持“共商、共建、共享” 的原则,突出共同发展、共同繁荣，倡导所有国家不分大小、强弱、贫富,一律平等,体现了全新的国际合作观念。- 开拓国家间深化合作的新空间“一带一路”建设聚焦发展这一根本性问题，倡导政府间合作和政策沟通，突出基础设施互联互通，强化各国间相互贸易和投资，完善金融合作机制和保障体系，推动各国人民友好往来，致力于实现经济融合、发展联动及成果共享 (图4.37)。瓜达尔港的发展和自由区建设是“一带一路”中巴经济走廊的重要组成部分。瓜达尔港自由区是由中国承建的，目标是将其打造成巴基斯坦国际商贸物流中心、中巴产业对接互补平台。
■图4.37 建设中的瓜达尔港
- 提供国家间深化合作的文化驱动力“一带一路” 建设尊崇“和而不同” 的文化价值观，强调在维护文化多元性的基础上共谋发展、共求繁荣、共享和平。所谓“和而不同” 就是平等对待、互学互鉴,以及多样性与统一性的共存。- 促进相关国家的共同繁荣“一带一路”建设通过加强国际经贸合作，既可提升我国自身发展动力，也可让相关国家搭乘中国发展的快车和便车，加快发展，得到实质性好处。我国作为世界最大的消费市场，拥有巨大的购买力,这为世界各国提供了巨大的商机 (图4.38)。同时,相关国家的经济发展和收人水平提高，也将创造新的巨大市场，有利于我国的商品出口和经济持续增长。
图4.38 格鲁吉亚传统陶罐酿酒场景格鲁吉亚是世界蒲萄酒发源地之一,莆萄酒对于格鲁吉亚人就像茶对于中国人一样重要。格鲁吉亚人用一种深埋在地下的大陶罐来发酵莆萄和㕸存葡萄酒，这种缼罐酿酒工艺已被评为世界非物质文化遗产。随着“一带一路” 建设的推进,格鲁吉亚葡萄酒大量进入中国市场。
## 活动
## 分析“渝新欧” 班列与国际合作
2011 年，首趟“中欧班列”——“渝新欧”班列从重庆出发，经西安、兰州、乌鲁木齐等城市，向西经过哈萨克斯坦、俄罗斯、白俄罗斯、波兰、德国等国家，终点是德国杜伊斯堡,全长 11000 多千米,全程仅需 2 周,较海运缩短近 30 天,价格仅为空运的 $1 / 5$ (图4.39)。
图 4.39“渝新欧”班列运行线路
重庆是全球最大的笔记本电脑生产基地,占世界笔记本电脑产量的 $1 / 3$。为了把数量庞大的笔记本电脑运到欧洲,设想通过火车运输,但是有太多的困难摆在面前：线路所经过的国家的运价和通关问题、货物检验和检疫问题、运输的安全保障问题、技术标准问题、沿线冬季气温差异大问题 ……
通过多国协商谈判，“渝新欧” 班列最终确立了“五定”班列开行模式（定站点、定线路、定车次、定时间、定价格),实现统一运单，一次报关、一次查验、全程放行，全程安全监控和冬季常态运输。
如今,“渝新欧”班列已实现常态化运行,从重庆将笔记本电脑、服装鞋帽、机电设备输送到欧洲,再从欧洲载着名牌汽车、牛奶、红酒等回到中国。
1. 说明重庆积极推动“渝新欧” 班列开通的原因。2.“渝新欧” 班列经过哪些国家?有几次换轨?3. 举例说明“渝新欧” 班列开通需要哪些方面的国际合作,为什么?3. 举例说明“渝新欧” 班列开通对沿线国家的意义。
## 4. 本章要点
1. 流域内的水资源具有功能多样和开放共享的特点,需要进行协作,开发水资源。2. 流域的整体性强、关联度高,需要综合运用工程技术措施和行政、法律、市场等手段,对流域进行统筹管理。3. 国家为了解决国内资源及其产品生产和消费的空间不匹配问题,实施资源的跨区域调配。4. 资源的跨区域调配可以满足区域发展对自然资源的需求,以达到优化配置资源、资源利用效益最大化,实现区域的共同发展。5. 企业转移生产地的目的是降低生产成本,获得更多的收益和利润。6. 劳动力、市场、政策是影响产业转移的三个主要因素。7. 产业转移可以促进区域产业结构调整、产业分工与合作、改变劳动力就业的空间分布。8. 经济全球化可以理解为跨国界的经济活动趋使各国经济相互依赖程度不断加深的过程。9. 随着经济全球化程度的不断加深,世界各国之间形成了新的劳动地域分工和全球生产网络。10.“一带一路” 建设有利于打造新型国际合作模式、推动新型国际关系建设、开拓国家间深化合作的新空间、提供国家间深化合作的文化驱动力、促进相关国家的共同繁荣。
## 问题研究
## 该不该引藏水入疆
新疆光热条件好,土地资源和矿产资源丰富，但水资源严重不足；西藏水资源丰富,但用水量较少。多年来,很多人憧憬从西藏向新疆引水,甚至有人构想了藏水人疆的引水路线。但是,在憧憬的同时,人们也在思考藏水人疆可能带来的负面影响。那么,该不该引藏水人疆呢?
针对这一问题的探究，建议采用以下思路。
知识拓展
图 4.40 藏水人疆引水路线构想示意
## 资料 1 构想引水路线
如果引藏水人疆，需要从西南地区的雅鲁藏布江、怒江、澜沧江等河段取水，输水到新疆（图4.40）。图示路线是构想的一条引水路线。
## 资料分析
1. 可以选择最短的穿越青藏高原的路线吗?2. 该条调水路线联通哪些主要河流?经过哪些主要地貌单元及省级行政区?3. 调水工程的修建,对新疆的环境和发展有什么好处?
## 资料 2 藏水入疆引水工程的潜在问题
藏水人疆引水工程可能会存在一些潜在问题。下面列出的是专家的部分质疑和担忧。
- 中国地形的第一阶梯和第二阶梯的过渡带有多条断裂带，属于地质灾害多发区，大型水利工程会诱发地质灾害。- 沿线穿越我国生态脆弱区和重点保护区，流经多个流域，跨越多个自然景观带，对生态环境产生的影响不可忽视。- 新疆蒸发能力强、降水量少，一旦排水不畅，很容易出现土地盐渍化问题。
## 资料分析
1. 归纳材料提出的藏水入疆引水工程的潜在问题
2. 除上述问题外，藏水入疆引水工程还可能面临哪些难题?
## 问题探讨
假设藏水人疆引水工程的技术问题和资金问题都能解决，从政治、经济等方面，讨论该不该引藏水人疆。
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## 第一单元点线面
## 第1课 绘画的诞生 (落笔)
## 观察与思考
你知道涂鸦艺术吗?它是涂鸦画家用能形成雾状色点的罐装喷漆绘制的。你能在生活中找到其他应用类似原理形成画面的工艺吗?
中华民族拥有独特的绘画传统。我们的祖先用智慧与技艺为我们留下了宝贵财富一甲骨文。甲骨文与绘画有着天然的血缘关系,看似简单的勾勒与描绘融汇了祖先造字的伟大智慧。除了中华民族的象形文字,世界各大洲几乎都有象形文字出现。为什么图形能成为人类记录与表意的最初工具?你思考过这种巧合意味着什么吗?
王为般卜”龟甲刻辞 (甲骨文 ) 长 18.6 厘米宽 10.2 厘米 [商代] 河南省安阳市殷墟出土中国国家博物馆藏基本问题
古今中外，人类对点、线、面的使用贯穿于绘画的始终。当我们开始深入地接触绘画,我们该如何认识点、线、面?它们之间存在何种关系呢?
## 情境导入
假设一张白纸是一个宇宙,它处在大爆炸之前的状态,一切都是末知。现在,拿起你的笔,试着在上面留下你的第一个印迹 …… . 于$ 是,一个新的世界诞生了：这张白纸有了某种意义。
一切都开始于你的笔尖与这张纸接触的那一瞬间那个点就是绘画世界最基本的元素,更多的点连在一起成了线，更多的线形成了面，更多的面形成了体……神奇吧！那么，我们可以用它们做什么呢?
纳斯卡线蜘蛛图案
约公元前 100-公元 700年 ［秘鲁］
秘鲁纳斯卡地区的神秘地画被称为纳斯卡线。这些古老的图案已存在了约两千年,它们分布在广袞无垠的荒原上,,有的图案直径超过数百米。一在不考虑绘制目的与技术条件限制的前提下,单以绘画艺术的标淮衡量,它们也是艺术史中不可多得的珍品。
## 线的重要性
线在绘画中扮演了极其重要的角色一界定物象的边缘。与抽象概念中的线不同的是,绘画中的线作为一种表现途径，具有丰富的表现形式。
$仓$ 朝元仙仗图（局部中国画）［北宋］武宗元
《朝元仙仗图》是北宋武宗元绘制的卷轴画。画家从头至尾只以线条描画,通过线条的粗细、疏密、浓淡之变化,将画中人物的体量、动态及服饰等的质感描绘得惟妙惟肖,可见线条在绘画中的非凡表现能力。
长城 $($ 二)(纸本设色) 97 厘米 $\times 180$ 厘米 1986年吴冠中选自《吴冠中全集
## 相关链接
中国线描注重节奏和韵律的表现，既表现物象外观，也表现内部运动,追求的是“一种建筑的形式美,音乐的节奏美,舞蹈的姿态美”。(见宗白华著《美学散步》)
骆驼 (线描)
巴勃罗・毕加索 ［西班牙］
毕加索用一根线条勾勒的骆驼线描作品。
## 从简单做起
线条在画面上切割、分隔、交叉、圈围……经过系统地组合，可以表现出令人惊叹的效果。让我们从久远的过去开始,通过先辈们划下的痕迹，思考他们如何使用线条表现世界。
中国绘画充分体现了中华民族灵活、变通的思维特征。点、线、面的呈现在毛笔、水墨等的综合运用下变化无穷。
线条并不一定要规规整整、有条不紊,挥洒自如的线条会交织出独具一格的形象。
## 对比与交流
线的特性是什么?它有哪些规律?对比中外艺术家运用线条创作的美术作品，谈一谈两者在线条使用上的异同。
## 学习经典
《大闹天宫 (上、下集)》是上海美术电影制片厂于1961一 1964 年制作的一部彩色动画长片。它作为中国动画片的经典影响了几代人，是中国动画史上的丰碑之作。它是根据《西游记》原著前七回改编而成的,讲述了小说中一段脍多人口的神话故事,将孙悟空这个具有猴的特征、神的威力、人的感情的中国式的神话英雄,生动地再现于银幕,并借助别出心裁的艺术构思和表现手法,使作品的思想性和艺术性得到了完美呈现。《大闹天宫》作为张光宇的收官之作,为中国动画片赢得了国际声誉,直到今天也依然生动感人。作为动画形象主创的张光宇是第一个创造出最经典的桃心脸孙悟空形象的人，该形象也成为之后众多动画片中孙悟空形象创作的范本。
## 拓展学习
下图是张光宇为《大闹天宫》设计的美猴王形象手稿,请学习其表现手法,然后以线描的形式临摹这幅作品,体会画家是如何运用线条表现形象的。
《大闹天宫》设计手稿张光宇
## 创意表达
如果以点、线、面的视角观察世界,你会发现它们无处不在：黑板边的粉笔头、地板与墙壁的交接线、眼前平整的桌面 ……$ 寻找生活中点、线、面的踪影，以它们为元素,创作一幅绘画作品，表现内容不限。
技法点击 (线描徒手画)
工具和材料: 铅笔、橡皮、白纸。
1.认真观察静物，并构思画面的构图及细节取舍。可从主体物画起，用线条表现其造型特点。
4.丰富画面细节，进行深人表现。
2.围绕画面主体物，将其他物体形象依次画出来，应注意它们之间的位置关系及大小对比。
5.完成作品：画出布褶和背景图案，使画面更完整。(刘洋绘 )
3.绘画过程中应始终关注画面构图的平衡和线条的疏密关系
学生作业
## 第2课 神来之笔 (幻想与偶然)
## 思考与交流
你曾经有过因看到某物而产生了奇思妙想的经历吗?例如，一个偶然的幻觉 ……$ 回想一下，与大家分享你所想象的情景细节。
## 基本问题
点、线、面的概念看似简单,表现形式却灵活多变,这使得绘画实践过程充满了幻想性与偶然性,这是绘画的情趣所在,既是人类创造性的体现,也是绘画的宝贵价值所在。我们该如何判断绘画中的这种幻想性与偶然性?又该如何利用它们呢?
## 情境导入
你或许经历过这样的情景: 当你看着浮在半空的一朵云时,奇异的想象会不知不觉地浮现,让它看起来和你熟知的某样物品异常相似;当你偶然发现书上一处.墨迹好似一张人的面孔时,会促使你拿起画笔为它添上五官和头发,甚至更进一步画出它的身体并在周围描绘一个有故事的场景。为什么?这与人理解、组织图像的思维密切相关。人类的大脑会将图像信息拆解、归类、压缩并储存,当图像之间的某些点、线、面元素偶然相似时,联想或幻想便产生了。由此,画家得以通过绘画展现全新的视觉情趣与价值。
## 自由的想象
绘画为人类保留了形象的历史,为我们呈现了文字与音乐所不能承载的直观内容。但是,如果绘画仅用于记录就不能称为绘画了。它的魅力有很大一部分来源于人的想象。想象是人在头脑里对已储存的形象因视觉或概念因素的相似或吻合而重新加工改造,形成新形象的思维过程。艺术家头脑中闪现的灵感使我们的审美体验变得更为丰富。
九龙图 (局部中国画)
［南宋 ] 陈容美国波士顿美术馆藏
龙是中华文化中颇具代表性的形象，它凝聚了世世代代中国人对于中华大地与中华民族的想象,其形象也随着时代的变迁被不断地重塑，在不同的年代散发着不同的精神气息，并已经融人了中国人的文化基因之中。南宋画家陈容的代表作《九龙图》被许多画龙的艺术家视为典范,在日本关于龙的绘画中也可以看到它的影响。
## 知识链接
中国画的“气韵生动” 区别于西方艺术中的表现说，它涉及宇宙观、人生观，也涉及艺术本体观念、形式因素等,充分体现了中国传统艺术的美学特征。它要求艺术既深入物象本质,又以想象去感悟并捕捉画面自身生命力的律动。
## 思考与交流
幻想因素在绘画创作中有何作用?绘画的审美价值是如何体现的?思考并与大家分享你的想法。
春 (油画) 150 厘米 $\times 120$ 厘米
1573 年朱塞佩・阿尔钦博托 ［意大利］
法国巴黎卢浮宫博物馆藏
画家创造性地使用各种植物形象组成人像,以表现各季节不同的特征,丰富的画面组织与想象力将各个有着吻合形象的元素合理地安排在一起,不失为对想象绘画的经典诠释。大自然的画卷
对一位画家而言,无论他的想象力有多丰富,他的启蒙老师都是大自然。自然界的景观千姿百态,处处都是画。它的无心之作一方面启发着我们对偶然痕迹与韵律的理解,另一方面呼应着我们内心深处的理想图像及其组织状态。
冰岛火山河航拍图（摄影）
丹霞地貌（摄影） 甘肃省张掖市
## 偶然的火花
有绘画经验的人都会同意,有时一次随意的挥笔会成为一幅画中的亮点。这种偶然的火花受到了一批现当代艺术家的重视，并将这种宝贵的直觉尽可能地应用在他们的作品中。这些作品为我们打开了一扇新的窗户，使观众得以一䆕绘画艺术中这一隐藏于幕后却又无比重要的特性一偶然性。
$\odot 23.3 .68$ (油画) 89 厘米 $\times 130$ 厘米 1968年赵无极 [法国 ] (选自雷马利著《赵无极》画集)
赵无极的绘画作品将中国泼墨山水画的意境与西方表现主义的绘画方式相结合,向观众呈现了别具魅力的艺术风格,令人产生一种全新的审美体验。中国画所使用的毛笔、墨汁和宣纸等工具和材料,天然会形成很多偶然效果。要想把笔、墨、纸、砚使用得得心应手，画家必须洞悉绘画技巧并参与到创造画面偶然痕迹的整个过程中。虽然今天我们在日常生活中已经很少使用毛笔,但这种人与自然相呼应、相协调的状态还是渗透在我们的思想与日常行为中。
如今的画家思维活跃,探索大胆,他们向难以琢磨的想象与可遇不可求的偶然性张开怀抱，充分满足了自我表达的渴望,也丰富了绘画世界，开拓了更多可供画家与观众探索的领域。
## 学习经典
华裔法国艺术家朱德群即便使用油画颜料也依然表现出对画面中偶然效果的灵巧把握。作品描绘的是欧洲之颠阿尔卑斯山的雪景,以东方绘画的写意精神见胜。作品中写实的细节被大幅度地删减,取而代之的是率性的笔触与色彩的自由挥酒艺术家使用了抽象画家常用的滴、流、点、洒、涂、抺等绘画技法,丰富了画面的质感与层次,作品中随处可见偶然间形成的画面效果，极大地提升了作品的表现力。
圣雪颂 （油画） 161 厘米 $\times 129.5$ 厘米
1985 年朱德群 [法国 ]
法国巴黎勒让特画廊藏
泼彩山水（纸本设色）
60.3 厘米 $\times 95.9$ 厘米
1965 年张大千
美国纽约大都会艺术博物馆藏
作品重峦叠翠，云气弥漫，融合破墨、泼墨、泼彩等技法，色墨交融,虚实相生，呈现出苍茫幽深的意境
木头五号（油画）
197.2 厘米 $\times 132.1$ 厘米 $\quad[$ 现代 ]
格哈德・里希特 [德国 ]
美国纽约现代美术馆藏
在里希特的艺术中,充满了一种既尊重日常经验又超越表象再现,且注重精神内涵的德国艺术传统,体现了画家在多样的媒介领域及表现技巧方面构建绘画新的价值的探寻。
## 拓展学习
说一说朱德群和赵无极的绘画作品让你联想到了什么。请参考艺术家的作品,用除画笔以外的工具和材料完成一张突出偶然性效果的实验绘画作品,并和同学交换欣赏,交流感想
## 创意表达
哎呀,糟糕!书本上无意中弄上了茶渍！咦？你有没有发现它看起来很像……
请开动脑筋,运用你的发散思维,试着将这面染渍的书页变成一幅有趣的图画。
学生作业
嫦娥奔月
无题
## 第二单元色彩
人对颜色的感觉不仅由光的物理性质所决定,还受到心理等许多因素的影响。艺术家在绘画中描绘出的色彩虽然千变万化、独具匠心,但并非空中楼阁。为了学习绘画色彩,我们有必要追问: 色彩经验从何而来,用于何处,又怎样潜移默化地体现在我们的文化与思想中?
## 第1课 多姿与多彩(生活色彩)
## 基本问题
旗袍 $($ 摄影 $)$ 与生活环境互动所产生的体验为我们对色彩的认知与判断提供了第一手的信息。色彩在心理层面投下的众多感受都来源于生活,生活对色彩认知的影响成为色彩知识的基础。这些色彩经验具体来源于哪里,又使我们形成了哪此认知呢?
## 情境导入
旗袍是华人女性的传统服装,被誉为“中华国粹” 和“女性国服”。简约的外形,千变万化的染织工艺,使旗袍无论何时都与高贵的女性气质及时尚联系在一起。除了版型,最能突显着装者气质的就是旗袍的花色。热烈喜庆的大红色旗袍,冰清玉洁的白底青丝旗袍,富贵气十足的酱紫天鹅伐旗袍,肃穆优雅的黑底绣花旗祊等,无不完美地展现着穿衣者的品位与个性。你知道为何色彩会让人产生这种先入为主的视觉体验吗?
## 建筑色彩
中国北方建筑善于运用色彩对比，房屋经常着光的部分，一般用暖色；房檐下的阴影部分,则用蓝绿相配的冷色。如此一来强调了阳光的温暖和阴影的阴凉,形成悦目的色彩对比。朱红色的门窗和蓝绿色的檐下往往还以金线和金点装饰,从而使建筑上的彩画图案显得更加活泼,增强了装饰效果。有人认为,这种色彩风格的形成与北方的自然环境有关。北方的冬季色彩单调,这种建筑色彩会使生活环境变得富有生趣。
故宫一隅 $($ 摄影 $)$ 色彩的联想
色彩为我们的生活带来了无穷的乐趣：色味倶佳的菜品可以让食客垂涎,夜空中㑟纷的烟火给人以梦幻的感觉,放飞的气球仿佛蓝天中多彩的宝石 ……$ 如今,色彩已经不是单纯装点生活的附属品,它逐渐融人文化,被赋予了象征意义。
窑洞窗花 ( 摄影 )
歼-20飞机灰蓝色的机身涂装更便于隐身。
陕北窑洞的彩色窗花,就像陕北人的精神世界―反映着人们对生活的热忱,也表达着他们对生活的期待与向往。
红灯笼 $($ 摄影 $)$ 李彦章“红红火火”“金碧辉煌”“绿意盎然”“紫气东来”这些词都是人们的生活经验经过日积月累而赋孕色彩的一些主观印象。色彩是感性的,它与人们的认知与思想密切相关,我们可以称之为色彩的文化属性。
## 思考与讨论
每个人都有一件或几件自己非常喜欢的衣服。你最喜欢的衣服是什么颜色的?请说一说你喜欢这个颜色的原因。㶣热、活跃、躁动不安一红色
红色让人联想到血液、活力、热火与激情,红色主导的画面从来不缺少“醒目”与与冲击”。红色还象征着革命,愤怒与仇恨也为红色增添了更多的感情色彩。
红色画室 ( 油画) 181 厘米 $\times 219.1$ 厘米 1911 年
亨利・马蒂斯 [法国］ 美国纽约现代美术馆藏
高贵、优雅、神秘一一紫色
因为紫色在古代很难染色固定,所以它给人以神秘的末知感。西方旧时的主教、国王经常穿紫色,在中国也有“传爵袭紫”“紫气东来”等成语。所以,紫色是优雅与权力的象征。
在吉维尼的艺术家花园 (油画) 81 厘米 $\times 92$ 厘米
1900年克劳德・莫奈法国奥赛博物馆藏
## 生命的化身一绿色
绿色是使人类视神经感觉最舒适的一种颜色。因此,鲜艳青翠的绿色常令人感觉赏心悦目、心旷神怡。酸的食物经常是绿色的,新绿会让人联想到生命与生长。
白云红树图 ( 中国画) 189.4 厘米 $\times 48$ 厘米 [明代 ] 蓝瑛故宫博物院藏
## 冰冷、安静与理智――蓝色
以蓝色为主导的画面最容易给人以安静的感觉。蓝色在所有色相中是最冷的色调,所以,深沉悠僻的主题,如对梦境与诗意的表达就经常出现在蓝色调的绘画中。蓝色的面貌还有很多，如忠诚有时用蓝色表现，科技题材也钟爱蓝色。
## 青花潘斌绘人物纹笔筒（瓷器 )
高 19.6厘米口径 20.5 厘米 [明代 ] 中国国家博物馆藏
收获 （油画） 73.4 厘米 $\times 91.8$ 厘米 1888 年
凡・高 $[$ 荷兰 $]$ 凡・高博物馆藏
色彩是千变万化的，它们之间的相互搭配更会大大影响它们呈现的效果。提高我们色彩感知能力的方法,除了加强对色彩理论知识的学习,还要在生活中仔细地观察、体会它们。
## 探究与发现
1.色彩还有哪些负面的象征意义?请举例说明。
2. 欣赏本课美术作品,探究画家是怎样用色彩表达个人情感的
3. 黑、白两色是位于明度轴上最极端的两个无彩色,两者经调和会得到灰色,它们都属于广义的色彩大家庭。寻找生活中的黑、白、灰色彩，看看它们体现着哪些独特的象征意义。
## 乐观、富贵、光明与辉煌一一黄色
在看以黄色为主的画面时,观众总会感觉暖暖的,有时甚至觉得画面中黄色的部分在自己发光。黄色还容易让人联想到黄金,因此富贵的概念也经常通过黄色来传达。
成熟、醒目却很少被人青睐一一橙色
橙色经常让人联想到丰收与成熟。它不如红色刺眼,也不如黄色明亮,但它几乎不会给人带来任何负面情感,因此欢乐与喜悦经常用橙色来表达。
晌午一海滩 (油画) 91 厘米 $\times 72$ 厘米 1998年罗尔纯 (选自《第三代中国油画家研究・罗尔纯》) 学习经典
吉姆-连彬是一位环境装置艺术家,他善于使用色彩鲜艳的色带并根据实际场地状况组成变化多样的彩色地面或墙面,将本来平淡无奇或古老陈旧的环境转化为气氛活跃、动感十足的现代场所。
彩绘地板（装置艺术）吉姆 •连彬 [现代 ] [苏格兰]
## 拓展学习
请用你能找到的彩色材料 （如粉笔、彩色铅笔、水彩笔、彩色纸、丙烯颜料等）将你生活环境中的一小块区域（如一块墙砖、一块地板或铅笔盒表面等） 涂上令人愉快的色彩组合，并和同学们分享自己的成果。
## 特别提示
进行绘画练习时,不要污染公共环境!
学生作业
井盖装绘
## 创意表达
请在赏析民间艺术家曹佃祥剪纸作品的基础上，运用本课所学的色彩知识为其描边图填满颜色,看看自己的作品与原作相比有何新意。
门神（剪纸） 32 厘米 $\times 25$ 厘米 ［现代 ］ 曹佃祥中国美术馆藏
技法点击
( 水粉装饰画)
工具和材料：毛笔、水粉颜料、调色盘。
3. 用毛笔细致地描绘人物身上的黄、紫色图案,与人物的整体蓝紫色色调形成色彩的互补关系。
6. 完成作品：用粉蓝色描绘背景,用淡黄色和粉色描绘其他图案。(杨婕绘 )
学生作业
## 第2课 文明的瑰宝 (艺术色彩)
## 基本问题
绘画作品中的色彩是承载艺术家创造力、想象力与表现力的关键元素。不同地域、不同时代的艺术家在各自族群文化的熏陶下创作出了色彩各异、风格多样的绘画作品,他们将色彩应用并发挥到了何种程度?为什么会有这种风格上的区别?
## 情境导入
你知道吗?汉语词汇中形容色彩的基本有六种 (红、黄、蓝、绿、黑、白),而尼日利亚的伊比比奥（IBIBIO) 语中有四种,北美原住民的波莫 ( POMO) 语中有三种，住在亚马逊的毗拉哈 (PIRAHA) 人的语言中则完全没有描述色彩的词语。研究证明,语言并不影响我们观看色彩的能力,却影响了我们对色彩的理解与表达。例如，毗拉哈人用“可以看透的”形容白色,用“肮脏的血” 形容黑色,这与我们对黑白的理解大相径庭,并直接导致了不同民族在使用色彩进行表达时认识的不同。是什么造成了这种现象呢?
## 抧究与思考
人类对色彩的理解有标准吗?色彩表达的个性与共性之间有何关联?
伎乐图之反弹琵琶图（局部壁画)
敦煌莫高窟第 112 窟 [唐代]
千里江山图 ( 绢本设色局部中国画)
全画 51.5 厘米 $\times 1191.5$ 厘米
[宋代 ] 王希孟故宫博物院藏
静安公园 (油画） 50 厘米 $\times 61$ 厘米 1942 年关紫兰
黑衣女青年像（油画） 82 厘米 $\times 66.5$ 厘米 1949年苏天赐中国美术馆藏色彩世界㑟纷异常,不一而足。从古至今,无数艺术家以绘画的形式,将他们在色彩方面的探索凝结为可视可感的美术作品,为我们遗存下绚丽多姿的精神财富。
桃源仙境图 ( 中国画） 175 厘米 $\times 66.7$ 厘米
[明代 ] 仇英天津艺术博物馆藏如今，在世界各地不同文化背景的绘画中,色彩依旧保持着多样的发展趋势与越来越快的创新频率，这要归功于那些熟知自身文化本源并能将创新融人作品的艺术家们。
阿尔达比勒地毯 ［波斯 ] 16世纪中叶
## 欣赏与对比
欣赏本课作品图例，说一说: 这些作品在画面造型与色彩运用上有何特点?这些特点与文化背景有何联系?
描绘图坦卡蒙和妻子的金王座 （局部壁画）
公元前 1332一前 1323 年 ［古埃及］
富岳三十六景之骏州江尻（浮世绘）
约 1830 年葛饰北斋 $[$ 日本 ]
日本山黎县博物馆藏学习经典
修拉是法国后印象派的主要成员之一,他对风景与日常生活的色彩描绘尤其出色。他创作的点彩油画作品,将多种色彩鲜艳的颜料 ( 如红、橙、黄、绿、青、蓝、紫、黑、白) 以色点并置的方式在画面上描绘出不同的色彩区域进而组成形象如,下图画面中女人手中的伞就使用了大量的红色点、少量的黄色点、极少的绿色点和紫色点;而画面右下角女人的裙子则使用了大量的蓝色与紫色点,以及少量的其他色彩。可见,画家正是通过调整不同色点的配比而绘制出不同的色彩倾向。
点彩画法示意图
## 拓展练习
请大家使用丙烯颜料，用点彩法复制画家修拉的一幅作品，并在绘制过程中体会画家是如何选择并安排色彩的。
大碗岛上的星期日下午 $($ 油画 $)$
207 厘米 $\times 308$ 厘米
1884-1886年乔治・修拉［法国］
美国芝加哥艺术学院藏
## 技法点击（丙烯画）
在绘画中正确运用色彩需要我们认识并理解色彩（参见附录中与色彩相关的学习资料)。观察和实践是学习色彩最有效的方法。丙烯颜料是一种操作方便、表现力强的绘画材料,应用广
丙烯画所需要的工具和材料: 丙烯画颜料、厚画纸、装有清水的大器皿、丙烯画笔、调色板等。泛,为当今艺术家们所喜爱。
2. 调配颜料,先画天空,再由远及近地用基本色将画面填满。1. 仔细观察风景,用钔笔勾勒出描绘对象的基本轮廓。
3. 仔细观察，使用小号画笔对所画景物的边缘部分进行描绘。
4. 按照先画远景,再画中景、近景的顺序,进行第二遍描绘,将画面颜色的衔接部分描绘得更自然。
## 特别提示
练习时，也可使用水粉颜料，它与丙烯颜料类似，使用水作为调和剂。水粉颜料干后较脆，容易开裂,且色彩鲜艳度会有所减弱。
## 探究与发现
绘画的色彩和光的色彩是不同的,一张纸如果能反射所有色光的颜色，那么这张纸就是白色;如果它能吸收所有色光的颜色，那么就是黑色。查阅相关资料并探究：绘画中存在白色吗?黑色是所有颜色的混合吗?
5. 使用画笔以外的多种材料进行描绘，丰富画面效果。
6. 深人刻画，丰富画面暗部的内容与层次。
7. 退到远处审视整幅作品，修改画面中的不足之处。
8. 对某些细节进行突出刻画，为画面增加点睛之笔，完成画作。(刘洋绘)
## 创意表达
仔细观察以下两幅图例，你认为图案中位于中间的方形是同一种颜色吗?将方形以外的其他颜色都遮蔽起来看一看,说说你的感受。你能否用类似的方法画出同样效果的图案?
色彩相互作用图例 1 约瑟夫・奥伯斯 ［德国 ]
色彩相互作用图例 2 约瑟夫・奥伯斯 [德国]
学生作业
## 第3课 历史的图谱（文化色彩）
## 基本问题
色彩作为人类文化体系的一部分，传承久远。它随着人类的智慧与认识一同演化，渗透到社会生活的方方面面，进而参与到民族世界观的形成过程中。在这一过程中产生了哪些有趣的色彩现象呢?它们有着何种含义呢?
## 情境导入
女娲被视为中华民族的人文始祖。你一定知道女娲补天
## 思考与讨论
你知道哪些是典型的中国传统色彩，哪些是独具中国特色的色彩搭配吗?故事吧？传说，不周山天柱倒塌，天河水倾入人间。女娲用瞥足撑起四极,用炼制的五色石补天。你知道五色石的五色是哪五种色彩吗？为什么是五色石而不是四色石或六色石呢?这些问题直接关系到中华民族对色彩的独特认识与理解。
独具“特色"
中华民族是具有独立完整色彩系统与色彩文化的民族之一，我们民族的整个色彩系统是在相当长的一段时间里逐渐完善的。位于北京天安门西侧的社稷坛是古人祭祀土神和谷神的场所，坛上平铺着青、白、红、黑、黄五种色土,分别对应着东、西、南、北方位及中原地区的五种不同土质。
## 玄黄与五色
与我们今天普遍使用的三原色、光谱七色这些所谓的科学性色彩不同,中华文化中的五色观与自身文化深深地结合在一起，发挥着突出的人文作用。西周时期就有“东青土,南赤土,西白土,北丽土,中央叠以黄土” 的记载,与之相对应的还有东青龙、西白虎、南朱雀、北玄武、中央黄龙这五大神兽之传说。此外,代表方位的五色又与五行（木、金、火、水、土 ) 的色彩相对应,由此使得中华文化中的五色观和我们对世界的认识自然地融合在一起。后来,围绕着五方正色又确立了五间色,分别是绿、红、碧、紫、骝黄,并在此基础之上不断将后来出现的新色彩充实进整个色彩系统中。
《考工记》记载：“画缋之事,杂五色,东方谓之青,南方谓之赤,西方谓之白,北方谓之黑,天谓之玄,地谓之黄。”原有的五色观中加人了“天地” 的概念,即“玄黄” 二色，并超越五色成为中华色彩系统中的至高色彩。此时的色彩观已经进人了体系完整而稳固的阶段。
以玄黄及五色为基础的色彩系统历来被封建统治阶级所利用,它们在中华文明发展过程中所起的作用远不止于与方位、宗教、神话的匹配,还影响着不同朝代的色彩观,直至最后一个封建王朝——清朝覆灭。
玄黄” 与“玄缍” 二色的对比 ( 臐的色彩是赤中带黄)
瓦当四神兽（拓片）
## 知识链接
据推测，中华色彩体系的发展大概遵循着以下顺序: 浑然一色一二色初分 (黑白) 一三色观 (黑、白、赤)一四色观 (黑、白、赤、黄)一五色观（黑、白、赤、黄、青）一玄色统辖下的五色系统 (玄黄及黑、白、赤、黄、青) 及间色系统的产生。(出处: 陈彦青《观念之色》)
## 思考与探究
查找相关资料，看一看独具中华特色的五色观体现在生活中的哪些方面。举例说明。
代也彩䙺演交图
## 多姿的民间色彩
在玄黄及五色系统之外,还存在着庞大的间色体系与民间色彩系统。中国民间色彩系统以自然人文为依据,这在色彩的选色与名称上体现得尤为明显。下方列举了三十六个色例,这只是中华民间色彩系统中的冰山一角。
## 观察与探究
仔细观察古装电视连续剧或现实生活中人们的服饰颜色,说一说哪种色彩是取自民族或民间色彩体系,这种色彩体系有什么特点。
富有中国民间特色的色彩与名称
中国民间色彩的产生和形成有其复杂的原因。自然环境的差异、生产力的限制、经济活动的交往范围、民族文化的交流、社会历史条件的变化、重要人物的引导等因素都会潜移默化地成为影响民间色彩产生的原因。如苗族的服饰色彩以青黑色为主,这与当地易获得的靛蓝等天然染料密切相关;又如初唐女性喜好画红唇,后来受到胡风影响,女子化妆出现檀色唇饰。《敦煌曲子词 - 柳青娘》写的“故着胭脂轻轻染,淡施檀色注歌唇”,反映的就是这种风尚。白居易的《时世妆》诗中“髻堆面赭非华风”一句，反证了这一点。
不论从体量、文化蕴味或者复杂程度上,中国传统色彩体系都具备鲜明的特色与开发潜力，我们应当有意识地将这套色彩系统以恰当的方式传承下去。
苗族锦鸡刺绣纹样 ( 局部 )
舞乐屏风图 （屏风画局部）［唐代 ] 吐鲁番阿斯塔那 230 号墓出土
## 学习经典
凤翔彩绘泥塑是陕西省宝鸡市凤翔县的一种传统民间艺术，俗称泥货。它历史悠久，寓意多样，是第一批入选的国家级非物质文化遗产项目之一。凤翔泥塑的用色以大红、大绿和黄色为主,常以黑墨勾线并涂染,色彩对比强烈，有着浓浓的乡土气息。
大坐虎 (彩绘泥塑) ( 国家级非物质文化遗产项目之一 ) 陕西省凤翔县
## 单元评价
一、选择题
1. 蓝色给人的感觉是 $(\quad)$。
(1)冰冷 (2)优雅 (3)神秘 (4)理智
2. 中华色彩系统中的至高色彩是（）。
(1)绿、红、碧、紫、骝黄 (2)玄黄
(3)黑、白、赤、黄、青
二、简答题
请结合具体作品,简述点彩画法的色彩原理。
## 拓展练习
同学们，你们的家乡一定也有许多传承已久的民间艺术品,请找一件实物或图片,与其他同学欣赏并交流,分析一下它们都使用了哪些色彩,这些色彩与所表现的形象有哪些联系，起到了什么作用。
## 创意表达
查阅资料，详细了解中国古代某个历史时期的文化特点,并尝试使用色彩描绘一幅具有中国特色的工艺品设计图,要求画面能体现该时期的色彩文化特征。
第二单元色彩
形状是一个物体的轮廓,体积是物体在空间中占有的量。形状是二维的、平面的,体积是三维的、占空间的。绘画时,我们如何在平面内描绘体积呢?画面中的这种体积错觉是通过怎样的绘画手段做到的呢?我们又该如何突破真实形体的局限来表达对形体的独特感受呢?
## 第1课 客观看物体（认知形体）
## 基本问题
在现实中,人通过感知光与影的对比辨识出物体的形状与体积。在绘画中,艺术家通过精确地模仿这些对比,在画面上创造出具有“真实” 形状与体积的物体的视觉假象。光与影为何重要?哪种方法可以让我们在画纸上再现物体的形体?
## 观察与讨论
仔细观察化妆的过程,看看油彩通常画在脸部的哪些部位，画成什么形状可以突出五官的立体感,从而使人变得精神。
戏剧人物化妆效果
“发现”形体
## 情境导入
想一想,戏剧人物的化炇能带来怎样的视觉效果?实际上,化炇应用了很多绘画中形与体的表现技巧。化妆相对轻松，只需要人们在原有的面部结构上润色即可。但在绘画中,我们需要在一片空白平面上塑造出所有的形状与体积要如何做才能让所画的物体跃然纸上?
鸽子影子 ( 摄影 $)$ [ 现代 ] 阿列克谢・贝德尼 [ 俄罗斯］
在右上的摄影作品中,光打在鸰子身上,在地面投下了阴影。如果艺术家是在黑夜拍摄,周围没有任何光源,我们还能看清画面中的鸰子吗?当然不能,因为光是观看的先决条件。自然界中,光所到之处必然会产生受光面和背光面,从而使物体形成亮度与色彩的不同,据此我们才能判断物体的轮廓、结构与远近,而绘画正是通过模仿或创造这种不同 (即对比) 去塑造形体。
## 第三单元形体
桌子上的花瓶静物（蚀刻版画） 24.9 厘米 $\times 33.6$ 厘米
1931年乔治 - 莫兰迪 ［意大利］ 意大利马焦雷美术馆藏
意大利画家莫兰迪使用影线“挤压” 出瓶子的空白形状正是使用了对比的方法。画面中形状内部的变化与对比决定着体积给人的空间感受。
阿佛洛狄忒石膏像（素描） 73.5 厘米 $\times 40$ 厘米 1955 年朱乃正中央美术学院藏
## 与实绘畕
以忠实模拟现实事物为目的的绘画被称为与实绘画。实绘画经过历代艺术家的经验积累与总结,形成了一套比较完整的吕现技法：根据受光量的不同,物体可分为亮面、灰面、明暗交界线、暗面、反光面无个区域。全现这种现象而描绘什来的物体看起来会有一种很强的体积感和真实感。
## 探索与练习
你能在朱乃正的素描作品《阿佛洛狄忒石膏像》中用铅笔划分出亮面、灰面、明暗交界线、暗面与反光区域吗?你能模仿莫兰迪的作画方法,将瓶子的空白部分描绘得更有体积感吗?
## 石膏体素描与头像素描的明暗关系对照图
明暗交界线亮面灰面暗面反光面
女学生（素描） 1977年靳尚谊再复杂的形体也可以被归纳为简单形体的组合。比如人物头像,可以通过对其进行概括将它的形体分解为头发、脸、眼、鼻、嘴等几部分，然后通过选择,将它们组合成一张独特的面孔形象。
## 技法点击（人物头像素描写生）
1. 整体观察人物形象及五官特征。
3. 画出基本明暗色调
2. 起形，画出五官。
4. 深人刻画，丰富层次。
5. 修改不足,完成作品。(陈敬涛绘)
## 尝试与发现
根据照片分别画出自己父母的五官，剪开后再重新组合，看看拼合出的形象是不是自己的样子。
学生作业
## 舞动的形体
在绘画中,人体是较为复杂的形体且经常被描绘。美国画家乔治・伯里曼绘制的人体形体结构图手稿中，方体、长方体、圆柱体、椭圆体、雉体等基本形体通过适当的结合与摆放，一个个舞动的人体形象便跃然纸上。
人体结构绘画手稿 (速写) [现代 ] 乔治・伯里曼 [美国] (选自《伯里曼人体结构绘画教学》) 技法点击（简易头像印制一一木版画）
1. 先将版面染色。
3. 用刻刀刻掉版面上不需要的部分。
5. 用油辊将油墨均匀地滚压于刻好的图案上。
7. 从画面的一个点开始向四周磨拓,使画纸与油墨充分接触。
2. 再将作品手稿背面放上一张复写纸,将手稿轮廓印在木板上。
4. 用刮刀将油墨在玻璃上抺平，用滚轮将油墨反复滚压,直至油墨均匀。
6. 将画纸轻轻地平铺于版面上，切忌随意移动画纸。
8. 最终,将画纸从一侧一次性扻起,即得到单个印版的完成作品
木版画的工具与材料: 木刻刀、油辊、木蘑菇、油画刀、油铲、马莲、磨拓、油墨、木板 (可用麻胶板代替)、玻璃等。
（陈邕摄 )
## 创意表达
请根据本课所学内容,将你最熟悉的人的一张照片制作成木版画。
9. 使用同样的方法,按照从浅到深的顺序,将分别表现人物头像亮面、灰面、暗面的三张木版重叠印制后,就能得到完整的版画作品。
完成作品。(文悦绘李振威摄影 )
## 第 2课 主观看物体（表现形体）
## 基本问题
真实的形体虽然是固定的,但每个人对形体的理解则各有不同。根据自己的意图与主观能动性来控制形体的表现是每位艺术家进行创作时的根本诉求。形体在这一过程中展现了怎样的活力?画家们又创造出了哪些独特的形体表现方式?
## 讨论与交流
除了具体事物,我们对概念也有着不同的认识偏好。请你描述一下“美” 与“丑” 的概念,然后和其他同学交换想法,看一看你们的意见有哪些不同。
## 情境导入
你听过自己说话的录音吗?有没有发现自己的声音听起来竟然怪怪的,和预期的不一样?很多人都有此同感,就好像一个人对自己与别人对自己的认识之间存在差别,这在绘画中的体现尤其明显。画家对描绘对象的认识会大大影响他在画面效果上的呈现一同一个描绘对象会以不同的面貌出现在不同的艺术家的作品中。你能理解这是为什么吗?
自画像 ( 漫画 )
20 世纪90年代张仃艺术家的面孔
自画像是艺术家们经常选择的一个表现主题,著名的艺术家基本都为自己画过像。自画像易于体现画家的风格与个性,很少受到别人对画面的要求与约束,因此丰富多样的对形体的自由表达得以在作品中充分体现,并在画家本人有意识地重塑中达到高于真实的境界。如果我们将所有艺术家的自画像按时间顺序摆在一起,就如同呈现了一部小型美术史，能生动地体现时代的变迁及形体自由表现的丰富性。
自画像 $($ 素描 $)$
37 厘米 $\times 25.3$ 厘米 1959 年詹建俊
丰子恺漫像 (中国画白描）
丰子恺 $(1898-1975$ 年 $)$
自画像（局部中国画 $)$ [明代 ] 沈周故宫博物院藏
36 第三单元形体
剪花娘子（剪纸） 50 厘米 $\times 38$ 厘米库淑兰 $(1920-2004$ 年 ） 中国美术馆藏
戴着荆棘项链和蜂鸟的自画像 (油画) 61.25 厘米 $\times 47$ 厘米 1940 年
弗里达・卡罗 [墨西哥］
自画像 $($ 木版画 $)$ 1924年
凯绥・珂勒惠支 [德国]
德国柏林珂勒惠支博物馆藏
自画像 ( 油画 ) 65 厘米 $\times 54.5$ 厘米 1889年凡・高 $[$ 荷兰 $]$
法国巴黎奥赛博物馆藏
自画像 ( 油画 ） 55 厘米 $\times 46$ 厘米 1895 年塞尚 [法国 ]
自画像 (局部中国画)
177.4厘米 $\times 78.5$ 厘米 $[$ 清代 ] 任熊故宫博物院藏
## 二维中的形体
绘画的魅力在于将视觉认知抽象升华为二维的、更简单形式的表现方式,形与体正是这一转化过程中被提取出来的关键元素。以所谓的“科学”方式模拟并再现物象为目的的绘画在整个绘画艺术史中仅仅占据一小部分时间，在其余的时间与空间里,世界各地的艺术家们极尽创造力之所能,展现着形体在二维平面上的无限可能性。
赤壁图 ( 中国画) 26.5 厘米 $\times 91$ 厘米 [明代］仇英辽宁省博物馆藏
上图是明代画家仇英所画三幅《赤壁图》中的一幅。画家在画面中的大部分区域留白，但观众丝毫不会感觉留白的区域是空的，相反，会感觉空白处很饱满,河水与水上的轻雾在末动一笔的情况下被表现得非常到位。有别于西方具象写实绘画面面倶到的表现方式，中国画中常用留白的手法表现形体空间，起到了不减反增的神奇效果。
泼墨仙人图（中国画） 48.7 厘米 $\times 27.7$ 厘米
[南宋］ 梁楷台北“故宫博物院”藏
在南宋画家梁楷绘制的《泼墨仙人图》中，仙人的左臂在腰部附近消隐于一片淡墨之中,但观众依然能感觉到消失部分的状态。单独看仙人的右臂,虽丝毫没有手臂与衣袖的特征，但仙人怚肩、向前摆袖的动作却跃然纸上。在中国人的绘画思维中,表现形体的意象通常优先于表现形体本身,而在处理形体的过程中,“写”的意识往往高于“画”，所以称为“写意”。
## 思考与探究
辨识形体是人类的本能，但对于绘画而言,这只是开始。在学习表现形体的过程中,我们应该描绘什么,如何描绘,还需要掌握哪此知识与技巧?
海达灰熊图样 (揷图 )
年代不详克拉伦斯・米尔斯 [加拿大 $]$
南西伯利亚石刻画（岩画）
公元前2世纪作者不详
来自世界各地不同文明的相当一部分艺术家没有选择“科学” 的写实再现方式来处理绘画中的形体。人类早期的绘画都有着图案式的绘画风格,对形体的特点、精神与规律的把握格外执着，这同我国民间美术对形体的处理方式如出一较。形体在这些艺术家的作品中变得灵活自由,它们被多角度呈现，最终使得不同的文化呈现出多姿多彩的面貌。
全拐官磨豆腐（剪纸 $) 33$ 厘米 $\times 38$ 厘米 2008 年高凤莲中国美术馆藏
凯尔经（古书籍局部） 33 厘米 $\times 25.4$ 厘米
公元 6 世纪一8 世纪 [爱尔兰 $]$ 爱尔兰都柏林大学圣三一学院藏
城市的兴起 (油画 $) 198$ 厘米 $\times 300$ 厘米 $1910-1911$ 年翁贝托 - 波庍尼 $[$ 意大利 $]$ 美国纽约现代艺术博物馆藏学习经典
吴大羽是我国现代抽象绘画的拓荒者之一,他的艺术多取法于法国现代绘画诸流派。他早年所作的大幅具象绘画色彩强烈,视觉冲击力强。及至晩年,他的绘画作品多为抽象、半抽象风格,形象含蓄概括、意味深远,色彩浓郁绚丽、对比鲜明,笔触游动畅达、收放自如 ……$ 形色交融间尽显东方艺术之神韵
公园的早晨 (油画 $) 75$ 厘米 $\times 70$ 厘米 1973 年吴大羽上海油画雕塑院藏
## 拓展练习
古罗马帝国时期的工匠将不同颜色的几何形坚硬岩石块排列组合成一条生动的鱼形镶嵌装饰画,这与我们常见的马赛克的原理相同,即将单一的没有意义的颜色块以合理的方式组织在一起,观众就可以从中获取关于形体的正确的视觉信息。请使用类似的造型方法,用点的集合描绘一个你觉得有意义的人、物品或场景,看看能否从新的形体表达方式中获得意料之外的视觉灵感。
古罗马镶嵌画公元 3 世纪一5世纪作者不详 ［突尼斯 ] 美国纽约布鲁克林博物馆藏
## 创意表达
请用你喜欢的形式画出自己的自画像并与同学分享,向他们描述你的想法，看看大家如何评价你的作品。
镜子中的我
我的自画像
## 单元评价
一、判断题
写实绘画的技法是根据受光量的不同描绘物体的哪些区域?请在正确答案后面打“$V$ ”。
(1)暗面（） (2)亮面（） (3)明暗交界线（）
(4)反光面（） (5)灰面（）
二、选择题
判断美术作品好坏的标准包括（）。(1)画得像
(2)有形式美感
(3)画面的细致程度
(4)有想象力
(5)引发思考
(6)审美价值
## 第四单元空间
空间是物象存在的一种形态,具有多维的性质。作为造型艺术的语言,它以视觉感受为特征。在绘画作品中,画家大多以“透视方法” 来虚拟性地表现出空间感。我们如何才能在画面上描绘真实空间?我们利用绘画的平面特征还能创造出哪些空间描绘上的奇迹?
## 第 1课 制造距离感（现实空间）
## 观察与思考
你认为绘画艺术与数字影像（数码照片、电脑动画等 ) 的区别在哪里?两者之中哪一个更吸引你?
“D斑马线” 地画给人以长方体漂浮的感觉,其设计目的是提醒过往车辆注意减速。
## 基本问题
绘画通过使用焦点透视学原理可以描绘出近似真实的空间假象。什么是绘画中的焦点透视?它包含哪些内容?还有其他种类的透视吗?它们之间的区别在哪里?
## 情境导入
你知道虚拟现实技术和增强现实技术吗?就是人们日常所说的 VR (Virtual Reality ) 与 AR (Augmented Reality )。通过佩戴虚拟现实或增强现实设备,可以看到一个通过电脑形成的由人工创造的虚拟世界。它可以将你带入浩瀚的宇宙、幽静的海底等你从来没有去过的环境中。在虚拟的实境中,一切看起来都很真实。在这里,物体有远近,有体积。科技是如何“欺骗” 我们的视觉的?你可知画家们早在几百年前就已经洞悉了其中的奥秘?
$\odot \mathrm{AR}$ 的合成图像。为了让设备佩戴者产生身处真实空间的错觉，虚拟的图像也要符合空间透视准则。随着绘画的发展,艺术家们总结出了多种透视方法,如纵透视、斜透视、重叠透视、空气透视、线性透视等。有些绘画在如今的观众看来显然不“科学”,但不能否认,艺术家们都在试图找到一种能将内容清晰呈现且有内在条理的画面空间。如今被广泛使用的是线性透视,它是科学地再现物体实际空间位置的一种平面表现方法,它呈现的效果接近我们的视觉经验。
厨房（色粉画） 48.5 厘米 $\times 64$ 厘米 1920 年颜文梁苏州美术馆藏
画家以一点透视方法再现了我国江南地区的民居内景，并凭借色彩对光影的高超表现，极大地丰富了画面的空间层次。
牡丹江垦区（油画 $)$
53.8 厘米 $\times 78$ 厘米 1961 年 $\quad$ 余本
生机勃勃的田野上，一垄垄庄稼正茁壮成长。观众的目光不经意间就会被引向远方连绵的山峦 ……$ 画面所营造出的开阔视野,给人以心旷神怡的审美感受。
## 观察与讨论
观察并对比本页两件美术作品,说一说两者在空间表现上有哪些异同。
## 描绘透视
为了描绘出透视效果,你必
三点透视
在两点透视的基础上,
在地平线的上方或下方加上另一个消失点就成为了三点透视。第三个消失点落在与地平线垂直的轴线上
散点透视（多点透视）
舌合描绘通道式的画面,除此之外似乎并没有更适合的画面。
透视错误: 这些延长线没有在 $\mathrm{A}$ 点相遇。
总的来说,在两点透视中生点要比地地平更远。(C) 1 n 离画面更远
这种透视方式允许在垂直方向呈现更多的空间,一般用于绘制超高层建筑的俯瞰图或仰视图
雅典学院 (壁画) 279.4 厘米 $\times 617.2$ 厘米 1509-1511年拉斐尔 [意大利 ] 梵蒂冈教皇宫
作品是一点透视的经典代表作,所有的纵深透视线都将观者的目光引向画面中心，所有的横线都与地平线平行。
黄河大合唱 (油画局部) 332 厘米 $\times 285$ 厘米 2009 年詹建俊、叶南中国美术馆藏
三点透视在绘画中的体现是,画面所描绘的事物的消失点往往会超出画面的边界而延伸到画外。
晴峦萧寺图 ( 中国画)
111.4厘米 $\times 56$ 厘米 $[$ 北宋 ] 李成美国纳尔逊一阿特金斯艺术博物馆藏
宋代画家李成的作品使用了典型的散点透视呈现方式,在空间的处理方法上采用了中国山水画常用的“三远法”,即以仰视、俯视、平视等不同的视点描绘景物,打破了焦点透视静止地表现景物的局限。
## 尝试与练习
请根据本课所学的透视知识,尝试为本页的绘画作品添加地平线、透视线与消失点,并指出它们分别采用了哪些透视方法。
透视法是用来呈现畐面空间的方式，只有最符合画家创作意图的透视方法,没有绝对最佳的透视方法。
新线 ( 油画 $) 83$ 厘米 $\times 110.5$ 厘米 1983 年韦启美中国美术馆藏
画面中的物体不平行于也不垂直于画面,拥有两个消失点,属于典型的两点透视绘画作品。
瓶子和鱼（油画） 619 厘米 $\times 749$ 厘米 1910 年乔治・布拉克 ［法国］ 英国泰特美术馆藏
散点透视在西方绘画进人 20 世纪后才重新受到重视,但与东方绘画应用散点透视的结果不同,多视点直接导致了画面物体的分解。
## 拓展学习
仔细观察欣赏隋代画家展子虔的《游春图》，然后将画面大体形象与画家在绘制这幅画时所选择的视点，在一个和画面比例相同的方框内标示出来,并将结论与周围的同学进行交流。
游春图 (中国画) 43 厘米 $\times 80.5$ 厘米 [ 隋代］ 展子虔故宫博物院藏
## 创意表达
请在你的座位上坐好并选择一个视角，将你所看到的教室景象用透视法描绘出来，尽量表现出准确的空间感。完成后与其他同学交换作品，分享心得。
学生作业
# 第2课 真实的悖论 (牛盾空间)
## 基本问题
表现矛盾空间的绘画虽然遵循严密的透视法则，却描绘出了荒诞且不可能实现的内容。拥有矛盾空间的画面无法说服我们的思维逻辑却可以说服我们的眼睛。才华横溢的艺术家创作出了哪些让人啧啧称奇的绘画作品?你能洞悉他们创作的奥秘吗?
情境导入
你听说过永动机吗?它是一种无需输入外界能量而能自己循环运动的机械,是人们对能量守恒定律的一种理论假设,在现实中是不存在的。但这种类似的循环情形却经常会出现在我们的梦境中——梦到自己进入了一种无法逃脱的时空循环,无法找到出路。你还能想到其他类似的介于真实与不真实、有道理与没道理之间的情况吗?
永动机工作原理示意图
绘画的世界受到人类思维的限制。无数有着奇思妙想的艺术家在画面中自由地描绘着各种超出我们生活经验的景象,理念与现实的矛盾在画布之上变得饶有趣味。
## 埃舍尔对现实的反驳
表现矛盾空间的绘画就是描绘介于真实与不真实、合理与不合理、正确与不正确之间的一种有趣的绘画,这种“迷惑的绘画” 的代表人物是埃舍尔。他的作品忠实地遵循了焦点透视的法则,又充分融合了焦点透视的科学性、真实性以及绘画创作的自由性,并将它们以一种独特的方式结合在一起,让观众在明知其表现内容不现实的情况下却不得不承认这个空间的真实性，获得神奇的体验。
上升与下降 (石版画 ) 35.5 厘米 $\times 28.5$ 厘米 1960年埃舍尔 $[$ 荷兰 $]$
## 观察与讨论
你认为埃舍尔的绘画作品用焦点透视理论说得通吗?如果说不通,又是哪里出了问题?你能破解他的创作技巧吗?
观景楼 (石版画)
46.2厘米 $\times 29.5$ 厘米 1958 年埃舍尔 ［荷兰］ 美国国家美术馆藏
## 梦境的再现
几乎在埃舍尔创作这些出色作品的同时,另两位精于运用透视法则创造魔幻般空间场景的艺术家也在进行创作。达利和马格利特被人们称为“艺术魔法师”,他们将格式塔心理学图像原理与科学透视原理结合,创造出一种视觉上可伸缩的空间：当你整体地观看与局部地观看时,一部分图像元素会被推向不同的空间纵深，给观众留下了极大的思考余地，从而产生“一加一大于二”的视觉体验。
人类的境况之二 (油画 $) 100$ 厘米 $\times 73$ 厘米 1935 年
马格利特 [比利时 ]
青春期 (局部材料不详）1941年萨尔瓦多
## 真实的错觉
欧普艺术的独到之处在于它与视神经产生的“化学反应”一一错觉。它通过在平面上简单色彩图案的排列组合产生不寻常的变形、颤动等效果,使观众很难相信这是画在平面上的。
## 知识链接
“欧普艺术” 利用人类视觉上的错视现象绘制作品，又被称作“视觉效应艺术” 或“光效应艺术”。它主要采用黑白或者彩色几何形体的复杂排列、对比、交错和重叠等手法造成各种形状和色彩的互动,形成有节奏的或变化不定的动感,给人以视觉错乱的印象
格式塔心理学: 又称完形心理学,是 20 世纪有较大影响力的心理学流派。它主要研究知觉与意识,其目的是探究知觉和意识的心理组织历程。它的主要特点是反对元素分析，强调整体组织
艺术来源于生活。无论画面被描绘得如何不可思议,几乎都可以确定它的原型来源于现实生活。但是,绘画也会反过来影响人们对现实的认知与理解。绘画经常通过向观众展示不可能,来使人们意识到新的可能。如西班牙的古根海姆博物馆,它的设计风格显然体现着立体主义绘画对形体空间与结构的理解。
四喜娃娃（剪纸）民间艺人
四喜娃娃是民间艺术家创造的剪纸形象。经过巧妙构思，两个孩子的形象可以组合出四个孩子的形象。你见过类似的剪纸作品吗?
超新星（油画）
241.9 厘米 $\times 152.4$ 厘米 $1959-1961$ 年维克多・瓦萨雷利 ［匈牙利］
英国泰特现代美术馆藏
水库（油画） 61.5 厘米 $\times 51.1$ 厘米 1909年巴勃罗・毕加索［西班牙］ 美国现代美术馆藏
西班牙毕尔巴鄂古根海姆博物馆（建筑） 1997年弗兰克・盖里＜wide>[美国］
## 观察与实践
右图是格式塔心理学中一个非常典型的例子,也是一个典型的矛盾空间的范例。画面分为黑白两块,当你认为看到了人脸时,白色区域会成为背景,而当你认为看到了杯子时,黑色区域就会成为背景。你能否模仿这张图，画出相似的图形效果?
鲁宾杯（正负图形 )
## 创意表达
欧普艺术家让本来水平的直线看起来却是斜的。你知道是什么原因吗?你能不能参照本课图例,创作一个类似的看起来与实际不符的芧盾空间绘画作品?
## 第3课 用认知绘画（想象空间）
## 基本问题
不同于矛盾空间注重视觉空间的真实,忽略空间的逻辑关系，表现想象空间的绘画则忽略视觉空间的真实,只注重描绘空间的逻辑关系。表现想象空间的绘画呈现出何种样貌?其画面空间的逻辑关系又是怎样呈现的呢?
## 情境导入
你看过儿童的画作吗?它们通常造型单纯,线条质朴,布局自由 ……$ 欣赏时,我们总能从画面中梳理出头绪,找到主角、配角或一些做陪衬的场景元素,并搞清楚它们之间的关系。无论你相信与否,这种看似稚拙的绘画在某种程度上有其先进之处,因为儿童的绘画是基于意识的再组织,而非对视觉空间的模拟再现。要理解这种绘画需要动用逻辑思维能力与联想能力,体会他们的想象过程,这样,画面各元素的空间关系就清盺了。
## 观察与讨论
你在本页的图中看到了什么?它们给你什么样的感觉?请和同学一起讨论产生画作形象差别的原因
## 先民的图画
在“科学的透视” 这个在二维平面制造三维幻觉的“诈术” 被发明之前,想象空间一直是画家们使用得最得心应手的一种空间表现方式。这在遗留下来的原始绘画中表现得尤其明显。在先民的绘画中,画家们更倾向于将形象“摆放” 在画面上,使其完整并不相互遮挡。画中重要的形象通常被表现得异乎寻常的大,以体现它在空间和人的心理中的重要位置。另外,先民们在绘制形象众多的大型场景时,习惯以由下到上的顺序表现由近到远的空间关系。古人的视角
进人农耕社会之后,随着财富与知识的积累,画家们对自然的描绘也产生了变化。尤其是居所的改变,特别是那些棱角分明的巨大建筑物的出现,让画家们开始越来越留意空间在画面中的呈现方式。要描绘的内容随着文化的发展变得越来越复杂,也迫使艺术家进一步思考如何借用画面空间呈现时间的变化。
在这个时期的作品中,物与物相互遮挡是清晰呈现空间关系的一种典型方式，空间平行的概念已被理解,甚至出现了些许近大远小的视觉效果，但并不代表画家掌握了模仿自然的科学方法。究其根本,这个时期的绘画依然以一种自由的空间组织形式为主,画面的呈现依然是以表意为主，而非严格意义上的表现现实。在一幅作品中,平视角 (望向水平正前方的视角) 与俯视角 ( 由高处望向低处的视角）的建筑物会同时出现,甚至经常会看到同一个人物重复出现在画面的不同位置。画家运用这种方式表现时间的变化与故事的发展，这种空间表现方式依然被当今的揷画师广泛使用。
辋 $($ wăng ) 川图（局部绢本设色原画为唐代王维所作单幅壁画宋代摹本) 全图 29.9 厘米 $\times 480.7$ 厘米 ［宋代］郭忠恕美国西雅图美术馆藏
朝元图（氷乐宫壁画局部 ）全图 9468 厘米 $\times 426$ 厘米 [元代 ] 山西省永济县永乐镇自由地观察
空间在立体主义画家的眼中好比可揉捏的塑泥,折来折去或掏一个洞全凭艺术家的喜好。立体主义画家认为,空间应该是创作者用来表达的工具，而非创作者的主人。比如,在现实的空间里,我们只能同时看到一个立方体的三个面,而在立体主义艺术家看来,在一幅画中同时看到立方体的六个面是很正常的事。
色彩的空间
色彩在视知觉中也是有空间的。当两块同样大小的色彩并置时,会让人感觉暖色比冷色更近,纯色比灰色更近,亮色比深色更近。但当多种色彩以复杂的形式组织在一起时,情况就不同了，画家保罗 - 克利的绘画作品就刚好证明了这一点。
窗户 $($ 摄影 $)$
窗户所处真实空间的摄影效果。
白色，复音设置 $($ 水彩与铅笔 $)$ 47厘米 $\times 30$ 厘米 1930年保罗 • 克利 [ 瑞士］ 德国施普伦格尔博物馆藏
画面构成了一种类似通道的空间,中心处的白色作为最亮的色彩却让人感觉距离最远。从古至今，艺术家们对空间的理解,从懀懀懂懂到模仿再到运用自如,经历了漫长的过程。在大部分时间里,艺术家们都在运用想象空间来描绘画面。它就好像沉在水面以下的那部分冰山,不显眼,却异常重要。空间认知的产生是基于思维对视觉信息的理解与分析,而非直观的视觉信息的照搬。真正的艺术家懂得创造空间,而非被看到的景观牵着鼻子走。也许,从今天开始,你可以换一种眼光去看那些不寻常的绘画作品,试着理解这些艺术家脑中的世界是何种洞天。
吉他和卡片（剪贴嵌人油画） 1931年胡安・格里斯 [西班牙 ]
椅子 $($ 照片拼贴 $) \quad 1985$ 年大卫・霍克尼 ［英国 ]
英国艺术家大卫・霍克尼的作品遵循了相同的创作理念,而他的拼贴作品以更直观的方式呈现了艺术家的视角以及空间处理方式。
## 知识链接
立体主义：在20世纪初，经过焦点透视在绘画中大行其道几个世纪之后,法国有一批自称立体主义的艺术家厌倦了被束缚的画面和必须遵守的空间透视规则,他们在非洲原始木雕中得到了灵感,从此一发不可收拾。与其说立体主义艺术家善于切割、扭曲或重组形体,不如说他们更善于处理空间。
## 观察与实践
我国甘肃省的黑山岩画延续时间较长,可能从战国时期直至明代。黑山岩画是中国北方岩画的典型代表，作为古代西北地区游牧民族的生活记事画,具有较高的艺术及历史价值。请仔细观察，说一说画面所描绘的内容是什么,并分析一下画面上各形象之间有着怎样的空间位置关系。最后,请根据这幅岩画的空间呈现方式,绘制一幅你所在学校的生活记事画。
黑山岩画 ［战国至明代］甘肃省嘉峪关市黑山山谷
## 创意表达
请发挥你的想象力,将自己做过的最有趣的梦境描绘出来。请尽量将整个梦用一个画面表现,在创作过程中力求表现内容条理清晰,画面错落有致。
我的梦
梦中的马学生作业
梦境
## 单元评价
一、填空题
| 作品 | | | |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| 作品所使用的透视 | | | |
| 作品图像特点 | | | |
| 作品符合的空间种类 | | | |
| 审美过程中的文化价值 | | | |
| 个人理解 | | | |
二、简答题
我们应该怎样理解绘画中的空间?如果让你创作一幅绘画作品，你会如何表现空间效果?
## 第五单元构图
在绘画中,构图指画面元素或素材在一幅绘画作品中的安排方式。构图包括位置的经营与视觉的构成,它们都是艺术家根据审美需求组织艺术元素的过程。位置的经营通常在以叙事为目的的画面中发挥着更为突出的作用,它与画面主题的关系极为密切。视觉的构成与抽象绘画的关系更为紧密,更加注重体现构图的本质。才华横溢的艺术家们创作了不胜枚举的优秀构图,哪些构图值得我们在有限的时间内认真学习呢?这些构图方式有共性吗？我们还能在这些构图方式的基础上做出何种发展与创新?
## 第 1课 为眼睛做导游（构建画面）
## 基本问题
构图就像一根链条,将所有的绘画元素连接在一起。好的构图可以让观众全然沉浸在统一和谐的画面与主题当中,不好的构图会将观众拒于画面之外。绘画史中都有哪些优秀的构图作品?它们的构图与画面内容之间存在哪些美妙的互动?
## 欣赏与对比
仔细欣赏并对比中国艺术家古元、董其中的木版画作品，说一说你更喜欢哪幅作品的画面安排，原因是什么。
## 情境导入
你是摄影爱好者吗?当你自拍时，你会把自己摆在照片中的什么位置,又会以怎样的角度来拍摄?如果你为他人拍照会怎样拍?如果要拍一群人或是一个事件发生的现场呢?是什么决定着照片拍摄效果的好与坏?
烧旧地契（黑白木刻版画）1947年古元
山村秋景 (黑白木刻版画） 52 厘米 $\times 42$ 厘米 1963年董其中中国美术馆藏画面构图与主题
随着一代又一代艺术家的不断探索、发现与研究,如今在博物馆中已经积累了很多构图出色的绘画作品。在这些作品中，有几类经典的构图形式被艺术家们反复使用，如对称构图、三角构图、圆形构图、杠杆构图等。
阿尔诺芬尼夫妇像（油画） 约81.3 厘米 $\times 59.7$ 厘米 1434 年扬・凡・艾克 $[$ 尼德兰 $]$ 英国伦敦国家美术馆藏
凡・艾克的这幅作品是对称构图的典型代表,作品以吊灯为中心线,将整张画一分为二,并分别在两侧相对的位置安排视觉重量相当的两个人物,使整张画看起来平稳端正,也借此表现这个家庭的平等和谐。
狼牙山五壮士（油画）
186 厘米 $\times 203$ 厘米 1959 年詹建俊中国国家博物馆藏
《狼牙山五壮士》是三角形构图的典型代表。画面左下角的空间与战士的目光暗示着敌人正在靠近,右下角极陡直下的悬崖同样挑战着战士们的胆魄与勇气，两股力量向画面中上方形成合力,借着戈起的岩石向上托起了如丰碑一般的五壮士形象。
雪中猎人（油画） 117厘米 $\times 162$ 厘米 1565 年彼得・勃鲁盖尔 [尼德兰] 奥地利维也纳艺术博物馆藏
勃鲁盖尔在他的画作中描绘了猎人冬季打猎回家的场景,他将主要人物安排在画面左侧下方,好比杜杆上重量较大的一端;画面中间位置的树木好比杜杆的支点;而画面右侧远处滑冰的人群就像是位于杜杆远端的重量较轻的物体，艺术家借杜杆原理在画面中实现视觉的平衡。
克里斯蒂娜的世界 (丹培拉画法 ) 81.9 厘米 $\times 121.3$ 厘米 1948 年安德鲁 $\cdot$ 怀斯 [美国] 美国纽约现代美术馆藏画面中，女子倾斜的身躯指向画面右上角的房屋，两个物体的位置呼应形成了一条从左下角到右上角的趋势线。
套马 ( 油画） 97.5 厘米 $\times 222$ 厘米 1955 年司徒乔中央美术学院美术馆藏
作品运用了圆形构图。画面中的马群以画面中心的空隙为中心旋转奔跑,构成了类似椭圆形的态势。这样的构图倾向于让观众的视线围绕着构图中心运动，不论看向何处都会再次被画面中心吸引。
早春图 ( 中国画绢本设色 ) 158.3 厘米 $\times 108.1$ 厘米 [北宋 $]$ 郭熙台北“故宫博物院” 藏
中国画中的构图又称“经营位置”。画家采用“S”形的构图,引导观众的视线随着山体的蜿蜒走势由近及远、由下及上地看过去，使人在视线移动的过程中完成审美体验。
## 知识链接
“构图”是“构建图像”的意思，换言之,构图就是组织画面元素关系,安排画面元素位置
地道战 ( 油画） 140 厘米 $\times 170$ 厘米 1951 年罗工柳中国人民革命军事博物馆藏
画面以中央的女游击队员为视觉中心，通过众人的视线将观众的目光引向画面右侧,在碰到画面边缘后又被封闭的房间结构引向画面左侧的增援队员们。整幅画还使用了杜杆式构图：位于画心左侧刚刚露出头部的女民兵下按的手部作为杜杆的支点;位于画面最右侧的民兵则起到秤砣的作用，用于平衡画面左侧三位民兵的视觉重量。
## 探究与练习
油画《红军来了》采用了什么构图方式?它与《地道战》的构图方式有什么不同?画家是如何经营人物的位置关系以及如何用光线来表现画面内容的?请将自己的探究结果写成一篇研究报告，并画出作品的构图示意图。
红军来了（油画） 200 厘米 $\times 360$ 厘米 1961 年莫伊谢延科 [苏联]
俄罗斯特列恰柯夫美术馆藏
作品描绘的是俄国国内战争时期画家自己的童年记忆：一队红军骑兵夜间飞驰着经过一个村庄,英勇豪迈的战士们正骑着骏马匈勿赶路。路边一家农舍的灯亮了,一个还末穿好衣服的小伙子从屋里跑出来,惊喜地出来迎接红军队伍。学习经典
《地道战》是中国画家罗工柳先生于 1951 年创作的革命历史题材油画，也是他第一幅获得巨大成功的油画作品。作品的创作灵感来自画家本人的革命经历,这使得他的创作激情异常强烈。整幅画的构图犹如一出舞台剧,在有限的画面空间内创造了让人浮想联翩的画外空间。
## 拓展学习
请尝试在《地道战》中将构图示意线画出来,并小组讨论谁画得最准确。
## 创意表达
请选一处你最喜欢去的地方，运用本课所学的构图知识把在这个地方所见的人与事画下来,完成后与同学们分享构图方面的创作心得。
学生作业
室内一角
# 第2课 纯粹的构图（解构与重构）
基本问题
构图决定了画面的形式感,影响着我们的视觉感受。当形式感成为画面的主题时,画面的其他元素就成为了可被支配的配角。新锐的现代艺术家如何重新认识构图与形式感?这种认知的转变又对传统的绘画产生了怎样的影响?
## 情境导入
你有没有惯性思维?答案是肯定的。科学研究认为,惯性思维是人通过经验与知识积累形成的一种快速反应的思维方式,这种思维机制帮助人类节省了很多脑力劳动,它并不是一个贬义词。然而，人类历史上很多重大的进步来自我们对惯性思维方式的突破,从而有了新的发现。艺术也是如此，它倾向在突破过去的情况下提出一种新的审美方式。你知道哪些艺术家或流派在绘画史上推动了绘画的变革吗?
很多艺术家突破了画面必须是平的这个惯性概念,同样,他们对画面构图的思考也发生着类似的变化。我们换一个角度来看构图：假设整个画面是一块结实的板子，被平衡放在了一个支点上。现在,给你几块铁板充当画面的内容,要求将它们不可重叠地放置在画面上并不可以破坏画面的平衡。在完成这个任务的同时,你在理论上已经完成了一幅出色的构图绘画。是的，构图的本质在于平衡。
浅黄色（油画） 2003 年布里奇特・路易斯・赖利 [英国 $]$
赖利的作品抛弃了叙事内容,也没有使用构图方式,单纯使用近似重复性的图案组成整幅作品,将绘画简约到了纯视觉的层面上,好比一段没有歌词的音乐,只有节奏和旋律。
## 抽象绘画的出现
20 世纪初,人类文明发展加速,科学技术大量普及,艺术家越来越注意结构在绘画中扮演的角色。抽象绘画的几何形体增强了画家对空间、结构与构图的认识。在这个过程中,被称为结构主义的艺术形式对当今世界范围内的图像组织方式起到了非常重要的作用。
某档电视节目的片头,它的画面有着结构主义绘画构图方式的明显特点。
至上主义者的创作 （油画） 88.7 厘米 $\times$ 71.1 厘米 1916年马列维奇 ［俄国］荷兰阿姆斯特丹市立博物馆藏
至上主义绘画彻底抛弃了绘画的描述性成分,也抛弃了画面对三维空间的呈现作品中几何形色块的自由组合,在画面上形成一种理性的视觉审美。
## 思考与探究
你更喜欢哪一类型的构图?你认为是哪些构图理念上的不同导致你做出了这样的选择?请和同学们交流彼此的看法。
建楼曲 (水墨设色)
49 厘米 $\times 45$ 厘米 2000 年吴冠中中国美术馆藏
画家将建造楼宇的脚手架提取为单纯的视觉符号,并运用解构与重构的处理方式,创作出富于节奏感的画面。
镜中的椅子 ( 油画 )
130 厘米 $\times 145$ 厘米 1993 年王怀庆 （选自《二十世纪中国油画》）
画家以椅子作为创作题材,将其基本部件解构为独立的造型元素,摆脱了绘画对客观物象的机械模仿,赋予了作品新的象征意义。
体育场 2 号 (墨水与丙烯) 2004年朱莉・马赫图 ［美国］
作品中纷繁的点、线、面的视觉元素组合,交织出感性造型与理性秩序共融的动感效果。绘画构图依然在不断地创新,但以往的构图方式仍在不断地被今天的艺术家学习、使用,它们不存在优劣的差别,只存在目的和效果的不同。末来在绘画构图上的任何新突破只会让我们的视觉世界更加丰富。
学习经典
夜晩,红树（油画） 1908 年
灰色的树（油画） 1912 年
蓝、灰和粉红色的构成
( 油画 ) 1913 年
红黄蓝构图
(油画 ） 1927年
蒙德里安是一位成名于 20 世纪的荷兰艺术家。他的作品不但很有特点,也富于逻辑。他的作品比结构主义早期艺术家的作品特征更明显，也更纯粹。他的关于树的系列作品，是艺术史中少见的表现单一主题绘画形式演变过程的绘画创作。在这一过程中,画家逐渐将构图从树木的形象桎梏中抽离出来,实现了纯粹的形象解构与重构。观众在逐幅观看的过程中会发现,自己的视线越来越分散到画面的各处而不再集中于树所在的位置，最终甚至感觉画面继续在画布之外向四面八方延伸。
技法点击（构图―解构发动机）
为了表现机器人动起来的样子,可以在硫酸纸上多次勾画机器人肘部的行动轨迹,然后将过程中的每帧机器人的背光部分切割下来。( 黄山绘 )
## 观察与实践
下面这幅绘画是法国艺术家莱热的作品，创作灵感来自工业机械。你见过这样的构图吗?你能用我们所学的构图知识将它分类吗?如果能,请说明是哪种构图和你判断的理由;如果不能,请思考这幅画与前几张作品在构图上的不同之处并说明。请参照下方的机械图片,体会机械部件在画面中的穿揷组织关系并创作一幅画。
磁盘 （油画） 1918年莱热［法国］
机械局部 ( 摄影 $)$ 学生作业
芦花鸡
## 拓展学习
请选择几张不同颜色的纸,将它们撕碎或切割，然后用这些碎片拼贴出一幅作品。请用你认为理想的构图方式组织画面,完成后请与同学交换欣赏,并说明你采用这种构图方式的理由
## 单元评价
一、填空题
构图的本质在于
二、简答题
1. 构图是什么?2. 写实绘画与抽象绘画在构图上有什么区别？请谈一谈你的理解。
## 第六单元衾现表现
表现是艺术家创作的目的,是艺术家通过综合自己所掌握的一切能力,将思想转化为实际图像的过程。对绘画的表现考验着每一位进行创作的艺术家的整体艺术素养。本单元将涵盖全书内容,作为一名学生,我们有必要思考: 经验丰富的画家如何构思、组织创作?他们大都遵循着怎样的创作步骤?如果面对一个大型集体创作,我们该如何组织与合作?
## 第 1课 园艺师的种子（主题与题材）
## 思考与交流
你有没有非常喜欢的一幅画、一本书或一个玩具?你为什么喜欢它?和同学们讨论并交换彼此的想法。
## 相关链接
艺术创作没有门槛,也没有那么神秘。当一个渴望表达的人遇到了合适的主题,并在表达过程中发挥了足㿟多的主观能动性,且对主题内容挖掘得足够丰富和深入后,一件出色的绘画创作就诞生了
## 基本问题
一幅绘画作品的诞生离不开两个要素――主题与题材。一幅优秀的创作需要画家与主题之间产生怎样的互动?我们应该如何甄选并归类海量的绘画主题?
## 情境导入
你见过园艺师侍弄过的花圃吗？优秀的园艺师能将各种普普通通的花草经过播种、培育、摆放,搭配成平面的或立体的、令人赏心悦目的景观图案。数千年来,无数艺术家也如同辛勤的园艺师一样,用画笔为人类社会创造了数不尽的精神食粮。当我们在博物馆中欣赏一件件精美的绘画作品时，究竟是什么吸引了我们？
## 绘画创作的主题
绘画的技艺虽然重要,但对主题与内容的表达才是我们进行绘画的目的。绘画创作的魅力在于表达对事物独特、创新的看法与视觉体验,在于画者受创作主题的启发而将一种个人感受变为可视的现实。无数优秀的画家用作品证明了主题是绘画创作的核心元素。
通往乌鲁木齐 (油画 $) 100$ 厘米 $\times 400$ 厘米 1954 年艾中信中国美术馆藏
通过欣赏作品,观众可以很直观地感受到大自然的壮丽与劳动人民的创造力给人带来的巨大视觉冲击,并理解画家所要表达的歌颂祖国建设这一主题。
我们从哪里来?我们是谁?我们到哪里去?(油画) 139厘米 $\times 375$ 厘米
1897年保罗・高更 ［法国］ 美国波士顿美术馆藏
放逐自己的高更，把“认识自己” 这一人类的千古哲学命题,通过画笔作了一次象征意义上的解答,深刻地表现了拥有现代文明的人们，在心灵层面追求人类精神乐园时所要承受的无法解脱的迷莯、忧伤、困惑和焦虑。作品是画家对人生的总结,也是他在精神上的彻悟。
## 绘画创作的题材
人类历史传承下来的绘画作品数量庞大,题材丰富,形式多样。历史题材画是绘画史中重要的一类,其创作目的通常是纪念或再现。
八十七神仙卷 (中国画局部) 全图 30 厘米 $\times 292$ 厘米 ［唐代］吴道子北京徐悲鸿纪念馆藏
徐悲鸿认为《八十七神仙卷》是唐代画家吴道子存世的唯一一幅白描绢本。吴道子被尊称为“画圣”,他的作品端庄、浑厚、灵动。画中神仙形象安排得错落有致，布局饱满且富有节奏,人物的衣带好似随风飘摆,被后世盛赞为“吴带当风”。
国魂・屈原颂（油画）189厘米 $\times 189$ 厘米 1984年朱乃正中国美术馆藏
选择屈原为国魂的代表，体现着画家深深的忧患意识及对民族命运的关切。画家强调“我们后人感怀凭吊的是屈原的魂，魂非挱迹，而是永世不灭的希望”。
宗教题材的绘画是绘画史中相当大的一部分,因其在巨大的时间跨度中记录下了不同时代的生活特征与文化差异,从而成为考古学中重要的图像依据。就其本身而言,宗教题材绘画是以信仰与故事为依托的一种绘画创作，画家发挥的空间受到了一定限制。生活题材的绘画创作是与日常生活关系最为密切的一类绘画。它涵盖范围广,素材丰富,表现形式多样,是被艺术家经常选用的一类创作主题。
抽象绘画的创作都有着鲜明的个人风格,因为作品是画家自我意志的表达,即表现的是画家个人的世界观。
画家通过与生创作追求形式美、色彩美等视觉美感,或借物抒情。在绘画创作中,高超的绘画技艺并不是我们创作的目的,而是我们创作的基础。绘画技术水平会限制一个艺术家在表达时所选择的方式和深人程度,但是创作真正的灵魂和意义在于独特的主题表现以及个人观点的表达。
## 探索发现
你喜欢哪个类型的主题创作,为什么?与同学交流并分享看法。
舞蹈课（油画） 85 厘米 $\times 75$ 厘米 1875 年埃德加・德加 ［法国 ] 巴黎奥赛美术馆藏
作品中,舞者表现出各种日常生活的动作,给人以轻松自然之感。画家对舞者造型的敏锐观察与娴熟表现,让他的作品看起来充满了浓浓的生活气息。
哈萨克族牧羊女 (油画 ) 163 厘米 $\times 128$ 厘米
## 8年董希文中国美术馆藏
描绘少数民族的人文风情,是董希文一生绘画创作的重要主题。西北生活采风让他积累了丰富的创作素材。画家运用了写实和风格化相结合的手法,组成充满韵律感和节奏感的画面。
荷兰室景一号（油画）
92 厘米 $\times 73$ 厘米 1928 年米罗
［西班牙 ] 美国纽约现代美术馆藏
瓶花（油画） 60 厘米 $\times 73$ 厘米 1974年卫天霖中国美术馆藏
画家长期致力于将西方印象派画风与中国民族美术传统相融合的探索。他讲求构图,精于用笔,喜厚涂法与透明法的交替使用。光影交错、色彩斑斓的画面具有厚重而优雅的艺术个性。
## 观察与实践
徐悲鸿是我国著名的艺术家、教育家。查阅相关资料，尝试从创作背景、题材、主题及表达等方面分析徐悲鸧的代表作品《田横五百士》,将得出的结论与周围的同学分享,讨论彼此结论中的不同之处并加以考证。接下来，请创作一幅绘画作品，以自己对表现内容的理解决定人物形象与画面情节，并突出表现自己对主题与题材的独特感受。作品完成后请与同学们交换欣赏。
1928-1930年徐悲鸿徐悲鸿纪念馆藏
学生作业
无题
第 2课 创作是怎样“炼”成的（有画要说）
基本问题
绘画创作的魅力何在?我们该如何创作?
## 情境导入
看到一列火车进站时你会想到什么一一回家的喜悦或是离别的酸楚?科技的创新或是旅行的快乐?或者你对这列火车根本没有兴趣以至于没注意到它的到来?一千个人会有一千种答案。想法需要表达,我们应该怎样用绘画创作表达自己的想法呢?
大闹天宫孙悟空 (《闹天宫》工笔连环画之八) 50 厘米 $\times 40$ 厘米
20 世纪 50 年代刘继苘
作品是画家以古典名著《西游记》中孙悟空大闹天宫的故事为主题而创作的。作品中人物众多,构思巧妙,刻画生动,布局合理,疏密得当。
## 思考与交流
请结合前面所学绘画的知识与技能,认真思考并讨论交流,如何组织各种画面元素才能创作出一幅好的绘画作品
绘画创作的整个过程需要一个完整的思路,需要组织与调理各种画面素材。前辈画家的创作过程为我们提供了宝贵经验。
怒吼吧，中国！（版画）
20 厘米 $\times 15$ 厘米 1935 年
李桦中国美术馆藏
李华将对民族的期许与对日本侵略者的愤怒融于一画。画面元素简练，含义清晰，让观众过目不忘。
## 创作流程
绘画创作的步骤大概分为以下五步:
1. 选定主题，搜集相关资料，做足考察工作;推敲并完善题材，理清表现主题的思路;备好画材。2. 搜集素材，篮选并将其改造为创作需要的素材，绘制素材手稿。3. 安排构图、造型与色彩搭配;绘制前统筹好画面,对画面有比较明确的预期。4. 创作作品并整理思路，根据实际情况反复调整与修改画面。5. 完善细节并收尾。
贺友直先生的画案
## 学习经典
在绘制作品之前，要做大量的素材研究与分析，无论是利用现代化信息科技手段还是去生活中搜集创作素材，都是非常必要的。将图像记录下来或绘制成素材手稿，不但能为本次的创作打好基础，经过长期积累，也会惠及末来的创作。我国著名画家贺友直的创作过程为我们提供了一个经典的创作范例，画家为创作绘制素材手稿的目的是搜集资料与完善形象,而不是画完整的作品，所以图画得都很放松。
构图是作品的骨架，将素材组织成构图的过程是绘画创作最为重要的阶段。大部分艺术家在创作的过程中会反反复复地调整构图,如同写文章落笔之前的构思,这个过程占去了他们创作的大部分时间。
教学讲义手绘示意图之一 [现代 ] 贺友直
仓教学讲义手绘示意图之二 [现代 ] 贺友直
## 相关链接
贺友直（1922-2016年),生于上海,浙江宁波人,我国著名连环画家。他自学绘画,1949年开始画连环画，在上海人民美术出版社工作。他从事连环画创作 50 多年,共创作了百余本连环画作品,对我国的连环画创作和线描艺术的发展做出了重大贡献。
## 研究与发现
下面是画家创作的连环画《小二黑结婚》不同版本的创作稿。仔细研究画面,说一说构图的差别与所传达内容的关系是什么,色彩在其中有何作用。
《小二黑结婚》创作之三 ( 中国画 ) 2005 年贺友直
《小二黑结婚》创作之四 (中国画) 2005 年贺友直要想让一幅作品达到理想的效果还要注意细节的处理。细化一幅作品并不一定意味着要不断增加细节。有时候,为了整体画面的需要也要减去一些不必要的画面元素。越到创作的后期越需要艺术家对画面的节奏与疏密有明确的认识。否则，容易落人越画越多、没完没了的陷阱。
老街光景好 ( 中国画白描 ) 2004 年贺友直
当然,创作的步骤与方法还有很多种，如有些艺术家在浏览素材时会突发灵感，有些艺术家的创作过程则极为快速、一蹴而就,而有些艺术家甚至在创作到一半的时候走向了与原主题完全不同的方向。
## 创意表达
发挥自己的创造力,绘制一幅作品,创作主题、形式、风格与材料完全自选。可以参考其他艺术家的作品，但不要抄袭。完成后请与同学们交换欣赏,并谈一谈自己的创作理念。
风来了我
记忆
## 第 3课 众人拾柴（集体创作）
## 基本问题
绘画的集体创作通常是从公共利益出发而进行的创作活动,它考验着参与者的团队协作能力。为什么要进行集体创作?集体创作的方式都有哪些?如何组织一次成功的集体创作?
猎鹿图 (洞窟壁画）距今约 11000 年 [西班牙 ] 瓦塔地区卡瓦尔斯居留地
## 情境导入
社会中的每个人要想充分发挥自己的能力都需要他人的协助与支持。在距今约 11000 年前的西班牙洞窋壁画上,描绘了人类集体狩猎的场景。人类的这种合作行为如今已经达到了前所末有的高度。绘画也不例外,一此大型壁画的创作由于工作量、工期或难度等原因，必须由一个艺术团队合作才能完成。你了解这个讨程吗？
## 回忆与讨论
你有没有参加过社会活动?还记得你参加活动的过程吗？你参加的活动都由哪几部分组成?你在其中扮演了什么角色,承担了什么任务，有怎样的收获?
洪流（壁画） 2016年中央美术学院师生
$仓$ 鱼缸主题壁画（壁画） 2016年中央美术学院师生
北冥之鲲（壁画） 2016年中央美术学院师生
## 乡村壁画（案例一）
大水峪村是北京怀柔区的一个小山村。山村里与众不同的壁画是由中央美术学院壁画系的师生在 2016年共同创作的。经过精心设计与描绘,最终实现的壁画创作满足了村民装点生活环境的需要,带动了旅游经济的发展，也为乡村注人了一股文化活水。
福禄寿禧财 (局部壁画） 2016年鲍瑶、崔彦斌、李叶蔚
## 探索与发现
在我们的生活中,城市壁画与我们的生活关系最为密切。你能发现它们不同于独立创作的特点吗?它们所展现出的目的性与公共价值有哪些?地下风景线（案例二）
在北京纵横交错的地铁线内，在每天行色匈勿的人群身边，有一条地下风景线一一庞大的城市壁画系统。自 20 世纪 80 年代至今，随着地铁系统的快速建设,地铁壁画也随之一起成为了北京城市文化的一部分。数个闭队先后参与了这个巨大的集体创作活动。地铁艺术已成为保留北京记忆的重要途径,它具有连接城市历史与末来的能力。它带给我们的启示是绘画作为文化的一部分，作为一种古老的艺术形式发展至今,传承与创新是它历久弥新的不变法则。
北京市南锣鼓巷地铁站壁画
北京市动物园地铁站壁画绘画世界千姿百态、博大精深，要想充分了解、掌握绘画，并将之应用到生活当中，还需要更为广阔的知识涉猎与长期的绘画练习。
## 组织团队
请在老师的带领下,在班级内部商讨适合的合作方式。在充分讨论后,请同学们自愿组成团队,并将团队成员的名单记录下来。在此基础上,请团队成员介绍自己在绘画方面的长处与优势、缺点与不足。
## 确定分工与团队架构
通过讨论，确定自己团队的创作主题,制订团队合作的详细计划，将团队各成员的分工与工作流程以步骤图的方式记录下来
## 组织素材
每位同学根据自己的分工搜集素材并整理成册,应尽可能地完善这些素材,将它们整理为可用的手稿。
## 绘制完成
将构图草稿复制到画布上，按照团队分工,一起完成作品
## 完成构图
将大家搜集到的素材进行汇总,并根据所学绘画知识,通过团队研讨论证后,描绘合理的创作构图。完成后,再次由团队集体论证、修改，获得最终的构图稿。
## 合作与实践
同学们从点、线、面与色彩开始了解绘画,通过学习,对绘画中至关重要的形体与空间概念有了更深刻的认识,之后又学习了经典绘画作品中的构图原理等,为有意识地自主创作做好了基础知识储备。最终,我们要将所有知识融于一处，学习创作以表现个人思想观念为中心的绘画作品。请在此基础上，以团队合作的方式创作一幅集体绘画作品。并进一步思考：绘画是什么?我们为什么要绘画?
## 特别提示
在开始集体创作之前,同学们应该注意,如果创作是在公共空间展开的,请先获得空间管理方的同意，切勿擅自在末获得许可的公共环境进行绘图！
## 单元评价
一、填空题
1. () 是艺术家创作的目的。
2.绘画史中相当一部分作品的题材是（） 和 （），如徐悲鸿创作的《禺公移山》就是以（）为主题创作的，表达了画家强烈的爱国主义情怀。
3. 我们在进行绘画创作时,应该按照 $(\quad)$ )、(、( )、
）五个步骤完成。
4. 当我们合作创作绘画作品时，除了组织团队，还应该有（）、（ $）、(\quad)$ 和（）四个环节。
二、简答题
当我们为学校创作一幅大型壁画时,确定什么样的主题才能有创意地表现出作品的审美价值和校园文化特色?谈一谈你的理解。
## 绘画材料与技法
## 铅笔
绘画中我们常用的铅笔标号一般在 $6 \mathrm{H}$ 到 $9 \mathrm{~B}$ 之间,$\mathrm{H}$ 指硬度，B指软度。较软的铅笔一般用来起形,较硬的铅笔一般用来刻画。铅笔素描画完后，可用定画液固定画面。
铅笔素描作品（安宇绘）
铅笔素描作品细节一
细节边缘上的处理要用空间和黑白对比来区分物体,不要勾线。
铅笔素描作品细节二
轻松而有序地排画线条,能使所画物体更具透气感,切忌平涂，避免闷、死、黑等画面效果。
铅笔素描作品细节三
可用手指、纸巾等轻抺排线部位,增加画面的透气感。
## 色粉笔
色粉画的色彩鲜艳饱和，表现力强，画面效果强烈。作品完成后，可用定画液固定画面。
色粉笔及笔触效果
笔头与纸面完全接触。
侧锋用笔，画细致的线条
笔身侧锋，大面积涂抺。
色粉笔可用砂纸打磨,粉末可以留作铺背景用。
用橡皮擦出高光。
用棉布将色粉笔擦干净,可以得到纯度较高的色彩。一、水彩颜料
1. 透明性
相对于丙烯或水粉颜料,水彩颜色是透明的。所以绘制水彩画时,应由浅人深,重色放到最后画,以防止先画重色而导致画面无法修补。水彩颜料含胶，干后不太容易洗掉。
2. 流动性
水彩是水溶性有色颜料,具有极高的流动性。水彩画需要放在近乎水平的平面上才易于绘制，一旦有倾斜,颜料很有可能会顺着画面流下来而毁了画面。水彩色在末干前可相互渗透融合。
二、水彩笔
蓄水量大且笔锋细长,便于拉线,以貂毛笔或松鼠毛笔为优
三、水彩画的质感
下方左侧图片由上到下呈现的是四种常见水彩画笔法所呈现的画面效果。水分的控制,留白区域的大小,都是决定画面成败的关键因素。图 1 的方法非常考验画者的耐心和功力,通常需要借助留白胶来实现。图 2、图 3 主要是考验对水分的把握，通常用于表现质感或刻画背景。图 4 的干笔画法可以清楚地留下笔触,恰当使用可丰富画面的层次。
图 1 留白上色的效果
图 2 在被打湿的水彩纸上施色后的效果
图 3 施色后用清水冲淡颜色的效果。
图4 干笔上色的效果。四、常用水彩媒介
1.留白胶
上色之前在想要留白的地方涂上留白胶，等上色完成后移除，就会留下无色的空白。
## 2. 增稠剂
掺在色彩中使用,千后不会改变水彩的透明度，但是会显现出纸张的纹理 3.盐
可以制作许多种特殊的画面效果，在画面末干时撒上即可。
五、水彩绘画步骤
1. 铅笔起形，用概括的淡彩描绘出大体的色彩关系。
3.画出水果的阴影部分,并继续描绘画面细节。
2.进一步描绘并丰富画面中主体物的色彩层次。
4. 加强明暗关系的表现，以画出空间感。
5.调整、完善色彩关系，完成作品。(安宇绘) 一、工具与材料
1.油画画框
2. 画架
3. 油画颜料
4. 油画笔
5. 笔架及笔筒
6. 松节油、调色油
7. 油显
8. 油画刀及刮刀
9. 调色板
10. 木炭条
德国画家穆特的油画作品和调色板
二、油画框纸布步骤
1.将油画布的经纬线与内框四边平行放置（油画布的四边一般应比内框长4 5 厘米,否则丕斜的布纹将影响画面的肌理美感),然后将画布剪裁下来。
5.按照图中所示的顺序依次进行，钉的时候要均匀地拉紧画布,钉子间距依画幅大小而定,通常为 $4 \sim 6$ 厘米，应均匀分布。
2.用几个图钉将画布淟时固定在内框四角处,避免在绷布时画布产生丕斜。
6. 可使用画布钳来拉紧画布，过松、过紧或松紧不匀都会影响画面效果。用画布钳时要防止拉得过紧,使纤维斯裂,或使画布缺少伸缩余地,造成颜色开裂。
3.用木炭条在画布上沿四边的外角画上直线,这样可以在后期绷拉时帮助掌握分寸，保证用力一致。
7. 待四边钉完后,检查画布是否松紧均匀、有无丕斜等。如不合适,应及时调整甚至拆除重纸；如合适则可处理四角。
4.钉画布钉子时应从内框长边的外侧中心处开始,再在对应的另一边钉第二个,接着以同样的方法钉两个短边。
8.要将画布四个角处折成斜角包入内框的外侧,不要把折叠处暴露在外面,这样从侧面看比较平整,画框四边更美观。
## 三、制作画底
当今常见的油画底子一般是乳胶油画底,其作用是防止颜料中的油质渗人画布,造成变色。其制作步骤如下:
1.优质乳白胶（即聚醋酸乙烯乳液）1 份,
加 $4 \sim 5$ 份水搅拌均匀,以此稀胶液涂刷画布两到三遍。
2. 钊白粉、大白粉 (碳酸铂)、乳胶原液和清水各1份,以上四者等量混合均匀后即成乳胶底料,以此底料在干透的画布胶底上涂刷第一遍。
3. 待第一遍底料干透后，用砂纸将涂层轻轻打磨,再刷第二遍底料,待干后再用细砂纸打磨平整。
## 四、油画绘画步骤
1. 观察：观察这个静物，想象一下大体要达到的画面效果。
2.构图: 用炭笔或色粉笔在油画布上勾画出物体的轮廓，注意画面构图合理。
3.上色：建议从重颜色开始描绘。
4. 色调：用松节油稀释颜料,迅速画出大的色彩感觉,颜色不宜画得太厚。
6. 对比：写生时应注意亮部一般都画得较厚,而暗部一般都画得较薄。
5.刻画：用较厚的颜料逐步在画面上进行刻画,时刻注意整个画面的色彩关系保持协调。
7.调整：淡化不必要的细节，强调一些关键细节，调整全局关系,使画面整体虚实相生,主体部分更加突出。
8. 点睛: 对细节进行精心描绘,画出点睛之笔,完成作品。五、油画工具与技法
可以使用大小不同的画笔调和颜料,因为油画颜料很难清理,可以用笔蘸一点儿松节油,再用废弃的旧报纸来擦掉笔刷上的多余颜料。油画刀可以用来堆砌颜料，刮刀可用来刮掉颜料。
糅，是指把画面上两种或几种不同的颜色用笔直接糅合的方法,颜色经糅合后会产生自然的混合变化,起到过渡衔接的作用。
刮，是油画刀的基本用途。刮的方法一般是用刀刃刮去画面上画得不理想的部分,也可用刀刮去不必要的细节或减弱过强的对比关系,让紧张的画面关系松他下来。绘画结束时往往还需要把调色板上末用完的颜色用刀刮去以便及时干燥,待下次再用。颜色干后也可用画刀或剃须刀把高低不平处刮得平整一些。还可在末干的颜色层上用刀刮，使之露出底色从而显现各种肌理。
划,是指用画刀的刀锋在末干的颜色上刻画出线条或形，有时可露出底层色来。不同的画刀能产生深浅，粗细不同的刮痕,它们与画笔的笔触共同形成画面上点、线、面的对比及肌理变化
扫，常用来衔接两个邻接的色块,使之不太生硬,趁颜色末干时以干净的扇形笔轻轻扫掠就可达到此目的也可在底层色上用笔将另一种颜色扫上去,以产生上下交错、松动而不拭死的色彩效果
砌，砌的方法是用刀代替画笔，像泥瓦匠用泥刀堆泥灰那样将颜色堆砌到画布上去,直接留下刀痕。用砌的方法可以使画面产生不同的厚薄层次变化，刀的大小和形状以及用刀的方向不同也会产生丰富的对比。用画刀调取不同的颜色不作过多调和,任其在画面上自然混合能产生微妙的色彩关系。砌的方法如果使用得当,会有很强的塑造感。
油画笔与刮刀
## 绘画知识拓展
## 1. 色彩科学
色光三原色
红色（ $\mathrm{R}=$ Red )、绿色（ $\mathrm{G}=$ Green )、蓝色 ( $\mathrm{B}=$ Blue ) 为色光的三原色。通过色光来混合出颜色的方法,叫作 $R G B$ 模型,也叫作加性颜色,意为给色光做加法,颜色由色光的叠加混合产生。在加性颜色系统里,纯粹的黑色就是没有光，纯粹的白色就是所有光的混合。
颜料三原色
由青色或天蓝色（ $\mathrm{C}=$ Cyan )、品红或者洋红（ M=Magenta)、黄色（ Y=Yellow ) 三种颜料形成的三原色组合，叫作 CMY模型,属于减性颜色。加性颜色是从黑 (没有光) 到白 (所有光),减性颜色是从白（白纸) 到黑 (如彩色打印时所有颜色的混合 )。
RGB 色光加色法
CMY色彩减色法
2. 色彩三要素：色相、明度、纯度
色相：色彩本身所具有的面貌，比如红、黄、蓝等颜色。
明度：色彩的明暗程度。
纯度：色彩的纯净程度，纯度越高越鲜艳，纯度越低越暗沉。
色环中相邻的颜色为相似色。
色环中每款色彩的正对方向为它的互补色。
在绘画中，色彩的精确度不是第一位的，色彩关系才是。画面上没有任何一块色彩是孤立的，即不同的色块通过对比与联系来表现画面。
明度与纯度
补色与邻近色
## 3. 色彩对比
(1) 色彩冷暖: 色彩的冷暖存在着相对性。
(2) 明度对比
将相同的色彩放在黑色和白色上,会发现放在黑色上的色彩感觉比较亮,放在白色上的色彩感觉比较暗。
(3) 彩度对比
某种色彩与另一彩度较高的色彩并列时,会使人觉得它的彩度变低;而它与另一个彩度较低的色彩并列时,会使人觉得它的彩度变高。
(4) 补色对比
两个互为补色的色彩在一起时,会产生明显的对比效果一一它们彼此的色感更强,我们称之为补色对比。
## 4. 色彩心理
前进色:
在昏暗、纯度低的冷色系色彩上放置明亮且纯度高的暖色系色彩,给人以前进感。
后退色:
在明亮、纯度高的暖色系色彩上放置昏暗、纯度低的冷色系色彩,给人以后退感。
重色:
明度低的浑浊的颜色给人以沉重、压抑的感觉。
㛗朗
阴郁
甜
冷静
兴奋
㲔
令
保真度
仁慈
执
不忠
粗鲁
安慰
礼箔
自然
华丽
朴素
苦
兴奋
仇恨
爱情
残酷
丑陋
美丽
人造的
谎言
真相
矿物质颜料
你知道颜料是由什么做成的吗?在大规模化学工业兴起之前,画家们所用的颜料大部分是由彩色的矿石做成的。通过一遍又一遍的研磨、水洗、沉淀与提纯,工匠们将最鲜艳的那一部分矿物质提取出来做成颜料。我们的祖先早在几千年前就已经使用矿物质颜料绘制图案了。
值得注意的是,虽然矿物质颜料是天然的,但它们中的大部分还是对人的身体有害。所以,大家应该在珍惜颜料、尊重颜料工人劳动的同时,保护好自己
颜料制作工具
青花瓷
黄色矿物质颜料石
矿物质颜料
## 6. 形体结构
形体结构是一个有趣的话题。人类在不断追问美为何物的同时，也在试图自主地为形体的美在现实中找到依据。
维特鲁威人（纸本素描） 约 1487 年
列奥纳多・达・芬奇 [ 意大利 ]
达・芬奇绘制的《维特鲁威人》研究手稿中，对人体比例的表现体现出了他对形体美和结构美的一种理想。
人体解剖分析图
从被大众广泛认可的人体八头比例结构图中可以看到,手臂定为三个头长,腿为四个头长。然而,这只是人类对自身形体结构的一种总结式的理解。在生活中,不符合这个比例却被认为美的案例比比皆是。文化对于形体结构审美的影响不容忽视。
鹦垤螺
鹦鹉螺壳剖面图
黄金分割螺旋
鹦鹉螺是生物界的活化石。相较于生物学家,它的壳对于数学家来说也许更有意义,很多研究者认为它的壳是黄金分割比例的真实版本。很多建筑的长宽比例都严格遵循着黄金分割比。由于柏拉图对数学的推崇,很多西方艺术家将此比例认定为最美的比例,并使用在绘画、雕塑、建筑当中。如在绘画中,一些画家喜欢以黄金分割比为参考组织形体动态与画面构图。法国画家克劳德 - 劳伦的作品《有阿波罗和缪斯的风景》,便是一个很好的例子
有阿波罗和缪斯的风景（油画）1652年克劳德・劳伦 [法国]
## 中外绘画年表概览
刻纹鹿角约公元前 11000 年
连云港将军崖岩画距今约 5000 年
西周龟纹铜㭗（青铜器）[西周］ 外国绘画
拉斯科洞窋壁画距今约 15000 年
古巴比伦浮雕壁画 [古巴比伦]
图坦卡蒙国王与阿努比斯、泹芙丝
约公元前 1333 年 [古埃及]
人物御龙图（䏨画）[战国］
彩绘对凤纹漆圆耳杯（漆画）［战国 ]
武梁祠画像石拓画 [汉代］ 外国绘画
阿基里斯和彭忒西勒亚在特洛伊平原 [古希腊]
亚历山大大帝（庞贝古城镶嵌壁画《伊
苏斯之战》局部 ) 约公元前 100 年
拈花的菩萨
[印度] 580 年
秦公公
拜公
占元
庭
艺世
木术纪
绵羊与山羊的区分（镶嵌画局部)
轪侯子墓䏨画（䏨画）［西汉］
女史䉞图（绢本设色） [东晋] 顾恺之
八十七神仙卷（中国画白描）[唐代] 吴道子外国绘画
在巴黎凯旋门的亨利四世（油画） 约 1627 年鲁本斯 $[$ 佛兰德斯 ]
山径春行图（中国画）［宋代］马远
红衣罗汉图（中国画)
1304 年 [元代] 赵孟颎
杖黎远眺图（中国画） [明代］ 沈周外国绘画
豪森威尔伯爵夫人画像
(油画) 1845年
简 • 奥古斯特 - 多米尼
克・安格尔 [法国］
卧室（油画）1889年・高［荷兰]
花卉长卷 (中国画) 1957 年齐白石
蓝衣仕女（中国画） 1987 年林风眠
忆江南（纸本水墨）1996年吴冠中外国绘画
坎普贝尔汤罐头（油画）1962 年
安迪・沃霍尔 [美国］
秋季旋律三十号（综合材料） 1950 年
杰克森・波洛克 $[$ 美国］
谁害怕红黄蓝（油画）
1966 年巴尼特・纽曼
[美国]
## 附录期末学业水平综合评价表
## 《绘画》学习告一段落,看看自己学习效果如何,填写下表给自己一个综合的学习水平评价。
学业水平综合评价
水平等级
水平等级评价指标
初步了解点、线、面这三种绘画形式元素，了解联想与偶然性在绘画中创造不同艺术形象的重要作用。
基本了解点、线、面是概括形象、构成画面的基本要素，并贯穿绘画的始终。能结合美术作品与同学交流、探讨，加深对点、线、面在绘画中的作用的理解。
深人认识和理解点、线、面等形式元素灵活多变的特征，尝试运用它们进行表达，并体会其表达思想情感的方式与方法。理解联想与偶然性在绘画中创造不同艺术形象的重要作用,能通过作品理解作者的思想情感和审美理想。
初步了解生活对色彩认知的影响是色彩知识形成的基础;初步了解绘画作品中的色彩是承载艺术家创造力、想象力与表现力的关键元素;能使用色彩进行简单的景物描绘,表现基本色彩关系;初步了解中华色彩体系的基本内容。
基本了解生活及环境对色彩知识形成的影响及作用，并能体会不同色彩给人的不同心理感受;能理解不同文化背景的绘画作品在色彩使用上的不同特点,并能够运用和谐的色彩关系进行绘画表现;理解中华色彩体系的发展过程及文化内涵。
深人理解生活及环境对色彩知识形成的影响及作用，并能熟练运用色彩的象征意义进行作品表达;能总结不同文化背景下绘画作品的色彩使用规律,并能熟练地运用和谐的色彩关系进行绘画表现;深人理解并运用中华色彩体系进行作品表达。
通过学习能初步了解光与影的重要意义,结合作品了解画家如何通过光与影的对比辨识出物体的形状与体积并进行美术创作。
基本了解在绘画中光与影的重要意义,能尝试运用所学的知识进行人物头像写生及人物头像版画制作,与同学分享创作体会。
能尝试运用自己喜欢的形式画自画像,在作业中建立整体观念、空间与造型意识,能运用整体、比较的观察方法,从大小、远近、高低、明暗和虚实等关系中认识物体的存在和运动状态,提高对形象和形式特征的感悟与提炼能力,并与同学分享感想
初步了解空间是物象存在的一种形态,了解透视在绘画中的几种表现形式,选择和学习相关的绘画技法,通过一定时间的独立练习，掌握最基本的绘画技法。
基本了解绘画中表现空间的方法,了解艺术家与美术作品的关系、时代与趣味的关系、主题与风格的关系、内容与形式的关系,以及技法与情感的关系。同时,选择适合自己学习的绘画技法、样式和风格进行作业练习。
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## 第一章
## 有机化合物的结构
- 有机化合物的结构特点
- 研究有机化合物的一般特点与研究方法
有机化学是在原子、分子水平上研究有机化合物的组成、结构、性质、转化及应用的科学。我们生活中的衣食住行都离不开有机化合物。有机化合物中的原子主要以共价键相结合,分子结构复杂。这决定了有机化合物种类繁多、数量庞大,决定了有机化合物的性质与无机化合物的相比有很大不同。大多数有机化合物不溶于水,可以燃烧。有机反应多为分子间的反应，一般反应速率较小，常伴有副反应，产物比较复杂。
有机化合物的结构可以通过仪器分析的方法进行测定,其结构中的官能团是进行有机化合物分类的基本依据，并与有机化合物的特征性质密切相关。官能团的种类和相互影响、化学键的类型和极性是认识有机化合物结构特征和有机反应的重要视角。
## 第一节
有机化合物的结构特点
仅由氧元素和氢元素组成的稳定的化合物只有两种: $\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}$ 和 $\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}_{2}$,而仅由碳元素和氢元素组成的烃类物质,目前结构已知的有上千种。有机化合物分子结构的复杂多变与碳原子的成键特点、碳原子间的结合方式,以及分子中各原子在空间的排布有着密切关系。
## 一、有机化合物的分类方法
有机化合物数量繁多,为便于研究,需要对其进行合理分类。按照不同的结构特点,有机化合物主要有两种分类方法,一是依据构成有机化合物分子的碳骨架来分类,二是依据有机化合物分子中的官能团来分类。
## 1. 依据碳骨架分类
根据碳原子组成的分子骨架，有机化合物主要分为链状化合物和环状化合物。链状化合物又可分为脂肪烃和脂肪烃衍生物,环状化合物又可分为脂环化合物和芳香族化合物,脂环化合物包括脂环烃和脂环烃衍生物,芳香族化合物包括芳香烃和芳香烃衍生物。
## 2. 依据官能团分类
烃分子中的氢原子可以被其他原子或原子团所取代,得到烃的衍生物。如甲烷中的氢原子被氯原子取代得到氯代甲烷,它还可以经过化学反应,进一步转变为甲醇 $\left(\mathrm{CH}_{3} \mathrm{OH}\right)$、甲醛 ( $\left.\mathrm{HCHO}\right)$ 等一系列烃的衍生物。
甲烷在常温下为气体,难溶于水,化学性质比较稳定。甲醇则在常温下为液体,与水互溶,能与誜酸反应生成酯。甲醇的这些特性取决于其分子中含有的羟基,像这样决定有机化合物特性的原子或原子团叫官能团。根据有机化合物分子中的官能团,可以对有机化合物进行分类。表1-1列出了有机化合物的主要类别。
表1-1 有机化合物的主要类别
## 思考与讨论
（1）辨识有机化合物的一般方法是从碳骨架和官能团的角度将其归类，并根据官能团推测其可能的性质。请按官能团的不同对下列有机化合物进行分类，指出它们的官能团名称和所属的有机化合物类别，以及分子结构中的相同点和不同点。
(4)
(2)
(5)
(3)
(6)
（2）有机化合物的官能团决定其化学性质。丙烯酸 $\left(\mathrm{CH}_{2}=\mathrm{CHCOOH}\right)$ 是重要的有机合成原料，请指出其分子中官能团的名称，并根据乙烯和乙酸的官能团及性质，推测丙烯酸可能具有的化学性质。
图 1-1 甲烷分子中的 $\sigma$ 键示意图
$\sigma$ 键
图 1-2 乙烯分子中的 $\sigma$ 键和 $\pi$ 键示意图
## 二、有机化合物中的共价键
在有机化合物的分子中，碳原子通过共用电子对与其他原子形成不同类型的共价键，共价键的类型和极性对有机化合物的性质有很大的影响。
## 1.共价键的类型
有机化合物的共价键有两种基本类型：$\sigma$ 键和 $\pi$ 键。
( 1 ) $\sigma$ 键甲烷分子中的 $\mathrm{C}-\mathrm{H}$ 和乙烷分子中的 $\mathrm{C}-\mathrm{C}$ 都是 $\sigma$ 键。在甲烷分子中，氢原子的 $1 \mathrm{~s}$ 轨道与碳原子的一个 $\mathrm{sp}^{3}$ 杂化轨道沿着两个原子核间的键轴，以“头碰头”的形式相互重叠,形成 $\sigma$ 键 (如图 1-1)。通过 $\sigma$ 键连接的原子或原子团可绕键轴旋转而不会导致化学键的破坏。
（2） $\pi$ 键在乙烯分子中，两个碳原子均以 $\mathrm{sp}^{2}$ 杂化轨道与氢原子的 $1 \mathrm{~s}$ 轨道及另一个碳原子的 $\mathrm{sp}^{2}$ 杂化轨道进行重叠，形成 4 个 $\mathrm{C}-\mathrm{H} \sigma$ 键与一个 $\mathrm{C}-\mathrm{C} \sigma$ 键;两个碳原子末参与杂化的 $\mathrm{p}$ 轨道以“肩并肩”的形式从侧面重叠,形成了 $\pi$ 键 (如图 1-2)。$\pi$ 键与 $\sigma$ 键的轨道重叠程度不同，所以强度不同。通过 $\pi$ 键连接的原子或原子团不能绕键轴旋转。
一般情况下，有机化合物中的单键是 $\sigma$ 键，双键中含有一个 $\sigma$ 键和一个 $\pi$ 键,三键中含有一个 $\sigma$ 键和两个 $\pi$ 键。一般的有机反应就是有机化合物分子中旧共价键断裂和新共价键形成的过程,共价键的类型与有机反应的类型密切相关。例如,甲烷分子中含有 $\mathrm{C}-\mathrm{H} \sigma$ 键,能发生取代反应;乙烯和乙炔分子的双键和三键中含有 $\pi$ 键,它们都能发生加成反应。
## 2. 共价键的极性与有机反应
由于不同的成键原子间电负性的差异,共用电子对会发生偏移。偏移的程度越大,共价键极性越强,在反应中越容易发生断裂。因此有机化合物的官能团及其邻近的化学键往往是发生化学反应的活性部位。
## 【实验1-1】
向两只分别盛有蒸馏水和无水乙醇的烧杯中各加入同样大小的钠 (约绿豆大),观察现象。
乙醇与钠能发生反应放出氢气,原因在于乙醇分子中的氢氧键极性较强,能够发生断裂。同样条件下,乙醇与钠的反应没有水与钠的反应剧烈,这是由于乙醇分子中氢氧键的极性比水分子中氢氧键的极性弱。基团之间的相互影响使官能团中化学键的极性发生变化,从而影响官能团和物质的性质。
另外,由于羟基中氧原子的电负性较大,乙醇分子中的碳氧键极性也较强,在乙醇与氢溴酸的反应中,碳氧键发生了断裂。
共价键的断裂需要吸收能量,而且有机化合物分子中共价键断裂的位置存在多种可能。相对无机反应，有机反应一般反应速率较小,副反应较多,产物比较复杂。
## 思考与讨论
请从化学键和官能团的角度分析下列反应中有机化合物的变化。(1) $\mathrm{CH}_{4}+\mathrm{Cl}_{2} \stackrel{\text { 光 }}{\longrightarrow} \mathrm{CH}_{3} \mathrm{Cl}+\mathrm{HCl}$
(2) $\mathrm{CH}_{2}=\mathrm{CH}_{2}+\mathrm{Br}_{2} \longrightarrow \mathrm{CH}_{2} \mathrm{Br}-\mathrm{CH}_{2} \mathrm{Br}$
## 三、有机化合物的同分异构现象
同分异构现象在有机化合物中十分普遍，这也是有机化合物数量非常庞大的原因之一。
## 思考与讨论
戊烷 $\left(\mathrm{C}_{5} \mathrm{H}_{12}\right)$ 的三种同分异构体的结构如图 1-3 所示。回忆有关同分异构体的知识,完成下表。
正戊烷
异戊烷
新戊烷
图 1-3 三种戊烷的分子结构模型
化合物具有相同的分子式,但具有不同结构的现象叫同分异构现象,具有同分异构现象的化合物互为同分异构体。一般情况下,有机化合物分子中的碳原子数目越多,同分异构现象 isomerism 同分异构体 isomer 其同分异构体的数目也越多。
有机化合物的同分异构现象主要有构造异构和立体异构。构造异构主要包括由碳骨架不同而产生的碳架异构,由官能团的位置不同而产生的位置异构,以及由官能团不同而产生的官能团异构。立体异构有顺反异构和对映异构等，我们将会陆续学习。
表1-2 有机化合物的构造异构现象
## 资料卡片
在表示有机化合物的组成和结构时，如果将碳、氢元素符号省略,只表示分子中键的连接情况和官能团,每个拐点或终点均表示有一个碳原子，则得到键线式。如丙烯可表示为乙醇可表示为一七
## 科学史话
## 范托夫与碳价四面体学说
荷兰化学家范托夫 ( J. H. van't Hoff,18521911 ) 于 1901 年获诺贝尔化学奖,是第一位获得诺贝尔化学奖的科学家。他在上中学时就非常爱好化学,他经常积
图 1-4 范托夫攒父母给的零用钱购买一些实验用的药品和仪器,进行家庭小实验。
早期的有机化合物结构理论认为有机化合物的分子结构都是平面形的,即分子中所有的原子都处在同一平面内。例如，甲烷的碳原子和氢原子都在同一平面上。但是这种结构理论无法解释下列现象，如果甲烷的两个氢原子被两个氯原子取代得到二氯甲烷,按照平面结构理论，应当有两种异构体:
实验事实证明，组成为 $\mathrm{CH}_{2} \mathrm{Cl}_{2}$ 的分子不存在异构体。
范托夫于 1874 年发表了《空间化学引论》,提出了一种新观点。他认为建立在平面结构基础上的化合物的结构式并不能反映它的真实结构,在甲烷分子中,碳的 4 个价键指向正四面体的顶点，碳原子位于四面体的中心，氢原子位于四面体的 4 个顶点。甲烷的正四面体结构后来通过 $\mathrm{X}$ 射线晶体衍射等方法得到了证实。范托夫的碳价四面体学说不仅被许多实验事实所证实,还解释了一些当时人们不清楚的异构现象。如果甲烷的三个氢原子被三个不同的原子取代,例如,氯溴碘代甲烷,它就有两种异构体。这两种异构体就像人的左手和右手,互为镜像却不能重合,人们通常将这样的异构现象称为对映异构,它属于立体异构的一种（如图 1-5)。而像二氯甲烷
图 1-5 氯溴碘代甲烷对映异构体的分子结构模型这样的有机化合物,它的四面体模型只有一种（如图 1-6)，不存在对映异构体。
法国化学家勒贝尔 ( J.-A. Le Bel，1847$1930)$ 在同一时期也提出了相同的观点,与范托夫共同开辟了立体化学的新篇章,为人们深入认识有机化合物的结构与性质奠定了基础。
图 1-6 二氯甲烷的分子结构模型
## 练习与应用
1. 下列化合物中不属于有机化合物的是（）。A. 醋酸
B. 尿素
C. 碳酸钲
D. 蔗糖
2. 下列化合物,其分子中所有原子不可能位于同一平面的是（）。A. $\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}$
B. $\mathrm{CH}_{2}=\mathrm{CH}_{2}$
C. $\mathrm{CH} \equiv \mathrm{CH}$
D. $\mathrm{CH}_{4}$
3. 下列说法不正确的是（）。A. 碳原子的最外电子层有 4 个电子
B. 1 个碳原子可以与其他非金属原子形成 4 个共价键
C. 两个碳原子之间能形成单键、双键或三键
D. 所有有机化合物中都含有极性键和非极性键 4. 下列各组物质不互为同分异构体的是（）。A. $\mathrm{NH}_{4} \mathrm{OCN}$ 和 $\mathrm{CO}\left(\mathrm{NH}_{2}\right)_{2}$
B. $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{OH}$ 和 $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{OCH}_{3}$
C. $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{COOH}$ 和 $\mathrm{CH}_{2}=\mathrm{CHCOOH}$
4. 写出下列有机化合物中官能团的名称。
( 1 ) $\mathrm{CH}_{2}=\mathrm{CH}-\stackrel{\mathrm{O}}{\mathrm{C}}-\mathrm{H}$
( 3 ) $\mathrm{Br} \longrightarrow \mathrm{OH}$
6. 按照官能团分类,下列物质分别属于哪类有机化合物?( 1 ) $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}=\mathrm{CHCH}_{3}$
( 2 ) $\mathrm{CH} \equiv \mathrm{CCH}_{3}$
( 3 ) $\mathrm{CCl}_{2} \mathrm{~F}_{2}$
( 4 ) $\mathrm{HOCH}_{2} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{OH}$
( 5 ) $\mathrm{CH}_{3}-\mathrm{OH}$
( 7) $\mathrm{C}_{17} \mathrm{H}_{35}-\stackrel{\|}{\mathrm{C}}-\mathrm{OH}$
7. 写出丙烯与溴、乙醇催化氧化反应的化学方程式,分析反应前后有机化合物官能团与化学键的变化。
## 第二节
## 研究有机化合物的一般方法
研究有机化合物一般要经过以下几个基本步骤,每个步骤中都有一些常用的基本方法。
## 一、分离、提纯
从天然资源中提取有机化合物,通常得到的是含有杂质的粗品。工厂生产和实验室合成的有机化合物往往也混有末反应的原料和反应副产物等。进行有机化合物组成、结构、性质和应用的研究,首先要获得纯净的有机化合物。粗品必须经过分离、提纯才能得到较为纯净的物质。
提纯含杂质的有机化合物的基本方法是利用有机化合物与杂质物理性质的差异将它们分离。在有机化学中常用的分离和提纯方法有蒸馏、萃取和重结晶等。
## 1. 蒸馏
蒸馏是分离和提纯液态有机化合物的常用方法。当液态有机化合物含有少量杂质,而且该有机化合物热稳定性较高,其沸点与杂质的沸点相差较大时,可用蒸馏法提纯。例如,甲烷与氯气发生取代反应得到的液态混合物中含二氯甲烷 (沸点 $40^{\circ} \mathrm{C}$ )、三氯甲烷 (沸点 $62^{\circ} \mathrm{C}$ ) 和四氯化碳 (沸点 $77^{\circ} \mathrm{C}$ ),分离提纯它们的方法就是蒸馏法。实验室常用的蒸馏装置如图 1-7所示。
图 1-7 蒸馏装置
分离 separation
提纯 purification
蒸馏 distillation
萃取 extraction
图 1-8 萃取装置
## 2. 萃取
萃取包括液 - 液萃取和固 - 液萃取。液- 液萃取是利用待分离组分在两种不互溶的溶剂中的溶解度不同,将其从一种溶剂转移到另一种溶剂的过程。可使用有机溶剂从水中萃取有机化合物,萃取用的溶剂称为萃取剂,常用的萃取剂有乙醚 $\left(\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{5} \mathrm{OC}_{2} \mathrm{H}_{5}\right)$、乙酸乙酯、二氯甲烷等。将萃取后的两层液体分开需要进行分液。分液常要使用分液漏斗，通过打开其上方的玻璃塞和下方的活塞可将两层液体分离。固-液萃取是用溶剂从固体物质中溶解出待分离组分的过程。
## 3. 重结晶
重结晶是提纯固体有机化合物常用的方法,是利用被提纯物质与杂质在同一溶剂中的溶解度不同而将杂质除去。重结晶首先要选择适当的溶剂,要求杂质在此溶剂中溶解度很小或溶解度很大,易于除去;被提纯的有机化合物在此溶剂中的溶解度受温度的影响较大,能够进行冷却结晶。如果重结晶所得的晶体纯度不能达到要求,可以再次进行重结晶以提高产物的纯度。
探究
## 重结晶法提纯苯甲酸
## 【问题 】
某粗苯甲酸样品中含有少量氯化钠和泥沙，提纯苯甲酸需要经过哪些步骤?
## 【资料】
苯甲酸可用作食品防腐剂。纯净的苯甲酸为无色结晶,其结构可表示为 $\mathrm{COOH}$,熔点 $122{ }^{\circ} \mathrm{C}$,沸点 $249^{\circ} \mathrm{C}$。苯甲酸微溶于水,易溶于乙醇等有机溶剂。苯甲酸在水中的溶解度如下:
| 温度 $/{ }^{\circ} \mathrm{C}$ | 25 | 50 | 75 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 溶解度 $/ \mathrm{g}$ | 0.34 | 0.85 | 2.2 |
## 【实验 】
（1）观察粗苯甲酸样品的状态。
(2) 将 $1.0 \mathrm{~g}$ 粗苯甲酸放入 $100 \mathrm{~mL}$ 烧杯,加入 $50 \mathrm{~mL}$ 蒸馏水。加热,搅拌,使粗苯甲酸充分溶解。
（3）使用漏斗趍热将溶液过滤至另一烧杯中，将滤液静置，使其缓慢冷却结晶。
(4) 待滤液完全冷却后滤出晶体,并用少量蒸馏水洗涤。将晶体铺在干燥的滤纸上，晾干后称其质量。
加热溶解
趁热过滤
冷却结晶
图 1-9 重结晶法提纯苯甲酸
实验记录和数据处理:
| $\frac{\text { 项目 }}{\text { (1) 对上担纯前后芥田酸 }}$ | 现象和数据 | |
| :---: | :---: | :---: |
| | 苯甲酸粗品 | |
| 的状态 | 苯甲酸晶体 | |
| $\begin{array}{l}\text { (2) 对比过滤前后液体的 } \\ \text { 状态 }\end{array}$ | 溶解苯甲酸粗品后的液体 | |
| | 趁热过滤后的滤液 | |
| (3) 计算重结晶收率 | 苯甲酸粗品的质量 / $\mathrm{g}$ | R |
| | 苯甲酸晶体的质量 $/ \mathrm{g}$ | |
| | 重结晶收率= $=\frac{\text { 晶体质量 }}{\text { 粗品质量 }} \times 100 \%$ | |
## 【讨论】
（1）重结晶法提纯苯甲酸的原理是什么?有哪些主要操作步骤?
（2）溶解粗苯甲酸时加热的作用是什么?趁热过滤的目的是什么?
(3) 实验操作中多次使用了玻璃棒,分别起到了哪些作用?
(4) 如何检验提纯后的苯甲酸中氯化钠已被除净?
## 科学・技术・社会
## 色谱法
当样品随着流动相经过固定相时,因样品中不同组分在两相间的分配不同而实现分离,这样的一类分离分析方法被称为色谱法。目前常用的固定相有䃏胶、氧化铝等。1903年,俄国植物生理学家和化学家茨韦特 ( M. С. Цвет,1872-1919) 发表了第一篇关于色谱法的论文。他在玻璃管的一端塞上一团棉花,在管中填充碳酸钛粉末,再把溶有绿色植物色素的溶液自上而下注入玻璃管中。结果植物色素被碳酸䥻粉末吸附,形成不同颜色的色带。他将吸附不同色素的碳酸䥻分层取出,再用乙醇作溶剂,从植物色素中提取出叶绿素、叶黄素和胡夢卜素等较纯的组分。
茨韦特的柱色谱实验当时并末引起人们的注意。25 年后,德国化学家库恩 (R. Kuhn,1900-1967) 在分离、提纯胡夢卜素异构体和确定维生素的结构时应用了色谱法,并在 1938 年获得了诺贝尔化学奖。此后,色谱法成为化学家分离、提纯有机化合物的重要方法之一。人们还开发了纸色谱、薄层色谱、气相色谱和高效液相色谱等多种色谱方法。
色谱法 chromatography
图 1-10 实验室常用的一种柱色谱装置示意图
## 二、确定实验式
元素分析
elemental analysis
图 1-11 李比希元素的定性、定量分析是用化学方法测定有机化合物的元素组成,以及各元素的质量分数。元素定量分析的原理一般是将一定量的有机化合物燃烧,转化为简单的无机物，并通过测定无机物的质量,推算出该有机化合物所含各元素的质量分数,然后计算出该有机化合物分子内各元素原子的最简整数比,确定其实验式 (也称最简式 )。
有机化合物的元素定量分析最早是由德国化学家李比希 ( J. von Liebig,1803-1873) 提出的。他用 $\mathrm{CuO}$ 作氧化剂,将仅含 $\mathrm{C}、\mathrm{H}、\mathrm{O}$ 元素的有机化合物氧化,生成的 $\mathrm{CO}_{2}$ 用 $\mathrm{KOH}$ 浓溶液吸收,$\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}$ 用无水 $\mathrm{CaCl}_{2}$ 吸收。根据吸收剂在吸收前后的质量差,计算出有机化合物中碳、氢元素的质量分数,剩余的就是氧元素的质量分数,据此计算可以得到有机化合物的实验式。
【例题】某种含 $\mathrm{C}、\mathrm{H}、\mathrm{O}$ 三种元素的末知物 $\mathrm{A}$,经燃烧分析实验测得其中碳的质量分数为 $52.2 \%$,氢的质量分
图 1-12 李比希元素分析仪数为 $13.1 \%$,试求该末知物 $\mathrm{A}$ 的实验式。
【解】( 1 1 ) 计算该有机化合物中氧元素的质量分数:
$$
\begin{aligned}
w(\mathrm{O}) & =100 \%-52.2 \%-13.1 \% \\
& =34.7 \%
\end{aligned}
$$
(2) 计算该有机化合物分子内各元素原子的个数比:
$$
\begin{aligned}
N(\mathrm{C}): N(\mathrm{H}): N(\mathrm{O}) & =\frac{52.2 \%}{12.01}: \frac{13.1 \%}{1.008}: \frac{34.7 \%}{16.00} \\
& =2: 6: 1
\end{aligned}
$$
答: 该末知物 $\mathrm{A}$ 的实验式为 $\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{6} \mathrm{O}$。
李比希还建立了含氮、硫、卤素等有机化合物的元素定量分析方法,这些方法为现代元素定量分析奠定了基础。现在,元素定量分析使用现代化的元素分析仪,分析的精确度和分析速度都达到了很高的水平。
元素定量分析只能确定有机化合物分子中各组成原子的最简整数比,得到实验式。要确定它的分子式,还必须知道其相对分子质量。目前有许多测定相对分子质量的方法,质谱法是其中最精确而快捷的方法。
## 三、确定分子式
质谱法是快速、精确测定相对分子质量的重要方法,测定时只需要很少量的样品。质谱仪用高能电子流等车击样品,使有机分子失去电子,形成带正电荷的分子离子和碎片离子等。这些离子因质量不同、电荷不同,在电场和磁场中的运动行为不同。计算机对其进行分析后,得到它
图 1-13 现代元素分析仪
图 1-15 末知物 $\mathrm{A}$ 的质谱们的相对质量与电荷数的比值，即质荷比。以质荷比为横坐标,以各类离子的相对丰度为纵坐标记录测试结果,就得到有机化合物的质谱图。
图 1-14 质谱仪
例如,以上例题中的末知物 $\mathrm{A}$ 的实验式为 $\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{6} \mathrm{O}$,其质谱图如图 1-15 所示。图中最右侧的分子离子峰 $\left(\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{2} \stackrel{+}{\mathrm{O}} \mathrm{H}\right.$ 的信号 $)$ 的质荷比数值为 46,因此 $\mathrm{A}$ 的相对分子质量为 46,由此可以推算出 $\mathrm{A}$ 的分子式也是 $\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{6} \mathrm{O}$。目前的高分辨率质谱仪还可以根据高精度的相对分子质量数据直接计算出分子式。
符合分子式 $\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{6} \mathrm{O}$ 的可能的结构有以下两种:
二甲醚
乙醇质谱图中的碎片峰对我们确定有机化合物的分子结构有一定帮助,但末知物 $\mathrm{A}$ 究竟是二甲醚还是乙醇?这还需要我们根据其他证据进一步推断。
## 四、确定分子结构
确定比较复杂的有机化合物的分子结构,仅靠质谱法是很难完成的,需要借助其他现代分析仪器,进行红外光谱、核磁共振氢谱和X射线衍射等分析。
## 1. 红外光谱
有机化合物受到红外线照射时,能吸收与它的某些化学键或官能团的振动频率相同的红外线,通过红外光谱仪的记录形成该有机化合物的红外光谱图。谱图中不同的化学键或官能团的吸收频率不同,因此分析有机化合物的红外光谱图,可获得分子中所含有的化学键或官能团的信息。
图 1-16 是上面例题中末知物 $\mathrm{A}$ 的红外光谱图,从图中可以找到 $\mathrm{C}-\mathrm{O}、\mathrm{C}-\mathrm{H}$ 和 $\mathrm{O}-\mathrm{H}$ 的吸收峰,因此可以初步推测该末知物 $\mathrm{A}$ 是含有羟基官能团的化合物,结构可表示为 $\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{5} \mathrm{OH}$
图 1-16 末知物 $\mathrm{A}$ 的红外光谱
## 2. 核磁共振氢谱
氢原子核具有磁性,如果用电磁波照射含氢元素的化合物,其中的氢核会吸收特定频率电磁波的能量而产生核磁共振现象,用核磁共振仪可以记录到有关信号。处于不同化学环境中的氢原子因产生共振时吸收电磁波的频率不同,相应的信号在谱图中出现的位置也不同,具有不同的化学位移 (用 $\delta^{\oplus}$ 表示),而且吸收峰的面积与氢原子数成正比。因此,由核磁共振氢谱图可以获得该有机化合物分子中有几种不同类型的氢原子及它们的相对数目等信息。
例如,实验测得末知物 $\mathrm{A}$ 的核磁共振氢谱图如图 1-18 所示,由此可以判断 $\mathrm{A}$ 的分子中有 3 种处于不同化学环境的氢原子,个数比为 $3: 2: 1$。而 $\mathrm{A}$ 的分子式 $\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{6} \mathrm{O}$ 对应的两种可能的结构为 $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{OCH}_{3}$ ( 二甲醚) 和 $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{OH}$ ( 乙醇 ),前者分子中的 6 个氢原子的化学环境相同，对应的核
图 1-17 核磁共振仪
(1) $\delta$ 一般用相对值来表示 $\left[\right.$ 以 $\left(\mathrm{CH}_{3}\right)_{4} \mathrm{Si}$ 的氢原子信号的 $\delta$ 为 0,多数有机化合物氢原子的信号发生在 0 到 10 之间。磁共振氢谱图中只有一组峰 (如图 1-19);后者分子中有 3 种处于不同化学环境的氢原子,个数比为 $3: 2: 1$,对应的核磁共振氢谱图中应该有 3 组峰,且面积比为 $3: 2: 1$,与末知物 $\mathrm{A}$ 的谱图一致。因此，末知物 $\mathrm{A}$ 的结构简式应该是 $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{OH}$，而不是 $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{OCH}_{3}$。
图 1-18 末知物 $\mathrm{A}$ 的核磁共振氢谱
图 1-19 二甲醚的核磁共振氢谱
## X射线衍射
$X$ 射线衍射
$\mathrm{X}$ ray diffraction (XRD) $\mathrm{X}$ 射线是一种波长很短（约 $10^{-10} \mathrm{~m}$ ) 的电磁波,它和晶体中的原子相互作用可以产生衍射图。经过计算可以从中获得分子结构的有关数据,包括键长、键角等分子结构信息。将X射线衍射技术用于有机化合物（特别是复杂的生物大分子 ) 晶体结构的测定,可以获得更为直接而详尽的结构信息。目前，X射线衍射已成为物质结构测定的一种重要技术。
图 1-20 我国科学家通过 $X$ 射线衍射获得的青蒿素的分子结构
## 科学・技术・社会
## 青蒿素结构的测定
20 世纪 70 年代初,我国屠呦呦等科学家使用乙醚从中药中提取并用柱色谱分离得到抗疫有效成分青蒿素,随后展开了对青蒿素分子结构的测定和相关医学研究。中国科学院上海有机化学研究所和中国中医研究院中药研究所等单位的科学家们通过元素分析和质谱法分析,确定青蒿素的相对分子质量为 282，分子式为 $\mathrm{C}_{15} \mathrm{H}_{22} \mathrm{O}_{5}$。经红外光谱和核磁共振谱分析,确定青蒿素分子中含有酯基和甲基等结构片段。通过化学反应证明其分子中含有过氧基 $(-\mathrm{O}-\mathrm{O}-)。1975$ 年底,我国科学家通过 $X$ 射线衍射最终测定了青蒿素的分子结构。
## 练习与应用
1. 甲烷与氯气在光照条件下反应,得到的产物中含有二氯甲烷、三氯甲烷和四氯化碳,分离它们的操作方法是 ( )。A. 萃取
B. 蒸馏
C. 过滤
D. 重结晶
2. $3.0 \mathrm{~g}$ 某有机化合物在足量氧气中完全燃烧,生成 $4.4 \mathrm{~g} \mathrm{CO}_{2}$ 和 $1.8 \mathrm{~g} \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}$。下列说法不正确的是 ( )。A. 该有机化合物中只含有碳元素和氢元素
B. 该有机化合物中一定含有氧元素
C. 该有机化合物的分子式可能是 $\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{4} \mathrm{O}_{2}$
D. 该有机化合物分子中碳原子数与氢原子数之比一定是 $1: 2$
3. 某有机化合物样品的质谱图如下图所示，则该有机化合物可能是（）。A. 甲醇
B. 甲烷
C. 乙烷
D. 乙烯
4. 具有下列结构的化合物,其核磁共振氢谱中有两组峰的是（）。A. $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{OH}$
B. $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{3}$
C. $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{OCH}_{3}$
D. $\mathrm{HOCH}_{2} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{OH}$ 5. 乙酰苯胺是一种具有解热镇痛作用的白色晶体,$20{ }^{\circ} \mathrm{C}$ 时在乙醇中的溶解度为 $36.9 \mathrm{~g}$,在水中的溶解度如下表：
| 温度 $/{ }^{\circ} \mathrm{C}$ | 25 | 50 | 80 | 100 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 溶解度/ $\mathrm{g}$ | 0.56 | 0.84 | 3.5 | 5.5 |
某种乙酰苯胺样品中混人了少量氯化钠杂质，下列提纯乙酰苯胺的方法正确的是 $(\quad$ ）。(注：氯化钠可分散在乙醇中形成胶体。)
A. 用水溶解后分液
B. 用乙醇溶解后过滤
C. 用水作溶剂进行重结晶
D. 用乙醇作溶剂进行重结晶
6. 某烃在足量氧气中完全燃烧,生成 $0.1 \mathrm{~mol} \mathrm{CO}_{2}$ 和 $0.1 \mathrm{~mol} \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}$。该有机化合物的实验式是要获得该物质的分子式，还需要进行测试。7. 咖啡和茶类饮料中都含有兴奋剂咖啡因。经元素分析测定,咖啡因中各元素的质量分数是：碳 $49.5 \%$，氢 5.2\%，氮 $28.9 \%$，氧 $16.4 \%$。
( 1 ) 咖啡因的实验式为
(2) 质谱法测得咖啡因的相对分子质量为 194，则咖啡因的分子式为
8. 丙醇有两种属于醇类的同分异构体:
$\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{OH}$ 1- 牰酪
上图是其中一种物质的核磁共振氢谱，则与该谱图对应的物质的名称是
9. 某有机化合物是汽车防冻液的成分之一,经元素分析测定,该有机化合物中各元素的质量分数是: 碳 $38.7 \%$，氢 $9.7 \%$，氧 $51.6 \%$。
( 1 ) 该有机化合物的实验式为
( 2 ）用相对密度法测得该有机化合物的密度是同温同压下氢气密度的 31 倍，则该物质的相对分子质量为
(3) 根据该有机化合物的实验式和相对分子质量,推断其分子式。
(4) 该有机化合物的红外光谱中有嵯基 $\mathrm{O}-\mathrm{H}$ 和烃基 $\mathrm{C}-\mathrm{H}$ 的吸收峰，试写出其可能的结构简式。
## 整理与提升
## 一、有机化合物的结构特点
1. 有机化合物的分子结构决定于原子间的连接顺序、成键方式和空间排布。
| $\begin{array}{c}\text { 与碳原子相 } \\ \text { 连的原子数 }\end{array}$ | 结构示意 | $\begin{array}{c}\text { 碳原子的 } \\ \text { 杂化方式 }\end{array}$ | $\begin{array}{c}\text { 碳原子的 } \\ \text { 成键方式 }\end{array}$ | $\begin{array}{c}\text { 碳原子与相邻原子形成 } \\ \text { 的结构单元的空间结构 }\end{array}$ | 四面体形 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
2. 化学键：共价键的类型和极性对有机化合物的化学性质有很大影响,不同基团的相互作用也会影响共价键的极性。
## 二、有机化合物的分类
碳骨架和官能团是认识有机化合物分类与性质的两个重要视角。
1. 依据碳骨架分类 (在方框中写出代表物的结构简式 )
## 2. 依据官能团分类（在方框中写出代表物的结构简式）
## 三、同分异构体
分子式相同、结构不同的化合物互称同分异构体。有机化合物的同分异构现象体现了有机化合物分子结构的复杢性。
## 四、研究有机化合物的一般方法
有机化合物的分离和提纯是测定其分子结构的基础,而对有机化合物分子结构的研究对于认识有机化合物的性质和进行人工合成具有重要的作用。
## 复习与提高
1. 某气体在标准状况下的密度为 $1.25 \mathrm{~g} / \mathrm{L}$，则该气体的相对分子质量为（）。A. 26
B. 28
C. 32
D. 125
2. 下列有机化合物的一氯代物存在同分异构体的是（）。A. $\mathrm{CH}_{4}$
B. $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{3}$
C. $\mathrm{CH}_{3}-\mathrm{CH}-\mathrm{CH}_{3}$
D. $\mathrm{CH}_{3}-\stackrel{\longrightarrow}{\mathrm{C}}-\mathrm{CH}_{3}$
$\mathrm{CH}_{3}$
$\mathrm{CH}_{3}$
3. 下列反应中有 $\mathrm{C}-\mathrm{H}$ 断裂的是（）。A. 光照下三氯甲烷与氯气反应
B. 乙烯与溴的四氯化碳溶液反应
C. 乙醇与钠反应
D. 乙酸与碳酸氢钠反应
4. 某有机化合物样品的核磁共振氢谱如下图所示,该物质可能是（）。
A. 甲烷
B. 乙烷
C. 乙醇
D. 丙烷 5. 某芳香烃的相对分子质量为 106,分子中有 3 种化学环境不同的氢原子。该芳香烃是 ( )。
A.
B.
C.
6. 下列说法不正确的是 ( )。A. 提纯苯甲酸可采用重结晶的方法
B. 分离正己烷 $\left(\right.$ 沸点 $\left.69^{\circ} \mathrm{C}\right)$ 和正庚烷 $\left(\right.$ 沸点 $\left.98^{\circ} \mathrm{C}\right)$ 可采用蒸馏的方法
C. 某有机化合物的相对分子质量为 58,则其分子式一定为 $\mathrm{C}_{4} \mathrm{H}_{10}$
D. 某烃完全燃烧生成 $\mathrm{CO}_{2}$ 和 $\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}$ 的物质的量之比为 $1: 1$,则其实验式为 $\mathrm{CH}_{2}$
7. 维生素 $\mathrm{C}$ 是重要的营养素,其分子结构如右图所示。
(1) 维生素 $\mathrm{C}$ 的分子式为，相对分子质量为含氧的质量分数为
(2）维生素 C 含有的官能团的名称是
(3) 维生素 $\mathrm{C}$ 易溶于水，可能的原因是
(4) 维生素 C 具有较强的还原性,向碘和淀粉的混合液中加人维生素 C,可观察到的现象是
8. 青蒿素是我国科学家从传统中药中发现的能治疗疠疾的有机化合物,其分子结构如图 1-20所示,它可以用有机溶剂 $\mathrm{A}$ 从中药中提取。
（1）下列关于青高素的说法不正确的是 ( 填字母 )。a. 分子式为 $\mathrm{C}_{14} \mathrm{H}_{20} \mathrm{O}_{5}$
b. 分子中含有酯基和醚键
c. 易溶于有机溶剂 $\mathrm{A}$，不易溶于水
d. 分子中的所有原子不在同一平面
（2）使用现代分析仪器对有机化合物 $\mathrm{A}$ 的分子结构进行测定，相关结果如下:
图 1 质谱
图 2 红外光谱
图 3 核磁共振氢谱
(1)根据图 1，$\mathrm{A}$ 的相对分子质量为
(2)根据图 2，推测 $\mathrm{A}$ 可能所属的有机化合物类别和其分子式。
(3)根据以上结果和图 3 (两组峰的面积比为 $2: 3$ )，推测 $\mathrm{A}$ 的结构简式。
- 烷烃
O 烯烃炔烃
芳香烃
仅含碳和氢两种元素的有机化合物称为碳氢化合物,又称烃。根据结构的不同,烃可分为烷烃、烯烃、炔烃和芳香烃等。其代表物甲烷、乙烯、乙炔和苯的具体结构和性质是认识各类烃结构和性质的基础。烃中碳原子的饱和程度和化学键的类型,是预测化学反应中烃分子可能的断键部位与相应反应类型的主要依据。
## 第一节
## 烷烃
烷烃 alkane<br>甲烷 methane
生活中的一些常见物质,如天然气、液化石油气、汽油、柴油、凡士林、石蜡等,它们的主要成分都是烷烃。烷烃是一类最基础的有机化合物。
## 一、烷烃的结构和性质
## 思考与讨论
请根据图 2-1 所示烷烃的分子结构，写出相应的结构简式和分子式，并分析它们在组成和结构上的相似点。
| 名称 | 结构简式 | 分子式 | 碳原子的杂化方式 | 分子中共价键的类型 |
| :---: | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 甲烷 | | | | |
| 乙烷 | | | | |
| 丙烷 | | | | |
| 正丁烷 | | | | |
| 正戊烷 | | | | |
甲烷
乙烷
丙烷
正丁烷
正戊烷
图 2-1 几种简单烷烃的分子结构模型烷烃的结构与甲烷的相似,其分子中的碳原子都采取 $\mathrm{sp}^{3}$ 杂化,以伸向四面体 4 个顶点方向的 $\mathrm{sp}^{3}$ 杂化轨道与其他碳原子或氢原子结合,形成 $\sigma$ 键。烷烃分子中的共价键全部是单键 ( 如图 2-1)。
烷烃的结构决定了其性质与甲烷的相似。最简单的烷烃一一甲烷是烷烃的代表物。纯净的甲烷是无色、无臭的气体,难溶于水,密度比空气的小。甲烷的化学性质比较稳定,常温下不能被酸性高锰酸钾溶液氧化,也不与强酸、强碱及溴的四氯化碳溶液反应。甲烷的主要化学性质表现为能在空气中燃烧 (可燃性) 和能在光照下与氯气发生取代反应。
## 思考与讨论
（1）根据甲烷的性质推测烷烃可能具有的性质，填写下表。
| 颜色 | 溶解性 | 可燃性 | $\begin{array}{r}\text { 与酸性 } \\ \text { 高锰酸 } \\ \text { 钾溶液 }\end{array}$ | $\begin{array}{r}\text { 与溴的 } \\ \text { 四氯化 } \\ \text { 碳溶液 }\end{array}$ | $\begin{array}{c}\text { 与强酸、} \\ \text { 强碱溶液 }\end{array}$ | $\begin{array}{c}\text { 与氯气 } \\ \text { (在光照下) }\end{array}$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
( 2 ) 根据甲烷的燃烧反应,写出汽油的成分之一辛烷 $\left(\mathrm{C}_{8} \mathrm{H}_{18}\right)$ 完全燃烧的化学方程式。
(3) 根据甲烷与氯气的反应，写出乙烷与氯气反应生成一氯乙烷的化学方程式。指出该反应的反应类型，并从化学键和官能团的角度分析反应中有机化合物的变化。
（4）乙烷与氯气在光照下反应，可能生成哪些产物?请写出它们的结构简式。
像甲烷、乙烷、丙烷这些结构相似、分子组成上相差一个或若干个 $\mathrm{CH}_{2}$ 原子团的化合物互称为同系物。同同系物 homolog 系物可用通式表示,如链状烷烃的通式为 $\mathrm{C}_{n} \mathrm{H}_{2 n+2}$。烷烃同系物的某些物理性质随着相对分子质量的增大而发生规律性的变化。从表2-1 中的数据我们可以看出,随着烷烃碳原子数的增加,烷烃的熔点和沸点逐渐升高,密度逐渐增大,常温下的存在状态也由气态逐渐过渡到液态、固态。
## 表2-1 几种烷烃的熔点、沸点和密度
| 名称 | 分子式 | 结构简式 | 常温下状态 | 熔点 $/{ }^{\circ} \mathrm{C}$ | 沸点 $/{ }^{\circ} \mathrm{C}$ | 密度 $/\left(\mathrm{g} \cdot \mathrm{cm}^{-3}\right)$ |
| :---: | :---: | :--- | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 甲烷 | $\mathrm{CH}_{4}$ | $\mathrm{CH}_{4}$ | 气 | -182 | -164 | 0.423 |
| 乙烷 | $\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{6}$ | $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{3}$ | 气 | -172 | -89 | 0.545 |
| 丙烷 | $\mathrm{C}_{3} \mathrm{H}_{8}$ | $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{CH}_{3}$ | 气 | -187 | -42 | 0.501 |
| 正丁烷 | $\mathrm{C}_{4} \mathrm{H}_{10}$ | $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{CH}_{3}$ | 气 | -138 | -0.5 | 0.579 |
| 正戊烷 | $\mathrm{C}_{5} \mathrm{H}_{12}$ | $\mathrm{CH}_{3}\left(\mathrm{CH}_{2}\right)_{3} \mathrm{CH}_{3}$ | 液 | -129 | 36 | 0.626 |
| 正壬烷 | $\mathrm{C}_{9} \mathrm{H}_{20}$ | $\mathrm{CH}_{3}\left(\mathrm{CH}_{2}\right)_{7} \mathrm{CH}_{3}$ | 液 | -54 | 151 | 0.718 |
| 十一烷 | $\mathrm{C}_{11} \mathrm{H}_{24}$ | $\mathrm{CH}_{3}\left(\mathrm{CH}_{2}\right)_{9} \mathrm{CH}_{3}$ | 液 | -26 | 196 | 0.740 |
| 十六烷 | $\mathrm{C}_{16} \mathrm{H}_{34}$ | $\mathrm{CH}_{3}\left(\mathrm{CH}_{2}\right)_{14} \mathrm{CH}_{3}$ | 液 | 18 | 280 | 0.775 |
| 十八烷 | $\mathrm{C}_{18} \mathrm{H}_{38}$ | $\mathrm{CH}_{3}\left(\mathrm{CH}_{2}\right)_{16} \mathrm{CH}_{3}$ | 固 | 28 | 308 | 0.777 |
$*$ 甲烷和乙烷分别是 $-162{ }^{\circ} \mathrm{C}$ 和 $-89{ }^{\circ} \mathrm{C}$ 时的数据,其他物质的密度是 $20{ }^{\circ} \mathrm{C}$ 时的数据。
## 二、烷烃的命名
烃分子中去掉 1 个氢原子后剩余的基团称为烃基，如甲烷分子去掉 1 个氢原子是甲基 $\left(-\mathrm{CH}_{3}\right)$，乙烷分子去掉 1 个氢原子是乙基 $\left(-\mathrm{CH}_{2} \mathrm{CH}_{3}\right)$。丙烷 $\left(\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{CH}_{3}\right)$ 分子中有两组处于不同化学环境的氢原子,因此丙基有两种不同的结构。
$-\mathrm{CH}_{2} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{CH}_{3}$
正丙基
异丙基当烷烃分子中的碳原子数大于 3 时,烷烃分子不再只有直链结构,在主链上可能存在烷基支链,产生同分异构体,且烷烃的碳原子数越多其同分异构体的数目越多。如丁烷有两种同分异构体——正丁烷和异丁烷;戊烷有三种同分异构体,习惯上称之为正戊烷、异戊烷和新戊烷。烷烃的同分异构体的化学性质相似,物理性质（熔点、沸点和密度等) 有差异。一般情况下,同种烷烃的不同异构体中，支链越多其沸点越低。
对于含 5 个以上碳原子的烷烃,由于其同分异构体数目较多，通常采用系统命名法进行命名。下面以带支链的烷烃为例，初步介绍系统命名法的命名步骤。
(1) 选定分子中最长的碳链为主链,按主链中碳原子数目对应的烷烃称为“某烷”。连接在主链上的支链作为取代基,当出现两条或多条等长的碳链时,要选择连有取代基数目多的碳链为主链。
（2）选定主链中离取代基最近的一端为起点,用 1,2,3 等阿拉伯数字给主链上的碳原子编号定位,以确定取代基在主链中的位置。
(3) 将取代基名称写在主链名称的前面,在取代基的前面用阿拉伯数字注明它在主链上所处的位置,并在数字和名称之间用短线隔开。
(4) 如果主链上有相同的取代基,可以将取代基合并,用汉字数字表示取代基的个数 (只有一个取代基时将取代基的个数省略)，表示位置的阿拉伯数字之间用逗号隔开。
例如,以下有机化合物的命名图示如下:
## 思考与讨论
（1）请按下列步骤写出已烷同分异构体的结构简式,并用系统命名法进行命名。
| 步骤 | 结构简式 | 名称 |
| :---: | :---: | :---: |
| (1)先写有最长碳链结构的同分异构体 | | |
| $\begin{array}{c}\text { (2)主链碳原子由 } 6 \text { 个减为 } 5 \text { 个,甲基有 } \\ \text { 两种可能的位置分布 }\end{array}$ | | |
| | | |
| 基有两种可能的位置分布 | | |
（2）根据丁烷两种同分异构体的结构,写出 4 种丁基 $\left(-\mathrm{C}_{4} \mathrm{H}_{9}\right)$ 的结构简式。
## 练习与应用
1. 下列物质中,在常温和光照的条件下可以与乙烷发生化学反应的是（）。A. 稀硫酸
B. $\mathrm{NaOH}$ 溶液
C. $\mathrm{Cl}_{2}$
D. 酸性 $\mathrm{KMnO}_{4}$ 溶液
2. 下列说法不正确的是 $(\quad)$。A. 所有碳氢化合物中,甲烷中碳的质量分数最低
B. 所有烷烃中，甲烷的沸点最低
C. 甲烷分子中最多有 4 个原子共平面
D. 甲烷、乙烷和丙烷都能在光照下与氯气发生取代反应 3. 下列分子式只表示一种物质的是（）。A. $\mathrm{C}_{4} \mathrm{H}_{10}$
B. $\mathrm{C}_{5} \mathrm{H}_{12}$
C. $\mathrm{C}_{3} \mathrm{H}_{7} \mathrm{Cl}$
D. $\mathrm{CH}_{2} \mathrm{Cl}_{2}$
3. 下列物质中，与2-甲基丁烷互为同系物的是（）。A. $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}\left(\mathrm{CH}_{3}\right)_{2}$
B. $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{CH}\left(\mathrm{CH}_{3}\right)_{2}$
C. $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{CH}_{3}$
D. $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{C}\left(\mathrm{CH}_{3}\right)_{3}$
4. 下列物质中，与 2,2 -二甲基丁烷互为同分异构体的是 ( )。A. 2-甲基丁烷
B. 3-甲基戊烷
C. 2-甲基己烷
D. 2,2-二甲基丙烷
5. ( 1 ) 享调油烟中含有十一烷,该烷烃的分子式是
(2) 烷烃 $\mathrm{CH}_{3}-\underset{\underset{\mathrm{CH}_{3}}{\mathrm{CH}}-}{\mathrm{C}}-\underset{\mathrm{CH}_{2}}{\mathrm{C}}-\underset{\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{5}}{\mathrm{CH}-}-\mathrm{CH}_{3}$ 的分子式为，它与甲烷的关系是请用系统命名法对其命名:
( 3 ）2,2,3,3-四甲基丁烷的结构简式为，其一氯代物有 __种。
( 4 ) $\mathrm{CH}_{3}-\mathrm{C}-\mathrm{CH}-\mathrm{CH}_{3}$ 的名称是，其一氯代物有__种。$\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{5}$
7. 碳原子数小于 10 的链状烷烃中,一氯代物不存在同分异构体的烷烃有多少种?写出它们的结构简式。8. 烷烃分子中可能存在以下结构单元: $-\mathrm{CH}_{3}、-\mathrm{CH}_{2}-、-\mathrm{CH}-、-\stackrel{\mathrm{C}}{\mathrm{C}}$。。其中的碳原子分别被称为伯、仲、叔、季碳原子,数目分别用 $n_{1}、n_{2}、n_{3}、n_{4}$ 表示。例如,以下分子中,$n_{1}=6,n_{2}=1$,$n_{3}=2,n_{4}=1$。
请根据不同烷烃的组成和结构,分析烷烃（除甲烷外）中各种原子数的关系。
(1) 烷烃分子中的氢原子数为 $N(\mathrm{H})$，则 $N(\mathrm{H})$ 与 $n_{1}、n_{2}、n_{3}、n_{4}$ 的关系是:
$N(\mathrm{H})=$ 或 $N(\mathrm{H})=$
（2）若某烷烃的 $n_{2}=n_{3}=n_{4}=1$，则其结构简式可能是
第二节
烯烃炔烃烯烃和炔烃是含有不饱和键的烃类化合物,烯烃含有碳碳双键,炔烃含有碳碳三键。
## 一、烯烃
烯烃 alkene
乙桸 ethene
## 1. 烯烃的结构和性质
烯烃的官能团是碳碳双键。烯烃只含有一个碳碳双键时,其通式一般表示为 $\mathrm{C}_{n} \mathrm{H}_{2 n}$。
乙烯是最简单的烯烃。其分子中的碳原子均采取 $\mathrm{sp}^{2}$ 杂化,碳原子与氢原子之间均以单键 ( $\sigma$ 键 ) 相连接,碳原子与碳原子之间以双键 ( 1 个 $\sigma$ 键和 1 个 $\pi$ 键 ) 相连接,相邻两个键之间的夹角约为 $120^{\circ}$,分子中的所有原子都位于同一平面 (如图 1-2、图 2-2)。纯净的乙烯为无色、稍有气味的气体,难溶于水,密度比空气的略小。乙烯不仅具有可燃性,而且能被酸性高锰酸钾溶液氧化,还能与溴发生加成反应,在一定条件下能发生加聚反应生成聚合物
图 2-2 乙烯的分子结构示意图
烯烃物理性质的递变规律与烷烃的相似,沸点也随分子中碳原子数的递增而逐渐升高。烯烃的结构和性质与乙烯的相似,能发生加成反应和氧化反应。$\mathrm{CH}_{2}=\mathrm{CH}_{2} \quad \mathrm{CH}_{2}=\mathrm{CHCH}_{3} \quad \mathrm{CH}_{2}=\mathrm{CHCH}_{2} \mathrm{CH}_{3} \quad \mathrm{CH}_{2}=\mathrm{CHCH}_{2} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{CH}_{3}$
乙烯
丙烯
1-丁烯
1-戊烯
图 2-3 几种简单烯烃的结构简式和分子结构模型
## 思考与讨论
（1）写出乙烯、丙烯与下列物质反应的化学方程式,并说明反应中官能团和化学键的变化。(提示：历烯与氯化氢、历丙烯与水的反应都可能有两种产物。)
| 试剂 | 乙烯 | 丙烯 |
| :---: | :---: | :---: |
| 溴 | | |
| 氯化氢 | | |
| | | |
( 2 ）含有碳碳双键官能团的有机化合物在一定条件下能发生类似乙烯的加聚反应。例如，氯乙烯可以通过加聚反应生成聚氯乙烯:
请根据乙烯、氯乙烯发生的加聚反应,分别写出丙烯、异丁烯 $\left(\mathrm{CH}_{2}=\mathrm{C}-\mathrm{CH}_{3}\right)$ 发生加聚反应的化学方程式。$\mathrm{CH}_{3}$
## 2. 烯烃的立体异构
通过碳碳双键连接的原子或原子团不能绕键轴旋转会
导致其空间排列方式不同，产生顺反异构现象。例如，2-丁
烯的每个双键碳原子都连接了不同的原子和原子团，2-丁烯就有两种不同的结构：一种是相同的原子或原子团位于双键同一侧的顺式结构；另一种是相同的原子或原子团位于双键两侧的反式结构。这两种不同结构的有机化合物互为顺反异构体,它们的化学性质基本相同,而物理性质有一定的差异。
顺-2-丁烯
## 熔点 $/{ }^{\circ} \mathrm{C}$
沸点 $/{ }^{\circ} \mathrm{C}$
密度 $/\left(\mathrm{g} \cdot \mathrm{cm}^{-3}\right)$
反-2-丁烯
$-105.5$
## 资料卡片
## 二烯烃
二烯烃是分子中含有两个碳碳双键的烯烃，如1,3- 丁二烯。1,3- 丁二烯与氯气发生加成反应时，有以下两种方式:
( 1 ) 1,2-加成
( 2 ) 1,4-加成
1,3-丁二烯的 1,2-加成和 1,4-加成是竞争反应,到底哪一种加成产物占优势取决于反应条件。
## 二、炔烃
炔烃的官能团是碳碳三键。炔烃分子中只含有一个碳碳三键时,其通式一般表示为 $\mathrm{C}_{n} \mathrm{H}_{2 n-2}$。炔烃物理性质的递变与烷烃和烯烃的相似,沸点也随分子中碳原子数的递增而逐渐升高。乙炔 ( 俗称电石气) 是最简单的炔烃。乙炔是无色、无臭的气体,微溶于水,易溶于有机溶剂。下面以乙炔为例来学习炔烃的分子结构和化学性质。
## 1. 乙炔的结构
乙炔的分子式为 $\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{2}$,结构简式为 $\mathrm{CH} \equiv \mathrm{CH}$,其分子为直线形结构,相邻两个键之间的夹角为 $180^{\circ}$ (如图 2-4)。乙炔分子中的碳原子均采取 $\mathrm{sp}$ 杂化,碳原子和
## 炔烃 alkyne
乙炔 ethyne 氢原子之间均以单键 ( $\sigma$ 键) 相连接,碳原子和碳原子之间以三键 ( 1 个 $\sigma$ 键和 2 个 $\pi$ 键) 相连接 (如图 2-5)。
$\mathrm{H}-\mathrm{C} \equiv \mathrm{C}-\mathrm{H}$
结构式
球棍模型
空间填充模型
图 2-4 乙炔的结构式和分子结构模型
$\sigma$ 键
$\pi$ 键
图 2-5 乙炔分子中的 $\sigma$ 键和 $\pi$ 键示意图
## 2. 乙炔的化学性质
## 探究
## 乙炔的化学性质
## 【问题 】
根据乙炔的分子结构,乙炔应该具有怎样的化学性质?
## 【资料】
实验室可用电石 $\left(\mathrm{CaC}_{2}\right)$ 与水反应制取乙炔，反应的化学方程式为:
$$
\mathrm{CaC}_{2}+2 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O} \longrightarrow \mathrm{Ca}(\mathrm{OH})_{2}+\mathrm{CH} \equiv \mathrm{CH} \uparrow
$$
电石与水反应非常剧烈,为了减小其反应速率,可用饱和氯化钠溶液代替水作反应试剂。反应制得的乙炔中通常会含有硫化氢等杂质气体,可用硫酸铜溶液吸收,以防止其干扰探究乙炔化学性质的实验。乙炔属于可燃性气体,点燃前要检验纯度，防止爆炸。
## 【预测】
根据乙炔的分子结构,推测乙炔分别通入酸性高锰酸钾溶液和溴的四氯化碳溶液时会有什么现象。根据乙炔的组成,推测点燃乙炔时会有什么现象。
## 【实验】
如图 2-6所示,在圆底烧瓶中放入几小块电石。打开分液漏斗的活塞,逐滴加入适量饱和氯化钠溶液,将产生的气体通入硫酸铜溶液后,再分别通入酸性高锰酸钾溶液和溴的四氯化碳溶液。最后换上尖嘴导管,先检验气体纯
图 2-6 乙炔的实验室制取及性质检验度，再点燃乙炔，观察现象。
记录:
## 【 结果与讨论 】
（1）以上实验现象与你的预测是否一致?乙炔通入酸性高锰酸钾溶液时的实验现象,说明乙炔具有怎样的化学性质?
（2）乙炔通入溴的四氯化碳溶液时的实验现象,说明乙炔具有怎样的化学性质?这与乙炔的哪些结构特点有关?请写出反应的化学方程式,并指出反应前后官能团和化学键的变化
(3) 乙炔在空气中燃烧的实验现象（如图 2-7),说明乙炔在组成上有哪些特点?请写出反应的化学方程式。
图 2-7 乙炔燃烧由于乙炔分子中含有不饱和的碳碳三键,乙炔能与溴发生加成反应。反应过程可分步表示如下:
乙炔在一定条件下能与氢气、氯化氢和水等物质发生加成反应。
$$
\begin{aligned}
& \mathrm{CH} \equiv \mathrm{CH}+\mathrm{H}_{2} \frac{\text { 催化剂 }}{\triangle} \mathrm{CH}_{2}=\mathrm{CH}_{2} \\
& \mathrm{CH} \equiv \mathrm{CH}+\mathrm{HCl} \frac{\text { 催化剂 }}{\triangle} \mathrm{CH}_{2}=\mathrm{CH}-\mathrm{Cl} \\
& \mathrm{CH} \equiv \mathrm{CH}+\mathrm{H}_{2} \mathrm{O} \stackrel{\text { 催化剂 }}{\triangle} \mathrm{CH}_{3}-\mathrm{CHO}^{\mathbb{1}}
\end{aligned}
$$
过去很长一段时间内,人们没有制得乙炔的聚合物。后来,化学家找到了合适的催化剂和反应条件,终于合成了聚乙炔。聚乙炔可用于制备导电高分子材料。
$$
n \mathrm{CH} \equiv \mathrm{CH} \stackrel{\text { 催化剂 }}{\longrightarrow} \underset{\substack{\text { 聚乙炔 }}}{\mathrm{CH}=\mathrm{CH}]_{n}}
$$
炔烃的结构和性质与乙炔的相似,都含有碳碳三键官能团,能发生加成反应和氧化反应。
## 资料卡片
乙炔在氧气中燃烧时放出大量的热，氧炔焰的温度可达 $3000^{\circ} \mathrm{C}$ 以上。因此，常用它来焊接或切割金属。
图 2-8 氧炔焰切害全属
## 思考与讨论
（1）请写出戊炔所有属于炔烃的同分异构体的结构简式。
(2) 请写出 1-丁炔与足量氢气完全反应的化学方程式,并分析该反应中化学键和官能团的变化。
（3）某炔烃通过催化加氢反应得到2-甲基戊烷,请由此推断该炔烃可能的结构简式。
## 科学・技术・社会
## 导电高分子
2000 年的诺贝尔化学奖授予了美国物理学家黑格 (A. J. Heeger,1936-)、化学家麦克迪尔米德（A. G. MacDiarmid，1927$2007)$ 和日本化学家白川英树 (1936-),以表彰他们在导电聚合物研究领域的开创性贡献。
在 20 世纪 70 年代,白川英树的学生在做合成聚乙炔的实验时,错误地提高了催化剂的用量,结果在反应液中形成了一层银白色发亮的膜状物。白川英树没有放过这样偶然发现的反常现象,继续进行深入研究。他与化学家麦克迪尔米德、物理学家黑格合作,发现掺杂 $\mathrm{I}_{2}$ 的聚乙炔具有与金属材料一样的导电性,比原聚乙炔膜的导电性有了大幅度的提高。
高分子材料本属于不能导电的绝缘体,他们的发现开辟了高分子应用的新领域一导电高分子。一些高分子的共轭大 $\pi$ 键体系为电荷传递提供了通路,像聚苯胺、聚苯等经过掺杂处理后也具有一定的导电性能。导电高分子材料可用于制造移动电子设备的开关、轻便的彩色显示屏等，还可作为微波吸收材料,用于飞机与舰艇等的隐形涂料。
图 2-9 使用了导电高分子材料的电子器件
## 研究与实践
## 乙烯的生产和应用
## 【研究目的 】
调查乙烯的生产在石油化工中的地位与作用。了解为什么乙烯的产量是一个国家石油化工发展水平的重要标志。
## 【研究任务 】
（1）查阅资料，了解乙烯的工业生产原理，以及我国乙烯工程的基本规模情况。
（2）在你的生活中，有关衣食住行的哪些产品是以乙烯为基础原料制造的?
（3）以乙烯为基础原料,查阅资料,设计几种生活中常见有机化合物的合成路线,举例说明它们在生活中的用途。使用图示呈现合成路线,并搭建这些有机化合物的分子结构模型。
## 【 结果与讨论 】
（1）通过乙烯的工业生产和实际应用的调研，你如何理解化学工业发展过程中技术进步的重要性?请提出你的观点，并与同学交流。
（2）通过以乙烯为基础原料的有机合成路线设计，你如何理解化学制造有用的产品对创造我们美好生活的意义?请与同学交流你的看法。
## 练习与应用
1. 下列有机化合物中,互为同分异构体的是（）。A. $\mathrm{CH}_{2}=\mathrm{CH}-\mathrm{CH}-\mathrm{CH}-\mathrm{CH}_{3}$
B. $\mathrm{CH}_{2}=\mathrm{CH}-\mathrm{CH}-\mathrm{CH}_{3}$
$\mathrm{CH}_{3} \quad \mathrm{CH}_{3}$
$\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{5}$
C. $\mathrm{CH}_{2}=\mathrm{CH}-\underset{\mathrm{C}}{\mathrm{C}}=\mathrm{CH}_{2}$
D. $\mathrm{CH} \equiv \mathrm{C}-\underset{\mathrm{CH}_{3}}{\mathrm{CH}}-\mathrm{CH}_{3}$
2. 下列说法正确的是 $(\quad)$。A. 乙烯和乙炔都是直线形分子
B. 乙烯和乙炔都能发生加成反应和加聚反应
C. 乙炔分子中含有极性键和非极性键
D. 乙炔与分子式为 $\mathrm{C}_{4} \mathrm{H}_{6}$ 的烃一定互为同系物
3. 下列反应不属于加成反应的是（）。A. 乙烯水化法合成乙醇
B. 乙炔与氯化氢反应
C. 1-丁烯使溴的四氯化碳溶液褪色
D. 1-丁炔使酸性高锰酸钾溶液褪色
4. ( 1 ) $\mathrm{CH}_{3}-\underset{\mathrm{CH}_{3}}{\mathrm{CH}}-\mathrm{CH}_{2}-\mathrm{CH}_{2}-\mathrm{CH}=\mathrm{CH}_{2}$ 的分子式为，它与乙烯的关系是
(2) 根据碳碳单键、双键和三键的结构特征推测,化合物 $\mathrm{CH}_{3}-\mathrm{CH}=\mathrm{CH}-\mathrm{C} \equiv \mathrm{C}-\mathrm{CH}_{3}$ 分子中位于同一平面内的碳原子最多有__个。
5. 丙烯是石油裂解的主要产物之一，将丙烯通人溴的四氯化碳溶液中，可观察到的现象是，反应的化学方程式为，反应类型是丙烯在一定条件下可制得塑料包扎绳的主要材料聚丙烯，相关反应的化学方程式为，反应类型是
6. 已知某些烯烃被酸性高锰酸钾溶液氧化可生成羧酸和酮,例如:
$$
\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}=\mathrm{C}\left(\mathrm{CH}_{3}\right)_{2} \stackrel{\mathrm{KMnO}_{4} / \mathrm{H}^{+}}{\longrightarrow} \mathrm{CH}_{3} \mathrm{COOH}+\mathrm{CH}_{3} \mathrm{COCH}_{3}(\text { 丙酮 })
$$
分子式为 $\mathrm{C}_{10} \mathrm{H}_{20}$ 的某烯烃被酸性高锰酸钾溶液氧化后,生成正丁酸 $\left(\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{COOH}\right)$ 和3-己酮 $\left(\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{COCH}_{2} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{CH}_{3}\right)$。请据此推测该烯烃的结构简式。
7. 完全燃烧 $0.70 \mathrm{~g}$ 某有机化合物,生成 $2.20 \mathrm{~g} \mathrm{CO}_{2}$ 和 $0.90 \mathrm{~g} \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}$
(1) 求该有机化合物的实验式。(2) 实验测得该有机化合物的相对分子质量为 70，求该物质的分子式。（3）该有机化合物能使溴的四氯化碳溶液褪色，请推测其可能的结构简式。第三节
芳香烃
在烃类化合物中,有很多分子里含有一个或多个苯环,这样的化合物属于芳香烃,苯是最简单的芳香烃。
芳香烃 arene
苯 benzene
## 一、苯
苯是一种无色、有特殊气味的液体,有毒,不溶于水。苯易挥发,沸点 $80.1^{\circ} \mathrm{C}$,熔点 $5.5^{\circ} \mathrm{C}$,常温下密度 $0.88 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}$。苯是一种重要的化工原料和有机溶剂。
## 1. 苯的分子结构
## 【实验2-1】
向两支各盛有 $2 \mathrm{~mL}$ 苯的试管中分别加入酸性高锰酸钾溶液和溴水，用力振荡，观察现象。
实验表明,苯不能被酸性高锰酸钾溶液氧化,也不与溴水反应。溴在苯中的溶解度比在水中的大,因此苯能将溴从水中萃取出来。
根据苯的分子式 $\mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{6}$ 可以推测其分子的不饱和程度很大,应与烯烃、炔烃等不饱和烃具有相似的化学性质。但是,以上实验事实表明,苯的化学性质与烯烃和炔烃有很大差别,说明苯分子具有不同于烯烃和炔烃的特殊结构。
研究表明,苯分子为平面正六边形结构,其中的 6 个碳原子均采取 $\mathrm{sp}^{2}$ 杂化,分别与氢原子及相邻碳原子以 $\sigma$ 键结合,键间大角均为 $120^{\circ}$,连接成六元环 (如图 2-11)。每个碳碳键的键长相等,都是 $139 \mathrm{pm}$,介于碳碳单键和碳碳双键的键长之间。每个碳原子余下的 $\mathrm{p}$ 轨道垂直于碳、氢原子
图 2-10 苯的分子结构模型构成的平面,相互平行重叠形成大 $\pi$ 键,均匀地对称分布在苯环平面的上下两侧（如图 2-11）。
$\sigma$ 键
大 $\pi$ 键
图2-11 苯分子中的 $\sigma$ 键和大 $\pi$ 键示意图
## 2. 苯的化学性质
苯的大 $\pi$ 键比较稳定,在通常情况下不易发生烯烃和炔烃所容易发生的加成反应。苯有可燃性,在空气里燃烧会产生浓重的黑夶。
## ( 1 ) 取代反应
苯与溴在 $\mathrm{FeBr}_{3}$ 催化下可以发生反应,苯环上的氢原子可被溴原子取代，生成溴苯。
纯净的溴苯是一种无色液体,有特殊的气味,不溶于水，密度比水的大。
在浓硫酸作用下，苯在 $50 \sim 60^{\circ} \mathrm{C}$ 还能与浓硝酸发生硝化反应，生成硝基苯。
硝基苯
纯净的硝基苯是一种无色液体,有苦杏仁气味,不溶于水，密度比水的大。
## 苯的磺化
苯与浓硫酸在 70 80° $\mathrm{C}$ 可以发生磺化反应,生成苯磺酸。
苯磺酸
苯磺酸易溶于水,是一种强酸,可以看作是硫酸分子里的一个嵯基被苯环取代的产物。磺化反应可用于制备合成洗涤剂。
## ( 2 ）加成反应
在以 $\mathrm{Pt}、\mathrm{Ni}$ 等为催化剂并加热的条件下,苯能与氢气发生加成反应,生成环己烷。
## 科学史话
## 凯库勒和苯的分子结构
凯库勒 (F. A. Kekulé,1829-1896）是德国有机化学家,为纪念他对有机化合物结构理论的发展作出的重大贡献,现在广泛使用的表示苯结构的被称为凯库勒式。
图 2-12 凯库勒但是，根据凯库勒式给出的苯的结构,还是有很多事实难以得到解释。例如，根据凯库勒式的单、双键相间的结构，邻二氯苯应该有如下两种不同的结构：
然而实际上并不存在两种不同的邻二氯苯。研究表明，苯分子中并不存在单、双键相间的结构，而是形成了闭合的大 $\pi$ 键。因此邻二氯苯只有一种结构,以下的两种结构显然是等同的:
同时，苯也难以表现出类似乙烯的典型烯烃的化学性质,难以被酸性高锰酸钾溶液氧化,也也难以与溴发生加成反应。这是因为苯含有大 $\pi$ 键的高度对称的分子结构比较稳定。现在,人们既用凯库勒式表示苯的结构，也使用@表示苯的结构。
## 二、苯的同系物
苯环上的氢原子被烷基取代所得到的一系列产物称为苯的同系物，其通式为 $\mathrm{C}_{n} \mathrm{H}_{2 n-6}$。苯的同系物一般是具有类似苯的气味的无色液体,不溶于水,易溶于有机溶剂,密度比水的小。常见的苯的同系物及其部分物理性质见表 2-2。
## 表2-2 常见的苯的同系物及其部分物理性质
| 苯的同系物 | 名称 | 熔点 $/{ }^{\circ} \mathrm{C}$ | 沸 $\mathrm{s}^{\prime} /{ }^{\circ} \mathrm{C}$ | 密度 $/\left(\mathrm{g}^{\prime} \cdot \mathrm{cm}^{-3}\right)$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
苯的同系物与苯都含有苯环，因此能在一定条件下发生溴代、硝化和催化加氢反应。但由于苯环与烷基的相互作用,苯的同系物的化学性质与苯又有所不同。
## 【实验2-2】
| 实验内容 | 实验现象 | 解释 |
| :---: | :---: | :---: |
| (1) 向两支分别盛有 $2 \mathrm{~mL}$ | | |
| 苯和甲苯的试管中各加入几 | | |
| 滴溴水,静置 | | |
| (2) 将上述试管用力振荡,| | |
| 静置 | | |
| 实验内容 | 实验现象 | 解释 |
| :---: | :---: | :---: |
| (3) 向两支分别盛有 $2 \mathrm{~mL}$ | | |
| 苯和甲苯的试管中各加入几 | | |
| 滴酸性高锰酸钾溶液,静置 | | |
| (4) 将上述试管用力振荡,| | |
| 静置 | | |
甲苯分子中含有苯环和甲基 (如图 2-13),因此其化学性质与苯和甲烷有相似之处。同时,由于甲基与苯环之间存在相互作用,甲基使苯环上与甲基处于邻、对位的氢原子活化而易被取代,而苯环也使甲基活化，因此甲苯的化学性质又有不同于苯和甲烷之处。
## 思考与讨论
结合苯和甲苯的分子结构特，点及上述实验结果，分析苯和甲苯的物理性质、化学性质有哪些相似点和不同点
甲苯与浓硝酸和浓硫酸的混合物在加热条件下可以发生取代反应,生成一硝基取代物、二硝基取代物和三硝基取代物,硝基取代的位置均以甲基的邻、对位为主。其中生成三硝基取代物的化学方程式为:
2,4,6- 三硝基甲苯又叫梯恩梯（TNT）,是一种淡黄色晶体,不溶于水。它是一种烈性炸药,广泛用于国防、采矿、筑路、水利建设等。
## 甲苯 toluene
## 思考与讨论
（1）在光照条件下,甲苯与氯气能发生类似甲烷与氯气的取代反应,请写出可能的有机产物的结构简式。分离提纯这些有机化合物的方法是什么?
（2）在 $\mathrm{FeBr}_{3}$ 催化下,甲苯与溴发生取代反应可以生成一溴代甲苯,请写出该反应的主要有机产物的结构简式，并从化学键和官能团的角度分析反应中有机化合物的变化
(3) 在 Pt作催化剂和加热的条件下,甲苯与氢气能发生类似苯与氢气的加成反应，请写出该反应的化学方程式。
（4）对比苯与甲苯的结构，以及二者发生硝化反应的产物，你能得出什么结论?
## 资料卡片
## 稠环芳香烃一一萘、蒽
由两个或两个以上的苯环共用相邻的两个碳原子的芳香烃是稠环芳香烃。
萘（分子式为 $\mathrm{C}_{10} \mathrm{H}_{8}$ ) 是一种无色片状晶体，有特殊气味，熔点 $80^{\circ} \mathrm{C}$，易升华，不溶于水。曾用于杀菌、防蛀、驱虫，因其有一定毒性，现已不再使用。萘是一种重要的化工原料，可用于生产增塑剂、农药、染料等，它的结构可表示为:
恩（分子式为 $\mathrm{C}_{14} \mathrm{H}_{10}$ ）是一种无色晶体，易升华，不溶于水，易溶于苯。蒽是合成染料的重要原料,它的结构可表示为:
## 练习与应用
1. 下列化合物中,不溶于水,且密度小于水的是（）。A. 乙酸
B. 乙醇
C. 苯
D. 四氯化碳
2. 下列有机化合物的分子中,所有原子不可能位于同一平面的是（）。A. $\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{2}$
B. $\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{4}$
C. $\mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{6}($ 苯 )
D. $\mathrm{C}_{7} \mathrm{H}_{8}$ (甲苯 $)$
3. 对下列变化过程中发生反应的类型判断不正确的是（）。A. $\mathrm{CH}_{4} \rightarrow \mathrm{CH}_{3} \mathrm{Cl}$ 取代反应
B. $\mathrm{CH}_{2}=\mathrm{CH}_{2} \rightarrow \mathrm{CH}_{2} \mathrm{BrCH}_{2} \mathrm{Br}$ 加成反应
C. $\square \rightarrow \sqrt{\square}$ 取代反应
D. $\square \rightarrow \square \mathrm{NO}_{2}$ 加成反应 4. 下列物质中，属于苯的同系物的是 ( $)$。
A.
C.
D.
5. 下列物质中，可被用于鉴别苯和甲苯的是（）
A. 水
B. 溴水
C. 酸性高锰酸钾溶液
D. 氢氧化钠溶液
6. 分子式均为 $\mathrm{C}_{8} \mathrm{H}_{10}$ 的下列化合物中,苯环上的一氯代物只有一种的是 ( )。A. 乙苯
B. 邻二甲苯
C. 间二甲苯
D. 对二甲苯
7. 下列苯的同系物的名称不正确的是 ( )。A. $\mathrm{CH}_{3}-\mathrm{CH}_{3}$
对二甲苯
B.
乙苯
C.
D. $\mathrm{CH}_{3} \longrightarrow \mathrm{CH}_{3} \quad 1,3,4-$ 三甲苯
8. 吸烟有害健康,烟草的焦油中含有一种强烈的致癌物,其结构如右图所示。该有机化合物的分子式为
9. 某种苯的同系物完全燃烧时,所得 $\mathrm{CO}_{2}$ 和 $\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}$ 的物质的量之比为 $8: 5$。
(1) 苯的同系物的通式为，该物质的分子式为
（2）若该物质苯环上的一氯代物只有两种，则其结构简式为，名称为
10. 由芳香烃 $\mathrm{A}$ 可以合成两种有机化合物 $\mathrm{B}$ 和 $\mathrm{C}$，如下图所示：
( 1 ） $\mathrm{A}$ 的结构简式为
（2）请写出反应(1)、(2)的条件和反应物。
(3) 有关有机化合物 $\mathrm{B}$ 和 $\mathrm{C}$ 的下列说法正确的是 ( 填字母 )。a. 互为同系物
b. 互为同分异构体
c. 都属于卤代烃
d. 都属于芳香族化合物
11. 苯的某些同系物可被酸性高锰酸钾溶液氧化,例如:
（1）以上反应说明苯的这些同系物分子中的烷基受到了什么影响?
(2) 若苯的同系物侧链的烷基中，直接与苯环连接的碳原子上没有 $\mathrm{C}-\mathrm{H}$,则该物质一般不能被酸性高锰酸钾溶液氧化成苯甲酸。某分子式为 $\mathrm{C}_{11} \mathrm{H}_{16}$ 的单烷基取代苯，已知它可以被氧化成苯甲酸的同分异构体共有 7 种,其中的 3 种是: $\square \mathrm{CH}_{2} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{CH}_{3}$、\} \mathrm { CH } ( \mathrm { CH } _ { 3 } ) \mathrm { CH } _ { 2 } \mathrm { CH } _ { 2 } \mathrm { CH } _ { 3 }、\square \mathrm { CH } _ { 2 } \mathrm { CH } ( \mathrm { CH } _ { 3 } ) \mathrm { CH } _ { 2 } \mathrm { CH } _ { 3 } \text {。请写出其他4种的结构简式。}
## 整理与提升
## 一、烃类的组成、结构与性质
碳原子的饱和程度和化学键的类型是认识烃类化学性质的主要依据。
## 二、烃类的转化规律
下图中的箭头表示各有机化合物类别之间的转化关系，请举例写出相应的化学方程式，并注明反应类型，分析转化过程中官能团和化学键的变化。
## 复习与提高
1. 可以用分液漏斗分离的一组混合物是 ( ）。A. 苯和甲苯
B. 乙醇和水
C. 苯和水
D. 溴和四氯化碳
2. 下列物质：(1)甲烷、(2)烯、(3)炔、(4)苯、(5)甲苯,既能使酸性高锰酸钾溶液褪色,又能使溴的四氯化碳溶液褪色的是（）。A. (1)(
B. (2)(4)
C. (2)(3)
D. (4)(5)
3. 下列物质的分子中，所有碳原子不可能位于同一平面的是（）。
A.
C.
B.
D.
4. 下列有机化合物的分子中,含有两种处于不同化学环境的氢原子的是（）。
C.
B. $\mathrm{CH}_{3}-\underset{\mathrm{CH}_{3}}{\mathrm{CH}}-\mathrm{CH}=\mathrm{CH}_{2}$
D. $\mathrm{CH}_{3} \longrightarrow \mathrm{CH}_{3}$
5. 下列反应中，其有机产物含有两个官能团的是（）。A. $1 \mathrm{~mol}$ 乙炔与 $2 \mathrm{~mol}$ 溴发生加成反应
B. 乙烯与溴发生加成反应
C. $1 \mathrm{~mol}$ 苯与 $3 \mathrm{~mol}$ 氢气发生加成反应
D. 甲苯硝化生成三硝基甲苯
6. 完全燃烧 $1.00 \mathrm{~g}$ 某脂肪烃,生成 $3.08 \mathrm{~g} \mathrm{CO}_{2}$ 和 $1.44 \mathrm{~g} \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}$。质谱法测得其相对分子质量为 100。下列说法不正确的是（）。A. 该脂肪烃属于烷烃，其分子式为 $\mathrm{C}_{7} \mathrm{H}_{16}$
B. 该脂肪烃能发生取代反应，不能发生加成反应
C. 该脂肪烃主链有 4 个碳原子的结构有 2 种
D. 该脂肪烃主链有 5 个碳原子的结构有 5 种
7. 下列有机反应中，$\mathrm{C}-\mathrm{H}$ 发生断裂的是（）。A. 甲烷与氯气在光照条件下反应
B. 乙烯与溴的四氯化碳溶液反应
C. 乙炔与氯化氢在催化剂和加热条件下反应
D. 苯与氢气在催化剂和加热条件下反应 8. 在甲苯中加人少量紫红色的酸性高锰酸钾溶液,振荡后褪色。其原因是（）。A. 甲苯属于不饱和烃,可被酸性高锰酸钾溶液氧化
B. 苯环受甲基影响，可被酸性高锰酸钾溶液氧化
C. 甲基受苯环影响，可被酸性高锰酸钾溶液氧化
D. 甲苯催化高锰酸钾在酸性溶液中分解
8. 在一定条件下,乙烷和乙烯都可以通过化学反应生成氯乙烷。
(1) 用乙烷制备氯乙烷的化学方程式是，该反应的类型是
( 2) 用乙烯制备氯乙烷的化学方程式是，该反应的类型是
（3）你认为上述两种方法中较好的是哪一种?请说明原因。
10. (1) 制取乙炔的实验装置如图 2-6所示,其中硫酸铜溶液的作用是
烧瓶中发生的主要反应的化学方程式为
（2）乙炔可通过下列合成路线合成聚丙烯腈,聚丙烯腈可用于生产腈纶（人造羊毛）。
$$
\mathrm{CH} \equiv \mathrm{CH} \underset{\text { 催化剂,} \triangle}{\mathrm{HCN}} \mathrm{A} \stackrel{\triangle}{\longrightarrow} \text { 聚丙烯腈 }
$$
$\mathrm{A} \rightarrow$ 聚丙烯腈反应的化学方程式是
11. 有机化合物 $\mathrm{A}$ 是一种重要的化工原料，在一定条件下可以发生如下反应:
已知苯环侧链上的烃基在一定条件下能被氧化成羧基。
（1）下列关于有机化合物 $\mathrm{A}$ 的说法正确的是 ( 填字母)。a. 属于芳香烃
b. 属于苯的同系物
c. 苯环上连有烷基
d. 侧链中含碳碳双键
( 2 ） 有机化合物 $\mathrm{A}$ 的结构简式为
(3) 请写出 $\mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}$ 反应的化学方程式,并指出其反应类型。
（4） $\mathrm{D}$ 具有优良的绝热、绝缘性能,可用作包装材料和建筑材料,在工业上以 $\mathrm{A}$ 为原料生产。请写出相关反应的化学方程式,并指出其反应类型。第三章
烃的衍生物
卤代烃
醇酚
醛酮
嵯酸羧酸衍生物
有机合成
烃分子中的氢原子被不同官能团所取代后,就能生成一系列新的不同类别的有机化合物,如卤代烃、醇、酚、醛、嵯酸和酯等。这些有机化合物,从结构的角度都可以看作是由烃衍生而来的,所以被称为烃的衍生物。烃的衍生物具有与烃不同的性质,这些性质主要由其分子中的官能团决定。基于官能团和化学键的特点及有机反应规律,可以推测有机化合物的化学性质,并利用其性质实现相互转化,进行有机合成。有机合成在创造新物质、提高人类生活质量和促进社会发展方面发挥着重要作用。
## 第一节
卤代烃
卤代烃 halohydrocarbon
## 资料卡片
## 卤代烃的命名
卤代烃的命名一般用系统命名法,与烃类的命名相似。例如:
2-氯丁烷
氯乙烯
1,2-二溴乙烷
我们对一氯甲烷、1,2-二溴乙烷、氯乙烯和溴苯这些名称已经不陌生了。它们的结构母体分别是甲烷、乙烷、乙烯和苯,可看作是这些烃分子中的氢原子被卤素原子取代后生成的化合物,我们将这类物质称为卤代烃。卤代烃的种类很多,根据分子里所含卤素原子的不同,分为氟代烃、氯代烃、溴代烃和碘代烃,可用 $R-X$ 表示。根据取代卤原子的多少，可分为单卤代烃和多卤代烃。
常温下,卤代烃中除个别为气体外,大多为液体或固体。卤代烃不溶于水,可溶于有机溶剂,某些卤代烃本身是很好的有机溶剂。卤代烃的密度和沸点都高于相应的烃,它们的密度一般随着烃基中碳原子数目的增加而减小,沸点随碳原子数目的增加而升高。
表3-1 几种氯代烃的密度和沸点
| 名称 | 结构简式 | $\frac{\text { 液态时密度 }}{\left(\mathrm{g} \cdot \mathrm{cm}^{-3}\right)}$ | 沸点/ ${ }^{\circ} \mathrm{C}$ |
| :--- | :--- | :---: | :---: |
| 氯甲烷 | $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{Cl}$ | 0.916 | -24 |
| 氯乙烷 | $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{Cl}$ | 0.898 | 12 |
| 1- 氯丙烷 | $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{Cl}$ | 0.890 | 46 |
| 1- 氯丁烷 | $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{Cl}^{2}$ | 0.886 | 78 |
| 1- 氯戊烷 | $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{Cl}$ | 0.882 | 108 |
我们以溴乙烷为例来学习卤代烃的主要性质。溴乙烷的分子式为 $\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{5} \mathrm{Br}$,结构简式为 $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{Br}$,分子结构如图 3-1 所示。它是无色液体,沸点 $38.4{ }^{\circ} \mathrm{C}$,密度比水的大,难溶于水,可溶于多种有机溶剂。溴乙烷的核磁共振氢谱如图3-2 所示。
图 3-1 溴乙烷的分子结构模型
图 3-2 溴乙烷的核磁共振氢谱
## 1. 取代反应
## 【实验3-1】
取一支试管，滴入 10 15 滴溴乙烷，再加入 $1 \mathrm{~mL}$ $5 \% \mathrm{NaOH}$ 溶液,振荡后加热,静置。待溶液分层后,用胶头滳管小心吸取少量上层水溶液,移入另一支盛有 $1 \mathrm{~mL}$ 稀硝酸的试管中,然后加入 2 滴 $\mathrm{AgNO}_{3}$ 溶液，观察实验现象。
可以看到,试管中有浅黄色沉淀生成,该沉淀是 $\mathrm{AgBr}$。溴乙烷可以在 $\mathrm{NaOH}$ 水溶液中发生取代反应,该反应也称溴乙烷的水解反应,嵯基取代溴原子生成乙醇和溴化钠。
$$
\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{5}-\mathrm{Br}+\mathrm{NaOH} \stackrel{\text { 水 }}{\triangle} \mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{5}-\mathrm{OH}+\mathrm{NaBr}
$$
在卤代烃分子中,由于卤素原子的电负性比碳原子的大,使 $\mathrm{C}-\mathrm{X}$ 的电子向卣素原子偏移,进而使碳原子带部分正电荷 $(\delta+)$,卤素原子带部分负电荷 $(\delta-)$,这样就形成一个极性较强的共价键: $\mathrm{C}^{\delta+}-\mathrm{X}^{\delta-}$。因此,卤代烃在化学反应中,$\mathrm{C}-\mathrm{X}$ 较易断裂,使卤素原子被其他原子或原子团所取代,生成负离子而离去。
## 2. 消去反应
如果将溴乙烷与强碱 (如 $\mathrm{NaOH}$ 或 $\mathrm{KOH})$ 的乙醇溶液共热，溴乙烷可以从分子中脱去 $\mathrm{HBr}$，生成乙烯。
## 资料卡片
液态的氯乙烷汽化时大量吸热,具有冷冻麻醉作用,可在身体局部产生快速镇痛效果。因此,常用氯乙烷与其他药物制成“复方氯乙烷气雾剂”，用于运动中的急性损伤，如肌肉拉伤、关节扭伤等的镇痛。消去反应（消除反应)
elimination reaction 像这样,有机化合物在一定条件下,从一个分子中脱去一个或几个小分子 ( 如 $\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}、\mathrm{HX}$ 等 ),而生成含不饱和键的化合物的反应叫做消去反应 ( 消除反应)。
探究 S $Q \Leftrightarrow \Omega$
## 1-㴪丁烷的化学性质
## 【问题】
卤代烷在不同溶剂中发生反应的情况不同。如何通过实验的方法验证取代反应和消去反应的产物?
## 【讨论与实验】
(1) 用哪种分析手段可以检验出 1 - 溴丁烷取代反应生成物中的丁醇?
(2) 如图 3-3 所示,向圆底烧瓶中加入 $2.0 \mathrm{~g} \mathrm{NaOH}$ 和 $15 \mathrm{~mL}$ 无水乙醇,搅拌。再向其中加入 $5 \mathrm{~mL} 1-$ 溴丁烷和几片碎瓷片,微热。将产生的气体通入盛水的试管后,再用酸性高锰酸钾溶液进行检验。
图 3-3 1-溴丁烷的消去反应
## 【比较与分析 】
比较1- 溴丁烷的取代反应和消去反应,完成下表,分析反应条件对化学反应的影响。
| 反应类型 | 取代反应 | 消去反应 |
| :---: | :---: | :---: |
| 反应物 | | |
| 反应条件 | | |
| 生成物 | | |
| 结论 | | |
【讨论】
( 1 ) 如图3-3 所示,为什么要在气体通入酸性高锰酸钾溶液前先通入盛水的试管?除了酸性高锰酸钾溶液,还可以用什么方法检验生成物?此时还有必要将气体先通入水中吗?
（2）预测2- 溴丁烷发生消去反应的可能产物。卤代烯烃的某些化学性质与烯烃的相似,能发生加成反应和加成聚合反应。例如,氯乙烯能加成聚合生成聚氯乙烯,四氟乙烯加成聚合生成聚四氟乙烯。聚氯乙烯和聚四氟乙烯都是用途广泛的高分子材料。
$$
n \underset{\text { 四氟乙烯 }}{n} \mathrm{CF}_{2}=\mathrm{CF}_{2} \longrightarrow \underset{\text { 聚四氟乙烯 }}{\longrightarrow}
$$
聚氯乙烯管道
含氟聚合物制成的充气薄膜建材
图 3-4 以卤代烃为原料的制品
## 科学・技术・社会
## 臭氧层的保护
卤代烃在日常生活中有着广泛的应用。例如，在消防上使用的卤代烃灭火剂,可应用于资料室、变电站、博物馆等场所。由于卤代烃是良好的有机溶剂,在清洗业中常用作清洗剂，应用于衣物干洗和机械零件的洗涤。有些多卤代烃,如氟氯代烷 (商品名氟利昂）是含有氟和氯的烷烃衍生物，它们化学性质稳定,无毒,具有不燃烧、易挥发、易液化等特性,曾被广泛用作制冷剂和溶剂。然而，20 世纪 80 年代以来，大量的科学研究表明使用氟利昂对臭氧层有破坏作用，使臭氧层产生“臭氧空洞”,危及地球上的生物。
大气中的臭氧层可滤除大量的紫外线,保护地球上的生物，其主要反应为:
$$
\mathrm{O}_{3} \stackrel{\text { 紫外线 }}{\rightleftharpoons} \mathrm{O}_{2}+\mathrm{O} \text {. }
$$
研究表明,氟利昂可在强烈的紫外线作用下分解,产生的氯原子自由基会对臭氧层产生长久的破坏作用。以 $\mathrm{CCl}_{3} \mathrm{~F}$ 为例,它破坏臭氧层的反应过程可表示为:
$\mathrm{CCl}_{3} \mathrm{~F} \stackrel{\text { 紫外线 }}{\longrightarrow} \mathrm{CCl}_{2} \mathrm{~F} \cdot+\mathrm{Cl}$.
$\mathrm{Cl} \cdot+\mathrm{O}_{3} \longrightarrow \mathrm{O}_{2}+\mathrm{ClO}$
$\mathrm{ClO} \cdot+\mathrm{O} \cdot \mathrm{Cl} \cdot+\mathrm{O}_{2}$
为了保护臭氧层,国际社会于 1987 年制定了《关于消耗臭氧层物质的蒙特利尔议定书》,要求签约国限制生产和消费某些卤代烃,并自 1989 年 1 月 1 日起生效。我国于 1991 年 6 月加入该议定书。1995 年，诺贝尔化学奖授予致力于研究臭氧层被破坏问题的三位环境化学家。
## 练习与应用
1. 关于卤代烃的下列说法不正确的是 ( )。A. 卤代烃不属于烃
B. 卤代烃不溶于水，易溶于有机溶剂
C. 有的卤代烃可用作有机溶剂
D. 所有的卤代烃都可以发生消去反应生成相应的烯烃
2. 下列卤代烃属于 $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{Cl}$ 同系物的是（）。A. $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{Cl}$
B.
C. $\mathrm{CH}_{2}=\mathrm{CHCl}$
D. $\mathrm{CH}_{2} \mathrm{ClCH}_{2} \mathrm{Cl}$
3. 1-氯丙烷和 2-氯丙烷分别与 $\mathrm{NaOH}$ 的乙醇溶液共热反应,下列叙述正确的是 ( )。A. 产生的官能团相同
B. 产物互为同分异构体
C. 碳氢键断裂的位置相同
D. 产生的官能团不同
4. 下列反应属于取代反应的是 (））。A. 乙烯与溴的四氯化碳溶液生成 1,2-二溴乙烷
B. 溴乙烷与氢氧化钠的乙醇溶液共热生成乙烯
C. 氯乙烯生成聚氯乙烯
D. 丙烷与氯气在光照下生成氯丙烷
5. 为检验 1 -溴丁烷中的溴元素,下列实验操作正确的顺序是 ( 填序号 )。(1) 加热煮沸
(2) 加人硝酸银溶液
(3) 取少量 1-溴丁烷
(4) 加人足量稀硝酸酸化
(5) 加人氢氧化钠溶液
(6) 冷却
6. 写出下列过程中有关反应的化学方程式。
(1) 由 2-溴丙烷转化为丙烯。
(2) 由 1-溴丁烷制取 1,2-丁二醇 $\left(\mathrm{CH}_{2} \mathrm{OHCHOHCH} \mathrm{CH}_{3}\right)_{\text {。}}$
7. $1.57 \mathrm{~g}$ 某一氯代烷与足量 $\mathrm{NaOH}$ 水溶液混合加热,充分反应。所得产物用稀硝酸酸化后再加人足量 $\mathrm{AgNO}_{3}$ 溶液，得到 $2.87 \mathrm{~g}$ 白色沉淀。
（1）求该一氯代烷的相对分子质量。（2）写出该一氯代烷可能的结构简式和名称。
8. $\mathrm{A}、\mathrm{~B}、\mathrm{C}、\mathrm{D}$ 是 4 种有机化合物，它们的分子中均含有 2 个碳原子，其中 $\mathrm{A}$ 和 $\mathrm{B}$ 是烃。在标准状况下,$\mathrm{A}$ 对氢气的相对密度是 $13,\mathrm{~B}$ 与 $\mathrm{HCl}$ 反应生成 $\mathrm{C},\mathrm{C}$ 和 $\mathrm{D}$ 混合后加人 $\mathrm{NaOH}$ 并加热，可生成 $\mathrm{B}$。
（1 ）判断 $\mathrm{A}、\mathrm{~B}、\mathrm{C}、\mathrm{D}$ 各是哪种有机化合物，写出它们的结构简式。
( 2 ) 写出有关反应的化学方程式。
9. 聚氯乙烯是生活中常用的塑料。工业生产聚氯乙烯的一种合成路线如下：
请写出反应(1)、(2)的化学方程式,并注明反应类型。
## 第二节
醇酚
烃分子中的氢原子被羟基取代可衍生出含嵯基的化合物，如:
醇 alcohol
乙醇 ethanol
苯酚
邻甲基苯酚
在上述化合物中,羟基与饱和碳原子相连的化合物称为醇,嵯基与苯环直接相连而形成的化合物称为酚。
## 一、醇
醇的种类很多,根据醇分子中所含嵯基的数目，可以分为一元醇、二元醇和多元醇。分子中只含有一个羟基的醇,叫做一元醇。由烷烃所衍生的一元醇,叫做饱和一元醇,如甲醇、乙醇等,它们的通式是 $\mathrm{C}_{n} \mathrm{H}_{2 n+1} \mathrm{OH}$,可简写为 $\mathrm{R}-\mathrm{OH}_{\circ}$ 分子里含有两个或两个以上羟基的醇,分别叫做二元醇和多元醇，如:
乙二醇
乙二醇可用于生产汽车防冻液
丙三醇可用于配制化炇品
图 3-5 乙二醇和丙三醇的用途甲醇 $\left(\mathrm{CH}_{3} \mathrm{OH}\right)$ 是无色、具有挥发性的液体，易溶于水,沸点为 $65{ }^{\circ} \mathrm{C}$。甲醇有毒,误服会损伤视神经,甚至致人死亡。甲醇广泛应用于化工生产，也可作为车用燃料。乙二醇和丙三醇都是无色、黏稠的液体,都易溶于水和乙醇，是重要的化工原料。
醇在水中的溶解度一般随分子中碳原子数的增加而降低,沸点随碳原子数的增加而升高。
表3-2几种醇的熔点和沸点
| 名称 | 结构简式 | 熔点 $/{ }^{\circ} \mathrm{C}$ | 沸点 $/{ }^{\circ} \mathrm{C}$ |
| :---: | :--- | :---: | :---: |
| 甲醇 | $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{OH}$ | -97 | 65 |
| 乙醇 | $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{OH}$ | -117 | 78 |
| 正丙醇 | $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{OH}$ | -126 | 97 |
| 正丁醇 | $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{OH}$ | -90 | 118 |
| 正戊醇 | $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{OH}$ | -79 | 138 |
| 十八醇 $($ 硬脂醇 $)$ | $\mathrm{CH}_{3}\left(\mathrm{CH}_{2}\right)_{17} \mathrm{OH}$ | 59 | 211 |
## 思考与讨论
表3-3 列举了几种相对分子质量相近的醇与烷烃的沸点。请仔细阅读并对比表格中的数据，你能得出什么结论?与同学进行交流。
表3-3 相对分子质量相近的醇与烷烃的沸点
| 名称 | 结构简式 | 相对分子质量 | 沸点 $/{ }^{\circ} \mathrm{C}$ |
| :---: | :--- | :---: | :---: |
| 甲醇 | $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{OH}$ | 32 | 65 |
| 乙烷 | $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{3}$ | 30 | -89 |
| 乙醇 | $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{OH}$ | 46 | 78 |
| 丙烷 | $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{CH}_{3}$ | 44 | -42 |
| 正丙醇 | $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{OH}$ | 60 | 97 |
| 正丁烷 | $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{CH}_{3}$ | 58 | -0.5 |
我们从表3-3 中的数据可知,相对分子质量相近的醇和烷烃相比，醇的沸点远远高于烷烃的沸点。这是由于醇分子中羟基的氧原子与另一醇分子羟基的氢原子间存在着氢键 (如图 3-6)。甲醇、乙醇和丙醇均可与水互溶,这也是因为醇分子与水分子之间形成了氢键。
图 3-7 乙醇的分子结构模型
图 3-8 乙醇的核磁共振氢谱由于氧原子吸引电子的能力比氢原子和碳原子的强,使 $\mathrm{O}-\mathrm{H}$ 和 $\mathrm{C}-\mathrm{O}$ 的电子都向氧原子偏移。因此,醇在发生反应时,$\mathrm{O}-\mathrm{H}$ 容易断裂,使嵯基中的氢原子被取代；同样,$\mathrm{C}-\mathrm{O}$ 也易断裂,使羟基被取代或脱去,从而发生取代反应或消去反应。
## 1. 取代反应
醇可以与氢卣酸发生取代反应生成卤代烃和水。反应时醇分子中的 $\mathrm{C}-\mathrm{O}$ 断裂,卤素原子取代了羟基而生成卤代烃。例如,乙醇与浓氢溴酸混合加热后发生取代反应,生成溴乙烷，这是制备溴乙烷的方法之一。
## 2. 消去反应
## 【实验3-2】
如图 3-9所示,在圆底烧瓶中加入乙醇和浓硫酸（体积比约为 $1: 3$ ) 的混合液 $20 \mathrm{~mL}$,放入几片碎瓷片,以避免混合液在受热时暴沸。加热混合液,使液体温度迅速升到 $170^{\circ} \mathrm{C}$,将生成的气体先通入氢氧化钠溶液除去杂质,
图 3-9 乙醇的消去反应再分别通入酸性高锰酸钾溶液和溴的四氯化碳溶液中,观察实验现象。
乙醇在浓硫酸的作用下，加热到 $170{ }^{\circ} \mathrm{C}$ 时生成乙烯。
醚 ether
## 思考与讨论
(1) 溴乙烷与乙醇都能发生消去反应，二者的反应有什么异同?
(2) 请写出分子式为 $\mathrm{C}_{3} \mathrm{H}_{8} \mathrm{O}$ 的有机化合物的同分异构体的结构简式。
图 3-10 乙醇与酸性重铬酸钾溶液的反应在这个反应中，乙醇分子脱去一个水分子生成乙烯,发生了消去反应。
如果把乙醇和浓硫酸的混合物的温度控制在 $140{ }^{\circ} \mathrm{C}$ 左右,乙醇将以另一种方式脱水,即每两个乙醇分子间会脱去一个水分子而生成乙醚。
乙醚是一种无色、易挥发的液体,沸点 $34.5{ }^{\circ} \mathrm{C}$,有特殊气味,具有麻醉作用。乙醚易溶于有机溶剂,它本身是一种优良溶剂,能溶解多种有机化合物。
像乙醚这样由两个烃基通过一个氧原子连接起来的化合物叫做醚。醚的结构可用 $\mathrm{R}-\mathrm{O}-\mathrm{R}^{\prime}$ 来表示,$\mathrm{R}$ 和 $\mathrm{R}^{\prime}$ 都是烃基,可以相同,也可以不同。
醚类物质在化工生产中被广泛用作溶剂，有的醚可被用作麻醉剂。
## 3. 氧化反应
我们知道,乙醇在铜或银作催化剂等条件下,可以被空气中的氧气氧化为乙醛,实现由醇到醛的转化。乙醇还能不能被其他氧化剂氧化呢?
## 【实验3-3 】
如图 3-10所示,在试管中加入酸性重铬酸钾溶液,然后滴加乙醇，充分振荡，观察实验现象在上述实验中所用到的酸性重铬酸钾 $\left(\mathrm{K}_{2} \mathrm{Cr}_{2} \mathrm{O}_{7}\right)$ 溶液也是一种常用氧化剂。乙醇能被酸性重铬酸钾溶液氧化,其氧化过程可分为两个阶段:
在有机化学反应中,通常把有机化合物分子中失去氢原子或加人氧原子的反应叫做氧化反应。例如,乙醇在氧化剂的作用下失去氢原子转化为乙醛,以及乙醛在氧化剂的作用下加人氧原子转化为乙酸,发生的都是氧化反应。与氧化反应相反,通常在有机化学反应中,有机化合物分子中加人氢原子或失去氧原子的反应是还原反应。
## 资料卡片
在日常生活中,我们看到有些人暍酒后,会产生脸部变红、呕吐、昏迷等醉酒症状;有些人喝了一定量的酒,却并不会出现上述症状。这是什么原因造成的呢?
酒精在人体内的代谢主要靠两种酶: 种是乙醇脱氢酶,另一种是乙醛脱氢酶。乙醇脱氢酶使乙醇氧化变成乙醛,而乙醛脱氢酶能使乙醛氧化为乙酸。乙酸参与体内代谢,转化为二氧化碳和水排出体外。人体内如果具备这两种酶,就能较快地分解酒精。一般人的体内都有乙醇脱氢酶,但不少人缺少乙醛脱氢酶,这使体内的乙醛不易被氧化为乙酸,从而让人脸部甚至体表毛细血管扩张充血，并产生其他醉酒症状。
## ．酉分
苯酚是一元酚,是酚类化合物中最简单的,其分子式
所示。下面以苯酚为例来研究酚类化合物的性质。
纯净的苯酚是无色晶体,但放置时间较长的苯酚往往是粉红色的,这是部分苯酚被空气中的氧气氧化所致。苯酚具有特殊的气味,熔点 $43^{\circ} \mathrm{C}$。苯酚易溶于乙醇等有机溶剂。室温下苯酚在水中的溶解度是 $9.2 \mathrm{~g}$,当温度高于 $65^{\circ} \mathrm{C}$ 时能与水互溶。
图 3-11 苯酚的分子结构模型
## 注意
苯酚有毒，对皮朋有腐蚀性，使用时一定要小心。如不慎沾到皮肤上，应立即用乙醇冲洗,再用水冲洗。
## 1. 酸性
## 【实验3-4】
| 实验内容 | 实验现象 |
| :---: | :---: |
| $\begin{array}{c}\text { ( } 1 \text { ) 向盛有 } 0.3 \mathrm{~g} \text { 苯酚晶体的试管 } \\ \text { 中加入 } 2 \mathrm{~mL} \text { 蒸馏水,振荡试管 }\end{array}$ | |
| (2) 向试管中逐滴加入 $5 \% \mathrm{NaOH}$ | |
| 溶液并振荡试管 | |
| (3) 再向试管中加入稀盐酸 | |
图 3-12 苯酚的酸性
由于苯酚中的羟基和苯环直接相连，苯环与嵯基之间的相互作用使酚羟基在性质上与醇羟基有显著差异。酚羟基中的氢原子比醇嵯基中的氢原子更活泼,苯酚的嵯基在水溶液中能够发生部分电离,显示弱酸性,故苯酚俗称石炭酸。苯酚能与 $\mathrm{NaOH}$ 反应,反应的化学方程式为:
苯酚钠
向苯酚钠的溶液中滴加少量稀盐酸,苯酚钠又重新生成了苯酚。
如果向澄清的苯酚钠溶液中通人二氧化碳气体，可以看到溶液又变浑浊。这是因为苯酚钠在碳酸的作用下又生成了苯酚，这说明苯酚的酸性比碳酸的弱。
在苯酚分子中,苯环影响了与其相连的嵯基的活性。反过来，羟基会不会影响与其相连的苯环的活性呢?
## 2. 取代反应
## 【实验3-5】
向试管中加入 $0.1 \mathrm{~g}$ 苯酚和 $3 \mathrm{~mL}$ 水,振荡，得到苯酚溶液。再向其中逐滴加入饱和溴水,边加边振荡,观察实验现象。
在苯酚分子中，嵯基和苯环相互影响，使苯环在嵯基的邻、对位上的氢原子较易被取代。上述实验中，苯酚很容易与溴发生取代反应,生成邻、对位取代的产物 2,4,6-
图 3-13 苯酚与溴反应三溴苯酚。
2,4,6- 三溴苯酚
苯酚与溴的反应很灵敏，可用于苯酚的定性检验和定量测定。
## 思考与讨论
如何从分子内基团间相互作用的角度来解释下列事实:
（1）苯酚的酸性比乙醇的强。
（2）苯和苯酚发生溴代反应的条件和产物有很大的不同。
## 3. 显色反应
## 【实验3-6】
图 3-14 苯酚与氯化铁反应
向盛有少量苯酚稀溶液的试管中,滴入几滴 $\mathrm{FeCl}_{3}$ 溶液，振荡，观察实验现象。
苯酚与 $\mathrm{FeCl}_{3}$ 溶液作用显紫色，利用这一反应也可以检验苯酚的存在。酚类物质一般都可以与 $\mathrm{FeCl}_{3}$ 作用显色,可用于检验其存在。
苯酚是一种重要的化工原料，广泛用于制造酚醛树脂、染料、医药、农药等。含酚类物质的废水对生物具有毒害作用,会对水体造成严重污染。化工厂和炼焦厂的废水中常含有酚类物质，在排放前必须经过处理。
## (9) 信息搜索
查阅有关资料,了解酚类废水的危害和工业上处理酚类废水的常用方法,并把你收集的资料设计成一份保护环境的宣传报道。
## 科学史话
## 苯酚的消毒作用
在 19 世纪,有一位名叫利斯特 ( J. Lister,1827-1912）的英国外科医生,他发现很多患者手术后死于伤口感染。这是什么原因造成的呢?
一天早晨,在阳光照耀下,利斯特看到了空气中飞舞的无数灰尘,他突然联想到下面一些问题：伤口接触到这么多灰尘,这里面会不会有细菌呢?接触伤ロ的绷带、手术刀和医生的双手会不会沾有细菌呢?患者伤口感染会不会跟这些细菌有关呢?于是,他开始寻找有效的消毒方法。他观察到在工厂附近的一条水沟里,草根很少腐烂。经过实地调查和多次试验,他发现从这家工厂流出的废水中含有石炭酸 (即苯酚)，这种物质具有消毒防腐作用。他尝试在手术前用石炭酸溶液为手术器械消毒,并用石炭酸溶液洗手。结果手术后患者伤口感染的现象明显减少,患者的死亡率也大幅下降。
苯酚有一定毒性和腐蚀性,使用不当会对人体产生毒害作用。酚类消毒剂一般只适于外用。至今，人们已经发现了多种消毒方法,如加热、使用消毒剂、紫外线照射等。
## 练习与应用
1. 下列物质中,不属于醇类的是（）。A. $\mathrm{C}_{3} \mathrm{H}_{7} \mathrm{OH}$
B.
C.
D. $\mathrm{CH}_{2}-\mathrm{CH}-\mathrm{CH}_{2}$
$\mathrm{OH} \quad \mathrm{OH} \quad \mathrm{OH}$
2. 苯酚具有弱酸性的原因是（）。A. 羟基使苯环活化
B. 苯环使羟基中的 $\mathrm{O}-\mathrm{H}$ 极性变强
C. 苯酚能与 $\mathrm{NaOH}$ 溶液反应
D. 苯酚能与溴水反应
3. 有机化合物分子中基团间的相互影响会导致其化学性质改变。下列叙述能说明上述观点的是（）。A. 苯酚易与 $\mathrm{NaOH}$ 溶液反应，而乙醇不能
B. 苯和甲苯都能与 $\mathrm{H}_{2}$ 发生加成反应
C. 乙烯能发生加成反应,而乙烷不能
D. 等物质的量的甘油和乙醇分别与足量 $\mathrm{Na}$ 反应，前者反应生成的 $\mathrm{H}_{2}$ 多
4. 某有机化合物的结构简式为 $\left(\mathrm{CH}_{3}\right)_{2} \mathrm{CHCH}_{2} \mathrm{OH}$,它可能发生的反应有: ( 填序号 )。(1)与 $\mathrm{Na}$ 反应放出 $\mathrm{H}_{2}$
(2)与 $\mathrm{NaOH}$ 发生中和反应
(3)一定条件下发生取代反应
## (4)一定条件下发生加成反应 (5)一定条件下发生氧化反应
5. 为什么相对分子质量相近的醇和烷烃相比，醇的沸点远远高于烷烃的沸点?为什么甲醇、乙醇、丙醇易溶于水，而碳原子数较多的高级醇水溶性较低?6. 写出下列物质间转化的化学方程式,并注明反应条件。
7. 三百多年前,著名化学家波义耳使用铁盐与没食子酸 ( $\mathrm{HO}$
其原理。8. 如何鉴别苯和苯酚稀溶液?如何除去苯中混有的少量苯酚?请设计尽可能多的实验方案,并与同学进行交流。9. 某有机化合物 $\mathrm{A}$ 含碳 $76.6 \%$,氢 6.4\%,氧 $17.0 \%$,相对分子质量为甲烷的 5.88倍。在常温下,$\mathrm{A}$ 可与溴水反应生成白色沉淀,$1 \mathrm{~mol} \mathrm{~A}$ 恰好与 $3 \mathrm{~mol} \mathrm{Br}_{2}$ 作用。请据此确定 $\mathrm{A}$ 的结构简式。10. 以乙烯为基本原料，合成六元环状化合物 $\mathrm{D}\left(\mathrm{C}_{4} \mathrm{H}_{8} \mathrm{O}_{2}\right)$ 的反应如下所示（部分试剂、产物及反应条件略去 )：
请写出各步反应的化学方程式和反应类型。
## 第三节
醛酮
醛 aldehyde
乙醛 acetaldehyde
我们知道,羰基 $(-\stackrel{\|}{\mathrm{C}}-\mathrm{O})$ 是一个碳原子和一个氧原子以双键相连形成的一种原子团,如果羰基的碳原子连着一个氢原子便形成了醛基 $(-\stackrel{O}{\mathrm{C}}-\mathrm{H})$。
醛是由烃基（或氢原子）与醛基相连而构成的化合物,简写为 $\mathrm{RCHO}$。饱和一元醛的通式为 $\mathrm{C}_{n} \mathrm{H}_{2 n} \mathrm{O}$。下面以乙醛为例来学习醛类化合物的性质。
## 一、乙醛
乙醛是无色、具有刺激性气味的液体，密度比水的小，沸点 $20.8{ }^{\circ} \mathrm{C}$,易挥发,易燃烧,能与水、乙醇等互溶。
图3-15 乙醛的分子结构模型
图 3-16 乙醛的核磁共振氢谱
乙醛分子中的醛基官能团对乙醛的化学性质起决定作用。
1. 加成反应
( 1 ) 催化加氢
乙醛蒸气和氢气的混合气体通过热的铂催化剂,乙醛与氢气即发生催化加氢反应,得到乙醇。
乙醛的催化加氢反应也是它的还原反应。
(2) 与 $\mathrm{HCN}$ 加成
在醛基的碳氧双键中,由于氧原子的电负性较大,碳氧双键中的电子偏向氧原子,使氧原子带部分负电荷,碳原子带部分正电荷，从而使醛基具有较强的极性。
乙醛也能和一些极性试剂发生加成反应。例如,乙醛能与氰化氢 ( $\mathrm{HCN})$ 发生加成反应。
2-嵯基肉腈
## 2. 氧化反应
## 【实验3-7】
在洁净的试管中加入 $1 \mathrm{~mL} 2 \% \mathrm{AgNO}_{3}$ 溶液,然后边振芴试管边逐滴滴入 $2 \%$ 氨水,使最初产生的沉淀溶解,制得银氨溶液。再滴入 3 滴乙醛,振荡后将试管放在热水浴中温热。观察实验现象。
## 【实验3-8】
在试管里加入 $2 \mathrm{~mL} 10 \% \mathrm{NaOH}$ 溶液,加入 5 滴 $5 \%$ $\mathrm{CuSO}_{4}$ 溶液,得到新制的 $\mathrm{Cu}(\mathrm{OH})_{2}$,振荡后加入 $0.5 \mathrm{~mL}$ 乙醛溶液，加热。观察实验现象。
## (1) 提示
当极性分子与醛基发生加成反应时，带正电荷的原子或原子团连接在氧原子上,带负电荷的原子或原子团连接在碳原子上。
图 3-17 乙醛的银镜反应
图 3-18乙醛与氢氧化铜反应在实验 3-7 中,硝酸银与氨水生成的银氨溶液中含有 $\left[\mathrm{Ag}\left(\mathrm{NH}_{3}\right)_{2}\right] \mathrm{OH}$ (氢氧化二氨合银),它是一种弱氧化剂,能把乙醛氧化成乙酸,而 $\mathrm{Ag}^{+}$被还原成 $\mathrm{Ag}$。
$$
\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CHO}+2\left[\mathrm{Ag}\left(\mathrm{NH}_{3}\right)_{2}\right] \mathrm{OH} \stackrel{\triangle}{\longrightarrow} \mathrm{CH}_{3} \mathrm{COONH}_{4}+2 \mathrm{Ag} \downarrow+3 \mathrm{NH}_{3}+\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}
$$
银镜反应
silver mirror reaction 由于生成的银附着在试管壁上形成银镜,所以该反应又叫做银镜反应，常用来检验醛基。
在实验 3-8 中,新制的 $\mathrm{Cu}(\mathrm{OH})_{2}$ 也是一种弱氧化剂,能使乙醛氧化。该反应生成了砖红色 $\mathrm{Cu}_{2} \mathrm{O}$ 沉淀,也可以用来检验醛基。
$$
\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CHO}+2 \mathrm{Cu}(\mathrm{OH})_{2}+\mathrm{NaOH} \stackrel{\triangle}{\longrightarrow} \mathrm{CH}_{3} \mathrm{COONa}+\mathrm{Cu}_{2} \mathrm{O} \downarrow+3 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}
$$
乙醛在一定温度和催化剂存在的条件下,也能被空气中的氧气氧化成乙酸。下图所示。请结合具体反应，以及三者的分子结构和官能团的变化情况，谈谈有机反应中的氧化反应和还原反应的特点乙醇 $\underset{\text { 羊不原 }}{\longrightarrow}$ 乙醛福尔马林 formalin
## 二、醛类
除乙醛外，其他醛类化合物，如甲醛（HCHO）、丙醛 $\left(\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{CHO}\right)$、苯甲醛 (〒 $\left.\square \mathrm{CHO}\right)$ 等,它们在分子结构中都含有醛基,所以化学性质与乙醛的相似。一般情况下，醛能被还原为醇，被氧化为嵯酸，可以发生银镜反应,能与氰化氢加成。
在醛类中,甲醛是最简单的醛。甲醛又叫蚁醛，是一种无色、有强烈刺激性气味的气体，易溶于水。甲醛的用途非常广泛,它是一种重要的化工原料,能合成多种有机化合物;它的水溶液 (又称福尔马林) 具有杀菌、防腐性能，可用于消毒和制作生物标本。
苯甲醛是最简单的芳香醛，俗称苦杏仁油，是一种有苦杏仁气味的无色液体。苯甲醛是制造染料、香料及药物的重要原料。
## 思考与讨论
（1）由芮醛如何得到 1- 万醇或丙酸?
（2）苯甲醛在空气中久置,在容器内壁会出现苯甲酸的结晶，这是为什么?
#### Abstract
@9) 信息搜索甲醛是一种重要的化工原料，用途十分广泛。但是使用不当会对人体健康造成危害。请以“甲醛” 为关键词，在网上搜索资料，写一篇有关安全使用甲醛的小论文，并与同学交流。
## 资料卡片
自然界的许多植物中含有醛,其中有些具有特殊的香味,可作为植物香料使用。
肉桂醛
苯甲醛
图3-19 桂皮和杏仁中分别含有肉桂醛和苯甲醛
## 三、酮
羰基与两个烃基相连的化合物叫做酮，其结构可表示
酮 ketone
丙酮是无色透明的液体,沸点 $56.2^{\circ} \mathrm{C}$,易挥发,能与水、乙醇等互溶。芮酮不能被银氨溶液、新制的 $\mathrm{Cu}(\mathrm{OH})_{2}$ 等弱氧化剂氧化。在催化剂存在的条件下,丙酮可以发生催化加氢反应,生成2-丙醇。
酮是重要的有机溶剂和化工原料。例如,丙酮可用作化学纤维、钢瓶储存乙炔等的溶剂,还用于生产有机玻璃、农药和涂料等。
## 思考与讨论
万酮是历醛的同分异构体吗?它们有哪些性质差异?可采用哪些方法鉴别它们?
## 练习与应用
1. 某有机化合物的结构简式为 $\mathrm{CH}_{2}=\mathrm{CHCH}_{2}-\mathrm{CHO}$,下列对其化学性质的判断不正确的是 ( )。A. 能被银氨溶液氧化
B. 能使酸性 $\mathrm{KMnO}_{4}$ 溶液褪色
C. $1 \mathrm{~mol}$ 该物质能与 $1 \mathrm{~mol} \mathrm{HBr}$ 发生加成反应
D. $1 \mathrm{~mol}$ 该物质只能与 $1 \mathrm{~mol} \mathrm{H}_{2}$ 发生加成反应
2. 下列反应属于还原反应的是（）。A. $\mathrm{RCHO}+\mathrm{H}_{2} \longrightarrow \mathrm{RCH}_{2} \mathrm{OH}$
B. $\mathrm{CH}_{2}=\mathrm{CH}_{2}+\mathrm{Br}_{2} \longrightarrow \mathrm{CH}_{2} \mathrm{BrCH}_{2} \mathrm{Br}$
C. $2 \mathrm{CH}_{3} \mathrm{CHO}+\mathrm{O}_{2} \longrightarrow 2 \mathrm{CH}_{3} \mathrm{COOH}$
D. $2 \mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{OH}+\mathrm{O}_{2} \longrightarrow 2 \mathrm{CH}_{3} \mathrm{CHO}+2 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}$
3. 1-丙醇在铜作催化剂并加热的条件下,可被氧化为 $\mathrm{M}$。下列物质与 $\mathrm{M}$ 互为同分异构体的是（）。A. $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{OCH}_{2} \mathrm{CH}_{3}$
B. $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}(\mathrm{OH}) \mathrm{CH}_{3}$
C. $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{COCH}_{3}$
D. $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{CHO}$
4. 某有机化合物的分子式为 $\mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{12} \mathrm{O}$,主链有 4 个碳原子,能发生银镜反应。请写出其可能的结构简式。5. 某有机化合物的燃烧产物只有 $\mathrm{CO}_{2}$ 和 $\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}$,完全燃烧 $2.9 \mathrm{~g}$ 该物质,生成 $3.36 \mathrm{~L} \mathrm{CO}_{2}$ (标准状况 )。该物质的蒸气密度是相同条件下氢气的 29 倍。
(1) 该有机化合物的分子式为__若该物质能发生银镜反应,且 $0.58 \mathrm{~g}$ 该物质与足量银氨溶液反应，生成 $2.16 \mathrm{~g} \mathrm{Ag}$,该有机化合物的结构简式为
( 2) 若该物质不能发生银镜反应,核磁共振氢谱中只有一组峰,其结构简式为
6. 用化学方法鉴别下列各组物质。
(1) 溴乙烷、乙醇、乙醛;
（2）苯、甲苯、乙醇、1-己烯、甲醛溶液、苯酚溶液。
7. 分别写出丙醛与下列物质反应的化学方程式。（1）与银氨溶液反应;（2）与新制的氢氧化铜反应;(3) 与氢气反应;(4) 与氰化氢反应。8. 某同学向溴水中加人足量的乙醛溶液,发现溴水裉色。这是由于醛基具有还原性,溴水可将乙醛氧化为乙酸。请尝试写出该反应的化学方程式。9. 桂皮中含有的肉桂醛 ( $\ \mathrm{CH}=\mathrm{CHCHO})$ 是一种食用香料,广泛用于牙膏、洗涤剂、糖果和调味品中。工业上可通过苯甲醛与乙醛反应进行制备：
上述反应主要经历了加成和消去的过程,请尝试写出相应反应的化学方程式。
## 第四节
## 羧酸羧酸衍生物
#### Abstract
羧酸是由烃基 (或氢原子) 与羧基 $(-\stackrel{O}{\mathrm{C}}-\mathrm{OH})$ 相连而构成的有机化合物。羧酸衍生物是徉酸分子中垟基上的羟基被其他原子或原子团取代后的生成物,如乙酸分子中羒基上的羟基被乙氧基 $\left(-\mathrm{OCH}_{2} \mathrm{CH}_{3}\right)$ 取代后生成的乙酸乙酯,被氨基 $\left(-\mathrm{NH}_{2}\right)$ 取代后生成的乙酰胺。
## 一、羧酸
根据与馂基相连的烃基的不同,羧酸可以分为脂肪酸 (如甲酸、乙酸) 和芳香酸 (如苯甲酸,$\square \mathrm{COOH}$ ) 等;根据羧酸分子中羧基的数目,羧酸又可以分为一元羧酸 ( 如丙酸,$\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{COOH}$ )、二元羧酸 (如乙二酸,$\mathrm{HOOC}-\mathrm{COOH})$ 和多元羧酸等。
甲酸是最简单的羧酸,因最早从蚂蚁中获得,故又称蚁酸。它是一种无色、有刺激性气味的液体,有腐蚀性,能与水、乙醇等互溶。甲酸分子中既有羧基的结构 (图 3-20 中圆圈内为羧基),又有醛基的结构 (图 3-20 中方框内为醛基),这使得甲酸既表现出羒酸的性质,又表现出醛的性质。例如,甲酸既有酸性,又能与银氨溶液反应,被氧化为碳酸后分解生成二氧化碳和水。甲酸在工业上可用作还原剂，也是合成医药、农药和染料等的原料。
苯甲酸属于芳香酸,是一种无色晶体,易升华,微溶于水，易溶于乙醇。苯甲酸可以用于合成香料、药物等,它的钠盐是常用的食品防腐剂。
乙二酸 ( 俗称草酸) 是最简单的二元垟酸。乙二酸是无色晶体,通常含有两分子结晶水,可溶于水和乙醇。乙
羧酸 carboxylic acid
乙酸 acetic acid
图 3-20 甲酸分子的结构
## 资料卡片
自然界的许多动植物中含有有机酸，例如，蚁酸（甲酸）、安息香酸（苯甲酸）、草酸（乙二酸）等。有些有机酸分子中既含有
垟基也含有嵯基，所以又叫做嵯基酸，它们既具有嵯基的性质，也具有羧基的性质。例如，乳酸、柠檬酸、苹果酸等。
柠檬酸
图 3-21 酸奶和柠檬中分别含有乳酸和柠檬酸
图 3-22 乙酸的分子结构模型
图 3-23 乙酸的核磁共振氢谱一酸是化学分析中常用的还原剂，也是重要的化丁原料。
甲酸、乙酸等分子中碳原子数较少的羧酸能够与水互溶。随着分子中碳原子数的增加，一元羧酸在水中的溶解度迅速减小，其去不溶于水，其沸点也逐渐手高。高级脂肪酸是不溶于水的蜡状田体。羒酸与相对分子质量相当的其他有机化合物相比，沸点较高，这与羧酸分子间可以形力戊氢键有关。
表3-4 几种羧酸的熔点和沸点
| 名称 | 结构简式 | 熔点 $/{ }^{\circ} \mathrm{C}$ | 沸点 $/{ }^{\circ} \mathrm{C}$ |
| :---: | :--- | :---: | :---: |
| 甲酸 | $\mathrm{HCOOH}$ | 8 | 101 |
| 乙酸 | $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{COOH}$ | 17 | 118 |
| 丙酸 | $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{COOH}$ | -21 | 141 |
| 正丁酸 | $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{COOH}$ | -5 | 166 |
| 十八酸 (硬脂酸 $)$ | $\mathrm{CH}_{3}\left(\mathrm{CH}_{2}\right)_{16} \mathrm{COOH}$ | 70 | 383 |
| 苯甲酸 | | 122 | 249 |
羧酸的化学性质主要取决于羧基官能团。由于受氧原子电负性较大等因素的影响,当羧酸发生化学反应时,羧基结构中下面两个部位的化学键容易断裂:
当 $\mathrm{O}-\mathrm{H}$ 断裂时,会解离出 $\mathrm{H}^{+}$,使羧酸表现出酸性;
当 $\mathrm{C}-\mathrm{O}$ 断裂时,$-\mathrm{OH}$ 可以被其他基团取代，生成酯、酰胺等羧酸衍生物。
## 1. 酸性
羧酸是一类弱酸，具有酸类的共同性质。
## 探究
嵯酸的酸性
## 【问题 】
羒酸的化学性质与乙酸的相似,如何通过实验证明其他嵯酸也具有酸性?如何通过实验比较乙酸、碳酸和苯酚的酸性强弱?
## 【设计与实验 】
( 1 ）设计实验证明搓酸具有酸性（提供的垟酸有甲酸、苯甲酸和乙二酸）。
| 实验内容 | 实验现象 | 结论 |
| :--- | :--- | :--- |
| | | |
（2）利用下图所示仪器和药品,设计一个简单的一次性完成的实验装置,比较乙酸、碳酸和苯酚的酸性强弱。
$\mathrm{A}$
I 苯酚钠溶液注: D、E、F、G 分别是双孔橡胶
塞上的孔
## 【讨论】
（1）甲酸除了具有酸性,还可能有哪些化学性质?请从分子结构的角度进行分析。
（2）以上比较乙酸、碳酸和苯酚酸性强弱的装置中,饱和 $\mathrm{NaHCO}_{3}$ 溶液的作用是什么?请写出各装置中发生反应的化学方程式。
## 2. 酯化反应
羧酸和醇在酸催化下可以发生酯化反应，如乙酸与乙醇在浓硫酸催化和加热的条件下反应，生成乙酸乙酯。
## 思考与讨论
乙酸与乙醇的酯化反应,从形式上看是垟基与嵯基之间脱去一个水分子。脱水时有以下两种可能的方式，你能设计一个实验方案来证明是哪一种吗?
## 提示
同位素示踪法是利用同位素对研究对象进行标记的微量分析方法,可以利用探测仪器随时追踪标记的同位素在产物中的位置和数量。我们可以使用同位素示踪法,证实乙酸与乙醇的酯化反应是乙酸分子中羧基的羟基与乙醇分子中嵯基的氢原子结合成水,其余部分相互结合成酯,其反应可用化学方程式表示如下:
酯化反应
esterification reaction
酯 ester
乙酸乙酯 ethyl acetate
## 思考与讨论
在制取乙酸乙酯的实验中,如果要提高乙酸乙酯的产率,你认为应当采取哪些措施?请结合化学反应原理的有关知识进行说明。
## 二、羧酸衍生物
## 1. 酯
酯是羧酸分子羧基中的 $-\mathrm{OH}$ 被一 $\mathrm{OR}$ '取代后的产物，可简写为 $R C O O R$，其中 $\mathrm{R}$ 和 $\mathrm{R}^{\prime}$ 可以相同，也可以不同。低级酯是具有芳香气味的液体,密度一般比水的小,易溶于有机溶剂，许多酯也是常用的有机溶剂。酯类广泛存在于自然界,如苹果里含有戊酸戊酯,菠夢里含有丁酸乙酯,香蕉里含有乙酸异戊酯等。日常生活中的饮料、糖果和糕点等常使用酯类香料。
戊酸戊酯
丁酸乙酯
乙酸异戊酯
图 3-24 水果中含有酯
酯的重要化学性质之一是可以发生水解反应,生成相应的羧酸和醇。
## 乙酸乙酯的水解
## 【问题】
乙酸乙酯水解的速率与反应条件有着怎样的关系呢?
## 【设计与实验 】
请你设计实验，探究乙酸乙酯在中性、酸性和碱性溶液中，以及不同温度下的水解速率。(提示：可以通过酯层消失的时间差异来判断乙酸乙酯在不同条件下水解速率的差别。)
实验方案与步骤:
| 实验内容 | 实验现象 | 结论 |
| :---: | :---: | :---: |
| (1) 中性、酸性和碱性溶液中水解速率的比较 | | |
| (2) 不同温度下水解速率的比较 | | |
## 【讨论 】
( 1 ) 根据化学平衡移动原理，解释乙酸乙酯在碱性条件下发生的水解反应是不可逆的。
(2) 控制实验条件是科学研究中的重要方法,通过乙酸乙酯水解条件的探究,你对这一方法有何体会?
图 3-25乙酸乙酯的分子结构模型
图 3-26 乙酸乙酯的核磁共振氢谱水解反应
hydrolysis reaction
在酸或碱存在的条件下，酯可以发生水解反应生成相应的羧酸和醇,酯的水解反应是酯化反应的逆反应。例如,在酸存在的条件下,乙酸乙酯的水解是可逆反应。但在碱性条件下,由于生成了乙酸钠,水解反应是不可逆的。以上反应的化学方程式如下:
$$
\begin{gathered}
\mathrm{CH}_{3} \mathrm{COOC}_{2} \mathrm{H}_{5}+\mathrm{H}_{2} \mathrm{O} \stackrel{\text { 稀硫酸 }}{\rightleftharpoons} \mathrm{CH}_{3} \mathrm{COOH}+\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{5} \mathrm{OH} \\
\mathrm{CH}_{3} \mathrm{COOC} \mathrm{H}_{5}+\mathrm{NaOH} \stackrel{\triangle}{\longrightarrow} \mathrm{CH}_{3} \mathrm{COONa}+\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{5} \mathrm{OH}
\end{gathered}
$$
## 2. 油脂
油脂是重要的营养物质。我们日常生活中食用的油脂,其成分主要是高级脂肪酸与甘油形成的酯,结构可表示如下:
油脂结构中 $\mathrm{R}、\mathrm{R}^{\prime}$ 和 $\mathrm{R}^{\prime \prime}$ 代表高级脂肪酸的烃基。组成油脂的高级脂肪酸的种类较多,如饱和的硬脂酸 $\left(\mathrm{C}_{17} \mathrm{H}_{35} \mathrm{COOH}\right)$、不饱和的油酸 $\left(\mathrm{C}_{17} \mathrm{H}_{33} \mathrm{COOH}\right)$ 等。通常将常温下呈液态的油脂称为油,如花生油、芝麻油、大豆油等植物油;呈固态的油脂称为脂肪,如牛油、羊油等动物油脂。油脂不但是人类重要的营养物质和食物之一,也是一种重要的工业原料。
## 思考与讨论
请写出硬脂酸、油酸分别与丙三醇反应的化学方程式,并与同学交流。
由于油脂是高级脂肪酸的甘油酯,其化学性质与乙酸乙酯的相似,能够发生水解反应。而高级脂肪酸中又有不饱和的,因此许多油脂又兼有烯烃的化学性质,可以发生加成反应。
## ( 1 ） 水解反应
在酸、碱等催化剂的作用下，油脂可以发生水解反应。例如,油脂在碱性溶液 (如氢氧化钠或氢氧化钾溶液) 中水解,生成甘油和高级脂肪酸盐。高级脂肪酸盐常用于生产肥㿝,所以油脂在碱性溶液中的水解反应又称为㿝化反应。
(2) 油脂的氢化
不饱和程度较高、熔点较低的液态油,通过催化加氢可提高饱和度,转变成半固态的脂肪,这个过程称为油脂的氢化,也称油脂的硬化。由此制得的油脂叫人造脂肪,通常又称为硬化油。硬化油不易被空气氧化变质,便于储存和运输,可作为制造肥皀和人造奶油的原料。
图 3-27 人造奶油油酸甘油酯通过氢化反应转变为硬脂酸甘油酯的化学方程式如下:
油酸甘油酯
硬脂酸甘油酯
## 资料卡片
## 油酸和亚油酸
油酸和亚油酸在人体新陈代谢中起着重要的作用,需要通过日常饮食从食用油中摄取。由天然油脂得到的油酸和亚油酸一般具有如右图所示的顺式结构。油脂经过氢化得到的人造脂肪中会含有反式脂肪酸。有研究认为反式脂肪酸是引发动脉硬化和冠心病的危险因素之一。
顺-9-十八碳烯酸（油酸 )
顺,顺 $-9,12-十八$ 碳二烯酸（亚油酸 )
## 3. 酰胺
除了酯是羧酸衍生物，酰胺也是羧酸衍生物。在学习酰胺前,下面先简单介绍一下胺。
(1) 胺
烃基取代氨分子中的氢原子而形成的化合物叫做
胺 amine 胺,一般可写作 $\mathrm{R}-\mathrm{NH}_{2}$。胺也可以看作是烃分子中的氢原子被氨基 ${ }^{\mathbb{1}}$ 所替代得到的化合物。例如,甲烷分子中的一个氢原子被一个氨基取代后,生成的化合物叫甲胺 $\left(\mathrm{CH}_{3}-\mathrm{NH}_{2}\right)$;苯分子中的一个氢原子被一个氨基取代后，生成的化合物叫苯胺 ( $\left.-\mathrm{NH}_{2}\right)$。
(1) 或取代的氨基 (一NRR',$\mathrm{R}$ 和 $R^{\prime}$ 可以是氢原子或烃基)。胺类化合物具有碱性,如苯胺能与盐酸反应,生成可溶于水的苯胺盐酸盐。
胺的用途很广,是重要的化工原料。例如,甲胺和苯胺都是合成医药、农药和染料等的重要原料。
( 2 ) 酰胺
酰胺是羧酸分子中嵯基被氨基 ${ }^{1}$ 所替代得到的化合物。
常见的酰胺有乙酰胺 $\left(\mathrm{CH}_{3}-\stackrel{\Perp}{\mathrm{C}}-\mathrm{NH}_{2}\right)$、苯甲酰胺
酰胺在酸或碱存在并加热的条件下可以发生水解反应。如果在碱性条件下水解,可生成羧酸盐和氨。
$$
\mathrm{RCONH}_{2}+\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}+\mathrm{HCl} \stackrel{\triangle}{\longrightarrow} \mathrm{RCOOH}+\mathrm{NH}_{4} \mathrm{Cl}
$$
$$
\mathrm{RCONH}_{2}+\mathrm{NaOH} \stackrel{\triangle}{\longrightarrow} \mathrm{RCOONa}+\mathrm{NH}_{3} \uparrow
$$
酰胺常被用作溶剂和化工原料。例如，$N,N$-二甲基甲酰胺是良好的溶剂,可以溶解很多有机化合物和无机化合物,是生产多种化学纤维的溶剂,也用于合成农药、医药等。
## 思考与讨论
请举例说明氨、胺、酰胺和铵盐这 4 类物质在组成、结构、性质和用途上的不同，并设计表格进行比较。
(1) 或取代的氨基 (一NRR'，R和 $R^{\prime}$ 可以是氢原子或烃基 )。
## 研究与实践
## 自制肥皁
## 【研究目的 】
在日常生活中,我们几乎每天都要用到肥皀。我们可以通过化学实验的方法制取肥皀,体验化学知识在实际中的应用,并初步了解有关表面活性剂的知识。
## 【研究任务 】
（1）工业上生产肥皁要经过皁化、盐析、洗涤、成形等步骤。请根据以上工艺流程，查阅相关资料，利用家中的食用油及食用碱制取肥阜。
（2）请以“肥皁的去污原理” 为关键词，在网上搜索资料，了解肥皁的去污作用。
（3）肥皀和合成洗涤剂都含有表面活性剂，大多数的合成洗涤剂是由阴离子表面活性剂及助剂等制成的。请你在网上搜索资料,了解表面活性剂的种类和使用情况。
## 【 结果与讨论 】
(1) 展示你自制的肥皀,与同学交流其去污效果和制取过程中需要改进的地方。
（2）根据收集的资料，写一篇介绍表面活性剂的短文，并与同学交流。
## 练习与应用
1. 苯甲酸是一种重要的羧酸，以下关于苯甲酸的说法不正确的是（）。A. 在通常条件下为无色晶体
B. 苯甲酸及其钠盐可用作食品防腐剂
C. 苯甲酸能与乙醇发生酯化反应
D. 苯甲酸钠水溶液的 $\mathrm{pH}$ 小于 7
2. 下列物质中，与 $\mathrm{NaOH}$ 溶液、$\mathrm{Na}_{2} \mathrm{CO}_{3}$ 溶液、溴水、苯酚钠溶液和甲醇都能反应的是 $(\quad)$。A. $\mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{6}($ 苯 $)$
B. $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CHO}$
C. $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{COOH}$
D. $\mathrm{CH}_{2}=\mathrm{CH}-\mathrm{COOH}$
3. 下列各组有机化合物中,互为同分异构体的是 ( )。A. 甲酸和甲酸甲酯
B. 乙酸和甲酸甲酯
C. 乙酸和乙酸乙酯
D. 甲酸和蚁酸
4. 下列关于油脂的叙述不正确的是（）。A. 油脂属于酯类
B. 油脂没有固定的熔点和沸点
C. 油脂是高级脂肪酸的甘油酯
D. 油脂都不能使溴水裉色
5. 邻甲基苯甲酸 ( 环的同分异构体的结构简式。6. 写出下列变化的化学方程式。
7. 油酸甘油酯如何转化为硬脂酸甘油酯?请写出相关反应的化学方程式,并说明该反应的应用价值。8. 有机化合物 $\mathrm{A}$ 的分子式为 $\mathrm{C}_{3} \mathrm{H}_{6} \mathrm{O}_{2}$,它与 $\mathrm{NaOH}$ 溶液共热后蒸馏,得到含 $\mathrm{B}$ 的蒸馏物。将 $\mathrm{B}$ 与浓硫酸混合加热,控制温度可以得到一种能使溴的四氯化碳溶液褪色,并可作果实催熟剂的无色气体 $\mathrm{C}$。$\mathrm{B}$ 在一定温度和催化剂存在的条件下,能被空气氧化为 $\mathrm{D},\mathrm{D}$ 与新制的 $\mathrm{Cu}(\mathrm{OH})_{2}$ 在一定条件下反应,有砖红色沉淀和 $\mathrm{E}$ 生成。请写出下列变化的化学方程式。( 1 ) $\mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}$
( 2 ) $\mathrm{B} \rightarrow \mathrm{C}$
( 3 ) $\mathrm{B} \rightarrow \mathrm{D}$
( 4 ) $\mathrm{D} \rightarrow \mathrm{E}$
9. 某有机化合物 $\mathrm{A}$ 对 $\mathrm{H}_{2}$ 的相对密度为 30,分子中含碳的质量分数为 $40.0 \%$,氢 $6.6 \%$,氧 $53.4 \%$。该物质既可与 $\mathrm{Na}$ 反应,又可与 $\mathrm{NaOH}$ 或 $\mathrm{Na}_{2} \mathrm{CO}_{3}$ 反应。
(1) 通过计算确定该有机化合物的分子式。
（2）根据该有机化合物的性质，写出其结构简式。
10. $10 \mathrm{~g}$ 某天然油脂完全水解需要 $1.8 \mathrm{~g} \mathrm{NaOH},1.0 \mathrm{~kg}$ 该油脂进行催化加氢,需消耗 $12 \mathrm{~g} \mathrm{H}_{2}$ 才能进行完全。请推断 $1 \mathrm{~mol}$ 该油脂中平均含有碳碳双键的物质的量。
## 第五节
有机合成从远古时代起，人类长期依靠自然界的资源生存。在实践中,人类逐渐学会了对自然资源进行加工和转化,从生物体中获得有机化合物。然而，自然资源是有限的，天然有机化合物的性能并不能满足人们的全部需要。19世纪 20 年代，德国化学家维勒合成了尿素，开创了人工合成有机化合物的新时代。此后,人们陆续合成了多种天然有机化合物,还合成了大量自然界并不存在的新的有机化合物,以满足生产、生活和科学研究对物质性能的特殊需要。有机合成帮助人们发现和制备了一系列药物、香料、染料、催化剂、添加剂等，有力地推动了材料科学和生命科学的发展。
## 一、有机合成的主要任务
有机合成使用相对简单易得的原料,通过有机化学反应来构建碳骨架和引人官能团,由此合成出具有特定结构和性质的目标分子。
## 1. 构建碳骨架
碳骨架是有机化合物分子的结构基础，进行有机合成时需要考虑碳骨架的形成,包括碳链的增长和缩短、成环等过程。
当原料分子中的碳原子数少于目标分子中的碳原子数时,可以通过引入含碳原子的官能团等方式使碳链增长。例如，炔烃和醛中的不饱和键与 $\mathrm{HCN}$ 发生加成反应生成含有氰基 ( $\mathrm{CN})$ 的物质,再经水解生成羧酸,或经催化加氢还原生成胺。这样，在将秚基、氨基等官能团引入碳链的同时,产物较原料分子增加了一个碳原子。
而氧化反应等则可以使烃分子链缩短。例如，烯烃、炔烃及芳香烃的侧链被酸性高锰酸钾溶液氧化,生成碳链缩短的羧酸或酮。
## 资料卡片
## 构建碳骨架的反应
醛分子中在醛基邻位碳原子上的氢原子 $(\alpha-\mathrm{H})$ 受羰基吸电子作用的影响，具有一定的得到 $\alpha,\beta$ - 不饱和醛。这类反应被称为嵯醛缩合活泼性。分子内含有 $\alpha-H$ 的醛在一定条件下可反应，是一种常用的增长碳链的方法。例如:
共轭二烯烃（含有两个碳碳双键,且两个 $\quad$ 阿尔德反应 (Diels-Alder reaction),得到环加成产双键被一个单键隔开的烯烃,如 1,3-丁二烯) 与 : 物,构建了环状碳骨架。例如: 含碳碳双键的化合物在一定条件下发生第尔斯-
(1) 本节表示有机化合物转化关系的图示只给出了主要产物的结构简式。
## 2. 引入官能团
有选择地通过取代、加成、消去、氧化、还原等有机化学反应,可以实现有机化合物类别的转化,并引入目标官能团。
## 思考与讨论
我们在各类有机化合物化学性质的学习中,已经接触了很多有机化学反应。请你从官能团转化的角度对其进行分类整理,讨论引入常见的官能团 ( 如碳碳双键、碳卤键、嵯基、醛基、垟基、酯基）有哪些方法,并举例说明。
卤代烃和含有羰基的有机化合物由于其官能团比较活泼，能发生多种反应，在有机合成的碳骨架构建和官能团引入过程中发挥着重要的作用。
## 资料卡片
## 官能团的保护
含有多个官能团的有机化合物在进行反应时，非目标官能团也可能受到影响。此时需要将该官能团保护起来,先将其转化为不受该反应影响的其他官能团,反应后再转化复原。例如，有机合成中的某些反应可能会使嵯基受到影响，需要对嵯基进行保护。此时，可以先将羟基转化为醚键，使醇转化为在一般反应条件下比较稳定的醚。相关合成反应结束后，再在一定条件下脱除起保护作用的基团（保护基），恢复嵯基。
## 二、有机合成路线的设计与实施
有机合成路线的确定,需要在掌握碳骨架构建和官能团转化基本方法的基础上,进行合理的设计与选择,以较低的成本和较高的产率,通过简便而对环境友好的操作得到目标产物。
为了达到以上目的，可以从简单、易得的原料出发,比较原料分子和产物分子在碳骨架和官能团等方面的异同,再有目的地选择每一步的转化反应。基础原料通过有机反应形成一段碳链或连上一个官能团，合成第一个中间体;在此基础上,利用中间体的官能团,加上辅助原料,进行第二步反应,合成出第二个中间体 $\cdots \cdots$ 经过多步反应,最后得到具有特定结构和功能的目标化合物（如图 3-28)。
图 3-28 有机合成过程示意图
## 思考与讨论
（1）人们最初是通讨发酵法由粮食制备乙酸,现在食醋仍主要以这种方法生产,工业上大量使用的乙酸是通过石油化学工业人工合成的。请以乙烯为原料,设计合理的路线合成乙酸，并以图 3-28 的形式呈现，分析该合成过程中官能团的变化。
（2）目前已经出现了将乙烯直接氧化生成乙酸的工艺。假定该工艺涉及的反应和（1 ) 中合成路线的每一步反应的产率均为 $70 \%$,请计算并比较这两种合成路线的总产率。
除了上述从原料出发来分析合成路线,还可以从目标化合物出发进行逆合成分析,这是设计复杂化合物合成路线时常用的方法。它的基本思路是在目标化合物的适当
逆合成分析 retrosynthetic analysis 位置断开相应的化学键,目的是使得到的较小片段所对应的中间体经过反应可以得到目标化合物；接下来继续断开中间体适当位置的化学键,使其可以从更上一步的中间体反应得来;依次倒推,最后确定最适宜的基础原料和合成路线。表示合成步骤时，使用箭头“→” 表示每一步反应;而表示逆合成时,常用符号“$\Rightarrow$ ” 来表示逆推过程，从较复杂的目标分子出发,逐步逆推“后退”,直到“简化” 为简单的原料分子 (如图 3-29)。
图 3-29 逆合成分析示意图
下面我们以乙二酸二乙酯这种医药和染料工业原料的合成为例，说明有机合成路线的设计和选择。
首先分析目标化合物的结构，乙二酸二乙酯的分子结构具有一定对称性,对称的碳骨架或官能团有可能在原料选择或合成反应中同时形成，有利于简化合成路线。该分子中含有两个酯基，若将酯基断开,所得片段对应的中间体是乙二酸 (草酸) 和乙醇,说明目标化合物可由两分子乙醇和一分子乙二酸通过酯化反应得到。
接下来从官能团转化的角度分析乙二酸分子的结构。根据我们学过的知识,羧酸可以由醇氧化得到,乙二酸前一步的中间体应该是乙二醇。
根据以上思路继续分析，乙二醇的前一步中间体是 1,2-二氯乙烷，后者则可以通过乙烯的加成反应得到。
另一个中间体乙醇可以通过乙烯与水的加成反应得到。
以上分析过程可以表示为:
由此确定合成乙二酸二乙酯的基础原料为乙烯，通过以下 5 步反应完成合成:
1. $\mathrm{CH}_{2}=\mathrm{CH}_{2}+\mathrm{H}_{2} \mathrm{O} \underset{\Delta \text { 催化剂 }}{\triangle} \longrightarrow \mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{OH}$
2. $\mathrm{CH}_{2}=\mathrm{CH}_{2}+\mathrm{Cl}_{2} \longrightarrow \underset{\mathrm{Cl}}{\mathrm{Cl}} \mathrm{Cl}_{2}-\underset{\mathrm{Cl}}{\mathrm{C}} \mathrm{H}_{2}$
5. $\mathrm{HO}-\underset{\mathrm{O}}{\mathrm{C}}-\mathrm{O}-\mathrm{C}-\mathrm{OH}+2 \mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{OH} \stackrel{\text { 催化剂 }}{\triangle} \mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{5} \mathrm{O}-\mathrm{C}-\mathrm{C}-\mathrm{C}-\mathrm{OC}_{2} \mathrm{H}_{5}+2 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}$
当通过以上方法得到了几条不同的合成路线后,还需要综合多方面因素进行选择,合理规划方案。如合成步骤较少,副反应少,反应产率高；原料、溶剂和催化剂尽可能价廉易得、低毒;反应条件温和,操作简便,产物易于分离提纯;污染排放少;等等。在进行有机合成时,要贯彻“绿色化学” 理念,选择最佳合成路线,以较低的经济成本和环境代价得到目标产物。
## 思考与讨论
在实际工业生产中，乙二醇还可以通过环氧乙烷与水直接化合的方法合成，而环氧乙烷则可由乙烯直接氧化得到。请比较该方法与以上合成乙二酸二乙酯中的2、3 两步反应，分析生产中选择该路线的可能原因。
随着新的有机反应、新试剂的不断发现和有机合成理论的发展，有机合成的技术和效率不断提高。20世纪初，维尔施泰特通过十余步反应合成颠茄酮，总产率仅有 $0.75 \%$。十几年后，罗宾逊 ${ }^{2}$ 改进了合成思路，仅用 3 步反应便完成合成,总产率达 $90 \%。20$ 世纪中后期，伍德沃德 ${ }^{8}$ 与多位化学家合作，成功合成了奎宁、胆固醇、叶绿素、红霉素、维生素 $\mathrm{B}_{12}$ 等一系列结构复杂的天然产物，促进了有机合成技术和有机反应理论的发展;科里提出了系统化的逆合成概念,开始利用计算机来辅助设计合成路线,让合成路线的设计逐步成为有严密思维逻辑的科学过程，使有机合成进人了新的发展阶段。
(1) R. M. Willstätter,1872-1942,德国化学家，1915年获诺贝尔化学奖。
(2) R. Robinson，1886-1975,英国化学家，1947年获诺贝尔化学奖。
(3) R. B. Woodward,1917-1979,美国化学家,1965年获诺贝尔化学奖。
(4) E. J. Corey,1928-,美国化学家,1990年获诺贝尔化学奖。有机合成的发展,使人们不仅能通过人工手段合成原本只能从生物体内分离、提取的天然产物,还可以根据实际需要设计合成具有特定结构和性能的新物质,为化学、生物、医学、材料等领域的研究和相关工业生产提供了坚实的物质基础,有力地促进了人类健康水平提高和社会发展进步。
## 资料卡片
实验室中进行有机合成的常用装置如图3-31所示,它能够在加热时进行拦拌、温度监测、加料和冷凝回流等实验操作。规模化的工业生产中多使用体积较大的反应釜 (如图3-32)。工业生产须在实验室研究的基础上进
图 3-31 实验室进行有机合成使用的一种典型装置示意图行小试、中试等规模放大研究,完善实验室研究所确定的反应条件，更多考虑工业化生产的设备选择、操作方法、成本控制和环境保护等因素，为正式生产提供依据。
图 3-32 工业化合成使用的反应釜
## 练习与应用
1. 写出以 2-丁烯为原料制备下列物质反应的化学方程式,并分析反应过程中官能团的转化,体会卤代烃在有机合成中的作用。(1) 2-氯丁烷
( 2 ）2-丁醇
( 3 ）2,3-二氯丁烷
( 4 ) 2,3-丁二醇
2. 2-氯-1,3-丁二烯是制备氯丁橡胶的原料。它比 $1,3-$ 二二烯多了一个氯原子,但由于碳碳双键上的氢原子较难发生取代反应,不能通过 1,3-丁二烯直接与氯气反应制得。2-氯-1,3-丁二烯的某种逆合成分析思路可表示为:
请你根据以上逆合成分析完成合成路线，并指出各步反应的类型。
3. 1,4-环已二醇是生产某些液晶材料和药物的原料,可通过以下路线合成:
请写出各步反应的化学方程式,并指出其反应类型；分析以上合成路线中官能团的转化过程。( 提示：反应(5)利用了 1,3-环己二烯与 $\mathrm{Br}_{2}$ 的 1,4-加成反应。)
4. 1,4-二氧杂环己烷 (又称 1,4-二氧六环或 1,4-二㬐烷,$C_{\mathrm{O}}$ ) 是一种常用的溶剂,在医药、化妆品、香料等精细化学品的生产中有广泛应用。请以乙烯为基础原料,使用逆合成分析法设计它的合成路线。( 提示：参考乙醇分子间脱水生成乙醚的反应。)
5. 苯甲酸苯甲酯 ( 崼一种有水果香气的食品香料。请以甲苯为基础原料,使用逆合成分析法设计它的合成路线。6. 乙烯是有机化工生产中重要的基础原料,请以乙烯为基本原料合成正丁醇 $\left(\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{OH}\right)$,写出有关反应的化学方程式。
已知：
7. 氟他胺是一种抗肿瘤药,在实验室由芳香烃 $\mathrm{A}$ 制备氟他胺的合成路线如下所示:
( 1 ) 芳香烃 $\mathrm{A}$ 的名称是，反应(3)和(4)的反应类型分别是
( 2 ) 请写出反应(5)的化学方程式。吡啶是一种有机碱,请推测其在反应(5)中的作用。
(3) 对甲氧基乙酰苯胺 $\left(\mathrm{CH}_{3} \mathrm{O} \longrightarrow \mathrm{NHCOCH}_{3}\right)$ 是合成染料和药物的中间体,请写出由苯甲醚制备对甲氧基乙酰苯胺的合成路线 (其他试剂任选 )。
## 整理与提升
## 一、烃的衍生物
从官能团的视角认识有机化合物的分类,认识官能团与有机化合物特征性质的关系。请将下表填写完全。
| 官能团 | $\begin{array}{c}\text { 有机化合 } \\ \text { 物类别 }\end{array}$ | 代表物 | 官能团的结构特点 | 特征性质 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $-\frac{1}{C}-X$ | 卤代烃 | $\begin{array}{l}\text { 溴乙烷 } \\ \mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{5} \mathrm{Br}\end{array}$ | $\begin{array}{l}\text { 卤素的电负性比碳 } \\ \text { 的大,使 } \mathrm{C}-\mathrm{X} \text { 易断裂 }\end{array}$ | $\begin{array}{l}\text { （1）取代反应：在强碱的水溶液 } \\ \text { 中发生水解生成醇 } \\ \text { （2）消去反应：与强碱的乙醇溶液共热，脱去卤化氢,生成不饱和 } \\ \text { 化合物 }\end{array}$ |
| $-\mathrm{OH}$ | 醇 | $\begin{array}{c}\text { 乙醇 } \\ \mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{5} \mathrm{OH}\end{array}$ | $\begin{array}{l}\text { 氧的电负性比氢和碳 } \\ \text { 的大,使 } \mathrm{O}-\mathrm{H} \text { 和 } \mathrm{C}-\mathrm{O} \\ \text { 易断裂 }\end{array}$ | |
| | 酚 | | | |
| | 醛 | | | |
| | 竣酸 | | | |
| | 酯 | | | |
## 二、基本有机化学反应
归纳有机反应的主要类型，并填写下表。
| 反应类型 | 反应特点 | 举例 (用化学方程式表示) |
| :--- | :--- | :--- |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
## 三、官能团的转化
在下图中,箭头表示各类官能团间的转化关系。请举例写出相应的化学方程式,并注明反应条件和反应类型，分析转化过程中的化学键与有机化合物类别的变化。
## 四、有机合成
## 复习与提高
1. 下列各组混合物中,用分液漏斗不能分离的是 ( )。A. 甲苯和水
B. 正己烷和水
C. 乙酸乙酯和水
D. 乙酸和乙醇
2. 下列物质中,能与镁反应并生成氢气的是（）。A. 二氧化碳
B. 乙酸溶液
C. 乙烷
D. 苯
3. 由羟基与下列基团组成的化合物中，属于醇类的是（）。A. $\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{5}-$
B.
C. $\mathrm{CH}_{3}-$
D. $\mathrm{R}-\mathrm{CO}-$
4. 下列物质不能用于杀菌消毒的是 ( $\quad$。A. 苯酚
B. 乙醇
C. 甲醛
D. 乙酸乙酯
5. 针对右图所示的乙醇分子结构，下列说法不正确的是（）。A. 与乙酸、浓硫酸共热时，2(键断裂
B. 与钠反应时,(1)键断裂
C. 与浓硫酸共热至 $170{ }^{\circ} \mathrm{C}$ 时,(2)(4)键断裂
D. 在 $\mathrm{Ag}$ 催化下与 $\mathrm{O}_{2}$ 反应时，(1)、(3)键断裂
6. 有机化合物 $\mathrm{CH}_{2} \mathrm{Cl}-\mathrm{CH}_{2}-\mathrm{CH}=\mathrm{CH}-\mathrm{CHO}$ 不可能发生的化学反应是（）。A. 水解反应
B. 酯化反应
C. 加成反应
D. 氧化反应
7. 下列事实不能用有机化合物分子中基团间的相互作用解释的是（）。A. 苯酚能与 $\mathrm{NaOH}$ 溶液反应而乙醇不能
B. 苯在 50 $60{ }^{\circ} \mathrm{C}$ 时发生硝化反应而甲苯在 $30{ }^{\circ} \mathrm{C}$ 时即可反应
C. 甲苯能使酸性 $\mathrm{KMnO}_{4}$ 溶液褪色而甲烷不能
D. 乙烯能发生加成反应而乙烷不能
8. 有机合成的主要任务之一是引入目标官能团。下列反应中,能够在有机化合物碳链上引人嵯基官能团的是 ( )。A. 烷烃在光照条件下与氯气反应
B. 卤代烃在氢氧化钠的乙醇溶液中加热反应
C. 醛在有催化剂并加热的条件下与氢气反应
D. 羧酸和醇在有浓硫酸并加热的条件下反应
A. 取代反应
B. 加成反应
C. 消去反应
D. 氧化反应 10. 比较下列有机化合物在水中溶解度的大小。(1) $\sqrt{ }>\mathrm{OH}$
(2) $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{OH}$
(3) $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{COOCH}_{3}$
11. 请用化学方法鉴别苯、乙醇、乙酸、甲酸溶液和苯酚溶液。写出鉴别方法和使用化学试剂的先后顺序，并写出有关反应的化学方程式。12. 某有机化合物的分子式是 $\mathrm{C}_{3} \mathrm{H}_{4} \mathrm{O}_{2}$,水溶液显酸性,能与 $\mathrm{Na}_{2} \mathrm{CO}_{3}$ 溶液反应,又能使溴水褪色。请写出这种有机化合物的结构简式。13. 我国传统酿醋工艺主要包括以下过程：(1)“蒸”一—将大米、高梁、小米等原料蒸熟后放至冷却;(2)“酵”——拌曲人坛发酵，使淀粉经糖化发酵生成乙醇，然后在醋酸菌的作用下生成乙酸;(3)“沥”一除去醋坛底层的糟,此时可以闻到酒和醋混合在一起的香味;(4)“陈”一—将醋陈放 1 3年,以增强其风味，在此过程中乙酸与乙醇缓慢地发生反应生成一种具有果香味的有机化合物。
(1) 请写出上述过程中涉及主要反应的化学方程式。
(2) 目前在市场上,除了酿造食醋外,还有使用食用乙酸等混合配制而成的酸性调味液（曾被称为配制食醋 ）。请对市场上出售的相关产品进行调查,并查阅资料,了解二者在生产工艺和成分上有何异同，分析它们在风味上有所区别的原因。
14. 硝酸甘油（三硝酸甘油酯）是临床上常用的治疗心绞痛的药物。该药可以丙醇为原料合成，其合成步骤如下:
1-丙醇 $\stackrel{(1)}{\longrightarrow}$ 丙烯 $\stackrel{(2)}{\longrightarrow} \stackrel{(3)}{\longrightarrow} 1,2,3$ - 三氯丙烷 $\left(\mathrm{ClCH}_{2} \mathrm{CHClCH}_{2} \mathrm{Cl}\right) \stackrel{(4)}{\longrightarrow} \stackrel{(5)}{\longrightarrow}$ 三硝酸甘油酯 ( 提示: $\mathrm{CH}_{2}=\mathrm{CHCH}_{3}+\mathrm{Cl}_{2} \stackrel{500{ }^{\circ} \mathrm{C}}{\longrightarrow} \mathrm{CH}_{2}=\mathrm{CHCH}_{2} \mathrm{Cl}+\mathrm{HCl}$ )
(1) 请写出反应(2)4的产物。
( 2 ）写出(1) (5)各步变化的化学方程式。
( 3 ) 如果在制取丙烯时所用的 1-丙醇中混有 2-丙醇，对所制丙烯的纯度有何影响？请简要说明理由。
15. 某有机化合物 $\mathrm{A}$ 由 $\mathrm{C}、\mathrm{H}、\mathrm{O}$ 三种元素组成。在一定条件下,由 $\mathrm{A}$ 可以转化为有机化合物 $\mathrm{B}、\mathrm{D}$ 和 $\mathrm{F},\mathrm{C}$ 又可以转化为 $\mathrm{B}$ 和 $\mathrm{A}$。它 (4) $\mathrm{NaOH} / \mathrm{H}_{2} \mathrm{O},\triangle$
们的转化关系如右图所示。已知 $\mathrm{D}$ 的蒸气密度是氢气的 22 倍,并可以发生银镜反应。
（1）写出 $\mathrm{A} \sim \mathrm{F}$ 的结构简式和名称。
(2) 写出实现 (1) (8)转化的化学方程式,并注明反应类型。
16. $\mathrm{A}、\mathrm{~B}$ 两种有机化合物与 $\mathrm{NaOH}$ 溶液共热后的产物及相应的变化如下图所示:
已知 $\mathrm{B}$ 的相对分子质量小于 $80,\mathrm{D}$ 和 $\mathrm{F}$ 在浓硫酸作用下可生成分子式为 $\mathrm{C}_{4} \mathrm{H}_{8} \mathrm{O}_{2}$ 的有机化合物 $\mathrm{H}$。
（1）写出 $\mathrm{E}、\mathrm{H}$ 的结构简式:
(2) 写出 $\mathrm{A}、\mathrm{~B}$ 分别与 $\mathrm{NaOH}$ 溶液反应的化学方程式。
17. 某种具有菠夢气味的香料 $\mathrm{M}$ 是有机化合物 $\mathrm{A}$ 与苯氧乙酸发生酯化反应的产物。苯氧乙酸的结构可表示为:
( 1 ) 有机化合物 $\mathrm{A}$ 中一定含有的官能团的名称是
( 2 ) $5.8 \mathrm{~g}$ A 完全燃烧可产生 $0.3 \mathrm{~mol} \mathrm{CO}$ 和 $0.3 \mathrm{~mol} \mathrm{H}_{2} \mathrm{O},\mathrm{A}$ 的蒸气对氢气的相对密度是 $29,\mathrm{~A}$ 分子中不含甲基,且为链状结构,其结构简式是
(3) 苯氧乙酸有多种属于酯类的同分异构体,请写出能与 $\mathrm{FeCl}_{3}$ 溶液发生显色反应,且苯环上有两种一硝基取代物的同分异构体的结构简式。
(4) 已知:
$$
\begin{aligned}
& \mathrm{R}-\mathrm{CH}_{2}-\mathrm{COOH} \frac{\mathrm{Cl}_{2}}{\text { 催化剂 }} \mathrm{R}-\underset{\mathrm{Cl}}{\mathrm{Cl}}-\mathrm{COOH} \\
& \mathrm{R}-\mathrm{ONa} \stackrel{\mathrm{R}^{\prime}-\mathrm{Cl}}{\triangle} \mathrm{R}-\mathrm{O}-\mathrm{R}^{\prime}
\end{aligned}
$$
$\mathrm{M}$ 的合成路线如下:
(1) 试剂 $X$ 可选用 ( 填字母)。a. $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{COONa}$ 溶液
b. $\mathrm{NaOH}$ 溶液
c. $\mathrm{NaHCO}_{3}$ 溶液
d. $\mathrm{Na}_{2} \mathrm{CO}_{3}$ 溶液
(2) C 的结构简式是,由 $\mathrm{B}$ 生成 $\mathrm{C}$ 的反应类型是
(3) 请写出由苯氧乙酸生成M的化学方程式。
## 实验活动1
## 乙酸乙酯的制备与性质
## 【 实验目的 】
1. 学习制备乙酸乙酯的方法。2. 加深对酯化反应和酯的水解的认识。
## 【实验用品】
试管、试管夹、烧杯、量筒、胶头滴管、玻璃导管、乳胶管、橡胶塞、铁架台、酒精灯、火柴、秒表、碎瓷片。
乙醇、乙酸、浓硫酸、饱和 $\mathrm{Na}_{2} \mathrm{CO}_{3}$ 溶液、乙酸乙酯、蒸馏水、3 $3 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} \mathrm{H}_{2} \mathrm{SO}_{4}$ 溶液、$6 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} \mathrm{NaOH}$ 溶液。
## 【实验步骤】
## 1. 乙酸乙酯的制备
（1 龶一在试管中加入 $2 \mathrm{~mL}$ 乙醇,然后边振荡试管边慢慢加入 $0.5 \mathrm{~mL}$ 浓硫酸和 $2 \mathrm{~mL}$ 乙酸,再加入几片碎瓷片。在另一支试管中加入 $3 \mathrm{~mL}$ 饱和 $\mathrm{Na}_{2} \mathrm{CO}_{3}$ 溶液。按右图所示连接装置
（2）用小火加热试管里的混合物,将产生的蒸气经导管通到
饱和 $\mathrm{Na}_{2} \mathrm{CO}_{3}$ 溶液的上方约 $0.5 \mathrm{~cm}$ 处,注意观察试管内的变化。反应一段时间后,取下盛有 $\mathrm{Na}_{2} \mathrm{CO}_{3}$ 溶液的试管，并停止加热。
（3）振荡盛有 $\mathrm{Na}_{2} \mathrm{CO}_{3}$ 溶液的试管,静置。待溶液分层后,观察上层的油状液体,并注意闻气味。
## 2. 乙酸乙酯的水解
在 $\mathrm{A}、\mathrm{~B}、\mathrm{C}$ 三支试管里各加入 6 滴乙酸乙酯。再向 $\mathrm{A}$ 试管里加入 $5.5 \mathrm{~mL}$ 蒸馏水；向 $\mathrm{B}$ 试管里加入 $0.5 \mathrm{~mL} 3 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} \mathrm{H}_{2} \mathrm{SO}_{4}$ 溶液和 $5.0 \mathrm{~mL}$ 蒸馏水；向 $\mathrm{C}$ 试管里加入 $0.5 \mathrm{~mL} 6 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}$ $\mathrm{NaOH}$ 溶液和 $5.0 \mathrm{~mL}$ 蒸馏水。振荡均匀后，把三支试管都放入 70 80 ${ }^{\circ} \mathrm{C}$ 的水浴里加热。比较试管里乙酸乙酯气味消失的快慢。
## 【问题和讨论 】
1. 乙酸乙酯的水解实验,除了通过乙酸乙酯气味消失的快慢来比较酯的水解速率外,还有什么方法可用来比较乙酸乙酯在不同条件下水解速率的差异?2. 写出实验过程中有关反应的化学方程式。
## 实验活动 2
## 有机化合物中常见官能团的检验
## 【实验目的 】
1. 加深对有机化合物中常见官能团性质的认识。2. 学习有机化合物中常见官能团的检验。
## 【实验用品 】
试管、试管夹、胶头滴管、烧杯、研锂、酒精灯、三脚架、陶土网、火柴。
1- 己烯、1- 溴丁烷、无水乙醇、苯酚溶液、乙醛溶液、苯、1-丙醇、2-氯丙烷、芮醛、四氯化碳、阿司匹林片、饱和㴪水、酸性 $\mathrm{KMnO}_{4}$ 溶液、5\% $\mathrm{NaOH}$ 溶液、10\% $\mathrm{NaOH}$ 溶液、稀硝酸、稀硫酸、2\% $\mathrm{AgNO}_{3}$ 溶液、5\% $\mathrm{CuSO}_{4}$ 溶液、$\mathrm{FeCl}_{3}$ 溶液、$\mathrm{NaHCO}_{3}$ 溶液、石蕊溶液。
## 【实验步骤】
1. 几种常见官能团的检验
| $\begin{array}{c}\text { 有机化合物 } \\ \text { 类别 }\end{array}$ | 官能团 | 实验内容 | 实验现象 | $\begin{array}{l}\text { 解释及化 } \\ \text { 学方程式 }\end{array}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 烯烃 | C $\mathrm{C}=\mathrm{C}$ | $\begin{array}{l}\text { (1) 向盛有少量 1-已烯的试管里滴加溴 } \\ \text { 水,观察现象 } \\ \text { (2) 向盛有少量 1-已烯的试管里滴加酸 } \\ \text { 性 } \mathrm{KMnO}_{4} \text { 溶液,观察现象 }\end{array}$ | | |
| 卤代烃 | - | $\begin{array}{l}\text { 向试管里加入几滴 } 1 \text { - 溴丁烷,再加入 } 2 \mathrm{~mL} \\ 5 \% \mathrm{NaOH} \text { 溶液,振荡后加热。反应一段时 } \\ \text { 间后停止加热,静置。小心地取数滴水层液 } \\ \text { 体置于另一支试管中,加入稀硝酸酸化,加 } \\ \text { 入几滴 } 2 \% \mathrm{AgNO}_{3} \text { 溶液,观察现象 }\end{array}$ | | |
| 酚 | $\begin{array}{l}-\mathrm{OH} \\ \text { 嵯基 }\end{array}$ | $\begin{array}{l}\text { (1) 向盛有少量苯酚稀溶液的试管里滴 } \\ \text { 加饱和溴水,观察现象 } \\ \text { (2) 向盛有少量苯酚稀溶液的试管里滴 } \\ \text { 加 } \mathrm{FeCl}_{3} \text { 溶液,观察现象 }\end{array}$ | | |
| 醛 | $-\overbrace{\text { 醛基 }}^{\mathrm{O}-\mathrm{H}}$ | $\begin{array}{l}\text { 在试管里加入 } 2 \mathrm{~mL} 10 \% \mathrm{NaOH} \text { 溶液,滴 } \\ \text { 入几滴 } 5 \% \mathrm{CuSO}_{4} \text { 溶液,振荡。然后加入 } \\ 0.5 \mathrm{~mL} \text { 乙醛溶液,加热,观察现象 }\end{array}$ | | |
2. 请用实验方法区分下列两组物质:
（1）乙醇、1-已烯、苯和四氯化碳;
（2）1-丙醇、2-氯丙烷、历醛和苯酚溶液。
3. 阿司匹林片有效成分中嵯基和酯基官能团的检验
具有垟酸的性质；同时还有酯基,在酸性或碱性条件下能发生水解。可以通过实验检验乙酰水杨酸中的垟基和酯基。
( 1 ) 样品处理
将一片阿司匹林片研碎后放入适量水中，振荡后静置，取用上层清液。
( 2 ）嵯基和酯基官能团的检验
(1)向两支试管中分别加入 $2 \mathrm{~mL}$ 清液。
(2)向其中一支试管中滴入 2 滴石惢溶液，观察现象。
(3)向另一支试管中滴入 2 滴稀硫酸，加热后滴入几滴 $\mathrm{NaHCO}_{3}$ 溶液 ${ }^{1}$，振荡。再向其中滴入几滴 $\mathrm{FeCl}_{3}$ 溶液，振荡。观察现象。
## 【问题和讨论 】
除了化学实验方法,还常用仪器分析的方法鉴别有机化合物。下图是乙醇、乙酸和乙酸乙酯三种物质的核磁共振氢谱，请指出它们分别对应哪种物质。
(1) 加人 $\mathrm{NaHCO}_{3}$ 是为了中和过量的硫酸。
## 第四章
## 生物大分子
- 糖类
- 蛋白质
- 核酸
生物体中普遍存在的有机化合物是生命活动的物质基础。与我们此前学习的一般有机化合物相比,淀粉、纤维素、蛋白质、核酸等生物大分子的相对分子质量较大，含有多种官能团,结构复杂。这使它们具有比有机小分子更为丰富的性质,能够完成多种复杂的生物功能。探讨糖类、蛋白质和核酸这三类重要的生物有机分子的组成与结构,并在此基础上认识其性质与应用,将有助于我们通过有机化合物结构与性质的关系,在分子水平上深入认识生命现象的化学本质,体会化学在生命科学发展中所起的重要作用,从而更好地利用生物资源，促进人类健康。
## 第一节
糖类
糖类 saccharide<br>碳水化合物 carbohydrate<br>单糖 monosaccharide<br>葡萄糖 glucose<br>果糖 fructose
糖类是一类重要的有机化合物,在自然界中分布广泛,日常食用的蔗糖、粮食中的淀粉、植物茎叶中的纤维素、人体血液中的葡蒛糖等均属于糖类。糖类在生命活动中起着重要作用,是生物体所需能量的主要来源,也是重要的能量储存物质,如植物体内的淀粉和动物体内的糖原。糖类还是很多生物体的结构成分,如植物细胞壁的主要成分纤维素。
## 一、糖类的组成和分类
糖类化合物一般由碳、氢、氧三种元素组成,很多糖类分子中氢原子和氧原子的数目比恰好为 $2: 1$,其组成可以用通式 $\mathrm{C}_{m}\left(\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}\right)_{n}$ 表示,如葡萄糖 $\left(\mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{12} \mathrm{O}_{6}\right)$、蔗糖 $\left(\mathrm{C}_{12} \mathrm{H}_{22} \mathrm{O}_{11}\right)$、淀粉 $\left[\left(\mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{10} \mathrm{O}_{5}\right)_{n}\right]$ 等,所以糖类也被称为碳水化合物。随着化学的发展,人们发现并不是所有糖的组成都符合上述通式,如脱氧核糖 $\left(\mathrm{C}_{5} \mathrm{H}_{10} \mathrm{O}_{4}\right)$,而某些符合此通式的物质却不属于糖类,如乙酸 $\left(\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{4} \mathrm{O}_{2}\right)$。因此,碳水化合物这一名称并不准确,但因沿用已久,目前仍在使用。
从分子结构上看，糖类是多嵯基醛、多羟基酮和它们的脱水缩合物 ${ }^{1}$，可分为单糖、寡糖和多糖。通常将不能水解的糖称为单糖，如葡萄糖、果糖、核糖和脱氧核糖等。$1 \mathrm{~mol}$ 糖水解后能产生 $2 \sim 10 \mathrm{~mol}$ 单糖的称为寡糖或低聚糖，其中以二糖最为重要,常见的二糖有蔗糖、麦芽糖和乳糖等。$1 \mathrm{~mol}$ 糖水解后能产生 $10 \mathrm{~mol}$ 以上单糖的称为多糖,淀粉、纤维素和糖原等都属于多糖。
(1) 缩合一般指两个或更多的反应物生成一个主要产物,并伴随着失去 $\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}$ 等小分子的反应。
## 二、单糖
## 1. 葡萄糖
葡萄糖是自然界中分布最广的单糖，因最初是从葡蒛汁中分离得到而得名。葡萄糖存在于水果、蜂蜜,以及植物的种子、叶、根、花中。动物的血液和淋巴液中也含有葡萄糖。葡蒛糖是易溶于水的无色晶体，熔点为 $146{ }^{\circ} \mathrm{C}$,有甜味，但甜度不如蔗糖。
## 【实验4-1】
（1）在一支洁净的试管中配制约 $2 \mathrm{~mL}$ 银氨溶液,加入 $1 \mathrm{~mL} 10 \%$ 葡萄糖溶液，振荡，然后在水浴中加热。观察实验现象
（2）在另一支试管中加入 $2 \mathrm{~mL} 10 \% \mathrm{NaOH}$ 溶液,加 $入 5$ 滴 $5 \% \mathrm{CuSO}_{4}$ 溶液,再加入 $2 \mathrm{~mL} 10 \%$ 葡萄糖溶液，加热。观察实验现象
(3) 将上述两个实验的现象与实验 3-7 和实验 3-8 的现象进行比较，你能得出什么结论?
以上两个实验中,试管中分别出现了银镜和砖红色沉淀,与乙醛进行类似实验的现象相似。葡萄糖对银氨溶液、氢氧化铜等弱氧化剂表现出还原性,属于还原糖。葡萄糖的分子式为 $\mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{12} \mathrm{O}_{6}$,分子中含有醛基，属于醛糖；通过其他的实验结果还可以推断出葡萄糖分子中有 5 个羟基,是一种多嵯基醛。
葡萄糖是一种重要的营养物质,在食品和医药工业中有广泛的应用。葡蒛糖易于被人体吸收，经酶的催化发生氧化反应放出热量,提供了维持生命活动所需要的能量。低血糖的患者可利用静脉注射葡蒛糖溶液的方式来迅速补充营养。
$$
\mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{12} \mathrm{O}_{6}+6 \mathrm{O}_{2} \stackrel{\text { 酶 }}{\longrightarrow} 6 \mathrm{CO}_{2}+6 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}
$$
葡萄糖
葡萄糖
## 资料卡片
## 葡萄糖的环状结构
葡萄糖分子中的醛基可以与分子内的羟基作用，形成两种六元环状结构。在葡萄糖水溶液中，存在着链状和环状结构葡萄糖之间的平衡，其中绝大部分葡萄糖为环状结构。很多单糖，以及寡糖和多糖中的单糖单元多以环状结构的形式存在。
$\alpha-D-$ 吡喃葡萄糖
链状葡萄糖
$\beta-\mathrm{D}$-吡喃葡蒛糖
$\mathrm{CH}_{2} \mathrm{OH}$
脱氧核糖
## 2. 果糖
果糖在水果和蜂蜜中含量较高，它比蔗糖的甜度高，广泛应用于食品和医药的生产中。
纯净的果糖为无色晶体，易溶于水，吸湿性强。果糖的分子式为 $\mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{12} \mathrm{O}_{6}$,是葡萄糖的同分异构体。果糖是一种多羟基酮，属于酮糖。
## 3. 核糖与脱氧核糖
核糖与脱氧核糖分别是生物体的遗传物质核糖核酸 (RNA) 与脱氧核糖核酸（DNA）的重要组成部分。它们都是含有 5 个碳原子的单糖—一戊糖。
## 资料卡片
## 糖类分子与手性
最简单的醛糖是丙醛糖，又称甘油醛，其结构简式为 $\mathrm{CH}_{2}$ - $\underset{\mathrm{CH}}{\mathrm{W}}$-CHO。甘油醛碳 $\mathrm{OH} \quad \mathrm{OH}$ 链中的第二个碳原子连有 4 个不同的原子或原子团,这样的碳原子叫做不对称碳原子 (一般在其旁边标注 *)，也叫手性碳原子。含有一个不对称碳原子的分子,由于 4 个原子或原子团在空间的排列不同,形成了两种不能重叠、互为镜像的对映异构体,人们把这样的分子称为手性分子。甘油醛的对映异构体如图 4-1 所示,根据其构型不同分别称为 D- 甘油醛和 L- 甘油醛。自然界存在的葡萄糖和果糖都具有 $\mathrm{D}$ 构型。
D- 甘油醛
L- 甘油醛
图 4-1 甘油醛的对映异构
## 三、二糖
## 1. 庶糖
蔗糖是最常用的甜味剂,也是在自然界中分布最广的一种二糖,存在于大多数植物体中,在甘蔗和甜菜中含量最丰富。蔗糖为无色晶体，熔点 $186{ }^{\circ} \mathrm{C}$,易溶于水。
蔗糖的分子式为 $\mathrm{C}_{12} \mathrm{H}_{22} \mathrm{O}_{11}$。在酸或酶的作用下,蔗糖
二糖 disaccharide
蔗糖 sucrose
麦芽糖 maltose
可水解生成葡萄糖和果糖。
$$
\begin{aligned}
& \mathrm{C}_{12} \mathrm{H}_{22} \mathrm{O}_{11}+\mathrm{H}_{2} \mathrm{O} \stackrel{\text { 酸或酶 }}{\longrightarrow} \mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{12} \mathrm{O}_{6}+\mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{12} \mathrm{O}_{6}
\end{aligned}
$$
图4-2 白糖、红糖和冰糖等常见食糖的主要成分都是蔗糖,主要来自甘蔗和甜菜
## 2. 麦芽糖
麦芽糖主要存在于发芽的谷粒和麦芽中，是淀粉水解过程中的一种中间产物。使用含淀粉酶的麦芽作用于淀粉可制得饴糖,其主要成分为麦芽糖。麦芽糖有甜味,但甜度不及庶糖。麦芽糖的分子式为 $\mathrm{C}_{12} \mathrm{H}_{22} \mathrm{O}_{11}$。在酸或酶催化下，麦芽糖发生水解反应生成葡萄糖。
$$
\begin{aligned}
& \mathrm{C}_{12} \mathrm{H}_{22} \mathrm{O}_{11}+\mathrm{H}_{2} \mathrm{O} \stackrel{\text { 酸或酶 }}{\longrightarrow} 2 \mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{12} \mathrm{O}_{6} \\
& \text { 麦芽糖 } \quad \text { 葡萄糖 }
\end{aligned}
$$
## 资料卡片
乳糖
乳糖也是一种常见的二糖,主要存在于哺乳动物的乳汁中,可用于婴儿食品、糖果、药物等的生产。乳糖经发酵产生的乳酸是酸奶酸枺的主要来源。部分人群由于肠道内缺乏乳糖酶导致乳糖消化吸收障碍,饮用牛奶后容易出现腹胀、腹泻等乳糖不耐受的症状。
探究 500 ( $\theta$
糖类的还原性
## 【问题】
葡萄糖属于还原糖，蔗糖和麦芽糖是否属于还原糖?
## 【实验与记录 】
根据实验4-1 中检验莆萄糖还原性的方法,自行设计实验方案进行探究。
| 实验内容 | 实验现象 | 结论 |
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## 【讨论 】
(1) 根据实验结果判断蔗糖和麦芽糖是否属于还原糖。
（2）与同学讨论以上实验操作中有哪些要注意的地方。
## 甜味剂
甜味剂是能赋予食物甜味的食品添加剂,按其营养价值可分为营养性甜味剂和非营养性甜味剂,按其来源可分为天然甜味剂和合成甜味剂。天然甜味剂有木糖醇、甜菊糖苷、甘草等，合成甜味剂有阿斯巴甜、糖精钠等。一些甜味剂的甜度可以达到蔗糖的百倍以上,且代谢产生的热量低,不易使人发生歶齿,成本低廉,在现代食品工业中得到了广泛的应用。同时,由于甜味剂可能对人体健康产生影响,需要对其进行全面的安全评估，其使用范围和用量也有一定限制。
糖精钠
## @9) 信息搜索
查阅资料,分析以上几种甜味剂的分子结构,判断其是否属于糖类物质。讨论为什么一些甜味剂可被用于“低糖”“无糖”“低热量”糕点、糖果和饮料等的生产。
## 四、多糖
淀粉和纤维素是最重要的多糖,它们都是由大量葡蒛糖单元相互连接组成的,属于天然有机高分子,淀粉的相对分子质量可达到几十万,纤维素可达到几百万。淀粉和纤维素的分子式可以表示为 $\left(\mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{10} \mathrm{O}_{5}\right)_{n}$,其中的葡萄糖单元中一般仍有三个羟基,所以也可表示为 $\left[\mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{7} \mathrm{O}_{2}(\mathrm{OH})_{3}\right]_{n}$。淀粉和纤维素分子中所包含的葡萄糖单元数目,即 $n$ 值不同,二者的组成与结构不同。多糖 polysaccharide
淀粉 starch
纤维素 cellulose
图 4-3 直链淀粉和支链淀粉的结构示意图（其中每个小的六边形代表一个葡萄糖的环状结构单元 )
## 1. 淀粉
淀粉是绿色植物光合作用的产物，是植物储存营养物质的一种形式,在种子、块根和块茎中含量丰富,谷类和薯类含淀粉较多。天然淀粉由直链淀粉和支链淀粉组成。支链淀粉含量很高的一些谷物,如糯米、糯玉米等有比较黏的口感。
淀粉是白色粉末状物质,没有甜味,不溶于冷水。在热水中淀粉会部分溶解，形成胶状的淀粉糊。淀粉遇碘显蓝色，利用该现象可检验淀粉的存在。
淀粉不能被银氨溶液和氢氧化铜等弱氧化剂氧化,属于非还原糖。由于其分子中葡萄糖单元醇羟基的存在,淀粉可以发生酯化反应。淀粉在酸或酶的作用下水解,生成一系列产物，最终生成葡萄糖。
淀粉是食物的一种重要成分,也是重要的工业原料。以淀粉或淀粉水解生成的葡萄糖等为原料,经发酵可以得到多种产品,如燃料乙醇、白酒、食醋、味精,以及氨基酸、抗生素等药物。淀粉经酯化后可用于生产食品添加剂、表面活性剂和可降解塑料等。
## 2. 纤维素
纤维素是自然界中分布最广泛的一种多糖，参与构成了植物的细胞壁，起着保护和支持作用。
## 【实验4-2】
在试管中放入少量脱脂棉，加入几滴蒸馏水和几滴婆硫酸，用玻璃棒将混合物搅拌成糊状。加入过量 $\mathrm{NaOH}$ 溶液中和至碱性，再滴入 3 滴 $5 \% \mathrm{CuSO}_{4}$ 溶液，加热，观察并解释实验现象纤维素是白色纤维状物质,没有甜味,不溶于水,也不溶于一般的有机溶剂。纤维素的化学性质与淀粉的类似,在酸或酶的催化下可发生水解,最终生成葡萄糖;能够发生酯化反应;不能被氢氧化铜等弱氧化剂氧化，属于非还原糖。
$$
\begin{aligned}
& \left(\mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{10} \mathrm{O}_{5}\right)_{n}+n \mathrm{H}_{2} \mathrm{O} \stackrel{\text { 酸或酶 }}{\longrightarrow} n \mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{12} \mathrm{O}_{6} \\
& \text { 纤维素 } \\
& \text { 葡萄糖 }
\end{aligned}
$$
纤维素的用途十分广泛。棉和麻的纤维大量用于纺织工业。一些富含纤维素的物质,如木材、秸秆等是造纸的原料。纤维素还可以用来制造纤维素硝酸酯、纤维素乙酸酯和黏胶纤维等。纤维素硝酸酯又称硝酸纤维,极易燃烧,可用于生产火药、塑料和涂料等。纤维素乙酸酯又称醋酸纤维,不易燃烧,是一种纺织工业原料,可用于生产塑料、过滤膜、胶片等。䵑胶纤维是用木材、秸秆等富
图 4-5 显微镜下放大的亚麻布 ( 可以看到束状亚麻纤维) 含纤维素的物质经化学处理后,通过纺丝而制成的再生纤维。黏胶纤维中的长纤维一般称为人造丝,短纤维称为人造棉，都可用于纺织工业。
## 甲壳质
在自然界中大量存在的多糖，除纤维素以外，还有由乙酰氨基葡蒛糖相互结合形成的甲売质。它是许多低等动物,特别是节肢动物,如虾、蟹、昆虫外壳的重要成分，是一种来源丰富的可再生资源。甲壳质不溶于水和一般的有机溶剂,难以利用。但它在碱溶液中可以脱去乙酰基,生成以氨基葡萄糖为单体的高聚物一一壳聚糖。壳聚糖可溶于酸溶液,具有良好的生物相容性和一定的抑菌作用。因为结构中存在着嵯基和氨基,壳聚糖易于通过化学反应进行结构修饰,得到具有不同性质的衍生物,应用于食品、医药、纺织、造纸和环保等领域。壳聚糖还具有生物可降解性,可制成药物载体、手术缝合线、环保包装袋,以及农用可降解地膜等。
## 纤维素与燃料乙醇
纤维素是地球上来源十分丰富的可再生资源，我国仅农业生产每年产生的秸秆就超过 6 亿吨。过去,大量秸秆在田间被直接焚烧,造成严重污染,加重了雾綞天气。为解决秸秆焚烧带来的严重环境问题,目前已经发展了秸秆还田，秸秆制饲料、沼气、建材等综合利用方式。近年来，利用秸秆生产燃料乙醇引起了很多国家的关注,成为秸秆资源综合利用的新途径。它主要包括原料预处理、纤维素水解糖化、糖类发酵和蒸馏脱水等过程，使用 5 吨秸秆可以生产 1 吨左右的乙醇。与传统的以淀粉为原料生产燃料乙醇相比,以纤维素为原料具有原料成本低、来源广泛等优点。我国已经有一批工业化生产装置开始运行，在生物质能源利用领域进入了国际先进水平。
图 4-6 我国建成的高梁秸秆制燃料乙醇生产装置
## 练习与应用
1. 下列有关糖类的叙述正确的是（）。A. 糖类都具有甜味
B. 糖类都含有羰基,对氢氧化铜等弱氧化剂表现出还原性
C. 糖类的组成都符合 $\mathrm{C}_{m}\left(\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}\right)_{n}$ 的通式
D. 糖类是多羟基醛、多羟基酮和它们的脱水缩合物 2. 下列关于淀粉和纤维素的叙述错误的是（）。A. 都能发生水解反应
B. 基本结构单元相同
C. 互为同分异构体
D. 都是天然高分子
2. 下列物质在一定条件下既能发生水解反应，又能发生银镜反应的是（）。A. 蔗糖
B. 葡萄糖
C. 乙酸乙酯
D. 麦芽糖
3. 能证明淀粉已完全水解的现象是 ( )
A. 能发生银镜反应
B. 能溶于水
C. 有甜味
D. 遇碘不再变蓝
4. 根据核糖和脱氧核糖的结构式，推测其可能发生的反应：( 填序号 )。(1)氧化反应
(2)还原反应
(3)酯化反应
(4)水解反应
(5)加成反应
(6)中和反应
5. 某工厂用 $10 \mathrm{t}$ 含淀粉质量分数为 $50 \%$ 的薯干生产乙醇,在发酵过程中有 $80 \%$ 的淀粉转化为乙醇,可生产多少质量分数为 $95 \%$ 的乙醇?6. 淀粉水解可产生某有机化合物 $\mathrm{A},\mathrm{A}$ 在不同的氧化剂作用下,可以生成 $\mathrm{B}\left(\mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{12} \mathrm{O}_{7}\right)$ 或 $\mathrm{C}$ $\left(\mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{10} \mathrm{O}_{8}\right)，\mathrm{~B}$ 和 $\mathrm{C}$ 都不能发生银镜反应。$\mathrm{A}、\mathrm{~B}、\mathrm{C}$ 都可以被强还原剂还原为 $\mathrm{D}\left(\mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{14} \mathrm{O}_{6}\right)$。脱水可得到具有五元环状结构的酯 $\mathrm{E}$ 或具有六元环状结构的酯 $\mathrm{F}$。已知以下几类有机化合物被氧化的容
8. 有人认为“无蔗糖食品” 就是“无糖食品”;还有人认为“无蔗糖食品”所使用的甜味剂虽然自身所提供的能量较少，但是甜味剂的使用仍会刺激食欲，导致能量摄人增多。请对市场上出售的这类食品进行调查，了解其配料和营养成分，对上述观点进行评价。
## 蛋白质
氨基酸 amino acid
## $\mathrm{H}_{2} \mathrm{~N}-\mathrm{CH}_{2}-\mathrm{COOH}$
甘氨酸 (氨基乙酸)
丙氨酸 (2-氨基丙酸)
$\mathrm{NH}_{2}$
苯丙氨酸 (2-氨基-3-苯基丙酸 )
$\mathrm{HOOC}-\mathrm{CH}_{2}-\mathrm{CH}_{2}-\mathrm{CH}-\mathrm{COOH}$
$\mathrm{NH}_{2}$
谷氨酸 (2-氨基戊二酸)
半胱氨酸 (2-氨基-3-巯基丙酸) 蛋白质是生物体内一类极为重要的生物大分子,是生命活动的主要物质基础。它不仅是细胞的重要成分,而且具有多种生物学功能。例如,人体内起催化作用的大多数酶、一些调节代谢的激素和发生免疫反应的抗体等均为蛋白质。从最简单的病毒、细菌等微生物直至人类,生物体内的绝大多数生命过程都与蛋白质密切相关，可以说没有蛋白质就没有生命。氨基酸是组成蛋白质的基本结构单位,要认识蛋白质,必须首先认识氨基酸。
## 一、氨基酸
羧酸分子烃基上的氢原子被氨基取代得到的化合物称为氨基酸。氨基酸分子中含有氨基和垟基,属于取代羒酸。自然界中存在的氨基酸有上百种,组成人体内蛋白质的氨基酸有 21 种。其中有 8 种氨基酸在人体内不能合成,必须通过食物供给,这些氨基酸称为必需氨基酸。因此,为了人体的健康,应注意合理膳食、科学营养,保证人体必需氨基酸的摄取。
组成蛋白质的氨基酸主要是 $\alpha$-氨基酸，氨基连接在与羧基相邻的 $\alpha$ 位的碳原子上，结构简式可以表示为 $\mathrm{R}-\mathrm{CH}-\mathrm{COOH}。\alpha$ - 氨基酸除甘氨酸外，一般均含有连接 $\mathrm{NH}_{2}$
4 个不同原子或原子团的手性碳原子,具有对映异构体。天然氨基酸均为无色晶体,熔点较高,多在 $200 \sim 300{ }^{\circ} \mathrm{C}$ 熔化时分解。一般能溶于水,而难溶于乙醇、乙醚等有机溶剂。
## 思考与讨论
根据以上氨基酸结构简式中所含有的官能团，推测氨基酸可能具有哪些化学性质。
## 1. 氨基酸的两性
氨基酸分子中既含有羧基，又含有氨基。羒基是酸性基团，氨基是碱性基团,因此氨基酸是两性化合物,能与酸、碱反应生成盐。
## 2. 成肽反应
两个氨基酸分子（可以相同，也可以不同 ）在一定条件下，通过氨基与羧基间缩合脱去水，形成含有肽键
氨基酸
氨基酸
二肽
由两个氨基酸分子缩合后形成的含有肽键的化合物称
为二肽。二肽还可以继续与其他氨基酸分子缩合生成三肽、
四肽、五肽，以至生成长链的多肽。
多肽肽键 peptide bond 肽 peptide 蛋白质 protein 多肽常呈链状,因此也叫肽链。肽链能盘曲、折叠,还可以相互结合，形成蛋白质。一般把相对分子质量在 10000 以上，并具有一定空间结构的多肽称为蛋白质。
## 二、蛋白质
蛋白质是由多种氨基酸通过肽键等相互连接形成的一类生物大分子,是一般细胞中含量最多的有机分子,占细胞干重的一半以上。蛋白质主要由 $C、H、O、N、S$ 等元素组成,有些蛋白质还含有 $\mathrm{P}、\mathrm{Fe}、\mathrm{Zn}、\mathrm{Cu}$ 等元素。人体含有的蛋白质种类超过 10 万种。
各种蛋白质在生物体内所具有的不同功能与蛋白质的结构密切相关。蛋白质的结构不仅取决于多肽链的氨基酸种类、数目及排列顺序,还与其特定的空间结构有关。蛋白质分子中氨基酸单体的排列顺序称为蛋白质的一级结构,它是蛋白质高级结构的基础,对蛋白质的性质和功能起着决定性作用。例如，血红蛋白分子中的谷氨酸会因遗传因素变成缬氨酸，这一微小差别会导致红细胞的形态由正常的圆饼状变为异常的镰刀状，使人患镰状细胞贫血。
肽键中的氧原子与氢原子之间存在氢键，会使肽链盘绕或折叠成特定的空间结构，形成蛋白质的二级结构。肽链在二级结构基础上还会进一步盘曲折叠，形成更复杂的三级结构。多个具有特定三级结构的多肽链通过非共价键相互作用 ( 如氢键等) 排列组装，形成蛋白质的四级结构。
## 资料卡片
## 蛋白质含量的测定
由于生物组织中绝大部分氮元素来自蛋白质,而且各种来源不同的蛋白质的含氮量都比较接近,平均为 $16 \%$。因此生物样品中的 $1 \mathrm{~g}$ 氮元素大致相当于 $6.25 \mathrm{~g}$ 蛋白质,由此可以通过测定样品中氮元素的质量分数计算出其中蛋白质的含量。
图 4-9 蛋白质结构示意图
三级结构
四级结构
形成蛋白质的多肽是由多个氨基酸缩合形成的,在多肽链的两端必然存在着自由的氨基与羧基,同时侧链中也往往存在酸性或碱性基团。因此,蛋白质与氨基酸类似,也是两性分子,既能与酸反应,又能与碱反应。除此之外,蛋白质还具有如下性质。
## 1. 水解
蛋白质在酸、碱或酶的作用下,逐步水解成相对分子质量较小的多肽,最终水解得到氨基酸。食物中的蛋白质在人体内各种蛋白酶的作用下水解成氨基酸,氨基酸被肠壁吸收进人血液,再在体内重新合成人体所需要的蛋白质。
## 2. 盐析
少量的某些可溶性盐 (如硫酸铵、硫酸钠、氯化钠等) 能促进蛋白质的溶解。但当这些盐在蛋白质溶液中达到一定浓度时,反而使蛋白质的溶解度降低而使其从溶液中析出，这种作用称为盐析。
## 【实验4-3】
在试管中加入 $2 \mathrm{~mL}$ 饱和 $\left(\mathrm{NH}_{4}\right)_{2} \mathrm{SO}_{4}$ 溶液,向其中加入几滴鸡蛋清溶液,振荡,观察现象。再继续加入蒸馏水,振荡，观察现象
## (9) 信息搜索
酱油、黄酱、豆豉、腐乳等我国传统食品以富含蛋白质的大豆为主要原料,经微生物发酵制成,具有鲜美的风味。请查阅资料,从化学的角度对它们的生产原理和鲜味来源进行初步解释。
图 4-10 蛋白质的盐析由以上实验现象可知,蛋白质的盐析是一个可逆过程,盐析出的蛋白质在水中仍能溶解,并不影响其活性。采用多次盐析和溶解,可以分离提纯蛋白质。
## 3. 变性
在某些物理或化学因素的影响下,蛋白质的性质和生理功能发生改变的现象称为蛋白质的变性。物理因素包括: 加热、加压、搅拌、振荡、超声波、紫外线和放射线等;化学因素包括：强酸、强碱、重金属盐、乙醇、甲醛等。
## 【实验4-4 】
在三支试管中各加入 $2 \mathrm{~mL}$ 鸡蛋清溶液,将一支试管加热,向另两支试管中分别加入硝酸银溶液和乙醇,观察现象。再向试管中加入蒸馏水,观察产生的沉淀能否溶解。
以上实验中,变性后的蛋白质在水中不能重新溶解,同时也会失去原有的生理活性，发生了不可逆的变化。
在日常生活中有时需要利用蛋白质变性。例如,食物加热后,其中的蛋白质发生了变性,有利于人体消化吸收;乙醇、苯酚和碘等作为消毒防腐药可以使微生物的蛋白质变性,导致其死亡,达到消毒的目的;紫外线可用于杀菌消毒。有时也要注意防止蛋白质变性。例如,疫苗等生物制剂需要在低温下保存;攀登高山时为防止强紫外线引起皮肤和眼睛的蛋白质变性灼伤,需要防晒护目。
图 4-11 利用紫外线为病房和图书消毒
## 思考与讨论
（1）因误服铅、坔等重金属盐中毒的患者在急救时，为什么可ロ服牛奶、蛋清或豆浆?
( 2 ）为什么紫外线可用于环境和物品消毒,放射线可用于医疗器械灭菌?
## 4. 显色反应
## 【实验4-5】
向盛有 $2 \mathrm{~mL}$ 鸡蛋清溶液的试管中加入 5 滳浓硝酸,加热。观察实验现象。
上述实验中,向蛋白质溶液加人浓硝酸会有白色沉淀产生,加热后沉淀变黄色。含有苯环的蛋白质均能发生这个反应。皮肤、指甲不慎沾上浓硝酸会出现黄色就是由此造成的。除了硝酸,其他一些试剂也可以与蛋白质作用,呈现特定的颜色,可用于蛋白质的分析检测。
人们对蛋白质结构、性质和功能的研究，为蛋白质的合成与应用奠定了基础。蛋白质的人工合成,不仅为生命起源的化学途径提供了有力的证据,而且可以为人们提供性能优异的药物和生物催化剂,对探索生命活动规律、促进人类健康具有重要意义。
## 科学史话
## 人工合成结晶牛胰岛素
胰岛素是由胰腺分泌的一种激素，具有调节体内糖类、蛋白质和脂肪代谢等功能。胰岛素是最先被确定氨基酸序列的蛋白质，其结构由桑格 ${ }^{1}$ 等于 1955 年测定。它由两条
图 4-12 蛋白质与浓硝酸的显色反应肽链组成,分别是由 21 个氨基酸形成的 $\mathrm{A}$ 链和 30 个氨基酸形成的 B链，两条链通过二硫键 $(-\mathrm{S}-\mathrm{S}-)$ 连接。
(1) F. Sanger,1918-2013,英国生物化学家,致力于蛋白质、核酸等生物大分子的研究,于 1958 年和 1980 年两次获得诺贝尔化学奖。
图4-13 牛胰岛素的一级结构示意图（图中使用了氨基酸的缩写,如甘氨酸根据其英文名 glycine缩写为 Gly )
中国科学院生物化学研究所、有机化学研究所和北京大学化学系等单位的多位科学家经过长期不解努力,在 1965 年首先合成了结晶牛胰岛素。他们根据胰岛素的一级结构,将氨基酸按照一定顺序,通过缩合反应分别合成了 $\mathrm{A}$ 链和 $\mathrm{B}$ 链,然后再使两条链结合在一起,完成了复杂而艰巨的化学全合成工作。所得产物的结构和物理、化学性质与天然牛胰岛素完全一致,生物活性也十分接近。这项工作有力地推动了生命科学的发展,是人类在探索生命奥秘征途中迈出的重要一步。
图 4-14 论文《结晶牛胰岛素的全合成》发表于《科学通报》1965 年第 11 期
## 资料卡片
## 汮发的原理
头发主要由角蛋白组成,其中的含硫氨基酸形成的二硫键 $(-\mathrm{S}-\mathrm{S}-)$ 是维持头发弹性和形状的一个重要结构。一般鿄发时使用的还原剂可以使头发中的二硫键断裂,产生游离的巯基 (一SH)。再用一定的工具将头发卷曲或拉直成需要的形状。然后用氧化剂使巯基之间发生反应，生成新的二硫键,使头发的形状得以固定。频繁烫发会对头发造成一定程度的损害。
## 三、酶
生物体是一个复杂的“化工厂”，在这个“化工厂” 里同时进行着许多相互协调配合的化学反应。例如,食物在动物肠道内消化分解,分解产生的物质被吸收后,在组织细胞内发生复杂变化,都是通过化学反应实现的;植物的种子发芽、开花、结果,以及进行光合作用,也离不开化学反应。这些反应必须在适合生物体生存的温和条件下进行,还要求有较大的速率,而且需要随着环境和身体情况的变化随时进行精密调节。实现如此苛刻的要求,需要依靠生物催化剂――酶的作用来完成。
酶是一类由细胞产生的、对生物体内的化学反应具有催化作用的有机化合物,其中绝大多数是蛋白质。在酶的作用下,生物才能进行新陈代谢,完成消化、呼吸、运动、生长、发育、繁殖等生命活动。
酶对生物体内进行的复杂反应具有高效的催化作用,一般是普通催化剂的 $10^{7}$ 倍。同时,酶的催化反应条件温还具有高度的专一性。例如,蛋白酶只能催化蛋白质的水解反应，淀粉酶只对淀粉和糖原等多糖的水解起催化作用。目前，酶已经得到了广泛的应用，如蛋白酶用于医药、制革等工业，淀粉酶用于食品、发酵、纺织等工业，有的酶还可用于疾病的诊断。
## 研究与实践
## 大豆资源的开发和利用
## 【研究目的 】
大豆原产于我国,具有几千年悠久的种植历史。通过以下活动了解大豆的主要成分和综合利用途径，以及我国大豆资源的开发和利用现状，认识化学在生物质资源利用和可持续发展领域的重要作用。
## 【研究任务 】
（1）大豆的营养丰富，用途广泛。查阅资料，了解大豆的化学成分。在此基础上，结合有机化学知识和生活经验，分析大豆的主要用途。
（2）查阅资料，了解大豆的其他用途，以及大豆在加工过程中的副产物和由此引发的环境问题。
（3）通过多种渠道了解我国大豆的生产、消费与综合利用概况。
## 【 结果与讨论 】
(1) 以大豆中所含的有机化合物为线索,用图示的形式展示大豆的综合利用途径，并与同学交流。
(2) 根据你掌握的资料,提出你对我国大豆资源开发与综合利用的建议,并与同学讨论。
## 练习与应用
1. 下列哪种元素不是蛋白质的主要组成元素（）。A. 碳
B. 氢
C. 氮
D. 氯
2. 蛋白质的（）与肽键的形成有关。A. 一级结构
B. 二级结构
C. 三级结构
D. 四级结构
3. 蛋白质受某些因素的影响,其空间结构发生变化 (一级结构不变 ),引起其理化性质和生物活性的变化，此时发生了蛋白质的（）。A. 水解
B. 变性
C. 盐析
D. 溶解
4. 下列过程不涉及蛋白质变性的是（）。A. 煮鸡蛋
B. 使用福尔马林 ( 甲醛水溶液 ) 保存标本
C. 以粮食为原料酿酒
D. 使用医用酒精、紫外线杀菌消毒
5. 下图表示蛋白质分子结构的一部分,请指出蛋白质发生水解时可能断裂的化学键。
6. 牛胰岛素中硫元素的含量为 $3.355 \%$,经测定它的分子中只含有 6 个硫原子,计算牛胰岛素的相对分子质量。7. 有机化合物 $\mathrm{A}$ 和 $\mathrm{B}$ 都是天然蛋白质的水解产物。
(1) $\mathrm{A}$ 的相对分子质量为 89，其中碳、氢、氧元素的质量分数分别为 $40.4 \%、7.9 \%、35.9 \%。\mathrm{~A}$ 的核磁共振氢谱显示有 4 组峰，峰面积比为 $1: 1: 2: 3$。请由此推测 $\mathrm{A}$ 的结构简式。
（2） $\mathrm{B}$ 是 $\mathrm{A}$ 的同系物，其相对分子质量比 $\mathrm{A}$ 的少 14，请写出 $\mathrm{B}$ 的结构简式。
( 3 ） $\mathrm{A}$ 与 B在一定条件下反应可得到二肽，请写出可能产物的结构简式。
8. 查阅资料,了解味精的主要成分。思考在味精的生产过程中,谷氨酸的中和为什么要严格控制溶液的 $\mathrm{pH}$。9. 松花蛋是我国的传统风味食品，其蛋黄呈半凝固状态，蛋白凝固并有美丽的松枝状花纹，味道鲜美。请查阅资料，了解其生产原料的主要成分和制作过程，并应用化学原理，对松花蛋成品的状态和风味进行初步解释。
## 第三节
核酸
核酸 nucleic acid
核糖核酸
ribonucleic acid (RNA)
脱氧核糖核酸
deoxyribonucleic acid (DNA)
碱基 base 核酸因其最早在细胞核中发现，并具有酸性，故而得名。天然的核酸根据其组成中所含戊糖的不同,分为脱氧核糖核酸 (DNA) 和核糖核酸 ( RNA)。一系列生物学实验的结果表明,核酸是生物体遗传信息的携带者,绝大多数生物体的遗传物质是 DNA,少数生物体的遗传物质是 RNA。核酸在生物体的生长、繁殖、遗传和变异等生命现象中起着重要的作用。
## 一、核酸的组成
核酸是一种生物大分子，相对分子质量可达上百万。实验表明核酸可以发生水解反应,人们通过分析核酸水解的产物，认识到核酸是由许多核苷酸单体形成的聚合物。核苷酸进一步水解得到磷酸和核苷 ${ }^{11}$，核苷继续水解得到戊糖 $^{(2}$ 和碱基 ( 如图 4-15)。
(1) 苷是糖苷的简称,是单糖或寡糖的嵯基与另一个化合物的嵯基或氨基等脱水缩合,形成糖苷键而得到的一类有机化合物。
(2) 生物体中的单糖主要以环状结构的形式存在。因此，核酸可以看作磷酸、戊糖和碱基通过一定方式结合而成的生物大分子。其中的戊糖是核糖或脱氧核糖,它们均以环状结构存在于核酸中,对应的核酸分别是核糖核酸（RNA）和脱氧核糖核酸 (DNA)。碱基是具有碱性的杂环有机化合物,RNA中的碱基主要有腺㬓呤、鸟嘌呤、胞嘧啶和尿嘧啶 ( 分别用字母 A、G、C、U 表示 ),DNA 中的碱基主要有腺嘌呤、鸟嘌呤、胞嘧啶和胸腺嘧啶 ( 用字母 $\mathrm{T}$ 表示 )。碱基与戊糖缩合形成核苷，核苷与磷酸缩合形成了组成核酸的基本单元一一核苷酸，核苷酸缩合聚合可以得到核酸:
戊糖
## 思考与讨论
腺嘌呤核苷和腺嘌呤核苷酸是生产核酸类药物的中间体,请在以下结构简式中找出戊糖、碱基和磷酸所对应的部分
腺嘌呤核苷
腺嘌呤核苷酸
## 资料卡片
## 腺苷三磷酸
核糖可与腺嘌呤形成腺嘌呤核苷，其中核糖的嵯基继续与磷酸反应,可形成磷酸酯 ( AMP，腺㬓呤核苷酸,又称腺苷酸)、二磷酸酯 (ADP,腺苷二磷酸）及三磷酸酯 (ATP，腺苷三磷酸 )。ATP 逐步水解可以生成 ADP 和 AMP。ATP 是细胞生命活动所需能量的直接来源，也是生物体内重要的能量转换中间体。ATP的生物学功能与其独特的分子结构有密切关系。ATP 分子中的磷酸与核糖之间通过磷酯键连接,磷酸与磷酸之间则形成磷酸䣶键。磷酸䣶键在 ATP 水解时会发生断裂，整个水解过程可释放较多能量供生物体使用，因此也被称为高能磷酸键。植物光合作用和动物体内食物氧化分解提供的能量，则可使 ADP 与磷酸重新反应合成 ATP。
ATP
吸收能量
ADP
图 4-16 生物体内的ATP-ADP循环示意图
## 二、核酸的结构
DNA 的结构十分复杂。直到 1953 年，科学家在深人研究DNA晶体 X射线衍射数据的基础上,提出了DNA分子的双螺旋结构模型。
图 4-17 脱氧核糖核酸 (DNA) 的结构示意图
图 4-18 DNA 分子的扫描隧道显微镜照片（不同的颜色代表相对高度,暖色较高,冷色较低)
DNA 分子的双螺旋结构具有以下特点: DNA分子由两条多聚核苷酸链组成,两条链平行盘绕,形成双螺旋结构;每条链中的脱氧核糖和磷酸交替连接,排列在外侧,碱基排列在内侧;两条链上的碱基通过氢键作用,腺嘌呤
（A）与胸腺嘧啶（ T ）配对，鸟嘌呤（ G ）与胞嘧啶（C）
配对，结合成碱基对，遵循碱基互补配对原则。
图 4-19 碱基互补配对时形成氢键的示意图（蓝色虚线表示氢键 )
RNA也是以核苷酸为基本构成单位,其中的戊糖和碱基与 DNA 中的不同，核糖替代了脱氧核糖，尿嘧啶（U) 替代了胸腺嘧啶 $(\mathrm{T})$。RNA分子一般呈单链状结构,比 DNA分子小得多。
## 三、核酸的生物功能
核酸是生物体遗传信息的载体。有一定碱基排列顺序的DNA片段含有特定的遗传信息,被称为基因。DNA 分子上有许多基因,决定了生物体的一系列性状。RNA 参与遗传信息的传递过程。在细胞增殖过程中,会发生 DNA 分子的复制。亲代 DNA 分子的两条链解开后作为母链模板,在酶的作用下,利用游离的核苷酸各自合成一段与母链互补的子链,最后形成两个与亲代DNA 完全相同的子代DNA 分子。核酸携带的遗传信息通过DNA复制被精确地传递给下一代,通过控制蛋白质的合成来影响生物体的性状。
我国在核酸的研究中也取得了令人瞩目的成绩。1981 年,我国科学家采用有机合成与酶促合成相结合的方法,人工合成了具有生物活性的核酸分子—一酵母芮氨
## 思考与讨论
DNA 分子的多聚核苷酸链中，核苷酸之间通讨磷酯键连接。请类比蛋白质的结构，指出DNA 分子、核苷酸和磷酯键分别对应蛋白质的哪些部分。
图 4-20 DNA分子复制示意图酸转移核糖核酸。1999年,我国参与了人类基因组计划,成为参与该项计划的唯一发展中国家。2002年,我国科学家完成了水稻基因组图谱的绘制。对核酸的结构和生物功能的研究,将使人们深人认识生命活动规律,更好地利用生物资源，有助于提高疾病诊断和治疗水平，促进医学、农业等的发展。
## 科学・技术・社会
## 聚合酶链反应
聚合酶链反应 ( polymerase chain reaction,PCR）是一种在生物体外扩增 DNA片段的重要技术,可使痕量的DNA扩增几百万倍。人体毛发、血液和古生物残骸中的痕量 DNA,都能通过这项技术加以扩增，以便在检测后获得相关的生物学信息。目前,自动化 PCR 仪已经出现，可以快速进行核酸检测，广泛应用于传染病、遗传病和恶性肿瘤的诊断，以及司法鉴定和考古研究等领域。
## 练习与应用
1. 核酸是由单体形成的生物大分子，其单体水解可得到核苷和核苷进一步水解得到和。天然的核酸根据其组成中戊糖的不同，分为和
2. 结合图4-17 和图4-19,分析DNA分子的结构,回答下列问题。
（1 ) DNA 分子是由几条多聚核苷酸链组成的?具有怎样的空间结构?
（2 D) DNA 的基本结构单元核苷酸由哪几类物质组成?分别对应图4-19中DNA 分子的哪一部分?
（3 ) DNA 分子中含有哪几种碱基?它们是如何相互作用进行配对的?
3. 右图是某地的一处雕塑,艺术地展现了DNA 分子的双螺旋结构。请分析该图中的蓝色球体、五边形、红色与绿色的六边形、橙色与浅蓝色的多边形分别可能代表DNA分子中的哪一部分,DNA分子中的氢键和磷酯键对应雕塑中的哪一部分。4. 某种海洋生物的 DNA分子中,腺㬓呤的数量约占碱基总数的 $32 \%$，请由此推测其他三种碱基的数量占碱基总数的百分比。
## 整理与提升
## 一、糖类
糖类是多羟基醛、多羟基酮和它们的脱水缩合物，是生物体所需能量的主要来源。
## 二、蛋白质
蛋白质是由氨基酸通过肽键相互连接形成的聚合物,具有复杂的空间结构和生理功能。
## 三、核酸
核酸是由核苷酸单体形成的聚合物，是生物体遗传信息的载体。
## 复习与提高
1. 下列物质不属于高分子的是（）。A. 纤维素
B. 核糖
C. 核酸
D. 蛋白质
2. 下列物质中，能够在酸性溶液中水解，生成两种相对分子质量相同物质的是 ( ）。A. 麦芽糖
B. 蔗糖
C. 油脂
D. 淀粉
3. 淀粉在人体内消化过程的可能产物是（）。A. 葡蒛糖
B. 蔗糖
C. 麦芽糖
D. 纤维素
4. 下列物质既能发生水解反应,又能发生银镜反应的是 ( $)$。A. 油酸甘油酯
B. 麦芽糖
C. 蛋白质
D. 核酸
5. 乙醇的体积分数为 $75 \%$ 的医用酒精可用来消毒,这是因为（ ）。A. 乙醇与细菌蛋白质发生氧化反应
B. 乙醇使细菌蛋白质发生变性
C. 乙醇使细菌蛋白质发生盐析
D. 乙醇使细菌蛋白质发生水解反应
6. 下列过程中，没有发生酯化反应的是（）。A. 用秸秆制取燃料乙醇
B. 用纤维素制取硝酸纤维
C. 核苷酸聚合生成多聚核苷酸
D. 白酒在陈化过程中产生香味
7. 某种多肽的分子式为 $\mathrm{C}_{a} \mathrm{H}_{b} \mathrm{O}_{c} \mathrm{~N}_{d}$,将其完全水解后得到三种氨基酸: 丙氨酸 $\left(\mathrm{C}_{3} \mathrm{H}_{7} \mathrm{O}_{2} \mathrm{~N}\right)$、天冬氨酸 $\left(\mathrm{C}_{4} \mathrm{H}_{7} \mathrm{O}_{4} \mathrm{~N}\right)$ 和赖氨酸 $\left(\mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{14} \mathrm{O}_{2} \mathrm{~N}_{2}\right)$。1个该多肰分子完全水解后,得到天冬氨酸分子的个数为
A. $a-d$
B. $a-2 d$
C. $a-3 d$
D. 无法计算
8. 请在括号内填上相应物质的结构简式。
9. 三支试管中分别盛有葡萄糖、蔗糖和淀粉的溶液，你如何用化学方法区分它们?10. 写出以下过程涉及主要反应的化学方程式。
（1）淀粉在人体内被消化产生单糖;
( 2 ) 秸秆生产燃料乙醇;
（3）氨基酸在酶的作用下生成多肽（氨基酸以通式表示）。
11. 有机化合物 $\mathrm{A}$ 和 $\mathrm{B}$ 的分子式都是 $\mathrm{C}_{9} \mathrm{H}_{11} \mathrm{O}_{2} \mathrm{~N}$。
（1）化合物 $\mathrm{A}$ 是天然蛋白质的水解产物,其分子结构中不存在甲基,则化合物 $\mathrm{A}$ 的结构简式是
(2) 化合物 $\mathrm{B}$ 是某种分子式为 $\mathrm{C}_{9} \mathrm{H}_{12}$ 的芳香烃的唯一单硝化产物（硝基连在苯环上)，化合物 $\mathrm{B}$ 的结构简式是
12. 玉米芯、花生壳、木屑等农林副产品是生物质资源,人们曾将其作为燃料直接燃烧,造成了大气污染。为综合利用资源,保护环境,目前人们可以用化学方法使其中的木聚糖转化为木糖等物质,得到一系列食品、医药和化工原料。
（1）木糖的分子式为 $\mathrm{C}_{5} \mathrm{H}_{10} \mathrm{O}_{5}$，属于醛糖，其分子结构中无支链，与葡萄糖的结构类似。木糖的结构简式为 ( 不考虑立体异构)。
（2）木糖经催化加氢可以生成木糖醇，木糖醇的结构简式为 ( 不考虑立体异构 )。木糖醇是一种常用的甜味剂，可用于口香糖和糖尿病患者专用食品等的生产，下列有关木糖醇的叙述正确的是 ( 填字母 )。a. 木糖醇与葡萄糖类似，属于单糖
b. 木糖醇与核糖类似，属于戊糖
c. 木糖醇与丙三醇（甘油）类似，属于多元醇
d. 木糖醇不易溶于水
（3）木糖在一定条件下脱水缩合生成的糠醛是一种重要的化工原料,可用于药物、合成材料等的生产。糠醛的结构简式为
## 实验活动 3
## 糖类的性质
## 【实验目的】
1. 加深对葡蒛糖、蔗糖和淀粉等代表性糖类物质性质的认识。2. 通过实验认识糖类还原性的检验方法。
## 【实验用品】
试管、烧杯、胶头滴管、酒精灯、陶土网、三脚架、试管夹、火柴。
葡萄糖、蔗糖、淀粉、$10 \%$ 葡萄糖溶液、$10 \%$ 蔗糖溶液、$10 \% \mathrm{NaOH}$ 溶液、淀粉溶液、$2 \% \mathrm{AgNO}_{3}$ 溶液、2\%氨水、5\% $\mathrm{CuSO}_{4}$ 溶液、$10 \% \mathrm{H}_{2} \mathrm{SO}_{4}$ 溶液、$\mathrm{pH}$ 试纸。
## 【实验步骤】
1. 葡萄糖
（1）取少量葡蒛糖，观察状态，将其加入试管后加水振荡，观察其溶解状况。
（2）在洁净的试管中配制约 $2 \mathrm{~mL}$ 银氨溶液,加入 $1 \mathrm{~mL} 10 \%$ 葡萄糖溶液,振荡。然后在水浴中加热，观察现象。
(3) 在另一支试管中加入 $2 \mathrm{~mL} 10 \% \mathrm{NaOH}$ 溶液，滴入 5 滴 $5 \% \mathrm{CuSO}_{4}$ 溶液，振荡。再加入 $2 \mathrm{~mL} 10 \%$ 葡䔘糖溶液，加热，观察现象。
## 2. 蔗糖
（1）取少量蔗糖，观察状态，将其加入试管后加水振荡，观察其溶解状况。
( 2 ）用以上实验中的方法制备 $\mathrm{Cu}(\mathrm{OH})_{2}$,再加入 $2 \mathrm{~mL} 10 \%$ 蔗糖溶液。加热,观察现象。
（3）在另一支试管中加入 $1 \mathrm{~mL} 10 \%$ 蔗糖溶液和 5 滴 $10 \% \mathrm{H}_{2} \mathrm{SO}_{4}$ 溶液，加热煮沸。再加入 $10 \% \mathrm{NaOH}$ 溶液至溶液呈碱性，加入新制备的 $\mathrm{Cu}(\mathrm{OH})_{2}$，加热，观察现象
## 3. 淀粉
（1）取少量淀粉，观察状态，将其加入试管后加水振荡，再加热煮沸，观察其溶解状况。
（2）用以上实验中的方法制备 $\mathrm{Cu}(\mathrm{OH})_{2}$，再加入 $2 \mathrm{~mL}$ 淀粉溶液，加热，观察现象。
（3）在另一支试管中加入 $1 \mathrm{~mL}$ 淀粉溶液和 $2 \mathrm{~mL} 10 \% \mathrm{H}_{2} \mathrm{SO}_{4}$ 溶液，加热煮沸。再加入 $10 \% \mathrm{NaOH}$ 溶液至溶液呈碱性，加入新制备的 $\mathrm{Cu}(\mathrm{OH})_{2}$，加热，观察现象。
## 【问题和讨论 】
1. 解释实验中观察到的现象，并根据实验结果判断这三种糖是否属于还原糖。2. 写出庶糖和淀粉水解反应的化学方程式。请结合糖类的性质,推测急救患者补充能量时，一般使用葡萄糖溶液，而不选择其他糖类溶液的可能原因。- 合成高分子的基本方法
- 高分子材料
高分子科学从诞生到现在还不足百年,但完整的高分子材料工业体系已经建立。除了屰料、合成纤维、合成橡胶三大合成材料,现代高分子材料正向功能化、智能化、精细化方向发展,出现了具有光学、电学、生物医学、吸附分离等功能的高分子，与能源、国防、航空航天、电子信息、医疗健康和现代农业等领域的需求密切相关。
高分子的组成和结构特点决定了高分子的性质,是确定高分子合成方法及应用领域的基础，也是我们学习和认识高分子的基本视角。
使用了高分子薄膜建材的高速铁路车站
## 第一节
合成高分子的基本方法
高分子 macromolecule 单体 monomer 聚合物 polymer 高分子的合成是利用有机化合物相互反应的性能,得到相对分子质量较大的高分子的过程。高分子的相对分子质量比一般有机化合物大得多,通常在 $10^{4}$ 以上;一般有机化合物的相对分子质量具有明确的数值,而高分子的相对分子质量却是一个平均值,因为聚合反应得到的是分子长短不一的混合物。
合成高分子的基本方法包括加成聚合反应与缩合聚合反应,前者一般是含有双键的烯类单体发生的聚合反应,后者一般是含有两个 ( 或两个以上) 官能团的单体之间发生的聚合反应。
## 一、加成聚合反应
我们已经知道,氯乙烯在一定条件下,可以通过相互加成的方式连接成链状的高分子聚氯乙烯。
氯乙烯在这里发生的是加成聚合反应（简称加聚反应 )。该反应中的原料氯乙烯称为单体,生成的聚氯乙烯称为加成聚合物 (简称加聚物)。聚氯乙烯分子链中可重复的结构一 $\mathrm{CH}_{2}-\mathrm{CHCl}$ 一称为链节,又称重复结构单元,含有的链节数目称为聚合度,以 $n$ 表示。
聚合物的平均相对分子质量 $=$ 链节的相对质量 $\times n$
## 二、缩合聚合反应
我们曾经学习过乙酸与乙醇在酸催化下发生的酯化反应,该反应是可逆反应,移除反应生成的水,可以促进平衡向生成乙酸乙酯的方向移动。
如果用二元酸和二元醇代替一元酸和一元醇进行以上反应,如己二酸与乙二醇在酸催化下发生酯化反应,则生成连接成链状的聚酯。
聚己二酸乙二酯
这种由单体分子间通过缩合反应生成高分子的反应称为缩合聚合反应（简称缩聚反应 )。在生成缩合聚合物 （简称缩聚物 ）的同时,还伴有小分子的副产物（如 $\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}$ 等 ) 的生成,这是缩聚反应与加聚反应的重要不同之处。一般的缩聚反应多为可逆反应,为提高产率,并得到具有较高聚合度的缩聚物,需要及时移除反应产生的小分子副产物。
书写缩聚物的结构简式时,一般在方括号外侧写出端基原子或原子团；而加聚物的端基不确定，一般不必写出。
书写缩聚反应的化学方程式时,各单体物质的量与缩聚物结构简式的下角标一般要一致。例如,下列化学方程
式中两者都是 $n$。另外,也要注意生成的小分子的物质的量：由一种单体进行缩聚反应,生成的小分子物质的量一般为 $n-1$;由两种单体进行缩聚反应,生成的小分子物质的量一般为 $2 n-1。$ 例如:
聚对苯二甲酸丁二酯
## 科学史话
## 高分子科学的奠基人一一施陶丁格
德国化学家施陶丁格（H. Staudinger,1881-1965 ) 早年曾在瑞士任教，1926年到德国弗赖堡大学任教,从事有机化学研究直至退休。在 20 世纪初期,多数学者认为树脂、橡胶等在溶液中是以小分子缔合形成的
图 5-1 施陶丁格胶束形式存在。而以施陶丁格为代表的少数学者认为这些物质本身是由许多原子构成的大分子,这些大分子的溶液具有胶体性质，它与小分子缔合得到的胶体是不同的。1922 年，施陶丁格发表论文，提出了“聚合反应是大量小分子以化学键相互结合形成大分子的过程” 假说,指出聚乙烯和天然橡胶等聚合物都是由众多小分子单体通过共价键连接形成的链状分子,为建立高分子科学奠定了基础。1953 年，施陶丁格获得了诺贝尔化学奖,以表彰他为建立高分子科学作出的贡献。
## 练习与应用
1. 写出下表中聚合物的结构简式及链节。
| 单体 | 单体的结构简式 | 聚合物的结构简式 | 链节 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 乙炔 | $\mathrm{CH} \equiv \mathrm{CH}$ | | |
| 丙烯 | $\mathrm{CH}_{2}=\mathrm{CH}-\mathrm{CH}_{3}$ | | |
| 丙烯腈 | $\mathrm{CH}_{2}=\mathrm{CH}-\mathrm{CN}$ | | |
| 乙酸乙烯酯 | $\mathrm{CH}_{3} \mathrm{COOCH}=\mathrm{CH}_{2}$ | | |
| 1,3-丁二烯 | $\mathrm{CH}_{2}=\mathrm{CH}-\mathrm{CH}=\mathrm{CH}_{2}$ | | |
| 5-嵯基戊酸 | $\mathrm{HOCH}_{2} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{COOH}$ | | |
| $\begin{array}{c}\text { 戊二酸 } \\ 1,3 \text { - 丙二醇 }\end{array}$ | $\begin{array}{c}\mathrm{HOOC}\left(\mathrm{CH}_{2}\right)_{3} \mathrm{COOH} \\ \mathrm{HOCH}_{2} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{OH}\end{array}$ | | |
2. 写出下列聚合物单体的结构简式。(1) $\left[\mathrm{CH}_{2}-\underset{\mathrm{COOH}}{\mathrm{CH}}\right]_{n}$
3. 写出由下列单体聚合得到的聚合物的结构简式。(1)4-甲基苯乙烯
(2)丙烯酰胺
(3) 1,1-二氯乙烯
(4)乳酸（2-羟基丙酸 )
(5)间苯二甲酸和 $1,4-$ 丁二醇
(6)丁二酸和 1,6-己二醇
4. 以下4种物质: (1) $\mathrm{CH}_{2}=\mathrm{C}-\mathrm{CH}_{3}$、(2) $\mathrm{CH}=\mathrm{CH}_{2}$、(3) $\mathrm{C} \equiv \mathrm{CH}$、(4) $\mathrm{CH}_{3}-\mathrm{CH}=\mathrm{CH}-\mathrm{CN}$,
可用于合成结构简式如下图所示的高分子材料的正确组合为 ( 填序号 )。
5. 聚四氟乙烯具有耐热、耐酸碱腐蚀等优异的性能,有“塑料王” 之称,用途广泛。其合成路线如下:
( 1 ) $\mathrm{A}$ 和 $\mathrm{B}$ 的结构式分别为，它们属于烃的哪一类衍生物?
( 2 ) 写出下列反应的化学方程式:
$\mathrm{B} \rightarrow \mathrm{C}$
$\mathrm{C} \rightarrow \mathrm{D}$
第二节
高分子材料
## 高分子材料
polymer materials
塑料 plastic
图 5-2 多彩的塑料制品高分子材料按用途和性能可分为通用高分子材料（包括塑料、合成纤维、合成橡胶、黏合剂、涂料等 ) 和功能高分子材料 ( 包括高分子分离膜、导电高分子、医用高分子、高吸水性树脂等 ) 等类别。
## 一、通用高分子材料
1. 塑料
塑料的主要成分是合成树脂,例如,聚乙烯、聚氯乙烯、聚丙烯、聚苯乙烯、酚醛树脂、脲醛树脂等。此外,为了适应工农业生产和人们生活的各种要求,还需要加人各种加工助剂。例如,聚氯乙烯是一种无色、硬质、耐热性差的材料。为改善它的性能,提高实用价值,需要加人以下加工助剂: 为提高柔㓞性加人增塑剂,为提高耐热性加人热稳定剂,为赋予它各种漂亮的颜色加人着色剂 $\cdots \cdots$ 加人加工助剂后的聚氯乙烯可以制成雨衣、桌布和各种管材、板材等产品。
物质的结构决定其性质的原则同样适用于高分子。例如,聚乙烯、聚氯乙烯等制成的塑料制品可以反复加热熔融加工，是热塑性塑料;而用具有不同结构的酚醛树脂等制成的塑料制品不能加热熔融,只能一次成型,是热固性塑料。下面分别以聚乙烯和酚醛树脂为例来说明高分子结构对性能的影响。
## 聚氯乙烯薄膜能用于食品包装吗?
聚氯乙烯薄膜的透明性好，具有防潮、防水、绝缘等性能,广泛用作包装袋、雨衣、桌布、窗帘、充气玩具、塑料大棚等。但是,聚氯乙烯本身较硬,为了提高其塑料制品（如薄膜、塑料鞋、塑料软管）的可塑性、柔㓞性与稳定性,需加入增塑剂、稳定剂等,如加入增塑剂邻苯二甲酸二丁酯或邻苯二甲酸二辛酯等。这些掺杂在聚氯乙烯高分子链间的增塑剂小分子能起到润滑的作用,利于高分子链的运动。但是,这些增塑剂小分子在室温下会逐渐“逃逸”出来,使柔软的塑料制品逐渐变硬;有的增塑剂还具有一定毒性。所以,不能用含增塑剂的聚氯乙烯薄膜生产食品包装材料。
(1) 聚乙烯
聚乙烯具有极其广泛的用途,按合成方法可分为高压法聚乙烯和低压法聚乙烯。高压法聚乙烯是在较高压力与聚乙烯 polyethylene 较高温度,并在引发剂作用下,使乙烯发生加聚反应得到的,含有较多支链,密度和软化温度较低,属于低密度聚乙烯 (LDPE)。低压法聚乙烯是在较低压力和温度下,用催化剂使乙烯发生加聚反应得到的,支链较少,密度和软化温度较高，属于高密度聚乙烯（HDPE）。
表5-1 高压法聚乙烯与低压法聚乙烯的对比
| 比较项目 | 高压法聚乙烯 | 低压法聚乙烯 |
| :---: | :---: | :---: |
| 聚合反应条件 | $150 \mathrm{MPa} 300 \mathrm{MPa},200{ }^{\circ} \mathrm{C}$ 左右,使用引发剂 | $0.1 \mathrm{MPa} \sim 2 \mathrm{MPa},60 \sim 100{ }^{\circ} \mathrm{C}$,使用催化剂 |
| 高分子链的结构 | 含有较多支链 | 支链较少 |
| 密度 $/\left(\mathrm{g} \cdot \mathrm{cm}^{-3}\right)$ | $0.91 \sim 0.93$ | $0.94 \sim 0.97$ |
| 软化温度 $/{ }^{\circ} \mathrm{C}$ | $105 \sim 120$ | $120 \sim 140$ |
| 主要性能 | 无毒,较柔软 | 无毒,较硬 |
| 主要用途 | 生产食品包装袋、薄膜、绝缘材料等 | 生产瓶、桶、板、管等 |
(1) 引发剂是用来引发聚合反应的物质。我们知道,烷烃分子中的碳碳单键可以围绕键轴旋转而不影响键的强度。聚乙烯分子链上的碳原子完全由碳碳单键相连,可以想象,常温下聚乙烯分子链上的硶碳单键可以发生旋转,使分子链不可能呈一条直线,只能呈不规则的卷曲状态。大量聚乙烯分子纠缠在一起,好似一团乱麻。当有外力作用时,卷曲的高分子链可以被拉直或部分被拉直,除去外力后又恢复卷曲状态。因此,一般的高分子材料都具有一定的弹性。
为什么低密度聚乙烯比高密度聚乙烯的软化温度低、密度也低呢?这是因为高分子链之间的作用力与链的长短有关,高分子链越长,高分子相对分子质量越大,高分子链之间的作用力越大。此外,还与高分子链之间的疏密远近有关。低密度聚乙烯的主链有较多长短不一的支链,支链结构有碍碳碳单键的旋转和链之间的接近,链之间的作用力就比高密度聚乙烯的小,软化温度和密度也就较低;相反,高密度聚乙烯的支链较少,链之间易于接近,相互作用力较大，软化温度和密度都较高。
医用聚乙烯无纺布防护服
图 5-3 聚乙烯制品
这两种聚乙烯加热均可熔融，也可溶于某些溶剂中。低密度聚乙烯可用于生产食品包装袋等薄膜制品,不用加人增塑剂就显得十分柔软。高密度聚乙烯较硬一些,可用于生产瓶、桶、板、管与棒材等。通过改进聚合反应的催
化剂得到的超高相对分子质量聚乙烯 (相对分子质量大于
$\left.10^{6}\right)$,具有高强度和高耐磨性,使用温度范围广,耐化学
腐蚀,可用于制造防弹服、防弹头盔、绳缆等。
## 资料卡片
## 高分子的命名
天然高分子一般有习惯使用的专有名称，如纤维素、淀粉、甲壳质、蛋白质等。合成高分子的名称一般在单体名称前加上“聚”字，如聚乙烯、聚丙烯、聚丙烯腈等。由两种单体聚合成的高聚物有两种命名法,一是在缩合产物或两种单体前加“聚”,例如，聚对苯二甲酸乙二酯、聚己二酰己二胺等;二是在两种单体名称后加上“树脂”,例如,酚醛树脂、傆醛树脂等。这里的树脂是指末加工处理的聚合物。合成橡胶的名称通常在单体名称后加上“橡胶”，如乙 ( 烯) 丙 (烯) 橡胶、顺丁 (二烯) 橡胶等。合成纤维的名称常用“纶”,如涤纶（聚对苯二甲酸乙二酯纤维）、腈纶（聚丙桸腈纤维）、氯纶（聚氯乙烯纤维）、锦纶 (脂肪族聚酰胺纤维）、维纶 (聚乙烯醇缩甲醛纤维）等。
## 科学・技术・社会
## 可降解高分子
废弃的塑料制品会危害环境，造成“白色污染”。这是因为它们在自然中降解非常慢，有人估计废弃的农用地膜在土壤中可长达 100 年不分解。为了根除“白色污染”,人们联想到淀粉、纤维素可以在自然中被微生物降解,以及有些高分子材料在吸收光能的光敏剂的帮助下也能降解的事实,研究出微生物降解和光降解两类高分子材料。微生物降解高分子在微生物的作用下切断某些化学键,降解为小分子,再进一步转变为 $\mathrm{CO}_{2}$ 和 $\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}$ 等物质而消失 (如图 5-4)。光降解高分子在阳光等的作用下,高分子的化学键被破坏而发生降解。它们为消除“白色污染”带来了希望。一些微生物降解高分子,如聚乳酸
容性和生物可吸收性,可以用于手术缝合线、骨科固定材料、药物缓释材料等，手术后不用拆线或取出固定材料,减轻了患者与医生的负担。现在还出现了聚乳酸与淀粉等混合制成的生物降解塑料，可用于一次性餐具、食品和药品包装等;以及加入光敏剂的聚乙烯等光降解塑料，可用于农用地膜、可降解高分子 degradable polymer
## 包装袋等。
近年来,我国科学工作者已成功研究出以 $\mathrm{CO}_{2}$ 为主要原料生产可降解高分子材料的技术。$\mathrm{CO}_{2}$ 是稳定分子,要让它转化为高分子是很困难的。然而他们发现稀土催化剂能活化 $\mathrm{CO}_{2}$,使之与环氧丙烷 $\left(\mathrm{CH}_{2}-\mathrm{CHCH}_{3}\right)$ 等反应生成 $\mathrm{O}^{\prime}$ 聚合物。这种工艺目前已投入小规模生产，为消除“白色污染”和减轻温室效应作出了贡献。
图 5-4 微生物降解塑料
## （2）酚醛树脂
酚醛树脂是人们较早就开始使用的合成高分子，其生产历史已超过百年。它是酚（如苯酚或甲苯酚等）与醛 (如甲醛 ) 在酸或碱的催化下相互缩合而成的高分子。
## 【实验5-1】
(1) 在大试管中加入 $2 \mathrm{~g}$ 苯酚、$3 \mathrm{~mL}$ 质量分数为 $40 \%$ 的甲醛溶液和 3 滴浓盐酸，在水浴中加热。当试管中反应物接近沸腾时,从水浴中取出试管,并用玻璃棒搅拌,观察产物的颜色和状态。
(2) 在另一大试管中加入 $2 \mathrm{~g}$ 苯酚和 $3 \mathrm{~mL}$ 质量分数为 $40 \%$ 的甲醛溶液,置于水浴中加热片刻,稍加振荡后，加 $入 0.5 \mathrm{~mL}$ 浓氨水,在水浴中加热,注意与（1）中酸催化的聚合反应进行比较。
实验结果表明，苯酚与甲醛在酸或碱作用下均可发生缩聚反应生成树脂。在酸催化下,等物质的量的苯酚与甲醛反应,苯酚邻位或对位的氢原子与甲醛的羰基加成生成嵯甲基苯酚,然后羟甲基苯酚之间相互脱水缩合成线型结构的高分子。
在碱催化下,苯酚与过量的甲醛反应,生成羟甲基苯酚的同时,还生成二羟甲基苯酚、三羟甲基苯酚等,继续反应就可以生成网状结构的酚醛树脂。
具有网状结构的高分子受热后不能软化或熔融,也不溶于一般溶剂。酚醛树脂主要用作绝缘、隔热、阻燃、隔音材料和复合材料。可用于生产烹饪器具的手柄,一些电器与汽车的零部件,火箭发动机、返回式卫星和宇宙飞船外壳等的烧蚀材料。
## 思考与讨论
（1）通过以上学习,我们了解到合成高分子的结构大致可以分为三类: 线型结构、支链型结构和网状结构,你能举例说明它们各自的特性吗?
( 2 ）尿素 $\left(\mathrm{H}_{2} \mathrm{NCONH}_{2}\right)$ 可以与甲醛发生反应，最终缩聚成具有线型或网状结构的脲醛树脂。脲醛树脂可用于生产木材黏合剂、生活器具和电器开关。请写出尿素与甲醛反应得到线型聚合物的化学方程式。
## 2. 合成纤维
纤维是人们生活中的必需品。棉花、羊毛、蚕丝和麻等是大自然赋予人们的天然纤维;以木材、秸秆等农副产品为原料,经加工处理可以得到再生纤维;以石油、天然气、煤、农副产品等为原料,将其转化为单体,再经过聚合反应得到的是合成纤维。再生纤维与合成纤维统称为化学纤维。
图 5-5 宇宙飞船返回舱烧蚀后的外壳
图 5-6 使用酚醛树脂底板制成的集成电路板
图 5-7 使用脲醛树脂制成的开关
图 5-8 人造草坪使用了合成纤维
图 5-9 降落伞合成纤维工业创立于 20 世纪 30 年代。合成纤维性能优异,用途广泛,而且生产条件可控,原料来源丰富,不受自然条件影响。合成纤维的这些特点使其生产得到了迅速发展。锦纶、涤纶、腈纶、维纶、氯纶、丙纶等合成纤维具有强度高、弹性好、耐腐蚀、不缩水、保暖等优点，受到人们的欢迎。
合成纤维除了满足人们的穿着需求外，还广泛应用于工农业生产与高科技领域。例如，工业用的隔音、隔热、绝缘材料,渔业用的渔网、缆绳,医疗用的缝合线、止血棉，航空航天用的降落伞、航天服，等等。
合成纤维的优点很多，缺点也很明显，除维纶吸湿性较好，且有“人造棉花”的美称外，其他合成纤维的吸湿性和透气性明显不及天然纤维。为了综合天然纤维与合成纤维两者的优点,科技工作者将两类纤维混合纺织,使它们的性能互补而得以改善。
(1) 聚酯纤维
合成纤维中产量最大的是聚酯纤维中的涤纶。涤纶是聚对苯二甲酸乙二酯纤维的商品名称，它是对苯二甲酸与乙二醇在催化剂作用下发生缩聚反应生产的。
涤纶纤维的强度大，耐磨，易洗，快干，保形性好，但透气性和吸湿性差，可以与天然纤维混纺获得改进。涤纶是应用最广泛的合成纤维品种，大量用于服装与床上用品 (如运动服、被套、睡袋等 )、各种装饰布料、国防军工特殊织物（航天服、降落伞 ),以及工业用纤维制品（过滤材料、绝缘材料、轮胎帘子线、传送带) 等。
(2) 聚酰胺纤维
聚酰胺纤维中的锦纶是较早面世的合成纤维之一。美国化学家卡罗瑟斯 (W. H. Carothers，1896-1937) 在研究脂肪族二元羧酸与脂肪族二元醇的缩聚反应时,得到的聚酯性能不理想,转而研究己二胺与己二酸的缩聚反应,成功合成了聚己二酰己二胺纤维 (又称锦纶 66、尼龙 66,两个数字6 分别代表二胺和二酸分子中所含碳原子的个数)。
聚己二酰己二胺不溶于普通溶剂,熔化温度高于 $260{ }^{\circ} \mathrm{C}$,拉制的纤维具有天然丝的外观和光泽,耐磨性和强度超过当时任何一种纤维。20 世纪 40 年代前后,使用尼龙生产的丝袜、降落央、渔网、轮胎帘子线等产品陆续问世。此后,人们开始生产由 6 -氨基己酸合成的锦纶 6、由癸二酸和癸二胺合成的锦纶 1010 等脂肪族聚酰胺纤维 (锦纶),以及耐高温、高强度的芳香族聚酰胺纤维 (芳纶)。
## 科学・技术・社会
## 高强度芳纶纤维
20 世纪 60 年代，人们合成了强度高、密度低,并且具有耐酸、耐碱、耐高温、耐磨等优异特性的芳香族聚酰胺纤维一一聚对苯二甲酰对苯二胺纤维，又称芳纶 1414 (商品名凯芙拉,数字 1 和 4 指单体对苯二甲酸和对苯二胺的官能团在苯环上的位置）。
它的强度高，密度却只有钢的 $1 / 5$;其热稳定性高，在 $500{ }^{\circ} \mathrm{C}$ 高温下不会熔化分解。可以制成防弹装甲、消防服、防切割耐热手套，以及交通工具的结构材料和阻燃内饰等。
图 5-10 使用了芳纶纤维结构材料的轻型飞机
## 3. 合成橡胶
橡胶是一类具有弹性的物质，在外力作用下，橡胶的形状会发生改变,去除外力后又能恢复原来的形状。橡胶广泛应用于工业、农业、国防、交通及日常生活的方方面面。仅每年制造汽车、飞机用的轮胎就要消耗大量的橡胶,天然橡胶无论是产量还是性能都远远不能满足需要。
合成橡胶早在 20 世纪初就已问世,20 世纪 40 年代得到了迅速发展。现在已经有了丁苯橡胶、顺丁橡胶、丁腈橡胶、氯丁橡胶、乙丙橡胶、硅橡胶等,它们各自在耐磨、耐油、耐寒、耐热、耐腐蚀等方面有着独特的优势。橡胶的相对分子质量比大多数塑料和合成纤维的都要高,一般在 $10^{5} \sim 10^{6}$。我们以顺丁橡胶为例来了解合成橡胶的概貌。
顺丁橡胶是以 1,3-丁二烯为原料，在催化剂作用下发生加聚反应得到的以顺式结构为主的聚合物。
该聚合物呈线型结构,分子链较柔软,性能较差。将其与硫等硫化剂混合后加热,硫化剂将聚合物中的双键打开,以二硫键 (一S-S-) 等把线型结构连接为网状结构,得到既有弹性又有强度的顺丁橡胶。但硫化交联的程度不宜过大,否则会使橡胶失去弹性。顺丁橡胶具有很好的弹性,耐磨、耐寒性好,主要用于制造轮胎。
图 5-11 顺丁橡胶硫化形成的网状结构 ( 局部示意图 )
图 5-12 交联橡胶弹性示意图
## 天然橡胶
最常见的天然橡胶是三叶橡胶树产出的橡胶;还有一种是杜仲树产出的橡胶,称为杜仲胶。切割三叶橡胶树的树皮,收集流出的白色胶乳,经浓缩得到的乳胶可制成医用乳胶手套等产品。向胶乳中加入醋酸,经凝结、压片、千燥，制成生胶片。生胶不耐磨,不易成型,可溶于汽油等有机溶剂。
天然橡胶是异戊二烯的聚合物,具有顺式结构,称为顺式聚异戊二烯。天然橡胶原为线型高分子,硫化后转变成网状结构,增加了它的强度与弹性。三叶橡胶树只在暖湿地带生长,我国海南、云南等省已引种成功。
异戊二烯
(2-甲基-1,3-丁二烯 ) 天然橡胶的结构简式 (顺式聚异戊二烯) 杜仲胶可从杜仲树的树皮、叶、果实中提取。杜仲树是我国特产,适应性强,种植面广，我国四川、贵州、湖南、陕西、湖北等省都有大面积种植。杜仲胶也是异戊二烯的聚合物,与天然橡胶不同的是它具有反式结构。杜仲胶硬而弹性差,属于硬橡胶,但绝缘性好。我国科学工作者正在研究开发杜仲胶,使它既能生产塑料也能生产橡胶。现在已开发出多种产品,如杜仲胶形状记忆材料、代替石膏的医用骨科夹板、海底电缆、绝缘器件等。
图 5-13 橡胶树采胶
图 5-14 我国贵州的杜仲林
## 思考与讨论
天然橡胶是顺式聚异戊二烯,杜仲胶是反式聚异戊二烯，你能写出杜仲胶的结构简式吗?
## 二、功能高分子材料
为了适应高科技产业对材料的要求,化学工作者合成了具有某些特殊化学、物理及医学功能的高分子材料。例功能高分子
functional macromolecule
高吸水性树脂
supper absorbent resin
如,用于化学反应的高分子催化剂,用于分离纯化的各种滤膜,用于信息存储的磁性高分子,用于传感器的形状记忆高分子，用于吸水保水的高吸水性材料，可以替代人体器官、组织的医用高分子材料,用于药物缓释的高分子药物,等等。人们探索这些功能高分子材料时,需要考虑高分子的结构与性能之间的关系,设计出拥有某种功能的高分子的结构,以及合成它的路线与方法。
## 1. 高吸水性树脂
图 5-15 吸水前与吸水后的高吸水性树脂颗粒
图 5-16 接枝共聚物示意图高吸水性树脂可在干旱地区用于农业、林业抗旱保水，改良土壤。例如，在苗木根部放上一些吸足了水的高吸水性树脂,可以使苗木在生长发育过程中有充足的水。再如,婴幼儿使用的纸尿裤可吸人自身质量数百倍的尿液而不滴漏,保证了婴幼儿白天活动与夜晩安睡。
人们从棉花、纸张等含纤维素物质的吸水性得到启发，了解到它们的吸水性与纤维素分子链带有许多亲水的羟基有关。但是它们的吸水量只有自身质量的 20 40倍,挤压后保有的水量也比较少。人们要得到比棉花和纸张的吸水性更好,且耐挤压、保水性好的高吸水性材料,可以有两种思路：一是改造纤维素或淀粉分子，接入强亲水基团;二是合成新的带有强亲水基团的高分子。
（1）淀粉、纤维素等天然吸水材料的改性。在淀粉或纤维素的主链上再接人带有强亲水基团的支链,可以提高它们的吸水能力。例如,淀粉与丙烯酸钠在一定条件下发生反应,生成以淀粉为主链的接枝共聚物。为防止此共聚物溶于水,还需在交联剂作用下生成网状结构的淀粉-聚丙烯酸钠高吸水性树脂。这种树脂具有强大的吸水和保水能力,同时还是可生物降解的绿色材料。
（2）用带有强亲水基团的烯类单体进行聚合,得到含亲水基团的高聚物。例如,在丙烯酸钠中加人少量交联剂,再在一定条件下发生聚合,可得到具有网状结构的聚丙烯酸钠高吸水性树脂。
## 思考与讨论
在橡胶工业中，天然橡胶与合成橡胶一般都要经过硫化工艺，将橡胶的线型结构转变为网状结构。在制备高吸水性树脂时也要加入少量交联剂，以得到具有网状结构的树脂。思考为什么要将橡胶和高吸水性树脂转变为网状结构。
## () 探究 5) 覀 (ㅇ)
## 高吸水性树脂的吸水性能
## 【问题 】
高吸水性树脂与一般吸水材料的吸水性能差别有多大?
## 【实验】
（1）选择吸水材料进行实验。可以取一条纸尿裤，用剪刀剪开，取出其中的高吸水性树脂颗粒 ( 也可使用你选择的其他高吸水性材料 )。一般吸水材料可以选择医用脱脂棉、餐巾纸或海绵等。
(2) 在已知质量的 $100 \mathrm{~mL}$ 烧杯中放入 $70 \mathrm{~mL}$ 水,再放入 $1.0 \mathrm{~g}\left(m_{1}\right)$ 高吸水性树脂，用玻璃棒充分搅匀后静置 $5 \mathrm{~min}$，观察和记录现象。倾出末被吸收的水，再称出吸收水后的高吸水性树脂的质量 $\left(m_{2}\right)$,计算其吸水率。
(3) 取 $1.0 \mathrm{~g}$ 医用脱脂棉 (或其他一般吸水材料),按上述方法进行实验,并计算出它的吸水率，与高吸水性树脂的吸水率进行比较。
现象和数据记录:
| 吸水材料 | 高吸水性树脂 | -般吸水材料 |
| :---: | :---: | :---: |
| 吸水前质量 $m_{1} / \mathrm{g}$ | | |
| 吸水现象 | | |
| 吸水后质量 $m_{2} / \mathrm{g}$ | | |
| 吸水率 | | |
| $\left(m_{2}-m_{1}\right) / m_{1}$ | | |
结论：
## 【讨论】
1. 为什么高吸水性树脂与一般吸水材料的吸水性能差别这么大?2. 查阅资料，与同学讨论为什么高吸水性树脂能吸水而又不溶于水。
## 2.高分子分离膜
高分子分离膜 polymeric separate membrane 天然存在的物质和人工合成得到的产物往往是不纯的，需要经过分离纯化才能得到较纯的物质。例如,海水中含有丰富的无机盐,若要将海水转化为淡水,就要设法除去这些物质。过去人们使用蒸馏法获得淡水，耗能较多，现在则可使用较为高效的分离膜法进行淡化。
分离膜一般只允许水及一些小分子物质通过，其余物质则被截留在膜的另一侧，形成浓缩液，达到对原液净化、分离和浓缩的目的。分离膜根据膜孔大小分为微滤膜、超滤膜、纳滤膜和反渗透膜等，可用于分离不同的物质。生产分离膜的材料主要是有机高分子材料，如醋酸纤维、芳香族聚酰胺、聚芮烯、聚四氟乙烯等。高分子分离膜已广泛用于海水淡化和饮用水的制取,以及果汁浓缩、乳制品加工、药物提纯、血液透析等领域。
图 5-17 分离膜功能示意图
## 研究与实践
## 海水淡化
## 【研究目的 】
在水资源日益紧缺的形势下，海水有望成为人类末来重要的水源。通过查阅资料，了解海水淡化的方法,体会科学和技术与社会可持续发展之间的关系,认识化学对社会发展的重要贡献。
## 【研究任务 】
收集资料，了解世界和我国海水淡化工程的概况，并进行下列研究和思考。
（1）从设备、效率和成本等角度对其中采用的海水淡化技术进行初步比较。
（2）选择其中的某项海水淡化技术，进一步了解该项技术中主要使用了哪些高分子材料，这些材料发挥了怎样的作用。
## 【 结果与讨论 】
（1）比较其中几种海水淡化技术的优劣与适用范围,与同学讨论。
（2）你对化学在解决社会问题中的作用有哪些新的认识?与同学交流。
(3) 根据收集的资料和交流讨论的结果撰写研究报告。
## 练习与应用
1. 某种合成橡胶的结构可表示为 $\left[\mathrm{CH}_{2}-\mathrm{CH}=\mathrm{CH}-\mathrm{CH}_{2}-\mathrm{CH}_{2}-\underset{\mathrm{CN}}{\mathrm{CH}}\right]_{n}$。该聚合物的单体是 ( )。A. $\mathrm{CH}_{2}=\mathrm{CH}-\mathrm{CH}=\mathrm{CH}_{2}$
B. $\mathrm{CH}_{3}-\mathrm{C} \equiv \mathrm{C}-\mathrm{CH}_{3}$
C. $\mathrm{CH}_{3}-\mathrm{CH}=\mathrm{CH}_{2}$
D. $\mathrm{CH}_{2}=\mathrm{CH}-\mathrm{CN}$
2. 橡胶的硫化程度越高,强度越大,但弹性越差。下列橡胶制品中,硫化程度最高的是 ( )。A. 医用乳胶手套
B. 皮鞋胶底
C. 自行车内胎
D. 橡皮筋
3. 可降解塑料聚嵯基丁酸酯（PHB）可由 3-嵯基丁酸生产，下列说法正确的是（ ）。A. 合成PHB的反应属于加聚反应
B. 合成 PHB 的反应属于缩聚反应
C. $\mathrm{PHB}$ 的结构简式为 $\mathrm{H}\left[\mathrm{OCH}_{2} \mathrm{CH}_{2} \mathrm{CH}_{2} \stackrel{\mathrm{O}}{\mathrm{C}}\right]_{n} \mathrm{OH}$
4. 某种聚碳酸酯的透光性好,可制成车、船的挡风玻璃,以及眼镜镜片、光盘等。其结构可表示为:
原来合成聚碳酸酯的一种原料是有毒的光气 $\left(\mathrm{COCl}_{2}\right.$,又称碳酰氯 )。为贯彻绿色化学理念,可以改用碳酸二甲酯 $\left(\mathrm{CH}_{3} \mathrm{OCOOCH}_{3}\right)$ 与 ( $)$ 缩合聚合生产聚碳酸酯。A. 二卤代烃
B. 二酚类物质
C. 二醛类物质
D. 二烯类物质
5. 维纶是聚乙烯醇缩甲醛纤维的商品名,可用于生产服装、绳索等。请完成以下合成路线。
6. 硅橡胶具有无毒、耐高温和耐低温等特性,可制成密封材料、人造血管等。它是由二甲基二氯硅烷 $\left[\left(\mathrm{CH}_{3}\right)_{2} \mathrm{SiCl}_{2}\right]$ 水解得到二甲基硅二醇,经脱水缩聚生成聚硅氧烷,再经交联制成的。请写出二甲基二氯硅烷水解及水解产物生成线型缩聚物的化学方程式。7. 聚乳酸是一种可生物降解的高分子材料,其结构简式可表示为: $\mathrm{H}\left[\mathrm{H}-\underset{1}{\mathrm{C}} \mathrm{CH}_{3}-\stackrel{\mathrm{O}}{\mathrm{O}} \mathrm{C} \mathrm{H}_{n} \mathrm{OH}\right.$,主要用于制造可降解纤维、可降解塑料和医用材料。以淀粉为原料,先水解为葡萄糖，再在乳酸菌的作用下将葡䔘糖转变为乳酸,乳酸在催化剂作用下可聚合成聚乳酸。聚乳酸材料废弃后,先水解成乳酸,乳酸在微生物和氧气的作用下可生成 $\mathrm{CO}_{2}$ 和 $\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}$。请用化学方程式表示上述过程。8. 用于制造隐形眼镜的功能高分子材料 $\mathrm{E}$ 的合成路线如下:
聚合物
（1） $\mathrm{A}$ 的结构式为
( 2 ) $\mathrm{B} \rightarrow \mathrm{C}$ 的反应类型是
( 3 ）请写出 $\mathrm{D} \rightarrow \mathrm{E}$ 反应的化学方程式。
(4) 制造隐形眼镜的材料应该具有良好的亲水性,请从 $\mathrm{E}$ 的结构上分析它可以作为隐形眼镜材料的可能原因。
## 整理与提升
## 一、高分子的结构特点
1. 比较高分子与一般小分子有机化合物
| 物质 | 举例 | 组成 | 相对分子质量 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 高分子 | | | |
| 一般小分子有机化合物 | | | |
2. 高分子链的结构形态
## 二、高分子的合成方法与高分子材料
1. 加成聚合反应和缩合聚合反应是合成高分子的基本方法。请结合实例,从反应物、产物等角度比较二者的异同。2. 以本章所学的几种通用高分子材料和功能高分子材料为例,描述其结构特征,在此基础上分析和解释其性质和用途。进一步体会有机化合物结构与性质的关系,形成“结构决定性质,性质决定应用”的观念。
## 复习与提高
1. 分别写出由乙烯合成低密度聚乙烯与高密度聚乙烯的聚合反应方程式,并注明各自的反应条件。说明这两种不同的聚乙烯的结构、性能与用途。2. 写出由乙炔转化为氯乙烯与聚氯乙烯的化学方程式。请查阅资料,了解为什么聚氯乙烯塑料制品不能用于餐具和食品包装。3. $\mathrm{ABS}$ 树脂是丙烯腈 ( acrylonitrile,$\left.\mathrm{CH}_{2}=\mathrm{CHCN}\right)、1,3$-丁二烯 $($ 1,3-butadiene ) 和苯乙烯 ( styrene ) 三种单体的共聚物,具有耐热、耐腐蚀、强度高等特点,可用于家用电器和仪表的外壳,并可作为 3D打印的材料。请写出生成ABS 树脂的聚合反应方程式。4. 请写出癸二酸与癸二胺发生缩聚反应制取锦纶 1010 的化学方程式。5. 请以乙烯和对二甲苯为起始原料,设计聚对苯二甲酸乙二酯的合成路线,写出相关的化学方程式。6. 仿瓷餐具质轻美观，不易破碎，其主要成分蜜胺树脂是由三聚氰胺与甲醛在一定条件下缩聚得到的网状结构的聚合物。已知:
请据此写出三聚氰胺与甲醛反应得到线型聚合物的化学方程式,并说明线型聚合物如何进一步反应生成网状结构的蜜胺树脂。
7. 有机高分子 $\mathrm{A}$ 可用于生产俗称“白乳胶” 的木材黏合剂,$\mathrm{B}$ 通过加聚反应可制得 $\mathrm{A}。\mathrm{~B}$ 的蒸气对 $\mathrm{H}_{2}$ 的相对密度为 43,分子中 $\mathrm{C}、\mathrm{H}、\mathrm{O}$ 的原子个数比为 $2: 3: 1$。$\mathrm{B}$ 在酸性条件下水解可生成碳原子数相同的两种有机化合物 $\mathrm{D}$ 和 $\mathrm{M}$。
( 1 ) 写出 $\mathrm{B}$ 在一定条件下生成 $\mathrm{A}$ 的化学方程式。
（2）写出属于不饱和羧酸的 B 的同分异构体的结构简式 (包括顺反异构体)。
（3）已知羟基与碳碳双键直接相连的有机化合物会迅速转化为醛。$M$ 可以发生银镜反应，请写出 $M$ 的结构简式。
(4) 已知:
$\mathrm{D}$ 可以发生如下转化:
有机化合物 $\mathrm{G}$ 是 $\mathrm{F}$ 的同系物，且 $\mathrm{G}$ 的相对分子质量比 $\mathrm{F}$ 的大 14,两分子 $\mathrm{G}$ 反应可生成六元环状化合物 $\mathrm{H}$，请写出 $\mathrm{H}$ 的结构简式和 $\mathrm{G}$ 生成链状缩聚物的化学方程式。
## 附录
## 名词索引
| 名词 | 页码 | 名词 | 页码 | 名词 | 页码 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 氨基酸 | 112 | 加成反应 | 34 | 脱氧核糖核酸 | 122 |
| 胺 | 80 | 加成聚合反应 | 132 | 烷烃 | 28 |
| 苯 | 43 | 甲烷 | 29 | 烯烃 | 34 |
| 苯酚 | 63 | 卤代烃 | 54 | 酰胺 | 81 |
| 重结晶 | 14 | 醚 | 62 | 消去 (消除) 反应 | 56 |
| 醇 | 59 | 逆合成分析 | 87 | 乙醇 | 59 |
| 萃取 | 14 | 葡萄糖 | 103 | 乙醛 | 68 |
| 单体 | 132 | 取代反应 | 29 | 乙炔 | 37 |
| 蛋白质 | 114 | 醛 | 68 | 乙酸 | 73 |
| 多糖 | 102 | 炔烃 | 36 | 乙烯 | 34 |
| 二糖 | 102 | 塑料 | 136 | 银镜反应 | 70 |
| 芳香烃 | 43 | 羧酸 | 73 | 油脂 | 78 |
| 酚 | 59 | 缩合聚合反应 | 133 | 有机合成 | 84 |
| 高分子 | 132 | 糖类 | 102 | 元素分析 | 16 |
| 官能团 | 5 | 烃 | 27 | 蒸馏 | 13 |
| 合成纤维 | 141 | 烃的衍生物 | 53 | 脂肪烃 | 4 |
| 合成橡胶 | 144 | 同分异构体 | 9 | 酯 | 76 |
| 核磁共振氢谱 | 19 | 同位素示踪法 | 76 | 酯化反应 | 76 |
| 核酸 | 122 | 同系物 | 29 | 质谱 | 17 |
| 红外光谱 | 18 | 酮 | 71 | $X$ 射线衍射 | 20 |
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