Consider the following premises. exists x_31: ~P_31(x_31). forall x_31: Q_31(x_31) or Q_21(x_31). forall x_31: P_31(x_31) <-> Q_31(x_31). forall x_31: P(x_31) <-> P_2(x_31). forall x_31: P_2(x_31) -> P_12(x_31). forall x_31: P_12(x_31) -> ~Q_21(x_31). Can we infer exists x_31: ~P(x_31) from them?
 From forall x_31: P_31(x_31) <-> Q_31(x_31), exists x_31: ~P_31(x_31) we can infer exists x_31: ~Q_31(x_31). From forall x_31: Q_31(x_31) or Q_21(x_31), exists x_31: ~Q_31(x_31) we can infer exists x_31: Q_21(x_31). From forall x_31: P_12(x_31) -> ~Q_21(x_31), exists x_31: Q_21(x_31) we can infer exists x_31: ~P_12(x_31). From forall x_31: P_2(x_31) -> P_12(x_31), exists x_31: ~P_12(x_31) we can infer exists x_31: ~P_2(x_31). Finally, from forall x_31: P(x_31) <-> P_2(x_31), exists x_31: ~P_2(x_31) we can infer exists x_31: ~P(x_31). Therefore, the answer is yes.