Dataset Preview
The full dataset viewer is not available (click to read why). Only showing a preview of the rows.
The dataset generation failed
Error code: DatasetGenerationError
Exception: CastError
Message: Couldn't cast
original_filepath: string
filepath: string
filename: string
metadata_extracted: string
document_type: string
file_length: double
-- schema metadata --
pandas: '{"index_columns": [], "column_indexes": [], "columns": [{"name":' + 826
to
{'id': Value(dtype='int64', id=None), 'row_id': Value(dtype='string', id=None), 'filename': Value(dtype='string', id=None), 'has_table': Value(dtype='int64', id=None), 'has_list': Value(dtype='int64', id=None), 'header': Value(dtype='string', id=None), 'place': Value(dtype='string', id=None), 'section': Value(dtype='string', id=None), 'section_propo': Value(dtype='int64', id=None), 'section_length': Value(dtype='int64', id=None), 'predicted_section': Value(dtype='string', id=None), 'document_type': Value(dtype='string', id=None)}
because column names don't match
Traceback: Traceback (most recent call last):
File "/src/services/worker/src/worker/job_runners/config/parquet_and_info.py", line 1387, in compute_config_parquet_and_info_response
fill_builder_info(builder, hf_endpoint=hf_endpoint, hf_token=hf_token, validate=validate)
File "/src/services/worker/src/worker/job_runners/config/parquet_and_info.py", line 573, in fill_builder_info
) = retry_validate_get_features_num_examples_size_and_compression_ratio(
File "/src/services/worker/src/worker/job_runners/config/parquet_and_info.py", line 492, in retry_validate_get_features_num_examples_size_and_compression_ratio
validate(pf)
File "/src/services/worker/src/worker/job_runners/config/parquet_and_info.py", line 530, in validate
raise TooBigRowGroupsError(
worker.job_runners.config.parquet_and_info.TooBigRowGroupsError: Parquet file has too big row groups. First row group has 1408950715 which exceeds the limit of 300000000
During handling of the above exception, another exception occurred:
Traceback (most recent call last):
File "/src/services/worker/.venv/lib/python3.9/site-packages/datasets/builder.py", line 1855, in _prepare_split_single
for _, table in generator:
File "/src/services/worker/src/worker/job_runners/config/parquet_and_info.py", line 687, in wrapped
for item in generator(*args, **kwargs):
File "/src/services/worker/.venv/lib/python3.9/site-packages/datasets/packaged_modules/parquet/parquet.py", line 106, in _generate_tables
yield f"{file_idx}_{batch_idx}", self._cast_table(pa_table)
File "/src/services/worker/.venv/lib/python3.9/site-packages/datasets/packaged_modules/parquet/parquet.py", line 73, in _cast_table
pa_table = table_cast(pa_table, self.info.features.arrow_schema)
File "/src/services/worker/.venv/lib/python3.9/site-packages/datasets/table.py", line 2293, in table_cast
return cast_table_to_schema(table, schema)
File "/src/services/worker/.venv/lib/python3.9/site-packages/datasets/table.py", line 2241, in cast_table_to_schema
raise CastError(
datasets.table.CastError: Couldn't cast
original_filepath: string
filepath: string
filename: string
metadata_extracted: string
document_type: string
file_length: double
-- schema metadata --
pandas: '{"index_columns": [], "column_indexes": [], "columns": [{"name":' + 826
to
{'id': Value(dtype='int64', id=None), 'row_id': Value(dtype='string', id=None), 'filename': Value(dtype='string', id=None), 'has_table': Value(dtype='int64', id=None), 'has_list': Value(dtype='int64', id=None), 'header': Value(dtype='string', id=None), 'place': Value(dtype='string', id=None), 'section': Value(dtype='string', id=None), 'section_propo': Value(dtype='int64', id=None), 'section_length': Value(dtype='int64', id=None), 'predicted_section': Value(dtype='string', id=None), 'document_type': Value(dtype='string', id=None)}
because column names don't match
The above exception was the direct cause of the following exception:
Traceback (most recent call last):
File "/src/services/worker/src/worker/job_runners/config/parquet_and_info.py", line 1410, in compute_config_parquet_and_info_response
parquet_operations, partial, estimated_dataset_info = stream_convert_to_parquet(
File "/src/services/worker/src/worker/job_runners/config/parquet_and_info.py", line 989, in stream_convert_to_parquet
builder._prepare_split(
File "/src/services/worker/.venv/lib/python3.9/site-packages/datasets/builder.py", line 1742, in _prepare_split
for job_id, done, content in self._prepare_split_single(
File "/src/services/worker/.venv/lib/python3.9/site-packages/datasets/builder.py", line 1898, in _prepare_split_single
raise DatasetGenerationError("An error occurred while generating the dataset") from e
datasets.exceptions.DatasetGenerationError: An error occurred while generating the datasetNeed help to make the dataset viewer work? Make sure to review how to configure the dataset viewer, and open a discussion for direct support.
id
int64 | row_id
string | filename
string | has_table
int64 | has_list
int64 | header
string | place
string | section
string | section_propo
int64 | section_length
int64 | predicted_section
string | document_type
string |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
203,988 | row_203988 | paper_A_0002 | 0 | 0 | Αριθ µ ητική Ανάλυση Μερικών ∆ιαφορικών Εξισώσεων | 0.00-0.00 | Ε µµ ανουήλ Χ . Γεωργούλη/uni03C2 | 0 | 1 | ε.σ. | Μεταπτυχιακό εγχειρίδιο |
203,989 | row_203989 | paper_A_0002 | 0 | 0 | ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΙΚΩΝΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝΕΞΙΣΩΣΕΩΝ | 0.00-0.00 | null | 0 | 0 | ε.σ. | Μεταπτυχιακό εγχειρίδιο |
203,990 | row_203990 | paper_A_0002 | 0 | 0 | Αριθμητική Ανάλυση Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων | 0.00-0.00 | Εμμανουήλ Χ. Γεωργούλης
Τομέας Μαθηματικών Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
The Maxwell Institute & Department of Mathematics School of Mathematical and Computer Sciences Heriot-Watt University, United Kingdom
Τίτλος πρωτοτύπου: « Αριθμητική Ανάλυση Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων» Copyright © 2024, ΣΕΑΒ/ ΕΛΚΕ ΕΜΠ - ΚΑΛΛΙΠΟΣ, ΑΝΟΙΚΤΕΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΕΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ
Το παρόν έργο διατίθεται με τους όρους της άδειας Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση - Παρόμοια Διανομή 4.0. Για να δείτε τους όρους της άδειας αυτής επισκεφτείτε τον ιστότοπο https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/legalcode.el
Αν τυχόν κάποιο τμήμα του έργου διατίθεται με διαφορετικό καθεστώς αδειοδότησης, αυτό αναφέρεται ρητά και ειδικώς στην οικεία θέση. | 2 | 6 | ε.σ. | Μεταπτυχιακό εγχειρίδιο |
203,991 | row_203991 | paper_A_0002 | 0 | 0 | Συντελεστές έκδοσης | 0.00-0.00 | Γραφιστική επιμέλεια:
Εμμανουήλ Χ. Γεωργούλης
Τεχνική επεξεργασία:
Εμμανουήλ Χ. Γεωργούλης | 1 | 4 | ε.σ. | Μεταπτυχιακό εγχειρίδιο |
203,992 | row_203992 | paper_A_0002 | 0 | 0 | ΚΑΛΛΙΠΟΣ | 0.00-0.01 | Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Ηρώων Πολυτεχνείου 9 15780 Ζωγράφου
Βιβλιογραφική αναφορά:
Γεωργούλης, Ε. Χ., 2024. Αριθμητική Ανάλυση Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων [Μεταπτυχιακό Εγχειρίδιο] . Κάλλιπος, Ανοικτές Ακαδημαϊκές Εκδόσεις http://dx.doi.org/10.57713/kallipos-969
στην Ηλέκτρα στην Ειρήνη | 2 | 5 | β | Μεταπτυχιακό εγχειρίδιο |
203,993 | row_203993 | paper_A_0002 | 1 | 0 | ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ | 0.01-0.02 | | Πίνακας συντομεύσεων-ακρωνυμίων | Πίνακας συντομεύσεων-ακρωνυμίων | ix |
|---------------------------------------------------------|--------------------------------------------------------------------------------------------|------|
| Πρόλογος | Πρόλογος | xi |
| Σύντομη Εισαγωγή στις Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις | Σύντομη Εισαγωγή στις Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις | 1 |
| 1.1 | Ταξινόμηση ΜΔΕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 3 |
| 1.2 | Εξισώσεις πρώτης τάξης: μέθοδος των χαρακτηριστικών . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 4 |
| 1.3 | Γραμμικές εξισώσεις δεύτερης τάξης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 9 |
| 1.4 | Το πρόβλημα Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 17 |
| 1.5 | Καλώς και κακώς τοποθετημένα προβλήματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 20 |
| 1.6 | Προβλήματα συνοριακών τιμών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 24 |
| 1.7 | Προβλήματα αρχικών-συνοριακών τιμών για παραβολικές και υπερβολικές ΜΔΕ . . . . . | 26 |
| 1.8 | Χωρισμός μεταβλητών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 27 |
| 2 Διαιρεμένες Διαφορές και η Μέθοδος των Τριών Σημείων | 2 Διαιρεμένες Διαφορές και η Μέθοδος των Τριών Σημείων | 31 |
| 2.1 | Διαιρεμένες διαφορές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 31 |
| 2.2 | Ημέθοδος των τριών σημείων για το μονοδιάστατο πρόβλημα συνοριακών τιμών . . . . . | 36 |
| 2.2.1 | Ανάλυση σφάλματος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 37 |
| 2.2.2 | Ανάλυση σφάλματος με τη μέθοδο της ενέργειας . . . . . . . . . . . . . . . . . | 42 |
| | 2.2.3 Επεκτάσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 45 |
| 2.2.4 | Ισοδυναμία του Lax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 47 |
| Μέθοδοι Πεπερασμένων Διαφορών για Παραβολικά Προβλήματα | Μέθοδοι Πεπερασμένων Διαφορών για Παραβολικά Προβλήματα | 49 |
| 3.1 | Ηάμεση μέθοδος του Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 49 |
| | Ανάλυση σφάλματος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 53 |
| 3.1.1 3.1.2 | Ανάλυση ευστάθειας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 56 |
| 3.2 | Ηπεπλεγμένη μέθοδος του Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 59 |
| 3.3 | Ημέθοδος Crank-Nicolson και η μέθοδος ϑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 66 |
| 3.4 | Μηγραμμικά παραβολικά προβλήματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 70 |
| | 3.4.1 | Πεπλεγμένες μέθοδοι . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 71 |
|-----------------------------------------------------------------------|-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|-------|
| | 3.4.2 Πεπλεγμένες-άμεσες μέθοδοι . . . . . . . . . . . . . . Μέθοδοι Πεπερασμένων Διαφορών για Γραμμικά Υπερβολικά Προβλήματα | . . . . . . . | 72 75 |
| 4.1 | Ησυνθήκη CFL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | Ησυνθήκη CFL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| | . | . | 76 |
| 4.2 | Ημέθοδος upwind . . . . | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 80 |
| | 4.2.1 | Ημέθοδος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 80 |
| | 4.2.2 | Συνοριακές συνθήκες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 81 |
| | 4.2.3 | Αριθμητική διάχυση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 83 |
| | 4.2.4 | Ανάλυση σφάλματος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 86 |
| | 4.2.5 | Ανάλυση ευστάθειας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 87 |
| 4.3 | Ημέθοδος Lax-Wendroff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | Ημέθοδος Lax-Wendroff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 88 |
| 4.4 | ΜΠΔγιατην κυματική εξίσωση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | ΜΠΔγιατην κυματική εξίσωση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 91 |
| | 4.4.1 | Ημέθοδος leap-frog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 92 |
| | 4.4.2 | Μέθοδοι για το σύστημα πρωτοβάθμιων εξισώσεων . . . . . . . . . . | 93 |
| 5 Μέθοδοι Πεπερασμένων Διαφορών για Μη Γραμμικά Υπερβολικά Προβλήματα | 5 Μέθοδοι Πεπερασμένων Διαφορών για Μη Γραμμικά Υπερβολικά Προβλήματα | 5 Μέθοδοι Πεπερασμένων Διαφορών για Μη Γραμμικά Υπερβολικά Προβλήματα | 97 |
| 5.1 | Ημέθοδος upwind . . | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 98 |
| 5.2 | . . . . Ημέθοδος Lax-Wendroff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | . . . . Ημέθοδος Lax-Wendroff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 101 |
| 6 Μέθοδοι Πεπερασμένων Διαφορών για Ελλειπτικά Προβλήματα | 6 Μέθοδοι Πεπερασμένων Διαφορών για Ελλειπτικά Προβλήματα | 6 Μέθοδοι Πεπερασμένων Διαφορών για Ελλειπτικά Προβλήματα | 105 |
| 6.1 | | Ημέθοδος των πέντε σημείων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 106 |
| 6.2 | . . . . | Ανάλυση σφάλματος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 108 |
| 6.3 | Γενικά ελλειπτικά προβλήματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | Γενικά ελλειπτικά προβλήματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 109 |
| 6.4 | Επίλυση γραμμικών συστημάτων | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 111 |
| 6.5 | Γενικά υπολογιστικά χωρία . . . . . . . . | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 112 |
| 7 Χώροι Συναρτήσεων και Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις σε Ασθενή Μορφή | 7 Χώροι Συναρτήσεων και Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις σε Ασθενή Μορφή | 7 Χώροι Συναρτήσεων και Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις σε Ασθενή Μορφή | 115 |
| 7.1 | Ασθενής παράγωγος . . . . | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 115 |
| 7.2 | | Χώροι Lebesgue και Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 117 |
| | 7.2.1 | Χώροι Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 118 |
| | | 7.2.2 Χώροι Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 119 |
| 7.3 | | ΗAρχήτου Dirichlet και το ελλειπτικό πρόβλημα Dirichlet σε ασθενή μορφή . | 124 |
| 7.4 | Το γενικό ελλειπτικό πρόβλημα σε ασθενή μορφή . . . | . . . . . . . . . . . . . | 126 |
| 7.5 | Ελλειπτικά προβλήματα σε χωρία με τμηματικά ομαλό σύνορο . . . . . . . . . . . . . . . | Ελλειπτικά προβλήματα σε χωρία με τμηματικά ομαλό σύνορο . . . . . . . . . . . . . . . | 129 |
| 7.6 | Χώροι Bochner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | Χώροι Bochner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 131 |
| 7.7 | | Το παραβολικό πρόβλημα θερμότητας σε ασθενή μορφή . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 132 |
| 7.8 | Το υπερβολικό πρόβλημα δεύτερης τάξης σε ασθενή μορφή | . . . . . . . . . . . | 135 |
| 7.9 | Ηεξίσωση της μεταφοράς σε ασθενή μορφή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | Ηεξίσωση της μεταφοράς σε ασθενή μορφή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 137 |
| ΗΜέθοδοςΠεπερασμένων Στοιχείων για Ελλειπτικά Προβλήματα | ΗΜέθοδοςΠεπερασμένων Στοιχείων για Ελλειπτικά Προβλήματα | ΗΜέθοδοςΠεπερασμένων Στοιχείων για Ελλειπτικά Προβλήματα | 141 |
| 8.2 | 8.1 Ημέθοδος πεπερασμένων στοιχείων για το πρόβλημα των δυο σημείων . . . . . . . . . . | | 141 |
| | | Ανάλυση σφάλματος της ΜΠΣ για το μονοδιάστατο πρόβλημα συνοριακών τιμών | 148 |
| 8.3 | | ΗΜέθοδος Πεπερασμένων Στοιχείων στις δυο και τρεις διαστάσεις . . . . . . . . . . . . | 151 |
| 8.4 8.5 | | Υπολογισμός του γραμμικού συστήματος της ΜΠΣ για μια απλή γεωμετρία . . Υπολογισμός του γραμμικού συστήματος της ΜΠΣ για γενικές γεωμετρίες: συναρμολόγηση158 | 156 |
| 8.6 | Ανάλυση σφάλματος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | Ανάλυση σφάλματος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 165 |
| Μέθοδοι Πεπερασμένων Στοιχείων για Παραβολικά Προβλήματα | Μέθοδοι Πεπερασμένων Στοιχείων για Παραβολικά Προβλήματα | Μέθοδοι Πεπερασμένων Στοιχείων για Παραβολικά Προβλήματα | 169 |
| 9.1.1 9.1.2 9.2 | Ευστάθεια και ανάλυση σφάλματος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ανάλυση σφάλματος στην L ∞ ( L 2 ) -νόρμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Crank-Nicolson μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1 Ευστάθεια και ανάλυση σφάλματος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 173 179 182 184 |
|------------------------------------------------------------|-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|------------------------------------------------------------|
| 10.1 | Μηομοιόμορφα πλέγματα και η χρησιμότητά τους . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 191 |
| 10.2 | Εκ των υστέρων ανάλυση σφάλματος για ΜΠΣ για το ελλειπτικό πρόβλημα . . . . . . . . | 196 |
| 10.3 | Αυτόματη προσαρμογή πλέγματος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 200 |
| 10.4 | Εκ των υστέρων ανάλυση σφάλματος για Πεπλεγμένη Euler-ΜΠΣ για το πρόβλημα θερ- μότητας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 201 |
| 11 Ασυνεχής Μέθοδος Galerkin για Υπερβολικά Προβλήματα 207 | 11 Ασυνεχής Μέθοδος Galerkin για Υπερβολικά Προβλήματα 207 | 11 Ασυνεχής Μέθοδος Galerkin για Υπερβολικά Προβλήματα 207 |
| 11.1 | Ηασυνεχής μέθοδος Galerkin για το πρόβλημα μεταφοράς στη μία διάσταση . . . . . . . | 208 |
| 11.2 | Ανάλυση σφάλματος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 213 |
| 11.3 | Runge-Kutta ασυνεχείς μέθοδοι Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 218 |
| 11.4 | Ασυνεχής μέθοδος Galerkin για πολυδιάστατα προβλήματα πρώτης τάξης . . . . . . . . | 221 |
| 12 Προχωρημένα θέματα στις Μεθόδους Πεπερασμένων Στοιχείων | 12 Προχωρημένα θέματα στις Μεθόδους Πεπερασμένων Στοιχείων | 227 |
| 12.1 Πεπερασμένα στοιχεία υψηλής τάξης | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 227 |
| 12.2 | | |
| | Χωροχρονική ΜΠΣ με ασυνεχή Galerkin χρονικό βηματισμό . . . . . . . . . . . . . . . | 230 |
| Α Στοιχεία Πραγματικής και Συναρτησιακής Ανάλυσης | Α Στοιχεία Πραγματικής και Συναρτησιακής Ανάλυσης | 233 | | 28 | 85 | π | Μεταπτυχιακό εγχειρίδιο |
203,994 | row_203994 | paper_A_0002 | 1 | 0 | ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ | 0.02-0.03 | | 1.1 | Παράδειγμα1.24. Σκαρίφημα του προβλήματος Cauchy, της καμπύλης δεδομένων Cauchy S και χαρακτηριστικών καμπυλών της ΜΔΕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 18 |
|-------|--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|-------|
| 1.2 | Τεμνόμενες (προβεβλημένες) χαρακτηριστικές ευθείες (κόκκινο χρώμα) για το πρόβλημα Cauchy (1.44) της εξίσωσης Burgers και φθίνουσα u 0 , οι οποίες συνεπάγονται σοκ σε πε- περασμένο t . Το μονοπάτι του κρουστικού κύματος απεικονίζεται με μπλε χρώμα. . . . . . | 20 |
| 1.3 | Γραφήματα της λύσης του προβλήματος Cauchy (1.44) για u 0 ( x ) = e - 10(4 x - 1) 2 για t = 0 , 0 . 1 , 0 . 2 , 0 . 3 , 0 . 4 , 0 . 6 . Παρατηρούμε τη δημιουργία του κρουστικού κύματος καθώς η κλίση της λύσης απειρίζεται σημειακά. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 21 |
| 2.1 | Ιστορικό σύγκλισης για το μέγιστο σφάλμα ως προς το πλήθος των διαστημάτων +1 , για τη μέθοδο τριών σημείων (2.18), για το πρόβλημα συνοριακών τιμών Neumann (2.45) για x ∈ [0 , 1] και f ( x ) = π 2 4 sin ( πx 2 ) , με διακριτοποίηση της συνθήκης Neumann από την οπίσθια διαφορά (μπλε) και την κεντρική διαφορά με χρήση πλασματικού κόμβου (κόκκινο). | 46 |
| 3.1 | Το χωροχρονικό πλέγμα για N x = 4 και N t = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 50 |
| 3.2 | Το πρότυπο (stencil) της άμεσης μεθόδου του Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 52 |
| 3.3 | Προσεγγιστική λύση υπολογισμένη από την άμεση μέθοδο του Euler για N x = 19 και N t = 770 , που συνεπάγεται µ = 0 . 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 53 |
| 3.4 | Προσεγγιστική λύση υπολογισμένη από την άμεση μέθοδο του Euler για N x = 19 και N t = 770 , που συνεπάγεται µ = 0 . 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 54 |
| 3.5 | Το πρότυπο (stencil) της πεπλεγμένης μεθόδου του Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . | 60 |
| 3.6 | Το πρότυπο (stencil) για τη μέθοδο Crank-Nicolson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 67 |
| 4.1 | Το πρότυπο (stencil) απεικονισμένο ως μαύρες γραμμές και η περιοχή εξάρτησης της με- θόδου (4.7) απεικονισμένη ως σκιασμένο τρίγωνο. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 77 |
| 4.2 | Hπεριοχήεξάρτησηςτηςμεθόδου(4.7)(σκιασμένοτρίγωνο)και η περιοχή εξάρτησης του προβλήματος (μπλε ευθεία) για ν > 1 (αριστερά) και ν < 1 (δεξιά). . . . . . . . . . . . | |
| 4.3 | Το πρότυπο (stencil) απεικονισμένο ως μαύρες γραμμές και η περιοχή εξάρτησης της με- θόδου (4.10) απεικονισμένη ως σκιασμένο τρίγωνο. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 78 79 |
| 4.4 | Η χαρακτηριστική ευθεία που διέρχεται από τον κόμβο ( t n +1 , x j ) για α > 0 σε μπλε χρώμα και για α < 0 σε μοβ χρώμα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 80 |
|-------|--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|------|
| 4.5 | Το πρότυπο (stencil) της μεθόδου (4.15). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 81 |
| 4.6 | Χαρακτηριστικές ευθείες για την εξίσωση (4.12) με σταθερό α . . . . . . . . . . . . . . . | 82 |
| 4.7 | Παράδειγμα4.1. Η ακριβής λύση σε μαύρο χρώμα και η προσεγγιστική λύση που προκύπτει από τη μέθοδο upwind σε μπλε χρώμα για N x = 100 και N t = 250 , δηλ. ν = 0 . 4 . . . . | 84 |
| 4.8 | Παράδειγμα4.1. Η ακριβής λύση σε μαύρο χρώμα και η προσεγγιστική λύση που προκύπτει από τη μέθοδο upwind σε μπλε χρώμα N x = 100 και N t = 200 , δηλ. ν = 0 . 5 . Οι δυο καμπύλες συμπίπτουν στους κόμβους. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 85 |
| 4.9 | Παράδειγμα4.1. Η ακριβής λύση σε μαύρο χρώμα και η προσεγγιστική λύση που προκύπτει από τη μέθοδο Lax-Wendroff σε μπλε χρώμα N x = 100 και N t = 250 , δηλ. ν = 0 . 4 . . . | 90 |
| 4.10 | Το πρότυπο (stencil) και η περιοχή εξάρτησης της μεθόδου leap-frog (4.41). . . . . . . . | 93 |
| 5.1 | Προσέγγιση της λύσης του Παραδείγματος 5.2 που παράγει η μέθοδος upwind (μπλε κα- μπύλη) και η ακριβής λύση (μαύρη καμπύλη) για t = 0 , 0 . 1 , 0 . 2 , 0 . 3 , 0 . 4 , 0 . 6 , όταν N t = 100 και N x = 100 . Παρατηρούμε τη δημιουργία σοκ σε πεπερασμένο χρόνο. . . . | 99 |
| 5.2 | Η προσεγγιστική λύση που παράγει η μέθοδος Lax-Wendroff (5.7) (ή (5.8)) για t ∈ (0 , 1) , x ∈ (0 , 1) με N t = 100 και N x = 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 103 |
| 6.1 | Ημέθοδος των πέντε σημείων. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 106 |
| 6.2 | Το πρότυπο (stencil) της μεθόδου (6.10). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 110 |
| 6.3 | Παράδειγμα γενικού υπολογιστικού χωρίου. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 113 |
| 7.1 | Χωρίο με σημειωμένο το εισρέον και εκρέον σύνορο ως προς το διανυσματικό πεδίο b . . . . | 137 |
| 8.1 | Συνεχείς και τμηματικά γραμμικές συναρτήσεις (γραμμικές splines). . . . . . . . . . . . | 142 |
| 8.2 | Συνάρτηση-«σκηνή» ϕ i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 143 |
| 8.3 | Πεπερασμένο στοιχείο: χωρίο και συναρτήσεις βάσης. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 144 |
| 8.4 | Συνάρτηση βάσης ϕ N +1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 147 |
| 8.5 | Πλέγμα σε δισδιάστατο φραγμένο χωρίο. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 152 |
| 8.7 | (δεξιά). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Γραφική παράσταση μιας συνάρτησης που ανήκει στον χώρο V h , δηλ. μιας συνεχούς και κατά τμήματα (ως προς το πλέγμα του Σχήματος 8.5) γραμμικής συνάρτησης δυο μετα- . | 153 |
| | βλητών που μηδενίζεται στο σύνορο. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 153 |
| 8.8 | Συναρτήσεις-«πυραμίδα» (συναρτήσεις βάσης). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 154 |
| 8.9 | Προσεγγιστική λύση με τη ΜΠΣ για το πρόβλημα (8.22). . . . . . . . . . . . . . . . . | 154 |
| 8.10 | Ένα τετραεδρικό στοιχείο. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 156 |
| 8.11 | Ένα τρισδιάστατο υπολογιστικό χωρίο διαμερισμένο σε τετραεδρικά στοιχεία. . . . . . . . | 156 |
| 8.12 | (Ομοιόμορφο) Πλέγμα του Ω = (0 , 1) × (0 , 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 157 |
| 8.13 | Οφορέας της ϕ ij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 157 |
| 8.14 | Παράδειγμα 8.10. Κόμβοι του πλέγματος και ο πίνακας κόμβων node . . . . . . . . . . . | 159 |
| 8.15 | Παράδειγμα 8.10. Τριγωνοποίηση και ο πίνακας συνεκτικότητας connectivity . . . . . | 160 |
| 8.16 | Απεικόνιση από στοιχείο αναφοράς ˆ T σε στοιχείο T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 160 |
| 8.17 | Σχηματική (και μη) ομαλότητα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 163 |
| 9.1 | Πεπλεγμένη Euler-ΜΠΣ για το πρόβλημα (9.10). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 172 |
| 10.1 | Παράδειγμα 10.1. Οικογένεια ομοιόμορφων πλεγμάτων. . . . . . . . . . . . . . . . . . | 193 |
| 10.2 | Παράδειγμα 10.1. Οικογένεια μη ομοιόμορφων πλεγμάτων με σταδιακή πύκνωση προς το | |
| 10.3 | Παράδειγμα10.1.Ιστορικόσύγκλισηςγιατοσφάλμαστηνενεργειακήνόρμα | u - u h | H 1 (Ω) ως προς το πλήθος των κόμβων N , για την οικογένεια ομοιόμορφων πλεγμάτων του Σχή- ματος 10.1 και για την οικογένεια μη ομοιόμορφων πλεγμάτων του Σχήματος 10.2. Απει- κονίζονται, επίσης, οι ευθείες (σε λογαριθμική κλίμακα) κλίσης - 1 3 και - 1 2 . . . . . . . . . | 195 |
|--------|--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|-------|
| 11.1 | Τμηματικά ασυνεχείς πολυωνυμικές συναρτήσεις. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 209 |
| 11.2 | Συναρτήσεις βάσης του στοιχείου αναφοράς. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 210 |
| 11.3 | Αριθμητική λύση του (11.15) με την ασυνεχή μέθοδο Galerkin για διάφορες τιμές του N x και p = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 212 |
| 11.4 | Πλέγμα σε δισδιάστατο φραγμένο χωρίο και το αντίστοιχα εισρέον σύνορο ∂ - Ω (με μαύρο χρώμα) ως προς τον άνεμο b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 222 |
| 11.5 | Σχηματική αναπαράσταση τμηματικά ασυνεχών πολυωνυμικών συναρτήσεων ως προς ένα μέρος πλέγματος. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 223 |
| 12.1 | Βάση Lagrange για d = 1 και p = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 228 |
| 12.2 | Κόμβοι βάσης Lagrange για d = 2 και p = 2 (αριστερά) ή p = 3 (δεξιά) στο τρίγωνο αναφοράς. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 229 |
| Β.1 | Σύνθεση Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 237 |
| Β.2 | Σύνθεση Fourier για την άρτια επέκταση. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 240 |
| | Σύνθεση Fourier για την περιττή επέκταση. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| Β.3 | | 241 | | 20 | 61 | π | Μεταπτυχιακό εγχειρίδιο |
203,995 | row_203995 | paper_A_0002 | 1 | 1 | ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΝΤΟΜΕΥΣΕΩΝ-ΑΚΡΩΝΥΜΙΩΝ | 0.03-0.03 | | ΜΔΕ | Μερική Διαφορική Εξίσωση / Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις |
|-------|-----------------------------------------------------------|
| ΜΠΔ | Μέθοδος/-οι Πεπερασμένων Διαφορών |
| ΜΠΣ | Μέθοδος/-οι Πεπερασμένων Στοχείων |
| ΣΔΕ | Συνήθης Διαφορική Εξίσωση |
| CFL | Courant-Friedrichs-Lewy |
- x ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΝΤΟΜΕΥΣΕΩΝ-ΑΚΡΩΝΥΜΙΩΝ | 2 | 7 | π | Μεταπτυχιακό εγχειρίδιο |
203,996 | row_203996 | paper_A_0002 | 0 | 0 | ΠΡΟΛΟΓΟΣ | 0.03-0.04 | Το παρόν σύγγραμμα φιλοδοξεί να δώσει μια εκτεταμένη εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση προβλημάτων Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων (ΜΔΕ) και να χρησιμεύσει ως σύγγραμ μ α τόσο για προχωρημένα προπτυχιακά, όσο και για μεταπτυχιακά μαθήματα στο αντικείμενο αυτό.
Αναπόφευκτα, για ένα τόσο εκτεταμένο γνωστικό πεδίο όπως είναι η Αριθμητική Ανάλυση ΜΔΕ, το οποίο αποτελεί αντικείμενο έρευνας τουλάχιστον από τα τέλη του 19ου αιώνα έως και τις μέρες μας, μια πλήρης βιβλιογραφική περιγραφή, ακόμα και σε εισαγωγικό επίπεδο, είναι σχεδόν αδύνατη. Ως εκ τούτου, επιλέχτηκε η παρουσίαση δυο δημοφιλών κατηγοριών μεθόδων: των Μεθόδων Πεπερασμένων Διαφορών (ΜΠΔ) και των Μεθόδων Πεπερασμένων Στοιχείων (ΜΠΣ).
Περιγραφή περιεχομένου. Το παρόν βιβλίο έχει την εξής δομή: η παρουσίαση ξεκινά από μια σύντομη και, αναπόφευκτα ατελή, αναδρομή στη βασική θεωρία ΜΔΕ (Κεφάλαιο 1), όπου αναφέρονται βασικές έννοιες, ιδιότητες και αποτελέσματα τα οποία κρίθηκαν χρήσιμα να συμπεριληφθούν για την κατανόηση των ΜΠΔ και ΜΠΣ. Ακόμα, στο Κεφάλαιο 7 παραθέτουμε μερικά προχωρημένα θέματα μοντέρνας θεωρίας ΜΔΕ, παρουσιάζοντας έννοιες όπως την ασθενή παράγωγο, την ασθενή μορφή ΜΔΕ, συναρτησιακούς χώρους Lebesgue και Sobolev, μέθοδο της ενέργειας κ.ά.
Η βασική θεωρία ΜΔΕ του Κεφαλαίου 1 είναι αρκετή για να παρουσιαστεί η θεωρία μεθόδων πεπερασμένων διαφορών στα Κεφάλαια 2-6. Πιο συγκεκριμένα, στο Κεφάλαιο 2 δίνεται μια σύντομη εισαγωγή στις διαιρεμένες διαφορές και παρουσιάζεται η βασική μέθοδος πεπερασμένων διαφορών των τριών σημείων για το μονοδιάστατο πρόβλημα συνοριακών τιμών δεύτερης τάξης. Η βασική αυτή μέθοδος αναλύεται διεξοδικά και εισάγονται οι θεμελιώδεις έννοιες της συνέπειας και ευστάθειας αριθμητικών μεθόδων. Η εκτενής παρουσίαση στο απλό αυτό πρόβλημα έχει σκοπό την εισαγωγή στις μεθόδους ανάλυσης αλλά και στις διαφορετικές έννοιες ευστάθειας που απαντώνται στη θεωρία. Έχοντας εξοπλιστεί με τις βασικές έννοιες αυτές, προχωρούμε στην παρουσίαση μεθόδων πεπερασμένων διαφορών για παραβολικά (Κεφάλαιο 3), γραμμικά υπερβολικά (Κεφάλαιο 4), μη γραμμικά υπερβολικά (Κεφάλαιο 5) και ελλειπτικά προβλήματα ΜΔΕ (Κεφάλαιο 6), δίνοντας προσοχή στη μελέτη της συνέπειας, της ευστάθειας και σύγκλισης των μεθόδων αυτών, για τις οποίες αποδεικνύουμε εκτιμήσεις σφάλματος.
Στη συνέχεια, εξοπλισμένοι με τις προχωρημένες έννοιες της μοντέρνας θεωρίας ΜΔΕ του Κεφαλαίου 7, προχωρούμε στο Κεφάλαιο 8 στον ορισμό και στις βασικές έννοιες κατασκευής και ανάλυσης μεθόδων πεπερασμένων στοιχείων, πρώτα για το μονοδιάστατο πρόβλημα συνοριακών τιμών δεύτερης τάξης και μετά για γραμμικά ελλειπτικά προβλήματα. Ακολούθως, παρουσιάζουμε ΜΠΣ για παραβολικά προβλήματα στο
Κεφάλαιο 9. Στο Κεφάλαιο 10 δίνεται μια εισαγωγή στην επονομαζόμενη εκ των υστέρων ανάλυση σφάλματος, η οποία στη συνέχεια χρησιμοποιείται για να οριστούν τεχνικές αυτόματης προσαρμογής της τοπικής «ανάλυσης»/«λεπτότητας» της ΜΠΣ για ελλειπτικά και παραβολικά προβλήματα.
Καθώς οι κλασικές μέθοδοι πεπερασμένων στοιχείων με συνεχείς προσεγγίσεις δεν ενδείκνυνται για την προσέγγιση λύσεων υπερβολικών προβλημάτων πρώτης τάξης, στο Κεφάλαιο 11 δίνονται οι βασικές αρχές και η ανάλυση σφάλματος της Ασυνεχούς Μεθόδου Galerkin για τα προβλήματα αυτά.
Τέλος, στο Κεφάλαιο 12, παρουσιάζονται εν συντομία προχωρημένα θέματα στη θεωρία ΜΠΣ. Συγκεκριμένα, δίνονται μερικές βασικές έννοιες για τον ορισμό πεπερασμένων στοιχείων υψηλής τάξης σύγκλισης, καθώς και μια χωροχρονική ΜΠΣ με χρονικό βηματισμό ορισμένο μέσω ασυνεχούς μεθόδου Galerkin.
Ασκήσεις. Στοσύγγραμμαπεριέχονται περισσότερες από 70 Ασκήσεις, τοποθετημένες στο τέλος των αντίστοιχων/σχετικών ενοτήτων. Ο σκοπός των ασκήσεων είναι η κατανόηση και περαιτέρω εμβάθυνση των εννοιών, αποτελεσμάτων ή/και μεθόδων που παρουσιάζονται στις εκάστοτε ενότητες. Οι ασκήσεις είναι, ως επί το πλείστον, βατές ώστε οι αναγνώστες να τις προσπαθούν μετά την πρώτη ανάγνωση, με απώτερο στόχο τον έγκαιρο εντοπισμό σημείων που χρήζουν περαιτέρω προσοχής και εμβάθυνσης κατά τις επόμενες αναγνώσεις.
Προαπαιτούμενη γνώση. Βασικά προπτυχιακά μαθήματα Γραμμικής Άλγεβρας και Απειροστικού Λογισμού, καθώς και βασικά προπτυχιακά μαθήματα Αριθμητικής Ανάλυσης και Διαφορικών Εξισώσεων είναι απαραίτητα για τη βατή ανάγνωση των Κεφαλαίων 1-6 του παρόντος. Σε κάθε περίπτωση, πολλές βασικές έννοιες ΜΔΕ περιέχονται στο Κεφάλαιο 1, ώστε να μην είναι καθοριστικά απαραίτητη η πρότερη παρακολούθηση μαθήματος ΜΔΕ. Ένα προπτυχιακό μάθημα Πραγματικής Ανάλυσης καθώς και ένα, πιθανώς προχωρημένο, μάθημα Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων θεωρούνται ιδανική προετοιμασία για τα Κεφάλαια 7-12. Αν και βασικές έννοιες Πραγματικής και Συναρτησιακής Ανάλυσης παρατίθενται στο σύντομο Παράρτημα Α, πρότερη τριβή με τις έννοιες αυτές είναι χρήσιμη.
Υλοποίηση στον υπολογιστή. Αν και το παρόν σύγγραμμα δεν περιέχει προγράμματα υπολογιστή, πολλά μέρη και ενότητες ασχολούνται εκτεταμένα με την αλγοριθμική φύση και περιγραφή των μεθόδων που παρουσιάζονται. Ως εκ τούτου, οι αναγνώστες προσκαλούνται να υλοποιήσουν στον υπολογιστή (σε γλώσσα της αρεσκείας τους!) όλες τις μεθόδους που εισάγονται και να πειραματιστούν με αυτές. Είναι πολύ δύσκολο να κατανοήσει κανείς πλήρως μια χρήσιμη/πρακτική αριθμητική μέθοδο για ΜΔΕ χωρίς να την υλοποιήσει στον υπολογιστή.
Ευχαριστίες. Ευχαριστώ τους Andrea Cangiani (SISSA, Τεργέστη, Ιταλία), Zhaonan Dong (INRIAParis, Παρίσι, Γαλλία) και Alberto Paganini (University of Leicester, Leicester, Ηνωμένο Βασίλειο) για σημαντικές επισημάνσεις, συμβολές και παρατηρήσεις σε ένα παλαιότερο κείμενο σημειώσεων εξαμηνιαίων μεταπτυχιακών μαθημάτων που (συν)διδάχτηκαν στο Πανεπιστήμιο του Leicester μεταξύ 2008-2022, αλλά και στο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο μεταξύ 2015-2023. Ακόμα, ευχαριστώ τους Βασίλη Γρηγοριάδη, Ιάσονα Καραφύλλη, Γιάννη Κολέτσο, Μιχάλη Λουλάκη και Κωνσταντίνο Χρυσαφίνο, καθώς και τον υποψήφιο διδάκτορα Παναγιώτη Παράσχη (Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Αθήνα, Ελλάδα) για ουσιώδεις γλωσσικές και μαθηματικές παρατηρήσεις στην αρχική ολοκληρωμένη εκδοχή του παρόντος. Είμαι, επίσης, ευγνώμων στον «εν Καλλίπω συναγωνιστή» Βασίλη Γρηγοριάδη για την πολύτιμη συνεργασία του στην κατανόηση, αποκωδικοποίηση και χρήση του X E L A T E Xstyle file της σειράς. Ευχαριστώ, ακόμα, τους φοιτητές και τις φοιτήτριες που παρακολούθησαν τα παραπάνω εξαμηνιαία μεταπτυχιακά μαθήματα και παρείχαν διορθώσεις τυπογραφικής αλλά και μαθηματικής φύσεως σε διάφορες φάσεις της ανάπτυξης του κειμένου.
Τέλος, ευχαριστώ την Ηλέκτρα και την Ειρήνη για την υπομονή τους τις ώρες που δαπανήθηκαν για τη συγγραφή του παρόντος, στις οποίες και το αφιερώνω.
Αθήνα και Εδιμβούργο, Ιανουάριος 2023 | 5 | 14 | κ | Μεταπτυχιακό εγχειρίδιο |
203,997 | row_203997 | paper_A_0002 | 0 | 0 | ΣΥΝΤΟΜΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΜΕΡΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ | 0.04-0.04 | null | 0 | 0 | π | Μεταπτυχιακό εγχειρίδιο |
203,998 | row_203998 | paper_A_0002 | 0 | 0 | Περίληψη | 0.04-0.05 | Στο κεφάλαιο αυτό αναφέρονται βασικά στοιχεία μερικών διαφορικών εξισώσεων (ΜΔΕ), όπως ταξινόμηση των ΜΔΕ, τα προβλήματα Cauchy, Dirichlet, Neumann, Robin, καλή τοποθέτηση, αλλά και βασικές αναλυτικές μέθοδοι επίλυσης και ποιοτικής θεωρίας, όπως μέθοδος των χαρακτηριστικών, χωρισμός μεταβλητών, η μέθοδος της ενέργειας, η αρχή του μεγίστου κ.ά. Επίσης, αναφέρονται επιγραμματικά αποτελέσματα ύπαρξης και μοναδικότητας ΜΔΕ. Ο βασικός σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να εστιάσει σε σημαντικές ιδιότητες προβλημάτων ΜΔΕ που θα αποδειχθούν χρήσιμες στον σχεδιασμό και στην κατανόηση των αριθμητικών μεθόδων που θα παρουσιαστούν στα επόμενα κεφάλαια.
ΠροαπαιτούμενηΓνώση: ΒασικάπροπτυχιακάμαθήματαΓραμμικήςΆλγεβρας,ΑπειροστικούΛογισμούκαι Διαφορικών Εξισώσεων.
Μια Μερική Διαφορική Εξίσωση (ΜΔΕ) (Partial Differential Equation (PDE)) ή διαφορική εξίσωση με μερικές παραγώγους είναι μια εξίσωση που εμπλέκει μερικές παραγώγους μιας άγνωστης συνάρτησης δύο ή περισσοτέρων μεταβλητών. Οι μερικές διαφορικές εξισώσεις έχουν θεμελιώδη σημασία στα εφαρμοσμένα μαθηματικά και τη φυσική, αλλά έχουν βρει εφαρμογές σε πολύ διαφορετικούς κλάδους, από τα οικονομικά ως την προτυποποίηση βιολογικών συστημάτων.
Ορισμός 1.1. Έστω ανοιχτό σύνολο Ω ⊂ R d , το οποίο θα ονομάζουμε πεδίο ορισμού , για d ∈ N (τη διάσταση ), και έστω, επίσης, x = ( x 1 , x 2 , . . . , x d ) ⊤ ∈ Ω . Θεωρούμε (άγνωστη) συνάρτηση u : Ω → R , της οποίας οι μερικές παράγωγοι έως και k ∈ N τάξης:
∂u ∂x 1 , ∂u ∂x 2 , . . . , ∂u ∂x d , ∂u 2 ∂x 2 1 , ∂u 2 ∂x 2 2 , . . . , ∂u 2 ∂x 2 d , ∂ 2 u ∂x 1 ∂x 2 , . . . , ∂ 2 u ∂x 1 ∂x d ,
Γεωργούλης, Ε. Χ. «Αριθμητική Ανάλυση Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων» Copyright© 2024, ΣΕΑΒ/ΕΛΚΕ ΕΜΠ - ΚΑΛΛΙΠΟΣ, ΑΝΟΙΚΤΕΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΕΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ
. . . , ∂u k ∂x k 1 , ∂u k ∂x k 2 , . . . , ∂u k ∂x k d , ∂u k ∂x k -1 1 ∂x 2 , . . . , ∂u k ∂x d -1 ∂x k -1 d υπάρχουν. Μια Μερική Διαφορική Εξίσωση (ΜΔΕ) k τάξης στο d -διάστατο χωρίο Ω είναι μια εξίσωση της μορφής
με την F δεδομένη συνάρτηση.
F ( x, u, ∂u ∂x 1 , ∂u ∂x 2 , . . . , ∂u ∂x d , . . . , ∂u k ∂x d -1 ∂x k -1 d ) = 0 , (1.1)
Το σύνολο όλων των συναρτήσεων u : Ω ⊂ R d → R που ικανοποιούν την (1.1), των οποίων ορίζονται οι μερικές παράγωγοι έως και k ∈ N τάξης, ονομάζεται γενική λύση της ΜΔΕ (1.1).
Παράδειγμα 1.2. Παραθέτουμε μερικά παραδείγματα ΜΔΕ.
α. Έστω x = ( x 1 , x 2 ) ∈ R 2 και συνάρτηση u : R 2 → R . Η εξίσωση είναι μια ΜΔΕ πρώτης τάξης στον R 2 .
β. Έστω u : (0 , 1) 3 → R . Η εξίσωση
∆ u ≡ ∂ 2 u ∂x 2 + ∂ 2 u ∂y 2 + ∂ 2 u ∂z 2 = f ( x, y, z ) , για μια γνωστή f : (0 , 1) 3 → R είναι ΜΔΕ δεύτερης τάξης στο τρισδιάστατο (0 , 1) 3 · είναι γνωστή ως εξίσωση Poisson .
γ. Έστω u : R 3 → R . Η εξίσωση
∂u ∂t = ∂ 2 u ∂x 2 + ∂ 2 u ∂y 2
είναι ΜΔΕ δεύτερης τάξης στον τρισδιάστατο R 3 · είναι γνωστή και ως εξίσωση θερμότητας .
δ. Έστω u : R 2 → R . Η εξίσωση είναι ΜΔΕ δεύτερης τάξης στον R 2 · είναι γνωστή και ως εξίσωση Monge-Ampère .
∂ 2 u ∂x 2 ∂ 2 u ∂y 2 -( ∂ 2 u ∂x∂y ) 2 = 0
Λόγω της σημασίας τους στην προτυποποίηση, θα αναφερθούμε κυρίως σε ΜΔΕ στις 2 , 3 ή 4 διαστάσεις. Πολλές φορές θα χρησιμοποιούμε τον κλασικό συμβολισμό ( x, y ) , ( t, x ) , ( x, y, z ) ή ( t, x, y ) , ( t, x, y, z ) για διδιάστατα, τριδιάστατα ή και τετραδιάστα διανύσματα αντίστοιχα. Όταν χρησιμοποιούμε το σύμβολο t για μια ανεξάρτητη μεταβλητή, αυτή θα συμβολίζει «χρόνο». Σε κάθε περίπτωση, αρκετές από τις ιδιότητες και μεθόδους που θα παρουσιαστούν παρακάτω αφορούν και προβλήματα σε d διαστάσεις για d > 3 .
Επίσης, συχνά θα συμβολίζουμε και μερικές παραγώγους ως δείκτες για συντομία π.χ. u x , u y , u xx , u xy θα συμβολίζουν τις ∂u ∂x , ∂u ∂y , ∂ 2 u ∂x 2 , ∂ 2 u ∂x∂y , αντίστοιχα.
Παράδειγμα 1.3. Αναζητούμε τη γενική λύση της στον R 2 . Ολοκληρώνοντας ως προς x 1 , βρίσκουμε
u ( x 1 , x 2 ) = x 4 1 4 + f ( x 2 ) , (1.2)
για κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R → R μίας μεταβλητής.
Ηεύρεση γενικής λύσης μιας ΜΔΕ είναι, συνήθως, πολύ δυσκολότερη υπόθεση από ό,τι ίσως να υπαινίσσεται η διαδικασία εύρεσης της (1.2). Έστω π.χ. η ΜΔΕ
∂u ∂x 1 + ∂u ∂x 2 = 0 .
Προφανώς, κάθε σταθερή συνάρτηση ικανοποιεί αυτήν την εξίσωση, αλλά δεν είναι λύσεις μόνο οι σταθερές συναρτήσεις: η γενική λύση είναι u ( x 1 , x 2 ) = f ( x 2 -x 1 ) για κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R → R μίας μεταβλητής. Η γενική λύση αυτή δεν υπολογίζεται μέσω μιας απλής ολοκλήρωσης στην κατεύθυνση κάποιας μεταβλητής. Πολλές φορές δε είναι αδύνατο να υπολογίσουμε γενικές λύσεις ΜΔΕ, είτε ως κλειστούς τύπους είτε γενικότερα, ακόμα κι αν γνωρίζουμε ότι έχουν λύση. | 9 | 27 | κ | Μεταπτυχιακό εγχειρίδιο |
203,999 | row_203999 | paper_A_0002 | 0 | 1 | 1.1 Ταξινόμηση ΜΔΕ | 0.05-0.05 | Η ταξινόμηση των ΜΔΕ σε διάφορες οικογένειες είναι χρήσιμη για τη μελέτη κοινών ιδιοτήτων τους. Υπάρχουν πολλές και ποικίλες ταξινομήσεις για ΜΔΕ. Η γενικότερη είναι η διάκριση μεταξύ γραμμικών και μη γραμμικών ΜΔΕ.
Ορισμός 1.4. Εάν η ΜΔΕ (1.1) μπορεί να γραφτεί στη μορφή a ( x ) u + b 1 ( x ) u x 1 + b 2 ( x ) u x 2 + · · · + b d ( x ) u x d + c 1 ( x ) u x 1 x 1 + · · · + c 2 ( x ) u x 1 x 2 + · · · + c d 2 ( x ) u x d x d + · · · = f ( x ) (1.3)
(δηλ. αν οι συντελεστές της λύσης u και όλων των μερικών της παραγώγων που εμφανίζονται στην εξίσωση εξαρτώνται μόνο απότιςελεύθερεςμεταβλητές x = ( x 1 , x 2 , . . . , x d ) ), τότε αυτή ονομάζεται γραμμικήΜΔΕ . Αν δεν είναι δυνατό να γραφτεί η (1.1) στη μορφή (1.3), τότε θα αναφέρεται ως μη γραμμική ΜΔΕ .
Οι ΜΔΕ α., β. και γ. στο Παράδειγμα 1.2 είναι γραμμικές ΜΔΕ, ενώ η δ. είναι μη γραμμική.
Οι γραμμικές ΜΔΕ έχουν την εξής θεμελιώδη ιδιότητα: αν f ( x ) = 0 (δηλ. αν είναι ομογενείς όπως λέμε,) τότε ο γραμμικός συνδυασμός διαφορετικών λύσεων της ΜΔΕ είναι και αυτός λύση. Με άλλα λόγια, η γενική λύση μιας ομογενούς γραμμικής εξίσωσης είναι ένας γραμμικός χώρος .
Ηοικογένεια των μη γραμμικών ΜΔΕ μπορεί να υποδιαιρεθεί περαιτέρω.
Ορισμός 1.5. Έστω μη γραμμική ΜΔΕ τάξης με λύση
- · Αν οι συντελεστές των μερικών παραγώγων k τάξης της u είναι συναρτήσεις μόνο των ελεύθερων μεταβλητών x = ( x 1 , x 2 , . . . , x d ) , τότε η εξίσωση αναφέρεται ως ημιγραμμική ΜΔΕ (semilinear PDE) .
- · Αν οι συντελεστές των μερικών παραγώγων k τάξης της u είναι συναρτήσεις μόνο των ελεύθερων μεταβλητών x = ( x 1 , x 2 , . . . , x d ) ή/και των μερικών παραγώγων της u μέχρι τάξης το πολύ k -1 (συμπεριλαμβανομένης και της u καθεαυτής ως παραγώγου της u μηδενικής τάξης), τότε η εξίσωση αναφέρεται ως σχεδόν γραμμική ΜΔΕ (quasilinear PDE) .
- · ΑνμιαμηγραμμικήΜΔΕδενείναισχεδόνγραμμική,τότεθααναφέρεταιως πλήρως μη γραμμική (fully nonlinear PDE) .
Προφανώς, μια ημιγραμμική ΜΔΕ είναι και σχεδόν γραμμική.
Παράδειγμα 1.6. Παραθέτουμε μερικά παραδείγματα.
- α. Η εξίσωση του Fisher, γνωστή και ως εξίσωση KPP εκ των Kolmogorov, Petrovsky και Piskunov
u t = Du xx + ru (1 -u ) , για D,r θετικές σταθερές, είναι ημιγραμμική ΜΔΕ. | 5 | 14 | κ | Μεταπτυχιακό εγχειρίδιο |
204,000 | row_204000 | paper_A_0002 | 0 | 0 | β. Hεξίσωση του Burgers | 0.05-0.05 | είναι σχεδόν γραμμική αλλά όχι ημιγραμμική ΜΔΕ.
γ. Ηεξίσωση του Korteweg-de Vries (KdV)
u t + uu x + u xxx = 0
είναι ημιγραμμική ΜΔΕ.
δ. Ηεξίσωση Monge-Ampère u xx u yy -( u xy ) 2 = 0
είναι πλήρως μη γραμμική ΜΔΕ.
Ηπαραπάνω ταξινόμηση των ΜΔΕ σε γραμμικές, ημιγραμμικές, σχεδόν γραμμικές και πλήρως μη γραμμικές είναι κατά μια έννοια ταξινόμηση «αυξανόμενης δυσκολίας» ως προς τη μελέτη και την επίλυσή τους. | 2 | 7 | κ | Μεταπτυχιακό εγχειρίδιο |
204,001 | row_204001 | paper_A_0002 | 0 | 1 | Άσκηση 1. Ταξινομήστε τις παρακάτω ΜΔΕ: | 0.05-0.05 | - α. u xxxx +2 u xxyy + u yyyy = f ( x, y ) , με u ≡ u ( x, y ) , γνωστή και ως διαρμονική εξίσωση,
β. u tt -u xx + sin u = 0 , με u ≡ u ( t, x ) , γνωστή και ως εξίσωση sine-Gordon,
- γ. u t = ( u n u x ) x , με u ≡ u ( t, x ) και n ∈ N , γνωστή και ως εξίσωση πορώδους μέσου. | 1 | 3 | κ | Μεταπτυχιακό εγχειρίδιο |
204,002 | row_204002 | paper_A_0002 | 0 | 0 | 1.2 Εξισώσεις πρώτης τάξης: μέθοδος των χαρακτηριστικών | 0.05-0.08 | Μια διαδικασία επίλυσης κάποιων ΜΔΕ είναι η μέθοδος των χαρακτηριστικών, την οποία και περιγράφουμε σε αυτήν την ενότητα. Για ευκολία, θα θεωρήσουμε σχεδόν γραμμικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Ξεκινούμε με ένα παράδειγμα.
Παράδειγμα 1.7. Έστω η ΜΔΕ στον R 2
u x + u y = 0 . (1.4)
Δεν είναι δύσκολο να δούμε ότι η (1.4) γράφεται και ως (1 , 1) ⊤ · ∇ u = 0 , δηλ. η u είναι σταθερή στην κατεύθυνση (1 , 1) .
Ηπαραπάνωπαρατήρησημαςδίνειτηνιδέα να θεωρήσουμε αλλαγή συντεταγμένων ικανή να απλοποιήσει πιθανώς την εξίσωση (1.7). Συγκεκριμένα, θεωρούμε το εξής νέο σύστημα συντεταγμένων ( ξ, η ) ∈ R 2 :
( x, y ) → ( ξ, η ) , με ξ ( x, y ) = x + y και η ( x, y ) = y -x ·
με άλλα λόγια, θεωρούμε το διανυσματικό πεδίο F : R 2 → R 2 με
F ( x, y ) = ( ξ ( x, y ) , η ( x, y )) = ( x + y, y -x ) .
Παρατηρώντας ότι το F είναι ένα προς ένα και επί, καθώς η Ιακωβιανή ορίζουσα det ∂ ( ξ, η ) ∂ ( x, y ) = ∣ ∣ ∣ ξ x ξ y η x η y ∣ ∣ ∣ = ξ x η y -ξ y η x = 1 = 0 ,
μπορούμε να υπολογίσουμε την αντίστροφη αλλαγή συντεταγμένων ( ξ, η ) → ( x, y ) , παίρνοντας x = 1 2 ( ξ -η ) και y = 1 2 ( ξ + η ) ή F -1 ( ξ, η ) = ( 1 2 ( ξ -η ) , 1 2 ( ξ + η ) ) .
Υπολογίζουμε, τώρα, την (1.4) στο νέο σύστημα συντεταγμένων: θέτοντας v ( ξ, η ) := u ( x ( ξ, η ) , y ( ξ, η )) , έχουμε u x = v ξ ξ x + v η η x = v ξ -v η , u y = v ξ ξ y + v η η y = v ξ + v η
και, άρα, η (1.4) δίνει
0 = u x + u y = v ξ -v η + v ξ + v η = 2 v ξ ή v ξ = 0 . (1.5)
Ολοκληρώνοντας την τελευταία ως προς ξ , καταλήγουμε στη v ( ξ, η ) = f ( η ) , που ισχύει για κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R → R μίας μεταβλητής. Άρα, μια οικογένεια λύσεων της (1.4) δίνεται από τις u ( x, y ) = v ( ξ ( x, y ) , η ( x, y )) = f ( η ( x, y )) = f ( y -x ) .
Συνεπώς, η παραπάνω αλλαγή συντεταγμένων, που επέφερε στροφή των αξόνων κατά π 4 , μετέτρεψε την (1.4) στην (1.5). Η τελευταία έχει την εξής γεωμετρική ερμηνεία: η v είναι σταθερή στην κατεύθυνση ξ , δηλ. η u παραμένει σταθερή αν κινηθούμε πάνω σε ευθείες της μορφής y = x + c , για κάθε σταθερά c ∈ R . Άρα, αν γνωρίζουμε την τιμή της u σε ένα σημείο, έστω ( x 0 , y 0 ) , είμαστε σε θέση να γνωρίζουμε και την τιμή της u σε κάθε σημείο της ευθείας y -y 0 = x -x 0 , δηλ. της ευθείας που διέρχεται από το ( x 0 , y 0 ) και έχει κλίση 1/1 = 1 . Οι ευθείες, λοιπόν, αυτές ονομάζονται χαρακτηριστικές , καθώς περιέχουν όλες τις απαραίτητες πληροφορίες για να οριστεί πλήρως η λύση u .
Ας δούμε τώρα πώς μπορούμε να γενικεύσουμε την παραπάνω ιδέα για σχεδόν γραμμικές ΜΔΕ πρώτης τάξης, των οποίων η γενική μορφή δίνεται από a 1 ( x , u ) u x 1 + · · · + a d ( x , u ) u x d + c ( x , u ) = 0 , (1.6)
για x = ( x 1 , . . . , x d ) ∈ Ω ⊂ R d , d ∈ N , για συνεχώς παραγωγίσιμες συναρτήσεις a i , c : Ω × R → R , i = 1 , . . . , d . Όπως παραπάνω, παρατηρούμε ότι η (1.6) γράφεται και ως a ( x , u ) · ∇ u + c ( x , u ) = 0 , για a ( x , u ) := ( a 1 ( x , u ) , . . . , a d ( x , u ) ) ⊤ .
Έστω τώρα καμπύλη x ≡ x ( s ) του Ω σε παραμετρική μορφή με παράμετρο s ∈ I ⊂ Ω , τέτοια ώστε d x ( s ) d s = a ( x ( s ) , u ( x ( s ))) , s ∈ I. (1.7)
Θέτοντας z ( s ) := u ( x ( s )) , s ∈ I , η (1.7) και η ΜΔΕ πάνω στην καμπύλη x ( s ) μας δίνουν
0 = d x ( s ) d s · ∇ u + c ( x ( s ) , z ( s )) = d z ( s ) d s + c ( x ( s ) , z ( s )) , (1.8)
χρησιμοποιώντας τον κανόνα της αλυσίδας στην τελευταία ισότητα. Άρα, καταλήγουμε στο σύστημα συνήθωνδιαφορικώνεξισώσεων(ΣΔΕ)(1.7),(1.8),πουείναιγνωστέςκαιως χαρακτηριστικές εξισώσεις . Οι λύσεις του παραπάνω συστήματος ΣΔΕ ονομάζονται και χαρακτηριστικές (καμπύλες) . Οι λύσεις της (1.7) ονομάζονται και προβεβλημένες χαρακτηριστικές .
Παράδειγμα 1.8. Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο των χαρακτηριστικών για να βρείτε λύσεις της ΜΔΕ
u x -u y + u = x για ( x, y ) ∈ R 2 .
Λύση. Η(1.7) δίνει, για s ∈ R , x ' ( s ) = 1 , y ' ( s ) = -1 και, άρα, x ( s ) = s + C 1 , y ( s ) = -s + C 2 ,
για C 1 , C 2 ∈ R . Συνεπώς, οι ευθείες της μορφής y = -x + C , για κάθε C ∈ R είναι οι προβεβλημένες χαρακτηριστικές της εξίσωσης αυτής. Ορίζοντας, τώρα, ξ ( x, y ) := x + y και π.χ. η ( x, y ) := x
ή οποιαδήποτε άλλη νέα μεταβλητή για την οποία ισχύει det ∂ ( ξ,η ) ∂ ( x,y ) = 0 , παίρνουμε u x = v ξ ξ x + v η η x = v ξ + v η , u y = v ξ ξ y + v η η y = v ξ ,
v η + v = η και, άρα, ( e η v ) η = e η η ή e η v = e η ( η -1) + f ( ξ ) , για κάθε f ∈ C 1 ( R ) . Καταλήγουμε στην οικογένεια λύσεων
v = η -1 + e -η f ( ξ ) και, άρα, u ( x, y ) = x -1 + e -x f ( x + y ) . (1.9)
Αν και φτάσαμε ήδη σε λύσεις, αξίζει να παρατηρήσουμε και τη σημασία της εξίσωσης (1.8), η οποία στην περίπτωση αυτή δίνει (για c ( x, u ) = u -x )
z ' ( s ) + z ( s ) = x ( s ) με z ( s ) ≡ u ( x ( s ) , y ( s )) , που μπορούμε να αντιπαραβάλουμε με την (1.9).
Παράδειγμα 1.9. Δείξτε ότι οι προβεβλημένες χαρακτηριστικές της ΜΔΕ
u t + ( F ( u ) ) x = 0 , για t > 0 και x ∈ R , (1.10)
είναι ευθείες στο ημιεπίπεδο ( t, x ) ανη F : R → R είναι συνεχώς παραγωγίσιμη συνάρτηση. ΗΜΔΕ(1.10) είναι η αρχέτυπη μορφή εξίσωσης που απαντάται όταν προτυποποιούμε Νόμoυς Διατήρησης στη φυσική, π.χ. μάζα, ορμή, κ.τ.λ.
Λύση. Γράφοντας την εξίσωση ως u t + F ' ( u ) u x = 0 , από τις (1.7) και (1.8) παίρνουμε, για s ∈ R , t ' ( s ) = 1 , x ' ( s ) = F ' ( z ( s )) και z ' ( s ) = 0 . (1.11)
(Υπενθ. z ( s ) := u ( t ( s ) , x ( s )) .) Άρα, z ( s ) = C 1 , για C 1 ∈ R και, συνεπώς, x ( s ) = F ' ( C 1 ) s + C 2 . Αφού έχουμε ακόμα t ( s ) = s + C 3 , καταλήγουμε ότι οι ευθείες της μορφής x = c 1 t + c 2 για κάποια c 1 , c 2 είναι οι προβεβλημένες χαρακτηριστικές της εξίσωσης αυτής. Παρατηρούμε, όμως, ότι η κλίση των ευθειών αυτών εξαρτάται από την τιμή της u σε ένα σημείο τους. Άρα, όπως θα δούμε παρακάτω, υπάρχει το ενδεχόμενο αυτές οι προβεβλημένες χαρακτηριστικές να τέμνονται!
Ας προσπαθήσουμε να κατανοήσουμε περαιτέρω την κεντρική αυτή ιδέα των χαρακτηριστικών και το πώς μπορούμε να τις χρησιμοποιήσουμε στην πράξη για να βρούμε λύσεις ΜΔΕ. Για τον σκοπό αυτό θεωρούμε το χωρίο Ω ⊂ R 2 , δηλ. ένα ανοιχτό και συνεκτικό σύνολο. Στο Ω θεωρούμε τη γραμμική εξίσωση πρώτης τάξης σε δυο μεταβλητές au x + bu y + cu = f, (1.12)
όπου a, b, c, f : Ω → R γνωστές συναρτήσεις και u : Ω → R η ζητούμενη λύση. Υποθέτουμε, επίσης, ότι οι συντελεστές a, b είναι συνεχώς παραγωγίσιμες συναρτήσεις οι οποίες δεν μηδενίζονται ταυτόχρονα σε κανένα σημείο του Ω . Τέλος, υποθέτουμε ακόμα ότι κάθε λύση u της (1.12) έχει συνεχείς πρώτες μερικές παραγώγους.
Ο σκοπός μας είναι να ορίσουμε έναν κατάλληλο μετασχηματισμό (νέο σύστημα συντεταγμένων) στο Ω , τέτοιο ώστε να απλοποιεί κατάλληλα την (1.12). Έστω, λοιπόν, νέο σύστημα συντεταγμένων ( x, y ) ↔ ( ξ, η ) με ξ ≡ ξ ( x, y ) και η ≡ η ( x, y ) , το οποίο υποθέτουμε ότι είναι αρκούντως ομαλό (δηλ. υπάρχουν όλες οι μερικές παράγωγοι των ξ και η για να ορίζονται καλώς οι παρακάτω πράξεις) και μη ιδιόμορφο, δηλ.
με άλλα λόγια, το διανυσματικό πεδίο F ( x, y ) := ( ξ ( x, y ) , η ( x, y )) απεικονίζει το Ω στο Ω αμφιμονοσήμαντα. Αφού ισχύει η (1.13), ορίζεται και η αντίστροφη απεικόνιση, δηλ. οι x ≡ x ( ξ, η ) και y ≡ y ( ξ, η ) είναι συναρτήσεις. Θέτοντας v ( ξ, η ) = u ( x ( ξ, η ) , y ( ξ, η )) , ο κανόνας της αλυσίδας δίνει det ∂ ( ξ, η ) ∂ ( x, y ) := ∣ ∣ ∣ ξ x ξ y η x η y ∣ ∣ ∣ = ξ x η y -ξ y η x = 0 στο Ω · (1.13)
u x = v ξ ξ x + v η η x , u y = v ξ ξ y + v η η y , όποτε αντικαθιστώντας στην (1.12), παίρνουμε
( aξ x + bξ y ) v ξ +( aη x + bη y ) v η + cv = f ( x ( ξ, η ) , y ( ξ, η )) . (1.14)
Απαιτώντας, τώρα, η η ( x, y ) να είναι τέτοια ώστε aξ x + bξ y = 0 , ή ( a, b ) ⊤ · ∇ ξ = 0 , (1.15)
η (1.14) εκφυλίζεται σε συνήθη διαφορική εξίσωση ως προς τη μεταβλητή ξ . Για να κατασκευάσουμε την η , επιστρέφουμε στην (1.7), η οποία μας δίνει την παραμετρική αναπαράσταση των (προβεβλημένων) χαρακτηριστικών d x ( s ) d s = a ( x ( s ) , y ( s )) και d y ( s ) d s = b ( x ( s ) , y ( s )) .
Χρησιμοποιώντας τις τελευταίες εξισώσεις στην (1.14), παίρνουμε
0 = ξ x ( x ( s ) , y ( s )) d x ( s ) d s + ξ y ( x ( s ) , y ( s )) d y ( s ) d s = d ξ ( x ( s ) , y ( s )) d s .
Με άλλα λόγια, η συνάρτηση ξ = ξ ( x, y ) έχει ως ισοϋψείς καμπύλες (δηλ. ξ ( x, y ) = C ∈ R ) τις προβεβλημένες χαρακτηριστικές. Η μη-ιδιομορφία της αλλαγής μεταβλητών (1.13) συνεπάγεται ότι ξ x ξ y = 0 . Άρα,απότοΘεώρημαΠεπλεγμένηςΣυνάρτησηςσυνεπάγεται,τοπικάτουλάχιστον,μιααπότιςδυοεξισώσεις d y d x = -ξ x ξ y ή d x d y = -ξ y ξ x , (1.16)
από τις οποίες μπορεί να προκύψει τοπική αναπαράσταση της ξ ( x, y ) = C , είτε ως y = g ( x ) αν ξ y = 0 είτε ως x = g ( y ) αν ξ x = 0 , για κάποια συνάρτηση g μιας μεταβλητής. Τώρα, από την (1.15) παίρνουμε a ξ x ξ y + b = 0 , ή a + b ξ y ξ x = 0 ,
αντίστοιχα. Χρησιμοποιώντας την (1.16), καταλήγουμε στην επονομαζόμενη χαρακτηριστική εξίσωση d y d x = b a ή d x d y = a b , (1.17)
αντίστοιχα. Η (1.17) είναι μια συνήθης διαφορική εξίσωση της οποίας η επίλυση, π.χ. με χωρισμό μεταβλητών, μπορεί να δώσει λύση της μορφής G ( x, y ) = C ∈ R . Θέτοντας ξ = G ( x, y ) και η οποιαδήποτεσυνάρτηση που να ικανοποιεί την (1.13), καταλήγουμε ότι η (1.15) ισχύει επίσης. Άρα, η ΜΔΕ (1.6) μπορεί να γραφτεί και ως
( aη x + bη y ) v η + cv = g ( x ( ξ, η ) , y ( ξ, η )) ή v ξ + c ( aη x + bη y ) v = f ( aη x + bη y ) , αν ξ y = 0 και αντίστοιχα αν ξ x = 0 , δηλ. μια συνήθης διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης για εύρεση της v ( ξ, η ) και, άρα, της u ( x, y ) . Η παραπάνω διαδικασία εύρεσης λύσης είναι μια ειδική περίπτωση της μεθόδου των χαρακτηριστικών για γραμμικές εξισώσεις πρώτης τάξης.
Παράδειγμα 1.10. Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο των χαρακτηριστικών για να λύσετε την εξίσωση yu x -xu y + yu = xy για y = 0 .
Λύση. Ηχαρακτηριστική εξίσωση (1.17) στην περίπτωση αυτή δίνει d y d x = -x y ή ∫ y d y = -∫ x d x ή y 2 2 = -x 2 2 + C, για y = 0 ,
για C ∈ R . Θέτοντας, τώρα, ξ ( x, y ) := x 2 + y 2 2 ,
και αν π.χ., επίσης, η ( x, y ) := x , τότε έχουμε det ∂ ( ξ, η ) ∂ ( x, y ) = ξ x η y -ξ y η x = x × 0 + y × 1 = y = 0 .
Άρα, η αλλαγή μεταβλητών ( x, y ) ↔ ( ξ, η ) είναι μη ιδιόμορφη και ομαλή. Ο αντίστροφος μετασχηματισμός δίνεται από που δίνει τη μετασχηματισμένη εξίσωση
x ( ξ, η ) = η και y ( ξ, η ) = { √ 2 ξ -η 2 , αν y > 0 , -√ 2 ξ -η 2 , αν y < 0 , v η + v = x ( ξ, η ) = η.
Από την τελευταία παίρνουμε
( e η v ) η = η e η ή v = η -1 + f ( ξ ) e -η , για κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση f μιας μεταβλητής, που δίνει τις λύσεις
u ( x, y ) = v ( ξ ( x, y ) , η ( x, y )) = η ( x, y ) -1 + f ( ξ ( x, y )) = x -1 + f ( x 2 + y 2 2 ) e -x .
Άσκηση 2. Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο των χαρακτηριστικών για να βρείτε λύσεις των εξισώσεων: α. u x -2 u y = 0 , για u : R 2 → R ,
β. u x +2 u y +3 u z = 0 , για u : R 3 → R . | 20 | 61 | κ | Μεταπτυχιακό εγχειρίδιο |
204,003 | row_204003 | paper_A_0002 | 0 | 1 | 1.3 Γραμμικές εξισώσεις δεύτερης τάξης | 0.08-0.08 | Προχωρούμε σε μια εν συντομία μελέτη γραμμικών ΜΔΕ δεύτερης τάξης, την οποία για ευκολία θα παρουσιάσουμε για d = 2 αρχικά, πριν γενικεύσουμε σε περισσότερες.
Ηγενική μορφή αυτών των ΜΔΕ για d = 2 δίνεται από au xx +2 bu xy + cu yy + du x + eu y + fu = g, για ( x, y ) ∈ Ω ⊂ R 2 , (1.18)
όπου Ω χωρίο και a, b, c, d, e, f, g : Ω → R . Για να έχουν νόημα οι παρακάτω υπολογισμοί, υποθέτουμε ακόμα ότι a, b, c ∈ C 2 (Ω) και ότι δεν μηδενίζονται ταυτόχρονα σε κανένα σημείο του Ω . Τέλος, υποθέτουμε ότι κάθε λύση u της (1.18) είναι δυο φορές συνεχώς παραγωγίσιμη.
Θα ταξινομήσουμε τις ΜΔΕ της μορφής (1.18) με βάση το πρόσημο της διακρίνουσας D : Ω → R που ορίζεται ως
Ορισμός 1.11. Θεωρούμε τη ΜΔΕ (1.18) σε ένα σημείο ( x 0 , y 0 ) ∈ Ω .
- · Αν D ( x 0 , y 0 ) > 0 , λέμε ότι η ΜΔΕ είναι υπερβολική στο ( x 0 , y 0 ) .
- · Αν D ( x 0 , y 0 ) = 0 , λέμε ότι η ΜΔΕ είναι παραβολική στο ( x 0 , y 0 ) .
- · Αν D ( x 0 , y 0 ) < 0 , λέμε ότι η ΜΔΕ είναι ελλειπτική στο ( x 0 , y 0 ) .
ΗΜΔΕθαχαρακτηρίζεται ως υπερβολική, παραβολική ή ελλειπτική στο χωρίο Ω αν είναι υπερβολική, παραβολική ή ελλειπτική, αντίστοιχα, σε κάθε ( x, y ) ∈ Ω και ο χαρακτηρισμός αυτός θα αναφέρεται ως τύπος της ΜΔΕ. | 3 | 9 | κ | Μεταπτυχιακό εγχειρίδιο |
204,004 | row_204004 | paper_A_0002 | 0 | 1 | Παράδειγμα 1.12. Παραθέτουμε μερικά παραδείγματα. | 0.08-0.09 | - α. Η κυματική εξίσωση
είναι υπερβολική στο R 2 , καθώς D = 1 > 0 για κάθε ( t, x ) ∈ R 2 .
β. Η εξίσωση θερμότητας είναι παραβολική στο R 2 , καθώς D = 0 για κάθε ( t, x ) ∈ R 2 .
γ. Η εξίσωση του Laplace είναι ελλειπτική R 2 , καθώς D = -1 < 0 για κάθε ( x, y ) ∈ R 2 .
δ. ΗΜΔΕ,πουαναφέρεται στη βιβλιογραφία και ως εξίσωση του Grušin: είναι ελλειπτική στο { ( x, y ) ∈ R 2 : x = 0 } και παραβολική στο { ( x, y ) ∈ R 2 : x = 0 } , καθώς D = -x 2 .
ε. Ηεξίσωση του Tricomi είναι ελλειπτική στο { ( x, y ) ∈ R 2 : y > 0 } , παραβολική στο { ( x, y ) ∈ R 2 : y = 0 } και υπερβολική στο { ( x, y ) ∈ R 2 : y < 0 } , καθώς D = -y .
Το παρακάτω αποτέλεσμα ενισχύει τη σημασία του πρoσήμου της διακρίνουσας ως αναλλοίωτης.
Θεώρημα 1.13. Το πρόσημο της διακρίνουσας D μιας γραμμικής ΜΔΕ δεύτερης τάξης της μορφής (1.18) σε χωρίο Ω ⊂ R 2 είναι αναλλοίωτη ποσότητα ως προς μη ιδιόμορφες και δυο φορές συνεχώς παραγωγίσιμες αλλαγές μεταβλητών.
Απόδειξη. Έστω η αλλαγή μεταβλητών ( x, y ) ↔ ( ξ, η ) του Ω , με ξ = ξ ( x, y ) και η = η ( x, y ) δυο φορές συνεχώς παραγωγίσιμες, τέτοιες ώστε det ∂ ( ξ, η ) ∂ ( x, y ) = ξ x η y -ξ y η x = 0 (1.19)
στο Ω . Θα γράψουμε την (1.18) ως προς τις μεταβλητές ξ, η χρησιμοποιώντας τον κανόνα της αλυσίδας. Θέτουμε v ( ξ, η ) := u ( x ( ξ, η ) , y ( ξ, η )) και παίρνουμε u x = v ξ ξ x + v η η x , u y = v ξ ξ y + v η η y , (1.20)
u xx = v ξξ ξ 2 x +2 v ξη ξ x η x + v ηη η 2 x + v ξ ξ xx + v η η xx , u yy = v ξξ ξ 2 y +2 v ξη ξ y η y + v ηη η 2 y + v ξ ξ yy + v η η yy , (1.21) u xy = v ξξ ξ x ξ y + v ξη ( ξ x η y + ξ y η x ) + v ηη η x η y + v ξ ξ xy + v η η xy .
Χρησιμοποιώντας τις (1.20) και (1.21) στην (1.18), τελικά παίρνουμε
Av ξξ +2 Bv ξη + Cv ηη + Dv ξ + Ev η + fv = g, (1.22)
A = aξ 2 x +2 bξ x ξ y + cξ 2 y , B = aξ x η x + b ( ξ x η y + ξ y η x ) + cξ y η y , C = aη 2 x +2 bη x η y + cη 2 y , (1.23) D = aξ xx +2 bξ xy + cξ yy + dξ x + eξ y , E = aη xx +2 bη xy + cη yy + dη x + eη y .
Παρατηρώντας την ταυτότητα
( A B B C ) = ( ξ x ξ y η x η y )( a b b c )( ξ x ξ y η x η y ) ⊤ , μπορούμε να υπολογίσουμε άμεσα τη διακρίνουσα της (1.22), παίρνοντας
B 2 -AC =( b 2 -ac ) ( ∂ ( ξ, η ) det ∂ ( x, y ) ) 2 . (1.24)
Άρα, η διακρίνουσα B 2 -AC της (1.22) έχει πάντα το ίδιο πρόσημο με τη διακρίνουσα b 2 -ac της (1.18).
Το προηγούμενο θεώρημα μας παροτρύνει να χρησιμοποιήσουμε αλλαγή μεταβλητών για να μελετήσουμε τις ιδιότητες των γραμμικών ΜΔΕ δεύτερης τάξης. Όπως θα δούμε παρακάτω, χρησιμοποιώντας κατάλληλες αλλαγές μεταβλητών μπορούμε να γράψουμε την (1.18) σε απλούστερη μορφή, τουλάχιστον τοπικά, τη λεγόμενη κανονική μορφή . Σε μερικές περιπτώσεις, όμως, χρησιμοποιώντας κατάλληλες αλλαγές μεταβλητών μπορούμε και να βρούμε ολόκληρες οικογένειες λύσεων της (1.18). | 6 | 19 | κ | Μεταπτυχιακό εγχειρίδιο |
204,005 | row_204005 | paper_A_0002 | 0 | 0 | Παράδειγμα 1.14. Θεωρούμε την κυματική εξίσωση | 0.09-0.09 | η οποία, όπως είδαμε παραπάνω, είναι υπερβολική στο R 2 . Έστω, τώρα, η αλλαγή μεταβλητών του R 2
( x, y ) ↔ ( ξ, η ) , με ξ = x + y και η = x -y, η οποία είναι προφανώς ομαλή και μη ιδιόμορφη, καθώς ∂ ( ξ,η ) ∂ ( x,y ) = -2 = 0 στο R 2 . Υπολογίζουμε τη μετασχηματισμένη εξίσωση (1.22), για την περίπτωσή μας, λαμβάνοντας
4 v ξη = 0 ή v ξη = 0 .
Στην περίπτωση αυτή μπορούμε να υπολογίσουμε οικογένεια λύσεων της ΜΔΕ με απλή ολοκλήρωση, πρώτα ως προς η , που δίνει v ξ = h ( ξ ) για μια οποιαδήποτε συνάρτηση h μιας μεταβλητής, και στη συνέχεια ως προς ξ , παίρνοντας για δυο οποιεσδήποτε συναρτήσεις F, G μιας μεταβλητής. Καταλήγουμε, λοιπόν, στην οικογένεια λύσεων
v ( ξ, η ) = ∫ ξ h ( s ) d s + G ( η ) = F ( ξ ) + G ( η ) , u ( x, y ) = F ( x + y ) + G ( x -y ) ,
η οποία ικανοποιεί την κυματική εξίσωση αν οι F, G ∈ C 2 ( R ) . | 2 | 6 | κ | Μεταπτυχιακό εγχειρίδιο |
204,006 | row_204006 | paper_A_0002 | 0 | 0 | Άσκηση 3. Έστω η ΜΔΕ | 0.09-0.09 | (1 -M 2 ) u xx + u yy = 0 .
Ηεξίσωση αυτή προτυποποιεί (ίσως υπεραπλουστευμένα!) το δυναμικό του πεδίου ταχύτητας ενός ρευστού γύρω από ένα επίπεδο εμπόδιο. Ο M > 0 συμβολίζει τον Αριθμό Mach. Ποιος είναι ο τύπος της εξίσωσης αυτής για διαφορετικές τιμές του M ; Αν γνωρίζετε την έννοια της «ηχητικής έκρηξης» ('sonic boom'), μπορείτε να δείτε κάποια σχέση με την έννοια αυτή και τις ιδιότητες της παραπάνω εξίσωσης;
Θαμελετήσουμετώραγενικούς τρόπους εύρεσης κατάλληλων αλλαγών μεταβλητών, με σκοπό να γενικεύσουμε τις ιδέες που παρουσιάστηκαν στο Παράδειγμα 1.14. Μια βασική παρατήρηση είναι ότι η αλλαγή μεταβλητών στο παραπάνω παράδειγμα μηδένισε τους δυο από τους τρεις συντελεστές A, B, C των δευτεροβάθμιωνόρων.Άρα,είναιλογικόνααναζητήσουμεομαλήκαιμηιδιόμορφηαλλαγήμεταβλητής ( x, y ) ↔ ( ξ, η ) , του πεδίου ορισμού Ω της (1.18), τέτοια ώστε να ικανοποιεί aξ 2 x +2 bξ x ξ y + cξ 2 y = 0 και aη 2 x +2 bη x η y + cη 2 y = 0 , (1.25)
δηλ. A = C = 0 για τους συντελεστές της μετασχηματισμένης ΜΔE (1.22). Οι εξισώσεις (1.25) είναι μη γραμμικές ΜΔΕ πρώτης τάξης, οι οποίες, όμως, έχουν πολύ συγκεκριμένη μορφή: πράγματι, δεδομένου ότι μια εκ των ξ x , ξ y είναι μη μηδενική σε μια γειτονιά ενός σημείου ( x, y ) ∈ Ω , τότε παίρνουμε a ( ξ x ξ y ) 2 +2 b ξ x ξ y + c = 0 ή c ( ξ y ξ x ) 2 +2 b ξ y ξ x + a = 0 ,
αντίστοιχα και, ανάλογα, για την εξίσωση του η στην(1.25).Ανακαλώνταςότιστηγειτονιάαυτήεφαρμόζεται το Θεώρημα Πεπλεγμένης Συνάρτησης (1.16), καταλήγουμε στην τετραγωνική εξίσωση a ( d y d x ) 2 -2 b d y d x + c = 0 ή c ( d x d y ) 2 -2 b d x d y + a = 0 , (1.26)
αντίστοιχα. Μια εξαιρετικής σημασίας παρατήρηση είναι ότι η διακρίνουσα των παραπάνω εξισώσεων είναι 4 D ! Άρα, το πλήθος των λύσεων της εκάστοτε (1.26) εξαρτάται από τον τύπο της ΜΔΕ. Συγκεκριμένα, έχουμε τις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις d y d x = b ± √ D a ή d x d y = b ± √ D c , (1.27)
αντίστοιχα, οι οποίες ονομάζονται και χαρακτηριστικές εξισώσεις για την (1.18).
Οπότε, αν η (1.18) είναι υπερβολική στη γειτονιά ενός σημείου ( x, y ) ∈ Ω , έχουμε D > 0 και η (1.27) δίνει δυο πραγματικές συνήθεις διαφορικές εξισώσεις σε κάθε περίπτωση και, άρα, δυο ανεξάρτητες οικογένειες χαρακτηριστικών καμπυλών. Aν, όμως, είναι παραβολική, έχουμε D = 0 και λαμβάνουμε μια πραγματική εξίσωση και, συνεπώς, μια οικογένεια χαρακτηριστικών καμπυλών. Τέλος, αν η (1.18) είναι ελλειπτική, δηλ. D < 0 , λαμβάνουμε ένα σύστημα μιγαδικών εξισώσεων από την (1.27).
Δεδομένουότιοιχαρακτηριστικέςκαμπύλεςεκλαμβάνονταιποιοτικάωςοι«φυσικέςκατευθύνσεις»πάνω στις οποίες η ΜΔΕ «μεταφέρει πληροφορίες» από και προς διαφορετικά σημεία του πεδίου ορισμού Ω , καταλήγουμε ότι διαφορετικού τύπου δεύτερης τάξης ΜΔΕ προτυποποιεί εν δυνάμει διαφορετικά φαινόμενα. Συνεπώς, από μαθηματική σκοπιά, ο τύπος της (1.18) καθορίζει και μια πληθώρα ιδιοτήτων και ιδιαιτεροτήτων των λύσεών της, όπως θα δούμε παρακάτω. | 3 | 9 | κ | Μεταπτυχιακό εγχειρίδιο |
204,007 | row_204007 | paper_A_0002 | 0 | 0 | Περίπτωση D > 0 : υπερβολικές εξισώσεις | 0.09-0.10 | Όπως είδαμε, η υπερβολικότητα της (1.18) συνεπάγεται την ύπαρξη δυο διαφορετικών οικογενειών χαρακτηριστικών καμπυλών, έστω f 1 ( x, y ) = C 1 και f 2 ( x, y ) = C 2 , για κάθε C 1 , C 2 ∈ R , που είναι τοπικές λύσεις της (1.26). Ως εκ τούτου, ισχύει και η αντίστοιχη (1.25) παρατηρώντας ότι τα βήματα μεταξύ των δυο εξισώσεων είναι ισοδυναμίες δεδομένων των αναφερθεισών υποθέσεων. Αυτό σημαίνει ότι για κάθε ( x 0 , y 0 ) ∈ Ω υπάρχει ένα ανοιχτό υποσύνολο του Ω που περιέχει το ( x 0 , y 0 ) , στο οποίο ορίζουμε αλλαγή μεταβλητών ( x, y ) ↔ ( ξ, η ) με ξ = f 1 ( x, y ) και η = f 2 ( x, y ) . Άρα, καταλήγουμε ότι A = C = 0 στην (1.22), αφού και οι δύο οικογένειες καμπυλών ικανοποιούν την αντίστοιχη (1.26) και, άρα, την (1.25).
Θεώρημα 1.15. Έστω (1.18) υπερβολική ΜΔΕ στο Ω με a, b, c ∈ C 2 (Ω) . Τότε, κάθε ( x 0 , y 0 ) ∈ Ω έχει μια ανοιχτή γειτονιά για την οποία ορίζεται αλλαγή μεταβλητών ( x, y ) ↔ ( ξ, η ) , τέτοια ώστε η (1.18) να γράφεται ως v ξη + · · · = g, (1.28)
όπου ' . . . ' χρησιμοποιούνται αντί των όρων χαμηλότερης τάξης από δυο.
Επίσης, υπάρχει αλλαγή μεταβλητών ( x, y ) ↔ ( ξ, η ) , τέτοια ώστε η (1.18) να γράφεται ως v ξξ -v ηη + · · · = g. (1.29)
Η (1.28) ονομάζεται και πρώτη κανονική μορφή μιας γραμμικής υπερβολικής εξίσωσης 2ης τάξης, ενώ η (1.29) δεύτερη κανονική μορφή.
Απόδειξη. Μέρη της απόδειξης ουσιαστικά περιέχονται στην παραπάνω συζήτηση: έχουμε ήδη δείξει την ύπαρξη μη ιδιόμορφης αλλαγής μεταβλητών ( x, y ) ↔ ( ξ, η ) για κάθε γειτονιά σημείου ( x 0 , y 0 ) ∈ Ω , τέτοια ώστε A = C = 0 στην (1.22), η οποία, λοιπόν, γίνεται
2 Bv ξη + Dv ξ + Ev η + fv = g.
Παρατηρώντας ότι 2 B = 0 καθώς B 2 -AC = B 2 > 0 , η (1.28) προκύπτει από την παραπάνω εξίσωση μετά από διαίρεση με 2 B .
Το μόνο που μένει να δείξουμε είναι ότι η παραπάνω αλλαγή μεταβλητής είναι μη ιδιόμορφη και αρκούντως ομαλή. Πράγματι, έχουμε για την περίπτωση ξ y = 0 (που συνεπάγεται και η y = 0 εκ κατασκευής) και αντίστοιχα για την περίπτωση ξ x = 0 . Για την ομαλότητα, παρατηρούμε ότι η (1.27) συνεπάγεται ότι αν a, b, c ∈ C 2 (Ω) και αν a = 0 στη γειτονιά του ( x 0 , y 0 ) , τότε και η d y d x είναι τουλάχιστον μια φορά συνεχώς διαφορίσιμη, αφού αυτό ισχύει για το δεξί μέλος της (1.27) (αν 0 = ϕ ∈ C 2 (Ω) , τότε √ ϕ ∈ C 1 (Ω) )· το τελευταίο συνεπάγεται ότι η y ≡ y ( x ) είναι τοπικά δυο φορές συνεχώς διαφορίσιμη και αυτό ισχύει και για τις ξ και η .
det ∂ ( ξ, η ) ∂ ( x, y ) = ξ x η y -ξ y η x = ξ y η y ( ξ x ξ y -η x η y ) = -ξ y η y ( b + √ D a -b -√ D a ) = -ξ y η y 2 √ D a = 0 ,
Για τη δεύτερη κανονική μορφή μπορούμε να πάρουμε την πρώτη κανονική μορφή και να εκτελέσουμε την αλλαγή μεταβλητής ˜ ξ = ξ + η και ˜ η = ξ -η .
Παράδειγμα 1.16. Επιστρέφοντας στο Παράδειγμα 1.12 α., η χαρακτηριστική εξίσωση της κυματικής εξίσωσης δίνει και, άρα, y -x = C 1 και y + x = C 2 , για C 1 , C 2 ∈ R οποιεσδήποτε σταθερές. Συνεπώς, καταλήγουμε στην αλλαγή μεταβλητών ξ = y -x και η = y + x , που είναι αυτή που χρησιμοποιήσαμε στο Παράδειγμα 1.12.
( d y d x ) 2 -1 = 0 , ή d y d x = ± 1 | 4 | 13 | κ | Μεταπτυχιακό εγχειρίδιο |
204,008 | row_204008 | paper_A_0002 | 0 | 0 | Παράδειγμα 1.17. Επιστρέφοντας στο Παράδειγμα 1.12 ε., η εξίσωση Tricomi | 0.10-0.10 | είναι υπερβολική για y < 0 , παραβολική για y = 0 και ελλειπτική για y > 0 . Για y < 0 , η (1.26) δίνει y ( d y d x ) 2 +1 = 0 ή ( d x d y ) 2 + y = 0 .
Χρησιμοποιώντας τη δεύτερη εξίσωση, παίρνουμε τις εξισώσεις d x d y = ± √ -y, (1.30)
πουδίνουνμιαοικογένειαλύσεωνέκαστη,συγκεκριμένατις x ± 2 3 ( -y ) 3/2 = C ± για C ± ∈ R οποιεσδήποτε σταθερές. Άρα, μπορούμε να ορίσουμε αλλαγή μεταβλητών ως ξ = x + 2 3 ( -y ) 3/2 και η = x -2 3 ( -y ) 3/2 , η οποία δίνει την κανονική μορφή v ξη +(2 √ -y ) -3 ( v ξ -v η ) = 0 .
Για y = 0 , οι δυο οικογένειες εκφυλίζονται σε μία, την x = C , για C ∈ R . Τέλος, για y > 0 , οι (1.30) είναι μιγαδικές και, συνεπώς, οι οικογένειες λύσεων δεν αναπαριστούν καμπύλες στο Ω . Για τις περιπτώσεις y = 0 και y > 0 , θα αναφέρουμε περισσότερα παρακάτω. | 1 | 4 | κ | Μεταπτυχιακό εγχειρίδιο |
204,009 | row_204009 | paper_A_0002 | 0 | 0 | Περίπτωση D = 0 : παραβολικές εξισώσεις | 0.10-0.10 | Αν η (1.18) είναι παραβολική, τότε D = b 2 -ac = 0 και οι (1.27) γίνονται d y d x = b a ή d x d y = b c , και έχουμε μία μόνο οικογένεια χαρακτηριστικών καμπυλών, έστω f 1 ( x, y ) = C ∈ R . Θέτοντας, τώρα, η = f 1 ( x, y ) και ξ τέτοιο ώστε η αλλαγή μεταβλητών ( x, y ) ↔ ( ξ, η ) να είναι μη ιδιόμορφη, δηλ. να ισχύει η (1.19), παίρνουμε C = 0 στην (1.22). Αυτό σημαίνει, όμως, ότι και B = 0 , καθώς από την (1.24) παίρνουμε ότι 0 = B 2 -AC = B 2 . Συνεπώς, έχουμε ήδη αποδείξει το παρακάτω.
Θεώρημα 1.18. Έστω (1.18) παραβολική ΜΔΕ στο Ω με a, b, c ∈ C 2 (Ω) . Τότε, κάθε ( x 0 , y 0 ) ∈ Ω έχει μια ανοιχτή γειτονιά για την οποία ορίζεται αλλαγή μεταβλητών ( x, y ) ↔ ( ξ, η ) , τέτοια ώστε η (1.18) να γράφεται ως v ξξ + · · · = g, (1.31)
όπου ' . . . ' χρησιμοποιούνται αντί των όρων χαμηλότερης τάξης από δυο. Η (1.31) ονομάζεται και κανονική μορφή μιας γραμμικής παραβολικής εξίσωσης 2ης τάξης.
ΑνακαλώνταςτοΠαράδειγμα1.17γιατηνπερίπτωση y = 0 , βλέπουμε ότι η εξίσωση Tricomi εκφυλίζεται στη u yy = 0 που είναι σε κανονική μορφή. | 1 | 4 | κ | Μεταπτυχιακό εγχειρίδιο |
204,010 | row_204010 | paper_A_0002 | 0 | 1 | Περίπτωση D < 0 : ελλειπτικές εξισώσεις | 0.10-0.11 | Αν, τώρα, η (1.18) είναι ελλειπτική, δηλ. D < 0 , η εξίσωση (1.26) δεν έχει πραγματικές ρίζες και, άρα, δεν ορίζονται χαρακτηριστικές καμπύλες στο χωρίο Ω . Ισχύει, όμως, το παρακάτω αποτέλεσμα.
Θεώρημα 1.19. Έστω (1.18) ελλειπτική ΜΔΕ στο Ω με a, b, c ∈ C 2 (Ω) . Τότε, κάθε ( x 0 , y 0 ) ∈ Ω έχει μια ανοιχτή γειτονιά για την οποία ορίζεται αλλαγή μεταβλητών ( x, y ) ↔ ( ξ, η ) , τέτοια ώστε η (1.18) να γράφεται ως v ξξ + v ηη + · · · = g, (1.32)
όπου ' . . . ' χρησιμοποιούνται αντί των όρων χαμηλότερης τάξης από δυο. Η (1.32) ονομάζεται και κανονική μορφή μιας γραμμικής ελλειπτικής εξίσωσης 2ης τάξης.
Ο σκοπός μας είναι να κατασκευάσουμε αλλαγή μεταβλητών ικανή να δώσει A = C και B = 0 στην (1.23), με άλλα λόγια, αναζητούμε ξ , η , τέτοιες ώστε
Απόδειξη. (Η παρακάτω απόδειξη δεν είναι πλήρης, καθώς απαιτούνται εξειδικευμένα αποτελέσματα από τη μιγαδική ανάλυση που δεν μπορούν να θεωρηθούν ως κοινή γνώση. Παρόλα αυτά, υποθέτοντας ότι μερικά βήματα ισχύουν, μπορούμε να καταλήξουμε στο αποτέλεσμα.) Χωρίς βλάβη της γενικότητας, έστω a ( x 0 , y 0 ) = 0 . Λόγω της ομαλότητας του a , υπάρχει γειτονιά του ( x 0 , y 0 ) στην οποία να ισχύει a = 0 . (Αν a ( x 0 , y 0 ) = 0 , αντιστρέφουμε τους ρόλους των a και c και των x και y παρακάτω, παρατηρώντας ότι ένα τουλάχιστον από τα a ( x 0 , y 0 ) , c ( x 0 , y 0 ) είναι απαραίτητα μη μηδενικό, καθώς 0 > b 2 -ac .)
a ( ξ 2 x -η 2 x ) + 2 b ( ξ x ξ y -η x η y ) + c ( ξ 2 y -η 2 y ) = 0 , aξ x η x + b ( ξ x η y + ξ y η x ) + cξ y η y =0 .
Πολλαπλασιάζοντας, τώρα, τη δεύτερη εξίσωση με 2 ι όπου ι := √ -1 η φανταστική μονάδα και προσθέτοντάς την στην πρώτη, λαμβάνουμε τη σχέση a ( ξ x + ιη x ) 2 +2 b ( ξ x + ιη x )( ξ y + ιη y ) + c ( ξ y + ιη y ) 2 =0
Θέτοντας, τώρα, ϕ := ξ + ιη , παίρνουμε a ( ξ x + ιη x ξ y + ιη y ) 2 +2 b ξ x + ιη x ξ y + ιη y + c =0 .
a ( ϕ x ϕ y ) 2 +2 b ϕ x ϕ y + c =0 .
d y d x = b ± ι √ ac -b 2 a ,
Η τελευταία εξίσωση έχει 2 μιγαδικές συζυγείς (μη πραγματικές) ρίζες. Υποθέτοντας ότι ισχύει για την παρούσα περίπτωση το μιγαδικό ανάλογο του Θεωρήματος Πεπλεγμένης Συνάρτησης, μπορούμε τοπικά να ορίσουμε συνάρτηση y ≡ y ( x ) , τέτοια ώστε d y d x = -ϕ x ϕ y , οπότε, λύνοντας τώρα τις μιγαδικές συνήθεις διαφορικές εξισώσεις λαμβάνουμε δυο συζυγείς μιγαδικές λύσεις f 1 ( x, y ) ± ιf 2 ( x, y ) = C ∈ C . Θέτοντας ξ = f 1 ( x, y ) και η = f 2 ( x, y ) , αναμένουμε να πάρουμε A = C και B = 0 στην (1.23) από κατασκευή.
Παρατήρηση 1.20. Παρατηρούμε ότι το σύνολο της συζήτησης της παρούσας ενότητας ισχύει ως έχει και για την περίπτωση ημιγραμμικών εξισώσεων δευτέρου βαθμού.
Άσκηση 4. H εξίσωση Black-Scholes για ένα European call παράγωγο με τιμή C = C ( τ, s ) ( τ είναι η χρονική μεταβλητή και s η τιμή του προϊόντος) είναι η
C τ + σ 2 2 s 2 C ss + rsC s -rC = 0 , (1.33)
όπου r > 0 σταθερά είναι το επιτόκιο. Τι τύπου εξίσωση είναι η (1.33); Χρησιμοποιώντας την αλλαγή μεταβλητών του R 2
( τ, s ) ↔ ( t, x ) , με τ = T -2 t σ 2 , και s = e x , με T > 0 σταθερά (ο τελικός χρόνος), δείξτε ότι η (1.33) μπορεί να μετατραπεί στην εξής ΜΔΕ σε κανονική μορφή
v xx +( k -1) v x -v t -kv = 0 , (1.34) όπου v ( t, x ) := C ( τ ( t, x ) , s ( t, x )) = C ( T -2 t / σ 2 , e x ) και k := 2 r / σ 2 . Θέτοντας, τώρα, v ( t, x ) = e αx + βt u ( t, x ) ,
για κάποια συνάρτηση u = u ( t, x ) , δείξτε ότι η (1.34) γράφεται και ως α = -1 2 ( k -1) , και β = -1 4 ( k +1) 2 .
Με άλλα λόγια, η εξίσωση Black-Scholes μπορεί να μετατραπεί στην εξίσωση θερμότητας χρησιμοποιώντας κατάλληλη αλλαγή μεταβλητών.
Στη συνέχεια θα γενικεύσουμε την έννοια του τύπου ΜΔΕ δεύτερης τάξης για d > 2 , ξεκινώντας από την παρατήρηση ότι για d = 2 , το πρόσημο της διακρίνουσας D μας πληροφορεί για το είδος των ιδιοτιμών του πίνακα των συντελεστών της (1.18), για x = ( x, y ) ∈ Ω ⊂ R 2 . Πράγματι, έχουμε
Σ ≡ Σ( x ) := ( a b b c )
0 = det (Σ -λI 2 × 2 ) = λ 2 -( a + c ) λ + ac -b 2
και, άρα, το γινόμενο των ριζών της ισούται με -D . Οπότε, η (1.18) είναι:
- · υπερβολική σε ένα σημείο x 0 ∈ Ω , αν οι δυο ιδιοτιμές του Σ είναι μη μηδενικές και έχουν διαφορετικό πρόσημο,
- · παραβολική σε ένα σημείο x 0 ∈ Ω , αν η μια ιδιοτιμή του Σ είναι μη μηδενική,
- · ελλειπτική σε ένα σημείο x 0 ∈ Ω , αν οι δυο ιδιοτιμές του Σ είναι μη μηδενικές και έχουν το ίδιο πρόσημο.
Έστω η γραμμική εξίσωσης δεύτερης τάξης σε d μεταβλητές d ∑ i,j =1 a ij u x i x j + d ∑ i =1 b i u x i + cu = f, (1.35)
για u ≡ u ( x ) , με x := ( x 1 , . . . , x d ) ⊤ ∈ Ω ⊂ R d και a ij = a ji για κάθε i, j = 1 , . . . d . Ορίζουμε τον (συμμετρικό) πίνακα των συντελεστών
Σ ≡ Σ( x ) := { a ij } d i,j =1
και έχουμε τον ακόλουθο ορισμό, ανακαλώντας ότι ένας συμμετρικός πίνακας έχει μόνο πραγματικές ιδιοτιμές. Ορισμός 1.21. Έστωσημείο x 0 ∈ Ω ⊂ R για ένα χωρίο Ω στο οποίο ορίζεται λύση της (1.35). Θα λέμε ότι
- · ελλειπτική στο x 0 , αν όλες οι ιδιοτιμές του Σ( x 0 ) είναι μη μηδενικές και έχουν το ίδιο πρόσημο,
- · υπερβολική στο x 0 , αν όλες οι ιδιοτιμές του Σ( x 0 ) είναι μη μηδενικές και όλες εκτός από μια έχουν το ίδιο πρόσημο,
- · παραβολική στο x 0 , αν μια ιδιοτιμή του Σ( x 0 ) είναι μηδενική και οι υπόλοιπες έχουν το ίδιο πρόσημο,
- · υπερ-υπερβολική (ultrahyperbolic) στο x 0 αν όλες οι ιδιοτιμές του Σ( x 0 ) είναι μη μηδενικές και τουλάχιστον δυο έχουν διαφορετικό πρόσημο από τις υπόλοιπες,
- · υπερ-παραβολική (ultraparabolic) στο x 0 , αν τουλάχιστον δυο ιδιοτιμές του Σ( x 0 ) είναι μηδενικές και οι υπόλοιπες έχουν το ίδιο πρόσημο.
Οπαραπάνωορισμόςδενεξαντλείόλαταπιθανάσενάριαγιατιςιδιοτιμέςτου Σ , αλλά περιλαμβάνει σχεδόν όλες τις χρήσιμες οικογένειες ΜΔΕ που απαντώνται στις εφαρμογές. | 12 | 36 | κ | Μεταπτυχιακό εγχειρίδιο |
204,011 | row_204011 | paper_A_0002 | 0 | 0 | Παράδειγμα 1.22. Παραθέτουμε μερικά παραδείγματα: | 0.11-0.11 | null | 0 | 0 | κ | Μεταπτυχιακό εγχειρίδιο |
204,012 | row_204012 | paper_A_0002 | 0 | 0 | α. Η εξίσωση Poisson | 0.11-0.11 | ∆ u = f, για u ≡ u ( x 1 , x 2 , . . . , x d ) , (1.36)
με ( x 1 , x 2 , . . . , x d ) ∈ Ω ⊂ R d , όπου ∆ := ( · ) x 1 x 1 + ( · ) x 2 x 2 + · · · + ( · ) x d x d συμβολίζει τη Λαπλασιανή στις d διαστάσεις· είναι ελλειπτική καθώς Σ = I d × d . Το αντίστοιχο ομογενές πρόβλημα ∆ u = 0 αναφέρεται, συνήθως, ως η εξίσωση του Laplace και οι λύσεις της αναφέρονται ως αρμονικές συναρτήσεις . | 1 | 2 | κ | Μεταπτυχιακό εγχειρίδιο |
204,013 | row_204013 | paper_A_0002 | 0 | 0 | β. Ηεξίσωση της θερμότητας | 0.11-0.11 | u t -∆ u = f, για u ≡ u ( t, x 1 , x 2 , . . . , x d ) , (1.37)
με ( t, x 1 , x 2 , . . . , x d ) ∈ Ω = [0 , ∞ ) × D, όπου D χωρίο στον R d , είναι παραβολική καθώς Σ = ( 0 0 T 0 I d × d ) . | 1 | 2 | κ | Μεταπτυχιακό εγχειρίδιο |
204,014 | row_204014 | paper_A_0002 | 0 | 0 | γ. Ηεξίσωση του Kolmogorov | 0.11-0.12 | u t -u yy + yu x = 0 , για u ≡ u ( t, x, y ) , | 0 | 1 | κ | Μεταπτυχιακό εγχειρίδιο |
204,015 | row_204015 | paper_A_0002 | 0 | 0 | δ. Ηαποσβένουσα κυματική εξίσωση | 0.12-0.12 | με ( t, x, y ) ∈ Ω := [0 , ∞ ) × R × R , είναι υπερπαραβολική καθώς έχουμε Σ = 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 .
u tt -∆ u + ku t = 0 , για u ≡ u ( t, x 1 , x 2 , . . . , x d ) , με ( t, x 1 , x 2 , . . . , x d ) ∈ Ω = [0 , ∞ ) × D, όπου D χωρίο στον R d , είναι υπερβολική καθώς Σ = ( -1 0 T 0 I d × d ) . | 1 | 2 | κ | Μεταπτυχιακό εγχειρίδιο |
204,016 | row_204016 | paper_A_0002 | 0 | 0 | 1.4 Το πρόβλημα Cauchy | 0.12-0.12 | Είδαμε παραπάνω ότι οικογένειες λύσεων ΜΔΕ εμπλέκουν αυθαίρετες συναρτήσεις μικρότερης πληθικότητας μεταβλητών. Αυτό είναι αναμενόμενο αν αναλογιστούμε ότι ολοκληρώνοντας προς μια κατεύθυνση, η λύση περιλαμβάνει αυθαίρετες συναρτήσεις των υπολοίπων μεταβλητών. Για να ορίσουμε προβλήματα ΜΔΕ που να χαρακτηρίζονται από μοναδική λύση, πρέπει να προσθέσουμε περαιτέρω συνθήκες. Οι συνθήκες αυτές, όπως θα δούμε, αντανακλούν τις εκάστοτε ιδιαιτερότητες κάθε ΜΔΕ ως προς τον τύπο ή/και την τάξη.
Στην περίπτωση των συνήθων διαφορικών εξισώσεων, συνήθως εξοπλίζουμε την εξίσωση με «αρχικές» ή «συνοριακές» συνθήκες. Π.χ. η d u ( t ) d t = 3 u ( t ) έχει γενική λύση u ( t ) = A e 3 t , για A ∈ R . Αν, τώρα, απαιτήσουμε την ισχύ και της σημειακής συνθήκης u (0) = 5 , βρίσκουμε τη μοναδική λύση u ( t ) = 5 e 3 t . Σε περισσότερες διαστάσεις, ανάλογες συνθήκες ορίζονται σε επιφάνειες συνδιάστασης ένα. Συγκεκριμένα, έχουμε τον ακόλουθο ορισμό.
Ορισμός 1.23. Έστω ΜΔΕ της μορφής (1.1), δηλ. τάξης k στο Ω ⊂ R d και έστω S δεδομένη ομαλή υπερεπιφάνεια¹ στο Ω . Έστω, επίσης, n ≡ n ( x ) το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα της επιφάνειας S στο σημείο x = ( x 1 , x 2 , . . . , x d ) ∈ S . Για κάθε σημείο x ∈ S έχουμε στη διάθεσή μας τις τιμές της λύσης u της ΜΔΕ αλλά και όλων των κατευθυνόμενων παραγώγων μέχρι και τάξης k -1 στην κατεύθυνση του n , δηλ. γνωρίζουμε συναρτήσεις f 0 , f 1 , . . . , f k -1 : S → R , τέτοιες ώστε u ( x ) = f 0 ( x ) , και ∂ s u ∂ n s ( x ) = f s ( x ) , s = 1 , . . . , k -1 · (1.38)
οι τελευταίες είναι γνωστές και ως δεδομένα ή συνθήκες Cauchy ή ως αρχικές συνθήκες / αρχικά δεδομένα αν υπάρχει χρονική διάσταση στο πρόβλημα.
Το πρόβλημα Cauchy συνίσταται στην εύρεση των (άγνωστων) λύσεων u που ικανοποιούν ταυτόχρονα τη ΜΔΕκαι τις συνθήκες (1.38). | 2 | 5 | κ | Μεταπτυχιακό εγχειρίδιο |
204,017 | row_204017 | paper_A_0002 | 0 | 0 | Παράδειγμα 1.24. Έστω το πρόβλημα Cauchy, αποτελούμενο από τη ΜΔΕ | 0.12-0.13 | u x + u y = 0 (1.39)
Παρατηρούμε ότι η υπερεπιφάνεια S στον Ορισμό 1.23 δίνεται έμμεσα: S = { ( x, y ) ∈ R 2 : x = 0 } , δηλ. είναι ο άξονας των y στο παράδειγμα αυτό.
Σχήμα 1.1: Παράδειγμα 1.24. Σκαρίφημα του προβλήματος Cauchy, της καμπύλης δεδομένων Cauchy S και χαρακτηριστικών καμπυλών της ΜΔΕ.
Στο Παράδειγμα 1.7, χρησιμοποιήσαμε τη μέθοδο των χαρακτηριστικών για να βρούμε την οικογένεια λύσεων u ( x, y ) = f ( y -x ) , για ( x, y ) ∈ R 2
της (1.39). Θέτοντας, τώρα, x = 0 και χρησιμοποιώντας το δεδομένο Cauchy παίρνουμε sin y = u (0 , y ) = f ( y ) (1.40)
και βρίσκουμε τη λύση u ( x, y ) = sin ( y -x )
του προβλήματος Cauchy. Στο Σχήμα 1.1, αναπαριστούμε με κόκκινο χρώμα την καμπύλη S για το πρόβλημα αυτό, καθώς και μερικές χαρακτηριστικές καμπύλες (που είναι της μορφής y = x + c ) με μπλε χρώμα. Παρατηρούμε ότι η S τέμνει όλες τις χαρακτηριστικές καμπύλες· αλγεβρικά αυτό εκφράζεται από την (1.40).
Παράδειγμα 1.25 (Λύση d' Alembert) . Αναζητούμε λύση του προβλήματος Cauchy αποτελούμενο από τη ΜΔΕ
u tt -u xx = 0 , ( t, x ) ∈ R 2 (1.41)
u (0 , x ) = ϕ ( x ) και u t (0 , x ) = ψ ( x ) , για ϕ, ψ : R → R γνωστές συναρτήσεις. Έχουμε S = { ( t, x ) ∈ R 2 : t = 0 } . Στο Παράδειγμα 1.14, βρήκαμε την εξής οικογένεια λύσεων της (1.41)
u ( t, x ) = F ( x + t ) + G ( x -t ) , ( t, x ) ∈ R 2 , για οποιεσδήποτε F, G ∈ C 2 ( R ) , η οποία για t = 0 μαζί με την πρώτη συνθήκη δίνουν
ϕ ( x ) = u ( x, 0) = F ( x ) + G ( x ) . (1.42)
Παραγωγίζοντας, τώρα, την οικογένεια λύσεων ως προς t και θέτοντας t = 0 , παίρνουμε ψ ( x ) = u t ( x, 0) = F ' ( x ) -G ' ( x ) ή F ( x ) -G ( x ) = ∫ x α ψ ( s ) d s, (1.43)
για κάποιο α ∈ R . Λύνοντας το γραμμικό σύστημα (1.42), (1.43), λαμβάνουμε
F ( x ) = 1 2 ( ϕ ( x ) + ∫ x α ψ ( s ) d s ) και G ( x ) = 1 2 ( ϕ ( x ) -∫ x α ψ ( s ) d s ) .
u ( t, x ) = F ( x + t ) + G ( x -t ) = 1 2 ( ϕ ( x + t ) + ϕ ( x -t ) ) + 1 2 ∫ x + t x -t ψ ( s ) d s.
Παρατηρούμε και πάλι ότι η S τέμνει και τις δυο οικογένειες χαρακτηριστικών καμπυλών x ± t = c ∈ R .
Ησυζήτηση στα δυο παραπάνω παραδείγματα, αν και παρέχει ενδείξεις ότι οι λύσεις που υπολογίστηκαν είναι μοναδικές, δεν συνεπάγεται τη μοναδικότητά τους. Μια εν μέρει απάντηση στο ερώτημα της μοναδικότητας λύσης του προβλήματος Cauchy δίνεται από το Θεώρημα Cauchy-Kovalevskaya που δίνεται παρακάτω (η απόδειξη είναι πέρα από τους σκοπούς του παρόντος).
Θεώρημα 1.26 (Cauchy-Kovalevskaya) . Έστω το πρόβλημα Cauchy από τον Ορισμό 1.23 μια γραμμικής ΜΔΕ της μορφής (1.3). Υποθέτουμε ότι η υπερεπιφάνεια S είναι αναλυτική². Έστω ακόμα x 0 ∈ S και υποθέτουμε ότι η S δεν είναι χαρακτηριστική επιφάνεια στο x 0 . Τέλος, υποθέτουμε ότι όλοι οι συντελεστές της (1.3) και οι συναρτήσεις f 0 , f 1 , . . . , f k -1 των δεδομένων Cauchy είναι αναλυτικές σε μια γειτονιά του σημείου x 0 . Τότε το πρόβλημα Cauchy έχει λύση u σε μια γειτονιά του x 0 ηοποία είναι αναλυτική συνάρτηση. Ηλύση αυτή u είναι μοναδική στην οικογένεια των αναλυτικών συναρτήσεων.
Τοκλασικό αυτό Θεώρημα Cauchy-Kovalevskaya μας δίνει μια απάντηση για την περίπτωση του προβλήματος Cauchy για γραμμικές ΜΔΕ. Η κατάσταση ως προς την ύπαρξη και μοναδικότητα λύσεων στην περίπτωση μη γραμμικών εξισώσεων είναι πολύ πιο περίπλοκη και διαφέρει ουσιαστικά ανά περίπτωση. Για παράδειγμα, επιστρέφοντας στις εξισώσεις νόμων διατήρησης του Παραδείγματος 1.9, θέτοντας F ( u ) = u 2 /2 παίρνουμε την επονομαζόμενη εξίσωση του Burgers και θεωρούμε το αντίστοιχο πρόβλημα Cauchy u t + ( u 2 2 ) x = 0 , για 0 < t ≤ T f , x ∈ R , (1.44) u (0 , x ) = u 0 ( x ) , για x ∈ R .
Παρατηρώντας την ταυτότητα ( u 2 /2) x = uu x , η μέθοδος των χαρακτηριστικών μας δίνει τις (1.11) οι οποίες στη συγκεκριμένη περίπτωση γίνονται d t ( s ) d s = 1 , d x ( s ) d s = u ( t ( s ) , x ( s )) και d u ( t ( s ) , x ( s )) d s = 0 .
Με άλλα λόγια, έχουμε t ( s ) = s + C 1 και u ( t ( s ) , x ( s )) = C 2 , για C 1 , C 2 ∈ R και, άρα, x ( s ) = C 2 s + C 3 = u ( t ( s ) , x ( s )) t ( s ) + C 3 για C 3 ∈ R , δηλ. οι (προβεβλημένες) χαρακτηριστικές καμπύλες είναι ευθείες. Έστω, τώρα, το μοναδικό s 0 , τέτοιο ώστε t ( s 0 ) = 0 . Τότε, έχουμε u (0 , x ( s 0 )) = u 0 ( x ( s 0 )) , πουσημαίνειότι u ( t ( s ) , x ( s )) = u (0 , x ( s 0 )) = u 0 ( x ( s 0 )) γιακάθε s , αφού η u ( t ( s ) , x ( s )) είναι σταθερή πάνω στην προβεβλημένη χαρακτηριστική. Άρα, καταλήγουμε ότι οι προβεβλημένες χαρακτηριστικές έχουν εξισώσεις x = u 0 ( x ( s 0 )) t + C 3 , για C 3 ∈ R .
Αν, τώρα, η u 0 τυγχάνει να είναι φθίνουσα ως προς x , θα έχουμε u 0 ( x ) < u 0 ( x + h ) , για κάθε h > 0 · με άλλα λόγια, η κλίση των χαρακτηριστικών αυξάνεται και, άρα, οι χαρακτηριστικές τέμνονται σε πεπερασμένο t . (Υπενθυμίζουμε ότι κάτι τέτοιο δεν είναι δυνατό για τη γραμμική ΜΔΕ πρώτης τάξης.) Στο Σχήμα 1.2 παραθέτουμε ένα σκαρίφημα που απεικονίζει την προαναφερθείσα κατάσταση. Δεδομένου, όμως, ότι η λύση αυτού του προβλήματος Cauchy παραμένει σταθερή στο μήκος κάθε χαρακτηριστικής, καταλήγουμε ότι υπάρχει η πιθανότητα η/οι λύση/-εις να είναι ασυνεχής/-είς! Η ευθεία της ασυνέχειας αυτής ονομάζεται σοκ (shock) ή κρουστικό κύμα .
Σχήμα 1.2: Τεμνόμενες (προβεβλημένες) χαρακτηριστικές ευθείες (κόκκινο χρώμα) για το πρόβλημα Cauchy (1.44) της εξίσωσης Burgers και φθίνουσα u 0 , οι οποίες συνεπάγονται σοκ σε πεπερασμένο t . Το μονοπάτι του κρουστικού κύματος απεικονίζεται με μπλε χρώμα.
Παρεμπιπτόντως, είναι δυνατόν να υπολογιστεί λύση του προβλήματος Cauchy για την εξίσωση Burgers συνεχίζοντας την παραπάνω μελέτη των χαρακτηριστικών. Πράγματι, αν συμβολίσουμε με x 0 := x ( s 0 ) το σημείο τομής της χαρακτηριστικής από τον άξονα των x , παίρνουμε C 3 = x 0 αλλά και u ( t, x ) = u 0 ( x ( s 0 )) = u 0 ( x 0 ) = u 0 ( x -u 0 ( x 0 ) t ) , για 0 < t ≤ T f , x ∈ R .
ΣτοΣχήμα1.3παραθέτουμετογράφηματηςλύσηςτουπροβλήματοςCauchy(1.44)για u 0 ( x ) = e -10(4 x -1) 2 . | 8 | 26 | κ | Μεταπτυχιακό εγχειρίδιο |
204,018 | row_204018 | paper_A_0002 | 0 | 1 | 1.5 Καλώς και κακώς τοποθετημένα προβλήματα | 0.13-0.13 | Ημελέτη ύπαρξης και μοναδικότητας λύσεων προβλημάτων ΜΔΕ, δηλ. ΜΔΕ εξοπλισμένων με επιπρόσθετες αρχικές ή συνοριακές συνθήκες, είναι κεντρική ενασχόληση στη μαθηματική θεωρία ΜΔΕ. Παρόλη τη σημασία της θεμελίωσης ύπαρξης και μοναδικότητας, αυτό δεν σημαίνει απαραίτητα ότι το ένα πρόβλημα ΜΔΕέχει «καλή συμπεριφορά». Ως καλή συμπεριφορά εννοούμε εδώ ότι «μικρές αλλαγές» στο πρόβλημα ΜΔΕ π.χ. αλλάζοντας «ελαφρώς» συντελεστή, επιφέρουν αντίστοιχα «μικρές» αλλαγές στη λύση u . Συγκεκριμένα, έχουμε τον παρακάτω ορισμό.
Ορισμός1.27 (καλώς τοποθετημένα προβλήματα ΜΔΕ κατά Hadamard) . ΈναπρόβλημαΜΔΕείναι καλώς τοποθετημένο αν ικανοποιούνται οι τρεις παρακάτω ιδιότητες:
- · το πρόβλημα έχει λύση,
- · η λύση είναι μοναδική,
- · η λύση εξαρτάται συνεχώς από τα δεδομένα του προβλήματος (πεδίο ορισμού, συντελεστές ΜΔΕ, επιπρόσθετες συνθήκες κτλ).
Ένα πρόβλημα ΜΔΕ που δεν είναι καλώς τοποθετημένο, θα λέμε ότι είναι κακώς τοποθετημένο .
Παράδειγμα 1.28. Το πρόβλημα Cauchy αποτελούμενο από την εξίσωση κύματος u tt -u xx = 0 για ( t, x ) ∈ [0 , ∞ ) × R ,
μαζί με τις συνθήκες u (0 , x ) = ϕ ( x ) , u t (0 , x ) = ψ ( x ) , x ∈ R ,
Σχήμα 1.3: Γραφήματα της λύσης του προβλήματος Cauchy (1.44) για u 0 ( x ) = e -10(4 x -1) 2 για t = 0 , 0 . 1 , 0 . 2 , 0 . 3 , 0 . 4 , 0 . 6 . Παρατηρούμε τη δημιουργία του κρουστικού κύματος καθώς η κλίση της λύσης απειρίζεται σημειακά.
για κάποιες γνωστές συναρτήσεις ϕ ∈ C 2 ( R ) και ψ ∈ C 1 ( R ) είναι καλώς τοποθετημένο ως προς τις συνθήκες αυτές. Πράγματι, από το Παράδειγμα 1.25, έχουμε τη λύση u ( t, x ) = 1 2 ( ϕ ( x + t ) + ϕ ( x -t ) ) + 1 2 ∫ x + t x -t ψ ( s ) d s. (1.45)
Ημοναδικότητα της λύσης αυτής (τουλάχιστον σε ό,τι αφορά την οικογένεια των δυο φορών συνεχώς διαφορίσιμων λύσεων του προβλήματος) προκύπτει ως εξής: έστω ότι έχουμε δυο λύσεις u 1 και u 2 του προβλήματος Cauchy. Τότε, η διαφορά e = u 1 -u 2 ικανοποιεί το πρόβλημα Cauchy e tt -e xx = 0 στο ( t, x ) ∈ [0 , ∞ ) × R και e (0 , x ) = 0 = e t (0 , x ) , για x ∈ R . Θα δείξουμε ότι e = 0 . Έστω ( t 0 , x 0 ) ∈ R 2 , τέτοιο ώστε e ( t 0 , x 0 ) = 0 . Θεωρούμε την ποσότητα
E ( t ) := 1 2 ∫ b ( t ) a ( t ) ( e 2 t ( t, x ) + e 2 x ( t, x ) ) d x, όπου a ( t ) := x 0 -t 0 + t και b ( t ) := x 0 + t 0 -t · με άλλα λόγια, την «ενέργεια» ολοκληρωμένη σε κάθε ευθύγραμμο τμήμα [ a ( t ) , b ( t )] , για t ∈ [0 , t 0 ] . Το σύνολο όλων αυτών των ευθυγράμμων τμημάτων παρέχει τον κλειστό κώνο
K ( t 0 , x 0 ) := { ( t, x ) : a ( t ) ≤ x ≤ b ( t ) , 0 ≤ t ≤ t 0 ] } , με κορυφή το σημείο ( t 0 , x 0 ) και βάση στον άξονα των x . Παραγωγίζοντας ως προς t και εκτελώντας στοιχειώδεις πράξεις (βλ. Άσκηση 5, παρακάτω), καταλήγουμε στην
d E d t ( t ) ≤ 0 που συνεπάγεται E ( t ) ≤ E (0) , για κάθε t ∈ [0 , t 0 ] .
Καθώς, όμως, E (0) = 0 , καταλήγουμε ότι ( t ) = 0 για κάθε t ∈ [0 , t 0 ] και, άρα, e x = 0 = e t στον κώνο K ( t 0 , x 0 ) , δηλαδή e = 0 αφού e = 0 στον άξονα των x . Άρα, η λύση που δίνεται από την (1.45) είναι μοναδική.
Τέλος, για τη συνέχεια ως προς τα δεδομένα Cauchy ϕ , ψ , θεωρούμε το διαταραγμένο πρόβλημα Cauchy
˜ u tt -˜ u xx = 0 , για ( t, x ) ∈ [0 , ∞ ) × R , μαζί με τις συνθήκες ˜ u (0 , x ) = ˜ ϕ ( x ) , και ˜ u t (0 , x ) = ˜ ψ ( x ) για x ∈ R . Από τη μοναδικότητα της λύσης παίρνουμε
| u ( t, x ) -˜ u ( t, x ) | = ∣ ∣ ∣ 1 2 ( ( ϕ ( x + t ) -˜ ϕ ( x + t ) ) + ( ϕ ( x -t ) -˜ ϕ ( x -t ) ) ) + 1 2 ∫ x + t x -t ( ψ ( s ) -˜ ψ ( s )) d s ∣ ∣ ∣ ≤ 1 2 ∣ ∣ ϕ ( x + t ) -˜ ϕ ( x + t ) ∣ ∣ + 1 2 ∣ ∣ ϕ ( x -t ) -˜ ϕ ( x -t ) ∣ ∣ + 1 2 ∫ x + t x -t ∣ ∣ ψ ( s ) -˜ ψ ( s ) ∣ ∣ d s.
Άρα, αν οι διαφορές ϕ ( z ) -˜ ϕ ( z ) και ψ ( z ) -˜ ψ ( z ) , z ∈ R , είναι μικρές, τότε και η διαφορά θα είναι επίσης μικρή, δηλ. η λύση εξαρτάται συνεχώς από τα δεδομένα Cauchy.
Παρουσιάζουμε τώρα και ένα παράδειγμα κακώς τοποθετημένου προβλήματος, το οποίο οφείλεται επίσης στον Hadamard. | 6 | 20 | κ | Μεταπτυχιακό εγχειρίδιο |
204,019 | row_204019 | paper_A_0002 | 0 | 0 | Παράδειγμα 1.29. Έστω το πρόβλημα Cauchy | 0.13-0.14 | u xx + u yy = 0 , για ( x, y ) ∈ Ω := ( -π /2 , π /2) × (0 , + ∞ ) , μαζί με τις συνθήκες Cauchy
u ( x, 0) = 0 , u y ( x, 0) = e -√ n cos ( nx ) , για x ∈ ( -π /2 , π /2) , για κάθε n = 1 , 3 , 5 , . . . , αλλά και τις συνοριακές συνθήκες
u ( -π /2 , y ) = 0 = u ( π /2 , y ) , για y ≥ 0 .
Εκτελώντας π.χ. χωρισμό μεταβλητών, βρίσκουμε ότι το πρόβλημα αυτό έχει τουλάχιστον την u ( x, y ) = e -√ n n cos ( nx ) sinh ( ny )
ως λύση. Στη συνέχεια, μελετούμε την επίδραση της μεταβολής της παραμέτρου n στη λύση. Καταρχάς, έχουμε δηλ. η συνθήκη u y ( x, 0) μεταβάλλεται ελάχιστα για διάφορες μεγάλες τιμές του n . Από την άλλη, έχουμε
| u y ( x, 0) | = | e -√ n cos ( nx ) | ≤ e -√ n , u ( x, y ) = e -√ n n cos ( nx ) sinh ( ny ) = e -√ n + ny -e -√ n -ny 2 n cos ( nx ) ,
δηλ. για y = 0 , μεταβολή στο n έχει ως αποτέλεσμα εκθετικά μεγάλη μεταβολή στη u . Άρα, αφού n →∞ συνεπάγεται | u y ( x, 0) | → 0 και ταυτόχρονα | u ( x, y ) | → ∞ , είναι εμφανές ότι το πρόβλημα είναι κακώς τοποθετημένο.
Στα επόμενα, θα μελετήσουμε μόνο καλώς τοποθετημένα προβλήματα, εξοπλίζοντας τις εκάστοτε ΜΔΕ με κατάλληλες επιπρόσθετες συνθήκες.
Άσκηση5. ΘεωρούμετοπρόβλημαCauchyκαιυιοθετούμετονσυμβολισμότουΠαραδείγματος1.28.Δείξτε ότι d E d t ( t ) ≤ 0 για t ∈ [0 , t 0 ] .
[Υπόδειξη: Υπενθυμίζουμε την ταυτότητα d d t ∫ b ( t ) a ( t ) g ( t, x ) d x = ∫ b ( t ) a ( t ) g t ( t, x ) d x + g ( t, b ( t )) d b d t ( t ) -g ( t, a ( t )) d a d t ( t ) . ]
Άσκηση 6. Θεωρούμε το πρόβλημα Cauchy της εξίσωσης θερμότητας u t -u xx = 0 για ( t, x ) ∈ (0 , ] × [0 , 1] ,
για κάποιο τελικό χρόνο T > 0 , μαζί με την αρχική συνθήκη u (0 , x ) = ϕ ( x ) , x ∈ [0 , 1] ,
για κάποια γνωστή συνάρτηση ϕ ∈ C ([0 , 1]) και τις συνοριακές συνθήκες u ( t, 0) = 0 = u ( t, 1) , t ∈ (0 , T ] .
Δείξτε ότι αν το παραπάνω πρόβλημα έχει τουλάχιστον μία λύση, τότε είναι καλώς τοποθετημένο.
[Υπόδειξη: Μπορείτε να ξεκινήσετε παραγωγίζοντας την «ενέργεια»
E ( t ) := 1 2 ∫ 1 0 e 2 ( t, x ) d x, | 5 | 16 | κ | Μεταπτυχιακό εγχειρίδιο |
204,020 | row_204020 | paper_A_0002 | 0 | 1 | 1.6 Προβλήματα συνοριακών τιμών | 0.14-0.14 | Όπως είδαμε στο Παράδειγμα 1.29, το πρόβλημα Cauchy με την ελλειπτική εξίσωση δεν είναι, εν γένει, καλώςτοποθετημένο.ΟιελλειπτικέςΜΔΕαπαντώνται,ωςεπίτοπλείστον,στηνπροτυποποίησηφαινομένων και διαδικασιών σε κατάσταση ισορροπίας (ελαστική, μηχανική, ηλεκτροστατική ή βαρυτική ισορροπία κτλ.) και όχι χρονικά μεταβαλλόμενες/δυναμικές διαδικασίες. Ως εκ τούτου, είναι ίσως αναμενόμενο να απαιτούνται επιπρόσθετες συνθήκες διαφορετικής φύσης για την καλή τοποθέτηση ελλειπτικών προβλημάτων.
Έστω, λοιπόν, η ελλειπτική ΜΔΕ
L u ≡ -d ∑ i,j =1 a ij u x i x j + d ∑ i =1 b i u x i + cu = f, (1.46)
για u ≡ u ( x ) , με x := ( x 1 , . . . , x d ) ⊤ ∈ Ω ⊂ R d και Σ ≡ Σ( x ) := { a ij } d i,j =1 συμμετρικό και θετικά ορισμένο³ (χωρίς βλάβη της γενικότητας καθώς αν όλες οι ιδιοτιμές του { a ij } d i,j =1 είναι αρνητικές, πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση με -1 ).
Σε πολλές περιπτώσεις προτιμάμε να γράφουμε την (1.46) στη μορφή
Ο συμβολισμός L θα χρησιμοποιείται ως συντομογραφία ενός γενικού ελλειπτικού διαφορικού τελεστή παρακάτω, δηλ. μιας απεικόνισης που αναπαριστά τις διαδικασίες παραγώγισης της εξίσωσης. Π.χ. για την εξίσωση (1.36) ο διαφορικός τελεστής L = ∆ και μπορεί, για παράδειγμα, να είναι μια απεικόνιση της μορφής L : C 2 ( R d ) → C ( R ) .
-∇· (Σ ∇ u ) + ˜ B · ∇ u + cu = f, (1.47)
όπου ˜ B := { ˜ b i } d i =1 με ˜ b i := ˜ b i -∇· Σ i και Σ i := ( a i 1 , a i 2 , . . . , a id ) ⊤ , i = 1 , . . . , d η i -οστή γραμμή του πίνακα Σ . Το αρνητικό πρόσημο στους όρους δεύτερης τάξης της (1.46) (και, κατά συνέπεια, της (1.47)) σε σχέση με την (1.35) είναι επουσιώδες για την παρούσα συζήτηση· προστέθηκε εδώ για λόγους οικονομίας αλλά και ιστορίας, όπως θα δούμε παρακάτω⁴.
Επιστρέφοντας στο Παράδειγμα (1.29), παρατηρούμε ότι η κακή τοποθέτηση θα μπορούσε να αποφευχθεί αν αντικαθιστούσαμε μια από τις συνθήκες Cauchy με μια συνθήκη σε ένα ευθύγραμμο τμήμα της μορφής { ( x, y ) : x ∈ [ -π /2 , π /2] , y = k } , για κάποιο θετικό αριθμό k , ώστε να αποφύγουμε πιθανώς άκρατη μεταβολή της λύσης λόγω μικρής μεταβολής των δεδομένων.
Ηπαραπάνω συζήτηση προκρίνει τη συμπλήρωση της ελλειπτικής εξίσωσης (1.46) ή (1.47) με συνθήκες ορισμένες σε όλο το σύνορο ∂ Ω του χωρίου Ω . Ως εκ τούτου, τέτοιες συνθήκες θα αναφέρονται ως συνοριακές συνθήκες .
Ορισμός 1.30. Έστω η ελλειπτική ΜΔΕ (1.47) ορισμένη στο χωρίο Ω . Ορίζουμε τη
- · συνοριακή συνθήκη Dirichlet ως u ( x ) = g ( x ) , για x ∈ ∂ Ω όπου g : ∂ Ω → R γνωστή συνάρτηση,
- · συνοριακή συνθήκη Neumann ως n · ∇ u ( x ) =: ∂u ∂ n ( x ) = g ( x ) , για x ∈ ∂ Ω όπου g : ∂ Ω → R γνωστή συνάρτηση, όπου n ≡ n ( x ) το εξωτερικό μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα στο x ∈ ∂ Ω ,
- · συνοριακή συνθήκη Robin ως ∂u ∂ n ( x ) + γu ( x ) = g ( x ) , για x ∈ ∂ Ω όπου γ, g : ∂ Ω → R γνωστές συναρτήσεις.
Ακόμα,η(1.47)μαζίμετησυνθήκηDirichlet/Νeumann/Robinθααναφέρεταικαιωςτο πρόβλημα(συνοριακών τιμών) Dirichlet/Νeumann/Robin , αντίστοιχα. | 5 | 15 | κ | Μεταπτυχιακό εγχειρίδιο |
204,021 | row_204021 | paper_A_0002 | 0 | 1 | Παράδειγμα 1.31. Έστω το ελλειπτικό πρόβλημα | 0.14-0.15 | -∆ u + u = f
-∫ Ω ∆ uu d x + ∫ Ω u 2 d x = ∫ Ω fu d x .
ορισμένο στο χωρίο Ω ⊂ R d , για μια γνωστή f : Ω → R , τέτοια ώστε ∫ Ω f 2 d x < + ∞ , εξοπλισμένο με την ομογενή συνοριακή συνθήκη Dirichlet u ( x ) = 0 για x ∈ ∂ Ω . Υποθέτοντας ότι το παραπάνω πρόβλημα έχει τουλάχιστον μία λύση (αυτό ισχύει για συγκεκριμένες συνθήκες ομαλότητας των συντελεστών και του συνόρου ∂ Ω , όπως θα δούμε στο Κεφάλαιο 7), θέλουμε να δείξουμε ότι είναι καλώς τοποθετημένο ως προς το δεξί μέλος f . Πράγματι, πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση με λύση u και ολοκληρώνοντας στο χωρίο Ω , λαμβάνουμε
Εκτελώντας ολοκλήρωση κατά μέρη στις d διαστάσεις,⁵ παίρνουμε
∫ Ω ∇ u · ∇ u d x + ∫ Ω u 2 d x = ∫ Ω fu d x , (1.49)
καθώς u = 0 στο ∂ Ω . Επιστρατεύοντας, τώρα, την (ολοκληρωτική) ανισότητα Cauchy-Schwarz στο δεξί μέλος της (1.49), καθώς και την προφανή ανισότητα αβ ≤ α 2 2 + β 2 2 , καταλήγουμε στο φράγμα
Καθώς, λοιπόν, έχουμε ∫ Ω f 2 d x < + ∞ , οι λύσεις του προβλήματος συνοριακών είναι, όπως λέμε, τετραγωνικά ολοκληρώσιμες με τετραγωνικά ολοκληρώσιμες πρώτες μερικές παραγώγους.
∫ Ω |∇ u | 2 d x + ∫ Ω u 2 d x ≤ ( ∫ Ω f d x ) 1 2 ( ∫ Ω u 2 d x ) 1 2 ≤ 1 2 ∫ Ω f 2 d x + 1 2 ∫ Ω u 2 d x ,
∫ Ω |∇ u | 2 d x + 1 2 ∫ Ω u 2 d x ≤ 1 2 ∫ Ω f 2 d x . (1.50)
Από την (1.50), θα συμπεράνουμε τη μοναδικότητα της λύσης αλλά και τη συνέχεια ως προς μεταβολές στο δεξί μέλος. Πράγματι, έστω ότι το πρόβλημα έχει δυο λύσεις u 1 και u 2 . Τότε, η διαφορά τους e = u 1 -u 2 ικανοποιεί το πρόβλημα συνοριακών τιμών
-∆ e + e = 0 στο Ω και e = 0 στο ∂ Ω
και, άρα, η (1.50) συνεπάγεται ότι ∫ Ω |∇ e | 2 d x + 1 2 ∫ Ω e 2 d x = 0 , δηλ. e = 0 σχεδόν παντού. Δεδομένου, όμως, ότι η e είναι διαφορίσιμη, είναι και συνεχής, οπότε καταλήγουμε ότι e = 0 , δηλ. u 1 = u 2 . Για τη συνέχεια ως προς f , τώρα, έστω το πρόβλημα
-∆˜ u + ˜ u = ˜ f στο Ω και ˜ u = 0 στο ∂ Ω .
Αφαιρώντας το τελευταίο από το αρχικό πρόβλημα, καταλήγουμε στο
-∆( u -˜ u ) + ( u -˜ u ) = f -˜ f στο Ω και ( u -˜ u ) = 0 στο ∂ Ω ,
⁵Με άλλα λόγια, εφαρμόζουμε το Θεώρημα της Απόκλισης / του Gauss στο διανυσματικό πεδίο v ∇ w :
∫ ∂ Ω v ∇ w · n d S = ∫ Ω ∇· ( v ∇ w ) d x = ∫ Ω ∇ v · ∇ w d x + ∫ Ω v ∆ w d x , (1.48)
για δυο αρκούντως ομαλές, βαθμωτές συναρτήσεις w,v : Ω → R , χρησιμοποιώντας τη γνωστή ταυτότητα ∇·∇ = ∆ , όπου n συμβολίζει το εξωτερικό μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα στο σύνορο ∂ Ω και d S το διαφορικό στο σύνορο του Ω .
για το οποίο η (1.50) συνεπάγεται
∫ Ω ( u -˜ u ) 2 d x ≤ ∫ Ω ( f -˜ f ) 2 d x , (1.51)
δηλ. το τετραγωνικό ολοκλήρωμα της διαφοράς u -˜ u φράσσεται από το αντίστοιχο της διαφοράς f -˜ f .
Άσκηση 7. Έστω η ελλειπτική ΜΔΕ
-∇· (Σ ∇ u ) + b · ∇ u + u = f στο χωρίο Ω ⊂ R d ,
για μια γνωστή f : Ω → R , τέτοια ώστε ∫ Ω f 2 d x < + ∞ , Σ θετικά ορισμένο πίνακα συντελεστών και b ∈ R d σταθερό διάνυσμα. Συμπληρώνουμε την εξίσωση με την ομογενή συνοριακή συνθήκη Dirichlet u ( x ) = 0 , για x ∈ ∂ Ω . Υποθέτοντας ότι το παραπάνω πρόβλημα έχει τουλάχιστον μία λύση, θέλουμε να δείξουμε ότι είναι καλώς τοποθετημένο ως προς το δεξί μέλος f .
Άσκηση 8. Επαναλάβετε το προηγούμενο πρόβλημα για b = 0 , αντικαθιστώντας την ομογενή συνοριακή συνθήκη Dirichlet με την ομογενή συνοριακή συνθήκη Neumann ∂u ∂ n ( x ) = 0 , για x ∈ ∂ Ω . | 8 | 25 | κ | Μεταπτυχιακό εγχειρίδιο |
204,022 | row_204022 | paper_A_0002 | 0 | 0 | 1.7 Προβλήματα αρχικών-συνοριακών τιμών για παραβολικές και υπερβολικές ΜΔΕ | 0.15-0.15 | Όπως είδαμε, προβλήματα ελλειπτικών ΜΔΕ δεύτερης τάξης σε φραγμένα χωρία μπορούν να καταστούν καλάορισμέναότανεξοπλιστούνμεκατάλληλεςσυνοριακέςσυνθήκες.Σεαυτήντηνενότηταθασυζητήσουμε αντιστοίχως καλά ορισμένα προβλήματα παραβολικών και υπερβολικών εξισώσεων της μορφής (1.35)· τέτοιες εξισώσεις χαρακτηρίζονται, συνήθως, ως εξελικτικές καθώςημεταβλητήπουαφοράτημηδενικήιδιοτιμή ή την ιδιοτιμή με διαφορετικό πρόσημο των υπολοίπων (βλ. Ορισμό 1.21) προτυποποιεί τη χρονική μεταβολή/εξέλιξη του φαινομένου.
Έστω, λοιπόν, η εξίσωση θερμότητας u t -∆ u = f, για u ≡ u ( t, x ) , (1.52)
με ( t, x ) ∈ Ω = [0 , ∞ ) × D , x := ( x 1 , x 2 , . . . , x d ) ⊤ , όπου D χωρίο στον R d , η οποία είναι παραβολική, όπως είδαμε στο Παράδειγμα 1.22β. Ας υποθέσουμε προς στιγμή ότι η u και η f είναι σταθερές ως προς τη χρονική μεταβλητή t , τότε καταλήγουμε στην εξίσωση Poisson -∆ u = f . Αν, τώρα, το χωρίο D είναι φραγμένο, είναι λογικό να υποθέσουμε ότι απαιτούνται συνοριακές συνθήκες όπως αυτές που δίνονται στον Ορισμό 1.30.
Ακολουθώντας το παραπάνω σκεπτικό, ορίζουμε το πρόβλημα αρχικών-συνοριακών τιμών για την εξίσωση θερμότητας ως u t -∆ u = f, στο Ω := (0 , T f ] × D, α ∂u ∂ n + βu = g, στο (0 , T f ] × ∂D, u (0 , · ) = u 0 ( · ) , στο ¯ D, (1.53)
όπου f : Ω → R , g : (0 , T f ] × ∂D → R , u 0 : ¯ D → R αρκούντως ομαλές συναρτήσεις⁶ (π.χ. τετραγωνικά ολοκληρώσιμες στο πεδίο ορισμού τους) και α, β ∈ R , παρατηρώντας ότι για διαφορετικές τιμές τους λαμβάνουμε όλο το φάσμα των συνοριακών συνθηκών από τον Ορισμό 1.30.
Αντίστοιχα, ορίζουμε το πρόβλημα αρχικών-συνοριακών τιμών για την κυματική εξίσωση ως u tt -∆ u = f, στο Ω := (0 , T f ] × D, α ∂u ∂ n + βu = g, στο (0 , T f ] × ∂D, u (0 , · ) = u 0 ( · ) , στο ¯ D, u t (0 , · ) = v 0 ( · ) , στο ¯ D, (1.54)
όπου f : Ω → R , g : (0 , T f ] × ∂D → R , u 0 , v 0 : ¯ D → R αρκούντως ομαλές συναρτήσεις (π.χ. τετραγωνικά ολοκληρώσιμες στο πεδίο ορισμού τους) και α, β ∈ R , όπως παραπάνω.
Αντιπαραβάλλοντας τις (1.53) και (1.54), παρατηρούμε ότι για το πρόβλημα κύματος χρειάζονται δυο αρχικές συνθήκες αντί για μία στο πρόβλημα θερμότητας. Αλγεβρικά αυτό διαφαίνεται γιατί έχουμε δεύτερη παράγωγο ως προς t στο (1.54). Επίσης, παρατηρούμε ότι η παρουσία δυο αρχικών συνθηκών είναι συμβατή με τη θεώρηση ότι ως προς τη μεταβλητή t έχουμε στην πραγματικότητα ένα πρόβλημα Cauchy. | 3 | 8 | κ | Μεταπτυχιακό εγχειρίδιο |
204,023 | row_204023 | paper_A_0002 | 0 | 0 | 1.8 Χωρισμός μεταβλητών | 0.15-0.17 | Ηκλασικότερη, ίσως, μέθοδος εύρεσης λύσης ειδικών προβλημάτων ΜΔΕ είναι ο επονομαζόμενος χωρισμός μεταβλητών . Η μέθοδος αυτή, στην απλούστερη μορφή της, χρησιμοποιεί δυο βασικές δομικές ιδιότητες της ΜΔΕ: τη γραμμικότητα και την ανεξαρτησία της λύσης ανά κατεύθυνση, όπως θα δούμε λεπτομερώς παρακάτω.
Συγκεκριμένα, έστω το μονοδιάστατο παραβολικό πρόβλημα αρχικών-συνοριακών τιμών u t ( t, x ) -u xx ( t, x ) = 0 , στο (0 , T ] × [0 , L ] , (1.55α) u ( t, 0) = u ( t, L ) = 0 , για 0 < t ≤ T, (1.55β) u (0 , x ) = ϕ ( x ) , για 0 ≤ x ≤ L, (1.55γ)
όπου ϕ : [0 , L ] → R γνωστή συνεχής συνάρτηση με ϕ (0) = ϕ ( L ) = 0 . Το πρόβλημα αυτό μελετήθηκε ως προς την καλή τοποθέτηση στην Άσκηση 6 (για L = 1 ), υποθέτοντας ότι έχει τουλάχιστον μία λύση. Παρακάτω, θα υπολογίσουμε μια λύση του και, άρα, θα καταλήξουμε ότι το πρόβλημα αυτό είναι πράγματι καλώς τοποθετημένο.
Ξεκινούμε κάνοντας την εξής υπόθεση: έστω ότι το πρόβλημα έχει μια πουθενά μη μηδενική λύση u του (1.55α-1.55γ) η οποία να είναι γινόμενο αρκούντως ομαλών συναρτήσεων μιας μεταβλητής u ( t, x ) = T ( t ) X ( x ) ,
για κάποιες T και X · δηλ. υποθέτουμε ότι οι μεταβλητές «χωρίζονται». Τότε, έχουμε u t = T ' ( t ) X ( x ) και u xx = T ( t ) X '' ( x ) και, άρα, από τη ΜΔΕ παίρνουμε
T ' ( t ) X ( x ) = T ( t ) X '' ( x ) ή T ' ( t ) T ( t ) = X '' ( x ) X ( x ) , (1.56)
μετά από διαίρεση με u ( t, x ) = T ( t ) X ( x ) . Παρατηρούμε ότι το κάθε μέλος της (1.56) εξαρτάται από διαφορετική ελεύθερη μεταβλητή και, συνεπώς, η μόνη δυνατότητα για να ισχύει η (1.56) για κάθε t, x στο χωρίο του προβλήματος είναι το κάθε μέλος να είναι σταθερό , έστω ίσο με λ ∈ R . Παίρνουμε, λοιπόν, τις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις
T ' ( t ) -λT ( t ) = 0 και X '' ( x ) -λX ( x ) = 0 .
Ακόμα, από τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε
T ( t ) X (0) = T ( t ) X ( L ) = 0 δηλ. X (0) = X ( L ) = 0 .
Για να υπολογίσουμε την X , χωρίζουμε τρεις περιπτώσεις: λ > 0 , λ = 0 και λ < 0 . Αν λ > 0 , τότε το
X '' ( x ) -λX ( x ) = 0 , 0 < x < L και X (0) = X ( L ) = 0 (1.57)
έχει λύση της μορφής
X ( x ) = A cosh ( √ λx ) + B sinh ( √ λx ) , για A, B ∈ R , τις οποίες ορίζουμε από τις συνοριακές συνθήκες X (0) = X ( L ) = 0 και παίρνουμε
0 = X (0) = A cosh (0) = A και 0 = X ( L ) = B sinh ( √ λa ) , δηλ. επίσης B = 0 , καταλήγοντας σε άτοπο γιατί u = 0 . Αν λ = 0 , τότε το (1.57) έχει λύση της μορφής X ( x ) = Ax + B, για A, B ∈ R και, άρα, χρησιμοποιώντας X (0) = X ( L ) = 0 , παίρνουμε πάλι u = 0 , που δεν είναι αποδεκτό.
Τέλος, αν λ < 0 , θεωρούμε κ ∈ R , τέτοιο ώστε λ = -κ 2 . Τότε, το πρόβλημα (1.57) έχει λύση της μορφής
X ( x ) = A cos ( κx ) + B sin ( κx ) , για A, B ∈ R . Κάνοντας χρήση των συνοριακών συνθηκών X (0) = X ( L ) = 0 , παίρνουμε 0 = X (0) = A cos (0) = A και 0 = X ( L ) = B sin ( κL ) , που συνεπάγεται sin ( κL ) = 0 , δηλ. κL = nπ για κάθε n ∈ N και, άρα, καταλήγουμε στις λύσεις
X ( x ) ≡ X n ( x ) := B n sin ( nπx L ) ,
Υπολογίζουμε, τώρα, την T η οποία ικανοποιεί την n ∈ N και για οποιαδήποτε B n ∈ R .
T ' ( t ) -κ 2 T ( t ) = 0 , για 0 < t < T
και έχει λύση της μορφής
T ( t ) = C e -κ 2 t ,
Καταλήγουμε, λοιπόν, ότι για κάθε n ∈ N , οι συναρτήσεις ικανοποιούν τις (1.55α-1.55β).
u n ( t, x ) := D n e -n 2 π 2 t / L 2 sin ( nπx L )
Καθώς η ΜΔΕ είναι γραμμική και καθώς οι συνοριακές συνθήκες είναι ομογενείς, κάθε γραμμικός συνδυασμός των u n θα ικανοποιεί επίσης τις (1.55α-1.55β). Άρα, η u ( t, x ) = ∞ ∑ n =1 D n e -n 2 π 2 t / L 2 sin ( nπx L ) (1.58)
ικανοποιεί τις (1.55α-1.55β) για D n ∈ R , n ∈ N , τέτοια ώστε η σειρά να συγκλίνει. Η τελευταία παρατήρηση αναφέρεται και ως αρχή της υπέρθεσης λύσεων για ομογενείς γραμμικές ΜΔΕ.
Για να καθορίσουμε τα D n , χρησιμοποιούμε την αρχική συνθήκη u (0 , x ) = T (0) X ( x ) = ϕ ( x ) και παίρνουμε ϕ ( x ) = u (0 , x ) = ∞ ∑ n =1 D n sin ( nπx L ) . (1.59)
Αν αναπτύξουμε την αρχική συνθήκη ϕ ( x ) σε ημιτονοειδή σειρά Fourier (βλ., Παράρτημα Β για περισσότερες λεπτομέρειες,) έχουμε ϕ ( x ) = ∞ ∑ n =1 b n sin ( nπx L ) , όπου b n = 2 L ∫ L 0 ϕ ( x ) sin ( nπx L ) d x,
και, άρα, θέτοντας D n = b n , καταλήγουμε ότι η u ( t, x ) = ∞ ∑ n =1 ( 2 L ∫ L 0 ϕ ( x ) sin ( nπx L ) d x ) e -n 2 π 2 t / L 2 sin ( nπx L ) (1.60)
είναι λύση του (1.55α-1.55γ) αν, φυσικά, η σειρά συγκλίνει. Αν η ϕ είναι συνεχώς παραγωγίσιμη εκτός από ένα πεπερασμένο πλήθος ασυνεχειών, τότε το Θεώρημα Β.6 στο Παράρτημα Β συνεπάγεται ότι
| b n | ≤ Cn -1 , n ∈ N , για μια θετική σταθερά C ανεξάρτητη του n . Άρα, έχουμε
| u ( t, x ) | ≤ C ∞ ∑ n =1 n -1 e -n 2 π 2 t / L 2 , δηλ. η σειρά συγκλίνει απόλυτα. Καταλήγουμε, λοιπόν, ότι η (1.60) είναι η μοναδική λύση του (1.55α-1.55γ).
Παράδειγμα 1.32. Έστω το (1.55α-1.55γ) για L = 1 και ϕ : [0 , 1] → R , με ϕ ( x ) = { x, if 0 ≤ x ≤ 1 2 , 1 -x, if 1 2 < x ≤ 1 .
Για να ορίσουμε τα D n στην (1.59), υπολογίζουμε τους συντελεστές Fourier
2 L ∫ L 0 ϕ ( x ) sin ( nπx L ) d x = · · · = 4 sin ( nπ 2 ) ( nπ ) 2
u ( t, x ) = ∞ ∑ n =1 4 sin ( nπ 2 ) ( nπ ) 2 e -n 2 π 2 t / L 2 sin ( nπx ) .
Παρατήρηση 1.33. Θεωρούμε την αντίστροφη εξίσωση θερμότητας μαζί με τις συνοριακές και αρχικές συνθήκες (1.55β), (1.55γ), αντίστοιχα. Ακολουθώντας την εντελώς ανάλογη διαδικασία χωρισμού μεταβλητών, καταλήγουμε στη λύση
u ( t, x ) = ∞ ∑ n =1 b n e n 2 π 2 t / L 2 sin ( nπx L ) , (1.61)
όπου b n , n ∈ N , όπως παραπάνω. Καθώς ο εκθέτης του εκθετικού όρου είναι τώρα θετικός, καταλήγουμε ότι «μικρή» αλλαγή στην αρχική συνθήκη, δηλ. στα b n , μπορεί να επιφέρει «εκθετικά μεγάλη» αλλαγή στη λύση. Άρα, το αντίστροφο πρόβλημα θερμότητας είναι κακώς τοποθετημένο.
Άσκηση9. Αναζητούμε τη μοναδική λύση u = u ( t, x ) : [0 , ∞ ) × [0 , 1] → R του προβλήματος αρχικώνσυνοριακών τιμών u t -u xx = 0 , για t > 0 και 0 < x < 1 , u x ( t, 0) = u x ( t, 1) = 0 , για t > 0 u (0 , x ) = ϕ ( x ) , για 0 ≤ x ≤ 1 ,
όπου ϕ : [0 , 1] → R είναι γνωστή συνάρτηση. Υπολογίστε τη λύση με τη μέθοδο του χωρισμού μεταβλητών σε μορφή σειράς και δώστε ικανές συνθήκες για τη σύγκλισή της. Ακόμα, υπολογίστε το όριο lim t → + ∞ u ( t, x ) και αναλογιστείτε τη φυσική σημασία του.
Άσκηση 10. Αναζητούμε τη μοναδική λύση u = u ( t, x ) : [0 , ∞ ) × [0 , L ] → R του προβλήματος αρχικών-συνοριακών τιμών της κυματικής εξίσωσης u tt -u xx = 0 , για t > 0 και 0 < x < L, u ( t, 0) = u ( t, L ) = 0 , για t > 0 u (0 , x ) = ϕ ( x ) , για 0 ≤ x ≤ L, u t (0 , x ) = ψ ( x ) , για 0 ≤ x ≤ L,
όπου ϕ, ψ : [0 , 1] → R είναι γνωστές συναρτήσεις. Υπολογίστε τη λύση με τη μέθοδο του χωρισμού μεταβλητών σε μορφή σειράς και δώστε ικανές συνθήκες για τη σύγκλισή της. | 14 | 43 | κ | Μεταπτυχιακό εγχειρίδιο |
204,024 | row_204024 | paper_A_0002 | 0 | 0 | ΔΙΑΙΡΕΜΕΝΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΙ Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΤΡΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ | 0.17-0.17 | null | 0 | 0 | κ | Μεταπτυχιακό εγχειρίδιο |
204,025 | row_204025 | paper_A_0002 | 0 | 0 | Περίληψη | 0.17-0.17 | Στο κεφάλαιο αυτό αναφέρονται βασικά στοιχεία λογισμού διαιρεμένων διαφορών, καθώς και βασικά αποτελέσματα προσέγγισης παραγώγων από διαιρεμένες διαφορές. Ως εφαρμογή περιγράφεται αναλυτικά η κλασική μέθοδος πεπερασμένων διαφορών, γνωστή και ως μέθοδος των τριών σημείων, για το μονοδιάστατο πρόβλημα συνοριακών τιμών. Μέσω του παραδείγματος αυτού, παρουσιάζονται αναλύσεις σφάλματος της μεθόδου αυτής σε διάφορες διακριτές νόρμες. Επίσης, περιγράφονται μέσω του παραδείγματος αυτού δυο βασικές έννοιες της αριθμητικής ανάλυσης ΜΔΕ: η συνέπεια και η ευστάθεια. Τέλος, αναφέρεται η ισοδυναμία του Lax.
ΠροαπαιτούμενηΓνώση: ΒασικάπροπτυχιακάμαθήματαΓραμμικήςΆλγεβρας,ΑπειροστικούΛογισμούκαι Διαφορικών Εξισώσεων. | 1 | 2 | κ | Μεταπτυχιακό εγχειρίδιο |
End of preview.
Πληροφορίες για τα δεδομένα:
Το Apothetirio_Kallipos περιέχει καθαρισμένα και επεξεργασμένα δεδομένα που εξάγονται από το Ανοιχτό Ακαδημαϊκό Αποθετήριο Κάλλιπος, το οποίο αποτελεί το πρώτο ελληνικό ακαδημαϊκό αποθετήριο ανοιχτής πρόσβασης για πανεπιστημιακά συγγράμματα και επιστημονικά βιβλία. Περιλαμβάνει πλήθος ψηφιακών συγγραμμάτων από διάφορους επιστημονικούς τομείς. Το dataset μέσα από μια σειρά διαδικασιών μηχανικής μάθησης έχει καθαριστεί και επισημειωθεί αυτόματα όσον αφορά δομικά μέρη του κειμένου: περιεχόμενα , βιβλιογραφία , παράρτημα κλπ
Χαρακτηριστικά: Γλώσσα: Ελληνικά (el)
Πηγή: Ανοιχτό Ακαδημαϊκό Αποθετήριο Κάλλιπος (https://repository.kallipos.gr/)
Περιεχόμενο: Πανεπιστημιακά συγγράμματα και ακαδημαϊκά υλικά
Διαδικασία Καθαρισμού: Κατάτμηση κειμένου, αφαίρεση διπλότυπων, ομαλοποίηση κειμένου και φιλτράρισμα μεταδεδομένων
Μορφή:Parquet
Πιθανές Χρήσεις: Εκπαίδευση και αξιολόγηση NLP μοντέλων για την επεξεργασία ελληνικών ακαδημαϊκών κειμένων
Κατηγοριοποίηση κειμένων και ανάλυση θεματολογίας
Μοντελοποίηση γλώσσας και μηχανική μάθηση
Άδεια Χρήσης: Το dataset ακολουθεί τους όρους αδειοδότησης του αρχικού αποθετηρίου Κάλλιπος, το οποίο διανέμει περιεχόμενο κυρίως υπό άδειες Creative Commons (CC BY-NC ή CC BY-NC-SA). Οι χρήστες πρέπει να τηρούν αυτούς τους όρους κατά τη χρήση του dataset.
Για ανατροφοδότηση επικοινωνήστε: [email protected]
Dataset Info:
The Apothetirio_Kallipos dataset contains cleaned and processed data extracted from the Kallipos Open Academic Repository, which is the first Greek open-access academic repository for university textbooks and scientific books. It includes a large collection of digital textbooks across various scientific disciplines. Through a series of machine learning processes, the dataset has been automatically cleaned and annotated regarding structural elements of the text, such as table of contents, bibliography, appendices, etc.
Features: Language: Greek (el)
Source: Kallipos Open Academic Repository (https://repository.kallipos.gr/)
Content: University textbooks and academic materials
Cleaning Process: Text segmentation, duplicate removal, text normalization, and metadata filtering
Format: Parquet
Potential Uses: Training and evaluation of NLP models for processing Greek academic texts
Text classification and topic modeling
Language modeling and machine learning
License: The dataset follows the licensing terms of the original Kallipos repository, which primarily distributes content under Creative Commons (CC BY-NC or CC BY-NC-SA). Users must comply with these licensing terms when using the dataset.
For feedback, contact: [email protected]
- Downloads last month
- 6