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|---|---|
we begin by proving the following remarkable fact . | 驚くべき事実を証明して始めましょう |
[ 2mod9 ] let @xmath4 be a positive integer relatively prime to @xmath35 . | [ 2mod9 ] @ xmath4 は @ xmath35 に相対的に素数であるとする. |
then every infinite back tracing sequence in @xmath224 contains a positive integer congruent to @xmath45 mod @xmath46 . | @xmath224の無限回帰列は @xmath45 mod @xmath46 に一致する正の整数を含んでいる. |
we first draw a directed graph to represent of the action of @xmath43 and @xmath44 on the elements of @xmath288 relatively prime to @xmath35 , as shown in figure [ 9 ] . | まず図9に示すように @xmath43 と @xmath44 が @xmath288 の要素に対して 素数として作用する方向グラフを描きます. |
denote this directed graph by @xmath289 . | この指向グラフを @ xmath289 で表します. |
notice that any infinite back tracing sequence in @xmath224 , taken mod @xmath46 , defines a sequence of residues traced out by an infinite path along the arrows in @xmath289 in the _ reverse _ direction ( against the arrows ) . | @ xmath224 の無限回帰列は @ xmath46 の変数として, @ xmath289 の矢印に沿って _ 逆 _ 方向 (矢印に対して) で無限回帰列を定義します. |
we call such a path a _ reverse path_. | このような経路は _ 逆経路_ と呼ばれます. |
the action of @xmath43 and @xmath44 on the residues mod @xmath46 relatively prime to @xmath35 . ] | 余剰次数 mod @xmath46 に対する @xmath43 と @xmath44 の作用は @xmath35 に相対的に素数である ] |
let @xmath290 be an arbitrary back tracing sequence avoiding multiples of @xmath35 , and let @xmath113 be the corresponding reverse path on @xmath291 . | @ xmath290 は任意の逆行列で @ xmath35 の倍数にならないようにし, @ xmath113 は @ xmath291 の対応する逆行列である. |
assume to the contrary that @xmath233 is does not contain an integer congruent to @xmath45 mod @xmath46 . | @xmath233は @xmath45 mod @xmath46 に一致する整数を含まないと仮定します. |
then the path @xmath113 avoids the node labeled @xmath45 , and so it lies entirely in the subgraph @xmath292 shown in figure [ 9no2 ] . | 経路 @ xmath113 は @ xmath45 と表示されたノードを回避し,図 [ 9no2 ] に示されたサブグラフ @ xmath292 に完全に含まれます. |
the subgraph @xmath292 of @xmath289 formed by deleting the node labeled @xmath45 . ] | @xmath45 と表示されたノードを削除して形成された @xmath289 のサブグラフ @xmath292. ] |
now , since the path @xmath113 in is infinite , it can not contain the nodes @xmath116 , @xmath279 , or @xmath2 , since if we travel backwards along the edges from these nodes we must end up at @xmath2 , from which we can not travel further . | @ xmath113 の経路は無限なので @ xmath116, @ xmath279, @ xmath2 のノードも含めない. これらのノードから 辺に沿って逆行すると @ xmath2 にたどり着くので, 更に進むことはできません. |
furthermore , if @xmath113 begins at the node @xmath196 , then it must travel to the node @xmath114 , where it is locked into the red loop at @xmath114 . | さらに,もし @ xmath113 が @ xmath196 のノードから始まると,それは @ xmath114 のノードまで移動し,そこで @ xmath114 で赤いループにロックされます. |
but by theorem [ noteventuallyperiodic ] , this is impossible . | しかし定理では不可能です |
thus @xmath113 is the cyclic path @xmath293 . | したがって @xmath113 は周期的な経路 @xmath293 です. |
since @xmath113 must consist only of red arrows , the back tracing parity vector corresponding to @xmath233 is the all-@xmath2 s vector , which is a valid back tracing parity vector for the integer @xmath294 . | @ xmath113 は赤の矢印のみからなるので, @ xmath233 に対応する逆行対数ベクトルは, @ xmath294 の整数に対する有効逆行対数ベクトルである all-@ xmath2 s ベクトルである. |
but by theorem [ unique ] , it can therefore not be a valid back tracing parity vector for any other @xmath35-adic integer , and in particular , it can not be a valid back tracing parity vector for any positive integer . | しかし,定理 [ 唯一 ] によって,これは他の @ xmath35-adic整数に対する有効な逆行対数ベクトルであり,特に, 正の整数に対する有効な逆行対数ベクトルにはならない. |
thus , we have a contradiction , and so @xmath233 must in fact contain an integer congruent to @xmath45 mod @xmath46 . | 矛盾があるので @ xmath233 は @ xmath45 mod @ xmath46 に一致する整数を含んでいるはずです |
thus , for the arithmetic sequence @xmath295 , not only can we back trace from any @xmath296 to an element of @xmath6 , but we can not avoid doing so no matter how we back trace from @xmath4 . | したがって,数列 @ xmath295 の場合, @ xmath296 から @ xmath6 の要素まで遡ることができるだけでなく, @ xmath4 から遡る方法に関わらず, 避けられない. |
we say such sets @xmath6 are _ strongly sufficient in the backward direction _ , or simply _
backward sufficient_. | 逆行方向では _ 強く十分である とか _ 逆行十分である とか |
notice that the same argument applies to the forward direction : by looking at ( ordinary , not reverse ) paths in @xmath289 , we see that any forward @xmath1-orbit must contain an integer congruent to @xmath45 mod @xmath46 . | 前進方向にも同じ論法が適用されることに注意してください: @xmath289 の (逆ではなく普通) パスを調べると,前進 @xmath1-orbit は @xmath45 mod @xmath46 に一致する整数を含んでいることがわかります. |
the @xmath1-orbit of every positive integer contains an integer congruent to @xmath45 mod @xmath46 . | すべての正の整数の @xmath1-orbit には @xmath45 mod @xmath46 に一致する整数が含まれています. |
this essentially `` proves the collatz conjecture mod @xmath46 '' , and we say that @xmath295 is _ strongly sufficient in the forward direction _ , or simply _
forward sufficient_. | これは基本的に コラッツ推論 mod @xmath46 '' を証明し, @xmath295 は _ フォワード・ディレクションで _ 強く十分,または _ フォワード・十分な_ と言う. |
we define these notions precisely in the next section . | 次のセクションでこれらの概念を正確に定義します. |
we define strong sufficiency in both the forward and backward directions , and also for the special case of nontrivial cycles , as follows . | 強い十分性を前後両方向に定義し, 特殊な非微小なサイクルの場合も次のように定義します. |
let @xmath6 be a set of positive integers . | @ xmath6 を正の整数の集合とする. |
then * @xmath6 is _ forward sufficient _ if every divergent @xmath1-orbit contains an element of @xmath6 . | 異なる @xmath1軌道に @xmath6 の要素がある場合, * @xmath6 は _ 足る _ になります. |
* @xmath6 is _ cycle sufficient _ if every nontrivial cycle contains an element of @xmath6 . | * @xmath6 は _ サイクルで十分 _ であり,もしすべての非微妙なサイクルに @xmath6 の要素が含まれているならば. |
* @xmath6 is _ backward sufficient _ if for every positive integer @xmath4 relatively prime to @xmath35 , every element of @xmath224 having an irrational back tracing parity vector contains an element of @xmath6 . | * @xmath6 は _ 逆行式で十分 _ もし @xmath4 と @xmath35 の間の素数である正の整数ごとに, @xmath224 のすべての要素に @xmath6 の要素が含まれているならば, |
* @xmath6 is _ strongly sufficient _ if it is forward sufficient , cycle sufficient , and backward sufficient . | * @xmath6 は _ 強く十分 _ であり, 前向きに十分, サイクルに十分, 後向きに十分である. |
for simplicity in what follows , we write @xmath297 to denote the set of positive integers congruent to one of @xmath298 mod @xmath39 . | 単純化のために @ xmath297 を @ xmath298 mod @ xmath39 の 1 に一致する正の整数の集合を表すように書きます. |
we sometimes drop the brackets when the notation is clear . | 記号がはっきりしたときに 括弧を落とすこともあります |
so we would say that @xmath299 , or @xmath9 , is strongly sufficient . | 十分十分だと 言うことができます |
in the case of @xmath45 mod @xmath46 , we did not need to restrict our claim to the divergent orbits , the nontrivial cycles , and the aperiodic infinite back tracing sequences , because the cycle @xmath24 itself contains an element congruent to @xmath45 mod @xmath46 . | @xmath45 mod @xmath46 の場合, @xmath24 サイクル自体には @xmath45 mod @xmath46 に一致する要素が含まれているので, 異なる軌道,非微小なサイクル,および無周期的な無限の遡行配列に主張を制限する必要はありませんでした. |
however , there are many sets @xmath6 that intersect those @xmath1-orbits and back tracing sequences that do not end in @xmath24 , but do not intersect _ every _
@xmath1-orbit simply because @xmath6 does not contain @xmath2 or @xmath45 . | しかし, @ xmath1 の軌道と @ xmath24 で終わらない逆行列を交差する @ xmath6 の集合は多く, @ xmath2 や @ xmath45 が含まれていないので, _ _ の @ xmath1 の軌道と交差しない. |
for this reason , we throw away the back tracing sequences and orbits that end in @xmath24 in our definition of strong sufficiency . | 強い足し算の定義では @ xmath24 で終わる軌道を捨てます |
notice also that it suffices to prove the @xmath0 conjecture for the elements of any single strongly sufficient set , and that for any strongly sufficient set @xmath6 , @xmath300 and @xmath301 are sufficient sets . | また, @ xmath0 仮説を証明するには, 固有足る集合の要素を証明するのに十分であり, 固有足る集合の @ xmath6, @ xmath300, @ xmath301 は固有足る集合であることに注意してください. |
moreover , not only does every positive integer @xmath4 _ merge _ with an element of @xmath300 ( or @xmath301 ) , but it actually _ contains _ one in its @xmath1-orbit and in every element of @xmath224 . | さらに,すべての正の整数 @xmath4 _ は @xmath300 (または @xmath301 ) の要素と結合するだけでなく,実際には @xmath1-orbit と @xmath224 のすべての要素に 1 つが含まれています. |
hence the term `` strong sufficiency . '' | 十分な強度という用語が由来する " |
obtaining strongly sufficient sets give us a promising way in which to approach the nontrivial cycles conjecture . | 強い足し算の集合を 獲得することで 期待できる方法で 非微小なサイクルを 推測できます |
in particular , suppose we can show that a fixed , finite set of residues @xmath302 , modulo a set of arbitrarily large values of @xmath12 , is strongly sufficient for each of these moduli @xmath12
. | 特に,固定された,有限の残数集合 @xmath302, @xmath12の任意の大きな値の集合をモジュールすると, これらのモジュール @xmath12 それぞれに十分に十分であることを示せると仮定します. |
then any nontrivial cycle , being bounded , must contain one of the positive integers @xmath302 , and so we would only need to verify that the finite list of positive integers @xmath302 have a @xmath1-orbit that contains @xmath2 . | 任意の非微小な周期は,境界を持つので,正の整数 @xmath302 のいずれかを含んでいなければならないので,正の整数 @xmath302 の有限リストに @xmath1-orbit が @xmath2 を含んでいることを確認するだけで十分です. |
in light of this remark
, we begin a search for strongly sufficient sets . | この発言を踏まえ 強い足し算の集合を 探すことにしました |
to do so , we first define a generalization of the directed graph @xmath291 . | まず 方向グラフ @ xmath291 の概括を定義します |
we define the graph @xmath47 to be the @xmath0 graph @xmath27 taken modulo @xmath39 , as follows . | xmath47のグラフを以下のように @ xmath0のグラフ @ xmath27のグラフと定義します. |
for a positive integer @xmath17 ,
define @xmath304 to be the two - colored directed graph on @xmath305 such that * there is a black arrow from @xmath66 to @xmath98 if and only if there exist positive integers @xmath4 and @xmath20 with @xmath306 and @xmath307 with @xmath308 , and * there is a red arrow from @xmath66 to @xmath98 if and only if there exist positive integers @xmath4 and @xmath20 with @xmath306 and @xmath307 with @xmath309 . | 陽の整数 @ xmath17 に対して, @ xmath304 を @ xmath305 の 2 色方向グラフとして定義し, * 陽の整数 @ xmath4 と @ xmath20 が @ xmath306 と @ xmath307 と @ xmath308 と存在する場合と,その場合のみ,そして * 陽の整数 @ xmath4 と @ xmath20 が @ xmath306 と @ xmath307 が @ xmath309 と存在する場合とその場合のみ,黒い矢印が @ xmath66 から @ xmath98 にあるようにします. |
as with the @xmath0 graph @xmath27 ,
since we are primarily interested in the portions of @xmath1-orbits and infinite back tracing sequences whose elements are all relatively prime to @xmath35 , we also consider the pruned graph @xmath36 taken modulo @xmath39 . | @xmath0グラフ @xmath27と同様に,私たちは主に @xmath1-軌道と @xmath35に相対的に素数を持つ無限回帰列の部分に興味があるので,私たちはまた @xmath36の切り取られたグラフも考慮します. |
for @xmath310 ,
the pruned graph @xmath303 is the subgraph of @xmath47 formed by deleting the nodes divisible by @xmath35 ( along with all of their adjacent edges ) . | @ xmath310 の場合, @ xmath303 の切り取られたグラフは @ xmath35 で割り切れるノード (その隣接するすべての辺とともに) を削除することで形成される @ xmath47 のサブグラフです. |
when @xmath310 , we define @xmath311 . | @ xmath310 の場合, @ xmath311 を定義します. |
notice that when we refer to a node @xmath28 in @xmath303 or @xmath47 we identify the congruence class @xmath28 with the integer in @xmath312 that is in that class . | @xmath303 または @xmath47 のノード @xmath28 を参照すると @xmath28 の整数と @xmath312 の整数との一致性クラスを識別します |
for @xmath7 relatively prime to @xmath45 and @xmath35 , the graph @xmath313 is a natural representation of the action of @xmath43 and @xmath44 on @xmath64 in the group @xmath42 . | @xmath7 が @xmath45 と @xmath35 に相対的に素数である場合, @xmath43 と @xmath44 が @xmath64 に作用する @xmath42 のグラフを自然表現する. |
examples are given in figure [ exampledigraphs ] . | 図 [ 例図 ] に示した例をご覧ください. |
the digraphs @xmath314 ( top left ) , @xmath315 ( bottom ) , and @xmath291 ( top right ) , which strictly contains @xmath289 . ] | 二項図 @xmath314 (左上), @xmath315 (右下), @xmath291 (右上) が厳密に @xmath289 を含んでいる. ] |
we now demonstrate several basic properties of the graphs @xmath47 for various @xmath39 . | xmath47のグラフのいくつかの基本的な性質を @xmath39のグラフで示します. |
[
gammastructure]let @xmath39 be a positive integer . | 素数で,この式は, |
*
[ part1 ] if @xmath39 is even , each even node has two black arrows and no red arrows coming from it , each odd node has two red arrows and no black arrows coming from it . | * [ part1 ] @ xmath39 が偶数である場合,偶数のノードは 2 つの黒い矢印が描かれていて,赤い矢印は出ていない,奇数のノードは 2 つの赤い矢印が描かれていて,黒い矢印は出ていない. |
if @xmath39 is odd , each node has exactly one red and black arrow coming from it . | @ xmath39 が奇数であれば,各ノードには赤と黒の矢印が1つずつ出てきます. |
*
[ part2 ] if @xmath310 , each node congruent to @xmath45 modulo @xmath35 has exactly one black arrow and at least red arrow pointing to it , and each other node has one black arrow and no red arrows pointing to it . | * [ part2 ] @ xmath310 の場合, @ xmath45 modulo @ xmath35 に一致する各ノードは,ちょうど 1 つの黒い矢印と少なくとも赤の矢印がそれに指し,他の各ノードは 1 つの黒い矢印と赤の矢印がそれに指しがない. |
if @xmath316 , then every node has one black and one red arrow pointing to it . | @ xmath316 の場合,各ノードには 1 つの黒と 1 つの赤の矢印が指さています. |
*
[ part3 ] if @xmath39 is relatively prime to @xmath45 and @xmath35 , then in @xmath47 , the black arrows form disjoint cycles on the vertices , as do the red arrows . | * [ part3 ] @xmath39 が @xmath45 と @xmath35 に相対的に素数である場合, @xmath47 の黒い矢印は,赤い矢印と同様に頂点に不結合のサイクルを形成します. |
there is one black loop at @xmath179 , and each of the other black cycles have length dividing the order of @xmath45 mod @xmath39 . | @ xmath179に1つのブラックループがあり,他のブラックループのそれぞれは @ xmath45 mod @ xmath39の順番を割り切る長さがあります. |
there is one red loop at @xmath317 , and each of the other red cycles have length dividing the order of @xmath146 mod @xmath39 . | @ xmath317 に赤いループが1つあり, 他の赤いループのそれぞれは @ xmath146 mod @ xmath39 の順番を割り切る長さがあります. |
*
[ part4 ] if @xmath318 for some @xmath319 , then in @xmath47 , the black arrows form a single cycle on the nodes which are relatively prime to @xmath35 . | * [ part4 ] @xmath318 が @xmath319 の場合, @xmath47 では,黒い矢印が @xmath35 に相対的に素数であるノードで単一のサイクルを形成します. |
for @xmath320 , there is also a cycle of black arrows consisting of the nodes divisible by @xmath321 but not by @xmath322 , and a black loop at the node @xmath179 . | @ xmath320 の場合, @ xmath321 で割り切れるノードが @ xmath322 で割り切れないノードからなる黒い矢印のサイクルと @ xmath179 のノードに黒いループがあります. |
*
[ part5 ] if @xmath318 for some @xmath319 , then in @xmath47 , the red arrows form a rooted oriented tree with @xmath323 as the root and all arrows oriented towards the root , plus a red loop at the root . | * [ part5 ] @ xmath318 が @ xmath319 の場合, @ xmath47 では赤い矢印が @ xmath323 を根とする根元型木を形成し,すべての矢印は根元型木に向き,根元には赤いループが加わります. |
the length of the shortest red path from any leaf to the root is @xmath319 . | 葉から根までの最短の赤い経路の長さは @ xmath319 です. |
claim ( c ) follows from lemma [ orders ] and the fact that @xmath43 and @xmath44 generate a permutation group on @xmath64 . | 理屈 (c) はレマ [ 命令 ] と @xmath43 と @xmath44 が @xmath64 の変数群を生成するという事実から得られた. |
for claim ( a ) ,
note that dividing by @xmath45 modulo some even @xmath39 can be done in two ways : either @xmath324 or @xmath325 . | 請求項 (a) の場合, @xmath45 modulo some even @xmath39 で割り出すには, @xmath324 または @xmath325 のいずれか 2 つの方法があることに注意してください. |
thus , if we send a congruence class @xmath4 to @xmath326 or to @xmath327 modulo @xmath39 , in both cases we have exactly two possible results for the congruence class of @xmath328 mod @xmath11 . | したがって, @ xmath4 を @ xmath326 に @ xmath327 modulo @ xmath39 に送信すると,両方の場合, @ xmath328 mod @ xmath11 の一致性クラスにはちょうど2つの可能な結果があります. |
it follows that each even node has two red arrows and two black arrows coming from it . | 赤い矢印と黒の矢印が2つ出てくる |
if @xmath39 is odd , then @xmath45 is invertible modulo @xmath39 , and so @xmath328 is well defined . | @ xmath39 が奇数である場合, @ xmath45 は逆変数 @ xmath39 で, @ xmath328 はよく定義されている. |
for claim ( b ) , note that @xmath329 is a well - defined function on @xmath330 for all @xmath39 , but @xmath331 is well - defined if and only if @xmath39 is not divisible by @xmath35 . | 請求項 (b) については, @ xmath329 は @ xmath330 の上で @ xmath39 のすべてに対して定義された関数であるが, @ xmath331 は @ xmath39 が @ xmath35 で割り切れない場合にのみ定義されていることに注意する. |
thus , if @xmath39 is not divisible by @xmath35 , there is one red and one black arrow pointing to every node . | したがって, @ xmath39 が @ xmath35 で割り切れない場合, 1 つの赤い矢印と 1 つの黒い矢印が各ノードを指します. |
if @xmath39 is divisible by @xmath35 , however , then only those @xmath4 congruent to @xmath45 modulo @xmath35 can have a red arrow pointing to it . | @ xmath39 が @ xmath35 で割り切れる場合,ただし,その @ xmath4 が @ xmath45 modulo @ xmath35 に一致するだけであれば,赤い矢印が指すことができる. |
for part ( d )
, it is known that @xmath45 is a primitive root mod @xmath138 ( see @xcite ) , so the black arrows behave as described . | 部分 (d) の場合, @xmath45 は @xmath138 の原始根であることが知られている (見 @xcite ),したがって黒の矢印は説明の通り振る舞う. |
we now prove part ( e ) . | 証明する部分 (e) |
to do so , we consider the purely red back tracing paths starting at integers congruent to @xmath294 mod @xmath138
. | そうするには,純粋に赤色で @ xmath294 mod @ xmath138 に一致する整数から始まる経路を考慮します. |
suppose @xmath332 , and let @xmath333 be the largest positive integer such that @xmath334
. | @ xmath332 を最大正の整数として, @ xmath334 を最大正の整数として仮定します. |
then we can write @xmath335 where @xmath17 is relatively prime to @xmath35 . | @xmath17 が @xmath35 に相対的に素数である @xmath335 を書ける |
back tracing along a red arrow from @xmath4 , we have that @xmath336 , so @xmath337 is congruent to @xmath294 mod @xmath338 . | @xmath4から赤い矢印に沿って遡ると @xmath336が得られます |
if @xmath339 , we have that it is also congruent to @xmath294 mod @xmath319 . | @xmath339は @xmath294 mod @xmath319にも一致している |
thus , for the first @xmath340 steps in back tracing along red arrows , we follow a self - loop in @xmath341 from @xmath323 to itself . | 赤い矢印に沿って @ xmath340 の最初のステップを後方から追いかけるには @ xmath341 から @ xmath323 自身への自己ループをたどります |
in particular
, this loop exists in the graph , since there are positive integers congruent to @xmath294 mod @xmath342 for any @xmath343 . | 特にこのループはグラフに存在する. なぜなら, @ xmath294 mod @ xmath342 に一致する正の整数があるから. |
now , choose an integer @xmath4 such that @xmath344 , that is , @xmath319 is the maximum positive integer for which @xmath332 . | 次に, @ xmath344,つまり @ xmath319 が @ xmath332 の最大正の整数であるような整数 @ xmath4 を選びます. |
then by a similar argument , @xmath345 , and by induction we have @xmath346 for all @xmath257 . | @xmath345の類似した引数で, 誘導により @xmath346を @xmath257にします. |
thus @xmath347 . | じゃあ,xmath347をやってみよう |
it follows that @xmath348 is congruent to either @xmath179 or @xmath2 mod @xmath35 , and so we can not back trace using @xmath251 any further from here . | @ xmath348 は @ xmath179 または @ xmath2 mod @ xmath35 に一致するので @ xmath251 を使って後方追跡はできません |
note also that for each step in this process , the maximum @xmath349 for which @xmath350 is monotone decreasing by @xmath2 at each step . | このプロセスの各ステップでは,最大 @ xmath349 が @ xmath350 が単調である場合,各ステップで @ xmath2 により減少することを注意してください. |
thus we can partition the congruence classes mod @xmath138 into grades based on the value of @xmath349 , with the final grade consisting of those residues congruent to @xmath179 or @xmath2 mod @xmath35 , and we see that each element in the back tracing sequence from @xmath4 is in a distinct grade . | したがって,同等性クラスmod @ xmath138を @ xmath349の値に基づいて格付けして,最終格付けは @ xmath179または @ xmath2 mod @ xmath35 に同等である残数で構成され, @ xmath4から遡る順序の各要素が異なる格付けになっていることがわかります. |
moreover , each of these sequences , starting from @xmath344 , has length @xmath319 . | さらに @ xmath344 から始まるこれらの列のそれぞれには @ xmath319 の長さがあります. |
it follows that the red arrows do indeed form a tree oriented towards the root at @xmath323 , with the shortest path from any leaf to the root having length @xmath319 . | 赤い矢印は @ xmath323 の根に向かって向きに木を形成し, 葉から根までの最短の経路は @ xmath319 になる. |
using the digraphs @xmath47 for various @xmath39
, we can obtain several new strongly sufficient sets . | 複数の @xmath39 の @xmath47 の二項図を用いて,いくつかの新しい 強い足し算の集合を 得る事ができます. |
in order to do so
, we first give a graph - theoretic criterion for strong sufficiency . | 十分な強さの理論的基準をグラフで示します |
[ strongsufficiency ] let @xmath351 , and let @xmath302 be @xmath17 distinct residues mod @xmath39 . | @xmath351と @xmath302を @xmath17と変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数される |
define @xmath352 to be the subgraph of @xmath303 formed by deleting the nodes labeled @xmath302 and all arrows connected to them and define @xmath353 to be the graph formed by deleting any edge from @xmath352 that is not contained in any cycle in @xmath352 . | @ xmath352 を @ xmath302 と表示されたノードとそれらに接続されたすべての矢印を削除して形成された @ xmath303 のサブグラフとして定義し, @ xmath353 を @ xmath352 の任意のエッジを削除して形成された @ xmath352 の任意のサイクルに含まれていないグラフとして定義します. |
if @xmath353 is a disjoint union of cycles and isolated vertices , and each of the cycles have length less than @xmath354 , then the set @xmath355 is strongly sufficient . | @ xmath353 が円と孤立した頂点の分離結合であり,円のそれぞれが @ xmath354 より短い場合,集合 @ xmath355 は十分に十分である. |
suppose @xmath353 is a disjoint union of cycles and isolated vertices , and each of the cycles have length less than @xmath354 . | @ xmath353は円と孤立した頂点の分離結合であり,各円の長さは @ xmath354より小さいと仮定します. |
we first show that @xmath297 is forward sufficient and cycle sufficient . | @ xmath297 が前向きに足し, サイクルが足しであることをまず示します. |
assume for contradiction that there is a positive integer @xmath4 whose @xmath1-orbit , taken mod @xmath39 , does _ not _ end in the cycle @xmath24 and also avoids the set @xmath297 . | 矛盾として, @ xmath1 の軌道が @ xmath39 の周期で _ _ 終わらない,また @ xmath297 の集合も回避する正の整数 @ xmath4 が存在すると仮定します. |
Subsets and Splits
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