Dataset Viewer
tactic
stringlengths 1
5.59k
| name
stringlengths 1
937
| haveDraft
stringlengths 1
44.5k
| goal
stringlengths 7
61k
|
|---|---|---|---|
rw [Set.eq_univ_iff_forall]
|
[anonymous]
|
∀ (x : ↥X), x ∈ ⋃ i, Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map i).base) : ↥(𝒰.obj i) → ↥X)
|
P : MorphismProperty Scheme
X : Scheme
𝒰 : Cover P X
⊢ ⋃ i, Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map i).base) : ↥(𝒰.obj i) → ↥X) = Set.univ
|
Set.eq_univ_iff_forall
|
[anonymous]
|
∀ (x : ↥X), x ∈ ⋃ i, Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map i).base) : ↥(𝒰.obj i) → ↥X)
|
P : MorphismProperty Scheme
X : Scheme
𝒰 : Cover P X
⊢ ⋃ i, Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map i).base) : ↥(𝒰.obj i) → ↥X) = Set.univ
|
intro x
|
[anonymous]
|
x ∈ ⋃ i, Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map i).base) : ↥(𝒰.obj i) → ↥X)
|
P : MorphismProperty Scheme
X : Scheme
𝒰 : Cover P X
⊢ ∀ (x : ↥X), x ∈ ⋃ i, Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map i).base) : ↥(𝒰.obj i) → ↥X)
|
rw [Set.mem_iUnion]
|
[anonymous]
|
∃ i, x ∈ Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map i).base) : ↥(𝒰.obj i) → ↥X)
|
P : MorphismProperty Scheme
X : Scheme
𝒰 : Cover P X
x : ↥X
⊢ x ∈ ⋃ i, Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map i).base) : ↥(𝒰.obj i) → ↥X)
|
Set.mem_iUnion
|
[anonymous]
|
∃ i, x ∈ Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map i).base) : ↥(𝒰.obj i) → ↥X)
|
P : MorphismProperty Scheme
X : Scheme
𝒰 : Cover P X
x : ↥X
⊢ x ∈ ⋃ i, Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map i).base) : ↥(𝒰.obj i) → ↥X)
|
let y := (𝒰.covers x).choose
|
[anonymous]
|
x ∈
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom
((f ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.fst).map ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.snd ≫
𝒰.map ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.fst).base) :
↥((f ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.fst).obj ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.snd) → ↥X)
|
P : MorphismProperty Scheme
X Y Z : Scheme
𝒰 : Cover P X
f✝ : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g
inst✝ : P.IsStableUnderComposition
f : (x : 𝒰.J) → Cover P (𝒰.obj x)
x : ↥X
⊢ x ∈
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom
((f ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.fst).map ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.snd ≫
𝒰.map ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.fst).base) :
↥((f ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.fst).obj ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.snd) →
↥X)
|
have hy : (𝒰.map (𝒰.f x)).base y = x := (𝒰.covers x).choose_spec
|
[anonymous]
|
x ∈
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom
((f ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.fst).map ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.snd ≫
𝒰.map ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.fst).base) :
↥((f ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.fst).obj ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.snd) → ↥X)
|
P : MorphismProperty Scheme
X Y Z : Scheme
𝒰 : Cover P X
f✝ : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g
inst✝ : P.IsStableUnderComposition
f : (x : 𝒰.J) → Cover P (𝒰.obj x)
x : ↥X
y : ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)) := Exists.choose sorry
⊢ x ∈
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom
((f ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.fst).map ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.snd ≫
𝒰.map ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.fst).base) :
↥((f ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.fst).obj ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.snd) →
↥X)
|
rcases (f (𝒰.f x)).covers y with ⟨z, hz⟩
|
intro
|
x ∈
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom
((f ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.fst).map ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.snd ≫
𝒰.map ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.fst).base) :
↥((f ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.fst).obj ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.snd) → ↥X)
|
P : MorphismProperty Scheme
X Y Z : Scheme
𝒰 : Cover P X
f✝ : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g
inst✝ : P.IsStableUnderComposition
f : (x : 𝒰.J) → Cover P (𝒰.obj x)
x : ↥X
y : ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)) := Exists.choose sorry
hy : (ConcreteCategory.hom (𝒰.map (𝒰.f x)).base : ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)) → ↥X) y = x
⊢ x ∈
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom
((f ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.fst).map ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.snd ≫
𝒰.map ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.fst).base) :
↥((f ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.fst).obj ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.snd) →
↥X)
|
change x ∈ Set.range ((f (𝒰.f x)).map ((f (𝒰.f x)).f y) ≫ 𝒰.map (𝒰.f x)).base
|
intro
|
x ∈
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom ((f (𝒰.f x)).map ((f (𝒰.f x)).f y) ≫ 𝒰.map (𝒰.f x)).base) :
↥((f (𝒰.f x)).obj ((f (𝒰.f x)).f y)) → ↥X)
|
P : MorphismProperty Scheme
X Y Z : Scheme
𝒰 : Cover P X
f✝ : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g
inst✝ : P.IsStableUnderComposition
f : (x : 𝒰.J) → Cover P (𝒰.obj x)
x : ↥X
y : ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)) := Exists.choose sorry
hy : (ConcreteCategory.hom (𝒰.map (𝒰.f x)).base : ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)) → ↥X) y = x
z : ↥((f (𝒰.f x)).obj ((f (𝒰.f x)).f y))
hz :
(ConcreteCategory.hom ((f (𝒰.f x)).map ((f (𝒰.f x)).f y)).base :
↥((f (𝒰.f x)).obj ((f (𝒰.f x)).f y)) → ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)))
z =
y
⊢ x ∈
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom
((f ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.fst).map ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.snd ≫
𝒰.map ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.fst).base) :
↥((f ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.fst).obj ⟨𝒰.f x, (f (𝒰.f x)).f (Exists.choose sorry)⟩.snd) →
↥X)
|
use z
|
h
|
(ConcreteCategory.hom ((f (𝒰.f x)).map ((f (𝒰.f x)).f y) ≫ 𝒰.map (𝒰.f x)).base :
↥((f (𝒰.f x)).obj ((f (𝒰.f x)).f y)) → ↥X)
z =
x
|
P : MorphismProperty Scheme
X Y Z : Scheme
𝒰 : Cover P X
f✝ : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g
inst✝ : P.IsStableUnderComposition
f : (x : 𝒰.J) → Cover P (𝒰.obj x)
x : ↥X
y : ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)) := Exists.choose sorry
hy : (ConcreteCategory.hom (𝒰.map (𝒰.f x)).base : ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)) → ↥X) y = x
z : ↥((f (𝒰.f x)).obj ((f (𝒰.f x)).f y))
hz :
(ConcreteCategory.hom ((f (𝒰.f x)).map ((f (𝒰.f x)).f y)).base :
↥((f (𝒰.f x)).obj ((f (𝒰.f x)).f y)) → ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)))
z =
y
⊢ x ∈
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom ((f (𝒰.f x)).map ((f (𝒰.f x)).f y) ≫ 𝒰.map (𝒰.f x)).base) :
↥((f (𝒰.f x)).obj ((f (𝒰.f x)).f y)) → ↥X)
|
simp only [comp_coeBase, TopCat.hom_comp, ContinuousMap.comp_apply]
|
h
|
(TopCat.Hom.hom (𝒰.map (𝒰.f x)).base : ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)) → ↥X)
((TopCat.Hom.hom ((f (𝒰.f x)).map ((f (𝒰.f x)).f y)).base : ↥((f (𝒰.f x)).obj ((f (𝒰.f x)).f y)) → ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)))
z) =
x
|
P : MorphismProperty Scheme
X Y Z : Scheme
𝒰 : Cover P X
f✝ : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g
inst✝ : P.IsStableUnderComposition
f : (x : 𝒰.J) → Cover P (𝒰.obj x)
x : ↥X
y : ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)) := Exists.choose sorry
hy : (ConcreteCategory.hom (𝒰.map (𝒰.f x)).base : ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)) → ↥X) y = x
z : ↥((f (𝒰.f x)).obj ((f (𝒰.f x)).f y))
hz :
(ConcreteCategory.hom ((f (𝒰.f x)).map ((f (𝒰.f x)).f y)).base :
↥((f (𝒰.f x)).obj ((f (𝒰.f x)).f y)) → ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)))
z =
y
⊢ (ConcreteCategory.hom ((f (𝒰.f x)).map ((f (𝒰.f x)).f y) ≫ 𝒰.map (𝒰.f x)).base :
↥((f (𝒰.f x)).obj ((f (𝒰.f x)).f y)) → ↥X)
z =
x
|
hz,
|
h
|
(TopCat.Hom.hom (𝒰.map (𝒰.f x)).base : ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)) → ↥X) y = x
|
P : MorphismProperty Scheme
X Y Z : Scheme
𝒰 : Cover P X
f✝ : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g
inst✝ : P.IsStableUnderComposition
f : (x : 𝒰.J) → Cover P (𝒰.obj x)
x : ↥X
y : ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)) := Exists.choose sorry
hy : (ConcreteCategory.hom (𝒰.map (𝒰.f x)).base : ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)) → ↥X) y = x
z : ↥((f (𝒰.f x)).obj ((f (𝒰.f x)).f y))
hz :
(ConcreteCategory.hom ((f (𝒰.f x)).map ((f (𝒰.f x)).f y)).base :
↥((f (𝒰.f x)).obj ((f (𝒰.f x)).f y)) → ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)))
z =
y
⊢ (TopCat.Hom.hom (𝒰.map (𝒰.f x)).base : ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)) → ↥X)
((TopCat.Hom.hom ((f (𝒰.f x)).map ((f (𝒰.f x)).f y)).base :
↥((f (𝒰.f x)).obj ((f (𝒰.f x)).f y)) → ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)))
z) =
x
|
hy
|
h
|
x = x
|
P : MorphismProperty Scheme
X Y Z : Scheme
𝒰 : Cover P X
f✝ : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g
inst✝ : P.IsStableUnderComposition
f : (x : 𝒰.J) → Cover P (𝒰.obj x)
x : ↥X
y : ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)) := Exists.choose sorry
hy : (ConcreteCategory.hom (𝒰.map (𝒰.f x)).base : ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)) → ↥X) y = x
z : ↥((f (𝒰.f x)).obj ((f (𝒰.f x)).f y))
hz :
(ConcreteCategory.hom ((f (𝒰.f x)).map ((f (𝒰.f x)).f y)).base :
↥((f (𝒰.f x)).obj ((f (𝒰.f x)).f y)) → ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)))
z =
y
⊢ (TopCat.Hom.hom (𝒰.map (𝒰.f x)).base : ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)) → ↥X) y = x
|
rw [Set.range_eq_univ.mpr]
|
[anonymous]
|
x ∈ Set.univ
|
P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y✝ Z : Scheme
𝒰 : Cover P X✝
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y✝ ⟶ Z
inst✝³ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g
inst✝² : P.ContainsIdentities
inst✝¹ : P.RespectsIso
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
x : ↥Y
⊢ x ∈ Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom f.base) : ↥X → ↥Y)
|
rw [Set.range_eq_univ.mpr]
|
[anonymous]
|
Function.Surjective (⇑(ConcreteCategory.hom f.base) : ↥X → ↥Y)
|
P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y✝ Z : Scheme
𝒰 : Cover P X✝
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y✝ ⟶ Z
inst✝³ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g
inst✝² : P.ContainsIdentities
inst✝¹ : P.RespectsIso
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
x : ↥Y
[anonymous] : x ∈ Set.univ
⊢ x ∈ Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom f.base) : ↥X → ↥Y)
|
Set.range_eq_univ.mpr
|
[anonymous]
|
x ∈ Set.univ
|
P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y✝ Z : Scheme
𝒰 : Cover P X✝
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y✝ ⟶ Z
inst✝³ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g
inst✝² : P.ContainsIdentities
inst✝¹ : P.RespectsIso
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
x : ↥Y
⊢ x ∈ Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom f.base) : ↥X → ↥Y)
|
Set.range_eq_univ.mpr
|
[anonymous]
|
Function.Surjective (⇑(ConcreteCategory.hom f.base) : ↥X → ↥Y)
|
P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y✝ Z : Scheme
𝒰 : Cover P X✝
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y✝ ⟶ Z
inst✝³ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g
inst✝² : P.ContainsIdentities
inst✝¹ : P.RespectsIso
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
x : ↥Y
[anonymous] : x ∈ Set.univ
⊢ x ∈ Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom f.base) : ↥X → ↥Y)
|
rw [← TopCat.epi_iff_surjective]
|
[anonymous]
|
Epi f.base
|
P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y✝ Z : Scheme
𝒰 : Cover P X✝
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y✝ ⟶ Z
inst✝³ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g
inst✝² : P.ContainsIdentities
inst✝¹ : P.RespectsIso
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
x : ↥Y
⊢ Function.Surjective (⇑(ConcreteCategory.hom f.base) : ↥X → ↥Y)
|
← TopCat.epi_iff_surjective
|
[anonymous]
|
Epi f.base
|
P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y✝ Z : Scheme
𝒰 : Cover P X✝
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y✝ ⟶ Z
inst✝³ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g
inst✝² : P.ContainsIdentities
inst✝¹ : P.RespectsIso
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
x : ↥Y
⊢ Function.Surjective (⇑(ConcreteCategory.hom f.base) : ↥X → ↥Y)
|
rw [h, Scheme.comp_base, TopCat.coe_comp, Set.range_comp, Set.range_eq_univ.mpr,
Set.image_univ, e₁.rightInverse_symm]
|
[anonymous]
|
x ∈ Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map (𝒰.f x)).base) : ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)) → ↥X)
|
P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : Cover P X✝
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
inst✝ : P.RespectsIso
X : Scheme
𝒰 : Cover P X
J : Type u_1
obj : J → Scheme
map : (i : J) → obj i ⟶ X
e₁ : J ≃ 𝒰.J
e₂ : (i : J) → obj i ≅ 𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) i)
h : ∀ (i : J), map i = (e₂ i).hom ≫ 𝒰.map ((e₁ : J → 𝒰.J) i)
x : ↥X
⊢ x ∈
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom (map ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))).base) : ↥(obj ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))) → ↥X)
|
rw [h, Scheme.comp_base, TopCat.coe_comp, Set.range_comp, Set.range_eq_univ.mpr,
Set.image_univ, e₁.rightInverse_symm]
|
[anonymous]
|
Function.Surjective
(⇑(ConcreteCategory.hom (e₂ ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))).hom.base) :
↥(obj ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))) → ↥(𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x)))))
|
P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : Cover P X✝
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
inst✝ : P.RespectsIso
X : Scheme
𝒰 : Cover P X
J : Type u_1
obj : J → Scheme
map : (i : J) → obj i ⟶ X
e₁ : J ≃ 𝒰.J
e₂ : (i : J) → obj i ≅ 𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) i)
h : ∀ (i : J), map i = (e₂ i).hom ≫ 𝒰.map ((e₁ : J → 𝒰.J) i)
x : ↥X
[anonymous] : x ∈ Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map (𝒰.f x)).base) : ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)) → ↥X)
⊢ x ∈
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom (map ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))).base) : ↥(obj ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))) → ↥X)
|
h,
|
[anonymous]
|
x ∈
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom
((e₂ ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))).hom ≫ 𝒰.map ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x)))).base) :
↥(obj ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))) → ↥X)
|
P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : Cover P X✝
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
inst✝ : P.RespectsIso
X : Scheme
𝒰 : Cover P X
J : Type u_1
obj : J → Scheme
map : (i : J) → obj i ⟶ X
e₁ : J ≃ 𝒰.J
e₂ : (i : J) → obj i ≅ 𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) i)
h : ∀ (i : J), map i = (e₂ i).hom ≫ 𝒰.map ((e₁ : J → 𝒰.J) i)
x : ↥X
⊢ x ∈
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom (map ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))).base) : ↥(obj ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))) → ↥X)
|
Scheme.comp_base,
|
[anonymous]
|
x ∈
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom
((e₂ ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))).hom.base ≫ (𝒰.map ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x)))).base)) :
↥(obj ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))) → ↥X)
|
P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : Cover P X✝
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
inst✝ : P.RespectsIso
X : Scheme
𝒰 : Cover P X
J : Type u_1
obj : J → Scheme
map : (i : J) → obj i ⟶ X
e₁ : J ≃ 𝒰.J
e₂ : (i : J) → obj i ≅ 𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) i)
h : ∀ (i : J), map i = (e₂ i).hom ≫ 𝒰.map ((e₁ : J → 𝒰.J) i)
x : ↥X
⊢ x ∈
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom
((e₂ ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))).hom ≫ 𝒰.map ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x)))).base) :
↥(obj ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))) → ↥X)
|
TopCat.coe_comp,
|
[anonymous]
|
x ∈
Set.range
((⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x)))).base) :
↥(𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x)))) → ↥X) ∘
(⇑(ConcreteCategory.hom (e₂ ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))).hom.base) :
↥(obj ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))) → ↥(𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))))))
|
P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : Cover P X✝
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
inst✝ : P.RespectsIso
X : Scheme
𝒰 : Cover P X
J : Type u_1
obj : J → Scheme
map : (i : J) → obj i ⟶ X
e₁ : J ≃ 𝒰.J
e₂ : (i : J) → obj i ≅ 𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) i)
h : ∀ (i : J), map i = (e₂ i).hom ≫ 𝒰.map ((e₁ : J → 𝒰.J) i)
x : ↥X
⊢ x ∈
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom
((e₂ ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))).hom.base ≫
(𝒰.map ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x)))).base)) :
↥(obj ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))) → ↥X)
|
Set.range_comp,
|
[anonymous]
|
x ∈
(⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x)))).base) :
↥(𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x)))) → ↥X) ''
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom (e₂ ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))).hom.base) :
↥(obj ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))) → ↥(𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x)))))
|
P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : Cover P X✝
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
inst✝ : P.RespectsIso
X : Scheme
𝒰 : Cover P X
J : Type u_1
obj : J → Scheme
map : (i : J) → obj i ⟶ X
e₁ : J ≃ 𝒰.J
e₂ : (i : J) → obj i ≅ 𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) i)
h : ∀ (i : J), map i = (e₂ i).hom ≫ 𝒰.map ((e₁ : J → 𝒰.J) i)
x : ↥X
⊢ x ∈
Set.range
((⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x)))).base) :
↥(𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x)))) → ↥X) ∘
(⇑(ConcreteCategory.hom (e₂ ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))).hom.base) :
↥(obj ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))) → ↥(𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))))))
|
Set.range_eq_univ.mpr,
|
[anonymous]
|
x ∈
(⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x)))).base) :
↥(𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x)))) → ↥X) ''
Set.univ
|
P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : Cover P X✝
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
inst✝ : P.RespectsIso
X : Scheme
𝒰 : Cover P X
J : Type u_1
obj : J → Scheme
map : (i : J) → obj i ⟶ X
e₁ : J ≃ 𝒰.J
e₂ : (i : J) → obj i ≅ 𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) i)
h : ∀ (i : J), map i = (e₂ i).hom ≫ 𝒰.map ((e₁ : J → 𝒰.J) i)
x : ↥X
⊢ x ∈
(⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x)))).base) :
↥(𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x)))) → ↥X) ''
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom (e₂ ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))).hom.base) :
↥(obj ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))) → ↥(𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x)))))
|
Set.range_eq_univ.mpr,
|
[anonymous]
|
Function.Surjective
(⇑(ConcreteCategory.hom (e₂ ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))).hom.base) :
↥(obj ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))) → ↥(𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x)))))
|
P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : Cover P X✝
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
inst✝ : P.RespectsIso
X : Scheme
𝒰 : Cover P X
J : Type u_1
obj : J → Scheme
map : (i : J) → obj i ⟶ X
e₁ : J ≃ 𝒰.J
e₂ : (i : J) → obj i ≅ 𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) i)
h : ∀ (i : J), map i = (e₂ i).hom ≫ 𝒰.map ((e₁ : J → 𝒰.J) i)
x : ↥X
[anonymous] : x ∈
(⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x)))).base) :
↥(𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x)))) → ↥X) ''
Set.univ
⊢ x ∈
(⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x)))).base) :
↥(𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x)))) → ↥X) ''
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom (e₂ ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))).hom.base) :
↥(obj ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))) → ↥(𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x)))))
|
rw [← TopCat.epi_iff_surjective]
|
[anonymous]
|
Epi (e₂ ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))).hom.base
|
P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : Cover P X✝
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
inst✝ : P.RespectsIso
X : Scheme
𝒰 : Cover P X
J : Type u_1
obj : J → Scheme
map : (i : J) → obj i ⟶ X
e₁ : J ≃ 𝒰.J
e₂ : (i : J) → obj i ≅ 𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) i)
h : ∀ (i : J), map i = (e₂ i).hom ≫ 𝒰.map ((e₁ : J → 𝒰.J) i)
x : ↥X
⊢ Function.Surjective
(⇑(ConcreteCategory.hom (e₂ ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))).hom.base) :
↥(obj ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))) → ↥(𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x)))))
|
← TopCat.epi_iff_surjective
|
[anonymous]
|
Epi (e₂ ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))).hom.base
|
P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : Cover P X✝
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
inst✝ : P.RespectsIso
X : Scheme
𝒰 : Cover P X
J : Type u_1
obj : J → Scheme
map : (i : J) → obj i ⟶ X
e₁ : J ≃ 𝒰.J
e₂ : (i : J) → obj i ≅ 𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) i)
h : ∀ (i : J), map i = (e₂ i).hom ≫ 𝒰.map ((e₁ : J → 𝒰.J) i)
x : ↥X
⊢ Function.Surjective
(⇑(ConcreteCategory.hom (e₂ ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))).hom.base) :
↥(obj ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x))) → ↥(𝒰.obj ((e₁ : J → 𝒰.J) ((e₁.symm : 𝒰.J → J) (𝒰.f x)))))
|
obtain ⟨_ | _⟩ := j
|
none
|
P (Option.rec (motive := fun x ↦ Option.rec (motive := fun x ↦ Scheme) Y 𝒰.obj x ⟶ X) f 𝒰.map none)
|
P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y✝ Z : Scheme
𝒰✝ : Cover P X✝
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y✝ ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f✝) g
X Y : Scheme
𝒰 : Cover P X
f : Y ⟶ X
hf : autoParam (P f) _auto✝
j : Option 𝒰.J
⊢ P (Option.rec (motive := fun x ↦ Option.rec (motive := fun x ↦ Scheme) Y 𝒰.obj x ⟶ X) f 𝒰.map j)
|
obtain ⟨_ | _⟩ := j
|
some
|
P (Option.rec (motive := fun x ↦ Option.rec (motive := fun x ↦ Scheme) Y 𝒰.obj x ⟶ X) f 𝒰.map (some val✝))
|
P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y✝ Z : Scheme
𝒰✝ : Cover P X✝
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y✝ ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f✝) g
X Y : Scheme
𝒰 : Cover P X
f : Y ⟶ X
hf : autoParam (P f) _auto✝
j : Option 𝒰.J
none : P (Option.rec (motive := fun x ↦ Option.rec (motive := fun x ↦ Scheme) Y 𝒰.obj x ⟶ X) f 𝒰.map none)
⊢ P (Option.rec (motive := fun x ↦ Option.rec (motive := fun x ↦ Scheme) Y 𝒰.obj x ⟶ X) f 𝒰.map j)
|
let iso := pullbackSymmetry f g
|
[anonymous]
|
∃ a, (ConcreteCategory.hom (pullback.snd f g).base : ↥(pullback f g) → ↥Y) a = y
|
P : MorphismProperty Scheme
inst✝¹ : IsJointlySurjectivePreserving P
X Y S : Scheme
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
inst✝ : HasPullback f g
hf : P f
x : ↥X
y : ↥Y
h : (ConcreteCategory.hom f.base : ↥X → ↥S) x = (ConcreteCategory.hom g.base : ↥Y → ↥S) y
⊢ ∃ a, (ConcreteCategory.hom (pullback.snd f g).base : ↥(pullback f g) → ↥Y) a = y
|
use (pullbackSymmetry f g).inv.base a
|
h
|
(ConcreteCategory.hom (pullback.snd f g).base : ↥(pullback f g) → ↥Y)
((ConcreteCategory.hom (pullbackSymmetry f g).inv.base : ↥(pullback g f) → ↥(pullback f g)) a) =
y
|
P : MorphismProperty Scheme
inst✝¹ : IsJointlySurjectivePreserving P
X Y S : Scheme
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
inst✝ : HasPullback f g
hf : P f
x : ↥X
y : ↥Y
h : (ConcreteCategory.hom f.base : ↥X → ↥S) x = (ConcreteCategory.hom g.base : ↥Y → ↥S) y
iso : pullback f g ≅ pullback g f := pullbackSymmetry f g
this : HasPullback g f
a : ↥(pullback g f)
ha : (ConcreteCategory.hom (pullback.fst g f).base : ↥(pullback g f) → ↥Y) a = y
⊢ ∃ a, (ConcreteCategory.hom (pullback.snd f g).base : ↥(pullback f g) → ↥Y) a = y
|
← Scheme.comp_base_apply,
|
h
|
(ConcreteCategory.hom ((pullbackSymmetry f g).inv ≫ pullback.snd f g).base : ↥(pullback g f) → ↥Y) a = y
|
P : MorphismProperty Scheme
inst✝¹ : IsJointlySurjectivePreserving P
X Y S : Scheme
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
inst✝ : HasPullback f g
hf : P f
x : ↥X
y : ↥Y
h : (ConcreteCategory.hom f.base : ↥X → ↥S) x = (ConcreteCategory.hom g.base : ↥Y → ↥S) y
iso : pullback f g ≅ pullback g f := pullbackSymmetry f g
this : HasPullback g f
a : ↥(pullback g f)
ha : (ConcreteCategory.hom (pullback.fst g f).base : ↥(pullback g f) → ↥Y) a = y
⊢ (ConcreteCategory.hom (pullback.snd f g).base : ↥(pullback f g) → ↥Y)
((ConcreteCategory.hom (pullbackSymmetry f g).inv.base : ↥(pullback g f) → ↥(pullback f g)) a) =
y
|
pullbackSymmetry_inv_comp_snd
|
h
|
(ConcreteCategory.hom (pullback.fst g f).base : ↥(pullback g f) → ↥Y) a = y
|
P : MorphismProperty Scheme
inst✝¹ : IsJointlySurjectivePreserving P
X Y S : Scheme
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
inst✝ : HasPullback f g
hf : P f
x : ↥X
y : ↥Y
h : (ConcreteCategory.hom f.base : ↥X → ↥S) x = (ConcreteCategory.hom g.base : ↥Y → ↥S) y
iso : pullback f g ≅ pullback g f := pullbackSymmetry f g
this : HasPullback g f
a : ↥(pullback g f)
ha : (ConcreteCategory.hom (pullback.fst g f).base : ↥(pullback g f) → ↥Y) a = y
⊢ (ConcreteCategory.hom ((pullbackSymmetry f g).inv ≫ pullback.snd f g).base : ↥(pullback g f) → ↥Y) a = y
|
rw [← show _ = (pullback.fst _ _ : pullback f g ⟶ _).base from
PreservesPullback.iso_hom_fst Scheme.forgetToTop f g]
|
[anonymous]
|
∃ a,
(ConcreteCategory.hom
((PreservesPullback.iso forgetToTop f g).hom ≫ pullback.fst (forgetToTop.map f) (forgetToTop.map g)) :
↥(pullback f g) → ↥X)
a =
x
|
P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y✝ Z : Scheme
𝒰 : Cover P X✝
f✝ : X✝ ⟶ Z
g✝ : Y✝ ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g✝
X Y S : Scheme
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
x✝ : HasPullback f g
hg : IsOpenImmersion g
x : ↥X
y : ↥Y
h : (ConcreteCategory.hom f.base : ↥X → ↥S) x = (ConcreteCategory.hom g.base : ↥Y → ↥S) y
⊢ ∃ a, (ConcreteCategory.hom (pullback.fst f g).base : ↥(pullback f g) → ↥X) a = x
|
← show _ = (pullback.fst _ _ : pullback f g ⟶ _).base from
PreservesPullback.iso_hom_fst Scheme.forgetToTop f g
|
[anonymous]
|
∃ a,
(ConcreteCategory.hom
((PreservesPullback.iso forgetToTop f g).hom ≫ pullback.fst (forgetToTop.map f) (forgetToTop.map g)) :
↥(pullback f g) → ↥X)
a =
x
|
P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y✝ Z : Scheme
𝒰 : Cover P X✝
f✝ : X✝ ⟶ Z
g✝ : Y✝ ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g✝
X Y S : Scheme
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
x✝ : HasPullback f g
hg : IsOpenImmersion g
x : ↥X
y : ↥Y
h : (ConcreteCategory.hom f.base : ↥X → ↥S) x = (ConcreteCategory.hom g.base : ↥Y → ↥S) y
⊢ ∃ a, (ConcreteCategory.hom (pullback.fst f g).base : ↥(pullback f g) → ↥X) a = x
|
have : x ∈ Set.range (pullback.fst f.base g.base) := by
rw [TopCat.pullback_fst_range f.base g.base]
use y
|
[anonymous]
|
∃ a,
(ConcreteCategory.hom
((PreservesPullback.iso forgetToTop f g).hom ≫ pullback.fst (forgetToTop.map f) (forgetToTop.map g)) :
↥(pullback f g) → ↥X)
a =
x
|
P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y✝ Z : Scheme
𝒰 : Cover P X✝
f✝ : X✝ ⟶ Z
g✝ : Y✝ ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g✝
X Y S : Scheme
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
x✝ : HasPullback f g
hg : IsOpenImmersion g
x : ↥X
y : ↥Y
h : (ConcreteCategory.hom f.base : ↥X → ↥S) x = (ConcreteCategory.hom g.base : ↥Y → ↥S) y
⊢ ∃ a,
(ConcreteCategory.hom
((PreservesPullback.iso forgetToTop f g).hom ≫ pullback.fst (forgetToTop.map f) (forgetToTop.map g)) :
↥(pullback f g) → ↥X)
a =
x
|
rw [TopCat.pullback_fst_range f.base g.base]
|
[anonymous]
|
x ∈ {x | ∃ y, (ConcreteCategory.hom f.base : ↥X → ↥S) x = (ConcreteCategory.hom g.base : ↥Y → ↥S) y}
|
P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y✝ Z : Scheme
𝒰 : Cover P X✝
f✝ : X✝ ⟶ Z
g✝ : Y✝ ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g✝
X Y S : Scheme
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
x✝ : HasPullback f g
hg : IsOpenImmersion g
x : ↥X
y : ↥Y
h : (ConcreteCategory.hom f.base : ↥X → ↥S) x = (ConcreteCategory.hom g.base : ↥Y → ↥S) y
⊢ x ∈ Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom (pullback.fst f.base g.base)) : (↑(pullback f.base g.base) : Type u_1) → ↥X)
|
TopCat.pullback_fst_range f.base g.base
|
[anonymous]
|
x ∈ {x | ∃ y, (ConcreteCategory.hom f.base : ↥X → ↥S) x = (ConcreteCategory.hom g.base : ↥Y → ↥S) y}
|
P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y✝ Z : Scheme
𝒰 : Cover P X✝
f✝ : X✝ ⟶ Z
g✝ : Y✝ ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g✝
X Y S : Scheme
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
x✝ : HasPullback f g
hg : IsOpenImmersion g
x : ↥X
y : ↥Y
h : (ConcreteCategory.hom f.base : ↥X → ↥S) x = (ConcreteCategory.hom g.base : ↥Y → ↥S) y
⊢ x ∈ Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom (pullback.fst f.base g.base)) : (↑(pullback f.base g.base) : Type u_1) → ↥X)
|
use (PreservesPullback.iso forgetToTop f g).inv a
|
h
|
(ConcreteCategory.hom
((PreservesPullback.iso forgetToTop f g).hom ≫ pullback.fst (forgetToTop.map f) (forgetToTop.map g)) :
↥(pullback f g) → ↥X)
((ConcreteCategory.hom (PreservesPullback.iso forgetToTop f g).inv :
(↑(pullback (forgetToTop.map f) (forgetToTop.map g)) : Type u_1) →
(↑(forgetToTop.obj (pullback f g)) : Type u_1))
a) =
x
|
P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y✝ Z : Scheme
𝒰 : Cover P X✝
f✝ : X✝ ⟶ Z
g✝ : Y✝ ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g✝
X Y S : Scheme
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
x✝ : HasPullback f g
hg : IsOpenImmersion g
x : ↥X
y : ↥Y
h : (ConcreteCategory.hom f.base : ↥X → ↥S) x = (ConcreteCategory.hom g.base : ↥Y → ↥S) y
a : (↑(pullback f.base g.base) : Type u_1)
ha : (ConcreteCategory.hom (pullback.fst f.base g.base) : (↑(pullback f.base g.base) : Type u_1) → ↥X) a = x
⊢ ∃ a,
(ConcreteCategory.hom
((PreservesPullback.iso forgetToTop f g).hom ≫ pullback.fst (forgetToTop.map f) (forgetToTop.map g)) :
↥(pullback f g) → ↥X)
a =
x
|
← TopCat.comp_app,
|
h
|
(ConcreteCategory.hom
((PreservesPullback.iso forgetToTop f g).inv ≫
(PreservesPullback.iso forgetToTop f g).hom ≫ pullback.fst (forgetToTop.map f) (forgetToTop.map g)) :
(↑(pullback (forgetToTop.map f) (forgetToTop.map g)) : Type u_1) → ↥X)
a =
x
|
P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y✝ Z : Scheme
𝒰 : Cover P X✝
f✝ : X✝ ⟶ Z
g✝ : Y✝ ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g✝
X Y S : Scheme
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
x✝ : HasPullback f g
hg : IsOpenImmersion g
x : ↥X
y : ↥Y
h : (ConcreteCategory.hom f.base : ↥X → ↥S) x = (ConcreteCategory.hom g.base : ↥Y → ↥S) y
a : (↑(pullback f.base g.base) : Type u_1)
ha : (ConcreteCategory.hom (pullback.fst f.base g.base) : (↑(pullback f.base g.base) : Type u_1) → ↥X) a = x
⊢ (ConcreteCategory.hom
((PreservesPullback.iso forgetToTop f g).hom ≫ pullback.fst (forgetToTop.map f) (forgetToTop.map g)) :
↥(pullback f g) → ↥X)
((ConcreteCategory.hom (PreservesPullback.iso forgetToTop f g).inv :
(↑(pullback (forgetToTop.map f) (forgetToTop.map g)) : Type u_1) →
(↑(forgetToTop.obj (pullback f g)) : Type u_1))
a) =
x
|
Iso.inv_hom_id_assoc
|
h
|
(ConcreteCategory.hom (pullback.fst (forgetToTop.map f) (forgetToTop.map g)) :
(↑(pullback (forgetToTop.map f) (forgetToTop.map g)) : Type u_1) → ↥X)
a =
x
|
P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y✝ Z : Scheme
𝒰 : Cover P X✝
f✝ : X✝ ⟶ Z
g✝ : Y✝ ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g✝
X Y S : Scheme
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
x✝ : HasPullback f g
hg : IsOpenImmersion g
x : ↥X
y : ↥Y
h : (ConcreteCategory.hom f.base : ↥X → ↥S) x = (ConcreteCategory.hom g.base : ↥Y → ↥S) y
a : (↑(pullback f.base g.base) : Type u_1)
ha : (ConcreteCategory.hom (pullback.fst f.base g.base) : (↑(pullback f.base g.base) : Type u_1) → ↥X) a = x
⊢ (ConcreteCategory.hom
((PreservesPullback.iso forgetToTop f g).inv ≫
(PreservesPullback.iso forgetToTop f g).hom ≫ pullback.fst (forgetToTop.map f) (forgetToTop.map g)) :
(↑(pullback (forgetToTop.map f) (forgetToTop.map g)) : Type u_1) → ↥X)
a =
x
|
obtain ⟨y, hy⟩ := 𝒰.covers (f.base x)
|
intro
|
x ∈
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom (pullback.fst f (𝒰.map (𝒰.f ((ConcreteCategory.hom f.base : ↥W → ↥X) x)))).base) :
↥(pullback f (𝒰.map (𝒰.f ((ConcreteCategory.hom f.base : ↥W → ↥X) x)))) → ↥W)
|
P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : Cover P X✝
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝³ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f✝) g
inst✝² : P.IsStableUnderBaseChange
inst✝¹ : IsJointlySurjectivePreserving P
X W : Scheme
𝒰 : Cover P X
f : W ⟶ X
inst✝ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback f (𝒰.map x)
x : ↥W
⊢ x ∈
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom (pullback.fst f (𝒰.map (𝒰.f ((ConcreteCategory.hom f.base : ↥W → ↥X) x)))).base) :
↥(pullback f (𝒰.map (𝒰.f ((ConcreteCategory.hom f.base : ↥W → ↥X) x)))) → ↥W)
|
obtain ⟨y, hy⟩ := 𝒰.covers (f.base x)
|
intro
|
x ∈
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom (pullback.snd (𝒰.map (𝒰.f ((ConcreteCategory.hom f.base : ↥W → ↥X) x))) f).base) :
↥(pullback (𝒰.map (𝒰.f ((ConcreteCategory.hom f.base : ↥W → ↥X) x))) f) → ↥W)
|
P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : Cover P X✝
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝³ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f✝) g
inst✝² : P.IsStableUnderBaseChange
inst✝¹ : IsJointlySurjectivePreserving P
X W : Scheme
𝒰 : Cover P X
f : W ⟶ X
inst✝ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x) f
x : ↥W
⊢ x ∈
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom (pullback.snd (𝒰.map (𝒰.f ((ConcreteCategory.hom f.base : ↥W → ↥X) x))) f).base) :
↥(pullback (𝒰.map (𝒰.f ((ConcreteCategory.hom f.base : ↥W → ↥X) x))) f) → ↥W)
|
simp only [comp_coeBase, TopCat.coe_comp, Set.mem_range, Function.comp_apply]
|
[anonymous]
|
∃ y,
(ConcreteCategory.hom (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)).base : ↥(𝒰₁.obj (𝒰₁.f x)) → ↥X)
((ConcreteCategory.hom (pullback.fst (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)) (𝒰₂.map (𝒰₂.f x))).base :
↥(pullback (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)) (𝒰₂.map (𝒰₂.f x))) → ↥(𝒰₁.obj (𝒰₁.f x)))
y) =
x
|
P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y Z : Scheme
𝒰 : Cover P X✝
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝⁴ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f) g
inst✝³ : P.IsStableUnderBaseChange
inst✝² : P.IsStableUnderComposition
inst✝¹ : IsJointlySurjectivePreserving P
X : Scheme
𝒰₁ : Cover P X
𝒰₂ : Cover P X
inst✝ : ∀ (i : 𝒰₁.J) (j : 𝒰₂.J), HasPullback (𝒰₁.map i) (𝒰₂.map j)
x : ↥X
⊢ x ∈
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom
(pullback.fst (𝒰₁.map (𝒰₁.f x, 𝒰₂.f x).1) (𝒰₂.map (𝒰₁.f x, 𝒰₂.f x).2) ≫ 𝒰₁.map (𝒰₁.f x, 𝒰₂.f x).1).base) :
↥(pullback (𝒰₁.map (𝒰₁.f x, 𝒰₂.f x).1) (𝒰₂.map (𝒰₁.f x, 𝒰₂.f x).2)) → ↥X)
|
hy₁,
|
[anonymous]
|
x = (ConcreteCategory.hom (𝒰₂.map (𝒰₂.f x)).base : ↥(𝒰₂.obj (𝒰₂.f x)) → ↥X) y₂
|
P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y Z : Scheme
𝒰 : Cover P X✝
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝⁴ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f) g
inst✝³ : P.IsStableUnderBaseChange
inst✝² : P.IsStableUnderComposition
inst✝¹ : IsJointlySurjectivePreserving P
X : Scheme
𝒰₁ : Cover P X
𝒰₂ : Cover P X
inst✝ : ∀ (i : 𝒰₁.J) (j : 𝒰₂.J), HasPullback (𝒰₁.map i) (𝒰₂.map j)
x : ↥X
y₁ : ↥(𝒰₁.obj (𝒰₁.f x))
hy₁ : (ConcreteCategory.hom (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)).base : ↥(𝒰₁.obj (𝒰₁.f x)) → ↥X) y₁ = x
y₂ : ↥(𝒰₂.obj (𝒰₂.f x))
hy₂ : (ConcreteCategory.hom (𝒰₂.map (𝒰₂.f x)).base : ↥(𝒰₂.obj (𝒰₂.f x)) → ↥X) y₂ = x
⊢ (ConcreteCategory.hom (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)).base : ↥(𝒰₁.obj (𝒰₁.f x)) → ↥X) y₁ =
(ConcreteCategory.hom (𝒰₂.map (𝒰₂.f x)).base : ↥(𝒰₂.obj (𝒰₂.f x)) → ↥X) y₂
|
hy₂
|
[anonymous]
|
x = x
|
P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y Z : Scheme
𝒰 : Cover P X✝
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝⁴ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f) g
inst✝³ : P.IsStableUnderBaseChange
inst✝² : P.IsStableUnderComposition
inst✝¹ : IsJointlySurjectivePreserving P
X : Scheme
𝒰₁ : Cover P X
𝒰₂ : Cover P X
inst✝ : ∀ (i : 𝒰₁.J) (j : 𝒰₂.J), HasPullback (𝒰₁.map i) (𝒰₂.map j)
x : ↥X
y₁ : ↥(𝒰₁.obj (𝒰₁.f x))
hy₁ : (ConcreteCategory.hom (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)).base : ↥(𝒰₁.obj (𝒰₁.f x)) → ↥X) y₁ = x
y₂ : ↥(𝒰₂.obj (𝒰₂.f x))
hy₂ : (ConcreteCategory.hom (𝒰₂.map (𝒰₂.f x)).base : ↥(𝒰₂.obj (𝒰₂.f x)) → ↥X) y₂ = x
⊢ x = (ConcreteCategory.hom (𝒰₂.map (𝒰₂.f x)).base : ↥(𝒰₂.obj (𝒰₂.f x)) → ↥X) y₂
|
use z
|
h
|
(ConcreteCategory.hom (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)).base : ↥(𝒰₁.obj (𝒰₁.f x)) → ↥X)
((ConcreteCategory.hom (pullback.fst (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)) (𝒰₂.map (𝒰₂.f x))).base :
↥(pullback (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)) (𝒰₂.map (𝒰₂.f x))) → ↥(𝒰₁.obj (𝒰₁.f x)))
z) =
x
|
P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y Z : Scheme
𝒰 : Cover P X✝
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝⁴ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f) g
inst✝³ : P.IsStableUnderBaseChange
inst✝² : P.IsStableUnderComposition
inst✝¹ : IsJointlySurjectivePreserving P
X : Scheme
𝒰₁ : Cover P X
𝒰₂ : Cover P X
inst✝ : ∀ (i : 𝒰₁.J) (j : 𝒰₂.J), HasPullback (𝒰₁.map i) (𝒰₂.map j)
x : ↥X
y₁ : ↥(𝒰₁.obj (𝒰₁.f x))
hy₁ : (ConcreteCategory.hom (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)).base : ↥(𝒰₁.obj (𝒰₁.f x)) → ↥X) y₁ = x
y₂ : ↥(𝒰₂.obj (𝒰₂.f x))
hy₂ : (ConcreteCategory.hom (𝒰₂.map (𝒰₂.f x)).base : ↥(𝒰₂.obj (𝒰₂.f x)) → ↥X) y₂ = x
z : ↥(pullback (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)) (𝒰₂.map (𝒰₂.f x)))
hz :
(ConcreteCategory.hom (pullback.fst (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)) (𝒰₂.map (𝒰₂.f x))).base :
↥(pullback (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)) (𝒰₂.map (𝒰₂.f x))) → ↥(𝒰₁.obj (𝒰₁.f x)))
z =
y₁
⊢ ∃ y,
(ConcreteCategory.hom (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)).base : ↥(𝒰₁.obj (𝒰₁.f x)) → ↥X)
((ConcreteCategory.hom (pullback.fst (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)) (𝒰₂.map (𝒰₂.f x))).base :
↥(pullback (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)) (𝒰₂.map (𝒰₂.f x))) → ↥(𝒰₁.obj (𝒰₁.f x)))
y) =
x
|
hz,
|
h
|
(ConcreteCategory.hom (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)).base : ↥(𝒰₁.obj (𝒰₁.f x)) → ↥X) y₁ = x
|
P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y Z : Scheme
𝒰 : Cover P X✝
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝⁴ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f) g
inst✝³ : P.IsStableUnderBaseChange
inst✝² : P.IsStableUnderComposition
inst✝¹ : IsJointlySurjectivePreserving P
X : Scheme
𝒰₁ : Cover P X
𝒰₂ : Cover P X
inst✝ : ∀ (i : 𝒰₁.J) (j : 𝒰₂.J), HasPullback (𝒰₁.map i) (𝒰₂.map j)
x : ↥X
y₁ : ↥(𝒰₁.obj (𝒰₁.f x))
hy₁ : (ConcreteCategory.hom (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)).base : ↥(𝒰₁.obj (𝒰₁.f x)) → ↥X) y₁ = x
y₂ : ↥(𝒰₂.obj (𝒰₂.f x))
hy₂ : (ConcreteCategory.hom (𝒰₂.map (𝒰₂.f x)).base : ↥(𝒰₂.obj (𝒰₂.f x)) → ↥X) y₂ = x
z : ↥(pullback (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)) (𝒰₂.map (𝒰₂.f x)))
hz :
(ConcreteCategory.hom (pullback.fst (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)) (𝒰₂.map (𝒰₂.f x))).base :
↥(pullback (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)) (𝒰₂.map (𝒰₂.f x))) → ↥(𝒰₁.obj (𝒰₁.f x)))
z =
y₁
⊢ (ConcreteCategory.hom (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)).base : ↥(𝒰₁.obj (𝒰₁.f x)) → ↥X)
((ConcreteCategory.hom (pullback.fst (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)) (𝒰₂.map (𝒰₂.f x))).base :
↥(pullback (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)) (𝒰₂.map (𝒰₂.f x))) → ↥(𝒰₁.obj (𝒰₁.f x)))
z) =
x
|
hy₁
|
h
|
x = x
|
P : MorphismProperty Scheme
X✝ Y Z : Scheme
𝒰 : Cover P X✝
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝⁴ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f) g
inst✝³ : P.IsStableUnderBaseChange
inst✝² : P.IsStableUnderComposition
inst✝¹ : IsJointlySurjectivePreserving P
X : Scheme
𝒰₁ : Cover P X
𝒰₂ : Cover P X
inst✝ : ∀ (i : 𝒰₁.J) (j : 𝒰₂.J), HasPullback (𝒰₁.map i) (𝒰₂.map j)
x : ↥X
y₁ : ↥(𝒰₁.obj (𝒰₁.f x))
hy₁ : (ConcreteCategory.hom (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)).base : ↥(𝒰₁.obj (𝒰₁.f x)) → ↥X) y₁ = x
y₂ : ↥(𝒰₂.obj (𝒰₂.f x))
hy₂ : (ConcreteCategory.hom (𝒰₂.map (𝒰₂.f x)).base : ↥(𝒰₂.obj (𝒰₂.f x)) → ↥X) y₂ = x
z : ↥(pullback (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)) (𝒰₂.map (𝒰₂.f x)))
hz :
(ConcreteCategory.hom (pullback.fst (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)) (𝒰₂.map (𝒰₂.f x))).base :
↥(pullback (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)) (𝒰₂.map (𝒰₂.f x))) → ↥(𝒰₁.obj (𝒰₁.f x)))
z =
y₁
⊢ (ConcreteCategory.hom (𝒰₁.map (𝒰₁.f x)).base : ↥(𝒰₁.obj (𝒰₁.f x)) → ↥X) y₁ = x
|
convert 𝒰.covers _
|
h.e'_4
|
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map ((e : ι → 𝒰.J) (((⇑e.symm : 𝒰.J → ι) ∘ 𝒰.f) x))).base) :
↥((𝒰.obj ∘ (⇑e : ι → 𝒰.J)) (((⇑e.symm : 𝒰.J → ι) ∘ 𝒰.f) x)) → ↥X) =
Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map (𝒰.f x)).base) : ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)) → ↥X)
|
P : MorphismProperty Scheme
X Y Z : Scheme
𝒰✝ : Cover P X
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
𝒰 : Cover P X
ι : Type u_1
e : ι ≃ 𝒰.J
x : ↥X
⊢ x ∈
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map ((e : ι → 𝒰.J) (((⇑e.symm : 𝒰.J → ι) ∘ 𝒰.f) x))).base) :
↥((𝒰.obj ∘ (⇑e : ι → 𝒰.J)) (((⇑e.symm : 𝒰.J → ι) ∘ 𝒰.f) x)) → ↥X)
|
dsimp only [Function.comp_apply]
|
h.e'_4
|
Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map ((e : ι → 𝒰.J) ((e.symm : 𝒰.J → ι) (𝒰.f x)))).base) :
↥(𝒰.obj ((e : ι → 𝒰.J) ((e.symm : 𝒰.J → ι) (𝒰.f x)))) → ↥X) =
Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map (𝒰.f x)).base) : ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)) → ↥X)
|
P : MorphismProperty Scheme
X Y Z : Scheme
𝒰✝ : Cover P X
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
𝒰 : Cover P X
ι : Type u_1
e : ι ≃ 𝒰.J
x : ↥X
⊢ Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map ((e : ι → 𝒰.J) (((⇑e.symm : 𝒰.J → ι) ∘ 𝒰.f) x))).base) :
↥((𝒰.obj ∘ (⇑e : ι → 𝒰.J)) (((⇑e.symm : 𝒰.J → ι) ∘ 𝒰.f) x)) → ↥X) =
Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map (𝒰.f x)).base) : ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)) → ↥X)
|
Equiv.apply_symm_apply
|
h.e'_4
|
Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map (𝒰.f x)).base) : ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)) → ↥X) =
Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map (𝒰.f x)).base) : ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)) → ↥X)
|
P : MorphismProperty Scheme
X Y Z : Scheme
𝒰✝ : Cover P X
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
𝒰 : Cover P X
ι : Type u_1
e : ι ≃ 𝒰.J
x : ↥X
⊢ Set.range
(⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map ((e : ι → 𝒰.J) ((e.symm : 𝒰.J → ι) (𝒰.f x)))).base) :
↥(𝒰.obj ((e : ι → 𝒰.J) ((e.symm : 𝒰.J → ι) (𝒰.f x)))) → ↥X) =
Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.map (𝒰.f x)).base) : ↥(𝒰.obj (𝒰.f x)) → ↥X)
|
induction x
|
bot
|
y ≤ y + ⊥
|
α : Type u
inst✝² : Add α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CanonicallyOrderedAdd α
x : WithBot α
hx : x ≠ ⊥
y : WithBot α
⊢ y ≤ y + x
|
induction x
|
coe
|
y ≤ y + (↑a✝ : WithBot α)
|
α : Type u
inst✝² : Add α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CanonicallyOrderedAdd α
x : WithBot α
hx : x ≠ ⊥
y : WithBot α
bot : y ≤ y + ⊥
⊢ y ≤ y + x
|
induction y
|
coe.bot
|
⊥ ≤ ⊥ + (↑a✝ : WithBot α)
|
α : Type u
inst✝² : Add α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CanonicallyOrderedAdd α
y : WithBot α
a✝ : α
hx : (↑a✝ : WithBot α) ≠ ⊥
⊢ y ≤ y + (↑a✝ : WithBot α)
|
induction y
|
coe.coe
|
(↑a✝ : WithBot α) ≤ (↑a✝ : WithBot α) + (↑a✝¹ : WithBot α)
|
α : Type u
inst✝² : Add α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CanonicallyOrderedAdd α
y : WithBot α
a✝ : α
hx : (↑a✝ : WithBot α) ≠ ⊥
coe.bot : ⊥ ≤ ⊥ + (↑a✝ : WithBot α)
⊢ y ≤ y + (↑a✝ : WithBot α)
|
rw [← WithBot.coe_add, WithBot.coe_le_coe]
|
coe.coe
|
a✝ ≤ a✝ + a✝¹
|
α : Type u
inst✝² : Add α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CanonicallyOrderedAdd α
a✝¹ : α
hx : (↑a✝¹ : WithBot α) ≠ ⊥
a✝ : α
⊢ (↑a✝ : WithBot α) ≤ (↑a✝ : WithBot α) + (↑a✝¹ : WithBot α)
|
← WithBot.coe_add,
|
coe.coe
|
(↑a✝ : WithBot α) ≤ (↑(a✝ + a✝¹) : WithBot α)
|
α : Type u
inst✝² : Add α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CanonicallyOrderedAdd α
a✝¹ : α
hx : (↑a✝¹ : WithBot α) ≠ ⊥
a✝ : α
⊢ (↑a✝ : WithBot α) ≤ (↑a✝ : WithBot α) + (↑a✝¹ : WithBot α)
|
WithBot.coe_le_coe
|
coe.coe
|
a✝ ≤ a✝ + a✝¹
|
α : Type u
inst✝² : Add α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CanonicallyOrderedAdd α
a✝¹ : α
hx : (↑a✝¹ : WithBot α) ≠ ⊥
a✝ : α
⊢ (↑a✝ : WithBot α) ≤ (↑(a✝ + a✝¹) : WithBot α)
|
induction x
|
bot
|
y ≤ ⊥ + y
|
α : Type u
inst✝² : AddCommMagma α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CanonicallyOrderedAdd α
x : WithBot α
hx : x ≠ ⊥
y : WithBot α
⊢ y ≤ x + y
|
induction x
|
coe
|
y ≤ (↑a✝ : WithBot α) + y
|
α : Type u
inst✝² : AddCommMagma α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CanonicallyOrderedAdd α
x : WithBot α
hx : x ≠ ⊥
y : WithBot α
bot : y ≤ ⊥ + y
⊢ y ≤ x + y
|
induction y
|
coe.bot
|
⊥ ≤ (↑a✝ : WithBot α) + ⊥
|
α : Type u
inst✝² : AddCommMagma α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CanonicallyOrderedAdd α
y : WithBot α
a✝ : α
hx : (↑a✝ : WithBot α) ≠ ⊥
⊢ y ≤ (↑a✝ : WithBot α) + y
|
induction y
|
coe.coe
|
(↑a✝ : WithBot α) ≤ (↑a✝¹ : WithBot α) + (↑a✝ : WithBot α)
|
α : Type u
inst✝² : AddCommMagma α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CanonicallyOrderedAdd α
y : WithBot α
a✝ : α
hx : (↑a✝ : WithBot α) ≠ ⊥
coe.bot : ⊥ ≤ (↑a✝ : WithBot α) + ⊥
⊢ y ≤ (↑a✝ : WithBot α) + y
|
rw [← WithBot.coe_add, WithBot.coe_le_coe]
|
coe.coe
|
a✝ ≤ a✝¹ + a✝
|
α : Type u
inst✝² : AddCommMagma α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CanonicallyOrderedAdd α
a✝¹ : α
hx : (↑a✝¹ : WithBot α) ≠ ⊥
a✝ : α
⊢ (↑a✝ : WithBot α) ≤ (↑a✝¹ : WithBot α) + (↑a✝ : WithBot α)
|
← WithBot.coe_add,
|
coe.coe
|
(↑a✝ : WithBot α) ≤ (↑(a✝¹ + a✝) : WithBot α)
|
α : Type u
inst✝² : AddCommMagma α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CanonicallyOrderedAdd α
a✝¹ : α
hx : (↑a✝¹ : WithBot α) ≠ ⊥
a✝ : α
⊢ (↑a✝ : WithBot α) ≤ (↑a✝¹ : WithBot α) + (↑a✝ : WithBot α)
|
WithBot.coe_le_coe
|
coe.coe
|
a✝ ≤ a✝¹ + a✝
|
α : Type u
inst✝² : AddCommMagma α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CanonicallyOrderedAdd α
a✝¹ : α
hx : (↑a✝¹ : WithBot α) ≠ ⊥
a✝ : α
⊢ (↑a✝ : WithBot α) ≤ (↑(a✝¹ + a✝) : WithBot α)
|
intro c
|
h
|
b = a * c ∧ a ≠ b ↔ c > 1 ∧ b = a * c
|
α : Type u
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CanonicallyOrderedMul α
a b : α
inst✝ : MulLeftStrictMono α
⊢ ∀ (a_1 : α), b = a * a_1 ∧ a ≠ b ↔ a_1 > 1 ∧ b = a * a_1
|
rw [and_comm, and_congr_left_iff, gt_iff_lt]
|
h
|
b = a * c → (a ≠ b ↔ 1 < c)
|
α : Type u
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CanonicallyOrderedMul α
a b : α
inst✝ : MulLeftStrictMono α
c : α
⊢ b = a * c ∧ a ≠ b ↔ c > 1 ∧ b = a * c
|
and_comm,
|
h
|
a ≠ b ∧ b = a * c ↔ c > 1 ∧ b = a * c
|
α : Type u
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CanonicallyOrderedMul α
a b : α
inst✝ : MulLeftStrictMono α
c : α
⊢ b = a * c ∧ a ≠ b ↔ c > 1 ∧ b = a * c
|
and_congr_left_iff,
|
h
|
b = a * c → (a ≠ b ↔ c > 1)
|
α : Type u
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CanonicallyOrderedMul α
a b : α
inst✝ : MulLeftStrictMono α
c : α
⊢ a ≠ b ∧ b = a * c ↔ c > 1 ∧ b = a * c
|
gt_iff_lt
|
h
|
b = a * c → (a ≠ b ↔ 1 < c)
|
α : Type u
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CanonicallyOrderedMul α
a b : α
inst✝ : MulLeftStrictMono α
c : α
⊢ b = a * c → (a ≠ b ↔ c > 1)
|
rintro rfl
|
h
|
a ≠ a * c ↔ 1 < c
|
α : Type u
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CanonicallyOrderedMul α
a b : α
inst✝ : MulLeftStrictMono α
c : α
⊢ b = a * c → (a ≠ b ↔ 1 < c)
|
constructor
|
h.mp
|
a ≠ a * c → 1 < c
|
α : Type u
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CanonicallyOrderedMul α
a : α
inst✝ : MulLeftStrictMono α
c : α
⊢ a ≠ a * c ↔ 1 < c
|
constructor
|
h.mpr
|
1 < c → a ≠ a * c
|
α : Type u
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CanonicallyOrderedMul α
a : α
inst✝ : MulLeftStrictMono α
c : α
h.mp : a ≠ a * c → 1 < c
⊢ a ≠ a * c ↔ 1 < c
|
rw [one_lt_iff_ne_one]
|
h.mp
|
a ≠ a * c → c ≠ 1
|
α : Type u
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CanonicallyOrderedMul α
a : α
inst✝ : MulLeftStrictMono α
c : α
⊢ a ≠ a * c → 1 < c
|
one_lt_iff_ne_one
|
h.mp
|
a ≠ a * c → c ≠ 1
|
α : Type u
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CanonicallyOrderedMul α
a : α
inst✝ : MulLeftStrictMono α
c : α
⊢ a ≠ a * c → 1 < c
|
apply mt
|
h.mp.h₁
|
c = 1 → a = a * c
|
α : Type u
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CanonicallyOrderedMul α
a : α
inst✝ : MulLeftStrictMono α
c : α
⊢ a ≠ a * c → c ≠ 1
|
rw [← (self_le_mul_right a c).lt_iff_ne]
|
h.mpr
|
1 < c → a < a * c
|
α : Type u
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CanonicallyOrderedMul α
a : α
inst✝ : MulLeftStrictMono α
c : α
⊢ 1 < c → a ≠ a * c
|
← (self_le_mul_right a c).lt_iff_ne
|
h.mpr
|
1 < c → a < a * c
|
α : Type u
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CanonicallyOrderedMul α
a : α
inst✝ : MulLeftStrictMono α
c : α
⊢ 1 < c → a ≠ a * c
|
simp only [Injective, Prod.mk.injEq, and_imp]
|
[anonymous]
|
∀ ⦃a₁ a₂ : α⦄, a₁⁺ᵐ = a₂⁺ᵐ → a₁⁻ᵐ = a₂⁻ᵐ → a₁ = a₂
|
α : Type u_1
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulLeftMono α
⊢ Injective fun a ↦ (a⁺ᵐ , a⁻ᵐ)
|
rw [HomotopyCategory.quasiIso_eq_subcategoryAcyclic_W]
|
[anonymous]
|
(HomotopyCategory.subcategoryAcyclic C).W.HasLeftCalculusOfFractions
|
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasDerivedCategory C
⊢ (HomotopyCategory.quasiIso C (ComplexShape.up ℤ)).HasLeftCalculusOfFractions
|
HomotopyCategory.quasiIso_eq_subcategoryAcyclic_W
|
[anonymous]
|
(HomotopyCategory.subcategoryAcyclic C).W.HasLeftCalculusOfFractions
|
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasDerivedCategory C
⊢ (HomotopyCategory.quasiIso C (ComplexShape.up ℤ)).HasLeftCalculusOfFractions
|
rw [HomotopyCategory.quasiIso_eq_subcategoryAcyclic_W]
|
[anonymous]
|
(HomotopyCategory.subcategoryAcyclic C).W.HasRightCalculusOfFractions
|
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasDerivedCategory C
⊢ (HomotopyCategory.quasiIso C (ComplexShape.up ℤ)).HasRightCalculusOfFractions
|
HomotopyCategory.quasiIso_eq_subcategoryAcyclic_W
|
[anonymous]
|
(HomotopyCategory.subcategoryAcyclic C).W.HasRightCalculusOfFractions
|
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasDerivedCategory C
⊢ (HomotopyCategory.quasiIso C (ComplexShape.up ℤ)).HasRightCalculusOfFractions
|
have ⟨φ, hφ⟩ := Localization.exists_rightFraction Qh (HomotopyCategory.quasiIso C _) f
|
[anonymous]
|
∃ X' s, ∃ (_ : IsIso (Q.map s)), ∃ g, f = inv (Q.map s) ≫ Q.map g
|
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasDerivedCategory C
X Y : CochainComplex C ℤ
f : Q.obj X ⟶ Q.obj Y
⊢ ∃ X' s, ∃ (_ : IsIso (Q.map s)), ∃ g, f = inv (Q.map s) ≫ Q.map g
|
have ⟨φ, hφ⟩ := Localization.exists_leftFraction Qh (HomotopyCategory.quasiIso C _) f
|
[anonymous]
|
∃ Y' g s, ∃ (_ : IsIso (Q.map s)), f = Q.map g ≫ inv (Q.map s)
|
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasDerivedCategory C
X Y : CochainComplex C ℤ
f : Q.obj X ⟶ Q.obj Y
⊢ ∃ Y' g s, ∃ (_ : IsIso (Q.map s)), f = Q.map g ≫ inv (Q.map s)
|
obtain ⟨X', s, hs, g, rfl⟩ := right_fac f
|
intro.intro.intro.intro
|
∃ X'_1,
∃ (_ : X'_1.IsStrictlyLE n),
∃ s_1, ∃ (_ : IsIso (Q.map s_1)), ∃ g_1, inv (Q.map s) ≫ Q.map g = inv (Q.map s_1) ≫ Q.map g_1
|
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasDerivedCategory C
X Y : CochainComplex C ℤ
f : Q.obj X ⟶ Q.obj Y
n : ℤ
inst✝ : X.IsStrictlyLE n
⊢ ∃ X', ∃ (_ : X'.IsStrictlyLE n), ∃ s, ∃ (_ : IsIso (Q.map s)), ∃ g, f = inv (Q.map s) ≫ Q.map g
|
have : IsIso (Q.map (CochainComplex.truncLEMap s n)) := by
rw [isIso_Q_map_iff_quasiIso, CochainComplex.quasiIso_truncLEMap_iff]
rw [isIso_Q_map_iff_quasiIso] at hs
infer_instance
|
intro.intro.intro.intro
|
∃ X'_1,
∃ (_ : X'_1.IsStrictlyLE n),
∃ s_1, ∃ (_ : IsIso (Q.map s_1)), ∃ g_1, inv (Q.map s) ≫ Q.map g = inv (Q.map s_1) ≫ Q.map g_1
|
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasDerivedCategory C
X Y : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
inst✝ : X.IsStrictlyLE n
X' : CochainComplex C ℤ
s : X' ⟶ X
hs : IsIso (Q.map s)
g : X' ⟶ Y
⊢ ∃ X'_1,
∃ (_ : X'_1.IsStrictlyLE n),
∃ s_1, ∃ (_ : IsIso (Q.map s_1)), ∃ g_1, inv (Q.map s) ≫ Q.map g = inv (Q.map s_1) ≫ Q.map g_1
|
rw [isIso_Q_map_iff_quasiIso, CochainComplex.quasiIso_truncLEMap_iff]
|
[anonymous]
|
∀ i ≤ n, QuasiIsoAt s i
|
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasDerivedCategory C
X Y : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
inst✝ : X.IsStrictlyLE n
X' : CochainComplex C ℤ
s : X' ⟶ X
hs : IsIso (Q.map s)
g : X' ⟶ Y
⊢ IsIso (Q.map (CochainComplex.truncLEMap s n))
|
isIso_Q_map_iff_quasiIso,
|
[anonymous]
|
QuasiIso (CochainComplex.truncLEMap s n)
|
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasDerivedCategory C
X Y : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
inst✝ : X.IsStrictlyLE n
X' : CochainComplex C ℤ
s : X' ⟶ X
hs : IsIso (Q.map s)
g : X' ⟶ Y
⊢ IsIso (Q.map (CochainComplex.truncLEMap s n))
|
CochainComplex.quasiIso_truncLEMap_iff
|
[anonymous]
|
∀ i ≤ n, QuasiIsoAt s i
|
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasDerivedCategory C
X Y : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
inst✝ : X.IsStrictlyLE n
X' : CochainComplex C ℤ
s : X' ⟶ X
hs : IsIso (Q.map s)
g : X' ⟶ Y
⊢ QuasiIso (CochainComplex.truncLEMap s n)
|
refine ⟨X'.truncLE n, inferInstance, CochainComplex.truncLEMap s n ≫ X.ιTruncLE n, ?_,
CochainComplex.truncLEMap g n ≫ Y.ιTruncLE n, ?_⟩
|
intro.intro.intro.intro.refine_1
|
IsIso (Q.map (CochainComplex.truncLEMap s n ≫ X.ιTruncLE n))
|
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasDerivedCategory C
X Y : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
inst✝ : X.IsStrictlyLE n
X' : CochainComplex C ℤ
s : X' ⟶ X
hs : IsIso (Q.map s)
g : X' ⟶ Y
this : IsIso (Q.map (CochainComplex.truncLEMap s n))
⊢ ∃ X'_1,
∃ (_ : X'_1.IsStrictlyLE n),
∃ s_1, ∃ (_ : IsIso (Q.map s_1)), ∃ g_1, inv (Q.map s) ≫ Q.map g = inv (Q.map s_1) ≫ Q.map g_1
|
refine ⟨X'.truncLE n, inferInstance, CochainComplex.truncLEMap s n ≫ X.ιTruncLE n, ?_,
CochainComplex.truncLEMap g n ≫ Y.ιTruncLE n, ?_⟩
|
intro.intro.intro.intro.refine_2
|
inv (Q.map s) ≫ Q.map g =
inv (Q.map (CochainComplex.truncLEMap s n ≫ X.ιTruncLE n)) ≫ Q.map (CochainComplex.truncLEMap g n ≫ Y.ιTruncLE n)
|
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasDerivedCategory C
X Y : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
inst✝ : X.IsStrictlyLE n
X' : CochainComplex C ℤ
s : X' ⟶ X
hs : IsIso (Q.map s)
g : X' ⟶ Y
this : IsIso (Q.map (CochainComplex.truncLEMap s n))
intro.intro.intro.intro.refine_1 : IsIso (Q.map (CochainComplex.truncLEMap s n ≫ X.ιTruncLE n))
⊢ ∃ X'_1,
∃ (_ : X'_1.IsStrictlyLE n),
∃ s_1, ∃ (_ : IsIso (Q.map s_1)), ∃ g_1, inv (Q.map s) ≫ Q.map g = inv (Q.map s_1) ≫ Q.map g_1
|
rw [Q.map_comp]
|
intro.intro.intro.intro.refine_1
|
IsIso (Q.map (CochainComplex.truncLEMap s n) ≫ Q.map (X.ιTruncLE n))
|
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasDerivedCategory C
X Y : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
inst✝ : X.IsStrictlyLE n
X' : CochainComplex C ℤ
s : X' ⟶ X
hs : IsIso (Q.map s)
g : X' ⟶ Y
this : IsIso (Q.map (CochainComplex.truncLEMap s n))
⊢ IsIso (Q.map (CochainComplex.truncLEMap s n ≫ X.ιTruncLE n))
|
Q.map_comp
|
intro.intro.intro.intro.refine_1
|
IsIso (Q.map (CochainComplex.truncLEMap s n) ≫ Q.map (X.ιTruncLE n))
|
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasDerivedCategory C
X Y : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
inst✝ : X.IsStrictlyLE n
X' : CochainComplex C ℤ
s : X' ⟶ X
hs : IsIso (Q.map s)
g : X' ⟶ Y
this : IsIso (Q.map (CochainComplex.truncLEMap s n))
⊢ IsIso (Q.map (CochainComplex.truncLEMap s n ≫ X.ιTruncLE n))
|
have eq := Q.congr_map (CochainComplex.ιTruncLE_naturality s n)
|
intro.intro.intro.intro.refine_2
|
inv (Q.map s) ≫ Q.map g =
inv (Q.map (CochainComplex.truncLEMap s n ≫ X.ιTruncLE n)) ≫ Q.map (CochainComplex.truncLEMap g n ≫ Y.ιTruncLE n)
|
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasDerivedCategory C
X Y : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
inst✝ : X.IsStrictlyLE n
X' : CochainComplex C ℤ
s : X' ⟶ X
hs : IsIso (Q.map s)
g : X' ⟶ Y
this : IsIso (Q.map (CochainComplex.truncLEMap s n))
⊢ inv (Q.map s) ≫ Q.map g =
inv (Q.map (CochainComplex.truncLEMap s n ≫ X.ιTruncLE n)) ≫ Q.map (CochainComplex.truncLEMap g n ≫ Y.ιTruncLE n)
|
obtain ⟨Y', g, s, hs, rfl⟩ := left_fac f
|
intro.intro.intro.intro
|
∃ Y'_1,
∃ (_ : Y'_1.IsStrictlyGE n),
∃ g_1 s_1, ∃ (_ : IsIso (Q.map s_1)), Q.map g ≫ inv (Q.map s) = Q.map g_1 ≫ inv (Q.map s_1)
|
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasDerivedCategory C
X Y : CochainComplex C ℤ
f : Q.obj X ⟶ Q.obj Y
n : ℤ
inst✝ : Y.IsStrictlyGE n
⊢ ∃ Y', ∃ (_ : Y'.IsStrictlyGE n), ∃ g s, ∃ (_ : IsIso (Q.map s)), f = Q.map g ≫ inv (Q.map s)
|
have : IsIso (Q.map (CochainComplex.truncGEMap s n)) := by
rw [isIso_Q_map_iff_quasiIso, CochainComplex.quasiIso_truncGEMap_iff]
rw [isIso_Q_map_iff_quasiIso] at hs
infer_instance
|
intro.intro.intro.intro
|
∃ Y'_1,
∃ (_ : Y'_1.IsStrictlyGE n),
∃ g_1 s_1, ∃ (_ : IsIso (Q.map s_1)), Q.map g ≫ inv (Q.map s) = Q.map g_1 ≫ inv (Q.map s_1)
|
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasDerivedCategory C
X Y : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
inst✝ : Y.IsStrictlyGE n
Y' : CochainComplex C ℤ
g : X ⟶ Y'
s : Y ⟶ Y'
hs : IsIso (Q.map s)
⊢ ∃ Y'_1,
∃ (_ : Y'_1.IsStrictlyGE n),
∃ g_1 s_1, ∃ (_ : IsIso (Q.map s_1)), Q.map g ≫ inv (Q.map s) = Q.map g_1 ≫ inv (Q.map s_1)
|
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