private static function serializeRange($start, $end) {
    if ($start < 0) {
      $range_str = sprintf('%d', $start);
    } else if (!isset($end)) {
      $range_str = sprintf("%d-", $start);
    } else {
      $range_str = sprintf("%d-%d", $start, $end);
    }
    return sprintf("bytes=%s", $range_str);
  }