Question: > 
> Ich **befasse** mich in letzter Zeit mit Deutsch lernen.
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> Ich **beschäftige** mich in letzter Zeit mit Deutsch lernen.
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Kann man diese Verben untereinander austauschen? Was ist der Unterschied?

Answer: 
Interessant finde ich diesen Beispielsatz:

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> Ich beschäftige mich am liebsten mit Musik.
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Diese Sätze würde ich eher komisch finden:

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> Ich befasse mich am liebsten mit Musik.  
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>  Ich befasse mich gerne mit Musik.
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Weil „befassen“ schon beinhaltet, dass man etwas intensiv oder gerne tut. Geht es aber um einen Teilbereich oder speziellere Interessen, klingt „befassen“ oftmals gleichwertig oder besser, finde ich:

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> Ich befasse mich mit klassischer Musik.
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Um zum gegebenen Beispiel zurückzukehren, Folgendes, finde ich, klingt gut:

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> In letzter Zeit beschäftige ich mich damit, Deutsch zu lernen.  
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>  Momentan befasse ich mich mit der deutschen Grammatik.
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sich befassen mit VS sich beschäftigen mit: der Unterschied im Gebrauch dieser zwei Verben sehe ich darin, dass man sie gezielt auf intellektuelle einerseits und praktische Interessen andererseits gebrauchen kann.

"Sich befassen mit" sehe ich eher auf einen intellektuellen Inhalt gerichtet. Mein Ausgangspunkt ist die Sinnverwandschaft zwischen "fassen" und "greifen". Aus dem Verb "greifen" leiten wir das Wort "Be-griff", was intellektuelle Bedeutung hat. Begriffe sind Bausteine unseres Verstandes. Also greifen - begreifen (intellektueller Vorgang des Verstehens); fassen - befassen (sich intellektuell mit etwas auseinandersetzen).

"Sich beschäftigen mit" ist eher im praktischen Sinne zu gebrauchen, immer dann wenn es um Resultate oder Lösungen geht.