Question: > 
> Ich **befasse** mich in letzter Zeit mit Deutsch lernen.
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> Ich **beschäftige** mich in letzter Zeit mit Deutsch lernen.
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Kann man diese Verben untereinander austauschen? Was ist der Unterschied?

Answer: 
Ich verwende "befassen" für eingehendere Beschäftigungen. Wie es scheint sieht es der Duden ähnlich, definiert er doch:

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> sich [eingehend] beschäftigen, auseinandersetzen
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Vielleicht hilft folgendes Beispiel: 

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> ich befasse mich in meiner Doktorarbeit mit ausgestorbenen Tierarten und beschäftige mich in meiner Freizeit mit der Erlernung des 
>  Deutschen.
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sich befassen mit VS sich beschäftigen mit: der Unterschied im Gebrauch dieser zwei Verben sehe ich darin, dass man sie gezielt auf intellektuelle einerseits und praktische Interessen andererseits gebrauchen kann.

"Sich befassen mit" sehe ich eher auf einen intellektuellen Inhalt gerichtet. Mein Ausgangspunkt ist die Sinnverwandschaft zwischen "fassen" und "greifen". Aus dem Verb "greifen" leiten wir das Wort "Be-griff", was intellektuelle Bedeutung hat. Begriffe sind Bausteine unseres Verstandes. Also greifen - begreifen (intellektueller Vorgang des Verstehens); fassen - befassen (sich intellektuell mit etwas auseinandersetzen).

"Sich beschäftigen mit" ist eher im praktischen Sinne zu gebrauchen, immer dann wenn es um Resultate oder Lösungen geht.