De Fibonacci reeks berekenen
De Fibonacci-reeks is een getallenreeks welke gegenereerd wordt door het optellen van de vorige twee getallen in de reeks. De getallen in de reeks zie je frequent terug in natuur en in de kunst, zoals bij spiralen en de gulden snede. De gemakkelijkste manier om de reeks te berekenen is door het opstellen van een tabel; dit is echter niet praktisch als je bijvoorbeeld op zoek bent naar de 100e term in de reeks, in welk geval je de formule van Binet gebruikt.
1. **Maak een tabel met twee kolommen.** Het aantal rijen is afhankelijk van het aantal getallen in de Fibonacci-reeks je wilt berekenen.

Bijvoorbeeld, als je het vijfde getal in de reeks wilt vinden, dan krijgt je tabel vijf rijen.
Met deze tabelmethode is het niet mogelijk om een willekeurig getal verderop in de reeks te vinden, zonder eerst alle getallen ervoor te berekenen. Bijvoorbeeld, als je het 100e getal in de reeks wilt vinden, dan zal je eerst de eerste 99 getallen moeten bepalen. Daarom werkt de tabelmethode alleen voor getallen aan het begin van de reeks.
2. **Voer de reeks getallen in de linker kolom in.** Dit betekent het invullen van een reeks opeenvolgende ordinale getallen, te beginnen met "1e."

De term refereert aan de positie van het getal in de Fibonacci-reeks.
Bijvoorbeeld, als je het vijfde getal in de reeks wilt berekenen, dan schrijf je 1e, 2e, 3e, 4e, 5e langs de linker kolom naar beneden. Hiermee wordt je duidelijk wat de eerste vijf termen van de reeks zijn.
3. **Zet 1 in de eerste rij van de rechter kolom.** Dit is het beginpunt van de Fibonacci-reeks. Met andere woorden, de eerste term in de reeks is 1.
De juiste Fibonacci-reeks begint altijd met 1. Wil je beginnen met een ander getal, dan zal je niet het juiste patroon vinden van de Fibonacci-reeks.
4. **Tel de eerste term (1) en 0.** Bij elkaar op. Dit levert je het tweede getal in de reeks op.

Vergeet niet dat je, om een gegeven getal van de Fibonacci-reeks te vinden, alleen maar de twee voorgaande getallen bij elkaar hoeft op te tellen.
Om de reeks te creëren komt 0 voor de 1 (de eerste term), en dus: 1 + 0 = 1.
5. **Tel de eerste term (1) en de tweede term (1) bij elkaar op.** Hiermee krijg je het derde getal in de reeks.
1 + 1 = 2. De derde term is 2.
6. **Tel de tweede term (1) en de derde term (2) bij elkaar op voor het vierde getal in de reeks.** 1 + 2 = 3. De vierde term is 3.
7. **Tel de derde term (2) en de vierde term (3) bij elkaar.** Nu weet je het vijfde getal in de reeks.
2 + 3 = 5. De vijfde term is 5.
8. **Tel de voorgaande twee getallen bij elkaar op voor het vinden van elk gegeven getal in de Fibonacci-reeks.** Gebruik je deze methode, dan gebruik je de formule Fn=Fn−1+Fn−2{\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}. Omdat dit geen gesloten formule is, kun je dit niet gebruiken voor het bereken van elke term in de reeks, zonder eerst alle voorgaande getallen te berekenen.
9. **Schrijf de formule op:** xn{\displaystyle x_{n}}=ϕn−(1−ϕ)n5{\displaystyle {\frac {\phi ^{n}-(1-\phi )^{n}}{\sqrt {5}}}}. In de formule, xn{\displaystyle x_{n}} = de term in de reeks die je probeert te vinden, n{\displaystyle n} = het positiegetal van de term in de reeks, en ϕ{\displaystyle \phi } = de gulden snede.

Dit is een gesloten formule, waarmee je dus een specifieke term in de reeks kunt berekenen zonder alle voorgaande te moeten berekenen.
Deze formule is een vereenvoudigde formule afgeleid van Binet’s Fibonacci-formule.

De formule past de gulden snede toe (ϕ{\displaystyle \phi }), omdat de verhouding van twee opeenvolgende getallen in de Fibonacci-reeks erg lijken op de gulden snede.
10. **Pas het getal voor n{\displaystyle n} toe op de formule.** De n{\displaystyle n} stelt de term voor die je zoekt in de reeks.
Als je bijvoorbeeld op zoek bent naar het vijfde getal in de reeks, vul dan 5 in. Je formule ziet er nu als volgt uit: x5{\displaystyle x_{5}}=ϕ5−(1−ϕ)55{\displaystyle {\frac {\phi ^{5}-(1-\phi )^{5}}{\sqrt {5}}}}.
11. **Substitueer de gulden snede in de formule.** Gebruik 1,618034 als een benadering van de gulden snede.
Als je bijvoorbeeld zoekt naar het vijfde getal in de reeks, dan ziet de ingevulde formule er als volgt uit: x5{\displaystyle x_{5}}=(1,618034)5−(1−1,618034)55{\displaystyle {\frac {(1,618034)^{5}-(1-1,618034)^{5}}{\sqrt {5}}}}.
12. **Completeer de berekeningen tussen haakjes.** Houd rekening met de volgorde van rekenkundige bewerkingen door eerst het deel tussen haakjes uit te rekenen: 1−1,618034=−0,618034{\displaystyle 1-1,618034=-0,618034}.
In het voorbeeld wordt de vergelijking x5{\displaystyle x_{5}}=(1,618034)5−(−0,618034)55{\displaystyle {\frac {(1,618034)^{5}-(-0,618034)^{5}}{\sqrt {5}}}}.
13. **Bereken de exponenten.** Vermenigvuldig de twee getallen tussen haakjes in de teller met de juiste exponent.
In het voorbeeld, 1,6180345=11,090170{\displaystyle 1,618034^{5}=11,090170}; −0,6180345=−0,090169{\displaystyle -0,618034^{5}=-0,090169}. Dus wordt de vergelijking x5=11,090170−(−0,090169)5{\displaystyle x_{5}={\frac {11,090170-(-0,090169)}{\sqrt {5}}}}.
14. **Rond de berekening af.** Voor je verder gaat met delen moet je eerst de twee getallen in de teller van elkaar aftrekken.
In het voorbeeld, 11,090170−(−0,090169)=11,180339{\displaystyle 11,090170-(-0,090169)=11,180339}, dus wordt de vergelijking x5{\displaystyle x_{5}}=11,1803395{\displaystyle {\frac {11,180339}{\sqrt {5}}}}.
15. **Deel door de vierkantswortel van vijf.** De vierkantswortel van vijf is afgerond 2,236067.
In de voorbeeldopgave, 11,1803392,236067=5,000002{\displaystyle {\frac {11,180339}{2,236067}}=5,000002}.
16. **Rond af op het dichtstbijzijnde gehele getal.** Je antwoord is een decimaal getal, maar ligt zeer dicht in de buurt van een geheel getal. Dit gehele getal representeert het getal in de Fibonacci-reeks.

Heb je de volledige gulden snede gebruikt en niets afgerond, dan krijg je een geheel getal. Het is echter praktischer om af te ronden, wat in een decimaal zal resulteren.

In het voorbeeld zal je antwoord, berekend met een rekenmachine, uitkomen op ongeveer 5,000002. Afgerond op het dichtstbijzijnde gehele getal wordt je antwoord vijf, en is dit ook het vijfde getal van de Fibonacci-reeks.
{"url": "https://nl.wikihow.com/De-Fibonacci-reeks-berekenen", "language": "nl"}