Como Simplificar Radicais
A expressão radical é uma expressão algébrica que inclui uma raiz quadrada, cúbica ou de outra ordem. É comum que essas expressões descrevam o mesmo número, mesmo parecendo bastante diferentes (ex.: 1/(√(2) - 1) = √(2)+1).  A solução é escolher uma "forma canônica" preferida para elas. Se duas expressões, ambas na forma canônica, ainda parecerem diferentes, elas realmente não representam o mesmo número. Os matemáticos concordam que a forma canônica das expressões radicais deve: 


Evitar frações em radicais;
Evitar expoentes fracionados;
Evitar radicais no denominador;
Evitar multiplicar radicais por radicais;
Ter apenas termos fora da raiz quadrada embaixo dos radicais.

Um uso prático dessa forma pode ser encontrado nos testes de múltipla escolha. Se você resolver um problema, mas não encontrar a sua resposta entre as alternativas, experimente simplificá-la para a forma canônica. Como os autores dos testes costumam colocar as respostas nessa forma, fazer o mesmo com a sua deixará aparente qual é a resposta certa. Nos testes dissertativos, instruções como "simplifique sua resposta" ou "simplifique todos os radicais" significam que o aluno deve aplicar os passos a seguir até que a resposta satisfaça a forma canônica descrita acima. Essa forma também pode ser útil para a resolução das equações, embora algumas sejam mais fáceis de se resolver usando uma forma não canônica.
1. **Se precisar, releia as regras para a manipulação de radicais e expoentes (eles são a mesma coisa:** as raízes são potências fracionais), pois a maioria delas é necessária para esse processo. Revise também as regras de manipulação e simplificação de polinômios e expressões racionais, pois elas também serão necessárias para simplificar.
2. **Simplifique os radicais que sejam quadrados perfeitos.** Eles são o produto de qualquer número que seja multiplicado por ele mesmo, como 81, que é o produto de 9 x 9. Para simplificar um quadrado perfeito dentro de um radical, é só remover o símbolo do radical e escrever o resultado da raiz quadrada.

Por exemplo, 121 é um quadrado perfeito, porque 11 x 11 é igual a 121. Assim, você pode simplificar √(121) para 11, removendo o símbolo da raiz quadrada.
Para facilitar o processo, memorize os primeiros 12 quadrados perfeitos: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144
3. **Simplifique os radicais que sejam cubos perfeitos.** Eles são o produto de qualquer número multiplicado por si mesmo duas vezes, como 27, que é o produto de 3 x 3 x 3. Para simplificar uma expressão radical com um cubo perfeito, é só remover o símbolo do radical e escrever o resultado da raiz cúbica do cubo perfeito.
Por exemplo, 343 é um cubo perfeito, pois trata-se do produto de 7 x 7 x 7. Portanto, a raiz cúbica do cubo perfeito 343 é 7.
4. **Encontre o expoente fracionário e converta-o para o equivalente radical, x = a raiz b de x
** Caso o índice do radical seja uma fração, livre-se dela também. Por exemplo, a raiz (2/3) de 4 = √(4) = 2 = 8.
5. **Converta os expoentes negativos em suas frações equivalentes:** x = 1/
Isso só se aplica a expoentes constantes e racionais. Caso tenha termos como 2, deixe-os como estão, mesmo que o contexto do problema dê a entender que o x possa ser fracionário ou negativo.
6. **Combine os termos semelhantes** 
7. **Examine os termos abaixo de cada radical para ver se contêm frações.** Em caso positivo:
8. **Troque-a por uma divisão entre dois radicais usando a identidade √(a/b) = √(a)/√(b).** Não use tal identidade se o denominador for negativo ou uma expressão variável que possa ser negativa. Nesse caso, simplifique a fração primeiro.
9. **Simplifique os quadrados perfeitos que surgirem, ou seja, converta √(5/4) para √(5)/√(4) e simplifique até chegar em √(5)/2.** 
10. **Faça outras simplificações, como reduzir frações complexas, combinar termos semelhantes, etc.** 
11. **Caso tenha uma expressão radical multiplicada por outra, combine-as em um só radical usando a seguinte propriedade:** √(a)*√(b) = √(ab). Por exemplo, substitua √(2)*√(6) por √(12).

A identidade acima, √(a)*√(b) = √(ab), é válida para radicandos não negativos. Não a aplique se a e b forem negativos, pois dessa maneira, você faria uma afirmação falsa: √(-1)*√(-1) = √(1). O lado esquerdo é -1 por definição (ou indefinido, se você se recusar a reconhecer números complexos), enquanto o lado direito é +1. Se a ou b forem negativos, "conserte" primeiro esse sinal com √(-5) = i*√(5). Caso o radicando seja uma expressão variável cujo sinal não possa ser deduzido a partir do contexto, deixe-o do jeito que está por enquanto. Você pode usar a identidade mais geral, √(a)*√(b) = √(sgn(a))*√(sgn(b))*√(|ab|), que é válida para todos os números reais a e b, mas geralmente não vale a pena acrescentar a complexidade da função sinal.
Tal identidade só se aplica quando os radicais têm o mesmo índice. Você pode multiplicar radicais gerais, como √(5)*√(7), expressando-os primeiro com um índice comum. Para tanto, converta as raízes em expoentes fracionados temporariamente: √(5)*√(7) = 5 * 7 = 5 * 7 = 125 * 49. Em seguida, aplique a regra do produto para tornar esse produto igual à raiz sexta de 6125.
12. **Expresse** Tratam-se de números que se multiplicam para criar um outro número; por exemplo, 5 e 4 são dois fatores do número 20. Para dividir uma expressão radical imperfeita, anote todos os fatores daquele número (ou quantos você conseguir, se o número for grande), até encontrar um quadrado perfeito.
Por exemplo, experimente listar todos os fatores do número 45: 1, 3, 5, 9, 15 e 45. O 9 é um fator de 45 que também é um quadrado perfeito (9=3). 9 x 5 = 45.
13. **Tire os fatores que forem raízes quadradas perfeitas do radical.** O 9 é uma raiz quadrada porque é o produto de 3 x 3. Tire-o do radical e coloque um 3 na frente dele, deixando o 5 dentro do radical. Se você "devolver" o 3 para o radical, ele será multiplicado por si mesmo para criar o 9 novamente, que multiplicará o 5 para criar 45 outra vez. 3 raiz de 5 é apenas uma maneira simplificada de dizer raiz de 45.
Isto é, √(45) = √(9*5) = √(9)*√(5) = 3*√(5).
14. **Encontre um quadrado perfeito na variável.** A raiz quadrada de a elevado à segunda potência seria |a|. Você pode simplificar para "a" somente se souber que a variável é positiva. A raiz cúbica de a elevado à terceira potência pode ser simplificada como a raiz quadrada de a quadrado vezes a, pois você soma os expoentes quando multiplica variáveis, de modo que a quadrado vezes a é igual a a ao cubo.
Assim, o quadrado perfeito do a ao cubo é a quadrado.
15. **Tire as variáveis que forem quadrados perfeitos do radical.** Em seguida, pegue a quadrado e tire-o do radical para transformá-lo em um |a| simples. A forma simplificada de a ao cubo é apenas |a| raiz de a.
16. **Combine os termos semelhantes e simplifique as expressões racionais que surgirem como resultado.** 
17. **A forma canônica exige que o denominador seja um número inteiro, ou um polinômio, se contiver indeterminados.** Se o denominador for formado por um termo dentro de um radical, como [x]/√(5), multiplique o numerador e o denominador por aquele radical para obter [x]*√(5)/√(5)*√(5) = [x]*√(5)/5.
Para as raízes cúbicas ou maiores, multiplique pela potência apropriada do radical para tornar o denominador racional. Se o denominador for √(5), multiplique o numerador e o denominador por √(5).

Se o denominador for uma soma ou diferença de raízes quadradas, como √(2) + √(6), multiplique o numerador e o denominador pela mesma expressão conjugada com o operador oposto. Assim, [x]/(√(2) + √(6)) = [x](√(2)-√(6))/(√(2) + √(6))(√(2)-√(6)). Em seguida, use a identidade da diferença de quadrados [(a+b)(a-b) = a-b] para racionalizar o denominador, simplificando (√(2) + √(6))(√(2)-√(6)) =  √(2)^2 - √(6)^2 = 2-6 = -4.

Esse passo também funciona para denominadores como 5 + √(3), já que cada número inteiro é uma raiz quadrada de outro número inteiro. [1/(5 + √(3)) = (5-√(3))/(5 + √(3))(5-√(3)) = (5-√(3))/(5-√(3)) = (5-√(3))/(25-3) = (5-√(3))/22]
Esse método serve para uma soma de raízes quadradas, como √(5)-√(6)+√(7). Se você a agrupar como (√(5)-√(6))+√(7) e multiplicar por (√(5)-√(6))-√(7), sua resposta não será racional, mas terá a seguinte forma: a+b*√(30), onde a e b são racionais. Em seguida, você pode repetir o processo com o conjugado de a+b*√(30), e (a+b*√(30))(a-b*√(30)) é racional. Você pode usar esse truque uma vez para diminuir o número de radicais no denominador, e várias vezes para eliminar todos eles.
Ele funciona até com denominadores contendo raízes maiores, como a raiz quádrupla de 3 mais a raiz sétima de 9. É só multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Infelizmente, o processo para encontrar o conjugado do denominador não é tão claro. Para entendê-lo, procure por um bom livro de teoria algébrica dos números.
18. **Agora, o denominador foi racionalizado, mas o numerador está uma bagunça.** Você terá o número inicial mais até três vezes o conjugado do denominador. Expanda o produto como faria com um produto de polinômios. Veja se algo pode ser cancelado ou simplificado e combine os termos semelhantes se possível.
19. **Caso o denominador seja um número inteiro negativo, multiplique o numerador e o denominador por -1 para torná-lo positivo.** 
{"url": "https://pt.wikihow.com/Simplificar-Radicais", "language": "pt"}