Goniometrische vergelijkingen oplossen
Een goniometrische vergelijking is een vergelijking met één of meer goniometrische functies van de variabele goniometrische kromme x. Het oplossen voor x betekent het vinden van de waarden van de goniometrische krommen waarvan de goniometrische functies ervoor zorgen dat de goniometrische vergelijking waar is. 

Antwoorden of waarden van de oplossingskrommen, worden uitgedrukt in graden of radialen. Voorbeelden:
x = Pi/3 ; x = 5Pi/6 ; x = 3Pi/2 ;
x = 45 graden ; x = 37,12 graden ; x = 178,37 graden


Let op: Op de eenheidscirkel zijn de goniometrische functies van een willekeurige kromme gelijk aan de goniometrische functies van de overeenkomstige hoek. De eenheidscirkel definieert alle goniometrische functies van de variabele kromme x. Het wordt ook gebruikt als bewijs bij het oplossen van goniometrische basisvergelijkingen en ongelijkheden.
Voorbeelden van goniometrische vergelijkingen:

sin x + sin 2x = 1/2  ;  tan x + cot x = 1.732  ;
cos 3x + sin 2x = cos x  ;  2sin 2x + cos x = 1 .



De eenheidscirkel.

Dit is een cirkel met Radius = 1, waarbij O de oorsprong is. De eenheidscirkel definieert 4 goniometrische hoofdfuncties van de variabele kromme x, welke er tegen de klok in omheen cirkelt.
Wanneer de kromme met waarde x varieert op de eenheidscirkel, dan geldt:
De horizontale as OAx definieert de goniometrische functie f(x) = cos x.
De verticale as OBy definieert de goniometrische functie f(x) = sin x.
De verticale as AT definieert de goniometrische functie f(x) = tan x.
De horizontale as BU definieert de goniometrische functie f(x) = cot x.


De eenheidscirkel wordt ook gebruikt voor het oplossen van goniometrische basisvergelijkingen en standaard goniometrische ongelijkheden, door de diverse posities van de kromme x op de cirkel te overwegen.
1. **Begrijp de oplossingsmethode.** Voor het oplossen van een goniometrische vergelijking zet je deze om in een of meerdere goniometrische basisvergelijkingen. Het oplossen van goniometrische vergelijkingen resulteert uiteindelijk in het oplossen van 4 goniometrische basisvergelijkingen.
2. **Weet hoe je goniometrische basisvergelijkingen moet oplossen.** Er zijn 4 goniometrische basisvergelijkingen:
sin x = a  ; cos x = a
tan x = a  ; cot x = a
Het oplossen van de goniometrische basisvergelijkingen doe je door het bestuderen van de diverse posities van de kromme x op de goniometrische cirkel en middels het gebruik van een goniometrische conversietabel (of rekenmachine). Om volledig te begrijpen hoe je deze en soortgelijke goniometrische basisvergelijkingen moet oplossen, kun je het volgende boek doornemen:"Trigonometry: Solving Trigonometric Equations and inequalities" (Amazon E-book 2010).
Voorbeeld 1. Los op voor sin x = 0,866. De conversietabel (of rekenmachine) geeft het antwoord: x = Pi/3. De goniometrische cirkel geeft een andere kromme (2Pi/3) met dezelfde waarde voor de sinus (0,866). De goniometrische cirkel geeft ook een oneindigheid van antwoorden die uitgebreide antwoorden heten.
x1 = Pi/3 + 2k.Pi, en x2 = 2Pi/3.   (Antwoorden binnen een periode (0, 2Pi))
x1 = Pi/3 + 2k Pi, en x2 = 2Pi/3 + 2k Pi.   (Uitgebreide antwoorden).
Voorbeeld 2. Los op: cos x = -1/2. Rekenmachines geven x = 2 Pi/3. De goniometrische cirkel geeft ook nog x = -2Pi/3.
x1 = 2Pi/3 + 2k.Pi, en x2 = - 2Pi/3.   (Antwoorden voor periode (0, 2Pi))
x1 = 2Pi/3 + 2k Pi, en x2 = -2Pi/3 + 2k.Pi.  (Uitgebreide antwoorden)
Voorbeeld 3. Los op: tan (x - Pi/4) = 0.
x = Pi/4 ;  (Antwoord)
x = Pi/4 + k Pi;   (Uitgebreid antwoord)
Voorbeeld 4. Los op: cot 2x = 1.732. Rekenmachines en de goniometrische cirkel geven:
x = Pi/12 ;    (Antwoord)
x = Pi/12 + k Pi ;   (Uitgebreide antwoorden)
3. **Leer de transformaties gebruikt bij het oplossen van goniometrische vergelijkingen.** Om een gegeven goniometrische vergelijking om te rekenen naar standaard goniometrische vergelijkingen, gebruik je standaard algebraïsche omrekeningen (factoriseren, gemeenschappelijke factor, polynomen...), definities en eigenschappen van goniometrische functies en goniometrische identiteiten. Er zijn ongeveer 31, waarvan 14 goniometrische identiteiten, van 19 tot 31, ook wel de  transformatie-identiteiten, omdat ze gebruikt worden bij de omrekening van goniometrische vergelijkingen. Zie het bovengenoemde boek.
Voorbeeld 5: De goniometrische vergelijking: sin x + sin 2x + sin 3x = 0 kan met behulp van goniometrische identiteiten omgerekend worden in een product van goniometrische basisvergelijkingen: 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. De goniometrische basisvergelijkingen om op te lossen zijn: cos x = 0 ; sin (3x/2) = 0 ; en cos (x/2) = 0.
4. **Zoek de krommen waarvan de goniometrische functies bekend zijn.** Voor je kunt leren hoe je goniometrische vergelijkingen oplost, moet je weten hoe je snel de krommen kunt vinden waarvan de goniometrische functies bekend zijn. Conversiewaarden van krommen (of hoeken) kun je bepalen met goniometrische tabellen of de rekenmachine.
Voorbeeld: Los op voor cos x = 0.732. De rekenmachine geeft als oplossing x = 42,95 graden. De eenheidscirkel geeft andere krommen met dezelfde waarde voor de cosinus.
5. **Teken de boog van het antwoord op de eenheidscirkel.** Je kunt een grafiek maken om te illustreren wat de oplossing is op de eenheidscirkel. De eindpunten van deze krommen bestaan uit gewone polygonen op de goniometrische cirkel. Een aantal voorbeelden:
De eindpunten van de kromme x = Pi/3 + k.Pi/2 is een vierkant op de op de eenheidscirkel.
De krommen van  x = Pi/4 + k.Pi/3 worden weergegeven door de coördinaten van een hexagoon op de eenheidscirkel.
6. **Leer hoe je het oplossen van goniometrische vergelijkingen aanpakt.** Als de gegeven goniometrische vergelijking slechts één goniometrische functie bevat, los deze dan op als een standaard goniometrische vergelijking. Indien de gegeven vergelijking twee of meer goniometrische functies bevat, dan zijn er 2 oplossingsmethoden, afhankelijk van de opties voor het omzetten van de vergelijking.
A.  Methode 1.

Zet de goniometrische vergelijking om in een product van de vorm: f(x).g(x) = 0 or f(x).g(x).h(x) = 0, waarbij f(x), g(x) en h(x) goniometrische basisvergelijkingen zijn.
Voorbeeld 6. Los op: 2cos x + sin 2x = 0.   (0 < x < 2Pi)
Oplossing. Vervang sin 2x in de vergelijking met behulp van de identiteit: sin 2x = 2*sin x*cos x.
cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*( sin x + 1)  = 0. Los vervolgens 2 standaard goniometrische functies op: cos x = 0, en (sin x + 1) = 0.
Voorbeeld 7. Los op: cos x + cos 2x + cos 3x = 0.   (0 < x < 2Pi)
Oplossing: Zet deze om in een product, met behulp van de goniometrische identiteiten: cos 2x(2cos x + 1 ) = 0. Los nu de 2 goniometrische basisvergelijkingen op: cos 2x = 0, en (2cos x + 1) = 0.
Voorbeeld 8. Los op: sin x - sin 3x = cos 2x.   (0 < x < 2Pi)
Oplossing: Zet deze om in een product, met behulp van de goniometrische identiteiten: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Los nu de 2 goniometrische basisvergelijkingen op: cos 2x = 0, en (2sin x + 1) = 0.
B.  Benadering 2.

Zet de goniometrische vergelijking om in een goniometrische vergelijking met alleen maar één unieke goniometrische functie als variabele. Er zijn enkele tips hoe je een geschikte variabele kunt kiezen. Gangbare variabelen zijn: sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t en tan (x/2) = t.
Voorbeeld 9. Los op: 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7   (0 < x < 2Pi).
Oplossing. Vervang in de vergelijking (cos^2 x) door (1 - sin^2 x), en vereenvoudig de vergelijking:
3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Gebruik nu sin x = t. De vergelijking wordt: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Dit is een tweedegraadsvergelijking met 2 wortels: t1 = -1 en t2 = 9/5. De tweede t2 kunnen we afwijzen, omdat > 1. Los nu op voor: t = sin = -1 --> x = 3Pi/2.
Voorbeeld 10. Los op: tan x + 2 tan^2 x = cot x + 2.
Oplossing. Gebruik tan x = t. Zet de gegeven vergelijking om in een vergelijking met t als variabele: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Los op voor t vanuit dit product, en los vervolgens de standaard goniometrische vergelijking tan x = t op voor x.
7. **Los speciale goniometrische vergelijkingen op.** Er zijn een paar  speciale goniometrische vergelijkingen die een aantal specifieke omrekeningen vereisen. Voorbeelden:
a*sin x+ b*cos x = c ; a(sin x + cos x) + b*cos x*sin x = c ;
a*sin^2 x + b*sin x*cos x + c*cos^2 x = 0
8. **Leer de periodieke eigenschappen van goniometrische functies.** Alle goniometrische functies zijn periodiek, wat inhoudt dat ze terugkeren naar dezelfde waarde na een rotatie over een periode. Voorbeelden:

De functie f(x) = sin x heeft 2Pi als periode.
De functie f(x) = tan x heeft Pi als periode.
De functie f(x) = sin 2x heeft Pi als periode.
De functie f(x) = cos (x/2) heeft 4Pi als periode.


Als de periode is gespecifieerd in de opgaven/test, dan hoef je alleen maar de kromme(s) x binnen deze periode te vinden.
LET OP: Het oplossen van goniometrische vergelijking is lastig en leidt vaak tot fouten en vergissingen. Daarom dienen antwoorden zorgvuldig te worden gecontroleerd. Na het oplossen kun je de antwoorden controleren met behulp van een grafische rekenmachine, voor een directe weergave van de gegeven goniometrische vergelijking R(x) = 0. De antwoorden (als wortel) worden in decimalen achter de komma gegeven. Als voorbeeld, Pi heeft een waarde 3,14
{"url": "https://nl.wikihow.com/Goniometrische-vergelijkingen-oplossen", "language": "nl"}