De apothema van een zeshoek berekenen
Een zeshoek is een veelhoek met zes hoeken en zijden. Wanneer een zeshoek regelmatig is heeft hij zes gelijke zijden en een apothema. Een apothema is een lijnsegment vanuit het midden van een veelhoek tot het middelpunt van elke zijde. Meestal moet de lengte van de apothema gegeven zijn voor het berekenen van de oppervlakte van een zeshoek. Zolang je de lengte van de zijde van de zeshoek weet, kun je de lengte van de apothema berekenen.
1. **Deel de zeshoek in zes congruente, gelijkzijdige driehoeken.** Hiertoe trek je een lijn van elk hoekpunt of punt, naar het tegenovergestelde hoekpunt.
2. **Kies een driehoek en noteer de lengte van de basis erbij.** Die is gelijk aan de lengte van de zijde van de zeshoek.
Je hebt bijvoorbeeld een zeshoek met lengte 8 cm voor de zijde. De basis van elke gelijkzijdige driehoek is dan ook 8 cm.
3. **Maak twee rechthoekige driehoeken.** Dit doe je door een lijn te trekken van het bovenste hoekpunt van de gelijkzijdige driehoek loodrecht op de basis. Deze lijn zal de basis van de driehoek in tweeën snijden (en is daarmee dus de apothema van de zeshoek). Label de lengte van de basis van een van de rechthoekige driehoeken.
Bijvoorbeeld, als de basis van de gelijkzijdige driehoek 8 cm is, dan is de basis van elke rechthoekige driehoek -- wanneer je de driehoek in twee rechthoekige driehoeken verdeelt -- nu gelijk aan 4 cm.
4. **Gebruik de stelling van Pythagoras.** De formule is a2+b2=c2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}, waarbij c{\displaystyle c} gelijk is aan de lengte van de hypotenusa (de zijde tegenover de rechte hoek), en a{\displaystyle a} en b{\displaystyle b} gelijk zijn aan de lengtes van de andere twee zijden van de driehoek.
Bijvoorbeeld, als de rechthoekige driehoek een hypotenusa (schuine zijde) heeft van 2{\displaystyle 2} een zijde van 1{\displaystyle 1} en een andere zijde van ongeveer 1,732{\displaystyle 1,732} (3{\displaystyle {\sqrt {3}}}), dan stelt de stelling van Pythagoras dat 12+32=22{\displaystyle 1^{2}+{\sqrt {3}}^{2}=2^{2}}, wat klopt wanneer je dit uitwerkt: 1+3=4{\displaystyle 1+3=4}.
5. **Substitueer de lengte van de basis van de rechthoekige driehoek in de formule.** Substitueer voor b{\displaystyle b}.
Bijvoorbeeld, als de lengte van de basis 4 is, dan ziet je formule er als volgt uit: a2+42=c2{\displaystyle a^{2}+4^{2}=c^{2}}.
6. **Substitueer de lengte van de schuine zijde in de formule.** Je kent de lengte van de schuine zijde, omdat je de lengte kent van de zeshoek. De lengte van de zijde van een regelmatige zeshoek is gelijk aan de straal van de zeshoek. De straal is een lijn die het middelpunt van een veelhoek verbindt met een van de hoekpunten. Je zult zien dat de schuine zijde van de rechthoekige driehoek ook de straal van de zeshoek is, en dus is de lengte van de zijde van de zeshoek gelijk aan de lengte van de schuine zijde.
Bijvoorbeeld, als de lengte van de zijde van de zeshoek 8 cm is, dan is de lengte van hypotenusa van de rechthoekige driehoek ook 8 cm. Je formule gaat er dus nu zo uitzien: a2+42=82{\displaystyle a^{2}+4^{2}=8^{2}}.
7. **Kwadrateer de bekende waarden van de formule.** Vergeet niet dat het kwadrateren van een getal hetzelfde is als het vermenigvuldigen van dat getal met zichzelf.
Bijvoorbeeld: na het het kwadrateren van de bekende waarden, zal je formule er als volgt uitzien: a2+16=64{\displaystyle a^{2}+16=64}.
8. **Isoleer de onbekende variabele.** Dit doe je door het aftrekken van de gekwadrateerde waarde b{\displaystyle b} van beide zijden van de vergelijking.
Bijvoorbeeld:a2+16−16=64−16{\displaystyle a^{2}+16-16=64-16}a2=48{\displaystyle a^{2}=48}
9. **Los op voor a{\displaystyle a}.** Dit doe je door het bepalen van de vierkantswortel van elke kant van de vergelijking. Dit geeft je de lengte van de ontbrekende zijde van de driehoek, die gelijk is aan de lengte van de apothema van de zeshoek.
Bijvoorbeeld, met behulp van een rekenmachine bereken je 48=6,93{\displaystyle {\sqrt {48}}=6,93}. Dus is de ontbrekende lengte van de rechthoekige driehoek, en daarmee de lengte van de apothema van de zeshoek, gelijk aan 6,93 cm.
10. **Stel de formule op voor het vinden van de apothema van een regelmatige veelhoek.** De formule is apothema=s2tan⁡(180n){\displaystyle {\text{apothema}}={\frac {s}{2\tan({\frac {180}{n}})}}}, waarbij s{\displaystyle s} gelijk is aan de lengte van de zijde van de polygoon en n{\displaystyle n} gelijk is aan het aantal zijden van de polygoon.
11. **Substitueer de lengte van de zijde in de formule.** Vergeet niet om te substitueren voor de variabele s{\displaystyle s}.
Bijvoorbeeld, bij een zeshoek met een lengte van een zijde van 8 cm, ziet de formule er als volgt uit: 82tan⁡(180n){\displaystyle {\frac {8}{2\tan({\frac {180}{n}})}}}.
12. **Voer het aantal zijden in de formule in.** Een zeshoek heeft 6 zijden. Vergeet niet om te substitueren voor de variabele n{\displaystyle n}.
Bijvoorbeeld: 82tan⁡(1806){\displaystyle {\frac {8}{2\tan({\frac {180}{6}})}}}.
13. **Rond de berekening tussen de haakjes af.** Hiermee verkrijg je het aantal graden nodig voor het berekenen van de tangens.
Bijvoorbeeld, 1806=30{\displaystyle {\frac {180}{6}}=30}, waarmee de formule er nu zo uitziet: 82tan⁡(30){\displaystyle {\frac {8}{2\tan(30)}}}.
14. **Bepaal de tangens.** Gebruik hiervoor een rekenmachine of goniometrische tabel.
Bijvoorbeeld, de tangens van 30 is ongeveer 0,577, en dus ziet de formule er dan als volgt uit: 82(0,577){\displaystyle {\frac {8}{2(0,577)}}}.
15. **Vermenigvuldig de tangens met 2 en deel daarna de lengte van een zijde door dit getal.** Hiermee heb je de lengte van de apothema van je zeshoek berekend.
Bijvoorbeeld:apothema=82(0,577){\displaystyle {\text{apothema}}={\frac {8}{2(0,577)}}}apothema=81,154{\displaystyle {\text{apothema}}={\frac {8}{1,154}}}apothema=6,93{\displaystyle {\text{apothema}}=6,93}Dus is de apothema van een regelmatige zeshoek met zijden van 8 cm, ongeveer 6,93 cm.
{"url": "https://nl.wikihow.com/De-apothema-van-een-zeshoek-berekenen", "language": "nl"}