Fatorar Polinômios de Segundo Grau (Equações Quadráticas)
Um polinômio contém uma variável (x) elevada a uma potência, conhecida como grau, e diversos termos e/ou constantes. Fatorar um polinômio significa dividir a expressão em expressões menores que se multiplicam. Esses conhecimentos são estudados a partir da Álgebra I, e podem ser difíceis de compreender caso você não tenha uma base.
1. **Monte a expressão.** O formato padrão para a equação quadrática é: ax + bx + c = 0
Comece ordenando os termos da equação de maior para menor potência, assim como na forma acima. Por exemplo, pegue; 6 + 6x + 13x = 0
A expressão vai ser reordenada para que possa ser trabalhada mais facilmente por meio da alteração do local dos termos: 6x + 13x + 6 = 0
2. **Encontre a forma fatorada usando um dos métodos abaixo.** Fatorar um polinômio resulta em duas expressões menores que podem ser multiplicadas para produzir o polinômio original:6x + 13x + 6 = (2x + 3)(3x + 2)
Neste exemplo, (2x +3) e (3x + 2) são fatores da expressão original, 6x + 13x + 6.
3. **Confira o resultado!** Multiplique os fatores identificados. Em seguida, basta combinar os termos semelhantes. Comece com: (2x + 3)(3x + 2)
Vamos testá-lo usando o método FOIL (inglês para First Outside, Inside, Last – primeiro os de fora, depois os de dentro), também chamado de propriedade distributiva da multiplicação, obtendo: 6x + 4x + 9x + 6
Agora, é possível somar 4x e 9x, pois eles são termos semelhantes. Você sabe que os fatores estão corretos porque a equação original foi obtida: 6x + 13x + 6
4. **Liste os fatores dos termos a e c.** Usando o formato padrão ax + bx + c = 0, identifique os termos de a e c e liste seus fatores. Para 3x + 2x - 8, isso significa: a = 3 e tem um conjunto de fatores: 1 * 3
c = -8 e tem quatro conjuntos de fatores: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 e -1 * 8.
5. **Monte dois conjuntos de parênteses vazios.** Você vai preenchê-los com as constantes de cada expressão: (  x    )(  x    )
6. **Preencha os espaços na frente dos x's com um par de possíveis fatores para o valor a.** Para o termo a no exemplo utilizado, 3x, somente existe uma possibilidade:  (3x   )(1x   )
7. **Preencha os dois espaços depois dos x's com um par de fatores para as constantes.** Imagine que você escolha os números 8 e 1. Escreva-os: (3x  )(x  )
8. **Decida quais sinais (adição ou subtração) devem ir entre as variáveis de x e os números.** Dependendo dos sinais na expressão original, é possível descobrir quais devem ser os sinais das constantes. Vamos chamar as duas constantes para os dois fatores h e k: Se ax + bx + c, então (x + h)(x + k)
Se ax - bx - c ou ax + bx - c, então (x - h)(x + k)
Se ax - bx + c, então (x - h)(x - k)
Por exemplo, 3x + 2x - 8, os sinais devem ser: (x - h)(x + k), resultando nos dois fatores: (3x + 8) e (x - 1)
9. **Teste as escolhas usando a propriedade distributiva.** Um primeiro teste rápido a se executar é ver se os termos do meio correspondem aos valores corretos. Caso não sejam, você pode ter escolhido os fatores errados para c. Vamos testar a resposta: (3x + 8)(x - 1)
Ao realizar a multiplicação, você vai obter: 3x - 3x + 8x - 8
Ao simplificar essa expressão pela soma dos termos semelhantes (-3x) e (8x), você obtém: 3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
Agora, sabemos que é preciso identificar os fatores errados: 3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8
10. **Troque os fatores se necessário.** No exemplo utilizado, vamos tentar usar 2 e 4 em vez de 1 e 8: (3x + 2)(x - 4)
Agora, o termo c equivale a -8, mas o produto externo/interno (3x * -4) e (2 * x) equivale a -12x e 2x, que não vão ser combinados para criar o termo correto b de +2x. -12x + 2x = 10x
10x ≠ 2x
11. **Reverta a ordem caso necessário.** Vamos tentar mover o 2 e o 4: (3x + 4)(x - 2)
Agora, o termo c (4 * 2 = 8) continua correto, mas os produtos externo/interno são -6x e 4x. Ao combiná-los: -6x + 4x = 2x
2x ≠ -2x
Estamos próximo do 2x, mas o sinal está errado.
12. **Confira os sinais caso necessário.** Mantenha a mesma ordem, mas troque aquele com sinal de menos: (3x - 4)(x + 2)
Agora, o termo c continua correto, mas os produtos externo/interno são (6x) e (-4x). Como: 6x - 4x = 2x
2x = 2x
Agora, é possível reconhecer o termo positivo 2x do problema original. Esses devem ser os fatores corretos.
13. **Multiplique os termos a e c.** Neste exemplo, ambos equivalem a 6. 6 * 6 = 36
14. **Descubra o valor do termo b fatorando e testando.** É preciso encontrar dois números que sejam fatores do produto de a * c e também sejam equivalentes ao termo b (13) quando somados. 4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
15. **Substitua os dois números obtidos na equação como a soma do termo b.** Vamos usar k e h para representar os dois números obtidos, 4 e 9: ax + kx + hx + c
6x + 4x + 9x + 6
16. **Fatore o polinômio por meio do agrupamento.** Organize a equação de modo que você possa fatorar o maior fator comum dos dois primeiros e dos dois últimos termos. Ambos os grupos fatorados devem ser iguais. Some os maiores fatores comuns e coloque-os entre parênteses ao lado do grupo fatorado; o resultado vai ser os dois fatores:6x + 4x + 9x + 6
2x(3x + 2) + 3(3x + 2)
(2x + 3)(3x + 2)
17. **Multiplique os termos a e c.** Isso vai ajudá-lo a identificar as possibilidades do termo b, assim como o método de decomposição. Neste exemplo, a equivale a 8 e c equivale a 2. 8 * 2 = 16
18. **Encontre dois números com esses números como cujo produto e a soma sejam equivalentes ao termo b.** Este passo é idêntico ao método de decomposição — é preciso testar e rejeitar os candidatos para as constantes. O produto dos termos a e c é 16, e o termo c equivale a 10: 2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
19. **Pegue esses dois números e teste a substituição deles na fórmula "partida tripla".** Pegue os dois números do passo anterior — vamos chamá-los de h e k — e coloque-os nessa expressão: ((ax + h)(ax + k))/ a
Neste caso, vamos obter: ((8x + 8)(8x + 2)) / 8
20. **Veja qual dos dois termos no numerador é divisível igualmente por a.** Neste exemplo, estamos testando se (8x + 8) ou (8x + 2) podem ser divididos por 8. (8x + 8) é divisível por 8, então vamos dividir esse termo por a e deixar os demais como estão. (8x + 8) = 8(x + 1)
O termo que estamos salvando nesse caso é o resto da divisão pelo termo a: (x + 1)
21. **Pegue o maior fator comum de um ou ambos os termos, se houver algum.** Neste exemplo, o segundo termo tem como maior fator comum o número 2, visto que 8x + 2 = 2(4x + 1). Combine essa resposta com o termo identificado no passo anterior. Esses são os fatores da equação. 2(x + 1)(4x + 1)
22. **Fatore o maior fator comum se possível.** Neste caso, podemos ver que 27 e 12 ambos são divisíveis por 3, então vamos separá-los: 27x - 12 = 3(9x - 4)
23. **Identifique se os coeficientes da equação são números quadrados.** Para usar este método, você deve ser capaz de tirar a raiz quadrada exata dos termos. Observe que os sinais de subtração são deixados de lado, já que esses números são quadrados que podem ser produtos de dois números positivos ou negativos.9x = 3x * 3x e 4 = 2 * 2
24. **Usando as raízes quadradas identificadas, escreva os fatores.** Pegue os valores de a e c do passo acima (a = 9 e c = 4) e calcule as raízes quadradas deles – √a = 3 e √c = 2. Eles serão os coeficientes do fator das expressões: 27x - 12 = 3(9x - 4) = 3(3x + 2)(3x - 2)
25. **Substitua os valores correspondentes na fórmula quadrática:** x = -b ± √(b - 4ac)      ---------------------                2a
Obtemos a expressão: x = -4 ± √(4 - 4•1•1) / 2
26. **Calcule o valor de x.** Você deve obter dois valores para x. Conforme mostrado acima, obtemos duas respostas: 
x = -2 + √(3) ou x = -2 - √(3)
27. **Use os valores de x para calcular os fatores.** Substitua os valores de x. Eles serão os fatores. Se identificarmos as duas respostas como h e k, é preciso escrever os fatores da seguinte forma: (x - h)(x - k)
Neste caso, a resposta final é: (x - (-2 + √(3))(x - (-2 - √(3)) = (x + 2 - √(3))(x + 2 + √(3))
28. **Digite a equação na calculadora.** Você vai usar um solucionador de equações, também conhecido como tela [Y = ].
29. **Monte o gráfico da equação na calculadora.** Após digitar a equação, pressione a tecla [GRAPH] — você deverá ver um arco representando a equação (e vai ser um arco, já que estamos lidando com polinômios).
30. **Veja onde o arco se intersecta com o eixo x.** Como as equações polinomiais geralmente são escritas como ax + bx + c = 0, esses são os dois valores de x que fazem com que a expressão seja igual a zero: (-1, 0), (2 , 0)
x = -1, x = 2
Caso não consiga identificar onde o gráfico cruza o eixo x, pressione [2nd] e depois [TRACE]. Pressione [2] ou selecione "zero". Deslize o cursor para a esquerda da intersecção e pressione [ENTER]. Deslize o cursor para a direita da intersecção e pressione [ENTER]. Deslize o cursor o mais próximo para a intersecção e pressione [ENTER]. A calculadora vai encontrar o valor de x. Faça o mesmo para a outra intersecção.
31. **Substitua os valores de x obtidos no passo anterior em duas expressões fatoriais.** Ao usar os dois valores de x (h e k), a expressão utilizada vai ser: (x - h)(x - k) = 0
Portanto, os dois fatores devem ser: (x - (-1))(x - 2) = (x + 1)(x - 2)
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