Como Encontrar o Valor Máximo e Mínimo de uma Função Quadrática Facilmente
Por diversas razões, você talvez precise definir o valor máximo ou mínimo de uma determinada função quadrática. É possível encontrar esse valor se a função original estiver escrita em forma genérica, f(x)=ax2+bx+c{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c} , ou padrão, f(x)=a(x−h)2+k{\displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k}. Finalmente, você também pode usar conceitos de Cálculo básico para definir o valor máximo ou mínimo de qualquer função quadrática.
1. **Escreva a função na forma genérica.** A função quadrática é aquela que possui um termo x2{\displaystyle x^{2}}. Ela pode ou não conter um termo x{\displaystyle x} sem expoente. Nesse caso, não deve haver expoente maior que 2. A forma genérica é f(x)=ax2+bx+c{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}. Se necessário, combine termos similares e reordene-os para adequar a função à forma genérica.
Por exemplo, suponha que você tenha começado com f(x)=3x+2x−x2+3x2+4{\displaystyle f(x)=3x+2x-x^{2}+3x^{2}+4}. Combine os termos x2{\displaystyle x^{2}} e os termos x{\displaystyle x} para obter a equação em sua forma genérica:
f(x)=2x2+5x+4{\displaystyle f(x)=2x^{2}+5x+4}
2. **Determine a direção do gráfico.** Uma função quadrática resulta no gráfico de uma parábola, que pode se abrir para cima ou para baixo. Se a{\displaystyle a}, o coeficiente do termo x2{\displaystyle x^{2}}, for positivo, a parábola estará voltada para cima. Se, por outro lado, a{\displaystyle a} for negativo, ela estará voltada para baixo. Observe os exemplos seguintes:

Para f(x)=2x2+4x−6{\displaystyle f(x)=2x^{2}+4x-6}, a=2{\displaystyle a=2}, de modo que a parábola se abre para cima.
Para f(x)=−3x2+2x+8{\displaystyle f(x)=-3x^{2}+2x+8}, a=−3{\displaystyle a=-3}, de modo que a parábola se abre para baixo.
Para f(x)=x2+6{\displaystyle f(x)=x^{2}+6}, a=1{\displaystyle a=1}, de modo que a parábola se abre para cima.
Se a parábola estiver voltada para cima, você encontrará seu valor mínimo. De outro modo, caso esteja voltada para baixo, o valor máximo será encontrado.
3. **Calcule -b/2a.** O valor de −b2a{\displaystyle -{\frac {b}{2a}}} representa o valor x{\displaystyle x} do vértice da parábola. Quando a função quadrática está escrita em sua forma genérica ax2+bx+c{\displaystyle ax^{2}+bx+c}, use os coeficientes x{\displaystyle x} e x2{\displaystyle x^{2}} da seguinte maneira:

Para uma função f(x)=x2+10x−1{\displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1}, a=1{\displaystyle a=1} e b=10{\displaystyle b=10}. Logo, para encontrar o valor do vértice:

x=−b2a{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}
x=−10(2)(1){\displaystyle x=-{\frac {10}{(2)(1)}}}
x=−105{\displaystyle x=-{\frac {10}{5}}}
x=−5{\displaystyle x=-5}


Como segundo exemplo, considere a função f(x)=−3x2+6x−4{\displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4}. Nesse exemplo, a=−3{\displaystyle a=-3} e b=6{\displaystyle b=6}. Logo, para encontrar o valor x do vértice:

x=−b2a{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}
x=−6(2)(−3){\displaystyle x=-{\frac {6}{(2)(-3)}}}
x=−6−6{\displaystyle x=-{\frac {6}{-6}}}
x=−(−1){\displaystyle x=-(-1)}
x=1{\displaystyle x=1}
4. **Encontre o valor f(x) correspondente.** Insira o valor de x recém-calculado na função para encontrar o valor correspondente de f(x). Ele representará o máximo ou mínimo da função.

Para o exemplo acima, f(x)=x2+10x−1{\displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1}, você calculou o valor x para o vértice como sendo x=−5{\displaystyle x=-5}. Insira −5{\displaystyle -5} no x{\displaystyle x} da função para determinar o valor máximo.

f(x)=x2+10x−1{\displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1}
f(x)=(−5)2+10(−5)−1{\displaystyle f(x)=(-5)^{2}+10(-5)-1}
f(x)=25−50−1{\displaystyle f(x)=25-50-1}
f(x)=−26{\displaystyle f(x)=-26}


Para o segundo exemplo acima, f(x)=−3x2+6x−4{\displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4}, você determinou que o vértice estava em x=1{\displaystyle x=1}. Insira 1{\displaystyle 1} no x{\displaystyle x} da função para determinar o valor máximo:

f(x)=−3x2+6x−4{\displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4}
f(x)=−3(1)2+6(1)−4{\displaystyle f(x)=-3(1)^{2}+6(1)-4}
f(x)=−3+6−4{\displaystyle f(x)=-3+6-4}
f(x)=−1{\displaystyle f(x)=-1}
5. **Anote os resultados.** Revise a questão feita. Se foram pedidas as coordenadas do vértice, é necessário anotar tanto os valores de x{\displaystyle x} quanto de y{\displaystyle y} (ou f(x){\displaystyle f(x)}). Se, no entanto, foi pedido apenas o valor máximo ou mínimo, basta escrever o valor y{\displaystyle y} (ou f(x){\displaystyle f(x)}). Volte à definição do coeficiente a{\displaystyle a} para certificar-se da existência de um valor máximo ou mínimo.

Para o primeiro exemplo, f(x)=x2+10x−1{\displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1}, o valor de a{\displaystyle a} é positivo, de modo que você escreverá o valor mínimo. O vértice se encontra em (−5,−26){\displaystyle (-5,-26)} e o valor mínimo é −26{\displaystyle -26}.
Para o segundo exemplo, f(x)=−3x2+6x−4{\displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4}, o valor de a{\displaystyle a} é negativo e, por isso, você escreverá o valor máximo. O vértice se encontra em (1,−1){\displaystyle (1,-1)} e o valor máximo é −1{\displaystyle -1}.
6. **Escreva a função quadrática em forma padrão, ou do vértice.** Essa forma, chamada de forma padrão ou do vértice, pode ser escrita da seguinte forma:

f(x)=a(x−h)2+k{\displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k}
Se a sua função já foi dada nessa forma, basta reconhecer as variáveis a{\displaystyle a}, h{\displaystyle h} e k{\displaystyle k}. Se a função começa na forma genérica f(x)=ax2+bx+c{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}, você deve completar o quadrado para reescrevê-la na forma do vértice.
Para revisar como completar o quadrado leia este artigo.
7. **Determine a direção do gráfico.** Assim como na função quadrática escrita em forma genérica, você saberá a direção da parábola observando o coeficiente a{\displaystyle a}. Se a{\displaystyle a}, nessa forma padrão, for positivo, a parábola estará voltada para cima. Se, por outro lado, a{\displaystyle a} for negativo, ela estará voltada para baixo. Observe os seguintes exemplos:

Para f(x)=2(x+1)2−4{\displaystyle f(x)=2(x+1)^{2}-4}, a=2{\displaystyle a=2}, positivo, de modo que a parábola se abre para cima.
Para f(x)=−3(x−2)2+2{\displaystyle f(x)=-3(x-2)^{2}+2}, a=−3{\displaystyle a=-3}, negativo, de modo que a parábola se abre para baixo.
Se a parábola estiver voltada para cima, você encontrará seu valor mínimo. Se, por outro lado, estiver voltada para baixo, o valor máximo será encontrado.
8. **Identifique o valor máximo ou mínimo.** Quando a função é escrita em forma padrão, para encontrar o valor máximo ou mínimo, basta reconhecer o valor da variável k{\displaystyle k}. Para os dois exemplos dados acima, esses valores são:

Para f(x)=2(x+1)1−4{\displaystyle f(x)=2(x+1)^{1}-4}, k=−4{\displaystyle k=-4}. Esse é o valor mínimo da função, pois a parábola se abre para cima.
Para f(x)=−3(x−2)2+2{\displaystyle f(x)=-3(x-2)^{2}+2}, k=2{\displaystyle k=2}. Esse é o valor máximo da função, porque a parábola se abre para baixo.
9. **Determine o vértice.** Se forem pedidas as coordenadas do valor máximo ou mínimo, o ponto será (h,k){\displaystyle (h,k)}. No entanto, observe que, na forma padrão, o termo da equação que fica entre parênteses será (x−h){\displaystyle (x-h)}, sendo necessário o sinal oposto do número que acompanha o x{\displaystyle x}.

Para f(x)=2(x+1)2−4{\displaystyle f(x)=2(x+1)^{2}-4}, o termo entre parênteses é (x+1){\displaystyle (x+1)}, podendo ser reescrito como (x−(−1)){\displaystyle (x-(-1))}. Logo, h=−1{\displaystyle h=-1}. Dessa forma, as coordenadas do vértice dessa função serão (−1,−4){\displaystyle (-1,-4)}.
Para f(x)=−3(x−2)2+2{\displaystyle f(x)=-3(x-2)^{2}+2}, o termo entre parênteses é (x−2){\displaystyle (x-2)}. Logo, h=2{\displaystyle h=2}. As coordenadas do vértice serão (2,2){\displaystyle (2,2)}.
10. **Comece com a forma genérica.** Escreva a função quadrática na forma genérica f(x)=ax2+bx+c{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}. Se necessário, você talvez tenha que combinar termos semelhantes e reordená-los para o formato adequado.
Inicie com a função de exemplo f(x)=2x2−4x+1{\displaystyle f(x)=2x^{2}-4x+1}.
11. **Use a regra da potência para encontrar a primeira derivada.** Com noções de Cálculo básico, você encontrará a primeira derivada da função quadrática geral como sendo f′(x)=2ax+b{\displaystyle f'(x)=2ax+b}.
Para a função de exemplo f(x)=2x2−4x+1{\displaystyle f(x)=2x^{2}-4x+1}, encontre a derivada:

f′(x)=4x−4{\displaystyle f'(x)=4x-4}.
12. **Iguale a derivada a zero.** Lembre-se de que a derivada de uma função indica sua inclinação naquele ponto específico. O mínimo ou máximo de uma função existe no ponto em que a inclinação é igual a zero. Logo, para saber onde ele se encontra, iguale a derivada a zero. Continue com o problema de exemplo acima:

f′(x)=4x−4{\displaystyle f'(x)=4x-4}
0=4x−4{\displaystyle 0=4x-4}
13. **Encontre o valor de x.** Use as regras básicas da Álgebra para reordenar a função e encontrar o valor de x, quando a derivada for igual a zero. Essa solução indica a coordenada x do vértice da função, que é onde o máximo ou mínimo estará.

0=4x−4{\displaystyle 0=4x-4}
4=4x{\displaystyle 4=4x}
1=x{\displaystyle 1=x}
14. **Insira o valor solucionado de x na função original.** O valor mínimo ou máximo da função será o valor de f(x){\displaystyle f(x)} na posição x{\displaystyle x} selecionada. Insira o valor de x{\displaystyle x} na função original e resolva para encontrar o mínimo ou máximo.
Para a função f(x)=2x2−4x+1{\displaystyle f(x)=2x^{2}-4x+1}, em x=1{\displaystyle x=1},

f(1)=2(1)2−4(1)+1{\displaystyle f(1)=2(1)^{2}-4(1)+1}
f(1)=2−4+1{\displaystyle f(1)=2-4+1}
f(1)=−1{\displaystyle f(1)=-1}
15. **Escreva a solução.** A solução dá a você o valor do vértice, ou o ponto máximo ou mínimo. Nessa função de exemplo, f(x)=2x2−4x+1{\displaystyle f(x)=2x^{2}-4x+1}, o vértice se encontra em (1,−1){\displaystyle (1,-1)}. O coeficiente a{\displaystyle a} é positivo e, desse modo, abre para cima. Logo, o valor mínimo da função está no eixo y do vértice, que é igual a −1{\displaystyle -1}.
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