Como Resolver Matrizes
A matriz é uma forma bastante útil de se representar números em formato de bloco, que poderá então ser usado para resolver um sistema de equações lineares. Se você tem apenas duas variáveis, é provável que usará um método diferente. Todavia, ao se ter três ou mais variáveis, a matriz se torna a ferramenta ideal. Ao usar combinações repetidas de soma e multiplicação, você chegará sistematicamente à solução desejada.
1. **Verifique se os dados são suficientes.** Para obter uma solução única para cada variável em um sistema linear usando a matriz, é preciso ter tantas equações quanto necessárias com respeito ao número de variáveis a serem resolvidas. Com as variáveis x{\displaystyle x}, y{\displaystyle y} e z{\displaystyle z}, por exemplo, você precisaria de três equações. Se tiver quatro variáveis, serão necessárias quatro equações.
Se você tem menos equações que o número de variáveis, será possível aprender alguns dados sobre elas (como x=3y{\displaystyle x=3y} e y=2z{\displaystyle y=2z}), mas não é possível obter uma solução precisa. No presente artigo, você avançará em busca de uma solução única.
2. **Escreva as equações em formato padrão.** Antes de transferir informações das fórmulas para o formato de matriz, primeiramente é necessário escrever cada uma delas em formato padrão. O formato padrão de uma equação linear pode ser representado por Ax+By+Cz=D{\displaystyle Ax+By+Cz=D}, onde as letras maiúsculas representam os coeficientes (números) e o último valor — ou D, nesse caso — está à direita da igualdade.

Se tiver mais variáveis, você apenas continuará avançando pela linha enquanto for necessário. Caso queira resolver um sistema com seis variáveis, por exemplo, o formato padrão ficaria como Au+Bv+Cw+Dx+Ey+Fz=G{\displaystyle Au+Bv+Cw+Dx+Ey+Fz=G}. No presente artigo, o foco estará em sistemas contendo apenas três variáveis. Solucionar um sistema maior requer exatamente o mesmo processo, sendo necessário apenas mais tempo e alguns passos a mais.
Observe que, no formato padrão, as operações entre os termos consistirão sempre de soma. Se a equação tiver uma subtração no lugar da soma, será preciso resolver essa diferença negativando o coeficiente. Caso seja mais fácil de se lembrar, você pode reescrever a equação e transformar a operação em soma e deixar o coeficiente negativo. Você poderia, por exemplo, reescrever a equação 3x−2y+4z=1{\displaystyle 3x-2y+4z=1} como 3x+(−2y)+4z=1{\displaystyle 3x+\left(-2y\right)+4z=1}.
3. **Transfira os números do sistema de equações para uma matriz.** A matriz é um grupo de números arranjados em formato de bloco que será usado para resolver um sistema. Na realidade, ela consiste nos mesmos dados presentes nas equações, mas em um formato simplificado. Para criar a matriz a partir das equações em formato padrão, basta copiar os coeficientes e o resultado de cada equação em uma única linha e empilhá-las uma sobre a outra.

Imagine um sistema, por exemplo, que consista das três seguintes equações: 3x+y−z=9{\displaystyle 3x+y-z=9}, 2x−2y+z=−3{\displaystyle 2x-2y+z=-3} e x+y+z=7{\displaystyle x+y+z=7}. A primeira linha da matriz conterá os números 3{\displaystyle 3}, 1{\displaystyle 1}, −1{\displaystyle -1} e 9{\displaystyle 9}, uma vez que são esses os coeficientes e a solução da primeira fórmula. Observe que nenhuma variável exibe seu coeficiente, assumindo-se que seja igual a 1{\displaystyle 1}. A segunda linha da matriz será 2{\displaystyle 2}, −2{\displaystyle -2}, 1{\displaystyle 1} e −3{\displaystyle -3} e a terceira linha da matriz será 1{\displaystyle 1}, 1{\displaystyle 1}, 1{\displaystyle 1} e 7{\displaystyle 7}.
Lembre-se de alinhar os coeficientes de x{\displaystyle x} na primeira coluna, os coeficientes de y{\displaystyle y} na segunda coluna, os coeficientes de z{\displaystyle z} na terceira coluna e os termos da solução na quarta coluna. Ao finalizar o trabalho da matriz, essas colunas serão cruciais para se escrever a solução.
4. **Desenhe um par de colchetes ao redor de toda a matriz.** Por convenção, a matriz é contida entre um par de grandes colchetes, []{\displaystyle \left[\right]}, circundando todo o bloco de números. Eles não influenciam a solução de modo algum, mas servem apenas para ilustrar que você está trabalhando com uma matriz. Ela pode consistir em quaisquer quantias de linhas e colunas. À medida em que avança pelo artigo, você usará colchetes para agrupar termos alinhados a fim de facilitar a mesclagem posterior.
5. **Use o simbolismo comum.** Ao trabalhar com matrizes, é convencional referir-se às linhas pela letra m{\displaystyle m} e às colunas pela letra n{\displaystyle n}. Outra forma de representação faz uso da letra a{\displaystyle a} acompanhada pelo número referente às linha (i{\displaystyle i}) e coluna (j{\displaystyle j}) respectivas de sua posição (ai,j{\displaystyle a_{i,j}}). Para fins do presente artigo, as linhas serão expressas pela letra R{\displaystyle R} e as colunas, pela letra C{\displaystyle C}: primeira linha sendo R1{\displaystyle R_{1}}, segunda linha sendo R2{\displaystyle R_{2}} e assim por diante.
Você poderia especificar qualquer posição específica na matriz fazendo uso de uma combinação entre R{\displaystyle R} e C{\displaystyle C}. Para descobrir o termo exato na terceira coluna da segunda linha, basta dar à célula o nome R2C3{\displaystyle R_{2}C_{3}}.
6. **Reconheça o formato da matriz-solução.** Antes de começar a trabalhar na resolução do sistema de equações, você deve reconhecer o que pretende com essa matriz. Agora, ela está assim:
[31−192−21−31117]{\displaystyle \left[{\begin{matrix}3&1&-1&9\\2&-2&1&-3\\1&1&1&7\end{matrix}}\right]}

Você trabalhará com algumas operações básicas a fim de criar a "matriz-solução". Ela ficará assim:[100x010y001z]{\displaystyle \left[{\begin{matrix}1&0&0&x\\0&1&0&y\\0&0&1&z\end{matrix}}\right]}

Observe que a matriz consiste em uns em uma diagonal com zeros nos espaços remanescentes, exceto pela quarta coluna — nela estará a solução das variáveis x{\displaystyle x}, y{\displaystyle y} e z{\displaystyle z}.
7. **Use a multiplicação escalar.** A primeira ferramenta à sua disposição para resolver o sistema usando a matriz é a multiplicação escalar. Esse é basicamente um termo indicando que você multiplicará os itens em uma linha da matriz por um número constante (e não uma variável). Ao fazer uso da multiplicação escalar, você deve se lembrar de multiplicar cada termo presente em toda a linha pelo número selecionado. Caso se esqueça e multiplique apenas o primeiro termo, você acabará arruinando toda a solução. Não é preciso, no entanto, multiplicar a matriz completa de forma simultânea. Você só precisa trabalhar uma linha por vez na multiplicação escalar.

É comum usar frações na multiplicação escalar, pois o objetivo costuma ser criar essa diagonal de uns. Habitue-se ao trabalho com frações. Também será mais fácil, na maioria dos passos envolvendo a matriz, ser capaz de escrevê-las em forma imprópria e convertê-las novamente para números mistos a fim de chegar na solução final. Desse modo, 123{\displaystyle 1{\frac {2}{3}}} é mais fácil de se trabalhar do que 53{\displaystyle {\frac {5}{3}}}.
A primeira linha da amostra (R1{\displaystyle R_{1}}), por exemplo, começa com os termos [3,1,−1,9]{\displaystyle \left[3,1,-1,9\right]}. A matriz-solução deverá conter um 1{\displaystyle 1} na primeira posição da primeira linha. Para "transformar" o 3{\displaystyle 3} em 1{\displaystyle 1}, é possível multiplicar toda a primeira linha por 13{\displaystyle {\frac {1}{3}}}. Isso criará uma nova R1{\displaystyle R_{1}}: [1,13,−13,3]{\displaystyle \left[1,{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{3}},3\right]}.
Tome o cuidado de manter quaisquer sinais negativos onde for devido.
8. **Use a soma ou a subtração por linhas.** A segunda ferramenta a ser usada é somar ou subtrair quaisquer duas linhas da matriz entre si. Para criar os zeros na matriz-solução, você deverá somar ou subtrair números até obter 0{\displaystyle 0} como resposta. Se a R1{\displaystyle R_{1}} da matriz for [1,4,3,2]{\displaystyle \left[1,4,3,2\right]} e a R2{\displaystyle R_{2}} da matriz for [1,3,5,8]{\displaystyle \left[1,3,5,8\right]}, por exemplo, você pode subtrair a primeira linha da segunda e criar uma nova linha contendo [1,−1,2,6]{\displaystyle \left[1,-1,2,6\right]}, pois 1−1=0{\displaystyle 1-1=0} (primeira coluna), 3−4=−1{\displaystyle 3-4=-1} (segunda coluna), 5−3=2{\displaystyle 5-3=2} (terceira coluna) e 8−2=6{\displaystyle 8-2=6} (quarta coluna). Ao realizar uma soma ou subtração entre linhas, reescreva o novo resultado no lugar da linha inicial. Nesse caso, você removerá a segunda linha e inserirá a nova: [0,−1,2,6]{\displaystyle \left[0,-1,2,6\right]}.

Você pode abreviar o processo e indicar a operação como R2−R1=[0,−1,2,6]{\displaystyle R_{2}-R_{1}=\left[0,-1,2,6\right]}.
Reconheça que somar e subtrair são apenas formas opostas da mesma operação. Você pode pensar em somar dois números ou subtrair o oposto. Ao começar com a simples equação 3−3=0{\displaystyle 3-3=0}, por exemplo, você poderia considerá-la o problema de soma 3+(−3)=0{\displaystyle 3+\left(-3\right)=0} e o resultado será igual. Isso parece básico, mas às vezes é mais fácil pensar no problema de uma forma em vez de outra. Basta não errar no posicionamento dos sinais negativos.
9. **Combine a soma de linhas e a multiplicação escalar em um único passo.** Você não pode esperar que os termos combinem sempre a fim de usar a soma ou subtração simples para criar zeros na matriz. Com frequência, será preciso somar (ou subtrair) um múltiplo de outra linha. Para isso, você primeiro realiza a multiplicação escalar e soma o resultado à linha que pretende alterar.
Imagine que a sua primeira linha seja [1,1,2,6]{\displaystyle \left[1,1,2,6\right]} e que a sua segunda linha seja [2,3,1,1]{\displaystyle \left[2,3,1,1\right]}. Você pretende criar um termo 0{\displaystyle 0} na primeira coluna de R2{\displaystyle R_{2}}, ou seja, transformar o 2{\displaystyle 2} em um 0{\displaystyle 0}. Para isso, é preciso subtrair 2{\displaystyle 2}. É possível obtê-lo antes multiplicando a primeira linha pela multiplicação escalar 2{\displaystyle 2} e subtraí-la da segunda linha. Em resumo, a operação pode ser resumida como R2−2×R1{\displaystyle R_{2}-2\times R_{1}}. Primeiro, multiplique R1{\displaystyle R_{1}} por 2{\displaystyle 2} para obter [2,2,4,12]{\displaystyle \left[2,2,4,12\right]}. A seguir, subtraia-a de R2{\displaystyle R_{2}} para obter [(2−2),(3−2),(1−4),(1−12)]{\displaystyle \left[\left(2-2\right),\left(3-2\right),\left(1-4\right),\left(1-12\right)\right]}. Simplifique o resultado e a sua nova R2{\displaystyle R_{2}} será [0,1,−3,−11]{\displaystyle \left[0,1,-3,-11\right]}.
10. **Copie as linhas que permaneceram inalteradas ao longo do processo.** Durante o trabalho com a matriz, você transformará uma linha por vez, quer por multiplicação escalar, soma ou subtração de linhas ou alguma combinação. Ao alterar a linha desejada, lembre-se de copiar as demais da matriz em seu formato original.
Um erro comum ocorre ao se realizar uma multiplicação combinada e uma soma em um só passo. Imagine, por exemplo, que seja necessário subtrair o dobro de R1{\displaystyle R_{1}} de R2{\displaystyle R_{2}}. Ao multiplicar R1{\displaystyle R_{1}} por 2{\displaystyle 2}, lembre-se de que você não está alterando R1{\displaystyle R_{1}} na matriz, mas apenas realizando uma multiplicação para alterar R2{\displaystyle R_{2}}. Copie R1{\displaystyle R_{1}} primeiramente em seu formato original e faça a alteração em R2{\displaystyle R_{2}}.
11. **Comece de cima para baixo.** Para resolver o sistema, você avançará em um padrão bem organizado, essencialmente "solucionando" um termo da matriz de cada vez. A ordem em uma matriz de três variáveis será como se segue:


1.{\displaystyle 1.} Crie um 1{\displaystyle 1} na primeira coluna da primeira linha (R1C1{\displaystyle R_{1}C_{1}});

2.{\displaystyle 2.} Crie um 0{\displaystyle 0} na primeira coluna da segunda linha (R2C1{\displaystyle R_{2}C_{1}});

3.{\displaystyle 3.} Crie um 1{\displaystyle 1} na segunda coluna da segunda linha (R2C2{\displaystyle R_{2}C_{2}});

4.{\displaystyle 4.} Crie um 0{\displaystyle 0} na primeira coluna da terceira linha (R3C1{\displaystyle R_{3}C_{1}});

5.{\displaystyle 5.} Crie um 0{\displaystyle 0} da segunda coluna da terceira linha (R3C2{\displaystyle R_{3}C_{2}});

6.{\displaystyle 6.} Crie um 1{\displaystyle 1} na terceira coluna da terceira linha (R3C3{\displaystyle R_{3}C_{3}}).
12. **Volte de baixo para cima.** Nesse ponto, se os passos tiverem sido realizados corretamente, você já chegou na metade do caminho. Aqui estarão já uma linha diagonal de uns e zeros abaixo de todos eles. Os números na quarta coluna já se tornaram irrelevantes. Agora, você voltará de baixo para cima da seguinte maneira:

Crie um 0{\displaystyle 0} na terceira coluna da segunda linha (R2C3{\displaystyle R_{2}C_{3}});
Crie um 0{\displaystyle 0} na terceira coluna da primeira linha (R1C3{\displaystyle R_{1}C_{3}});
Crie um 0{\displaystyle 0} na segunda coluna da primeira linha (R1C2{\displaystyle R_{1}C_{2}}).
13. **Confira se a matriz-solução foi realmente criada.** Se o trabalho estiver correto, você terá criado a matriz-solução com uns na diagonal em R1C1{\displaystyle R_{1}C_{1}}, R2C2{\displaystyle R_{2}C_{2}} e R3C3{\displaystyle R_{3}C_{3}} e zeros nas demais posições das três primeiras colunas. Os números da quarta coluna serão as soluções do sistema linear.
14. **Comece com um sistema amostral de equações lineares.** Para praticar os passos, comece com a amostra usada previamente: 3x+y−z=9{\displaystyle 3x+y-z=9}, 2x−2y+z=−3{\displaystyle 2x-2y+z=-3} e x+y+z=7{\displaystyle x+y+z=7}. Ao escrevê-las em forma de matriz, ela ficará assim:
[31−192−21−31117]{\displaystyle \left[{\begin{matrix}3&1&-1&9\\2&-2&1&-3\\1&1&1&7\end{matrix}}\right]}
15. **Ponha um 1{\displaystyle 1} na primeira posição R1C1{\displaystyle R_{1}C_{1}}.** Observe que R1{\displaystyle R_{1}} começa com um 3{\displaystyle 3} que deve agora ser transformado em 1{\displaystyle 1}. Você pode consegui-lo através da multiplicação escalar, multiplicando todos os quatro termos em R1{\displaystyle R_{1}} por 13{\displaystyle {\frac {1}{3}}}. Em suma, a operação pode ser resumida em R1×13{\displaystyle R_{1}\times {\frac {1}{3}}}. Isso trará um novo resultado para R1{\displaystyle R_{1}}, uma vez que R1=[1,13,−13,3]{\displaystyle R_{1}=\left[1,{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{3}},3\right]}. Copie agora R2{\displaystyle R_{2}} e R3{\displaystyle R_{3}} sem qualquer mudança, sendo R2=[2,−2,1,−3]{\displaystyle R_{2}=\left[2,-2,1,-3\right]} e R3=[1,1,1,7]{\displaystyle R_{3}=\left[1,1,1,7\right]}.
Observe que divisão e multiplicação são apenas funções inversas entre si. Pode-ser dizer que você estará multiplicando por 13{\displaystyle {\frac {1}{3}}} ou dividindo por 3{\displaystyle 3}, pois o resultado é o mesmo.
16. **Crie um zero na primeira coluna da segunda linha (R2C1{\displaystyle R_{2}C_{1}}).** No momento, R2=[2,−2,1,−3]{\displaystyle R_{2}=\left[2,-2,1,-3\right]}. Para se aproximar da matriz-solução, é preciso antes transformar o primeiro termo de um 2{\displaystyle 2} para um 0{\displaystyle 0}. Para isso, você pode subtrair duas vezes o valor de R1{\displaystyle R_{1}}, uma vez que R1{\displaystyle R_{1}} começa com um 1{\displaystyle 1}. Em suma, a operação é R2−2×R1{\displaystyle R_{2}-2\times R_{1}}. Lembre-se de que você não pretende alterar R1{\displaystyle R_{1}}, mas somente trabalhá-lo. Copie primeiro R1{\displaystyle R_{1}}, sendo R1=[1,13,−13,3]{\displaystyle R_{1}=\left[1,{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{3}},3\right]}. A seguir, ao duplicar cada termo de R1{\displaystyle R_{1}}, você obterá 2×R1=[2,23,−23,6]{\displaystyle 2\times R_{1}=\left[2,{\frac {2}{3}},-{\frac {2}{3}},6\right]}. Por fim, subtraia esse resultado do R2{\displaystyle R_{2}} para obter a nova composição de R2{\displaystyle R_{2}}. Avançando item por item, a subtração consistirá em (2−2){\displaystyle \left(2-2\right)}, (−2−23){\displaystyle \left(-2-{\frac {2}{3}}\right)}, [1−(−23)]{\displaystyle \left[1-\left(-{\frac {2}{3}}\right)\right]} e (−3−6){\displaystyle \left(-3-6\right)}. É possível simplificá-la para chegar em R2=[0,−85,53,−9]{\displaystyle R_{2}=\left[0,-{\frac {8}{5}},{\frac {5}{3}},-9\right]}. Observe que o primeiro termo é 0{\displaystyle 0}, o seu objetivo inicial.

Copie a terceira linha inalterada como sendo R3=[1,1,1,7]{\displaystyle R_{3}=\left[1,1,1,7\right]}.
Tome muito cuidado ao subtrair números negativos, então lembre-se de manter os sinais sempre corretos.
Por agora, deixe as frações em formato impróprio para facilitar os passos posteriores da solução. Você poderá simplificá-las no passo final do problema.
17. **Crie um 1{\displaystyle 1} na segunda coluna da segunda linha (R2C2{\displaystyle R_{2}C_{2}}).** Para continuar formando a linha diagonal de uns, é preciso transformar o segundo termo −83{\displaystyle -{\frac {8}{3}}} em 1{\displaystyle 1}. Para isso, multiplique toda a linha pela recíproca desse valor, que é −38{\displaystyle -{\frac {3}{8}}}. Simbolicamente, esse passo seria R2×(−38){\displaystyle R_{2}\times \left(-{\frac {3}{8}}\right)}. A segunda linha resultante será R2=[0,1,−58,278]{\displaystyle R_{2}=\left[0,1,-{\frac {5}{8}},{\frac {27}{8}}\right]}.

Observe que à medida em que a metade esquerda da linha começa a se assemelhar aos zeros e uns, a metade direita talvez pareça muito desordenada com tantas frações impróprias. Apenas avance normalmente por agora.
Lembre-se de continuar a cópia das linhas inalteradas, de modo que R1=[1,13,−13,3]{\displaystyle R_{1}=\left[1,{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{3}},3\right]} e R3=[1,1,1,7]{\displaystyle R_{3}=\left[1,1,1,7\right]}.
18. **Crie um zero na primeira coluna da terceira linha (R3C1{\displaystyle R_{3}C_{1}}).** O seu foco agora avança para a terceira linha, R3=[1,1,1,7]{\displaystyle R_{3}=\left[1,1,1,7\right]}. Para criar um 0{\displaystyle 0} na primeira posição, será preciso subtrair um 1{\displaystyle 1} daquele que está agora nessa posição. Ao observar, você notará que existe um 1{\displaystyle 1} na primeira posição de R1{\displaystyle R_{1}}. Por isso, basta subtrair R3−R1{\displaystyle R_{3}-R_{1}} para chegar ao resultado desejado. Prosseguindo um termo de cada vez, você chegará em (1−1){\displaystyle \left(1-1\right)}, (1−13){\displaystyle \left(1-{\frac {1}{3}}\right)}, [1−(−13)]{\displaystyle \left[1-\left(-{\frac {1}{3}}\right)\right]} e (7−3){\displaystyle \left(7-3\right)}. Esses quatro mini-problemas serão simplificados para se obter a nova R3=[0,23,43,4]{\displaystyle R_{3}=\left[0,{\frac {2}{3}},{\frac {4}{3}},4\right]}.
Continue a copiar R1=[1,13,−13,3]{\displaystyle R_{1}=\left[1,{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{3}},3\right]} e R2=[0,1,−58,278]{\displaystyle R_{2}=\left[0,1,-{\frac {5}{8}},{\frac {27}{8}}\right]}. Lembre-se de que altera-se apenas uma linha de cada vez.
19. **Crie um zero na segunda coluna da terceira linha (R3C2{\displaystyle R_{3}C_{2}}.** O valor está como 23{\displaystyle {\frac {2}{3}}} atualmente, mas precisa ser transformado em 0{\displaystyle 0}. A princípio, parece que você talvez conseguirá subtrair o dobro dos valores em R1{\displaystyle R_{1}}, visto que a coluna correspondente contém um 13{\displaystyle {\frac {1}{3}}}. Entretanto, ao dobrar todos os valores de R1{\displaystyle R_{1}} e subtraí-los, você afetará o 0{\displaystyle 0} na primeira coluna de R3{\displaystyle R_{3}}, algo que certamente não quer fazer. Esse seria um imenso passo para trás na busca pela solução, sendo necessário trabalhar com uma combinação da R2{\displaystyle R_{2}}. Ao subtrair 23{\displaystyle {\frac {2}{3}}} de R2{\displaystyle R_{2}}, você criará um 0{\displaystyle 0} na segunda coluna sem afetar a primeira. Em notação abreviada, trata-se de R3−23×R2{\displaystyle R_{3}-{\frac {2}{3}}\times R_{2}}. Os termos individuais se tornarão (0−0){\displaystyle \left(0-0\right)}, (23−23){\displaystyle \left({\frac {2}{3}}-{\frac {2}{3}}\right)}, [43−(−53×23)]{\displaystyle \left[{\frac {4}{3}}-\left(-{\frac {5}{3}}\times {\frac {2}{3}}\right)\right]} e (4−278×23){\displaystyle \left(4-{\frac {27}{8}}\times {\frac {2}{3}}\right)}. A simplificação chegará ao resultado R3[0,0,4224,4224]{\displaystyle R_{3}\left[0,0,{\frac {42}{24}},{\frac {42}{24}}\right]}.
20. **Crie um 1{\displaystyle 1} na terceira coluna da terceira linha (R3C3{\displaystyle R_{3}C_{3}}).** Esse é um passo simples que consiste na multiplicação pela recíproca do número presente. O valor atual é 4224{\displaystyle {\frac {42}{24}}}, de modo que você poderá multiplicá-lo por 2442{\displaystyle {\frac {24}{42}}} a fim de obter o desejado 1{\displaystyle 1}. Observe que os primeiros dois termos são zeros, de modo que qualquer multiplicação continuará sendo igual a 0{\displaystyle 0}. O novo valor será R3=[0,0,1,1]{\displaystyle R_{3}=\left[0,0,1,1\right]}.

Observe que as frações, tão aparentemente complexas no passo anterior, já começaram a se resolver.
Continue a trazer R1=[1,13,−13,3]{\displaystyle R_{1}=\left[1,{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{3}},3\right]} e R2=[0,1,−58,278]{\displaystyle R_{2}=\left[0,1,-{\frac {5}{8}},{\frac {27}{8}}\right]}.
Observe que nesse ponto você tem uma diagonal de uns relativa à matriz-solução. Basta transformar mais três itens da matriz em zeros para chegar ao resultado.
21. **Crie um zero na terceira coluna da segunda linha.** R2{\displaystyle R_{2}} consiste atualmente em [0,1,−58,278]{\displaystyle \left[0,1,-{\frac {5}{8}},{\frac {27}{8}}\right]}, com o valor −58{\displaystyle -{\frac {5}{8}}} na terceira coluna. É preciso transformá-lo em um 0{\displaystyle 0}. Para isso, será necessária a operação envolvendo R3{\displaystyle R_{3}} que consiste em somar 58{\displaystyle {\frac {5}{8}}}. Como a terceira coluna de R3{\displaystyle R_{3}} correspondente é um 1{\displaystyle 1}, você deverá multiplicar todo o conteúdo de R3{\displaystyle R_{3}} por 58{\displaystyle {\frac {5}{8}}} e somar o resultado de R2{\displaystyle R_{2}}. Em suma, trata-se de R2+58×R3{\displaystyle R_{2}+{\frac {5}{8}}\times R_{3}}. Avançando um termo de cada vez, a operação consiste em R2=(0+0),(1+0),−(58+58),(278+58){\displaystyle R_{2}=\left(0+0\right),\left(1+0\right),-\left({\frac {5}{8}}+{\frac {5}{8}}\right),\left({\frac {27}{8}}+{\frac {5}{8}}\right)}. O resultado será simplificado para R2=[0,1,0,4]{\displaystyle R_{2}=\left[0,1,0,4\right]}.
Continue a trazer R1=[1,13,−13,3]{\displaystyle R_{1}=\left[1,{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{3}},3\right]} e R3=[0,0,1,1]{\displaystyle R_{3}=\left[0,0,1,1\right]}.
22. **Crie um zero na terceira coluna da primeira linha (R2C3{\displaystyle R_{2}C_{3}}).** A primeira linha consiste atualmente de R1=[1,13−13,3]{\displaystyle R_{1}=\left[1,{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{3}},3\right]}. Não é preciso transformar o −13{\displaystyle -{\frac {1}{3}}} na terceira coluna em um 0{\displaystyle 0} usando uma combinação de R3{\displaystyle R_{3}}. Você não deve usar R2{\displaystyle R_{2}} porque o 1{\displaystyle 1} na segunda coluna de R2{\displaystyle R_{2}} afetaria R1{\displaystyle R_{1}} da maneira errada. Por isso, você multiplicará R3×13{\displaystyle R_{3}\times {\frac {1}{3}}} e, a seguir, somará o resultado a R1{\displaystyle R_{1}}. A notação seria R1+13×R3{\displaystyle R_{1}+{\frac {1}{3}}\times R_{3}}. Avançando termo a termo resultará em R1=(1+0),(13+0),(−13+13),(3+13){\displaystyle R_{1}=\left(1+0\right),\left({\frac {1}{3}}+0\right),\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\right),\left(3+{\frac {1}{3}}\right)}. Simplificado, tudo ficará como um novo R1=[1,13,0,103]{\displaystyle R_{1}=\left[1,{\frac {1}{3}},0,{\frac {10}{3}}\right]}.
Copie os inalterados R2=[0,1,0,4]{\displaystyle R_{2}=\left[0,1,0,4\right]} e R3=[0,0,1,1]{\displaystyle R_{3}=\left[0,0,1,1\right]}.
23. **Crie um zero na segunda coluna da primeira linha (R1C2{\displaystyle R_{1}C_{2}}).** Se tudo houver sido feito da forma correta, esse será o seu passo final. É preciso transformar o 13{\displaystyle {\frac {1}{3}}} na segunda coluna em um 0{\displaystyle 0}. Você pode consegui-lo multiplicando R2×13{\displaystyle R_{2}\times {\frac {1}{3}}}) e subtraindo. Em suma, trata-se de R1−13×R2{\displaystyle R_{1}-{\frac {1}{3}}\times R_{2}}. O resultado será R1=(1−0),(13−13),(0−0),(103−43){\displaystyle R_{1}=\left(1-0\right),\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{3}}\right),\left(0-0\right),\left({\frac {10}{3}}-{\frac {4}{3}}\right)}. A simplificação resultará em R1=[1,0,0,2]{\displaystyle R_{1}=\left[1,0,0,2\right]}.
24. **Procure pela matriz-solução.** Nesse ponto, se tudo ocorreu como deveria, você terá as três linhas R1=[1,0,0,2]{\displaystyle R_{1}=\left[1,0,0,2\right]}, R2=[0,1,0,4]{\displaystyle R_{2}=\left[0,1,0,4\right]} e R3=[0,0,1,1]{\displaystyle R_{3}=\left[0,0,1,1\right]}. Observe que, ao escrevê-las em forma de bloco, com as linhas empilhadas uma sobre a outra, você terá os uns diagonais circundados de zeros por toda parte, com a solução restando na quarta coluna. A matriz-solução ficará assim:
[100201040011]{\displaystyle \left[{\begin{matrix}1&0&0&2\\0&1&0&4\\0&0&1&1\end{matrix}}\right]}
25. **Decifre a solução.** Ao traduzir as equações lineares em forma de matriz, você põe os coeficientes x{\displaystyle x} na primeira coluna, os coeficientes y{\displaystyle y} na segunda coluna e os coeficientes z{\displaystyle z} na terceira coluna. Então, para rescrever a matriz de volta ao formato de equação, as três linhas da matriz implicam as três equações 1x+0y+0z=2{\displaystyle 1x+0y+0z=2}, 0x+1y+0z=4{\displaystyle 0x+1y+0z=4} e 0x+0y+1z=1{\displaystyle 0x+0y+1z=1}. Como os zeros podem ser eliminados e não é necessário escrever os coeficientes 1{\displaystyle 1}, as três equações podem ser simplificadas para trazer à tona a solução: x=2{\displaystyle x=2}, y=4{\displaystyle y=4} e z=1{\displaystyle z=1}. Essa é a solução final do sistema de equações lineares.
26. **Substitua os valores da solução nas variáveis de cada equação.** É sempre uma boa ideia conferir se a solução está realmente correta. Para isso, é preciso testar os resultados nas equações originais.
Lembre-se de que as equações originais eram 3x+y−z=9{\displaystyle 3x+y-z=9}, 2x−2y+z=−3{\displaystyle 2x-2y+z=-3} e x+y+z=7{\displaystyle x+y+z=7}. Ao substituir as variáveis pelos resultados, você obterá 3×2+4−1=9{\displaystyle 3\times 2+4-1=9}, 2×2−2×4+1=−3{\displaystyle 2\times 2-2\times 4+1=-3} e 2+4+1=7{\displaystyle 2+4+1=7}.
27. **Simplifique cada equação.** Realize as operações necessárias em cada uma delas com base nas regras fundamentais de operação. A primeira delas é simplificada para 6+4−1=9{\displaystyle 6+4-1=9}, ou 9=9{\displaystyle 9=9}. A segunda equação é simplificada como 4−8+1=−3{\displaystyle 4-8+1=-3} ou −3=−3{\displaystyle -3=-3}. A equação final é simplesmente 7=7{\displaystyle 7=7}.
Como cada equação está sendo simplificada em uma afirmação matemática verdadeira, as soluções são corretas. Se qualquer uma delas não for corretamente resolvida, será preciso voltar pelo trabalho e procurar por erros. Alguns equívocos comuns são esquecer-se de tirar o sinal de negativo ao longo do processo ou confundir a multiplicação e a soma de frações.
28. **Escreva as soluções finais.** Nesse problema específico, a solução final pode ser escrita como x=2{\displaystyle x=2}, y=4{\displaystyle y=4} e z=1{\displaystyle z=1}.
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