Come Derivare la Radice Quadrata di X
Se hai studiato analisi matematica, hai sicuramente imparato la regola della potenza per trovare la derivata delle funzioni di base. Tuttavia, quando la funzione contiene una radice quadrata o un simbolo radicale, come x{\displaystyle {\sqrt {x}}}, sembra difficile poter applicare tale norma. Attraverso una semplice sostituzione degli esponenti, l'operazione diventa invece molto semplice; puoi usare il medesimo metodo e sfruttare la regola della catena per differenziare molte altre funzioni che includono dei radicali.
1. **Ripassa la regola della potenza delle derivate.** Si tratta probabilmente del primo metodo che hai appreso per trovare le funzioni derivate e che afferma che per una variabile x{\displaystyle x} elevata a qualsiasi potenza a{\displaystyle a}, la derivata è:


f(x)=xa{\displaystyle f(x)=x^{a}};

f′(x)=axa−1{\displaystyle f^{\prime }(x)=ax^{a-1}};
Per esempio, rileggi le seguenti funzioni e le relative derivate:

Se f(x)=x2{\displaystyle f(x)=x^{2}}, allora f′(x)=2x{\displaystyle f^{\prime }(x)=2x};
Se f(x)=3x2{\displaystyle f(x)=3x^{2}}, allora f′(x)=2∗3x=6x{\displaystyle f^{\prime }(x)=2*3x=6x};
Se f(x)=x3{\displaystyle f(x)=x^{3}}, allora f′(x)=3x2{\displaystyle f^{\prime }(x)=3x^{2}};
Se f(x)=12x4{\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}x^{4}}, allora f′(x)=4∗12x3=2x3{\displaystyle f^{\prime }(x)=4*{\frac {1}{2}}x^{3}=2x^{3}}.
2. **Riscrivi la radice quadrata come una potenza.** Per trovare la derivata di una funzione radicale devi ricordare che la radice quadrata di un numero o di una variabile può essere riscritta sotto forma di potenza. Il termine che si trova sotto il segno di radice (radicando) viene riproposto come base della potenza e il suo esponente è il reciproco dell'indice; nel caso di radice quadrata questo corrisponde a ½. Considera gli esempi che seguono:


x=x12{\displaystyle {\sqrt {x}}=x^{\frac {1}{2}}};

4=412{\displaystyle {\sqrt {4}}=4^{\frac {1}{2}}};

3x=(3x)12{\displaystyle {\sqrt {3x}}=(3x)^{\frac {1}{2}}}.
3. **Applica la regola della potenza.** Se la funzione è una semplice radice quadrata, f(x)=x{\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}, sfrutta questo metodo come descritto di seguito per trovare la relativa derivata:


f(x)=x     {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}\ \ \ \ \ } (scrivi la funzione originale);

f(x)=x(12)     {\displaystyle f(x)=x^{({\frac {1}{2}})}\ \ \ \ \ } (riscrivi il radicale come una potenza);


f′(x)=12x(12−1)   {\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {1}{2}}x^{({\frac {1}{2}}-1)}\ \ \ } (trova la derivata con la regola della potenza);

f′(x)=12x(−12)   {\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {1}{2}}x^{(-{\frac {1}{2}})}\ \ \ } (semplifica la potenza).
4. **Semplifica il risultato.** In questa fase devi sapere che una potenza con esponente negativo corrisponde al reciproco della base elevata al medesimo esponente, ma con segno positivo. Di conseguenza, l'esponente −12{\displaystyle -{\frac {1}{2}}} indica che hai la radice quadrata della base al denominatore di una frazione.
Continuando con l'esempio precedente, la derivata può essere semplificata come segue:


f′(x)=12x−12{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {1}{2}}x^{-{\frac {1}{2}}}};

f′(x)=12∗1x{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {1}{2}}*{\frac {1}{\sqrt {x}}}};

f′(x)=12x{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}.
5. **Ripassa la regola della catena per le funzioni.** Si tratta di un metodo per le derivate che viene utilizzato quando la funzione originale combina due funzioni. Questa regola afferma che per due funzioni f(x){\displaystyle f(x)} e g(x){\displaystyle g(x)} la derivata della combinazione delle due può essere trovata come segue:
Se y=f(g(x)){\displaystyle y=f(g(x))}, allora y′=f′(g)∗g′(x){\displaystyle y^{\prime }=f^{\prime }(g)*g^{\prime }(x)}.
6. **Definisci le funzioni per la regola della catena.** Per applicare tale norma devi prima definire le due funzioni che costituiscono quella combinata. Quando si tratta di funzioni radicali, quella esterna, f(g){\displaystyle f(g)}, è quella radicale e quella interna, g(x){\displaystyle g(x)}, è il radicando.
Per esempio, supponi di voler trovare la derivata di 3x+2{\displaystyle {\sqrt {3x+2}}}. Definisci le due funzioni in questo modo:


f(g)=g=g12{\displaystyle f(g)={\sqrt {g}}=g^{\frac {1}{2}}};

g(x)=(3x+2){\displaystyle g(x)=(3x+2)}.
7. **Trova le derivate delle due funzioni.** Per applicare la regola della catena a questo genere di funzioni devi prima trovare la derivata della funzione radicale generale:


f(g)=g=g12{\displaystyle f(g)={\sqrt {g}}=g^{\frac {1}{2}}};


f′(g)=12g−12{\displaystyle f^{\prime }(g)={\frac {1}{2}}g^{-{\frac {1}{2}}}};

f′(g)=12g{\displaystyle f^{\prime }(g)={\frac {1}{2{\sqrt {g}}}}}.


In seguito calcola la derivata della seconda funzione:


g(x)=(3x+2){\displaystyle g(x)=(3x+2)};

g′(x)=3{\displaystyle g^{\prime }(x)=3}.
8. **Combina quanto trovato con la regola della catena.** Per prima cosa ripassa la norma: y′=f′(g)∗g′(x){\displaystyle y^{\prime }=f^{\prime }(g)*g^{\prime }(x)}; in seguito, combina le derivate come segue:


y′=12g∗3{\displaystyle y^{\prime }={\frac {1}{2{\sqrt {g}}}}*3};

y′=12(3x+2∗3{\displaystyle y^{\prime }={\frac {1}{2{\sqrt {(3x+2}}}}*3};

y′=32(3x+2{\displaystyle y^{\prime }={\frac {3}{2{\sqrt {(3x+2}}}}}.
9. **Impara la scorciatoia per calcolare le derivate di qualsiasi funzione radicale.** Ogni volta che devi trovare la derivata della radice quadrata di una variabile o di una funzione, puoi applicare un semplice schema. La derivata sarà sempre la derivata del radicando diviso il doppio della radice quadrata originale. In linguaggio matematico questa regola si esprime come:
Se f(x)=u{\displaystyle f(x)={\sqrt {u}}}, allora f′(x)=u′2u{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {u^{\prime }}{2{\sqrt {u}}}}}.
10. **Trova la derivata del radicando.** Si tratta del termine o della funzione che si trova sotto il simbolo di radice; per applicare questo metodo rapido devi trovare la derivata di tale elemento. Osserva gli esempi seguenti:

Nella funzione 5x+2{\displaystyle {\sqrt {5x+2}}} il radicando è (5x+2){\displaystyle (5x+2)} e la sua derivata è 5{\displaystyle 5};
Nella funzione 3x4{\displaystyle {\sqrt {3x^{4}}}} il radicando è 3x4{\displaystyle 3x^{4}} e la sua derivata 12x3{\displaystyle 12x^{3}};
Nella funzione sin(x){\displaystyle {\sqrt {sin(x)}}} il radicando è sin⁡(x){\displaystyle \sin(x)} e la sua derivata cos⁡(x){\displaystyle \cos(x)}.
11. **Scrivi la derivata del radicando come numeratore di una frazione.** Quando si calcola la derivata di una funzione radicale, si procede con una frazione il cui numeratore è la derivata del radicando. Di conseguenza, considerando le funzioni semplici prese in esame ottieni:

Se f(x)=5x+2{\displaystyle f(x)={\sqrt {5x+2}}}, allora f′(x)=5denom{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {5}{\text{denom}}}};
Se f(x)=3x4{\displaystyle f(x)={\sqrt {3x^{4}}}}, allora f′(x)=12x3denom{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {12x^{3}}{\text{denom}}}};
Se f(x)=sin⁡(x){\displaystyle f(x)={\sqrt {\sin(x)}}}, allora f′(x)=cos⁡(x)denom{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {\cos(x)}{\text{denom}}}}.
12. **Scrivi il denominatore come il doppio della radice quadrata originale.** Usando questa scorciatoia il denominatore è pari a due volte la funzione radicale originale; considerando gli esempi precedenti ottieni:

Se f(x)=5x+2{\displaystyle f(x)={\sqrt {5x+2}}}, allora f′(x)=num25x+2{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {\text{num}}{2{\sqrt {5x+2}}}}};
Se f(x)=3x4{\displaystyle f(x)={\sqrt {3x^{4}}}}, allora f′(x)=num23x4{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {\text{num}}{2{\sqrt {3x^{4}}}}}};
Se f(x)=sin⁡(x){\displaystyle f(x)={\sqrt {\sin(x)}}}, allora f′(x)=num2sin⁡(x){\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {\text{num}}{2{\sqrt {\sin(x)}}}}}.
13. **Unisci il numeratore e il denominatore per trovare la derivata.** Combina le due metà della frazione, il risultato è la derivata della funzione originale.

Se f(x)=5x+2{\displaystyle f(x)={\sqrt {5x+2}}}, allora f′(x)=525x+2{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {5}{2{\sqrt {5x+2}}}}};
Se f(x)=3x4{\displaystyle f(x)={\sqrt {3x^{4}}}}, allora f′(x)=12x323x4{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {12x^{3}}{2{\sqrt {3x^{4}}}}}};
Se f(x)=sin⁡(x){\displaystyle f(x)={\sqrt {\sin(x)}}}, allora f′(x)=cos⁡(x)2sin⁡(x){\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {\cos(x)}{2{\sqrt {\sin(x)}}}}}.
{"url": "https://www.wikihow.it/Derivare-la-Radice-Quadrata-di-X", "language": "it"}