Cómo encontrar el dominio de una función
El dominio de una función es el conjunto de números que pueden ir en una función dada. En otras palabras, es el conjunto de valores de x que puedes reemplazar en la ecuación. El conjunto de valores posibles en y es llamado rango. Si quieres saber cómo encontrar el dominio de una función en una buena variedad de situaciones, solo sigue estos pasos.
1. **Aprende la definición de dominio.** El dominio se define como el conjunto de valores de entrada para los cuales la función produce valores de salida. En otras palabras, el dominio es el conjunto completo de valores de x que puedes reemplazar en la función para producir un valor de y.
2. **Aprende cómo encontrar el dominio en varios tipos de funciones.** El tipo de función determina el mejor método para hallar el dominio. Aquí tienes los conceptos básicos que tienes que saber sobre cada tipo de función, los cuales serán explicados en la siguiente sección:


. Para este tipo de función, el dominio es todos los números reales.

. Para hallar el dominio de este tipo de función, iguala a 0 el denominador y despeja x.

. Para hallar el dominio de este tipo de función, simplemente iguala a > 0 los términos dentro del signo radical y resuelve para encontrar los valores reemplazables en x.

. Simplemente iguala los términos en el paréntesis a >0 y resuelve.

. Observa la gráfica para ver qué valores pueden ir en x.

. Esta es una lista de coordenadas (x, y). El dominio estará en la lista de coordenadas de x.
3. **Utiliza la nomenclatura correcta para expresar el dominio.** Es fácil aprender la notación adecuada para expresar el dominio, pero es importante que lo escribas correctamente para expresar la respuesta indicada y así recibas la máxima nota en tus tareas y exámenes. Aquí tienes un par de cosas que debes saber para escribir correctamente el dominio de una función:

El formato para expresar un dominio es un corchete o paréntesis abierto, seguido por los dos puntos del dominio separados por una coma, seguidos por el cierre del corchete o paréntesis.
Por ejemplo, [-1,5). Esto significa que el dominio va desde - 1 hasta 5.


.
En el ejemplo, [-1,5), el dominio incluye a -1.



En el ejemplo, [-1,5), 5 no está incluido en el dominio. El dominio es un valor muy cercano a 5, como por ejemplo 4,999...




Por ejemplo, [-1,5) U (5,10]. Esto significa que el dominio va desde -1 hasta 10, pero que hay una brecha en el dominio en 5. Esto puede ser el resultado, por ejemplo, de una función con "x - 5" en el denominador.
Puedes utilizar todos los símbolos de "U" que sean necesarios si el dominio presenta múltiples brechas.



.
Siempre utiliza ( ), no [ ], con los símbolos de infinito.
4. **Escribe el problema.** Supongamos que vas a trabajar con el siguiente problema:
f(x) = 2x/(x - 4).
5. **Para las fracciones con una variable en el denominador, iguala el denominador a 0.** Cuando busques el dominio de una función fraccionaria, debes excluir todos los valores de x que hacen que el denominador sea igual a 0, porque la división de cualquier número por 0 es indeterminada. Así que escribe el denominador como si fuera una función aparte e iguálalo a 0. Así es como se hace:

f(x) = 2x/(x - 4)
x - 4 = 0
(x - 2)(x + 2) = 0
x ≠ (2, - 2)
6. **Expresa el dominio.** Así es como se hace:
x = todos los número reales, excepto 2 y -2.
7. **Escribe el problema.** Supongamos que vas a trabajar con el siguiente problema: Y = √(x-7).
8. **Iguala los términos dentro del radicando a mayor o igual que 0.** No puedes sacar raíz cuadrada a un número negativo, pero si puedes sacar raíz cuadrada a 0. Entonces, iguala los términos dentro del radicando a mayor o igual que 0. Ten en cuenta que este procedimiento no solo aplica a las raíces cuadradas, sino que también sirve para cualquier raíz con número par. Sin embargo, no aplica a las raíces impares, porque es perfectamente posible tener números negativos debajo de raíces impares. Así es como se hace:
x-7 ≧ 0
9. **Despeja la variable.** Ahora, para despejar la x del lado izquierdo de la ecuación, simplemente suma 7 a ambos lados, de forma que te dé lo siguiente:
x ≧ 7
10. **Expresa el dominio correctamente.** Aquí tienes la forma correcta de escribir el dominio:
D = [7,∞).
11. **Encuentra el dominio de una función con una raíz cuadrada cuando hay varias soluciones.** Vamos a trabajar con la siguiente función: Y = 1/√( ̅x -4). Cuando factorizas el denominador y lo igualas a 0, te da que x ≠ (2, - 2). Esto es lo que debes hacer a partir de ese punto:

Ahora, revisa el área menor a -2 (reemplazando por -3, por ejemplo), para ver si los números menores a -2 se pueden reemplazar en el denominador y obtener un número mayor que 0. En este caso, es así.
(-3) - 4 = 5.

Ahora, revisa el área entre -2 y 2. Por ejemplo, escoge 0.
0 - 4 = -4, entonces sabemos que los números entre -2 y 2 no funcionan.

Ahora prueba un número mayor a 2, como +3.
3 - 4 = 5, entonces los números mayores a 2 sí funcionan.

Cuando termines, escribe el dominio. Esta es la forma correcta de escribir el dominio:
D = (-∞, -2) U (2, ∞).
12. **Escribe el problema.** Vamos a trabajar el siguiente problema:
f(x) = ln(x-8).
13. **Iguala los términos dentro del paréntesis a mayor que 0.** El logaritmo natural tiene que ser un número positivo, así que iguala los términos dentro del paréntesis a mayor que 0 para que sea así. Así es como debes hacerlo:
x - 8 > 0
14. **Resuelve.** Simplemente despeja la variable x sumando 8 a ambos lados. Así es como se hace:

x - 8 + 8 > 0 + 8
x > 8
15. **Expresa el dominio.** Muestra que el dominio para esta ecuación es igual a todos los números mayores que 8 hasta el infinito. Así es como se hace:
D = (8,∞).
16. **Mira la gráfica.** 
17. **Observa los valores de x incluidos en la gráfica.** Es más fácil decirlo que hacerlo, pero aquí tienes algunos consejos:

Una línea. Si ves una línea en la gráfica que se extiende hasta el infinito, entonces todos los valores de x son posibles, así que el dominio es igual a todos los números reales.
Una parábola normal. Si ves una parábola que se abre hacia arriba o hacia abajo, entonces el dominio será todos los números reales, porque todos los números en el eje x siempre serán cubiertos.
Una parábola lateral. Ahora, si tienes una parábola con un vértice en (4, 0) que se extiende infinitamente hacia la derecha, entonces el dominio es D = [4,∞).
18. **Expresa el dominio.** Expresa el dominio basado en el tipo de gráfica con el que trabajes. Si no estás seguro de tu respuesta, pero conoces la ecuación de la gráfica, reemplaza las coordenadas de x en la función para comprobar.
19. **Escribe la relación.** Una relación es simplemente un conjunto de coordenadas (x, y) Supongamos que vas a trabajar con las siguiente coordenadas: {(1, 3), (2, 4), (5, 7)}.
20. **Escribe las coordenadas de x.** Estas son: 1, 2, 5.
21. **Expresa el dominio.** D = {1, 2, 5}.
22. **Asegúrate de que la relación sea una función.** Para que la relación sea una función, siempre que pongas una coordenada numérica de x, debes obtener la misma coordenada de y. Entonces, si reemplazas x por 3, siempre debes obtener 6 para el valor de y, etc. La siguiente relación no es una función porque obtienes diferentes valores de "y" para cada valor de "x": {(1, 4),(3, 5),(1, 5)}.
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