Como Calcular os Coeficientes Angular e Linear Utilizando a Equação da Reta
A equação da reta é normalmente usada para representar uma equação linear. Ela é escrita no formato "y = mx + b" — no qual as letras devem ser resolvidas, como em:os valores "x" e "y" representam as coordenadas "x" e "y" de uma linha, "m" representa a reta, a razão (mudança de y)/(mudança de x), e o "b", o intercepto-y. Se você quer aprender a usar a equação da reta, este é o artigo certo.
1. **Leia o problema.** É preciso ler com cuidado para entender o que estão pedindo nele. Por exemplo: Sua conta bancária aumenta linearmente cada semana. Se após 20 semanas de trabalho sua conta bancária está em R$ 560,00 enquanto, após 21 semanas de trabalho, ela está em R$ 585,00 encontre um modo de expressar a relação entre o quanto você ganhou e quantas semanas você trabalhou na forma de uma equação da reta.
2. **Pense no problema como uma equação da reta.** Escreva , que é a equação da reta, ou seja, uma equação linear. Aqui, "m" é o coeficiente angular, "b" é o coeficiente linear que intercepta o eixo-y quando x é igual a zero. Observe que o problema diz "Sua conta bancária aumenta linearmente todo mês," o que significa que você está guardando o mesmo valor por vez, o que por sua vez irá originar uma reta padrão. Se você não economiza o mesmo valor todo mês, então já não estaremos mais lidando com uma equação linear.
3. **Encontre a reta.** Para tanto, você precisa descobrir qual é o valor da diferença. Se você começou com R$ 560,00 e na seguinte tem R$ 585,00 então você ganhou R$ 25,00 depois de 1 semana de trabalho. Isso pode ser calculado subtraindo R$ 560,00 de R$ 585,00. R$ 585,00-R$ 560,00 = R$ 25,00.
4. **Encontre o intercepto do eixo y.** Para encontrar o intercepto de y ou, se preferir, o "b" em y = mx + b, você precisará descobrir qual é o ponto de partida do problema (no qual ele intercepta o eixo y). Isso significa que você precisa saber quanto dinheiro havia na conta quando você abriu a mesma. Se você tinha R$ 560,00 depois de 20 semanas de trabalho e sabe que ganha R$ 25,00 depois de cada semana de trabalho, então você pode multiplicar 20 x 25 para descobrir quanto dinheiro ganhou nessas 20 semanas. Ou seja, 20 x 25 = 500, o que significa que você ganhou R$ 500,00 durante esse período.

Como você ganhou R$ 560,00 depois de 20 semanas e ganhou R$ 500,00 agora você pode descobrir o valor inicial da conta ao subtrair 500 de 560. Logo, 560 - 500 = 60.
Então, o valor de "b," também conhecido como o ponto de partida, é 60.
5. **Escreva a equação no formato do intercepto da reta.** Agora que você já conhece o valor de m = 25 (25 reais ganhos por semana) e do intercepto b = 60, podemos encaixar esses valores na equação:

y = mx + b.
y = 25x + 60.
6. **Confira o resultado.** Nessa equação, o "y" representa a quantidade de dinheiro ganha e o "x" representa a quantidade de semanas trabalhadas. Experimente encaixar um número diferente de semanas na equação para ver quanto dinheiro você ganhou depois de determinado período. Confira abaixo:

Quanto dinheiro você ganhou depois de 10 semanas? Encaixe "10" para substituir o "x" na equação.

y = 25x + 60 =
y = 25(10) + 60 =
y = 250 + 60 =
y = 310. Após 10 semanas, você ganhou R$ 310,00.


Quantas semanas você teria que trabalhar para ganhar R$ 800,00? Encaixe o "800" no lugar da variável "y" na equação para obter o valor de "x".

y = 25x + 60 =
800 = 25x + 60 =
800 - 60 =
25x = 740 =
25x/25 = 740/25 =
x = 29,6. Você pode ganhar 800 reais depois de quase 30 semanas.
7. **Escreva a equação.** Vamos usar a equação.
8. **Isole o termo y em um lado da equação.** Basta levar o termo x para o outro lado para que o termo y fique sozinho. Lembre-se de que toda vez que você muda um termo de lado, deve-se mudar o sinal do mesmo (se for positivo, ele vira negativo, e vice-versa). Logo, como o "3x" foi para o outro lado da equação, ele se tornou "-3x". A equação então fica assim: 4y = -3x +16. Confira como logo abaixo:

4y + 3x = 16 =
4y + 3x - 3x = -3x +16 (através da subtração).

4y = -3x +16 (através da simplificação da subtração).
9. **Divida todos os termos pelo coeficiente de y.** O coeficiente de y é o número que aparece na frente dele. Caso não haja um coeficiente para y, então seu trabalho termina aqui. Mas se há um coeficiente, deve-se dividir cada termo na equação por esse número. No nosso exemplo, o coeficiente de y é 4, então temos que dividir 4x, -3x, e 16 por 4 para obter a resposta final no formato de coeficiente linear. Aqui vai o passo a passo:

4y = -3x +16 =

/4y = /4x +/4 = (by division)

y = /4x + 4 (Aqui, simplificamos a divisão)
10. **Identifique os termos da equação.** Se você está usando a equação para delinear a reta, então é bom saber que o "y" representa a coordenada y, o "-3/4" representa a reta, o "x" representa a coordenada x e que o "4" representa o intercepto y (ou o coeficiente linear de y).
11. **Escreva a equação da reta no formato de coeficiente linear.** Primeiro, basta escrever  Conforme você for obtendo mais informações, você poderá ir encaixando os valores na equação. Vamos ver o seguinte exemplo de problema: Encontre a equação que tem vetor=4 e que passa pelo ponto (-1, -6).




12. **Encaixe os valores dados.** Sabemos que "m" é igual à reta, a qual é 4, e que "y" e "x" representam as coordenadas "x" e "y". Nesse caso, "x" = -1 e "y" = -6. "b" representa o intercepto y; ainda não sabemos o valor de b, então podemos deixá-lo como está. Segue abaixo a equação depois de ter os valores encaixados nela:

y = -6, m = 4, x = -1 (os valores dados).
y = mx + b (a fórmula).
-6 = (4)(-1) + b (através de substituição).
13. **Calcule o valor do intercepto y.** Agora, basta fazer as contas para encontrar o valor de "b," o intercepto y. Multiplique 4 e -1 e em seguida subtraia o resultado de -6. Confira como:

-6 = (4)(-1) + b.
-6 = -4 + b (usamos a multiplicação).
-6 - (-4) = -4 -(-4) + b (usamos a subtração).
-6 - (-4) = b (simplificamos o seu lado direito da equação).
-2 = b (simplificamos o seu lado esquerdo da equação).
14. **Escreva a equação.** Agora que encontramos o valor de "b," podemos fazer as substituições necessárias e escrever a equação no formato de coeficiente linear. Tudo de que precisamos saber é o valor da reta e do coeficiente linear y:

m = 4, b = -2.
y = mx + b.
y = 4x -2 (por substituição).
15. **Escreva os dois pontos.** Antes de poder escrever a equação, é preciso escrever esses dois pontos. Suponha que você tivesse que resolver o seguinte problema: Encontre a equação da reta que passa por (-2, 4) e (1, 2). Escreva os dois pontos com os quais está trabalhando.
16. **Use os dois pontos para encontrar a reta da equação.** A fórmula para encontrar o vértice da reta que passa por dois pontos é a seguinte: (Y2 - Y1) / (X2 - X1). O primeiro par de coordenadas (x, y) = (-2, 4) representa  X1 and Y1, e o segundo par (1, 2) representa X2 e Y2. Aqui, estamos tentando encontrar a diferença entre as coordenadas x e y, a qual nos permitirá encontrar o vértice. Agora vamos encaixar os valores na equação:

(Y2 - Y1) / (X2 - X1) =
(2 - 4)/(1 - -2) =
-2/3 = m
O vértice da reta é -2/3.
17. **Escolha um dos pontos para encontrar o coeficiente linear y.** Digamos que você tenha escolhido o par (1, 2). Agora, vamos encaixá-los na equação "y = mx + b", na qual "m" representa a vértice e "x" e "y" representam as coordenadas x e y. Vamos calcular o valor de "b." Veja como:

y = 2, x, = 1, m = -2/3
y = mx + b
2 = (-2/3)(1) + b
2 = -2/3 + b
2 - (-2/3) = b
2 + 2/3 = b, ou b = /3
18. **Encaixe os números na equação original.** Agora que sabemos que o vértice é -2/3 e que o coeficiente y (ou intercepto y "b") é  2 2/3, vamos encaixar esses valores na equação original para a reta que você fez.

y = mx + b.
y = /3x + 2 2/3.
19. **Escreva a equação.** Primeiro, escreva a equação para começar a usá-la para delinear a reta. Vamos trabalhar com a seguinte equação:
20. **Comece no coeficiente linear y.** Ele é representado por "+3" ou "b" na equação da reta, enquanto que o vértice é 3. Isso significa que a reta cruza o eixo y em (0, 3). Coloque o seu lápis nesse ponto.
21. **Use a vértice para encontrar as coordenadas de outro ponto da reta.** Como sabemos que a vértice é representada por 4, ou "m," podemos dizer que a vértice representa 4/1. Isso significa que toda vez que a linha se move 4 pontos no eixo y, ela se move 1 ponto no eixo x. Logo, se você começar em (0, 3) e continuar para cima 4 pontos, você vai chegar em (0, 7). Então, podemos ir para a direita em uma coordenada para obtermos (1, 7) como o outro ponto dessa reta.
Caso a sua vértice seja negativa, então temos que mover a coordenada y para cima ao invés de para baixo ou mover a coordenada x para a esquerda ao invés de para a direita. O resultado será o mesmo.
22. **Ligue os dois pontos.** Agora, tudo que temos que fazer é desenhar uma linha reta que atravesse esses dois pontos para representarmos a reta da equação no formato do coeficiente linear y. Você pode continuá-la — basta escolher outro ponto na reta que acabou de desenhar e usá-la para mover a vértice para cima ou para baixo para encontrar outros pontos na reta.
23. **Utilize uma forma de lado a ponto, que é demarcada como:** y - y1 = m(x - x1). Esta é outra maneira de trabalhar com uma forma de equação da linha para obter outra forma.




24. **Usemos como exemplo o ponto e a reta m (conhecida) que nos foram concedidos:** o ponto (4, -3) e a reta m = -2.





Você está trabalhando com valores em que m = -2, já que a reta e as coordenadas de um ponto são (4, -3), e essas são nossas (x1,y1), assim como qualquer ponto definido na linha. Portanto, usando esses valores, temos:  y - y1 = m(x - x1),  y - (-3) = -2(x - 4). Ao substituir usando o ponto e o lado:  y + 3 = -2(x - 4); que, simplificado: -(-3) to + 3 y + 3 = -2x + -2(-4), por distribuiçãobr> y + 3 = -2x + 8, por multiplicação y + 3 - 3 = -2x + 8 - 3, por subtração (de iguais de ambos os lados da equação)y = -2x + 5</big, pela simplificação/reescrita (Isso encaixa com os valores y = mx + b, chamados de Forma de Lado a Ponto).


No que se baseia tal Forma? A forma de lado a ponto expressa o fato que a diferença de valores y para dois pontos em uma linha (ou seja, y - y1) podem ser apontados como diretamente "proporcionais" à diferença de valores x (ou seja, x - x1). Há uma constante de "proporcionalidade" chamada m (a reta).

Acreditamos que "Proporção Direta" é uma comparação que pode ser feita de maneira similar a y = kx. Aqui, notamos que y - y1 = m(x - x1)  se encaixa na fórmula y = kx.
A proporção direta significa que havendo duas variáveis como x e y, y pode ser diretamente proporcional a x se houver uma constante k semelhante a y = kx e se x não for igual a zero. "k" é uma grandeza constante que representa a reta usada. (Você também pode expressar a proporção direta ao dizer que "x e y variam diretamente", ou expressar que "x e y estão em variação direta").
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