Cómo resolver una ecuación diofántica lineal
Para resolver una ecuación diofántica lineal, debes buscar soluciones para las variables x e y que sean únicamente números enteros. Encontrar soluciones enteras no es tan fácil como una solución estándar y, para ello, se necesita un patrón ordenado de pasos. En primer lugar, debes buscar el mayor común divisor de los coeficientes del problema y luego valerte de ese resultado para encontrar una solución. Si te es posible encontrar una solución entera a una ecuación lineal, podrás aplicar un patrón simple para encontrar infinitas más.
1. **Escríbela en el formato estándar.** En una ecuación lineal, ninguna de las variables tiene exponentes mayores a 1. Si quieres resolver una ecuación lineal de este estilo, debes empezar por escribirla en lo que se conoce como el "formato estándar". El formato estándar de una ecuación lineal se asemeja a Ax+By=C{\displaystyle Ax+By=C}, en donde A,B{\displaystyle A,B} y C{\displaystyle C} son números enteros.
En caso de que la ecuación de por sí no se encuentre en el formato estándar, deberás emplear las reglas básicas del álgebra de forma que puedas reorganizar o combinar los términos y obtener el formato estándar. Por ejemplo, en caso de que empieces con 23x+4y−7x=−3y+15{\displaystyle 23x+4y-7x=-3y+15}, es posible combinar los términos similares de forma que reduzcas la ecuación a 16x+7y=15{\displaystyle 16x+7y=15}.
2. **Reduce la ecuación de ser posible.** Una vez que la ecuación se encuentre en el formato estándar, debes revisar los tres términos, A,B{\displaystyle A,B} y C{\displaystyle C}. En caso de que los tres tengan un divisor común, divídelos todos entre este número para reducir la ecuación. Al reducir de manera uniforme los tres términos, toda solución que encuentres para la ecuación reducida también será una solución para la ecuación original.
Por ejemplo, en caso de que los tres términos sean pares, es posible dividir por lo menos entre 2 de la siguiente forma:


42x+36y=48{\displaystyle 42x+36y=48} (Todos los términos pueden dividirse entre 2).

21x+18y=24{\displaystyle 21x+18y=24} (Todos los términos ahora pueden dividirse entre 3).

7x+6y=8{\displaystyle 7x+6y=8} (Esta ecuación se encuentra lo más reducida posible).
3. **Revisa la imposibilidad de una solución.** Existen algunos casos en los que quizás puedas determinar de inmediato si es que el problema no tiene solución. En caso de que observes que un divisor común del lado izquierdo de la ecuación no se encuentra del lado derecho, el problema no podrá tener solución.
Por ejemplo, en caso de que A{\displaystyle A} y B{\displaystyle B} sean pares, la suma del lado izquierdo de la ecuación debería ser par. Sin embargo, en caso de que C{\displaystyle C} sea non, el problema no tendrá una solución entera.


2x+4y=21{\displaystyle 2x+4y=21} no tendrá una solución entera.

5x+10y=17{\displaystyle 5x+10y=17} no puede tener una solución entera debido a que el lado izquierdo de la ecuación es divisible entre 5 pero el lado derecho no.
4. **Repasa el algoritmo de Euclides.** El algoritmo de Euclides constituye un sistema de divisiones repetidas en el que se utiliza el resto como divisor de una división nueva cada vez. El último divisor que divida equitativamente constituye el mayor común divisor (MCD) de ambos números.
Por ejemplo, los siguientes pasos ilustran el uso del algoritmo de Euclides para encontrar el MCD de 272 y 36:


272=7∗36+20{\displaystyle 272=7*36+20}....Divide el número más alto (272) entre el más bajo (36) y toma nota del resto (20).

36=1∗20+16{\displaystyle 36=1*20+16}....Divide el divisor anterior (36) entre el resto anterior (20). Toma nota del nuevo resto (16).

20=1∗16+4{\displaystyle 20=1*16+4}....Repite el procedimiento. Divide el divisor anterior (20) entre el resto anterior (16). Toma nota del nuevo resto (4).

16=4∗4+0{\displaystyle 16=4*4+0}....Repite el procedimiento. Divide el divisor anterior (16) entre el resto anterior (4). Ahora, el resto es 0, por lo que puedes concluir que 4 es el MCD de los dos números originales, 272 y 36.
5. **Aplica el algoritmo de Euclides a los coeficientes A y B.** Una vez que tengas la ecuación lineal en formato estándar, debes identificar los coeficientes A y B. Aplica el algoritmo de Euclides para encontrar su MCD. Imagina que debes encontrar soluciones enteras para la ecuación lineal 87x−64y=3{\displaystyle 87x-64y=3}.
Estos son los pasos del algoritmo de Euclides para los coeficientes 87 y 64:

87=1∗64+23{\displaystyle 87=1*64+23}
64=2∗23+18{\displaystyle 64=2*23+18}
23=1∗18+5{\displaystyle 23=1*18+5}
18=3∗5+3{\displaystyle 18=3*5+3}
5=1∗3+2{\displaystyle 5=1*3+2}
3=1∗2+1{\displaystyle 3=1*2+1}
2=2∗1+0{\displaystyle 2=2*1+0}
6. **Identifica el mayor común divisor (MCD).** El algoritmo de Euclides para este par continúa hasta dividir entre 1, por lo que el MCD de 87 y 64 es 1. Esta es otra manera de decir que 87 y 64 son relativamente primos.
7. **Interpreta el resultado.** Una vez que completes el algoritmo de Euclides para encontrar el MCD de A{\displaystyle A} y B{\displaystyle B}, debes comparar este resultado con el número C{\displaystyle C} de la ecuación original. En caso de que el mayor común divisor de A{\displaystyle A} y B{\displaystyle B} sea un número que pueda dividirse entre C{\displaystyle C}, la ecuación lineal tendrá una solución entera. De lo contrario, no tendrá una solución.

Por ejemplo, el problema de muestra 87x−64y=3{\displaystyle 87x-64y=3} tendrá una solución entera debido a que el MCD de 1 puede dividirse equitativamente entre 3.
Por ejemplo, imagina que el MCD haya resultado ser 5. El divisor 5 no podrá dividirse de manera equitativa entre 3, en cuyo caso la ecuación no tendrá una solución entera.
Como podrás observar a continuación, en caso de que una ecuación tenga una solución entera, también tendrá muchas soluciones enteras infinitas.
8. **Etiqueta los pasos de la reducción del MCD.** Si quieres encontrar la solución de la ecuación lineal, emplearás el trabajo que realizaste con el algoritmo de Euclides como base para un proceso repetido de cambiar el nombre a los valores y simplificarlos.
Empieza por numerar los pasos de la reducción mediante el algoritmo de Euclides como puntos de referencia. Entonces, tendrás los siguientes pasos:

Paso 1:87=(1∗64)+23{\displaystyle {\text{Paso 1}}:87=(1*64)+23}
Paso 2:64=(2∗23)+18{\displaystyle {\text{Paso 2}}:64=(2*23)+18}
Paso 3:23=(1∗18)+5{\displaystyle {\text{Paso 3}}:23=(1*18)+5}
Paso 4:18=(3∗5)+3{\displaystyle {\text{Paso 4}}:18=(3*5)+3}
Paso 5:5=(1∗3)+2{\displaystyle {\text{Paso 5}}:5=(1*3)+2}
Paso 6:3=(1∗2)+1{\displaystyle {\text{Paso 6}}:3=(1*2)+1}
Paso 7:2=(2∗1)+0{\displaystyle {\text{Paso 7}}:2=(2*1)+0}
9. **Empieza por el último paso que tenga un resto.** Reescribe esa ecuación de forma que el resto quede aislado como equivalente a la demás información de la ecuación.
Para este problema, el paso 6 es el último en el que se observó un resto, el cual era 1. Reescribe la ecuación del paso 6 de la siguiente forma:
1=3−(1∗2){\displaystyle 1=3-(1*2)}
10. **Aísla el resto del paso anterior.** Este procedimiento constituye un proceso por etapas en el que te desplazas "hacia arriba" por los pasos. Cada vez revisarás el lado derecho de la ecuación en términos de los números en el paso superior.
Puedes revisar el paso 5 de forma que aísles el resto:

2=5−(1∗3){\displaystyle 2=5-(1*3)} or 2=5−3{\displaystyle 2=5-3}
11. **Realiza una sustitución y simplifica.** Debes observar que la revisión del paso 6 contiene el número 2 y la revisión del paso 5 equivale a 2. Reemplaza la equivalencia del paso 5 en el lugar del 2 en la revisión del paso 6:


1=3−(1∗2){\displaystyle 1=3-(1*2)}….. (Esta es la revisión del paso 6).

1=3−(5−3){\displaystyle 1=3-(5-3)}….. (Reemplaza en lugar del valor 2).

1=3−5+3{\displaystyle 1=3-5+3}….. (Distribución del signo negativo).

1=2(3)−5{\displaystyle 1=2(3)-5}…..(Simplifica).
12. **Repite el procedimiento de sustitución y simplificación.** Repite el procedimiento desplazándote a la inversa por los pasos del algoritmo de Euclides. Cada vez revisarás el paso anterior y reemplazarás su valor en tu resultado más reciente.

El último paso fue el 5. Ahora, revisa el paso 4 de forma que aísles el resto:
3=18−(3∗5){\displaystyle 3=18-(3*5)}

Reemplaza ese valor en el lugar del 3 en tu último paso de simplificación y luego simplifica:

1=2(18−3∗5)−5{\displaystyle 1=2(18-3*5)-5}
1=2(18)−6(5)−5{\displaystyle 1=2(18)-6(5)-5}
1=2(18)−7(5){\displaystyle 1=2(18)-7(5)}
13. **Sigue repitiendo la sustitución y simplificación.** Este proceso se repetirá paso a paso hasta que llegues al paso original del algoritmo de Euclides. El objetivo de este procedimiento es terminar con una ecuación que esté escrita en términos de 87 y 64, los coeficientes originales del problema que intentas resolver. Siguiendo de esta forma, estos son los pasos restantes:

1=2(18)−7(5){\displaystyle 1=2(18)-7(5)}

1=2(18)−7(23−18){\displaystyle 1=2(18)-7(23-18)}…..(sustitución del paso 3)

1=2(18)−7(23)+7(18){\displaystyle 1=2(18)-7(23)+7(18)}
1=9(18)−7(23){\displaystyle 1=9(18)-7(23)}



1=9(64−2∗23)−7(23){\displaystyle 1=9(64-2*23)-7(23)}…..(sustitución del paso 2)

1=9(64)−18(23)−7(23){\displaystyle 1=9(64)-18(23)-7(23)}
1=9(64)−25(23){\displaystyle 1=9(64)-25(23)}



1=9(64)−25(87−64){\displaystyle 1=9(64)-25(87-64)}…..(sustitución del paso 1)

1=9(64)−25(87)+25(64){\displaystyle 1=9(64)-25(87)+25(64)}
1=34(64)−25(87){\displaystyle 1=34(64)-25(87)}
14. **Reescribe el resultado en términos de los coeficientes originales.** Al regresar al primer paso del algoritmo de Euclides, deberías observar que la ecuación que resulta contiene los dos coeficientes del problema original. Reorganiza los números de forma que estén alineados con la ecuación original.
En este caso, el problema original que intentas resolver es 87x−64y=3{\displaystyle 87x-64y=3}. Entonces, puedes reorganizar el último paso de forma que coloques los términos en ese orden estándar. Presta atención particularmente al término 64. En el problema original, ese término se resta pero, en el algoritmo de Euclides, se le trata como un término positivo. Si quieres considerar la resta, es necesario que cambies el multiplicador 34 a un negativo. Así se verá la ecuación final:
87(−25)−64(−34)=1{\displaystyle 87(-25)-64(-34)=1}
15. **Multiplica por el factor necesario para encontrar las soluciones.** Observa que el mayor común divisor de este problema era 1 y, por ende, la solución que obtuviste equivale a 1. Sin embargo, esta no constituye la solución al problema debido a que el problema original establece que 87x - 64y equivale a 3. Es necesario que multipliques por 3 los términos de la última ecuación de forma que obtengas una solución:

87(−25∗3)−64(−34∗3)=1∗3{\displaystyle 87(-25*3)-64(-34*3)=1*3}
87(−75)−64(−102)=3{\displaystyle 87(-75)-64(-102)=3}
16. **Identifica la solución entera a la ecuación.** Los valores que deben multiplicarse por los coeficientes son las soluciones para x e y de la ecuación.
En este caso, puedes identificar la solución como el par de coordenadas (x,y)=(−75,−102){\displaystyle (x,y)=(-75,-102)}.
17. **Reconoce que existen infinitas soluciones.** En caso de que una ecuación lineal tenga una solución entera, deberá tener infinitas soluciones enteras. Esta es una breve afirmación algebraica de la prueba:

Ax+By=C{\displaystyle Ax+By=C}

A(x+B)+B(y−A)=C{\displaystyle A(x+B)+B(y-A)=C} ….. (Añadir una B a x al restarle A a y produce la misma solución).
18. **Identifica los valores de x e y de la solución original.** El patrón de soluciones infinitas empieza con la solución única que identificaste.
En este caso, la solución es el par de coordenadas (x,y)=(−75,−102){\displaystyle (x,y)=(-75,-102)}.
19. **Suma el coeficiente B de y a la solución de x.** Si quieres encontrar una nueva solución para x, debes sumar el valor del coeficiente y.

En este problema, si partes de la solución x = -75, debes sumar el coeficiente -64 de y de la siguiente forma:
x=−75+(−64)=−139{\displaystyle x=-75+(-64)=-139}

Entonces, el valor de x de una nueva solución para la ecuación original será -139.
20. **Resta el coeficiente A de x a la solución de y.** Si quieres que la ecuación no deje de estar balanceada, es necesario que le restes al término de y al sumarle al término de x.

Para este problema, si partes de la solución y = -102, resta el coeficiente 87 de x de la siguiente forma:
y=−102−87=−189{\displaystyle y=-102-87=-189}

Entonces, una nueva solución para la ecuación original tendrá la coordenada -189 para y.
El nuevo par ordenado debe ser (x,y)=(−139,−189){\displaystyle (x,y)=(-139,-189)}.
21. **Revisa la solución.** Si quieres verificar que el nuevo par ordenado constituye una solución para la ecuación, reemplaza los valores en la ecuación y determina si funcionan.

87x−64y=3{\displaystyle 87x-64y=3}
87(−139)−64(−189)=3{\displaystyle 87(-139)-64(-189)=3}
3=3{\displaystyle 3=3}
Esta afirmación es verdadera, por lo que la solución funciona.
22. **Escribe una solución general.** Los valores de x encajarán dentro de un patrón de la solución original, además de cualquier múltiplo del coeficiente B. Es posible escribirlo de manera algebraica así:


x(k) = x + k(B), en donde x(k) representa la serie de todas las soluciones de x y x es el valor original de x que resolviste.

Para este problema, es posible decir que:
x(k)=−75−64k{\displaystyle x(k)=-75-64k}



y(k) = y - k(A), en donde y(k) representa la serie de todas las soluciones de y e y es el valor original de y que resolviste.

Para este problema, es posible decir que:
y(k)=−102−87k{\displaystyle y(k)=-102-87k}
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