Come Fattorizzare un Polinomio Cubico
Quest'articolo spiega come scomporre in fattori un polinomio di terzo grado. Esploreremo come fattorizzare con il raccoglimento e con i fattori del termine noto.
1. **Raggruppa il polinomio in due parti:** questo ci permetterà di affrontare ciascuna parte separatamente.
Supponiamo di lavorare con il polinomio x + 3x - 6x - 18 = 0. Raggruppiamolo in (x + 3x) e (- 6x - 18)
2. **In ogni parte, trova il fattore comune.** Nel caso di (x + 3x), x è il fattore comune.
Nel caso di (- 6x - 18), -6 è il fattore comune.
3. **Raccogli le parti in comune al di fuori dei due termini.** Raccogliendo x nella prima sezione, otterremo x(x + 3).
Raccogliendo -6, avremo -6(x + 3).
4. **Se ciascuno dei due termini contiene lo stesso fattore, puoi combinare i fattori tra loro.** Questo darà (x + 3)(x - 6).
5. **Trova la soluzione considerando le radici.** Se nelle radici hai x, ricordati che sia numeri negativi che positivi soddisfano quell’equazione.
Le soluzioni sono 3 e √6.
6. **Riscrivi l'espressione in modo che sia nella forma aX+bX+cX+d.** Supponiamo di lavorare con l’equazione: x - 4x - 7x + 10 = 0.
7. **Trova tutti i fattori di d.** La costante d è quel numero che non è associato a nessuna variabile.
I fattori sono quei numeri che moltiplicati tra loro danno un altro numero. Nel nostro caso, i fattori di 10, o d, sono: 1, 2, 5, e 10.
8. **Trova un fattore che renda il polinomio uguale a zero.** Vogliamo stabilire qual è il fattore che, sostituito alla x nell’equazione, rende il polinomio uguale a zero.

Incominciamo con il fattore 1. Sostituiamo 1 in tutte le x dell’equazione:  (1) - 4(1) - 7(1) + 10 = 0
Ne deriva che: 1 - 4 - 7 + 10 = 0.
Poiché 0 = 0 è un’affermazione vera, allora sappiamo che x = 1 è la soluzione.
9. **Sistema un po’ le cose.** Se x = 1, possiamo cambiare un po’ l’affermazione per farla sembrare un po’ diversa senza cambiarne il significato.

x = 1 è lo stesso che dire x - 1 = 0 o (x - 1). Abbiamo semplicemente sottratto 1 da entrambe le parti dell' equazione.
10. **Fattorizza la radice del resto dell'equazione.** La nostra radice è "(x - 1)". Vediamo se è possibile raccoglierla al di fuori del resto dell'equazione. Consideriamo un polinomio alla volta.

E' possibile raccogliere (x - 1) da x? No, non è possibile. Possiamo però prendere -x dalla seconda variabile; adesso possiamo scomporla in fattori: x(x - 1) = x - x.
E' possibile raccogliere (x - 1) da quello che rimane della seconda variabile? No, non è possibile. Dobbiamo prendere di nuovo qualcosa dalla terza variabile. Prendiamo 3x da -7x.
Questo darà -3x(x - 1) = -3x + 3x.
Poiché abbiamo preso 3x da -7x, la terza variabile ora sarà -10x e la costante sarà 10. Possiamo scomporlo in fattori? Sì, è possibile! -10(x - 1) = -10x + 10.
Quello che abbiamo fatto è stato riarrangiare le variabili in modo da poter raccogliere (x - 1) in tutta l' equazione. Ecco l' equazione modificata: x - x - 3x + 3x - 10x + 10 = 0, ma è lo stesso che x - 4x - 7x + 10 = 0.
11. **Continua a sostituire per i fattori del termine noto.** Considera i numeri che abbiamo scomposto usando (x - 1) nel passaggio 5:

x(x - 1) - 3x(x - 1) - 10(x - 1) = 0. Possiamo riscrivere per rendere più facile la fattorizzazione: (x - 1)(x - 3x - 10) = 0.
Qui stiamo cercando di scomporre in fattori (x - 3x - 10). La scomposizione sarà (x + 2)(x - 5).
12. **Le soluzioni saranno le radici fattorizzate.** Per controllare se le soluzioni sono corrette, le puoi inserire una alla volta nell' equazione originale.

(x - 1)(x + 2)(x - 5) = 0 Le soluzioni sono 1, -2, e 5.
Inserisci -2 nell' equazione: (-2) - 4(-2) - 7(-2) + 10 = -8 - 16 + 14 + 10 = 0.
Inserisci 5 nell' equazione: (5) - 4(5) - 7(5) + 10 = 125 - 100 - 35 + 10 = 0.
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