Determinar a Área de um Círculo Usando a Circunferência
Determinar a área de um círculo é um cálculo simples se você já conhece o comprimento de seu raio. De outro modo, ainda é possível calculá-lo se tiver em mãos a circunferência (ou o perímetro) do círculo. Você pode usar esse processo de dois passos, resolvendo antes com base no raio a partir da fórmula da circunferência: Circunfere^ncia=2π(r){\displaystyle {\text{Circunfer}}{\hat {\text{e}}}{\text{ncia}}=2\pi \left(r\right)}. A seguir, poderá usar a fórmula A´rea=π(r2){\displaystyle {\acute {\text{A}}}{\text{rea}}=\pi \left(r^{2}\right)} para determinar a área. Também é possível usar a fórmula Circunfere^ncia=2π(A){\displaystyle {\text{Circunfer}}{\hat {\text{e}}}{\text{ncia}}=2{\sqrt {\pi \left(A\right)}}}, que expressa a circunferência de um círculo em função de sua área, mesmo que o comprimento do raio seja desconhecido. Continue lendo para mais detalhes!
1. **Prepare a fórmula para se determinar a circunferência de um círculo.** A fórmula é Circunfere^ncia=2π(r){\displaystyle {\text{Circunfer}}{\hat {\text{e}}}{\text{ncia}}=2\pi \left(r\right)}, onde r{\displaystyle r} representa o raio do círculo. Usar essa fórmula permite a você determinar o comprimento do raio, que poderá então ser usado para o cálculo de sua área.
2. **Insira o valor da circunferência.** Lembre-se de substituir o valor no lado esquerdo da equação, não para a variável r{\displaystyle r}. Se a circunferência for desconhecida, esse método não poderá ser utilizado.
Se você sabe que a circunferência de um círculo é de 25 cm{\displaystyle 25\ {\text{cm}}}, a fórmula será expressa como: 25=2π(r){\displaystyle 25=2\pi \left(r\right)}.
3. **Divida ambos os lados da equação ao meio.** Isso cancela o coeficiente de 2{\displaystyle 2} no lado direito da equação, deixando-o com π(r){\displaystyle \pi \left(r\right)}.
Por exemplo:25=2π(r)252=2π(r)212,5=π(r){\displaystyle {\begin{aligned}25&=2\pi \left(r\right)\\{\frac {25}{2}}&={\frac {2\pi \left(r\right)}{2}}\\12,5&=\pi \left(r\right)\end{aligned}}}
4. **Divida os dois lados da equação por π{\displaystyle \pi }.** Esse valor costuma ser arredondado para 3,14{\displaystyle 3,14}, mas você pode usar a função π{\displaystyle \pi } em uma calculadora científica para um resultado mais preciso. A divisão isolará o raio, resultando no valor desejado.
Por exemplo:12,5=π(r)12,5π=π(r)π3,98=r{\displaystyle {\begin{aligned}12,5&=\pi \left(r\right)\\{\frac {12,5}{\pi }}&={\frac {\pi \left(r\right)}{\pi }}\\3,98&=r\end{aligned}}}
5. **Prepare a fórmula para determinar a área de um círculo.** A equação será expressa por A´rea=π(r2){\displaystyle {\acute {\text{A}}}{\text{rea}}=\pi \left(r^{2}\right)}, onde r{\displaystyle r} representa o raio do círculo. Não confunda a fórmula respectiva à área com a fórmula respectiva à circunferência, que foi previamente usada para o cálculo do raio.
6. **Insira o valor do raio na fórmula.** Substitua o valor previamente calculado e substitua por ele a variável r{\displaystyle r}. A seguir, eleve o valor ao quadrado — o que consiste em multiplicá-lo por si mesmo. É fácil fazer isso usando o botão x2{\displaystyle x^{2}} em uma calculadora científica.
Se o seu raio for 3,98{\displaystyle 3,98}, por exemplo, você calcularia:A´rea=π(r2)A´rea=π(3,982)A´rea=π(15,8505){\displaystyle {\begin{aligned}{\acute {\text{A}}}{\text{rea}}&=\pi \left(r^{2}\right)\\{\acute {\text{A}}}{\text{rea}}&=\pi \left(3,98^{2}\right)\\{\acute {\text{A}}}{\text{rea}}&=\pi \left(15,8505\right)\end{aligned}}}
7. **Multiplique por π{\displaystyle \pi }.** Se não estiver usando uma calculadora, você pode aproximar esse valor para 3,14{\displaystyle 3,14}. O produto resultará na área do círculo em unidades quadradas.
Por exemplo:A´rea=π(15,8404)A´rea=49,764{\displaystyle {\begin{aligned}{\acute {\text{A}}}{\text{rea}}&=\pi \left(15,8404\right)\\{\acute {\text{A}}}{\text{rea}}&=49,764\end{aligned}}}Desse modo, a área de um círculo com uma circunferência de 25 cm{\displaystyle 25\ {\text{cm}}} tem aproximadamente 49,764 cm2{\displaystyle 49,764\ {\text{cm}}^{2}}.
8. **Prepare a fórmula respectiva à circunferência de um círculo em função de sua área.** A equação será Circunfere^ncia=2π(A){\displaystyle {\text{Circunfer}}{\hat {\text{e}}}{\text{ncia}}=2{\sqrt {\pi \left(A\right)}}}, onde A{\displaystyle A} representa a área do círculo. Essa fórmula é derivada reordenando-se o valor de r{\displaystyle r} na fórmula respectiva à área de um círculo (A´rea=π(r2){\displaystyle {\acute {\text{A}}}{\text{rea}}=\pi \left(r^{2}\right)}) e inserindo esse valor na fórmula da circunferência (Circunfere^ncia=2π(r){\displaystyle {\text{Circunfer}}{\hat {\text{e}}}{\text{ncia}}=2\pi \left(r\right)}).
9. **Insira o valor da circunferência na fórmula.** Essa informação terá sido dada a você. Lembre-se de inserir o valor da circunferência no lado esquerdo da fórmula, mas não o valor de A{\displaystyle A} no lado direito.
Caso saiba que a circunferência tem 25 cm{\displaystyle 25\ {\text{cm}}}, por exemplo, a equação será expressa da seguinte maneira: 25=2π(A){\displaystyle 25=2{\sqrt {\pi \left(A\right)}}}.
10. **Divida ambos os lados ao meio.** Lembre-se que o que foi feito a um dos lados deve também ser feito ao outro. Dividir ao meio simplifica o lado direito para π(A){\displaystyle {\sqrt {\pi \left(A\right)}}}.
Por exemplo:25=2π(A)252=2π(A)212,5=π(A){\displaystyle {\begin{aligned}25&=2{\sqrt {\pi \left(A\right)}}\\{\frac {25}{2}}&={\frac {2{\sqrt {\pi \left(A\right)}}}{2}}\\12,5&={\sqrt {\pi \left(A\right)}}\end{aligned}}}
11. **Eleve ao quadrado ambos os lados da equação.** Ao elevar um valor ao quadrado, você o multiplica por si mesmo. Isso faz com que a raiz quadrada seja eliminada, de modo a restar o valor sob o radical. Lembre-se de manter a equação balanceada, elevando ambos os lados.
Por exemplo:12,5=π(A)12,52=[π(A)]2156,25=π(A){\displaystyle {\begin{aligned}12,5&={\sqrt {\pi \left(A\right)}}\\12,5^{2}&=\left[{\sqrt {\pi \left(A\right)}}\right]^{2}\\156,25&=\pi \left(A\right)\end{aligned}}}
12. **Divida cada lado da equação por π{\displaystyle \pi }.** Caso tenha uma calculadora científica em mãos, você poderá usar a função π{\displaystyle \pi } em vez de inserir seu valor para uma resposta mais precisa. Isso cancela o π{\displaystyle \pi } no lado direito da equação, restando apenas o valor de A{\displaystyle A} — ele representará a área do círculo em unidades quadradas.
Por exemplo:156,25=π(A)156,25π=π(A)π49,7359=A{\displaystyle {\begin{aligned}156,25&=\pi \left(A\right)\\{\frac {156,25}{\pi }}&={\frac {\pi \left(A\right)}{\pi }}\\49,7359&=A\end{aligned}}}Desse modo, a área de um círculo com circunferência de 25 cm{\displaystyle 25\ {\text{cm}}} tem aproximadamente 49,74 cm2{\displaystyle 49,74\ {\text{cm}}^{2}} de área.
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