Cómo encontrar la diagonal de un rectángulo
Una diagonal es una línea recta que conecta una esquina de un rectángulo con la esquina opuesta. Un rectángulo tiene dos diagonales, cada una de la misma longitud. Si conoces la longitud de los lados del rectángulo, puedes encontrar fácilmente la longitud de la diagonal usando el teorema de Pitágoras, ya que una diagonal divide un rectángulo en dos triángulos rectángulos. Si no conoces la longitud de los lados, pero tienes otra información, como el área y el perímetro o la relación entre la longitud de los lados, puedes seguir unos pasos adicionales para encontrar la longitud y el ancho del rectángulo y, a partir de allí, puedes usar el teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la diagonal.
1. **Determina la fórmula para el teorema de Pitágoras.** La fórmula es a2+b2=c2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}, donde a{\displaystyle a} y b{\displaystyle b} son iguales a la longitud de cada lado de un triángulo rectángulo y c{\displaystyle c} es igual a la longitud de la hipotenusa de este triángulo.
Usarás el teorema de Pitágoras porque la diagonal de un rectángulo lo divide en dos triángulos rectángulos congruentes. La longitud y el ancho del rectángulo son los lados del triángulo y la diagonal es la hipotenusa.
2. **Reemplaza la longitud y el ancho en la fórmula.** Se te debería dar estos valores o deberías poder medirlos. Asegúrate de reemplazar a{\displaystyle a} y b{\displaystyle b}..
Por ejemplo, si el ancho de un rectángulo mide 3 cm y la longitud mide 4 cm, la fórmula se verá así: 32+42=c2{\displaystyle 3^{2}+4^{2}=c^{2}}.
3. **Eleva la longitud y el ancho al cuadrado y luego suma estos resultados.** Recuerda: elevar un número al cuadrado significa multiplicarlo por sí mismo.
Por ejemplo:32+42=c2{\displaystyle 3^{2}+4^{2}=c^{2}}9+16=c2{\displaystyle 9+16=c^{2}}25=c2{\displaystyle 25=c^{2}}
4. **Saca la raíz cuadrada de cada lado de la ecuación.** La forma más fácil de encontrar una raíz cuadrada es usar una calculadora. Puedes usar una calculadora en línea si no tienes una calculadora científica. Esto te dará el valor de c{\displaystyle c}, el cual es la hipotenusa del triángulo y la diagonal del rectángulo.
Por ejemplo:25=c2{\displaystyle 25=c^{2}}25=c2{\displaystyle {\sqrt {25}}={\sqrt {c^{2}}}}5=c{\displaystyle 5=c}Entonces, la diagonal de un rectángulo con un ancho de 3 cm y una longitud de 4 cm mide 5 cm.
5. **Determina la fórmula para el área de un rectángulo.** La fórmula es A=lw{\displaystyle A=lw}, donde A{\displaystyle A} es igual al área del rectángulo, l{\displaystyle l} es igual a la longitud del rectángulo y w{\displaystyle w} es igual al ancho del rectángulo (por sus siglas en inglés).
6. **Reemplaza el área del rectángulo en la fórmula.** Asegúrate de reemplazar la variable A{\displaystyle A}. 
Por ejemplo, si el área del rectángulo mide 35 centímetros cuadrados, la fórmula se verá así: 35=lw{\displaystyle 35=lw}.
7. **Reordena la fórmula para encontrar el valor de w{\displaystyle w}.** Para hacerlo, divide ambos lados de la ecuación entre l{\displaystyle l}. Haz a un lado este valor. Lo reemplazarás en la fórmula del perímetro más adelante. 
Por ejemplo:35=lw{\displaystyle 35=lw}35l=w{\displaystyle {\frac {35}{l}}=w}
8. **Determina la fórmula para el perímetro de un rectángulo.** La fórmula es P=2(w+l){\displaystyle P=2(w+l)}, donde w{\displaystyle w} es igual al ancho del rectángulo y l{\displaystyle l} es igual a la longitud.
9. **Reemplaza el valor del perímetro en la fórmula.** Asegúrate de reemplazar la variable P{\displaystyle P}. 
Por ejemplo, si el perímetro de un rectángulo mide 24 cm, la fórmula se verá así: 24=2(w+l){\displaystyle 24=2(w+l)}.
10. **Divide ambos lados de la ecuación entre 2.** Esto te dará el valor de w+l{\displaystyle w+l}. 
Por ejemplo:24=2(w+l){\displaystyle 24=2(w+l)}242=2(w+l)2{\displaystyle {\frac {24}{2}}={\frac {2(w+l)}{2}}}12=w+l{\displaystyle 12=w+l}
11. **Reemplaza el valor de w{\displaystyle w} en la ecuación.** Usa el valor que encontraste al reordenar la fórmula para el área. 
Por ejemplo, si, al usar la fórmula para el área, encontraste que 35l=w{\displaystyle {\frac {35}{l}}=w}, reemplaza este valor de w{\displaystyle w} en la fórmula para el perímetro:12=w+l{\displaystyle 12=w+l}12=35l+l{\displaystyle 12={\frac {35}{l}}+l}.
12. **Cancela la fracción en la ecuación.** Para hacerlo, multiplica ambos lados de la ecuación por l{\displaystyle l}.
Por ejemplo:12=35l+l{\displaystyle 12={\frac {35}{l}}+l}12×l=(35l×l)+(l×l){\displaystyle 12\times l=({\frac {35}{l}}\times l)+(l\times l)}12l=35+l2{\displaystyle 12l=35+l^{2}}
13. **Establece un valor de 0 para la ecuación.** Para hacerlo, resta el término de primer grado a ambos lados de la ecuación.
Por ejemplo:12l=35+l2{\displaystyle 12l=35+l^{2}}12l−12l=35+l2−12l{\displaystyle 12l-12l=35+l^{2}-12l}0=35+l2−12l{\displaystyle 0=35+l^{2}-12l}
14. **Reorganiza la ecuación según el orden de los términos.** Esto quiere decir que el término con el exponente irá primero, seguido del término con la variable y luego de la constante. Al reordenar, asegúrate de mantener los signos negativos y positivos correctos. Ten en cuenta que la ecuación ahora está organizada como una ecuación cuadrática.
Por ejemplo: 0=35+l2−12l{\displaystyle 0=35+l^{2}-12l} se convierte en 0=l2−12l+35{\displaystyle 0=l^{2}-12l+35}.
15. **Factoriza la ecuación cuadrática.** Para obtener instrucciones completas sobre cómo hacerlo, lee el artículo "Cómo resolver ecuaciones cuadráticas".
Por ejemplo, la ecuación 0=l2−12l+35{\displaystyle 0=l^{2}-12l+35} puede factorizarse como 0=(l−7)(l−5){\displaystyle 0=(l-7)(l-5)}.
16. **Encuentra los valores de l{\displaystyle l}.** Para hacerlo, establece cada uno como igual a cero y resuelve la ecuación para encontrar la variable. Encontrarás dos soluciones o raíces para la ecuación. Ya que tienes un rectángulo, las raíces serán la longitud y el ancho del rectángulo. 
Por ejemplo:0=(l−7){\displaystyle 0=(l-7)}7=l{\displaystyle 7=l}Y0=(l−5){\displaystyle 0=(l-5)}5=l{\displaystyle 5=l}Por lo tanto, la longitud y el ancho del rectángulo miden 7 y 5 cm, respectivamente.
17. **Determina la fórmula para el teorema de Pitágoras a2+b2=c2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}, donde a{\displaystyle a} y b{\displaystyle b} son iguales a la longitud de cada lado de un triángulo rectángulo y c{\displaystyle c} es igual a la longitud de la hipotenusa.** Usarás el teorema de Pitágoras porque la diagonal de un rectángulo lo divide en dos triángulos rectángulos congruentes. El ancho y la longitud del rectángulo son los lados del triángulo y la diagonal es la hipotenusa del triángulo.
18. **Reemplaza el ancho y la longitud en la fórmula.** No importa qué valor uses para cada variable.
Por ejemplo, si encuentras que el ancho y la longitud del rectángulo miden 5 y 7 cm, respectivamente, la fórmula se verá así: 52+72=c2{\displaystyle 5^{2}+7^{2}=c^{2}}.
19. **Eleva el ancho y la longitud al cuadrado y luego suma estos números.** Recuerda: elevar un número al cuadrado significa multiplicarlo por sí mismo.
Por ejemplo:52+72=c2{\displaystyle 5^{2}+7^{2}=c^{2}}25+49=c2{\displaystyle 25+49=c^{2}}74=c2{\displaystyle 74=c^{2}}
20. **Saca la raíz cuadrada de cada lado de la ecuación.** La forma más fácil de encontrar una raíz cuadrada es usar una calculadora. Puedes usar una calculadora en línea si no tienes una calculadora científica. Esto te dará el valor de c{\displaystyle c}, el cual es la hipotenusa del triángulo y la diagonal del rectángulo.
Por ejemplo:74=c2{\displaystyle 74=c^{2}}74=c2{\displaystyle {\sqrt {74}}={\sqrt {c^{2}}}}8,6024=c{\displaystyle 8,6024=c}Entonces, la diagonal de un rectángulo con un área de 35 centímetros cuadrados y un perímetro de 24 cm mide alrededor de 8,6 cm.
21. **Escribe una fórmula que explique la relación entre la longitud de cada lado del rectángulo.** Puedes aislar la longitud (w{\displaystyle w}) o el ancho (w{\displaystyle w}). Reemplaza esta fórmula ya que la reemplazarás más adelante en la fórmula para el área. 
Por ejemplo, si sabes que el ancho de un rectángulo mide 2 cm más que la longitud, puedes escribir una fórmula para w{\displaystyle w}: w=l+2{\displaystyle w=l+2}.
22. **Determina la fórmula para el área de un rectángulo.** La fórmula es A=lw{\displaystyle A=lw}, donde A{\displaystyle A} es igual al área del rectángulo, l{\displaystyle l} es igual a la longitud del rectángulo y w{\displaystyle w} es igual al ancho del rectángulo.
Puedes usar este método si conoces el perímetro del rectángulo, excepto que determinarías la fórmula para el perímetro en lugar de la fórmula para el área. La fórmula para el perímetro de un rectángulo es P=2(w+l){\displaystyle P=2(w+l)}, donde w{\displaystyle w} es igual al ancho del rectángulo y l{\displaystyle l} es igual a la longitud del rectángulo.
23. **Reemplaza el área del rectángulo en la fórmula.** Asegúrate de reemplazar la variable A{\displaystyle A}. 
Por ejemplo, si el área del rectángulo mide 35 centímetros cuadrados, la fórmula se verá así: 35=lw{\displaystyle 35=lw}.
24. **Reemplaza la fórmula relacional para la longitud (o el ancho) en la fórmula para el área.** Ya que estás trabajando con un rectángulo, no importa si trabajas con la variable l{\displaystyle l} o w{\displaystyle w}. 
Por ejemplo, si encuentras que w=l+2{\displaystyle w=l+2}, reemplaza esta relación por w{\displaystyle w} en la fórmula para el área:35=lw{\displaystyle 35=lw}35=l(l+2){\displaystyle 35=l(l+2)}
25. **Establece una ecuación cuadrática.** Para hacerlo, usa la propiedad distributiva para multiplicar los términos entre paréntesis y luego establecer el valor de la ecuación como 0.
Por ejemplo:35=l(l+2){\displaystyle 35=l(l+2)}35=l2+2l{\displaystyle 35=l^{2}+2l}0=l2+2l−35{\displaystyle 0=l^{2}+2l-35}
26. **Factoriza la ecuación cuadrática.** Para obtener instrucciones completas sobre cómo hacerlo, lee el artículo "Cómo resolver ecuaciones cuadráticas".
Por ejemplo, la ecuación 0=l2+2l−35{\displaystyle 0=l^{2}+2l-35} puede factorizarse como 0=(l+7)(l−5){\displaystyle 0=(l+7)(l-5)}.
27. **Encuentra los valores de l{\displaystyle l}.** Para hacerlo, establece cada término como igual a cero y resuelve para encontrar el valor de la variable. Encontrarás dos soluciones o raíces para la ecuación.
Por ejemplo:0=(l+7){\displaystyle 0=(l+7)}−7=l{\displaystyle -7=l}Y0=(l−5){\displaystyle 0=(l-5)}5=l{\displaystyle 5=l}En este caso, tienes una raíz negativa. Debido a que la longitud de un rectángulo no puede ser negativa, sabrás que la longitud debe ser 5 cm.
28. **Reemplaza el valor de la longitud (o el ancho) en la fórmula relacional.** Esto te dará la longitud del otro lado del rectángulo. 
Por ejemplo, si sabes que la longitud del rectángulo mide 5 cm y que la relación entre la longitud de cada lado es w=l+2{\displaystyle w=l+2}, reemplaza 5 por la longitud en la fórmula:w=l+2{\displaystyle w=l+2}w=5+2{\displaystyle w=5+2}w=7{\displaystyle w=7}
29. **Determina la fórmula para el teorema de Pitágoras.** La fórmula es a2+b2=c2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}, donde a{\displaystyle a} y b{\displaystyle b} son iguales a la longitud de cada lado de un triángulo rectángulo y c{\displaystyle c} es igual a la longitud de su hipotenusa.
Usarás el teorema de Pitágoras porque la diagonal de un rectángulo lo divide en dos triángulos rectángulos congruentes. El ancho y la longitud del rectángulo son los lados del triángulo y la diagonal es la hipotenusa del triángulo.
30. **Reemplaza el ancho y la longitud en la fórmula.** No importa qué valor uses para cada variable.
Por ejemplo, si encontraste que el ancho y la longitud del rectángulo miden 5 y 7 cm, respectivamente, la fórmula se verá así: 52+72=c2{\displaystyle 5^{2}+7^{2}=c^{2}}.
31. **Eleva el ancho y la longitud al cuadrado y luego suma estos números.** Recuerda: elevar un número al cuadrado significa multiplicarlo por sí mismo.
Por ejemplo:52+72=c2{\displaystyle 5^{2}+7^{2}=c^{2}}25+49=c2{\displaystyle 25+49=c^{2}}74=c2{\displaystyle 74=c^{2}}
32. **Saca la raíz cuadrada de cada lado de la ecuación.** La forma más fácil de encontrar una raíz cuadrada es usar una calculadora. Puedes usar una calculadora en línea si no tienes una calculadora científica. Esto te dará el valor de c{\displaystyle c}, el cual es la hipotenusa del triángulo y la diagonal del rectángulo.
Por ejemplo:74=c2{\displaystyle 74=c^{2}}74=c2{\displaystyle {\sqrt {74}}={\sqrt {c^{2}}}}8,6024=c{\displaystyle 8,6024=c}Entonces, la diagonal de un rectángulo con un ancho que mida 2 cm más que la longitud y un área de 35 centímetros cuadrados mide alrededor de 8,6 cm.
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