Cómo encontrar la ecuación de una tangente
A diferencia de una línea recta, la pendiente de una curva cambia constantemente a medida que te mueves a lo largo de la gráfica. El cálculo introduce a los estudiantes la idea de que cada punto de esta gráfica puede describirse con una pendiente o una "tasa de variación instantánea". La línea tangente es una línea recta con esa pendiente, que pasa a través de ese punto exacto en la gráfica. Para encontrar la ecuación de la tangente, necesitarás saber cómo calcular la derivada de la ecuación original.
1. **Dibuja la función y la línea tangente (recomendado).** Una gráfica hace que sea más fácil darle seguimiento al problema y revisar si la respuesta tiene sentido. Dibuja la función en un trozo de papel cuadriculado. Si es necesario, usa como referencia una calculadora gráfica. Dibuja la línea tangente pasando por el punto dado. (Recuerda, la línea tangente pasa a través de ese punto y tiene la misma pendiente que la gráfica en ese punto.)

 Dibuja la gráfica de la parábola f(x)=0,5x2+3x−1{\displaystyle f(x)=0,5x^{2}+3x-1}. Dibuja la tangente que pasa a través de ese punto (-6, -1). Aun no conoces la ecuación de la tangente, pero ya puedes saber que la pendiente es negativa y que su intersección en y es negativa (muy por debajo del vértice de la parábola con valor en y de -5,5). Si la respuesta final no coincide con estos detalles, sabrás que tienes que revisarla y buscar errores.
2. **Saca la primera derivada para encontrar la ecuación de la pendiente de la línea tangente.** Para la función f(x), la primera derivada f'(x) representa la ecuación de la pendiente de la línea tangente en cualquier punto de f(x). Hay muchas formas de derivar. Aquí hay un ejemplo sencillo usando la regla de la potencia:

 La gráfica se describe mediante la función f(x)=0,5x2+3x−1{\displaystyle f(x)=0,5x^{2}+3x-1}.Al derivar, recuerda la regla de la potencia: ddxxn=nxn−1{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}}.La primera derivada de la función es = f'(x) = (2)(0,5)x + 3 - 0.f'(x) = x + 3. Sustituye cualquier valor de x en esta ecuación y el resultado será la pendiente de la línea tangente a f(x) en el punto donde x = a.
3. **Sustituye el valor de x del punto que quieres investigar.** Lee el problema para descubrir las coordenadas del punto para el que debes encontrar la línea tangente. Sustituye la coordenada x de este punto en f'(x). El resultado será la pendiente de la línea tangente en este punto.

 El punto mencionado en el problema es (-6, -1). Usa la coordenada x -6 y sustitúyela en f'(x):f'(-6) = -6 + 3 = -3La pendiente de la línea tangente es -3.
4. **Anota la ecuación de la línea tangente en forma de punto-pendiente.** La forma punto-pendiente de una ecuación linear es y−y1=m(x−x1){\displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})}, donde m es la pendiente y (x1,y1){\displaystyle (x_{1},y_{1})} es un punto sobre la línea. Ahora tienes toda la información que necesitas para escribir la ecuación de la línea tangente de esta forma.

 y−y1=m(x−x1){\displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})}La pendiente de la línea es -3, por lo que y−y1=−3(x−x1){\displaystyle y-y_{1}=-3(x-x_{1})}La línea tangente pasa a través de (-6, -1), por lo que la ecuación final es y−(−1)=−3(x−(−6)){\displaystyle y-(-1)=-3(x-(-6))}Simplifícalo a y+1=−3x−18{\displaystyle y+1=-3x-18}y=−3x−19{\displaystyle y=-3x-19}
5. **Confirma la ecuación en la gráfica.** Si tienes una calculadora gráfica, grafica la función original y la línea tangente para comprobar que tienes la respuesta correcta. Si lo haces en papel, consulta la gráfica anterior para asegurarte de que no haya errores evidentes en la respuesta.

 El dibujo inicial muestra que la pendiente de la línea tangente es negativa y que la intersección en y es menor a -5,5. La ecuación de la línea tangente que hemos encontrado es y = -3x - 19 en la forma pendiente-intersección, lo que significa que -3 es la pendiente y -19 es la intersección en y. Ambos atributos coinciden con las predicciones iniciales.
6. **Prueba con un problema más difícil.** Aquí hay un repaso de todo el proceso de nuevo. Esta vez, el objetivo es encontrar la línea tangente a f(x)=x3+2x2+5x+1{\displaystyle f(x)=x^{3}+2x^{2}+5x+1} en x = 2:

Usando la regla de la potencia, la primera derivadaf′(x)=3x2+4x+5{\displaystyle f'(x)=3x^{2}+4x+5}. Esta función nos dirá la pendiente de la tangente.
Dado que x = 2, calcula f′(2)=3(2)2+4(2)+5=25{\displaystyle f'(2)=3(2)^{2}+4(2)+5=25}. Esta es la pendiente en x = 2.
Toma en cuenta que esta vez no tenemos un punto, solo una coordenada en x. Para encontrar la coordenada en y, sustituye x = 2 en la función inicial: f(2)=23+2(2)2+5(2)+1=27{\displaystyle f(2)=2^{3}+2(2)^{2}+5(2)+1=27}. El punto es (2,27).
Anota la ecuación de la línea tangente en la forma punto-pendiente: y−y1=m(x−x1){\displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})}y−27=25(x−2){\displaystyle y-27=25(x-2)}Si se requiere, simplifícalo a y = 25x - 23.
7. **Determina los puntos extremos de una gráfica** Estos son los puntos en donde la gráfica alcanza un máximo local (un punto más alto que los puntos a cada lado) o un mínimo local (más bajo que los puntos a cada lado). La línea tangente siempre tiene una pendiente de 0 en estos puntos (una línea horizontal), pero una pendiente de cero no garantiza que un punto sea extremo. Aquí se explica cómo determinarlos:

Determina la primera derivada de la función para obtener f'(x), la ecuación para la pendiente de la tangente.
Resuélvela para f'(x) = 0 para encontrar "posibles" puntos extremos.
Determina la segunda derivada para obtener f''(x), la ecuación que te dice qué tan rápido cambia la pendiente de la tangente.
Para cada posible punto extremo, sustituye la coordenada x a en f''(x). Si f''(a) es positivo, hay un mínimo local en a. Si f''(a) es negativo, hay un máximo local. Si f''(a) es 0, hay un punto de inflexión, no un punto extremo.
Si hay un máximo o mínimo en a, determina f(a) para obtener la coordenada y.
8. **Encuentra la ecuación de la normal.** La "normal" de una curva en un punto particular, pasa a través de ese punto, pero tiene una pendiente perpendicular a una tangente. Para encontrar la ecuación de la normal, aprovecha el hecho de que (pendiente de la tangente)(pendiente de la normal) = -1, cuando ambas pasan a través del mismo punto en la gráfica. En otras palabras:

Determina f'(x), la pendiente de la línea tangente.
Si el punto está en x = a, determina f'(a) para encontrar la pendiente de la tangente en ese punto.
Calcula −1f′(a){\displaystyle {\frac {-1}{f'(a)}}} para encontrar la pendiente de la normal.
Anota la ecuación de la normal en la forma pendiente-punto.
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