Cómo resolver exponentes con decimales
Resolver operaciones con exponentes es una habilidad básica que todo estudiante debe aprender en introducción al álgebra. Los exponentes que uno ve normalmente son números enteros y, en ocasiones, fracciones. Casi nunca aparecen como decimales. Cuando veas un exponente con números decimales, deberás convertirlos a una fracción. Luego, podrás usar las reglas y leyes correspondientes a operaciones exponenciales para calcular la expresión.
1. **Convierte el decimal a una fracción.** Para convertir un decimal a una fracción, deberás tener en cuenta el valor posicional. El denominador de la fracción determinará el valor posicional. El numerador contendrá los dígitos de dicho decimal.
Por ejemplo, en el caso de la expresión exponencial 810,75{\displaystyle 81^{0,75}}, deberás convertir 0,75{\displaystyle 0,75} a una fracción. Como el decimal llega hasta el lugar de las centésimas, la fracción correspondiente será 75100{\displaystyle {\frac {75}{100}}}.
2. **Simplifica la fracción cuando sea posible.** Como vas a calcular la raíz correspondiente al denominador de la fracción del exponente, es mejor que el denominador sea lo más pequeño posible. Para ello, hay que simplificar la fracción. Si la fracción es un número mixto (es decir, el exponente original era un decimal mayor que 1), reescríbelo como fracción impropia.
Por ejemplo, la fracción 75100{\displaystyle {\frac {75}{100}}} se reduce a 34{\displaystyle {\frac {3}{4}}}. Por lo tanto, 810,75=8134{\displaystyle 81^{0,75}=81^{\frac {3}{4}}} .
3. **Reescribe el exponente como una expresión de multiplicación.** Para hacerlo, convierte el numerador en un número entero y multiplícalo por la fracción unitaria. La fracción unitaria es una fracción con el mismo denominador, pero con 1 como numerador.
Por ejemplo, como 34=14×3{\displaystyle {\frac {3}{4}}={\frac {1}{4}}\times 3}, puedes reescribir la expresión exponencial como 8114×3{\displaystyle 81^{{\frac {1}{4}}\times 3}}.
4. **Reescribe el exponente como la potencia de una potencia.** Recuerda que multiplicar dos exponentes es como calcular la potencia de una potencia. Por lo tanto, x1b×a{\displaystyle x^{\frac {1}{b}}\times a} equivale a (x1b)a{\displaystyle (x^{\frac {1}{b}})^{a}}.
Por ejemplo, 8114×3=(8114)3{\displaystyle 81^{{\frac {1}{4}}\times 3}=(81^{\frac {1}{4}})^{3}}.
5. **Reescribe la base como una expresión radical.** Elevar un número a un exponente racional equivale a obtener la raíz correspondiente de ese número. Por lo tanto, reescribe la base y el primer exponente como una expresión radical.
Por ejemplo, como 8114=814{\displaystyle 81^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{81}}}, puedes reescribir la expresión de la forma (814)3{\displaystyle ({\sqrt[{4}]{81}})^{3}}.
6. **Calcula la expresión radical.** Recuerda que el índice (el número pequeño que va afuera del signo radical) indica la raíz que estás buscando. Si los números son complicados, la mejor forma de hacerlo es usando la función yx{\displaystyle {\sqrt[{x}]{y}}} de la calculadora científica.
Por ejemplo, para calcular 814{\displaystyle {\sqrt[{4}]{81}}}, es necesario determinar qué número multiplicado por sí mismo 4 veces es igual a 81. Como 3×3×3×3=81{\displaystyle 3\times 3\times 3\times 3=81}, sabes que 814=3{\displaystyle {\sqrt[{4}]{81}}=3}. Por lo tanto, la expresión exponencial ahora se convertirá en 33{\displaystyle 3^{3}}.
7. **Calcula el exponente restante.** Ahora tendrás un número entero como exponente, así que los cálculos finales serán mucho más sencillos. Si los números son demasiado grandes, siempre puedes usar una calculadora.
Por ejemplo, 33=3×3×3=27{\displaystyle 3^{3}=3\times 3\times 3=27}. Por lo tanto, 810,75=27{\displaystyle 81^{0,75}=27}.
8. **Calcula la siguiente expresión exponencial:** 2562,25{\displaystyle 256^{2,25}}.
9. **Convierte el decimal a una fracción.** Como 2,25{\displaystyle 2,25} es mayor que 1, la fracción será un número mixto.
El decimal 0,25{\displaystyle 0,25} es igual a 25100{\displaystyle {\frac {25}{100}}}, so 2,25=225100{\displaystyle 2,25=2{\frac {25}{100}}}.
10. **Simplifica la fracción de ser posible.** También deberás convertir los números mixtos a fracciones impropias.

Como 25100{\displaystyle {\frac {25}{100}}} se reduce a 14{\displaystyle {\frac {1}{4}}}, 225100=214{\displaystyle 2{\frac {25}{100}}=2{\frac {1}{4}}}.
Convirtiendo a una fracción impropia, tendrás 94{\displaystyle {\frac {9}{4}}}. Por lo tanto, 2562,25=25694{\displaystyle 256^{2,25}=256^{\frac {9}{4}}}.
11. **Reescribe el exponente como una expresión de multiplicación.** Como 94=14×9{\displaystyle {\frac {9}{4}}={\frac {1}{4}}\times 9}, puedes reescribir la expresión de la forma 25614×9{\displaystyle 256^{{\frac {1}{4}}\times 9}}.
12. **Reescribe el exponente como potencia de una potencia.** De este modo, 25614×9=(25614)9{\displaystyle 256^{{\frac {1}{4}}\times 9}=(256^{\frac {1}{4}})^{9}}.
13. **Reescribe la base como una expresión radical.** 25614=2564{\displaystyle 256^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{256}}}; por lo tanto, puedes reescribir la expresión como (2564)9{\displaystyle ({\sqrt[{4}]{256}})^{9}}.
14. **Calcula la expresión radical.** 2564=4{\displaystyle {\sqrt[{4}]{256}}=4}. Por lo tanto, la expresión ahora se convertirá en (4)9{\displaystyle (4)^{9}}.
15. **Calcula el exponente final.** (4)9=4×4×4×4×4×4×4×4×4=262144{\displaystyle (4)^{9}=4\times 4\times 4\times 4\times 4\times 4\times 4\times 4\times 4=262144}. Por lo tanto, 2562,25=262144{\displaystyle 256^{2,25}=262144}.
16. **Reconoce una expresión exponencial.** Las expresiones exponenciales tienen una base y un exponente. La base es el número grande de la expresión. El exponente es el número pequeño.
Por ejemplo, en la expresión 34{\displaystyle 3^{4}}, 3{\displaystyle 3} es la base y 4{\displaystyle 4} es el exponente.
17. **Identifica las partes de una expresión exponencial.** La base es el número a multiplicar. El exponente te indica cuántas veces se usará la base como factor en la expresión.
Por ejemplo, 34=3×3×3×3=81{\displaystyle 3^{4}=3\times 3\times 3\times 3=81}.
18. **Identifica los exponentes racionales.** Los exponentes racionales también se conocen como exponentes fraccionales. Son exponentes en forma de fracción.
Por ejemplo, 412{\displaystyle 4^{\frac {1}{2}}}.
19. **Comprende las relaciones entre radicales y exponentes racionales.** Elevar un número a la potencia de 12{\displaystyle {\frac {1}{2}}} equivale a calcular la raíz cuadrada del número. Así, x12=x{\displaystyle x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}}. Lo mismo ocurre con otras raíces y exponentes. El denominador del exponente te indicará qué raíz hay que calcular:

x13=x3{\displaystyle x^{\frac {1}{3}}={\sqrt[{3}]{x}}}
x14=x4{\displaystyle x^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{x}}}
x15=x5{\displaystyle x^{\frac {1}{5}}={\sqrt[{5}]{x}}}
Por ejemplo, 8114=814=3{\displaystyle 81^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{81}}=3}. Sabes que 3 es la raíz cuarta de 81 ya que 3×3×3×3=81{\displaystyle 3\times 3\times 3\times 3=81}
20. **Aprende lo que establece la ley de los exponentes acerca de la potencia de una potencia.** Esta ley establece que (xa)b=xab{\displaystyle (x^{a})^{b}=x^{ab}}. En otras palabras, elevar un exponente a otra potencia equivale a multiplicar esos dos exponentes.
Si trabajas con exponentes racionales, esta ley se puede representar de la siguiente manera: xab=(x1b)a{\displaystyle x^{\frac {a}{b}}=(x^{\frac {1}{b}})^{a}}, ya que 1b×a=ab{\displaystyle {\frac {1}{b}}\times a={\frac {a}{b}}}.
{"url": "https://es.wikihow.com/resolver-exponentes-con-decimales", "language": "es"}