Come Scomporre in Fattori i Polinomi di Secondo Grado (Equazioni Quadratiche)
Un polinomio contiene una variabile (x) elevata a una potenza, detta «grado», e diversi termini e/o costanti. Scomporre un polinomio significa ridurre l'espressione in altre più piccole che vengono moltiplicate insieme. È un'abilità che si apprende nei corsi di algebra e può essere difficile da capire se non sei a questo livello.
1. **Ordina la tua espressione.** Il formato standard per l'equazione quadratica è:ax + bx + c = 0Inizia ordinando i termini della tua equazione da quello di grado più alto a quello più basso, proprio come nel formato standard. Ad esempio, prendiamo:6 + 6x + 13x = 0 Riordiniamo questa espressione spostando semplicemente i termini in modo che sia più facile risolverla:6x + 13x + 6 = 0
2. **Trova la forma fattorizzata utilizzando uno dei metodi elencati qui sotto.** La scomposizione o fattorizzazione del polinomio si tradurrà in due espressioni più piccole che possono essere moltiplicate per ritornare al polinomio originale:6 x + 13 x + 6 = (2 x + 3) (3 x + 2)In questo esempio, (2 x + 3) e (3 x + 2) sono fattori dell'espressione originale, 6x + 13 x + 6.
3. **Controlla il tuo lavoro!** Moltiplica i fattori individuati. Dopo di che, combina i termini simili e avrai finito. Inizia con:(2 x + 3) (3 x + 2) Proviamo a moltiplicare ogni termine della prima espressione con ogni termine della seconda, ottenendo:6x + 4x + 9x + 6Da qui, possiamo sommare 4 x e 9 x dato che sono tutti termini simili. Sappiamo che i nostri fattori sono corretti perché otteniamo l'equazione di partenza:6x + 13x + 6
4. **Elenchiamo i fattori del termine 'a' e del termine 'c'.** Utilizzando il formato di espressione ax  + bx + c = 0, identifica i termini 'a' e 'c' ed elenca quali fattori hanno. Per 3x + 2x - 8, significa:a = 3 e ha una serie di fattori: 1 * 3
c = -8 e ha quattro serie di fattori: 4 * -2, -4 * 2, -8 * 1 e -1 * 8.
5. **Scrivi due insiemi di parentesi con spazi vuoti.** Potrai inserire le costanti all'interno dello spazio che hai lasciato in ogni espressione: (  x    )(  x    )
6. **Riempi gli spazi davanti alla x con un paio di possibili fattori del valore 'a'.** Per il termine 'a' nel nostro esempio, 3 x, c'è solo una possibilità:  (3x   )(1x   )
7. **Riempi due spazi dopo la x con una coppia di fattori per le costanti.** Supponiamo di aver scelto 8 e 1. Scrivili:(3x  )(x  )
8. **Decidi quali segni (più o meno) dovrebbe esserci tra le variabili x e i numeri.** Secondo i segni dell'espressione originale, è possibile capire quali dovrebbero essere i segni delle costanti. Chiameremo 'h' e ' k' le due costanti per i nostri due fattori: Se ax + bx + c allora (x + h)(x + k)
Se ax - bx - c oppure ax + bx - c allora (x - h)(x + k)
Se ax - bx + c allora (x - h)(x - k)Per il nostro esempio, 3x + 2x - 8, i segni devono essere:(x - h)(x + k), con due fattori:(3x + 8) e (x - 1)
9. **Prova la tua scelta usando la moltiplicazione tra i termini.** Un rapido test da eseguire è vedere se almeno il termine medio è del valore corretto. Se non lo è, potresti aver scelto i fattori 'c' sbagliati. Controlliamo la nostra risposta: (3 x + 8)(x-1)Moltiplicando, arriviamo a:3 x  - 3 x + 8x - 8Semplificando questa espressione aggiungendo termini come (-3x) e (8x), otteniamo:3 x - 3 x + 8x - 8 = 3 x + 5 x - 8Sappiamo adesso che dobbiamo aver identificato i fattori sbagliati:3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8
10. **Inverti le tue scelte, se necessario.** Nel nostro esempio, proviamo con 2 e 4 invece che con 1 e 8: (3 x + 2)(x-4)Ora il nostro termine c è un -8, ma il nostro prodotto esterno/interno (3x * -4) e (2 * x) è -12x e 2x, che non si combinano per rendere il termine corretto b +2x.-12x + 2x = 10x
10x ≠ 2x
11. **Inverti l'ordine, se necessario.** Proviamo a spostare il 2 e il 4:(3x + 4)(x - 2)Ora il nostro termine c (4 * 2 = 8) va ancora bene, ma i prodotti esterno/interno sono -6x e 4x. Se li uniamo:-6x + 4x = 2x
2x ≠ -2xSiamo abbastanza vicini al 2x a cui noi puntavamo, ma il segno è sbagliato.
12. **Ricontrolla i segni, se necessario.** Andiamo nello stesso ordine, ma invertiamo quello con il meno:(3x- 4)(x + 2)Ora il termine c va ancora bene e i prodotti esterni/interni sono ora (6x) e (-4x). Poiché:6x - 4x = 2x
2x = 2xOra possiamo riconoscere dal testo originale che 2x è positivo. Devono essere i fattori corretti.
13. **Moltiplica il termine a con il termine c.** In questo esempio, a è 6 e c è ancora 6.6 * 6 = 36
14. **Trova il termine 'b' con la scomposizione e provando.** Stiamo cercando due numeri che sono fattori del prodotto 'a' * 'c' che abbiamo identificato e aggiungiamo il termine 'b' (13).4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
15. **Sostituisci i due numeri ottenuti nell'equazione come somma del termine 'b'.** Usiamo 'k' e 'h' per rappresentare i due numeri che abbiamo ottenuto, 4 e 9: ax + kx + hx + c
6x + 4x + 9x + 6
16. **Fattorizziamo il polinomio con il raggruppamento.** Organizza l'equazione in modo da poter portar fuori il fattore comune più grande tra i primi due termini e gli ultimi due. Entrambi i restanti gruppi fattorizzati dovrebbero essere uguali. Metti insieme i massimi divisori comuni e racchiudili tra parentesi accanto al gruppo fattorizzato; il risultato sarà dato dai tuoi due fattori: 6x + 4x + 9x + 6
2x(3x + 2) + 3(3x + 2)
(2x + 3)(3x + 2)
17. **Moltiplica il termine 'a' con il termine 'c'.** Come con il metodo di scomposizione, questo ci aiuterà a identificare i possibili candidati per il termine 'b'. In questo esempio, 'a' è 8 e 'c' è 2.8 * 2 = 16
18. **Trova due numeri che abbiano questo valore come prodotto e il termine 'b' come somma.** Questo passaggio è identico al metodo di scomposizione - stiamo testando ed escludendo i possibili valori delle costanti. Il prodotto dei termini 'a' e 'c' è 16 e la somma è 10: 2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
19. **Prendi questi due numeri e prova a sostituirli nella formula del 'triplo gioco'.** Prendi i nostri due numeri del passaggio precedente - chiamiamoli 'h' e 'k' - e mettili in questa espressione:((ax + h)(ax + k))/ aA questo punto otterremmo:((8x + 8)(8x + 2)) / 8
20. **Guarda se uno dei due termini al numeratore è divisibile per 'a'.** In questo esempio, stiamo controllando se (8 x + 8) o (8 x + 2) può essere diviso per 8. (8 x + 8) è divisibile per 8, quindi dividiamo questo termine per 'a' e lasciamo l'altro così com'è.(8 x + 8) = 8 (x + 1)Il termine trovato è ciò che resta dopo aver diviso il termine per 'a': (x + 1)
21. **Estrai il massimo comun divisore da uno o entrambi i termini, se esiste.** In questo esempio, il secondo termine ha un MCD di 2, perché 8 x + 2 = 2(4x + 1). Combina questa risposta con il termine identificato nel passaggio precedente. Questi sono i fattori della tua equazione.2(x + 1)(4x + 1)
22. **Estrai il massimo comune divisore, se possibile.** In questo caso, possiamo vedere che 27 e 12 sono entrambi divisibili per 3, quindi otterremo:27x - 12 = 3(9x - 4)
23. **Cerca di controllare se i coefficienti della tua equazione sono dei quadrati.** Per utilizzare questo metodo dovresti essere in grado di fare la radice quadrata dei quadrati perfetti. (Nota che omettiamo i segni negativi - dal momento che questi numeri sono dei quadrati, essi possono essere prodotti di due numeri negativi o di due positivi)9x = 3x * 3x e 4 = 2 * 2
24. **Usando le radici quadrate trovate, scrivi i fattori.** Prendiamo i valori 'a' e 'c' dal nostro passaggio precedente, 'a' = 9 e 'c' = 4, dopo di che troviamo le loro radici quadrate, √ 'a' = 3 e √ 'c' = 2. Questi sono i coefficienti delle espressioni semplificate:27x - 12 = 3(9x - 4) = 3(3x + 2)(3x - 2)
25. **Inserisci i corrispondenti valori nella formula quadratica:** x = -b ± √(b - 4ac)      ---------------------                2aOtteniamo l'espressione:x = -4 ± √(4 - 4•1•1) / 2
26. **Risolvi la x.** Dovresti ottenere due valori x. Come mostrato sopra, otteniamo due risposte:x = -2 + √(3) e anche x = -2 - √(3)
27. **Usa il valore di x per trovare i fattori.** Inserisci i valori di x ottenuti come fossero costanti nelle due espressioni polinomiali. Questi saranno i tuoi fattori. Se chiamiamo 'h' e 'k' le nostre due risposte, scriviamo i due fattori in questo modo:(x - h) (x - k)In questo caso, è la nostra risposta definitiva è:(x - (-2 + √(3))(x - (-2 - √(3)) = (x + 2 - √(3))(x + 2 + √(3))
28. **Inserisci l'equazione nello schermo [Y =].** 
29. **Disegna l'andamento dell'equazione utilizzando la calcolatrice.** Una volta che hai inserito la tua equazione, premi [GRAPH]: si dovrebbe vedere un arco continuo che rappresenta l'equazione (e sarà un arco dal momento che abbiamo a che fare con polinomi).
30. **Trova dove l'arco interseca l'asse x.** Poiché le equazioni polinomiali sono tradizionalmente scritte come ax + bx + c = 0, questi sono i due valori di x che rendono l'espressione uguale a zero: (-1, 0), (2, 0)
x = -1, x = 2
Se non riesci a individuare i punti manualmente, premi [2nd] e quindi [TRACE]. Premi [2] o seleziona zero. Scorri il cursore a sinistra di un'intersezione e premi [ENTER]. Scorri il cursore a destra di un'intersezione e premi [ENTER]. Scorri il cursore il più vicino possibile a un'intersezione e premi [ENTER]. La calcolatrice troverà il valore di x. Ripeti la stessa cosa per la seconda intersezione.
31. **Inserisci nelle due espressioni fattorizzate i valori di x ottenuti precedentemente.** Se chiamiamo i nostri due valori di x 'h' e 'k', l'espressione che useremo sarà:(x - h) (x - k) = 0Così, i nostri due fattori devono essere:(x - (-1))(x - 2) = (x + 1)(x - 2)
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