Dividir Raízes Quadradas
A divisão de raízes quadradas é basicamente igual à simplificação de uma fração. É claro que a presença de raízes quadradas complica um pouco o processo, mas algumas regras permitem que trabalhemos com frações de forma relativamente simples. O segredo é lembrar que é preciso dividir coeficientes por coeficientes, e radicandos por radicandos. Além disso, não se pode ter uma raiz quadrada no denominador.
1. **Monte a fração.** Se a expressão ainda não estiver montada em forma de fração, monte-a dessa forma. Fazê-lo facilita na hora de seguir os passos necessários para realizar a divisão pela raiz quadrada. Lembre-se que a barra de fração também é a barra de divisão. 
Por exemplo, se estiver calculando 144÷36{\displaystyle {\sqrt {144}}\div {\sqrt {36}}}, reescreva o problema da seguinte forma: 14436{\displaystyle {\frac {\sqrt {144}}{\sqrt {36}}}}.
2. **Use um sinal de radical.** Se o problema tiver uma raiz quadrada no numerador e denominador, você pode colocar ambos os radicandos sobre um único sinal de radical  — um radicando é o número sob o sinal de radical, ou raiz quadrada. Fazê-lo vai simplificar o processo de simplificação. 
Por exemplo, 14436{\displaystyle {\frac {\sqrt {144}}{\sqrt {36}}}} pode ser reescrito por 14436{\displaystyle {\sqrt {\frac {144}{36}}}}.
3. **Divida os radicandos.** Divida os números assim como você faria com qualquer número inteiro. Lembre-se de colocar os quocientes sob um novo sinal de radical. 
Por exemplo, 14436=4{\displaystyle {\frac {144}{36}}=4}, então 14436=4{\displaystyle {\sqrt {\frac {144}{36}}}={\sqrt {4}}}.
4. **Simplifique** Se o radicando (ou um de seus fatores) for um quadrado perfeito, é preciso simplificar a expressão. Um quadrado perfeito é o produto de um número inteiro multiplicado por ele mesmo.  Por exemplo, 25 é uma raiz perfeita, pois 5×5=25{\displaystyle 5\times 5=25}. 
Por exemplo, 4 é uma raiz perfeita, pois 2×2=4{\displaystyle 2\times 2=4}. Portanto:4{\displaystyle {\sqrt {4}}}=2×2{\displaystyle ={\sqrt {2\times 2}}}=2{\displaystyle =2}Sendo assim, 14436=4=2{\displaystyle {\frac {\sqrt {144}}{\sqrt {36}}}={\sqrt {4}}=2}.
5. **Expresse o problema como uma fração.** A expressão provavelmente já vira escrita desta forma; caso contrário, mude-a. Resolver o problema como uma fração facilita na hora de seguir os passos necessários, principalmente ao fatorar raízes quadradas. Lembre-se que a barra de fração também é a barra de divisão. 
Por exemplo, se estiver calculando 8÷36{\displaystyle {\sqrt {8}}\div {\sqrt {36}}}, reescreva o problema da seguinte forma: 836{\displaystyle {\frac {\sqrt {8}}{\sqrt {36}}}}.
6. **Fatore** Fatore o número assim como você faria com qualquer número inteiro. Mantenha os fatores sob o sinal de radical. 
Por exemplo:836=2×2×26×6{\displaystyle {\frac {\sqrt {8}}{\sqrt {36}}}={\frac {\sqrt {2\times 2\times 2}}{\sqrt {6\times 6}}}}
7. **Simplifique o numerador e denominador da fração.** Para simplificar uma raiz quadrada, retire cada fator que forme um quadrado perfeito. Um quadrado perfeito é o resultado de um número inteiro multiplicado por ele mesmo.  Agora, o fator vai se tornar o coeficiente fora da raiz quadrada. 
Por exemplo: 2×2×26×6{\displaystyle {\frac {\sqrt {{\cancel {2\times 2\times }}2}}{\sqrt {\cancel {6\times 6}}}}} 226{\displaystyle {\frac {2{\sqrt {2}}}{6}}}Sendo assim, 836=226{\displaystyle {\frac {\sqrt {8}}{\sqrt {36}}}={\frac {2{\sqrt {2}}}{6}}}
8. **Racionalize o denominador, se necessário.** Como regra, uma expressão não pode ter uma raiz quadrada no denominador. Se isso acontece, é preciso racionalizá-la. Em outras palavras, é preciso cancelar a raiz quadrada no denominador. Para fazê-lo, multiplique o numerador pelo denominador da fração pela raiz quadrada que precisar cancelar. 
Por exemplo, se a expressão for 623{\displaystyle {\frac {6{\sqrt {2}}}{\sqrt {3}}}}, é preciso multiplicar o numerador e denominador por 3{\displaystyle {\sqrt {3}}} para cancelar a raiz quadrada no denominador:623×33{\displaystyle {\frac {6{\sqrt {2}}}{\sqrt {3}}}\times {\frac {\sqrt {3}}{\sqrt {3}}}}=62×33×3{\displaystyle ={\frac {6{\sqrt {2}}\times {\sqrt {3}}}{{\sqrt {3}}\times {\sqrt {3}}}}}=669{\displaystyle ={\frac {6{\sqrt {6}}}{\sqrt {9}}}}=663{\displaystyle ={\frac {6{\sqrt {6}}}{3}}}.
9. **Continue simplificando, se necessário.** Às vezes, vai sobrar um coeficiente que não pode ser simplificado, ou reduzido. Simplifique os números inteiros no numerador e denominador ao simplificar qualquer fração. 
Por exemplo, 26{\displaystyle {\frac {2}{6}}} pode ser reduzido para 13{\displaystyle {\frac {1}{3}}}, então 226{\displaystyle {\frac {2{\sqrt {2}}}{6}}} pode ser reduzido para 123{\displaystyle {\frac {1{\sqrt {2}}}{3}}}, ou apenas 23{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{3}}}.
10. **Simplifique os coeficientes.** Os coeficientes são os números fora do sinal de radical. Para simplificá-los, divida-os ou reduza-os, ignorando as raízes quadradas por enquanto. 
Por exemplo, se estiver calculando 432616{\displaystyle {\frac {4{\sqrt {32}}}{6{\sqrt {16}}}}}, comece simplificando 46{\displaystyle {\frac {4}{6}}}. Tanto o numerador quanto o denominador podem ser divididos por um fator de 2. Portanto, você pode reduzir: 46=23{\displaystyle {\frac {4}{6}}={\frac {2}{3}}}.
11. **Simplifique as raízes quadradas** Se o numerador for igualmente divisível pelo denominador, basta dividir os radicandos. Caso contrário, simplifique cada raiz quadrada normalmente. 
Por exemplo, como 32 é igualmente divisível por 16, você pode dividir as raízes quadradas:3216=2{\displaystyle {\sqrt {\frac {32}{16}}}={\sqrt {2}}}.
12. **Multiplique o(s) coeficiente(s) simplificado(s) pela raiz quadrada simplificada.** Lembre-se de que não é possível ter uma raiz quadrada em um denominador; então, ao multiplicar uma fração por uma raiz quadrada, coloque a raiz quadrada no numerador. 
Por exemplo, 23×2=223{\displaystyle {\frac {2}{3}}\times {\sqrt {2}}={\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}}.
13. **Cancele a raiz quadrada no denominador, se necessário.** O procedimento é conhecido por racionalização do denominador. Como regra, uma expressão não pode ter uma raiz quadrada no denominador. Para racionalizar o denominador, multiplique o numerador e o denominador pela raiz quadrada que precisar cancelar. 
Por exemplo, se a expressão for 4327{\displaystyle {\frac {4{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {7}}}}}, é preciso multiplicar o numerador e denominador por 7{\displaystyle {\sqrt {7}}} para cancelar a raiz quadrada no denominador:437×77{\displaystyle {\frac {4{\sqrt {3}}}{\sqrt {7}}}\times {\frac {\sqrt {7}}{\sqrt {7}}}}=43×77×7{\displaystyle ={\frac {4{\sqrt {3}}\times {\sqrt {7}}}{{\sqrt {7}}\times {\sqrt {7}}}}}=42149{\displaystyle ={\frac {4{\sqrt {21}}}{\sqrt {49}}}}=4217{\displaystyle ={\frac {4{\sqrt {21}}}{7}}}.
14. **Verifique se existe um binômio no denominador.** O denominador será o divisor do problema. Um binômio é um polinômio de dois termos.  Este método somente se aplica à divisão de raízes quadradas envolvendo um binômio. 
Por exemplo, se estiver calculando 15+2{\displaystyle {\frac {1}{5+{\sqrt {2}}}}}, existe um binômio no denominador, já que 5+2{\displaystyle 5+{\sqrt {2}}} é um binômio de dois termos.
15. **Encontre o conjugado do binômio.** Os pares conjugados são binômios que possuem os mesmos termos, mas operações opostas.  Usar um par conjugado permite que você cancele uma raiz quadrada no denominador. 
Por exemplo, 5+2{\displaystyle 5+{\sqrt {2}}} e 5−2{\displaystyle 5-{\sqrt {2}}} são pares conjugados, já que possuem os mesmos termos, mas operações opostas.
16. **Multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.** Fazê-lo permite que você cancele a raiz quadrada, pois o produto de um par conjugado é a diferença do quadrado de cada termo no binômio.  Ou seja, (a−b)(a+b)=a2−b2{\displaystyle (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}}. 
Por exemplo:15+2{\displaystyle {\frac {1}{5+{\sqrt {2}}}}}=1(5−2)(5+2)(5−2){\displaystyle ={\frac {1(5-{\sqrt {2}})}{(5+{\sqrt {2}})(5-{\sqrt {2}})}}}=5−2(52−(2)2{\displaystyle ={\frac {5-{\sqrt {2}}}{(5^{2}-({\sqrt {2}})^{2}}}}=5+225−2{\displaystyle ={\frac {5+{\sqrt {2}}}{25-2}}}=5+223{\displaystyle ={\frac {5+{\sqrt {2}}}{23}}}Portanto, 15+2=5+223{\displaystyle {\frac {1}{5+{\sqrt {2}}}}={\frac {5+{\sqrt {2}}}{23}}}.
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