Rajzoljunk be néhány megoldásgörbét az előbb meghatározott iránymezőbe! Elemezzük, mi történik a T populációval különböző kezdeti értékek esetén! Egzakt megoldások. Határozzuk meg a következő kezdetiérték-problémák pontos megoldását: , , , ! Mutassuk meg, hogy a Logisztikus differenciálegyenlet. differenciálegyenlet megoldása ahol egy tetszőleges konstans! A Katasztrófás-jellegű megoldás. Legyenek és pozitív konstansok! k Oldjuk meg a kezdetiérték-problémát! Mutassuk meg, hogy az előző pont megoldásgörbéjének függőleges aszimptotája van egy pozitív T t értékére! Mi ez az érték? Kihaló populáció. Tekintsük a modellt, ahol , a maximális eltartható populáció, pedig az a minimális populáció létszám, ami alatt a M m populáció kihal! Legyen , , és tegyük fel, hogy ! Mutassuk meg, hogy a differenciálegyenlet alakra hozható, és oldjuk meg ezt a szeparábilis differenciálegyenletet! Határozzuk meg azt a megoldást, amire ! Adjuk meg a differenciálegyenlet általános megoldását feltétellel! 5.4.1. Ortogonális trajektóriák feladatokban határozzuk meg a megadott görbeseregek ortogonális trajektóriáit! A –. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
T Rajzoljunk be néhány megoldásgörbét az előbb meghatározott iránymezőbe! Elemezzük, mi történik a populációval különböző kezdeti értékek esetén! Egzakt megoldások. Határozzuk meg a következő kezdetiérték-problémák pontos megoldását: , , , ! Logisztikus differenciálegyenlet. Mutassuk meg, hogy a differenciálegyenlet megoldása ahol A egy tetszőleges konstans! Katasztrófás-jellegű megoldás. Legyenek k és pozitív konstansok! Oldjuk meg a kezdetiérték-problémát! T Mutassuk meg, hogy az előző pont megoldásgörbéjének függőleges aszimptotája van t egy pozitív értékére! Mi ez az érték? Kihaló populáció. Tekintsük a modellt, ahol , M a maximális eltartható populáció, m pedig az a minimális populáció létszám, ami alatt a populáció kihal! Legyen , , és tegyük fel, hogy ! Mutassuk meg, hogy a differenciálegyenlet alakra hozható, és oldjuk meg ezt a szeparábilis differenciálegyenletet! Határozzuk meg azt a megoldást, amire ! Adjuk meg a differenciálegyenlet általános megoldását feltétellel! 5.4.1. Ortogonális trajektóriák A –. feladatokban határozzuk meg a megadott görbeseregek ortogonális trajektóriáit! 4. 5. 6. 7. 8. 9.
2011-0001-526_thomas_kalkulus_2.docx