3.3. További módszerek az együtthatók meghatározására Egy további lehetőség a parciális törtekre való felbontás együtthatóinak megkeresésére a megfelelő egyenlet differenciálása, a következő példánál látni is fogjuk. Végül megnézzük, hogy helyébe célszerűen x választott számokat helyettesítve hogyan kaphatjuk meg az együtthatókat. 8. példa: Az együtthatók meghatározása differenciálással Keressük meg az és együtthatókat, melyekkel A, B C Megoldás Először beszorzunk az közös nevezővel: Az helyettesítésből megkapjuk, hogy . Mindkét oldalt szerint deriválva a következő x egyenletet kapjuk: Most az helyettesítés azt adja, hogy . Egy differenciálás után a egyenletet kapjuk, azaz Egyes esetekben helyébe kis számokat írva, például -t, és gyorsan jól kezelhető egyenleteket x A-ra, B-re C-re kapunk. 9. példa: Az együtthatók meghatározása behelyettesítéssel Keressünk és amelyekre A-t, B-t C-t, Megoldás Beszorozva a közös nevezővel, azt kapjuk, hogy Helyettesítsünk helyébe rendre -at: x x 2 A x 5
3.3. További módszerek az együtthatók meghatározására Egy további lehetőség a parciális törtekre való felbontás együtthatóinak megkeresésére a megfelelő egyenlet differenciálása, a következő példánál látni is fogjuk. Végül megnézzük, hogy x helyébe célszerűen választott számokat helyettesítve hogyan kaphatjuk meg az együtthatókat. 8. példa: Az együtthatók meghatározása differenciálással Keressük meg az A, B és C együtthatókat, melyekkel Megoldás Először beszorzunk az közös nevezővel: Az helyettesítésből megkapjuk, hogy . Mindkét oldalt x szerint deriválva a következő egyenletet kapjuk: Most az helyettesítés azt adja, hogy . Egy differenciálás után a egyenletet kapjuk, azaz Egyes esetekben x helyébe kis számokat írva, például -t, A-ra, B-re és C-re gyorsan jól kezelhető egyenleteket kapunk. 9. példa: Az együtthatók meghatározása behelyettesítéssel Keressünk A-t, B-t és C-t, amelyekre Megoldás Beszorozva a közös nevezővel, azt kapjuk, hogy Helyettesítsünk x helyébe rendre -at: x 2 A x 5
2011-0001-526_thomas_kalkulus_2.docx