Így az integrál konvergens, az értéke egy véges valós szám. Nem tudjuk, hogy mi ez a szám, csak annyit, hogy pozitív, és kisebb mint (Itt valójában kihasználtuk a valós számok 0.37. teljességét, amelyről az első kötetben, az F.3. függelékben olvashatunk.) Az és függvények összehasonlítása . példában a következő konvergenciakritérium speciális esete volt. a 1. Tétel: Összehasonlító kritérium Legyenek és az intervallumon folytonos függvények, melyekre minden mellett teljesül. f g Ekkor Ha konvergens, akkor is konvergens, Ha divergens, is divergens. . bizonyítása hasonló . példában követett gondolatmenethez. Ha minden -ra , akkor A a Innen . példához hasonlóan megállapíthatjuk, hogy a illetve a következtetés 10. példa: Az összehasonlító kritérium használata konvergens, mert divergens, mert (Az konvergenciáját és az divergenciáját . példa eredménye alapján állapíthatjuk meg.) a 2. Tétel: Hányadosteszt Ha az és pozitív függvények folytonosak az intervallumon, és f g akkor az integrálok vagy mindketten konvergensek, vagy mindketten divergensek. . tételt itt nem bizonyítjuk. Bár a tétel szerint a két improprius integrál ugyanakkor konvergens, a következő A példában látni fogjuk, hogy nem szükséges, hogy az integrálok értéke meg is egyezzen.
Így az integrál konvergens, az értéke egy véges valós szám. Nem tudjuk, hogy mi ez a szám, csak annyit, hogy pozitív, és kisebb mint 0.37. (Itt valójában kihasználtuk a valós számok teljességét, amelyről az első kötetben, az F.3. függelékben olvashatunk.) Az és függvények összehasonlítása a . példában a következő konvergenciakritérium speciális esete volt. 1. Tétel: Összehasonlító kritérium Legyenek f és g az intervallumon folytonos függvények, melyekre minden mellett teljesül. Ekkor Ha konvergens, akkor is konvergens, Ha divergens, is divergens. A . bizonyítása hasonló a . példában követett gondolatmenethez. Ha minden -ra , akkor Innen a . példához hasonlóan megállapíthatjuk, hogy illetve a következtetés 10. példa: Az összehasonlító kritérium használata konvergens, mert divergens, mert (Az konvergenciáját és az divergenciáját a . példa eredménye alapján állapíthatjuk meg.) 2. Tétel: Hányadosteszt Ha az f és g pozitív függvények folytonosak az intervallumon, és akkor az integrálok vagy mindketten konvergensek, vagy mindketten divergensek. A . tételt itt nem bizonyítjuk. Bár a tétel szerint a két improprius integrál ugyanakkor konvergens, a következő példában látni fogjuk, hogy nem szükséges, hogy az integrálok értéke meg is egyezzen.
2011-0001-526_thomas_kalkulus_2.docx