CHAPTER 6 CURVILINEAR COORDINATES Example 6.2 Prove that a spherical coordinate system is orthogonal. The position vector of any point in spherical coordinates is   sin cos  sin sin  cos er k ˆ ˆ cos cos cos sin sin eˆ  iˆ  kˆ ˆj sin cos   eˆ iˆ ˆj sin cos cos2  sin cos sin2  cos sin 0    eˆr  eˆ sin cos sin sin cos sin 0 eˆr eˆ     cos cos sin cos cos sin 0 eˆr eˆ     Hence orthogonal. Example 6.3     cos  sin iˆ  ˆj eˆ sin   cos   iˆ  ˆj eˆ  kˆ eˆz  We then solve simultaneously for to obtain iˆ, kˆ ˆj,  cos sin  ,  sin   cos ,  iˆ eˆ eˆ eˆ eˆ kˆ eˆz ˆj Now  sin  ) 2 cos (sin  cos ) 2 sin     z(cos eˆ eˆ eˆ eˆ eˆz (z cos 2 cos sin  ) (z sin  2 cos2  )  sin     eˆ eˆ eˆz and  cos 2 cos sin ,  sin  2 cos2 ,   sin F z F Fz 89
CHAPTER 6 CURVILINEAR COORDINATES Example 6.2 Prove that a spherical coordinate system is orthogonal. The position vector of any point in spherical coordinates is  er  sin cos ˆ  sin sin ˆ  cos k eˆ  cos cos iˆ  cos sin ˆj sin kˆ eˆ  sin iˆ  cos ˆj eˆr  eˆ  sin cos cos2   sin cos sin2  cos sin  0 eˆr  eˆ  sin cos sin  sin cos sin  0 eˆr  eˆ  cos cos sin  cos cos sin  0 Hence orthogonal. Example 6.3   eˆ  eˆ  eˆz   cos iˆ  sin  ˆj  sin  iˆ   cos ˆj  kˆ We then solve simultaneously for iˆ, ˆj, kˆ to obtain iˆ  cos eˆ sin  eˆ , ˆj  sin  eˆ  cos eˆ , kˆ  eˆz Now   z(cos eˆ sin  eˆ ) 2 cos (sin  eˆ  cos eˆ )  2 sin  eˆz  (z cos 2 cos sin  ) eˆ (z sin   2 cos2  ) eˆ   sin  eˆz and F  z cos 2 cos sin , F  sin  2 cos2 , Fz   sin 89