Így ugyanis Azt kaptuk, hogy az integrál konvergens, és értéke , ha , és divergens esetén.Ha , az integrál akkor is divergens: 8.3. Függőleges aszimptotájú függvény integrálása Az improprius integrálok másik alapesete a függőleges aszimptotájú függvények integrálása. Az ilyen függvények az intervallum egyik végpontjában vagy az egyik közbülső pontban nem folytonosak, hanem egy függőleges aszimptotához ,,simul” a grafikonjuk. Ha az integrálandó függvény pozitív, akkor az integrál ebben f az esetben is értelmezhető az függvény grafikonja és az által közbezárt területként is. f x-tengely 8.21. ábra. A alatti területet egy második típusú integrál adja meg: . Nézzük például az görbe alatti területét az és pontok között. (Lásd b ábrát!) Válasszunk egy számot, és a számoljuk ki a görbe alatti területet és között (. ábra). Ennek a területnek a határértéke mellett: a görbe és közötti része alatti terület véges, és értéke 0 1 Megjegyezzük, hogy az általános definícióhoz nem kell megkövetelni az aszimptota létezését. Definíció: II. típusú improprius integrál Azokat az integrálokat, amelyekben az integrandus az integrációs tartomány egyik pontja körül nem korlátos, nevezzük. II. típusú improprius integrálnak 1. Ha folytonos -n, de esetén nem korlátos akkor 2. Ha folytonos -n, de esetén nem korlátos, akkor
Így ugyanis Azt kaptuk, hogy az integrál konvergens, és értéke , ha , és divergens esetén.Ha , az integrál akkor is divergens: 8.3. Függőleges aszimptotájú függvény integrálása Az improprius integrálok másik alapesete a függőleges aszimptotájú függvények integrálása. Az ilyen függvények az intervallum egyik végpontjában vagy az egyik közbülső pontban nem folytonosak, hanem egy függőleges aszimptotához ,,simul” a grafikonjuk. Ha az integrálandó f függvény pozitív, akkor az integrál ebben az esetben is értelmezhető az f függvény grafikonja és az x-tengely által közbezárt területként is. 8.21. ábra. A alatti területet egy második típusú integrál adja meg: . Nézzük például az görbe alatti területét az és pontok között. (Lásd a b ábrát!) Válasszunk egy számot, és számoljuk ki a görbe alatti területet és között (. ábra). Ennek a területnek a határértéke mellett: a görbe 0 és 1 közötti része alatti terület véges, és értéke Megjegyezzük, hogy az általános definícióhoz nem kell megkövetelni az aszimptota létezését. Definíció: II. típusú improprius integrál Azokat az integrálokat, amelyekben az integrandus az integrációs tartomány egyik pontja körül nem korlátos, II. típusú improprius integrálnak nevezzük. 1. Ha folytonos -n, de esetén nem korlátos akkor 2. Ha folytonos -n, de esetén nem korlátos, akkor