老师说链式法则里某个 dy/dx 不能理解为 dy 除以 dx，为什么？
把 $\frac{d y}{d x}=f^{\prime}(x)$ 写成 $d y=f^{\prime}(x) \cdot d x$ ，这种写法非常不好。会让人产生错觉 $\frac{d y}{d x}$ 是 $d y \div d x$。再配合上比如chain rule写成:$$\frac{d y}{d x} \frac{d x}{d z}=\frac{d y}{d z}$$

会更加深这种错觉。事实上 $\frac{d y}{d x}$ 绝不是 $d y \div d x$ ，只是如果用这种容易引起误解的写法，某些场合会凑巧看起来是对的。

一个比较简单的理解方法是，始终记住 $\frac{d y}{d x}$ 的更准确写法是:$$\frac{d}{d x} \cdot y$$

其中 $\frac{d}{d x}()$是一个整体，这个算符表示括号里的东西 “对 $\times$ 求导” 。这个算符的逆运算也不是$\frac{d x}{d}$ ，而是 $\int(\cdot) d x$。

这样很多其他的写法就会有道理很多。比如不知道有多少人想过，为什么二阶导 ${ }^a$ 写作 $\frac{d^2 y}{d x^2}$ 而不是$\frac{d y^2}{d x^2}$ ，也不等于 $\left(\frac{d y}{d x}\right)^2$ ? 

按刚说的那样就很好理解，求两次导是 $\frac{d}{d x}$ 操作两次，也就是 $\frac{d}{d x}\left(\frac{d}{d x}(y)\right)=\frac{d^2}{d x^2}(y)$ ，平时写作 $\frac{d^2 y}{d x^2}$

归根到底就是早期有些数学家和数学教育家习惯不好，非要把运算对象 $y$ 写到算符 $\frac{d}{d x}$ 的内部去。这样扭曲了这个运算的意义，后面进一步衍生出了一些 $d y=f^{\prime}(x) \cdot d x$ 这样的 写法后，迷惑了无数人。

到了偏微分后，能理解这一层的人比例高了，就基本没人写 $\partial z=f^{\prime}(x, y) \partial x \partial y$ 这种东西了。当然也是因为歧义实在太大任何人都无法忽视。