实在要求助一下，这个题怎么做？
已知一元n次方程 $\sum_{k=0}^n a_k x^{n-k}=0$ 有且仅有实数根，求证: 一元 $n$ 次方程 $\sum_{k=0}^n C_n^k a_k x^{n-k}=0$ 有且仅有实数根。
为方便，我们记 $\mathcal{D}_n$ 为至少有 $\mathrm{n}$ 个实根 (可重) 的多项式集合(包括 0 多 项式)。$\mathcal{D}$ 表示所有根都是实根的多项式集合（包含 0 多项式、常数多项式）

Lemma1:$$f(x) \in \mathcal{D}_n \Rightarrow \forall \alpha, f(x)-\alpha f^{\prime}(x) \in \mathcal{D}_n$$

Proof:

不妨 $\alpha \neq 0$$$g(x)=e^{-\frac{x}{\alpha}} f(x) \Rightarrow g(x) \in \mathcal{D}_n, g^{\prime}(x)=e^{-\frac{x}{\alpha}}\left(f^{\prime}(x)-\frac{f(x)}{\alpha}\right)$$

由于 $\mathrm{g}$ 有 $\mathrm{n}$ 个实根，而 $g(+\infty)=0(\alpha>0)$ ，或者 $g(-\infty)=0(\alpha<0)$由Rolle中值定理，得到 $g^{\prime}(x)$ 有至少 $\mathrm{n}$ 个实根

所以 $f(x)-\alpha f^{\prime}(x) \in \mathcal{D}_n$

Lemma2:$$f(x)=\sum_{i=0}^n b_i x^i \in \mathcal{D}, g(x) \in \mathcal{D} \Rightarrow f(D) g(x)=\sum_{i=0}^n b_i D^i g(x) \in \mathcal{D}$$（D$ 表示求导算子）

Proof:

用Lemma $1 ， f(x)$ 为 0 或者常数结论显然$f(x)=(-1)^d b_n x^{n-d} \prod_{i=i}^d\left(1-x_i x\right)\left(x_i \in \mathbb{R}\right)$ ，然后算子依次作用在 $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 上，$1-\mathrm{x} \_\mathrm{i}$ 作用不改变 $\mathrm{g}$ 的次数和实根数， $\mathrm{D}$ 作用 $g$ 的次数和实根数都减 1 .

回到原题， $f(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i \in \mathcal{D}, g(x)=x^n \in \mathcal{D}$$$\begin{aligned}& f(D) g(x)=\sum_{i=0}^n a_i D^i g(x)=\sum_{i=0}^n a_i n(n-1) \cdots(n-i+1) x^{n-i} \in \mathcal{D} \\& \Rightarrow \sum_{i=0}^n a_i n(n-1) \cdots(n-i+1) x^{n-i}=n ! \sum_{i=0}^n a_i \frac{x^{n-i}}{(n-i) !} \in D \\& \Rightarrow h(x):=\sum_{i=0}^n a_{n-i} \frac{x^i}{i !} \in \mathcal{D} \Rightarrow h(D) g(x)=\sum_{i=0}^n a_{n-i} n(n-1) \\& \cdots(n-i+1) \frac{x^{n-i}}{i !} \in \mathcal{D} \\& \Rightarrow \sum_{i=0}^n a_{n-i}\left(\begin{array}{c}n \\i\end{array}\right) x^{n-i}=\sum_{i=0}^n\left(\begin{array}{c}n \\i\end{array}\right) a_i x^i \in \mathcal{D}\end{aligned}$$

得证!