如何证明素数无穷多？
这里给出一个分析的证明，基本思想属于 $$\text{Leonhard Euler}.$$

仍然利用反证法。设若素数只有有限的 $$m$$ 个，把这 $$m$$ 个素数由小到大排成一列 $$p_1,p_2,p_3,\cdots,p_m,\\\$$自然，其中 $$p_1=2,p_2=3,p_3=5$$ 等等。

对任意一个正整数 $$n,$$基于算术基本定理，它必能分解为这有限个素数相应幂次——次数取自然数，并且这里我们允许出现零次幂——的乘积。换言之，只要把这包含着零的自然数分配给这些素数作为幂的次数，就能生成任意的正整数。比如$$540=2^2\cdot3^3\cdot5^1=p_1^2p_2^3p_3^1 p_4^0p_5^0\cdotsp_m^0,\\\$$进而对任意的单位分数，也就都可以表为各素数倒数的相应幂次的乘积，也比如$$\frac{1}{540}=\frac{1}{p_1^2}\cdot\frac{1}{p_2^3}\cdot\frac{1}{p_3^1}\cdot\frac{1}{p_4^0}\cdot\frac{1}{p_5^0}\cdots \frac{1}{p_m^0}.\\\$$ 由此，不难想见如下乘积$$P:=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{p_1^k}\cdot \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{p_2^k}\cdots\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{p_m^k},\\\$$ 事实上就表示了所有单位分数之和$$S:=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k},\\\$$于是 $$P=S.$$ 但 $$P$$是有限的，因为利用几何级数的求和公式，可以得到 $$P=\frac{p_1}{p_1-1}\cdot\frac{p_2}{p_2-1}\cdots\frac{p_m}{p_m-1},\\\$$ 而基于分析的基本结论， $$S$$ 是发散到$$+\infty$$ 的调和级数，矛盾，于是推翻反设。