如何证明 lg3 是无理数？
I. 由于 $10^0=1 ， 10^1=10$ ，故 $\lg 3$ 是一个介于 0 和 1 之间的 正实数。即 $0<\lg 3<1$ 。

指数函数 $y=10^x$ 在实数范围内单调递增，函数值为正实数。对数函数 $y=\lg x$ 在正实数范围内单调递增，函数值为全体实数。

II. 设 $\lg 3=\frac{p}{q} \quad(p 、 q$ 为互质的正整数 $)$ ，则 $10^{\frac{p}{q}}=3$ 。

两边 $q$ 次幕，得 $10^p=3^q$ 。(1)

根据初等数论中「奇数乘奇数为奇数，偶数乘偶数为偶数」，从而「若干个奇数相乘必为奇数，若干个偶数相乘必为偶数」。故等式 (1) 左边必为偶数，右边必为奇数。矛盾。- 具体来说，若干个 10 连乘，末位数字只能是 0 ；若干个 3 连乘，末尾数字只能为 $3 、 9 、 7 、 1$四者之一。

这说明等式 (1) 不可能成立，假设错误。

于是， $\lg 3$ 不是有理数。

综合 I. II. 的结 论，可知 $\lg 3$ 「既是实数，又不是有理数」，故这个数一定是无理数。