若[x²]-2[x]>0，求实数x的取值范围?
若 $$x<0,$$ 则 $$\lfloor x^2 \rfloor \ge0, \lfloor x \rfloor \le-1,$$ 于是$$\lfloor x^2 \rfloor-2\lfloor x\rfloor \ge2>0,$$ 这得部分解。

若 $$x\ge0,$$ 不妨设 $$x=n+r,$$ 其中 $$n\in\mathbb{N}, r\in[0,1),$$ 代入要解的不等式则有

$$\begin{align*} &&\lfloor (n+r)^2 \rfloor-2n>0\\\\[8pt]&\Leftrightarrow&\lfloor n^2+2nr+r^2 \rfloor-2n>0\\\\[8pt]&\Leftrightarrow&n(n-2)+\lfloor 2nr+r^2 \rfloor>0\tag1\\\\[8pt]\end{align*}\\\$$ 这时很清楚，若 $$n\ge3,$$ 必有 $$n(n-2)+\lfloor 2nr+r^2 \rfloor\ge3+0>0,\\\$$ 于是 $$(1)$$ 成立，这又得部分解。

接下来，只需要再考虑 $$n=0,1,2$$ 时的情形。

若 $$n=0,$$ 则 $$n(n-2)+\lfloor 2nr+r^2 \rfloor=\lfloor r^2 \rfloor=0,\\\$$$$(1)$$ 不成立。

若 $$n=1,$$ 则 $$(1)$$式化为 $$\lfloor 2r+r^2 \rfloor>1,\\\$$ 也即$$\begin{cases}2r+r^2\ge2 \\\ 0\le r<1\end{cases}\\\$$ 解得 $$\sqrt{3}-1\ler<1,\\\$$ 于是 $$\sqrt{3}\le x<2$$ 是 $$(1)$$ 的解。

若 $$n=2,$$ 则 $$(1)$$式化为 $$\lfloor 4r+r^2 \rfloor>0,\\\$$ 也即$$\begin{cases}4r+r^2\ge1 \\\ 0\le r<1\end{cases}\\\$$ 解得 $$\sqrt{5}-2\ler<1,\\\$$ 于是 $$\sqrt{5}\le x<3$$ 是 $$(1)$$ 的解。

综上几方面的讨论，可以写出所求解集为 $$x\in (-\infty,0)~\bigcup~ [\sqrt{3},2)~\bigcup~[\sqrt{5},+\infty).\\\$$