有五只麻雀偷到了一批大米，准备第二天早上去分。结果第二天第一只麻雀早到了，数了一下，自己吃了一粒，剩下的正好分五份，取走自己那份就先走了。第二只麻雀来了，数了数，也是吃了一粒，剩下的正好分五份，取走自己那份就走了。之后三只麻雀情况一样。那么请问，它们最少偷了多少粒大米？
假设一开始有 $$X$$ 粒米，

第一只麻雀吃剩下 $$\frac{4}{5}(X-1)=\frac{4}{5}X-\frac{4}{5}$$

第二只麻雀吃剩下$$\frac{4}{5}\left[\frac{4}{5}(X-1)-\frac{4}{5}\right]=\frac{4^2}{5^2}X-\frac{4^2}{5^2}-\frac{4}{5}$$

以此类推

第五只麻雀吃剩下$$\frac{4^5}{5^5}X-\frac{4^5}{5^5}-\frac{4^4}{5^4}-\frac{4^3}{5^3}-\frac{4^2}{5^2}-\frac{4}{5}$$

以上五项的通项是

$$\frac{4^n}{5^n}X-\sum_{i=1}^n\frac{4^i}{5^i}=\frac{4^n}{5^n}X-4\left(1-\frac{4^n}{5^n}\right)=\frac{4^n}{5^n}(X+4)-4$$

很明显要让所有项都是整数， $$X+4$$ 必须是 $$5^5$$的倍数，最小是 $$5^5-4=3121$$ ，这么一来第五只麻雀吃剩下的就是$$4^5-4=1020$$ ，那么五只麻雀总共最少吃掉了 $$3121-1020=2101$$ 粒米。