数论的威尔逊定理已知有哪些证明方法？主要是想问必要性的证明，目前找到的有基于原根逆元的证法，有Lagrange证法，还有哪些证明方法？
威尔逊有三种常见基础证明：

1. 标准教科书证明（稍微拓宽到一般情况），可能就是题主所说的Lagrange证法

设 $$p$$ 为奇素数（ $$p=2$$ 明显），设 $$D$$ 与 $$p$$ 互质，讨论同余方程：

$$xy\equiv D\bmod p$$

设 $$x,y\in\\{1,2,3,\cdots,p-1\\}$$ ，因为 $$x,y$$ 与 $$p$$ 互质，对于每一个 $$x$$必然存在一个唯一的 $$y$$ 满足以上方程（不然 $$x(y_1-y_2)$$ 为 $$p$$ 的倍数，矛盾）。

如果存在 $$x^2\equiv D\bmod p$$ （即 $$D$$ 为 $$p$$ 的二次剩余），那么根据 $$x^2-y^2=(x-y)(x+y)\equiv 0\bmod p$$ ，可得 $$y=p-x$$ ，即除了 $$x,p-x$$ 外的数都不可能满足$$x^2\equiv D\bmod p$$ 。

所以 $$\\{1,2,3,\cdots,p-1\\}$$ 中除 $$x,p-x$$ 外的数可以两两配对满足 $$xy\equiv D\bmod p$$，而 $$x(p-x)=px-x^2\equiv -x^2\bmod p\equiv-D\bmod p$$

因此 $$(p-1)!\equiv -D^{\frac{p-1}{2}}\bmod p$$

代入 $$D=1$$ 就得到威尔逊定理。

此外，代入 $$(p-1)!\equiv -1\bmod p$$ 可得 $$D^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1\bmod p$$ ，如果$$D$$ 是 $$p$$ 的二次非剩余根据以上步骤可得 $$D^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1 \bmod p$$ ，由此得到$$D^{\frac{p-1}{2}}\equiv\pm 1 \bmod p$$ 可以用来判定 $$D$$ 是否为 $$p$$的二次剩余，即鼎鼎大名的欧拉判定，由此可进一步推导如平方互反等重要结论。

2. 原根

取 $$p$$ 的原根 $$g$$ ，则 $$1,g,g^2,\cdots,g^{p-2}$$ 除以 $$p$$ 的余数为$$1,2,3,\cdots,p-1$$ 。则

$$(p-1)!=g^{0+1+2+\cdots+(p-2)}=g^{\frac{(p-2)(p-1)}{2}}\bmod p$$

设 $$p=2k+1$$ ，则 $$(p-1)!\equiv g^{k(2k-1)}\bmod p$$

根据费尔马小定律，已知 $$(g^k)^2=g^{2k}=g^{p-1}\equiv 1\bmod p$$ ，则 $$g^k\equiv \pm 1\bmod p$$ ，但 $$k<p$$ ，因此 $$g^k\not\equiv1\bmod p$$ ，所以只能 $$g^k\equiv -1 \bmodp$$ ，那么

$$(p-1)!=g^{k(2k-1)}=(-1)^{2k-1}=-1\bmod p$$

3. 既然用了费尔马小定律，有一个代数证明：

考虑多项式

$$f(x)=x^{p-1}-1-(x-1)(x-2)\cdots(x-p+1)$$

根据小费， $$f(1)=f(2)=\cdots=f(p-1)\equiv 0\bmod p$$

因此， $$1,2,\cdots,p-1$$ 是 $$p-2$$ 次多项式（最高项消除） $$f(x)$$ 模 $$p$$ 的根，因此可得$$f(x)\equiv 0 \bmod p$$ ，所有系数皆为 $$p$$ 的倍数，包括常数项，即

$$-1-(-1)^{p-1}(p-1)!\equiv 0 \bmod p$$

$$(p-1)!\equiv -1\bmod p$$

如果用群论的话，可以直接将西罗定理3用在对称群上得到。