请问如何证明下面这个双中值等式?
设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 连续, 在 $(a, b)$ 可导, 求证在 $(a, b)$ 内存在相异两点 $\xi$ 和 $\eta$ 使得 $f^{\prime}(\xi) f^{\prime}(\eta)=\left[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right]^2 $
## $$\bold{\text{Proof 1}}$$

置 $$F(x):=[f(x)-f(a)]^2-\left[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right]^2(x-a)^2,\\\$$ 则有$$F(a)=F(b)=0.$$ 于是依 $$\text{Lagrange}$$ 中值定理，存在 $$\eta \in (a,b)$$ 使得$$F'(\eta)=0,$$ 也即 $$\frac{f(\xi)-f(a)}{\xi-a}\cdotf'(\xi)=\left[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right]^2,\\\$$ 再依 $$\text{Lagrange}$$中值定理，存在 $$\eta \in(a,\xi)$$ 使得 $$\frac{f(\xi)-f(a)}{\xi-a}=f'(\eta),$$ 于是 $$f'(\xi)f'(\eta)=\left[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right]^2.\\\$$

* * *

$$\bold{\text{Proof 2}}$$

置 $$\varphi(x):=[f(x)-f(a)]^2,~~\psi(x):=(x-a)^2,\\\$$ 则依 $$\text{Cauchy}$$中值定理，存在 $$\xi \in(a,b)$$ 使得 $$\begin{align*}\frac{\varphi(b)-\varphi(a)}{\psi(b)-\psi(a)}=\frac{\varphi'(\xi)}{\psi'(\xi)},\end{align*}\\\$$ 也就是$$\left[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right]^2=\frac{f(\xi)-f(a)}{\xi-a}\cdotf'(\xi)\\\$$ 再依 $$\text{Lagrange}$$ 中值定理，存在 $$\eta\in(a,\xi)$$ 使得$$\frac{f(\xi)-f(a)}{\xi-a}=f'(\eta),$$ 代入即得结论。

事实上，可以证明：

> $$\bold{\text{Corollary}}$$ 若 $$f(x)$$ 在 $$[a,b]$$ 上连续，在 $$(a,b)$$> 内可导，则必定存在互不相同的 $$n$$个点$$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n\in(a,b)$$ 使得> $${f'(\xi_1)f'(\xi_2)\cdots> f'(\xi_n)=\left[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right]^n.}\\\$$

这只需要置 $$\varphi(x):=[f(x)-f(a)]^n,~~\psi(x):=(x-a)^n,\\\$$ 进行与前类似的推导再利用归纳法即证。