如何证明 n⁵ ≡ n (mod 10) ？也就是如何证明一个正整数的五次方的个位数字为其本身的个位数字？
只需证明 $n^5-n$ 能被 10 整除。首先请注意如下简单的事实:

- 连续 5 个自然数的乘积必能被 10 整除，因为这 5 个自然数中必有一个是 2 的倍数，也必有另一个是 5 的倍数。- 连续 2 个自然数的乘积必能被 2 整除，因为这 2 个自然数中必有一 个是偶数。于是

$$\begin{aligned}n^5-n & =\overbrace{n(n-1)(n+1)(n+2)(n+3)}^{\text {some } 10 p}-5 \overbrace{n(n-1)}^{\text {some } 2 q}(n+1)^2 \\& =10 p-5 \cdot 2 q \cdot(n+1)^2=10\left(p-q(n+1)^2\right) .\end{aligned}$$