湍流中的能-频特征是怎样的？
各种湍流教材里面能谱（能量-
空间波数分布）讲得很多，但很少见到讨论湍流的频率特性的（基本就给个频谱的定义），那么在例如均匀湍流、剪切流、壁湍流等问题中，湍流的能频分布是如何的呢？是否有文献、专著对此进行过详细的讨论研究。（也欢迎关于wavenumber-frequency spectrum的介绍）
如果是以欧拉的视角（即站在原地测量时间序列），那很早以前的实验就是这么干的（扔一些个 hot wire 在流场里测就行了） ，然后通过 Taylor's frozen hypothesis 将所测得的时间序列和空间结构关联起来。

已知柯氏能谱$$E(\kappa) \sim \varepsilon^{2 / 3} \kappa^{-5 / 3}$$

尺度 $\kappa$ (或者说 eddy size 为 $\ell \sim 1 / \kappa)$ 的动能$$k(\kappa) \sim \kappa E(\kappa) \sim \varepsilon^{2 / 3} \kappa^{-2 / 3}$$

由 Taylor's frozen hypothesis 有 $\omega \sim U \kappa$ ，其中 $U=\left(\frac{1}{3} \overline{u_i u_i}\right)^{1 / 2}$ ，代入 $E(k)$ 可得欧拉视角下 惯性区内频谱标度律$$E^E(\omega) \sim U^{2 / 3} \varepsilon^{2 / 3} \omega^{-5 / 3}$$

虽然形式上 $E^E(\omega)$ 和空间能谱 $E(\kappa)$ 近平一致，但是引入了一个大尺度 non-universal 的特征速度 $U$ ，从而导致经典柯氏假设被打破。

如果是以拉格朗日的视角（即追踪 passive particles），这个工作相比上面开展的晚，主要因为实验里追踪 particles 在技术上是 非常困难的，而数值模拟刚开始流行的时候也很难进行大规模的 Lagrangian particle tracking。

根据式 (1) ， 定义 eddy-turnover time$$\tau \sim \frac{k}{\varepsilon} \sim \varepsilon^{-1 / 3} \kappa^{-2 / 3}$$

可得 Lagrangian 频率$$\omega \sim \tau^{-1} \sim \varepsilon^{1 / 3} \kappa^{2 / 3} \rightarrow \kappa^{-2 / 3} \sim \varepsilon^{-1 / 3} \omega^{-1}$$

代入式(1) 可得 $k(\omega) \sim \varepsilon \omega^{-1}$ 。由 $E^L(\omega) \sim k(\omega) / \omega$ ，故在拉格朗日视角下，惯性区内频谱满足$$E^L(\omega) \sim \varepsilon \omega^{-2}$$

相 比 $E^E(\omega) ， E^L(\omega)$ 不包含大尺度量，满足柯氏假设。

Space-time correlation 和相应的 wavenumber-frequency spectrum 似乎更多地出现在 shear flow这种带有 convection 和 coherency 的流动中。具体工作肯定是要参考何国威院士2017年发表的 ARFM 以及他早年的一些工作; 其他一些边界层/channel flow的工作有时也会包含该内容。