这道极其复杂集合card题有没有什么好的解法？
已知函数 $f(x)$ 满足 $\left\{x \mid f(x)>f\left(\frac{1}{1-x}\right)=(a, b)(1<a<b)\right.$, 记 $f(x)$ 的最小值为 $M$, 最大值为 $N, S=\{x \mid f(x)=M\}, T=\{x \mid f(x)=N\}$, 则下列命题为假命题的是 (注: $\operatorname{card}(A)$ 表示集合 $A$ 中元素的个数)
A. 若 $\operatorname{card}(S)=1$, 则 $S \subseteq(a, b)$
B. 若 $\operatorname{card}(T)=1$, 则 $T \subseteq(a, b) \quad$
C. 若 $\operatorname{card}(S)=2$, 则 $S \subseteq(a, b)$
D. 若 $\operatorname{card}(T)=2$, 则 $T \subseteq(a, b)$
首先注意函数 $$\frac{1}{1-x}$$ 套两次会回到自己

$$\frac{1}{1-\frac{1}{1-x}}=1-\frac{1}{x}$$ ，$$\frac{1}{1-(1-\frac{1}{x})}=x$$

而且当 $$x>1$$ 时， $$\frac{1}{1-x}<0$$ ， $$0<1-\frac{1}{x}<1$$ ，因此这个函数每套用一次，就会在$$(1,\infty)\rightarrow(-\infty, 0)\rightarrow(0,1)$$ 之间循环。

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所以问题的第一个条件就是说，当 $$a<x<b$$ 时

$$f(x)>f(\frac{1}{1-x})\leq f(1-\frac{1}{x})\leq f(x)$$

当 $$x\geq b$$ 或 $$1<x\leq a$$ 时

$$f(x)\leq f(\frac{1}{1-x})\leq f(1-\frac{1}{x})\leq f(x)$$ ，即$$f(x)=f(\frac{1}{1-x})=f(1-\frac{1}{x})$$

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设 $$O=(a,b)\bigcup(\frac{1}{1-a},\frac{1}{1-b})\bigcup(1-\frac{1}{b},1-\frac{1}{a})$$

可见当 $$x\notin O$$ 且 $$x\neq 0,1$$ 时，你有$$f(x)=f(\frac{1}{1-x})=f(1-\frac{1}{x})$$

当 $$x\in O$$ 时，在 $$x,\frac{1}{1-x},1-\frac{1}{x}$$ 三个数中有一个 $$\in (a,b)$$，不失一般性，设 $$x\in (a,b)$$ ，那么 $$f(x)> f(1-\frac{1}{x})\geq f(\frac{1}{1-x})$$ 或者$$f(x)\geq f(1-\frac{1}{x})> f(\frac{1}{1-x})$$

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因此A和C肯定是错的，最小值永远不可能取在 $$x\in(a,b)$$ 内，根据定义 $$f(x)>f(\frac{1}{1-x})$$。最大值如果有2个的话，可能发生一种情况：即 $$x\in (a,b)$$ 和 $$1-\frac{1}{x}\notin (a,b)$$ ，且$$f(x)=f(1-\frac{1}{x})$$ 取到最大值，因此D是错误的。

唯一正确的是B。

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以上都没有考虑0和1，事实上很容易构造满足条件且 $$S=\\{0\\}$$或者 $$S=\\{0,1\\}$$ ， $$T=\\{1\\}$$ 或者$$T=\\{0,1\\}$$ 的情况，这种情况下就连B也可以是错的。