是否存在不同构于标准自然数的可数一阶自然数模型？
定理: 存在 个两两不同构的可数PA模型. 证明: 如果一个理论 是递归可枚举且一致的, 那么就存在一个句子 使得 和 都是一致的.我们考虑一个infinite binary tree, 初始node是PA, 然后每一个点left branch和rightbranch分别是上一个点T的扩张 和 . 如果PA是一致的, 那么这个树上的每一个path的并都会是一个一致的理论. 由于我们的语言并没有变动,我们的语言仍然是可数的. 那么每一个path都有一个可数模型. 如果M1和M2是两个不同paths的模型,那么M1和M2会对某一个句子的判断相反(即存在一个句子P使得M1满足P, M2满足~P). 所以M1和M2不同构. 证明完毕.