为什么样本方差（sample variance）的分母是 n-1？
本来，按照定义，方差的 estimator 应该是这个：$$S_1^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$$但，这个 estimator 有 bias，因为:$$\begin{aligned}E\left(S_1^2\right) & =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E\left(\left(X_i-\bar{X}\right)^2\right)=\frac{1}{n} E\left(\sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu+\mu-\bar{X}\right)^2\right) \\& =\frac{1}{n} E\left(\sum_{i=1}^n\left(\left(X_i-\mu\right)^2-2\left(X_i-\mu\right)(\bar{X}-\mu)+(\bar{X}-\mu)^2\right)\right) \\& =\frac{1}{n} E\left(\sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2-2 \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)(\bar{X}-\mu)+n(\bar{X}-\mu)^2\right) \\& =\frac{1}{n} E\left(\sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2-2 n(\bar{X}-\mu)(\bar{X}-\mu)+n(\bar{X}-\mu)^2\right) \\& =\frac{1}{n} E\left(\sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2-n(\bar{X}-\mu)^2\right) \\& =\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^n E\left(\left(X_i-\mu\right)^2\right)-n E\left((\bar{X}-\mu)^2\right)\right) \\& =\frac{1}{n}(n \operatorname{Var}(X)-n \operatorname{Var}(\bar{X})) \\& =\operatorname{Var}(X)-\operatorname{Var}(\bar{X})=\sigma^2-\frac{\sigma^2}{n}=\frac{n-1}{n} \sigma^2,\end{aligned}$$

而 $(n-1) / n{ }^* \sigma^{2} !=\sigma^2$ ，所以，为了避免使用有 bias 的 estimator，我们通常使用它的修正值 $S^2$ :$$S^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$$