甲乙两人下围棋，甲胜的概率为a，乙胜的概率为b，a+b=1，比对方多赢两局者获胜，求甲赢的概率?
设 $f_k$ 表示甲已经领先 $k$ 局的情况下，甲最终获胜的概率。 $k$ 的范围从 $-n$ 到 $n$ ， $f_{-n}=0, f_n=1$ 。问 题要求的就是 $f_0$ 。

写出递推式:$$f_k=a f_{k+1}+b f_{k-1}$$

注意到 $1=a+b$ ，所以:$$(a+b) f_k=a f_{k+1}+b f_{k-1}$$

即$$a\left(f_{k+1}-f_k\right)=b\left(f_k-f_{k-1}\right)$$

这就是说， $f_k$ 的差分成等比数列，公比为 $b / a$ 。

$f_k$ 的差分一共有 $2 n$ 项，它们的总和为 $f_n-f_{-n}=1$ 。而我们要求的 $f_0$ 是差分的前 $n$ 项和。由公比知，差分的后 $n$ 项和是前 $n$ 项和的 $(b / a)^n$ 倍，所以答案为$$f_0=\frac{1}{1+(b / a)^n}=\frac{a^n}{a^n+b^n}$$