如何用定义证明1/x是双曲线？(F1-F2＝2a)？
将曲线 $$\mathscr{H}:y=\frac{1}{x}$$ 顺时针旋转 $$\frac{\pi}{4},$$由于旋转变换并不改变曲线本身形状，我们只需证明这旋转后的曲线 $$\mathscr{H'}$$ 是双曲线即可。

考虑极坐标化， $$\mathscr{H}$$ 的极坐标方程为 $$r^2\sin\theta\cos\theta=1.$$ 假设$$(r,\theta)$$ 是 $$\mathscr{H'}$$ 上任意一点，则将其逆时针旋转 $$\frac{\pi}{4}$$ 还原后的位置$$\left(r,\theta+\frac{\pi}{4}\right)$$ 必落于 $$\mathscr{H}$$ 上，这坐标将满足$$\mathscr{H'}$$ 方程，即有$$r^2\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=1,\\\$$也就是 $$\frac{1}{2}r^2\cos^2\theta-\frac{1}{2}r^2\sin^2\theta=1,\\\$$ 再化到直角坐标系，有$$\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}=1,\\\$$ 这就得到了 $$\mathscr{H'}$$ 的方程，显然表示着一条等轴双曲线。