这个极限怎么求，一个考研题?
$x_n=\sum_{k=0}^n rac{1}{k !}$ 则 $\lim _{n 
ightarrow \infty}\left(rac{\ln x_n}{\sqrt[n]{e}-1}-n
ight)$
$$\begin{align*} L:&=\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\lnx_n}{\sqrt[n]{e}-1}-n\right)=\lim_{n \to \infty}\frac{\lnx_n-n(\sqrt[n]{e}-1)}{\sqrt[n]{e}-1}\\\ &=\lim_{n \to \infty}\frac{\lnx_n-n(\sqrt[n]{e}-1)}{\frac{1}{n}}\\\ &=\lim_{n \to \infty} n(\lnx_n-1)-[n^2(\sqrt[n]{e}-1)-n].\\\ \end{align*}$$

其中

$$\begin{align*} J:&=\lim_{n \to \infty}n(\ln x_n-1)=\lim_{n \to \infty}n\ln\left(1-\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{ek!}\right)\\\ &=\lim_{n \to\infty}n\left(-\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{ek!}\right)=-\frac{1}{e}\lim_{n\to \infty}\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{n}{k!}, \end{align*}$$

而

$$0\le\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{n}{k!}\le \sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{k}{k!}=\sum_{k=n}^{\infty}\frac{1}{k!}\to0(n\to \infty),$$

所以 $$J=0.$$ 同时

$$\begin{align*} K:&=\lim_{n \to \infty} \left[n^2(\sqrt[n]{e}-1)-n\right]=\lim_{n \to \infty}\left[n^2\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{2n^2}+\cdots\right)-n\right]=\frac{1}{2},\end{align*}$$

所以

$$L=J-K=-\frac{1}{2}.$$