请问这道极限题怎么求解？
$\lim _{x 
ightarrow 1}\left(rac{m}{1-x^m}-rac{n}{1-x^n}
ight) \quad\left(m, n \in N_{+}
ight)$;
只需利用如下结论

> $$\color{blue}{\lim_{x \to> 1}\left(\frac{k}{1-x^k}-\frac{1}{1-x}\right)=\frac{k-1}{2}~~(k\in\mathbb{N_+}).}\\\$$

这证明很容易，考虑如下因式分解即可：

$$\begin{align*}&~~~~~\frac{k}{1-x^k}-\frac{1}{1-x}\\\&=\frac{k}{1-x^k}-\frac{1+x+x^2+\cdots+x^{k-1}}{1-x^k}\\\&=\frac{(1-1)+(1-x)+(1-x^2)+\cdots+(1-x^{k-1})}{1-x^k}\\\&=\frac{0+1+(1+x)+\cdots+(1+x+x^2+\cdots+x^{k-2})}{1+x+x^2+\cdots+x^{k-1}}.\end{align*}\\\$$

对于当前问题，有

$$\begin{align*} &~~~~\lim_{x \to1}\left(\frac{m}{1-x^m}-\frac{n}{1-x^n}\right)\\\&=\lim_{x \to1}\left(\frac{m}{1-x^m}-\frac{1}{1-x}\right)-\lim_{x \to1}\left(\frac{n}{1-x^n}-\frac{1}{1-x}\right)\\\&=\frac{m-1}{2}-\frac{n-1}{2}\\\ &=\frac{m-n}{2}. \end{align*}\\\$$