如何证明 f(x) 在 [0,1] 上最多只有有限个零点？
自己做的时候无意间忽略了 $f^{\prime}$ 不连续的情况，被指出错误后不知道该如何下手了，题目如下:
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 可导， 且 $\left\{x \in[0,1] \mid f(x)=0, f^{\prime}(x)=0\right\}=\varnothing$, 证明: $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上最多只有有限个零点.
考虑利用反证法。设若 $$f(x)$$ 在 $$[0,1]$$ 上有无穷多个零点，则依 $$\text{Bolzano-Weierstrass}$$定理，必可求得一列零点 $$\\{x_n\\}$$ 使得，当 $$n\to \infty$$ 时成立 $$x_n\to x^{*}\in[0,1].$$

很清楚，由于 $$f(x)$$ 连续，则 $$f(x^*)=\lim_{n \to \infty}f(x_n)=\lim_{n \to\infty}0=0,\\\$$ 同时，由于 $$f(x)$$ 在 $$x=x^{*}$$ 可导，也即 $$f'(x^*)=\lim_{x \tox^*}\frac{f(x)-f(x^{*})}{x-x^*},\\\$$ 存在，于是依 $$\text{Heine}$$ 定理，又有$$0=\lim_{n \to \infty}\frac{f(x_n)-f(x^*)}{x_n-x^*}=f'(x^*),\\\$$ 于是$$f'(x^*)=0.$$ 由此可见，存在 $$x^*\in [0,1]$$ 满足 $$f(x^*)=f'(x^*)=0,$$这违反了那个有关空集的题设。