数学为什么需要证明一些看起来非常直观、明显的东西（比如定理）？比如，在高中数学的时候，我们学过介值定理，可这个定理画出图来就可以解决了。又比如 Jordan
曲线定理，基本也是画图就能看出来基本成立。为什么一些看起来这么明显的定理也需要证明？
因为数学家的真正目的就不是为了证明这些结论本身，而是发展出一套证明策略，不仅能证明显然的结论，也能证明highlynontrivial的结论。如果这套证明策略连显然的结论都证不出或者证出相反的结论，那如何能相信它们能用来证明更复杂的结论呢？所以说证明显然的结论，目的是为了test一套证明策略的（最基本的）有效性，以及在教学上用简单的例子教会学生基本的证明方法。

另外，从数学发展的角度看，证明显然的结论的目的是为了找出一个数学对象合适的定义（比如什么是连续，什么是可微等等）。是否有反直觉的反例，很多时候取决于定义是怎样的。如果觉得证明的目的只是证明显然的结论本身，而没有注意到证明过程对历史上寻找和完善数学定义的决定性作用，那就看不出证明的意义在哪里。比如，当数学家定义了连续函数之后发现了“填满平面的曲线”这种反直觉的东西，就必须做出选择：是加强连续性的定义，但付出的代价是这个概念能够运用的场合变少；还是保留定义，同时强迫自己接受反直觉的例子。

这种抉择在数学发展的过程中比比皆是，而且很多时候做出抉择的依据往往是出于实用性方面的考量。别说数学分析里那些基本概念了，哪怕是前沿的数学研究，很多时候都是先有一些expected或well-known的性质，然后找一个合适的定义/理论框架来装下这些性质。这些well-known的性质在数学前沿研究者眼中就是“显然”的。而他们去寻找定义和理论框架，并在这个框架下给出证明，其主要目的也不是这些well-known和expected的结果本身。