如何证明：两个数之间必有无穷多个无理数?
首先可以证明

> 对任意实数 $$a,b(a<b)$$ ，必存在某个无理数 $$\theta$$ 满足 $$a<\theta<b.$$

这只需要分类讨论即可：

  * 若 $$a,b$$ 当中一个是有理数、另一个是无理数，取 $$\theta=\dfrac{a+b}{2}$$ 即合题意；  * 若 $$a,b$$ 均为有理数，取 $$\displaystyle \theta=\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)a+\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}\right)b=\frac{\sqrt{2}}{4}(b-a)+\frac{a+b}{2}$$ 即合题意；  * 若 $$a,b$$ 均为无理数，考察 $$\displaystyle c=\frac{a+b}{2},$$ 若 $$c$$ 是无理数，即取 $$\theta=c$$ ，否则取 $$\displaystyle\theta=\frac{a+c}{2}$$ 即可。

有了这个结论，即可进一步证得 $$a,b$$ 之间有无穷多个无理数。若其不然，假如这样的无理数只有有限多个，其中就必有最大者，不妨记为 $$m,$$而依前述结论，在 $$m,b$$ 之间必定还有无理数 $$m'>m,$$ 矛盾。