什么是「哈密顿力学」？
**哈密顿力学的想法非常直接，就是物理学应该描述一个物理系统的状态如何随着时间演化。**

既然要描述系统状态的演化，就需要有一个包含所有可能状态的空间，每个时刻的状态对应空间中一点。**粒子的“运动”被理解为状态在状态空间中变化，而不是位置在物理空间中变化。** 我们现在号称是进入了信息时代。既然进入信息时代就要从信息的角度来考虑问题。**一个系统的状态就是我们对这个系统本身在某一个时刻原则上可以了解到的（可随时间变化的）信息。因此系统的“运动”就是其信息（状态）的变化。**这应该是非常自然的想法。

经典力学中，一个粒子的状态是某个时刻的位置和动量，状态空间叫相空间。在量子力学中，一个粒子的状态是波函数，状态空间叫做（波函数所属的）希尔伯特空间。

 **既然物理规律要解释状态的变化（在状态空间中的运动），所以不管是经典还是量子力学，基本的物理方程都是状态演化方程，形式都是：**

 **“状态对时间的变化率”=“描述外界对系统影响的一个数学表达式”**

在经典物理中，这是哈密顿方程。在量子力学中，这是薛定谔方程。这些都是对时间导数而言的一阶微分方程。

**不管是经典物理还是量子物理，“外界的影响”都用一个数学量来描述（给它起名叫“哈密顿量”），这就是哈密顿量的本质。当然了，即使没有外界影响我们也将其解释为一种特殊的外界影响（外界影响为零嘛）。**所以哈密顿量里面总包含一个没有外界影响下推动状态自顾自地变化的部分：自由哈密顿量。在经典力学中，哈密顿量本身是状态的函数。而在量子力学中，哈密顿量是一个可以作用在状态上的线性操作。

 **很多人熟悉的经典力学的表述方式是使用牛顿第二定律**，那是一个二阶微分方程。牛顿定律表述和哈密顿表述有什么关系呢？在经典力学中，二者是可以互相推出的。**但从分析系统信息的角度看，哈密顿力学的表述方式比牛顿定律的表述方式要直接得多。**牛顿定律描述的是粒子位置的变化，然后从位置的变化导出动量从而间接描述状态（及其变化）。

 **牛顿定律的表述唯一的优点是入门难度略低一些** ，毕竟位置的变化感觉最直观。

由于牛顿定律表述和哈密顿表述的方式不同，二者对于外界影响的表述也不同。前者使用“力”来描述外界对粒子影响，后者使用“哈密顿量”。这说明了一个让很多初学者难以接受的显然事实：**“力”不是一个必须的物理概念。哈密顿表述里没有“力”。**

 **哈密顿力学表述相对于牛顿定律表述的优越性是极其巨大的。** 最重要的原因是下面两个。

 **1 统计力学本质上就是用信息论和概率论的方式来研究物理，自然和直接描述系统信息（状态）的哈密顿力学表述配合比较好。**这也是为什么经典统计力学中大家见到的很多重要东西都是用哈密顿量表示出来的而不是用力表示出来。

**2 到了量子力学时代，牛顿定律的表述就无效了。** 粒子没有了轨迹，所以不能谈论粒子的位置随时间变化的函数及其导数。 同时“力”这个概念也完全失效了。**但是哈密顿力学表述却依然适用，因为它是基于信息（状态）的表述。**这就是为什么量子力学里通常使用哈密顿力学的表述方式（当然有时候也使用拉格朗日力学的表述方式）。

量子力学的情况说明了， **从物理学体系全局看，哈密顿力学表述是比牛顿定律表述更为基本的**。因此大家学物理的时候从所谓牛顿第二定律导出哈密顿方程实属本末倒置。这是我们为先学习牛顿定律而非哈密顿表述而付出的走弯路之代价。