一个级数问题，如何求解？
事实上， $$f(x):=\frac{1}{1-x-x^2}$$ 就是著名的 $$\text{Fibonacci}$$ 序列 $$\\{F_n\\}$$的生成函数。

为了证得这个事实，考虑 $$f(x)$$ 的展开式

$$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots,$$

将 $$x=0$$ 代入 $$f(x),$$ 得 $$a_0=1;$$ 再将 $$x=0$$ 带入 $$f'(x),$$ 得 $$a_1=1.$$

此时，注意到

$$\begin{align*} f(x)-1-x=&a_2x^2+a_3x^3+\cdots,\\\xf(x)-x=&a_1x^2+a_2x^3+\cdots,\\\ x^2f(x)=&a_0x^2+a_1x^3+\cdots,\end{align*}$$

为证 $$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n,$$ 只需证

$$f(x)-1-x=xf(x)-x+x^2f(x),$$

这是显然成立的，因为这函数方程的解本来就是 $$f(x)=\frac{1}{1-x-x^2}.$$

对于当前问题，由于 $$a_n=F_n,$$ 进而

$$\\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{F_{n+1}}{F_nF_{n+2}} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{F_{n+2} - F_n}{F_nF_{n+2}} = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{F_n} -\frac{1}{F_{n+2}} \right) = \frac{1}{F_1} + \frac{1}{F_2} = 2.\\]$$