什么是贝特朗悖论？为什么会有贝特朗悖论？
和所有的数学分支类似，概率论的也是经历了从直觉到严格的过程。其中的一个转折点就是贝特朗悖论。

### 1古典派

古典派也就是高中时候学的概率论。它的核心哲学思想是：不充分理由原则。

#### 1.1不充分理由原则

雅各布·伯努利（1654－1705）提出，如果因为无知，使得我们没有办法判断哪一个结果会比另外一个结果更容易出现，那么应该给予它们相同的概率。比如：- 硬币：由于不清楚硬币哪一面更容易出现，那么应该给予正面、反面相同的概率，即为$rac{1}{2}$- 骰子：我们不清楚骰子哪一面更容易出现，那么应该给予每一面相同的概率，即为$rac{1}{6}$

此称为不充分理由原则（Insufficient Reason Principle）。

#### 1.2 古典概率

以不充分理由原则为基础，经由皮埃尔-西蒙·拉普拉斯侯爵（1749－1827）之手，确立了 古典概率 的定义，即：

**未知的概率都为等概率**

整个19世纪的人们都广泛接受这个定义，并发展出了一系列的定义和定理。

### 2贝特朗悖论

法国数学家贝特朗（也翻译为“伯特兰”）于1888年在他的著作《Calcul desprobabilités》中提到了这个悖论。原始的悖论比较复杂，下面我们给出一个等价的形式。

### 2.1锯木厂的木头

问：有一家锯木厂，它会把木头切成不同的木方，木方的截面都是正方形，边长会在$1 \sim 3$尺之间随机浮动。那么根据古典概率，该锯木厂生产出来的正方形边长在$1 \sim 2$尺之间的概率为多少？

解：根据不充分理由原则，因为不知道哪一种边长更容易出现，那么就应该给予它们相同的概率，也就是说$1 \sim 3$之间每一种长度都是等可能的。而$1 \sim 2$包含了一半的可能长度。所以，正方形边长在$1 \sim 2$ 尺之间的概率为：$rac{2-1}{3-1}=rac{1}{2}$

### 2.2 悖论的产生

刚才的问题还可以转为面积来解答， $1 \sim 3$尺边长的正方形面积为$1 \sim 9$平方尺，$1 \sim 2$尺边长的正方形面积为$1 \sim 4$ 平方尺：同样，根据不充分理由原则， $1 \sim 9$平方尺之间的正方面面积是等可能的，那么正方形面积在$1 \sim 4$平方尺之间的概率为：$rac{3}{8}$

选择对“长度”还是对“面积”运用不充分理由原则，同一个问题会得到了不同的概率，那么哪个是对的？

### 3 现代概率论

#### 3.1反思

19世纪不少人相信只要找到适当的等概率，就可以得到问题的唯一解。直到贝特朗悖论出现，人们才开始反思古典概率中的不合理之处：“等概率”的描述实在是太模糊了，存在歧义。在后来数学家的不断努力中，概率论变得越来越严谨，大学中学习的公理化的现代概率论就是集大成者。下面用现代的概率论重新来审视贝特朗悖论，你会发现其实根本没有矛盾之处。

#### 3.2重解贝特朗悖论

问：有一家锯木厂，它会把木头切成不同的木方，木方的截面都是正方形，边长会在$a \sim b$尺之间随机浮动：也就是说木方的边长是一个随机变量$X$，符合均匀分布（均匀分布就是等概率的意思）：

$X \sim U(a, b), \quad(0<a<b)$

那么:(1) 该锯木厂生产出来的正方形边长在 $c \sim d$ 尺之间的概率为多少 (其中 $a<c<d<b$ ) ?(2) 它的面积 $Y=X^2$ 又符合什么分布呢?

解: (1) 记 $X$ 的累积分布函数为 $F_X(x)$ ，其概率密度函数为 $p_X(x)$ ，因为 $X \sim U(a, b)$ , 所以:$$p_X(x)= \begin{cases}\frac{1}{b-a}, & a<x<b \\ 0, & \text { 其它 }\end{cases}$$

那么要求的正方形边长在 $c \sim d$ 尺之间的概率为:$$P(c \leq X \leq d)=\int_c^d p_X(x) \mathrm{d} x=\frac{d-c}{b-a}$$(2) 假设 $Y$ 的累积分布函数为 $F_Y(y)$ ，其概率密度函数为 $p_Y(y)$ 。先来求 $F_Y(y)$ :$$\begin{aligned}F_Y(y) & =P(Y \leq y)=P\left(X^2 \leq y\right) \\& =P(X \leq \sqrt{y})=F_X(\sqrt{y})\end{aligned}$$

将 $F_Y(y)$ 对 $y$ 求导 ${ }^{\circ}$ 就得到了概率密度函数，也就是得到了 $Y$ 的分布:$$\begin{aligned}p_Y(y) & =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} y} F_Y(y)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} y} F_X(\sqrt{y}) \\& =\frac{\mathrm{d} F_X(\sqrt{y})}{\mathrm{d}(\sqrt{y})} \frac{\mathrm{d} \sqrt{y}}{\mathrm{~d} y} 链式法则\\& =\frac{1}{2 \sqrt{y}} p_X(\sqrt{y}) \\& = \begin{cases}\frac{1}{2 \sqrt{y}} \cdot \frac{1}{b-a}, & a<\sqrt{y}<b \\0, & \text { 其它 }\end{cases} \\& = \begin{cases}\frac{1}{2 \sqrt{y}(b-a)}, & a^2<y<b^2 \\0, & \text { 其它 }\end{cases}\end{aligned}$$

（1）（2）两个问题回答下来，可见边长符合均匀分布时，面积并不符合均匀分布。

### 4总结

贝特朗悖论产生的原因在于，古典概率中的“等概率”非常模糊：- 边长的分布是未知的，所以是等概率的- 面积的分布是未知的，所以是等概率的

进而导出了矛盾。现代概率论通过分布来描述边长的随机性后，这种模糊性消失了，贝特朗悖论中的矛盾也就不存在的。