这个反常积分极限要怎么证明呢？
$\lim _{n 
ightarrow \infty} \int_0^{+\infty} e^{-x^n} d x=1$
请尝试用最少的知识解决问题。
尝试用最少的知识解决问题。当前问题并不需要什么高端工具，只要通过简单放缩并依夹逼定理即可求得结果。首先，通过拆分积分区间，可得

$$A_n:=\int_0^{+\infty} e^{-x^n}{\rm d}x=\int_0^1 e^{-x^n}{\rmd}x+\int_1^{+\infty} e^{-x^n}{\rm d}x=:B_n+C_n,$$

利用基本的不等式 $$(\forall x)e^x\ge1+x$$ 可得

$$1-x^n\le e^{-x^n}=\frac{1}{e^{x^n}}\le\frac{1}{1+x^n}=1-\frac{x^n}{1+x^n}.$$

于是，对于 $$B_n,$$ 有

$$\begin{align*} \frac{n}{n+1}=\int_0^1 (1-x^n ){\rm d}x\le B_n\le \int_0^1\left(1-\frac{x^n}{2}\right){\rm d}x=\frac{2n+1}{2n+2}, \end{align*}$$

依夹逼定理， $$\lim_{n \to \infty} B_n=1.$$ 对于 $$C_n,$$ 有

$$0\le C_n\le \int_1^{+\infty}\frac{{\rm d}x}{1+x^n}\le \int_1^{+\infty}\frac{{\rm d}x}{x^n}=\frac{1}{n-1},$$

依夹逼定理， $$\lim_{n \to \infty} C_n=0.$$ 综上， $$\lim_{n \to \infty} A_n=1.$$