二阶导数的符号问题？
为什么不记做 $rac{d^2 y}{d^2 x}$ ，而是记作 $rac{d^2 y}{d x^2}$ ，不会让人误解 $d x^2=2 d x$ 吗? 这么做的好处在哪?
二阶导数之所以记为 $$\frac{{\rm d}^2 y}{{\rm d}x^2}$$ 是有历史渊源的，它来源于二阶差商的概念。

## 一、差分

差商又来源于差分。这里先从差分说起。

对于函数 $$y=f(x)$$ ，赋予自变量 $$x$$ 一个固定的增量 $$\Delta x$$ ，就定义

$$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)\\\$$

为函数 $$y=f(x)$$ 的一阶差分。那么，将一阶差分再作差分，就得到二阶差分，即

$$\Delta(\Delta y)=\Delta (f(x+\Delta x)-f(x))\\\$$

类似地，还可以定义三阶、四阶……直至 $$n$$ 阶差分。随着阶数的增加，左端的记号会变成 $$\Delta(\Delta(\Deltay)),\Delta(\Delta(\Delta(\Delta y))),\cdots$$ 这过于复杂，于是数学上将它简记为 $$\Delta^n y,$$这里 $$n$$虽然写在右上角，但并不是乘方幂次，仅仅表示差分阶数。因此， $$\Delta^2 y$$ 就是二阶差分，$$\Delta^3y$$就是三阶差分，以此类推。

## 二、差商

有了差分的概念，我们就可以定义差商：

一阶差商 $$\frac{\Delta y}{\Delta x},$$ 二阶差商 $$\frac{\Delta^2 y}{(\Delta x)^2},$$…… ，$$n$$ 阶差商就是 $$\frac{\Delta^n y}{(\Delta x)^n}，$$

这里，分母上的 $$n$$ 确实表示 $$\Delta x$$ 的幂次，括号即使去掉也不会产生误解，只要我们牢记这是 $$\Delta x$$ 的乘方。

## 三、作为差商极限的导数

现在，我们来研究差商和导数的关系。事实上，可以证明：

> 函数的$$n$$ 阶导数（如果存在）就是 $$n$$ 阶差商在 $$\Delta x \to 0$$ 时的极限。

很清楚，对于一阶导数来说，这是成立的，完全就是定义。那么，对于二阶导数又如何呢？这里我们考虑先将 $$\Delta^2y$$ 作一下变形，容易得到

$$\begin{align*} \Delta^2y&=\Delta (f(x+\Delta x)-f(x))\\\ &=f(x+\Deltax+\Delta x)-f(x+\Delta x)-(f(x+\Delta x)-f(x))\\\ &=f(x+2\Delta x)-2f(x+\Deltax)+f(x).\\\ \end{align*}$$

于是二阶差商的极限，就是

$$\begin{align*} \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta^2 y}{\Deltax^2}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+2\Delta x)-2f(x+\Delta x)+f(x)}{(\Deltax)^2}. \end{align*}\\\$$

这个极限怎么求呢？注意，二阶导数是存在的，容易看出这是一个 $$0/0$$ 型极限，于是可以考虑利用洛必达法则，就有

$$\begin{align*} \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta^2 y}{\Deltax^2}&=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+2\Delta x)-2f(x+\Delta x)+f(x)}{(\Deltax)^2}\\\ &=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{2f'(x+2\Delta x)-2f'(x+\Deltax)}{2\Delta x}\\\ &=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f'(x+2\Delta x)-f'(x+\Deltax)}{\Delta x}.\end{align*}\\\$$

根据二阶导数的定义，这末式显然就是 f''(x)" eeimg="1"> 。于是，我们证得了

$$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta^2 y}{\Delta x^2}=f''(x)=\frac{{\rmd}^2y}{{\rm d}x^2}.\\\$$

仔细观察等式左右两端，右端不过是把左端的极限号去掉，然后把希腊字母 $$\Delta $$ 改成了拉丁字母 $${\rm d}.$$ 

到这里，我们已经豁然开朗了，为什么二阶导数的记号要写成这个形式？原来分子上的 $$2$$ 代表阶数，分母上的 $$2 $$代表平方。这么说来，二阶导数这个记号确实可以看做是一个比值的极限，即商的极限。如此，我们就大概知道导数又称微商的缘由了。

## 四、一个注记

最后，需要指出，尽管我们在二阶导数存在的前提下证明了，二阶导数就是二阶差商的极限，但却不能直接将二阶导数定义为二阶差商的极限。因为存在着这样一种情况，虽然函数二阶差商极限存在，但函数却不是二阶可导的，读者可以自行寻找这样的反例。