复数的数学和物理意义是什么？
复数为什么重要？有如下一些原因（这个单子并不完整）。

1复数是实数的一种扩张，正如实数是有理数的扩张。在扩张的过程中，它推广了实数的加减乘除四则运算，并且保持了实数中四则运算的各条运算律（加法交换律，乘法交换律等）。数学家霍普夫的一个不太容易证明的定理说：这种扩张只有复数，没有其他可能。有人可能听说过什么四元数八元数，但那是牺牲掉了某些运算律的。

2复数有重要几何意义，其四则运算也有。复数可以和平面上的点建立一一对应，而它的加减乘除都对应于平面上的操作。比如乘法的几何意义：可以理解为拉伸向量与旋转向量两种操作的复合。

人们自然会问，我们是不是可以做进一步的推广？比如说让三维空间中的点一一对应于某些数，然后让这些数的四则运算对应于三维空间中的几何操作，同时还满足和实数一样的运算律。上述霍普夫的定理告诉我们不可能（不仅对三维，对其他更高维数也不可能）。因此，复数的独特性可以说是二维世界几何学的独特性的集中体现。

当然了，如果放弃对运算律的严格要求，那么所谓“让三维空间中的点一一对应于某些数，然后让这些数的四则运算对应于三维空间中的几何操作”是可行的。但这是另外的故事了。

3代数基本定理。这个定理说一个（以实数或者复数为系数的）多项式一定有根（使多项式等于零的变量取值），当然它的根可能是复数根。这样就使得解多项式方程的问题在复数的范围内是封闭的（在实数范围内则不是）。从解代数方程的角度看，复数也具有独特地位。

4实数可以看成复数的极限。什么极限？虚部趋于零的极限。从几何上看，这相当于从上半和下半平面趋向于实数轴。这是一种研究实数世界中问题的高维观点，有时有“降维打击”之奇效。

5 从微积分的角度看，复数领域中的微积分性质极佳。

在实数的范围内，我们可以研究自变量和取值均为实数的函数。我们知道如何定义它的导数，即变化率（函数值相对自变量的变化快慢）。如果这变化率是存在的，我们就说这个函数是可微的。对于复数我们也可以尝试着做类似的事情。我们研究自变量和函数值都是复数的函数。我们自然也可以问，其可微的条件是什么？令人震惊的事情发生了。这个条件可以写为两个微分方程：柯西黎曼方程组。这个复函数的实部和虚部，作为两个实值二元函数共同满足该方程组。也就是说，复变量函数求变化率这件事情与实变量函数求变化率是本质上不同的。前者本质上涉及微分方程，而后者并不涉及。

另一方面，复函数理论的代数化程度也远超实函数理论。复变函数论的又一个基本事实是：如果一个复函数是可微的，那么它等于它自身的泰勒级数。这件事对于实函数来说一般是不成立的。从代数角度看，泰勒级数可以看成是多项式的自然推广。如果你取前面n项，就是用n次多项式来近似原来的函数。如果函数等于自身泰勒级数，那你形式上就相当于用“无穷多次的多项式”来研究一个函数。多项式的研究本质上是代数的，因此可微的复函数之研究其代数风味也非常浓郁。

总之，对于微积分而言，复函数的“微分方程性”和“代数性”远超实函数并且完美结合。

6由于（如第二条所述）复数的运算抓住了旋转这个几何操作，它也抓住了对角度研究的精髓。一个标志就是将正弦余弦用复指数函数表示出来的欧拉公式。由于对（单变量）周期现象的研究可以几何化为在圆周上研究函数，关于角度的正弦余弦被用于分解周期函数（傅里叶分析）。由此复数也参与了描述周期性现象，有相当的便利。

7 量子力学要使用复数。这是绝对必须的，并非仅仅出于便利。