原数列收敛于A、任何子列收敛于A、奇数项和偶数项子列同时收敛于A 。这三个命题是充要的吗？

已知数列的奇数项子列，偶数项子列都收敛于 $a$ ，怎么证明原数列收敛于 $A$ ?
证明如下 :
对任意 $\varepsilon>0$, 存在 $N_1 \in N$ ，使得 $n>N_1$ 时，总有 $|X(2 n-1)-A|<\varepsilon$ ；对任意 $\varepsilon>0$;存在 $N_2 \in N$ ，使得 $n>N_2$ 时，总有 $|X(2 n)-A|<\varepsilon$.

取 $N=\max 2 N_1, 2 N_2$, 于是对任意 $\varepsilon>0$, 存在自然数 $N$ 使得 $n>N$ 时总有 $|x(n)-A|<\varepsilon$. $\therefore x(n)$ 收敛于 $A$.

有的地方讲 $\lim x_n=A$ 和所有子列都收敛 于 $A$ 等价，比如下面的课件文本所示。这是不是表明原数列收敛于 $A$ 、任何子列收玫于 $A$ 、奇数项和偶数项子列同时收敛于 $A$ 。这三个命题是充要的。

但是还没有在哪本教材上看到类似表述，请指导

课件：
3. (有界性) 设 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=\boldsymbol{A}$, 那么存在正数 $M$ 使得 $\left|x_n\right| \leq M$.
4. (子列收敛性) $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=A \Leftrightarrow$ 对于 $\left\{x_n\right\}$ 的任何子列 $\left\{x_{n_4}\right\}$恒有 $\lim _{k \rightarrow \infty} x_{n_k}=\boldsymbol{A}$.
这是一个相当经典的结论

为证明该命题，我们引入以下概念

1 ，我们定义数列 $\left\{x_n\right\}$ 有一子列收玫到某数 $x$ ，则称 $x$ 为数列 $\left\{x_n\right\}$ 的一个部分极限，在此允许 $x$ 可以是正负无穷

2，考虑数列 $\left\{x_n\right\}$ 并定义数列 $\left\{i_n\right\}=\inf _{k \geq n} x_k$ 以及 $\left\{s_n\right\}=\sup _{k \geq n} x_k$

则称 $\lim _{n \rightarrow \infty} i_n$ 为 $\left\{x_n\right\}$ 的下极限，记作 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ ，类似的可以定义上极限 $\mathrm{Q}$

根据定义容易证明数列 $\left\{i_n\right\}$ 是不降数列Q， $\left\{s_n\right\}$ 是不增数列 Q，且有 $i_n \leq x_n \leq s_n$

我们现在证明以下引理:

有界数列 $、$ 的上极 限是部分极限中的最大者，下极限是部分极限的最小者

Proof: 我们仅需要考虑下极限的情况，因为上极限的讨论是完全类似的.注意，对于有界数列而言，上下极限的存在是显然的，由单调有界收敛准则我们可以立刻得出。现在我们假设 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=i$ ，也即 $\lim _{n \rightarrow \infty} i_n=i$, 那么由下确界的定义我们可以对于任意的 $n \in \mathbb{N}$选出一不降数列 $k_n \in \mathbb{N}$ 使得 $i_n \leq x_{k_n} \leq i_n+\frac{1}{n}$

有夹逼定理可以立刻得到 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{k_n}=i$ ，这便证明了下极限是数列 $\left\{x_n\right\}$ 的一个部分极限，接下来我们证明它是部分极限中最小的:

由极限的定义我们知道 $\forall \epsilon>0, \exists n \in \mathbb{N}$, 当 $k>n$ 时有 $i-\epsilon<i_n \leq x_k$上述不等式以及极限的保号性说明了 $\left\{x_k\right\}$ 的任何部分极限都不可能比 $i-\epsilon$ 小， 这是因为数列的子列中必然有无穷多的项的下标要大于 $n$ ，再由 $\epsilon$ 的任意性，即可推知部分极限不可能小于 $i$ ，证毕.

那么事已至此我们显然有如下推论:

有界数列 $\left\{x_n\right\}$ 收玫到某值 $x$ 的充要条件是其上下极限重合

Proof: 根据之前的讨论，我们有 $i_n \leq x_n \leq s_n$ ，根据夹逼准则，所证是显然的。

那么现在我们可以证明有界数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛到 $x$ 的充要条件是其所有的子列都收敛到 $x$

Proof : 必要性是显然的，因为数列自身就是它的一 个子列

充分性：由引理我们可以知道子列的极限，也即部分极限必然介于上极限与下极限之间，由推论可知若数列此时收玫则上下极限重合，那么由夹逼定理可以得知所有子列均收玫于同一点. 证毕