电场的曲率形式和Berry phase的物理意义是什么？用公式说明
## 1.电场的曲率形式

对一个在 $O$ 点的点电荷 $+q$ ，其在 $\mathrm{A}$ 点的电场可以写成，$$\vec{E}(R)=\frac{k q}{R^2} \hat{r}$$

其中， $k$ 是静电常数 ， q$ 是点电荷的电量， $R$ 是 $A$ 到 $O$ 的距离， $\hat{r}$ 是径 向的单位矢量。点电荷产生的电场在空间中形成一个球形的等高面，等高面上各点的电场强度大小相等，为 $\frac{k q}{R^2}$ 。

此外，球面在 $\mathrm{A}$ 点的曲率 $K$ 为，$$K=\frac{1}{R^2}$$

注意到，曲率和电场均是 $\frac{1}{R^2}$ 的函数。令 $C=q k$ ，则电场可以写成；$$\vec{E}(R)=k q K \hat{r}=C K \hat{r}$$

这样就建立了电场和电场在空间分布的曲率之间的关系。即， A点电场和一个几何量有关系， $C$ 可以看成一个和点电荷有关的常量。

现在可以利用这个关系来求电场通过 曲面 $a$ 的电通量 $Q$ ，电通量的定义式为，$$\Phi_a=\iint_a \vec{E} \cdot d \vec{a}$$

将(3)式带入上(4)式， 有$$\Phi_a=\iint_a \vec{E} \cdot d \vec{a}=\iint_a C K \hat{r} \cdot d a \hat{n}$$

其中， $\hat{n}$  为曲面在 $\mathrm{A}$ 点的法向单位矢量。在球面中，其等于径向单位向量 $\hat{r}$ ，故，$$\hat{r} \cdot \hat{n}=1$$

也即，$$\Phi_a=\iint_a \vec{E} \cdot d \vec{a}=\iint_a C K d a$$

由于 $C$ 和积分无关，上式子可以改写成，$$\frac{\Phi_a}{C}=\iint_a K d a$$其中，右边式子是一个纯几何的量。根据曲面 $a$ 相对于 $O$ 的立体角 $\Omega$ 与曲率 $K$ 的关系式，$$\iint_a K d a=\Omega$$

可以将(7)式改写成，$$\frac{\Phi_a}{C}=\Omega$$

也即，$$\Phi_a=C \Omega$$

对于整个闭合曲面，$$\Omega=4 \pi$$

因此，电通量，$$\Phi=C \Omega=C 4 \pi$$如果将 $C=k^a$ 带入上式，则有，$$\Phi=C \Omega=k q 4 \pi=\frac{q}{\varepsilon}$$

其中，$$\varepsilon=\frac{1}{4 \pi k}$$

为真空介电常数。(13)式和电磁学中的点电荷通量的形式一致。不过，我们更关心的是(12)式的一般性质。通过上面的推到，可以推断，任何具$$\vec{F}(R)=\frac{C}{R^2} \hat{r}$$

形式的矢量场(保守场)， 都可以写成和该场在空间中的等高面的曲率有关的形式，即$$\vec{F}(R)=C K \hat{r}$$

相应的通量，$$\Phi_a=\iint_a \vec{F} \cdot d \vec{a}=\iint_a C K d a$$

对于不同的场， $C$ 对应不同的值，例如电场 $C=k q$ 。同理对于场力线对某一曲面的通量可以写成，$$\Phi_a=C \Omega$$

对于闭合曲面，则有$$\Phi_a=C \Omega=C 4 \pi$$

闭 合曲面积分不为零说明什么? 说明闭合曲面内的是一个有源场，例如点电荷产生的场就是来自点电荷 $q$ 。

## 2.贝里相位 (Berry phase)的物理意义

这个时候我们再来看量子力学，在绝热近似下推导出来的Berry phase的表达式，$$\gamma_n(T)=\iint i\left[\nabla_R \times<\psi_n(x) \mid \nabla_R \psi_n(x)>\right] \cdot d \vec{a}$$其中，$$i\left[\nabla_R \times<\psi_n(x) \mid \nabla_R \psi_n(x)>\right]$$

被称之为贝里曲率(Berry curvature)。

如果将上面的 (19) 式与矢量场的 (16) 式，或者电场的 (5) 式对比，不难发现他们具有完全相同的形式。这也就不难理解 (20) 式子为什么被称为贝里 曲率了。

说明式 (20) 是某个矢量场在参数空间中的曲率，这个场与贝里曲率成正比，比例系数为 $\mathrm{C}$ (当然，不是电场的 $k q$ ）。

而贝里相位 $\gamma_n$ ，则类似 (7) 式的，$$\frac{\Phi_a}{C}$$

也即， $\gamma_n$ 是一个和矢量场有关的通量，差一个比例系数 $\mathrm{C}$ 。

这个量目前已经被证明是一个非常重要的量，比如在动量空间中，贝里相位是 反常霍尔效应的本质起源。

由于具有类似磁场的性质，可以产生霍尔电导率 。所以，人们把贝里曲率类比成磁场 $\mathbf{B}$ ( 更准确地说是 B/C)，对应的贝里相位则被类比成磁通量 $\Phi$ (更准确地说是 $\Phi / C$ )。

非常重要的一点，如果在一个闭 合的曲面内，(19) 式的积分结果不为零，即存在非零的贝里相位，则说明在这个闭合曲面内的磁通量不为零，也即对应的类磁场是一个 有源场。而我们知道，真实空间中，磁场 B 是一个无源场 ，这也是为什么说实空间中不存在磁单级。

但非零 Berry phase 的存在 ，使人们相信，磁单极可以存在动量空间中。