是否存在连续函数使得从（0,1）映射到[0,1] ,且为双射？
这个问题本身不是特别困难。我们证明

**命题 1** 若一个开区间上的函数是连续单射，则它的值域只能是开区间。

 设 $f$ 是区间 $(a, b)$ 上的连续函数，且为单射，记 $f$ 的值域为 $R$.

由连续函数的介值性可知 $R$ 只能是区间，而 $R$ 是 开区间的充要条件是 $R$ 没有最值。

假设 $R$ 有最小值 $m$, 则存在 $x \in(a, b)$, 使得 $f(x)=m$, 且对于任意 $y \in(a, x)$, $z \in(x, b)$, 成立 $f(x)<f(y), f(x)<f(z)$.

由连续函数的介值性可知存在 $u \in(y, x), v \in(x, z)$, 使得$$f(u)=\frac{f(x)+\min \{f(y), f(z)\}}{2}=f(v),$$

与 $f$ 是单射矛盾，所以 $R$ 没有最小值。同理可知 $R$ 没有最大值。

也就是说，若一个开区间上的函数是连续单射，则它的值域不可能是闭区间。

为了进一步认识这条结论的直观意义，我们考虑一些更弱的条件。

#### 1. 是否存在一个开区间上的连续函数，使得它的值域是一个闭区间?

答案是肯定的。要找到这样的例子 ，只需注意到已经去掉了函数是单射的条件，就可以化解开区间取不到边缘的问题。

例 1 设 $f(x)=\frac{d-c}{2} \sin \left(\frac{2 \pi}{b-a} x\right)+\frac{c+d}{2}$, 则 $f$ 在 $(a, b)$ 上的像是 $[c, d]$.

#### 2. 是否存在一个开区间到一个闭区间的双射?

答案是肯定的。我们知道有理数集是可数集，从而它的无限子集也是可数集，而开区间由其上的全体有理数和全体无 理数构成。

这里只给出了有界开区间上的情形，无界情形的构造可以在此基础上得到。例 2 将区间 $(a, b)$ 上的全体有理数构 成的集合记为 $X$, 将 $X$ 上的元素排成数列 $\left\{x_n\right\}$, 构造 $X$上的函数 $f$, 使得 $f\left(x_1\right)=a, f\left(x_2\right)=b, f\left(x_{n+2}\right)=x_n(n=1,2, \cdots)$, 则 $f$ 是单射，且它的值域为 $X \cup\{a, b\}$.

构造 $(a, b)$ 上的函数 $g$, 使得若 $x \in X$, 则 $g(x)=f(x)$, 否则 $g(x)=x$, 则 $g$ 是单射，且它的值域为 $[a, b]$.

 构造 $[a, b]$ 上的函数 $h(x)=c+\frac{d-c}{b-a}(x-a)$, 则 $h$ 是单射，且它的值域为 $[c, d]$.则 $h$ 与 $g$ 的复合函数是 $(a, b)$ 到 $[c, d]$ 的双射。