线性代数里的这个有趣的现象背后有什么原理的解释吗？
事情是这样子的。。我昨天晚上想试试看类比复数，研究a+bω+cω^2这种形式的数的特性，这里a,b,c都是实数，ω是三次单位根，然后呢我想找它的乘法逆元，就建立了这样子的方程组：

然后我把它写成了矩阵的形式之后发现这个矩阵可以拆成aE+bT+cP，这里E就是单位矩阵。有趣的事情就来了！我发现T和P的性质居然跟ω和ω^2非常像！

然后我就回头拿复数来试试，发现原来复数也有类似的现象！

这里Q^2是负的单位矩阵！这个性质和i^2=-1简直一模一样！

我想知道这里的这个神奇的现象是普遍存在的吗？如何解释背后的原理呢？有没有什么理论专门研究它？

我好奇的点在于后面的矩阵与前面的代数结构之间的联系（比如T和ω，Q和i之间的对应）是怎么产生的，而不是“这个矩阵与复数的关联是什么”。为什么两者存在这个关联？疑问在于why而不是what
祝贺你终于发现了这个同构。你的form 实际上是一个二次型（quadratic form）。如果你考虑把的定义域限定为一元实系数三次多项式多项式的根，并且把a，b，c都限定为实数，那么你就是在玩多项式代数。当我们考虑多项式代数的时候，我们需要区分『多项式函数』和『多项式』本身。前者是个函数，后者是个代数对像（就像你所考虑的那样，一般化的数。）。这时候我们不把当作变量，而当作未定元。在代数语境里，我们其实不考虑数本身，而考虑数（代数对像）和数（代数对像）之间由二元运算（比如两个多项式之间的加法或者乘法）定义的关系。于是我们考虑由这些代数对像所构成的集合和这个集合上面的结构。几种常见结构包括群，环，域。由一元多项式构成的集合以及其上的可以构成一个环（和域相比，环上的元素没有定义乘法逆）。于是当你考虑多项式环上的乘法逆的时候你实际上是在做域扩张。复数域实际上和这个域同构，也就是每个复数可以和这个域中的元素一一对应同时保持原来的结构（复数加法 <-> 多项式加法，复数乘法<->多项式乘法）。多项式代数和线性代数之间有密切的关系。这主要是因为多项式可以form一个线性空间，当我们确定这个线性空间的基是monomial时，多项式系数唯一的表示了这个线性空间中的元素。于是，你这个问题中所描述的过程，是在线性代数，抽象代数，多项式代数，Clifford代数，表示论，这几个数学分支的共同基础（可能还有motivation）上跳舞。你可以试试模掉（一元）多项式环上除了一次和二次多项式之外的其他多项式，然后看看你能得到什么，以及如何用矩阵来表示。