欧拉方程 $x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-4 y=0$ 满足条件 $y(1)=1, y^{\prime}(1)=2$ 得解为 $y=$
令 $x=e^{t}$, 则 $x y^{\prime}=\frac{d y}{d t}, x^{2} y^{\prime \prime}=\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-\frac{d y}{d x}$, 原方程化为 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-4 y=0$, 特征方程为 $\lambda^{2}-4=0$, 特征根为 $\lambda_{1}=2, \lambda_{2}=-2$, 通解为 $y=C_{1} e^{2 t}+C_{2} e^{-2 t}=C_{1} x^{2}+C_{2} x^{-2}$, 将初始条件 $y(1)=1, y^{\prime}(1)=2$ 带入得 $C_{1}=1, C_{2}=0$, 故满足初始条件的解为 $y=x^{2}$.
因此答案为： $x^{2}$