设函数 $y=f(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=2 t+|t| \\ y=|t| \sin t\end{array}\right.$ 确定, 则()

(A) $f(x)$ 连续, $f^{\prime}(0)$ 不存在 (B) $f^{\prime}(0)$ 存在, $f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处不连续

(C) $f^{\prime}(x)$ 连续, $f^{\prime \prime}(0)$ 不存在 (D) $f^{\prime \prime}(0)$ 存在, $f^{\prime \prime}(x)$ 在 $x=0$ 处不连续
$t \geq 0$ 时, $\left\{\begin{array}{l}x=3 t \\ y=t \sin t\end{array}\right.$, 得 $y=\frac{x}{3} \sin \frac{x}{3} ; t<0$ 时, $\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=-t \sin t\end{array}\right.$, 得 $y=-x \sin x$;

综上, $y=\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{3} \sin \frac{x}{3}, x \geq 0 \\ -x \sin x, x<0\end{array}\right.$,

从而由 $y_{+}^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{x}{3} \sin \frac{x}{3}-0}{x}=0, y_{-}^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{-x \sin x-0}{x}=0$, 得 $y^{\prime}(0)=0$;

于是 $y^{\prime}=\left\{\begin{aligned} \frac{1}{3} \sin \frac{x}{3}+\frac{x}{9} \cos \frac{x}{3}, x & >0 \\ 0, x & =0, \\ -\sin x-x \cos x, x & <0\end{aligned}\right.$ 得 $y^{\prime}$ 连续;
又由 $y_{+}^{\prime \prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{1}{3} \sin \frac{x}{3}+\frac{x}{9} \cos \frac{x}{3}-0}{x}=\frac{2}{9}, y_{+}^{\prime \prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{-\sin x-x \cos x-0}{x}=-2$,得 $y^{\prime \prime}(0)$ 不存在.

因此答案为：C