设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自期望为 $\theta$ 的指数分布的简单随机样本, $Y_{1}, Y_{2}, \cdots, Y_{m}$ 是来自期望为 $2 \theta$ 的指数分布的简单随机样本, 且 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}, Y_{1}, Y_{2}, \cdots, Y_{m}$ 相互独立, 求 $\theta$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}$, 及 $D(\hat{\theta})$.
由已知 $E(X)=\theta=\frac{1}{\lambda_1} \Rightarrow \lambda_1=\frac{1}{\theta}, E(Y)=2 \theta=\frac{1}{\lambda_2} \Rightarrow \lambda_2=\frac{1}{2 \theta}$,

所以总体 $X \sim E\left(\frac{1}{\theta}\right), Y \sim E\left(\frac{1}{2 \theta}\right)$, 从而可得
$$
f_X(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{1}{\theta} \mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}, & x>0, \\
0, & x \leq 0 .
\end{array} \quad f_Y(y)= \begin{cases}\frac{1}{2 \theta} \mathrm{e}^{-\frac{y}{2 \theta}}, & y>0, \\
0, & y \leq 0 .\end{cases}\right.
$$

设 $x_1, x_2, \cdots, x_n, y_1, y_2, \cdots, y_m$ 为样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n, Y_1, Y_2, \cdots, Y_m$ 的观测值, 且样本相互独立, 则 似然函数为
$$
L(\theta)= \begin{cases}\frac{1}{2^m} \frac{1}{\theta^{n+m}} \mathrm{e}^{-\frac{2 \sum_{i=1}^n x_j+\sum_{j=1}^n y_j}{2 \theta}}, & x_i, y_j>0(i=1,2, \cdots, n ; j=1,2, \cdots, m), \\ 0, & \text { 其它. }\end{cases}
$$

当 $x_1, x_2, \cdots, x_n, y_1, y_2, \cdots, y_m>0$ 时, 似然函数两边取对数

$$
\ln L(\theta)=-m \ln 2-(n+m) \ln \theta-\frac{2 \sum_{i=1}^n x_i+\sum_{j=1}^m y_j}{2 \theta},
$$

令 $\frac{\mathrm{d} \ln L(\theta)}{\mathrm{d} \theta}=-\frac{n+m}{\theta}+\frac{2 \sum_{i=1}^n x_i+\sum_{j=1}^m y_j}{2 \theta^2}=0$, 解得 $\theta=\frac{2 \sum_{i=1}^n x_i+\sum_{j=1}^m y_j}{2(n+m)}$,
故 $\theta$ 的最大似然估计量为 $\hat{\theta}=\frac{2 \sum_{i=1}^n X_i+\sum_{j=1}^m Y_j}{2(n+m)}$.

由 $X \sim E\left(\frac{1}{\theta}\right), Y \sim E\left(\frac{1}{2 \theta}\right)$, 则 $D(X)=\theta^2, D(Y)=4 \theta^2$,
则 $D(\hat{\theta})=\frac{1}{4(n+m)^2} D\left(2 \sum_{i=1}^n X_i+\sum_{j=1}^m Y_j\right)=\frac{1}{4(n+m)^2}\left(4 n \cdot \theta^2+m \cdot 4 \theta^2\right)=\frac{\theta^2}{n+m}$.