若微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$ 的解在 $(-\infty,+\infty)$ 上有界, 则( )
(A) $a<0, b>0$
(B) $a>0, b>0$
(C) $a=0, b>0$
(D) $a=0, b<0$
微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$ 的特征方程为 $\lambda^{2}+a \lambda+b=0$,

当 $\Delta=a^{2}-4 b>0$ 时, 特征方程有两个不同的实根 $\lambda_{1}, \lambda_{2}$, 则 $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ 至少有一个不等于零, 若 $C_{1}, C_{2}$ 都不为零, 则微分方程的解 $y=C_{1} e^{-\lambda_{1} x}+C_{2} e^{-\lambda_{2} x}$ 在 $(-\infty,+\infty)$
无界;

当 $\Delta=a^{2}-4 b=0$ 时, 特征方程有两个相同的实根, $\lambda_{1,2}=-\frac{a}{2}$,

若 $C_{2} \neq 0$, 则微分方程的解 $y=C_{1} e^{-\frac{a}{2} x}+C_{2} x e^{-\frac{-a_{x}}{2}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 无界;

当 $\Delta=a^{2}-4 b<0$ 时, 特征方程的根为 $\lambda_{1,2}=-\frac{a}{2} \pm \frac{\sqrt{4 b-a^{2}}}{2} i$,

则通解为 $y=e^{-\frac{a}{2} x}\left(C_{1} \cos \frac{\sqrt{4 b-a^{2}}}{2} x+C_{2} \sin \frac{\sqrt{4 b-a^{2}}}{2} x\right)$,

此时, 要使微分方程的解在 $(-\infty,+\infty)$ 有界, 则 $a=0$, 再由 $\Delta=a^{2}-4 b<0$,知 $b>0$.

因此答案为：C