设 $y=y(x)$ 满足 $y^{\prime}+rac{1}{2 \sqrt{x}} y=2+\sqrt{x}, y(1)=3$, 求 $y(x)$ 渐近线.
由题意可得
$$
y(x)=e^{-\sqrt{x}}\left(2 x e^{\sqrt{x}}+C\right) .
$$

又 $y(1)=3$, 有 $C=e$. 故
$$
y(x)=e^{-\sqrt{x}}\left(2 x e^{\sqrt{x}}+e\right) .
$$

设 $y(x)$ 的渐近线方 程为 $y=k x+b$,
$$
\begin{gathered}
k=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{y(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2 x e^{\sqrt{x}}+e}{x e^{\sqrt{x}}}=2, \\
b=\lim _{x \rightarrow \infty} y(x)-2 x=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x e^{\sqrt{x}}-e}{e^{\sqrt{x}}}-2 x=0,
\end{gathered}
$$

因此 $y(x)$ 的斜渐近线为 $y=2 x$.