设 $X_{1}, X_{2}$ 为来自总体 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ 的简单随机样本, 其中 $\sigma(\sigma>0)$ 是未知参数. 若 $\hat{\sigma}=a\left|X_{1}-X_{2}\right|$ 为 $\sigma$ 的无偏估计, 则 $a=(\quad)$
(A) $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$
(B) $\frac{\sqrt{2 \pi}}{2}$
(C) $\sqrt{\pi}$
(D) $\sqrt{2 \pi}$
由题可知 $X_{1}-X_{2} \sim N\left(0,2 \sigma^{2}\right)$.

令 $Y=X_{1}-X_{2}$, 则 $Y$ 的概率密度为 $f(y)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sqrt{2} \sigma} e^{-\frac{y^{2}}{2 \cdot 2 \sigma^{2}}}$.
$E(|Y|)=\int_{-\infty}^{+\infty}|y| \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sqrt{2} \sigma} e^{-\frac{y^{2}}{2 \cdot 2 \sigma^{2}}} d y=\frac{2}{\sqrt{2 \pi} \sqrt{2} \sigma} \int_{0}^{+\infty} y e^{-\frac{y^{2}}{4 \sigma^{2}}} d y=\frac{2 \sigma}{\sqrt{\pi}}$,

$E\left(a\left|X_{1}-X_{2}\right|\right)=a E(|Y|)=a \frac{2 \sigma}{\sqrt{\pi}}$.

由 $\left.\hat{\sigma}=a\left|X_{1}-X_{2}\right|\right)$ 为 $\sigma$ 的无偏估计, 有 $E(\hat{\sigma})=\sigma$, 得 $a=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$. 故选(A).