设 $A, B$ 为 $n$ 阶实矩阵, 下列不成立的是
(A) $r\left(\begin{array}{cc}A & O \\ O & A^{T} A\end{array}\right)=2 r(A)$
(B) $r\left(\begin{array}{ll}A & A B \\ O & A^{T}\end{array}\right)=2 r(A)$
(C) $r\left(\begin{array}{cc}A & B A \\ O & A A^{T}\end{array}\right)=2 r(A)$
(D) $r\left(\begin{array}{cc}A & O \\ B A & A^{T}\end{array}\right)=2 r(A)$
(A) $r\left(\begin{array}{cc}A & O \\ O & A^{T} A\end{array}\right)=r(A)+r\left(A^{T} A\right)=2 r(A)$. 故 $A$ 正确.
(B) $A B$ 的列向量可由 $A$ 的列线性表示, 故 $r\left(\begin{array}{ll}A & A B \\ O & A^{T}\end{array}\right)=r\left(\begin{array}{ll}A & O \\ 0 & A^{T}\end{array}\right)=r(A)+r\left(A^{T}\right)=2 r(A)$.
(C) $B A$ 的列向量不一定能由 $A$ 的列线性表示.
(D) $B A$ 的行向量可由 $A$ 的行线性表示, $r\left(\begin{array}{ll}A & B A \\ O & A^{T}\end{array}\right)=r\left(\begin{array}{cc}A & O \\ 0 & A^{T}\end{array}\right)=r(A)+r\left(A^{T}\right)=2 r(A)$.
本题选 C.