设 $D \subset R^{2}$ 是有界单连通闭区域, $I(D)=\iint_{D}\left(4-x^{2}-y^{2}\right) d x d y$ 取得最大值的积分区域记为 $D_{1}$.
(1)求 $I\left(D_{1}\right)$ 的值.
(2)计算 $\int_{\partial D_{1}} \frac{\left(x e^{x^{2}+4 y^{2}}+y\right) d x+\left(4 y e^{x^{2}+4 y^{2}}-x\right) d y}{x^{2}+4 y^{2}}$, 其中 $\partial D_{1}$ 是 $D_{1}$ 的正向边界.
$-\pi$.

分析：

(1) 由二重积分的几何意义知: $I(\mathrm{D})=\iint_D\left(4-x^2-y^2\right) d \sigma$, 当 且仅当 $4-x^2-y^2$ 在 $D$ 上大于 0 时, $I(\mathrm{D})$ 达到最大, 故 $D_1: x^2+y^2 \leq 4$ 且 $I\left(\mathrm{D}_1\right)=\int_0^{2 \pi} d \theta \int_0^2\left(4-r^2\right) r d r=8 \pi$.
(2)  补 $D_2: x^2+4 y^2=r^2$ ( $r$ 很小), 取 $D_2$ 的方向为顺时针方向,
$$
\begin{aligned}
\int_{\partial D_1} \frac{\left(x e^{x^2+4 y^2}+y\right) d x+\left(4 y e^{x^2+4 y^2}-x\right) d y}{x^2+4 y^2} \\
& =\int_{\partial D_1+\partial D_2} \frac{\left(x e^{x^2+4 y^2}+y\right) d x+\left(4 y e^{x^2+4 y^2}-x\right) d y}{x^2+4 y^2}-\int_{\partial D_2} \frac{\left(x e^{x^2+4 y^2}+y\right) d x+\left(4 y e^{x^2+4 y^2}-x\right) d y}{x^2+4 y^2} \\
& =-\frac{1}{r^2} e^{r^2} \int_{\partial D_2} x d x+4 y d y-\frac{1}{r^2} e^{r^2} \int_{\partial D_2} y d x-x d y=\frac{1}{r^2} \iint_{D_2}-2 d \sigma=-\pi .
\end{aligned}
$$