在区间 $(0,2)$ 上随机取一点, 将该区间分成两段, 较短的一段长度记为 $X$, 较长的一段长度记为 $Y$, 令 $Z=\frac{Y}{X}$.
(1)求 $X$ 的概率密度;
(2)求 $Z$ 的概率密度.
(3)求 $E\left(\frac{X}{Y}\right)$.
(1) $X \sim f(x)=\left\{\begin{array}{c}1,0<x<1 \\ 0, \text { 其他 }\end{array}\right.$; (2) $f_{Z}(z)=\left(F_{Z}(z)\right)^{\prime}=\left\{\begin{array}{c}\frac{2}{(z+1)^{2}}, z \geq 1 \\ 0, \text { 其他 }\end{array}\right.$.(3) $-1+2 \ln 2$.


分析：

(1)由题知: $X \sim f(x)=\left\{\begin{array}{c}1,0<x<1 \\ 0 \text {, 其他 }\end{array}\right.$;
(2)由 $Y=2-X$, 即 $Z=\frac{2-X}{X}$, 先求 $Z$ 的分布函数:
$F_{Z}(z)=P\{Z \leq z\}=P\left\{\frac{2-X}{X} \leq z\right\}=P\left\{\frac{2}{X}-1 \leq z\right\}$
当 $z<1$ 时, $F_{Z}(z)=0$;
当 $z \geq 1$ 时,
$F_{Z}(z)=P\left\{\frac{2}{X}-1 \leq z\right\}=1-P\left\{X \leq \frac{2}{z+1}\right\}=1-\int_{0}^{\frac{2}{z+1}} 1 d x=1-\frac{2}{z+1} ;$
$f_{Z}(z)=\left(F_{Z}(z)\right)^{\prime}=\left\{\begin{array}{c}\frac{2}{(z+1)^{2}}, z \geq 1 \\ 0, \text { 其他 }\end{array} ;\right.$
(3) $E\left(\frac{X}{Y}\right)=E\left(\frac{X}{2-X}\right)=\int_{0}^{1} \frac{x}{2-x} \cdot 1 d x=-1+2 \ln 2$.