设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} i j x_{i} x_{j}$.
(1) 求二次型矩阵
(2) 求正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$, 使得二次型经正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q} \boldsymbol{y}$ 化为标准形
(3) 求 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=0$ 的解
(1) 据题意, $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 i j x_i x_j=x_1{ }^2+4 x_2{ }^2+9 x_3{ }^2+4 x_1 x_2+6 x_1 x_3+12 x_2 x_3$,

故 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9\end{array}\right)$.
（2）易得 $\boldsymbol{A}$ 的特征值 为 $14,0,0$.
当 $\lambda_1=14$ 时, 解 $(A-14 E) x=0$, 由
$$
\boldsymbol{A}-14 \boldsymbol{E}=\left(\begin{array}{ccc}
-13 & 2 & 3 \\
2 & -10 & 6 \\
3 & 6 & -5
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc}
1 & -5 & 3 \\
0 & -63 & 42 \\
0 & 21 & -14
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc}
1 & -5 & 3 \\
0 & 3 & -2 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)
$$

得 $\lambda_1=14$ 对应的特征值为 $\alpha_1=(1,2,3)^{\mathrm{T}}$.

当 $\lambda_2=\lambda_3=0$ 时, 解 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$, 得 $\lambda_2=\lambda_3=0$ 对应的特征值为 $\alpha_2=(-2,1,0)^{\mathrm{T}}$ 和 $\alpha_3=(-3,0,1)^{\mathrm{T}}$.

实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交, 故只需将 $\alpha_2, \alpha_3$ 正交化, 得
$$
\xi_2=(-2,1,0)^{\mathrm{T}}, \quad \xi_3=(-3,-6,5)^{\mathrm{T}} .
$$

将 $\alpha_1, \xi_2, \xi_3$ 单位化, 得
$$
\gamma_1=\frac{1}{\sqrt{14}}(1,2,3)^{\mathrm{T}} \quad \gamma_2=\frac{1}{\sqrt{5}}(-2,1,0)^{\mathrm{T}} \quad \gamma_3=\frac{1}{\sqrt{70}}(-3,-6,5)^{\mathrm{T}} .
$$

令 $\boldsymbol{Q}=\left(\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3\right)$, 经正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q} \boldsymbol{y}$, 将 $f$ 化为标 准形 $14 y_1{ }^2$.

（3）在正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q} \boldsymbol{y}$ 下, $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 化为 $14 y_1{ }^2$. 由 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$, 得 $y_1=0$, 则

$\boldsymbol{x}=\left(\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3\right)\left(\begin{array}{c}0 \\ y_2 \\ y_3\end{array}\right)=y_2 \gamma_2+y_3 \gamma_3=k_1(-2,1,0)^{\mathrm{T}}+k_2(-3,-6,5)^{\mathrm{T}}$, 其中 $k_1, k_2$ 为任意常数.