当 $x \rightarrow 0$ 时, 函数 $f(x)=a x+b x^{2}+\ln (1+x)$ 与 $g(x)=e^{x^{2}}-\cos x$ 是等价无穷小,则 $a b=$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x+b x^{2}+\ln (1+x)}{e^{x^{2}}-\cos x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x+b x^{2}+x-\frac{1}{2} x^{2}+o\left(x^{2}\right)}{1+x^{2}+o\left(x^{2}\right)-\left[1-\frac{1}{2} x^{2}+o\left(x^{2}\right)\right]}=1$ ，
可得 $a+1=0, b-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$, 即 $a=-1, b=2$, 故 $a b=-2$.

因此答案为：-2