设曲线 $y=y(x)(x>0)$ 经过点 $(1,2)$, 该曲线上任一点 $P(x, y)$ 到 $y$ 轴的距离等于该点处的切线在 $y$ 轴上的截距.
(I) 求 $y(x)$;
(II) 求函数 $f(x)=\int_{1}^{x} y(t) d t$ 在 $(0,+\infty)$ 上的最大值.
(I) 设点 $(x, y)$ 处的切线方程为 $Y-y=y^{\prime}(X-x)$, 故 $y$ 轴的截距为 $y-y^{\prime} x$, 则 $x=y-y^{\prime} x$,
解得 $y=x(C-\ln x)$, 其中 $C$ 为任意常数.
由 $y(1)=C=2$, 故 $y(x)=x(2-\ln x)$.
(II) 由(I) 知 $f(x)=\int_{1}^{x} t(2-\ln t) d t$, 故 $f^{\prime}(x)=x(2-\ln x)=0$, 则驻点为 $x=e^{2}$.
当 $0<x<e^{2}$ 时, $f^{\prime}(x)>0$; 当 $x>e^{2}$ 时, $f^{\prime}(x)<0$, 故 $f(x)$ 在 $x=e^{2}$ 处取得极大值,
同时也取得最大值, 且最大值为 $f\left(e^{2}\right)=\int_{1}^{e^{2}} x(2-\ln x) d x=\frac{1}{4} e^{4}-\frac{5}{4}$.