曲面 $z=x+2 y+\ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right)$ 在点 $(0,0,0)$ 处的切平面方程为
$F(x, y, z)=x+2 y+\ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right)-z$ ，
$\mathbf{n}=\left(F_{x}^{\prime}, F_{y}^{\prime}, F_{z}^{\prime}\right)=\left(1+\frac{2 x}{1+x^{2}+y^{2}}, 2+\frac{2 y}{1+x^{2}+y^{2}},-1\right)$,
即在点 $(0,0,0)$ 处的法向量为 $(1,2,-1)$, 即切平面方程为 $x+2 y-z=0$.

因此答案为：$x+2 y-z=0$