设 $\Sigma$ 为空间区域 $\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+4 y^{2} \leq 4,0 \leq z \leq 2\right\}$ 表面的外侧, 则曲面积分 $\iint_{\Sigma} x^{2} d y d z+y^{2} d z d x+z d x d y=$
由高斯公式得原式 $=\iiint_{\Omega}(2 x+2 y+1) d V=\int_{0}^{2} d z \iint_{D} d x d y=4 \pi$.
因此答案为： $4 \pi$