熱量子場論
在理論物理中，熱量子場論 (簡稱熱場論) 或有限溫度場論 (finite temperature field theory) 是計算在有限 (不為零的) 溫度下，量子場論中物理可觀察量之期望值的方法。
在松原方法 (Matsubara formalism) 中，一個運算子在熱系綜的期望值

  
    
      
        ⟨
        A
        ⟩
        =
        
          
            
              
                
                  Tr
                
              
              
              [
              exp
              ⁡
              (
              −
              β
              H
              )
              A
              ]
            
            
              
                
                  Tr
                
              
              
              [
              exp
              ⁡
              (
              −
              β
              H
              )
              ]
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \langle A\rangle ={\frac {{\mbox {Tr}}\,[\exp (-\beta H) A]}{{\mbox {Tr}}\,[\exp (-\beta H)]}}}
  可以被量子場論中以虛數時間 
  
    
      
        τ
        =
        −
        i
        t
        (
        0
        ≤
        τ
        ≤
        β
        )
      
    
    {\displaystyle \tau =-it (0\leq \tau \leq \beta)}
   所演化的期望值所表示。

由於使用虛數時間，計算上可以使用歐幾里得度量的時空。式中的跡 (
  
    
      
        
          
            Tr
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mbox {Tr}}}
  ) 要求所有的玻色場在歐幾里德時間方向 
  
    
      
        τ
      
    
    {\displaystyle \tau}
   上皆有週期為 
  
    
      
        β
        =
        1
        
          /
        
        (
        k
        T
        )
      
    
    {\displaystyle \beta =1/(kT)}
   的週期性，而費米場則有反週期性 (這裡使用自然單位 
  
    
      
        ℏ
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \hbar =1}
  )。此方法讓我們能夠使用量子場論中已存在的技巧，如泛函積分和費曼圖等，並將其中的時間修改為緊緻的歐幾里德時間來做計算。同時，正規順序 (Normal Ordering) 的定義也必須被修改。

在動量空間下，這對應於將原本連續的頻率，以離散的虛數 (松原) 頻率 
  
    
      
        
          v
          
            n
          
        
        =
        n
        
          /
        
        β
      
    
    {\displaystyle v_{n}=n/\beta }
   取代。透過德布羅意關係，這對應於離散的熱能量頻譜 
  
    
      
        
          E
          
            n
          
        
        =
        n
        K
        T
      
    
    {\displaystyle E_{n}=nKT}
  。這樣的方法被證明對研究量子場論在有限溫度下的現象很有效

，並且已經被推廣到規範場論，是研究楊 - 米爾斯理論中去禁閉 (deconfining) 相變猜想的重要工具。

在歐式空間場論中，實數時間下的可觀測量可以由解析延拓獲得。
有限溫度場論，除了使用非真實的虛數時間來計算，還有兩種使用實數時間 (real-time formalism) 的方法。

第一種是依路徑排序 (path-ordered) 的實數時間方法，其包含了 Schwinger-Keldysh formalism 及其他更近代的版本。

後者將一條原本從負的 (大的) 初始時間 
  
    
      
        
          t
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle t_{i}}
   出發到 
  
    
      
        
          t
          
            i
          
        
        −
        i
        β
      
    
    {\displaystyle t_{i}-i\beta }
   的直線路徑，取代為一條先經過正的 (大的) 實數時間 
  
    
      
        
          t
          
            f
          
        
      
    
    {\displaystyle t_{f}}
   再適當的回到 
  
    
      
        
          t
          
            i
          
        
        −
        i
        β
      
    
    {\displaystyle t_{i}-i\beta }
   的路徑。

事實上，真正需要的是一段經過實數軸的路段，而前往終點 
  
    
      
        
          t
          
            i
          
        
        −
        i
        β
      
    
    {\displaystyle t_{i}-i\beta }
   所選的路線是較不重要的。

這樣以區段 (piecewise) 方式組成的複數時間路徑，造成場的數量增倍以及更複雜的費曼規則，不過卻避免了使用虛數時間方法所需的解析延拓。
另一種實數時間方法稱為熱場力學 (thermo field dynamics)，是一種以運算子為基礎，使用勃格留波夫變換 (Bogoliubov transformation) 的方法。

就如費曼圖和微擾論等方法一樣，其他技巧如色散關係 (dispersion relations) 和有限溫度的 Cutkosky rules 也都可以在實數時間方法中使用。
另一種在數學物理上感興趣的方法是使用 KMS 態 來處理。