伪黎曼流形
偽黎曼流形，也稱為半黎曼流形（英語：Pseudo-Riemannian manifold），在微分幾何中是指一光滑流形，其上有一光滑、對稱、點點非退化的
  
    
      
        (
        0
        ,
        2
        )
      
    
    {\displaystyle (0,2)}
   張量。此張量稱為偽黎曼度量或偽度量張量。
偽黎曼流形與黎曼流形的區別是它不需要正定（通常要求非退化）。因為每個正定形式都是非退化的，所以黎曼度量也是一個偽黎曼度量，亦即黎曼流形是偽黎曼流形的一種特例。
每一個非退化對稱，雙線性形式有一個固定的度量符號
  
    
      
        (
        p
        ,
        q
        )
      
    
    {\displaystyle (p,q)}
  。這裡
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  與
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  記作正特徵值及負特徵值的個數。注意
  
    
      
        p
        +
        q
        =
        n
      
    
    {\displaystyle p+q=n}
  是流形的維數。黎曼流形就是以
  
    
      
        (
        n
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle (n,0)}
  作為符號。
偽黎曼流形的符號
  
    
      
        (
        p
        ,
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (p,1)}
  稱為洛倫茲度量。擁有洛倫茲度量的流形都是洛倫茲流形。除黎曼流形外，洛倫茲流形是偽黎曼流形的最重要的子類。因為它常被用於廣義相對論。廣義相對論首要假設是時空可以轉為擁有
  
    
      
        (
        3
        ,
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (3,1)}
  符號的洛倫茲流形的模型。
和歐幾里得空間
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}
  可以被認為是黎曼流形的模型一樣，, 有平坦閔可夫斯基度量的閔可夫斯基空間 (Minkowski space) 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            p
            ,
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R} ^{p,1}}
  是洛倫茲流形的模型空間。特徵數為
  
    
      
        (
        p
        ,
        q
        )
      
    
    {\displaystyle (p,q)}
  的偽黎曼流形的模型空間是有如下偽度量的
  
    
      
        
          
            R
          
          
            p
            ,
            q
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R} ^{p,q}}
  :

  
    
      
        g
        =
        d
        
          x
          
            1
          
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        d
        
          x
          
            p
          
          
            2
          
        
        −
        d
        
          x
          
            p
            +
            1
          
          
            2
          
        
        −
        ⋯
        −
        d
        
          x
          
            p
            +
            q
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle g=dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{p}^{2}-dx_{p+1}^{2}-\cdots -dx_{p+q}^{2}}
  有些黎曼度量的基本定理可以推廣到偽黎曼的情形。例如黎曼幾何基本定理對偽黎曼流形也成立。這使得我們能夠在偽黎曼流形上能夠使用列維 - 奇維塔聯絡和相關的曲率張量。另一方面，黎曼幾何的很多定理在推廣到偽黎曼的情況下不成立。例如，並不是每個光滑流形都可以有一個給定符號的偽黎曼度量；因為有一些特殊的拓撲阻礙存在。