點燈夫群
在群論中，點燈夫群（英語：Lamplighter group）是兩個群
  
    
      
        
          Z
        
        
          /
        
        2
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }
  和
  
    
      
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} }
  的圈積
  
    
      
        (
        
          Z
        
        
          /
        
        2
        
          Z
        
        )
        ≀
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\wr \mathbb {Z} }
  ，也可以表示為兩個群
  
    
      
        
          ⨁
          
            
              Z
            
          
        
        (
        
          Z
        
        
          /
        
        2
        
          Z
        
        )
      
    
    {\displaystyle \bigoplus _{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}
  和
  
    
      
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} }
  的半直積

  
    
      
        
          (
          
            
              ⨁
              
                
                  Z
                
              
            
            (
            
              Z
            
            
              /
            
            2
            
              Z
            
            )
          
          )
        
        ⋊
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \left (\bigoplus _{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\right)\rtimes \mathbb {Z} }
  其中
  
    
      
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} }
  以平移作用於
  
    
      
        
          ⨁
          
            
              Z
            
          
        
        (
        
          Z
        
        
          /
        
        2
        
          Z
        
        )
      
    
    {\displaystyle \bigoplus _{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}
  。
點燈夫群是有限生成群，不過並非有限展示的。點燈夫群有如下標準展示：

  
    
      
        ⟨
        a
        ,
        t
        ∣
        
          a
          
            2
          
        
        ,
        [
        
          t
          
            i
          
        
        a
        
          t
          
            −
            i
          
        
        ,
        
          t
          
            j
          
        
        a
        
          t
          
            −
            j
          
        
        ]
        ,
        i
        ,
        j
        ∈
        
          Z
        
        ⟩
      
    
    {\displaystyle \langle a,t\mid a^{2},[t^{i} at^{-i},t^{j} at^{-j}],i,j\in \mathbb {Z} \rangle }
  點燈夫群的名稱來自以下闡釋：假設有一列向左右無限伸延的街燈及一個點燈夫。每盞街燈有明和暗兩種狀態。起初點燈夫在原點處的街燈下，而所有燈都關了。點燈夫群的元素，可視為對點燈夫的指示：把元素用 a, t 寫成一個字，然後從左到右讀，如果是 a，點燈夫把面前的街燈點亮或者熄滅；如果是 t，點燈夫向右移到下一個街燈；如果是 t-1，點燈夫向左移到下一個街燈。這樣每個元素就代表街燈的狀態及點燈夫的位置。點燈夫群特別之處，在於這個群是可均群（因為是可解群），卻有指數增長率。