黎曼-西格尔公式
在數學中，黎曼 - 西格爾公式是黎曼 ζ 函數的近似函數方程誤差的漸近公式，前者是 ζ 函數的近似值，由兩個有限狄利克雷級數的和來近似。Siegel (1932) 在波恩哈德・黎曼 1850 年代一篇未發表的手稿中發現這個公式。西格爾從黎曼 - 西格爾積分公式中推導出它，這是一個涉及 ζ 函數圍道積分的表達式。該公式通常用於計算黎曼 - 西格爾公式的值，與歐德里茲科 - 肖恩哈格算法相結合，可以大大加快算法的速度。當沿著臨界線使用時，通常將其變換為關於 Z 函數的公式比較有用。
如果 M 和 N 是非負整數，那麼 ζ 函數等於

  
    
      
        ζ
        (s)
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            N
          
        
        
          
            1
            
              n
              
                s
              
            
          
        
        +
        γ
        (
        1
        −
        s
        )
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            M
          
        
        
          
            1
            
              n
              
                1
                −
                s
              
            
          
        
        +
        R
        (s)
      
    
    {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{s}}}+\gamma (1-s)\sum _{n=1}^{M}{\frac {1}{n^{1-s}}}+R (s)}
  其中

  
    
      
        γ
        (s)
        =
        
          π
          
            
              
                
                  1
                  2
                
              
            
            −
            s
          
        
        
          
            
              Γ
              
                (
                
                  
                    
                      s
                      2
                    
                  
                
                )
              
            
            
              Γ
              
                (
                
                  
                    
                      
                        1
                        2
                      
                    
                  
                  (
                  1
                  −
                  s
                  )
                
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \gamma (s)=\pi ^{{\tfrac {1}{2}}-s}{\frac {\Gamma \left ({\tfrac {s}{2}}\right)}{\Gamma \left ({\tfrac {1}{2}}(1-s)\right)}}}
  是函數方程 ζ(s) = γ(1-s) ζ(1 − s) 中出現的因數，且

  
    
      
        R
        (s)
        =
        
          
            
              −
              Γ
              (
              1
              −
              s
              )
            
            
              2
              π
              i
            
          
        
        ∫
        
          
            
              (
              −
              x
              
                )
                
                  s
                  −
                  1
                
              
              
                e
                
                  −
                  N
                  x
                
              
            
            
              
                e
                
                  x
                
              
              −
              1
            
          
        
        d
        x
      
    
    {\displaystyle R (s)={\frac {-\Gamma (1-s)}{2\pi i}}\int {\frac {(-x)^{s-1} e^{-Nx}}{e^{x}-1}} dx}
  是一個圍道積分，圍道的起點和終點在 +∞處，並最多繞絕對值奇點 2πM 圈。近似函數方程給出了誤差項大小的估計。Siegel (1932) 和 Edwards (1974) 通過將最速下降法應用於該積分，推導出黎曼 - 西格爾公式，將誤差項 R (s) 漸近展開為 Im (s) 的負冪次級數。在應用中，s 通常位於臨界線上，並且選擇正整數 M 和 N 約為 (2πIm (s)) 1/2。Gabcke (1979) 發現了一個黎曼 - 西格爾公式誤差的較好界限。