令Bn是第n个平衡数.最近,Routh证明了在数域Q[(2)]的abc猜想成立的前提下,对于任意正整数k>2和n>1,有?logx/loglogx的素数p满足p≡1(mod k)和B(p-(8/p)(≠)0(mod p2),其中(·/p)表示Jacobi符号.对于任意给定的正数M,Dutta,Pate和Ray将下界改进到(logx/loglogx)(logloglogx)M.但是,我们发现他们的证明中有一些漏洞.尽管我们现在没能弥补这些漏洞,但在去掉mod k的限制条件下,我们将下界进一步改进到logx,即在数域Q[(2)]的abc猜想成立的前提下有?logx的素数p满足Bp-(8/p)(≠)0(mod p2).
平衡数 Wieferich素数 abc猜想 代数整数