文[1]建立了如下一个几何不等式: 设ABC的三边长分别为a、b、c,旁切圆半径分别为ra、rb、rc.则 ∑(a)/(ra)≥23. (1) 文[2]对不等式(1)加强为: ∑(a)/(ra)≥(2(4R+r))/(4R2+4Rr+3r2). (2) 其中R、r分别为ABC的外接圆半径与内切圆半径,∑表示循环和,下同. 本文将(2)加强为: ∑(a)/(ra)≥24-(2r)/(R). (3) 证明:设ABC的半周长为s,由 ra=(sr)/(s-a),rb=(sr)/(s-b),rc=(sr)/(s-c) 和三角恒等式a2+b2+c2=2(s2-4Rr-r2),可知 ∑(a)/(ra)=(1)/(sr)[(a+b+c)s-(a2+b2+c2)] =(2(4R+r))/(s). 由O.kooi不等式 2s2(2R-r)≤R(4R+r)2. 可知(1)/(s)≥(4R-2r)/((4R+r)R). 故(2(4R+r))/(s)≥(24R-2r)/(R) =24-(2r)/(R). 则不等式(3)成立. 下面证明(3)比(2)强. 显然,仅需证 4-(2r)/(R)≥(4R+r)/(4R2+4Rr+3r2) 成立. 将上式平方整理得R≥2r. 由Euler不等式可知,上式成立. 这说明(3)强于(2).