为了充分发挥高阶Li空间微分方案(Li,2005)的优点,实现了时间积分为2～6阶Runge-Kutta(简称RK)格式的偏微分方程求解算法(简称RKL算法).然后通过多组数值试验,研究了时间积分阶数对计算误差的影响.线性平流方程的试验结果表明对于方波函数型初值,2、4、5和6阶RK算法能获得和3阶精度差不多的结果,而对于高斯函数型的初值,高阶RKL算法可以取得较好的计算效果.RK为5(6)阶时,对应的Li微分阶数可达9(10)阶,总误差控制在10?7(10?8)以内.随RK阶数增加Li微分有效阶数有增加的趋势,而总误差在逐渐减小.计算非线性无粘Burgers方程时,RKL算法能否获得好的计算结果,除了受初始场形式的影响,还与计算的目标时刻有关.当目标时刻解的各阶导数连续(且未出现无穷大数值时),高阶(RK为4～6阶)算法是有效的;若出现了导数间断、或导数为无穷大,就会碰到冲击波解类型的问题,此时高阶RK算法也无法获得很高精度的数值解.此非线性的算例中,Li微分阶数仍然随RK阶数增加而增加,但增加的趋势不是线性的,具体变化关系可以通过实验结果拟合而获得.研究发现时间积分方案阶数大于3之后,对应的最优空间差分精度阶数可以比6阶提高很多,这再次证明了以前研究中6阶以上空间差分格式对结果无改进的现象,是由于没有使用足够高精度的时间积分方案引起的.相比于Taylor-Li(Wang,2017)算法,5～6阶的RK方法编程和实现简单,计算结果的精度比3阶算法要提高很多,因此,它是一种能够对复杂方程适用的简易高阶算法方案,具有一定的实用价值.
Runge-Kutta-Li格式 高阶算法 Burgers方程