本文将建立两个不等式,首先给出第一个不等式 ∑m2/l2b+l2c≥3/2 (1) 为了叙述方便,我们约定:a,b,c,ma,mb,mc,la,lb,lc,s,R,r分别表示△ABC的三边长,三条中线长,三条角平分线长,半周长,外接圆、内切圆半径. 下面给出(1)式的证明. (1)式的证明 由角平分线公式la=2√bc(s-a)s/b+c得 l2a≤4bc(s-a)s/(2√bc)2=(s-a)s, 同理 l2b≤(s-b)s,l2c≤(s-c)s (2) 又由中线公式m2a=1/2b2 +1/2c2-1/4a2和(2)式及均值不等式得 ∑m2a/l2b+l2c≥∑1/2b2+1/2c2-1/4a2/(s-b)s+(s-c)s =∑b2+c2-1/2a2/2sa ≥∑2bc-1/2a2/2sa=∑(bc/sa-a/4s) =b2c2+c2a2+a2b2/sabc-a+b+c/4s ≥abc(a+b+c)/sabc-1/2