已知定义域是全体实数的函数$$y=f(x)$$满足$$f(x+2 \pi )=f(x)$$且函数  $$g(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$$,$$h(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}.$$  如果定义函数$$p(x)$$、$$q(x)$$为$$p(x)=\begin{cases}\frac{g(x)-g(x+ \pi )}{2\cos x},\left( x\ne k \pi +\frac{ \pi }{2} \right)    0,\left( x=k \pi +\frac{ \pi }{2} \right) \end{cases}$$，$$q(x)=\begin{cases}\frac{h(x)+h(x+ \pi )}{2\sin 2x},\left( x\ne \frac{k \pi }{2} \right)    0,\left( x=\frac{k \pi }{2} \right) \end{cases}$$，其中$$k\in Z$$，那么下列关于$$p(x),q(x)$$叙述正确的是．
选项为:A:都是奇函数且周期为$$ \pi $$  B:都是偶函数且周期为$$ \pi $$  C:均无奇偶性但都有周期性  D:均无周期性但都有奇偶性  请回答其中一个选项.