Ottův slovník naučný/Differenciální počet
Differenciální počet učí vyhledávati differenciály daných funkcí (v. t.) na základě tomto: Závisí-li hodnota proměnné veličiny y na hudnotě jiné proměnné x způsobem stanoveným symbolicky výrazem funkcionálním  a zvětšíme-li hodnotu  proměnné x o malou veličinu ∆x zvanou (∆ zastupuje slovo difference), tak že hodnota  proměnné y se změní — zvětší nebo zmenší — o veličinu ∆y zvanou, bude tedy, jakož , , z čehož pak plyne se zřetelem k dané relaci , tak že poměr obou těchto změn  vyjádřen jest co podíl mezi rozdílem dvou hodnot odvisle proměnné y, totiž  a rozdílem  dvou hodnot neodvisle proměnné x, totiž . 

Poněvadž této proměnné možno přiděliti postupně a nepřetržitě všechny číselné hodnoty mezi −∞ a +∞ ležící (∞ co symbol čísla nekonečně velkého zavedl John Wallis r. 1665), tak že rozdíl dvou po sobě jdoucích hodnot jest veličina , tedy menší nežli kterákoli veličina malá, což vyjadřujeme též rčením, že se do nekonečna blíží nulle, že má za  hodnotu čili  0, stanovíme zároveň platností , že příslušná změna odvisle proměnné y, vyjádřená obdobným symbolem ∆y, má současně též nullu za limitu. A tu tedy , že nekonečně malá změna neodvisle proměnné x způsobuje  nekonečně malou změnu odvisle proměnné y, načež limita poměru těchto differencí nazývá se poměrem příslušných , tak že platí a se píše (d zastupuje slovo ) ; jiný pak způsob označení užívá symbolu , což zavedl  a  (Dx zastupuje rčení: derivace podle x).

Jakož funkce f(x) jest  neboli , sluje funkce f'(x)  neb její . Nauka, podle níž se stanoví f'(x) funkci f(x) příslušné, sluje pak . A poněvadž z poslední relace plyne , obdrží se  odvisle proměnné co součin derivace příslušné funkce s differenciálem neodvisle proměnné, tak že nauka, podle níž se stanoví differenciál daných funkcí, jest předmětem . Z čehož patrno, že počet derivační a differenciální se v podstatě od sebe neliší.

Jestli tedy na př. , bude podlé tohoto výměru napřed , načež obdržíme bez vymezení , a přejdeme-li k limitám, konečně , což představuje  předložené funkce, z níž plyne  co její .

Velmi dobře objasňuje nový tento pojem význam jeho v nauce o křivkách rovinných. Vyjadřuje-li rovnice  v pravoúhlých souřadnicích nějakou křivku, jejíž čásť souvislou představuje AB v obraze vedlejším, tak že OC=x, CA=y, CD=∆x. DB=y+∆y, obdržíme, vedouce AE∥CD a pojíce bod A přímkou s bodem B ∡BAE=σ, tak že EB=∆y a tedy .

Blíží-li se pak bod D do nekonečna bodu C, tak že lim ∆x=0, blíží se bod B taktéž do nekonečna bodu A, čímž sečna AB sváží se dopevné polohy AT, tečnou bodu A dané, úhel σ pak přechází v úhel TAE=τ, jejž svírá tečna AT s osou úseček, tak že konečně bude . Derivace naší funkce značí tedy trigonometrickou tangentu úhlu, jejž svírá tečna příslušného bodu s osou úseček. Jestli pak τ=0, tečna tedy rovnoběžnou s osou úseček, jest příslušná pořadnice buď větší nebo menší nežli pořadnice předcházející a následující, tak že příslušný bod křivky jest tu , funkce pak dosahuje současně hodnoty  neb . Kdyby na př. určiti bylo úhel, jejž svírá tečna křivky známou rovnicí  dané s osou úseček v bodě, jehož x=−1, Obdržíme dle dřívějšího výsledku , dosadíme-li tam za x tuto hodnotu, y'=−1 = tg τ, z čehož patrno, že τ=135°. A kdybychom chtěli věděti, pro jakou hodnotu úsečky vyskytuje se u předložené křivky vrchol, maximum nebo minimum pořadnice, učiňme  z čehož plyne x=−¾, tak že dosadíce tuto hodnotu do rovnice křivky, zjednáme si pro příslušné y hodnotu 2⅞.

Z čehož i pochopitelno, jak vedlo všeobecné řešení úkolu tangentního a úkolu maxima nebo minima k ustálení pojmu derivačního a vyvinutí počtu differenciálního.

Poněvadž možno derivaci dané funkce nějaké všeobecně považovati za funkci původní a k ní vyšetřiti příslušnou derivaci, obdrží se tímto způsobem derivace , jakož i podobně derivace , , … n-tá a tudy též differenciál , též  zvaný, pak d. , , …, n-tý.

Podle toho máme na př. pro  příslušnou derivaci druhou , načež třetí a všechny další derivace jsou zde nullou, poněvadž derivace veličiny stálé jest vůbec 0.

Způsob, jak označují se takovéto  derivace neb differenciální poměry, totiž ,,…, vede pak k označení vyšších differenciálů a sice ,,…. Předložena-li však proměnná z, závislá na dvou neodvisle proměnných x a y, jako na př. závisí váha nějakého tělesa i na jeho velikosti i na jeho hutnosti, tak že závislost tu všeobecně vyjádřena výrazem symbolickým , nutno rozeznávati  změny její a sice souvislé se změnou  proměnné x nebo y a souvislé se změnou současnou  proměnných. První případ neposkytuje nic pojemně nového, jelikož se proměnná, k níž se změna nevztahuje, může považovati soudobně za stálou; a tu jsou tedy příslušné derivace vyjádřeny vzorcem ,.

Takovéto derivace slují  čili  a označují se zvláštním tvarem litery ∂, jakž poprvé učinil slovutný mathematik Jacobi r. 1841. Druhý případ poskytuje pak úplný differenciál, skládající se ze součtu částečných differenciálů podle vzorce .

A podobně skládá se differenciál funkce n proměnných, x1, x2, x3, …, xn zvaných,  ze součtu n částečných differenciálů podle jednotlivých těchto proměnných podle vzorce .

Jak se má odvozená funkce k funkci původní, o tom poučuje nás její ráz vůbec a jakost průběhu hodnot odvisle proměnné zvlášť, tak že tu vyskytuje se veliká rozmanitost případů od supposice svrchu stran nepřetržitosti vytčené se odchylujících. Abychom uvedli aspoň jednu různost typickou, ustanovme pro funkci . podle základního pravidla derivaci; budeť tu , kdež platí, jak známo, , z čehož patrno, že výsledek jest vyjádřen veličinou soujemnou.

D. p. jest vynálezem věku nového. Po některých více méně šťastných pokusech, řešiti všeobecně úkol tangentní a maxima neb minima (v. t.), jakéž poskytl zejména  († 1665), sestavil  v Němcích,  pak v Anglii, každý svým způsobem a skoro současně, zvláštní nauku, jak se z dané funkce nějaké vyvine její funkce odvozená, při čemž ukázáno, jak možno nového algorithmu tohoto, d. p. zvaného, užiti k řešení úkolů dříve jmenovaných. Zároveň pak i řešili úkol obrácený, jak se k danému výrazu differenciálnímu vyhledává neznámá funkce původní, jejíž derivace tedy objevuje se v předloženém výrazu differenciálním, čímž položeny základy počtu  (v. t.), pomocí jehož řešeny pak též všeobecně úkoly kvadratury se týkající neboli obrácené úkoly tangentní, jež taktéž v XVII. stol. byly předmětem četných výzkumů mathematických.

 byl s vynálezem svým dříve (r. 1666) u cíle sobě položeného, uveřejnil však teprve r. 1687 i theorii i praksi v klassickém spise svém »«, kdežto  již r. 1684 zcela jasnou theorii svou podal ve sborníku vědeckém »« tehdáž v Lipště vycházejícím a po celém učeném světě rozšířeném v pojednání »«. A tak se na kontinentě s věcí ujala i Leibnizova terminologie, jako na př. pojmenování  (»Newtonova fluxe«), načež další rozvoj počtu tohoto na veličinách nekonečně malých založeného a proto i počtem  zvaného proveden zejména důvtipnými pracemi bratří Bernoulliů během st. XVIII., v němž konečně zbudoval slavný  svými klassickými spisy »« (1753) a »« (1768) tuto nauku v rozměrech na ten čas nejrozsáhlejších. V našem pak století rozšířen obor p. d. zavedením proměnných soujemných, k němuž položil základ napřed  (1825) a po něm  (1851), tak značně, že od té doby nový rozvoj jeho sluší počítati. Literatura o p. infinitesimálním jednající jest obrovská. V naší řeči se odporučuje:  »O původu a rozvoji počtu differenciálního a integrálního«, (v Praze, 1879), a  »Základové vyšší mathematiky«, z nichž 1. sv. »O počtu differenciálním« vyšel r. 1878 v II. vyd. Pro první studium se taktéž odporučuje dvojdílný spis  »« nebo velmi stručný, ale přesný  »«, konečně důkladný Bertrand »« nebo Todhunter »«. FStd.