Ottův slovník naučný/Algebra
Algebra čili  jest částí  (v. tuto). Jest to nauka o početních výkonech s algebraickými čísly (v. ), lišíc se od  čili  tím, že předmětem této jsou výkony početní pouze s čísly zvláštními, jejichž kolikost jest známa. A. užívajíc písmen k označování obecných čísel a symbolů k označování početních výkonů, řeší tím početní úlohy ve všeobecnosti, poněvadž písmenům představujícím obecná čísla lze dáti jakékoliv zvláštní hodnoty číselné. Provádějíc početní výkony a dokazujíc správnost jejich dospívá k výsledkům, jež nazývají se . Každý takový vzorec přenesen do mluvy obecné podává jistou poučku obecně platnou; na př. vzorec

učí: Součet dvou čísel se násobí číslem třetím, násobíme-li tímto oba sčítance a oba součiny sečteme.

Dříve rozuměla se slovem a. pouze nauka o řešení rovnic, což původ svůj mělo ve významu arabského slova a., jak doleji v historickém přehledu vysvětleno.

A. dělí se nyní v a-ru , jejichž meze však nejsou přísně vytčeny; obecně lze říci, že a.  jest přípravou netoliko pro a-, ale i pro celou mathematickou analysi, počítaje v to i některá odvětví geometrie, jako jsou: analytická geometrie, trigonometrie atd.; pouze synthetická geometrie nemá a-ry zapotřebí. K  a-ře čítáme asi to, co z oboru toho na středních školách se vykládá, totiž: čtyři základné výkony početní s algebraickými výrazy celými a lomenými, nauku o poměrech a úměrách, o mocninách, odmocninách a logarithmech, o zlomcích řetězových, o určitých rovnicích stupně prvního, druhého a některých zvláštních rovnicích stupňů vyšších, o neurčitých rovnicích stupně prvého, o řadách arithmetických a geometrických, o počtech úrokových, o permutacích, kombinacích a variacích, o poučce binomické a polynomické, dále počátky nauky o determinantech, počtu pravděpodobnosti a počtu s čísly soujemnými. Do  a-ry řadí se nyní: všeobecná theorie determinantů, theorie algebraických rovnic a jejich kořenů, theorie eliminace, resultantův a diskriminantů, theorie substitucí, algebraických forem, invariantův a kovariantů. Připojujíce stručný náčrtek celkového vývoje a-ry ponecháváme podrobné vypsání jednak ku jmenům mužů při vývoji tom súčastněných, jednak k jednotlivým odvětvím samým.

A. vyvíjela se u jednotlivých starých kulturních národů samostatně, čehož příčinou byla takřka naprostá odloučenost jedněch od druhých; vyvinula se z počtářství a proto také nalézáme a-ru v nejstarších památkách, které se nám zachovaly, těsně spojenu s počtářstvím a tvořící nerozlučnou čásť tohoto. První stopy a-ry nalézáme u Číňanů. Nejstarší známý spis jejich a vůbec nejstarší mathematické dílo jest Kiu-čang, t. j. »devět hlav« (umění počtářského); byl prý napsán již kolem roku 2600 př. Kr. Spis ten po dlouhá století zůstal mathematickou učebnicí Číňanů, byl pozdějšími jejich spisovateli sice různě vykládán a přepracován. avšak podržel stále týž titul. Nelze tedy přesně rozhodnouti, co a kdy průběhem století jednotlivými spisovateli bylo přidáno. Pro dějepis a-ry nejdůležitější jest hlava IV., kteráž obsahuje začátky a-ry, pak tabulku lihn zvanou, ve které sestaveny byly binominální součinitelé a která v západní Evropě teprve v XVII. stol. Pascalem vynalezena byla pode jménem »arithmetický trojúhelník«; dále vyskytuje se tam již odmocňování, řešení rovnic stupně prvního i druhého, jakož i některých zvláštních rovnic stupně třetího; v hlavě VII. pojednáno o kladných a záporných veličinách a o rovnicích s více neznámými. Rovnice vyšších. stupňů řešili příbližně dle methody, která poněkud se podobá nynější Hornerově.

Číňané uměli též řešiti neurčité rovnice. Methoda k řešení jejich slula ta-yen a začátky její vyskytují se již u Sun tsi v III. století po Kr. Později obšírněji podána ve spise, jejž v VIII. stol. napsal Yih-hing a znova spracoval v XIII. stol. Tsin-kiu-čau (1220–1290); týž spisovatel napsal též samostatný spis o určitých rovnicích.

Velmi starého původu jest též spis mathematický, který pod jménem papyrus Rhind chová se v Britském museu. Psán jest mezi XX. a XVII. stol. př. Kr. v Egyptě; pisatel jeho slul Ahmes. Ve spise tom nalézá se řada úloh, které nyní řešíme rovnicemi stupně prvního o jedné neznámé.

U Řeků nalézáme stopy a-ry v Euklidových »Elementech« (v III. století př. Kr.); v VI. knize nacházíme měřické úlohy, jejichž řešení vede k měřickému sestrojení kořenů rovnice 2. stupně; knihy VII., VIII. a IX. obsahují theorii poměrův a úměr čísel. Měřická úměra α:β=γ:δ se všemi z ní odvozenými úměrami, na př. (α+β):β = (γ+δ):δ atd. nahrazovaly Řekům do jisté míry algebraické transformace; Archimédés (287–212 př. Kr.) a Apollónios (* asi 247 př. Kr.) tuto kusou a-ru značně rozšířili, avšak užívajíce jí jen jako pomůcky pro své výzkumy geometrické nezanechali nám nikde stopy toho, jakým způsobem transformovali vztahy, ku kterým jejich výzkumy je vedly. Některá arabská udání poukazují k tomu, že již Hipparchos (v II. stol. př-Kr.) psal o rovnicích druhého stupně; avšak teprve u Héróna Alexandrijského staršího (kolem r. 100 př. Kr.) nalézáme některé úlohy, jejichž řešení svědčí o tom, že Hérón veličiny v těchto úlohách se vyskytující pojímal se stanoviska ryze algebraického. Podobně u Thymarida (v III-stol. po Kr.) vyskytují se stopy a-ry; řeší totiž zvláštní soustavu lineárných rovnic, arciť pouze slovy, a mluví při tom o známých a neznámých veličinách. Zdá se dle toho, že Řekové až do III. století po Kr. měli již dosti vyvinutou a-ru, avšak pouze slovnou, bez symbolických znamení. Pokrok i v tomto směru shledáváme již v II. knize Pappusovy »Sbírky« (ku konci III. stol.), kdež mluvě o Apollóniově methodě násobení užívá velkých písmen abecedy ve smyslu všeobecných čísel. Daleko vyvinutější symbolickou a-ru nalézáme ve spisech Diofantových (kol. r. 300); tento ve svých 13 knihách o »arithmetice« podává řadu pravidel algebraických, jež vztahují se až k utvoření druhé neb třetí mocniny dvojčlenu; rozeznává čísla příčetná a odčetná a udává při násobení dvou rozdílů pravidla o násobení takových čísel; že tím však nikterak nemínil čísel kladných a záporných jakožto protivných, patrno jest z toho, že považuje odčítání většího čísla od menšího za nemožné a že při řešení rovnic nikde záporné hodnoty pro kořeny neobdrží. Podobně nezná Diofantos též čísel irracionálných, za to však připouští čísla lomena jak v koeficientech rovnic, tak i v řešeních. Podotknouti též sluší, že v žádném příkladě, kdež řeší rovnice druhého stupně, neudává dvou kořenů, nýbrž pouze jeden. Diofantos dospěl až k řešení rovnic určitých prvního a druhého stupně, ano vyskytují se i úlohy, kde řeší rovnice třetího i čtvrtého stupně, dále k řešení neurčitých rovnic prvního, druhého stupně a některých vyšších rovnic.

O Římanech nelze tvrditi, že by byli nějak ku vývinu a-ry přispěli; oni přisvojovali sobě jen to, co Řekové již znali a zužitkovali toho v praktických směrech na válečnictví, architekturu a geodaesii.

Jinak tomu bylo u Indův, o jejichž pokročilosti mathematické máme první zprávy z počátku VI. stol. po Kr. Rozmanité stopy tomu nasvědčují, že řecká a. i s geometrií dostala se do Indie, kdež spojivši se s domácí indickou a-rou samostatně bez přívěsků geometrických se vyvinula ke značné výši, které v Řecku nikdy nedosáhla. Nejstarší spis, který se o a-bře u Indů zachoval, jest astronomický spis od Áryabhatty (476–550), kde též pojednáno o a-bře; po něm ve spisech Brahmagupty (* r. 598). Již Áryabhatta znal řešiti mimo rovnice prvního stupně též rovnice druhého stupně o jedné neznámé, sčítati řady arithmetické atd. U Brahmagupty vytknouti sluší, že nerozeznává více jednotlivých možných tvarů rovnice druhého stupně, poněvadž Indové byli zvyklí počítati s čísly kladnými i zápornými. Neurčité rovnice prvního stupně o dvou neznámých řešili Indové methodou, která v celku shoduje se s naší nynější pomocí řetězců. Brahmagupta řeší již též neurčité rovnice druhého stupně tvaru , aniž by blíže udával, jak k výsledku přišel. Jako třetího indického spisovatele algebraického, avšak z doby pozdější, uvésti třeba ještě Bhâskaru (1141–1225). Z jeho spisů Lîlâvati a Vîjaganita zřejmý jest tento pokrok: Znal dobře (jako již jeho předchůdcové) pravidla o počítání s čísly kladnými, zápornými a irracionálnými, znal již, že rovnice druhého stupně má dva kořeny, avšak ve výsledku připouštěl pouze kladné; podobně věděl též, kdy řešení jest »nemožné« (t. j. kdy vede ke komplexním kořenům); kdežto indičtí spisovatelé před ním psali své a-ry ve verších těžko srozumitelných, jest Bhâskara první, který ke svým veršům přidává vysvětlivky v prose. Dodati sluší, že již Brahmagupta hojně užíval a-ry k řešení měřických úloh; totéž shledáváme u Bhâskary.

Když Arabové šíříce islám v první polovici VII. století svoje válečná tažení vítězně byli ukončili a mimo jihozáp. Asii též celou severní Afriku a v Evropě jižní Španělsko a dolní Italii sobě podmanili, počali zabývati se horlivě pěstováním věd; také a. dospěla u nich k vysokému stupni vývoje přijavši zároveň své jméno z arabštiny. Vývoj ten nebyl s počátku samostatný, nýbrž založen na algebraických vědomostech Řekův, Indův, ano i starých Egypťanů.

Při rozsáhlosti zemí Araby ovládaných byl vývoj a-ry u východních a západních Arabů různý; u východních počalo pěstování její již ku konci VIII. století, dosáhlo vrcholu svého asi v polovici XI. stol. a klesalo pak od této doby stále. První a-ru arabskou napsal kolem roku 830 Muhammed-ben-Músá a-Chovárizmí (* asi r. 795 v perské provincii Chovárizm), který žil u dvora chalífa Mamúna (panoval asi 813–833). Jest to první spis, v jehož titulu vyskytuje se slovo a., a též první, který do Evropy se dostal. Spis ten jest pro vývoj a-ry velice důležit; byl základem, na kterém netoliko arabští, nýbrž později i evropští algebraisté, Leonard z Pisy, Lukáš de Burgo, Tartaglia a Cardan dále stavěli. Chovárizmí užil k titulu dvou slov: al-džebr val-mukábala; slovem džebr (od slovesa džabara, které v obecné mluvě znamená napraviti, zříditi zlámaninu, kdežto v mathematické mluvě znamená učiniti zlomek celým) rozumělo se odstraňování jmenovatelů v rovnici a spořádání její tak, že obě strany skládaly se pouze z kladných členů; slovem mukábala (od kábala, které znamená tolik co naproti sobě postaviti) rozumělo se vynechati na obou stranách rovnice členy stejného druhu v stejném množství. Jestli na př. z rovnice  odvodila se nová , byl to výkon džebr; a jestli rovnice  se zredukovala na , byl to výkon mukábala; jak patrno, vyrozumívali Arabové slovy těmi řešení rovnic. Když ve středověku tento spis Chovárizmího překládán byl do latiny, podržela se s počátku obě slova, avšak psala se latinskými písmeny; postupem času druhé slovo se ztratilo a zbylo pouze první ve formě a-ry. Ze spisu Chovárizmího zřejmo jest, což již dříve zmíněno bylo, že arabská a. vyvinula se z řecké, perské, indické a staroegyptské.

Chovárizmí ve své a-bře nepokročil dále než k řešení rovnic druhého stupně, při čemž přísně rozeznává jednotlivé možné tvary předpokládaje rovnice spořádané tak, že na obou stranách jsou pouze kladné členy; pravidla pro řešení těchto rovnic udána jsou slovy. Uvésti sluší ještě, že v a-bře Chovárizmího nalézají se mimo jiné též pravidla pro násobení dvojčlenův a počátky pravidel o oddvojmocňování.

Vynikajícími algebraisty u východních Arabů byli ještě: Tábit-ben-Kurra (836–901), který zanechal spis obsahující upotřebení a-ry na řešení geometrických úloh; Abu-Vefâ (940 až 998), který napsal okolo r. 970 arabský kommentář Diofantova spisu, a-ry Hipparchovy a a-ry al-Chovárizmího; al-Karchí, který asi mezi 1010–1016 napsal a-ru zv. al-Fachrí; ve spise tom nalézáme též řešení rovnic vyšších stupňů, kteréž lze převésti na rovnice stupně druhého. Na nejvyšší stupeň vývoje u východních Arabů přivedl a-ru Omar al-Chajjámí († r. 1123); pěstoval a-ru systematicky a geometrie sloužila mu jen za pomůcku; byl první, který ve své a-bře napsané asi roku 1080 roztřídil rovnice stupně třetího; domníval se však jako všichni Arabové před ním, že rovnic stupně třetího nelze řešiti počtem, nýbrž pouze pomocí protínajících se kuželoseček.

U západních Arabů nebyly až do XI. stol. žádné mathematické spisy uveřejněny; teprve v 2. polovici XI. století napsal Džábir-ben-Aflach, obyčejně Geber zvaný, od jehož jména se nesprávně odvozovalo slovo a., dílo o 9 knihách, které přeložil Gerhard z Cremony (1114 až 1187); tento přeložil též a-ru, jejíž arabský spisovatel není znám. V této a-bře užívá se jistého druhu algebraického písma ve způsobě skratek a znamení; Gerhard v latinském překladu pojmenoval první mocninu neznámé radix, druhou census, číslo v členu bez neznámé dragma a jako skratky užíval prvních písmen těchto slov. Mnohem více symbolického označování vyskytuje se u Araba al-Kalsádího (v XV. stol.). Ještě třeba zmíniti se tuto o perském mathematikovi Behá-ud-dínovi (1547–1622), který ve svém spise »Chulásat al hisáb« (výbor počtářství) při algebraických rovnicích vysvětluje význam slov »aldžebr« a »val mukábala«. Od XII. stol. počínajíc šířily se mathematické vědomosti západních i východních Arabů do křesťanské Evropy.

Velmi značně k rozšíření a-ry v Italii a tím i v ostatní Evropě přispěl kupec Leonard z Pisy zvaný Fibonacci (* 1175). Pobyv dlouho v orientu sepsal po svém návratu r. 1202 a vydal r. 1228 spis o arithmetice a a-bře, který nazval »Liber abaci«; v kapitole 15. obsahuje »algebr val mukábalu« al-Chovárizmího s tím rozdílem, že Leonard z předu přidal úměry a ku konci upotřebení a-ry na úlohy geometrické. Leonardův spis jest první spis křesťanem napsaný, kterýmž a. do Evropy byla zavedena.

Z XIII. a XIV. století nelze zaznamenati žádného pokroku v a-bře. V první polovici XV. stol. nastal obrat k lepšímu; Purbach ve Vídni (1423–1461) napsal »Institutiones in Arithmeticam« (tištěna ve Vídni teprve roku 1511), po něm vynikl jeho žák Müller zvaný Regiomontanus (1436–1476). Mocnou pomůckou k rozšiřování a pěstování věd bylo vynalezení tiskařství v druhé polovici XV. stol. Velikou zásluhu o vývoj a-ry má františkánský mnich Lukáš Paccioli zvaný de Burgo (asi 1440–1515); jeho hlavní spis, tištěný poprvé r. 1494, jest: »Summa de arithmetica, geometria, proportioni e proportionalita«. V knize té podává mimo počtářství a měřictví vše, co toho času o a-bře známo bylo, t. j. nauku o rovnicích až včetně rovnice 2. stupně a upotřebení a-ry k řešení měřických úloh. Počitání písmeny Lukáš ještě neznal, pouze pro neznámou a její čtverec užívalo se zvláštních značek. Měla-li rovnice 2. stupně dva kladné kořeny, podržel oba; záporné kořeny zamítal, neboť pojem záporného čísla v době té nebyl ještě zaveden; o pomyslných kořenech není vůbec nikde ani zmínky. Lukáš též řešil rovnice stupně čtvrtého, jež lze převésti na rovnice stupně druhého. O něco dříve vydal Widman (* v Chebu) spis i počtářství, tištěný v Lipsku r. 1489, v kterém poprvé nalézáme znaménka + a – pro výkony sečítání a odčítání.

Schreibers zvaný Grammateus vydal roku 1518 ve Vídni arithmetiku a a-ru, ve které užívá již stále znamení + a –. Jeho žákem byl Rudolff († asi 1550), který napsal a-ru pod titulem »Die Coss«, tištěnou r. 1524 a obsahující mnoho pravidel o počítání algebraickém; a-ru tu opravenou a rozmnoženou vydal podruhé Stifel (1487–1567) r. 1554 již po smrti Rudolffově. V knize té, která obsahuje pravidla o řešení rovnic 1. a 2. stupně s vysvětlivkami a úlohami, nalézáme opět znaménka + a –; Stifel píše tu již násobence vedlé násobitele bez znaménka násobení a počíná také označovati různé mocniny neznámého čísla jediným písmenem, avšak děje se to rozmanitými způsoby; o záporných číslech praví Stifel, že jsou to čísla klamná, zdánlivá, pod ničím.

Současně učinila a. v Italii veliký věcný pokrok. Ferro († 1525) byl první, který r. 1515 nalezl algebr. řešení rovnice tvaru , neznáme však ani jeho methody ani důkazu; r. 1535 nalezl Tartaglia (1506–1559) samostatně netoliko řešení tohoto případu, nýbrž i jiného. Navštíviv roku 1539 v Miláně Cardana (1500–1576) svěřil tomuto své řešení, avšak bez důkazu, s podmínkou, že zachová je v úplném tajemství; o 3 léta (r. 1542) později dozvěděl se Cardan o řešení tom také z rukopisu Ferrem zanechaného, načež za pomoci svého žáka Ferrariho (1522–1565) podal přesný vzorec i důkaz a uveřejnil je ve své »Ars magna« (1545). V tomto spise uveřejnil též řešení rovnice stupně čtvrtého, které, jak sám přiznává. nalezl zmíněný již Ferrari (1540). Kniha »Ars magna« jest pro vývoj a-ry také tím důležita, že Cardan věnoval větší pozornost různým kořenům připouštěje též záporné kořeny, ačkoliv je nepovažoval za stejnoplatné s kladnými; záporné kořeny nazýval radices fictae, kladné r. verae; jestliže se mu vyskytly imaginárné kořeny, považoval řešení za nemožné a nazýval je »sofistické«. Všech možných případův u rovnic 2. a 3. stupně, jakož i oněch 4., 6. a 9. stupně, které lze na ně převésti, aneb z nich odvoditi, rozeznává a řeší 66; z toho zřejma jest rozvláčnost tehdejších pravidel algebraických. Stručnosti a přehledu vadil nejvíce nedostatek symbolického označování.

Bombelli vydal roku 1572 algebraické dílo, v kterém podává řešení případu zvaného »casus irreductibilis« ukázav, že rovnice v případu tom má 3 reálné kořeny; Cardan případ ten přešel. Vytknouti sluší, že Bombelli jest první, který ve své a-bře počítá s čísly komplexními.

A. v době té dospěla asi výše, které při grafických prostředcích, jichž užívala, dosíci mohla; dalšímu jejímu vývoji vadilo, že nebyly zavedeny obecně vhodné symboly jak pro označení výkonů početních, tak i pro veličiny samy. Rozhodný obrat tu způsobil teprve Viète (1540–1603), kterého považovati lze za zakladatele a-ry ve smyslu, v kterém nyní se pojímá; zavedl označování veličin známých i neznámých písmeny, přikládaje těmto v témž počtu jistou společnou jedničku za míru; výkony početní nabyly tím stručnosti a přehlednosti nebývalé. Viète soustavně spracoval a-ru; podal přesná pravidla pro první čtyři početní výkony, mezi nimi zvláště pravidlo o znamení součinu a podílu; čísla kladná a záporná nazýval »affirmativná« a »negativná«. Pro mocniny neměl Viète ještě žádných symbolických znaků, nýbrž užíval celých slov; tak na př. výraz  psal: a+b cub. aequal. a cub. + b in a quadr. 3 + a in b quadr. 3 b cub. Pouze v číselných rovnicích značil neznámou N, její dvojmoc Q a trojmoc C, tak že na př. rovnice  byla psána 1C –8Q+16N aeq. 40. U rovnic druhého stupně připouštěl dva kořeny jen tenkráte, když byly oba kladné; znal též souvislost kořenů s koeficienty rovnice, avšak zákon tento přesně vyslovil první Harriot (1560 až 1621). Viète prováděl též již nejjednodušší transformace s kořeny dané rovnice, t. j. dovedl nalézti rovnici, jejíž kořeny byly o dané číslo aneb několikráte větší neb menší než kořeny rovnice původní. Konečně třeba zmíniti se, že Viète řešil úlohy měřické pomocí a-ry a sestrojoval pak neznámé z konečných výrazů, které obdržel. Po něm Harriot založil theorii rovnic s kořeny směrnými. On první dával rovnicím tvar zvaný »nullový« a počal neznámou označovati písmenem x; zavrhoval sice také ještě záporné kořeny, nicméně má velkou zásluhu, že počítání s čísly zápornými nabývalo pak vždy více půdy. Jeho spis »Artis analyticae praxis« vyšel až po jeho smrti, r. 1631. U Girarda (1500–1634) ve spise vydaném r. 1629 nalézáme již správné náhledy o záporných kořenech rovnic a vysvětlení o významu jejich v měřických úlohách. Dále ukázal, že racionálné souměrné funkce kořenů lze vyjádřiti pomocí koeficientů rovnice, zejména podal vzorec pro součet stejných mocnin kořenů v rozvinutém tvaru. Za Descartesa (1596 až 1650) zjednáno vynalezením analytické geometrie těsné spojení mezi poučkami měřickými a výpočty algebraickými; vyhledávání vlastností měřických útvarů převedeno tím na provádění algebraických operací. Obrat ten zároveň měl ten účinek, že záporné výsledky, jichž při počítání algebraickém dosaženo, více se nezamítaly, nýbrž počal se jim dávati určitý výklad, jak již Girard byl učinil počátek. Wallis (1616–1703) zavedl do a-ry lomené mocnitele (se zápornými mocniteli setkáváme se již u Stifela a Stevina) a byl první, který zabýval se problémem, jemuž dal jméno interpolace (průklad); pojmenování to se udrželo; on též první (1673) pojímá pomyslné veličiny geometricky. Značnou měrou přispěl k systematickému vývoji a-ry Newton (1642–1727) svým spisem »Arithmetica universalis«, která poprvé uveřejněna byla r. 1707, ačkoliv psána byla pro žáky jeho již od r. 1669. Mimo jiné nalézá se tam algebraické počítání s odmocninami, řešení rovnic prvních čtyř stupňů, transformace algebraických rovnic, počátky theorie souměrných funkcí kořenův algebraických rovnic, jakož i theorie eliminace. Podal též obecné řešení jednoho zvláštního případu problému interpolačního. Již jako žák na cambridgeské universitě odvodil asi r. 1662 obecnou binomickou poučku pro jakéhokoliv reálného mocnitele, kdežto Leibniz (1646–1716) odvodil poučku polynomickou. Nauka o řadách rozdílových vypracována Jakubem Bernouillim (1654–1705), Montmortem (1678–1719), Nicolem (1683–1758), nejvíce však Lagrangem (1736–1813), který vzorcům dal ony elegantní tvary, které mají nyní. Theorie řad rozdílových užil pak Lagrange k obecnému řešení problému interpolačního.

V XVII. stol. vyvinula se též nauka o , která již v XVI. stol. byla vznikla. Vynikli tu Guldin, po něm Pascal, Leibniz a Jak. Bernouilli. – Též počet pravděpodobnosti nalezl v XVII. stol. hojně pěstitelů. Byli to hlavně Pascal, Fermat, Huyghens (1629–1695), který má zásluhu, že toto odvětví systematicky spracoval a základné věty analyticky formuloval (1657). Mnohem důkladnější jest spis Jak. Bernouilliho, který pod názvem »Ars conjectandi« r. 1716 vyšel a který vedlé nauky o kombinacích podává počet pravděpodobnosti a jeho upotřebení na řešení úloh národohospodářských a morálních. Z dlouhé řady mužů, kteří s prospěchem se zabývali počtem pravděpodobnosti, vynikli zvláště Laplace (1749–1827), který výsledky svého badání uveřejnil ve znamenitém spise »Théorie analytique des probabilités« (1. vyd. r. 1812), po něm Poisson (1837) a mn. j. Z ruských mathematiků jmenujeme Lobačevského (1824), Ostrogradského (1834), Buňakovského (1846) a Saviče (1863); z českých pracovali v oboru tom hlavně Pánek a Pokorný.

Theorie  od dob Descartesových velice se vyvíjela a zdokonalovala. Methody pro stanovení mezí kořenů, jakož i pro počet kořenů obsažených v určitých mezích podali Descartes, Beaune (1601–1652), Newton, Rolle (1690), Maclaurin (1698–1746), de Gua (1741), později Budan (1811) a Sturm (1829); Hudde (1659) uveřejnil methodu, dle které lze poznati, má-li rovnice stejné kořeny, Tschirnhausen (1683) udal způsob, jak lze z rovnice odstraniti libovolný počet středních členů jejích, Leseur a Fontaine (1747) ukázali, že rozklad rovnice v jiné nižších stupňů závislý jest vobecném případě na řešení rovnic složitějších, než jest původní. Methody pro příbližné řešení číselných rovnic nalezli Newton, Euler (1707 až 1783), později Fourier, Budan, Sturm, Gräffe, Horner.Důkladně pojednalo všeobecných vlastnostech rovnic, o jejich algebraickém řešení a o souměrných funkcích jejich kořenů Waring ve spise »Meditationes algebraicae« (1. vyd. 1762). Nejmohutněji zasáhl do nauky o rovnicích Lagrange (1736–1813); pojal obecným způsobem transformaci algebraické rovnice v jinou, jejíž kořeny jsou v jistém daném vztahu s některými kořeny dané rovnice; byl první, který podal obecnou methodu pro řešení neurčitých rovnic 2. stupně o dvou neznámých. Vypracováním obecné theorie pomyslných veličin Eulerem, Argandem, Cauchym (1782–1857) a Gaussem (1777–1855) nabyla theorie rovnic úplné všeobecnosti. Pokusy řešiti algebraicky rovnice stupňů vyšších než čtvrtého, dokázaly nemožnost tohoto řešení; první výsledky v tomto směru podal již Lagrange (1771), po něm Ruffini v létech 1798–1806, hlavně však tu vyniknul Abel (1824 a 1826) a Galois (1831). Tyto výzkumy byly podkladem důmyslných prací pozdějších mathematiků Hermitea, Bettiho, Kroneckera a j.

Theorií  počali mathematikové živěji zabývati se asi od polovice XVIII. stol.; mimo Cramera (1750) jmenovati tu sluší Eulera (1748 a 1764), Bézouta (1764 a 1779), Sylvestra (1840) a Cayleye (1856), kteří jednak podali různé methody pro eliminaci samu, jednak odvodili různé vlastnosti rovnice výsledující. – S theorií eliminace těsně spojena jest theorie determinantů, která též současně se vyvíjela. První myšlénka vyskytuje se již roku 1693 u Leibnize, avšak nevěnováno jí další pozornosti; teprve r. 1750 Cramerem znovu byla vyslovena, a na to Bézoutem (1764), Vandermondem (1771 a 1772), Laplacem (1772), Lagrangem (1773 a 1775) v různých směrech rozšiřována a zdokonalována.Následoval pak Gauss (1801), Binet (1813) a Cauchy (1815). Soustavný ráz dal novému odvětví teprve Jacobi (1841), který vše známé sestavil a důležité výsledky vlastního badání připojil, položiv takto základ theorie determinantův. Od té doby přibývalo pracovníků hojnou měrou; z českých mathematiků súčastnil se na poli tom vynikajícím způsobem F. J. Studnička. – Theorii  spracoval soustavně ponejprv Cauchy; později pak obtížné toto odvětví hlavně pěstovali Galois, Serret,Jordan,Kronecker. – Z theorie ,  vyskytují se stopy již u Lagrangea (1773) a Gausse (1801), avšak teprve Booleův článek z r. 1841 přiměl Cayleye (1845) k obecnějšímu vyhledávání funkcí, kterým náleží vlastnost invariantnosti; následovaly pak rychle další výzkumy Cayleye, Hermitea, Sylvestra, Aronholda, Brioschiho, Salmona, Clebsche, Gordana a j. Theorie ta zvláště v posledních létech nabyla netušeného rozvoje.

Končíce tuto náčrtek vývoje a-ry připojujeme ještě stručně několik slov o pěstování jejím-na domácí půdě české. Toto počalo ihned po založení české university Karlem IV. roku 1348 a jako v jiných zemích tak i v Čechách dlouho spojena byla a. s arithmetikou v nerozlučný celek. Hlavními pěstiteli byli: Křišťan z Prachatic (asi 1368–1439), Jan Šindel (asi 1375–1450), Súd ze Semanína (1490–1557), O. Klatovský (nar. asi 1504), který roku 1530 vydal první českou tištěnou početnici, ve které ku konci řeší též některé příklady spadající do rovnic; Jiří Mikuláš Brněnský (nar. na poč. XVI. st.) vydal r. 1567 početnici, ve které ke konci řeší neurčité rovnice pomocí »regula falsi«; Tadeáš Hájek (1525–1600), který roku 1555 byl v Miláně a tu s Cardanem obcoval, Martin Bacháček (asi 1540–1612), David Gans (1541–1613), Jiří Goerl (nar. asi 1550), Markus Marci (1595–1665), Caramuel z Lobkovic (1606 až 1682), Jiří Böhm (1621–1666), Sigm. Ferd. Hartmann († 1701), Jakub Kreza (1648–1715), Josef Stepling (1716–1778), Štěpán Schmidt (1720–1783), Jos. Tesánek (1728–1788), Stanislav Vydra (1741–1804), který napsal první českou a-ru, jež však teprve po jeho smrti L. Janderou r. 1806 vydána byla pod názvem »Počátkové arithmetiky«. Spis ten obsahuje bezmála tolik, kolik se nyní na středních školách o a-bře vykládá.

Mimo tuto a-ru nemáme z první polovice tohoto století žádného českého spisu o a-bře; teprve když od r. 1860 české střední školy byly zřizovány, počala také česká literatura o a-bře se rozvíjeti; čes. spisy z oboru algebraické analyse a nižší a-ry napsali: Fleischer J. (1862), Simerka V. (1863, 1868, 1874), Smolík J. (1864, 1870), Skřivan G. (1865), Pokorný M. (1874), Hora F. A. (1875), Hromádko F. a Strnad A. (1876. 1879, 1885), Pošusta V. (1876), Studnička F. J. (1877, 1879), Taftl E. (1883, 1885, 1887), Machovec F. (1886). O  a- jednají: Pokorný M., Determinanty a vyšší rovnice (1865); Studnička F. J., O determinantech (1870); Zahradník K., Prvé počátky nauky o determinantech (1879); Řehořovský V., Theorie souměrných funkcí kořenův algebraických rovnic (1883).

Mimo uvedené zde spisy nalézti lze množství článkův o rozmanitých odborech a-ry jednajících v »Časopise pro pěstování mathematiky a fysiky«, ročníky I.–XVII., v Praze 1872 až 1888, v »Archivu mathematiky a fysiky«, svazky I. a II., v Praze 1876–1879, jakož i ve zprávách třídy mathematickopřírodnické král. české společnosti nauk v Praze.

Z cizojazyčných spisů jednajících o vyšší a-bře uvádíme: Salmon G., Lessons introductory to the modern higher algebra. V Dublíně 1859. (Vyšla v originálu již v 3. vydání; francouzský a německý překlad mají již po dvou vydáních); Serret J. A., Cours d'algèbre supérieure. V Paříži. (V originálu již 5. vydání z roku 1885; německý překlad má dvě vydání); Jordan C., Traité des substitutions et des équations algébriques. V Paříži 1870; Clebsch A., Theorie der binären algebraischen Formen. V Lipsku 1872; Gordan P., Über das Formensystem binärer Formen. V Lipsku 1872; Faà de Bruno F., Théorie des formes binaires. V Turině 1876. (Překlad německý z r. 1881); Netto E., Substitutionentheorie und ihre Anwendung auf die Algebra. V Lipsku 1882; Klein F., Vorlesungen über das Ikosaeder u. die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade. V Lipsku 1884; Gordan P. a Kerschensteiner G., Vorlesungen über Invariantentheorie. V Lipsku. I. díl 1885, II. díl 1887. Řý.

Algebra