Ottův slovník naučný/Binomická poučka
Binomická poučka (, theorema binomiale) jest pravidlo, podlé něhož se n-tá mocnina binomu čili dvojčlenu vyjadřuje pomocí mocnitele n a mocnin jednotlivých, binom skládajících členů neboli monomů. Značí-li a binomu člen prvý, b pak člen druhý, platí všeobecně 

při čemž symbolické označení

jež kratčeji se pomocí fakult (v. t.) vyjadřuje tvarem

Symbol , jejž zavedl  roku 1820, sluje tu  čili  () a nahrazuje se často tvarem  neb , což se čte n s příponou k a n nad k, při čemž arci binomická příslušnost a s ní spojený význam se předpokládá.

Z tohoto významu vzorcem (2) daného plyne, že

jestli n číslo  a , že však

jestli n číslo buď  nebo , z čehož jde dále na jevo, že řada binomická, na pravé straně vzorce (1) symbolicky vyjádřená jest v prvním případě  obsahujíc  člen, kdežto v případě druhém jde do .

Jestli tedy n číslo positivní a celistvé, platí

podlé čehož možná sestaviti pro zvl. případy

a t. d.

Upravíme-li součinitele binomické od nullté mocniny počínajíc ve tvar trojúhelníkový, vznikne obraze zvaný  (viz ), z něhož názorem se poznává, jak vznikají následující řádky z předcházejících, tak že se zde zračí vlastnost b. koëfficientů, vyjádřená vzorcem

zároveň tu jde na jevo, máme-li na zřeteli řádky šikmo na pravo nebo levo běžící, že představují arithmetické řady tak zv. , a sice

zahrnuté všeobecným tvarem

Konečně ze vzorce (1) patrno, že pro  obdrží se v případě prvém, kde n značí positivní a celistvé číslo,

čímž taktéž jedna z vynikajících vlastností b. součinitelů jest vyjádřena.

Poněvadž

zavede-li se označení , patrno, že možno b-ckou p-ku na jednodušší tvar, obsahující jen jeden libovolný člen x, uvésti, a sice na

kdež řada na pravé straně stojící taktéž do nekonečna jde, značí-li n číslo buď  nebo , tak že, aby se jí pak smělo užiti, nutno vyšetřiti, zdali jse  čili .

Patříc k nejdůležitějším pravidlům mathematickým má b. p. bohatou literaturu a zajímavé dějiny, v nichž nejvíce vyniká , jenž poprvé vyjádřil vzájemnost b. součinitelů (Arith. int., 1544), načež  neodvisle je skládati učil, pak , jímž b. p. zevšeobecněna a hojně upotřebena, tak že často po něm zvána Newtonovou b-ckou p-kou, a konečně , jehož stanovení podmínek konvergence řady binomické do nekonečna jdoucí (1826) dovršilo nauku o složení a jakosti n-té mocniny binomu.
F. Std.

Binomická poučka