A körmérés története és elmélete


(Első közlemény.) 

A mathematikának alig volt népszerűbb problémája, mint a «quadratura circuli». Évezredeken át nem egy tudós foglalkozott vele, a merőben hivatlan elméknek pedig egész legiója szerette volna nevét e probléma megoldásával a feledéstől megóvni. Ma tudjuk, hogy képtelenségen fáradoztak.

A történet lapjain szívesebbeen jegyezzük fel a felfedezők és feltalálók sikereit, melyekkel századukat meglepték: de tanulságos a kutató elmét akkor is figyelemmel kisérni, midőn valamely fel-felvillanó bolygó tűz csalóka ösvényekre ragadta. Kalandorok durva tévedéseinek ugyan szánó szempillantásnál több nem juthat; ámde annál érdekesebb látni, mint tisztázódtak a fogalmak a komolyabb elmékben, míg a probléma lehetetlen volta teljesen kétségtelenné vált.

A lehetséges és a lehetetlen egy-egy határkövének kijelölése a tudomány legnevezetesebb haladásaival szokott karöltve járni. Így pl. az algebrában lehetetlennek bizonyúlt az általános n-ed fokú egyenletet gyökjelek segítségével megoldani; de ugyanez a tudomány nemcsak hogy minden egyes algebrai egyenletről el tudja dönteni, vajjon gyökjelekkel lehet-e megoldani, nemcsak hogy minden ilyen egyenletnek valóságos megoldására módszert nyújt: hanem még azonfelűl mindazon gyökjelekkel megoldható egyenletek képezése is sikerűlt, melyekben az együtthatók egész számok. Hasonlóképen a körosztás elméletében nemcsak azt tudjuk, mely szabályos sokszögek szerkeszthetők, melyek nem: hanem a szerkeszthetőknél egyszersmind a szerkesztés menetét is ismerjük.

Mindezeknél semmivel sem érdektelenebb a «quadratura circuli», melynek lényegére és multjára most visszatekintendők vagyunk. E probléma keletkezésére nézve egykorú magával a mathematikával, de e tudomány igen különbözö ágainak mai magas fokú fejlettsége volt szükséges, hogy a megoldás lehetetlen voltát be lehessen látni. Midőn végre ennek bebizonyítása sikerült, ugyanazok a módszerek jóval általánosabb kérdésekre is megadták a feleletet.

A jelen értekezésben hű képet akarunk nyújtani amaz évezredekre terjedő munkásságról, mely az első közelítő körnégyszögítéstől a Ludolfi számra vonatkozó jelen ismereteinkig vezetett.

1. A probléma népszerűségéről 

A magyar tud. akadémia ügyrendjében a «nyomtatás végett beadott kéziratok megvizsgálása és kiadása» ügyéről szóló rész így végződik:

«A kör négyszögítését, a szögnek három egyenlő részre való metszését és az örökmozgó feltalálását tárgyazó értekezések vizsgálatlanúl visszautasíttatnak.».

Hasonló bánásmódban részesülnek e problémáknak vélt megoldásai a külföld tudományos testületeinél is: legrégebben – 1775 óta – a párisi akadémiánál. Ámde ez időpontig az akadémiák folyvást el voltak halmozva a beérkező és mindenkor hamis megoldásokkal.

Igen találóan jellemzi Lambert, a mult század kiváló német geometere, 1776-ban megjelent  «Vorläufige Kenntnisse, für die so die Quadratur und Rectification des Circuls suchen« czímű értekezésében e problemák eddigi munkásait.

Szavai könnyen általánosithatók, de tulajdonképen a kör négyszögítőinek szólanak.

Kételkedik, vajon megértik-e értekezését azok, kiknek leginkább szánta, 
kik idejüket és fáradtságukat a kör négyszögítésére fordítják. «Ilyenek bizonyára mindenkor elegen lesznek, s ha a jövendő időkben vele foglalkozókat azok után kell megitélnünk, kik vele eddig foglalkoztak, leginkább olyanok, kik nemcsak a a geometriához keveset értenek, de még saját képességeiket sem bírják megítélni. Ámde a mi legtöbbnek belátásában és értelmében hiányzik, s mit helyes és összefüggő következtetésekkel el nem érnek, azt a hír- és pénzvágy sophismákkal pótolja, melyek többnyire sem nem finomak, sem nagyon rejtettek. Voltak esetek, hogy ilyenek állhatatosan azt hitték, vélt bizonyításaiktól a tetszést csak irigy- és kajánságból tagadják meg. Az a mende-monda is kering köztük, hogy Angolországban és Hollandiában épen olyan nagy díjakat és jutalmakat tűztek ki a kör négyszögítésére, mint a földrajzi hosszúságnak a tengeren való meghatározására.»

«A mathematikában más mennyiségek is fordulnak elő, - írja alább -, melyekre nézve ép oly érdemes volna kutatni, vajon raczionális törttel, vagy más tetszetősb módon fejezhetők-e ki, semmint az tizedes törtekkel történik. Ide számitandó különösen ez a szám: 2.71828182845904523536028 ... , melynek hyperbolikus logarithmusa 1. Ez a szám a logarithmusokra nézve ugyanaz, a mi a Ludolfi szám a körre nézve, s azért trigonometriai és egyéb számítások czéljából hasonló jelentőségű. Ha már most azt kérdezzük, ugyan miért csapnak csak a Ludolfi számmal ily sok hűhót, akkor e kérdésre részben csak a mathematika történetéből, részben pedig azzal is felelhetni, hogy e fogalmak kör, négyszög, mennyiség, mindenki előtt ismeretesek, a mi a hyperbolikus logarithmusról nem mondható; ez a fogalom csak az infinitezimálszámitás által lévén ismeretessé, e számítás megtanulása nélkül nem igen érthető meg. Ha a kőr négyszögítését keresők közül a legtöbbnek nem állaná ez a korlát útját, akkor - úgy látszik - ép annyi hasztalan és sikertelen kisérlet merülne fel erre a számra nézve 2.71828182845904523536028 —, mint a mennyi felmerült a Ludolfi számánál.»

Lambert aggodalma nem volt alaptalan. Avagy megérthetik-e komoly tudós szavait az oly hályogos elmék, mint pl. LIGER vagy CLERGET? Az előbbi a részt nagyobbnak állítván az egésznél, a lehetetlent is könnyen valósíthatta; az utóbbinak megoldása pedig azon alapszik, hogy a kör bizonyos oldalszámú sokszög. Egyebek közt ő azt is meghatározta, hogy mekkora pontban érintkezik két kör. De minek ilyeneket említenünk, midőn sokkal élesebb elméket sem lehetett tévedésükről meggyőzni. Hobbes angol bölcsészt korának első mathematikusai hiába akarták felvilágositani az iránt, hogy szerkesztése hamis, inkább kétségbe vonta a geometria alapelveit és a Pythagoras-féle tétel helyességét.

2. A probléma lényegéről 

Bár a kört és a négyzetet mindenki ismeri és területük összehasonlítása sem jár nagyobb nehézségekkel: problémánk lényegéről csak kevésnek van szabatos ismerete. Mert egészen más pl. szöget felezni, sokszöget négyszögíteni s szabályos ötszöget rajzolni és e szerkesztéseket meg is érteni, és ismét más tudni azt, mikor lesz valami körzővel és vonalzóval megszerkeszthető.

Ha valamely mathematikai problémát kell megoldani, azt rendszerint egyszerűbbekre vezetjük vissza, melyeknek megoldása ismeretes és esetleg még egyszerűbbekétől függ. Azonban az elemzésnek valahol meg kell szünnie, s oly alapműveleteknél kell megállapodnunk, a melyeknek megoldását a tudomány egyszerűen feltételezi. Ezeknek megoldását nem nyujtja, hanem követeli, mint postulatumokat. Az imént példaként említett szerkesztésekhez a következő postulátumok elegendők:

 Adott két ponton át egyenest húzni.
 Adott középpont körül adott sugarú kört rajzolni.
 Két egyenes vonalnak, vagy egy egyenes és kör metszését felkeresni.

A metszéspontokat puszta szemmel keressük fel, a kör és egyenes rajzolására pedig kinematikai szerkezetet, illetőleg modellt használunk: a kört körzővel, az egyenes vonalat pedig vonalzóval
huzzuk meg.

Nem minden idom nyerhető ezen alapszerkesztések végesszámú ismétléséből, pl. a szabályos hétszög, ha az oldala van adva. Van azonban számos feladat, melynek megoldására egyéb postulátum nem szükséges. Ezekről mondjuk, és csakis róluk, hogy körzővel és vonalzóval oldhatók meg, és a szó szorosabb értelmében szerkesztésnek csak az ő megoldásukat hívjuk. Egyébiránt a geometria szempontjából nagyon mellékes, hogy szerkesztéseinek felsorolt postulátumait mily mechanikai eszközökkel végezzük és közömbös, hogy ezen eszközök hiányaiból mily pontatlanságok erednek.

Ha a szerkesztéseket az elemző geometria számitásaival pótoljuk, a négy alapműveleten kívül csakis négyzetgyökvonásokat fogunk végezni. Ugyanis 1. és 2. alapszerkesztések helyett az illető vonal egyenleteit fogjuk képezni, melyeknek együtthatói az adott pontok ismeretes koordinátáiból s az adott sugárból a 4 alapművelettel adódnak ki. Az utolsó alapszerkesztések helyett a metszéspontok koordinátái számítandók ki, a mire, ha az egyik vonal kör már általánosságban gyökvonás is szükséges.	Minthogy az adott vagy szerkesztett pontok távolságra is érdekel, esetleg ezt is kell kiszámítanunk. Erre sem szükséges bonyolódottabb művelet, mint a négyzetgyökvonás.

Ezen az alapon eldönthetjük, mikor lesz egy mérőszámával megadott egyenes vonaldarab a hosszegységből megszerkeszthető. A hosszegységet úgy gondoljuk megadva, hogy azt a derékszögű koordináták kezdőpontjából az abscissák tengelyének pozitiv részére felrakva képzeljük. Akkor végpontjainak koordinátái (0,0) és (1,0). E két ponton kívül mit sem szabad ismeretesnek feltennünk. Ha már most az a mérőszámmal bíró vonaldarab megszerkeszthető s e szerkesztést az elemző geometria számításaival pótoljuk, továbbá e számításnál minden egyes arithmetikai művelet eredményét sorban feljegyezzük: akkor egy oly számsorozatot nyerünk, melyben minden egyes elem az előbbiekből a négy alapművelet valamelyikével vagy négyzetgyökvonással adódott ki, s mely sorozat a-val végződik. Mesterkéltnek látszhatik amaz eljárásunk, hogy ha valamely elem az előbbiekből a négy alapművelettel adódott ki, annak úgy adunk kifejezést, hogy ez az elem oly első fokú egyenlet gyöke, melynek együtthatói a megelőző elemekből a négy alapművelet  segítségével találhatók. De aligha fölösleges kiemelnünk, hogy ha valamely elemet egy megelőzőből négyzetgyökvonással nyertünk, akkor ez oly (tiszta) másodfokú egyenletnek egyik gyöke, melynek együtthatói az előbbi elemekből pusztán a négy alapmüvelettel keletkeznek.

Az imént mondottakat akként foglalhatjuk össze: 

Hogy valamely vonaldarab, melynek mérőszáma a, megszerkeszthető legyen, arra szükséges, hogy a oly
 1, a1, a2, ... , an-1, a 
véges számsorozat utolsó eleme legyen, melyben mindegyik elem oly első vagy másodfokú egyenlet gyöke, a melynek együtthatói az előbbi elemekből a négy alapművelettel nyerhetők. 

E szükséges feltétel egyszersmind elegendő: ugyanis az első és másodfokú egyenletek konstruktív megoldása - mint a geometria elemeiből ismeretes - az alapszerkesztésekre vezethető vissza.

Mely vonaldarab szerkesztését követeli most már a quadratura circuli? Ama négyzet oldalának szerkesztését, melynek területe a kör területével megegyezik. Ha a sugarat választjuk hosszegységül, akkor a kérdéses terület π, a keresett négyzet oldala tehát √π. A megszerkesztendő vonaldarab mérőszáma e szerint √π.

Problémánk szoros kapcsolatba lép a kör rektifikácziójának kérdésével is, mely a kör kerületével egyenlő vonaldarab szerkesztését kivánja. E vonaldarab felének mérőszáma π.

Ha √π ismeretes, akkor π szerkesztése az
 1:√π = √π:x  

proporczióból adódik ki (melyben x=π), s viszont √π az egységből és π-ből mint ezeknek mértani közepe szerkeszthető. Tehát a kérdéses két vonaldarab bármelyike a másikból könnyen állítható elő. Tehát mind a két probléma – a quadratura és rektifikálás – oldható meg, vagy egyikök sem.

E feladatok megoldására oly aránysorozatot kellene találnunk, mely a π-n végződik és a melyben – az egységen kezdve – minden elem az előbbiekből oly első vagy másodfokú egyenlet megoldásával adódik ki, melynek együtthatói a megelőző elemekből a négy alapművelet segítségével előállíthatók. Egy ily számsorozat felállítása épen az, mi lehetetlennek bizonyult.

De még mielőtt ez kétségtelenné vált volna, a mathematikának régóta módjában volt minden egyes hamis megoldást megczáfolni. Csak össze kellett hasonlítani a szerkesztett négyzet területének mérőszámát π-nek már ismeretes számértékével; ha valamely tizedesben eltérés mutatkozott, a szerkesztés meg volt czáfolva. Azért problémánk története a Ludolfi szám közelítő meghatározására vonatkozó számítások tárgyalásával kezdődik.

3. Az elemi körmérésről. 

A quadratura circuli problémájával már a legrégibb reánk maradt mathematikai mű is foglalkozik: a British Museumtól örzőtt RHIND-féle papyrus. Majdnem két évezreddel időszámításunk előtt írta RA•A•US hiksos királynak (görögül Apophis) írnoka: Ahmes, tartalmát oly régi iratokból merítvén, melyek RÆNMAT (III. AMENEMHAT?) idejében készültek, tehát még évszázadokkal a papyrus előtt.

Ez a mű nem tankönyv, hanem számos feladat gyüjteménye, melyekből a megoldásuk alapjáúl szolgáló elmélet felismerhető ugyan, azonban kifejtve magában a könyvben nincsen. A feladatok leginkább a gyakorlatias életből valók, mint a következő  is:

  «Szabály 9 öles (átmérőjű) kerek föld számítására. Mekkora
 területbeli kiterjedése? Vond ki 1/9-ét, azaz 1-et, a maradék 8;
 sokszorozd e számot 8-czal, ez ád már most 64-et. A területbeli
 kiterjedés 64.

 Végezd úgy, ahogy történik.
 
          ·           9                     ·     8 
 1/9 rész             1                    ··    16
 kivonva: a maradék   8                    4     32
                                           8     64

 A területbeli kiterjedés 64.»

E számítás így értendő. Az átmérőből kivonandó annak 9-ed része és a megmaradt 8/9 rész a négyzetre emelendő, hogy a kör területét  kiszámítsuk .

E szerint a körrel egyenlő területű négyzet oldalának viszonya az átmérőhöz 8/9. Ez nem más, mint a pontos értéknek harmadik közelítő törtje, mert a keresett viszony valóban

és ennek közelítő törtjei 1, 7/8, 8/9 stb,

A babyloniak korántsem haladtak ennyire. Nem is a quadraturát végezték, hanem a rektifikálás igen durva megközelítését. Helyesen felismerve, hogy a sugár hatszor rakható körül a körben mint húr, a körnek kerületét az átmérő háromszorosának számították. E felfogás tükröződik a szent írás ama helyein is, melyek az «öntött tenger»-ről szólnak, azaz arról a katlanról, mely a templomot díszítette.

A királyok könyve igy irja le:
«Csinála annak felette egy öntött tengert is, mely egyik szélétől fogva a másik széléig tíz singnyi vala, köröskörül kerekded vala, és a magassága öt sing vala, és a kerületit harmincz sing sinór éri vala bé.» (1. Kir. 7. 23. KÁROLY G. fordítása.)

A görög tudósok közül Periklesnek nevelője, ANAXAGORAS, a legrégibb, kiről fel van jegyezve, hogy a kör négyszögösítésén fáradozott.

Az elemi körmérés későbbi elméletének alapgondolatai Sokratesnek két kortársára vezethetők vissza, a mennyiben egyikök ANTIPHON a beirt, a másik pedig BRYSON azonfelül körülirt sokszögekkel is megközelítette a kört. Hogy azonban Archimedes alapvető munkásságától mily távol állhattak, mutatja Bryson tévedése, ki szerint a kör területe egy beírt s egy körülirt sokszög számtani közepe.

HIPPOKRATES az 5. században Kr. e. a maga holdacskáiban (lunulæ) oly területekre találván, melyek könnyen négyszögíthetők, noha körívek határolják, e holdacskákat törekedett a kör négyszögítésére használni. Fáradozásával czélt nem érhetett.

A következő században DINOSTRATUS
valóban talált módot a π mechanikus rajzolására, melynek kivitele azonban nem történhetik körzővel és vonalzóval, hanem más eszközt kiván. E czélra azt a görbét használta fel, melyet már előtte HIPPIAS abból a czélból feltalált, hogy segítségével a szöget három egyenlő részre oszsza s mely görbe most a kör négyszögítésére való alkalmazásáról quadratrix nevet visel. Keletkezése ez : (1. ábra) AOB negyedkörben az r = OA sugár egyenletesen forog OA helyzetből OB helyzetbe. Ugyanekkor e egyenes egyenletesen halad OA helyzetből a B pontban vont érintőig, közben folyvást párhuzamosan maradva kezdeti helyzetével. A két mozgás egyszerre kezdődik és egy időben ér véget. Legyenek OK és K'K" az r és e valamely egyidejű helyzetei. Görbénk e két vonal K" metszőpontjának mértani helye . A vonal két külömböző pontjára nézve, K" és L"-re:

Ha a kör sugara az egység, AK és AL ívek mérőszámai pedig φ illetőleg ψ, akkor proporcziónk így is irható:

Ha a K és L pontok most már A illetőleg B-be mennek át, akkor

 ,      ,     , 

továbbá az L" pont B-be esik, és a φ ív a π/2 értéket veszi fel. Végre egyenletünk átmegy a következőbe:

 , 

vagyis

  OP : 1 = 2 : π . 

E proporczió szerint π könnyen állítható elő, ha a quadratrixnek, vagy legalább e görbe F' pontjának szerkesztésére van eszközünk.

Ezen primitiv kezdeményezések után mindjárt ARCHIMEDES jő tekintetbe, a legelső, ki tudományosan fogta fel a kérdést (szül. 287 körül, mgh. 212 Kr. e.) és szabatos értekezést írt a «Körmérésről». Ennek tartalma a következő három tétel s bebizonyitása:
 A kör egyenlő oly derékszögű háromszöggel, melynek egyik befogója egyenlő a sugárral, másik befogója pedig a kerülettel.
 A kör a maga átmérőjének négyzetéhez igen közel úgy viszonylik, mint 11:14.
 A kör kerülete az átmérő háromszorosát kevesebbel, mint az átmérő 1/7 részével, de többel mint annak 10/71-edével mulja felül.

Az első tételnek indirekt bebizonyítása a következő meggondoláson alapszik. Ha ugyanis a háromszög területe nem volna egyenlő a körével, akkor az n egész számot eléggé nagynak választva, vagy a körülírt vagy pedig a beirt 2n-szög területe nagyságára nézve a háromszög és a kör közé esnék. De ez ellenmondásra vezet.

A második tételben szereplő szám oly egyszerűen adódik ki az 1. és 3. tételek segítségével, hogy ez e helyen megbeszélésre nem szorul.

A harmadik tétel hosszabb számításon alapszik, melynek ismertetését, rövidség kedveért, trigonometriailag fogalmazzuk, miáltal e levezetés lényegén voltaképen mit sem változtatunk. Ismeretes ugyanis, hogy

 cosec2(a) = cotg2(a)+1  . . . . . .(a) 

és

 . . . . . .(b) 

Már most 

 , 

s ha az átmérő mérőszámát d-vel, a beírt szabályos n szög oldaláét an-nel, a körülírt oldaláét An-nel jelöljük, akkor

       3      . 

Innen
  =   >  . 

Továbbá
 . 

Nem külömben
 , 

tehát innen
   

és
 . 

Épen így folytatva:
 ,  

 , 

hasonlóképen 

 ,  

 , 

innen végül
 , 

Ámde a kör kerülete kisebb a körülírt 96 szögnek kerületénél, azaz 96·A96-nál, minélfogva a kör kerületének, s átmérőjének viszonya valóban kisebb -nél.

Hátra van még egy hasonló számítás az alsó határ megállapítására.

Ismét kiindulunk a 

 . 

egyenletből, melyből a 

 

egyenlőtlenség következik, továbbá a

 

egyenlőségből; már most b) képlet szerint

 ,a)-ból pedig következik 

 .

Hasonlóképen

 

és

 .

Nem különben 

 ,

 .

valamint 

 ,

 .

Ezekből végre következik:

 .

A keresett viszony -nél is nagyobb lévén, semmiesetre sem lehet kisebb, mint .

Evvel a π számára úgy felső, mint alsó határt nyertünk.

Az a módszer, hogy a kört szabályos sokszögekkel közelítjük meg, majdnem két évezreden át maradt iránytadó, egészen a differenciál- és integrál-számítás keletkezéséig. De magán a módszeren kívül Archimedesnek számítása is sok tekintetben figyelemre méltó. Részletei kifogásolhatatlanok, a négyzet-gyökvonásnál elkerülhetetlen elhanyagolások irányát mindig czéltudatosan választja. Hogy pedig mennyi fáradtságot okozott a gyökvonás a számok akkori írásmódja mellett, azt mi, kik az ind-arab írásmódot megszoktuk, alig tudjuk elképzelni. A végeredmények igen pontosak. A felső és alsó határ külömbsége 1/497, tehát mintegy 0.002.

A láncztörteket használva a pontosság megítélésére a nyert határok a

láncztört közelítő törtjei. A felső határ tehát, épúgy mint Ahmes viszonya, a keresett érték egyik közelítő törtje, mert valóban

Az se kerülje el figyelmünket, hogy ARCHIMEDES az átmérőnek az oldalakhoz való viszonyát, tehát – ha hosszegységül az átmérőt választjuk – nem magukat az oldalakat, hanem reciprok értéküket határozza meg. Ugyanis e reciprok értékek között egyszerűbb összefüggések állanak fön, mint a milyenek középiskolai tankönyveinkben magukra az oldalakra vonatkozólag foglaltatnak. Valóban a fentebbi trigonometrikus képletek az  helyettesítésénél a következőkbe mennek át:

a hol d az átmérő, an és An a beírt illetőleg, a körülírt szabályos n szög oldalait jelentik.  E fontos képletek a trigonometria igénybe vétele nélkül nyerhetők, a mint azt a következőkben megmutatjuk.

Legyen (2. ábra) az A0B szög mérőszáma , úgy hogy 

 AB = An,                        AC = an

Az 1) alatti képlet levezetése czéljából a következő megjegyzésből indulunk ki. Pythagoras tétele szerint

 OB2 = OB2 + AB2  

vagy

  

Másrészt OAB és ACB háromszögek hasonló volta miatt

  OB : OA = AB : AC.  

Ezt előbbi egyenletünkben tekintetbe véve és 4·AB2-tel osztva

  

a már is lényegében véve a levezetendő

 

képlettel megegyezik.

Még ennél is egyszerűbben történik a  2) alatti képletben kifejezett tétel bebizonyítása. Ha ugyanis OD az AOB középponti szöget felezi, akkor

  AD = A2n

ha továbbá E azon pont, melyben BO meghosszabbítása a kört metszi, akkor

 AB : AD = BE : OE 

s minthogy

 BE = OA + OB 

azért

 AB : AD  =  (OA +OB) : OA ,

vagyis

,

Ha most   OB : OA   helyett	ismét  AB : AC  viszonyt írjuk  és  2·AB -vel osztunk

,

azaz valóban

  

Ahmes és Archimedes számaiban láncztörtek közelítő törtjeit ismertük fel. Ezzel ellentétben az első megközelítés, mely egy számrendszerben bizonyos számú jegyet nyújt, PTOLEMÆUStól ered (130 körül Kr. u.) a kinek eredményét ma így fejezhetnők ki, hogy π egyenlő 3 egészszel, 8 perczczel (partes minutae primae) és 30 másodperczczel (partes minutæ secundae). Azaz
 <code> π = 3 + 8·60-1 + 30·60-2 <code>  ( =   <code>  = 3.14166. )   

A görögök számításainál nagyobb pontosságot évszázadokon át csak ARYABHATTA ért el Indiában (sz. 476 Kr. u.).Archimedesnek módszerét a 384 szögig folytatva, azt találta, hogy 

Ez az érték a tízezred részekig pontos, míg Ptolemæus számánál -mint megközelítésének módjából következik - a hiba felső határa
 . 

A középkor mit sem lendített problémánkon, és jobb megközelítéssel csak a 16-ik század végén találkozunk. Ez METIUS  száma:

 . 

mely π közelítő törtjeinek sorában két hellyel az Archimedesi 3 után. A felső határ tehát, épúgy mint Ahmes viszonya, a keresett érték egyik közelítő törtje, mert valóban
 . 

Az se kerülje el figyelmünket, hogy ARCHIMEDES az átmérőnek az oldalaknak való viszonyát, tehát - ha hosszegységűl az átmérőt választjuk - nem magukat az oldalakat, hanem reciprok értéküket határozza meg. Ugyanis e reciprok értékek között egyszerűbb összefüggések állanak fön , mint a milyenek középiskolai tankönyveinkben magukra az oldalakra vonatkozólag foglaltatnak. Valóban a fentebbi trigonometrikus képletek az a''=π/n helyettesítésénél a következőkbe mennek át:

Jegyzetek 

Kürschák József
Tudományos szövegek
Matematika