De Musica/Liber Secundus
Proemium

Superius volumen cuncta digessit, quae nunc diligentius demonstranda esse proposui. Itaque priusquam ad ea veniam, quae propriis rationibus perdocenda sunt, pauca praemittam, quibus elucubratior animus auditoris ad ea quae dicenda sunt accipienda perveniat.

Quid Pythagoras esse philosophiam constituerit

Primus omnium Pythagoras sapientiae studium philosophiam nuncupavit, quam scilicet eius rei notitiam ac disciplinam ponebat, quae proprie vereque esse diceretur. Esse autem illa putabat, quae nec intentione crescerent, nec deminutione decrescerent nec ullis accidentibus mutarentur. Haec autem esse formas magnitudines qualitates habitudines ceteraque quae per se speculata inmutabilia sunt, iuncta vero corporibus permutantur et multimodis variationibus mutabilis rei cognatione vertuntur.

De differentiis quantitatis et quae cui sit disciplinae deputata

Omnis vero quantitas secundum Pythagoram vel continua vel discreta est. Sed quae continua est, magnitudo appellatur, quae discreta est, multitudo. Quorum haec est diversa et contraria paene proprietas. Multitudo enim a finita inchoans quantitate crescens in infinita progreditur, ut nullus crescendi finis occurrat; estque ad minimum terminata, interminabilis ad maius, eiusque principium unitas est, qua minus nihil est. Crescit vero per numeros atque in infinita protenditur nec ullus numerus, quominus crescat, terminum facit. Sed magnitudo finitam rursus suae mensurae recipit quantitatem, sed in infinita decrescit. Nam si sit pedalis linea vel cuiuslibet alterius modi, potest in duo aequa dividi, eiusque medietas in medietatem secari eiusque rursus medietas in aliam medietatem, ut nunquam ullus secandi magnitudinem terminus fiat. Ita magnitudo, quantum ad maiorem modum, terminata est, fit vero, cum decrescere coeperit, infinita. At contra numerus quantum ad minorem modum finitus est, infinitus autem incipit esse, cum crescit. Cum igitur haec ita sint infinita, tamen quasi de rebus finitis philosophia pertractat, inque rebus infinitis repperit aliquid terminatum, de quo iure posset acumen propriae speculationis adhibere. Namque magnitudinis alia sunt inmobilia, ut quadratum vel triangulum vel circulus, alia vero mobilia, ut sphera mundi et quicquid in eo rata celeritate convertitur. Discretae vero quantitatis alia sunt per se, ut tres vel quattuor vel ceteri numeri, alia vero ad aliquid, ut duplum, triplum aliaque quae ex comparatione nascuntur. Sed inmobilis magnitudinis geometria speculationem tenet, mobilis vero scientiam astronomia persequitur, per se vero discretae quantitatis arithmetica auctor est, ad aliquid vero relatae musica probatur obtinere peritiam.

De relativae quantitatis differentiis

Ac de ea quidem quantitate discreta, quae per se est, in arithmeticis sufficienter diximus. Relatae vero ad aliquid quantitatis simplicia quidem genera sunt tria, unum quidem multiplex, aliud vero superparticulare, tertium superpartiens. Cum vero multiplex superparticulari superpartientique miscetur, fiunt aliae ex his duae, id est multiplex superparticularis et multiplex superpartiens. Horum igitur omnium talis est regula: Si unitatem cunctis in naturali numero volueris comparare, ratus multiplicis ordo texetur. Duo enim ad unum duplus est, tres ad eundem triplus, quattuor quadruplus et in ceteris eodem modo, ut subiecta descriptio docet. 

Si vero superparticularem proportionem quaeras, naturalem sibi compara numerum detracta scilicet unitate, ut tres duobus--sesqualter est enim--quattuor tribus, qui sesquitertius est, quinarium quaternario, qui sesquiquartus est, et in ceteris eodem modo, quod monstrat subiecta descriptio.

Superpartientes autem tali modo repperies. Disponas naturalem numerum a ternario scilicet inchoantem. Si unum igitur intermiseris, superbipartientem effici pernotabis; quod si duo, supertripartientem; quod si tres, superquadripartientem, idemque in ceteris.

Ad hunc vero ordinem spectans et compositas ex multiplici et superparticulari vel multiplici et superpartienti proportiones lector diligens speculabitur. Sed de his tamen omnibus in arithmeticis expeditius dictum est.

Cur multiplicitas ceteris antecellat

Sed in his illud est considerandum, quod multiplex inaequalitatis genus longe duobus reliquis videtur antiquius. Naturalis enim numeri dispositio in multiplicibus unitati, quae prima est comparatur, superparticularis vero non unitatis comparatione perficitur, sed ipsorum, qui post unitatem sunt dispositi, numerorum, ut ternarii ad binarium, quaternarii ad ternarium et in ceteris ad hunc modum. Superpartientium vero longe retro formatio est, quae nec continuis numeris comparatur, sed intermissis, nec semper aequali intermissione, sed nunc quidem una, nunc vero duabus, nunc vero tribus, nunc quattuor, atque ita in infinita succrescit. Amplius: multiplicitas ab unitate incipit, superparticularitas a binario, superpartiens proportio a ternario initium capit. Sed de his hactenus. Nunc quaedam, quae quasi axiomata Graeci vocant, praemittere oportebit, quae tunc demum, quo spectare videantur, intellegemus, cum de uniuscuiusque rei demonstratione tractabimus.

Quid sint quadrati numeri, deque his speculatio
Quadratus numerus est, qui gemina demensione in aequa concreverit, ut bis duo, ter tres, quater quattuor, quinquies v, sexiens vj, quorum est ista descriptio:

Superius igitur dispositus numerus naturalis est latus quadratorum inferius descriptorum. Continui enim naturaliter sunt quadrati, qui sese in subiecto ordine consequuntur, ut iiij viiij xvj et ceteri. Si igitur continuum quadratum minorem a continuo quadrato maiore sustulero, quod relinquitur, tantum erit, quantum est, quod ab utrorumque quadratorum lateribus iungitur. Ut si quattuor auferam novenario, v sunt reliqui, qui ex duobus et tribus, qui sunt utrorumque  quadratorum latera, coniunguntur. Item novenarium aufero de eo, qui sedecim numeris adscriptus est, septem sunt reliqui, qui scilicet ex ternario quaternarioque coniunctus est, qui praedictorum quadratorum latera sunt; idemque est in ceteris. Quod si non sint continui quadrati, sed unus inter eos transmissus sit, fit eius quod relinquitur medietas id, quod ex utriusque lateribus efficitur. Ut si quaternarium de sedecim quadrato auferam xij relinquuntur. Quorum xij medietas est is numerus, qui ex utrorumque lateribus convenit. Sunt autem utrorumque latera duo et quattuor, quae senarium iuncta perficiunt. Atque in ceteris idem modus est. Sin vero duo intermittantur, tertia pars erit eius quod relinquitur id, quod utrorumque latera coniungunt. Ut si quattuor de xxv auferam intermissis duobus quadratis, reliqui xxj sunt. Eorum vero latera sunt duo et quinque, qui efficiunt septem, qui sunt pars tertia numeri xxj. Atque haec est regula, ut, si tres intermissi sint, pars quarta sit id, quod ex utrorumque lateribus efficitur, eius, quod subtracto minore a maiore relinquitur; sin quattuor transmittantur, quinta, atque uno plus vocabulo numeri partes venient, quam fit intermissio numerorum.

Omnem inaequalitatem ex aequalitate procedere eiusque demonstratio

Est autem, quemadmodum unitas pluralitatis numerique principium, ita aequalitas proportionum. Tribus enim praeceptis, ut in arithmetica dictum est, multiplices proportiones ex aequalitate producimus, ex conversis vero multiplicibus superparticulares habitudines procreamus. Item ex conversis  superparticularibus superpartientes comparationes efficimus. Ponantur enim tres unitates vel tres binarii vel tres ternarii vel quilibet aequi termini et sit primus primo aequus in sequenti scilicet ordine constitutus, secundus vero primo ac secundo, tertius primo, duobus secundis ac tertio. Ita enim numero progresso fit duplex, multiplicitatis prima proportio, ut descriptio monet:

Nam unitas in secundo ordine constituta aequa est primae unitati in superiore loco dispositae. Item binarius aequus est primae unitati ac secundae unitati; item quaternarius aequus est unitati primae ac duabus unitatibus secundis atque unitati tertiae, et est j ij iiij dupla proportio. Quod si de his idem feceris, tripla comparatio procreabitur, ac de tripla quadrupla; de quadrupla quincupla, ac deinceps talis currit habitudinum procreatio. Rursus isdem tribus praeceptis superparticulares fient, ut uno probemus exemplo. Convertamus nunc et priorem maiorem numerum disponamus iiij ij j. Ponatur igitur primus primo aequus, id est iiij, secundus primo scilicet et secundo, id est vj, tertius primo, duobus secundis et tertio, id est viiij, quibus dispositis sesqualtera notatur esse proportio.

Atque id si de triplis fiat, sesquitertia, si de quadruplis, sesquiquarta, consimilibusque in alterutra parte vocabulis proportionalitas ex multiplicitate nascetur. Ex superparticularitate vero conversa ducitur superpartiens habitudo. Disponatur enim conversim sesqualtera comparatio viiij vj iiij. Ponatur igitur primus primo aequus, id est viiij, secundus primo ac secundo, id est xv tertius primo, duobus secundis et tertio, id est xxv. Ac disponantur in ordinem hoc modo:

Superbipartiens igitur ex conversis sesqualteris habitudo producta est. Quod si quis ad hanc speculationem diligens scrutator accedat, ex sesquitertiis conversis supertripartientem producit ceterisque similibus vocabulis adaequatis cunctas ex superparticularitate superpartientes species procreari mirabitur. Ex non conversis autem superparticularibus, sed ita, ut ex multiplici procreati sunt, manentibus necesse est multiplices superparticulares creari. Ex manentibus vero superpartientibus ita, ut ex superparticularibus prodierunt, non alii nisi multiplices superpartientes procreabuntur. Ac de his quidem hactenus; diligentius enim in arithmeticis libris de hac comparatione est disputatum.

Regulae quotlibet continuas proportiones superparticulares inveniendi

Saepe autem accidit, ut tres vel quattuor vel quotlibet aequas superparticularium proportiones de musica disputator inquirat. Sed ne id casu atque inscitia facientes error ullus difficultatis inpediat, hac regula quotlibet aequas proportiones ex multiplicitate ducemus. Unusquisque multiplex ab unitate scilicet computatus tot superparticulares habitudines praecedit suae scilicet in contrariam partem denominationis, quotus ipse ab unitate discesserit, hoc modo ut duplex sesqualteras antecedat, triplex sesquitertias, quadruplex sesquiquartas, ac deinceps in hunc modum. Sit igitur duplorum terminorum subiecta descriptio.

In superiore igitur descriptione binarius primus multiplex unum ad se ternarium habet, qui possit facere sesqualteram proportionem. Ternarius vero non habet, qui ei possit esse sesqualter, quoniam medietate deficit. Rursus quaternarius secundus est duplex. Hic duos sesqualteros antecedit, senarium et novenarium, qui medietate caret; atque idcirco nullus ei in habitudine sesqualtera comparatur. Et in ceteris idem est. Tripli vero eodem modo sesquitertios creant. Sit enim similis in triplo descriptio:

In superiore igitur descriptione sesquitertias proportiones ita natas videmus, ut primus triplex unum sesquitertium antecedat, secundus duos, tertius tres, semperque pars tertia in ultimo numero naturali quodam fine claudatur. Quod si quadruplum statueris, eodem modo sesquiquartos invenies, si quincuplum sesquiquintos ac deinceps. Singuli denominatione multiplices tot superparticulares praecedunt, quoto loco ipsi ab unitate discesserint. Unam vero tantum quadrupli dispositionem ponemus, ut in ea, sicut in ceteris, lector diligens acumen mentis exerceat.

Haec igitur speculatio ad hanc utilitatem videtur inventa, ut, quotienscunque quattuor vel v vel quotlibet sesqualteros vel sesquitertios vel sesquioctavos vel quotlibet alias proportiones quis investigare voluerit, nullo errore labatur; utque non ei numero primo tales proportiones quaerat aptare, qui, quanti sunt propositi, tot praecedere et post se habere non possit, sed disponat potius multiplices videatque quantos superparticulares requirit, eumque multiplicem respiciat, qui eo loco ab unitate recesserit; ut in superioribus descriptionibus si tres sesqualteros fortasse quaesierit, ut non a quaternario ingrediatur investigationem--hic enim, quoniam secundus est duplus, duos tantum praecedit, tertiumque ei aptare non poterit--sed ut ab octonario medietates temptet apponere. Hic enim, quoniam tertius est, tres, quas quaerit, sesqualteras proportiones efficiet. Et in ceteris eodem modo. Est etiam alia augendi proportiones via hoc modo. Radices proportionum dicuntur in eisdem comparationibus minimae proportiones. Disponatur enim numerus naturalis unitate mulctatus: ij iij iiij v vj vij. Minimae igitur proportiones sunt sesqualtera iij ad ij, sesquitertia iiij ad iij, sesquiquarta v ad iiij, et deinceps in infinitum, et quaecunque se proportiones unitate praecesserint. Propositum igitur sit, duas sesqualteras proportiones continua comparatione producere. Sumo radicem sesqualteram eamque dispono: ij et iij. Multiplico igitur binarium per binarium, fiunt iiij. Item ternarius per binarium crescat; erunt vj. Rursus ternarium in semet ipsum ducemus; fiunt viiij. Qui disponantur hoc modo:

Inveniemus igitur duas propositas sesqualteras proportiones vj ad iiij et viiij ad vj. Sit nunc propositum tres invenire. Dispono eosdem numeros, quos supra in exquirendis duabus sesqualteris habitudinibus proposueram, ipsasque sesqualteras proportiones. Multiplico binario quaternarium, fiunt viij, rursus senarium binario, fiunt xij, rursus novenarium binario, fiunt xviij, rursus novenarium ternario, fiunt xxvij. Disponantur igitur hoc modo: 

Atque hic modus erit in ceteris. Ut si sesquitertias proportiones velis extendere, ponas sesquitertiorum radices, quae sunt quaternarius atque ternarius ad se invicem comparati. Atque ad hunc modum multiplices. Quodsi sesquiquartas sesquiquartorum dispones radices, eademque multiplicatione sesquiquartos quotlibet extendas. Quantum autem nobis hae considerationes prosint, sequens ordo monstrabit.

De proportione numerorum, qui ab aliis metiuntur

Si duos numeros eorum differentia integre fuerit permensa, in eadem sunt proportione numeri, quos sua differentia mensa est, in qua erunt proportione etiam hi numeri, secundum quos eos sua mensa est differentia. Sint enim numeri l lv. Hi igitur ad se invicem sesquidecima habitudine comparantur, et est eorum differentia quinarius, qui scilicet est pars decima numeri l. Hic igitur metietur quidem l numerum decies lv vero undecies. Secundum x igitur atque xj numeros lv et l propria differentia, id est quinarius permetietur, et sunt xj ad x sesquidecima comparatione compositi. In eadem igitur sunt proportione numeri, quos propria differentia integre permensa est, in qua sunt hi, secundum quos eos propria differentia permensa est. Quod si qua differentia numerorum ita eos numeros, quorum est differentia, metiatur, ut eandem mensuram numerorum pluralitas excedat idemque in utrisque sit excessus et sit deminutior differentiae mensura, quam est pluralitas numerorum, maiorem obtinebunt proportionem ad se invicem numeri, si eis illud, quod relinquitur post mensionem, retractum sit, quam fuerunt integri, cum eos propria differentia metiebatur. Sint enim numeri duo liij et lviij Hos igitur quinarius, qui est eorum differentia, metiatur. Metitur igitur liij numerum quinarius decies usque ad l relinquit vero ternarium. Rursus lviij numerum metitur idem undecies usque ad lv atque in eo iterum ternarium derelinquit. Auferatur igitur ex utrisque ternarius, fiunt l et lv, qui disponantur hoc modo:

In hoc igitur manifestum est, maioris esse proportionis inter se l et lv quam liij ad lviij. In minoribus enim numeris maior semper proportio repperitur; quod paulo posterius demonstrabimus. Sin vero illa differentiae permensio numerorum multitudinem supervadat eademque utrosque numeri pluralitate praetereat, minore erunt proportione numeri superius mensi cum additione eius summae, qua utrosque metiens supervadit, quam fuerunt ante, cum eos propria differentia metiebatur. Sint enim numeri xlviij et liij. Horum quinarius differentia est. Metiatur igitur xlviij numerum quinarius decies, fiunt l. Supervadit igitur l numerus xlviij numerum binario. Idem liij undecies metiatur, fiunt lv qui eisdem rursus duobus liij numerum supervadit. Addatur utrisque binarius et disponantur hoc modo:

Minore igitur sunt proportione l ad lv comparati cum additione scilicet binarii, quo differentia eos metiens supervadit, quam xlviij et liij numeri, quos eadem quinarii differentia mensa est. Maiores vero et minores proportiones hoc modo intelleguntur. Dimidia pars maior est quam tertia, tertia pars maior est quam quarta, quarta pars maior est quam quinta, ac deinceps eodem modo. Unde fit, ut sesqualtera proportio maior sit sesquitertia et sesquitertia sesquiquartam vincat. Atque idem in ceteris. Hinc evenit, ut in numeris minoribus maior semper videatur proportio superparticularium numerorum. Quod apparet in numero naturali. Disponatur enim numerus naturalis j ij iij iiij v. Binarius igitur ad unitatem duplus est, ternarius ad binarium sesqualter est, quaternarius vero ad ternarium sesquitertius. Maiores vero sunt numeri ternarius et quaternarius, minores ternarius et binarius et unitas. In maioribus igitur minor et in minoribus maior proportio continetur. Hinc apparet, quodsi aliquibus numeris proportionem continentibus superparticularem aequa pluralitas addatur, maiorem esse proportionem ante aequae pluralitatis augmentum, quam postea quam eis pluralitas aequa sit addita.

Qui ex multiplicibus et superparticularibus multiplicatis fiant

Illud etiam praemittendum videtur, quod paulo post demonstrabitur, si multiplex intervallum binario fuerit multiplicatum, id etiam, quod ex illa multiplicatione nascetur, multiplex esse; quodsi id, quod ex tali multiplicatione procreatum sit, non fuerit multiplex, tunc illud non esse multiplex, quod binario fuerit multiplicatum. Item si superparticularis proportio binario multiplicetur, id quod fit, neque superparticulare esse neque multiplex. Quod si id, quod ex tali multiplicatione nascetur, neque multiplex est neque superparticulare, tunc illud, quod binario multiplicatum est, vel superparticularis vel alterius generis, non vero multiplicis.

Qui superparticulares quos multiplices efficiant

His illud addendum est, duos primos superparticulares primam efficere multiplicem proportionem. Ut si sesqualter et sesquitertius coniungantur, duplicem creant. Sint enim numeri ij iij iiij. Ternarius ad binarium sesqualter, iiij ad iij sesquitertius, iiij ad ij duplus. Rursus primus multiplex primo additus superparticulari secundum multiplicem creat. Sint enim numeri ij iiij vj. Quattuor namque ad ij duplex est, primus scilicet multiplex, sex ad iiij sesqualter est, qui est primus superparticularis, vj ad ij triplus, qui secundus est multiplex. Quodsi triplum sesquitertio addas, quadruplus efficietur, si quadruplum sesquiquarto quincuplus, atque in hunc modum iunctis proportionibus multiplicium ac superparticularium in infinitum multiplices procreantur.

De arithmetica geometrica armonica medietate

Quoniam vero de proportionibus quae erant interim tractanda praediximus, nunc de medietatibus est dicendum. Proportio enim est duorum terminorum ad se quaedam comparatio. Terminos autem voco numerorum summas. Proportionalitas est aequarum proportionum collectio. Proportionalitas vero in tribus terminis minimis constat. Cum enim primus ad secundum terminum eandem retinet proportionem, quam secundus ad tertium, dicitur haec proportionalitas, estque inter iij terminos medius, qui secundus. Has igitur proportiones medii termini coniungentis trina partitio est. Aut enim aequa est differentia minoris termini ad medium et medii ad maximum, sed non aequa proportio, ut in his numeris j ij iij. Inter j quippe ac ij et inter ij ac iij tantum unitas differentiam tenet; non est autem aequa proportio; ij quippe ad j dupli sunt, iij ad ij sesqualter. Aut est aequa in utrisque proportio non vero aequalibus differentiis constituta, ut in his numeris j ij iij. Nam ij ad j ita sunt dupli, quemadmodum quaternarius ad binarium. Sed inter quaternarium binariumque binarius, inter binarium atque unitatem unitas differentiam facit. Est vero tertium medietatis genus, quod neque eisdem proportionibus neque eisdem differentiis constat, sed quemadmodum se habet maximus terminus ad minimum, ita sese habet maiorum terminorum differentia ad minorum differentiam terminorum, ut in his numeris iij iiij vj. Nam vj ad iij duplus est, inter vj vero et iiij binarius interest, inter quaternarium vero ac ternarium unitas. Sed binarius comparatus ad unitatem rursus duplus est. Ergo ut est maximus terminus ad minimum, ita maiorum differentia ad minorum differentiam terminorum. Vocatur igitur illa medietas, in qua aequae sunt differentiae, arithmetica, illa vero, in qua aequae proportiones, geometrica, illa autem, quam tertiam descripsimus, armonica. Quarum haec subiciamus exempla:

Non vero ignoramus esse alias quoque proportionum medietates, quas quidem in arithmeticis diximus. Sed ad praesentem tractatum hae sunt interim necessariae. Sed inter has tres medietates proportionalitas quidem proprie et maxime geometrica nuncupatur idcirco, quoniam aequis proportionibus tota contexitur. Sed tamen eodem utemur promiscue vocabulo proportionalitates etiam ceteras nuncupantes.

De continuis medietatibus et disiunctis

Sed in his alia continua est proportionalitas alia disiuncta. Continua quidem ut superius disposuimus; unus enim idemque numerus medius nunc quidem maiori subponitur, nunc vero minori praeponitur. Quotiens vero duo sunt medii, tunc disiuncta proportionalitas nuncupatur, ut in geometrica hoc modo: j ij iij vj. Nam ut est binarius ad unitatem, ita senarius ad ternarium; et vocatur haec disiuncta proportionalitas. Unde intellegi potest, continuam quidem proportionalitatem in tribus minimam terminis inveniri, disiunctam vero in quattuor. Potest autem in quattuor et in pluribus continua esse proportionalitas, si quidem hoc modo sit: j ij iiij viij xvj. Sed hic non erunt duae proportiones, sed plures, semperque una minus, quam sunt termini constituti.

Cur ita appellatae sint digestae superius medietates

Idcirco autem una earum medietas arithmetica nuncupatur, quod inter terminos secundum numerum aequa est differentia. Geometrica vero secunda dicitur, quod similis est qualitas proportionis. Armonica autem vocatur, quoniam est ita coaptata, ut in differentiis ac terminis aequalitas proportionum consideretur. Ac de his quidem diligentius in arithmeticis disputatum est, nunc vero, ut commemoremus tantum, ista percurrimus.

Quemadmodum ab aequalitate supradictae processerint medietates

Sed paulisper quemadmodum istae proportionalitates ab aequalitate procreentur dicendum est. Praedictum est enim, quod in numero valet unitas, idem in proportionibus aequalitatem valere, et sicut numeri caput est unitas, ita proportionum aequalitatem esse principium. Quocirca hoc modo arithmetica medietas ab aequalitate nascetur. Positis enim tribus aequis terminis hi duo modi sunt, quibus haec proportionalitas producatur. Ponatur enim primus primo aequus, secundus primo ac secundo, tertius primo secundo ac tertio. Quod hoc monstratur exemplo. Sint unitates tres. Ponatur igitur primus primo aequus, id est unus, secundus primo ac secundo, id est ij, tertius primo secundo ac tertio, id est iij eritque dispositio haec:

Rursus sint iij binarii in aequalitate constituti ij ij ij. Ponatur primus primo aequus, id est ij, secundus primo et secundo, id est iiij, tertius primo secundo et tertio, id est vj; et erit dispositio haec:

Rursus idem de ternario:

Sed in his hoc speculandum est, quod si unitas fuerit ad aequalitatis principium constituta, unitas etiam erit in differentiis numerorum, ipsi vero numeri inter se  nullum intermittunt. Sin vero binarius teneat aequalitatem, binarius est differentia et unus inter terminos semper numerus intermittitur. Sin vero ternarius, idem differentia est, inter numeros vero duo naturaliter constituti intermittuntur, ac deinceps ad hunc modum. Est etiam alia proportionalitatem arithmeticam procreandi via. Ponantur enim tres aequi termini, constituanturque primus primo ac secundo aequus, secundus primo ac duobus secundis, tertius primo, duobus secundis et tertio. Ut si sint tres unitates. Sit primus primo ac secundo aequus, id est ij, secundus vero primo ac duobus secundis, id est iij, tertius autem primo, duobus secundis et tertio, id est iiij.

Hic igitur terminorum differentiam unitas tenet. Inter binarium enim et unitatem atque inter ternarium ac binarium unitas interest. Nullus vero naturalis numerus intermittitur. Post unitatem enim mox binarius est, ac post binarium ternarius naturaliter constitutus. Idem rursus in binario fiat, sintque tres binarii et sit primus primo ac secundo aequus, id est quaternarius, secundus vero primo et duobus secundis, id est senarius, tertius autem primo, duobus secundis et tertio, id est octonarius.

Hic quoque binarius tenet differentiam terminorum uno inter eos naturaliter intermisso. Nam inter iiij ac vj quinarius naturaliter, inter vj atque viij septenarius collocatur. Quod si ternarius aequalitatis principium sit, fiet ternarius differentia uno minus semper numeris intermissis. Atque idem et in quaternario quinarioque perspicitur. Et quae nos propter brevitatem tacemus, isdem regulis ex semet ipso diligens lector inveniet. Geometrica vero proportionalitas tunc quemadmodum inveniri ab aequalitate possit ostendimus, quando, quemadmodum ab aequalitate omnis inaequalitas profluat, monstrabamus. Nisi tamen fastidium est, nunc quoque breviter repetendum est. Constitutis enim tribus aequis terminis ponatur primus primo aequus, secundus primo ac secundo, tertius primo, duobus secundis et tertio. Idemque fiat continue. Atque ita ex aequalitate geometrica proportionalitas principium sumat. Sed de harum proportionum proprietatibus perquam diligentissime in arithmeticis diximus. Quod si ad haec illis instructus lector accedet, nullo dubitationis errore turbabitur.

Armonica vero medietas, de qua nunc paulo latius tractandum est, hac ratione procreatur. Constituatur enim, si quidem duplices curamus effingere tribus aequis terminis positis primus primo ac duobus secundis aequalis, secundus duobus primis et duobus secundis, tertius semel primo, bis secundo et ter tertio. Atque hoc modo sint unitates:

j j j

Constituatur igitur primus primo ac duobus secundis aequalis, id est ternarius, secundus vero duobus primis et duobus secundis, id est iiij, tertius vero primo, duobus secundis et tribus tertiis, id est vj. Et si in binariis aequalitas constituatur vel in ternariis eadem ratio medietatis apparet, duplo a se terminis differentiisque distantibus, ut subiectae descriptiones monent.

Quodsi facienda est in extremitatibus tripla proportio tribus aequis terminis constitutis primus quidem faciendus est ex primo ac secundo, secundus vero ex primo ac duobus secundis, tertius autem ex primo, duobus secundis ac tribus tertiis, ut est subiecta descriptio: 

De armonica medietate et de ea uberior speculatio

Sed ingressi armonicam disputationem, quae de ea diligentius dici possunt, tacite praetereunda esse non arbitror. Conlocetur igitur armonica proportionalitas inque ea descriptione superiore ordine terminorum inter se differentiae disponantur.

differentiae

termini

Videsne igitur, ut iiij ad iij diatessaron consonantiam prodant, vj ad iiij diapente concordent, vj vero ad iij diapason misceant symphoniam ipsaeque earum differentiae rursus eandem statuant consonantiam? Binarius enim ad unitatem duplus est, in diapason consonantia constitutus. Quodsi se extremitates multiplicent itemque medius sui multiplicitate succrescat, comparati numeri toni habitudinem concordiamque servabunt. Ter enim vj efficiunt xviij, quater iiij
fiunt xvj. Sed xviij numerus xvj minoris parte octava transcendit. Rursus minimus terminus, si se ipse multiplicet, efficiet viiij. Quod si maior terminus sui multiplicatione concrescat, efficiet xxxvj, qui sibimet comparati quadruplam, id est bis diapason concinentiam servant. Quod si haec diligentius inspiciamus, haec erit omnis vel differentiarum vel terminorum in se invicem multiplicatio. Minimus enim terminus medio multiplicetur, fient igitur xij. Item minimus terminus maximo multiplicetur, fient xviij. Medius vero terminus maximi numerositate augeatur, fient xxiiij. Rursus minimus terminus se ipso concrescat, fient viiij; eodemque modo medius, fient xvj. Senarius vero, qui est maximus, si se ipse multiplicet, xxxvj reddet. Haec igitur in ordinem disponantur:

xxxvj xxiiij xviij xvj xij viiij

Sunt igitur diatessaron consonantiam resonantes xxiiij ad xviij et xij ad viiij, diapente vero xviij ad xij et xxiiij ad xvj et xxxvj ad xxiiij, tripla autem, quae est diapason et diapente xxxvj ad xij, quadrupla vero, quae est bis diapason xxxvj ad viiij, epogdous vero, qui tonus est, xviij ad xvj comparatione servatur.

Quemadmodum inter duos terminos supradictae medietates vicissim locentur

Solent autem duo termini dari proponique, ut inter eos nunc quidem arithmeticam, nunc vero geometricam, nunc armonicam medietatem ponamus. De quibus in arithmeticis quoque diximus. Id tamen ipsum nunc etiam breviter explicemus. Si arithmetica medietas quaeritur, datorum terminorum videnda est differentia eaque dividenda ac minori termino adicienda. Sint enim x et xl altrinsecus termini constituti horumque medietas secundum arithmeticam proportionalitatem quaeratur. Differentiam prius utrorumque respicio, quae est xxx. Hanc divido, fiunt xv. Hanc minori termino, id est denario appono, fiunt xxv. Si igitur hic inter xl ac x medius conlocetur, fit arithmetica proportionalitas hoc modo: x xxv xl. Item inter eosdem terminos medietatem geometricam conlocemus. Extremos propria numerositate multiplico, ut x in xl, fiunt cccc. Horum tetragonale latus adsumo, fiunt xx. Vicies enim xx efficiunt cccc. Hos igitur xx medios inter x ac xl si conlocem, fit geometrica medietas subiecta descriptione formata: x xx xl.

Si vero armonicam medietatem quaeramus, sibimet ipsis copulamus extremos, ut x et xl; fiunt l Eorum differentiam, quae est xxx in minorem terminum multiplicamus, scilicet in denarium, ut fiant decies xxx qui sunt ccc. Hos secundum l partimur; fiunt vj. Quos cum minori termino addiderimus, redduntur xvj. Hunc igitur numerum si inter x ac xl medium conlocemus armonica proportionalitas expeditur: x xvj xl.

De consonantiarum merito vel modo secundum Nicomachum

Sed de his hactenus. Nunc illud videtur addendum, quemadmodum Pythagorici probent consonantias musicas in praedictis proportionibus inveniri. In qua re scilicet eis Ptolomaeus non videtur adsensus, de quo paulo posterius dicemus. Haec enim ponenda est maxime esse prima suavisque consonantia, cuius proprietatem sensus apertior conprehendit. Quale est enim unumquodque per semet ipsum, tale etiam deprehenditur sensu. Si igitur cunctis notior est ea consonantia, quae in duplicitate consistit, non est dubium, primam esse omnium diapason consonantiam meritoque excellere, quoniam cognitione praecedat. Reliquae vero hunc necessario secundum Pythagoricos ordinem tenent, quem dederint multiplicitatis augmenta et superparticularis habitudinis detrimenta. Monstratum quippe est, quod multiplex inaequalitas superparticulares proportiones meriti antiquitate transcendat. Quocirca naturalis numerus ab unitate usque ad quaternarium disponatur: j ij iij iiij. Igitur uni binarius comparatus proportionem duplicem facit et reddit diapason consonantiam eam, quae est maxima et simplicitate notissima. Si vero unitati ternarius comparetur, diapason ac diapente concordiam personabit. Quaternarius vero unitati comparatus quadruplam tenet bis scilicet diapason efficiens symphoniam. Quod si ternarius binario comparetur, diapente, si vero quaternarius ternario, diatessaron concinentiam supplet. Isque est horum ordo cunctis ad se invicem comparatis. Namque comparatio restat. Si quaternarium binario comparemus, cadet in duplicem proportionem, quam tenebat ad unitatem binarius comparatus. Itaque maxime distant soni in bis diapason, cum a se quadrupla intervalli demensione discedunt. Minimum vero inter se esse consonantes videntur soni, cum acutior graviorem tertia gravioris parte transcendit. Ac stat deinceps concinentiarum modus, qui neque ultra quadruplam possit extendi, neque intra partem tertiam coartari. Et secundum Nicomachum quidem hic consonantiarum est ordo, ut sit prima diapason, secunda diapason et diapente, tertia bis diapason, quarta diapente, quinta diatessaron.

De ordine consonantiarum sententia Eubulidis et Hippasi

Sed Eubulides atque Hippasus alium consonantiarum ordinem ponunt. Aiunt enim multiplicitatis augmenta superparticularitatis deminutione rato ordine respondere. Itaque non posse esse duplum praeter dimidium, nec triplum praeter tertiam partem. Quoniam igitur sit duplum, ex eo diapason consonantiam reddi, quoniam vero sit dimidium, ex eo quasi contrariam divisionem sesqualteram, id est diapente, effici proportionem. Quibus mixtis, scilicet diapason ac diapente, triplicem procreari, quae utramque contineat symphoniam. Sed rursus triplici partem tertiam contraria divisione partiri, ex qua rursus diatessaron symphonia nascetur. Triplicem vero atque sesquitertium iunctos quadruplam comparationem proportionis efficere. Unde fit, ut ex diapason ac diapente, quae est una consonantia, et diatessaron una concinentia coniungatur, quae in quadruplo consistens bis diapason nomen accepit. Secundum hos quoque hic ordo est: diapason, diapente, diapason ac diapente, diatessaron, bis diapason.

20
Quid oporteat praemitti ut diapason in multiplici genere demonstretur

Hoc igitur ita distincto demonstrabitur diapason consonantia, quae cunctarum optima est, in multiplici inaequalitatis genere et in duplicitatis habitudine repperiri. Ac primum quidem illud demonstrandum, quemadmodum in multiplicitatis genere diapason consonantia possit agnosci. Praecurrendum est igitur ad breve quiddam, quo prius cognito facilior demonstratio fiat. Ab omni superparticulari si continuam ei superparticularem quis auferat proportionem, quae est scilicet minor, id quod relinquitur minus est eius medietate, quae detracta est, proportionis. Ut in sesqualtera ac sesquitertia. Quoniam sesqualtera maior est, sesquitertiam de sesqualtera detrahamus; relinquitur sesquioctava proportio, quae duplicata non efficit integram sesquitertiam proportionem, sed ea distantia minor est, quae in semitonio repperitur. Quodsi duplicata sesquioctava comparatio non est integra sesquitertia, simplex sesquioctava non est sesquitertiae proportionis plena medietas. Quodsi sesquiquartum sesquitertio auferas, id, quod relinquitur, medietatem sesquiquarti non efficit. Idemque in ceteris.

Demonstratio per inpossibile diapason in multiplici genere esse

Age nunc ad diapason consonantiam redeamus. Quod si ea non est in multiplici genere inaequalitatis, cadet in superparticulare inaequalitatis genus. Sit igitur superparticularis proportio diapason consonantia. Auferatur ab ea continua consonantia, id est diapente, relinquitur diatessaron. Bis igitur diatessaron minus est uno diapente et ipsum diatessaron non inplet diapente consonantiae medietatem, quod est inpossibile. Monstrabitur enim bis diatessaron tono ac semitonio consonantiam diapente transcendere. Quocirca ne diapason quidem in superparticulari inaequalitatis genere poni potest.

Demonstratio diapente, diatessaron et tonum in superparticulari esse

Restat igitur, ut diapente ac diatessaron et tonum in superparticularitate ponenda esse monstremus. Nam etsi id in prima quoque probatione ea, qua diapason in superparticulari genere non esse ponendam monstravimus, id quoque quodam rationis modo perclaruit, singillatim tamen de eo ac diligentius pertractemus. Nam si in superparticulari quis has habitudines ponendas esse non dixerit, in multiplici genere fatebitur conlocandas. Nam in superpartienti vel ceteris mixtis cur poni non possint, superius ut arbitror explanatum est. Ponantur igitur, si fieri potest, in multiplici genere. Et quoniam diatessaron consonantia minor est, diapente maior, diatessaron duplici diapente vero triplici proportioni multiplicitatis aptetur. Verisimile enim est, ut est consonantia diatessaron consonantiae diapente continua, ita si diatessaron in duplici statuatur, diapente in continua duplicis poni, id est triplici. Tonus autem, quoniam in habitudinibus musicis post diatessaron locatur, nimirum in ea proportione ponatur, quae est minor duplici. Haec autem in multiplicitatis genere non potest inveniri. Restat igitur, ut in superparticularitatis habitudinem cadat. Sit igitur prima id est sesqualtera toni proportio. Nam si duplicem auferamus triplici, quod relinquitur sesqualter est. Quodsi diatessaron quidem duplex est, diapente vero triplum sublatoque diatessaron a diapente tonus fit reliquus, nullo modo dubitari potest, quin tonus in sesqualtera debeat proportione constitui. Sed duae sesqualterae proportiones duplicem vincunt, quemadmodum ex arithmeticis instructus sibi potest quisque colligere. Duo igitur toni diatessaron superabunt, quod est inconveniens. Diatessaron enim duos tonos semitonii spatio transcendit. Non igitur fieri potest, ut diapente ac diatessaron in superparticulari inaequalitatis genere non conlocentur. Quod si quis tonum quoque in multiplici genere esse perscribat, quoniam quidem tonus minor quam diatessaron, diatessaron vero minus est quam diapente, diapente quidem ponatur in quadrupla, diatessaron in tripla, tonus in duplici. Sed diapente constat ex diatessaron et tono, quadruplum igitur secundum hanc rationem constabit ex triplo ac duplo, quod fieri nequit. Rursus statuatur diatessaron quidem in triplici et diapente in quadruplo. Si igitur auferamus triplum a quadruplo sesquitertius relinquetur. Rursus si diatessaron diapente consonantiae subtrahas, fit reliquus tonus. Tonus igitur secundum hanc rationem in sesquitertia proportione constabit. Sed tres sesquitertii uno triplici fiunt minores, tres igitur toni unum diatessaron nulla ratione supplebunt, quod est falsissimum. Duo enim toni ac semitonium minus diatessaron consonantiam supplent. Ex his igitur demonstratur diatessaron consonantiam non esse multiplicem. Dico autem quoniam nec diapente consonantia in multiplici genere poterit collocari. Nam si in eo statuatur, quoniam est ei minor continua, id est diatessaron, non locabitur diapente in multiplici minimo, id est in duplici, scilicet ut sit locus, quo diatessaron consonantia possit aptari. Sed diatessaron consonantia multiplicis generis non est, quocirca nec diapente in maiore habitudine multiplicis quam est dupla, quae minima est, aptari potest. Sit igitur diapente in minima, scilicet dupla. Diatessaron vero, quae minor est, in multiplici quidem aptari non potest—non est enim quicquam minus a duplici—sit igitur sesqualtera, tonus vero sesquitertia; in continua enim proportione locabitur. Sed duo sesquitertii ampliores sunt uno sesqualtero. Duo igitur toni unam diatessaron consonantiam vincent, quod nulla ratione continget. Ex his igitur approbatur, diapente ac diatessaron in multiplici genere collocari non posse. Quocirca in superparticulari inaequalitatis genere iure ponentur.

Demonstratio diapente et diatessaron in maximis superparticularibus esse

Illud quoque addendum est necessario, quoniam si diapente ac diatessaron superparticulares proportiones tenent, in maximis superparticularibus proportionibus collocantur. Sunt autem maximae sesqualtera et sesquitertia. Hoc vero approbatur hoc modo. Nam si in minoribus proportionibus quam sesqualtera vel sesquitertia diapente ac diatessaron consonantiae collocentur, non est dubium, quin, sicut aliae quaelibet proportiones superparticulares praeter sesqualteram ac sesquitertiam iunctae non efficiunt unum duplum, ita diapente ac diatessaron unum diapason nulla ratione concludent. Quoniam enim diapason in duplici proportione esse monstratum est, duplex vero proportio ex sesqualtero sesquitertioque componitur, diapason vero ex diatessaron ac diapente copulatur, non est dubium, quin, si totum diapason in duplici statuamus, diapente et diatessaron in sesqualtera sesquitertiaque proportione sint locandae. Aliter enim non poterunt diapason iunctae perficere, quae consonantia in duplici proportione consistit, nisi in his duabus proportionibus steterint, sesqualtera scilicet ac sesquitertia. Aliae enim proportiones superparticulares hanc nulla ratione coniungent.

Diapente in sesqualtera, diatessaron in sesquitertia esse, tonum in sesquioctava

Dico autem, quoniam proprie diapente in sesqualtera, diatessaron in sesquitertia proportione consistit. Quoniam enim inter utrasque proportiones, sesqualteram scilicet et sesquitertiam, sesqualtera maior est et sesquitertia minor, quoniamque in consonantiis diapente maior, diatessaron minor, apparet maiorem proportionem maiori, minorem vero minori esse consonantiae aptandum. Erit igitur diapente quidem in sesqualtera, diatessaron vero in proportione sesquitertia collocanda. Quod si diatessaron a diapente consonantia subtrahamus, relinquitur spatium, quod dicitur tonus. Sesquitertium vero si proportioni sesqualterae minuamus, relinquitur sesquioctava proportio. Quo fit, ut tonus in sesquioctava debeat comparatione constitui.

Diapason ac diapente in tripla proportione esse, in quadrupla bis diapason

Sed quoniam demonstratum est, diapason quidem duplam, diapente vero sesqualteram, iunctas vero duplam ac sesqualteram triplicem proportionem creare, ex his etiam illud apparet, diapente ac diapason in triplici proportione constitui, Sed si quis triplici proportioni sesquitertiam habitudinem iungat, quadruplam facit. Igitur si diapente ac diapason consonantiis diatessaron symphonia iungatur, fit quadruplum spatium vocum, quod bis diapason supra esse monstravimus.

Diatessaron ac diapason non esse secundum Pythagoricos consonantias

Sed in his illud diligens lector agnoscat, quod consonantiae consonantiis superpositae alias quasdam consonantias effecerunt. Nam diapente ac diatessaron iunctae diapason, ut dictum est, creant. Huic vero, id est diapason, rursus si diapente symphonia iungatur, fit consonantia, quae ex utrisque vocabulis nuncupatur, diapason scilicet ac diapente. Cui si diatessaron addatur, fit bis diapason, quae quadruplam proportionem tenet. Quid igitur, si diatessaron ac diapason consonantias iungamus, ullamne secundum Pythagoricos efficient consonantiam? Minime. Mox enim in superpartiens inaequalitatis genus cadit, nec servat vel multiplicitatis ordinem vel superparticularitatis simplicitatem. Age enim, statuantur numeri, quibus id facilius approbemus. Sit enim ternarius, cuius sit senarius duplus, scilicet in diapason consistens proportione. Huic aptetur sesquitertia, quam diatessaron esse praediximus, ut octonarius. Is enim ad senarium diatessaron proportionem tenet. Qui octonarius ad ternarium comparatus habet eum bis, sed, ne sit multiplex, habet etiam eius aliquas partes neque eas simplices. Duabus enim eum supervenit unitatibus, quae sunt duae tertiae partes ternarii, quem primum terminum minimumque locavimus. Sint igitur termini hi iij, vj viij. Illud quoque, quod inter duas sibi continuas consonantias cadit. Etenim neque duplum est integrum, ut diapason consonantiam prodat, neque triplum, ut diapason ac diapente efficiat symphoniam. Cui si tonus addatur, mox triplum modum proportionis efficiet. Quoniam enim diapason ac diapente sibimet iunctae efficiunt triplum, diatessaron vero et tonus diapente consonantiam iungunt, si diapason consonantiae addatur diatessaron, inconsonum fit, quoniam inter duplicem ac triplicem nulla potest naturaliter proportio multiplicitatis intellegi. Quod si ei adicio tonumt, fiet diapason diatessaron et tonus, quod nihil distabit, utrum diapason ac diapente sit. Diatessaron enim e, tonus diapente constituunt. Sit enim diapason quidem iij et vj diatessaron vj et viij tonus viij et viiij diapente vj et viiij diapason ac diapente iij ad viiij. Erit igitur sic tripla proportio: iij vj viij viiij. Sed quamquam de his multa Nicomachus, nos tamen, qua potuimus brevitate partim ea ipsa, quae Pythagorici affirmant, promentes, partim ex isdem quaedam consequentia argumentantes probavimus, si diatessaron consonantiae diapason addatur, consonantiam ex his coniungi non posse. Quid vero de his sentiat Ptolomaeus, posterius apponam. Sed de his hactenus. Nunc de semitoniis considerandum est.

De semitonio, in quibus minimis numeris constet

Videntur enim semitonia nuncupata, non quod vere tonorum sint medietates, sed quod sint non integri toni, huiusque spatii, quod nunc quidem semitonium nuncupamus, apud antiquiores autem limma vel diesis vocabatur, hic modus est. Cum enim ex sesquitertia proportione, quae diatessaron est, duae sesquioctavae habitudines, quae toni sunt, auferuntur, relinquitur spatium, quod semitonium nuncupatur. Quaeramus igitur duos tonos continua dispositione descriptos. Sed quoniam hi, ut dictum est, in sesquioctava proportione consistunt, duasque sesquioctavas proportiones continuas adhibere non possumus, nisi multiplex ille, a quo hae derivari possint, repperiatur, sit unitas prima eiusque octonarius octuplus primus. Ab hoc igitur unum sesquioctavum potero derivare. Sed quia duos quaerimus, fiant octies octo atque ex eo lxiiij explicentur. Erit igitur hic secundus octuplus, a quo possumus duas sesquioctavas proportiones educere. Namque octo, quae est octava pars lxiiij unitatum, eisdem additi totam summam lxxij perficiunt. His vero si sua octava similiter apponatur, qui est novenarius, lxxxj reddunt. Eruntque duo hi toni continui principali dispositione conscripti: lxiiij lxxij lxxxj. Nunc igitur lxiiij unitatum sesquitertium conquiramus. Sed quoniam lxiiij probantur partem tertiam non habere, si omnes hi numeri ternario multiplicentur, mox eis pars tertia contingit et omnes in eadem proportione durabunt, qua fuerunt, antequam his ternarius multiplicator accederet. Fiant igitur ter lxiiij, id est cxcij. Horum tertia lxiiij eisdem addita cclvj reddet. Erit igitur haec sesquitertia proportio, diatessaron consonantiam tenens. Nunc igitur duas sesquioctavas proportiones ad cxcij, duobus se numeris continentes, rato ordine collocemus. Fiant igitur ter lxxij, id est ccxvj; rursus ter lxxxj, qui sunt ccxliij. Qui inter duos suprascriptos terminos collocentur hoc modo: cxcij ccxvj ccxliij cclvj. In hac igitur dispositione proportionum primus numerus ad postremum diatessaron constituit consonantiam, idem vero primus ad secundum et secundus ad tertium geminos continuant tonos. Constat igitur spatium, quod relinquitur, ex ccxliij ad cclvj, in quibus minimis semitonii forma consistit.

Demonstrationes non esse ccxliij ad cclvj toni medietatem

Approbo igitur ccxliij ad cclvj distantiam non esse integram toni medii demensionem. Etenim ducentorum xl trium et ducentorum lvj differentia xiij tantum unitatibus continetur, qui xiij minus quidem quam minoris octavam decimam, plus vero quam nonam decimam obtinent partem. Si enim octies decies xiij ducas, efficies ccxxxiiij, qui ccxliij nullo modo aequabunt, si decies novies multiplices, supervadent, cum oporteat omne semitonium, si tamen integrum toni dimidium tenet, inter sextam decimam partem ac septimam decimam collocari, quod posterius demonstrabitur, Nunc illud liquebit, talem semitonii distantiam sibimet geminatam unum toni spatium non posse conplere. Age enim, ut sese cclvj ad ccxliij habent, tales duas sibimet continuas proportiones secundum superius descriptam regulam disponamus. CC enim et l et vj in semet ipsos multiplicemus et sit maximus terminus lxv,dxxxvj. Item ccxliij propria numerositate concrescant et sit minimus terminus lviiij,xlviiij. Rursus cclvj ad ccxliij multitudine concrescant. Erit igitur numerus lxij,ccviij. Hic igitur medius collocetur hoc modo:

lxv,dxxvj  lxij,ccviij lviiij,xlviiij

In eadem igitur sunt proportione cclvj et ccxliij, in qua lxv,dxxvj ad lxij,ccviij. Et item lxij,ccviij ad lviiij,xlviiij. Sed maximus eorum terminus, qui est lxv,dxxxvj ad minimum, qui est lviiij,xlviiij
, unum integrum non efficiet tonum. Quodsi primi ad secundum proportio, quae est aequa secundi ad tertium proportioni, integri esse semitonii probaretur, duo dimidia iuncta unum necessario efficerent tonum. Nunc autem cum non sit extremorum terminorum sesquioctava proportio, manifestum est haec duo spatia proprie tonorum dimidia non videri. Quicquid enim cuiuscunque est dimidium, id si duplicetur, illud efficit, cuius dicitur esse dimidium. Si vero illud inplere non possit, geminata particula minus est parte dimidia, si vero superfluat ac supervadat, plus est parte dimidia. Praeterea probabuntur autem lxv,dxxxvj non facere sesquioctavam proportionem, si lviiij,xlviiij unitatibus comparentur, si octava pars lviiij,xlviiij eisdem secundum eas, quae in arithmeticis dictae sunt regulas aggeratur. Quae quoniam in integris numeris non consistit, idcirco eandem octavam partem relinquimus lectorum diligentiae computandam. Liquet igitur eam proportionem, quae in cclvj et ccxliij est constituta, non esse integrum dimidium toni. Quocirca id, quod vere semitonium nuncupatur, pars toni minor est quam dimidia.

De maiore parte toni, in quibus minimis numeris constet

Reliqua igitur pars, quae maior est, apotome nuncupatur a Graecis, a nobis vero potest vocari decisio. Id enim natura fert, ut, quotiens aliquid secatur, ita ut non aequis partibus dividatur, quanto minor pars dimidio minor est, tanto maior pars eademque auctior dimidium vincat. Quantum igitur semitonium minus integro dimidio toni minus est, tantum apotome toni integrum superat dimidium. Et quoniam docuimus semitonium in cclvj et ccxliij principaliter stare, nunc ea, quae apotome dicitur, in quibus possit minimis constare numeris approbemus. Si igitur ccxliij partem recipere octavam possent, cum ad eum sesquioctavus numerus compararetur, tunc cclvj habitudo ad sesquioctavam summam minimi numeri comparata apotomen necessaria ratione monstraret. Nunc vero quoniam ei pars octava deesse monstratur, utrique numeri octies fiant. Et ex ccxliij quidem octies multiplicatis fit numerus m,dccccxliiij. Quibus si propria conferatur octava, qui sunt ccxliij fient ij,clxxxvij. Rursus cclvj per octonarium crescant; fient igitur ij,xlviij. Atque hic suprascriptorum terminorum in medio collocetur:

m,dccccxliiij ij,xlviij ij,clxxxvij

Tertius igitur terminus ad primum toni retinet proportionem, secundus vero ad primum semitonii minoris, apotomes vero tertius ad secundum. Atque in eisdem primis apotomes videtur constare proportio, cum semitonii in cclvj et ccxliij minimis numeris spatium contineatur. Idcirco autem m,dccccxliiij et ij,xlviij in eadem proportione sunt, qua ccxliij ad cclvj, quoniam cclvj et ccxliij octonario multiplicati sunt. Si enim unus numerus duos quoslibet numeros multiplicet, qui ex ea multiplicatione nascuntur in eadem erunt proportione, qua fuerint hi numeri, quos prior numerus multiplicavit.

Quibus proportionibus diapente ac diapason constent et quoniam diapason sex tonis non constet

Sed quoniam de diatessaron consonantia latius diximus, brevius et paene puris numeris de diapason ac diapente consonantiis disseramus. Diapente enim constat ex tribus tonis ac semitonio, id est ex diatessaron et tono. Disponantur enim numeri, quos superior descriptio conprehendit: cxcij ccxvj ccxliij cclvj. In hac igitur dispositione primus terminus ad secundum et secundus ad tertium tonorum retinent proportiones, sed tertius ad quartum semitonii minoris, ut supra monstratum est. Si igitur cclvj octava eisdem, quorum octava est, apponatur, fient cclxxxviij qui cxcij comparati sesqualterum spatium proportionis efficiunt. Quocirca tres quidem toni sunt, si primus ad secundum, secundus ad tertium, quintus conferatur ad quartum. Semitonium vero minus tertii ad quartum terminum comparatio tenet. Quodsi diatessaron quidem duorum tonorum est ac semitonii minoris, diapente vero trium tonorum ac semitonii minoris, iunctae vero diatessaron ac diapente unum diapason videntur efficere: erunt v  toni et duo spatia semitoniorum minora, quae unum tonum non videantur inplere. Non est igitur diapason consonantia constans sex tonis, ut Aristoxenus arbitratur. Quod in numeris quoque dispositum evidenter apparet. Sex enim toni in ordinem disponantur, scilicet in sesquioctavis proportionibus constituti. Sex vero sesquioctavae proportiones a sexto octuplo procreantur. Disponantur igitur sex octupli hoc modo:

j viij lxiiij dxij iiij,xcvj xxxij,dcclxviij cclxij,cxiiij

Ab hoc igitur ultimo numero sex toni in sesquioctava proportione constituti locentur hoc modo, dispositis primum octuplis terminis, ut octavae terminorum partes ipsorum terminorum lateribus adiungantur. Sit autem descriptio talis:

Octuplij viij lxiiij dxij iiij,xcvj xxxij,dcclxviij cclxij,cxiiij

Huius igitur dispositionis haec ratio est. Continuus enim versus, qui limes dicitur, octuplos numeros tenet. A sexto vero octuplo sesquioctavae proportiones ducuntur. Ubi vero octavas partes scripsimus, octavae sunt eorum numerorum partes quibus adiacent. Quae si eisdem, quibus adiacent, apponantur, posteriores numeros creant. Ut in primo qui est cclxij,cxliiij, huius octava xxxij,dcclxviij. Hi sibimet si coniungantur, posteriorem efficiunt numerum, qui est ccxciiij,dccccxij. Idemque in ceteris invenitur. Si igitur ultimus numerus, qui est dxxxj,ccccxlj duplus esset prioris numeri, qui est cclxij,cxliiij, recte diapason sex tonis constare videretur. Nunc autem si minimi numeri, id est prioris, duplicem conquiramus, minor erit eo numero, qui est maximus ac supremus. Nam cclxij,cxliiij numeri duplus est, qui ad eum scilicet diapason consonantiam tenet, dxxiiij,cclxxxviij. Hic igitur minor est eo numero, qui sextum retinet tonum, eo scilicet, qui est dxxxj,ccccxlj. Minor est igitur diapason consonantia sex tonis. Atque id, quod sex toni diapason consonantiam supervadunt, voco comma, quod constat in minimis numeris dxxiiijcclxxxviij et dxxxj,ccccxlj. Sed de his, quid Aristoxenus sentiat, qui auribus dedit omne iudicium, alias commemorabo. Nunc voluminis seriem fastidii vitator adstringam.

Explicit de musica id est armonica institutione liber secundus.