ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ/ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ
ಇದು ಪ್ರೂಫ್  ರೀಡಿಂಗ್  ಆಗಬೇಕಾದ ಪುಟ ; ನಂತರ ಈ ಸಾಲನ್ನು ತೆಗೆದುಬಿಡಿ

ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ  : ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ವರ್ಗದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನೂ ಅವುಗಳ ಹಿನ್ನೆಲೆಯ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ತತ್ತ್ವಗಳನ್ನೂ ಕ್ರೋಡೀಕರಿಸಿ ರೂಪಿಸಬಹುದಾದ ಯಾವುದೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆ (ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್). ಉತ್ಪನ್ನಗಳ (ಫಂಕ್ಷನ್ಸ್‌) ಮೇಲೆ ಎಸಗಬಹುದಾದ ಅವಕಲನ (ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಷನ್) ಮತ್ತು ಸಮಾಸಕಲನ (ಇಂಟೆಗ್ರೇಷನ್) ಎಂಬ ಎರಡು ಮೂಲಭೂತ ಗಣಿತ ಪರಿಕರ್ಮಗಳನ್ನು (ಮ್ಯಾಥ್ ಮ್ಯಾಟಿಕಲ್ ಅಪರೇಷನ್ಸ್‌) ಕುರಿತ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಇಂದು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರಗಳ ಪೈಕಿ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯವಿದೆ. ಪ್ರಸಕ್ತ ಲೇಖನವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಆರು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಾತ್ಮಕ ಶೀರ್ಷಿಕೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ೧ ಚಾರಿತ್ರಿಕ ಹಿನ್ನೆಲೆ, ೨ ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ, ೩ ಸಮಾಸಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ, ೪ ಸಾಂತವ್ಯತ್ಯಾಸ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ, ೫ ಏರಿಳಿತಗಳ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ, ೬ ತಾರ್ಕಿಕ ಕಲನಕ್ರಿಯೆಗಳು.
ಚಾರಿತ್ರಿಕ ಹಿನ್ನೆಲೆ ಃ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಸೃಷ್ಟಿಯನ್ನು ಇಂಗ್ಲೆಂಡಿನ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಸರ್ ಐಸಾûಕ್ ನ್ಯೂಟನ್ (೧೬೪೨-೧೭೨೭) ಮತ್ತು ಜರ್ಮನಿಯ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಗಾಟ್ ಫ್ರೀಟ್ ವಿಲ್ ಹೆಲ್ಮ್‌ ಲೀಪ್ನಿಟ್ಸ್‌ (೧೬೪೬-೧೭೧೬) ಎಂಬವರು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿಯೂ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿಯೂ ಮಾಡಿದರು. ಮೊದಲಿಗೆ ಈ ಮೇಧಾವಿಗಳಿಬ್ಬರೂ ಸ್ನೇಹಿತರಾಗಿದ್ದರು. ಅಂತಾರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ಖ್ಯಾತಿಯನ್ನೈದಿದ್ದ, ಪ್ರಪಂಚದ ಸಾರ್ವಕಾಲಿಕ ಮಹಾಮಿದುಳುಗಳಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬನಾಗಿದ್ದ, ನ್ಯೂಟನ್ನನ ವಿಚಾರದಲ್ಲಿ ಲೀಪ್ನಿಟ್ಸನಿಗೆ ಪೂರ್ಣಗೌರವವಿತ್ತು. ಈತ ಇಂಗ್ಲೆಂಡಿಗೆ ಹೋಗಿಯೂ ಬಂದಿದ್ದ. ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ಲೀಪ್ನಿಟ್ಸ್‌ ತನ್ನ ವಿಧಾನದ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಮೊದಲೇ ನ್ಯೂಟನ್ ತನ್ನ ವಿಧಾನದ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಬೆಳೆಸಿದ್ದ.
ನ್ಯೂಟನ್ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಥಿ ಎಂಬ ಚರದ ಅವಕಲನಾಂಕವನ್ನು  ಎಂದು ಥಿ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಚುಕ್ಕಿಯನ್ನು (ಜoಣ) ಬರೆದು ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿತ್ತು. ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಲದ ಅವಕಲನಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಒಂದು ಚುಕ್ಕಿ ಸೂಚಿಸುವುದೆಂದು ಅರ್ಥ. ಆದ್ದರಿಂದ ಹತ್ತು ಸಲ ಒಂದು ಚರವನ್ನು ಪುನಃ ಪುನಃ ಅವಕಲಿಸಿದಾಗ ದೊರೆಯುವ ಹತ್ತನೆಯ ಕ್ರಮದ (ಆರ್ಡರ್) ಅವಕಲನಾಂಕವನ್ನು ಆ ಚರದ ಮೇಲೆ ಹತ್ತು ಚುಕ್ಕಿಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವುದರ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಬೇಕು. ಬರವಣಿಗೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ವಿಕಾಸದ ಹಾದಿಯಲ್ಲಿ ಇದು ಎಂಥ ತೊಡಕಿನ ಕ್ರಮ ಎಂಬುದು ಸ್ವಯಂವೇದ್ಯ. ಅಲ್ಲದೇ  ಎಂದು ಬರೆದಾಗ ಯಾವ ಚರವನ್ನು ಕುತಿರು ಥಿ ಯನ್ನು ಅವಕಲಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
ಲೀಪ್ನಿಟ್ಸನ ಸ್ವತಂತ್ರ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ  ಎಂಬ ಸುಪ್ರಸಿದ್ಧ ಹಾಗೂ ಗಣಿತ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಚಿರಪರಿಚಿತ ಸಂಕೇತ ಬಳಕೆಗೆ ಬಂದಿತು. ಇಲ್ಲಿನ  ಸಂಕೇತ ಅವಕಲನ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದು ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಅದು x ಎಂಬ ಚರವನ್ನು ಕುರಿತು ಇದೆ ಎಂಬುದನ್ನೂ ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುವುದು. ಇದರ ಪ್ರಕಾರ ಥಿ ಯನ್ನು ಟಿ ಸಲ xನ್ನು ಕುರಿತು ಪುನಃ ಪುನಃ ಅವಕಲಿಸಿದಾಗ ದೊರೆಯುವ ಅವಕಲನಾಂಕ

ಆಗುತ್ತದೆ. ಇದು ತುಂಬ ಅಚ್ಚುಕಟ್ಟಾದ ಮತ್ತು ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬಲು ಅನುಕೂಲವಾದ ನಿರೂಪಣೆ. ಲೀಪ್ನಿಟ್ಸ್‌ ತಾನು ಸಂಶೋಧಿಸಿ ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ೧೬೮೪ರಲ್ಲಿ ನ್ಯೂಟನ್ನನಿಗಿಂತ ಮೊದಲೇ ಪ್ರಕಟಪಡಿಸಿದ. ಒಂದು ವರದಿಯ ಪ್ರಕಾರ ಆ ಮೊದಲೇ ತನ್ನ ಸಂಶೋಧನಪತ್ರವನ್ನು ಗೌರವಪೂರ್ವಕವಾಗಿ ನ್ಯೂಟನ್ನನಿಗೆ ಕಳಿಸಿಯೂಕೊಟ್ಟಿದ್ದ. ಆದರೆ ನ್ಯೂಟನ್ನನ ಅನುಯಾಯಿಗಳು ಲೀಪ್ನಿಟ್ಸನ ವಿರುದ್ಧ ಕೃತಿಚೌರ್ಯದ (ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಚೌರ್ಯದ) ಆಪರಾಧವನ್ನು ಆರೋಪಿಸಿದರು. ಇದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭದಲ್ಲಿ ಜರ್ಮನಿಯ, ತರುವಾಯ ಇಡೀ ಯುರೋಪ್ ಖಂಡದ, ಗಣಿತಜ್ಞರು ಕುಪಿತರಾಗಿ ಇಂಗ್ಲೆಂಡಿನ ಗಣಿತದ ವಿರುದ್ಧ ಕತ್ತಿ ಝಳಪಿಸಿದರು. ಇಂಗ್ಲೆಂಡಿನವರಾದರೋ ಯುರೋಪ್ ಖಂಡದ ಗಣಿತದ ಎದುರು ಸೆಟೆದು ನಿಂತರು. ವಿಜ್ಞಾನದ ಬೆಳೆವಣಿಗೆಗೆ ಅತ್ಯಾವಶ್ಯಕವಾದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ವಿನಿಮಯ ಮತ್ತು ವಿಮರ್ಶೆ ಗಣಿತರಂಗದಲ್ಲಿ, ಇಂಗ್ಲೆಂಡ್ ಮತ್ತು ಯುರೋಪ್ ದೇಶಗಳ ನಡುವೆ ಈ ಅವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಹೋರಾಟದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸ್ಥಗಿತಗೊಂಡುವು. ಬೌದ್ಧಿಕವಾಗಿ ಅಧಿಕ ಉತ್ಕೃಷ್ಟದರ್ಜೆಯದಾದ ಲೀಪ್ನಿಟ್ಸನ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ವಿಧಾನ ಇಂಗ್ಲೆಂಡಿನ ಗಣಿತ ವಿದ್ವಾಂಸರಿಗೆ ಅಮಾನ್ಯವಾಯಿತು. ನ್ಯೂಟನ್ನನ ತೊಡಕಿನ ಮತ್ತು ಆ ಕಾರಣದಿಂದ ಪ್ರಗತಿಗೆ ವೇಗಾಪಕರ್ಷಕಾರಿಯಾಗಿದ್ದ ವಿಧಾನವೇ ಅವರಿಗೆ ಪ್ರಿಂಯವಾಯಿತು. ಅಂಧ ಸ್ವದೇಶಾಭಿಮಾನದ ಮುಂದೆ ವಿಜ್ಞಾನದ ನಿರಪೇಕ್ಷ ಮಾರ್ಗ ಅವರಿಗೆ ಕಾಣಿಸಲಿಲ್ಲ. ಒಂದು ಶತಮಾನಕಾಲ ಇಂಗ್ಲೆಂಡ್ ಮತ್ತು ಯುರೋಪ್ ದೇಶಗಳ ಗಣಿತ ಪ್ರವಾಹಗಳು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿಯೇ ಹರಿದುವು. ಇದರಿಂದ ಕುಂಠಿತವಾದದ್ದು ಇಂಗ್ಲೆಂಡಿನ ಗಣಿತಪ್ರಗತಿ. ಈ ಅರ್ಥಹೀನವಿವಾದದ ವ್ಯರ್ಥಶ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದ ಇಂಗ್ಲೆಂಡಿನ ಗಣಿತಜ್ಞರು ೧೯ನೆಯ ಶತಮಾನದ ತರುಣದಲ್ಲಿ ಕ್ಯಾಂಬ್ರಿಜ್ಜಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಘವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿ ಅದರ ಮೂಲಕ ಲೀಪ್ನಿಟ್ಸ್‌ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪ್ರಚಾರಕ್ಕೆ ತರಲು ತೀವ್ರ ಪ್ರಯತ್ನ ನಡೆಸಿ ಯಶಸ್ವಿಗಳಾದರು. “ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದ ಜoಣ-ಚಿge ನ ವಿರುದ್ಧ ಶುದ್ಧ ಜ-ism ನ ತತ್ತ್ವಗಳ” ಸ್ಥಾಪನೆ ಅವರ ಉದ್ದೇಶವೆಂದು ನಿರೂಪಿಸಿಲಾಗಿತ್ತು. ಇಂಗ್ಲೆಂಡ್-ಯುರೋಪುಗಳ ನಡುವೆ ಈ ಭಾವ ತೀವ್ರತೆಯ ಕಲಹ ನಡೆಯಬೇಕಾಗಿಯೇ ಇರಲಿಲ್ಲ. ಬೌದ್ಧಿಕ ಪ್ರಪಂಚದಲ್ಲಿ ಉನ್ನತ ಸ್ತರ ತಲುಪಿದವರೂ ಹೇಗೆ ದುರ್ಬಲ ಗಳಿಗೆಗಳಲ್ಲಿ ಕೀಳಾಗಿ ವರ್ತಿಸಬಹುದೆಂಬುದಕ್ಕೆ ಇದೊಂದು ನಿದರ್ಶನ. ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬರುವ ಒಂದು ಪ್ರಧಾನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಪರಿಮಿತಿ (ಲಿಮಿಟ್). x/ಥಿ ಎಂಬ ನಿಷ್ಪತ್ತಿಯಲ್ಲಿ (ರೇಷಿಯೊ) x ಮತ್ತು ಥಿಗಳೆರಡೂ ಚರಗಳಾಗಿದ್ದು ಎರಡೂ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಗಳಾದಾಗ ನಿಷ್ಪತ್ತಿಯ ಬೆಲೆ ಏನಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಪರಿಶೀಲನೆ ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಹುಟ್ಟಲು ಕಾರಣವಾಯಿತು. ಒಂದು ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ

ಎಂಬ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ x ಚರ ೨ನ್ನು ಸಮೀಪಿಸಿದಂತೆ (ಎಂದರೆ ೧.೯, ೧.೯೯, ೧.೯೯೯,........ಇತ್ಯಾದಿ ಕೆಳಗಿನಿಂದ ೨ರ ಎಡೆಗೆ ಸಾಗಬಹುದು; ೨.೧ ೨.೦೧, ೨.೦೦೧,.....ಇತ್ಯಾದಿ ಮೇಲಿನಿಂದ ೨ರ ಎಡೆಗೆ ಸಾಗಬಹುದು) ಥಿ ಯ ಬೆಲೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಆಗುತ್ತದೆ. ಅವೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಗಣನೆಯಿಂದ ತಿಳಿಯಬಹುದು. ಊದಾಹರಣೆಗೆ x=೧.೯೯೯ ಆದಾಗ ಥಿ=೩.೯೯೯; x= ೨.೦೦೧ ಆದಾಗ ಥಿ=೪.೦೦೧. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿ ಇಷ್ಟು ಸರಳವಾಗಿ ತೋರಿದರೂ x=೨ ಆದಾಗ ಥಿ ಬೆಲೆ ಬೇರೆಯೇ ಆಗಿಬಿಡುತ್ತದೆ. ಆಗ ಎನ್ನುವ ಒಂದು ಅವ್ಯಾಖ್ಯಿತ ರೂಪ (ಅಂಡಿಫೈ಼ನ್ಡ್‌ ಫಾರಂ) ತಲೆದೋರುವುದು. ಆದ್ದರಿಂದ x ಚರ ೨ನ್ನು ಸಮೀಪಿಸಿದಂತೆ ಅಥವಾ xಚರ ೨_ಗಾಮಿಯಾದಂತೆ ಥಿ ಚರ ಒಂದು ಪರಿಮಿತಿಯೆಡೆಗೆ ಸರಿಯುವುದು ಎಂದು ಸ್ಫುರಿಸುವುದು ಸಹಜ. ಈ ಪರಿಮಿತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಒಂದು ಸಂಗತ ತಾರ್ಕಿಕ ತಳಹದಿಯಮೇಲೆ ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಫ್ರಾನ್ಸಿನ ಕೋಶಿ (೧೭೮೯-೧೮೫೭), ನಾರ್ವೇ ದೇಶದ ಆಬೆಲ್ (೧೮೦೨-೨೯), ಜರ್ಮನಿಯ ವೈರ್ ಸ್ಟ್ರಾಸ್ (೧೮೧೫-೯೭) ಮೊದಲಾದ ಮಹಾ ವಿದ್ವಾಂಸರು ಶ್ರಮಿಸಿದ್ದಾರೆ.

ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ: (ಡಿಫರೆನ್ಸಿಯಲ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್): ಈ ಶಾಸ್ತ್ರದ ಉಗಮವನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಸಲುವಾಗಿ ಒಂದು ಮಗುವಿಗೆ ತೂಕವೃದ್ಧಿಯ ನಿದರ್ಶನವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ. ಮಗುವಿಗೆ ೩ ವರ್ಷ ಮಯಸ್ಸಾದಾಗ ಅದರ ತೂಕ ೧೪ ಕೆಜಿಯೆಂದೂ ೭ ವರ್ಷ ವಯಸ್ಸಾದಾಗ ೨೨ ಕೆಜಿಯೆಂದೂ ಭಾವಿಸೋಣ. ಹಾಗಾದಲ್ಲಿ ೯ ವರ್ಷ ವಯಸ್ಸಾದಾಗ ಆ ಮಗು ಎಷ್ಟು ಕೆಜಿ ತೂಗಬಹುದು? ಪ್ರೌಢಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಗಣಿತವನ್ನು ಅಭ್ಯಸಿಸದಿರುವ ಜನರು ಕೂಡ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವೆಂದೆನಿಸುವ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟಮಾರ್ಗದಲ್ಲಿ ಬಿಡಿಸಲೆತ್ನಿಸುತ್ತಾರೆ. ಅವರ ತರ್ಕ ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ: ೭-೩=೪ ವರ್ಷಗಳ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಮಗುವಿನ ತೂಕ ೨೨-೧೪=೮ ಕೆಜಿ ಹೆಚ್ಚಿರುವುದರಿಂದ ಈ ತೂಕವೃದ್ಧಿಯ ದರ ವರ್ಷವೊಂದಕ್ಕೆ ೮/೪ =೨ ಕೆಜಿ; ಇಷ್ಟು ದರದಂತೆ ೯-೩=೬ ವರ್ಷಗಳ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಮಗುವಿನ ತೂಕ ಆ ಮಗುವಿಗೆ ೩ ವರ್ಷ ವಯಸ್ಸಾದಾಗ ಇದ್ದುದಕ್ಕಿಂತ ೬೨=೧೨ ಕೆಜಿ ಏರಿರಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ ೯ ವರ್ಷ ವಯಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಮಗುವಿನ ತೂಕ ೧೪+೧೨=೨೬ ಕೆಜಿಗಳು. ನಾಗರಿಕಜೀವನದಲ್ಲಿ ಬಹುಕಾಲದಿಂದಲೂ ಹಾಸುಹೊಕ್ಕಾಗಿ ಬಂದಿರುವ ತ್ರೈರಾಶೀಯ ಗಣನವಿಧಾನ ಇಂಥ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕೆ ಸ್ಫೂರ್ತಿನೀಡಿದೆ. ಮಗುವಿನ ಬೆಳೆವಣಿಗೆಯ ಪ್ರಸಂಗದಲ್ಲಿ ಈ ಬಗೆಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕೂ ವಾಸ್ತವಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗೂ ಒಂದಷ್ಟು ಅಂತರವೇನೋ ಇರಬಹುದು; ಆದರೆ ಆ ಅಂತರ ತೀರ ಅಧಿಕವಾಗಿರಲಾರದೆಂಬ ಭರವಸೆಯಿರುವುದರಿಂದ ತ್ರೈರಾಶಿಯನ್ನು ಆಶ್ರಯಿಸಲು ಜನ ಹಿಂಜರಿಯರು. ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಸಹ ತ್ರೈರಾಶೀಯ ಗಣಿತಪರಂಪರೆಯ ಒಂದು ಸಂಸ್ಕರಿತ ವಿಸ್ತರಣೆ.

ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ನಿಷ್ಪನ್ನಗಳು (ಫಂಕ್ಷನ್ಸ್‌ ಅಂಡ್ ಡಿರೈವೆಟಿವ್ಸ್‌): ನಮ್ಮ ನಿದರ್ಶನದಲ್ಲಿ ಮಗುವಿನ ತೂಕ ಮಗುವಿನ ವಯಸ್ಸನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆಯಷ್ಟೆ. ಇಂಥ ಅವಲಂಬನೆಗಳನ್ನು ಗಣಿತಜ್ಞರು ಉತ್ಪನ್ನಗಳೆಂದು (ಫಂಕ್ಷನ್ಸ್‌) ಕರೆದು   ಮುಂತಾದ ಸಂಕೇತಗಳಿಂದ ಅವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮಗುವಿನ ಮಯಸ್ಸಿನ ಮೇಲೆ ಅದರ ತೂಕ ತೋರುವ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಜಿ ಉತ್ಪನ್ನಾಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಬಹುದು. ಹಾಗೆ ಸೂಚಿಸಿದ ಬಳಿಕ ಣವರ್ಷ ವಯಸ್ಸಾದಾಗ ಆ ಮಗುವಿನ ತೂಕವನ್ನು ಜಿ(ಣ) ಎಂಬ ಬೆಲೆಯ ಸಂಕೇತಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದು ವಾಡಿಕೆ. ಈ ಸಂಜ್ಞಾಪದ್ಧರಿಯಂತೆ, ೩ ವರ್ಷ ವಯಸ್ಸಾದಾಗ ಮಗು ೧೪ ಕೆಜಿ ತೂಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಕನ್ನಡ ವಾಕ್ಯ ಗಣಿತ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಜಿ(೩)=೧೪ ಎಂದು ತರ್ಜುಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ ಜಿ(೭)=೨೨ ಎಂಬುದರ ಕನ್ನಡ ಅರ್ಥ, ೭ ವರ್ಷ ವಯಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಮಗುವಿನ ತೂಕ ೨೨ ಕೆಜಿ ಎಂದು ಮೇಲೆ ಹೇಳಿರುವಂತೆ ಮಗುವಿನ ತೂಕವೃದ್ಧಿಯ ವಾರ್ಷಿಕ ದರ ೨ ಕೆಜಿಗಳಾದರೆ h ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಆ ಮಗುವಿನ ತೂಕ ೨h ಕೆಜಿಗಳಷ್ಟು ಏರುವುದು. ಆದ್ದರಿಂದ (೩+h) ವರ್ಷ ವಯಸ್ಸಾದಾಗ ಆ ಮಗುವಿನ ತೂಕ ೩ ವರ್ಷ ವಯಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಇದ್ದುದಕ್ಕಿಂತ ೨hಕೆಜಿಗಳಷ್ಟು ಅಧಿಕವಾಗಿರಬೇಕು. ಸಂಕೇತಗಳಲ್ಲಿ 
	.... [೧]
ಇದೊಂದು ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮೀಕರಣ ಮಾತ್ರ; ಆಗಲೇ ತಿಳಿಸಿರುವಂತೆ ಇದಕ್ಕೂ ವಾಸ್ತವಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗೂ ತುಸು ಭೇದವಿರಬಹುದು. hನ ಬೆಲೆ ಅಲ್ಪವಾಗಿರುವವರೆಗೆ ಈ ಭೇದವೂ ಅಲ್ಪವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಅ ಬೆಲೆ ಅಧಿಕವಾದಾಗಲಾದರೋ ಸಮೀಕರಣ [೧] ಕ್ಕೂ ವಾಸ್ತವಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗೂ ಸಂಬಂಧವನ್ನೇ ಗುರುತಿಸಲಾಗದಷ್ಟು ಭಾರಿ ಅಂತರ ಏರ್ಪಡಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ೧೫ ವರ್ಷ ವಯಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಮಗುವಿನ ತೂಕ ಜಿ(೧೫)=ಜಿ(೩+೧೨)=೧೪+೨೧೨=೩೮ ಕೆಜಿ ಆಗಿರುವ ಬದಲು ೫೦ ಕೆಜಿಯೇ ಆಗಬಹುದು. ತೂಕ ಸದಾಕಾಲವೂ ವರ್ಷವೊಂದಕ್ಕೆ ೨ ಕೆಜಿಗಳಷ್ಟೇ ನಿಯತ ದರದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚದಿರುವುದೇ ಇಂಥ ಅಂತರ ತಲೆದೋರಲು ಕಾರಣ. ವರ್ಷಕ್ಕೇ ಕೆಜಿಗಳ ವೃದ್ಧಿದರ ೩ ವರ್ಷ ವಯಸಿನ ನೆರೆಯಲ್ಲಿ (ನೇಬರ್ಹುಡ್) ಮಾತ್ರವೇ ಅನ್ವಯಾರ್ಹ. ೧೫ ವರ್ಷ ವಯಸ್ಸಿನ ನೆರೆಯಲ್ಲಿ ಈ ವಾರ್ಷಿಕ ವೃದ್ಧಿದರ ೫ ಕೆಜಿಗಳಷ್ಟಾಗಿರಬಹುದು. ಆಗ ೧೫ ವರ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮೀಪವಾಗಿರುವ ವಯಸ್ಸುಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವ ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮೀಕರಣ
ಜಿ(೧೫+h)=ಜಿ(೧೫)+೫h=೫೦+೫h                                                                     ....(೨)
ಎಂಬುದೇ ವಿನಾ [೧] ಅಲ್ಲ. ಅಂದಮೇಲೆ ತೂಕದ ವೃದ್ಧಿದರ ಕೂಡ ತೂಕದಂತೆಯೇ ಮಗುವಿನ ವಯಸ್ಸನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆಯೆಂದಾಯಿತು. ಉತ್ಪನ್ನ ಸಂಜ್ಞಾಪದ್ಧತಿಯ ಮೇರೆಗೆ ಈ ಹೊಸ ಅವಲಂಭನೆಯನ್ನು ಜಿ’ ಎಂಬ ಸಂಕೇತದಿಂದಲೂ ಣ ವರ್ಷ ವಯಸ್ಸಿನ ಸಮೀಪಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ತೂಕವೃದ್ಧಿಯ ವಾರ್ಷಿಕ ದರವನ್ನು ಜಿ’(ಣ) ಎಂಬ ಸಂಕೇತದಿಂದಲೂ ಸೂಚಿಸೋಣ. ಈಗ, ೩ ವರ್ಷ ವಯಸ್ಸಿನ ನೆರೆಯಲ್ಲಿ ಮಗುವಿನ ತೂಕ ವರ್ಷವೊಂದಕ್ಕೆ ೨ ಕೆಜಿ ದರದಂತೆ ಹೆಚ್ಚುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಕನ್ನಡ ವಾಕ್ಯ ಗಣಿತಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಜಿ’(೩)=೨ಎಂಬ ರೂಪವನ್ನು ತಾಳುತ್ತದೆ. ಅಂತಯೇ ಜಿ’(೧೫)=೫. ಇಂಥ ಸಂಜ್ಞಾಪದ್ಧರಿಯನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಿಕೊಂಡ ಬಳಿಕ ಯಾವುದೇ ಣ ವರ್ಷ ವಯಸ್ಸಿನ ನೆರೆಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರಬಹುದಾದ ತೂಕ-ವಯಸ್ಸುಗಳ ಸಂಬಂಧವನ್ನು [೧] ಮತ್ತು [೨] ಕ್ಕೆ ಸದೃಶ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸಬಲ್ಲ ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಲು ಕಷ್ಟವೇನೂ ಆಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆ ಸಮೀಕರಣ ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ:
ಜಿ(ಣ+h)=ಜಿ(ಣ)+hಜಿ ‘(ಣ)                                                 ...[೩]
ಈ ಎಲ್ಲ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಫಲವಾಗಿ ಜಿ ಎಂಬ ಒಂದು (ಅವಲಂಬನೆ ಅಥವಾ) ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಹೊರಟ ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಜಿ’ಎಂಬ ಇನ್ನೊಂದು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಗೊತ್ತುಮಾಡಬಹುದೆಂದೂ ಆ ಎರಡನೆಯ ಉತ್ಪನ್ನ ಮೊದಲನೆಯದರ ಬೆಲೆಗಳ (ತಾತ್ಕಾಲಿಕ ಅಥವಾ ಸ್ಥಳೀಯ) ವೃದ್ಧಿದರಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆಂದೂ ವೇದ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಇಂಥ ಜಿ’ಗೆ ಜಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿಷ್ಟನ್ನ (ಡಿರೈವೆಟಿವ್) ಎಂದು ಹೆಸರು. ನಿಷ್ಟನ್ನವು ವೃದ್ಧಿದರದ ಸೂಚಕವೆಂದಾಯಿತು. ನಿಷ್ಟನ್ನಗಳೇ ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಅಧ್ಯಯನ ಸಾಮಗ್ರಿ..     
ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮಗಳು (ಇನ್ ಫಿನಿಟೆಸಿಮಲ್ಸ್‌) ಮತ್ತು ಪರಿಮಿತಿಗಳ (ಲಿಮಿಟ್ಸ್‌) ಬಗ್ಗೆ ವಿವಾಹ: ನಿಷ್ಪನ್ನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು [೧], [೨], [೩] ಎಂಬ ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೂಲಕ ರೂಪಿಸಲು ಯತ್ನಿಸಿದ್ದೇವೆ. h ಬೆಲೆ ಅಲ್ಪವಾಗಿದ್ದಾಗ ಮಾತ್ರ ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಬಲ್ಲವೆಂದು ಕೂಡ ಮನಗಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಆದರೆ ಅಲ್ಪ ಎಂದರೆ ಎಷ್ಟು ಅಲ್ಪ? ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಇತ್ಯರ್ಥಪಡಿಸದಿರುವಾಗ ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಳಕೆ ತೀರ ವಿವಾದಾಸ್ಪದವಾಗಬಹುದಷ್ಟೆ. ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸಂಸ್ಕಾರವಿಲ್ಲದ ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮತ್ವದ ಕಲ್ಪನೆ ಗಣಿತಕ್ಕೆ ಮಾರಕ. ಚಿ=b ಮತ್ತು b=ಛಿ ಎಂಬೆರಡು ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮತ್ವಗಳ ನೆರವಿನಿಂದ ಅಷ್ಟೇ ಸರಿಸುಮಾರಿನ ಎಲ್ಲೆಯೊಳಗೆ ಚಿ=ಛಿ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿರುವುದೇ ಇದಕ್ಕೆ ಕಾರಣ. ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಇತಿಹಾಸದುದ್ದಕ್ಕೂ ಈ ತೀವ್ರ ಟೀಕೆಯನ್ನು ಎದುರಿಸಲು ಹಲವಾರು ಗಣಿತಜ್ಞರು ನಡೆಸಿರುವ ವಿವಿಧ ಯತ್ನಗಳು ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ನಿರ್ಮಾತೃಗಳಲ್ಲೊಬ್ಬನಾದ ಲೀಪ್ನಿಟ್ಸ್‌ನ ಪ್ರಕಾರ ನಾವು ಬಳಸುವ ಸಂಖ್ಯಾವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮಗಳೆಂಬ (ಇನ್ ಫಿನಿಟೆಸಿಮಲ್ಸ್‌) ಸೂಕ್ಷ್ಮಾತಿಸೂಕ್ಷ್ಮವೂ ಮಾಪನಾತೀತವೂ ಆದ ಆದರ್ಶ ಪರಿಮಾಣಗಳನ್ನು (ಐಡಿಯಲ್ ಮ್ಯಾಗ್ನಿಟ್ಯೂಡ್ಸ್‌) ಸೇರಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು; ಮತ್ತು h ಎಂಬುದು ಅಂಥ ಒಂದು ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮವಾದಾಗ [೧], [೨], [೩] ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮೀಕರಣಗಳೆಂದು ಭಾವಿಸುವ ಬದಲು ನಿಖರ ಸಮತ್ವಗಳೆಂದೇ ಪರಿಗಣಿಸಿಬಿಡಬಹುದು. ಇಂಥ ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮಗಳನ್ನು ಒಂದು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಚೌಕಟ್ಟಿನೊಳಗೆ ಆಳವಡಿಸುವ ಪ್ರಯತ್ನವನ್ನೇನೂ ಲೀಪ್ನಿಟ್ಸ್‌ ಕೈಗೊಳ್ಳಲಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಹದಿನೆಂಟನೆಯ ಶತಮಾನದ ಉತ್ತರಾರ್ಧದವರೆಗೆ ಯೂರೋಪಿನಲ್ಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಬೆಳೆವಣಿಗೆಯ ಮೇಲೆ ತನ್ನ ಅಪಾರ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ಬೀರಿತು. ಜಿ.ಎಫ್.ಎ.ದಲಾಪಿಥಲ್ (೧೬೬೧-೧೭೦೪) ಎಂಬಾತನ ೧೬೯೬ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾದ ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರಪ್ರಥಮ ಪಠ್ಯಗ್ರಂಥದಲ್ಲಿ (ಪುನರಾವೃತ್ತಿ ೧೭೧೫) ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮಗಳನ್ನು ಸಾಧಾರಣ ಪರಿಮಾಣಗಳಷ್ಟೇ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿಯೂ ಧಾರಾಳವಾಗಿಯೂ ಬಳಸಿಕೊಂಡಿದ್ದಾನೆ. ಆದರೆ ಬರಬರುತ್ತ ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮಗಳ ಪ್ರಯೋಗದಿಂದ ಗಣಿತೀಯ ಪರಿಮಾಣಗಳು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವೂ ಸಮವೂ ಆಗಬೇಕಾಗುವ ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ಅಸಮಂಜಸ ಪ್ರಕರಣಗಳು ತಲೆದೋರಿ ಬಹುಸಂಖ್ಯಾತ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ದೋಷಯುಕ್ತವೆಂದು ತಿರಸ್ಕರಿಸತೊಡಗಿದರು. ಇದರಿಂದಾಗಿ ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರರೂಪಣೆಗೆ ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮಗಳಿಗಿಂತ ಮುಂದೆ ವಿವರಿಸಲಾಗುವ ಪರಿಮಿತಿಗಳ (ಲಿಮಿಟ್ಸ್‌) ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ತವೆಂದು ಅಭಿಮತ ಸಲುವಳಿಗೆ ಬಂದಿತು. ಪ್ರಧಾನವಾಗಿ ಜೆ. ಲೆ. ಆರ್. ಡಾಲೆಂಬರ್ (೧೭೧೭-೧೭೮೩) ಮತ್ತು ಎ. ಎಲ್. ಕೋಶಿ ಅವರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾದ ಈ ಅಭಿಪ್ರಾಯಪಲ್ಲಟ ವೈಸ್ಟಾರ್ರ್‌ಸ್ ಎಂಬಾತನಿಂದ ಪರಿಪಕ್ವಗೊಂಡು ಆಧುನಿಕ ಪಠ್ಯಕ್ರಮಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣುವ ರೂಪ ತಾಳಿತು. ಪರಿಮಿತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮೀಕರಣ [೩] ನ್ನು ಕೆಳಗೆ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ರೂಪಾಂತರಿಸೋಣ:

ಣ ಯನ್ನು ಸ್ಥಿರವೆಂದೂ hಅನ್ನು ಚರವೆಂದೂ ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಚರರಾಶಿಯೂ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸ್ಥಿರರಾಶಿಯೂ ಇರುವುದು ತಿಳಿಯುತ್ತದೆ. ಈಗ ಚರರಾಶಿಯ ಬೆಲೆ h ನ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ; ಅದನ್ನು ಸ್ಥಿರರಾಶಿಯಾದ ಜಿ’(ಣ)ಗೆ ಸಮವೆಂದು ಹೇಳುವುದು ಅನುಚಿತ. ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ಸೊನ್ನೆಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ಸಮೀಪವಾಗುವ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಅಲ್ಪ ಬಲೆಗಳನ್ನು hಗೆ ಆದೇಶಿಸುತ್ತ ಹೋದರೆ ನ ಅನುರೂಪ ಬೆಲೆಗಳು ಕ್ರಮೇಣ  ಜಿ’(ಣ) ಎಂಬ ಸ್ಥಿರ ಬೆಲೆಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ಸಮೀಪವಾಗುತ್ತ ಬರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಮೇಲೆ ಸೂಚಿತವಾಗಿರುವ ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮತ್ವಕ್ಕೆ ಮರೆಹೊಗುವ ಬದಲು h ಚರರಾಶಿ ಶೂನ್ಯದೆಡೆ ಗಮಿಸಿದಾಗ (ಸಂಕೇತಗಳಲ್ಲಿ ), [] ಎಂಬ ಚರಾಶಿ ಜಿ’(ಣ) ಎಂಬ ಸ್ಥಿರ ಪರಿಮಿತಿಯೆಡೆಗೆ ಗಮಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುವುದು ಸೂಕ್ತ; ಸಂಕೇತಗಳಲ್ಲಿ
		
ಅಥವಾ      		   
ಇಲ್ಲಿ ಬಳಸಿರುವ ಟim ಎಂಬ ಸಂಕೇತ ಪರಿಮಿತಿ ಪದದ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ರೂಪವಾದ ಟimiಣನ ಸಂಕ್ಷೇಪರೂಪ. ಚರರಾಶಿಯೊಂದರ ಒಂದೊಂದು ಬಿಡಿ ಬೆಲೆಯೂ ಆ ಚರರಾಶಿಯ ಪರಿಮಿತಿಗೆ ಸಮವಾಗಬೇಕಿಲ್ಲವಾದ ಕಾರಣ ವಿಭಿನ್ನ ಪರಿಮಾಣಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸುವ ಅಸಮಂಜಸತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಮಿತಿಗಳ ಕಲ್ಪನೆ ನಿವಾರಿಸಬಲ್ಲುದು. ಇದು ಪರಿಮಿತಿವಾದದ ಸಾರಾಂಶ. ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ಪರಿಮಿತಿಗಳು ಬೇಡುವ ದೀರ್ಘ ತಾಂತ್ರಿಕ ಪೂರ್ವಸಿದ್ಧತೆಗಳ ಆಸರೆಯನ್ನೆಲ್ಲ ನಾವು ಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಉಪೇಕ್ಷಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಮೊದಲು ಮಗುವೊಂದರ ವಯಸ್ಸಿನ ಮೇಲೆ ಅದರ ತೂಕ ತೋರುವ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿದರ್ಶನವನ್ನಾಗಿ ಆರಿಸಿದೆವಷ್ಟೆ. ನಿತ್ಯವ್ಯವಹಾರದಲ್ಲೇ ಆಗಲಿ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವಿಜ್ಞಾನಗಳ ಅತ್ಯಂತ ಕರಾರುವಾಕ್ಕಾದ ಅಳತೆಗಳಲ್ಲೇ ಆಗಲಿ, ಯಾರಾದರೂ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕಾಗಿ ಬರುವ ವಯಸ್ಸುಗಳೆಂದರೆ ೧ ವರ್ಷ, ೨ ವರ್ಷ, ೫ ೩/೪ ವರ್ಷ, ೮.೩೨೪೧೧೫ ವರ್ಷ ಇಂಥವೇ ವಿನಾ  ವರ್ಷ,  ವರ್ಷ, ವೃತ್ತವೊಂದರ ಪರಿಧಿ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಸದ ನಿಷ್ಪತ್ತಿಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಸಮನಾಗಿರುವ  ವರ್ಷ ಇಂಥವಲ್ಲವೇ ಅಲ್ಲ; ಅಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕಾಗಿ ಬರುವ ತೂಕಗಳ ವಿಚಾರವೂ ಹಾಗೆಯೇ. ಆದರೆ ನಿತ್ಯವ್ಯವಹಾರದಲ್ಲಿ ಹಾಗೂ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವಿಜ್ಞಾನಗಳ ಅಳತೆಗಳಲ್ಲಿ ಎದುರಾಗುವ ಪರಿಮೇಯ ಪರಿಮಾಣಗಳಿಗೆ (ರ್ಯಾಷನಲ್ ಕ್ವಾಂಟಿಟೀಸ್) ಮಾತ್ರ ಗಣಿತವನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಿದರೆ ಬಹಳಷ್ಟು ಚರರಾಶಿಗಳಿಗೆ ಬಹಳಷ್ಟು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಪರಿಮಿತಿಗಳೇ ದೊರಕದೆ ಪರಿಮಿತಿವಾದದ ಉಪಯುಕ್ತತೆ ತೀವ್ರವಾಗಿ ಕುಂಠಿತವಾಗುವುದು. ಹೀಗಾಗುವುದನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುವುದಕ್ಕಾಗಿಯೇ   ಮುಂತಾದ ಅಪರಿಮೇಯ ಪರಿಮಾಣಗಳನ್ನು ಗಣಿತಜ್ಞರು ಸೃಷ್ಟಿಸಿಕೊಂಡಿರುವುದು. ಅಲ್ಲಿಗೆ ಯಾವುದಾದರೊಂದು ವರ್ಗದ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವೊಂದನ್ನು ರಚಿಸುವಾಗ ಅಂಥ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳಲ್ಲಿ ಎಂದೂ ನೇರವಾಗಿ ಪ್ರವೇಶಿಸದೆ ಇರುವ, ಹಾಗೂ ಅರ್ಥಸ್ಪಷ್ಟತೆಯಿಲ್ಲದ, ಅನೇಕ ಆದರ್ಶ ಧಾತುಗಳನ್ನು (ಐಡಿಯಲ್ ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್‌) ಆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ತಂದಿಡುವ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಮಿತಿವಾದಿ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಹೇಗೂ ವಹಿಸಿಕೊಂಡೇ ಇದ್ದಾರೆಂದಾಯಿತು. ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ರಚನೆಯ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲ ಗಣಿತಜ್ಞರೂ ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವ ಏಕಮಾತ್ರ ನಿರ್ಣಾಯಕವೆಂದರೆ ರಚಿಸಿದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಆಂತರಿಕ ಅಸಮಂಜಸತೆಗಳಿರಬಾರದೆಂಬುದಷ್ಟೆ. ಹಾಗಿದ್ದ ಮೇಲೆ ಅಸಮಂಜಸತೆಗಳು ಅಂತರಿಕವಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸದೆ ಇರುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದೊಳಗೆ ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮಗಳನ್ನು ಸಹ ತಂದಿಡುವುದಕ್ಕೆ ಅಡ್ಡಿಯೇನು? ಈ ಹೊಸ ಜಾಡಿನಲ್ಲಿ ಚಿಂತನೆ ನಡೆಸಿದ ಅಬ್ರಹಾಂ ರಾಬಿನ್ಸನ್ ಎಂಬಾತ ನಾನ್ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಅನ್ಯಾಲಿಸಿಸ್ ಎಂಬ ನೂತನ ಸಿದ್ಧಾಂತವೊಂದನ್ನು ೧೯೬೧ರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿದ. ಅದು ಲೀಪ್ನಿಟ್ಸ್‌ ಸೂಚಿಸಿದ್ದ ಮಾದರಿಯ ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮಗಳ ಸಮಂಜಸತೆಯನ್ನು ಎತ್ತಿಹಿಡಿದು ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ತನ್ನ ಬೆಳೆವಣಿಗೆಗೆ ಅಪರಿಮೇಯ ಆಶ್ರಯಿಸಬಹುದಾದರೆ ಅವುಗಳೊಂದಿಗೆ ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮಗಳನ್ನು ಸಹ ಕನಿಷ್ಠಪಕ್ಷ ಅಷ್ಟೇ ಲಾಭದಾಯಕವಾಗಿ ಆಶ್ರಯಿಸಬಹುದೆಂದು ತೋರಿಸಿಕೊಟ್ಟಿದೆ.  
ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಔಪಚಾರಿಕ ನಿರೂಪಣೆ : ರಾಬಿನ್ಸನ್ನನ ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮಗಳಿಗೆ ಪರಿಮಿತಿಗಳಿಗಿಂತಲೂ ದೀರ್ಘತರ ತಾಂತ್ರಿಕ ಪೂರ್ವಸಿದ್ಧತೆಗಳು ಅವಶ್ಯವಾಗುತ್ತವೆ. ಪ್ರಸಕ್ತ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಈ ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮಗಳನ್ನಾಗಲಿ ಪರಿಮಿತಿಗಳನ್ನಾಗಲಿ ನೇರವಾಗಿ ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳದೆ ಬೇರೆ ಒಂದು ಸ್ಥೂಲ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಕೆಲ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳನ್ನು ಗ್ರಹಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಲಾಗುವುದು. ನಾವು ಅನುಸರಿಸುವ ಮಾರ್ಗ ಹೆಚ್ಚು ಕಡಿಮೆ ಪರಿಮಿತಿಗಳ ಪ್ರಯೋಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅವಕಲನಶಸ್ತ್ರದ ಔಪಚಾರಿಕ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿಯೇ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಅರ್ಥವಿವರಣೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಬೇಕು. ಚಿ, ಂ ಗಳು ಎರಡು ಸ್ಥಿರ ಸಾಂತ (ಫೈನೈಟ್) ಪರಿಮಾಣಗಳೆಂದೂ ಚಿ<ಂ ಎಂದೂ ಭಾವಿಸಿ.  ಮಾದರಿಯ ಅಸಮತ್ವಗಳಿಗೆ ಸರಳ ಸಾಂತ ಅಂತರಗಳು (ಫೈನೈಟ್ ಲೀನಿಯರ್ ಇಂಟರ್ವಲ್ಸ್‌) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಇಂಥ ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಅಸಮತ್ವವನ್ನು ಎಂಬ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತನಾಮದಿಂದ ಕರೆಯೋಣ. ಅಸಮತ್ವಕ್ಕೆ ಣ ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆ ಬದ್ಧವಾಗಿದ್ದಾಗ  ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಣ ಇದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. (ಇಂಥ ಹೇಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಣ ಗೆ ಬದಲು ಬೇರಾವುದಾದರೂ ಒಂದು ಸಂಕೇತವನ್ನು ಆದೇಶಿಸಬಹುದು; ಹಾಗೆ ಮಾಡಿದಾಗ ರಲ್ಲಿರುವ ಣ ಯನ್ನು ಸಹ ಆ ಹೊಸಸಂಕೇತಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಬೇಕಾಗುವುದು.) ರಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಣ ಗೂ ಅನುರೂಪವಾಗಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ x(ಣ)ಯನ್ನು ಗೊತ್ತುಮಾಡಿಕೊಡುವ ಯಾವುದೇ (x ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುವ) ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಉತ್ಪನ್ನವೆನಿಸಿಕೊಳ್ಳ ಬಲ್ಲುದು. ಇಲ್ಲಿ x(ಣ) ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿರಬೇಕೆಂದು ತಿಳಿಸಿರುವುದರ ಅಭಿಪ್ರಾಯ ಣ=u ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ ಕಡ್ಡಾಯವಾಗಿ x(ಣ)=x(u) ಕೂಡ ಆಗತಕ್ಕದ್ದು ಎಂದು. ಈಗ ವರ್ಣಿಸಿರುವಂಥ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಅಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯೆ ಮಾಡಲಾಗಿರುವ ಏಕಚರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ (ಫಂಕ್ಷನ್ಸ್‌ ಆಫ್ ಒನ್ ವೇರಿಯಬಲ್). x(ಣ)ಗೆ ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ x ಬಿಂಬ (x-ಇಮೇಜ್) ಅಥವಾ x ಉತ್ಪನ್ನದ ಣ ಬೆಲೆ [ಣ ವ್ಯಾಲ್ಯೂ] ಎಂದು ಹೆಸರು. ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಈ ಬಿಂಬಸಂಕೇತ x(ಣ) ಯನ್ನೇ x(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನವೆಂದು ಸಡಿಲವಾಗಿ ವರ್ಣಿಸುವುದು ವಾಡಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಬೇಳೆ  ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಣ ಇರುವಾಗಲೆಲ್ಲ *ದಲ್ಲಿ x(ಣ) ಇರುವಂತೆ ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಸರಳ ಸಾಂತಾಂತರ *ವನ್ನು ಗೊತ್ತುಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಬಹುದು; ಹಾಗಿದ್ದರೆ  ರಲ್ಲಿ x ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಮೇರೆಯಿದೆ (ಬೌಂಡೆಡ್) ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಿರುವಾಗ * ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಜಿ ಎಂಬ (ಪ್ರಾಯಶಃ ಬೇರೊಂದು) ಉತ್ಪನ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಜಿox ಎಂದು ಸೂಚಿಸಬಹುದಾದ ಮೂರನೆಯ ಉತ್ಪನ್ನವೊಂದನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯೆ ಮಾಡಲಾಗುವುದು:
ಜಿox(ಣ) = ಜಿ(x(ಣ))
ಜಿox ಗೆ ಜಿ ಮತ್ತು x ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಸಂಯೋಜನೆಯೆಂದು ಹೆಸರು (ಫಂಕ್ಷನ್ ಕಾಂಪೊಸಿûಷನ್). ಇದು ಮತ್ತೆ  ಅಂತರದಲ್ಲೇ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಜಿox ಹಾಗೂ ಜಿ.x ಎಂಬೆರಡು ಉತ್ಪನ್ನ ಸಂಕೇತಗಳಿಗಿರುವ ಭೇದವನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದು ಅಗತ್ಯ: ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿರುವಂತೆ ಜಿox(ಣ)=ಜಿ(x(ಣ)) ಆದರೆ ಜಿ.x(i)=ಜಿ(ಣ).x(ಣ). ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಏಕಚರ ಉತ್ಪನ್ನವೂ ಣ ಯಂಥ ಒಂದೇ ಒಂದು ಚರರಾಶಿಯನ್ನು (ವೇರಿಯಬಲ್) ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ; ಆದರೆ ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಮಟ್ಟದ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಕೂಡ ಎರಡೆರಡು ಚರರಾಶಿಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸುವ ದ್ವಿಚರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಪರಿಚಯ ಅಗತ್ಯ. ಇವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ b,ಃ,ಛಿ,ಅ ಗಳು ಸಹ ಚಿ,ಂ ಗಳಂತೆಯೇ ಸ್ಥಿರ ಸಾಂತ ಪರಿಮಾಣಗಳೆಂದೂ ಚಿ<ಂ ಜೊತೆಗೆ (bಚಿ+ಛಿ )<(ಃಚಿ+ಅ ) ಹಾಗೂ (bಂ+ಛಿ )< ಃಂ+ಅ ಎಂದೂ ಭಾವಿಸೋಣ.  ಮಾದರಿಯ ಅಸಮತ್ವದ್ವಯಗಳಿಗೆ_ಇಲ್ಲವೆ ಈ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಗೋಚರಿಸುವ ನಾಲ್ಕು ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಪೈಕಿ ಕೆಲವನ್ನಾಗಲಿ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಆಗಲಿ <ರೂಪಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುವುದರಿಂದ ಫಲಿಸುವ ಇತರ ಹದಿನೈದು ಮಾದರಿ ಅಸಮತ್ವದ್ವಯಗಳಿಗೆ_ತ್ರಾಪಿಜ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಾಂತಾಂತರಗಳೆಂದು ಹೆಸರು (ಫೈನೈಟ್ ಟ್ರೆಪಿeóÁಯ್ಡಲ್ ಇಂಟರ್ವಲ್ಸ್‌). ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಇಂಥ ಯಾವುದಾದರೂ ತ್ರಾಪಿಜ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಾಂತಾಂತರವನ್ನು ಎಂಬ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ನಾಮದಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ.  ಒಳಗೊಳ್ಳುವ ಎರಡು ಅಸಮತ್ವಗಳಿಗೆ ಯಾವುದಾದರೂ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆ ಣ ಮತ್ತು h ಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಬದ್ಧವಾಗಿದ್ದರೆ (ಣ;h ) ಎಂಬ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಕ್ರಮ ಜೋಡಿ  ಅಂತರದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. (ಇಂಥ ಹೇಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಣ ಮತ್ತು h ಗಳಿಗೆ ಬದಲು ಬೇರಾವುದಾದರೂ ಎರಡು ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಆದೇಶಿಸಬಹುದು; ಹಾಗೆ ಮಾಡಿದಾಗ ರಲ್ಲಿರುವ ಣ,h ಗಳನ್ನು ಕೂಡ ಆ ಹೊಸ ಸಂಕೇತಗಳಿಗೆ ಬದಲಿಸಬೇಕು.) ರಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಕ್ರಮ ಜೋಡಿ (ಣ;h) ಗೂ ಅನುರೂಪವಾಗಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ  (ಣ;h )ಅನ್ನು ಯಾವುದಾದರೊಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಯ ಮುಖಾಂತರ ಗೊತ್ತುಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ ಆ  ವ್ಯವಸ್ಥೆ  ಅಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಾಗಿರುವ ಒಂದು ದ್ವಿಚರ ಉತ್ಪನ್ನವೆನಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಗೆ (ಣ;h) ಜೋಡಿಯ -ಬಿಂಬ ಅಥವಾ  ಉತ್ಪನ್ನದ (ಣ;h)-ಬೆಲೆ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಅನೇಕ ವೇಳೆ ಈ ಬಿಂಬ ಸಂಕೇತ ಅನ್ನೇ  ಉತ್ಪನ್ನವೆಂದು ಸಡಿಲವಾಗಿ ವರ್ಣಿಸುವುದುಂಟು. ಅಂತರದಲ್ಲಿ (ಣ;h) ಇರುವಾಗಲೆಲ್ಲ *ದಲ್ಲಿ  ಇರುವಂತೆ ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಸರಳ ಸಾಂತಾಂತರ * ವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಾದರೆ ರ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಮೇರೆಯಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಈಗ   ಮತ್ತು * ಗಳು ಯಾವುದಾದರೂ ಎರಡು ತ್ರಾಪಿಜ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಾಂತಾಂತರಗಳೆಂದೂ ರಲ್ಲಿ  ಮತ್ತು  ಎಂಬೆರಡು ದ್ವಿಚರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಗಿವೆಯೆಂದೂ * ದಲ್ಲಿ  ಎಂಬ ದ್ವಿಚರ ಉತ್ಪನ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆಯೆಂದೂ ಭಾವಿಸಿ.  (ಣ;h) ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಕ್ರಮ ಜೋಡಿ  ರಲ್ಲಿರುವಾಗಲೆಲ್ಲ  ಜೋಡಿ * ದಲ್ಲಿರುವ ಪಕ್ಷಕ್ಕೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುವ ಮೂರು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯೊಂದನ್ನು (ಟ್ರಿಪಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಕಾಂಪೊಸಿûಷನ್) ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಮೂಲಕ  ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತೆ  ಅಂತರದಲ್ಲೇ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅಗತ್ಯ ತೋರಿದಲ್ಲಿ ಏಕಚರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ದ್ವಿಚರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳೆಂದೇ ಪರಿಗಣಿಸಲು ಶಕ್ಯವಿದೆ. ಏಕೆಂದರೆ  ಎಂಬುದು ಣ ಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸುವ ಒಂದು ಏಕಚರ ಉತ್ಪನ್ನವಾದಲ್ಲಿ hನ ಬೆಲೆ ಏನೇ ಆಗಿರಲಿ  ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯೆಮಾಡಿ ಯೊಂದಿಗೆ ಐಕ್ಯವಾಗುವ ದ್ವಿಚರ ಉತ್ಪನ್ನ  ಅನ್ನು ರೂಪಿಸಬಹುದು. ಮೇಲಿನ ಮೂರು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ  ಒಂದು ಏಕಚರ ಉತ್ಪನ್ನವಾದರೆ

ಆಗುವುದು. ಕೊನೆಯದಾಗಿ, ಹೇಗೆ ಏಕಚರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ದ್ವಿಚರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದೋ ಅಂತೆಯೇ ಸ್ಥಿರಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಅಗತ್ಯವಿರುವೆಡೆ ಏಕಚರ ಆಥವಾ ದ್ವಿಚರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಶಕ್ಯತೆಯಿದೆ. ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಗಳೆಂಬ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವರ್ಗದ ದ್ವಿಚರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಮೂಲಸಾಧನವನ್ನಾಗಿ ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.  ಉತ್ಪನ್ನ  ಎಂಬ ತ್ರಾಪಿಜ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಾಂತಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆಯೆಂದು ಭಾವಿಸಿ. ಟಿ ಎಂಬ ಚರ ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಧನ ಪುರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಿ. ಕೆಲ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇಂಥ ಪ್ರತಿ ಟಿ ಗೂ ಅನುರೂಪವಾಗಿ ಇದೀಗ ತಿಳಿಸಲಿರುವ ವಿಶೇಷ ನಿಬಂಧನೆಯೊಂದಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವಂತೆ ಇನ್ನೊಂದು ಧನಪುರ್ಣಾಂಕ m ಅನ್ನು ಗೊತ್ತುಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಬಹುದು.  ಅಂತರದಲ್ಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಕ್ರಮ ಜೋಡಿ (ಣ;h)ನಲ್ಲಿ ಣ ಯ ಬೆಲೆಯೇನೇ ಆಗಿದ್ದಾಗ್ಯೂ h ಸಂಖ್ಯೆ
(–೧/m) < h< (೧/m) ಅಸಮತ್ವಕ್ಕೆ ಬದ್ಧವಾಗಿರುವಾಗಲೆಲ್ಲ
(–೧/ಟಿ) <  (ಣ;h) < (೧/ಟಿ) ಆಗಬೇಕೆಂಬುದೇ ಈ ನಿಬಂಧನೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಸರಿಯೊಂದುವಂತೆ ಒಂದೊಂದು ಧನ ಪುರ್ಣಾಂಕ ಟಿ ಗೂ ಒಂದೊಂದು ಅನುರೂಪಪುರ್ಣಾಂಕ m ಅನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಾದರೆ  ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಣ-ಏಕರೀತಿ h-ಸಾಪೇಕ್ಷ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆಯೆಂದು (ಇನ್ ಫಿನಿಟೆಸಿಮಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ರಿಲೆಟಿವ್ ಟು h ಅಂಡ್ ಯೂನಿಫಾರ್ಮ್ ಇನ್ ಣ) ವರ್ಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸಂದಿಗ್ಧತೆಗಳ ಸಂಭವವಿಲ್ಲದಿರುವಾಗ ಈ ಉದ್ದನೆಯ ವರ್ಣನೆಯನ್ನು ಕೇವಲ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿ ಎಂದು ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಲು ಅಡ್ಡಿಯಿಲ್ಲ. ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ (ರಿಯಲ್ ನಂಬರ್ಸ್) ಆಯಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ  ಉತ್ಪನ್ನ ಒಂದು h-ಸಾಪೇಕ್ಷ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಯಾದಾಗ (ಣ;೦) ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಕ್ರಮಜೊಡಿ ರಲ್ಲಿರುವಾಗಲೆಲ್ಲ  ಆಗಲೇಬೇಕೆಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. (ರಾಬಿನ್ ಸನ್ನನ ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳುವ ಸಂಖ್ಯಾವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ; ಪ್ರಸಕ್ತ ವಿವೇಚನೆ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಸಂಖ್ಯಾವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಮಾತ್ರ ಸೀಮಿತವಾದ್ದು.)  ಅಮತರದಲ್ಲಿ  ಉತ್ಪನ್ನವೂ * ಅಂತರದಲ್ಲಿ  ಉತ್ಪನ್ನವೂ ಣ-ಏಕರೀತಿ h-ಸಾಪೇಕ್ಷ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಗಳಾದ ಪಕ್ಷಕ್ಕೆ ಮೂರು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸಂಯೋಜನೆ  ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿರುವಾಗಲೆಲ್ಲ ಮತ್ತೆ  ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಣ-ಏಕರೀತಿ h-ಸಾಪೇಕ್ಷ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಯಾಗುವುದೆಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಮರ್ಥಿಸಬಹುದು. ಈಗ  ಅಂತರದಲ್ಲಿ  ಎಂಬ ನಾಲ್ಕು ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಾಗಿವೆಯೆಂದೂ ಅಲ್ಲಿ ಇವುಗಳ ಪೈಕಿ ಗೂ ಕ್ಕೂ ಮೇರೆ ಇದೆಯೆಂದೂ  ಮತ್ತು ಗಳು (ಣ-ಏಕರೀತಿ h-ಸಾಪೇಕ್ಷ) ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಗಳೆಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ  ಮತ್ತು  ಎಂಬೆರಡು ಉತ್ಪನ್ನಗಳೂ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಗಳೇ ಆಗುತ್ತವೆ.  
ಅಂತರದಲ್ಲಿ  ಉತ್ಪನ್ನ ಯಾವುದಾದರೊಂದು (ಣ-ಏಕರೀತಿ h-ಸಾಪೇಕ್ಷ) ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಯಾದರೆ ಅದೇ ಅಂತರದಲ್ಲಿ  ರೂಪದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು (ಣ-ಏಕರೀತಿ h-ಸಾಪೇಕ್ಷ) ಶೂನ್ಯಸ್ಪರ್ಶಿಗಳೆಂದು (ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ಸ್‌ ಟು ಜಿûೕರೊ) ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಪ್ರತಿ ಶೂನ್ಯಸ್ಪರ್ಶಿಯೂ ಒಂದು ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಯೇ. ಆದರೆ ಎಲ್ಲ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಗಳೂ ಶೂನ್ಯಸ್ಪರ್ಶಿಗಳಲ್ಲ. ಈಗ ರಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಾಗಿರುವ  ಮತ್ತು  ಎಂಬ ಯಾವುದಾದರೂ ಎರಡು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ  ಅಲ್ಲಿ ಣ-ಏಕರೀತಿ h-ಸಾಪೇಕ್ಷ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಯಾದರೆ
         		
ಎಂದೂ ಆ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಒಂದು ಣ-ಏಕರೀತಿ h-ಸಾಪೇಕ್ಷ ಶೂನ್ಯಸ್ಪರ್ಶಿಯಾದರೆ

ಎಂದೂ ಬರೆಯೋಣ. ಯಾವುದೇ ಉತ್ಪನ್ನವಾದರೂ ~ ಆಗುವುದು. ~ ಆದಾಗ  ~  ಸಹ ಆಗುತ್ತದೆ. ~ ಮತ್ತು ~ಈ(ಣ;h) ಆದರೆ ~ಈ(ಣ;h) ಆಗುವುದು. ಈ(ಣ;h) ಹಾಗೂ ಈ*(ಣ;h) ಇವೆರಡಕ್ಕೂ ಮೇರೆಯಿದ್ದರೆ ~ ಮತ್ತು *(ಣ;h)~*(ಣ;h) ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ 
		
ಆಗುತ್ತದೆ.  ಹಾಗೂ ಗಳಿಗೆ ಮೇರೆಯಿದ್ದರೆ ~ ಮತ್ತು ~ ಆದಾಗ

ಆಗುವುದು. ಅಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲ. ಈ ಐದು ಪ್ರಮೇಯಗಳಲ್ಲಿ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ~ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು   ಚಿಹ್ನೆಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಲೂ ಬಹುದು.   ಮತ್ತು  ಎಂಬರೆರಡು ಏಕಚರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ದ್ವಿಚರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದಾಗ ಅವು ~ ಅಥವಾ  ಆಗುವಂತಿದ್ದರೆ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ  ಆಗಬೇಕಾಗುವುದು. ಇವೆಲ್ಲ ಪ್ರಮೇಯಗಳೂ ಯಾವುದಾದರೊಂದು ತ್ರಾಪಿಜ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಂತಾಂತರ ಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ. ಈಗ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ  ಎಂಬ ಅಂತರವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ. ಇದರಲ್ಲಿ   ಆಗುವುದಾದರೆ   ಆಗುವಂತೆ ಒಂದು ಸ್ಥಿರಸಾಂತ ಸಂಖ್ಯೆ ವನ್ನು ಗೊತ್ತುಮಾಡಬಹುದೆಂಬ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವೊಂದಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಕೋಶಿಯ ವಿಸ್ತೃತ ಅಭಿಸರಣ ತತ್ತ್ವ (ಎಕ್ಸ್‌ ಟೆಂಡೆಡ್ ಪ್ರಿನ್ಸಿಪಲ್ ಆಫ್ ಕನ್ವರ್ಜೆನ್ಸ್‌) ಎಂದು ಹೆಸರು; ಮುಂದೆ ಸಮಾಸಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.
ಇಷ್ಟು ಪೀಠಿಕೆಯ ಬಳಿಕ ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ನಿರೂಪಣೆಯನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲು ಸಿದ್ಧರಾಗಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಉಪವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಇನ್ನು ಮುಂದೆಲ್ಲ  ಅಂದರೆ  ಎಂದೂ  ಅಂದರೆ   ಎಂದೂ ಭಾವಿಸಲಾಗುವುದು. ರಲ್ಲಿ ಜಿ(ಣ) ಎಂಬ ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಏಕಚರ ಉತ್ಪನ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲ್ಲಿ. ರಲ್ಲಿ
    				 ...[೪]
ಆಗುವುದಾದರೆ ರಲ್ಲಿ ಜಿ(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನ ಏಕರೀತ್ಯಾ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನವಾಗಿದೆ. (ಯೂನಿಫಾಮಿರ್ಲ್‌ ಕಂಟಿನ್ಯೂಯಸ್) ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಇಂಥ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ರಲ್ಲಿ ಕಡ್ಡಾಯವಾಗಿ ಮೇರೆಯಿತ್ತದೆಂದು ಸಾಧಿಸಬಹುದು. ಈ ಹಿಂದೆ ಜಿ’(ಣ) ನಿಷ್ಟನ್ನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು 
ಜಿ(ಣ+h)=ಜಿ(ಣ)+hಜಿ’(ಣ)
ಎಂಬ ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮೀಕರಣದ ಮುಖಾಂತರ ರೂಪಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದೆವಷ್ಟೆ. ಇಲ್ಲಿರುವ = ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು  ಚಿಹ್ನೆಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದರ ಮೂಲಕ ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮತ್ವಗಳ ಸಡಿಲತೆಯಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಗೊಂದಲಗಳೆಲ್ಲವನ್ನೂ ನಿವಾರಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಈಗ ನಿಷ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಮಾರ್ಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳತ್ತೇವೆ:  ಅಂತರದಲ್ಲಿ 
	                     ... [೫]
ಆಗುವಂತೆ ಜಿ’(ಣ) ಎಂಬ ಒಂದು ಏಕಚರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಗೊತ್ತುಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಾದರೆ ಆ ಜಿ’ ಉತ್ಪನ್ನ ರಲ್ಲಿ ಜಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಏಕರೀತಿ ನಿಷ್ಟನ್ನವೆನಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು (ಯೂನಿಫಾರ್ಮ್ ಡಿರೈವೆಟಿವ್). [ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಾಗಲೀ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಇಂಥ ಜಿ’(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು] ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಜಿ(ಣ )=ಜಿ೩ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ. ಆಗ

ಇಲ್ಲಿ ೩ಣh+h೨ ಎಂಬುದು ಯಾವುದೇ  ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಣ-ಏಕರೀತಿ h-ಸಾಪೇಕ್ಷ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಯಾದ್ದರಿಂದ h(೩ಣh+h೨) ಎಂಬುದು ಅದೇ ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಣ-ಏಕರೀತಿ h-ಸಾಪೇಕ್ಷ ಶೂನ್ಯಸ್ಪರ್ಶಿ. ಅಲ್ಲಿಗೆ 

ಎಂದಾಯಿತು. ಇದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ರಲ್ಲಿ  ಎಂಬ ಉತ್ಪನ್ನ  ಉತ್ಪನ್ನದ ಏಕರೀತಿ ನಿಷ್ಟನ್ನವೆಂದು ಸಿದ್ಧಪಡುವುದು. ಪ್ರಸಕ್ತ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಈಗ ಹೇಳಿರುವಂಥ ಏಕರೀತಿ ನಿಷ್ಪನ್ನಗಳ ಹೊರತಾಗಿ ಬೇರಾವ ಬಗೆಯ ನಿಷ್ಪನ್ನಗಳನ್ನೂ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಎಚ್ಛೆಪಟ್ಟಲ್ಲೆಲ್ಲ ಏಕರೀತಿ ಎಂಬ ವಿಶೇಷಣವನ್ನು ಅಧ್ಯಾಹಾರಗೊಳಿಸಲು ಯಾವ ಅಡ್ಡಿಯೂ ಇಲ್ಲ. ಕೆಲವು ಮುಖ್ಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿಷ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ನಮೂದಿಸಲಾಗಿದೆ.
			(ಏಕ ರೀತಿ)
    ಉತ್ಪನ್ನ ಜಿ(ಣ)	ಸಾಂತಾಂತರ  	ನಿಷ್ಪನ್ನ ಜಿ’(ಣ)
  	೧	೨	೩
	ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆ ಞ 	ಚಿ,b ಯಾವ ಸ್ಥಿರಸಾಂತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 	೦
		ಬೇಕಾದರೂ ಆಗಬಹುದು         
 		“	
	ಞ>೦ ಆದಾಗ 	“	                             
	ಣ ರೇಡಿಯನ್ ಮಾನದಲ್ಲಿ	“	ಛಿosಣ
	ದ್ದಾಗ siಟಿಣ
	ಣ ರೇಡಿಯನ್ ಮಾನದಲ್ಲಿ	“	-siಟಿಣ
      ದ್ದಾಗ ಛಿosಣ
ಞ ಧನ ಪುರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗ	“	
        
     ಞ>೧ ಆದಾಗ 	 ಆಗಬೇಕು   	
     ಞ>೧ ಆದಾಗ  	 ಆಗಬೇಕು 	
ಞ>೦ ಆದಾಗ ಟoge ಞ  ಣ              “      	೧/ಣ
ಞ>೦ ಆದಾಗ ಟogeಞ  ಣ 	 ಆಗಬೇಕು 	-೧/ಣ
ಣ ರೇಡಿಯನ್ ಮಾನದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ  ಯಾವುದಾದರೊಂದುಪುರ್ಣಾಂಕ
	 ಣಚಿಟಿಣ	ಟಿಗೆ 	seಛಿ೨ಣ
		 ಆಗಬೇಕು
 ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಉತ್ಪನ್ನ ಜಿ(ಣ)ಗೆ ಏಕರೀತಿ ನಿಷ್ಪನ್ನ ಜಿ’(ಣ) ಇರುವುದಾದರೆ ಜಿ’(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನ ರಲ್ಲಿ ಕಡ್ಡಾಯವಾಗಿ ಏಕರೀತ್ಯಾ ಅವಿಚ್ಛಿವನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ರಲ್ಲಿ ಜಿ’(ಣ) ಗೆ ಮೇರೆ ಇರುತ್ತದೆ. ತತ್ಫಲವಾಗಿ hಜಿ’(ಣ) ಒಂದು ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಯಾಗುವ ಕಾರಣ ಜಿ(ಣ) ಕೂಡ  ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಏಕರೀತ್ಯಾ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನವಾಗಿರಬೇಕೆಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ಮನಗಾಣಬಹುದು. ಈಗ  ಅಂತರದಲ್ಲಿ x(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ x’(ಣ) ಎಂಬ ಏಕರೀತಿ ನಿಷ್ಪನ್ನವೂ ಪ್ರಾಯಶಃ ಇನ್ನಾವುದಾದರೊಂದು * ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಜಿ(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಜಿ’(ಣ) ಎಂಬ ಏಕರೀತಿ ನಿಷ್ಪನ್ನವೂ ಇವೆಯೆಂದು ಭಾವಿಸಿ. ಇಂಥ ಸಂದರ್ಭವಿರುವಾಗ ಜಿ o x(ಣ)=ಜಿ(x)ಣ ಉತ್ಪನ್ನ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯೆಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಾದರೆರಲ್ಲಿ ಜಿ o x(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೂ (ಏಕರೀತಿ) ನಿಷ್ಪನ್ನವಿರುತ್ತದೆಂದೂ ಆ ನಿಷ್ಪನ್ನ x’(ಣ). ಜಿ o x(ಣ) ಗೆ ಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆಂದೂ ಸಾಧಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಿಷ್ಪನ್ನಗಳವ್ಯಾಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಕಾರ  ಅಂತರದಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಶೂನ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಿ ಗೆ ಹಾಗೂ ಅನುರೂಪ * ಅಂತರದಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೋ ಒಂದು ಶೂನ್ಯಸ್ಪರ್ಶಿ  ಗೆ
	 ಮತ್ತು
	=ಜಿ(ಣ)+hಜಿ’(ಣ)+h.
ಆಗಬೇಕು. ಈ ನಿತ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೇರೆಗೆ

ಎಂದು ಬರೆದರೆ  ಅಂತರದಲ್ಲಿ
ಜಿ o x (ಣ+h)=ಜಿ o x (ಣ)+h.x’(ಣ).ಜಿ’ ೦ x (ಣ)+h.(ಣ;h)
ಆಗುವುದೆಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ತಾಳೆನೋಡಬಹುದು. ಇದೇ ಅಂತರದಲ್ಲಿ  ಒಂದು ಣ-ಏಕರೀತಿ h-ಸಾಪೇಕ್ಷ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಯೆಂದು ಮನಗಾಣುವುದೂ ಸುಲಭವೇ. ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದು ಶೂನ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಿಯಾಗಿ ಪರಿಣಮಿಸಿ ರಲ್ಲಿ
ಜಿ o x (ಣ+h)  ಜಿ o x (ಣ)+h.x’(ಣ)’.ಜಿ’ o x(ಣ)
ಎಂದು ಸಿದ್ಧಪಡುತ್ತದೆ. ಇದೇ ನಾವು ಅಪೇಕ್ಷಿಸಿದ ಫಲಿತಾಂಶ. ಸಂಕೇತಗಳಲ್ಲಿ
[ ಜಿ o x]’ =x’.ಜಿ’ o x                           		...[೬]
ಮತ್ತು ಈಗ  ಅಂತರದಲ್ಲಿ x(ಣ) ಹಾಗೂ ಥಿ(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ x’(ಣ) ಮತ್ತು ಥಿ’(ಣ) ಎಂಬ ಏಕರೀತಿ ನಿಷ್ಪನ್ನಗಳಿವೆಯೆಂದೂ ಞ, ಟಗಳು ಯಾವುದಾದರೂ ಎರಡು ಸ್ಥಿರ ಸಾಂತ ಪರಿಮಾಣಗಳೆಂದೂ ಭಾವಿಸೋಣ. ಇಂಥ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ 
 ಹಾಗೂ [ಞ.x+ಟ.ಥಿ](ಣ)=ಞ.x(ಣ)+ಟ.ಥಿ(ಣ)
ಎಂಬೆರಡು ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೂ ಏಕರೀತಿ ನಿಷ್ಪನ್ನಗಳಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು; ಆ ನಿಷ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳು ಇವು: 
[x.ಥಿ]’ =x’.ಥಿ+x.ಥಿ’               	                           	...[೭]
[ಞ.x+ಟ,ಥಿ]’ =ಞ.x’+ಟ.ಥಿ’                                         ...[೮]
I೧ ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಣ ಇರುವಾಗಲೆಲ್ಲ  ಆಗುವಂತೆ ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಧನಸಂಖ್ಯೆ ಠಿ ಯನ್ನು ಗೊತ್ತುಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿದ್ದರೆ [ಥಿ/x](ಣ)=ಥಿ(ಣ)/x(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೂ ಕೆಳಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿರುವ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಏಕರೀತಿ ನಿಷ್ಪನ್ನವಿರುತ್ತದೆ:
[ಥಿ/x]’ =[ಥಿ’x-ಥಿx’]/x೨                                          ...[೯]
[೭], [೮] [೯] ಸೂತ್ರಗಳ  ಸಾಧನೆಗಳನ್ನು ಓದುಗರ ಅಭ್ಯಾಸಕ್ಕಾಗಿ ಬಿಡಲಾಗಿದೆ. ವ್ಯವಹಾರದಲ್ಲಿ ನಿಷ್ಪನ್ನಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕೆ [೬], [೭], [೮], [೯] ಸೂತ್ರಗಳ ನೆರವು ಅತ್ಯಮೂಲ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ.
I೧ ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಥಿ(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಏಕರೀತಿ ನಿಷ್ಪನ್ನ ಥಿ’(ಣ) ಇದ್ದರೆ I೨ ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಜಥಿ ಎಂಬ ದ್ವಿಚರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಾವು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುತ್ತೇವೆ:
  ಜಥಿ(ಣ;h)=h.ಥಿ’(ಣ)                                                                                                           ...[೧೦]
ಇಡೀ ಜಥಿ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನ ಸಂಕೇತ; ಅದು ಜ ಮತ್ತು ಥಿ ಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವೆಂದು ಭಾವಿಸಬಾರದು. ಈ ಜಥಿಗೆ ಥಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅವಕಲವೆಂದು (ಡಿಫರೆನ್ಷಲ್) ಹೆಸರು. ಇದೊಂದು ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಯೆಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಸುಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ
   ಜಥಿ(ಣ;h)  ಥಿ(ಣ+h)-ಥಿ(ಣ)                                                                 ...[೧೧]
ಈಗ ಥಿ ಎಂಬುದು I* ಮತ್ತು I೧ ಅಂತರಗಳಲ್ಲಿ ನಿಷ್ಪನ್ನಗಳಿರುವ ಜಿ ಮತ್ತು x ಎಂಬ ಇನ್ನೆರಡು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿರಲಿ: ಅಂದರೆ ಥಿ=ಜಿ o x ಅಥವಾ ಥಿ(ಣ)=ಜಿ(x(ಣ). ಸೂತ್ರ [೬]ರ ಮೇರೆಗೆ
		ಜಥಿ(ಣ;h)=h.ಥಿ’(ಣ)=h. x’(ಣ).ಜಿ’ o x(ಣ)
ಆದರೆ ಸೂತ್ರ   [೧೦]ರಂತೆ h.x’(ಣ)=ಜx(ಣ;h).   ಆದ್ದರಿಂದ
ಜಥಿ(ಣ;h)=ಜx(ಣ;h).ಜಿ’o x(ಣ)     ಅಥವಾ
ಜ ಜಿ o x(ಣ;h)=ಜx(ಣ;h).ಜಿ’ o x(ಣ)			. . . [೧೨]
ಇದರಿಂದ   ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ
ಜಿ’ o x(ಣ)=ಜಥಿ(ಣ;h)/ಜx(ಣ;h)=[ಜಥಿ/ಜx] (ಣ;h)                   ...[೧೩]
ಎಂದು ಗೊತ್ತಾಗುವುದು. ಜಿ’ o x(ಣ)=ಜಿ’(x(ಣ) ಯನ್ನು ಥಿ=ಜಿ o x ಉತ್ಪನ್ನದ x-ಸಾಪೇಕ್ಷ ನಿಷ್ಪನ್ನ (ಡಿರೈವೆಟಿವ್ ಆಫ್ ಥಿ ವಿತ್ ರೆಸ್ಟೆಕ್ಟ್‌ ಟು x) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.  ಆದಾಗ ಏಕಚರ ಉತ್ಪನ್ನವಾದ ಈ x- ಸಾಪೇಕ್ಷ ನಿಷ್ಪನ್ನ ದ್ವಿಚರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾದ ಎರಡು ಅವಕಲಗಳ ಭಾಗಲಬ್ದ [ಜಥಿ/ಜx] ಗೆ ಸಮವಿರುತ್ತದೆಂಬ ಮೇಲಿನ ಫಲಿತಾಂಶ [೧೩] ಗಮನಾರ್ಹವಾದ್ದು; ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಇಂದು ಸಾಕಷ್ಟು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಪ್ರಚಲಿತವಿರುವ ನಿಷ್ಪನ್ನಸೂಚಕ  ಸಂಜ್ಞಾಪದ್ಧತಿಗೆ ಇದೇ ಮೂಲಾಧಾರ. [೧೧] ಮತ್ತು [೧೨]ನೆಯ ಸೂತ್ರಗಳು ಮುಂದೆ ಸಮಾಸಕಲನ ಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ತುಂಬ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗುತ್ತವೆ.  
ಜಿ(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನದ ಏಕರೀತಿ ನಿಷ್ಪನ್ನ ಜಿ’(ಣ)ಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದ್ದಾಯಿತು. ಈಗ ಜಿ’(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೂ ಪುನಃ ಒಂದು ಏಕರೀತಿ ನಿಷ್ಪನ್ನ ಜಿ’’(ಣ) ಇರಬಹುದಷ್ಟೆ ಹಾಗಿದ್ದಲಿ ಜಿ’’(ಣ)ಗೆ ಜಿ(ಣ)ಯ (ಏಕರೀತಿ) ದ್ವಿತೀಯ ನಿಷ್ಪನ್ನ (ಸೆಕೆಂಡ್ ಡಿರೈವೆಟಿವ್) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಜಿ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಇದೇ ಪ್ರಕಾರ ತೃತೀಯ ನಿಷ್ಪನ್ನ ಜಿ’’’(ಣ).ಚತುರ್ಥ ನಿಷ್ಪನ್ನ ಜಿ’’’’(ಣ) ಮುಂತಾದ ಉನ್ನತ ನಿಷ್ಪನ್ನಗಳೂ (ಹೈಯರ್ಡಿರೈವೆಟಿವ್ಸ್‌) ಇರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಜಿ(ಣ)=ಣ೮ ಆಗಿದ್ದರೆ ಜಿ’(ಣ)=೮ಣ೭, ಜಿ’’(ಣ)=೫೬ಣ೬, ಜಿ’’’(ಣ)=೩೩೬ಣ೫, ಜಿ’’’’’’(ಣ)=೧೬೮೦ಣ೪ಇತ್ಯಾದಿ. ಏಕಚರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ನಿಷ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುವಲ್ಲಿ ದ್ವಿಚರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ನೆರವು ಅಗತ್ಯವಾಯಿತು. ಗಣಿತಜ್ಞರು ಅನೇಕ ವೇಳೆ ದ್ವಿಚರ (ಅಥವಾ ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಿನ ಬಹುಚರ) ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ನಿಷ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕೂಡ ಬಳಕೆಗೆ ತರಬೇಕಾಗುವುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಣ ಮತು ಣ* ಎಂಬ ಸ್ವತಂತ್ರ ಚರಗಳನ್ನು (ಇಂಡೆಪರಂಡೆಂಟ್ ವೇರಿಯೆಬಲ್ಸ್‌) ಅವಲಂಬಿಸುವ ಜಿ(ಣ;ಣ*) ಮಾದರಿಯ ದ್ವಿಚರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

ಮುಂತಾದವು ಇಂಥ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ನಿದರ್ಶನಗಳು. ಜಿ(ಣ;ಣ*) ವನ್ನು  ಮಾದರಿಯ ಸಾಂತಾಂತರಗಳಲ್ಲಿ (ಇವನ್ನು ಎ೨ ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ) ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಲಾಗಿದೆಯೆಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದರ ನಿಷ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ  ಮಾದರಿಯ ಸಾಂತಾಂತರಗಳಲ್ಲಿ (ಇವನ್ನು ಎ೪ ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ) ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಾಗುವ  ಮಾದರಿಯ ಚತುಶ್ಚರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ನಾವು ಆಶ್ರಯಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಎ೪ ಅಂತರದಲ್ಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಕ್ರಮಜೋಡಣೆ (ಣ;ಣ*;h;h*) ದಲ್ಲಿ ಣ,ಣ* ಗಳ ಬೆಲೆ ಏನೇ ಆಗಿದ್ದಾಗ್ಯೂ h;h*ಗಳು (-೧/m)<h<(೧/m), (-೧/m)<h*<(೧/m) ಎಂಬೆರಡು ಅಸಮತ್ವಗಳಿಗೆ ಬದ್ಧವಾಗಿರುವಾಗಲೆಲ್ಲ
(-೧/ಟಿ)
ಆಗುವಂತೆ ಪ್ರತಿ ಧನಪುರ್ಣಾಂಕ ಟಿಗೂ ಒಂದು ಅನುರೂಪ ಧನಪುಣಾಂಕ mಅನ್ನು ಗೊತ್ತು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿದ್ದರೆ ಎ೪ರಲ್ಲಿ  ಒಂದು [(ಣ;ಣ*)-ಏಕರೀತಿ, (h;h*)_ಸಾಪೇಕ್ಷ] ಶೂನ್ಯಗಾಮಿ ಎನಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.  ಮತ್ತು  ಗಳೆರಡೂ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಗಳಾದಲ್ಲಿ  ಮಾದರಿಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಶೂನ್ಯಸ್ಪರ್ಶಿಗಳಾಗುತ್ತವೆ. ಶೂನ್ಯಗಾಮಿ ಶೂನ್ಯಸ್ಪರ್ಶಿಗಳನ್ನು ಕುರಿತ ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಅಧರಿಸಿ ಹಿಂದೆ I೨ರಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದಂತೆಯೇ ಈಗ ಎ೪ರಲ್ಲೂ ~ ಮತ್ತು  ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬಳಕೆಗೆ ತರಬಹುದು. ಆ ಬಳಿಕ
ಜಿ(ಣ+h;ಣ*+h*)~ಜಿ(ಣ;h)
ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಸರಿಹೊಂದುವ ಜಿ(ಣ;ಣ*) ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಏಕರೀತ್ಯಾ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನವಾದವೆಂದು ವರ್ಣಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಪುನಃ
ಜಿ(ಣ+h; ಣ*+h*)…..ಜಿ(ಣ;ಣ*)+h. ಜಿ೧(ಣ;ಣ*)+h*.ಜಿ೨(ಣ;ಣ*)
ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವಂತೆ ಜಿ೧(ಣ;ಣ*) ಮತ್ತು ಜಿ೨(ಣ;ಣ*) ಎಂಬೆರಡು ದ್ವಿಚರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನೂ ಎ೨ರ ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಗೊತ್ತುಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಪಕ್ಷಕ್ಕೆ ಈ ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಜಿ(ಣ;ಣ*) ದ ಏಕರೀತಿ ಅಂಶನಿಷ್ಪನ್ನಗಳೆಂದು (ಯೂನಿಫಾರ್ಮ್ ಪಾಷರ್ಯ್‌ಲ್ ಡಿರೈವೆಟವ್ಸ್‌) ನಾಮಕರಣಮಾಡಿ ಜಿ(ಣ;ಣ*) ಉತ್ಪನ್ನ ನಿಷ್ಪನ್ನಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆಯೆಂದು (ಡಿಫರೆನ್ಷಯೆಬಲ್) ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಇದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅವಕಲಉತ್ಪನ್ನ ಜಜಿನ ಅರ್ಥನಿರೂಪಕ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೀಗೆ ಇಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
ಜಜಿ(ಣ;ಣ*;h;h*)=h. ಜಿ೧(ಣ;ಣ*)+h*.ಜಿ೨(ಣ;ಣ*)
ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಜಿ೧(ಣ;ಣ*) ವನ್ನು ಜಿ೧(ಣ;ಣ*) ಅಥವಾ [] (ಣ;ಣ*)  ಎಂದೂ ಜಿ೨(ಣ;ಣ*) ವನ್ನು ಜಿಣ*(ಣ;ಣ*) ಅಥವಾ [] (ಣ;ಣ*) ಎಂದೂ ಬರೆಯುವ ವಾಡಿಕೆಯಿದೆ. ಜಿ(ಣ;ಣ*) ನಿಷ್ಪನ್ನಯೋಗ್ಯವಾಗಿದ್ದಾಗ ಅದರ ಅಂಶನಿಷ್ಪನ್ನ ಜಿ೧(ಣ;ಣ*)ವನ್ನು ಸುಲಭಮಾರ್ಗದಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಜಿ(ಣ;ಣ*) ದಲ್ಲಿ ಣ* ವನ್ನು ತಾತ್ಕಾಲಿಕವಾಗಿ ಒಂದು ಸ್ಥಿರಸಂಖ್ಯೆಯೆಂದೂ ಣಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪ್ರಸ್ತುತ ಚರವೆಂದೂ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಹೀಗೆ ಮಾಡಿದಾಗ ನಮ್ಮ ಕರಗತವಾಗುವ ಏಕಚರ ಉತ್ಪನ್ನ ಜಿ(ಣ;ಣ*)ದ ಮಾಮೂಲು ನಿಷ್ಪನ್ನವೇ ಜಿ೧(ಣ;ಣ*) ಣ* ವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತ ಪ್ರಸ್ತುತ ಚರ. ಣ ಯನ್ನು ತಾತ್ಕಾಲಿಕ ಸ್ಥಿರಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಸದೃಶ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಜಿ೨(ಣ;ಣ*) ವನ್ನೂ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಜಿ(ಣ;ಣ*)=ಣ೨+ಣ*೩-೫ಣ೩ಣ*೨ಆಗಿದ್ದರೆ
ಜಿ೧(ಣ;ಣ*)=೨ಣ-೧೫ಣ೨ಣ*೨
ಮತ್ತು ಜಿ೨(ಣ;ಣ*)=೩ಣ*೨-೧೦ಣ೩ಣ*
ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬಂದಿರುವಂತೆ ಜಿ೧(ಣ;ಣ*) ಮತ್ತು ಜಿ೨(ಣ;ಣ*)ಗಳು ಮತ್ತೆ ನಿಷ್ಪನ್ನಯೋಗ್ಯವಾಗಿರಬಹುದು. ಹಾಗಿರುವುದಾದರೆ ಅವುಗಳ ಅಂಶ ನಿಷ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು
,{ಅಥವಾ , ಇಲ್ಲವೆ 
ಅಥವಾ , ಇಲ್ಲವೆ 

ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೆ

 ಅಥವಾ  
ಇಲ್ಲವೆ  ಎಂಬ ಸಂಕೇತಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುವುದು. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ  ಮತ್ತು   ಮತ್ತು  ಆಗುತ್ತವೆ. ಇಲ್ಲಿ  ಆಗಿರುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿರುವಂಥ ಏಕರೀತಿ ಅಂಶ ನಿಷ್ಟನ್ನಗಳ ಆಯಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಇದು ನಿಜಕ್ಕೂ ಒಂದು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ನಿತ್ಯಸಮತ್ವವೆಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು.
ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಕೆಲವು ಉಪಯೋಗಗಳು ಃ ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ನಿರ್ಮಾತೃವಾದ ಐಸಾûಕ್ ನ್ಯೂಟನ್ ಈ ಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ರೂಪಿಸಿದ್ದೇ ಚಲನೆಗೆ ಸಂಬಂಧ ಪಟ್ಟ ಕ್ಲಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ. ಕಾಯವೊಂದು ಣಯಷ್ಟು ಚಲಿಸುವ ದೂರ ಜಿ ಆಗಿರಲಿ. ಜಿನ ಬೆಲೆ ಣಯ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ ಎಂದು ಸುಸ್ಪಷ್ಟ. ಜಿ ಅಲ್ಲಿಗೆ ಣಯ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನವಾಯಿತು:
ಜಿ = ಜಿ(ಣ)
 ಣ  ಮತ್ತು ಣ+h ವೇಳೆಗಳ ನಡುವೆ ಇರುವ h ನಷ್ಟು ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾಯ ಜಿ(ಣ+h)-ಜಿ(ಣ) ಯಷ್ಟು ದೂರವನ್ನು ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ಜಿಗೆ ನಿಷ್ಪನ್ನವಿದೆಯೆಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ

ಈ ಸಂಬಂಧದಿಂದ  ನಿಷ್ಪನ್ನವನ್ನು ಣ ವೇಳೆಯಲ್ಲಿ ಕ್ಷಣಿಕವಾಗಿ ಕಾಯ ಚಲಿಸುವಾಗ ಎಂಬುದಾಗಿ ವಿವರಿಸಬಹುದೆಂದು ನಮಗೆ ಹೊಳೆಯುತ್ತದೆ. ಇದೇ ರೀತಿ  ಆಗುವುದರಿಂದ  ಎಂಬ ದ್ವಿತೀಯ ನಿಷ್ಪನ್ನ ಮತ್ತೆ ಣ ವೇಳೆಯಲ್ಲಿ ಕ್ಷಣಿಕವಾಗಿ ಕಾಯ ಗಳಿಸುತ್ತಿರುವ ವೇಗವೃದ್ಧಿಯ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬೇಕಷ್ಟೆ. ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ನಿಯಮಗಳು ಇಂಥ ವೇಗವೃದ್ಧಿಯ  ದರಕ್ಕೂ ಕಾಯದ ಮೇಲೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತಿರುವ ಬಲಗಳಿಗೂ ಸಂಬಂಧ ಕಲ್ಪಿಸುತ್ತವೆ. ಅಂಥ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಗಣಿತಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದಾಗ ನಮಗೆ  ಮುಂತಾದ ನಿಷ್ಪನ್ನಗಳನ್ನೊಳಗೊಂಡ ಅವಕಲನ ಸಮೀಕರಣಗಳು (ಡಿಫರೆನ್ಷಲ್ ಇಕ್ವೇಷನ್ಸ್‌) ದೊರೆಯುತ್ತವೆ. ಇಂಥ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸುವುದರಿಂದ ಕಾಯದ ಚಲನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮಾಹಿತಿಗಳೆಲ್ಲವೂ ಕರಗತವಾಗುತ್ತವೆ. ಅತಿಯಾಗಿ ಸರಳಗೊಳಿಸಿರುವ ಈ ವಿವರಣೆಯಿಂದಲೇ ಚಲನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಪಾತ್ರ ಅಮೂಲ್ಯವಾದುದೆಂದು ಮನವರಿಕೆಯಾಗುವುದು. [ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಚಲನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸಬೇಕಾದರೆ ಸದಿಶ ಪರಿಮಾಣಗಳೇ (ವೆಕ್ಟರ್ಸ್) ಮೊದಲಾದ ನವಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನೂ ಒಳಗೊಳ್ಳುವಂತೆ ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.]
ನಿರ್ದೇಶಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ (ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಜ್ಯಾಮಿಟ್ರಿ) ಆಯಕಟ್ಟಿನೊಳಗೆ ವಕ್ರ ರೇಖೆಗಳ (ಕವ್ರ್ಸ್‌) ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಲ್ಲಿ ಕೂಡ ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ನೆರವು ಅಗತ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದೇಶಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಬಿಂದು-ನಿರ್ದೇಶಕಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಏಕೈಕವಾಗಿರುವುದು ಚಿರಪರಿಚಿತ ವಿಷಯ.  ಮತ್ತು  ಎರಡು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬ ಸರಳರೇಖೆಗಳು (ಇವುಗಳಿಗೆ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ x-ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು ಥಿ-ಅಕ್ಷ ಎಂದು ಹೆಸರು) ರಚಿಸುವ x ಥಿ-ಸಮತಲವನ್ನು ಈಗ ಪರಿಶೀಸೋಣ (ಚಿತ್ರ ೧). x(ಣ) ಮತ್ತು ಥಿ(ಣ) ಎಂಬೆರಡು ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ  ಅಂತರದಲ್ಲಿ  ಮತ್ತು  ನಿಷ್ಪನ್ನಗಳಿವೆಯೆಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಚಿ, ಂ ಗಳ ನಡುವೆ ಇರುವ ಣ ಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬೆಲೆಗೂ ಅನುಸೂಪವಾಗಿ xಥಿ-ಸಮತಲದಲ್ಲಿ  ಎಂಬ ಬಿಂದುವೊಂದನ್ನು ಗುರ್ತಿಸಬಹುದು. ಇಂಥ ಎಲ್ಲ ಬಿಂದುಗಳ ಗಣ (ಸೆಟ್) ಒಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಮೇಲಿನ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು  ಆಗಿರಲಿ. ಅವನ್ನು Pಕಿ ಜ್ಯಾವು (ವೃದ್ಧಿಸಿದಾಗ) ನೊಡನೆ  ಕೋನವನ್ನು ಏರ್ಪಡಿಸಲಿ.  ಚಿತ್ರ ೧ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸುವ Pಕಿಖ ಲಂಬ ಕೋನ ತ್ರಿಭುಜದಲ್ಲಿ

ಮತ್ತು 
ಅರ್ಥಾತ್ ಯಾವುದೋ ಎರಡು ಶೂನ್ಯಗಾಮಿ  ಮತ್ತು  ಗಳಿಗೆ
 ಮತ್ತು

ಆದ್ದರಿಂದ
 ಆದಲ್ಲಿ

 ಆಗುವಂತೆ ಒಂದು ಧನಸಂಖ್ಯೆ ಠಿ ಯನ್ನು ಗೊತ್ತುಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿರುವುದಾದರೆ ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದ ಕೊನೆಯಪದ ಒಂದು ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಯಾಗಿ

ಆಗುವುದು. ಈಗ  ಆಗುವಂತೆ ಯನ್ನು ಗೊತ್ತುಮಾಡಿಕೊಂಡು  ನೊಡನೆ ಆ  ಕೋನವನ್ನು ಏರ್ಪಡಿಸುವಂತೆ P ಮುಖಾಂತರ ಂP ಸರಳರೇಖೆಯೆನ್ನೆಳೆದರೆ ಂP ಮತ್ತು ಃP ಗಳಿಗಿರುವ ಕೋನಾಂತರ  ಒಂದು ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಯಾಗಿ ಪರಿಣಮಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಣ ಯನ್ನು ಸ್ಥಿರವೆಂದೂ h ಅನ್ನು ಚರವೆಂದೂ ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ P ಮತ್ತು ಂPಗಳು ಸ್ಥಿರ, ಕಿ ಮತ್ತು ಃಕಿ ಗಳು ಚರ ಆಗುತ್ತದೆ. ಂP, ಃP ಗಳ ಕೋನಾಂತರ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಯಾದ ಕಾರಣ ಕಿ ಬಿಂದು Pಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ಸಮೀಪಿಸಿದಂತೆಲ್ಲ ಸ್ಥಿರರೇಖೆ ಂP ಗೆ ವೃದ್ಧಿಸಿದ ಜ್ಯಾ ಃP ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ಹತ್ತಿರವಾಗಬೇಕಷ್ಟೆ. ಇದರಿಂದ ಂP ಯನ್ನು ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ P ಯಲ್ಲಿ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕವೆಂಬುದಾಗಿ (ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್) ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕೆಂದು ನಮಗೆ ಹೊಳೆಯುತ್ತದೆ.  ನೊಡನೆ ಈ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಏರ್ಪಡಿಸುವ  ಕೋನವನ್ನು  ಎಂಬ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದೆಂಬ ಅಂಶ ಗಮನಾರ್ಹ. ಯಾವುದೇ ದತ್ತ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸ್ಪರ್ಶಕವೊಂದರ ನಿಖರಸ್ಥಾನವನ್ನು ಈ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ಇದೇ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ  ಆಗಿರುವ ಪಕ್ಷಕ್ಕೆ [೬] ರ ಮೇರೆಗೆ 

ಆಗುವುದರಿಂದ  ಸಹ ಆಗುತ್ತದೆಂಬ ಅಂಶವೂ ಗಮನಾರ್ಹವೇ. ಅಲ್ಲಿಗೆ  ಮತ್ತು   ಎಂಬ ಎರಡು ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿಕೊಂಡು ವಕ್ರತೇಖೆಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು; ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಮೂಲಕ ಅಂಥ ವಕ್ರರೇಖೆಗಳ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು ಎಂದಾಯಿತು. ಕೆಲವು ಸನ್ನಿವೇಶಗಳಲ್ಲಿ (ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ, ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವಂತೆ ಗೆ ಯಾವೊಂದು ಸಮಾಂತರವನ್ನು ಎಳೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲದಿರುವಾಗ) ಈ ಎರಡು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಪೈಕಿ x(ಣ) ಯನ್ನು x(ಣ) = ಣ ಎಂಬ ಸರಳ ರೂಪದಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದು. ಹೀಗಾದಾಗ ರಚಿತವಾಗುವ ವಕ್ರರೇಖೆ [x(ಣ), ಥಿ(ಣ)] ಯ ಬದಲು [ಣ, ಥಿ(ಣ)]ಯಂಥ ವಿವಿಧ ಬಿಂದುಗಳ ಗಣವಾಗುತ್ತದಷ್ಟೆ. ಇಂಥ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಥಿ  ಉತ್ಪನ್ನದ ಗ್ರಾಫ್ ಎಂದು ಹೆಸರು. ೨ ರಿಂದ ೭ರ ವರೆಗಿನ ಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಬಗೆಯ ಗ್ರಾಫುಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಕೆಲವು ಗಮನಾರ್ಹ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರಸಕ್ತ ಲೇಖನದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯೊಳಗೆ ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾಗಿ ಸಮರ್ಥಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದ ಕಾರಣ ಅವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಅನೌಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಹೋದಂತೆಲ್ಲ ಗ್ರಾಫ್ ಎಂದರೆ ವಕ್ರರೇಖೆ ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ಎತ್ತರಕ್ಕೆ ಏರುವುದಾದರೆ ಸಂಬಂಧ ಪಟ್ಟ ಅಂತರದಲ್ಲಿ  ಆಗಿರುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ ೨,೩); ಹಾಗೆ ಏರುವ ಬದಲು ಇಳಿಯುವುದಾದರೆ  (ಚಿತ್ರ ೪,೫). ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಥಿ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ದ್ವಿತೀಯ ನಿಷ್ಪನ್ನ ಥಿ” ಕೂಡ ಇದೆಯೆಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. 
ಥಿ ಯ ಗ್ರಾಫ್ ಊಧರ್ವ್‌ನಿಮ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ (ಕಾನ್ಕೇವ್ ಅಪ್ ವಡ್ರ್ಸ್‌) ಸಂಬಂಧ ಪಟ್ಟ ಅಂತರದಲ್ಲಿ   (ಚಿತ್ರ ೨,೪); ಅದು ಊಧರ್ವ್‌ಪೀನವಾಗಿದ್ದರೆ (ಕಾನ್ವೆಕ್ಸ್‌ ಅಪ್ ವರ್ಡ್)  (ಚಿತ್ರ ೩,೫). ಈಗ ಚಿತ್ರ ೬ನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಇಲ್ಲಿ ಂ ಮತ್ತು ಅಗಳು ಥಿ ಯ ಗ್ರಾಫಿನ ಮೇಲೆ ಅವುಗಳ ಅಕ್ಕಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಎತ್ತರದಲ್ಲಿವೆ. ಃ ಮತ್ತು ಆ ಆಗಳಾದರೋ ಅವುಗಳ ಅಕ್ಕಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳಿಗಿಂತ ತಗ್ಗಿನಲ್ಲಿವೆ. ಂ,ಅ ಗಳಂಥವಕ್ಕೆ ಗ್ರಾಫಿನ ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳೆಂದೂ (ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಾ) , ಃ, ಆಗಳಂಥವಕ್ಕೆ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳೆಂದೂ (ಮಿನಿಮಾ) ಹೆಸರು. ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳ ಬಳಿ ವಕ್ರರೇಖೆ ಊಧರ್ವ್‌ಪೀನ ವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಅಲ್ಲೆಲ್ಲ . ಅಂತೆಯೇ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ . ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಹೋದಂತೆ ಚಿತ್ರ ೬ರಲ್ಲಿ ಥಿಯ ಗ್ರಾಫ್ ಂಸಿಗುವ ವರೆಗೆ ಏರುತ್ತದೆ, ಆ ಬಳಿಕ ಇಳಿಯತೊಡಗುತ್ತದೆ. ತತ್ಫಲವಾಗಿ ಂಗೆ ತುಸು ಹಿಂದೆ  ಆಗಿಯೂ ತುಸು ಮುಂದೆ   ಆಗಿಯೂ ಇರಬೇಕು. ಇದರಿಂದ ಂ ಯಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ  ಆಗಿರುತ್ತದೆಂದು ಊಹಿಸಬಹುದು. ಇದೇ ರೀತಿ ಉಳಿದೆಲ್ಲ ಗರಿಷ್ಠ ಹಾಗೂ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲೂ . ಆದ್ದರಿಂದ ಥಿಯ ಗ್ರಾಫಿನ ಗರಿಷ್ಟ/ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಪತ್ತೆಹೆಚ್ಚಲು ಬಳಸಬಹುದಾದ ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳು ಹೀಗೆವೆ:   ಆಗಿದ್ದರೆ ಗ್ರಾಫಿನ ಮೇಲಿರುವ [ಣ, ಥಿ(ಣ)] ಒಂದು ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದು;  ಆಗಿದ್ದರೆ [ಣ, ಥಿ(ಣ)] ಒಂದು ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದು.  ಆದ ಪಕ್ಷದಲ್ಲಿ [ಣ, ಥಿ(ಣ)] ಕನಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದು ಹೌದೇ ಅಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಿನ ತನಿಖೆ ಅಗತ್ಯವಾಗುವುದು.] ಕೊನೆಯದಾಗಿ ಚಿತ್ರ ೭ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಹೋದಂತೆ ಇ ವರೆಗೆ ಊಧರ್ವ್‌ನಿಮ್ನವೂ ಇ ಮತ್ತು ಈಗಳ ಮಧ್ಯೆ ಊಧರ್ವ್‌ ಪೀನವೂ ಈ ಆಚೆ ಪುನಃ ಊಧರ್ವ್‌ನಿಮ್ನವೂ ಆಗಿದೆ. ಇ,ಈಗಳಂಥ ಬಿಂದುಗಳು ಗ್ರಾಫಿನ ಪರ್ವಬಿಂದುಗಳೆನಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ (ಪಾಯಿಂಟ್ಸ್‌ ಆಫ್ ಇನ್ ಫ್ಲೆಕ್ಷನ್). ಪರ್ವಬಿಂದುವೊಂದರ ಒಂದು ಪಾಶರ್ವ್‌ದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಪಾಶರ್ವ್‌ದಲ್ಲಿ ಆಗುವುದರಿಂದ ನಿಖರವಾಗಿ ಆ ಪರ್ವಬಿಂದುವಿನಲ್ಲೇ ಇರುತ್ತದೆಂದು ಊಹಿಸಬಹುದು. ಅಂದಮೇಲೆ [ಣ, ಥಿ(ಣ)] ಪರ್ವಬಿಂದುವಾದಾಗ . (ಆದರೆ ಈ ಫಲಿತಾಂಶದ ವಿಲೋಮ ಮಾತ್ರ ಯಾವಾಗಲೂ ಸತ್ಯವಾಗ ಬೇಕಾದುದೇನಿಲ್ಲ). ಚಿತ್ರ ೭ರ ಗ್ರಾಫಿಗೆ ಇ, ಈಗಳಲ್ಲಿ ಎಳೆದಿರುವ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ವೈಚಿತ್ರ್ಯವನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಅವು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಒಂದು ಪಾಶರ್ವ್‌ದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಪಾಶರ್ವ್‌ಕ್ಕೆ ಹಾದುಹೋಗಿವೆ. ಪರ್ವಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ರಚಿಸಿದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳೆಲ್ಲಕ್ಕೂ ಈ ಲಕ್ಷಣವಿರುತ್ತದೆ.
ಸಮಾಸಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ (ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್) ಃ  ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ವೃದ್ಧಿದರಗಳನ್ನು ಕುರಿತು ಅಧ್ಯಯನ ನಡೆಸಿದ್ದಾಯಿತು. ಅಲ್ಲಿ ನಾವು ಪ್ರಧಾನವಾಗಿ ಬಳಸಿಕೊಂಡ ಅಸ್ತ್ರವೆಂದರೆ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಗಳು. ಸಮಾಸಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಕೂಡ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಗಳು ಕೇಂದ್ರೀಯ ಪಾತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಕಾರಣದಿಂದ ಅವಕಲನ, ಸಮಾಸಕಲನಶಾಸ್ತ್ರಗಳೆರಡನ್ನೂ ಒಟ್ಟಾಗಿ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಗಳ (ಅಥವಾ ರಾಬಿನ್ ಸನ್ ಪರ್ಯಾಯ ನಿರೂಪಣೆಯಲ್ಲಿ ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮಗಳ) ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವೆಂದು (ಇನ್ ಫಿನಿಟೆಸಿಮಲ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್) ಕರೆಯಬಹುದು. ಶೂನ್ಯಗಾಮಿ ಉತ್ಪನ್ನವೊಂದರ ಅಪಾರ ಸಂಖ್ಯೆಯಷ್ಟು ಬಿಡಿಬೆಲೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಅಂದಾಜುಮಾಡುವುದು ಸಮಾಸಕಲನ ಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರಧಾನ ಸಮಸ್ಯೆ. ಇಂಥ ಮೊತ್ತಗಳು ಹೇಗೆ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಉದ್ಭಸಬಹುದೆಂಬ ಬಗ್ಗೆ ಅರಿಯಲು  ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಥಿ(ಣ)>೦ ಆಗುವಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಮಾಡಿರುವ ಹಾಗೂ ಮೇರೆಯಿರುವ ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಥಿ(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನದ ಗ್ರಾಫನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ (ಚಿತ್ರ ೮). ಈ ಗ್ರಾಫಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ (ಆದರೆ  ಅಕ್ಷದ ಮೇಲುಗಡೆ) ಇರುವ ಔPP೧ಖಔ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕೃತಿಯ ಕ್ಷೇತ್ರಫಲವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದು ಹೇಗೆ ? q ಎಂಬುದು ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಧನಪುಣಾಂಕ ಮತ್ತು h=೧/(q+೧) ಆಗಿರಲಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ q=೪, h=೦.೨ ಎಂದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಔಖ ಸರಳರೇಖಾಖಂಡವನ್ನು q+೧=೫ ಸಮಭಾಗಗಳನ್ನಾಗಿ ವಿಭಾಗಿಸಿ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ  ಔPಕಿ೧ಖ೧, ಖ೧P೧ಕಿ೨ಖ೨, ಖ೨P೨ಕಿ೨ಖ೩, ಖ೩P೩ಕಿ೪ಖ೪, ಖ೪P೪ಕಿ೫ಖ  ಆಯಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿ. ಈ ಆಯಗಳೊಂದೊಂದರ ಕ್ಷೇತ್ರಫಲವೂ ಅದರ ಉದ್ದವಾದ ಅಗಲಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧಕ್ಕೆ ಸಮವಾಗಿರುತ್ತದಷ್ಟೆ; ಆ ಕ್ಷೇತ್ರಫಲಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೂ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಔPಕಿಖಔ ಆಕೃತಿಯ ಕ್ಷೇತ್ರಫಲಕ್ಕೂ ಅಷ್ಟೇನೂ ಹೆಚ್ಚು ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಫಲ ಸರಿಸುಮಾರಾಗಿ
	S(೦.೨) =  (೦.೨)ಥಿ + (೦.೨) ಥಿ (೦.೨) + (೦.೨) ಥಿ (೦.೪)
	           + (೦.೨) ಥಿ (೦.೬) + (೦.೨) ಥಿ (೦.೮)
ಇಷ್ಟಿರುತ್ತದೆಂದು ಹೇಳಬಹುದು. ಒಂದು ವೇಳೆ ಈ ಅಂದಾಜು ನಮಗೆ ಅಸಮರ್ಪಕವೆನಿಸಿದರೆ qವಿನ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಇನ್ನಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿಸಿ ನಮ್ಮ ರಚನೆಯನ್ನೂ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನೂ ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನಿರ್ವಹಿಸಿ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಔPP೧ಖಔ ಕ್ಷೇತ್ರಫಲಕ್ಕೆ ಇನ್ನಷ್ಟು ಸಮೀಪವಾದ ಅಂದಾಜನ್ನು ವ್ಯುತ್ಪಾದಿಸಬಹುದು. ಇಂಥ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ದೊರಕುವ ಪ್ರತಿ ಅಂದಾಜೂ

ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆಂಬುದು ಸುಸ್ಪಷ್ಟ. q ಅಧಿಕವಾದಂತೆಲ್ಲ S(h) ನಲ್ಲಿರುವ ಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (=q+೧) ಏರುತ್ತ ಹೋಗುವುದು. ಥಿಗೆ ಮೇರೆಯಿತುವುದರಿಂದ hಥಿ (ಣ) ಉತ್ಪನ್ನ ಒಂದು ಣ-ಏಕರೀತಿ h-ಸಾಪೇಕ್ಷ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಯಷ್ಟೆ. ಆದ್ದರಿಂದ S(h) ಮೊತ್ತದ ಒಂದೊಂದು ಪದವೂ ಈ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಒಂದೊಂದು ಬಿಡಿ ಬೆಲೆ. ಅಂದಮೇಲೆ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಔPಕಿಖಔ ಕ್ಷೇತ್ರಫಲದ ಬಗ್ಗೆ ನಮಗೆ ದೊರಕುವ S(h) ಮಾದರಿಯ ಪ್ರತಿ ಅಂದಾಜೂ ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಅಧಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಷ್ಟು ಶೂನ್ಯಗಾಮಿ ಉತ್ಪನ್ನ ಬೆಲೆಗಳ ವೊತ್ತವೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆಂದಾಯಿತು. ಈ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಸ್ಫೂರ್ತಿಯಿಂದ   ಅಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಾಗಿರುವ ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಸೂಕ್ತ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿ ಉತ್ಪನ್ನ  ನ ಕೆಲವಷ್ಟು ಬಿಡಿ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕೂಡಿದಾಗ ಫಲಿಸುವ 

ಮಾದರಿಯ ಮೊತ್ತಗಳು ಅಧ್ಯಯನಾರ್ಹವೆಂದು ನಮಗೆ ಹೊಳೆಯುತ್ತದೆ. ಈಗ ಇಂಥ  ಮೊತ್ತ h ಚರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸುವ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನವಷ್ಟೆ. ಮಾತ್ರ ಇಲ್ಲಿ h ಚರಕ್ಕೆ ಇತರ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿನಂತೆ ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಇಡೀ ಸಾಂತ ಅಂತರದಲ್ಲಿರುವ ಬೆಲೆಗಳೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಆದೇಶಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ; ಅದು ಕೇವಲ ೧/(q+೧) ರೂಪದ ಬೆಲೆಗಳನ್ನಷ್ಟೇ ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. (q ಒಂದು ಧನ ಪುರ್ಣಾಂಕವಷ್ಟೆ.) ಹೀಗಿದ್ದಾಗ್ಯೂ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಹೊಸ ನಿಬಂಧನೆಯನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಸೇರಿಸಿಕೊಂಡು ಶೂನ್ಯಗಾಮಿ ಪದದ ಹಾಗೂ ~ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅರ್ತವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು  ನಂಥ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಬಗ್ಗೆಯೂ ಅನ್ವಯಿಸುವಂತೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು ಅತಿ ಸುಲಭ. ಈ ರೀತಿ ಮಾಡಿದಾಗ ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ 

ಆಗುವಂತೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಿರಸಂಖ್ಯೆ ವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಹಾಗಿರುವ ಪಕ್ಷ ಈ ಕ್ಕೆ  ಅಂತರ ಪುರ್ತ  ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಯ ಸಮಾಸ (ಇಂಟೆಗ್ರಲ್) ಎಂಬುದಾಗಿ ನಾಮಕರಣಮಾಡಿ

ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. = h ಥಿ (ಣ) ಆಗಿದ್ದರೆ ಈ ಸಮಾಸ ಚಿತ್ರ ೮ರ ಗ್ರಾಫಿನ ಅಡಿಯ ನಿಖರಕ್ಷೇತ್ರಫಲವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಸಮಾಸಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಥಮತಃ ನಾವು ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ಸಂಗತಿ ಶೂನ್ಯಸ್ಪರ್ಶಿಗಳ ಸಮಾಸ ಸೊನ್ನೆಗೆ ಸಮವೆಂಬುದು.  ಅಂತರದಲ್ಲಿ  ಒಂದು ಣ-ಏಕರೀತಿ h-ಸಾಪೇಕ್ಷ ಶೂನ್ಯಸ್ಪರ್ಶಿಯಾಗಿರಲಿ. ಆಗ h=೧/(q+೧) ಆಗಿದ್ದರೆ

 ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಯಾದ್ದರಿಂದ ಟಿ ಯಾವುದೇ ಧನ ಪುರ್ಣಾಂಕವಾದರೆ

ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ   ಆಗುವಂತೆ ಒಂದು ಅನುರೂಪ ಧನಪುರ್ಣಾಂಕ mಅನ್ನು ಗೊತ್ತುಮಾಡಬಹುದು. ಅಂದಮೇಲೆ q > m, ೦ < h < ೧/m ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ

ಇದರಿಂದ  ಒಂದು h-ಸಾಪೇಕ್ಷಶೂನ್ಯಗಾಮಿಯೆಂದು ತಿಳಿದುಬರುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ ~ ೦ ಅಥವಾ ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ

ಈ ಸರಳ ಫಲಿತಾಂಶದಿಂದ ಮುಖ್ಯ ಅನುಮಿತವೊಂದನ್ನು ವ್ಯುತ್ಪಾದಿಸಬಹುದು.   ಆಗಿದ್ದರೆ  ಒಂದು ಶೂನ್ಯಸ್ಪರ್ಶಿಯಷ್ಟೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ

ತತ್ಫಲವಾಗಿ  ಸಮಾಸಕ್ಕೆ ಆಸ್ತಿತ್ವವಿದ್ದರೆ ಗೂ ಅಸ್ತಿತ್ವವಿದ್ದು ಇವೆರಡು ಸಮಾಸಗಳೂ ಪರಸ್ಪರ ಸಮವಾಗುತ್ತವೆ:

ಈಗ  ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಜಿ(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲ್ಲಿ. ಹಾಗೂ  ಅಂತರದಲ್ಲಿ  
      
 ಆಗಿರಲಿ. ಹೀಗಿರುವಾಗ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ

ಆಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ 

ಇನ್ನು ಜಿ(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಏಕರೀತಿ ನಿಷ್ಪನ್ನ ಜಿ’(ಣ) ಇದ್ದರೆ ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಸೂತ್ರ [೧೧]ರ ಮೇರೆಗೆ ( ಇಕ್ವೇಷನ್ಸ್‌ ಬರಬೇಕು)  ತತ್ಫಲವಾಗಿ

ತತ್ಫಲವಾಗಿ

ಇದು ತುಂಬ ಗಮನಾರ್ಹವಾದ ಫಲಿತಾಂಶ.
  ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಥಿ(ಣ) ಏಕರೀತ್ಯಾ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನವಾಗಿರಲಿ. ,-  ಅಂತರದೊಳಗೆ  ಎಂದು ಬರೆಯೋಣ. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ   ಸಮಾಸಕ್ಕೆ ತಪ್ಪದೆ ಅಸ್ತಿತ್ವವಿದ್ದೇ ಇತುತ್ತದೆಂದು ಸಮರ್ಥಿಸುತ್ತೇವೆ. ಥಿ(ಣ) ಏಕರೀತ್ಯಾ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ,-
  ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ
      ....[೧೪]
ಆಗುವಂತೆ ಯಾವುದೇ ಧನಪುರ್ಣಾಂಕ ಟಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿ ಇನ್ನೊಂದು ಧನಪುರ್ಣಾಂಕ m ಅನ್ನು ಗೊತ್ತುಮಾಡಬಹುದು. ಡಿ+೧  q + ೧ > m ಆಗುವಂತೆ ಇನ್ನೆರಡು ಧನಪುರ್ಣಾಂಕ q ಮತ್ತು ಡಿ ಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ h=೧/(q+೧) ಣ=೧/(ಡಿ+೧)  ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ h ಮತ್ತು ಣ ಗಳನ್ನು ನಿಶ್ಚಯಿಸೋಣ. ಈಗ (q + ೧) h = (ಡಿ + ೧) ಣ = ೧ ಆದ್ದರಿಂದ
 ಆದ್ದರಿಂದ

ಇದನ್ನು ಮೇಲಿನ ಅಸಮತ್ವ [೧೪] ರೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಿದರೆ

ಅಂತೆಯೇ 
ಆಗಬೇಕಾದ್ದರಿಂದ ೦ < ಣ  h < ೧/m  ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ 
  ಆಗುತ್ತದೆ.
ಅಂದರೆ ೦ < h  ೧/೨,  ೦ < ಣ  h  ಅಂತರದಲ್ಲಿ h = ೧/ (q + ೧), ಣ = ೧ (ಡಿ + ೧)  ರೂಪದಲ್ಲಿರಬೇಕೆಂಬ ನಿಬಂಧನೆಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಂತೆ   ಉತ್ಪನ್ನ ಒಂದು ಣ-ಏಕರೀತಿ h-ಸಾಪೇಕ್ಷ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿ:  . ತತ್ಫಲವಾಗಿ ಕೋಶಿಯ ಅಭಿಸರಣ ತತ್ತ್ವರ ಮೇರೆಗೆ  ಆಗುವಂತೆ ಒಂದು ಸ್ಥಿರಸಂಖ್ಯೆ  ಇರುತ್ತದೆಂದು ಸಿದ್ಧಪಟ್ಟಿತು.    
		  ಅಂತರದಲ್ಲಿ 
 ಹಾಗೂ   ಆದಾಗ ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ಮನಗಾಣಬಹುದು. ಇದರಿಂದ  ಸಮಾಸಕ್ಕೆ ಅಸ್ತಿತ್ವವಿದ್ದಾಗ  ಕೂಡ ಆಗುವುದೆಂದು ತಿಳಿದುಬರುತ್ತದೆ. ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾದ   ಮಾದರಿಯ ತ್ರಾಪಿಜ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಾಂತಾಂತರಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಅಗತ್ಯ. (ಇಲ್ಲಿ ಚಿ < ಂ ಎಂದು ತಿಳಿಯಬೇಕು.) ಇಂಥದೊಂದು ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಟಿ (ಣ ; h) ಶೂನ್ಯಗಾಮಿ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆಯೆಂದು ಭಾವಿಸಿ.  ಎಂಬೆರಡು ಸ್ಥಿರಸಂಖ್ಯೆಗಳು  ಅಂತರದಲ್ಲಿರಲಿ. ಈಗ
 ಎಂದು ಬರೆದರೆ
 ಉತ್ಪನ್ನ   ಅಂತರದಲ್ಲಿ
ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಾಗುವ ಒಂದು ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಯಾಗುವುದು.  ಸಮಾಸಕ್ಕೆ ಅಸ್ತಿತ್ವವಿದ್ದಾಗ  ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಕ ಹೊಸ ಮಾದರಿಯ  ಸಮಾಸವನ್ನು ಸಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಬಹುದು. ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ  ಆಗುವ ಕಾರಣ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಂತೆ  ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಇದುವರೆಗೆ  ಮಾದರಿಯ ಸಮಾಸಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿರುವ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು  ಮಾದರಿಯ ಸಮಾಸಗಳಿಗೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ  ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಜಿ(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಏಕರೀತಿ ನಿಷ್ಪನ್ನ ಜಿ’(ಣ) ಇರುವಾಗ   ಮತ್ತು   ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಥಿ(ಣ) ಏಕರೀತ್ಯಾ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ  ಅಸಮಾಸಕ್ಕೆ ತಪ್ಪದೆ ಅಸ್ತಿತ್ವವಿರುತ್ತದೆ. ಈಗ ಥಿ(ಣ) ಹೀಗೆ ಏಕರೀತ್ಯಾ ಅವಿಚ್ಛನ್ನವಾಗಿದೆಯೆಂದು ಭಾವಿಸಿ  ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ   ಎಂದು ಬರೆಯೋಣ.  ಮತ್ತು  ಗಳು ಎರಡು ಧನ ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರಲಿ (ರ್ಯಾಷನಲ್ ನಂಬರ್ಸ್): ; ಇಲ್ಲಿ ಐ, ಒ, ಓ, P ನಾಲ್ಕು ಧನ ಪುರ್ಣಾಂಕಗಳು. ಈಗ   ಅಂತರದಲ್ಲಿ

ಎಂದಿಟ್ಟುಕೊಂಡರೆ   ಆಗಿ 
 ಮತ್ತು
 ಆಗುತ್ತದಷ್ಟೆ. ಈ ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿ 
			…..(೧೬)
ಎಂದು ಸಾಧಿಸುತ್ತೇವೆ. ಒಓ = ಐP ಆದಾಗ  ಆಗುವುದರಿಂದ ಸಮೀಕರಣ [೧೬]ರ ಸತ್ಯತೆ ಸುಸ್ಪಷ್ಟ.  ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಪುರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ h, ರಿ, ಞ ಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯೆಮಾಡೋಣ:

(ಒಓ = ಐP ಸಂದರ್ಭ ಈಗಾಗಲೇ ಇತ್ಯರ್ಥವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಇಲ್ಲಿ ಒಓ  ಐP ಎಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ.) ಈಗ ಕೆಳಗೆ ನಮೂದಿಸಿರುವ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ತಾಳೆ ನೋಡಬಹುದು:

ಆಗಿದ್ದರೆ 
 
 ಆಗಿದ್ದರೆ 

ಇವುಗಳಿಂದ   ಅಥವಾ  ಎಂದು ಗೊತ್ತಾಗುವುದು. ಟಿ ಯಾವುದೇ ಧನಪುರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರಲಿ. q ವನ್ನು ಸಾಕಷ್ಟು ಅಧಿಕವಾಗಿರುವಂತೆ ಆಯ್ಕೆವಾಡಿದಲ್ಲಿ 

ಹಾಗೂ   ಈ ನಾಲ್ಕು ಸಂಖ್ಯೆಗಳೂ (-೧/ಟಿ) ಮತ್ತು (ಟ/ಟಿ) ಗಳ ಇರುವುವೆಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಸ್ಮರಿಸಿಕೊಂಡರೆ 

ಎಂಬ ಪರಿಮಾಣ (-೩/ಟಿ) ಮತ್ತು (೩/ಟಿ) ಗಳ ನಡುವೆ ಇರಬೇಕೆಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪರಿಮಾಣ ಟಿ ನಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ [೧೬]ನೆಯ ಸಮೀಕರಣ  ಮತ್ತು  ಗಳು ಧನ ಪರಿಮೇಯವಾಗಿರುವಾಗ) ಸ್ಥಾಪಿತವಾದಂತಾಯಿತು. ಈಗ  ಅಂತರದಲ್ಲಿ  ಗಳು ಯಾವುದಾದರೂ ನಾಲ್ಕು ಪರಿಮಾಣಗಳಾದಾಗ
						……(೧೭)
ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದಷ್ಟೆ. ಥಿ ಉತ್ಪನ್ನ ಏಕರೀತ್ಯಾ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಟಿ ಯಾವುದೇ ಧನ ಪುರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರಲಿ,  ಮತ್ತು (-೧/m)<h<(೧/m) ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ 
-೧/[೨ಟಿ(ಂ- ಆಗುವಂತೆ ಒಂದು ಅನುರೂಪ ಧನಪುರ್ಣಾಂಕ mಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಅಲ್ಲದೆ ಥಿಗೆ ಮೇರೆಯಿರುವುದರಿಂದ  ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ  ಆಗುವಂತೆ ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಧನಸಂಖ್ಯೆ ಂ*ವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ತರ್ಕಲೋಪವಿಲ್ಲದೆ m > 4ಂ*ಟಿ/೩ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು. ಆಗ ಸಮೀಕರಣ [೧೭]ರ ಸಹಾಯದಿಂದ   ಆದಾಗ
		…..(೧೮)
ಎಂದು ಸಿದ್ಧಪಡುವುದು.  ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಗಳು ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಲಿ,   ಆಗುವಂತೆಯೂ  ಮತ್ತು ಗಳು ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗುವಂತೆಯೂ  ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇಂಥ  ಗಳ ಆಯ್ಕೆಗೆ ಅಸಮತ್ವ [೧೮]ರ ಜೊತೆಯಲ್ಲಿ 
  
ಮತ್ತು   ಕೂಡ ಆಗುವುದರಿಂದ 
  
ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕೊನೆಯ ಅಸಮತ್ವದಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯದ ಪದ ಮತ್ತೆ ಟಿ ನಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ  ಗಳು ಧನ ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಲಿ ಬಿಡಲಿ
 
ಎಂದು ಸಿದ್ಧಪಡುವುದು. ಅಂದವೇಲೆ ಸಮೀಕರಣ [೧೬],  ಅಂತರದೊಳಗಿರುವ ಎಲ್ಲ ಬಗೆಯ  ಗಳಿಗೂ ಸತ್ಯವೆಂದಾಯಿತು. ಸಮಾಸಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವೆಂದು (ಫಂಡಮೆಂಟಲ್ ಥಿಯರಂ) ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾಗಿರುವ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ವ್ಯುತ್ಪಾದಿಸಲು ಈಗ ನಾವು ಸಿದ್ಧರಾಗಿದ್ದೇವೆ. ಏಕರೀತ್ಯಾ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಥಿ(ಣ) ಯಂಥ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉತ್ಪನ್ನವೂ ಮತ್ತೊಂದು ಉತ್ಪನ್ನದ ಏಕರೀತಿ ನಿಷ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರ್ವಾರ್ಧದ ಸಾರಾಂಶ. ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ ಥಿ(ಣ) ಮೇಲೆ ಹೇಳಿರುವ ಈ(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನದ ಏಕರೀತಿ ನಿಷ್ಪನ್ನವಾಗುವುದು: ಥಿ(ಣ) = ಈ’(ಣ). 
ಇದನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಲು   
ಮತ್ತು   ಆದಾಗ

ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಥಿ ಏಕರೀತ್ಯಾ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಕಾರಣ ಟಿ ಯಾವುದೇ ಧನ ಪುರ್ಣಾಂಕವಾಗಲಿ  ಮತ್ತು  ಆಗಿರುವಾಗಲೆಲ್ಲ   ಆಗುವಂತೆ ಒಂದು ಅನುರೂಪ ಧನಪುರ್ಣಾಂಕ mಅನ್ನು ಗೊತ್ತುಮಾಡಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ   ಆದಾಗ   ಆಗುವುದು. ಈಗ ಖಿ,ಊ ಗಳನ್ನು ಣ,h ಗಳಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ  ಅಂತರದಲ್ಲಿ  ಒಂದು ಣ-ಏಕರೀತಿ h-ಸಾಪೇಕ್ಷ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿ ಎಂದೂ
  
ಎಂದೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುವುದು. ಆದ್ದರಿಂದ   ಅಥವಾ .
ಥಿ(ಣ) ಯನ್ನು ಏಕರೀತಿ ನಿಷ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಉಳ್ಳ ಉತ್ಪನ್ನ ಈ(ಣ) ಮಾತ್ರವೇ ಅಲ್ಲ. ಅ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರಸಂಖ್ಯೆ ಆಗಿರಲಿ ಜಿ(ಣ)=ಈ(ಣ)+ಅ ಆದಾಗ ಜಿ’(ಣ)=ಈ’(ಣ)=ಥಿ(ಣ) ಆಗುವುದು; ಮತ್ತು ಈ ಹಿಂದೆಯೇ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಜಿ’(ಣ)=ಥಿ(ಣ) ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ  ಆಗಬೇಕು; ಅಲ್ಲದೆ   ಕೂಡ ಆಗುವುದರಿಂದ ಎಲ್ಲ ಗಳಿಗೂ  ಅಂದರೆ ಜಿ(ಣ)-ಈ(ಣ) ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆ: ಜಿ(ಣ)-ಈ(ಣ)=ಅ  . ಇದರಿಂದ ಥಿ(ಣ) ಯನ್ನು ನಿಷ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಉಳ್ಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳೆಲ್ಲವೂ ಜಿ(ಣ)=ಈ(ಣ)+ಅ ರೂಪದಲ್ಲೇ ಇರಬೇಕೆಂದು ಗೊತ್ತಾಗುವುದು. ಮೇಲಾಗಿ ಜಿ(ಣ) ಇಂಥ ಯಾವುದೇ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಲಿ
		…….(೧೯)
ಜಿ’(ಣ)=ಥಿ(ಣ) ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಸರಿಹೊಂದುವ ಯಾವುದೇ ಜಿ(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕಾಗಲಿ ಥಿ(ಣ) ಯ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಾಸ (ಇಂಡೆಫಿನಿಟ್ ಇಂಟೆಗ್ರಲ್) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಸಮಾಸಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯದ ಉತ್ತರಾರ್ಧವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವ ಫಲಿತಾಂಶ [೧೯]ರಿಂದ ಸಮಾಸಗಳ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕಾದ ಕಾರಣ ಅದಕ್ಕೆ ಬಹಳ ವ್ಯಾವಹಾರಿಕ ಮಹತ್ತ್ವವಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಥಿ(ಣ)=೩ಣ೨ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಜಿ(ಣ) = ಣ೩ ಉತ್ಪನ್ನ ಒಂದು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಾಸವಾದ್ದರಿಂದ [ಅರ್ಥಾತ್ ಜಿ(ಣ) = ಣ೩ ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿಷ್ಪನ್ನ ಥಿ(ಣ) = ೩ಣ೨ ಆದ್ದರಿಂದ]

[ ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಥಿ(ಣ) = ೩ಣ೨ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗ್ರಾಫನ್ನು ಎಳೆದರೆ ಅದರ ಅಡಿಯ ಕ್ಷೇತ್ರಫಲ ೧೧೭ ಆಗುವುದು.] ಸಮಾಸಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲ ಭೂತ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರ್ವಾರ್ಧಕ್ಕಾದರೋ ಅಪಾರ ತಾತ್ತ್ವಿಕ ಮಹತ್ತ್ವವುಂಟು: ಅದರ ನೆರವಿನಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ಹೊಸ ಹೊಸ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುಉವುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ
	 
(ಇದಕ್ಕೆ ಪ್ರಥಮವರ್ಗದ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಸಮಾಸವೆಂದು ಹೆಸರು)
ಸಮಾಸಗಳ ಸಂಜ್ಞಾ ಪದ್ಧತಿ, ಮೌಲ್ಯೀಕರಣ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ಉಪಯೋಗಗಳು:  ಅಂತರದಲ್ಲಿ x(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನವೂ  ದಲ್ಲಿ ಜಿ(ಣ) ಯೂ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಾಗಿ  ಆಗಿದ್ದರೆ ಉತ್ಪನ್ನ ಸಂಯೋಜನೆ ಜಿox (ಣ) = ಜಿ(x(ಣ))ಗೆ ಅಸ್ತಿತ್ವವಿರುತ್ತದಷ್ಟೆ (ಚಿ<ಂ, ಚಿ*<ಂ*). ಜಿ(ಣ) ಏಕರೀತ್ಯಾ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನವೂ x(ಣ) ಏಕರೀತ್ಯಾ ನಿಷ್ಪನ್ನಯೋಗ್ಯವೂ ಆಗಿರಲಿ. ಆಗ  ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಜಿಗೆ ಒಂದು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಾಸ ಈ ಇದ್ದೇ ಇರುತ್ತದೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ  ಎಂದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಈ ಸಂಬಂಧದಂತೆ ಈ’(ಣ)=ಜಿ(ಣ) ಮತ್ತು ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಸೂತ್ರ [೧೨]ರ ಪ್ರಕಾರ   ಗಳು  ಅಂತರದಲ್ಲಿವೆಯೆಂದೂ   ಎಂದೂ ಭಾವಿಸಿದರೆ 

 ಜಿ(x(ಣ))ಜx(ಣ;h)  ಎಂಬ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಗೆ ಜಿ(x)ಜx ಎಂಬ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತರೂಪ ನೀಡಬಹುದು. ಹಾಗೆ ಮಾಡಿದ ಬಳಿಕ ಅದರಲ್ಲಿ ಣ ಚರ ಆಗೋಚರವಾಗುವುದರಿಂದ   ಚಿಹ್ನೆಯ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಣ ಗೆ ಆದೇಶಿಸಬೇಕಾದ  ಬೆಲೆಗಳ ಬದಲು x(ಣ) ಗೆ ಆದೇಶಿಸಬೇಕಾದ  ಬೆಲೆಗಳನ್ನೇ ನಮೂದಿಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಯೋಜನಕರ.
ಈ ಕಾರಣದಿಂದ ನಾವು   ಸಮಾಸವನ್ನು   ಎಂದೂ ಬರೆಯುವ ಸಂಜ್ಞಾಪದ್ದತಿಯನ್ನು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಜಾರಿಗೆ ತರುತ್ತೇವೆ. ಈಗ ನಮ್ಮ ಹೊಸ ಸಂಕೇತ  ಇಂದು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಮಾಸಸೂಚಕ ……ಜ……… ಸಂಕೇತಮಾದರಿಯೊಂದಿಗೆ ಪೂರ್ಣವಾಗಿ  ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವುದಲ್ಲದೆ ಜಿ(x) ಜx ಸಂಕೇತ ನಿಜಕ್ಕೂ ಜಿ(x) (=ಜಿ(x(ಣ))  ಮತ್ತು ಜx (=ಜx (ಣ;h)) ಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವೆಂಬ ಸತ್ಯಾಂಶವನ್ನು ಮರೆಮಾಚುವುದೂ ಇಲ್ಲ. ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ
  
ಆಗುವುದರಿಂದ ಎಡಗಡೆಯ ಸಮಾಸದ ಮೌಲ್ಯೀಕರಣಕ್ಕೆ x(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನದ ಸ್ವರೂಪದ ಬಗ್ಗೆ ಅರಿವು ಅನಗತ್ಯ. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿ ಜಿ(x(ಣ)) ಜx  ಅನ್ನು ಜಿ(x) ಜx ಎಂದು ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸುವುದರ ಸಾಧುತ್ವವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುವುದು.  ಕೂಡ  ಕ್ಕೆ ಸಮವಾದ್ದರಿಂದ
  
ಎಂಬುದು ಒಂದು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸಮತ್ವ. ಇದರಿಂದ h,ಣ ಗಳನ್ನೊಳಗೊಳ್ಳುವ ಈ ಲೇಖನದ ಸಮಾಸಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಸಾಹಿತ್ಯಪ್ರಚಲಿತ ರೂಪಕ್ಕೆ ತಿರುಗಿಸಲು h ಅನ್ನು ಜx ಗೂ ಣ ಯನ್ನು x ಗೂ ಮಾರ್ಪಡಿಸಬಹುದೆಂದು ಗೊತ್ತಾಗುವುದು; ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಣ ಯನ್ನು ಇದ್ದಂತೆಯೇ ಉಳಿಸಿಕೊಂಡು h ಅನ್ನು ಜಣ ಗೆ ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದರೂ ಆಗುತ್ತದೆ.
ಸಮಾಸಗಳ ಮೌಲ್ಯೀಕರಣಕ್ಕೆ ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಮೂರು ಸೂತ್ರಗಳು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗುತ್ತವೆ.
 
= ಜ ಈ o x (ಣ ; h)
 ಮತ್ತು 

ಇವುಗಳ ಪೈಕಿ ಮೊದಲೆರಡನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ವ್ಯುತ್ಪಾದಿಸಿದ್ದಾಗಿದೆ. ಕೊನೆಯದಕ್ಕೆ ಭಾಗಶಃ ಸಮಾಸೀಕರಣ ಸೂತ್ರ (ಇಂಟೆಗ್ರೇಷನ್ ಬೈ ಪಾಟ್ರ್ಸ್‌) ಎಂದು ಹೆಸರು; ಜಿ(ಣ) = x(ಣ) ಥಿ(ಣ) ಎಂದು ಬರೆದಲ್ಲಿ   ಆಗುತ್ತದೆಂದು ಗಮನಿಸಿದರೆ ಈ ಸೂತ್ರದ ಸತ್ಯತೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುವುದು. ಈಗ ಸೂತ್ರಗಳ ಪ್ರಯೋಗವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಎರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳು.                      ಆದಕಾರಣ ( ಅಂತರದಲ್ಲಿ)

ಮತ್ತೆ x(ಣ) = ಣ ಎಂದಿಟ್ಟುಕೊಂಡರೆ ಜx(ಣ;h) = hx’(ಣ) = h ಆಗುವುದರಿಂದ ಭಾಗಶಃ ಸಮಾಸೀಕರಣದ ಸೂತ್ರಪ್ರಯೋಗದಿಂದ
  
ಸಮಾಸಗಳ ಒಂದು ಉಪಯೋಗವನ್ನು ನಾವಾಗಲೇ ಮನಗಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಕೃತಿಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರಫಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ಅವು ನಮಗೆ ನೆರವಾಗುತ್ತವೆ. ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಕ್ರರೇಖೆಗಳ ಉದ್ದ, ಘನ ಆಕೃತಿಗಳ ಗಾತ್ರ ಹಾಗೂ ಮೇಲ್ಮೈ ಕ್ಷೇತ್ರಫಲಗಳನ್ನು ಗೊತ್ತುಮಾಡಬೇಕಾದರೆ ಸಹ ನಾವು ಸಮಾಸಗಳನ್ನೇ ಆಶ್ರಯಿಸಬೇಕು.  ಅಂತರದಲ್ಲಿ ನಿಷ್ಪನ್ನಯೋಗ್ಯ ಥಿ(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನದ ಗ್ರಾಫಿನ ಉದ್ದ s ಅನ್ನು ನೀಡುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ನಿದರ್ಶನವಾಗಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಬಹುದುಃ
   	….(೨೦)
(ಸಮಾಸದ ಸಾಹಿತ್ಯಪ್ರಚಲಿತರೂಪವನ್ನು ಆವರಣದಲ್ಲಿ ನೀಡಿದ್ದೇವೆ.) ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಕೇಂದ್ರ (ಸೆಂಟರ್ ಆಫ್ ಮಾಸ್) ಮುಂತಾದ ಬಿಂದುಗಳ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದಕ್ಕೂ ಜಡಭ್ರಮಣಾಂಕ (ಮೊಮೆಂಟ್ ಆಫ್ ಇನರ್ಷಿಯ) ಮುಂತಾದ ಪ್ರಾಚಲಗಳನ್ನು (ಪ್ಯರಾಮೀಟರ್ಸ್) ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದಕ್ಕೂ ಸಮಾಸಗಳ ಮೌಲ್ಯೀಕರಣ ಅತ್ಯಗತ್ಯ. ಕೊನೆಯದಾಗಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಕ್ಕಿಂತ ಮಿಗಿಲಾಗಿ ಅವಕಲನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸುವಲ್ಲಿ ಸಮಾಸಗಳು ಅತ್ಯಂತ ಮಹತ್ತ್ವಪೂರ್ಣವಾದ ಪಾತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ.
ಸಾಂತವಯತ್ಯಾಸ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ (ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಆಫ್ ಫೈನೈಟ್ ಡಿಫರೆನ್ಸಸ್) ಃ  ಅವಕಲನ ಮತ್ತು ಸಮಾಸಕಲನಶಾಸ್ತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಜಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಬೆಲೆಗಳೆರಡಕ್ಕಿರುವ ಜಿ(ಣ+h)-ಜಿ(ಣ) ರೂಪದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಕುರಿತು ವಿವೇಚಿಸಿರುವೆವಷ್ಟೆ. ಆದರೆ ಇಂಥ ವಿವೇಚನೆಯಲ್ಲಿ = ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ವ್ಯಕ್ತವಾಗುವ ಸಾಧಾರಣ ಸಮತ್ವಗಳಿಗಿಂತ ಮಿಗಿಲಾಗಿ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಗಳ ಆದಾರದ ಮೇಲೆ  ಮತ್ತು ~ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಸೂಚಿಸುವ ಬೇರೆ ರೀತಿಯ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ನಾವು ಬಳಸಿಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಸಾಂತವ್ಯತ್ಯಾಸ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಧ್ಯಯನವಸ್ತು ಕೂಡ ಜಿ(ಣ+h)-ಜಿ(ಣ) ರೂಪದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳೇ. ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ಅವನ್ನು ಕುರಿತು ವಿವೇಚನೆ ಸಾಧಾರಣ ಸಮತ್ವಗಳ ಆಯ ಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಸಾಗಬೇಕೆಂಬ ನಿಬಂಧನೆಯುಂಟು. ಅಲ್ಲದೆ ಈ ಶಾಸ್ತ್ರದ ಪಾಲಿಗೆ ಬಹುಪದಿಗಳ (ಪಾಲಿನೋಮಿಯಲ್ಸ್‌) ವಿನಾ ಬೇರೆ ರೀತಿಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಬಹುಮಟ್ಟಿಗೆ ಬಹಿಷ್ಕೃತ. ಬಹುಪದಿಯೆಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗುವ ಉತ್ಪನ್ನವೊಂದರ ಕೆಲವೇ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕೊಟ್ಟಾಗ ಆ ಉತ್ಪನ್ನದ ಇತರ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಇಲ್ಲಿಯ ಒಂದು ಮುಖ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆ. ಇದನ್ನು ಬಿಡಿಸುವಲ್ಲಿ ದತ್ತ ಬೆಲೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಹಾಗೂ ಹಂತ ಹಂತವಾಗಿ ಅಂಥ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಬಳಕೆಗೆ ಬರಬಹುದೆಂಭ ಅಂಶವನ್ನು ಈ ಶಾಸ್ತ್ರದ ಹೆಸರು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಸಕ್ತ ಲೇಖನದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಈ ವಿಧಾನದ ಸ್ಥೂಲ ರೂಪರೇಖೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗುವುದು. ಈ ದೃಷ್ಟಿ ಕೋನದಿಂದ ಮೊದಲು ಒಂದು ಚಿಕ್ಕ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ಜಿ(ಣ) = ಣ೨ ಉತ್ಪನ್ನ ಸಾಕಷ್ಟು ಸರಳವಾದುದಷ್ಟೆ. ಣ೦, ಣ೧, ಣ೨, ಣ೩ ಗಳು ಣ ಚರದ ಯಾವುದಾದರೂ ನಾಲ್ಕು ಬೆಲೆಗಳಾದಲ್ಲಿ
  
ಎಂಬ ಆರು ಪರಿಮಾಣಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ ಕೆಳಗಿನ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ನಮೂಡಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಇವಕ್ಕೆ ವಿಭಾಜಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು (ಡಿವೈಡೆಡ್ ಡಿಫರೆನ್ಸ್‌್ಸ) ಎಂದು ಹೆಸರು.
ವಿಭಾಜಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು
	ಣ	ಜಿ(ಣ)	ಪ್ರಥಮ ಹಂತ	ದ್ವಿತೀಯ ಹಂತ	ತೃತೀಯ ಹಂತ
	ಣ೦	ಣo೨			
	ಣ೧	ಣ೧೨			——
	ಣ೨	ಣ೨೨		——	——
	ಣ೩	ಣ೩೨	——	——	——
ತೃತೀಯ ಹಂತದ ವಿಭಾಜಿತವ್ಯತ್ಯಾಸ  ಗಳ ಬೆಲೆ ಏನೇ ಇದ್ದರೂ ಸೊನ್ನೆ ಯಾಗುವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಜಿ(ಣ) = ಣ೨ ಎಂದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವ ಬದಲು ಜಿ(ಣ) =ಛಿಣ೨ ಎಂದಿಟ್ಟುಕೊಂಡಿದ್ದರೂ (ಛಿ ಸ್ಥಿರಸಂಖ್ಯೆ ) ತೃತೀಯಹಂತದ ವಿಭಾಜಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೊನ್ನೆಯೇ ಆಗುತ್ತಿತ್ತು. ಜಿ(ಣ) =bಣ ಆದಾಗ (b ಸ್ಥಿರಸಂಖ್ಯೆ) ತೃತೀಯ ಹಂತದಲ್ಲಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲದೆ ದ್ವಿತೀಯ ಹಂತದಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ವಿಭಾಜಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳೂ ಸೊನ್ನೆ ಆಗುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಜಿ(ಣ) =ಚಿ (ಸ್ಥಿರಸಂಖ್ಯೆ) ಆದಾಗ ಎಲ್ಲ ಹಂತಗಳಲ್ಲೂ ವಿಭಾಜಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಸೊನ್ನೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಈಗ ಜಿ(ಣ) = ಚಿ+ bಣ +ಛಿಣ೨ ಆದಾಗ ಜಿ(ಣ) ಯ ವಿಭಾಜಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿಗೆ ಚಿ, bಣ, ಛಿಣ೨ ಪದಗಳು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ  ಭಾಗಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಸಂದಾಯಮಾಡುವುದರಿಂದ ಮತ್ತೆ ತೃತೀಯ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಜಿ(ಣ) ಯ ವಿಭಾಜಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಶೂನ್ಯವಾಗುವುದು. ಇದೇ ಪ್ರಕಾರ   ಧನ ಪುರ್ಣಾಂಕ) ಆಗಿ (ಇಂಥ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಬಹುಪದಿಗಳೆನಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ) ಜಿ(ಣ) ಯ (ಟಿ+೨) ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದಾಗ (ಟಿ+೧) ನೆಯ ಹಂತದ ವಿಭಾಜಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೊನ್ನೆಯಾಗುತ್ತದೆಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು; ಆದರೆ ಸರಳತೆಯ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಸದ್ಯಕ್ಕೆ ಜಿ(ಣ)=ಚಿ+bಣ+ಛಿಣ೨  ಎಂದು ಮಾತ್ರ ಭಾವಿಸೋಣ. ವಿಭಾಜಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಜಿ(ಣ೦ ; ಣ೧)ರ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯ ಮೇರೆಗೆ
	……(೨೧)
 ರ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯ ಮೇರೆಗೆ
  ಅಥವಾ
					….(೨೨)
ಅಂತೆಯೇ    
	…..(೨೩)
 ಆದಕಾರಣ [೨೧], [೨೨], [೨೩] ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕೂಡಿ ಣ೦=ಣ ಎಂದು ಬರೆದರೆ
				…..(೨೪)
ಎಂಬ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸೂತ್ರ ಸ್ಥಾಪಿತವಾಗುವುದು. ಇದಕ್ಕೆ ನ್ಯೂಟನ್ ಸೂತ್ರವೆಂದು ಹೆಸರು.  ಎಂಬ ಮೂರು ಜೊತೆ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕೊಟ್ಟಾಗ ಇಡಿ ಜಿ(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನೇ ಈ  ಸೂತ್ರದಿಂದ ಗೊತ್ತುಮಾಡಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಜಿ(೧) = ೬, ಈ(೨) = ೨೦, ಈ(೫) = ೧೨೨ ಆಗಿರಲಿ. ವಿಭಾಜಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗಿದೆ.
             ವಿಭಾಜಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸ
	ಣ	ಜಿ(ಣ)	ಪ್ರಥಮ ಹಂತ	ದ್ವಿತೀಯ ಹಂತ	
	ಣ೧=೧	೬		
	ಣ೨=೨	೨೦		——
	ಣ೩=೫	೧೨೨	——	——
ಆದ್ದರಿಂದ ನ್ಯೂಟನ್ ಸೂತ್ರದಂತೆ
    	. . . .(೨೫)
ಈ ಉಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಣ ಗೆ ೧, ೨  ಮತ್ತು ೫ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ ಜಿ(ಣ) ಅಪೇಕ್ಷಿಸಿದಂತೆ ಕ್ರಮವಾಗಿ ೬, ೨೦ ಮತ್ತು ೧೨೨ ಎಂಬ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಗಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವಿಜ್ಞಾನವೊಂದರಲ್ಲಿ ಣ ಮತ್ತು ಜಿ(ಣ) ಗಳು ಒಂದನ್ನೊಂದು ದೃಢವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿಸುವ ಎರಡು ಭೌತ ಪರಿಮಾಣಗಳಾಗಿರಬಹುದು; ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಣ ವಿದ್ಯುಸ್ಮಂಡಲವೊಂದರಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ ಇರಬಹುದಾದ ವಿಭವ ವ್ಯತ್ಯಾಸ (ಪೊಟೆನ್ಮಿಯಲ್ ಡಿಫರೆನ್ಸ್‌), ಜಿ(ಣ) ಆ ಮಂಡಲದ ಇನ್ನೆರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ ಹರಿಯುವ ವಿದ್ಯುತ್ಪ್ರವಾಹ (ಎಲೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ ಕರೆಂಟ್); ಅಥವಾ ಸಮಾಜವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಣ, ಜಿ(ಣ) ಒಂದನ್ನೊಂದು ಸಡಿಲವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿಸುವ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯಾಪರಿಮಾಣಗಳಾಗಿರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಣ ಹಳ್ಳಿಯೊಂದರಲ್ಲಿರುವ ಶಿಕ್ಷಕರ ಸಂಖ್ಯೆ, ಜಿ(ಣ) ಒಂದು ಗೊತ್ತಾದ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಆ ಹಳ್ಳಿಗರ ಪೈಕಿ ಅಕ್ಷರಸ್ಥರಾದವರ ಸಂಖ್ಯೆ. ಹಾಗಾದಲ್ಲಿ ಜಿ(೧) = ೬, ಜಿ(೨) = ೨೦, ಜಿ(೫) =೧೨೨ ಎಂಬಂಥ ಮಾಹಿತಿಗಳು ಸಂಡೋಧಕರಿಗೆ ಪ್ರಯೋಗದ ಅಳತೆಗಳಿಂದ ಅಥವಾ ಜನಗಣತಿಯಿಂದ ಲಭಿಸುತ್ತವೆ. ಇಂಥ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಣ, ಜಿ(ಣ) ಗಳ ಸಂಬಂಧ ಜಿ(ಣ) = ಚಿ + bಣ +ಛಿಣ೨ ಅಥವಾ  ರೂಪದಲ್ಲೇ ಇರಬೇಕೆಂಬ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಆಶ್ವಾಸನೆಯೇನೂ ಇರುವುದಿಲ್ಲ; ಅದಾಗ್ಯೂ ಆ ಸಂಬಂಧದ ನಿಖರ ಸ್ವರೂಪ ಅಜ್ಞಾತವಾಗಿರುವಾಗ ಅದು ಸರಿಸುಮಾರಾಗಿಯಾದರೂ ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆಂದು ಭಾವಿಸುವುದರಿಂದ ಸಂಶೋಧನೆಗಳ ಪ್ರಗತಿಗೆ ಸರಳವಾದ ಗಣಿತೀಯ ಆಯಕಟ್ಟೊಂದು ದೊರಕಿ ಅನುಕೂಲವಾಗುವುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಣ= ೩ ಆದಾಗ ಜಿ(ಣ) ಎಷ್ಟಾಗುತ್ತದೆಂದು ನೇರವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯದೆ ಇರುವಾಗ ಆ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಶೋಧಕರಿಗೆ ಅಂದಾಜೊಂದು ಆವಶ್ಯಕವಾಗಬಹುದು. ಹಾಗಾದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣ [೨೫] ರೊಳಗೆ ಣ = ೩ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿ ಜಿ(೩) = ೪೪ ಎಂಬ ಅಂದಾಜನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದಷ್ಟೆ. ಅಂದಾಜಿಗೆ ಸಂಬಂಧಪಟ್ಟ ಣ ಯ ಬೆಲೆ (ಣ=೩) ಸಂಶೋಧಕರು ನೇರ ಅಳತೆ/ಎಣಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಿದ ಣಯ ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಬೆಲೆಗಳ (ಣ=೧, ಣ=೫) ನಡುವೆ ಇದ್ದಾಗ ಅಂತರ್ವೇಶನ (ಇಂಟರ್ ಪೊಲೇಷನ್) ಎಂದೂ ಆಚೆ ಇದ್ದಾಗ ಬಹಿರ್ವೇಶನ (ಎಕ್ಸ್‌ ಟ್ರಾಪೊಲೇಷನ್) ಎಂದೂ ಇಂಥ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕೆ ಹೆಸರಿದೆ. ಹೀಗೆ ಅಜ್ಞಾತ ಜಿ(ಣ) ಬೆಲೆಗಳನ್ನಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲದೆ ಕೆಲವು ವೇಳೆ ಜಿ(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನದ ಹಲವಾರು ನಿಷ್ಪನ್ನ ಅಥವಾ ಸಮಾಸ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಸಂಶೋಧಕರು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿ ಬರಬಹುದು; ಆಗಲೂ [೨೫] ರಂಥ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಒದಗಿಸುವ ಜಿ(ಣ)ಯ ಸರಿಸುಮಾರು ಉಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಅಜ್ಞಾತ ಜಿ(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನದ ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿಕೊಂಡು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ನಿಷ್ಪನ್ನ ಹಾಗೂ ಸಮಾಸಗಳ ಅಂದಾಜು ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು.
  
ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ ಟಿನೆಯ ಹಂತದವರೆಗಿನ ವಿಭಾಜಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಎಂದಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದಲ್ಲಿ ನ್ಯೂಟನ್ ಸೂತ್ರ [೨೪] ಕೆಳಗೆ ತೋರಿಸಿರುವ ರೂಪವನ್ನು ತಾಳುವುದು.
        
ಈ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಣ೧,ಣ೨,…..ಣಟಿ+೧ ಗಳ ಬೆಲೆಗಳ ಅವರೋಹಣ ಪರಿಮಾಣ ಕ್ರಮದಲ್ಲಾಗಲಿ (ಡಿಸೆಂಡಿಂಗ್ ಆರ್ಡರ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಗ್ನಿಟ್ಯೂಡ್) ಆರೋಹಣ ಪರಿಮಾಣದಲ್ಲಾಗಲಿ (ಅಸೆಂಡಿಂಗ್ ಆರ್ಡರ್) ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಮಾಣಕ್ರಮವಿಲ್ಲದಂತಾಗಲಿ ಇರಬಹುದು;   ಎಂಬ ಟಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಸಹ ಕ್ರಮರಹಿತವಾಗಿರಬಹುದು. ಆದರೆ ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳೆಲ್ಲವೂ ಪರಸ್ಪರ ಸಮವಾಗಿರುವಂಥ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಸಂಗಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಾಧಾನ್ಯ ಸಲ್ಲುವುದು. ಇಂಥ ಪ್ರಸಂಗದಲ್ಲಿ 
	……(೨೭)
ಆಗಿರಲಿ. ಈಗ  ಗಳು ಆರೋಹಣ ಅಥವಾ ಅವರೋಹಣ ಪರಿಮಾಣ ಕ್ರಮದಲ್ಲೇ ಇರುತ್ತವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ  ಎಂಬ ಉತ್ಪನ್ನ ಪರಿವರ್ತಕ ಸಂಕೇತವನ್ನು (ಆಪರೇಟರ್ ಸಿಂಬಲ್) ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುತ್ತೇವೆ:
		
[ಕೆಲವು ವೇಳೆ  ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಾಗುವ ಇ ಎಂಬ ಇನ್ನೊಂದು ಉತ್ಪನ್ನ ಪರಿವರ್ತಕವೂ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗುವುದು; ಆದರೆ ಪ್ರಸಕ್ತ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಇ ಯನ್ನು ಬಳಸುವುದಿಲ್ಲ].  ಎಂದರೆ   ಎಂದು ಅರ್ಥ. ಇದು  ಸಮ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಇದೇರೀತಿ  ಮುಂತಾದ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನೆಲ್ಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಬಹುದು;  i= ೧, ೨, ೩, ... ಗಳಿಗೆ   ಆಗುವುದು. ಈಗ [೨೭]ರಿಂದ ವ್ಯಕ್ತವಾಗುವ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಸಂಗದಲ್ಲಿ ನ್ಯೂಟನ್ ಸೂತ್ರ [೨೬]
	
	……(೨೮)
ಎಂಬ ರೂಪವನ್ನು ತಾಳುತ್ತದೆ. ಸೂತ್ರ [೨೮]ಕ್ಕೆ ನ್ಯೂಟನ್-ಗ್ರಿಗರಿಸೂತ್ರವೆಂದು ಹೆಸರು. ಆಗಲೇ ತಿಳಿಸಿರುವಂತೆ ಇಂಥ ಸೂತ್ರಗಳ ಮೂಲಕ ಜಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿಷ್ಪನ್ನ ಹಾಗೂ ಸಮಾಸ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು. ಸಮಾಸ ಬೆಲೆಗಳ ಅಂದಾಜಿಗಾಗಿ ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಿದ ಮೂರು ವಿಶಿಷ್ಟಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಈಗ ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲೆಲ್ಲ ಓ ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಧನಪುರ್ಣಾಂಕವೆಂದೂ U = ಖಿ+ಓಊ ಎಂದೂ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು. ಓ = ೨, ೪, ೬ ... ಆದಾಗ 
  
ಇದಕ್ಕೆ ಸಿಮ್ಸನ್ ಮೂರನೆಯ-ಒಂದು ಸೂತ್ರ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಇದನ್ನು ವ್ಯುತ್ಪಾದಿಸಲು ಎಂಬ  ಅಂತರಗಳ ಪೈಕಿ ಒಂದೊಂದರಲ್ಲೂ ಜಿ(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನ  ರೂಪದಲ್ಲಿದೆಯೆಂದು ಭಾವಿಸಬೇಕು; ಮತ್ತು ಅವುಗಳೊಂದೊಂದರಲ್ಲೂ ನ್ಯೂಟನ್-ಗ್ರಿಗರಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪ್ರಯೋಗಿಸಿ ಜಿ(ಣ) ಯನ್ನು ಸಮಾಸೀಕರಿಸಬೇಕು. ಇದೇ ಪ್ರಕಾರ ಹಲವಾರು ಅಂತರಗಳ ಪೈಕಿ ಒಂದೊಂದರಲ್ಲೂ ಜಿ(ಣ)=   ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದಲ್ಲಿ ಓ = ೩, ೬, ೯,... ಆದಾಗ
  
ಇದಕ್ಕೆ ಸಿಮ್ಸನ್ ಎಂಟನೆಯ-ಮೂರು ಸೂತ್ರ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಕೊನೆಯದಾಗಿ ಓ=೬, ೧೨, ೧೮, . . . . ಆದಾಗ

ಇದಕ್ಕೆ ವೆಡ್ಲ್‌ ಸೂತ್ರವೆಂದು ಹೆಸರು; ಹಲವಾರು ಅಂತರಗಳ ಪೈಕಿ ಒಂದೊಂದರಲ್ಲೂ   ಎಂದು ಭಾವಿಸುವುದರಿಂದ ಇದು ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ.
ಸಾಂತ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಾಂತವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸಮೀಕರಣಗಳೆಂಬ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣವಿದೆ. ಇವು ಸಾಧಾರಣವಾಗಿ  ಜಿ(ಣ), ಜಿ(ಣ+೧), ಜಿ(ಣ+೨)  ಮುಂತಾದ ಜಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಬೆಲೆಗಳ ನಡುವೆ ಇರಬೇಕೆಂದು ಅಪೇಕ್ಷಿಸಲಾದ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತವೆ; ಂ(ಣ) ಜಿ(ಣ)+ಃ(ಣ) ಜಿ(ಣ+೧) + ಅ (ಣ) ಜಿ(ಣ+೨) =೦ ಎಂಬುದು ಇಂಥ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೊಂದು ನಿದರ್ಶನ. ಈ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಸರಿ ಹೊಂದುವ ಜಿ(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಸಾಂತ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸಮೀಕರಣ ಪ್ರಕರಣದ ಸಮಸ್ಯೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಜಿ(ಣ) ಕೇವಲ ಬಹುಪದಿಯಾಗಿರಬೇಕೆಂಬ ಭಾವನೆಯನ್ನು ಸಡಿಲಗೊಳಿಸಿ ಣ ಧನ ಪುರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗಲೆಲ್ಲ ಜಿ(ಣ) ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬೇಕೆಂಬ ನಿಬಂಧನೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಇಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. 
ಏರಿಳಿತಗಳ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ : ಕೆಲವು ನಿಬಂಧನೆಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟ ಚರವೊಂದು ಅದಕ್ಕೆ ಪ್ರಾಪ್ತವಾಗಬಹುದಾದ ಬೆಲೆಗಳ ಪೈಕಿ ಯಾವ ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ (ಅಥವಾ ಗರಿಷ್ಠ) ಆದುದನ್ನು ಗಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ತುಂಬ ಮುಖ್ಯವಾದದ್ದು. ಸರಳ ಪ್ರಸಂಗಗಳಲ್ಲಿ ಇಂಥ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ನೆರವಿನಿಂದಲೇ ಬಿಡಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಚಿತ್ರ (೯)ರಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ. ಇದರಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಿದ್ದಷ್ಟು ಉದ್ದವಿರುವ ನುಣುಪಾದ ತಂತಿಯೊಂದನ್ನು ಂಒ, ಒಏ ಸರಳರೇಖಾಖಂಡಗಳ ಜೋಡಣೆಯ ಆಕಾರವನ್ನು ತಾಳುವಂತೆ ಅದರ ಮಧ್ಯಬಿಂದು ಒನಲ್ಲಿ ಬಗ್ಗಿಸಲಾಗಿದೆ; ಮತ್ತು ಅದರ ಮೂಲಕ ಂ ಮತ್ತು ಏ ಎಂಬ ಎರಡು ಸ್ಥಿರಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕ ಕಲ್ಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ತಂತಿಗೆ ಪೋಣಿಸಿರುವ ಒಂದು ನುಣುಪಾದ ಮಣಿಯನ್ನು ಂಯಲ್ಲಿ ವೇಗರಹಿತವಾಗಿ ಬಿಡುಗಡೆ ಮಾಡಿದರೆ ಪ್ರತಿರೋಧವಿಲ್ಲದೆ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಪ್ರಭಾವದಿಂದ (ಹಾಗೆ ನಾವು ಭಾವಿಸೋಣ) ಅದು ಕೆಳಕ್ಕೆ ಜಾರುತ್ತ ಯಾವುದೋ ಒಂದು ಕಾಲಾವಧಿ ಜಿ ಬಳಿಕ ಏ ಬಿಂದುವನ್ನು ತಲುಪುವುದು. (ತೀರ ಮೊನಚಾದ ಕೋನ ಬಾರದಂತೆ ಅಯ ಬಳಿ ತಂತಿಯನ್ನು ಕ್ರಮ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಬಗ್ಗಿಸಿದ್ದರೆ ಮಣಿಯ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಚಲನೆಗೆ ಅಲ್ಲಿ ಅಡಚಣೆಯುಂಟಾಗುವುದಿಲ್ಲ). ಮಣಿ ಂಯಿಂದ ಏಗೆ ಅತ್ಯಂತ ಕ್ಷಿಪ್ರವಾಗಿ ಜಾರಬೇಕಾದರೆ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವಿನ್ಯಾಸವೆಂತಿರಬೇಕು ? ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಂ,ಏ ಗಳ ನಡುವೆ ಇರುವ ದೂರ ಛಿ (ಇದೊಂದು ಸ್ಥಿರ ಪರಿಮಾಣ), ಕೋನ ಏಂಅಯು  (ಇದೂ ಸ್ಥಿರವೇ) ಮತ್ತು ಕೋನ ಒಂಏ=ಕೋನ ಒಏಂ = ಣ (ಇದು ಚರ). ಈಗ ಮಣಿ ಂ ಯಿಂದ ಒ ಗೆ ಚಲಿಸಲು 

 ಯಷ್ಟು ಕಾಲವನ್ನೂ ಒ ನಿಂದ ಏಗೆ ಚಲಿಸಲು

ಯಷ್ಟು ಕಾಲವನ್ನೂ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದೆಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು ; ಇಲ್ಲಿ g ಭೂಗುರುತ್ವವೇಗೋತ್ಕರ್ಷ (ಆಕ್ಸಿಲರೇಷನ್ ಆಫ್ ಗ್ರಾವಿಟಿ). ಆದ್ದರಿಂದ ಮಣಿಯ ಚಲನೆಯ ಒಟ್ಟು ಕಾಲ . ಈಗ  ಆದಾಗ ಜಿ(ಣ) ಕನಿಷ್ಠವಾಗುವುದೆಂದು ಹಿಂದೆ ಮನಗಂಡಿದ್ದೇವಷ್ಟೆ. ಜಿ(ಣ) ಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿದ್ದಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಈಗ ಅದರ ಪ್ರಥಮ ಹಾಗೂ ದ್ವಿತೀಯ ನಿಷ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಮಾಡಿ ಣ ಯ ಯಾವ ಬೆಲೆಗೆ ಜಿ’(ಣ)=೦, ಜಿ”(ಣ)>೦ ಆಗುವುದೆಂದು ಗೊತ್ತು ಮಾಡಲು ತತ್ತ್ವಶಃ ಸಾಧ್ಯವಿದೆಯಷ್ಟೆ. (ಪ್ರಸ್ತುತ ನಿದರ್ಶನದಲ್ಲಿ ಅಂಥ ಣ ಬೆಲೆಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ತುಂಬ ಜಟಿಲವೂ ಪ್ರಯಾಸಕರವೂ ಆಗುತ್ತದೆ ; ಆದರೆ ಈ ವಿಚಾರ ನಾವು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಿರುವ ವಿವೇಚನೆಗೆ ಅಪ್ರಕೃತ). ಈ ರೀತಿ ಕನಿಷ್ಠಕಾರಕ ಣ ಯನ್ನು ನಿಷ್ಕರ್ಷಿಸಿದ ಕೂಡಲೆ ಮಣಿಯ ಕ್ಷಿಪ್ರತಮ ಚಲನೆಗೆ ಅವಶ್ಯವಾದ ವ್ಯವಸ್ಥಾವಿನ್ಯಾಸವೂ ಇತ್ಯರ್ಥವಾಗುವುದು. ಕನಿಷ್ಟಗೊಳಿಸಬೇಕಾಗಿರುವ ಜಿ ಚರ ಣ ಎಂಬ ಏಕಮಾತ್ರ ಪ್ರಾಚಲವನ್ನು (ಪ್ಯರಾಮೀಟರ್) ಅವಲಂಬಿಸುವುದೇ ಇಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠೀಕರಣ ಸಮಸ್ಯೆ ಕೇವಲ ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಆಯಕಟ್ಟಿನೊಳಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಲು ಕಾರಣ. ಅಂತೆಯೇ ತಂತಿಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಬಗ್ಗಿಸಬೇಕೆನ್ನುವ ಬದಲು ಎಲ್ಲಿ ಬೇಕಾದರೂ (ಎರಡೆರಡು ಸರಳ ರೇಖಾಖಂಡಗಳಾಗುವಂತೆ) ಬಗ್ಗಿಸಬಹುದೆಂಬ ನಿಯಮವನ್ನಿಟ್ಟುಕೊಂಡರೆ ಮಣಿಯ ಚಲನೆ ಎರಡು ಪ್ರಾಚಲಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸುವುದು ; ತಂತಿಗಳನ್ನು ಮೂರು ಸರಳರೇಖಾಖಂಡಗಳ ಜೋಡಣೆಯಾಗುವಂತೆ ಯಾವುದಾದರೂ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಬಗ್ಗಿಸಲು ಅನುಮತಿಯಿತ್ತರೆ ಆ ಚಲನೆ ನಾಲ್ಕು ಪ್ರಾಚಲಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸುವುದು. ಕನಿಷ್ಠೀಕರಿಸಬೇಕಾದ ಚರ (ಇಲ್ಲಿ ಮಣಿಯ ಚಲನೆಯ ಅವಧಿ) ಸಾಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯಷ್ಟು (ಫೈನೈಟ್ ನಂಬರ್) ಪ್ರಾಚಲಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರವೇ ಅವಲಂಬಿಸುವ ಇಂಥ ಎಲ್ಲ ಪ್ರಸಂಗಗಳಲ್ಲೂ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಕನಿಷ್ಠೀಕರಣವನ್ನು ಕೇವಲ ಅವಕಲನ ಶಾಸ್ತ್ರದ ನೆರವಿನಿಂದ ನಿರ್ವಹಿಸಲು ತತ್ತ್ವಶಃ ಸಾಧ್ಯ. ಆದರೆ ತಂತಿಗಳನ್ನು ಇಡಿಯಾಗಿ ನಮಗೆ ಇಚ್ಛೆ ಬಂದಂತೆ ಅನೇಕ ವಕ್ರರೇಖೆಗಳ ಆಕಾರಗಳಲ್ಲಿ ಸಹ ಬಗ್ಗಿಸಬಹುದಷ್ಟೆ (ಚಿತ್ರ ೧೦). ಅಂಥ ಎಲ್ಲ ವಕ್ರರೇಖಾವಿನ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಯಾವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಮಣಿಯ ಚಲನೆ ಕ್ಷಿಪ್ರತಮವಾಗುವುದೆಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಉತ್ತರಿಸಲು ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಅಸಮರ್ಥವಾಗುವುದು ; ಈಗ ಮಣಿಯ ಚಲನೆಯ ವೈಖರಿ ಸಾಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯಷ್ಟು ಪ್ರಾಚಲಗಳ ಬದಲು ಒಂದು ಇಡೀ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಆಕಾರವನ್ನೇ ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದು. ಇಂಥ ಹೊಸ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠೀಕರಣ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರ ನೀಡಬಲ್ಲ ಗಣಿತ ಶಾಖೆಯೇ ಏರಿಳಿತಗಳ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ (ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಆಫ್ ವೇರಿಯೇಷನ್ಸ್‌)  	       (ಎಸ್.ಆರ್.ಎಂ.)
ಏರಿಳಿತಗಳ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಏಕಚರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠಗಳನ್ನೂ ಅಭ್ಯಸಿಸುವ ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ವಿಸ್ತರಣೆ. ಇಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಗರಿಷ್ಠಗಳನ್ನೂ ಸ್ಥಾಯೀ ಬೆಲೆಗಳನ್ನೂ (ಸ್ಟೇಷನರಿ ವ್ಯಾಲ್ಯೂಸ್) ಒಳಗೊಂಡ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ವಿಚಾರ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಚರಗಳುಳ್ಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕುರಿತು ಹೇಳುವುದಿಲ್ಲ ; ಬದಲು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಅಥವಾ ಉತ್ಪನ್ನಕಗಳ (ಫಂಕ್ಷನಲ್ಸ್‌) ಗರಿಷ್ಠ ಕನಿಷ್ಠಗಳನ್ನು ಶೋಧಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸ್ವತಂತ್ರ ಚರಗಳ ಸ್ಥಾನವನ್ನೀಗ ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಚರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಪಡೆಯುತ್ತವೆ. ಗರಿಷ್ಠ ಕನಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಸ್ಥಾಯೀ ಬೆಲೆಗಳಿಗಾಗಿ ನಾವು ಹುಡುಕುವ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಚರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಸಮಾಸಾಂಕ (ಇಂಡೆಗ್ರಲ್) ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ದತ್ತ ಸಮಾಸಾಂಕಕ್ಕೆ ಗರಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ ಬೆಲೆ ಇರುವಂತೆ ಸ್ವೀಕರಿಸಬಹುದಾದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಒಂದು ವರ್ಗದಿಂದ (ಕ್ಲಾಸ್) ಸೂಕ್ತವಾದ ಉತ್ಪನ್ನ ಅಥವಾ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಆರಿಸುವುದೇ ಪ್ರಶ್ನೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ೧ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಮೇಲೆ ಹ್ರಸ್ವತಮ ರೇಖೆಗಳು (ಜಿಯೇಡೆಸಿಕ್ಸ್‌)ಃ ಒಂದು ಮೇಲ್ಮೈಯ ಮೇಲಣ ಎರಡು ದತ್ತ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮತ್ತು ಆ ಮೇಲ್ಮೈಮೇಲಿರುವ ಹ್ರಸ್ವತಮ ರೇಖೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುವ ವಿಧಾನ. ದತ್ತ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು x=x (u,v), ಥಿ=ಥಿ (u,v), z=z (u, v) ಎಂದು ತೆಗೆದು ಕೊಂಡು ವಾಡಿಕೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಂದ

ಇತ್ಯಾದಿ)
ಎಂದು ಬರೆದರೆ ಆಗ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಮೇಲಣ u೦,u೧ ಬಿಂದುಗಳ v=v(u) ರೇಖೆಯ ಉದ್ದವನ್ನು

 ಕೊಡುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮಾಸಾಂಕ ಕನಿಷ್ಠವಾಗುವಂತೆ uವಿನ ಉತ್ಪನ್ನ v ಯನ್ನು ಪಡೆಯುವುದೇ ಪ್ರಶ್ನೆ.
೨ ಹ್ರಸ್ವಕ್ಷೇತ್ರೀಯ (ಮಿನಿಮಲ್) ಪರಿಭ್ರಮಣ ಮೇಲ್ಮೈ (ಸರ್ಫೇಸ್ ಆಫ್ ರಿವೊಲ್ಯೂಷನ್):  ರೇಖೆಯನ್ನು x-ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ಪರಿಭ್ರಮಿಸಿದರೆ ಒದಗುವ ಪರಿಭ್ರಮಣ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಮೇಲೆ x೦ ಗೂ x೧ ಕ್ಕೂ ನಡುವೆ ಇರುವ ಭಾಗದ ಕ್ಷೇತ್ರಫಲ 
 ಇಲ್ಲಿ 
೩ ಬ್ರಾಕಿಸ್ಟೋಕ್ರೋನ್ ಪ್ರಶ್ನೆ ಃ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಕ್ಕೊಳಪಟ್ಟು ಒಂದು ದತ್ತ ಬಿಂದು ಂಯಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಬಿಂದು ಃಗೆ ಬಹುಬೇಗ ಇಳಿಯುವ ರೇಖೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು. ಥಿ-ಅಕ್ಷರವನ್ನು ನೇರ ಅಧೋಮುಖವಾಗಿ (ವರ್ಟಿಕಲಿ ಡೌನ್ವಡ್ರ್ಸ್‌) ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಈಗ ದತ್ತಬಿಂದುಗಳು  ಆಗಿದ್ದರೆ ಂಯಿಂದ ಒಂದು ಕಣ ಥಿ ಎತ್ತರದಷ್ಟು ಬಿದ್ದಾಗ ಅದರ ವೇಗ ಯಿಂದ ಃಗೆ ಬೀಳಲು ಕಾಲ  ಇದನ್ನು ಕನಿಷ್ಠವನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಬೇಕು.
೪ ಸಮಪರಿಧಿಯ ಲೆಕ್ಕ (ಐಸೊಪೆರಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಪ್ರಾಬ್ಲೆಂ) ಃ ದತ್ತಪರಿಧಿ ಮತ್ತು ಅತ್ಯಧಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರಫಲವುಳ್ಳ ಸಂವೃತರೇಖೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು. ರೇಖೆ ಪೀನ (ಕಾನ್ವೆಕ್ಸ್‌) ಆಗಿದೆಯೆಂದು ಭಾವಿಸಿ, x-ಅಕ್ಷ ಅದನ್ನು ಸಮಕ್ಷೇತ್ರವೂ ಸಮಪರಿಧಿಯೂ ಉಳ್ಳಂತೆ ಎರಡು ಭಾಗ ಮಾಡಿದರೆ = ದತ್ತ ಸ್ಥಿರಸಂಖ್ಯೆ =ಟ ಆಗಿರುವಂತೆ  ಗರಿಷ್ಠವಾಗಬೇಕು. ಕಂಸದ ಮೇಲಣ ಉದ್ದ sನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರ ಚರವೆಂದು ಆರಿಸಿದರೆ  ಎಂಬುದು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಬೇಕೆಂಬುದೇ ಪ್ರಶ್ನೆ.
೫ ಕ್ಯಾಟೆನರಿಯ ಪ್ರಶ್ನೆ ಃ ದತ್ತ ಉದ್ದ ಟ ಇರುವ ಒಂದು ಭಾರವಾದ ಸರಪಣಿಯನ್ನು ಅದರ ತುದಿಗಳಿಂದ ನೇತುಹಾಕಿದಾಗ ಅದು ತೂಗುವ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯವಿಕೆ. ಸ್ಥಿತಿಶಾಸ್ತ್ರದ ತತ್ತ್ವಗಳಿಗನುಸಾರವಾಗಿ ಗುರುತ್ವಕೇಂದ್ರದ ಎತ್ತರ ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿರುವಂಥ ವಿರಾಮಸ್ಥಾನ ಒದಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ 
	ಆಗಿರುವಂತೆ   ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿರ ಬೇಕೆಂಬುದೇ ಪ್ರಶ್ನೆ. 
ಆಯಿಲರನ ಸಮೀಕರಣಗಳು: ಏರಿಳಿತಗಳ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಸುಲಭಮಾದರಿಯ ಲೆಕ್ಕವಾಗಿ  ಎಂಬ ಸಮಾಸಾಂಕ ಕನಿಷ್ಠವಾಗುವಂತೆ ಥಿ(x) ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ x೦,x೧,ಥಿ(x೦), ಥಿ(x೧) ದತ್ತ ; ಈ ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಚರಗಳನ್ನು ಕುರಿತು ಎರಡು ಸಲ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನವಾಗಿ ಅವಕಲನೀಯ (ಡಿಫರೆನ್ಷೆಬಲ್) ; ಮತ್ತು ಥಿ(x)ಗೆ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನವಾದ ಎರಡನಿಯ ಅವಕಲನಾಂಕವಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅಂಗೀಕೃತಭಾವನೆಗಳ ಹಿನ್ನೆಲೆಯಲ್ಲಿ ಥಿ(x) ಎಂಬುದು  ಎಂಬ ಅವಕಲನ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಗೊತ್ತಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಇದಕ್ಕೆ ಆಯಿಲರನ ಸಮೀಕರಣವೆಂದು ಹೆಸರು. ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿರತಕ್ಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗೆ, ಆಯಿಲರನ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ.
೧ ಹ್ರಸ್ವತಮರೇಖೆಗಳು ಃ 

೨ ಹ್ರಸ್ವಕ್ಷೇತ್ರೀಯ ಪರಿಭ್ರಮಣ ಮೇಲ್ಮೈ ಃ 

೩ ಬ್ರಾಕಿಸ್ಟೋಕ್ರೋನ್ ಃ 

೪ ಸಮಪರಿಧಿಯ ಲೆಕ್ಕ ಃ 

ಇನ್ನೂ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ರೂಪದ ಲೆಕ್ಕಗಳು.
೧ ಅನೇಕ ಚರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳುಳ್ಳ
 
ಆಯಿಲರನ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಃ 

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಚರ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೂ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವಿದೆ.
೨ ಮೇಲಣ ಅವಕಲನಾಂಕಗಳಿರುವಾಗ 

ಇದಕ್ಕನುಗುಣವಾದ ಆಯಿಲರನ ಸಮೀಕರಣ 

೩ ಅನೇಕ ಸ್ವತಂತ್ರ ಚರಗಳಿರುವಾಗ 

ಈಗ ಆಯಿಲರನ ಪ್ರಮೇಯ  ಎಂಬ ರೂಪವನ್ನು ತಾಳುತ್ತದೆ.
೪ ಇತರ ನಿಬಂಧನೆಗಳಿಂದ ಕೂಡಿರುವ ಏರಿಳಿತಗಳ ಲೆಕ್ಕಗಳು. ಇಂಥ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳ ಅತಿಸುಲಭರೂಪದ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸಮಪರಿಧಿಯ ಲೆಕ್ಕವಿದೆ.  ಸ್ಥಿರ ಆಗಿರುವಂತೆ  ಕನಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿರಬೇಕು. ಈ ಏರಿಳಿತಗಳ ಲೆಕ್ಕದ ಆಯಿಲರನ ಸಮೀಕರಣ ದೊರೆಯಬೇಕಾದರೆ ಸಮಾಸೀಯ (ಇಂಟೆಗ್ರೆಂಡ್) ಈಗೆ ಬದಲು ಈ*=ಈ+ (ಇಲ್ಲಿ  ಒಂದು ಸೂಕ್ತ ಗುಣಾಂಕ) ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಹಾಗೆ ಬಂದ ಸಮಾಸಾಂಕ ಎ* ಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಆಯಿಲರನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೆಗೆದು ಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಈಗ ಅಧಿಕ ನಿಬಂಧನೆಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಬಹುದು.
ಆಯಿಲರನ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಧನೆ ಃ ಕೆಳಗಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಆಯಿಲರನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಸಾಧಿಸಬಹುದು.
೧ ಈನಲ್ಲಿ ಥಿ’ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಸಮೀಕರಣ ಈಥಿ = ೦ ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರಿಂದ ಥಿ ಪಡೆಯಬಹುದು.
೨ ಈನಲ್ಲಿ ಥಿ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಸಮೀಕರಣ ಈಥಿ’= ಸ್ಥಿರ ಎಂದು ಕೊಡುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ  
೩ ಈನಲ್ಲಿ x ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಈ=ಈ(ಥಿ,ಥಿ’). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಆಯಿಲರನ ಸಮೀಕರಣ ಈ(ಥಿ,ಥಿ’)-ಥಿ’ಈಥಿ’(ಥಿ,ಥಿ’)=ಛಿ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಸರಿಸಮಾನವೆಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ತೋರಿಸಬಹುದು. ಇದರಿಂದ ಥಿ’ನ್ನು  ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪಡೆದು ಅದರಿಂದ  ದೊರೆಯುತ್ತದೆ. 
ಮೇಲೆ ಕೊಟ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗೆ ಇವನ್ನು ಪ್ರಯೋಗಿಸುವುದರಿಂದ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ದೊರೆಯುತ್ತವೆ.
(ಎ) ಬ್ರಾಕಿಸ್ಟೋಕ್ರೋನ್ ಃ 

 ಇದು ಸೈಕ್ಲಾಯ್ಡ್‌.
(ಬಿ) ಹ್ರಸ್ವಕ್ಷೇತ್ರೀಯ ಪರಿಭ್ರಮಣ ಮೇಲ್ಮೈ ಃ    ಇದು ಕ್ಯಾಟೆನರಿ.
(ಸಿ) ಸಮಪರಿಧಿಯ ಲೆಕ್ಕ ಃ 
 
ಇದು ವೃತ್ತ.
(ಜ) ಕ್ಯಾಟೆನರಿಯ ಲೆಕ್ಕ:   ಈ* ದಲ್ಲಿ x ಇಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ  ಇದು ಕ್ಯಾಟೆನರಿ.
ಏರಿಳಿರಗಳ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಗಣಿತೀಯ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅವಕಲನ ಸಮೀಕರಣಗಳು: ಗಣಿತೀಯ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅವಕಲನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಒಂದು ಗತಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ (ಡೈನಮಿಕಲ್ ಸಿಸ್ಟಂ) ಚಲನೆಯ ಲಾಗ್ರಾಂಜನ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಏರಿಳಿತಲೆಕ್ಕವಾದ 
 ಕನಿಷ್ಠ (ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ನನ ತತ್ತ್ವ) ಎಂಬುದರ ಆಯಿಲರನ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಇಲ್ಲಿ ಖಿ ಎಂಬುದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಚಲನ ಶಕ್ತಿ (ಕೈನೆಟಿಕ್ ಎನರ್ಜಿ), ಗಿ ವಿಭವಶಕ್ತಿ (ಪೊಟೆನ್ಯಿಯಲ್ ಎನರ್ಜಿ).ತೂಗಾಡುವ ದಾರಗಳ ಮತ್ತು ತಟ್ಟೆಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯಯಲ್ಲಿ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ನನ ತತ್ತ್ವದಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಅನೇಕ ಭೌತ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಲ್ಲಿ ಬರುವ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ ಲಾಪ್ಲಾಸನ ಸಮೀಕರಣ  ಎಂಬುದು 
 ಕನಿಷ್ಠ ; ಸರಹದ್ದಿನ ಮೇಲೆ u ದತ್ತ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಯ ಆಯಿಲರನ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿರುವುದು. ಅನೇಕ ಇತರ ದೃಷ್ಟಾಂತಗಳನ್ನು ಕೊಡಲು ಸಾಧ್ಯ. 	(ವಿ.ಆರ್.ಟಿ.)
ತಾರ್ಕಿಕ ಕಲನಕ್ರಿಯೆಗಳು : (ಪ್ರಾಪೊಸಿóಷನಲ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್, ಪ್ರೆಡಿಕೇಟ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್) ಃ ಕನ್ನಡ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಮುಂತಾದ ಆಧುನಿಕ ಭಾಷೆಗಳ ಲಿಖಿತರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಅಕ್ಷರಗಳೆನಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಕೆಲವೇ ಬಿಡಿ ಸಂಕೇತಗಳು ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಗೋಚರಿಸುತ್ತವಷ್ಟೆ. ಈ ಅಕ್ಷರಸಂಕೇತಗಳ ವಿಧವಿಧ ಜೋಡಣೆಗಳು ಪದಗಳೂ ವಾಕ್ಯಗಳೂ ಆಗುತ್ತವೆ. ಅಕ್ಷರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಾಂತ (ಫೈನೈಟ್); ಪದ, ವಾಕ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಯಾದರೋ ವಿಭವಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅನಂತ (ಪೊಟೆನ್ಯಿಯಲಿ ಇನ್ಫಿನಿಟ್). ಆದರೆ ಅಕ್ಷರಗಳ ಎಲ್ಲ ಬಗೆಯ ಜೋಡಣೆಗಳೂ ಪದಗಳಾಗವು; ಪದಗಳ ಎಲ್ಲ ಬಗೆಯ ಜೋಡಣೆಗಳೂ ವಾಕ್ಯಗಳಾಗವು. ಅಂದಮೇಲೆ ಪ್ರತಿ ಭಾಷೆಯಲ್ಲೂ ವಾಕ್ಯಗಳ ರಚನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಹೆಚ್ಚು ಕಡಿಮೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಕೆಲವಾರು ನಿಯಮಗಳಿರುತ್ತವೆ. ಇಂಥ ನಿಯಮಗಳಿಗೆ ಭಾಷೆಯ ವಾಕ್ಯರಚನಾ ಮೀಮಾಂಸೆ (ಸಿಂಟಾಕ್ಸ್‌) ಎನ್ನಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ ವಾಕ್ಯರಚನೆಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅರ್ಥಸ್ವತಂತ್ರವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು; ರಚಿತವಾಕ್ಯಗಳ ಅರ್ಥಮೀಮಾಂಸೆಯ (ಸೆಮ್ಯಾಂಟಿಕ್ಸ್‌) ಕಡೆ ದೃಷ್ಟಿ ಹರಿಸದೆ ರಚನಾಮೀಮಾಂಸೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅಭ್ಯಸಿಸಲು ಸಾಧ್ಯ. (ವೃತ್ತಾಕಾರದಲ್ಲಿರುವ ಚತುರ್ಭುಜವೊಂದರೊಳಗೆ ಮೂರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅನಿಲಗಳಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ-ಎಂಬ ರಚನೆ ಅರ್ಥಶೂನ್ಯವಾದಾಗ್ಯೂ ಕನ್ನಡದ ವಾಕ್ಯರಚನೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸಿಲ್ಲ ; ವಾಕ್ಯರಚನೆಯ ಮೀಮಾಂಸೆಯನ್ನು ಕುರಿತ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಸಹ ಕ್ರಮಬದ್ಧವೆಂದು ಸ್ವೀಕರಿಸಲಾಗುವುದು.) ಈ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಗಮನದಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ನಾವು ಈ ಕೆಳಕಂಡ ಹನ್ನೆರಡು ಸಂಕೇತಗಳ ಅಕ್ಷರಮಾಲೆಯನ್ನು (ಆಲ್ಫಬೆಟ್) ಆಧರಿಸುವ ಒಂದು ಹೊಸ ಲಿಖಿತ ಭಾಷೆಯನ್ನು ಎರಡು ಭಿನ್ನ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ವಾಕ್ಯ ರಚನಾಮೀಮಾಂಸೆಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಸೃಷ್ಟಿಸೋಣ : 

ನಾವು ಸೃಷ್ಟಿಸುವ ಭಾಷೆಯ ಪ್ರಥಮ ಹಂತಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರಕಲನಭಾಷೆಯೆಂದೂ ಪ್ರಾಪೋಸಿóಷನಲ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್) ದ್ವಿತೀಯಹಂತಕ್ಕೆ ಆಖ್ಯಾತಕಲನಭಾಷೆಯೆಂದೂ (ಪ್ರೆಡಿಕೇಟ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್) ಹೆಸರು. ನಿತ್ಯಜೀವನದ ಭಾಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಪದಗಳನ್ನು ನಾಮವಾಚಕ, ಕ್ರಿಯಾವಾಚಕ ಎಂದು ಮುಂತಾಗಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸಿರುವಂತೆ ನಾವು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತಿರುವ ಭಾಷೆಯಲ್ಲೂ ಹಲವಾರು ಪದಪ್ರಭೇದಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸ್ಥಿರವಾಚಕಗಳೆಂದು (ಇಂಡಿವಿಡ್ಯುವಲ್ ಕಾನ್ಸ್ಟಂಟ್ಸ್‌) ಕರೆಯಲಾಗುವ ಕೆಲವು ಅಕ್ಷರ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ವರ್ಗ ಇಂಥ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಪೈಕಿ ಮೊದಲನೆಯದು. ಸ್ಥಿರವಾಚಕಗಳನ್ನು ನಾವು ಎರಡು ವಿಶಿಷ್ಟ ನಿಯಮಗಳಿಂದ ವ್ಯುತ್ಪಾದಿಸುತ್ತೇವೆ.
ನಿಯಮ ಒಂದು, ಕಿI ಎಂಬುದನ್ನು ಒಂದು ಸ್ಥಿರವಾಚಕವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸತಕ್ಕದ್ದು,
ನಿಯಮ ಎರಡು, x ಒಂದು ಸ್ಥಿರವಾಚಕವಾದಲ್ಲಿ xI ಹಾಗೂ x*I ಗಳನ್ನು ಸಹ ಮತ್ತೆರಡು ಸ್ಥಿರವಾಚಕಗಳೆಂದು ಸ್ವೀಕರಿಸತಕ್ಕದ್ದು.
ಈ ಬಗೆಯ ನಿಯಮಾವಳಿಗಳಿಗೆ ಪದ/ವಾಕ್ಯವ್ಯುತ್ಪಾದಕ ಕಲನಗಳು (ವರ್ಡ್ ಜನರೇಟಿಂಗ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೈ) ಎಂದು ಹೆಸರು. [ಇಲ್ಲಿ ಉಪಯೋಗಿಸುತ್ತಿರುವ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಪದಗಳಿಗೂ ವಾಕ್ಯಗಳಿಗೂ ಭಾವನಾತ್ಮಕ ಭೇದವೇನೂ ಇಲ್ಲ. ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಸಾಲಾಗಿ ಒಂದರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲೊಂದರಂತೆ ಬರೆದು ರಚಿಸಿದ ಎಲ್ಲ ಅಕ್ಷರ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನೂ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ ವಾಕ್ಯ ಗಳೆಂದೇ ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. (ನೋಡಿ- ಆಲ್ಗಾರಿತಂ) ನಿತ್ಯಜೀವನದ ಭಾಷೆಗಳ ವಾಕ್ಯಗಳಿಗೆ ಸರಿಸುಮಾರಾಗಿ ಅನುರೂಪವಾಗುವ ರಚನೆಗಳಾದರೋ ಮುಂದೆ ನಮ್ಮ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸೂತ್ರಗಳೆನಿಸಿ ಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.] ಸ್ಥಿರವಾಚಕಗಳ ವ್ಯುತ್ಪಾದಕ ಕಲನದ ಕ್ರಿಯಾವಿಧಾನವನ್ನು ಚಿತ್ರ (೧೧)ರ ವೃಕ್ಷ ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ x=ಕಿI ಎಂದಿಟ್ಟುಕೊಂಡರೆ x ಒಂದು ಸ್ಥಿರವಾಚಕ (ನಿಯಮ ಒಂದು). ಆದ್ದರಿಂದ xI=ಕಿII ಮತ್ತು x*I=ಕಿI*I ಗಳು ಮತ್ತೆರಡು ಸ್ಥಿರವಾಚಕಗಳು (ನಿಯಮ ಎರಡು). ಚಿತ್ರ (೧೧)ರ ವೃಕ್ಷದಲ್ಲಿ ಕಿI ಮೂಲಕಾಂಡ ಕಿII ಮತ್ತು ಕಿI*I ಕೊಂಬೆಗಳಾಗಿ ಕವಲೊಡೆಯುವುದರಿಂದ ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿ ವ್ಯಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಈಗ x=ಕಿI ಎಂಬ ಗ್ರಹಿಕೆಯನ್ನು ರದ್ದುಗೊಳಿಸಿ x=ಕಿII ಅಥವಾ x=ಕಿI* I ಎಂದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬಹುದಷ್ಟೆ.. ತತ್ಫಲವಾಗಿ ಕಿII ಮತ್ತು ಕಿI*I  ಕೊಂಬೆಗಳು ಮತ್ತೆ ಕವಲೊಡೆದು ಕಿIII ; ಕಿII*I;ಕಿI*II;  ಕಿI*I*I ಗಳಿಗೆ ಜನ್ಮನೀಡುತ್ತವೆ; ಯಥಾಪ್ರಕಾರ ಈ ನಾಲ್ಕು ಅಕ್ಷರ ಸಂಯೋಜನೆಗಳೂ ಸ್ಥಿರವಾಚಕಗಳೇ. ಈ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತ ನಮಗಿಷ್ಟಬಂದಷ್ಟು ಸ್ಥಿರವಾಚಕಗಳನ್ನು ವ್ಯುತ್ಪಾದಿಸಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಓದುಗರು ಕಲನಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೂ ಆಲ್ಗಾರಿತಂ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೂ ಇರುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಆಲ್ಗಾರಿತಂಗಳು ಪರ್ಯಾಯ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳಿಗೆ ಅವಕಾಶವೀಯದೆ ಇಂಥಿಂಥ ವಾಕ್ಯಗಳನ್ನು ಇಂಥಿಂಥ ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕೆಂದು ಕಡ್ಡಾಯವಾಗಿ ಆಜ್ಞಾಪಿಸುತ್ತವೆ; ಕಲನಗಳು ಕಲನೀಯ ಅಕ್ಷರ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಹಲವಾರು ರೂಪಗಳ ಪೈಕಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಅನುಮತಿ ನೀಡುತ್ತವೆ ಮಾತ್ರ.. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಕ್ಷರ ಸಂಯೋಜನೆಯೊಂದರಿಂದ ಹೊರಟಾಗ ಕಲನ ಹಾಗೂ ಆಲ್ಗಾರಿತಂ ಕ್ರಿಯೆಗಳೆರಡು ಹೆಜ್ಜೆ ಹೆಜ್ಜೆಯಾಗಿ ಮುಂದೆ ಸಾಗಬಹುದಾದರೂ ಕಲನಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಮಗಿಷ್ಟಬಂದ ಕಡೆ ನಿಲ್ಲಿಸಿಬಿಡಬಹುದು. ಆಲ್ಗಾರಿತಂ ಕ್ರಿಯೆಯ ನಿಲುಗಡೆ ಮಾತ್ರ ಆ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ ವಿಧ್ಯುಕ್ತವಾಗಿರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳಿಗೇ ಬದ್ಧವಾಗಿರಬೇಕು. ಆಲ್ಗಾರಿತಂ ಕ್ರಿಯೆಗೆ ನಾವು ಇಚ್ಛೆಪಟ್ಟ ಯಾವ ಅಕ್ಷರಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಬೇಕಾದರೂ ಗುರಿಪಡಿಸಬಹುದು; ಆ ಸಂಯೋಜನೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚೆಂದರೆ ಒಂದೇ ಒಂದು ಸಂವಾದಿ ಅಕ್ಷರ ಸಂಯೋಜನೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಲು ಸಾಧ್ಯ. ಕಲನಕ್ರಿಯೆಯಾದರೋ ಒಂದು ಗೊತ್ತಾದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಅಕ್ಷರಸಂಯೋಜನೆಗಳಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಅನಂತ ಪರಂಪರೆಗಳನ್ನೇ ಸೃಷ್ಟಿಸುವುದು.
ನಾವು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತಿರುವ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಗೋಚರಕ್ಕೆ ಬರುವ ಎರಡನೆಯ ಪ್ರಭೇದದ ಪದಗಳಿಗೆ ಚರವಾಚಕಗಳು (ಇಂಡಿವಿಡ್ಯುವಲ್ ವೇರಿಯಬಲ್ಸ್‌) ಎಂದು ನಾಮಕರಣ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರವಾಚಕದಲ್ಲಿರುವ ಕಿ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಖ ಎಂದು ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದಾಗ ಫಲಿಸುವ ಅಕ್ಷರಸಂಯೋಜನೆ ಒಂದು ಚರವಾಚಕವೆನ್ನಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು. ಖI, ಖII, ಖI*I, ಖIII, ಖII*I, ಖI*II, ಖI*I*I ಇಂಥವೆಲ್ಲ ಚರವಾಚಕಗಳು ಇವನ್ನು ವ್ಯುತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಲನ ನಿಯಮಗಳು ಇಂತಿವೆ : ನಿಯಮ ಒಂದು, ಖI ಒಂದು ಚರವಾಚಕ; ನಿಯಮ ಎರಡು, x ಒಂದು ಚರವಾಚಕದಲ್ಲಿ xI ಮತ್ತು x*I ಸಹ ಇನ್ನೆರಡು ಚರವಾಚಕಗಳು. ಸ್ಥಿರ ಹಾಗೂ ಚರವಾಚಕಗಳ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿನಿಯಮಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿರುವ x ಚಿಹ್ನೆ ನಾವು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತಿರುವ ಭಾಷೆಯ ಅಕ್ಷರವಲ್ಲವೆಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತಿರುವ ಭಾಷೆಯನ್ನು ವರ್ಣಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ ನಾವು ಗಣಿತಸಂಸ್ಕೃತಿಯ ಆರೋಪವಿರುವ ಕನ್ನಡ ಭಾಷೆಯ ಒಂದು ವಿಸ್ತೃತರೂಪವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಿದ್ದೇವಷ್ಟೆ. ಈ ಕನ್ನಡಕ್ಕೆ ಅಧಿಭಾಷೆಯೆಂದೂ (ಮೆಟಾಲ್ಯಾಂಗ್ವೇಜ್) ಸೃಷ್ಟಿಯಲ್ಲಿರುವ ಹೊಸಭಾಷೆಗೆ ವಸ್ತುಭಾಷೆಯೆಂದೂ (ಆಬ್ಜಕ್ಟ್‌ ಲ್ಯಾಂಗ್ವೇಜ್) ಕೆಲವು ವೇಳೆ ಹೇಳುವುದುಂಟು. ಮೇಲಿನ x ಚಿಹ್ನೆ ಅಧಿಭಾಷೆಯ ಅಂಗವೇ ವಿನಾ ವಸ್ತು ಭಾಷೆಯದಲ್ಲ.
ನಮ್ಮ ಭಾಷೆಯ ಮೂರನೆಯ ಪದ ಪ್ರಭೇದ ಸಂಬಂಧವಾಚಕಗಳದು (ರಿಲೇಷನ್ ಸಿಂಬಲ್ಸ್‌). ಸಂಬಂಧವಾಚಕಗಳನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ಕಲನ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಪ್ರಯೋಗಿಸಿ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಮಾಡುತ್ತೇವೆ : ನಿಯಮ ಒಂದು, SIP ಎಂಬುದು ಒಂದು ಸಂಬಂಧವಾಚಕವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸತಕ್ಕದ್ದು. ನಿಯಮ ಎರಡು, x ಎಂಬ ಅಕ್ಷರಸಂಯೋಜನೆ Pಯನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳದಿರುವ ಪಕ್ಷದಲ್ಲಿ xಥಿ ಒಂದು ಸಂಬಂಧ ವಾಚಕವಾದರೆ xIಥಿ, x*Iಥಿ, xಥಿP ಇವನ್ನು ಕೂಡ ಮತ್ತೆ ಮೂರು ಸಂಬಂಧವಾಚಕಗಳೆಂದು ಸ್ವೀಕರಿಸತಕ್ಕದ್ದು (ಇಲ್ಲಿ x ಮತ್ತು ಥಿ ಎರಡೂ ಅಧಿಭಾಷೆಯ ಅಂಗಗಳು.) SIP, SIIP, SI*IP, SIPP SIIP, SII*IP SIIPP, SI*IIP, SI*I*IP,  SI*IPP, SIPPP, ಇಂಥವೆಲ್ಲ ಸಂಬಂಧವಾಚಕಗಳೆಂದಾಯಿತು.
ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವಾಚಕದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು P ಕ್ಷರದ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲೂ ಒಂದೊಂದು ಸ್ಥಿರವಾಚಕ ಅಥವಾ ಚರವಾಚಕವನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ ಫಲಿಸುವ ಅಕ್ಷರ ಸಂಯೋಜನೆಗೆ ಸೂತ್ರಮೂಲ (ಅಟಾಮಿಕ್ ಫಾಮುರ್ಯ್‌ಲ, ಆಟಂ) ಎಂದು ಹೆಸರು. SI*IPP ಸಂಬಂಧವಾಚಕ, ಕಿI*II*I ಸ್ಥಿರವಾಚಕ ಮತ್ತು ಖII*I ಚರವಾಚಕವಾದ್ದರಿಂದ SI*IಖII*IಕಿI*II*I ಎಂಬ ವಾಕ್ಯ ಸೂತ್ರಮೂಲಗಳಿಗೆ ಒಂದು ನಿದರ್ಶನ. ಸೂತ್ರಮೂಲಗಳು ನಾವು ಸೃಷ್ಟಿಸತೊಡಗಿರುವ ವಸ್ತುಭಾಷೆಯ ನಾಲ್ಕನೆಯ ಪದಪ್ರಭೇದ. ಇವನ್ನು ಆಧಾರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ಸೂತ್ರಗಳೆಂಬ (ಫಾಮುರ್ಯ್‌ಲ) ಐದನೆಯ ವರ್ಗದ ವಾಕ್ಯ(ಪದ)ಗಳನ್ನು ವ್ಯುತ್ಪಾದಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸೂತ್ರಗಳ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ ನಿಯಮಗಳು ಹೀಗಿವೆ : ನಿಯಮ ಒಂದು; ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೂತ್ರಮೂಲವನ್ನೂ ಒಂದು ಸೂತ್ರವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸತಕ್ಕದ್ದು. ನಿಯಮ ಎರಡು, x ಮತ್ತು ಥಿಗಳು ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸೂತ್ರಗಳಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ [xಥಿ], [ x] ಗಳನ್ನು ಸಹ ಇನ್ನೆರಡು ಸೂತ್ರಗಳೆಂದು ಸ್ವೀಕರಿಸತಕ್ಕದ್ದು. (ಪುನಃ ಇಲ್ಲಿ x,ಥಿ ಅಧಿಭಾಷೆಯ ಅಂಗಗಳು). ಕೆಳಗೆ ಬರೆದಿರುವ ವಾಕ್ಯಗಳು ಇಂಥ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನಿದರ್ಶಿಸುತ್ತವೆ:
[SI*IಖII*IಕಿI*II*];
[SI*IಕಿI*IಕಿII  SI*I*IIಕಿIಖIಖI];
[[SII*IಖI*I  SIIIಕಿI*II]  [SIಕಿIಖII]]
ನಮ್ಮ ವಸ್ತುಭಾಷೆಯ ಪ್ರಥಮಹಂತದ ಸೃಷ್ಟಿಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಈಗ ಅದ್ಯುಕ್ತಿಗಳ (ಆಕ್ಸಿಯಮ್ಸ್‌), ಸಾಧನೆಗಳು (ಪ್ರುಫ್ಸ್‌) ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯಗಳು (ಥಿಯೊರಮ್ಸ್‌) ಎಂಬ ಇನ್ನು ಮೂರು ವಿಧದ ವಾಕ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. x,ಥಿ,z ಗಳು ಯಾವುದೇ ಮೂರು ಸೂತ್ರಗಳಾದಲ್ಲಿ 
		. . . [೨೯]
		. . .  [೩೦]
	[[[  x ]  [ ಥಿ]]  [ಥಿ  x]]	. .. [೩೧]
ಎಂಬ ಮಾದರಿಯ ಸೂತ್ರಗಳಿಗೆ ಅದ್ಯುಕ್ತಿಗಳು ಎಂದು ಹೆಸರು. ಅಂದಮೇಲೆ ಅದ್ಯುಕ್ತಿಗಳು ಕೆಲವಿಶಿಷ್ಟ ರೀತಿಯ ರಚನೆಗಳಿರುವ ಸೂತ್ರಗಳು ಎಂದಾಯಿತು. ಈ ವಿಶಿಷ್ಟ ರಚನೆಗಳಿಗಿರುವ ಮಹತ್ತ್ವ ಮುಂದೆ ವ್ಯಕ್ತವಾಗುವುದು. ಇನ್ನೂ ಸಾಧನೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಕಂಡ ಮೂರು ಕಲನ ನಿಯಮಗಳ ಮೇರೆಗೆ ವ್ಯುತ್ಪಾದಿಸುತ್ತವೆ. ನಿಯಮ ಒಂದು, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅದ್ಯುಕ್ತಿಯನ್ನೂ ಒಂದು ಸಾಧನೆಯೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸತಕ್ಕದ್ದು. ನಿಯಮ ಎರಡು, x ಯÁವುದಾದರೂ ಒಂದು ಅದ್ಯುಕ್ತಿಯೂ  ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು ಸಾಧನೆಯೂ ಆದ ಪಕ್ಷದಲ್ಲಿ ಥಿಖಿx  ಅಕ್ಷರ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಕೂಡ ಒಂದು ಸಾಧನೆಯೆಂದು ಸ್ವೀಕರಿಸತಕ್ಕದ್ದು.
ನಿಯಮ ಮೂರು [ಇದಕ್ಕೆ ವಿಸರ್ಗನಿಯಮ (ರೂಲ್ ಆಫ್ ಡಿಟ್ಯಾಚ್ಮೆಂಟ್; ಮೋಡಸ್ಪೊನೆನ್ಸ್‌) ಎಂದು ಹೆಸರು]. x,ಥಿ ಎಂಬುವು ಯಾವುದಾದರೂ ಎರಡು ಸೂತ್ರಗಳೂ z ಎಂಬುದು xಖಿ ಹಾಗೂ  ಎಂಬ ಅಕ್ಷರ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನಾಗಲೀ  ಹಾಗೂ ಖಿx ಎಂಬ ಅಕ್ಷರಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನಾಗಲೀ ಒಳಗೊಳ್ಳುವ ಒಂದು ಸಾಧನೆಯೂ ಆದ ಪಕ್ಷದಲ್ಲಿ zಖಿಥಿ ಎಂಬ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಸಹ ಮತ್ತೆ ಒಂದು ಸಾಧನೆಯೆಂದು ಸ್ವೀಕರಿಸತಕ್ಕದ್ದು.
ಕೊನೆಯದಾಗಿ, ಥಿ ಎಂಬುದು ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಅಕ್ಷರಸಂಯೋಜನೆಯೂ x ಎಂಬುದು ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಸೂತ್ರವೂ ಥಿಖಿx ಎಂಬುದು ಒಂದು ಸಾಧನೆಯೂ ಆದಪಕ್ಷದಲ್ಲಿ x ಸೂತ್ರ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯವೆನಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ ಖಿಯನ್ನೊಳಗೊಂಡಿರುವ ಯಾವುದೇ ಸಾಧನೆಯಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯ ಖಿ ಅಕ್ಷರದ ಬಲಪಾಶರ್ವ್‌ದಲ್ಲಿರುವ ಸೂತ್ರ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದಾಯಿತು. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಗಳ ಸ್ಪಷ್ಟನೆಗಾಗಿ ಕೆಳಗಿನ ವಾಕ್ಯವನ್ನು ಗಮನಿಸಿ: 

ಅದ್ಯುಕ್ತಿಮಾದರಿ [೨೯]ರೊಡನೆ ಹೋಲಿಸಿದಾಗ ಈ ವಾಕ್ಯದಲ್ಲಿ ಖಿ ಅಕ್ಷರದ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸೂತ್ರ ಒಂದು ಅದ್ಯುಕ್ತಿಯೆಂದು ಗೊತ್ತಾಗುವುದು. ಅಂತೆಯೇ ಅದ್ಯುಕ್ತಿಮಾದರಿ [ ೩೦ ] ರ ಮೇರೆಗೆ ಖಿ ಅಕ್ಷರದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವುದೂ ಒಂದು ಅದ್ಯುಕ್ತಿಯೇ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಒಂದು ಸಾಧನೆ ಕೂಡ ಆಗಿದೆ (ಸಾಧನೆಗಳ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ ನಿಯಮ ಒಂದು). ಈಗ ಸಾಧನೆಗಳ ಎರಡನೆಯ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿನಿಯಮದಿಂದ ಮೇಲೆ ಬರೆದಿರುವ ಇಡಿ ವಾಕ್ಯ ಒಂದು ಸಾಧನೆಯೆಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುವುದು. ಈ ವಾಕ್ಯದಲ್ಲಿ ಅಡಿಗೆರೆ ಹಾಕಿ ಸೂಚಿಸಿರುವ ವಿಭಾಗಗಳ ಸಾಮ್ಯವನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ವಿಸರ್ಗನಿಯಮವನ್ನು ಪ್ರಯೋಗಿಸಿದರೆ
.
	. . . [೩೨]
ಎಂಬುದೂ ಒಂದು ಸಾಧನೆಯೆಂದು ಸಿದ್ದಪಡುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಂತೆ ಇದರಲ್ಲಿರುವ ಕೊನೆಯ ಖಿ ಅಕ್ಷರದ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅಡಿಗೆರೆಹಾಕಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಸೂತ್ರ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯ. ಮತ್ತೆ ಅದ್ಯುಕ್ತಿಮಾದರಿ [೨೯]ರ ಪ್ರಕಾರ 
	. . .[೩೩]
ಎಂಬುದು ಒಂದು ಅದ್ಯುಕ್ತಿಯಾದ ಕಾರಣ ವಾಕ್ಯ [ ೩೨ ] ರ ಬಲತುದಿಯಲ್ಲಿ ಖಿ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಬರೆದು ಅದಕ್ಕೆ [ ೩೩ ]ನ್ನು ಲಗತ್ತಿಸಿದಾಗ ಫಲಿಸುವ ವಾಕ್ಯ ಸಹ ಒಂದು ಸಾಧನೆಯೇ ಆಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಾಧನೆಯನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ [ ೩೨ ] ಖಿ [ ೩೩ ] ಎಂದು ಸೂಚಿಸಬಹುದು. ಪುನಃ ಇದಕ್ಕೆ ವಿಸರ್ಗನಿಯಮವನ್ನು ಪ್ರಯೋಗಿಸಿದರೆ  ಎಂಬ ಮತ್ತೂ ಒಂದು ಸಾಧನೆ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಸಹ ಕೊನೆಯ ಖಿ ಅಕ್ಷರದ ಬಲಪಾಶರ್ವ್‌ದಲ್ಲಿರುವ ಸೂತ್ರ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯವಾಗಬೇಕಷ್ಟೆ. ಅಂದಮೇಲೆ  ಎಂಬುದು ಇನ್ನೊಂದು ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಸಿದ್ಧಪಟ್ಟಿತು.
ನಾವು ಸೃಷ್ಟಿಸಿರುವ ವಸ್ತುಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಚಕ, ಚರವಾಚಕ, ಸಂಬಂಧವಾಚಕ, ಸೂತ್ರಮೂಲ, ಸೂತ್ರ, ಅದ್ಯುಕ್ತಿ, ಸಾಧನೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯ ಎಂಬ ಎಂಟು ವಿಶಿಷ್ಟ ಅಂಗಗಳಿವೆ. ಕೇವಲ ವಾಕ್ಯಾರಚನಾ ಮೀಮಾಂಸೆಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಬಂದಿರುವ ಈ ಭಾಷೆಗೆ ಸೂತ್ರತರ್ಕ ಭಾಷೆ (ಪ್ರಾಪೊಸಿóಷನಲ್ ಲಾಜಿಕ್) ಅಥವಾ ಸೂತ್ರಕಲನಭಾಷೆ (ಪ್ರಾಪೊಸಿóಷನಲ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಇದರ ವಿವಿಧ ಅಂಗಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿನಿಯಮಗಳೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಮೇಲೆ ಅತ್ಯಂತ ನಿಖರವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಿಬಿಟ್ಟಿದ್ದೇವೆ. (ಕನ್ನಡ ಮುಂತಾದ ನಿತ್ಯ ಜೀವನದ ಭಾಷೆಗಳಲ್ಲಿ ವಾಕ್ಯವ್ಯುತ್ಪಾದಕ ನಿಯಮಗಳು ಇಷ್ಟೊಂದು ನಿಖರವಾಗಿರುವುದೇ ಇಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು.) ಇಷ್ಟಾದರೂ ಅರ್ಥದ ಸೋಂಕೇ ಇಲ್ಲದಂಥ ಭಾಷೆಯೊಂದನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುವುದು ಮೊದಲ ನೋಟಕ್ಕೆ ಯಾರಿಗಾದರೂ ಬುದ್ದಿವಂತಿಕೆಯ ಲಕ್ಷಣವಲ್ಲ ಎನ್ನಿಸುವುದು ಸಹಜ. ನಿಜಕ್ಕೂ ನಾವು ಅರ್ಥದ ಬಗ್ಗೆ ಈ ವರೆಗೆ ಗಮನ ಹರಿಸದಿರುವುದು ವಾಕ್ಯರಚನೆಯ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಭದ್ರಪಡಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ ಮಾತ್ರವೇ. ಒಮ್ಮೆ ಈ ಉದ್ದೇಶ ನೆರವೇರಿದ ಬಳಿಕ ನಮ್ಮ ವಸ್ತು ಭಾಷೆಗೆ ಒಂದಲ್ಲ ಒಂದು ಸೂಕ್ತರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅರ್ಥ ಕಲ್ಪಿಸಲು ಯಾವ ಅಡ್ಡಿಯೂ ಇಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಹೊಸಭಾಷೆಯನ್ನು ನಾವು ಸೃಷ್ಟಿಸಿರುವುದಾದರೂ ಒಂದು ಪುರ್ವಾಲೋಚಿತ ಅರ್ಥನಿರೂಪಣೆಯ ಚೌಕಟ್ಟಿಗೆ ಅದು ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳಬೇಕೆಂಬ ಅಪೇಕ್ಷೆಯಿಂದಲೇ ; ವಿಚಾರಪರರೆಂದು ತಿಳಿಯಬಹುದಾದ ಜನರ ವಿಚಾರಸರಣಿಗಳು ಸಾಧಾರಣವಾಗಿ ಇಂದು ಹಿಡಿದು ಸಾಗುವ ಜಾಡಿನ ಕೆಲವಷ್ಟು ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವಂತೆ ನಮ್ಮ ಸೂತ್ರ ಕಲನಭಾಷೆಯನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಇದು ಹೇಗೆ ಎಂದರಿಯಲು ಸ್ಥಿರವಾಚಕಗಳೂ ಚರವಾಚಕಗಳೂ ವಿಧವಿಧ ವಸ್ತುಗಳ ಅಥವಾ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಹೆಸರುಗಳೆಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳೋಣ. (ಸೂತ್ರಕಲನ ಭಾಷೆಯ ಮಟ್ಟಿಗೆ ಸ್ಥಿರವಾಚಕ ಚರವಾಚಕಗಳ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವಿಂಗಡಣೆ ಅನವಶ್ಯ). ಸಂಬಂಧ ವಾಚಕಗಳು ಇಂಥ ವಸ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರಬಹುದಾದ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನೋ ಇಲ್ಲವೇ ಅನ್ಯೋನ್ಯ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನೋ ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ SIP ಎಂಬುದು ಬೆಳ್ಳಗಿರುವ ಲಕ್ಷಣವನ್ನೂ SIPP ಪತಿ-ಪತ್ನಿ ಸಂಬಂಧವನ್ನೂ ಸೂಚಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ SIP ಯಾವ ಪದಾರ್ಥ ಬೆಳ್ಳಗಿದೆಯೆಂದು ತಿಳಿಸುವುದಿಲ್ಲ. SIPP ಯಾರು ಯಾರು ಪತಿಪತ್ನಿಯರೆಂದು ತಿಳಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಬಗೆಯ ಪೂರ್ಣಮಾಹಿತಿಗಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ P ಅಕ್ಷರಗಳ ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಿರ ಚರವಾಚಕಗಳನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿ ರಚಿಸಬಹುದಾದ ಸೂತ್ರಮೂಲಗಳಿಂದ ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಕಿI ಎಂದರೆ ಹಾಲು, ಕಿII ಎಂದರೆ ರಾಮ, ಕಿIII ಎಂದರೆ ಸೀತೆ, ಕಿIIII ಎಂದರೆ ಕಾಗೆ, ಕಿIIIII ಎಂದರೆ ಗಣಿತ ಎಂದಿಟ್ಟುಕೊಂಡರೆ
SIಕಿI ಎಂದರೆ ಹಾಲು ಬೆಳ್ಳಗಿದೆ	. . .[೩೪]
SIಕಿIIಕಿIII ಎಂದರೆ ರಾಮಸೀತೆ ಪತಿಪತ್ನಿಯರು	. . .[೩೫]
SIಕಿIIII ಎಂದರೆ ಕಾಗೆ ಬೆಳ್ಳಗಿದೆ	. . .[೩೬]
SIಕಿIIIII ಎಂದರೆ ಗಣಿತ ಬೆಳ್ಳಗಿದೆ	. . .[೩೭]
ಎಂದು ಅರ್ಥವಾಗುವುದು. (ಇದನ್ನು ಓದಿದಾಗ [ ೩೪ ], [ ೩೫ ] ದಿಟವೆಂದೂ [೩೬] ಸಟೆಯೆಂದೂ, [ ೩೭ ] ರ ಅರ್ಥವೇ ಅಸ್ಪಷ್ಟವೆಂದೂ ಸಾಧಾರಣವಾಗಿ ನಮಗನಿಸುವುದು. ಅರ್ಥನಿರೂಪಣೆಗಳ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಇಂಥ ತೊಡಕುಗಳು ಶುದ್ಧ ವಾಕ್ಯ ರಚನಾಮೀಮಾಂಸೆಯ ಆಯಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಹೇಗೂ ಅಪ್ರಕೃತವಾಗುತ್ತವೆಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು.) ಈ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಂದ ನಿತ್ಯಜೀವನದ ಭಾಷೆಗಳ ಪೂರ್ಣವಾಕ್ಯಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರಕಲನ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಕಡಿಮೆ ಅನುರೂಪವಾಗಬಲ್ಲ ಪ್ರಪ್ರಥಮ ರಚನೆಗಳೆಂದರೆ ಸೂತ್ರಮೂಲಗಳು ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಸೂತ್ರಮೂಲಗಳ ಈ ಲಕ್ಷಣ ಇತರ ಎಲ್ಲ ಬಗೆಯ ಸೂತ್ರಗಳಿಗೂ ಉಂಟು.
ಜನರ ವಿಚಾರಸರಣಿಗಳಲ್ಲಿ “ಹಾಗಿದ್ದರೆ ಹೀಗಾಗಿರಬೇಕು” ಎಂಬ ಮಾದರಿಯ ಚಿಂತನೆಗಳು ಪದೇ ಪದೇ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಸೂತ್ರಕಲನ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಇವನ್ನು -> ಅಕ್ಷರದ ನೆರವಿನಿಂದ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತೇವೆ.  ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ “x ಆಗಿದ್ದರೆ ಥಿ” ಎಂಬ ಅರ್ಥವನ್ನು ಆರೋಪಿಸುವುದರಿಂದ ಇದು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ SI*ಕಿI*I ಎಂದರೆ “ಮಳೆ ಬೀಳುತ್ತಿದೆ” ಎಂದೂ SI*IಕಿI*IIಕಿI*III ಎಂದರೆ “ಆಕಾಶದಲ್ಲಿ ಮೋಡವಿದೆ” ಎಂದೂ ಇಟ್ಟುಕೊಂಡರೆ [SI*IಕಿI*ISI*IಕಿI*IIಕಿI*III] ಎಂಬುದನ್ನು “ಮಳೆ ಬೀಳುತ್ತಿದ್ದರೆ ಆಕಾಶದಲ್ಲಿ ಮೋಡವಿರಬೇಕು” ಎಂದು ಅರ್ಥವಿಸಬಹುದು. ಈಗ ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಗೊತ್ತಾದ ಕಾಲದಲ್ಲಿ “ಮಳೆ ಬೀಳುತ್ತಿದೆ” ಹಾಗೂ “ಮಳೆ ಬೀಳುತ್ತಿದ್ದರೆ ಆಕಾಶದಲ್ಲಿ ಮೋಡವಿರಬೇಕು” ಎಂಬೆರಡು ಮಾಹಿತಿಗಳೂ ನಮಗೆ ವೇದ್ಯವಾದಲ್ಲಿ ನಾವು ತಲೆಯೆತ್ತಿ ನೋಡುವ ಕ್ರಮವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳದೆಯೇ “ಆಕಾಶದಲ್ಲಿ ಮೋಡವಿದೆ” ಎಂಬ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬರಬಹುದು. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸೂತ್ರ ಕಲನಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸಬೇಕಾದರೆ ಆ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ SI*ಕಿI*I ಮತ್ತು [SI*IಕಿI*ISI*IಕಿI*IIಕಿI*III] ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ಹೊರಟು SI*IಕಿI*IIಕಿI*III ಸೂತ್ರವನ್ನು ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಮಾಡುವ ಅವಕಾಶ ನಮಗೆ ಅಧಿಕೃತವಾಗಿ ಅಭಿಸಬೇಕಷ್ಟೆ ? ಇಂಥ ಅವಕಾಶವನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಡುವುದೇ ಸಾಧನೆಗಳ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ ನಿರೂಪಿತವಾಗಿರುವ ವಿಸರ್ಗನಿಯಮದ ಗುರಿ. ಸೂತ್ರಕಲನ ಭಾಷೆಯ ಸಾಧನೆಗಳು ಜನರ ವಿಚಾರಸರಣಿಗಳ ಒಂದು ಸಾಂಕೇತಿಕ ರೂಪವಾಗಬೇಕೆಂಬುದು ನಮ್ಮ ಅಪೇಕ್ಷೆ. ವಿಚಾರಸರಣಿಯೊಂದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಹೆಜ್ಜೆ ಮುಗಿದು ಮುಂದಿನ ಹೆಜ್ಜೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತಿದೆಯೆಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಅನುರೂಪ ಸಾಧನೆಯ ನಡುವೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಖಿ ಅಕ್ಷರಗಳು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣಿಗೆ “ಆಕಾಶದಲ್ಲಿ ಮೋಡವಿದೆ” ಎಂಬುದರ ವಿಚಾರಸರಣಿ ಹೀಗೆ ಸಾಗಬಹುದು. 
. . .ಖಿSI*IಕಿI*Iಖಿ[SI*IಕಿI*I SI*IಕಿI*IIಕಿI*III]
ಖಿSI*IಕಿI*IIಕಿI*III. . .
ಇಲ್ಲಿರುವ ಖಿ ಅಕ್ಷರಗಳು “ಮಳೆ ಬೀಳುತ್ತಿದೆ”, “ಮಳೆ ಬೀಳುತ್ತಿದ್ದರೆ ಆಕಾಶದಲ್ಲಿ ಮೋಡವಿರಬೇಕು”, “ಆಕಾಶದಲ್ಲಿ ಮೋಡವಿದೆ” ಎಂಬ ಸೂತ್ರಗಳು ವಿಚಾರಸರಣಿಯ ಮೂರು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಹೆಜ್ಜೆಗಳೆಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿವೆ. ಇನ್ನು [ x] ಮಾದರಿಯ ಸೂತ್ರಗಳ ವಿಚಾರ. [x ] ಸಂಕೇತಕ್ಕೆ “x ಆಗಿಲ್ಲ” ಅಥವಾ “x ಇಲ್ಲ” ಎಂಬುದಾಗಿ ನಾವು ಅರ್ಥಾರೋಪ ಮಾಡಬಹುದು. SI*IಕಿI*I ಎಂದರೆ “ಮಳೆ ಬೀಳುತ್ತಿದೆ” ಎಂದಾದರೆ [SI*IಕಿI*I ] ಎಂದರೆ ಮಳೆ ಬೀಳುತ್ತಿಲ್ಲ ಎಂದರ್ಥ. ಅಲ್ಲಿಗೆ  ಅಕ್ಷರವನ್ನು ನಿಷೇಧಸೂಚಕವನ್ನಾಗಿ ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆಂದಾಯಿತು. ಸೂತ್ರಕಲನ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ x ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರವಾಗಿದ್ದರೂ ವಾಕ್ಯರಚನಾ ಮೀಮಾಂಸೆಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಅದರ ನಿಷೇಧರೂಪ [ x ] ಅನ್ನು ವ್ಯುತ್ಪಾದಿಸಬಹುದೆಂಬುದೇನೋ ಸುಸ್ಪಷ್ಟ. ಆದರೆ ಅರ್ಥಮೀಮಾಂಸೆಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ x ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾದಾಗಲೆಲ್ಲ [ x ] ಕೂಡ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗುತ್ತದೆಯೇ ಎಂಬ  ಮಹತ್ವಪೂರ್ಣ ಪ್ರಶ್ನೆ ಹುಟ್ಟುತ್ತದೆ. ಜನರ ಸಾಮಾನ್ಯಾನುಭವಗಳ ಆಯಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ [ x ]ನ ಅರ್ಥಸ್ಪಷ್ಟತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಶಯ ಮನೋಭಾವ ತಾಳುವುದಕ್ಕೆ ಪ್ರಬಲ ಕಾರಣಗಳೇನೂ ಕಂಡುಬರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಅನುಭವಗಳ ವಿಶಾಲ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯೊಳಗಡೆ [ x ] ರಚನೆಯ ಅವಿಮರ್ಶಾತ್ಮಕ ಬಳಕೆ ಅರ್ಥಹೀನವಾಗಬಹುದೆಂಬ ಟೀಕೆ ಎಲ್.ಇ.ಜೆ. ಬ್ರವರ್ (೧೮೮೧-೧೯೬೬) ಸಂಸ್ಥಾಪಿಸಿದ ಇಂಟ್ಯುಇಷಸûಮ್ ತಾತ್ತ್ವಿಕ ಪಂಥದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಯ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಗಳಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ. ನಿಜಕ್ಕೂ ಭಾಷೆಗಳು ವಾಕ್ಯರಚನಾಮೀಮಾಂಸೆಯ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಗಳಿಸಬಲ್ಲ ಪರಿಪೂರ್ಣ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮೀಮಾಂಸೆಯ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲೂ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಬಹುದೆಂದು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುವುದು ಸಲ್ಲದ ಮುಗ್ಧತೆಯಾದೀತು. ಆದ್ದರಿಂದ ಸೂತ್ರಕಲನಭಾಷೆಗೆ ಅರ್ಥಾರೋಪಣೆ ಮಾಡುವ ನಮ್ಮ ಪ್ರಸಕ್ತಪ್ರಯತ್ನ ಅನುಭವಗಳ ಎಲ್ಲ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲೂ ಏಕರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗುವುದೆಂದು ಆಶಿಸುವುದು ತಪ್ಪೂ. 
ಕೊನೆಯದಾಗಿ ಅರ್ಥಾರೋಪಣೆಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಅದ್ಯುಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಸಲ್ಲಬೇಕಾದ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಈಗ ಗುರುತಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಯಾವ ವಿಚಾರಸರಣಿಯಾದರೂ ಮಾನ್ಯವೆಂದು ಅಂಗೀಕರಿಸಲಾಗಿರುವ ಕೆಲವಷ್ಟು ಮೂಲಭೂತ ಆಧಾರಭಾವನೆಗಳಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಬೇಕೆಂದು ಸುಸ್ಪಷ್ಟ. ಅದ್ಯುಕ್ತಿಗಳು ಇಂಥ ಆಧಾರಭಾವನೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ಸಾಧನೆಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿದಾಗ ಸೂತ್ರಕಲನಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅದ್ಯುಕ್ತಿಯೂ ಅದೇ ಸ್ವತಃ ಒಂದು ಸಾಧನೆಯಾಗುತ್ತದೆಂದೂ ಅಲ್ಲದೆ ಯಾವುದೇ ಸಾಧನೆ ನಮಗಿಚ್ಛೆಬಂದ ಯಾವುದೇ ಅದ್ಯುಕ್ತಿಯನ್ನು ಬೇಕಾದರೂ ಖಿ ಅಕ್ಷರದೊಡನೆ ಲಗತ್ತಿಸಿ ಹೊಸಸಾಧನೆಯೊಂದನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದೆಂದೂ ತಿಳಿದುಬರುತ್ತದಷ್ಟೆ. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಅದ್ಯುಕ್ತಿಗಳ ಅಂಗೀಕೃತ ನಿತ್ಯಮಾನ್ಯತೆಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತವೆ. ಇಷ್ಟಾದರೂ ಸೂತ್ರಕಲನಭಾಷೆಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ [ ೨೯], [೩೦], [೩೧] ಎಂಬ ಮೂರು ಮಾದರಿಗಳ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನೇ ಅದ್ಯುಕ್ತಿಗಳಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿರುವುದಕ್ಕೆ ಕಾರಣವೇನೆಂದು ಪ್ರಶ್ನಿಸುವುದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವೇ.  (x ಆಗಿದ್ದರೆ ಥಿ ಆಗಿರಬೇಕು) ಹಾಗೂ [x ]  (x) ಆಗಿಲ್ಲ) ಎಂಬಂಥ ವಾಕ್ಯರಚನೆಗಳೂ ಅವುಗಳ ವಿಧವಿಧ ಸಂಯೋಜನೆಗಳೂ ಸಾಮಾನ್ಯಾನುಭವಗಳ ಬೆಳಕಿನಲ್ಲಿ ಯಾವ ಯಾವ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಬೇಕೆಂದು ನಾವು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದೋ ಅಂಥವೆಲ್ಲ ಈ [೨೯], [೩೦], [೩೧] ಮಾದರಿಗಳಿಂದ ಫಲಿಸುತ್ತವೆಂಬುದೇ ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರ. ಈ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾದ ಒಂದು ನಿದರ್ಶನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಾದರೆ ಸಾಧನೆಯೊಂದರಿಂದ  x ಎಂಬ ಪ್ರಮೇಯ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯಾದಲ್ಲಿ ಬೇರಾವ ಸಾಧನೆಯಿಂದಲೂ [ x ] ಸೂತ್ರ ಇನ್ನೊಂದು ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಬಾರದೆಂದು ನಾವು ಆಶಿಸುತ್ತೇವಷ್ಟೆ. ಹಾಗೇನಾದರೂ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾದಲ್ಲಿ ನಮ್ಮ ಭಾಷೆ ಅಸಂಗತವಾದುದೆಂದು (ಕಾಂಟ್ರಡಿಕ್ಟರಿ, ಇನ್ಕನ್ಸಿಸ್ಟೆಂಟ್) ಹೇಳಬೇಕಾಗುವುದು. [೨೮]. [೨೯], [೩೦] ಮಾದರಿಯ ಅದ್ಯುಕ್ತಿಗಳ ಆಯ್ಕೆಗೆ ಈ ಆಸೆಯನ್ನು ಈಡೇರಿಸಿಕೊಡುವ ಸಲ್ಲಕ್ಷಣವಿದೆ. ಅಂದಮೇಲೆ ನಮ್ಮ ಸೂತ್ರಕಲನ ಭಾಷೆ ಒಂದು ಸುಸಂಗತ (ಕನ್ಸಿಸ್ಟೆಂಟ್) ಭಾಷೆಯಾಯಿತು.
ಇಷ್ಟೆಲ್ಲ ಆದರೂ ಸೂತ್ರಕಲನ ಭಾಷೆಯ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ವಿಚಾರಸರಣಿಗಳ ಎಲ್ಲ ಆಯಾಮಗಳನ್ನೂ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವಷ್ಟಿಲ್ಲ. ಈ ಕೊರತೆಯನ್ನು ಪುರೈಸುವ ಸಲುವಾಗಿ ಗಣಿತತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಸೂತ್ರಕಲನ ಭಾಷೆಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ ಆಖ್ಯಾತ ಕಲನಭಾಷೆ (ಪ್ರೆಡಿಕೇಟ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್) ಎಂಬ ಇನ್ನೊಂದು ಭಾಷೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಈ ವಿಸ್ತೃತ ಭಾಷೆಯಲ್ಲೂ ವಾಕ್ಯರಚನಾ ಮೀಮಾಂಸೆಗೆ ಪ್ರಥಮ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯ ಸಲ್ಲುತ್ತದೆ. ಆಖ್ಯಾತ ಕಲನ ಭಾಷೆಯ ರಚನೆಗೆ ಸ್ಥಿರವಾಚಕ ಮತ್ತು ಚರವಾಚಕಗಳ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವಿಂಗಡಣೆ ಅತ್ಯಗತ್ಯ. ಇದರಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಸೂತ್ರಕಲನ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿರುವುದಕ್ಕಿಂತ ಸ್ವಲ್ಪ ಮಟ್ಟಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರಗಳ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ ಹಿಂದೆ ನಮೂದಿಸಿದ ಎರಡು ಕಲನ ನಿಯಮಗಳ ಜೊತೆಗೆ ಇನ್ನೊಂದು ಮೂರನೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಸಹ ನಾವು ಅಂಗೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ. x ಎಂಬುದು ಒಂದು ಚರವಾಚಕವೂ  ಥಿ ಎಂಬುದು ಒಂದು ಸೂತ್ರವೂ ಆದಲ್ಲಿ [ ] ಎಂಬುದನ್ನು ಸಹ ಮತ್ತೆ ಒಂದು ಸೂತ್ರವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸತಕ್ಕದ್ದು.   ಅಕ್ಷರವನ್ನು ವಿಶ್ವವಾಚಕ (ಯೂನಿವರ್ಸಲ್ ಕ್ವಾಂಟಿಫಯರ್ಸ್‌) ಎಂದು ಕರೆಯುವ ರೂಢಿಯಿದೆ. ಈ ಹೊಸ ವಿಯಮದ ಫಲವಾಗಿ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಬರುವ ಕೆಲವು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ನಮೂದಿಸಿದ್ದೇವೆ.
	.....   [೩೮]
 	.....   [೩೯]
 	.....   [೪೦]
	.....   [೪೧]
x ಚರವಾಚಕವೂ ಥಿ ಸೂತ್ರವೂ ಆದಾಗ [] ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಗೋಚರಿಸಬಹುದಾದ  x ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸ್ಥಾನವನ್ನೂ ಒಂದು ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಸ್ಥಾನವೆಂದು (ಬೌಂಡ್ ಆಕರೆನ್ಸ್‌) ವರ್ಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ [೩೮], [೩೯], ಹಾಗೂ [೪೦] ರಲ್ಲಿ ಗೋಚರಿಸುವ  ಖI  ಗಳೆಲ್ಲವೂ ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿವೆ; ಆದರೆ [೪೧]ರಲ್ಲಿ   ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡಗಡೆಯಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಖI ಗಳೂ ಆ ಚಿಹ್ನೆಯ ಬಲಗಡೆಯಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಖII ಗಳೂ ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿವೆ. [೪೧]ರಲ್ಲಿ    ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡಪಾಶರ್ವ್‌ದಲ್ಲಿರುವ ಖII ಆಗಲಿ ಆ ಚಿಹ್ನೆಯ ಬಲ ಪಾಶರ್ವ್‌ದಲ್ಲಿರುವ ಖI ಆಗಲಿ ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿಲ್ಲವೆಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ನಿರ್ಬಂಧಿತವಲ್ಲದ ಚರವಾಚಕ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರ ಸ್ಥಾನಗಳು (ಫ್ರೀ ಅಕರೆನ್ಸಸ್) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಕನಿಷ್ಠಪಕ್ಷ ಒಂದು ಚರವಾಚಕವನ್ನಾದರೂ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಳ್ಳುವ ಸೂತ್ರಗಳಿಗೆ ಆಖ್ಯಾತಗಳು (ಪ್ರೆಡಿಕೇಟ್ಸ್‌) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಆಖ್ಯಾತ ಕಲನ ಭಾಷೆ ಸೂತ್ರಗಳ ಪೈಕಿ ಆಖ್ಯಾತಗಳಿಗಿರುವ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ರಚಿಸಿದ ಭೇಷೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು.
ಆಖ್ಯಾತ ಕಲನ ಭಾಷೆಯ ರಚನೆಯನ್ನು ಮುಂದುವಸುವುದಕ್ಕಾಗಿ ಆದ್ಯುಕ್ತಿ ಮಾದರಿಗಳ ವರ್ಗವನ್ನು ಸಹ ಈಗ ವಿಸ್ತರಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.  x ಎಂಬುದು ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಚರವಾಚಕವೂ  u ಎಂಬುದು  x  ನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರ ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಳ್ಳದೆ ಇರುವ ಒಂದು ಸೂತ್ರವೂ v  ಎಂಬುದು ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಸೂತ್ರವೂ ಆಗಿರಲಿ. ಇಂಥ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ
     	.....   [೪೨]
ಎಂಬ ಮಾದರಿಯ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಆಖ್ಯಾತಕಲನಭಾಷೆಯ ಆದ್ಯುಕ್ತಿಗಳೆಂದು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಪುನಃ x ಒಂದು ಚರವಾಚಕ ಅಥವಾ ಸ್ಥಿರವಾಚಕ, ಥಿ ಒಂದು ಚರವಾಚಕ ಮತ್ತು v ಒಂದು ಸೂತ್ರ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ. ಅಲ್ಲದೆ [] ಮಾದರಿಯ ಯಾವುದಾದರೂ ಸೂತ್ರಗಳು vಯ ಭಾಗಗಳಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ ಅಂಥ ಯಾವ ಸೂತ್ರವೂ ಥಿ ಯನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಳ್ಳದಿರಲಿ. v ಯಲ್ಲಿ ಇರಬಹುದಾದ ಥಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸ್ವತಂತ್ರ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲೂ ಥಿ ಗೆ ಬದಲು xನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ ಫಲಿಸುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ. ಇಂಥ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಆಖ್ಯಾತಕಲನ ಭಾಷೆಯ
                	 .....   [೪೩]
ಎಂಬ ಮಾದರಿಯ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನೂ ಆದ್ಯೂಕ್ತಿಗಳೆಂದು ಅಂಗೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅಲ್ಲದೆ ಈ [೪೨], [೪೩] ನಮೂನೆಗಳ ಜೊತೆಗೆ ಹಿಂದೆ ನಮೂದಿಸಿರುವ [೨೯], [೩೦], [೩೧] ನಮೂನೆಗಳನ್ನು ಕೂಡ ಎಂದಿನಂತೆಯೇ ಆದ್ಯುಕ್ತಿ ಮಾದರಿಗಳೆಂದು ಈಗಲೂ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅದ್ಯುಕ್ತಿಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಹೀಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದ ತರುವಾಯ ಸಾಧನೆಗಳ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗಾಗಿ ಹಿಂದೆ ನಿರೂಪಿಸಿದ ಮೂರು ನಿಯಮಗಳೊಂದಿಗೆ ಇನ್ನೂ ಒಂದು ನಿಯಮವನ್ನು ಈಗ ಹೊಸದಾಗಿ ಸೇರಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ : x ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಚರವಾಚಕವೂ ಥಿ ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಸೂತ್ರವೂ z ಎಂಬುದು ಥಿಖಿ ಅಥವಾ ಖಿಥಿ ಅಕ್ಷರಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳುವ ಒಂದು ಸಾಧನೆಯೂ ಆದ ಪಕ್ಷದಲ್ಲಿ  ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಸಹ ಮತ್ತೆ ಒಂದು ಸಾಧನೆಯೆಂದು ಅಂಗೀಕರಿಸತಕ್ಕದ್ದು. ಈ ಕಲನನಿಯಮಕ್ಕೆ ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಣ ನಿಯಮ (ಜನರಲೈಸೇóಷನ್) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಪ್ರಮೇಯಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಯಾವ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನೂ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ ಸೂತ್ರ, ಅದ್ಯುಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಸಾಧನೆ ಇವುಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿವರ್ಧನೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿಯೇ ಅಖ್ಯಾತ ಕಲನಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿ ಕೂಡ ಸೂತ್ರಕಲನ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿರುವುದಕ್ಕಿಂತ ಅಗಾಧವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಲೇಬೇಕೆಂಬುದು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸತಕ್ಕ ಸಂಗತಿ.
ಈಗ ಕೇವಲ ವಾಕ್ಯರಚನಾ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ನಾವು ಸೃಷ್ಟಿಸಿರುವ ಆಖ್ಯಾತಕಲನಭಾಷೆಗೆ ಯಾವರೀತಿಯ ಅರ್ಥಾರೋಪ ಸಲ್ಲಬಹುದೆಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ ಈ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಚಕ ಮತ್ತು ಚರವಾಚಕಗಳಿಗೆ ಭೇದ ಕಲ್ಪಿಸಿರುವ ಉದ್ದೇಶವನ್ನು ಗ್ರಹಿಸೋಣ. ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು (ಅಥವಾ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು) ಕುರಿತ ಹೆಸರುಗಳಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾಚಕಗಳನ್ನೂ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುವಂಥ ಹೆಸರುಗಳಾಗಿ ಚರವಾಚಕಗಳನ್ನೂ ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಭೂಮಿ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಇದು ಎಲ್ಲೇ ಲಿಖಿತವಾಗಿರಲಿ ನಾವೆಲ್ಲ ವಾಸಿಸುತ್ತಿರುವ ಏಕೈಕ ಗ್ರಹವನ್ನೇ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಗ್ರಹ ಎಂಬ ಪದ ಭೂಮಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಬಹುದು. ಇಲ್ಲವೆ ಮಂಗಳಗ್ರಹವನ್ನು ಸೂಚಿಸಬಹುದು. ಇಲ್ಲವೆ ಮತ್ತೆ ಯಾವುದಾದರೂ ಗ್ರಹವನ್ನು ಸೂಚಿಸಬಹುದು. “ಭೂಮಿ” ಸ್ಥಿರವಾಚಕಕ್ಕೆ ಸದೃಶ, “ಗ್ರಹ” ಚರವಾಚಕಕ್ಕೆ ಸದೃಶ. ಆದರೆ ಈ ಪದಗಳು ಆಖ್ಯಾತಕಲನ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ ಆ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ “ಭೂಮಿ” ಗೆ ಬದಲಾಗಿ ಕಿI*I*III ಎಂದೋ “ಗ್ರಹಕ್ಕೆ” ಬದಲಾಗಿ ಖI*II*III ಎಂದೋ ಮಂಗಳ ಗ್ರಹಕ್ಕೆ ಕಿI*I*III ಎಂದೋ ಬರೆಯಬಹುದು. ಆಗ ಖI*II*III ಒಮ್ಮೆ ಕಿI*I*II ನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ ಇನ್ನೊಮ್ಮೆ ಕಿI*I*IIIನ್ನು ಸೂಚಿಸಬಹುದಷ್ಟೆ ; ಕಿI*I*II, ಕಿI*I*III ಮುಂತಾದುವನ್ನು ಖI*II*III ನ ವಿವಿಧ ಮೌಲ್ಯಗಳೆಂದು (ವೇಲ್ಯೂಸ್) ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಕನ್ನಡ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ “ಗ್ರಹ” ಎಂಬುದನ್ನು ಕುರಿತಂತೆ “ಭೂಮಿ”, “ಮಂಗಳ” ಮುಂತಾದ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅಂಗೀಕಾರಾರ್ಹವೂ “ಕಾಗೆ”, “ನಾಯಿ” ಮುಂತಾದ ಇನ್ನು ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳು ವರ್ಜ್ಯವೂ ಆಗುತ್ತವೆ. ಇದರಿಂದ “ಗ್ರಹ” ಪದದ ಚರವಾಚಕ ಮೊಟಕುಗೊಂಡು ಅನೇಕ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಅದು ಸ್ಥಿರ ವಾಚಕದ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಗಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅಖ್ಯಾತ ಕಲನ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಾದರೋ ಇಂಥ ಸಂದಿಗ್ಧತೆಗಳಿಗೆ ಎಡೆಯೇ ಇಲ್ಲ ; ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಚರವಾಚಕಕ್ಕೂ ಸಕಲ ಸ್ಥಿರವಾಚಕಗಳೂ ಅಂಗೀಕಾರಾರ್ಹ ಮೌಲ್ಯಗಳು. ಈಗ  ರಚನೆಗೆ “ಚರವಾಚಕ x ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರವಾಚಕವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಿ, ಥಿ ಎಂಬುದು ಆಗಿಯೇ ಆಗುತ್ತದೆ” ಎಂಬ ಅರ್ಥವನ್ನು ಆರೋಪಿಸಬಹುದು. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನಿದರ್ಶಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ ಆಖ್ಯಾತಕಲನಭಾಷೆಯ ಸಂಕೇತಗಳಲ್ಲಿ “ಖI ಒಂದು ಗ್ರಹ” ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆ SI*I*IಖI ಎಂಬುದಾಗಿಯೂ “ಖI ಸೂರ್ಯನ ಸುತ್ತ ಪರಿಭ್ರಮಿಸುತ್ತದೆ“ ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆ SI*I*IಕಿI*I*IಖI ಎಂಬುದಾಗಿಯೂ ತರ್ಜುಮೆಯಾಗಿತ್ತವೆಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಆಗ “ಖI ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರವಾಚಕವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದಾಗ್ಯೂ ಖI ಒಂದು ಗ್ರಹವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಸೂರ್ಯನ ಸುತ್ತ ಪರಿಭ್ರಮಿಸುತ್ತದೆ” (ಅರ್ಥಾತ್ “ಎಲ್ಲ ಗ್ರಹಗಳೂ ಸೂರ್ಯನ ಸುತ್ತ ಪರಿಭ್ರಮಿಸುತ್ತವೆ”) ಎಂಬ ಅಭಿಪ್ರಾಯವನ್ನು ಆಖ್ಯಾತಕಲನಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಸೂತ್ರ ಇಂತಿರುವುದು :

ಇಂಥ ಅರ್ಥಾರೋಪಣೆಗಳ ಚೌಕಟ್ಟಿಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾದ ಮಟ್ಟಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಈ ಭಾಷೆಯ ಅದ್ಯುಕ್ತಿಗಳನ್ನೂ ಸಾಧನೆಯ ನಿಯಮವನ್ನೂ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ. ಸೂತ್ರಕಲನಭಾಷೆಯಂತೆ ಆಖ್ಯಾತ ಕಲನ ಭಾಷೆಯೂ ಒಂದು ಸುಸಂಗತ ಭಾಷೆಯೆಂದು ಶ್ರುತಪಡಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ಇಂಥ ಸಾಧನೆಗಳಲ್ಲಿ, ಯಾವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸುಸಾಂಗತ್ಯವನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಬೇಕೋ ಅದರ ಉಪಕರಣಗಳನ್ನೇ ಬಳಸಿಕೊಂಡಿರುವುದರಿಂದ, ಇವು ಎಷ್ಟರ ಮಟ್ಟಿಗೆ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹವೆಂಬುದು ತೆರೆದ ಪ್ರಶ್ನೆ.
ಸೂತ್ರಕಲನಭಾಷೆಗೂ ಆಖ್ಯಾತಕಲನ ಭಾಷೆಗೂ ಇರುವ ಮುಖ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೊಂದನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತೇವೆ. ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಅಕ್ಷರ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು (ವಾಕ್ಯ) ಕೊಟ್ಟರೆ ಅದು ಸ್ಥಿರವಾಚಕ ಹೌದೋ ಅಲ್ಲವೋ, ಚರವಾಚಕ ಹೌದೋ ಅಲ್ಲವೋ, ಸಂಬಂಧವಾಚಕ ಹೌದೋ ಅಲ್ಲವೋ, ಸೂತ್ರಮೂಲ ಹೌದೋ ಅಲ್ಲವೋ, ಸೂತ್ರ ಹೌದೋ ಅಲ್ಲವೋ, ಅತ್ಯುಕ್ತಿ ಹೌದೋ ಅಲ್ಲವೋ, ಸಾಧನೆ ಹೌದೋ ಅಲ್ಲವೋ ಎಂಬ ಏಳು ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಇವೆರಡು ಭಾಷೆಗಳಲ್ಲೂ ಕೇವಲ ಯಾಂತ್ರಿಕವಾದ ಆಲ್ಗಾರಿತಂ ಆಧಾರಿತ ಮಾರ್ಗಗಳಲ್ಲೇ ಇತ್ಯರ್ಥಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದು. ಸೂತ್ರ ಕಲನಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಹೆಜ್ಜೆ ಮುಂದುವರಿದು ದತ್ತವಾಕ್ಯ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯವೋ ಅಲ್ಲವೋ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಕೂಡ ಸೂತ್ರ ಆಲ್ಗಾರಿತಂ ಮೂಲಕ ಇತ್ಯರ್ಥಪಡಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ಆಖ್ಯಾತಕಲನಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಕೊನೆಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ಹುಡುಕಿಕೊಡುವಂಥ ಯಾವ ಆಲ್ಗಾರಿತಂನ್ನೂ ನಿಯೋಜಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲವೆಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ (ಎ.ಚರ್ಚ್, ೧೯೩೬). ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರಕಲನಭಾಷೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಣೀಯ (ಡಿಸೈಡೆಬಲ್) ಭಾಷೆ ಎಂದೂ ಆಖ್ಯಾತಕಲನಭಾಷೆಯನ್ನು ಅನಿರ್ಧರಣೀಯ (ಅನ್ಡಿಸೈಡೆಬಲ್) ಭಾಷೆ ಎಂದೂ ವರ್ಣಿಸುವ ವಾಡಿಕೆಯಿದೆ. ಆಖ್ಯಾತಕಲನಭಾಷೆಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳಿರಬಹುದೆಂದು ಶಂಕಿಸಲಾದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನಾಗಲೀ ಅವುಗಳ ನಿಷೇಧರೂಪಗಳನ್ನಾಗಲಿ ಕುರಿತು ಸಾಧನೆಗಳನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಲು ಬುದ್ಧಿವಂತಿಕೆ ಅಗತ್ಯವೆಂದಾಯಿತು.
ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿರುವ ಆಖ್ಯಾತಕಲನಭಾಷೆಯ ಪೂರ್ಣ ಹೆಸರು ಪ್ರಥಮದರ್ಜೆಯ ಶುದ್ಧ ಆಖ್ಯಾತಕಲನಭಾಷೆ (ಪ್ಯುರ್ ಪ್ರೆಡಿಕೇಟ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಆಫ್ ಫಸ್ಟ್‌ ಆರ್ಡರ್ ; ಪ್ಯುರ್ ಲೋವರ್ ಪ್ರೆಡಿಕೇಟ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್) ಎಂದಿದೆ. ದ್ವಿತೀಯ ವರ್ಗದ ಶುದ್ಧ ಆಖ್ಯಾತಕಲನಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಬಂಧವಾಚಕಗಳನ್ನು ಸಹ ಸ್ಥಿರ ಸಂಬಂಧವಾಚಕ ಮತ್ತು ಚರಸಂಬಂಧವಾಚಕಗಳೆಂಬ ಎರಡು ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಿ ಸೂತ್ರಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗುವುದು. ಅನ್ವಯ ಆಖ್ಯಾತಕಲನಭಾಷೆಗಳಲ್ಲಿ (ಅಪ್ಲೈಡ್ ಪ್ರೆಡಿಕೇಟ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್) ಕೆಲವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸ್ಥಿರವಾಚಕಗಳನ್ನೂ ಸಂಬಂಧವಾಚಕಗಳನ್ನೂ ಮೊದಲಲ್ಲೇ ಹೆಸರಿಸಿ ಅವನ್ನೂ ಕುರಿತಂತೆ ಇನ್ನಷ್ಟು ಅದ್ಯುಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಅಂಗೀಕರಿಸಲಾಗುವುದು. ಅನ್ವಯ ಕಲನ ಭಾಷೆಗಳಿಗೆ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳೆಂಬ (ಥಿಯೊರೀಸ್) ನಾಮಕರಣ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿದೆ. ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳೆಲ್ಲವೂ ಅವುಗಳಷ್ಟಕ್ಕೇ ಅವೇ ಸುಸಂಗತವಾಗಿ ನಿಲ್ಲುತ್ತವೆಂದು ಭ್ರಮಿಸಲಾಗದು. ಕೊನೆಯದಾಗಿ ತರ್ಕವಿಧಿಗಳಿಗೂ ವ್ಯಾಕರಣವಿಧಿಗಳಿಗೂ ಇರುವ ಸಾದೃಶ್ಯವನ್ನು ಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಗಮನಿಸಿದರೆ ಇವುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ವಿಚಾರಪರ ದೃಷ್ಟಿಕೋನ ಬೆಳೆಯಲು ಅನುಕೂಲವಾಗುವುದು. ಒಂದು ಭಾಷೆಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯೇ ಅದರ ವ್ಯಾಕರಣವಾಗುವ ಕಾರಣ ಭಾಷೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವ ವ್ಯಾಕರಣದ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕಿಂತ ಪೂರ್ವಭಾವಿ, ಎಂತಲೆ ಜನರಾಡುವ ಜೀವಂತ ಭಾಷೆಯೊಂದನ್ನು ಸ್ಥಿವಾಗಿ ಒಂದೇ ವ್ಯಾಕರಣಕ್ಕೆ ಅಧೀನವಾಗಿರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಅಂತೆಯೇ ಜನರ ಜೀವಂತ ವಿಚಾರ ಪ್ರವೃತ್ತಿಗಳು ಅವರ ಅನುಭವಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸುತ್ತವೆಯೇ ಹೊರತು ಸ್ಥಿರೀಕೃತ ತರ್ಕವಿಧಿಗಳನ್ನಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ತರ್ಕ ಆ ವಿಚಾರ ಪ್ರವೃತ್ತಗಳ ಸ್ಫುಟ ಚಿತ್ರಣವಾಗಬಹುದೇ ವಿನಾ ಅವುಗಳ ನಿರ್ಣಾಯಕವಲ್ಲ. ನಮ್ಮ ವಿಚಾರಪರತೆ ಹಿಡಿದು ಸಾಗುವ ಜಾಡಿನ ಸಾಧಕ ಬಾಧಕಗಳನ್ನೂ ಪರಿಮಿತಿಗಳನ್ನೂ ಗುರುತಿಸುವಲ್ಲಿ ಇಂಥ ಚಿತ್ರಣದ ಉಪಯುಕ್ತತೆ ಸಂದೇಹಾತೀತ. ಸೂತ್ರತರ್ಕಭಾಷೆ, ಆಖ್ಯಾತ ತರ್ಕಭಾಷೆ ಮುಂತಾದ ತರ್ಕವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಿಂದ ಇದಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲದೆ ಇನ್ನೂ ಹಲವಾರು ರೀತಿಗಳಲ್ಲಿ ತಾಂತ್ರಿಕ ಲಾಭವಾಗಬಹುದು. ಆದರೆ ಸರಿಯಾಗಿ ಆಲೋಚನೆ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಕಲಿಯಲು ತರ್ಕವನ್ನು ಅಭ್ಯಸಿಸಬೇಕೆಂಬ ಜನಪ್ರಿಯ ಭ್ರಾಂತಿ ಹಾಸ್ಯಾಸ್ಪದ.	(ಎಸ್.ಆರ್.ಎಂ.)

ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ