ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ/ಕ್ಯಾಂಟರ್, ಜಾರ್ಜ್
ಮೂಲದೊಡನೆ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ

ಕ್ಯಾಂಟರ್, ಜಾರ್ಜ್
1845-1918. ಜರ್ಮನಿಯ ಯುಗಪ್ರವರ್ತಕ ಗಣಿತ ವಿಜ್ಞಾನಿ. ಹುಟ್ಟಿದ್ದು ರಷ್ಯ ದೇಶದ ಸೇಂಟ್ ಪೀಟರ್ಸ್‍ಬರ್ಗಿನಲ್ಲಿ. ತಂದೆ ಜಾರ್ಜ್ ವಾಲ್ಡೆಮರ್ ಕ್ಯಾಂಟರ್, ತಾಯಿ ಮೇರಿಯ ಬೋಮ್. ಡೆನ್ಮಾರ್ಕಿನವನಾದ ವಾಲ್ಡೆಮರ್ ಕ್ಯಾಂಟನ್ ತನ್ನ ಯೌವನದಲ್ಲೇ ರಷ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಗಿ ನೆಲೆಸಿದ್ದ. ಜಾರ್ಜ್ ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಮಾರ್ಚ್ 3, 1845ರಲ್ಲಿ ಹುಟ್ಟಿದ. ಈತ ಕ್ಯಾಂಟರ್ ದಂಪತಿಗಳ ಮೊದಲನೆಯ ಮಗ. 1856ರ ವೇಳೆಗೆ ಜಾರ್ಜ್ ತನ್ನ ತಂದೆಯ ಜೊತೆಯಲ್ಲಿ ಜರ್ಮನಿಗೆ ಹೋಗಿ ನೆಲೆಸಿದ. ಇನ್ನೂ ಹದಿನೈದು ವರ್ಷದವನಾಗಿರುವಾಗಲೇ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಈತನಿಗಿದ್ದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರತಿಭೆಯನ್ನು ಅವನ ತಂದೆ ಗುರುತಿಸಿದ್ದ. ತನ್ನ ಮಗ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಓದಿದರೆ ಲೌಕಿಕದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಸಮಾಜದಲ್ಲಿ ಉನ್ನತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದೆಂಬ ದೃಷ್ಟಿಯನ್ನಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ಆ ವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಅಭ್ಯಸಿಸಬೇಕೆಂದು ಮಗನಿಗೆ ಆದೇಶ ನೀಡಿದ. ತಂದೆಯ ಇಚ್ಛೆಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಹೋಗಲಾಗದೆ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗನ್ನೇ ಮಗ ಓದಿದ. ಮಗನಿಗೆ ವಯಸ್ಸು ಹದಿನೇಳು ತುಂಬಿ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯವನ್ನು ಸೇರಿ ಆತನ ಭವಿಷ್ಯ ನಿರ್ಧಾರವಾಗುವಷ್ಟರಲ್ಲಿ ಅವನ ಒಲವು ಗಣಿತ ಶಾಸ್ತ್ರದ ಕಡೆಗೇ ಎಂಬುದು ತಂದೆಗೆ ಖಚಿತವಾಯಿತು. ಅಂತೆಯೇ ಇಷ್ಟ ಬಂದ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಭವಿಷ್ಯವನ್ನು ರೂಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಮಗನಿಗೆ ಅನುಮತಿ ನೀಡಿದ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ತನ್ನ ಕೃತಜ್ಞತೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ ಜಾರ್ಜ್ ತಂದೆಗೆ ಬರೆದ ಪತ್ರ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಕಡೆಗೆ ಅವನಿಗಿದ್ದ ತೀವ್ರ ಒಲವಿಗೆ ಒಂದು ನಿದರ್ಶನ. ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಜೂರಿಕ್, ಗಟಿಂಗೆನ್ ಮತ್ತು ಬರ್ಲಿನ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ಯಾಂಟರನ ವ್ಯಾಸಂಗ ತತ್ತ್ವಶಾಸ್ತ್ರ, ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ನಡೆಯಿತು. ಬರ್ಲಿನಿನಲ್ಲಿ ಈತ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯಾಗಿದ್ದಾಗ ಕುಮ್ಮರ್ ಮತ್ತು ಕ್ರೋನೆಕರ್ (ನೋಡಿ- ಕ್ರೋನೆಕರ್,-ಲಿಯೋಪಾಲ್ಡ್) ಎಂಬ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಪ್ರಭಾವಶಾಲೀ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳಾಗಿದ್ದರು.  ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ (ನಂಬರ್ ಥಿಯರಿ) ಅವರ ಪಾಂಡಿತ್ಯದ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯ. ಅವರ ಪ್ರಭಾವಕ್ಕೆ ಸಿಕ್ಕಿದ ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಸಹ ತನ್ನ ಡಾಕ್ಟರೇಟ್ ಪ್ರಬಂಧಕ್ಕೆ ಇದೇ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಂಡ. ಈ ಪ್ರಬಂಧಕ್ಕೆ 1867 ರಲ್ಲಿ ಆತನಿಗೆ ಡಾಕ್ಟರೇಟ್ ಪದವಿ ದೊರೆಯಿತು. ಕ್ಯಾಂಟರನ ನಿಜ ಒಲವು ಗಣಿತದ ಒಂದು ಭಾಗವಾದ ವಿಶ್ಲೇಷಣ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ತೀವ್ರವಾಗಿತ್ತು. ವಿಶ್ಲೇಷಣ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಪ್ರಚಂಡನಾಗಿದ್ದ ವೈಯರ್‍ಸ್ಟ್ರಾಸನ ಶಿಷ್ಯವೃತ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಪ್ರಭಾವಿತನಾದ. ಫೂರಿಯರ್ ಶ್ರೇಣಿ ಎಂಬ ವಿಭಾಗ ಇವನ ಗಮನವನ್ನು ಬಲುವಾಗಿ ಸೆಳೆಯಿತು.

	ವಿಶ್ಲೇಷಣ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವವಾಗಿದ್ದ ಅಂದಿನ ಪ್ರಮುಖ ಸಮಸ್ಯೆಗಳೆಲ್ಲವುಗಳ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಹೊರಟ ಕ್ಯಾಂಟರನ ಮೇಧಾಶಕ್ತಿ ಅದರ ಮೂಲಭೂತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನೇ ಎದುರಿಸಬೇಕಾಗಿ ಬಂದಿತು. ಅಂದಿನ ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು (ರಿಯಲ್ ನಂಬರ್ಸ್) ಕುರಿತ ಒಂದು ತೃಪ್ತಿಕರವಾದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅವಶ್ಯಕತೆ ಇತ್ತು. ಇದರ ಪೂರೈಕೆಗೆ ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಸಹ ಕಾರಣನಾದ. ಆದರೆ ಇವೆಲ್ಲಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣ ಗಣಿತಕ್ಕೆ ಕ್ಯಾಂಟರನ ಕ್ರಾಂತಿಕಾರೀ ಕೊಡುಗೆ ಎಂದರೆ ತತ್ತ್ವಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಿಗೂ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಿಗೂ ಗ್ರೀಕರ ಕಾಲದಿಂದಲೂ ವಿಶ್ಲೇಷನೆಗೆ ಸಿಕ್ಕದೆ ನುಣುಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಿದ್ದ ಅನಂತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯೇ ಆಗಿದೆ. (ನೋಡಿ- ಅನಂತ-ಮತ್ತು-ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮ)

	1872ರ ವರೆಗೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಅನಂತದ ಉಪಯೋಗವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದರೂ ಅದರ ಸ್ಪಷ್ಟ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಯಾರಿಗೂ ಇದ್ದಂತಿರಲಿಲ್ಲ. ಹಾಗೂ ಪರಿಮಿತ ಪರಿಮಾಣಗಳನ್ನೊಳಗೊಂಡ ಗಣಿತಪರಿಕರ್ಮಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಯಾವ ಸ್ಥಾನವೂ ದೊರೆತಿರಲಿಲ್ಲ. ಅನಂತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ವಹಿಸುತ್ತಿದ್ದ ಪಾತ್ರದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಮುಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆ ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆಲ; x ಒಂದು ಚರವಾಗಿರಲಿ, 1ನ್ನು x ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಬರುವ ಉತ್ಪನ್ನ  1/ x, x = 0 ಆದಾಗ ಇದಕ್ಕೆ ಅರ್ಥವಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ 0 ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು ನಿಷಿದ್ಧ. ಆದರೆ x ನ್ನು 0ಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಹತ್ತಿರ ಕೊಂಡೊಯ್ಯುವುದರಿಂದ 1/ x ನ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಯಾವುದೇ ವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಞ ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರುವಂತೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಞ ಯನ್ನು  ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುವಂತೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರ ಮೂಲಕ 1/ x ನ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದಂತೆ ಹೆಚ್ಚು ಮಾಡಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭವನ್ನು, x ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಯಾದಂತೆ 1/ x ಅನಂತಗಾಮಿಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಂಕ್ಷೇಪವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅಂದರೆ ಪರಿಮಿತಪರಿಮಾಣಗಣಿತದ ಗಡಿಯ ಒಳಗೇ ನಡೆಯುವ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭವನ್ನು ವಿವರಿಸುವುದಕ್ಕಾಗಿ ಅನಂತದ ಅವತರಣಿಕೆ ಆಗಿದೆಯೇ ವಿನಾ ಪರಿಮಿತಪರಿಮಾಣಗಳೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಮೀರಿದ ಅಪರಿಮಿತ ಪರಿಮಾಣವೊಂದರ ಮೂರ್ತ ಸ್ವರೂಪವಾಗಿ ಅನಂತ ಇಲ್ಲಿ ರೂಪುಗೊಂಡಿಲ್ಲ. ಆದರೂ ಅಂಥ ಒಂದು ಅಪರಿಮಿತ ಪರಿಮಾಣದ ಕಲ್ಪನೆಯ ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಸ್ವರೂಪ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಗೋಚರವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಗಣಿತ ಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಗ್ರಹಿಸಿದ್ದರೂ ಕೂಡ ಅದರ ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಯಿಂದಾಗಿ ಅದನ್ನು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ ಪರಿಕರ್ಮಗಳಿಂದ ಗಡೀಪಾರು ಮಾಡುವ ಅವಶ್ಯಕತೆ ಇತ್ತು. ಅಂತೆಯೇ ಅನಂತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗಣಿತದ ಮಿತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸೀಮಾರೇಖೆಯಾಗಿತ್ತು. ಕ್ಯಾಂಟರ್ ರಂಗಪ್ರವೇಶ ಮಾಡಿದ್ದು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ. 1874-1895ರ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಸೃಷ್ಟಿಸಿದ ಅನಂತದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಗಣಸಿದ್ಧಾಂತ ಅದರಲ್ಲೂ ಅನಂತ ಗಣಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂಬ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಪ್ರಸಿದ್ಧಿ ಪಡೆದಿವೆ. ಕ್ಯಾಂಟರನ ಈ ಗಣಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸೂಕ್ಷ್ಮಪರಿಚಯವನ್ನು ಮುಂದೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. (ನೋಡಿ- ಗಣ-ಸಿದ್ಧಾಂತ)

	ವ್ಯಾಖ್ಯೆ : ಂ ಮತ್ತು ಃ ಎರಡು ಗಣಗಳಾಗಿರಲಿ. ಂ ಮತ್ತು ಃ ಗಳ ನಡುವೆ ಒಂದು ದ್ವೈಚಿತ್ರಣವಿದ್ದರೆ ಂ ಮತ್ತು ಃ ಗಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ (ಈಕ್ವಿವಲೆಂಟ್) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.

	ಉದಾಹರಣೆ 1. ಗಣ { 1,2,3 } ಮತ್ತು { x,ಥಿ,z }  ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿಯ ದ್ವೈಚಿತ್ರಣವನ್ನು ಚಿತ್ರ 1 ಅಥವಾ 2 ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ. 

ಚಿತ್ರ-2

ಉದಾಹರಣೆ 2. ಂಃ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನೊಳಗೊಂಡ ಗಣವೂ ಅಆ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನೊಳಗೊಂಡ ಗಣವೂ ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ (ಚಿತ್ರ 3). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ದ್ವೈಚಿತ್ರಣ ಈ ರೀತಿ ಇದೆ. P ಯು ಂಃ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ. ಔP ಯನ್ನು ಜೋಡಿಸಿ ವೃದ್ಧಿಸಿದಾಗ ಅದು ಅಆ ಯನ್ನು ಕಿ ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ. ಪ್ರಸ್ತುತ ದ್ವೈಚಿತ್ರಣದಲ್ಲಿ P ಯ ಬಿಂಬ ಕಿ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗೆ ಂ ಯ ಬಿಂಬ ಅ, ಃ ಯ ಬಿಂಬ ಆ . ಅಲ್ಲದೇ ಂ ಮತ್ತು ಃ ಗಳ ನಡುವಣ ಬಿಂದುಗಳ ಬಿಂಬಗಳು ಅ ಮತ್ತು ಆ ಗಳ ನಡುವಣ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಚಿತ್ರ-3

	ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಗಣಗಳೆಲ್ಲ ಒಂದೇ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿ ಪಡೆದಿವೆಯೆಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಅಂತೆಯೇ ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಗಣ {1,2,3} ಮತ್ತು ಗಣ {x,ಥಿ,z} ಇವೆರಡರ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿ ಒಂದೇ. ಹಾಗೆಯೇ   ಂಃ ಮೇಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನೊಳಗೊಂಡ ಗಣವೂ ಅಆ  ಮೇಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನೊಳಗೊಂಡ ಗಣವೂ ಒಂದೇ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಯನ್ನು ಪಡೆದಿವೆ.

	ಪ್ರತಿಭಾನದಿಂದ (ಇಂಟ್ಯೂಷನ್) ಹೇಳುವುದಾದರೆ ಒಂದೇ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿ ಇರುವ ಎರಡು ಗಣಗಳಲ್ಲಿರುವ ಧಾತುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಮವಾಗಿರುವುದು. ಆದರೆ ಒಂದು ಗಣದ ಧಾತುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದರೇನು?

	ಗಣ {1,2,3} ಮತ್ತು ಗಣಗಳ  {x,ಥಿ,z} ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿ ಸಮವಾಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭ ಈ ಎರಡೂ ಗಣಗಳಲ್ಲಿ ಮೂರು ಧಾತುಗಳಿರುವುದರಿಂದ ಒದಗಿದೆ. ಆದರೆ ಂಃ  ಸರಳರೇಖೆಯ ಮೇಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (ಅಂದರೆ ಂಃ    ಮೇಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಧಾತುಗಳಾಗಿ ಉಳ್ಳ ಗಣದ ಧಾತುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ) ಅಆ  ಮೇಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮ ಎನ್ನುವುದು ವಿಚಿತ್ರವೆನಿಸುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಅಆ ಸರಳ ರೇಖೆ ಂಃ ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಉದ್ದವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಅದರಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಧಿಕ ಎನ್ನಿಸುತ್ತದೆ.
ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸೋಣ.

ಚಿತ್ರ-4

ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರ ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನೊಳಗೊಂಡ ಗಣ ಓ ಮತ್ತು ಧನಸರಿಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನೊಳಗೊಂಡ ಗಣಗಳ ನಡುವೆ ಒಂದು ದ್ವೈಚಿತ್ರಣವನ್ನು ಸೃಷ್ಟೀಕರಿಸುತ್ತದೆ.  ಹೀಗಾಗಿ ಧನ ಸರಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗಣದ ಮತ್ತು ಈ ಗಣವನ್ನು ಸಹ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗಣದ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿ ಒಂದೇ. ಅಂದರೆ ಎಷ್ಟು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿವೆಯೋ ಅಷ್ಟೇ ಧನ ಸಂಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿವೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಇದು ಕೂಡ ಒಂದು ವೈಚಿತ್ರ್ಯ. ಈ ವೈಚಿತ್ರ್ಯಗಳಿಗೆ ಕಾರಣ ಧಾತುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂಬ ಪದ ಸಾಂತ ಗಣಗಳ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ನೋಡಿದಾಗ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದ್ದು ಅನಂತ ಗಣಗಳ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ನೋಡಿದಾಗ ಅರ್ಥಹೀನವಾಗುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಲದೆ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಯನ್ನು ಧಾತುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು  ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಸಾಂತ ಗಣಗಳ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಇರುv್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಕಾರವಾಗಿ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿ ಧಾತುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂಬ ಅರ್ಥವನ್ನೊಳಗೊಂಡಿರುವುದರ ಜೊತೆಗೆ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ವ್ಯಾಪಕವಾದ ಅರ್ಥವನ್ನು ಸಹ ಪಡೆದಿದೆ. ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿ ಎಂಬ ಈ ಒಂದು ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಕ್ಯಾಂಟರನ ಅನಂತರದ ಜಿಜ್ಞಾಸೆಯ ಅಡಿಗಲ್ಲು. ಈ ಅಡಿಗಲ್ಲು ಸಾಂತ ಪರಿಮಾಣಗಳ ಗಣಿತದಿಂದ ಅನಂತ ಪರಿಮಾಣಗಳ ಗಣಿತದೆಡೆಗೆ ಸಾಗಲು ಬೇಕಾದ ಸೇತುವೆ. ಸಾಂತಸಂಖ್ಯೆಯ ಧಾತುಗಳಿರುವ ಗಣಗಳ ಪ್ರಕೃತಿಯ ಅಧ್ಯಯನದಿಂದ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಧಾತುಗಳಿಂದ ಗಣಗಳ ಪ್ರಕೃತಿಯ ಅಧ್ಯಯನದೆಡೆಗೆ ಸಾಗುವ ಮುನ್ನ ಬೇಕಾಗುವ ಅಸ್ತ್ರ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿ.

	ಂ ಒಂದು ಗಣವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿ ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕಗಣ {1,2,. . . ಟಿ }ನ ಯೋಗ್ಯವಾದ ಒಂದು ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕ ಟಿ ಗೆ ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ ಂ ಒಂದು ಸಾಂತ ಗಣವೆಂದೂ ಹಾಗಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದು ಒಂದು ಅನಂತ ಗಣವೆಂದೂ ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಈ ನಿರೂಪಣೆಯಿಂದಾಗಿ, ಒಂದು ದತ್ತಗಣ  ಂ  ಅನಂತ ಗಣವಾಗಬೇಕಾದರೆ ಅದರ ಒಂದು ಸಮುಚಿತ ಉಪಗಣದ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿ ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗಣ  ಓ ನ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಗೆ ಸಮವಾಗಿರಬೇಕೆಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಓ ಒಂದು ಅನಂತ ಗಣವಾದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅನಂತ ಗಣವೂ ಕಡೇ ಪಕ್ಷ ಅನಂತ ಗಣ  ಓ  ನಷ್ಟಾದರೂ ಧಾತುಗಳನ್ನು ಪಡೆದಿರಬೇಕೆಂದು ವಿದಿತವಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ ಅನಂತ ಗಣಗಳಲ್ಲೆಲ್ಲ  ಓ  ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಗಣ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಸರಿಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಅದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ    ಓ ನಲ್ಲಿರುವ ಧಾತುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುವ ಒಂದು ವೈಚಿತ್ರ್ಯ ತನ್ನ ವೈಚಿತ್ರ್ಯವನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಂಡು ಅನಂತ ಗಣಗಳ ಸವಾಭಾವಿಕವಾದ ಪ್ರಕೃತಿಯನ್ನು ವಿಶದಪಡಿಸುವ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ವಿಶದೀಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಅನಂತ ಗಣಗಳ ಸ್ವಭಾವ ಈ ರೀತಿ ಇದೆ.    ಂ ಗಣ ಅನಂತವಾಗಬೇಕಾದರೆ ಅದರ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿ ಅದರದೇ ಒಂದು ಸಮುಚಿತ ಉಪಗಣದ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಗೆ ಸಮವಾಗಿರಬೇಕು.

ಈ ಅನಂತ ಗಣಗಳ ನಿರೂಪಣೆಯನ್ನು ಡೆಡೆಕಿಂಟ್ ಎಂಬ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಕೊಟ್ಟ (1872). ಡೆಡೆಕಿಂಟ್ ಮತ್ತು ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಸ್ನೇಹಿತರು ಮತ್ತು ಸಮಕಾಲೀನರು, ಇಬ್ಬರೂ ವೈಯರ್‍ಸ್ಟ್ರಾಸನ ಶಿಷ್ಯರು. 1874ರಲ್ಲಿ ಕ್ರೆಲ್ಲೆಯ ಜರ್ನಲಿನಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾದ ಕ್ಯಾಂಟರನ ಲೇಖನ ಆತನನ್ನು ಅತ್ಯುನ್ನತ ಶಿಖರಕ್ಕೆ ಕೊಂಡೊಯ್ದುದು ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಗಣಿತವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಮಹಾಕ್ರಾಂತಿಯನ್ನೇ ಉಂಟುಮಾಡಿತು. ಈ ಹಿಂದೆಯೇ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅನಂತ ಗಣಕ್ಕೂ ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗಣದ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಗೆ ಸಮವಾದ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಯುಳ್ಳ ಉಪಗಣವಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಈ ಅನಂತ ಗಣದ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿ ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗಣದ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಗೆ ಸಮವಾದರೆ ಅಂಥ ಅನಂತ ಗಣಗಳನ್ನು ಗಣನೀಯ (ಡೆನ್ಯೂಮರೆಬಲ್ ಅಥವಾ ಕೌಂಟೆಬಲ್) ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಪ್ರತಿಭಾನದ ದೃಷ್ಟಿಗೆ ಒಂದು ಗಣ ಂ ಗಣನೀಯ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದರ ಧಾತುಗಳನ್ನು ಎಡೆಬಿಡದೆ ಎಣಿಸಬಹುದು. ಮತ್ತು ಈ ಎಣಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಧಾತುವನ್ನೂ ಒಂದು ಸಲ ಹಾಗೂ ಒಂದೇ ಸಲ ಮಾತಲ ವೀ ಸಲ ವೀ ಸಲ ವಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಗಣನೀಯ ಗಣ ಅನಂತ ಗಣಗಳಲ್ಲೆಲ್ಲ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು.
ಈಗ ಒಂದು ಪ್ರಶ್ನೆ ಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ : ಗಣನೀಯವಲ್ಲದ ಅನಂತ ಗಣಗಳಿವೆಯೇ? ಇ ={0,1}, 0 ಮತ್ತು 1 ರ ನಡುವಿನ ಎಲ್ಲ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನೊಳಗೊಂಡ ಗಣವಾಗಿರಲಿ. ಇ ಗಣನೀಯವಲ್ಲದ ಒಂದು ಅನಂತ ಗಣಕ್ಕೆ ಉದಾಹರಣೆ. ಇದನ್ನು ತೋರಿಸಲು ಹೀಗೆ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ: ಇ ಗಣನೀಯವಲ್ಲದ ಗಣವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಗಣನೀಯ ಆಗಿರಲಿ. ಅಂದರೆ ಇ ಮತ್ತು ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗಣದ ನಡುವೆ ಒಂದು ದ್ವೈಚಿತ್ರಣ ಇದೆ. ಟಿ ಒಂದು ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದ್ದು ಇ ಯಲ್ಲಿರುವ ಇದರ ಬಿಂದುವನ್ನು ಚಿಟಿ ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ. ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ದ್ವೈಚಿತ್ರಣದ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಅರ್ಥ ಈ ರೀತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇ ಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಧಾತು ಸೂಕ್ತವಾದ ಟಿ ಒಂದರ ಬಿಂಬ. ಅಂತೆಯೇ ಇ ಯ ಧಾತುಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಬರೆದಿರುವಂತೆ ಸಾಲಾಗಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದು:

		ಚಿ1, ಚಿ2, ಚಿ3,. .. . .. . … . .. .ಚಿಟಿ
ಕೊನೆಗೊಳ್ಳದ ಈ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇ ಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿ ಧಾತುವೂ ಒಂದು ಸಲ ಹಾಗೂ ಒಂದೇ ಒಂದು ಸಲ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.  ಚಿಟಿ ಎಂಬುದು  0 ಮತ್ತು 1 ರ ನಡುವಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದ್ದರಿಂದ ಅದನ್ನು ಕೆಳಗೆ ತೋರಿಸುವಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು.
ಚಿಟಿ = 0. ಚಿಟಿ1 ಚಿಟಿ2  ಚಿಟಿ3 . . .. . . . ಇಲ್ಲಿ ಚಿಟಿಞ [ ಞ = 1,2,3, ಇ.,    ಟಿ=1,2,3 ಇ ] 0 ಮತ್ತು 9 ರ ನಡುವೆ (0 ಮತ್ತು 9ನ್ನೂ ಸೇರಿಸಿ) ಯಾವ ಬೆಲೆಯನ್ನಾದರೂ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. [ಉದಾಹರಣೆ : 1/3 = 0.3333. . . .
ಳಿ=0.4999. . . . ಗಮನಿಸಿ : ಳಿ= 0.5000 ಎಂದು ಬರೆಯುವುದಿಲ್ಲ] ಮುಂದೆ ಬರೆದಿರುವ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸೋಣ.
     		  b = 0, b1 b2  b3. . .. . .
             ಇಲ್ಲಿ ಚಿಞಞ = 1 ಆದರೆ bಞ = 9
ಚಿಞಞ  ≠   1  ಆದರೆ  bಞ  = 1
b ಯು ಇ ಯ ಒಂದು ಧಾತು. ಆದರೆ   b    ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ, ಕೊನೆಗೊಳ್ಳದ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ, ಯಾವ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲೂ ಇರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ b ಯು   ಚಿಞ ಯ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಬರುತ್ತದೆನ್ನೋಣ. ಅಂದರೆ b = ಚಿಞ ಆಗಿರಲಿ.  ಆದರೆ ಇದು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ b ಮತ್ತು ಚಿಞ  ಗಳ ಸ್ವರೂಪಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿದರೆ ದಶಮಾಂಶ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅನಂತರ ಬರುವ  ಞ  ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಇರುವುದಿಲ್ಲ.  b ಯಾವ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲೂ ಇರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎನ್ನುವುದು ನಮ್ಮ ಮೊದಲಿನ ಹೇಳಿಕೆಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿದೆ.  0 ಮತ್ತು 1 ರ ನಡುವೆ ಇರುವ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣನೀಯ ಆಗಿಲ್ಲದಿರುವ ಈ ಸಂದರ್ಭವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಇ ಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಗೂ ಒಂದೇ ಒಂದು ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕದಂತೆ ಇ ಯ ಎಲ್ಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೂ ಈ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದರೊಳಗಾಗಿ ಧನಪೂಣಾಂಕಗಳು ಮುಗಿದು ಹೋಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭವನ್ನು ಇ ಯ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿ ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗಣದ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದು ಎಂದು ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ. 

	ಅನಂತ ಗಣ ಇ ಯ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಯನ್ನು ಅ ಎಂದು ನಮೂದಿಸುವುದು ವಾಡಿಕೆ. ಹಾಗೆಯೇ  (o(ಅಲೆಫ್ ಸೊನ್ನೆ) ಅನಂತಗಣ ಓ ನ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇ ಯ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿ ಓ ನ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು (o<ಅಎಂದು ಬರೆಯುವುದರ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೇಲೆ ಬರೆದಿರುವ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಗಾರ್ಡಿ£ವ ಕಾರ್ಡಿ£ವ ಕಾರ್ಡಿ£ಇನ್ನೂ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಮಾಡಬಹುದು. ಂ ಮತ್ತು  ಃ ಎರಡು ಗಣಗಳಾಗಿರಲಿ. ಂ ಯ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಯನ್ನು ಛಿಚಿಡಿಜ ಂ ಎಂದೂ ಃ ಯ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಯನ್ನು ಛಿಚಿಡಿಜ ಃ ಎಂದೂ ಸೂಚಿಸಿದರೆ ಇವುಗಳ ಹೋಲಿಕೆಯನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಮಾಡಬಹುದು. ಂ ಹಾಗೂ ಃ ಯ ಸಮುಚಿತ ಉಪಗಣ ಒಂದಕ್ಕೂ ನಡುವೆ ಒಂದು ದ್ವೈಚಿತ್ರಣವಿದ್ದರೆ  ಆಗ ಛಿಚಿಡಿಜ ಂ < ಛಿಚಿಡಿಜ ಃ ಇದಕ್ಕೆ  ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದ್ದರೆ  ಛಿಚಿಡಿಜ ಃ < ಛಿಚಿಡಿಜ ಂ ಎಂದೂ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಂ ಮತ್ತು ಃ ಗಳು ಸಮಾನವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅಂದರೆ ಛಿಚಿಡಿಜ ಂ ≠ ಛಿಚಿಡಿಜ ಃ  ಆಗ ಛಿಚಿಡಿಜ ಂ < ಛಿಚಿಡಿಜ ಃ ಅಥವಾ ಛಿಚಿಡಿಜ ಃ < ಛಿಚಿಡಿಜ ಂ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. 
	ಂ ಮತ್ತು ಃ ಗಳು ಸಾಂತ ಗಣಗಳಾಗಿರುವಾಗ ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಯ ಹೋಲಿಕೆ ಂ  ಮತ್ತು  ಃ ಗಳಲ್ಲಿರುವ ಧಾತುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹೋಲಿಕೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಂ ಮತ್ತು ಃ ಅನಂತಗಣಗಳಾಗಿರುವಾಗ ಅವುಗಳ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಯ ಹೋಲಿಕೆಯ ಮೂಲದಲ್ಲಿರುವ ದ್ವೈಚಿತ್ರಣದ ಇರುವಿಕೆ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದಿರುವಿಕೆ ಸಾಂತಗಣಗಳ ಧಾತುಸಂಖ್ಯೆಯ ಹೋಲಿಕೆಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಅನಂತ ಗಣಗಳಿಗೂ ವ್ಯಾಪಕವಾಗುವಂತೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಈಗ 1,2,3. . . ಟಿ ಇತ್ಯಾದಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಒಂದು, ಎರಡು, ಮೂರು ಇತ್ಯಾದಿ ಟಿ ಧಾತುಗಳನ್ನುಳ್ಳ ಗಣಗಳ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಮತ್ತೆ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಗಳ ಹೋಲಿಕೆಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧ ಉಂಟು.
 		1 < 2 < 3 < . . . .< ಟಿ  < ಟಿ + 1 < . . . .
	ಈ ಒಂದು ಸಂಬಂಧದ ಸರಪಳಿಯಲ್ಲಿ ಗಣನೀಯ ಗಣದ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿ ಯಾವುದೇ ಸಾಂತ ಗಣದ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುವುದು. ಈಗಾಗಲೇ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿ ಅ  ಇರುವ ಇ  ಯ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿ ಗಣನೀಯ ಗಣದ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚೆಂದು ಗಮನಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಮೇಲಿನ ಸರಪಳಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು.
 	1 < 2 < 3 < . . . .< ಟಿ <. . . .< (o<ಅ
ಗಣನೀಯ ಗಣಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಯೂ ಅ  ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಯೂ ಇರುವ ಗಣದ ಇರುವಿಕೆ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದಿರುವಿಕೆ ಇಂದಿಗೂ ತೀರ್ಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ. ಮೇಲೆ ಬರೆದ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಗಳ ಸಂಬಂಧದ ಸರಪಳಿಯನ್ನು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಮುಂದುವರಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಲು ಘಾತೋತ್ಪನ್ನ ಗನ ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗುತ್ತದೆ.
ಂ ಒಂದು ಗಣವಾಗಿರಲಿ. ಃ ಯ ಧಾತುಗಳು  ಯ ಉಪಗಣಗಳಾಗಿರಲಿ. ಆಗ  ಯನ್ನು  ಯ ಘಾತೋತ್ಪನ್ನ ಗಣ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ನಾಲ್ಕು ಧಾತುಗಳಿರುವ ಗಣ  {{1}, {2}, {1,2}}ಎರಡು ಧಾತುಗಳಿರುವ ಗಣ {1,2} ರ ಘಾತೋತ್ಪನ್ನ ಗಣ. ಟಿ ಧಾತುಗಳಿರುವ ಗಣದ ಘಾತೋತ್ಪನ್ನ ಗಣದಲ್ಲಿ 2ಟಿ  ಧಾತುಗಲಿರುತ್ತದೆ. ಚಿ  ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿ ಇರುವ ಗಣದ ಘಾತೋತ್ಪನ್ನ ಗಣದ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಯನ್ನು  ಎಂದು 2ಚಿ  ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಘಾತೋತ್ಪನ್ನ ಗಣದ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿ ಮೂಲಗಣಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚೆಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಅಲ್ಲದೆ ಗಣನೀಯ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿ ಇರುವ ಗಣದ ಘಾತೋತ್ಪನ್ನ ಗಣದ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿ ಅ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಅಂದರೆ 2(o=ಅ ಈ ಹಿಂದೆ ಹೇಳಿದ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಗಳ ಸಂಬಂಧದ ಸರಪಳಿಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತ ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು. 
(o<ಅ 1 < 2  . . . .<,(o<ಅ<2ಅ<2ಶಿಅ

2ಅ   ಮತ್ತು   22ಛಿಗಳ  ಮಧ್ಯೆ ಇರುವ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಯನ್ನು ಪಡೆದಿರುವ ಗಣಗಳಿರಬಹುದೆಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಅನಂತ ಗಣಗಳ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಚಿಹ್ನೆಗಳಾದ  .<,(o,ಅ,2ಅ ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ಸಾಂತಾತೀತ (ಟ್ರಾನ್ಸೆಫೈನೇಟ್) ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಂದು ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಕರೆ. ಸಾಂತ ಗಣಗಳ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ 1,2,3. . . .ಗಳಿಗೂ ಸಾಂತಾತೀತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೂ ಇರುವ ಸಂಬಂಧ ಈಗಾಗಲೇ ವ್ಯಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಇದುವರೆಗೆ ಮಾಡಿದ ವಿವರಣೆಗಳು ಸಾಂತಾತೀತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣಿತವೊಂದರ ನಿರ್ಮಾಣದ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಕ್ಯಾಂಟರನನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ ಇಟ್ಟ ಕೆಲವು ಹೆಜ್ಜೆಗಳು.
	ಕ್ಯಾಂಟರ್ ನಿರ್ಮಿಸಿದ ಸಾಂತಾತೀತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣಿತಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗಣಿತದೊಡನೆ ಅನೇಕ ಹೋಲಿಕೆಗಳಿವೆ. ಪರಿಮಿತ ಪರಿಮಾಣ ಗಣಿತವನ್ನು ಇದು ಶ್ರೀಮಂತಗೊಳಿಸಿದೆ. ಆದರೆ ಕ್ಯಾಂಟರನ ಕ್ರಾಂತಿಕಾರಕ ವಿಚಾರಗಳನ್ನು, ಅನಂತವೆಂಬ ಗುಮ್ಮದಿಂದ ಹೆದರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದ, ಅವನ ಸಮಕಾಲೀನರನೇಕರು ಸ್ವಾಗತಿಸಲು ಸಿದ್ಧರಿರಲಿಲ್ಲ. ಕ್ಯಾಂಟರನ ವಿಚಾರಗಳನ್ನು ಅತ್ಯಂತ ವಿರೋಧಿಸಿದವರಲ್ಲಿ ಅವನ ಗುರುವಾಗಿದ್ದ ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಮೊದಲಿಗ. ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಅನಂತವನ್ನೇನಾದರೂ ಗಣಿತ ಪ್ರಪಂಚದೊಳಕ್ಕೆ ತಂದುದಾದರೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅವನತಿ ಸಿದ್ಧವಾದಂತೆಯೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದ್ದಂಥ ಒಬ್ಬ ಗಣಿತಜ್ಞ ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಕ್ಯಾಂಟರನ ವಿಚಾರಗಳು ಕೀರ್ತಿಪಡೆಯದಂತೆ ಸರ್ವವಿಧದಿಂದಲೂ ನೋಡಿಕೊಳ್ಳುವ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಕೈಗೊಂಡ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಪ್ರಪಂಚದಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಪ್ರಭಾವಶಾಲಿಯಾಗಿದ್ದ ಕ್ರೋನೆಕರನ ಪ್ರಯತ್ನಗಳು ಬೌದ್ಧಿಕ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿಯೇ ಕ್ಯಾಂಟರನನೊಡನೆ ನಡೆದುವಾದರೂ ಸ್ವಭಾವತಃ ಮೃದುವೂ ವಿರೋಧದ ಮುಂದೆ ಅತಿ ಸುಲಭವಾಗಿುಲ¨sತಿ ಸುಲ¨sತಿ ಸುಲ¨sಥದೂ ಆಗಿದ್ದ ಕ್ಯಾಂಟರನ ಮನಸ್ಸಿನ ಮೇಲೆ ಕ್ರೋನೆಕರನ ವಿರೋಧ ತೀವ್ರ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನುಂಟುಮಾಡಿತು. ಅಲ್ಲದೆ ಬರ್ಲಿನ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕನಾಗುವಂಥ ಗೌರವಯುತ ಅವಕಾಶವನ್ನು ಆಸೆಪಟ್ಟ ಕ್ಯಾಂಟರನಿಗೆ ಆ ಪದವಿ ಎಂದೂ ದೊರೆಯಲಿಲ್ಲ. ಇದಕ್ಕೆ ಕಾರಣ ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಎಂದು ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಹೇಳಿಕೊಂಡಿದ್ದಾನೆ. ಅನಂತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಕಡೆ ಮೊದಲನೆಯ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಹೆಜ್ಜೆಯನ್ನು ಇಡುವಂಥ ಕ್ರಾಂತಿಕಾರಕ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮಾಡಿಯೂ ತನಗೆ ಲಭಿಸಬೇಕಾಗಿದ್ದ ಕೀರ್ತಿ ದೊರೆಯಲಿಲ್ಲವೆಂದು ದುಃಖಿತನಾದ ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಮನೋರೋಗಕ್ಕೆ ತುತ್ತಾದ. 1884ರಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡ ಈ ರೋಗದ ಚಿಹ್ನೆ 1918ರಲ್ಲಿ ಮನೋರೋಗ ಚಿಕಿತ್ಸಾಲಯವೊಂದರಲ್ಲಿ ಅವನು ಮರಣ ಹೊಂದುವವರೆಗೂ ಪದೇಪದೇ ಮರುಕಳಿಸುತ್ತಿತ್ತು. ಮಧ್ಯೆ ಮನಸ್ಸು ಸ್ವಾಸ್ಥ್ಯಗೊಂಡಾಗಲಿಲ್ಲ ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಗಣಿತನಿರ್ಮಾಣ ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಯಾಗುತ್ತಿದ್ದ. ಅವನ ಸೃಷ್ಟಿ ಶೀಲ ಮನಸ್ಸು ಸಾಂತಾತೀತ ಗಣಿತಪ್ರಪಂಚದಲ್ಲಿ ವಿಹರಿಸಿ ಇಲ್ಲಿನ ದುಃಖದುಮ್ಮಾನಗಳಿಂದ ವಿಮೋಚನೆ ಪಡೆಯಲು ಹವಣಿಸುತ್ತಿತ್ತು.

	ಅಂದು ಗಣಿತಪ್ರಪಂಚಕ್ಕೆ ಕೊಟ್ಟ ಕ್ಯಾಂಟರನ ಕ್ರಾಂತಿಕಾರಕ ಕೊಡುಗೆಗಳು ಇಂದು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಎಲ್ಲ ಕೊಂಬೆಗಳಲ್ಲೂ ಮಹತ್ತ್ವಪೂರ್ಣವಾದ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ಬೀರುತ್ತಿವೆ. ಗಣ ಎಂಬುದರ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಲಂಗುಲಗಾಮಿಲ್ಲದೆ ಉಪಯೋಗಿಸುವುದರಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಅನೇಕ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು ಕ್ಯಾಂಟರನ ವಿಚಾರಗಳ ಮಿತಿಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತವೆಂಬುದೇನೋ ನಿಜ. ಎಷ್ಟೋ ವಿಧದಲ್ಲಿ ಕ್ಯಾಂಟರನ ಕ್ರಾಂತಿಕಾರಕ ವಿಚಾರಗಳು ಕೊರತೆಯುಳ್ಳದ್ದಾಗಿವೆ.ಆದರೆ ಎಲ್ಲ ಕ್ರಾಂತಿಕಾರಕ ವಿಚಾರಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಇಂಥ ದೌರ್ಬಲ್ಯಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಅಪರಿಹಾರ್ಯ.

	ಗಣಿತವಿಜ್ಞಾನ ಪರಮೋಚ್ಚ ಮಿತಿಯನ್ನು ತಲುಪಿ ಅದರಲ್ಲಿ ಸಂಶೋಧಿಸಬಲ್ಲ ಅಂಶಗಳು ಇನ್ನಿಲ್ಲ ಎಂಬಂಥ ವಿಕಾಸರಹಿತ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಅದು ಮುಟ್ಟಿದ್ದಾಗ, ಬೆಳೆವಣಿಗೆ ಇಲ್ಲದಂಥ ಯಾವುದೇ ಶಾಸ್ತ್ರವೂ ಪಳೆಯುಳಿಕೆಯಾಗಿ ಮಾತ್ರ ಉಳಿಯುವುದರಿಂದ ಗಣಿತ ಪಳೆಯುಳಿಕೆತನವನ್ನು ತಲಪಿತೇ ಎಂದು ಗಣಿತಜ್ಞರು ಚಿಂತಿಸುತ್ತಿದ್ದಾಗ, ಯೂಕ್ಲಿಡನ ಜ್ಯಾಮಿತಿ, ರೀಮಾನನ ಅನುಕಲನ, ನ್ಯೂಟನನ ಬಲವಿಜ್ಞಾನ ಎಂದು ಮುಂತಾಗಿ ಮಹಾನ್ವೇಷಣಕಾರರ ಹೆಸರುಗಳಿಂದಲೇ ವಿಶೇಷಿತವಾಗುವ ವಿಜ್ಞಾನ ವಿಭಾಗಗಳು ಇನ್ನಿಲ್ಲವಾಗಿ ಟಾಪಾಲಜಿ, ಮಾತೃಕೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮುಂತಾದ ಸಿದ್ಧಾಂತನಾಮಗಳೇ ಪ್ರಧಾನವಾಗಿ ಬಳಕೆಗೆ ಬಂದಿದ್ದಾಗ ಗಣಿತಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂಬ ನವಸ್ವರ್ಗವನ್ನು ಆವಿಷ್ಕರಿಸಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಿದ ಯುಗಪುರುಷ ಕ್ಯಾಂಟರ್, ಕ್ಯಾಂಟರನ ಗಣ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಅಥವಾ ಕ್ಯಾಂಟರನ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂದೇ ಇದರ ಹೆಸರು. ಈ ಶತಮಾನದ ಸುವಿಖ್ಯಾತ ಗಣಿತಜ್ಞ ಡೇವಿಡ್ ಹಿಲ್‍ಬರ್ಟ್‍ನ ಮಾತಿನಲ್ಲಿ ಹೀಗಿದೆ " ಒಂದು ಗಣಿತ ಮನಸ್ಸಿನ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಶಂಸನೀಯ ಫಲ ಕ್ಯಾಂಟರನ ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂದು ನನಗನ್ನಿಸಿದೆ. ಇಷ್ಟು ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಮನುಷ್ಯನ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಬೌದ್ಧಿಕ ವಿಜಯಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಒಂದು . . . .. ಕ್ಯಾಂಟರ್ ನಮಗಾಗಿ ಸೃಷ್ಟಿಸಿರುವ ಈ ಸ್ವರ್ಗದಿಂದ ಯಾರೂ ನಮ್ಮನ್ನು ಉಚ್ಚಾಟಿಸಲಾರರು.'' 					(ಎಸ್.ಕೆ.ಯು.)

ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ