ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ/ಅನುರೂಪ ಚಿತ್ರಣ
ಅನುರೂಪ ಚಿತ್ರಣ

ಒಂದು ನಿರ್ದೇಶಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿರುವ (ಕೊ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಸಿಸ್ಟಮ್) ಬಿಂದುಗುಣವನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ನಿರ್ದೇಶಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಬಿಂಬಿಸುವ ಅಥವಾ ಚಿತ್ರಿಸುವ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪರಿಕರ್ಮ (ಕನ್‍ಫಾರ್ಮಲ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್). ಭೂಮಿಯ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ತಯಾರಿಸುವ ಪ್ರಯತ್ನದಲ್ಲಿ ಈ ಸಮಸ್ಯೆ ತಲೆದೋರಿತು. ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಹಿಪ್ಟಾರ್ಕಸ್ (ಕ್ರಿ.ಪೂ. 140) ಮತ್ತು ಆನಂತರ ಬಂದ ಗಣಿತಜ್ಞರ ಪ್ರಯತ್ನಗಳ ಫಲವಾಗಿ ಘನಚಿತ್ರಣ ನಕ್ಷೆ (ಸ್ಟಿರಿಯೋಗ್ರಾಫಿಕ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್), ಮರ್ಕೆಟರ್ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣಗಳಂಥ ವಿಧಾನಗಳು ಬಳಕೆಗೆ ಬಂದು ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಬಹುವಾಗಿ ಬೆಳೆಯಿತು. ಇವು ಅನುರೂಪ ಚಿತ್ರಣಕ್ಕೆ ನಿದರ್ಶನಗಳು.
ಒಂದು ಸಮತಳದ ಮೇಲೆ ಭೂಮಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುರೂಪ ಚಿತ್ರಣವನ್ನು ತಯಾರಿಸಲು ಲ್ಯಾಂಬರ್ಟ್ ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದ (1772). ಮಿಶ್ರಚರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೂ (ಥಿಯೊರಿ ಆಫ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ವೇರಿಯಬಲ್ಸ್) ಅನುರೂಪ ಚಿತ್ರಣಕ್ಕೂ ಇರುವ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಮೊದಲು ಗುರುತಿಸಿದವನು ಇವನೇ. ಒಂದು ಚಿತ್ರಣ ಅದರ ಅತಿಸೂಕ್ಷ್ಮ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ದತ್ತವಲಯಕ್ಕೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿರುವಂತೆ, ಒಂದು ವಲಯದ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ವಲಯದ ಮೇಲೆ ಚಿತ್ರಿಸಬೇಕು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯಬಿಡಿಸಿಕೆಗೆ ಒಂದು ಪಾರಿತೋಷಕ ಕೊಡುವುದಾಗಿ ಕೋಪನ್‍ಹೇಗನ್ನಿನ ವಿಜ್ಞಾನಸಂಘ ಪ್ರಕಟಿಸಿತು (1822). ಗಾಸ್ ಇದನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಬಿಡಿಸಿದ (1825). ಅನುರೂಪ ಚಿತ್ರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಆರಂಭ ಇಲ್ಲಿ ಕಾಣುತ್ತೇವೆ. 1859ರಲ್ಲಿ ರೀಮಾನನೂ ಆನಂತರ ಶ್ವಾಸ್ರ್ó (Sಛಿhತಿಚಿಡಿz) ಮತ್ತು ಕ್ಲೈನರೂ (ಏಟeiಟಿ) ಈ ಭಾವನೆಯನ್ನು ಬೆಳೆಸಿದರು.

ಎರಡು ವಲಯಗಳ ಬಿಂದುಗಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು-ಒಂದು ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಇದ್ದು, ಒಂದರ ಒಂದು ಚಿಕ್ಕ ತ್ರಿಕೋನ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದರ ಮೇಲಿನ ಅದರ ಬಿಂಬ ತ್ರಿಕೋನ ಸುಮಾರಾಗಿ ಸಮರೂಪವಾಗಿದ್ದು, ಅವು ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮವಾಗಿ ಕಿರಿದಾದಂತೆ ಸರ್ವಸಮವಾದರೆ, ಆ ಪರಿಕರ್ಮದ ಹೆಸರು ಒಂದು ವಲಯದಮೇಲೆ ಇನ್ನೊಂದು ವಲಯದ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಚಿತ್ರಣ. ಇದರ ಅರ್ಥವಿಷ್ಟು: ಅನುರೂಪ ಚಿತ್ರಣದಿಂದ  ತ್ರಿಕೋನ ತ್ರಿಕೋನವಾದರೆ ಅವೆರಡರ ಭುಜಗಳು ಅನುಪಾತವಾಗಿವೆ. 

ಚಿತ್ರ-1

ಈ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮವಾಗಿ ಕಿರಿದಾಗುವಾಗ ಪರಸ್ಪರ ಸರ್ವಸಮವಾಗುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅನುರೂಪ ಚಿತ್ರಣದಲ್ಲಿ ಒಂದು ದತ್ತವಲಯದ ಮೇಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಮುಚ್ಚಿದ ಚಿಕ್ಕ ವಕ್ರರೇಖೆ ಇನ್ನೊಂದು ದತ್ತವಲಯದ ಮೇಲೆ ಮೊದಲಿನದಕ್ಕೆ ಸುಮಾರಾಗಿ ಸಮರೂಪವಾಗಿರುವಂತೆ ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಚಿಕ್ಕ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿ ಚಿತ್ರಣಗೊಳ್ಳುವುದು.
ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಅನುರೂಪ ಚಿತ್ರಣ :  ಎಂಬ ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಕಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ ಸಮತಲದ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಸೂಚಿಸಬಹುದು. ಇದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು  ಎಂಬ ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದಲೂ ನಿರ್ದೇಶಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಮತಲದ ಒಂದು ಪ್ರದೇಶವನ್ನು  ನಿರ್ದೇಶಕಗಳಿರುವ ಇನ್ನೊಂದು ಸಮತಲದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಅವೆರಡರ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ  ಎಂಬ ಒಂದು ಸಂಬಂಧವಿದೆ ಎಂದು ಅರ್ಥ. ಒಂದು-ಒಂದು ಚಿತ್ರಣದಲ್ಲಿ  ಎಂಬ ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳು ಎಂಬ ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿ ಚಿತ್ರಣಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ; ಇದರ ವಿಲೋಮವೂ ನಿಜ. ಸಮತಲದ ಒಂದು ಪ್ರದೇಶದ ಒಳಭಾಗವನ್ನು  ಸಮತಲದ ಒಂದು ಪ್ರದೇಶದ ಒಳಭಾಗವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಗಳ ಮೂಲಕ ಚಿತ್ರಿಸುವ ಒಂದು ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ, ಉತ್ಕ್ರಮಣೀಯ (ರಿವರ್ಸಿಬಲ್) ಬಿಂದು-ಬಿಂದು ಪರಿವರ್ತನೆ  ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಮೊದಲ ದರ್ಜೆಯ (ಫಸ್ಟ್ ಆರ್ಡರ್) ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ನಿಷ್ಪನ್ನಗಳು (ಡಿರೈವೆಟಿವ್ಸ್) ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಈ ನಿಷ್ಪನ್ನಗಳು ಕೋಶಿ-ರೀಮಾನ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು (ಅಂದರೆ ), ತಾಳೆಪಡಿಸಿದರೆ, ಮತ್ತು ಹೀಗಾದರೆ ಮಾತ್ರ -- ಅನುರೂಪ ಚಿತ್ರಣವೆನ್ನಿಸುವುದು. ಉತ್ಪನ್ನದ ವಿಶ್ಲೇಷಕವಾಗಿದ್ದು (ಅನಲಿಟಿಕ್)  ಉತ್ಪನ್ನದ ಮಿಶ್ರನಿಷ್ಪನ್ನ ಶೂನ್ಯವಾದಾಗ  ಒಂದು ಅನುರೂಪ ಚಿತ್ರಣ ಎಂದೂ ಇದನ್ನು ಹೇಳಬಹುದು.
   	
(ಒಂದು ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕ),  ಮುಂತಾದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಒಂದು ಸಮತಲದ ಮೇಲಿನ ಅನುರೂಪ ಚಿತ್ರಣಕ್ಕೆ ಸ್ವಾರಸ್ಯಕರ ನಿದರ್ಶನಗಳು.  ಉದಾಹರಣೆಗೆ,   ಆಗಿರುವಾಗ ಸಮತಲದ  ಸರಳರೇಖೆಗಳು ಸಮತಲದಲ್ಲ್ಲಿ ಎಂಬ ಸಂನಾಭೀ ಅತಿಪರವಲಯಗಳಾಗಿಯೂ (ಕನ್‍ಫೋಕಲ್ ಹೈಪರ್ಬೊಲ) ಸಮತಲದ ಸರಳರೇಖೆಗಳು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ  ಸಂನಾಭೀ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳಾಗಿಯೂ ಅನುರೂಪ ಚಿತ್ರಣಗೊಳ್ಳುವುವು. 

ಚಿತ್ರ-2

ಗಳು ವಾಸ್ತವ ಅಥವಾ ಮಿಶ್ರ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು  ಎಂಬ ಸಂಬಂಧ ಸಮತಲದ ವೃತ್ತಗಳನ್ನು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ವೃತ್ತಗಳಾಗಿ (ವಿಕೃತರೂಪವಾದ ಸರಳರೇಖೆಯೂ ಇದರಲ್ಲಿ ಸೇರಿದೆ) ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಅನುರೂಪ ಚಿತ್ರಣವಾಗಿದೆ. ಇದೊಂದೇ ವೃತ್ತಗಳನ್ನು ವೃತ್ತಗಳಾಗಿಯೇ ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಪರಿವರ್ತನೆ.

ಸರಳವಾಗಿ ರೂಪುಗೊಂಡಿರುವ ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಪ್ರದೇಶವನ್ನು (ಅಂದರೆ ಮುಚ್ಚಿದ ಗಡಿಯಿರುವ ಮತ್ತು ಅದರೊಳಗೆ ರಂಧ್ರವಿಲ್ಲದಿರುವ) ಇನ್ನೊಂದು ಅಂಥ ಪ್ರದೇಶದ ಮೇಲೆ ಅನುರೂಪ ಚಿತ್ರಣ ಮಾಡಬಹುದೇ ? ಎಂಬುದು ಅನುರೂಪ ಚಿತ್ರಣದ ಮುಖ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆ. ರೀಮಾನ್ ಎಂಬ ಜರ್ಮನಿಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಶೀಲನೆ ನಡೆಸಿ (1851) ಅದರ ಬಿಡಿಸಿಕೆಗೆ ಸರಿಯಾದ ಹಾದಿಹಾಕಿದ.  ಆದರೆ ಅಸ್ಗೂಡ್‍ನಿಂದ 1900ರಲ್ಲಿ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸರಳ ಮತ್ತು ನಿಖರ ಸಾಧನೆ ದೊರೆಯಿತು.

(ಎಸ್.ಕೆ.ಎಲ್.)

ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ