ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ/ಏಕಕಗಳು ಮತ್ತು ಆಯಾಮಗಳು
ಮೂಲದೊಡನೆ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ 

ಏಕಕಗಳು ಮತ್ತು ಆಯಾಮಗಳು:  ಭೌತಮಾಪನದ ಹಿನ್ನೆಲೆಯಲ್ಲಿರುವ ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು (ಯೂನಿಟ್ಸ್‌ ಅಂಡ್ ಡೈಮೆನ್ಷನ್ಸ್‌). ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಭೌತಮಾಪನವೂ ಒಂದೇ ಸ್ವಭಾವದ ಎರಡು ಪರಿಮಾಣಗಳ ತುಲನೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ. ಒಂದು ಕೋಲಿನ ಉದ್ದವನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ಕೋಲಿನ ಉದ್ದದಿಂದ ಅಳೆಯಬೇಕು; ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ತೂಕವನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ವಸ್ತುವಿನ ತೂಕದಿಂದ ಅಳೆಯಬೇಕು-ಇತ್ಯಾದಿ. ಸಾರ್ವಜನಿಕ ಜೀವನದಲ್ಲಿಯೂ ವೈಜ್ಞಾನಿಕಾನ್ವೇಷಣೆಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಒಂದೇ ವಸ್ತುವನ್ನು ಕುರಿತು ಹಲವಾರು ಜನರ ಅಳತೆಗಳು ಒಂದೇ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಕೊಡಬೇಕಾದದ್ದು ಅನಿವಾರ್ಯ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಶಿಷ್ಟ ಏಕಕದ (ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಯೂನಿಟ್) ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಅಳತೆಯ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು (ಉದ್ದ, ಉಷ್ಣತೆ, ಕಾಲ ಇತ್ಯಾದಿ) ಅವಲಂಬಿಸಿ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಏಕಕಗಳು (ಏಕಮಾನಗಳು) ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ಇವನ್ನು ಅಂತಾರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ಒಪ್ಪಂದದ ಮೇರೆಗೆ ಸರಕಾರಗಳ ಶಾಸನಗಳ ಪ್ರಕಾರ ವಿಧಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳ ಅನುಮೋದನೆ ಪ್ರಕಾರ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ತತ್ತ್ವಶಃ ಏಕಕಗಳ ಆಯ್ಕೆ ಸ್ವೇಚ್ಛೆಯಂತಿದೆ ಎಂಬುದು ಗಮನಾರ್ಹ.

ಒಂದು ಭೌತಪರಿಮಾಣದ ಅಳತೆ ಎರಡು ಅಂಶಗಳನ್ನು ವಿಶದೀಕರಿಸಬೇಕು-ಬಳಸಿರುವ ಏಕಕ, ಇದರೊಡನೆ ಪರಿಮಾಣದ ತುಲನೆ. ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯ ಉದ್ದ 3 ಮೀ. ಎನ್ನುವಾಗ ಮೀಟರ್ ಎಂಬುದು ಶಿಷ್ಟ ಏಕಕ, ಇದರೊಡನೆ ಹೋಲಿಸಿದಾಗ ಸರಳರೇಖೆಯ ಉದ್ದ 3. ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಳತೆಯಲ್ಲೂ ಮೊದಲಿನ ಅಂಶ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಎರಡನೆಯ ಅಂಶ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿವರಣೆ. ವಿವರಣೆ ಏಕಕವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನೇ ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ 
ಅಳತೆಯ ಪರಿಮಾಣ=(ಸಂಖ್ಯೆ) x (ಏಕಕ) ಎಂದು ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು.

ಒಂದೇ ಏಕಕದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದಾದ ಎರಡು ಪರಿಮಾಣುಗಳ ಭೌತ ಆಯಾಮಗಳು ಸಮಾನ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಎರಡು ಭಿನ್ನಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳನ್ನು ಭಿನ್ನ ಏಕಕಗಳಲ್ಲಿ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು; ಆದರೆ ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಅವನ್ನು ಒಂದೇ ಏಕಕಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಆ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಸಮಾನ ಆಯಾಮದವು. ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ವಿಸ್ತ್ರೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಒಂದು ಘನದ ಘನಗಾತ್ರ ಇವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವ ಏಕಕಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಏಕಕಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ. ಆದ್ದರಿಂದ ಕ್ಷೇತ್ರ ಮತ್ತು ಘನಗಳ ಆಯಾಮಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ.
2 ಗಜ=6 ಅಡಿಗಳು=72 ಇಂಚುಗಳು ಎಂಬ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ ದಾಗ ಏಕಕ ಬದಲಾದಂತೆ ಸಂಖ್ಯೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆಂದು ತಿಳಿಯುತ್ತದೆ. ಇಷ್ಟು ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಏಕಕದ ಗಾತ್ರ ದೊಡ್ಡದಾದಂತೆ ಸಂಖ್ಯೆ ಚಿಕ್ಕದಾಗುವುದು. ಏಕಕದ ಗಾತ್ರ ಚಿಕ್ಕದಾದಂತೆ ಸಂಖ್ಯೆ ದೊಡ್ಡದಾಗುವುದು ಆದ್ದರಿಂದ ಏಕಕ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ವಿಲೋಮಾನುಪಾತದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ತಿಳಿಯುತ್ತದೆ. ಇನ್ನೂ ಒಂದು ವಿಚಾರ ಗೊತ್ತಾಗುವುದು. ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಅಡಿಗಳಲ್ಲಿನ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇಂಚುಗಳಲ್ಲಿನ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇರುವ ಪ್ರಮಾಣ ಇಂಚಿನ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಅಡಿಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇರುವ ಪ್ರಮಾಣದಷ್ಟೇ ಆಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯ ಪ್ರಕಾರ 

ಂಃ, ಅಆ ಎಂಬ ಎರಡು ಅಸಮಾನ ಸರಳರೇಖೆಗಳನ್ನು (ಆಯಾಮಗಳು ಸಮಾನ) ಮೊದಲು ಸೆಂಟಿಮೀಟರು ಗಳಲ್ಲಿ ಅಳೆದು ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಪ್ರಮಾಣ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ತರುವಾಯ ಇಂಚುಗಳಲ್ಲಿ ಅಳೆದು ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಇವೆರಡೂ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಸಮಾನ ಆಯಾಮಗಳ ಎರಡು ಭಿನ್ನವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ವಿವಿಧ ಏಕಕಗಳೆಲ್ಲವೂ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಇದರಿಂದ ಗೊತ್ತಾಗುವುದು. ಈ ಪ್ರಮಾಣ ಯಾವುದೇ ಏಕಕದ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿಲ್ಲ. ಇದಕ್ಕೆ ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರಮಾಣ ನಿರಪೇಕ್ಷ ತತ್ತ್ವ (ಪ್ರಿನ್ಸಿಪಲ್ ಆಫ್ ಅಬ್ಸೊಲ್ಯುಟ್ ಸಿಗ್ನಿಫಿಕೆನ್ಸ್‌ ಆಫ್ ರಿಲೇಟ್ಯೂ ಮ್ಯಾಗ್ನಿ ಟ್ಯೂಡ್ಸ್‌) ಎಂದು ಹೆಸರು.

ಏಕಕಗಳ ಮತ್ತು ಆಯಾಮಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಭೌತಪರಿಮಾಣಗಳ ಅಳತೆಯ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನೊಳಗೊಂಡ ಒಂದು ವಿಧಾನ. ಇದರ ಮುಖ್ಯ ಉಪಯೋಗಗಳೆಂದರೆ ಗಣಿತರೀತ್ಯಾ ಉತ್ತರ ದೊರೆಯುವುದು ಅಸಾಧ್ಯವೆನಿಸುವಂಥ ಕ್ಲಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿನ ಪರಿಮಾಣಗಳ ನಡುವೆ ಸಾಧ್ಯವಾಗಬಹುದಾದಂಥ ಸಂಬಂಧ ಮತ್ತು ಅದರ ಪರಿಮಿತಿಗಳನ್ನು ತಿಳಿಸುವುದು, ದೊಡ್ಡ ಯಂತ್ರಗಳು ಕೆಲಸಮಾಡುವ ರೀತಿಯನ್ನು ಮಾದರಿ ಪ್ರಯೋಗಗಳಿಂದ ತಿಳಿಯುವುದು, ಭೌತಪರಿಮಾಣಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಒಂದು ಅಳತೆ ಪದ್ಧತಿಯಿಂದ ಮತ್ತೊಂದು ಅಳತೆ ಪದ್ಧತಿಗೆ ಸರಿಯಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು, ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸರಿಯೋ ತಪ್ಪೋ ಎಂದು ತಾಳೆ ನೋಡುವುದು, ಭೌತಪರಿಮಾಣಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಪಟ್ಟಿಮಾಡುವುದು ಇತ್ಯಾದಿ. ಈ ವಿಧಾನ ಬಲು ಸರ್ವವ್ಯಾಪಿ ಮತ್ತು ಸರಳ. ಇದನ್ನು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿದ ಮೊದಲಿಗರಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬನಾದ ಲಾರ್ಡ್ ರ್ಯಾಲಿ ಇದಕ್ಕೆ ಕೊಟ್ಟ ಹೆಸರು ರೂಪಸಾದೃಶ್ಯ ತತ್ತ್ವ (ಪ್ರಿನ್ಸಿಪಲ್ ಆಫ್ ಸಿಮಿಲಿಟ್ಯೂಡ್).

ಆಯಾಮ ಎಂದರೆ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಅಳೆದ ಪರಿಮಾಣ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ವ್ಯಾಸದ ಮೇಲೆ, ವಸ್ತುವಿನ ಅಂಚಿನಲ್ಲಿ, ಪ್ರಧಾನಾಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಇತ್ಯಾದಿ. ಬಿಂದುವಿಗೆ ಆಯಾಮವಿಲ್ಲ (ಅಂದರೆ ಅದರ ಆಯಾಮ 0) ಗೆರೆಯ ಆಯಾಮ 1, ತಲದ ಆಯಾಮ 2, ಘನದ ಆಯಾಮ 3 ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಉದ್ದ, ವಿಸ್ತೀರ್ಣ, ಘನಗಾತ್ರಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಉದ್ದದ 1ನೆಯ ಘಾತ [ಐ1], 2ನೆಯ ಘಾತ [ಐ2], 3ನೆಯ ಘಾತಗಳಾಗಿ [ಐ3] ನಿರೂಪಿಸುವುದರಿಂದ ಇವುಗಳಿಗೆ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಉದ್ದದ 1, 2, 3 ಆಯಾಮಗಳಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗೆಯೇ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಕಡೆ ಉದ್ದ (ಐ), ಜಡಮಾನ (ಒ), ಕಾಲ (ಖಿ) ಮತ್ತು ಇತರ ಜನ್ಯಪರಿಮಾಣಗಳ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಆಯಾಮವೇನೆಂಬುದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಅರ್ಥ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಒಂದು ವಿವೃತರೇಖೆಯನ್ನು (ಸರಳ ರೇಖೆಯೂ ವಕ್ರರೇಖೆಯೂ ಅಡಕವಾಗಿವೆ), ಅದರ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಿರುವ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ, ಎರಡು ವಿಭಾಗಗಳಾಗಿಸಬಹುದು. ರೇಖೆಯ ಒಂದು ವಿಭಾಗದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಈ ಗಡಿಬಿಂದುವನ್ನು ದಾಟದೇ ಹೋಗಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇಂಥವುಗಳಿಗೆ ವಿವೃತರೇಖೆಗಳೆಂದು ಹೆಸರು. ಆಯಾಮರಹಿತ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ರೇಖೆ ವಿಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುವುದರಿಂದ ಅದರ ಆಯಾಮ ಒಂದು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದರೆ ಒಂದು ತಲವನ್ನು ಬಿಂದು ಅಥವಾ ಮತ್ತೊಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಆ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ದಾಟದೆಯೇ ಅವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹೋಗಬಹುದು. ಒಂದು ಸೂಕ್ತವಾದ ಸಂವೃತರೇಖೆಯನ್ನು (ಕ್ಲೋಸ್ಡ್‌ ಕರ್ವ್) ಎಳೆದು ತಲದ ಒಂದು ವಿಭಾಗದಿಂದ ಮತ್ತೊಂದು ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಆ ರೇಖೆಯನ್ನು ದಾಟದೇ ಹೋಗಲು ಆಗದಂತೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಆಯಾಮರಹಿತ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವಿಭಾಗಿಸಲಾಗದೆ ಆದರೆ ಒಂದು ಆಯಾಮವಿರುವ ತಲದಿಂದ ಮಾತ್ರ ವಿಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುವ ಘನಾಕೃತಿಯ ಆಯಾಮ ಮೂರು ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಈ ಆಯಾಮಗಳು ಧನಪುರ್ಣಾಂಕಗಳೆಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು.
ನಾವು ಮೂರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಆಯಾಮವಿರುವ ಆಕಾಶವನ್ನು (ಸ್ಪೇಸ್) ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗದಿದ್ದರೂ ಬೀಜಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಟಿ ಆಯಾಮಗಳಿರುವ ಇಂಥ ಆಕಾಶಗಳಲ್ಲಿ ಜನರ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕೆರಳಿಸಿರುವುದು ಆಲ್ಬರ್ಟ್ ಐನ್ಸ್ಟೈನನ ರಿಲೆಟಿವಿಟಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಇದರಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮಗಳಿರುವ ಆಕಾಶವನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ-ಉದ್ದ, ಅಗಲ, ಎತ್ತರ ಎಂಬ ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳ ಜೊತೆಗೆ ಕಾಲ ಎಂಬುದು ನಾಲ್ಕನೆಯ ಆಯಾಮ, ಇದೇ ಅಲ್ಲದೆ ಬೇರೆ ಹೆಚ್ಚು ಆಯಾಮಗಳಿರುವ ಆಕಾಶಗಳ ಸಾಧ್ಯತೆ ಇದೆಯೆಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅನಂತ ಆಯಾಮಗಳ ಆಕಾಶದ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ (ನೋಡಿ- ಅತ್ಯಾಕಾಶಗಳು).

ಆಯಾಮ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಅಳತೆ ಪದ್ಧತಿಗಳ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ. ಅಳತೆ ಪದ್ಧತಿಯ ಮುಖ್ಯ ಉದ್ದೇಶ ನಿಖರ ವಿವರ ನಿರೂಪಣೆ. ಬೇರೆ ಎಲ್ಲ ಅಳತೆ ಪದ್ಧತಿಗಳಿಗಿಂತ ಅತಿ ಉತ್ತಮವಾದದ್ದು ಸೂಚ್ಯಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ (ಅಸ್ಸೈನ್ಡ್‌ ನಂಬರ್ಸ್‌) ವಿವರಿಸುವ ಪದ್ಧತಿ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಳತೆಯೆಂದರೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಭೌತಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಬರುವುದಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರ ಉದ್ದ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಮೀಟರ್ ಎಂಬ ಶಿಷ್ಟ ಏಕಕವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಯಾವ ನಿಯಮವೂ ಇಲ್ಲ. ಉದ್ದವನ್ನು ಗಜಗಳಲ್ಲೂ ಮೀಟರುಗಳಲ್ಲೊ ಮೈಲಿಗಳಲ್ಲೋ ಜ್ಯೋತಿರ್ವರ್ಷಗಳಲ್ಲೋ ಮತ್ತಿತರ ಯಾವುದೇ ಅನುಕೂಲವಾದ ಏಕಕದಿಂದಲೋ ಅಳೆಯಬಹುದು. ಹೀಗೆ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಏಕಕಗಳಿಂದ ಅಳೆದಾಗ ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಮುಖ್ಯ ಅಂಶ ಈ ಹಿಂದೆ ಹೇಳಿದಂತೆ ಸೂಚಕಸಂಖ್ಯೆ.

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಭೌತಪರಿಮಾಣಕ್ಕೂ ಅದಕ್ಕೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಮಾನವನ್ನೇ ಉಪಯೋಗಿಸುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಉದ್ದವನ್ನು ಗ್ರಾಂಗಳಲ್ಲಾಗಲಿ ತೂಕವನ್ನು ಮೈಲಿಗಳಲ್ಲಾಗಲಿ ಕಾಲವನ್ನು ಲೀಟರುಗಳಲ್ಲಾಗಲಿ ಹೇಳುವುದಿಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿರುವ ಪರಿಮಾಣಗಳು. ಇಂಥವನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಭೌತಕ್ರಿಯೆಗಳು ಆಯಾ ಮೂಲಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ರೀತಿಯದಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಭೌತವಿಜ್ಞಾನದ ಬಲಪ್ರಕರಣ ವಿದ್ಯುತ್ ಪ್ರಕರಣ ಮುಂತಾದ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ವಲ್ಪ ಪರಿಮಾಣಗಳನ್ನು ಮೂಲಪರಿಮಾಣಗಳೆಂದೂ ಮಿಕ್ಕವನ್ನು ಜನ್ಯಪರಿಮಾಣಗಳೆಂದೂ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಬಲಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಉದ್ದ, ಜಡಮಾನ ಮತ್ತು ಕಾಲವನ್ನು ಮೂಲಪರಿಮಾಣಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳ ಏಕಕಗಳನ್ನು ಸ್ವೇಚ್ಛೆಯಂತೆ ಆರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಆ ಏಕಕಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ ಅಳತೆ ಮಾಡಬಹುದು. ವೇಗ, ಬಲ, ಸಂವೇಗ (ಮೊಮೆಂಟಂ) ಮುಂತಾದುವನ್ನು ಜನ್ಯಪರಿಮಾಣಗಳು ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಇವನ್ನು ಮೂಲ ಅಳತೆಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಿಂದ ಅಳೆಯಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ಸ್ಥಳಾಂತರವನ್ನು ಅದು ಚಲಿಸಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಕಾಲದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಅದರ ಸರಾಸರಿವೇಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಮೂಲಪರಿಮಾಣಗಳನ್ನೂ ಜನ್ಯಪರಿಮಾಣಗಳನ್ನು ಅಷ್ಟೊಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲು ಆಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆಯಾ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಅನುಕೂಲವಾಗಿ ಮೂಲಪರಿಮಾಣಗಳನ್ನು ಆರಿಸಬಹುದು; ಅದಕ್ಕೆ ಯಾವ ನಿಯಮವೂ ಇಲ್ಲ. 
ಆಯಾಮ ಸೂತ್ರಗಳು (ಡೈಮೆನ್ಷನಲ್ ಫಾರ್ಮುಲಾಸ್) : ಎಂಬ ಮೂರು ಮೂಲ ಪರಿಮಾಣಗಳ ಎಂಬ ಜನ್ಯಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ; ಎಂದರೆ ಆ ಮೂರು ಮೂಲ ಪರಿಮಾಣಗಳ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನ (ಫಂಕ್ಷನ್) ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಉದ್ದ, ಟಿ, ಜಡಮಾನ, ಕಾಲ ಆಗಿದ್ದರೆ ವೇಗ ಎಂಬ ಜನ್ಯಪರಿಮಾಣ ಆಗುತ್ತದೆ.
ಈಗ  ಗಳನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಏಕಕಗಳ ಗಾತ್ರಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಮೊದಲಿನದರ  ದಷ್ಟು ಮಾಡಿದರೆ, ಆ ಮೂಲಪರಿಮಾಣಗಳನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಆಗುತ್ತವೆ. ಆಗ ಜನ್ಯಪರಿಮಾಣ  ಆಗುತ್ತದೆ. ಏಕಕಗಳ ಗಾತ್ರ ಬದಲಾವಣೆಯಿಂದಲೇ ಜನ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ನಿಯಮ ಅಥವಾ ಸೂತ್ರ ಬದಲಾಗಬಾರದು.
ಆ ಜನ್ಯಪರಿಮಾಣದ ಮತ್ತು  ಎಂಬ ಎರಡು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರಮಾಣ ನಿರಪೇಕ್ಷ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ

ಈಗ ್ಬ ಮತ್ತು ಗಳನ್ನು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳೆಂದು ಭಾವಿಸಿ ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕುರಿತು ಆಂಶಿಕವಾಗಿ ಅವಕಲನಿಸಿದರೆ

ಗುಣಕ  ಗಳು ಕ್ಕೆ ಸಮನಾದರೆ ಆಗ
	
ಆದ್ದರಿಂದ  =ಏ ಒಂದು ಸ್ಥಿರಾಂಕ 

ಎಂದರೆ  ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. ಎಲ್ಲಿ ಚಿ ಒಂದು ಸ್ಥಿರಾಂಕ; ಂ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ  ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ. ಇದೇ ಪ್ರಕಾರ  ಯ ಇವೆಲ್ಲ ಉತ್ತರಗಳೂ ತಾಳೆಯಾಗ ಬೇಕಾದರೆ ಆಗಬೇಕು. ಇಲ್ಲಿ ್ಷ, ಚಿ, b, ಛಿ ಎಲ್ಲವೂ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು.
ಹೀಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರಮಾಣ ನಿರಪೇಕ್ಷ ತತ್ತ್ವಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜನ್ಯಪರಿಮಾಣವನ್ನೂ ಮೂಲ ಪರಿಮಾಣಗಳ ಘಾತಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಇಂಥ ಸೂತ್ರದ ಹೆಸರು ಆ ಜನ್ಯಮಾನದ ಆಯಾಮಸೂತ್ರ. ಚಿ, b, ಛಿ ಗಳು ಪುರ್ಣಾಂಕಗಳೇ ಆಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಧನ ಚಿಹ್ನೆಯೂ ಆಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಈ ಜಿಜ್ಞಾಸೆ ಮೂರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಮೂಲ ಪರಿಮಾಣಗಳಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಗೂ ಕೂಡ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಲೋಮವೂ ಸರಿ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಅಂದರೆ, ಜನ್ಯಪರಿಮಾಣದ ಆಯಾಮ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಮೂಲ ಪರಿಮಾಣಗಳ ಘಾತಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನಾಗಿ ಬರೆದರೆ ಆಗ ಆ ಜನ್ಯಪರಿಮಾಣಕ್ಕೂ ಮೂಲ ಪರಿಮಾಣಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದಂತೆ ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರಮಾಣ ನಿರಪೇಕ್ಷ ತತ್ತ್ವ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಜನ್ಯಪರಿಮಾಣದ ಆಯಾಮ ಸೂತ್ರ ್ಟ=ಅಒಐ2ಖಿ-2 ಆಗಿರಲಿ ಒ,ಐ,ಖಿ ಗಳನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಏಕಕಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ  ಗಳಷ್ಟು ಮಾಡಿ ಜನ್ಯಪರಿಮಾಣದ ಎರಡು ಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದರೆ
 ದೊರೆಯುವುದು. ಇದು 
 ಗೆ ಸಮಾನವೆಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟ.
ಈ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಜನ್ಯಪರಿಮಾಣಗಳಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲ ಪರಿಮಾಣಗಳ ಅಳತೆಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲ ಹಂತಗಳಲ್ಲೂ ಒಂದೇ ಏಕಕ ಪದ್ಧತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಿರಬೇಕು ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷ ಎಂದರೆ ವೇಗ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರ, 
[ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷ]=[(ಗಿ2-ಗಿ1)ಖಿ-1]
ಇಲ್ಲಿ ವೇಗ ಗಿ1 ಇದ್ದದು ಖಿ ಕಾಳದಲ್ಲಿ ಗಿ2 ಆಯಿತು ಎಂದರ್ಥ. ಆದ್ದರಿಂದ ಆಯಾಮ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಚೌಕ ಆವರಣ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನುಪಯೋಗಿಸುತ್ತೇವೆ. [ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷ] ಎಂದರೆ ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷದ ಆಯಾಮಗಳು ಎಂದರ್ಥ. ಆಯಾಮಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ನಾವು ಎರಡು ವೇಗಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡೆವು ಎನ್ನುವುದು ಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ವೇಗವನ್ನು ಅಳೆಯುವ ವಿಧಾನ ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷದಲ್ಲಿ ಸೇರಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದರೆ ಸಾಕು. ಆದ್ದರಿಂದ ಇನ್ನೂ ಸರಳವಾಗಿ
ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷ=[ಗಿ ಖಿ-1]
ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬೇಕಾದರೆ ಆದಿವೇಗ ಗಿ1 ಮತ್ತು ಅಂತ್ಯವೇಗ ಗಿ2 ಎರಡನ್ನೂ ಒಂದೇ ಏಕಕರದಲ್ಲಿ ಅಳೆದಿರಬೇಕು. ಆದರೆ            [ಗಿ]=[ಐಖಿ-1] ಆದ್ದರಿಂದ ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷ=[ಐಖಿ-1ಖಿ-1]=[ಐಖಿ-2] ಎಂದು ಸಹ ಬರೆಯಬಹುದು. ಒಂದೇ ಏಕಕ ಪದ್ಧತಿಯನ್ನು ಎಲ್ಲ ಹಂತಗಳಲ್ಲೂ ಉಪಯೋಗಿಸುವುದರಿಂದ ಖಿ-1ಖಿ-1 ಅನ್ನು ಖಿ-2 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷ=[ಐಖಿ-2] ಎಂದು ಸರಳರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಈಗ [ಗಿಖಿ-1] ಅಥವಾ [ಐಖಿ-2] ವೇಗೋತ್ಕರ್ಷದ ಆಯಾಮಗಳು. ಅದೇ ರೀತಿ ಬಲದ
[ಒಐಖಿ-2]ಆಯಾಮಗಳು.
ಬಲಪ್ರಕರಣದ ಕೆಲವು ಜನ್ಯಪರಿಮಾಣಗಳ ಸೂತ್ರಗಳು ಈ ರೀತಿ ಇವೆ.

ಈ ಮೇಲಿನ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಉದ್ದ (ಐ) ಜಡಮಾನ (ಒ) ಮತ್ತು (ಖಿ) ಕಾಲಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಪರಿಮಾಣಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿದೆ. ಕಾರ್ಯ, ಚಲನಶಕ್ತಿ, ಬಲದ ಭ್ರಮಣಾಂಕ-ಇವೆಲ್ಲ ಸಮಾನ ಆಯಾಮದವು ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ತಿಳಿಯುತ್ತದೆ. 

ಈ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಬೇರೆ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ಅಂದರೆ ವಿದ್ಯುತ್ ಪ್ರಕರಣ, ಕಾಂತ ಪ್ರಕರಣ ಮುಂತಾದುವಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ಮಾರ್ಗಗಳುಂಟು.
1 ಬೇರೆ ಯಾವ ಹೊಸ ಮೂಲಪರಿಮಾಣವನ್ನೂ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳದೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪರಿಮಾಣವನ್ನೂ ಒ,ಐ,ಖಿ ಎಂಬ ಮೂರೇ ಮೂಲ ಪರಿಮಾಣಗಳ ಆಯಾಮಸೂತ್ರಗಳನ್ನಾಗಿ ಬರೆಯುವುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕೂಲಾಂಬ್ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ
	ಬಲ	=	  ವಿದ್ಯುದಂಶ  2
			    ದೂರ	
	ವಿದ್ಯುದಂಶ (ಚಾಜ್ರ್ )	=	 ದೂರ ಘಿ 
			
	ವಿದ್ಯುದ್ವಿಭವ (ಪೊಟೆನ್ಷಿಯಲ್)	=	
	ವಿದ್ಯುತ್ಪ್ರವಾಹ (ಕರಂಟ್)	=	
	ವಿದ್ಯುತ್ಕ್ಷೇತ್ರ (ಫೀಲ್ಡ್‌)	=	
	ವಿದ್ಯುನ್ನಿರೋಧ (ರೆಸಿಸ್ಟೆನ್ಸ್‌)	=	
ಇಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯುದವಾಹಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು (ಡೈಎಲೆಕ್ಟ್ರಕ್ ಕಾನ್ಸ್ಟೆಂಟ್) 1 ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದೆ. ಈ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಘಾತಗಳು ಪುರ್ಣಾಂಕಗಳಲ್ಲ.
2 ಇದರ ಬದಲು ಐ,ಒ,ಖಿ ಗಳ ಜೊತೆಗೆ ವಿದ್ಯುದಂಶ ಕಿವನ್ನೂ ಒಂದು ಮೂಲಪರಿಮಾಣವನ್ನಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬರೆದರೆ ಈ ರೀತಿ ಸರಳವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
	ವಿದ್ಯುದ್ವಿಭವ	=	[ಒಐ2ಖಿ-2ಕಿ-1]
	ವಿದ್ಯುತ್ರ್ಪವಾಹ	=	[ಕಿಖಿ-1]
	ವಿದ್ಯುತ್ಕ್ಷೇತ್ರ	=	[ಒಐಖಿ-2ಕಿ-1]
	ವಿದ್ಯುನ್ನಿರೋಧ	=	[ಒಐ2ಖಿ-1ಕಿ-2]
ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಮೊದಲೇ ಹೇಳಿರುವಂತೆ ಮೂಲಪರಿಣಾಮಗಳ ಆಯ್ಕೆಗೆ ನಿಯಮವೇನೂ ಇಲ್ಲ. ಬಲಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಒ,ಐ,ಖಿ ಎಂಬ ಮೂರು ಮೂಲ ಪರಿಮಾಣಗಳ ಜೊತೆಗೆ ಬಲ ಈಅನ್ನೂ ಮೂಲಪರಿಮಾಣವನ್ನಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ ನ್ಯೂಟನ್ನನ ಎರಡನೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಈ=ಞmಚಿ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ [ಞ]=[ಒ-1ಐ-1ಖಿ2ಈ] ಆದ್ದರಿಂದ ಞ=1 ಇದ್ದ ಮೊದಲಿನ ಏಕಕ ಪದ್ಧತಿಯ ಬದಲು ಞ ಗೆ ಬೇರೆ ಮೌಲ್ಯವಿರುವ ಇನ್ನೊಂದು ಏಕಕ ಪದ್ಧತಿಯನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು.
ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯ ನಿರೂಪಣೆ : ಆಯಾಮಸೂತ್ರಗಳು ಜನ್ಯಪರಿಮಾಣಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಲಿಪಿ ಎನ್ನಬಹುದು. ಆಯಾಮಸೂತ್ರಕ್ಕೂ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಗೂ ಯಾವಾಗಲೂ ನಿಖರವಾದ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವಿದೆಯೆಂದೇನೂ ಇಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಬಲದ ಭ್ರಮಣಾಂಕ (ಮೊಮೆಂಟ್) ಇವೆರಡಕ್ಕೂ ಎಂಬ ಒಂದೇ ಆಯಾಮ ಸೂತ್ರವಿದೆ. ಆದರೂ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆಯಾಮಸೂತ್ರಕ್ಕೂ ಲಕ್ಷಣ ನಿರೂಪಣೆಗೂ ನಿಕಟಸಂಬಂಧವಿರುತ್ತದೆ.

ಭೂಮಿಯ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ದೆಸೆಯಿಂದ ಒಂದು ವಸ್ತು ನಿಶ್ಚಲಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಬೀಳುತ್ತಿರುವುದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಕೆಳಕ್ಕೆ ಚಲಿಸಿದ ದೂರ= 16 ಘಿ (ಚಲಿಸಿದ ಕಾಲ)2
ಅಂದರೆ, s=16ಣ2
ಕೆಳಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವ ವೇಗ =32 ಘಿ (ಚಲಿಸಿದ ಕಾಲ)
ಅಂದರೆ v=32ಣ
ಈ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಅಡಿ, ಪೌಂಡ್ ಮತ್ತು ಸೆಕೆಂಡನ್ನು ಮೂಲ ಏಕಕಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮಾಡಿದ ಅನೇಕ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ವಿವರಗಳೆಲ್ಲ ಅಡಕವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ ಕಾಲ, ದೂರ, ವೇಗ ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತೆರಡರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪ್ರಯೋಗ ಮಾಡದೆಯೇ ಗಣಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್, ಗ್ರಾಂ, ಸೆಕೆಂಡುಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಏಕಕಗಳಾಗಿ ಉಪಯೋಗಿಸಿದರೆ ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳು ತಪ್ಪಾಗುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಬಾರದಿತ್ತು ಎಂದು ನಮಗನ್ನಿಸುತ್ತದೆ. ಸರಿಯಾಗಿ ಗಮನಿಸಿದರೆ ಕೆಳಕ್ಕೆ ಚಲಿಸಿದ ದೂರ ಚಲಿಸಿದ ಕಾಲದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸರಳ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿಯಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಾನುಗುಣ ಸ್ಥಿರಾಂಕಏಕಮಾನ ಪದ್ಧತಿಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರಮಾಣ ನಿರಪೇಕ್ಷನಿಯಮಕ್ಕೆ ಅನುಸಾರವಾಗಿ ನಾವೂ ಈ ಸ್ಥಿರಾಂಕ್ಕ ಆಯಾಮಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಕೊಟ್ಟರೆ ಈ ತೊಂದರೆಯನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಬಹುದು. ಭೂಮಿಯ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆ g=ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳು  ಆಗುತ್ತವೆ.

ಈಗ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಯಾವುದೇ ಏಕಕ ಪದ್ಧತಿಗೂ ಸರಿಹೊಂದುತ್ತವೆ. ಹೀಗೆ ಏಕಕಪದ್ಧತಿಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಂಪುರ್ಣ ಸಮೀಕರಣಗಳು (ಕಂಪ್ಲೀಟ್ ಇಕ್ವೇಷನ್ಸ್‌) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.

ಸಂಪುರ್ಣ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿರುವ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿಗೆ ಆಯಾಮ ಸೂತ್ರಗಳಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ [g] ಗೆ [ಐಖಿ-2] ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯ ಏಕಕಪದ್ಧತಿಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಇಂಥ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಆಯಾಮಸ್ಥಿರಾಂಕ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.

ಈಗ ವಿಜ್ಞಾನ ಯಾವ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿದೆಯೆಂದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎಲ್ಲ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೂ ಸಂಪುರ್ಣ ಸಮೀಕರಣಗಳು ತಿಳಿದಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದಲೇ ಆಯಾಮಸೂತ್ರಗಳು ಭೌತ ಪರಿಮಾಣಗಳ ವಿವರ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಲಿಪಿಯಾಗಿ ಉಪಯೋಗವಾಗುತ್ತವೆ.

ಆಯಾಮ ಸಮಘಾತೀಯತೆ ಮತ್ತು ಠಿ ಪ್ರಮೇಯ (ಡೈಮೆನ್ಷನಲ್ ಹೊಮೆಜಿನೈಟಿ ಅಂಡ್ ಠಿ ಥಿಯೊರಂ) : ಒಂದು ನಿರೂಪಣೆಯ ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಮುದಾಯದ ಅಥವಾ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದದ ಆಯಾಮವೂ ಸಮವಾದರೆ ಆ ನಿರೂಪಣೆ ಆಯಾಮ ಸಮಘಾತೀಯವಾಗಿದೆ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ v=u+ಚಿಣ ಸಮೀಕರಣದ ಪದಗಳಿಗೆ ಆಯಾಮಸೂತ್ರ ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ 
[ಐಖಿ-1]=[ಐಖಿ-1]+[ಐಖಿ-2ಖಿ]
ಆಗುತ್ತದೆ. ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದದ ಆಯಾಮವೂ [ಐಖಿ-1] ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಆಯಾಮ ಸಮಘಾತೀಯತೆ ಇದೆ.
x1,x2,x3,,….xಟಿ ಎಂಬ ಟಿ ಭೌತ ಪರಿಮಾಣಗಳ ನಡುವೆ ಜಿ(x1,x2,,……,xಟಿ)=0 ಎಂಬ ಒಂದೇ ಒಂದು ಸಂಪುರ್ಣ ಸಮೀಕರಣ ಸಾಧ್ಯವೆಂದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಈ x1,x2,x3,,….xಟಿ ಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಭೌತಪರಿಮಾಣಗಳೂ ಮತ್ತೆ ಉಳಿದವು ಆಯಾಮ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳೂ ಆಗಿರಬಹುದು. ಆದರೆ ಅವೆರಡಕ್ಕೂ ಆಯಾಮ ಸೂತ್ರಗಳಿರುವುದರಿಂದ ನಮ್ಮ ಈ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗೆ ಅವೆರಡೂ ಒಂದೇ. ಈ ಎಲ್ಲ ಟಿ ಭೌತ ಪರಿಮಾಣಗಳು ಚಿ,b,g….. ಎಂಬ ಒಟ್ಟು m ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂಲ ಪರಿಮಾಣಗಳ ಜನ್ಯಪರಿಮಾಣಗಳಾಗಿರಲಿ. ಜಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈ(ಠಿ1, ಠಿ2,…… ಠಿಟಿ-m)=0 ಎಂಬ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ ಠಿ1, ಠಿ2,…… ಠಿಟಿ-m ಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ x1,x2,….xಟಿ ರ ಘಾತ ಗುಣಲಬ್ಧಗಳಾಗಿ ಆಯಾಮ ರಹಿತವಾಗಿರಬೇಕು. ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಠಿ ಪ್ರಮೇಯವೆನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಇದನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಈ ಪರಿಮಾಣಗಳ ನಡುವೆ ಒಂದೇ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನ (ಫಂಕ್ಷನಲ್) ಸಂಬಂಧ ಇರಬೇಕು. ಅಂದರೆ ಆ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಆಯಾಮ ಸಮಘಾತೀಯತೆ ಇರಬೇಕು ಮತ್ತು ಈ ಉತ್ಪನ್ನದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವೂ (ಠಿಗಳು) ಆಯಾಮರಹಿತವಾಗಿರಬೇಕು. ಈ ಉತ್ಪನ್ನ ಹೀಗೇ ಇರಬೇಕೆಂದೇನೂ ನಿಯಮವಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಈ(ಟಿ-m) ಸಂಖ್ಯೆಯ ಠಿಗಳನ್ನು ಹೀಗೇ ಬರೆಯಬೇಕೆಂದೇನೂ ನಿಯಮವಿಲ್ಲ. ಅಂದರೆ ಠಿಗಳು ಪರಸ್ಪರಾವಲಂಬಿಗಳಾಗಿ ಇರಬಾರದು; ಅಂದರೆ ಒಂದು ಠಿ ಯನ್ನು ಬೇರೆ ಠಿ ಗಳ ಘಾತಗಳಾಗಿಯೋ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿಯೋ ಬರೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿರಬಾರದು.

ಆಯಾಮ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ: ಆಯಾಮ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯದ ಉಪಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಅತಿ ಮುಖ್ಯವಾದದ್ದೆಂದರೆ ಗಣಿತರೀತ್ಯಾ ಉತ್ತರ ದೊರೆಯುವುದು ಅಸಾಧ್ಯವೆನಿಸುವಷ್ಟು ಕ್ಲಿಷ್ಟವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಉತ್ತರ ದೊರಕಿಸುವುದು.

ಇಲ್ಲಿ mನ ಸಂಖ್ಯೆ ಇಷ್ಟೇ ಇರಬೇಕೆಂದೇನೂ ಇಲ್ಲ. ಎಷ್ಟೋ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ mನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದರಿಂದ ಟಿ-m ಕಡಿಮೆಯಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರಗಳು ತಿಳಿಯುತ್ತವೆ. ಆದರೆ ಸಾಮಾಣ್ಯವಾಗಿ m ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದರಿಂದ ಆಗುವ ಅನುಕೂಲವನ್ನು ಅದರಿಂದಲೇ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಆಯಾನು ಸ್ಥಿರಾಂಕ ತೊಡೆದುಹಾಕುತ್ತದೆ. ಈ ಆಯಾಮ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಭೌತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಹೇಗೆ ಉಪಯೋಗಿಸಬೇಕೆಂದು ತಿಳಿಯಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಅನುಭವ ಇರಬೇಕು; ಮತ್ತು ಆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಪಟ್ಟ ವಿಷಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಆದಷ್ಟೂ ವಿವರಗಳು ತಿಳಿದಿರಬೇಕು.          (ಟಿ.ಎನ್.ಎನ್.)

ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ