ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ/ಸಂಖ್ಯಾಸಿದ್ಧಾಂತ
ಸಂಖ್ಯಾಸಿದ್ಧಾಂತ

 	ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು (ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು) ಮತ್ತು ಇವುಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳ ಅಧ್ಯಯನ (ತಿಯರಿ ಆಫ್ ನಂಬರ್ಸ್). ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಇದು 0 ಮತ್ತು ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕೂಡ ಒಳಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಚಿ ಮತ್ತು b ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿದ್ದು ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಎರಡನೆಯದು ನಿಶ್ಶೇಷವಾಗಿ ಭಾಗಿಸಿದರೆ bಯನ್ನು ಚಿಯ ಅಪವರ್ತನವೆಂದೂ ಚಿಯನ್ನು bಯ ಅಪವತ್ರ್ಯವೆಂದೂ ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಉದಾ: 20ರ ಅಪವರ್ತನ 5 ಮತ್ತು 5ರ ಅಪವತ್ರ್ಯ 200. ಅಪವರ್ತನಯುಕ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ವಿಭಾಜ್ಯವೆಂದೂ 1 ಮತ್ತು ಸ್ವತಃ ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹೊರತು ಬೇರೆ ಅಪವರ್ತನಗಳಿರದ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯವೆಂದೂ ಹೆಸರು. 2ರ ಮುಂದಿನ ಎಲ್ಲ ಸರಿಸಂಖ್ಯೆ ಗಳೂ ವಿಭಾಜ್ಯಗಳು, 49, 111, 625 ಮುಂತಾದವು ಕೂಡ ವಿಭಾಜ್ಯಗಳೇ. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 ಮುಂತಾದವು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು. 

	ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಶೋಧನೆಗೆ ಎರಟಾಸ್ಥೆನೀಸ್ (ಕಿ.್ರಪೂ.ಸು. 276-ಸು 196) ಒಂದು ವಿನೂತನ ವಿಧಾನ ಸೂಚಿಸಿದ. ಟಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಯಾವುವು ? 1ರಿಂದ ಟಿ ವರೆಗಿನ ಸಂಖ್ಯಾಶ್ರೇಢಿ ಯನ್ನು ಬರೆದು ಇದರಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಅದರ ಎಲ್ಲ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನೂ ಹೊಡೆದು ಹಾಕಬೇಕು. ಟಿ ವರೆಗಿನ ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಮುಗಿದಾಗ ಉಳಿಯುವ ಗಟ್ಟಿಕಾಳುಗಳೆಲ್ಲವೂ ಆ ಪರಿಮಿತಿ ಒಳಗಿನ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು. ಉದಾಹರಣೆ ಟಿ=50 ಆಗಿರಲಿ.

 	1,  2,  3, 4,  5,  6,  7, 8,  9, 10,
	11, 12	 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20,
	21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30,	
	31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40,
	41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50

	ಆದ್ದರಿಂದ 1-50 ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿವು: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. ಸಂಖ್ಯಾಶ್ರೇಢಿಯಿಂದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಸೋಸುವ ಈ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಎರಟಾಸ್ಥೆನೀಸನ ಜರಡಿ ಅಥವಾ ಒಂದರಿ ಎಂದು ಹೆಸರು. 

	ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಅನಂತ. ಅಲ್ಲದೇ ಅವು ಯಾವ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಎಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮುನ್ನುಡಿಯಬಲ್ಲ ಸೂತ್ರವಿಲ್ಲ. ಉದಾ: 1097ನೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಯಾವುದು? ಮೊದಲ 1000 ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಷ್ಟು? ದತ್ತ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಮೀರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿವೆಯೇ? ಮೊದಲ ಎರಡು ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಸಿದ್ಧಸೂತ್ರ ಏನೂ ಇಲ್ಲ. “ಗರಿಷ್ಠ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಎಂಬುದಿಲ್ಲ. ನೀವು ಹೇಳಬಹುದಾದ ಎಷ್ಟೇ ದೊಡ್ಡ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನೂ ಮೀರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿವೆ” ಎಂದ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ (ಕ್ರಿ.ಪೂ.ಸು. 300ರಲ್ಲಿ ಬಾಳಿದವ). ಆತನೇ ಇದಕ್ಕೊಂದು ಸರಳ ಸುಂದರ ಸಾಧನೆ ನೀಡಿದ: ನಾವು ಊಹಿಸುವ ಗರಿಷ್ಠ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಟಿ ಆಗಿರಲಿ. ಈಗ ಟಿ!+1=ಠಿ ಎಂಬ ನೂತನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿ ಸೋಣ. ಠಿಯನ್ನು ಟಿ ವರೆಗಿನ ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೂ 1 ಶೇಷ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಪ್ರಕಾರ ಠಿ ಸ್ವತಃ ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಥವಾ ಇದು ವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಟಿಗಿಂತ ಹಿರಿದಾದ ಅವಿ ಭಾಜ್ಯಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ. ಉದಾ: ಟಿ=7 ಆಗಿರಲಿ. ಆಗ ಠಿ =7! + 1 = 5041. ಇದು 71x71ಕ್ಕೆ ಸಮ!

	1ಕ್ಕಿಂತ ಅಧಿಕವಾದ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೂ ಅದರ ದ್ವಿಗುಣಿತಕ್ಕೂ ನಡುವೆ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದಾದರೂ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಬಟ್ರ್ರಾಂಡ್ (1822-1903) ಪ್ರತಿಪಾದನೆ ಎಂದು ಹೆಸರು. 1852ರಲ್ಲಿ ಚೆಬಿಶೆವ್ (1821-94) ಎಂಬ ಗಣಿತವಿದ ಸಾಧನೆ ನೀಡಿದ್ದಾನೆ. ದತ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಷ್ಟು? ಇದಕ್ಕೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯಾಪ್ರಮೇಯವೆಂದು ಹೆಸರು. ಖಚಿತ ಉತ್ತರ ಇಲ್ಲ. 

	ಇದಕ್ಕೆ ಸೆಲ್‍ಬರ್ಗ್ (1917) ಮತ್ತು  ಏರ್ಡಿಶ್ (1913-96, ಇಡಿಜos) ಸಾಧನೆ ನೀಡಿದ್ದಾರೆ.

	4ಟಿ +1 ರೂಪದಲ್ಲಿರುವ ಅಸಂಖ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿವೆ. ಉದಾ : 5, 9, 13, 17, 29, 37, 41, 53 ಇತ್ಯಾದಿ. ಇಂಥವು ಎರಡು ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ಫರ್ಮಾ (1601-65, ಈeಡಿmಚಿಣ) ಸಾಧಿಸಿದ. ಉದಾ. 41=4ಶಿ+ 5ಶಿ, 53 = 2ಶಿ + 7ಶಿ, 73 = 3ಶಿ + 8ಶಿ ಇತ್ಯಾದಿ.

	ಟಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ (ಟಿ-1)!+1 ಸಂಖ್ಯೆ ಟಿನಿಂದ ಭಾಗವಾಗುವು ದು. ಇದು ವಿಲ್ಸನ್ (1741-93) ಪ್ರಮೇಯ. ಉದಾಹರಣೆ ಟಿ=11 ಅವಿಭಾಜ್ಯ. ಆಗ (ಟಿ-1)!+1 10!+1=3628801. ಇದು 11ರ ಅಪವತ್ರ್ಯ.

	ಫರ್ಮಾನ ಅಂತಿಮ ಪ್ರಮೇಯ: xಟಿ + ಥಿಟಿ =zಟಿ ಎಂಬ ಡಯಾಫ್ಯಾಂಟೈನ್  (ಅಂದರೆ ಅನಿರ್ಧರಣೀಯ) ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಟಿ>2 ಆದಾಗ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ. ಟಿ=1 ಆದಾಗ ಅಂತೆಯೇ 2 ಆದಾಗ ಅನಂತ ಪರಿಹಾರ ಗಳಿವೆ. 32 + 42 =52, 52 + 122 =132, ಇತ್ಯಾದಿ. ಆದರೆ x3 + ಥಿ3 =z3, ಮತ್ತು ಮೇಲಿನವಕ್ಕೆ? ಪಿಯರೆ ಡ ಫರ್ಮಾ (1601-65) ತಾನು ಈ ಡಯೊಪ್ಯಾಂಟೈನ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲವೆಂಬುದಕ್ಕೊಂದು ಅದ್ಭುತ ಸಾಧನೆ ಶೋಧಿಸಿದ್ದೇನೆ (1637ರ ಅಂದಾಜು) ಎಂದು ಟಿಪ್ಪಣಿಸಿದ್ದ, ಟಿಪ್ಪಣಿ ಪುಸ್ತಕದ ಆ ಹಾಳೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳವಿಲ್ಲದ್ದರಿಂದ ಸಾಧನೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಿರಲಿಲ್ಲ. ತರುವಾಯದ ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಫರ್ಮಾನ ಅಂತಿಮ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದೇ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾಯಿತು. ಆತ ಕಂಡಿರಬಹುದಾದ ಸಾಧನೆಯ ಶೋಧನೆಯತ್ತ ಅಸಂಖ್ಯ ಸಂಖ್ಯಾಕೋವಿದರಿಗೆ ಇದು ಸ್ಫೂರ್ತಿ ನೀಡಿತು.  1993ರ ತನಕ ಟಿನ ಬೆಲೆ 3ರಿಂದ 25,000ದ ವರೆಗಿದ್ದಾಗ xಟಿ + ಥಿಟಿ =zಟಿ, ಡಯೊಫ್ಯಾಂಟೈನ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತಾಳೆಮಾಡಬಲ್ಲ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಲಾಗಿತ್ತು. ಇಂಗ್ಲೆಂಡಿನ ಆ್ಯಂಡ್ರೂ ವೈಲ್ಸ್ (1953) ಎಂಬ ಹತ್ತರ ಹರೆಯದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ತನ್ನ ಶಾಲೆಯ ಗ್ರಂಥಾಲಯ ದಲ್ಲಿ ಫರ್ಮಾನ ಅಂತಿಮ ಪ್ರಮೇಯದ ಬಗ್ಗೆ ಲೇಖನ ಓದಿದ(1963ರ ಅಂದಾಜು). ಗಣಿತಪ್ರಚಂಡನಾದ ಈತ ಈ ಅಸಾಧಿತ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಸಾಧನೆ ಅರಸುವುದೇ ತನ್ನ ಬಾಳಿನ ಏಕೈಕ ಗುರಿ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮತ್ತು ಸಂಶೋಧನೆ ಮುಂದುವರಿಸಿದ ಮತ್ತು ಯಶಸ್ಸುಗಳಿ ಸಿದ ಕೂಡ. 1993 ಜೂನ್ 26ರಂದು ಇದು ಪ್ರಪಂಚ ಮಾಧ್ಯಮಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾಯಿತು. 

	ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ, ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ (ಪರ್ಫೆಕ್ಟ್ ನಂಬರ್ಸ್) ಅಪರಿಪೂರ್ಣ ಪ್ರಪಂಚ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಕುರಿತಂತೆ 1 ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹೊರತಾಗಿ ಬೇರೆ  ಅಪವರ್ತನ ಅಥವಾ  ಭಾಜಕಗಳಿದ್ದರೆ ಇವುಗಳಿಗೆ ಸಹಜ ಭಾಜಕಗಳೆಂದು ಹೆಸರು. 

	ಉದಾ: 18ರ ಸಹಜ ಭಾಜಕಗಳು 1, 2, 3, 6, 9; 23ರ ಸಹಜ ಭಾಜಕ 1 ಮಾತ್ರ. ಈಗ, ಈ ಸಹಜ ಭಾಜಕಗಳ ಮೊತ್ತ ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗುವುದು ಸಾಧ್ಯವೇ? 6=1+2+3, 28=1+2+4+7+14, 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248, ಇತ್ಯಾದಿ. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಹಜ ಭಾಜಕಗಳ ಮೊತ್ತ ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದರೆ  ಅದಕ್ಕೆ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಮೂರು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹಿಂದೆ ಬರೆದಿದೆ. ಮುಂದಿನ ಮೂರು 8128; 33,550,336; 8,559,869,056. ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನ್ವೇಷಣೆಗೆ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ (ಕ್ರಿ.ಪೂ. 4ನೆಯ ಶತಮಾನ) ಸೀಮಿತ ಸೂತ್ರವೊಂದನ್ನು ನೀಡಿದ್ದ: 2ಟಿ-1, ಉಕ್ತಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಾದಾಗ 2ಟಿ-1(2ಟಿ-1),  ರೂಪದಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆಯ್ಲರ್ (1707-83) ಈ ಉಕ್ತಿಗೆ ಸಾಧನೆ ಕೊಟ್ಟಿದ್ದಾನೆ. ಗಣಕಗಳು ಮಾಡಿರುವ ಶೋಧನೆ ಪ್ರಕಾರ (1998) ಮೂವತ್ತೇಳನೆಯ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ 23021376 (23021377-1). ಇದರಲ್ಲಿ 1,819,050 ಅಂಕಗಳಿವೆ! 

	ಸಂಖ್ಯಾಪ್ರಪಂಚದಲ್ಲಿ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಎತ್ತುವುದು ಸುಲಭ. ಇವನ್ನು ಸಾಧಿಸುವುದು ಅತಿಕಠಿಣ. ನಿದರ್ಶನಾರ್ಥ ಗೋಲ್ಡ್‍ಬಾಕ್(1690-1764) ಎಂಬಾತ ಮಂಡಿಸಿದ ಊಹೆ: ಸರಿಸಂಖ್ಯೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಎರಡು ಪರಸ್ಪರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ. ಉದಾ. 40 ಒಂದು ಸರಿಸಂಖ್ಯೆ. 40=17+23. ಅಂತೆಯೇ 100=3+97. ಈ ಊಹೆಗೆ ಸಾಧನೆ 1988ರ ತನಕ ದೊರೆತಿರಲಿಲ್ಲ. ಇನ್ನೊಂದು ಊಹೆ: ಠಿ ಮತ್ತು ಠಿ+2 ರೂಪದಲ್ಲಿ ರುವ ಅವಳಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಉದಾ: 3, 5; 11, 13; 17, 19; ಇತ್ಯಾದಿ. ಸದ್ಯ ತಿಳಿದಿರುವ ಅತಿಬೃಹತ್ ಅವಳಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು 1,000,000,009,649 ಮತ್ತು 1,000,000,009,651. 

	ಇ.ಟಿ.ಬೆಲ್ (1883-1968) ಎಂಬ ಗಣಿತ ಚರಿತ್ರಕಾರ ಬರೆದಿದ್ದಾನೆ, “ಗಣಿತ ಪ್ರಪಂಚದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತವೇ ಕೊನೆಯ ಬೃಹತ್ ಅನಾಗರಿಕ ಭೂಖಂಡ. ಅತ್ಯಂತ ಫಲವಂತವಾಗಿರುವ ಆದರೆ ಒಂದು ಇನ್ನೊಂದರ ಯೋಗಕ್ಷೇಮ ಕುರಿತಂತೆ ತೀರ ಉದಾಸೀನವಾಗಿರುವ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಕೇಂದ್ರ ಸರ್ಕಾರದ ಸುಳುಹು ಕೂಡ ಇಲ್ಲದಿರುವ ದೇಶಗಳಾಗಿ ಇದು ಒಡೆದು ಹೋಗಿದೆ. ನವಸಾಮ್ರಾಜ್ಯವೊಂದನ್ನು ಜಯಿಸಲು ಯಾವನೇ ಯುವಕ ಅಲೆಗ್ಸಾಂಡರ್ (ಕ್ರಿ.ಪೂ. 356-323) ಕಾತರನಾಗಿ ತಹತಹಿಸು ತ್ತಿದ್ದರೆ ಇಲ್ಲಿದೆ ಅವನಿಗೊಂದು ಹೊಸಸವಾಲು. ಅಂಕಗಣಿತಕ್ಕೆ ಅದರ ಡೇಕಾರ್ಟೇ(1591-1661) ಇನ್ನೂ ಬಂದಿಲ್ಲ. ನ್ಯೂಟನ್ (1642-1727) ಅಂತೂ ಹೇಗೂಬಂದೇ ಇಲ್ಲವಷ್ಟೆ!” ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪ್ರಪಂಚ ಇನ್ನೂ ಅಪರಿಪೂರ್ಣವೇ ಆಗಿ ಉಳಿದಿದೆ. 

	ಸಂಖ್ಯಾಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿಯ ಅನ್ವೇಷಣೆಗೆ ಕೊನೆಯೇ ಇಲ್ಲ. “ಭಗವಂತ ಮಾನವನನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಿದ, ಮಾನವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಉಪಜ್ಞಿಸಿ ಸಾಕ್ಷಾತ್ ಸೃಷ್ಟಿಕರ್ತನನ್ನೇ ಅಳೆದ!” ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆ ಅಕ್ಷರಶಃ ನಿಜ.  	
	
		 (ಸಿ.ಎಸ್.ವಿ.)

ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ