ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ/ಕೇಂದ್ರಾಭಿಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯ
ಮೂಲದೊಡನೆ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ

ಕೇಂದ್ರಾಭಿಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯ
ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿಯೂ (ಥಿಯೊರಿ ಆಫ್ ಪ್ರಾಬೆಬಿಲಿಟಿ) ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸಂಖ್ಯಾಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿಯೂ (ಥಿಯೊರೆಟಿಕಲ್ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್) ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗೆ ಗಮನಾರ್ಹ ಸ್ಥಾನವನ್ನೂ ಒದಗಿಸಿಕೊಡುವ ಪ್ರಮೇಯ (ಸೆಂಟ್ರಲ್ ಲಿಮಿಟ್ ಥಿಯೊರಂ).  ಸಂಭವ ವಿತರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ವಿತರಣೆಯ ಕೇಂದ್ರವೆಂದರೆ ಸಂಭವಚರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಹಲವಾರು ಬೆಲೆಗಳು ಯಾವ ಬಿಂದುವಿನ (ಬೆಲೆಯ) ಸುತ್ತಮುತ್ತ ಹರಡಿಕೊಂಡಿರುವಂತೆ  ಎನಿಸುವುವೋ ಅಂಥ ಒಂದು ಪ್ರಾತಿನಿಧಿಕ ಬೆಲೆ.  ಸಂಭವಚರದ ಮಧ್ಯಕ (ಸರಾಸರಿ, ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಬೆಲೆ ಅಥವಾ ನಿರೀಕ್ಷೆ-ಎಕ್ಸ್ಪೆಕ್ಟೆಡ್ ವ್ಯಾಲ್ಯೂ) ಇಂಥ ಒಂದು ಸ್ಥಾನ ನಿರ್ದೇಶಕ (ಮೆಷರ್ ಆಫ್ ಲೊಕೇಶನ್) ಬಿಂದು.  ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ನಮ್ಮ ಕಣ್ಣಿಗೆ ಕಾಣಬಲ್ಲ, ನಾವು ಅಳೆದು ನೋಡಬಲ್ಲ ಚರಗಳು ಸಂಭವಚರಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ.  ಅಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲ ; ಅವು ಸಾಧಾರಣ ಚರಗಳಾಗಿರದೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಸಂಭವಚರಗಳು ಅಂಗಾಂಶಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ.  ಎಂದರೆ ನಮ್ಮ ಆಸಕ್ತಿ ಕೆರಳಿಸುವ ಅನೇಕ ಸಂಭವಚರಗಳು ತೊಡಕಾದ ರಚನೆಯವು.  ಅವು ಹಲವಾರು ಸಂಭವಚರಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿರುತ್ತವೆ.  ಈ ಅಂಗಚರಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನಮಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ತಿಳಿವಾಗಲಿ, ಆಸಕ್ತಿಯಾಗಲಿ ಇಲ್ಲದೆ ಹೋಗಬಹುದು; ಇವೆಲ್ಲವುಗಳ ಮೊತ್ತ ಮಾತ್ರವೇ ನಮ್ಮ ಅಧ್ಯಯನ ವಸ್ತುವಾಗಿರಬಹುದು.  ಆದ್ದರಿಂದ ಅಂಗಾಂಶಗಳ ವಿತರಣೆಗಳು ಸರಿಯಾಗಿ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಅವುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದು ಆದಾಗಲಾದರೂ ಮೊತ್ತಚರದ ವಿತರಣೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಏನಾದರೂ ಹೇಳಬಹುದಾದಲ್ಲಿ ಅಂಥ ತಿಳಿವು ಸ್ವಾಗತಾರ್ಹ.  ಕೇಂದ್ರಾಭಿಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯ ಇಂಥ ತಿಳಿವನ್ನು ಕೊಡುತ್ತದೆ.
	ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ ಅನೇಕ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳಲ್ಲಿ, ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ಪರಸ್ಪರ ಅನಾಶ್ರಯಿಗಳಾದ ಹಲವು ಸಂಭವಚರಗಳ ಮೊತ್ತ ಅಂಗಚರಗಳ ಸಂಭವ ವಿತರಣೆ ಏನೇ ಆಗಿದ್ದರೂ ತಾನು ಮಾತ್ರ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಕಡಿಮೆ ಗೌಸಿಯನ್ (ನಾರ್ಮಲ್) ವಿತರಣೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.  ಅದರ ವಿತರಣೆಗೂ ಗೌಸಿಯನ್ ವಿತರಣೆಗೂ ಇರುವ ಭೇದ ಅಂಗಚರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಹೆಚ್ಚಿದಂತೆ ತಾನು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತ ಹೋಗಿ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ತಾನು ಗೌಸಿಯನ್ ವಿತರಣೆಯೇ ಆಗಿಬಿಡುತ್ತದೆ.
	ಈ ಕೇಂದ್ರಾಭಿಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದಾಗಿ ಗೌಸಿಯನ್ (ನಾರ್ಮಲ್) ವಿತರಣೆಗೆ ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ಗಣಿತದಲ್ಲೂ ಸಂಖ್ಯಾಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ತತ್ತ್ವದಲ್ಲೂ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಸ್ಥಾನ ಸಲ್ಲುತ್ತದೆ.  ಮೂಲರೂಪದಲ್ಲಿ ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಮೊದಲು ರೂಪಿಸಿದವ ಲಾಪ್ಲಾಸ್ (1812ರಲ್ಲಿ).  ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಅದರ ಸತ್ಯತೆಯನ್ನು ಲಿಯಪನಾಫ್ ತರ್ಕಶುದ್ಧವಾಗಿ ಸಾಧಿಸಿ ತೋರಿಸಿದ (1901).  ಅನಂತರ ಈ ಕೇಂದ್ರಾಭಿಮಿತಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಅದರ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಕೇಂದ್ರಾಭಿಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ಬೇಕಾಗುವ ಲಘುತಮ ಸನ್ನಿವೇಶ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಕುರಿತು ಸಹ ಅಧ್ಯಯನ ನಡಿಸಿರುವವರು ಹಲವು ಮಂದಿ.  ಸಂಭವತ: ಅನ್ಯೋನ್ಯಾಶ್ರಯಿಗಳಾದ ಅಂಗಚರಗಳ ಮೊತ್ತದ ಬಗ್ಗೆಯೂ ಪರಿಶೀಲನೆ ನಡೆದಿದೆ.
x1, x2.........,xಞ, .........xಟಿಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಭವತ: ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದು ಏಯ ಯಾವುದೇ ಬೆಲೆಗೂ ಸಂಭಾವ್ಯತೆ  (xಞ=1)=ಠಿ, ಸಂಭಾವ್ಯತೆ (xಞ=0)=q=1-ಠಿ ಆಗಿರುವಂಥ ಬಿಂದು ಸಂಕೋಚವ್ಯಾಪ್ತಿಯ (ಡೀಜನರೆಸಿ) ದ್ವಿಭಾವಕ ಸಂಭವಚರಗಳನ್ನು ಕುರಿತ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಕೇಂದ್ರಾಭಿಮಿತಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಶೀಲನದ ಮೂಲಾಧಾರಗಳೆಂದರೆ ಬರ್ನೂಲಿ, ಡಿ' ಮಾಯಿವರ್, ಪಾಯಿಸಾನ್ ಇವರು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಿದ ಪ್ರಮೇಯಗಳು.
	ಮೊದಲನೆಯದಾದ ಬರ್ನೂಲಿ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೀಗೆ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು : ಎಲ್ಲ ಏಗಳಿಗೂ ಸಂಭವಚರ  xಞಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಅನಾಶ್ರಯಿಗಳಾಗಿದ್ದು ಸಂಭಾವ್ಯತೆ (xಞ=1)=ಠಿ ಮತು ಸಂಭಾವ್ಯತೆ (xಞ=0)=q=1-qಆಗಿರಲಿ.  ಇಂಥ  ಟಿಚರಗಳ ಮೊತ್ತ ⁿ∑1xಞ=8ಟಿ ಎನ್ನೋಣ.  ಈಗ Sಟಿ / ಟಿಎಂಬೀ ಪ್ರಮಾಣ  ಠಿಯನ್ನು ಸಂಭವತ: ಉಪಸರಿಸುತ್ತದೆ.
ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ ಠಿ ಟim  Sಟಿ / ಟಿ = ಠಿ

       ಟಿ→∞
 ಅರ್ಥಾತ್ ಸಂಭವ    |Sಟಿ / ಟಿ — ಠಿ >ε        =ಟಿಟಿ(ε)   ಆಗಿರಲಿ
ಯಾವುದೇ ε ಬೆಲೆಗೂ  ಟಿಅನಂತಗಾಮಿಯಾದಂತೆ ಟಿಟಿ(ε) ಸೊನ್ನೆಯನ್ನು ಉಪಸರಿಸುತ್ತದೆ.  ಇನ್ನೊಂದು ಹೆಜ್ಜೆ ಮುಂದೆ ಹೋಗಿ ಡಿ' ಮಾಯಿವರ್ ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿದ ಎರಡನೆಯ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೀಗೆ ಹೇಳಬಹುದು : ಮೇಲಿನ ಮೊತ್ತ  Sಟಿನ ಶಿಷ್ಟರೂಪವಾದ ಸಂಭವಚರ  (ಟಿ=Sಟಿ-ಟಿಠಿ / ಟಿಠಿq  ನ ವಿತರಣೆ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
	ಬರ್ನೂಲಿ ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಂಡ ಸನ್ನಿವೇಶವನ್ನು ಸೂಕ್ತ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾರ್ಪಡಿಸಿ ಪಾಯಿಸಾನ್ ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ವಿತರಣೆಯನ್ನು (ಪ್ರಾಬೆಬಿಲಿಟಿ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್) ಸಾಧಿಸಿದ.  ಬರ್ನೂಲಿಯನ್ ಹಾಗೂ ಗೌಸಿಯನ್ (ನಾರ್ಮಲ್) ಮಿತಿ (ಸಾಂದರ್ಭಿಕ) ವಿತರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಂವೃತತ್ವ (ಕ್ಲೋಶರ್) ಎಂಬ ಒಂದು ಮುಖ್ಯ ವೈಲಕ್ಷಣ್ಯವುಂಟು.  ಸರ್ವಸಾಂದರ್ಭಿಕವಾಗಿ ಅಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಪಾಯಿಸಾನ್ ವಿತರಣೆಗೂ ಈ ಗುಣವಿಶೇಷವುಂಟು.  ಸಂವೃತತ್ವವೆಂದರೆ ಇಷ್ಟೆ : ಪರಸ್ಪರ ಅನಾಶ್ರಯಿಗಳಾದ  x1, x2......xಟಿ   ಎಂಬ ಟಿ ಚರಗಳ ಮೊತ್ತ  ∑xi=ಥಿ(ಟಿ)ಆಗಿರಲಿ.  ಈ ಥಿ(ಟಿ)ನ ವಿತರಣೆ ಯಾವುದೋ ಅದೇ ಅಂಗಾಂಶಗಳಾದ ಪ್ರತಿ xಞ ಯ ವಿತರಣೆಯೂ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.  ಬರ್ನೂಲಿಯನ್ ವಿತರಣೆಗೆ ಸಂವೃತತ್ವ ಗುಣವಿದೆಯಾಗಿ ಮೇಲಿನ ಥಿ(ಟಿ)ಚರ ಬರ್ನೂಲಿಯನ್ ವಿತರಣೆ ಹೊಂದಿದ್ದಲ್ಲಿ ಅದರ ಅಂಗಾಂಶಗಳಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಚರ xಞಯೂ ಬರ್ನೂಲಿಯನ್ ವಿತರಣೆ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆಂದು ನಿರ್ಧಾರವಾಗಿ ಹೇಳಬಹುದು.  ಅದೇ ಥಿ(ಟಿ)ನ ವಿತರಣೆ ಸಂವೃತತ್ವ ಗುಣವಿಲ್ಲದ ಮತ್ತಾವುದಾದರೊಂದು ವಿತರಣೆಯಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ ಅದರ ಅಂಗಾಂಶಗಳಾದ  xಞಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಇಂಥ ಏನೊಂದು ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೂ ಬರಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
	ಸಂಖ್ಯಾಬಾಹುಳ್ಯ ನಿಯಮ ಹಾಗೂ ಗೌಸಿಯನ್ ಕೇಂದ್ರಾಭಿಸರಣ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಸಿದ್ಧಿಸಲು ಬೇಕಾಗುವ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳನ್ನು ದುರ್ಬಲಗೊಳಿಸುವ (ವೀಕನ್) ಪ್ರಯತ್ನಗಳು ಲಾಪ್ಲಾಸನ ಕಾಲದಿಂದಲೂ ನಡೆಯುತ್ತ ಬಂದಿವೆ.  ಒಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರಾಭಿಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೀಗೆ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು :   x1,x2.......,xಟಿಎಂಬ ಪರಸ್ಪರ ಅನಾಶ್ರಯಿ ಸಂಭವಚರಗಳ ವೈಯಕ್ತಿಕ ವಿತರಣೆಗಳು ಏನೇ ಇರಲಿ ಬಹು ವಿಶಾಲ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತ ಚರ Sಟಿ=  ಟಿ/∑/m1 xi ಅನಂತ ಸ್ಪರ್ಶೀಯವಾಗಿ (ಅಸಿಂಪ್ಪಾಟಿಕಲ್ಲಿ) ಗೌಸಿಯನ್ (m, ()  ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.  ಇಲ್ಲಿ mi,(iಗಳು ಚರ xiಯ ಮಧ್ಯಕ,  ನಿಯತಭಿನ್ನತೆಗಳು ಹಾಗೂ m=∑mi   ಮತ್ತು  (ಶಿ=∑(iಶಿ.  ಲಿಯಪನಾಫ್ 1901ರಲ್ಲಿ ಈ ಪ್ರಮೆಯವನ್ನು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾದ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳಲ್ಲಿ ತರ್ಕಶುದ್ಧವಾಗಿ ಸಾಧಿಸಿದ.  ಈ ಪ್ರಮೇಯ ಸತ್ಯವಾಗಬಲ್ಲ ಅತ್ಯಂತ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳನ್ನು ಕಂಡು ಕೊಳ್ಳುವಲ್ಲಿ ಸಪಲರಾದವರೆಂದರೆ ಫೆಲ್ಲರ್, ಖಿನ್‍ಚಿನ್, ಲೆವಿ, ನೆಡೆನ್‍ಕೋ ಮತ್ತು ಡಾಬ್ಲಿನ್.
	ಚಾರಿತ್ರಿಕ ಮಹತ್ತ್ವವುಳ್ಳ ಕೆಂದ್ರಾಭಿಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯದ ಎರಡು ರೂಪಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಕಾಣಿಸಿದೆ.
1 ಸದೃಶಾಂಗ ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿನ (ಈಕ್ವಲ್ ಕಾಂಪೊನೆಂಟ್) (ಲಿಂಡ್‍ಬರ್ಗ್-ಲೆವಿಯರು ಮೊದಲಿಗರಾಗಿ ಸಾಧಿಸಿದ) ಕೇಂದ್ರಾಭಿಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯ : x1,x2........,xಟಿ,........  ಅನಾಶ್ರಯಿ ಸಂಭವ ಚರಗಳೆಲ್ಲ ಒಂದೇ ರೂಪದ ವಿತರಣೆ ಹೊಂದಿರಲಿ.  xಞಯ ಮಧ್ಯಕ  ಇ(xಞ)=mಞಮತ್ತು ನಿಯತಭಿನ್ನತೆ ಞಆಗಿರಲಿ; ಞ =1, 2,.......ಟಿ........ಈ ಚರಗಳಮೊತ್ತದ ಶಿಷ್ಟರೂಪವಾದ
ಟಿ

∑ xಞ -∑mಞ /√∑(ಞಶಿ =(ಟಿ
1
ಎಂಬ ಚರ ಅನಂತಸ್ಪರ್ಶೀಯವಾಗಿ (ಎಂದರೆ ಟಿ→∞ದಾಗ)   ಓ(0,1) ಆಗಿ ವಿತರಣೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.  ಗಮನಾರ್ಹ ಸಂಗತಿಯೆಂದರೆ ಒಂದೇ ವಿತರಣರೂಪದ ಎಂದರೆ ಸದೃಶಾಂಗ ಚರಗಳ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಅಂಗಚರದ ದ್ವಿತೀಯ ಮೊಮೆಂಟೊ ಸಾಂತವಾಗಿದ್ದರೆ ಸಾಕು.  ಕೇಂದ್ರಾಭಿಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯ ಸಿದ್ಧಿಸುತ್ತದೆ.  ಅಂಗಚರಗಳ ವಿತರಣರೂಪಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿಲ್ಲದ ವಿಶಾಲತರ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಮೊತ್ತ ಚರ ∑xಞ ಯಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಚರಾಂಶ xಞಯೂ ಮಿಕ್ಕವಕ್ಕಿಂತ ಅತಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಹೋಗದಂತೆ ಮಿಕ್ಕವನ್ನು ಮೂಲೆ ಸೇರಿಸದಂತೆ ಏನಾದರೊಂದು ನಿಯಂತ್ರಣವನ್ನು ಹೇರಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.  ಇಂಥ ಒಂದು ನಿಯಂತ್ರಣ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಮುಂದಿನ ಪ್ರಮೇಯ ವರ್ಣಿಸುತ್ತದೆ.
2 ಅಸದೃಶಾಂಗ ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿನ (ಲಿಯಪನಾಫ್ ನಿರೂಪಿತ) ಕೇಂದ್ರಾಭಿಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯ :  x1, x2,...., xಞಗಳು ಅನಾಶ್ರಯಿ ಚರಗಳಾಗಿದ್ದು ಇ(xಞ)=mಞ, ಗಳು ಮತ್ತು √ಇ(xಞ- mಞ)ಶಿ=(ಞ ಮತ್ತು ಠಿಞ³ ಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ xಞಯ ಮಧ್ಯಕ ನಿಯತ ಭಿನ್ನತೆ ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯ ನಿಶ್ಚಿಹ್ನ ಮೊಮೆಂಟುಗಳಾಗಿರಲಿ (ಎಂದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದು xಞಗೂ ಅನಂತವಲ್ಲದ ಠಿಞ³ ಇದೆಯೆಂದು ಪರೋಕ್ಷವಾಗಿ ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡಂತಾಯಿತು).
ಮತ್ತು     ³          ಟಿ 
	  (  =  ((³ಞ ಆಗಿರಲಿ
	   (ಟಿ)     1

  ಟim   
 ಟಿ→∞ ((ಟಿ) / ((ಟಿ) =0 ಆಗುವಲ್ಲಿ ಶಿಷ್ಟ ಚರ   (xಞm(ಟಿ) / ((ಟಿ)
ಓ(0, 1) ಆಗಿರುತ್ತದೆ;  ಎಂದರೆ ಶಿಷ್ಟಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.  ಪೂರ್ವೋಕ್ತ ಲಿಂಡಬರ್ಗ್-ಲೆವಿ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಚರಗಳ ನಿಶ್ಚಿಹ್ನ ಮೂರನೆಯ ಮೊಮೆಂಟುಗಳ ಮಾತೇ ಬಂದಿಲ್ಲವೆಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು.  ಆದ್ದರಿಂದ ಅದನ್ನು ಈ ಲಿಯಪನಾಥ್ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶಿಷ್ಟರೂಪ ಎನ್ನಲಾಗದು.             				
(ಟಿ.ಎನ್.ಆರ್.)

ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ