ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ/ಅತಿಪರವಲಯಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು
ಮೂಲದೊಡನೆ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ
ಅತಿಪರವಲಯಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು

	ಲ್ಯಾಂಬರ್ಟ್ 1768ರಲ್ಲಿ ಸೃಷ್ಟಿಸಿದ ಕೆಲವು ಗಣಿತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಈ ಹೆಸರು (ಹೈಪರ್‍ಬೊಲಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಸ್). ಗಣಿತದಲ್ಲೂ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲೂ ಅನೇಕ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಬರುವ ಘಾತೋತ್ಪನ್ನ (ಎಕ್ಸ್‍ಪೊನೆನ್ಷೆಯಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್) ಗಳಾದ ಮತ್ತು  ಎಂಬುವುಗಳಿಗೆ ಸಮೀಪ ಬಾಂಧವ್ಯವನ್ನು ಇವು ಪಡೆದಿವೆ.  ಇವುಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯೆ ಈ ರೀತಿ ಇದೆ : 

 ಮತ್ತು  ಗಳಿಗೆ ಅನಂತ ಶ್ರೇಣಿಗಳು

	ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಅಥವಾ ವೃತ್ತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವಂತೆಯೇ ಈ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಅತಿಪರವಲಯಕ್ಕೆ (ಹೈಪರ್‍ಬೊಲ) ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ.  ಆದ್ದರಿಂದಲೇ ಇವುಗಳಿಗೆ ಅತಿಪರವಲಯಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಎಂಬ ಹೆಸರು ಬಂದಿದೆ.  ಇದಕ್ಕೆ ನಿದರ್ಶನ ಕೆಳಗೆ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. 
	
ಎಂಬ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ  ಒಂದು ಬಿಂದುವಾದರೆ, ಇದರ ನಿರ್ದೇಶಕಗಳನ್ನು ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.   ವೃತ್ತಖಂಡದ (ಸೆಕ್ಟರ್) ಕ್ಷೇತ್ರಫಲ  ಎಂಬ ಲಂಬೀಯ ಅತಿಪರವಲಯದ ಮೇಲೆ P ಒಂದು ಬಿಂದುವಾದರೆ, P ಯ ನಿರ್ದೇಶಕಗಳನ್ನು  ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಔ ಕೇಂದ್ರವೂ, ಔಂ ಅಡ್ಡ ಅರ್ಧಾಕ್ಷರವೂ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಂಔP  ಖಂಡದ ಕ್ಷೇತ್ರಫಲ 
	
ಅತಿಪರವಲಯಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಿಸತಕ್ಕ ಕೆಳಗಿನ ಉಕ್ತಿಗಳು ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಬಂಧಿಸತಕ್ಕ ಉಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿವೆ. 

1.	
2.	
3.	
4.	
5.	
6.	
7.	  
8.	
9.	
10.	
11.	

12
13.	
.
14	

ಅತಿಪರವಲಯಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಅವರ್ತಾಂಕ ಒಂದು ಊಹ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ (ಇಮ್ಯಾಜಿನರಿ ನಂಬರ್).  ಇದರ ಬೆಲೆ  ಮತ್ತು  ಗಳಿಗೆ  ಆಗಿಯೂ  ಗೆ  ಆಗಿಯೂ ಇದೆ. 
	
ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಅತಿಪರವಲಯಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ನಡುವೆ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳು ಏರ್ಪಡುತ್ತವೆ. 
            
            
	
ಅತಿಪರವಲಯಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗೆ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ. 
	
ಅತಿಪರವಲಯಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ವಿಷ್ಪನ್ನಗಳು (ಡೆರವೆಟ್ಯೂಸ್) ಈ ಕೆಳಕಂಡಂತಿವೆ : 
 	
	
	

ಅತಿಪರವಲಯಿಕ ಪ್ರತಿಲೋಮ (ಇನ್ವರ್ಸ್) ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಇತರ ಪ್ರತಿಲೋಮ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಂತೆಯೇ ವ್ಯಾಖ್ಯೆ ಮಾಡಲಾಗುವುದು.  ಹೇಗೆಂದರೆ,  ಆದರೆ,  ಸಮಾಸಕಲನಗಳಿಂದಲೂ ಅವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯೆ ಮಾಡಬಹುದು: 		   	
	

ಚಿತ್ರ-1-ಮತ್ತು-2

ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಪ್ರತಿಘಾತಗಳ (ಕಾಮನ್ ಲಾಗರಿತಮ್ಸ್) ಮೂಲಕವೂ ಅವನ್ನು ಸೂಚಿಸಬಹುದು : ಹೇಗೆಂದರೆ, 
      			

	ಈ ಪ್ರತಿಲೋಮ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ನಿಷ್ಪನ್ನಗಳು ಕೆಳಕಂಡಂತಿವೆ : 
	
	
	ಆದಾಗ
	
	
                    ಆದಾಗ
(ಎನ್.ಆರ್.ಎ.)

ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ