ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ/ಋಣದ್ವಿಪದೀಯ ವಿತರಣೆ
ಮೂಲದೊಡನೆ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ

ಋಣದ್ವಿಪದೀಯ ವಿತರಣೆ
	
ದ್ವಿಪದೀಯ ವಿತರಣೆಯಂತೆಯೇ ಆದರೆ ಋಣ ಘಾತಾಂಕವಿರುವ ಸಂಭವ ವಿತರಣೆ (ನೆಗೆಟಿವ್ ಬೈನೊಮಿಯಲ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್). ಇದರ ವಿಹಿತ (ಕಟ್ಟಳೆ-ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್) ರೂಪ ಹೀಗಿದೆ:
		
ದ್ವಿಪದೀಯ ಬೃಹತ್ ಸಮಸ್ಟಿ (ಲಾರ್ಜ್‍ಬೈನೊಮಿಯಲ್ ಪಾಪ್ಯುಲೇಷನ್) ಒಂದರಲ್ಲಿ ಂ ಎಂಬ ಗುಣವುಳ್ಳ ವಸ್ತುಗಳ ಅನುಪಾತ ( ಇರಲಿ . ಈ ಸಮಷ್ಟಿಯಿಂದ ಂ ಗುಣವುಳ್ಳ  ವಸ್ತುಗಳು ದೊರೆವತನಕ ಒಮ್ಮೆ ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನಂತೆ ನಮೂನೀಕರಣ (ಸ್ಯಾಂಪ್ಲಿಂಗ್) ಮಾಡುತ್ತ ಹೋದರೆ ನಮೂನೆಯ ಗಾತ್ರ ಞ+ಘಿ  ಆಗುವುದರ (ಘಿ = 0,1,2.......) ಸಂಭಾವ್ಯತೆಯನ್ನು ಗಣನೆ ಮಾಡೋಣ. ಒಟ್ಟು ಞ ಬಾರಿ ಂ ಗುಣವುಳ್ಳ ವಸ್ತುವನ್ನು ಪಡೆಯಲು (ಞ + ಘಿ) ಆಯ್ಕೆಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ಎಂದರೆ, ಮೊದಲನೆಯ (ಞ + ಘಿ-1) ಬಾರಿಗಳಲ್ಲಿ (ಞ - 1) ಸಲ ಯಾವ ಕ್ರಮದಲ್ಲಾಗಲಿ ಂ ಗುಣವುಳ್ಳ ವಸ್ತು ಆಯ್ಕೆಯಾಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಇದರ ಮುಂದಿನ ಸಾರಿ ಂ ಗುಣವುಳ್ಳ ವಸ್ತು ಆಯ್ಕೆಯಾಗಬೇಕು. ಈ ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಘಟನೆಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದರ ಸಂಭಾವ್ಯತೆ ಇರುವುದು; ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದರ ಸಂಭಾವ್ಯತೆ  ಇರುವುದು. ಈ ಘಟನೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುವ ಕಾರಣ ಎರಡೂ ಏಕಕಾಲಿಕವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭಾವ್ಯತೆ ಅವುಗಳ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧಕ್ಕೆ ಸಮವಾಗಿರುವುದು. 
ಅಂದರೆ ಆಗುವುದು. ಇದರಲ್ಲಿ ಘಿ ಗೆ ಕ್ರಮವಾಗಿ 0, 1, 2, ....... ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದರೆ ಅವಕ್ಕೆ ಸಂವಾದಿಯಾದ (ಕರೆಸ್ಪಾಂಡಿಂಗ್) ಸಂಭಾವ್ಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಘಿ ಸಂಭವ ಚರದ ಬೆಲೆ ಆಗುವುದರ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಯನ್ನು P(ಘಿ=ಡಿ) ಎಂದು ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನೇ Pಡಿ ಎಂದೂ ಬರೆಯುವುದುಂಟು. ಇದನ್ನನುಸರಿಸಿ ಮೇಲೆ ಕಾಣಿಸಿದ ಫಲವನ್ನು 
		
ಎಂದು ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. ಈ ಬೆಲೆ ಎಂಬ ಪದಾವಳಿಯನ್ನು ಅನಂತಶ್ರೇಣಿಯ (ಇನ್‍ಫಿನಿಟ್‍ಸೀರೀಸ್) ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಸಿದಾಗ ಣಡಿ ಪದದ ಗುಣಕವಾಗಿರುವುದೆಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಅಂದರೆ,  ಎಂಬುದು ಋಣದ್ವಿಪದೀಯ ವಿತರಣೆಯ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಯ ಜನಕ ಉತ್ಪನ್ನ (ಪ್ರಾಬೆಬಿಲಿಟಿ ಜನರೇಟಿಂಗ್ ಫಂಕ್ಷನ್) ಆಗುವುದು. ಇದರಲ್ಲಿ 
 ಮತ್ತು 
ಎಂದು ಆದೇಶಿಸಿ ಸರಳೀಕರಿಸಲು ಕಟ್ಟಳೆ ರೂಪ ದೊರೆಯುವುದು. ದ ವ್ಯಾಪ್ತಿ  ಇರುವುದರಿಂದ ಚಿ ಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿ  ಇರುವುದು. 
	
ಯಥಾಕ್ರಮ ಗಣನೆ ಮಾಡಲು ಇದರ ಜಡವೇಗಗಳು (ಮೊಮೆಂಟುಗಳು), . ಆದ್ದರಿಂದ  ಪ್ರಯೋಗಾತ್ಮಕ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವಂತೆ ಋಣದ್ವಿಪದೀಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪೊರ್ದಿಸಲು (ಟುಫಿಟ್) ಈ ಸಾಮ್ಯಗಳು ಉಪಯೋಗಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತವೆ.
	
ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ಪ್ರತಿಚಯನದಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯ ಆಯ್ಕೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಂ ಗುಣವುಳ್ಳದ್ದಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಉಳಿದ ಆಯ್ಕೆಗಳು ಯಾದೃಚ್ಫಿಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಉಕ್ತ ನಮೂನೆಯ (ಸ್ಯಾಂಪಲ್) ಪ್ರಾಯಿಕತೆ (ಲೈಕ್‍ಲಿಹುಡ್)
		
ಇರುವುದು. ಗರಿಷ್ಠತಮ ಪ್ರಾಯಿಕತೆ (ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಂ ಲೈಕ್‍ಲಿಹುಡ್) ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೇರೆಗೆ ದ ಅಂದಾಜನ್ನು  ಮತ್ತು  ಎಂಬ ಸಂಬಂಧಗಳಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಐನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿ, ಸರಳೀಕರಿಸಲು . ಆದ್ದರಿಂದ  ಎಂಬುದು  ದ ಗರಿಷ್ಠತಮ ಪ್ರಾಯಿಕ ಅಂದಾಜು (ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಂ ಲೈಕ್‍ಲಿಹುಡ್ ಎಸ್ಟಿಮೇಟ್) ಆಗುವುದು. 
	
ಪ್ರಕಾರಾಂತರ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ: ಮಧ್ಯಕ (ಮೀನ್) λ ಇರುವ ಪೋಸೋನ್ (Poissoಟಿ) ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವ ಘಿ ಯಾದೃಚ್ಫಿಕ ಚರವನ್ನು (ರ್ಯಾಂಡಂ ವೇರಿಯೆಬಲ್) ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ಈಗ λ ಅಚರವಾಗಿರದೆ ಚರವಾಗಿದ್ದು λ ವಿವರ್ತ (ಞ, ಚಿ) ಪ್ರಾಚಲಗಳಿರುವ (ಪ್ಯರಾಮೀಟರ್ಸ್) 
		
ಎಂಬ ಗಾಮಾ (gಚಿmmಚಿ) ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪಾಲಿಸುವುದಾದರೆ x, λ ಗಳ ಜಂಟಿ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು (ಜಾಯಿಂಟ್ ಪ್ರಾಬೆಬಿಲಿಟಿ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್) ಹೀಗೆ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು.
	
ಇದರಲ್ಲಿ λವನ್ನು ಸಮಾಸಕಲನಿಸಿ ತೊಡೆದು ಹಾಕಲು (ಇಂಟಿಗ್ರೇಟಿಂಗ್ ಔಟ್ λ) ಘಿನ ಅನಿರ್ಬಂಧಿತ ವಿತರಣೆ ದೊರೆಯುವುದು. ಹೀಗೆ 

ಇದೇ ಋಣದ್ವಿಪದೀಯ ವಿತರಣೆಯ ಕಟ್ಟಳೆ ರೂಪವಾಗುವುದು.
	
ವೀಕ್ಷಣೆಗಳಿಗೆ ಋಣದ್ವಿಪದೀಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪೊರ್ದಿಸುವಿಕೆ: ಕಾರ್ಖಾನೆಗಳಲ್ಲಾಗುವ ಅಪಘಾತಗಳ (ಇಂಡಸ್ಟ್ರಿಯಲ್ ಆಕ್ಸಿಡೆಂಟ್ಸ್) ಅಂಕಿಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪೋಸೋನ್ ವಿತರಣೆಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಿರುವುವು. ಆದರೆ ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಪೊರ್ದಿಕೆ ಅಷ್ಟು ಹಾಳಿತವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
	
ದ್ವಿಪದೀಯ ವಿತರಣೆಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿ, ಇದಕ್ಕೆ ಸಂವಾದಿಯಾದ ಋಣದ್ವಿಪದೀಯ ವಿತರಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ.
	
ಘಿ, ಙ ಸ್ವತಂತ್ರ ವಿವರ್ತಗಳು  ಪ್ರಾಚಲಗಳಿರುವ ದ್ವಿಪದೀಯ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ. ಆದರೆ ಘಿ + ಙ ದತ್ತವಾದಾಗ ಘಿ, ಙ ಗಳ ನಿರ್ಬಂಧಿತ ವಿತರಣೆ (ಕಂಡಿಶನಲ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್)
					
ಎಂಬ ಹೈಪರ್ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ (ಹೈಪರ್‍ಜೊಮೆಟ್ರಿಕ್) ಶ್ರೇಣಿಯ ಪದವಾಗಿರುವುದು. ಇದು πಯಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ.
	
ಋಣದ್ವಿಪದೀಯ ವಿತರಣೆಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಸಂವಾದಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೀಗೆ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು: (ಚಿ,ಞ1), (ಚಿ,ಞ2) ಪ್ರಾಚಲಗಳಿರುವ ಋಣದ್ವಿಪದೀಯ ಘಿ, ಙ ವಿವರ್ತಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ ಘಿ + ಙ ದತ್ತವಾದಾಗ ಘಿ, ಙ ಗಳ ನಿರ್ಬಂಧಿತ ವಿತರಣೆ  ಎಂಬ ಋಣ ಹೈಪರ್ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿತರಣೆಯಾಗಿರುವುದು. ಇಲ್ಲಿ ಃ ಎಂಬುದು ಬೀಟಾ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವಿತರಣೆ ಚಿ ಪ್ರಾಚಲದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುವುದೆಂಬುದು ಗಮನಾರ್ಹ.

(ಎಂ.ವಿ.ಜೆ.)

ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ