ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ/ಎಪಿಸೈಕ್ಲಾಯ್ಡ್‌
ಮೂಲದೊಡನೆ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ
ಎಪಿಸೈಕ್ಲಾಯ್ಡ್
	ಒಂದು ಸ್ಥಿರವೃತ್ತದ ಪರಿಧಿಯಮೇಲೆ ಒಂದು ಚರವೃತ್ತ ಉರುಳುವಾಗ ಚರವೃತ್ತದ ಪರಿಧಿಯ ಮೇಲಿನ ಸ್ಥಿರಬಿಂದುವೊಂದು ರೇಖಿಸುವ ವಕ್ರರೇಖೆ. ಸರಳರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಒಂದು ವೃತ್ತ ಉರುಳುವಾಗ ಆ ವೃತ್ತದ ವೃದ್ಧಿಸಿದ ಒಂದು ವ್ಯಾಸದ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಸ್ಥಿರಬಿಂದು ರೇಖಿಸುವ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನೂ ಇದೇ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯುವುದುಂಟು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ದೊರೆಯುವ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ವಿಶೇಷ ರೂಪ ಸೈಕ್ಲಾಯ್ಡ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗುತ್ತದೆ; ಸ್ಥಿರಬಿಂದುವನ್ನು ಒಂದು ವ್ಯಾಸಾಂತ ಬಿಂದುವಾಗಿ ಆರಿಸಿದರಾಯಿತು. 

ಎಪಿಸೈಕ್ಲಾಯ್ಡಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುವ ವಿಧಾನ :ಸ್ಥಿರವೃತ್ತದ (C) ಕೇಂದ್ರ O, ತ್ರಿಜ್ಯ a ಆಗಿರಲಿ; ಚರವೃತ್ತದ (C') ಕೇಂದ್ರ A' ತ್ರಿಜ್ಯ b ಆಗಿರಲಿ. ಪ್ರಾರಂಭ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇವೆರಡು ವೃತ್ತಗಳು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ (ಬಾಹ್ಯಸ್ಪರ್ಶ) ಬಿಂದುವನ್ನೆ C' ಮೇಲಿನ ಸ್ಥಿರಬಿಂದುವೆಂದು (P) ಆರಿಸುತ್ತೇವೆ. 

ಚಿತ್ರ-2

OPಯು x-ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು O ಮೂಲಕ ಇದಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಲಂಬ y-ಅಕ್ಷ ಆಗಿರಲಿ. C' ವೃತ್ತ C ಮೇಲೆ ಉರುಳಿದಂತೆ P ಬಿಂದು C ವೃತ್ತವನ್ನು (ಎಂದರೆ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು) ಕುರಿತು ಒಂದು ವಕ್ರ ರೇಖೆಯನ್ನು ರೇಖಿಸುತ್ತದೆ. ಚಿತ್ರ 3ರಲ್ಲಿ P ಯ ಇಂಥ ಒಂದು ಸ್ಥಾನವನ್ನು (P' ನ್ನು) ಗುರುತಿಸಿದೆ. ಅ' ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರ (ಚಿತ್ರ 3) ಈಗ ಂ'. ಅ,ಅ' ವೃತ್ತಗಳ ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದು ಕಿ ವೃತ್ತಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಂಬ, ಔxನ್ನು ಕುರಿತು  ಕೋನ ಪರಿಭ್ರಮಿಸಿದೆ ಎಂದಿರಲಿ. 

ಚಿತ್ರ-3

 ಆದ್ದರಿಂದ  ಇದೇ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಂ'P' ತ್ರಿಜ್ಯ ಥಿ- -ಅಕ್ಷದ ಸ್ಥಿರ ದಿಶೆಯೊಡನೆ ರಚಿಸುವ ಕೋನ  ಆಗಿರಲಿ. ಆದ್ದರಿಂದ  ವೃತ್ತ ಅ ಮೇಲೆ ಉರುಳಿರುವುದರಿಂದ 
ಕಂಸ Pಕಿ=ಕಂಸ ಕಿP'
				   
P' ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಕಗಳು (x,ಥಿ) ಆಗಿರಲಿ.  ಆಗ
	
x ಮತ್ತು ಥಿ  ಗಳನ್ನು ಉರುಳು ಕೋನ θದ ಮೂಲಕ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವ ಇವೆರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎಪಿಸೈಕ್ಲಾಯ್ಡಿನ (Pಯ ಪಥದ) ಪ್ರಾಚಲ ಸಮೀಕರಣಗಳು (ಪ್ಯರಾ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಇಕ್ವೇಶನ್ಸ್).  ಇಲ್ಲಿ θ ಪ್ರಾಚಲ.  

ಚಿತ್ರ-4

	ಪ್ರಾರಂಭಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ θ=0. ಆಗ x=ಚಿ, ಥಿ=ಔ ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಇದು P ಬಿಂದು. ಎಪಿಸೈಕ್ಲಾಯ್ಡ್ ಪುನಃ ಅ ವೃತ್ತವನ್ನು P1 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಿಸಿದರೆ ಔP1=ಚಿ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಆ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ x2+ಥಿ2=ಚಿ2.  P1 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ  
			
P1 ರ ಮುಂದಿನ ಸ್ಪರ್ಶಬಿಂದು P2. ಆಗಿದ್ದರೆ  
ಇದೇ ರೀತಿ ಗಣನೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಬಹುದು. ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅನುಕ್ರಮ ಸ್ಪರ್ಶಬಿಂದುಗಳ ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಎಪಿಸೈಕ್ಲಾಯ್ಡಿನ ಭಾಗದ ಹೆಸರು ಒಂದು ಕಮಾನು (ಆರ್ಚ್). ಎಲ್ಲ ಕಾನೂನುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸರ್ವಸಮವಾಗಿದೆ. P1,P2,P3 ಇತ್ಯಾದಿ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಉಭಯಾಗ್ರ ಬಿಂದುಗಳೆಂದು (ಕಸ್ಟ್ಸ್) ಹೆಸರು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಮಾನುಗಳು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಉರುಳುವೃತ್ತ ಅ' ಸ್ಥಿರವೃತ್ತ ಅಯ ಮೇಲೆ ಉರುಳಿದಂತೆ, ಅದು ಎಷ್ಟೇ ಪರಿಭ್ರಮಣೆಗಳನ್ನು ಮುಗಿಸಿದರೂ, ದೊರೆಯುವ ಕಮಾನುಗಳು ಬೇರೆಯೇ.  ಅ' ವೃತ್ತದ ಒಂದು ಪರಿಭ್ರಮಣಾ ನಂತರ ಕಮಾನುಗಳು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬೇಕಾದರೆ ಚಿ, b ಗಳು ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ನಿರ್ಬಂಧಕ್ಕೆ ಒಳಪಡಬೇಕಾಗುವುದು.  ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ ಬಲಬದಿ 0,2π, 4π…….(2ಞπ,ಞI ರೂಪದ) ಕೋನಗಳಾಗಿರಬೇಕು.  ಆದ್ದರಿಂದ  ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರಬೇಕು; ಅಂದರೆ bಯು ಚಿಯ ಒಂದು ಅಪವತ್ರ್ಯವಾಗಿರಬೇಕು,  ಆಗಿದ್ದರೆ ಆ ಎಪಿಸೈಕ್ಲಾಯ್ಡಿನಲ್ಲಿ ಟ ಕಮಾನುಗಳೂ ಅಷ್ಟೇ ಉಭಯಾಗ್ರಗಳೂ ಇವೆ; ಅಲ್ಲದೆ ಅ' ವೃತ್ತದ ಒಂದು ಪರಿಭ್ರಮಣಾ ನಂತರ ಕಮಾನುಗಳು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತವೆ. 
b=ಚಿ  ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪರಿಸ್ಥಿತಿ. ಈಗ ದೊರೆಯುವ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಹೆಸರು ಕಾರ್ಡಿಯಾಯ್ಡ್. 

	ಒಂದು ಎಪಿಸೈಕ್ಲಾಯ್ಡ್ (ಅದರ ಸ್ಥಿರವೃತ್ತ ಅ ಸಮೇತ) ಒಂದು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಉರುಳಿದರೆ ಅ ಯ ಕೇಂದ್ರ ಔ  ಒಂದು ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ರೇಖಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಹೆಸರು ಎಪಿಸೈಕ್ಲಾಯ್ಡಿನ ರೂಲೆಟ್ಟ್. ಎಪಿಸೈಕ್ಲಾಯ್ಡಿನ ಲಂಬಸ್ಪರ್ಶಿತ ಇನ್ನೊಂದು ಸಮರೂಪದ ಎಪಿಸೈಕ್ಲಾಯ್ಡ್.

	ಕ್ರಿ. ಪೂ. 140ರಲ್ಲಿ ಗ್ರೀಕ್ ಖಗೋಳಜ್ಞ, ಹಿಪ್ಪಾರ್ಕಸನಗೆ ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಪರಿಚಯವಿತ್ತು.  ಗೆರಾರ್ಡ್ ಡೆಸಾರ್ಗುಯಸ್ 1639ರಲ್ಲಿ ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಅಭ್ಯಸಿಸಿದ ಹಾಗೂ  ಯಂತ್ರಗಳ ಗೇರ್ ಹಲ್ಲುಗಳ ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ಇದರ ಗುಣಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದ. 

ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ