ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ/ಡೇಕಾರ್ಟ್, ರನೇ
ಡೇಕಾರ್ಟ್, ರನೇ
	1596-1650. ಫ್ರಾನ್ಸಿನ ತತ್ತ್ವe್ಞÁನಿ ಹಾಗೂ ಗಣಿತವಿದ. ಜನನ ಫ್ರಾನ್ಸಿನ ಟುರೇನ್ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ ಲಹಾಯೆ ಎಂಬಲ್ಲಿ (31-3-1596) ; ಮರಣ ಸ್ವೀಡನ್ನಿನ ಸ್ಟಾಕ್‍ಹೋಮಿನಲ್ಲಿ (11-2-1650). ಈತನ ತಂದೆ ಜೋಕಿಮ್ ಬ್ರಿಟಾಗ್ನೆ ಎಂಬಲ್ಲಿ ಸಂಸತ್ತು ಅಥವಾ ನ್ಯಾಯಾಲಯಕ್ಕೆ 1586ರಿಂದ ಸಲಹೆಗಾರನಾಗಿದ್ದ. ಇವನು ತಕ್ಕಮಟ್ಟಿಗೆ ಧನಿಕನಾಗಿದ್ದುದರಿಂದ ಮಗನ ಪುರೋಭಿವೃದ್ಧಿಗೆ ಸಾಕಾದಷ್ಟು ಅನುಕೂಲಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸಿಕೊಟ್ಟಿದ್ದ. ಬಾಲಕ ಡೇಕಾರ್ಟನನ್ನು ಅವನ ಸಹೋದರನಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದಕ್ಕಾಗಿ ಮನೆಯಲ್ಲಿ ಎಂ.ಡು. ಪೆರಾನ್ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಿದ್ದರು. ಆದರೆ ಈ ಹೆಸರು ಡೇಕಾರ್ಟನಿಗೆ ಇಷ್ಟವಿರಲಿಲ್ಲ. 

	ಎಂಟನೆಯ ವಯಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಡೇಕಾರ್ಟನು ಮೇನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಫ್ಲೆಶೆ ಎಂಬಲ್ಲಿ ಒಂದು ಜೆಸೂಟ್ ಶಾಲೆಗೆ ಸೇರಿ ಎಂಟುವರ್ಷ ಕಾಲ ವ್ಯಾಸಂಗ ಮಾಡಿದ (1604-1612). ಆಗ ಅವನಿಗೂ ಅವನಿಗಿಂತ 7-8 ವರ್ಷ ಹಿರಿಯನಾದ ಮಾರ್ಸೆನೆ ಎಂಬ ಬಾಲಕನಿಗೂ ಸ್ನೇಹ ಉಂಟಾಯಿತು. ಅಲ್ಲಿಂದ ಮುಂದೆ ಇಬ್ಬರೂ ಜೀವಾವಧಿ ಸ್ನೇಹಿತರಾಗಿದ್ದರು. ಕಾಲಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಇಬ್ಬರೂ ದೊಡ್ಡ ಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಾದರು. ಮಾರ್ಸೆನೆ ತನ್ನ ಸಂಖ್ಯಾ ವಿಚಾರದ ಶೋಧನೆಗಳಿಂದ ಪ್ರಸಿದ್ಧನಾದ. ಫ್ಲೆಶೆಯ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಡೇಕಾರ್ಟನು ಗುರುಗಳಿಗೆ ಅಚ್ಚುಮೆಚ್ಚಾಗಿದ್ದು, ಅವರ ಆಶೀರ್ವಾದ ಮತ್ತು ಶ್ಲಾಘನೆಗಳೊಡನೆ ತನ್ನ ಹದಿನಾರನೆಯ ವಯಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ತಂದೆಯ ಬಳಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿದ. ಒಂದು ವರ್ಷದ ತರುವಾಯ, ತಂದೆ ಮಗನನ್ನು ಪ್ರೌಢವ್ಯಾಸಂಗಕ್ಕಾಗಿ ಪ್ಯಾರಿಸ್‍ನಗರಕ್ಕೆ ಕಳುಹಿಸಿದ. ಆ ವೇಳೆಗೆ ಮಾರ್ಸೆನೆ ಅಲ್ಲೇ ಕೆಲಸಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ್ದ. ಹಳೆಯ ಸ್ನೇಹಿತರಿಬ್ಬರೂ ಹೀಗೆ ಮತ್ತೆ ಕಲೆತರು. ಸ್ವಲ್ಪಕಾಲದ ಬಳಿಕ ಮಾರ್ಸೆನೆ ಪ್ಯಾರಿಸ್‍ನಿಂದ ನೆವರ್ಸ್‍ಗೆ ಹೊರಟುಹೋದ. ಪ್ಯಾರಿಸ್‍ನಲ್ಲಿ ಡೇಕಾರ್ಟನು ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತನಾಗಿ ಮೈಡಾರ್ಗ್ ಮುಂತಾದ ಗಣಿತಜ್ಞರನ್ನು ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಂಡ. ಮುಂದೆ ಡೇಕಾರ್ಟ್ ಸೈನ್ಯಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ. ಆದರೆ ಸೈನಿಕ ಜೀವನ ಇವನಿಗೆ ಹಿಡಿಸಲಿಲ್ಲ. 1621ರಲ್ಲಿ ಸೈನ್ಯದಿಂದ ಬಿಡುಗಡೆ ಮಾಡಿಕೊಂಡ. 

	ಅಲ್ಲಿಂದ ನಾಲ್ಕು ವರ್ಷಕಾಲ ಡೇಕಾರ್ಟನು ಹಾಲೆಂಟ್, ಸ್ವಿಟ್‍ಜóರ್‍ಲೆಂಡ್, ಡೆನ್ಮಾರ್ಕ್, ಜರ್ಮನಿ ಮತ್ತು ಇಟಲಿ ದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರವಾಸಮಾಡಿ 1625ರಲ್ಲಿ ಪ್ಯಾರಿಸ್‍ನಗರಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿದ. ಆ ವೇಳೆಗೆ ಮಾರ್ಸೆನೆಯೊ ಅಲ್ಲಿಗೆ ಬಂದಿದ, ಮೈಡಾರ್ಗ್ ಅಲ್ಲಿಯೇ ಇದ್ದ. ಡೇಜಾರ್ಗ್ ಎಂಬ ಗಣಿತಜ್ಞನೂ ಇವರ ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರಿದ. ಡೇಕಾರ್ಟನಿಗೆ ಬಾಲ್ಟಾಕ್, ರಿಶ್ಲೂ ಮುಂತಾದ ಪ್ರಮುಖರ ಪರಿಚಯವೂ ಆಯಿತು. ಆದರೆ ಶಾಸ್ತ್ರಶೋಧನೆಗೆ ಹಾಲೆಂಡ್ ದೇಶ ಅನುಕೂಲವೆಂದು ಯೋಚಿಸಿ, ಡೇಕಾರ್ಟನು 1628ರಿಂದ 1649ರ ವರೆಗೆ ಹಾಲೆಂಡಿನಲ್ಲಿ ನೆಲೆಸಿದ. ಲೆಮಾಂಡೆ ಎಂಬ ತತ್ತ್ವಶಾಸ್ತ್ರ ಗ್ರಂಥದ ರಚನೆಯನ್ನು 1629ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ 1633ರಲ್ಲಿ ಮುಗಿಸಿದ. ಆದರೆ, ಗೆಲಿಲಿಯೊನಿಗೆ ಆದ ಶಾಸ್ತಿಯನ್ನು ಕೇಳಿ ಭಯಗೊಂಡು, ಡೇಕಾರ್ಟ್ ತನ್ನ ತತ್ತ್ವಶಾಸ್ತ್ರಗ್ರಂಥವನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿಲಿಲ್ಲ. ಅದು ಅವನು ತೀರಿಹೋದ ಬಳಿಕ ಪ್ರಕಟವಾಯಿತು. ಡೇಕಾರ್ಟನು ಶಾಸ್ತ್ರಶೋಧನೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಕೈಬಿಡಲಿಲ್ಲ. ವೈe್ಞÁನಿಕ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಕುರಿತ ತನ್ನ ಕೃತಿಯೊಂದನ್ನು 1637ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಿಸಿದ. ಆ ಗ್ರಂಥಕ್ಕೆ ಅವನು ಮೂರು ಅನುಬಂಧಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದ್ದ. ಅವುಗಳ ಪೈಕಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ರೇಖಾಗಣಿತ (ಜ್ಯಾಮಿತಿ) ಎಂಬ ಸಾಧಾರಣವಾದ ಹೆಸರನ್ನಿಟ್ಟಿದ್ದ. ಕೇವಲ 100 ಪುಟಗಳಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದ ಅನುಬಂಧ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬೀಜರೇಖಾಗಣಿತವೆಂಬ ಒಂದು ಹೊಸ ಶಾಖೆಯನ್ನೇ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿತು. ಆ ಅನುಬಂಧದಲ್ಲಿ ಮೂರು ಭಾಗಗಳಿದ್ದವು. ಮೊದಲನೆಯ ಭಾಗದಲ್ಲಿ (x, ಥಿ) ಎಂಬ ಬಿಂದು ನಿರ್ದೇಶಕಗಳ ವಿಚಾರವೂ ಜಿ (x, ಥಿ) = 0 ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣ ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬ ವಿಚಾರವೂ ಇದ್ದವು. ಎರಡನೆಯ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣ, ಸ್ಪರ್ಶ ಮತ್ತು ಲಂಬರೇಖೆಗಳ ವಿಚಾರಗಳಿದ್ದುವು. ಮೂರನೆಯ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೂಲಗಳ ವಿಚಾರವೂ ಈತನ ಹೆಸರಿನಿಂದಲೇ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾಗಿರುವ ಚಿಹ್ನಾ ಕ್ರಮವಿಧಿಯೂ ಇದ್ದುವು. ಹೀಗೆ ಡೇಕಾರ್ಟನು ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೂ ರೇಖಾ ಗಣಿತಕ್ಕೂ ನಿಕಟವಾದ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಿದ. ಆ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಫರ್ಮಾ ಮತ್ತು ಹ್ಯಾರಿಯಟ್ ಎಂಬ ಗಣಿತಜ್ಞರೂ ಈ ರೀತಿಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನೂ ಆಲೋಚಿಸಿದ್ದರು. ಆದರೆ ಡೇಕಾರ್ಟನ ಯೋಚನೆಗಳು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿಯೂ ಕೂಲಂಕುಷವಾಗಿಯೂ ಸಮರ್ಪಕವಾಗಿಯೂ ಇದ್ದವು; ಮತ್ತು ಪ್ರಪ್ರಥಮವಾಗಿ ಪ್ರಕಟಿಸಲ್ಪಟ್ಟವು. ಈತ ಬರೆದ ಇನ್ನೊಂದು ಗ್ರಂಥ ಅಂಗರಚನಾಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ (ಅನಾಟಮಿ) ಸಂಬಂಧಿಸಿದ್ದು. ಇದನ್ನು 1634ರಲ್ಲಿ ಬರೆದರೂ ಇದು ಪ್ರಕಟವಾದದ್ದು. 1664ರಲ್ಲಿ ಮತ್ತೆ ತರಲ ಬಲವಿe್ಞÁನದಲ್ಲಿ (ಫ್ಲೂಯಿಡ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್) ಸುಳಿಗಳನ್ನು (ವಾರ್ಟಿಸೀಸ್) ಶೋಧಿಸಿದಾತ ಡೇಕಾರ್ಟ್. ಹೀಗೆ, ಡೇಕಾರ್ಟನ ಶಾಸ್ತ್ರಪರಿಶ್ರಮವೂ ಅಭಿರುಚಿಯೂ ನಾನಾ ಮುಖವಾಗಿದ್ದವು. 

	ಸ್ವೀಡನ್ನಿನ ಕ್ರಿಸ್ಟಿನ ರಾಣಿಯಿಂದ ಆಹ್ವಾನಿತರಾಗಿ ಡೇಕಾರ್ಟನು 1649ರಲ್ಲಿ ಸ್ಟಾಕ್‍ಹೋಮ್ ನಗರಕ್ಕೆ ಹೋದ. ಆದರೆ ಅಲ್ಲಿನ ತೀವ್ರ ಹವಾಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತಾಳಿಕೊಳ್ಳದೇ ಈತ ತನ್ನ 54ನೆಯ ವಯಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಮರಣ ಹೊಂದಿದ. ಬಾಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಡೇಕಾರ್ಟನು, ಅವನ ತಾಯಿಯಂತೆ ಕೆಮ್ಮಲು ವ್ಯಾಧಿಯಿಂದ ಪೀಡಿತನಾಗಿ, ಬಲಹೀನತೆಯಿಂದ ಬಿಳಿಚಿಕೊಂಡಿದ್ದ. ಸೈನ್ಯಕ್ಕೆ ಸೇರಿದಾಗ ಈತ ಬಲು ಕಾಲ ಬದುಕಲಾರನೆಂದು ವೈದ್ಯ ಅಭಿಪ್ರಾಯ ಪಟ್ಟಿದ್ದ. ಆದರೆ ಸೈನ್ಯದಿಂದ ನಿವೃತ್ತನಾದ ಬಳಿಕ ಇವನು ಕೊನೆಯವರೆಗೂ ಆರೋಗ್ಯವಾಗಿದ್ದ. ಪ್ರಾತಃಕಾಲ ಹೊತ್ತುಮೀರಿ ನಿದ್ರೆಯಿಂದ ಏಳುವುದು ಇವನಿಗೆ ಅಭ್ಯಾಸವಾಗಿತ್ತು. ಕೆಲವು ವೇಳೆ ಯೋಚನೆಯ ಭರದಲ್ಲಿ ಇವನು ಬಾಹ್ಯ ಸನ್ನಿವೇಶವನ್ನೇ ಮರೆತುಬಿಡುತ್ತಿದ್ದ. ಒಂದು ದಿನ ಕಾಲೇಜಿಗೆ ಹೋಗುತ್ತಿದ್ದಾಗ ದಾರಿಯಲ್ಲಿ ಸೇತುವೆಯ ಮೇಲೆ ಬಿದ್ದಿದ್ದ ಒಂದು ಕಲ್ಲು ಹರಳು ಇವನ ಲಕ್ಷ್ಯವನ್ನು ಸೆಳೆಯಿತು. ಅದನ್ನು ಕೈಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಅದರ ರಚನೆಯನ್ನು ವೀಕ್ಷಿಸುತ್ತ ಡೇಕಾರ್ಟ್ ಅಲ್ಲಿಯೆ ನಿಂತ. ಸ್ವಲ್ಪ ಕಾಲವಾದ ಮೇಲೆ ಇವನಿಗೆ ಕಾಲೇಜಿನ ಸಂಗತಿ e್ಞÁಪಕಕ್ಕೆ ಬಂದಿತು. ಜೇಬಿನಲ್ಲಿದ್ದ ಗಡಿಯಾರವನ್ನು ನದಿಗೆ ಎಸೆದು ಕಲ್ಲುಹರಳನ್ನು ಜೇಬಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ಕಾಲೇಜಿಗೆ ಧಾವಿಸಿದನಂತೆ. 							(ಬಿ.ಎಸ್.ಎಸ್.)	ಡೇಕಾರ್ಟ್ ಆವಿಷ್ಕರಿಸಿದ ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ : ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು (ಆಲ್ಜಿಬ್ರ) ರೇಖಾಗಣಿತಕ್ಕೆ (ಜ್ಯಾಮಿತಿಗೆ) ಅನ್ವಯಿಸಿ ಲಭಿಸಿದ ಗಣಿತ ವಿಭಾಗವಿದು. ಡೇಕಾರ್ಟನ ಹೆಸರಿನ ಉತ್ತರಭಾಗದ ಗುಣವಾಚಕರೂಪವಾಗಿ ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ಪದ ಮೈ ತೆಳೆದಿದೆ. ಈ ಗಣಿತ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಬೀಜರೇಖಾಗಣಿತ, ಬೀಜಾಜ್ಯಾಮಿತಿ, ವಿಶ್ಲೇಷಣ ಜ್ಯಾಮಿತಿ (ಅ್ಯನಲಿಟಿಕಲ್ ಜ್ಯೊಮೆಟ್ರಿ) ಎಂದೂ ಕರೆಯುವುದುಂಟು. ಡೇಕಾರ್ಟಿನಿಗೆ ಬಿದ್ದ ಒಂದು ಸ್ವಪ್ನ ಈ ಗಣಿತವಿಭಾಗದ ಆವಿಷ್ಕರಣಕ್ಕೆ ನಾಂದಿಹಾಕಿತು ಎಂದು ಹೇಳುವುದುಂಟು. ಇದನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡರೆ 10-11-1619 ರಂದು ವಿಶ್ಲೇಷಣ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಜನ್ಮತಳೆಯಿತು. ಆದರೆ ಇದು (ಡೇಕಾರ್ಟನ ಬರೆವಣಿಗೆಗಳ ಮೂಲಕ) ಪ್ರಪಂಚಕ್ಕೆ ಪ್ರಕಟಗೊಂಡದ್ದು ಹದಿನೆಂಟು ವರ್ಷಗಳ ತರುವಾಯ. ಇದರ ಮೂಲಭಾವನೆ ಗಣಿತದ ಇತರ ಅನೇಕ ಮಹಾವಿಷ್ಕಾರಗಳ ತರುವಾಯ. ಇದರ ಮೂಲಭಾವನೆ ಗಣಿತದ ಇತರ ಅನೇಕ ಮಹಾವಿಷ್ಕಾರಗಳ ತೆರದಲ್ಲೇ ಅತಿ ಸ್ಪಷ್ಟವೆನ್ನುವ ವರೆಗೂ ಸರಳವಾದದ್ದು. ಯಾವುದೇ ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಈ ಕಾಗದದ ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಛೇದಿಸುವ ಎರಡು ಸರಳರೇಖೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಬೇಕು.

ಚಿತ್ರ-1

 ಸಾರ್ವತ್ರಿಕತೆಗೆ ಒಂದಿಷ್ಟೂ ಭಂಗ ಬರದಂತೆ ಅದೇ ವೇಳೆ ಕಲ್ಪನೆಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸವಲತ್ತು ಲಭಿಸುವಂತೆ, ಈ ರೇಖೆಗಳು ಲಂಬಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುವುದೆಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು ಚಿತ್ರ(1) ಇವನ್ನು ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ x' ಔx, ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಮೇಲಕ್ಕೆ ಥಿ'ಔಥಿ, ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ. ಈಗ ಕಾಗದದ ಸಮತಲ ನಾಲ್ಕು ಪಾದಗಳಾಗಿ ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ : x'ಔಙ, ಥಿ'ಔx, x'ಔಥಿ,ಥಿ' ಔx.x' ಔx, ಥಿ'ಔಥಿ ಗಳಿಗೆ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ x- ಮತ್ತು ಥಿ- ಅಕ್ಷರಗಳೆಂದು ಹೆಸರು. x'ಔx' ದಿಶೆಗೆ ಅಂತೆಯೇ ಥಿ'ಔಥಿ' ದಿಶೆಗೆ ಸಮಾಂತರ ದಿಶೆಗಳನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕ ಎಂದೂ x'ಔx' ದಿಶೆಗೆ ಅಂತೆಯೇ ಥಿ'ಔಥಿ' ದಿಶೆಗೆ ಸಮತಲದ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ಮೊದಲು x-  ಅಕ್ಷರಕ್ಕೆ ಸಮಾಂತರವಾಗಿ ತಕ್ಕಷ್ಟು ದೂರ ಚಲಿಸಿ ತರುವಾಯ ಥಿ-  ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾಂತರವಾಗಿ ತಕ್ಕಷ್ಟು ದೂರ ಚಲಿಸಿ ತಲಪಬಹುದೆಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ದೂರಗಳನ್ನು ಆ ಬಿಂದುವಿನ x- ಮತ್ತು ಥಿ- ನಿರ್ದೇಶಕಗಳೆಂದು ಕರೆದು ಇವನ್ನು ಅದೇ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ : ಂ-(x1 ಥಿ1)  ಇದರ ಅರ್ಧ ಂ  ಎಂಬ ಬಿಂದುವಿನ x- À  ನಿರ್ದೇಶಕವು x1  ಮತ್ತು ಥಿ-  ನಿರ್ದೇಶಕವು ಥಿ1-  ಈಗ P (x.ಥಿ) ಎಂಬುದೊಂದು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಬಿಂದುವಾದರೆ ಈ ಮುಂದಿನ ಪ್ರರೂಪೀ ಸಂದರ್ಭಗಳು ಒದಗುತ್ತವೆ: 
(i)		x>0, 	ಥಿ>0		...	ಂ
(ii)		x<0, 	ಥಿ>0		...	ಃ
(iii)		x<0, 	ಥಿ<0		...	ಅ
(iv)		x>0, 	ಥಿ<0		...	ಆ
(v)		x>0, 	ಥಿ=0		...	ಇ
(vi)		x=0, 	ಥಿ>0		...	ಈ
(vii)		x<0, 	ಥಿ=0		...	ಉ
(viii)		x=0, 	ಥಿ<0		...	ಊ
(ix)		x=0, 	ಥಿ=0		...	ಔ

ಹೀಗೆ (x,ಥಿ)  ನಿರ್ದೇಶಕಗಳು P  ಬಿಂದುವನ್ನು ಏಕೈಕವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ವಿಲೋಮವಾಗಿ ಯಾವುದೋ ಬಿಂದು P ಯನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಒಂದು ಜೊತೆ ಏಕೈಕ ನಿರ್ದೇಶಕಗಳಿವೆ. ಈಗ P(x,ಙ)  ಬಿಂದುವು ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಸಂಚರಿಸಲು ತೊಡಗುವುದೆಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. P ಯ ಪಥ ಒಂದು ವಕ್ರರೇಖೆ ಆಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಮೇಲಿನ ಸಮಸ್ತ ಬಿಂದುಗಳೂ ಅಂದರೆ (x,ಥಿ) ಗಳು ಒಂದು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಬಂಧಿತವಾಗಿರುತ್ತವೆ. 

ಚಿತ್ರ-2

ಇದಕ್ಕೆ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಅಳವಡಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ; ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸನ್ನಿವೇಶ ವಕ್ರ ರೇಖೆಯ ಚಿತ್ರಣದೊಂದಿಗೆ ತಾನಾಗಿಯೇ ಮರೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ ; ಹೀಗಾಗಿ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ದೊರೆತ ಸಾಧನೆ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾದೀತೆಂದು ಧೈರ್ಯದಿಂದ ನುಡಿಯುವಂತಿಲ್ಲ. ಸಮೀಕರಣವಾದರೋ ಇದು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದರ ಮೇಲೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪರಿಕರ್ಮಗಳನ್ನು ಎಸಗಿ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸಮಸ್ತ ಗುಣಗಳನ್ನೂ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಅಲ್ಲದೇ ಹೊಸ ಹೊಸ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನೇ ರಚಿಸಿ ಅವುಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಿಂದ ಹೊಸ ಹೊಸ ವಕ್ರರೇಖೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. 

ಚಿತ್ರ-3

ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ (ಅಂದರೆ ವಾಸ್ತವಿಕ ರೇಖಾಚಿತ್ರ ಬರೆದು ಹಣಿತ ತರ್ಕವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪಡೆವ ವಿಭಾಗ) ಸಾಧ್ಯವಾಗದ ಎತ್ತರಗಳನ್ನು ಬೀಜ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ (ವಿಶ್ಲೇಷಣ ಜ್ಯಾಮಿತಿ-ಅಂದರೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನ) ಏರಬಹುದು. ಸಮತಲದ ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳಿಂದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಆಕಾಶದ ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಿಗೂ ಆಕಾಶ-ಕಾಲದ ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮಗಳಿಗೂ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಮತ್ತೂ ಮುಂದುವರಿದು ಟಿ- ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಕೂಡ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯಿಸಬಹುದು. ಹೀಗೆ ಡೇಕಾರ್ಟ್ ತೆರೆದ ಹೊಸ ಅಧ್ಯಾಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗೆ ಹೊಸ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸಿತು. 

ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ