ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ/ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಮತ್ತು ಆಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳು
ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಮತ್ತು ಆಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳು
ಎರಡು ಮತ್ತು ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳ ಯೂಕ್ಲೀಡಿಯನ್ ಆಕಾಶದ ಐಸೊಮಾಪನಗಳಿಂದ (ಐಸೊಮೆಟ್ರೀಸ್) ಪರಿಪೋಷಿತವಾಗುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಗಣತೀಯ ನಿರೂಪಣೆಗಳಿಂದ ತಿಳಿಯಪಡಿಸುವ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಅಧ್ಯಯನ (ಯೂಕ್ಲೀಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿಟ್ರಿ). ಈ ವಿಭಾಗದ ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆದ್ಯುಕ್ತಿಗಳನ್ನು (ಆಕ್ಸಿಯಮ್ಸ್) ಬದಲಾಯಿಸಿಯೊ ಇಲ್ಲವೆ ತೊರೆದೊ ನಿರೂಪಿತವಾಗಿರುವ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಅಧ್ಯಯನ ಅಯೂಕ್ಲೀಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ (ನಾನ್‍ಯೂಕ್ಲೀಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿಟ್ರಿ). ಇದನ್ನು ಯೂಕ್ಲಿಡೇತರ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಎಂದೂ ಕರೆಯುವುದಿದೆ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಮತ್ತು ಆಯೂಕ್ಲೀಡಿಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳ ಉಗಮ, ವಿಕಾಸ ಮತ್ತು ಬೆಳೆವಣಿಗೆಗಳ ಸ್ಥೂಲಪರಿಚಯವನ್ನು ಮಾಡಿಕೊಟ್ಟಿದೆ.

ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಒಂದು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಗಣಿತವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನಾಗಿ ಸಂಘಟಿಸುವ ಪ್ರಥಮ ಪ್ರಯತ್ನದ ಫಲ ಯೂಕ್ಲೀಡಿಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿ. ಈ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಕೃಷಿಕಾರರಲ್ಲಿ ತಾಲಿಸ್ (ಕ್ರಿ.ಪೂ. ಸು. 585), ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ( ಕ್ರಿ.ಪೂ. ಸು. 540), ಹಿಪ್ಪಯಾಸ್ (ಕ್ರಿ.ಪೂ. ಸು. 420), ಹಿಪಾಸಸ್ (ಕ್ರಿ.ಪೂ. ಸು. 420), ಯೂಕ್ಲಿಡ್ (ಕ್ರಿ.ಪೂ. ಸು. 300) ಹಾಗೂ ಯುಡೋಕ್ಸಸ್ (ಕ್ರಿ.ಪೂ. ಸು. 408-355) ಪ್ರಮುಖರು. ಅಲೆಗ್ಸಾಂಡ್ರಿಯ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯ ಗಣಿತ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕನಾಗಿದ್ದ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ರಚಿಸಿದ, ಮೂಲಾಧಾರಗಳು ಎಂಬ ಅರ್ಥಬರುವ, ದಿ ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್ ಎಂಬ ಗ್ರಂಥದ ಪ್ರಧಾನ ವಸ್ತುವಿಷಯವೆ ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿ. ಹದಿಮೂರು ಸಂಪುಟಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾಗಿರುವ ಈ ಗ್ರಂಥದಲ್ಲಿ 465 ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಪಾದಿತವಾಗಿರುವ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ವಿಷಯಕ್ಕೆಲ್ಲ 23 ಮೂಲ ವಾಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತಳಹದಿಯಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, ಅವನ್ನು ಕುರಿತು ಅಭಿಗೃಹೀತಗಳನ್ನು (ಸ್ವೀಕೃತಭಾವನೆಗಳು__ ಪಾಶ್ಚುಲೇಟ್ಸ್) ಅಂಗೀಕರಿಸಿ, ತಾರ್ಕಿಕ ನಿರ್ಗಮನಕ್ಕಾಗಿ 5 ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾವನೆಗಳನ್ನು (ಕಾಮನ್ ನೋಷನ್ಸ್) ಮೂಲವಾಗಿರಿಸಿಕೊಂಡು, ತಾರ್ಕಿಕ ನಿಗಮನ (ಲಾಜಿಕಲ್ ಡಿಡಕ್ಷನ್) ಪದ್ಧತಿಯಿಂದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ರಚನೆಯನ್ನು ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ನಡೆಸಿದ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ 23 ಮೂಲವ್ಯಾಖ್ಯೆಗಳ ಪೈಕಿ ಮೂರನ್ನೂ ಎಲ್ಲ ಅಭಿಗೃಹೀತ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾವನೆಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದೆ.
ಮೂಲವ್ಯಾಖ್ಯೆಗಳು: 1. ಬಿಂದು ಎಂದರೆ ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಬೇರೆ ಭಾಗವಿರುವುದಲ್ಲವೋ ಅದು. 2. ಅಗಲವಿಲ್ಲದೆ, ಉದ್ದ ಮಾತ್ರ ಇರುವುದು ರೇಖೆ. 10 ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆ ಇನ್ನೊಂದು ಸರಳರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ನಿಂತಾಗ ಏರ್ಪಡುವ ಉಭಯ ಪಾಶ್ರ್ವಕೋನಗಳೆರಡು ಪರಸ್ಪರ ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವಕ್ಕೆ ಲಂಬಕೋನಗಳು ಎಂದು ಹೆಸರು. ಹೀಗೆ ನಿಂತ ರೇಖೆ ಮತ್ತೊಂದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುವುದಿದೆ. 

ಅಭಿಗೃಹೀತಗಳು: 1. ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಯಾವುದೇ ಮತ್ತೊಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಬಹುದು. 2. ಒಂದು ಪರಿಮಿತಿ ಸರಳರೇಖೆಯನ್ನು ಎರಡೂ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನವಾಗಿ ವೃದ್ಧಿಸಿ ಮತ್ತೊಂದು ಸರಳರೇಖೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. 3. ಯಾವುದೇ ಕೇಂದ್ರ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಜ್ಯ ಇರುವಂತೆ ವೃತ್ತವನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. 4. ಎಲ್ಲ ಲಂಬಕೋನಗಳೂ ಪರಸ್ಪರ ಸಮ. 5. ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆ ದತ್ತ ಎರಡು ಸರಳರೇಖೆಗಳನ್ನು ಛೇದಿಸಿದಾಗ ಒಂದೇ ಕಡೆ ಉಂಟಾದ ಅಂತರ್ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ ಎರಡು ಲಂಬಕೋನಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇದ್ದರೆ, ಅಂತರ್ಕೋನಗಳ ಪಾಶ್ರ್ವದಲ್ಲಿ ದತ್ತ ಎರಡು ಸರಳರೇಖೆಗಳನ್ನೂ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ವೃದ್ಧಿಸಿದಾಗ ಅವು ಅದೇ ಪಾಶ್ರ್ವದಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುತ್ತವೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾವನೆಗಳು: ಇವನ್ನು ಅದ್ಯುಕ್ತಿಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯುವುದಿದೆ. 1. ಒಂದೇ ವಸ್ತುವಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವ ವಸ್ತುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮ. 2. ಸಮ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಸಮವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ಸೇರಿಸಿದರೆ ಮೊತ್ತಗಳೂ ಸಮ. 3. ಸಮವಸ್ತುಗಳಿಂದ ಸಮವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಕಳೆದರೆ ಶೇಷಗಳು ಸಮ. 4. ಒಂದರ ಮೇಲೊಂದು ಸಂಪಾತವಾಗುವ ವಸ್ತುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮ. 5. ಮೊತ್ತವು ಭಾಗಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದು.

ಈಗ ಯೂಕ್ಲಿಡನ 5ನೆಯ ಅಭಿಗೃಹೀತವನ್ನು ಕುರಿತು ವಿಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ಆ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಮೂಲಭಾವನೆಗಳು ಭೌತಪ್ರಪಂಚದ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸತ್ಯಗಳೆಂದೂ ಅವು ತುಂಬ ಸರಳವೂ ಸುಂದರವೂ ಆಗಿದ್ದು, ಅಂತರ್ಬೊಧೆಯಿಂದ ಸ್ವಯಂಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿರಬೇಕೆಂದು ತಿಳಿದಿದ್ದರು. ಹೀಗಿರುವಲ್ಲಿ ಯೂಕ್ಲಿಡನ 5ನೆಯ ಸ್ವೀಕೃತ ಭಾವನೆ ಉಳಿದ ನಾಲ್ಕರಂತೆ ಸರಳವೂ ಅಷ್ಟು ಸ್ವಯಂಸ್ಪಷ್ಟವೂ ಆಗಿರಲಿಲ್ಲ. ನಿಜಕ್ಕೂ ಇದರ ವಿಲೋಮ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಪುಸ್ತಕ 1ರ ಪ್ರಮೇಯ 17ರಲ್ಲಿ ಸಾಧಿತವಾಗಿದೆ. 5ನೆಯ ಅಭಿಗೃಹೀತವನ್ನು ಇತರ ಮೂಲಾಧಾರಗಳಿಂದ ಪ್ರಮೇಯವೊಂದಾಗಿ ಸಾಧಿಸುವ ಪ್ರಯತ್ನಗಳೂ ಹೇರಳವಾಗಿ ನಡೆದವು. ಕಾಲಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಈ ಭಾವನೆಗೆ ಪ್ರತಿಯಾಗಿಯೂ ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿಯೂ ಇರುವ ಬೇರೊಂದು ಭಾವನೆಯನ್ನು ಆದೇಶಿಸುವ ಪ್ರಯತ್ನಗಳೂ ನಡೆದವು. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಜಾನ್ ಪ್ಲೇ ಫೇರ್ (1948-1819) ಎಂಬಾತನ ಭಾವನೆ ಗಮನಾರ್ಹ. ಏಕೆಂದರೆ ಈಗ ಬೋಧಿಸಲಾಗುತ್ತಿರುವ ಜಾಮಿತಿಯ ಪಠ್ಯಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಇದೇ ಉಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೇ ಮುಂದೆ ಇದಕ್ಕೆ ವಿರೋಧ ರೂಪದಲ್ಲಿರುವ ಬೇರೆ ಅಭಿಗೃಹೀತಗಳನ್ನು ರೂಢಿಸಿಕೊಂಡು ಅಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಅವತರಣಿಕೆಗಳೂ ಫೇರನ ಉಕ್ತಿ ನಾಂದಿಯಾಯಿತು. ಆ ಉಕ್ತಿ ಹೀಗಿದೆ; ಟ ಎಂಬ ಸರಳ ರೇಖೆಯೊಂದನ್ನು ಅದರ ಮೇಲೆ ಇಲ್ಲದ ಬಿಂದು ಠಿ ಯನ್ನು ದತ್ತವಾಗಿರಿಸಿಕೊಂಡರೆ ಠಿ ಮೂಲಕ ಟ ನ್ನು ಸಂಧಿಸದಿರುವಂತೆ ಟ ಮತ್ತು ಠಿ ಗಳ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಒಂದು ಸರಳ ರೇಖೆ m ಇರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ m ರೇಖೆ ಟ ಗೆ ಸಮಾಂತರವಾಗಿದೆ ಎನ್ನುವುದಿದೆ. 

ಈ ಮೂಲಾಧಾರಗಳನ್ನಿರಿಸಿಕೊಂಡು ತಾರ್ಕಿಕ ನಿಗಮನದ ರೀತ್ಯ ಪ್ರವರ್ಧಿಸಿದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಅಧ್ಯಯನವೇ ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಎಂದಾಯಿತು. ಯೂಕ್ಲಿಯಡನ ಕಾಲದಿಂದ ಹಿಡಿದು ಈತನಕವೂ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಶಾಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಬೋಧಿಸುತ್ತಿರುವ ಎರಡು ಮತ್ತು ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಈ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದುದೇ ಆಗಿದೆ.

ಯೂಕ್ಲಿಯಡನ ತರುವಾಯ ಆರ್ಕಿಮಿಡಿಸ್ (ಕ್ರಿ.ಪೂ.ಸು. 225). ಪಪ್ಪಸ್ (ಕ್ರಿ.ಶ.ಸು. 320) ಇವರು ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಪರಂಪರೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರೆಸಿಕೊಂಡು ಹೋದರು. ಹದಿನೆಂಟು, ಹತ್ತೊಂಬತ್ತನೆಯ ಶತಮಾನಗಳಲ್ಲಿ ಸಹ ಈ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಶಾಖೆಗೆ ಕೆಲ ಮಹತ್ತ್ವ ಪೂರ್ಣ ಕೊಡುಗೆಗಳು ಲಭ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ ರಾಬರ್ಟ್ ಸಿಮ್ಸ್‍ನ (1687-1768) ಹೆಸರನ್ನು ತ್ರಿಭುಜವೊಂದರ ಭುಜಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿವೃತ್ತ ಪರಿಧಿಯ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದು ಏರ್ಪಡಿಸುವ ಲಂಬಾಕ್ಷವಿಕ್ಷೇಪಗಳು ಏಕರೇಖಸ್ಥವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಶೋಧನೆಗಾಗಿಯೂ ಚಾಲ್ರ್ಸ್ ಬ್ರಿಯನ್‍ಶೋನ್ (1785-1864), ಜೀನ್ ವಿಕ್ಟರ್ ಪಾನ್‍ಪ್ಲೇ (1788-1867) ಮತ್ತು ಕಾರ್ಲ್ ವಿಲ್‍ಹೆಲ್ಮ್ ಫಾಯಿರ್‍ಬಾಕ್ (1800-34) ಇವರ ಹೆಸರುಗಳನ್ನು ತ್ರಿಭುಜದ ನವಬಿಂದು ವೃತ್ತದ (ನೈನ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಸರ್ಕಲ್) ಹಾಗೂ ಅದರ ಲಕ್ಷಣಗಳ ಆವಿಷ್ಕಾರಕ್ಕಾಗಿಯೂ ಸ್ಮರಿಸಬಹುದು. ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಕಾಲಕ್ಕೂ ಹಿಂದೆಯೇ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ರೂಪಿತವಾಗಿತ್ತು ಎಂಬ ಅಂಶ ವಿಶೇಷತಃ ಗಮನಾರ್ಹ. ವಿರಳ ಅಪವಾದಗಳ ವಿನಾ ಇದರ ಮುಂದಿನ ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳೆಲ್ಲವೂ ಈ ಮೂಲಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅನ್ವಯಗಳು ಮಾತ್ರವೇ ಆಗಿವೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ನಿರ್ಮಾಣವಾಗುವ ಮುನ್ನ ಯಾವುದೇ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ನಿಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಪಾತ್ರ ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಬೇಕು ಎಂಬ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿದ್ದುಂಟು. ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಪ್ರಥಮ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯ ಈ ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಸೂತ್ರದ ನಿರಾಕರಣೆಯೇ. ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಕಾಲಾನಂತರ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಅಭ್ಯಸಿಸಿದ ಗ್ರೀಕ್ ತಾತ್ತ್ವಿಕರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗೆಗೆ ವಿಶ್ವಾಸ ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಏತನ್ಮಧ್ಯೆ ಅಪರಿಮೇಯ ರೇಖಾಖಂಡಗಳ (ಇನ್‍ಕಮೆನ್ಷುರಬಲ್ ಸೆಗ್‍ಮೆಂಟ್ಸ್) ಪತ್ತೆಯಾದದ್ದೇ ಕಾರಣ.

ಇಷ್ಟಾದರೂ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಮೂಲಾಧಾರಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿನ 5ನೆಯ ಅಭಿಗೃಹೀತ ಒಂದು ಕಳಂಕ ಇಲ್ಲವೆ ಒಂದು ತೊಡಕು ಎಂಬುದಾಗಿಯೇ ಕಂಡುಬಂತು. ಪ್ಲೇ ಫೇರನ ಉಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಬರುವ m ರೇಖೆ ಟ ನ್ನು ಎಷ್ಟು ದೂರ ವೃದ್ಧಿಸಿದರೂ ಸಂಧಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ನಿರೂಪಣೆಯಿಂದ ಅನಂತದೂರದಲ್ಲಿಯೂ ಅವು ಸಂಧಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದಂತಾಯಿತು. ಆದರೆ ಅನಂತದೂರವು ಅನುಭವದ ಅವಗಾಹನೆಗೆ ದೊರೆಯುವಂತಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ ಅಲ್ಲಿ ಏನಾಗುವುದೆಂದು ಹೇಳುವುದು ತಾನೆ ಹೇಗೆ? ಹೀಗಾಗಿ, ಹದಿನೆಂಟನೆಯ ಶತಮಾನದ ವೇಳೆಗೆ ಕೆಲವರು ಅನ್ಯಮಾರ್ಗವನ್ನೇ ಹಿಡಿದರು. ಈ ಸಮಾಂತರ ಅಭಿಗೃಹೀತವನ್ನು (ಪ್ಯಾರಲಲ್ ಪ್ಯಾಶ್ಚುಲೇಟ್) ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ಉಳಿದ ಮೂಲಾಧಾರ ಹಾಗೂ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಸಾಧಿಸಬಹುದೇನೋ ಎಂದು ಅವರು ಯೋಚಿಸಿದರು. ಇಂಥವರಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖವಾದ ಗೆರೊಲಾಮೋ ಸಚ್ಚೇರಿ (1667-1733) ಯೂಕ್ಲಿಡನ 5ನೆಯ ಅಭಿಗೃಹೀತಕ್ಕೆ ಒಂದು ಪಕ್ಷದಲ್ಲಿ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ದತ್ತಬಿಂದು P ಯಿಂದ ಟ ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾಂತರವಾಗಿ ಒಂದು ರೇಖೆಗೂ ಇರುವುದಿಲ್ಲವೆಂದೂ ಇನ್ನೊಂದು ಪಕ್ಷದಲ್ಲಿ ಅಂಥ ರೇಖೆಗಳು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಇರುತ್ತವೆಂದೂ ಬದಲಾಯಿಸಿಕೊಂಡು ತಾರ್ಕಿಕ ನಿಗಮನ ವಿಧಾನದಿಂದ ಅನೇಕ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಸಾಧಿಸಿ, ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಬಗೆಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳನ್ನು ರಚಿಸತೊಡಗಿದ. ಆದರೆ ಸಚ್ಚೇರಿಯ ಉದ್ದೇಶವೇ ಬೇರೆ ಇತ್ತು. ತಾರ್ಕಿಕ ನಿಗಮನದಿಂದ ದೊರೆತ ಫಲಗಳಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು ಏಳಬಹುದೆಂದೂ ಅದರಿಂದಾಗಿ ತಾನು ಊಹಾಪೋಹವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದ್ದ ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳು ಅಸಹಜವೆಂದೂ ತೀರ್ಮಾನಿಸಿ ತನ್ಮೂಲಕ ಪರೋಕ್ಷವಾಗಿ ಐದನೆಯ ಅಭಿಗೃಹೀತವನ್ನು ಸಾಧಿಸಿಕೊಟ್ಟಂತಾಗುವುದೆಂದು ಆಶಿಸಿದ್ದ ಸಚ್ಚೇರಿಗೆ ಎರಡು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲೂ ಯಾವ ಒಂದು ವಿರೋಧಾಭಾಸವೂ ದೊರೆಯಲಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ, ಬಲು ವಿಚಿತ್ರವಾಗಿ ಕಾಣುವಂಥ ಅನೇಕ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಸಚ್ಚೇರಿ ಸಾಧಿಸಿದ. ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಅಭಿಗೃಹೀತಗಳಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಊಹೆಗಳಿಂದ ಸಿದ್ಧಿಸಿದ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ವೈಚಿತ್ರ್ಯದ ದೆಸೆಯಿಂದ ಭ್ರಮೆಗೊಂಡ ಈತ ಕೊನೆ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ತಾರ್ಕಿಕ ಬಿಗಿಯನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಸಡಿಲಿಸಿ, ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು ಉಂಟಾದುವೆಂದೂ ಹೇಳಿ ತನ್ಮೂಲಕ ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಸಮಾಂತರ ಭಾವನೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದನೆಂದೂ ಭ್ರಾಂತಿಗೊಂಡ. ಆದರೆ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಈತ ಸಾಧಿಸಿದ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಅಯೂಕ್ಲೀಡಿಯ ಜಾಮಿತಿಯ ಮೂಲರೂಪ ಆಗಿತ್ತು. ಇದು ಮೊದಲಿಗೆ ಮನಸ್ಸಿಗೆ ಹೊಳೆದಿರಲಿಲ್ಲ. ಇದಾದ ಬಳಿಕ ಇದೇ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ನಡೆಸಿ ಶ್ರಮಿಸಿದವರ ಪೈಕಿ ಯೋಹಾನ್ ಹೈನ್ರಿಕ್ ಲ್ಯಾಂಬರ್ಟ್ (1728-77) ಮತ್ತು ಆಂಡ್ರಿಯನ್ ಮೇರಿ ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ (1752-1831) ಇವರು ಪ್ರಮುಖರು. ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಸಮಾಂತರ ಅಭಿಗೃಹೀತ ಎಂದರೆ ದತ್ತ ಸರಳರೇಖೆಗೆ ಸಮಾಂತರವಾಗಿ ಅದರ ಮೇಲಿಲ್ಲದ ಯಾವ ಬಿಂದುವಿನಿಂದಲೂ ಒಂದೇ ಒಂದು ಸರಳ ರೇಖೆಯಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ತತ್ತ್ವವೂ ಅಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಅಭಿಗೃಹೀತಗಳಾದ ಅನೇಕ ಸಮಾಂತರಗಳಿರುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಒಂದೂ ಸಮಾಂತರವಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎನ್ನುವ ಅನೇಕ ತತ್ತ್ವಗಳೂ ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರ, ಒಂದು ಉಳಿದ ಎರಡರ ಮೇಲೆ ಆಧಾರಿತವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬ ವಿಷಯ ಮನದಟ್ಟಾದರೂ ಆ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಸಂಶೋಧನೆ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದ ಮೂರು ಮಂದಿ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಗಣತವಿದರಿಗೆ. ಮೊದಲನೆಯವ ಕಾರ್ಲ್ ಫ್ರೀಡ್‍ರಿಕ್ ಗೌಸ್ (1777-1855), ಗಾಂಟಿಗೆನ್ನಿನಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕನಾಗಿದ್ದ. ಈತ ತನ್ನ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರ ಅರಸುಪುತ್ರ ಎಂದು ಕೀರ್ತಿ ಪಡೆದಿದ್ದ. ಈತ ಯೂಕ್ಲಿಡನ ಐದನೆಯ ಸಮಾಂತರ ಅಭಿಗೃಹೀತಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ದತ್ತ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ, ಅದರ ಮೇಲೆ ಹಾದುಹೋಗದ ದತ್ತ ಸರಳರೇಖೆಗೆ ಎರಡು ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ ಉಳಿದ ಎಲ್ಲ ಅಭಿಗೃಹೀತಗಳನ್ನು ಯೂಕ್ಲಿಡ್‍ನಲ್ಲಿರುವಂತೆಯೇ ಇರಿಸಿಕೊಂಡು ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿ ಪ್ರಮೇಯ ಹಾಗೂ ಉಪಪ್ರಮೇಯಾದಿಯಾಗಿ ಸಾಂಗೋಪಾಂಗವಾದ ಗಣಿತರಚನೆಯನ್ನು ಯಾವುದೇ ವಿರೋಧಾಭಾಸವೂ ತಲೆದೋರದಂತೆ ನಿರ್ಮಿಸಿದ. ದೊರೆತ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ವಿಚಿತ್ರವಾಗಿಯೂ ಅನುಭವಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿಯೂ ಇದ್ದರೂ ಪರಸ್ಪರ ತಾರ್ಕಿಕ ವಿರೋಧಗಳು ಉದ್ಭವಿಸಿರಲಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಈ ಬಗೆಯ ಅಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ಒಳಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಎರಡು ಲಂಬಕೋನಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ (ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಇದು ಎರಡು ಲಂಬಕೋನಗಳಿಗೆ ಸಮ). ಹೀಗೆ ಒಂದು ಬಗೆಯ ಅಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ರೇಖಾಗಣಿತಕ್ಕೆ ಗೌಸ್ ತಳಹದಿ ಹಾಕಿದ. ಆದರೆ ಯೂಕ್ಲಿಡನ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಾದರೊ ಭೌತ ಪ್ರಪಂಚದ ನಿತ್ಯಸತ್ಯಗಳ ನಿರ್ಧಾರ ಹಾಗೂ ಹೇಳಿಕೆ ಎಂದು ದೃಢನಂಬಿಕೆ ಆಗ ಬೇರೂರಿತ್ತು. ಅಂದಿನ ಆ ಕಾಲಧರ್ಮಕ್ಕೆ ಅಂಜಿದ, ಶಂಕಿಸಿದ ಈತ ತನ್ನ ಪರಿಶೋಧನೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಕಟಗೊಳಿಸಲಿಲ್ಲ. ತನ್ನ ಗಣಿತಮಿತ್ರರಲ್ಲಿ ಈ ಬಗ್ಗೆ ವಿಚಾರ ವಿನಿಮಯ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದ ಅಷ್ಟೇ. ಈ ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರಿದ ಜರ್ಮನ್ ಗಣಿತವಿದ ಜೆ.ಎಂ.ಸಿ. ಬಾರ್ಟಲ್ಸ್ ಮತ್ತು ಆಸ್ಟ್ರಿಯದ ಉಲ್ಫ್‍ಗ್ಯಾಂಗ್ ಬೋಲ್‍ಯಾನ್ ಮುಖ್ಯರಾದವರು.

ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಸಂಶೋಧನೆಗಳನ್ನು ನಡೆಸಿದ ಇನ್ನಿಬ್ಬರೆಂದರೆ ಬಾರ್ಟಲ್ಸನ ಶಿಷ್ಯ ಲೊಬಾಚೆವ್‍ಸ್ಕಿ (1793-1856) ಮತ್ತು ಉಲ್ಫ್‍ಗ್ಯಾಂಗ್ ಜೋಲ್‍ಯಾನ್‍ನ ಮಗ ಯೋಹಾನ್ ಬೋಲ್‍ಯಾಯ್ (1802-60). ಇವರಿಬ್ಬರೂ ಗೌಸನಂತೆಯೇ ದತ್ತಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ದತ್ತರೇಖೆಗೆ ಅವುಗಳ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ. ಇದೇ ತೆರನ ಅಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿದರು.

ಅನಂತರ ಜರ್ಮನಿಯ ಗಣಿತವಿದ ಬರ್ನ್‍ಹಾರ್ಡ್ ರೀಮಾನ್ (1926-66) ಮತ್ತೊಂದು ಬಗೆಯ ಅಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದ. ಯೂಕ್ಲಿಡನ ಮೂಲತತ್ತ್ವಗಳಲ್ಲಿ ಈತ ಮೂರು ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದ. I ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಅಭಿಗೃಹೀತ (1)ಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಕನಿಷ್ಠಪಕ್ಷ ಒಂದಾದರೂ ಸರಳರೇಖೆಯಿರುತ್ತದೆ. II ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಅಭಿಗೃಹೀತ (2)ಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಸರಳರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಆದ್ಯಂತವಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಉದ್ದ ಸಾಂತ. III ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಅಭಿಗೃಹೀತ (5)ಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಯಾವ ಎರಡು ಸರಳರೇಖೆಗಳೂ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಧಿಸುತ್ತವೆ. ಉಳಿದವನ್ನು ಯೂಕ್ಲಿಡ್‍ನಲ್ಲಿರುವಂತೆಯೇ ಇರಿಸಿಕೊಂಡು ಈ ಹೊಸ ಬಗೆಯ ಅಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದ. ಇದಕ್ಕೆ ಈಗ ರೀಮಾನೀಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಎಂದೇ ಹೆಸರಿದೆ. ಇದರ ಪ್ರಕಾರವಾಗಿ ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಮೂರು ಒಳಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ ಯಾವಾಗಲೂ ಎರಡು ಲಂಬಕೋನಗಳಿಗಿಂತ ಅಧಿಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ತ್ರಿಕೋನದ ಗೋಳಾಧಿಕ್ಯ (ಸ್ಫೆರಿಕಲ್ ಎಕ್ಸೆಸ್) ಅವೆರಡರ ಮೂಲಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಸರಳರೇಖೆ. ರೀಮಾನೀಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲೂ ಗೌಸ್. ಲೊಬಾಚೆವ್‍ಸ್ಕಿಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲೂ ಯಾವ ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲೂ ಒಂದರ ಕೋನಗಳು ಇನ್ನೊಂದರ ಕೋನಗಳಿಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ ತ್ರಿಕೋನಗಳೇ ಸರ್ವತಾಸಮ (ಕಾನ್‍ಗ್ರುಯಂಟ್) ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟ. ಆದರೆ ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಅಂಥ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಸಮಕೋನೀಯವಾಗಿರಬಹುದೇ ಹೊರತು ಸರ್ವತಾಸಮವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ದೊಡ್ಡದು ಆಗಿರಬಹುದು; ಇನ್ನೊಂದು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರಬಹುದು; ರೀಮಾನ್‍ನ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಐನ್‍ಸ್ಟೈನ್ ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿದ ಸಾಪೇಕ್ಷತಾವಾದದ ನಿರೂಪಣೆಯಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಉಪಯುಕ್ತವೆನಿಸಿದೆ.
(ಡಿ.ವಿ.ಆರ್.)

ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ