ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ/ಕೋಲೆಸ್ಕಿ ವಿಧಾನ
ಮೂಲದೊಡನೆ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ

ಕೋಲೆಸ್ಕಿ ವಿಧಾನ

ರೇಖೀಯ ಏಕಕಾಲಿಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಎಡಪಾಶ್ರ್ವದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮಾತೃಕೆ (ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್) ಸಮಾಂಗವಾಗಿರುವಾಗ ಆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸಲು ಬಳಸುವ ಒಂದು ಉಪಯುಕ್ತ ವಿಧಾನ.  ವರ್ಗಮೂಲವಿಧಾನವೆಂದೂ ಇದಕ್ಕೆ ಹೆಸರುಂಟು.  ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ:
		a11 x1+a12x2+a13x3 =y1
		a12x1+a22x2+a23x3 = y2
		a13x1+a23x2+a33x3=y3
ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಮುಂದೆ ತೋರಿಸಿದಂತೆ ಎರಡು ವ್ಯೂಹಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.
a11
a12
a13
y1
S2

a12
a22
a23
y2
S2
           I

a13
a23
a33
y3
S3

u11
u12
u13
v1
S4

0
u22
u23
v2
S5
           II

0
0
u33
u3
S6

ಮೇಲಿನ (ಎಂದರೆ Iನೆಯ) ವ್ಯೂಹದಲ್ಲಿ ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನೂ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಲಭಾಗಗಳನ್ನೂ ನಿರೂಪಿಸಿದ್ದೇವೆ.  ಅಲ್ಲಿ ಬಂದಿರುವ Sಗಳ ಬೆಲೆÉಗಳು ಹೀಗಿವೆ:
S1=
ಚಿ11
ಚಿ12
ಚಿ13
ಥಿ1

S2=
ಚಿ12
ಚಿ22
ಚಿ23
ಥಿs
   III

S3=
ಚಿ13
ಚಿ23
ಚಿ33
ಥಿ3

ಎಂದರೆ ಒಂದೊಂದು Sನ ಬೆಲೆಯೂ ಆಯಾ ಅಡ್ಡಸಾಲಿನ ಇತರ ಧಾತುಗಳ ಮೊತ್ತ.  ಕೆಳಗಿನ (ಎಂದರೆ IIನೆಯ) ವ್ಯೂಹದ ಧಾತುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ವಿಧಿಯನ್ನು ಮುಂದೆ ಬರೆದಿದೆ.
ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯೂಹದ sನೆಯ ನೀಟ ಸಾಲಿನೊಡನೆ ಡಿನೆಯ ನೀಟಸಾಲಿನ ಗುಣಲಬ್ಧಗಳ ಮೊತ್ತ = ಮೇಲಿನ ವ್ಯೂಹದ ಡಿನೆಯ ಅಡ್ಡಸಾಲಿನ ಮತ್ತು sನೆಯ ನೀಟ ಸಾಲಿನ ಧಾತು.
ಎಂದರೆ, ಡಿ=1, s=1  ಆದಾಗ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯೂಹದ 1ನೆಯ ನೀಟ ಸಾಲಿನೊಡನೆ (ಧಾತು u11) 1ನೆಯ ನೀಟಸಾಲಿನ (ಧಾತು u11) ಗುಣಲಬ್ಧಗಳ ಮೊತ್ತ u11ಶಿ  ಮಾತ್ರ.  ಇದು ಮೇಲಿನ ವ್ಯೂಹದ 1ನೆಯ ಅಡ್ಡ ಸಾಲಿನ ಮತ್ತು 1ನೆಯ ನೀಟಸಾಲಿನ ಧಾತು ಚಿ11ಕ್ಕೆ ಸಮ.  ಆದ್ದರಿಂದ u11ಶಿ  =ಚಿ11. ಡಿ=1, s=2  ಆದಾಗ ಮೇಲಿನಂತೆಯೇ ಮುಂದುವರಿದು u11 u12=ಚಿ12   ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು.
ಈಗ ಹೀಗೆ ದೊರೆಯುವ ಸಮಸ್ತ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಮುಂದೆ ಯಾದಿ ಮಾಡಿದೆ.
ಡಿ=1
s=1
u11ಶಿ = ಚಿ11

ಡಿ=1
s=2
u11 u12 = ಚಿ12

ಡಿ=1
s=3
u11 u13 = ಚಿ13

ಡಿ=1
s=4
v11 v1 = ಥಿ1

ಡಿ=1
s=5
u11S4=S1

ಡಿ=2
s=1
u11 u12 =ಚಿ12

ಡಿ=2
s=2
u12 ಶಿ+u22ಶಿ=ಚಿ22

ಡಿ=2
s=3
u12u13+u22u23=ಚಿ23

ಡಿ=2
s=4
u12v1+u22v2=ಥಿ2

ಡಿ=2
s=5
u12S4+u22S5=S2

ಡಿ=3
s=1
u11u13=ಚಿ13

ಡಿ=3
s=2
u12u13+u22u23=ಚಿ23

ಡಿ=3
s=3
u13ಶಿ+u23ಶಿ+u33ಶಿ=ಚಿ33

ಡಿ=3
s=4
u13v1+u23v2+u33v3=ಥಿ3

ಡಿ=3
s=5
u13S4+u23S5+u33S6=S3

ಆದ್ದರಿಂದ 
u11= (ಚಿ11, u12=ಚಿ12/u11, u13=ಚಿ13/u11
u22=(ಚಿ22-u12ಶಿ, u23=(ಚಿ23-u12u13)/u22
u33=(ಚಿ33-u13ಶಿ —u23ಶಿ , v1=ಥಿ1/u11,
u2=(ಥಿ2-u12v1)/u22,
u3=(ಥಿ3-u13v1-u23v2)/u13
ಈ ಗಣನೆಗಳು ಸರಿಯೇ ಎಂದು ಈ ರೀತಿ ತಾಳೆ ನೋಡಬಹುದು : ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯೂಹದ ಯಾವುದೇ ಅಡ್ಡಸಾಲಿನ ಮೊದಲಿನ ನಾಲ್ಕು ಧಾತುಗಳ ಮೊತ್ತ ಅನುರೂಪ  Sಗೆ ಸಮವಾಗಬೇಕು.  ಉದಾಹರಣೆಗೆ, u11+u12+u13+v1=S4 ಆಗಬೇಕು.
( (ಚಿ11 + ಚಿ12 / (ಚಿ11 + ಚಿ13/ (ಚಿ11 + ಥಿ1 / (ಚಿ11 = S1 / ( ಚಿ11 ಆಗಬೇಕು.
ಎಂದರೆ, ಚಿ11 + ಚಿ12 +ಚಿ13 + ಥಿ1 = S1     ಆಗಬೇಕು.
ಇದು III ರ ಮೊದಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವಾದ್ದರಿಂದ ನಿಜವಾಗಿದೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ ಇಲ್ಲಿ ನಡೆದಿರುವ ಕ್ರಿಯೆ ಇಷ್ಟು : ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ತತ್ಸಮಾನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಒಂದು ಗಣದಿಂದ ಪ್ರತಿಸ್ಥಾಪಿಸಿದ್ದೇವೆ; ಆ ಗಣವನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯೂಹ II ಸಾಂಕೇತೀಕರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಈಗ ಹೇಳಬಹುದು.  ಅಂದರೆ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬದಲು ಈಗ ನಮಗೆ ದೊರೆಯುವ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಹೀಗಿವೆ :
u11x1 + u12x2 + u13x3 = v1
	   u22x2 + u23x3 = v2
	                  u33x3 = v3
ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸುವುದು ಸುಲಭ.  ಮೂರನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಆರಂಭಿಸಿ ಮೇಲಕ್ಕೆ ಸಾಗಬೇಕು.  ಆಗ
x3=v3/u33
x2=(v2-u23x3)/u22
x1=(v1=u12x2-u13x3)/u11
ಎಲ್ಲ u ಗಳ ಮತ್ತು vಗಳ ಬೆಲೆಗಳು ಚಿ ಮತ್ತು  ಥಿಗಳಲ್ಲಿ ತಿಳಿದಿರುವುದರಿಂದ ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಿಡಿಸಿಕೆ ಪೂರ್ಣವಾಯಿತು.
ಎಡಪಾಶ್ರ್ವಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುವಂಥ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಹಲವಾರು ಗಣಗಳು ಇದ್ದಾಗ ಬಲಪಾಶ್ರ್ವಗಳ ಭಿನ್ನ ನೀಟಸಾಲುಗಳೆಲ್ಲವನ್ನೂ ವ್ಯೂಹಗಳಲ್ಲಿ ಒಳಗೂಡಿಸಿಕೊಂಡು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಮುಂದುವರಿಯಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ (ಥಿ1,ಥಿ2,ಥಿ3)ರನ್ನು ಏಕಮಾನ ಮಾತೃಕೆಯ ನೀಟಸಾಲುಗಳಾವ (1,0,0), (0,1,0) ಮತ್ತು (0,0,1) ಇವುಗಳಿಗೆ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಿಸುವುದರ ಮೂಲಕ (ಚಿiರಿ)ಯ ವ್ಯಸ್ತ ಮಾತೃಕೆಯನ್ನು (ಇನ್ವರ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್) ಪಡೆಯಬಹುದು.  ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವ್ಯಸ್ತದ ಧಾತುಗಳನ್ನು vಗಳ ನೀಟ ಸಾಲುಗಳಿಂದ ಸೀದಾ ಪಡೆಯಬಹುದು.  ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸೂತ್ರವಿಧಿ ಹೀಗಿದೆ:
vಗಳ qನೆಯ ನೀಟಸಾಲಿನೊಡನೆ ಠಿನೆಯ ನೀಟಸಾಲಿನ ಗುಣಲಬ್ಧಗಳ ಮೊತ್ತ = ವ್ಯಸ್ತದ ಠಿನೆಯ ಅಡ್ಡಸಾಲಿನ ಮತ್ತು ನೆಯ ನೀಟಸಾಲಿನ ಧಾತು.  
ಕೋಲೆಸ್ಕಿ ವಿಧಾನ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸುವಲ್ಲಿ ಡೂಲಿಟಲ್ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ (ನೋಡಿ- ಡೂಲಿಟ್ಲ್-ವಿಧಾನ) ಒಂದು ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ.  ಅನಾವಶ್ಯಕ ಮಧ್ಯವರ್ತಿ ಹಂತಗಳು ಕೋಲೆಸ್ಕಿ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ನಿವಾರಣೆಗೊಂಡಿರುವುದೊಂದು ಸೌಕರ್ಯ.   								*

ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ