ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ/ಅಚರಗಳು, ಸಹಚರಗಳು
ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ

ಅಚರಗಳು, ಸಹಚರಗಳು
	ಅಚರವೆಂದರೆ ಬದಲಾವಣೆಯಾಗದಿರುವಿಕೆ. x, ಥಿ ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ದ್ವಿಘಾತ ಸಮೀಕರಣ ಒಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು (ಸಂಕುಜ) ಚಿತ್ರಿಸುತ್ತದೆ.  ಮೂಲಬಿಂದುವನ್ನೂ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನೂ ಬದಲಾಯಿಸುವುದರಿಂದ, ರೇಖೆಯ ಸ್ವರೂಪವಾಗಲಿ ಸ್ಥಾನವಾಗಲಿ ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಅದರ ಸಂಕಲನ ಬದಲಾವಣೆ ಹೊಂದುತ್ತದೆ.  ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲೂ ವ್ಯತ್ಯಸ್ತ ಹೊಂದದೆ ಇರುವ ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು.  ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಗುಣಗಳಿಗೆ ಇವು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ.  ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೇ ಅಚರಗಳು (ಇನ್‍ವೇರಿಯಂಟ್ಸ್).
ಔx, ಔಥಿ ಅಕ್ಷರೇಖೆಗಳ ನಡುವಣ ಕೋನ  ಆಗಿದ್ದು ಇವುಗಳನ್ನು ಕುರಿತು ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನ   ನಿರ್ದೇಶಕಗಳು (x, ಥಿ ) ಆಗಿರಲಿ, ಮೂಲಬಿಂದುವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದೆ, ಬೇರೊಂದು ಜೊತೆ ಅಕ್ಷಗಳಾದ ನಡುವೆ ಕೋನ  ಇದ್ದು, ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಕಗಳು (x',ಥಿ') ಆಗಿರಲಿ.  ಎಂಬ 
ಉತ್ಪನ್ನ     ಆಗಿ ಮಾರ್ಪಾಟಾದರೆ,
	  =
       ಮತ್ತು   = 
ಎಂಬ ಗುಣಗಳಿರುತ್ತವೆ.   ಮತ್ತು 
ಎಂಬವುಗಳನ್ನು  ಎಂಬ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಅಚರಗಳು ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.  ಎಂಬ ಸರಳ ರೇಖಾಯುಗ್ಮದ ನಡುವೆ ಇರುವ ಕೋನ
               
ಸಹಜವಾಗಿಯೇ ಇದು ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದರಿಂದ ಮಾರ್ಪಾಡನ್ನು ಹೊಂದುವುದಿಲ್ಲ.   ಎಂಬ ಶಂಕುಜದ ಅನಂತ ಸ್ಪರ್ಶರೇಖೇಗಳ ನಡುವೆ ಇರುವ ಕೋನ ಇದುವೇ ಆದ್ದರಿಂದ  ಮೇಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಈ ಶಂಕುಜದ ಅಚರ ಎನ್ನಬಹುದು.
	ಮೇಲಿನ ಶಂಕುಜಕೆ		
ಎಂಬುದು ಮತ್ತೊಂದು ಅಚರ, ಅಕ್ಷ ಪರಿವರ್ತನೆ ಮಾಡಿದ ಮೇಲೆ, ಶಂಕುಜದ ಸಮೀಕರಣ  ಆದರೆ, ಮೇಲಿನ ಅಚರ.
			
    ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.
		
    ಮತ್ತು    
ಯಾವುದೇ ಸಮಘಾತದ (ಹೋಮೋಜಿನಿಯಸ್) ನಿರ್ದೆಶಕಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಶಂಕುಜಗಳಾಗಿರಲಿ.  ಎಂಬುದು (ಇಲ್ಲಿ  ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆ) ಈ ಶಂಕುಜಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹೋಗುವ ಮತ್ತೊಂದು ಶಂಕುಜ.   ಸರಳರೇಖಾಯುಗ್ಮವಾಗುವಂತೆ  ಯನ್ನು, ಆರಿಸಿದರೆ,

ಆಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ
  
  
  

( ಂ, ಃ, ಅ,......ಗಳು  ನಿರ್ಧಾರಕದ 
ಸಹ ಅಪವರ್ತನಗಳು. ಹೀಗೆಯೇ   ಂ' , ಃ' , ಅ',.....]
ಆದ್ದರಿಂದ ಞ ಗೆ ಮೂರು ಬೆಲೆಗಳಿರುತ್ತವೆ. ಈಗ ನಿರ್ದೇಶಕಗಳನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದರೆ ಎಂಬವು ಆಗಲು ಯು  ಅದೇ ಮೂರು ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ  ಎಂಬುದು ಸರಳರೇಖಾಯುಗ್ಮವನ್ನು ಕೊಡಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ
 
ಎಂದರೆ  ಇವು ಅಚರಗಳು.
	ಬೇರೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲೂ ಇದರ ಅರ್ಥವನ್ನು ಗ್ರಹಿಸಬಹುದು.  ಆದರೆ ಎಂಬುವನ್ನು ಒಂದು ತಳದಲ್ಲಿರುವ ಶಂಕುಜಗಳೆನ್ನೋಣ. ಬೇರೊಂದು ತಳಕ್ಕೆ  ಇವುಗಳನ್ನು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸಿದರೆ (ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟ್) ಆ ತಳದಲ್ಲಿರುವ ಬರುವ ಶಂಕುಜಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದೆಶಕಗಳನ್ನು ಕುರಿತು  ಆದರೆ
		.
ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ನಿಷ್ಪತ್ತಿಗಳು ಎರಡೂ ಶಂಕುಜಗಳ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗುತ್ತವೆ. ಗಳನ್ನು ಅತ್ಯಂತ ಸುಲಭರೂಪದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅವುಗಳ ಗಳ ನಡುವೆ ಸಮಪ್ರಮಾಣದ ಒಂದು ಸಂಬಂಧ ದೊರಕಿದರೆ,  ಗಳ  ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ರೂಪದಲ್ಲಿಯೂ ಅದೇ ಸಂಬಂಧ ಇರಲೇಬೇಕು
	ಎರಡು ಶಂಕುಜಗಳ ನಡುವೆ ಇರಬಹುದಾದ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವಿರಲು ಅವಶ್ಯಕವಾದ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಈ ಅಚರಗಳ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ  ಮತ್ತು
. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ  ನಲ್ಲಿ ಅಂತಸ್ಥವಾಗಿರುವ ತ್ರಿಭುಜವೊಂದರ ಬಾಹುಗಳು ನ್ನೇ ಸ್ಪರ್ಶಿಸಬೇಕಾದರೆ  ಯಾವ ನಿರ್ಬಂಧವಿರಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ತ್ರಿಭುಜವನ್ನು  ಎಂದು ಕರೆದು ಇದನ್ನು ಆಧಾರ ತ್ರಿಭುಜವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ,
  			 
			 
ಎಂಬ	ಸುಲಭ	ರೂಪಕ್ಕೆ	ತರಬಹುದು. 
	ಇವುಗಳಿಗೆ ಆದ್ದರಿಂದ ,  ಇದು ಸಮಪ್ರಮಾಣದ ಸಂಬಂಧವಾದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಂಬಂಧ  ಗಳ ಪೂರ್ವರೂಪಕ್ಕೂ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಎಂದರೆ ಬೇಕಾಗಿರುವ ನಿರ್ಬಂಧ ಇದೇ. 
	 ಪರಸ್ಪರ ಸ್ಪರ್ಶಿಸಿದರೆ, ಅವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಒಂದಾಗಬೇಕು.  ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಯ ಎರಡು ಮೂಲಗಳು ಒಂದಾಗಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ . ಇದು ಶಂಕುಜಗಳು ಸ್ಪರ್ಶಿಸಲು ಬೇಕಾದ ನಿರ್ಬಂಧ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಮೂರು ಒಂದಾದರೆ, ಯು ಮೂರು ಮೂಲಗಳು ಒಂದಾಗಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ ಶಂಕುಜಗಳ ಸ್ನಿಗ್ಧ ಸ್ಪರ್ಶಕ್ಕೆ (ಆಸ್ಕ್ಯುಲೇಷನ್) ಅವಶ್ಯಕವಾದ ನಿರ್ಬಂಧಗಳು 				
            
       	
ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ  ಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಿದರೆ  ಗಳ ಹೊಸ ಬೆಲೆಗಳು ಹಿಂದಿನ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು
        ಎಂಬುದರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಷ್ಟಾಗುತ್ತದೆ. 
ಎರಡು ಶಂಕುಜಗಳ ಗುಣಕಗಳನ್ನೂ ಚರಾಂಕಗಳನ್ನೂ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಯಾವುದೇ ಮೇಲಿನ ಪರಿವರ್ತನೆಯಿಂದ  ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವೊಂದರಿಂದ ಗುಣಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಹೊರತು, ಮಾರ್ಪಾಟಾಗದೆ ನಿಂತರೆ ಇಂಥ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸಹಚರಗಳು (ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ಸ್) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ
       
	  
ಎರಡು ಶಂಕುಜಗಳಾದರೆ,  ಎಂಬುದು ಅವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶರೇಖೆಗಳ ಸಮೀಕರಣ. ಇಲ್ಲಿ
	        
ನಿರ್ದೆಶಕಗಳನ್ನು ಸರಳ ಪರಿವರ್ತನೆಯಿಂದ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದರಿಂದ,  ಎಂಬವು  ಆದರೆ , ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶರೇಖೆಗಳ ಸಮೀಕರಣ ಆಗುತ್ತದೆ 
        =
ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು.
	ಮತ್ತು  ಇವೆರಡೂ ಸಹಚರಗಳು.
ಅಚರಗಳ ಹಾಗೂ ಸಹಚರಗಳ ಸ್ವರೂಪ ಒಂದೇ. ಅಕ್ಷರೇಖೆಗಳನ್ನು ಅಥವಾ ನಿರ್ಧಾರಕಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದರಿಂದ, ಇವುಗಳ ರೂಪ ವ್ಯತ್ಯಸ್ತವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅಚರಗಳಲ್ಲಿ ಗುಣಕಗಳು ಮಾತ್ರ ಸೇರಿರುತ್ತವೆ. ಸಹಚರಗಳಲ್ಲಿ ಚರಸಂಖ್ಯೆಗಳೂ ಸೇರಿರುತ್ತವೆ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಪಥದ ಸಮೀಕರಣ  ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಿರ್ದೇಶಕಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದರಿಂದ ಈ ಪಥ ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲವಾಗಿ, ಅದರ ಸಮೀಕರಣ ಮೊದಲ ರೂಪವನ್ನೇ ತಾಳಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಕೊಟ್ಟ ರೇಖೆಗಳು ಒಂದು ಸಹಚರ.
(ಎಂ.ಎಸ್.)

ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ