ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ/ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ 2
ಮೂಲದೊಢನೆ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ

ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ 2

ಸಮಾಸಗಳ ಸಂಜ್ಞಾ ಪದ್ಧತಿ, ಮೌಲ್ಯೀಕರಣ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ಉಪಯೋಗಗಳು:  ಅಂತರದಲ್ಲಿ x(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನವೂ  ದಲ್ಲಿ ಜಿ(ಣ) ಯೂ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಾಗಿ  ಆಗಿದ್ದರೆ ಉತ್ಪನ್ನ ಸಂಯೋಜನೆ ಜಿox (ಣ) = ಜಿ(x(ಣ))ಗೆ ಅಸ್ತಿತ್ವವಿರುತ್ತದಷ್ಟೆ (ಚಿ<ಂ, ಚಿ*<ಂ*). ಜಿ(ಣ) ಏಕರೀತ್ಯಾ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನವೂ x(ಣ) ಏಕರೀತ್ಯಾ ನಿಷ್ಪನ್ನಯೋಗ್ಯವೂ ಆಗಿರಲಿ. ಆಗ  ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಜಿಗೆ ಒಂದು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಾಸ ಈ ಇದ್ದೇ ಇರುತ್ತದೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ  ಎಂದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಈ ಸಂಬಂಧದಂತೆ ಈ'(ಣ)=ಜಿ(ಣ) ಮತ್ತು ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಸೂತ್ರ [12]ರ ಪ್ರಕಾರ   ಗಳು  ಅಂತರದಲ್ಲಿವೆಯೆಂದೂ   ಎಂದೂ ಭಾವಿಸಿದರೆ 

 ಜಿ(x(ಣ))ಜx(ಣ;h)  ಎಂಬ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಗೆ ಜಿ(x)ಜx ಎಂಬ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತರೂಪ ನೀಡಬಹುದು. ಹಾಗೆ ಮಾಡಿದ ಬಳಿಕ ಅದರಲ್ಲಿ ಣ ಚರ ಆಗೋಚರವಾಗುವುದರಿಂದ   ಚಿಹ್ನೆಯ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಣ ಗೆ ಆದೇಶಿಸಬೇಕಾದ  ಬೆಲೆಗಳ ಬದಲು x(ಣ) ಗೆ ಆದೇಶಿಸಬೇಕಾದ  ಬೆಲೆಗಳನ್ನೇ ನಮೂದಿಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಯೋಜನಕರ.

ಈ ಕಾರಣದಿಂದ ನಾವು   ಸಮಾಸವನ್ನು   ಎಂದೂ ಬರೆಯುವ ಸಂಜ್ಞಾಪದ್ದತಿಯನ್ನು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಜಾರಿಗೆ ತರುತ್ತೇವೆ. ಈಗ ನಮ್ಮ ಹೊಸ ಸಂಕೇತ  ಇಂದು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಮಾಸಸೂಚಕ ……ಜ……… ಸಂಕೇತಮಾದರಿಯೊಂದಿಗೆ ಪೂರ್ಣವಾಗಿ  ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವುದಲ್ಲದೆ ಜಿ(x) ಜx ಸಂಕೇತ ನಿಜಕ್ಕೂ ಜಿ(x) (=ಜಿ(x(ಣ))  ಮತ್ತು ಜx (=ಜx (ಣ;h)) ಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವೆಂಬ ಸತ್ಯಾಂಶವನ್ನು ಮರೆಮಾಚುವುದೂ ಇಲ್ಲ. ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ

    

ಆಗುವುದರಿಂದ ಎಡಗಡೆಯ ಸಮಾಸದ ಮೌಲ್ಯೀಕರಣಕ್ಕೆ x(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನದ ಸ್ವರೂಪದ ಬಗ್ಗೆ ಅರಿವು ಅನಗತ್ಯ. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿ ಜಿ(x(ಣ)) ಜx  ಅನ್ನು ಜಿ(x) ಜx ಎಂದು ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸುವುದರ ಸಾಧುತ್ವವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುವುದು.  ಕೂಡ  ಕ್ಕೆ ಸಮವಾದ್ದರಿಂದ

    

ಎಂಬುದು ಒಂದು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸಮತ್ವ. ಇದರಿಂದ h,ಣ ಗಳನ್ನೊಳಗೊಳ್ಳುವ ಈ ಲೇಖನದ ಸಮಾಸಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಸಾಹಿತ್ಯಪ್ರಚಲಿತ ರೂಪಕ್ಕೆ ತಿರುಗಿಸಲು h ಅನ್ನು ಜx ಗೂ ಣ ಯನ್ನು x ಗೂ ಮಾರ್ಪಡಿಸಬಹುದೆಂದು ಗೊತ್ತಾಗುವುದು; ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಣ ಯನ್ನು ಇದ್ದಂತೆಯೇ ಉಳಿಸಿಕೊಂಡು h ಅನ್ನು ಜಣ ಗೆ ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದರೂ ಆಗುತ್ತದೆ.

ಸಮಾಸಗಳ ಮೌಲ್ಯೀಕರಣಕ್ಕೆ ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಮೂರು ಸೂತ್ರಗಳು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗುತ್ತವೆ.  

= ಜ ಈ o x (ಣ ; h)  ಮತ್ತು 

ಇವುಗಳ ಪೈಕಿ ಮೊದಲೆರಡನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ವ್ಯುತ್ಪಾದಿಸಿದ್ದಾಗಿದೆ. ಕೊನೆಯದಕ್ಕೆ ಭಾಗಶಃ ಸಮಾಸೀಕರಣ ಸೂತ್ರ (ಇಂಟೆಗ್ರೇಷನ್ ಬೈ ಪಾಟ್ರ್ಸ್) ಎಂದು ಹೆಸರು; ಜಿ(ಣ) = x(ಣ) ಥಿ(ಣ) ಎಂದು ಬರೆದಲ್ಲಿ   ಆಗುತ್ತದೆಂದು ಗಮನಿಸಿದರೆ ಈ ಸೂತ್ರದ ಸತ್ಯತೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುವುದು. ಈಗ ಸೂತ್ರಗಳ ಪ್ರಯೋಗವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಎರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳು.                      ಆದಕಾರಣ ( ಅಂತರದಲ್ಲಿ)

ಮತ್ತೆ x(ಣ) = ಣ ಎಂದಿಟ್ಟುಕೊಂಡರೆ ಜx(ಣ;h) = hx'(ಣ) = h ಆಗುವುದರಿಂದ ಭಾಗಶಃ ಸಮಾಸೀಕರಣದ ಸೂತ್ರಪ್ರಯೋಗದಿಂದ

  

ಸಮಾಸಗಳ ಒಂದು ಉಪಯೋಗವನ್ನು ನಾವಾಗಲೇ ಮನಗಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಕೃತಿಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರಫಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ಅವು ನಮಗೆ ನೆರವಾಗುತ್ತವೆ. ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಕ್ರರೇಖೆಗಳ ಉದ್ದ, ಘನ ಆಕೃತಿಗಳ ಗಾತ್ರ ಹಾಗೂ ಮೇಲ್ಮೈ ಕ್ಷೇತ್ರಫಲಗಳನ್ನು ಗೊತ್ತುಮಾಡಬೇಕಾದರೆ ಸಹ ನಾವು ಸಮಾಸಗಳನ್ನೇ ಆಶ್ರಯಿಸಬೇಕು.  ಅಂತರದಲ್ಲಿ ನಿಷ್ಪನ್ನಯೋಗ್ಯ ಥಿ(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನದ ಗ್ರಾಫಿನ ಉದ್ದ s ಅನ್ನು ನೀಡುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ನಿದರ್ಶನವಾಗಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಬಹುದುಃ

     …….(20)

(ಸಮಾಸದ ಸಾಹಿತ್ಯಪ್ರಚಲಿತರೂಪವನ್ನು ಆವರಣದಲ್ಲಿ ನೀಡಿದ್ದೇವೆ.) ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಕೇಂದ್ರ (ಸೆಂಟರ್ ಆಫ್ ಮಾಸ್) ಮುಂತಾದ ಬಿಂದುಗಳ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದಕ್ಕೂ ಜಡಭ್ರಮಣಾಂಕ (ಮೊಮೆಂಟ್ ಆಫ್ ಇನರ್ಷಿಯ) ಮುಂತಾದ ಪ್ರಾಚಲಗಳನ್ನು (ಪ್ಯರಾಮೀಟರ್ಸ್) ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದಕ್ಕೂ ಸಮಾಸಗಳ ಮೌಲ್ಯೀಕರಣ ಅತ್ಯಗತ್ಯ. ಕೊನೆಯದಾಗಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಕ್ಕಿಂತ ಮಿಗಿಲಾಗಿ ಅವಕಲನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸುವಲ್ಲಿ ಸಮಾಸಗಳು ಅತ್ಯಂತ ಮಹತ್ತ್ವಪೂರ್ಣವಾದ ಪಾತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ.

ಸಾಂತವಯತ್ಯಾಸ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ (ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಆಫ್ ಫೈನೈಟ್ ಡಿಫರೆನ್ಸಸ್) ಃ  ಅವಕಲನ ಮತ್ತು ಸಮಾಸಕಲನಶಾಸ್ತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಜಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಬೆಲೆಗಳೆರಡಕ್ಕಿರುವ ಜಿ(ಣ+h)-ಜಿ(ಣ) ರೂಪದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಕುರಿತು ವಿವೇಚಿಸಿರುವೆವಷ್ಟೆ. ಆದರೆ ಇಂಥ ವಿವೇಚನೆಯಲ್ಲಿ = ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ವ್ಯಕ್ತವಾಗುವ ಸಾಧಾರಣ ಸಮತ್ವಗಳಿಗಿಂತ ಮಿಗಿಲಾಗಿ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಗಳ ಆದಾರದ ಮೇಲೆ  ಮತ್ತು   ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಸೂಚಿಸುವ ಬೇರೆ ರೀತಿಯ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ನಾವು ಬಳಸಿಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಸಾಂತವ್ಯತ್ಯಾಸ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಧ್ಯಯನವಸ್ತು ಕೂಡ ಜಿ(ಣ+h)-ಜಿ(ಣ) ರೂಪದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳೇ. ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ಅವನ್ನು ಕುರಿತು ವಿವೇಚನೆ ಸಾಧಾರಣ ಸಮತ್ವಗಳ ಆಯ ಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಸಾಗಬೇಕೆಂಬ ನಿಬಂಧನೆಯುಂಟು. ಅಲ್ಲದೆ ಈ ಶಾಸ್ತ್ರದ ಪಾಲಿಗೆ ಬಹುಪದಿಗಳ (ಪಾಲಿನೋಮಿಯಲ್ಸ್) ವಿನಾ ಬೇರೆ ರೀತಿಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಬಹುಮಟ್ಟಿಗೆ ಬಹಿಷ್ಕøತ. ಬಹುಪದಿಯೆಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗುವ ಉತ್ಪನ್ನವೊಂದರ ಕೆಲವೇ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕೊಟ್ಟಾಗ ಆ ಉತ್ಪನ್ನದ ಇತರ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಇಲ್ಲಿಯ ಒಂದು ಮುಖ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆ. ಇದನ್ನು ಬಿಡಿಸುವಲ್ಲಿ ದತ್ತ ಬೆಲೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಹಾಗೂ ಹಂತ ಹಂತವಾಗಿ ಅಂಥ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಬಳಕೆಗೆ ಬರಬಹುದೆಂಭ ಅಂಶವನ್ನು ಈ ಶಾಸ್ತ್ರದ ಹೆಸರು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಸಕ್ತ ಲೇಖನದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಈ ವಿಧಾನದ ಸ್ಥೂಲ ರೂಪರೇಖೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗುವುದು. ಈ ದೃಷ್ಟಿ ಕೋನದಿಂದ ಮೊದಲು ಒಂದು ಚಿಕ್ಕ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ಜಿ(ಣ) = ಣ2 ಉತ್ಪನ್ನ ಸಾಕಷ್ಟು ಸರಳವಾದುದಷ್ಟೆ. ಣ0, ಣ1, ಣ2, ಣ3 ಗಳು ಣ ಚರದ ಯಾವುದಾದರೂ ನಾಲ್ಕು ಬೆಲೆಗಳಾದಲ್ಲಿ

    

ಎಂಬ ಆರು ಪರಿಮಾಣಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ ಕೆಳಗಿನ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ನಮೂಡಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಇವಕ್ಕೆ ವಿಭಾಜಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು (ಡಿವೈಡೆಡ್ ಡಿಫರೆನ್ಸ್ಸ್) ಎಂದು ಹೆಸರು.

ವಿಭಾಜಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು

ಣ

ಜಿ(ಣ)

ಪ್ರಥಮ ಹಂv

ದ್ವಿತೀಯ ಹಂv

ತೃತೀಯ ಹಂv

ಣ0

ಣ1

ಣ2

ಣ3

ಣo2

ಣ12

ಣ22

ಣ32

      ----

     ----

     ----

       ------

       ----- 

       ------

 

ತೃತೀಯ ಹಂತದ ವಿಭಾಜಿತವ್ಯತ್ಯಾಸ  ಗಳ ಬೆಲೆ ಏನೇ ಇದ್ದರೂ ಸೊನ್ನೆ ಯಾಗುವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಜಿ(ಣ) = ಣ2 ಎಂದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವ ಬದಲು ಜಿ(ಣ) =ಛಿಣ2 ಎಂದಿಟ್ಟುಕೊಂಡಿದ್ದರೂ (ಛಿ ಸ್ಥಿರಸಂಖ್ಯೆ ) ತೃತೀಯಹಂತದ ವಿಭಾಜಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೊನ್ನೆಯೇ ಆಗುತ್ತಿತ್ತು. ಜಿ(ಣ) =bಣ ಆದಾಗ (b ಸ್ಥಿರಸಂಖ್ಯೆ) ತೃತೀಯ ಹಂತದಲ್ಲಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲದೆ ದ್ವಿತೀಯ ಹಂತದಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ವಿಭಾಜಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳೂ ಸೊನ್ನೆ ಆಗುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಜಿ(ಣ) =ಚಿ (ಸ್ಥಿರಸಂಖ್ಯೆ) ಆದಾಗ ಎಲ್ಲ ಹಂತಗಳಲ್ಲೂ ವಿಭಾಜಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಸೊನ್ನೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಈಗ ಜಿ(ಣ) = ಚಿ+ bಣ +ಛಿಣ2 ಆದಾಗ ಜಿ(ಣ) ಯ ವಿಭಾಜಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿಗೆ ಚಿ, bಣ, ಛಿಣ2 ಪದಗಳು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ  ಭಾಗಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಸಂದಾಯಮಾಡುವುದರಿಂದ ಮತ್ತೆ ತೃತೀಯ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಜಿ(ಣ) ಯ ವಿಭಾಜಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಶೂನ್ಯವಾಗುವುದು. ಇದೇ ಪ್ರಕಾರ   ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ) ಆಗಿ (ಇಂಥ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಬಹುಪದಿಗಳೆನಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ) ಜಿ(ಣ) ಯ (ಟಿ+2) ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದಾಗ (ಟಿ+1) ನೆಯ ಹಂತದ ವಿಭಾಜಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೊನ್ನೆಯಾಗುತ್ತದೆಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು; ಆದರೆ ಸರಳತೆಯ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಸದ್ಯಕ್ಕೆ ಜಿ(ಣ)=ಚಿ+bಣ+ಛಿಣ2  ಎಂದು ಮಾತ್ರ ಭಾವಿಸೋಣ. ವಿಭಾಜಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಜಿ(ಣ0 ; ಣ1)ರ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯ ಮೇರೆಗೆ

     ……(21)

 ರ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯ ಮೇರೆಗೆ

  ಅಥವಾ

     ….(22)

 

ಅಂತೆಯೇ        …..(23)

 ಆದಕಾರಣ [21], [22], [23] ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕೂಡಿ ಣ0=ಣ ಎಂದು ಬರೆದರೆ

      …..(24)

ಎಂಬ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸೂತ್ರ ಸ್ಥಾಪಿತವಾಗುವುದು. ಇದಕ್ಕೆ ನ್ಯೂಟನ್ ಸೂತ್ರವೆಂದು ಹೆಸರು.  ಎಂಬ ಮೂರು ಜೊತೆ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕೊಟ್ಟಾಗ ಇಡಿ ಜಿ(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನೇ ಈ  ಸೂತ್ರದಿಂದ ಗೊತ್ತುಮಾಡಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಜಿ(1) = 6, ಈ(2) = 20, ಈ(5) = 122 ಆಗಿರಲಿ. ವಿಭಾಜಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗಿದೆ.

                                                               ವಿಭಾಜಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸ

ಣ

ಜಿ(ಣ)

ಪ್ರಥಮ ಹಂv

ದ್ವಿತೀಯ ಹಂv

ಣ1=1

 

ಣ2=2

 

ಣ3=5

6

 

20

 

122

 

 

ಆದ್ದರಿಂದ ನ್ಯೂಟನ್ ಸೂತ್ರದಂತೆ

                  . . . .(25)

ಈ ಉಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಣ ಗೆ 1, 2  ಮತ್ತು 5 ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ ಜಿ(ಣ) ಅಪೇಕ್ಷಿಸಿದಂತೆ ಕ್ರಮವಾಗಿ 6, 20 ಮತ್ತು 122 ಎಂಬ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಗಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವಿಜ್ಞಾನವೊಂದರಲ್ಲಿ ಣ ಮತ್ತು ಜಿ(ಣ) ಗಳು ಒಂದನ್ನೊಂದು ದೃಢವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿಸುವ ಎರಡು ಭೌತ ಪರಿಮಾಣಗಳಾಗಿರಬಹುದು; ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಣ ವಿದ್ಯುಸ್ಮಂಡಲವೊಂದರಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ ಇರಬಹುದಾದ ವಿಭವ ವ್ಯತ್ಯಾಸ (ಪೊಟೆನ್ಮಿಯಲ್ ಡಿಫರೆನ್ಸ್), ಜಿ(ಣ) ಆ ಮಂಡಲದ ಇನ್ನೆರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ ಹರಿಯುವ ವಿದ್ಯುತ್ಪ್ರವಾಹ (ಎಲೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ ಕರೆಂಟ್); ಅಥವಾ ಸಮಾಜವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಣ, ಜಿ(ಣ) ಒಂದನ್ನೊಂದು ಸಡಿಲವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿಸುವ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯಾಪರಿಮಾಣಗಳಾಗಿರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಣ ಹಳ್ಳಿಯೊಂದರಲ್ಲಿರುವ ಶಿಕ್ಷಕರ ಸಂಖ್ಯೆ, ಜಿ(ಣ) ಒಂದು ಗೊತ್ತಾದ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಆ ಹಳ್ಳಿಗರ ಪೈಕಿ ಅಕ್ಷರಸ್ಥರಾದವರ ಸಂಖ್ಯೆ. ಹಾಗಾದಲ್ಲಿ ಜಿ(1) = 6, ಜಿ(2) = 20, ಜಿ(5) =122 ಎಂಬಂಥ ಮಾಹಿತಿಗಳು ಸಂಡೋಧಕರಿಗೆ ಪ್ರಯೋಗದ ಅಳತೆಗಳಿಂದ ಅಥವಾ ಜನಗಣತಿಯಿಂದ ಲಭಿಸುತ್ತವೆ. ಇಂಥ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಣ, ಜಿ(ಣ) ಗಳ ಸಂಬಂಧ ಜಿ(ಣ) = ಚಿ + bಣ +ಛಿಣ2 ಅಥವಾ  ರೂಪದಲ್ಲೇ ಇರಬೇಕೆಂಬ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಆಶ್ವಾಸನೆಯೇನೂ ಇರುವುದಿಲ್ಲ; ಅದಾಗ್ಯೂ ಆ ಸಂಬಂಧದ ನಿಖರ ಸ್ವರೂಪ ಅಜ್ಞಾತವಾಗಿರುವಾಗ ಅದು ಸರಿಸುಮಾರಾಗಿಯಾದರೂ ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆಂದು ಭಾವಿಸುವುದರಿಂದ ಸಂಶೋಧನೆಗಳ ಪ್ರಗತಿಗೆ ಸರಳವಾದ ಗಣಿತೀಯ ಆಯಕಟ್ಟೊಂದು ದೊರಕಿ ಅನುಕೂಲವಾಗುವುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಣ= 3 ಆದಾಗ ಜಿ(ಣ) ಎಷ್ಟಾಗುತ್ತದೆಂದು ನೇರವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯದೆ ಇರುವಾಗ ಆ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಶೋಧಕರಿಗೆ ಅಂದಾಜೊಂದು ಆವಶ್ಯಕವಾಗಬಹುದು. ಹಾಗಾದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣ [25] ರೊಳಗೆ ಣ = 3 ಬೆಲೆಯನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿ ಜಿ(3) = 44 ಎಂಬ ಅಂದಾಜನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದಷ್ಟೆ. ಅಂದಾಜಿಗೆ ಸಂಬಂಧಪಟ್ಟ ಣ ಯ ಬೆಲೆ (ಣ=3) ಸಂಶೋಧಕರು ನೇರ ಅಳತೆ/ಎಣಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಿದ ಣಯ ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಬೆಲೆಗಳ (ಣ=1, ಣ=5) ನಡುವೆ ಇದ್ದಾಗ ಅಂತರ್ವೇಶನ (ಇಂಟರ್ ಪೊಲೇಷನ್) ಎಂದೂ ಆಚೆ ಇದ್ದಾಗ ಬಹಿರ್ವೇಶನ (ಎಕ್ಸ್ ಟ್ರಾಪೊಲೇಷನ್) ಎಂದೂ ಇಂಥ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕೆ ಹೆಸರಿದೆ. ಹೀಗೆ ಅಜ್ಞಾತ ಜಿ(ಣ) ಬೆಲೆಗಳನ್ನಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲದೆ ಕೆಲವು ವೇಳೆ ಜಿ(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನದ ಹಲವಾರು ನಿಷ್ಪನ್ನ ಅಥವಾ ಸಮಾಸ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಸಂಶೋಧಕರು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿ ಬರಬಹುದು; ಆಗಲೂ [25] ರಂಥ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಒದಗಿಸುವ ಜಿ(ಣ)ಯ ಸರಿಸುಮಾರು ಉಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಅಜ್ಞಾತ ಜಿ(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನದ ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿಕೊಂಡು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ನಿಷ್ಪನ್ನ ಹಾಗೂ ಸಮಾಸಗಳ ಅಂದಾಜು ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು.

    

ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ ಟಿನೆಯ ಹಂತದವರೆಗಿನ ವಿಭಾಜಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಎಂದಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದಲ್ಲಿ ನ್ಯೂಟನ್ ಸೂತ್ರ [24] ಕೆಳಗೆ ತೋರಿಸಿರುವ ರೂಪವನ್ನು ತಾಳುವುದು.

             ……(26)

ಈ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಣ1,ಣ2,…..ಣಟಿ+1 ಗಳ ಬೆಲೆಗಳ ಅವರೋಹಣ ಪರಿಮಾಣ ಕ್ರಮದಲ್ಲಾಗಲಿ (ಡಿಸೆಂಡಿಂಗ್ ಆರ್ಡರ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಗ್ನಿಟ್ಯೂಡ್) ಆರೋಹಣ ಪರಿಮಾಣದಲ್ಲಾಗಲಿ (ಅಸೆಂಡಿಂಗ್ ಆರ್ಡರ್) ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಮಾಣಕ್ರಮವಿಲ್ಲದಂತಾಗಲಿ ಇರಬಹುದು;   ಎಂಬ ಟಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಸಹ ಕ್ರಮರಹಿತವಾಗಿರಬಹುದು. ಆದರೆ ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳೆಲ್ಲವೂ ಪರಸ್ಪರ ಸಮವಾಗಿರುವಂಥ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಸಂಗಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಾಧಾನ್ಯ ಸಲ್ಲುವುದು. ಇಂಥ ಪ್ರಸಂಗದಲ್ಲಿ 

       ……(27)

ಆಗಿರಲಿ. ಈಗ  ಗಳು ಆರೋಹಣ ಅಥವಾ ಅವರೋಹಣ ಪರಿಮಾಣ ಕ್ರಮದಲ್ಲೇ ಇರುತ್ತವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ  ಎಂಬ ಉತ್ಪನ್ನ ಪರಿವರ್ತಕ ಸಂಕೇತವನ್ನು (ಆಪರೇಟರ್ ಸಿಂಬಲ್) ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುತ್ತೇವೆ:

  

[ಕೆಲವು ವೇಳೆ  ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಾಗುವ ಇ ಎಂಬ ಇನ್ನೊಂದು ಉತ್ಪನ್ನ ಪರಿವರ್ತಕವೂ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗುವುದು; ಆದರೆ ಪ್ರಸಕ್ತ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಇ ಯನ್ನು ಬಳಸುವುದಿಲ್ಲ].  ಎಂದರೆ  ಎಂದು ಅರ್ಥ. ಇದು  ಸಮ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಇದೇರೀತಿ  ಮುಂತಾದ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನೆಲ್ಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಬಹುದು;  i= 1, 2, 3, ... ಗಳಿಗೆ   ಆಗುವುದು. ಈಗ [27]ರಿಂದ ವ್ಯಕ್ತವಾಗುವ ವಿಶೇಷ ಪ್‍ರಸಂಗದಲ್ಲಿ ನ್ಯೂಟನ್ ಸೂತ್ರ [26]

 

      ……(28)

ಎಂಬ ರೂಪವನ್ನು ತಾಳುತ್ತದೆ. ಸೂತ್ರ [28]ಕ್ಕೆ ನ್ಯೂಟನ್-ಗ್ರಿಗರಿಸೂತ್ರವೆಂದು ಹೆಸರು. ಆಗಲೇ ತಿಳಿಸಿರುವಂತೆ ಇಂಥ ಸೂತ್ರಗಳ ಮೂಲಕ ಜಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿಷ್ಪನ್ನ ಹಾಗೂ ಸಮಾಸ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು. ಸಮಾಸ ಬೆಲೆಗಳ ಅಂದಾಜಿಗಾಗಿ ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಿದ ಮೂರು ವಿಶಿಷ್ಟಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಈಗ ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲೆಲ್ಲ ಓ ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕವೆಂದೂ U = ಖಿ+ಓಊ ಎಂದೂ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು. ಓ = 2, 4, 6 ... ಆದಾಗ 

  

ಇದಕ್ಕೆ ಸಿಮ್ಸನ್ ಮೂರನೆಯ-ಒಂದು ಸೂತ್ರ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಇದನ್ನು ವ್ಯುತ್ಪಾದಿಸಲು   ಎಂಬ  ಅಂತರಗಳ ಪೈಕಿ ಒಂದೊಂದರಲ್ಲೂ ಜಿ(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನ  ರೂಪದಲ್ಲಿದೆಯೆಂದು ಭಾವಿಸಬೇಕು; ಮತ್ತು ಅವುಗಳೊಂದೊಂದರಲ್ಲೂ ನ್ಯೂಟನ್-ಗ್ರಿಗರಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪ್ರಯೋಗಿಸಿ ಜಿ(ಣ) ಯನ್ನು ಸಮಾಸೀಕರಿಸಬೇಕು. ಇದೇ ಪ್ರಕಾರ ಹಲವಾರು ಅಂತರಗಳ ಪೈಕಿ ಒಂದೊಂದರಲ್ಲೂ ಜಿ(ಣ)=   ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದಲ್ಲಿ ಓ = 3, 6, 9,... ಆದಾಗ

   

ಇದಕ್ಕೆ ಸಿಮ್ಸನ್ ಎಂಟನೆಯ-ಮೂರು ಸೂತ್ರ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಕೊನೆಯದಾಗಿ ಓ=6, 12, 18, . . . . ಆದಾಗ

ಇದಕ್ಕೆ ವೆಡ್ಲ್ ಸೂತ್ರವೆಂದು ಹೆಸರು; ಹಲವಾರು ಅಂತರಗಳ ಪೈಕಿ ಒಂದೊಂದರಲ್ಲೂ   ಎಂದು ಭಾವಿಸುವುದರಿಂದ ಇದು ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಾಂತ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಾಂತವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸಮೀಕರಣಗಳೆಂಬ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣವಿದೆ. ಇವು ಸಾಧಾರಣವಾಗಿ  ಜಿ(ಣ), ಜಿ(ಣ+1), ಜಿ(ಣ+2)  ಮುಂತಾದ ಜಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಬೆಲೆಗಳ ನಡುವೆ ಇರಬೇಕೆಂದು ಅಪೇಕ್ಷಿಸಲಾದ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತವೆ; ಂ(ಣ) ಜಿ(ಣ)+ಃ(ಣ) ಜಿ(ಣ+1) + ಅ (ಣ) ಜಿ(ಣ+2) =0 ಎಂಬುದು ಇಂಥ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೊಂದು ನಿದರ್ಶನ. ಈ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಸರಿಹೊಂದುವ ಜಿ(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಸಾಂತ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸಮೀಕರಣ ಪ್ರಕರಣದ ಸಮಸ್ಯೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಜಿ(ಣ) ಕೇವಲ ಬಹುಪದಿಯಾಗಿರಬೇಕೆಂಬ ಭಾವನೆಯನ್ನು ಸಡಿಲಗೊಳಿಸಿ ಣ ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗಲೆಲ್ಲ ಜಿ(ಣ) ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬೇಕೆಂಬ ನಿಬಂಧನೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಇಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. 

ಏರಿಳಿತಗಳ ಕಲನ ಶಾಸ್ತ್ರ : ಕೆಲವು ನಿಬಂಧನೆಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟ ಚರವೊಂದು ಅದಕ್ಕೆ ಪ್ರಾಪ್ತವಾಗಬಹುದಾದ ಬೆಲೆಗಳ ಪೈಕಿ ಯಾವ ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ (ಅಥವಾ ಗರಿಷ್ಠ) ಆದುದನ್ನು ಗಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ತುಂಬ ಮುಖ್ಯವಾದದ್ದು. ಸರಳ ಪ್ರಸಂಗಗಳಲ್ಲಿ ಇಂಥ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ನೆರವಿನಿಂದಲೇ ಬಿಡಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಚಿತ್ರ (9)ರಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ. ಇದರಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಿದ್ದಷ್ಟು ಉದ್ದವಿರುವ ನುಣುಪಾದ ತಂತಿಯೊಂದನ್ನು ಂಒ, ಒಏ ಸರಳರೇಖಾಖಂಡಗಳ ಜೋಡಣೆಯ ಆಕಾರವನ್ನು ತಾಳುವಂತೆ ಅದರ ಮಧ್ಯಬಿಂದು ಒನಲ್ಲಿ ಬಗ್ಗಿಸಲಾಗಿದೆ; ಮತ್ತು ಅದರ ಮೂಲಕ ಂ ಮತ್ತು ಏ ಎಂಬ ಎರಡು ಸ್ಥಿರಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕ ಕಲ್ಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ತಂತಿಗೆ ಪೋಣಿಸಿರುವ ಒಂದು ನುಣುಪಾದ ಮಣಿಯನ್ನು ಂಯಲ್ಲಿ ವೇಗರಹಿತವಾಗಿ ಬಿಡುಗಡೆ ಮಾಡಿದರೆ ಪ್ರತಿರೋಧವಿಲ್ಲದೆ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಪ್ರಭಾವದಿಂದ (ಹಾಗೆ ನಾವು ಭಾವಿಸೋಣ) ಅದು ಕೆಳಕ್ಕೆ ಜಾರುತ್ತ ಯಾವುದೋ ಒಂದು ಕಾಲಾವಧಿ ಜಿ ಬಳಿಕ ಏ ಬಿಂದುವನ್ನು ತಲುಪುವುದು. (ತೀರ ಮೊನಚಾದ ಕೋನ ಬಾರದಂತೆ ಅಯ ಬಳಿ ತಂತಿಯನ್ನು ಕ್ರಮ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಬಗ್ಗಿಸಿದ್ದರೆ ಮಣಿಯ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಚಲನೆಗೆ ಅಲ್ಲಿ ಅಡಚಣೆಯುಂಟಾಗುವುದಿಲ್ಲ). ಮಣಿ ಂಯಿಂದ ಏಗೆ ಅತ್ಯಂತ ಕ್ಷಿಪ್ರವಾಗಿ ಜಾರಬೇಕಾದರೆ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವಿನ್ಯಾಸವೆಂತಿರಬೇಕು ? ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಂ,ಏ ಗಳ ನಡುವೆ ಇರುವ ದೂರ ಛಿ (ಇದೊಂದು ಸ್ಥಿರ ಪರಿಮಾಣ), ಕೋನ ಏಂಅಯು  (ಇದೂ ಸ್ಥಿರವೇ) ಮತ್ತು ಕೋನ ಒಂಏ=ಕೋನ ಒಏಂ = ಣ (ಇದು ಚರ). ಈಗ ಮಣಿ ಂ ಯಿಂದ ಒ ಗೆ ಚಲಿಸಲು 

 ಯಷ್ಟು ಕಾಲವನ್ನೂ ಒ ನಿಂದ ಏಗೆ ಚಲಿಸಲು

ಯಷ್ಟು ಕಾಲವನ್ನೂ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದೆಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು ; ಇಲ್ಲಿ g ಭೂಗುರುತ್ವವೇಗೋತ್ಕರ್ಷ (ಆಕ್ಸಿಲರೇಷನ್ ಆಫ್ ಗ್ರಾವಿಟಿ). ಆದ್ದರಿಂದ ಮಣಿಯ ಚಲನೆಯ ಒಟ್ಟು ಕಾಲ . ಈಗ  ಆದಾಗ ಜಿ(ಣ) ಕನಿಷ್ಠವಾಗುವುದೆಂದು ಹಿಂದೆ ಮನಗಂಡಿದ್ದೇವಷ್ಟೆ. ಜಿ(ಣ) ಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿದ್ದಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಈಗ ಅದರ ಪ್ರಥಮ ಹಾಗೂ ದ್ವಿತೀಯ ನಿಷ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಮಾಡಿ ಣ ಯ ಯಾವ ಬೆಲೆಗೆ ಜಿ'(ಣ)=0, ಜಿ"(ಣ)>0 ಆಗುವುದೆಂದು ಗೊತ್ತು ಮಾಡಲು ತತ್ತ್ವಶಃ ಸಾಧ್ಯವಿದೆಯಷ್ಟೆ. (ಪ್ರಸ್ತುತ ನಿದರ್ಶನದಲ್ಲಿ ಅಂಥ ಣ ಬೆಲೆಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ತುಂಬ ಜಟಿಲವೂ ಪ್ರಯಾಸಕರವೂ ಆಗುತ್ತದೆ ; ಆದರೆ ಈ ವಿಚಾರ ನಾವು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಿರುವ ವಿವೇಚನೆಗೆ ಅಪ್ರಕೃತ). ಈ ರೀತಿ ಕನಿಷ್ಠಕಾರಕ ಣ ಯನ್ನು ನಿಷ್ಕರ್ಷಿಸಿದ ಕೂಡಲೆ ಮಣಿಯ ಕ್ಷಿಪ್ರತಮ ಚಲನೆಗೆ ಅವಶ್ಯವಾದ ವ್ಯವಸ್ಥಾವಿನ್ಯಾಸವೂ ಇತ್ಯರ್ಥವಾಗುವುದು. ಕನಿಷ್ಟಗೊಳಿಸಬೇಕಾಗಿರುವ ಜಿ ಚರ ಣ ಎಂಬ ಏಕಮಾತ್ರ ಪ್ರಾಚಲವನ್ನು (ಪ್ಯರಾಮೀಟರ್) ಅವಲಂಬಿಸುವುದೇ ಇಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠೀಕರಣ ಸಮಸ್ಯೆ ಕೇವಲ ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಆಯಕಟ್ಟಿನೊಳಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಲು ಕಾರಣ. ಅಂತೆಯೇ ತಂತಿಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಬಗ್ಗಿಸಬೇಕೆನ್ನುವ ಬದಲು ಎಲ್ಲಿ ಬೇಕಾದರೂ (ಎರಡೆರಡು ಸರಳ ರೇಖಾಖಂಡಗಳಾಗುವಂತೆ) ಬಗ್ಗಿಸಬಹುದೆಂಬ ನಿಯಮವನ್ನಿಟ್ಟುಕೊಂಡರೆ ಮಣಿಯ ಚಲನೆ ಎರಡು ಪ್ರಾಚಲಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸುವುದು ; ತಂತಿಗಳನ್ನು ಮೂರು ಸರಳರೇಖಾಖಂಡಗಳ ಜೋಡಣೆಯಾಗುವಂತೆ ಯಾವುದಾದರೂ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಬಗ್ಗಿಸಲು ಅನುಮತಿಯಿತ್ತರೆ ಆ ಚಲನೆ ನಾಲ್ಕು ಪ್ರಾಚಲಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸುವುದು. ಕನಿಷ್ಠೀಕರಿಸಬೇಕಾದ ಚರ (ಇಲ್ಲಿ ಮಣಿಯ ಚಲನೆಯ ಅವಧಿ) ಸಾಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯಷ್ಟು (ಫೈನೈಟ್ ನಂಬರ್) ಪ್ರಾಚಲಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರವೇ ಅವಲಂಬಿಸುವ ಇಂಥ ಎಲ್ಲ ಪ್ರಸಂಗಗಳಲ್ಲೂ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಕನಿಷ್ಠೀಕರಣವನ್ನು ಕೇವಲ ಅವಕಲನ ಶಾಸ್ತ್ರದ ನೆರವಿನಿಂದ ನಿರ್ವಹಿಸಲು ತತ್ತ್ವಶಃ ಸಾಧ್ಯ. ಆದರೆ ತಂತಿಗಳನ್ನು ಇಡಿಯಾಗಿ ನಮಗೆ ಇಚ್ಛೆ ಬಂದಂತೆ ಅನೇಕ ವಕ್ರರೇಖೆಗಳ ಆಕಾರಗಳಲ್ಲಿ ಸಹ ಬಗ್ಗಿಸಬಹುದಷ್ಟೆ (ಚಿತ್ರ 10). ಅಂಥ ಎಲ್ಲ ವಕ್ರರೇಖಾವಿನ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಯಾವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಮಣಿಯ ಚಲನೆ ಕ್ಷಿಪ್ರತಮವಾಗುವುದೆಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಉತ್ತರಿಸಲು ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಅಸಮರ್ಥವಾಗುವುದು ; ಈಗ ಮಣಿಯ ಚಲನೆಯ ವೈಖರಿ ಸಾಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯಷ್ಟು ಪ್ರಾಚಲಗಳ ಬದಲು ಒಂದು ಇಡೀ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಆಕಾರವನ್ನೇ ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದು. ಇಂಥ ಹೊಸ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠೀಕರಣ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರ ನೀಡಬಲ್ಲ ಗಣಿತ ಶಾಖೆಯೇ ಏರಿಳಿತಗಳ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ (ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಆಫ್ ವೇರಿಯೇಷನ್ಸ್)  (ಎಸ್.ಆರ್.ಎಂ.)

ಏರಿಳಿತಗಳ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಏಕಚರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠಗಳನ್ನೂ ಅಭ್ಯಸಿಸುವ ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ವಿಸ್ತರಣೆ. ಇಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಗರಿಷ್ಠಗಳನ್ನೂ ಸ್ಥಾಯೀ ಬೆಲೆಗಳನ್ನೂ (ಸ್ಟೇಷನರಿ ವೇಲ್ಯೂಸ್) ಒಳಗೊಂಡ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ವಿಚಾರ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಚರಗಳುಳ್ಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕುರಿತು ಹೇಳುವುದಿಲ್ಲ ; ಬದಲು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಅಥವಾ ಉತ್ಪನ್ನಕಗಳ (ಫಂಕ್ಷನಲ್ಸ್) ಗರಿಷ್ಠ ಕನಿಷ್ಠಗಳನ್ನು ಶೋಧಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸ್ವತಂತ್ರ ಚರಗಳ ಸ್ಥಾನವನ್ನೀಗ ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಚರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಪಡೆಯುತ್ತವೆ. ಗರಿಷ್ಠ ಕನಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಸ್ಥಾಯೀ ಬೆಲೆಗಳಿಗಾಗಿ ನಾವು ಹುಡುಕುವ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಚರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಸಮಾಸಾಂಕ (ಇಂಡೆಗ್ರಲ್) ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ದತ್ತ ಸಮಾಸಾಂಕಕ್ಕೆ ಗರಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ ಬೆಲೆ ಇರುವಂತೆ ಸ್ವೀಕರಿಸಬಹುದಾದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಒಂದು ವರ್ಗದಿಂದ (ಕ್ಲಾಸ್) ಸೂಕ್ತವಾದ ಉತ್ಪನ್ನ ಅಥವಾ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಆರಿಸುವುದೇ ಪ್ರಶ್ನೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು. 1 ಮೇಲ್ಮೈಯ ಮೇಲೆ ಹ್ರಸ್ವತಮ ರೇಖೆಗಳು (ಜಿಯೇಡೆಸಿಕ್ಸ್)ಃ ಒಂದು ಮೇಲ್ಮೈಯ ಮೇಲಣ ಎರಡು ದತ್ತ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮತ್ತು ಆ ಮೇಲ್ಮೈಮೇಲಿರುವ ಹ್ರಸ್ವತಮ ರೇಖೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುವ ವಿಧಾನ. ದತ್ತ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು x=x (u,v), ಥಿ=ಥಿ (u,v), z=z (u, v) ಎಂದು ತೆಗೆದು ಕೊಂಡು ವಾಡಿಕೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಂದ

ಇತ್ಯಾದಿ)

ಎಂದು ಬರೆದರೆ ಆಗ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಮೇಲಣ u0,u1 ಬಿಂದುಗಳ v=v(u) ರೇಖೆಯ ಉದ್ದವನ್ನು

  

 ಕೊಡುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮಾಸಾಂಕ ಕನಿಷ್ಠವಾಗುವಂತೆ uವಿನ ಉತ್ಪನ್ನ v ಯನ್ನು ಪಡೆಯುವುದೇ ಪ್ರಶ್ನೆ.

2 ಹ್ರಸ್ವಕ್ಷೇತ್ರೀಯ (ಮಿನಿಮಲ್) ಪರಿಭ್ರಮಣ ಮೇಲ್ಮೈ (ಸರ್ಫೇಸ್ ಆಫ್ ರಿವೊಲ್ಯೂಷನ್):  ರೇಖೆಯನ್ನು x-ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ಪರಿಭ್ರಮಿಸಿದರೆ ಒದಗುವ ಪರಿಭ್ರಮಣ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಮೇಲೆ x0 ಗೂ x1 ಕ್ಕೂ ನಡುವೆ ಇರುವ ಭಾಗದ ಕ್ಷೇತ್ರಫಲ 

 ಇಲ್ಲಿ 

3 ಬ್ರಾಕಿಸ್ಟೋಕ್ರೋನ್ ಪ್ರಶ್ನೆ ಃ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಕ್ಕೊಳಪಟ್ಟು ಒಂದು ದತ್ತ ಬಿಂದು ಂಯಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಬಿಂದು ಃಗೆ ಬಹುಬೇಗ ಇಳಿಯುವ ರೇಖೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು. ಥಿ-ಅಕ್ಷರವನ್ನು ನೇರ ಅಧೋಮುಖವಾಗಿ (ವರ್ಟಿಕಲಿ ಡೌನ್‍ವಡ್ರ್ಸ್) ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಈಗ ದತ್ತಬಿಂದುಗಳು  ಆಗಿದ್ದರೆ ಂಯಿಂದ ಒಂದು ಕಣ ಥಿ ಎತ್ತರದಷ್ಟು ಬಿದ್ದಾಗ ಅದರ ವೇಗ ಯಿಂದ ಃಗೆ ಬೀಳಲು ಕಾಲ  ಇದನ್ನು ಕನಿಷ್ಠವನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಬೇಕು.

4 ಸಮಪರಿಧಿಯ ಲೆಕ್ಕ (ಐಸೊಪೆರಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಪ್ರಾಬ್ಲೆಂ) ಃ ದತ್ತಪರಿಧಿ ಮತ್ತು ಅತ್ಯಧಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರಫಲವುಳ್ಳ ಸಂವೃತರೇಖೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು. ರೇಖೆ ಪೀನ (ಕಾನ್ವೆಕ್ಸ್) ಆಗಿದೆಯೆಂದು ಭಾವಿಸಿ, x-ಅಕ್ಷ ಅದನ್ನು ಸಮಕ್ಷೇತ್ರವೂ ಸಮಪರಿಧಿಯೂ ಉಳ್ಳಂತೆ ಎರಡು ಭಾಗ ಮಾಡಿದರೆ = ದತ್ತ ಸ್ಥಿರಸಂಖ್ಯೆ =ಟ ಆಗಿರುವಂತೆ  ಗರಿಷ್ಠವಾಗಬೇಕು. ಕಂಸದ ಮೇಲಣ ಉದ್ದ sನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರ ಚರವೆಂದು ಆರಿಸಿದರೆ  ಎಂಬುದು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಬೇಕೆಂಬುದೇ ಪ್ರಶ್ನೆ.

5 ಕ್ಯಾಟೆನರಿಯ ಪ್ರಶ್ನೆ ಃ ದತ್ತ ಉದ್ದ ಟ ಇರುವ ಒಂದು ಭಾರವಾದ ಸರಪಣಿಯನ್ನು ಅದರ ತುದಿಗಳಿಂದ ನೇತುಹಾಕಿದಾಗ ಅದು ತೂಗುವ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯವಿಕೆ. ಸ್ಥಿತಿಶಾಸ್ತ್ರದ ತತ್ತ್ವಗಳಿಗನುಸಾರವಾಗಿ ಗುರುತ್ವಕೇಂದ್ರದ ಎತ್ತರ ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿರುವಂಥ ವಿರಾಮಸ್ಥಾನ ಒದಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ 

 ಆಗಿರುವಂತೆ   ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿರ ಬೇಕೆಂಬುದೇ ಪ್ರಶ್ನೆ. 

ಆಯಿಲರನ ಸಮೀಕರಣಗಳು: ಏರಿಳಿತಗಳ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಸುಲಭಮಾದರಿಯ ಲೆಕ್ಕವಾಗಿ  ಎಂಬ ಸಮಾಸಾಂಕ ಕನಿಷ್ಠವಾಗುವಂತೆ ಥಿ(x) ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ x0,x1,ಥಿ(x0), ಥಿ(x1) ದತ್ತ ; ಈ ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಚರಗಳನ್ನು ಕುರಿತು ಎರಡು ಸಲ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನವಾಗಿ ಅವಕಲನೀಯ (ಡಿಫರೆನ್ಷೆಬಲ್) ; ಮತ್ತು ಥಿ(x)ಗೆ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನವಾದ ಎರಡನಿಯ ಅವಕಲನಾಂಕವಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅಂಗೀಕೃತಭಾವನೆಗಳ ಹಿನ್ನೆಲೆಯಲ್ಲಿ ಥಿ(x) ಎಂಬುದು  ಎಂಬ ಅವಕಲನ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಗೊತ್ತಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಇದಕ್ಕೆ ಆಯಿಲರನ ಸಮೀಕರಣವೆಂದು ಹೆಸರು. ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿರತಕ್ಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗೆ, ಆಯಿಲರನ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ.

1 ಹ್ರಸ್ವತಮರೇಖೆಗಳು ಃ 

2 ಹ್ರಸ್ವಕ್ಷೇತ್ರೀಯ ಪರಿಭ್ರಮಣ ಮೇಲ್ಮೈ ಃ 

3 ಬ್ರಾಕಿಸ್ಟೋಕ್ರೋನ್ ಃ 

4 ಸಮಪರಿಧಿಯ ಲೆಕ್ಕ ಃ 

ಇನ್ನೂ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ರೂಪದ ಲೆಕ್ಕಗಳು.

1 ಅನೇಕ ಚರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳುಳ್ಳ

 

ಆಯಿಲರನ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಃ 

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಚರ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೂ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವಿದೆ.

2 ಮೇಲಣ ಅವಕಲನಾಂಕಗಳಿರುವಾಗ ಇದಕ್ಕನುಗುಣವಾದ ಆಯಿಲರನ ಸಮೀಕರಣ 

3 ಅನೇಕ ಸ್ವತಂತ್ರ ಚರಗಳಿರುವಾಗ 

 ಈಗ ಆಯಿಲರನ ಪ್ರಮೇಯ  ಎಂಬ ರೂಪವನ್ನು ತಾಳುತ್ತದೆ.

4 ಇತರ ನಿಬಂಧನೆಗಳಿಂದ ಕೂಡಿರುವ ಏರಿಳಿತಗಳ ಲೆಕ್ಕಗಳು. ಇಂಥ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳ ಅತಿಸುಲಭರೂಪದ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸಮಪರಿಧಿಯ ಲೆಕ್ಕವಿದೆ.  ಸ್ಥಿರ ಆಗಿರುವಂತೆ  ಕನಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿರಬೇಕು. ಈ ಏರಿಳಿತಗಳ ಲೆಕ್ಕದ ಆಯಿಲರನ ಸಮೀಕರಣ ದೊರೆಯಬೇಕಾದರೆ ಸಮಾಸೀಯ (ಇಂಟೆಗ್ರೆಂಡ್) ಈಗೆ ಬದಲು ಈ*=ಈ+ (ಇಲ್ಲಿ  ಒಂದು ಸೂಕ್ತ ಗುಣಾಂಕ) ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಹಾಗೆ ಬಂದ ಸಮಾಸಾಂಕ ಎ* ಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಆಯಿಲರನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೆಗೆದು ಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಈಗ ಅಧಿಕ ನಿಬಂಧನೆಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಬಹುದು.

ಆಯಿಲರನ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಧನೆ ಃ ಕೆಳಗಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಆಯಿಲರನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಸಾಧಿಸಬಹುದು.

1 ಈನಲ್ಲಿ ಥಿ' ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಸಮೀಕರಣ ಈಥಿ = 0 ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರಿಂದ ಥಿ ಪಡೆಯಬಹುದು.

2 ಈನಲ್ಲಿ ಥಿ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಸಮೀಕರಣ ಈಥಿ'= ಸ್ಥಿರ ಎಂದು ಕೊಡುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ  

3 ಈನಲ್ಲಿ x ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಈ=ಈ(ಥಿ,ಥಿ'). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಆಯಿಲರನ ಸಮೀಕರಣ ಈ(ಥಿ,ಥಿ')-ಥಿ'ಈಥಿ'(ಥಿ,ಥಿ')=ಛಿ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಸರಿಸಮಾನವೆಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ತೋರಿಸಬಹುದು. ಇದರಿಂದ ಥಿ'ನ್ನು  ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪಡೆದು ಅದರಿಂದ  ದೊರೆಯುತ್ತದೆ. 

ಮೇಲೆ ಕೊಟ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗೆ ಇವನ್ನು ಪ್ರಯೋಗಿಸುವುದರಿಂದ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ದೊರೆಯುತ್ತವೆ.

(ಎ) ಬ್ರಾಕಿಸ್ಟೋಕ್ರೋನ್ ಃ 

 ಇದು ಸೈಕ್ಲಾಯ್ಡ್.

(ಬಿ) ಹ್ರಸ್ವಕ್ಷೇತ್ರೀಯ ಪರಿಭ್ರಮಣ ಮೇಲ್ಮೈ ಃ    ಇದು ಕ್ಯಾಟೆನರಿ.

(ಸಿ) ಸಮಪರಿಧಿಯ ಲೆಕ್ಕ ಃ 

 

ಇದು ವೃತ್ತ.

(ಜ) ಕ್ಯಾಟೆನರಿಯ ಲೆಕ್ಕ:   ಈ* ದಲ್ಲಿ x ಇಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ  ಇದು ಕ್ಯಾಟೆನರಿ.

ಏರಿಳಿರಗಳ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಗಣಿತೀಯ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅವಕಲನ ಸಮೀಕರಣಗಳು: ಗಣಿತೀಯ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅವಕಲನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಒಂದು ಗತಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ (ಡೈನಮಿಕಲ್ ಸಿಸ್ಟಂ) ಚಲನೆಯ ಲಾಗ್ರಾಂಜನ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಏರಿಳಿತಲೆಕ್ಕವಾದ 

 ಕನಿಷ್ಠ (ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ನನ ತತ್ತ್ವ) ಎಂಬುದರ ಆಯಿಲರನ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಇಲ್ಲಿ ಖಿ ಎಂಬುದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಚಲನ ಶಕ್ತಿ (ಕೈನೆಟಿಕ್ ಎನರ್ಜಿ), ಗಿ ವಿಭವಶಕ್ತಿ (ಪೊಟೆನ್ಯಿಯಲ್ ಎನರ್ಜಿ).ತೂಗಾಡುವ ದಾರಗಳ ಮತ್ತು ತಟ್ಟೆಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯಯಲ್ಲಿ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ನನ ತತ್ತ್ವದಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಅನೇಕ ಭೌತ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಲ್ಲಿ ಬರುವ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ ಲಾಪ್ಲಾಸನ ಸಮೀಕರಣ  ಎಂಬುದು 

 ಕನಿಷ್ಠ ; ಸರಹದ್ದಿನ ಮೇಲೆ u ದತ್ತ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಯ ಆಯಿಲರನ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿರುವುದು. ಅನೇಕ ಇತರ ದೃಷ್ಟಾಂತಗಳನ್ನು ಕೊಡಲು ಸಾಧ್ಯ. (ವಿ.ಆರ್.ಟಿ.)

ತಾರ್ಕಿಕ ಕಲನಕ್ರಿಯೆಗಳು : (ಪ್ರಾಪೊಸಿóಷನಲ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್, ಪ್ರೆಡಿಕೇಟ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್) ಃ ಕನ್ನಡ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಮುಂತಾದ ಆಧುನಿಕ ಭಾಷೆಗಳ ಲಿಖಿತರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಅಕ್ಷರಗಳೆನಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಕೆಲವೇ ಬಿಡಿ ಸಂಕೇತಗಳು ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಗೋಚರಿಸುತ್ತವಷ್ಟೆ. ಈ ಅಕ್ಷರಸಂಕೇತಗಳ ವಿಧವಿಧ ಜೋಡಣೆಗಳು ಪದಗಳೂ ವಾಕ್ಯಗಳೂ ಆಗುತ್ತವೆ. ಅಕ್ಷರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಾಂತ (ಫೈನೈಟ್); ಪದ, ವಾಕ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಯಾದರೋ ವಿಭವಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅನಂತ (ಪೊಟೆನ್ಯಿಯಲಿ ಇನ್‍ಫಿನಿಟ್). ಆದರೆ ಅಕ್ಷರಗಳ ಎಲ್ಲ ಬಗೆಯ ಜೋಡಣೆಗಳೂ ಪದಗಳಾಗವು; ಪದಗಳ ಎಲ್ಲ ಬಗೆಯ ಜೋಡಣೆಗಳೂ ವಾಕ್ಯಗಳಾಗವು. ಅಂದಮೇಲೆ ಪ್ರತಿ ಭಾಷೆಯಲ್ಲೂ ವಾಕ್ಯಗಳ ರಚನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಹೆಚ್ಚು ಕಡಿಮೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಕೆಲವಾರು ನಿಯಮಗಳಿರುತ್ತವೆ. ಇಂಥ ನಿಯಮಗಳಿಗೆ ಭಾಷೆಯ ವಾಕ್ಯರಚನಾ ಮೀಮಾಂಸೆ (ಸಿಂಟಾಕ್ಸ್) ಎನ್ನಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ ವಾಕ್ಯರಚನೆಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅರ್ಥಸ್ವತಂತ್ರವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು; ರಚಿತವಾಕ್ಯಗಳ ಅರ್ಥಮೀಮಾಂಸೆಯ (ಸೆಮ್ಯಾಂಟಿಕ್ಸ್) ಕಡೆ ದೃಷ್ಟಿ ಹರಿಸದೆ ರಚನಾಮೀಮಾಂಸೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅಭ್ಯಸಿಸಲು ಸಾಧ್ಯ. (ವೃತ್ತಾಕಾರದಲ್ಲಿರುವ ಚತುರ್ಭುಜವೊಂದರೊಳಗೆ ಮೂರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅನಿಲಗಳಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ-ಎಂಬ ರಚನೆ ಅರ್ಥಶೂನ್ಯವಾದಾಗ್ಯೂ ಕನ್ನಡದ ವಾಕ್ಯರಚನೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸಿಲ್ಲ ; ವಾಕ್ಯರಚನೆಯಮೀಮಾಂಸೆಯನ್ನು ಕುರಿತ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಸಹ ಕ್ರಮಬದ್ಧವೆಂದು ಸ್ವೀಕರಿಸಲಾಗುವುದು.) ಈ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಗಮನದಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ನಾವು ಈ ಕೆಳಕಂಡ ಹನ್ನೆರಡು ಸಂಕೇತಗಳ ಅಕ್ಷರಮಾಲೆಯನ್ನು (ಆಲ್ಫಬೆಟ್) ಆಧರಿಸುವ ಒಂದು ಹೊಸ ಲಿಖಿತ ಭಾಷೆಯನ್ನು ಎರಡು ಭಿನ್ನ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ವಾಕ್ಯ ರಚನಾಮೀಮಾಂಸೆಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಸೃಷ್ಟಿಸೋಣ : 

 

 ನಾವು ಸೃಷ್ಟಿಸುವ ಭಾಷೆಯ ಪ್ರಥಮ ಹಂತಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರಕಲನಭಾಷೆಯೆಂದೂ ಪ್ರಾಪೋಸಿóಷನಲ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್) ದ್ವಿತೀಯಹಂತಕ್ಕೆ ಆಖ್ಯಾತಕಲನಭಾಷೆಯೆಂದೂ (ಪ್ರೆಡಿಕೇಟ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್) ಹೆಸರು. ನಿತ್ಯಜೀವನದ ಭಾಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಪದಗಳನ್ನು ನಾಮವಾಚಕ, ಕ್ರಿಯಾವಾಚಕ ಎಂದು ಮುಂತಾಗಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸಿರುವಂತೆ ನಾವು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತಿರುವ ಭಾಷೆಯಲ್ಲೂ ಹಲವಾರು ಪದಪ್ರಭೇದಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸ್ಥಿರವಾಚಕಗಳೆಂದು (ಇಂಡಿವಿಡ್ಯುವಲ್ ಕಾನ್‍ಸ್ಟಂಟ್ಸ್) ಕರೆಯಲಾಗುವ ಕೆಲವು ಅಕ್ಷರ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ವರ್ಗ ಇಂಥ ಪ್ರಭೇದಗಳ ಪೈಕಿ ಮೊದಲನೆಯದು. ಸ್ಥಿರವಾಚಕಗಳನ್ನು ನಾವು ಎರಡು ವಿಶಿಷ್ಟ ನಿಯಮಗಳಿಂದ ವ್ಯುತ್ಪಾದಿಸುತ್ತೇವೆ.

ನಿಯಮ ಒಂದು, ಕಿI ಎಂಬುದನ್ನು ಒಂದು ಸ್ಥಿರವಾಚಕವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸತಕ್ಕದ್ದು,

ನಿಯಮ ಎರಡು, x ಒಂದು ಸ್ಥಿರವಾಚಕವಾದಲ್ಲಿ xI ಹಾಗೂ x*I ಗಳನ್ನು ಸಹ ಮತ್ತೆರಡು ಸ್ಥಿರವಾಚಕಗಳೆಂದು ಸ್ವೀಕರಿಸತಕ್ಕದ್ದು.

ಈ ಬಗೆಯ ನಿಯಮಾವಳಿಗಳಿಗೆ ಪದ/ವಾಕ್ಯವ್ಯುತ್ಪಾದಕ ಕಲನಗಳು (ವರ್ಡ್ ಜನರೇಟಿಂಗ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೈ) ಎಂದು ಹೆಸರು. [ಇಲ್ಲಿ ಉಪಯೋಗಿಸುತ್ತಿರುವ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಪದಗಳಿಗೂ ವಾಕ್ಯಗಳಿಗೂ ಭಾವನಾತ್ಮಕ ಭೇದವೇನೂ ಇಲ್ಲ. ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಸಾಲಾಗಿ ಒಂದರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲೊಂದರಂತೆ ಬರೆದು ರಚಿಸಿದ ಎಲ್ಲ ಅಕ್ಷರ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನೂ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ ವಾಕ್ಯಗಳೆಂದೇ ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. (ನೋಡಿ- ಆಲ್ಗಾರಿತಂ) ನಿತ್ಯಜೀವನದ ಭಾಷೆಗಳ ವಾಕ್ಯಗಳಿಗೆ ಸರಿಸುಮಾರಾಗಿ ಅನುರೂಪವಾಗುವ ರಚನೆಗಳಾದರೋ ಮುಂದೆ ನಮ್ಮ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸೂತ್ರಗಳೆನಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.] ಸ್ಥಿರವಾಚಕಗಳ ವ್ಯುತ್ಪಾದಕ ಕಲನದ ಕ್ರಿಯಾವಿಧಾನವನ್ನು ಚಿತ್ರ (11)ರ ವೃಕ್ಷ ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ x=ಕಿI ಎಂದಿಟ್ಟುಕೊಂಡರೆ x ಒಂದು ಸ್ಥಿರವಾಚಕ (ನಿಯಮ ಒಂದು). ಆದ್ದರಿಂದ xI=ಕಿII ಮತ್ತು x*I=ಕಿI*I ಗಳು ಮತ್ತೆರಡು ಸ್ಥಿರವಾಚಕಗಳು (ನಿಯಮ ಎರಡು). ಚಿತ್ರ (11)ರ ವೃಕ್ಷದಲ್ಲಿ ಕಿI ಮೂಲಕಾಂಡ ಕಿII ಮತ್ತು ಕಿI*I ಕೊಂಬೆಗಳಾಗಿ ಕವಲೊಡೆಯುವುದರಿಂದ ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿ ವ್ಯಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಈಗ x=ಕಿI ಎಂಬ ಗ್ರಹಿಕೆಯನ್ನು ರದ್ದುಗೊಳಿಸಿ x=ಕಿII ಅಥವಾ x=ಕಿI* I ಎಂದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬಹುದಷ್ಟೆ.. ತತ್ಫಲವಾಗಿ ಕಿII ಮತ್ತು ಕಿI*I  ಕೊಂಬೆಗಳು ಮತ್ತೆ ಕವಲೊಡೆದು ಕಿIII ; ಕಿII*I;ಕಿI*II;  ಕಿI*I*I ಗಳಿಗೆ ಜನ್ಮನೀಡುತ್ತವೆ; ಯಥಾಪ್ರಕಾರ ಈ ನಾಲ್ಕು ಅಕ್ಷರ ಸಂಯೋಜನೆಗಳೂ ಸ್ಥಿರವಾಚಕಗಳೇ. ಈ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತ ನಮಗಿಷ್ಟಬಂದಷ್ಟು ಸ್ಥಿರವಾಚಕಗಳನ್ನು ವ್ಯುತ್ಪಾದಿಸಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಓದುಗರು ಕಲನಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೂ ಆಲ್ಗಾರಿತಂ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೂ ಇರುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಆಲ್ಗಾರಿತಂಗಳು ಪರ್ಯಾಯ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳಿಗೆ ಅವಕಾಶವೀಯದೆ ಇಂಥಿಂಥ ವಾಕ್ಯಗಳನ್ನು ಇಂಥಿಂಥ ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕೆಂದು ಕಡ್ಡಾಯವಾಗಿ ಆಜ್ಞಾಪಿಸುತ್ತವೆ; ಕಲನಗಳು ಕಲನೀಯ ಅಕ್ಷರ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಹಲವಾರು ರೂಪಗಳ ಪೈಕಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಅನುಮತಿ ನೀಡುತ್ತವೆ ಮಾತ್ರ.. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಕ್ಷರ ಸಂಯೋಜನೆಯೊಂದರಿಂದ ಹೊರಟಾಗ ಕಲನ ಹಾಗೂ ಆಲ್ಗಾರಿತಂ ಕ್ರಿಯೆಗಳೆರಡು ಹೆಜ್ಜೆ ಹೆಜ್ಜೆಯಾಗಿ ಮುಂದೆ ಸಾಗಬಹುದಾದರೂ ಕಲನಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಮಗಿಷ್ಟಬಂದ ಕಡೆ ನಿಲ್ಲಿಸಿಬಿಡಬಹುದು. ಆಲ್ಗಾರಿತಂ ಕ್ರಿಯೆಯ ನಿಲುಗಡೆ ಮಾತ್ರ ಆ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ ವಿಧ್ಯುಕ್ತವಾಗಿರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳಿಗೇ ಬದ್ಧವಾಗಿರಬೇಕು. ಆಲ್ಗಾರಿತಂ ಕ್ರಿಯೆಗೆ ನಾವು ಇಚ್ಛೆಪಟ್ಟ ಯಾವ ಅಕ್ಷರಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಬೇಕಾದರೂ ಗುರಿಪಡಿಸಬಹುದು ; ಆ ಸಂಯೋಜನೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚೆಂದರೆ ಒಂದೇ ಒಂದು ಸಂವಾದಿ ಅಕ್ಷರ ಸಂಯೋಜನೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಲು ಸಾಧ್ಯ. ಕಲನಕ್ರಿಯೆಯಾದರೋ ಒಂದು ಗೊತ್ತಾದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಅಕ್ಷರಸಂಯೋಜನೆಗಳಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಅನಂತ ಪರಂಪರೆಗಳನ್ನೇ ಸೃಷ್ಟಿಸುವುದು.

ನಾವು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತಿರುವ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಗೋಚರಕ್ಕೆ ಬರುವ ಎರಡನೆಯ ಪ್ರಭೇದದ ಪದಗಳಿಗೆ ಚರವಾಚಕಗಳು (ಇಂಡಿವಿಡ್ಯುವಲ್ ವೇರಿಯಬಲ್ಸ್) ಎಂದು ನಾಮಕರಣ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರವಾಚಕದಲ್ಲಿರುವ ಕಿ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಖ ಎಂದು ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದಾಗ ಫಲಿಸುವ ಅಕ್ಷರಸಂಯೋಜನೆ ಒಂದು ಚರವಾಚಕವೆನ್ನಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು. ಖI, ಖII, ಖI*I, ಖIII, ಖII*I, ಖI*II, ಖI*I*I ಇಂಥವೆಲ್ಲ ಚರವಾಚಕಗಳು ಇವನ್ನು ವ್ಯುತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಲನ ನಿಯಮಗಳು ಇಂತಿವೆ : ನಿಯಮ ಒಂದು, ಖI ಒಂದು ಚರವಾಚಕ; ನಿಯಮ ಎರಡು, x ಒಂದು ಚರವಾಚಕದಲ್ಲಿ xI ಮತ್ತು x*I ಸಹ ಇನ್ನೆರಡು ಚರವಾಚಕಗಳು. ಸ್ಥಿರ ಹಾಗೂ ಚರವಾಚಕಗಳ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿನಿಯಮಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿರುವ x ಚಿಹ್ನೆ ನಾವು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತಿರುವ ಭಾಷೆಯ ಅಕ್ಷರವಲ್ಲವೆಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತಿರುವ ಭಾಷೆಯನ್ನು ವರ್ಣಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ ನಾವು ಗಣಿತಸಂಸ್ಕøತಿಯ ಆರೋಪವಿರುವ ಕನ್ನಡ ಭಾಷೆಯ ಒಂದು ವಿಸ್ತøತರೂಪವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಿದ್ದೇವಷ್ಟೆ. ಈ ಕನ್ನಡಕ್ಕೆ ಅಧಿಭಾಷೆಯೆಂದೂ (ಮೆಟಾಲ್ಯಾಂಗ್ವೇಜ್) ಸೃಷ್ಟಿಯಲ್ಲಿರುವ ಹೊಸಭಾಷೆಗೆ ವಸ್ತುಭಾಷೆಯೆಂದೂ (ಆಬ್ಜಕ್ಟ್ ಲ್ಯಾಂಗ್ವೇಜ್) ಕೆಲವು ವೇಳೆ ಹೇಳುವುದುಂಟು. ಮೇಲಿನ x ಚಿಹ್ನೆ ಅಧಿಭಾಷೆಯ ಅಂಗವೇ ವಿನಾ ವಸ್ತು ಭಾಷೆಯದಲ್ಲ.

ನಮ್ಮ ಭಾಷೆಯ ಮೂರನೆಯ ಪದ ಪ್ರಭೇದ ಸಂಬಂಧವಾಚಕಗಳದು (ರಿಲೇಷನ್ ಸಿಂಬಲ್ಸ್). ಸಂಬಂಧವಾಚಕಗಳನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ಕಲನ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಪ್ರಯೋಗಿಸಿ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಮಾಡುತ್ತೇವೆ : ನಿಯಮ ಒಂದು, SIP ಎಂಬುದು ಒಂದು ಸಂಬಂಧವಾಚಕವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸತಕ್ಕದ್ದು. ನಿಯಮ ಎರಡು, x ಎಂಬ ಅಕ್ಷರಸಂಯೋಜನೆ Pಯನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳದಿರುವ ಪಕ್ಷದಲ್ಲಿ xಥಿ ಒಂದು ಸಂಬಂಧ ವಾಚಕವಾದರೆ xIಥಿ, x*Iಥಿ, xಥಿP ಇವನ್ನು ಕೂಡ ಮತ್ತೆ ಮೂರು ಸಂಬಂಧವಾಚಕಗಳೆಂದು ಸ್ವೀಕರಿಸತಕ್ಕದ್ದು (ಇಲ್ಲಿ x ಮತ್ತು ಥಿ ಎರಡೂ ಅಧಿಭಾಷೆಯ ಅಂಗಗಳು.) SIP, SIIP, SI*IP, SIPP SIIP, SII*IP SIIPP, SI*IIP, SI*I*IP,  SI*IPP, SIPPP, ಇಂಥವೆಲ್ಲ ಸಂಬಂಧವಾಚಕಗಳೆಂದಾಯಿತು.

ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವಾಚಕದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು P ಕ್ಷರದ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲೂ ಒಂದೊಂದು ಸ್ಥಿರವಾಚಕ ಅಥವಾ ಚರವಾಚಕವನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ ಫಲಿಸುವ ಅಕ್ಷರ ಸಂಯೋಜನೆಗೆ ಸೂತ್ರಮೂಲ (ಅಟಾಮಿಕ್ ಫಾಮ್ರ್ಯುಲ, ಆಟಂ) ಎಂದು ಹೆಸರು. SI*IPP ಸಂಬಂಧವಾಚಕ, ಕಿI*II*I ಸ್ಥಿರವಾಚಕ ಮತ್ತು ಖII*I ಚರವಾಚಕವಾದ್ದರಿಂದ SI*IಖII*IಕಿI*II*I ಎಂಬ ವಾಕ್ಯ ಸೂತ್ರಮೂಲಗಳಿಗೆ ಒಂದು ನಿದರ್ಶನ. ಸೂತ್ರಮೂಲಗಳು ನಾವು ಸೃಷ್ಟಿಸತೊಡಗಿರುವ ವಸ್ತುಭಾಷೆಯ ನಾಲ್ಕನೆಯ ಪದಪ್ರಭೇದ. ಇವನ್ನು ಆಧಾರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ಸೂತ್ರಗಳೆಂಬ (ಫಾಮ್ರ್ಯುಲ) ಐದನೆಯ ವರ್ಗದ ವಾಕ್ಯ(ಪದ)ಗಳನ್ನು ವ್ಯುತ್ಪಾದಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸೂತ್ರಗಳ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ ನಿಯಮಗಳು ಹೀಗಿವೆ : ನಿಯಮ ಒಂದು; ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೂತ್ರಮೂಲವನ್ನೂ ಒಂದು ಸೂತ್ರವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸತಕ್ಕದ್ದು. ನಿಯಮ ಎರಡು, x ಮತ್ತು ಥಿಗಳು ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸೂತ್ರಗಳಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ [x’!ಥಿ], [ + x] ಗಳನ್ನು ಸಹ ಇನ್ನೆರಡು ಸೂತ್ರಗಳೆಂದು ಸ್ವೀಕರಿಸತಕ್ಕದ್ದು. (ಪುನಃ ಇಲ್ಲಿ x,ಥಿ ಅಧಿಭಾಷೆಯ ಅಂಗಗಳು). ಕೆಳಗೆ ಬರೆದಿರುವ ವಾಕ್ಯಗಳು ಇಂಥ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನಿದರ್ಶಿಸುತ್ತವೆ:

   

     

 

ನಮ್ಮ ವಸ್ತುಭಾಷೆಯ ಪ್ರಥಮಹಂತದ ಸೃಷ್ಟಿಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಈಗ ಅದ್ಯುಕ್ತಿಗಳ (ಆಕ್ಸಿಯಮ್ಸ್), ಸಾಧನೆಗಳು (ಪ್ರೂಫ್ಸ್) ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯಗಳು (ಥಿಯೊರಮ್ಸ್) ಎಂಬ ಇನ್ನು ಮೂರು ವಿಧದ ವಾಕ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. x,ಥಿ,z ಗಳು ಯಾವುದೇ ಮೂರು ಸೂತ್ರಗಳಾದಲ್ಲಿ 

       . . . [29]

      . . .[30]

 [[[ +  x]’![ +  ಥಿ]]’![ಥಿ’!x]]      . . . [31]

ಎಂಬ ಮಾದರಿಯ ಸೂತ್ರಗಳಿಗೆ ಅದ್ಯುಕ್ತಿಗಳು ಎಂದು ಹೆಸರು. ಅಂದಮೇಲೆ ಅದ್ಯುಕ್ತಿಗಳು ಕೆಲವಿಶಿಷ್ಟ ರೀತಿಯ ರಚನೆಗಳಿರುವ ಸೂತ್ರಗಳು ಎಂದಾಯಿತು. ಈ ವಿಶಿಷ್ಟ ರಚನೆಗಳಿಗಿರುವ ಮಹತ್ತ್ವ ಮುಂದೆ ವ್ಯಕ್ತವಾಗುವುದು. ಇನ್ನೂ ಸಾಧನೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಕಂಡ ಮೂರು ಕಲನ ನಿಯಮಗಳ ಮೇರೆಗೆ ವ್ಯುತ್ಪಾದಿಸುತ್ತವೆ. ನಿಯಮ ಒಂದು, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅದ್ಯುಕ್ತಿಯನ್ನೂ ಒಂದು ಸಾಧನೆಯೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸತಕ್ಕದ್ದು. ನಿಯಮ ಎರಡು, x iÀiÁವುದಾದರೂ ಒಂದು ಅದ್ಯುಕ್ತಿಯೂ  ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು ಸಾಧನೆಯೂ ಆದ ಪಕ್ಷದಲ್ಲಿ ಥಿಖಿx  ಅಕ್ಷರ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಕೂಡ ಒಂದು ಸಾಧನೆಯೆಂದು ಸ್ವೀಕರಿಸತಕ್ಕದ್ದು.

ನಿಯಮ ಮೂರು [ಇದಕ್ಕೆ ವಿಸರ್ಗನಿಯಮ (ರೂಲ್ ಆಫ್ ಡಿಟ್ಯಾಚ್‍ಮೆಂಟ್; ಮೋಡಸ್‍ಪೊನೆನ್ಸ್) ಎಂದು ಹೆಸರು]. x,ಥಿ ಎಂಬುವು ಯಾವುದಾದರೂ ಎರಡು ಸೂತ್ರಗಳೂ z ಎಂಬುದು xಖಿ ಹಾಗೂ  ಎಂಬ ಅಕ್ಷರ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನಾಗಲೀ  ಹಾಗೂ ಖಿx ಎಂಬ ಅಕ್ಷರಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನಾಗಲೀ ಒಳಗೊಳ್ಳುವ ಒಂದು ಸಾಧನೆಯೂ ಆದ ಪಕ್ಷದಲ್ಲಿ zಖಿಥಿ ಎಂಬ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಸಹ ಮತ್ತೆ ಒಂದು ಸಾಧನೆಯೆಂದು ಸ್ವೀಕರಿಸತಕ್ಕದ್ದು.

ಕೊನೆಯದಾಗಿ, ಥಿ ಎಂಬುದು ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಅಕ್ಷರಸಂಯೋಜನೆಯೂ x ಎಂಬುದು ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಸೂತ್ರವೂ ಥಿಖಿx ಎಂಬುದು ಒಂದು ಸಾಧನೆಯೂ ಆದಪಕ್ಷದಲ್ಲಿ x ಸೂತ್ರ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯವೆನಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ ಖಿಯನ್ನೊಳಗೊಂಡಿರುವ ಯಾವುದೇ ಸಾಧನೆಯಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯ ಖಿ ಅಕ್ಷರದ ಬಲಪಾಶ್ರ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಸೂತ್ರ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದಾಯಿತು. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಗಳ ಸ್ಪಷ್ಟನೆಗಾಗಿ ಕೆಳಗಿನ ವಾಕ್ಯವನ್ನು ಗಮನಿಸಿ: 

 

ಅದ್ಯುಕ್ತಿಮಾದರಿ [29]ರೊಡನೆ ಹೋಲಿಸಿದಾಗ ಈ ವಾಕ್ಯದಲ್ಲಿ ಖಿ ಅಕ್ಷರದ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸೂತ್ರ ಒಂದು ಅದ್ಯುಕ್ತಿಯೆಂದು ಗೊತ್ತಾಗುವುದು. ಅಂತೆಯೇ ಅದ್ಯುಕ್ತಿಮಾದರಿ [ 30 ] ರ ಮೇರೆಗೆ ಖಿ ಅಕ್ಷರದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವುದೂ ಒಂದು ಅದ್ಯುಕ್ತಿಯೇ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಒಂದು ಸಾಧನೆ ಕೂಡ ಆಗಿದೆ (ಸಾಧನೆಗಳ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ ನಿಯಮ ಒಂದು). ಈಗ ಸಾಧನೆಗಳ ಎರಡನೆಯ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿನಿಯಮದಿಂದ ಮೇಲೆ ಬರೆದಿರುವ ಇಡಿ ವಾಕ್ಯ ಒಂದು ಸಾಧನೆಯೆಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುವುದು. ಈ ವಾಕ್ಯದಲ್ಲಿ ಅಡಿಗೆರೆ ಹಾಕಿ ಸೂಚಿಸಿರುವ ವಿಭಾಗಗಳ ಸಾಮ್ಯವನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ವಿಸರ್ಗನಿಯಮವನ್ನು ಪ್ರಯೋಗಿಸಿದರೆ

     . . .[32]

ಎಂಬುದೂ ಒಂದು ಸಾಧನೆಯೆಂದು ಸಿದ್ದಪಡುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಂತೆ ಇದರಲ್ಲಿರುವ ಕೊನೆಯ ಖಿ ಅಕ್ಷರದ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅಡಿಗೆರೆಹಾಕಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಸೂತ್ರ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯ. ಮತ್ತೆ ಅದ್ಯುಕ್ತಿಮಾದರಿ [29]ರ ಪ್ರಕಾರ 

      . . .[33]

ಎಂಬುದು ಒಂದು ಅದ್ಯುಕ್ತಿಯಾದ ಕಾರಣ ವಾಕ್ಯ [ 32 ] ರ ಬಲತುದಿಯಲ್ಲಿ ಖಿ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಬರೆದು ಅದಕ್ಕೆ [ 33 ]ನ್ನು ಲಗತ್ತಿಸಿದಾಗ ಫಲಿಸುವ ವಾಕ್ಯ ಸಹ ಒಂದು ಸಾಧನೆಯೇ ಆಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಾಧನೆಯನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ [ 32 ] ಖಿ [ 33 ] ಎಂದು ಸೂಚಿಸಬಹುದು. ಪುನಃ ಇದಕ್ಕೆ ವಿಸರ್ಗನಿಯಮವನ್ನು ಪ್ರಯೋಗಿಸಿದರೆ  ಎಂಬ ಮತ್ತೂ ಒಂದು ಸಾಧನೆ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಸಹ ಕೊನೆಯ ಖಿ ಅಕ್ಷರದ ಬಲಪಾಶ್ರ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಸೂತ್ರ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯವಾಗಬೇಕಷ್ಟೆ. ಅಂದಮೇಲೆ  ಎಂಬುದು ಇನ್ನೊಂದು ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಸಿದ್ಧಪಟ್ಟಿತು.

ನಾವು ಸೃಷ್ಟಿಸಿರುವ ವಸ್ತುಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಚಕ, ಚರವಾಚಕ, ಸಂಬಂಧವಾಚಕ, ಸೂತ್ರಮೂಲ, ಸೂತ್ರ, ಅದ್ಯುಕ್ತಿ, ಸಾಧನೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯ ಎಂಬ ಎಂಟು ವಿಶಿಷ್ಟ ಅಂಗಗಳಿವೆ. ಕೇವಲ ವಾಕ್ಯಾರಚನಾ ಮೀಮಾಂಸೆಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಬಂದಿರುವ ಈ ಭಾಷೆಗೆ ಸೂತ್ರತರ್ಕ ಭಾಷೆ (ಪ್ರಾಪೊಸಿóಷನಲ್ ಲಾಜಿಕ್) ಅಥವಾ ಸೂತ್ರಕಲನಭಾಷೆ (ಪ್ರಾಪೊಸಿóಷನಲ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಇದರ ವಿವಿಧ ಅಂಗಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿನಿಯಮಗಳೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಮೇಲೆ ಅತ್ಯಂತ ನಿಖರವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಿಬಿಟ್ಟಿದ್ದೇವೆ. (ಕನ್ನಡ ಮುಂತಾದ ನಿತ್ಯ ಜೀವನದ ಭಾಷೆಗಳಲ್ಲಿ ವಾಕ್ಯವ್ಯುತ್ಪಾದಕ ನಿಯಮಗಳು ಇಷ್ಟೊಂದು ನಿಖರವಾಗಿರುವುದೇ ಇಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು.) ಇಷ್ಟಾದರೂ ಅರ್ಥದ ಸೋಂಕೇ ಇಲ್ಲದಂಥ ಭಾಷೆಯೊಂದನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುವುದು ಮೊದಲ ನೋಟಕ್ಕೆ ಯಾರಿಗಾದರೂ ಬುದ್ದಿವಂತಿಕೆಯ ಲಕ್ಷಣವಲ್ಲ ಎನ್ನಿಸುವುದು ಸಹಜ. ನಿಜಕ್ಕೂ ನಾವು ಅರ್ಥದ ಬಗ್ಗೆ ಈ ವರೆಗೆ ಗಮನ ಹರಿಸದಿರುವುದು ವಾಕ್ಯರಚನೆಯ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಭದ್ರಪಡಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ ಮಾತ್ರವೇ. ಒಮ್ಮೆ ಈ ಉದ್ದೇಶ ನೆರವೇರಿದ ಬಳಿಕ ನಮ್ಮ ವಸ್ತು ಭಾಷೆಗೆ ಒಂದಲ್ಲ ಒಂದು ಸೂಕ್ತರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅರ್ಥ ಕಲ್ಪಿಸಲು ಯಾವ ಅಡ್ಡಿಯೂ ಇಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಹೊಸಭಾಷೆಯನ್ನು ನಾವು ಸೃಷ್ಟಿಸಿರುವುದಾದರೂ ಒಂದು ಪೂರ್ವಾಲೋಚಿತ ಅರ್ಥನಿರೂಪಣೆಯ ಚೌಕಟ್ಟಿಗೆ ಅದು ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳಬೇಕೆಂಬ ಅಪೇಕ್ಷೆಯಿಂದಲೇ ; ವಿಚಾರಪರರೆಂದು ತಿಳಿಯಬಹುದಾದ ಜನರ ವಿಚಾರಸರಣಿಗಳು ಸಾಧಾರಣವಾಗಿ ಇಂದು ಹಿಡಿದು ಸಾಗುವ ಜಾಡಿನ ಕೆಲವಷ್ಟು ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವಂತೆ ನಮ್ಮ ಸೂತ್ರ ಕಲನಭಾಷೆಯನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಇದು ಹೇಗೆ ಎಂದರಿಯಲು ಸ್ಥಿರವಾಚಕಗಳೂ ಚರವಾಚಕಗಳೂ ವಿಧವಿಧ ವಸ್ತುಗಳ ಅಥವಾ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಹೆಸರುಗಳೆಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳೋಣ. (ಸೂತ್ರಕಲನ ಭಾಷೆಯ ಮಟ್ಟಿಗೆ ಸ್ಥಿರವಾಚಕ ಚರವಾಚಕಗಳ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವಿಂಗಡಣೆ ಅನವಶ್ಯ). ಸಂಬಂಧ ವಾಚಕಗಳು ಇಂಥ ವಸ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರಬಹುದಾದ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನೋ ಇಲ್ಲವೇ ಅನ್ಯೋನ್ಯ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನೋ ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ SIP ಎಂಬುದು ಬೆಳ್ಳಗಿರುವ ಲಕ್ಷಣವನ್ನೂ SIPP ಪತಿ-ಪತ್ನಿ ಸಂಬಂಧವನ್ನೂ ಸೂಚಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ SIP ಯಾವ ಪದಾರ್ಥ ಬೆಳ್ಳಗಿದೆಯೆಂದು ತಿಳಿಸುವುದಿಲ್ಲ. SIPP ಯಾರು ಯಾರು ಪತಿಪತ್ನಿಯರೆಂದು ತಿಳಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಬಗೆಯ ಪೂರ್ಣಮಾಹಿತಿಗಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ P ಅಕ್ಷರಗಳ ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಿರ ಚರವಾಚಕಗಳನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿ ರಚಿಸಬಹುದಾದ ಸೂತ್ರಮೂಲಗಳಿಂದ ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಕಿI ಎಂದರೆ ಹಾಲು, ಕಿII ಎಂದರೆ ರಾಮ, ಕಿIII ಎಂದರೆ ಸೀತೆ, ಕಿIIII ಎಂದರೆ ಕಾಗೆ, ಕಿIIIII ಎಂದರೆ ಗಣಿತ ಎಂದಿಟ್ಟುಕೊಂಡರೆ

SIಕಿI ಎಂದರೆ ಹಾಲು ಬೆಳ್ಳಗಿದೆ   . . .[34]

SIಕಿIIಕಿIII ಎಂದರೆ ರಾಮಸೀತೆ ಪತಿಪತ್ನಿಯರು      . . .[35]

SIಕಿIIII ಎಂದರೆ ಕಾಗೆ ಬೆಳ್ಳಗಿದೆ       . . .[36]

SIಕಿIIIII ಎಂದರೆ ಗಣಿತ ಬೆಳ್ಳಗಿದೆ       . . .[37]

ಎಂದು ಅರ್ಥವಾಗುವುದು. (ಇದನ್ನು ಓದಿದಾಗ [ 34 ], [ 35 ] ದಿಟವೆಂದು [ 36 ] ಸಟೆಯೆಂದೂ, [ 37 ] ರ ಅರ್ಥವೇ ಅಸ್ಪಷ್ಟವೆಂದೂ ಸಾಧಾರಣವಾಗಿ ನಮಗನಿಸುವುದು. ಅರ್ಥನಿರೂಪಣೆಗಳ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಇಂಥ ತೊಡಕುಗಳು ಶುದ್ಧ ವಾಕ್ಯ ರಚನಾಮೀಮಾಂಸೆಯ ಆಯಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಹೇಗೂ ಅಪ್ರಕೃತವಾಗುತ್ತವೆಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು.) ಈ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಂದ ನಿತ್ಯಜೀವನದ ಭಾಷೆಗಳ ಪೂರ್ಣವಾಕ್ಯಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರಕಲನ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಕಡಿಮೆ ಅನುರೂಪವಾಗಬಲ್ಲ ಪ್ರಪ್ರಥಮ ರಚನೆಗಳೆಂದರೆ ಸೂತ್ರಮೂಲಗಳು ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಸೂತ್ರಮೂಲಗಳ ಈ ಲಕ್ಷಣ ಇತರ ಎಲ್ಲ ಬಗೆಯ ಸೂತ್ರಗಳಿಗೂ ಉಂಟು.

ಜನರ ವಿಚಾರಸರಣಿಗಳಲ್ಲಿ "ಹಾಗಿದ್ದರೆ ಹೀಗಾಗಿರಬೇಕು ಎಂಬ ಮಾದರಿಯ ಚಿಂತನೆಗಳು ಪದೇ ಪದೇ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತೇವೆ. ಸೂತ್ರಕಲನ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಇವನ್ನು -> ಅಕ್ಷರದ ನೆರವಿನಿಂದ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತೇವೆ.  ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ "x ಆಗಿದ್ದರೆ ಥಿ" ಎಂಬ ಅರ್ಥವನ್ನು ಆರೋಪಿಸುವುದರಿಂದ ಇದು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ SI*ಕಿI*I ಎಂದರೆ "ಮಳೆ ಬೀಳುತ್ತಿದೆ" ಎಂದೂ SI*IಕಿI*IIಕಿI*III ಎಂದರೆ "ಆಕಾಶದಲ್ಲಿ ಮೋಡವಿದೆ" ಎಂದೂ ಇಟ್ಟುಕೊಂಡರೆ [SI*IಕಿI*ISI*IಕಿI*IIಕಿI*III] ಎಂಬುದನ್ನು "ಮಳೆ ಬೀಳುತ್ತಿದ್ದರೆ ಆಕಾಶದಲ್ಲಿ ಮೋಡವಿರಬೇಕು" ಎಂದು ಅರ್ಥವಿಸಬಹುದು. ಈಗ ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಗೊತ್ತಾದ ಕಾಲದಲ್ಲಿ "ಮಳೆ ಬೀಳುತ್ತಿದೆ" ಹಾಗೂ "ಮಳೆ ಬೀಳುತ್ತಿದ್ದರೆ ಆಕಾಶದಲ್ಲಿ ಮೋಡವಿರಬೇಕು" ಎಂಬೆರಡು ಮಾಹಿತಿಗಳೂ ನಮಗೆ ವೇದ್ಯವಾದಲ್ಲಿ ನಾವು ತಲೆಯೆತ್ತಿ ನೋಡುವ ಕ್ರಮವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳದೆಯೇ "ಆಕಾಶದಲ್ಲಿ ಮೋಡವಿದೆ" ಎಂಬ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬರಬಹುದು. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸೂತ್ರ ಕಲನಭಷೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸಬೇಕಾದರೆ ಆ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ SI*ಕಿI*I ಮತ್ತು [SI*IಕಿI*ISI*IಕಿI*IIಕಿI*III] ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ಹೊರಟು SI*IಕಿI*IIಕಿI*III ಸೂತ್ರವನ್ನು ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಮಾಡುವ ಅವಕಾಶ ನಮಗೆ ಅಧಿಕೃತವಾಗಿ ಅಭಿಸಬೇಕಷ್ಟೆ ? ಇಂಥ ಅವಕಾಶವನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಡುವುದೇ ಸಾಧನೆಗಳ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ ನಿರೂಪಿತವಾಗಿರುವ ವಿಸರ್ಗನಿಯಮದ ಗುರಿ. ಸೂತ್ರಕಲನ ಭಾಷೆಯ ಸಾಧನೆಗಳು ಜನರ ವಿಚಾರಸರಣಿಗಳ ಒಂದು ಸಾಂಕೇತಿಕ ರೂಪವಾಗಬೇಕೆಂಬುದು ನಮ್ಮ ಅಪೇಕ್ಷೆ. ವಿಚಾರಸರಣಿಯೊಂದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಹೆಜ್ಜೆ ಮುಗಿದು ಮುಂದಿನ ಹೆಜ್ಜೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತಿದೆಯೆಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಅನುರೂಪ ಸಾಧನೆಯ ನಡುವೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಖಿ ಅಕ್ಷರಗಳು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣಿಗೆ "ಆಕಾಶದಲ್ಲಿ ಮೋಡವಿದೆ" ಎಂಬುದರ ವಿಚಾರಸರಣಿ ಹೀಗೆ ಸಾಗಬಹುದು. 

  . . .ಖಿSI*IಕಿI*Iಖಿ[SI*IಕಿI*I’!SI*IಕಿI*IIಕಿI*III]

   ಖಿSI*IಕಿI*IIಕಿI*III. . .

ಇಲ್ಲಿರುವ ಖಿ ಅಕ್ಷರಗಳು "ಮಳೆ ಬೀಳುತ್ತಿದೆ", "ಮಳೆ ಬೀಳುತ್ತಿದ್ದರೆ ಆಕಾಶದಲ್ಲಿ ಮೋಡವಿರಬೇಕು", "ಆಕಾಶದಲ್ಲಿ ಮೋಡವಿದೆ" ಎಂಬ ಸೂತ್ರಗಳು ವಿಚಾರಸರಣಿಯ ಮೂರು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಹೆಜ್ಜೆಗಳೆಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿವೆ. ಇನ್ನು [ + x] ಮಾದರಿಯ ಸೂತ್ರಗಳ ವಿಚಾರ. [ + x ] ಸಂಕೇತಕ್ಕೆ "x ಆಗಿಲ್ಲ" ಅಥವಾ "x ಇಲ್ಲ" ಎಂಬುದಾಗಿ ನಾವು ಅರ್ಥಾರೋಪ ಮಾಡಬಹುದು. SI*IಕಿI*I ಎಂದರೆ "ಮಳೆ ಬೀಳುತ್ತಿದೆ" ಎಂದಾದರೆ [ + SI*IಕಿI*I ]ಎಂದರೆ ಮಳೆ ಬೀಳುತ್ತಿಲ್ಲ ಎಂದರ್ಥ. ಅಲ್ಲಿಗೆ +  ಅಕ್ಷರವನ್ನು ನಿಷೇಧಸೂಚಕವನ್ನಾಗಿ ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆಂದಾಯಿತು. ಸೂತ್ರಕಲನ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ x ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರವಾಗಿದ್ದರೂ ವಾಕ್ಯರಚನಾ ಮೀಮಾಂಸೆಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಅದರ ನಿಷೇಧರೂಪ [ + x ] ಅನ್ನು ವ್ಯುತ್ಪಾದಿಸಬಹುದೆಂಬುದೇನೋ ಸುಸ್ಪಷ್ಟ. ಆದರೆ ಅರ್ಥಮೀಮಾಂಸೆಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ x ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾದಾಗಲೆಲ್ಲ [ + x ] ಕೂಡ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗುತ್ತದೆಯೇ ಎಂಬ  ಮಹತ್ವಪೂರ್ಣ ಪ್ರಶ್ನೆ ಹುಟ್ಟುತ್ತದೆ. ಜನರ ಸಾಮಾನ್ಯಾನುಭವಗಳ ಆಯಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ [ + x ]ನ ಅರ್ಥಸ್ಪಷ್ಟತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಶಯ ಮನೋಭಾವ ತಾಳುವುದಕ್ಕೆ ಪ್ರಬಲ ಕಾರಣಗಳೇನೂ ಕಂಡುಬರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಅನುಭವಗಳ ವಿಶಾಲ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯೊಳಗಡೆ [ + x ] ರಚನೆಯ ಅವಿಮರ್ಶಾತ್ಮಕ ಬಳಕೆ ಅರ್ಥಹೀನವಾಗಬಹುದೆಂಬ ಟೀಕೆ ಎಲ್.ಇ.ಜೆ. ಬ್ರವರ್ (1881-1966) ಸಂಸ್ಥಾಪಿಸಿದ ಇಂಟ್ಯುಇಷಸûಮ್ ತಾತ್ತ್ವಿಕ ಪಂಥದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಯ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಗಳಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ. ನಿಜಕ್ಕೂ ಭಾಷೆಗಳು ವಾಕ್ಯರಚನಾಮೀಮಾಂಸೆಯ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಗಳಿಸಬಲ್ಲ ಪರಿಪೂರ್ಣ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮೀಮಾಂಸೆಯ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲೂ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಬಹುದೆಂದು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುವುದು ಸಲ್ಲದ ಮುಗ್ಧತೆಯಾದೀತು. ಆದ್ದರಿಂದ ಸೂತ್ರಕಲನಭಾಷೆಗೆ ಅರ್ಥಾರೋಪಣೆ ಮಾಡುವ ನಮ್ಮ ಪ್ರಸಕ್ತಪ್ರಯತ್ನ ಅನುಭವಗಳ ಎಲ್ಲ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲೂ ಏಕರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗುವುದೆಂದು ಆಶಿಸುವುದು ತಪ್ಪು.

ಕೊನೆಯದಾಗಿ ಅರ್ಥಾರೋಪಣೆಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಅದ್ಯುಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಸಲ್ಲಬೇಕಾದ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಈಗ ಗುರುತಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಯಾವ ವಿಚಾರಸರಣಿಯಾದರೂ ಮಾನ್ಯವೆಂದು ಅಂಗೀಕರಿಸಲಾಗಿರುವ ಕೆಲವಷ್ಟು ಮೂಲಭೂತ ಆಧಾರಭಾವನೆಗಳಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಬೇಕೆಂದು ಸುಸ್ಪಷ್ಟ. ಅದ್ಯುಕ್ತಿಗಳು ಇಂಥ ಆಧಾರಭಾವನೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ಸಾಧನೆಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿದಾಗ ಸೂತ್ರಕಲನಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅದ್ಯುಕ್ತಿಯೂ ಅದೇ ಸ್ವತಃ ಒಂದು ಸಾಧನೆಯಾಗುತ್ತದೆಂದೂ ಅಲ್ಲದೆ ಯಾವುದೇ ಸಾಧನೆ ನಮಗಿಚ್ಛೆಬಂದ ಯಾವುದೇ ಅದ್ಯುಕ್ತಿಯನ್ನು ಬೇಕಾದರೂ ಖಿ ಅಕ್ಷರದೊಡನೆ ಲಗತ್ತಿಸಿ ಹೊಸಸಾಧನೆಯೊಂದನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದೆಂದೂ ತಿಳಿದುಬರುತ್ತದಷ್ಟೆ. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಅದ್ಯುಕ್ತಿಗಳ ಅಂಗೀಕೃತ ನಿತ್ಯಮಾನ್ಯತೆಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತವೆ. ಇಷ್ಟಾದರೂ ಸೂತ್ರಕಲನಭಾಷೆಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ [ 29], [30], [31] ಎಂಬ ಮೂರು ಮಾದರಿಗಳ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನೇ ಅದ್ಯುಕ್ತಿಗಳಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿರುವುದಕ್ಕೆ ಕಾರಣವೇನೆಂದು ಪ್ರಶ್ನಿಸುವುದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವೇ.  (x ಆಗಿದ್ದರೆ ಥಿ ಆಗಿರಬೇಕು) ಹಾಗೂ [ + x ]  (x) ಆಗಿಲ್ಲ) ಎಂಬಂಥ ವಾಕ್ಯರಚನೆಗಳೂ ಅವುಗಳ ವಿಧವಿಧ ಸಂಯೋಜನೆಗಳೂ ಸಾಮಾನ್ಯಾನುಭವಗಳ ಬೆಳಕಿನಲ್ಲಿ ಯಾವ ಯಾವ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಬೇಕೆಂದು ನಾವು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದೋ ಅಂಥವೆಲ್ಲ ಈ [29], [30], [31] ಮಾದರಿಗಳಿಂದ ಫಲಿಸುತ್ತವೆಂಬುದೇ ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರ. ಈ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾದ ಒಂದು ನಿದರ್ಶನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಾದರೆ ಸಾಧನೆಯೊಂದರಿಂದ  x ಎಂಬ ಪ್ರಮೇಯ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯಾದಲ್ಲಿ ಬೇರಾವ ಸಾಧನೆಯಿಂದಲೂ [ + x ] ಸೂತ್ರ ಇನ್ನೊಂದು ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಬಾರದೆಂದು ನಾವು ಆಶಿಸುತ್ತೇವಷ್ಟೆ. ಹಾಗೇನಾದರೂ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾದಲ್ಲಿ ನಮ್ಮ ಭಾಷೆ ಅಸಂಗತವಾದುದೆಂದು (ಕಾಂಟ್ರಡಿಕ್ಟರಿ, ಇನ್‍ಕನ್ಸಿಸ್ಟೆಂಟ್) ಹೇಳಬೇಕಾಗುವುದು. [28]. [29], [30] ಮಾದರಿಯ ಅದ್ಯುಕ್ತಿಗಳ ಆಯ್ಕೆಗೆ ಈ ಆಸೆಯನ್ನು ಈಡೇರಿಸಿಕೊಡುವ ಸಲ್ಲಕ್ಷಣವಿದೆ. ಅಂದಮೇಲೆ ನಮ್ಮ ಸೂತ್ರಕಲನ ಭಾಷೆ ಒಂದು ಸುಸಂಗತ (ಕನ್ಸಿಸ್ಟೆಂಟ್) ಭಾಷೆಯಾಯಿತು.

ಇಷ್ಟೆಲ್ಲ ಆದರೂ ಸೂತ್ರಕಲನ ಭಾಷೆಯ ಸಾಮಥ್ರ್ಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ವಿಚಾರಸರಣಿಗಳ ಎಲ್ಲ ಆಯಾಮಗಳನ್ನೂ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವಷ್ಟಿಲ್ಲ. ಈ ಕೊರತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಸಲುವಾಗಿ ಗಣಿತತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಸೂತ್ರಕಲನ ಭಾಷೆಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ ಆಖ್ಯಾತ ಕಲನಭಾಷೆ (ಪ್ರೆಡಿಕೇಟ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್) ಎಂಬ ಇನ್ನೊಂದು ಭಾಷೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಈ ವಿಸ್ತøತ ಭಾಷೆಯಲ್ಲೂ ವಾಕ್ಯರಚನಾ ಮೀಮಾಂಸೆಗೆ ಪ್ರಥಮ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯ ಸಲ್ಲುತ್ತದೆ. ಆಖ್ಯಾತ ಕಲನ ಭಾಷೆಯ ರಚನೆಗೆ ಸ್ಥಿರವಾಚಕ ಮತ್ತು ಚರವಾಚಕಗಳ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವಿಂಗಡಣೆ ಅತ್ಯಗತ್ಯ. ಇದರಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಸೂತ್ರಕಲನ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿರುವುದಕ್ಕಿಂತ ಸ್ವಲ್ಪ ಮಟ್ಟಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರಗಳ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ ಹಿಂದೆ ನಮೂದಿಸಿದ ಎರಡು ಕಲನ ನಿಯಮಗಳ ಜೊತೆಗೆ ಇನ್ನೊಂದು ಮೂರನೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಸಹ ನಾವು ಅಂಗೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ.   xಎಂಬುದು ಒಂದು ಚರವಾಚಕವೂ  ಥಿ ಎಂಬುದು ಒಂದು ಸೂತ್ರವೂ ಆದಲ್ಲಿ [ ] ಎಂಬುದನ್ನು ಸಹ ಮತ್ತೆ ಒಂದು ಸೂತ್ರವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸತಕ್ಕದ್ದು.   ಅಕ್ಷರವನ್ನು ವಿಶ್ವವಾಚಕ (ಯೂನಿವರ್ಸಲ್ ಕ್ವಾಂಟಿಫಯರ್ಸ್) ಎಂದು ಕರೆಯುವ ರೂಢಿಯಿದೆ. ಈ ಹೊಸ ವಿಯಮದ ಫಲವಾಗಿ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಬರುವ ಕೆಲವು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ನಮೂದಿಸಿದ್ದೇವೆ.

                                        .....   [38]

                                        .....   [39]

                          .....   [40]

                   .....   [41]

 x ಚರವಾಚಕವೂ  ಥಿ ಸೂತ್ರವೂ ಆದಾಗ [] ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಗೋಚರಿಸಬಹುದಾದ   x ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸ್ಥಾನವನ್ನೂ ಒಂದು ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಸ್ಥಾನವೆಂದು (ಬೌಂಡ್ ಆಕರೆನ್ಸ್) ವರ್ಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ [38], [39], ಹಾಗೂ [40] ರಲ್ಲಿ ಗೋಚರಿಸುವ  ಖI  ಗಳೆಲ್ಲವೂ ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿವೆ; ಆದರೆ [41]ರಲ್ಲಿ   ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡಗಡೆಯಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಖI ಗಳೂ ಆ ಚಿಹ್ನೆಯ ಬಲಗಡೆಯಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಖII ಗಳೂ ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿವೆ. [41]ರಲ್ಲಿ    ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡಪಾಶ್ರ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಖII ಆಗಲಿ ಆ ಚಿಹ್ನೆಯ ಬಲ ಪಾಶ್ರ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಖI ಆಗಲಿ ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿಲ್ಲವೆಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ನಿರ್ಬಂಧಿತವಲ್ಲದ ಚರವಾಚಕ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರ ಸ್ಥಾನಗಳು (ಫ್ರೀ ಅಕರೆನ್ಸಸ್) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಕನಿಷ್ಠಪಕ್ಷ ಒಂದು ಚರವಾಚಕವನ್ನಾದರೂ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಳ್ಳುವ ಸೂತ್ರಗಳಿಗೆ ಆಖ್ಯಾತಗಳು (ಪ್ರೆಡಿಕೇಟ್ಸ್) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಆಖ್ಯಾತ ಕಲನ ಭಾಷೆ ಸೂತ್ರಗಳ ಪೈಕಿ ಆಖ್ಯಾತಗಳಿಗಿರುವ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ರಚಿಸಿದ ಭೇಷೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು.

ಆಖ್ಯಾತ ಕಲನ ಭಾಷೆಯ ರಚನೆಯನ್ನು ಮುಂದುವಸುವುದಕ್ಕಾಗಿ ಆದ್ಯುಕ್ತಿ ಮಾದರಿಗಳ ವರ್ಗವನ್ನು ಸಹ ಈಗ ವಿಸ್ತರಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.  x ಎಂಬುದು ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಚರವಾಚಕವೂ  u ಎಂಬುದು  x  ನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರ ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಳ್ಳದೆ ಇರುವ ಒಂದು ಸೂತ್ರವೂ v  ಎಂಬುದು ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಸೂತ್ರವೂ ಆಗಿರಲಿ. ಇಂಥ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ

                         .....   [42]

 ಎಂಬ ಮಾದರಿಯ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಆಖ್ಯಾತಕಲನಭಾಷೆಯ ಆದ್ಯುಕ್ತಿಗಳೆಂದು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಪುನಃ x ಒಂದು ಚರವಾಚಕ ಅಥವಾ ಸ್ಥಿರವಾಚಕ, ಥಿ ಒಂದು ಚರವಾಚಕ ಮತ್ತು v ಒಂದು ಸೂತ್ರ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ. ಅಲ್ಲದೆ [] ಮಾದರಿಯ ಯಾವುದಾದರೂ ಸೂತ್ರಗಳು vಯ ಭಾಗಗಳಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ ಅಂಥ ಯಾವ ಸೂತ್ರವೂ ಥಿ ಯನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಳ್ಳದಿರಲಿ. v ಯಲ್ಲಿ ಇರಬಹುದಾದ ಥಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸ್ವತಂತ್ರ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲೂ ಥಿ ಗೆ ಬದಲು xನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ ಫಲಿಸುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ. ಇಂಥ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಆಖ್ಯಾತಕಲನ ಭಾಷೆಯ

                 .....   [43]

ಎಂಬ ಮಾದರಿಯ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನೂ ಆದ್ಯೂಕ್ತಿಗಳೆಂದು ಅಂಗೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅಲ್ಲದೆ ಈ [42], [43] ನಮೂನೆಗಳ ಜೊತೆಗೆ ಹಿಂದೆ ನಮೂದಿಸಿರುವ [29], [30], [31] ನಮೂನೆಗಳನ್ನು ಕೂಡ ಎಂದಿನಂತೆಯೇ ಆದ್ಯುಕ್ತಿ ಮಾದರಿಗಳೆಂದು ಈಗಲೂ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅದ್ಯುಕ್ತಿಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಹೀಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದ ತರುವಾಯ ಸಾಧನೆಗಳ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗಾಗಿ ಹಿಂದೆ ನಿರೂಪಿಸಿದ ಮೂರು ನಿಯಮಗಳೊಂದಿಗೆ ಇನ್ನೂ ಒಂದು ನಿಯಮವನ್ನು ಈಗ ಹೊಸದಾಗಿ ಸೇರಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ : x ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಚರವಾಚಕವೂ ಥಿ ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಸೂತ್ರವೂ z ಎಂಬುದು ಥಿಖಿ ಅಥವಾ ಖಿಥಿ ಅಕ್ಷರಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳುವ ಒಂದು ಸಾಧನೆಯೂ ಆದ ಪಕ್ಷದಲ್ಲಿ  ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಸಹ ಮತ್ತೆ ಒಂದು ಸಾಧನೆಯೆಂದು ಅಂಗೀಕರಿಸತಕ್ಕದ್ದು. ಈ ಕಲನನಿಯಮಕ್ಕೆ ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಣ ನಿಯಮ (ಜನರಲೈಸೇóಷನ್) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಪ್ರಮೇಯಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಯಾವ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನೂ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ ಸೂತ್ರ, ಅದ್ಯುಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಸಾಧನೆ ಇವುಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿವರ್ಧನೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿಯೇ ಅಖ್ಯಾತ ಕಲನಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿ ಕೂಡ ಸೂತ್ರಕಲನ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿರುವುದಕ್ಕಿಂತ ಅಗಾಧವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಲೇಬೇಕೆಂಬುದು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸತಕ್ಕ ಸಂಗತಿ.

ಈಗ ಕೇವಲ ವಾಕ್ಯರಚನಾ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ನಾವು ಸೃಷ್ಟಿಸಿರುವ ಆಖ್ಯಾತಕಲನಭಾಷೆಗೆ ಯಾವರೀತಿಯ ಅರ್ಥಾರೋಪ ಸಲ್ಲಬಹುದೆಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ ಈ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಚಕ ಮತ್ತು ಚರವಾಚಕಗಳಿಗೆ ಭೇದ ಕಲ್ಪಿಸಿರುವ ಉದ್ದೇಶವನ್ನು ಗ್ರಹಿಸೋಣ. ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು (ಅಥವಾ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು) ಕುರಿತ ಹೆಸರುಗಳಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾಚಕಗಳನ್ನೂ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುವಂಥ ಹೆಸರುಗಳಾಗಿ ಚರವಾಚಕಗಳನ್ನೂ ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಭೂಮಿ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಇದು ಎಲ್ಲೇ ಲಿಖಿತವಾಗಿರಲಿ ನಾವೆಲ್ಲ ವಾಸಿಸುತ್ತಿರುವ ಏಕೈಕ ಗ್ರಹವನ್ನೇ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಗ್ರಹ ಎಂಬ ಪದ ಭೂಮಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಬಹುದು. ಇಲ್ಲವೆ ಮಂಗಳಗ್ರಹವನ್ನು ಸೂಚಿಸಬಹುದು. ಇಲ್ಲವೆ ಮತ್ತೆ ಯಾವುದಾದರೂ ಗ್ರಹವನ್ನು ಸೂಚಿಸಬಹುದು. "ಭೂಮಿ" ಸ್ಥಿರವಾಚಕಕ್ಕೆ ಸದೃಶ, "ಗ್ರಹ" ಚರವಾಚಕಕ್ಕೆ ಸದೃಶ. ಆದರೆ ಈ ಪದಗಳು ಆಖ್ಯಾತಕಲನ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ ಆ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ "ಭೂಮಿ" ಗೆ ಬದಲಾಗಿ ಕಿI*I*III ಎಂದೋ "ಗ್ರಹಕ್ಕೆ" ಬದಲಾಗಿ ಖI*II*III ಎಂದೋ ಮಂಗಳ ಗ್ರಹಕ್ಕೆ ಕಿI*I*III ಎಂದೋ ಬರೆಯಬಹುದು. ಆಗ ಖI*II*III ಒಮ್ಮೆ ಕಿI*I*II ನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ ಇನ್ನೊಮ್ಮೆ ಕಿI*I*IIIನ್ನು ಸೂಚಿಸಬಹುದಷ್ಟೆ ; ಕಿI*I*II, ಕಿI*I*III ಮುಂತಾದುವನ್ನು ಖI*II*III ನ ವಿವಿಧ ಮೌಲ್ಯಗಳೆಂದು (ವೇಲ್ಯೂಸ್) ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಕನ್ನಡ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ "ಗ್ರಹ" ಎಂಬುದನ್ನು ಕುರಿತಂತೆ "ಭೂಮಿ", "ಮಂಗಳ" ಮುಂತಾದ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅಂಗೀಕಾರಾರ್ಹವೂ "ಕಾಗೆ", "ನಾಯಿ" ಮುಂತಾದ ಇನ್ನು ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳು ವರ್ಜ್ಯವೂ ಆಗುತ್ತವೆ. ಇದರಿಂದ "ಗ್ರಹ" ಪದದ ಚರವಾಚಕ ಮೊಟಕುಗೊಂಡು ಅನೇಕ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಅದು ಸ್ಥಿರ ವಾಚಕದ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಗಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅಖ್ಯಾತ ಕಲನ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಾದರೋ ಇಂಥ ಸಂದಿಗ್ಧತೆಗಳಿಗೆ ಎಡೆಯೇ ಇಲ್ಲ ; ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಚರವಾಚಕಕ್ಕೂ ಸಕಲ ಸ್ಥಿರವಾಚಕಗಳೂ ಅಂಗೀಕಾರಾರ್ಹ ಮೌಲ್ಯಗಳು. ಈಗ  ರಚನೆಗೆ "ಚರವಾಚಕ x ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರವಾಚಕವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಿ, ಥಿ ಎಂಬುದು ಆಗಿಯೇ ಆಗುತ್ತದೆ" ಎಂಬ ಅರ್ಥವನ್ನು ಆರೋಪಿಸಬಹುದು. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನಿದರ್ಶಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ ಆಖ್ಯಾತಕಲನಭಾಷೆಯ ಸಂಕೇತಗಳಲ್ಲಿ "ಖI ಒಂದು ಗ್ರಹ" ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆ SI*I*IಖI ಎಂಬುದಾಗಿಯೂ "ಖI ಸೂರ್ಯನ ಸುತ್ತ ಪರಿಭ್ರಮಿಸುತ್ತದೆ " ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆ SI*I*IಕಿI*I*IಖI ಎಂಬುದಾಗಿಯೂ ತರ್ಜುಮೆಯಾಗಿತ್ತವೆಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಆಗ "ಖI ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರವಾಚಕವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದಾಗ್ಯೂ ಖI ಒಂದು ಗ್ರಹವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಸೂರ್ಯನ ಸುತ್ತ ಪರಿಭ್ರಮಿಸುತ್ತದೆ" (ಅರ್ಥಾತ್ "ಎಲ್ಲ ಗ್ರಹಗಳೂ ಸೂರ್ಯನ ಸುತ್ತ ಪರಿಭ್ರಮಿಸುತ್ತವೆ") ಎಂಬ ಅಭಿಪ್ರಾಯವನ್ನು ಆಖ್ಯಾತಕಲನಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಸೂತ್ರ ಇಂತಿರುವುದು :

  

ಇಂಥ ಅರ್ಥಾರೋಪಣೆಗಳ ಚೌಕಟ್ಟಿಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾದ ಮಟ್ಟಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಈ ಭಾಷೆಯ ಅದ್ಯುಕ್ತಿಗಳನ್ನೂ ಸಾಧನೆಯ ನಿಯಮವನ್ನೂ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ. ಸೂತ್ರಕಲನಭಾಷೆಯಂತೆ ಆಖ್ಯಾತ ಕಲನ ಭಾಷೆಯೂ ಒಂದು ಸುಸಂಗತ ಭಾಷೆಯೆಂದು ಶ್ರುತಪಡಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ಇಂಥ ಸಾಧನೆಗಳಲ್ಲಿ, ಯಾವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸುಸಾಂಗತ್ಯವನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಬೇಕೋ ಅದರ ಉಪಕರಣಗಳನ್ನೇ ಬಳಸಿಕೊಂಡಿರುವುದರಿಂದ, ಇವು ಎಷ್ಟರ ಮಟ್ಟಿಗೆ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹವೆಂಬುದು ತೆರೆದ ಪ್ರಶ್ನೆ.

ಸೂತ್ರಕಲನಭಾಷೆಗೂ ಆಖ್ಯಾತಕಲನ ಭಾಷೆಗೂ ಇರುವ ಮುಖ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೊಂದನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತೇವೆ. ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಅಕ್ಷರ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು (ವಾಕ್ಯ) ಕೊಟ್ಟರೆ ಅದು ಸ್ಥಿರವಾಚಕ ಹೌದೋ ಅಲ್ಲವೋ, ಚರವಾಚಕ ಹೌದೋ ಅಲ್ಲವೋ, ಸಂಬಂಧವಾಚಕ ಹೌದೋ ಅಲ್ಲವೋ, ಸೂತ್ರಮೂಲ ಹೌದೋ ಅಲ್ಲವೋ, ಸೂತ್ರ ಹೌದೋ ಅಲ್ಲವೋ, ಅದ್ಯುಕ್ತಿ ಹೌದೋ ಅಲ್ಲವೋ, ಸಾಧನೆ ಹೌದೋ ಅಲ್ಲವೋ ಎಂಬ ಏಳು ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಇವೆರಡು ಭಾಷೆಗಳಲ್ಲೂ ಕೇವಲ ಯಾಂತ್ರಿಕವಾದ ಆಲ್ಗಾರಿತಂ ಆಧಾರಿತ ಮಾರ್ಗಗಳಲ್ಲೇ ಇತ್ಯರ್ಥಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದು. ಸೂತ್ರ ಕಲನಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಹೆಜ್ಜೆ ಮುಂದುವರಿದು ದತ್ತವಾಕ್ಯ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯವೋ ಅಲ್ಲವೋ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಕೂಡ ಸೂತ್ರ ಆಲ್ಗಾರಿತಂ ಮೂಲಕ ಇತ್ಯರ್ಥಪಡಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ಆಖ್ಯಾತಕಲನಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಕೊನೆಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ಹುಡುಕಿಕೊಡುವಂಥ ಯಾವ ಆಲ್ಗಾರಿತಂನ್ನೂ ನಿಯೋಜಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲವೆಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ (ಎ.ಚರ್ಚ್, 1936). ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರಕಲನಭಾಷೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಣೀಯ (ಡಿಸೈಡೆಬಲ್) ಭಾಷೆ ಎಂದೂ ಆಖ್ಯಾತಕಲನಭಾಷೆಯನ್ನು ಅನಿರ್ಧರಣೀಯ (ಅನ್‍ಡಿಸೈಡೆಬಲ್) ಭಾಷೆ ಎಂದೂ ವರ್ಣಿಸುವ ವಾಡಿಕೆಯಿದೆ. ಆಖ್ಯಾತಕಲನಭಾಷೆಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳಿರಬಹುದೆಂದು ಶಂಕಿಸಲಾದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನಾಗಲೀ ಅವುಗಳ ನಿಷೇಧರೂಪಗಳನ್ನಾಗಲಿ ಕುರಿತು ಸಾಧನೆಗಳನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಲು ಬುದ್ಧಿವಂತಿಕೆ ಅಗತ್ಯವೆಂದಾಯಿತು.

ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿರುವ ಆಖ್ಯಾತಕಲನಭಾಷೆಯ ಪೂರ್ಣ ಹೆಸರು ಪ್ರಥಮದರ್ಜೆಯ ಶುದ್ಧ ಆಖ್ಯಾತಕಲನಭಾಷೆ (ಪ್ಯೂರ್ ಪ್ರೆಡಿಕೇಟ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಆಫ್ ಫಸ್ಟ್ ಆರ್ಡರ್ ; ಪ್ಯೂರ್ ಲೋವರ್ ಪ್ರೆಡಿಕೇಟ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್) ಎಂದಿದೆ. ದ್ವಿತೀಯ ವರ್ಗದ ಶುದ್ಧ ಆಖ್ಯಾತಕಲನಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಬಂಧವಾಚಕಗಳನ್ನು ಸಹ ಸ್ಥಿರ ಸಂಬಂಧವಾಚಕ ಮತ್ತು ಚರಸಂಬಂಧವಾಚಕಗಳೆಂಬ ಎರಡು ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಿ ಸೂತ್ರಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗುವುದು. ಅನ್ವಯ ಆಖ್ಯಾತಕಲನಭಾಷೆಗಳಲ್ಲಿ (ಅಪ್ಲೈಡ್ ಪ್ರೆಡಿಕೇಟ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್) ಕೆಲವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸ್ಥಿರವಾಚಕಗಳನ್ನೂ ಸಂಬಂಧವಾಚಕಗಳನ್ನೂ ಮೊದಲಲ್ಲೇ ಹೆಸರಿಸಿ ಅವನ್ನೂ ಕುರಿತಂತೆ ಇನ್ನಷ್ಟು ಅದ್ಯುಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಅಂಗೀಕರಿಸಲಾಗುವುದು. ಅನ್ವಯ ಕಲನ ಭಾಷೆಗಳಿಗೆ ಸಿದ್ದಾಂತಗಳೆಂಬ (ಥಿಯೊರೀಸ್) ನಾಮಕರಣ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿದೆ. ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳೆಲ್ಲವೂ ಅವುಗಳಷ್ಟಕ್ಕೇ ಅವೇ ಸುಸಂಗತವಾಗಿ ನಿಲ್ಲುತ್ತವೆಂದು ಭ್ರಮಿಸಲಾಗದು. ಕೊನೆಯದಾಗಿ ತರ್ಕವಿಧಿಗಳಿಗೂ ವ್ಯಾಕರಣವಿಧಿಗಳಿಗೂ ಇರುವ ಸಾದೃಶ್ಯವನ್ನು ಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಗಮನಿಸಿದರೆ ಇವುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ವಿಚಾರಪರ ದೃಷ್ಟಿಕೋನ ಬೆಳೆಯಲು ಅನುಕೂಲವಾಗುವುದು. ಒಂದು ಭಾಷೆಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯೇ ಅದರ ವ್ಯಾಕರಣವಾಗುವ ಕಾರಣ ಭಾಷೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವ ವ್ಯಾಕರಣದ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕಿಂತ ಪೂರ್ವಭಾವಿ, ಎಂತಲೆ ಜನರಾಡುವ ಜೀವಂತ ಭಾಷೆಯೊಂದನ್ನು ಸ್ಥಿವಾಗಿ ಒಂದೇ ವ್ಯಾಕರಣಕ್ಕೆ ಅಧೀನವಾಗಿರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಅಂತೆಯೇ ಜನರ ಜೀವಂತ ವಿಚಾರ ಪ್ರವೃತ್ತಿಗಳು ಅವರ ಅನುಭವಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸುತ್ತವೆಯೇ ಹೊರತು ಸ್ಥಿರೀಕೃತ ತರ್ಕವಿಧಿಗಳನ್ನಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ತರ್ಕ ಆ ವಿಚಾರ ಪ್ರವೃತ್ತಗಳ ಸ್ಫುಟ ಚಿತ್ರಣವಾಗಬಹುದೇ ವಿನಾ ಅವುಗಳ ನಿರ್ಣಾಯಕವಲ್ಲ. ನಮ್ಮ ವಿಚಾರಪರತೆ ಹಿಡಿದು ಸಾಗುವ ಜಾಡಿನ ಸಾಧಕ ಬಾಧಕಗಳನ್ನೂ ಪರಿಮಿತಿಗಳನ್ನೂ ಗುರುತಿಸುವಲ್ಲಿ ಇಂಥ ಚಿತ್ರಣದ ಉಪಯುಕ್ತತೆ ಸಂದೇಹಾತೀತ. ಸೂತ್ರತರ್ಕಭಾಷೆ, ಆಖ್ಯಾತ ತರ್ಕಭಾಷೆ ಮುಂತಾದ ತರ್ಕವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಿಂದ ಇದಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲದೆ ಇನ್ನೂ ಹಲವಾರು ರೀತಿಗಳಲ್ಲಿ ತಾಂತ್ರಿಕ ಲಾಭವಾಗಬಹುದು. ಆದರೆ ಸರಿಯಾಗಿ ಆಲೋಚನೆ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಕಲಿಯಲು ತರ್ಕವನ್ನು ಅಭ್ಯಸಿಸಬೇಕೆಂಬ ಜನಪ್ರಿಯ ಭ್ರಾಂತಿ ಹಾಸ್ಯಾಸ್ಪದ. 

(ಎಸ್.ಆರ್.ಎಂ.)

 

ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ