ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ/ಕೆ - ಸಿದ್ಧಾಂತ
ಮೂಲದೊಡನೆ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ

ಕೆ - ಸಿದ್ಧಾಂತ

ಕೆ-ಫಂಕ್ಟರನ್ನು ಕುರಿತ ಸಿದ್ಧಾಂತ (ಞ-ಥಿಯೊರಿ).  ಭೌತ ಮತ್ತು ಇತರ ವಿಜ್ಞಾನಗಳು ಬೆಳೆದಂತೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಬಹುಮುಖವಾದ ವಿಸ್ತøತ ಬೆಳವಣಿಗೆ ಅನಿವಾರ್ಯವಾಯಿತು.  ಹಾಗಾಗಿ ಇದರಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಶಾಖೆಗಳು ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡವು.  ಬೀಜಗಣಿತ, ಜ್ಯಾಮಿತಿ, ಅನುಕಲನಜ್ಯಾಮಿತಿ, ಅವಕಲನ ಜ್ಯಾಮಿತಿ, ಪರಿಕರ್ಮಿಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ (ಥಿಯೊರಿ ಆಫ್ ಆಪರೇಟರ್ಸ್) ಮುಂತಾದವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು.  ಈ ಎಲ್ಲ ಶಾಖೆಗಳ ಸುಸ್ಪಷ್ಟ ಜ್ಞಾನ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞನಿಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದರೂ ಅವುಗಳ ವೈಪುಲ್ಯ ಮತ್ತು ವೈಶಾಲ್ಯ ಇಂಥ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಗಳಿಸಲು ತೊಡಕನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಿದುವಲ್ಲದೆ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕಿರುವ ಸಂಬಂಧವೂ ತಿಳಿಯದಂತಾಗತೊಡಗಿತು.  ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನೆಲ್ಲ ಸೂತ್ರೀಕರಿಸಿ ಅವೆಲ್ಲವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಧರ್ಮಗಳ ಪರಿಚಯವನ್ನು ಏಕತ್ರ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಪ್ರಯತ್ನ ನಡೆಯಿತು.  ಇದರ ಫಲವೇ ಐಲೆನ್ ಬರ್ಗ್ ಮತ್ತು ಮೆಕ್ಲೇನರ ಕ್ಯಾಟಿಗೊರಿಗಳು ಮತ್ತು ಫಂಕ್ಟರುಗಳನ್ನು (ನೋಡಿ) ಕುರಿತ ಸಿದ್ಧಾಂತ.  ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಕ್ಯಾಟಿಗೊರಿಗಳೊಳಗಣ ಸಂಬಂಧವನ್ನೂ ಅವುಗಳ ಗುಣಗಳನ್ನೂ ತಿಳಿಯಲು ಫಂಕ್ಟರುಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಯಿತು.  ಹೀಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿದ ಪೈಕಿ ಞ-ಫಂಕ್ಟರ್ ಒಂದು.  ಅದರ ಸಿದ್ಧಾಂತವೇ ಞ-ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಞ-ಫಂಕ್ಟರಿನ ಸೃಷ್ಟಿ ಆಕಸ್ಮಿಕವಾದರೂ ಅದರಿಂದ ಉಂಟಾದ ಫಲಿತಾಂಶ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅತಿಮುಖ್ಯ ಅನ್ವೇಷಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು.  ಆ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಹೀಗಿವೆ.  1 ಬೋಟ್‍ನ ಆವರ್ತನಪ್ರಮೇಯ (ಪೀರಿಯಾಡಿಸಿಟಿ ಥಿಯೊರಂ); 2 ಅಟಯ-ಸಿಂಗರ್ ಇವರ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸಮಸ್ಯಗೆ ಪರಿಹಾರ; 3 ನೈಜಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲ ಭಾಜನ ಬೀಜಗಣಿತಗಳು (ಅವುಗಳ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಿಕೆ); 4 ಗೋಳದ ಮೇಲಿನ ಸದಿಶ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರ.

ಮೇಲಿನ ಹೇಳಿದ ಅನ್ವೇಷಣೆಗಳ ಸಾಧನೆಗಳು ಟೋಪಾಲೊಜಿಕಲ್ ಞ-ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲಕ ಸಾಧ್ಯ.  ಅದರ ಟೋಪಾಲೊಜಿಕಲ್ ಞ-ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನೇನೋ ಬಹಳವಾಗಿ ಉಪಯೋಗಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದರೂ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲೇ ಅದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಇತ್ತೀಚೆಗಿನವರೆಗೆ ತಿಳಿಯದಾಗಿತ್ತು.  ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಕೆಲಸಮಾಡುತ್ತಿರುವ ಹೈಮನ್ ಬಾಸ್, ಆರ್.ಜಿ. ಸ್ವಾನ್ ಮತ್ತಿತರರು ಅದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಞ-ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಹಿಂದಿನ ಒಂದು ದಶಕದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಿದರು.  ಬೀಜಗಣಿತದ ಞ-ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಭಾಗವಾಗಿ ಬಾಸ್‍ರವರ ಸ್ಥಿರ ಬೀಜಗಣಿತ (ಸ್ಟೇಬಲ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರ) ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು.  ಈ ಗಣಿತ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ (ಲೀನಿಯರ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರ) ಒಂದು ರೂಪ.

ಞ(.) ಯ ಅರ್ಥ: ಞ-ಸಿದ್ಧಾಂತ ಬಹುತೇಕ ಸದಿಶ ಬಂಧಗಳ (ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ಸ್) ಕ್ಯಾಟಿಗೊರಿಯ ಮೇಲೆ ಸ್ಥಾಪಿತವಾಗಿದೆ.  ಸದಿಶಬಂಧಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸಹಜವಾಗಿ ಬಹಳ ಕಡೆಯಲ್ಲಿ ಬರುವುದರಿಂದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಬೆಳವಣಿಗೆ ಅವನ್ನು ಹೊಂದಿಕೊಂಡಿದೆ ಎನ್ನಬಹುದು.  ಈಗ ಇಲ್ಲಿ ಸದಿಶ ಬಂಧಗಳ ಕ್ಯಾಟಿಗೊರಿ ಮತ್ತು ಫಂಕ್ಟರುಗಳನ್ನು ಕುರಿತು ಸಂಕ್ಷೇಪವಾಗಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳವುದು ಅಗತ್ಯ.  ಕ್ಯಾಟಿಗೊರಿ ಎಂದರೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಶಾಖೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ತಿಳಿಯಬಯಸುವ ಒಂದೇ ಜಾತಿಯ ವಸ್ತುಗಳ ಸಮೂಹ.  ಒಂದು ವಸ್ತು ಸಮೂಹ ಂ ಯನ್ನು ಕ್ಯಾಟಿಗೊರಿ ಎಂದು ಕರೆಯಬೇಕಾದರೆ ಅದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮಗಳಿಗೆ ಬದ್ಧವಾಗಿರಬೇಕು:

1 ಂ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಬಾರದು.
2 ಂ ಯ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ವಸ್ತು ಂ ಮತ್ತು ಃ ಗಳನ್ನು ಕೊಟ್ಟಾಗ ಅವುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ನಿಯಮ 2(ಚಿ) ಮತ್ತು 2(b) ಯನ್ನು ಪಾಲಿಸುವ ಒoಡಿ(ಂ,ಃ) ಎಂಬ ಗಣವಿರಬೇಕು.
2(ಚಿ) ಂ, ಃ, ಅ ಗಳು ಂಯ ಮೂರು ವಸ್ತುಗಳು 
ƒ: ಒoಡಿ (ಂ, ಃ) ಘಿ ಒoಡಿ (ಃ, ಅ) → ಒoಡಿ (ಂ, ಅ)
ಸಹವರ್ತನ ನಿಯಮವನ್ನು (ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವ್ ಲಾ) ಪಾಲಿಸುವ ƒ ಎಂಬ ಪರಿಕರ್ಮವಿರಬೇಕು. h∈ ಒoಡಿ (ಂ, ಃ) ಮತ್ತು ಞ∈ ಒoಡಿ (ಃ, ಅ) ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ ಜಿ(h, ಞ) ಯನ್ನು ಞoh ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.
2(b) ಂ ಮತ್ತು ಃಗಳು  ಂಯ ಎರಡು ವಸ್ತುಗಳು.   b ಯು ಒoಡಿ(ಂ,ಃ) ಯ ಮತ್ತು  ಛಿಯು ಒoಡಿ (ಃ, ಂ) ಯ ಯಾವುದಾದರೂ ಎರಡು ಧಾತುಗಳು (ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್).  ಒoಡಿ (ಂ, ಂ)ಯಲ್ಲಿ Iಂoಛಿ=ಛಿ, boIಂ=b ಆಗುವಂತೆ Iಂ ಎಂಬ ಧಾತುವಿರಬೇಕು.

ಫಂಕ್ಟರುಗಳು : ಂ ಮತ್ತು ಃ ಖಿ: ಂ→ಃಎರಡು ಕ್ಯಾಟಿಗೊರಿಗಳು.  ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಾಲಿಸುವ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನ (ಫಂಕ್ಷನ್).

1 ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಒoಡಿ (ಂ, ಃ) ಯ ಧಾತುವಿಗೆ ಖಿ ಜಿ ಎಂಬ ಒoಡಿ (ಖಿ(ಂ), ಖಿ(ಃ))  ಯ ಧಾತುವಿರಬೇಕು.  ಅಥವಾ
1 (ಚಿ)  ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಒoಡಿ (ಂ, ಃ) ಯ ಧಾತುವಿಗೆ ಖಿಜಿ ಎಂಬ ಒoಡಿ ( ಖಿ(ಃ), ಖಿ(ಂ))  ಯ ಧಾತುವಿರಬೇಕು.

2 ಖಿ(I Α)=Iಖಿ(Α) ಆಗಿರಬೇಕು.

ಈಗ ನಾವು ಈ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಸದಿಶ ಬಂಧಗಳ ಕ್ಯಾಟಿಗೊರಿ ಮತ್ತು ಏ˚-ಫಂಕ್ಟರುಗಳನ್ನು ಕುರಿತು ಹಾಗೂ ವಿಕ್ಷೇಪ ಮಾಡ್ಯೂಲುಗಳ (ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಸ್) ಕ್ಯಾಟಿಗೊರಿ ಮತ್ತು ಏ˚- ಫಂಕ್ಟರುಗಳನ್ನು ಕುರಿತು ಪ್ರಸ್ತಾವಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಸದಿಶ ಬಂಧಗಳು: ಇ ಮತ್ತು ಘಿ ಎರಡು ಟೋಪಾಲೊಜಿಕಲ್ ಸಮಷ್ಟಿಗಳು (ಸ್ಪೇಸಸ್). P : ಇ→ಘಿ ಒಂದು ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಉತ್ಪನ್ನ.  ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಸಬೇಕು :
1ಪ್ರತಿ x ∈xಗೆ P­ಸಿ(ಘಿ)= ಥಿ∈ಇ/ಠಿ(ಥಿ=x  ಗೆ ಞ- ಸದಿಶ ಸಮಷ್ಟಿಯ ರಚನೆ ಇರಬೇಕು.  (ಇಲ್ಲಿ ಞ-ಎಂಬುದು ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನೈಜ ಅಥವಾ ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರ).
2 ಪ್ರತಿ x ∈xಗೆ P­ಸಿ(U)=Uxಞⁿ ಆಗುವಂತೆ xನಲ್ಲಿ xನ U ಎಂಬ ನೆರೆ (ನೇಬರ್‍ಹುಡ್) ಇರಬೇಕು.  ಈಗ {ಇ, P, ಘಿ} ಒಂದು ಞ ಸದಿಶಬಂಧ.  ಇದರ ಘಿ ಎಂಬ ಟೊಪಾಲೊಜಿಕಲ್ ಸಮಷ್ಟಿಯನ್ನು ಮೂಲಸಮಷ್ಟಿ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಘಿ ಎಂಬ ಸಮಷ್ಟಿ ಮೂಲಸಮಷ್ಟಿಯಾಗಿರುವ ಎಲ್ಲ ಞ ಸದಿಶ ಬಂಧಗಳ ಸಮೂಹವನ್ನು ಗಿeಛಿಣ(x)  ಎಂದು ಬರೆಯೋಣ.  ಈ ಸಮೂಹ ಒಂದು ಕ್ಯಾಟಿಗೊರಿ ಆಗಬೇಕಾದರೆ  حಮತ್ತು ಟಿಎಂಬ ಎರಡು ಗಿeಛಿಣ(x)  ಸದಿಶ ಬಂಧಗಳನ್ನು ಕೊಟ್ಟಾಗ (έ,ಟಿ)  ವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಬೇಕು. (= <ಇ, ಠಿ,x>ಟಿ,=<ಇ',P,'ಘಿ> ಎಂಬವು xನ ಮೇಲಿನ ಎರಡು ಸದಿಶ ಬಂಧಗಳು. ಜಿ: ಇ→ಇ' ಎಂಬುದು ಠಿ=ಠಿ'oಜಿಆಗುವಂತೆ ಮತ್ತು ಜಿ/ಠಿ-ಸಿ(x) →ಠಿ'-ಸಿ (x)ಒಂದು ರೇಖೀಯ ಚಿತ್ರಣವಾದರೆ (ಲೀನಿಯರ್ ಮ್ಯಾಪ್) ಜಿ: ( →ಟಿವನ್ನು ಬಿಂಬನ (ಮಾರ್ಫಿಸಂ) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. (ಯಿಂದ ಟಿಕ್ಕೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲ ಬಿಂಬನಗಳ ಸಮೂಹವನ್ನು ಒoಡಿ((,ಟಿ) ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ, ಜಿ: (→ಟಿ ಪ್ರತಿಬಿಂಬನವಾಗಬೇಕಿದ್ದರೆ (ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಂ)ಜಿ ಬಿಂಬನವಾಗಿರಬೇಕು; ಮತ್ತು ಜಿoಜಿ'=Iಇ'ಮತ್ತು ಆಗುವಂತೆ ಜಿ'=ಇ→ಇ ಒಂದು ಬಿಂಬನ ಇರಬೇಕು.

ಈಗ ಗಿeeಣ (ಘಿ) ಎಂಬುದು ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದಂತೆ ಒoಡಿ (.,.)ನ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಿಂದ ಒಂದು ಕ್ಯಾಟಿಗೊರಿ ಆಗುವುದೆಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಗಿeeಣ (ಘಿ) ನಲ್ಲಿ ( ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ನಮೂದಿಸುವ ಒಂದು ದ್ವೀಪದ ಪರಿಕರ್ಮವನ್ನು ಈಗ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುತ್ತೇವೆ :

( ( ⁿ = < ಇ, ಠಿ,ಘಿ>,  ಟಿ = < ಇ' ಠಿ' ಘಿ > ಗಳು ಘಿನ ಮೇಲಿನ ಸದಿಶ ಬಂಧಗಳು.
( ( ⁿ = < ಇ, ಠಿ,ಘಿ>, ಇಲ್ಲಿ  ಈ{ = (x, ಥಿ) /x ∈ ಇ, ಥಿ ∈ ಇ' ಮತ್ತು 
           ಠಿ(x) = ಠಿ' (ಥಿ) }, ಠಿ (x, ಥಿ) =ಠಿ (x) =ಠಿ' (ಥಿ)                
ಈಗ( ( ಟಿ  ಒಂದು ಸದಿಶ ಬಂಧವೆಂಬುದನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.  ಎರಡು ಸದಿಶ ಕ್ಷೇತ್ರ ( vı,v2 ಗಳನ್ನು ಕೊಟ್ಟಾಗ vı,⊗v2 ನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಬಹುದು.  ಇದನ್ನು ಸದಿಶ ಬಂಧಗಳಿಗೂ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು.  ಈ ಪರಿಕರ್ಮದಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಹೊಸ ಸದಿಶ ಬಂಧವನ್ನು ( ⊗ ಟಿ ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಈಗ ಗಿeeಣ (ಘಿ) ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಮಾನತಾಸಂಬಂಧವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸೋಣ. (  ಮತ್ತು ಟಿಗಳು ಒಂದು ಇನ್ನೊಂದರ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಕಗಳಾದರೆ (ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್) [ಜಿ: (  →ಟಿ ಒಂದು ಪ್ರತಿಬಿಂಬನವಿದ್ದರೆ] (ಮತ್ತುಟಿ ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸಮಾನವೆಂದು ಈ ಸಂಬಂಧ.  ಇದು ಸಮಾನತಾ ಸಂಬಂಧ (ಈಕ್ವಿವಲೆನ್ಸ್ ರಿಲೇಶನ್) ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವುದು ಕಷ್ಟವಲ್ಲ.  [ ( ] ಎಂಬುದು  (ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಎಲ್ಲ ಸದಿಶ ಬಂಧಗಳ ಕೂಟ.  ಎಲ್ಲ ಸಮಾನತಾಕೂಟಗಳೂ (ಈಕ್ವಿವಲೆನ್ಸ್ ಕ್ಲಾಸಸ್) ಸೇರಿ ಒಂದು ಗಣವಾಗುತ್ತವೆ.  ಇದನ್ನು  Ќ (ಘಿ) ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ ಈ ಗಣದಲ್ಲಿ [ξ] ( [ಟಿ]=[ξ ( ಟಿ] ಎಂಬುದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಕರ್ಮ.  ಇದರಲ್ಲಿ Ќ (ಘಿ)  ಒಂದು ಗ್ರೂಪ್ ಅಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗ್ರೂಪನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಕ್ರಮದಂತೆ Ќ(ಘಿ)ನಿಂದ ಏº (ಘಿ)  ಎಂಬ ಗ್ರೂಪನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.  ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದು ಸಮಷ್ಟಿ ಘಿ ನ್ನು ಕೊಟ್ಟಾಗ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ವ್ಯತ್ಯಯ ಗ್ರೂಪನ್ನು (ಕಾಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಗ್ರೂಪ್) ಕಂಡುಹಿಡಿದೆವು.  ಈಗ ξ=[ಇ,ಠಿ,ಘಿ] ಒಂದು ಸದಿಶ ಬಂಧವಾಗಿರಲಿ.  ಙ ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಸಮಷ್ಟಿ ಜಿ : ಥಿ→x  ಒಂದು ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಉತ್ಪನ್ನ ಕೊಟ್ಟರೆ ξ ಯನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಜಿ−ಸಿ(ξ)ಎಂಬ ಙ ಮೇಲಿನ ಸದಿಶ ಬಂಧವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುತ್ತೇವೆ.:

ಜಿ−ಸಿ(ξ) = [ಈ,ಠಿ',ಙ]
ಈ= { (ಥಿ,x) / ಥಿ∈ಙ,  x∈ಙ, x ∈ ಇ ಮತ್ತು ಜಿ(ಥಿ) — ಠಿ(x) } ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಿಂದ   ಜಿ:ಙ→ಘಿ ಕೊಟ್ಟಾಗ ಜಿ*: ಏº(ಘಿ) → ಏº(ಙ) ಎಂಬ ಗ್ರೂಪುಗಳ ಒಂದು ಬಿಂಬನವನ್ನು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಬಹುದು.  ಆದ್ದರಿಂದ ಏºಒಂದು ಪಂಕ್ಚರ್ ಇದೇ ಏ-ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಫಂಕ್ಟರ್.
ಒಂದು ಸಮಷ್ಟಿ ಘಿ ಕೊಟ್ಟಾಗ ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದ ಗ್ರೂಪ್ ಏº(ಘಿ) ನ್ನು   ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಗ್ರೂಪ್ ಎಂದು ಅದನ್ನು ಮೊತ್ತಮೊದಲಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞನ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.  ಈಗ ಬೀಜಗಣಿತೀಯ ಏ-ಸಿದ್ಧಾಂತದ Ќ (ಂ)ಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸೋಣ.

ಂ ಯು ಂ ಎಂಬ ವಲಯದ (ರಿಂಗ್) ಮೇಲಿನ  ಸಾಂತ ಕೋಟಿ (ರ್ಯಾಂಕ್) ಇರುವ ವಿಕ್ಷೇಪ ಮಾಡ್ಯೂಲ್  P ಮತ್ತು ಅದರ ಸ್ವಬಿಂಬನ ಚಿ ಇವುಗಳ ಜೊತೆ (ಠಿ,ಚಿ) ಗಳ ಕ್ಯಾಟಿಗೊರಿ.  ಇದರಲ್ಲಿ ನಾವು ಒಂದು ಸಮಾನತಾ ಸಂಬಂಧ ~ ವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗೆ ಹೇಳಿದಂತೆ ಕಲ್ಪಿಸುತ್ತೇವೆ. (ಠಿ,ಚಿ) ~ (ಕಿ,್ನ)   ಆಗಬೇಕಾದರೆ  ಜಿo ಚಿ= ಜಿo ್ನ ಆಗುವಂತೆ    ಜಿ: P→ಕಿಒಂದು ಪ್ರತಿಬಿಂಬನವಾಗಬೇಕು. ~ ಈ ಸಂಬಂಧ ಸಮಾನತಾ ಸಂಬಂಧವೆಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.  ಸಮಾನತಾಕೂಟಗಳನ್ನು  S ಎಂದು ಕರೆದು Sನಿಂದ ರಚಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಮುಕ್ತಗ್ರೂಪನ್ನು ಈ ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.   ಈ ಗ್ರೂಪಿನಲ್ಲಿ
 i 
      [(ಠಿ, ಚಿ ್ನ)] [(ಠಿ, ಚಿ)] -[ಠಿ, ್ನ] ಮತ್ತು   o→(ಠಿ', ಚಿ')→(ಠಿ,ಚಿ) 
							ರಿ                   
 	i
           →(ಠಿⁿ, ಚಿⁿ)→oಸೂಕ್ತವಾಗಿದ್ದರೆ   [(ಠಿ, ಚಿ)] (ಠಿ', ಚಿ') - (ಠಿⁿ, ಚಿⁿ)
ಎಂಬಂಥ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಜನಿತವಾದ ಉಪಗ್ರೂಪ್ ಊ ಆಗಿರಲಿ.
                                                         ರಿ                    ರಿ
		0→  (ಠಿ', ಚಿ')  →  (ಠಿ, ಚಿ)  → (ಠಿⁿ, ಚಿⁿ)   →o ಸೂಕ್ತ
ಎಂದು ಬರೆದಾಗ i: ಠಿ'→ಠಿ ಒಂದು ಅನುಬಿಂಬನವೆಂದೂ ರಿ ಠಿ→ ಠಿⁿಎಂಬುದು ರಿ(ಠಿ) = ಠಿⁿ  ಆಗುವಂತೆ ಒಂದು ಬಿಂಬನವೆಂದೂ ತಿಳಿಯಬೇಕು.  ಆಗ ಈ/ಊ ಒಂದು ಗ್ರೂಪ್.  ಇದನ್ನು ಏ'(ಂ)   ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.  ಇದಕ್ಕೆ ಇದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞನ ಹೆಸರನ್ನು-ವೈಟ್‍ಹೆಡ್ ಗ್ರೂಪ್-ಇಡಲಾಗಿದೆ.  ಈ ಏ'(ಂ) ಒಂದು ವ್ಯತ್ಯಯಗ್ರೂಪ್.  ಬೀಜಗಣಿತೀಯ ಏ-ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಈ ಏ'(.) ಅತಿ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯ ಫಂಕ್ಟರ್.
ಏ-ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಾಧನೆಗಳು :  ಂ=ಈ[ಘಿı...ಘಿಟಿ], ಏ ಇಲ್ಲಿ ಈ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರ ಮತ್ತು  ಈ[ಘಿı...ಘಿಟಿ], ಘಿı...ಘಿಟಿ, ಎಂಬ ಟಿಚರಗಳಲ್ಲಿ ಈನ ಮೇಲಿನ ಬಹುಪದ ವಲಯ) ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ ಅದರ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲ ವಿಕ್ಷೇಪ ಮಾಡ್ಯೂಲುಗಳು ಮುಕ್ತವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವೆ ಎಂಬುದು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಮುಖ್ಯಪ್ರಶ್ನೆಗಳಲ್ಲೊಂದು. ಟಿ=1 ಆದಾಗ ಇದು ಸತ್ಯವೆಂದು ತಿಳಿದಿತ್ತು.  ಆದರೆ ಟಿನ ಉಳಿದ ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಯ ಉತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಲು ಸಂಶೋಧಕರ ಪ್ರಯತ್ನ ಅವಿರತವಾಗಿ ಸಾಗಿತು.  ಈ ದಿಶೆಯಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಕೆಲವು ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆ ಭಾರತದ ಟಾಟಾ ಇನ್ಸ್‍ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಆಫ್ ಫಂಡಮೆಂಟಲ್ ರಿಸರ್ಚ್ ಸಂಸ್ಥೆಯ ಗಣಿತವಿಭಾಗದ ಶೇಷಾದ್ರಿಯವರು 2-ಎಫೈನ್-ಸಮಷ್ಟಿಯ ಮೇಲಿನ ಸದಿಶಬಂಧಗಳೆಲ್ಲವೂ ಕ್ಷುದ್ರವಾಗಿವೆಯೆಂದು (ಟ್ರಿವಿಯಲ್) ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿದರು.  ಬೀಜಗಣಿತದ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಹೇಳುವುದಾದರೆ ಈ[ಘಿı, .ಘಿ2],  ರ ಮೇಲೆ ಎಲ್ಲ ವಿಕ್ಷೇಪ ಮಾಡ್ಯೂಲುಗಳೂ ಮುಕ್ತವಾಗಿವೆ ಎಂದರ್ಥ.  ಈ ದಿಶೆಯಲ್ಲಿ ಶೇಷಾದ್ರಿಯವರು ಭಾಗಶ:ವಾದರೂ ಅತ್ಯಮೂಲ್ಯ ಕೊಡುಗೆ. ಟಿನ ಇತರ ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಲು ಯಾರೂ ಸಮರ್ಥರಾಗಿಲ್ಲ.

ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಕೊಟ್ಟಾಗ ಗಣಿತ ಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞನ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಅವು ಸಮಾನವಾದುವುಗಳೇ ಅಥವಾ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿದೆಯೇ ಎಂದು ತಿಳಿಯುವುದು ಅಗತ್ಯ.  ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ ಎರಡು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಘನ ಗಾತ್ರಗಳಿರುವ ಗೋಳಗಳಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಯಾವ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೂ ಇಲ್ಲ.  ಅವುಗಳ ರಚನೆ ಒಂದೇ.  ವಸ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ರಚನಾತ್ಮಕ ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯನ್ನು ತಿಳಿಯಲೋಸುಗ ಮೊತ್ತಮೊದಲು ಅವುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೊಂದೊಂದಕ್ಕೂ ಒಂದೊಂದರಂತೆ ಗ್ರೂಪುಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಲಾಯಿತು.  ದತ್ತ ವಸ್ತು ಘಿ ಆಗಿದ್ದರೆ ಸಂಖ್ಯೆ ಟಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಗ್ರೂಪನ್ನು пಟಿ(ಘಿ) ಎಂದು ಬರೆದು ಟಿ-ಆಯಾಮಗಳ (ಟಿ-ಡೈಮೆನ್ಷನಲ್) ಹೊಮೊಟೊಪಿ ಗ್ರೂಪುಗಳೆಂದು ಕರೆದರು. ಘಿಮತ್ತು ಙಎಂಬ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ಪ್ರತಿಪೂರ್ಣಾಂಕ ಟಿಗೂ пಟಿ(ಘಿ) ≃ пಟಿ(ಙ) (≃ಪ್ರತಿಬಿಂಬಕ-ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್) ಆಗಿದ್ದರೆ ಘಿಮತ್ತು ಙಗಳು ರಚನಾತ್ಮಕ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಒಂದೇ ಆಗಿವೆ.  ಆದರೆ ಜ್ಯಾಮತೀಯ ವಸ್ತುಗಳ ಹೊಮೊಟೊಪಿ ಗ್ರೂಪುಗಳು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾಗಿಲ್ಲದಿರುವುದರಿಂದಲೂ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಅನಂತವಾಗಿರುವುದರಿಂದಲೂ ಅವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಲು ಎಷ್ಟು ಸುಲಭವಾಯಿತೋ ಅಷ್ಟೇ ಅವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕೂಡ ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು.  ಹಾಗಾಗಿ ಅವುಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಿಂದ ಯಾವ ಪ್ರಯೋಜನವೂ ಇಲ್ಲದಾದಾಗ ಕೆ-ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಹಾಯದಿಂದ ಬೋಟ್‍ರವರು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಹಳವಾಗಿ ಬರುವ ಕೆಲವು ವಸ್ತುಗಳಿಗಾದರೂ ಹೊಮೊಟೊಪಿ ಗ್ರೂಪುಗಳು ಆವರ್ತಿಸುವುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದು ತಮ್ಮ ಆವರ್ತನ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದರು.  ಮೊತ್ತ ಮೊದಲು пಟಿ(ಘಿ), ಘಿ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಸಮಷ್ಟಿ ಙಯ ಏº(ಙ)ಗೆ ಸಮವಾಗಿದೆಯೆಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿದು ಮತ್ತೆ ಏº(.)ನ ಆವರ್ತನವನ್ನು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಲಾಯಿತು.  ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಬರುವ ಬಹುಮುಖ್ಯ ವಸ್ತುಗಳ пಟಿ(ಘಿ)ನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಲು [ಖ(ನೈಜಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರ), ಅ(ಮಿಶ್ರಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರ) ಇವುಗಳ ಮೇಲಿನ ಟ್ಠಿಟಿಮಾತೃಕೆಗಳ (ಮ್ಯಾಟ್ರಿಸಸ್) ಗ್ರೂಪ್ ಮತ್ತು ಲಂಬೀಯ (ಆರ್ಥಾಗೊನಲ್) ಮಾತೃಕೆಗಳ ಉಪಗ್ರೂಪ್ oಟಿ ಮತ್ತು ಏಕಮಾನೀಯ (ಯೂನಿಟರಿ ಮಾತೃಕೆಗಳ ಉಪಗ್ರೂಪ್ Uಟಿ, ಖⁿಮತ್ತು ಅⁿಇವುಗಳ пಟಿಗಳನ್ನು ತಿಳಿದರೆ ಸಾಕೆಂದು ತಿಳಿಯಲಾಯಿತು.  ಮತ್ತು пಟಿ(ಔ) = пಟಿ+2(ಔ), пಟಿ (U) пಟಿ+8(U),  пಟಿ(Sಡಿ-ಸಿ)= пಟಿ+1(Sⁿ)=ಮತ್ತು пಟಿ(Sⁿ)=Z ಎಂದು ಏಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಬಾಟ್ ಸಾಧಿಸಿದರು.  (ಇಲ್ಲಿ ಔ=ಔಟಿ, U=Uಟಿ, Sⁿ=ಡಿ ಆಯಾಮದ ಗೋಳ, Zಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗ್ರೂಪ್).

ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಂದ ತೊಡಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತ ಹೋಗಿ ಕೊನೆಗೆ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಲಾಯಿತು.  ಆಮೇಲೆ ನೈಜಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣಕ್ಕೆ ಕ್ಷೇತ್ರ ರಚನೆಯಿದೆಯೆಂದೂ ಅದು ಒಂದು ರೀತಿಯಿಂದ ಪರಿಪೂರ್ಣವೆಂದೂ ತಿಳಿಯಿತು.  ಮುಂದೆ ಈ ನೈಜಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ವಿವಿಧ ಆಯಾಮಗಳ ಸದಿಶ ಸಮಷ್ಟಿಗಳನ್ನು (ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸಸ್) ನಿರ್ಮಿಸಲಾಯಿತು.  ಈ ಸಮಷ್ಟಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಕ್ಕಾದರೂ ಕ್ಷೇತ್ರ ರಚನೆಯನ್ನು ಕೊಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆಯೇ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು.  2-ಆಯಾಮಗಳ ಸದಿಶ ಸಮಷ್ಟಿಗೆ ವ್ಯತ್ಯಯ ಕ್ಷೇತ್ರ ರಚನೆಯಿದೆಯೆಂದು ಕಂಡು ಹಿಡಿದರು.  ಈ ಸಮಷ್ಟಿಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಂದು ಕರೆಯಲಾಯಿತು.  ಮುಂದೆ ಏ-ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಹಾಯದಿಂದ ಟಿ=1, 2, 4 ಮತ್ತು 8 ಆದಾಗ ಮಾತ್ರ ಟಿ-ಆಯಾಮಗಳ ಖ-ಸದಿಶ ಸಮಷ್ಟಿಗೆ ಕ್ಷೇತ್ರರಚನೆಯನ್ನು ಕೊಡಲು ಸಾಧ್ಯವೆಂದೂ ಟಿ=4 ಮತ್ತು 8ಆದಾಗ ಈ ಸದಿಶ ಸಮಷ್ಟಿಗಳಿಗೆ ಕೊಟ್ಟ ಕ್ಷೇತ್ರ ರಚನೆ ಗುಣನ ವ್ಯತ್ಯಯ ನಿಯಮಬದ್ಧವಾಗಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲವೆಂದೂ ಕಂಡುಕೊಂಡರು.  ಈ ಕ್ಷೇತ್ರ ರಚನೆಯಿರುವ ಸದಿಶ ಸಮಷ್ಟಿಗಳನ್ನು ಭಾಜನ ಬೀಜಗಣಿತಗಳೆಂದು (ಡಿವಿಶನ್ ಆಲ್ಜೀಬ್ರಾಸ್) ಕರೆದರು.  ಇವು ನೈಜ (ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಆಯಾಮ 1) (2) ಮಿಶ್ರಸಂಖ್ಯೆಗಳು (ಆಯಾಮ 2), (3) ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (ಆಯಾಮ 4), (4) ಕೇಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (ಆಯಾಮ8).

ಭೌತವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಬರುವ ಅವಕಲನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸುವುದು ಪ್ರೆಡ್ಹೋಲ್ಮ್ ಫಂಕ್ಟರುಗಳ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯುವುದರಿಂದ ಸಾಧ್ಯವೆಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಲಾಯಿತು.  ಪ್ರೆಡ್ಹೋಲ್ಮ್ ಫಂಕ್ಟರುಗಳ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಕುಟುಂಬದ (ಫ್ಯಾಮಿಲಿ) ಸೂಚ್ಯಂಕ ಆ ಕುಟುಂಬದ ಸೂಚೀ ಸಮಷ್ಟಿಯ (ಇಂಡೆಕ್ಸಿಂಗ್ ಸ್ಪೇಸ್) ಏº(.)ನ ಒಂದು ಧಾತು ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿದು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಬಿಡಿಸಿದ ಕೀರ್ತಿ ಆಟಯ ಮತ್ತು ಸಿಂಗರ್ ಇವರಿಗೆ ಸೇರಿದ್ದು.
ಬೀಜಗಣಿತದ ಏ-ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ಬೀಜಗಣಿತ (ಸ್ಟೇಬಲ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರ): ಬೀಜಗಣಿತದ ಒಂದು ಮುಖ್ಯಭಾಗ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ.  ಈ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಏ-ಸದಿಶ ಸಮಷ್ಟಿಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸ್ವಬಿಂಬನವನ್ನು ಕುರಿತು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ. ಏ-ಸದಿಶ ಸಮಷ್ಟಿಗಳು ಏಯ ಮೇಲಿನ ಮುಕ್ತ ಮಾಡ್ಯೂಲುಗಳು.  ಇವುಗಳ ಸ್ವಬಿಂಬನ ಒಂದೊಂದನ್ನೂ ಒಂದೊಂದು ನಿರ್ಧಾರಕ (ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್) ಅಶೂನ್ಯ ಮಾತೃಕೆಗಳಿಂದ ಗುರುತಿಸಬಹುದು.  ಆದ್ದರಿಂದ ಸರಳ ಬೀಜಗಣಿತ ಟ್ಠಿಟಿ ಮಾತೃಕೆಗಳ ಗ್ರೂಪನ್ನು ಕುರಿತಾಗಿದೆ.  ಈಗ ಕ್ಷೇತ್ರ ಏಯ ಬದಲು ಯಾವುದಾದರೂ ಏಕಯುತವಾದ (ವ್ಯತ್ಯಯ ನಿಯಮಬದ್ಧವಾಗಬೇಕಿಲ್ಲ) ವಲಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ನಮಗೆ ಸಿಗುವ ಮುಕ್ತಮಾಡ್ಯೂಲ್ (ಟಿ-ಆಯಾಮಗಳದ್ದು) ಂⁿ={(ಚಿ1, ಚಿ2, ..., ಚಿಟಿ) | ಚಿi ∈ ಂ}.  ಈ ಮಾಡ್ಯೂಲಿನ ಸ್ವಬಿಂಬನ ಕೂಡ ಟ್ಠಿಟಿ ಮಾತೃಕೆಯಿಂದ ಗುರುತಿಸಲ್ಪಡಬಹುದು.  ಈ ಟ್ಠಿಟಿ ಮಾತೃಕೆಗಳಿಗೆ ವಿಲೋಮ ಉಂಟು.  ಆದರೆ ನಾವು ಅದರ ನಿರ್ಧಾರಕವನ್ನು ಕುರಿತು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸುವಂತಿಲ್ಲ.  ಏಕೆಂದರೆ ಅದಕ್ಕೆ ಅವ್ಯತ್ಯಯ ವಲಯದಲ್ಲಿ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ.  ಈ ವಿಲೋಮ ಮಾತೃಕೆಗಳ ಗ್ರೂಪನ್ನು ಉಐಟಿ(ಂ)ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.   
  1          º      
         1
     º        1  
1

ಮಾತೃಕೆಯನ್ನು I ಎಂದು ಬರೆಯುವುದು ವಾಡಿಕೆ.  ಈ ಮಾತೃಕೆಗಳಲ್ಲಿ I+ಚಿಟeiರಿ ಒಂದು ವಿಲೋಮ ಮಾತೃಕೆ eiರಿಯು iಅಡ್ಡಸಾಲು ರಿನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಅಂಕೆ 1ಆಗಿದ್ದು ಉಳಿದ ಕಡೆ 0ಇರುವ ಮಾತೃಕೆ).  ಈ ಜಾತಿಯ ಮಾತೃಕೆಗಳು ಉಂಟು ಮಾಡುವ ಉಪಗ್ರೂಪನ್ನು  ಇಟಿ(ಂ)ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ 
      1          *      
         1
            1                        ಮತ್ತು
    º        1

      1          º      
         1
            1   
         1

ಈ ಜಾತಿಯ ಮಾತೃಕೆಗಳು  ಇಟಿ(ಂ)ಯಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ನೆನಪಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಈಗ ನಮ್ಮ ಮುಂದಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆ: ಉಐಟಿ(ಂ) ಯ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ನಿರ್ಧಾರಕವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಅದೇ ಗುಣವುಳ್ಳ ಬೇರೇನಾದರೂ ಅಂಕೆಯನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ ಎಂಬುದು.  ಅದು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ ನಮ್ಮ ಸರಳಬೀಜಗಣಿತ ವಿಸ್ತøತವಾಗಿ ಗಣಿತದ ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ.  ಬೀಜಗಣಿತದ ಕೆ-ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಬಹಳವಾಗಿ ಅದು ಸಾಧ್ಯವೆಂದು ತೋರಿಸಿಕೊಡುತ್ತವೆ.  ಈ ವಿಸ್ತøತ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಸ್ಥಿರಬೀಜಗಣಿತ ಎಂಬ ಅನ್ವರ್ಥನಾಮದಿಂದ ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಈಗ ಉ ಒಂದು ಗ್ರೂಪ್ ಇದ್ದು ಊ1, ಊ2ಗಳು ಅದರ ಉಪಗ್ರೂಪುಗಳಾದರೆ [ಊ1, ಊ2], h1h2h1¯ಸಿh2¯ಸಿ∈ ಊ1, h2 ∈ ಊ2) ಗಳಂಥ ಧಾತುಗಳಿಂದ ಉಂಟು ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಉಯ ಉಪಗ್ರೂಪು. ಉ/[ಉ,ಉ] ಅಂತೆಯೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಲ್ಪಟ್ಟು ಅದನ್ನು ವ್ಯತ್ಯಯನೀಯ ಉಪಗ್ರೂಪ್ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ.  ಇದು ಒಂದು ಅವ್ಯತ್ಯಸ್ಥ ಉಪಗ್ರೂಪಾಗಿದ್ದು ಉಒಂದು ವ್ಯತ್ಯಯ ಗ್ರೂಪಾಗಿದೆ.	
    1 ಸುಲಭವಾಗಿ ಟಿ(3, ಇಟಿ(ಂ)=[ಇಟಿ(ಂ), ಇಟಿ(ಂ)] ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.
    2 ಟಿ(1 ಆಗಿದ್ದರೆ [ಉಐಟಿ(ಂ), ಉಐಟಿ(ಂ)]ಅ((2ಟಿ(ಂ) ಆಗಿದ್ದರೆ ಎಂದು ವೈಟ್‍ಹೆಡ್‍ರವರು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿದ್ದಾರೆ.
ಈಗ m(ಟಿಆಗಿದ್ದರೆ ಉಐಟಿ(ಂ)->ಉಐm(ಂ)ಒಂದು ಅನುಬಿಂಬನವನ್ನು (ಮಾನೋಮಾರ್ಫಿಸಂ) ಚಿ→(ಚಿo/oI) ಎಂಬ ನಿಯಮದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಬಹುದು.
[ಇಲ್ಲಿ I ಎಂಬುದು m-ಟ್ಠಿ m-ಟಿ ಏಕಮಾನ ಮಾತೃಕೆ (ಯೂನಿಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್)].  ಈ ಅನುಬಿಂಬನದಿಂದಾಗಿ ಉಐಟಿ(ಂ)ಯನ್ನು ಉಐm(ಂ)ಯ ಉಪಗ್ರೂಪಾಗಿ ಗುರುತಿಸಬಹುದು.  ಹಾಗೆಯೇ ಇಟಿ(ಂ)ಯನ್ನು ಇm(ಂ)ಯ ಉಪಗ್ರೂಪಾಗಿ ತಿಳಿಯಬಹುದು.  ಆಗ ನಮಗೆ ಉಐ(ಂ) = Uಉಐm(ಂ) ಎಂಬ ಅನಂತಮಾತೃಕೆಗಳ ಗ್ರೂಪ್ ಸಿಕ್ಕುತ್ತದೆ.  ಈ ಗ್ರೂಪನ್ನು ಸ್ಥಿರ ರೇಖೀಯ ಗ್ರೂಪ್ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.  ಅಂತೆಯೇ Uಟಿಇಟಿ(ಂ)=ಇ(ಂ) ಎಂದು ಬರೆಯೋಣ. ಉಐ(ಂ)ಯ ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಮಾತೃಕೆ (ಚಿo/oI್ಹ) ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.  [ಇಲ್ಲಿ  ಚಿ,ಟಿ ನ ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಬೆಲೆಗೆ ಉಐಟಿ(ಂ)ಯ ಅಂಶವಾಗಿದೆ.]  ಈಗ ಮೇಲಿನ (1)ರಂತೆ ಟಿ≥  ಆಗಿದ್ದರೆ   ಇ(ಂ)= [ಇ(ಂ), ಇ(ಂ)] ಮತ್ತು (2) ರಂತೆ ಟಿ≥1 ಆಗಿದ್ದರೆ [ಉಐ(ಂ), ಉಐ(ಂ)] с ಇ(ಂ).  ಹಾಗಾಗಿ ಇ(ಂ)= [ಇ(ಂ), ಇ(ಂ)]с[ಉಐ(ಂ), ಉಐ(ಂ)сಇ(ಂ)] ಆದ್ದರಿಂದ ಇ(ಂ)=[ಉಐ(ಂ), ಉಐ(ಂ)]
ಮೇಲೆ ನೋಡಿದಂತೆ ಉಐ(ಂ)/ ಇ(ಂ) = ಉಐ(ಂ)/ [ಉಐ(ಂ), ಉಐ(ಂ)]
ಒಂದು ವ್ಯತ್ಯಯ ಗ್ರೂಪ್.  ಇದನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಿದರೆ ಇದೇ ನಾವು ಹಿಂದೆ ಹೇಳಿದ ಏ'(ಂ).  ಈಗ W : ಉಐ(ಂ) → ಏ1(ಂ)   ಯನ್ನು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ವಿಕ್ಷೇಪ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನಾಗಿ ಬರೆದರೆ ಈ ಉತ್ಪನ್ನ Wಗೆ ನಿರ್ಧಾರಕ ಉತ್ಪನ್ನದ ಎಲ್ಲ ಗುಣಗಳೂ ಇವೆ.  ಈ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವೈಟ್‍ಹೆಡ್ ನಿರ್ಧಾರಕ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.  ಆದರೆ ಉಐಟಿ(ಂ) ಕೊಟ್ಟಾಗ ಇಂಥ ಉತ್ಪನ್ನ ಸಾಧ್ಯವೇ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆ ದತ್ತ ಂಯನ್ನು ಹೊಂದಿಕೊಂಡು ಉಐಟಿ(ಂ) / ಇಟಿ(ಂ)≃ಏ'(ಂ)ಂಟಿ≥ಟಿ ಆಗುವಂತೆ ಒಂದು m ಪೂರ್ಣಾಂಕವಿದೆ ಎಂದು ಭಾಸ್‍ರವರು ಕಂಡು ಹಿಡಿದು ಸ್ಥಿರ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಒಂದು ಸುಸ್ಪಷ್ಟರೂಪವನ್ನು ಕೊಟ್ಟರು.
ಏಲಿಮತ್ತು ಏ'ಗಳಂತೆ ಇನ್ನೂ ಅನೇಕ ಫಂಕ್ಟರುಗಳನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಯತ್ನ ನಡೆಯುತ್ತಿದೆ.  ಮಿಲ್ನರ್‍ರವರು ಏಶಿಎಂಬ ಒಂದು ಫಂಕ್ಟರನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿದಿದ್ದಾರೆ.  ಇದರ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಹೇಳುವಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಲ್ಲವಾದರೂ ಇದರ ಉಪಯೋಗವನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಲು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಿಂದ ಪ್ರಯತ್ನ ನಡೆಯುತ್ತಿದೆ. 	
	(ಎ.ಎನ್.ಎ.ಸಿ.)

ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ