ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ/ಏಕಸಮ ಸಂಭವ ವಿತರಣೆ
ಮೂಲದೊಡನೆ ಹೋಲಿಸಿ

ಏಕಸಮ ಸಂಭವ ವಿತರಣೆ: ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸರಳ ಘಟನೆಗೂ (ಸಿಂಪಲ್ ಈವೆಂಟ್) ಒಂದೇ ಸಮನಾದ ಸಂಭವತೆಯನ್ನು (ಪ್ರಾಬೆಬಿಲಿಟಿ) ಇತ್ತರೆ ದೊರೆಯುವ ಸಂಭವತೆ ವಿತರಣೆ (ಯೂನಿಫಾರಂ ಪ್ರಾಬೆಬಿಲಿಟಿ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್). ಇದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚರದ (ರ್ಯಾಂಡಮ್ 

ವೇರಿಯಬಲ್) ಅತಿ ಸರಳ ವಿತರಣೆಗಳಲ್ಲೊಂದು. ಒಂದು ಚೀಲದಲ್ಲಿ 1,2,3...ಓ ಎಂಬ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಬರೆದಿಟ್ಟ ಓ ಚೀಟಿಗಳಿವೆ; ಒಂದು ಚೀಟಿಯನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ತೆಗೆದರೆ ದೊರೆಯುವ ಚೀಟಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಘಿ ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ. ಯಾದಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ತೆಗೆಯುವುದು 

ಎಂದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಚೀಟಿಯನ್ನು ಆರಿಸುವ ಸಂಭವತೆ ಸಮವಾಗಿರಬೇಕು. ಘಿನ ಬೆಲೆಯನ್ನು x ಎಂದೂ ಇದರ ಸಂಭವತೆಯನ್ನು  ಎಂದೂ ಸೂಚಿಸಿದರೆ ಘಿನ ಸಂಭವ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. x :    1    2    3  . . . . . . ಓ
                          P(ಘಿ=ಘಿ) :   1     1    1   . . . . . . 1
                                           ಓ    ಓ    ಓ              ಓ
ಇಲ್ಲಿ  ಎಂಬುವನ್ನು ಸರಳ ಘಟನೆಗಳು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ ಮೇಲೆ ನಮೂದಿಸಿರುವ ವಿತರಣೆಯನ್ನು 1,2,3...... ... ... ಪುರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ಏಕಸಮ ವಿತರಣೆ ಎನಿಸಲಾಗುವುದು. ಏಕಸಮ ವಿತರಣೆಯ ಸ್ತಂಭಚಿತ್ರ (ಹಿಸ್ಟೋಗ್ರಾಂ) ಆಯತದ ರೂಪದಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ 

ಇದಕ್ಕೆ ಆಯತಾಕಾರದ ವಿತರಣೆ (ರೆಕ್ಟಾಂಗ್ಯುಲರ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್) ಎಂಬ ಹೆಸರೂ ಉಂಟು.
ಮೊದಲನೆಯ ಬಹುಮಾನ 2,5 ಲಕ್ಷರೂಪಾಯಿ ಇರುವ ಒಂದು ಲಾಟರಿಯಲ್ಲಿ 10 ಲಕ್ಷ ಟಿಕೆಟ್ಟುಗಳ ಮಾರಾಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಟಿಕೆಟ್ಟಿಗೂ ಸಮಾನ ಸಂಭವತೆಯನ್ನು ಕೊಡಲಾಗುವುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಬಹುಮಾನ ಪಡೆದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಭವತೆ ವಿತರಣೆ ಏಕಸಮ 

ವಿತರಣೆಯಾಗಿರುವುದು.
ಘಿನ ಗಣಿತೀಯ ನಿರೀಕ್ಷೆ (ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕಲ್ ಎಕ್ಸ್‌ಪೆಕ್ಟೇಶನ್)
 ಮತ್ತು ಘಿ ನ ವಿಚಲನೆ  
ಇರುವುದು. ಚರ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನವಾದಾಗ (ಕಂಟಿನ್ಯೂಯಸ್) ವಿತರಣೆ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಆಯಾಕಾರ ವಿತರಣೆ (ಕಂಟಿನ್ಯೂಸ್ ರೆಕ್ಟಾಂಗ್ಯುಲರ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್) ಆಗುವುದು. ಆಗ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು.

ಅಂದರೆ  x ನ ಬೆಲೆ ಉಭಯ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲೂ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಬೌಂಡೆಡ್) ಮತ್ತು ಸಮಾಂಗವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಸಿಮೆಟ್ರಿಕಲ್). ಇದರ ಎಲ್ಲ ದರ್ಜೆಯ ಭ್ರಮಣಾಂಕಗಳಿಗೂ (ಮೊಮೆಂಟ್ಸ ಆಫ್ ಆಲ್ ಆರ್ಡರ್ಸ್) ಅಸ್ತಿತ್ವವಿದೆ. ಇದರ ಮಧ್ಯಕ (ಮೀನ್) ಸೊನ್ನೆ, ಎರಡನೆಯ 

ಭ್ರಮಣಾಂಕ ಮತ್ತು ಮಾನಕ ವಿಚಲನ (ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಡೀವಿಯೇಷನ್) (ಸಮೀಪದ ಬೆಲೆ); ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಮಾಂತರ ಗುಣಕ (ಕೊಯಿಫಿಶಂಟ್ ಆಫ್ ಮೀನ್ ಡಿಫರೆನ್ಸ್‌) ಇದು ಪಿಯರ್ಸನ್ ವಕ್ರಗಳ ಜಾತಿಗೆ ಸೇರ್ಪಡೆಯಾದುದು. ಹೇಗೆಂದರೆ ನಿಕಷ 

ಸೊನ್ನೆಯಾದಾಗ ಏಕಸಮ ವಿತರಣ ರೇಖೆ ದೊರೆಯುವುದು.
ಆಯತಾಕಾರ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಬೀಟಾ ವಿತರಣೆಯ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ರೂಪವನ್ನಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲು ಅವಕಾಶವಿದೆ. ಬೀಟಾ ವಿತರಣೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಎಂದು ನಿರೂಪಿಸಿ

ದಾಗ, ಚಿ,b ಇದರ ಪ್ರಾಚಲಗಳಾಗುತ್ತವೆ (ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ಸ್). ಈಗ ಚಿ=b=1 ಎಂದು ಆದೇಶಿಸಿದರೆ ಈ ವಿತರಣೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆ ಆಯತಾಕಾರ ವಿತರಣೆಯಾಗುವುದು.
ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ x ನ ಗಡಿಗಳನ್ನು -ಚಿ  ಮತ್ತು -ಚಿ ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದುಂಟು. ಆಗ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಉತ್ಪನ್ನ (ಫಂಕ್ಷನ್)  ಎಂದಾಗುವುದು. ಭ್ರಮಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಗಣನೆ ಮಾಡುವಲ್ಲಿ ಈ ರೂಪ ಬಹಳ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗುವುದು. ಇದರ ಭ್ರಮಣಾಂಕ ಜನಕ 

ಉತ್ಪನ್ನ (ಮೊಮೆಂಟ್ ಜನರೇಟಿಂಗ್ ಫಂಕ್ಷನ್) ಈ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ
	 
ಏಕಸಮ ವಿತರಣೆಯ ವಿಷಮಭ್ರಮಣಾಂಕಗಳು (ಆಡ್ ಮೊಮೆಂಟ್ಸ್‌) ಎಲ್ಲವೂ ಸೊನ್ನೆಯಾಗುತ್ತವೆಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟ; ಮತ್ತು  ಪದದ ಗುಣಕಗಳು ಸಮ ಭ್ರಮಣಾಂಕಗಳಾಗುವುವು (ಈವನ್ ಮೊಮೆಂಟ್ಸ್‌). ವಿತರಣೆಯ ಮಧ್ಯಕ 0 ಆದ್ದರಿಂದ  ಆದ ಕಾರಣ  ಇದರಲ್ಲಿ ಟಿಗೆ 1,2, 

…… ಎಂಬ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿ   ಎಂಬ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಲಕ್ಷಣ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು (ಕ್ಯಾರೆಕ್ಟೆರಿಸ್ಟಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಸ್‌) ಬಳಸಿ ಇದೇ ಫಲಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.
ನಿದರ್ಶನ ಮಧ್ಯಕ (ಸ್ಯಾಂಪಲ್ ಮೀನ್) : ಏಕಸಮ ವಿತರಣೆಯ ಸಮಷ್ಟಿಯಿಂದ ಟಿ ಗಾತ್ರದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಿದರ್ಶನವನ್ನು (ರ್ಯಾಂಡಮ್ ಸ್ಯಾಂಪಲ್) ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಅದರ ಮಧ್ಯಕದ ವಿತರಣೆ ಆಶ್ಚರ್ಯಕರವಾಗಿ ವರ್ತಿಸುವುದು. ನಿದರ್ಶನ ಮಧ್ಯಕ m ಆದರೆ ಇದರ 

ಸಾಂದ್ರತಾ ಉತ್ಪನ್ನ ತಾಳುವ ರೂಪ ಹೀಗಿರುವುದು.

ಸೋಜಿಗವೆಂದರೆ ಈ ಉತ್ಪನ್ನ (ಟಿ-1) ಘಾತಪ್ರಮಾಣದ ಬೇರೆ ಬೇರೆಯಾದ ಟಿ ಚಾಪಗಳಿಂದಾಗಿ ಸಂಗಮಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ   ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ (ಟಿ-1) ಬಿಂದು ಸ್ಪರ್ಶ (ಟಿ-1 ಪಾಯಿಂಟ್ ಕಾಂಟ್ಯಾಕ್ಟ್‌) ಉಳ್ಳವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಟಿ=2,3,4 ಈ ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ಆವರ್ತಸಂಖ್ಯಾ 

ಉತ್ಪನ್ನ (ಫ್ರೀಕ್ವೆನ್ಸಿ ಫಂಕ್ಷನ್) ಈ ರೂಪಗಳನ್ನು ತಾಳುತ್ತದೆ.

ಮೇಲೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಆವರ್ತಸಂಖ್ಯೆ ನೋಡುವುದಕ್ಕೆ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ (ನಾರ್ಮಲ್) ರೇಖೆಯಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಿದರೆ ಕೇಂದ್ರಾಭಿಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯದ (ಸೆಂಟ್ರಲ್ ಲಿಮಿಟ್ ಥಿಯೊರಮ್) ಪ್ರಕಾರ ಈ ವಿತರಣೆ ಟಿ ಹೆಚ್ಚಿದಾಗ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗೆ 

ಉಪಗಮಿಸುವುದು. 
ಮುಖ್ಯ ಗುಣಧರ್ಮಗಳು : ಯಾವುದಾದರೂ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಚರ x ನ ಸಂಭವ ಸಾಂದ್ರತಾ ಉತ್ಪನ್ನ (ಸ. ಸಾ. ಉ, ಪ್ರಾಬೆಬಿಲಿಟಿ ಡೆನ್ಸಿಟಿ ಫಂಕ್ಷನ್, ಪಿ. ಡಿ. ಎಫ್)  ಇದ್ದರೆ ಅದರ ವಿತರಣ ಉತ್ಪನ್ನ  (ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ ಫಂಕ್ಷನ್)  ಇರುವುದು. ಈಗ ಎಂಬ ರೂಪಾಂತರ 

(ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮೇಶನ್) ಮಾಡಿದರೆ ಏಕಸಮ ವಿತರಣೆಗೆ ಒಳಗಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇರುವುದು,   ಈ ರೂಪಾಂತರಕ್ಕೆ ಸಂಭವ್ಯತೆಯ ರೂಪಾಂತರ (ಪ್ರಾಬೆಬಿಲಿಟಿ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮೇಶನ್) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಇದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಯೋಜನಕರವಾದ 

ರೂಪಾಂತರ.
ಏಕಸಮ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವ  ಚರವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.  ಇದ್ದರೆ ಅಥವಾ  ಆದ್ದರಿಂದ ಚರ 2 ಸ್ವತಂತ್ರಾಂಕದೊಂದಿಗೆ (ಡಿಗ್ರೀಸ್ ಆಫ್ ಫ್ರೀಡಂ)  ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ. ಞ ವಿವಿಧ ಸಮಷ್ಟಿಗಳಿಂದ (ಪಾಪ್ಯುಲೇಷನ್) ಕ್ರಮವಾಗಿ  ಎಂಬ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳ 

ಸಂಭವ್ಯತೆಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಇದ್ದರೆ ಆಗ  ಎಂಬ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕ್ ಞ ಸ್ವತಂತ್ರ  ಚರಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಯೋಗಫಲ  ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವುದು. ಇಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ   ಸ್ವತಂತ್ರಾಂಕ 2 ಇರುವುದರಿಂದ ವಿನ ಸ್ವಾತಂತ್ರಾಂಕ 2ಞ ಇರುವುದು. ಸಾಂಖ್ಯಕೀಯ 

ಆಧಾರಕಲ್ಪನೆಗಳ ಸಾರ್ಥಕತಾ ಪರೀಕ್ಷಣ ಅಥವಾ ಅಂತರಾರ್ಥ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು (ಸಿಗ್ನಿಫಿಕೆನ್ಸ್‌ ಟೆಸ್ಟ್‌್ಸ) ಸಮ್ಮಿಳಿತ ಮಾಡಲು ಈ ವಿತರಣೆ ಬಹಳ ಉಪಯೋಗಕ್ಕೆ ಬರುವುದು.
ನಿದರ್ಶನದಿಂದ ಪ್ರಾಚಲದ ಅಂದಾಜು : ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಏಕಸಮ ವಿತರಣೆಗೆ ಒಂದು ಪ್ರಾಚಲವಿದೆ. ಅದನ್ನು ಎಂದು ಸೂಚಿಸಿದರೆ ಚರದ ಸಾಂದ್ರತಾ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೀಗೆ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. ,
ಇದರ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು 2(4) ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದೆ. ಇದರ ವಿತರಣ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೀಗೆ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. 

ಇದರ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು 2(5)ನೆಯ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದೆ. ಈ ಸಮಷ್ಟಿಯಿಂದ ಟಿ- ಗಾತ್ರದ ನಿದರ್ಶನವನ್ನು ಆಯ್ದುಕೊಂಡು ಅದರ ಸಹಾಯದಿಂದ  ವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದು ರೂಢಿ. ಟಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದನ್ನು  ಎಂದು ಸೂಚಿಸಿದರೆ ಇದು  ದ 

ಮಹತ್ತಮ ಪ್ರಾಯಿಕತಾ ಅಂದಾಜು (ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಂ ಲೈಕ್ಲೀಹುಡ್ ಎಸ್ಟೀಮೇಟ್) ಆಗುವುದು. ಇದು ಅಭಿನತ (ಬಂiÀÄಸ್ಡ್‌) ಅಂದಾಜು ಆದರೆ ಸುಸಂಗತ (ಕನ್ಸಿಸ್ಟೆಂಟ್).  ದ ಅಂದಾಜನ್ನು ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಅದು ಲಘುತ್ತಮ ವಿಚಲದ ಅನಭಿನತ (ಮಿನಿಮಂ 

ವೇರಿಯನ್ಸ್‌ ಅನ್ಬಂiÀÄಸ್ಡ್‌) ಅಂದಾಜಾಗಿರುವುದು. ಕನಿಷ್ಠ ವೀಕ್ಷಣೆ  ಇದ್ದರೆ   ಅಂದರೆ  ಮತ್ತು  ಇವುಗಳ ಸರಾಸರಿಗೆ, ನಡುವ್ಯಾಪ್ತಿ (ಮಿಡ್ರೇಂಜ್) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಉಪರೋಕ್ತ ಏಕಸಮ ಸಮಷ್ಟಿಯ ಮಧ್ಯಮ   ಅಜ್ಞಾತವಾದಾಗ ನಿದರ್ಶನದಿಂದ ಇದನ್ನು ಅಂದಾಜು 

ಮಾಡಬಹುದು. ನಿದರ್ಶನದ ಮಧ್ಯಕಕ್ಕಿಂತ ನಿದರ್ಶನದ ನಡುವ್ಯಾಪ್ತಿ  ಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚು ದಕ್ಷವಾದ ಅಂದಾಜು ಎಂಬುದು ಗಮನಾರ್ಹವಾದುದು.           				 (ಎಂ.ವಿ.ಜೆ.)

ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ