ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ/ಕಿರುನಿದರ್ಶನ ಸಿದ್ಧಾಂತ
ಮೂಲದೊಡನೆ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ      

ಕಿರುನಿದರ್ಶನ ಸಿದ್ಧಾಂತ

 ಒಂದು ಸಂಖ್ಯಾಕಲನ ನಿದರ್ಶನದಿಂದ (ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕಲ್ ಸ್ಯಾಂಪಲ್) ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ ತೆಗೆದ ನಿದರ್ಶಜ (ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕ್) ಅರ್ಥವತ್ತಾಗಿ ಇದೆಯೇ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ನಿದರ್ಶನದ ಗಾತ್ರ ಹಿರಿದಾಗಿದ್ದಾಗ ನಿದರ್ಶನದ ಶಿಷ್ಟದೋಷವನ್ನು (ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಎರ್ರರ್) ಬಳಸುವುದು ರೂಢಿ. ಏಕೆಂದರೆ ಹಿರಿಯ ನಿದರ್ಶನಗಳಲ್ಲಿ ನಿದರ್ಶಜಗಳ ವಿತರಣೆ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರುವುದು (ನಾರ್ಮಲ್) ಅಥವಾ ಸನ್ನಿಹಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರುವುದು (ಅಪ್ರಾಕ್ಸಿ ಮೇಟ್‍ಲಿ ನಾರ್ಮಲ್). ಈ ಪರೀಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಕಸುವಿನದಾಗಿ ಇರುತ್ತವೆ. ಅಂದರೆ ಪರೀಕ್ಷಣ ನಿದರ್ಶಜದ ವಿತರಣೆ ಪ್ರಸಾಮಾನ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ಅತಿದೂರವಾಗಿದ್ದರೂ ಪರೀಕ್ಷಣಕ್ಕೆ ಯಾವ ಕುಂದೂ ಉಂಟಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಕಿರುನಿದರ್ಶನಗಳಲ್ಲಿ (ಸ್ಮಾಲ್ ಸ್ಯಾಂಪಲ್ಸ್) ನಿದರ್ಶಜದ ವಿತರಣೆ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ಬಹುಶಃ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದು. ಅಲ್ಲದೆ ಕಿರುನಿದರ್ಶನಗಳಿಂದ ಪಡೆಯುವ ಪ್ರಾಚಲದ (ಪ್ಯರಾಮೀಟರ್) ಅಂದಾಜು ಸಹ ಅನೇಕ ವೇಳೆ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಇಂಥ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಶಿಷ್ಟದೋಷವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಅಷ್ಟು ಸಮರ್ಪಕವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ ಕಾರಣ ಕಿರುನಿದರ್ಶನಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯವಾಗುವ ಬೇರೆ ಒಂದು ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನೇ ನಿರ್ಮಿಸಬೇಕಾಗುವುದು. ವಿವಿಧ ನಿದರ್ಶಜಗಳ ನಿಸ್ಕ್ರಷ್ಟವಾದ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದು ಅವುಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾದ ಪರೀಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಬೇಕಾಗುವುದು.

 ಕಿರುನಿದರ್ಶನಗಳಿಂದ ಮಧ್ಯಕ (ಮೀನ್) ಮತ್ತು ವಿಚಲನೆಯ (ವೇರಿಯೆನ್ಸ್) ಅಂದಾಜು: ಮಧ್ಯಕ  ಮತ್ತು ವಿಚಲನೆ 2 ಇರುವ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯಾಕಲನ ಸಮಷ್ಟಿ ಅಥವಾ ವಿಶ್ವದಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆರಿಸಿ ತೆಗೆದ ಟಿ ಗಾತ್ರದ ನಿದರ್ಶನದ ಮಧ್ಯಕ   ಆಗಿದ್ದರೆ ಇದರ ವಿತರಣೆಯ ಮಧ್ಯಕ  ಮತ್ತು ವಿಚಲನೆ 2 / ಟಿ ಇರುವುವೆಂಬುದು ತಿಳಿದ ಸಂಗತಿ. ನಿದರ್ಶನ ಹಿರಿಯದಾಗಲಿ ಕಿರಿಯದಾಗಲಿ ಮೂಲವಿಶ್ಚ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೂ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಈ ಫಲಿತಾಂಶ ಸತ್ಯವಾಗಿರುವುದು. ದತ್ತವಿಶ್ವ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ನಿದರ್ಶನ ಮಧ್ಯಕ (ಸ್ಯಾಂಪಲ್ ಮೀನ್) ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು (ನಾರ್ಮಲ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್) ಹೊಂದಿರುವುದು.

 ನಿದರ್ಶನದ ಮಧ್ಯಕದಿಂದ ನಿದರ್ಶನದ ಬಿಡಿಬೆಲೆಗಳ ಅಂತರಗಳನ್ನು ವರ್ಗಮಾಡಿ ಕೂಡಿಸಿ ಬಂದ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ನಿದರ್ಶನದ ವರ್ಗ ಸಂಕಲನ (ಸಮ್‍ಆಫ್ ಸ್ಕ್ವಯರ್ಸ್ ಆಫ್ ಸ್ಯಾಂಪಲ್ಸ್) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಅಂದರೆ ವರ್ಗಸಂಕಲನ =  (xi -)2 , ಸಂಕಲನ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ನಿದರ್ಶನದ ಎಲ್ಲ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದು. ಟಿ ನ ಬೆಲೆ ಹಿರಿದಾಗಿದ್ದ ಹೊರತು ನಿದರ್ಶನದ ವಿಚಲನೆ  ವಿಶ್ವದ ವಿಚಲನೆಯ ಅನಭಿನತ (ಅನ್‍ಬಯಸ್ಡ್) ಅಂದಾಜಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಈಗ s2 ಎಂಬ ನಿದರ್ಶಜವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುತ್ತೇವೆ :

 

 

 ವಿಶ್ವ ವಿಚಲನೆ 2 ವನ್ನು ಈ ನಿದರ್ಶಜ s2 ದಿಂದ ಅನಭಿನತವಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು. ಅಂದರೆ ಇ(s2) = 2 ಇಲ್ಲಿ ಇ ಎಂಬುದು ಗಣಿತೀಯ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಸಂಕೇತಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಮೇರೆಗೆ xi ಗಳು ಹರಹುತ್ತವೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಮಧ್ಯಕ 0 ಮತ್ತು ವಿಚಲನೆ 2 ಉಳ್ಳ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯಂತೆ ಥಿi ಗಳು ಹರಹುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಥಿi ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುವುವು. ಆದ್ದರಿಂದ ಙi2/2 ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಾಂಕ (ಡಿಗ್ರೀಸ್ ಆಫ್ ಫ್ರೀಡಂ) 1 ಉಳ್ಳ  ದಂತೆ ಹರಹಿರುತ್ತವೆ; ಮತ್ತು  ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಾಂಕ (ಟಿ-1) ಉಳ್ಳ  ವಿತರಣೆಯಂತೆ ಹರಹಿರುತ್ತದೆ. ಟಿ1=v ಎಂದು ಆದೇಶಿಸಲಾಗಿ ಟಿS2/2=v ಛಿ2/2 ಆಗುವುದು. ಆದ್ದರಿಂದ v ಛಿ2/2 ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಾಂಕರಣ   ಉಳ್ಳ  ವಿತರಣೆಯಂತೆ ಹರಹಿದೆ ಎಂಬುದಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು.

 ಈ ಫಲವನ್ನು ತಳಹದಿಯನ್ನಾಗಿ ಇಟ್ಟುಕೊಂಡು ನಿದರ್ಶನವನ್ನು ಒದಗಿಸಿದ ವಿಶ್ವವನ್ನು ಕುರಿತ ಆಧಾರಕಲ್ಪನೆಯ (ಹೈಪಾಥಿಸಿಸ್) ಪರೀಕ್ಷಣ ನಡೆಸಲು ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದು. ವಿವರ್ತದ (ವೇರಿಯೆಟ್) ನಿದರ್ಶನ ಬೆಲೆಗಳಿಂದ  ವಿತರಣೆಯಂತೆ ಹರಹಿರುವ ಯಾವುದಾದರೂ ನಿದರ್ಶಜವನ್ನು ಗಣನೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವಂಥ ಆಧಾರಕಲ್ಪನೆಯಿದ್ದರೆ ಇದು ಸಾಧ್ಯ. ದೃಷ್ಟಾಂತಕ್ಕೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಿದರ್ಶನದ 10 ಬೆಲೆಗಳಿಂದ ವಿಶ್ವವಿಚಲನೆಯ ಅಂದಾಜು s2=10.5 (ಸೆಂಮೀ.)2 ಎಂಬು ಲೆಕ್ಕಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಹಾಗಾದರೆ 6.5 (ಸೆಂಮೀ.)2 ವಿಚಲನೆಯುಳ್ಳ ವಿಶ್ವದಿಂದ ದತ್ತನಿದರ್ಶನ ಹುಟ್ಟಿದೆಯೆಂದು ನಾವು ಗ್ರಹಿಸಬಹುದೆ? ಇದು ಸಮಂಜಸವೆಂದು ಅನಿಸುತ್ತದೆಯೇ? ಇದರ ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಾವು ಹೀಗೆ ತರ್ಕಿಸುತ್ತೇವೆ. ದತ್ತ ನಿದರ್ಶನದ ವರ್ಗಸಂಕಲನ 9  10.5 = 94.5; ದತ್ತ ಆಧಾರಕಲ್ಪನೆಯ ಮೇರೆಗೆ 2 = 6.5 ಆದ್ದರಿಂದ ಮೇಲಿನ ಸಂಕಲನದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ (xi- ) ವಿವರ್ತಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರವಲ್ಲ;  (xi-)=0 ಎಂಬ ನಿರ್ಬಂಧಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟಿವೆ. ಅಂದರೆ ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ವಿವರ್ತಗಳು (ಟಿ-1) ಅಷ್ಟೇ ಇರುವುವು. ಇದಕ್ಕೆ (xi-)2 ವರ್ಗಸಂಕಲನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಾಂಕ (ಡಿಗ್ರೀಸ್ ಆಫ್ ಫ್ರೀಡಂ) ಎಂದು ಹೆಸರು. ವಿಚಲನ 2 ವನ್ನು ಅನಭಿನತವಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ s2 ನಿದರ್ಶಜ (ಟಿ-1) ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಾಂಕದ ಮೇಲೆ ನಿಂತಿದೆ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.

 ದತ್ತ ಸಂಖ್ಯಾಕಲನ ವಿಶ್ವ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರುವುದೆಂದೂ ನಿದರ್ಶನ ಕಿರಿದಾಗಿರುವುದೆಂದೂ ಇಟ್ಟುಕೊಳ್ಳೊಣ. ಇದರಡಿ ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿರುವ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ನಿಷ್ಕøಷ್ಟವಾದವು. ವಿಶ್ವದ ವಿತರಣೆ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯದಿಂದ ಅನತಿ ದೂರವಾಗಿದ್ದಾಗ ಅನೇಕ ವೇಳೆ ಈ ಫಲಗಳು ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಅಂದರೆ ಸರಿಸುಮಾರಾಗಿ ಸತ್ಯ.

 ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಿದರ್ಶನದ ವರ್ಗಸಂಕಲನದ ವಿತರಣೆ; ನಿದರ್ಶನದ ಗಾತ್ರ ಟಿ ಇದ್ದು ಸ್ವತಂತ್ರ ಅವೇಕ್ಷಣೆಗಳು x1,x2 ………….,xಟಿ. ಇರಲಿ ರೇಖೀಯ ಲಂಬಮಾನವಾದ (ಲೀನಿಯರ್ ಆರ್ಥಾಗೊನಲ್) ರೂಪಾಂತರದಿಂದ xi ಗಳನ್ನು ಥಿi ಗಳಿಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ ಥಿ1= ಆಗುವಂತೆ ಮಾಡೋಣ. ಆಗ  xi2 = (xi-)2 + ಟಿ 2=ಟಿS2 + ಥಿ12  ಆಗುವುದು.

 ಆದ್ದರಿಂದ ಟಿS2 =  ಙi2ಙ12 =ಥಿi2

 ಇದರಿಂದಾಗಿ ಟಿS2/2 =  ಙi2/2

 ವಿಶ್ವದ ಮಧ್ಯಕವನ್ನು ಮೂಲಬಿಂದುವನ್ನಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡರೆ ಮಧ್ಯಕ 0 ಮತ್ತು ವಿಚಲನೆ 2 ಉಳ್ಳ x2 = 94.5/6.5 =14.54. ಇದರ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಾಂಕ 9 ಈಗ x2 ದ ಬೆಲೆ 14.54 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುವ ಸಂಭಾವ್ಯತೆ 0.10 ಗಿಂತ ಅಧಿಕವಿರುವುದೆಂದು ಕೋಷ್ಟಕದ ಸಹಾಯದಿಂದ ತಿಳಿಯುತ್ತೇವೆ. ಅಂದರೆ ನಿದರ್ಶನ ಒಬಗಿಸಿಕೊಟ್ಟಿರುವ x2 ಬೆಲೆ ಅರ್ಥವತ್ತಾಗಿಲ್ಲ; ಎಂದರೆ ದತ್ತ ಆಧಾರಕಲ್ಪನೆಗೆ ಪ್ರತಿಕೂಲವಾಗಿ ಯಾವ ವಿಧವಾದ ಆಧಾರವೂ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ದತ್ತ ಆಧಾರಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಒಪ್ಪುತ್ತೇವೆ.

 ಸ್ಟೂಟೆಂಟನ ಣ ನಿದರ್ಶಜ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿತರಣೆ :ಮಧ್ಯಕ  ಮತ್ತು ವಿಚಲನೆ 2 ಉಳ್ಳ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಶ್ವದಿಂದ ತೆಗೆದ ಟಿ ಗಾತ್ರದ ಯಾದೃಚ್ಚಿಕ ನಿದರ್ಶನದ ಮಧ್ಯಕ  ಆಗಿದ್ದರೆ (-) ವಿವರ್ತ ಮಧ್ಯಕ 0 ಮತ್ತು ವಿಚಲನೆ 2/ಟಿ ಇರುವ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯಂತೆ ಹರಹಿರುವುದೆಂಬುದು ತಿಳಿದ ಸಂಗತಿ. ಈಗ. u = ಎಂದು ಬರೆದರೆ u ಒಂದು ಶಿಷ್ಟ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿವರ್ತವಾಗಿರುವುದು. ಅಂದರೆ ಮಧ್ಯಕ 0 ಮತ್ತು ವಿಚಲನ 1 ಇರುವ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯಂತೆ u ಹರಹಿರುವುದು. ವಿಚಲನೆ 2 ಅಜ್ಞಾತವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದರ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಅದರ ಅಂದಾಜು s2ವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುವುದು. ಇದರಿಂದ  ಎಂಬ ನಿದರ್ಶಜ ಲಭಿಸುವುದು. ಇದು ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹರಹಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಇದರ ವಿತರಣೆಯನ್ನು 1908 ರಲ್ಲಿ ಮೊತ್ತಮೊದಲು ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಎಸ್, ಗಾಸೆಟ್ ಎಂಬ ಐರ್ಲೆಂಡ್ ದೇಶದ ರಸಾಯನಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಕಂಡುಹಿಡಿದು ಪ್ರಚುರಪಡಿಸಿದ. ಈತ ಅಲ್ಲಿಯ ಒಂದು ಸಾರಾಯಿ ಕಾರ್ಖಾನೆಯಲ್ಲಿ ಕೆಲಸಮಾಡುತ್ತಿದ್ದ. ಸ್ಟೂಡೆಂಟ್ (ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ) ಎಂಬ ಅಜ್ಞಾತನಾಮವನ್ನು ತಳೆದು ಸಂಖ್ಯಾಕಲನ ಲೇಖನಗಳನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತಿದ್ದ. ಈ ಕಾರಣದಿಂದ ಇದಕ್ಕೆ ಸ್ಟೂಡೆಂಟ್‍ನ ಣ ಎಂದು ಹೆಸರಾಯಿತು. ನಿದರ್ಶನದ ವರ್ಗಸಂಕಲನ (xi-)2 ದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಾಂಕ v ಆಗಿದ್ದರೆ. 

ಬಲಬದಿಯ ಅಂಶ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಾಂಕ 1 ಇರುವ x2 ವಿತರಣೆಯಂತೆ ಹರಹಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಬಲಬದಿಯ ಛೇದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಾಂಕ v ಇರುವ x2 ವಿತರಣೆಯಂತೆ ಹರಹಿರುತ್ತದೆ. ಇವೆರಡೂ ಸ್ವತಂತ್ರ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇವುಗಳ ನಿಷ್ಟತ್ತಿ  ಮತ್ತು  ಪ್ರಾಚಲಗಳಿರುವ  2 ವಿವರ್ತದಂತೆ ಹರಹಿರುತ್ತದೆ. ಆದಕಾರಣ ಣ2 ದ ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ಸಾಂದ್ರತೆ (ಪ್ರಾಬೆಬಿಲಿಟಿ ಡೆನ್ಸಿಟಿ)

ಇರುವುದು. ಇಲ್ಲಿಯ ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಅ = , ಮತ್ತು ಣ2 ದ ಬೆಲೆ 0 ಯಿಂದ  ವರೆಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರಿಂದ ಣ ವಿತರಣೆ

ಜಠಿ=  

ಎಂದು ಸಾಧಿಸಬಹುದು. ಇದೇ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಾಂಕ v ಉಳ್ಳ ಣ ವಿತರಣೆಯಾಗುವುದು. ಈ ವಿತರಣೆ ಸಮಾಂಗವಾಗಿದೆ.

 

 ಣ =  ಎಂದು ಬರೆದರೆ ಅಂಶ ಮಧ್ಯಕ 0 ಇರುವ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯಂತೆ ಹರಹಿರುವುದು; ಮತ್ತು ಛೇದ ಅಂಶದ ಶಿಷ್ಟದೋಷದ ಅಂದಾಜಾಗಿರುವುದು.

 ಣ-ಪರೀಕ್ಷಣ : ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ಮೂಲವಿಶ್ವದ ಮಧ್ಯಕದ ಬೆಲೆ  ಇರುವುದೆಂಬ ಅಭಿಗೃಹೀತ ಸಾಧುವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಅದರಿಂದ ತೆಗೆದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಿದರ್ಶನದಿಂದ ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಣ ಪರೀಕ್ಷಣ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿರುವುದು. ನಿದರ್ಶನದಿಂದ  ಮತ್ತು s2 ಗಳ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ ಣ = ಎಂಬ ನಿದರ್ಶಜವನ್ನು ಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮಧ್ಯಕ  ಉಳ್ಳ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಶ್ವದಿಂದ ತೆಗೆದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಿದರ್ಶನದ ಣ ಶುದ್ಧಬೆಲೆಯಲ್ಲಿ ಇದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುವ ಠಿ ಸಂಭವತೆಯನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ನೋಡಿ ತಿಳಿಯುತ್ತೇವೆ. ಠಿ ಯ ಬೆಲೆ 0.05 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇದ್ದರೆ ಣ ಯ ಬೆಲೆ ಅರ್ಥವತ್ತಾಗಿದೆ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. 0.01 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇದ್ದರೆ ಬಹಳ ಅರ್ಥವತ್ತಾಗಿದೆ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ; ಅರ್ಥವತ್ತಾದ ಬೆಲೆ ಎಂದರೆ ದತ್ತ ಆಧಾರಕಲ್ಪನೆ ಸತ್ಯವಿರುವಾಗ ಆ ಬೆಲೆಯ ಸಂಭಾವ್ಯತೆ ತೀರ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿರಬೇಕು. ಹಾಗೆ ಕಡಿಮೆ ಇದ್ದಲ್ಲಿ ವಿಶ್ವದ ಮಧ್ಯಕ  ಎಂಬ ಆಧಾರಕಲ್ಪನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಶಯ ಹುಟ್ಟುವುದು.

 ಅಂತರ ಆಗಣನೆ (ಇಂಟರ್ವಲ್ ಎಸ್ಪಿಮೇಶನ್): ಈ ತತ್ತ್ವವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೂಲವಿಶ್ವದ ಅಜ್ಞಾತ ಮಧ್ಯಕ  ವಿನ ಬೆಲೆಗೆ ಎಲ್ಲೆಕಟ್ಟನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿರುವ 0.05 ಮಟ್ಟದ ಣ ಯ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಣ1 ಎಂದು ಸೂಚಿಸಿದರೆ ವಿಶ್ವದ ಮಧ್ಯಕ  ಈ ನಿಬಂಧನೆಯನ್ನು ಪಾಲಿಸಬೇಕು.

 ವಿನ ಇಂಥ ಬೆಲೆಗೆ ದತ್ತ ನಿದರ್ಶನದ ಣ ಬೆಲೆ ಅರ್ಥವತ್ತಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ 

 ಇರಬೇಕು. ಅಂದರೆ  ವಿನ ಬೆಲೆ ಈ ಎರಡು ಎಲ್ಲೆಕಟ್ಟುಗಳ ನಡುವೆ ಇರಬೇಕು ಎಂದು 0.95 ಮಟ್ಟದ ಭರವಸೆಯಿಂದ ಹೇಳಬಹುದು. ಇದರಂತೆಯೇ 0.01 ಮಟ್ಟದ ಕೋಷ್ಟಕದ ಣ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಣ2 ಎಂದು ಸೂಚಿಸಿದರೆ  ಎಲ್ಲೆಕಟ್ಟಿ 0.99 ಮಟ್ಟದ ಭರವಸೆಯಿಂದ   ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು. ಈ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಅಂತರ ಆಗಣನ ಅಥವಾ ಅವಧಿಯ ಅಂದಾಜು ಎಂದು ಹೆಸರು.

 ಎರಡು ನಿದರ್ಶನಗಳ ಮಧ್ಯಕಗಳ ಹೋಲಿಕೆ: ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ಟಿ1 ಮತ್ತು ಟಿ2

 ಗಾತ್ರಗಳ ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಿದರ್ಶನಗಳ ಮಧ್ಯಕಗಳು 1 ಮತ್ತು 2 ಇದ್ದರೆ ಈ ಮಧ್ಯಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಅರ್ಥವತ್ತಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಸಹ   ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಎರಡು ನಿದರ್ಶನಗಳನ್ನೂ ಒಂದೇ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಶ್ವದಿಂದ ಆರಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬ ಆಧಾರಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷೆಗೊಳಗಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ.

 ಮಧ್ಯಕ  ಮತ್ತು ವಿಚಲನೆ 2 ಇರುವ ಒಂದೇ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಶ್ವದಿಂದಲೇ ಎರಡು ನಿದರ್ಶನಗಳೂ ಬಂದಿವೆಯಾದರೆ 1, 2 ಇವರೆಡೂ ಒಂದೇ ಮಧ್ತಕ  ಇರುವ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗಳಂತೆ ಹರಹಿರುತ್ತವೆ. ಮೊದಲನೆಯದರ ವಿಚಲನೆ 2/ಟಿ1 ಆಗಿಯೂ ಎರಡನೆಯದರ ವಿಚಲನೆ 62/ಟಿ2ಆಗಿಯೂ ಇರುವುದು. ನಿದರ್ಶನಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ್ದರಿಂದ (1-2) ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮಧ್ಯಕದ ಬೆಲೆ 0 ಆಗಿಯೂ ವಿಚಲ£
É 2 ಆಗಿಯೂ ಉಳ್ಳ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯಂತೆ ಹರಹಿದೆ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು. ಈಗ

ಎಂದಿಟ್ಟುಕೊಂಡರೆ u ಒಂದು ಶಿಷ್ಟ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿವರ್ತ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟ. ಆದರೆ  ದ ಬೆಲೆ ತಿಳಿಯದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ದತ್ತ ನಿದರ್ಶನಗಳ ಅವೇಕ್ಷಣೆಗಳಿಂದ  ವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬೇಕು, ದತ್ತ ನಿದರ್ಶನಗಳ ವಿಚಲನೆಗಳು S12 ಮತ್ತು S22 ಇದ್ದರೆ S2 = (ಟಿ1S12 + ಟಿ2S22)/v ಎಂಬುದು 2 ದ ಅನಭಿನತ ಅಂದಾಜಾಗಿರುವುದು. ಇಲ್ಲಿ  v = ಟಿ1 + ಟಿ2 2. ಹಾಗೂ  ಟಿ1S12/2 ಎಂಬುದು  ಟಿ -1 ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಾಂಕದ ಘಿ2 ಮೇರೆಗೆ ಹರಹಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು  ಟಿ2S22/2 ಎಂಬುದು (ಟಿ2-1) ರ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಾಂಕದ ಘಿ2 ಮೇರೆಗೆ ಹರಹಿರುತ್ತದೆ. ಇವೆರಡೂ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ (ಟಿ1s12 + ಟಿ2S22) 2 ಎಂಬುದು v ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಾಂಕವುಳ್ಳ ಘಿ2 ಮೇರೆಗೆ ಹರಹಿರುತ್ತದೆ. ಈಗ 

ಎಂದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳೊಣ. ಮಧ್ಯಕ 0 ಇರುವ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯಂತೆ ಅಂಶ ಹರಹಿರುತ್ತದೆ; ಮತ್ತು ಇದರ ಛೇದ ಶಿಷ್ಟದೋಷ v ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಾಂಕದ ಮೇಲೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ನಿದರ್ಶಜವಾಗಿರುವುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಣಯ ವಿತರಣೆ v ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಾಂಕದ ಸ್ಟೂಡೆಂಟ್ಸ್ ಣಯಂತೆ ಇರುವುದು. ನಿದರ್ಶನಗಳಿಂದ ದೊರೆವ ಣಯ ಬೆಲೆ ಅರ್ಥವತ್ತಾಗಿದ್ದರೆ ಎರಡು ನಿದರ್ಶನಗಳೂ ಒಂದೇ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಶ್ವದಿಂದ ಬಂದವು ಎಂಬ ಆಧಾರಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಕೈಬಿಡಬೇಕು.

ವಿಶ್ವ ವಿಚಲನೆಗಳ ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಂದಾಜುಗಳ ಹೋಲಿಕೆ : ಟಿ1, ಟಿ2 ಗಾತ್ರಗಳ ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಿದರ್ಶನಗಳ ವಿಚಲನೆಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ s12 ಇರಲಿ. ಇವುಗಳಿಂದ s12 =  ಮತ್ತು s22 = (ಇಲ್ಲಿ v1=ಟಿ11, v2=ಟಿ21) ಎಂಬ ನಿದರ್ಶಜಗಳು ಸಂವಾದಿವಿಶ್ವವಿಚಲನೆಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತವೆ. ಈ ಎರಡು ನಿದರ್ಶನಗಳೂ ಒಂದೇ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಶ್ವದಿಂದ ಬಂದವು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಸಾಧುವೇ ಅಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷಣ ಮಾಡಬೇಕು ; ಅಂದರೆ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಶ್ವದ ವಿಚಲನೆ 2ದ ಈ ಎರಡು ಅಂದಾಜುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಅರ್ಥವತ್ತಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾದ ಪರೀಕ್ಷಣ ನಿಕಷವೆಂದರೆ ಈ ಎರಡು ಅಂದಾಜುಗಳ ನಿಷ್ಪತ್ತಿ s12/ss22. ಈ ನಿಷ್ಪತ್ತಿಯನ್ನು ಈ ಎಂದು ಸಂಕೇತಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಈ ಪರೀಕ್ಷಣಕ್ಕೆ ಈ ಪರೀಕ್ಷಣ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಈ ಸಂಕೇತದ ಮೇರೆಗೆ

ಇದರ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ v1 ಮತ್ತು v2 ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಾಂಕಗಳ x2 ವಿತರಣೆಗಳಂತೆ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಹರಹಿರುವುವು. ಅದ್ದರಿಂದ v1ಈ/v2 ಎಂಬ ಇವೆರಡರ ನಿಷ್ಪತ್ತಿ  ಪ್ರಾಚಲಗಳುಳ್ಳ  ವಿವರ್ತದಂತೆ ಹರಹಿರುವುದು. ವಿಚಲನ ನಿಷ್ಪತ್ತಿ (ವೇರಿಯೆನ್ಸ್ ರೇಷ್ಯೊ) ಈ ನ ನಿಜವಾದ ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ಸಾಂದ್ರತೆ

ಅ .

ಇಲ್ಲಿ ಅ =   ಈ ವಿತರಣೆ 2 ದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸತಕ್ಕದ್ದು. ಈಗ ಈ=e2z ಎಂದು ಬರೆದರೆ z = ಅಗುವುದು. ಈ z ವಿವರ್ತದ ಸಂಭವತಾ ಸಾಂದ್ರತೆ 

ಎಂದು ಆರ್. ಎ. ಫಿಷರ್ ತೋರಿಸಿರುವನು. ಇದಕ್ಕೆ ಫಿಷರನ z ವಿತರಣೆ ಎಂದು ಹೆಸರು. v1 ಮತ್ತು v2 ಗಳನ್ನು ಜೊತೆ ಜೊತೆಯಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು. ಯಾವ ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ಅತೀತವಾಗಿ 0.05 ಮತ್ತು 0.01 ಸಂಭಾವ್ಯತೆಯಿಂದ zನ ಬೆಲೆಗಳಿರುವುವು ಎಂಬುದನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಮಾಡಿ ಕೋಷ್ಟಕದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಫಿಷರ್ ಒದಗಿಸಿಕೊಟ್ಟಿದ್ದಾನೆ. ಇದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವಿಚಲನೆನಿಷ್ಪತ್ತಿ ಈನ ಬಗ್ಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಜಿ.ಡಬ್ಲ್ಯು. ಸ್ನೆಡಕರ್ ಎಂಬಾತ ರಚಿಸಿರುವನು. ಇದರ ಬಳಕೆ ಸರಳವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಈ ಕೋಷ್ಟಕ ಬಹಳ ಜನಪ್ರಿಯವಾಗಿದೆ. ಫಿಷರನನ್ನು ಗೌರವಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ ಆತನ ಹೆಸರಿನ ಮೊದಲಕ್ಷರವಾದ ಈನ್ನು ವಿಚಲನ ನಿಷ್ಪತ್ತಿಗೆ ಸಂಕೇತವಾಗಿ ಬಳಸಿ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಸ್ನೆಡಕರ್ ಪ್ರಕಟಿಸಿದ್ದಾನೆ. ವಿಚಲನೆಯ ಎರಡು ಅಂದಾಜುಗಳಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡದನ್ನು ಪೂರ್ವ ಪದವನ್ನಾಗಿಸಿ ಪಡೆದ ನಿಷ್ಟತ್ತಿಯನ್ನು  ಈ ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಕೋಷ್ಟಕ ರಚನೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಅಂಶದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಾಂಕ v1 ಮತ್ತು ಛೇದದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಾಂಕ v2. ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ v1 ನೀಟಸಾಲನ್ನೂ v2 ಅಡ್ಡ ಸಾಲನ್ನೂ ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ನಿಷ್ಟತ್ತಿ ಯಾವ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚುವ ಸಂಭಾವ್ಯತೆ 0.05 ಇರುವುದೋ ಆ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದ ಈ ನೀಟ ಮತ್ತು ಅಡ್ಡಗಳ ಸಂಗಮಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಈ ನಿಷ್ಪತ್ತಿಯ 5% ಬೆಲೆ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಇದೇ ರೀತಿ 0.01 ಸಂಭಾವ್ಯತೆಯ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಈ ನಿಷ್ಪತ್ತಿಯ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕೊಡಲಾಗಿದೆ. 5% ಮಟ್ಟದ ಈ ನಿಷ್ಪತ್ತಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಬೆಲೆ ದತ್ತ ನಿದರ್ಶನಗಳಿಂದ ದೊರೆತ ಪಕ್ಷದಲ್ಲಿ ಅದು ಅರ್ಥವತ್ತಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. 5% ಬೆಲೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿಯೂ 1% ಬೆಲೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿಯೂ ಅವೇಕ್ಷಿತ ಬೆಲೆ ಇದ್ದರೆ ಆಗ ಅದು 5% ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಅರ್ಥವತ್ತಾಗಿದ್ದು 1% ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಅರ್ಥವತ್ತಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. 1% ಬೆಲೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಹೆಚ್ಚು ಅರ್ಥವತ್ತಾಗಿದೆ. ಅರ್ಥವತ್ತಾದ ಈ ನಿಷ್ಪತ್ತಿಯ ಬೆಲೆ ದೊರಕಿತೆಂದರೆ ಆಧಾರಕಲ್ಪನೆ ಸ್ವೀಕಾರ್ಯವಲ್ಲ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಪರೀಕ್ಷಣ ಬಲು ಮುಖ್ಯವಾದದ್ದು. ವಿಚಲನ ವಿಶ್ಲೇಷಣದ (ಅನಾಲಿಸಿಸ್ ಆಫ್ ವೇರಿಯನ್ಸ್) ಮೂಲಕ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಅರ್ಥ ನಿಷ್ಪನ್ನ ಮಾಡುವಲ್ಲಿ ಈ ಪರೀಕ್ಷಣವನ್ನು ಸರ್ವೇಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ದೃಷ್ಪಾಂತಕ್ಕೆ, ಗಾತ್ರ 10 ಮತ್ತು 8 ಇರುವ ನಿದರ್ಶನಗಳಿಂದ ದೊರೆವ ವಿಚಲನೆಯ ಅಂದಾಜುಗಳು 6.4 ಮತ್ತು 3.8 ಎಂದಿರಲಿ ಆಗ v1=9, v2 = 7 ಮತ್ತು ಈ = = 2.33 ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ 5% ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ 9 ಮತ್ತು 7 ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸರಿಯಾದ ಬೆಲೆ 3.68; ಮತ್ತು 1% ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ 6.71 ಅದ್ದರಿಂದ 5% ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಈನ ಅವೇಕ್ಷಿತ ಬೆಲೆ ಅರ್ಥವತ್ತಾಗಿಲ್ಲ. ಅಂದರೆ ದತ್ತ ಎರಡು ನಿದರ್ಶನಗಳೂ ಒಂದೇ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಶ್ವದಿಂದ ಬಂದಿವೆ ಎಂಬ ಆಧಾರಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅಸ್ವೀಕಾರ ಮಾಡಲು ತಕ್ಕ ಆಧಾರಗಳಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಅವೇಕ್ಷಿತ ಸಹಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕದ (ಕಾರ್ರಿಲೇಷನ್ ಕೋಎಫಿಷಿಯಂಟ್) ಅರ್ಥವತ್ತತೆಯ ಪರೀಕ್ಷಣ : x, ಥಿ ಗಳ ದ್ವಿವಿವರ್ತ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ಅಥವಾ ದ್ವಿಚರ ವಿಶ್ವವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. x, ಥಿ ಗಳ ಶಿಷ್ಟಭ್ರಂಶ (ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಡೀವಿಯೇಷನ್) 1, 2 ಇರಲಿ ಮತ್ತು ಇವುಗಳ ಸಹಸಂಬಂಧ  ಇರಲಿ. ಹಾಗೂ x, ಥಿ ಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಮಧ್ಯಕಗಳಿಂದ ಅಳತೆ ಮಾಡೋಣ. ಈ ವಿಶ್ವದಿಂದ ತೆಗೆದ ಟಿ ಗಾತ್ರದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಿದರ್ಶನ (xi, ಥಿi), (I = 1.2...... ಟಿ) ಆಗಿರಲಿ, ನಿದರ್ಶನದಲ್ಲಿ x,ಥಿ ಗಳ ಶಿಷ್ಟಭ್ರಂಶಗಳು s1, ss2 ಆಗಿಯೂ ಸಹಬಂಧ ಗುಣಕ ಡಿ ಆಗಿಯೂ ಇರಲಿ. ಹಿರಿಯ ನಿದರ್ಶನದಲ್ಲಿ ಡಿನ ಶಿಷ್ಟದೋಷ (ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಎರ್ರರ್) ಇರುವುದು.  = 0 ಆದಾಗ ಶಿಷ್ಟದೋಷ 1/ಆಗುವುದು. ಈ ಫಲಿತಾಶವನ್ನು ಪ್ರಯುಕ್ತಿಸಬೇಕಾದರೆ ಟಿನ ಬೆಲೆ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರಬೇಕು. ಅಂದರೆ >500. ಕಿರುಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ಇದು ಒಪ್ಪುವುದಿಲ್ಲ, ದತ್ತ ನಿದರ್ಶನದಲ್ಲಿ ಥಿ ವಿವರ್ತದ ವರ್ಗ ಸಂಕಲನವಾದ ಟಿS2 ಎಂಬುದರ ಸ್ವಾತಂತ್ಯಾಂಕ ಟಿ -1 ಇರುವುದೆಂದು ಹಿಂದೆ ಹೇಳಿದ್ದೇವೆ. ಇದನ್ನು ಲಂಬಮಾನವಾದ ಎರಡು ಘಟಕಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು: ಹಿಂಚಲನೆಯ (ರಿಗ್ರೆಷನ್) ಸಲುವಾಗಿ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಾಂಕ 1 ಇರುವ ಟಿಡಿ2S2 ಮತ್ತು ಹಿಂಚಲನೆಯಿಂದ ದೋಷದ ಸಲುವಾಗಿ ಸ್ವಾಂತಂತ್ರ್ಯಾಂಕ (ಟಿ-2) ಇರುವ ಟಿ(1-ಡಿ2)S2. ಹೀಗೆ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲಾದ ಈ ಎರಡು ರಾಶಿಗಳನ್ನು 22 ದಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿ ಅವು ಅಯಾ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಾಂಕದ x2 ವಿತರಣೆಯ ಮೇರೆಗೆ ಹರಹಿರುತ್ತವೆ. ಇವೆರಡರ ನಿಷ್ಪತ್ತಿ ಡಿ2 ಇರುವುದರಿಂದ ಅದರ ವಿತರಣೆ ಟಿನ ಎಲ್ಲ ಬೆಲೆಗಳಿಗೂ  ಮತ್ತು  (ಟಿ-2) ಪ್ರಾಚಲಗಳುಳ್ಳ 1 ವಿವರ್ತದಂತೆ ಇರುವುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಎಂಬುದು  ವಿವರ್ತದಂತೆ ಹರಹಿರುವುದು. ಈಗ ಎಂದು ಬರೆದರೆ ನಿದರ್ಶಜ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಚಲಗಳುಳ್ಳ ವಿವರ್ತದಂತೆ ಹರಹಿರುವುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಣ ನಿದರ್ಶಜ ಸ್ಟೂಡೆಂಟ್ಸ್ ಣ ಯಂತೆ ಟಿ - 2 ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಾಂಕದೊಡನೆ ಹರಹಿರುತ್ತದೆ ಈ ಫಲಿತಾಂಶ ಟಿ ನ ಎಲ್ಲ ಬೆಲೆಗಳಿಗೂ (ಕಿರಿಯ ಮತ್ತು ಹಿರಿಯ ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ) ಸತ್ಯವಾಗಿರುವುದು. ಇದರ ಪ್ರಯುಕ್ತಿಯಿಂದ ನಿದರ್ಶನದ ಸಹಸಂಬಂಧ ಗುಣಕ ಅರ್ಥವತ್ತಾಗಿದೆಯೇ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು.

ನಿದರ್ಶನದ ಅವೇಕ್ಷಣೆಗಳಿಂದ ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಿದ ಣ ನಿದರ್ಶಜದ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ. ವಿಶ್ವದಲ್ಲಿನ x, ಥಿ ವಿವರ್ತಗಳ ಸಹಸಂಬಂಧ 0 ಎಂದು ಒಪ್ಪಿದರೆ ಅವೇಕ್ಷಿತ ಣ ಬೆಲೆ ಅಪೂರ್ವವಾದುದೇ ಎಂದು ಣ ಕೋಷ್ಟಕದ ಸಹಾಯದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ. ಸಂಭವತೆ 0.05 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ಅಪೂರ್ವ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸತ್ತೇವೆ. ಇನ್ನೂ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ತೀರ್ಮಾನಿಸಬೇಕಾದಲ್ಲಿ ಸಂಭಾವ್ಯತೆ 0.01 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರಬೇಕಾದೀತು.

ದೃಷ್ಟಾಂತಕ್ಕೆ 10 ಜೊತೆ ಅವೇಕ್ಷಣೆಗಳಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ ಬಂದ ಸಹಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕ 0.60 ಎನ್ನುವ ಆಗ ಡಿ = 0.60. v = 8 ಮತ್ತು ಣ = 2.12. ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ 0.05 ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಣ ಯ ಬೆಲೆ 2.31. ಅವೇಕ್ಷಿತ ಬೆಲೆ ಇದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ 0.60 ಎಂಬ ಸಹಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕದ ಬೆಲೆ ಅರ್ಥವತ್ತಾಗಿಲ್ಲ. ವಿಶ್ವದ  = 0 ಎಂಬ ಆಧಾರಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸತಕ್ಕ ಸಬಲ ಕಾರಣವೇನೂ ಇರುವುದಿಲ್ಲ.

ಸರ್ವಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಹಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕದ ಪರೀಕ್ಷಣ : ದ್ವಿಚರ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಶ್ವದ ಸಹಸಂಬಂಧ  ಇದ್ದಾಗ ಆದ್ದರಿಂದ ತೆಗೆದ ಟಿ ಗಾತ್ರದ ನಿದರ್ಶನದ ಸಹಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕ ಡಿ ಆಗಿದ್ದರೆ ಇದರ ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ಸಾಂದ್ರತೆ   ಪಿಷರ್ ಈ ವಿತರಣೆಯನ್ನು 1915ರಲ್ಲಿ ನಿಗಮನ ಮಾಡಿದ. ಹಿರಿಯ ಟಿನ ಬೆಲೆಗೆ ಸಹ ಈ ವಿತರಣೆ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ಅತಿಯಾಗಿ ಬೇರ್ಪಟ್ಟಿರುವುದು : ಆದ್ದರಿಂದ ಶಿಷ್ಟದೋಷವನ್ನು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಬಳಸುವುದು ಅನುಚಿತ. ಈಗ

Z= ಟoge  ,   = ಟog 

ಎಂಬ ರೂಪಾಂತಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು Zನ ವಿತರಣೆಯ ಮತ್ತು ವಿಚಲನÉ 1/(ಟಿ-3) ಇರುವ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗೆ ಉಪಸಮವಾಗಿರುವುದು. ಅಲ್ಲದೆ ಟಿನ ಬೆಲೆ ಹೆಚ್ಚಿದಂತೆಲ್ಲ Zನ ವಿತರಣೆ ಬಲು ಬೇಗ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗೆ ಉಪಗಮಿಸುವುದು. Zನ ಶಿಷ್ಟದೋಷ ನಿದರ್ಶನ ಸಹಸಂಬಂಧ ಡಿ ನಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುವುದು. ನಿದರ್ಶನದ ಅವೇಕ್ಷಿತ ಸಹಸಂಬಂಧ ನಮೂದಿಸಿದ ಬೆಲೆಯಿಂದ ಅರ್ಥವತ್ತಾಗಿ ಬೇರೆಯಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು Z ನಿದರ್ಶಜವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಇದರಂತೆಯೇ ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ನಿದರ್ಶನಗಳಿಂದ ದೊರೆತ ಡಿನ ಬೆಲೆಗಳು ಅರ್ಥವತ್ತಾಗಿ ಬೇರೆಬೇರೆಯಾಗಿವೆಯೇ ಎಂದೂ ಪರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು.

ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ಫಿಷರ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಪ್ರಯುಕ್ತಿಸಿ ಅವೇಕ್ಷಿತ ಡಿ ಮತ್ತು ನಮೂದಿಸಿದ P ಇವುಗಳಿಂದ Z ಮತ್ತು ಗಳನ್ನು ಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮಧ್ಯಕ 0 ಮತ್ತು ವಿಚಲನೆ 1/(ಟಿ-3) ಇರುವ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗೆ (Z-) ಎಂಬ ಭ್ರಂಶ ಹರಹಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಭ್ರಂಶ ಅರ್ಥವತ್ತಾಗಿದೆಯೇ ಅಲ್ಲವೇ ಎಂದು ನಾವು ಸುಲಭವಾಗಿ ತಿಳಿಯಬಹುದು. P = 0 ಎಂಬ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವಿಶ್ವವಿಚಲನೆಗಳ ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಂದಾಜುಗಳ ಹೋಲಿಕೆ ಎಂಬ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಪರೀಕ್ಷಣವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಮೇಲು.

ಎರಡು ನಿದರ್ಶನಗಳ ಸಹಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಹೋಲಿಕೆ : ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ನಿದರ್ಶನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಪಡೆದ ಸಹಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಲು ಫಿಷರನ Z ಪರೀಕ್ಷಣವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಟಿ1, ಟಿ2 ಗಾತ್ರದ ನಿದರ್ಶನಗಳಿಂದ ದೊರೆತ ಸಹಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಡಿ1, ಡಿ2

_ಆಗಿರಲಿ. ಇಷ್ಟು ತಿಳಿದರೆ ಆ ಎರಡು ನಿದರ್ಶಜಗಳು ಒಂದೇ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಶ್ವದಿಂದ ಬಂದಿರುವುವೆಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದೇ ? ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಉತ್ತರಿಸಲು ದತ್ತ ನಿದರ್ಶನಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾದ Zನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು : ಅಂದರೆ

Z1= ಟoge , Z2 = , ಈ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಮಧ್ಯಕ 0 ಮತ್ತು ವಿಚಲನೆ 2 =+  ಇರುವ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯಂತೆ ಉಪಸಮವಾಗಿ Z1-Z2 ಎಂಬ ಅಂತರ ಹರಹಿರುವುದು.  Z1-Z2  <1.968 ಆಗಿದ್ದರೆ 5% ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಅರ್ಥವತ್ತಾಗಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಿದರ್ಶನಗಳೆರಡೂ ಒಂದೇ ವಿಶ್ವದಿಂದ ಬಂದಿವೆ 
ಎನ್ನುವ ಆಧಾರಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಒಪ್ಪದಿರಲು ಬಲಯುತ ಕಾರಣವಾವುದೂ ಇಲ್ಲ. ಎರಡು ನಿದರ್ಶನಗಳೂ ಒಂದೇ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಶ್ವದಿಂದ ಬಂದಿವೆ ಎಂಬ ಆಧಾರ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನಾವು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ 15 ಜೊತೆ ಅವೇಕ್ಷಣೆಗಳಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಮಾಡಿದ ಸಹಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕ 0.45 ಎಂದೂ ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ಮತ್ತೊಂದು ನಿದರ್ಶನದಿಂದ ದೊರೆತ ಸಹಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕ 0.72 ಎಂದೂ ಇರಲಿ. ಇವೆರಡೂ ಅರ್ಥವತ್ತಾಗಿ ಬೇರೆಯಾಗಿವೆಯೇ ಎಂದು ನೋಡಲು ಫಿಷರನ ರೂಪಾಂತರದಿಂದ Z1= 0.485 ಮತ್ತು Z2=0.907 ಎಂದು ಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ  ಎರಡು ಬೆಲೆಗಳೂ ಒಂದೇ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಶ್ವದಿಂದ ಬಂದುವು ಎಂಬ ಆಧಾರ ಕಲ್ಪನೆಯ ಮೇರೆಗೆ  Z1-Z2  ಇದರ ಶಿಷ್ಟದೋಷ

ಆಗುವುದು. ಆದರೆ ಅವೇಕ್ಷಣೆಗಳಿಂದ  Z1-Z2   0.421. ಇದು ಶಿಷ್ಟದೋಷಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ Z1-Z2ಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಅರ್ಥವತ್ತಾಗಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಿದರ್ಶನಗಳು ಒಂದೇ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಶ್ವದಿಂದ ಬಂದವು ಎಂಬ ಅಭಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ತಳ್ಳಿಹಾಕುವಂತಿಲ್ಲ.

ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಆಂಶಿಕ ಸಹಸಂಬಂಧಗಳಿಗೂ (ಪಾರ್ಶಿಯಲ್ ಕಾರ್ರಿಲೇಷನ್) ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಯಾವ ಆಂಶಿಕ ಸಹಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಣಕ್ಕೊಳಗಾಗಿಸುತ್ತೇವೋ ಅದರಲ್ಲಿನ ಗೌಣವಾದ ಅಡಿಬರಹಗಳು ಎಷ್ಟಿವೆಯೋ ಅಷ್ಟನ್ನು ಸೂತ್ತದಲ್ಲಿನ ಟಿನ ಬೆಲೆಯಿಂದ ಕಳೆಯಬೇಕು.

ಅನೇಕ ನಿದರ್ಶನಗಳು : ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿದರ್ಶನಗಳಿದ್ದರೂ ಇಂಥದ್ದೇ ಕ್ರಮವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಬಹುದು. ಒಟ್ಟು ಞ ನಿದರ್ಶನಗಳು ಇರುವುವೆಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಿದರ್ಶನ I  ನಿಂದ ದೊರೆತ ಸಹಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕ ಡಿi ಆಗಿರಲಿ (i=1,2,….ಟಿ). ಪ್ರತಿ ಒಂದು ಡಿi ಸಹ ಮೂಲವಿಶ್ವದ ಸಹಸಂಬಂಧ ಗುಣಾಂಕದ ಅಂದಾಜಾಗಿರುವುದು. ಈ ಅಂದಾಜುಗಳು ಏಕರೀತಿಯಾಗಿರುವುವೇ (ಹೊಮೊಜೀನಿಯಸ್) ಎಂಬುದನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಬೇಕಾದರೆ ನಿದರ್ಶನಗಳೆಲ್ಲ ಒಂದೇ ದ್ವಿಚರ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಶ್ವದಿಂದ ಬಂದಿವೆ ಎಂದು ಆಧಾರಕಲ್ಪನೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಫಿಷರನ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಬಳಸಿ ಡಿi ಗಳಿಂದ ಸಂವಾದೀ Zi ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯತ್ತೇವೆ. ಈ ಬೆಲೆಗಳು ಉಪಸಮವಾಗಿ ಒಂದೇ ಮಧ್ಯಕವುಳ್ಳ ಮತ್ತು ವಿಚಲನೆ 1/(ಟಿi-3) ಇರುವ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯಂತೆ ಹರಹಿರುತ್ತವೆ. ಇದರ ಮಧ್ಯಕ ದ ಕನಿಷ್ಠತಮ ವಿಚಲನೆಯ ಅಂದಾಜನ್ನು ಪಡೆಯಲು Zi ಗಳಿಗೆ ಅವುಗಳ ವಿಚಲನೆಗೆ ವಿಲೋಮವಾದ ಭಾರಗಳನ್ನು ನೀಡಿ ಭಾರಿತ ಮಧ್ಯಕವನ್ನು (ವೆಯ್ಟೆಡ್ ಅವರೇಜ್) ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಈ ಮಧ್ಯಕ Z= ಆಗುವುದು, ಪ್ರತಿ Zi ಉಪಸಮವಾಗಿ ಮಧ್ಯಕ  ಮತ್ತು ವಿಚಲನೆ 1/(ಟಿi-3) ಇರುವ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯಂತೆ ಹರಹಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ (ಟಿi-3)(zi-Z)2 ಎಂಬುದು ಉಪಸಮವಾಗಿ ಞ -1 ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಾಂಕದ x2 ವಿತರಣೆಯಂತೆ ಹರಹಿರುತ್ತದೆ. (Z ಎಂಬ ಅಂದಾಜನ್ನು ಗಣಿಸುವುದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಾಂಕ ಲುಪ್ತವಾಗಿದೆ). ಈ ಬೆಲೆ ಅರ್ಥವತ್ತಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಡಿi ಬೆಲೆಗಳು ಏಕರೀತಿಯವು ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ದ ನಿಜ ಬೆಲೆಯನ್ನು Z ನಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಆ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಣಚಿಟಿh  ಎಂಬುದು ವಿಶ್ವದ ಠಿವಿನ ಅಂದಾಜಾಗಿರುವುದು.

ಅವೇಕ್ಷಿತ ಹಿಂಚಲನೆಯ (ಲೀನಿಯರ್ ರಿಗ್ರೆಷ್ಷ್‍ನ್) ಗುಣಾಂಕದ ಅರ್ಥವತ್ತತೆ : ದ್ವಿಚರ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಶ್ವದಿಂದ ತೆಗೆದ ನಿದರ್ಶನದಲ್ಲಿ xನ ಮೇಲಿನ ಥಿಯ ರೇಖೀಯ ಹಿಂಚಲನೆಯ ಗುಣಾಂಕ b ಯ  ಅರ್ಥವತ್ತತೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಬೇಕಾದಲ್ಲಿ ಈ ಕ್ರಮವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಬಹುದು. ನಿದರ್ಶನದಲ್ಲಿ ,ಥಿಗಳ ವರ್ಗಸಂಕಲನಗಳು ಟಿS12 ಮತ್ತು ಟಿS22 ಆಗಿದ್ದರೆ ಟಿಡಿ2S22 = ಟಿS12b2 = b2(xi-)2, ಹಿಂಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಥಿi ಯ ಅಂದಾಜು ಬೆಲೆ ತಿಥಿi ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ (ಥಿi-ತಿಥಿi)2 = ಟಿ(1-ಡಿ2)S22, ಈ ಹಿಂದೆಯೇ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಡಿ2/(1-ಡಿ2) ಎಂಬುದು ಮತ್ತು (ಟಿ-2) ಪ್ರಾಚಲಗಳುಳ್ಳ 2 ವಿವರ್ತದಂತೆ ಹರಹಿರುವುದು. ಆದ್ದರಿಂದ b2(xi-)2/(ಥಿi-)2 ಸಹ 2 ವಿವರ್ತದಂತೆ ಹರಹಿರುವುದು ; ಇದರ ಪ್ರಾಚಲಗಳು ಮತ್ತು (ಟಿ-2) ಇದರಿಂದಾಗಿ

ಣ = b 

ಎಂಬುದು (ಟಿ-2) ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಾಂಕವುಳ್ಳ ಸ್ಟೂಡೆಂಟ್ಸ್ ಣಯಂತೆ ಹರಹಿರುವುದು. ಈ ನಿದರ್ಶನವನ್ನು ಬಳಸಿ ಅವೇಕ್ಷಿತ ಹಿಂಚಲನೆಯ ಗುಣಾಂಕದ ಅರ್ಥವತ್ತತೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು.

ಅತೀತ ಬೆಲೆಗಳ ಪರೀಕ್ಷಣ : ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಲಘುತಮ ಅಥವಾ ಮಹತ್ತಮ ಅವೇಕ್ಷಣೆಯಿಂದ ಒಂದು ನಿದರ್ಶನದ ಪರೀಕ್ಷಣವನ್ನು ನಡೆಸಬೇಕಾಗುವುದು. ನಿದರ್ಶನದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಆರಿಸಿ ತೆಗೆದ ಅವೇಕ್ಷಿತ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಆರೋಹಣ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಹೀಗೆ ಓರಣವಾಗಿರಿಸಿದ್ದೇವೆ ಎನ್ನೋಣ x1<x2<x3< … … <xಟಿ. ಈ ಬೆಲೆಗಳು ಜನಕ ವಿಶ್ವದ (ಪೇರೆಂಟ್ ಪಾಪ್ಯುಲೇಷನ್) ವಿತರಣ ಉತ್ಪನ್ನ ಈ (x) ಆಗಿದ್ದರೆ xಟಿ<x ಎಂಬುದರ ಸಂಭಾವ್ಯತೆ [ಈ(x) ]ಟಿ ಇರುವುದು, ಹೇಗೆಂದರೆ xಟಿ<x ಆಗಿದ್ದರೆ ನಿದರ್ಶನದ ಉಳಿದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬೆಲೆಗೂ ಇದು ಸಾಧುವಾಗುವುದು. ಶಿಷ್ಟ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಶ್ವದಿಂದ ತೆಗೆದ ಟಿ ಗಾತ್ರದ ನಿದರ್ಶನದಲ್ಲಿನ ಮಹತ್ತಮ ಬೆಲೆ xಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿರುವ ಸಂಭವತೆ P(xಟಿ < x) = [  (x) ]ಟಿ. ಇಲ್ಲಿ

 (x) =  ಮಹತ್ತಮ ಬೆಲೆ xನ ಕೆಳಗಣ ಮತ್ತು ಮೇಲಣ ಶತಾಶಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಟಿಪ್ಟೆಟ್ ಮತ್ತು ಪಿಯರ್ಸನ್ ಲೆಕ್ಕ ಮಾಡಿ ಪ್ರಚುರಪಡಿಸಿರುವರು. ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿ ಕೆಳಗಣ ಮತ್ತು ಮೇಲಣ ಶತಾಂಶಬಿಂದುಗಳ ಅಭಿದಾನಗಳನ್ನು ಅದಲು ಬದಲು ಮಾಡಿದರೆ ಲಘುತಮ ಬೆಲೆ x1ನ್ನು ಕುರಿತ ಪರೀಕ್ಷಣಕ್ಕೆ ಇದೇ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ಅವೇಕ್ಷಿತ xi ಗಳನ್ನು ಶಿಷ್ಟ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಶ್ವದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಪಡೆದಿದೆ ಎಂದು ಇಟ್ಟುಕೊಂಡರೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದು xi2 ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಾಂಕ 1 ಇರುವ x2 ವಿವರ್ತವಾಗಿರುವುದು ಆದ್ದರಿಂದ xi2ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ ಗುಣಾಂಕ ಟಿ ಇರುವ x2 ವಿವರ್ತವಾಗಿರುವುದು. ಇದರಿಂದಾಗಿ ಶಿಷ್ಟ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಶ್ವದಿಂದ ಈ ನಿದರ್ಶನ ಬಂದಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು x2 ಪರೀಕ್ಷಣವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಇದೇ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಬೇರೊಂದು ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದಲೂ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ನಿದರ್ಶನದ ಲಘುತಮ ಬೆಲೆ x1 ಆದರೆ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಾಂಕ 1 ಉಳ್ಳ x2 ಮೇರೆಗೆ x12 ಹರಹಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಾಂಕ (ಟಿ-1) ಉಳ್ಳ x2 ಮೇರೆಗೆ  ಹರಿಹಿರುತ್ತದೆ. ಇವೆರಡೂ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುವುವು. ಆದ್ದರಿಂದ x21/ (x22 + x32 + …….+xಟಿ2) ವಿತರಣೆ 2 [, (ಟಿ-1) ] ವಿವರ್ತದಂತಿರುವುದು. ಅದ್ದರಿಂದ 

ಣ = 

ನಿದರ್ಶಜ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಾಂಕ (ಟಿ-1) ಇರುವ ಸ್ಟೂಡೆಂಟನ ಣಯಂತೆ ಹರಹಿರುವುದು ದತ್ತ ನಿದರ್ಶನದಿಂದ ದೊರೆತ ಣ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಣ ಕೋಷ್ಟಕದ ಸಹಾಯದಿಂದ ಪರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಿದರ್ಶನದ ಟಿ ಬೆಲೆಗಳ ಪೈಕಿ ಯಾವುದಾದರೂ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಒಂದು ಬೆಲೆಯ ವರ್ಗಕ್ಕೂ ಉಳಿದ ಟಿ-1 ಬೆಲೆಗಳ ವರ್ಗ ಸಂಕಲನಕ್ಕೂ ಇರುವ ನಿಷ್ಟತ್ತಿ ತಾತ್ತಿಕ್ವವಾಗಿ ದತ್ತ ನಿದರ್ಶನದ ಅವೇಕ್ಷಿತ ನಿಷ್ಪತ್ತಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುವ ಸಂಭಾವೃತ Pಯನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಅವೇಕ್ಷಣೆಯ ವರ್ಗವನ್ನು ಉಳಿದ ಅವೇಕ್ಷಣೆಗಳ ವರ್ಗ ಸಂಕಲನದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಬಂದ ಲಬ್ಧ ಪ್ರಸಕ್ತ ನಿದರ್ಶನದ ಬೆಲೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುವ ಸಂಭಾವ್ಯತೆ ಟಿP (1-P) / (ಟಿ-1) ಇರುವುದು. P ಕಡಿಮೆ ಇದ್ದು ಆದರೆ ಟಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಈ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಯ ಬೆಲೆ ಉಪಸಮವಾಗಿ ಟಿP ಇರುವುದು. ಯಾವುದಾದರೂ ಭಾಗಲಬ್ಧಕ್ಕೆ ಸಂಭಾವ್ಯತೆ 0.05ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಣಯ ಬೆಲೆ ಅರ್ಥವತ್ತಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

(ಎಂ.ವಿ.ಜೆ.)

ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ