ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ/ಕೋಷಿ ವಿತರಣೆ
ಮೂಲದೊಡನೆ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ

ಕೋಷಿ ವಿತರಣೆ  
 ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚರ (ರ್ಯಾಂಡಂ ವೇರಿಯಬಲ್) x ನ ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ಸಾಂದ್ರತೆ (ಪ್ರಾಬೆಬಿಲಿಟಿ ಡೆನ್ಸಿಟಿ)
 ಇದ್ದರೆ x ನ ವಿತರಣೆಗೆ ಈ ಹೆಸರಿದೆ. ವಿಕಿರಣಪಟುತ್ವದ (ರೇಡಿಯೋ ಆಕ್ಟಿವಿಟಿ) ಉಗಮಸ್ಥಾನವೊಂದರಿಂದ α-ಕಣಗಳು ಹೊರಚಿಮ್ಮುತ್ತಿವೆಯೆಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಉಗಮ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ δ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ತಾಕುವ α-ಕಣಗಳು ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. α-ಕಣಗಳು ಚಿಮ್ಮುವ ದಿಶೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಎಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅಂದರೆ ಉಗಮಸ್ಥಾನವನ್ನು ಕೇಂದ್ರವನ್ನಾಗಿಟ್ಟು ವೃತ್ತದ ಸಮಾನ ಉದ್ದದ ಚಾಪಗಳ ಮೇಲೆ α-ಕಣಗಳು ತಾಕುವುದರ ಸಂಭಾವ್ಯತೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದರ್ಥ. θದ ವಿತರಣೆ ಏಕರೀತಿ (ಯೂನಿಫಾರಂ) ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ಸಾಂದ್ರತೆ 1/π ಉಗಮಸ್ಥಾನದಿಂದ ದತ್ತರೇಖೆಗೆ ಎಳೆದ ಲಂಬದ ಪಾದ P ದತ್ತರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಅಳತೆಯ ಮೂಲಬಿಂದುವಾದ ಂ ಯಿಂದ μ ದೂರದಲ್ಲಿರಲಿ, ಕಿ ಎಂಬುದು ದತ್ತರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ; ಮತ್ತು ಕಿ' ಇದರ ಸನ್ನಿಕಟ ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ, ಂಕಿ=x, ಂಕಿ' = x + ಜx,∟Pಔಕಿ=θ ಮತ್ತು ಇರಲಿ. ಈಗ θ ಮತ್ತು θ+ಜθ ಇವುಗಳ ಅಂತರದಲ್ಲಿ θದ ಬೆಲೆ ಇರಬಹುದಾದ ಸಂಭಾವ್ಯತೆ  ಆಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರ-1

 (-π/2) <θ < (π/2) ಹಾಗೂ x - μ = δ ಣಚಿಟಿ θ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಜx = δ seಛಿ2 θ ಜθಇದರಿಂದ x ನ ವಿತರಣೆಯನ್ನು  <x<   ಎಂಬ ರೂಪಕ್ಕೆ ತಂದಿಳಿಸಬಹುದು.  ಇದನ್ನು  (-∞, ∞)  ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಅನುಕಲಿಸಿದರೆ (ಇಂಟಿಗ್ರೇಟ್) 1 ಬರುವುದೆಂಬುದನ್ನು ತಾಳೆನೋಡಬಹುದು. 	ಈ ವಿತರಣೆಯಲ್ಲಿ  μ ಮತ್ತು δ ಎಂಬ ಎರಡು ಪ್ರಾಚಲಗಳಿವೆ. ಮೊದಲನೆಯದಕ್ಕೆ ಸ್ಥಳಮಾನ ಪ್ರಾಚಲ (ಲೊಕೇಶನ್ ಪ್ಯರಾಮೀಟರ್) ಎಂದು ಹೆಸರು; ಎರಡನೆಯದಕ್ಕೆ ಮಾನಕ ಪ್ರಾಚಲ (ಸ್ಕೇಲ್ ಪ್ಯರಾಮೀಟರ್) ಎಂದು ಹೆಸರು.  ತಕ್ಕ ರೂಪಾಂತರದಿಂದ ಕೋಷಿವಿತರಣೆಯನ್ನು   ಎಂಬ ಶಿಷ್ಟರೂಪಕ್ಕೆ ತಂದಿಳಿಸಬಹುದು.
	ಕೋಷಿ ವಿತರಣೆ ಸಮಾಂಗವಾಗಿದೆ (ಸಿಮೆಟ್ರಿಕಲ್) ಮತ್ತು ಇದರ ಬಹುಳಕ ಬೆಲೆ(ಮಾಡೆಲ್ ವ್ಯಾಲ್ಯೂ) μ/δ . ಈ ವಿತರಣೆಯಲ್ಲಿ x ನ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಬೆಲೆ ಅಥವಾ ಮಧ್ಯಮಾನ
		

	ಈ ಅನುಕೂಲನಾಂಕದ ಅಸ್ತಿತ್ವವೇ ಇರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಆದಾಗ್ಯೂ ಇದರ ಪ್ರಧಾನ ಬೆಲೆ  
		

ಹಾಗೂ ಕೋಷಿ ವಿತರಣೆಯ ಎರಡನೆಯ ಪ್ರಘಾತ ಅನಂತವಾಗಿರುವುದ. ಮಧ್ಯಮಾನ ಮತ್ತು ವಿಚಲನೆಯಗಳು ಇಲ್ಲದಿರುವ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ವಿತರಣೆಗೆ ಕೋಷಿ ವಿತರಣೆ ಒಂದು ಸರಳ ದೃಷ್ಟಾಂತ.
	ಕೋಷಿವಿತರಣೆಯಿಂದ ಪ್ರತಿಚಯನ (ಸ್ಯಾಂಪ್ಲಿಂಗ್) : ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೋಷಿ ವಿಚಾರಗಳ (ಕೋಷಿ ವೇರಿಯೇಟ್ಸ್) ಮೊತ್ತದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮುಂದಿನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.
	ಸ್ವತಂತ್ರ ವಿಚರಗಳು x1, x2 ಗಳ ವಿತರಣ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು (ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಸ್) ಈ1(x1), ಈ2(x2) ಆಗಿದ್ದರೆ                                     
z=x1 + x2  ಎಂಬ ವಿಚರದ ವಿತರಣ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು    ಎಂದು ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. 
ಅನುಕಲನದ ಪ್ರಾಂತ  (ಡೊಮೇನ್ ಆಫ್ ಇಂಟಿಗ್ರೇಶನ್)  x1 + x2 ≤ z ಇರುವುದು ಸರಳೀಕರಿಸಲು   ಎಂದಾಗುವುದು ಹಾಗೂ ಈ ಅವಕಲನೀಯವಾದರೆ ಮತ್ತು ಜಿ1, ಜಿ2 ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ x1, x2 ರ ಆವರ್ತಾಂಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾದರೆ  (ಫ್ರೀಕ್ವೆನ್ಸಿ ಫಂಕ್ಷನ್) z ನ ಆವರ್ತಾಂಕ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು  ಎಂದು ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. ಈಗ x1, x2 ರ ಆವರ್ತಾಂಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು  ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ z ನ ಸಭಾವ್ಯತಾ ಸಾಂದ್ರತೆ
	
ಈ ಪ್ರರೂಪವನ್ನು ಗಮನವಿಟ್ಟು ನೋಡಿದರೆ ಸಮಾನ ವಿತರಣೆಯುಳ್ಳ ಟಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೋಷಿ ವಿಚರಗಳ ಮೊತ್ತ z ನ ವಿತರಣೆಯ ಆವರ್ತಾಂಕ ಉತ್ಪನ್ನ  ಇರುವುದೆಂದು ಊಹಿಸಬಹುದು. ಇದು ಸಾಧುವೆಂಬುದನ್ನು ಗಣಿತಾನುಗಮನದಿಂದ (ಮ್ಯಾಥ್‍ಮ್ಯಾಟಿಕಲ್ ಇಂಡಕ್ಷನ್) ಸ್ಥಾಪಿಸಬಹುದು. 
ಕೋಷಿ ಸಮಷ್ಟಿಯಿಂದ (ಪಾಪ್ಯುಲೇಷನ್) ಪ್ರತಿಚಯಿಸಿದ ಟಿ ಗಾತ್ರದ ನಿದರ್ಶನದ ಮಧ್ಯಕ    ಆಗಿದ್ದರೆ,  ಆಗುವುದು. ಆದ್ದರಿಂದ  ನ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು : ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಎಂಬ ಸರಳರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಬಹುದು. ಇದು ಜನಕ ಸಮಷ್ಟಿಯ (ಪೇರೆಂಟ್ ಪಾಪ್ಯುಲೇಷನ್) ವಿತರಣೆಯೇ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ನಿದರ್ಶನ ಮಧ್ಯಮಾನದ ವಿತರಣೆ ಸಮಷ್ಟಿಯಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ದ ಒಂಟೆ ಅವೇಕ್ಷಣೆಯ ವಿತರಣೆಗೆ ತತ್ಸಮವಾಗಿರುವುದು. ಇದರ ಅರ್ಥವೇನೆಂದರೆ ಕೋಷಿ ಸಮಷ್ಟಿಯಿಂದ ಆಯ್ದ ನಿದರ್ಶನದ ಗಾತ್ರ ಹೆಚ್ಚಿದಂತೆಲ್ಲ ಹೆಚ್ಚೇನೂ ಮಾಹಿತಿ ದೊರೆಯುವುದಿಲ್ಲ. ಒಂಟಿ ಅವೇಕ್ಷಣೆಯಿಂದ ಸಿಗುವ ಮಾಹಿತಿಯಷ್ಟೇ ದೊರೆಯುವುದು. 
ಮತ್ತೊಂದು ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ನೋಡಿದರೆ ಇದು ಕೇಂದ್ರ ಪರಿಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯದ (ಸೆಂಟ್ರಲ್ ಲಿಮಿಟ್ ಥಿಯೊರಂ) ವಿಫಲತೆಗೆ ಒಳ್ಳೆಯ ಉದಾಹರಣೆ. ಕೇಂದ್ರ ಪರಿಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯದ ಮೇರೆಗೆ ನಿದರ್ಶನದ  ಗಾತ್ರ ಟಿ ನ ಬೆಲೆ ಹೆಚ್ಚಿದಂತೆಲ್ಲ ನಿದರ್ಶನ ಮಧ್ಯಮಾನದ ವಿತರಣೆ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ (ನಾರ್ಮಲ್) ವಿತರಣೆಗೆ ಉಪಸರಿಸುವುದು. ಆದರೆ ಕೋಷಿ ವಿತರಣೆಗೆ ಎರಡನೆಯ ಪ್ರಘಾತ (ಮೊಮೆಂಟ್) ಇಲ್ಲದಿರುವುದರಿಂದ ಈ ಫಲ ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ.    
ಕೋಷಿ ವಿಚರದ ಒಕ್ಷಣ ಉತ್ಪನ್ನ (ಕ್ಯಾರೆಕ್ಟರಿಸ್ಟಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್) : ಒಂದು ವಿತರಣೆಯ ಸಾಂದ್ರತಾ ಉತ್ಪನ್ನ ಜಿ(x) ಇದ್ದರೆ, Φ(x)=ಇ(eiಣx)  ಎಂಬ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು x ವಿಚರದ ಲಕ್ಷಣ ಉತ್ಪನ್ನ ಅಥವಾ ಲಕ್ಷಣೀ ಎಂದು ಹೇಳುವುದುಂಟು.                   
ಇದನ್ನು ಉಕ್ತವಿತರಣೆಯ ಲಕ್ಷಣೀ ಎಂದು ಸಹ ಹೇಳುವುದುಂಟು. ಬಿಡಿಸಿ ಬರೆದರೆ ಎಂದಾಗುವುದು. ಇದರ ಪ್ರಕಾರ ಕೋಷಿ ವಿತರಣೆಯ ಲಕ್ಷಣ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು   ಎಂದು ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. siಟಿ ಣx ವಿಷಮ ಉತ್ಪನ್ನ (ಆಡ್ ಫಂಕ್ಷನ್) ಆಗಿರುವ್ಯದರಿಂದ ಈ ಅನುಕಲನಾಂಕ  ಎಂಬ ಸರಳರೂಪಕ್ಕೆ  ಇಳಿಯುವುದು. ಪರಿರೇಖಾನುಕಲನ (ಕಾಂಟೂರ್ ಇಚಿಟಿಗ್ರೇಷನ್) ರೀತ್ಯಾ ಇದರ ಬೆಲೆಯನ್ನು eiಣμ/δe - IಣδI ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ಸ್ಥಳಮಾನ ಪ್ರಾಚಲಗಳು  μ1, μ2…………..,μಟಿ ಇರುವ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಮಾನಕ ಪ್ರಾಚಲ δ ಇರುವ ಟಿ ಕೋಷಿ ವಿತರಣೆಗಳಿಂದ ಹೊರಪಟ್ಟ ಟಿ ಸ್ವತ್ರಂತ್ರ ಅವೇಕ್ಷಣೆಗಳ ಮಧ್ಯಕರ ಲಕ್ಷಣ ಉತ್ಪನ್ನ eiಣμ/δe — IಣδI ಇರುವುದು; ಇಲ್ಲಿ μ=(μ1+μ2+….+μಟಿ)/ಟಿ.. ಆದ್ದರಿಂದ ಟಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಅವೇಕ್ಷಣೆಗಳ ಮಧ್ಯಮಾನದ ವಿತರಣೆ ವವಿಕ್ತಸ್ಥಳ ಮಾನಗಳ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಸ್ಥಳಮಾನವಾಗುಳ್ಳ ಮತ್ತೊಂದು ಕೋಷಿ ವಿತರಣೆಯಾಗಿರುವುದು. ಒಂದೇ ಕೋಷಿ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ಹೊರಪಟ್ಟ ಸ್ವತಂತ್ರ ಅವೇಕ್ಷಣೆಗಳು ಎಷ್ಟೇ ಆದರೂ ಇವುಗಳ ಮಧ್ಯಮಾನದ ವಿತರಣೆ ಒಂಟಿ ಅವೇಕ್ಷಣೆಯ ವಿತರಣೆಯಾಗಿಯೇ ಉಳಿಯುವುದು. ಇಲ್ಲಿ ಲಕ್ಷಣ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಹಾಯದಿಂದ ಸಿದ್ಧಿಸಿದ ಈ ಫಲವನ್ನು ಮಾರ್ಗಾಂತರದಿಂದ ಮೇಲೆ ಸಾಧಿಸಿದ್ದೇವೆ. 
	ಈಗ μi=0,I=1,2,…….,ಟಿ ಮತ್ತು δ=1 ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಲಕ್ಷಣ e-IಣI ಉತ್ಪನ್ನ ಇರುವುದು.
	ವ್ಯಸ್ತೀಕರಣ ಪ್ರಮೇಯ (ಇನ್ವರ್ಶನ್ ಥಿಯೊರಂ) : ಈಗ ಒಂದು ಸ್ವಾರಸ್ಯವಾದ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಎತ್ತಬಹುದು. ಲಕ್ಷಣ ಉತ್ಪನ್ನ e-IಣI ಇರುವಚಿಥ ವಿತರಣೆ ಯಾವುದಾದರೂ ಇರುವುದೇ; ಇರುವುದಾದರೆ ಅದು ಯಾವ ವಿತರಣೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ಗಣಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯವಿದೆ:
  ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ  
ಈ ಫಲಕ್ಕೆ ವ್ಯಸ್ತೀಕರಣ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಇದರಲ್ಲಿ  ಎಂಬ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿ ಸರಳೀಕರಿಸಿದರೆ
ಎಂದಾಗುವುದು. ಕಂಸದೊಳಗಿನ ಪದಾವಳಿಯನ್ನು 2ಛಿos  x ಎಂದು ಬರೆದು, ಭಾಗಶಃ (ಬೈಪಾಟ್ರ್ಸ್) ಅನುಕಲಿಸಲು  ದೊರೆಯುವುದು, (-∞<x<∞). ಅಂದರೆ,  ಒಂದು ವಿತರಣೆಯ ಲಕ್ಷಣ e-IಣI ಇದ್ದರೆ ಅದು ಕೋಷಿ ವಿತರಣೆಯಾಗಿರಬೇಕು. 
	ಗಾಮವಿತರಣೆಯೊಡನೆ ಸಂಬಂಧ : ಎರಡು ಸವತಂತ್ರ ಗಾಮ ವಿಚರಗಳ ಭಾಗಲಬ್ದದ ವಿತರಣೆ ಎರಡನೆಯ ಪ್ರಕಾರದ ಬೀಟ (β2)ವಿತರಣೆಯಾಗಿರುವುದು. ಇದರ ಸಹಾಯದಿಂದ ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಶಿಷ್ಟ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಚರಗಳ (ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ನಾರ್ಮಲ್ ಮೆರಿಯೇಟ್ಸ್) ಭಾಗಲಬ್ಧ ಕೋಷಿ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವುದೆಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು.
	ಶಿಷ್ಟ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಚರದ ವರ್ಗ ಗಾಮವಿಚರ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಾಚಲ ಳಿ
.  ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಶಿಷ್ಟ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಚರಗಳ ಭಾಗಲಬ್ಧ z ಆಗಿದ್ದರೆ z2 ವಿಚರ ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಪ್ರಾಚಲ ಳಿ. ಇರುವ ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಗಾಮ ಚರಗಳ ಭಾಗಫಲದ ವಿತರಣೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು (ಳಿ , ಳಿ) ಪ್ರಾಚಲಗಳ β2 ವಿಚರ, ಇದರ ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ಅವಕಲಜ (ಪ್ರಾಬೆಬಿಲಿಟಿ ಡಿಫರೆನ್ಶಿಯಲ್) . ಇದನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು  ಎಂಬ ವಿತರಣೆ ದೊರೆಯುವುದು.
	ಇದರಿಂದ ಮತ್ತೊಂದು ಸ್ವಾರಸ್ಯವಾದ ಫಲವನ್ನು ಸಾಧಿಸಬಹುದು. x, ಥಿ ಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರ ಶಿಷ್ಟ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಚರಗಳಾಗಿರಲಿ. x, ಥಿ ಸಮಷ್ಟಿಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿಚಯಿಸಿದ ಟಿ ಗಾತ್ರದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕನಿದರ್ಶನಗಳ ಮಾಧ್ಯಮಾನಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಇದ್ದರೆ   ಇದರ ವಿತರಣೆಯೂ x / ಥಿ ಇದರ ವಿತರಣೆಯೂ ಒಂದೇ ಇರುವುದು. 
	ನಿದರ್ಶನ ಅಂದಾಜು (ಸ್ಯಾಂಪಲ್ ಎಸ್ಟಿಮೇಟ್) : ಮಾನಕ δ = 1 ಇರುವ ಕೋಷಿ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಅದರ ಸಾಂದ್ರತಾ ಉತ್ಪನ್ನ  ಇರುವುದು, (-∞<x<∞) .ಸ್ಥಳಮಾನ ಪ್ರಾಚಲ μ ವಿನ ಒಳ ವಿನ ವಿನ Áಜನ್ನಾಗಿ ನಿದರ್ಶನದ ಮಧ್ಯಕವನ್ನು ಬಳಸುವಂತಿಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ ಕೋಷಿ ವಿತರಣೆಯ ಒಂಟಿ ಅವೇಕ್ಷಣೆಗಿಂತ ಆ ನಿದರ್ಶನ ಉತ್ತಮವೇನೂ ಅಲ್ಲ. ಈ ಕಾರಣದಿಂದ ನಿದರ್ಶನದ ಮಾಧ್ಯಕವನ್ನು (ಮೀಡಿಯನ್) ಅಂದಾಜನ್ನಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಗಾತ್ರ ಟಿ ಇರುವ ಹಿರಿಯ ನಿದರ್ಶನಗಳಲ್ಲಿ ಇದರ ವಿಚ ವಿರ ವಿರ ವಿiÀುನ್ಸ್) π2/4ಟಿ ಇರುವುದು. ಗಾತ್ರ ಟಿ ಇರುವ ನಿದರ್ಶನದಿಂದ ಗರಿಷ್ಠತಮ ಪಾಯಿಕ ಅಂದಾಜನ್ನು (ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಂ ಲೈಕ್ಲಿಹುಡ್ ಎಸ್ಟಿಮೇಟ್) ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು.
	
ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಿಡಿಸಿ μ ವಿನ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಿದರೆ (2 ಟಿ -1) ಘಾತದ ಬಹುಪದಿ ದೊರೆಯುವುದು.  ಟಿ ನ	 ಬೆಲೆ ಸಣ್ಣದಿದ್ದಾಗ್ಯೂ ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಿಡಿಸುವುದು ಕಷ್ಟತರವಾಗುವುದು.  ಗರಿಷ್ಠತಮ ಪ್ರಾಯಿಕ ಅಂದಾಜನ್ನು ಖಿ ಎಂದು sಸೂಚಿಸಿದರೆ ಅದರ ವಿಚಲನೆ ಗಿ(ಖಿ) ಯನ್ನು ಹೀಗೆ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು.
	
	ಇಲ್ಲಿ μ0 ಎಂಬುದು μವಿನ ವಾಸ್ತವ ಬೆಲೆ. ಬಲಗಡೆಯಲ್ಲಿ ಮೊದಲು ಅವಕಲನಾಂಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದು, ಅದರ ಗಣಿತ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಗಣನೆ ಮಾಡಿ ಅದರಲ್ಲಿನ μ ವಿಗೆ μ0 ಎಂಬ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಆದೇಶಿಸಬೇಕು. ಮೇಲೆ ಕಾಣಿಸಿದ ಕೋಷಿ ವಿತರಣೆಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವ  ಜಿ(x) ನ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಲು

ಅಂದರೆ, ಗಿ(ಖಿ)=2/ ಟಿ . ಆದರಿಂದ ಅಂದಾಜಿನ ಕನಿಷ್ಠತಮ ವಿಚಲನ 2/ ಟಿ ಎಂದು ಸ್ಥಿರಪಟ್ಟಿದೆ. ಹಿರಿಯ ನಿದರ್ಶನಗಳಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯಕರ ವಿಚಲನೆ  π2/4ಟಿ ಎಂದು ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ್ದೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಮಧ್ಯಕದ ದಕ್ಷತೆ = . ಅಂದರೆ ಸುಮಾರು 0.8 ಎಂದು ಗೊತ್ತಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ತಕ್ಕಮಟ್ಟಿಗೆ ಸಮರ್ಪಕವಾಗಿದೆ ಎನ್ನ ಬಹುದಾದರೂ ಇದನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಉತ್ತಮಗೊಳಿಸುವುದು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ ಮತ್ತಷ್ಟು ಒಳ್ಳೆಯದು. ತಿದ್ದುಪಡಿ ಪದ (ಕರೆಕ್ಷನ್ ಟರ್ಮ್) ಒಂದನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಈ ಅಂದಾಜನ್ನು ಇನ್ನಿಷ್ಟು ಕೂರು ಅಥವಾ ನಿಶಿತ ಮಾಡಬಹುದು. ತಿದ್ದುಪಡೆ ಪದವನ್ನು ಹೀಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ಗರಿಷ್ಠತಮ ಅಂದಾಜು ಖಿ ಮತ್ತು ಅನ್ಯಯಾವುದಾದರೂ ಅಂದಾಜು U ಇವುಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ   ಹಿರಿದಾದ ಟಿ ಗೆ. ಟೇಲರ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ  ಉಚ್ಚತರ ಕ್ರಮಪದಗಳು (ಹೈಯರ್ ಆರ್ಡರ್ ಟಮ್ರ್ಸ) ಇದರಲ್ಲಿನ (U-ಖಿ) ಯ ಬೆಲೆ ಕಿರಿದಾಗಿರುವುದರಿಂದ  ಗೆ
ಬದಲು ಇದರ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಆದೇಶಿಸಬಹುದು. ಕಡೆಯಲ್ಲಿರುವ ಉಚ್ಚತರ ಕ್ರಮದ ಪದಗಳನ್ನು ತೊರೆದರೆ
  ಎಂಬ ಸನ್ನಿಕಟ ಸಾಮ್ಯ ದೊರೆಯುವುದು.  ಈಗ ಯನ್ನು ಪೃಥಕ್ಕರಿಸಲು
		
ಎಂದಾಗುವುದು. ಬಲಗಡೆಯ ಎರಡನೆಯ ಪದವೇ U ಯನ್ನು ಖಿ ಗೆ ಹತ್ತಿರ ಒಯ್ಯುವ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಪದ. ನಿದರ್ಶನದ ಮಧ್ಯಕವನ್ನು U ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ವಿನ ಬೆಲೆಯನ್ನೂ ಮೇಲೆ ನಿರೂಪಿಸಿರುವ ಗಿ(ಖಿ) ಯ ಬೆಲೆಯನ್ನೂ ಖಿ ಯ ಸನ್ನಿಕಟ ಬೆಲೆಯ ಪದಾವಳಿಯನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿ ಅರ್ಧಕಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು  ದಕ್ಷವಾದ ಅಂದಾಜನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಸಂಸ್ಕರಿಸಿದ ಅಂದಾಜನ್ನು ಹೀಗೆ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು
		

	ಕೋಷಿ ವಿತರಣೆಯ ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಣ : ವಿಕಿರಣಪಟುತ್ವದ ಉಗಮಸ್ಥಾನದಿಂದ ಹೊರ ಚಿಮ್ಮುವ α ಕಿರಣಗಳು δಲಂಬದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಸಮತಲ ತಡಿಕೆಯ ಮೇಲೆ ತಟ್ಟುತ್ತವೆ. ಅವುಗಳ ವಿತರಣೆ ಏನಿರುವುದೆಂದು ನೋಡೋಣ. ತಡಿಕೆಯ ಸಮತಳದ ಮೇಲೆ ಎರಡು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬಾಕ್ಷರಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. α ಕಣ ತಡಿಕೆಯನ್ನು ಬಡಿಯುವ ಚರ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಕಗಳು ( x, ಥಿ) ಇರಲಿ.  ಉಗಮ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ತಡಿಕೆಗೆ ಲಂಬವನ್ನೆಳೆಯಬೇಕು. ಈ ಲಂಬದ ಉದ್ದ  δ . ಲಂಬಪಾದದ ನಿದೇರ್ಶಕಗಳು (μ1, μ2) ಆಗಿರಲಿ. ಉಗಮಸ್ಥಾನದಿಂದ ತಡಿಕೆಗೆ ಬಡಿಯುವ α ಕಣ ಹಾರುವ ದಿಶೆಯನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಕಾಣಿಸಿದ ಎರಡು ನಿರ್ದೇಶಕಗಳಿಂದ ನಿಗದಿಸಬಹುದು : ತಡಿಕೆಯ ಲಂಬದೊಡನೆ ಮಾಡುವ Φ ಕೋನ; ಮತ್ತು ತಡಿಕೆಯ ಮೇಲೆ ಈ ದಿಶೆಯಿಂದಾದ ವಿಕ್ಷೇಪಕ್ಕೂ x- ಅಕ್ಷಕ್ಕೂ ನಡುವೆ ಇರುವ θ ಕೋನ. ಉಗಮಸ್ಥಾನದಿಂದ α ಕಣಗಳು ಹಾರುವದಿಕ್ಕು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ. ಅಂದರೆ ಉಗಮ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕೇಂದ್ರವಾಗುಳ್ಳ ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಸಮಾನಸಲೆಗಳ ಮೇಲೆ ತಾಕುವ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಗಳು ಸಮಾನ. (θ,θ+ಜ θ), (Φ, Φ+ಜ Φ) ಎಂಬ ಬೆಲೆಗಳಿಂದ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುವ ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ά ಕಣ ತಾಕುವ ಸಂಭಾವ್ಯತೆ ಛಿ siಟಿ Φಜ θಜ Φ ಇರುವುದು (ಛಿ ಒಂದು ನಿಶ್ಚಿತಸಂಖ್ಯೆ). ತಡಿಕೆಯ ಮೇಲೆ  α ಕಣ ಬಡಿಯುವ ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಾನನಿರ್ದೇಶಕಗಳು (x,ಥಿ) ಇದ್ದರೆ, (x, ಥಿ) ಗಳ ಜಂಟಿವಿತರಣೆಯನ್ನುನÀುನÀುನಸುತ್ತೇವೆ. x, ಥಿ ಮತ್ತು θ,Φ ಇವುಗಳಿಗಿರುವ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೀಗೆ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು.
		x=μ1+δ ಣಚಿಟಿΦ ಛಿosθ
		ಥಿ=μ2+δ ಣಚಿಟಿΦ siಟಿθ
		ಜxಜಥಿ=δ2 siಟಿΦ seಛಿ3Φ ಜθ ಜΦ
ಈ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಛಿ siಟಿΦ ಜθ ಜΦ ಎಂಬುದರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದರೆ
	ಛಿ[δ2+(x-μ1)2+(ಥಿ-μ2)2]-3/2ಜxಜಥಿ

ದೊರೆಯುವುದು. ಇದೇ  (x, ಥಿ) ಗಳ ಅಭೀಷ್ಟ ಜಂಟಿವಿತರಣೆ. ಇದನ್ನು ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳ ಕೋಷಿ ವಿತರಣೆ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಇದೇ ಪ್ರಕಾರವಾಗಿ ಈ ವಿತರಣೆಯನ್ನು 3,4, . . . . ಮಡಿ ಆಯಾಮಗಳಿಗೂ ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಿಸಬಹುದು.
	ಮೇಲೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ವಿತರಣೆಯ ಅವಕಲಿಯನ್ನು ಥಿ ಬಗ್ಗೆ  ಅನುಕಲಿಸಿದರೆ x ನÀರೆ Àಲಿಸಿದರೆ Àಲಿಸಿದರೆ (ಮಾರ್ಜಿನಲ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್) ದೊರೆಯುವುದು. x ನ ವ್ಯಾಪ್ತಿ (-∞, ∞) ಇರುವುದು. ಹೀಗೆ ಲಭಿಸಿದ ವಿತರಣೆ  ಕೋಷಿ  

ಇಲ್ಲಿ μ1 ಕ್ಕೆ μ ಎಂದು ಬರೆದಿದೆ. ಇದು ನಮಗೆ ಪೂರ್ವಪರಿಚಿತವಾದ ಕೋಷಿ ವಿತರಣೆಯಾಗುವುದು. ಇದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಕೋಷಿ ವಿತರಣೆ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಿದಂತೆ ಡಿ ಆಯಾಮಗಳಿಗೆ ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಿಸಿದ ಕೋಷಿ ವಿತರಣೆಯ ರೂಪ
, (ಅ ಸ್ಥಿರಾಂಕ)
ಎಂದಾಗುವುದು.
	ಕೋಷಿ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಿಸಬಹುದು. ಕೋಷಿ ವಿಚರವನ್ನು ಒಂದು ಆಯಾಮದ ವಿಚರವನ್ನಾಗಿಯೇ ಉಳಿಸಿಕೊಂಡು ಛೇದದ ಘಾತವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬಹುದು. ಆಗ ವಿತರಣೆ
 ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಎಂಬ ರೂಪವನ್ನು ತಾಳುವುದು. ಇದು ಏಕಬಹುಲಕ (ಯೂನಿಮೋಡಲ್) ವಿತರಣೆ ಮತ್ತು x= μ ರೇಖೆಯ ಸಮಸಂಗತವಾಗಿರುವುದು. ಅಸ್ತಿತ್ವವಿರುವ ವಿಷಮ ಪ್ರಘಾತಗಳು (ಆಡ್‍ಮೊಮೆಂಟ್ಸ್) ಸೊನ್ನೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಞ ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಬೆಲೆ δ2m-1 /ಃ (ಳಿ, m-1/2) ಇರುವುದು. ಇಲ್ಲಿ ¨ಃ ಎಂಬುದು ಬೀಟ ಉತ್ಪನ್ನ m = 1 ಆದಾಗ ಞ=δ/π ಆಗುವುದು ಮತ್ತು ಹಿಂದೆ ಸಾಧಿಸಿದ ಫಲಗಳೊಂದಿಗೆ ತಾಳೆ ಬೀಳುವುದು. ಯುಗ್ಮಪ್ರಘಾತಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಸಾಧಿಸಬಹುದು. ಮಧ್ಯಮಾನದ (ಮೀನ್) ಸುತ್ತ ತೆಗೆದ 2 ಡಿ ಕ್ರಮದ ಪ್ರಘಾತ (ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಿಂದ)
		
ಈಗ 2 m > 2ಡಿ + 1 ಇದ್ದಾಗ ಮಾತ್ರ ಈ ಅವಕಲನಾಂಕ ಅಭಿಸರಿಸುವುದು (ಕನ್ವರ್ಜಸ್). ಆದ್ದರಿಂದ (2 m -1) ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಕ್ರಮದ ಯುಗ್ಮ ಪ್ರಘಾತಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಇರುವುದು; ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಮದ ಪ್ರಘಾತಗಳು ಅಲಭ್ಯವಾಗುವುವು. ವಿತರಣೆಯ ರೂಪವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಿ  ಛಿಜಥಿ (1+ ಥಿ2) m ಎಂಬ ರೂಪಕ್ಕಿಳಿಸಬಹುದು. 2ಡಿ<(2 m -1) ಇದ್ದಾಗ 2ಡಿ ಕ್ರಮದ ಪ್ರಘಾತ
		
ಇರುವುದು. m >1 ಆದಾಗ ವಿತರಣೆಯ ಮಧ್ಯ ಮಾನಕ್ಕೆ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಉಂಟು. ಮತ್ತು ಅದರ ಬೆಲೆ ಸೊನ್ನೆ.  (ಎಂ.ವಿ.ಜೆ.)

ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ