ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ/ಕ್ಯಾಟೆನರಿ
ಮೂಲದೊಡನೆ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ

ಕ್ಯಾಟೆನರಿ

ಏಕರೀತಿ ಸಾಂದ್ರತಾ ವಿತರಣೆ ಇರುವ ಒಂದು ತಂತಿಯ ಎರಡು ಕೊನೆಗಳನ್ನು ಸ್ಥಿರಗೊಳಿಸಿ ಸ್ವಂತತೂಕದಿಂದಲೇ (ಗುರುತ್ವಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ) ತೂಗುವಂತೆ ವಿಧಿಸಿದಾಗ ಆ ತಂತಿ ತಳೆಯುವ ಆಕಾರ. ಇದೊಂದು ಗಣಿತವಕ್ರರೇಖೆ. ಇದರ ಸಮೀಕರಣ (ಸೂಕ್ತ ನಿರ್ದೇಶಕಾಕ್ಷಗಳ ಆಯ್ಕೆಯಿಂದ)

ಇಲ್ಲಿ ಛಿ ಒಂದು ಪ್ರಾಚಲ. ಂಔಃ ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ತೂಗುತ್ತಿರುವ ಒಂದು ಏಕರೀತಿಯ ತಂತಿ ಆಗಿರಲಿ.   ಂ,ಃ ಸ್ಥಿರಬಿಂದುಗಳು. ಔ ಈ ತಂತಿಯ ಅತ್ಯಂತ ಕೆಳಗಿನ ಬಿಂದು.  ಇದನ್ನು ಮೂಲಬಿಂದುವನ್ನಾಗಿಯೂ ಅಲ್ಲಿ ತಂತಿಗೆ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶರೇಖೆಯನ್ನು (ಇದು ಕ್ಷಿತಿಜೀಯವಾಗಿರುವುದು) x -  ಅಕ್ಷರವನ್ನಾಗಿಯೂ ಆಯುತ್ತೇವೆ. P  ತಂತಿಯ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುಆಗಿರಲಿ.  

ಚಿತ್ರ-1

ಔP    ತುಣುಕಿನ ಉದ್ದ  s  ಆಗಿರಲಿ,  ಔP  ತುಣುಕಿನ ಸಮತೋಲ P  ಯಲ್ಲಿ ವರ್ತಿಸುವ ಕರ್ಷಣ ಖಿ . ಔP ಯ ತೂಕ sತಿ  ಮತ್ತು ಔ  ನಲ್ಲಿ ವರ್ತಿಸುವ ಕರ್ಷಣ ಖಿ0    ಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿತವಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ತಿ ತಂತಿಯ ಏಕಮಾನ ಉದ್ದದ ತೂಕ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸ್ಥಿತಿವಿಜ್ಞಾನದ ನಿಯಮಾನುಸಾರವಾಗಿ     
   ಖಿ ಛಿos ψ  =  ಖಿ0 ≡  ತಿಛಿ  ಆಗಿರಲಿ, ಛಿ  ಒಂದು  ಸ್ಥಿರಾಂಕ
   ಖಿ siಟಿ ψ  = sತಿ
ಸಮೀಕರಣಗಳು ದೊರೆಯುತ್ತವೆ. 
	s = ಛಿ ಣಚಿಟಿ ψ
ಇದು ತಂತಿ ತಳೆದಿರುವ ಆಕಾರದ, ಅಂದರೆ ಕ್ಯಾಟೆನರಿಯ, ನಿಜಸಮೀಕರಣ (ಇನ್‍ಟ್ರಿನ್ಸಿಕ್ ಇಕ್ವೇಷನ್). ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ನಿಯಮಗಳಿಂದ 
	s = ಛಿ  ಜಥಿ/ಜx
ಎಂದು ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು ಇದನ್ನು ಅವಕಲಿಸಿ ದೊರೆಯುವ ಸಮೀಕರಣ

ಇದನ್ನು ಅನುಕಲಿಸಿದಾಗ
			
ದೊರೆಯುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಪುನಃ ಅನುಕಲಿಸಿದಾಗ
		

ದೊರೆಯುತ್ತದೆ. ಈಗ, ಮೂಲಬಿಂದುವನ್ನು ಔಥಿ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಋಣದಿಶೆಯಲ್ಲಿ ಛಿ ದೂರದಲ್ಲಿ ಔ' ಎಂಬಲ್ಲಿ ಆಯ್ದು ಔ'ಥಿ ಯನ್ನು ಥಿ-  ಅಕ್ಷವಾಗಿಯೂ ಔ' ಮೂಲಕ  ಇದಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಲಂಬವನ್ನು ಥಿ- ಅಕ್ಷವಾಗಿಯೂ (ಇದು ಮೊದಲಿನ x-  ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ).

ಚಿತ್ರ-2

 ಆಯ್ದರೆ ಕ್ಯಾಟೆನರಿಯ ಸಮೀಕರಣ 
 ಆಗುತ್ತದೆ.

	ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ವಿನ್ಯಾಸಗಳ ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಹಾಗೂ ಇದರ ಹಲವಾರು ರೂಪಾಂತರಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಪ್ರಮುಖಪಾತ್ರ ವಹಿಸುತ್ತದೆ. 								    *

ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ