ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ/ಕ್ಯಾಟಿಗೊರಿಗಳು ಮತ್ತು ಫಂಕ್ಟರುಗಳು
ಮೂಲದೊಡನೆ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ

ಕ್ಯಾಟಿಗೊರಿಗಳು ಮತ್ತು ಫಂಕ್ಟರುಗಳು  

ಕ್ಯಾಟಿಗೊರಿ ಎಂಬ ಹೆಸರಿನ ಗಣಿತೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆ(ಗಳ ಅಧಿವ್ಯವಸ್ಥೆ)ಗಳನ್ನೂ ಅಂಥ ಎರಡು (ಅಧಿ) ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ನಡುವೆ ಇರಬಹುದಾದ ಫಂಕ್ಟರುಗಳು ಎಂಬ ಹೆಸರಿನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನೂ ಎರಡು ಫಂಕ್ಟರುಗಳ ನಡುವೆ ಇರಬಹುದಾದ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳನ್ನೂ (ನ್ಯಾಚುರಲ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ ಫಾರ್ಮೇಷನ್ಸ್) ಅಮೆರಿಕನ್ ಗಣಿತಜ್ಞರಾದ ಸ್ಯಾಮ್ಯುಯೆಲ್ ಐಲೆನ್ ಬರ್ಗ್ ಮತ್ತು ಸೌಂಡರ್ಸ್ 1945ರಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದರು. ಅಲ್ಲಿಂದೀಚೆಗೆ ಕ್ಯಾಟಿಗೊರಿ ಮತ್ತು ಫಂಕ್ಟರು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಬೀಜಗಣಿತೀಯ ಟೊಪಾಲೊಜಿ, ಬೀಜಗಣಿತೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮೊದಲಾದ ಗಣಿತಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಅತಿ ಮಹತ್ವಪೂರ್ಣ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತಲಿವೆ.

	ಗಣಿತೀಯ ಧಾತುಗಳ ಅನೇಕ ವ್ಯವಸ್ಥೇಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಧಾತುಗಳನ್ನು ಯಾವುದಾದರೊಂದು ನಿಯಮದ ಮೇರೆಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಿ ಮೂರನೆಯ ಧಾತುವೊಂದನ್ನು ರಚಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆ ಇರುತ್ತದೆಂಬುದು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ತಿಳಿದ ಸಂಗತಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಧಾತುಗಳನ್ನು ಕೂಡಿ (ಅಥವಾ ಗುಣಿಸಿ) ಮತ್ತೆ ಒಂದು ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು; ಧನ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಧಾತುವನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಧಾತುವಿನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಪುನಃ ಒಂದು ಧನ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಈ ಬಗೆಯ ಸಂಯೋಜನಾ ಸಾಧ್ಯತೆ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿರಬೇಕಾಗುದೇನಿಲ್ಲ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ 3ನ್ನು 5 ರಿಂದ ಕಳೆಯಬಹುದೇ ವಿನಾ 5ನ್ನು 3 ರಿಂದ ಕಳೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದಕಾರಣ ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ(5-3) ಎಂಬ ಸಂಯೋಜನೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿತ (ಡಿಫೈನ್ಡ್), ಆದರೆ (3-5) ಎಂಬ ಸಂಯೋಜನೆ ಅವ್ಯಾಖ್ಯಿತ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಮೊತ್ತ, ಶೇಷ, ಗುಣಲಬ್ಧ, ಭಾಗಲಬ್ಧ-ಇವು ಸಂಯೋಜನೆಗಳಿಗೆ (ಕಾಂಪೋಸಿಷನ್ಸ್) ನಾಲ್ಕು ನಿದರ್ಶನಗಳು ಮಾತ್ರ; ಇವಲ್ಲದೆ ಪರಿಶೀಲಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಇನ್ನೂ ಅನೇಕ ರೀತಿಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಲು ಶಕ್ಯವಿರಬಹುದಷ್ಟೆ. ಈಗ ಗಣತೀಯ ಧಾತುಗಳ ಅ ಎಂಬ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೊಂದರಲ್ಲಿ ನಿಯೋಜಿತವಾಗಿರಬಹುದಾದ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಕುರಿತು ವಿವೇಚಿಸೋಣ. x  ಎಂಬುದು ಅ ಗೆ ಸೇರಿದ ಧಾತು ಎಂಬ ಅಭಿಪ್ರಾಯವನ್ನು ನಾವು ಎಂದಿನಂತೆ x ಅ  ಎಂದು   ಬರೆದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.    ಆದಾಗ ಇವೆರಡು ಧಾತುಗಳ (ಉಕ್ತನಿರ್ದಿಷ್ಟ) ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು xಥಿ  ಎಂಬ ಸಂಕೇತದಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ.  (x,ಥಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೇ ಆಗಬೇಕೆಂದಾಗಲಿ xಥಿ ಅವುಗಳ ವಾಡಿಕೆಯ  ಗುಣಲಬ್ಧವೇ ಆಗಬೇಕೆಂದಾಗಲಿ ತಿಳಿಯಬಾರದು.) xಥಿ ಸಂಯೋಜನೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿತವಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಅವ್ಯಾಖ್ಯಿತವಿರಬಹುದು.  ಥಿx ಸಂಯೋಜನೆಯೂ ಅಂತೆಯೇ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಥಿx ಮತ್ತು xಥಿ  ಎರಡೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಿತವಾಗಿದ್ದರೂ ಅವು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸಮವಾಗಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು (ಸಮಸ್ತ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಿತ, ಆದರೆ 5-3 ≠  3-5).  ix  ವ್ಯಾಖ್ಯಿತವಾದಾಗಲೆಲ್ಲ ix=x  ಹಾಗೂ xi ವ್ಯಾಖ್ಯಿತವಾದಾಗಲೆಲ್ಲ xi = x ಆಗುವಂತೆ (x ಅi, ಅ) ಇರಬಹುದಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸ್ಥಿರ ಧಾತು i  ಯನ್ನೂ  ಅ ಯ ಒಂದು ಸಾಮ್ಯಕ (ಐಡೆಂಟಿಟಿ) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ಪರಿಶೀಲಿತ ಸಂಯೋಜನೆ ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಳಗಿನ ನಾಲ್ಕು ನಿಯಮಗಳಿಗೆ ಬದ್ಧವಾಗಿರುವುದುಂಟು; ಆಗ ಒಂದು ಕ್ಯಾಟಿಗೊರೀಯ ಸಂಯೋಜನೆ ಎಂದೆನಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು.

	ಕ್ಯಾಟಿಗೊರೀಯತೆಯ ನಿಯಮಗಳು 	[ಅ1] x ಅ ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ ixx ಮತ್ತು xರಿx ಸಂಯೋಜನೆಗಳು ವ್ಯಾಖ್ಯಿತವಾಗುವಂತೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಎರಡು ಸಾಮ್ಯಕ ix  ಮತ್ತು  ರಿx ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಶಕ್ಯವಾಗಬೇಕು.
	 [ಅ2] xಥಿ ಮತ್ತು z(xಥಿ)  ಗಳೆರಡೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಿತವಾಗಿದ್ದರೆ zx ಕೂಡ ವ್ಯಾಖ್ಯಿತವಾಗಿರಬೇಕು.
	 [ಅ3] xಥಿ ಮತ್ತು (xಥಿ)z ಗಳೆರಡೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಥಿz ಕೂಡ ವ್ಯಾಖ್ಯಿತವಾಗಿರಬೇಕು.
	[ಅ4]xಥಿ ಮತ್ತು ಥಿz ಗಳೆರಡೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಿತವಾಗಿದ್ದರೆ (xಥಿ)z  ಮತ್ತು  x(ಥಿz) ಗಳು ಸಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಿತವಾಗಿಬೇಕು.  ಹಾಗೂ  (xಥಿ)z=x(ಥಿz)  ಆಗಬೇಕು. [ಇವುಗಳಲ್ಲಿ x,ಥಿ,z,Ix,ರಿx ಹಾಗೂ  (ವ್ಯಾಖ್ಯಿತವಾಗಿರುವಾಗ) zx,xಥಿ,ಥಿz,z(xಥಿ),(zಥಿ)z, x(ಥಿz)  ಎಲ್ಲವೂ ಅ]  ಇಂಥ ಕ್ಯಾಟಿಗೊರೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನೊಳಗೊಂಡ ಯಾವುದೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆ  ಅ ಗೆ  ಕ್ಯಾಟಿಗೊರಿಯೊಂದರ ಬಿಂಬನ ಘಟಕ (ಕಂಪೋನೆಂಟ್ ಆಫ್ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಸ್/ಮ್ಯಾಪ್ಸ್) ಎಂಬುದಾಗಿ ನಾಮಕರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು ಧಾತುಸಮುದಾಯ (ಕ್ಲಾಸ್ ಆಫ್ ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್) ಅ* ಕ್ಕೂ   ಅ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮ್ಯಕಗಳ ಸಮುದಾಯಕ್ಕೂ ಒಂದು ಒಂದು-ಒಂದು ಸಂವಾದಿತ್ವವನ್ನು (ಒನ್-ಟು-ಒನ್ ಕರೆಸ್ಪಾಂಡೆನ್ಸ್) ರೂಪಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಾದರೆ ಅ* ವನ್ನು ಒಂದು  ಅ- ಸಾಪೇಕ್ಷ ವಿಧಾತುಘಟಕ (ಕಂಪೋನೆಂಟ್ ಆಫ್ ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್ಸ್) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವುದು. ಈ ಬಗೆಯ ಬಿಂಬನ ಘಟಕ-ವಿಧಾತುಘಟಕಗಳ ಜೋಡಿಗಳೇ ಕ್ಯಾಟಿಗೊರಿಗಳು.

	(ಅ. ಅ*) ಒಂದು ಕಾಟಿಗೊರಿಯಾಗಿರಲಿ. ಇದರ ಬಿಂಬನಘಟಕ ಅ, ವಿಧಾತುಘಟಕ ಅ*. ಅ* ದ ಧಾತುಗಳು ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ ಈ ಕ್ಯಾಟಿಗೊರಿಯ ವಿಧಾತುಗಳು (ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್ಸ್) ಎಂದೂ ಅ ಯ ವನ್ನು ಬಿಂಬನಗಳು (ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಸ್/ಮ್ಯಾಪ್ಸ್) ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. i ಎಂಬುದು ಅ ಯ ಯಾವುದೇ ಸಾಮ್ಯಕವಾದಲ್ಲಿ ಅದಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾದ ಏಕೈಕ ವಿಧಾತುವನ್ನು I* ಎಂದು ಬರೆಯೋಣ (i  ಅ,i* ಅ*). ಯಾವುದೇ ಬಿಂಬನ x(ಅ)   ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ix  ಮತ್ತು  ರಿx   ಸಾಮ್ಯಕಗಳು ಈಗಾಗಲೇ ಮೇಲಿನ (ಅ1) ನಿಯಮದಿಂದ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಬಂದಿವೆಯಷ್ಟೆ; ಕ್ಯಾಟಿಗೊರೀಯತೆಯ ಉಳಿದ ಮೂರು ನಿಯಮಗಳ ಫಲವಾಗಿ x=ಥಿ ಆದಾಗ ix=iಥಿ ಮತ್ತು  ರಿx=ರಿಥಿ   ಆಗಲೇಬೇಕೆಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು.  (ಇದರ ವಿಲೋಮ ಸತ್ಯವಾಗ ಬೇಕಾಗುದುದೇನಿಲ್ಲ) ವಿಧಾತು Ix* ಕ್ಕೆ x   ಬಿಂಬನದ ವ್ಯಾಪ್ತಿ (ರೇಂಜ್) ಎಂದೂ ರಿx* ಕ್ಕೆ x ನ ಪ್ರಾಂತ (ಡೊಮೇನ್) ಎಂದೂ ಹೆಸರು.   ಠಿ ಅ*, q ಅ*  ಆಗಿರಲಿ. ಪ್ರಾಂತ ರಿx* =ಠಿ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪ್ತಿ ix*=q  ಎಂಬ ಅಭಿಪ್ರಾಯವನ್ನು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ
    x
 ಠಿ→ q         (ಅಥವಾ ಕೆಲವು ವೇಳೆ x : ಠಿ→q ) ಎಂದು ಬರೆದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುವುದು 
     x
 ಠಿ → x   ಆಗುವಂಥ ಬಿಂಬನ  x  ಗಳನ್ನು ಠಿ→q  ಬಿಂಬನಗಳು ಎಂಬುದಾಗಿ ಕರೆಯಬಹುದು. 
     x        ಥಿ                                                                 x                   ಥಿ
 ಠಿ →  q →  ಡಿ ಎಂಬ ಸಂಯುಕ್ತ ಸಂಕೇತದ ಅರ್ಥ  ಠಿ →q ವq  q→ q ಡಿ  ಎಂದು.   
  x     ಥಿ                                                                                     ಥಿx
 ಠಿ→q →ಡಿ ಆದಾಗ ಥಿx ಸಂಯೋಜನೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆಂದೂ ಠಿ→ಡಿ   ಆಗುತ್ತದೆಂದೂ 
                                                          ಥಿx                                                                     x
ತೋರಿಸಬಹುದು. ವಿಲೋಮವಾಗಿ, ಠಿ → ಡಿ ಆದಲ್ಲಿ ರಿಥಿx =ರಿx, iಥಿx= iಥಿ,ಠಿ=ರಿx*,ಡಿ= iಥಿ*  ಎಂದೂ ಠಿ → ix* = 
    ಥಿ
ರಿಥಿ*→ ಡಿ   ಎಂದೂ ಸಾಧಿಸುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ.
                    		         x          ಥಿ
ಈ ಕಾರಣದಿಂದ   ಠಿ →   q →  ಡಿ ಎಂಬುದನ್ನು ಥಿx   ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನೇ ಸೂಚಿಸುವ ಕೇವಲ ಒಂದು 
                                                             x       ಥಿ
ಪರ್ಯಾಯ ಸಂಕೇತವನ್ನಾಗಿರೂ ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಉಪಯುಕ್ತಪದ್ಧತಿ ಪ್ರಚಲಿತವಾಗಿದೆ. ಠಿ →  q →  ಡಿ        
              ತಿ                                                                                                x     ಥಿ                     u     v
ಮತ್ತು ಠಿ → ಡಿ   ಎಂಬೆರಡು ಅಭಿಪ್ರಾಯಗಳನ್ನು  ಚಿತ್ರ 1 ರಿಂದಲೂ ಠಿ →q → ಡಿ ಮತ್ತು ಠಿ →s  → ಡಿ        ಎಂಬ ಅಭಿಪ್ರಾಯಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರ 2 ರಿಂದಲೂ ಸೂಚಿಸಬಹುದಷ್ಟೆ.
                           	       	         ತಿ                       ಥಿx
ಮೊದಲನೆಯ ಪ್ರಸಂಗದಲ್ಲಿ  ಠಿ  → ಡಿ  ನೊಂದಿಗೆ ಠಿ→ ಡಿ  ಸಹ ಆಗಬೇಕು, ಎರಡನೆಯ ಪ್ರಸಂಗದಲ್ಲಿ  
    ಥಿx                       vu 
ಠಿ → ಡಿ ನೊಂದಿಗೆ ಠಿ→ಡಿ ಸಹ ಆಗಬೇಕು. ಆದಾಗ್ಯೂ ತಿ=ಥಿx ಆಗಬೇಕೆಂದಾಗಲಿ ಥಿx=vu ಆಗಬೇಕೆಂದಾಗಲಿ ನಿಯಮವೇನಿಲ್ಲ. ತಿ= ಥಿx ಆಗುವ ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಚಿತ್ರ 1 ವ್ಯತ್ಯಯಿಸುತ್ತದೆ. (ಡಯಾಗ್ರಮ್ ಕಮ್ಯೂಟ್) ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. 

ಚಿತ್ರ-1-ಮತ್ತು-2

ಅಂತೆಯೇ ಚಿತ್ರ 2 ವ್ಯತ್ಯಯಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದಾಗ ಥಿx=vu  ಎಂದು ಗ್ರಹಿಸಬೇಕು. ಚಿತ್ರ 1, 2 ಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೂಲೆಗಳಿರಬಹುದು. ಅಂಥವುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಯಶೀಲತೆಯನ್ನು ಸಹ ಸದೃಶರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅರ್ಥವಿರಬಹುದು. ಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ x,ಥಿ,u,v ಮೊದಲಾದ ಬಿಂಬನಗಳನ್ನು sಸಂಯೋಜಿಸುವಾಗ ಬಾಣಗಳ ಪ್ರಸರಣೆಯ ವಿರುದ್ಧ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಅವನ್ನು ಬರೆಯಬೇಕೆಂಬುದು ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಶ.
	ಕ್ಯಾಟಿಗೊರಿ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಮೂಲಸ್ಫೂರ್ತಿ ಒದಗಿಬಂದದ್ದು ಸಂಬಂಧಕಗಳ ಹಾಗೂ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ (ರಿಲೇಷನ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಸ್) i* ಮತ್ತು ರಿ* ಯಾವುದಾದರೂ ಎರಡು ಅಶೂನ್ಯ ಗಣಗಳಾಗಿರಲಿ (ನಾನ್‍ಎಮ್ಟಿ ಸೆಟ್ಸ್). i*ಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಯಾವುದೇ ಧಾತು αಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ರಿ*ಕ್ಕೆ  ಸೇರಿದ x(α) ಎಂಬ ಒಂದು ಧಾತುವನ್ನು ಗೊತ್ತು ಮಾಡುವ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು ವಿಧಿ x ಗೆ i* → ರಿ* ಸಂಬಂಧಕ ಎಂಬ ಹೆಸರು ಸಲ್ಲುತ್ತದೆ. [i*ದಲ್ಲಿ α=β ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ ರಿ*  ದಲ್ಲಿ x(α)= x(β)  ಆಗುವುದಾದರೆ ಸಂಬಂಧಕ x ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನವೆಂದೆನಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.  ಈಗ ಸಮಸ್ತ ಸಂಬಂಧಕಗಳ ಸಮುದಾಯವನ್ನು ಕ್ಯಾಟಿಗೊರಿಯೊಂದರ ಬಿಂಬನ ಘಟಕವನ್ನಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಅಂದರೆ ಸಂಬಂಧಕಗಳೇ ನಮ್ಮ ಪ್ರಸಕ್ತ ಕ್ಯಾಟಿಗೊರಿ ನಿದರ್ಶನದ ಬಿಂಬನಗಳು. x ಒಂದು i* → ರಿ* ಸಂಬಂಧಕವೂ ಥಿ ಒಂದು ರಿ* →ಞ* sಸಂಬಂಧಕವೂ ಆದಲ್ಲಿ(i*, ರಿ*, ಞ* ಯಾವುದಾದರೂ ಮೂರು ಅಶೂನ್ಯ ಗಣಗಳು) i* ದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಧಾತು α ಕ್ಕೂ ಞ* ದ ಧಾತು ಥಿ(x(α)) ವನ್ನು ಗೊತ್ತುಮಾಡುವ i* → ರಿ*  ಸಂಬಂಧಕವನ್ನು ಥಿx ಸಂಯೋಜನೆ  ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿ. ( ಒಂದು  i* → ರಿ* ಸಂಬಂಧಕ ತಿ ಒಂದು ಟ* →ಞ* sಸಂಬಂಧಕ ರಿ* ≠ ಟ*  ಆದಲ್ಲಿ ಸಾಧಾರಣವಾಗಿ ತಿx ಸಂಯೋಜನೆ ಅವ್ಯಾಖ್ಯಿತವಾಗುವುದು.) ಯಾವುದೇ ಅಶೂನ್ಯ ಗಣ i* ದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂi್ರತಿಂi್ರತಿಂiು α ಕ್ಕೂ α ವನ್ನೇ ಸಂವಾದಿಯನ್ನಾಗಿ ಗೊತ್ತುಮಾಡುವ i* → i* ಸಂಬಂಧಕವನ್ನು i ಎಂದು ಸೂಚಿಸಿ ; i* ಆದಾಗ  I(α)≡α ಸಂಬಂಧಕಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಕುರಿತಂತೆ ಇಂಥ i ಗಳು ಸಾಮ್ಯಕಗಳಾಗುತ್ತವೆಂದೂ ಆ ಸಂಯೋಜನೆ [ಅ1]-[ಅ4] ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಪರಿಪಾಲಿಸುವ ಒಂದು ಕ್ಯಾಟಿಗೊರೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗುತ್ತದೆಂದೂ ತಾಳೆನೋಡುವುದು ಸುಲಭ. ಅಲ್ಲಿಗೆ ಸಮಸ್ತ ಸಂಬಂಧಕಗಳ ಸಮುದಾಯ ಕ್ಯಾಟಿಗೊರಿಯೊಂದರ ಬಿಂಬನಘಟಕವಾಗಲು ನಿಜಕ್ಕೂ ಯೋಗ್ಯವಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಎಂದಾಯಿತು. ಇನ್ನು ಈ ಬಿಂಬನ ಘಟಕಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾದ ವಿಧಾತುಗಳನ್ನಾಗಿ ನಾವು ಎಲ್ಲ ಅಶೂನ್ಯಗಣಗಳನ್ನೂ ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು; ಇದಕ್ಕಾಗಿ i* → i* ಸಾಮ್ಯಕ ಸಂಬಂಧಕಕ್ಕೆ ಗಣ i* ವೇ ಸಂವಾದಿಯಾದ ವಿಧಾತು ಎಂಬ ವಿಧಿಯನ್ನು ಅಂಗೀಕರಿಸಿದರಾಯಿತಷ್ಟೆ. ಅಂದ ಮೇಲೆ ಎಲ್ಲ ಸಂಬಂಧಕಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲ ಅಶೂನ್ಯಗಣಗಳ ಸಮುದಾಯ ಇವೆರಡರ ಜೋಡಿ ಒಂದು ಕ್ಯಾಟಿಗೊರಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಅದನ್ನು ಸಂಬಂಧಕಗಳ ಕ್ಯಾಟಿಗೊರಿ ಎಂಬುದಾಗಿ ಕರೆಯೋಣ. ಆದ್ಯುಕ್ತೀಕೃತ (ಆಕ್ಸಿಯಮಟೈಸ್ಡ್) ಫಾನ್‍ನಾಯ್ಮನ್-ಬರ್ನೇಯ್ಸ್-ಗೊಯ್ಡಲ್ ಗಣಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಸಮುದಾಯಗಳನ್ನು ಕುರಿತಂತೆ ಗಣಗಳು (ಸೆಟ್ಸ್) ಮತ್ತು ಗಣೇತರ ಸಮುದಾಯಗಳು (ಕ್ಲಾಸಸ್ ವಿಚ್ ಆರ್ ನಾಟ್ ಸೆಟ್ಸ್) ಎಂಬೆರಡು ಭಿನ್ನವರ್ಗಗಳನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ತೀರ ಬೃಹತ್ಸಮುದಾಯಗಳನ್ನು (ಎಲ್ಲ ಸಂಬಂಧಕಗಳ ಸಮುದಾಯ, ಎಲ್ಲ ಅಶೂನ್ಯಗಣಗಳು ಸಮುದಾಯ ಇಂಥವು) ಗಣಗಳು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದ ಪಕ್ಷದಲ್ಲಿ ಅಭ್ಯಾಸ-ಅಸಾಂಗತ್ಯಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುವುದೇ ಈ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಕಾರಣ. ಸಂಬಂಧಕಗಳ ಕ್ಯಾಟಿಗೊರಿಯ ಬಿಂಬನಘಟಕ ಸಮಸ್ತ ಸಂಬಂಧಕಗಳನ್ನೂ ಒಳಗೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ಆದ್ಯುಕ್ತೀಕೃತ ಗೋಯ್ಡಲ್ ಗಣಸಿದ್ಧಾಂತದಂತೆ ಆ ಬಿಂಬನಘಟಕ ಒಂದು ಗಣೇತರ ಸಮುದಾಯವಾಗುವುದೇ ವಿನಾ ಗಣವಲ್ಲ. ಇಂಥ ಕ್ಯಾಟಿಗೊರಿಗಳಿಗೆ ದೀರ್ಘ ಕ್ಯಾಟಿಗೊರಿಗಳು (ಲಾರ್ಜ್ ಕ್ಯಾಟಿಗೊರಿಸ್) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಬಿಂಬನಘಟಕಗಳು ಗಣಗಳಾಗುವಂಥ ಕ್ಯಾಟಿಗೊರಿಗಳಾದರೋ ಹ್ರಸ್ವ ಕ್ಯಾಟಿಗೊರಿಗಳು(ಸ್ಮಾಲ್ ಕ್ಯಾಟಿಗೊರಿಸ್) ಎಂದೆನಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. [ಈ ವಿವರಣೆಗಳು ಅಭಿಜಾತ (ಕ್ಲಾಸಿಕಲ್) ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಆಯಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಮಾನ್ಯವಾಗುವಂಥವು. ರಚನಾತ್ಮಕ (ಕನ್‍ಸ್ಟ್ರಕ್ಟಿವ್)ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಮುಗ್ಧ ಗಣ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಲಿ (ನೇವ್ ಸೆಟ್ ಥಿಯರಿ). ಅದ್ಯುಕ್ತೀಕೃತ ಗಣಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಾಗಲಿ ಗ್ರಾಹ್ಯವಲ್ಲ.] 
	  (ಅ, ಅ*) ಎಂಬುದು ಒಂದು ಕ್ಯಾಟಿಗೊರಿಯಾದರೆ ಅ ಯಲ್ಲಿರುವ ಸಾಮ್ಯಕ ಬಿಂಬನಗಳಿಗೂ ಅ* ದ (ವಿ) ಧಾತುಗಳಿಗೂ ಒಂದು-ಒಂದು ಸಂವಾದಿತ್ವವಿರಬೇಕಷ್ಟೆ.. ಅ ಯ ಸಾಮ್ಯಕಗಳ ಸಮುದಾಯವನ್ನೇ ಅ* ವನ್ನಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದಲ್ಲಿ ಈ ನಿಬಂಧನೆ ಅತಿ ಸರಾಗವಾಗಿ ಪರಿಪಾಲಿತವಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮ್ಯಕಗಳನ್ನೇ ವಿಧಾತುಗಳನ್ನಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುವ ಈ ಕ್ರಮದಿಂದ ಇಚ್ಛೆಪಟ್ಟಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಬಿಂಬನಘಟಕಗಳನ್ನೇ ಇಡೀ ಕ್ಯಾಟಿಗೊರಿಗಳೆಂದು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವ ಸೌಲಭ್ಯ ನಮಗೆ ದೊರಕುವುದು. x   ಆದಲ್ಲಿ ಅ ಒಂದು [ಕ್ಯಾಟಿಗೊರಿ(ಯ ಬಿಂಬನಘಟಕ) ಥಿx=ರಿx  ಆದಾಗ ಥಿx=iಥಿ  ಆಗುವುದು ಮತ್ತು ಥಿx=iಥಿ ಆದಾಗ ಥಿx=ರಿx ಆಗುವುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಥಿ ಯನ್ನು x ನ ಒಂದು ಎಡ ವ್ಯಸ್ತ (ಲೆಫ್ಟ್ ಇನ್ವರ್ಸ್) ಎಂದೂ x ನ್ನು ಥಿ ಯ ಒಂದು ಬಲ ವ್ಯಸ್ತ (ರೈಟ್ ಇನ್ವರ್ಸ್) ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಯಾವುದಾದರೂ ಕ್ಷೇಪನ u ಗೆ ಒಂದು ಎಡ ಹಾಗೂ ಒಂದು ಬಲ ವ್ಯಸ್ತಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಾದರೆ ಆ u ಒಂದು ಪ್ರತಿಬಿಂಬನ (ಐಸೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್) ಎಂದೆನಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು. vx=vಥಿ  ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ x=ಥಿ ಆಗಬೇಕೆಂಬ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಾಲಿಸುವಂಥ ಬಿಂಬನ  v ಗಳಿಗೆ ಏಕಬಿಂಬನಗಳೆಂದೂ (ಮಾನೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಸ್) xತಿ=ಥಿತಿ  ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ x=ಥಿ ಆಗಬೇಕೆಂಬ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಾಲಿಸುವ ತಿ ಗಳಿಗೆ ಅಧಿಬಿಂಬನಗಳೆಂದೂ (ಎಪಿಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಸ್) ಹೆಸರು. ಎಲ್ಲ ಬಿಂಬನಗಳೂ ಸಾಮ್ಯಕಗಳೇ ಆಗಿರುವಂಥ ಕ್ಯಾಟಿಗೊರಿಗಳಿಗೆ ವಿಚ್ಛಿನ್ನ (ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್) ಕ್ಯಾಟಿಗೊರಿಗಳು ಎಂಬ ನಾಮಕರಣ ಸಲ್ಲುತ್ತದೆ. ಕ್ಯಾಟಿಗೊರಿಯೊಂದರ ಸಾಮ್ಯಕಳೆಲ್ಲವೂ ಪರಸ್ಪರ ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ ಆ ಕ್ಯಾಟಿಗೊರಿ ಮಾನಾಯ್ಡು ಎಂದೆನಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂಬನಕ್ಕೂ ಒಂದು ಎಡವ್ಯಸ್ತವನ್ನು ಗೊತ್ತುಮಾಡಲು ಶಕ್ಯವಾಗುವಂಥ ಮಾನಾಯ್ಡುಗಳೇ ಗ್ರೂಪುಗಳು. (ಈ ಗ್ರೂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬಿಂಬನದ ಎಲ್ಲ ಎಡ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲ ಬಲವ್ಯಸ್ತಗಳೂ ಪರಸ್ಪರ ಸಮವಾಗಿರುತವೆ.) ಯಾವುದೇ ಕ್ಯಾಟಿಗೊರಿಯಲ್ಲಿ    xಥಿ ಎಂಬುದಾಗಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತಲಿದ್ದ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನೇ  ಥಿx  ಎಂದು ಮಾರ್ಪಡಿಸಿ ಸೂಚಿಸತೊಡಗಿದಾಗ ಲಭಿಸುವ ನವಕ್ಯಾಟಿಗೊರಿಗೆ ಆ ಮೊದಲಿನ ಕ್ಯಾಟಿಗೊರಿಯ ದ್ವೈತಿ (ಡ್ಯೂಅಲ್) ಎಂದು ಹೆಸರು.
	 (ಃ.ಃ*) ಮತ್ತು  (ಅ.ಅ*) ಎರಡು ಕ್ಯಾಟಿಗೊರಿಗಳೆಂದು  ಭಾವಿಸಿ. ಜಿ ಎಂಬುದು  ಒಂದು ಅ → ಃ    ಉತ್ಪನ್ನವೂ ಜಿ* ಎಂಬುದು ಒಂದು ಅ* → ಃ* ಉತ್ಪನ್ನವೂ ಆಗಿರಲಿ. (ಅರ್ಥಾತ್, ಜಿ ಮತ್ತು ಜಿ*  ಎರಡು ವಿಧಿಗಳು: x x=ಥಿ  ಎಂಬುವು ದತ್ತವಾದಲ್ಲಿ ಈ x,ಥಿ  ಗಳ ಮೇಲೆ ಜಿ ವಿಧಿಯನ್ನು ಪ್ರಯೋಗಿಸಲು ಶಕ್ಯ ಮತ್ತು ಹಾಗೆ ಮಾಡಿದಾಗ ಫಲಿಸುವ ಜಿ(x), ಜಿ(ಥಿ)  ಧಾತುಗಳು ಜಿ(x)ಃ, ಜಿ(ಥಿ)ಃ, ಜಿ(x)= ಜಿ(ಥಿ)  ಎಂಬ ನಿಬಂಧನೆಗಳಿಗೆ ಸರಿಹೊಂದುತ್ತವೆ: ಜಿ* ವಿಧಿಯ ವಿಚಾರವೂ ಸದೃಶ.) ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ (ಇಲ್ಲಿ ಠಿ,q,ಡಿಅ*; x,ಥಿ, ತಿ ಅ). ಚಿತ್ರ 1ರ ಮಾಹಿತಿ (ಅ,ಅ*) ದಲ್ಲಿ ಸತ್ಯವಾಗಿರುವಾಗಲೆಲ್ಲ ಚಿತ್ರ 3ರ ಮಾಹಿತಿ  (ಃ,ಃ*) ದಲ್ಲಿ ಸತ್ಯವಾಗುವುದಾದರೆ, ಹಾಗೂ ಚಿತ್ರ 1 ವ್ಯತ್ಯಯಿಸಿದಾಗೆಲ್ಲ ಚಿತ್ರ 3 ಸಹ ವ್ಯತ್ಯಯಿಸುವುದಾದರೆ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಜೋಡಿ (ಜಿ,ಜಿ*)ವನ್ನು ಒಂದು  (ಅ.ಅ*) → (ಃ.ಃ*) ಫಂಕ್ಟರು ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. 

 ಚಿತ್ರ-3

ಫಂಕ್ಟರುಗಳು ಕೇವಲ ಚಿತ್ರ 1ನ್ನೆ ಅಲ್ಲದೆ (ಅ,ಅ* ಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಎಷ್ಟು ಮೂಲೆಗಳು ಬೇಕಾದರೂ ಇರಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲ ವ್ಯತ್ಯಯಶೀಲ ಸತ್ಯಚಿತ್ರಗಳನ್ನೂ (ಃ,ಃ*) ಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಅನುರೂಪ ವ್ಯತ್ಯಯಶೀಲ ಸತ್ಯ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತವೆ.  ಕೆಳಗಿನ ಲಕ್ಷಣಗಳಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಜೋಡಿ (ಜಿ,ಜಿ*)ವೂ ಒಂದು (ಅ,ಅ*)→(ಃ.ಃ*) ಫಂಕ್ಟರಾಗುವುದು; ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದು (ಅ.ಅ*)→(ಃ.ಃ*) ಫಂಕ್ಟರು (ಜಿ.ಜಿ*) ಕ್ಕೂ ಕೆಳಗಿನ ಲಕ್ಷಣಗಳಿರುತ್ತವೆ.
	ವಿಶಿಷ್ಟ ಫಂಕ್ಟರು ಲಕ್ಷಣಗಳು  [ಈ1]i  ಬಿಂಬನ ಅಯ ಒಂದು ಸಾಮ್ಯಕವಾದಲ್ಲಿ ಜಿ(i)ಬಿಂಬನ ಃ ಯ ಒಂದು ಸಾಮ್ಯಕವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಜಿ*(i*)=(ಜಿ(i))* ಆಗುತ್ತದೆ.
	[ಈ2] ಅ ಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಿಂಬನ x ಮತ್ತು ಥಿ ಗಳ ಸಂಯೋಜನೆ xಥಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಿತವಾಗಿರುವಾಗಲೆಲ್ಲ ಃ  ಯಲ್ಲಿ ಜಿ(x)ಜಿ(ಥಿ) ಸಂಯೋಜನೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಮತ್ತು ಜಿ(x) ಜಿ(ಥಿ)= ಜಿ(xಥಿ) ಆಗುತ್ತದೆ. ಈಗ (ಜಿ.ಜಿ*) ಮತ್ತು g.g*)ಗಳು ಎರಡು (ಅ.ಅ*) → (ಃ.ಃ*)  ಫಂಕ್ಟರುಗಳಾಗಿರಲಿ. ಖಿ ಎಂಬುದು ಒಂದು ಅ*→ಃ  ಉತ್ಪನ್ನವೆಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಈ ಖಿ ಪರಿಪಾಲಿಸುವುದಾದರೆ ಅದನ್ನು (ಜಿ.ಜಿ*) ಮತ್ತು (g.g*) ಗಳ ನಡುವಿನ ಒಂದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ  ಪರಿವರ್ತನೆ (ನ್ಯಾಚುರಲ್ ಟ್ರ್ಯಾನ್ಸ್ಫರ್ಮೆಷನ್) ಎಂಬುದಾಗಿ ವರ್ಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

	ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಪರಿವರ್ತನ ನಿಯಮಗಳು 
                                                                 ಖಿ(ಠಿ)
	  ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ  ಜಿ*(ಠಿ)  →   g*(ಠಿ) ಆಗಬೇಕು   
                                                                           x
	[ಖಿ2] ಮತ್ತು ಠಿ  →  q ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರ ವ್ಯತ್ಯಯಿಸಬೇಕು. 

ಚಿತ್ರ-4

ಕೊನೆಯದಾಗಿ ಎರಡು ಫಂಕ್ಟರುಗಳ ನಡುವೆ ಉಭಯ ದಿಸೆಗಳಲ್ಲೂ ಒಂದೊಂದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಲು ಶಕ್ಯವಾಗುತ್ತದಾದರೆ ಅಂಥ ಫಂಕ್ಟರುಗಳು ಸ್ವಭಾವತಃ ಸಮಾನವಾದುವು(ನ್ಯಾಚುರಲ್ ಈಕ್ವಿವಲೆಂಟ್) ಎಂದೆನಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. 									  (ಎಸ್.ಆರ್.ಎಂ.)

ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ