ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ/ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ 1
ಮೂಲದೊಢನೆ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ

ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ 1

ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ
 
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ವರ್ಗದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನೂ ಅವುಗಳ ಹಿನ್ನೆಲೆಯ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ತತ್ತ್ವಗಳನ್ನೂ ಕ್ರೋಡೀಕರಿಸಿ ರೂಪಿಸಬಹುದಾದ ಯಾವುದೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆ (ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್). ಉತ್ಪನ್ನಗಳ (ಫಂಕ್ಷನ್ಸ್) ಮೇಲೆ ಎಸಗಬಹುದಾದ ಅವಕಲನ (ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಷನ್) ಮತ್ತು ಸಮಾಸಕಲನ (ಇಂಟೆಗ್ರೇಷನ್) ಎಂಬ ಎರಡು ಮೂಲಭೂತ ಗಣಿತ ಪರಿಕರ್ಮಗಳನ್ನು (ಮ್ಯಾಥ್ ಮ್ಯಾಟಿಕಲ್ ಅಪರೇಷನ್ಸ್) ಕುರಿತ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಇಂದು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರಗಳ ಪೈಕಿ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯವಿದೆ. ಪ್ರಸಕ್ತ ಲೇಖನವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಆರು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಾತ್ಮಕ ಶೀರ್ಷಿಕೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. 1 ಚಾರಿತ್ರಿಕ ಹಿನ್ನೆಲೆ, 2 ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ, 3 ಸಮಾಸಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ, 4 ಸಾಂತವ್ಯತ್ಯಾಸ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ, 5 ಏರಿಳಿತಗಳ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ, 6 ತಾರ್ಕಿಕ ಕಲನಕ್ರಿಯೆಗಳು.

ಚಾರಿತ್ರಿಕ ಹಿನ್ನೆಲೆ ಃ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಸೃಷ್ಟಿಯನ್ನು ಇಂಗ್ಲೆಂಡಿನ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಸರ್ ಐಸಾûಕ್ ನ್ಯೂಟನ್ (1642-1727) ಮತ್ತು ಜರ್ಮನಿಯ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಗಾಟ್ ಫ್ರೀಟ್ ವಿಲ್ ಹೆಲ್ಮ್ ಲೀಪ್‍ನಿಟ್ಸ್ (1646-1716) ಎಂಬವರು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿಯೂ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿಯೂ ಮಾಡಿದರು. ಮೊದಲಿಗೆ ಈ ಮೇಧಾವಿಗಳಿಬ್ಬರೂ ಸ್ನೇಹಿತರಾಗಿದ್ದರು. ಅಂತರರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ಖ್ಯಾತಿಯನ್ನೈದಿದ್ದ, ಪ್ರಪಂಚದ ಸಾರ್ವಕಾಲಿಕ ಮಹಾಮಿದುಳುಗಳಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬನಾಗಿದ್ದ, ನ್ಯೂಟನ್ನನ ವಿಚಾರದಲ್ಲಿ ಲೀಪ್‍ನಿಟ್ಸನಿಗೆ ಪೂರ್ಣಗೌರವವಿತ್ತು. ಈತ ಇಂಗ್ಲೆಂಡಿಗೆ ಹೋಗಿಯೂ ಬಂದಿದ್ದ. ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ಲೀಪ್‍ನಿಟ್ಸ್ ತನ್ನ ವಿಧಾನದ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಮೊದಲೇ ನ್ಯೂಟನ್ ತನ್ನ ವಿಧಾನದ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಬೆಳೆಸಿದ್ದ.

ನ್ಯೂಟನ್ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಥಿ ಎಂಬ ಚರದ ಅವಕಲನಾಂಕವನ್ನು  ಎಂದು ಥಿ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಚುಕ್ಕಿಯನ್ನು (ಜoಣ) ಬರೆದು ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿತ್ತು. ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಲದ ಅವಕಲನಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಒಂದು ಚುಕ್ಕಿ ಸೂಚಿಸುವುದೆಂದು ಅರ್ಥ. ಆದ್ದರಿಂದ ಹತ್ತು ಸಲ ಒಂದು ಚರವನ್ನು ಪುನಃ ಪುನಃ ಅವಕಲಿಸಿದಾಗ ದೊರೆಯುವ ಹತ್ತನೆಯ ಕ್ರಮದ (ಆರ್ಡರ್) ಅವಕಲನಾಂಕವನ್ನು ಆ ಚರದ ಮೇಲೆ ಹತ್ತು ಚುಕ್ಕಿಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವುದರ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಬೇಕು. ಬರವಣಿಗೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ವಿಕಾಸದ ಹಾದಿಯಲ್ಲಿ ಇದು ಎಂಥ ತೊಡಕಿನ ಕ್ರಮ ಎಂಬುದು ಸ್ವಯಂವೇದ್ಯ. ಅಲ್ಲದೇ  ಎಂದು ಬರೆದಾಗ ಯಾವ ಚರವನ್ನು ಕುತಿರು ಥಿ ಯನ್ನು ಅವಕಲಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಲೀಪ್‍ನಿಟ್ಸನ ಸ್ವತಂತ್ರ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ  ಎಂಬ ಸುಪ್ರಸಿದ್ದ ಹಾಗೂ ಗಣಿತ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಚಿರಪರಿಚಿತ ಸಂಕೇತ ಬಳಕೆಗೆ ಬಂದಿತು. ಇಲ್ಲಿನ  ಸಂಕೇತ ಅವಕಲನ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದು ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಅದು x ಎಂಬ ಚರವನ್ನು ಕುರಿತು ಇದೆ ಎಂಬುದನ್ನೂ ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುವುದು. ಇದರ ಪ್ರಕಾರ ಥಿ ಯನ್ನು ಟಿ ಸಲ xನ್ನು ಕುರಿತು ಪುನಃ ಪುನಃ ಅವಕಲಿಸಿದಾಗ ದೊರೆಯುವ ಅವಕಲನಾಂಕ

  

       ಟಿ

ಆಗುತ್ತದೆ. ಇದು ತುಂಬ ಅಚ್ಚುಕಟ್ಟಾದ ಮತ್ತು ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬಲು ಅನುಕೂಲವಾದ ನಿರೂಪಣೆ. ಲೀಪ್‍ನಿಟ್ಸ್ ತಾನು ಸಂಶೋಧಿಸಿ ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು 1684ರಲ್ಲಿ ನ್ಯೂಟನ್ನನಿಗಿಂತ ಮೊದಲೇ ಪ್ರಕಟಪಡಿಸಿದ. ಒಂದು ವರದಿಯ ಪ್ರಕಾರ ಆ ಮೊದಲೇ ತನ್ನ ಸಂಶೋಧನಪತ್ರವನ್ನು ಗೌರವಪೂರ್ವಕವಾಗಿ ನ್ಯೂಟನ್ನನಿಗೆ ಕಳಿಸಿಯೂಕೊಟ್ಟಿದ್ದ. ಆದರೆ ನ್ಯೂಟನ್ನನ ಅನುಯಾಯಿಗಳು ಲೀಪ್‍ನಿಟ್ಸನ ವಿರುದ್ಧ ಗ್ರಂಥಚೌರ್ಯದ (ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಚೌರ್ಯದ) ಆಪರಾಧವನ್ನು ಆರೋಪಿಸಿದರು. ಇದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭದಲ್ಲಿ ಜರ್ಮನಿಯ, ತರುವಾಯ ಇಡೀ ಯೂರೋಪ್ ಖಂಡದ, ಗಣಿತಜ್ಞರು ಕುಪಿತರಾಗಿ ಇಂಗ್ಲೆಂಡಿನ ಗಣಿತದ ವಿರುದ್ಧ ಕತ್ತಿ ಝಳಪಿಸಿದರು. ಇಂಗ್ಲೆಂಡಿನವರಾದರೋ ಯೂರೋಪ್ ಖಂಡದ ಗಣಿತದ ಎದುರು ಸೆಟೆದು ನಿಂತರು. ವಿಜ್ಞಾನದ ಬೆಳೆವಣಿಗೆಗೆ ಅತ್ಯಾವಶ್ಯಕವಾದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ವಿನಿಮಯ ಮತ್ತು ವಿಮರ್ಶೆ ಗಣಿತರಂಗದಲ್ಲಿ, ಇಂಗ್ಲೆಂಡ್ ಮತ್ತು ಯೂರೋಪ್ ದೇಶಗಳ ನಡುವೆ ಈ ಅವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಹೋರಾಟದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸ್ಥಗಿತಗೊಂಡುವು. ಬೌದ್ಧಿಕವಾಗಿ ಅಧಿಕ ಉತ್ಕøಷ್ಟದರ್ಜೆಯದಾದ ಲೀಪ್‍ನಿಟ್ಸನ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ವಿಧಾನ ಇಂಗ್ಲೆಂಡಿನ ಗಣಿತ ವಿದ್ವಾಂಸರಿಗೆ ಅಮಾನ್ಯವಾಯಿತು. ನ್ಯೂಟನ್ನನ ತೊಡಕಿನ ಮತ್ತು ಆ ಕಾರಣದಿಂದ ಪ್ರಗತಿಗೆ ವೇಗಾಪಕರ್ಷಕಾರಿಯಾಗಿದ್ದ ವಿಧಾನವೇ ಅವರಿಗೆ ಪ್ರಿಂiÀiವಾಯಿತು. ಅಂಧ ಸ್ವದೇಶಾಭಿಮಾನದ ಮುಂದೆ ವಿಜ್ಞಾನದ ನಿರಪೇಕ್ಷ ಮಾರ್ಗ ಅವರಿಗೆ ಕಾಣಿಸಲಿಲ್ಲ. ಒಂದು ಶತಮಾನಕಾಲ ಇಂಗ್ಲೆಂಡ್ ಮತ್ತು ಯೂರೋಪ್ ದೇಶಗಳ ಗಣಿತ ಪ್ರವಾಹಗಳು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿಯೇ ಹರಿದುವು. ಇದರಿಂದ ಕುಂಠಿತವಾದದ್ದು ಇಂಗ್ಲೆಂಡಿನ ಗಣಿತಪ್ರಗತಿ. ಈ ಅರ್ಥಹೀನವಿವಾದದ ವ್ಯರ್ಥಶ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದ ಇಂಗ್ಲೆಂಡಿನ ಗಣಿತಜ್ಞರು 19ನೆಯ ಶತಮಾನದ ತರುಣದಲ್ಲಿ ಕ್ಯಾಂಬ್ರಿಜ್ಜಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಘವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿ ಅದರ ಮೂಲಕ ಲೀಪ್‍ನಿಟ್ಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪ್ರಚಾರಕ್ಕೆ ತರಲು ತೀವ್ರ ಪ್ರಯತ್ನ ನಡೆಸಿ ಯಶಸ್ವಿಗಳಾದರು. "ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದ ಜoಣ-ಚಿge ನ ವಿರುದ್ಧ ಶುದ್ಧ ಜ-ism ನ ತತ್ತ್ವಗಳ" ಸ್ಥಾಪನೆ ಅವರ ಉದ್ದೇಶವೆಂದು ನಿರೂಪಿಸಿಲಾಗಿತ್ತು. ಇಂಗ್ಲೆಂಡ್-ಯೂರೋಪುಗಳ ನಡುವೆ ಈ ಭಾವ ತೀವ್ರತೆಯ ಕಲಹ ನಡೆಯಬೇಕಾಗಿಯೇ ಇರಲಿಲ್ಲ. ಭೌದ್ಧಿಕ ಪ್ರಪಂಚದಲ್ಲಿ ಉನ್ನತ ಸ್ತರ ತಲುಪಿದವರೂ ಹೇಗೆ ದುರ್ಬಲ ಗಳಿಗೆಗಳಲ್ಲಿ ಕೀಳಾಗಿ ವರ್ತಿಸಬಹುದೆಂಬುದಕ್ಕೆ ಇದೊಂದು ನಿದರ್ಶನ. ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬರುವ ಒಂದು ಪ್ರಧಾನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಪರಿಮಿತಿ (ಲಿಮಿಟ್). x/ಥಿ ಎಂಬ ನಿಷ್ಪತ್ತಿಯಲ್ಲಿ (ರೇಷಿಯೊ) x ಮತ್ತು ಥಿಗಳೆರಡೂ ಚರಗಳಾಗಿದ್ದು ಎರಡೂ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಗಳಾದಾಗ ನಿಷ್ಪತ್ತಿಯ ಬೆಲೆ ಏನಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಪರಿಶೀಲನೆ ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಹುಟ್ಟಲು ಕಾರಣವಾಯಿತು. ಒಂದು ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ

ಎಂಬ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ x ಚರ 2ನ್ನು ಸಮೀಪಿಸಿದಂತೆ (ಎಂದರೆ 1.9, 1.99, 1.999,........ಇತ್ಯಾದಿ ಕೆಳಗಿನಿಂದ 2ರ ಎಡೆಗೆ ಸಾಗಬಹುದು; 2.1 2.01, 2.001,.....ಇತ್ಯಾದಿ ಮೇಲಿನಿಂದ 2ರ ಎಡೆಗೆ ಸಾಗಬಹುದು) ಥಿ ಯ ಬೆಲೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಆಗುತ್ತದೆ. ಅವೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಗಣನೆಯಿಂದ ತಿಳಿಯಬಹುದು. ಊದಾಹರಣೆಗೆ x=1.999 ಆದಾಗ ಥಿ=3.999; x= 2.001 ಆದಾಗ ಥಿ=4.001. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿ ಇಷ್ಟು ಸರಳವಾಗಿ ತೋರಿದರೂ x=2 ಆದಾಗ ಥಿ ಬೆಲೆ ಬೇರೆಯೇ ಆಗಿಬಿಡುತ್ತದೆ. ಆಗ ಎನ್ನುವ ಒಂದು ಅವ್ಯಾಖ್ಯಿತ ರೂಪ (ಅಂಡಿ¥sóÉೈನ್ಡ್ ಫಾರಂ) ತಲೆದೋರುವುದು. ಆದ್ದರಿಂದ x ಚರ 2ನ್ನು ಸಮೀಪಿಸಿದಂತೆ ಅಥವಾ xಚರ 2_ಗಾಮಿಯಾದಂತೆ ಥಿ ಚರ ಒಂದು ಪರಿಮಿತಿಯೆಡೆಗೆ ಸರಿಯುವುದು ಎಂದು ಸ್ಫುರಿಸುವುದು ಸಹಜ. ಈ ಪರಿಮಿತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಒಂದು ಸಂಗತ ತಾರ್ಕಿಕ ತಳಹದಿಯಮೇಲೆ ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಫ್ರಾನ್ಸಿನ ಕೋಶಿ (1789-1857), ನಾರ್ವೇ ದೇಶದ ಆಬೆಲ್ (1802-1829), ಜರ್ಮನಿಯ ವೈರ್ ಸ್ಟ್ರಾಸ್ (1815-1897) ಮೊದಲಾದ ಮಹಾ ವಿದ್ವಾಂಸರು ಶ್ರಮಿಸಿದ್ದಾರೆ.

ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ: (ಡಿಫರೆನ್ಯಿಯಲ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್): ಈ ಶಾಸ್ತ್ರದ ಉಗಮವನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಸಲುವಾಗಿ ಒಂದು ಮಗುವಿಗೆ ತೂಕವೃದ್ಧಿಯ ನಿದರ್ಶನವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ. ಮಗುವಿಗೆ 3 ವರ್ಷ ಮಯಸ್ಸಾದಾಗ ಅದರ ತೂಕ 14 ಕೆಜಿಯೆಂದೂ 7 ವರ್ಷ ವಯಸ್ಸಾದಾಗ 22 ಕೆಜಿಯೆಂದೂ ಭಾವಿಸೋಣ. ಹಾಗಾದಲ್ಲಿ 9 ವರ್ಷ ವಯಸ್ಸಾದಾಗ ಆ ಮಗು ಎಷ್ಟು ಕೆಜಿ ತೂಗಬಹುದು? ಪ್ರೌಢಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಗಣಿತವನ್ನು ಅಭ್ಯಸಿಸದಿರುವ ಜನರು ಕೂಡ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವೆಂದೆನಿಸುವ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟಮಾರ್ಗದಲ್ಲಿ ಬಿಡಿಸಲೆತ್ನಿಸುತ್ತಾರೆ. ಅವರ ತರ್ಕ ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ: 7-3=4 ವರ್ಷಗಳ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಮಗುವಿನ ತೂಕ 22-14=8 ಕೆಜಿ ಹೆಚ್ಚಿರುವುದರಿಂದ ಈ ತೂಕವೃದ್ಧಿಯ ದರ ವರ್ಷವೊಂದಕ್ಕೆ 8/4 =2 ಕೆಜಿ; ಇಷ್ಟು ದರದಂತೆ 9-3=6 ವರ್ಷಗಳ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಮಗುವಿನ ತೂಕ ಆ ಮಗುವಿಗೆ 3 ವರ್ಷ ವಯಸ್ಸಾದಾಗ ಇದ್ದುದಕ್ಕಿಂತ 62=12 ಕೆಜಿ ಏರಿರಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ 9 ವರ್ಷ ವಯಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಮಗುವಿನ ತೂಕ 14+12=26 ಕೆಜಿಗಳು. ನಾಗರಿಕಜೀವನದಲ್ಲಿ ಬಹುಕಾಲದಿಂದಲೂ ಹಾಸುಹೊಕ್ಕಾಗಿ ಬಂದಿರುವ ತ್ರೈರಾಶೀಯ ಗಣನವಿಧಾನ ಇಂಥ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕೆ ಸ್ಫೂರ್ತಿನೀಡಿದೆ. ಮಗುವಿನ ಬೆಳೆವಣಿಗೆಯ ಪ್ರಸಂಗದಲ್ಲಿ ಈ ಬಗೆಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕೂ ವಾಸ್ತವಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗೂ ಒಂದಷ್ಟು ಅಂತರವೇನೋ ಇರಬಹುದು; ಆದರೆ ಆ ಅಂತರ ತೀರ ಅಧಿಕವಾಗಿರಲಾರದೆಂಬ ಭರವಸೆಯಿರುವುದರಿಂದ ತ್ರೈರಾಶಿಯನ್ನು ಆಶ್ರಯಿಸಲು ಜನ ಹಿಂಜರಿಯರು. ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಸಹ ತ್ರೈರಾಶೀಯ ಗಣಿತಪರಂಪರೆಯ ಒಂದು ಸಂಸ್ಕರಿತ ವಿಸ್ತರಣೆ.

ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ನಿಷ್ಪನ್ನಗಳು (ಫಂಕ್ಷನ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಡಿರೈವೆಟಿವ್ಸ್): ನಮ್ಮ ನಿದರ್ಶನದಲ್ಲಿ ಮಗುವಿನ ತೂಕ ಮಗುವಿನ ವಯಸ್ಸನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆಯಷ್ಟೆ. ಇಂಥ ಅವಲಂಬನೆಗಳನ್ನು ಗಣಿತಜ್ಞರು ಉತ್ಪನ್ನಗಳೆಂದು (ಫಂಕ್ಷನ್ಸ್) ಕರೆದು   ಮುಂತಾದ ಸಂಕೇತಗಳಿಂದ ಅವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮಗುವಿನ ಮಯಸ್ಸಿನ ಮೇಲೆ ಅದರ ತೂಕ ತೋರುವ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಜಿ ಉತ್ಪನ್ನಾಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಬಹುದು. ಹಾಗೆ ಸೂಚಿಸಿದ ಬಳಿಕ ಣವರ್ಷ ವಯಸ್ಸಾದಾಗ ಆ ಮಗುವಿನ ತೂಕವನ್ನು ಜಿ(ಣ) ಎಂಬ ಬೆಲೆಯ ಸಂಕೇತಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದು ವಾಡಿಕೆ. ಈ ಸಂಜ್ಞಾಪದ್ಧರಿಯಂತೆ, 3 ವರ್ಷ ವಯಸ್ಸಾದಾಗ ಮಗು 14 ಕೆಜಿ ತೂಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಕನ್ನಡ ವಾಕ್ಯ ಗಣಿತ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಜಿ(3)=14 ಎಂದು ತರ್ಜುಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ ಜಿ(7)=22 ಎಂಬುದರ ಕನ್ನಡ ಅರ್ಥ, 7 ವರ್ಷ ವಯಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಮಗುವಿನ ತೂಕ 22 ಕೆಜಿ ಎಂದು ಮೇಲೆ ಹೇಳಿರುವಂತೆ ಮಗುವಿನ ತೂಕವೃದ್ಧಿಯ ವಾರ್ಷಿಕ ದರ 2 ಕೆಜಿಗಳಾದರೆ h ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಆ ಮಗುವಿನ ತೂಕ 2h ಕೆಜಿಗಳಷ್ಟು ಏರುವುದು. ಆದ್ದರಿಂದ (3+h) ವರ್ಷ ವಯಸ್ಸಾದಾಗ ಆ ಮಗುವಿನ ತೂಕ 3 ವರ್ಷ ವಯಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಇದ್ದುದಕ್ಕಿಂತ 2hಕೆಜಿಗಳಷ್ಟು ಅಧಿಕವಾಗಿರಬೇಕು. ಸಂಕೇತಗಳಲ್ಲಿ 

                                 ... [1]

ಇದೊಂದು ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮೀಕರಣ ಮಾತ್ರ; ಆಗಲೇ ತಿಳಿಸಿರುವಂತೆ ಇದಕ್ಕೂ ವಾಸ್ತವಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗೂ ತುಸು ಭೇದವಿರಬಹುದು. hನ ಬೆಲೆ ಅಲ್ಪವಾಗಿರುವವರೆಗೆ ಈ ಭೇದವೂ ಅಲ್ಪವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಅ ಬೆಲೆ ಅಧಿಕವಾದಾಗಲಾದರೋ ಸಮೀಕರಣ [1] ಕ್ಕೂ ವಾಸ್ತವಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗೂ ಸಂಬಂಧವನ್ನೇ ಗುರುತಿಸಲಾಗದಷ್ಟು ಭಾರಿ ಅಂತರ ಏರ್ಪಡಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ 15 ವರ್ಷ ವಯಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಮಗುವಿನ ತೂಕ ಜಿ(15)=ಜಿ(3+12)=14+212=38 ಕೆಜಿ ಆಗಿರುವ ಬದಲು 50 ಕೆಜಿಯೇ ಆಗಬಹುದು. ತೂಕ ಸದಾಕಾಲವೂ ವರ್ಷವೊಂದಕ್ಕೆ 2 ಕೆಜಿಗಳಷ್ಟೇ ನಿಯತ ದರದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚದಿರುವುದೇ ಇಂಥ ಅಂತರ ತಲೆದೋರಲು ಕಾರಣ. ವರ್ಷಕ್ಕೇ ಕೆಜಿಗಳ ವೃದ್ಧಿದರ 3 ವರ್ಷ ವಯಸಿನ ನೆರೆಯಲ್ಲಿ (ನೇಬರ್ಹುಡ್) ಮಾತ್ರವೇ ಅನ್ವಯಾರ್ಹ. 15 ವರ್ಷ ವಯಸ್ಸಿನ ನೆರೆಯಲ್ಲಿ ಈ ವಾರ್ಷಿಕ ವೃದ್ಧಿದರ 5 ಕೆಜಿಗಳಷ್ಟಾಗಿರಬಹುದು. ಆಗ 15 ವರ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮೀಪವಾಗಿರುವ ವಯಸ್ಸುಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವ ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮೀಕರಣ

ಜಿ(15+h)=ಜಿ(15)+5h=50+5h                                                                     ....(2)

ಎಂಬುದೇ ವಿನಾ [1] ಅಲ್ಲ. ಅಂದಮೇಲೆ ತೂಕದ ವೃದ್ಧಿದರ ಕೂಡ ತೂಕದಂತೆಯೇ ಮಗುವಿನ ವಯಸ್ಸನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆಯೆಂದಾಯಿತು. ಉತ್ಪನ್ನ ಸಂಜ್ಞಾಪದ್ಧತಿಯ ಮೇರೆಗೆ ಈ ಹೊಸ ಅವಲಂಭನೆಯನ್ನು ಜಿ' ಎಂಬ ಸಂಕೇತದಿಂದಲೂ ಣ ವರ್ಷ ವಯಸ್ಸಿನ ಸಮೀಪಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ತೂಕವೃದ್ಧಿಯ ವಾರ್ಷಿಕ ದರವನ್ನು ಜಿ'(ಣ) ಎಂಬ ಸಂಕೇತದಿಂದಲೂ ಸೂಚಿಸೋಣ. ಈಗ, 3 ವರ್ಷ ವಯಸ್ಸಿನ ನೆರೆಯಲ್ಲಿ ಮಗುವಿನ ತೂಕ ವರ್ಷವೊಂದಕ್ಕೆ 2 ಕೆಜಿ ದರದಂತೆ ಹೆಚ್ಚುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಕನ್ನಡ ವಾಕ್ಯ ಗಣಿತಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಜಿ'(3)=2ಎಂಬ ರೂಪವನ್ನು ತಾಳುತ್ತದೆ. ಅಂತಯೇ ಜಿ'(15)=5. ಇಂಥ ಸಂಜ್ಞಾಪದ್ಧರಿಯನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಿಕೊಂಡ ಬಳಿಕ ಯಾವುದೇ ಣ ವರ್ಷ ವಯಸ್ಸಿನ ನೆರೆಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರಬಹುದಾದ ತೂಕ-ವಯಸ್ಸುಗಳ ಸಂಬಂಧವನ್ನು [1] ಮತ್ತು [2] ಕ್ಕೆ ಸದೃಶ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸಬಲ್ಲ ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಲು ಕಷ್ಟವೇನೂ ಆಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆ ಸಮೀಕರಣ ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ:

ಜಿ(ಣ+h)=ಜಿ(ಣ)+hಜಿ '(ಣ)                                                 ...[3]

ಈ ಎಲ್ಲ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಫಲವಾಗಿ ಜಿ ಎಂಬ ಒಂದು (ಅವಲಂಬನೆ ಅಥವಾ) ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಹೊರಟ ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಜಿ'ಎಂಬ ಇನ್ನೊಂದು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಗೊತ್ತುಮಾಡಬಹುದೆಂದೂ ಆ ಎರಡನೆಯ ಉತ್ಪನ್ನ ಮೊದಲನೆಯದರ ಬೆಲೆಗಳ (ತಾತ್ಕಾಲಿಕ ಅಥವಾ ಸ್ಥಳೀಯ) ವೃದ್ಧಿದರಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆಂದೂ ವೇದ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಇಂಥ ಜಿ'ಗೆ ಜಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿಷ್ಟನ್ನ (ಡಿರೈವೆಟಿವ್) ಎಂದು ಹೆಸರು. ನಿಷ್ಟನ್ನವು ವೃದ್ಧಿದರದ ಸೂಚಕವೆಂದಾಯಿತು. ನಿಷ್ಟನ್ನಗಳೇ ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಅಧ್ಯಯನ ಸಾಮಗ್ರಿ..     

ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮಗಳು (ಇನ್ ಫಿನಿಟೆಸಿಮಲ್ಸ್) ಮತ್ತು ಪರಿಮಿತಿಗಳ (ಲಿಮಿಟ್ಸ್) ಬಗ್ಗೆ ವಿವಾಹ: ನಿಷ್ಪನ್ನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು [1], [2], [3] ಎಂಬ ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೂಲಕ ರೂಪಿಸಲು ಯತ್ನಿಸಿದ್ದೇವೆ. h ಬೆಲೆ ಅಲ್ಪವಾಗಿದ್ದಾಗ ಮಾತ್ರ ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಬಲ್ಲವೆಂದು ಕೂಡ ಮನಗಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಆದರೆ ಅಲ್ಪ ಎಂದರೆ ಎಷ್ಟು ಅಲ್ಪ ? ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಇತ್ಯರ್ಥಪಡಿಸದಿರುವಾಗ ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಳಕೆ ತೀರ ವಿವಾದಾಸ್ಪದವಾಗಬಹುದಷ್ಟೆ. ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸಂಸ್ಕಾರವಿಲ್ಲದ ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮತ್ವದ ಕಲ್ಪನೆ ಗಣಿತಕ್ಕೆ ಮಾರಕ. ಚಿ=b ಮತ್ತು b=ಛಿ ಎಂಬೆರಡು ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮತ್ವಗಳ ನೆರವಿನಿಂದ ಅಷ್ಟೇ ಸರಿಸುಮಾರಿನ ಎಲ್ಲೆಯೊಳಗೆ ಚಿ=ಛಿ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿರುವುದೇ ಇದಕ್ಕೆ ಕಾರಣ. ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಇತಿಹಾಸದುದ್ದಕ್ಕೂ ಈ ತೀವ್ರ ಟೀಕೆಯನ್ನು ಎದುರಿಸಲು ಹಲವಾರು ಗಣಿತಜ್ಞರು ನಡೆಸಿರುವ ವಿವಿಧ ಯತ್ನಗಳು ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ನಿರ್ಮಾತೃಗಳಲ್ಲೊಬ್ಬನಾದ ಲೀಪ್‍ನಿಟ್ಸ್‍ನ ಪ್ರಕಾರ ನಾವು ಬಳಸುವ ಸಂಖ್ಯಾವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮಗಳೆಂಬ (ಇನ್ ಫಿನಿಟೆಸಿಮಲ್ಸ್) ಸೂಕ್ಷ್ಮಾತಿಸೂಕ್ಷ್ಮವೂ ಮಾಪನಾತೀತವೂ ಆದ ಆದರ್ಶ ಪರಿಮಾಣಗಳನ್ನು (ಐಡಿಯಲ್ ಮ್ಯಾಗ್ನಿಟ್ಯೂಡ್ಸ್) ಸೇರಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು; ಮತ್ತು h ಎಂಬುದು ಅಂಥ ಒಂದು ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮವಾದಾಗ [1], [2], [3] ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮೀಕರಣಗಳೆಂದು ಭಾವಿಸುವ ಬದಲು ನಿಖರ ಸಮತ್ವಗಳೆಂದೇ ಪರಿಗಣಿಸಿಬಿಡಬಹುದು. ಇಂಥ ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮಗಳನ್ನು ಒಂದು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಚೌಕಟ್ಟಿನೊಳಗೆ ಆಳವಡಿಸುವ ಪ್ರಯತ್ನವನ್ನೇನೂ ಲೀಪ್‍ನಿಟ್ಸ್ ಕೈಗೊಳ್ಳಲಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಹದಿನೆಂಟನೆಯ ಶತಮಾನದ ಉತ್ತರಾರ್ಧದವರೆಗೆ ಯೂರೋಪಿನಲ್ಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಬೆಳೆವಣಿಗೆಯ ಮೇಲೆ ತನ್ನ ಅಪಾರ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ಬೀರಿತು. ಜಿ.ಎಫ್.ಎ.ದಲಾಪಿಥಲ್ (1661-1704) ಎಂಬಾತನ 1696ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾದ ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರಪ್ರಥಮ ಪಠ್ಯಗ್ರಂಥದಲ್ಲಿ (ಪುನರಾವೃತ್ತಿ 1715) ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮಗಳನ್ನು ಸಾಧಾರಣ ಪರಿಮಾಣಗಳಷ್ಟೇ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿಯೂ ಧಾರಾಳವಾಗಿಯೂ ಬಳಸಿಕೊಂಡಿದ್ದಾನೆ. ಆದರೆ ಬರಬರುತ್ತ ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮಗಳ ಪ್ರಯೋಗದಿಂದ ಗಣಿತೀಯ ಪರಿಮಾಣಗಳು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವೂ ಸಮವೂ ಆಗಬೇಕಾಗುವ ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ಅಸಮಂಜಸ ಪ್ರಕರಣಗಳು ತಲೆದೋರಿ ಬಹುಸಂಖ್ಯಾತ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ದೋಷಯುಕ್ತವೆಂದು ತಿರಸ್ಕರಿಸತೊಡಗಿದರು. ಇದರಿಂದಾಗಿ ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರರೂಪಣೆಗೆ ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮಗಳಿಗಿಂತ ಮುಂದೆ ವಿವರಿಸಲಾಗುವ ಪರಿಮಿತಿಗಳ (ಲಿಮಿಟ್ಸ್) ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ತವೆಂದು ಅಭಿಮತ ಸಲುವಳಿಗೆ ಬಂದಿತು. ಪ್ರಧಾನವಾಗಿ ಜೆ. ಲೆ. ಆರ್. ಡಾಲೆಂಬರ್ (1717-1783) ಮತ್ತು ಎ. ಎಲ್. ಕೋಶಿ ಅವರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾದ ಈ ಅಭಿಪ್ರಾಯಪಲ್ಲಟ ವೈಸ್ಟ್ರ್ರಾಸ್ ಎಂಬಾತನಿಂದ ಪರಿಪಕ್ವಗೊಂಡು ಆಧುನಿಕ ಪಠ್ಯಕ್ರಮಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣುವ ರೂಪ ತಾಳಿತು. ಪರಿಮಿತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮೀಕರಣ [3] ನ್ನು ಕೆಳಗೆ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ರೂಪಾಂತರಿಸೋಣ:

ಣಯನ್ನು ಸ್ಥಿರವೆಂದೂ hಅನ್ನು ಚರವೆಂದೂ ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಚರರಾಶಿಯೂ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸ್ಥಿರರಾಶಿಯೂ ಇರುವುದು ತಿಳಿಯುತ್ತದೆ. ಈಗ ಚರರಾಶಿಯ ಬೆಲೆ h ನ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ; ಅದನ್ನು ಸ್ಥಿರರಾಶಿಯಾದ ಜಿ'(ಣ)ಗೆ ಸಮವೆಂದು ಹೇಳುವುದು ಅನುಚಿತ. ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ಸೊನ್ನೆಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ಸಮೀಪವಾಗುವ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಅಲ್ಪ ಬಲೆಗಳನ್ನು hಗೆ ಆದೇಶಿಸುತ್ತ ಹೋದರೆ ನ ಅನುರೂಪ ಬೆಲೆಗಳು ಕ್ರಮೇಣ  ಜಿ'(ಣ) ಎಂಬ ಸ್ಥಿರ ಬೆಲೆಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ಸಮೀಪವಾಗುತ್ತ ಬರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಮೇಲೆ ಸೂಚಿತವಾಗಿರುವ ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮತ್ವಕ್ಕೆ ಮರೆಹೊಗುವ ಬದಲು h ಚರರಾಶಿ ಶೂನ್ಯದೆಡೆ ಗಮಿಸಿದಾಗ (ಸಂಕೇತಗಳಲ್ಲಿ ), [] ಎಂಬ ಚರಾಶಿ ಜಿ'(ಣ) ಎಂಬ ಸ್ಥಿರ ಪರಿಮಿತಿಯೆಡೆಗೆ ಗಮಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುವುದು ಸೂಕ್ತ; ಸಂಕೇತಗಳಲ್ಲಿ

   

ಅಥವಾ                  

ಇಲ್ಲಿ ಬಳಸಿರುವ ಟim ಎಂಬ ಸಂಕೇತ ಪರಿಮಿತಿ ಪದದ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ರೂಪವಾದ ಟimiಣನ ಸಂಕ್ಷೇಪರೂಪ. ಚರರಾಶಿಯೊಂದರ ಒಂದೊಂದು ಬಿಡಿ ಬೆಲೆಯೂ ಆ ಚರರಾಶಿಯ ಪರಿಮಿತಿಗೆ ಸಮವಾಗಬೇಕಿಲ್ಲವಾದ ಕಾರಣ ವಿಭಿನ್ನ ಪರಿಮಾಣಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸುವ ಅಸಮಂಜಸತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಮಿತಿಗಳ ಕಲ್ಪನೆ ನಿವಾರಿಸಬಲ್ಲುದು. ಇದು ಪರಿಮಿತಿವಾದದ ಸಾರಾಂಶ. ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ಪರಿಮಿತಿಗಳು ಬೇಡುವ ದೀರ್ಘ ತಾಂತ್ರಿಕ ಪೂರ್ವಸಿದ್ಧತೆಗಳ ಆಸರೆಯನ್ನೆಲ್ಲ ನಾವು ಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಉಪೇಕ್ಷಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಮೊದಲು ಮಗುವೊಂದರ ವಯಸ್ಸಿನ ಮೇಲೆ ಅದರ ತೂಕ ತೋರುವ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿದರ್ಶನವನ್ನಾಗಿ ಆರಿಸಿದೆವಷ್ಟೆ. ನಿತ್ಯವ್ಯವಹಾರದಲ್ಲೇ ಆಗಲಿ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವಿಜ್ಞಾನಗಳ ಅತ್ಯಂತ ಕರಾರುವಾಕ್ಕಾದ ಅಳತೆಗಳಲ್ಲೇ ಆಗಲಿ, ಯಾರಾದರೂ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕಾಗಿ ಬರುವ ವಯಸ್ಸುಗಳೆಂದರೆ 1 ವರ್ಷ, 2 ವರ್ಷ, 5 3/4 ವರ್ಷ, 8.324115 ವರ್ಷ ಇಂಥವೇ ವಿನಾ  ವರ್ಷ,  ವರ್ಷ, ವೃತ್ತವೊಂದರ ಪರಿಧಿ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಸದ ನಿಷ್ಪತ್ತಿಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಸಮನಾಗಿರುವ  ವರ್ಷ ಇಂಥವಲ್ಲವೇ ಅಲ್ಲ; ಅಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕಾಗಿ ಬರುವ ತೂಕಗಳ ವಿಚಾರವೂ ಹಾಗೆಯೇ. ಆದರೆ ನಿತ್ಯವ್ಯವಹಾರದಲ್ಲಿ ಹಾಗೂ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವಿಜ್ಞಾನಗಳ ಅಳತೆಗಳಲ್ಲಿ ಎದುರಾಗುವ ಪರಿಮೇಯ ಪರಿಮಾಣಗಳಿಗೆ (ರ್ಯಾಷನಲ್ ಕ್ವಾಂಟಿಟೀಸ್) ಮಾತ್ರ ಗಣಿತವನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಿದರೆ ಬಹಳಷ್ಟು ಚರರಾಶಿಗಳಿಗೆ ಬಹಳಷ್ಟು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಪರಿಮಿತಿಗಳೇ ದೊರಕದೆ ಪರಿಮಿತಿವಾದದ ಉಪಯುಕ್ತತೆ ತೀವ್ರವಾಗಿ ಕುಂಠಿತವಾಗುವುದು. ಹೀಗಾಗುವುದನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುವುದಕ್ಕಾಗಿಯೇ   ಮುಂತಾದ ಅಪರಿಮೇಯ ಪರಿಮಾಣಗಳನ್ನು ಗಣಿತಜ್ಞರು ಸೃಷ್ಟಿಸಿಕೊಂಡಿರುವುದು. ಅಲ್ಲಿಗೆ ಯಾವುದಾದರೊಂದು ವರ್ಗದ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವೊಂದನ್ನು ರಚಿಸುವಾಗ ಅಂಥ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳಲ್ಲಿ ಎಂದೂ ನೇರವಾಗಿ ಪ್ರವೇಶಿಸದೆ ಇರುವ, ಹಾಗೂ ಅರ್ಥಸ್ಪಷ್ಟತೆಯಿಲ್ಲದ, ಅನೇಕ ಆದರ್ಶ ಧಾತುಗಳನ್ನು (ಐಡಿಯಲ್ ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್) ಆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ತಂದಿಡುವ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಮಿತಿವಾದಿ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಹೇಗೂ ವಹಿಸಿಕೊಂಡೇ ಇದ್ದಾರೆಂದಾಯಿತು. ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ರಚನೆಯ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲ ಗಣಿತಜ್ಞರೂ ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವ ಏಕಮಾತ್ರ ನಿರ್ಣಾಯಕವೆಂದರೆ ರಚಿಸಿದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಆಂತರಿಕ ಅಸಮಂಜಸತೆಗಳಿರಬಾರದೆಂಬುದಷ್ಟೆ. ಹಾಗಿದ್ದ ಮೇಲೆ ಅಸಮಂಜಸತೆಗಳು ಅಂತರಿಕವಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸದೆ ಇರುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದೊಳಗೆ ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮಗಳನ್ನು ಸಹ ತಂದಿಡುವುದಕ್ಕೆ ಅಡ್ಡಿಯೇನು? ಈ ಹೊಸ ಜಾಡಿನಲ್ಲಿ ಚಿಂತನೆ ನಡೆಸಿದ ಅಬ್ರಹಾಂ ರಾಬಿನ್‍ಸನ್ ಎಂಬಾತ ನಾನ್ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಅನ್ಯಾಲಿಸಿಸ್ ಎಂಬ ನೂತನ ಸಿದ್ಧಾಂತವೊಂದನ್ನು 1961ರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿದ. ಅದು ಲೀಪ್‍ನಿಟ್ಸ್ ಸೂಚಿಸಿದ್ದ ಮಾದರಿಯ ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮಗಳ ಸಮಂಜಸತೆಯನ್ನು ಎತ್ತಿಹಿಡಿದು ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ತನ್ನ ಬೆಳೆವಣಿಗೆಗೆ ಅಪರಿಮೇಯ ಆಶ್ರಯಿಸಬಹುದಾದರೆ ಅವುಗಳೊಂದಿಗೆ ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮಗಳನ್ನು ಸಹ ಕನಿಷ್ಠಪಕ್ಷ ಅಷ್ಟೇ ಲಾಭದಾಯಕವಾಗಿ ಆಶ್ರಯಿಸಬಹುದೆಂದು ತೋರಿಸಿಕೊಟ್ಟಿದೆ.  

ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಔಪಚಾರಿಕ ನಿರೂಪಣೆ ಃ ರಾಬಿನ್‍ಸನ್ನನ ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮಗಳಿಗೆ ಪರಿಮಿತಿಗಳಿಗಿಂತಲೂ ದೀರ್ಘತರ ತಾಂತ್ರಿಕ ಪೂರ್ವಸಿದ್ಧತೆಗಳು ಅವಶ್ಯವಾಗುತ್ತವೆ. ಪ್ರಸಕ್ತ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಈ ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮಗಳನ್ನಾಗಲಿ ಪರಿಮಿತಿಗಳನ್ನಾಗಲಿ ನೇರವಾಗಿ ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳದೆ ಬೇರೆ ಒಂದು ಸ್ಥೂಲ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಕೆಲ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳನ್ನು ಗ್ರಹಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಲಾಗುವುದು. ನಾವು ಅನುಸರಿಸುವ ಮಾರ್ಗ ಹೆಚ್ಚು ಕಡಿಮೆ ಪರಿಮಿತಿಗಳ ಪ್ರಯೋಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅವಕಲನಶಸ್ತ್ರದ ಔಪಚಾರಿಕ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿಯೇ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಅರ್ಥವಿವರಣೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಬೇಕು. ಚಿ, ಂ ಗಳು ಎರಡು ಸ್ಥಿರ ಸಾಂತ (ಫೈನೈಟ್) ಪರಿಮಾಣಗಳೆಂದೂ ಚಿ<ಂ ಎಂದೂ ಭಾವಿಸಿ.   ಮಾದರಿಯ ಅಸಮತ್ವಗಳಿಗೆ ಸರಳ ಸಾಂತ ಅಂತರಗಳು (ಫೈನೈಟ್ ಲೀನಿಯರ್ ಇಂಟರ್ವಲ್ಸ್) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಇಂಥ ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಅಸಮತ್ವವನ್ನು ಎಂಬ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತನಾಮದಿಂದ ಕರೆಯೋಣ. ಅಸಮತ್ವಕ್ಕೆ ಣ ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆ ಬದ್ಧವಾಗಿದ್ದಾಗ  ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಣ ಇದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. (ಇಂಥ ಹೇಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಣ ಗೆ ಬದಲು ಬೇರಾವುದಾದರೂ ಒಂದು ಸಂಕೇತವನ್ನು ಆದೇಶಿಸಬಹುದು; ಹಾಗೆ ಮಾಡಿದಾಗ ರಲ್ಲಿರುವ ಣ ಯನ್ನು ಸಹ ಆ ಹೊಸಸಂಕೇತಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಬೇಕಾಗುವುದು.) ರಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಣ ಗೂ ಅನುರೂಪವಾಗಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ x(ಣ)ಯನ್ನು ಗೊತ್ತುಮಾಡಿಕೊಡುವ ಯಾವುದೇ (x  ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುವ) ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಉತ್ಪನ್ನವೆನಿಸಿಕೊಳ್ಳ ಬಲ್ಲುದು. ಇಲ್ಲಿ x(ಣ) ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿರಬೇಕೆಂದು ತಿಳಿಸಿರುವುದರ ಅಭಿಪ್ರಾಯ ಣ=u ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ ಕಡ್ಡಾಯವಾಗಿ 

x(ಣ)=x(u) ಕೂಡ ಆಗತಕ್ಕದ್ದು ಎಂದು. ಈಗ ವರ್ಣಿಸಿರುವಂಥ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು  ಅಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯೆ ಮಾಡಲಾಗಿರುವ ಏಕಚರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ (ಫಂಕ್ಷನ್ಸ್ ಆಫ್ ಒನ್ ವೇರಿಯಬಲ್). x(ಣ)ಗೆ ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ x ಬಿಂಬ (x-ಇಮೇಜ್) ಅಥವಾ x ಉತ್ಪನ್ನದ ಣ ಬೆಲೆ [ಣ ವ್ಯಾಲ್ಯೂ] ಎಂದು ಹೆಸರು. ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಈ ಬಿಂಬಸಂಕೇತ x(ಣ) ಯನ್ನೇ x(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನವೆಂದು ಸಡಿಲವಾಗಿ ವರ್ಣಿಸುವುದು ವಾಡಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಬೇಳೆ  ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಣ ಇರುವಾಗಲೆಲ್ಲ *ದಲ್ಲಿ x(ಣ)  ಇರುವಂತೆ ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಸರಳ ಸಾಂತಾಂತರ *ವನ್ನು ಗೊತ್ತುಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಬಹುದು; ಹಾಗಿದ್ದರೆ  ರಲ್ಲಿ x ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಮೇರೆಯಿದೆ (ಬೌಂಡೆಡ್) ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಿರುವಾಗ * ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಜಿ ಎಂಬ (ಪ್ರಾಯಶಃ ಬೇರೊಂದು) ಉತ್ಪನ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಜಿox ಎಂದು ಸೂಚಿಸಬಹುದಾದ ಮೂರನೆಯ ಉತ್ಪನ್ನವೊಂದನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯೆ ಮಾಡಲಾಗುವುದು:

    ಜಿox(ಣ)=ಜಿ(x(ಣ))

ಜಿox ಗೆ ಜಿಮತ್ತು x ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಸಂಯೋಜನೆಯೆಂದು ಹೆಸರು (ಫಂಕ್ಷನ್ ಕಾಂಪೊಸಿûಷನ್). ಇದು ಮತ್ತೆ  ಅಂತರದಲ್ಲೇ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಜಿox ಹಾಗೂ ಜಿ.x ಎಂಬೆರಡು ಉತ್ಪನ್ನ ಸಂಕೇತಗಳಿಗಿರುವ ಭೇದವನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದು ಅಗತ್ಯ: ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿರುವಂತೆ ಜಿox(ಣ)=ಜಿ(x(ಣ)) ಆದರೆ ಜಿ.x(i)=ಜಿ(ಣ).x(ಣ). ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಏಕಚರ ಉತ್ಪನ್ನವೂ ಣ ಯಂಥ ಒಂದೇ ಒಂದು ಚರರಾಶಿಯನ್ನು (ವೇರಿಯಬಲ್) ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ; ಆದರೆ ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಮಟ್ಟದ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಕೂಡ ಎರಡೆರಡು ಚರರಾಶಿಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸುವ ದ್ವಿಚರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಪರಿಚಯ ಅಗತ್ಯ. ಇವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ b,ಃ,ಛಿ,ಅ ಗಳು ಸಹ ಚಿ,ಂ ಗಳಂತೆಯೇ ಸ್ಥಿರ ಸಾಂತ ಪರಿಮಾಣಗಳೆಂದೂ ಚಿ<ಂ ಜೊತೆಗೆ (bಚಿ+ಛಿ )<(ಃಚಿ+ಅ ) ಹಾಗೂ (bಂ+ಛಿ )< ಃಂ+ಅ ಎಂದೂ ಭಾವಿಸೋಣ.  ಮಾದರಿಯ ಅಸಮತ್ವದ್ವಯಗಳಿಗೆ_ಇಲ್ಲವೆ ಈ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಗೋಚರಿಸುವ ನಾಲ್ಕು ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಪೈಕಿ ಕೆಲವನ್ನಾಗಲಿ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಆಗಲಿ <ರೂಪಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುವುದರಿಂದ ಫಲಿಸುವ ಇತರ ಹದಿನೈದು ಮಾದರಿ ಅಸಮತ್ವದ್ವಯಗಳಿಗೆ_ತ್ರಾಪಿಜ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಾಂತಾಂತರಗಳೆಂದು ಹೆಸರು (ಫೈನೈಟ್ ಟ್ರೆಪಿeóÁಯ್ಡಲ್ ಇಂಟರ್ವಲ್ಸ್). ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಇಂಥ ಯಾವುದಾದರೂ ತ್ರಾಪಿಜ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಾಂತಾಂತರವನ್ನು ಎಂಬ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ನಾಮದಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ.  ಒಳಗೊಳ್ಳುವ ಎರಡು ಅಸಮತ್ವಗಳಿಗೆ ಯಾವುದಾದರೂ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆ ಣ ಮತ್ತು h ಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಬದ್ಧವಾಗಿದ್ದರೆ (ಣ;h ) ಎಂಬ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಕ್ರಮ ಜೋಡಿ  ಅಂತರದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. (ಇಂಥ ಹೇಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಣ ಮತ್ತು h ಗಳಿಗೆ ಬದಲು ಬೇರಾವುದಾದರೂ ಎರಡು ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಆದೇಶಿಸಬಹುದು; ಹಾಗೆ ಮಾಡಿದಾಗ ರಲ್ಲಿರುವ ಣ,h ಗಳನ್ನು ಕೂಡ ಆ ಹೊಸ ಸಂಕೇತಗಳಿಗೆ ಬದಲಿಸಬೇಕು.) ರಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಕ್ರಮ ಜೋಡಿ (ಣ;h) ಗೂ ಅನುರೂಪವಾಗಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ (ಣ;h )ಅನ್ನು ಯಾವುದಾದರೊಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಯ ಮುಖಾಂತರ ಗೊತ್ತುಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ ಆ ವ್ಯವಸ್ಥೆ  ಅಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಾಗಿರುವ ಒಂದು ದ್ವಿಚರ ಉತ್ಪನ್ನವೆನಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಗೆ (ಣ;h) ಜೋಡಿಯ -ಬಿಂಬ ಅಥವಾ  ಉತ್ಪನ್ನದ (ಣ;h)-ಬೆಲೆ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಅನೇಕ ವೇಳೆ ಈ ಬಿಂಬ ಸಂಕೇತ  ಅನ್ನೇ  ಉತ್ಪನ್ನವೆಂದು ಸಡಿಲವಾಗಿ ವರ್ಣಿಸುವುದುಂಟು. ಅಂತರದಲ್ಲಿ (ಣ;h) ಇರುವಾಗಲೆಲ್ಲ *ದಲ್ಲಿ  ಇರುವಂತೆ ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಸರಳ ಸಾಂತಾಂತರ * ವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಾದರೆ ರ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಮೇರೆಯಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಈಗ   ಮತ್ತು * ಗಳು ಯಾವುದಾದರೂ ಎರಡು ತ್ರಾಪಿಜ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಾಂತಾಂತರಗಳೆಂದೂ ರಲ್ಲಿ  ಮತ್ತು  ಎಂಬೆರಡು ದ್ವಿಚರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಗಿವೆಯೆಂದೂ * ದಲ್ಲಿ  ಎಂಬ ದ್ವಿಚರ ಉತ್ಪನ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆಯೆಂದೂ ಭಾವಿಸಿ.  (ಣ;h) ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಕ್ರಮ ಜೋಡಿ  ರಲ್ಲಿರುವಾಗಲೆಲ್ಲ  ಜೋಡಿ * ದಲ್ಲಿರುವ ಪಕ್ಷಕ್ಕೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುವ ಮೂರು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯೊಂದನ್ನು (ಟ್ರಿಪಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಕಾಂಪೊಸಿûಷನ್) ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

  

ಈ ಮೂಲಕ  ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತೆ  ಅಂತರದಲ್ಲೇ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅಗತ್ಯ ತೋರಿದಲ್ಲಿ ಏಕಚರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ದ್ವಿಚರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳೆಂದೇ ಪರಿಗಣಿಸಲು ಶಕ್ಯವಿದೆ. ಏಕೆಂದರೆ  ಎಂಬುದು ಣ ಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸುವ ಒಂದು ಏಕಚರ ಉತ್ಪನ್ನವಾದಲ್ಲಿ hನ ಬೆಲೆ ಏನೇ ಆಗಿರಲಿ  ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯೆಮಾಡಿ ಯೊಂದಿಗೆ ಐಕ್ಯವಾಗುವ ದ್ವಿಚರ ಉತ್ಪನ್ನ  ಅನ್ನು ರೂಪಿಸಬಹುದು. ಮೇಲಿನ ಮೂರು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ  ಒಂದು ಏಕಚರ ಉತ್ಪನ್ನವಾದರೆ

ಆಗುವುದು. ಕೊನೆಯದಾಗಿ, ಹೇಗೆ ಏಕಚರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ದ್ವಿಚರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದೋ ಅಂತೆಯೇ ಸ್ಥಿರಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಅಗತ್ಯವಿರುವೆಡೆ ಏಕಚರ ಆಥವಾ ದ್ವಿಚರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಶಕ್ಯತೆಯಿದೆ. ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಗಳೆಂಬ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವರ್ಗದ ದ್ವಿಚರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಮೂಲಸಾಧನವನ್ನಾಗಿ ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.  ಉತ್ಪನ್ನ  ಎಂಬ ತ್ರಾಪಿಜ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಾಂತಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆಯೆಂದು ಭಾವಿಸಿ. ಟಿ ಎಂಬ ಚರ ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಿ. ಕೆಲ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇಂಥ ಪ್ರತಿ ಟಿ ಗೂ ಅನುರೂಪವಾಗಿ ಇದೀಗ ತಿಳಿಸಲಿರುವ ವಿಶೇಷ ನಿಬಂಧನೆಯೊಂದಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವಂತೆ ಇನ್ನೊಂದು ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕ m ಅನ್ನು ಗೊತ್ತುಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಬಹುದು.  ಅಂತರದಲ್ಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಕ್ರಮ ಜೋಡಿ (ಣ;h)ನಲ್ಲಿ ಣ ಯ ಬೆಲೆಯೇನೇ ಆಗಿದ್ದಾಗ್ಯೂ h ಸಂಖ್ಯೆ

          (-1/m) < h< (1/m)     ಅಸಮತ್ವಕ್ಕೆ ಬದ್ಧವಾಗಿರುವಾಗಲೆಲ್ಲ

      (-1/ಟಿ) <  (ಣ;h) < (1/ಟಿ)  ಆಗಬೇಕೆಂಬುದೇ ಈ ನಿಬಂಧನೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಸರಿಯೊಂದುವಂತೆ ಒಂದೊಂದು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಟಿ ಗೂ ಒಂದೊಂದು ಅನುರೂಪಪೂರ್ಣಾಂಕ m ಅನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಾದರೆ  ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಣ-ಏಕರೀತಿ h-ಸಾಪೇಕ್ಷ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆಯೆಂದು (ಇನ್ ಫಿನಿಟೆಸಿಮಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ರಿಲೆಟಿವ್ ಟು h ಅಂಡ್ ಯೂನಿಫಾರ್ಮ್ ಇನ್ ಣ) ವರ್ಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸಂದಿಗ್ಧತೆಗಳ ಸಂಭವವಿಲ್ಲದಿರುವಾಗ ಈ ಉದ್ದನೆಯ ವರ್ಣನೆಯನ್ನು ಕೇವಲ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿ ಎಂದು ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಲು ಅಡ್ಡಿಯಿಲ್ಲ. ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ (ರಿಯಲ್ ನಂಬರ್ಸ್) ಆಯಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ  ಉತ್ಪನ್ನ ಒಂದು h-ಸಾಪೇಕ್ಷ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಯಾದಾಗ (ಣ;0) ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಕ್ರಮಜೊಡಿ ರಲ್ಲಿರುವಾಗಲೆಲ್ಲ  ಆಗಲೇಬೇಕೆಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. (ರಾಬಿನ್ ಸನ್ನನ ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳುವ ಸಂಖ್ಯಾವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ; ಪ್ರಸಕ್ತ ವಿವೇಚನೆ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಸಂಖ್ಯಾವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಮಾತ್ರ ಸೀಮಿತವಾದ್ದು.)  ಅಮತರದಲ್ಲಿ  ಉತ್ಪನ್ನವೂ * ಅಂತರದಲ್ಲಿ  ಉತ್ಪನ್ನವೂ ಣ-ಏಕರೀತಿ h-ಸಾಪೇಕ್ಷ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಗಳಾದ ಪಕ್ಷಕ್ಕೆ ಮೂರು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸಂಯೋಜನೆ ಮೂರು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯೊಂದನ್ನು (ಟ್ರಿಪಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಕಾಂಪೊಸಿûಷನ್) ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

  

ಈ ಮೂಲಕ  ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತೆ  ಅಂತರದಲ್ಲೇ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅಗತ್ಯ ತೋರಿದಲ್ಲಿ ಏಕಚರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ದ್ವಿಚರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳೆಂದೇ ಪರಿಗಣಿಸಲು ಶಕ್ಯವಿದೆ. ಏಕೆಂದರೆ  ಎಂಬುದು ಣ ಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸುವ ಒಂದು ಏಕಚರ ಉತ್ಪನ್ನವಾದಲ್ಲಿ hನ ಬೆಲೆ ಏನೇ ಆಗಿರಲಿ  ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯೆಮಾಡಿ ಯೊಂದಿಗೆ ಐಕ್ಯವಾಗುವ ದ್ವಿಚರ ಉತ್ಪನ್ನ  ಅನ್ನು ರೂಪಿಸಬಹುದು. ಮೇಲಿನ ಮೂರು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ  ಒಂದು ಏಕಚರ ಉತ್ಪನ್ನವಾದರೆ

ಆಗುವುದು. ಕೊನೆಯದಾಗಿ, ಹೇಗೆ ಏಕಚರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ದ್ವಿಚರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದೋ ಅಂತೆಯೇ ಸ್ಥಿರಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಅಗತ್ಯವಿರುವೆಡೆ ಏಕಚರ ಆಥವಾ ದ್ವಿಚರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಶಕ್ಯತೆಯಿದೆ. ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಗಳೆಂಬ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವರ್ಗದ ದ್ವಿಚರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಮೂಲಸಾಧನವನ್ನಾಗಿ ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.  ಉತ್ಪನ್ನ  ಎಂಬ ತ್ರಾಪಿಜ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಾಂತಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆಯೆಂದು ಭಾವಿಸಿ. ಟಿ ಎಂಬ ಚರ ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಿ. ಕೆಲ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇಂಥ ಪ್ರತಿ ಟಿ ಗೂ ಅನುರೂಪವಾಗಿ ಇದೀಗ ತಿಳಿಸಲಿರುವ ವಿಶೇಷ ನಿಬಂಧನೆಯೊಂದಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವಂತೆ ಇನ್ನೊಂದು ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕ m ಅನ್ನು ಗೊತ್ತುಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಬಹುದು.  ಅಂತರದಲ್ಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಕ್ರಮ ಜೋಡಿ (ಣ;h)ನಲ್ಲಿ ಣ ಯ ಬೆಲೆಯೇನೇ ಆಗಿದ್ದಾಗ್ಯೂ h ಸಂಖ್ಯೆ

          (-1/m) < h< (1/m)     ಅಸಮತ್ವಕ್ಕೆ ಬದ್ಧವಾಗಿರುವಾಗಲೆಲ್ಲ

      (-1/ಟಿ) <  (ಣ;h) < (1/ಟಿ)  ಆಗಬೇಕೆಂಬುದೇ ಈ ನಿಬಂಧನೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಸರಿಯೊಂದುವಂತೆ ಒಂದೊಂದು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಟಿ ಗೂ ಒಂದೊಂದು ಅನುರೂಪಪೂರ್ಣಾಂಕ m ಅನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಾದರೆ  ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಣ-ಏಕರೀತಿ h-ಸಾಪೇಕ್ಷ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆಯೆಂದು (ಇನ್ ಫಿನಿಟೆಸಿಮಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ರಿಲೆಟಿವ್ ಟು h ಅಂಡ್ ಯೂನಿಫಾರ್ಮ್ ಇನ್ ಣ) ವರ್ಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸಂದಿಗ್ಧತೆಗಳ ಸಂಭವವಿಲ್ಲದಿರುವಾಗ ಈ ಉದ್ದನೆಯ ವರ್ಣನೆಯನ್ನು ಕೇವಲ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿ ಎಂದು ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಲು ಅಡ್ಡಿಯಿಲ್ಲ. ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ (ರಿಯಲ್ ನಂಬರ್ಸ್) ಆಯಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ  ಉತ್ಪನ್ನ ಒಂದು h-ಸಾಪೇಕ್ಷ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಯಾದಾಗ (ಣ;0) ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಕ್ರಮಜೊಡಿ ರಲ್ಲಿರುವಾಗಲೆಲ್ಲ  ಆಗಲೇಬೇಕೆಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. (ರಾಬಿನ್ ಸನ್ನನ ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳುವ ಸಂಖ್ಯಾವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ; ಪ್ರಸಕ್ತ ವಿವೇಚನೆ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಸಂಖ್ಯಾವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಮಾತ್ರ ಸೀಮಿತವಾದ್ದು.)  ಅಮತರದಲ್ಲಿ  ಉತ್ಪನ್ನವೂ * ಅಂತರದಲ್ಲಿ  ಉತ್ಪನ್ನವೂ ಣ-ಏಕರೀತಿ h-ಸಾಪೇಕ್ಷ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಗಳಾದ ಪಕ್ಷಕ್ಕೆ ಮೂರು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸಂಯೋಜನೆ  ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿರುವಾಗಲೆಲ್ಲ ಮತ್ತೆ  ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಣ-ಏಕರೀತಿ h-ಸಾಪೇಕ್ಷ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಯಾಗುವುದೆಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಮರ್ಥಿಸಬಹುದು. ಈಗ  ಅಂತರದಲ್ಲಿ  ಎಂಬ ನಾಲ್ಕು ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಾಗಿವೆಯೆಂದೂ ಅಲ್ಲಿ ಇವುಗಳ ಪೈಕಿ ಗೂ ಕ್ಕೂ ಮೇರೆ ಇದೆಯೆಂದೂ  ಮತ್ತು ಗಳು (ಣ-ಏಕರೀತಿ h-ಸಾಪೇಕ್ಷ) ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಗಳೆಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ  ಮತ್ತು  ಎಂಬೆರಡು ಉತ್ಪನ್ನಗಳೂ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಗಳೇ ಆಗುತ್ತವೆ.  

ಅಂತರದಲ್ಲಿ  ಉತ್ಪನ್ನ ಯಾವುದಾದರೊಂದು (ಣ-ಏಕರೀತಿ h-ಸಾಪೇಕ್ಷ) ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಯಾದರೆ ಅದೇ ಅಂತರದಲ್ಲಿ  ರೂಪದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು (ಣ-ಏಕರೀತಿ h-ಸಾಪೇಕ್ಷ) ಶೂನ್ಯಸ್ಪರ್ಶಿಗಳೆಂದು (ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ಸ್ ಟು ಜಿûೀರೊ) ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಪ್ರತಿ ಶೂನ್ಯಸ್ಪರ್ಶಿಯೂ ಒಂದು ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಯೇ. ಆದರೆ ಎಲ್ಲ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಗಳೂ ಶೂನ್ಯಸ್ಪರ್ಶಿಗಳಲ್ಲ. ಈಗ ರಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಾಗಿರುವ  ಮತ್ತು  ಎಂಬ ಯಾವುದಾದರೂ ಎರಡು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ  ಅಲ್ಲಿ ಣ-ಏಕರೀತಿ h-ಸಾಪೇಕ್ಷ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಯಾದರೆ

            

ಎಂದೂ ಆ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಒಂದು ಣ-ಏಕರೀತಿ h-ಸಾಪೇಕ್ಷ ಶೂನ್ಯಸ್ಪರ್ಶಿಯಾದರೆ

    

ಎಂದೂ ಬರೆಯೋಣ. ಯಾವುದೇ ಉತ್ಪನ್ನವಾದರೂ   ಆಗುವುದು.   ಆದಾಗ     ಸಹ ಆಗುತ್ತದೆ.   ಮತ್ತು  ಈ(ಣ;h) ಆದರೆ  ಈ(ಣ;h) ಆಗುವುದು. ಈ(ಣ;h) ಹಾಗೂ ಈ*(ಣ;h) ಇವೆರಡಕ್ಕೂ ಮೇರೆಯಿದ್ದರೆ   ಮತ್ತು *(ಣ;h) *(ಣ;h) ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ 

 

ಆಗುತ್ತದೆ.  ಹಾಗೂ ಗಳಿಗೆ ಮೇರೆಯಿದ್ದರೆ   ಮತ್ತು   ಆದಾಗ

ಆಗುವುದು. ಅಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲ. ಈ ಐದು ಪ್ರಮೇಯಗಳಲ್ಲಿ ಉದ್ದಕ್ಕೂ   ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು  ಚಿಹ್ನೆಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಲೂ ಬಹುದು.   ಮತ್ತು  ಎಂಬರೆರಡು ಏಕಚರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ದ್ವಿಚರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದಾಗ ಅವು   ಅಥವಾ  ಆಗುವಂತಿದ್ದರೆ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ  ಆಗಬೇಕಾಗುವುದು. ಇವೆಲ್ಲ ಪ್ರಮೇಯಗಳೂ ಯಾವುದಾದರೊಂದು ತ್ರಾಪಿಜ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಂತಾಂತರ ಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ. ಈಗ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ  ಎಂಬ ಅಂತರವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ. ಇದರಲ್ಲಿ   ಆಗುವುದಾದರೆ   ಆಗುವಂತೆ ಒಂದು ಸ್ಥಿರಸಾಂತ ಸಂಖ್ಯೆ ವನ್ನು ಗೊತ್ತುಮಾಡಬಹುದೆಂಬ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವೊಂದಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಕೋಶಿಯ ವಿಸ್ತøತ ಅಭಿಸರಣ ತತ್ತ್ವ (ಎಕ್ಸ್ ಟೆಂಡೆಡ್ ಪ್ರಿನ್ಸಿಪಲ್ ಆಫ್ ಕನ್ವರ್ಜೆನ್ಸ್) ಎಂದು ಹೆಸರು; ಮುಂದೆ ಸಮಾಸಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಇಷ್ಟು ಪೀಠಿಕೆಯ ಬಳಿಕ ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ನಿರೂಪಣೆಯನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲು ಸಿದ್ಧರಾಗಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಉಪವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಇನ್ನು ಮುಂದೆಲ್ಲ  ಅಂದರೆ  ಎಂದೂ  ಅಂದರೆ   ಎಂದೂ ಭಾವಿಸಲಾಗುವುದು. ರಲ್ಲಿ ಜಿ(ಣ) ಎಂಬ ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಏಕಚರ ಉತ್ಪನ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲ್ಲಿ. ರಲ್ಲಿ

          ...[4]

ಆಗುವುದಾದರೆ ರಲ್ಲಿ ಜಿ(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನ ಏಕರೀತ್ಯಾ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನವಾಗಿದೆ. (ಯೂನಿಫಾಮ್ರ್ಲಿ ಕಂಟಿನ್ಯೂಯಸ್) ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಇಂಥ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ರಲ್ಲಿ ಕಡ್ಡಾಯವಾಗಿ ಮೇರೆಯಿತ್ತದೆಂದು ಸಾಧಿಸಬಹುದು. ಈ ಹಿಂದೆ ಜಿ'(ಣ) ನಿಷ್ಟನ್ನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು 

  ಜಿ(ಣ+h)=ಜಿ(ಣ)+hಜಿ'(ಣ)

ಎಂಬ ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮೀಕರಣದ ಮುಖಾಂತರ ರೂಪಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದೆವಷ್ಟೆ. ಇಲ್ಲಿರುವ = ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು  ಚಿಹ್ನೆಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದರ ಮೂಲಕ ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮತ್ವಗಳ ಸಡಿಲತೆಯಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಗೊಂದಲಗಳೆಲ್ಲವನ್ನೂ ನಿವಾರಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಈಗ ನಿಷ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಮಾರ್ಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳತ್ತೇವೆ:  ಅಂತರದಲ್ಲಿ 

                     ... [5]

ಆಗುವಂತೆ ಜಿ'(ಣ) ಎಂಬ ಒಂದು ಏಕಚರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಗೊತ್ತುಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಾದರೆ ಆ ಜಿ' ಉತ್ಪನ್ನ ರಲ್ಲಿ ಜಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಏಕರೀತಿ ನಿಷ್ಟನ್ನವೆನಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು (ಯೂನಿಫಾರ್ಮ್ ಡಿರೈವೆಟಿವ್). [ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಾಗಲೀ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಇಂಥ ಜಿ'(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು] ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಜಿ(ಣ )=ಜಿ3 ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ. ಆಗ

  

ಇಲ್ಲಿ 3ಣh+h2 ಎಂಬುದು ಯಾವುದೇ  ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಣ-ಏಕರೀತಿ h-ಸಾಪೇಕ್ಷ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಯಾದ್ದರಿಂದ h(3ಣh+h2) ಎಂಬುದು ಅದೇ ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಣ-ಏಕರೀತಿ h-ಸಾಪೇಕ್ಷ ಶೂನ್ಯಸ್ಪರ್ಶಿ. ಅಲ್ಲಿಗೆ 

ಎಂದಾಯಿತು. ಇದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ರಲ್ಲಿ  ಎಂಬ ಉತ್ಪನ್ನ  ಉತ್ಪನ್ನದ ಏಕರೀತಿ ನಿಷ್ಟನ್ನವೆಂದು ಸಿದ್ಧಪಡುವುದು. ಪ್ರಸಕ್ತ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಈಗ ಹೇಳಿರುವಂಥ ಏಕರೀತಿ ನಿಷ್ಪನ್ನಗಳ ಹೊರತಾಗಿ ಬೇರಾವ ಬಗೆಯ ನಿಷ್ಪನ್ನಗಳನ್ನೂ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಎಚ್ಛೆಪಟ್ಟಲ್ಲೆಲ್ಲ ಏಕರೀತಿ ಎಂಬ ವಿಶೇಷಣವನ್ನು ಅಧ್ಯಾಹಾರಗೊಳಿಸಲು ಯಾವ ಅಡ್ಡಿಯೂ ಇಲ್ಲ. ಕೆಲವು ಮುಖ್ಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿಷ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ನಮೂದಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಉತ್ಪನ್ನ ಜಿ(ಣ)          ಸಾಂತಾಂತರ            (ಏಕ ರೀತಿ)

                                                ನಿಷ್ಪನ್ನ ಜಿ'(ಣ)

  1                      2                          3

ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆ ಞ        ಚಿ,b ಯಾವ ಸ್ಥಿರಸಾಂತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು          0

                  ಬೇಕಾದರೂ ಆಗಬಹುದು       

                        "                         

ಞ>0 ಆದಾಗ              "                                               

ಣ ರೇಡಿಯನ್ ಮಾನದಲ್ಲಿ        "                           ಛಿosಣ

     ದ್ದಾಗ siಟಿಣ

ಣ ರೇಡಿಯನ್ ಮಾನದಲ್ಲಿ        "                          -siಟಿಣ

      ದ್ದಾಗ ಛಿosಣ

ಞ ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗ     "                          

        

     ಞ>1 ಆದಾಗ        ಆಗಬೇಕು            

     ಞ>1 ಆದಾಗ        ಆಗಬೇಕು            

ಞ>0 ಆದಾಗ ಟoge ಞ  ಣ              "                    1/ಣ

ಞ>0 ಆದಾಗ ಟogeಞ  ಣ        ಆಗಬೇಕು           -1/ಣ

ಣ ರೇಡಿಯನ್ ಮಾನದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ  ಯಾವುದಾದರೊಂದುಪೂರ್ಣಾಂಕ

      ಣಚಿಟಿಣ              ಟಿಗೆ          seಛಿ2ಣ

                         ಆಗಬೇಕು

 ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಉತ್ಪನ್ನ ಜಿ(ಣ)ಗೆ ಏಕರೀತಿ ನಿಷ್ಪನ್ನ ಜಿ'(ಣ) ಇರುವುದಾದರೆ ಜಿ'(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನ ರಲ್ಲಿ ಕಡ್ಡಾಯವಾಗಿ ಏಕರೀತ್ಯಾ ಅವಿಚ್ಛಿವನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ರಲ್ಲಿ ಜಿ'(ಣ) ಗೆ ಮೇರೆ ಇರುತ್ತದೆ. ತತ್ಫಲವಾಗಿ hಜಿ'(ಣ) ಒಂದು ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಯಾಗುವ ಕಾರಣ ಜಿ(ಣ) ಕೂಡ  ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಏಕರೀತ್ಯಾ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನವಾಗಿರಬೇಕೆಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ಮನಗಾಣಬಹುದು. ಈಗ  ಅಂತರದಲ್ಲಿ x(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ x'(ಣ) ಎಂಬ ಏಕರೀತಿ ನಿಷ್ಪನ್ನವೂ ಪ್ರಾಯಶಃ ಇನ್ನಾವುದಾದರೊಂದು * ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಜಿ(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಜಿ'(ಣ) ಎಂಬ ಏಕರೀತಿ ನಿಷ್ಪನ್ನವೂ ಇವೆಯೆಂದು ಭಾವಿಸಿ. ಇಂಥ ಸಂದರ್ಭವಿರುವಾಗ ಜಿ o x(ಣ)=ಜಿ(x)ಣ ಉತ್ಪನ್ನ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯೆಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಾದರೆರಲ್ಲಿ ಜಿ o x(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೂ (ಏಕರೀತಿ) ನಿಷ್ಪನ್ನವಿರುತ್ತದೆಂದೂ ಆ ನಿಷ್ಪನ್ನ x'(ಣ). ಜಿ o x(ಣ) ಗೆ ಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆಂದೂ ಸಾಧಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಿಷ್ಪನ್ನಗಳವ್ಯಾಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಕಾರ  ಅಂತರದಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಶೂನ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಿ ಗೆ ಹಾಗೂ ಅನುರೂಪ * ಅಂತರದಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೋ ಒಂದು ಶೂನ್ಯಸ್ಪರ್ಶಿ  ಗೆ

  ಮತ್ತು

  =ಜಿ(ಣ)+hಜಿ'(ಣ)+h.

ಆಗಬೇಕು. ಈ ನಿತ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೇರೆಗೆ

 

    

ಎಂದು ಬರೆದರೆ  ಅಂತರದಲ್ಲಿ

 ಜಿ o x (ಣ+h)=ಜಿ o x (ಣ)+h.x'(ಣ).ಜಿ' 0 x (ಣ)+h.(ಣ;h)

ಆಗುವುದೆಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ತಾಳೆನೋಡಬಹುದು. ಇದೇ ಅಂತರದಲ್ಲಿ  ಒಂದು ಣ-ಏಕರೀತಿ h-ಸಾಪೇಕ್ಷ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಯೆಂದು ಮನಗಾಣುವುದೂ ಸುಲಭವೇ. ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದು ಶೂನ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಿಯಾಗಿ ಪರಿಣಮಿಸಿ ರಲ್ಲಿ

   ಜಿ o x (ಣ+h) ಜಿ o x (ಣ)+h.x'(ಣ)'.ಜಿ' o x(ಣ)

ಎಂದು ಸಿದ್ಧಪಡುತ್ತದೆ. ಇದೇ ನಾವು ಅಪೇಕ್ಷಿಸಿದ ಫಲಿತಾಂಶ. ಸಂಕೇತಗಳಲ್ಲಿ

[ ಜಿ o x]' =x'.ಜಿ' o x                             ...[6]

ಮತ್ತು ಈಗ  ಅಂತರದಲ್ಲಿ x(ಣ) ಹಾಗೂ ಥಿ(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ x'(ಣ) ಮತ್ತು ಥಿ'(ಣ) ಎಂಬ ಏಕರೀತಿ ನಿಷ್ಪನ್ನಗಳಿವೆಯೆಂದೂ ಞ, ಟಗಳು ಯಾವುದಾದರೂ ಎರಡು ಸ್ಥಿರ ಸಾಂತ ಪರಿಮಾಣಗಳೆಂದೂ ಭಾವಿಸೋಣ. ಇಂಥ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ 

    ಹಾಗೂ [ಞ.x+ಟ.ಥಿ](ಣ)=ಞ.x(ಣ)+ಟ.ಥಿ(ಣ)

ಎಂಬೆರಡು ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೂ ಏಕರೀತಿ ನಿಷ್ಪನ್ನಗಳಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು; ಆ ನಿಷ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳು ಇವು: 

                 [x.ಥಿ]' =x'.ಥಿ+x.ಥಿ'                                           ...[7]

                  [ಞ.x+ಟ,ಥಿ]' =ಞ.x'+ಟ.ಥಿ'                                         ...[8]

I1 ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಣ ಇರುವಾಗಲೆಲ್ಲ  ಆಗುವಂತೆ ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಧನಸಂಖ್ಯೆ ಠಿ ಯನ್ನು ಗೊತ್ತುಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿದ್ದರೆ [ಥಿ/x](ಣ)=ಥಿ(ಣ)/x(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೂ ಕೆಳಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿರುವ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಏಕರೀತಿ ನಿಷ್ಪನ್ನವಿರುತ್ತದೆ:

                           [ಥಿ/x]' =[ಥಿ'x-ಥಿx']/x2                                          ...[9]

[7], [8] [9] ಸೂತ್ರಗಳ  ಸಾಧನೆಗಳನ್ನು ಓದುಗರ ಅಭ್ಯಾಸಕ್ಕಾಗಿ ಬಿಡಲಾಗಿದೆ. ವ್ಯವಹಾರದಲ್ಲಿ ನಿಷ್ಪನ್ನಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕೆ [6], [7], [8], [9] ಸೂತ್ರಗಳ ನೆರವು ಅತ್ಯಮೂಲ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ.

I1 ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಥಿ(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಏಕರೀತಿ ನಿಷ್ಪನ್ನ ಥಿ'(ಣ) ಇದ್ದರೆ I2 ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಜಥಿ ಎಂಬ ದ್ವಿಚರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಾವು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುತ್ತೇವೆ:

 

    ಜಥಿ(ಣ;h)=h.ಥಿ'(ಣ)                                                                                                           ...[10]

ಇಡೀ ಜಥಿ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನ ಸಂಕೇತ; ಅದು ಜ ಮತ್ತು ಥಿ ಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವೆಂದು ಭಾವಿಸಬಾರದು. ಈ ಜಥಿಗೆ ಥಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅವಕಲವೆಂದು (ಡಿಫರೆನ್ಷಲ್) ಹೆಸರು. ಇದೊಂದು ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಯೆಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಸುಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ

              ಜಥಿ(ಣ;h)  ಥಿ(ಣ+h)-ಥಿ(ಣ)                                                                 ...[11]

ಈಗ ಥಿ ಎಂಬುದು I* ಮತ್ತು I1 ಅಂತರಗಳಲ್ಲಿ ನಿಷ್ಪನ್ನಗಳಿರುವ ಜಿ ಮತ್ತು x ಎಂಬ ಇನ್ನೆರಡು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿರಲಿ: ಅಂದರೆ ಥಿ=ಜಿ o x ಅಥವಾ ಥಿ(ಣ)=ಜಿ(x(ಣ). ಸೂತ್ರ [6]ರ ಮೇರೆಗೆ

  ಜಥಿ(ಣ;h)=h.ಥಿ'(ಣ)=h. x'(ಣ).ಜಿ' o x(ಣ)

ಆದರೆ ಸೂತ್ರ   [10]ರಂತೆ h.x'(ಣ)=ಜx(ಣ;h).   ಆದ್ದರಿಂದ

       ಜಥಿ(ಣ;h)=ಜx(ಣ;h).ಜಿ'o x(ಣ)     ಅಥವಾ

   ಜ ಜಿ o x(ಣ;h)=ಜx(ಣ;h).ಜಿ' o x(ಣ)   . . . [12]

   ಇದರಿಂದ   ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ

ಜಿ' o x(ಣ)=ಜಥಿ(ಣ;h)/ಜx(ಣ;h)=[ಜಥಿ/ಜx] (ಣ;h)                   ...[13]

ಎಂದು ಗೊತ್ತಾಗುವುದು. ಜಿ' o x(ಣ)=ಜಿ'(x(ಣ) ಯನ್ನು ಥಿ=ಜಿ o x ಉತ್ಪನ್ನದ x-ಸಾಪೇಕ್ಷ ನಿಷ್ಪನ್ನ (ಡಿರೈವೆಟಿವ್ ಆಫ್ ಥಿ ವಿತ್ ರೆಸ್ಟೆಕ್ಟ್ ಟು x) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.  ಆದಾಗ ಏಕಚರ ಉತ್ಪನ್ನವಾದ ಈ x- ಸಾಪೇಕ್ಷ ನಿಷ್ಪನ್ನ ದ್ವಿಚರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾದ ಎರಡು ಅವಕಲಗಳ ಭಾಗಲಬ್ದ [ಜಥಿ/ಜx] ಗೆ ಸಮವಿರುತ್ತದೆಂಬ ಮೇಲಿನ ಫಲಿತಾಂಶ [13] ಗಮನಾರ್ಹವಾದ್ದು; ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಇಂದು ಸಾಕಷ್ಟು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಪ್ರಚಲಿತವಿರುವ ನಿಷ್ಪನ್ನಸೂಚಕ  ಸಂಜ್ಞಾಪದ್ಧತಿಗೆ ಇದೇ ಮೂಲಾಧಾರ. [11] ಮತ್ತು [12]ನೆಯ ಸೂತ್ರಗಳು ಮುಂದೆ ಸಮಾಸಕಲನ ಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ತುಂಬ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗುತ್ತವೆ.  

ಜಿ(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನದ ಏಕರೀತಿ ನಿಷ್ಪನ್ನ ಜಿ'(ಣ)ಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದ್ದಾಯಿತು. ಈಗ ಜಿ'(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೂ ಪುನಃ ಒಂದು ಏಕರೀತಿ ನಿಷ್ಪನ್ನ ಜಿ(ಣ) ಇರಬಹುದಷ್ಟೆ ಹಾಗಿದ್ದಲಿ ಜಿ(ಣ)ಗೆ ಜಿ(ಣ)ಯ (ಏಕರೀತಿ) ದ್ವಿತೀಯ ನಿಷ್ಪನ್ನ (ಸೆಕೆಂಡ್ ಡಿರೈವೆಟಿವ್) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಜಿ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಇದೇ ಪ್ರಕಾರ ತೃತೀಯ ನಿಷ್ಪನ್ನ ಜಿ(ಣ).ಚತುರ್ಥ ನಿಷ್ಪನ್ನ ಜಿ'(ಣ) ಮುಂತಾದ ಉನ್ನತ ನಿಷ್ಪನ್ನಗಳೂ (ಹೈಯರ್ಡಿರೈವೆಟಿವ್ಸ್) ಇರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಜಿ(ಣ)=ಣ8 ಆಗಿದ್ದರೆ ಜಿ'(ಣ)=8ಣ7, ಜಿ(ಣ)=56ಣ6, ಜಿ(ಣ)=336ಣ5, ಜಿ'(ಣ)=1680ಣ4ಇತ್ಯಾದಿ. ಏಕಚರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ನಿಷ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುವಲ್ಲಿ ದ್ವಿಚರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ನೆರವು ಅಗತ್ಯವಾಯಿತು. ಗಣಿತಜ್ಞರು ಅನೇಕ ವೇಳೆ ದ್ವಿಚರ (ಅಥವಾ ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಿನ ಬಹುಚರ) ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ನಿಷ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕೂಡ ಬಳಕೆಗೆ ತರಬೇಕಾಗುವುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಣ ಮತು ಣ* ಎಂಬ ಸ್ವತಂತ್ರ ಚರಗಳನ್ನು (ಇಂಡೆಪರಂಡೆಂಟ್ ವೇರಿಯೆಬಲ್ಸ್) ಅವಲಂಬಿಸುವ ಜಿ(ಣ;ಣ*) ಮಾದರಿಯ ದ್ವಿಚರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

ಮುಂತಾದವು ಇಂಥ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ನಿದರ್ಶನಗಳು. ಜಿ(ಣ;ಣ*) ವನ್ನು  ಮಾದರಿಯ ಸಾಂತಾಂತರಗಳಲ್ಲಿ (ಇವನ್ನು ಎ2 ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ) ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಲಾಗಿದೆಯೆಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದರ ನಿಷ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ  ಮಾದರಿಯ ಸಾಂತಾಂತರಗಳಲ್ಲಿ (ಇವನ್ನು ಎ4 ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ) ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಾಗುವ  ಮಾದರಿಯ ಚತುಶ್ಚರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ನಾವು ಆಶ್ರಯಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಎ4 ಅಂತರದಲ್ಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಕ್ರಮಜೋಡಣೆ (ಣ;ಣ*;h;h*) ದಲ್ಲಿ ಣ,ಣ* ಗಳ ಬೆಲೆ ಏನೇ ಆಗಿದ್ದಾಗ್ಯೂ h;h*ಗಳು (-1/m)<h<(1/m), (-1/m)<h*<(1/m) ಎಂಬೆರಡು ಅಸಮತ್ವಗಳಿಗೆ ಬದ್ಧವಾಗಿರುವಾಗಲೆಲ್ಲ

  (-1/ಟಿ)

ಆಗುವಂತೆ ಪ್ರತಿ ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕ ಟಿಗೂ ಒಂದು ಅನುರೂಪ ಧನಪೂಣಾಂಕ mಅನ್ನು ಗೊತ್ತು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿದ್ದರೆ ಎ4ರಲ್ಲಿ  ಒಂದು [(ಣ;ಣ*)-ಏಕರೀತಿ, (h;h*)_ಸಾಪೇಕ್ಷ] ಶೂನ್ಯಗಾಮಿ ಎನಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.  ಮತ್ತು  ಗಳೆರಡೂ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಗಳಾದಲ್ಲಿ  ಮಾದರಿಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಶೂನ್ಯಸ್ಪರ್ಶಿಗಳಾಗುತ್ತವೆ. ಶೂನ್ಯಗಾಮಿ ಶೂನ್ಯಸ್ಪರ್ಶಿಗಳನ್ನು ಕುರಿತ ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಅಧರಿಸಿ ಹಿಂದೆ I2ರಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದಂತೆಯೇ ಈಗ ಎ4ರಲ್ಲೂ   ಮತ್ತು  ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬಳಕೆಗೆ ತರಬಹುದು. ಆ ಬಳಿಕ

ಜಿ(ಣ+h;ಣ*+h*) ಜಿ(ಣ;h)

ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಸರಿಹೊಂದುವ ಜಿ(ಣ;ಣ*) ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಏಕರೀತ್ಯಾ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನವಾದವೆಂದು ವರ್ಣಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಪುನಃ

 ಜಿ(ಣ+h; ಣ*+h*)…..ಜಿ(ಣ;ಣ*)+h. ಜಿ1(ಣ;ಣ*)+h*.ಜಿ2(ಣ;ಣ*)

ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವಂತೆ ಜಿ1(ಣ;ಣ*) ಮತ್ತು ಜಿ2(ಣ;ಣ*) ಎಂಬೆರಡು ದ್ವಿಚರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನೂ ಎ2ರ ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಗೊತ್ತುಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಪಕ್ಷಕ್ಕೆ ಈ ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಜಿ(ಣ;ಣ*) ದ ಏಕರೀತಿ ಅಂಶನಿಷ್ಪನ್ನಗಳೆಂದು (ಯೂನಿಫಾರ್ಮ್ ಪಾಷ್ರ್ಯಲ್ ಡಿರೈವೆಟವ್ಸ್) ನಾಮಕರಣಮಾಡಿ ಜಿ(ಣ;ಣ*) ಉತ್ಪನ್ನ ನಿಷ್ಪನ್ನಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆಯೆಂದು (ಡಿಫರೆನ್ಷಯೆಬಲ್) ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಇದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅವಕಲಉತ್ಪನ್ನ ಜಜಿನ ಅರ್ಥನಿರೂಪಕ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೀಗೆ ಇಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

  ಜಜಿ(ಣ;ಣ*;h;h*)=h. ಜಿ1(ಣ;ಣ*)+h*.ಜಿ2(ಣ;ಣ*)

 ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಜಿ1(ಣ;ಣ*) ವನ್ನು ಜಿ1(ಣ;ಣ*) ಅಥವಾ [] (ಣ;ಣ*)  ಎಂದೂ ಜಿ2(ಣ;ಣ*) ವನ್ನು ಜಿಣ*(ಣ;ಣ*) ಅಥವಾ [] (ಣ;ಣ*) ಎಂದೂ ಬರೆಯುವ ವಾಡಿಕೆಯಿದೆ. ಜಿ(ಣ;ಣ*) ನಿಷ್ಪನ್ನಯೋಗ್ಯವಾಗಿದ್ದಾಗ ಅದರ ಅಂಶನಿಷ್ಪನ್ನ ಜಿ1(ಣ;ಣ*)ವನ್ನು ಸುಲಭಮಾರ್ಗದಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಜಿ(ಣ;ಣ*) ದಲ್ಲಿ ಣ* ವನ್ನು ತಾತ್ಕಾಲಿಕವಾಗಿ ಒಂದು ಸ್ಥಿರಸಂಖ್ಯೆಯೆಂದೂ ಣಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪ್ರಸ್ತುತ ಚರವೆಂದೂ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಹೀಗೆ ಮಾಡಿದಾಗ ನಮ್ಮ ಕರಗತವಾಗುವ ಏಕಚರ ಉತ್ಪನ್ನ ಜಿ(ಣ;ಣ*)ದ ಮಾಮೂಲು ನಿಷ್ಪನ್ನವೇ ಜಿ1(ಣ;ಣ*) ಣ* ವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತ ಪ್ರಸ್ತುತ ಚರ. ಣ ಯನ್ನು ತಾತ್ಕಾಲಿಕ ಸ್ಥಿರಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಸದೃಶ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಜಿ2(ಣ;ಣ*) ವನ್ನೂ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಜಿ(ಣ;ಣ*)=ಣ2+ಣ*3-5ಣ3ಣ*2ಆಗಿದ್ದರೆ

                  ಜಿ1(ಣ;ಣ*)=2ಣ-15ಣ2ಣ*2

ಮತ್ತು   ಜಿ2(ಣ;ಣ*)=3ಣ*2-10ಣ3ಣ*

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬಂದಿರುವಂತೆ ಜಿ1(ಣ;ಣ*) ಮತ್ತು ಜಿ2(ಣ;ಣ*)ಗಳು ಮತ್ತೆ ನಿಷ್ಪನ್ನಯೋಗ್ಯವಾಗಿರಬಹುದು. ಹಾಗಿರುವುದಾದರೆ ಅವುಗಳ ಅಂಶ ನಿಷ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು

,{ಅಥವಾ , ಇಲ್ಲವೆ ಅಥವಾ , ಇಲ್ಲವೆ 

ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೆ

 ಅಥವಾ  

ಇಲ್ಲವೆ  ಎಂಬ ಸಂಕೇತಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುವುದು.

ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ  ಮತ್ತು   ಮತ್ತು  ಆಗುತ್ತವೆ. ಇಲ್ಲಿ  ಆಗಿರುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿರುವಂಥ ಏಕರೀತಿ ಅಂಶ ನಿಷ್ಟನ್ನಗಳ ಆಯಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಇದು ನಿಜಕ್ಕೂ ಒಂದು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ನಿತ್ಯಸಮತ್ವವೆಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು.

ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಕೆಲವು ಉಪಯೋಗಗಳು ಃ ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ನಿರ್ಮಾತೃವಾದ ಐಸಾûಕ್ ನ್ಯೂಟನ್ ಈ ಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ರೂಪಿಸಿದ್ದೇ ಚಲನೆಗೆ ಸಂಬಂಧ ಪಟ್ಟ ಕ್ಲಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ. ಕಾಯವೊಂದು ಣಯಷ್ಟು ಚಲಿಸುವ ದೂರ ಜಿ ಆಗಿರಲಿ. ಜಿನ ಬೆಲೆ ಣಯ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ ಎಂದು ಸುಸ್ಪಷ್ಟ. ಜಿ ಅಲ್ಲಿಗೆ ಣಯ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನವಾಯಿತು:

ಜಿ =ಜಿ(ಣ)

 ಣ  ಮತ್ತು ಣ+h ವೇಳೆಗಳ ನಡುವೆ ಇರುವ h ನಷ್ಟು ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾಯ ಜಿ(ಣ+h)-ಜಿ(ಣ) ಯಷ್ಟು ದೂರವನ್ನು ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ಜಿಗೆ ನಿಷ್ಪನ್ನವಿದೆಯೆಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ

ಈ ಸಂಬಂಧದಿಂದ  ನಿಷ್ಪನ್ನವನ್ನು ಣ ವೇಳೆಯಲ್ಲಿ ಕ್ಷಣಿಕವಾಗಿ ಕಾಯ ಚಲಿಸುವಾಗ ಎಂಬುದಾಗಿ ವಿವರಿಸಬಹುದೆಂದು ನಮಗೆ ಹೊಳೆಯುತ್ತದೆ. ಇದೇ ರೀತಿ  ಆಗುವುದರಿಂದ  ಎಂಬ ದ್ವಿತೀಯ ನಿಷ್ಪನ್ನ ಮತ್ತೆ ಣ ವೇಳೆಯಲ್ಲಿ ಕ್ಷಣಿಕವಾಗಿ ಕಾಯ ಗಳಿಸುತ್ತಿರುವ ವೇಗವೃದ್ಧಿಯ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬೇಕಷ್ಟೆ. ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ನಿಯಮಗಳು ಇಂಥ ವೇಗವೃದ್ಧಿಯ  ದರಕ್ಕೂ ಕಾಯದ ಮೇಲೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತಿರುವ ಬಲಗಳಿಗೂ ಸಂಬಂಧ ಕಲ್ಪಿಸುತ್ತವೆ. ಅಂಥ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಗಣಿತಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದಾಗ ನಮಗೆ  ಮುಂತಾದ ನಿಷ್ಪನ್ನಗಳನ್ನೊಳಗೊಂಡ ಅವಕಲನ ಸಮೀಕರಣಗಳು (ಡಿಫರೆನ್ಷಲ್ ಇಕ್ವೇಷನ್ಸ್) ದೊರೆಯುತ್ತವೆ. ಇಂಥ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸುವುದರಿಂದ ಕಾಯದ ಚಲನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮಾಹಿತಿಗಳೆಲ್ಲವೂ ಕರಗತವಾಗುತ್ತವೆ. ಅತಿಯಾಗಿ ಸರಳಗೊಳಿಸಿರುವ ಈ ವಿವರಣೆಯಿಂದಲೇ ಚಲನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಪಾತ್ರ ಅಮೂಲ್ಯವಾದುದೆಂದು ಮನವರಿಕೆಯಾಗುವುದು. [ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಚಲನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸಬೇಕಾದರೆ ಸದಿಶ ಪರಿಮಾಣಗಳೇ (ವೆಕ್ಟರ್ಸ್) ಮೊದಲಾದ ನವಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನೂ ಒಳಗೊಳ್ಳುವಂತೆ ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.]

ನಿರ್ದೇಶಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ (ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಜ್ಯಾಮಿಟ್ರಿ) ಆಯಕಟ್ಟಿನೊಳಗೆ ವಕ್ರ ರೇಖೆಗಳ (ಕವ್ರ್ಸ್) ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಲ್ಲಿ ಕೂಡ ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ನೆರವು ಅಗತ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದೇಶಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಬಿಂದು-ನಿರ್ದೇಶಕಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಏಕೈಕವಾಗಿರುವುದು ಚಿರಪರಿಚಿತ ವಿಷಯ.  ಮತ್ತು  ಎರಡು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬ ಸರಳರೇಖೆಗಳು (ಇವುಗಳಿಗೆ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ x-ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು ಥಿ-ಅಕ್ಷ ಎಂದು ಹೆಸರು) ರಚಿಸುವ x ಥಿ-ಸಮತಲವನ್ನು ಈಗ ಪರಿಶೀಸೋಣ (ಚಿತ್ರ 1). x(ಣ) ಮತ್ತು ಥಿ(ಣ) ಎಂಬೆರಡು ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ  ಅಂತರದಲ್ಲಿ  ಮತ್ತು  ನಿಷ್ಪನ್ನಗಳಿವೆಯೆಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಚಿ, ಂ ಗಳ ನಡುವೆ ಇರುವ ಣ ಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬೆಲೆಗೂ ಅನುಸೂಪವಾಗಿ xಥಿ-ಸಮತಲದಲ್ಲಿ  ಎಂಬ ಬಿಂದುವೊಂದನ್ನು ಗುರ್ತಿಸಬಹುದು. ಇಂಥ ಎಲ್ಲ ಬಿಂದುಗಳ ಗಣ (ಸೆಟ್) ಒಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಮೇಲಿನ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು  ಆಗಿರಲಿ. ಅವನ್ನು Pಕಿ ಜ್ಯಾವು (ವೃದ್ಧಿಸಿದಾಗ) ನೊಡನೆ  ಕೋನವನ್ನು ಏರ್ಪಡಿಸಲಿ.  ಚಿತ್ರ 1ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸುವ Pಕಿಖ ಲಂಬ ಕೋನ ತ್ರಿಭುಜದಲ್ಲಿ

ಮತ್ತು 

ಅರ್ಥಾತ್ ಯಾವುದೋ ಎರಡು ಶೂನ್ಯಗಾಮಿ  ಮತ್ತು  ಗಳಿಗೆ

 ಮತ್ತು

ಆದ್ದರಿಂದ

 ಆದಲ್ಲಿ

 ಆಗುವಂತೆ ಒಂದು ಧನಸಂಖ್ಯೆ ಠಿ ಯನ್ನು ಗೊತ್ತುಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿರುವುದಾದರೆ ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದ ಕೊನೆಯಪದ ಒಂದು ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಯಾಗಿ

ಆಗುವುದು. ಈಗ  ಆಗುವಂತೆ ಯನ್ನು ಗೊತ್ತುಮಾಡಿಕೊಂಡು  ನೊಡನೆ ಆ  ಕೋನವನ್ನು ಏರ್ಪಡಿಸುವಂತೆ P ಮುಖಾಂತರ ಂP ಸರಳರೇಖೆಯೆನ್ನೆಳೆದರೆ ಂP ಮತ್ತು ಃP ಗಳಿಗಿರುವ ಕೋನಾಂತರ  ಒಂದು ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಯಾಗಿ ಪರಿಣಮಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಣ ಯನ್ನು ಸ್ಥಿರವೆಂದೂ h ಅನ್ನು ಚರವೆಂದೂ ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ P ಮತ್ತು ಂPಗಳು ಸ್ಥಿರ, ಕಿ ಮತ್ತು ಃಕಿ ಗಳು ಚರ ಆಗುತ್ತದೆ. ಂP, ಃP ಗಳ ಕೋನಾಂತರ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಯಾದ ಕಾರಣ ಕಿ ಬಿಂದು Pಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ಸಮೀಪಿಸಿದಂತೆಲ್ಲ ಸ್ಥಿರರೇಖೆ ಂP ಗೆ ವೃದ್ಧಿಸಿದ ಜ್ಯಾ ಃP ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ಹತ್ತಿರವಾಗಬೇಕಷ್ಟೆ. ಇದರಿಂದ ಂP ಯನ್ನು ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ P ಯಲ್ಲಿ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕವೆಂಬುದಾಗಿ (ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್) ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕೆಂದು ನಮಗೆ ಹೊಳೆಯುತ್ತದೆ.  ನೊಡನೆ ಈ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಏರ್ಪಡಿಸುವ  ಕೋನವನ್ನು  ಎಂಬ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದೆಂಬ ಅಂಶ ಗಮನಾರ್ಹ. ಯಾವುದೇ ದತ್ತ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸ್ಪರ್ಶಕವೊಂದರ ನಿಖರಸ್ಥಾನವನ್ನು ಈ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ಇದೇ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ  ಆಗಿರುವ ಪಕ್ಷಕ್ಕೆ [6] ರ ಮೇರೆಗೆ 

    

ಆಗುವುದರಿಂದ  ಸಹ ಆಗುತ್ತದೆಂಬ ಅಂಶವೂ ಗಮನಾರ್ಹವೇ. ಅಲ್ಲಿಗೆ  ಮತ್ತು   ಎಂಬ ಎರಡು ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿಕೊಂಡು ವಕ್ರತೇಖೆಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು; ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಮೂಲಕ ಅಂಥ ವಕ್ರರೇಖೆಗಳ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು ಎಂದಾಯಿತು. ಕೆಲವು ಸನ್ನಿವೇಶಗಳಲ್ಲಿ (ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ, ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವಂತೆ ಗೆ ಯಾವೊಂದು ಸಮಾಂತರವನ್ನು ಎಳೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲದಿರುವಾಗ)

ಈ ಎರಡು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಪೈಕಿ x(ಣ) ಯನ್ನು x(ಣ) = ಣ ಎಂಬ ಸರಳ ರೂಪದಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದು. ಹೀಗಾದಾಗ ರಚಿತವಾಗುವ ವಕ್ರರೇಖೆ [x(ಣ), ಥಿ(ಣ)] ಯ ಬದಲು [ಣ, ಥಿ(ಣ)]ಯಂಥ ವಿವಿಧ ಬಿಂದುಗಳ ಗಣವಾಗುತ್ತದಷ್ಟೆ. ಇಂಥ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಥಿ  ಉತ್ಪನ್ನದ ಗ್ರಾಫ್ ಎಂದು ಹೆಸರು. 2 ರಿಂದ 7ರ ವರೆಗಿನ ಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಬಗೆಯ ಗ್ರಾಫುಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಕೆಲವು ಗಮನಾರ್ಹ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರಸಕ್ತ ಲೇಖನದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯೊಳಗೆ ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾಗಿ ಸಮರ್ಥಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದ ಕಾರಣ ಅವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಅನೌಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಹೋದಂತೆಲ್ಲ ಗ್ರಾಫ್ ಎಂದರೆ ವಕ್ರರೇಖೆ ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ಎತ್ತರಕ್ಕೆ ಏರುವುದಾದರೆ ಸಂಬಂಧ ಪಟ್ಟ ಅಂತರದಲ್ಲಿ  ಆಗಿರುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 2,3); ಹಾಗೆ ಏರುವ ಬದಲು ಇಳಿಯುವುದಾದರೆ  (ಚಿತ್ರ 4,5). ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಥಿ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ದ್ವಿತೀಯ ನಿಷ್ಪನ್ನ ಥಿ” ಕೂಡ ಇದೆಯೆಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. 

ಥಿ ಯ ಗ್ರಾಫ್ ಊಧ್ರ್ವನಿಮ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ (ಕಾನ್ಕೇವ್ ಅಪ್ ವಡ್ರ್ಸ್) ಸಂಬಂಧ ಪಟ್ಟ ಅಂತರದಲ್ಲಿ   (ಚಿತ್ರ 2,4); ಅದು ಊಧ್ರ್ವಪೀನವಾಗಿದ್ದರೆ (ಕಾನ್ವೆಕ್ಸ್ ಅಪ್ ವರ್ಡ್)  (ಚಿತ್ರ 3,5). ಈಗ ಚಿತ್ರ 6ನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಇಲ್ಲಿ ಂ ಮತ್ತು ಅಗಳು ಥಿ ಯ ಗ್ರಾಫಿನ ಮೇಲೆ ಅವುಗಳ ಅಕ್ಕಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಎತ್ತರದಲ್ಲಿವೆ. ಃ ಮತ್ತು ಆ ಆಗಳಾದರೋ ಅವುಗಳ ಅಕ್ಕಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳಿಗಿಂತ ತಗ್ಗಿನಲ್ಲಿವೆ. ಂ,ಅ ಗಳಂಥವಕ್ಕೆ ಗ್ರಾಫಿನ ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳೆಂದೂ (ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಾ) , ಃ, ಆಗಳಂಥವಕ್ಕೆ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳೆಂದೂ (ಮಿನಿಮಾ) ಹೆಸರು. ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳ ಬಳಿ ವಕ್ರರೇಖೆ ಊಧ್ರ್ವಪೀನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಅಲ್ಲೆಲ್ಲ . ಅಂತೆಯೇ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ . ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಹೋದಂತೆ ಚಿತ್ರ 6ರಲ್ಲಿ ಥಿಯ ಗ್ರಾಫ್ ಂಸಿಗುವ ವರೆಗೆ ಏರುತ್ತದೆ, ಆ ಬಳಿಕ ಇಳಿಯತೊಡಗುತ್ತದೆ. ತತ್ಫಲವಾಗಿ ಂಗೆ ತುಸು ಹಿಂದೆ  ಆಗಿಯೂ ತುಸು ಮುಂದೆ   ಆಗಿಯೂ ಇರಬೇಕು. ಇದರಿಂದ ಂ ಯಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ  ಆಗಿರುತ್ತದೆಂದು ಊಹಿಸಬಹುದು. ಇದೇ ರೀತಿ ಉಳಿದೆಲ್ಲ ಗರಿಷ್ಠ ಹಾಗೂ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲೂ . ಆದ್ದರಿಂದ ಥಿಯ ಗ್ರಾಫಿನ ಗರಿಷ್ಟ/ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಪತ್ತೆಹೆಚ್ಚಲು ಬಳಸಬಹುದಾದ ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳು ಹೀಗೆವೆ:   ಆಗಿದ್ದರೆ ಗ್ರಾಫಿನ ಮೇಲಿರುವ [ಣ, ಥಿ(ಣ)] ಒಂದು ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದು;  ಆಗಿದ್ದರೆ [ಣ, ಥಿ(ಣ)] ಒಂದುಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದು.  ಆದ ಪಕ್ಷದಲ್ಲಿ [ಣ, ಥಿ(ಣ)] ಕನಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದು ಹೌದೇ ಅಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಿನ ತನಿಖೆ ಅಗತ್ಯವಾಗುವುದು.] ಕೊನೆಯದಾಗಿ ಚಿತ್ರ 7ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಹೋದಂತೆ ಇ ವರೆಗೆ ಊಧ್ರ್ವನಿಮ್ನವೂ ಇ ಮತ್ತು ಈಗಳ ಮಧ್ಯೆ ಊಧ್ರ್ವ ಪೀನವೂ ಈ ಆಚೆ ಪುನಃ ಊಧ್ರ್ವನಿಮ್ನವೂ ಆಗಿದೆ. ಇ,ಈಗಳಂಥ ಬಿಂದುಗಳು ಗ್ರಾಫಿನ ಪರ್ವಬಿಂದುಗಳೆನಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ (ಪಾಯಿಂಟ್ಸ್ ಆಫ್ ಇನ್ ಫ್ಲೆಕ್ಷನ್). ಪರ್ವಬಿಂದುವೊಂದರ ಒಂದು ಪಾಶ್ರ್ವದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಪಾಶ್ರ್ವದಲ್ಲಿ  ಆಗುವುದರಿಂದ ನಿಖರವಾಗಿ ಆ ಪರ್ವಬಿಂದುವಿನಲ್ಲೇ  ಇರುತ್ತದೆಂದು ಊಹಿಸಬಹುದು. ಅಂದಮೇಲೆ [ಣ, ಥಿ(ಣ)] . (ಆದರೆ ಈ ಫಲಿತಾಂಶದ ವಿಲೋಮ ಮಾತ್ರ ಯಾವಾಗಲೂ ಸತ್ಯವಾಗಬೇಕಾದುದೇನಿಲ್ಲ). ಚಿತ್ರ 7ರ ಗ್ರಾಫಿಗೆ ಇ, ಈಗಳಲ್ಲಿ ಎಳೆದಿರುವ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ವೈಚಿತ್ರ್ಯವನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಅವು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಒಂದು ಪಾಶ್ರ್ವದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಪಾಶ್ರ್ವಕ್ಕೆ ಹಾದುಹೋಗಿವೆ. ಪರ್ವಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ರಚಿಸಿದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳೆಲ್ಲಕ್ಕೂ ಈ ಲಕ್ಷಣವಿರುತ್ತದೆ.

ಸಮಾಸಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ (ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್) ಃ  ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ವೃದ್ಧಿದರಗಳನ್ನು ಕುರಿತು ಅಧ್ಯಯನ ನಡೆಸಿದ್ದಾಯಿತು. ಅಲ್ಲಿ ನಾವು ಪ್ರಧಾನವಾಗಿ ಬಳಸಿಕೊಂಡ ಅಸ್ತ್ರವೆಂದರೆ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಗಳು. ಸಮಾಸಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಕೂಡ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಗಳು ಕೇಂದ್ರೀಯ ಪಾತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಕಾರಣದಿಂದ ಅವಕಲನ, ಸಮಾಸಕಲನಶಾಸ್ತ್ರಗಳೆರಡನ್ನೂ ಒಟ್ಟಾಗಿ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಗಳ (ಅಥವಾ ರಾಬಿನ್ ಸನ್ ಪರ್ಯಾಯ ನಿರೂಪಣೆಯಲ್ಲಿ ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮಗಳ) ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವೆಂದು (ಇನ್ ಫಿನಿಟೆಸಿಮಲ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್) ಕರೆಯಬಹುದು. ಶೂನ್ಯಗಾಮಿ ಉತ್ಪನ್ನವೊಂದರ ಅಪಾರ ಸಂಖ್ಯೆಯಷ್ಟು ಬಿಡಿಬೆಲೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಅಂದಾಜುಮಾಡುವುದು ಸಮಾಸಕಲನ ಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರಧಾನ ಸಮಸ್ಯೆ. ಇಂಥ ಮೊತ್ತಗಳು ಹೇಗೆ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಉದ್ಭಸಬಹುದೆಂಬ ಬಗ್ಗೆ ಅರಿಯಲು  ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಥಿ(ಣ)>0 ಆಗುವಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಮಾಡಿರುವ ಹಾಗೂ ಮೇರೆಯಿರುವ ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಥಿ(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನದ ಗ್ರಾಫನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ (ಚಿತ್ರ 8). ಈ ಗ್ರಾಫಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ (ಆದರೆ  ಅಕ್ಷದ ಮೇಲುಗಡೆ) ಇರುವ ಔPP1ಖಔ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕೃತಿಯ ಕ್ಷೇತ್ರಫಲವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದು ಹೇಗೆ ? q ಎಂಬುದು ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಧನಪೂಣಾಂಕ ಮತ್ತು h=1/(q+1) ಆಗಿರಲಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ q=4, h=0.2 ಎಂದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಔಖ ಸರಳರೇಖಾಖಂಡವನ್ನು q+1=5 ಸಮಭಾಗಗಳನ್ನಾಗಿ ವಿಭಾಗಿಸಿ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ  ಆಯಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿ. ಈ ಆಯಗಳೊಂದೊಂದರ ಕ್ಷೇತ್ರಫಲವೂ ಅದರ ಉದ್ದವಾದ ಅಗಲಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧಕ್ಕೆ ಸಮವಾಗಿರುತ್ತದಷ್ಟೆ; ಆ ಕ್ಷೇತ್ರಫಲಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೂ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಔPಕಿಖಔ ಆಕೃತಿಯ ಕ್ಷೇತ್ರಫಲಕ್ಕೂ ಅಷ್ಟೇನೂ ಹೆಚ್ಚು ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಫಲ ಸರಿಸುಮಾರಾಗಿ

 S(0.2) =  (0.2)ಥಿ + (0.2) ಥಿ (0.2) + (0.2) ಥಿ (0.4)

            + (0.2) ಥಿ (0.6) + (0.2) ಥಿ (0.8)

ಇಷ್ಟಿರುತ್ತದೆಂದು ಹೇಳಬಹುದು. ಒಂದು ವೇಳೆ ಈ ಅಂದಾಜು ನಮಗೆ ಅಸಮರ್ಪಕವೆನಿಸಿದರೆ qವಿನ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಇನ್ನಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿಸಿ ನಮ್ಮ ರಚನೆಯನ್ನೂ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನೂ ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನಿರ್ವಹಿಸಿ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಔPP1ಖಔ ಕ್ಷೇತ್ರಫಲಕ್ಕೆ ಇನ್ನಷ್ಟು ಸಮೀಪವಾದ ಅಂದಾಜನ್ನು ವ್ಯುತ್ಪಾದಿಸಬಹುದು. ಇಂಥ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ದೊರಕುವ ಪ್ರತಿ ಅಂದಾಜೂ

ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆಂಬುದು ಸುಸ್ಪಷ್ಟ. q ಅಧಿಕವಾದಂತೆಲ್ಲ S(h) ನಲ್ಲಿರುವ ಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (=q+1) ಏರುತ್ತ ಹೋಗುವುದು. ಥಿಗೆ ಮೇರೆಯಿತುವುದರಿಂದ hಥಿ (ಣ) ಉತ್ಪನ್ನ ಒಂದು ಣ-ಏಕರೀತಿ h-ಸಾಪೇಕ್ಷ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಯಷ್ಟೆ. ಆದ್ದರಿಂದ S(h) ಮೊತ್ತದ ಒಂದೊಂದು ಪದವೂ ಈ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಒಂದೊಂದು ಬಿಡಿ ಬೆಲೆ. ಅಂದಮೇಲೆ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಔPಕಿಖಔ ಕ್ಷೇತ್ರಫಲದ ಬಗ್ಗೆ ನಮಗೆ ದೊರಕುವ S(h) ಮಾದರಿಯ ಪ್ರತಿ ಅಂದಾಜೂ ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಅಧಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಷ್ಟು ಶೂನ್ಯಗಾಮಿ ಉತ್ಪನ್ನ ಬೆಲೆಗಳ ವೊತ್ತವೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆಂದಾಯಿತು. ಈ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಸ್ಫೂರ್ತಿಯಿಂದ   ಅಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಾಗಿರುವ ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಸೂಕ್ತ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿ ಉತ್ಪನ್ನ  ನ ಕೆಲವಷ್ಟು ಬಿಡಿ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕೂಡಿದಾಗ ಫಲಿಸುವ 

ಮಾದರಿಯ ಮೊತ್ತಗಳು ಅಧ್ಯಯನಾರ್ಹವೆಂದು ನಮಗೆ ಹೊಳೆಯುತ್ತದೆ. ಈಗ ಇಂಥ  ಮೊತ್ತ h ಚರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸುವ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನವಷ್ಟೆ. ಮಾತ್ರ ಇಲ್ಲಿ h ಚರಕ್ಕೆ ಇತರ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿನಂತೆ ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಇಡೀ ಸಾಂತ ಅಂತರದಲ್ಲಿರುವ ಬೆಲೆಗಳೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಆದೇಶಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ; ಅದು ಕೇವಲ 1/(q+1) ರೂಪದ ಬೆಲೆಗಳನ್ನಷ್ಟೇ ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. (q ಒಂದು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಷ್ಟೆ.) ಹೀಗಿದ್ದಾಗ್ಯೂ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಹೊಸ ನಿಬಂಧನೆಯನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಸೇರಿಸಿಕೊಂಡು ಶೂನ್ಯಗಾಮಿ ಪದದ ಹಾಗೂ   ಚಿಹ್ನೆಯ ಅರ್ತವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು  ನಂಥ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಬಗ್ಗೆಯೂ ಅನ್ವಯಿಸುವಂತೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು ಅತಿ ಸುಲಭ. ಈ ರೀತಿ ಮಾಡಿದಾಗ ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ 

ಆಗುವಂತೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಿರಸಂಖ್ಯೆ ವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಹಾಗಿರುವ ಪಕ್ಷ ಈ ಕ್ಕೆ  ಅಂತರ ಪೂರ್ತ  ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಯ ಸಮಾಸ (ಇಂಟೆಗ್ರಲ್) ಎಂಬುದಾಗಿ ನಾಮಕರಣಮಾಡಿ

 

ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. = h ಥಿ (ಣ) ಆಗಿದ್ದರೆ ಈ ಸಮಾಸ ಚಿತ್ರ 8ರ ಗ್ರಾಫಿನ ಅಡಿಯ ನಿಖರಕ್ಷೇತ್ರಫಲವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಸಮಾಸಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಥಮತಃ ನಾವು ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ಸಂಗತಿ ಶೂನ್ಯಸ್ಪರ್ಶಿಗಳ ಸಮಾಸ ಸೊನ್ನೆಗೆ ಸಮವೆಂಬುದು.  ಅಂತರದಲ್ಲಿ  ಒಂದು ಣ-ಏಕರೀತಿ h-ಸಾಪೇಕ್ಷ ಶೂನ್ಯಸ್ಪರ್ಶಿಯಾಗಿರಲಿ. ಆಗ h=1/(q+1) ಆಗಿದ್ದರೆ

 ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಯಾದ್ದರಿಂದ ಟಿ ಯಾವುದೇ ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದರೆ

ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ   ಆಗುವಂತೆ ಒಂದು ಅನುರೂಪ ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕ mಅನ್ನು ಗೊತ್ತುಮಾಡಬಹುದು. ಅಂದಮೇಲೆ q > m, 0 < h < 1/m ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ

ಇದರಿಂದ  ಒಂದು h-ಸಾಪೇಕ್ಷಶೂನ್ಯಗಾಮಿಯೆಂದು ತಿಳಿದುಬರುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ   0 ಅಥವಾ ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ

ಈ ಸರಳ ಫಲಿತಾಂಶದಿಂದ ಮುಖ್ಯ ಅನುಮಿತವೊಂದನ್ನು ವ್ಯುತ್ಪಾದಿಸಬಹುದು.   ಆಗಿದ್ದರೆ  ಒಂದು ಶೂನ್ಯಸ್ಪರ್ಶಿಯಷ್ಟೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ

ತತ್ಫಲವಾಗಿ  ಸಮಾಸಕ್ಕೆ ಆಸ್ತಿತ್ವವಿದ್ದರೆ ಗೂ ಅಸ್ತಿತ್ವವಿದ್ದು ಇವೆರಡು ಸಮಾಸಗಳೂ ಪರಸ್ಪರ ಸಮವಾಗುತ್ತವೆ:

ಈಗ  ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಜಿ(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲ್ಲಿ. ಹಾಗೂ  ಅಂತರದಲ್ಲಿ     

 ಆಗಿರಲಿ. ಹೀಗಿರುವಾಗ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ

ಆಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ 

ಇನ್ನು ಜಿ(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಏಕರೀತಿ ನಿಷ್ಪನ್ನ ಜಿ'(ಣ) ಇದ್ದರೆ ಅವಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಸೂತ್ರ [11]ರ ಮೇರೆಗೆ ( ಇಕ್ವೇಷನ್ಸ್ ಬರಬೇಕು)  ತತ್ಫಲವಾಗಿ

ತತ್ಫಲವಾಗಿ

ಇದು ತುಂಬ ಗಮನಾರ್ಹವಾದ ಫಲಿತಾಂಶ.

  ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಥಿ(ಣ) ಏಕರೀತ್ಯಾ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನವಾಗಿರಲಿ. ,-  ಅಂತರದೊಳಗೆ  ಎಂದು ಬರೆಯೋಣ. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ   ಸಮಾಸಕ್ಕೆ ತಪ್ಪದೆ ಅಸ್ತಿತ್ವವಿದ್ದೇ ಇತುತ್ತದೆಂದು ಸಮರ್ಥಿಸುತ್ತೇವೆ. ಥಿ(ಣ) ಏಕರೀತ್ಯಾ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ,-

  ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ

      ....[14]

ಆಗುವಂತೆ ಯಾವುದೇ ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕ ಟಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿ ಇನ್ನೊಂದು ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕ m ಅನ್ನು ಗೊತ್ತುಮಾಡಬಹುದು. ಡಿ+1 e"= q + 1 > m ಆಗುವಂತೆ ಇನ್ನೆರಡು ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕ q ಮತ್ತು ಡಿ ಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ h=1/(q+1) ಣ=1/(ಡಿ+1)  ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ h ಮತ್ತು ಣ ಗಳನ್ನು ನಿಶ್ಚಯಿಸೋಣ. ಈಗ (q + 1) h = (ಡಿ + 1) ಣ = 1 ಆದ್ದರಿಂದ

 ಆದ್ದರಿಂದ

ಇದನ್ನು ಮೇಲಿನ ಅಸಮತ್ವ [14] ರೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಿದರೆ

ಅಂತೆಯೇ 

ಆಗಬೇಕಾದ್ದರಿಂದ 0 < ಣ ಜ"= h < 1/m  ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ 

  ಆಗುತ್ತದೆ.

ಅಂದರೆ 0 < h ಜ"= 1/2,  0 < ಣ ಜ"= h  ಅಂತರದಲ್ಲಿ h = 1/ (q + 1), ಣ = 1 (ಡಿ + 1)  ರೂಪದಲ್ಲಿರಬೇಕೆಂಬ ನಿಬಂಧನೆಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಂತೆ   ಉತ್ಪನ್ನ ಒಂದು ಣ-ಏಕರೀತಿ h-ಸಾಪೇಕ್ಷ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿ:  . ತತ್ಫಲವಾಗಿ ಕೋಶಿಯ ಅಭಿಸರಣ ತತ್ತ್ವರ ಮೇರೆಗೆ  ಆಗುವಂತೆ ಒಂದು ಸ್ಥಿರಸಂಖ್ಯೆ  ಇರುತ್ತದೆಂದು ಸಿದ್ಧಪಟ್ಟಿತು.    

    ಅಂತರದಲ್ಲಿ 

 ಹಾಗೂ   ಆದಾಗ ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ಮನಗಾಣಬಹುದು. ಇದರಿಂದ  ಸಮಾಸಕ್ಕೆ ಅಸ್ತಿತ್ವವಿದ್ದಾಗ  ಕೂಡ ಆಗುವುದೆಂದು ತಿಳಿದುಬರುತ್ತದೆ. ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾದ   ಮಾದರಿಯ ತ್ರಾಪಿಜ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಾಂತಾಂತರಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಅಗತ್ಯ. (ಇಲ್ಲಿ ಚಿ < ಂ ಎಂದು ತಿಳಿಯಬೇಕು.) ಇಂಥದೊಂದು ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಟಿ (ಣ ; h) ಶೂನ್ಯಗಾಮಿ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆಯೆಂದು ಭಾವಿಸಿ.  ಎಂಬೆರಡು ಸ್ಥಿರಸಂಖ್ಯೆಗಳು  ಅಂತರದಲ್ಲಿರಲಿ. ಈಗ

 ಎಂದು ಬರೆದರೆ

 ಉತ್ಪನ್ನ   ಅಂತರದಲ್ಲಿ

ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಾಗುವ ಒಂದು ಶೂನ್ಯಗಾಮಿಯಾಗುವುದು.  ಸಮಾಸಕ್ಕೆ ಅಸ್ತಿತ್ವವಿದ್ದಾಗ  ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಕ ಹೊಸ ಮಾದರಿಯ  ಸಮಾಸವನ್ನು ಸಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಬಹುದು. ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ  ಆಗುವ ಕಾರಣ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಂತೆ  ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಇದುವರೆಗೆ  ಮಾದರಿಯ ಸಮಾಸಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿರುವ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು  ಮಾದರಿಯ ಸಮಾಸಗಳಿಗೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ  ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಜಿ(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಏಕರೀತಿ ನಿಷ್ಪನ್ನ ಜಿ'(ಣ) ಇರುವಾಗ 

        

ಮತ್ತು   ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಥಿ(ಣ) ಏಕರೀತ್ಯಾ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ  ಅಸಮಾಸಕ್ಕೆ ತಪ್ಪದೆ ಅಸ್ತಿತ್ವವಿರುತ್ತದೆ. ಈಗ ಥಿ(ಣ) ಹೀಗೆ ಏಕರೀತ್ಯಾ ಅವಿಚ್ಛನ್ನವಾಗಿದೆಯೆಂದು ಭಾವಿಸಿ  ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ   ಎಂದು ಬರೆಯೋಣ.  ಮತ್ತು  ಗಳು ಎರಡು ಧನ ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರಲಿ (ರ್ಯಾಷನಲ್ ನಂಬರ್ಸ್): ; ಇಲ್ಲಿ ಐ, ಒ, ಓ, P ನಾಲ್ಕು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು. ಈಗ   ಅಂತರದಲ್ಲಿ

 

ಎಂದಿಟ್ಟುಕೊಂಡರೆ   ಆಗಿ 

ಮತ್ತು   ಆಗುತ್ತದಷ್ಟೆ. ಈ ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿ 

       …..(16)

ಎಂದು ಸಾಧಿಸುತ್ತೇವೆ. ಒಓ = ಐP ಆದಾಗ  ಆಗುವುದರಿಂದ ಸಮೀಕರಣ [16]ರ ಸತ್ಯತೆ ಸುಸ್ಪಷ್ಟ.  ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ h, ರಿ, ಞ ಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯೆಮಾಡೋಣ:

(ಒಓ = ಐP ಸಂದರ್ಭ ಈಗಾಗಲೇ ಇತ್ಯರ್ಥವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಇಲ್ಲಿ ಒಓ  ಐP ಎಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ.) ಈಗ ಕೆಳಗೆ ನಮೂದಿಸಿರುವ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ತಾಳೆ ನೋಡಬಹುದು:

ಆಗಿದ್ದರೆ  

 ಆಗಿದ್ದರೆ 

ಇವುಗಳಿಂದ   ಅಥವಾ  ಎಂದು ಗೊತ್ತಾಗುವುದು. ಟಿ ಯಾವುದೇ ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರಲಿ. q ವನ್ನು ಸಾಕಷ್ಟು ಅಧಿಕವಾಗಿರುವಂತೆ ಆಯ್ಕೆವಾಡಿದಲ್ಲಿ 

ಹಾಗೂ   ಈ ನಾಲ್ಕು ಸಂಖ್ಯೆಗಳೂ (-1/ಟಿ) ಮತ್ತು (ಟ/ಟಿ) ಗಳ ಇರುವುವೆಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಸ್ಮರಿಸಿಕೊಂಡರೆ 

  

ಎಂಬ ಪರಿಮಾಣ (-3/ಟಿ) ಮತ್ತು (3/ಟಿ) ಗಳ ನಡುವೆ ಇರಬೇಕೆಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪರಿಮಾಣ ಟಿ ನಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ [16]ನೆಯ ಸಮೀಕರಣ  ಮತ್ತು  ಗಳು ಧನ ಪರಿಮೇಯವಾಗಿರುವಾಗ) ಸ್ಥಾಪಿತವಾದಂತಾಯಿತು. ಈಗ  ಅಂತರದಲ್ಲಿ  ಗಳು ಯಾವುದಾದರೂ ನಾಲ್ಕು ಪರಿಮಾಣಗಳಾದಾಗ

     ……(17)

ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದಷ್ಟೆ. ಥಿ ಉತ್ಪನ್ನ ಏಕರೀತ್ಯಾ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಟಿ ಯಾವುದೇ ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರಲಿ,  ಮತ್ತು (-1/m)<h<(1/m) ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ 

-1/[2ಟಿ(ಂ- ಆಗುವಂತೆ ಒಂದು ಅನುರೂಪ ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕ mಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಅಲ್ಲದೆ ಥಿಗೆ ಮೇರೆಯಿರುವುದರಿಂದ  ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ  ಆಗುವಂತೆ ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಧನಸಂಖ್ಯೆ ಂ*ವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ತರ್ಕಲೋಪವಿಲ್ಲದೆ m > 4ಂ*ಟಿ/3 ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು. ಆಗ ಸಮೀಕರಣ [17]ರ ಸಹಾಯದಿಂದ   ಆದಾಗ

     …..(18)

ಎಂದು ಸಿದ್ಧಪಡುವುದು.  ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಗಳು ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಲಿ,   ಆಗುವಂತೆಯೂ  ಮತ್ತು ಗಳು ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗುವಂತೆಯೂ  ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇಂಥ  ಗಳ ಆಯ್ಕೆಗೆ ಅಸಮತ್ವ [18]ರ ಜೊತೆಯಲ್ಲಿ 

  

ಮತ್ತು   ಕೂಡ ಆಗುವುದರಿಂದ 

    

ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕೊನೆಯ ಅಸಮತ್ವದಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯದ ಪದ ಮತ್ತೆ ಟಿ ನಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ  ಗಳು ಧನ ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಲಿ ಬಿಡಲಿ)

   

ಎಂದು ಸಿದ್ಧಪಡುವುದು. ಅಂದವೇಲೆ ಸಮೀಕರಣ [16],  ಅಂತರದೊಳಗಿರುವ ಎಲ್ಲ ಬಗೆಯ  ಗಳಿಗೂ ಸತ್ಯವೆಂದಾಯಿತು. ಸಮಾಸಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವೆಂದು (ಫಂಡಮೆಂಟಲ್ ಥಿಯರಂ) ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾಗಿರುವ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ವ್ಯುತ್ಪಾದಿಸಲು ಈಗ ನಾವು ಸಿದ್ಧರಾಗಿದ್ದೇವೆ. ಏಕರೀತ್ಯಾ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಥಿ(ಣ) ಯಂಥ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉತ್ಪನ್ನವೂ ಮತ್ತೊಂದು ಉತ್ಪನ್ನದ ಏಕರೀತಿ ನಿಷ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಪೂರ್ವಾರ್ಧದ ಸಾರಾಂಶ. ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ ಥಿ(ಣ) ಮೇಲೆ ಹೇಳಿರುವ ಈ(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನದ ಏಕರೀತಿ ನಿಷ್ಪನ್ನವಾಗುವುದು: ಥಿ(ಣ) = ಈ'(ಣ). ಇದನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಲು   ಮತ್ತು   ಆದಾಗ

ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಥಿ ಏಕರೀತ್ಯಾ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಕಾರಣ ಟಿ ಯಾವುದೇ ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಲಿ ಮತ್ತು  ಆಗಿರುವಾಗಲೆಲ್ಲ   ಆಗುವಂತೆ ಒಂದು ಅನುರೂಪ ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕ mಅನ್ನು ಗೊತ್ತುಮಾಡಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ   ಆದಾಗ   ಆಗುವುದು. ಈಗ ಖಿ,ಊ ಗಳನ್ನು ಣ,h ಗಳಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ  ಅಂತರದಲ್ಲಿ  ಒಂದು ಣ-ಏಕರೀತಿ h-ಸಾಪೇಕ್ಷ ಶೂನ್ಯಗಾಮಿ ಎಂದೂ

    

ಎಂದೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುವುದು. ಆದ್ದರಿಂದ   ಅಥವಾ .

ಥಿ(ಣ) ಯನ್ನು ಏಕರೀತಿ ನಿಷ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಉಳ್ಳ ಉತ್ಪನ್ನ ಈ(ಣ) ಮಾತ್ರವೇ ಅಲ್ಲ. ಅ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರಸಂಖ್ಯೆ ಆಗಿರಲಿ ಜಿ(ಣ)=ಈ(ಣ)+ಅ ಆದಾಗ ಜಿ'(ಣ)=ಈ'(ಣ)=ಥಿ(ಣ) ಆಗುವುದು; ಮತ್ತು ಈ ಹಿಂದೆಯೇ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಜಿ'(ಣ)=ಥಿ(ಣ) ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ  ಆಗಬೇಕು; ಅಲ್ಲದೆ   ಕೂಡ ಆಗುವುದರಿಂದ ಎಲ್ಲ ಗಳಿಗೂ  ಅಂದರೆ ಜಿ(ಣ)-ಈ(ಣ) ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆ: ಜಿ(ಣ)-ಈ(ಣ)=ಅ  . ಇದರಿಂದ ಥಿ(ಣ) ಯನ್ನು ನಿಷ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಉಳ್ಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳೆಲ್ಲವೂ ಜಿ(ಣ)=ಈ(ಣ)+ಅ ರೂಪದಲ್ಲೇ ಇರಬೇಕೆಂದು ಗೊತ್ತಾಗುವುದು. ಮೇಲಾಗಿ ಜಿ(ಣ) ಇಂಥ ಯಾವುದೇ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಲಿ

      …….(19)

ಜಿ'(ಣ)=ಥಿ(ಣ) ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಸರಿಹೊಂದುವ ಯಾವುದೇ ಜಿ(ಣ) ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕಾಗಲಿ ಥಿ(ಣ) ಯ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಾಸ (ಇಂಡೆಫಿನಿಟ್ ಇಂಟೆಗ್ರಲ್) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಸಮಾಸಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯದ ಉತ್ತರಾರ್ಧವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವ ಫಲಿತಾಂಶ [19]ರಿಂದ ಸಮಾಸಗಳ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕಾದ ಕಾರಣ ಅದಕ್ಕೆ ಬಹಳ ವ್ಯಾವಹಾರಿಕ ಮಹತ್ತ್ವವಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಥಿ(ಣ)=3ಣ2 ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಜಿ(ಣ) = ಣ3 ಉತ್ಪನ್ನ ಒಂದು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಾಸವಾದ್ದರಿಂದ [ಅರ್ಥಾತ್ ಜಿ(ಣ) = ಣ3 ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿಷ್ಪನ್ನ ಥಿ(ಣ) = 3ಣ2 ಆದ್ದರಿಂದ]

   

 [ ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಥಿ(ಣ) = 3ಣ2 ಉತ್ಪನ್ನದ ಗ್ರಾಫನ್ನು ಎಳೆದರೆ ಅದರ ಅಡಿಯ ಕ್ಷೇತ್ರಫಲ 117 ಆಗುವುದು.] ಸಮಾಸಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲ ಭೂತ ಪ್ರಮೇಯದ ಪೂರ್ವಾರ್ಧಕ್ಕಾದರೋ ಅಪಾರ ತಾತ್ತ್ವಿಕ ಮಹತ್ತ್ವವುಂಟು: ಅದರ ನೆರವಿನಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ಹೊಸ ಹೊಸ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುಉವುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ

  

(ಇದಕ್ಕೆ ಪ್ರಥಮವರ್ಗದ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಸಮಾಸವೆಂದು ಹೆಸರು)

ಮುಂದಿನ ವಿವರಣೆಗಳಿಗೆ `ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ 2' ಎಂಬ ಲೇಖನವನ್ನು ನೋಡಿ.

(ನೋಡಿ- ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ-2)