ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ/ಕಾಲ್ಮಗ್ರಾರ್ಫ - ಸ್ಮಿರ್ನಾಫ್ ಪರೀಕ್ಷಣ
ಮೂಲದೊಡನೆ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ

ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ

ಕಾಲ್ಮಗ್ರಾರ್ಫ - ಸ್ಮಿರ್ನಾಫ್ ಪರೀಕ್ಷಣ

  ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ರೂಪಿಸಲಾಗಿರುವ ಅಪ್ರಾಚಲ (ನಾನ್‍ಪ್ಯರಾಮೆಟ್ರಿಕ್) ಪರೀಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲೊಂದು. ವಿಜ್ಞಾನದ ಮುನ್ನಡೆಯಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಆಧಾರಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಹಾಗೂ ಅಡಿಗಡಿಗೆ ಪ್ರಯೋಗ ನಡೆಸಿ ಅವೇಕ್ಷಣೆಗಳನ್ನು ಪಡಿದು ಅವು ಆಧಾರಕಲ್ಪನೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿವೆಯೇ ಅಥವಾ ತದ್ವಿರುದ್ದವಾಗಿವೆಯೇ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸಬೇಕಾಗುವುದು. ಈ ವಿಧವಾದ ಪರೀಕ್ಷಣೆ ಸಂಖ್ಯಾಕಲನ ಪ್ರಯೋಗತಂತ್ರಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟ ಸಂಗತಿ. ಸಂಭವ ಚರಗಳ ವಿತರಣೆಯ ಸ್ವರೂಪ ತಿಳಿದಿದ್ದಾಗ ಅದರ ಪ್ರಾಚಲಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜುಮಾಡಿ ಪರೀಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಡೆಸುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ದತ್ತಸಾಂಖ್ಯಕವಿಶ್ವ (ಪಾಪ್ಯುಲೇಷನ್) ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯವಾದುದೆಂದು ತಿಳಿದಿದೆ ಎನ್ನೋಣ. ಇದರ ಪ್ರಾಚಲಗಳು µ, ï-2 ಅಜ್ಞಾತವಾಗಿರಬಹುದು. x1, x2, ………………..xಟಿ ಎಂಬ ಟಿ ಗಾತ್ರದ ನಿದರ್ಶನದಿಂದ µ=m ಎಂಬ ಆಧಾರಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಬೇಕಾದರೆ x= xi ಮತ್ತು s2 = (xi-x)2 ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಮಾಡಿ     ಣ=(x-µ)/s ಎಂಬ ನಿದರ್ಶನದಿಂದ (ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕ್), ಣ-ಪರೀಕ್ಷಣವನ್ನು ನಡೆಸುತ್ತೇವೆ. ಎರಡು ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಶ್ವಗಳಿಂದ ಟಿ1, ಟಿ2 ಗಾತ್ರದ ನಿದರ್ಶನಗಳನ್ನು ಆಯ್ದುಕೊಂಡರೆ ಈ ಅವೇಕ್ಷಣೆಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಎರಡೂ ವಿಶ್ವಗಳ ವಿಚಲನೆಗಳು (ವೇರಿಯನ್ಸಸ್) ಸಮವಾಗಿವೆಯೇ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಸ್ನೆಡಕರನ ಈ=ಪರೀಕ್ಷಣವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಂಖ್ಯಕ ವಿಶ್ವದ ಸ್ವರೂಪ ತಿಳಿಯದಿರಬಹುದು. ಅಂಥ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಒಪ್ಪುವಂಥ ಕೆಲವು ಪರೀಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತಜ್ಞರು ಸಾದರಪಡಿಸಿರುವರು. ಇವಕ್ಕೆ ಅಪ್ರಾಚಲ ಪರೀಕ್ಷಣಗಳೆಂದು ಹೆಸರು. ಇವನ್ನು ವಿತರಣೆ-ವಿಮುಕ್ತ (ಡಿಸ್ಟ್ರಬ್ಯೂಷನ್ ಫ್ರೀ) ಪರೀಕ್ಷಣಗಳೆಂದೂ ಹೇಳುವರು.

 x2 ಪರೀಕ್ಷಣ ಈ ಜಾತಿಗೆ ಸೇರಿದ್ದು ಎಂಬುದನ್ನು ಜ್ಞಾಪಕಕ್ಕೆ ತಂದು ಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಅವೇಕ್ಷಿತ ವಿತರಣೆಗೂ ಆಧಾರಕಲ್ಪಿತ ವಿತರಣೆಗೂ ಇರುವ ಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಇದರಿಂದ ಪರೀಕ್ಷಿಸಲಾಗುವುದು. ಇದಲ್ಲದೆ ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ಕೆಲವು ಹೊಸ ಪರೀಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಿರುವರು. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಲ್ಮಗ್ರಾಫ್-ಸ್ಮಿರ್ನಾಫ್ ಪರೀಕ್ಷಣ, ವಿಲ್ಕಾಕ್ಸನ್ ಸಚಿಹ್ನ-ಸ್ಥಾನಪರೀಕ್ಷಣ, ಮಾನ್-ವ್ಹಿಟ್ನೆ ಪರೀಕ್ಞಣ ಮುಂತಾದುವು ಮುಖ್ಯವಾದವು.

 ಕಾಲ್ಮಗ್ರಾಫ್ ಪರೀಕ್ಷಣ: ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ x2 ಪರೀಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವರ್ಗ ಅಥವಾ ಖಾನೆಯಲ್ಲಿನ ಅಥವಾ ಖಾನೆಯಲ್ಲಿನ ಆವೃತ್ತಿಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಮಾಡಿ ಅವೇಕ್ಷಿತ ಆವೃತ್ತಿಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಡನೆ ಹೋಲಿಸುತ್ತೇವೆ. ಕಾಲ್ಮಗ್ರಾಫ್ ಪರೀಕ್ಷಣದಲ್ಲಂತೂ ಸಮಾಕಲಿತ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು (ಕ್ಯುಮ್ಯುಲೇಟಿವ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್) ಪರಿಶೀಲಿಸಿ ಪರೀಕ್ಷಣ ನಡೆಸುತ್ತೇವೆ.

 ಸಂಭವಚರ xನ  ವಿತರಣೆಯ ಉತ್ಪನ್ನ ಈ(x) ಎಂದು ಆಧಾರ ಕಲ್ಪನೆ ಊo ನಮೂದಿಸುತ್ತದೆ ಎನೋಣ. ಟಿ ಗಾತ್ರದ ನಿದರ್ಶನದಲ್ಲಿ ದತ್ತ xಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸಮಾಕಲಿತ ಆವೃತ್ತಿಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದಿರಲಿ. ಅಂದರೆ ಜ"=x ಇರುವ ಅವೇಕ್ಷಣೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಞ ಆದರೆ Sಟಿ(x)=ಞ/ಟಿ. ಆಧಾರ ಕಲ್ಪನೆ ಊo ಸತ್ಯವಾದ ಪಕ್ಷದಲ್ಲಿ Sಟಿ(x) ಎನ್ನುವ ನಿದರ್ಶಜ ಈ(x)ಗೆ ಉಪಸಮವಾಗಿರುವುದು. ಟಿ ಹೆಚ್ಚಿದಂತೆಲ್ಲ ಈ ಉಪಸಾಮ್ಯ ಉತ್ತಮವಾಗುವುದು. ಬಲಿಷ್ಠ ಬೃಹತ್ಸಂಖ್ಯಾ ನಿಯಮದ (ಸ್ಟ್ರಾಂಗ್ ಲಾ ಆಫ್ ಲಾರ್ಜ್ ನಂಬರ್ಸ್) ಮೇರೆಗೆ ಸಂಭಾವ್ಯತೆ 1 ಇರುವಂತೆ ಈ(x)ಗೆ Sಟಿ(x) ಉಪಸರಿಸುವುದು. Sಟಿ(x) ಮತ್ತು ಈ(x) ಇವುಗಳಿಗಿರುವ ಶುದ್ಧ ವಿಚಲನೆಯ ಉಚ್ಚತಮ ಬೆಲೆ ಆಟಿನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಣ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಅಂದರೆ.

 ಆಟಿ= ್1suಠಿx|Sಟಿ(x)- ಈ(x)|

ಇಲ್ಲಿ suಠಿ ಎಂಬುದು suಠಿಡಿemum (ಉಚ್ಚತಮ) ಎನ್ನುವುದರ ಹ್ರಸ್ವರೂಪ. ಇಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯೆ ಮಾಡಿರುವ ಆಟಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ವಿತರಣೆ ಈ(x) ನ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ; ಈ(x) ಅವಿಚ್ಚಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ ಸಾಕು. ಆದಕಾರಣ ಈ(x) ನ್ನು ಸರಳಾತಿಸರಳ ವಿತರಣೆಯನ್ನಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಪರೀಕ್ಷಣವನ್ನು ನಡೆಸಬಹುದು. ಇದಕ್ಕೆ ಅನುಸಾರವಾಗಿ ಈ(x) =x, (0ಜ"=xಜ"=1) ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಪರೀಕ್ಷಣ ಸುಗಮವಾಗುವುದು. P[suxಠಿ Sಟಿ(x)- ಈ(x) >ಆಟಿ]=ಚಿ ಇರುವಂತೆ ಚಿ=0.20, ಚಿ=0.10, 1=0.05 ಮತ್ತು ಚಿ=0.01 ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ಟಿನ ಹಲವು ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ಯುಕ್ತವಾದ ಆಟಿ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಗಣಿಸಿ ಎಫ್. ಜೆ. ಮ್ಯಾಸ್ಸೀ ಎಂಬಾತ ಕೋಷ್ಟಕವೊಂದನ್ನು ರಚಿಸಿರುವನು. ಅದರ ಸಹಾಯದಿಂದ ಈ ಪರೀಕ್ಷಣವನ್ನು ಪ್ರಯೋಗಿಸಬಹುದು.

 ಆಟಿ ನ ಅನಂತಸ್ಪರ್ಶಕ (ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್) ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. 

>0 ಆದರೆ ಟim P (ಆಟಿe"=) = ಐ ()

ಟಿ’!                       =2(-1) ಟಿ+1 exಠಿ(-2ಟಿ2) 2

 

ಎಂದು ಕಾಲ್ಮಗ್ರಾಫ್ ಸಾಧಿಸಿದ್ದಾನೆ.  ಐ ()= 1.36 ಆದಾಗ ಐ() = 0.05 ಆಗುವುದು. ಅಂದರೆ 1.36  ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರತಕ್ಕ ಅನಂತಸ್ಪರ್ಶಕೀಯ ಸಂಭಾವ್ಯತೆ 0.05 ಇರುವುದು.

 ಕಾಲ್ಮಗ್ರಾಫ್ ಪರೀಕ್ಷಣ x2- ಪರೀಕ್ಷಣಕ್ಕಿಂತ ಪ್ರಾಯಶ: ಶಕ್ತಿಯುತವಾಗಿರುವುದು. ಆದರೆ ಆಧಾರಕಲ್ಪಿತ ವಿತರಣೆಯನ್ನೂ ಅವೇಕ್ಷಿತ ವಿತರಣೆಯನ್ನೂ xನ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಪೂರ್ತಿ ಹೋಲಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಅಲ್ಲದೆ ಅವಿಚ್ಚಿನ್ನ ಚರಗಳಿಗೆ ಕಾಲ್ಮಗ್ರಾಫ್ ಪರೀಕ್ಷಣವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದೇ ಹೊರತು ವಿರತ ಚರಗಳಿಗೆ ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಘಿ2- ಪರೀಕ್ಷಣವನ್ನಾದರೋ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲೂ ಬಳಸಬಹುದು.

 ವಿವಿಧ ಸಂಭವಮಟ್ಟಗಳಲ್ಲಿ ಟಿನ ಅವಧಿಕ ಬೆಲೆ (ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ವೇಲ್ಯೂ)

 P[suಠಿx | Sಟಿ(x)- ಈ(x) | >ಆಟಿ] =ಚಿ ಆಗುವ ಆಟಿ ಬೆಲೆಗಳು

 

ಟಿ

 

ಚಿ

0.20

0.10

0.05

0.01

5

0.446

0.510

0.565

0.669

7

0.381

0.438

0.486

0.577

9

0.339

0.388

0.432

0.514

11

0.307

0.352

0.391

0.468

13

0.284

0.325

0.361

0.433

15

0.266

0.304

0.338

0.404

20

0.231

0.264

0.294

0.356

25

0.21

0.24

0.27

0.32

30

0.19

0.22

0.24

0.29

35

0.18

0.21

0.23

0.27

 

 ಎರಡು ನಿದರ್ಶನಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಕಾಲ್ಮಗ್ರಾಫ್-ಸ್ಮಿರ್ನಾಫ್ ಪರೀಕ್ಷಣ: ಅವೇಕ್ಷಣಗಳ ಎರಡು ಗಣಗಳು (ಸೆಟ್ಸ್) ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಿವೆ ಎಂದು ನೋಡಲು ಈ ಪರೀಕ್ಷಣವನ್ನು ಸಾದರಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. m ಮತ್ತು ಟಿ ಗಾತ್ರಗಳ ಎರಡು  ನಿದರ್ಶನಗಳು ಒಂದೇ ವಿತರಣೆ ಉತ್ಪನ್ನದ ವಿಶ್ವದಿಂದ ಬಂದಿರುವುವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಆmಟಿ ಎನ್ನುವ ಪರೀಕ್ಷಣದ ನಿದರ್ಶಜವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುತ್ತೇವೆ: ಆmಟಿ = suಠಿx/Sm(x)  Sಟಿ(x)1. ಮೇಲಿನ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಕೇತಿಸಿರುವಂತೆ Sm(x)ಮತ್ತು Sಟಿ(x) ಗಳು ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸಮಾಕಲಿತ ಆವೃತ್ತಿಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರುವುವು. ಓ=mಟಿ/ (m+ಟಿ)ಆದರೆ ಮತ್ತು m/ಟಿ ಪರ್ಯಾಪ್ತವಾಗಿದ್ದರೆ >0 ಆದಾಗ

    ಎಂದು ಸಾಧಿಸಬಹುದು. m = ಟಿ ಇದ್ದಾಗ   ಇರುವಂತೆ ಆ ಯ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಯನ್ನು ಮ್ಯಾಸ್ಸೇ ಪಟ್ಟಿಮಾಡಿದ್ದಾನೆ. ಅದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಪರೀಕ್ಷಣವನ್ನು ನಡೆಸಬಹುದು.

 m, ಟಿ ಗಳ ಬೃಹತ್ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು  ಸಾರ್ಥಕತಾ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ನೇತಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು (ನಲ್ ಹೈಪಾಥಿಸಿಸ್) ತ್ಯಜಿಸತಕ್ಕ ದ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಸ್ಮಿರ್ನಾಫ್ ಲೆಕ್ಕಮಾಡಿ ಕೊಟ್ಟಿದ್ದಾನೆ. ಅವು ಹೀಗಿವೆ:

 

  

0.10

0.05

0.025

0.01

0.005

0.001

  

1.22

1.36

1.48

1.63

1.73

1.95

 

ಗಾತ್ರ 50 ಮತ್ತು 60 ಇರುವ ಎರಡು ನಿದರ್ಶನಗಳಲ್ಲಿ Sm(x) ಮತ್ತು Sಟಿ(x) ಎಂಬ ಸಮಾಕಲಿತ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಆವೃತ್ತಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಮಾಡಿ ಇವುಗಳ ಗರಿಷ್ಠತಮ ಶುದ್ಧ ವಿಚಲನೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಅದರ ಬೆಲೆ 0.3 ಆಗಿರಲಿ. ಆಗ  ಇಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಂಭಾವ್ಯತೆ 0.025ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿಯೂ 0.01ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿಯೂ ಇರುವುದರಿಂದ 0.01 ಸಾರ್ಥಕತಾ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ನೇತಿಕಲ್ವನೆಯನ್ನು ತ್ಯಜಿಸುವಂತಿಲ್ಲ. ಆದರೆ 0.05 ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ನೇತಿಕಲ್ವನೆಯನ್ನು ತ್ಯಜಿಸುವಂತಾಗಬಹುದು. ಈ ಪರಿಶೀಲನೆಗೊಳಗಾಗುವ ಸಂಭವಚರ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನವಾಗಿರಬೇಕೆಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಬೇಕು.

 ಈ(x) ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುವ ಸಾಂಖ್ಯಕ ವಿಶ್ವದಿಂಧ ಮೊದಲನೆಯ ನಿದರ್ಶನವನ್ನು ಆಯ್ದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಪರ್ಯಾಯಕಲ್ವನೆಯಾದರೆ Sm (x), Sಟಿ (x) ಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಶುದ್ಧ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಮಾಡದೆ ಯಥಾವತ್ತಾದ Sm (x)-Sಟಿ (x) ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಣಕ್ಕೆ ಬಳಸಬೇಕು. ಅಂದರೆ ಆmಟಿ = Sm (x)-Sಟಿ (x)ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಮಾಡಬೇಕು.

 

(ಎಂ.ವಿ.ಜೆ.)