相対性理論 特殊相対性理論と一般相対性理論/第3部


第3部 宇宙全体に関する考察

第30節 ニュートン理論の宇宙論的難点 

第21節で述べた難点とは別に、古典的な天体力学には、私の知る限り、天文学者ゼーリガーによって初めて詳細に論じられた、第二の根本的な難点がある。宇宙を全体としてどのように捉えたらよいかという問題を考えてみると、まず、このような答えが返ってくるに違いない。宇宙は空間（と時間）については無限である。宇宙は空間（と時間）については無限であり、いたるところに星があり、物質の密度は細部には非常にばらつきがあるが、平均的にはどこでも同じである。つまり つまり、宇宙をどんなに遠くまで旅しても、ほぼ同じ種類と密度の恒星の減衰した群れがどこにでもあるはずなのだ。

この考え方は、ニュートンの理論とは相容れない。ニュートンの理論では、宇宙には星の密度が最大となる中心があり、その中心から外側に行くに従って星の集団密度は減少し、ついには遠距離で無限の空虚な領域が出現するとされている。星々の宇宙は、宇宙という無限の海の中の有限の島であるべきなのだ。

この考え方は、それ自体、あまり満足のいくものではない。なぜなら、恒星や恒星系の個々の星が放つ光は、永久に無限の宇宙に出て行き、二度と戻ってくることはなく、他の自然界の物体と再び相互作用することもないという結果を招くからである。このような有限の物質宇宙は、徐々に、しかし組織的に貧しくなっていく運命にある。

このジレンマから逃れるために、ゼーリガーはニュートンの法則を修正することを提案した。つまり、遠距離では、2つの質量間の引力が逆二乗の法則よりも急速に減少すると仮定したのである。このようにすれば、物質の平均密度はどこまでも一定で、無限大の重力場が発生することはない。こうして私たちは、物質宇宙は何か中心のようなものを持っているはずだという嫌な考えから解放されたのである。もちろん、経験的にも理論的にも根拠のないニュートンの法則の修正と複雑化という代償を払って、前述の基本的な困難から解放されるのである。同じ目的を果たす無数の法則を想像することができるが、そのうちの1つを他のものより優先させる理由を述べることはできない。これらの法則のうちの1つは、ニュートンの法則と同様に、より一般的な理論原則に基づくものではないだろうからだ。

第31節 「有限」でありながら「無限の」宇宙の可能性 

しかし、宇宙の構造に関する思索は、全く別の方向にも進んでいる。非ユークリッド幾何学の発展により、思考の法則や経験に反しない範囲で、空間の無限性を疑うことができるという事実が認識されるようになった（リーマン、ヘルムホルツ）。これらの問題は、ヘルムホルツやポアンカレによって、すでに詳細に、しかも比類なく明瞭に扱われているが、ここでは簡単に触れるにとどめる。

そもそも我々は、二次元空間における存在を想像する。平らな道具、特に平らな剛体測定棒を持った平らな存在たちは、平面内を自由に移動することができる。彼らにとって、この平面の外には何も存在しない。彼ら自身と彼らの平らな「もの」に起こることを観察することが、彼らの平面のすべてを含んだ現実である。特に、平面ユークリッド幾何学の構成は、第24節で考察した格子構成などの棒によって行うことができる。我々の宇宙とは対照的に、これらの存在の宇宙は2次元であるが、我々の宇宙と同様に無限に広がっている。この宇宙には、棒でできた同じ正方形が無限に入る余地があり、つまり体積（表面）は無限である。彼らの宇宙が "平面 "であると言うなら、それは彼らがその棒で平面ユークリッド幾何学の作図をすることができるという意味であり、その発言には意味がある。この場合、個々の棒は、その位置とは無関係に、常に同じ距離を表している。

今度は、平面上ではなく、球面上の二次元の存在を考えてみよう。平らな存在とその測定棒や他の物体は、この表面にぴったりと収まり、そこから離れることができない。彼らの全観測領域は、もっぱら球体の表面上に広がっている。この人たちは、自分たちの宇宙の幾何学が平面幾何学であり、その中にある棒が「距離」の実現であると考えることができるだろうか。そんなことはできない。なぜなら、もし彼らが直線を実現しようとすれば、私たち「三次元の存在」が大円と呼ぶ曲線、つまり、測定棒によって測定可能な、有限の長さを持つ自己完結した線が得られるからである。同様に、この宇宙は、棒で組んだ正方形の面積に匹敵する有限の面積を持っている。このような考察から生じる大きな魅力は、これらの存在の宇宙が有限でありながら、限界を持たないという事実を認識することにある。

しかし、球面存在者は、自分たちがユークリッド的な宇宙に住んでいないことを認識するために、世界旅行に行く必要はないのである。しかし、球面人間は、ユークリッド宇宙でないことを認識するために、世界旅行をする必要はない。ある一点から出発して、すべての方向に同じ長さの「直線」（三次元空間で判断した円の円弧）を引くのである。その直線の自由端を結んだ線を "円 "と呼ぶことにする。平面の場合、円の円周と直径の比は、両方の長さを同じ棒で測ると、平面のユークリッド幾何学によれば、円の直径に依存しない一定の値πに等しくなる。この比は円の直径に関係なく、一定の値である。

つまり、πより小さい値であり、その差が大きいほど、"世界球 "の半径に比べ、円の半径が大きくなる。この関係によって、球体人は、世界球の比較的小さな部分しか測定できない場合でも、その宇宙（「世界」）の半径を決定することができる。しかし、この部分が非常に小さいと、自分たちがユークリッド平面ではなく、球体の「世界」にいることを証明できなくなる。なぜなら、球体の表面の小さな部分は、同じ大きさの平面の一部とわずかに異なるだけだからである。

このように、球体表面の人間が、太陽系が球体宇宙のごく一部を占めるだけの惑星に住んでいる場合、彼らがアクセスできる「宇宙の一部」はどちらの場合も実質的に平面、つまりユークリッドであるため、彼らが有限の宇宙に住んでいるか無限の宇宙に住んでいるかを判断する術はないのである。このことから、球体にとって円の周長は、まず半径が大きくなって「宇宙の円周」に達し、さらに半径が大きくなると次第に小さくなってゼロになることがわかる。この間、円の面積はどんどん増え続け、ついには「世界球」全体の面積と等しくなる。

読者は、なぜ我々が「存在」を他の閉じた表面ではなく、球体の上に置いたのか不思議に思うかもしれない。しかし，この選択は，すべての閉曲面の中で，球面がその上のすべての点が等価であるという点で固有であるという事実によって正当化されるのである．円の円周と半径の比はに依存するが、与えられたの値に対して、「世界球」のすべての点で同じである、言い換えれば、「世界球」は「曲率一定の表面」であることは認める。

この2次元の球体宇宙には、リーマンが発見した3次元の球体空間という3次元の相似形があり、その点も同様にすべて等価である。その体積は半径で表される有限なものである。球状の空間を想像することは可能ですか？空間を想像するということは、我々の「空間」体験の縮図、すなわち「剛体」運動の体験の縮図を想像するということに他ならない。その意味で、私たちは球状の空間を想像することができる。

ある点から四方に線を引くか紐を張って、それぞれの距離を測り棒で印をつけたとする。これらの長さの自由な端点はすべて球面上にある。この面の面積() を、測り棒で作った正方形で特別に測定することができる。宇宙がユークリッドならば、、球形ならば、は常に以下となる。rの値が大きくなると、Fはゼロから「世界半径」で決まる最大値まで増加するが、さらにの値が大きくなると、面積は徐々に減少してゼロとなる。出発点から放射状に伸びる直線は、最初は互いに離れていくが、やがて接近し、最後には出発点の「対極」で再び走り出す。このような状態で、球面上の全空間を横断したことになる。3次元の球面空間は、2次元の球面によく似ていることが容易にわかる。それは有限であり（すなわち有限の体積）、境界がない。

さらに、曲がった空間として、もう一つの種類があることを述べておこう。「楕円空間」である。これは、2つの「対極」が同一である（区別がつかない）曲面空間とみなすことができる。つまり、楕円形の宇宙は、ある程度、中心対称性を持った曲がった宇宙と考えることができる。

以上のことから、限界のない閉じた空間が考えられる。その中でも、球面空間（と楕円空間）は、その上のすべての点が等価であるため、単純さに優れている。それは、私たちの住んでいる宇宙は無限なのか、それとも球形宇宙のように有限なのか、という問題である。私たちの経験は、この問いに答えるにはまだ十分ではない。しかし、相対性理論によって、この問題にある程度の確度で答えることができるようになり、この関連で、第30節で述べた困難が解決されることになる。

第32節 一般相対性理論による空間の構造 

相対性理論によれば、空間の幾何学的性質は独立しているのではなく、物質によって決定される。したがって、宇宙の幾何学的構造については、物質の状態が既知のものであることに基づいて考察した場合にのみ、結論を出すことができるのである。我々は経験から、適切に選択された座標系では、星の速度は光の透過速度に比べれば小さいことを知っている。このように、物質が静止しているものとして扱えば、宇宙全体がどのような性質を持っているか、おおよその結論を得ることができる。

測定棒や時計の動作が重力場、すなわち物質の分布に影響されることは、すでに前回の議論からわかっていることである。このことは、この宇宙でユークリッド幾何学が厳密に有効である可能性を排除するのに十分である。しかし、私たちの宇宙はユークリッド幾何学とは少し違うということも考えられる。私たちの宇宙は、幾何学的に見れば、不規則に湾曲しているが、平面から大きくはずれていない、湖の波紋のような表面をしていると想像できるかもしれない。このような宇宙は、「準ユークリッド宇宙」と呼ぶにふさわしい。空間的には無限大である。しかし、計算すると、準ユークリッド宇宙では、物質の平均密度がゼロになる。したがって、このような宇宙には、いたるところに物質が存在することはできず、第第30節で描いたような不満足な姿になってしまうのである。

もし、宇宙で物質の平均密度がゼロと異なるなら、その差がどんなに小さくても、宇宙は準ユークリッド的であるはずがない。それどころか、計算の結果、物質が一様に分布していれば、宇宙は必ず球形（あるいは楕円形）になるはずである。現実には、物質の細かい分布は一様ではないので、現実の宇宙は球形から部分的にずれていく、つまり、宇宙は準球形になる。しかし、それは必然的に有限である。実際、この理論は、宇宙の空間的広がりとその中の物質の平均密度との間に簡単な関係を与えている。

脚注