Vetenskapen och hypoteserna. Första kapitlet


Om det matematiska resonemangets natur. 

I.

Själva den matematiska vetenskapens möjlighet förefaller att vara en oupphävbar motsägelse. Om denna vetenskap blott skenbart är deduktiv, varifrån har den då fått denna utomordentliga stränghet, som ingen tänker på att draga i tvivelsmål? Om tvärtom alla de propositioner den uttalar kunde dragas den ena ur den andra enligt den formella logikens lagar, varför inskränker sig då icke matematiken till en oändlig tautologi? Den logiska slutledningen kan icke lära oss något väsentligen nytt och om allting skulle utgå ur identitetsprincipen, måste det också kunna återföras till denna. Då kunde man alltså påstå, att framställningarna av alla dessa lärosatser, som fylla så många volymer, icke äro någonting annat än indirekt sätt att säga, att  är .

Tvivelsutan kan man gå tillbaka till de axiomer, som utgöra källan till alla dessa resonemanger. Om man ej anser sig kunna återföra dem till kontradiktionsprincipen och om man i dem ännu mindre vill se några på erfarenhetens väg uppnådda fakta, vilka icka hava någon del i matematikens nödvändighet, så återstår i alla fall den utvägen att inrymma dem bland de syntetiska omdömena.  Detta är ej att lösa svårigheten, det är endast att gifva den ett namn och även om de syntetiska omdömenas natur ej längre vore någon hemlighet för oss, så skulle motsägelsen ej hava försvunnit, den hade icke gjort något annat än flyttat sig längre bort. Det syllogistiska resonemanget förblir oförmöget att med något som helst rikta de antagna förutsättningarna. Dessa förutsättningar inskränka sig till några axiomer, och man skulle icke kunna återfinna någonting annat i slutledningarna.

Ingen lärosats skulle bliva ny, om i dess bevis ej medtoges ett nytt axiom. Resonemanget skulle endast giva oss de omedelbara, klara sanningarna, som lånats från den direkta intuitionen. Det vore ingenting annat än en överflödig förmedlingslänk, och hade man då icke anledning fråga, om ej hela det syllogistiska tillvägagångssättet blott och bart tjänade till att dölja långodset?

Motsägelsen slår oss ännu mera, om vi öppna en matematisk bok vilken som helst. På varje sida uttalar författaren sin avsikt att generalisera en redan känd proposition.  Är således det matematiska förfaringssättet ett fortskridande från enskildheten till det allmänna och huru kan man i så fall kalla den deduktiv?

Om vidare talets vetenskap vore rent analytisk eller analytiskt kunde utgå ur ett litet antal syntetiska omdömen, så borde en tillräckligt mäktig ande med ett enda ögonkast vara i stånd att uppfatta alla dess sanningar. Men vad säger jag! Man kunde till och med hoppas, att en vacker dag ett tillräckligt enkelt språk skulle uttänkas, för att uttrycka dem så, att de också kunde uppenbaras för en vanlig begåfning.

Om man ej vill gå in på att antaga dess konsekvenser, måste man i alla fall medgiva, att det matematiska resonemanget i sig själv besitter en sorts skapande kraft och att det följaktligen skiljer sig ifrån syllogismen.

Skillnaden bör till och med vara ganska djupgående.  Vi kunna t. ex. icke finna nykeln till hemligheten genom det ständiga användandet av den regel, enligt vilken ett och samma likartade förfarande tillämpat på tvenne lika tal giver överensstämmande resultat.

Dessa sätt att resonera, de må nu bringas in under syllogismen i egentlig mening eller ej, bibehålla alla den analytiska karaktären och förbliva just härigenom vanmäktiga.

II.

Striden är av gammalt datum. Redan Leibniz försökte bevisa, att 2 och 2 gör 4. Låtom oss undersöka hans bevis en smula.

Jag förutsätter, att man definierat talet 1 och ävenså operationen , som består uti att lägga enheten till ett givet tal .

Huru dessa definitioner än må vara beskaffade, så ingripa de icke i resonemanget i dess fortsättning.

Jag definierar vidare talen 2, 3 och 4 genom likheterna:

Jag definierar likaledes operationen  genom förhållandet:

Detta förutsatt, erhålla vi

Man kan icke förneka, att detta resonemang är rent analytiskt. Men fråga vilken matematiker som helst, och han skall svara: "Det är icke en bevisföring i egentlig mening, utan en verifikation". Man har inskränkt sig till att sammanställa tvenne överenskomna definitioner och man har fastställt deras identitet. Man har icke lärt sig något nytt. Verifikationen avviker alldeles från det verkliga beviset, emedan den är rent analytisk och emedan den är ofruktbar. Den är ofruktbar, därför att slutledningen endast är en översättning av förutsättningarna till ett annat språk. Det verkliga beviset är däremot fruktbärande, emedan dess slutledning i en viss mening är generellare än förutsättningarna.

Likheten  kan sålunda endast på den grund underkastas en verifikation, att den är av särskilt slag och varje speciellt uttalande inom matematiken kan alltid verifieras på detta sätt. Men om matematiken läte sig bringas ner till en följd sådana verifikationer, skulle den icke vara någon vetenskap. Alldeles som t. ex. en schackspelare icke skapar en vetenskap genom att vinna ett parti. Det finnes ingen annan vetenskap än det generella.

Man skulle nästan kunna säga, att de exakta vetenskaperna just hava till uppgift att befria oss ifrån dessa direkta verifikationer.

III.

Nu skola vi betrakta matematikern i arbete och försöka utlista hans tillvägagångssätt.

Företaget är icke utan sina svårigheter, ty det är ej tillräckligt att på måfå slå upp ett verk och analysera första bästa bevis man träffar på.

I första hand böra vi utesluta geometrien, där frågan blir tillkrånglad genom inblandningar av de kinkiga problemen beträffande postulaternas roll samt rymdbegreppets natur och uppkomst. Av analoga skäl kunna vi ej heller vända oss till infinitesimalanalysen. Vi böra söka den matematiska tanken där, varest den förblivit ren, d. v. s.  i aritmetiken.

Ännu återstår oss ett urval att göra. Inom de högsta områdena av talteorien hava de ursprungliga matematiska begreppen redan underkastats en så genomgående utarbetning, att det blir svårt att analysera dem.

Det är sålunda i aritmetiken i dess begynnelse vi böra vänta oss att finna den förklaring vi söka, men nu är händelsen den, att det just är vid bevisandet av de mest elementära satserna, som författarne av de klassiska läroböckerna hava utvecklat den minsta noggrannheten och skärpan. Vi få icke göra dem förebråelser härför, ty de hava lydt nödvändigheten. Nybörjarne äro icke rustade för den verkliga matematiska skärpan, de se i denna endast fåfänga och långtrådiga hårklyverier. Det vore endast att förspilla tiden, om man alltför snart ville göra dem mera fordrande. De måste hastigt och utan några längre uppehåll genomlöpa den väg, som vetenskapens grundare långsamt framskridit.

Varför är en så lång förberedelse nödvändig för att vänja sig vid denna fullständiga skärpa, vilken, efter vad det synes, helt naturligt borde tvinga sig på var och en?  Här föreligger ett logiken och psykologien tillhörande problem, väl värt att begrundas.

Men vi skola icke uppehålla oss vid det, ty det ligger utom vårt ämne. Vad jag vill framhäva är, att vi, för att icke förfela vårt mål, åter måste genomgå äfven de mest elementära lärosatsernas bevis och giva dem icke den grova form man låter dem behålla, för att ej trötta nybörjaren, utan den som kan tillfredsställa en övad geometer.

Additionens definition. Jag förutsätter, att man tidigare definierat operationen , som består uti att lägga talet 1 till ett givet tal .

Denna definition, huru den för övrigt än må vara beskaffad, spelar ingen roll vid resonemangets vidare utveckling.

Det är nu fråga om att definiera operationen , som består uti att lägga talet  till ett givet tal .  Antag, att man definierat operationen , så definieras operationen  genom likheten:

Vi veta sålunda vad  betyder, när vi veta vad  betyder och som jag i början förutsatte, att vi veta vad  betyder, så kunna vi efter varandra och "genom rekurrens" definiera operationerna ,  o. s. v.

Denna definition förtjänar ett ögonblicks uppmärksamhet, ty den är av speciell natur och skiljer sig redan därigenom från den rent logiska definitionen. Ekvationen (1) innehåller faktiskt en oändlighet olika definitioner, som var och en blott får sin betydelse, när man känner till den föregående.

Additionens egenskaper. — Associativiteten. Jag säger, att

Faktiskt är satsen riktig för , den skrifves då:

som med undantag av beteckningssättet är alldeles detsamma som ekvationen (1), genom vilken jag nyss definierade additionen.

Antag, att satsen är riktig för , så påstår jag, att den även är riktig för . Är faktiskt

så kan man därur härleda

eller i enlighet med definitionen (1)

vilket genom en serie rent analytiska deduktioner visar, att satsen är riktig för .

Är den riktig för , så skall man efter vartannat få se, att den är riktig för , för  o. s. v.

Kommutativiteten. — 1:o. Jag säger, att

Satsen är tydligen riktig för , och genom rent analytiska resonemanger kan man verifiera, att om den är riktig för , så är den riktig för . Om den nu är riktig för , så är den sålunda riktig för , för  o. s. v. Det är just detta man vill uttrycka, när man säger, att det uttalade påståendet bevisas genom rekurrens.

2:o. Jag säger, att

Satsen har nyss bevisats för . Man kan analytiskt verifiera, att om den är riktig för , så är den även riktig för .

Propositionen har sålunda fastställts genom rekurrens.

Multiplikationens definition. — Vi definiera multiplikationen genom likheterna

Ekvationen (2) innesluter liksom ekvationen (1) en oändlighet av definitioner. Om den definierat , så tillåter den ett efter vartannat definierande av , , o. s. v.

Multiplikationens egenskaper. — Distributiviteten — Jag säger, att

Analytiskt verifierar man, att likheten är riktig för  och sedan, om satsen är riktig för , skall den även vara riktig för .

Propositionen är återigen bevisad genom rekurrens.

Kommutativiteten. — 1:o. Jag säger, att

Satsen är klar för .

Analytiskt verifierar man, att om den är riktig för , så är den riktig för .

2:o. Jag säger, att

Satsen har nyss bevisats för . Analytiskt verifierar man, att om den är riktig för , så är den det för .

IV.

Jag avbryter här denna enformiga serie resonemanger.  Men själva denna enformighet har låtit det ständigt enahanda och vid varje steg återkommande tillvägagångssättet bättre framträda.

Detta tillvägagångssätt är just, vad man kallar att bevisa genom rekurrens. Först fastställer man ett teorem för , och sedan visar man, att om satsen är riktig för , så är den riktig för , och därav drager man den slutsatsen, att den är riktig för alla hela tal.

Nyss sågo vi, huru man betjänar sig av detta förfaringssätt vid bevisandet av reglerna för additionen och multiplikationen, d. v. s. reglerna för den algebraiska räkningen. Denna räkning är ett omvandlingsinstrument, som lånar sig till många flera olika kombinationer än den enkla syllogismen. Men den är ett rent analytiskt instrument och oförmöget att lära oss något nytt. Om matematiken ej hade andra verktyger, skulle den genast hava hämmats i sin utveckling, men den finner nya hjälpmedel i samma tillvägagångssätt, det vill säga i rekurrensförfarandet och den kan fortsätta sin marsch framåt.

Om man ser noga efter, så återfinner man vid varje steg detta sätt att resonera, antingen under den enkla form vi nu givit det, eller under en mer eller mindre förändrad gestalt.

Detta är sålunda det matematiska resonemanget i dess renaste form, och vi måste nu närmare undersöka det.

V.

Rekurrensförfarandets väsentligaste karaktär består däruti, att det så att säga förtätat i en enda formel innehåller en oändlighet av syllogismer.

För att man bättre må få detta klart för sig, skall jag uttala den ena efter den andra av dessa syllogismer, vilka äro, man må förlåta mig uttrycket, ordnade i kaskad.

Som man väl kan förstå, äro de hypotetiska syllogismer.

Satsen är riktig för talet 1.

Är den riktig för 1, så är den riktig för 2.

Den är alltså riktig för 2.

Är den riktig för 2, så är den riktig för 3.

Den är alltså riktig för 3, o. s. v.

Man ser, att varje syllogisms slutledning tjänar såsom underlag för den nästföljande.

Härtill kommer, att alla våra syllogismers följdsatser kunna sammanfattas i en enda formel.

Om satsen är riktig för , så är den riktig för .

Härav framgår, att man vid rekurrensförfarandet inskränker sig till att utsäga den första syllogismens undersats samt den allmänna formeln, som såsom särskilda fall i sig innehåller alla följdsatserna.

Denna kedja av syllogismer, som aldrig tager slut, befinnes sålunda reducerad till en fras på några få rader.

Nu förstår man lätt, varför varje speciell slutledning av en lärosats kan, som jag tidigare förklarat, verifieras genom rent analytiska tillvägagångssätt.

Om vi i stället för att visa att vår sats är riktig för alla tal, endast vilja låta komma till synes, att den är riktig för talet 6 t. ex., så är det tillräckligt att fastställa de 5 första syllogismerna i vår kaskad. Vi behöva 9, om vi vilja bevisa satsen för talet 10 och vi behöva ännu flera för ett större tal, men huru stort detta tal än är, så nå vi alltid till slut fram till det, och den analytiska verifikationen blir möjlig.

Och likväl, huru långt vi än gå på detta sätt, skola vi ändock aldrig höja oss till det allmänna på alla tal tillämpningsbara teoremet, vilket ensamt kan utgöra ämne för vetenskapen. För att nå fram dit, behöves en oändlighet syllogismer, vi måste över en avgrund, vilken analytikerns tålamod aldrig skall lyckas igenfylla, hänvisad som han är enbart till den formella logiken.

I början framkastade jag frågan, varför man icke skulle kunna föreställa sig en ande, tillräckligt mäktig att med ett enda ögonkast uppfatta sammanfattningen av de matematiska sanningarna.

Nu förefaller oss svaret helt enkelt. En schackspelare kan beräkna fyra fem drag på förhand, men huru skicklig han än kan anses vara, så förbereder han aldrig mer än ett avslutat antal. Om han tillämpade sin begåvning på aritmetiken, skulle han icke kunna varsebliva de allmänna sanningarna i en enda direkt intuition. För att komma fram till det minsta lilla teorem, skulle han icke kunna undvara rekurrensförfarandets hjälp, emedan detta är ett verktyg, som tillåter ett fortskridande från det ändliga till det oändliga.

Detta verktyg är alltid nyttigt, emedan det, genom att låta oss hoppa över huru många avdelningar som helst, befriar oss ifrån långa både ledsamma och enformiga verifikationer, som hastigt visa sig oanvändbara. Men det blir oumbärligt, så snart vi vända blicken emot det allmänna teoremet, vilket vi genom den analytiska verifikationen oupphörligt närma oss, utan att någonsin kunna gripa det.

Inom detta aritmetiska område kunde man tro sig långt avlägsnad från infinitesimalanalysen, och likväl hava vi nyss sett idén om den matematiska oändligheten redan spela en avgörande roll. Utan den skulle det icke finnas någon vetenskap, emedan det icke funnes något generellt.

VI.

Det omdöme, varpå rekurrensförfarandet vilar, kan uttalas under många former. Man kan exempelvis säga, att i en oändlig samling olika hela tal det alltid finnes ett, som är mindre än alla de andra.

Man kan lätt övergå från det ena uttalandet till det andra och sålunda ingiva sig själv föreställningen av, att man har bevisat rekurrensförfarandets berättigande. Men man blir ändå tvungen att stanna en gång; man kommer alltid fram till ett obevisligt axiom, som i grund och botten icke är något annat än den proposition, som skulle bevisas, översatt till ett annat språk.

Sålunda kan man aldrig undandraga sig den slutsatsen, att lagen för rekurrensförfarandet ej går att återföras på kontradiktionsprincipen.

Denna lag kan ej heller tillföras oss genom erfarenheten.  Vad erfarenheten kan lära oss, är blott att den är riktig för t. ex. de tio, de hundra första talen; den kan aldrig nå talens oändliga följd, endast räcka fram till ett mer eller mindre långt, men alltid begränsat stycke av denna följd.

Vore det emellertid endast detta frågan gällde, så skulle kontradiktionsprincipen vara tillräcklig, ty den tillåter oss alltid att utveckla så många syllogismer vi någonsin önska. Det är endast, när det blir fråga om att innesluta en oändlighet sådana i en enda formel, det är endast inför oändligheten denna princip sviker, och det är likaledes här som erfarenheten blir maktlös. Denna för det analytiska beviset och för erfarenheten ouppnåeliga lag, är den egentliga typen för det syntetiska omdömet a priori. Å andra sidan kan man här icke vilja se endast en överenskommelse, såsom vid några av geometriens postulater.

Varför tvingar sig då detta omdöme på oss med oemotståndlig makt? Jo, därför att det icke är något annat än en bekräftelse på kraften hos vår ande, som känner sig i stånd att uppfatta det oändliga upprepandet av en och samma handling, om denna handling en gång varit möjlig.  Anden har en direkt intuition av denna kraft, och erfarenheten kan för den blott bliva ett tillfälle som den betjänar sig utav och genom vilken den får medvetande om sin kraft.

Men, invänder man, om den omedelbara erfarenheten icke kan rättfärdiga rekurrensförfarandet, förhåller det sig då på samma sätt med den erfarenhet, som tager induktionen till hjälp? Vi hafva efter vartannat fått se, att en lärosats är riktig för talet 1, för talet 2, för talet 3 och så vidare samt säga att lagen är påtaglig och den är det i samma mening som varje fysikalisk lag, vilande på observationer till mycket stort, ehuru begränsat antal, är det.

Förnekas kan icke, att här föreligger en med induktionens vanliga förfaringssätt slående överensstämmelse.  Men en väsentlig olikhet kvarstår. Induktionen blir alltid osäker, när den tillämpas på de fysiska vetenskaperna, emedan den vilar på förlitandet på en universums allmänna ordning och denna ordning ligger utanför oss.  Den matematiska induktionen däremot, det vill säga beviset genom rekurrens, tvingar sig nödvändigt fram, emedan den är bekräftelsen på en egenskap hos anden själv.

VII.

Som jag förut nämnt, anstränga sig matematikerna alltid att generalisera de propositioner de hava ernått och för att icke behöva leta fram andra exempel, bevisade vi nyss likheten:

och vi begagnade oss ytterligare utav den för att stadfästa likheten

vilken uppenbarligen är allmännare.

Matematiken kan således liksom de övriga vetenskaperna skrida från det enskilda till det allmänna.

Här hava vi ett faktum, som skulle förefallit oss ofattbart i början av denna undersökning, men som ej längre synes oss hemlighetsfullt, sedan vi konstaterat rekurrensbevisets överensstämmelser med den vanliga induktionen.

Det matematiska rekurrensresonemanget och det fysikaliska induktiva resonemanget vila på olika grundvalar, men deras framåtskridande är parallellt; de gå i samma riktning d. v. s. från det enskilda till det allmänna.

Nu skola vi undersöka saken litet närmare.

För att bevisa likheten

är det tillräckligt att två gånger tillämpa regeln

och skriva:

Den sålunda på rent analytisk väg ur likheten (1) härledda likheten (2) är emellertid icke helt enkelt något specialfall av den, den är något helt annat.

Man kan därför ej säga, att man vid de matematiska resonemangens verkligt analytiska och deduktiva del går från det allmänna till det enskilda, åtminstone icke i uttryckets vanliga bemärkelse.

De tvenne membra i likheten (2) äro helt enkelt mera sammansatta kombinationer än de två membra i likheten (1), och analysen tjänar blott till att urskilja de elementer, som ingå i dessa kombinationer samt att studera deras förhållande till varandra.

Matematikerna arbeta sålunda "medelst konstruktion"; de "konstruera" allt mer och mer sammansatta kombinationer.  När de till slut genom att analysera dessa kombinationer, dessa fristående sammanhopningar, så att säga, i deras ursprungliga elementer, så upptäcka de förhållandena mellan dessa elementer och framdraga ur dem förhållandena mellan sammanhopningarna själva.

Detta är en rent analytisk frammarsch, men det är likväl icke en marsch från det allmänna till det enskilda, ty sammanhopningarna kunna naturligtvis ej betraktas såsom mera speciella än sina elementer.

Stor vikt har, och detta med rätta, tilldelats detta "konstruktionsförfarande", och man har här velat se det nödvändiga och tillräckliga villkoret för de exakta vetenskapernas framsteg.

Nödvändigt? Ja, ovedersägligen. Men tillräckligt? Nej!

För att en konstruktion skall bliva nyttig, för att den ej blott skall vara en fåfäng ansträngning för anden, för att den skall kunna tjäna såsom trappsteg för den, som vill stiga ännu högre, måste den först och främst innehålla en sorts enhet, som tillåter oss att i den se något annat än blott och bart en dessa elementers anhopning.

Eller ännu bestämdare uttryckt, man måste finna någon fördel uti att hellre betrakta konstruktionen än dess enskilda elementer.

Vilken kan denna fördel vara?

Varför resonera över t. ex. en månghörning, som alltid kan sönderläggas i trianglar och icke över de elementära trianglarna själva?

Tydligen därför, att det finnes egenskaper, som man kan bevisa för månghörningar med godtyckligt stort antal sidor och som sedermera omedelbart kunna tillämpas på en enskild månghörning vilken som helst.

Oftast är det däremot blott på grund av långvariga ansträngningar man kan återfinna dem genom att direkt studera de elementära trianglarnas förhållanden. Kännedomen om den allmänna lärosatsen besparar oss dessa ansträngningar.

En konstruktion blir sålunda intressant, först då man kan uppställa den vid sidan av andra analoga konstruktioner, vilka utgöra olika arter inom samma släkte.

Om den fyrsidiga figuren är något annat än tvenne bredvid varandra lagda trianglar, så beror detta därpå, att den tillhör månghörningarnas klass.

Vidare måste man kunna bevisa egenskaperna hos släktet, utan att vara tvungen att fastställa dem efter varandra för varje art särskilt.

För att nå så långt, blir det nödvändigt att stiga från det enskilda till det allmänna, genom att klättra med en eller flera pinnar i taget.

Det analytiska förfaringssättet "medels konstruktion" nödsakar oss icke att åter stiga ner, utan det lämnar oss på samma plan.

Vi kunna endast höja oss genom den matematiska induktionen, vilken ensam kan lära oss något nytt. Utan tillhjälp av denna i vissa avseenden från den fysikaliska så avvikande induktionen, ehuru lika fruktbärande som den, skulle konstruktionen vara oförmögen att uppbygga en vetenskap.

Innan vi sluta, böra vi erinra oss, att denna induktion blir möjlig, endast om samma operation i oändlighet kan upprepas. Det är därför schackspelets teori omöjligt kan bliva en vetenskap, emedan de olika dragen i samma parti aldrig likna varandra.

Vetenskapen och hypoteserna. Kapitel 01