НЭС/Небесная механика
Небесная механика. Так называется (в отличие от астрофизики или физики неба) та часть астрономии (IV, 142), которая изучает поступательное и вращательное движение всех небесных тел, изучает фигуру их, колебания жидких и газовых оболочек их. Н. механика является следствием допущения принципа Ньютона о всемирном тяготении; она изучает в подробностях все выводы из него (нисколько в то же время не касаясь сущности допущенных сил притяжения), а самый принцип Ньютона необходимо понимать как сокращеннейшее выражение, как формулу, к которой  всю совокупность движений небесных тел. Н. механика является особой, чрезвычайно обширной отраслью общей теоретической механики, и поэтому нужно считать, что начало ее положено в трудах Галилея о законах движения. Чисто-математические трудности, которые представляют вопросы Н. механики, громадны и часто совершенно непреодолимы. Развитие Н. механики, успехи и простота в отдельных ее результатах всецело зависели от хода развития математического анализа. Поэтому наиболее быстрое развитие Н. механики наступило в конце XVIII и начале XIX столетия; за последнее же полстолетие, когда работа математиков приняла философско-критическое направление, и нет никаких новых результатов в математике, которые имели бы действительную ценность для механики и других прикладных наук, Н. механика развивается значительно медленнее. Вновь предложенные методы и приемы, несмотря на формальную кажущуюся их общность и силу, не дали почти никаких вполне новых результатов, они дают только быстрее и иногда математически более «красиво» то, что уж добыто тернистым прямым путем. Классические формулы Лагранжа и Лапласа, классические численные результаты Леверрье и Ганзена остаются не превзойденными, и до сих пор для астронома необходимо подробное ознакомление с ними. Новейшие же методы Гюльдена, Пуанкарэ, Хилля не оправдали возлагавшихся на них надежд и оказались бессильными, напр., дать новую полную теорию движения луны. Основная мысль этих методов состоит в том, что в них иначе трактуются бесконечные ряды тригонометрических функций, неизбежно появляющиеся в вопросах Н. механики. Позволяя быстро и точно оценить первые наиболее значительные члены этих рядов, методы новейших авторов не дают почти никаких средств исчислить множество остальных членов. Эти приемы касаются почти исключительно вопросов о поступательном движении светил. Не лучше, однако, обстоит дело и в других вопросах. Теория вращательного движения составляет и в общей механике один из труднейших, непреодолимых, вследствие бессилия математического анализа, вопросов. Теория приливов, теория фигур небесных тел не сделали никаких существенных успехов после работ Лапласа и Клеро. Н. механика заключает в себе также отделы о статистике вселенной (распределение звезд в пространстве), о фигуре и равновесии туманностей, о движении различных звездных миров. Вне всякого сомнения наиболее разработана теория движения солнечной системы, как частного случая движения нескольких материальных тел, подчиняющихся закону тяготения. Ниже излагается сущность главнейших приемов Н. механики при исследовании поступательного движения светил. Основные идеи теории фигур небесных тел изложены в ст. Земля. О теории вращательного движения см. Прецессия. См. также ст. Приливы, Тяготение.

При условии почти полной шарообразности светил, а также громадных расстояний между ними, их взаимные притяжения можно заменить силами, приложенными к их центрам, и свести систему тел к системе материальных точек, снабженных каждая конечной массой. Изучая движение солнечной системы в ее целом, можно даже одной точкой заменить Юпитера с его спутниками, другой — землю вместе с луной и т. д.; затем в каждой такой системе второго порядка придется рассмотреть относительные движения составляющих ее тел. Если положения в пространстве системы n точек выразим в каких-либо координатах (напр., декартовых), то из основных понятий механики получим для n точек 3n дифференциальных, второго порядка, уравнений движения, для которых требуется найти 6n интегралов. Известны лишь 10 интегралов, именно — шесть интегралов, выражающих закон движения центра инерции системы; три интеграла, выражающих закон равномерного возрастания суммы площадей описываемых радиусами векторами, и интеграл, выражающий постоянство полной энергии системы. Только для случая n = 2 (задача двух тел) можно произвести остающиеся два интегрирования: тела движутся по эллипсам около общего центра инерции. Случай n = 3, знаменитая задача «трех тел», уже не поддается математическому анализу. Кроме упомянутых 10 интегралов, не было найдено больше ни одного. Лагранж привел остающиеся 8 интегрирований к 7 (пять уравнений первого порядка, одно — второго) и одной . Это — единственное упрощение, какого сумели достигнуть в общей задаче трех тел. Лагранж показал еще, что задача решается в частном случае, если вперед предположить, что три взаимные расстояния тел сохраняют постоянные отношения между собою (орбиты, эллипсы). Пуанкарэ нашел, что при некоторых частных случаях начальных положений и скоростей тел взаимные расстояния их могут быть выражены периодическими функциями от времени. Брунс доказал, что для общего случая задачи трех тел не существует никаких других алгебраических интегралов, кроме 10 известных; Пуанкарэ дополнил, что (с известными ограничениями) недостающие для решения задачи интегралы, т.-е. зависимости между координатами тел, не могут быть изображены в конечном виде никакими функциями и знаками, подлежащими изучению современного математического анализа. Если даже найдутся способы и знаки выразить конечное решение задачи трех тел, уже общий случай движения четырех тел представит вероятно новые неразрешимые трудности. — В нашей системе масса солнца в 700 раз превосходит сумму масс всех планет. Движение планет поэтому обусловлено, главным образом, притяжением самого солнца; является возможным сначала пренебречь влиянием остальных планет, рассматривать движение солнца и какой-либо планеты как задачу двух тел; затем постепенными приближениями ввести те изменения, какие производят в эллиптическом движении остальные планеты. Дифференциальные уравнения  движения планеты около солнца имеют вид:

где f — коэффициент притяжения, M и m — массы солнца и планеты, r — расстояние планеты до солнца. Влияние остальных планет выражено частной производной, взятой по соответственной координате от так назыв.  Ω (это понятие введено Лагранжем). Возможность такого выражения обусловлена существованием потенциала для сил тяготения. Пертурбационная функция имеет вид

,

где знак суммы нужно распространить на все влияющие планеты; значки Δ изображают взаимные расстояния планет. Члены пертурбационной функции, заключающие множители , выражают непосредственное взаимодействие планет, остальные члены — воздействие планет на солнце (вследствие чего несколько изменяется искомое относительное движение планеты около солнца). Подобные уравнения движения можно составить для полярных координат планеты, что удобнее иногда для решения отдельных вопросов. Предполагая mi = 0, т.-е. пренебрегая влиянием остальных планет (иначе говоря, величинами mi сравнительно с M), получим уравнения эллиптического движения. Координаты планеты выразятся как функции от времени (t) и шести произвольных постоянных интегрирования (элементов эллиптической орбиты планеты). Действие остальных планет обусловливает уклонения от эллиптической орбиты, так назыв. . Являются понятия о невозмущенном и возмущенном движении. Выражения, зависящие от пертурбационной функции, получают название возмущающих сил. Вместо того, чтобы рассматривать возмущения координат, можно считать, что самый эллипс орбиты непрестанно изменяет свое положение и фигуру, применяясь к возмущающим силам планет, т.-е. считать элементы эллипса переменными величинами, а возмущения планеты переводить геометрически на возмущения элементов орбиты. Таким образом, вместо трех искомых координат вводят шесть новых переменных [большую полуось эллипса (a); эксцентриситет его (e); долготу перигелия (π); наклонность (i); долготу узла (); эпоху (T)]. Выгода такого приема состоит в том, что значительные изменения координат x, y, z можно интерпретировать сравнительно малыми переменами элементов; во-вторых, вместо трех уравнений второго порядка имеем шесть уравнений первого порядка: первые производные по времени от элементов выражаются линейно через частные производные пертурбационной функции по элементам. Если в выражения возмущающих сил в дифференциальных уравнениях движения вставить значения координат и элементов невозмущенного движения, то тем самым будут отброшены члены высших порядков относительно масс. Тут получаются возмущения первого порядка относительно масс; затем, подставляя в те же дифференциальные уравнения новые, возмущенные значения переменных, получают возмущения второго порядка и т. д. В существовании таких последовательных приближений относительно масс и заключается возможность исследовать движение солнечной системы. Системы значений элементов переменного эллипса для какого-либо момента времени назыв. , соприкасающимися элементами (по такому эллипсу «соприкасания» двигалась бы планета, если бы с данного момента исчезли возмущающие силы). — Вычисление возмущений можно вести по так назыв. методу «частных» возмущений, основанному на механических квадратурах (см. Квадратура, XXI, 371): зная для какого-нибудь момента положение возмущающих и возмущаемого светил, определяют  возмущающую силу; затем из дифференциальных уравнений движения помощью механических квадратур получают приращения координат, обусловленные этой силой, следовательно, положение светила для следующего момента; снова находят приращения и переходят к третьему моменту и т. д. За промежуток между моментами обыкновенно принимают от 1 до 40 дней. Частные возмущения вычисляют или для прямоугольных координат (способ Энке), или для полярных — широты, долготы, радиуса вектора (способа Ганзена), или непосредственно для элементов эллипса. Эти способы прилагают обыкновенно к светилам, которых движение исследуется лишь для небольшого промежутка времени (как, напр., кометы), часто также к малым планетам. — Совершенно иной характер носит метод  или  возмущений. Здесь ищется выражение координат или элементов в аналитическом виде. Для частных возмущений необходимо последовательно переходить от одного момента к другому, в абсолютных же получается сразу значение для какого угодно момента, простой подстановкой в формулу аргумента — времени. Вычислению абсолютных возмущений, выводу общих формул движения или, как говорят, «теорий» планет посвящено большинство работ в Н. механике. Как уже сказано, точное интегрирование дифференциальных уравнений движения невозможно, т.-е. невозможно представить формулами движение в конечном виде, необходимо употреблять приближенные, крайне неудобные, методы разложения в бесконечные ряды. Помимо классификации возмущений на порядки относительно масс, пертурбационную функцию, в которой выражены возмущающие силы, разлагают в ряд вида ΣPCosQ, где коэффициенты P — функции от отношения полуосей орбит возмущаемого и возмущающего светил, от наклонностей и эксцентриситетов их орбит, а аргумент Q — линейная функция от средних долгот планет, долгот перигелиев и узлов орбит: Q = i(nt + ε) + i′(n′t + ε′) + kπ + k′π′ + l + l′′; где n и ε — среднее движение и долгота эпохи (см. Эллиптическое движение), i, i′, k, k′, l, l′ — какие-либо положительные или отрицательные целые числа (некоторые из них могут быть нулями). Если, как это имеет место в планетной системе, наклонности и эксцентриситеты достаточно малы, коэффициенты P далеких членов разложения тоже малы, и можно ограничиваться сравнительно немногими самыми значительными членами. В противном случае (напр., для комет, где наклонность и эксцентриситет могут быть какие угодно) такие ряды вовсе не сходятся, и необходимо употреблять специальные приемы для разложения пертурбационной функции. Каждый член разложения пертурбационной функции дает соответствующий периодический член в возмущениях элементов, т.-е. эти возмущения представятся тоже рядами ΣRCosQ или ΣRSinQ, где время (t) входит под знаками синусов или косинусов. Это — так назыв.  или неравенства. Могут встретиться члены разложения, где i = i′ = 0: время не входит в них под знаком косинуса; при интегрировании по времени, оно появится вне знака косинуса, т.-е. получатся члены вида At, где A — постоянная величина. Это — так назыв.  возмущения. В то время, как при существовании одних только периодических возмущений орбиты светил колебались бы лишь в известных пределах, возвращаясь время-от-времени в прежнее положение, при наличности вековых возмущений изменения растут непрерывно и должны привести систему в полное расстройство. Одна из главнейших задач Н. механики — выяснить, насколько появление вековых возмущений вызвано исключительно недостатками методов разложения в ряды, определить, свободна ли в действительности солнечная система от вековых возмущений, другими словами, доказать  . Знаменитая теорема Лапласа-Лагранжа состоит в том, что в первом порядке масс большие полуоси эллипсов не имеют вековых возмущений, т.-е. планеты не могут непрестанно приближаться или удаляться от солнца, звездные обороты их вокруг солнца в среднем неизменны. Пуассон доказал ту же теорему для возмущений второго порядка относительно масс. Однако, здесь появляются уже члены вида AtCos(αt + β), т.-е. амплитуда периодических колебаний растет непрестанно, и потому в строгом смысле устойчивости системы теорема Пуассона не дает определенного ответа. Для третьего порядка масс появляются уже вековые возмущения полуосей. Все остальные элементы имеют вековые неравенства уже в первом порядке масс. Однако, эти результаты не доказывают отсутствия устойчивости — вековые возмущения различных порядков могли явиться именно вследствие распределения возмущений по степеням масс, напр., от скрытого разложения периодического неравенства с множителем Sinmt по степеням малой величины массы m. Лагранжу удалось, ограничиваясь первым порядком массы и третьими степенями наклонностей и эксцентриситетов, выделив до интегрирования члены, дающие вековые возмущения, получить эти возмущения в конечном и даже периодическом виде. Лаплас показал, что для последнего нужно только, чтобы все планеты двигались в одну сторону. Вычисления, основанные на современном положении орбит больших планет, дали, что эксцентриситеты и наклонности этих планет не могут никогда превзойти некоторых пределов. Это был новый шаг к доказательству устойчивости солнечной системы. Теория, однако, не может еще дать полного ответа на вопрос, что произойдет с небольшой массой, помещенной где-нибудь между большими планетами? В последнее время подобным вопросам посвящено много работ. Выяснены возможные случаи, когда орбита, совершенно далекая от эллипса по виду, остается все же замкнутой, а движение по ней малой массы периодическим. Особый интерес представляет ныне движение группы малых планет, орбиты которых лежат частью по ту сторону (от солнца) орбиты Юпитера. Вековые возмущения не зависят от положения светила на орбите, а лишь от взаимного положения орбит. Отсюда — метод Гаусса для вычисления вековых возмущений: он заменяет возмущающую планету равной ей массой, распределенной известным образом по всей орбите. Кроме вековых, в солнечной системе играют громадную роль периодические . Если средние движения (n и n′) планет близки к соизмеримости, то найдутся такие i и i′, что ni + n′i′ будет близко к нулю, т.-е. период соответственного неравенства очень велик. При интегрировании же по времени ni + n′i′ войдет делителем, и потому коэффициенты таких неравенств могут быть весьма велики. Сюда относится, напр., так назыв. «великое» неравенство Юпитера и Сатурна, которых средние движения относятся между собой почти как 5 к 2. Это неравенство может изменять долготу Сатурна до 1°. Среднее движение Урана относится к движению Нептуна как 2 к 1; соответственное неравенство долгого периода сказалось в наблюдениях Урана и повело к открытию Нептуна. В многочисленной группе малых планет, разбросанных между орбитами Марса и Юпитера, отдельные планетки распределены (по расстоянию их от солнца) наименее густо там, где среднее движение их в орбите близко к соизмеримости с движением Юпитера — возмущающее влияние последнего как бы изгоняло планетки из этих областей. Особенно резкий пример — малые планеты «типа Гекубы», движение которых относится к движению Юпитера как 3 к 2. Несмотря на обилие работ, еще не вполне решен вопрос об устойчивости подобного случая движения. Теория неравенств «долгого периода» во многих отношениях является наиболее важной частью Н. механики, но в то же время наименее интересной в чисто-математическом смысле. Здесь более всего сказывается бессилие современных неуклюжих методов разложения в бесконечные полусходящиеся ряды. Ценою громадного вычислительного труда выискивают те члены разложений, которые  иметь чувствительное влияние на конечный результат выкладок. — Теории  планет, с одной стороны, проще теорий планет, так как взаимодействие остальных спутников планеты сказывается меньше, с другой же стороны, прибавляется возмущающее действие солнца, и кроме того для спутников уже нельзя пренебрегать фигурой планеты, считать ее материальной точкой, приходится вводить особые возмущения, обусловленные сжатием планеты. Это последнее обусловливает характерное и быстрое перемещение линии апсид орбиты спутника. Обратно, подобные выводы дали возможность судить о фигурах двойных и переменных звезд. — Совершенно особое место в науке занимает теория луны (XXV, 56). Благодаря близости мы можем с большей точностью наблюдать ее движение, а потому должны быть изучены все неравенства высших порядков не только от солнца, от сжатия земли, но и от планет. Примером трудностей задач Н. механики, запутанности перекрещивающихся влияний, иногда совершенно на первой взгляд неожиданных, служит знаменитый вопрос о вековом ускорении (см.) луны. — Как упомянуто выше, для  вычисляют почти исключительно частные возмущения. Возмущения достигают громадных размеров, если комета весьма близко пролетает мимо большой планеты, как, напр., Юпитера. Комета может проникнуть в так назыв.  планеты, где притяжение планеты будет преобладать над притяжением солнца. При этом планетоцентрическая орбита кометы, вообще говоря, должна быть гипербола, так как комета влетает в сферу действия со скоростью бо̀льшею, чем какая могла бы быть вызвана притяжением самой планеты. Орбита гелиоцентрическая кометы может быть искажена вследствие такой встречи с планетой до полной неузнаваемости (см. Кометы). Тиссеран доказал, однако, что при всяких возмущениях известная функция от полуоси, наклонности и эксцентриситета орбиты кометы должна оставаться почти неизменною. По этому инварианту или критериуму Тиссерана (вытекающему из особого вида интеграла живой силы) можно судить, составляют ли две кометы два появления одного и того же светила, или нет. Особенности движения некоторых комет дали возможность подозревать существование среды, сопротивляющейся движению и развивающей «трение», незаметное для больших масс планет, но могущее оказаться чувствительным для таких ничтожных скоплений материй, как большинство комет. Такое действие гипотетической среды должно сказаться в сокращении времени оборота комет вокруг солнца. Позднейшие работы опровергли эту гипотезу.

В классических приемах Лагранжа, Лапласа и др., завершенных вычислительными трудами Леверрье, основной идеей служит метод изменения постоянных произвольных; за первое приближение берется всегда Кеплеров эллипс, и уклонения от него представляются в виде рядов. Все ряды, встречающиеся в Н. механике, настолько сложны, что крайне трудно исследовать вопрос о сходимости их. Нужно сказать, что сходимость ряда в строго-математическом смысле слова даже вовсе не нужна; требуется лишь уверенность в том, что, останавливаясь на  члене и отбрасывая остальные, мы делаем ошибку, не превышающую известный предел. Но если основываться на Кеплеровом эллипсе, можно получить ряды явно расходящиеся, и постепенные «приближения» могут даже только ухудшать результат. В виду этого явилась потребность уже в первом приближении не ограничиваться эллипсом, а вводить при интегрировании наиболее влиятельные члены пертурбационной функции и за исходную точку принимать не эллипсы, а другую более сложную кривую, которую определить геометрически нельзя, так как для каждого отдельного случая, для каждой отдельной планеты получается особая кривая. — Переходом к новым приемам Н. механики служат работы Ганзена и Делоне. Метод Ганзена приложен им к абсолютным возмущениям малых планет и к теории луны.  координаты, понятие о которых введено Ганзеном, обладают тем свойством, что они сами и их первые производные по времени выражаются совершенно одинаково, как в невозмущенном движении, так и в возмущенном. Наравне с изменениями системы элементов Ганзен варьирует время, вводит понятие о . Вместо разложений по периодическим функциям от средней аномалии Ганзен употреблял разложения по эксцентрической аномалии. Другой отличительной чертой служило то, что Ганзен оперировал с рядами, коэффициенты которых имеют численный (а не аналитический) вид. Этим достигается быстрота вычислений в ущерб изяществу вывода и возможности поверки. Дифференциальные уравнения, которыми он обыкновенно пользовался, определяют полярные координаты: логарифм радиуса вектора, долготу (или возмущенное время) и синус широты. Метода Делоне состоит в следующем: выбираем в пертурбационной функции наиболее значительный член; интегрируя дифференциальные уравнения, принимая этот член во внимание, получим некоторую систему элементов орбиты; подставляем их в основное уравнение; тогда выбранный член пертурбационной функции пропадает, остальные несколько изменятся. Снова отбираем следующий наиболее влиятельный член, снова интегрируем и получаем новую, несколько измененную, орбиту; тогда пропадет после новой подстановки и второй отобранный член и т. д. Делоне употребил этот прием в своей теории луны. После нескольких подстановок, однако, мелкие неравенства появляются в таком обилии, что затрудняют ведение дальнейших выкладок. Сам Делоне, а также Эри видоизменяли несколько способ, подбирая выражения для этих неравенств так, чтобы готовый уже комплекс их удовлетворял условию задачи сразу и для следующего приближения. Делоне и Ганзену принадлежат лучшие теории луны. — Изыскания новейших авторов касаются лишь отдельных вопросов теории луны или даже упрощенных случаев движения. Вейлер сделал попытку заменить разложения в ряды последовательными частными интегрированиями все более и более малых величин. В теории луны и некоторых других вопросах попадаются члены, где входят делителями вековые изменения перигелиев и узлов. Эти изменения сами по себе — порядка возмущающих масс, и, вследствие этого, соответственные члены, формально имеющие множителем малую массу, в действительности могут быть нулевого или даже отрицательного измерения относительно возмущающих масс. Такие члены, названные Гюльденом , конечно, совершенно не допустимы в разложениях. Гюльден дал общие методы, как избегнуть появления этих членов, разрушающих всякую сходимость рядов. Цель работ Гюльдена и многих позднейших теоретиков — освободить формулы совершенно от времени вне знаков периодических функций, по возможности избегая разложений по степеням масс, и дать решение в конечном виде, хотя бы пренебрегая различными возмущениями малого периода, лишь бы полученное решение представляло движение с  точностью на какой угодно промежуток времени. Такие решения названы Гюльденом  орбитой. Так как они еще вообще оказываются недостижимыми, приходится довольствоваться приближениями —  орбитами. Если движение планеты устойчиво, орбита ее вся должна умещаться в полости между двумя сферами (с центром в солнце); кроме того, орбита не должна выходить из области, ограниченной двумя параллельными плоскостями, пересекающими эти сферы. Орбиты, удовлетворяющие этим условиям, получили название  кривых. Необходимость обобщения геометрического представления орбит особенно ясна для луны и малых планет. Пуанкарэ, Хилль и др. в своих изысканиях исходили из упрощенной задачи трех тел (движение происходит в плоскости, масса третьего тела исчезающе мала сравнительно с другими); полученные результаты распространены и на более общие случаи. Существуют такие начальные положения и скорости, когда решение будет периодическое: светила принимают через известный промежуток времени прежнее взаимное положение. Однако,  решения могут встретиться только в виде исключения и, вообще говоря, должны служить первым приближением. При отыскании орбит, мало отличающихся от периодических решений, появляются множители вида E−αt, где E — основание Неперовых логарифмов, α — названо Пуанкарэ  показателем. В зависимости от того, получится ли α мнимое или действительное, соответственное решение (орбита) будет устойчиво или нет. Решение называется , если (при t = ∞) оно стремится совпасть с периодическим решением. Геометрически можно представить периодическое решение замкнутой кривой, а ассимптотическое — спиралью, завитки которой неизменно приближаются к этой кривой. Исследования Пуанкарэ еще мало приложимы к теории больших планет; впрочем, некоторые его результаты находят иллюстрацию в теории луны и малых планет.

Литература. Краткое руководство для не-специалистов: , «An introduction to celestial mechanics» (Л., 1902). Полное и лучшее изложение: , «Traité de mécanique céleste» (П., 1889—1896). В I т. — классические методы периодических и вековых возмущений; II т. — теория фигур и вращения неб. тел; III т. — различные теории луны и IV т. — теории спутников и малых планет. Новейшее изложение в курсе , «Leçons de mécanique céleste» (3 тт., П., 1905—13); I т. — общая теория возмущений и периодических решений; II т. — разложение пертурбационной функции и теория луны; III т. — теория приливов. Громадное значение до сих пор имеет , «Traité de mécanique céleste» (5 тт., П., 1799—1825; переиздано 2 раза). Первый (теория возмущений), второй (фигура земли и приливы) и отчасти четвертый и пятый томы, лежат в основании всей науки. Устарел и не имеет значения 3-й том, где изложены теории отдельных планет. История Н. механики от Ньютона до половины XIX в. изложена у , «History of Physical Astronomy» (1852). Истории позднейших работ еще нет. — Отдельные вопросы Н. механики изложены, главным образом, в мемуарах, трудно доступных для не-специалиста. О задаче трех тел см. гениальный мемуар Лагранжа («Oeuvres», т. VI). Классические формулы планетных возмущений, которые до сих пор служат основанием действительных теорий и таблиц больших планет, можно изучить у , «Recherches astronomiques» (I и II т. Мемуаров Парижской обсерв.). Из бесчисленных мемуаров о разложении пертурбационной функции важнейшие: , «On the development of the perturbative function in periodic series»; , «Development of pert. f.» («Astronomical papers», III т., Вашингтон); , «Undersökningar of Theorien for Himlakroppornes rörelser»;  («Парижские анналы», XVIII). О возмущениях комет: , «Sur le calcul des perturbations qu’éprouvent les cometes». Метод Ганзена для малых планет изложен у , «Exposition de la méthode de Hansen» (1874). Теория вековых возмущений, кроме мемуаров Лагранжа («Oeuvres», V) и Leverrier («Парижские анналы», II), см. , «On the secular variations» («Smithsonian contributions»). Элементы теории луны: , «Lectures on Lunar theory» (1900); , «Elements de la theorie de la Lune» (подробные работы вполне специальны). Новейшие приемы Н. механики см. , «Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste» (3 тт., П., 1892—96); остальные работы и в том числе громадный неоконченный труд , «Théorie des orbites absolues» (1895) мало доступны для не-специалиста. Из работ о вращательном движении необходимо указать два классических мемуара , «Sur la rotation de la Terre» (1854), и , «Le la precession et de la nutation» («Парижск. анналы», V), а также работу , «Recherches sur la rotation etc.» (1873). По теории фигуры земли см. , «Figures d’equilibre d’une masse fluide» (1902); см. , «A treatise on attractions Laplace’s functions and the figure of the Earth» (4-е изд., 1871); , «Principii della teoria meccanica della figura dei pianeti» (1913).

Примечания