НЭС/Непрерывная дробь
Непрерывная дробь — так наз. выражение вида , где a, a1, a2, a3… суть некоторые целые положительные числа, называемые неполными частными. Числа, которые получаются, если мы остановим Н. дробь на каком-нибудь неполном частном, называются подходящими дробями, напр.: для выше приведенной дроби первая подходящая есть a, вторая , третья  и т. д. Мы вообще будем изображать подходящую дробь  через , считая Pn и Qn целыми числами. Они составляются по следующему закону:

, ; , 

и вообще

; .

Н. дробь называется конечной или бесконечной, смотря по тому, будет ли число неполных частных конечно или бесконечно велико. . Всякое рациональное число разлагается (и только одним способом) в  Н. дробь указанного вида и обратно, всякая такая конечная Н. дробь есть рациональное число. Далее имеем

,

откуда вытекает, что каждая подходящая дробь . Разность двух подходящих дробей  есть . При разложении какого-нибудь числа в Н. дробь это число всегда будет заключено между двумя последовательными подходящими, и каждая последующая из них будет ближе к этому числу, нежели предыдущая. Основное свойство Н. дробей: каждая подходящая ближе к разлагаемому числу, нежели любая дробь с меньшим знаменателем. Подходящие четного порядка все меньше, нежели разлагаемое число x и идут, постоянно возрастая; подходящие же нечетного порядка все больше, нежели x, и идут, постоянно убывая. Если, следовательно, x иррационально, и поэтому число неполных частных бесконечно велико, то подходящие дроби и четного и нечетного порядка стремятся к общему пределу, равному x. Если x есть корень квадратного уравнения с рациональными коэффициентами, то Н. дробь, получающаяся при разложении x, будет периодическая, т.-е., начиная с некоторого места, неполные частные будут повторяться и в одном и том же порядке. Обратно, всякая такая дробь есть корень квадратного уравнения с рациональными коэффициентами. В высших отделах математики приходится иногда рассматривать и Н. дроби более сложного вида. Вообще Н. дроби являются одним из самых могущественных орудий анализа, как для решения теоретических вопросов, так и для практических вычислений.