БСЭ1/Ахиллесова задача
АХИЛЛЕСОВА ЗАДАЧА, задача, приписываемая Зенону Элейскому, была предложена им с целью «обнаружить внутреннее противоречие в понятиях движения, изменчивости и множественности вещей»: быстроногий Ахиллес гонится за черепахой, к-рая движется в 100 раз медленнее его и находится впереди его на 100 шагов; спрашивается, как можно представить себе, что Ахиллес догонит черепаху, когда в то время как он пройдет 100 шагов, черепаха продвинется вперед на один шаг, когда он пройдет этот шаг, черепаха продвинется на 0,01 шага, когда Ахиллес продвинется на это новое расстояние, черепаха пройдет вперед на 0,01 этого расстояния и т. д.? Расстояние между Ахиллесом и черепахой будет уменьшаться, но никогда не исчезнет. — Эта аргументация доказывает только, что число шагов, к-рое Ахиллес сделает до момента, когда он поровняется с черепахой, не может быть выражено конечной десятичной дробью, а выразится дробью вида 101,0101…, — но она отнюдь не доказывает парадоксального утверждения Зенона. Однако, такие представления в диалектическом процессе развития математики привели к появлению у древних геометров метода «исчерпания», а впоследствии —  (см.). Чтобы узнать, какое расстояние придется пройти Ахиллесу, чтобы догнать черепаху, нужно найти сумму бесконечно убывающей прогрессии с первым членом 100 и знаменателем 0,01; эта сумма равна 101 Vo9 шага.