ЭСБЕ/Кватернион
Кватернион. — Исчисление К., основанное Вильямом-Ровэном Гамильтоном (VIII, 71), представляет собою теорию векторов (V, 742), основанную на выражении вектора тричленом вида xi + yj + zk, в котором x, y, z суть величины проекций вектора на ортогональные оси координат, а i, j, k — символы, обозначающие мнимые величины особого рода, обладающие следующими свойствами:

A) Квадраты их равны минус единице, т. е. i2 = −1, j2 = −1, k2 = −1.

B) Произведение двух из них равно третьей, взятой со знаком + или −, в зависимости от порядка множителей, а именно:

ij = k, ji = −k
jk = i, kj = −i

ki = j, ik = −j.

Алгебраические действия сложения и вычитания над такими выражениями векторов дают выражения геометрической суммы и геометрической разности (VIII, 411) векторов, а через умножение вектора α = xi + yj + zk на другой вектор α1 = х1i + y1j + z1k получается на основании свойств A и B следующее выражение:

в котором:

s = −(хх1 + yy1 + zz1)

f = yz1 − zy1

g = zx1 − xz1

h = xy1 − yx1

Означим через r и r, длины обоих векторов, через Θ угол между их направлениями; представим себе, что оба вектора проведены из начала координат и что из него восстановлен перпендикуляр в такую сторону, чтобы наблюдателю, стоящему в начале координат, головою по направлению перпендикуляра, вращение направления r на угол Θ до совмещения с направлением r1 казалось бы совершающимся справа налево. Означим через l, m, n косинусы углов, составляемых направлением вышесказанного перпендикуляра с осями координат.

Известно, что хх1 + yy1 + zz1 = rr1cosΘ и что

f = −lrr1sinΘ

g = −mrr1sinΘ

h = −nrr1sinΘ

поэтому

αα1 = −rr1cosΘ — λrr1sinΘ,

где

λ = li + mj + nk.

Следовательно, произведение αα1 есть четырехчленное выражение, первый член которого есть отрицательно взятое геометрическое произведение (rr1cosΘ) обоих векторов, а сумма остальных трех членов есть выражение вектора, изображающего линейный момент вокруг начала координат вектора r1, отложенного от конца вектора r. Четырехчленное выражение вида (С) назвал Гамильтон К.; первый, невекториальный член s кватерниона наз. scalar, сумма остальных трех членов наз. вектором. В учении о К. рассматриваются различные действия над К. и делается применение теории их к геометрии, механике и математической физике. Ср. W. R. Hamilton, «Elemente der Quaternionen» (нем. излож. Paul Glan, Лпц., 1882); Tait, «An Elementary Treatise on Quaternions»; P. Kelland and P. G. Tait, «Introduction to Quaternions».

ЭСБЕ:Математика