Квадратура круга (Перельман)/Глава 4


Завершение поисков 

Каким бы путем ни приступать к задаче о квадратуре круга, она приводит к необходимости
построить отрезок , удовлетворяющий уравнению

;

Иначе говоря, задача приводит к построению формулы . Чтобы установить,
выполнимо ли это построение, нужно выяснить, какие вообще выражения могут быть построены
циркулем и линейкой. В высшей математике (в той ее отрасли, которая называется аналитической
геометрией) доказывается, что циркулем и линейкой могут быть построены только такие выражения,
в состав которых входят действия сложения, вычитания, умножения, деления, извлечения квадратного
корня и никакие другие; при этом число перечисленных операций не должно быть бесконечно велико.
Тем же условиям должны удовлетворять и числа, входящие в формулу: если они не даны прямо, они
должны получаться в результате только перечисленных действий.

Так, например, следующая формула

может быть построена (это — сторона правильного описанного десятиугольника). Напротив, простая
на вид формула удвоения куба

не может быть построена. Обращаясь к формуле квадратуры круга, ,
мы видим, что она заключает только действия умножения и извлечения квадратного корня, т.е.
операции, позволяющие выполнить построение. Однако, в формулу входит число ,
и надо установить, допускает ли формула, содержащая это число, выполнение построения. Немецкий
математик Ламберт доказал В 1766 г., что число  принадлежит к роду чисел,
называемых несоизмеримыми (или иррациональными); такие числа не могут быть точно выражены
конечным рядом цифр. Среди не-математиков распространено мнение, что неразрешимость квадратуры круга
обусловлена несоизмеримостью числа , так как нельзя будто бы построить число,
выражающееся бесконечным рядом цифр. Это обоснование неправильно. Существует такой род несоизмеримых
чисел, которые могут быть построены. В качестве примеров укажем числа  и
; они выражаются десятичными дробями с бесконечным рядом цифр после запятой,
и тем не менее их легко построить: первое — как сторону вписанного квадрата (рис. 4), второе — как сторону
вписанного равностороннего треугольника (рис. 5).

<Рисунок 4>
<Рисунок 5>

Вообще, все те числа, которые получаются путем однократного или повторного (но не бесконечного)
извлечения квадратного корня, могут быть строго геометрически построены.

К этому роду несоизмеримых чисел  не принадлежит. В 1882 г. немецкий математик
Линдеман опубликовал исследование, из которого вытекает, что число  не может
быть получено в результате конечного рада извлечений квадратного корня. Тем самым устанавливается
невозможность построения формулы квадратуры круга, а следовательно, и неразрешимость этой задачи.

Доказательство неразрешимости какой-либо задачи рассматривается в математике как своего рода
решение проблемы, потому что такое утверждение дает вполне исчерпывающий ответ на поставленный вопрос.
В этом смысле доказательство Линдемана можно считать решением задачи о квадратуре круга, решением,
полагающим конец двухтысячелетней работе над этой проблемой. Продолжают искать другого решения
задачи только малосведушие любители. "Таких искателей — писал еще в 18-м столетии математик Ламберт —
всегда будет достаточно, и если судить о будущих по их предшественникам, то это будут по большей
части люди, мало смыслящие в геометрии и лишенные возможности правильно оценивать свои силы.
Там, где им не хватает знания и понимания, где они не могут ничего сделать с помощью правильных
последовательных выводов, там жажда славы и денег создает софизмы, которые чаще всего не отличаются
ни особой тонкостью, ни особой замысловатостью".

Квадратура круга (Перельман)