ЭСБЕ/Вариационное исчисление
Вариационное исчисление. История происхождения В. исчисления следующая: в конце XVII и начале XVIII ст. многие знаменитые геометры, как, напр., Ньютон, Иоанн и Яков Бернулли, Лейбниц, Маклорен и др., обратили внимание на особый род математических вопросов, в которых требовалось определить вид кривой линии или поверхности при условии, чтобы некоторая величина, зависящая от вида кривой или поверхности, была наибольшая или наименьшая. Впервые встречается подобный вопрос в книге Ньютона: «Philosophiae naturalis principia mathematica», а именно вопрос о форме поверхности тела вращения, испытывающего наименьшее сопротивление движению со стороны окружающей его среды. Другой вопрос того же рода — вопрос о виде брахистохроны, предложенный Иоанном Бернулли (брахистохроной для какой-либо силы называют кривую, по которой материальная точка, подверженная этой силе, переходит в наивозможно краткое время из одной данной точки в другую). По мере накопления подобных вопросов выяснилась необходимость изыскать общий метод для их решения. Такой метод создан Эйлером («Methodus inveniendi lineas curvas maximi vel minimi proprietate gaudentes…» 1744) после 16-летних изысканий над решениями разнообразных вопросов этого рода, и усовершенствован Лагранжем (см. «Théorie des Fonctions analytiques» и «Leçons sur le Calcul des Fonctions»). Метод этот есть метод вариаций и назван Лагранжем вариационным исчислением (Calcul des variations).

Простейшие вопросы В. исчисления заключаются в следующем: требуется найти такую функцию от  которая, будучи подставлена вместо  в данную функцию  от дала бы интегралу

наибольшую или наименьшую величину, при предположении, что  и  а также и соответствующие им  и  имеют данные постоянные значения. Например, требуется найти кратчайшую кривую на плоскости между двумя данными точками. В этом случае интеграл, который должен получить наименьшее значение, будет

где  и  суть абциссы данных точек.

Другой пример: требуется провести такую кривую  между двумя точками  и  на плоскости, чтобы поверхность, образуемая этою кривою при вращении плоскости вокруг оси X-ов, была наименьшею. В этом случае интеграл, долженствующий получить наименьшее значение, будет:

Метод решения подобных вопросов мы вкратце здесь изложим, главным образом для того, чтобы объяснить смысл слов: вариация и вариирование. Предположим, что искомая функция  найдена и что проведена кривая линия  делающая интеграл  наибольшим или наименьшим. В функции  кроме  заключается один или несколько параметров, в качестве коэффициентов, оснований степеней, показателей и проч. Изменяя непрерывным образом величины этих параметров, мы получим другие кривые, отличающиеся видом и положением от искомой нами. При изменении параметров на бесконечно малые величины получим кривые, бесконечно близкие к рассматриваемой. Под вариацией от  подразумевается разность между ординатою бесконечно близкой кривой и ординатою рассматриваемой кривой при той же абциссе. Следовательно, вариация ординаты  есть приращение (положительное или отрицательное), получаемое этою ординатою при переходе от рассматриваемой кривой к кривой бесконечно близкой; это приращение обозначается через  Выше было сказано, что бесконечно близкая кривая получается через бесконсчно малое изменение параметров. Пусть параметры  суть  бесконечно малые приращения их означим через  Пренебрегая бесконечно малыми величинами второго и высших порядков, можем выразить  так:

Следовательно, варьирование ординаты  или  может быть рассматриваемо как дифференцирование по параметрам кривой.

При варьировании  производные  от функции по  также получают бесконечно малые приращения, которые мы обозначим так:  Эти вариации производных можно представить так, например, 

а так как изменения параметров совершенно не зависят от изменений абцисс  то можно переменить порядок действий получения производных по  и по параметрам; самые приращения  от  не зависят, а потому:

Точно так же можно показать, что:

и т. д.

При варьировании  функция  получает приращение, равное:

Это приращение может быть представлено в виде ряда, расположенного по возрастающим степеням вариаций  Вариацией первого порядка функции  называется та часть этого приращения, которая заключает сумму членов с первыми степенями вариаций  Эта вариация первого порядка от  обозначается также знаком  так что

Удвоенную сумму тех членов приращения  которые заключают вторые степени и произведения вариаций  по две, называют вариацией второго порядка от функции  и обозначают ее так: 

Если составить выражение приращения, получаемого интегралом при варьировании ординаты  то найдем, что оно равняется интегралу от  и поэтому может быть представлено в виде суммы членов различного порядка малости. Сумма членов первого порядка малости образует вариацию первого порядка интеграла 

Удвоенная сумма членов второго порядка малости образует вариацию второго порядка:

Составленное выражение  может быть преобразовано таким образом, что оно будет заключать только  но не будет заключать вариаций от производных. На основании равенства (А), (А1) и прочих дальнейших равенств того же рода, каждая из этих вариаций равняется соответственной производной по  от  Вследствие этого, помощью интегрирований по частям и приняв во внимание, что  и  (так как  и  имеют данные постоянные значения), получим:

Для того, чтобы интеграл  был наибольшим или наименьшим, необходимо, чтобы  была равна нулю, какою бы функцией от  ни была  а это вследствие разнообразия и произвольности вариаций  возможно только тогда, когда  Этому-то дифференциальному уравнению и должна удовлетворять функция  делающая  наибольшим или наименьшим.

Так, например, функция, делающая интеграл (1) наибольшим или наименьшим, должна удовлетворять дифференциальному уравнению:

из которого следует, что  и  где  и  — постоянные. Как и следовало ожидать, искомая линия — прямая.

Кривая, делающая интеграл (2) наибольшим или наименьшим, окажется цепною линией.

С надлежащими изменениями и дополнениями метод этот применяется и к тем случаям, когда не задаются точки, между которыми должна быть проведена кривая, а также и к тем случаям, когда ищется кривая, делающая интеграл S наибольшим или наименьшим, и вместе с тем делающая другой интеграл равным данной величине; последние вопросы принадлежат к роду вопросов об относительных maxima и minima. Затем этот метод распространяется и на вопросы более высшего рода, в которых требуется определение вида поверхностей, делающих наибольшим или наименьшим двойной интеграл данного вида и далее. В числе геометров, усовершенствовавших метод варьирования в применении к нахождению maxima и minima кратных интегралов, были: Гаусс («Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu aequilibrii», «Gesammelte Werke» Bd. V); Пуассон (в «Mémoires de l’Académie des Sciences», vol. 12, 1833) — в применении к двойным интегралам; Остроградский («Mémoire sur le calcul des variations des integrales multiples», в «Mem. de l’Acad. des Sciences de S-Pétersb.» 1838; «Crelle’s Journal», vol. XV), давший изящное выражение вариации многократного интеграла; Якоби («Zur Theorie der Variations-rechnung und der Differentialgleichungen», в «Gesam. Werke», т. IV), положивший основание метода определения знака вариации второго порядка однократного интеграла. Достаточно полным руководством вариац. исчисления может служить: «Calcul des Variations р. Moigno et Lindelöf» (1861, четвертый том «Leçons de Calcul differentiel et integral p. Moigno»). История вариац. исчисления, начиная с Лагранжа и до 1860 г., изложена в книге Todhunter: «A History of the Progress of the Calculus of Variations during the nineteenth Century», 1861. О применении В. исчисления к механике см. статьи: Дифференциальные уравнения движения, Действие (начало наименьшего действия), Начало Гамильтона.

ЭСБЕ:Математика