Квадратура круга (Перельман)/Глава 7


Ответы и Указания 
1. Если радиус круга , то площадь его , а длина окружности
. Квадрат, площадь которого старинное правило принимает равной площади круга,
имеет сторону длиною . Площадь такого квадрата равна

Отношение

показывает, что старинное правило дает преуменьшение почти на 22%.

2. Из отношения

легко установить, что изложенное в задаче правило даёт преувеличение примерно на 0,6%.

3. Правило дает преуменьшение примерно на 2½%.

4. Оба выражения не решают задачи о квадратуре круга, потому что они не могут быть
найдены помощью конечного числа математических операций.

5. Построив (рис. 6) прямоугольный треугольник с катетами в 1 и 3 единицы длины, получаем
гипотенузу длиною в , т.е.  тех же единиц. Этот отрезок
приближенно выражает длину окружности, диаметр которой равен взятой единице длины. Зная это,
можно построить прямоугольник, приближенно равновеликий кругу; таким прямоугольником будет,
например, прямоугольник со сторонами в 1 и  единиц длины.

<Рисунок 6>

Построенный прямоугольник легко превратить в равновеликий квадрат. (См. рис. 3 и относящийся к нему текст).

6. Сумма . Зная, что при радиусе, равном
единице длины,  есть сторона вписанного квадрата (рис. 4), а 
— сторона вписанного равностороннего треугольника (рис. 5), легко построить отрезок, приближенно равный
длине полуокружности. Дальнейший ход построения читатель найдет сам, руководствуясь указаниями, данными выше.

7. Сумма . Для построения отрезка в
 единиц длины, надо уметь построить отрезок равный 
единиц длины. Построение может быть выполнено, как нахождение средне-пропорционального между
отрезками в 1 и 1,8 ед. длины (рис. 7). Далее смотри решения предыдущих задач.

<Рисунок 7>

8. Так как выражение

равно , то задача является видоизменением предыдущей.

9. Семь верных цифр.

10. Подобных правил можно предложить много. Вот одно из возможных: площадь круга приближенно
равна  площади описанного квадрата плюс половина десятой доли этой величины.
Легко видеть, что здесь  принимается равным 3,15 — приближение достаточное для
многих практических целей.

Квадратура круга (Перельман)