ЭСБЕ/Логарифм
Логарифм. — Л. данного числа n называется показатель степени, в которую нужно возвести некоторое другое данное число а, называемое основанием, чтобы получить n; так что зависимость между данным числом n, основанием а и Л. х числа n выражается формулою n = aх. Л. числа обозначается символом log, или lg, или L. Л. числа n, взятый при основании а, обозначается иногда так:  причем всегда должно удовлетворяться равенство  Например, из равенства 1000=103 следует  Из равенства  вытекают свойства логарифмов, обусловливающие полезность этой функции, а именно: 1) Л. произведения равен сумме Л. производителей; 2) Л. частного равен разности Л. делимого и делителя; 3) Л. степени равен произведению показателя степени на число, возводимое в степень; 4) Л. корня равен Л. подкоренной величины, разделенному на показатель корня. Эти свойства выражаются формулами:

 

Обладая такими свойствами, Л. дают возможность свести: умножение на сложение, деление на вычитание, возведение в степень на умножение и извлечение корня на деление, что и выясняет огромное практическое значение Л. для всех, кто имеет дело со сложными арифметическими вычислениями. При нашей десятичной системе исчисления самым удобным основанием оказывается число 10; имеется и множество таблиц, в которых даются Л. последовательных чисел начиная от 1 до 100000. При основании, равном 10, только Л. целых степеней десяти суть целые числа, Л. же простых чисел представляются десятичными дробями, например  Целая часть такой дроби наз. характеристикою, а дробная — мантиссою. Характеристика определяется прямо по числу цифр целой части числа, именно, она равна числу таких цифр без единицы. Например, для числа 354,25, имеющего три цифры в целой части, характеристика будет 2. Благодаря такому легкому способу определения характеристики в таблицах дается лишь одна мантисса. Для большего упрощения вычислений самое вычитание Л. заменяется обыкновенно сложением, для чего вводят вместо вычитаемого Л. дополнение этого Л. Дополнением называется разность между Л. и числом 10. Если характеристика данного Л. более 10, то характеристика дополнения будет отрицательная, что и обозначается знаком —, который ставится над нею; например, дополнение от 12,3542351 будет . Вычесть из одного Л. другой Л. все равно, что придать к первому Л. дополнение второго и из результата вычесть 10. Для уяснения пользы, приносимой Л. при вычислениях, возьмем два примера. 1) Определим конечный результат арифметических действий, выражаемых формулой  Производя эти действия обыкновенными приемами, мы должны были бы исписать довольно много бумаги; с помощью Л. задача решается тем, что подыскиваются в таблице Л. чисел, стоящих в числителе, и Л. чисел, стоящих в знаменателе, из последних в уме определяются их дополнения, и все это складывается следующим образом:

Ближайший к нему Л. в таблицах имеет мантиссу 0278794, и ему соотвтствует в таблице число 10663; соответствующее число должно иметь одну цифру в целой части; если возьмет 1,0668, то это число выразит собою искомое число с точностью 0,0001. 2) Найдем  Обыкновенная алгебра даже не дает никаких других приемов для вычисления такого радикала кроме логарифмирования, посредством которого задача решается тем, что отыскивается в таблице  делением этого Л. на 5 получается 0,0954242, ближайший к этому логарифм в таблицах находим: 0,0954135, которому соответствует в таблице число 1,2457; это и будет  с точностью 0,0001. Логарифмы были изобретены шотландским геометром Непером (Napier), который в 1614 году напечатал «Mirifici logarithmorum canonis descriptio», посвященное им принцу Валлийскому (впоследствии король Карл I). Это сочинение in 4° представляет 56 страниц текста и 90 страниц таблиц; оканчивается оно словами: «собирая плоды этого небольшого произведения, воздайте должную славу и благодарность Богу высшему создателю и расточителю всех благ». Непер принял за основание своих таблиц особое несоизмеримое число, имеющее чрезвычайно важное значение в анализе и обозначаемое обыкновенно через е. Такой выбор основания поясняется следующими соображениями. Пусть α есть весьма малая величина, а — основание какой-либо системы; тогда члены арифметической прогрессии: 0, α, 2α, 3α… представят собою Л. членов геометрической прогрессии: 1, аα, а2α, а3α…, в которой знаменатель отношения аα, благодаря малости а, весьма мало отличается от 1. Назовем через β ту малую величину, на которую аα отличается от 1, так что aα=1+β; положим  Тогда арифметическая прогрессия примет вид: 0, Mβ, 2Mβ, 3Mβ…, геометрическая же обратится в (1+β)0, (1+β)1, (1+β)2… Количество β совершенно произвольно: известно только, что оно очень мало; множитель же M зависит от того, какое мы избрали основание. Самое простое положить M=1. Основание, при котором М=1, и выбрано было Непером для его таблиц. Определим его величину: при М=1 упомянутая арифметическая прогрессия обращается в: 0, β, 2β, 3β…, геометрическая есть (1+β)0, (1+β)1, (1+β)2…; основание есть то число, которого Л. равен единице; положим, что (m+1)ый член арифметической прогрессии равен 1, то есть что mβ=1, тогда соответствующий член (1+β)m геометрической прогрессии и будет основанием, при котором М=1. Подставим в этот член вместо β его величину из mβ=1, получим  Эта величина и будет основанием неперовых Л., так что, разлагая до бинома Ньютона, получим

  или 

так как β весьма мало, то m весьма велико, и дроби, содержащие m в знаменателе, по малой их величине можно отбросить; таким образом получим:

 

Неперовы Л. называются иногда гиперболическими или натуральными; натуральными потому, что проще всего было предположить М=1; гиперболическими потому, что если в равносторонней гиперболе, отнесенной к асимптотам, принять абсциссу вершины за единицу, то площадь, заключенная между гиперболою, осью абсцисс, ординатою вершины и ординатою, соответствующею абсциссе x, равна  в неперовой системе. Величина е имеет особенно важное значение в анализе благодаря существованию ряда:

 

благодаря способности разлагаться в такой ряд показательная функция eх служит переходом от алгебраических функций к тригонометрическим, потому что из сравнения этого ряда с разложениями cosx и sinx следуют формулы:

 

Зная Л. числа m при данном основании а, можно определить Л. х числа m и при всяком другом основании b, потому что из равенства m=е следует  откуда:  из этой формулы видно, что, имея Л. числа m при основании а, следует только помножить его на  чтобы получить Л. числа m при основании b. Множитель, служащий для перехода от одной системы к другой, называется модулем. Модуль, на который следует множить неперовы Л. для получения Л. при основании 10, равен 0,4349448. Л. удовлетворяют, между прочим, следующим замечательным рядам:  где M есть модуль для перехода от неперовых Л.;  Посредством последнего, весьма быстро сходящегося ряда обыкновенно и вычисляются Л. следующим образом: зная, что  подставим в наш ряд 100 вместо n; получим  последующие члены ряда, стоящего в скобках, уже настолько малы, что ими можно пренебречь и простым вычислением получить  зная  получим  и так далее. Понятие о Л. обобщается распространением логарифмирования и на мнимые функции; при этом получаются формулы:  где    

Кроме Л. чисел, в таблицах обыкновенно помещаются Л. тригонометрических величин (см. Тригонометрические таблицы). Первые таблицы, в которых за основание было принято число 10, были напечатаны другом Непера Бриггом в 1624 г. под заглавием «Arithmetica logarithmica». В таблице Бригга были даны Л. чисел, начиная с 1 до 20000 и от 90000 до 100000, с 14 знаками в мантиссе. Голландский математик Влакк (Adrien Vlacq) пополнил пробел бригговских таблиц и напечатал в 1628 г. таблицы, содержащие Л. всех чисел от 1 до 100000, с десятью знаками в мантиссе. Из последующих изданий наиболее известны таблицы Гардинера, Баббаджа и Тейлора. В настоящее время употребляются чаще всего при вычислениях таблицы Каллета (до 106000), карманные таблицы Лаланда с пятью знаками и таблицы Бремикера семизначные, представляющие обработку таблиц Веги «Thesaurus logarithmorum completus» (1794). Существуют и весьма распространены у нас русские табл. Бремикера, напечатанные стереотипно.

Гауссовы Л. Для определения Л. суммы и разности двух чисел по Л. этих чисел Гаусс изобрел особые таблицы. Лучшие издания Гауссовых Л. представляют издания Витштейна, Матиссена и Цеха.

.

ЭСБЕ:Математика