Квадратура круга (Перельман)/Глава 6


Десять задач 

1. В старину при определении площади круглого участка землемеры часто поступали
так: считали круг равновеликим квадрату, периметр которого равен длине окружности
измеряемого участка. Какую относительную ошибку (в процентах) они при этом делали,
если принять  = 3,14? (Этот способ восходит к временам древнего Египта:
он указан, наряду c другими, в папирусе Ринда. В средние века он был широко
распространён также в Европе).

2. В древней египетской рукописи (в „папирусе Ринда“) находим следующее правило
для определения площади круга: она равна площади квадрата, сторона которого составляет
 диаметра круга. Определите относительную ошибку такого
расчёта в %%, принимая  == 3,14.

3. У нас встарину употреблялся сходный с древнеегипетским (см. предыдущую
задачу) приём вычисления площади круга, рекомендуемый старинными русскими руководствами
по землемерному делу — площадь круга приравнивалась площади квадрата со сторонами,
равными  диаметра. Какой способ точнее — этот или древнеегипетский?

4. Валлис нашёл (1656 г.) для вычисления  следующий ряд

и т.д.

Лейбниц вывел (1674) такое равенство:
 и т.д.

Почему этими равенствами нельзя воспользоваться для точной квадратуры круга?

5. Индусский математик Брамагупта (VII век) предложил для  следующее
приближённое выражение:

Как помощью этого выражения приближённо решить задачу о квадратуре круга?

6. Проверьте следующее приближённое равенство:

Как воспользоваться этим соотношением для приближённой квадратуры круга?

7. Проверьте; приближенное равенство

Как воспользоваться им для приближенной квадратуры круга?

8. Проверьте следующее соотношение: периметр прямоугольного треугольника с
катетами в  и  диаметра круга, приближённо
равен длине окружности этого круга.

Как помощью этого соотношения приближённо решить задачу о квадратуре круга?

9. Голландский инженер Петр Меций нашёл (в 1585 г.) для  легко запоминаемое
выражение . Представив его в виде десятичной дроби, установите, сколько в ней верных цифр.

10. придумайте самостоятельно какое-нибудь правило, практически удобное для
быстрого приближенного вычисления площади круга.

Квадратура круга (Перельман)