О некоторых вопросах теории плоских кривых (Кремона)/3
it:Sopra alcune questioni nella teoria delle curve piane (Cremona)/3

 Пусть кривые заданного пучка порядка  имеют общую точку  кратности  и пусть  — две точки, зафиксированные на плоскости произвольным образом (ср. Introd. 88). Поляры для  относительно этих кривых имеют в  точку кратности  с теми же касательными, что и заданные кривые и эти касательные составляют инволюцию степени . Напротив, поляры для  имеют в  точку кратности  и их касательные можно собрать в инволюцию степени . Эти две инволюции проективны и в силу Introd. 74 произвольная группа второй инволюции является полярой для  относительно пучка прямых, составляющих соответствующую группу в первой инволюции.

Два пучка поляр для  и , будучи проективными, порождают кривую порядка , имеющую в  точку кратности , касательные в которой — это лучи, общие двум описанным выше инволюциям, которым, очевидно, являются прямая  и двойные лучи инволюции степени  (Introd. 19).

Аналогично, поляры для  и  порождают другую кривую порядка , проходящую  раз через точку  и имеющую здесь в качестве касательных прямую  и двойные лучи инволюции степени .

Таким образом, две кривые порядка  имеют в  точку кратности  и  общих касательных, поэтому точка  представляет  пересечений этих кривых. Поскольку  может быть заменена на  базовых точек пучка поляр для  и поскольку , имеем:

Если кривые некоторого пучка имеют общую точку кратности , то эта точка эквивалентна  двойным точкам этого пучка.

 Допустим теперь, что кривые заданного пучка имеют в общей точке  кратности  также и  общих касательных: в этом случае обозначим как  ту кривую, которая имеет  дуг, пересекающихся в  (Introd. 48).

Поляры для  имеют в  точку кратности , а поляра  проходит
 раз через эту точку. Эта же точка имеет кратность  для поляр для , за исключением поляры , которая имеет  дуг, пересекающихся в . Два пучка поляр, будучи проективными, порождают кривую порядка  с точкой кратности  в  (Introd. 51).

Аналогично, поляры для  и для  порождают другую кривую того же порядка, имеющую  дуг, пересекающихся в . Это означает, что эта точка считается за  пересечений построенных двух кривых порядка . С другой стороны  представляет  базовых точек пучка поляр для  (Introd. 32); поэтому в  собрано  двойных точек заданного пучка.

 Если среди общих касательных в  к заданным кривым имеется , совпадающих с некоторой прямой , эта последняя касается в   дуг каждой из поляр для  и  дуг каждой из поляр для  и для  (Introd. 74). Следовательно, каждая из двух построенных выше кривых порядка  в  имеет  касательную, совпадающую с прямой . В этом случае точка  представляет  пересечений названных кривых. Итого:

Если кривые некоторого пучка имеют общую точку кратности  и в ней все касательные явлются тоже общими, причем  из них совпадают с одной и той же прямой, то эта точка считается как  двойных точек пучка.

В частности, если , то есть все касательные совпадают с одной и той же прямой, кратная общая точка эквивалентна  двойным точкам пучка.

 Предположим наконец, что одна единственная кривая , среди кривых заданного пучка, проходит  раз через точку  и здесь имеет  касательных, сливающихся с одной прямой . Тогда поляра  имеет  дуг, пересекающихся в точке  и имеющих те же касательные, что и кривая дуги . Поляра  имеет в  точку кратности  с  касательными, совпадающими с . Поэтому пучки поляр для  и для  порождают некоторую кривую порядка , имеющую точку кратности  в  и  касательных, совпадающих с  (Introd. 51, g). Аналогичная кривая с теми же свойствами порождается полярами для  и для другой произвольным образом выбранной точки . Значит, для этих двух кривых порядка  точка  считается за  пересечений; итого:

Если в некотором пучке имеется кривая с точкой кратности  и  совпадающими касательными, то эта точка считается за  двойных точек пучка.

 Если точка , имеющая кратность  для кривой , принадлежит также как простая точка другой кривой заданного пучка, то в этой точке имеет место касание кратности , поэтому все поляры для  проходят через , то есть в этой точке пересекаются  дуг каждой из кривых порядка , порождаемых двумя пучками. Отсюда следует, что эти кривые имеют  пересечений в . Но в этой точке также сливаются  базовых точек пучка поляр для ; поэтому:

Если кривая некоторого пучка проходит  раз через некоторую базовую точку и имеет здесь  совпадающих касательных, то эта точка считается как  двойных точек пучка.

Примечания 

3
Переводы 1864 года