О некоторых вопросах теории плоских кривых (Кремона)/6
it:Sopra alcune questioni nella teoria delle curve piane (Cremona)/6

 Пусть  — точка перегиба заданной кривой третьего порядка и  — гармоническая полярная прямая для . Две касательные к кривой, точки касания которых лежат на одной прямой с точкой перегиба , пересекаются в точке  прямой  и образуют гармоническую систему с прямой  и самой  (Introd. 139a), поэтому:

Шесть касательных, которые можно провести к кубики из точки гармонической поляры для точки перегиба соединены в инволюцию таким образом, что прямая (la corda di contatto), соединяющая точки касания двух сопряженных касательных, проходит через точку перегиба. 

Поскольку все кубики, сизигические данной, имеют одни и те же гармонические поляры, верно след.:

Пусть задан пучок сизигических кубик. Если из точки гармонической поляры для точки перегиба провести пары касательных к кубикам таким образом, что прямая, соединяющая точки касания, проходила через названную точку перегиба, то эта бесконечная [система] пар касательных образует инволюцию, двойными лучами которой являются прямая, проходящая через точку перегиба, и гармоническая поляра.

Пусть  — три точки, взятые произвольным образом соответствующие на трех гармонических полярах для трех точек перегиба , лежащих на одной прямой. Проведем через каждую из точек  по две касательные к кубике, точки касания с которой лежат на одной прямой с соответствующей точкой перегиба; поскольку три прямые, соединяющие эти точки касания, пересекают кривую еще в трех точка , лежащих на одной прямой, точки касания шести касательных лежат на некоторой конике (Introd. 39a).

Если  — вершина трехсторонника , сизигического заданной кубике, через  проходят гармонические поляры для трех точек перегиба, лежащих на противоположной стороне (Introd. 142). Поэтому шесть касательных, которые можно провести через точку  к кубике, соединены в инволюцию тремя различными способами: в каждом из этих способов в качестве двойных лучей выступают прямая, соединяющая точку  с одним из трех точек перегиба, и соответствующая гармоническая поляра.

Проведем через точку перегиба , лежащую на прямой , произвольную секущую; ее точка, гармонически сопряженная к  относительно пересечений секущей со сторонами , лежит на гармонической поляре для  (Introd. 139). Отсюда следует, что прямые  гармонически сопряжены относительно прямой  и гармонической поляры для . Поэтому двойные лучи трех инволюций образованы касательными, которые можно провести через  к заданной кубике (и ко всем другим сизигическим кубикам), соединяются в новую инволюцию, двойными элементами которой являются стороны  сизигического треугольника. Итого:

Три точки перегиба, лежащие на одной прямой, и пересечения этой прямой с гармоническими полярами для этих точек перегиба образуют три пары точек в инволюции.

Заметим, что, в силу Introd. 132c, если две касательные к заданной кубике пересекаются в точке этой же кривой, то каждая из этих касательных является полярной прямой для точки касания другой относительно некоторой кубики, для которой заданная кривая является гессианой. В силу Introd. 148, если прямая касается кубики в одной точке и пересекает ее в другой, то все полярные прямые для первой точки относительно кубик, сизигических данной, проходят через вторую точку. Отсюда имеем след.:

Четыре касательные, которые можно провести к кубике из лежащей на ней точки, являются полярными прямыми для любой из точек касания относительно самой кубики и трех других кубик, для которых заданная является гессианой.

Наконец, ангармоническое отношение полярных прямых для одной точки относительно четырех заданных кривых пучка остается постоянным, какова бы ни была эта точка; отсюда получается новое доказательство теоремы  (Introd. 131) о постоянстве ангармонического отношения четырех касательных, которые можно провести к кубике из произвольной ее точки.

 Проведем в плоскости заданной кривой третьего порядка  секущих, пересекающих кривую в  тройках точек
 .
Соединим точку  с точкой  прямой, пересекающей кривую снова в точке . Проведем прямую , пересекающую опять кривую еще в одной новой точке ; и пусть  — третье пересечение в кривой прямой . Продолжая дальше тем же путем, получим новые  секущих, содержащих тройки точек
 , .
Тогда  точек
 , 
оказываются точками пересечения кубики с  прямыми
 ,
,
причем  точек распределены по  прямым
 , ;
значит, в силу Introd. 44, и другие три точки  должны лежать на одной прямой .

Итого:

Если  точек, являющихся вершинами и точками пересечения пар противоположных сторон полигона из  сторон, и  из них лежат на некоторой кривой третьего порядка, то и оставшаяся точка принадлежит этой кривой .

 Проведем в плоскости кривой третьего порядка две секущие, которые пересекают кривую в тройках точек  и . Две прямые  пересекают кривую снова в точках . Проведем через  произвольным образом секущую, пересекающую кривую в тройке ; тогда, соединив  с , получим тройку . Проведем через точку  произвольным образом секущую, пересекающую кривую снова в точках ; соединив точку  с , получим третье пересечение . Продолжая двигаться тем же путем, получим тройки  и . Соединим теперь  с  и пусть так проведенная прямая пересекает кривую снова в точке .

Таким образом, мы имеем  точек , , , которые получены путем пересечения кубики с системой  прямых
  и ,
причем  из них распределены по  прямым
  и ;
поэтому оставшиеся три точки  должны тоже лежать на одной прямой. Итого:

Если среди  точек, являющихся вершинами и пересечениями пар соответствующих сторон названных многоугольников, по  сторон в каждом,  точек лежат на кривой третьего порядка, то также и оставшаяся точка лежит на этой кривой.

Примечания 

6
Переводы 1864 года