О геометрических преобразованиях плоских фигур - II (Кремона)
it:Sulle trasformazioni geometriche delle figure piane, nota II (Cremona)

В коротком мемуаре, который имел честь быть помещенным в труды нашей Академии , я поставил перед собой задачу исследования в общем виде преобразований одной плоской фигуры в другую при условии, что между точками этих фигур имеется взаимно однозначное соответствие, и что прямым заданной фигуры на другой соответствуют кривые заданного порядка . Там было доказано, что кривые второй фигуры, соответствующие прямым первой фигуры, должны иметь общими некоторые точки, часть из которых — простые, часть — двойные, часть — тройные и т. д.; и что колличества таких точек должны удовлетворять некоторым двум уравнениям. Конечно, эти уравнения допускают в общем случае несколько решений, причем количество различных решений увеличивается с ростом ; каждое такое решение подразумевает особый вид преобразований.

Среди всех различных преобразований, отвечающих одному заданному значению , имеется одно, которое можно считать наиболее простым, поскольку при нем кривые порядка , соответствующие прямым первой фигуры, имеют общими только точку кратности  и  простых точек. Этим особым преобразованием занялся прекрасный французский геометр Г. , который пролил свет на ряд их элегантных свойств и приложил их к образованию некоторого класса кривых двоякой кривизны.

Теперь я хочу показать, что тот же метод и те же свойства можно распространить также и на преобразования, соответствующие любым другим решениям этих двух упомянутых выше уравнений. При этом тем же самым путем получается простой способ конструирования других классов кривых двоякой кривизны.

Тем не менее, основная цель этого второго мемуара — исследования, связанные с якобианой, то есть местом двойных точек кривых фигуры, отвечающих прямым другой фигуры. Такое исследование откроет, что якобиана распадается на несколько линий различных порядков и что эти порядки доставляют решение двух уравнений, выражающих упомянутые выше условия. Решения этих двух уравнений представляют системы, сопряженные друг другу. Я также смог определить некоторые пары сопряженных решений, соответствующих произвольному , но исследование полной системы решений требует сил, которыми я не располагаю; поэтому я был вынужден оставить этот вопрос тому, кто сможет решить трудные проблемы неопределенного анализа (problemi dell’analisi indeterminata).

 Представим себе в заданной плоскости  сеть кривых порядка , имеющих  общих простых точек,  двойных точек, …  точек кратности , … точек кратности ; и предположим, что две произвольные кривые сети имеют только одну общую точку, отличную от перечисленных выше точек, называемых базовыми точками или принципиальными точками сети. Отсюда получаются два уравнения

которым должны удовлетворять числа .

Такая сеть обладает многими примечательными свойствами, которые становятся очевидными, если установить проективное соответствие между кривыми этой сети и прямыми плоскости.

В самом деле, представим себе другую плоскость , которая может и совпадать с , и примем четыре прямые , взятые в этой плоскости любым образом, но так, чтобы никакие три из ни не проходили через одну точку, как соответствующие четырем кривым , выбранным произвольным образом серди кривых сети плоскости , но так, чтобы никакие три из них не принадлежали одному и тому же пучку, и следовательно, позволяет применить метод, подобный тому, что был использован при построении двух гомографических фигур . Прямой, соединяющей, напр., точку  с точкой , ставится в соответствие кривая, общая пучкам , и ; любой другой прямой пучка  соответствует кривая пучка , однозначно определенная тем условием, что ангармоническое отношение четырех прямых первого пучка равно ангармоническому отношению соответствующих элементов второго. Аналогичным образом можно рассмотреть все вершины полного четырехсторонника , поэтому можно построить пучок кривых, принадлежащих сети плоскости , проективный пучку прямых, пересекающихся в любой из вершин названного четырехсторонника.

Если теперь зафиксировать произвольным образом точку в плоскости  и провести прямые, соединяющие ее с тремя вершинами этого четырехсторонника, то соответствующие им кривые плоскости  уже определены однозначно и принадлежат одному и тому же пучку; поэтому произвольная прямая, проведенная через эту точку, должна соответствовать одной вполне определенной кривой сети.

Таким образом прямые плоскости  и кривые сети плоскости  соответствуют друг другу ангармонически так, что пучку прямых плоскости  соответствует в плоскости  проективный пучок кривых сети. Прямым, проходящим в плоскости  через одну и ту же точку , соответствуют, таким образом, на плоскости  столько же кривых, составляющих пучок и, следовательно, имеющих общими помимо базовых точек сети одну единственную точку . И наоборот, если задана точка  плоскости , то кривые сети, проходящие через эту точку, составляют пучок и соответствуют прямым плоскости , пересекающимся в некоторой точке . Отсюда следует, что произвольной точке одной из плоскостей  и  соответствует одна единственная, вполне определенная точка другой.

 Если точка  движется в плоскости , описывая прямую , каково будет место соответствующих точек ? Произвольная кривая сети на плоскости  содержит  положений точки , поэтому соответствующая ей прямая плоскости  должна содержать  соответствующих положений точки . Поэтому место точки  будет кривой порядка , то есть произвольной прямой плоскости  отвечает на плоскости  кривая порядка .

Все прямые плоскости , проходящие через одну и ту же точку, составляют пучок, следовательно и все соответствующие [прямым плоскости ] кривые плоскости  таковы, что те из них, которые проходят через одну и ту же точку, составляют пучок, то есть через взятые произвольным образом точки проходит одна единственная кривая, соответствующая прямой плоскости . Эти кривые, следовательно, составляют некоторую сеть. Поскольку две произвольные прямые плоскости  однозначно определяют точку, то и в плоскости  две соответствующие им кривые однозначно выделяют единственную точку, остальные же их пересечения будут общими точками всех кривых сети. Пусть  — числа точек, простых, двойных , … -ый, … -ых, общих кривым этой сети (то есть принципиальные точки сети, образованной на плоскости  кривыми, соответствующими прямым плоскости ); по уже названной причине, имеем

 Пусть теперь  — заданная кривая сети на ,  — соответствующая ей прямая на , а  — одна из принципиальных точек, через которую кривая  проходит  раз. Станем вращать в плоскости  вокруг точки  прямую , на ней имеется  подвижных точек кривой  и еще  пересечений, остающихся постоянными и совпадающими с точкой . Подвижная кривая , соответствующая в плоскости  прямой , пересекает заданную прямую  в  точках, из которых только  меняются при изменении кривой. Следовательно, кривая  составлена из постоянной кривой порядка  и подвижной кривой порядка .
Все точки постоянной кривой соответствуют принципиальной точке , а пучку прямых, проведенных через точку  в плоскости , соответствует в плоскости  пучок кривых порядка , каждая из которых, после объединения с постоянной кривой порядка , дает кривую порядка , принадлежащую рассматриваемой сети.

Аналогично, каждой принципиальной точке кратности  на  отвечает на плоскости  некоторая кривая порядка ; то есть подвижная прямая на , вращающаяся вокруг этой точки, соответствует в другой плоскости лиия, составленная из подвижной кривой порядка  и постоянной кривой порядка .

Те кривые плоскости  или , которые отвечают принципиальным точкам другой плоскости ( или ) будем называть принципиальными (principale).

 По сути дела, точки принципиальной кривой на одной из двух плоскостей соответствуют точкам, бесконечно близким к соответствующей принципиальной точке на второй плоскости. Отсюда следует, что принципиальная кривая порядка  и кривая порядка , вмести составляющие кривую, соответствующую некоторой прямой , проходящей через принципиальную точку  кратности , имеют, помимо принципиальных точек, одну единственную общую точку, именно, ту самую точку принципиальной кривой, которая соответствует точке прямой , бесконечно близкой к . Поэтому принципиальная кривая, рассматриваемая как ряд точек, проективна пучку прямых или, что то же, прямой-пунктуалу (retta punteggiata). Принципиальные кривые имеют, следовательно, те же свойства, что и кривые сетей на двух плоскостей, которые среди кривых заданного порядка имеют максимально возможное число кратных точек. Таким образом среди принципиальных кривых кубики имеют двойную точку, кривые четвертого порядка — тройную точку или три двойных, кривые пятого порядка точку кратности 4, или одну тройную точку и три двойных, или 6 двойных точек и т. д.

 Пучок прямых в плоскости , проведенных через точку, заданную произвольным образом, содержит  лучей, проходящих через принципиальные точки степени ; следовательно, пучок соответствующих кривых сети, в плоскости , должен содержать  кривых, каждая из которых составлена из принципиальной кривой порядка  и некоторой другой кривой порядка . Желая подсчитать число двойных точек этого пучка, заметим , что точка кратности , общая всем кривым пучка, считается за  двойных точек: поэтому все принципиальные точки плоскости  вмести эквивалентны  двойным точкам. К этим точкам следует добавить столько двойных точек, сколько имеется составных кривых (поскольку две составные части каждой из составных кривых имеют по одной общей точке, отличной от принципиальных точек), то есть столько, сколько имеется принципиальных точек на плоскости , именно, . С другой стороны полное число двойных точек пучка кривых порядка  равно ; поскольку кривые сети, уже имеющие в принципиальных точках максимально возможные кратности, не могут иметь других двойных точек без того, чтобы распасться на две различные кривые, имеем
 .
Но из уравнений (1) и (2) следует, что

то есть
 ,
поэтому

то есть две сети на плоскостях  и  имеют одно и то же число принципиальных точек.

 Из того обстоятельства, что кривая сети (в плоскости ) не может иметь, кроме принципиальных точек, других двойных точек без распадения на две кривые, одна из которых является принципиальной кривой, а в этом случае новая двойная точка является пересечением составных частей, отличным от принципиальных точек, со всей очевидностью следует, что принципиальные кривые плоскости  являются местом двойных точек кривых сети этой плоскости, то есть эти кривые составляют якобиану. Это приводит к уравнению

которое является следствием уравнений (3) и (4) и означает, что сумма порядков принципиальных кривых равна порядку якобианы сети. Аналогично, якобиана сети на плоскости  составлена из принципиальных кривых этой плоскости; это дает уравнение

которое можно вывести и из уравнений (1) и (2).

 Пусть  — число, выражающее сколько раз принципиальная кривая  (на плоскости ), соответствующая принципиальной точке  (на плоскости ), проходит через принципиальную точку  (на плоскости ), которой соответствует (на ) принципиальная кривая . Проведем через точку  произвольную прямую , пересекающую кривую  еще в других  точках. Прямой  соответствует кривая порядка , составленная из  и некоторой другой кривой . Кривая  соответствует точке , а кривая  — остальным точкам прямой . Но точки кривой  соответствуют точке , поэтому кривая  проходит  раз через точку , [а кривая сети  проходит через эту точку  раз]; следовательно, кривая  должна проходит  через одну и ту же точку . Таким образом кривая  проходит через точку  столько же раз, сколько кривая  через точку .

 Вспомним, что точка кратности  для всех кривых сети является точкой кратности  для якобианы. Поэтому полное число дуг принципиальных кривых (на плоскости ), проходящих через принципиальную точку степени , равно . Следовательно, в силу теоремы § 7 принципиальная кривая порядка  проходит через принципиальные точки своей плоскости  дугами.

 Произвольная кривая  сети на плоскости  имеет  дуг, пересекающихся в принципиальной точке , причем эти дуги в этой точке различные касательные, если в плоскости  прямая , соответствующая кривой , пересекает в  различных точках принципиальную кривую , соответствующую точке . Поскольку кривая  имеет число кратных точек, эквивалентное  двойным точкам, класс этой кривой должен быть равен ; поэтому в пучке кривых сети (на одной из заданных плоскостей) имеется  кривых, каждая из которых имеет, в заданной принципиальной точке степени , две дуги, касающиеся одной и той же прямой.

Отсюда далее следует, что принципиальная кривая  имеет  точек перегиба и  двойных касательных; поэтому сеть (на любой из двух заданных плоскостей) содержит  кривых, каждая из которых имеет три дуги, касающиеся одной и той же прямой в заданной принципиальной точке степени , и  кривых, имеющих две дуги, касающихся одной прямой, и две дуги, касающиеся другой прямой.

 Поскольку принципиальная кривая порядка  имеет класс , то якобиана для сети на плоскости  должна иметь класс, равный , то есть  в силу уравнений (7) и (6).

Класс якобианы может быть найден и другим путем: мы уже знаем, что ее порядок равен , а число ее кратных точек эквивалентно  двойным точкам, поэтому ее класс равен
 ,
в силу уравнений (2) и (8).

 Поскольку те точки принципиальной кривой на плоскости , которые не являются принципиальными для этой плоскости, соответствуют одной и той же принципиальной точке другой плоскости, все пересечения двух принципиальных кривых являются необходимо принципиальными точками. Отсюда следует, что если две заданные принципиальные кривые порядков  и  проходят первая  раз, а вторая  через одну и ту же принципиальную точку, то сумма произведений, аналогичных , по всем принципиальным точкам плоскости должна быть равна .

Аналогично, принципиальная кривая и кривая порядка  сети (на той же плоскости) пересекаются только в принципиальных точках; в самом деле, если кривая сети проходит через точку принципиальной кривой, отличную от принципиальной точки, то она распадается на две кривые, одна из которых сама является принципиальной. Поэтому, если заданная принципиальная кривая порядка  проходит  раз через принципиальную точку степени , то сумма произведений, аналогичных , по всем принципиальным точкам плоскости равна .

Отсюда следует, в силу свойства, уже замеченного в § 7:

Если принципиальная кривая проходит соответственно  и  раз через две заданные принципиальные точки, первая из которых имеет степень , а вторая , то сумма произведений, аналогичных , взятая по всем принципиальным кривым плоскости, равна .Если принципиальная кривая порядка  проходит  раз через заданную принципиальную точку степени , то сумма произведений, аналогичных , взятая по всем принципиальным кривым плоскости, равна . Уравнения (1), (2), (3) и (4) указывают на то, что свойства двух плоскостей  и  являются взаимными, именно, два решения уравнений (1) и (2) сопряжены в следующем смысле:Если кривые порядка  сети имеют общими  простых точек,  двоных точек, …  точек кратности , …  точек кратности , где  — решение уравнений (1) и (2), то якобиана сети составлена из  прямых,  коник, …  кривых порядка , … и  кривых порядка , где  — другое решение тех же уравнений (1) и (2). Это второе решение таково, что, если рассмотреть сеть кривых порядка , имеющих общими  простых точек,  двойных точек, …  точек кратности , … и  точек кратности , то якобиана этой второй сети будет составлена из  прямых,  коник, …  кривых порядка , … и  кривых порядка .Два решения
  и ,
определенные в вышеприведенном утверждении, называются сопряженными. Они [необходимо] удовлетворяют следующим соотношениям:
 ,
 ,
 ,
позже нам удастся охарактеризовать их лучше другим свойством, которое будет доказано в дальнейшем.

 Рассмотрим теперь некоторые частные случаи. Пусть , то есть сеть образована кониками, проходящими через три точки . Якобиана состоит из трех прямых , , , поскольку произвольная точка  прямой  является двойной для коники сети, составленной из двух прямых  и , и т. д.

Таким образом решению  соответствует решение , то есть уравнения (1) и (2) имеют в этом случае одну единственную пару сопряженных решений, совпадающих друг с другом.

 Пусть ; уравнения (|1) и (2) дают , , то есть сеть образована кубиками, имеющими общими двойную точку  и четыре простые точки . Якобиана составлена из коники  и четырех прямых . В самом деле, произвольная точка  названной коники является двойной для той кубики сети, которая составлена из самой этой коники и прямой , а произвольная точка  прямой  является двойной для той кубики сети, которая составлена из самой этой прямой  и коники .

Решению ,  соответствует, таким образом, решение , , то есть опять два сопряженных решения совпадают.

 Пусть ; уравнения (1) и (2) допускают два (несопряженных) решения:
 ,
 .

В первом случае сеть образована кривыми четвертого порядка, имеющими общими три двойные точки  и три простые точки ; якобиана составлена из трех коник ,  и  и трех прямых ,  и . В самом деле, произвольная точка  коники  является двойной для той кривой сети, которая составлена из самой этой коники и коники , а произвольная точка  прямой  является двойной для той кривой сети, которая составлена из самой этой прямой и кубики . 

Аналогично, во втором случае, то есть когда кривые сети имеют общими одну точку  кратности три и шесть простых точек , можно доказать, что якобиана состоит из кубики  и шести прямых .

Таким образом, решению
 ,
соответствует
 ,
а решению
 ,
соответствует
 ;
то есть уравнения (1) и (2) допускают два различных решения, каждое из которых сопряжено самому себе.

 Пусть ; уравнения (1) и (2) допускают три решения:
 ;
 ;
 ;
каждое из которых сопряжено самому себе.

В первом случае кривые пятого порядка сети имеют общими одну точку  кратности 4 и восемь простых точек ; якобиана состоит из кривой четвертого порядка  и восьми прямых .

Во втором случае кривые сети имеют общими одну точку  кратности 3, три двойные точки  и три простые точки . Якобиана составлена из кубики , трех коник , ,  и трех прямых .

В третьем случае кривые сети имеют общими шесть двойных точек , а якобиана составлена из шести коник, которые можно провести через любые пять из этих шести точек.

 При  мы имеем следующие четыре решения:
 , , , , ;
 , , , , ;
 , , , , ;
 , , , , ;
из которых первые два совпадают с сопряженными, а два последних сопряжены между собой.

Опуская рассмотрение первых двух случаев, ограничимся тем наблюдением, что в третьем случае сеть образована кривыми шестого порядка, имеющими общими одну точку  кратности 4, четыре двойных точки  и три простые точки , а якобиана составлен из трех кубик , , , коники  и четырех прямых ; то есть решению
 
отвечает
 .
И наоборот, решению

отвечает
 ;
в самом деле, в четвертом случае кривые сети имеют общими три точки  кратности 3, одну двойную точку  и четыре простые точки , а якобиана составлена из кривой четвертого порядка , четырех коник , , ,  и трех прямых .

 Аналогично, при  мы имеем пять решений, два из которых сопряжены между собой. Для  мы имеем две пары сопряженных решений и пять решений, сопряженных самим себе. И т.д.

 При этом выше были выпущены такие системы значений , которые являются арифметическими решениями уравнений (1) и (2), но не удовлетворяют геометрической задаче. В самом деле, еще требуется, чтобы кривая порядка  могла иметь  двойных точек,  точек кратности 3, … без разложения на кривые меньших порядков. Напр., поскольку кривая пятого порядка не может иметь двух точек третьего порядка, при  следовало исключить решение
 .
Кривая седьмого порядка не может иметь пять точек кратности 3, поскольку иначе коника, проведенная через эти точки, пересекала бы эту такую кривую в 15 точках, хотя две кривые (конечно, не составные) не могут иметь общими больше точек, чем произведение их порядков; по тем же причинам в случае  следовало исключить решение
 .
Аналогично, кривая 10-го порядка не может иметь одновременно ни одну точку кратности 5 и четыре точки кратности 4, ни две точки кратности 5 и две точки кратности 4 и одну точку кратности 3, ни три точки кратности 5 с двумя точками кратности 3. Поэтому в случае  пришлось исключить решения
 
 
 
 

 Попытаемся теперь определить некоторые решения уравнений (1), (2) при произвольном . Вспомним для начала, что прямая не может пересекать кривую порядка  более чем в  точках, поэтому при  число  может принять только одно из двух значений: нуль или единицу, а при  и  должно быть .

 При  максимальное значение  поэтому равно единице и в случае, когда , все другие  будут равны нулю за исключением , для которого любое из уравнений (1), (2) дает
 .
Это же число является максимальным значением, которое в общем случае может иметь , как это видно из уравнения
 ,
получающегося путем исключения  из (1), (2). Сеть в плоскости  составлена из кривых порядка , имеющих общими одну точку  кратности  и  простых точек 
. Якобиана составлена  прямыми  и кривой порядка , имеющей в  точку кратности  и проходящую через . В самом деле, если  — точка прямой , то эту прямую можно объединить с кривой  порядка ; если же  — точка кривой  порядка , то ее можно объединить с прямой , получив в обоих случаях составную кривую рассматриваемой сети. Отсюда имеем
 ;
то есть обсуждаемое решение является самосопряженным .

 Предположим теперь, что ; ограничимся случаем , когда максимальное значение  равно единице [в силу § 20]. Путь  принимает свое максимальное значение, то есть
 .
Тогда другие  должны обратиться в нуль, за исключением , для которых (1), (2) дают
 , .

Кривые сети имеют общими три простые точки ,  двойных точек  и одну точку  кратности . Якобиана, следовательно, должна иметь три двойных точки в ,  точек кратности пять в  и одну точку кратности  в .

Ее частями являются, при четном , следующие линии:
  прямых , , … ; в самом деле, произвольная точка  прямой  является двойной для кривой сети, составленной из самой этой прямой и кривой  порядка ;
 кривая  порядка ; в самом деле, произвольная ее точка  является двойной для кривой сети, составленной из названной кривой и кривой  порядка ;
 трех кривых ,  и  порядка ; в самом деле, если  — произвольная точка кривой , то эта кривая вмести с другой кривой  того же порядка  образуют кривую сети, имеющую двойную точку в .
Таким образом, при четном  решению
 
сопряжено решение
 .

Если же  нечетно, то аналогично доказывается, что якобиана сети на плоскости  составлена из следующих линий:
  прямых , , … ;
 трех кривых ,  и  порядка ;
 кривой  порядка ;
то есть при нечетном  решению
 
отвечает решение
 .

Легко убедиться, что в случае
 ,
то есть когда кривые сети четного порядка  имеют общими  простых точек , одну точку  кратности  и три точки  кратности , якобиана составлена из следующих линий:
 трех прямых ;
  коник , , … ;
 кривой  порядка .

В случае
 ,
то есть когда сеть образована кривыми нечетного порядка, имеющими общими 
простых точек , три точки  кратности
и одну точку  кратности , якобиана составлена следующими линиями:
 тремя прямыми ;
  кониками , , … ;
 кривой  порядка .

 Предположим теперь, что  и ; если , то максимальное значение  равно единице. Положим , тогда все прочие  должны обратиться в нуль, за исключением , для которых уравнения (1), (2) дают
 ,
или
 .
Эта система допускает два решения, [которые имеют различный вид в зависимости от ].

Если  делится на 3, то решениями являются системы
 , , , ,
и
 , , , ;
если  имеет вид , то решениями являются системы
 , , , ,
и
 , , , ;
если же  имеет вид , то решениями являются системы
 , , , ,
и
 , , , .

Для первой системы кривые сети имеют общими одну простую точку , четыре двойные точки ,  точек  кратности три и одну точку  кратности ; якобиана составлена из следующих линий:
  прямых ;
 четырех кривых , , ,  порядка ;
 кривой  порядка ;
 кривой  порядка .
Для второй системы кривые сети имеют общими четыре простые точки , одну двойную точку ,  тройных точек  и одну точку  кратности . Якобиана составлена следующими линиями:
  прямыми ;
 кривой  порядка ;
 четырьмя кривыми , … : порядка ;
 кривой  порядка .

Таким образом, в случае, когда  делится на , получаются два сопряженных решения уравнений (1), (2), именно:

Аналогично, в случае, когда число  имеет вид  или , получаются пары сопряженных решений, именно:

 Положим , ,  и пусть  равен единице, своему максимальному значению при . Тогда прочие  равны нулю, за исключениям ; поэтому уравнения (1), (2) можно записать так:
 ,
или
 .

Пытаясь удовлетворит этим уравнениям всеми возможными способами, и затем для каждого случая отыскивая якобиану сети, получим следующие пары сопряженных решений (1), (2), которые имеют различный вид в зависимости от того, с каким остатком делится  на .

(…)

Мы остановимся на этом в разыскании решений уравнений (1), (2) и обратимся к описанию других общих свойств чисел, удовлетворяющих этим уравнениям.

 Если взглянуть на пары полученных выше сопряженных решений, можно заметить, что -ы одного из решений равны -ам сопряженного решения, взятым в другом порядке. Посмотрим, можно ли это свойство доказать в общем случае.

Рассмотрим сеть в плоскости  и  прямых, входящих в состав якобианы. Поскольку эти прямые пересекаются друг с другом исключительно в принципиальных точках (§ 11), которые должны распределяться по этим прямым парами , поэтому могут иметь место только две следующие ситуации:
 ; три принципиальные прямые являются сторонами треугольника, вершинами которого являются принципиальные точки, имеющие равную степень кратности, которую не имеют более никакие принципиальные точки сети (в силу симметрии). Поэтому одно из чисел  будет равно , то есть .
  — любое, большее , включая 3.  прямых проходят все через одну и ту же принципиальную точку  (единственную точку с такой степенью кратности) и, кроме того, соответственно через другие принципиальные точки , равной кратности, которую не имеют более другие точки. Число  этих точек , … , следовательно, должно быть равно .

Далее,  коник, входящих в состав якобианы, могут предоставить следующие случаи:
  — любое, большее ;  имеют четыре общие точки и, кроме того, проходят соответственно через одну из принципиальных точек ,…, равной кратности, число  которых равно .
 , где  имеет одно из следующих значений . При этом  коник имеют  общих точек и, кроме них проходят еще через  из  принципиальных точек  равной кратности, которую не имеют другие принципиальные точки; поэтому число  этих точек равно .

Далее,  принципиальных кривых третьего порядка предлагают следующие случаи:
  — произвольное, большее ;  кубик имеют общей одну двойную точку и пять простых точек, и проходят еще через одну из принципиальных точек ,…, раной кратности, число которых равно .
  — произвольное, большее ; кубики имеют шесть общих точек и двойную точку в одной из принципиальных точек , …, равной кратности, число которых  равно .
 , где  — одно из чисел .  кубик имеют общими двойную точку и  обычных точек, и проходят еще соответственно через  из  принципиальных точек  равной кратности, которую не имеют другие принципиальные точки сети.
 , где  — одно из семи чисел . При этом  кубик имеют общими  точек, и серди  принципиальных точек равной кратности имеется двойная точка одной из них, через которую проходят остальные.

Очевидно, аналогичные рассмотрения можно распространить на принципиальные кривые большего порядка, это позволит утверждать след.: если якобиана содержит  () кривых порядка , то одно из чисел  равно .

Теперь рассмотреть случаи  и  не трудно, если вспомним, что сумма всех  равна сумме всех . Сумма всех , больших единицы, тоже равна сумме всех , больших единицы, поэтому очевидно, что числа , равных нулю или единице, должно быть равно числам , равных соответственно нулю или единице.

Итого:  равны , взятым в некотором другом порядке.

 Предположим теперь, что две плоскости  и  совпадают, то есть рассмотрим две фигуры на одной и той же плоскости, между точками которых задано такое соответствие, что прямым одной фигуры соответствуют на другой фигуре кривые порядка  некоторой сети, удовлетворяющей условиям (1) и (2).

Прямые пучка на первой фигуре и соответствующие им кривые на второй фигуре представляют собой два проективных пучка, поэтому место пересечения соответствующих линий является кривой порядка , проходящей  раз через каждую принципиальную точку степени  на второй фигуре.

 Какова оболочка прямых, соединяющих точки прямой  на первой фигуре с гомологическими точками на второй фигуре? Прямая  является касательной кратности  для обсуждаемой оболочки, поскольку имеются  точек прямой , гомологичных тем точкам, в которых  пересекает соответствующую ей кривую порядка . Любая другая точка прямой  соединяется с гомологичной касательной оболочки, поэтому класс этой оболочки равен .

 Каково место точек первой фигуры, соединяющихся с соответствующими точками второй фигуры прямыми, проходящими через фиксированную точку ? Это место проходит через точку , поскольку прямая, соединяющая  с соответствующей ей точкой , проходит через . Если теперь провести через точку  произвольную прямую, что она пересечет кривую, соответствующую ей на второй фигуре, в  точках; рассматривая эти точки как принадлежащие второй фигуре, видим, что гомологические точки первой фигуры принадлежат исследуемому месту, которое, следовательно, является кривой  порядка .

Если  — принципиальная точка степени  первой фигуры, то прямая  содержит  точек второй фигуры, соответствующих , поэтому место  должна проходить  раз через точку . Если  — принципиальная точка второй фигуры, то прямая  содержит  точек первой фигуры, соответствующих , значит, кривая  должна проходить через эти  точек, то есть через пересечения  с принципиальной кривой, соответствующей .

Прямая , рассматриваемая [как элемент] первой фигуры, пересекает соответствующую ей кривую порядка  в тех точках второй фигуры, которые гомологичны точкам первой фигуры, в которых прямая , рассматриваемая [как элемент] второй фигуры, пересекает кривую, соответствующую ей на первой. Поэтому кривая  является также местом пересечений прямых, проходящих через точку  и рассматриваемых на второй фигуре, с соответствующими им кривыми на первой фигуре (§ 26).

Точки, гомологические точкам кривой , рассматриваемой на первой фигуре, лежат на некоторой другой кривой , именно, месте точек второй фигуры, которые можно соединить с соответствующими им точками первой кривой прямыми, проходящими через точку , или, что то же, месте пересечений прямых, проходящих через точку  и рассматриваемых на первой фигуре, с соответствующими кривыми второй фигуры.

Каждая прямая, проходящая через , пересекает две кривые  и  в двух системах  соответствующих точек.

 Пусть  — другая произвольная точка плоскости и  — кривая, зависящая от  так же, как  от . Тогда  точек, в которых прямая , рассматриваемая на второй фигуре, пересекает соответствующую кривую первой фигуры, принадлежат, очевидно, обеим кривым  и , как и любой другой аналогичной кривой, построенной относительно любой другой точки прямой . Две кривые  и  пересекаются еще в принципиальных точках первой фигуры, что составляет  пересечений; поэтому они имеют еще  общих точек, каждая из которых может быть соединена с гомологической точкой на второй кривой как прямой, проходящей через точку , так и прямой, проходящей через точку . [Поскольку эти прямые должны быть отличны от уже рассмотренной прямой ], эти  точек необходимо совпадают с соответствующими им точками, то есть система двух фигур допускает  двойных точек.

Все кривые, аналогичные ,  и взятые относительно точек плоскости образуют сеть, поскольку имеют общими принципиальные точки первой фигуры и двойные точки системы, то есть подчинены
 
условиям.

 Пусть теперь две плоскости  не совпадают; зафиксируем в пространстве две точки , соединим  с произвольной точкой  плоскости , а  — с соответствующей ей точкой  плоскости . Если точка  меняется любыми возможными способами в плоскости , прямые   порождают два конических пучка  связанные между собой таким соотношением, что произвольной прямой первого соответствует одна в общем случае вполне определенная прямая второго, а плоскости плоскости первого пучка соответствует конус порядка  во втором, при этом все конусы пучка, соответствующие плоскостям другого, имеют общими некоторое число  () образующих кратности  и числа  удовлетворяют уравнениям (1), (2).

Если два конических пучка ,  посечь произвольной плоскостью, мы получим на ней две фигуры, между точками которых имеется некоторое соответствие, именно, прямым одной фигуры соответствуют кривые порядка  на другой фигуре; поскольку система двух этих фигур имеет  двойных точек, место точек, в которых пересекаются гомологические лучи двух конических пучков (), () является кривой двоякой кривизны порядка . Очевидно еще, что эта кривая проходит через точки  и здесь касается прямых, соответствующих прямой , рассматриваемой сначала как элемент пучка , затем как элемент пучка .

Если  — принципиальная точка степени  первой фигуры на плоскости , то лучу  соответствует конус, имеющий вершину в точке  и основанием принципиальную кривую порядка , соответствующую на плоскости  точке ;  пересечений этого конуса с прямой  являются точками рассматриваемой кривой двоякой кривизны. Поэтому эта кривая имеет  точек на прямой ; и столько же точек на луче , если  — принципиальная точка степени  второй фигуры.

 Мы придем к тому же результату, если выразим вопрос другим способом: каково место точки  плоскости , если луч  пересекает гомологический луч ? Если  — пересечение плоскости  с прямой , то точки  соствляют третью фигуру, состоящую с первой фигурой (образованной точками ) в таком же соответствии, какое имеется меду первой и второй (образованной точками ). Поэтому, если лучи  пересекаются, то точки  должны лежат на одной прямой с точкой , в которой прямая  пересекает плоскость ; значит, искомое место точек , то есть перспектива кривой двоякой кривизны на плоскость  из точки , является кривой , построенной относительно точки  (28), то есть местом пересечений прямых, проходящих через , и рассматриваемых как элементы третьей фигуры, с соответствующими кривыми порядка  первой фигуры.

Наконец, если применить к кривой двоякой кривизны замечания, указанные , получится след.:
 что она имеет  точек перегиба (точек, в которых оскулирующая плоскость является стационарной);
 что ее касательные образуют развертывающуюся (sviluppabile) поверхность порядка , класса , имеющую кривую возврата (curva nodale) порядка ;
 что ее бикасательные плоскости (piani bitangenti) огибают развертывающуюся поверхность класса ;
 что через произвольную точку пространства проходит  хорд этой кривой;
 что произвольная плоскость содержит  двойных касательных оскулирующей развертывающейся (sviluppabile osculatrice) и т. д.
Если принять деление геометрических кривых, плоских или двоякой кривизны, на роды'', предложенное недавно Г. , в связи с классом абелевых функций, задаваемых этими кривыми, получится, что род нашей кривой двоякой кривизны равен .

Примечания 

Луиджи Кремона
Геометрия
Переводы 1865 года