Живая математика (Перельман)/Глава 9
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ. Геометрические головоломки 

Для разрешения собранных в этой главе головоломок не требуется знания полного курса геометрии. С ними в силах справиться и тот, кто знаком лишь со скромным кругом начальных геометрических сведений. Две дюжины предлагаемых здесь задач помогут читателю удостовериться, действительно ли владеет он теми геометрическими знаниями, которые считает усвоенными. Подлинное знание геометрии состоит не только в умении перечислять свойства фигур, но и в искусстве распоряжаться ими на практике для решения реальных задач. Что проку в ружье для человека, не умеющего стрелять?

Пусть же читатель проверит, сколько метких попаданий окажется у него из 24 выстрелов по геометрическим мишеням.

72. Телега. Почему передняя ось телеги больше стирается и чаще загорается, чем задняя?

Рис. 65. Почему передняя ось больше стирается, чем задняя?

73. В увеличительное стекло. Угол в 1½° рассматривают в лупу, увеличивающую в 4 раза. Какой величины покажется угол (рис. 66)?

Рис. 66. Какой величины покажется угол?

74. Плотничий уровень. Вам знаком, конечно, плотничий уровень с газовым пузырьком (рис: 67), отходящим в сторону от метки, когда основание уровня имеет наклон. Чем больше этот наклон, тем больше отодвигается пузырёк от средней метки Причина движения пузырька та, что, будучи легче жидкости, в которой он находится, он всплывает вверх. Но если бы трубка была прямая, пузырёк при малейшем наклоне отбегал бы до самого конца трубки, т. е. до наиболее высокой её части. Такой уровень, как легко понять, был бы на практике очень неудобен. Поэтому трубка уровня берётся изогнутая, как показано на рис. 67. При горизонтальном положении основания такого уровня пузырёк, занимая высшую точку трубки, находится у её середины; если же уровень наклонён, то высшей точкой трубки становится уже не её середина, а некоторая соседняя с ней точка, и пузырёк отодвигается от метки на другое место трубки.

Вопрос задачи состоит в том, чтобы определить, на сколько миллиметров отодвинется от метки пузырёк, если уровень наклонён на полградуса, а радиус дуги изгиба трубки — 1 м.

Рис. 67. Плотничий уровень.

75. Число граней. Вот вопрос, который, без сомнения, покажется многим слишком наивным или, напротив, чересчур хитроумным:

Сколько граней у шестигранного карандаша?

Раньше чем заглянуть в ответ, внимательно вдумайтесь в задачу.

76. Лунный серп. Фигуру лунного серпа (рис. 68) требуется разделить на 6 частей, проведя всего только 2 прямые линии.

Как это сделать?

Рис. 68. Лунный серп

77. Из 12 спичек. Из 12 спичек можно составить фигуру креста (рис. 69), площадь которого равна 5 «спичечным» квадратам.

Измените расположение спичек так, чтобы контур фигуры охватывал площадь, равную только 4 «спичечным» квадратам.

Пользоваться при этом услугами измерительных приборов нельзя.

69. Крест из спичек

78. Из 8 спичек. Из 8 спичек можно составить довольно разнообразные замкнутые фигуры. Некоторые из них представлены на рис. 70; площади их конечно различны. Задача состоит в том чтобы составить из 8 спичек фигуру охватывающую  площадь.

Рис. 70. Как из 8 спичек сложить фигуру наибольшей площади?

79 Путь мухи. На внутренней стенке стеклянной цилиндрической банки виднеется капля мёда в трёх сантиметрах от верхнего края сосуда. А на наружной стенке, в точке, диаметрально противоположной, уселась муха (рис. 71).

Укажите мухе кратчайший путь, по которому она может добежать до медовой капли.

Высота банки 20 см; диаметр — 10 см.

Не полагайтесь на то, что муха сама отыщет кратчайший путь и тем облегчит вам решение задачи: для этого ей нужно было бы обладать геометрическими познаниями, слишком обширными для мушиной головы.

Рис. 71. Укажите мухе путь к капле мёда.

80. Найти затычку. Перед вами дощечка (рис. 72) с тремя отверстиями: квадратным, треугольным и круглым. Может ли существовать одна затычка такой формы, чтобы закрывать все эти отверстия?

Рис. 72. Найдите одну затычку к этим трём отверстиям.

81. Вторая затычка. Если вы справились с предыдущей задачей, то, быть может, вам удастся найти затычку и для таких отверстий, какие показаны на рис. 73?

Рис. 73. Существует ли одна затычка для этих отверстий?

82. Третья затычка. Наконец, ещё задача в том же роде: существует ли одна затычка для трёх отверстий рис. 74?

Рис. 74. Можно ли для этих трёх отверстий изготовить одну затычку?

83. Продеть пятак. Запаситесь двумя монетами современного чекана: 5-копеечной и 2-копеечной. На листке бумаги сделайте кружок, в точности равный окружности 2-копеечной монеты, и аккуратно вырежьте его.

Как вы думаете: пролезет пятак через эту дыру?

Здесь нет подвоха: задача подлинно геометрическая.

84. Высота башни. В вашем городе есть достопримечательность — высокая башня, высоты которой вы, однако, не знаете. Имеется у вас и фотографический снимок башни на почтовой карточке. Как может этот снимок помочь вам узнать высоту башни?

85. Подобные фигуры. Эта задача предназначается для тех, кто знает, в чем состоит геометрическое подобие. Требуется ответить на следующие два вопроса:

 В фигуре чертёжного треугольника (рис. 75) подобны ли наружный и внутренний треугольники?
 В фигуре рамки (рис. 76) подобны ли наружный и внутренний четырёхугольники?

Рис. 75. Подобны ли наружный и внутренний треугольники?

Рис. 76. Подобны ли наружный и внутренний четырёхугольники?

86. Тень проволоки. Как далеко в солнечный день тянется в пространстве полная тень, отбрасываемая телеграфной проволокой, диаметр которой 4 мм?

87. Кирпичик. Строительный кирпич весит 4 кг. Сколько весит игрушечный кирпичик из того же материала, все размеры которого в 4 раза меньше?

88. Великан и карлик. Во сколько примерно раз великан ростом в 2 м тяжелее карлика ростом в 1 м?

89. Два арбуза. На колхозном рынке продаются два арбуза разных размеров. Один на четвертую долго шире другого, а стоит он в 1½ раза дороже. Какой из них выгоднее купить?

90. Две дыни. Продаются две дыни одного сорта. Одна окружностью 60, другая — 50 см. Первая в полтора раза дороже второй. Какую дыню выгоднее купить?

91. Вишня. Мякоть вишни окружает косточку слоем такой же толщины, как и сама косточка. Будем считать, что и вишня и косточка имеют форму шариков. Можете ли вы сообразить в уме, во сколько раз объём сочной части вишни больше объёма косточки?

92. Модель башни Эйфеля. Башня Эйфеля в Париже, 390 м высоты, сделана целиком из железа, которого пошло на неё около 8 000 000 кг. Я желаю заказать точную железную модель знаменитой башни, весящую всего только 1кг.

Какой она будет высоты? Выше стакана или ниже?

93. Две кастрюли. Имеются две медные кастрюли одинаковой формы и со стенками одной толщины. Первая в 8 раз вместительнее второй.

Во сколько раз она тяжелее?

94. На морозе. На морозе стоят взрослый человек и ребёнок, оба одетые одинаково.

Кому из них холоднее?

 РЕШЕНИЯ ГОЛОВОЛОМОК. 72- 94 

72. На первый взгляд задача эта кажется не относящейся вовсе к геометрии. Но в том-то и состоит овладение этой наукой, чтобы уметь обнаруживать геометрическую основу задачи там, где она замаскирована посторонними подробностями. Наша задача по существу безусловно геометрическая; без знания геометрии её не решить.

Итак, почему же передняя ось телеги стирается больше задней? Всем известно, что передние колёса меньше задних. На одном и том же расстоянии малый круг оборачивается большее число раз, чем круг покрупнее: у меньшего круга и окружность меньше — оттого она укладывается в данной длине большее число раз. Теперь понятно, что при всех поездках телеги передние её колёса делают больше оборотов, нежели задние, а большее число оборотов, конечно, сильнее стирает ось.

73. Если вы полагаете, что в лупу угол наш окажется величиною в 1½ × 4 = 6°, то дали промах. Величина угла нисколько не увеличивается при рассматривании его в лупу. Правда, длина дуги, стягивающей угол, несомненно увеличивается,— но во столько же раз увеличивается и радиус этой дуги, так что величина центрального угла остаётся без изменения. Рис. 77 поясняет сказанное.

Рис. 77.

74. Рассмотрите рис. 78, где  есть первоначальное положение дуги уровня,  — новое её положение, причём хорда  составляет с хордой  угол в 1/2°. Оба положения уровня подобраны так, что пузырёк, бывший раньше в точке A, теперь остался в той же точке, но середина дуги  переместилась  в B. Требуется вычислить длину дуги AB, если радиус её равен 1 м, а величина дуги в градусной мере 1/2° (это следует из равенства острых углов с перпендикулярными сторонами).

Вычисление не сложно. Длина полной окружности радиусом в 1 м (1000 мм) равна 2 × 3,14 × 1000 = 6280 мм. Так как в окружности 360° или 720 полуградусов, то длина одного полуградуса определяется делением

6280 : 720 = 8,7 мм.

Пузырёк отодвинется от метки примерно на 9 мм — почти на целый сантиметр. Легко видеть, что чем больше радиус кривизны трубки, тем уровень чувствительнее.

Рис. 78.

75. Задача вовсе не шуточная и вскрывает ошибочность обычного словоупотребления. У «шестигранного» карандаша не 6 граней, как, вероятно, полагает большинство. Всех граней у него — если он не очинен — 8; шесть боковых и ещё две маленькие «торцовые» грани. Будь у него в действительности 6 граней, он имел бы совсем иную форму — бруска с четырёхугольным сечением.

Привычка считать у призм только боковые грани, забывая об основаниях, очень распространена. Многие говорят:  призма,  призма и т. д., между тем как призмы эти надо называть: треугольная, четырёхугольная и т. д. — по форме основания. Трёхгранной призмы, т. е. призмы о трёх гранях, даже и не существует.

Поэтому карандаш, о котором говорится в задаче, правильно называть не шестигранным, а шестиугольным.

76. Сделать надо так, как показано на рис. 79. Получаются 6 частей, которые для наглядности перенумерованы.

Рис. 79.

77. Спички следует расположить, как показано на рис. 80, а; площадь этой фигуры равна учетверённой площади «спичечного» квадрата. Как в этом удостовериться?

Дополним мысленно нашу фигуру до треугольника. Получится прямоугольный треугольник, основание которого равно 3, а высота 4 спичкам ). Площадь его равна половине произведения основания на высоту: ½×3×4=6 квадратам со стороною в одну спичку (рис. 80, б). Но наша фигура имеет, очевидно, площадь, которая меньше площади треугольника на 2 «спичечных» квадрата и равна, следовательно, 4 таким квадратам.

Рис. 80.

78. Можно доказать, что среди всех фигур с контуром одной и той же длины (или, как говорят, с одинаковым периметром) наибольшую площадь имеет круг. Из спичек, конечно, не сложить круга; однако, можно составить из 8 спичек фигуру (рис. 81), всего более приближающуюся к кругу: это — правильный восьмиугольник. Правильный восьмиугольник и есть фигура, удовлетворяющая требованию нашей задачи: она имеет наибольшую площадь.

Рис. 81.

79. Для решения задачи развернём боковую поверхность цилиндрической банки в плоскую фигуру: получим прямоугольник (рис. 82), высота которого 20 см, а основание равно окружности банки, т. е.  см (без малого). Наметим на этом прямоугольнике положение мухи и медовой капли. Муха — в точке A, на расстоянии 17 см от основания; капля — в точке B, на той же высоте и в расстоянии полуокружности банки от A, т. е. в 15¾ см.

Чтобы найти теперь точку, в которой муха должна переползти край банки, поступим следующим образом. Из точки B (рис. 83) проведём прямую под прямым углом к верхней стороне прямоугольника и продолжим её на равное расстояние: получим точку C. Эту точку соединим прямой линией с A. Точка D и будет та, где муха должна переползти на другую сторону банки, а путь ADB окажется самым коротким.

Найдя кратчайший путь на развёрнутом прямоугольнике, свернём его снова в цилиндр и узнаем, как должна бежать муха, чтобы скорее добраться до капли мёда (рис. 84).

Рис. 82.

Рис. 83.

Рис. 84.

Избирают ли мухи в подобных случаях такой путь — мне не известно. Возможно, что, руководясь обонянием, муха действительно пробегает по кратчайшему пути,— но мало вероятно: обоняние для этого — недостаточно чёткое чувство.

80. Нужная в данном случае затычка существует. Она имеет форму, показанную на рис. 85. Легко видеть, что одна такая затычка действительно может закрыть и квадратное, и треугольное, и круглое отверстия.

Рис. 85.

81. Существует затычка и для тех дыр, которые изображены на рис. 86: круглой, квадратной и крестообразной. Она представлена в трёх положениях.

Рис. 86.

82. Существует и такая затычка: вы можете видеть её с трёх сторон на рис. 87.

(Задачи, которыми мы сейчас занимались, приходится нередко разрешать чертёжникам, когда по трём «проекциям» какой-нибудь машинной части они должны установить её форму.)

Рис. 87.

83. Как ни странно, но продеть пятак через такое маленькое отверстие вполне возможно. Надо только суметь взяться за это дело. Бумажку изгибают так, что круглое отверстие вытягивается в прямую щель (рис. 88): через эту щель и проходит пятак.

Геометрический расчёт поможет понять этот на первый взгляд замысловатый трюк. Диаметр двухкопеечной монеты — 18 мм; окружность её, как легко вычислить, равна 56 мм (с лишком). Длина прямой щели должна быть, очевидно, вдвое меньше окружности отверстия, и, следовательно, равна 28 мм. Между тем, поперечник пятака всего 25 мм; значит он может пролезть через 28-миллиметровую щель, даже принимая в расчёт его толщину (1½ мм).

Рис. 88.

84. Чтобы по снимку определить высоту башни в натуре, нужно прежде всего измерить возможно точнее высоту башни и длину её основания на фотографическом изображении. Предположим, высота на снимке 95 мм, а длина основания — 19 мм. Тогда вы измеряете длину основания башни в натуре; допустим, она оказалась равной 14 м.

Сделав это, вы рассуждаете так.

Фотография башни и её подлинные очертания геометрически подобны друг другу. Следовательно, во сколько раз изображение высоты больше изображения основания, во столько же раз высота башни в натуре больше длины её основания. Первое отношение равно 95:19, т. е. 5; отсюда заключаете, что высота башни больше длины её основания в 5 раз и равна в натуре 14 × 5 = 70 м.

Итак, высота городской башни 70 м.

Надо заметить, однако, что для фотографического определения высоты башни пригоден не всякий снимок, а только такой, в котором пропорции не искажены, как это бывает у неопытных фотографов.

85. Часто на оба поставленных в задаче вопроса отвечают утвердительно. В действительности же подобны только треугольники; наружный же и внутренний четырёхугольники в фигуре рамки, вообще говоря, не подобны. Для подобия треугольников достаточно равенства углов; а так как стороны внутреннего треугольника параллельны сторонам наружного, то фигуры эти подобны. Но для подобия прочих многоугольников недостаточно одного равенства углов (или — что то же самое — одной лишь параллельности сторон): необходимо ещё, чтобы  многоугольников были . Для наружного и внутреннего четырёхугольника в фигуре рамки это имеет место только в случае квадратов (и вообще — ромбов). Во всех же прочих случаях стороны наружного четырёхугольника не пропорциональны сторонам внутреннего, и, следовательно, фигуры неподобны. Отсутствие подобия становится очевидным для прямоугольных рамок с широкими планками, как на рис. 89. В левой рамке наружные стороны относятся друг к другу, как 2 : 1, а внутренние — как 4 : 1. В правой — наружные, как 4 : 3, внутренние, как 2 : 1.

Рис. 89.

86. Для многих будет неожиданностью, что при решении этой задачи понадобятся сведения из астрономии: о расстоянии Земли от Солнца и о величине солнечного диаметра.

Длина полной тени, отбрасываемой в пространстве проволокой, определяется геометрическим построением, показанными на рис. 90. Легко видеть, что тень во столько раз больше поперечника проволоки, во сколько раз расстояние Земли от Солнца (150 000 000 км) больше поперечника Солнца (1 400 000 км). Последнее отношение равно, круглым счётом, 115. Значит, длина полной тени, отбрасываемой в пространстве проволокой, равна

4 × 115 = 460 мм = 46 см.

Незначительной длиной полной тени объясняется то, что она бывает не видна на земле или на стенах домов; те слабые полоски, которые различаются при этом — не тени, а полутени.

Другой приём решения таких задач был указан при рассмотрении головоломки 8-й.

Рис. 90.

87. Ответ, что игрушечный кирпичик весит 1 кг, т. е. всего вчетверо меньше, грубо ошибочен. Кирпичик ведь не только вчетверо  настоящего, но и вчетверо уже да еще вчетверо , поэтому объём и вес его меньше в 4 × 4 × 4 = 64 раза. Правильный ответ, следовательно, таков:

игрушечный кирпичик весит 4000 : 64 = 62,5 г.

88. Вы теперь уже подготовлены к правильному решению этой задачи. Так как фигуры человеческого тела приблизительно подобны, то при вдвое большем росте человек имеет объем не вдвое, а в 8 раз больший. Значит наш великан весит больше карлика раз в 8.

Самый высокий великан, о котором сохранились сведения, был один житель Эльзаса ростом в 275 см — на целый метр выше человека среднего роста. Самый маленький карлик имел в высоту меньше 40 см, т. е. был ниже исполина-эльзасца круглым счётом в 7 раз. Поэтому если бы на одну чашку весов поставить великана-эльзасца, то на другую надо бы для равновесия поместить 7 × 7 × 7 = 343 карлика — целую толпу.

89. Объём большого арбуза превышает объем меньшего в

почти вдвое. Выгоднее, значит, купить крупный арбуз; он дороже только в полтора раза, а съедобного вещества в нем больше раза в два.

Почему же, однако, продавцы просят за такие арбузы обычно не вдвое, а только в полтора раза больше? Объясняется это просто тем, что продавцы в большинстве случаев не сильны в геометрии. Впрочем, не сильны в ней и покупатели, зачастую отказывающиеся из-за этого от выгодных покупок. Можно смело утверждать, что крупные арбузы выгоднее покупать, чем мелкие, потому что они расцениваются всегда ниже их истинной стоимости; но большинство покупателей об этом не подозревают.

По той же причине всегда выгоднее покупать крупные яйца, нежели мелкие,— если только их не расценивают по весу.

90. Окружности относятся между собой, как диаметры. Если окружность одной дыни 60 см, другой 50 см, то отношение их диаметров 60 : 50 = , а отношение их объёмов

Большая дыня должна быть, если оценивать её сообразно объёму (или весу), в 1,73 раза дороже меньшей; другими словами, дороже на 73%. Просят же за неё всего на 50% больше. Ясно, что есть прямой расчёт её купить.

91. Из условия задачи следует, что диаметр вишни в 3 раза больше диаметра косточки. Значит, объём вишни больше объёма косточки в 3 × 3 × 3, т. е. в 27 раз; на долю косточки приходится  объём вишни, а на долю сочной части — остальные . И следовательно, сочная часть вишни больше косточки по объёму в 26 раз.

92. Если модель легче натуры в 8 000 000 раз и обе сделаны из одного металла, то  модели должен быть в 8 000 000 раз меньше объёма натуры. Мы уже знаем, что объёмы подобных тел относятся, как кубы их высот. Следовательно, модель должна быть ниже натуры в 200 раз, потому что

200 × 200 × 200 = 8 000 000.

Высота подлинной башни 300 м. Отсюда высота модели должна быть равна

м.

Модель будет почти в рост человека.

93. Обе кастрюли — тела, геометрически подобные. Если большая кастрюля в 8 раз вместительнее, то все её линейные размеры в два раза больше: она вдвое выше и вдвое шире по обоим направлениям. Но раз она вдвое выше и шире, то поверхность её больше в 2 × 2, т. е. в 4 раза, потому что поверхности подобных тел относятся, как квадраты линейных размеров. При одинаковой толщине стенок вес кастрюли зависит от величины её поверхности. Отсюда имеем ответ на вопрос задачи: большая кастрюля  тяжелее меньшей.

94. Эта задача, на первый взгляд вовсе не математическая, решается в сущности тем же геометрическим рассуждением, какое применено было в предыдущей задаче.

Прежде чем приступить к её решению, рассмотрим сходную с ней, но несколько более простую задачу.

Два котла (или два самовара), большой и малый, одинакового материала и формы наполнены кипятком. Какой остынет скорее?

Вещи остывают главным образом с поверхности: следовательно, остынет скорее тот котёл, в котором на каждую единицу объёма приходится большая поверхность. Если один котёл в n раз выше и шире другого, то поверхность его больше в n2 раз, а объем — n3; на единицу поверхности в большом котле приходится в n раз больший объём. Следовательно, меньший котёл должен остыть раньше.

По той же причине и ребёнок, стоящий на морозе, должен зябнуть больше, чем одинаково одетый взрослый: количество тепла, возникающего в каждом куб. см тела, у обоих приблизительно одинаково, но остывающая поверхность тела, приходящаяся на каждый куб. см, у ребёнка больше, чем у взрослого.

В этом нужно видеть также причину того, что пальцы рук или нос зябнут сильнее и отмораживаются чаще, чем другие части тела, поверхность которых не столь велика по сравнению с их объёмом.

Сюда же, наконец, относится и следующая задача:

Почему лучина загорается скорее, чем толстое полено, от которого она отколота?

Так как нагревание происходит с поверхности и распространяется на весь объем тела, то следует сравнить поверхность и объем лучины (например, квадратного сечения) с поверхностью и объёмом полена той же длины (и тоже квадратного сечения), чтобы определить, какой величины поверхность приходится на каждый куб. см древесины в обоих случаях. Если толщина полена в 10 раз больше толщины лучины, то боковая поверхность полена больше поверхности лучины тоже в 10 раз, объём же его больше объёма лучины в 100 раз. Следовательно, на каждую единицу поверхности в лучине приходится вдесятеро меньший объём, чем в полене: одинаковое количество тепла нагревает в лучине вдесятеро меньше вещества, — отсюда и более раннее воспламенение лучины, чем полена, от одного и того же источника тепла. (Ввиду дурной теплопроводности дерева указанные соотношения следует рассматривать лишь как грубо приблизительные; они характеризуют лишь общий ход процесса, а не количественную сторону.)

 Примечания 
 09