О некоторых вопросах теории плоских кривых (Кремона)/2
it:Sopra alcune questioni nella teoria delle curve piane (Cremona)/2

 [Обратимся теперь к доказательству теоремы Introd. 69c, которое не было там приведено.]

Lemma 1.° Поляра для произвольной точки проходит через двойные точки фундаментальной кривой (Introd. 16).

Lemma 2.° Поляры для фиксированной точки относительно кривых пучка образуют другой пучок (Introd. 84a).

Lemma 3.° Если фундаментальная кривая составлена из прямой и некоторой другой кривой, и если полюс взят на этой прямой, то поляра составлена из этой же прямой и поляры, взятой относительно второй кривой (Это свойство следует из определение поляры и теоремы Introd. 17).

Lemma 4.° Если через  точек, в которых кривая порядка  пересекается с  прямыми, проходящими через точку , повести еще одну кривую того же порядка, то точка  имеет одну и ту же поляру как относительно первой, так и относительно второй кривой. (В самом деле, поляры для  относительно двух этих кривых имеют  общих точек с каждой из  заданных прямых).

 Пусть теперь дана фундаментальная кривая  порядка , и пусть  и  — две заданные произвольным образом точки.
(…)

Проведем через  прямую , и пусть  — пучок  прямых, соединяющих точку  с  пересечениями кривой  и прямой . Все оставшиеся  пересечений кривой  с местом  лежат на некоторой кривой  порядка  (Introd. 43b). Поскольку кривая  принадлежит пучку , поляра  принадлежит, в силу леммы 2°, пучку , где  — пучок из  прямых, пересекающихся в точке  и составляющих поляру  (Introd. 20), а  — поляра , поскольку в силу леммы 3° такая кривая  вмести с прямой  составляют поляру . Из леммы 4° поэтому следует, что кривая  ничто иное как поляра для  относительно , поэтому в силу леммы 1° она проходит через  пересечения места  с прямой .

Из того, что  проходит через  пересечений мест  и , следует в силу леммы 4°, что поляра  совпадает с полярой , поэтому в силу леммы 1° она проходит через  пересечений кривой  с прямой . Кривая  проходит, следовательно, через  гармонических центов системы, образованной названными  пересечениями, относительно полюса , то есть  проходит через  точек, в которых прямая  пересекает .

Таким образом, смешанные поляры  и  имеют  общих точек на секущей, проведенной произвольным образом через точку , а это возможно лишь тогда, когда эти две кривые совпадают.

 Возьмем теперь на плоскости произвольным образом  точек . (…) 
Из только что доказанной теоремы следует, что поляра  не меняется при изменении порядка полюсов . Если еще предположить, что  из этих точек совпадают с единственной точкой , а оставшиеся  полюсов — с точкой , то получится общая теорема:

Для любой фундаментальной кривой -ая поляра для точки  относительно -ой поляры для другой точки  совпадает с -ой полярой для  относительно -ой поляры для , то есть 
 .

Примечания 

2
Переводы 1864 года