ЭСБЕ/Наибольшие и наименьшие показатели
Наибольшие и наименьшие показатели. — Способ Н. и наименьших показателей был предложен Ньютоном для разложения переменного  в ряд по убывающим или по возрастающим степеням переменного  в тех случаях, когда  и  связаны уравнением вида  Способ этот, называемый также параллелограммом Ньютона, может иметь широкое применение к теории алгебраических функций, к исследованию особых точек кривых, к теории дифференциальных уравнений и так далее. Пусть данное уравнение будет:

(1) ... 

Цель рассматриваемого способа заключается в отыскании разложения переменного  по степеням переменного  т. е. в нахождении для разложения:  показателей:  и коэффициентов:  Положим, что требуется найти разложение по восходящим степеням, т. е. что:  Вставив в данное уравнение (1) вместо  величину  получим:

(2) ... 

если  наименьший показатель в искомом разложении, то (по Ньютону) среди величин:

(3) ... 

найдутся по крайней мере две, которые будут равны между собой и меньше остальных величин ряда (3). В силу этого принципа задача о нахождении  сводится к тому, чтобы составить всевозможные равенства из величин ряда (3), приравнивая их одну другой, из полученных уравнений определить различные значения  и из этих значений выбрать такие, которые обращали бы соответственные равные величины ряда (3) в наименьшие. Выбранные таким порядком значения и будут наименьшими показателями разложения. Сколько определится наименьших показателей, столько будет и разложений, удовлетворяющих вопросу. Для определения коэффициента  вставим один из найденных наименьших показателей вместо  в уравнение (2) и приравняем нулю сумму коэффициентов тех членов этого уравнения, которые окажутся содержащими одинаковые степени переменного  Таким образом получим уравнение, из которого определится  Найдя  и  полагаем:  Вставляя эту величину переменного  в данное уравнение (1), получим уравнение вида  с которым поступаем так, как до сих пор поступали с данным уравнением, причем найдем второй член  искомого разложения. Однако, здесь мы выбираем только тех показателей переменного  в разложении  которые, удовлетворяя началу наименьших показателей, будут более найденного  Затем, полагая  преобразуем уравнение  в уравнение  и продолжаем вычисление для определения  и дальнейших членов разложения. Для нахождения таких значений  при которых некоторые из величин ряда (3) вышли бы равными между собой и меньшими остальных, служит табличка (см. ниже). Пусть дано уравнение:

(1)′... 

Вставляя в него вместо  величину  получим:

(2)′ ... 

Показатель  второго члена уравнения (2) не следует принимать в рассмотрение, потому что он при всяких  более показателя  третьего члена. Ряд, соответственный ряду (3) изложенной выше теории, будет:

(3)′ ... 

Найдя всевозможные уравнения, составленные из этих величин, как то:   и проч. и вставляя в ряд (3) определенные из этих уравнений значения  составляем табличку:

Началу наименьших показателей удовлетворяет только  и  потому что только в 1-м и V-м столбцах мы находим величины, равные между собой и меньшие сравнительно с другими величинами своего столбца; именно в 1-м столбце число −4 стоит против  и против  в V-м столбце число 0 стоит против  и против 0. Напр. IV столбец и соответственная ему величина  не годятся, потому что, хотя в этом столбце число 2 встречается два раза, но в нем же есть число 0, которое меньше чем 2. Итак, возможны два допущения для первого члена искомого разложения:  и  Для определения  замечаем, что при подстановке −2 вместо  в уравнение (2)′ окажутся равными показатели членов:  и  Приравнивая сумму их коэффициентов нулю, получим:  откуда  Точно так же найдем (из подстановки числа 0 вместо ), что  Итак, получим три разложения:

Указанным в приведенной выше теории порядком найдем и остальных членов этих разложений. Остановимся, напр., на первом разложении. Первый член его мы нашли равным  Чтобы найти следующий член, полагаем:  Вставив эту величину  в данное уравнение, получим:

поступая с полученным уравнением подобно тому, как поступали с данным, определим  и  и так далее. В получаемом таким путем разложении по восходящим степеням переменного  можно пренебрегать высшими степенями этого переменного, если  небольшая величина. Если же  величина большая, то можно пренебрегать его малыми степенями, а потому в этом случае удобнее стремиться найти разложение  по нисходящим степеням переменного  В этом случае прибегают к способу Н. показателей, совершенно сходному со способом показателей наименьших. Рассматриваемый способ был дан Ньютоном в знаменитом его сочинении: «». Затем этот способ положен основанием изучения алгебраических кривых в сочинении Крамера: «» (1750). Лиувилль применил этот способ к вычислению некоторых симметрических функций: «Jonrnal des Mathématiques pures et appliquées» (т. VI). Пюизе прилагал этот способ к теории алгебраических функции, Бугаев — к теории дифференциальных уравнений: «Математический Сборник» (т. XVI). Геометрическое построение, соответствующее этому способу, изложено в «Аналитической Геометрии» Д. А. Граве. В аналитической форме способ Н. и наименьших показателей изложен у Serret в его «» (т. II) и у Бугаева в его ст.: «Различные приложения начала Н. и наименьших показателей к теории алгебраических функций» («Матем. Сборник», т. XIV).

ЭСБЕ:Математика