Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/13
it:Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Definizione e proprietà fondamentali delle curve polari

Определения 
 Пусть на плоскости задана кривая  порядка  и пусть  — точка, зафиксированная произвольным образом на этой плоскости. При вращении вокруг точки  секущей, пересекающей в произвольном своем положении кривую  в  точках , место гармонических центров степени  системы  относительно полюса  (§ 11) является кривой порядка , поскольку это место имеет  точек на каждой секущей, проведенной через . Такая кривая называется -ой полярной кривой [или просто полярой] для точки  относительно заданной кривой (фундаментальной кривой) и обозначается как .

Таким образом, точка  порождает  полярную кривую относительно заданной линии. Первая поляра — это кривая порядка , вторая поляра — порядка  и т. д. Последняя или -я поляра, то есть место гармонических центров первого порядка, является прямой.

Общие свойства поляр 
 Доказанные выше теоремы (см. Art. III) о гармонических центрах системы  точек на прямой, приводят к аналогичным свойствам полярных кривых относительно заданной кривой.

 Теорема § 12 может быть выражена так: если  — точка -ой поляры для , то и наоборот  является точкой -ой поляры для , то есть
 .

Иными словами:

Место полюсов, -ые поляры для которых проходят через заданную точку , является -ой полярой для точки .

Напр., первая поляра для  является местом полюсов полярных прямых, проходящих через точку ; вторая поляра для  — местом полюсов полярных коник, проходящих через эту точку и т. д.

 Из теоремы § 13 сразу получается след.:

Для любого полюса  одна и та же кривая -го порядка является как поярой относительно заданной линии , так и полярой относительно любой другой поляры большего порядка, то есть
 .

Следовательно: вторая поляра  является первой полярой для  относительно первой поляры ; третья поляра  является первой полярой относительно второй поляры  и второй полярой относительно первой поляры  и т. д.

 Теорема § 14 дает:
 .

Эта теорема, как станет ясно в дальнейшем, имеет много следствий. Особенно часто эта теорема используется вмести с теоремой § 69a.

 Предположим, что  проходит через точку ,
тогда и поляра  проходит через эту точку.
В этом случае по теореме § 69a  проходит через , а значит такова и поляра  Поэтому:

Если  проходит через точку , то поляра  проходит через , то есть
 .

Свойства поляр, полюса которых лежат на фундаментальной кривой 

 Вернемся к определению § 68: если полюс  взят на фундаментальной кривой, то он занимает место одной из  точек  и поэтому гармонический центр первой степени совпадает с . Но если секущая является касательной к кривой в точке , то уже две из точек  совпадают с ; тогда гармонический центр становится неопределенным и в качестве такого может быть взята произвольная точка секущей (§ 17). Эта прямая, в рассматриваемом случае, и является местом гармонических центров первой степени, то есть полярная прямая для точки, лежащей на фундаментальной кривой, является касательной в этой точке.

Когда полюс не лежит на фундаментальной кривой, но секущая является касательной, то две из точек  совпадают в точке касания. В силу теоремы § 16 эта точка является гармоническим центром степени , то есть точкой первой поляры. [И, наоборот, если точка  — общая для кривой  и ее первой поляры , то точка  лежит на полярной прямой , которая является касательной к  в точке .] Поэтому: первая поляра для произвольной точки пересекает фундаментальную кривую в точках, в которых эта кривая касается прямой, проведенной через полюс.

Первая поляра является кривой порядка , которая пересекает кривую  в  точках. Отсюда получается, что из произвольной точки можно провести  касательных к фундаментальной кривой, то есть:

Кривая порядка  имеет, в общем случае, класс .

 Если полюс  лежит на фундаментальной кривой, то какова бы ни была секущая, проведенная через точку , одно из пересечений  совпадает с самой точкой ; поэтому (§ 17)  является гармоническим центром любой степени системы точек  относительно полюса . Это можно выразить так: все поляры для , от первой до -ой, проходят через эту точку.

Но на самом деле можно сказать больше. Если секущая касается  в , то в ней совпадают две точки из системы , а значит, в силу теоремы § 17, и два гармонических центра любой степени, то есть фундаментальная кривая касается в точке  с любой полярой для этой точки.

Из той же теоремы § 17 следует, что первая поляра для точки  фундаментальной кривой является местом гармонических центров степени  относительно полюса  системы  точек, в которых кривая  пересекается с подвижной секущей, проведенной через . Всего (кроме точки , где эти кривые касаются) получается  точек, в которых первая поляра  пересекает , и это — точки, в которых прямые проведенные из точки  касаются фундаментальной кривой.

Особые точки на фундаментальной кривой 
 Предположим, что кривая  имеет точку  кратности . Каждая прямая, проходящая через , пересекает здесь кривую в  совпадающих точках, поэтому (§ 17) точка  является точкой кратности  для поляры .

Каждая из касательных к  дугам кривой  пересекает эту кривую в  точках, совпадающих в  (§ 31). Рассматривая касательную как секущую (§ 68), видим, что в  совпадает  точек , а значит и  гармонических центров любой степени относительно полюса  (§ 17). Поэтому  касательных к  в кратной точке  касаются здесь также и  дуг поляры .

Отсюда следует еще, что поляры , , …  не определены, а поляра  является системой  прямых, а именно, только что рассмотренных касательных (§ 31).

Это последнее свойство становится очевидным, если заметить, что на касательной в  к дуге кривой  как секущей, проведенной через полюс  (§ 68), имеется  точек , совпадающих с самим полюсом, поэтому любая точка секущей может быть принята за гармонический центр степени  (§ 17). Пучок касательных к  дугам кривой  составляет место гармонических центров степени  относительно полюса .

 Пусть  — полюс, заданный произвольным образом на плоскости кривой , имеющей точку  кратности . Проведем секущую , на которой  точек  совпадают в ; поэтому (§ 16) в эту последную точку попадает  гармонических центров степени  (где ).
Следовательно:

-ая точка фундаментальной кривой является точкой кратности  для -ой поляры для любой точки, то есть
 .

 Применим эти утверждения к случаю, когда кривая  является системой  прямых, пересекающихся в одной точке . Эта точка является точкой кратности  фундаментальной кривой, и, следовательно, точкой кратности  первой поляры  для любой точки . Стало быть, в этом случае первая поляра образована  прямыми, пересекающимися в  (§ 31).

Проведем через полюс  произвольную секущую, пересекающую  заданных прямых в точках . Если  — гармонические центры степени , прямые  составляют первую поляру  (§ 20). Эта первая поляра не меняется при движении полюса  вдоль прямой, проходящей через .

Если среди  заданных прямых имеется  совпадающих с одной единственной прямой , то в точке  собрано  гармонических центров степени  (§ 16), поэтому  прямых  совпадают с , какова бы ни была точка .

 В частности, при  имеем:

Если фундаментальная линия является парой прямых , то поляра для точки  является прямой, гармонически сопряженной к  относительно двух заданных прямых.
Если две заданные прямые совпадают, то с ними совпадает и поляра, каким бы ни бы полюс.

 Вернемся теперь к произвольной кривой , имеющей -кратную точку . Возьмем произвольными образом полюс . Первая поляра  проходит  раз через точку  (§ 73); и  касательных к  в  составляют -ую поляру  (§ 72). Аналогично,  касательных в  к первой поляре  составляют -ую поляру , которая совпадает с полярой 
(§ 69c). Поэтому (§ 73a):

Если фундаментальны кривая имеет -кратную точку , пучок касательных в  к первой поляре  для произвольного полюса  образован -ой прямой и является первой полярой для  относительно пучка  касательных к фундаментальной кривой в точке , то есть
 ,
если обозначить как  пучок касательных в  к .

 Отсюда следует, в силу теоремы § 73a, что первые поляры для точек прямой, проходящей через , имеют в этой точке одни и те же касательные.

 Кроме того, если  касательных к  в кратной точке  совпадают с одной единственной прямой, с этой же прямой совпадают и  касательная к первой поляре  (§ 73a); значит, в этом случае, точка  представляет  пересечений  с ее первой полярой (§ 32). Число оставшихся пересечений равно ; поэтому это число выражает число касательных, которые можно провести из точки  к фундаментальной кривой в предположении, что эта кривая не имеет других кратных точек (§ 70). Другими словами:

Если фундаментальная кривая имеет точку кратности  с  совпадающими касательными, то класс кривой уменьшается на  единиц.

 Эти общие свойства в случае ,  и в случае ,  дают (§ 73b):

Если фундаментальная кривая имеет двойную точку , первая поляра для произвольной точки  проходит через точку  и здесь касается прямой, гармонически сопряженной к  относительно двух касательных к фундаментальной кривой.

Если фундаментальная кривая имеет точку возврата , первая поляра для произвольного полюса проходит через точку  и здесь имеет ту же касательную, что и сама заданная кривая.

Следовательно, первая поляра для  пересекает  еще в других  или  точках (отличных от ) в зависимости от того, является ли  обычной двойной точкой или точкой возврата. Поэтому класс кривой уменьшается на две единицы из-за каждой двойной точки и на три из-за каждой точки возврата.

 При любом  и  имеем:

Если  имеет  дуг, проходящих через одну и ту же точку таким образом, что касательные к ним различны, то класс уменьшается на  единиц; то есть точка кратности  с  различными касательными действует на класс кривой так же, как  обычных двойных точек. Это интуитивно очевидно, поскольку, если  дуг пересекаются в одной и той же точке, то здесь имеется  двойных точек, порожденных пересечениями различных пар дуг.

Но если  дуг имеют общие касательные, то, комбинируя каждую из них со следующей, получим  точек возврата,
а любая другая комбинация двух дуг дает обычную двойную точку. Это дает [интуитивно ясную интерпретацию результату § 74b]: точка кратности  с  совпадающими касательными понижает класс кривой также, как понизили бы его  обычных двойных точек и  точек возврата.

Свойства полярной прямой 
 Пусть две секущие, проведенные из полюса , пересекают фундаментальную кривую  соответственно в точках  и . Если  и  гармонические центры первой степени для этих двух систем  точек относительно , то прямая  является полярой . Отсюда следует, что если через те же точки  и  провести другую кривую  порядка , то прямая  окажется и полярой . Представив теперь, что две секущие  и  взяты бесконечно близкими, получаем теорему:

Если две кривые порядка  касаются в  точках, лежащих на одной прямой, то полярная прямая для любой точки этой прямой относительно первой кривой совпадает с полярной прямой относительно второй кривой.

В частности, в качестве второй линии можно взять систему касательных к  в  точках ; следовательно:

Полярная прямая для полюса, лежащего на одной прямой с  точками кривой порядка , относительно этой кривой совпадает с полярной прямой для того же полюса относительно касательных в этих  точках.

Отсюда в силу теоремы § 11 опять следует, что если секущая, проведенная произвольным образом через полюс , пересекает кривую в , а  касательных в , верно :
 .

 Пусть на плоскости задано  прямых  и полюс ; пусть, далее,  — полярная прямая для  относительно системы  прямых , рассматриваемой как место порядка ; пусть, наконец,  — точка, в которой прямая  пересекает . В силу теоремы § 15 точка  является также гармоническим центром первой степени относительно полюса  системы  точек, в которых  заданных прямых пересекают секущую ; поэтому:

Пусть задано  прямых и полюс . Точка, в которой любая из заданных прямых пересекает полярную прямую для  относительно остальных прямых  прямых, лежит на полярной прямой для  относительно  прямых.

Эта теорема при  дает:

Полярные прямые для заданной точки относительно углов трехсторонника пересекают противоположные стороны в трех точках, лежащих на одной прямой, которая является полярой для заданной точки относительно трехстронника, рассматриваемого как место третьего порядка.

И наоборот, если стороны  трехсторонника  пересекают секущую в точках  и если  — гармонически сопряженные для  относительно пар  соответственно, то прямые  пересекаются в одной единственной точке (полюсе секущей).

Свойства первых поляр 

 Первые поляры для двух произвольных точек  и  (относительно заданной кривой ) пересекаются в  точках, каждая из которых, принадлежа обеим полярам, является полюсом полярной прямой, проходящей через точки  и  (§ 69a). Поэтому:

Произвольная прямая является полярной для  различных точек, являющихся пересечениями первых поляр для двух точек, взятых на этой прямой произвольным образом.

Отсюда:

Первые поляры для всех точек прямой образуют пучок кривых, проходящих через  упомянутых точек.

 [Полюса всех первых поляр, проходящих через точку , лежат на полярной прямой  и] следовательно, все такие первые поляры образуют пучок, база которого составлена из точки  и еще других  возможных полюсов для полярной прямой . Через две точки  и  проходит одна единственная первая поляра, а именно такая, полюс которой является пересечением полярных прямых для  и .

Отсюда: трех первых поляр достаточно для однозначного определения всех остальных. В самом деле, пусть заданы три поляры ,  и , полюса которых не лежат на одной прямой. Требуется найти поляру, проходящую через две заданные точки  и . Две пары кривых ,  и ,  задают два пучка. Кривые, принадлежащие соответственно первому или второму из этих пучков и обе проходящие через точку , задают третий пучок. Та кривая третьего пучка, которая проходит через точку , и есть искомая.

 Если три первые поляры, полюса которых не лежат на одной прямой, проходят через одну точку, эта точка принадлежит и вообще всем первым полярам и, следовательно, является двойной для фундаментальной кривой (§ 73). В самом деле, полярная прямая для этой точки, которая должна проходит через любую точку плоскости (§ 69a), оказывается неопределенной (§ 72).

Кратные точки поляр 
 Предположим, что  имеет двойную точку , тогда через эту точку проходит и первая поляра  для произвольной точки  (§ 73). Тогда, в силу теоремы § 69d, поляра  проходит через точку . Кроме того, поскольку  проходит через точку , точка  лежит на поляре  (§ 69a). Поэтому (§ 77b):

Если поляра  имеет двойную точку , то и наоборот поляра  имеет двойную точку в , [то есть
  влечет ].

Напр., если первая поляра  имеет двойную точку , то полярная коника  оказывается системой двух прямых, пересекающихся в точке  и наоборот.

 Если заданная кривая  имеет точку возврата , то полярная коника  распадается на две прямые, совпадающие с прямой, касающейся кривой  в токе  (§ 72). Любая точка  этой прямой может считаться как двойная точка полярной коники . Поэтому точка  является двойной точкой первой поляры , иными словами, верно след.:

Если фундаментальная кривая имеет точку возврата, то первая поляра для любой точки касательной возврата проходит два раза через точку возврата.

Все эти первые поляры имеют двойную точку в  и составляют пучок (§ 77a); более того, среди них имеются две поляры, для которых 
является точкой возврата (§ 48). Одна из этих двух первых поляр с точкой возврата — это поляра , которая имеет в полюсе точку возврата согласно § 72.

 Пусть поляра  имеет двойную точку ; тогда и поляра  проходит два раза через точку  (§ 69, c). Применяя к этой поляре теорему § 78, принимая  за фундаментальную кривую, видим, что  имеет двойную точку в . Плэтому:

Если поляра  имеет двойную точку , то и наоборот,  имеет двойную точку в .

 Пусть поляра  имеет точку возврата ; тогда  проходит два раза через  (§ 78). Обозначив как  произвольную точку прямой, касающейся в точке возврата  поляры , видим, что поляра  имеет двойную точку в  (§ 78a); более того, согласно § 78b первая поляра  имеет двойную точку в .

В частном случае  это дает след.:Если первая поляра  имеет точку возврата , то полярная коника  для любой точки  касательной возврата распадается на пару прямых, пересекающихся в точке .Очевидно, что каждая из этих прямых определяется заданием другой, то есть все такие пары прямых составляют инволюцию второго порядка; поэтому на касательной возврата имеются две точки, для которых полярные коники относительно полярной кубики  вырождаются в пару прямых, совпадающих с одной единственной прямой, проходящей через точку .

Точка  является двойной для полярной коники , если  — точка касательной возврата. Согласно § 78, тогда и наоборот, точка  является двойной для полярной коники . Итак: прямая, касающаяся первой поляры  в точке возврата  и рассматриваемая как система двух совпадающих прямых, является полярной коникой .

Пусть двойные прямые рассмотренной выше инволюции пересекают касательную возврата в точка  и  и соответствуют полюсам  и . Поскольку  является двойной точкой как полярной коники
,
так и полярной коники , то в силу § 78 коника
 ,
имеет двойную точку в  и  на прямой , то есть является системой двух совпадающих прямых. Следовательно,  и , а прямые  и  являются полярными кониками соответственно для точек  и ; таким образом:Если первая поляра  имеет точку возврата , то на касательной возврата существуют две точки  и , которые вмести с точкой  образуют треугольник, каждая сторона которого, рассматриваемая как две совпадающие прямые, является полярной коникой для противолежащей вершины относительно полярной кубики . Рассмотрим теперь постоянную касательную к заданной кривой , проведенную в точки перегиба . Возьмем полюс  на постоянной касательной и рассмотрим ее как секущую (§ 68). Поскольку три точки  совпадают в точке перегиба (§ 29), эта точка является местом двух гармонических центров степени  и одного гармонического центра степени  (§ 16). Иными словами, первая поляра  проходит через  и здесь касается , а вторая поляра  только проходит через эту точку.

Коль скоро через точку  проходит вторая поляра для любой точки , взятой на стационарной касательной, то (§ 69a) полярная коника  проходит через все точки этой касательной. Поэтому полярная коника для точки возврата распадается на две прямые, одна из которых — постоянная касательная.

Если  — точка, общая двум прямым, составляющим полярную конику , то первая поляра  имеет (§78) двойную точку в . Отсюда: точка перегиба заданной кривой является двойной точкой для некоторой первой поляры, полюс которой лежит на постоянной касательной.

Если точка  принадлежит кривой , а полярная коника  распадается на две прямые, то эта точка является или двойной точкой, или точкой перегиба для заданной кривой. В самом деле, или обе прямые проходят через точку  и тогда полярная прямая остается неопределенной, то есть  является двойной точкой кривой. Или же, лишь одна из этих двух прямых проходит через точку  и, значит, является касательной к кривой в этой точке (§ 71); все точки этой прямой принадлежат полярам  и , поэтому первая и вторая поляры для любой точки этой касательной проходят через точку , что невозможно, если эта прямая не имеет в точке  касания кратности 3 с заданной кривой (§ 16).

 Взятой на плоскости фундаментальной кривой , соответствует полярная прямая. Возникает естественный вопрос: если полюс пробегает заданную кривую  порядка , какого класса будет кривая, обернутая (inviluppata) полярным прямыми? Или же, сколько полярных прямых проходят через произвольную точку , если полюса этих прямых лежат на кривой ? Если полярная прямая проходит через , то (§ 69a) ее полюс лежит на поляре , которая пересекает  в  точках. Эти точки — единственные точки кривой , полярные прямые для которых проходят через ; поэтому: когда полюс пробегает кривую порядка , полярные прямые огибают кривую класса .

 При  имеем: когда полюс пробегает прямую , полярная прямая оборачивается вокруг кривой класса .

 Если фундаментальная кривая имеет точку  кратности , то первая поляра  проходит  раз через точку  (§ 73); поэтому, если и прямая  проходит через эту точку, то первая поляра  пересекает  еще в  других точках; то есть класс искомой оболочки равен .

 Если, кроме того,  ветвей  имеют в  общую касательную, то здесь касаются и  ветвей первой поляры  (§ 74); поэтому, если  — такая касательная, то остается всего  пересечений с первой полярой; поэтому класс оболочки в этом случае равен .

Полярные оболочки 
 Как теория гармонических центров системы точек на прямой линии служит основой для теории полярных кривой относительно фундаментальной кривой заданного порядка, так свойства гармонических осей пучка прямых, расходящихся из одной точки (§ 19, 20), ведут к аналогичной теории полярных оболочек (inviluppi polari) относительно фундаментальной кривой заданного класса.

Пусть на плоскости заданы кривая  класса  и прямая , из произвольной точки  на  проведем  касательных к ; гармонические оси степени  этой системы  касательных относительно фиксированной  огибают, когда  пробегает прямую , линию класса . Так прямой  отвечают  полярных оболочек, классы которых начинаются с  и кончаются на 1. Полярная оболочка наивысшего класса касается прямой  в точках, общих этой линии и прямой ; отсюда следует, что  пересекает  в  точках, то есть кривая класса  имеет, в общем случае, порядок . Но он уменьшается на две единицы для каждой двойной касательной и на три единицы для каждой постоянной касательной, которыми наделена фундаментальная кривая и т. д.

Примечания