ЭСБЕ/Ультраэллиптические интегралы и функции
Ультраэллиптические интегралы и функции. — Квадратуры вида: , где  есть целый полином степени выше четвертой относительно , a  — какая-либо рациональная функция от  и  называются У. или гиперэллиптическими интегралами.

Теорией У. интегралов занимались Абель, Якоби, Гёпель, Розенгайн, Эрмит, Вейерштрассе, Прим, Нейман, Клебш и Гордан, Г. Вебер, Томэ, Брио, Кенигсбергер и др.; у нас, в России, К. А. Поссе, П. М. Покровский, М. А. Тихомандрицкий и др.

Если  есть полином 5-й или 6-й степени, то интегралы называются У. первого класса. С помощью подстановки:

Те У. интегралы первого класса, которые могут быть приведены к виду:

Если интеграл 1-го класса приводится к виду

Начало теории ультраэллиптических интегралов было положено в 30-х годах прошлого XIX стол. знаменитою теоремою Абеля о сложении интегралов алгебраических функций. Из этой теоремы между прочим следует, что если имеем систему уравнений

Якоби показал, что ,  и  суть однозначные функции с четырьмя системами периодов, т. е. что они остаются без изменения, если одновременно заменим  и  через

,

Требовалось определить те функции от  и , которые выражали бы  и  и соответствующие им значения  и , удовлетворяющие уравнениям (2).

Эта задача была решена почти одновременно Гёпелем и Розенгайном, которые показали, что для решения ее надо ввести особые функции от двух переменных, названный функциями  (тета) от двух аргументов; начало теории таких функций положил Риман.

Функция  от двух аргументов  и  выражается двойным бесконечным рядом.

Совокупность постоянных , , ,  называется характеристикою функций . При исследовании свойств этих функций оказывается, что существует только 16 различных функций , а именно соответствующих характеристикам: 
 . . . .
и т. д., при которых , , ,  суть либо нули, либо единицы.

Функция  с характеристикой  обозначается просто через .

По изучении свойств этих функций  оказалось, что  и , а также  и  выражаются рационально в функциях  от двух аргументов  и .

Для знакомства с теориею ультраэллиптических интегралов и функций  от двух аргументов нужно обратиться к статьям и сочинениям вышеупомянутых ученых.

ЭСБЕ:Математика