ЭСБЕ/Шаровые функции
Шаровые функции — представим себе точку M на поверхности шара, центр которого есть точка C. Предположим, что дана точка O вне шара (I) или внутри его (II).

Введем обозначения: МС=R, СО=ρ, МО=r, угол МСО=ω.

Из треугольника MCO следует, что

Это выражение можно представить:

(в случае I) или

(в случае II).

Полагая ,  или  равным α, получим, что r выражается в обоих случаях через

, где .

Во многих вопросах математической физики приходится  разлагать в ряд. Этот вопрос приводится к разложению функциипо степеням α. Выполнив это разложение, получим:

где  

Полученные здесь целые функции от x называются Лежандровыми функциями или, по Гауссу, шаровыми функциями.

При помощи строки Лагранжа доказывается, что  есть n-ая производная целой функции:

.

Уравнение  имеет все корни вещественные, лежащие между -1 и +1.

Функция  удовлетворяет дифференциальному уравнению:

.

Между тремя последовательными функциями ,  и  имеет место соотношение:

.

Из сочинений, посвященных рассматриваемому вопросу, отметим следующие: Р. G. Lejeune-Dirichlet, «Vorlesungen über die im umgekehrten Verhältniss des Quadrats der Entfernung wirkende Kräfte» (изд. доктора F. Grube’a, Лейпциг, 1876); Dr. E. Heine, «Handbuch der Kugelfunctionen. Theorie und Anwendungen» (2 т., Б., 1878, 1881).

ЭСБЕ:Математика