ЭСБЕ/Эллиптические интегралы и функции
Эллиптические интегралы и функции. — Э. интегралами называются все квадратуры вида:

Интеграл первого рода в нормальной форме имеет вид:

.

Значит  есть функция от , верхнего предела , заключающая в себе еще постоянную величину , называемую модулем.

Если положим , то интеграл , который теперь обозначим через , будет иметь вид:

Так как  есть функция от , то, обратно,  есть функция от . Эту обратную функцию называют амплитудой от  по модулю . Ее обозначают так:  или просто . Ближайшее рассмотрение показывает, что с равномерным возрастанием  функция  возрастает непрерывно, но периодически, то возрастая быстрее, чем следовало бы по закону равномерности, то медленнее, чем следовало бы по тому же закону. Когда  достигает величин , , , , ...., то и достигает величин ..., где

Величины ,  и  суть Э. функции от ; так как , то:

; ,

;

Нормальная форма Э. интеграла второго рода следующая:

 

При  равном , когда  (по формуле (2)) обращается в , интеграл (4) обращается в величину, обозначаемую буквой :

.

Дополнительным модулем назыв. величина , квадрат которой равен , так что . Означим через  следующий корень:

Лежандр показал, что между четырьмя величинами , ,  и  существует следующая зависимость:

Интегралы третьего рода имеют такой вид:

Якоби взял в качестве нормального вида интегралов этого рода интеграл, обозначенный им через П (и,а), а именно, следующий:

Как Э. интегралы, так и Э. функции могут быть выражены помощью особой трансцентной функции  или , называемой функцией тета Якоби. Функция эта может быть представлена в виде бесконечного ряда:

или в виде суммы бесконечного числа членов

Здесь  имеет иное значение, чем в начале этой статьи; а именно, все входящие в (9) и (10) знаки имеют следующие значения:

, , ,

 в сумме  означает всякие целые полож. и отриц. числа от  до .

При помощи этой функции интегралы второго и третьего рода выразятся так:

где  означает производную от  по .

Из функции  Якоби составляет еще три функции следующим образом.

Если прибавить к  величину , то к  прибавится величина , а если прибавить к  величину , то к  прибавится . Новые функции Якоби получает и обозначает таким образом:

,

В этих функциях выразятся эллиптические функции синус, косинус и дельта амплитуды так:

,

,

,

Функции эти обладают двоякой периодичностью в следующем смысле.

Если  есть комплексная переменная (см. Мнимые величины, XIX, 542): , то каждая из этих функций обратится в , где  и  будут функциями от  и , т. е.:

, .

Эти две функции представляют собой две поверхности, покрывающие неограниченную плоскость, точки которой, отнесенные к двум взаимно ортогональным осям имеют абсциссы  и ординаты . Обе эти поверхности периодичны и имеют период  параллельно оси абсцисс и другой период  параллельно оси ординат, так что высота каждой из этих поверхностей над четырьмя точками, имеющими координаты: , , ,  одинаковы.

Вейерштрасс (VI, 488) в своей теории эллиптических функций берет следующий Э. интеграл:

Нижний предел  этого интеграла представляет собой некоторую Э. функцию от ; эту функцию обозначим так: 

; 

Вторая часть этого равенства может быть представлена в виде:

,

Функция  имеет два примитивные периода

и , 

Величины  и  выражаются так:

, .

Когда  есть действительная величина, то точки 0, ,  находятся на плоскости u в вершинах прямоугольного треугольника, имеющего вершину прямого угла в точке 0.

Когда  есть комплексная величина с положительной мнимой частью, то точки 0, , , образуют остроугольный треугольник, с острым углом при 0. Если же мнимая часть комплексной величины  отрицательная, то 0 будет вершиной тупого угла.

Функция  может быть выражена следующим образом через синус амплитуды:

;

Вместо функции тета Вейерштрасс вводит функцию , удовлетворяющую дифференциальному уравнению:

.

Теория Э. функций, по изложению Якоби, находится в следующих книгах: «» (в 1-м томе «», Б., 1881); Durège, «» (Лпц., 1861). Теория по Вейерштрассу изложена в книгах: Halphen, «» (1-я часть, П., 1886); Appell et Lacour, «» (П., 1897); Schwarz, «»; Enneper, «» (2-е изд., Галле, 1890).

ЭСБЕ:Математика