Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/11
Если в теореме § 50 положить , то получится следующее утверждение:

Заданы две проективные звезды, центрами которых являются точки  и ; место, образованное точками пересечения двух соответствующих лучей, является кривой второго порядка, проходящей через точки , .

Обратно: пусть  и  — две точки, фиксированные произвольным образом на кривой второго порядка, а  — подвижная точка на этой кривой. При движении точки  вдоль кривой лучи  и  описывают (generare) две проективные звезды. Когда точка  бесконечно близко подходит к точке , луч  становится касательной к кривой в ; поэтому касательная в  является тем лучом первой звезды, который соответствует прямой , рассматриваемой как элемент второй звезды.

Отсюда прямо получается способ образования (costruzione) кривой второго порядка по заданным на ней пяти точкам . Возьмем две из них,  и , за центры двух проективных звезд, в которых , ,  суть три пары соответствующих лучей. Любая другая точка кривой является пересечением двух двух соответствующих лучей этих звезд (§ 3). Впрочем, эта конструкция уже получалась в теореме  (45, c).
Эта же конструкция применяется без изменений в случае, когда две из заданных точек бесконечно близки на заданной прямой, то есть, другими словами, когда искомая кривая должна проходить через четыре заданные точки и в одной из них иметь заданную касательную и т.д.

Если в проективных звездах с центрами в  и  прямая  соответствует сама себе, каждая ее точка является общей двум соответствующим лучам (которые к тому же совпадают в данном случае), поэтому эта прямая является частью места второго порядка, образованного двумя проективными звездами. Следовательно, это место составлено прямой  и некоторой другой прямой, соединяющей пересечения  соответствующих лучей двух звезд (§ 50b).

 Пусть даны два проективные пунктуала  и , какого класса будет кривая-оболочка прямых, соединяющих пары соответствующих точек? Иными словами, сколько раз эти прямые пройдут через произвольную точку ? Рассмотрим две звезды, получающиеся при соединении точки  с точками прямой  и соответствующими точками : эти звезды проективны двум пунктуалам, а следовательно и друг другу. Каждая прямая, соединяющая две соответствующие точки прямых  и  и проходящая через , является, очевидно, общим лучом двух звезд, то есть лучом, которые соответствует сам себе. Но две проективные звезды имеют два общих луча (§ 10); поэтому через точку  проходят ровно две прямые, каждая из которых является касательной к рассматриваемой оболочке. Таким образом, оболочка имеет класс, равный двум.

Обозначим точку, общую двум заданным прямым,  как  или  в зависимости от того, рассматривается она как элемент первого или второго пунктуала; точки, соответствующие  или , обозначим как , . Прямые  (то есть ) и  (то есть ) являются касательными к кривой второго класса; поэтому эта кривая касается заданных прямых.

Обратно: две фиксированные произвольные касательные  и  к кривой второго класса пересекаются с подвижной касательной  к этой же кривой в точках  и , образуя два проективных пунктуала. Когда  сливается с прямой , точка  оказывается точкой, в которой  касается кривой; поэтому  касается кривой в точке  , соответствующей точке  прямой , где эта кривая пересекает прямую .

Отсюда получается способ построения (costruzione) кривой второго класса по заданным пяти касательным. Две из этих касательных пересекаются оставшимися тремя в трех парах точек, которые, будучи рассмотрены как пары соответствующих точек, задают два проективных пунктуала. Любая другая касательная искомой кривой тогда определяется двумя соответствующими точка этих пунктуалов.

Если точка пересечения двух проективных прямых  и  соответствует сама себе, то каждая прямая, проходящая через нее, соединяет соответствующие точки (которые в данном случае совпадают); поэтому эта точка является частью оболочки второго порядка, образованной этими двумя пунктуалами. Таким образом, в этом случае оболочка оказывается составленной из точки пересечения рассматриваемых прямых  и  и  точки, через которую проходят все прямые, соединяющие соответствующие точки заданных пунктуалов (§ 3).

 Через точку кривой второго класса нельзя провести прямую, которая касалась бы этой кривой в какой-либо другой точке (§ 30). Поэтому прямая, касающаяся кривой второго класса не может более ее пересечь, и, следовательно, кривая второго класса является также и кривой второго порядка.

Аналогично доказывается, что кривая второго порядка является кривой второго класса. Отмеченное тождество (identita) между кривыми второго порядка и второго класса имеет место только, пока рассматриваются простые кривые. Система же двух прямых является только местом второго порядка, но не местом второго класса, а система двух точек является оболочкой второго класса, но не местом второго порядка.

Кривые второго порядка и второго класса обычно называют коническими сечениями или просто кониками (coniche).

 Из теоремы (§ 59) следует, что если  — четыре заданные точки на конике, а  — подвижная точка на этой кривой, то ангармоническое отношение четырех лучей  постоянно, и поэтому 
 , 
где  означает прямую, касающуюся коники в .

Обратно: задано четыре точки , место точки , такой что ангармоническое отношение прямых  имеет некоторое постоянное значение , является коникой, проходящей через  и образуемой весьма просто. Именно: если обозначить как  прямую, проведенную через  так, чтобы ангармоническое отношение четырех прямых   было равно , то искомая коника однозначно определяется тем условием, что она проходит через  и касается в  прямой .

Рассмотренное здесь геометрическое место позволяет решить следующую задачу:

. Задана пять прямых , пересекающихся в точке  , и пять точек , требуется найти точку , такую, чтобы пучок пяти прямых  был проективен аналогичному пучку .

Построим конику-место точки  такой, что два пучка ,  имеют одно и то же ангармоническое отношение. Аналогично, построим конику-место точки  такой, что два пучка ,  имеют одно и то же ангармоническое отношение. Первая коника проходит через точки , а вторая — через , и обе определены вполне однозначно.

Поскольку искомая точка  по условию обладает всеми свойствами, присущими как  точке  , так и точке , то она должна лежат на обеих кониках.  Эти кривые имеют три общие точки , известные a priori, поэтому четвертая точка их пересечения и есть искомая точка. Как станет ясно в след. двух параграфах, эта точка может быть построена без предварительного построения двух кривых.

 Коники, проходящие через одни и те же четыре точки ,  образуют пучок кривых второго порядка. Среди них имеются три коники, составленные из двух прямых, а именно три пары противоположных сторон , ,  полного четырехсторонника, вписанного во все рассматриваемые коники.

Если через вершину четырехсторонника, напр. для , провести произвольную секущую  , то она пересечет каждую конику пучка еще в одной точке. И наоборот, каждая точка секущей выделяет ровно одну конику пучка, которая определяет условием прохождения через эту точку и еще через четыре заданные точки . Поэтому пучок коник и пунктуал, который он определяет на секущей , представляют собой проективные геометрические формы: иными словами, ангармоническое отношение четырех точек, в которых четыре заданные коники пучка пересекают секущую, проведенную через одну из базовых точек, является постоянным для любого направления секущей и любой из базовых точек; действительно, это ангармоническое отношение равно ангармоническому отношению четырех коник (§ 46).

Отсюда следует, что две секущие , , проведенные через две базовые точки, скажем,  и , пересекают коники пучка в точках, составляющих два проективные пунктуала. При этом, конечно, как соответствующие рассматриваются точки  и , в которых одна и та же коника пересекает эти две секущие. Заметим теперь, что в этих двух пункуталах точка пересечения секущих соответствует сама себе, поскольку коника пучка, определенная этой точкой, пересекает здесь обе секущие. Следовательно, все прямые, соединяющие соответствующие точки пунктуалов,   проходят через фиксированную точку  (§ 3, 60). Каждая прямая, проведенная через , пересекает секущие  и  в двух точках, лежащих на одной и той же конике пучка. Поэтому прямая  (которая вмести с  составляет конику пучка) проходит через ; точка, в которой секущая  пересекает  и точка, в которой секущая  пересекает , лежат на одной прямой с точкой ; аналогично, точка, в которой  пересекает , и точка, в которой  пересекает , тоже лежат на одной прямой с .

 Допустим теперь, что одна коника определяется пятью заданными точками  , а другая - . Эти две коники имеют три общие точки , , , заданные a priori''; мы же хотим построить (costruire) четвертую общую точку , минуя построение самих коник.

Проведем прямые  и  и обозначим их соответственно как  и . Прямая  пересекает вторую конику в точке , которую, в силу теоремы , можно построить, не начертив саму кривую. Аналогично, пусть прямая  пересекает первую конику в точке . Прямые  и  пересекаются в одной точке  . Пусть  — общая точка прямых  и , а  — точка, в которой пересекаются  и . Тогда точка  , общая  и , является искомой. Обоснование этого построения не трудно образовать из сказанного в пред. параграфе.

Примечания 

it:Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Costruzione delle curve di second'ordine