Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/10
it:Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Generazione delle linee piane

Пучки кривых
 Как было уже сказано выше в § 41, пучком  порядка  называется система, образованная бесконечным числом кривых порядка , проходящих  через одни и те же  точек, [составляющих базу пучка], то есть пучок — это геометрический образ, каждый элемент которого суть кривая порядка , проходящая через  заданных точек, а, следовательно, также еще и через другие -е неподвижные точки.

Каждая кривая пучка полностью определяется заданием одной точкой, взятой на ней произвольным образом.  В частности, эта точка может быть взята на некоторой прямой, проходящей через одну из точек базы, бесконечно близко к этой точке, поэтому кривая полностью определяется и своей касательной в базовой точке. Иными словами, если через точку базы пучка провести прямую произвольным образом, то имеется и при том только одна кривая пучка, касающаяся этой прямой в этой точке. К этому можно добавить следующее: рассмотрим звезду, образованную всеми прямыми, проходящими через базовую точку, и будем считать соответствующими друг другу  произвольную прямую пучка и луч, касающийся кривой в базовой точке. При этом каждая кривая пучка отвечает одному такому лучу звезды, и наоборот, каждому лучу звезды отвечает одна такая кривая пучка, поэтому звезда и пучок кривых геометрически проективны.

Рассматривая две звезды, центры которых расположены в двух базовых точка пучка, и сопоставляя друг другу лучи этих звезд, касающиеся одной и той же кривой пучка в соответствующих базовых точках, видим, что эти две звезды проективны. Это позволяет считать все звезды, центры которых суть  базовых точек пучка, проективными между собой и пучком кривых и ввести ангармоническое отношение четырех кривых пучка, под которым понимается ангармоническое отношение четырех лучей любой из звезд, проективных пучку.

 Если две базовые точки бесконечно близки, то есть если кривые пучка касаются друг друга в точке  и прямая  — общая касательная, то все эти кривые имеют в  две следующие друг за другом точки, общие с прямой . Среди этих кривых можно найти одну, проходящую через третью точку, следующую [за этими двумя точками] на прямой , то есть кривую, имеющую в  3-х точечное касание с прямой . Если же провести через точку  произвольную прямую , можно найти кривую пучка, которая проходит через точку на , следующую за ; такая кривая имеет, следовательно, две точки, совпадающие в точке , общие с любой

другой прямой, проходящей через  (см. § 31). Таким образом, среди  всех кривых пучка, касающихся друг друга в точке , имеется ровно одна кривая, для которой точка  — точка перегиба, и еще одна кривая, для которой точка  — двойная точка.

 Может случиться, что базовая точка  является двойной точкой для всех кривых пучка: в таком случае эта точка эквивалентна четырем пересечениям любых двух кривых пучка (см. § 32), поэтому имеется еще всего  базовых точек. Это означает, что пары касательных кривых в общей двойной точке образуют квадратичную инволюцию, которая [в силу § 22] имеет два двойных луча, и поэтому имеется две кривые пучка, для которых точка  является точкой возврата.

Если все кривые пучка имеют в двойной точке  одну общую касательную, произвольная прямая, проведенная через точку  и рассматриваемая как вторая касательная, однозначно определяет кривую пучка. Следовательно, в этом случае одна единственная кривая имеет в  точку возврата.

Если у всех кривых пучка в двойной точке  обе касательные  и  — общие, то можно определить одну из этих кривых таким образом, чтобы прямая, проходящая через  и отличная от , , имела здесь с кривой три общие точки. Следовательно, (§ 31), в рассматриваемом случае существует кривая пучка, для которой точка  является тройной. Сказанное остается в силе, когда прямые  и  совпадают друг с другом, то есть когда все кривые пучка имеют в точке  точку возврата с общей касательной.

Аналогично: если  является -кратной точкой для всех кривых пучка, они к тому же они они имеют здесь  общих касательных, то существует кривая пучка, для которой точка  является точкой кратности .

 Если произвольная секущая пересекает кривые порядка  некоторого заданного пучка, то точки пересечения с каждой из кривых пучка образуют группу из  точек; бесконечное число групп, отвечающее бесконечному числу кривых пучка, составляет инволюцию степени .

В самом деле, через произвольную точку  секущей проходит одна единственная кривая пучка, которая пересекает саму секущую еще в других  точках группы, которой принадлежит точка . Каждая группа, следовательно, определяется заданием любой из ее точек, а именно это и требуется в определении инволюции (§ 21).

Поскольку инволюция имеет  двойных точек (§ 22), верно:

Среди кривых порядка , принадлежащих одному пучку, имеется  кривых, касающихся заданной прямой.

Очевидно, что пучок порядка  и порожденная им на заданной прямой инволюция порядка  являются двумя геометрически проективными образами, поэтому ангармоническое отношение четырех кривых и ангармоническое отношение четырех групп точек, в которых эти кривые пересекают заданную прямую, равны.

Два пучка кривых называются проективными, когда они соответственно проективны двум звездам, проективным между собой, то есть когда между кривыми пучков имеется взаимно однозначное соответствие. Очевидно, что ангармонические отношения четырех кривых одного пучка и четырех соответствующих им кривых другого пучка равны. Инволюции, которые задают два проективные пучка на одной и той же прямой или на двух различных секущих, тоже проективны.

Два проективных пучка

 Пусть даны два проективных пучка, один — порядка , другой — порядка ; какой порядок имеет место, образованное пересечениями двух соответствующих друг другу кривых?  

Произвольная секущая пересекает оба пучка, которые задают на ней две проективные инволюции, одну — порядка , другую — порядка . Эти инволюции имеют  общих точек (§ 24, b), то есть на секущей имеется всего  точек, через которые проходят две соответствующие друг другу кривые пучков, иными словами,  точек рассматриваемого места. Этим  местом, следовательно, является кривая  порядка .
Она проходит через все базовые точки обоих пучков, поскольку любая из этих точек лежит на всех кривых одного пучка и на одной кривой другого.

 Получившуюся кривую порядка  можно иногда разложить на линии меньшего порядка. Так будет, напр., когда соответствующие кривые двух заданных пучков пересекаются постоянно на некоторой кривой порядка  и тогда остальные точки пересечений должны лежать на некоторой второй кривой порядка , которая вмести с первой кривой составляют место порядка , порожденное двумя пучками.

 Это разложение произойдет также, когда два проективных пучка, допустим, одного порядка  , имеют общую кривую и она соответствует сама себе. Тогда каждую точку этой кривой можно рассматривать как общую точку двух соответствующих кривых, и следовательно, место пересечения двух соответствующих кривых двух пучков является, в этом случае, кривой порядка  .

Это свойство можно выразить следующим образом:

Если кривая  проходит через общие точки двух кривых  и , а также и через общие точки двух других кривых  и , то все общие точки кривых  и  вмести с общими точками кривых  и  лежат на одной и той же кривой  .

Здесь подразумевая, что все упомянутые кривые имеют порядок .

 Посечем опять два заданных пучка прямой , получив две проективные инволюции и  точек, общих этим инволюциям, в которых прямая  пересекается с кривой , образованной пересечениями двух кривых, соответствующих друг другу в этих пучках. Допустим теперь, что на прямой  имеется такая точка , в которой совпадают  пересечений всех кривых первого пучка и  пересечений всех кривых второго пучка с прямой , но некоторая кривая  первого пучка имеет  точек, общих с  и совпадающих в , и эта же точка представляет  пересечений  с кривой  второго пучка, соответствующей кривой . В силу доказанного в § 24c, d, в точке   совпадает  или  (в зависимости от того, больше число  числа , или меньше) точек, общих для прямой  и кривой .

Эта общая теорема имеет многочисленные следствия, из которых мы здесь приведем лишь те, которые необходимы для дальнейшего.

 Пусть  — базовая точка первого пучка, а  — кривая второго пучка, проходящая через ; пусть, далее, кривая , отвечающая этой кривой в первом пучке, и прямая  — касательная к  в точке . Применяя к этой прямой общую теорему, положив в ней , , , , получаем, что она является также касательной к  в точке .

 Пусть кривые первого пучка проходят через точку  и имеют здесь общую касательную, тогда среди них имеется такая кривая , имеющая двойную точку в  (§ 47). Если соответствующая ей кривая  второго пучка проходит через , общая теорема, примененная к произвольной прямой, проходящей через точку (, , , ), утверждает, что она пересекает  двух точках, совпадающих с , то есть эта точка является двойной для .

 Пусть в дополнение к предположениям § 51b кривая  имеет в  кратную точку. Применяя общую теорему к одной из двух касательных в  к кривой (, , , ), видим, что эта прямая имеет три общие точки с , совпадающие с , поэтому кривые  и  имеет общими не только двойную точку , но также и обе касательные, проведенные к ним в этой точке.

 В предположениях § 51b прямая , общая касательная к кривым первого пучка в точке , является также касательной к одной из двух дуг кривой  (, , , ), поэтому она является касательной и к одной из двух дуг .

 Если к тому же вторая касательная к  в  касается здесь и кривой , то, применив к этой кривой общую теорему (, , , ), видим, что она является касательной ко второй дуге .
Отсюда следует, что если  имеет в  две касательные, совпадающие с прямой
, общей касательной кривых первого пучка, и если эта прямая касается в этой точке также и кривой , то кривая кривая  имеет в точке  точку возврата с касательной .

 Пусть две соответствующие кривые  и  проходят через одно и то же число  раз через точку . Если  — произвольная прямая, проведенная через точку , то в силу общей теоремы (, ) в точке  совпадает  пересечений кривой  с , то есть  является точкой кратности  для кривой .

 Если  проходит  раз, а  бо́льшее число  раз через , эта точка приобретает кратность  для . Кроме того, если рассмотреть одну из касательных к  в , общая теорема (, , ) укажет на  пересечений этой прямой с , совпадающих в . Поэтому касательные к  дугам кривой  касаются также и  дуг кривой .

Тем же способом можно доказать утверждения, собранные в следующем параграфе.

 Предположим теперь, что базы двух пучков имеют общую точку , которая имеет кратность  для кривых первого пучка и кратность  для кривых второго пучка. Каждая кривая первого пучка имеет в  группу из  касательных, и такие группы, соответствующие различным кривым пучка, образуют инволюцию степени . Аналогично получается инволюция степени , образованная касательными в  к кривым второго пучка. Две инволюции имеют  общих лучей (§ 24b), каждая из которых, касаясь в  обеих соответствующих друг другу кривых, касается также и  кривой . Следовательно, эта кривая имеет  дуг, проходящих через , и касательные к этим дугам являются общими касательными двух инволюций.

 В особом же случае, когда все кривые одного из пучков имеют общую касательную в , эта касательная является также и касательной к . Предположим, что все  касательные в  являются общими для кривых первого пучка, а, значит, и касательными к кривой порядка , оставшиеся  касательных к этой кривой являются, очевидно,  касательными к кривой  второго пучка, соответствующей кривой  первого пучка, имеющей точку кратности  в  (§ 48).

Образование плоской кривой при помощи двух проективных пучков
 Важная теорема § 50 подводит вполне естественно к следующей задаче:

 Даны точки, необходимые для задания кривой порядка , требуется найти (formare) два проективных пучка, один порядка , другой — , такие, чтобы при движении пересечения соответствующих друг другу кривых описывали (generare) искомую кривую.

Разрешив эту задачу, в частности получим, что каждая заданная кривая порядка  может быть образована (generata) движением пересечения соответствующих кривых двух проективных пучков порядков  и .

Решение этой фундаментальной задачи использует некоторые теоремы, принадлежащие Гг.   и , которые теперь необходимо изложить. Следует заметить, что эти теоремы справедливы только для кривых порядка , а для рассмотрения кривых второго порядка достаточно предложения, доказанного в § 50, как это будет показано ниже в § 59. Таким образом, пока будем предполагать, что  больше 2.

Теоремы Шаля 
  . На кривой  порядка  возьмем  точек, образующих базу некоторого пучка порядка . Обозначим как ,  две кривые этого пучка. Поскольку среди  пересечений кривой  с кривой  имеется  точек, лежащих на , то в силу теоремы из § 44 оставшиеся  точек лежат на некоторой кривой  порядка . Эта кривая ими вполне определена,
поскольку при  две кривые порядка  не могут иметь  общих точек.
Аналогично, поскольку среди  пересечений кривой  с кривой  имеется  пересечений, лежащих на , то остальные  пересечения лежат на кривой  порядка .

Два места порядка  —  и  — пересекаются в  точках, из которых  лежат на . Из неравенства
 ,
в силу § 41 следует, что также и другие  пересечений этих двух мест, то есть  общих точек кривых  и , лежат на  и образуют базу пучка кривых порядка .
Таким образом, на  имеются две системы точек: первая — система из  точек, составляющих базу пучка кривых порядка , а другая — система из  точек, составляющих базу второго пучка кривых порядка . Каждая кривая  первого пучка пересекает  в  точках, отличных от базовых точек первого пучка; эти точки полностью определяют кривую  второго пучка и наоборот, задание этой кривой определяет исходную. Поэтому эти два пучка проективны и пересечения соответствующих кривых  и  всегда лежат на .

  . Каждая кривая , проведенная через  точек на , пересекает эту кривую в других  точках, которые, в этом случае, не являются независимыми между собой, поскольку каждая кривая порядка , проведенная через  из этих точек, проходит также и через все остальные (§ 42). Дополним эти  еще новыми точками, взятыми произвольным образом на  в числе
 ,
с тем, чтобы получить всего  независимых точек, определяющих некоторую кривую  порядка .
Аналогично, другая кривая  пучка порядка  пересекает  в  точках (помимо  базисных точек пучка) и эти точки вмести с еще указанными выше
 
дополнительными точками, определяют некоторую другую кривую  порядка .

Два места порядка  —  и  — имеют общими  точек, из которых  точек лежат . Но это число равно , и, следовательно, ; поэтому (§ 41) остающиеся  пересечения кривых  и  лежат также на  и вмести с добавленными точками составляют базу некоторого пучка порядка . Таким образом, и в этом случае имеется на  две системы точек, составляющие базы двух пучков порядков  и . Эти два пучка проективны, поскольку каждая кривая одного определяет кривую другого и наоборот.

Кроме того, соответствующие кривые пересекаются только в точках, принадлежащих заданной кривой . 

 Эта теорема показывает каким способом для заданной кривой порядка  и взятых на ней базовых точек пучка порядка  можно определить базовые точки второго пучка порядка , проективного первому, так, чтобы пересечения соответствующих кривых этих двух пучков доставляли заданную кривую. Остается выяснить как на заданной кривой порядка  можно определить  базовых точек пучка кривых порядка .

 Во-первых, заметим, что из теоремы  (§ 44) вытекает следующее утверждение:

Если кривая порядка  содержит  пересечений двух кривых порядка , то она содержит и все остальные их пересечения.

Отсюда:

Когда  базовых точек пучка порядка  лежат на кривой порядка , эта кривая содержит и все остальные базовые точки пучка.

При этом предполагается, конечно, что , то есть .
Пусть  и, допустим, на заданной кривой порядка  требуется взять  точек, образующих базу пучка порядка . Для того, чтобы заданная кривая содержала  базовых точек, достаточно, чтобы она содержала  из них.

С другой стороны, пучок полностью определяется  базовыми точками, то есть заданием  параметров. Требование того, чтобы все  базовые точки пучка, лежали на заданной кривой, сводится к аналогичному требованию, наложенному на  из этих точек, и оставляет свободными
 
параметров.
Поскольку точка, взятая на заданной кривой, определяется одним условием, то при составлении базы пучка порядка  можно выбрать на заданной кривой произвольным образом  точек.

Во втором случае, когда , для того, чтобы  базовых точек лежало на заданной кривой, требуется  условий; следовательно, по тем же причинам, что и выше, остается  свободных условий. Отсюда:

Когда на заданной кривой порядка  требуется определить  точек, составляющих базу пучка порядка , можно взять произвольными на этой кривой  или  точек, в зависимости от того, верно  или, наоборот, .

Собирая вмести две теоремы, доказанные в § 54 и § 55, видим, что произвольная кривая порядка  может быть порождена бесчисленным числом способов двумя проективными пучками, порядки которых  и  должны в сумме давать .

Теоремы Жонкьера
 Таким образом найдено число точек, которые можно брать произвольными на заданной кривой порядка  при составлении базы пучка порядка , остается определить число точек, которые не произвольны, но с необходимостью определяются при составлении баз пучков, порождающих кривую. 

 Рассмотрим два случая, когда порядки этих пучков равны, и неравны. 

. Пусть для начала эти числа неравны, для определенности, пусть  — большее.

Если , произвольных точек имеется . Но базы двух двух пучков определяются  и  точками; поэтому неизвестных точек имеется
.

Если  или  число произвольных точек равно , и поэтому число неизвестных точек равно .

. Когда  и  равны, точек, которых можно взять произвольными при составлении первого пучка, имеется ; а, определив эту базу, можно еще взять произвольной одну точку при составлении базы второго пучка: как было показано в  § 54a число добавляемых произвольных точек равно , что при  дает . Поэтому число неизвестных точек равно
 .

 К тому же результату можно придти, исходя из меньшего из чисел  и . Пусть . Тогда при составлении базы пучка порядка   можно взять  точек произвольными; зафиксировав эту базу, можно взять еще

произвольных точек при составлении базы второго пучка; поэтому неизвестных точек в двух базах всего имеется
.

Отсюда следует, что при составлении баз двух пучков порядков  и  , порождающих кривую порядка , имеется только  точек, которые нельзя взять произвольным образом на этой кривой, но следует определить, используя параметры, задающие кривую.

 Пусть задано  точек, через которые требуется провести кривую порядка , то есть требуется определить два проективных пучка порядков   и  так, чтобы место пересечения соответствующих кривых оказалось кривой порядка , определенной заданными точками.

Поскольку среди  точек, которые однозначно определяют базы двух пучков, имеется только  точек, которые не могут быть взяты произвольным образом, за  базовых точек можно взять любые из заданных. После этого останется еще  неиспользованных точек. Для того, чтобы кривая проходила и через них, кривая первого пучка, проходящие через любую из этих  точек, должна соответствовать проективно кривой второго пучка, проходящей через ту же точку. Поскольку для фиксации проективности двух  двух форм требуется установить три произвольные пары соответствующих элементов (§ 8), после чего любому четвертому элементу первой формы отвечает четвертый элемент второй формы, определяемый из уравнения ангармонического отношения, проективное соответствие этих  пар кривых доставляет  условий, но ровно столько условий необходимо и достаточно для отыскания  неизвестных точек.

 Задача, сформулированная выше в § 53, допускает  различные решения не только из-за того, что число, выражающее порядок заданной кривой, можно представить в виде суммы двух натуральных числе различными способами, но из-за того, что различными способами можно распределить между базами пучков, порождающих кривую, точки, которые разрешено брать произвольным образом.

Из доказанного в § 56 получается  еще и такое следствие:

Желая образовать на кривой порядка  базы двух пучков порядков   и , порождающих эту кривую, можно все точки, которые допустимо брать произвольным образом, приписать пучку большего порядка, если , и одну из них первому пучку, а все остальные — другому, если .

Примечания