ЭСБЕ/Арифметически-гармоническая средняя
Арифметически-гармоническая средняя из двух чисел получается следующим образом. Пусть данные числа суть a и h < a. Составим их арифметическую среднюю  и гармоническую среднюю  т. е. найдем  и  таким же образом составим  и  и т. д. Числа  и  будут представлять — первые убывающий ряд, вторые — возрастающий. Все числа первого ряда больше всех чисел второго, и оба ряда стремятся к одному и тому же пределу, который и есть А.-г. средняя. Означим ее АН. Покажем, что АН. двух чисел равно геометрической средней их. В самом деле,  след.  точно так же  что треб. док., наконец,  Но  если b есть АН между а и h; итак,  ч. треб. док. Следствие: AH из какого-нибудь числа и единицы есть квадратный корень из этого числа, т. е.  Итак, чтобы найти  можно поступить следующим образом: найти арифметическую среднюю  из а и 1 и гармоническую среднюю  из а и 1; затем арифметическую среднюю  из  и  и гармоническую среднюю  из  и  и т. д., числа  и  будут быстро сходиться и стремиться к пределу = . Прим. а = 2, h = 1

итак,  = 1.4142186, ч. треб. док.

ЭСБЕ:Математика