ЭСБЕ/Арифметические ряды
Арифметические ряды… — Пусть будет ряд:

(A)......u0, u1, u2, u3,......

Если из этого ряда через вычитание каждого члена из последующего выведем другой ряд

(B)......u1 − u0, u2 − u1, u3 − u2......

равным образом, через вычитание каждого члена ряда (В) из следующего составим ряд

(C)......u2 − 2u1 + u0, u3 − 2u2 + u1, u4 − 2u3 + u2,......

и другие подобные ряды (D), (E)… (N), то (В), (С)… по отношению к (А) будут первым, вторым и т. д. разностным рядом. Если n-ый разностный ряд будет состоять из равных членов, отличных от нуля, то такой ряд называется арифметическим рядом n-го порядка. Очевидно, что члены (n + 1)-го, (n + 2)-го и т. д. разностных рядов будут равны нулю. Отсюда легко заключить, что арифметическая прогрессия a, a+b, a+2b, a+3b,…

есть арифметический ряд 1-го порядка, для которого постоянный член 1-го разностного ряда = 1.b.

Ряд a2, (a + b)2, (a + 2b)2, (a + 3b)3,… есть арифметический ряд 2-го порядка, где постоянный член 1-го разностного ряда = 1.2.b2, и т. д.

Ряд an, (a + b)n, (a + 2b)n, (a + 3b)n,… есть арифметический ряд n-го порядка, для которого постоянный член 1-го разностного ряда = 1.2.3…nbn. Очевидно, что исследование свойств их приводится к исчислению разностей.

ЭСБЕ:Математика