ЭСБЕ/Электростатика
Электростатика — один из отделов учения об электрических явлениях, заключающий в себе исследования распределения электричества, при условии равновесия его, на телах и определение тех электрических сил, какие возникают при этом. Основание Э. положили работы Кулона; найденный последним закон электрических взаимодействий дал возможность Грину, Гауссу и Пуассону создать изящную в математическом отношении теорию. Самую существенную часть Э. составляет теория потенциала, созданная Грином и Гауссом. Очень много опытных исследований по Э. было произведено Риссом, книги которого «Die Lehre von der Reibungselektricität» (1853, в 2 томах) и «Abhandlungen zu der Lehre von der Reibungselektricität» (1867) составляли в прежнее время главное пособие при изучении этих явлений. Опыты Фарадея, произведенные еще в первую половину тридцатых годов, должны были повлечь за собой коренное изменение в основных положениях учения об электрических явлениях. Эти опыты указали, что то, что считалось совершенно пассивно относящимся к электричеству, а именно, изолирующие вещества или, как их назвал Фарадей, диэлектрики, имеет первенствующее значение во всех электрических процессах и, в частности, в самой электризации проводников. Эти опыты обнаружили, что вещество изолирующего слоя между двумя поверхностями конденсатора играет громадную роль в величине электроемкости этого конденсатора. Замена воздуха, как изолирующего слоя между поверхностями конденсатора, каким-либо другим жидким или твердым изолятором производит на величину электроемкости конденсатора такое же действие, какое оказывает соответствующее уменьшение расстояния между этими поверхностями при сохранении воздуха в качестве изолятора. При замене слоя воздуха слоем другого жидкого или твердого диэлектрика электроемкость конденсатора увеличивается в К раз. Эта величина К названа Фарадеем индуктивной способностью данного диэлектрика. Ныне величину К называют обыкновенно диэлектрической постоянной этого изолирующего вещества. Такое же изменение электроемкости происходит и в каждом отдельном проводящем теле, когда это тело из воздуха переносится в другую изолирующую среду. Но изменение электроемкости тела влечет за собой изменение величины заряда на этом теле при данном потенциале на нем, а также и обратно, изменение потенциала тела при данном заряде его. Вместе с этим оно изменяет и электрическую энергию тела. Итак, значение изолирующей среды, в которой помещены электризуемые тела или которая отделяет собой собирательную и конденсирующую поверхности конденсатора, является крайне существенным. Изолирующее вещество не только удерживает электрический заряд на поверхности тела, оно влияет на самое электрическое состояние последнего. Таково заключение, к какому привели Фарадея его опыты. Это заключение вполне соответствовало основному взгляду Фарадея на электрические действия. Согласно гипотезе Кулона, электрические действия между телами рассматривались, как действия, которые происходят на расстоянии. Принималось, что два количества электричества q и q′, мысленно сосредоточенные в двух точках, отстоящих друг от друга на расстояние r, отталкивают или притягивают одно другое по направлению линии, соединяющей эти две точки, с силой, которая определяется формулой , причем коэффициент С является зависящим исключительно только от единиц, служащих для измерения величин q, r и f. Природа среды, внутри которой находятся данные две точки с количествами электричества q и q′, предполагалось, не имеет никакого значения, не влияет на величину f. Фарадей держался совершенно иного взгляда на это. По его мнению, наэлектризованное тело только кажущимся образом действует на другое тело, находящееся в некотором расстоянии от него; на самом деле электризуемое тело лишь вызывает особые изменения в соприкасающейся с ним изолирующей среде, которые передаются в этой среде от слоя к слою, достигают, наконец, слоя, непосредственно прилегающего к другому рассматриваемому телу и производят там то, что представляется непосредственным действием первого тела на второе через отделяющую их среду. При таком воззрении на электрические действия закон Кулона, выражающийся вышеприведенной формулой, может служить только для описания того, что дает наблюдение, и нисколько не выражает истинного процесса, происходящего при этом. При этом становится понятным, что вообще электрические действия меняются при перемене изолирующей среды, ибо в этом случае должны изменяться и те деформации, какие возникают в пространстве между двумя, по-видимому, действующими друг на друга наэлектризованными телами. Самый закон Кулона, так сказать, описывающий внешним образом явление, должен быть заменен другим, в который входит характеристика природы изолирующей среды. Для изотропной и однородной среды закон Кулона, как показали дальнейшие исследования, может быть выражен следующей формулой:

.

Здесь К обозначает то, что выше названо диэлектрической постоянной данной изолирующей среды. Величина К для воздуха равна единице, т. е. для воздуха взаимодействие между двумя точками с количествами электричества в них q и q′ выражается так, как принял это Кулон. Итак, согласно основной идее Фарадея, окружающая изолирующая среда или, лучше, те изменения (поляризация среды), какие под влиянием процесса, приводящего тела в электрическое состояние, являются в наполняющем эту среду эфире, представляют собою причину всех наблюдаемых нами электрических действий. По Фарадею самая электризация проводников на их поверхности — лишь следствие влияния на них поляризованной окружающей среды. Изолирующая среда при этом находится в напряженном состоянии. На основании весьма простых опытов Фарадей пришел к заключению, что при возбуждении электрической поляризации в какой-либо среде, при возбуждении, как говорят теперь, электрического поля, в этой среде должно существовать натяжение вдоль силовых линий (силовая линия — это линия, касательные к которой совпадают с направлениями электрических сил, испытываемых положительным электричеством, воображенным в точках, находящихся на этой линии) и должно существовать давление по направлениям, перпендикулярным к силовым линиям. Такое напряженное состояние может вызываться только в изоляторах. Проводники не способны испытывать подобное изменение своего состояния, в них не происходит никакого возмущения; и только на поверхности таких проводящих тел, т. е. на границе между проводником и изолятором, поляризованное состояние изолирующей среды становится заметным, оно выражается в кажущемся распределении электричества на поверхности проводников. Итак, наэлектризованный проводник как бы связан с окружающей изолирующей средой. С поверхности этого наэлектризованного проводника как бы распространяются силовые линии, и эти линии заканчиваются на поверхности другого проводника, который видимым образом представляется покрытым противоположным по знаку электричеством. Вот какова картина, которую рисовал себе Фарадей для разъяснения явлений электризации. Учение Фарадея не скоро было принято физиками. Опыты Фарадея рассматривались даже в шестидесятых годах, как не дающие права на допущением какого-либо существенного значения изоляторов в процессах электризации проводников. Только позднее, после появления замечательных работ Максвелла, идеи Фарадея стали все более и более распространяться между учеными и, наконец,были признаны вполне отвечающими фактам. Здесь уместно отметить, что еще в шестидесятых годах проф. Ф. H. Шведов, на основании произведенных им опытов, весьма горячо и убедительно доказывал верность основных положений Фарадея относительно роли изоляторов (см. магистерскую диссертацию проф. Ф. H. Шведова, «О значении непроводников в Э.», СПб., 1868). На самом деле, однако, за много лет до работ Фарадея уже было открыто влияние изоляторов на электрические процессы. Еще в начале 70-х годов XVIII столетия Кэвендиш наблюдал и весьма тщательно изучил значение природы изолирующего слоя в конденсаторе. Опыты Кэвендиша, как и впоследствии опыты Фарадея, показали увеличение электроемкости конденсатора, когда слой воздуха в этом конденсаторе заменяется такой же толщины слоем какого-либо твердого диэлектрика. Эти опыты дают даже возможность определить численные величины диэлектрических постоянных некоторых изолирующих веществ, причем эти величины получаются сравнительно немного отличающимися от тех, какие найдены в последнее время при употреблении более совершенных измерительных приборов. Но эта работа Кэвендиша, как и другие его исследования по электричеству, приведшие его к установлению закона электрических взаимодействий, тождественного с законом, опубликованным в 1785 г. Кулоном, оставались неизвестными вплоть до 1879 г. Только в этом году мемуары Кэвендиша были обнародованы Максвеллом, повторившим почти все опыты Кэвендиша и сделавшим по поводу их многие, весьма ценные указания. Изданное Максвеллом собрание мемуаров Кэвендиша носит название: «The Electrical Researches of the Honourable Henry Cavendish. Edited by J. C. Maxwell » (1879). Как уже выше упомянуто, в основание Э., вплоть до появления работ Максвелла, был положен закон Кулона: . При допущении C = 1, т. е. при выражении количества электричества в так называемой абсолютной электростатической единице системы C. G. S., этот закон Кулона получает выражение: , отсюда потенциальная функция или, проще, потенциал в точке, координаты которой суть x, у, z, определяется формулой:

, (1)

в которой интеграл распространяется на все электрические заряды в данном пространстве, а r обозначает расстояние элемента заряда dq до точки x, у, z. Обозначая поверхностную плотность электричества на наэлектризованных телах через σ, а объемную плотность электричества в них через ρ, мы имеем

. (2)

Здесь dS обозначает элемент поверхности тела, ζ,η,ξ — координаты элемента объема тела. Проекции на оси координат электрической силы F, испытываемой единицей положительного электричества в точке x, у, z находятся по формулам:

. (4)

Поверхности, во всех точках которых V = пост., носят название эквипотенциальных поверхностей или, проще, поверхностей уровня. Линии, ортогональные к этим поверхностям, суть электрические силовые линии. Пространство, в котором могут быть обнаружены электрические силы, т. е. в котором могут быть построены силовые линии, носят название электрического поля. Сила, испытываемая единицей электричества в какой-либо точке этого поля, называется напряжением электрического поля в этой точке. Функция V обладает следующими свойствами: она однозначна, конечна, непрерывна, она обращается в 0 в точках, отстоящих от данного распределения электричества на бесконечное расстояние, и сохраняет одну и ту же величину во всех точках какого-либо проводящего тела. Для всех точек земного шара, а также для всех проводников, металлически соединенных с землей, функция V равна 0 (при этом не обращается внимания на явление Вольты, о котором сообщено в статье Электризация). Обозначая через F величину электрической силы, испытываемой единицей положительного электричества в какой-нибудь точке на поверхности S, замыкающей собой часть пространства, и через ε — угол, образуемый направлением этой силы с внешней нормалью к поверхности S в той же точке, мы имеем

... (5)

В этой формуле интеграл распространяется на всю поверхность S, a Q обозначает алгебраическую сумму количества электричества, заключающихся внутри замкнутой поверхности S. Равенство (5) выражает собой теорему, известную под названием теоремы Гаусса. Одновременно с Гауссом такое же равенство было получено Грином, почему некоторые авторы эту теорему называют теоремой Грина. Из теоремы Гаусса могут быть выведены как следствия,

a) теорема Пуассона.... , (6)

здесь ρ обозначает объемную плотность электричества в точке x, у, z;

b) теорема Лапласа.... , (7)

такое уравнение относится ко всем точкам, в которых не имеется электричества;

с) пограничное условие..... . (8)

Здесь  и  обозначают нормали в точке какой-либо поверхности, в которой поверхностная плотность электричества σ, нормали, проведенные в ту и в другую сторону от поверхности. Из теоремы Пуассона следует, что для проводящего тела, в котором во всех точках V = пост., должно быть ρ = 0. Поэтому выражение потенциала принимает вид

. (9)

Из формулы, выражающей пограничное условие, т. е. из формулы (8), следует, что на поверхности проводника

, (10)

причем n обозначает нормаль к этой поверхности, направленную от проводника внутрь изолирующей среды, прилегающей к этому проводнику. Из этой же формулы вывыводится

. (11)

Здесь  обозначает силу, испытываемую единицей положительного электричества, находящегося в точке, бесконечно близко лежащей к поверхности проводника, имеющей в этом месте поверхностную плотность электричества, равную σ. Сила  направлена по нормали к поверхности в этом месте. Сила, испытываемая единицей положительного электричества, находящегося в самом электрическом слое на поверхности проводника и направленная по внешней нормали к этой поверхности, выражается через

. (12)

Отсюда электрическое давление, испытываемое по направлению внешней нормали каждой единицей поверхности наэлектризованного проводника, выражается формулой

. (13)

Приведенные уравнения и формулы дают возможность делать немало выводов, относящихся к вопросам, рассматриваемым в Э. Но все они могут быть заменены еще более общими, если воспользоваться тем, что содержится в теории Э., данной Максвеллом. Как уже упомянуто выше, Максвелл явился истолкователем идей Фарадея. Он облек эти идеи в математическую форму. Основание теории Максвелла заключается не в законе Кулона, а в принятии гипотезы, которая выражается в следующем равенстве:

. (14).

Здесь интеграл распространяется по какой угодно замкнутой поверхности S, F обозначает величину электрической силы, которую испытывает единица электричества в центре элемента этой поверхности dS, ε обозначает угол, образуемый этой силой с внешней нормалью к элементу поверхности dS, К обозначает диэлектрический коэффициент среды, прилегающей к элементу dS, и Q обозначает алгебраическую сумму количеств электричества, заключающихся внутри поверхности S. Следствиями выражения (14) являются нижеследующие уравнения:

 (15)

. (16)

Эти уравнения более общи, чем уравнения (6) и (8). Они относятся к случаю каких угодно изотропных изолирующих сред. Функция V, являющаяся общим интегралом уравнения (15) и удовлетворяющая вместе с этим уравнению (16) для всякой поверхности, которая отделяет собой две диэлектрические среды с диэлектрическими коэффициентами  и , а также условию V = пост. для каждого, находящегося в рассматриваемом электрическом поле проводника, представляет собой потенциал в точке x, у, z. Из выражения (14) также следует, что кажущееся взаимодействие двух электрических количеств  и , находящихся в двух точках, расположенных в однородной изотропной диэлектрической среде на расстоянии r друг от друга, может быть представлено формулой

, (17)

т. е. это взаимодействие обратно пропорционально квадрату расстояния, как это должно быть согласно закону Кулона.
Из уравнения (16) мы получаем для проводника:

. (18)

. (19)

. (20)

Формулы эти более общи, чем вышеприведенные (10), (11) и (13).

 представляет собой выражение потока электрической индукции через элемент dS. Проведя через все точки контура элемента dS линии, совпадающие с направлениями F в этих точках, мы получаем (для изотропной диэлектрической среды) трубку индукции. Для всех сечений такой трубки индукции, не заключающей внутри себя электричества, должно быть, как это следует из уравнения (16),

 = пост.

Не трудно доказать, что если в какой-либо системе тел электрические заряды находятся в равновесии, когда плотности электричества соответственно суть  и  или  и , то заряды будут в равновесии и тогда, когда плотности будут  и  (принцип сложения зарядов, находящихся в равновесии). Равным образом легко доказать, что при данных условиях может быть только одно распределение электричества в телах, составляющих собой какую-либо систему.

Весьма важным оказывается свойство проводящей замкнутой поверхности, находящейся в соединении с землей. Такая замкнутая поверхность является экраном, защитой для всего пространства, заключенного внутри неё, от влияния каких угодно электрических зарядов, расположенных с внешней стороны поверхности. Вследствие этого электрометры и другие измерительные электрические приборы окружаются обыкновенно металлическими футлярами, соединяемыми с землей. Опыты показывают, что для таких электрич. экранов нет надобности употреблять сплошного металла, вполне достаточно эти экраны устраивать из металлических сеток или даже металлических решеток.

Система наэлектризованных тел обладает энергией, т. е. обладает способностью совершить определенную работу при полной потере своего электрического состояния. B Э. выводится следующее выражение для энергии системы наэлектризованных тел:

. (21)

В этой формуле Q и V обозначают соответственно какое-либо количество электричества в данной системе и потенциал в том месте, где находится это количество; знак  указывает, что надо взять сумму произведений VQ для всех количеств Q данной системы. Если система тел представляет собой систему проводников, то для каждого такого проводника потенциал имеет одну и ту же величину во всех точках этого проводника, а потому в данном случае выражение для энергии получает вид:

. (22)

Здесь 1, 2.. n суть значки разных проводников, входящих в состав системы. Это выражение может быть заменено другими, а именно, электрическая энергия системы проводящих тел может быть представлена или в зависимости от зарядов этих тел, или же в зависимости от потенциалов их, т. е. для этой энергии могут быть применены выражения:

 (23)

. (24)

В этих выражениях различные коэффициенты α и β зависят от параметров, определяющих собой положения проводящих тел в данной системе, а также формы и размеры их. При этом коэффициенты β с двумя одинаковыми значками, как то , ,  и т. д. представляют собой электроемкости (см. Электроемкость) тел, отмеченных этими значками, коэффициенты β с двумя различными значками, как то , , , и т. д., представляют собой коэффициенты взаимной индукции двух тел, значки которых стоят у данного коэффициента.

Имея выражение электрической энергии, мы получаем выражение для силы, какую испытывает какое-либо тело, значок которого , и от действия которой параметр , служащий для определения положения этого тела, получает приращение. Выражение этой силы  будет

или . (25),

или . (26)

Электрическая энергия может быть представлена еще иначе, а именно, через

. (27).

В этой формуле интегрирование распространяется по всему беспредельному пространству, F обозначает величину электрической силы, испытываемой единицей положительного электричества в точке x, у, z, т. е. напряжение электрического поля в этой точке, а К обозначает диэлектрический коэффициент в этой же точке. При таком выражении электрической энергии системы проводящих тел эту энергию можно рассматривать распределенной только в изолирующих средах, причем на долю элемента dxdyds диэлектрика приходится энергий . Выражение (27) вполне соответствует взглядам на электрические процессы, которые были развиваемы Фарадеем и Максвеллом.
Чрезвычайно важной формулой в Э. является формула Грина, а именно:

. (28)

В этой формуле оба тройные интеграла распространяются на весь объем какого-либо пространства А, двойные — на все поверхности, ограничивающие это пространство, ∆V и ∆U обозначают суммы вторых производных от функций V и U по x, у, z; n — нормаль к элементу dS ограничивающей поверхности, направленную внутрь пространства A.

Как частный случай формулы Грина получается формула, выражающая вышеприведенную теорему Гаусса. В Энциклопедическом Словаре не уместно касаться вопросов о законах распределения электричества на различных телах. Эти вопросы представляют собой весьма трудные задачи математической физики и для решения таких задач употребляются различные способы. Приведем здесь только для одного тела, а именно, для эллипсоида с полуосями а, b, с, выражение поверхностной плотности электричества σ в точке x, у, z. Мы находим:

.

Здесь Q обозначает все количество электричества, находящееся на поверхности этого эллипсоида. Потенциал такого эллипсоида в какой-нибудь точке его поверхности, когда вокруг эллипсоида находится однородная изотропная изолирующая среда с диэлектрическим коэффициентом K, выражается через

.

Электроемкость эллипсоида получится из формулы

.

Пользуясь уравнением (15), полагая только в нем ρ = 0 и K = пост., и формулой (18), мы можем найти выражение для электроемкости плоского конденсатора с охранным кольцом и охранной коробкой, изолирующей слой в котором имеет диэлектрический коэффициент К. Это выражение имеет вид

. (29)

Здесь S обозначает величину собирательной поверхности конденсатора, D — толщину изолирующего слоя его. Для конденсатора без охранного кольца и охранной коробки формула (29) будет давать только приближенное выражение электроемкости. Для электроемкости такого конденсатора дана формула Кирхгофом. И даже для конденсатора с охранными кольцом и коробкой формула (29) не представляет вполне строгого выражения электроемкости. Максвелл указал ту поправку, какую надо сделать в этой формуле, чтобы получить более строгий результат.

Энергия плоского конденсатора (с охранными кольцом и коробкой) выражается через

. (31).

Здесь  и  суть потенциалы проводящих поверхностей конденсатора.

Для сферического конденсатора получается выражение электроемкости:

,

в котором  и  обозначают соответственно радиусы внутренней и внешней проводящей поверхности конденсатора. При помощи выражения для электрической энергии (формула 24) нетрудно устанавливается теория абсолютного и квадрантного электрометров (см. Электрометры).

Нахождение величины диэлектрического коэффициента К какого-либо вещества, коэффициента, входящего почти во все формулы, с которыми приходится иметь дело в электростатике, может быть произведено весьма различными способами. Наиболее употребительные способы суть нижеследующие.

1) Сравнение электро емкостей двух конденсаторов, имеющих одинаковые размеры и форму, но у которых у одного изолирующим слоем является слой воздуха, у другого — слой испытуемого диэлектрика.

2) Сравнение притяжений между поверхностями конденсатора, когда этим поверхностям сообщается определенная разность потенциалов, но в одном случае между ними находится воздух (сила притяжения = F0), в другом случае — испытуемый жидкий изолятор (сила притяжения = F). Диэлектрический коэффициент находится по формуле:

.

3) Наблюдения электрических волн (см. Электрические колебания), распространяющихся вдоль проволок. По теория Максвелла скорость распространения электрических волн вдоль проволок выражается формулой

.

в которой K обозначает диэлектрический коэффициент среды, окружающей собой проволоку,  обозначает магнитную проницаемость этой среды. Можно положить для огромного большинства тел , а потому получается

.

Обыкновенно сравнивают длины стоячих электрических волн, возникающих в частях одной и той же проволоки, находящихся в воздухе и в испытуемом диэлектрике (жидком). Определив эти длины  и , получают . По теории Максвелла следует, что при возбуждении электрического поля в каком-либо изолирующем веществе внутри этого вещества возникают особые деформации. Вдоль трубок индукции изолирующая среда является поляризованной. В ней возникают электрические смещения, которые можно уподобить перемещениям положительного электричества по направлению осей этих трубок, причем через каждое поперечное сечение трубки проходит количество электричества, равное

.

Теория Максвелла дает возможность найти выражения тех внутренних сил (сил натяжения и давления), которые являются в диэлектриках при возбуждении в них электрического поля. Этот вопрос был впервые рассмотрен самим Максвеллом, а позже и более обстоятельно Гельмгольцем (Helmhoitz, «Wissenschaftliche Abhandlungen», 1, стр. 798). Дальнейшее развитие теории этого вопроса и тесно соединенной с этим теории электрострикции (т. е. теории, рассматривающей явления, зависящие от возникновения особых напряжений в диэлектриках при возбуждении в них электрического поля) принадлежит работам Лорберга, Кирхгофа, Дюгема, Н. Н. Шиллера и некоторых др. Изложение всего этого вкратце вполне невозможно. Закончим краткое изложение наиболее существенного из отдела электрострикции рассмотрением вопроса о преломлении трубок индукции. Представим себе в электрическом поле два диэлектрика, отделяющихся друг от друга какой-нибудь поверхностью , с диэлектрическими коэффициентами  и .

Пусть в точках  и , расположенных бесконечно близко к поверхности  по ту и по другую её сторону, величины потенциалов выражаются через  и , а величины сил, испытываемых помещенной в этих точках единицей положительного электричества чрез  и . Тогда для точки , лежащей на самой поверхности , должно быть ,

, (32)

если ds представляет бесконечно малое перемещение по линии пересечения касательной плоскости к поверхности S в точке Р с плоскостью, проходящей через нормаль к поверхности в этой точке и через направление электрической силы в ней. С другой стороны, должно быть

. (33)

Обозначим через  угол, составляемый силой  с нормалью  (внутрь второго диэлектрика), и через  угол, составляемый силой  с той же нормалью . Тогда, пользуясь формулами (33) и (32), найдем

.

Итак, на поверхности, отделяющей друг от друга два диэлектрика, электрическая сила претерпевает изменение в своем направлении подобно световому лучу, входящему из одной среды в другую. Это следствие теории оправдывается на опыте.

Литература. Боргман, «Основания учения об электрических и магнитных явлениях» (т. I); Maxwell, «Treatise on Electricity and Magnetism» (т. I); Poincaré, «Electricité et Optique»; Wiedemann, «Die Lehre von der Elektricität» (т. I); Tumlirz, «Elektrostatik».

.

ЭСБЕ:Электричество