Madilog/Bab3
SUDAH kita bicarakan,  bahwa timbul, tumbuh, dan tumbangnya Indonesia Merdeka di dunia (“besar hendak  melindih, lemah makanan yang kuat, bodoh makanan yang cerdik”) terutama  tergantung pada industri. Pada industri kita jumpai perkawinan sains dan teknik,  ilmu pengetahuan dan teknologi. Sains dan teknik tak bisa dipisahkan, seperti  juga energi dan materi. Sains dilaksanakan di teknik dan kemajuan atau  kemunduran teknologi memajukan atau memundurkan ilmu pengetahuan pula.

Kalau Indonesia tidak  merdeka, maka ilmu pengetahuan akan terbelenggu. Semua negara merdeka sekarang  menasionalkan, merahasiakan penemuan, guna dipakainya sendiri untuk persaingan  dalam perniagaan atau peperangan! Saintis (ilmuwan) Indonesia, janganlah  bermimpi akan bisa leluasa berkembang selama pemerintah Indonesia dikemudikan,  dipengaruhi, atau diawasi oleh negara lain berdasarkan kapitalisme, negara  apapun juga di bawah kolong langit ini. Kemerdekaan sains itu sehidup dan  semati dengan kemerdekaan negara. Begitu juga kemerdekaan sains bagi satu  kelas, sehidup dan semati dengan kemerdekaan kelas itu.

Walaupun Indonesia  terkaya di dunia, tetapi selama sains tiada merdeka, seperti politik negaranya,  maka kekayaan Indonesia tidak akan menjadikan penduduk Indonesia senang,  melainkan semata-mata akan menyusahkannya, seperti 350 tahun belakangan ini.  Politik dan kecerdasan bangsa asing akan memakai kekuatan Indonesia untuk  memastikan belenggu Indonesia seperti ular kobra memeluk mangsanya.

Begitulah ekonomi politik  dan sains itu satu paduan yang tidak boleh dipecah-pecahkan. Bibit sains yang  diakui kebenarannya di seluruh dunia, sekarang kita dapati pada bangsa Yunani.  Sepanjang pikiran saya bangsa inilah bangsa purbakala terbesar jika dipandang  dari penjuru ilmu pengetahuan. Ilmu apa saja, kalau kita gali asalnya, kita  berjumpa dengan Aristoteles yang menjadi guru besar pemikir Arab. Marx, tak  jemu memberi pujian kepada “singa-pikiran” Yunani itu. Galen menanam biji  kedokteran. Euclides mengumpulkan matematika. Phytagoras pasti kita pelajari  dalam sekolah, kalau kita belajar matematika. Archimedes tak bisa dilupakan  dalam ilmu alam. Demokritus dan Heraklitos, bapak teori molekul dan atom, bapak  dialektika, menjadi makin berarti seiring dunia yang bertambah tua.

Pada bangsa Arab orang  Barat berterima kasih, karena bangsa ini menyimpan dan memajukan kecerdasan  Yunani. Al Kimia adalah pusaka dari Arab, yang dimajukan jauh oleh bangsa  Barat. Tetapi selain ini, bibit sains tak berapa tumbuh bermula (orisinal) di  dunia Arab. Aljabar yang besar sekali artinya dalam sains sekarang, bukan  terbit di dunia Arab, melainkan di India. Seperti halnya kompas, ilmu mencetak  buku, dan obat bedil, dipindahkan oleh saudagar Arab dari Tiongkok ke Eropa,  begitu juga aljabar diambil dari India dan dipindahkan ke Barat. Di sana dia  tumbuh dari bibit sampai ke pokok yang bercabang-cabang di masa sekarang.

Sudah tentu mustahil  menguraikan sains yang bercabang dan ber-ranting begitu banyak satu per satunya  pada buku ini. Satu cabang seperti biologi saja bisa menawan seumur seseorang  manusia dengan belum bisa menghabiskan persoalan yang ditimbulkan oleh Biologi  itu saja. Tetapi barang siapa di antara pembaca ini berniat mendalami pengetahuan  tentang suatu cabang ilmu pengetahuan, maka di masa sekarang cukup jalan untuk  memenuhi maksudnya. Dan lagi, maksud buku ini terutama ialah mengemukakan  “cara” berpikir tangkas yang dipakai oleh sains. Walaupun cara yang dipakai  dalam sains memasukkan juga dialektika dan logika, tetapi sains tentulah  mengistimewakan “metode”, cara yang dipakainya sendiri. Dalam sains sendiripun  ada berlainan metode yang diutamakan oleh masing-masing cabang.

Matematika (ilmu dan  bilangan) memakai cara dan nama lain dari ilmu alam dan biologi, walaupun  semangat dan pokok besar kedua cara yang dipakai sebetulnya sama juga.  Sebagaimana ilmu alam dan kimia dan lain-lain, sekarang dipengaruhi oleh dan  didasarkan atas elektronika, begitulah pula semua cabang ilmu sekarang,  dipengaruhi dan disandarkan pada matematika.

Sudah diketahui, bahwa  ilmu teknik sipil, kimia atau listrik, sehidup semati dengan matematika.  Setelah Mendelisme diakui kebenarannya, maka biologi Darwinisme yang bersandar  pada logika dan dialektika saja, sudah tak berpisah lagi dengan matematika.  Begitulah pula ilmu sosial, seperti ekonomi, tidak merasa sempurna kalau tidak  disandarkan pada statistika, yang merupakan bagian matematika pula. Kita sudah  ketahui, bahwa ahli bintang yang terbesar seperti Newton, Laplace, dan Einstein  juga ahli matematika terbesar.

Buat pemikir sosial,  walaupun dialektika dan logika yang diutamakannya, tetapi cara berpikir yang  dipakai oleh ahli matematika juga tiada percuma kalau diketahuinya. Seperti  pemain sepak bola yang tiada rugi kalau dia mempelajari tenis atau berenang,  begitulah juga pemikir sosial pada siapa Madilog dipusatkan, akan bertambah kecerdasannya, kalau ia mempelajari dan memahami  cara yang dipakai matematika.

Seorang bertubuh baik dan  kuat, kalau sudah dilatih dengan silat yang baik, akan berbeda pandang langkah  sikap dan tangkisannya terhadap serangan lawannya dari pada ketika ia masih  hijau, belum dilatih. Begitulah juga otak yang sudah dilatih oleh matematika,  lain sikapnya terhadap suatu persoalan daripada otak mentah. Tiada percuma  orang barat mendasarkan sekolah rendah dan menengah pada matematika. Tiada  percuma Euclides, ahli matematika Yunani, dijadikan guru pemuda di seluruh  dunia beradab masa sekarang. Pendidikan Indonesia, saya pikir baru sempurna kalau  pemuda putra dan putri, atas belanja negara mesti tamatkan SMP, kecuali satu  dua yang betul tak kuat otaknya untuk menjalankan.

Entah dari mana, buku,  majalah, atau surat kabar apa, saya sudah lupa, tetapi dalam pelarian saya yang  lebih dari 20  tahu itu, tiga definisi yang  pendek dan jitu yang saya ingat tentang sains adalah:

  Sains ialah accurate thought, ilmu empiris,       ialah cara berpikir yang jitu, tepat, atau paham yang nyata.
  Sains, ialah organizations of fact, penyusunan       bukti.
  Sains, ialah simplification by generalisation,       penyerderhanaan generalisasi.

Ketiga definisi ini satu  sama lainnya berhubungan dan isi mengisi, tambah menambah. Dipandang dari satu  penjuru, yang pertamalah definisi yang jitu. Dari penjuru yang lain yang  kedualah dan seterusnya.

Bermula sekali diatas  saya memakai kata definsi, artinya ketentuan, kepastian. Definisi penting  sekali untuk segala macam sains, buat accurate  thought. Penting buat matematika, ilmu alam dan logika.

 

Pasal 1. DEFINISI.

SAYA terjemahkan dengan  penetapan, pembatasan, pemastian. Artinya ialah untuk menentukan batas-batas  yang tepat suatu perkataan atau hukum atau paham. Lebih dahulu mesti kita definisikan  definisi itu sendiri. Lebih dahulu kita pastikan kepastian itu “Apakah definisi  itu?” adalah pertanyaan yang kita lebih dahulu mesti jawab. Tanpa definisi, tak  bisa ada sains, seperti sebetulnya keadaan di seluruh dunia Asia sebelum Barang  datang. Tak beres definisinya, maka morat marit, cantang perenang dan kacau  balaulah sains. Cabang sains yang mau diuraikan seperti ilmu bumi umpamanya,  mesti dipastikan dibatasi, didefinsikan lebih dahulu. Kalau tidak, pembicaraan  bisa meluap, mengembara kian kemari, melampaui dan meninggalkan cakupannya.  Madilog ini umpamanya, ialah satu perkara tentang cara berpikir. Perkara lain,  tetapi berhubungan kena mengena dengan Madilog boleh dan mesti diuraikan,  tetapi tak boleh melewati dan menyesatkan Madilog dari pokoknya, dari  tujuannya, yaitu perkara cara berpikir.

Sesudah cabang sebuah  ilmu pengetahuan yang mau diuraikan itu didefinisikan, maka perlulah dipastikan  materi bahannya lebih dahulu, yakni segala bukti yang menjadi sendir dari ilmu  pengetahuan itu.

Akhirnya, hukum yang  diperoleh sebagai hasil pemeriksaan yang tenang mesti dipastikan betul-betul.  Demikianlah pentingnya definisi dalam ilmu pengetahuan.

Satu definisi mesti cocok  dengan perkara pertama, seperti disebut di atas mesti accurat, jitu, tepat.  Apakah yang bisa dinamai jitu, tepat, dan akurat itu? Kalau materi yang  dipastikan, didefinisikan itu terbatas, terpagar, dan semuanya berada dalam  batas-batas itu (Inggrisnya : mark of the  thing, refer to all things). Kalau pagar pembatasannya tak rapi dan tak  semua materi berada dalam pagar itu, maka definisi itu gagal.

Dari materi yang mana ia  dipagari? Dari materi yang satu golongan, satu kelas dengannya, tetapi  mempunyai perbedaan.

Jadi definisi itu  bermaksud: pertama, menentukan golongan kelas suatu barang. Dan kedua,  perbedaan barang itu dengan barang lain yang satu kelas, satu golongan  dengannya. Definisi itu mesti menampakkan essential  attributes, sifat-sifat utama. Sifat-sifat yang utama ialah kelas dan  perbedaan.

Contoh: kita mau  memastikan, mendefinisikan manusia. Lebih dahulu kita mesti mencari golongan,  kelas manusia, yaitu hewan. Tetapi hewan itu cukup luas cakupannya. Di dalamnya  termasuk ular, kerbau, monyet, dll. Kita tahu monyet itu hewan, dan manusia itu  termasuk golongan hewan. Dalam hal ini manusia dan monyet tadi memang  bersamaan. Tetapi kanak-kanak pun tahu bahwa manusia bukan monyet, dan monyet  bukan manusia. Jadi definisi kita tadi, bahwa manusia itu hewan belumlah pas.  Kita mesti mencari perbedaan dengan monyet yang satu kelas dengan manusia itu.  Kita tahu, atau sekarang ini kita percya (mesti belum tentu besok keyakinan ini  tetap benar) bahwa manusia itu mempunyai akal, dan monyet tidak, cuma  berinsting.

Manusia pandai berpikir  menurut hukum yang kita namai hukum berpikir atau logika, tetapi monyet cuma  berinsting, berkecerdasan yag diberikan alam padanya. Pendeknya, menurut  pengetahuan kita sekarang, perbedaan manusia dengan monyet adalah bahwa yang  pertama pandai berpikir dan yang kedua tidak.

Definisi, kepastian yang  sempurna tentang manusia, sekarang ada seperti berikut :”manusia ialah hewan  yang berpikir”. Definisi semacam ini sudah bisa menjawab dua syarat definisi:  golongan atau kelas sebuah benda, dan perbedaan antara benda itu.

  Masuk golongan apa manusia       itu? Jawab: masuk golongan hewan.
  Apa perbedaan manusia dengan       monyet yang masuk golongan hewan juga? Jawab: manusia pandai berpikir,       monyet tidak.

Selama kita belum  mendapat kepastian bahwa monyet tak pandai berpikir, maka tingkat daya upaya  kita yang pertama untuk mendapatkan definisi tadi sudah selesai. Dalam hal ini  kita mesti naik ke tingkat kedua. Kita mesti uji terus apakah definisi tadi  betul memadai. Sekarang mesti kita periksa. Pertama, apakah semua barang yang  mau kita definisikan itu (dalam hal ini manusia) masuk ke dalam pagar pembatas  atau tidak semuanya. Kedua, apakah ada barang lain yang bukan manusia masuk ke dalam  batas itu.

Kalau kita tahu bahwa  semua A = B maka sebaliknya, kita mesti bertanya apakah semua B = A. Kalau  jawabnya ya, barulah selesai. Tegasnya, kalau kita tahu semua manusia adalah  hewan yang berpikir, maka kita mesti bertanya apakah semua hewan yang berpikir  itu manusia? Kalau jawabannya ya, maka benarlah definisi itu. Kalau tidak,  gagallah percobaan kita.

Marilah kita periksa  apakah semua manusia itu adalah hewan yang berpikir.

Kita tahu umpamanya,  tetangga kita selalu dipasung. Apa yang dia bilang, kita tidak mengerti.  Menggelikan atau menyedihkan hati kita. Orang bilang tetangga ini “gila”.  Otaknya sakit, tak beres lagi kerjanya. Dulu beres, Sekarang tidak.

Tidak apa, ini adalah  satu exception, satu perkecualian.  Sains pun mempunyai exeption. Lagi  satu keberatan. Wak Gaib nama kenalan kita itu, cakapnya lain dari orang biasa.  Tadi malam katanya ia “naik nafas” pergi ke Kairo berjumpakan Sultan Farouk.  Tadi malam juga dia balik ke desa Sawarga, tempatnya tinggal. Cerita semacam  ini memang tak masuk pada akal kita manusia biasa. Ini pun satu exeption dari manusia dipasung tadi. Wak  Gaib dari desa Sawarga, juga satu perkecualian dari manusia biasa. Tetapi,  perkecualian ini tidak seperti perkecualian biasa. Kedua manusia di atas  berotak juga dan otaknya berpikir juga, walaupun hasil pikirannya tak sama  dengan buah pikiran orang normal.

Untuk sementara, ujian  kita lulus, ujian tentang “semua manusia adalah hewan yang berpikir” itu bisa  dipakai. Sekarang mesti kita periksa sebaliknya, apakah semua hewan yag  berpikir itu manusia.

Walaupun banyak cerita  dari pemburu, penggembara, naturalisten,  ahli hewan dan tumbuhan yang membuktikan kecerdasan binatang seperti serigala,  gajah, monyet, kancil dan pelanduk dalam peri kehidupan mereka, sementara boleh  kita putuskan: tak ada di antara hewan yang bukan manusia itu pandai berpikir.  Malaikat umpamanya, pandai berpikir. Tetapi kita manusia biasa belum pernah  berjumpa malaikat dan kita tak bisa memanggil malaikat pada tempat dan waktu  yang kita pilih, seperti kita bisa nyalakan api asal ada latnya pada waktu dan  tempat yang kita kehendaki.

Untuk sementara, tak kita  dapati barang yang bukan manusia termasuk dalam golongan hewan yang berpikir.  Semua manusia termasuk hewan yang berpikir. Sebaliknya tak ada yang bukan hewan  berpikir termasuk jadi manusia. Semua hewan berpikir itu manusia belaka (A=B  dan B=A). Jadi sementara benarlah definsi kita. Luluslah ujian pada tingkat  kedua. Tetapi kerja kita belum lagi sempurna. Kita mesti naik ke tingkat tiga,  tingkat penghabisan.

Pada tingkat ini kita  mesti periksa, apakah definisi kita mencukupi segala syarat berikut :
Definisi sebisa-bisanya singkat, tetapi jangan terlalu luas atau terlalu  sempit.
Definisi tak boleh circular atau berputar-putar.
Definisi itu mesti general atau umum.
Definisi tak boleh  memakai metafor, ibarat, kata figuratif, penggambaran, kata yang obscurate, menggunakan perkataan gaib,  samar.
Definisi tak boleh  memakai kalimat negatif.

Marilah kita jelaskan  satu persatu.

1. Definisi itu sebisa-bisanya  singkat. Sebisa-bisanya!

Ada kalanya tidak bisa  dipendekkan. Kalau dipendekkan maknanya menjadi sempit. Definisi tak boleh  terlalu sempit dan tak boleh terlalu luas. Kalau saya bilang “manusia itu hewan”,  maka betul definisi singkat tapi juga monyet dan ular termasuk hewan. Jadi  kalau definisi ini kita balik, kita dapati “hewan itu manusia”. Tegasnya, ular,  kerbau dan monyet itu manusia. Begitu juga kalau saya bilang “manusia itu hewan  bermata dua sebab kera dan ikan bermata dua.”

Definisi itu tak boleh sempit, ia mesti  punya essential attributes: segala  sifat penting yang tak boleh lupa. Kalau kita katakan kuda itu binatang  memamah, maka definisi itu terlalu luas sebab kerbau juga binatang memamah.  Tetapi jika kita berkata “kuda itu binatang memamah buat ditunggangi Pangeran  Diponegoro”, maka artinya menjadi terlalu sempit sebab selain untuk ditunggangi  Pangeran Diponegoro, dia juga dipakai buat penarik delma, bajak dsb.

Dalam matematika kita lebih mudah mencari  contoh. Sebab memang matematika adalah buah pikiran yang pasti berdasar bukti  yang didefinisikan lebih dahulu.

Demikianlah square, bujursangkar ialah satu gambar datar tertutup dibatasi oleh  4 garis lurus yang sama panjang, mempunyai 4 sudut siku-siku. Di sini bukan  satu saja sifat yang penting. Pertama, dia mesti “gambar datar tertutup”, bukan  gambar pada tempat bertinggi rendah. Bukan terbuka, melainkan semua sisinya  bertemu. Kedua, dia mesti dibatasi oleh 4 garis lurus yang sama panjang, bukan  3 atau 5. Garisnya lurus tak boleh bengkok, panjang garis itu sama pula.  Ketiga, 4 sudutnya mesti siku-siku. Satu pun dari ketiga sifat diatas tak boleh  tertinggal. Kalau tertinggal bukan square yang kita peroleh.

Memang definsi sebisa-bisanya pendek, tapi  mesti mengandung semua sifat penting.

2. Definisi itu tak boleh circular, berputar-putar.

Kesalahan ini didapat kalau kita memakai  perkataan lain yang bersamaan artinya. Contoh dari Aristoteles. “Tumbuhan ialah  benda hidup yang mempunyai jiwa vegetable”.  Sedangkan vegetable itu artinya tumbuhan  juga. Jadi sebenarnya definisi ini: “tumbuhan ialah barang hidup yang mempunyai  jiwa tumbuhan”. Di sini nyata, tumbuhan balik artinya pada tumbuhan. Setali  tiga uang. Dengan begitu kita tak mendapat kepastian penjelasan tentang  tubuhan. Demikianlah kalau Mahatma Gandhi mendefinisikan bahwa “ahimsa itu soul force”, kekuatan jiwa yang berdasar  kasihan, seperti simpati, rohani. Apakah “kekuatan jiwa itu”? Itulah yang perlu  lagi dibuktikan dengan mengganti nama baru yang mesti diterangkan pula, maka  pekerjaan itu berputar-putar di sana saja, seperti menghesta kain sarung.  Begitulah seorang kenalan saya tak akan memberi keterangan apa-apa, kalau definition itu dia jelaskan begini : “Definition, ialah satu ketentuan yang  pasti, yang ditentukan oleh ketentuan yang tentu”. Disini dia pakai perkataan  “ketentuan” dan “pasti” berulang-ulang, artinya sama dengan definisi. Meskipun  definisinya itu panjang, dia tak memberi keterangan baru, karena keterangan  yang diberikannya itu tak berpangkal tak berujung.

3. Definisi itu mesti general atau umum.

Dia mesti umum, biasa, lebih dikenal dari  para barang yang hendak didefinisikan. Hewan lebih umum, lebih luas cakupannya  daripada manusia. Sebab ke dalam daerah hewan termasuk juga monyet, ular, ikan,  dan bukan saja manusia. Tetapi walaupun cakupannya lebih luas, pengertian umum  itu sebisa-bisanya lebih dikenal, jangan diketahui oleh kaum istimewa saja,  kaum terpelajar saja umpamanya. Contohnya definisi berikut ini. Walaupun betul,  cuma diketahui oleh sebagian kecil manusia saja. “Jam adalah sebuah kronometer  untuk mengukur waktu dengan jitu”. Cukuplah kalau dibilang “jam adalah perkakas  buat mengukur waktu”. Tak perlu kita pergi ke kapal, dimana orang pakai semacam  jam istimewa yang bernama kronometer untuk pekerjaan yang kurang dikenal  khalayak! Kecuali kalau tak ada cara alin daripada cara khusus ini tadi.

4. Definisi tak boleh memakai metafor,  perumpamaan, kata figuratif dan kata yang obscurate,  gaib.

Kita dengan definisi hendak memastikan,  membuktikan dan menerangkan suatu barang. Dengan memakai ibarat saja,  penggambaran saja dan memakai perkataan gaib yang tidak bisa dikenali panca  indera, barang yang mau kita definisikan itu tak akan bertambah nyata. Malah  sebaliknya.

Demikianlah kalau seorang penyair, tukang  metafor yang tulen, mengumpamakan dirinya sebagai “sepantun anak ikan yang di waktu  pasang besar hanyutlah ia”. Dalam satu hal dia memiliki persamaan dengan ikan.  Ikan dihanyutkan pasang dan si penyair dihanyutkan sengsara hidup, walaupun sengsara  hidupnya itu seringkali cuma didapat di ujung pena Parker-nya saja. Tapi lain  dari itu tak banyak persamaan anak ikan tadi dengan penyair kita. Kalau dalam  mendefinisikan penyair kita definisikan anak ikan sebagai gantinya, maka  masuklah pula segala sifat anak ikan yang tak ada pada si penyair. Umpamanya  kepala si anak ikan selalu dingin, kecuali kalau sudah masuk kuali. Sedangkan  kepala si penyair belum tentu dingin, adem selalu.

Begitu juga dengan memakai gambaran atau  memakai kata-kata gaib, barang yang akan dipastikan tak akan bertambah pasti,  malah sebaliknya bertambah gaib.

Demikianlah kalau sekiranya saya sajikan  definisi tentang Rohani kepada pembaca yang terhormat: “Rohani itu ialah satu  kodrat, laksana Sang Garuda Rajawali yang mengendari bulan dan matahari, dan  menerbitkan bintang dan bumi yang bisa menjelma menjadi Kuman Pasopati memasuki  Pagar Jasmani”.

5. Definisi tak boleh memakai kalimat  negatif (tak ber-).

Kalau saya definisikan orang miskin  sebagai orang ynag tak kaya, maka definisi itu negatif. Tak bersifat yang  nyata, yang positif. Bandingkanlah dengan definisi ini: orang miskin ialah  orang yang tak punya harta benda apa-apa. Kadang dalam matematika sebuah  definisi bersifat negatif, tapi ia sebenarnya positif. Umpamanya: satu garis  lurus itu tak mengubah tujuannya. Di sini kata “tak mengubah” berarti “menetapkan”.  Jadi definisi itu boleh diganti menjadi: satu garis itu menetapkan tujuannya.  Kadang-kadang tak ada akal lain kecuali memberikan definisi yang negatif,  umpamanya: gelap itu ialah tak terang.

Apabila Gautama Budha disesakkan oleh  muridnya dengan pertanyaan yang berhubungan dengan sifat nirwana, rohani, atau  jiwa, maka dia jawab: 1. Bukan ini. 2 Bukan itu, 3. Bukan ini atau itu (either this or that, Inggrisnya). 4.  Bukan tak ini dan tak itu (not neither  this or that).

Barangkali sebagai pusaka dari putera raja  kapilawastu yang memang pandai sekali memakai logika, walaupun berdasar  mistika, maka di masyarakat Indonesia pun kita berjumpa dengan “jawaban main  tidak” itu dalam ilmu gaib.

Terlampau panjanglah sudah uraian kita  tentang definisi. Tetapi definisi itu kita anggap sebagai wilayah sains, ilmu  pengetahuan. Tak berdefinisi, maka semua ilmu tinggal satu onggok bukti saja,  seperti seonggok pasir, tak ada pertalian masing-masing pasir. Baru kalau  didefinisikan, yang berarti juga diorganisir, disusun, digenalisir, baru segala  bukti yang teronggok tadi jadi sains. Onggokan pasir tadi baru bersatu dan  kokoh, kalau diikat dengan semen.

 

Pasal 2. MATEMATIKA

ILMU tentang bidang dan bilangan yang kita  pakai sekarang pada semua sekolah yang berdasar peradaban barat ialah  matematika, yang disusun oleh Euclides. Walaupun aljabar amat penting dalam  semua ilmu pengetahuan, sekarang tiadalah dia akan saya ambil sebagai model,  contoh untuk menjelaskan cara berpikir yang dipakai dalam matematika.  Barangkali di antara para pembaca tentu ada seperti saya yang selalu diingatkan  oleh guru, kalau menjawab perhitungan aritmetika janganlah memakai cara  aljabar. Peringatan dari guru itu bermakna sekali.

Memakai jalan aljabar tidak menambah  kecerdasan, di masa kita masih memanjat tingkat yang pertama sekali dalam  matematika. Bisa jadi cara berpikir aljabar itu membatasi otak kita. Menjadikan  kita berpikir mekanis, seperti mesin, tiada memakai penyelidikan lebih dahulu.

Seperti mesin berhitung yang sekarang ini  banyak dipakai begitulah jadinya otak kita. Memindahkan persoalan berhitung  aritmetika tadi pada persoalan aljabar yang memang memudahkan semua persoalan  dan lekas mendapatkan hasil. Tiadalah lagi dipikirkan jalan, cara, metode mana  yang dipakai dan cara mana yang pendek dan jitu di antara beberapa cara. Yang  dipikirkannya ialah lekas mendapat hasil, pendapatan yang betul, result. Sedangkan sebetulnya cara mendapatkan  hasil itulah yang lebih penting dari pada hasil itu sendiri. Begitulah menurut  pendapat penulis ini.

Belakang hari di kelas sekolah yang lebih  tinggi, penulis juga tiada begitu lagi memperhatikan hasil itu. Kalau sudah  terlihat cara yang baik di antara dua atau lebih cara, maka sering penulis  tiada lagi menyelesaikan persoalan itu sampai mendapatkan result dan tidak perdulikan beberapa soal yang bisa diselesaikan  dengan hanya satu cara. Dengan begitu, banyak waktu terpelihara dan saya pikir  kecerdasan berpikir bisa maju. Pada matematika yang tinggi, hasil itu memang  tidak begitu penting lagi.

Memang aljabar lebih abstrak dari  aritmetika, lebih terpisah dari pada benda. Pada aritmetika saja kalau kita  lihat 2 + 2 = 4, maka tiada lagi kita pikirkan bahwa dua itu cuma bilangannya,  nomornya, salah satu dari sifat barang itu, bukan benda itu sendiri. Seperti  juga hitam, ialah warna barang, bukan barang itu.

Bilangan itu sudah terpisah dari benda dan  bisa mewakili semua benda. 2 itu bisa jadi 2 kerbau atau 2 telur. Kita tahu,  kalau 2 kerbau + 2 telur, kita tidak akan mendapatkan 4 kerbau atau 4 telur.  Yang 4 itu cuma bilangan. Satu hal yang terpisah dari benda, Cuma ada dalam  pikiran abstrak belaka. Syahdan alajabar lebih terpisah, lebih abstrak lagi.  Marilah kita ambil formula.
  (a+b) (b-a) = a² - b². Kalau a itu 3 dan b  itu 2 maka (3+2)(3-2) = 3 ² - 2 ². Di sebelah kiri tanda = kita peroleh 5 x 1 =  5. Di kanan 9 – 4 = 5 pula. Jadi yang di kiri bersatu, sama dengan di kanan.  inilah juga asal makna aljabar dalam bahasa Arab. Kalau 4 bukan 3 seperti  diatas melainkan 5 dan b bukan 2 melainkan 3 umpamanya, maka kita peroleh (5+3)  (5-3) = 5 ² - 3 ². Di kiri tanda = kita peroleh 8 x 2 = 16. Di kanan juga 16,  yaitu 25 – 9.

Begitulah seterusnya a itu mewakili tak  berbatasnya angka, unlimited, bisa 2,  3, 4 ....begitu juga b, mewakili tak berbatasnya. A itu tak perlu lebih besar  dari b, umpamanya (2+3) (2-3) = 2 ² - 3 ² atau 5 x (-1) = 4 – 9 = -5. Q,E, D.

Seperti angka-angka tadi mewakili benda, 2  kerbau atau 2 telur, begitu juga a yang mewakili angka, 2, 3, 4 dsb. Adalah hal  yang abstrak, terpisah dari benda. Sedangkan angka itu sendiri sudah abstrak,  apalagi huruf a dan b dalam aljabar tadi. Aljabar adalah ilmu yang lebih  abstrak dari aritmetika, begitu terpisah dari benda.

Bukan maksud saya mengatakan, bahwa karena  matematika terpisah dari benda, maka ia tak berguna. Jadi aljabar tinggi yang  lebih abstrak tadi adalah lebih tak berguna. Sudah tentu tidak. Bagaimanapun  abstraknya aljabar, dia berdasarkan aritmetika juga, dan aritmetika itu  berdasarkan benda juga. Tetapi guna mengambil contoh untuk menjelaskan cara  berpikir, tentu kita tak boleh mulai dari ilmu yang sudah abstrak, yang sudah  sampai ke tingkat atas itu. Kita mesti ambil permulaan atau pertengahan. Di  mana cara berpikir itu masih didasarkan pada barang yang nyata, pada bukti, facts. Kita ambil contoh geometri.  Geometri tidak diajarkan di sekolah rendah, melainkan di sekolah menengah.

Bukti, facts,  dalam geometri memang tak selalu begitu nyata seperti pada ilmu alam atau  kimia. Tetapi cukup nyata dan bisa digambarkan dalam otak atau di atas kertas.  Pentingnya geometri terletak pada definisinya yang jitu dan “cara” yang pasti.  Keduanya menambah kecerdasan berpikir. Dari geometri kita bisa memanjat ke  tangga yang lebih tinggi. Lulusan SMP kalau punya otak sedikit lebih dari  rata-rata, saya pikir dengan belajar sendiri bisa sampai ke langit matematika,  bila ia cukup sabar dan mempunyai waktu. Tetapi susah, kalau bukan mustahil,  mempelajari dan memahami logika dan dialektika kalau tidak lebih dahulu  dilatih, dididik dengan geometri.

 

Pasal 3. GEOMETRI.

BERMULA sekali dalam buku sekolah  menengah, kita bertemu dengan definisi geometri kira-kira seperti berikut: ilmu  yang mempelajari sifat bentuk tiga dimensi, bidang, garis, dan titik. Sifat  yang dipakai dan dipelajari dari badan, tentulah sifat yang berkenaan dengan  ilmu geometri saja, bukan yang berkenaan dengan ilmu lainnya, misalnya ilmu  alam. Geometri tidak memperdulikan zat berat, panas, dan energi suatu bentuk  tiga dimensi.

Satu per satunya didefinsikan pula.  Beginilah dipastikan :
Isi adalah  bagian dari ruang alam yang berbatas ke semua penjuru.
Bidang adalah  batas massa.
Garis adalah  batas bidang.
Titik adalah  batas garis.

Marilah kita periksa definisi di atas ini  dengan melaksanakan pengetahuan ktia tentang definisi.

Isi, katanya, ialah sebagian dari ruang  alam, space. Jadi isi masuk golongan,  kelas yang lebih umum, yaitu “sebagian ruang alam”. Sebagian itu bukan berarti  seluruhnya dari ruang alam yang luas itu. Tetapi 1 m³ udara, juga masuk golongan  “sebagian ruang alam”. Kita tahu badan, seperti kerbau, manusia dsb, bukan 1m³  udara yang juga sebagian dari ruang alam. Jadi definisi di atas mesti dipagari,  karena terlampau luas. Pagarnya, adalah perbedaan badan dengan barang lain yang  sama golongannya.

Anak kalimat “yang berbatas ke semua  penjuru” inilah yang menjadi pagar. Isi yang masuk golongan “sebagian dari  ruang alam” itu harus berbatas ke semua penjuru. Baik di atas maupun di bawah.  Di kiri maupun di kanan. di depan atau di belakang. Isi itu seperti peti dsb.  Mempunyai batas bidang. Sedangkan udara yang juga termasuk golongan “sebagian  dari ruang alam” tak terbatasi oleh bidang. Seterusnya, semua isi bernyawa atau  tidak ialah sebagian dari ruang alam yang berbatas ke semua penjuru. Dan  sebaliknya, sebagian dari ruang alam yang berbatas ke semua penjuru ialah isi.

Jadi definisi tentang isi cukup jitu.  Golongan dan perbedaan adalah essential  attributes. Pula definisi itu pendek, tak berputar-putar, umum, tak  mengandung ibarat, kata gaib, dan tidak pula negatif. Pendek kata, definisi itu  sempurna menurut sains.

Seterusnya, bidang ialah batas isi.

Begitulah definisi tentang bidang, garis,  dan titik contoh dengan sains, jadi sainstifik. Tetapi akan terlalu panjang kalau  saya mesti periksa satu persatunya. Terserah kepada pembaca untuk memeriksanya  sendiri. untuk menerapkan yang sudah dipelajari.

Sesudah menerangkan tentang geometri dan  bukti yang dipakainya, sesudah mengingatkan bahwa definisi itu cocok dengan  definisi pertama yang saya kemukakan tentang sains, yaitu akurat, maka saya  ingatkan definisi kedua dan ketiga. Sains itu ialah organization of facts, penyusunan segala bukti dan simplification by generalisation,  penyederhanaan dengan generalisasi bukti. Kedua definisi ini pun kena mengena,  isi mengisi dan keduanya berdasar atas facts,  bukti.

Organisasi atau generalisasi dalam  matematika berupa teori dan dalam ilmu bintang atau ilmu alam berupa law atau  hukum. Kita bisa dengar teorema Fermat dan Euler, Binomium of Newton, Laws of  Motion (Hukum Gerak) Newton, Daltons  Law (Hukum Kimia Dalton), dll. Teori atau hukum tadi keduanya hasil dari  penyusunan dan generalisasi beberapa bukti, berdasarkan atas bukti. Tetapi  bukti yang kita pakai dalam geometri, seperti isi, bidang, garis, dan titik  berlainan dengan bukti yang diladeni oleh ahli bintang, tumbuhan, binatang,  manusia, dan zat.

Isi bisa kita pastikan dengan panca indera  kita, tetapi bidang, garis, dan titik cuma bisa kita “hampiri” keadaanya dengan  gambaran. Bidang itu tidak bisa berdiri sendiri. Bidang peti tidak bisa kita  potong jadi peti tadi. Kalau kita potong berapapun tipisnya, maka jadilah  badanlah dia dan mengambil “sebagian dari ruang alam”. Selain itu, maka mesti  kita pikirkan sifat yang lekat pada bidang yakni dua dimensi, dua ukuran, dua  besaran: panjang dan lebar. Sedang badan itu mempunyai tiga dimensi : panjang,  lebar, dan tinggi.

Garis ialah batas bidang. Garis hanya  mempunyai satu dimensi, yakni panjang. Jadi ia tak punya lebar. Berapa pun  runcingnya pena kita, garis yang kita bikin itu mesti masih punya lebar. Kita  tahu yang punya lebar dan panjang ialah bidang. Garis cuma satu dimensi saja  yaitu panjang.

Titik ialah batas garis, satu titik berada  di ujung dan yang lain berada di pangkal garis. Suatu titik tak punya ukuran,  besaran. Bagaimanapun halusnya ujung pensil kita, titik yang kita bikin di atas  kertas tadi masih punya 3 dimensi : panjang, lebar dan tinggi.

Nyatalah sudah, bahwa bidang, garis, dan  titik yang kita namakan bukti, tidak seperti bukti biasa yang bisa kita saksikan  dengan panca indera kita. Tetapi kita bisa hampiri dengan gambaran, seperti  molekul, atom, walaupun dalam teorinya menjadi benda yang tak berbatas  kecilnya, asalnya dari benda juga. Kita tak perlu lari ke dunia kegaiban.  Bidang, garis, dan titik yang mesti kita dekati dengan gambaran walaupun tidak  seperti bintang bagi ahli astronomi atau kuman bagi ahli biologi, bukanlah  barang yang semata-mata kosong, nothing,  seperti rohani.

Kita bisa mendekatinya dengan gambaran dan  bisa menggambarkannya dalam otak. Dan semenjak Rutherford, memang sudah bisa  dilihat dengan teropong. Walaupun alam tiada memperhatikan dan jarang sekali  memberikan kepada kita benda seperti kubus, silinder, bujur sangkar, lingkaran,  segitiga, dan garis lurus, tetapi sebagai hasil dari otak, maka ahli  matematika, kaum insinyur dan seniman sudah memberikan bermacam-macam gedung,  rumah, dan kesenian yang permai kepada kita. Menambah kesehatan dan  mempertinggi peradaban kita.

“Cara berpikir” jitu yang melayani bukti,  yang teristimewa masuk dalam wilayah geometri tadi saja juga dipakai dalam  memikirkan perkara-perkara lain. Atau cara itu berkenan langsung atau tidak  dengan cara yang dipakai untuk melayani perkara di luar ilmu ukur. Sebab itu,  cara berpikir dalam ilmu ukur penting sekali buat latihan otak.

Pasal 4. TEORI DAN UJIAN.

TEORI mesti diuji. Teori dalam bahasa  Inggris bisa didefinisikan sebagai “satu hipotesis yang sudah diuji”. A proved hypothesis. Satu hipotesis  ialah satu paham yang sementara dipakai tetapi belum nyata kebenarannya: satu  persangka, satu kepercayaan semata-mata. Kalau sudah nyata kebenarannya, ia  bernama teori.

Selama atom masih tinggal dalam otak  Democritus saja, maka atom tadi dalam ribuan tahun masih tinggal sebagai  hipotesis. Tetapi sesudah atom itu sekarang bisa dilihat dengan mikroskop, maka  atom itu bukan barang kepercayaan, dugaan lagi, melainkan bukti. Kadang-kadang  teori itu juga dipakai untuk ditentangkan dengan praktek. Teori yang tidak bisa  dipraktekkan semata-mata tinggal sebagai teori belaka. Teori yang kita maksud  di sini adalah teori yang nyata kebenarannya, teori yang sudah diuji dan  dilaksanakan sehari-hari.

Disini mesti diingat, bahwa perkataan  Latin atau Yunani yang pindah ke bahasa Belanda dan Inggris sudah tidak berubah  lagi pengertiannya. Asalnya sama, tetapi perkembangannya berlainan. Begitulah  perbedaan terjemahan dan pemakaian kata-kata “teori” dan “probelm” dalam dua  bahasa tersebut.

Yang penting buat saya, buat Madilog,  ialah metode atau cara yang dijalankan untuk menguji benar tidaknya suatu  teori. Metode yang dipakai :

  Metode sintesis.

  Metode analitis.
  Metode reductio       ad absurdum.

Ketiga metode ini sukar dilaksanakan  dengan tepat kalau tiada mengambil contoh dari geometri sendiri. Sebab itu kita  rasa perlu di sini berlaku sebagai murid sekolah menengah untuk menguji benar  tidaknya suatu teori (Bagi pembaca yang tidak mempelajari geometri, bagian ini  bisa dilampaui saja).

1. Metode sintesis

Untuk melaksanakan metode ini saya ambil  teori Pythagoras, filsuf Yunani yang masyhur lebih dari 2.500 tahun yang  lampau. Bukan saja teori ini memberi contoh yang baik guna melaksanakan metode  sintesis. Tetapi juga sebagai penghormatan kepada pemikir besar zaman purbakala  yang dengan beberapa pemikir Yunani lain, boleh dianggap perintis sains. Teori  Pythagoras adalah satu anak tangga yang mesti dinaiki pada jenjang geometri,  menurut sistem Euclides. Beberapa cara ujian bisa dilakukan. Dulu saya tahu  beberapa jalan. Sekarang sudah lupa. Tetapi ujian yang di bawah ini cukup baik  buat maksud kita.

TEORI PYTAHGORAS :

  “Jumlah kuadrat (lipat dua) dari dua garis  sudut siku = kuadrat dari garis miring

Terbukti ABC bersiku (90º) pada A. 

Mesti di uji : AC ² + AB ² =  BC ²

 

Ujian: Kita tarik garis tinggi AD (artinya AD membentuk sudut (90º) pada BC

ADC  sama bentuk dengan ADB.Jadi, ADC sama bentuk dengan ADB(menurut teori sama sebangun) – tingkat ICD : AC = AC : BCDB : AB = AB : BC(menurut teori sudut siku) – tingkat IIJadi        AC ² = CD x BC             AB ² = DB x BC(menurut teori hukum aritmetika) – tingkat IIIAC ² + BC ²  = (CD + DB) x BC                     = BC x BC                     = BC &sup2                        (menurut  hukum aritmetika) – tingkat IV

Empat tingkat I, II, III, IV, kita mesti  jalani baru sampai ke penghabisan. Masing-masing dari 4 tingkat itu ialah teori  geometri juga, tetapi III dn IV ialah teori atau hukum yang dipakai pada  aritmetika yang bisa dipakai pula dalam aljabar. Tiap-tiap teori yang dipakai  bisa dipecah lagi menjadi teori yang dipelajari lebih dahulu.

Nyatalah sifat atau metode cara sintetis  itu memasang teori yang sudah dikenal, sampai teori yang mesti diuji nyata  kebenarannya. Kita berjalan dari yang dikenal kepada yang baru. Kita pasang  segala teori yang sudah dikenal guna menyatakan yang belum dikenal. Seolah-olah  kita berjenjang naik!

Kalau kita pakai jalan analitis, kita  berlaku sebaliknya. Kita bertangga turun.

2. Metode analitis

Teori = soal : kalau salah satu dari 2  sisi sudut siku itu setengah dari sisi yang miring (hypotenusa), maka di depan  sisi itu ada sudut 30º

Diketahui  : sudut CAB  = 90 º

AC  = ½ BC = CD

Mesti di uji sudut ABC = 30 º

Disini kita tidak kenal atau tak lekas  kenal teori yang bisa dipasang guna mencapai maksud kita. Bisa jadi kalau lama  kita renungkan atau kita pendam soal ini dalam kepala, maka sesudah satu atau  dua jam, satu atau dua hari, sedang mandi atau menyepak bola, sedang minum es  atau makan gado-gado, jawabnya tiba-tiba keluar. Tetapi sikap ini tak bisa dipakai  dalam ujian. Kalau jalan sintetis tak lekas membawa hasil, maka andaikan teori  ini benar.

Jadi sudut ABC yang mesti kita uji itu  betul 30 º

Kita bertanya, apakah akibatnya? Kalau  akibatnya tidak berlawanan dengan hukum geometri umumnya dan fakta-fakta soal,  yaitu bukti teori yang khususnya mesti kita wujudkan, maka benarlah soal itu.

Demikianlah kalau ABC  = 30º, maka ACB  = 60º. Kalau begitu ADC  = 60º  sebab AC = CD menurut bukti-bukti soal. Kalau ADC  = 60º, maka ADB  = 180º - 60º = 120º.

Kalau ADB  = 120º, maka BAD  = 180º - (120º+30º) = 30º

Kalau BAD  = 30º, maka DAC  = 60º

Dan ini benar, menurut yang berbukti  bermula. Quot Erat Demonstrandum. Demikianlah sudah terbukti.

Nyatalah di atas, kita bermain dengan  “kalau” dan main “andai”. Dari ujung yakni perkara yang mesti ktia uji sampai  ke pangkal, ke dasar geometri, kita main “andai”. Bila kita tak bertemu dengan  hal yang berlawanan, dengan geometri umumnya dan bukti-bukti yang didasarkan  pada soal itu sendiri khususnya, maka benarlah jalan kita. Betullah teori atau  soal itu tadi.

Dengan metode sintesis kita berjalan dari  yang dikenal ke yang belum atau yang mau kita kenal. Dengan metode analitis  sebaliknya. Kita berjalan dari yang mau tetapi belum kita kenal, kepada jalan  yang sudah kita kenal. Kita ungkap segala yang tersembunyi dalam rahasia baru,  dalam teori atau soal baru.

3. Metode reduciton ad absurdum

Ada kalanya kita tak lekas atau tak dapat  jalankan 2 metode di atas. Dalam hal ini kita pakai perkakas terakhir, metode reduciton ad absurdum. Kita jerumuskan,  sengaja sesatkan siapa yang tak percaya pada teori itu supaya insyaf, bahwa  teori itu saja yang benar.

Teori atau soal berkata :

Cuma satu garis siku bisa dijatuhkan dari  titik C pada garis AB.

Terbukti           :  garis AB

Sudut CDA = 90º

Mesti diuji        : cuma CD saja yang bersiku (90º) pada AB.

Ujian : kita kerok otak kita mencari teori  dan hukum yang kita kenal untuk menyelesaikan soal ini. Tak dapat! kita bermain  “pengandaian” dan coba berjalan dari yang belum dikenal pada yang nyata  dikenal. Gagal! Kita buntu, keringat sudah keluar, kita sedang dalam examen dan sang waktu hampir berlalu.  Sekarang, mau tak mau, lari pada jalan ketiga : reduction ad absurdum.

Seandainya ada garis kedua, bersiku, jatuh  dari C pada AB, umpamanya garis CE. Kalau begitu sudut CED = 90º. Maka jumlah 3  sudut CDE = 90º + 90º + Xº, atau 180º + Xº lebih besar dari 180º, maka  bertentangan dengan hukum yang sudah dikenal dalam geometri, yaitu: jumlah  semua sudut dalam sebuah segitiga selalu 180º. Maka pengandaian tadi absurd.  Bertentangan dengan hukum yang dikenal. Karenanya teori yang mau kita uji di  atas itu benar.

Pada jalan ketiga ini, pertama kali  mengandaikan akibat teori itu salah. Kita berjalan membelakang dari akibat ke  pangkal. Akhirnya kita sesat, sebab kita berjumpa dengan hal yang bertentangan  dengan hukum atau teori geometri yang sudah diakui kebenarannya lebih dahulu.  Jadi akhirnya kita yakin bahwa akibat teori yang mau diuji itu sendiri tidaklah  salah. Semua jalan lain malah menyesatkan kita. Kalau akibat disalahkan, maka  “dasar-dasar” geometri yang sudah diakui kebenarannya mesti disahkan pula.

PROBLEMA

Dalam problema, yaitu soal-soal membuat  sebuah gambar geometri (geometry figure)  dengan penggaris dan jangka, kita juga memakai dua cara pertama dalam menguji  teori tadi: sintesis dan analitis.

Ada lagi satu cara yang bisa dipakai, yaitu intersection of logic, atau  pertemuan jalan. Sesudah gambar geometri tadi dibuat, maka seperti pada teori,  kita mesti menguji kebenaran gambar yang kita peroleh. Uji, apakah gambar itu  memenuhi syarat yang dituntut oleh problema. Jadi sebuah problema mesti  mula-mula dipecahkan baru kemudian di uji.

Untuk meringkas, maka sekarang tidaklah  perlu kita membuat gambar untuk menjelaskan dua cara yang pertama, karena sudah  masuk pembicaraan kita terdahulu. Untuk memudahkan pengertian, lebih baik kita  mulai dengan cara yang baru itu.

INTERSECTION OF LOGIS

Problema: Tariklah garis menyinggung  pada satu lingkaran di luar titik tadi.

Diketahui: Lingkaran  M lingkaran N

Dikehendaki: Menarik garis menyinggung dari P ke lingkaran dari P ke lingkaran N

Konstruksi : Sambungkan P dengan M

Buat lingkaran penolong M dengan  memakai titik M sebagai titik  pusat.

Lingkaran N memotong lingkaran pada titik A dan titik B          

Hubungkan titik A dan B dengan P.

Jadilah garis PA dan PB sebagai garis  singgung yang dikehendaki.

Ujian: Tarik garis penolong MA dan MB.  Nyata bahwa sudut MAP dan MBP bersiku 90º, karena masing-masing berdiri pada  lingkaran. Garis PA dan PB berdiri tegak lurus atas straal MB dan MA. Jadinya kedua garis PA dan PB adalah dari  singgung.

Amatilah sudut MBP. Sudut itu 90º sebab  berdiri menentang ½ lingkaran PBM. Ia adalah pertemuan garis PB dan NB di titik  B. Titik B pada dua garis PB berlocus, bertempat di seluruh lingkaran M. Dimana  dua lingkaran itu bertemu, berselang, seperti di B, disanalah titik B dari  garis PB dan B dari garis MB berpadu.

Amatilah sendiri sudut MAP.

 

Pasal 5. CARA BERPIKIR MATEMATIS DAN KEHIDUPAN

SEBETULNYA cara berpikir dalam geometri  tadi, walaupun sedikit lain bentuknya, termasuk juga ke dalam cara kita  berpikir sehari-harinya. Makin cerdas otak kita dilatih oleh matematika, makin  besar harapan kita akan ketetapan dan kebenaran buah pikiran kita, yakni kalau  kita perhatikan syarat lainnya bagi kesempurnaan berpikir.

Kalau seorang bapak yang berpengalaman  mengingatkan anaknya yang keras hati bahwa uang yang ada dalam kantongnya itu  tidak cukup buat perjalanan yang begitu jauh, maka sebetulnya ia memasang  alasan, seperti ahli matematika tadi ketika sedang menguji benar tidaknya suatu  persoalan. Si bapak menghitung berapa hari jauhnya perjalanan, berapa belanja  seharinya dsb. Kalau dalam perhitungannya, ia menemukan uang yang diperlukan  jauh lebih banyak dari uang yang ada di kantong anaknya, maka ia memutuskan  bahwa uang anaknya tak cukup. Si anak terburu nafsu, salah perkiraan.

Kalau seorang advokat mengajukan, memasang  beberapa hukum untuk membenarkan perbuatan orang yang ia lindungi atau untuk  menyalahkan lawannya, maka ia sebenarnya memakai cara yang sehari-harinya juga  dipakai oleh ahli matematika.

Makin tersusun alasannya, makin benar satu  per satu alasan itu. Makin tangkas ia membentuk alasannya, makin besarlah pengaruhnya  pada pendengar.

Lenin, sesaat sebelum Oktober 1917,  sesudah ia memperhatikan materialisme dialektis dan mengingatkan pertentangan  kelas dalam sejarah dunia dan sejarah Rusia, mendesak pada pengikutnya untuk  merebut pemerintahan dengan alasan seperti: 1. Suasana revolusioner – ekonomi  dan politik – memang cukup. 2. Partainya memang berdisiplin keras., 3. Seluruh  rakyat Rusia memang sudah berada di bawah pengaruh partai Komunis, dan 4. Musuh  di dalam dan di luar Rusia sedang bercekcok. Ia memasang semua alasan yang  benar dan tepat, karenanya percobaan itu akan berhasil. Teorinya, dalam hal ini  teori itu berarti perhitungan, sudah benar. Hasilnya semata-mata tergantung  pada kecerdikan dan keberanian yang menjalankan.

Sebaliknya kalau kita mau mengemukakan  bahwa Gandhiisme, kalau dipraktekkan sedikit mesti meruntuhkan banyak penduduk  dan kecerdasan rakyat India maka susah kita memakai cara sintetis (memasang)  alasan untuk menguji paham kita. Dalam hal ini baik kita pakai jalan analitis.  Kita misalkan Gandhi dan gandhiisme sekarang mengemudikan India merdeka. Kita  tahu bahwa Gandhi menganggapp mesin sebagai setan dan kota tempat berkumpulnya  mesin sebagai neraka. Kita tahu, bahwa dia percaya pada “perkakas tenun tangan”  yang diangkutnya sampai ke London dan dijadikan syarat hidup bagi pengikutnya.  Sekarang kita periksa akibatnya, kalau Gandhi dan Gandhiisme mengendalikan  ekonomi Hindustan.

Setan mesin tak dipakai lagi. Dengan  begitu pabrik kain, kereta api, pabrik kimia, dan pabrik mesin sendiri tak  berguna. Tambang arang, tambang besi, dll mesti ditutup. Ilmu alam, kimia,  matematika, dll apa gunanya? Sekoah yang mengajarkan semua ilmu barat itu tak  pula akan berguna lagi. Seperti buat Gandhi, satu mangkok susu lembu sehari  dengan dua atau tiga biji pisang, barangkali sedikit nasi tak berdaging,  cukuplah buat hidup sementara menunggu perpaduan dengan yang Rohani, begitulah mestinya  dia anggap besar kecilnya keperluan manusia.

Dengan jatuhnya mesin, jatuhnya ilmu  pengetahuan. Dengan jatuhnya ilmu pengetahuan, jatuhlah ilmu kedokteran yang  sehidup semati. Semaju mundur dengan ilmu pengetahuan. Dengan begitu tak ada  daya upaya lagi untuk memberantas malaria, kolera, pes, atau penyakit baru yang  mesti berjangkit akibat pengangguran dan kelaparan yang mesti hebat dahsyat.  Dengan jatuhnya ilmu kimia, jatuhlah pertanian. Dan kalau kekurangan makanan,  maka seperti dulu, tak ada kapal atau kereta pengangkut makanan dari tempat  kaya makanan ke tempat miskin dengan lekas. Matinya manusia seperti dulu lagi,  bertimbun-timbun dengan datangnya bahaya kelaparan berulang-ulang. Jadi  penduduk India, walaupun boleh jadi suci dan alim seperti Mahatma Gandhi, akan  surut anjlok ke bawah kurang lebih 400 juta sekarang.

Dengan jalan memisahkan Gandhiisme sungguh  dijalankan, kemudian memeriksa akibatnya seperti seorang ahli matematika, kita  sampai pada tesis yang kita majukan, bahwa Gandhiisme mesti setidaknya  menyusutkan penduduk India, kalau tidak melenyapkannya sama sekali. Lenyap, sebab  jangan lupa, dunia sekarang cuma buat yang kuat saja, bukan dunia impiannya  mahatma Gandhi.

Kalau seterusnya kita mau ajukan bahwa  “ahimsa” Mahatma gandhi itu tak bisa menciptakan perdamaian dunia, seperti  Mahatma sendiri pernah akui bisa, maka jitu dan pendek sekali kita gunakan cara  ketiga. Menguji teori dengan penyesatan.

Kita mulai! Kalau ada orang yang  bertentangan dengan paham kita mengadakan bisa, maka ikutilah dia sampai di  sesat. “Kalau bisa”, kata kita, “tentu perdamaian dunia sudah lama datang”.  Tetapi perdamaian sekarang lenyap, sebab itu “ahimsa” tak bisa menciptakan  perdamaian dunia. Jadi paham lawan kita salah dan kita benar QED.

Gandhi sudah terkenal di dunia fana ini  sejak tahun 1919. Lebih dari 20 tahun melalui radio atau jalan lain, dia  sampaikan “ahimsa” pada mereka yang berkewajiban memegang perdamaian. Tetapi  walaupun Gandhi hadir dengan “ahimsa”, perdamaian dunia tak pernah ada dan  pasti tak akan ada selama kapitalisme ada!

Memang dalam perdebatan politik acapkali  dipakai metode ad absurdum ini!

Jalan ada menyelesaikan problem, yaitu  “perjumpaan titik dari dua jalan”, intersection of logis, sebenarnya tak asing  bagi kita. Perhatikanlah ke mana perginya pemburu macan yang cerdik. Ia pergi  ke suatu tempat (titik) dimana jalan macan bersilang, memutus jalan mangsanya,  babi umpamanya. Pada seluruh jalan macan itu bisa jadi ia menjumpai macan,  tetapi seluruh jalan itu (lingkar pertama) begitu panjang. Kalau ia ikuti  seluruh jalan babi, boleh jadi ia akan bertemu macan yang hendak memangsa babi.  Tetapi seluruh jalan babi itu (lingkar kedua) terlalu panjang pula. Adalah  lebih dekat dan lebih besar harapan si pemburu kalau ia pergi ke titik dimana  dua lingkaran tadi berselang bertemu. Di sini bisa jadi sekali ia berjumpa  macan.

Pelarian karena mencuri atau membunuh  pelarian karena politik ada banyak perbedan tetapi ada pula persamaan.  Perbedaannya tentu mudah dicari. Tetapi persamaanya, selain melarikan diri,  tiada selalu dikenal. Tetapi detektif, resersir yang bijaksana mesti tahu akan  persamaannya. Lebih-lebih kalau perlarian politik tadi berdarah filsafat pula.  Dalam hal ini si pelarian filsafat tertarik oleh tempat yang sunyi, ini pun  menarik si pencuri seperti magnet menarik besi. Disinilah pertemuan logis kedua  mahluk yang berakal tadi.

Si resesir yang ahli bijaksana tak perlu  ketahui dan ikut seluruhnya jalan si pencuri atau si pelarian politik berdarah  filsafat. Dua jalan mereka biasanya berselang, bertemu pada satu tempat, yaitu  tempat yang sunyi. Inilah rahasia buat resersir yang cerdik.

Tetapi buat pelarian yang cerdik, rahasia  ini bukan rahasia lagi. Bagaimanapun juga yang kita mau ajukan disini ialah  pandangan bahwa cara berpikir intersection  of logis bukan semata-mata perangkat berpikir ahli matematika saja. 

Pasal 6. PERKEMBANGAN MATEMATIKA

TIAP-TIAP barang itu memang ada lawannya.  Lawan plane geometry (geometri bidang  datar) tidak saja sudah terbit, tetapi juga pesat majunya. Di Jerman dirintis  oleh Riemann, di Rusia oleh Minkofsky. Geometry baru itu tidak lagi berdasarkan  atas bidang datar seperti geometri Euclides sekarang, tetapi atas bidang  melengkung. Bumi ini, begitulah uraian ahli geometri baru ini, bulat seperti  bola. Kita tahu di dua kutub bumi kita ini sedikit data. Jadi berapapun  kecilnya bagian bumi ini kita ambil, ia tidak mungkin datar, melainkan  melengkung. Jadi garis atau sudut pada bidang melengkung in sebenarnya tidaklah  lurus.

Kebenaran uraian ahli geometri baru itu  sudah tentu tak bisa dibantah. Tetapi dalam perhitungan sehari-hari, geometri  Euclides sudah memadai. Kalau salah, maka salahnya itu tak seberapa. Begitulah juga  cara yang dipakai oleh Einstein untuk menghitung gerhana umpamanya, berlainan  dengan cara Newton. Tetapi beda hasilnya tidaklah seberapa, cuma beberapa menit  atau detik saja. Bagi ahli bintang dan matematika perbedaan hasil perhitungan  yang sedikit itu tentu berarti besar, tetapi buat kita tidak seberapa artinya.

Bagaimana nasib geometri Euclides kelak  tentulah tak seorang pun bisa menaksir. Bisa jadi Euclides tetap dipakai buat  matematika rendahan umpamanya. Sedangkan matematika tinggi dipakai buat dasar  non Euclides. Tetapi tak mustahil non Euclides dipakai buat seluruh matematika.  Mungkin pula dua sistem cara itu berpadu, diambil yang baik dari masing-masing.  Nasib ilmu pengetahuan tidak ditentukan oleh sifat ilmu pengetahuan itu sendiri  saja, tetapi juga oleh industri dan kelas yang membutuhkan ilmu itu. Siapa tahu  perusahaan baru atau pesawat baru lebih cocok dengan sistem Riemann. Kalau  begitu maka sistem inilah yang akan dikembangkan oleh satu golongan atau negara  baru.

Bagaimana pun hari depan plane geometry, ilmu ini cukup baik  untuk dipakai mengasah otak. Selain itu, yang bisa memberi obat haus pada otak  kita manusia umumnya dan pada penagih pemadat matematika khususnya, ialah rasa  ingin tahu. Kita manusia, memang hewan yang ingin tahu. Curious, niewsgiering. Dalam hal ini kita lebih ingin tahu  dibanding monyet, tikus, dan binatang apapun juga.

Sedikit menyimpang, tetapi berbalik kesana  juga! Penulis ini tegasnya, dalam pelariannya yang lama itu bukan saja  kesehatannya yang turun naik, tetapi kantongnya pun merasakan pasang naik dan  pasang surut itu. Tetapi dalam perasaan kekurangan materi, penulis banyak  mendapatkan materi pada ilmu tak bermateri. Pada matematika ini. Persoalan  matematika melupakan banyak perkara lain-lain yang tidak diharapkan lekas  datang.

Jawaban atas soal matematika yang  diperoleh sendiri memberi kepercayaan pada diri sendiri dan kegiatan untuk  meneruskan. Terutama bahasa yang dipakai dalam matematika – bahasa Inggrisnya  umpamanya- jitu tajam, terang, dan merdu! Ya, merdu buat si penulis.  Semerdu-merdunya, sebab memenuhi sifat-sifat sains.

Memang masyarakat kita kekurangan pimpinan  dan kebutuhan pendidikan. Kegemaran berhitung dan berpikir memang umum di  Indonesia. Di daerah yang saya kenal ketika saya masih pemuda, kegiatan untuk  berhitung itu memang luar biasa. Di tanah Batak dan Minangkabau kegiatan itu  sampai ke puncak. Di lain tempat di Jawa Tengah umpamanya, saya dengar begitu  juga. Tetapi kita tak mempunyai pimpinan. Pendidikan ala sekolah Belanda tak  menambah, bahkan membunuh kegiatan matematika. Kalau si murid mempelajari  matematika, bukan karena ia suka pada ilmu itu, melainkan karena ia terpaksa  mempelajari, untuk mendapatkan pangkat yang tinggi, seperti opzicthter atau insinyur. Tetapi kalau  ia sudah mendapat angka yang memuaskan, matematika sebagai pelatih otak dia  lemparkan sama sekali.

Perhatiannya dari mula sampai akhir  semata-mata pada gaji. Selain itu, ribuan pemuda yang bersemangat pada  matematika khususnya dan sains pada umumnya tidak mendapat kesempatan sama sekali.  Akibat kemiskinan.

Apabila soerang murid kelas bawah dari  sekolah rakyat kebetulan masuk ruang kelas tertinggi dari sekolah itu dan  melihat satu soal aritmetika di papan tulis, maka kagumlah dia. Berapa kali pun  ia baca, dia tak akan mengerti persoalan itu. Apalagi menyelesaikannya. Apabila  murid kelas tertinggi dari sekolah rakyat tadi melihat satu problem matematika  di sebuah papan tulis sekolah menengah, maka kekaguman yang kita sebutkan tadi  bertukar ketakjuban. Ia merasa kepandaiannya picik sekali. Dirinya tak berarti,  Angka, huruf, garis, dan sudut kacau balau di matanya. Sama sekali rahasia  baginya. Membingungkan.

Sebenarnya matematikalah yang paling  gampang kalau dibandingkan dengan sains yang lain, yaitu bagi mereka yang berpikir  logis dan cerdik memakai cara. Bagi mereka semacam ini, tak perlu banyak  menghafalkan. Sedangkan ilmu-ilmu lain, seperti ilmu bumi dan sejarah, perlu hafal  menghafal berulang-ulang. Acapkali buktinya tak terorganisir dan tidak umum  layaknya matematika dan ilmu alam. Untuk matematika, cukup kalau teori yang tak  seberapa banyak itu dipegang dan terutama sekali berpegang teguh pada cara  berpikir seperti yang sudah diuraikan. Berbeda dengan ilmu-ilmu lain,  matematika sangat teratur tingkatnya, dari yang paling mudah ke yang sedikit  lebih susah, dari sedikit susah ke tingkat sedikit lebih tinggi, begitulah  terus sampai ke puncak setinggi-tingginya. Bagi pemuda yang berdarah logis dan  cerdik, maka sekalian tingkat itu bisa dinaiki dengan gampang. Tidak sadar  mereka tiba-tiba sudah sampai ke puncak.

Kalau sekiranya pemuda yang tidak begitu  beruntung dalam masyarakat ini, tetapi sudah punya sedikit dasar matematika,  umpamanya lepasan SMP, mau belajar sendiri, hal ini bukanlah percobaan si cebol  hendak mencapai hulan. Dari geometri bidang datar ia bisa terus ke stereometri  yang mempelajari titik dan garis tidak lagi pada satu bidang datar melainkan beberapa  bidang datar (kubus, silinder, dsb). Dari sini, sesudah mempelajari aljabar,  tak berapa susahnya naik ke tingkat yang lebih tinggi seperti trigonometri,  geometri analitis, geometri Rieman atau Minkofsky pun.

Memang pada stereometri, kita mesti  berlaku lebih abstrak daripada geometri. Di geometri kita menghadapi sudut atau  bidang yang bisa digambarkan di atas kertas, tetapi pada stereometri acapkali  gambaran sudut atau bidang itu mesti digambarkan dalam otak saja.

Memang, dengan Minsofsky kita mesti lebih  abstrak lagi bila menggambarkan 4 dimensi, karena 4 dimensi itu bersandar atas  3 dimensi seperti atap kubus yang sudah kita kenal. Kalau 2 dimensi itu terjadi  dari 2 garis yang bersiku satu sama lainnya (perpendicular upon each other) seperti bidang, maka gambar ini bisa  kita buat di atas kertas. Kalau tiga bidang siku yang bersiku pula satu sama  lainnya seperti kubus, maka gambar kubus semacam ini masih juga bisa kita bikin  di atas kertas. Tetapi 4 dimensi, yaitu tiga dimensi ditambah dimensi waktu, time, akan gambar semacam ini tak bisa  dibikin si atas kertas dan tak bisa lagi digambarkan dalam otak. Pisahan  abstraksi semacam ini sudah sampai ke puncaknya.

Tetapi dengan memakai hukum yang diberikan  oleh matematika mana juga, dengan cara sintetis, analitis, atau reductio ad absurdum, kita biasanya  dapat menyelesaikan satu persoalan, bahkan teori relativitas Einstein pun.  Sebagian saja kalau tidak seluruhnya. Sistemnya saja, kalau sisanya tidak bisa  kita pahami.

Sedikit tentang teori relativitas ini. saya  tidak ahli dalam hal ini. Beberapa buku sudah saya baca tentang teori ini dalam  bahasa Inggris. Kebanyakan penulisnya sendiri, saya ingat, tidak bisa  menjelaskan teori baru ini. Ya, bahkan ada yang mengatakan Einstein sendiri tak  tahu apa sebetulnya teori ini. Buku Einstein sendiri, seperti Relativitas Khusus dan Relativitas Umum (Spezielle Relativitat dan Algemeine  Relativitat) belum saya baca. Sudah atau belum bisa didefinisikannya teori  relativitas pada saat saya menulis ini tidaklah begitu penting. Teori ini sudah  diakui oleh ahli seluruh dunia. Teori ini bisa dipakai dan hasilnya lebih jitu  dari yang sudah, katanya. Barangkali karena teori ini masih muda maka ia belum  bisa didefinisikan, seperti juga listrik umpamanya. Listrik bisa ditimbulkan,  diukur dan dipakai kekuatannya, tetapi kalau ditanyakan “apa” lsitrik itu, maka  jawabnya masih berupa hipotesis. Hal ini saya pikir tidaklah merugikan.  Sepanjang perkiraan saya, selama masih ada pemikir dan pikiran di dunia ini,  selama itu pula akan terus menerus adanya hypotheses,  azioma, postulates, dugaan sebagai pangkalan berpikir. Seperti sebuah  pangkalan kapal bisa diganti, begitu juga hipotesis tadi bisa diganti.

Maksud saya mengemukakan teori relativitas  ini adalah untuk sekali lagi menasehati pemuda kita yang punya otak dan waktu,  agar mempelajari teori yang dianggap paling penting ini. Cuma berhubung dengan  nasehat ini, maka saya sedikit hendak menguraikan kesan yang saya peroleh  tentang teori muda ini.

Lima belas tahun lalu saya pelajari  sendiri teori ini sewaktu di Tiongkok. Sesudah itu saya sama sekali tak membaca  buku tentang itu. Sekarang sudah tentu bukan waktunya dan sama sama sekali tak  ada pustaka buat mempelajarinya sekali lagi. Memang dulu saya sudah bisa  memahami beberapa rumus Lorentz yang dipakai oleh Einstein. Tapi tak satu pun  rumus itu masuk ke dalam jembatan keledai ingatan saya. Kesan terpenting yang  saya dapatkan dari teori ini adalah kesan yang berhubungan dengan maksud buku  ini, yakni reaksi persinggungan “arah” dan kecepatan”, suatu pergerakan dengan  “titik pandang”.

Contoh (dari saya sendiri): sebuah kereta  api berjalan dari Timur ke Barat. Seorang penumpuang dalam kereta api itu  berjalan dari Barat ke Timur, jadi arah penumpang itu bertentangan dengan arah  kereta api. Tetapi dipandang dari satu titik di atas rel kereta, maka si  penumpang sama arahnya dengan kereta, ialah dari Timur ke Barat (kecuali kalau  si penumpang berjalan lebih cepat dari kereta). Dipandang dari satu titik pada  lingkaran bumi mengelilingi matahari, maka orang tadi dengan bumi ini berjalan  dari Barat ke Timur. Demikianlah arah tadi bergantung pada “titik” memandang.

Kecepatan juga begitu! Dua orang, A dan B  berjalan bersongsongan. A berjalan menuju B dan B berjalan menuju A. Kecepatan  A 7 km/jam dan B 6 km/jam. Jadi dalam 1 jam A 13 km menghampiri B. Sekarang  mereka bertemu pada satu titik. Dari titik ini mereka sama-sama berjalan,  umpamanya dari Barat ke Timur. Kalau sekarang A melihat pada B, maka tiap-tiap  jam A meninggalkan B 1 km (7-6). Kalau dibandingkan dengan posisi B,  seolah-olah A berjalan 1 km saja tiap jam. Umpamanya ada orang lain, C, berjalan  juga dari Barat ke Timur, searah dengan A dan sama cepat dengannya (7 km/jam).  Maka A melihat C seolah-olah tak bergerak. Kalau ia melihat pada C saja, maka  ia sangka ia berjalan 0 km dalam 1 jam. Dipandang dari titik baru ini, ia tak  maju dan tak mundur.

Dalam hal ini titik memandang adalah  pangkal berpikir. Arah dan kecepatan kita pergi berkaitan relatif dengan titik  kita memandang.

Dalam hal ini, kalau saya tak salah, maka  teori relativitas itu berhubungan dengan Dialektika. Sepintas lalu saya mau katakan  seolah-olah cara berpikir dalam geometri itu berbanding dengan logika, seperti  cara relativitas dengan dialektika.

Peringatan!

Perkara teori relativitas ini pada hampir  penghabisan buku akan dilanjutkan. Tetapi apa yang sudah saya tulis diatas, cuma  beberapa kalimat yang tidak berkenaan dengan teori itu sendiri. saya yang ubah.  Isinya sendiri sedikit pun tidak diubah karena memang tidak perlu diubah.  Contoh yang saya berikan pada tingkat uraian ini tentang teori relativitas saya  pikir memadai, yang akan diuraikan kelak sebagai tambahan buat memperdalam ilmu  yang sudah diketahui.

Sebelumnya saya bilang bahwa 15 tahun yang  lampau saya pelajari teori relativitas itu dan sekarang saya tak mempunyai  pustaka dan waktu mempelajarinya sekali lagi.

Pernyataan ini mesti dikoreksi. Sesudah  lebih kurang setengah buku ini saya tulis, saya mendapatkan pustaka. Walaupun  tergesa-gesa, bisa juga mendapatkan bahan baru, untuk menambah contoh dan  memperdalam ilmu ini. Contoh di atas ini boleh dianggap seperti tinjauan pendek  dan populer