مفتاح الحساب/المقالة الرابعة/الباب السادس/الفصل الأول
الاسطوانة المستديرة مجسم به يحيط به دائرتان متساويتان متوازيتان هما قاعدتاها، وسطح مستدير في العرض مستقيم في الطول واصل بين قاعدتها بحيث إذا أدير مستقیم واصل بين محیطى القاعدتين عليهما موازيا المستقيم واصل بين مرکزی القاعدتين ماس السطح والخط الواصل بين المركز سهم الاسطوانة ويدعى بمحورها أيضًا فإن كان عمودا على الدائرتين فالاسطوانة قائمة وإلا فمائلة

تعريف أخر للاسطوانة القائمة إذا أدير ذو أربعة أضلاع قائم الزوايا على أحد أضلاعه فالشكل الحادث هو الأسطوانة المستدير القائمة المخروط المستدير مجسم يحيط به دائرة هي قاعدته وسطح مستدير مرتفع عن محيطها على التضايق إلى نقطة هي رأسه بحيث إذا أدير المستقيم الواصل بين رأسه ومحيط قاعدته عليه ماس السطح والخط الواصل بين رأسه ومركز قاعدته هو سهم المخروط، فإن كان عمودا على قاعدته فالمخروط قائم وإلا فمائل وإذا توهم قطعه بسطح يكون سهمه في ذلك السطح قائما على قاعدته سواء كان المخروط قائما أو مائلا فالمثلث الحادث فيه يسمى مثلث المخروط، وكل مخروط إذا فصل  بسطح مواز لقاعدته كان ذلك الفصل دائرة، والسهم يمر بمركزها، وينقسم به إلى مخروط أصغر منه مشابه له، ومجسم يسمى بمخروط الناقص.

وإذا ادير مثلث قائم الزواية على أحد أضلاعه القائمة فالشكل الحادث هو المخروط المستدير القائم وإذا ادير ذو زنقة واحدة على ضلعه القائم على المتوازيين فالشكل الحادث هو المخروط الناقص القائم وذلك الخط سهمه محوره، وإرتفاعه والمركب من مخروطين قائمين قاعدتهما دائرة واحدة سمى بالمعين المجسم، وإذا افرز عن مخروط قائم مجسم معين يكون أحد رأسيه مركز قاعدة المخروط فاسمى المجسم الباقي بفضل المخروط وهو كمخروط الناقص افرز  منه مخروط رأسه مركز قاعدة المخروط الأول وقاعدة السطح الأعلى للمخروط الأول، وإذا أفرز عن معين مجسم معيّن مجسم آخر يكون رأسا أحدهما رأسى الآخر فسمي المجسم الباقي بفضل المعين وهو كمركب عن مخروطين قائمين أحدهما تام والأخر ناقص قاعدتهما واحدة، أفرز منه مخروط رأسه رأس المخروط وقاعدته السطح الأعلى من المخروط الناقص، وأعلم أن الأسطوانة والمخروط قد يكونان مضلعين فقاعدتها ذوات أضلاع والسطح المحيط بالأسطوانة مستطيلات وبالمخروط مثّلثات المنشور أسطوانة قاعدتاها مثلثان متساويان أضلاع أحدهما يوازي أضلاع الآخر الكرة جسم يحيط به سطح مستدير وفي داخله نقطة يكون كل الخطوط الخارجة منها إليه متساوية وتلك النقطة مركزها والخطوط انصاف أقطارها وذلك السطح محيطها وأعظم دائرة نفع فيها ما يمر بمركزها ولابد أن ينصفها، وإذا قطعت الكرة الكرة بسطح مستو إلى قسمين فيقال لكل احد منهما قطعة الكرة، والدائرة التي حدثت فيها هي قاعدة القطعة، ورأس القطعة نقطة على سطحها المسدير يتساوي جميع الخطوط الخارجة منها إلى محيط القاعدة، فقال لها قطب القطعة أيضاً، والخط الواصل بين مركز القاعدة ورأس القطعة هو ارتفاع القطعة وسهمها أيضاً، قطاع الكرة هو مجموع قطعة الكرة ومخروط مستدير قاعدته قاعدة القطعة ورأسه مركز الكرة ضلع الكرة هو ما أحـاط به نصفا عظيمتين وسطح كرى يكون نصف قطرها مساويا لنصف قطر الدائرتين، وهو يشبه أضلاع البطيخ. 

الفلكة اسطوانة مجوفة متساوية الثخن لا يكون سمكها أكثر من قطر قاعدتها ويكون قطر قاعدة تجويفها أقل من نصف قاعدتها أو مساوياً له سواء كان تحته أقل من سمكها أو أكثر، وما كان قطر قاعدة الجويف أكثر من نصف قطر قاعدته بحيث يكون ثخنه أقل من سمكه نسميه بالدفي، وما كان سمكه أكثر من قطر القاعدة مطلقاً فهو الأنبوبة.

وبعبارة أخرى إذا ادير سطح مستطيل حول خط خارج منه مواز لضلعه الأقصر بعده عنه لا يكون من ضلعه الأطول وكان ذلك الخط موازيا لضلعه الأطول ولا يكون ضلعه الأقصر أقل من بعده ولا يكون مجموعهما أكثر من ضلعه الأطول والشكل الحادث هو ما سميناه بالفلكة، وإن كان ذلك الخط موازيا لضلعه الأطول ويكون ضلعه الأقصر أقل من بعده عنه ومجموعهما اكثر من ضلعه الأطول فالشكل الحادث ما سميناه بالدّفي وإن كان مجموعهما أقل من سواء كان بعد الخط أقل من ضلعه الأقصر أو أكثر منه وهو الأنبوبة، وكل سطح أدير حول خط خارج عنه غير مواز لضلعه الأطول إن كان مستطيلاً مطلقاً أو مواز لضلعه الأقصر أو لأحد أضلاع المربع،
ويكون بعده عنه أكثر من أعظم أضلاعه وأقطاره فالشكل الحادث نسميه بالحلقة وننسبه إلى سطح حادث فيها عن تصور قطعها بسطح يكون محورها فيه فالحلقة المربعة ما كان السطح الحادث فيها مربعاً والمستديرة ما كان دائرة وعلى هذا القياس والحلقة المربعة إما أن يكون أحد أضلاعه مربَعه موازيا لمجوره أولاً، ويقال للثاني المربعة الموربة، وبعض يرسم الدّفي بكرة مجوفة متساوية الثخن أفرز عنه قطعتان تكونا قاعدتاهما متساويتين متوازيتين، وما قلنا أشبه بالدف من هذا.