مفتاح الحساب/المقالة الرابعة/الباب الأول/الفصل الثاني
وأما كيفية مساحة فهي أن نضرب العمود في نصف القاعدة أي نمسح العمود والقاعدة معا بذراع أو غيره من القياسات ونضرب أحد الحاصلين في نصف الآخر

نوع آخر نضرب العمود الخارج عن مركز المثلث إلى الضلع في نصف جميع الأضلاع ليحصل المساحة 

نوع آخر لا يحتاج فيه إلى العمود نأخذ لا يحتاج فيه إلى العمود نأخذ فضل نصف مجموع الأضلاع الثلاثة على كل ضلع ونضرب أحد الفضول الثلاثة في آحد الآخرين والحاصل في الأخر والحاصل في نصف مجموع الأضلاع ونحصل جذر الحاصل الآخير فهو مساحة المثلث

مثاله فرضنا أحد أضلاع مثلث عشرة والآخر سبعة، وضلع الباقي إحدى وعشرين، فيكون نصف مجموع الأضلاع  فضله على العشرة ، وعلى سبعة عشر ، وعلى واحد وعشرين ، فضربنا  في  حصل ، ضربناه في  حصل ،  ضربناه في  نصف مجموع الأضلاع حصل  أخذنا جذره فكان  وهو المطلوب.

وأما استخراج أبعاده بعضها عن بعض فمنها استعلام موقع العمود وهو إما بعمل اليد بأن نجعل الضلع الأطول قاعدة للأولوية لا للضرورة وندير على الزاوية التي يوترها الضلع الأطول ببعد الضلع الأقصر دائرة فمنتصف ما وقع في الدائرة من القاعدة هو موقع العمود ولو أردنا موقع عمود خارج عن زاوية آخرى نجعلها مركزاً وندير عليه ببعد أحد الضلعين المحيطين بها دائرة فمنتصف وقع في الدائرة من الضلع الموتر لتلك الزاوية داخل المثلث أو خارجاً عنه إذا أخرج على استقامته فهو موقع العمود

مثاله أردنا أن نحصل موقع عمود خارج عن زاوية  من مثلث  على ضلع  جعلنا نقطة  مركزاً وادرنا عليها ببعد  دائرة  ونصفنا  الذي وقع في الـدائرة على نقطة  فهو مـوقع العمود فوصـلنا  فهو العمود وقع داخلا في المثلث في الصورة الأولى خارجاً عنه في الثانية

وأما بالحساب إذا أردنا أن نخرج عن أحدى زوايا المثلث عموداً على ضلعه نضرب مجموع الضلعين المحيطين بتلك الزاوية في التفاضل بينهما ونقسم الحاصل على الضلع الباقي وهو الذي وقع عليه العمود فما خرج إن كان مساويا للضلع الباقي يكون أقصر ذانيك  الضلعين قائماً على القاعدة وإن كان أقل ووقع العمود داخل المثلث وإن كان أكثر منه وقع خارجاً عنه ويكون بعد موقعه عن ملتقي الضلع الباقي أعنى القاعدة مع أقصر الآخرين بقدر نصف التفاضل بين القاعدة وخارج القسمة

مثاله فرضنا في مثلث  ضلع  عشرة و  سبعة عشر و  إحدا وعشرين وأردنا معرفة بعد موقع العمود الخارج من نقطة  على ضلع  من أحد طرفيه كان مجموع    ضربناه في تفاضلهما وهو  حصل  قسمناه على ضلع  القاعدة وهو  خرج من القسمة  ولما كانت أقل من القاعدة علم أن العمود وقع داخل المثلث وكون ضلع  أطول الأضلاع دل عليه أيضاً فنقصنا خارج القسمة وهو  عن القاعدة وهي  بقي  نصفه  وهو بعد موقع العمودين عن نقطة ، وأعلم أن ضرب مجموع كل عددين في تفاضلها تساوي تفاضل مربعيهما

مثال آخر وأن أردنا معرفة موقع عمود خارج عن نقطه  جمعنا ضلعي   كان  ضربناه في تفاضلهما وهو  حصل ، قسمناه على ضلع  وهو  خرج  ولما كان أكثر من قاعدة علم أن العمود وقع خارج المثلث نقصناه عنه ضلع 

بقي نصفناه صار

وهو بعد موقع العمود عن نقطة  وهو المطلوب

مثال آخر يصح منه خارج القسمة نفرض مثلثاً يكون أحد أضلاعه وهو  عشرة و  تسعة و  سبعة عشر، وإذا أردنا موقع العمود الخارج عن نقطة  فمجموع ضلعي   كان  ضربناه في تفاضلهما وهو  قسمناه على قاعدة  وهي  خرج من القسمة  ولما كان أكثر من ضلع  علم أن العمود وقع خارجاً عن المثلث ونصف التفاضل يكون  وهو بعد موقع العمود عن نقطة  خارجاً عنه

طريق آخر نأخذ التفاضل بين مربع أحد الأضلاع وبين مجموع مربعي الضلعين الباقيين ونفرض أحد هذين الضلعين الباقيين قاعدة ونقسم نصف التفاضل عليه فما خرج فهو بعد موقع العمود عن الزاوية اللتي موترها الضلع الأول يكون موقع العمود خارجاً عن المثلث من جانب هذه الزاوية وإن لم يكن التفاضل فتلك الزاوية قائمة وإن كان الفضل لمجموع المربعين يكون نصف التفاضل أقل من مربع القاعدة فوقع العمود داخل المثلث وإن كان مساوياً له فالزاوية التي تحيط به الضلع الأول مع القاعدة قائمة وإن كان أكثر فالعمود وقع خارجاً عن هذه الزاوية لكن الخارج من القسمة يكون بعد موقع العمود عن الزاوية التي يوترها الضلع الأول ولهذا يكون حينئذ أكثر من القاعدة

مثاله من المثلث المتقدم كان مربع ضلع   نقصنا عنه مجموع مربعي الآخرين وهو  بقي  ولما كان الفضل المربع الضلع الأول علم أن العمود وقع خارجاً عن جانب زاوية  فقسمنا نضعه وهو  على ضلع  وهو  خرج من القسمة  وهو بعد موقع العمود عن نقطة 

مثال آخر نقصنا مربع  وهو  عن مجموع مربع الأخري وهو  بقي ، قسمنا نصفه وهو  على القاعدة وهي  خرج من القسمة  وهو بعد العمود عن نقطة  إلى جانب مجاوزاً عنه إلى الخارج وذلك لإن نصف فضل مجموع المربعين كان أكثر من مربع القاعدة فإذا نقصنا القاعدة عنه بقي البعد عن نقطة   وهو المراد

والأوجز أن ننقص مربع أحد الأقصرين من مجموع مربعي الآخرين ونقسم نصف الباقي على الأطول فما خرج فهو موقع العمود على الأطول من طرف الأقصر الآخر داخل المثلث أو يضرب المجموع الأقصرين في تفاضلهما ونقسم الحاصل على الأطول فما خرج نقصه عن الأطول فنصف الباقي هو بعد موقع العمود عن طرف أقصر الأضلاع الواقع على الأطول داخل المثلث، ومنها معرفة مقدار العمود نضرب بعد موقع العمود عن أحد طرفي القاعدة في نفسه وننقص الحاصل عن مربع الضلع المتصل بذلك الطرف ونأخذ جذر الباقي وهو العمود

مثال لإستخراج العمود والمساحة لما كان خط  بعد موقع العمود الحاصل عن العمل الأول  يكون مربعه ، نقصناه عن مربع  وهو  بقي  جذره  وهو مقدار العمود ضربناه في 

نصف القاعدة  وهو مساحة المثلث موافقه لما سبق

طريق آخر إن كانت آحدى زوايا المثلث معلومة فنضرب جیبها في أحد الضلعين المحيطين بتلك الزاوية ونقسم الحاصل على ستين ليخرج العمود الواقع على الضلع الآخر ولو نعمل بجيب تمامة هكذا يحصل بعد موقع العمود عن هذه الزاوية وسنورد معنى الجيب وجدوله.

مثاله كان زاوية  من المثلث المذكور على ما سيجيء  جيبه  ضربناه في ضلع  وهو عشرة وقسمنا الحاصل على ستين خرجت من القسمة ثمانية وهي العمود على ضلع  ومنها معرفة زوايا المثلث إذا كان الأضلاع معلومة يحصل العمود كما ذكرنا ثم نضرب العمود في ستين ونقسم الحاصل على كل واحد من الضلعين المتصلين برأس العمود ليخرج جيب الزاوية التي يحيط بها القاعدة وذلك الضلع المقسوم عليه بقوسه في الجدول ليحصل مقدار كل واحدة من الزاويتن فإن وقع العمود داخل المثلث نقص مجموعهما عن مائة وثمانين وبقيت الزاوية الباقية وإن وقع خارجاً عنه نأخذ التفاضل بينهما وهو الزواية الباقية.

مثاله ضربنا العمود الحاصل وهو  في ستين حصل  قسمناه على كل واحد من ضلعي   من المثلثين المسبوقين خرج من الأول  ومن الثاني  قوسناهما في الجدول خرج من الأول  وذلك مقدار زاوية  من المثلث الأول وتمامهما من المثلث الثاني إلى قائمتين وخرج من تقويس الثاني  وهو مقدار زاوية  من المثلثين منها ما كان ضلع زوايتان معلومة والباقي مجهولا ينقض مجموع الزاويتين عن مائة وثمانين يبقى الزاوية الباقية ثم نضرب الضلع المعلوم في جيب كل واحد من الزاويتين اللتين على طرفه ونقسم الحاصل على جيب الزاوية التي نوترها الضلع المعلوم فما خرج فهو الضلع الموتر للزاوية التي ضربنا الضلع المعلوم في جيبها، ومنها ما كان ضلعان وزاوية بينهما معلومة والباقي مجهولا نضرب أحد الضلعين في جيب الزاوية تارة وفي جيب تمامها آخرى منحطا وننقص الحاصل الثاني عن الضلع الآخر إن كانت منفرجة فما بلغ تربعه ونزيد عليه مربع الحاصل الأول ونأخذ جذر المجموع فهو الضلع الباقي، وإن كانت الزاوية قائمة فمجموع مربعي الضلعين يكون مربع الضلع الباقي والمراد بقولنا منحطاً أن نحسب الأجزاء دقائق والدقائق ثواني وقس عليه وقد نطلق ذلك عند الإحتياج بقسمة الحاصل على ستين

مثاله نفرض أن من المثلث الأول   مع زاوية  معلومة والباقي مجهولا ضربنا وهو ضلع  وهو عشرة تارة في جيب زاوية  الذي كان  منحطاً حصل  وضربناها آخرى في جيب تمام تلك الزاوية الذي كان  منحطاً حصل  ولما كانت الزاوية المعلومة حادة نقصناه عن ضلع  وهو  بقي  مربعة  مربع الحاصل الأول  مجموع المربعين  جذره  وهو الضلع الباقي 

ومنها ما كان ضلعان وزاوية غير ما كان بينهما معلومة والباقي مجهولا نضرب جيبا الزاوية المعلومة من الضلع الذي يوترها مع الضلع المجهول بها وتقسم الحاصل على الضلع الذي يوترها فما خرج فهو جيب زاوية يوترها الضلع الأخر اعني الضلع المطلوب فيه نقوسه ونزيده على الزاوية المعلومة وننقص المجموع عن مائة وثمانين يبقى الزاوية التي يحيط بها الضلعان المعلومان نضرب جيبه في أحد الضلعين ونقسم الحاصل على جيب زاوية نوترها ذلك الضلع فما خرج فهو الضلع الباقي

مثاله ضربنا جيب زاوية  وهو  في ضلع  وهو حصل  قسمناها على ضلع  وهو  خرج من القسمة جيب زاوية  قوسه  زدناه على زاوية  الذي كان  من المثلث الأول بلغ  نقصناه عن  يقي  وهو زاوية  جيبه  ضربناه في ضلع  وهو  حصل  قسمناه على جيب زاوية  خرج من القسمة  وهو ضلع  وهو المطلوب

منها ما كانت الزاوية معلومة والأضلاع غير معلومة فلا مخلص فيه سوى فرض أحد الأضلاع مقداراً معلومة وليكن واحد ثم نقسم على جيب زاوية يوترها الضلع المفروض واحداً جيب كل واحد من الزاويتين الباقيتين مخرج من القسمة مقدار الضلع الذي يوتر الزاوية المقسومة جيبها 

ومنها العمود الخارج عن مركز المثلث أما بعمل اليد فينصف زاويتين منه بخطين فملتقاهما هو مركزه مخرج منه عموداً على أحد الأضلاع فهو المراد وإما بالحساب فنضرب أحد الضلعين في الآخر ونقسم الحاصل على ستين فما خرج فهو العمود الخارج عن مركز المثلث على كل واحد من أضلاعه

مثاله في المثلث المسبوق ضربنا العشرة في  حصل  قسمنا على الستين خرج ثلاثة وهو العمود الخارج عن مركز المثلث على الأضلاع الذي هو  حصل  وهو المساحة كما سبق واستخراج هذا العمود بهذا الطريق مما استبطناه