مفتاح الحساب/المقالة الخامسة/الباب الرابع/الفصل الأول
المثال الأول نريد عددا إذا ضوعف ونريد عليه واحد وضرب المجموع في ثلاثة ونزيد على الحاصل اثنان ثم ضرب ما بلغ في أربعة ونزيد على الحاصل اثنان ثم ضرب ما بلغ في أربعة ونزيد على الحاصل ثلاثة بلغت خمسة وتسعين.

طريق استخراجه بالجبر والمقابلة أن نفرض ذلك العدد شيئا زدنا على ضعفه واحدًا بلغ شيئان وواحد ضربناه في الثلاثة حصلت ستة أشيئا وثلاثة زدنا عليه اثنين بلغت ستة أشيئا وخمسة ضربناه في الأربعة حصلت من الأشيئا أربعة وعشرون ومن العدد عشرون زدنا عليه الثلاثة بلغ أربعة وعشرين شيئا وثلاثة وعشرون عددا وهو يعادل خمسة وتسعين اسقطنا المشترك من المعادلين أعني ثلاثة وعشرين عددًا بقيت أربعة وعشرون شيئا معادلا لاثنين وسبعين عددًا فانتهت المسئلة إلى الأولى من المفرد فقسمنا العدد على عدد الأشياء خرجت ثلاثة وهي العدد المجهول.

والأسهل أن يعمل في استخراج هذه المسئلة بالتحليل هكذا نقصنا من الخمسة والتسعين المعلوم الثلاثة بقي اثنان وتسعون قسمناه على الأربعة خرجت ثلاثة وعشرون نقصنا منه الأثنين بقي أحد وعشرون قسمناه على ثلاثة خرجت سبعة نقصنا منها واحدا بقيت ستة أخذنا نصفه كانت ثلاثة وهي المطلوب.

وأمّا استخراجه بالخطأين ففرضنا ذلك العدد اثنين خرج أحد وسبعون وهو ناقص من خمسة وتسعين بأربعة وعشرين وهو الخطأ الأول ثم فرضناه خمسة خرجت مائة بأربعة وعشرين وهو الخطأ الأول ثم فرضناه خمسة خرجت مائة وثلاثة وأربعون وهو زائد من الخمسة والتسعين ثمانية وأربعين وهو الخطأ الثاني فضربنا المفروض الأول وهو اثنان في الخطأ الثاني وهو ثمانية وأربعون حصلت ستة وتسعون وضربناه المفروض الثاني وهو خمسة في الخطأ الأول وهو أربعة وعشرون حصلت مائة وعشرون ولما كان أحد الخطأين ناقص والأخر زائد قسمنا مجموع الحاصلين وهو مائتان وستة عشر على مجموع الخطأين وهو اثنان وسبعون خرجت ثلاثة وهي المطلوب.

المثال الثاني جماعة دخلوا بستانا وقد اجيتني أحدهم رمانا واحدا والثاني اثنين والثالث ثلاثة وهكذا يتزايد بواحد واحد ثم انقسموا جميع ما معهم فيما بينهم بالسوية فأصاب كل واحد منهم ستة فكم يكون عدد الجماعة.

واسهل استخراج هذه المسئلة بالمفتوحات باستعانة القاعدة الثالثة وهو أن ينقص وحدا من ضعف الستة التي هي حصة كل واحد منهم ليبقى أحد عشر وهو عدد الجماعة.

وأمّا بالجبر والمقابلة فبأن نفرض عدد الجماعة شيئا ونزيد عليه واحدًا ليصير شيئًا وواحدا نضربه في نصف شيء يحصل نصف مال ونصف شيء وهو عدد جميع الرمان الذي اجتنوه بالنظم الطبيعي على ما سبق في القاعدة الثالثة ثم نضرب الستة وهي نصيب كل منهم في شيء وهو عدد الجماعة نحصل ستة أشيئا وهو عدد جميع الرمان وهي معادلة لحاصل الأول وهو نصف مال ونصف شيء وبعد حذف نصف الشيء المشترك من المعادلين يبقى خمسة اشيئا ونصف معادلا لنصف مال وقد انتهت المسئلة بالثانية من المفردات قسمنا الخمسة والنصف على النصف خرج أحد عشر وهو عدد الجماعة مثل ما سبق.

المثال الثالث بحر ساحله سائران تفارق في وقت واحد وسار أحدهما كل يوم عشرة أميال والأخر في خلاف جهة الأول في اليوم الأول ميلا وفي الثاني ميلين وفي الثالث ثلاثة وهكذا يتزايد واحد واحد بحيث لم يبعد عن ساحله فإذا لاقيا قطع الأول سدسًا من المحيط والأخر خمسة اسداسه نريد أن نعرف مقدار المحيط ومقدار أيام السير فرضنا أيام السير شيئا فيكون مقدار حركة السائر الأول عشرة أشيئا ومقدار حركة السائر الثاني نصف مال ونصف شيء الذي هو مجموع الشيء بالنظم الطبيعي كما سبق في المثال المتقدم ولإنه قطع خمسة أسداس المحيط والسائر الأول سدسه ضربنا مقدار حركة السائر الأول في خمسة حصل خمسون شيئا وهو معادل لنصف مال ونصف شيء وبعد اسقاط نصف الشيء المشترك من المعادلين يبقى نصف مال معادلا لتسعة وأربعين شيئا ونصف شيء قسمناه على عدد الأموال وهو النصف بأن ضعفناه صار تسعة وتسعين وهو الشيء المجهول أعني أيام السير ضربناه في مقدار حركة السائر الأول وهو عشرة أميال حصل تسعمائة وتسعون ميلا وهو سدس المحيط فيكون محيط البحر خسمة الآف وتسعمائة وأربعين ميلا نقصنا منه ما قطع السائر الأول بقي أربعة الآف وتسعمائة وخمسون ميلا وهو ما قطع السائر الثاني امتحانه كان أيام السير تسعة وتسعين زدنا عليه واحدًا بلغ مائة ضربناها في نصف تلك الأيام حصلت أربعة الآف وتسعمائة وخمسون كما سبق.

وأمّا بالمفتوحات فضربنا مقدار السير السائر الأول في يوم واحد وهو عشرة في خمسة حصل خمسون ضعفناه صار مائة نقصنا منه واحدًا بقيت تسعة وتسعون وهو عدد أيام سيرهما.

المثال الرابع ثوب قيمته مجهول وهو عشرة أذرع فبيع بعض منه يكون عدد ذرعاته سُبع قيمته الثوب بسعة عشر دينار أو نصف دينار نريد أن نعرف قيمة الثوب ومقدار المبيع منه.

فبالمفتوحات لما كان نسبة الذرعان الثوب إلى قيمة كنسبة ذرعان المبيع إلى ثمنه فعلى ما ذكرناه في القاعدة السابعة عشر ضربنا عدد ذرعان الثوب وهو عشرة في ثمن المبيع وهو سبعة عشر ونصف حصلت مائة وخمسة وسبعون وبالقاعدة الرابعة والثلاثين أخذنا سبعة فكان خمسة وعشرين أخذنا جذره فكان خمسة وهو ذرعان المبيع شيئا فيكون قيمة الثوب سبعة اشيئا حاصل ضربهما بهما يكون سبعة أموال وهو معادل لحاصل ضرب ذرعان الثوب في ثمن المبيع وهو مائة وخمسة وسبعون عدد.

ولما انتهى العمل إلى الثالثة من المفردات قسمنا العدد على عدد الأموال خرجت من القسمة خمسة وعشرون أخذنا جذره فكان خمسة وهي ثمن المبيع وسبعة أمثالها تكون قيمة الثوب وهي خمسة وثلاثون وبوجه أخر فرضنا قيمة الثوب شيئا وقسمنا عليه حاصل ضرب ذرعان الثوب في ثمن المبيع منه وهو مائة وخمسة وسبعون عددًا خرجت من القسمة مائة وخمسة وسبعون جزء شيء وهو معادل لسبع شيء.

ولمّا كانت المناسبة بين جزء الشيء والشيء كالمناسبة بين العدد والمال فبدلنا جزء الشيء بالعدد والشيء بالمال فصارت مائة وخمسة وسبعون عددا معادلا لسبع مال وانتهى بالثالثة من المفردات قسمنا العدد على عدد المال بأن ضربناه في مخرج السبع حصل  وهو الخارج من القسمة جذره فكان خمسة وثلاثان وهو قيمة الثوب يكون سبعة خمسة وهو ذرعان المبيع.

المثال الخامس اشترينا جنسا بعشرة وبعناه باثنا عشر ربحنا ثلاثة أجذار رأس المال فكم يكون رأس المال.
فبالمفتوحات ضربنا عدد الأجذار وهو ثلاثة في سعر الشري حصل ثلاثون قسمناه على فضل ما بين المسعرين وهو اثنان خرج من القسمة خمسة عشر وهو جذر رأس المال لأن نسبة المربع إلى عدة من أجذاره كنسبة الجذر إلى تلك العدة بالقاعدة الرابعة والثلاثين فيكون رأس المال مائتين وخمسة وعشرين.

طريق أخر بالتحليل والتركيب خلاصة كلام هذا السؤال أنا أردنا عددا مربعا يكون ثلاثة أجذاره خمس ذلك العدد فإذا ضربنا الثلاثة في مخرج الخمس نحصل خمسة عشر فعلم أن ذلك المربع خمسة عشر مثلا لجذره فيكون ضلعه أيضًا خمسة عشر لأن المربع هو تكرار الجذر بعدته وبالجبر والمقابلة فرضنا رأس المال مالا لاحتياجنا بجذره تكون ثلاثة أجذاره معادلا لخمس مال. 

انتهى بالثانية من المفردات قسمنا عدد الأجذار وهو ثلاثة على عدد المال وهو خمس خرجت خمسة عشر وهو الشيء المجهول ربعناه صار مائتين وخمسة وعشرين وهو رأس المال وهو مثل ما مر.

المثال السادس حلى مركب من الذهب واللؤلؤ وزنه ثلاثة مثاقيل وقيمة أربعة وعشرون دينار وقيمة مثقال من الذهب خمسة دنانير ومن اللؤلؤ خمسة عشر دينارا نريد معرفة وزن كل منهما.

فبالجبر والمقابلة فرضنا وزن الذهب شيئا تكون ثمنه خمسة أشياء وبقي وزن اللؤلؤ ثلاثة مثاقيل الأشياء ضربناه في قيمة مثقال منه أعني خمسة عشر حصلت خمسة وأربعون دينار إلا خمسة عشر شيئا وهو ثمن اللؤلؤ جمعنا الثمنين بلغ خمسة وأربعين دينار إلا عشرة أشياء وهو معادل الأربعة وعشرون دينار قيمة الحلى وبعد جبر الاستثناء والمقابلة يكون أحد وعشرون دينار معادلا لعشرة أشياء انتهى بالأول من المفردات قسمنا العدد على عدد الأشيئا خرج من القسمة اثنان وعشر وهو الشيء المجهول اعني وزن الذهب فبقي وزن اللؤلؤ تسعة أعشار مثقال.

وبالمفتوحات ضربنا وزن الحلي وهو ثلاثة في السعر الأعلى وهو خمسة عشر حصل خمسة وأربعون أخذنا التفاضل بينه وبين قيمة الحلي فكان أحدى وعشرين قسمناه على التفاضل بين السعرين وهو عشرة خرج اثنان وعشر وهو المطلوب.

نوع آخر ضربنا وزن الحلي وهو ثلاثة في السعر الأدنى وهو خمسة حصل خمسة عشر أخذنا التفاضل بينه وبين قيمة الحلي فكان تسعة قسمناها على التفاضل بين السعرين وهو عشرة خرج تسعة أعشار وهو وزن اللؤلؤ.

المثال السابع حلي مركب من ثلاثة جواهر كالذهب واللؤلؤ والياقوت وزنه ثلاثة مثاقيل وقيمته ستون دينار وقيمة مثقال من الذهب أربعة دنانير ومن اللؤلؤ عشرون دينارًا أو من الياقوت ثلاثون دينارًا نريد أن نعرف وزن كل واحد منها.

وفي استخراجه طرق ثلاثة الطريق الأول وزن الحلي في السعر الأعلى وننقص منه قيمة الحلي فما بقي نقسمه على التفاضل بين سعري الأعلى والأدنى فما خرج نحفظ ثم نأخذ وزن الأرخص مقدارًا يكون أقل من المحفوظ كم كان وليكن نصف مثقال من الذهب يكون قيمة دينارين ننقص الوزن من وزن الحلي وقيمته من قيمته ليبقي حليًا مركبًا من اللؤلؤ والياقوت وزنه مثقالان ونصف وقيمته ثمانية وخمسون دينارًا نستخرج وزنهما كما سبق في المثال المتقدم بأن نفرض وزن اللؤلؤ شيئا يكون قيمته عشرين شيئا ويبقي وزن الياقوت مثقالان ونصف الأشيئا ضربناها في ثلاثين حصل ثمن الياقوت خمسة وسبعون دينار إلا ثلاثين شيئا يكون مجموع المثمن خمسة وسبعين دينار إلا عشرة أشيئا وهو معادل لقيمة الحلي المركب من اللؤلؤ والياقوت وهي ثمانية وخمسون دينارا وبعد الجبر والمقابلة يكون سبعة عشر دينارًا معادلًا لعشرة أشيئا فخرج من قسمة العدد على عدد الأشيئا وزن اللؤلؤ مثقال وسبعة أعشار وبقي وزن الياقوت أربعة أخماس مثقال وضعناهما مع وزن الذهب وثمن كل منهما في هذا الجدول

الطريق الثاني أن نجمع سعري الأرخيصين وبنصف المجموع ليصير الجنس واحد قيمة مثقال منه ذلك النصف أعني اثنا عشر دينارًا فكان الحلي مركب من جنسين أحدهما مركب من جنسين قيمة مثقال منه اثنا عشر دينارًا  والأخر ياقوت قيمة مثقال منه ثلاثون دينارًا وقيمة الحلي ستون دينار فيستخرج وزن كل منهما كما سبق في المثال السادس، مثلا ضربنا وزن الحلي وهو ثلاثة في السعر الأعلى وهو الثلاثون حصل تسعون أخذنا التفاضل بينه وبين قيمة الحلي فكان ثلاثين قسمناه على التفاضل بين السعرين أعني الاثني عشر والثلاثين وهو ثمانية عشر خرج من القسمة وزن مجموع الأرخصين مثقال وثلثان على التناصف بينهما وبقي وزن الياقوت مثقال وثلث كما في هذا الجدول

الطريق الثالث أن نفرض وزن الذهب شيئا ووزن اللؤلؤ أيضًا شيئا وبقي وزن الياقوت ثلاثة مثاقيل إلا شيئين فيكون ثمن الذهب أربعة أشيئا وثمن اللؤلؤ عشرين شيئا وثمن الياقوت تسعين دينار إلا ستين مجموعها تسعون  دينارًا إلا ستة وثلاثين شيئا وهو معادل الستين دينارًا وبعد إسقاط المشرك والجبر يكون ثلاثون معادلا لستة وثلاثين شيئا فإذا قسمنا العدد على عدد الأشيئا خرج وزن الذهب خمسة أسداس مثقال وكذا وزن اللؤلؤ وبقي وزن الياقوت مثقال وثلث كما سبق وإن قيد في السؤال أن وزن أحد من الجواهر ثلث وزن أحد الباقيين أو ربعه أو على نسبة أخري نفرض ذلك الجواهر شيئا والأخر ثلاثة أشيئا أو أربعة على النسبة المقيدة في السؤال ونتم العمل وإن كان الحلي مركبا من أربعة أجناس.

فبالطريق الأول أن نضرب وزن الحلي في السعر الأعلى وننقص منه قيمة الحلي فما بقي نقسمه على فضل السعر الأعلى على نصف مجموع سعري الأرخصين أو على ثُلث مجموع سعر الأرخص وضعف سعر الأرخص الآخر أن نأخذ وزن الأول نصف وزن الثاني وقس عليه فما خرج فهو المحفوظ ثم نأخذ وزن كل واحد من الأرخصين مقدارا إما متساويين أو مختلفين بحيث يكون مجموعهما أقل من المحفوظ وننقص وزنهما عن وزن الحلي وقيمتهما عن قيمة فما بقي من الأول يكون وزن الباقيين معا ومن الثاني يكون قيمتهما معا نستخرجهما كما سبق في المثال السادس.

المثال الثامن أجير أجرته في الشهر أعني ثلاثين يومًا عشرة دنانير وثوب عمل ثلاثة أيام فاستحق الثوب فكم يكون قيمة الثوب فرضناها شيئا فيكون الأجرة في الشهر عشرة دنانير وشيئا أخذنا عشرة لأن أيام عمله عشر أيام الشهر فكان دينارا وعشر شيء وهو قيمة الثوب يعادل شيئا وبعد المقابلة أي اسقاط العشر المشترك يكون دينار معادلاً لتسعة أعشار شيء فقسمنا الدينار على عدد الأشيئا وهو تسعة اعشار خرج من القسمة واحد وتسع وهو المطلوب.

وإن عمل سبعة أيام واستحق الثوب فكم يكون ثمنه فرضناه شيئا فيكون الأجرة في الشهر عشرة دنانير وشيئا ونسبة إلى أيام الشهر كنسبة الشيء إلى أيام عمله وكما مر في القاعدة السابعة عشر ضربنا الثلاثين في الشيء حصل ثلاثون شيئا وضربنا السبعة في عشرة دنانير وشيء حصل سبعون دينارا وسبعة أشيئا معادلا لحاصل الأول وهو ثلاثون شيئا وبعد إسقاط سبعة الأشيئا المشتركة فيهما بقي سبعون دينار معالا لثلاثة وعشرين شيئا وقسمنا العدد على عدد الأشيئا فخرج من القسمة ثلاثة وجزء من ثلاثة وعشرين وهي الشيء المجهول وأعني ثمن الثوب امتحانه زدناه على العشرة بلغت الأجرة في الشهر ثلاثة عشر وجزء من ثلاثة وعشرين ضربناه في السبعة التي هي أيام العمل حصل أحد وتسعون وسبعة أجزاء من ثلاثة وعشرين.

وبالمفتوحات إذا عمل سبعة أيام استحق الثوب فإن عمل بقية الشهر استحق عشرة دنانير قسمنا على البقية اعني ثلاثة وعشرين خرج من القسمة مجهول عشرة أجزاء من ثلاثة وعشرين وهو أجرة يوم واحد فيكون أجرة سبعة أيام ثلاثة دنانير وجزء من ثلاثة وعشرين.

المثال التاسع ثلاثة أجزاء أجرة أحدهم في الشهر خمسة والثاني أربعة والثالث ثلاثة عمل كل واحد منهم أيامًا وكسورًا مجهولة مجموعها ثلاثون يومًا وكانت أجرتهم في أيام العمل متساوية نريد أن نعرف أيام عمل كل واحد منهم ولمّا كان نسبة أجرة الأول في الشهر إلى أجرة الثاني فيه كنسبة الخمسة إلى الأربعة ونسبة أجرة الأول فيه إلى أجرة الثالث فيه كنسبة الخمسة إلى الثلاثة فيكون نسبة أيام عمل الأول إلى أيام عمل الثالث كنسبة الثلاثة إلى الخمسة على التبادل عند تساوي الأجرة كما مر في القاعدة التاسعة والثلاثين ففرضنا أيام عمل من يأخذ في الشهر خمسة شيئا ولمن في يأخذ في الشهر أربعة أشيئا وربع شيء لأن الخمسة مثل وربع للأربعة ولمن يأخذ في الشهر ثلاثة شيئا وثلثي شيء جمعناها صارت ثلاثة أشيئا واحد عشر جزء من اثني عشر وهو معادل الثلاثين قسمنا الثلاثين عليه فخرج من القسمة سبعة واحد وثلاثون جزءً من سبعة وأربعين جزءً وهو الشيء المجهول أعني أيام عمل من يأخذ في الشهر خمسة أخذنا ربعه فكان واحدًا وثلاثة وأربعين جزءً من سبعة وأربعين زدناه عليه بلغت تسعة أيام وسبعة وعشرون جزءً من سبعة وأربعين وهذا أيام عمل من يأخذ في الشهر أربعة ثم أخذنا ثلثي أيام عمل الأول فكان خمسة وخمسة أجزاء من سبعة وأربعين زدناه على أيام عمل الأول بلغ اثنا عشر يومًا وستة وثلاثون جزءً من سبعة وأربعين وهو أيام عمل الثالث وإن أخذنا ثلث أيام عمل الثاني ونزيده عليه بلغت أيضُا أيام عمل الأجير الثالث.

وقد وضعنا هذه المقادير في جدول مع امتحانها

المثال العاشر أربعة أجزاء ويكون أجرة أحدهم في الشهر ستة والثاني خمسة والثالث أربعة والرابع ثلاثة عمل كل واحدًا مجهولة مجموعها ثلاثون يومًا فرضنا أيام عمل الأول شيئا فيكون للثاني شيئا وخمس شيء بما مر في المثال المتقدم وللثالث شيئا ونصف شيء وللرابع شيئين مجموعها خمسة أشيئا وسبعة أعشار شيء معادلا الثلاثين قسمناه عليه خرجت من القسمة خمسة وخمسة عشر جزءًا من سبعة وخمسين فهو أيام عمل الأجير الأوّل فيكون للباقي كما وضعناه في جدول وهو هذا

المثال الحادي عشر أردنا أن نقسم عشرة بقسمين يكون مجموع مربع قسم منهما مع نفس القسم الآخر مربعا فرضنا ذلك القسم شيئا والقسم الآخر شيئين ووحدا من العدد ليكون مع المال مربعا أعني ليكون مجموع مربع الأول وهو مال ونفس الثاني وهو شيئان وواحد مالا وشيئين واحدا يوجد جذره وهو شيء ووحدا فجمعنا المفروضين كانت ثلاثة أشيئا وواحدا وهو معادل لعشرة وبعد اسقاط الواحد المشترك منهما يكون ثلاثة أشيئا معادلة لتسعة قسمناها عليها خرجت من القسمة ثلاثة وهو الشيء المجهول أعني القسم الأول وبقيت القسم الآخر سبعة وهي مع مربع الثلاثة تكون ستة عشر وهو مربع.

وإن أردنا نفرض القسم الأول شيئين والثاني اثني عشر شيئا وتسعة من العدد ليكون مع مربع الأوّل وهو أربعة أموال مربعا قدره شيئان وثلاثة فيكون المجموع أربعة عشر شيئا معادلا لواحد قسمناه عليه خرج من القسمة نصف سبع وهو الشيء الواحد المجهول ولما فرضنا القسم الأول شيئين يكون السبع والقسم الآخر تسعة وستة أسباع وهو مع مربع الأول تسعة وثلاثة وأربعون جزءًا من تسعة وأربعين وهو مربع إذ يكون جذؤه ثلاثة وسبع وهو ما فرضناه شيئين وثلاث.

المثال الثاني عشر نريد عددًا إذا زدنا عليه ثلاثة ونصفا أو نقصنا منه ثلاثة ونصفًا يكون بعد الزيادة والنقصان مربعا وخلاصة الكلام فيه أنا أردنا عدد إذا زدنا على مربعه سبعة كان المبلغ مربعا فإذا وجد وزيد على مربعه سبعة كان المبلغ مربعا فإذا وجد وزيد على مربعه ثلاثة ونصفا بلغ العدد الذي إذا زيد عليه أو نقص منه ثلاثة ونصف يكون بعد الزيادة والنقصان مربّعا.

فبالجبر والمقابلة فرضناه شيئا فيكون مربعه مالا زدنا عليه السبعة بلغ مال وسبعة قابلناه بمربع وهو مال وشيئان وواحد وقد أوردنا شرط هذه المقابلة في القاعدة الثانية وبعد إسقاط المشتركة بقيت ستة معادلة لشيئين قسمنا الستة على الاثنين خرجت ثلاثة وهي المطلوب. فإذا زدنا على مربعه ثلاثة ونصف بلغ اثنا عشر ونصف وهو العدد المطلوب أوّلا أي الذي إذا زيد عليه أو نقص منه ثلاثة ونصف يكون بعد الزيادة أو النقصان مربعا.

وإن قابلناه بمال وأربعة إلا أربعة أشياء وبعد إسقاط المشتركة بقيت ثلاثة معادلة لأربعة اشيئا قسمنا العدد على الأشيئا خرجت ثلاثة أرباع فإذا زدنا على مربعه وهو تسعة أجزاء من ستة عشر السبعة المذكورة بلغت سبعة وتسعة أجزاء من ستة عشر وهو مجذور جذره اثنان وثلاثة أرباع.

وبالمفتوحات ننقص أي مربع كان من العدد الذي نريد أن يقع بين المربعين ونقسم نصف الباقي على جذر ذلك المربع فما خرج فهو المطلوب.

أي جذر المربع الأقل وهو جذر ذلك المربع يكون جذر المربع الأكثر مثلا في هذه المسئلة نقصنا مربعا وهو الأربعة من السبعة التي نريد أن يقع ما بين المربعين بقيت ثلاثة قسمنا نصفها وهو واحد ونصف على جذر ذلك المربع وهو اثنان فخرجت ثلاثة أرباع وهي جذر المربع الأقل وهو المطلوب.

ولو نربع نصف العدد الذي نريد أن يقع بين المربعين ونريد عليه ربع الواحد دائما فإذا زدنا على المبلغ أو نقصنا منه ذلك النصف لكان ما بلغ أو ما بقي مربعا وما سبق أعم من هذا.

المثال الثالث عشر أردنا أن نقسم عشرين بقسمين يكون أحد قسميه مساويا لمربع الآخر فرضنا أحد القسمين شيئا فيكون القسم الآخر عشرون الأشياء وهو معادل لمال وبعد الجبر صار عشرون معادلا لمال وشيء فانتهى العمل بالمسئلة الأولى من المقترنات أخذنا مربع نصف عدد الأشيئا وهو النصف فكان ربعًا زدناه على العدد وهو عشرون بلغ عشرون وربع أخذنا جذره فكان أربعة ونصفا نقصنا منه نصف عدد الأشيئا وهو النصف بقيت أربعة وهو المطلوب.

ووضعنا أرقام العمل وشرحه في جدول ليسهل ضبطه.

المثال الرابع عشر أجير أجرته في الشهر تسعون دينارًا عمل أيامًا مجهولة فاستحق مقدار إذا نقص منه ديناران بقي مربع أيام عمله وخلاصة كلام هذا السؤال أنا نريد عددا إذا نقصنا من ثلاثة أمثاله اثنان بقي مربع ذلك العدد لأن نسبة الأجرة إلى الأيام نسبة ثلاثة إلى الواحد ففرضنا أيام عمله شيئا فيكون أجرته ثلاثة أشيئا نقصنا منه دينارين بقيت ثلاثة أشيئا إلا دينارين وهو معادل لمال وبعد الجبر يكون ثلاثة أشيئا معادلة لمال ودينارين فانتهى بالثانية من المقترنات أخذنا نصف عدد الأشيئا فكان واحدا ونصفا يكون مربعه اثنين وربعا نقصنا منه العدد وهو اثنان بقي الربع أخذنا جذره فكان النصف زدناه على نصف عدد الأشيئا تارة بلغ اثنان ونقصنا منه آخرب بقي واحد وكل واحد منهما الشيء المجهول أعني أيام عمله وضعنا أرقام العمل في جدول ليسهل فهمه وهو هذا 

امتحانه فإن عمل يومين تكون أجرته ستة دنانير فإذا نقصنا منه اثنين بقيت أربعة وهي مربع الاثنين وإن عمل يوما واحدا تكون أجرته ثلاثة دنانير وإذا نقصنا منه اثنين بقي واحد وهو مربع الواحد أيضًا

المثال الخامس عشر أردنا عددا إذا نقص من ضعفه واحد ثم ضرب الباقي في ثلاثة ونقص من الحاصل اثنان وضرب الباقي في أربعة ونقص من الحاصل ثلاثة تكون جذر الباقي مثلي ذلك العدد وثُلث مثله فرضنا ذلك العدد شيئا ونقصنا من ضعفه واحدا بقي شيئان إلا واحد ضربناه في ثلاثه حصلت ستة أشياء إلا ثلاثة نقصنا منه اثنين بقيت ستة أشيئا إلا خمسة ضربناه في أربعة حصلت أربعة وعشرون شيئا إلا عشرين عددا نقصنا منه ثلاثة بقيت أربعة وعشرون شيئا إلا ثلاثة وعشرون عددا وهو معادل لمربع شيئين وثلث شيء وهو خمسة أموال وأربعة اتساع مال جبرنا الاستثناء صارت أربعة وعشرون شيئا معادلا لخمسة أموال وأربعة اتساع مال وثلاثة وعشرين عددا رددنا الأموال إلى مال واحد وأخذنا الجنسين الباقين على تلك النسبة بأن قسمنا كل واحد منهما على عدد الأموال فصار بعد الرد أربعة أشيئا وعشرون جزءا من تسعة وأربعين معادلا لمال واحد وأربعة أعداد واحد عشر جزءا من تسعة وأربعين فانتهى إلى الثانية من المقترنات واستخراج المجهول فأوردنا في هذا الجدول

المثال السادس عشر أردنا أن نقسم عشرة بقسمين بحيث إذا نقصنا من العشرة نصف أحد قسميها بقي مربع القسم الآخر وخلاصة الكلام فيه أنا أردنا عددا يكون فضل مربعه عليه مساويا لفضل العشرة على ذلك المربع فرضناه شيئا ونقصناه من العشرة بقيت عشرة الأشيئا وهو ضعف أحد الفضليه فيكون نصفه خمسة إلا نصف شيء نقصناه من العشرة بقيت خمسة ونصف شيء وهو معادل لمال واحد. 

فانتهى بالثالثة من المقترنات حصلنا مربع نصف عدد الأشياء وهو الربع فكان جزءا من ستة عشر زدناه على العدد بلغت خمسة وجزء من ستة عشر أخذنا جذره فكان اثنين وربعا زدنا عليه نصف عدد الأشياء وهو الربع بلغ اثنين ونصفا وهو الشيء المجهول الذي يساوي فضل مربعه عليه فضل العشرة على مربعه وهو أيضًا أحد قسمي العشرة والآخر سبعة ونصف إذا نقص سبعة ونصف وهو ثلاثة وثلاثة أرباع بقيت ستة وربع وهو مربع اثنين ونصف وقد وضعنا أرقام العمل في جدول وهو هذا

المثال السابع عشر جنسان عشرة من أحدها بدينار وخمسة عشر من الآخر بدينار نريد بدينار واحد منهما بالسوية. 

فبالمفتوحات طلبنا أقل عدد يعدة كل واحد من المسعرين فوجدناه ثلاثين قسمناه على العشر خرجت ثلاثة وعلى خمسة عشر خرج اثنان جمعناهما كانت خمسة جعلناها مخرجا ونسبنا كل واحد من خارجي القسمة إليه كان الأول ثلاثة أخماس والثاني خمسان وهما قسما الدينار إذا أخذنا بالأول من الجنس الأول وبالثاني من الثاني كان المأخوذان متساويين والمأخوذ هو الستة.

طريق آخر جمعنا المسعرين كان خمسة وعشرين ولما كانت نسبة المسعر الثاني إلى المجموع كنسبة ثلاثة أخماس إلى الواحد أخذنا بثلاثة أخماس دينار من المسعر الأول وبخمسي دينار من المسعر الثاني حصلت ستة بما مر في القاعدة التاسعة والثلاثين.

وإن أردنا بخمسة دنانير أو بخمس دينار منهما على السوية يحصل أولا بدينار منهما على السوية ثم نضرب كل واحد من قسمي الدينار والمأخوذ بهما في الخمسة أو في الخمس وعليه القياس.

والجبر والمقابلة فرضنا أحد القسمين شيئا والآخر دينار إلا شيئا ضربنا الأول في المسعر الأول والثاني في المسعر الثاني حصل من الأول عشرة أشيئا وهو معادل الحاصل الضرب الثاني وهو خمسة عشر دينار إلا خمسة عشر شيئا وبعد الجبر يكون خمسة وعشرون شيئا معادلا لخمسة عشر دينار قسمنا العدد على عدد الأشيئا فخرجت ثلاثة أخماس وهو الشيء المجهول ضربناه في عشرة حصلت ستة وبقي القسم الآخر الخمسان ضربناهما في خمسة عشر حصلت أيضًا ستة وهو المطلوب.

وإن أردنا نشتري أربعة عشر منهما بدينار فيعادل بين أربعة عشر وبين مجموع حاصلي الضربين أعني خمسة عشر دينار إلا خمسة أشيئا وبعد الجبر واسقاط المشتركة تكون خمسة أشيئا معادلا لدينار واحد قسمناه عليه خرج من القسمة خمس دينار وهو الشيء المجهول ضربناه في عشرة حصل اثنان وبقي القسم الآخر أربعة أخماس ضربناها في خمسة عشر حصل اثنا عشر مجموعهما أربعة عشر وهو المطلوب.

وبالمفتوحات قسمنا الفضل بين المسعر الأكثر والمطلوب هو واحد على التفاضل بين المسعرين وهو خمسة خرج خمس دينار أخذنا به المسعر الأقل كان اثنان وبالباقي من المسعر الأكثر كان اثنا عشر مجموعهما هو المطلوب.

وإن أردنا أربعين بثلاثة دنانير نضرب الثلاثة في المسعر الأكثر ونأخذ فضل الحاصل على الأربعين وهو خمسة نقسمها على الفضل بين المسعرين وهو أيضًا خمسة خرج واحد نأخذ به المسعر الأقل حصلت عشرة وبالباقي من الأكثر حصل ثلاثون مجموعهما أربعون وهو المطلوب.

المثال الثامن عشر ثلاثة أجناس عشرة من الأول بدينار وخمسة عشر من الثاني بدينار وثلاثون من الثالث بدينار وأردنا بدينار واحد من تلك الأجناس بالسوية.

فبالمفتوحات طلبنا أقل عدد يعده كل واحد من المسعرات الثلاثة وجدناه ستين قسمناه  على كل واحد من المسعرات خرجت من الأولى ستة ومن الثانية أربعة ومن الثالثة اثنان قسمنا كل واحد من هذه مجموعها وهو اثني عشر خرج من القسمة الأولى النصف ومن الثانية الثلث ومن الثالثة السدس وهي أجزاء الدينار إذا أخذنا بالأول من الجنس الأول وبالثاني من الثاني وبالثالث من الثالث تكون المأخوذات متساوية كما أن نصف العشرة وثلث خمسة عشر وسدس ثلاثين يكون خمسة.

وقد وضعنا دستور العمل في الجدول ليسهل فهمه على المتأمل فيه وعليه القياس إذا كانت الأجناس كثيرة

وأمّا بالجبر والمقابلة ولما كان خلاصة كلام هذا السؤال أنا أردنا أن نقسم دينار بثلاثة أقسام إذا ضرب القسم الأول في عشرة والثاني في خمسة عشر والثالث في الثلاثين يكون الحواصل متساية وفرضنا القسم الأول شيئا والثاني ثلثي شيء لأن حاصل ضرب القسم الأول في عشرة تساوي حاصل ضرب القسم الثاني في خمسة عشر.

فما مر في القاعدة السابعة يكون نسبة القسم الأول إلى الثاني كنسبة خمسة عشر إلى عشرة هذا بحسب مفهوم خلاصة الكلام.

وأمّا بحسب مفهوم أصل السؤال فلإن نسبة السعر الأول إلى السعر الثاني كنسبة المسعر الثاني إلى المسعر الأول كما سبق في القاعدة التاسعة والثلاثين.

فبقي القسم الثالث دينار الأشيئا وثلثي شيء ضربنا الأول في العشرة أو الثاني في خمسة حصلت عشرة أشيئا وضربنا الثالث في ثلاثين حصل ثلاثون دينار إلا خمسين شيئا وهو معادل لأحد الحاصلين الأولين وهو عشرة أشياء.

وبعد الجبر يكون ثلاثون دينارا معادلا لستين شيئا قسمنا العدد على عدد الأشياء خرج من القسمة النصف وهو القسم الأول من الدينار ويكون القسم الثاني ثلاثة أعني الثلاث والباقي يكون القسم الثالث وهو السدس، ومن لم يقدر في أمثال هذه المسائل على معرفة كيفية النسبة من الأقسام فعليه نفرض القسم الأول شيئا والثاني فلسا والثالث دينارًا إلا شيئا وفلسا، فإذا حصل بضرب الأول عشرة أشيئا وبضرب الثاني خمسة عشر فلسًا وبالثالث ثلاثون دينار إلا ثلاثين شيئا وإلا ثلاثين فلسًا، فتبين له أن خمسة عشر فلسًا يساوي عشرة أشيئا لأن الفرض يساوي حاصل الضروب فيكون ثلاثون فلسًا مساويًا لعشرين شيئا فيكون الحاصل الثالث ثلاثين دينار إلا خمسين شيئا والباقي كما سبق بعينه.

وهذا الطريق يليق بالمبتدئين ولا يليق بالماهرين في العلم والعمل لإن عمل به يعرف النسبة بين الشيء والفلس في آخر العمل وعلى الماهران يعرفها قبل الشروع في العمل.

وإن أردنا عشرين منها بدينار أي أردنا أن نقسم دينار بثلاثة أقسام إذا ضرب الأول في عشرة والثاني في خمسة عشر والثالث في ثلاثين يكون مجموع الحواصل عشرين ففي استخراجها طرق ثلاثة على قياس ما ذكرنا في المثال السابع في الحلي إلا أن المسعر ههنا بمثابة السعر هناك وبالعكس وكذا الثمن والمثمن والرخيص بمثابة الغالي وبالعكس فإوردناها لسهولة فهم المبتدئين

الطريق الأول أن ننقص المسعر المطلوب وهو عشرون المسعر الأكثر وهو ثلاثون ونقسم الباقي وهو عشرة على فضل المسعر الأكثر على الأقل وهو عشرون فما يخرج وهو النصف نحفظه ثم نفرض القسم الأول من الدينار مقدار أقل من المحفوظ كم كان وليكن خمسين ونشتري به من المسعر الأقل حصلت أربعة ننقص الثمن أعني الخمسين من الدينار يبقي ثلاثة أخماس ونقص المثمن أعني الأربعة عن المسعر المطلوب وهو عشرون بقيت ستة عشر فيصير المسئلة إلى أن لنا جنسين أحدهما خمسة عشر بدينار والآخر ثلاثون بدينار نريد ستة عشرة بثلاثة أخماس دينار نعمل بها كما عملنا في المثال المتقدم.

والطريق الثاني أن نأخذ نصف مجموع المسعرين الأولين وهو اثنا عشر ونصف وندعوه بالمسعر المشترك ونفرضه مسعرا واحدا فآلت المسئلة إلى جنسين من الأول اثنا عشر ونصف بدينار ومن الثاني ثلاثون بدينار نريد عشرين منهما بدينار نعمل بها كما عملنا في المثال المتقدم فما حصل من المسعر المشترك بنصف الثمن والمثمن ليحصل المطلوب.

والطريق الثالث أن نفرض القسم الأول من الدينار شيئا وثانيها أيضًا شيئا وثالثها دينار إلا شيئين ونضرب كلا منهما فيما بإزائه من المسعرات ونجمع الحواصل ومقابل المجموع بعشرين وقد أوردنا الحواصل بالطريق الثلاثة وهو هذه 

وقس عليه وعلى ما سبق أن أردنا مائة بخمسة دناينر وكانت الأجناس أكثر من ثلاثة.

المثال التاسع عشر مائة من الطيور بط وعصافير ودجاج كل واحدة من البط بأربعة دنانير وكل خمسة من العصفور بدينار وكل واحدة من الدجاج بدينار واحد وأردنا مائة بمائة دينار ولما كان واحدة من الدجاج بواحد وسعر البط أكثر من مسعره والمسعر من العصفور أكثر من سعره فإذا تكافيا يكون الباقي عدد الدجاج.

فبالمفتوحات إن لم يكن السعر والمسعر في كل منهما صحيحين نردهما إلى صحيحين كما في هذا السؤال كان كل واحد من العصفور بخمس دينار جعلناها خمسة بدينار ثم أخذنا الفضل بين سعر البط وهو أربعة ومسعره وهو واحد فكان ثلاثة ضربناها في المسعر من العصفور وهو خمسة حصلت خمسة عشر وهو عدد العصفور ثم أخذنا الفضل بين سعر العصفور ومسعره فكان أربعة ضربناها في المسعر من البط وهو واحد فلا يتغير عن حالها وهي عدد البط جمعناه مع عدد العصفور وهو خمسة بلغت تسعة عشر بتسعة عشر دينار والباقي نأخذ من الدجاج.

وإن أردنا نأخذ كلاً منهما مثلي الذي سبق أو ثلاثة أمثاله إلى حد يجاوز المائة ونأخذ الباقي من الدجاج فيحصل بخمسة وجُوه كما في هذا الجدول

وإن كان التفاضلان مشتركين أو متداخلين نأخذ جزء وفق كل منهما ونعمل به ما عملنا بالفضل.

وأن كان كل ثلاثة من البط بسبعة دنانير وكل تسعة من العصفور بدينارين  والدجاج واحدة بواحد ضربنا فضل سعر البط على مسعر وهو أربعة تارة في السعّر من العصفور وهو تسعة حصلت ستة وثلاثون وهو عدد العصفور وتارة في سعرها وهو اثنان حصلت ثمانية وهي ثمن العصفور.

ثم ضربنا فضل المسعر من العصفور على سعرها وهو سبعة تارة في المسعر من البط وهو ثلاثة حصل أحد وعشرون وهو عدد البط وتارة في سعرها وهو سبعة حصلت تسعة وأربعون وهو ثمن البط والباقي إلى المائة وهو ثلاثة وأربعون عدد الدجاج

وإن لم ينال عن أن يكون في الثمن كسر فإن كان عددي البط والعصفور متشاركين نأخذ جزء الوفق منهما كما في هذا السؤال نأخذ عدد البط سبعة وعدد العصفور اثني عشر مجموعهما تسعة عشر بتسعة عشر دينارًا ونأخذ الباقي من الدجاج وكذا يكون تضاعف السبعة واثني عشر إذا لم يجاوز مجموعهما عن المائة.

وإن أردنا مائة من الطيور بماتي دينار نأخذ التفاضل بين سعر كل منهما وضعف مسعره ونضربه في مسعر الآخر لا في ضعفه.

وأن التفاضل بين سعر كل منهما وضعف مسعره ونضربه في مسعر الآخر لا في ضعفه وإن أردنا بالعكس فبالعكس وههنا ينبغي أن يكون كل دجاجة بدينارين هكذا.

وأما إن أردنا أن يكون دجاج واحد بدينار واحد فسنورده بعد العمل بالجبر والمقابلة.

وأما بالجبر والمقابلة فرضنا عدد البط شيئا وعدد العصفور عدد مسعرها وهو تسعة مجموعهما شيء وتسعة فيكون ثمن البط شيئين وثلثا وثمن العصفور دينارين مجموعهما شيئان وثلث وديناران يعادل شيئا وتسعة إذا الثمن يساوي المثمن وبعد اسقاط المشترك بقي شيء وثلث يعادل سبعة قسمناها على واحد وثلث خرجت من القسمة خمسة وربع بسطناها لئلا يقع في الطير كسر فحصل عدد البط أحد وعشرون وعدد العصفور ستة وثلاثون وهو حصل ضرب التسعة في مخرج الكسر كما سبق في المفتوحات.

وأن أردنا ثمن الطيور ضعف عددها يكون اسعارها كما سبق ويكون دجاج واحد بدينار لا بدينارين كما وعدناه وينبغي فيه أن يزيد على أحد المعادلين الذي بإزاء عدد البط والعصفور فضل مجموع أثمان الطيور على عددها ونجعل المجموع معادلا لآخر.

مثلاً أردنا مائة وخمسين طيرًا بمائتين وخمسين دينارًا فرضنا عدد البط شيئًا وعدد العصفور ستة وثلاثين أربعة أمثال مسعره لأن لو نفرضه تسعة يخرج عدد العصفور مكسورًا بحيث أن بسطناه يزيد على مائة وخمسين فيكون ثمن البط شيئين وثلثا وثمن العصفور ثمانية دنانير مجموعهما شيئان وثلث شيء وثمانية دنانير يعادل مجموع عدد البط والعصفور والمائة التي هو التفاضل بين الثمن والمثمن وذلك شيء ومائة وستة وثلاثون.

وبعد الجبر والمقابلة يكون شيء وثلث شيء معادلا لمائة وثمانية وعشرين قسمناه عليه خرجت من القسمة ستة وتسعون وهو عدد البط وذلك مع عدد العصفور مائة واثنان وثلاثون فما بقي إلى مائة وخمسين وهو ثمانية عشر عدد الدجاج وضعناها مع الأثمان في جدول وهو هذا

وإن كانت الطيور أكثر من ثلاثة نفرز أولاً ما كان سعره أكثر من مسعره فما كان مسعره أكثر من سعره أي الغالي من الرخيص ونترك ما كان واحدا بواحدة بحاله ويحصل التفاضل بين كل سعر ومسعره ينبغي أن يكونا صحيحين وإلا نردهما إلى صحيحين ثم نجمع تفاضلات ما كان ليحصل عدد كل صنف من الطيور الرخيصة وتارة في كل واحد من أسعاره ليحصل ثمن كل صنف منها ثم نجمع تفاضلات ما كان رخيصًا

ونضرب المجموع تارة في كل واحد من مسعرات ما كان غاليًا ليحصل عدد كل صنف من الطيور الغالية وتارة في كل واحد من أسعاره ليحصل أثمانه ونتمم تلك الأعداد بعدة ما كان واحد بواحد أي إلى عدد نريد أن يكون عدد الطيور.

مثلاً أردنا أن نشتري عشرة أصناف من الطيور مجموعها ثلاثمائة بثلاثمائة دينار عملنا كما ذكرنا كما في هذا الجدول مع شرح العمل جمعنا عدد الطيور غير القبج وكان مائتين واحد عشر نقصناها من ثلثمائة بقيت تسعة وثمانون جعلنا القبج مثله وكذا يكون ثمنه فحصل جميع عدد الطيور ثلثمائة وجميع أثمانها أيضًا ثلثمائة وهو المطلوب.

المثال العشرون خمسة أعداد يكون الأول مع الثاني عشر والثاني مع الثالث خمسة عشر والثالث مع الرابع ثمانية عشر والرابع مع الخامس أربعة وعشرون والخامس مع الأول ثلاثون فرضنا العدد الأول شيئا نقصناه من العشرة ليبقي الثاني ونقصنا الثاني من خمسة عشر ليبقى الثالث ووضعنا العمل في جدول ليسهل ضبطه ويكون دستورا وهو هذا

المثال الحادي والعشرون خمسة رجال قال الأول للثاني أعطني أربعة أخماس ما معك ليكون ثمن هذا الفرس وقال الثاني للثالث أعطني ثلاثة أخماس ما معك يكون ثمن الفرس وقال الثالث للرابع أعطني خمسي ما معك وقال الرابع للخامس أعطني خُمْس ما معك وقال الخامس للأول أعطني سُدس ما معك يكون ثمن الفرس.

فبالجبر والمقابلة فرضنا ثمن الفرس شيئا وما مع الرجل الأول واحد لأن المسئلة ساله أي لا ينحصر المجهول في مقدار واحد بل يمكن أن يكون أي عدد كان ووضعناه تتمة العمل في جدول ليسهل ضبطه وهو هذا والنسم الرجال بزيد وعمرو وخالد وبكر ووليد.

ثم ضربنا ذلك السدس في مخرج السّدس حصل مقدار ما مع زيد بهذا الاعتبار 

فيسطنا الصحاح إلى الكسور فيهما فصار العدد  الأشياء المعادلة  فإذا قسمنا العدد على عدد الأشيئا لخرج مقدار ثمن الفرس على أن ما مع زيد واحد كما فرضناه لكنا نريد أن لا يكون مع الأعداد المطلوبة كسرًا أخذنا العدد الحاصل من البسط وهو  ثمن الفرس وعدد الأشيئا الحاصلة من البسط وهو  مقدار ما مع زيد لأن العدد المعادل لعدد الأشيئا إلى عدد الأشيئا كنسبة الشيء الواحد إلى الواحد كما ذكرنا في القاعدة التاسعة والثلاثين فإذا حصل ثمن الفرس ومقدار ما مع زيد حصلنا مقدار ما مع كل واحد من الباقيين بأن نقصنا ما مع زيد عن ثمن الفرس فما بقي كان أربعة أخماس مامع عمرو زدنا ربعه عليه لحصل ما مع عمرو ثم نقصنا ما مع عمرو عن ثمن الفرس بقي ثلاثة أخماس ما مع بكر حصلنا منه ما مع بكر وقس عليه سائره

وكتبنا أيضًا بهذه المقادير على طريقة أصحاب السّياقة لإنها أليق بأمثال هذه المحاسبات وأبين من غيرها هكذا

وإن كان الجماعة أربعة زيد وعمرو وبكر وخالد وطلب كل منهم من صاحبه ما طلب سابقًا إلا أن الخالد طلب من زيد ما طلب هناك من وليد فيعدل من الواحد والعدد المستثنى بالأشياء الذي وضعناه هناك من تحت اسم الوليد وهو بسبطناهما حصل ثمن الفرس  وما مع زيد  فيكون للبواقي ومقدار ما يأخذ كل واحد من صاحبه هكذا

وإن كان الرجال ثلاثة فهذا أحسابهم

وأمّا بالمفتوحات فرسمنا جداول بعدة الرجال وكتبنا في كل جدول اسم رجل ووضعنا تحت كل اسم الكسر الذي يطلب من صاحبه ومخرجه ثم ضربنا الكسور بعضها في بعض بأن ضربنا الكسر الأول في الثاني ثم الحاصل في الثالث وهكذا إلى أن يتم ونضع الحواصل تحت المخارج في صف آخر بحيث وقع كل حاصل تحت المخرج المضروب فيه أعني الحاصل الأول في الجدول الثاني والثاني في الثالث وقس عليه وكان الحاصل الأخير في هذه المسئلة  سميناه المحفوظ الأول ثم ضربنا المخارج بعضها في بعض ونضع الحواصل في صف تحت حواصل الأول على ما سبق فكان الحاصل الأخير  وسميناه المحفوظ الثاني ولما كان عدد الرجال فردًا جمعناهما صار  وهو ثمن الفرس يصحّ منه ما مع كل واحد من الرجال وما طلب من صاحبه وحيث كان زوجًا فينبغي أن يؤخذ التفاضل بينهما ليبقى ثمن الفرس ولذلك رسمنا صفّنا أخر تحت الحواصل الثاني ووضعنا فيه مجموع الحاصلين تحت اسامي الفرد وتفاضلهما تحت اسامي الزوج فما وقع منها في الجدول الخامس هو ثمن الفرس إذا كان الرجال خمسة وما وقع في الجدول الرابع للأربعة وفي الثالث للثلاثة في الثاني للاثنين

ثم رسمنا خطا تحت هذا الصف ببعد صالح واعلمنا عليه علامات جداول الزوج والفرد ونسميه بخط العلامات ثم قسمنا المخرج الأول على كسره أي الذي طلب زيد من عمرو فخرج واحد وربع وضعناه في الجدول الثاني تحت خط العلامات ونقصنا منه واحد لان فيه علامة الزوّج ووضعنا الباقي وهو ربع فوقه ثم ضربنا هذا الربع في المخرج الموضوع في هذا الجدول حصل واحد وربع وقسمناه على كسره وهو ثلاثة خرج

وضعناه في الجدول الثالث تحت خط العلامات وزدنا عليه واحدًا لإن الجدول فرد ووضعنا المجموع فوقه ثم ضربنا المجموع وهو

في المخرج الموضوع في هذا الجدول أيضًا حصل 

قسمنا على كسره خرج 

وضعناه في الجدول الرابع تحت خط العلامات ثم نقصناه منه واحدًا ووضعنا الباقي فوقه ثم ضربنا الباقي في المخرج الموضوع فيه حصل

قسمناه على كسره فلا يتغير لإن المقسوم عليه واحد وضعناه في الجدول الخامس تحت خط العلامات وزدنا واحد عليه لفرديته ووضعنا المجموع فوقه وضربناه في المخرج الموضوع فيه حصل

قسمناه على كسره لم يتغير وضعناه إمّا في الجدول الأول أو خارج الجدول أيهما شئنا تحت خط العلامات ثم بسطناه كسورًا وكذا البواقي التي وضعت تحت خط العلامات ووضعنا جميع المبسوطات تحتها في صف آخر فما وقع خارج الجدول هو ما مع زيد إذا كان الرجال خمسة وما وقع في الجدول الخامس هو ما معه إذا كان الرجال أربعة وما وقع للرابع للثلاثة وما وقع للثالث في الاثنين وقد حسبنا أيضًا ما كان خمسة رجال يطلب الأول نصف ما للثاني والثاني ثلث ثلث ما للثالث والثالث ربع ما للرابع والرابع خمس ما للخامس وسدس ما للأول فكان

المثال الثاني والعشرون لزيد ألف وثلث ما لعمرو ولعمرو ألف وربع من لبكر ولبكر ألف لما سدس ما لخالد ولخالد ألف وسبع ما لزيد استخرجنا بالجبر والمقابلة هكذا

وبعد الجبر يعادل

عددًا 

شيئًا قسمنا العدد على عدد الأشياء بأن بسطنا الشيء وكسره صار  ولما كان مخرج كسر العدد عاد المخرج كسر الشيء ضربنا العدد مع كسره في مخرج الشيء وهو  حصل  قسمناه على مبسوط الشيء وكسره وهو  من القسمة  وهو ما لزيد حسبنا منه البواقي هكذا

المثال الثالث والعشرون بقرة وزن كل واحد من أرجلها كعب ووزن رأسها يساوي مجموع أرجلها والباقي ضعف مربع رجل واحد فرضنا وزن البقرة كعبًا ليكون وزن رجل واحد منها شيئًا ويكون وزن رأسها أربعة أشيئا والباقي مالين فالجموع ثمانية أشيئا ومالين يعادل كعبًا ولمّا بدلنا الأشيئا بالعدد والمالين بالشيئين والكعب بمال فيصير ثمانية أعداد وشيئان معادلًا لمال انتهي بالثالثة من المقترنات زدنا مربع نصف عدد الأشيئا وهو واحد على العدد بلغت تسعة أخذنا جذره فكان ثلاثة زدنا عليه نصف عدد الاشيئا بلغت أربعة وهو الشيء المجهول اعني وزن رجل واحد ومكعبها أربعة وستون وهو وزن البقرة وأربعة أمثال رجل واحد ستة عشر وهو يساوي وزن الرأس فبقى اثنان وثلاثون وهو ضعف مربع رجل واحد.

المثال الرابع والعشرون مجسم كاسطوانة مجوفة مربعة القاعدة طوله بقدر مجموع ضلع القاعدة من مكعبه في طول تجويف اسطواني قاعدته ذراع في ذراع وطوله أقصر من طول المجسم بقدر ضلع قاعدة المجسم ومساحة المجسم مائتان وثلاثة وأربعون ذراعًا نريد معرفة مقدار ضلع قاعدته وطوله فرضنا ضلع قاعدته شيئا فيكون قاعدته مالًا إلا واحدًا ويكون طوله كعبا وشيئا ضربناه في القاعدة حصل مال كعب إلا شيئا زدنا عليه ما قصر طول التجويف عن طول المجسم وهو شيء واحد بلغ مال كعب وهو معادل لمائتين وثلاثة وأربعين فقد انتهى إلى غير المسائل الست واشرنا إلى استخراج أمثاله في الفصل العاشر من الباب الأول من هذه المقالة فعلى ما ذكرنا فيه قسمنا العدد وهو مائتان وثلاثة وأربعون على عدد مال الكعب وهو واحد خرج المقسوم بعينه لإن المقسوم عليه واحد أخذنا ضلعه الأول على أنه مال كعب كان ثلاثة وهي ضلع قاعدة المجسم حصلنا مكعبه كان سبعة وعشرين وهو مع الضلع ثلاثون وهو طلول المجسّم

امتحان مساحته ضربنا ضلع قاعدته وهو ثلاثة في نفسه حصلت تسعة ضربناها في طوله وهو ثلاثون حصل مائتان وسبعون وهو مساحة مع التجويف نقصنا منه مساحة التجويف وهو حاصل ضرب واحد في واحد في سبعة وعشرين يكون سبعة زوعشرين بقي مائتان وثلاثة واربعون كما فرض 

المثال الخامس والعشرين سمكة رأسها أربعة أتساع وزنها وذنبها خسمة أمثال ضلع أول وزنها على أنه مال كعب والباقي ثمانية أمثال ذنبها.

فبالجبر والمقابلة فرضنا وزن السمكة مال كعب فيكون ذنبها خمسة أشيئا ورأسها أربعة اتساع مال كعب يكون الباقي خمسة اتساع مال كعب إلا حمسة يعادل أربعين شيئا لإن البدن أربعون مثلا لضلع الأول لإنه ثمانية أمثال الذنب وهو خمسة أمثال الضلع الأول وبعد الجبر تكون خمسة اتساع مال كعب معادلاً لخمسة وأربعين شيئا فانتهى إلى المسائل التي اشرنا إليها في الفصل العاشر من الباب الأول من هذه المقالة فقسمنا عدد الأشياء على عدد أموال الكعب بأن ضربناه في مخرج التسع حصل أربعمائة وخمسة قسمناه على كسر وهو خمسة خرج أحد وثمانون ولما كان التفاوت بين منزلتي الجنسين المتعادلين أربعة وهي منزلة مال المال فخارج القسمة تكون من منزلة مال المال أخذنا ضلع أوله فكان ثلاثة وهو الشيء المجهول اعني ضلع أول وزن السمكة على أنه مال كعب فيكون وزن السمكة مائتين وثلاثة وأربعين ووزن ذنبها خمسة عشر ووزن رأسها مائة وثمانية وبقي وزن البدن مائة وعشرون وهو ثمانية أمثال الذنب.

وبالتحليل والتركيب فرضنا الذنب سهمًا فيكون بدنها ثمانية أسهم مجموعهما تسعة أسهم وهي خمسة اتساع وزن السمكة بسطناها أخماسًا صارت خمسة وأربعين أخذنا أربعة أخماسها فكانت ستة وثلاثين وهو سهام رأس السمكة مجموعها أحد وثمانون سهمًا وهو مائتان وثلاثة وأربعون منّا فيكون سهم منها ثلاثة أمنان.