كتاب في الأصول الهندسية/الكتاب الثاني
كل شكل متوازي الأضلاع قائم الزوايا يُعبَّر عنه بالضلعين المحيطين بإحدى قائماته فالشكل ا س المتوازي الأضلاع القائم الزوايا يسمى القائم الزوايا الذي يحيط به ا د و د س أو ا د و ا ب وهكذا إلى اخره ولأجل الاختصار يقال القائم الزوايا ا د في د س أو ا د × د س أو ا د . د س  حاصل خطًّين او مسطحهما في اصطلاح الهندسة هو القائم الزوايا المصطنع منهما مع ما يوازيهما. وقد تستعمل هذه العبارة أيضاً في علم الحساب وعلم الجبر والمقابلة حيث يدلُّ على حاصل كميتين غير متماثلتين. وإذا كانتا متماثلتين فمسطحهما مربعٌ أي كمية في  ذاتها. فمربعات الاعداد 1 2 3 إلى أخره هي 1 4 9 إلى أخرهِ والمربع المرسوم على مضاعف خط هو اربعة امثال المربع المرسوم على الخط ذاتهِ. والمرسوم على ثلاثة أمثال خط هو تسعة أمثال المرسوم على الخط ذاتهِ
 شكل من الاشكال الواقعة على جانبي القطر في كل شكل متوازي الاضلاع مع المتمَّين يسمى عَلَمٌ فالشكل ح ع مع المتمَّين ا ق ق س هو علم الشكل ا س وكذلك ي ك مع ا ق و ق س. ولأجل الاختصار يسمى الاول العلم ا ع ك أو ي ح س

إذا فُرِض خطَّان مستقيمان وانقسم أحدهما إلى اقسام متعددة فالقائم الزوايا مسطحهما يعدل مجتمع القائمات الزوايا مسطحات الخط الغير المقسوم في أقسام المقسوم

ليكن ب س خطَّا مستقيماً و ا خطَّا مستقيماً وليقسم ب س إلى اقسام في د و ي فالقائم الزوايا ا × ب س يعدل القائمات الزوايا ا × ب مع ا × د ي مع ا × ي س من النقطة ب أرسم الخط ب ف عموداً على ب س (ق 11 ك 1) واقطع منهُ ب ع حتى يوازي ب س (ق 31 ك 1) ومن النقط الثلاث د ي س أرسم الخطوط د ك ي ل س ح حتى توازي ب غ فالاشكال ب ح ب ك د ل ي ح هي قائمات الزاويا و ب ح = ب ك + د ل + ي ح

ولكن ب ح = ب ع × ب س = ا × ب س لأنَّ ب ع = ا و ب ك = ب غ × ب د = ا × ب د لأن ب ع = ا و د ل = د ك × د ي = ا × د ي لان د ك = ب غ = ا (ق 34 ك 1) وهكذا أيضاً ي ح = ا × ي س فإذا ا × ب س = ا × ب د + ا × د ي + ا × ي س أي القائم الزوايا أو المسطح ا × ب س يعدل مجتمع القائمات الزوايا ا × ب د + ا × د ي + ا × ي س

تعليقة. خصائص اقسام الخطوط المبرهنة في هذا الكتاب تستعلم أيضاً بسهولة من علم الجبر والمقابلة. ففي هذه القضيَّة اذا فرضنا أقسام الخط ب س ب و س و د فلنا ا × (ب + س + د) = ا ب + ا س + ا د

إذا انقسم خطٌ مستقيم إلى قسمين فالقائما الزوايا مسطحا كل الخط في كل واحد من قسمَيهِ يعدلان معاً مربع كل الخط

لينقسم الخط المستقيم ا ب قسمين في س فالقائِم الزوايا ا ب × ب س مع القائِم الزاويا ا ب × ا س يعدلان مربع ا ب أي ا ب × ب س + ا ب × ا س = ا ب2

ارسم على ا ب المربع ا د ي ب (ق 46 ك 1) ومن س ارسم س ف حتى يوازي ا د أو ب ي (ق 31 ك 1) فلنا ا ف + س ي = ا ي ولكن ا ف = ا د × ا س = ا ب × ا س لانَّ ا د = ا ب والشكل س ي = ب ي × ب س = ا ب × ب س وأي ا ب2 فإذا ا ب × ا س + ا ب × ب س = ا ب2

تعليقة. وهكذا بالجبر. فلنفرض ا ب = ا و ا س = ب و س ب = د فلنا ا = ب + د أضرب جانبي المعادلة في ا2 = ا ب + ا د

إذا انقسم خطٌ مستقيم إلى قسمين فالقائِم الزوايا مسطح كل الخط في كل احد قسميهِ يعدل القائم الزوايا مسطح القسمين مع مربع القسم المذكور

ليقسم الخط المستقيم ا ب إلى قسمين في س فالقائم الزوايا ا ب × ب س يعدل القائم الزوايا ا س × ب س مع مربع ب س

ارسم على ب س المربع س د ي ب (ق 46 ك 1) واخرج ي د إلى ف ومن ا ارسم ا ف حتى يوازي س د أو ب ي (ق 31 ك 1) فالشكل ا ي = ا د + س ي ولكن ا ي = ا ب × ب ي = ا ب × ب س لانَّ ب ي = ب س و ا د = ا س × س د = ا س × س ب و س ي = ب س2 فإذا ا ب × ب س = ا س × س ب + ب س2

تعليقة. وهكذا بالجبر. فلنفرض ا ب = ا و ا س = ب و س ب = س فلنا ا = ب + س اضرب الجانبين في س فلنا ا س = س ب + س2

إذا انقسم خط مستقيم إلى قسمين فمربع الخط كلهِ يعدل مربًّعي القسمين مع مضاعف القائِم الزوايا مسطح القسمين

ليقسم الخط المستقيم ا ب إلى قسمين في س فمربع ا ب يعدل مربع ا س مع مربع س ب مع مضاعف القائم الزاويا ا س في س ب أي ا ب2 = ا س2 + س ب2 + 2 ا س × س ب

ارسم على ا ب المربع ا د ي ب (ق 46 ك 1) وارسم ب د ومن س ارسم س غ ف حتى يوازي ا ب أو د ي

فمن حيث أن س ف يوازي ا د ويلاقيهما ب د فالزاوية الخارجة ب غ س تعدل الداخلة المتقابلة ا د ب (ق 29 ك 1) ولكن ا د ب = ا ب د (ق 5 ك 1) لان ب ا = ا د لانهما ضلعا مربع. فالزاوية س غ ب = س ب غ و ب س = س غ (ق 6 ك 1) ولكن س ب = غ ك (ق 34 ك 1) و س غ = ب ك فالشكل ب س غ ك متساوي الاضلاع وهو متساوي الزوايا أيضاً لان س ب ك قائمة فتكون بقية زوايا الشكل س غ ك ب قائمات (فرع ق 46 ك 1) فهو مربع على الضلع س ب وهكذا أيضاً يبرهن ان ح ف مربعٌ وهو على الضلع غ ح الذي يعدل ا س فالشكلان ح ف س ك هما مربعا ا س × ب س ولان المتمّ ا غ يعدل المتم غ ي (ق 43 ك 1) وا غ = ا س × س غ = ا س × س ب فلذلك أيضاً غ ي = ا س × س ب و ا غ + غ ي = 2 ا س × س ب ولكن ح ف = ا س2 و س ك = س ب2 فإذا ح ف + س ك + ا غ + غ ي = ا س2 + س ب2 + 2 ا س × س ب ولكن ح ف + س ك + ا غ + غ ي = الشكل ا ي أو ا ب2 فإذا ا ب2 = ا س2 + س ب2 + 2 ا س × س ب

فرعٌ. يتضح من هذه القضية ان الاشكال المتوازية الاضلاع على جانبي قطر مربع هي أيضاً مربعات

تعليقة. هذه القضية تبرهن أيضاً من مربع كمية ثنائية في الجبر فإذا فرض القسمان ا و ب (ا + ب)2 = ا2 + 2 ا ب + ب2

إذا انقسم خطٌ مستقيم إلى اقسمين متماثلين وأيضاً إلى قسمين غير متماثلين فالقائِم الزوايا مسطح القسمين غير المتماثلين مع مربع القسم الواقع بين نقطتي الانقسام يعدل مربع نصف الخط

الزوايا ا د × د ب مع مربع س د يعدل مربع س ب أي ا د × د ب + س د2 = س ب2

ارسم على ب س المربع س ي ب ف (ق 46 ك 1) وارسم القطر ب ي ومن د ارسم د ح (ق 31 ك 1) حتى يوازي س ي أو ب ف ومن ح ارسم ك ل م حتى يوازي س ب أو ي ف ومن ا ارسم ا ك حتى يوازي س ل أو ب م

فمن حيث ان س ح = ح ف فإذا أضيف إلى كل واحد منهما د م لنا س م = د ف ولكن ا ل = س م (ق 36 ك 1)  فإذاً ا ل = د ف. أضيف إلى واحد منهما س ح فلنا ا ح = العلم س م غ. و ا ح = ا د × د ح = ا د × د ب لان د ح = د ب (فرع ق 4 ك 2) فالعلم س م غ = ا د × د ب. أضف إلى كل واحد منهما ل غ = س د2 فالعلم م غ + ل غ = ا د × د ب + س د2 ولكن س م غ + ل غ = ب س2 فإذاً ا د × د ب + س د2 = ب س2

فرعٌ يتضح من هذه القضية أن فضلة مربَّعي خطين غير متماثلين ا س س د يعدل القائِم الزوايا مسطح مجتمعهما في فضلتهما أي أن ا س2 - س د2 = (ا س + س د) × (ا س - س د)

تعليقة. في هذه القضية لنفرض ا س = ا و س د = ب فلنا ا د = ا + ب و د ب = ا - ب وبالجبر (ا + ب)×(ا - ب) = ا2 - ب2 أي مسطح مجتمع كميتين في فضلتهما يعدل فضلة مربعيهما

  
إذا تنصَّف خط مستقيم ثم أخرج على استقامته إلى نقطةٍ ما فالقائم الزوايا مسطح الخط كلهِ بعد اخراجهِ في الجزءِ الذي قد زيد عليهِ مع مربع نصف الخط الذي قد تنصف يعدل مربع الخط المركب من النصف والجزءِ المزيد

ليُقسَم الخط المستقيم ا ب إلى قسمين متماثلين في س ثم ليخرج إلى د فالقائم الزوايا ا د × د ب مع س ي يعدل مربع س ب يعدل مربع س د

ارسم على س د المربع س ي ف د (ق 46 ك 1) وارسم القطر د ي ومن ب ارسم ب ح غ (ق 31 ك 1) حتى يوازي د ف أو س ي ومن ح ارسم ك ل م حتى يوازي ا د أو ي ف ومن ا ارسم ا ك حتى يوازي س ل أو د م. فمن حيث ان ا س = س ب فالقائم الزوايا ا ل = ح ف. أَضِف إلى كل واحد منهما س م فالكل ا م = العلم س م غ و ا م = ا د × د م = ا د × د ب لانَّ د م = د ب فالعلم س م غ = القائم الزوايا ا د × د ب و س م غ + ل غ = ا د × د ب + س ب2 و س م غ + ل غ = س ف = س د2 فاذاً ا د × د ب + س ب2 = س د2 

تعليقة. وهكذا بالجبر. لنفرض ا ب = 2 ا و ب د = ب فلنا ا د = 2 ا + ب و س د = ا + ب وبالضرب ب × (2 ا + ب) = 2 ا ب + ب2. أَضِفْ إلى الجانبين ا2 فلنا ب × (2 ا + ب) + ا2 = ا2 + 2 ا ب + ب2 أي ب × (2 ا + ب) + ا2 = (ا + ب)2

إذا انقسم خطٌّ مستقيم إلى قسمين فمربع كل خط مع مربع أحد القسمين يعدل مضاعف القائِم الزوايا مسطح الخط كله في ذلك القسم مع مربع القسم الآخر

ليُقسَم الخط المستقيم ا ب إلى قسمين في س فمربع ا ب مع مربع ب س يعدل مضاعف القائم الزوايا ا ب × ب س مع مربع ا س أي ا ب2 + ب س2 = 2 ا ب × ب س + ا س2

ارسم على ا ب المربع ا د ي ب (ق 46 ك 1) وتتم الشكل كما في القضايا السابقة. فمن حيث ان ا غ = غ ي فالكل ا غ + س ك = غ ي + س ك أي ا ك = س ي و ا ك + س ي = 2 ا ك و ا ك + س ي = العلم ا ك ف + س ك فإذاً ا ك ف + س ك = 2 ا ك = 2 ا ب × ب ك = 2 ا ب × ب س (فرع ق 4 ك 2) فمن حيث ان ا ك ف + س ك = 2 ا ب × ب س فالكل ا ك ف + س ك + ح ف = 2 ا ب × ب س + ح ف و ا ك ف + ح ف = ا ي = ا ب2 فاذاً ا ب2 + س ك = 2 ا ب × ب س + ح ف أي (حيث أن س ك = ب س2 و ح ف = ا س2) ا ب2 + س ب2 = 2 ا ب × ب س + ا س2

فرعٌ. فاذاً مجتمع مربعي خطين بعدل مضاعف القائم الزوايا مسطح الخطَّين مع مربع فضلة الخطين

تعليقة. في هذه القضية لنفرض ا ب = ا و ا س = ب و س ب = س فلنا ا2 = ب2 + 2 ي س + س2 أضف س2 إلى كل جانب فلنا

ا2 + س2 = ب2 + 2 ب س + 2 س2 أي ا2 + س2 = ب2 + 2 س × (ب + س) أي ا2 + س2 = 2 ا س + ب2

فرعٌ. يتضح من هذه القضية أن المربع المرسوم على فضلة خطَّين يعدل مجتمع المربَّعين المرسومَين على الخطَّين إلا مضاعف القائم الزوايا مسطح الخطَّين. لان ا - س = ب وبالترقية ا2 - 2 ا س + س2 = ب2

إذا انقسم خطٌ مستقيم إلى قسمين فاربعة أمثال القائِم الزوايا مسطح كل الخط في احد القسمين مع مربع القسم الآخر يعدل مربع الخط المركب من الكل مع القسم الأول 

ليقسم الخط المستقيم ا ج إلى قسمين في س فاربعة أمثال القائِم الزوايا ا ج × ج س مع مربع ا س يعدل مربع الخط المركب من ا ج مع ج س 

اخرج ا ج إلى ذ واجعل ج ذ يعدل ج س وعلى ا ذ ارسم المربع ا ت ف ذ وارسم شكلين مثل ما في القضية السالفة. فمن حيث ان ب ي = س ج (ق 34 ك 1) و س ج = ج ذ و ج ذ = ن ي فلذلك ب ي = ن ي ولهذا السبب أيضاً ق د = د ر ولانَّ س ج = ج ذ و ب ي = ي ن فالقائما الزوايا س ي و ج ن متساويان وكذلك أيضاً ب د = ي ر ولكن س ي = ي ر (ق 43 ك 1) لانهما متَّما الشكل س ر فإذاً ج ن = ب د والقائمات الزوايا الأربع س ي ج ن ي ر ب د متساوية وهي معاً = 4 س ي وأيضاً لانَّ س ج = ج ذ و ج ذ = ج ي (فرع ق 4 ك 2) أو س ب ولانَّ س ج = ب ي أو ب ق فلذلك س ب = ب ق ولان س ب = ب ق و ق د = د ر فالقائم الزوايا ا ب = م ق و ق ل = د ف ولكن م ق = ق ل (ق 43 ك 1) لانهما متَّما م ل فإذاً ا ب = د ف فالاربع ا ب م ق ق ل د ف متساوية وهي معاً تعدل 4 ا ب وقد تبرهن ان س ي ب د ج ن ي معاً 4 س ي فبإضافة أشياء متساوية إلى أشياء متساوية يكون كل العلم ا ر ح = 4 ا ي و ا ي = ا ج × ج ي = ا ج × ج س و 4 ا ي = 4 ا ج × ج س فالعلم ا ر ح = 4 ا ج × ج س + ا س2 ولكن ا ر ح + ك ح = ا ف = ا د2 فإذاً ا د2 = 4 ا ج × ج س + ا س2

فرعٌ أول. من حيث ان اذ هو مجتمع الخطين ا ج ج س و ا س فضلتهما فاربعة أمثال القائم الزوايا مسطح خطَّين مع مربع فضلتهما يعدل مربع مجتمع الخطَّين

فرع ثان. بما أنهُ قد تبرهن من هذه القضية أن مربع س ذ هو أربعة أمثال مربَّع س ج يتضح أن مربع خط هو أربعة أمثال مربع نصفهِ

تعليقة. لنفرض ا ج = ا و ا س = س و س ج = ب و ا ذ = س + 2 ب و ا = ب + س. أضرب الجانبين في 4 ب فلنا 4 ا ب = 4 ب2 + 4 ب س أضف س2 إلى جانبين فلنا 4 ا ب + س2 = س2 + 4 ب س + 4 ب2 أي 4 ا ب + س2 = (س + 2 ب)2

إذا انقسم خطٌ مستقيم إلى قسمين متماثلين وأيضاً إلى قسمين غير متماثلين فمربَّعا القسمين الغير المتماثلين معاً يعدلان مضاعف مربع نصف الخط مع مضاعف مربع الجزء الواقع بين نقطتي الانقسام

ليُقسَم الخط المستقيم ا ب إلى قسمين متماثلين في س وغير متماثلين في فمربعا ا د د ب معاً يعدلان مضاعف مربعي ا س س د

من س أرسم س ي (ق 11 ك 1) عموداً على ا ب واجعل س ي يعدل ا س أو س ب. ارسم ا ي و ي ب ومنت د ارسم د ق (ق 21 ك 1) حتى يوازي س ي. ومن ق ارسم ا ي و ي ب ومن د ارسم د ق (ق 21 ك 1) حتى يوازي س ي. ومن ق أرسم ق غ حتى يوازي ا ب وارسم ا ق. فمن حيث ان ا س يعدل س ي فالزاوية ي ا س تعدل الزاوية ا ي س (ق 5 ك 1) وهما معاً قائمة لان ا س ي قائمة (فرع 4 ق 32 ك 1) ولهذا السبب أيضاً كل واحدة من الزاويتين س ي ب س ب ي نصف قائمة. فالكل ا ي ب ق ي ومن حيث ان غ ي ق نصف قائمة و ي غ ق قائمة لانها تعدل الداخلة المتقابلة ي س ب (ق 26 ك 1) فالباقية ي ق غ تعدل نصف قائمة. فالزاوية غ ي ق تعدل ي ق غ والضلع ي غ يعدل الضلع غ ق (ق 6 ك 1) وأيضاً لانَّ الزاوية عند ب هي نصف قائمة و ق د ب قائمة لانها تعدل الداخلة المتقابلة ي س ب (ق 29 ك 1) فالباقية د ق ب هي نصف قائمة. فالزاوية عند ب تعدل الزاوية د ق ب والضلع ق د يعدل الضلع د ب (ق 6 ك 1) ولان ا س = س ي  ا س2 = س ي2 و ا س2 + س ي2 = 2 ا س2 ولكن (ق 47 ك 1) ا ي2 = ا س2 + س ي2 فإذاً ا ي2 = 2 ا س2. وأيضاً لانَّ ي غ = غ ق ي غ2 = غ ق2 و ي غ2 + غ ق2 = 2 غ ق2 ولكن ي ق2 = ي غ2 + غ ق2 فإذاً ي ق2 = 2 غ ق2 = 2 س د2 لان س د = غ ق (ق 34 ك 1) وقد تبرهن ان ا ي2 = 2 ا س2 فإذاً ا ي2 + ي ق2 = 2 ا س2 + 2 س د2 ولكن (ق 47 ك 1) ا ق2 = ا ي2 + ي ق2 و ا د2 + د ق2 = ا ق2 أي ا د2 = د ب2 = ا ق2 فإذاً ا د2 + د ب2 = 2 ا س2 + 2 س د2

تعليقة. هذه القضية واضحة من الجبر إذا فرضنا ا س = ا و س د = ب و ا + ب = ا د و ا - ب = د ب فلنا (ا + ب)2 + (ا - ب)2 = 2 ا2 + 2 ب2

إذا تنصَّف خط مستقيم ثم أخرج إلى نقطةٍ ما فمربع كل الخط بعد اخراجهِ ومربع الجزءِ الذي قد زيد إليه هما معاً مضاعف مربع نضف الخط الذي قد تنصف مع مربع الخط المركب من النصف والجزاء المزيد

ليتنصف الخط المستقيم ا ب في س وليخرج إلى النقطة د فمربعا ا د د ب هما معاً مضاعف مربعي ا س س د

من س ارسم س ي عموداً على ا ب (ق 11 ك 1) واجعل س ي يعدل ا س أو س ب ارسم ا ي و ي ب ومن ي ارسم ي ف (ق 31 ك 1) حتى يوازين ا ب ومن د ارسم د ف حتى يوازي ي س. فلأنَّ ي ف يلاقي المتوازيين ي س ف د فالزاويتان س ي ف ي ف د هما معاً قائمتان (ق 29 ك 1) فتكون ب ي ف ي ف د معاَ أقل من قائمتين ولا بد من التقاء ي ب و ف د إذا أُخرِجا (ق 29 ك 1) لنفرض التقائهما في غ وارسم ا غ فلأن ا س = س ي فالزاوية س ي = ي ا س (ق 5 ك 1) و ا س ي قائمة فكل واحدة من س ا ي س ي ا هي نصف قائمة (ق 33 ك 1 فرع 4) ولهذا السبب كل واحدة من س ي ب س ب ي أيضاً نصف قائمة فتكون ا ي ب قائمة. ومن حيث ان ي ب س نصف قائمة فالزاوية د ب غ أيضاً نصف قائمة (ق 15 ك 1) لانهما متقاباتان و ب د غ قائمة لانها تعدل المتبادلة د س ي (ق 29 ك 1) فالباقية د غ ب نصف قائمة وتعدل د ب غ فالضلع ب د يعدل الضلع د غ (ق 6 ك 1) ومن حيث ان ي غ ف نصف قائمة والزاوية عند ف قائمة لانها تعدل المتقابلة ي س د (ق 34 ك 1) فالباقية ف ي غ نصف قائمة وتعدل ي غ ف فالضلع ف ي يعدل الضلع ف غ (ق 6 ك 1) ولان ي س يعدل س ا ي س2 = س ا2 و ي س2 + س ا2 = 2 س ا2 و ا ي2 = ا س2 + س ي2 (ق 47 ك 1) فإذاً ا ي2 = 2 ا س2 ولان ي ف = ف غ ف2 = ف غ2 و ي ف2 + ف غ2 = 2 ي ف2 ي غ2 (ق 47 ك 1) و ي ف = س د فإذاً ي غ2 = 2 س د2 وقد تبرهن ان ا ي2= 2 ا س2 فإذا ا ي2 + ي غ2 = 2 ا س2 + 2 س د2 وا غ = ا ي2 + ي غ2 (ق 47 ك 1) فإذاً ا غ2 = 2 ا س2 + 2 س د2 و ا غ2 = ا د2 = ا د2 + د غ2 (ق 47 ك 1) = ا د2 + د ب2 فإذا ا د2 + د ب2 = 2 1 س2 + 2 س د2

تعليقة. إذا فرضنا ان ا س = ا و ب د = ب و ا د = 2 ا + ب و س د = ا + ب فلنا (2 ا + ب)2 + ب2 = 4 ا2 + 4 ا ب + 2 ب2 ولكن 4 ا2 4 ا ب + 2 ب2 = 2 ا2 + 2(ا + ب)2 فإذاً (2 ا + ب)2 + ب2 = 2 ا2 + 2 (ا + ب)2 

علينا ان نقسم خطَّا مستقيماً مفروضاُ إلى قسمين حتى يعدل القائم الزوايا مسطحُ الكل في احد القسمين مربعَ القسم الآخر

ليكن ا ب الخط المستقيم المفروض فعلينا ان نقسمه إلى قسمين حتى يعدل القائم الزوايا مسطح ا ب في احد قسميهِ مربعَ القسم الآخر. ارسم على ا ب المربع ا ب د س (ق 46 ك 1) ونَصِّفْ ا س في ي (ق 10 ك 1) ارسم ب ي واخرج س ا إلى ف واجعل ي ف حتى ي ف يعدل ي ب (ق 3 ك 1) وعلى ا ف ارسم المربع ف غ ح ا (ق 46 ك 1) فقد انقسم ا ب في ح حتى يعدل القائمُ الزوايا ا ب × ب ح مربعَ ا ح

أخرج غ ح إلى ك. فمن حيث ان ا س قد تنصف في ي ثم أخرج إلى ف فالقائم الزوايا س ف × ف ا مع مربع ا ي يعدل مربع ي ب ولكن مربع ي ب يعدل مربع ب ا مع مربع ا ي (ق 47 ك 1) لان ب ا ي قائمة فالقائم الزوايا س ف × ف ا مع مربع ا ي يعدل مربع ب ا مع مربع ا ي. أطرح المشترك مربع ا ي فالباقي القائم الزوايا س ف × ف ا يعدل مربع ا ب و س ف × ف ا يعدل الشكل ف ك لان ف ا = ف غ و ا د يعدل مربع ا ب فالشكل ف ك يعدل ا د اطرح الجزء المشترك ا ك فالباقي ف ح يعدل الباقي ح د ولكن ح د = ا ب × ب ح لأَنَّ ا ب = ب د و ف ح هو مربع ا ح فالقائم الزوايا ا ب × ب ح يعدل مربع ا ح فقد انقسم ا ب إلى قسمين في ح والقائم الزوايا ا ب × ب ح يعدل مربع ا ح

 في كل مثلثٍ ذي زواية منفرجة إذا رُسِم عمودٌ من احدى الحادَّتين على الضلع المقابل بعد اخراجهِ فمربع الذي يقابل المنفرجة هو اكبر من مربعَي المحيطيَن بالمنفرجة بمضاعف القائم الزوايا مسطَّح الضلع الذي وقع عليه العمود في الجزءِ المزيد أي الواقع بين النفرجة والعمود   

ليكن ا ب س مثلثاً ذا زاوية منفرجة ا س ب وليقع عمود من ا إلى ا د على ب س بعد اخراجهِ إلى د (ق 12 ك 1) فمربع ا ب هو أكبر من مربعَي ا س و س ب بمضاعف القائم الزوايا ب س × س د

فمن حيث ان ب د قد انقسم إلى قسمين في س فلنا (ق 4 ك 2) ب د2 = ب س2 + س د2 + ا د2 + 2 × ب س × س د ولكن ا ب2 = ب د2 + ا د2 (ق 47 ك 1) و ا س2 = س د2 + ا د2 فإذاً ا ب2 = ب س2 + ا س2 + 2 ب س × س د أي ا ب2 هو أكبر من ب س2 + ا س2 بمسطح 2 ب س × س د

في كل مثلث مربع الضلع المقابل احدى الزوايا الحادَّة هو أصغر من مربعي الضلعين المحيطين بها بمضاعف القائم الزوايا مسطح احد هذين الضلعين في الجزء منهُ الواقع بين الزاوية الحادَّة وعمودٍ عليه من الزاوية المقابلة

ليكن ا ب س مثلثاً ولكن الزاوية عند ب أحدى زواياه الحادَّة وليقع على الضلع ب س منهُ عمودٌ ا د من الزاوية المقابلة (ق 12 ك 1) فمربع الضلع ا س الذي يقابل الزاوية عند ب هو أصغر من مربعي س ب ب ا بمضاعف
القائم الزوايا س ب × ب د

أولاً ليقع العمود ا د داخل المثلث ا ب س فلأَّنَّ الخط المستقيم س ب قد انقسم في د فلنا (ق 7 ك 2) ب س2 + ب د2  = 2 ب س × ب د + س د2 اضف إلى الجانبين ا د2 = فلنا ب س2 + ب د2 + ا د2 = 2 ب س × ب د + س د2 + ا د2 ولكن ب د2 + ا د2 = ا ب2 و س د2 + د ا2 = ا س2 (ق 47 ك 1) فإذاً ب س2 + ا ب2 = 2 ب س × ب د + ا س2 أي ا س2 هو أصغر من ب س2 + ا ب2 بمسطح 2 ب س × ب د

ثانياً ليقع العمود ا د خارج المثلث ا ب س (انظر شكل القضية السابقة) فمن حيث أن الزاوية عند د هي قائمة فالزاوية ا س ب هي أكبر من قائمة (ق 16 ك 1) و ا ب2 = (ق 12 ك 2) ا س2 + ب س2 + 2 ب س × س د اضف إلى الجانبين ب س2 فلنا ا ب2 + ب س2 + ا س2 + 2 ب س2 + 2 ب س × س د ومن حيث ان الخط ب د قد انقسم في س فلنا (ق 3 ك 2) ب س2 + ب س × س د = ب س × ب د و 2 ب س2 + 2 ب س × س د = 2 ب س × ب د فإذاً ا ب2 + ب س2 = ا س2 + 2 ب س × ب د وا س2 هو أصغر من ا ب2 + ب س2 بمسطح 2 ب د × ب س

ثالثاً ليكن الضلع ا س عموداً على ب س فيكون ب س الجزء بين العمود والزاوية الحادَّة عند ب والامر واضح (ق 47 ك 1) ان ا ب2 + ب س2 = ا س2 + 2 ب س2 = ا س2 + 2 ب س × ب س

علينا ان نرسم مربَّعاً يعدل شكلاً مفروضاً ذا اضلاع مستقيمة

زوايا قائمة ب ي د س واجعلهُ يعدل (ق 45 ك 1) فان كان ضلعاهُ ب ي ي د متساويين فهو المربع المطلوب وإلا فاخرج ب ي إلى ف واجعل ي ف يعدل ي د ونَصِّفْ ب ف في غ ومن المركز وعلى البعد غ ف أو غ ب ارسم دائرة ب ح ف وأخرج د ي إلى ح وارسم ح غ فلانَّ الخط المستقيم ب ف قد انقسم إلى قسمين متساويين في غ وغير متساويين في ي فالقائم الزوايا ب ي × ي ف مع مربع ي غ يعدل مربع غ ف (ق 5 ك 2) و غ ف يعدل غ ح فالقائم الزوايا ب ي × ي ف مع مربع ي غ يعدل مربع غ ح ومربع غ ح يعدل مربع ح ي مع مربع ي غ أطرح المشترك مربع ي غ فالباقي القائم الزوايا ب ي × ي ف يعدل مربع ح ي و ب د يعدل ب ي × ي ف لان ي د = ي ف فالشكل ب د يعدل مربع ح ي و ب د يعدل الشكل ا فمربع ح ي يعدل الشكل ا فإذا رُسم على ح ي مربعٌ فهو يعدل الشكل المفروض

إذا تنصَّف ضلعٌ من أضلاع مثلثٍ فمجتمع مربَّعَي الضلعين الآخرين يعدل مضاعف مربع نصف الضلع المتنصف مع مضاعف مربع الخط المرسوم من نقطة الانتصاف إلى الزاوية المقابلة

ليكن ا ب س مثلثاً ولينصف الضلع ب س منهُ في د وارسم د ا إلى الزاوية المقابلة فمجمتمع مربعي ب ا ا س يعدل مضاعف مربًّعي ب د د ا

من ا ارسم ا ي عموداً على ب س فمن حيث أن ب ي ا قائمة ا ب2 (ق 47 ك 1) = ب ي2 + ي ا2 و ا س2 = س ي2 + ي ا2 و ا ب2 + ا س2 = ب ي2 + س ي2 + 2 ا ي2 ومن حيث أن الخط المستقيم ب س قد انقسم إلى قسمين متساويين في د وغير متساويين في ي فلنا (ق 9 ك 2) ب ي2 + س ي2 = 2 ب د2 + 2 د ي2 فإذاً ا ب2 + ا س2 = 2 ب د2 + 2 د ي2 + 2 ا ي2.

ولكن د ي2 + ا ي2 = ا د2 (ق 47 ك 1) و د ي2 = 2 ا د2 فإذاً ا ب2 + ا س2 = 2 ب د2 + 2 ا د2

في كل ذي أضلاع متوازية مجتمع مربَّعَي القطرين يعدل مجتمع مربعات الاضلاع

ليكن ا ب س د شكلا متوازي الاضلاع فمجتمع مربعي القطرين ا س ب د يعدل مجتمع مربعات الاضلاع ا ب ب س س د د ا

لتكن النقطة ي موضع تقاطع القطرين. فمن حيث أن الزاويتين المتقابلتين ا ي د س ي ب هما متساويتان (ق 15 ك 1) والمتبادلتان ي ا د ي س ب متساويتان أيضاً (ق 29 ك 1) والمتبادلتان ي ا د ي س ب متساويتان أيضاً (ق 29 ك 1) فلنا في المثلثين ا د ي س ي ب زاويتان من الواحد تعدلان زاويتين من الآخر والضلعان اللذان يقابلان الزاويتين المتساويتين متساويان أي ا د و ب س (ق 34 ك 1) فالضلعان الآخران متساويان (ق 26 ك 1) أي ا ي = ي س و ي د = ي ب

فمن حيث أن ب د قد تنصف في ي لنا (ق 1 ك 2) ا ب2 + ا د2 = 2 ب ي2 + 2 ي ا2 وهكذا أيضاً د س2 + س ب2 = 2 ب ي2 + 2 ي س2 = 2 ب ي2 + ا ي2 لانَّ ي س = ا ي فإذاً ا ب2 + ا د2 + د س2 + س ب2 = 4 ب ي2 + 4 ا ي2 و 4 ب ي2 = ب د2 و 4 ا ي2 = ا س2 (فرع 2 ق 8 ك 2) لانَّ ب د و ا س قد تنصَّفا في ي فإذاً ا ب2 + ا د2 + د س2 + س ب2 = ب د2 + ا س2

فرعٌ. في كل شكل متوازي الاضلاع أحد القطرين ينصّف الآخر

تعليقة. لو كان الشكل معيَّناً لكان ا ب ب س متساويين والثلثان ب ي س د ي س متساويين أيضاً لانَّ أضلاع الواحد تعدل أضلاع الآخر أي كل ضلع في الواحد يعدل نظيره في الآخر وكانت الزاويتان ب ي س د ي س متساويتين. وفي شكل معين كل واحد من القطرين هو عمودٌ على الآخر