كتاب في الأصول الهندسية/الكتاب الثالث
نصف قطر دائرة هو خطٌ مستقيم مرسوم من المركز إلى المحيط
 مماسُّ دائرةٍ هو خط مستقيم يلاقي المحيط في نقطة واحدة وإذا أخرج فلا يقطعها. وتلك النقطة تسمى نقطة المماسَّة
 إذا التقى محيطا دائرتين بدون أن يتقاطعا يقال أن الدائرة الواحدة تمسُّ الاخرى
 خطوط مستقيمة على بُعد واحد من المركز دائرة هي التي كانت العموديَّات منها إلى المركز متساوية
 والخط المستقيم الذي يقع عليهِ العمود الاطول هو الابعد عن المركز 
 القوس هو جزء من محيط دائرة. والخط المستقيم الموصل بين طرفَي قوسٍ يسمى وَتًراً
 متى كان طرفاً خط مستقيم في محيط دائرة قيل أنه مرسوم في الدائرة وكل خط مستقيم يلاقي المحيط في نقطتين يسمى قاطعاً
 كل جزء من دائرة يحيط بهِ قوسٌ ووترهُ يسمى قِطْعَةً
 زاويةٌ في قطعة هي الحادثة بين خطين مستقيمين مرسومين من أية نقطة كانت من القوس إلى طرفَي الوتر. ومثلث في دائرة هو ما كانت زواياهُ الثلاث في المحيط. وعلى الاطلاق كل شكل في دائرة هو ما كانت زواياهُ في المحيط. ويقال أن الدائرة تحيط بهِ
 الزاوية عند المركز هي التي يحيط بها خطان مستقيمان من المركز إلى المحيط
 قِطاع دائرة هو الشكل الذي يحيط بهِ خطان مستقيمان من المركز إلى المحيط والقوسُ الواقع بين طرفيهما
 القِطَع المتشابهة هي ما كانت الزوايا الحادثة فيها متساوية

علينا أن نجد مركز دائرة مفروضة
لتكن ا ب س الدائرة المفروضة. علينا أن نجد مركزها أرسم فيها خطّاً مستقيماً مثل ا ب ونصفه في د (ق 1 ك 1) ارسم د س عموداً على ا ب (ق 11 ك 1) واخرجهُ إلى ي ونَصِّفْ س ي في ق فتكون النقطة ق مركز الدائرة ا ب س

والاَّ فلتكن النقطة غ مركزها وارسم غ ا غ د غ ب. فمن حيث ان د ا = د ب و د غ مشترك بين المثلثين غ د ا غ د ب فالضلعان ا د يعدلان الضلعين ب د د غ أي كل واحد يعدل نظيره والقاعدة غ ا تعدل القاعدة غ ب لان كل واحدة منهما نصف قطر من دائرة واحدة فالزاوية ا د غ = غ د ب (ق 8 ك 1) فتكون كل واحدة منهما قائمة (حد 7 ك 1) فإذاً غ د ب قائمة ولكن ق د ب قائمة فإذاً غ د ب = ق د ب أي الأصغر يعدل الأكبر وذاك محال فلا تكون النقطة غ مركز الدائرة وهكذا يبرهن في كل نقطة ما عدا النقطة ق فهي اذاً مركز الدائرة ا ب س

فرع. يتضح من هذه القضية أنهُ إذا كان خطٌّ عمودياً على اخر في دائرة ونصفه فالمركز في الخط المُنَصِّف

إذا فرضت نقطتان في محيط دائرة فالخط المستقيم الموصل بينهما واقعٌ داخل الدائرة

لتكن ا ب س دائرة ولتفرض في محيطها نقطتان مثل ا و ب وليوصل بينهما بالخط المستقيم ا ب فهو داخل الدائرة

في الخط ا ب أفرض أية نقطة كانت مثل ي واستعلم د مركز الدائرة ا ب س (ق 1 ك 3) وارسم الخطوط المستقيمة ا د د ب د ي واخرج د ي حتى يلاقي المحيط في ف فمن حيث أن د ا = د ب فالزاوية د ا ب = الزاوية د ب ا (ق 5 ك 1) ومن حيث أن ا ي ضلع من المثلث د ي ا وقد أُخرج إلى ب فالزاوية الخارجة د ي ب هي أكبر من د ا ي (ق 16 ك 1) فهي أكبر من د ب ا أيضاً أو د ب ي والزاوية الكبرى يقابلها الضلع الاطول (ق 19 ك 1) فإذاً د ب هو أطول من د ي ولكن د ب = د ف فإذاً د ف هو أطول من د ي أي النقطة ي هي داخل الدائرة وهكذا يبرهن في كل نقطة في الخط ا ب فهو اذاً داخل الدائرة

فرع. كل نقطة في ما يزاد على ا ب خارج الدائرة

كل خطٌ مستقيم مار بمركز دائرة إذا نصَّف خطَّا آخر مستقيماً داخل الدائرة غير مار بالمركز فإنهُ يُحدِث معهُ قائمتين. وإذا احدث معهُ قائمتين ينصفهُ

لتكن ا ب س دائرة و س د خطَّا مستقيماً ماراً بمركزها ولينصف الخط المستقيم ا ب الذي لا يمر بالمركز في النقطة فإنه يحدث معهُ قائمتين

استعلم مركز الدائرة ي (ق 1 ك 3) وارسم ا ي ب ي فمن حيث ان ا ق = ق ب و ي ق مشترك بين المثلثين ا ق ي ب ق ي فضلعان من الواحد يعدلان ضلعين من الاخر والقاعدة ا ي تعدل القاعدة ي ب والزاوية ا ق ي تعدل الزاوية ب ق ي (ق 8 ك 1) فكل واحدة منهما قائمة (حد 7 ك 1) فالخط المستقيم د س الذي يمر بمركز الدائرة والذي ينصف الغير المار بالمركز ا ب يحدث معهُ قائمتين

ثم لنفرض ان الخط المستقيم س د يحدث مع ا ب قائمتين فهو ينصفهُ أيضاً أي ا ق يعدل ق ب. تمم الشكل حسبما تقدم فمن حيث ان ا ي يعدل ي ب فالزاوية ي ا ق تعدل ي ب ق (ق 5 ك 1) والقائمة ا ق ي تعدل القائمة ب ق ي والضلع ي ق مشترك بين المثلثين ا ق ي ب ق ي وهو يقابل الزاويتين المتساويتن (ق 26 ك 1) فالمثلثان متساويان والضلع الباقي من الواحد يعدل الباقي من الاخر أي ا ق = ق ب

فرع اول. العمود على نصف الوتر يمر بالمركز

فرع ثان. العمود على نصف الوتر إذا أخرج حتى يلاقي المحيط من طرفيهِ فهو قطر. ونقطة انتصافهِ هي مركز الدائرة

إذا تقاطع خطان مستقيمان في دائرة ولا يمرَّان بالمركز فلا يتنصفان معاً

لتكن ا ب س د دائرة و ا س ب د خطَّين مستقيمين فيها يتقاطعان في النقطة ي ولكن لا يمرَّان بالمركز فلا ينصف بعضهما بعضاً وإلا فاذا كان يمكن ليكن ا ي ي س متساويين و ب ي ي د كذلك. فان مر أحدهما بالمركز فالامر واضح انهُ لا يتنصَّف بالاخر الذي لا يمر بالمركز. وان لم يمر أحدهما بالمركز فاستعلم المركز ق (ق 1 ك 3) وارسم ق ي فمن حيث أن الخط المار بالمركز ق ي ينصف اخر الذي لا يمر بالمركز ا س فيحدث معهً قائمتين (ق 3 ك 3) فتكون ق ي ا قائمة. ومن حيث ان ق ي ينصف ب د الذي لا يمر بالمركز  فيحدث معهُ قائمتين (ق 3 ك 3)  فتكون ق ي ب قائمة و ق ي ا تعدل ق ي ب أي الاصغر يعدل الأكبر وذاك محال فاذاً ا س ب د لا ينصف بعضهما بعضاً

إذا تقاطعت دائرتان لا يكون لهما مركز واحد

فمن حيث ان ي مركز الدائرة ا ب س فنصف القطر ي س يعدل نصف القطر ي ق. وإيضاً من حيث ان ي مركز الدائرة س د غ فنصف القطر ي س يعدل نصف القطر ي غ. وقد تبرهن ان س ي يعدل ي ق فاذاً ي ق يعدل ي غ أي الجزء يعدل الكلَّ وذاك محال فلا يمكن ان تكون النقطة ي مركز الدائرتين

إذا مسَّت دائرةٌ دائرةً اخرى من داخلها فلا يكون لهما مركزٌ واحدٌ 

لتكن ا ب س د ي س دائرتين ولتمس احداهما الاخرى في س فلا يكون لهما مركز واحد

وإلاَّ فلتكن النقطة ق مركزهما. ارسم ق س وارسم خطَّا آخر مثل ق ي ب يلاقي المحيطين في ي و ب. فمن حيث ان ق مركز الدائرة ا ب س فنصف القطر ق س يعدل نصف القطر ق ب. وأيضاً لان ق مركز الدائرة د ي س فنصف القطر ق س يعدل نصف القطر ق ي. وقد تبرهن ان ق س يعدل ق ب فإذاً ق ي يعدل ق ب أي الجزء يعدل الكل وذاك محال فلا تكون النقطة ق مركز الدائرتين

إذا فرضت نقطة في قطر دائرة غير المركز فاطول الخطوط المستقيمة التي يمكن رسمها من تلك النقطة إلى المحيط هو الذي يقع فيهِ المركز أي قسم القطر. واقصرها هو القسم الاخر من القطر واما بقية الخطوط التي ترسم من تلك النقطة إلى المحيط فالاقرب إلى القسم من القطر المارّ بالمركز هو الاطول ولا يُرسم من تلك النقطة إلى المحيط أكثر من خطَّين متساويين أي واحد على الجانب الواحد من القطر والاخر على الجانب الآخر منهُ

لتكن ا ب س ك دائرة و ا د قطرها ولنفرض فيه نقطة ف غير المركز ولتكن ي المركز فبين كل الخطوط التي يمكن رسمها من ف إلى المحيط فالخط ف ا هو الاطول و ف د هو الاقصر ومن البقية فالخط ف ب أطول من ف س و ف س أطول من ف غ وهلم جرَّا. ارسم ب ي غ ي فمن حيث ان ضلعين من اضلاع مثلث هما معاً أطول من الثالث (ق 20 ك 1) فالضلعان ب ي ي ف هما أطول من ب ف و ا ي يعدل ب ي فإذاً ا ي ي ف مشترك بين المثلثين ب ي ف س ي ف فالضلعان ب ي ي ف يعدلان س ي ي ف ولكن الزاوية ب ي ف هي أكبر من س ي ف فالقاعدة ب ف هي أطول من القاعدة س ف (ق 24 ك 1) ولهذا السبب س ف أطول من ع ف. وأيضاً من حيث أن غ ف ف ي هما معاً أطول من غ ي (ق 20 ك 1) و ي غ يعدل ي د فإذاً غ ف ف ي معاً هما أطول من د ي أطرح الجزء المشترك ف ي فالبقية غ ف أطول من البقية د ف فإذاً ف ا هو اطول الخطوط التي يمكن رسمها من ف إلى المحيط و ف د أقصرها و ف ب أطول من ف س و ف س أطول من ف غ وهلمَّ جرَّا

كذلك لايمكن أن يُرسَم من ف إلى المحيط على جانبي ف د أكثر من خطين متساويين. عند ي أجعل الزاوية ف ي ح حتى تعدل غ ي ف وارسم ف ح. فمن حيث ان غ ي يعدل ي ح و ي ف مشترك بين المثلثين غ ي ف ح ي ف فالضلعان غ ي ي ف معاً يعدلان ح ي ي ف والزاوية غ ي ف تعدل ح ي ف فالقاعدة ف غ تعدل القاعدة ف ح (ق 4 ك 1) ولا يمكن أن يُرسَم خط اخر غير ف ح يعدل ف غ من ف إلى المحيط وإلا فليكن ذلك الخط الآخر ف ك فمن حيث ان ف ك يعدل ف غ و ف غ يعدل ف ح فإذاً ف ك يعدل ف ح أي الخط الاقرب إلى الذي يمر بالمركز يعدل الأبعد وذلك لا يمكن كما تقدم برهانه

إذا فرضت نقطة خارج دائرة ورسم منها خطوط مستقيمة إلى المحيط ومرَّ احدها بالمركز فاطول الخطوط الواقعة على مقعر الدائرة هو المار بالمركز ومن البقية فالاقرب إلى المار بالمركز هو أطول من الابعد عنهُ ومن الخطوط الواقعة على محدَّب الدائرة فالاقصر هو أقصر من الابعد عنهُ. ولا يرسم اكثر من خطين متساويين من النقطة المفروضة إلى المحيط وذلك على جانبي الخط الاقصر

لتكن ا س ن دائرة و د نقطة مفروضة خارجها ولترسم الخطوط المستقيمة د ا د ي د ق د س إلى المحيط وليمر الخط د ا بالمركز. فمن الخطوط الواقعة على محدَّب المحيط ح ل ك غ فالاقصر هو د ع بين النقطة المفروضة د والقطر هو د ع بين النقطة المفروضة د والقطر ا غ والاقرب إلى هذا يعني د ك هو أقصر من د ل و د ل أقصر من د ح وهلمَّ جرَّا

استعلم م مركز الدائرة (ق 1 ك 3) وارسم م ي م ق م س م ح م ل م ك. فمن حيث ان م ا يعدل م ي فاذا أضيف م د إلى كل واحد منهما لنا د ا يعدل د م مع م ي و د م و م ي هما أطول من د ي (ق 20 ك 1) فإذاً د ا هو أطول هذه الخطوط و د ي هو أطول من د ق و د ق أطول من د س. فإذاً د ا هو أطول هذه الخطوط و د ي هو أطول من د ق و د ق أطول من د س. ثم من حيث ان م ك ك د هما أطول من م د (ق 20 ك 1) و م غ يعدل م ك فالبقية ك د هي أطول من البقية غ د (أولية 5) اعني د غ هو أقصر من د ك ومن حيث ان م ك د ك قد رُسما إلى النقطة ك داخل المثلث م ل د وذلك من م و د طرفي قاعدتهِ م د فالخطان م ك ك د معاً هما أقصر من م ل ل د معاً (ق 21 ك 1) و م ك يعدل م ل فالبقية ك د هي أقصر من البقية ل د وهكذا يبرهن ان د ل هو أقصر من د ح وهلمَّ جرَّا 

كذلك لا يُرسم إلا خطان متساويان من د إلى المحيط وذلك على جانبي الاقصر فعند النقطة م من الخط م د أجعل الزاوية د م ب حتى تعدل د م ك وارسم د ب فلنا في المثلثين ك د م ب د م الضلعان المتساويان ب م ك م والضلع المشترك د م والزاوية ب م د تعدل الزاوية ك م د فالضلع الاخر د ك يعدل الاخر د ب (ق 4 ك 1) ولا يُرسم خط أخر غير د ب حتى يعدل د ك أعني من د إلى المحيط

وان كان ممكناً فليكن د ن ذلك الخط فمن حيث ان د ن يعدل د ك و د ك يعدل د ب فإذاً د ن يعدل د ب يعني الاقرب إلى د غ يعدل الابعد عنهُ وقد تبرهن أن ذاك غير ممكن 

إذا فُرِضَتْ داخل دائرة نقطةٌ يُرسم منها إلى المحيط أكثر من خطين مستقيمين متساويين فتلك النقطة هي مركز الدائرة

لتفرض النقطة د في الدائرة ا ب س التي منها يقع على المحيط أكثر من خطين مستقيمين متساويين د ا د ب د س فالنقطة د هي مركز الدائرة. وإلا فلتكن النقطة ي المركز. أرسم د ي واخرجهُ إلى المحيط في ف و غ فيكون الخط ف غ قطراً ومن حيث أنهُ قد تعيَّن في القطر نقطة اعني د التي ليست هي مركز الدائرة فالخط د ف هو أطول الخطوط التي يمكن رسمها من تلك النقطة إلى المحيط (ق 7 ك 3) و د س هو أطول من د ب و د ب أطول من د ا وقد فُرضت مساواتها فذاك محال فإذاً لا يمكن أن تكون ي المركز وهكذا يبرهن في كل نقطة غير د. فهي المركز

لا يمكن ان تقطع دائرةٌ دائرةً اخرى في اكثر من نقطتين

ان كان ممكناً ليقطع المحيطُ ف ا ب المحيطَ د ي ف في أكثر من نقطتين أعني في ب و غ و ف. استعلم ك مركز الدائرة ا ب س وارسم ك ب ك غ ك ف. فمن حيث أنهُ قد تعينت النقطة ك داخل الدائرة د ي ف ووقع منها على المحيط أكثر من خطين الدائرة د ي ف ووقع منها على المحيط أكثر من خطين مستقيمين متساويين أعني ك ب ك غ ك ف فهي أعني ك مركز الدائرة د ي ف (ق 9 ك 3) وهي أيضاُ مركز ا ب س أي دائرةٌ تقطع دائرةً اخرى ولهما مركز واحد وذاك لا يمكن (ق 5 ك 3) فلا يمكن تقطع دائرةٌ دائرةً اخرى في أكثر من نقطتين

إذا مسَّت دائرةٌ دائرةً اخرى من داخلها فالخط المستقيم الموصل بين مركزيهما إذا أخرج يمرُّ بنقطة المماسَّة

لتكن ا ب س ا د ي دائرتين ولتمس احداهما الاخرى في النقطة ا وليكن ق مركز الدائرة ا ب س و غ مركز الدائرة ا د ي فالخط الوصل بين ق و غ ا د أخرج يمر بنقطة المماسة ا 

وإلا فليقع على نقطة أخرى أن كان ممكناً مثل الخط ق غ د ح. ثم ارسم ا غ ا ق. فمن حيث ان الضلعين ا غ غ ق هما معاً اطول من ا ق (ق 20 ك 1) او ق ح لانَّ ق ح ق ا نصفا قطرٍ لدائرة واحدة فإذا طرح الجزء المشترك ق غ فالباقي غ ا يعدل الباقي غ ح ولكن ا غ يعدل غ د فإذاً غ د يعدل غ ح اعني الجزء يعدل الكل وذاك محال. فالخط الموصل بين المركزين لا يمكن وقوعهُ مثل الخط ق غ د ح وهكذا يبرهن في كل خط ما عدا الذي يقع على النقطة ا

فرعٌ اول. إذا مست دائرةٌ دائرةً اخرى من داخلها فالبعد بين مركزيهما يعدل فضلة نصفي قطريهما لان المحيطين يمرَّان بنقطة واحدة في الخط الموصل بين المركزين

فرعٌ ثانٍ. بالقلب إذا عدل البعدُ بين المركزين فضلة نصفي القطرين فالدائرة الواحدة تمسُّ الاخرى من داخلها

إذا مسَّت دائرةٌ دائرةً اخرى من خارجها فالخط المستقيم الموصل بين مركزيهما يمرُّ بنقطة المماسَّة

لتكن ا ب س ا د ي دائرتين ولتمس أحداهما الاخرى ا وليكن ق مركز الدائرة ا ب س وليكن غ مركز الدائرة ا د ي فالخط المستقيم الموصل بين ق و غ يمر بنقطة المماسة

وإلا فليقع على نقطة المماسة مثل الخط ق س د غ ارسم ا غ ا. فمن حيث ان ق مركز الدائرة ا ب س فالخط ق س يعدل ق ا و غ مركز ا د ي فالخط غ د يعدل غ ا فإذاً غ ا ا ق معاً يعدلان ق س غ د معاً فالكل ق غ أطول من ق ا ا غ معاً وذلك لا يمكن (ق 20 ك 1) وهكذا يبرهن في كل خط غير الذي يمر بنقطة المماسة

فرعٌ. إذا مسَّت دائرةٌ دائرةً اخرى من خارجها فالبعد بين مركزيهما يعدل مجتمع نصفي قطريهما وبالقلب إذا عدل بعد مركزيهما مجتمع قطريهما فالواحدة تمس الاخرى من خارجها

دائرة لا تمس اخرى في أكثر من نقطة واحدة أن كان من داخل أو من خارج

ان كان يمكن لتمس الدائرة ي ب ق الدائرة ا ب س في أكثر من نقطة واحدة وأولاً من داخل في ب و د ارسم الخط ب د وارسم ح غ عموداً عليهِ (ق 7 وق 11 ك 1) ولينصفهُ أيضاً.

فمن حيث ان ب و د هما في محيط كل واحدة من الدائرتين فالخط المستقيم ب د واقع داخل كل واحدة منهما (ق 2 ك 3) ومركزاهما في الخط العمودي عليهِ المنصفهُ (فرع ق 1 ك 3) فإذاً غ ح يمر بنقطة المماسة (ق 11 ك 3) وهو لا يمرُّ بهما لانَّ ب و د خارجتان عن الخط المستقيم غ ح فلا يمكن ان تمس الدائرة الاخرى في أكثر من نقطة واحدة من داخل ولا يمكن ذلك من خارج. فان كان يمكن فلتمس الدائرة ا ش د الدائرة ا ش ب في ا و ش ارسم ا ش فالنقطتان ا و ش هما في محيط الدائرة ا ش د فيكون الخط ا ش كلهُ داخل ا ش د و ا ش د خارج ا ش ب فيكون ا ش خارج ا ش ب أيضاً ومن حيث ا و ش هما في محيط ا ش ب فالخط ا ش هو داخل ا ش ب (ق 2 ك 3) وقد تبرهن أنهُ خارجها وذاك محال فلا تمس دائرةٌ دائرةً اخرى من خارج في أكثر من نقطة واحدة

خطوطٌ مستقيمة متساوية في دائرةٍ هي على بعد واحدٍ من المركز وخطوط مستقيمة على بعد واحد من المركز هي متساوية

ليكن ا ب و س د خطَّين مستقيمين متساويين في الدائرة ا ب د س فهما على بعدٍ واحدٍ من المركز. استعلم المركز ي (ق 1 ك 3) وارسم ي ق ي غ عمودين على ا ب و س د وارسم أيضاً ا ي و س ي. فمن حيث ان الخط المستقيم المار بالمركز اعني ي ق يجعل مع ا ب الذي لا يمر بالمركز زاوية قائمة فهو ينصفهُ أيضاً (ق 3 ك 3) فإذاً ا ق يعدل ق ب اعني ا ب هو مضاعف ا ق. وهكذا أيضاً يبرهن أن س د مضاعف س غ. و ا ب يعدل س د فإذاً ا ق يعدل س غ. ومن حيث أن ا ي يعدل ي س فمربع ا ي يعدل مربع ي س ومجتمع مربعي ا ق ق ي يعدل مربع ا ي (ق 47 ك 1) لان ا ق ي قائمة وهكذا أيضاً مجتمع مربعي س غ غ ي يعدل مربع س ي. فمربعا ا ق ق ي يعدلان مربعي س غ غ ي ومربع س غ يعدل مربَّع ا ق لان س غ يعدل ي ق فإذاً ا ب و س د هما على بعد واحد من المركز (حد 3 ك 3)

ثم إذا فرض أنهما على بعد واحد من المركز أعني أن ق ي يعدل غ ي فهما متساويان لانهُ يبرهن على ذات الاسلوب السابق ان ا ب مضاعف ا ق و س د مضاعف س غ وان مجتمع مربعي ا ق ق ي يعدل مجتمع مربَّعي س غ غ ي ومربع ق ي يعدل مربع غ ي فمربع الباقي ا ق يعدل مربع الباقي س غ و ا ق يعدل س غ و ا ب مضاعف ا ق و س د مضاعف س غ فإذاً ا ب يعدل س د   

القطر هو أطول الخطوط التي تُرسم في دائرة أما البقية فالأقرب إلى المركز أطول من الابعد عنهُ والاطول هو أقرب إلى المركز من الأقصر 

لتكن ا ب س د دائرة و ا د قطرها و ي مركزها وليكن ب س خطَّا فيها وليكن اقرب إلى المركز من الخط ف غ فالقطر ا د أطول من أي خط آخر رسم في الدائرة و ب س أطول من ف غ

أرسم ي ح عموداً على ب س و ي ك عموداً على ف غ وارسم ي ف ي ب ي س. فمن حيث أن ا ي يعدل ب ي و ي د يعدل ي س فالكل ا د يعدل ب ي مع ي س و ب ي مع ي س أطول من ب س (ق 20 ك 1) فإذاً ا د أطول من ب س

ومن حيث أن ب س أقرب إلى المركز من ف غ فالعمود ي ح أقصر من العمودي ك (حد 4 ك 3) و ب س هو مضاعف ب ح (ق 14 ك 3) و ف غ مضاعف ف ك ومجتمع مربعي ب ح ح ي يعدل مجتمع مربعي ف ك ك ي ومربع ي ح أصغر من مربع ي ك فيكون مربع ح ب أكبر من مربع ك ف فإذاً ب ح أطول من ك ف و ب س أيضاً أطول من ف غ

ثم ليُفرّض ان ب س اطول من ف غ فهو أيضاً أقرب إلى المركز منهُ فمن حيث ان ب س أطول من ف غ فإذاً ب ح أطول من ف ك ومجتمع مربعي ف ك ك ي يعدل مجتمع مربَّعي ب ح ح ي ومربع ب ح أكبر من ف ك فيكون مربع ي ح أصغر من مربع ب ح ح ي ومربع ب ح أكبر من ف ك فيكون مربع ي ح أصفر من مربع ي ك أعني ي ح أقصر من ي ك فإذاً (حد 4 ك 3) ب س أقرب إلى المركز من ف غ

فرعٌ. الوتر الاقصر هو الابعد عن المركز وبالقلب الوتر الابعد عن المركز هو الاقصر

الخط المستقيم العمودي على طرف قطر دائرة هو واقعٌ خارج الدائرة ولا يرسم خط مستقيم من طرف القطر بين ذاك العمود ومحيط الدائرة بدون أن يقطع المحيط

لتكن ا ب س دائرة و د مركزها و ا ب قطرها وليُرسَم ا ي عموداً على ا ب من النقطة ا فهو واقع خارج الدائرة

عين في ا ي أية نقطة شئت مثل ق وارسم ق د الذي يقطع المحيط في س. فمن حيث ان د ا ق قائمة فهي اكبر من ا ق د (ق 32 ك 1) والزاوية الكبرى يقابلها الضلع الاطول (ق 19 ك 1) فإذاً د ق أطول من د ا و د ا يعدل د س

فإذاً د ق أطول د س فالنقطة ق واقعة خارج الدائرة وهي أية نقطة كانت من الخط ا ي فهو اذاً خارج الدائرة

كذلك لا يُرسم بين ي ا والمحيط خطٌ مستقيم من النقطة ا الذي لا يقطع المحيط. ارسم غ ا في الزاوية د ا ي. وارسم د ح عموداً على ا غ. فمن حيث ان د ح ا قائمة و د ا ح أصغر من قائمة فالضلع د ح أقصر من الضلع د ا (ق 19 ك 1) فالنقطة ح هي داخل الدائرة فالخط ا غ قاطع الدائرة

فرع أول. الخط العمودي على طرف قطر دائرة هو يمسُّ الدائرة ويمسها في نقطة واحدة فقط لانهُ لو لاقاها في نقطتين لوقع داخل الدائرة (ق 2 ك 3) اكثر من مماسٍ واحد في نقطة واحدة من الدائرة

فرع ثانٍ. العمود على طرف القطر هو مماس للدائرة وبالقلب المماس عمودي على طرف القطر

فرع ثالث. مماسان من طرفي القطر هما متوازيان (فرع ق 28 ك 1) وبالقلب مماسان متوازيان هما عموديان على طرفي القطر

علينا ان نرسم خطَّا مستقيماً من نقطة مفروضة في محيط دائرة أو خارج المحيط حتى يماس دائرةً مفروضة

أولاً لتكن ا النقطة المفروضة خارج الدائرة ب س د فعلينا ان نرسم منها خطاً مستقيماً يماس الدائرة

استعلم المركز ي (ق 1 ك 3) وارسم ا ي واجعل ي مركزاً و ي ا نصف قطر وارسم الدائرة ا ف ج ومن د ارسم د ف عموداً على ى ا (ق 11 ك 1) وارسم ي ب ف وأيضاً ا ب فالخط ا ب يماس الدائرة

لان ي مركز الدائرتين ب س د ا ف ج فنصف القطر ي ا يعدل ي ف و ي د يعدل ي ب فالضلعان ا ي ي ب يعدلان الضلعين ف ي ي د ولهما الزاوية عند ي المشتركة بين المثلثين ا ي ب ف ي د فالقاعدة ا ب تعدل القاعدة د ف والمثلث ا ي ب يعدل المثلث ف ي د وبقية زوايا الواحد تعدل بقية زوايا الآخر (ق 4 ك 1) فالزواية ي ب ا تعدل ي د ف ولكن ي د ف قائمة فإذاً ي ب ا قائمة أيضاً والخط ي ب قد رُسم من المركز و ا ب عمود عليهِ فهو إذاً مماس (فرع 2 ق 16 ك 3) وقد رسم من النقطة المفروضة

ثم إذا كانت النقطة المفروضة في محيط الدائرة مثل د فارسم د ي إلى المركز ي وارسم د ف عموداً على طرفهِ فهو مماس (فرع اول ق 16 ك 3)

تعليقة. متى كانت النقطة ا خارج المحيط يرسم مماسان متساويان منها لانهُ إذا أخرج المماس ف د حتى يلاقي المحيط ا ج ثم إذا رُسم خط من المركز إلى نقطة الملاقاة وآخر من ا إلى موضع تقاطع الخط الاول والمحيط ب د س يحدث مثلث ذو قائمة يعدل ا ب ي

إذا مسَّ خطٌ مستقيم دائرة فالخط المستقيم المرسوم من المركز إلى نقطة المماسة هو عمودٌ على الخط المماس

لتكن ا س ب دائرة وليمسَّها الخط المستقيم د ي في س. استعلم المركز ق وارسم ق س فالخط المستقيم ق س أنما هو عمود على د ي وإلا فمن ق ارسم ق ب ج عموداً على د ي فتكون ق ج س قائمة فتكون ج س ق حادَّة (ق 17 ك 1) والضلع الاطول يقابل الزاوية الكبرى (ق 19 ك 1) فالضلع ق س أطول من الضلع ق ج ولكن ق س يعدل ق ب فإذاً ق ب اطول من ق ج أعني الجزء اعظم من كلهِ وذاك محال فلا يمكن أن يكون ق ج عموداً على د ي وهكذا يبرهن في كل خط ما عدا ق س فهو عمود على د ي

إذا مسَّ خطٌ مستقيم دائرةً ورُسِم من نقطة المماسة خطٌ مستقيم عمودٌ على المماس فمركز الدائرة واقع في ذلك الخط العمودي

ليكن الخط المستقيم د ي مماسَّا للدائرة ا ب س ومن نقطة المماسَّة س ليرسم س ا عموداً على د ي فمركز الدائرة واقع في الخط س ا

وإلا فلتكن ق المركز ارسم ق س فحسب القضية السابقة ق س هو عمودٌ على د ي و ق س ي قائمة ولكن ا س ي أيضاً قائمة فإذاً ا س ي تعدل ق س ي أعني الكل يعدل جزءهُ وذاك محال فلا يمكن أن تكون ق المركز وهكذا يبرهن في كل نقطة لا تقع في الخط س فالمركز واقع في الخط س ا

الزاوية عند مركز دائرة هي مضاعف الزاوية عند المحيط إذا كانتا على قاعدة واحدة أعني على جزء واحدٍ من المحيط

لتكن ا ب س دائرة و ب د س الزاوية عند المركز و ب ا س الزاوية عند المحيط وكلتاهما على جزء واحدٍ من المحيط ب س فالزاوية ب د س إنما هي مضاعف ب ا س

أولاً ليكن د مركز الدائرة داخل الزاوية ب ا س ارسم ا د واخرجهُ إلى ي. فمن حيث أن د ا يعدل د ب فالزاوية د ا ب تعدل الزاوية د ب ا (ق 5 ك 1) فالزاويتان د ب ا د ا ب هما معاً مضاعف د ا ب والزاوية ب د ي تعدل د ا ب د ب ا معاً (ق 32 ك 1) فإذاً ب د ي هي مضاعف د ا ب وهكذا يبرهن ان ي د س فالكل ب د س مضاعف الكل ب ا س

ثم ليكن المركز خارج الزاوية ب ا س. ارسم ا د واخرجهُ إلى ي. فيبرهن كما تقدم أن الزاوية ي د س هي مضاعف د ا س وأن ي د ب جزءا من الاولى مضاعف د ا ب جزء من التالية فالباقية ب د س مضاعف الباقية ب ا س

الزوايا في قطعة واحدة من دائرة هي متساوية

لتكن ا ب س د دائرة و ب ا د ب ي د زاويتين في قطعة واحدة منها ب ا ي فهما متساويتان

استعلم ق مركز الدائرة وأولاً لتكن القطعة ب ا ي د أكبر من نصف دائرة. أرسم ب ق د ق فالزاوية ب ق د عند المركز هي مضاعف الزاوية ب ا د عند المحيط لانهما على قاعدة واحدة ب س د (ق 20 ك 3) و ب ق د أيضاً مضاعف ب ي د فإذاً س ا د تعدل ب ي د

ثم إذا كانت القطعة ب ا ي د أصغر من نصف دائرة. أرسم ا ق إلى المركز واخرجهُ إلى س وارسم س ي فالقطعة ب ا د س هي أكبر من نصف دائرة والزاويتان فيها ب ا س ب ي س متساويتان حسبما تقدم و س ب ي د أيضاً أكبر من نصف دائرة والزاويتان فيها س ا د س ي د متساويتان أيضاً فالكل ب ا د يعدل الكل ب ي د

إذا رُسِم في دائرة شكلٌ ذو اربعة ضلاع فالزاويتان المتقابلتان منهُ يعدلان معاً قائمتين

ليكن ا د س ب ذا اربعة أضلاع في دائرة فكل اثنتين متقابلتين من زواياهُ تعدلان معاً قائمتين. ارسم ا س و د ب فالزاوية س ا ب تعدل س د ب (ق 21 ك 3) والزاوية ا س ب تعدل ا د ب فالكل ا د س يعدل الزاويتين س ا ب ا س ب. اضف إلى كل واحدة منهما ا ب س فلنا ا ب س مع ا د س تعدل ا ب س مع س ا ب مع ب س ا وهذه الثلاث تعدل قائمتين (ق 32 ك 1) فإذاً ا ب س ا د س معاً تعدلان قائمتين. وهكذا يبرهن أن د ا ب د س ب تعدلان قائمتين

فرعٌ اول. إذا أخرج ضلعٌ من شكل ذي أربعة أضلاع مرسوم في دائرة فالزاوية الخارجة تعدل الداخلة المتقابلة

فرعٌ ثانٍ. شكل ذو أربعة أضلاع كل زاويتين متقابلتين منهُ لا تعدلان قائمتين لا يرسم في دائرة

لا تكون قطعتان متشابهتان على جانبٍ واحدٍ من خطٍّ مستقيم بدون أن تتطابقا

أن كان ممكناً لتكن ا س ب ا د ب قطعتين متشابهتين على جانب واحد من الخط المستقيم ا ب وغير متطابقتين. فمن حيث أن الدائرتين ا د ب ا س ب تتقاطعان في ا و ب فلا يمكن أن تتقاطعا في نقطة اخرى (ق 10 ك 3) وبالضرورة تقع احدي القطعتين داخل الاخرى فلتقع ا س ب داخل ا د ب وارسم الخط ب س د وأيضاً س ا و د ا. فمن حيث أن القطعتين متشابهتان أعني تحتويان زوايا متساوية (حد 9 ك 3) فالزاوية الخارجة ا ي ب تعدل الداخلة المقابلة ا د ب وذاك لا يمكن (ق 16 ك 1)

قطع متشابهة على خطوط مستقيمة متساوية هي متساوية

لتكن ا ي ب س ق د قطعتين متشابهتين على خطين مستقيمين متساويين ا ب و س د فهما متساويتان لانهُ إذا وضعت القطعة ا ي ب على القطعة س ق د بحيث تقع النقطة ا على النقطة س والخط ا ب على الخط س د فالنقطة ب تقع على النقطة د لأن ا ب يعدل س د فبالضرورة تطبق القطعة ا ي ب على القطعة س ق د (ق 23 ك 3) فتعدلها

إذا فُرضت قطعة من دائرة  فعلينا أن نتممها

لتكن ا ب س قطعة دائرة فعلينا ان نتمم الدائرة نصف ا س في د (ق 10 ك 1) ومن د ارسم د ب عموداً على ا س (ق 11 ك 1) وارسم ا ب

ثم اولاً لتكن الزاويتان ا ب د ب ا د متساويتين فالخط ا د يعدل ب د (ق 6 ك 1) ويعدل د س أيضاً فالخطوط الثلاثة ا د د ب د س هي متساوية فتكون د مركز الدائرة (ق 9 ك 3) واذا جعلت د مركزاً وواحداً من هذه الخطوط الثلاثة نصف قطر تتم الدائرة التي كانت ا ب س قطعة منها. ومن حيث ان المركز واقع في ا س فالقطعة ا ب س انما هي نصف  دائرة 

ثم لتكن الزاويتان ا ب د ب ا د غير متساويتين ارسم الزاوية ب ا ى حتى تعدل ا ب د (ق 23 ك 1) وان لزم فاخرج ب د إلى ي وارسم ي س. فمن حيث ان ب ا ى تعدل ا ب ى فالخط ا ى يعدل ب ى (ق 6 ك 1) ومن حيث ان ا د يعدل د س و د ى مشترك بين المثلثين ا د ى س د ي فالضلعان ا د د ي يعدلان الضلعين س د د ى اعني كل واحد يعدل نظيرهُ والزاوية ا د ى تعدل س د ي لانهما قائمتان فالقاعدة ا ى تعدل القاعدة ى س (ق 4 ك 1) و ا ى يعدل ب ي حسبما تقدم فالخطوط الثلاثة ا ي ب ي س ي متساوية و ى مركز الدائرة (ق 9 ك 3) التي كانت ا ب س قطعة منها واذا كانت الزاوية ا ب د اكبر من ب ا د فالامر واضح ان المركز واقع خارج القطعة ا ب س اعني انها اصغر من نصف دائرة 

واذا كانت ا ب د أصغر من ب ا د فالمركز واقع داخل القطعة اعني هي اكبر من نصف دائرة وهكذا تتم الدائرة اذا فُرِضَت قطعة منها

زوايا متساوية في دوائر متساوية هي على اقواس متساوية ان كانت تلك الزوايا في المركز او في المحيط 

لتكن ا ب س د ي ف دائرتين متساويتين و ب غ س ي ح ف زاويتين متساويتين في المركز و ب ا س ى د ف زاويتين متساوينين في المحيط. فالقوس ب ك س يعدل القوس ي ل ف ارسم الوترين ب ي ف. فمن حيث ان الدائرتين متساويتان فالخطوط المستقيمة المرسومة من مركزيهما متساوية. فالخطًّان ب غ غ س يعدلان ي ح ح ف والزاوية ب غ س تعدل ي ح ف فالقاعدة ب س تعدل القاعدة ى ف (ق 4 ك 1) ومن حيث ان الزاوية عند ا تعدل الزاوية عند فالقطعة ب ا س تشابه القطعة ى د ف (حد 9 ك 3) وهما على الخطين المتساويين ب س ى ف والقِطَع المتشابهة على خطوط متساوية هي متساوية (ق 24 ك 3) فالقطعة ب ا س تعدل القطعة ى د ف. ولكن كل الدائرة  ب ا س تعدل الكل ى د ف فالبقية ب ك س تعدل البقية ى ل ف

زوايا واقعة على اقواس متساوية في دوائر متساوية هي متساوية ان كانت في المركز أو في المحيط 

في الدائرتين المتساويتين ا ب س د ي لتكن الزاويتان في المركز ب غ س ى ح ق والزاويتان في المحيط ب ا س ى د ق على القوسين المتساويين ب س ي ق فالزاوية ب غ س تعدل ي ح ق و ب ا س تعدل ي د ق الزاوية ب غ س اذا عدلت ي ح ق فالامر واضح (ق 20 ك 3) أن ب ا س تعدل ي د ق وإلاَّ فتكون احداهما أكبر من الاخرى. لتكن ب غ س أكبرهما وعلى النقطة غ من الخط المستقيم ب غ ارسم الزاوية ب غ ك حتى تعدل ي ح ق (ق 23 ك 1). فمن حيث ان الزوايا المتساوية عند المركز هي على اقواس متساوية (ق 26 ك 3) فالقوس ب ك يعدل القوس ي ق. وقد فُرِض ان ى ق يعدل ب س قالقوس ب ك يعدل ب س أيضاً اي الاصغر يعدل الاكبر وذاك محال. فلا يمكن ان تكون ب غ س ي ح ق غير متساويتين اي هما متساويتان. والزاوية عند ا هي نصف الزاوية ب غ س والزاوية عند د هي نصف ي ح ق فالزاوية عند ا تعدل الزاوية عند د

خطوط مستقيمة متساوية في دوائر متساوية تقطع اجزاءً متساوية الأكبر يعدل الأكبر والأصغر يعدل الأصغر

ليكن ب س ي ف خطين مستقيمين متساويين في دائرتين متساويتين ا ب س د ي ف وليقطعا القوسين الأكبرين ب ا س ي د ف والأصغرين ب ر س ي ت ف فالقوس ب ا س يعدل ي د ف و ب ر س يعدل ى ت ف 

استعلم المركزين ح و ل (ق 1 ك 3) وارسم ح ب ح س ل ى ل ف. فمن حيث ان الدائرتين متساويتان فالخطوط المستقيمة المرسومة من مركزيهما هي متساوية فالخطَّان ب ح ح س يعدلان ى ل ل ف  وقد فُرِض ان القاعدة ب س تعدل القاعدة ي ف فالزاوية ب ح س تعدل الزاوية ي ل ف (ق 8 ك 1) والزوايا المتساوية عند المركز هي على اقواس متساوية (ق 27 ك 3)  فالقوس ب ر س يعدل القوس ى ت ف والدائرة ا ب س تعدل الدائرة د ى ف  فالباقي ب ا س يعدل الباقي ي د ف

اقواس متساوية في دوائر متساوية تقابلها خطوطٌ مستقيمة متساوية 

لتكن ا ب س د ي ق  دائرتين متساويتين والقوسان ب ر س ي ت ق متساويان فالخطان المستقيان المقابلان لهما ب س ي ق أيضاً متساويان

استعلم المركزين ح و ل (ق 1 ك 3) وارسم ح ب ح س ل ي ل ق. فمن حيث ان القوس ب ر س يعدل القوس ي ت ق والزاوية ب ح س تعدل الزاوية ي ل ق (ق 27 ك 3) و ح ب ح س يعدلان ل ي ل ق لانها أَنصاف اقطار دائرتين متساويتين فالقاعدة ب س تعدل القاعدة ى ق (ق 4 ك 1)

 
علينا ان ننصَّف قوساً مفروضاً اي ان نقسمهُ إلى قسمين مماثلين

ليكن ا د ب القوس المفروض. فعلينا ان ننصفهُ ارسم ا ب ونصفه في س (ق 10 ك 1) وارسم س د عموداً على ا ب وارسم ا د د ب فقد تنصَّف القوس ا د ب في النقطة د

لان ا س يعدل س ب و س د مشترك بين المثلثين ا س د ب س د والزاوية ا س د تعدل الزاوية ب س د لأن كل واحدة منهما قائمة فالقاعدة ا د تعدل القاعدة ب د (ق 4 ك 1) والخطوط الستقيمة المتساوية تقطع اقواساً متساوية (ق 28 ك 3) والأكبر يعدل الأكبر والأصغر يعدل الأصغر وكل واحد من ا د ب د أصغر من نصف دائرة لأنَّ د س يمر بالمركز (فرع ق 1 ك 3) فالقوس ا د يعدل القوس د ب فقد تنصف ا د ب في د

تعليقة. وعلى هذه الكيمية كل واحد من النصفين ا د د ب بتنصف أيضاً فيقسم قوس مفروض إلى اربعة او ثمانية اجزاء او إلى ستة عشر جزءاً متساوية وهلمَّ جرا 

الزاوية المرسومة في نصف دائرة هي قائمة والمرسومة في قطعة أكبر من نصف دائرة هي أصغر من قائمة والمرسومة في قطعة أصغر من نصف دائرة هي أكبر من قائمة 

لتكن ا ب س د دائرة و ب س قطرها و ي مركزها. ارسم س ا الذي يقسم الدائرة إلى قطعتين ا ب س ا د س وارسم ب ا ا د د س. فالزاوية في نصف الدائرة ب ا س هي قائمة والزاوية في القطعة ا ب س التي هي أكبر من نصف الدائرة فاصغر من قائمة والزاوية في القطعة ا د س التي هي أصغر من نصف الدائرة فأكبر من قائمة 

ارسم ا ى واخرج ب ا إلى ف. فمن حيث ان ب ي يعدل ا ى فالزاوية ي ا ب تعدل ي ب ا (ق 5 ك 1) ولانَّ س ي يعدل ا ي فالزاوية ي س ا تعدل ي ا س فالكل ب ا س يعدل الزاويتين ا ب س ا س ب. ولكن الزاوية ف ا س الخارجة  من المثلث ا ب س تعدل الزاويتين ا ب س ا س ب (ق 32 ك 1) فالزاوية ب ا س تعدل ف ا س وكل واحدة منها قائمة (حد 7 ك 1) فالزاوية ب ا س في نصف الدائرة انما هي قائمة

ومن حيث ان الزاويتين ا ب س ب ا س من الثلث ا ب س هما معًا اقل من قائمتين (ق 17 ك 1) و ب ا س قائمة فتكون ا ب س أصغر من قائمة فالزاوية في القطعة ا ب س التي هي أكبر من نصف دائرة هي أصغر من قائمة

ومن حيث ان ا ب س د هو ذو اربعة اضلاع  في دائرة فكل اثنتين من زواياهُ المتقابلة تعدلان قائمتين (ق 22 ك 3) فالزاويتان ا ب س ا د س تعدلان معاً قائمتين وقد تبرهن ان ا ب س أصغر من قائمة فتكون ا د س أكبر من قائمة 

فرع. يتضح من هذه القضيَّة ان زاوية واحدة من مثلث ان عدلت مجتمع الاخريين فهي قائمة لانَّ الزاوية التي تليها تعدل الاخريين أيضاً ومتى كانت الزاويتان المتواليتان متساويتين فكل واحدة منهما قائمة

اذا مسّ خطٌ مستقيم دائرة ورسم من نقطة الماسَّة خطٌ مستقيم قاطع الدائرة فالزوايا الحادثة بين الماس والقاطع تعدل الزوايا في القطع المتبادلة من الدائرة 

ليكن الخط المستقيم ي ف مماسّاً للدائرة ا ب س د ومن ب نقطة المماسة ليُرسَم الخط المستقيم ب د قاطعها فالزاوية ف ب د تعدل الزاوية في القطعة د ا ب المتبادلة والزاوية د ب ي تعدل الزاوية في القطعة ب س د المتبادلة 

من النقطة ب ارسم ب ا عموداً على ي ف (ق 11 ك 1) وفي القوس ب د عيّن أية نقطة شئت كالنقطة س وارسم الخطوط المستقيمة ا د د س س ب. فمن حيث ان الخط المستقيم ى ف يمس الدائرة ا ب س د في النقطة ب وقد رُسِم ب ا عموداً على المماس من نقطة المماسة فمركز الدائرة في الخط ب ا (ق 19 ك 3) والزاوية ا د ب هي في نصف دائرة وهي قائمة (ق 31 ك 3) والزاويتان الاخريان د ا ب ا ب د تعدلان قائمة (ق 32 ك 1) والزاوية ا ب ف قائمة فتعدل الزاويتين ب ا د ا ب د. اطرح الزاوية المشتركة ا ب د فالباقية د ب ف تعدل الباقية ب ا د في القطعة المتبادلة الدائرة. ومن حيث ان الشكل ا ب س د ذو اربعة أضلاع في دائرة فالزاويتان المتقابلتان ب ا د ب س د معاً تعدلان قائمتين (ق 22 ك 3) ولذلك تعدلان أيضاً د ب ف د ب ى (ق 13 ك 1) وقد تبرهن أن د ب ف تعدل ب ا د فالباقية د ب ي تعدل الباقية ب س د في القطعة المتبادلة من الدائرة

علينا ان نرسم على خطٍ مستقيم مفروض  قِطْعَةَ دائرةٍ فيها زاوية تعدل زاوية بسيطة مفروضة 

ليكن ا ب الخط المستقيم المفروض و س الزاوية المفروضة. علينا ان نرسم على ا ب قطعة دائرة فيها زاوية تعدل الزاوية عند س

اولاً لتكن الزاوية عند س قائمة نصف ا ب في ف (ق 10 ك 1) ثم اجعل ف مركزاً و ف ب بعداً وارسم الدائرة ا ح ب فالزاوية ا ح ب انما هي قائمة لانها في نصف دائرة (ق 31 ك 3) وهي تعدل الزاوية القائمة عند س 

ثانيًا ان لم تكن الزاوية س قائمة فعند النقطة ا من الخط ا ب اجعل الزاوية ب ا د تعدل س (ق 22 ك 1) ومن النقطة ا ارسم أي عموداً على ا د (ق 11 ك 1) نصف ا ب في ق (ق 10 ك 1) ومن ق ارسم ق غ عموداً على ا ب (ق 11 ك 1) وارسم غ ب. فمن حيث ان ا ق يعدل ق ب و ق غ مشترك بين المثلثين ا ق غ ب ق غ فالضلعان ا ق ق غ يعدلان الضلعين ب ق ق غ والزاوية ا ق غ تعدل ب ق غ فالقاعدة ا غ تعدل القاعدة غ ب (ق 4 ك 1) والدائرة المرسومة على المركز غ وعلى البعد غ ا تمرُّ في النقطة ب. فلتكن ا ح ب هذه الدائرة. فمن حيث انهُ قد رُسِم ا د عموداً من طرف القطر ا ى فهو مماس الدائرة (فرع اول ق 16 ك 3) ومن حيث انهُ قد رُسم القاطع ا ب من نقطة المماسَّة فالزاوية د ا ب تعدل الزاوية في القطعة ا ح ب المتبادلة (ق 32 ك 3) والزاوية د ا ب تعدل الزاوية عند س فالزاوية عند س تعدل الزاوية في القطعة ا ح ب. فقد رُسِم على الخط المستقيم المفروض ا ب قطعة دائرة فيها زاوية تعدل الزاوية المفروضة عند س

علينا ان نقطع من دائرة مفروضة قِطعةً فيها زاوية تعدل زاوية بسيطة مفروضة 

لتكن ا ب س الدائرة المفروضة و د الزاوية البسيطة المفروضة. علينا ان نقطع من الدائرة ا ب س قطعةً فيها زاوية تعدل الزاوية عند د. ارسم المماسَّ ي ف (ق 17 ك 3) حتى يمسَّ الدائرة في النقطة ب ومن النقطة ب في الخط ي ف اجعل الزاوية ف ب س تعدل د (ق 23 ك 1). فمن حيث ان الخط المستقيم ي ف يمسُّ الدائرة ا ب س وقد رُسِم من نقطة المماسَّة الخط ب س قاطعاً فالزاوية ف ب س تعدل الزاوية في القطعة ب ا س المتبادلة (ق 32 ك 3) والزاوية ف ب س تعدل الزاوية عند فالزاوية في القطعة ب ا س تعدل الزاوية عند د فقد قُطِعَتْ من الدائرة ا ب س القطعة ب ا س فيها زاوية تعدل الزاوية المفروضة عند د

اذا تقاطع خطَّان مستقيمان في دائرةٍ فالقائم الزوايا مسطح قسمَي احدهما يعدل القائم الزوايا مسطح قسمَي الآخر
 
ليتقاطع الخطان المستقيان ا س ب د في الدائرة ا ب س د في النقطة ي في فالقائم الزواياا ي في ي س يعدل القائم الزوايا ب ي في ي د 

اذا مرَّ كل واحد منهما في المركز وكان ذلك المركز ي فالامر واضح أن الخطوط ا ي ي س ب ي ي د متساوية والقائم الزوايا ا ي في ي س يعدل القائم الزوايا ب ي في ي د 

ثم لنفرض مرور احدهما ب د في المركز وليكن عموداً على الآخر ا س الذي لا يمرُّ بالمركز وليقطعهُ في النقطة ي. فاذا تنصف ب د في ق فالنقطة ق هي مركز الدائرة (فرع ق 1 ك 3) ارسم ا ق. فمن حيث ان الخط ب د المار بالمركز هو عمود على ا س الذي لا يمر بالمركز ويقطعهُ في ي فالقسمان ا ي ي س متساويان (ق 3 ك 3) ومن حيث ان الخط المستقيم ب د قد انقسم إلى قسمين متساويين في ق وغير متساويين في ي (ق 5 ك 2) فالقائم الزوايا ب ي × ي د + ي ق2 = ق ب2 = ا ق2 ولكن ا ق2 = ا ي2 + ي ق2 (ق 47 ك 1) فالقائم الزوايا ب ي × ي د + ي ق2 = ا ي2 + ي ق2. اطرح ي ق2 من الجانبين فالباقي ب ي × ي د =ا ي2 = اى × ى س 

ثم لنفرض ان ب د الذي يمر بالمركز يقطع ا س الذي لا يمر بالمركز في النقطة ي ولكنه ليس عموداً عليهِ. فإذا تنصف ب د في ق فالنقطة ق هي مركز الدائرة. ارسم ا ق ومن ق ارسم ق غ عموداً علي ا س (ق 12 ك 1) فالقسم ا غ يعدل القسم غ س (ق 3 ك 3) فالقائم الزوايا ا ي × ي س + ي غ2 = ا غ2. 

اضف إليهما غ ق2  فالقائم الزوايا ا ي × ي س + غ ي2 + غ ق2 = ا غ2 + غ ق2 و ا غ2  + غ ق2 = ا ق2 و ي غ2 + غ ق2 = ي ق2 فالقائم الزوايا ا ي × ي س + ي ق2 = ا ق2 = ق ب2 و ق ب2. و ق ب2 = ب ي × ي د + ي ق2 (ق 5 ك 2) فالقائم الزوايا ا ي × ي س + ي ق2 = ب ي × ي د + ي ق2. أطرح ي ق2 من الجانبين فالباقي ا ي × ي س = ب ي × ي د  

اخيراً ان لم يمرَّ احد الخطين المستقيمين 1 س ب د في المركز فاستعلم المركز ق ومن ي نقطة تقاطع الخطين ا س ب د ارسم القطر غ ي ق ح فكما تقدم ا ي × ي س = غ ي × ي ح و ب ي × ي د = غ ي × ي ح فحسب الاولية الأولى ا ي × ى س = ب ي × ي د

اذا رُسِم من  نقطةٍ خارج دائرةٍ خطَّان مستقيان احدهما يقطع الدائرة والآخر يمسُّها فالقائم الزوايا مسطح كل الخط القاطع في القسم منهُ الواقع خارج الدائرة يعدل مربَّع الخط المماس

لتكن د نقطةً خارج الدائرة ا ب س وليُرسم منها الخط المستقيم د س ا حتى يقطع الدائرة والخط المستقيم د ب حتى يمسَّها فالقائم الزوايا ا د × د س يعدل مربع دب 

اولا لنفرض ان د س ا يمر بالمركز. ارسم ي ب فالزاوية ي ب دانما هي قائمة (ق 18 ك 3) ومن حيث ان الخط المستقيم ا س وقد تنصَّف في ي وأخرج إلى د فالقائم الزوايا ا د × د س + ي س2 = ي د2 (ق 6 ك 2) و ي س = ي ب فالقائم الزوايا ا د × د س + ي ب2 = ي د2 ولكن ي د2 = ي ب2 + ب د2 (ق47 ك 1) فالقائم الزوايا ا د × د س + ي ب2 = ي ب2 + ب د2. اطرح من الجانبين ي ب2 فالباقي ا د × د س = ب د2 

ثانياً ان لم يمر د س ا في مركز الدائرة ا ب س فاستعلم المركزى (ق 1 ك 3) وارسم ي ق عموداً على ا س (ق 12 ك 1) وارسم ي ب ي س ي د. فمن حيث ان الخط المستقيم المار بالمركز ي ق هو عمود على الخط المستقيم ا س الذي لا يمر بالمركز فهو ينصفهُ إيضاً (ق 3 ك 3) فالقسم ا ق يعدل القسم ق س. فمن حيث ان الخط المستقيم ا س قد تنصَّف في ق واخرج إلى د (ق 6 ك 2) فالقائم الزوايا ا د × د س +ق س2 = ق د2. أضف إليهما ق ي2 فالقائم الزوايا ا د × د س + ق س2 + ق ي2 = ق د2 + ق ي2 و ي س2 = ق س2 + ق ي2 و ي د2 = ق د2 + ق ي2 (ق 47 ك 1) لان د ق ي قائمة. فالقائم الزوايا ا د × د س + ي س2 = ي د2. ومن حيث ان ي ب د قائمة ي د2 = ي ب2 + ب د2 = ي س2 + ب د2 فالقائم الزوايا ا د × د س + ي س2 = ى س2 + ب د2 و ا د × د س = ب د2

فرعٌ اول. اذا رُسِم من نقطةٍ خارج دائرة خطَّان قاطعان مثل ا ب ا س فالشكلان  القائما الزوايا مسطحا كل خط في القسم منه الواقع خارج الدائرة هما متساويان فالقائم الزوايا ب ا × ا ي = س ا × ا ق لان كل واحد منهما يعدل مربَّع الخط المستقيم ا د الذي يمسُّ الدائرة 

فرع ثانٍ. مماسَّان مرسومان من نقطة واحدة متساويان 

فرع ثالث. بما ان نصف القطرالواقع نقطة المماسة هو عمود على المماس فبالضرورة الزاوية الواقعة بين مماسَّين مرسومين من نقطة واحدة لتنصف بخط مستقيم مرسوم من مركز الدائرة تلك النقطة لانهُ وترٌ مشتركٌ بين مثلثين متساويين قائمي الزاوية 

 
إذا رُسِم من نقطة خارج دائرة خطان مستقيمان احدهما يقطع الدائرة يلاقيها فالقائم الزوايا مسطحُ كل الخط القاطع في الجزء منه الواقع خارج الدائرة ان عدل مربَّع الخط الذي يلاقيها فذلك الخط مماسُّ الدائرة 

لتكن نقطةً خارج الدائرة ا ب ي وليُرسَم منها الخط المستقيم د س ا حتى يقطع الدائرة والخط المستقيم د ب حتى يلاقيها فالقائم الزوايا ا د × د س ان عدل مربَّع د ب فالخط يمس الدائرة

ارسم الخط المستقيم د ي حتى يمسَّ الدائرة (ق 17 ك 3) واستعلم المركز ق وارسم ق ب ق د ق ي فالزاوية ق ي د قائمة (ق 18 ك 3) ومن حيث ان د ي يمسُّ الدائرة ا ب س و د س ا يقطعها فالقائم الزوايا ا د × س د يعدل مربَّع د ي (ق 36 ك 3) وقد فُرِض ان القائم الزوايا ا د × د س يعدل مربع د ب فربَّع د ي يعدل مربع د ب والخط المستقيم د ي يعدل الخط المستقيم د ب. و ق ي = ق ب فالخطان د ي ي ق يعدلان د ب ب ق والقاعدة د ق مشتركة بين المثلثين د ب ق د ي ق فالزاوية د ي ق تعدل الزاوية د ب ق (ق 8 ك 1) ولكن د ي ق انما هي قائمة فالزاوية د ب ق أيضاً قائمة و ب ق إذا أُخرج يكون قطراً للدائرة والخط الذي يُحدِث مع القطر من طرفهِ زاوية قائمة فهو يمسُّ الدائرة (ق 16 ك 3)  فالخط د ب هو مماسُّ الدائرة ا ب س

قطرُ الدائرة يقسمها وحيطَها الى قسمين مماثلين وبالقلب الخط الذي يقسم الدائرة الى قسمين متماثلين هو قطرٌ

ليكن ا ب قطر الدائرة ا ي ب د فالقسمان ا ي ب ا د ب متماثلان محيطاً ومساحةً. فان وُضِع الشكل ا ي ب على الشكل ا د ب وبقيت قاعدتهما المشتركةا ب على وضعها فالخط المنحني ا ي ب يقع على الخط المنحني ا د ب وإلا لكانت في احدهما نُقَط مختلفة البعد عن المركز وذلك خلاف حد الدائرة وبالقلب الخط الذي يقسم الدائرة إلى قسمين متماثلين هو قطرٌ  

لنفرض ان ا ب بقسم الدائرة ا ي ب د إلى قسمين متماثلين فان لم يكن المركز في ا ب فليُرْسَم ا ف ماراً في المركز. فهو إذاً قطرٌ ويقسم الدائرة إلى قسمين متاثلين. فالقسم ا ي ف يعدل القسم ا ى ف ب وذاك محال 

فرعٌ. قوسٌ وَتَرُهُ قطرٌ هو نصف محيطٍ. والشكل المحاط بهذا القوس مع وَتَرَهِ هو نصف دائرة

يمكن ان تُرْسَم دائرة واحدة محيطها مارٌ بثلاث نُقَطٍ مفروضة أن لم تكن في خطٍ واحد مستقيم. ولا ترسم الاَّ دائرة واحدة محيطها مارٌّ بهذه النُّقَط الثلاث 

لتكن ا ب س النقط الثلاث المفروضة ولا تكون فى خطٍ واحدِ مستقيم فهي في محيط دائرة واحدة

ارسم ا ب و ب س ونصفهما في د و ي  بالعمودين د ق ي ق اللذين لا بدَّ من التقائهما في نقطة ما كالنقطة ق. لأنَّهُ لو كانا متوازيين لكان د ب ب ي متوازيين أيضاً (فرع 2 ق 29 ك 1) أو كانا في خط واحد مستقيم ولكنهما التقيا في ب و ا ب س ليس خطَّا مستقيماً حسب المفروض اولاً. ارسم ق ا ق س ق ب. فمن حيث أن ق ا ق ب يلاقيان ا ب على بعد واحد من العمود فهما متساويان. ولهذا السبب ق ب ق س متساويان أيضاً فالنقط الثلاث ا ب س هي على بعد واحد من النقطة ق وواقعة في محيط دائرة مركزها ق ونصف قطرها ق ا 

ولأمر واضح انهُ لا يمر بهذه النقط محيطٌ آخر. لأَنَّ المركز واقع في العمود د ق الذي ينصف الوَتَر ا ب. وهو أيضاً في العمود ق ي الذي ينصف الوَتَر ب س (فرع 1 ق 3 ك 3) فلا بدَّ من وقوعهِ عند نقطة تقاطع هذَين العمودين وحيث لا يكون إلا مركز واحد لا يكون إلا محيط واحد

اذا اتقاطعت دائرتان فالخطُّ المستقيم المارُّ بمركزيهما هو عمودٌ على الوتر الموصل بين نقطتي التقاطع وينصّفه

ليكن س د الخط المستقيم الموصل بين مركزى دائرتين مقاطعتين. فهو عمود على الوَتَر ا ب الموصل بين نقطتَي التقاطع لأنَّ الخط ا ب الموصل
بين نقطتي التقاطع هو وَتَرٌ مشترك بين الدائرتين وإذا رُسِم عمودٌ من وسط هذا الوَتَر يمّرُ بكل واحد من المركزين س و د (فرع 1 ق 3 ك 3) ولا يمكن ان يُرسَم اكثر من خط واحد مستقيم مارً بنقطتين مفروضتين. فالخط المارُّ بمركزيهما ينصّف الوَتَر ويُحدِث معهُ قائمتين أي يكون عموداً عليهِ 

فرعٌ. الخط المستقيم الموصل بين نقطتي تقاطع دائرتين هو عمودٌ على الخط المستقيم الموصل بين مركزيها 

تعليقة.اولاً. إذا تقاطعت دائرتان فالبعد بين مركزيهما هو أقصر من مجتمع نصفَي قطريهما. ونصف القطر الأطول هو اقصر من مجتمع نصف القطر الاقصر مع البُعد بين المركزين. لأنَّ س د هو أقصر من س ا + ا د (ق 20 ك 1) و ا د < ا س + س د 

ثانياً. بالقلب إذا كان البعد بين مركزي دائرتين اقل من مجتمع نصفي قطريهما وكان نصف القطر الاطول اقصر من نصف القطر الاقصر مع البعد بين المركزين فالدائرتان تتقاطعان 

لانهُ لكي يكون النقاطع ممكناً يلزم أن يكون المثلث س ا د ممكناً ولذلك يلزم أن يكون س د < ا س + ا د وان يكون نصف القطر الاطول ا د < ا س + س د. وإذا كان المثلث ا س د ممكناً فالأمر واضح ان الدائرتين المرسومتين على المركزين س و د تتقاطعان في ا و ب 

فرعٌ اول. إذا كان البعد بين مركزّي دائرتين أكثر من مجتمع نصفَي قطريهما فالدائرتان لا تتقاطعان

فرعٌ ثان.إذا كان البُعد بين المركزين أقل من فضلة نصفَى القطرين فالدائرتان لا تتقاطعان لأنَّ ا س + س د > ا د فإذاً س د > ار - ا س اي ضلعٌ من مثلث أطول من فضلة الضلعين الآخرين. فالمثلث غير ممكن متى كان البعد بين المركزين أقل من فضلة نصفي القطرين فلا يمكن عند ذلك أن تتقاطع الدائرتان 

في دائرةٍ واحدة الزوايا التماثلة في المركز تقابلها اقواسٌ متماثلة وبالقلب الاقواس المتماثلة تقابل الزوايا المتماثلة في المركز 

لتكن س مركز الدائرة. والزاوية ا س د فلتعدل ب س د. فالقوس ا ف د الذي يقابل الزاوية الواحدة يعدل القوس ب ر د الذي يقابل الزاوية الاخرى

ارسم ا د ود ب. فالمثلتان ا س د ب س د هما متساويان لأَنَّ ضلعين وزاوية من الواحد تعدل ضلعين وزاوية من الآخر فإذا وُضِع احدهما على بتطابقان والنقطة ا تقع على النقطة ب. والنقطة د انما هي مشتركة بين القوسين. قطرنا القوس ا ف د يقعان على طرفَي القوس ب ر د فلا بُذَّ من مطابقة بقية اجزائهما لأَنَّها على بُعدٍ واحدٍ من المركز 

وبالقلب لنفرض مساواة القوسين ا ف د ب ر د. فالزاوية ا س د = ب س د. لأَنَّهُ اذا وُضِع  احد القوسَين على الآخر يتطابقان. وطرفا الوَتَر ا د يقعان على طرفَي الوَتَر ب د فالوتران متساويان (ق 8 ك 1) والزاوية ا س د = ب س د 

فرعٌ اول. الزوايا المتساوية في المركز يقابلها اوتارٌ متساوية. وبالقلب الاوتار المتساوية تقابل زوايا متساوية في المركز 

فرعٌ ثان. الاوتار المتساوية تقابل اقواساً متساوية. وبالقلب الاقواس المتساوية تقابل اوتاراً متساوية 

فرعٌ ئالث. إذا تنصَّفت الزاوية في المركز فالقوس  والوتر اللذان يقابلانها بتنصفان أيضاً

فرعٌ رابع. العمود على وسط الوَتَر ينصف الزاوية في المركز ويمر أيضاً بوسط القوس الذي بقابلهُ الوتر

تعليقة. المركز س والنقطة ي التي وسط الوَتَر ا ب والنقطة د التي هي وسط  القوس الذي يقابلهُ الوتر المذكور هي ثلث نُقط في خطٍ عموديٍ على الوَتَر. ولكن الخط المستقيم يتعيَّن وضعهُ بنقطتَين. فكل خط يمرُّ باثنتين من هذه النقط الثلاث يمرُّ بثالثها أيضاً ويكون عموداً على الوتر

قوسان بين خطين متوازيين ها متساويان. وبالقلب إذا وقع بين خطين مستقيمين غير متقاطعين في الدائرة قوسان متساويان فالخطَّان متوازيان 

لهذه القضية ثلاثة احوال 

الاول متى كان الخطَّان المتوازيان مماسَّين مثل ا ب و س د. فكل واحد من القوسين بينهما نصف دائرة لأَنَّ نقطتَى المماسَّة هما طرفا القطر ( فرع 3 ق 16 ك 3)

الثاني متى كان احد الخطَّين مماسَّا مثل ا ب والآخر وتراً مثل غ ح. وهو عمودٌ على ف ي الذي ينصف القوس غ ي ح (فرع 4 ق د ك 3) فالقوسان بينهما غ ى ح ى متساويان

ثالثًا متى كان الخطان المتوازيان وَترَين مثل غ ح و ل م 

فلنفرض ان القطر ف ي عمودٌ على غ ح. فيكون عموداً على ل م أيضاً لانهما متوازيان. والقطر ينصّف كل واحد من القوسين اللذين يقابلان هذين الوترين ا ي غ ي = ح ي ول ي = م ي فبالضرورة ل ي - غ ي = م ي - ح ي أي غ ل - ح م

ثم بالقلب. إذا كان الخطَّان ا ب س د مماسَّين وكان القوسان ي ل ف ي م ف متساويين يكون ي ف قطراً (ق 1 ك 3) وا ب س د متوازيين (فرع 3 ق 16 ك 3)

واذاكان احدهما ا ب مماسَّا والآخر غ ح قاطعاً وكان القوسان ي غ ي ح متساويين يكون القطر ف ي الذي ينصف القوس غ ي ح عموداً على وترو غ ح (تعليقة ق د ك 3) وعلى مماسّهِ ا ب فهما متوازيان

وإذا كان كلا الخطَّين قاطعاً مثل غ ح و ل م وكان القوسان غ ل ح م بينهما متساويين فلنفرض ان القطر ف ي ينصّف احدهما مثل غ ح فهو ك فهو ينصّف القوس غ ي ح أيضاً أي ي غ = ي ح وقد فُرِض ان غ ل = ح م فالكل ي ل = الكل ي م فالوتر ل م قد تنصف بالقطر ف ي. فقد تنصّف كلا الوترين بالقطر ف ي وهمااذ ذاك عمودان عليهِ ومتوازيان (فرع ق 28 ك 1)

تعليقة. لا بُدَّ ان يشترط في هذه القضية أن الخطين لا بتقاطعان فى الدائرة لأَنّ خطَّين  مستقيمين مارين في غ م و ح ل يقطعان اقواساً متساوية غ ل ح م ولا يكونان متوازيين

عليناان نرسم مماسَّا في نقطة مفروضة من قوس دائرة بدون استعلام المركز

لتكن ب النقطة المفروضة. قس جزءين متماثلين من القوس مثل ب س س د. ارسم ب د وأيضاً الوترين ب س س د واجمل الزاوية س ب ا تعدل س ب د (ق 23 ك 1) فيكون الخطُّ المستقيم ب ا المماس المطلوب 

لأَنَّ الزاوية س ب د = س د ب فالزاوية س ب ا = ى د ب (ق 32 ك 3) التي هي في القطعة المتبادلة فإذاً ب ا هو مماس في النقطة ب