مفتاح الحساب/المقالة الرابعة/الباب السابع/الفصل السابع
يمكن أن يحيط بها محيط كرة تماس زواياها ويمكن أن يحيط كل واحد منها بكرة تماس مراكز قواعده أو بكرتين متوازيتين تماس أحديهما بعض قواعد المجسم والأخرى تماس بواقيها وكل واحد منها كمجتمع عن مخروطات مضلعات أمّا متساويات القواعد والأرتفاعات أو مختلفة القواعد والأرتفاعات يكون رؤسها متحدة عند مركز المجسم وهي سبعة مجسمات.

أما الأول فهو ذو أربع قواعد مثلثات متساويات في الكرة وهو مجسم يحيط به أربعة مثلثات متساويات الأضلاع وهو مخروط مثلث القاعدة فكانه مؤلف عن أربعة مخروطات قواعدها قواعده ورؤسها مركزه والعمل فيه أن نربع قطر الكرة المحيطة ونأخذ جذر ثُلثيه وكذا جذر نصف مربع القطر فالأول ضلع القاعدة والثاني عمود مثلث القاعدة نضرب أحدهما في نصف الآخر يحصل مساحة أحدى قواعده نضربه في تسعي قطر تلك الكرة يحصل المساحة.

نوع آخر نضرب قطر الكرة في  خامسة يحصل ضلعه وتارة في  خامسة يحصل عمود المثلث والباقي كما سبق.

نوع آخر نأخذ جذر تسعي مربع القطر ونضربه في جذر سدس مربع القطر فما حصل نضربه في ثلث القطر يحصل المساحة وإن كان الضلع معلوماً وقطر الكرة وأرتفاع المجسم مجهولين نربع الضلع ونأخذ جذر ثلثيه فهو أرتفاع المجسم يساوي ثلثي قطر الكرة ونزيد نصف الأرتفاع عليه يحصل قطر الكرة.

نوع آخر نضرب الضلع  خامسة يحصل أرتفاع المجسم وهو ثلثا قطر الكرة،

وأمّا الثاني فهو ذو ثماني قواعد مثلثات متساويات الأضلاع في الكرة والعمل فيه أن نضرب قطر الكرة التي تحيط به نصف القطر ثم الحاصل في ثلث القطر أو نضرب القطر  خامسة تحصل المساحة

نوع آخر أن ضلع قاعدته من أضلاعه معلوماً وقطر الكرة المحيطة مجهولاً نضعف مربع الضلع ونأخذ جذره فهو قطر الكرة.

نوع آخر نضرب الضلع في  خامسة يحصل القطر ثم نضرب مربع الضلع في ثلث القطر تحصل المساحة،

وأمّا الثالث فهو المكعب الذي في الكرة والعمل فيه أن نأخذ ثلث مربع قطرها ويحصل جذره فهو ضلع المكعب يحصل منه مساحة بل نضربه في نفسه ثم نضربه في الحاصل.

نوع آخر نضرب قطر الكرة في  خامسة يحصل ضلعه وإن نقسم الضلع عليه يحصل القطر وظاهر أن قطر الكرة الداخلة فيه يساوي ضلعه والمكعب اسطوانة مربعه القاعدة أرتفاعها يساوي ضلع قاعدتها وقد ذكرنا مساحة الأسطوانة،

وأمّا الرابع فهو ذو عشرين قاعدة مثلثات متساويات الأضلاع في الكرة والعمل فيه أن نربع قطر تلك الكرة ونأخذ نصف عشره وننقص جذره عن نصف قطر الكرة فما بقي نحفظه ونزيد مربعه على خمس مربع القطر ونأخذ جذر المجموع فهو ضلع قاعدة المجسم

نوع آخر نأخذ خمس مربّع القطر الكرة ونضرب جذره في  خامسة فما حصل فهو ضلع قاعدة المجسم.

طريق آخر نضرب القطر في  خامسة وهو وتر لنصف قوس يكون سهمها أربعة أخماس القطر على أن القطر واحد يحصل ضلع القاعدة فإذا حصل ضلع قاعدته يحصل منه سطح القاعدة ونضربها في عشرين دائماً ليحصل مساحة جميع سطح المجسم ثم ننقص مربع الضلع عن ربع مربع القطر ونأخذ جذر الباقي فهو نصف قطر كرة يحيط الشكل بها اعني العمود الخارج من مركز المجسم على سطح القاعدة.

نوع آخر نضرب قطر الكرة في  خامسة يحصل نصف قطر الكرة الداخلة ثم نضرب ثلث ذلك العمود في جميع سطح المجسم فما حصل فهو مساحة المجسم وإن كان ضلع مثلث القاعدة معلوماً وقطر الكرة مجهولاً نقسم مقدار الضلع على وتر خمس الدائرة وهو  سادسة علة أن نصف قطرها واحد فما خرج نضلاب مربعه في الخمسة دائماً فالحاصل مربع قطر الكرة الخارجة التي يحيط بالمجسم.

نوع آخر نقسم الضلع على  خامسة يخرج القطر،

وأما الخامس فهو ذو اثني عشرة قاعدة مخمسات متساويات الأضلاع والزوايا وقع في الكرة والعمل فيه أن نأخذ نصف سدس مربع القطر ونحصل جذره ثم نضرب ذلك اعني نصف سدس المذكور في خمسة دائماً ونأخذ جذر الحاصل وننقص منه الجذر السابق فما بقي فهو ضلع مخمس القاعدة.

نوع آخر نضرب القطر في القاعدة كما سبق نضربه في اثنى عشر ليحصل منه مساحة سطح اثنى عشرة قاعدة ثم نحصل نصف قطر الكرة الداخلة كما سبق في ذي عشرين قاعدة بعينه اعني ننقص ثلث مربع ضلع المثلث في ذي عشرين قاعدة عن ربع مربع قطر تلك الكرة المحيطة ونأخذ جذر الباقي ونضرب القطر في  خامسة يحصل ضلع مخمس القاعدة يحصل منه مساحة سطح القاعدة كما سبق نضربه في اثني عشر ليحصل مساحة جميع سطح اثني عشرة قاعدة ثم نحصل نصف قطر الكرة الداخلة كما سبق في ذي عشرين قاعدة بعينه أعني ننقص ثلث مربع ضلع المثلث في ذي عشرين قاعدة عن ربع مربع قطر تلك الكرة المحيطة ونأخذ جذر الباقي أو نضرب القطر في  خامسة فما حصل فهو العمود الخارج عن مركز المجسم إلى مركز القاعدة نضرب ثلثه في مساحة سطح المجسم يحصل مساحة جسمه وهو المطلوب وإن كان ضلعه معلوماً وقطر الكرة المحيطة مجهولاً نربع الضلع ونزيد على ذلك المربع ربعه ونأخذ جذر المجموع وننقص عنه نصف الضلع فما بقي نزيده على الضلع المعلوم ونضرب مربع ما بلغ في الثلاثة دائماً فالحاصل هو مربع قطر الكرة التي يحيط بالمجسم.

طريق آخر نقسم الضلع على  خامسة يحصل قطر الكرة المحيط ولما كان كل واحد من عدد قواعد هذا المجسم وعدد زوايا ذي عشرين قاعدة اثني عشر وعدد زوايا هذا وقواعده عشرين أمكن أن يعمل أحدهما في الآخر بحيث تماس زوايا المجسم الداخل مراكز أضلاع الخارج فيكون الكرة المحيطة بالمجسم الداخل المماسة لزواياه هي الكرة الداخلة للمجسم الخارج المماسة لمراكز قواعده وكذا الحكم في المكعب أو ذي ثماني قواعد وقد عرفت استخراج قطر الكرة الداخلة وهي الكرة الخارجة للمجسم الداخل فاستخرج به ضلع المجسم ومساحته كما ذكرنا،

وأمّا السادس فهو ذو أربع عشرة قاعدة ثمان منها مثلثات متساويات الأضلاع والست الباقية مربعات أضلاعها أضلاع المثلثات وكل واحد منها مساو لنصف قطر الكرة المحيطة به والعمل فيه أن نضرب جذر نصف مربع القطر في ربع مربع القطر اعني قاعدته المربعة ونحفظ الحاصل ثم نأخذ ثلث مربع القطر وكذا سدسه ونحصل جذر كل واحد منهما فالأول أربعة أمثال العمود الخارج عن مركز مثلث القاعدة إلى منتصف ضلعه والثاني العمود الخارج عن مركز المجسم إلى مركز المثلث فنضرب قطر الكرة وهو ضلع المثلث في أحدهما ثم الحاصل في الآخر فما حصل نزيده على المحفوظ فما بلغ فهو مساحة المجسم.

طريق آخر نضرب القطر  خامسة والحاصل في مربع القطر فما حصل فهو المحفوظ ثم نضرب القطر في  خامسة مربع القطر في  خامسة ثم نضرب الحاصل الأول في الحاصل الثاني فما حصل نزيده على المحفوظ ليحصل المساحة،

وأمّا السابع فهو ذو اثنتين وثلاثين قاعدة يكون عشرون منها مثلثات متساويات الأضلاع واثنتا منها مجسمات أضلاعها أضلاع تلك المثلثات فكل واحد منها مساو لضلع المعشّر الواقع في أعظم دائرة وقعت في الكرة، والعمل فيه أن نقسم مربع قطر الكرة على ستة عشر ونأخذ جذر الخارج من القسمة في خمسة ونأخذ جذر الحاصل وننقص منه الجذر السابق فما بقي فهو ضلع قاعدة المجسم يحصل منه مساحة قاعديته أعني المخمس والمثلث كما سبق في مساحة السطوح ونضرب مساحة قاعدة المخمس في اثني عشر ليحصل جميع سطوح المجسمات ونضرب مساحة قاعدته المثلث في عشرين ليحصل جميع سطوح مثلثاته ثم ننقص ثلث مربع الضلع عن ربع مربع القطر فما بقي نأخذ جذره ونضرب ثلثه في جميع السطوح المثلثات ونحفظ الحاصل ثم نقسم الضلع على  خامسة فما خرج ننقص مربّعه من ربع مربع القطر ونأخذ جذر الباقي ونضرب ثلثه في جميع السطوح المجسمات فما حصل نزيده على المحفوظ ليحصل مساحة المجسم.

نوع آخر نضرب قطر الكرة في  خامسة يحصل الضلع نحصل منه مساحة سطحي مخمسة ومثلثه ونجمع مخمساته تارة ومثلثاته أخرى كما سبق ثم نضرب القطر تارة في  خامسة والحاصل في جميع مجسماته ونحفظ الحاصل وتارة في  خامسة والحاصل في جميع مثلثاته ونزيد الحاصل على المحفوظ ليحصل المساحة وإن كان الضلع معلوماً والقطر مجهولاً نأخذ ربع مربع الضلع ونأخذ جذره ونزيد الربع المذكور على مربع الضلع ونأخذ جذر المجموع وننقص منه الجذر السابق فما بقي نزيده على الضلع فضعف الحاصل هو قطر الكرة المحيطة به.

نوع آخر نقسم الضلع على  خامسة يحصل القطر ومساحة هذه الأجسام المتساويات أضلاع القواعد لم يوردها أصحاب هذا الفن في كتب المساحة فاستخرجتها من الأصول ووضعت الأرقام المستعملة فيها في جدول مع كتابه اسامي تلك الأعداد والجدول هذا.