Ueber das Gesetz der Energieverteilung im Normalspectrum
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9. Ueber das Gesetz der Energieverteilung im Normalspectrum 

von Max Planck.[Saarland University]https://www.nssp.uni-saarland.de/lehre/Vorlesung/Kernphysik_SS19/History/Papers/Planck_2.pdf(Requires Authentication Published by De Gruyter 1978,7. Über das Gesetz der Energieverteilung im Normalspektrum ,From the book Von Kirchhoff bis Planck,  Max Planck)DOI https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/9783112621905-017/html

(In anderer Form mitgeteilt in der Deutschen Physikalischen Gesellschaft,
Sitzung vom 19. October und vom 14. December 1900, Verhandlungen
2. p. 202 uud p. 237. 1900.)

Einleitung.
Die neueren Spectralmessungen von 0. Lummer und E. Pringsheim  und noch auffälliger diejenigen von
H. Rubens und F. Kurlbaum , welche zugleich ein früher
von H. Beckmann erhaltenen Resultat bestätigten, haben
gezeigt, dass das zuerst von W. Wien aus molecularkinetischen
Betrachtnngen und später von mir aus der Theorie der elektro-
magnetischen Strahlung abgeleitete Gesetz der Energieverteilung
im Normalspectrum keine allgemeine Gültigkeit besitzt.
Die Theorie bedarf also in jedem Falle einer Verbesserung,
und ich will im Folgenden den Versuch machen, eine solche
auf der Grundlage der von mir entwickelten Theorie der
elektromagnetischen Strahlung durchzuführen, Dazu wird es
vor allem nötig sein, in der Reihe der Schlussfolgerungen,
welche zum Wien'schen Energieverteilungsgesetz führten, das-
jenige Glied ausfindig zu machen, welches einer Abänderung
fähig ist; sodann aber wird es sich darum handeln, dieses
Glied aus der Reihe zu entfernen und einen geeigneten Ersatz
dafür zu schaffen.
Dass die physikalischen Grundlagen der elektromagnetischen
Strahlungstheorie, einschliesslich der Hypothese der “nat ü r-
lichen Strahlung”, auch einer gesch ä rften Kritik gegen ü ber
Stand halten, habe ich in ineinem letzten Aufsatz ü ber diesen

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Gegenstand dargelegt; und da auch die Rechnungen meines
Wissens keinen Fehler enthalten, so bleibt auch der Satz be-
stehen, dass das Gesetz der Energieverteilung im Normal-
spectrum vollkommen bestimmt ist , wenn es gelingt , die
Entropie S eines bestrahlten, monochromatisch schwingenden
Resonators als Function seiner Schwingungsenergie U zu be-
rechnen. Denn dann erhält man aus der Beziehung d S / d U= 1/θ
die Abhängigkeit der Energie U von der Temperatur θ,und
da andererseits die Energie U durch eine einfache Beziehung 
mit der Strahlungsdichte der entsprechenden Schwingungszahl
verknüpft ist, auch die Abhängigkeit dieser Strahlungsdichte
von der Temperatur. Die normale Energieverteilung ist dann
diejenige, bei welcher die Strahlungsdichten aller verschiedenen
Schwingungszahlen die nämliche Temperatur besitzen.
Somit reducirt sich das ganze Problem auf die eine Auf-
gabe, S als Function von U zu bestimmen, und der Lösung
dieser Aufgabe ist auch der wesentlichste Teil der folgenden
Untersuchung gewidmet. In meiner ersten Abhandlung über
diesen Gegenstand hatte ich S direct durch Definition, ohne
weitere Begründung, als einen einfachen Ausdruck von U hin-
gestellt, und mich damit begnügt nachzuweisen, dass diese
Form der Entropie allen Anforderungen, welche die Thermo-
dynamik an sie stellt, Genüge leistet. Ich glaubte damals,
dass sie auch die einzige ihrer Art sei, und dass somit das
Wien'sche Gesetz, welches aus ihr folgt, notwendig allgemeine
Gültigkeit besitze. Bei einer späteren näheren Untersuchung 
zeigte sich mir indessen, dass es auch noch andere Ausdrücke
geben muss, welche dasselbe leisten, und dass es deshalb
jedenfalls noch einer weiteren Bedingung bedarf, um S ein-
deutig herechnen zu können. Eine solche Bedingung glaubte
ich gefunden zu haben in dem mir damals unmittelbar plau-
sibel scheinenden Satz, dass bei einer unendlich kleinen
irreversibeln Aenderung eines nahezu im thermischen Gleich-
gewicht befindlichen Systems von N gleichbeschaffenen , im
nämlichen stationären Strahlungsfeld befindlichen Resonatoren
die damit verbundene Vermehrung ihrer Gesamtentropie SN = N S

[555]nur abhängt von ihrer Gesamtenergie UN = N U und deren
Aenderungen, nicht aber von der Energie U der einzelnen
Resonatoren. Dieser Satz führt wiederum mit Notwendigkeit
zum Wien’ schen Energieverteilungsgesetz. Da nun aber
letzteres durch die Erfahrung nicht bestätigt wird, so ist man
zu dem Schlusse gezwungen, dass auch jener Satz in seiner
Allgemeinheit nicht richtig sein kann und daher aus der Theorie
zu entfernen ist.
Es muss also nun eine andere Bedingung eingef ü hrt
werden, welche die Berechnung von S gestattet, und um dies
zu bewerkstelligen, ist ein n ä heres Eingehen auf die Bedeutung
des Entropiebegriffes notwendig. F ü r  die Richtung des dabei
einzuschlagenden Gedankenganges giebt der Hinblick auf die
Unhaltbarkeit der fr ü her gemachten Voraussetzung einen Finger-
zeig. Im Folgenden wird nun ein Weg beschrieben, auf dem sich
ein neuer einfacher Ausdruck der Entropie und damit auch eine
neue Strahlungsformel ergiebt , welche mit keiner der bisher
festgestellten Thatsachen in Widerspruch zu stehen scheint.

I. Berechnung der Entropie eines Resonators als Function
seiner Energie.

§1. Entropie bedingt Unordnung, und diese Unordnung
beruht nach der elektromagnetischen Strahlungstheorie bei den
monochromatischen Schwingungen eines Resonators, auch wenn
er sich in einem dauernd stationaren Str ä hlungsfelde befindet,
in der Unregelm ä ssigkeit, mit der er beständig seine Amplitude
und seine Phase wechselt, sofern man Zeitepochen betrachtet,
welche gross sind gegen die Zeit einer Schwingung, aber klein
gegen die Zeit einer Messung. Ware Amplitude und Phase
absolut constant, also die Schwingungen vollkommen homogen,
so könnte keine Entropie existiren und die Schwingungsenergie
müsste vollkommen frei in Arbeit verwandelbar sein. Die
constante Energie U eines einzelnen stationär schwingenden
Resonators ist danach nur als ein zeitlicher Mittelwert auf-
zufassen , oder, was ganz auf dasselbe hinauskommt , als der
gleichzeitige Mittelwert der Energien einer grossen Anzahl N

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von gleichbeschaffenen Resonatoren, die sich in dem nämlichen
stationären Strahlungsfelde ,befinden, weit genug voneinander
entfernt, um sich nicht gegenseitig direct zu beeinflussen. I n
diesem Sinne wollen wir kunftig von der mittleren Energie U
eines einzelnen Resonators sprechen. Dann entspricht der ge-
samten Energie

(1) 

eines solchen Systems von N Resonatoren eine gewisse Ge-
samtentropie

(2) 

desselben Systems, wobei S die mittlere Entropie eines einzelnen
Resonators darstellt, und diese Entropie SN beruht auf der
Unordnung, mit der sich die gesamte Energie UN auf die
einzelnen Resonatoren verteilt.
§ 2. Wir setzen nun die Entropie SN des Systems, bis
auf eine willkürlich bleibende additive Constante, proportional
dem Logarithmus der Wahrscheinlichkeit W dafür , dass die
N Resonatoren insgesamt die Energie UN besitzen, also:

(3) 

Diese Festsetzung kommt nach meiner Meinung im Grunde
auf eine Definition der genannten Wahrscheinlichkeit W hinaus ;
denn wir besitzen in den Voraussetzungen, welche der elektro-
magnetischen Theorie der Strahlung zu Grunde liegen, gar
keinen Anhaltspunkt, um von einer solchen Wahrscheinlichkeit
in einem bestimmten Sinne zu reden. Für die Zweckm ä ssig-
keit der so getroffenen Festsetzung lässt sich von vornherein
ihre Einfachheit und ihre nahe Verwandtschaft mit einem
Satze der kinetischen Gastheorie anführen.
§ 3. Es kommt nun darauf an, die Wahrscheinlichkeit W
dafür zu finden, dass die N Resonatoren insgesamt die Schwin-
gungsenergie UN besitzen. Hierzu ist es notwendig, UN nicht
als eine stetige, unbeschr ä nkt teilbare, sondern als eine dis-
crete, aus einer ganzen Zahl von endlichen gleichen Teilen
zusammengesetzte Grösse aufzufassen. Nennen wir einen solchen
Teil ein Energieelement E , so ist mithin zu setzen:

(4)  ,

[557]wobei P eine ganze, im allgemeinen grosse Zahl bedeutet,
während wir den Wert von ε noch dahingestellt sein lassen.
Nun ist einleuchtend, dass die Verteilung der P Energie-
elemente auf die N Resonatoren nur auf eine endliche ganz
bestimmte Anzahl von Arten erfolgen kann. Jede solche Art
der Verteilung nennen wir nach einem von L. Boltzmann für
einen ähnlichen Begriff gebrauchten Ausdruck eirie ,,Complexion".
Bezeichnet man die Resonatoren mit den Ziffern 1, 2, 3 . . . N,
schreibt diese der Reihe nach nebeneinander und setzt unter
jeden Resonator die Anzahl der bei irgend einer willkürlich
Vorgenommenen Verteilung auf ihn entfallenden Energie-
elcmente, so erhält man für jede Complexion ein Symbol von
folgender Form :

Hier ist N = 10, P = 100 angenommen. Die Anzahl ℜ aller
möglichen Complexionen ist offenbar gleich der Anzahl aller
möglichen  Ziffernbilder, die man auf diese Weise, bei be-
stimmtem N und P, f ü r die untere Reihe erhalten kann. Der
Deutlichkeit halber sei noch bemerkt, dass zwei Complexionen
als verschieden anzusehen sind, wenn die entsprechenden
Ziffernbilder dieselben Ziffern , aber in verschiedener An-
ordnung, enthalten.
Aus der Combinationslehre ergiebt sich so die Anzahl
aller möglichen Complexionen zu

Nun ist nach dem Stirling'schen Satze in erster An-
näherung :    ,
folglich in entsprechender Annäherung

§ 4. Die Hypothese, welche wir jetzt der weiteren Rech-
nung zu Grunde legen wollen , lautet folgendermaassen: Die
Wahrscheinlichkeit W dafür, dass die N Resonatoren insgesamt
die Schwingungsenergie UN, besitzen, ist proportional der An-

[558] zahl ℜ aller bei der Verteilung der Energie UN auf die N R e -
sonatoren möglichen Complexionen; oder mit anderen Worten:
irgend eine bestimmte Complexion ist ebenso wahrscheinlich,
wie irgend eine andere bestimmte Complexion. Ob diese Hypo-
these in der Natur wirklich zutrifft, kann in letzter Linie nur
durch die Erfahrung geprüft werden. Dafür wird es aber
umgekehrt möglich sein, falls die Erfahrung einmal zu ihren
Gunsten entschieden haben sollte , aus der Qültigkeit dieser
Hypothese weitere Schlüsse zu ziehen auf die speciellere Natur
der Resonatorschwingungen, nämlich auf den Charakter der dabei
auftretenden ,,indifferenten und ihrer Grösse nach vergleich-
baren ursprünglichen Spielräume", in der Ausdrucksweise von
J. v. Kries. Bei dem jetzigen Stande der Frage dürfte
allerdings ein weiteres Beschreiten dieses Gedankenganges noch
verfrüht erscheinen.
 § 5. Nach der eingeführten Hypothese in Verbindung
mit Gleichung (3) ist die Entropie des betrachteten Systems
von Resonatoren bei passender Bestimmung der additiven
Constanten :
(5) 
und mit Berücksichtigung von (4) und (1):

Also nach (2) die Entropie S eines Resonators als Function
seiner Energie U : 
 (6) 

       II.  Einführung des Wien'schen Verschiebungsgesetzes.
  § 6. Nächst dem Kirchhoff'schen Satz von der Pro-
portionalität des Emissions- und des Absorptionsvermögens
bildet das von W. Wien entdeckte und nach ihm benannte

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aogenannte Verschiebungsgesetz, welches das Stefan-Boltz-
mann'sche Gesetz der Abhangigkeit der Gesamtstrahlung von
der Temperatur als specielle Anwendung mit umfasst, in dem
fest begründeten Fundament der Theorie der Wärmestrahlung
den wertvollsten Bestandteil. Es lautet in der ihm von
M.Thiesen  gegebenen Fassung:
 E ·dλ  = θ5 ψ ( λθ ) · d λ ,
wo λ die Wellenlänge, E d λ die räumliche Dichte der dem
Spectralbezirk λ bis λ + d λ angehörenden ,,schwarzen" Strah-
lung, θ die Temperatur, und ψ(x) eine gewisse Function des
einzigen Arguments x hezeichnet.
  §7. Wir wollen nun untersuchen, was das Wien'sche
Verschiebungsgesetz über die Abhängigkeit der Entropie S
unseres Resonators von seiner Energie U und seiner Eigen-
periode aussagt, und zwar gleich in dem allgemeinen Falle,
dass der Resonator sich in einem beliebigen diathermanen
Medium befindet. Zu diesem Zwecke verallgemeinern wir zu-
nächst die Thiesen'sche Form des Gesetzes auf die Strahlung
in einem beliebigen diathermanen Medium mit der Lichtfort-
pflanzungsgeschwindigkeit c. Da wir nicht die Gesamtstrahlung,
sondern monochromatische Strahlung zu betrachten haben, so
wird es beim Vergleich verschiedener diathermaner Medien
nötig, statt der Wellenl ä nge λ die Schwingungszahl υ ein-
zuführen.
   Bezeichnen wir also die räumliche Dichte der dem Spectral-
bezirk υ bis υ + dυ angehörenden strahlenden Energie mit u dυ,
so ist zu schreiben: u dυ statt E dλ , c / υ statt λ. und c dυ /  υ2
statt dλ. Dadurch ergiebt sich:

Nun ist nach dem bekannten Kirchhoff- Clausius'schen
Gesetz die von einer schwarzen Fläche pro Zeiteinheit in ein
diathermanes Medium emittirte Energie von bestimmter Tem-
peratur θ. und bestimmter Schwingungszahl υ umgekehrt pro-

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portional dem Quadrate c2 der Fortpflanzungsgeschwindigkeit;
also ist die räumliche Energiedichte u umgekehrt proportional
c3, und wir erhalten:

wobei die Constanten der Function f von c unabhängig sind.
      Statt dessen können wir auch schreiben, wenn f jedesmal,
auch im Folgenden, eine neue Function eines einzigen Arguments
bezeichnet:
(7)
und ersehen unter anderem daraus, wie bekannt, dass die in
dem Cubus einer Wellenlänge enthaltene strahlende Energie
von bestimmter Temperatur und Schwingungszahl: uλ3 für alle
diathermanen Medien dieselbe ist.
    §8. Um nun von der räumlichen Strahlungsdichte u zur
Energie U eines in dem Strahlungsfelde befindlichen, stationär
mitschwingenden Resonators mit der nämlichen Schwingungs-
zahl υ überzugehen, benutzen wir die in Gleichung (34) meiner
Abhandlung über irreversible Strahlungsvorgänge ausgedrückte
Beziehung : 

( ℜ ist die Intensität eines monochromatischen, geradlinig
polarisirten Strahles), welche zusammen mit der bekannten
Gleichung :

die Beziehung liefert:
(8)
Hieraus und aus (7) folgt:

wo nun c überhaupt nicht mehr vorkommt. Statt dessen
können wir auch schreiben:

[561]§9. Endlich führen wir auch noch die Entropie S des
Resonators ein, indem wir setzen:
(9) 
                Dann ergiebt sich :

und integrirt:
(10)
d. h. die Entropie des in einem beliebigen diathermanen Medium
schwingenden Resonators ist von der einzigen Variabeln U/v
abhängig und enthält ausserdem nur universelle Constante.
Dies ist die einfachste mir bekannte Fassung des Wien’schen
Verschiebungsgesetzes.
           §10. Wenden wir das Wien’sche Verschiebungsgesetz
in der letzten Fassung auf den Ausdruck ( 6 ) der Entropie S
an , so erkennen wir, dass das Energieelement ε proportional
der Schwingungszahl υ sein muss, also:
    ε = h · υ
und somit:

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Physik