RE:Geometria
Geometria, , ist etymologisch die Erdmessung, einschließlich der Vermessung des bebauten Landes. 

1. Doch ist ähnlich wie bei der Arithmetik (o. Bd. II S. 1067) der übliche Gebrauch des Wortes von dem ursprünglichen zu unterscheiden. Die Landvermessung wurde  benannt, während  die rein theoretische Wissenschaft von den Linien, Flächen und Raumgebilden, sowie deren Größen und wechselseitigen Verhältnissen bedeutete,  bei Procl. in I. elem. 38, 10–12. 16f. Friedl.  zu Plat. Charm. 165 E (p. 290f. Herm.). So hat auch Geminos in der  bei  a. a. O. 38, 4–12 die Arithmetik und G. der  zugeordnet und diesen als solche Wissenschaften, die auf die  gerichtet sind, die Mechanik, Astronomie, Optik, Geodäsie usw. gegenübergestellt. Nach Ptolem. synt. I 6, 17–21 Heib. führt nur das  zu einer sichern und zweifellosen Erkenntnis, und dessen Teile sind die  und . Nikom. arithm. introd.

I 3, 2 stellt der G. als der Lehre von den ruhenden Größen die Sphärik gegenüber, welche sich mit rotierenden Größen beschäftige.

Darüber, wie im Altertum G. und Arithmetik als abstrakte Wissenschaften einander berührten, und wie besonders Probleme, die auf arithmetischem Wege nicht erledigt werden konnten, durch geometrische Darstellung gelöst wurden, gibt einige beachtenswerte Winke  Kopenhagen Bull. de l’Académie des sciences 1893, 330ff. und handelt darüber ausführlich in seiner Hist. des mathém. 34ff.

2. Über die Entwicklung der älteren G. hat uns Procl. in I. elem. 64, 7–68, 4 einen wertvollen Abriß aufbewahrt, den er aus der  des Geminos entnommen und dieser wiederum von dem Peripatetiker Eudemos von Rhodos, einem Zeitgenossen des Theophrast, entlehnt hatte.  Géom. grecque 66ff.  De Gemini stud. mathem. 81 (doch durfte nicht auch Procl. 68, 4–69, 4 auf Eudemos zurückgeführt werden, denn hier handelt es sich um Mathematiker, die erst nach jenem gelebt haben). Danach ist die G. von den Ägyptern, und zwar zuerst als Feldmeßkunst, um nach den Überschwemmungen des  die früheren Feldmarkungen wiederherzustellen, erfunden worden, wie auch  geom. cap. 2, ebenfalls aus Eudemos, berichtet. Dann hat  die Kenntnis der ägyptischen G. nach Griechenland übertragen, selbst vieles neu gefunden und die weiteren Fortschritte dieser Wissenschaft vorbereitet. Ferner werden als namhafte Geometer in chronologischer Reihenfolge aufgeführt Mamertios, der Bruder des Dichters , , Anaxagoras, , , , Platon, Leodamas, Archytas, , , Leon, Eudoxos, Amyklas, die Brüder Menaichmos und Deinostratos, , Athenaios von Kyzikos, Hermotimos, endlich Philippos, ein Schüler Platons, der letzte, den Eudemos noch gekannt hat, Procl. in I. element. 64, 18–68, 4. Die Namensform  ist in den Auszügen aus Eudemos in den Variae collectiones, Anhang zu Heronis Alex. geom. 253, 2 Hu., erhalten, während bei Procl. 65, 12  überliefert ist.

Dieses Verzeichnis hat dann Geminos weiter für die Zeiten nach Eudemos fortgesetzt. Nicht viel jünger als die Mathematiker aus der Schule Platons war Eukleides; hierauf werden noch Eratosthenes und Archimedes angeführt, Procl. 68, 4–69, 4.  Géom. grecque 71ff.

3. Es würde mit der Anlage einer Realencyklopädie unvereinbar sein, wollten wir in Anlehnung an Eudemos und Geminos einen Überblick über die Geschichte der griechischen G. geben. Dafür sind bereits eingetreten oder werden noch eintreten die Artikel über die einzelnen Geometer. Anlangend die Blütezeit der griechischen G. ist auf Eudoxos und Eukleides, sowie betreffs der älteren G. auf  Die Geometrie und die Geometer vor Eukleides und  Greek Geometry from Thales to Euklid zu verweisen.

Nur einige Materien allgemeinen Inhalts, die sich nicht streng an einzelne Autoren anschließen, werden im folgenden berührt werden.

4. Proklos zu elem. I 211f. unterscheidet drei Methoden der geometrischen Beweisführung, die

analytische, die trennende () und die apagogische. Hierzu ist nach Papp. synag. VII 634–636 noch die synthetische Methode als Gegenstück der analytischen zu fügen.

Als die trennende Methode (Procl. 211, 23–212, 1) ist wohl anzusehen das bei allen Geometern übliche Verfahren, ein allgemeines Problem, z. B. über die Vielecke, in Einzelprobleme zu zerlegen und dabei mit den verschiedenen Arten der Dreiecke zu beginnen, dann zu den Vierecken und nach Bedarf weiter zu anderen Vielecken fortzuschreiten. Etwa in besonderen Fällen sich bietende Schwierigkeiten werden durch Zwischenbeweise beseitigt.

Das Wesentliche der analytischen Beweisführung ist mehrfach in den Artikeln  und  berührt worden. Bei der Analysis, sagt Papp. synag. VII 634, setzen wir das, was wir suchen, als schon beigebracht voraus und untersuchen, auf welchem Wege dies zu stande gekommen ist, schreiten dann zurück zu den vorhergehenden Voraussetzungen, bis wir zu einem Punkte gelangen, der schon bekannt ist oder nach den allerersten Voraussetzungen (u. § 13) feststeht. Das ist die Analysis oder rückwärts schreitende Lösung. Hierauf folgt die Umkehr des Beweises durch die , wobei das in der Analysis zuletzt Ermittelte an den Anfang gestellt und von da der Beweis Schritt für Schritt fortgeführt wird, bis wir schließlich zu jenem Punkte gelangen, den wir anfänglich als schon festgestellt angenommen hatten; vgl. Diog. Laert. III 24 (o.  § 6).  Vorles. über Gesch. der Mathem. I 207ff.  Hist. des mathém. 75ff.

Die apagogische Beweisführung erklärt Proklos 212, 1–4 als die Zurückführung auf etwas Unmögliches. Sie beweist das Gesuchte nicht unmittelbar, sondern widerlegt das Entgegenstehende und findet so accidentiell die Wahrheit. In den Artikeln  und  ist an verschiedenen Stellen bemerkt worden, daß nach  Hist. des mathém. 80ff. 136ff. die apagogische Form zurückzuführen ist auf die Exhaustionsmethode der Neueren.

5. Anaximandros von Milet (610 bis ungefähr 545), Schüler und Nachfolger des Thales, hat nach Suidas außer der Einrichtung des Gnomon auch eine allgemeine  bekannt gegeben. Abweichend von  Geometrie vor Euklides 63 ist das Wort  ohne Zweifel in demselben Sinne zu nehmen, wie später Proklos in seiner  ( Abhdl. Ges. der Wiss. Göttingen N. F. I 5 [1897], 9 a. E.) es aufgefaßt hat. Es war ein Abriß der G.; nur bleibt es zweifelhaft, ob Anaximandros selbst einen solchen Abriß abgefaßt und herausgegeben hat oder ob in seiner Schule die Erinnerung daran sich fortgepflanzt und spätere Mitteilungen darüber veranlaßt hat. Das  des Suidas spricht eher für die letztere Auffassung.

Die Nachweise über die geometrische Tätigkeit des (älteren) Anaximandros sind o. Bd. II S. 2085 nachzutragen.

6. Die ersten Elemente der G. sind nach Eudemos bei Procl. in I. elem. 66, 7 von Hippokrates von Chios verfaßt worden. Nächstdem

soll Leon auf demselben Gebiete sich verdient gemacht haben (ebd. 66, 20). Auch Theudios wird wegen einer vortrefflichen Darstellung der Elemente gerühmt (67, 14). Über alle diese Schriften fehlen uns nähere Mitteilungen; es ist aber wohl anzunehmen, daß sie sowohl nach Form als nach Inhalt hinter dem späteren Werke, das Euklid uns hinterlassen hat, zurückstanden. Betreffs der Sätze, die dem Hippokrates bei der Quadratur der Lunula bekannt gewesen sein müssen, vgl.  Greek Geometry 75–77. Die Probleme 15 und 26 des ersten Buches des Euklid sollen zuerst von Thales, die Probleme 12 und 23 von Oinopides (um 430 v. Chr.) aufgestellt worden sein, Procl. in I. elem. 283. 299. 333. 352.  Géom. grecque 88–90.

Da es feststeht, daß Euklid (s. d. § 7) im ganzen mehr Bearbeiter als Erfinder der Elemente gewesen ist, so treten uns in seinem großen Werke allenthalben die Spuren der Tätigkeit früherer Geometer entgegen (o.  § 8. 13. 15–31). Die Bücher I, II und IV sind in der Hauptsache auf Pythagoreische Lehre zurückzuführen. Buch III enthält Elementarsätze, die seit Thales Gemeingut der griechischen Geometer waren. Der Inhalt von Buch V und zum Teil auch von VI rührt von Eudoxos her; für Buch X und XIII sind die Pythagoreer, Theaitetos und Eudoxos maßgebend gewesen.

Genauere Nachweise über eine Reihe von Elementarsätzen, die längere oder kürzere Zeit vor Euklid bekannt gewesen und von den damaligen Mathematikern angewendet worden sind, waren aus der sog. Sphärik des 4. Jhdts. (oben  § 46) zu entnehmen.  Ber. Ges. der Wissensch. Leipzig 1886, 136ff. 153–155.

Fünf Sätze über einige wechselseitige Verhältnisse bei Kegeln und Zylindern, die wir als die 11. bis 15. Proposition des zwölften Buches der Elemente Euklids zu zitieren pflegen, sind nach Archim. de sphaer. et cyl. I 16 Lemma 1–5 schon von den Vorgängern Euklids bewiesen worden (); vgl. o.  § 7.  The Works of Archimedes XLIX. 

7. Die Aufgabe, einen Winkel in drei gleiche Teile zu zerlegen (, trisectiο), konnte durch die elementare G., der nur Lineal und Zirkel zu Gebote standen, nicht gelöst werden. Hippias von Elis (s. d.) hat zu diesem Zwecke eine Kurve erfunden, welche durch Verbindung zweier Bewegungen, einer drehenden und einer fortschreitenden, erzeugt wurde und mit deren Hilfe jeder Winkel in drei oder mehr gleiche Teile, oder überhaupt in beliebig viele Teile, die zu einander in gegebenen Verhältnissen stehen sollten, geteilt werden konnte. Papp. synag. IV 252 Hu.  Vorles. über Gesch. der Math. I 184f.  Hist. des mathém. 62f.

Unter den Lemmata (liber assumptorum) des Archimedes (s. d. § 19) zielt, wie es scheint, der achte Satz auf die Dreiteilung des Winkels hin. Archimedes hat dabei, wie  Hist. 64f. nachweist, die Methode der Interkalation angewendet, indem er einen außen an den Kreis sich anlehnenden Winkel DEF als gleich je der Hälfte eines zweiten und dritten Winkels und hiernach gleich dem Drittel des Zentriwinkels ABC nachweist. Zu demselben Zwecke hat  (s. d.)

seine Muschellinie ( oder ) erfunden, Eutoc. in Archim. de sphaer. et cyl. II 114ff. Heib.  67. Auch die Efeulinie () des Diokles (o. Bd. V S. 813f.), auf die wir bei der  zurückkommen werden, konnte zur Dreiteilung des Winkels verwendet werden,  a. a. O. 338f.

8.–12. Würfelverdoppelung. Konstruktion von zwei mittleren Proportionalen.

8. Der Geograph Eratosthenes, der unter Ptolemaios III. Euergetes (247–221) als Vorsteher der Bibliothek von Alexandreia wirkte, hat in einem Schreiben an Ptolemaios über das sog. delische Problem berichtet. Die Aufgabe, einen gegebenen Würfel zu verdoppeln, war schon durch Hippokrates von Chios gelöst worden. Später sollen die Delier es geplant haben, einen ihrer Altäre zweimal so groß, als bisher, herzustellen. Sie hätten sich daher an Platon und die Geometer in der Akademie gewendet und, wie aus einem späteren Teile des Berichtes hervorgeht, durch Platon die gewünschte Lösung empfangen. Eutoc. in Archim. de sphaer. et cyl. II 102ff. Heib. Theo Smym. 2 Hiller (aus dem  des Eratosthenes). Plut. de genio Socr. 579 B. C; de E apud Delphos 386 E. Ioann.  in Aristot. analyt. post. I 7. v.  Nachr. Ges. d. Wiss. Göttingen 1894, 15ff.  Das delische Problem, Progr. Gymn. Seitenstetten 1895, 5ff.

9. Hippokrates hatte gefunden, daß man, um zu einem gegebenen Würfel einen doppelt so großen zu konstruieren, zwischen den Größen 1 und 2 zwei mittlere Proportionalen einschieben müsse; der Kubus der ersteren mittleren Proportionale werde dann der gesuchte Würfel sein. Es war ihm also schon der Satz bekannt gewesen, der uns bei Eukl. elem. XI 33 (vgl. dazu das coroll. und V def. 10) überliefert ist. Keine Schwierigkeit hätte die Aufgabe gemacht, einen achtmal so großen Würfel herzustellen; denn zwischen 1 und 8 sind die zwei mittleren Proportionalen 2 und 4 und 2 ist = 8. Wurden aber andere Zahlen aufgegeben, so verzichteten die älteren Geometer auf die direkte arithmetische Lösung, bestimmten also nicht, wie das delische Problem es verlangte, die Größe , sondern suchten auf verschiedenen Wegen, indem sie die Größen 1 und 2 als Gerade setzten, zwischen ihnen die zwei mittleren Proportionalen zu konstruieren und den Kubus der ersten Proportionale als den doppelt so großen Würfel nachzuweisen.

10. Es ist hierbei noch besonders darauf hinzuweisen, daß jede Zahl allgemein als Größe im Sinne von Eukl. elem. V def. 1–10 (vgl. oben  § 15) zu gelten hat und insbesondere ebensowohl als Längen- wie als Flächendimension oder auch als Körperzahl angesehen werden kann. Als Beispiel diene 64. Das bedeutet entweder 64 Längeneinheiten oder ein Quadrat, dessen Seite 8 Längeneinheiten hält, oder einen Würfel mit einer Kante von 4 Längeneinheiten oder auch beliebige Flächen oder Körper, die den erwähnten Quadraten oder Würfeln gleich sind.

Allgemein wird also der Satz der Proportionalität lauten: Zwischen zwei gegebenen Zahlen

oder Geraden oder Flächen oder Körpern können beliebig viele proportionale Zahlen oder Gerade oder Flächen oder Körper in stetiger Analogie eingefügt werden.

Demnach kann man dem Erklärungsversuche von  Über zwei Stellen in Platons Timäus, Progr. Grimma 1898, keine Folge geben. In der Formel  sollen die Größen  und  Körper, dagegen  und  Gerade sein. Das ist unannehmbar und damit fällt alles übrige, was der Verfasser vorschlägt, zusammen. Auch wenn man Zahlen wählt, z. B. 1 und 8, so sind zunächst sowohl 1 und 8 als auch die mittleren Proportionalen 2 und 4 als Körperzahlen anzusehen, die sich nach der stetigen Proportion 1:2 als rechtwinklige Parallelepipede a) mit der Höhe 1, Breite 1 und Länge 2, b) mit der Höhe 1, Breite 2 und Länge 2 zwischen die Würfel 1 und 8 einschieben. Vgl. Plat. Tim. 31 B–32 B. Es ist aber auch nach dem allgemeinen Brauche der alten Geometer gestattet, für die Größen 1, 2, 4, 8 gerade Linien als  zu wählen, und dann wird die erste mittlere Proportionale, in die dritte Potenz erhoben, die Größe 8 ergeben. Ähnlich verhält es sich in allen anderen Fällen, Archim. de sphaer. et cyl. II 222, 20. 224, 5 u. a. Vgl.  zu Procl. in Plat. remp. II 404f. Kroll.  Berliner Philol. Wochenschr. 1898, 1569f.

Dabei bleibt der eben angeführte allgemeine Satz der Proportionalität unangetastet, und es sind daher die von Procl. in Tim. II 31ff. Diehl erwähnten Einwendungen zu beurteilen, daß zwischen zwei Kubikzahlen auch  mittlere Proportionale und zwischen zwei Quadratzahlen zwei oder mehrere Proportionalen eingeschoben werden können. Das von Demokrit erhobene Bedenken ist von diesem selbst im Sinne Platons beseitigt worden, Procl. ebd. 33, 13–28.

11. Wir führen nun die verschiedenen, von den alten Geometern versuchten Lösungen des delischen Problems in chronologischer Reihenfolge auf.

I. Hippokrates von Chios. Eratosthenes bei Eutoc. in Archim. de sphaer. et cyl. II 104, 11–16 Heib. Procl. in I. elem. 213, 7–9.

II. Auch die Pythagoreer haben sich schon mit diesem Probleme beschäftigt. Wie Eudemos berichtete, hat Archytas die Aufgabe durch den Schnitt eines Halbzylinders gelöst, Eutoc. a. a. O. 98, 18–102, 19. 106, 3f.  Vorles. über Gesch. der Mathem. I 215–217.  Hist. des mathém. 69–71.  Das delische Problem I 22ff.  Modena Accad. di Scienze X, ser. II (1893) 93ff.

III. Platons Verfahren (Eutoc. 66–70) war, wie  a. a. O. 214f. darlegt, das erste Beispiel einer Bewegungs-G. Es beruhte auf einer Vorrichtung, die sich als Rechteck mit zwei festen und zwei in paralleler Lage verschiebbaren Seiten bezeichnen läßt. Bei der Handhabung kam es auf die Geschicklichkeit des Benutzers an, der versuchsweise gewisse Lagenverhältnisse der Teile des Apparates hervorbringen mußte (ebd. 337); vgl.  a. a. O. 71f.  a. a. O. 49ff.  a. a. O. 115f.

IV. Über die Lösung durch Eudoxos ist oben in diesem Artikel § 9 berichtet worden. Außer

auf  und  (ebd. § 9 a. E.) ist hier noch auf  32ff. und  135ff. zu verweisen.

V. Menaichmos, der Schüler des Eudoxos, hat zwei Lösungen, die eine durch eine Parabel in Verbindung mit einer Hyperbel, die andere durch zwei Parabeln, aufgestellt. Eutoc. in Archim. de sphaer. et cyl. II 92–98 teilt uns zu diesen Lösungen sowohl die Analysis wie die Synthesis mit; vgl.  bei Procl. in I. elem. 111, 20.  217f.  37ff.  71.  137ff.

VI. Eratosthenes benutzte einen Apparat, den er  nannte (Papp. synag. III 54, 31). Ein feststehendes dünnes Metalltäfelchen in Form eines Oblongum hatte rechts neben sich zwei andere ebenfalls rechtwinklige Metalltäfelchen, die parallel mit der aufrechtstehenden Seite des ersten Täfelchens verschoben werden konnten. Es bedurfte nur einiger Geschicklichkeit des Benutzers, um zu zwei gegebenen Geraden zwei mittlere Proportionalen vor Augen zu führen. Eratosthenes bei Eutoc. in Archim. de sphaer. et cyl. II 102–114.  315f.  II (Fortsetzung des oben angeführten Progr. von Seitenstetten, Linz 1896) 57ff.  Modena Accad. di Scienze XI, ser. II (1895) 145f.

Statt , einer ähnlichen Form wie  bei Ptolem. synt. V 353, 13. 354, 2. 14, hat Vitruv. IX 214, 9 Rose mesolabium.

VII. Apollonios, s. o. Bd. II S. 158, 45–52 und vgl.  Apollonios of Perga CXXVf.  II 70.

VIII. Die Muschellinie ( oder ) des  (s. d.) diente außer zur Dreiteilung des Winkels (o. § 7) auch zur Konstruktion von zwei mittleren Proportionalen. Die Linie wurde beschrieben durch ein sinnreich erfundenes Instrument, das aus drei mit einander verbundenen Linealen bestand. Zwei derselben waren senkrecht zu einander fest verbunden und das eine mit einer Ritze und einem darin verschiebbaren Zäpfchen versehen, während das dritte, ebenfalls durch eine Ritze durchbrochen und an dem einem Ende mit einem Zäpfchen versehen, durch allmähliche Verschiebung die Muschellinie aufzeichnete. Eutoc. in Archim. de sphaer. et cyl. II 114–126. Papp. synag. IV 242, 13–250, 32.  334ff.  II 74ff.  200ff.

IX. und X. Die Methoden Philons und Herons haben sich an Apollonios angeschlossen. Papp. synag. III 54, 28–56, 5.  II 66ff. Philon hat seine Lösung im ersten Buche der , das den besonderen Titel  führte, mitgeteilt und eine kürzere Darstellung im vierten Buche wiederholt. Eutoc. a. a. O. 72, 22–76, 21. Philon mech. synt. IV 51, 50–52, 27 Schoene.  II 68–70. Das Verfahren Herons ersehen wir aus dem ersten Buche seiner Mechanik S. 22, 27–26, 23 der arabisch-deutschen Ausgabe von  und  und aus den Resten der  bei Papp. synag. VIII 1070, 7–1072, 29. III 62, 14–64, 18 (vgl. ebd. 56, 11). Eutoc. a. a. O. 70, 3–72, 21; vgl.  350f.  II 66ff.

XI. Über die  oder nach Geminos  des Diokles s. o. Bd. V S. 813.

Geminos bei Procl. in I. elem. 128, 4. 152, 8. 177, 2. 187, 20f. Eutoc. a. a. O. 78, 18–82, 29.  338ff.  II 83ff.  2O5ff.

XII.  bei Eutoc. a. a. O. 90, 4–92, 17 hat sich eng an Diokles angeschlossen.  II 89.

XIII. Die Lösung eines ungenannten Geometers teilt Papp. synag. III 31–48 mit. Trotz der ablehnenden Haltung des Berichterstatters findet  II 89ff. darin einen sehr beachtenswerten Versuch einer näherungsweisen Lösung.

XIV. Die Lösung des Pappos synag. III 64, 19–68, 16. VIII 1070, 7–1072, 29 ist identisch mit der des Diokles. Eutoc. a. a. O. 88, 4f. Wie  II 87ff. im Anschluß an Eutokios nachweist, besteht ein Unterschied nur darin, daß Pappos keinen Gebrauch von einer kontinuierlichen Kurve macht, sondern die Punkte derselben mittelst eines Instrumentes näherungsweise bestimmt, wie er ja überhaupt sich vorgenommen hatte, nur mechanische Lösungen des geometrisch so schwer darstellbaren Problems zu bringen. Den Text im achten Buche des Pappos wiederholt mit geringen Abweichungen Eutoc. 84, 1–88, 3 unter der Aufschrift , womit die Überschrift bei Papp. VIII 1022, 3  zu vergleichen ist. Die Abweichungen vom Pappostexte bei Eutokios verzeichnet  zu Eutoc. 85, 1.

12. Alle diese Lösungsversuche, auf welche so viel Scharfsinn und erfinderischer Geist verwendet worden ist, können nur zu unvollkommenen Annäherungen führen, wenn es gilt, aus einer gegebenen Zahl die dritte Wurzel auszuziehen. Weit zuverlässigere Werte konnte die arithmetische Ausrechnung, obwohl man auch hier bei Annäherungen sich beruhigen mußte, ergeben.  Metrika III 176, 18–178, 1 Schoene berechnet nach einer eigentümlichen Annäherungsmethode  = 4 . Hierzu haben  Zeitschr. f. Math. XLIV (1899) S. 1ff. des Sonderabdruckes und  ebd. 3 eine allgemeine Lösungsformel aufgefunden, wonach der erstere  = 1  = 1,25 berechnet hat. Das bleibt allerdings merklich hinter der genaueren Annäherung 1, zurück. Ehe die Heronische Methode bekannt wurde, hatte ich für  nach der binomischen Formel die sehr günstige Annäherung 12  gefunden und als den 10. Teil hiervon  auf 1,, d. i. auf die dreistellige Annäherung an 1, bestimmt.

13. Ansehnliche Literaturreste sind uns über die ,geometrischen Voraussetzungen‘,  erhalten. Jede Wissenschaft, so äußert sich Procl. in I. elem. 75ff., müsse ihre bestimmten Anfänge und Voraussetzungen () haben. Bei der G. seien dies die  im engeren Sinne, d. i. die  oder Definitionen, ferner die  und . Alle diese Gattungen wurden von den Stoikern unter dem gemeinsamen Namen  vereinigt (ebd. 77, 2–6). Daß auch diese Stelle des Proklos, wie unzählige andere, aus Geminos geschöpft ist, ersehen wir aus 178, 1 (vgl. mit 182, 5): 

, womit das ebenfalls aus Geminos geschöpfte Scholion 1 Eucl. op. V 74, 15ff. übereinstimmt, vgl. o.  § 9.  Hist. des mathém. 94–114.  Modena Accad. di Scienze XI, ser. II 19–23.

Einiges über  und  (die er von den  unterscheidet) bemerkt Aristot. analyt. poster. I 10, 7–11; die  erwähnt er ebd. 5; vgl. Procl. in I. elem. 76, 6–77, 2. Ausführlich über den Unterschied zwischen  und  handelt Geminos bei Procl. a. a. O. 178ff. An die Stelle des Aristoteles knüpft Geminos ebd. 183, 13–20 eine kurze Polemik gegen Apollonios.

 hat in einer Streitschrift gegen den Epikureer  von Sidon (Procl. 217, 24–218, 2) verschiedene Untersuchungen über die Euklidischen Definitionen, Postulate und Axiome angestellt (Procl. 199, 14–200, 3). Über seine Definition des Punktes s. Anarit. in decem libr. priores elem. 3, 23–25 Curtze, der Parallelen Procl. 176, 6–17 (vgl. u. § 15), des geometrischen  ebd. 143, 8–21, über die Unterscheidung von  (nämlich eines Theorems) und  ebd. 8, 15–20 und u. § 16.

14. Der Winkel wurde von den Pythagoreern , d. i. Spitze oder Ecke, benannt, Heron defin. 17. Procl. in Plat. remp. II 26, 18–21. Schon in der zweiten Hälfte des 4. Jhdts. v. Chr. hat Eudemos von Rhodos über den Winkel geschrieben, s. o.  § 9, Abs. 4. Später ist Apollonios von Perge, wie Geminos bei Procl. in I. elem. 123, 15–17 mitteilt, gegen die 8. Definition des Euklid mit der Behauptung aufgetreten, der Winkel sei keine  von zwei Ebenen oder Geraden zu einander, sondern das Zusammentreffen einer Fläche oder eines (von Flächen umschlossenen) Körpers unter einer gebrochenen Linie oder Fläche. Hieran knüpft Procl. 123ff. eine längere Erörterung, in welcher er, auf seinem Lehrer  fußend, gegen Apollonios Stellung nimmt. Auch von Anarit. in decem libr. priores elem. Eucl. 12, 31. 13, 9 Curtze wird diese Definition des Apollonios erwähnt; doch weiß Anaritius, der hier den Kommentar des Simplikios zum ersten Buche der Elemente benützt hat, weiter zu berichten, daß Apollonios selbst seine Definition als nicht für alle Fälle gültig erkannt und Ausnahmen dazu statuiert habe, wodurch dann Geminos zu einer neuen, von der Apollonischen abweichenden Definition geführt worden sei. Alle diese nachträglichen Erörterungen, die zu leeren Schulstreitigkeiten ausarteten, haben nicht vermocht, die Euklidische Definition des Winkels umzustoßen.

Über die Winkel, welche eine Gerade mit einer Kreisperipherie bilden kann, ist o.  § 13, Abs. 1, berichtet worden. Dort wurde auch die  (Geminos bei Procl. in I. elem. 104, 18 usw.) erklärt. Wenn diese Benennung, wofür einige Wahrscheinlichkeit spricht, von Apollonios herrührt, so hat sie in dessen  (o. Bd. II S. 159. 11–18) gestanden.

15. Daß es eine Theorie der Parallellinien schon vor Euklid gegeben hat, ist in jenem Artikel § 9, Abs. 4, nachgewiesen worden. Bei

Euklid gilt die 23. Definition den Parallelen. Das von Neueren sog. 11. Axiom, das von  The Elements of Euclid als 12. gezählt wird, ist in der Ausgabe von  das 5.  des ersten Buches der Elemente.

Später haben über Parallelen geschrieben Poseidonios (Procl. in I. elem. 176, 6–17), Geminos (ebd. 176, 18–177, 25. Anarit. in decem libr. priores elem. Eucl. 26f.), Ptolemaios (Procl. 365f. 367f.). Simplikios bei Anarit. 25f.

16. Zu den ersten Voraussetzungen der G. gehörte auch die Unterscheidung von  und . Recht gewundene Erklärungen, die von Zenodotos und seinen Anhängern im Anschluß an die Schule des  ausgegangen sind, teilt Procl. in I. elem. 80, 15–20 mit. Poseidonios sah in der  die Frage darnach, ob ein Gewisses statt hat oder nicht, und in dem Problem das Suchen darnach, was vorliegt oder von welcher Beschaffenheit es ist, Procl. a. a. O. 80, 20–81, 4. Geminos bei Procl. 81 wies darauf hin, daß schon durch die Schlußformeln zu den Sätzen Euklids  und  der wesentliche Unterschied gegeben sei. Bei den Theoremen beabsichtigen wir zu erkennen, was aus den Voraussetzungen folgt, bei den Problemen wird uns aufgegeben, etwas herbeizuschaffen und ans Licht zu bringen. Gemin. a. a. O. 178, 24–179, 2. 200, 21–201, 18, vgl.  Eucl. op. V 114, 21–115, 21. Papp. synag. III 30, 3–12. VII 650, 16–18.

Sowohl das Theorem als das Problem zerfällt in die folgenden Teile, von denen vorkommendenfalls der zweite Teil mit dem ersten zusammenfällt und der dritte ausbleibt: I.  (propositio), II. , III. , IV.  (constructio). V.  (demonstratio) und dazu als abschließender Rückblick das , Geminos bei Procl. 203–210. Schol. Eucl. op. V 115, 21–116, 19.

Auch über das  als Hilfssatz zu einem Beweise stellt Geminos a. a. O. 211, 1–212, 4 einiges zusammen, vgl.  Eucl. op. V 117, 13–15.