1 − 2 + 3 − 4 + ⋯
Trong toán học, 1 − 2 + 3 − 4 + ··· là một chuỗi vô hạn với các số hạng là những số nguyên dương liền tiếp và đan dấu với nhau. Sử dụng ký hiệu tổng sigma để biểu diễn tổng của m số hạng đầu tiên của chuỗi này:

Chuỗi vô hạn này phân kỳ, nghĩa là dãy các tổng hữu hạn của chuỗi số, , không hội tụ về một giới hạn. Tuy nhiên, vào giữa thế kỷ thứ 18, Leonhard Euler đã đưa ra một phương trình nghịch lý:

Cho đến mãi sau này mới có một lời giải chính xác về phương trình này.

Chuỗi  có quan hệ gần gũi với chuỗi Grandi:  Euler đã coi hai chuỗi này là các trường hợp đặc biệt của chuỗi  với mọi n.

Sự phân kỳ 
Các số hạng của tổng (1, −2, 3, −4,...) không tiếp cận số 0, vậy nên  là một chuỗi phân kỳ. Có thể chỉ ra sự phân kỳ trên một mức độ cơ bản. Theo định nghĩa, một chuỗi vô hạn hội tụ hay phân kỳ phụ thuộc vào dãy các tổng riêng của nó hội tụ hay phân kỳ. Các tổng riêng của  là:
1 = 1;
1 − 2 = −1;
1 − 2 + 3 = 2;
1 − 2 + 3 − 4 = −2;
1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3;
1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3;
...

Dãy số này rất đáng ghi nhận vì mỗi số nguyên chỉ xuất hiện một lần—kể cả 0 nếu tính luôn tổng riêng rỗng—và qua đó củng cố ý tưởng rằng tập hợp  các số nguyên đếm được. Dãy các tổng riêng rõ ràng cho thấy chuỗi không hội tụ vào một số cụ thể nào đó, nên  phân kỳ.

Heuristic cho phép lấy tổng

Tính ổn định và sự tuyến tính 
Vì các số hạng 1, −2, 3, −4, 5, −6,... tuân theo một quy luật đơn giản, chuỗi  có thể được lợi dụng bằng cách chuyển chỗ và cộng từng số hạng để có thể cho ra kết quả là một con số. Nếu có thể viết  với một con số s bình thường, những bước sau củng cố ý tưởng rằng 

 

Vậy .

Xem thêm 
 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯

Chú thích

Tham khảo 
 
 
  Ban đầu được xuất bản là 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Chuỗi toán học
Các nghịch lý toán học