Phương trình đường thẳng


Một số khái niệm

Vectơ chỉ phương của đường thẳng 
Vectơ  và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng được xem là vectơ chỉ phương của đường thẳng. Khi đó, với , vectơ  cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng 
Vectơ  và có giá vuông góc với đường thẳng được xem là vectơ pháp tuyến của đường thẳng. Khi đó, với , vectơ  cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó

Tương quan giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng 
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng d có vectơ chỉ phương  thì có vectơ pháp tuyến là  hay . Ngược lại, đường thẳng d có vectơ pháp tuyến  thì có vectơ chỉ phương là   hay  

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, đường thẳng d có vectơ  và vectơ  là 2 vectơ pháp tuyến thì có vectơ chỉ phương là tích có hướng giữa  với  hoặc giữa  với .

Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

Dạng tham số 
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d đi qua điểm  và nhận  làm vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của d là với t được gọi là tham số. Với mỗi giá trị  ta được một điểm thuộc đường thẳng.

Dạng chính tắc 
Nếu  và , từ phương trình tham số ta khử tham số t, ta được phương trình chính tắc  

Đường thẳng song song hoặc vuông góc với các trục tọa độ thì không có phương trình chính tắc

Dạng tổng quát 
Phương trình ax+by+c=0 với  được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng, khi đó  là vectơ pháp tuyến của đường thẳng.

Các trường hợp đặc biệt 
Đường thẳng by+c=0 (a=0) vuông góc với trục Oy tại điểm 

Đường thẳng ax+c=0 (b=0) vuông góc với trục Ox tại điểm 

Đường thẳng ax+by=0 (c=0) đi qua gốc tọa độ O(0;0)

Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn 
Đường thẳng đi qua 2 điểm () và () thì có thể được viết dưới dạng phương trình

Hệ số góc của đường thẳng 
Cho đường thẳng d cắt trục Ox tại M và tia Mt là một phần của đường thẳng nằm ở nửa mặt phẳng có bờ là trục Ox mà các điểm trên nửa mặt phẳng đó có tung độ dương, khi đó tia Mt hợp với tia Mx một góc . Đặt , khi đó k được gọi là hệ số góc của đường thẳng d.

Đường thẳng có vecto chỉ phương  thì có hệ số góc 

Đường thẳng có vectơ pháp tuyến  thì có hệ số góc 

Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau.

Hai đường thẳng vuông góc có tích 2 hệ số góc là -1.

Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng 
Cho 2 đường thẳng: (D) Ax+By+C=0 và (d) ax+by+c=0

(D) cắt (d)   khi đó tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình 

(D) // (d)  

(D) (d)A:B:C = a:b:c

Góc giữa 2 đường thẳng 
Cho đường thẳng (D) và (d) cắt nhau tại điểm M. Gọi  là vectơ pháp tuyến của (D) và  là vectơ pháp tuyến của (d). Gọi  là góc nhọn tạo bởi 2 đường thẳng, khi đó   

2 đường thẳng vuông góc thì 

2 đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì 

Cách tính trên cũng đúng khi sử dụng vectơ chỉ phương

Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng 
Cho đường thẳng (d) ax+by+c=0 và , khoảng cách từ điểm M đến (d) được tính theo công thức

Vị trí của 2 điểm đối với đường thẳng 
Cho đường thẳng (d) ax+by+c=0 và 2 điểm ,  không nằm trên (d). Xét các biểu thức  và , khi đó M và N nằm cùng phía với d khi m và n cùng dấu, khác phía khi m và n trái dấu

Phương trình đường thẳng trong không gian

Dạng tham số 
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm  và nhận  làm vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của d là  với t được gọi là tham số. Với mỗi giá trị  ta được một điểm thuộc đường thẳng.

Dạng chính tắc 
Nếu cả , ,  đều khác 0, từ phương trình tham số ta khử tham số t, ta được phương trình chính tắc

Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng 
Cho đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương  và (d') có vectơ chỉ phương   . Gọi M(x,y,z) là một điểm nằm trên (d) và M'(x',y',z') là một điểm nằm trên (d'). Ta có:

(d)(d') 

(d)//(d') và 

(d) cắt (d')

(d) và (d') chéo nhau

Khoảng cách

Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng 
Cho đường thẳng (d) đi qua điểm  và có vectơ chỉ phương . Khoảng cách từ điểm M đến (d) là

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau 
Cho 2 đường thẳng chéo nhau (d) và (d'). Đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương  và đường thẳng (d') có vectơ chỉ phương . Gọi M(x,y,z) là một điểm nằm trên (d) và M'(x',y',z') là một điểm nằm trên (d'). Khi đó khoảng cách giữa (d) và (d') là

Xem thêm 
Đường thẳng

Liên kết ngoài 

 Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 10
 Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 10 Nâng cao
 Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 12 
 Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 12 Nâng cao 

Hình học giải tích
__KHÔNG_MỤC_LỤC__