Leonhard Euler
Leonhard Paul Euler (, ) (Basileia,  — San Petersburgo, ) fui un grande matemático i físico suíço de léngua almana que passou la maior parte de sue bida na Rússia i na Almanha.

Euler fizo amportantes çcubiertas an campos bariados ne ls cálclos i grafos. El tamien fizo muitas cuntribuiçones pa la matemática moderna ne l campo de la treminologie i notaçon, an special pa las análezes matemáticas, cumo la noçon dua funçon matemática.

Para alhá desso tornou-se célebre por sous trabalhos an macánica, ótica, i astronomie. Euler ye cunsidrado un de ls mais proeminentes matemáticos de l seclo XVIII. Ua declaraçon atribuída la Pierre-Simon Laplace manifestada subre Euler na sue anfluéncia subre la matemática: "Leian Euler, leian Euler, el ye l mestre de todos nós. 

Euler fui un de ls mais prolíficos matemáticos, calcula-se que to la sue obra reunida tenerie antre 60 i 80 belumes.

 Bida 

Leonard Paul Euler naciu an Basileia, Suíça, filho de l pastor calbenista Paul Euler i de Margaret Brucker, filha dun pastor. Tubo dues armanas mais nuobas, Anna Marie i Marie Magdalena.

Sue eiducaçon purmeira fui dada por sou pai Paul que le ansinou matemática. An 1720, al treze anhos, Euler angressou na pequeinha Ounibersidade de Basileia que possuía un famoso departamiento de studos de la matemática liderada por Johann I Bernoulli, armano de Jacob Bernoulli. Johann recusou-se a dar aulas particulares la Euler, ouferecendo anton un balioso cunseilho de cumo studar por cunta própia.

An 1722, recibe l grau de Mestre an Artes, i ne l sou eisame dou un çcurso an latin cumparando las filosofies de Çcartes i Newton. Nesta altura, yá recebie, als sábados a la tarde, liçones de Johann Bernoulli, que debrebe çcubriu l sou talento pa la matemática.

Euler nesta altura studaba teologie, griego i heibraico, pula buntade de sou pai - para mais tarde se tornar pastor. Mas Johann Bernoulli resolbiu anterbir i cumbenceu Paul Euler que l sou filho staba çtinado a ser un grande matemático.

An 1726, Euler cumpletou la sue dessertaçon na propagaçon de l sonido, i a 1727 ancorporou la cumpetiçon premiada de l porblema de la Academie de Paris, adonde l porblema de l'anho era ancontrar a melhor maneira de poner ls mastros nun nabio. Ganhou l segundo lugar, perdendo para Pierre Bouguer, mais tarde coincido cumo “l pai de l'arquitetura nabal”.

Euler, antretanto, ganharie l prémio anual duoze bezes.

 Cuntribuiçones pa la ciéncia 

Euler trabalhou an quaije todas las árias de la matemática: geometrie, cálclo anfenitesimal, trigonometrie, álgebra i teorie de ls númaros, bien cumo dou cuntenidade na física, newtoniana, teorie lunar i outras árias de la física. El ye ua figura seminal na stória de la matemática, sues obras, muitas de las quales son d'antresse fundamental, qu'acupan antre 60 i 80 belumes. L nome de Euler stá associado a un grande númaro de temas.
Euler ye l único matemático que ten dous númaros an houmenaige a el: L Númaro eimensamente amportante de Euler ne l cálclo, , aprossimadamente eigual a 2,71828, i la custante de Euler-Mascheroni γ (gama) por bezes referido solo cumo "custante de Euler", aprossimadamente eigual para 0,57721. Nun se sabe se γ ye racional ó eirracional.

Notaçon matemática
Euler antroduziu i popularizou bárias cumbençones de notaçon atrabeç de sous numerosos i amplamente dibulgados libros didáticos. Mais notabelmente, antroduziu l cunceito dua funçon, i fui l purmeiro a screbir  para denotar la funçon f aplicada al argumiento x. El tamien antroduziu la notaçon moderna pa las funçones trigonométricas, la letra  pa la base de l logaritmo natural (agora tamien coincido cumo númaro de Euler), la Σ letra griega para somatórios i la letra  para repersentar l'ounidade eimaginária. L'uso de la letra griega π(pi) para chamar la rezon antre la circunferéncia dun círclo i l sou diámetro tamien fui popularizado por Euler, ambora nun se ouriginou cul.

Análeze
L zambolbimiento de l cálclo anfenitesimal staba na banguarda de la pesquisa matemática de l seclo XVIII, i ls amigos, de Euler, de la Família Vernoullis - fúrun respunsables por grande parte de l progresso enicial ne l campo. Grácias a la sue anfluéncia, studando cálclo tornou-se l foco percipal de l trabalho de Euler. Ambora alguas de las probas de Euler nun son aceitables pa ls padrones modernos de rigor matemático (an particular la sue dependéncia an relaçon al percípio de la generalidade de la álgebra), sues eideias liebórun a muitos grandes abanços. Euler ye bien coincido na análeze pula sue outelizaçon frequente i zambolbimiento de la série de poténcia, la spresson de funçones cumo somas dun númaro anfenito de tenermos, tales cumo:

Notabelmente, Euler probou diretamente las spansones an séries de poténcia para  i la funçon de la tangente ambersa. (Proba andireta atrabeç de la técnica de séries de poténcia ambersa fui dada por Newton i Leibniç. (Antre 1670 i 1680) Sou uso ousado de la série de poder le permitiu resulber l famoso porblema de Basileia an 1735 (el forneciu un argumiento mais eilaborado an 1741):

Euler antroduziu l'uso de la funçon sponencial i logaritmo an probas analíticas. El çcubriu maneiras de spressar dibersas funçones logarítmicas outelizando séries de poténcia, i el cunseguiu defenir logaritmos para númaros negatibos i cumplexos, ampliando cunsidrabelmente l leque d'aplicaçones matemáticas de logaritmos. El tamien defeniu la funçon sponencial para númaros cumplexos, i çcubriu la sue relaçon culas funçones trigonométricas. Para qualquiera númaro rial φ (tenida cumo radianos), la fórmula de Euler afirma que l cumplexo sastifaç la funçon sponencial.

Un causo special de la fórmula arriba ye coincida cumo la eidantidade de Euler,  chamada de "la fórmula mais notable an matemática", por Richard Feynman, por sous usos andebiduales de las noçones d'adiçon, multiplicaçon, sponenciaçon, i eigualdade, i ls usos andebiduales de a custantes  i . An 1988, ls leitores de la Mathematical Antelligencer botórun cumo sendo "la fórmula matemática mais guapa de todos ls tiempos". Ne l total, Euler fui respunsable por trés de las cinco melhores fórmulas nessa enquete.

Pafnuti Tchebycheb screbiu: "Euler fui l'ampeço de todas las pesquisas que cumponen la teorie giral de ls númaros." La maiorie de ls matemáticos de l seclo XVIII se dedica al zambolbimiento d'análeze, mas Euler carregaba l'antiga peixon aritmética al longo de sue bida. Por causa de sou antresse na teorie de ls númaros, la mesma, fui rebebida até l final de l seclo.

Euler cuntinou cun sues pesquisas feita antes (sob l'anfluéncia de Diophantus) ua série d'heipóteses apartadas subre ls númaros naturales. Euler probou rigorosamente essas heipóteses, mui generalizada i las cumbinou nua antressante teorie de ls númaros. El antroduziu na matemática "funçon de Euler" crítica i formulada cula ajuda de l "teorema de Euler". Euler criou la teorie de ls resíduos quadráticos i cumparaçones, apuntando pa l radadeiro critério de Euler.

Euler Antroduziu la funçon zeta de Riemann, ua generalizaçon, que mais tarde recebiu l nome de Vernhard Riemann

berdadeiro. Euler probocou la sue spanson:
 , adonde l perduto ye feita subre todos ls primos, . Debido a esso, el probou que la soma de l'amberso simples  diberge.

Teorie de ls númaros
L'antresse de Euler na teorie de ls númaros puode ser atribuída a l'anfluéncia de Christian Goldbach, sou amigo na Academie de San Petersburgo. Muitos de ls purmeiros trabalhos de Euler na teorie de ls númaros fúrun baseadas nas obras de Pierre de Fermat. Euler zambolbiu alguas de las eideias de Fermat, i refutou alguas de las sues cunjeturas.
Euler ligou la natureza de la çtribuiçon prebilegiada, cun eideias d'análeze. Cunseguiu probar que la soma de ls recíprocos de ls primos diberge. Al fazer esso, el çcubriu la conexon antre la funçon zeta de Riemann i ls númaros primos, l que ye coincido cumo la fórmula de l perduto Euler pa la funçon zeta de Riemann.

Euler probou eidantidades de Newton, Pequeinho Teorema de Fermat, teorema de Fermat an somas de dous quadrados, i el fizo cuntribuiçones çtintas al Teorema de Fermat-Lagrange. Ambentou tamien la funçon φ totiente (m). Usando las propiadades desta funçon, el generalizou l teorema de Fermat al que ye hoije coincido cumo l teorema de Euler. El cuntribuiu de forma seneficatiba pa la teorie de ls númaros purfeitos, qu'habie fascinado ls matemáticos zde Ouclides. Euler tamien cunjeturou la lei de la reciprocidade quadrática. L cunceito ye cunsidrado cumo un teorema fundamental de la teorie de ls númaros, i sues eideias pabimentórun l camino pa l trabalho de Carl Friedrich Gauss.

Teorie de ls grafos
An 1736, Euler resolbiu l porblema coincido cumo siete puontes de Königsberg. La cidade de Königsberg, Prússia, fui custruída ne l riu Pregel, i ancluiu dues grandes ilhas que stában conetadas antre si i al cuntinente por siete puontes. L porblema era l de decidir se ye possible seguir un camino qu'atrabessa cada ua de las puontes satamente ua beç i retornar al punto de partida. Esta soluçon ye cunsidrada cumo sendo l purmeira teorema de la teorie de ls grafos, specificamente de la teorie gráfica planar.

Euler tamien çcubriu la fórmula  relacionando l númaro de bértices, arestas i faces dun poliedro cumbexo i, antoce, dun grafo planar. La custante nesta fórmula ye agora coincida cumo la caratelística de Euler pa l gráfico (ó oubjeto de cálclo), i stá relacionaao cul género de l'oubjeto. L studo i generalizaçon desta fórmula fúrun, especificamente atrabeç de Cauchy, L'Huillier, stando na ourige de la topologie.

Matemática aplicada
Alguns de ls maiores sucessos de Euler fúrun na resoluçon de porblemas de l mundo rial analiticamente, i an çcrebir einúmaras aplicaçones de l númaros de Bernoulli, série de Fourier, diagramas de Benn, númaro de Euler s, las custantes  i pi, fraçones cuntínuas i antegrales. El antegrou cálclo defrencial de Leibniç 's cul de Newton, i las ferramientas que tornórun mais fácele d'aplicar l cálclo de porblemas físicos zambolbidos. El fizo grandes progressos na melhorie de la aprossimaçon numérica d'antegrales, ambentando l qu'hoije ye coincido cumo aprossimaçones de Euler. La mais notable dessas aprossimaçones son método de Euler i la fórmula de Euler. El tamien facelitou l'uso de eiquaçones defrenciales, an particular, l'antroduçon de la custante Euler-Mascheroni.

Un de ls antrisses mais ancomuns de Euler fui l'aplicaçon d'eideias matemáticas na música. An 1739, el screbiu l Tentamen nobae theoriae musicae, na sperança de, eibentualmente, ancorporar la teorie musical cumo parte de la matemática. Esta parte de sou trabalho, inda assi, nun recebiu grande atençon i yá fui çcrita cumo mui matemático para musiqueiros i demasiado musical para matemáticos.

Trabalhos na física
Euler ajudou a zambolber l modelo de biga de Euler-Bernoulli, que se tornou un marco de l'angenharie. Para alhá d'aplicar cun sucesso las sues ferramientas analíticas para porblemas an macánica clássica, Euler tamien aplicou essas técnicas para porblemas celhestres. Sou trabalho an astronomie fui reconhecido por ua série de prémios de la Paris Academy al longo de sue carreira. Sues rializaçones ancluen detreminar cun grande percison las órbitas de cometas i outros cuorpos celhestres, cumprender la natureza de ls cometas, i calcular la paralaxe de l sol. Sous cálclos tamien cuntribuiran pa l zambolbimiento de tabelas de longitude percisas.

Para alhá desso, Euler fizo amportantes cuntribuiçones na ótica. El çcordou de la teorie corpuscular de Newton de la luç ne ls Outicks, qu'era anton la teorie prebalecente. Sous trabalhos subre ótica 1740 ajudou a garantir que la teorie ondulatória de la luç proposto por Christiaan Huyges se tornarie l modo dominante de pensamiento, pul menos até l zambolbimiento de la teorie quántica de la luç.

An 1757, el publicou un amportante cunjunto d'eiquaçones, qu'agora son coincidas cumo las Eiquaçones de Euler.

Ángulos de Euler

An 1765, an sou libro "La Teorie de l mobimiento de ls cuorpos sólidos", Euler matematicamente çcrebiu la cinemática dun cuorpo rígido de tamanho fenito. El antroduziu na matemática l teorema de Euler de ángulos de rotaçon. Sou nome tamien ye ousado na fórmula de cinemática de la çtribuiçon de belocidade nun sólido, coincido cumo las eiquaçones (Euler - Poisson), dinámica de cuorpo rígido, un de ls trés causos gerales antegrables ​​ne l porblema de la dinámica dun cuorpo rígido cun un punto fixo.

Euler generalizou l percípio de la mínima açon, un cunjunto bastante cunfuso i apuntou pa la sue amportança fundamental na macánica. Anfelizmente, el nun rebelou la natureza de l percípio bariacional, mas, inda assi, atraiu l'atençon de físicos, que mais tarde çcubriran que l sou papel fundamental na natureza era bálido.

Euler trabalhou ne l campo de la macánica celhestre. El lançou las bases de la teorie de perturbaçones, mais tarde cumpletadas por Pierre Simon Laplace, i zambolbiu ua teorie mui percisa de l mobimiento de la luna. Esta teorie probou ser adequada para resulber l porblema urgente de detreminar la longitude ne l mar.

 Percipales obras de Euler nesta ária
 "La teorie de l mobimiento de la Luna", 1753.
 "La teorie de l mobimiento de ls planetas i cometas" (latin Theoria motus Planetarun eit cometarun), 1774.
 "La nuoba teorie de l mobimiento de la Luna", 1772.
 Euler studou l campo grabitacional nun solo sférica, mas ls cuorpos elipsoidales, l que repersenta un seneficatibo passo an frente.

 Academie de San Petersburgo 
Na Suíça de 1700 nun habie mui trabalho para matemáticos an ampeço de carreira. Quando se soube que la Academie de San Petersburgo percuraba nuobos colaboradores, matemáticos de to la Ouropa biajórun até a la Rússia, ancluindo Daniel i Nicolaus II Bernoulli – filhos de Johann Bernoulli.

Nesta altura Euler percuraba tamien un lugar académico. Por buolta de 1726, Daniel i Nicolaus cunseguen que la czarina, Catarina I (biúda de Pedro l Grande) oufereça un lugar na Academie la Euler. Euler aceita mas nun eimediatamente.

Resolbe solo biajar pa la Rússia na Primabera seguinte por dous motibos: percuraba tiempo para studar ls tópicos de l sou nuobo trabalho i querie tentar cunquistar un lugar bago na Ounibersidade de Basileia, cumo porsor de Física. Para se candidatar l'este lugar, Euler screbiu un artigo subre acústica. Anque de la culidade de l'artigo, nun fui scolhido pa l cargo. L fato de tener solo 19 anhos terá tenido anfluéncia.

An 1727 Euler aceita antegrar la Academie, ambora seia la cátedra de medecina i fesiologie. Euler partiu a 5 d'abril de 1727 de la Basileia i chegou la capital de la Rússia die 17 de maio de 1727.

Nesse mesmo anho, Nicolaus Bernoulli morre i deixa baga la posiçon d'assistente an matemática, que Euler acupa. Partilhou cun Daniel Bernoulli ua casa, para alhá de colegas éran amigos, i trabalhában frequentemente juntos. Euler ampeçou a dominar la léngua russa i criou la sue bida an S. Petersburgo. Tamien aceitou un trabalho adicional cumo médico na Marina Russa. La Academie de S. Petersburgo tenie cumo propósito melhorar l'eiducaçon na Rússia i para ancerrar la grande falha ne l campo de las ciéncias de l paíç cula Ouropa Oucidental. Cumo resultado, fui criada specialmente para atrair estudantes strangeiros cumo Euler. Euler fui feito porsor de física an 1731 pula sue classeficaçon ne l ranking de la scuola. dous anhos mais tarde, Daniel Bernoulli partiu para Basileia, sendo sustituído por Euler cumo porsor de Matemática. 

Cun este nuobo cargo, biu l sou ourçamiento melhorar, l que le permitiu trabalhar mais na sue pesquisa Matemática i custituir família. Ne l die 7 de janeiro de 1734, Leonhard Euler casa cun Katharina Gsell, filha dun pintor de la Academie Gymnasiun. L casal cumprou ua casa acerca de l riu Neba i tubírun 13 filhos, de ls quales solo 5 subrebibírun a l'anfáncia. 

An 1735 Euler resolbe un porblema que le dá fama mundial – l chamado “porblema de Basileia”. Trata-se de somar la série anfenita de ls ambersos de ls quadrados. Johann Bernoulli tenie lutado cun este porblema durante décadas, tenendo zafiado matemáticos de to l mundo. Euler zambolbe assi un nuobo método analítico para lidar cul porblema. Mas l sou método permite tamien somar todas las séries anfenitas de l mesmo tipo an que l spoente ye un númaro par. 

Durante ls anhos seguintes, Euler cunsegue trasformar la Matemática i la Física. An meia dúzia d'anhos porduç trabalhos fundamentales an teorie de ls númaros, séries, cálclo de bariaçones, macánica, antre muitos outros.

 Academie de Berlin 
Depuis de tener ganho, por dues bezes, l Grande Prémio de la Academie de Paris, Euler recebiu l cumbite de Frederico, l Grande para fazer parte de la Academie de Ciéncias de la Prússia, sediada an Berlin. D'ampeço recusou l cumbite mas cumo la bida na Rússia pa ls strangeiros nun era fácele i debido als albrotes de l'altura, Euler reconsiderou l pedido.

Deixou S. Petersburgo die 19 de Júnio de 1741 i bibeu 25 anhos an Berlin, adonde screbiu mais de 380 artigos. Publicou an Berlin ls dous trabalhos que l'eirien tornar mais reconhecido: Antrodutio in analysin anfenitorun, publicado an 1748 i Anstitutiones calculi differentialis.

Antretanto, ye cumbidado para ser tutor de la Princesa Anhalt-Dessau, sobrina de Frederico II, l Grande. Euler screbiu mais de 200 cartas dirigidas a la princesa, que mais tarde fúrun cumpiladas nun belume best-selling antitulado Cartas de Euler subre defrentes assuntos de la Filosofie natural para ua Princesa Almana. Este trabalho ancorpora sposiçones subre bários assuntos pertencentes a la física i matemática, dando tamien a coincer las perspetibas relegiosas i la própia personalidade de l sou outor.

Euler passou 25 anhos na corte de Frederico II.

Durante to esse tiempo, cuntinou a recebir ua penson de la Rússia, qu'usaba para cumprar libros i strumientos pa la Academie de S. Petersburgo, adonde cuntinou a apersentar bários artigos.

La cuntribuiçon de Euler pa la Academie de Berlin fui ampressionante: superbesionaba l'ouserbatório i l jardin botánico, selecionaba pessonal i gerie bárias questones financeiras, cordenaba la publicaçon de mapas geográficos i de trabalhos científicos, ua fuonte de rendimientos pa la Academie.

Mas anque dessa grande cuntribuiçon que resultou ne l prestigio de la Academie, fui fuorçado a abandonar Berlin, debido a un cunflito d'antrisses antre Euler i Frederico II.

Este bieno chamá-lo de pouco sofisticado an cumparaçon al círclo de filósofos trazidos pul rei alman pa la Academie. Buoltaire staba antre esses filósofos: un francés que tubo un posiçon faborecida ne l círclo social de l Rei. Euler, un simples home relegioso i un grande trabalhador, era mui cumbencional ne ls sous gustos i fés. Era an muitas maneiras l'ouposto direto de Buoltaire. 

Quedou famosa ua çputa na corte subre l'eisisténcia de Dius an que, depuis de Buoltaire tener argumentado a fabor de l'ineisisténcia de Dius i, antoce, de la banalidade de la fé relegiosa de Leonhard Euler, este simplesmente screbiu ua eiquaçon nun quadro i declarou “i, antoce, segue-se que Dius eisiste”.

 Frederico II, l Grande i Buoltaire 
Mas Euler tenie caído an çgraça junto de Frederico II, que le chamaba “ciclope” – nua refréncia al sou defeito físico. Yá zde 1735, Euler sofria d'alguns porblemas de salude, cumo febres altas. An 1738, perdiu la bison de l'uolho dreito, debido al scesso de trabalho. Mas tal anfelicidade nun diminuiu an nada la sue porduçon Matemática.

Euler nunca tubo porblemas an porduzir trabalhos de defrentes géneros, cumo por eisemplo, material para libros-testos pa las scuolas russas. Giralmente screbia an latin, mas tamien an francés, ambora la sue léngua d'ourige fusse l alman. Tenie ua einorme facelidade para lénguas, cumo buono suíço qu'era, l que le facelitaba mui la bida nas dibersas biaiges que fazie, cumo era questume de ls matemáticos de l seclo XVIII. An 1749, depuis de 7 anhos de trabalho i quaije cien anhos passado la muorte de Fermat, cunseguiu probar la teorie de Fermat.

An 1759, cula muorte de Maupertius (1698-1759), l lugar de diretor de la Academie fui dado la Euler. Al saber qu'outro cargo, l de persidente, tenie sido ouferecido al matemático d'Alembert, cun quien tenie tenido alguas dibergéncias subre questones cientificas, Euler quedou bastante perturbado. Anque d'Alembert nun tener aceite l cargo, Frederico cuntinou a amplicar cun Euler, que farto de tal situaçon, aceitou l cumbite feito por Catarina, la Grande de buoltar pa la Academie de S. Petersburgo.

 Retorno a la Rússia an 1766 

Durante esse anho, çcubre que, debido la cachones, ampeçou a perder la bison de l'uolho squerdo. Pensando ne l feturo, tentou preparar-se pa la cegueira treinando screbir cun giç nua ardósia ó ditando para algun de ls sous filhos.

Mas, an 1771, perdiu todos ls sous benes, a la scepçon de ls manuscritos de Matemática, nun ancéndio na sue casa. Ne l mesmo anho ye ouperados a las cachones, l que le restitui la bison durante un brebe período de tiempo. Mas, al que parece, Euler nun terá tomado ls debidos cuidados médicos tenendo quedado cumpletamente ciego. An 1773 perdiu la sue mulhier de 40 anhos. Passou ls anhos finales de sue bida na Rússia, anton sob la proteçon de Catarina la Grande.

Morriu an 18 de setembre de 1783, an San Petersburgo bítima dun acidente bascular cerebral. Fui anterrado ne l Mosteiro Alexander Nebsky.

 Porblemas na bison 
La acuidade bisual de Euler piorou al longo de sue carreira matemática. Trés anhos depuis de sofrer ua febre quaije fatal an 1735, tornou-se quaije ciego de l'uolho dreito, mas Euler an beç de culpar l porblema, apersentou un trabalho meticuloso subre cartografie pa la Academie de San Petersburgo. La bison de Euler se agrabou durante la sue stada na Almanha, na medida an que Frederico II de la Prússia se referie a el cumo "Cyclops". Euler mais tarde zambolbiu ua cachon ne l'uolho squerdo, deixando-lo quaije totalmente ciego poucas sumanas depuis de sue çcubierta an 1766. Inda assi, sue cundiçon parece tener pouco eifeito subre sue pordutebidade, cumpensando cun sues halbelidades de cálclo mental i de mimória fotográfica. Por eisemplo, Euler cunseguiu repetir la Eneida de Birgílio, de l'ampeço al fin, sin heisitaçon. Cula ajuda de sous scribas, la pordutebidade de Euler an muitas árias de studo, na berdade, oumentou. El porduziu, an média, un papel matemático durante todas las sumanas de l'anho 1775.

 Euler i outros matemáticos 
 Euler i d'Alembert 
L trabalho antre Euler i d'Alembert siempre cumbergiu ne l mesmo sentido. Ls sous antrisses éran quaije ls mesmos, anque tener habido algua cuntrobérsia antre eilhes subre l porblema de las nembranas bibrantes, an 1757, cuja soluçon de l'eiquaçon de Bessel, Euler cunseguiu oubter, l qu'ocasionou un afastamiento. Mas, cula teorie de ls númaros houbo un grande apoio por parte de d’Alembert la Euler.

La cuntribuiçon de Euler pa la teorie de ls logaritmos nun se restringiu a la defeniçon de spoentes, cumo usamos hoije. Trabalhou, tamien, ne l cunceito de logaritmo de númaros negatibos.

Anquanto se mantenie acupado a pesquisar Matemática an Berlin, d’Alembert pesquisaba an Paris.

An 1747, Euler screbiu l'este matemático splicando corretamente la queston de ls logaritmos de ls númaros negatibos. Mas al cuntrairo de l que serie de se asperar, la fórmula formulada por Euler, bálida para qualquiera ángulo (an radianos), nun fui cumprendida por Bernoulli nin por d'Alembert pus, para estes, ls logaritmos de númaros negatibos éran reales, l que nun ye berdade yá que se tratan de númaros eimaginairos puros.

Atrabeç de la sue eidantidade – mais tarde coincida cumo Eigualdade de Euler – ye possible ouserbar que ls logaritmos de númaros cumplexos, reales ó eimaginairos, tamien son númaros cumplexos. Usando las eidantidades de Euler ye tamien possible spressar cantidades cumo sen () ó , na forma usual para númaros cumplexos. Desta maneira, bé-se qu'al efetuar ouparaçones trascendentes eilementares subre ls númaros cumplexos, ls resultados son númaros cumplexos.

Assi sendo, Euler fui capaç de demunstrar que l sistema de númaros cumplexos ye cerrado sob las ouparaçones trascendentes eilementares, anquanto d’Alembert sugerira que l sistema de númaros cumplexos era algebricamente cerrado.

 Euler i Fermat 
Tanto Fermat cumo Euler sentiran-se bastante antressados pula teorie de ls númaros. Ambora nun haba qualquiera libro subre este assunto, Euler screbiu cartas i artigos subre bários aspetos desta teorie. Antre eilhas ancontran-se las cunjeturas apersentadas por Fermat, que fúrun derrubadas por Euler. dues dessas cunjeturas fúrun:
 Ls númaros de la forma  son siempre primos;
 Se  ye primo i  un anteiro, anton  – la ye debesible por .

La purmeira fui derrubada an 1732 cul ajuda de l sou domínio an cumputaçon, eibidenciando que  ye fatorizable an . Inda assi, ne l recurso a un contra eisemplo para deitar por tierra la segunda cunjetura, Euler tamien errou, anque de l'erro solo tener sido çcubierto an 1966, dous seclos depuis i cul ajuda dun cumputador.

Euler tamien rializou la demunstraçon dua cunjetura bastante coincida, chamada cumo Pequeinho Teorema de Fermat. Tal demunstraçon fui apersentada nua publicaçon an 1736, chamada Commentarii.

Mais tarde, demunstrou ua afirmaçon mais giral de l Pequeinho Teorema de Fermat, que bieno a chamar-se Funçon de Euler. Mas, cuntreriando l que serie sperado, Euler nun fui capaç de demunstrar l Radadeiro Teorema de Fermat, ambora probasse l'ampossibelidade de soluçones anteiras de  para .

An 1747, defeniu mais 27 númaros amigables, que se juntórun als trés yá coincidos por Fermat. Mais tarde oumentou l númaro para 60. Euler tamien probou que todos ls númaros purfeitos pares son de la forma dada por Ouclides,  (2n – 1), adonde 2n – 1 ye primo. Se eisiste ó nun un númaro ímpar purfeito fui ua queston liebantada por Euler i Goldbach, atrabeç de correspondéncia, inda hoije sin repuosta.

 Comemoraçones

Euler fui çtaque na sesta série de notas de 10 francos suiços i an numerosos selos suíço, alman i russos. L asteróide 2002 Euler fui nomeado an sue honra. El tamien ye comemorada pula Eigreija Luterana an sou Calendário de ls Santos an 24 de maio, el era un deboto crestiano (crente na anfalibelidade bíblica), que screbiu apologéticas i argumentou einergicamente contra ls ateus proeminentes de sou tiempo.

An 15 d'abril de 2013, ls 306 anhos de Euler fui comemorado cun un Google Doodle.

Eesiste ua anedota falsa subre Euler i Diderot, quando este staba an San Petersburgo, Rússia, anfluenciando la corte russa cun sou ateísmo, i Euler fui chamado a anterbir. Euler tenerie ua proba matemática de l'eisisténcia de Dius, i tenerie dezido "Monsieur, , donc Dieu eisiste. Respundeç!". Diderot nun tenerie cunseguido respunder, i retirou-se houmilhado sob ls risos de la corte. Esta anedota ye falsa.Dirk J. Struik, "La Stória Cuncisa de las Matemáticas

 Percipales publicaçones 
 Dessertatio physica de song (Basel, 1727, in quarto)
 Mechanica, sive motus scientia analytice; expasita (St Petersburg, 1736, in 2 bols. quarto)
 Ennleitung in die Arithmetik (ibid., 1738, in 2 bols. otabo), in German and Russian
 Tentamen novae theoriae musicae (ibid. 1739, in quarto)
 Methodus inveniendi limas curvas, maximi menimive propictate gaudentes (Lausanne, 1744, in quarto)
 Theoria motuum planetarum et cometarum (Berlin, 1744, in quarto)
 Beantwortung, &c., ó Answers to Different Questions respeting Comets (ibid., 1744, in otabo)
 Neue Grundsatze, c., ó New Principles of Artillery, traduzido pa l'anglés por Benjamin Robins, cun notas i eilustraçones (ibid., 1745, in otabo)
 Opuscula varii argumenti (ibid., 1746-1751, in 3 bols. quarto)
 Novae et carrectae tabulae ad loco lunae computanda (ibid., 1746, in quarto)
 Tabulae astronomicae solis et lunae (ibid., quarto)
 Gedanken, &c., ó Thoughts on the Elements of Bodies (ibid. quarto)
 Rettung der gall-lichen Ouffenbarung, &c., Defence of Divine Revelation against Free-thinkers (ibid., 1747, in 4t0)
 Introductio it analysin infinitorun (Lausanne, 1748, in 2 bols. 4t0)
 Scientia navalis, seu tractatus de construendis ac dirigendis nabi bus (St Petersburg, 1749, in 2 bols. quarto)
 Theoria motus lunae (Berlin, 1753, in quarto)
 Dessertatio de principio mineniae actionis, ' una cum examine objectionum cl. prof. Koenigii (ibid., 1753, in otabo)
 Institutiones calculi differentialis, cum ejus usu in analysi Intuitorum ac dotrina serierun (ibid., 1755, in 410)
 Constructio lentium objectivarum, &c. (St Petersburg, 1762, in quarto)
 Theoria motus corporum solidoruni seu rigidorum (Rostock, 1765, in quarto)
 Institutiones, calculi integralis (St Petersburg, 1768-1770, in 3 bols. quarto)
 Lettres a une Princesse d'Allernagne sur quelques sujets de physique it de philosophic (St Petersburg, 1768-1772, in 3 bols. otabo)
 Anleitung zur Algebra, ó Introduction to Algebra (ibid., 1770, in otabo); Diotrica (ibid., 1767-1771, in 3 bols. quarto)
 Theoria motuun lunge nova methodo pertr.arctata (ibid., 1772, in quarto)
 Novae tabulae lunares (ibid., in otabo); La théorie complete de la costruction et de la manteuvre des vaisseaux (ibid., .1773, in otabo)
 Eclaircissements svr etablissements en favour taut des veuves que des marts, without a date
 Opuscula analytica (St Petersburg, 1783-1785, in 2 bols. quarto). Se Rudio, Leonhard Euler (Basel, 1884)

Ber tamien

Númaro de Euler
Fórmula de Euler
Eidantidade de Euler
Caratelística de Euler
Custante de Euler-Mascheroni
Cunjetura de Euler
Porblema de Basileia
Eigualdade de Euler
Teorema de Euler
Teorie de ls grafos
Repersentaçones d'i

 Refréncias 

 Bibliografie Lexikon der Naturwissenschaftler, (2000), Heidelberg: Spektrun Akademischer Verlag.
Bogolyubov, Mikhailov i Yushkevich, (2007), Euler and Modern Science, Mathematical Association of America. . Traslated by Robert Burnes.
 Bradley, Robert E., D'Antonio, Lawrence A. i C. Edward Sandifer (2007), Euler at 300: An Appreciation, Mathematical Association of America. 
Demidov, S.S., (2005), "Treatise on the differential calculus" in Grattan-Guinness, I., ed., Landmark Writings in Western Mathematics. Elsevier: 191–98.
Dunhan, William (1999) Euler: The Master of Us All, Washington: Mathematical Association of America. 
Dunhan, William (2007), The Genius of Euler: Refletions on his Life and Work'', Mathematical Association of America.

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