Mahler-Maß
Ìn dr Màthemàtik ìsch s’ Mahler-Mààs a Mààs vu dr Kompläxitäät vu da Polünooma. D’ Formel hàt dr Màthemàtiker Kurt Mahler (1903–1988) ànna 1961 gschrìewa. Urschprìnglig hàt maa-n-’s bnutzt, fìr groossa Primzààhla süacha. ’S hàt a Zammahàng mìt schpeziälla Warter vun L-Funkzioona; wagadam hàt maa mìt’m Mahler-Mààs zààhlriicha Vermüatunga ìn dr ànàlytischa Zààhlatheorii gmàcht.

Àbschtìmmung 
S’ Mahler-Mààs  vu’ma Polünoom  mìt reälla odd’r kompläxa Koeffizianta-n-ìsch

Doo ìsch

 

d’ -Norm vu .
Mìt Hìlf vu dr Jensen-Formel kààt maa zaiga, àss üss

folgt:

S’ logàrithmischa Mahler-Mààs vu’ma Polynoom bschtìmmt maa-n-àls
.

S’ Mahler-Mààs vun’ra algebraischa Zààhl  ìsch aifàch s’ Mahler-Mààs vum Minimààlpolünoom vun  ìwwer .

Aigaschàfta 
 S’ Mahler-Mààs ìsch mültiplikàtiiv, dàs haisst 
 Fìr zyklotoomischa Polünooma un ìhra Produkta hàt maa .
 Dr Sàtz vum Kronecker: Wänn  a irredüzibel moonisch Polünoom mìt gànzzààhliga Koeffizianta un  ìsch, dänn ìsch äntwadder  odd’r  ìsch a zyklotoomisch Polünoom.
 D’ Vermüatung vum Lehmer sajt, àss’s a Konschtànta  gìtt, so dàss jeeds irredüzibla Polünoom  mìt gànzzààhliga Koeffizianta äntwadd’r zyklotoomisch ìsch odd’r  ärfìllt.
 S’ Mahler-Mààs vu’ma moonischa Polünoom mìt gànzzààhliga Koeffizianta-n-ìsch a Perron-Zààhl.

S’ Mahler-Mààs fìr Polünooma mìt mehrera Vàriààbla 
S’ Mahler-Mààs  vu’ma Polünoom  bschtìmmt maa dur d’ Formel

Maa kààt zaiga, àss  konwärschiart.

Fìr  hatt maa

Dänn ìsch

Schpeziälla Warter vun L-Funkzioona 
’S sìnn zààhlriicha Beziihunga zwìscha Mahler-Mààsa (manckmol logàrithmischa Mahler-Mààsa) vu Polünooma un schpeziälla Werta vun L-Funkzioona; ainiga drvuu sìnn numma Vermüatunga, àndra sìnn bewìesa worra.

ìm Smyth siina Formel 
Ànna 1981 hàt dr Smyth d’ Formel doo druff bewìesa:

wu  d’ L-Funkzioon vum Dirichlet (àlso )
un
 ìsch;
doo ìsch  d’ Zeta-Funkzioon vum Riemann. Doo wìrd  s’ logàrithmischa Mahler-Mààs gnännt.

d’ Vermüatung vum Chinburg 
A Vermüatung vum Chinburg sajt, àss maa züa jeeder negàtiiva Zààhl  a Laurent-Polünoom  un a ràzionààla Zààhl  hàt, mìt

fìr d’ Dischkriminànta

vum Kàràkter .

Lìteràtüür 

 Derrick Henry Lehmer: Factorization of certain cyclotomic functions. Ann. of Math. (2) 34 (1933), no. 3, 461–479.
 David W. Boyd: Speculations concerning the range of Mahler's measure. Canad. Math. Bull. 24 (1981), 453–469.
 Klaus Schmidt: Dynamical systems of algebraic origin. Progress in Mathematics, 128. Birkhäuser Verlag, Basel, 1995. ISBN 3-7643-5174-8

Weblìnks

Ainzelnoohwiisa 

Algebra
Zaaletheorii