Fundamentalsatz der Arithmetik
Dr Fundamentalsatz vo dr Arithmetik oder Hauptsatz vo dr elementare Zaaletheorii säit us, ass jeedi natüürligi Zaal in Primfaktore cha zerlegt wärde und dass die Zerleegig in dr kanonische Daarstellig äidütig isch.

D Bewiise für die bäide Ussaage sin elementar, wärde klassisch as Widerspruchsbewiis formuliert und nütze d Woolordnig vo de natürlige Zaale us. Zum erste Mol isch dr Satz vollständig und korräkt vom Carl Friedrich Gauß in de Disquisitiones Arithmeticae bewiise worde. Er isch aber in ere liicht abgwandlete Form scho im Euklid bekannt gsi.

Dr Bewiis vo dr Existänz 

Mä ordnet em Äins s leere Brodukt zue und jedi Primzaal sig sälber iiri Primfaktorzerleegig. Jetz muess mä zäige, ass alli rästlige natürlige Zaale daatsächlig us Primfaktore zämmegsetzt si.

Aagnoo, es git Zaale, wo mä nit as Brodukt vo Primzaale cha daarstelle, denn git s au e chliinsti sonigi Zaal (gnennt ), wäge dr Woolordnig vo . Wil  denn weder s Äins non e Primzaal isch, het s e Däiler, und eso existiere zwäi natürligi Zaale  mit  und bäidi si gröösser as Äins und chliiner as . Wil  die chliinsti Zaal isch, wo käi Brodukt vo Primfaktore isch, müesse  und  also Primfaktorzerleegige haa, öbbe  und . Denn isch aber  au e Primfaktorzerleegig vo , im Widerspruch zu was mä aagnoo het.

Dr Bewiis vo dr Äidütigkäit 

Aagnoo, es git natürligi Zaale wo jedi meereri underschidligi Zerlegige het, denn git s wider au e chliinsti, gnennt . Die cha käi Primzaal si und zwäi Zerleegige vo  chönne käi gmäinsame Primfaktor  enthalte, wil denn au  zwäi verschiideni Zerleegige hätti und chliiner as  weer, im Widerspruch zur Aanaam, ass  minimal isch. Es gilt also öbbe , und doo si  und  Primzaale, und es gilt au . S abschliessende Argumänt isch s Lemma vom Euklid: Wenn e Primzaal e Brodukt däilt, so däilt s au äine vo de Faktore. Wil  dur  cha däilt wärde, muess äine vo de Faktore vo dr andere Zerleegig dur  däilbar si und das isch , denn  isch e Primzaal. Also daucht jede Primfaktor immer in bäide Zerleegige uf und dorum sin si idäntisch.

Zaaletheorii
Arithmetik