Dreiecksungleichung
Ìn dr Geometrii ìsch d’ Dräiäcksungliichung a Sàtz, wo sajt, àss a Dräiäcksitta kìrzer odd’r so làng wia d’ Summa vu da baida àndra Sitta-n-ìsch.

D’ Dräiäcksungliichung schpììlt àui ìn àndra Tailgebiata vu dr Màthemàtik a wìchtiga Rolla, wia zem Biischpììl ìn dr Lineààra Àlgebra odd’r dr Funkzioonsànàlüüsa.

Bschriiwung vu dr Ungliichung

fìr àllgmaina Dräiäcka 

Noh dr Dräiäcksungliichung ìsch ìm Dräiäck d’ Summa vu da Länga vu zwai Sitta  un  schtets mìndeschtens so grooss wia d’ Länga vu dr drìtta Sitta :

.

Maa kààt àui sààga, dr Àbschtànd vun A uff B ìsch klainer odd’r soo grooss wia dr Àbschtànd vun A uff C un vu C uff B zamma. Aifàcher gsajt: „Dr diräkta Waag ìsch ìmmer dr kìrzescht.“

S’ Gliichhaitszaicha gìlt numma, wänn  un  Tailschträcka vun  sìnn – àlso wänn dr Dräiäck äntàrtet ìsch.

Waaga dr Sümmetrii hàt maa-n-àui , un domìt ; maa hàt àui nàdììrlig . Àlso ìnsgsàmt: 
.

D’ lìnka Ungliichung  nännt maa-n-àui mànckmol umgekehrta Dräiäcksungliichung.

D’ Dräiäcksungliichung düat Àbschtànds- un Betrààgsfunkzioona kàràkterisiara. Sa wìrd àlso àls Axiom fìr àbschtràkta-n-Àbschtàndsfunkzioona ìn meetrischa Ràuima gsätzt.

fìr rachtwìnkliga Dräiäcka 
Ìsch  d’ Länga vu dr Hüpothenüüsa un sìnn  un  d’ Kàtheetalänga vu’ma rachtwìnkliga Dräiäck, soo gìlt d’ schpeziälla Dräiäcksungliichung .

fìr reälla Zààhla 
Fìr reälla Zààhla  un  gìlt: 

Bewiis: Säjga  un  reälla Zààhla. Äntwaader ’s ìsch  odd’r ’s ìsch . Fìr dr Fàll  gìlt , un d’ Summa  làsst sìch waaga  un  nach oben àbschätza dur . Ìnsgsàmt hàt maa somìt . Fìr dr Fàll  gìlt , un  làsst sìch waaga  un  eewafàlls dur  nach oben àbschätza, so dàss àui ìn dam Fàll .

d’ umgekehrta Dräiäcksungliichung 
Wia biim Dräiäck kààt maa-n-àui a umgekehrta Dräiäcksungliichung harlaita

Uffgrund dr Dräiäcksungliichung gìlt  Wänn maa  iisätzt, nooh hàt maa

Wänn maa schtàttdässa  sätzt, nooh hàt maa

zamma àlso (dänn fìr beliabiga reälla Zààhla  und  mìt  un  gìt àui )

Wänn maa  dur  ärsätzt, noh ärhàlt maa-n-àui
 

Ìnsgsàmt àlso
  fìr àlla

fìr kùmpläxa Zààhla 
Fìr kùmpläxa Zààhla gìlt:

 

Bewiis:
 Wial àlla Sitta nìtnegàtiiv sìnn, ìsch s’ Kwàdriara-n-a Äkwiwàlanzformung un maa ärhàlt

 dr Ìwwerschtrìch bediitet doo a kùmpläxa Konjugàzioon. Wänn maa gliicha-Üssdrìck schtriicht un  sätzt, soo blibbt 

 z’ zaiga. Mìt  ärhàlt maa

 bzw.

 wàs waaga  un dr Monotonii vu dr (reälla) Wurzelfunkzioon ìmmer ärfìllt ìsch.

Wia biim reälla Fààl folgt üss dara Ungliichung àui 
 fìr àlla

vu Betrààgsfunkzioona fìr Käärwer  
Zamma mìt àndra Forderunga wìrd a Betrààgsfunkzioon fìr a Käärwer  àui dur d’

gsätzt. Sa müass fìr àlla  galta. Wänn àlla Forderunga ärfìllt sìnn, noh ìsch  a Betrààgsfunkzioon fìr dr Käärwer 

Ìsch  fìr àlla gànza , nooh nännt maa dr Betrààg nìtàrkimeedisch, sunscht àrkimeedisch.

Bii nìtàrkimeedischa Betraag gìlt d’

Sa màcht dr Betrààg züa ainem ultràmeetrischa. Umgekehrt ìsch jeeder ultràmeetrischa Betrààg nìtàrkimeedisch.

fìr Summa un Ìntegrààla 
Wämm’r mehrmols d’ Dräiäcksungliichung bzw. vollschtandiga Ìndukzioon ààwanda düat, nooh ärhàlt maa

fìr reälla odd’r kùumpläxa Zààhla . Dia Ungliichung gìlt àui, wänn maa Ìntegrààla ààschtälla vu Summa betràchtet:

Ìsch  a Riemann-ìntegriarbààra Funkzioon, nooh gìlt

 .

Dàs gìlt àui fìr kùmpläxwaartiga Fukzioona . Nooh gìtt’s naamlig a kùmpläxa Zààhl , so dàss
  und .

Wial

reäll ìsch, müass  gliich Null sìì. Üsserdam gìlt
 ,
ìnsgsàmt àlso
.

fìr Wektoora 
Fìr Wektoora gìlt:

 .

D’ Gìltikait vu dara Beziihung sììht maa dur Quadrieren
 ,

unt’r Ààwandung vu dr Cauchy-Schwarzscha Ungliichung:

 .

Àui doo folgt wia-n-ìm reälla Fàll

 
so wia

fìr Kugeldräiäcka 

Ìn Kugeldräiäcka gìlt d’ Dräiäcksungliichung ìm Àllgmaina nìt. Sa gìlt jedoch, wänn ma sìch uff eulerscha Dräiäcka beschrànkt, àlso salla, ìn dana jeeda Sitta kìrzer àls a hàlwer Groosskrais ìsch.

Ìn dr Àbbìldung doo dràà gìlt zwààr
 
jedoch ìsch .

fìr nomiarta Ràuima 
Ìn’ma normiarta Ràuim  wìrd d’ Dräiäcksungliichung ìn dr Form

àls aina vu da Aigaschàfta gfordert, wo d’ Norm fìr àlla  müass ärfìlla. Bsunderscht folgt àui doo

so wia
 fìr àlla .

Ìm Schpeziààlfàll vu da Lp-Ràuima wìrd d’ Dräiäcksungliichung Minkowski-Ungliichung gnännt un mìttels dr Hölderscha Ungliichung bewììsa.

fìr meetrischa Ràuima 
Ìn’ma meetrischa Ràuim  wìrd àls Axiom fìr d’ àbschtàkta-n-Àbschtàndsfunkzioon verlàngt, àss d’ Dräiäcksungliichung ìn dr Form

fìr àlla  ärfìllt ìsch. Ìn jeedem meetrischa Ràuim gìlt àlso per Definizioon d’ Dräiungsungliichung. Drüss làss sìch àblaita, àss ìn’ma meetrischa Ràuim àui d’ umgekehrta Dräiäcksungliichung

fìr àlla  gìlt. Üsserdam gìlt fìr beliabiga  d’ Ungliichung
.

Lüag àui 
 d’ Ungliichunga ìn Viaräcka

Lìteràtüür

Weblìnks

Ainzelnoohwiisa 

Dreieggsgeometrii
Algebra