Quaternion
D Kwaternione (vo lat. quaternio „Vierhäit“) oder au d Hamilton-Zaale si e Beriich vo Zaale, wo dr Beriich vo de reelle Zaale  erwiteret, äänlig wie s die komplexe Zaale  mache, goot aber über die uuse.

Kwaternione si braktisch für zum dr dreidimensionali euklidischi Ruum und anderi Rüüm z beschriibe.

Konstrukzion 
D Kwaternione entstöön us de reelle Zaale, wemm drei nöiji Zaale drzue duet (Adjunkzion), wo mä aagleent an die komplex-imaginäri Äihäit d Nääme ,  und  gee het. So bechunnt mä e vierdimensionals Zaalesüsteem (mathematisch: e Wektorruum) mit eme Realdäil, wo us äinere reelle Komponänte bestoot, und eme Imaginärdäil us drei Komponänte, wo au Wektordäil häisst.

Jede Kwaternion cha mä äidütig in dr Form
 
mit reelle Zaale , , ,  schriibe. D Elimänt  si e Basis, d Standardbasis vo de Kwaternione über . D Addizion isch komponäntewiis und wird vom Wektorruum gerbt. Multiplikativ wärde die nöije Zaale , ,  noch de Hamilton-Regle

 
verchnüpft. D Skalarmultiplikazioon , wo au vom Wektorruum gerbt wird und wo d Skalar bin ere aagluegt wärde, ass si mit jedem Elimänt chönne usduscht wärde, zämme mit dr Addizioon und de Hamilton-Regle mache s mööglig, ass mä d Multiplikazioon vo dr Basis uf alli Kwaternione cha erwitere. Wil eso au jede Skalar  as  in  iibettet wird, cha  as Underkörper vo  ufgfasst wärde.

D Multiplikazioon isch assoziativ und erfüllt au s Distributivgsetz, macht also us de Kwaternione e Ring. Si isch allerdings nit kommutativ, d. h. für zwäi Kwaternione  und  si die bäide Brodukt  und  im Normalerfall verschiide. S Zentrum vo , also d Mängi vo de Elimänt, wo mit alle Elimänt kommutiere, isch exakt .

D Kwaternione bilde e Schiefkörper (Divisionsring), wil s zu jeder Kwaternion  e inversi Kwaternion  git mit
  .
Wil d Kommutatividäät feelt, brucht mä Notazione mit Bruchstrich, wie z. B.  nit.

Zämmegfasst: D Kwaternione sin e vierdimensionali Divisionsalgebra über  – und bis uf d Isomorfii die äinzigi. Historisch si d Kwaternione s erste Bischbil vom ene Divisionsring, wo die zwäiti Verchnüpfig von em nit kommutativ isch.

Litratuur 
 Max Koecher, Reinhold Remmert: Hamiltonsche Quaternionen. In: H.-D. Ebbinghaus et al.: Zahlen. Springer-Verlag, Berlin 1983. ISBN 3-540-12666-X

 John Horton Conway, Derek A. Smith: On Quaternios and Octonions, A K Peters Ltd, 2003, ISBN 1-56881-134-9 (änglisch)
 Jack B. Kuipers: Quaternions and Rotation Sequences, Princeton University Press, 2002, ISBN 0-691-10298-8 (änglisch)
 W. Bolton: Complex Numbers (Mathematics for Engineers), Addison-Wesley, 1996, ISBN 0-582-23741-6 (änglisch)
 Andrew J. Hanson: Visualizing Quaternions, Morgan Kaufmann Publishers, 2006, ISBN 0-12-088400-3 (änglisch)

 Lew Semjonowitsch Pontrjagin: Verallgemeinerungen der Zahlen, Verlag Harri Deutsch, 1995

 S. Eilenberg and I. Niven: The „fundamental theorem of algebra” for quaternions. Bull. Amer. Soc. 50(1944), 246-248.

Weblingg 
 Kwaternione in dr Kompiuteranimazioon
 Wo d Kwaternione entdeggt worde si (mit Bilder)
 Eric W. Weisstein „Quaternionen.“ From MathWorld--A Wolfram Web Resource

Fuessnoote 

Zahl