Teorema dla fonsion duverta
Ël teorema dla fonsion duverta a l'é dovù a Banach.
A fortiss che si E e F a son dë spassi ëd Banach e T a l'é n'operador linear continuo e surietiv da E a F, antlora a-i é na costanta c>0 tal che la sfera ëd sènter 0 e raj c an F a l'é contnùa ant la plancia scond T dla sfera ëd sènter 0 e raj 1 d'E.

Ës teorema a ìmplica che T a manda ansem duvert d' E an ansem duvert dF, dont sò nòm.
An efet, ch'as consìdera un sot-ansem duvert U d'''E nen veuid e ch'as pija un pont .
Donca  për chèich .
Antlora a esist r>0 tal che, denotà  la sfera ëd sènter  e raj r, un a l'ha , visadì .
Antlora .
Për l'ipòtesi, , dont  e T(U) a arzulta esse duvert.

 Un corolari 
Ch'as consìdero jë spassi ëd Banach E e F e n'operador linear continuo e bijetiv .
Antlora  a l'é continuo.

Dimostrassion. Dal teorema, un a sa che për tuti j' taj che  un a l'ha .
Për omogenità,
,
donca  a l'é continuo.

 N'aplicassion 
Ch'as consìdera në spassi vetorial E dotà 'd norme  e  taj che E a sia në spassi ëd Banach rëspet a tute doe se norme.
Butoma, an dzorpì, che
.
Antlora
,
visadì le doe norme a son equivalente.

A basta an efet apliché ël corolari a jë spassi ëd Banach  e a la fonsion identità.

 La dimostrassion dël teorema 
A conven fé la dimostrassion an toi tòch:

1. Si  a l'é n'operador linear e surietiv, antlora

2. Si  a l'é n'operador linear continuo ch'a sodisfa sa dariera relassion, antlora
.

 Dimostrassion dla prima part 
Për tut n natural positiv, ch'as buta
X_n=n \overline{T( \mathcal B_1(0))} </math>.
Dagià che T a l'é surietiv, a-i na ven che

e dal teorema ëd categorìa ëd Baire as treuva  tal che
.
Ch'as pijo antlora  taj che
.
An particolar,  e, për simetrìa, ëdcò .
An somand e tnisend da ment che  a l'é bombà, un a oten
,
dont la tesi.

 Dimostrassion dla sconda part 
Ch'as fissa  con , con ël but ëd trové  tal che  e T(x)=y.
Da la condission admetùa, un a l'ha che
.
An sernend  un a treuva  tal che
 e .
An aplicand l'istess rasonament con  al pòst dy e con , as treuva  tal che
 e .
An seghitand përparèj, un a fàbrica na sequensa  tal che
 e .
Donca la sequensa  a l'é ëd Cauchy.
Ch'as denòta con x sò lìmit.
Antlora  e y=T(x) përchè T'' a l'é continuo.

Teoremadlafonsionduverta