Graf
Un graf G=(V,E) a l'é na strutura algébrica ch'a consist ëd n'ansem nen veuid V e d'un sot-ansem , anté che  a l'é la famija dij sot-ansem ëd V ëd doi element.

J'element ëd V a son ciamà ij vértes ëd G; j'element d'E a son soe bande.

Ël concet ëd graf a l'ha un përfond d'aplicassion.
A l'é dovrà, për esempi, ant la modelisassion dj'anterassion sossiaj e biològiche, l'organisassion dj'orari, le rej ëd comunicassion, l'anàlisi dij cost, ij sistema ëd difèisa compless.

Chèiche definission
Si , ij vértes u,v a son dit adiacent (l'un l'àutr) e ancident a e (e e a l'é dita ancidenta an v).
Doe bande a son adiacente s'a l'han giusta un vértes comun.

Dàit , ël nùmer  dle bande ëd G ancidente an v a l'é ciamà ël gré ëd v.
Si , v a l'é dit vértes terminal.
Si r a l'é 'n nùmer natural e  për minca , antlora ël graf a l'é dit r-regolar.

Un sot-graf ëd G=(V,E) a l'é un graf H=(W,F) con .
Si W=V as dis che H a génera G.

Na caminà ëd longheur k ant ël graf a l'é na sequensa ëd vértes  anté che  për minca valor dl'ìndes i.

Esempi
Un senté  a consist d' vértes  e d'n-1 bande . Donca, un senté a l'é na caminà anté che tuti ij vértes a son diferent antra 'd lor; ël nùmer n a l'é la longheur dël senté.
Na stèila  a consist d' vértes e d'n-1 bande, con un vértes ëd gré n-1 e tuti j'àutri vértes ëd gré 1.
Un sicl  a consist d' vértes  e d'n bande . Ël nùmer n a l'é la longheur dël sicl. Donca un sicl a l'é na caminà anté che mach ël prim e ël darié vértes a coincido.
Ël graf complet ansima a n'ansem V ëd vértes a l'é ël graf anté che tuti ij vértes antra 'd lor diferent a son adiacent.
Dàit G=(V,E), ël graf complementar ëd G a l'é ël graf ; visadì H a l'é otnù dai midem vértes ëd G, ma an butand na banda anté ch'a-i era nen e an gavandla anté ch'a-i era.
Ël graf ëd Petersen.
Ël graf dl'aperitiv.

Chèich arzultà elementar
Ël prim teorema sì-dapress a l'é ëdcò dit ël prim teorema dla teorìa dij graf.

Teorema. Ch'as consìdera un graf finì G=(V,E), anté che  e E a l'ha m element.
Antlora
.

Dimostrassion.
An fasend l'adission dij gré dij vértes, minca banda a l'é contà doe vire.

Teorema. Ant un graf finì a-i son almanch doi vértes ch'a l'ha ël midem gré.

Dimostrassion. Ciamoma k ël nùmer dij vértes dël graf.
S'a-i é dij vértes ëd gré 0 a-i peul nen essie ëd vértes ëd gré n-1 e ij gré possìbij a son 0,1,...,n-2.
Si, nompà, gnun vértes a l'ha gré 0, ij gré possìbij a son 1,2,...,n-1.
An tuti doi ij cas, a-i son pì 'd vértes che gré possìbij, donca almanch doi vértes a devo avèj ël midem gré.

Isomorfism
Ij graf  as diso isomorf s'a-i é na bijession  tal che .
Na fonsion f parèj a l'é ciamà isomorfism antra  e .
N'isomorfism antra 'n graf e chiel-midem a l'é dit automorfism.

Donca doi graf a son isomorf cand, gavà për la natura dij sò vértes, a son an efet l'istess graf.

Graf tacà
Ch'as consìdera un graf G=(V,E) e ch'as pijo doi vértes diferent .
Un senté ch'a gionz u a v a l'é minca sequensa  ëd vértes tuti diferent tal che  e  per tuti j'i.

La relassion , definìa an butand  si e mach si u=v opura u e v a son gionzù da chèich senté, a l'é na relassion d'equivalensa ansima a G.
Le class d'equivalensa as ciamo componente (o componente tacà) ëd G.
Ël graf as dis tacà s'a-i é mach na componenta, visadì si minca cobia d'element diferent a l'é gionzùa da chèich senté; dësnò ël graf a l'é dëstacà.

Ant un graf tacà G as peul definisse na distansa antra minca cobia ëd vértes u,v, an butandla 0 si u=v, dësnò ugual a la longheur dël senté pì curt ch'a gionz u e v.
An sa manera, G a ven në spassi métrich.

Matris d'adiacensa
Ch'as consìdera un graf finì G=(V,E) e n'enumerassion dij sò vértes .
La matris d'adiacensa corëspondenta a l'é la matris quadrà  d'órdin n definìa an butand  si  e  si .
As agiss donca ëd na matris simétrica dont la diagonal prinsipal a l'é tuta 0 e ch'a dipend da l'enumerassion dij vértes.

Ël teorema sì-dapress a fa vëdde che doi graf finì a son isomorf si e mach si soe matris d'adiacensa a son përmutassion-sìmij.

Teorema. Ij graf finì  a son isomorf si e mach si, fissà n'enumerassion dij sò vértes, a-i é na matris ëd permutassion P tal che .

Dimostrassion. Si  a l'han nen ël midem nùmer ëd vértes, a peulo nì esse isomorf, nì avèj matris d'adiacensa sìmile.
As peul donca ipotisé che .
Ch'as denòto .

Butoma che  a sio isomorf e pijoma n'isomorfism .
A-i na ven che , visadì .
Definioma .
Antlora l'element ëd pòst (i,j) an  a l'é
,
visadì .
A l'anvers, si P a l'é na matris ëd përmutassion tal che , ch'as definissa na bijession  an butand f(j) ugual al pòst ëd la riga dl'ùnich 1 ch'a-i compariss ant la colòna j.
Donca

,
ch'a veul dì che f a l'é n'isomorfism antra  e .

An particolar, si  a son isomorf, soe matris d'adiacensa a son sìmile e donca a l'han ël midem polinòmi caraterìstich, visadì
,
anté che I a l'é la matris dl'identità.

Colorassion
Na colorassion d'un graf G=(V,E) a l'é na fonsion f da V an n'ansem C, dit ansem dij color.
Si C a l'ha r element, antlora f as ciama n'r-colorassion.
La colorassion f a l'é pròpia si vértes adiacent a l'han color diferent, visadì si 

Ël nùmer cromàtich χ(G) ëd G a l'é la mìnima cardinalità ëd n'ansem ëd color C tal ch'a-i sia na colorassion pròpia .
La determinassion ëd χ(G) a l'é un dij problema NP-complet clàssich.

Për conté vàire r-colorassion pròpie a-i son d'un graf a peul ven-e a taj ël teorema sì-dapress.
Ch'as denòta p(G,r) ël nùmer d'r-colorassion pròpie ëd G.

Teorema d'ardussion cromàtica.
A val la relassion , anté che  a l'é otnù da G an gavand na banda {u,v} e  a l'é otnù da  an identificand ij vértes u,v.

Ës teorema a përmet d'arporté ël cont ëd p(G,r) a col për graf ch'a l'han viaman men ëd bande e ëd vértes.
A-i na ven che f(r)=p(G,r) a l'é un polinòmi a coefissient antregh, dit polinòmi cromàtich ëd G.
Dagià che f(0)=f(1)=...=f(χ(G)-1)=0 e che  për tut , a-i son d'esponent antregh positiv  e un polinòmi q(r) taj che

andoa q a l'ha gnun-e rèis antreghe positive.

Graf bipartì
Si , antlora G as dis un graf bipartì.
Si χ(G)=1, antlora G a l'é n'ansem indipendent; si χ(G)=2, antlora G a l'é l'union ëd doi ansem indipendent disgionzù.

Esempi.
Un graf bipartì complet  ansima a (n,m) element a l'é l'union ëd doi ansem indipendent disgionzù , ël prim con n element, lë scond con m element, anté che tuti ij vértes ëd  a son adiacent a tuti ij vértes ëd .
Na stèila  a l'é un graf bipartì complet ansima a (1,n-1) element.

Teorema. Un graf a l'é bipartì si e mach si a l'ha gnun sicl ëd longheur dëscobia.

Dimostrassion. Un graf ch'a conten un sicl ëd longheur dëscobia a peul nen esse bipartì, dagià ch'a-i van almanch tre color për colorelo.
A l'anvers, suponoma che G a l'abia n vértes e a conten-a gnun sicl ëd longheur dëscobia.
Si , antlora G a l'é bipartì.
Dësnò, a basta fé vëdde che minca component tacà ëd G a l'é bipartìa e donca as peul fé cont che G a sia tacà.
Fissà un vértes u, për minca vértes w ch'as colora w con 0 si u=w opura la distansa antra u e w a l'é cobia; dësnò ch'as colora w con 1.
A venta fé vëdde che costa a l'é na colorassion pròpia.
S'a fussa pa parèj, a vorërìa dì ch'a-i son doi vértes adiacent  con ël midem color; donca soa distansa da u a dev esse l'istessa, disoma r.
Ch'as pijo donca doi senté , ël prim da  a u, lë scond da  a u.
Ch'as denòta k ël prim valor tal che .
Antlora  a sarìa un sicl ëd longheur dëscobia 2k-1, e sòn a l'é na contradission.

Criche e ansem indipendent
Na crica ant un graf G a l'é un sot-ansem dij vértes ch'a son tuti, doi a doi, adiacent antra 'd lor.
Nansem indipendent a l'é 'n sot-ansem dij vértes ch'a son tuti, doi a doi, nen adiacent antra 'd lor.
Për un graf finì G, ël nùmer ëd crica ω(G) a l'é la cardinalità dla crica pì gròssa ëd G; ël nùmer d'indipendensa α(G) a l'é la cardinalità dël pì gròss ansem indipendent.

Erbo
Un graf sensa sicl as ciama foresta. Na foresta tacà as ciama erbo.
Da la definission, a-i ven che minca erbo a l'é 'n graf bipartì.
An n'erbo, minca cobia ëd vértes distint u,v a l'é gionzùa da 'n senté ùnich: an efet, un senté a dev ess-ie, dagià che n'erbo a l'é tacà; s'a-i na fusso doi diferent, as otenrìa un sicl.

Proposission. An n'erbo T finì con pì che n'element a-i son almanch doi vértes terminaj.Dimostrassion. Ch'as consìdero doi vértes u,v ëd T dont la distansa a sia ugual al diàmeter; ciamoma w ël penùltim vértes ëd l'ùnich senté ch'a gionz u a v.
Donca v,w a son adiacent.
Si v a l'èissa n'àutr vértes adiacent, ciamomlo t, l'ùnich senté ch'a gionzrìa u a t a sarìa col ch'a passa për w e v.
Ma antlora la distansa antra u e t a sarìa pì gròssa dël diàmeter e sòn a l'é na contradission.
Ant l'istessa manera as fa vëdde che u a l'ha mach un vértes adiacent.

Teorema. Ël polinòmi cromàtich ëd n'erbo T con n vértes a l'é .Dimostrassion.'' Për andussion ansima a n.
Si n=1, antlora p(T,x)=x.
Si n>1, ch'as consìdera un vértes terminal u e ch'as consìdera l'ùnica banda {u,w} ancidenta an u.
Ch'as denòta T' l'erbo otnù da T an gavandje la banda {u,w} e  col otnù an identificand ij vértes u,w.
An armarcand che T' a l'ha doe componente, dont un-a formà mach dal vértes u e l'àutra isomorfa a , për ël teorema d'ardussion cromàtica i otnoma

,
anté che al darié passage i l'oma dovrà l'ipòtesi andutiva.

Multi-graf
Ël concet ëd graf as peul generalisesse a col ëd multi-graf''', an lassand che doi vértes a sio gionzù da pì che un-a banda.
Na formalisassion possìbila për un multi-graf M a l'é donca ëd n'ansem ëd vértes , dotà ëd na fonsion  ch'a conta vàire bande a-i son antra minca cobia ëd vértes.
Tanme cas particolar, si la plancia d'f a l'é contnùa an {0,1} i l'oma torna un graf.

N'isomorfism antra doi multi-graf M,N a l'é antlora na bijession  tal che  për minca .

Àlgebra