Criteri ëd Cauchy


Criteri ëd Cauchy për le sequense
Dàita na sequensa  ant në spassi métrich, as dis che sa sequensa a l'é na sequensa ëd Cauchy o ch'a sodisfa 'l criteri ëd Cauchy si për minca nùmer real  a-i é 'n nùmer natural N tal che për tuti ij naturaj  e  la distansa an tra  e  a l'é pì cita che .

Esempi
Minca sequensa monoton-a e limità ëd nùmer rassionaj a l'é na sequensa ëd Cauchy.
Butoma për esempi che  a sia nen dechërsenta e limità dëdzora.
Sòn a veul dì che:
,
.
Si  a fussa nen ëd Cauchy, a-i sarìa  tal che
.
An particolar, pijà N=0, i trovoma  taj che .
Pijoma adess ; i trovoma  taj che .
Andasend anans përparèj, i trovoma na sot-sequensa  tal che , contra l'ipòtesi ëd limitatëssa.

Për esempi, consideroma la sequensa definìa ëd fasson andutiva da
,
,
anté che  a l'é 'n natural, b>0 e a>0 a son taj che .
Antlora as peul mostresse për andussion che , e an efet , e donca la sequensa  a l'é ëd Cauchy.
Si , antlora : an efet  dagià che da λ=0 a jë vnirìa che , contra ; e antlora an passand al lìmit ant la relassion arcorenta i l'oma .
Tutun, fissà un rassional positiv b, an general a-i é nen un rassional λ tal che .
Donca cost a resta n'esempi ëd na sequensa ëd Cauchy an  nen convergenta (an ).

N'àutr esempi ëd sequensa ëd Cauchy ëd rassionaj nen convergenta an  a l'é la sequensa chërsenta
.
Pr'ës-ciairé ch'a l'é limità, as fa vëdde che
.
An efet,  e donca

.
S'a fussa , i l'avrìo , d'anté ch'a-i ven che

con .
Sòn a ìmplica che
.
Pijà n>q, as treuva che
,
andoa
.
Ma , dagià che

Donca  a peul nen converge a 'n nùmer antregh.

Criteri ëd Cauchy e convergensa
Proposission. Minca sequensa ëd Cauchy an në spassi métrich a l'é limità.

Dimostrassion. I soma ch'a-i é n'ìndes N tal che
.
An particolar,

e donca  a l'é contnù ant la bala ëd sènter  e raj 1.
Sòn a veul dì che la sequensa a l'é limità a la finitiva e donca limità.

Proposission. Minca sequensa convergenta an në spassi métrich a l'é na sequensa ëd Cauchy.

Dimostrassion. Consideroma na sequensa  e butoma che .
Fissoma .
Donca a-i é n'ìndes N tal che për minca n>N i l'oma .
Pijà antlora qualsëssìa n,m>N, i l'oma che
.

Proposission. Na sequensa ëd Cauchy ch'a l'abia na sot-sequensa convergenta a l'é convergenta.

Dimostrassion. Butoma che

e fissoma ε>0.
I trovoma an corispondensa , andoa i podoma fé cont che , taj che
,
.
Antlora, pijà qualsëssìa  i l'oma
.

Nopà, a l'é nen dit che an general na sequensa ëd Cauchy an në spassi métrich a convergia an së spassi.
D'àutra part, na sequensa ëd Cauchy ëd nùmer reaj o compless a convergg (an  o , rispetivaman).

Në spassi métrich X a l'é dit complet si minca sequensa ëd Cauchy a l'ha 'n lìmit andrinta a X.
Dait në spassi métrich qualsëssìa (X,d), a-i é në spassi métrich complet  tal che (X,d) a l'é 'n sot-ëspassi d' e X a l'é satì an .
Cost ëspassi a l'é ùnich a manch ëd n'isometrìa e a l'é ciamà ël completament d'(X,d).
A val la propietà che X a l'é separàbil si e mach si  a-l l'é.

Esempi
Consideroma na sequensa  e butoma ch'a-i sia un nùmer k, con 0<k<1, tal che
.
Antlora la sequensa  a l'é na sequensa ëd Cauchy e, si lë spassi métrich a l'é complet, a convergg.
An efet, da le relassion
,

e via fòrt, i na tiroma che
.
Donca, fissà un p>0 qualsëssìa,

,
quantità che, për n grand ch'a basta, a peul esse rendùa pì cita ëd qualsëssìa .

Aplicassion a le serie
An aplicand a na serie real o complessa ël criteri ëd Cauchy për le sequense, i otnoma che la serie  a convergg si e mach si pijà qualsëssìa  a-i é  tal che për minca n>N e minca p a val
.
Tanme corolari a-i na ven che la sequensa dij tèrmin ëd na serie convergenta a l'é infinitésima.
Armarcoma però che a-i é dle serie con tèrmin general infinitésim e nen convergente, tanme la serie armònica.

Criteri ëd Cauchy për le fonsion
Dàit në spassi topològich X e në spassi métrich E, as dis che na fonsion  a sodisfa ël criteri ëd Cauchy ant n'anviron dël pont  si për qualsëssìa real  a-i é n'anviron V d'a tal che, për minca  la distansa an tra f(x) e f(y) a l'é pì cita che .

Criteri ëd convergensa ëd Cauchy
Ch'as consìdero na fonsion  e un pont , taj che I a conten-a n'anviron forà d'.
Antlora, condission necessaria e suficenta përchè a esista  tal che  a l'é che për minca  a-i sia n'anviron forà d', , tal che për qualsëssìa  a vala la relassion .

Dimostrassion
Si , antlora fissà ε>0 a-i é n'anviron forà V d' tal che
.
Antlora, pijà , i l'oma
.

Për ël convers, ch'as consìdera na sequensa  convergenta a , con tuti ij tèrmin diferent da .
Fissà ε>0, denotoma  l'anviron forà d' garantì da j'ipòtesi.
A-i é antlora n'ìndes N tal che për minca n>N i l'oma .
Donca, për minca n,m>N, a val la relassion  e la sequensa  a sodisfa ël criteri ëd Cauchy dle sequense.
Dagià che  a l'é complet, costa sequensa a l'ha un lìmit, ciamomlo l.
Pijà qualsëssìa sequensa  convergenta a  con tuti ij tèrmin diferent da , la sequensa otnùa an mës-ciand  e , visadì
,
,
a convergg a  e dagià che  a l'é torna na sequensa ëd Cauchy con na sot-sequensa convergenta a l, a-i na ven che

e che
.
Donca, .

Anàlisi matemàtica