Nùmer real

An matemàtica, ij nùmer reaj a peulo, ëd fasson motobin informal, esse capì tanme ij nùmer assossià a na longheur o na grandëssa fìsica. As trata dij nùmer, positiv, negativ o 0, ch'a l'han n'arpresentassion decimal finìa o infinìa. Visadì, a son ij rassionaj (ch'a peulo scrivse sot forma ëd frassion) completà daj nùmer dont l'arpresentassion decimal a l'é infinìa nen periòdica (an efet, un nùmer real a l'é rassional se sò dësvlup decimal a l'é periòdich. Për esempi, 1/3=0,333333... a l'é rassional), parèj dla rèis quadrà ëd 2 e π. Costi-sì a son ciamà nùmer irassionaj.
Antra ij nùmer reaj as fa ëdcò distinsion antra ij nùmer algébrich e ij nùmer trassendent.

Ël termo nùmer real a l'ha fàit soa aparission për la prima vira dovrà da Georg Cantor ant ël 1883 an soe publicassion ansima ai fondament dla teorìa dj'ansem. A l'é na retronimìa, an rispòsta a l'anvension dij nùmer imaginari. Ij nùmer reaj a son al sènter dla dissiplin-a matemàtica dl'anàlisi real, a la qual a son debitor ëd gran part ëd soa stòria.

La notassion original dl'ansem dij nùmer reaj a l'é . Tutun, le litre an grassèt a l'ero malfé da scrive ansima a na lavagna o la carta; antlora la notassion  a l'é amponusse.

Ant la vita ëd tuti ij di 
Ij nùmer reaj a peulo arpresenté dle mzure, parèj che ël pressi d'un prodot, ël perìod ëd temp antra doi aveniment, l'autëssa (positiva o negativa) d'un leu geogràfich, la massa ëd n'àtom o la distansa dla pì leugna dle galassie. Ij nùmer reaj a son dovrà tuti ij di, për esempi an conomìa, an anformàtica, an matemàtica, an fìsica o an angegnerìa.

La pì part dël temp, mach chèich sot-ansem ëd reaj a son dovrà: 
 j'antregh naturaj
 j'antregh relativ
 ij nùmer rassionaj, esprimìbij sot forma ëd frassion a numerator e denominator antregh
 ij nùmer decimaj, ch'a son ij reaj ch'as peulo scrivse ëd fasson finìa an base 10
 ij nùmer algébrich, ch'a comprendo tut nùmer ch'as peul ëscrivse an dovrand le quatr operassion elementar e le rèis
 ij nùmer calcolàbij, ch'a comprendo scasi tut ij nùmer dovrà an siensa e an angegnerìa (dont ij pì avosà a son e e π)

Bele che tuti costi sot-ansem ëd reaj a son infinì, a son tuti numeràbij e a arpresento donca mach na part motobin cita dl'ansem dij reaj. Mincadun ëd costi a l'ha ëd soe proprietà. Doi a son particolarman ëstudià: ij nùmer rassionaj e ij nùmer algébrich; as ciamo irassionaj coj reaj ch'a son nen rassionaj e trassendent coj ch'a son nen algébrich.

An siensa 
La fìsica a deuvra ij nùmer reaj tanme ansem dë mzura për doe rason essensiaj:

 J'arzultà d'un cont ëd fìsica a deuvro soens dij nùmer ch'a son nen rassionaj, sensa ch'ij fìsich a pijo an cont la natura ëd costi valor ant ij sò rasonament. 
 La siensa a deuvra dij concet tanme l'andi anstantani o l'acelerassion. Costi concet a son pont ëd partensa ëd teorìe matemàtiche anté che l'ansem dij reaj a l'é na necessità teòrica. An dzorpì, costi concet a l'han ëd propriétà fòrte e indispensàbij se l'ansem dle mzure a l'é lë spassi dij nùmer reaj.

D'àutra part, ël fìsich a peul nen realisé dle mzure ëd precission infinìa. L'arpresentassion numérica dl'arzultà d'un cont a peul esse aprocià ëd fasson precisa tant ch'as veul con un nùmer decimal. A lë stat dla fìsica dël di d'ancheuj, a l'é ëdcò impossìbil da na mira teòrica realisé dle mzure ëd precision infinìa. 
A l'é për sòn che, sia pr'ij sò bzògn ësperimentaj che teòrich, bele che ël fìsich a càlcola le mzure an , a esprim j'arzultà numérich sot forma ëd nùmer decimaj.

Parèj, ël fìsich a deuvra le proprietà dij nùmer reaj ch'a përmëtto ëd deje un sens a le mzure ch'a realisa e a eufro dij teorema potent për dimostré soe teorìe. Për ij valor numérich, as contenta dij nùmer decimaj. Cand a mzura la distansa che a përcor un sòlid ansima a un sercc complet, a deuvra ël valor π sensa posesse ëd chestion ansima a soa esistensa, ma un nùmer ëd decimaj soens cit a-j basta për ij sò cont.

Për finì, bele ch'ij nùmer reaj a peulo arpresenté un përfond ëd grandësse fìsiche, e che cost ëspassi a l'abia pì dë mzure ch'a sia nen possìbil ëd dovré, ij nùmer reaj a van nen bin për travajé ansima a vàire dij problema fìsich. D'ansem pì grand ch'a conten-o ij reaj a son ëstàit creà për podèj manipulé vàire spassi fìsich. Për esempi:
 lë spassi , për modelisé djë spassi vetoriaj ëd dimension pì granda che 1;
 l'ansem dij nùmer compless dont la strutura a l'ha dle proprietà pì fòrte che cola dl'ansem dij nùmer reaj.

Considerassion tecnològiche 
Ij nùmer reaj a peulo esse arpresentà sot forma d'un dësvlup decimal infinì. An teorìa, un përfond ëd grandësse a peul donca esse arpresentà ëd la sòrt. An pràtica, costi nùmer a dësvlup decimal infinì a son nen bon pr'ij cont e a son nen arpresentàbij ansima a j'ordinator. J'economista e j'anginié a-i deuvro an abreviand-ne o an arotondand-ne ël dësvlup decimal infinì. Ëd sòlit ant ël comersi as arotonda a doe gifre apress la vìrgola. 

J'anformàtich, ch'a l'han a soa disposission dij tipo ëd dàit parèj dla vìrgola mòbil e dla vìrgola fissa a deuvro ëdcò lor mach d'aprossimassion adate ai cont anformàtich. Për arpresenté ëd fasson finìa chèich reaj ansima a n'ordinator, a ventrìa dispon-e ëd na memòria infinìa o d'un processor dedicà ai càlcoj simbòlich.

Prime armarche ansima a la nossion ëd dësvlup decimal infinì 
Minca nùmer real a peul esse arpresentà sot forma ëd nùmer a dësvlup decimal infinì. Costa definission a peul ësmijé pì sempia che d'àutre dovrà ëd sòlit dai matemàtich. Tutun, as vëd dlongh che costa a compòrta dle definission e dle dimostrassion motobin pì complicà. An efet ij nùmer reaj a son anteressant për la strutura e le proprietà dl'ansem che costi a formo: adission, multiplicassion, relassion d'órdin, e le proprietà ch'a gropo coste nossion. Coste proprietà a son mal contnùe ant la definission dësvlup decimal infinì e a-i comparisso dij problema teòrich:

 Chèich nùmer a l'han doe arpresentassion. 
 Për esempi, ël nùmer x=0,9999... (ij 9 a van anans a l'infinì), a verìfica l'equassion 10x = 9+x. Ël nùmer y=1,000000... (ij 0 a van anans a l'infinì) a n'é ëdcò na solussion. L'esistensa e l'unissità ëd solussion për costa equassion a son doe proprietà essensiaj për na definission unìvoca dij reaj. Për armedié a costa situassion, a-i é da manca d'identifiché j'arpresentassion decimaj ch'a son solussion ëd na midema equassion linear: la definission a dventa pì complicà.

 Dovré un dësvlup decimal a fa gieughe un ròl privilegià a la base 10.
 A costa dificoltà as peul passeje 'nsima. As peul dovresse na base qualsëssìa: as parla antlora ëd dësvlup an base p. A l'é antlora possìbil dimostré che j'ansem costruì a parte da coste base a son isomòrf e che le proprietà dij nùmer reaj a resto bon-e an tute coste base. Tutun le dimostrassion a ven-o pì dure, e la definission a perd ëd soa simplissità.

 Për finì j'algoritm naturaj për fé n'adission o na multiplicassion, a treuvo na limitassion ant la dobia arpresentassion dij nùmer decimaj. 
 An efet, le reste as ten-o da ment da drita vers ësnistra, e n'algoritm efetiv a ciama ëd traté mach un nùmer finì ëd decimaj, visadì ëd tronché ij nùmer ansima ai quaj as fan ij cont: a peul ancapité donca che bele troncand tant leugn ch'as veul, un a l'abia mai ël decimal precis, për esempi ant ël cont 0,33...+0,66...=1. Passé dzora a costa dificoltà a ciama ëd fé arferiment a dle nossion ëd convergensa, ch'a men-o ëd fasson natural vers d'àutre manere ëd definì ij reaj.

Tutun, na vira stabilìa la strutura dl'ansem dij nùmer reaj, la notassion për mojen dij dësvlup decimaj a përmet dij cont efetiv, an goernand lë spìrit che a son pà tant ij decimaj precis d'un nùmer ch'a conto, ma pitòst soa posission rëspet a j'àutri reaj.

Aspet ëstòrich

Orìgin dij nùmer

Nàssita dle frassion 
Da l'antichità l'arpresentassion ëd na grandëssa mzuràbil a l'ha rëspondù a në bzògn. La prima rispòsta a l'é stàita la costrussion dle frassion (an cossient ëd doi antregh positiv).  Costa solussion, butà an euvra motobin prest dai sumer e j'egissi, a l'ha marcià bin. Sòn a përmet d'avzinesse a na longheur qualsëssìa con tuta la precission ch'as veul.

Corëspondensa con le longheur 

La prima formalisassion sistematisà ch'as conòssa a l'é l'arzultà dël travaj d'Euclid ant ël III sécol aGC. Soa costrussion, arportà ant jElement, a men-a doe ideje fiamenghe ëd grand amportansa ant la stòria dla matemàtica.

 La matemàtica a l'é formalisà con dj'assiòma, dij teorema e dle dimostrassion. As peul antlora costruì un sistema, con dij teorema anté che le dimostrassion as pògio ansima a d'àutri teorema. La matemàtica a l'é classificà an branche, dont la geometrìa e l'aritmética a na son le prinsipaj. Parlé ëd costrussion a l'ha antlora sò sens.

 Un pont a l'é fabricà antra coste doe categorìe. Costa manera 'd rasoné, ch'a përmet ëd dovré dj'arzultà d'un-a dle doe branche dla matemàtica për fé lus an sl'àutra a l'é dle pì produtive. Ij nùmer a son antlora butà an corëspondensa con dle longheur ëd segment.

Problema d'incompletëssa

Irassionalità dla rèis quadrà ëd 2 

L'apròcc d'Euclid a buta an evidensa la prima contradission antra la nossion ëd nùmer dl'época, le frassion, e ël ròl che a l'é atribuije, l'arpresentassion ëd na grandëssa mzuràbil.

 Na longheur dont ël quadrà a l'é ugual a 2 a esist. Un rasonament geométrich, gìa vej a l'época d'Euclid, a mostra ch'a l'é possìbil ëd costruì un quadrà B ëd surfassa dobia ëd cola d'un quadrà inissial A ch'as peul serne ëd banda ugual a 1. Se as denòta con  la longheur dël lat dël quadrà B, ch'a l'é ugual a la longheur dla diagonal dël quadrà A, l'ugualiansa  a l'é antlora verificà.

 Na longheur dont ël quadrà a l'é ugual a 2 a esist pà sot forma ëd frassion. Chèich arzultà a son gìa conossù an aritmética, për esempi ël lema d'Euclid. À parte d'ës lema-sì as mostra che gnun nùmer a peul esse la rèis quadrà ëd 2. Ambelessì, nùmer a veul dì frassion positiva dagià che gnun-a àutra formalisassion a l'é ancor imaginàbil. 

J'Element d'Euclid as fondo ansima a n'assiomàtica anté ch'a smija podèisse prové che na proposission a l'é ansema vera e fàussa. A-i sarà da manca ëd pì'd 2000 agn për l'umanità për arzòlve costa aparent contradission, an dasens na spiegassion dël përchè ij rassionaj a arpresento mach an manera imperfeta la reta real e trové coma arpresentela mej.

A l'é da armarché che tre sécoj anans Euclid, a l'é bel fé che Pitàgora a fussa a conossensa dl'irassionalità ëd chèiche rèis. D'àutra part, la prima formalisassion d'un ver sistema matemàtich costruì a ven d'Euclid.

La rèis quadra ëd 2 a l'é irassional 
Na dimostrassion për assurd ëd Paul Erdős, a mostra che  a l'é irassional.

Butoma donca che  a sia un rassional. A esisto antlora doi antregh p e q (pì grand che 0) parèj che 
. 

An semplificand con ël divisor comun pì grand ëd p e q, i pudoma assume che p e q a sio prim antra 'd lor (la frassion  a l'é dita ireduvìbil).

Elevoma al quadrà ij doi mèmber për oten-e

An multiplicand për q2 ij doi mèmber, i otnoma antlora 

I na concludoma che 2 a divid  e d'apress ël lema d'Uclid, dagià che 2 a l'é prim, i pudoma dì che 2 a divid p, donca a esist k antregh tal che p=2k. I otnoma antlora an semplificand për 2:
 
Costa ugualiansa a mostra, d'apress ël lema d'Uclid, che 2 a divid q.

I l'oma donca fàit vëdde che 2 a divid p e q, lòn ch'a l'é contraditòri con l'ipòtesi ëd partensa, anté ch'i l'avìo pijà p e q prim antra 'd lor.

Dësvlup decimal ilimità nen periòdich 
Se le frassion a permëtto an manera efetiva d'esprime minca longheur con la precision vorsùa, a venta tutun ten-e da ment che j'operassion, e an particolar la division, a dvento complicà se ël sistema ëd numerassion a l'é sernù pà bin.

A venta speté ël sécol ch'a fa V për che la scòla indian-a a anventa ël concet ëd zero e a dësvlupa un sistema ëd numerassion decimal e posissional.

N'àutr problema a fa antlora soa aparission. Tute le frassion a l'han un dësvlup decimal s'as lassa che ës dësvlup-sì a sia infinì e periòdich, visadì che la sequensa dij decimaj a chita mai ma as arpet ansima a un nùmer finì ëd valor. La chestion a l'é ëd savèj che sust deje a n'oget caraterisà da na sequensa ëd decimaj nen periòdica. Për esempi, ël nùmer a dësvlup decimal infinì ch'as esprim tanme
0,1010010001..., anté ch'ël nùmer ëd 0 antra le gifre 1 a chërs viaman, corespond-lo a na longheur?

Sequense e serìe 
Ant la sconda mità dël sécol ch'a fa XVII, a-i é un dësvlup ëstrasordinari dla matemàtica ant ël setor dël calcòl dle serie e dle sequense.

Nicolaus Mercator, ij Bernoulli, James Gregory, Gottfried Wilhelm von Leibniz,  e d'àutri a travajo ansima a dle serìe ch'a con convergente ma dont ël lìmit a l'é nen rassional. A l'é ël cas për esempi:
 dla serie ëd Mercator:  che a convergg vers 
 dla serìa ëd Gregory:  che a convergg vers 
Ëd fasson ancor pì sorprendenta, Liouville dël 1844 a mostra l'esistensa ëd nùmer trassendent visadì ch'a son nen rèis d'un polinòmi a coefissient antregh; a-i basta nen donca ëd completé ij rassionaj an giontand-je ij nùmer algébrich për oten-e l'ansem ëd tuti ij nùmer reaj
 dle serìe dla forma  arpresentant ij nùmer ëd Liouville, anté che   a l'é na sequensa d'antregh comprèis antra 0 e 9.

Ël calcòl infinitesimal 

Durant la sconda part dël sécol ch'a fa XVII, Isaac Newton e Gottfried Wilhelm von Leibniz a anvento na branca dla matemàtica d'autut neuva. Al di d'ancheuj a la ciamo anàlisi, a l'época a l'avìo dila calcòl infinitesimal. Costa branca a pija dun-a na grand amportansa përchè a l'é la base ëd na neuva teorìa fìsica dl'univers: la teorìa dla gravitassion newtonian-a.

Donca, ël calcòl infinitesimal as peul nen dësvlupé ant l'ansem dij nùmer rassionaj. Se ij cont a son giust, costi a son esprimù ant un lengage ëd na gran complessità e le dimostrassion a travajo pì an dovrand l'antuission geométrica che an manera ciàira e rigorosa ant ël sens ëd nòstra época.

L'impossibilità dla costrussion dl'anàlisi ant l'ansem dle frassion a va sërcà ant ël fàit che costa branca dla matemàtica as fonda ansima a l'anàlisi d'infinitaman cit. Donca, as peul comparé ij nùmer rassionaj a n'infinità ëd cit gran ëd sabia (ëd dimension infinitaman cita) ansima a la reta real ch'a lasso infinitaman pì ëd përtus che ëd materia. L'anàlisi a peul nen contentesse d'un supòrt parèj, ma a ciama për supòrt në spassi complet. Ël termo a l'é ambelessì dovrà ant un sens dobi, ël sens antuitiv che a veul dì che l'infinità ëd cit përtus a deuv esse ampinìa e ël sens ch'ij matemàtich a deuvro al di d'ancheuj pì astrat ma rigorosaman formalisà.

Costa nossion a l'é tant amportanta che sòn a farà s-ciòde a l'ancamin dël sécol ch'a fa XX na gròssa branca dla matemàtica, ciamà topologìa.

Përchè a-i é da manca d' ant l'anàlisi 
L'anàlisi a fa cont che na fonsion real ëd na variàbil real a l'é essensialman conossùa për sò comportament infinitesimal. Për esempi, se l'acelerassion d'un pianeta a l'é conossùa a minca istant e che soa posission e soa velocità inissiaj a son conossùe, antlora a l'é possìbil trovene la trajetoria precisa. Na caden-a ëd teorema, cola dël teorema dj'aument finì ch'as preuva an dovrand ël teorema ëd Rolle ch'as a preuva për mojen dël teorema dle limitassion a dventa fàussa ansima a le frassion rassionaj. Se as arpresenta ës teorema-sì an termo pì concret, as peul escrive costi teorema ëd na fasson parèj: për ël teorema dj'aument finì, se na vitura a marcia për 120 km an 2 ore antlora costa vitora a viagia almanch un moment a 60 km/h; për ël teorema ëd Rolle (rispetivaman ël teorema dle limitassion), se na vitura a part e a riva ant ël midem pòst sensa cambié dë stra, antlora costa a l'é fërmasse almanch na vira për torné andré (e a-i é un moment che la vitura as treuva ant ël pont pì leugn da soa partensa).

As trata ëd teorema dont l'antuission a l'é ciàira, che un as ciama fin-a coma a l'é possìbil d'avèj da manca ëd dimostreje. Newton a l'ha possà tant leugn le conseguense ëd coste evidense, che mach pòche përson-e a l'han podù a soa época capì da bon soa euvra pì granda, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Le dimostrassion as fondavo a la fin fin sempe ansima a nantuission.

I butoma bin an ciàir përchè la dimostrassion dël teorema dle limitassion a ciama na comprension ancreusa dla natura topològica dij nùmer reaj. Për sòn as pijërà an considerassion la fonsion f ansima ai rassionaj dl'antërval  an , anté che  a denòta l'ansem dle frassion rassionaj, definìa parèj:

La fonsion a sarìa dëscontinua ant un pont dont ël quadrà a fussa ugual a 2, ma ës pont-sì a esist nen ant ij rassionaj, la fonsion a l'é donca continua daspërtut anté ch'a l'é definìa. As armarca che ij cit përtus a dësblo nòstra nossion antuitiva ëd continuità. Na descrission infinitesimal a peul nen donca descrive për da bin la fonsion përchè ij cit përtus a permëtto dij sàut ch'a son nen descrivù dal comportament infinitesimal. Nòstra nossion antuitiva ëd continuità a l'ha nen donca ël midem sens an  che an . Pì l'assissa as apròcia an sla reta a 'n pont ch'a esist nen an , pì ël valor ëd na fonsion a peul aumenté. Parèj, a esist gnun pont ch'a toca ël valor pì àut.

La reta real 
Se ij nùmer negativ a comparisso motobin prest ant la stòria (contribussion ëd la matemàtica indian-a), a venta speté fin-a al 1770 për che costi a oten-o mersì a Euler në statù ëd nùmer për da bon e a chito sò caràter d'artifissi ëd cont. Ma a venta speté ancor un sécol për che l'ansem dij reaj a sia assossià a l'ansem dij pont ëd na reta orientà, ciamà reta real.

Ch'as consìdera na reta D ch'a conten un pont O ch'as ciamrà, për convension, origin. Ch'a sia I un pont diferent da O ch'aparten-a a D e ch'as identìfica col nùmer 1. Për convension, as dirà che la distansa da O a I a l'é ugual a 1 e che l'orientassion dla reta a l'é cola da O vers I. A tut pont M dla reta, as assòssia la distansa antra O e M. Se M e I a resto dl'istessa banda rëspet a O antlora la distansa a l'é considerà positiva, dësnò costa a l'é negativa.

Costa relassion che la formalisassion dël di d'ancheuj a ciama bijession a përmet d'identifiché un nùmer real a un pont ëd na reta.

Apress 2200 agn: la solussion

La costrussion 

L'anàlisi a përmet n'antuission pì precisa ansima a la topologìa dij nùmer. A-i sarà da manca d'un sécol për rivé a na costrussion rigorosa dij nùmer reaj, visadì saré ij përtus.

Tanme a-i ancàpita soens an matemàtica, na vira che ël problema a l'é vnù madur, cost a l'é arzolvù pà mach da un, ma da doi pensador.

Ël prim a avèj definì un concet për permëtte d'arzòlve la problemàtica dla costrussion dij nùmer reaj a l'é Augustin-Louis Cauchy. So apròcc a l'é restà ël pì dru e as àplica a vàire d'àutre situassion che ai nùmer reaj. Soa idèja a l'é costa: na sequensa ëd nùmer a dovrìa converge (visadì avèj un lìmit), se, passà un pòch ëd temp, tuti j'element dla sequensa a son a na distansa da j'àutri tant cita ch'as veul. Costa idèja a l'é formalisà dal concet ëd sequensa ëd Cauchy. Ch'as pija an considerassion la sequensa 1, peui 1,4, peui 1,41 e via fòrt, an alineand un për un tuti ij decimaj ëd , costa sequensa a verìfica ël critèri ëd Cauchy. Sò lìmit a l'é un bon candidà për arpresenté la rèis quadrà ëd 2 e cost apròcc a përmet ëd costruì ij nùmer reaj. A l'é da armarché che a l'é mach vers la fin dël sécol ch'a fa XIX che costa idèja a përmet na costrussion rigorosa dl'ansem dij reaj ch'a l'é realisà da doi matemàtich: Cantor ant ël 1872 e Méray ant ël 1869.

Ël second a l'é Richard Dedekind che, ant ël 1872, a propon an soa euvra Was sind und was sollen die Zahlen (Lòn ch'a son e lòn ch'a dovrìo esse ij nùmer) un métod pì sempi an ëstudiand la relassion d'órdin ansima a le frassion. Soa idèja a consist a consideré ij taj, për esempi l'ansem ëd tuti ij nùmer negativ o dont ël quadrà a l'é pì cit che 2. Cost oget a l'é ëdcò un bon candidat për arpresenté la rèis quadrà ëd 2.

A esist n'àutr métod a parte d'ij dësvlup decimaj, tutun j'operassion d'adission e ëd multiplicassion a resto nen bel fé a definì. A l'é miraco për sòn che cost apròcc a l'é ël men popolar.

Costi métod a fàbrico tuti ël midem ansem, col dij nùmer reaj.

La solussion a l'é pì rica che lòn ch'as prevëdìa 

Ël sécol ch'a fa XIX a mostra che costa neuva strutura, l'ansem dij nùmer reaj, soe operassion e soa relassion d'órdin, nen mach a manten soe promësse ma a va dëdlà.

 Nen mach ël paradoss dla  a l'é arzolvù, ma as peul dimostresse un teorema potent: ël teorema dij valor mojen ch'a përmet ëd costruì le fonsion anverse, për esempi le fonsion radicaj , e j'anverse dle fonsion trigonométriche.
 Ij dësvlup decimaj infinì a l'han al di d'ancheuj un sens. An dzorpì, a l'é possìbil classifiché con pì precision ij nùmer reaj. Parèj, an dzorpì dle frassion rassionaj a l'é anventasse ël camp dij nùmer algébrich, visadì dij nùmer ch'a resto rèis d'un polinòmi a coefissient antregh. Na neuva famija ëd nùmer a l'é smonùa: ij trassendent, ch'a son rèis ëd gnun-a equassion algébrica a coefissient antregh. Le proprietà ëd costi nùmer a permëtto la dimostrassion ëd veje congeture tanme la quadradura dël sercc.
 Për finì, ël teorema ëd Rolle a l'é generalisà e a përmet la dimostrassion ëd n'arzultà essensial për l'anàlisi. Ël comportament infinitesimal ëd na fonsion, për esempi ël fàit che la derivà a sia sempe positiva, a përmet ëd conclude un comportament global. Sòn a veul dì për esempi, che se un sòlid as bogia ansima a na reta con na velocità anstantania sempe positiva, antlora ël sòlid a l'ha avansà, visadì cost a l'é bogiasse positivaman (vers "l'anans") rëspet a l'orìgin. Costa problemàtica ch'a l'avìa sburdì ij Grech, nen bon a arzòlve ij paradòss ëd Zenon, a l'é capìa an manera definitiva. Për s'arzultà-sì, che për l'antuission a l'é bin ciàir, a-i son vorsuje ëd sécoj dë sfòrs.
 Ant ël dësvlup dij cont infinitesimaj, la manipulassion dl'infinitaman cit as peul antlora afrontesse ëd fasson diferenta. 

L'ansem dij nùmer reaj a podìa nen sodësfé tuti ij matemàtich. An j'agn 1960, Abraham Robinson a l'ha antroduvù la nossion ëd nùmer iper-real, an përmetend ël dësvlup dl'anàlisi nen ëstandard. Costa neuva teorìa a përmet d'esprime e ëd dimostré ëd fasson pì sempia chèich arzultà fondamentaj tanme ël teorema ëd Bolzano-Weierstrass.

Natura: matemàtica e filosofìa 
L'evolussion dij concet ëd nùmer real e ëd continuità a l'é tant filosòfica che matemàtica. Ch'ij nùmer reaj a formo na sostansa continua a veul dì ch'a-i é nen ëd "sàut" o ëd "bande vietà". Conforma a l'antuission, a l'é pròpe tanme la përcession uman-a ëd lë spassi o dlë score dël temp. Chèich filòsof a pensa che d'àutra part sòn a l'é vera për tuti ij fenòmeno naturaj. Ës concet-sì a l'é resumà për mojen dël mòt dël matemàtich e filòsof Leibniz: natura non facit saltus, "la natura a fa nen ëd sàut".

D'la Grecia antica a j'achit dij temp modern 
La stòria dla continuità a l'ha sò achit ant la Grecia antica. Ant ël I sécol aGC, j'atomista a chërdìo nen mach che la natura a l'é fàita ëd "sàut", ma ëdcò ch'a esisto dle partissele ëd base nen divisìbij, j'àtom. Ij sinechista d'àutra part a fortivo che tut a l'é tacà, continuo. Demòcrit a l'era un ch'a chërdìa a na natura fàita d'àtom antërcalà ëd veuid, antant che Eudòss a fortìa ël contrari, an fasend ëd sò travaj un dij pì vej precursor dl'anàlisi. Costi-sì as son evolvusse pì tard an lòn ch'as conòss sot ël nòm ëd geometrìa euclidéa.

Ancor dël sécol ch'a fa XVII, dij matemàtich a fortìo che na fonsion continua a l'é an efet costituìa ëd linie rete infinitaman cite, visadì infinitesimaj. Ël concet d'infinitaman cit, da na mira atomista, a peul ëmné a costa fasson ëd concepì la natura. La chestion dl'infinì a l'é donca sentral a la comprension dla continuità e dij nùmer reaj.

Ij paradòss ëd Zenon a ilustro la contra-antuitività dla nossion d'infinì. Un dij pì conossù a l'é col dla flecia, ch'a consist a pensé a na flecia ch'a vòla. A minca moment, la flecia as treuva a na posission precisa e se l'istant a l'é tròp curt, antlora la flecia a l'han nen ël temp ëd bogé e a resta ferma durant cost istant. Ant j'istant apress, costa a resta imòbil për la midema rason. La flecia a l'é sempe imòbil e a peul nen bogesse: ël moviment a l'é impossìbil. Për arzòlve ës paradòss-sì, a venta adissioné moviment infinitaman cit un nùmer infinì ëd vire, dovrand ël concet ëd lìmit, n'anvension rivà mersì a l'evolussion dl'anàlisi.

Stòria dl'anàlisi 
Ël concet ëd continuità dij nùmer reaj a l'é sentral ant l'anàlisi, da j'achit ëd soa stòria. Na chestion fondamental a l'é cola ëd determiné se na fonsion dàita a l'é an efet na fonsion continua. Dël sécol ch'a fa XVIII, a l'é formulasse costa chestion tanme "na variassion infinitesimal an sò domini a pròvoca na variassion infinitesimal an soa imàgin?" Ant ël sécol ch'a fa XIX, costa formulassion a l'é stàita bandonà e rampiassà da cola ch'a deuvra ël concet ëd lìmit.

Dël sécol ch'a fa XVIII, j'infinitesimaj a finisso an dësgrassia: a resto d'utilità pràtica, ma a son nen precis, nen necessari e contraditòri. Cantor a-j dis fin-a na "maladìa anfetiva" dla matemàtica. Ij lìmit a-i rampiasso d'autut e, a parte d'l'ancamin dël sécol ch'a fa XX, j'infinitesimal a son mach ël sot-prodot dl'anàlisi. An matemàtica a resto ant ël canton dj'afé sensa sust, fin-a ch'a son torna antroduvù an prim pian ant la geometrìa diferensial, an ëdventant la sorgiss matemàtica dij camp tensoriaj.

Ant le siense aplicà, dzortut an fìsica e an angegnerìa, j'infinitesimaj as deuvro soens. La fasson dont a son dovrà a l'é ëd tansantan sorgiss ëd problema ëd comunicassion antra coste siense e la matemàtica.

Definission assiomàtiche ëd  e prima proprietà 
Se as veul fela curta, as peul caraterisesse l'ansem dij nùmer reaj, ch'as denòta an general , con la frase ëd David Hilbert:  a l'é ël pì gròss camp archimedeo ch'a l'é complet. "Pì gròss" a veul dì che minca camp archimedeo a l'é isomòrf a un sot-ansem d'. Ambelessì "isomòrf" a veul dì, da na mira antuitiva, che a l'ha la midema forma, o as compòrta ant l'istessa manera.
Donca, ij camp isomòrf as peulo identifichesse.

Descrission assiomàtica 

Na descrission assiomàtica a consist a caraterisé un concet con un-a o na serie ëd definission. Cost procediment, dont Hilbert a l'é ël precursor an sò formalism modern, ant ël sécol ch'a fa XX a l'é arvelasse esse na manera ëd pensé motobin drua. Dij concet 'me la topologìa, la teorìa dla mzura, o la probabilità as definisso al di dj'ancheuj për mojen d'assiòma. Na descrission assiomàtica a smon na comprension perfeta dla strutura dont as parla e a përmet ëd dimostré ij teorema mach an basandse su coste definission. A l'é la rason për la qual ëd bon-e definission an matemàtica a peulo mostresse bin potente. La descrission assiomàtica d' a mostra tutun pà soa esistensa. A-i é antlora da manca ëd fabriché costa strutura.

La definission assiomàtica a l'é cola smonùa dëdzora.  a l'é l'ùnich camp archimedeo complet. Ma a-i é ëdcò n'àutra definission assiomàtica pì sempia e ch'a l'é echivalenta.  a l'é l'ùnich camp totalman ordinà che a sodisfa l'assiòma dl'estrem superior.
L'unissità a veul dì ambelessì che, se K a l'é un camp totalman ordinà ch'a l'abia la proprietà dl'estrem superior, a esist n'ùnich isomorfism antra K e .

  a l'é un camp.  a l'ha donca na strutura algébrica pura, visadì tute soe laj a son anterior. An efet l'adission (rispetivaman la multiplicassion) as aplico a doi nùmer reaj për ëspòrze un ters nùmer real.  a l'é un camp. Soe doe operassion, l'adission e la multiplicassion, a l'han donca tute le proprietà sòlite.
  a l'é un camp totalman ordinà. Sòn a veul dì che tuti ij nùmer a peulo esse comparà antra 'd lor (un peul esse pì grand, pì cit, o ugual a l'àutr) e che costa relassion a va d'acòrd con l'adission e la multiplicassion. An lengage matemàtich sòn a l'é formalisà parèj:
 ;
 
 L'assiòma dl'estrem superior as esprim parèj: se A a l'é n'ansem nen veuid e magiorà, visadì ch'a esist un nùmer dàit pì grand o ugual ëd minca element d'A; antlora A a l'ha estrem superior, ch'a l'é ël pì cit dij magiorant.

Cost darié assiòma a diferensia  da tut àutr camp. A-i é an efet n'infinità ëd camp totalman ordinà, ma mach un sol a sodisfa l'assiòma dl'estrem superior.
  a l'é archimedeo. Sòn a veul dì che se as pija un nùmer a positiv, e as considera la sequensa a, 2a, 3a, ..., antlora as oten na sequensa ëd nùmer grand tant ch'as veul. An lengage matemàtich, sòn a së scriv:

  a l'é un camp complet. Visadì minca sequensa ëd Cauchy real a convergg.

Dimostrassion 
A venta dimostré l'echivalensa antra le doe definission assiomàtiche.

 Se  a l'é un camp totalman ordinà ch'a verìfica la proprietà dl'estrem superior antlora  a l'é archimedeo. Ch'a sia  n'element d',  e  n'element d'. A venta trové n'antregh  tal che . 
 Se , a-i basta ëd pijé 
 Dësnò, ch'as considera l'ansem .  a l'é nen veuid e a l'é magiorà da  donca a l'ha n'estrem superior . L'element  a l'é donca nen un magiorant d'; a esist donca un natural  tal che .
Antlora  donca , dont a-i ven che .
 Se  a l'é un camp totalman ordinà ch'a verìfica la proprietà dl'estrem superior antlora  a l'é complet. Ch'a sia  na sequensa ëd Cauchy an ; a venta prové che  a convergg. Na sequensa ëd Cauchy a l'é tavòta limità. Parèj, l'ansem  a l'é nen veuid e limità, e a l'ha n'estrem superior  e n'estrem inferior . As provrà che le sequense  e  a resto adiassente.
  a l'é dechërsenta. An efet  a l'é un magiorant d' donca d' donca .
  a l'é chërsenta. Dimostrassion bele istessa.
 Për minca , a esist  tal che, për minca  e  tal che ,  (përchè la sequensa  a l'é ëd Cauchy). Parèj,  a l'é un magiorant d' donca . D'àutra part . Donca, , e . La sequensa  a convergg donca a 0.
 Doe sequense adiassente a convergio vers l'istess lìmit (costa a l'é na conseguensa direta dla proprietà dl'estrem superior). Ch'a sia  cost lìmit. As conòss che  . Da l'armarca dëdzora, a-i ven che për tut , a esist  tal che, për minca , . Dagià che , a-i ven che . Lòn ch'a conferma che la sequensa  a convergg vers .
 Tut camp comutativ archimedeo complet a verìfica la proprietà dl'estrem superior. La dimostrassion a l'é sìmil a cola dovrà për la costrussion dij nùmer reaj a parte da le sequense ëd Cauchy.

Prime proprietà 

Costa session técnica a trata dle proprietà essensiaj e elementar për un travaj analìtich ansima a .

La proprietà sì-sota a ven dal fàit che  a l'é archimedeo.

 Antra doi reaj diferent, a esisto tavòta un rassional e n'irassional.

J'àutre proprietà a son dle conseguense dla proprietà dl'estrem superior.

 Tut ansem nen veuid e minorà d' a admet n'estrem inferior.
 Tuta sequensa chërsenta e magiorà an  a l'é convergenta.
 Tuta sequensa dechërsenta e minorà an  a l'é convergenta.
 Doe sequense adassente a convergio vers l'istess lìmit. As ciamo sequense adiassente doe sequense, un-a ch'a chërs, l'àutra ch'a cala, dont la diferensa a tend a 0.

Dimostrassion 
 Tut ansem nen veuid e minorà d' a admet n'estrem inferior. La dimostrassion a l'é bele parèj che cola dl'assiòma dl'estrem superior.
 Tuta sequensa  chërsenta e magiorà an  a l'é convergenta. As pijërà an considerassion l'ansem dij valor ëd costa sequensa. A l'é nen veuid e magiorà. A admet donca n'estrem superior che i denotoma l. Tut element rigorosaman pì cit che l a l'é pà un magiorant. A-i na ven:

La sequensa  a l'é chërsenta; a-i na ven che la proposission (1) së scriv ëdcò:

La proposission (2) a l'é la definission dla convergensa dla sequensa .
 Tuta sequensa dechërsenta e minorà an  a l'é convergenta. La dimostrassion a l'é parèj ëd cola sì-dzora.
 Doe sequense adiassente a convergio vers l'istess lìmit. A l'é ël teorema dle sequense adiassente.
 Antra doi reaj diferent, a esist tavòta un rassional. Pijoma doi reaj diferent. Denotoma ël pì cit  e ël pì gròss . Mostroma ch'a esist un rassional antra ij doi. Ciamoma  un real pì grand che 0 e pì cit che . Dagià che  a l'é archimedeo, a esist n'antregh  tal che . Ch'as consìdera antlora l'ansem dj'antregh relativ  tal che . Dagià che  a l'é archimedeo, cost ansem a l'é nen veuid e magiorà. A admët antlora un pì grand element  tal che . Ël rassional  a l'é comprèis ës-ciass antra  e .
 Antra doi reaj diferent, a esist tavòta n'irassional. Për sòn, i dovoma parte da n'irassional, për esempi . Consideroma ij reaj  e . Për la proprietà dëdzora, a esist un rassional  comprèis antra  e .
An mulitiplicand për , as treuva n'irassional  comprèis antra  e .

Saradura algébrica 
A esist n'ansem ëd fonsion bomben anteressante, ij polinòmi. Un polinòmi a peul dle vire esse fatorisà. Visadì as peul esprimse sot forma ëd prodot ëd polinòmi nen costant ëd gré pì cit. L'ideal a sarìa ëd podèj fatorisé tut polinòmi an fator ëd gré 1 (visadì dla forma ). Costa proprietà a dipend dal camp ansima al qual as costruisso costi polinòmi. Për esempi ansima al camp dij rassionaj, ch'a sia  antregh superior o ugual a doi; a esisto dij polinòmi ëd gré  ireduvìbij, visadì ch'as a peul nen esprimje sot forma ëd prodot ëd polinòmi ëd gré pì cit.
Për ij nùmer reaj, as dimostra che ël pì grand gré d'un polinòm ireduvìbil a l'é ugual a doi. An d'àutri termo, se ël polinòmi as decompon nen, a l'é ch'a l'é dla forma . Ij camp dont ij polinòmi ireduvìbij a son mach coj ëd gré 1 a-j diso algebricaman sarà.

Se  a l'é pà algebricaman sarà, as peul tutun mojé ës camp ant un camp pì gròss. As trata d'un camp neuv, ël camp dij nùmer compless. Tutun ës camp-sì a l'é pà globalman "mèj". L'esse algebricaman sarà a l'é na proprietà fòrt anteressanta, ma a l'ha un pressi: ël camp dij compless a peul nen avèj ëd relassion d'órdin compatìbij con soe doe operassion. An chèich sòrt, lòn ch'a l'é vagnà da na banda a l'é përdu da n'àutra.

Topologìa 
La rason d'esse dij nùmer reaj a l'é dë spòrze n'ansem ëd nùmer con ëd proprietà bon-e, për permëtte la costrussion dl'anàlisi. A son possìbij doi apròcc, ch'a deuvro doi concet diferent.
 As peul dovré la nossion dë spassi métrich che ansima a  a assòssia la distansa sòlita. Costa distansa , a l'era gìa dovrà da Uclid. A l'é definìa dla manera parèj:

Ës concet-sì a l'é ël pì davzin a l'antuission e an general a përmet dle dimostrassion un pòch pì naturaj. Soens a l'é a parte da si concet-sì che le proprietà analìtiche d' a son dësvlupà e provà. 
 As peul ëdcò dovré la teorìa dla topologìa. Costa teorìa a l'é pì general che cola assossià a la distansa. Tut ëspassi métrich a l'é në spassi topològich. Ma ël convers a l'é pà sempe vera.
L'elegansa a preferiss j'assiomatisassion pì déboj. Ant ël sécol ch'a fa XX un travaj d'arformulassion general dla matemàtica a l'é anandià da Nikolas Bourbaki e as concretisa ant la redassion ëd n'euvra ciamà Éléments de mathématique (Element ëd matemàtica). S'euvra a trata, ëd fasson rigorosa, na gròssa part dla matemàtica dël di d'ancheuj. Për costa rason, j'Element a dësvlupo e a dimostro le proprietà dl'ansem dij reaj a parte dla topologìa.

Proprietà 
 Ch'a sia  un nùmer real. N'anviron d' a l'é n'ansem ch'a conten un antërval duvert ch'a conten .
  a l'é në spassi separà.
  a l'é daspërtut ës-ciass an .
 Ij duvert ëd  a resto j'union qualsëssìa d'antërvaj duvert.
 Ij sot-ëspassi compat d' a son j'ansem sarà e limità. Costa proprietà a përmet na dimostrassion sempia e curta dël teorema dle limitassion. An particolar ij segment a resto compat.
 Minca sequensa limità ëd  a admët na sot-sequensa convergenta. A l'é ël teorema ëd Bolzano-Weierstrass.
  a l'é në spassi tacà e tacà ëd fasson sempia.
 Ij sot-ansem tacà d' a son j'antërvaj. Costa proprietà a përmet na dimostrassion sempia e curta dël teorema dij valor mojen.
 Teorema dj'ansem sarà ambotià. Ch'a sia  na sequensa d'ansem sarà, limità, ambotià (visadì ), nen veuid. Antlora soa antërsession a l'é nen veuida:
.
An efet, as pija an considerassion na sequensa  ch'a verìfica la proprietà . A l'é na sequensa limità, a admët donca na sot-sequensa convergenta. So lìmit a l'é aderent a minca antërval  e dagià che costi ansem a son sarà, a conten-o tuti ij sò pont aderent.

Cardinalità 
Vàire ch'a son ij nùmer reaj? N'infinità, ma vàire? A esisto un përfond ëd cardinaj infinì. Ambelessì ël concet ëd cardinal as peul pensesse tanme ël nùmer d'element contù an n'ansem. Cand j'ansem a son nen finì, nòstra prima antuission a l'é falà. Për ten-e da ment l'anghicio, comparoma ël cardinal dij nùmer antregh positiv e dij nùmer par positiv. Nòstra prima reassion a sarìa ëd fortì che ël cardinal dj'antregh positiv a l'é pì grand përchè cost ansem a conten nen mach ij nùmer par ma ëdcò ij nùmer dìspar, donca ël dobi ëd nùmer. Tutun, l'aplicassion che, a minca nùmer antregh positiv, a assòssia sò dobi a l'é na corëspondensa bijetiva, visadì a assossia a minca nùmer dl'ansem ëd partensa un mach un element ant l'ansem d'ariv. Nòstra prim reassion a l'era pà bon-a e a përmet nen ëd costruì la teorìa dij cardinaj. Ij doi cardinaj a son an efet uguaj. An efet, l'ansem dj'antregh positiv e l'ansem dj'antregh par positiv (o dìspar positiv) a corëspondo a un midem cardinal dit numeràbil. An d'àutre paròle, a-i son tanti nùmer antregh positiv che nùmer par (o dìspar) positiv.

Col ch'a l'é ël cardinal dij nùmer rassionaj? Cost a smija motobin pì grand che col dj'antregh përchè antra doi antregh a-i é n'infinità ëd frassion. Tutun, a l'é ancor possìbil ëstabili na bijession antra l'ansem dj'antregh e col dle frassion.

Ciamomse antlora la midema chestion për l'ansem . Sò cardinal a l'é pà numeràbil: a l'é pì grand ëd col dij nùmer antregh. Ël cardinal dij nùmer rassionaj a l'é denotà  (alef 0). Col dij nùmer reaj a l'é denotà  o  e a l'é ciamà ël cardinal dël continuo. D'anté ch'a-i ven ës cambiament ëd cardinal? An efet, ij rassionaj e ëdcò ij nùmer algébrich a l'han na cardinalità numeràbil. L'ansem dij nùmer reaj a l'ha la cardinalità dël continuo. Costi a resto donca infinitaman ëd pì che ij nùmer algébrich e donca che ij nùmer antregh.
Georg Cantor, genial anventor dël rasonament dla diagonal, a stabiliss costa teorìa e as ciama la chestion dl'esistensa d'un cardinal pì gròss che col dij nùmer rassionaj e pì cit che col dij nùmer reaj. Soa ipòtesi, che un cardinal parèj a esist nen, as ciama l'ipòtesi dël continuo. Costa congetura a l'é fondamental ant la stòria dla matemàtica për doe rason:
 A l'ancamin la chestion dij cardinaj a l'é stait anglobà da Cantor an na teorìa pì spantià, la teorìa dj'ansem, che a serv al di dj'ancheuj ëd fondament a tuta la matemàtica. Tut ël formalism e le costrussion dla matemàtica a l'han për fondassion costa teorìa.
 Apress, la rispòsta a la chestion dl'ipòtesi dël continuo a l'é vreman dròla, e a l'ha ventà speté la sconda mità dël sécol ch'a fa XX për trovela: a l'é indessidìbil. Sòn a veul dì che da na part a l'é impossìbil dimostré l'esistensa ëd n'ansem ëd cardinalità comprèisa tra cola dj'antregh e cola dij reaj; da l'àutra a l'é ëdcò impossìbil fé vëdde che cost ansem a esist nen (se as modìfica nen la base assiomàtica dovrà, visadì la lògica).
Na legenda a fortiss che costa chestion a l'ha finì për fé ven-e Cantor fòl. Lòn ch'as peulo disse, a l'é che Cantor a l'ha travajà ansima a 's problema-sì, ch'a l'ha nen arzolvulo e ch'a l'é stàit pijà da na psicòsi maniaco-depressiva.

Dimostrassion 
Mostroma che ël cardinal dl'antërval  a l'é nen numeràbil. Për sòn a venta fé vëdde che gnun-a sequensa  inietiva an  a l'é ëdcò surietiva. A-i basta ëd trové un pont  ch'a sia pà ant l'ansem dij valor dla sequensa. Për sòn costruvoma doe sequense ,  definìe për mojen ëd n'arcorensa an manera da sodësfé la proposission sì-sota:

Ij valor inissiaj dle doe sequense a son:

a l'é ciàir che la proprietà (1) a l'é vera se n a l'é ugual a 0.
Definioma antlora nòstre sequense për l'ìndes .

 

L'antërval  a l'é contnù ant l'antërval , a peul nen conten-e d'element dla sequensa  d'ìndes pì cit che  për l'ipotesi dl'arcorensa.
Për la costrussion dle sequense  e , l'antërval  a peul pì nen conten-e  e la proprietà (1) a l'é verificà.

 a l'é na sequensa d'antërvaj sarà ambotià. Soa antërsession a l'é nen veuida e a conten donca almanch n'element . Për finì, a-i basta d'armarché che  a l'é pà un valor dla sequensa  për ij prim  valor. Dagià che  a l'é qualsëssia, i l'oma dimostrà la proposission.

N'àutra dimostrassion possìbil a deuvra un rasonament për diagonalisassion: dàita na lista qualsëssìa d'espansion decimaj
,
,
,
...
as fàbrica un nùmer neuv  an definend la gifra  coma un nùmer comprèis antra 1 e 8 e diferent da .

Numer real