Spassi doal
An matemàtica lë spassi doal (o, mej, spassi doal algébrich) ëd në spassi vetorial (V,K) a l'é në spassi vetorial dont j'element a son ij fonsionaj linear definì ansima a V. Ël concet dë spassi doal a arcor an tante aplicassion dla matemàtica e dla fìsica dagià ch'a l'é a fondament ëd la nossion ëd tensor.

Definission 
Ch'as consìdera në spassi vetorial V ansima a 'n camp K. Un fonsional linear a l'é n'aplicassion linear da V ant ël camp K. Definioma la soma antra doi fonsionaj linear f e g, e ël prodòt antra f e në scalar α an sa manera-sì:

Con coste operassion l'ansem ëd tuti ij fonsionaj linear ëd V an K a forma në spassi vetorial, ciamà spassi vetorial doal V* ëd V.

Esempi

Dimension finìa 
Se V a l'ha dimension  finìa, antlora V* a l'ha la midema dimension ëd V. An efet se (e1, ...,en) a l'é na base për V, lë spassi V* a l'ha na base doal (e1,...,en) definìa an sa manera-sì:

An d'àutre paròle, ël fonsional ei a l'é definì tanme l'ùnich fonsional ch'a manda ei an 1 e tuti j'àutri element ej dla base an zero.

Ëd na fasson pì concreta, se Rn a l'é lë spassi dij vetor colòna con n component, lë spassi doal Rn* a l'é lë spassi dij vetor riga con n component: minca vetor riga v a peul esse an efet antërpretà tanme un fonsional ch'a manda ël vetor colòna w ant lë scalar v · w otnù an moltiplicand v e w për mojen sla sòlita moltiplicassion antra matris. An cost cas, se (ei) a l'é la base canònica ëd Rn, antlora ei a l'é bele mach la traspòsta ëd ei.

Dimension infinìa 
Se V a l'ha dimension infinìa, la costrussion ëd ei descrita sì-dzora a smon dij vetor linearman indipendent an V*, ma nen na base: costi vetor a basto pà për generè tuti ij fonsionaj linear. An efet V* a l'ha dimension pì granda che V, ant ël sens ch'a l'é ancor infinìa ma con cardinalità pì granda. 
Për esempi, lë spassi R(ω) dle sequense ëd nùmer reaj  ch'a l'han mach un nùmer finì d'element nen zero a l'ha dimension numeràbil. Lë spassi doal a peul esse identificà con lë spassi Rω ëd tute le sequense ëd nùmer reaj, e a l'ha dimension pì che numeràbil (a l'ha la midema cardinalità ëd R). L'identificassion a-i riva ant sa manera-sì: na sequensa (an) ëd Rω a l'é identificà con ël fonsional ch'a manda l'element (xn) ëd R(ω) ant lë scalar  ∑nanxn.

Traspòsta ëd n'aplicassion linear 
Se f: V → W a l'é n'aplicassion linear antra spassi vetoriaj, i definioma soa trasposta tf: W* → V* parèj:
    anté che  a l'é un fonsional an .
An d'àutre paròle, un a assòcia un fonsional ansima a V a un ansima a W për mojen dla composission con f.

Se A a l'é la matris assossià a n'aplicassion linear f rëspet a doe base ëd V e W, antlora la traspòsta tA a l'é la màtris assossià a tf rëspet a le bas doal ëd W* e V*.

Ant ël lengagi dla teorìa dle categorìe, l'operassion ch'a trasforma jë spassi vetoriaj e ij sò morfism ant jë spassi vetoriaj doaj con ij mòrfism traspòst a l'é un fontor covariant da la categorìa djë spassi vetoriaj ansima a K an chiel-midem.

Forme bilinear e spassi bidoal 
Për lòn ch'a l'é stàit dit sì-dzora, se V a l'ha dimension finìa jë spassi V e V* a son isomòrf: l'isomorfism antra ij doi spassi a l'é però pà canònich, ant ël sens che për definilo a venta fé na sernia, cola ëd na base për V. Sernie diferente a smon-o d'isomorfism diferent: minca isomorfism Φ da V an V* a definiss na forma bilinear nen degénera ansima a V an costa manera-sì:

 

e, ëd fasson sìmil, minca forma bilinear nen degénera a definiss n'isomorfism antra V e V*.

Lë spassi bidoal V** ëd në spassi vetorial a l'é otnù pijand ël doal dlë spassi V*. Se V a l'ha dimension finìa, cost a l'ha tavòta la midema dimension ëd V. A diferensa ëd V*, lë spassi V** a l'é però isomòrf ëd fasson canònica con V, për mojen ëd n'isomorfism canònich Ψ:V → V** ch'a dipend da gnun-e sernie, definì për parèj: 

anté che v a l'é an V e φ an V*. Se V a l'ha dimension infinìa, la mapa Φ a l'é mach inietiva.

Spassi doal topològich

Definission 
Se V a l'é në spassi vetorial topològich, e a l'é donca dotà ëd na topologìa aproprià (për esempi se a l'é në spassi ëd Hilbert o ëd Banach), as peul generalisesse la nossion smonùa dzora, antroduvand lë spassi doal topològich ëd V. Chiel-sì a l'é definì tanme lë spassi dij fonsionaj continuo ansima a V, e a l'é ëd sòlit denotà . Lë spassi doal topològich a l'é motobin dovrà ant l'anàlisi matemàtica, dzortut përchè ansima a chiel as peulo definì dë struture topològiche anteressante. 

Ch'as armarca che la definission smonùa sì-dzora dë spassi doal algébrich a l'é l'istess ëd cola dë spassi doal topològich cand lë spassi vetorial V a l'é echipagià con la topologìa discreta (dagià che tuti ij fonsionaj a son continuo con costa topologìa).

Ël doal topològich V'  ëd në spassi normà (për esempi në spassi ëd Banach o ëd Hilbert) a l'é ëdcò chiel në spassi normà. La norma ||φ|| d'un fonsional linear continuo φ ansima a V a l'é definìa tanme: 

La continuità ëd φ a garantiss che ||φ|| a l'é un nùmer finì. Se V a l'é në spassi ëd Banach, ëdcò V'  a-l l'é. Dl'istessa fasson, un prodòt ëscalar ansima a V a na spòrz un ansima a V'  an manera che se V a l'é ëd Hilbert ëdcò V'  a-l l'é.

Se V a l'ha dimension finìa, jë spassi doal V* e V'  a son l'istess, përchè tuti ij fonsionaj linear a son continuo. Cost a l'é pà vera an general cand V a l'ha dimension infinìa.

Esempi 
Ch'as pija un nùmer real p, con . Lë spassi lp a l'é l'ansem ëd tute le sequense a = (an) taj che  

Ch'a sia p* ël nùmer tal che 1/p + 1/p* = 1. Antlora ël doal topològich ëd l p a l'é identificà an manera natural con l p* parèj: dàit un fonsional continuo φ ansima a l p*, l'element ch'a-j corëspond an l p* a l'é la sequensa (φ(en)) anté che en a l'é la sequensa dont ël termo n-esim a l'é 1 e tuti j'àutri a son zero. D'àutra part, dàit n'element a = (an) ∈ l p*, ël fonsional linear continuo ch'a-j corëspond φ ansima a l p a l'é definì tanme φ(a) = ∑n an bn për minca a = (an) ∈ Lp. L'identificassion a deuvra la disuguajansa ëd Holder.

Armarcoma che p** = p: ëdcò an cost contest lë spassi a l'é isomòrf ëd fasson natural con sò bidoal. Sòn a l'é però pà vera an general:
ël doal topològich ëd l 1 a l'é identificà ëd fasson natural con lë spassi l ∞ dle sequensa limità, ma ël doal topològich ëd l ∞ a l'é në spassi pì gròss che l 1.

Bidoal e spassi arflessiv 
Ël bidoal topològich V''  ëd V a l'é definì donca tanme ël doal topològich ëd V' . Ëd na fasson sìmila a lòn ch'a l'é stàit dit sì-dzora, a esist na mapa canònica inietiva

A diferensa ëd lòn ch'a l'é stàit armarcà dzora, costa mapa a peul esse surietiva ëdcò cand V a l'ha dimension infinìa: an cost cas lë spassi V as dis arflessiv. 

Minca spassi ëd Hilbert a l'é arflessiv. Ëdcò jë spassi ëd Banach Lp për p>1 a son arflessiv, ma L1 e  a-l lo son pà.

Anàlisi matemàtica
Geometrìa