Teorema ëd Hahn-Banach


Forma analìtica
La forma analìtica dël teorema ëd Hahn-Banach a rësguarda lë slongament ëd forme linear.

Consideroma në spassi vetorial E ansima a  e na fonsion  ch'a l'abia le propietà:
p(λx)=λp(x) për minca  e minca λ>0;
.
Ch'a consìdero peui un sot-ëspassi vetorial  e na forma linear  tal che  për minca .
Antlora a esist na forma linear f definìa ansima a E e ch'a slonga g, visadì tal che g(x)=f(x) për minca , con la propietà che .

La dimostrassion
La dimostrassion d'ës teorema a deuvra ël lema ëd Zorn.

Ch'as consìdera l'ansem P ëd tute le forme linear h con domini un sot-ëspassi vetorial d'E ch'a slongo g e ch'a l'ha la propietà che, për tuti j'x an sò domini, .
An s'ansem definioma na relassion d'órdin an butand  si e mach si  a slonga .
I l'oma che P a l'é nen veuid, dagià che .
Verificoma che P a l'é n'asem andutiv.
Për sòn, pijoma na caden-a Q e definioma na fonsion h con domini l'union ëd tuti ij domini dj'element ëd P e con valor h(x)=k(x) për qualsëssìa  ch'a l'abia x an sò domini.
Dagià che Q a l'é na caden-a, costa definission a l'ha 'd sust e h a l'é 'n magiorant ëd l'ansem Q.
Për ël lema ëd Zorn, ciamoma f n'element massimal ëd P.
A basta antlora fé vëdde che ël domini F d'f a l'é tut E.
Si sòn a fussa nen vera, pijoma .
Consideroma ël sot-ëspassi .
I voroma definì na fonsion h con domini D an butand  për minca x an F e minca nùmer real t.
Ma i voroma ëdcò che , visadì che

për minca  e .
Për sòn a basta avèj le disugualianse
 e
.
Ma antlora a basta serne α an manera che
,
lòn ch'a l'é possìbil, dagià che për minca  i l'oma

mersì a le relassion

ch'an ven-o j'ipòtesi ansima a p.

Forme geométriche
Ch'as consìdera në spassi vetorial normà E e doi sot-ansem bombà A e B d'E, nen veuid e disgionzù.

Prima forma geométrica
Suponoma che A a sia duvert.
Antlora a esist n'iperpian sarà d'equassion f=α, con f continua, ch'a separa A e B an sens largh, visadì
.

Sconda forma geométrica
Suponoma che A a sia sarà e B a sia compat.
Antlora a esist n'iperpian sarà d'equassion f=α, con f continua, ch'a separa A e B an sens ës-ciass, visadì
.

Aplicassion 
Ël teorema ëd Hahn-Banach a l'ha vàire aplicassion, për esempi ël teorema ëd Krein-Milman.

Anàlisi matemàtica