Teorema ëd convergensa dël càlcol antëgral
Ij teorema ëd convergensa dël càlcol antëgral a son tre teorema (teorema ëd B. Levi o dla convergensa monoton-a, lema ëd Fatou, teorema dla convergensa dominà ëd Lebesgue) ch'a smon-o ëd condission për che ël lìmit ëd na sequensa ëd fonsion antëgràbij a sia antëgràbil.
Mincadun ëd si teorema a l'é consegoensa ëd col ch'a-i ven prima.

An tuti j'enonsià ch'a ven-o sì da press,  a l'é në spassi dë mzura.

Teorema ëd B. Levi
Ël teorema ëd Beppo Levi a l'é stàit dimostrà da Beppo Levi an n'artìcol dël 1906.

Si  a l'é na sequensa ëd fonsion reaj antëgràbij ansima a  con la proprietà che për minca  a sia  squasi daspërtut e che  a sia finì, antlora la fonsion  limit pontoal dla sequensa a l'é antëgràbil e sò antëgral a resta .

La dimostrassion
Ancaminoma a traté ël cas  scasi daspërtut e ch'a sia .
Ch'as pija n'ansem co-trascuràbil E anté che  e .

Fissà a>0 e , l'ansem  a l'é mzuràbil e .
An dzorpì,  ansima a E, anté che  a l'é la fonsion caraterìstica dl'ansem A.
Donca
.
Ch'as consìdera .
A-i na ven che

e parèj  a l'é finì.
Dagià che
,
l'ansem  a l'é co-trascuràbil.

Si , antlora  për chèich k, visadì  e parèj  për minca n.
Dagià che la sequensa  a l'é nen dechërsenta,  e la fonsion f a l'é definìa scasi daspërtut e a l'é mzuràbil.
Për minca , , donca  a l'ha mzura finìa.

Adess, pijoma na fonsion sempia g tal che  scasi daspërtut e foma cont che g a sia limità dëdzora da M.
Armarcoma che  a l'ha mzura finìa.
Fissoma ëdcò  e scrivoma .
Antlora minca  a l'é mzuràbil e ; l'antërsession ëd costa sequensa a l'é
,
ch'a l'é trascuràbil.
D'àutra part .
Ëd conseguensa, .
Ch'as pija n tal che .
A-i na ven che

e donca
,
lòn ch'a dà .

Da sòn a-i ven che la restrission  a l'é antëgràbil e sò antëgral a l'é pà pì che c.
Da già che  scasi daspërtut, ëdcò f a l'é antëgràbil, con ël midem antëgral.
D'àutra part, për minca ,  scasi daspërtut, e parèj .
Sòn a completa la dimostrassion cand  scasi daspërtut.

Për ël cas general, ch'as considera la sequensa .

Lema ëd Fatou
Consideroma na sequensa  ëd fonsion reaj antëgràbij dzora  anté che minca  a sia squasi daspërtut nen negativa e .
Antlora la fonsion  a l'é antëgràbil e .

La dimostrassion
Ch'as pija .
Për minca , ch'as considera n'ansem  co-trascuràbil, anté che  a sia mzuràbil e nen negativa e ch'a sia .
Antlora, minca , ansima a l'ansem co-trascuràbil  a l'é mzuràbil e nen negativa, e  scasi daspërtut; donca  a l'é antëgrabil con .
D'àutra part, , parèj la sequensa  a sodisfa le condission dël teorema ëd Beppo Levi; parèj  a l'é antëgràbil, con .
Dagià che  scasi daspërtut, a-i na ven che  scasi daspërtut, e  a esist e a fa .

Teorema ëd Lebesgue dla convergensa dominà
Si  a l'é na sequensa ëd fonsion reaj antëgràbij dzora , si   a esist finì pr'ësquasi tuti j' e si a-i é na fonsion antëgràbil  con  squasi daspërtut për minca , antlora  a l'é na fonsion antëgràbil e  a esist e a l'é ugoal a .

La dimostrassion
Ch'as definissa .
Dagià che , a-i na ven che , e  a l'é antëgràbil, con , për ël lema ëd Fatou.
D'àutra part,  scasi daspërtut; parèj f a l'é antëgràbil, con
.
Dl'istessa manera, an pijand la sequensa , un a oten
,
lòn ch'a veul dì
.
Donca  a esist e a fa .

Anàlisi matemàtica