ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ
ਅਮੂਰਤ ਅਲਜਬਰੇ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਦੋ ਅਲਜਬਰਿਕ ਬਣਤਰਾਂ (ਜਿਵੇਂ ਗਰੁੱਪਾਂ, ਰਿੰਗਾਂ, ਜਾਂ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸਾਂ) ਦਰਮਿਆਨ ਇੱਕ ਬਣਤਰ-ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਮੈਪ (ਨਕਸ਼ਾ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸ਼ਬਦ “ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ” ਪੁਰਾਤਨ ਗਰੀਕ ਭਾਸ਼ਾ ਤੋਂ ਆਇਆ ਹੈ: ὁμός (ਹੋਮੋਜ਼) ਜਿਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ “ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ” ਅਤੇ μορφή (ਮੌਰਫਿ) ਜਿਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ “ਅਕਾਰ” ਜਾਂ “ਕਿਸਮ”। ਆਇਸੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮਜ਼, ਆਟੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮਜ਼, ਅਤੇ ਐਂਡੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮਜ਼ ਹੋਮੋਫੌਰਮਿਜ਼ਮਾਂ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕਿਸਮਾਂ ਹਨ।

ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਤੇ ਰੇਖਾਂਕਨ

ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ 

ਇੱਕ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ, ਦੋ ਅਲਜਬਰਿਕ ਬਣਤਰਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਚੁਣੀ ਹੋਈ ਬਣਤਰ ਨੂੰ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਰੱਖੀ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਬਣਤਰ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਦੇ ਨਾਮ ਤੋਂ ਪਤਾ ਚਲਦੀ ਹੈ।

ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਦੀਆਂ ਖਾਸ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਇਹ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ;
 ਇੱਕ ਸੇਮੀਗਰੁੱਪ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਓਹ ਮੈਪ (ਨਕਸ਼ਾ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਐਸੋਸੀਏਟਿਵ (ਸਹਿਯੋਗੀ) ਬਾਇਨਰੀ ਓਪਰੇਟਰ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। 
 ਇੱਕ ਮੋਨੋਆਇਡ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਉਹ ਸੇਮੀਗਰੁੱਪ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਪਛਾਣ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ (ਤੱਤਾਂ) ਦਾ ਕੋਡੋਮੇਨ (ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਾਰੇ ਸੰਭਵ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਸੈੱਟ) ਦੀ ਪਛਾਣ ਤੱਕ ਨਕਸ਼ਾ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। 
 	ਇੱਕ ਗਰੁੱਪ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਉਹ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਗੁਣਨਫਲ ਬਣਤਰ ਨੂੰ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਗਰੁੱਪਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਇੱਕ ਸੇਮੀਗਰੁੱਪ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਦੇ ਤੌਰ ਦੇ ਵੀ ਬਰਾਬਰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। 
 	ਇੱਕ ਰਿੰਗ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਉਹ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਰਿੰਗ ਬਣਤਰ (ਸਟ੍ਰਕਚਰ) ਨੂੰ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਚਾਹੇ ਗੁਣਕ ਪਛਾਣ ਜੋ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਕਰਨੀ ਹੋਵੇ ਵਰਤੋ ਵਾਲੇ ਰਿੰਗ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਤੇ ਹੀ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੋਵੇ। 
 ਇੱਕ ਲੀਨੀਅਰ ਮੈਪ ਉਹ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਬਣਤਰ ਨੂੰ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਅਬੇਲੀਅਨ ਗਰੁੱਪ ਬਣਤਰ ਅਤੇ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਨਫਲ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ। ਸਕੇਲਰ ਕਿਸਮ ਹੋਰ ਅੱਗੇ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਤੌਰ ਤੇ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੋਣ ਲਈ ਦਰਸਾਈ ਜਾਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ, ਹਰੇਕ R-ਲੀਨੀਅਰ ਮੈਪ ਇੱਕ Z-ਲੀਨੀਅਰ ਮੈਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਹਰੇਕ Z-ਲੀਨੀਅਰ ਮੈਪ R-ਲੀਨੀਅਰ ਮੈਪ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। 
	ਇੱਕ ਮੌਡਿਊਲ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਉਹ ਮੈਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਮੌਡਿਊਲ (ਮਾਪ ਅੰਕ ਜਾਂ ਮਾਪਾਂਕ) ਬਣਤਰ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। 
	ਇੱਕ ਅਲਜਬਰਾ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਉਹ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਅਲਜਬਰਾ ਬਣਤਰ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। 
	ਇੱਕ ਫੰਕਟਰ ਦੋ ਕੈਟੇਗਰੀਆਂ ਦਰਮਿਆਨ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਚੀਜ਼ ਦੁਆਰਾ ਰੱਖੀ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਸਾਰੀ ਬਣਤਰ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਰਾਹੀਂ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਕੀਤੀ ਜਾਣੀ ਜਰੂਰੀ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਦੋ ਮੋਨੋਆਇਡਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਇੱਕ ਸੇਮੀਗਰੁੱਪ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਇੱਕ ਮੋਨੋਆਇਡ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਨਹੀਂ ਹੋਵੇਗੀ ਜੇਕਰ ਡੋਮੇਨ ਦੀ ਪਾਛਾਣ ਦਾ ਕੋਡੋਮੇਨ ਤੱਕ ਨਕਸ਼ਾ ਨਹੀਂ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੋਵੇਗੀ।

ਕਿਸਮਾਂ 

ਅਮੂਰਤ ਅਲਜਬਰੇ ਵਿੱਚ, ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਦੀਆਂ ਕਈ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕਿਸਮਾਂ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ:

	ਇੱਕ ਆਇਸੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਇੱਕ ਬਾਇਜੈਕਟਿਵ (ਦੋਭਾਜਿਤ) ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
	ਇੱਕ ਐਪੀਮੌਰਫਿਜ਼ਮ (ਕਦੇ ਕਦੇ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਕਵਰ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ) ਇੱਕ ਸਰਜੈਕਟਿਵ (ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਤਸਵੀਰ ਅਤੇ ਕੋਮਡੋਮੇਨ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ) ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸਦੇ ਸਮਾਨ ਹੀ f: A → B ਇੱਕ ਐਪੀਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਹੋਵੇਗੀ ਜੇਕਰ ਇਸਦਾ ਇੱਕ ਸੱਜਾ ਇਨਵਰਸ g ਹੋਵੇਗਾ: B → A, ਯਾਨਿ ਕਿ, ਜੇਕਰ ਸਾਰੇ b ∈ B ਲਈ f(g(b)) = b ਹੋਵੇ।
	ਇੱਕ ਮੋਨੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ (ਕਦੇ ਕਦੇ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਐਮਬੈੱਡਿੰਗ ਜਾਂ ਐਕਸਟੈਨਸ਼ਨ/ਸ਼ਾਖਾ) ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ) ਇੱਕ ਇੰਜੈਕਟਿਵ (ਦਖਲ ਅੰਦਾਜੀ ਕਰਨ ਵਾਲੀ) ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸਦੇ ਸਮਾਨ ਹੀ, f: A → B ਇੱਕ ਮੋਨੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਹੋਵੇਗੀ ਜੇਕਰ ਇਸਦਾ ਇੱਕ ਖੱਬਾ ਇਨਵਰਸ g ਹੋਵੇਗਾ: B → A, ਯਾਨਿ ਕਿ ਸਾਰੇ a ∈ A ਲਈ g(f(a)) = a ਹੋਵੇ।
	ਇੱਕ ਐਂਡੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਕਿਸੇ ਅਲਜਬਰਿਕ ਬਣਤਰ ਦੀ ਆਪਣੇ ਆਪ ਤੱਕ ਦੀ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਕਿਸਮ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
	ਇੱਕ ਆਟੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਐਂਡੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਆਇਸੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਵੀ ਹੋਵੇ, ਯਾਨਿ ਕਿ, ਕਿਸੇ ਅਲਜਬਰਿਕ ਬਣਤਰ ਦੇ ਆਪਣੇ ਆਪ ਤੱਕ ਇੱਕ ਆਇਸੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ।
	ਸੂਖਮ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਯੂਨਾਇਟਲ ਮੈਗਮਾਵਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਮੈਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਕੋਡੋਮੇਨ ਦੇ ਪਛਾਣ ਤੱਤ ਤੱਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਇਹ ਵਿਵਰਣ ਹੋਰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਕਿਉਂਕਿ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਿਰਫ ਤੇ ਸਿਰਫ ਤਾਂ ਹੀ ਬਾਇਜੈਕਟਿਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇਹ ਇੰਜੈਕਟਿਵ ਤੇ ਸਰਜੈਕਟਿਵ ਦੋਵੇਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਵਾਲਾ ਹੋਵੇ, ਅਮੂਰਤ ਅਲਜਬਰੇ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਸਿਰਫ ਤੇ ਸਿਰਫ ਤਾਂ ਹੀ ਆਇਸੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇਹ ਮੋਨੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਅਤੇ ਐਪੀਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਦੋਵੇਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਵਾਲੀ ਹੋਵੇ। ਇੱਕ ਆਇਸੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਦਾ ਹਮੇਸ਼ਾ ਹੀ ਇੱਕ ਉਲਟ f−1 ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਵੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਦੋ ਅਲਜਬਰਿਕ ਬਣਤਰਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਆਇਸੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਉਹ ਪੂਰੀ ਤਰਾਂ ਵੱਖਰੀਆਂ ਬਣਤਰਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿੱਥੋਂ ਤੱਕ ਬਣਤਰ ਦਾ ਸਵਾਲ ਹੋਵੇ; ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਆਇਸੋਮੌਰਫਿਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਗਣਿਤ
ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ