ପ୍ରମାଣ ଯେ π ଗୋଟିଏ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା
(ପାଇ) ଉପରେ ବହୁ ପୁରାତନ କାଳରୁ ଅଧ୍ୟୟନ କରାଯାଇଛି ଏବଂ ଏହା ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା (irrational number) ବିଷୟରେ ମଧ୍ୟ ସତ୍ୟ. ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଗୋଟିଏ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଯାହାକି ଏକ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟା a/b, ରୂପରେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇପାରିବ ନାହିଁ, (ଏଠାରେ a ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା ଓ b ଶୂନ୍ୟ ଛଡ଼ା ଅନ୍ୟ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା ।

ମାତ୍ର ଗଣିତକୁ ଅଷ୍ଟାଦଶ ଶତାବ୍ଦୀ ଯାଏ ଅପେକ୍ଷା କରିବାକୁ ପଡ଼ିଥିଲା, ଯେତେବେଳେ ଜୋହାନ୍ନ ହେନ୍ରିକ୍  ଲାମ୍ବର୍ଟ ପ୍ରମାଣ କରିଥିଲେ ଯେ  ଗୋଟିଏ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା । ଉନବିଂଶ ଶତାବ୍ଦୀରେ, ଚାର୍ଲ୍ସ ହର୍ମାଇଟ୍ ଏହାର ଆଉ ଗୋଟିଏ ପ୍ରମାଣ ଦେଇଥିଲେ ଯାହା ନିମନ୍ତେ ପାଥୁରି (calculus) ଛଡ଼ା ଆଉ କିଛି ପୁର୍ବସର୍ତ୍ତ ଜ୍ଞାନ ଦରକାର ନାହିଁ । ହର୍ମାଇଟ୍ଙ୍କ ପ୍ରମାଣର ସରଳୀକରଣ ମାରୀ କାର୍ଟରିଇଟ୍ କରିଥିଲେ. ସେମିତି ଅନ୍ୟ ଦୁଇଟି ପ୍ରମାଣ ଏୱାନ୍ ନାଇୱେନ ଓ ମିକଲୋଷ୍ ଲାଚୋୱିଷ୍ ଦେଇଥିଲେ ।

୧୧୮୨ରେ, ଫର୍ଡିନାଣ୍ଡ ୱୋନ୍ ଲିଣ୍ଡମ୍ୟାନ୍ନ ପ୍ରମାଣ କରିଥିଲେ ଯେ  ଯେ କେବଳ ଅପରିମେୟ ତା ନୁହେଁ, ଏହା  ଟ୍ରାନ୍ସେନ୍ଡେନ୍ଟାଲ୍ ମଧ୍ୟ.

ଲାମ୍ବର୍ଟଙ୍କ ପ୍ରମାଣ 

୧୭୬୧ରେ, ଲାମ୍ବର୍ଟ ପ୍ରମାଣ କରିଥିଲେ ଯେ  ଗୋଟିଏ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା । ଏଥିନିମନ୍ତେ ସେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଅବ୍ୟାହତ ଭଗ୍ନାଂଶ (continued fraction) ସମ୍ପ୍ରାସାରଣର ବ୍ୟାବହାର କରିଥିଲେ:

ତା ପରେ ଲାମ୍ବର୍ଟ ପ୍ରମାଣ ଯେ ଯଦି x ଶୂନ୍ୟ ଛଡ଼ା ଏକ ମୂଳଦ ସଂଖ୍ୟା ତା ହେଲେ ଏହି ଅଭିବ୍ୟକ୍ତିଟି ଅପରିମେୟ । ଯେହେତୁ tan(/4) = 1, ଆମେ କହିପାରିବା ଯେ /4 ଅପରିମେୟ ଏବଂ ତେଣୁ  ଅପରିମେୟ । ଏହା ଆହୁରି ସହଜରେ ପ୍ରମାଣିତ କରିହେବ ।

ହର୍ମାଇଟ୍ଙ୍କ ପ୍ରମାଣ 
ଏହି ପ୍ରମାଣଟି ର ବୈଶିଷ୍ଠ୍ୟ ବ୍ୟବହାର କରେ ଓ ଏହା ପ୍ରମିଣ କରେ ଯେ 2 ଅପରିମେୟ. ଅପରିମେୟତାର ବହୁ ଅନ୍ୟ ପ୍ରମାଣ ଭଳି,ଯୁକ୍ତିଟି ପରୋକ୍ଷ ବ୍ୟତିରେକୀ ପ୍ରମାଣ (reductio ad absurdum)ଦ୍ୱାରା କରାଜଯାଇଛି.

ଧରନ୍ତୁ ନିମ୍ନଲିଖିତ କ୍ରମ (sequences) ଅଛି (An)n ≥ 0 and (Un)n ≥ 0 ଫଂସନ୍ର Rରୁ Rକୁ, ଓ ନିମ୍ନଭାବେ ନିର୍ଧାରଣ କରାଜଯାଇଛି:

ଆନୟନ ଯୁକ୍ତି (induction proof)ରେ ପ୍ରମାଣ କରିହେବ ଯେ:

ଏବଂ ଯେ:

ଓ ତେଣୁକରି:

ତେବେ:

ଯାହାକି ନିମ୍ନ ସହିତ ସମାନ:

ଏହା ସହA0(x) = sin(x) and that A1(x) = −x cos(x) + sin(x), ଯେ An(x)ନିମ୍ନ ଭାବେ ଲେଖାହୋଇପାରେ , ଯେଉଁଠି Pn ଓQn ପୁର୍ଣସଂଖ୍ୟା ସହଗ ସହ ବହୁପଦି ଫଙ୍କ୍ସନ୍ ଓ ଯେଉଁଠି Pnର ଡ଼ିଗ୍ରୀ ⌊n⁄2⌋ଠାରୁ ଛୋଟ.  ବିଶେଷତହ,

ହର୍ମାଇଟ୍ ର ମିଳିତ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି ଦେଇଥିଲେ, ଯାହାକି

=:
ଆନୟନ ଯୁକ୍ତି (induction proof)ଦ୍ୱାରା, n=0 ନେଇ.

ଓ, ଆନୟନ ନିମନ୍ତେ,  n ∈ Z+. ଯଦି

ତେବେ, integration by parts ଓ Leibniz's rule, ବ୍ୟବହାର କରି:

ଯଦି 2/4 = p/q, with p and q in N, ତାହେଲେPnର ଗୁଣକ ସବୁ ପୂର୍ଣସଙ୍ଖ୍ୟା ଓ ଏହାର ଦିଗ୍ରୀ ⌊n⁄2⌋ ସହ ସମାନ ବା ଛୋଟ, q⌊n/2⌋Pn(2/4) ଗୋଟିଏ ପୂର୍ଣସଙ୍ଖ୍ୟା N. ଅନ୍ୟ ଶବ୍ଦରେ:

ଏହି ସଙ୍ଖ୍ୟାଟି 0ଠାରୁ ନିଶ୍ଚୟଭାବେ ବଡ଼; ତେଣୁ, N ∈ N. ଅନ୍ୟ ପକ୍ଷରେ, integralଟି ଯା ଏଠାରେ ଆସୁଛି ତା 1ରୁ ଛୋଟ ଓ

ତେଣୁ ଯଦି n ବଡ଼, N < 1. ଅସଙ୍ଗତି!!

References 

Article proofs
ପାଇ
ଗଣିତ