Nombre d'aur
En matematicas e dins las arts, lo nombre d'aur es la proporcion definida inicialament en geometria coma l'unic repòrt entre doas longors a, b talas que lo repòrt de la soma de las doas longors (a+b) sus la pus granda (a) siá egal a aquel de la pus granda (a) sus la pus pichona (b), es a dire quand (a+b)/a = a/b. Lo decopatge d'un segment en doas longors verificant aquela proprietat es nomenat per Euclides decopatge en extrèma e mejana rason. Lo nombre d'aur es uèi sovent designat per la letra φ (phi) en onor de l'escultor Fídias qu'auriá utilizat aquela proporcion per concebre lo Partenon.

Aquel nombre es l'unica solucion positiva de l'eqüacion
x = x + 1.
Es lo nombre irracional:

qu'a per valor aproximada . Interven dins la construccion del pentagòn regular e del rectangle d'aur. Sas proprietats algebricas lo ligan a la seguida de Fibonacci e permeton de definir una aritmetica del nombre d'aur font de fòrça demostracions.

L'istòria d'aquela proporcion remonta a un periòde ancian de l'Antiquitat grèga. A la Renaissença, Luca Pacioli, un monge franciscan italian, la met a l'onor dins un libre de matematicas e la nomena divina proporcion en l'associant a un ideal mandat del cèl. Aquela vision se desvolopa e s'enriquís d'una dimension estetica, subretot pendent los sègles XIX e XX ont naisson las expressions de seccion daurada e de nombre d'aur.

Segon aquela vision, lo nombre d'aur se trapa de vegadas dins la natura o las òbras umanas, coma las estaminas del virasolelh o certans monuments, per exemple los que concebèt Le Corbusier. Tanben es estudiat coma una clau explicativa del mond, subretot per la belesa; es erigit en teoria estetica e justificat per d'arguments d'òrdre scientific o mistic : omnipreséncia supausada dins las sciéncias de la natura e de la vida, las proporcions del còrs uman o dins las arts coma la pintura, l'arquitectura o la musica.

D'artistas, coma lo compositor Xenakis o lo poèta Paul Valéry, aderiguèron a una  partida mai o mens vasta d'aquela vision, sostenguda per de libres fòrt populars. Per lo biais de la medecina, l'arqueologia o las sciéncias de la natura e de la vida, la sciéncia infirma de talas teorias, basadas sus de generalizacions abusivas e d'ipotèsis inexactas.

Geometria

Proporcion 

Lo nombre d'aur a una primièra definicion d'origina geometrica, basada sus la nocion de proporcion.
 
Existís una interpretacion grafica d'aquela definicion, consequéncia de las proprietats dels triangles semblables illustrada per la figura 1. Los segments blaus son de longor a e lo roge de longor b. Dire que la proporcion definida per a e b es d'aur es tanben dire que los triangles OAB e OCA son semblables. Euclides exprimís la proporcion d'aur, que nomena extrèma e mejana rason, del biais seguent :  Una drecha es dita copada en extrèma e mejana rason quand la drecha entièra es al pus grand segment coma lo pus grand segment es al pus pichon.

Se a e b son en proporcion d'extrèma e mejana rason, al meteis temps lo repòrt a / b es totjorn lo meteis, aquò balha una novèla definicion del nombre d'aur :

La proporcion (1), que definís la proporcion d'aur, se pòt escriure coma aquò, obtenguda en multiplicant l'egalitat per a / b :

Aquò vòl dire que φ es solucion d'una equacion del segond gra. Aquela proprietat balha  una tresena definicion :

L'equacion es equivalenta a aquela qu'indica que l'invèrs de l'inconeguda x es egala a x - 1 o encara que lo desvolopament decimal de 1/x es lo meteis qu'aquel de x, que se n'es sostrach sa partida entièra.

Existís dos biaisses per definir lo nombre d'aur, lo geometric que  s'exprimís en tèrmes de proporcion e l'algebric que definís lo nombre coma l'unica rasic positiva d'una equacion. Aquel doble aprochadís permet de resòlvre un problèma d'algèbra, en l'ocurréncia una equacion del segond gra, amb l'ajuda d'un metòde geometric, se ditz algèbra geometrica.

Rectangle e espirala d'aur 

Los calculs precedents permeton, amb una règla e un compàs, de dessenhar una proporcion d'extrèma e mejana rason. Lo metòde es illustrat sus la figura d'esquèrra. Se dessenha un cercle de centre C e de rai 1 (en irange). Puèi, de l'extremitat del rai, se construtz un segment (en verd) perpendicular al rai, de longor 1/2, e se traça lo cercle de centre C'  e de rai 1/2. Lo segment blau qu'a per extremitats C e lo punt del cercle C'  dins lo prolongament de  C C'  es de longor φ.

Aquel metòde permet tanben de construire un rectangle d'aur, es a dire un rectangle que sa longor a e sa largor b son en proporcion d'extrèma e mejana rason. En d'autres tèrmes, un rectangle es dit d'aur se lo repòrt entre la longor e la largor es egal al nombre d'aur.

Per traçar un rectangle d'aur de longor a e de largor b, lo pus simple es de dessenhar un carrat de costat b. En prenent lo mitan de la basa per centre, se traça un cercle passant per los dos vertèxes opausats. L'interseccion de la drecha prolongant la basa del carrat e del cercle determina l'extremitat de la basa del rectangle d'aur. Apareis coma construit per lo rencontre amb un carrat de costat de longor b, d'un rectangle de costats de longor b e a - b, coma o mòstra la figura de drecha. Un calcul rapid pròva qu'aquel rectangle es encara d'aur :

Es possible de recomençar lo procèssus precedent e d'integrar un carrat de costat a - b dins lo rectangle d'aur de costat b, a - b, coma es indicat sus la figura d'esquèrra. Aquel metòde se pòt prolongar sens fin. Se, dins cada carrat se dessenha un quart de cercle d'extremitats dos costats del carrat, coma sus la figura, s'obten una espirala:

Aquela espirala es un cas particular d'espirala logaritmica. Coma tota espirala d'aquela familha, a una proprietat caracteristica: se A es un punt de l'espirala, l'angle entre la drecha passant per lo centre de l'espirala e A fa un angle constant amb la tangenta a l'espirala en A. Una tala espirala es dita equiangla.

D'autres figuras se dessenhan amb lo nombre d'aur coma l'uòu d'aur.

Pentagòn e pentagrama 

Un pentagòn se construtz amb l'ajuda de la proporcion d'extrèma e mejana rason. Siá un cercle de diamètre OP1 e de rai a, illustrat sus la figura d'esquèrra. Se b es lo nombre real pus pichon que a tal que a e b es en proporcion d'aur, e P2, P3, P4 e P5 las interseccions del cercle de diamètre OP1 amb los dos cercles de centre O e de rai a + b e b, alara los cinc punts Pi definisson un pentagòn.

Lo pentagrama associat, çò es la figura compausada de las cinc diagonalas del pentagòn (cf. figura de drecha), conten tanben fòrça proporcions d'extrèmas e mejanas rasons. S'exprimisson simplament amb l'ajuda de triangles isoscèls que las longors de lors costats son en proporcion d'aur. Aqueles triangles son nomenats triangles d'aur. Son de dos tipes diferents, los jaunes an una basa proporcionala a a e dos costats a b e los iranges an una basa proporcionala a b e dos costats a a. Los triangles escurs son semblables als pus clars de meteissa color, la proporcion entre clar e escur es encara d'aur. 

Los triangles jaunes an dos angles de 36°, o lo cinquen d'un angle plat e un de 108°, o los tres cinquens d'un angle plat. Un tal triangle se pòt nomenar triangle d'argent. Los triangles iranges an dos angles de 72°, o los dos cinquens d'un angle plat e un angle de 36°. Amb de triangles d'aur e d'argent que lors costats son totjorn a e b, es possible de pavar totalament un plan euclidian d'un biais non periodic. Un tal pavatge se ditz de Penrose.

Trigonometria 

L'analisi de las mesuras dels triangles d'argent e d'aur permet de determinar las valors trigonometricas associadas al pentagòn. Considerem un triangle d'argent de basa φ e doncas de costats adjacents de longor 1. Aquel triangle, copat en son mitan, coma sus la figura de drecha, es un triangle rectangle d'ipotenusa de longor 1. Sa basa es de longor φ/2 perque correspond a la semibasa del rectangle d'argent. Se conclutz que lo cosinus de 36° es egal a φ/2. Un rasonament analòg s'aplica al triangle d'aur. Los costats an totjorn una longor 1, la basa es en proporcion d'aur doncas de longor φ - 1. Se conclutz que lo cosinus de 72° es egal a (φ - 1)/2.

Un autre biais de determinar las diferentas valors caracteristicas d'un pentagòn consistís a utilizar lo plan complèxe. Los vertèxes son las rasics del polinòmi ciclotomic X - 1. Sa resolucion es particularament aisida perque 5 es un nombre primièr de Fermat, es a dire qu'existís un entièr n tal que 5 es egal a 2n + 1. Se p es un nombre primièr, lo polinòmi regular de p costats se pòt construire amb la règla e lo compàs se e solament se, p es un nombre de Fermat. Dins aquel cas, se determina las rasics del polinòmi ciclotomic en resolvent d'equacions del segond gra.

Seguida de Fibonacci 

Lo calcul dels parelhs de numerators e denominators obtenguts per la fraccion continua balha las valors seguentas (1,1), (2,1), (3,2), (5,3) ...; lo denominator d'una fraccion es lo numerator de la fraccion precedenta. Es tanben egal al nen tèrme de la seguida de Fibonacci (un). Se definís per recurréncia :

Los dos primièrs tèrmes son egals a 1 e cadun dels autres es la soma dels dos que lo precedisson. Per obtenir una bona aproximacion del nombre d'aur, sufís de causir una valor de n sufisentament granda e considerar la fraccion un+1/un. En tèrmes matematics, aquò s'exprimís jos la forma seguenta :

La velocitat de convergéncia es granda, la diferéncia entre un+1/un e φ es, en valor absoluda, inferiora a l'invèrs del carrat de un.

Se la seguida de Fibonacci permet de determinar una aproximacion del nombre d'aur, la recipròca es veraia. Segon la formula seguenta :

coma la valor |1-φ|n va demenissent quand n creis, e tend vèrs 0, es totjorn sufisentament pichona per poder èsser negligida, sufís de prendre l'entièr pus pròche de l'expression precedenta en negligissent lo tèrme en (1 - φ)n, s'obten :

Aquela proprietat se verifica per tota seguida definida per la relacion de recurréncia un+2 = un+1 + un, independentament de las valors dels dos primièrs tèrmes u1 e u2.

Entièrs de Dirichlet 

Un entièr de Dirichlet se definís coma un nombre real r que se pòt escriure r = a + b φ, ont a e b designan dos nombres entièrs (per exemple, r = 3 - 2 φ); coma  es irracionau, una tala escritura de r es unica.L'ensemble dels entièrs de Dirichlet se nòta ; se r  = a + b φ e s = c + d φ ne son dos elements, alara:
, e

, car

Autrament dich, la soma e lo produch de dos entièrs de Dirichlet son tanben d'entièrs de Dirichlet; es una consequéncia de la relacion quadratica φ = φ +1 verificada pel nombre d'aur. En tèrmes modèrnes, se ditz que l'ensemble , atal provesit d'una addicion e d'una multiplicacion, es un anèl.

En particular, las poténcias de φ son totas de la forma a + b φ (ont a e b son entièrs), e pus precisament:
φn = un-1 + un.φ, ont (un) designa la seguida de Fibonacci.

L'anèl dels entièrs de Dirichlet es lo quadre natural de l'aritmetica del nombre d'aur. Es commutatiu e intègre (intègre significa que lo produch de dos elements diferents de 0 es tanben diferent de 0). De mai, es un anèl euclidian, valent a dire que se i pòt definir una division euclidiana analòga a la de l'aritmetica dels entièrs . Existisson tanben los nombres primièrs de Dirichlet; un element de Z qu'es primièr al sens usual es pas necessàriament primièr al sens de l'aritmetica del nombre d'aur; l'entièr 19, que se pòt escriure coma lo produch de dos entièrs de Dirichlet, n'es un exemple:

Fragments d'istòria

Antiquitat 

Los istorians considèran que l'istòria del nombre d'aur comença quand aquela valor es l'objècte d'un estudi especific. Per d'autres, la determinacion d'una figura geometrica que conten almens una proporcion se calculant amb l'ajuda del nombre d'aur sufís. La piramida de Kheops (vèrs 2520 ab.C.) ven, segon aquela convencion, un bon candidat per l'origina. D'autres encara, se contentan de las roïnas d'un monument que sas dimensions permetián de s'aprochar del nombre d'aur. Segon aquel critèri, un montet de pèiras jos la mar de las Bahamas es una origina pus anciana. Aqueles vestigis, que lor origina umana e lor datacion son pas certanas son nomenats temple d'Andròs.

Lo primièr tèxte matematic indiscutible}}. Sa relacion amb lo pentagòn, l'icosaèdre e lo dodecaèdre es mesa en evidéncia. 

Los istorians s'acòrdan totes sus l'existéncia d'una origina pus anciana, mas l'abséncia de documents d'epòca enebís una coneissença indiscutibla de l'origina. Dins aquel quadre, se pòt far l'ipotèsi que lo nombre d'aur a son origina dins los pitagoricians : aurián conegut e construit empiricament lo dodecaèdre. L'istorian de las sciéncias Thomas L. Heath atribuís la paternitat de la descobèrta a Platon : .

Heath precisa pasmens dins la meteissa font que los pitagoricians coneisson ja una construccion del pentagòn amb l'ajuda de triangles isoscèls. A aquela epòca, l'estudi del nombre d'aur es subretot geometric, Ipsicles, un matematician grèc del sègle II ab.C., i fasent usatge per la mesura de polièdres regulars. Ven cada còp qu'un pentagòn es present.

L'apròcha aritmetica es inicialament blocada pel prejutjat pitagorician que volriá que tot nombre foguèsse racional — çò qu'es pas lo nombre d'aur. Paul Tannery precisa : . Platon evòca aquela dificultat, las primièras pròvas del caractèr irracional de certanas diagonalas de poligòns regulars remontan probablament al sègle V ab. C.}}. Platon cita los trabalhs de son preceptor, Teodòr de Cirèna, que mòstra l'irracionalitat de √5 e per via de consequéncia, la del nombre d'aur. Tre aquela epòca, los matematicians grècs descobrisson d'algoritmes d'aproximacion dels nombres diagonals e laterals. Ben pus tard, Eron d'Alexàndria, un matematician del sègle I va pus luènh dins aquel encaminament amb l'ajuda de las taulas trigonometricas de Ptolemèu.

Edat Mejana 

Las matematicas aràbias pòrtan una vision novèla sul nombre, pus tard qualificat d'aur. Son pas tant sas proprietats geometricas que representan per aqueles son interès, mas lo fach que siá solucion d'una equacion del segond gra. Al-Khawarizmi, un matematician pèrsa del sègle VIII, prepausa divèrses problèmas consistissent a dividir una longor de dètz unitats en doas partidas. Un d'aqueles a per solucion la talha primièra dividida per lo nombre d'aur. Abu Kamil prepausa d'autras questions de meteissa natura ont doas son associadas al nombre d'aur. Pasmens, ni per Al-Khawarizmi ni per Abu Kamil, la relacion amb la proporcion d'extrèma e mejana rason es pas mesa en evidéncia. Ven atal dificil de saber se la relacion amb lo nombre d'aur foguèt clara per aqueles.

Leonardo Pisano, pus conegut jos lo nom de Fibonacci, introdusís en Euròpa las equacions d'Abu Kamil. Dins son libre Liber Abaci, se tròba pas solament la longor dels dos segments d'una linha de 10 unitats mas tanben, clarament indicada, la relacion entre aqueles nombres e la proporcion d'Euclides. Son libre introdusís la seguida que pòrta uèi son nom, coneguda en Índia dempuèi lo sègle VI. Pasmens la relacion amb lo nombre d'aur es pas percebuda per l'autor. Cada element d'aquela seguida es la soma dels dos precedents.

Lo quine, un sistèma de mesura utilizat pels bastidors de l'Art roman, se fonda sus un principi analòg. Se compausa de cinc unitats de mesura, totas commensurablas : la palma de 34 linhas, la palma de 55, lo palm de 89, lo pè de Carlesmanhe de 144 e la coidada reiala de 233. Aquelas unitats correspondon a de nombres successius de la seguida de Fibonacci. Una palma mai una palma es atal egala a un palm, una palma e un palm a un pè de Carlesmanhe, enfin un palm e un pè de Carlesmanhe a una coidada reiala. Lo repòrt entre dos tèrmes successius verifica mai que mai precisament la proporcion en extrèma e mejana rason. Se a l'Edat Mejana lo nombre d'aur es conegut dels picapeirièrs, lor geometria es considerada coma pro segondària e ven importanta unicament a la Renaissença.

Renaissença 

Tres sègles pus tard, Luca Pacioli redigís un libre nomenat La divina proporcion, illustrat per Leonardo da Vinci. Se l'aspècte matematic es pas nòu, lo tractament de la question del nombre d'aur es enebit. L'interès del nombre demòra dins sos proprietats matematicas e tanben misticas . Pacioli cita las dètz rasons que lo convenquèron. L'incommensurabilitat pren, jos la pluma de l'autor, la forma seguenta .

Pacioli redigís atal la debuta de son libre :  Dins son tractat d'arquitectura, l'autor se limita a las proporcions de Vitruvi, un arquitècte de la Roma antica. Correspondon a de fraccions d'entièrs, causidas a l'imatge del còrs uman. Se cita coma exemple una estatua del grèc Fídias, es solament per veire lo nombre d'aur dins un dodecaèdre, una figura associada al pentagòn simbòl de la quintesséncia, una representacion del divin. Los arquitèctes de la Renaissença utilizan pas lo nombre d'aur<ref>Es probablament juste de dire que ni Palladio ni cap d'autre arquitècte de la Renaissença usèt pas de proporcions irracionalas Rudolf Wittkower, Les principes de l'architecture à la Renaissance, éditions de la Passion<small></ref>.

Los especialistas de las equacions polinomialas que son Gerolamo Cardano e Raphaël Bombelli indican lo biais de calcular lo nombre d'aur pel mejan d'equacions de segon gra. Un resultat pus susprenent es anonim. Una nòta manuscrita, del començament del sègle XVI, e escrita dins la traduccion de Pacioli dels elements d'Euclides de 1509, mòstra la coneissença de la relacion entre la seguida de Fibonacci e lo nombre d'aur. Se se dividís un tèrme de la seguida per son precedent, se tròba una aproximacion del nombre d'aur. D'ont mai lo tèrme es elevat, d'ont mai l'aproximacion es bona e pòt venir tan precisa coma desirada. Aquel resultat lo tornèt trobar Johannes Kepler puèi Albert Girard. Kepler es fascinat per lo nombre d'aur, dit sus aquel

Sègle XIX: naissença d'un mite 

Sus lo front de las matematicas, l'interès demenís. Jacques Binet torna trobar en 1843 un resultat oblidat, demostrat en primièr per Leonhard Euler en 1765. Se la letra φ designa lo nombre d'aur, lo tèrme de reng n de la seguida de Fibonacci es donat per la formula (φn - (1 - φ)n)/√5. Aquel resultat se coneis uèi jos lo nom de Formula de Binet. Édouard Lucas tròba de proprietats subtilas associadas a aquela seguida, e li dona per lo primièr còp lo nom de Fibonacci. Son resultat pus important pòrta lo nom de Lei d'aparicion dels nombres primièrs dins la seguida de Fibonacci

Es dins aquel sègle que los tèrmes de seccion daurada, puèi nombre d'aur apareisson. Se la pòt trobar dins la segonda edicion d'un libre de matematicas elementàrias escrit per Martin Ohm, dins una nòta en bas de pagina :. Aquela segonda edicion data de 1826 a 1835, mas se coneis pas res sus la primièra.

L'interès resurgís al mitan del sègle, amb los trabalhs del filosòf alemand Adolf Zeising. Lo nombre d'aur ven amb aquel, un vertadièr sistèma, una clau per la compreneson de fòrça domenis, tan artistics coma l'arquitectura, la pintura, la musica, coma scientifics amb la biologia e l'anatomia. Una desena d'annadas pus tard, publica un article sul pentagrama . Una novèla lectura de la metafisica pitagoriciana li permet de conclure a l'existéncia d'una lei universala fondada sul pentagrama e doncas, lo nombre d'aur. Pasmens una apròcha scientifica dobtosa , la teoria de Zeising, obten un franc succès.

De poder codificar d'un biais scientific la belesa es una idèa qu'en França sedusís. Las dimensions del Lovre, de l'Arc de Trionf son mesuradas amb atencion; s'encarga de delegacions de mesurar precisament las piramidas egipcianas, lo Partenon, las catedralas.

Sègle XX : lo paroxisme 

La popularitat del nombre d'aur creis pendent la primièra partida del sègle.

Lo compositor Iannis Xenakis n'utiliza las proprietats matematicas dins sas composicions. L'arquitècte Le Corbusier utiliza l'idèa consistent a establir las dimensions d'un bastiment en foncion de la morfologia umana e utiliza per aquò lo nombre d'aur. Lo poèta Paul Valéry li consagra de vèrs dins son Cantic de las colomnas.
Lo pintre Salvador Dalí fa referéncia al nombre d'aur e sa mitologia dins sa pintura, per exemple dins un quadre nomenat Lo Sacrament de la Darrièra Cena.

Bibliografia 
  M. Neveux, Nombre d'or - radiographie d'un mythe, Seuil/Points, 1995 ISBN|2020259168

  M. Ghyka  Le nombre d’or Gallimard, 1931, réédité en 1976 ISBN|2070292983

  Le Corbusier LE MODULOR, essai sur une mesure harmonique à l'échelle humaine applicable universellement à l'Architecture et à la mécanique, Éditions de l'Architecture d'Aujourd'hui, collection ASCORAL, 1949 Réédition 1983 ISBN|2904833013

  G. Marchand Bach ou la passion selon Jean-Sébastien de Luther au nombre d'or L'Harmattan 2003 ISBN|2747546519

  R. Herz-Fischler A Mathematical History of the Golden Number Dover Publications 1998 ISBN|0486400077

  Marius Cleyet-Michaud, Le nombre d'or, P.U.F., coll. Que sais-je ?, 12 édition, 2002 ISBN|2130527736

  R. Vincent Géométrie du nombre d'or Chalagam Édition 2004 ISBN|2951960700 

  C. Hakenholz Nombre d'or et mathématique Chalagam 2001 ISBN|2950800165
 (rus) Hrant Arakelian. Mathematics and History of the Golden Section. Logos 2014, 404 p. ISBN 978-5-98704-663-0

Nòtas e referéncias 
<references>

Vejatz tanben 

 
  P. Arnoux Las meravilhes del nombre d'aur 

  K. Drapel C. Jaquier Le nombre d'or : réalité ou interprétations douteuses ? 

  G. Markowsky, Misconceptions about the Golden Ratio, in The College Mathematicals Journal (1992, 23-1 p. 2-19) 

  M. Cariou et A. Jatteau Le nombre d'or dans l'architecture grecque : mythe ou réalité ? 

  J.-P. Krivine Lo mite del nombre d’aur 

  M. Gardes La Divina Proporcion de luca Pacioli 

  Louis-Claude de Saint-Martin Los templièrs e lo nombre d'aur''

Geometria
Nombre algebric
Nombre irracionau