1747478
Biến đổi Fourier lượng tử
https://vi.wikipedia.org/wiki?curid=1747478
Title: Biến đổi Fourier lượng tử
Sử dụng toán tử formula_1 tác động và trạng thái formula_23, biến đổi sang trạng thái formula_26.
formula_27
Từ đó, ta thấy các phần tử ma trận của toán tử formula_1 là:
formula_29
Như vậy, formula_1 cũng đối xứng.
Unita.
Để chứng minh tính unita của biến đổi Fourier lượng tử, ta cần biết đến hai công thức sau:
Đầu tiên, ta cần biết đến tổng hình học:
formula_31
Tiếp theo là:
formula_32
Chứng minh công thức này như sau:
Do formula_37 và formula_38 với formula_35
Áp dụng 2 công thức formula_40 và formula_41, ta có:
formula_42
Như vậy ta đã chứng minh biến đổi Fourier lượng tử có tính Unita
Ví dụ.
Xét một vài trường hợp đơn giản.
Với trường hợp chỉ có 1 qubit, ta có formula_44 và formula_45 trạng thái lượng tử cơ bản. Biến đổi Fourier lượng tử trong trường hợp này như sau:
formula_46
formula_47
Trong trường hợp này ta dễ thấy ma trận biến đổi của phép biến đổi Fourier lượng tử là:
Ma trận trên tương tự như ma trận của cổng Hadamard. Vì thế, mạch lượng tử được sử dụng trong việc biến đổi Fourier lượng tử cho 1 qubit chỉ dùng 1 cổng Hadamard.
Xét trong trường hợp 2 qubit, ta có formula_49 và formula_50 trạng thái lượng tử cơ bản. Ta quy định formula_51, formula_52, formula_53, formula_54. Ta có:
formula_55
formula_57
formula_59
formula_61
Ma trận của phép biến đổi:
Với trường hợp này, mạch lượng tử của biến đổi Fourier lượng tử ngoài các cổng Hadamard, còn cần sử dụng thêm một cổng điều khiển xoay pha formula_64.
Mạch lượng tử của trường hợp 1, 2 và 3 qubit đầu vào được mô hình trình diễn trên wolfram
Sơ đồ mạch lượng tử.
Như đã nói ở trên, biến đổi Fourier lượng tử là một thuật toán lượng tử nên có thể được cài đặt và thực hiện nhờ một mạch lượng tử.
Với một hệ cơ sở trực chuẩn là các vector:
Ta có thể biểu diễn một số x dưới dạng sau:
formula_66
với formula_67
Theo công thức formula_68, thì ta thực hiện biến đổi Fourier lượng tử như sau: