1328546
Không gian Baire
https://vi.wikipedia.org/wiki?curid=1328546
Title: Không gian Baire
Một không gian topo "(X,τ)" là không gian Baire khi và chỉ khi mọi tập mở khác trống của "(X,τ)" đều là phạm trù thứ hai.
Định lý phạm trù Baire.
"Nếu "S" là một không gian mêtric đầy đủ hoặc là không gian compact địa phương Hausdroff thì "S" là không gian Baire."
Chứng minh.
Cho "V1","V2","V3"...là các tập mở và trù mật trong "S", cho "B0" là tập mở (khác rỗng) bất kì trong "S". Cần chứng minh (∩"Vn")∩"B0"≠ ∅.
Bước 1.
Dựa vào tính trù mật của "V1" trong "S" nên "V1"∩"B0"≠∅.
Bước 2.
Tìm tập mở "B1" trong "S" sao cho Cl("B1") ⊆ "V1"∩"B0".
Với "S" là không gian metric đầy đủ thì cần tìm "B1" thỏa d(x,y)≤1, ∀x,y∈Cl("B1").
Với "S" là không gian compact địa phương Hausdroff, dùng mệnh đề sau để tìm "B1" là tập compact và khác rỗng:
"Cho "(X,τ)" là một không gian Compact địa phương Hausdroff, "K" là tập compact trong "(X,τ)" và "U" là một tập mở của "(X,τ)" thỏa "K" ⊆ "U". Khi đó, tồn tại tập mở "V" trong "(X,τ)" với bao đóng Cl("V") là tập compact và thỏa "K" ⊆ "V" ⊆ Cl("V") ⊆ "U".
Bước 3.
Xây dựng các tập mở "Bn" với n≥2 giống với tính chất của tập "B1".