1296774
Định lý đường cong Jordan
https://vi.wikipedia.org/wiki?curid=1296774
Title: Định lý đường cong Jordan
Để chứng minh định lý đường cong Jordan chúng ta sẽ dùng Định lý điểm bất động Brouwer: "Bất kỳ một hàm liên tục f: "B"n formula_1"B"n đều có một điểm bất động, trong đó "B"n là một quả cầu đơn vị đóng "'n"-chiều.".
Một định lý nữa cũng được dùng là Định lý mở rộng Tiestze: "Cho X là một không gian chuẩn tắc, cho F là một tập đóng trong X. Cho f: F formula_1 R là liên tục. Khi đó tồn tại một ánh xạ liên tục g: X formula_1 R sao cho g|F=f ".
Nhận xét.
Hai Bổ đề sau đây trực tiếp dẫn đến chứng minh của Định lý đường cong Jordan.
Bổ đề 1.
Hướng chứng minh. Do giả thiết "R"2\J có ít nhất hai thành phần. Gọi U là một thành phần bất kỳ. Ta có ngay formula_6("R"2\U)formula_7J. Tiếp theo ta sẽ đi chứng minh formula_6("R"2\U)=J bằng phản chứng. Giả sử ngược lại, formula_6("R"2\U)=A trong đó A là một cung, đồng phôi với khoảng [0,1]. Gọi D là một đĩa đóng tâm tại một điểm thuộc thành phần bị chặn, đủ lớn để chứa J bên trong. Theo định lý mở rộng Tiestze ánh xạ đồng nhất trên A có một mở rộng liên tục r:Dformula_1A.
Định nghĩa ánh xạ q: D formula_1 D như sau:
Ánh xạ q được định nghĩa tốt và liên tục. Ngoài ra q không phải là một toàn ánh. Sử dụng Định lý điểm bất động Brouwer ta có thể tìm ra một mâu thuẫn.
Bổ đề 2.
Hướng chứng minh. Hướng tiếp cận Bổ đề này là bằng phản chứng bằng cách xây dựng một ánh xạ F: E(-1,1;-1,1)formula_1 E(-1,1;-1,1) được xác định bởi
F(s,t)=formula_23
trong đó N(s,t) = Max{formula_24}. Khi đó F không có điểm bất động, trái với Định lý điểm bất động Brouwer.
Chứng minh định lý đường cong Jordan.