1239020
Mã BCH
https://vi.wikipedia.org/wiki?curid=1239020
Title: Mã BCH
Trong lý thuyết mã hóa, mã BCH là một lớp các mã sửa lỗi vòng xây dựng bằng trường hữu hạn. Mã BCH được phát minh năm 1959 bởi Hocquenghem, và một cách độc lập năm 1960 bởi Bose và Ray-Chaudhuri. Tên viết tắt "BCH" gồm chữ cái đầu của tên những người phát minh ra loại mã này.
Một trong những tính năng chính của mã BCH là khi thiết kế, có thể điều chỉnh chính xác số lỗi mã có thể sửa được. Cụ thể hơn, có thể thiết kế mã BCH nhị phân sửa được nhiều lỗi bit. Một lợi thế khác của mã BCH là có thể giải mã dễ dàng bằng một phương pháp đại số gọi là giải mã hội chứng. Điều này giúp đơn giản hóa việc thiết kế bộ giải mã cho mã này bằng phần cứng điện tử sử dụng ít năng lượng.
Mã BCH được dùng trong nhiều ứng dụng như liên lạc vệ tinh, máy nghe CD, DVD, ổ đĩa, SSD và mã vạch hai chiều.
Cách xây dựng.
Mã BCH nghĩa hẹp nguyên thủy.
Với một số nguyên tố formula_1 và hai số nguyên dương formula_2 và formula_3 thỏa mãn formula_4, một mã BCH nghĩa hẹp nguyên thủy trên trường hữu hạn formula_5 với chiều dài mã formula_6 và khoảng cách nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng formula_3 được xây dựng như sau.
Đặt formula_8 là một phần tử nguyên thủy của formula_9. Với mọi số nguyên dương formula_10, đặt formula_11 là đa thức nhỏ nhất của formula_12. Đa thức sinh của mã BCH được định nghĩa là bội chung nhỏ nhất formula_13. Có thể thấy formula_14 là một đa thức có hệ số trong formula_5 và chia hết formula_16. Do đó mã đa thức định nghĩa bởi formula_14 là một mã vòng.
Ví dụ.
Đặt formula_18 và formula_19 (nên formula_20). Ta sẽ xét các giá trị khác nhau cho formula_3. Tồn tại nghiệm nguyên thủy formula_22 thỏa mãn
đa thức nhỏ nhất của nó trên formula_23 là: formula_24. 
Ghi chú là trong formula_25, đẳng thức formula_26 là đúng, nên
formula_27.
Vì vậy formula_28 là nghiệm của formula_29, nên 