1477079
Chuỗi hình học
https://vi.wikipedia.org/wiki?curid=1477079
Title: Chuỗi hình học
Khi "n" tiến đến vô cùng, công bội "r" phải nhỏ hơn "1" thì chuỗi mới có thể hội tụ, tổng của chuỗi khi đó là:
Nếu , dễ dàng ta có:
Vế trái là một chuỗi hình học với công bội "r", ta biến đổi công thức:
Đặt:
Nhân 2 vế với "r":
Suy ra:
Tính chất hội tụ.
Vì (1 + "r" + "r"2 +... + "r""n")(1−"r") = 1−"r""n"+1 và đối với | "r" | &lt; 1.
Ứng dụng.
Số thập phân vô hạn tuần hoàn.
Một số thập phân vô hạn tuần hoàn có thể được xem như là một chuỗi hình học với công bội bằng 1/10. Ví dụ:
Sử dụng công thức tính tổng một chuỗi hình học có thể biến đổi một số thập phân vô hạn tuần hoàn thành một phân số:
Công thức này không những có thể áp dụng cho những số thập phân với 1 chữ số tuần hoàn, mà nó có thể áp dụng cho cả 1 cụm nhiều số tuần hoàn:
Từ đó có thể rút ra được cách biến đổi đơn giản hơn:
Tính diện tích của parabol bằng phương pháp Archimedes.
Archimedes đã sử dụng công thức tính tổng của một chuỗi hình học để tính diện tích được bao bởi một parabol và một đường thẳng (cát tuyến). Phương pháp của ông là chia phần diện tích này thành vô số các hình tam giác.
Archimedes đã tính ra rằng tổng phần diện tích trong parabol bằng 4/3 diện tích của tam giác màu xanh dương.
Archimedes xác định rằng diện tích mỗi tam giác màu xanh lá cây bằng 1/8 diện tích hình tam giác màu xanh dương, diện tích tam giác màu vàng bằng 1/8 diện tích tam giác màu xanh lá cây, và v.v.
Giả sử tam giác màu xanh dương có diện tích 1, thì tổng diện tích là tổng của một chuỗi vô hạn:
Số hạng đầu tiên là diện tích tam giác màu xanh dương, số hạng tiếp theo là diện tích 2 tam giác màu xanh lục, số hạng kế tiếp là diện tích 4 tam giác màu vàng, và cứ thế cho đến vô cùng. Rút gọn các phân số, ta có:
Đây là một chuỗi hình học với công bội bằng 1/4:
Tổng là: