1331131
Số chiều Hausdorff
https://vi.wikipedia.org/wiki?curid=1331131
Title: Số chiều Hausdorff
Đặc điểm chung của nhiều fractal là tính tự đồng dạng, biểu hiện ở chỗ chúng có thể phân tích thành bộ phận nhỏ tùy ý mà mỗi bộ phận ấy lặp lại y hệt cấu trúc toàn thể. Tính tự đồng dạng ấy thể hiện rõ ở tập Cantor hay đường Peano, tam giác Spierpinki...
Cho formula_90 là một tập con đóng của formula_3. Một ánh xạ: formula_92 được gọi là co nếu tồn tại formula_93 sao cho formula_94
Trường hợp có dấu bằng, nghĩa là formula_95, thì S được gọi là một phép tự đồng dạng.
Cho formula_96 là các ánh xạ co. Tập con formula_97 được gọi là bất biến đối với họ các ánh xạ co formula_98 nếu
formula_99
Đặt formula_100 là tập hợp tất cả các tập con compact khác trống của formula_90.
Một formula_13-phủ của formula_103 là tập hợp những điểm cách formula_104 quá lắm là formula_13: formula_106
Lúc đó formula_100 trở thành không gian metric với khoảng các formula_108 cho bởi formula_109
Số chiều Hausdorff của tập tự đồng dạng.
Cho formula_125: formula_126 là các phép đồng dạng với tỷ số tương ứng formula_127. Một tập bất biến với họ các phép đồng dạng trên được gọi là tập tự đồng dạng (self-similar-set).Nếu tồn tại một tập mở bị chặn, không trống formula_128 sao cho formula_129 với các formula_130 rời nhau đôi một thì ta nói họ formula_98 thỏa điều kiện tập mở.
thì formula_138 với s cho bởi formula_139. Hơn thế nữa với formula_140 có được thì formula_141."
Ví dụ.
Tập Cantor được xây dựng từ đoạn thẳng formula_142 và hai phép đồng dạng formula_143 (tỉ số đồng dạng formula_144). Điều kiện tập mở được thoả mãn với formula_145 là khoảng formula_146. Vậy số chiều Hausdorff formula_16 là nghiệm của phương trình formula_148, tức formula_149.