1334964
Khối đa diện đều Platon
https://vi.wikipedia.org/wiki?curid=1334964
Title: Khối đa diện đều Platon
Dưới đây là giới thiệu về các đa diện đều Platon và dùng đặc trưng Euler để chứng minh chỉ có đúng 5 đa diện đều.
Các định nghĩa.
Khối đa diện lồi.
Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H) luôn thuộc (H). Khi đó đa diện xác định (H) được gọi là đa diện lồi.
Khối đa diện lồi đều.
Là khối đa diện lồi có tính chất sau đây: 
a) Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh. 
b) Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt. 
Khối đa diện đều như vậy được gọi là khối đa diện đều loại (p,q).
Phân chia tam giác.
Một phân chia tam giác của một không gian tôpô là một đồng phôi từ không gian đó vào một không gian con của không gian Euclid nhận được từ một phép dán của những tam giác.
Phép dán những tam giác tuân theo quy tắc sau:
Đặc trưng Euler.
formula_1 
formula_2 gọi là đặc trưng Euler của đa diện X. Trong đó: 
V: là số đỉnh của khối đa diện X. 
E: là số cạnh khối đa diện X.
F: là số mặt của khối đa diện X.
Các khối đa diện Platon.
Các khối đa diện Platon gồm 5 khối đa diện đều lồi là: khối tứ diện đều, khối lập phương, khối tám mặt đều, khối mười hai mặt đều, khối hai mươi mặt đều. Trong đó:
Chứng minh chỉ có đúng năm khối đa diện đều lồi.
Chìa khóa của chứng minh này là sử dụng đặc trưng Euler.
Đầu tiên ta có mối liên hệ:
Thật vậy, ta có p là số cạnh của mỗi mặt đa diện, F số mặt của khối đa diện, suy ra pF là tổng số cạnh của tất cả các mặt của khối đa diện. Mà một cạnh của đa diện kề với hai mặt của khối đa diện. Suy ra:
Mặt khác ta lại có q là số mặt gặp nhau ở một đỉnh, V là tổng số đỉnh của khối đa diện. Suy ra qV là tổng số đỉnh của tất cả các mặt của khối đa diện. Mặt khác, q là số cạnh gặp nhau ở một đỉnh. Mà mỗi cạnh liên kết với hai đỉnh của đa diện. Suy ra:
Vậy 