1180459
Mã tuyến tính
https://vi.wikipedia.org/wiki?curid=1180459
Title: Mã tuyến tính
Tính chất tuyến tính đảm bảo khoảng cách Hamming nhỏ nhất "d" giữa mã tự "c"0 và bất kì mã tự "c" ≠ "c"0 nào là độc lập với "c"0. Điều này được suy ra từ tính chất hiệu "c" − "c"0 của hai mã tự trong "C" cũng là một mã tự (nghĩa là một phần tử của không gian "C"), và tính chất "d"("c", c0) = "d"("c" − "c"0, 0). Theo các tính chất này,
Nói cách khác, để xác định khoảng cách nhỏ nhất giữa các mã tự của một mã tuyến tính, chỉ cần xét khoảng cách giữa các mã tự khác không và mã tự không. Mã tự khác không có trọng lượng nhỏ nhất chính là mã tự gần mã tự không nhất và trọng số đó chính là khoảng cách nhỏ nhất.
Khoảng cách "d" của một mã tuyến tính "C" cũng bằng số nhỏ nhất các cột phụ thuộc tuyến tính của ma trận kiểm tra "H".
"Chứng minh:" Xét là mã tự có trọng số nhỏ nhất. Theo định nghĩa, formula_11 nên các cột formula_12 với formula_13 phụ thuộc tuyến tính. Vì vậy số cột nhỏ nhất phụ thuộc tuyến tính là nhỏ hơn hoặc bằng "d".
Mặt khác xét một tập hợp nhỏ nhất các cột phụ thuộc tuyến tính formula_14 trong đó formula_15 là tập hợp các chỉ số các cột này. formula_16. Xét vectơ formula_17 sao cho formula_18 nếu formula_19. Ta nhận thấy formula_20 vì formula_21. Do đó ta có formula_22, chính là số nhỏ nhất các cột phụ thuộc tuyến tính của formula_23.
Như vậy, ta thu được kết quả cần chứng minh.
Ví dụ: mã Hamming.
Là loại mã đầu tiên được dùng cho mục đích sửa lỗi, "mã Hamming" được sử dụng rộng rãi trong các hệ thống truyền thông số. Với mọi số nguyên dương formula_24, tồn tại một mã Hamming formula_25. Vì formula_26, mã Hamming có thể sửa lỗi 1 bit.
Ví dụ: Sau đây là ma trận sinh và ma trận sửa lỗi của mã Hamming formula_27.
Ví dụ: mã Hadamard.