1765700
Hội tụ (không gian tôpô)
https://vi.wikipedia.org/wiki?curid=1765700
Title: Hội tụ (không gian tôpô)
Khái niệm hội tụ trong toán học có thể được sử dụng trong các không gian Euclid (chẳng hạn xem định nghĩa ("ε", "δ") của giới hạn), các không gian metric, ví dụ như formula_1, formula_2, các không gian hàm hay các không gian tô pô. Với các không gian metric, ta có sự tương đương giữa hai phát biểu sau:
Đối với các không gian tô pô tổng quát, ta có 1 suy ra 2, nhưng điều ngược lại không đúng. (trong một số trường hợp, chẳng hạn như với các không gian đếm được bậc nhất, ta có 2 suy ra 1). Do đó, người ta đã xây dựng khái niệm hội tụ của lưới nhằm đạt được một tính chất tương đương với tính liên tục của ánh xạ.
Bài viết sau khảo sát lại các khái niệm về sự hội tụ, tính liên tục và mối quan hệ giữa chúng.
Sự hội tụ của một hàm số.
Giả sử formula_3 là hàm số thực, formula_4 là hằng số. Ký hiệu formula_5 có nghĩa là formula_6 tiến gần đến formula_7 khi formula_8 tiến gần về formula_4. Có thể đọc là "Giới hạn của hàm formula_3 khi formula_8 tiến gần đến formula_4 là formula_7 ".
Lưu ý: Hàm formula_6 có thể không cần xác định tại formula_4
Định nghĩa trên được Augustin Louis Cauchy sáng kiến vào năm 1821. Sau đó, Karl Weierstrass đã hình thức hóa bằng cách định nghĩa theo formula_16 như sau:
Hàm số formula_3 hội tụ về formula_7 nếu formula_19, formula_20 sao cho formula_21
Ví dụ.
Cho formula_22
Thì formula_23 không xác định, khi cho formula_8 tiến gần về 1 thì formula_6 tiến gần về 2:
Do đó, formula_6 có thể tiến gần đến giới hạn của 2 ngay khi formula_8 gần đến 1.
Mặt khác, formula_28
Nó cũng có thể được tính theo phương pháp đại số, khi formula_29 với mọi số thực formula_30.
Vì formula_31 liên tục theo formula_8 tại 1 nên có thể thay formula_33 để được formula_34.
Thêm giới hạn tại những điểm hữu hạn, hàm có thể có những giới hạn vô hạn. Ví dụ, xét 