1747478
Biến đổi Fourier lượng tử
https://vi.wikipedia.org/wiki?curid=1747478
Title: Biến đổi Fourier lượng tử
Biến đổi Fourier lượng tử là một phép biến đổi tuyến tính trên các qubit (đơn vị cơ bản của thông tin lượng tử), phép biến đổi này tương tự như biến đổi Fourier rời rạc. Biến đổi Fourier lượng tử là một trong những thuật toán lượng tử quan trọng nhất, nó thường là một phần của các thuật toán lượng tử khác, đặc biệt là thuật toán Shor để phân tích thừa số nguyên tố và tính toán các logarit rời rạc.
Biến đổi Fourier lượng tử dựa trên thuật toán biến đổi Fourier nhanh của James Cooley và John Tukey. Nó có thể được thực hiện hiệu quả trên máy tính lượng tử, bởi nó có thể triệt tiêu các thành phần bằng cách nhân với các ma trận unita (áp dụng toán tử formula_1). Biến đổi Fourier lượng tử có thể được cài đặt và thực hiện trên một mạch lượng tử.
Định nghĩa.
Biến đổi Fourier rời rạc "cổ điển" được định nghĩa như sau:
Dãy của "N" số phức:formula_2 được biến đổi thành chuỗi của "N" số phức formula_3 bởi công thức sau đây:
với "e" là cơ số của lôgarit tự nhiên, formula_5 là đơn vị ảo (formula_6), và formula_7 là số pi.
Đặt formula_8, ta được:
formula_9
Như vậy, ta có thể xây dựng phép biến đổi Fourier thành ma trận unita formula_10 như sau:
Tương tự với "cổ điển", ta dùng các vector biểu diễn trạng thái lượng tử rồi áp dụng toán tử formula_1, hay nói cách khác là áp dụng ma trận trên.
Khi áp dụng cho một xâu n-qubit, ta được:
formula_13
Tính chất.
Tính đối xứng.
Xét với biến đổi Fourier "cổ điển":
Đặt 2 vector formula_14 và formula_15.Chúng ta có thể viết lại công thức formula_16 như sau:
formula_17
Với formula_18 là ma trận biến đổi tuyến tính của ma trận có các phần tử là:
formula_19
Từ công thức formula_20, ta suy ra:
formula_21
Hay nói cách khác, formula_18 là ma trận đối xứng.
Tương tự, ở biến đổi Fourier lượng tử, ta xét trạng thái formula_23.