1764326
Đặc trưng Euler
https://vi.wikipedia.org/wiki?curid=1764326
Title: Đặc trưng Euler
Tất cả các Đa diện xạ ảnh đều có đặc trưng Euler bằng 1, tương ứng với mặt phẳng xạ ảnh thực, trong khi khối đa diện hình xuyến đều có đặc trưng Euler bằng 0, tương ứng với hình xuyến.
Đồ thị phẳng.
Các đặc trưng Euler có thể được xác định cho đồ thị phẳng liên thông bằng cách cùng công thức formula_10 như cho các bề mặt đa diện, nơi" F" là số lượng mặt trong đồ thị, bao gồm cả các mặt bên ngoài.
Đặc trưng Euler của bất kỳ đồ thị phẳng liên thông G là 2. Điều này có thể dễ dàng chứng minh bằng trực quan về số lượng k mặt được xác định bởi G, bắt đầu với một cây như trường hợp cơ sở. Đối với cây, E = V-1 và F = 1. Nếu G có thành phần bù C, cùng tranh luận bằng trực quan trên F cho thấy rằng formula_11. Một trong số ít các lý thuyết đồ thị của Cauchy cũng chứng minh kết quả này
Chứng minh công thức Euler.
Có nhiều cách chứng minh cho công thức Euler. Trong số đó do Cauchy đưa ra vào năm 1811, như sau: Chúng minh áp dụng cho bất kỳ đa diện lồi, và nói chung cho bất kỳ đa diện có biên tương đương hình học với một mặt cầu và các mặt đa diện có tương đương tô pô với đĩa phẳng.
Xóa một mặt của bề mặt đa diện. Bằng cách kéo các cạnh của mặt mất tích xa nhau, biến dạng tất cả các phần còn lại thành một đồ thị phẳng của các điểm và các đường cong, được minh họa bằng hình đầu tiên của ba đồ thị cho các trường hợp đặc biệt của khối lập phương. (Giả sử rằng bề mặt đa diện đồng phôi với mặt cầu ngay từ đầu.Sau khi biến dạng này, những mặt chính tắc nói chung là không chính tắc nữa. Số đỉnh và cạnh vẫn như cũ, nhưng số lượng các mặt đã được giảm 1. Do đó, chứng minh công thức Euler cho đa diện giảm để chứng minh formula_12 cho này bị biến dạng, đối tượng phẳng.