1295551
Độ cong
https://vi.wikipedia.org/wiki?curid=1295551
Title: Độ cong
Trong hình học, độ cong thể hiện sự lệch hướng tại một điểm trên đường cong, mặt cong hay không gian Riemann nói chung.
Độ cong của một đường cong.
Định nghĩa.
Theo Cauchy, tâm đường cong C tại một điểm là giao điểm của hai pháp tuyến vô cùng gần nhau, và bán kính cong formula_1 là khoảng cách từ điểm đó đến C. Và độ cong formula_2 chính là nghịch đảo của bán kính cong formula_1.
Gọi formula_5 là độ dài dường cong mà 2 pháp tuyến cách nhau, và formula_6 là góc hợp bởi 2 pháp tuyến. Ta có định nghĩa khác về độ cong:
Tính độ cong của một đường cong phẳng.
Trong hệ tọa độ Descartes.
Nếu đồ thị được cho dưới dạng hệ phương trình tham số formula_8, từ phần trên ta có định nghĩa:
formula_6 là góc hợp bởi 2 pháp tuyến, ta cũng có thể coi nó như góc lệch giữa 2 đường tiếp tuyến. Từ đó ta có thể định nghĩa formula_11 là góc tiếp tuyến của đường cong.
Lấy đạo hàm 2 vế theo tham số formula_13 ta được:
Trong hệ tọa độ cực.
Nếu đồ thị được cho bởi một hàm số formula_15 thì độ cong được tính như sau:
Ví dụ.
Đường thẳng.
Đường thẳng formula_17 hay formula_18 sẽ có độ cong được tính như sau:
Áp dụng công thức ta có:
hay công thức:
Vậy độ cong của một đường thẳng bằng 0.
Đường tròn.
Đường tròn formula_22 hay formula_23 sẽ có độ cong được tính như sau:
Áp dụng công thức ta có:
hay công thức:
Vậy độ cong của một đường tròn là nghịch đảo bán kính của nó.
Các đường khác.
Áp dụng công thức ta có:
Áp dụng công thức ta có:
với formula_35 là tâm sai của ellipse.
Độ cong của một đường cong ghềnh.
Độ cong của một đường cong ghềnh (trong không gian 3 chiều) có hệ phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes formula_36 được tính theo công thức
Tham khảo.
John M. Lee, Introduction to Riemannian manifolds