1263987
Định lý Green
https://vi.wikipedia.org/wiki?curid=1263987
Title: Định lý Green
Trong toán học, định lý Green đưa ra mối liên hệ giữa tích phân đường quanh một đường cong khép kín "C" và tích phân mặt trên một miền "D" bao quanh bởi "C". Đây là trường hợp đặc biệt trong không gian 2 chiều của định lý Stokes, và được đặt tên theo nhà toán học người Anh tên George Green.
Định lý.
"C" là một đường đơn đóng có định hướng dương trong mặt phẳng formula_12, và "D" là miền được bao quanh bởi "C". Nếu "L" và "M" là các hàm số với biến ("x", "y") được định nghĩa trên miền mở chứa "D" và có các đạo hàm riêng phần liên tục trên đó, thì
Mối liên hệ với định lý Stokes.
Định lý Green là một trường hợp đặc biệt của định lý Stokes, khi áp dụng trên mặt phẳng-"xy":
Chúng ta có thể mở rộng trường 2 chiều thành một trường trong không gian 3 chiều với thành phần "z" luôn bằng 0. Gọi F là hàm số vector định nghĩa bởi formula_3. Bắt đầu với vế trái của định lý Green:
Theo định lý Stokes thì:
Mặt formula_6 chỉ là một miền formula_7 trong mặt phẳng, với vector định chuẩn formula_8 hướng lên (theo hướng "z") để trùng với "định hướng dương" trong cả hai định lý.
Biểu thức bên trong tích phân trở thành 
Do đó mà ta sẽ được vế phải của định lý Green
Mối liên quan với định lý Gauss.
Nếu chỉ xét các trường vectơ trong không gian 2 chiều,
định lý Green là tương đương với phiên bản 2 chiều sau đây của định lý Gauss:
với formula_8 là véc tơ định chuẩn hướng ra ngoài trên biên.
Để thấy điều này, xét vec tơ định chuẩn formula_8 ở tay phải của phương trình. Bởi vì trong định lý Green formula_14 là một vecto đi theo hướng tiếp tuyến với đường cong, và đường cong C được định hướng dương (ngược chiều kim đồng hồ) dọc theo biên, vectơ định chuẩn hướng ra ngoài sẽ chỉ vuông góc 90° về phía phải, và sẽ là formula_15. Chiều dài của vec tơ này là formula_16. Do vậy formula_17