1180229
Định lý Cauchy (lý thuyết nhóm)
https://vi.wikipedia.org/wiki?curid=1180229
Title: Định lý Cauchy (lý thuyết nhóm)
Định lý Cauchy là một định lý trong lý thuyết nhóm được đặt tên theo tên của nhà toán học người Pháp Augustin Louis Cauchy. Định lý này phát biểu rằng nếu formula_1 là một nhóm hữu hạn và formula_2 là một số nguyên tố chia hết cấp của formula_1 (số phần tử trong formula_1) thì trong formula_1 tồn tại một phần tử có cấp formula_2. Tức là trong formula_1 tồn tại phần tử formula_8 sao cho formula_2 là số nguyên dương nhỏ nhất để formula_10, với formula_11 là phần tử đơn vị.
Định lý này liên quan đến định lý Lagrange, phát biểu rằng cấp của một nhóm con bất kỳ của một nhóm formula_1 hữu hạn cho trước đều chia hết cấp của formula_1. Định lý Cauchy chứng tỏ rằng với mọi ước nguyên tố formula_2 của cấp của formula_1, tồn tại một nhóm con cyclic của formula_1 có cấp formula_2 được sinh bởi phần tử đã được nói tới trong định lý Cauchy.
Tổng quát hơn định lý Cauchy là định lý Sylow thứ nhất, phát biểu rằng: nếu formula_1 là một nhóm hữu hạn và formula_19 là ước của cấp của formula_1 với formula_2 nguyên tố thì formula_1 có một nhóm con cấp formula_19.
Phát biểu và chứng minh.
Chứng minh.
Ta chứng minh bằng quy nạp theo formula_24 với formula_25 và xét 2 trường hợp formula_1 giao hoán và formula_1 không giao hoán.
Hệ quả.
Nếu formula_78 là một nhóm hữu hạn (không nhất thiết giao hoán) thỏa tính chất mọi phần tử khác formula_79 trong formula_78 đều có cấp là lũy thừa của một số nguyên tố cho trước thì formula_78 có cấp là một là lũy thừa của một số nguyên tố formula_82 cho trước thì formula_78 có cấp là một lũy thừa của formula_82