1334964
Khối đa diện đều Platon
https://vi.wikipedia.org/wiki?curid=1334964
Title: Khối đa diện đều Platon
Thế (1) vào (*) ta được:
Ta lại có p ≥ 3, q ≥ 3 (Bởi vì mỗi đa diện có ít nhất 3 cạnh, khối đa diện có ít nhất 3 mặt gặp nhau ở một đỉnh). Mặt khác nếu p, q cùng lớn hơn 3 thì sẽ dẫn đến p ≥ 4, q ≥ 4. Do đó 
Từ (**) suy ra đều vô lý. Do đó p, q không thể đồng thời lớn hơn 3 được. Suy ra p = 3 và q ≥ 3 hoặc p ≥ 3 và q = 3. Không mất tính tổng quát, giả sử p = 3. Thế vào (2) ta được: 
Hiển nhiên ta biết rằng q là số nguyên. Vậy q chỉ có thể là 3, 4, 5. Từ đó suy ra E = 6, 12, 30. Một cách tương tự cho trường hợp q = 3. Ta cũng có p = 3, 4, 5. Vậy ta nhận được năm cặp số (3,3), (3,4), (3,5), (4,3), (5,3). Từ năm cặp số giá trị của (p,q) này cho ta năm đa giác đều cần chứng minh.
Ứng dụng.
Ứng dụng trong quân xúc xắc.
Các khối đa diện đều thường được dùng là quân xúc xắc dùng trong các trò chơi may rủi. Con xúc xắc sáu mặt (khối lập phương) thường được dùng hơn cả, tuy nhiên cũng có thể dùng các khối 4, 8, 12, 20 mặt như trong hình dưới đây.
Các khối đa diện còn được ứng dụng trong trò chơi rubik.
Tứ diện đều Khối lập phương Tám mặt đều Mười hai mặt đều
Trong tự nhiên.
Các khối tứ diện, lập phương, khối tám mặt có trong tự nhiên dưới dạng các cấu trúc tinh thể. Không phải tất cả các tinh thể có hình dạng là các khối đa diện nêu trên (khối đa diện đều 4,6,8,12,20). Không có tinh thể có dạng là khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều. Trong tự nhiên khối mười hai mặt đều không tồn tại trong các dạng tinh thể nhưng dạng pyritohedron (khối mười hai mặt không đều có dạng như khối mười hai mặt đều nhưng các mặt bên không đều) méo mó xảy ra trong pyrit tinh thể.