Fourier transform Geometry


## 의미적 이해
푸리에 변환은 임의의 입력 신호를 다양한 주파수를 갖는 주기함수들의 합으로 분해하여 표현

![](https://www.notion.so/image/https%3A%2F%2Fs3-us-west-2.amazonaws.com%2Fsecure.notion-static.com%2F31255591-0aba-49c3-b848-82e483a7fe95%2FUntitled.png?table=block&id=4206886c-c058-405e-a575-06dda149de12&cache=v2)
맨 앞의 붉은 색 신호는 입력 신호이고 뒤의 파란색 신호들은 푸리에 변환(Fourier transform)을 통해 얻어진 (원본 신호를 구성하는) 주기함수 성분들이다

입력 신호는 전파, 음성 신호 등과 같이 시간축(time)에 대해 정의된 신호일 수도 있고 이미지(image) 등과 같이 공간축에 대해 정의된 신호일 수도 있다

time domain에서 frequency domain으로의 변환이라고 하고
컴퓨터 비전(computer vision),영상처리 쪽에서는 spatial domain에서 frequency domain으로의 변환이라고 부른다



## 수식적 이해
> ![](https://www.notion.so/image/https%3A%2F%2Fs3-us-west-2.amazonaws.com%2Fsecure.notion-static.com%2F5a55c663-f19a-4f25-b313-87f1783e85c7%2FUntitled.png?table=block&id=776d1f9a-2cdd-4733-9636-dd47aac1ceaa&cache=v2)

> 푸리에 역변환함수 f(x)를 모든 가능한 주파수(u)의 주기함수들(ej2πux)의 일차결합으로 표현한 것

> ![](https://www.notion.so/image/https%3A%2F%2Fs3-us-west-2.amazonaws.com%2Fsecure.notion-static.com%2F9e732235-7117-41bc-a76e-45b283e6cb8b%2FUntitled.png?table=block&id=f3b3469d-0be7-4176-9f1d-22e1fc80b7be&cache=v2)

> 푸리에 변환

입력신호 f(x)가 ej2πux들의 합으로 표현(분해)된다
f(x)를 주기함수 성분으로 분해했을 때의 계수(coefficient) F(u)로 주어진다
ej2πux는 f(x)를 구성하는 (파란색의 주파수 u인) 주기함수 성분들이고 F(u)는 해당 주기함수 성분의 강도(amplitude)를 나타낸다




![](https://www.notion.so/image/https%3A%2F%2Fs3-us-west-2.amazonaws.com%2Fsecure.notion-static.com%2F331b3f0c-ec94-4839-bc92-dc83fa2a6f68%2FUntitled.png?table=block&id=2357ac85-2c21-4c6d-99c0-19d90a486a7a&cache=v2)
오일러 공식과 자주 같이 쓰인다

![](https://www.notion.so/image/https%3A%2F%2Fs3-us-west-2.amazonaws.com%2Fsecure.notion-static.com%2F7c502eb3-658c-49e8-82ec-3da5252dea18%2FUntitled.png?table=block&id=36a8dc2a-2330-4efd-aca0-b8d7d96245a3&cache=v2)
이렇게 변형된다
결국 ej2πux는 주파수 u인 정현파(sinusoidal wave)의 복소지수함수 표현

선형대수적으로 이해하자면 ej2πux, u = 0, ±1, ±2, ...은 모든 신호를 생성할 수 있는 직교(orthogonal) 기저(basis) 함수들로 볼 수 있다 (편의상 u를 정수 범위로 표기했으나 u는 실수 전체 범위임)
그러면 입력 신호 f(x)를 이들 기저함수들로 분해했을 때의 계수 F(u)는 f(x)와 기저함수의 내적(dot product)으로 계산될 수 있다
f(x)와 ej2πux의 함수 내적이기 때문에 그 결과는 f(x)를 ej2πux들로 분해했을 때의 계수가 된다




> [페이저(phasor)](https://angeloyeo.github.io/2019/06/18/phasor.html)

> [푸리에 급수의 시작(Fourier Series)](https://ghebook.blogspot.com/2012/07/fourier-series.html)

> [Fourier Transform(푸리에 변환)의 이해와 활용](https://darkpgmr.tistory.com/171)






