n : ℕ
A : Type ?u.312437
R : Type ?u.312440
inst✝⁵ : AddGroup A
inst✝⁴ : Ring R
α✝ : Type ?u.312449
β✝ : Type ?u.312452
inst✝³ : Group α✝
a✝ : α✝
inst✝² : MulAction α✝ β✝
b✝ : β✝
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup α
a : α
inst✝ : AddAction α β
b : β
k : ℤ
⊢ (k % ↑(minimalPeriod ((fun x x_1 => x +ᵥ x_1) a) b)) • { val := a, property := (_ : a ∈ zmultiples a) } +ᵥ
      { val := b, property := (_ : b ∈ AddAction.orbit { x // x ∈ zmultiples a } b) } =
    k • { val := a, property := (_ : a ∈ zmultiples a) } +ᵥ
      { val := b, property := (_ : b ∈ AddAction.orbit { x // x ∈ zmultiples a } b) }
n : ℕ
A : Type ?u.312437
R : Type ?u.312440
inst✝⁵ : AddGroup A
inst✝⁴ : Ring R
α✝ : Type ?u.312449
β✝ : Type ?u.312452
inst✝³ : Group α✝
a✝ : α✝
inst✝² : MulAction α✝ β✝
b✝ : β✝
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup α
a : α
inst✝ : AddAction α β
b : β
k : ℤ
⊢ ↑(orbitZmultiplesEquiv a b).symm ↑k =
    k • { val := a, property := (_ : a ∈ zmultiples a) } +ᵥ
      { val := b, property := (_ : b ∈ AddAction.orbit { x // x ∈ zmultiples a } b) }
rw [AddAction.orbit_zmultiples_equiv_symm_apply, ZMod.coe_int_cast]
no goals
n : ℕ
A : Type ?u.312437
R : Type ?u.312440
inst✝⁵ : AddGroup A
inst✝⁴ : Ring R
α✝ : Type ?u.312449
β✝ : Type ?u.312452
inst✝³ : Group α✝
a✝ : α✝
inst✝² : MulAction α✝ β✝
b✝ : β✝
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup α
a : α
inst✝ : AddAction α β
b : β
k : ℤ
⊢ (k % ↑(minimalPeriod ((fun x x_1 => x +ᵥ x_1) a) b)) • { val := a, property := (_ : a ∈ zmultiples a) } +ᵥ
      { val := b, property := (_ : b ∈ AddAction.orbit { x // x ∈ zmultiples a } b) } =
    k • { val := a, property := (_ : a ∈ zmultiples a) } +ᵥ
      { val := b, property := (_ : b ∈ AddAction.orbit { x // x ∈ zmultiples a } b) }
exact Subtype.ext (zsmul_vadd_mod_minimalPeriod a b k)