R : Type ?u.258308
M✝ : Type ?u.258311
inst✝¹⁸ : Semiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁶ : Module R M✝
R₁ : Type ?u.258347
M₁ : Type ?u.258350
inst✝¹⁵ : Ring R₁
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝¹³ : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_2
M₂ : Type ?u.258962
inst✝¹² : CommSemiring R₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁰ : Module R₂ M₂
R₃ : Type ?u.259149
M₃ : Type ?u.259152
inst✝⁹ : CommRing R₃
inst✝⁸ : AddCommGroup M₃
inst✝⁷ : Module R₃ M₃
V : Type ?u.259740
K : Type ?u.259743
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
B : BilinForm R M✝
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
n : Type u_1
o : Type ?u.260960
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq o
M : Matrix n n R₂
v w : n → R₂
⊢ ∑ i : n, ∑ j : n, v i * M i j * w j = ∑ x : n, v x * ∑ x_1 : n, M x x_1 * w x_1
R : Type ?u.258308
M✝ : Type ?u.258311
inst✝¹⁸ : Semiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁶ : Module R M✝
R₁ : Type ?u.258347
M₁ : Type ?u.258350
inst✝¹⁵ : Ring R₁
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝¹³ : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_2
M₂ : Type ?u.258962
inst✝¹² : CommSemiring R₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁰ : Module R₂ M₂
R₃ : Type ?u.259149
M₃ : Type ?u.259152
inst✝⁹ : CommRing R₃
inst✝⁸ : AddCommGroup M₃
inst✝⁷ : Module R₃ M₃
V : Type ?u.259740
K : Type ?u.259743
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
B : BilinForm R M✝
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
n : Type u_1
o : Type ?u.260960
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq o
M : Matrix n n R₂
v w : n → R₂
⊢ bilin (↑toBilin' M) v w = v ⬝ᵥ mulVec M w
simp_rw [Matrix.toBilin'_apply, Matrix.dotProduct, Matrix.mulVec, Matrix.dotProduct]
R : Type ?u.258308
M✝ : Type ?u.258311
inst✝¹⁸ : Semiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁶ : Module R M✝
R₁ : Type ?u.258347
M₁ : Type ?u.258350
inst✝¹⁵ : Ring R₁
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝¹³ : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_2
M₂ : Type ?u.258962
inst✝¹² : CommSemiring R₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁰ : Module R₂ M₂
R₃ : Type ?u.259149
M₃ : Type ?u.259152
inst✝⁹ : CommRing R₃
inst✝⁸ : AddCommGroup M₃
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V : Type ?u.259740
K : Type ?u.259743
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
B : BilinForm R M✝
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
n : Type u_1
o : Type ?u.260960
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq o
M : Matrix n n R₂
v w : n → R₂
x✝¹ : n
x✝ : x✝¹ ∈ univ
⊢ ∑ j : n, v x✝¹ * M x✝¹ j * w j = v x✝¹ * ∑ x : n, M x✝¹ x * w x
R : Type ?u.258308
M✝ : Type ?u.258311
inst✝¹⁸ : Semiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁶ : Module R M✝
R₁ : Type ?u.258347
M₁ : Type ?u.258350
inst✝¹⁵ : Ring R₁
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝¹³ : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_2
M₂ : Type ?u.258962
inst✝¹² : CommSemiring R₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁰ : Module R₂ M₂
R₃ : Type ?u.259149
M₃ : Type ?u.259152
inst✝⁹ : CommRing R₃
inst✝⁸ : AddCommGroup M₃
inst✝⁷ : Module R₃ M₃
V : Type ?u.259740
K : Type ?u.259743
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
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B : BilinForm R M✝
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
n : Type u_1
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inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq o
M : Matrix n n R₂
v w : n → R₂
⊢ ∑ i : n, ∑ j : n, v i * M i j * w j = ∑ x : n, v x * ∑ x_1 : n, M x x_1 * w x_1
refine' Finset.sum_congr rfl fun _ _ => _
R : Type ?u.258308
M✝ : Type ?u.258311
inst✝¹⁸ : Semiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁶ : Module R M✝
R₁ : Type ?u.258347
M₁ : Type ?u.258350
inst✝¹⁵ : Ring R₁
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝¹³ : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_2
M₂ : Type ?u.258962
inst✝¹² : CommSemiring R₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁰ : Module R₂ M₂
R₃ : Type ?u.259149
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inst✝⁹ : CommRing R₃
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V : Type ?u.259740
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B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
n : Type u_1
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inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq o
M : Matrix n n R₂
v w : n → R₂
x✝¹ : n
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⊢ ∑ j : n, v x✝¹ * M x✝¹ j * w j = ∑ x : n, v x✝¹ * (M x✝¹ x * w x)
R : Type ?u.258308
M✝ : Type ?u.258311
inst✝¹⁸ : Semiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁶ : Module R M✝
R₁ : Type ?u.258347
M₁ : Type ?u.258350
inst✝¹⁵ : Ring R₁
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝¹³ : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_2
M₂ : Type ?u.258962
inst✝¹² : CommSemiring R₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁰ : Module R₂ M₂
R₃ : Type ?u.259149
M₃ : Type ?u.259152
inst✝⁹ : CommRing R₃
inst✝⁸ : AddCommGroup M₃
inst✝⁷ : Module R₃ M₃
V : Type ?u.259740
K : Type ?u.259743
inst✝⁶ : Field K
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B : BilinForm R M✝
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
n : Type u_1
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inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq o
M : Matrix n n R₂
v w : n → R₂
x✝¹ : n
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⊢ ∑ j : n, v x✝¹ * M x✝¹ j * w j = v x✝¹ * ∑ x : n, M x✝¹ x * w x
rw [Finset.mul_sum]
R : Type ?u.258308
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inst✝¹⁸ : Semiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁶ : Module R M✝
R₁ : Type ?u.258347
M₁ : Type ?u.258350
inst✝¹⁵ : Ring R₁
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝¹³ : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_2
M₂ : Type ?u.258962
inst✝¹² : CommSemiring R₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁰ : Module R₂ M₂
R₃ : Type ?u.259149
M₃ : Type ?u.259152
inst✝⁹ : CommRing R₃
inst✝⁸ : AddCommGroup M₃
inst✝⁷ : Module R₃ M₃
V : Type ?u.259740
K : Type ?u.259743
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
B : BilinForm R M✝
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
n : Type u_1
o : Type ?u.260960
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq o
M : Matrix n n R₂
v w : n → R₂
x✝³ : n
x✝² : x✝³ ∈ univ
x✝¹ : n
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⊢ v x✝³ * M x✝³ x✝¹ * w x✝¹ = v x✝³ * (M x✝³ x✝¹ * w x✝¹)
R : Type ?u.258308
M✝ : Type ?u.258311
inst✝¹⁸ : Semiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁶ : Module R M✝
R₁ : Type ?u.258347
M₁ : Type ?u.258350
inst✝¹⁵ : Ring R₁
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝¹³ : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_2
M₂ : Type ?u.258962
inst✝¹² : CommSemiring R₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁰ : Module R₂ M₂
R₃ : Type ?u.259149
M₃ : Type ?u.259152
inst✝⁹ : CommRing R₃
inst✝⁸ : AddCommGroup M₃
inst✝⁷ : Module R₃ M₃
V : Type ?u.259740
K : Type ?u.259743
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
B : BilinForm R M✝
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
n : Type u_1
o : Type ?u.260960
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq o
M : Matrix n n R₂
v w : n → R₂
x✝¹ : n
x✝ : x✝¹ ∈ univ
⊢ ∑ j : n, v x✝¹ * M x✝¹ j * w j = ∑ x : n, v x✝¹ * (M x✝¹ x * w x)
refine' Finset.sum_congr rfl fun _ _ => _
no goals
R : Type ?u.258308
M✝ : Type ?u.258311
inst✝¹⁸ : Semiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁶ : Module R M✝
R₁ : Type ?u.258347
M₁ : Type ?u.258350
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inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝¹³ : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_2
M₂ : Type ?u.258962
inst✝¹² : CommSemiring R₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁰ : Module R₂ M₂
R₃ : Type ?u.259149
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inst✝⁹ : CommRing R₃
inst✝⁸ : AddCommGroup M₃
inst✝⁷ : Module R₃ M₃
V : Type ?u.259740
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inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
B : BilinForm R M✝
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
n : Type u_1
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x✝¹ : n
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rw [← mul_assoc]