K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : FiniteDimensional K V₂
H : finrank K V = finrank K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
this : finrank K { x // x ∈ range f } + finrank K { x // x ∈ ker f } = finrank K V
⊢ Injective ↑f ↔ Surjective ↑f
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : FiniteDimensional K V₂
H : finrank K V = finrank K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
⊢ Injective ↑f ↔ Surjective ↑f
have := finrank_range_add_finrank_ker f
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : FiniteDimensional K V₂
H : finrank K V = finrank K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
this : finrank K { x // x ∈ range f } + finrank K { x // x ∈ ker f } = finrank K V
⊢ ker f = ⊥ ↔ range f = ⊤
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : FiniteDimensional K V₂
H : finrank K V = finrank K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
this : finrank K { x // x ∈ range f } + finrank K { x // x ∈ ker f } = finrank K V
⊢ Injective ↑f ↔ Surjective ↑f
rw [← ker_eq_bot, ← range_eq_top]
case refine'_1
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : FiniteDimensional K V₂
H : finrank K V = finrank K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
this : finrank K { x // x ∈ range f } + finrank K { x // x ∈ ker f } = finrank K V
h : ker f = ⊥
⊢ range f = ⊤

case refine'_2
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : FiniteDimensional K V₂
H : finrank K V = finrank K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
this : finrank K { x // x ∈ range f } + finrank K { x // x ∈ ker f } = finrank K V
h : range f = ⊤
⊢ ker f = ⊥
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : FiniteDimensional K V₂
H : finrank K V = finrank K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
this : finrank K { x // x ∈ range f } + finrank K { x // x ∈ ker f } = finrank K V
⊢ ker f = ⊥ ↔ range f = ⊤
refine' ⟨fun h => _, fun h => _⟩
case refine'_1
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : FiniteDimensional K V₂
H : finrank K V = finrank K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
this : finrank K { x // x ∈ range f } = finrank K V₂
h : ker f = ⊥
⊢ range f = ⊤
case refine'_1
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : FiniteDimensional K V₂
H : finrank K V = finrank K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
this : finrank K { x // x ∈ range f } + finrank K { x // x ∈ ker f } = finrank K V
h : ker f = ⊥
⊢ range f = ⊤
rw [h, finrank_bot, add_zero, H] at this
no goals
case refine'_1
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : FiniteDimensional K V₂
H : finrank K V = finrank K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
this : finrank K { x // x ∈ range f } = finrank K V₂
h : ker f = ⊥
⊢ range f = ⊤
exact eq_top_of_finrank_eq this
case refine'_2
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : FiniteDimensional K V₂
H : finrank K V = finrank K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
this : finrank K V₂ + finrank K { x // x ∈ ker f } = finrank K V₂
h : range f = ⊤
⊢ ker f = ⊥
case refine'_2
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : FiniteDimensional K V₂
H : finrank K V = finrank K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
this : finrank K { x // x ∈ range f } + finrank K { x // x ∈ ker f } = finrank K V
h : range f = ⊤
⊢ ker f = ⊥
rw [h, finrank_top, H] at this
no goals
case refine'_2
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : FiniteDimensional K V₂
H : finrank K V = finrank K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
this : finrank K V₂ + finrank K { x // x ∈ ker f } = finrank K V₂
h : range f = ⊤
⊢ ker f = ⊥
exact finrank_eq_zero.1 (add_right_injective _ this)