α : Type u_1
E : Type ?u.1031162
F : Type u_2
G : Type ?u.1031168
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : F
hc_ne_zero : c ≠ 0
hq_ne_zero : q ≠ 0
⊢ (↑‖c‖₊ ^ q) ^ (1 / q) * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / q) = ↑‖c‖₊ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / q)

α : Type u_1
E : Type ?u.1031162
F : Type u_2
G : Type ?u.1031168
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : F
hc_ne_zero : c ≠ 0
hq_ne_zero : q ≠ 0
⊢ ↑‖c‖₊ ^ q ≠ ⊤
α : Type u_1
E : Type ?u.1031162
F : Type u_2
G : Type ?u.1031168
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : F
hc_ne_zero : c ≠ 0
hq_ne_zero : q ≠ 0
⊢ snorm' (fun x => c) q μ = ↑‖c‖₊ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / q)
rw [snorm', lintegral_const, ENNReal.mul_rpow_of_ne_top _ (measure_ne_top μ Set.univ)]
case e_a
α : Type u_1
E : Type ?u.1031162
F : Type u_2
G : Type ?u.1031168
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : F
hc_ne_zero : c ≠ 0
hq_ne_zero : q ≠ 0
⊢ (↑‖c‖₊ ^ q) ^ (1 / q) = ↑‖c‖₊
α : Type u_1
E : Type ?u.1031162
F : Type u_2
G : Type ?u.1031168
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : F
hc_ne_zero : c ≠ 0
hq_ne_zero : q ≠ 0
⊢ (↑‖c‖₊ ^ q) ^ (1 / q) * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / q) = ↑‖c‖₊ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / q)
congr
case e_a
α : Type u_1
E : Type ?u.1031162
F : Type u_2
G : Type ?u.1031168
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : F
hc_ne_zero : c ≠ 0
hq_ne_zero : q ≠ 0
⊢ ↑‖c‖₊ ^ (q * (1 / q)) = ↑‖c‖₊
case e_a
α : Type u_1
E : Type ?u.1031162
F : Type u_2
G : Type ?u.1031168
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : F
hc_ne_zero : c ≠ 0
hq_ne_zero : q ≠ 0
⊢ (↑‖c‖₊ ^ q) ^ (1 / q) = ↑‖c‖₊
rw [← ENNReal.rpow_mul]
case e_a
α : Type u_1
E : Type ?u.1031162
F : Type u_2
G : Type ?u.1031168
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : F
hc_ne_zero : c ≠ 0
hq_ne_zero : q ≠ 0
hp_cancel : q * (1 / q) = 1
⊢ ↑‖c‖₊ ^ (q * (1 / q)) = ↑‖c‖₊

case hp_cancel
α : Type u_1
E : Type ?u.1031162
F : Type u_2
G : Type ?u.1031168
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : F
hc_ne_zero : c ≠ 0
hq_ne_zero : q ≠ 0
⊢ q * (1 / q) = 1
case e_a
α : Type u_1
E : Type ?u.1031162
F : Type u_2
G : Type ?u.1031168
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : F
hc_ne_zero : c ≠ 0
hq_ne_zero : q ≠ 0
⊢ ↑‖c‖₊ ^ (q * (1 / q)) = ↑‖c‖₊
suffices hp_cancel : q * (1 / q) = 1
no goals
case hp_cancel
α : Type u_1
E : Type ?u.1031162
F : Type u_2
G : Type ?u.1031168
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : F
hc_ne_zero : c ≠ 0
hq_ne_zero : q ≠ 0
⊢ q * (1 / q) = 1
rw [one_div, mul_inv_cancel hq_ne_zero]
no goals
case e_a
α : Type u_1
E : Type ?u.1031162
F : Type u_2
G : Type ?u.1031168
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : F
hc_ne_zero : c ≠ 0
hq_ne_zero : q ≠ 0
hp_cancel : q * (1 / q) = 1
⊢ ↑‖c‖₊ ^ (q * (1 / q)) = ↑‖c‖₊
rw [hp_cancel, ENNReal.rpow_one]
α : Type u_1
E : Type ?u.1031162
F : Type u_2
G : Type ?u.1031168
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : F
hc_ne_zero : c ≠ 0
hq_ne_zero : q ≠ 0
⊢ (¬↑‖c‖₊ = 0 ∨ ¬q < 0) ∧ (¬↑‖c‖₊ = ⊤ ∨ ¬0 < q)
α : Type u_1
E : Type ?u.1031162
F : Type u_2
G : Type ?u.1031168
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : F
hc_ne_zero : c ≠ 0
hq_ne_zero : q ≠ 0
⊢ ↑‖c‖₊ ^ q ≠ ⊤
rw [Ne.def, ENNReal.rpow_eq_top_iff, not_or, not_and_or, not_and_or]
case left
α : Type u_1
E : Type ?u.1031162
F : Type u_2
G : Type ?u.1031168
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : F
hc_ne_zero : c ≠ 0
hq_ne_zero : q ≠ 0
⊢ ¬↑‖c‖₊ = 0 ∨ ¬q < 0

case right
α : Type u_1
E : Type ?u.1031162
F : Type u_2
G : Type ?u.1031168
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : F
hc_ne_zero : c ≠ 0
hq_ne_zero : q ≠ 0
⊢ ¬↑‖c‖₊ = ⊤ ∨ ¬0 < q
α : Type u_1
E : Type ?u.1031162
F : Type u_2
G : Type ?u.1031168
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : F
hc_ne_zero : c ≠ 0
hq_ne_zero : q ≠ 0
⊢ (¬↑‖c‖₊ = 0 ∨ ¬q < 0) ∧ (¬↑‖c‖₊ = ⊤ ∨ ¬0 < q)
constructor
case left.h
α : Type u_1
E : Type ?u.1031162
F : Type u_2
G : Type ?u.1031168
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : F
hc_ne_zero : c ≠ 0
hq_ne_zero : q ≠ 0
⊢ ¬↑‖c‖₊ = 0
case left
α : Type u_1
E : Type ?u.1031162
F : Type u_2
G : Type ?u.1031168
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : F
hc_ne_zero : c ≠ 0
hq_ne_zero : q ≠ 0
⊢ ¬↑‖c‖₊ = 0 ∨ ¬q < 0
left
no goals
case left.h
α : Type u_1
E : Type ?u.1031162
F : Type u_2
G : Type ?u.1031168
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : F
hc_ne_zero : c ≠ 0
hq_ne_zero : q ≠ 0
⊢ ¬↑‖c‖₊ = 0
rwa [ENNReal.coe_eq_zero, nnnorm_eq_zero]
no goals
case right
α : Type u_1
E : Type ?u.1031162
F : Type u_2
G : Type ?u.1031168
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : F
hc_ne_zero : c ≠ 0
hq_ne_zero : q ≠ 0
⊢ ¬↑‖c‖₊ = ⊤ ∨ ¬0 < q
exact Or.inl ENNReal.coe_ne_top