ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π✝ π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
π : Prepartition I
h : I ≤ J
⊢ Finset.biUnion (Finset.image (fun J' => ↑J ⊓ ↑J') π.boxes) Option.toFinset = π.boxes
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π✝ π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
π : Prepartition I
h : I ≤ J
⊢ (restrict π J).boxes = π.boxes
simp only [restrict, ofWithBot, eraseNone_eq_biUnion]
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π✝ π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
π : Prepartition I
h : I ≤ J
⊢ (Finset.biUnion π.boxes fun a => Option.toFinset (↑J ⊓ ↑a)) = π.boxes
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π✝ π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
π : Prepartition I
h : I ≤ J
⊢ Finset.biUnion (Finset.image (fun J' => ↑J ⊓ ↑J') π.boxes) Option.toFinset = π.boxes
refine' Finset.image_biUnion.trans _
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π✝ π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
π : Prepartition I
h : I ≤ J
⊢ ∀ (a : Box ι), a ∈ π.boxes → Option.toFinset (↑J ⊓ ↑a) = {a}
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π✝ π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
π : Prepartition I
h : I ≤ J
⊢ (Finset.biUnion π.boxes fun a => Option.toFinset (↑J ⊓ ↑a)) = π.boxes
refine' (Finset.biUnion_congr rfl _).trans Finset.biUnion_singleton_eq_self
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π✝ π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
π : Prepartition I
h : I ≤ J
J' : Box ι
hJ' : J' ∈ π.boxes
⊢ Option.toFinset (↑J ⊓ ↑J') = {J'}
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π✝ π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
π : Prepartition I
h : I ≤ J
⊢ ∀ (a : Box ι), a ∈ π.boxes → Option.toFinset (↑J ⊓ ↑a) = {a}
intro J' hJ'
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π✝ π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
π : Prepartition I
h : I ≤ J
J' : Box ι
hJ' : J' ∈ π.boxes
⊢ ↑J' ≤ ↑J
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π✝ π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
π : Prepartition I
h : I ≤ J
J' : Box ι
hJ' : J' ∈ π.boxes
⊢ Option.toFinset (↑J ⊓ ↑J') = {J'}
rw [inf_of_le_right, ← WithBot.some_eq_coe, Option.toFinset_some]
no goals
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π✝ π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
π : Prepartition I
h : I ≤ J
J' : Box ι
hJ' : J' ∈ π.boxes
⊢ ↑J' ≤ ↑J
exact WithBot.coe_le_coe.2 ((π.le_of_mem hJ').trans h)