ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)
x y : (i : ι) → β i
i : ι
a : β i
⊢ ↑toLex x < ↑toLex (update x i a) → x i < a
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)
x y : (i : ι) → β i
i : ι
a : β i
⊢ ↑toLex x < ↑toLex (update x i a) ↔ x i < a
refine' ⟨_, fun h => toLex_strictMono <| lt_update_self_iff.2 h⟩
case intro.intro
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)
x y : (i : ι) → β i
i : ι
a : β i
j : ι
hj : ∀ (j_1 : ι), (fun x x_1 => x < x_1) j_1 j → ↑toLex x j_1 = ↑toLex (update x i a) j_1
h : ↑toLex x j < ↑toLex (update x i a) j
⊢ x i < a
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)
x y : (i : ι) → β i
i : ι
a : β i
⊢ ↑toLex x < ↑toLex (update x i a) → x i < a
rintro ⟨j, hj, h⟩
case intro.intro
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)
x y : (i : ι) → β i
i : ι
a : β i
j : ι
hj : ∀ (j_1 : ι), (fun x x_1 => x < x_1) j_1 j → ↑toLex x j_1 = ↑toLex (update x i a) j_1
h : x j < update x i a j
⊢ x i < a
case intro.intro
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)
x y : (i : ι) → β i
i : ι
a : β i
j : ι
hj : ∀ (j_1 : ι), (fun x x_1 => x < x_1) j_1 j → ↑toLex x j_1 = ↑toLex (update x i a) j_1
h : ↑toLex x j < ↑toLex (update x i a) j
⊢ x i < a
dsimp at h
case intro.intro
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)
x y : (i : ι) → β i
j : ι
a : β j
hj : ∀ (j_1 : ι), (fun x x_1 => x < x_1) j_1 j → ↑toLex x j_1 = ↑toLex (update x j a) j_1
h : x j < update x j a j
⊢ x j < a
case intro.intro
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)
x y : (i : ι) → β i
i : ι
a : β i
j : ι
hj : ∀ (j_1 : ι), (fun x x_1 => x < x_1) j_1 j → ↑toLex x j_1 = ↑toLex (update x i a) j_1
h : x j < update x i a j
⊢ x i < a
obtain rfl : j = i := by
  by_contra H
  rw [update_noteq H] at h
  exact h.false
no goals
case intro.intro
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)
x y : (i : ι) → β i
j : ι
a : β j
hj : ∀ (j_1 : ι), (fun x x_1 => x < x_1) j_1 j → ↑toLex x j_1 = ↑toLex (update x j a) j_1
h : x j < update x j a j
⊢ x j < a
rwa [update_same] at h
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)
x y : (i : ι) → β i
i : ι
a : β i
j : ι
hj : ∀ (j_1 : ι), (fun x x_1 => x < x_1) j_1 j → ↑toLex x j_1 = ↑toLex (update x i a) j_1
h : x j < update x i a j
H : ¬j = i
⊢ False
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)
x y : (i : ι) → β i
i : ι
a : β i
j : ι
hj : ∀ (j_1 : ι), (fun x x_1 => x < x_1) j_1 j → ↑toLex x j_1 = ↑toLex (update x i a) j_1
h : x j < update x i a j
⊢ j = i
by_contra H
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)
x y : (i : ι) → β i
i : ι
a : β i
j : ι
hj : ∀ (j_1 : ι), (fun x x_1 => x < x_1) j_1 j → ↑toLex x j_1 = ↑toLex (update x i a) j_1
h : x j < x j
H : ¬j = i
⊢ False
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)
x y : (i : ι) → β i
i : ι
a : β i
j : ι
hj : ∀ (j_1 : ι), (fun x x_1 => x < x_1) j_1 j → ↑toLex x j_1 = ↑toLex (update x i a) j_1
h : x j < update x i a j
H : ¬j = i
⊢ False
rw [update_noteq H] at h
no goals
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)
x y : (i : ι) → β i
i : ι
a : β i
j : ι
hj : ∀ (j_1 : ι), (fun x x_1 => x < x_1) j_1 j → ↑toLex x j_1 = ↑toLex (update x i a) j_1
h : x j < x j
H : ¬j = i
⊢ False
exact h.false