case zero
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁷ : Fintype ι
inst✝¹⁶ : Fintype ι'
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁹ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝² : NormOneClass A
Ei : Fin (Nat.succ Nat.zero) → Type wEi
inst✝¹ : (i : Fin (Nat.succ Nat.zero)) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝ : (i : Fin (Nat.succ Nat.zero)) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
⊢ ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 Nat.zero A‖ = 1

case succ
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁷ : Fintype ι
inst✝¹⁶ : Fintype ι'
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁹ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝² : NormOneClass A
n✝ : ℕ
Ei : Fin (Nat.succ (Nat.succ n✝)) → Type wEi
inst✝¹ : (i : Fin (Nat.succ (Nat.succ n✝))) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝ : (i : Fin (Nat.succ (Nat.succ n✝))) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
⊢ ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 (Nat.succ n✝) A‖ = 1
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin (Nat.succ n) → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁷ : Fintype ι
inst✝¹⁶ : Fintype ι'
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁹ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁸ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁷ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : NormOneClass A
⊢ ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 n A‖ = 1
cases n
case zero
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁷ : Fintype ι
inst✝¹⁶ : Fintype ι'
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁹ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝² : NormOneClass A
Ei : Fin (Nat.succ Nat.zero) → Type wEi
inst✝¹ : (i : Fin (Nat.succ Nat.zero)) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝ : (i : Fin (Nat.succ Nat.zero)) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
⊢ ‖1‖ = 1
case zero
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁷ : Fintype ι
inst✝¹⁶ : Fintype ι'
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁹ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝² : NormOneClass A
Ei : Fin (Nat.succ Nat.zero) → Type wEi
inst✝¹ : (i : Fin (Nat.succ Nat.zero)) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝ : (i : Fin (Nat.succ Nat.zero)) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
⊢ ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 Nat.zero A‖ = 1
rw [norm_mkPiAlgebraFin_zero]
no goals
case zero
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁷ : Fintype ι
inst✝¹⁶ : Fintype ι'
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁹ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝² : NormOneClass A
Ei : Fin (Nat.succ Nat.zero) → Type wEi
inst✝¹ : (i : Fin (Nat.succ Nat.zero)) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝ : (i : Fin (Nat.succ Nat.zero)) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
⊢ ‖1‖ = 1
simp
case succ
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁷ : Fintype ι
inst✝¹⁶ : Fintype ι'
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁹ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝² : NormOneClass A
n✝ : ℕ
Ei : Fin (Nat.succ (Nat.succ n✝)) → Type wEi
inst✝¹ : (i : Fin (Nat.succ (Nat.succ n✝))) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝ : (i : Fin (Nat.succ (Nat.succ n✝))) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
⊢ 1 ≤ ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 (Nat.succ n✝) A‖
case succ
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁷ : Fintype ι
inst✝¹⁶ : Fintype ι'
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁹ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝² : NormOneClass A
n✝ : ℕ
Ei : Fin (Nat.succ (Nat.succ n✝)) → Type wEi
inst✝¹ : (i : Fin (Nat.succ (Nat.succ n✝))) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝ : (i : Fin (Nat.succ (Nat.succ n✝))) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
⊢ ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 (Nat.succ n✝) A‖ = 1
refine' le_antisymm norm_mkPiAlgebraFin_succ_le _
case h.e'_3
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁷ : Fintype ι
inst✝¹⁶ : Fintype ι'
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁹ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝² : NormOneClass A
n✝ : ℕ
Ei : Fin (Nat.succ (Nat.succ n✝)) → Type wEi
inst✝¹ : (i : Fin (Nat.succ (Nat.succ n✝))) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝ : (i : Fin (Nat.succ (Nat.succ n✝))) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
⊢ 1 = ‖↑(ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 (Nat.succ n✝) A) fun x => 1‖ / ∏ i : Fin (Nat.succ n✝), ‖1‖
case succ
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁷ : Fintype ι
inst✝¹⁶ : Fintype ι'
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁹ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝² : NormOneClass A
n✝ : ℕ
Ei : Fin (Nat.succ (Nat.succ n✝)) → Type wEi
inst✝¹ : (i : Fin (Nat.succ (Nat.succ n✝))) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝ : (i : Fin (Nat.succ (Nat.succ n✝))) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
⊢ 1 ≤ ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 (Nat.succ n✝) A‖
convert ratio_le_op_norm (ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 (Nat.succ _) A)
  fun _ => 1
no goals
case h.e'_3
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁷ : Fintype ι
inst✝¹⁶ : Fintype ι'
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁹ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝² : NormOneClass A
n✝ : ℕ
Ei : Fin (Nat.succ (Nat.succ n✝)) → Type wEi
inst✝¹ : (i : Fin (Nat.succ (Nat.succ n✝))) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝ : (i : Fin (Nat.succ (Nat.succ n✝))) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
⊢ 1 = ‖↑(ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 (Nat.succ n✝) A) fun x => 1‖ / ∏ i : Fin (Nat.succ n✝), ‖1‖
simp