α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s✝ t✝ : Multiset α
a : α
f : α → γ
g : β → γ
s : Multiset α
t : Multiset β
hs : Nodup s
ht : Nodup t
i : (a : α) → a ∈ s → β
hi : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), i a ha ∈ t
h : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a = g (i a ha)
i_inj : ∀ (a₁ a₂ : α) (ha₁ : a₁ ∈ s) (ha₂ : a₂ ∈ s), i a₁ ha₁ = i a₂ ha₂ → a₁ = a₂
i_surj : ∀ (b : β), b ∈ t → ∃ a ha, b = i a ha
x : β
⊢ x ∈ t ↔ ∃ a h, x = i a (_ : ↑{ val := a, property := (_ : a ∈ s) } ∈ s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s✝ t✝ : Multiset α
a : α
f : α → γ
g : β → γ
s : Multiset α
t : Multiset β
hs : Nodup s
ht : Nodup t
i : (a : α) → a ∈ s → β
hi : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), i a ha ∈ t
h : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a = g (i a ha)
i_inj : ∀ (a₁ a₂ : α) (ha₁ : a₁ ∈ s) (ha₂ : a₂ ∈ s), i a₁ ha₁ = i a₂ ha₂ → a₁ = a₂
i_surj : ∀ (b : β), b ∈ t → ∃ a ha, b = i a ha
x : β
⊢ x ∈ t ↔ x ∈ map (fun x => i ↑x (_ : ↑x ∈ s)) (attach s)
simp only [mem_map, true_and_iff, Subtype.exists, eq_comm, mem_attach]
no goals
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s✝ t✝ : Multiset α
a : α
f : α → γ
g : β → γ
s : Multiset α
t : Multiset β
hs : Nodup s
ht : Nodup t
i : (a : α) → a ∈ s → β
hi : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), i a ha ∈ t
h : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a = g (i a ha)
i_inj : ∀ (a₁ a₂ : α) (ha₁ : a₁ ∈ s) (ha₂ : a₂ ∈ s), i a₁ ha₁ = i a₂ ha₂ → a₁ = a₂
i_surj : ∀ (b : β), b ∈ t → ∃ a ha, b = i a ha
x : β
⊢ x ∈ t ↔ ∃ a h, x = i a (_ : ↑{ val := a, property := (_ : a ∈ s) } ∈ s)
exact ⟨i_surj _, fun ⟨y, hy⟩ => hy.snd.symm ▸ hi _ _⟩
no goals
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s✝ t✝ : Multiset α
a : α
f : α → γ
g : β → γ
s : Multiset α
t : Multiset β
hs : Nodup s
ht : Nodup t
i : (a : α) → a ∈ s → β
hi : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), i a ha ∈ t
h : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a = g (i a ha)
i_inj : ∀ (a₁ a₂ : α) (ha₁ : a₁ ∈ s) (ha₂ : a₂ ∈ s), i a₁ ha₁ = i a₂ ha₂ → a₁ = a₂
i_surj : ∀ (b : β), b ∈ t → ∃ a ha, b = i a ha
this : t = map (fun x => i ↑x (_ : ↑x ∈ s)) (attach s)
⊢ map f s = pmap (fun x x_1 => f x) s (_ : ∀ (x : α), x ∈ s → x ∈ s)
rw [pmap_eq_map]
no goals
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s✝ t✝ : Multiset α
a : α
f : α → γ
g : β → γ
s : Multiset α
t : Multiset β
hs : Nodup s
ht : Nodup t
i : (a : α) → a ∈ s → β
hi : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), i a ha ∈ t
h : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a = g (i a ha)
i_inj : ∀ (a₁ a₂ : α) (ha₁ : a₁ ∈ s) (ha₂ : a₂ ∈ s), i a₁ ha₁ = i a₂ ha₂ → a₁ = a₂
i_surj : ∀ (b : β), b ∈ t → ∃ a ha, b = i a ha
this : t = map (fun x => i ↑x (_ : ↑x ∈ s)) (attach s)
⊢ pmap (fun x x_1 => f x) s (_ : ∀ (x : α), x ∈ s → x ∈ s) = map (fun x => f ↑x) (attach s)
rw [pmap_eq_map_attach]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s✝ t✝ : Multiset α
a : α
f : α → γ
g : β → γ
s : Multiset α
t : Multiset β
hs : Nodup s
ht : Nodup t
i : (a : α) → a ∈ s → β
hi : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), i a ha ∈ t
h : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a = g (i a ha)
i_inj : ∀ (a₁ a₂ : α) (ha₁ : a₁ ∈ s) (ha₂ : a₂ ∈ s), i a₁ ha₁ = i a₂ ha₂ → a₁ = a₂
i_surj : ∀ (b : β), b ∈ t → ∃ a ha, b = i a ha
this : t = map (fun x => i ↑x (_ : ↑x ∈ s)) (attach s)
⊢ map (fun x => f ↑x) (attach s) = map (g ∘ fun x => i ↑x (_ : ↑x ∈ s)) (attach s)
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s✝ t✝ : Multiset α
a : α
f : α → γ
g : β → γ
s : Multiset α
t : Multiset β
hs : Nodup s
ht : Nodup t
i : (a : α) → a ∈ s → β
hi : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), i a ha ∈ t
h : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a = g (i a ha)
i_inj : ∀ (a₁ a₂ : α) (ha₁ : a₁ ∈ s) (ha₂ : a₂ ∈ s), i a₁ ha₁ = i a₂ ha₂ → a₁ = a₂
i_surj : ∀ (b : β), b ∈ t → ∃ a ha, b = i a ha
this : t = map (fun x => i ↑x (_ : ↑x ∈ s)) (attach s)
⊢ map (fun x => f ↑x) (attach s) = map g t
rw [this, Multiset.map_map]
no goals
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s✝ t✝ : Multiset α
a : α
f : α → γ
g : β → γ
s : Multiset α
t : Multiset β
hs : Nodup s
ht : Nodup t
i : (a : α) → a ∈ s → β
hi : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), i a ha ∈ t
h : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a = g (i a ha)
i_inj : ∀ (a₁ a₂ : α) (ha₁ : a₁ ∈ s) (ha₂ : a₂ ∈ s), i a₁ ha₁ = i a₂ ha₂ → a₁ = a₂
i_surj : ∀ (b : β), b ∈ t → ∃ a ha, b = i a ha
this : t = map (fun x => i ↑x (_ : ↑x ∈ s)) (attach s)
⊢ map (fun x => f ↑x) (attach s) = map (g ∘ fun x => i ↑x (_ : ↑x ∈ s)) (attach s)
exact map_congr rfl fun x _ => h _ _