case zero
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f1 f2 : CauSeq β abv
hf : f1 ≈ f2
⊢ f1 ^ Nat.zero ≈ f2 ^ Nat.zero

case succ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f1 f2 : CauSeq β abv
hf : f1 ≈ f2
n : ℕ
ih : f1 ^ n ≈ f2 ^ n
⊢ f1 ^ Nat.succ n ≈ f2 ^ Nat.succ n
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f1 f2 : CauSeq β abv
hf : f1 ≈ f2
n : ℕ
⊢ f1 ^ n ≈ f2 ^ n
induction' n with n ih
no goals
case zero
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f1 f2 : CauSeq β abv
hf : f1 ≈ f2
⊢ f1 ^ Nat.zero ≈ f2 ^ Nat.zero
simp only [Nat.zero_eq, pow_zero, Setoid.refl]
no goals
case succ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f1 f2 : CauSeq β abv
hf : f1 ≈ f2
n : ℕ
ih : f1 ^ n ≈ f2 ^ n
⊢ f1 ^ Nat.succ n ≈ f2 ^ Nat.succ n
simpa only [pow_succ] using mul_equiv_mul hf ih