case zero
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x : ℕ
⊢ ↑x = mk K p (Nat.zero, ↑x)

case succ
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x n : ℕ
ih : ↑x = mk K p (n, ↑x)
⊢ ↑x = mk K p (Nat.succ n, ↑x)
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
n x : ℕ
⊢ ↑x = mk K p (n, ↑x)
induction' n with n ih
case succ
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x n : ℕ
ih : ↑x = mk K p (n, ↑x)
⊢ mk K p (n, ↑x) = mk K p (Nat.succ n, ↑x)
case succ
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x n : ℕ
ih : ↑x = mk K p (n, ↑x)
⊢ ↑x = mk K p (Nat.succ n, ↑x)
rw [ih]
case succ.a
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x n : ℕ
ih : ↑x = mk K p (n, ↑x)
⊢ R K p (n, ↑x) (Nat.succ n, ↑x)
case succ
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x n : ℕ
ih : ↑x = mk K p (n, ↑x)
⊢ mk K p (n, ↑x) = mk K p (Nat.succ n, ↑x)
apply Quot.sound
case succ.a
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x n : ℕ
ih : ↑x = mk K p (n, ↑x)
⊢ R K p (n, ↑x) (Nat.succ n, ↑(frobenius K p) ↑x)
case succ.a
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x n : ℕ
ih : ↑x = mk K p (n, ↑x)
⊢ R K p (n, ↑x) (Nat.succ n, ↑x)
suffices R K p (n, (x : K)) (Nat.succ n, frobenius K p (x : K)) by
  rwa [frobenius_nat_cast K p x] at this
no goals
case succ.a
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x n : ℕ
ih : ↑x = mk K p (n, ↑x)
⊢ R K p (n, ↑x) (Nat.succ n, ↑(frobenius K p) ↑x)
apply R.intro
case zero.zero
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
⊢ ↑Nat.zero = mk K p (Nat.zero, ↑Nat.zero)

case zero.succ
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x : ℕ
ih : ↑x = mk K p (Nat.zero, ↑x)
⊢ ↑(Nat.succ x) = mk K p (Nat.zero, ↑(Nat.succ x))
case zero
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x : ℕ
⊢ ↑x = mk K p (Nat.zero, ↑x)
induction' x with x ih
case zero.succ
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x : ℕ
ih : ↑x = mk K p (Nat.zero, ↑x)
⊢ mk K p (Nat.zero, ↑x) + 1 = mk K p (Nat.zero, ↑x + 1)
case zero.succ
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x : ℕ
ih : ↑x = mk K p (Nat.zero, ↑x)
⊢ ↑(Nat.succ x) = mk K p (Nat.zero, ↑(Nat.succ x))
rw [Nat.cast_succ, Nat.cast_succ, ih]
no goals
case zero.succ
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x : ℕ
ih : ↑x = mk K p (Nat.zero, ↑x)
⊢ mk K p (Nat.zero, ↑x) + 1 = mk K p (Nat.zero, ↑x + 1)
rfl
no goals
case zero.zero
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
⊢ ↑Nat.zero = mk K p (Nat.zero, ↑Nat.zero)
simp
no goals
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x n : ℕ
ih : ↑x = mk K p (n, ↑x)
this : R K p (n, ↑x) (Nat.succ n, ↑(frobenius K p) ↑x)
⊢ R K p (n, ↑x) (Nat.succ n, ↑x)
rwa [frobenius_nat_cast K p x] at this