α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace α E
F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
c : α
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
xεpos : 0 < ‖x‖ / ε
⊢ ∃ n, c ^ n ≠ 0 ∧ ‖c ^ n • x‖ < ε ∧ ε / ‖c‖ ≤ ‖c ^ n • x‖ ∧ ‖c ^ n‖⁻¹ ≤ ε⁻¹ * ‖c‖ * ‖x‖
α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace α E
F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
c : α
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
⊢ ∃ n, c ^ n ≠ 0 ∧ ‖c ^ n • x‖ < ε ∧ ε / ‖c‖ ≤ ‖c ^ n • x‖ ∧ ‖c ^ n‖⁻¹ ≤ ε⁻¹ * ‖c‖ * ‖x‖
have xεpos : 0 < ‖x‖ / ε := div_pos ((Ne.symm hx).le_iff_lt.1 (norm_nonneg x)) εpos
case intro
α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace α E
F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
c : α
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
xεpos : 0 < ‖x‖ / ε
n : ℤ
hn : ‖x‖ / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
⊢ ∃ n, c ^ n ≠ 0 ∧ ‖c ^ n • x‖ < ε ∧ ε / ‖c‖ ≤ ‖c ^ n • x‖ ∧ ‖c ^ n‖⁻¹ ≤ ε⁻¹ * ‖c‖ * ‖x‖
α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace α E
F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
c : α
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
xεpos : 0 < ‖x‖ / ε
⊢ ∃ n, c ^ n ≠ 0 ∧ ‖c ^ n • x‖ < ε ∧ ε / ‖c‖ ≤ ‖c ^ n • x‖ ∧ ‖c ^ n‖⁻¹ ≤ ε⁻¹ * ‖c‖ * ‖x‖
rcases exists_mem_Ico_zpow xεpos hc with ⟨n, hn⟩
case intro
α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace α E
F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
c : α
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
xεpos : 0 < ‖x‖ / ε
n : ℤ
hn : ‖x‖ / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
⊢ ∃ n, c ^ n ≠ 0 ∧ ‖c ^ n • x‖ < ε ∧ ε / ‖c‖ ≤ ‖c ^ n • x‖ ∧ ‖c ^ n‖⁻¹ ≤ ε⁻¹ * ‖c‖ * ‖x‖
case intro
α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace α E
F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
c : α
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
xεpos : 0 < ‖x‖ / ε
n : ℤ
hn : ‖x‖ / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
⊢ ∃ n, c ^ n ≠ 0 ∧ ‖c ^ n • x‖ < ε ∧ ε / ‖c‖ ≤ ‖c ^ n • x‖ ∧ ‖c ^ n‖⁻¹ ≤ ε⁻¹ * ‖c‖ * ‖x‖
have cpos : 0 < ‖c‖ := lt_trans (zero_lt_one : (0 : ℝ) < 1) hc
case intro
α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace α E
F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
c : α
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
xεpos : 0 < ‖x‖ / ε
n : ℤ
hn : ‖x‖ / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ ∃ n, c ^ n ≠ 0 ∧ ‖c ^ n • x‖ < ε ∧ ε / ‖c‖ ≤ ‖c ^ n • x‖ ∧ ‖c ^ n‖⁻¹ ≤ ε⁻¹ * ‖c‖ * ‖x‖
case intro
α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace α E
F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
c : α
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
xεpos : 0 < ‖x‖ / ε
n : ℤ
hn : ‖x‖ / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
⊢ ∃ n, c ^ n ≠ 0 ∧ ‖c ^ n • x‖ < ε ∧ ε / ‖c‖ ≤ ‖c ^ n • x‖ ∧ ‖c ^ n‖⁻¹ ≤ ε⁻¹ * ‖c‖ * ‖x‖
have cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖ := by
  rw [norm_zpow]
  exact lt_trans xεpos hn.2
case intro.refine'_1
α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace α E
F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
c : α
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
xεpos : 0 < ‖x‖ / ε
n : ℤ
hn : ‖x‖ / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ c ^ (-(n + 1)) ≠ 0

case intro.refine'_2
α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace α E
F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
c : α
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
xεpos : 0 < ‖x‖ / ε
n : ℤ
hn : ‖x‖ / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ ‖c ^ (-(n + 1)) • x‖ < ε

case intro.refine'_3
α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace α E
F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
c : α
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
xεpos : 0 < ‖x‖ / ε
n : ℤ
hn : ‖x‖ / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ ε / ‖c‖ ≤ ‖c ^ (-(n + 1)) • x‖

case intro.refine'_4
α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace α E
F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
c : α
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
xεpos : 0 < ‖x‖ / ε
n : ℤ
hn : ‖x‖ / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ ‖c ^ (-(n + 1))‖⁻¹ ≤ ε⁻¹ * ‖c‖ * ‖x‖
case intro
α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace α E
F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
c : α
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
xεpos : 0 < ‖x‖ / ε
n : ℤ
hn : ‖x‖ / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ ∃ n, c ^ n ≠ 0 ∧ ‖c ^ n • x‖ < ε ∧ ε / ‖c‖ ≤ ‖c ^ n • x‖ ∧ ‖c ^ n‖⁻¹ ≤ ε⁻¹ * ‖c‖ * ‖x‖
refine' ⟨-(n + 1), _, _, _, _⟩
case intro.refine'_1
α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace α E
F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
c : α
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
xεpos : 0 < ‖x‖ / ε
n : ℤ
hn : ‖x‖ / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ c ^ (-(n + 1)) ≠ 0

case intro.refine'_2
α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace α E
F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
c : α
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
xεpos : 0 < ‖x‖ / ε
n : ℤ
hn : ‖x‖ / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ ‖c ^ (-(n + 1)) • x‖ < ε

case intro.refine'_3
α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace α E
F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
c : α
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
xεpos : 0 < ‖x‖ / ε
n : ℤ
hn : ‖x‖ / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ ε / ‖c‖ ≤ ‖c ^ (-(n + 1)) • x‖

case intro.refine'_4
α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace α E
F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
c : α
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
xεpos : 0 < ‖x‖ / ε
n : ℤ
hn : ‖x‖ / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ ‖c ^ (-(n + 1))‖⁻¹ ≤ ε⁻¹ * ‖c‖ * ‖x‖
case intro.refine'_1
α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace α E
F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
c : α
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
xεpos : 0 < ‖x‖ / ε
n : ℤ
hn : ‖x‖ / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ c ^ (-(n + 1)) ≠ 0

case intro.refine'_2
α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace α E
F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
c : α
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
xεpos : 0 < ‖x‖ / ε
n : ℤ
hn : ‖x‖ / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ ‖c ^ (-(n + 1)) • x‖ < ε

case intro.refine'_3
α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace α E
F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
c : α
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
xεpos : 0 < ‖x‖ / ε
n : ℤ
hn : ‖x‖ / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ ε / ‖c‖ ≤ ‖c ^ (-(n + 1)) • x‖

case intro.refine'_4
α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace α E
F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
c : α
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
xεpos : 0 < ‖x‖ / ε
n : ℤ
hn : ‖x‖ / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ ‖c ^ (-(n + 1))‖⁻¹ ≤ ε⁻¹ * ‖c‖ * ‖x‖
show c ^ (-(n + 1)) ≠ 0
case intro.refine'_2
α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace α E
F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
c : α
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
xεpos : 0 < ‖x‖ / ε
n : ℤ
hn : ‖x‖ / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ ‖c ^ (-(n + 1)) • x‖ < ε

case intro.refine'_3
α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace α E
F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
c : α
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
xεpos : 0 < ‖x‖ / ε
n : ℤ
hn : ‖x‖ / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ ε / ‖c‖ ≤ ‖c ^ (-(n + 1)) • x‖

case intro.refine'_4
α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace α E
F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
c : α
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
xεpos : 0 < ‖x‖ / ε
n : ℤ
hn : ‖x‖ / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ ‖c ^ (-(n + 1))‖⁻¹ ≤ ε⁻¹ * ‖c‖ * ‖x‖
case intro.refine'_1
α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace α E
F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
c : α
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
xεpos : 0 < ‖x‖ / ε
n : ℤ
hn : ‖x‖ / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ c ^ (-(n + 1)) ≠ 0

case intro.refine'_2
α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace α E
F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
c : α
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
xεpos : 0 < ‖x‖ / ε
n : ℤ
hn : ‖x‖ / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ ‖c ^ (-(n + 1)) • x‖ < ε

case intro.refine'_3
α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace α E
F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
c : α
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
xεpos : 0 < ‖x‖ / ε
n : ℤ
hn : ‖x‖ / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ ε / ‖c‖ ≤ ‖c ^ (-(n + 1)) • x‖

case intro.refine'_4
α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace α E
F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
c : α
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
xεpos : 0 < ‖x‖ / ε
n : ℤ
hn : ‖x‖ / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ ‖c ^ (-(n + 1))‖⁻¹ ≤ ε⁻¹ * ‖c‖ * ‖x‖
exact zpow_ne_zero _ (norm_pos_iff.1 cpos)
case intro.refine'_2
α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace α E
F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
c : α
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
xεpos : 0 < ‖x‖ / ε
n : ℤ
hn : ‖x‖ / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ ‖c ^ (-(n + 1)) • x‖ < ε

case intro.refine'_3
α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace α E
F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
c : α
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
xεpos : 0 < ‖x‖ / ε
n : ℤ
hn : ‖x‖ / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ ε / ‖c‖ ≤ ‖c ^ (-(n + 1)) • x‖

case intro.refine'_4
α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace α E
F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
c : α
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
xεpos : 0 < ‖x‖ / ε
n : ℤ
hn : ‖x‖ / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ ‖c ^ (-(n + 1))‖⁻¹ ≤ ε⁻¹ * ‖c‖ * ‖x‖
case intro.refine'_2
α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace α E
F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
c : α
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
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n : ℤ
hn : ‖x‖ / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ ‖c ^ (-(n + 1)) • x‖ < ε

case intro.refine'_3
α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
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F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
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ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
xεpos : 0 < ‖x‖ / ε
n : ℤ
hn : ‖x‖ / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ ε / ‖c‖ ≤ ‖c ^ (-(n + 1)) • x‖

case intro.refine'_4
α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace α E
F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
c : α
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
xεpos : 0 < ‖x‖ / ε
n : ℤ
hn : ‖x‖ / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ ‖c ^ (-(n + 1))‖⁻¹ ≤ ε⁻¹ * ‖c‖ * ‖x‖
show ‖c ^ (-(n + 1)) • x‖ < ε
case intro.refine'_3
α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace α E
F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
c : α
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
xεpos : 0 < ‖x‖ / ε
n : ℤ
hn : ‖x‖ / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ ε / ‖c‖ ≤ ‖c ^ (-(n + 1)) • x‖

case intro.refine'_4
α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace α E
F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
c : α
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
xεpos : 0 < ‖x‖ / ε
n : ℤ
hn : ‖x‖ / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ ‖c ^ (-(n + 1))‖⁻¹ ≤ ε⁻¹ * ‖c‖ * ‖x‖
case intro.refine'_3
α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace α E
F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
c : α
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
xεpos : 0 < ‖x‖ / ε
n : ℤ
hn : ‖x‖ / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ ε / ‖c‖ ≤ ‖c ^ (-(n + 1)) • x‖

case intro.refine'_4
α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace α E
F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
c : α
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
xεpos : 0 < ‖x‖ / ε
n : ℤ
hn : ‖x‖ / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ ‖c ^ (-(n + 1))‖⁻¹ ≤ ε⁻¹ * ‖c‖ * ‖x‖
show ε / ‖c‖ ≤ ‖c ^ (-(n + 1)) • x‖
case intro.refine'_4
α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace α E
F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
c : α
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
xεpos : 0 < ‖x‖ / ε
n : ℤ
hn : ‖x‖ / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ ‖c ^ (-(n + 1))‖⁻¹ ≤ ε⁻¹ * ‖c‖ * ‖x‖
case intro.refine'_4
α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace α E
F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
c : α
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
xεpos : 0 < ‖x‖ / ε
n : ℤ
hn : ‖x‖ / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ ‖c ^ (-(n + 1))‖⁻¹ ≤ ε⁻¹ * ‖c‖ * ‖x‖
show ‖c ^ (-(n + 1))‖⁻¹ ≤ ε⁻¹ * ‖c‖ * ‖x‖
α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace α E
F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
c : α
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
xεpos : 0 < ‖x‖ / ε
n : ℤ
hn : ‖x‖ / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
⊢ 0 < ‖c‖ ^ (n + 1)
α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace α E
F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
c : α
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
xεpos : 0 < ‖x‖ / ε
n : ℤ
hn : ‖x‖ / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
⊢ 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
rw [norm_zpow]
no goals
α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace α E
F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
c : α
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
xεpos : 0 < ‖x‖ / ε
n : ℤ
hn : ‖x‖ / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
⊢ 0 < ‖c‖ ^ (n + 1)
exact lt_trans xεpos hn.2
case intro.refine'_2
α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace α E
F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
c : α
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
xεpos : 0 < ‖x‖ / ε
n : ℤ
hn : ‖x‖ / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ ‖x‖ < ‖c‖ ^ (n + 1) * ε
case intro.refine'_2
α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace α E
F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
c : α
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
xεpos : 0 < ‖x‖ / ε
n : ℤ
hn : ‖x‖ / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ ‖c ^ (-(n + 1)) • x‖ < ε
rw [norm_smul, zpow_neg, norm_inv, ← _root_.div_eq_inv_mul, div_lt_iff cnpos, mul_comm,
  norm_zpow]
no goals
case intro.refine'_2
α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace α E
F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
c : α
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
xεpos : 0 < ‖x‖ / ε
n : ℤ
hn : ‖x‖ / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ ‖x‖ < ‖c‖ ^ (n + 1) * ε
exact (div_lt_iff εpos).1 hn.2
case intro.refine'_3
α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace α E
F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
c : α
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
xεpos : 0 < ‖x‖ / ε
n : ℤ
hn : ‖x‖ / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ ‖c‖ ^ n * ε ≤ ‖x‖
case intro.refine'_3
α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace α E
F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
c : α
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
xεpos : 0 < ‖x‖ / ε
n : ℤ
hn : ‖x‖ / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ ε / ‖c‖ ≤ ‖c ^ (-(n + 1)) • x‖
rw [zpow_neg, div_le_iff cpos, norm_smul, norm_inv, norm_zpow, zpow_add₀ (ne_of_gt cpos),
  zpow_one, mul_inv_rev, mul_comm, ← mul_assoc, ← mul_assoc, mul_inv_cancel (ne_of_gt cpos),
  one_mul, ← _root_.div_eq_inv_mul, le_div_iff (zpow_pos_of_pos cpos _), mul_comm]
no goals
case intro.refine'_3
α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace α E
F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
c : α
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
xεpos : 0 < ‖x‖ / ε
n : ℤ
hn : ‖x‖ / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ ‖c‖ ^ n * ε ≤ ‖x‖
exact (le_div_iff εpos).1 hn.1
case intro.refine'_4
α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace α E
F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
c : α
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
xεpos : 0 < ‖x‖ / ε
n : ℤ
hn : ‖x‖ / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ ‖c‖ ^ n * ‖c‖ ≤ ‖x‖ / ε * ‖c‖
case intro.refine'_4
α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace α E
F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
c : α
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
xεpos : 0 < ‖x‖ / ε
n : ℤ
hn : ‖x‖ / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ ‖c ^ (-(n + 1))‖⁻¹ ≤ ε⁻¹ * ‖c‖ * ‖x‖
rw [zpow_neg, norm_inv, inv_inv, norm_zpow, zpow_add₀ cpos.ne', zpow_one, mul_right_comm, ←
  _root_.div_eq_inv_mul]
no goals
case intro.refine'_4
α : Type u_1
β : Type ?u.220958
γ : Type ?u.220961
ι : Type ?u.220964
inst✝⁵ : NormedField α
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup β
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace α E
F : Type ?u.220995
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace α F
c : α
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
xεpos : 0 < ‖x‖ / ε
n : ℤ
hn : ‖x‖ / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ ‖c‖ ^ n * ‖c‖ ≤ ‖x‖ / ε * ‖c‖
exact mul_le_mul_of_nonneg_right hn.1 (norm_nonneg _)