α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.410940
G : Type ?u.410943
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : { x // x ∈ Lp E p }
hp : 0 < p
hf : ‖f‖₊ = 0
⊢ f = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.410940
G : Type ?u.410943
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : { x // x ∈ Lp E p }
hp : 0 < p
⊢ ‖f‖₊ = 0 ↔ f = 0
refine' ⟨fun hf => _, fun hf => by simp [hf]⟩
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.410940
G : Type ?u.410943
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : { x // x ∈ Lp E p }
hp : 0 < p
hf : snorm (↑↑f) p μ = 0 ∨ snorm (↑↑f) p μ = ⊤
⊢ f = 0
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.410940
G : Type ?u.410943
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : { x // x ∈ Lp E p }
hp : 0 < p
hf : ‖f‖₊ = 0
⊢ f = 0
rw [nnnorm_def, ENNReal.toNNReal_eq_zero_iff] at hf
no goals
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.410940
G : Type ?u.410943
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : { x // x ∈ Lp E p }
hp : 0 < p
hf : snorm (↑↑f) p μ = 0 ∨ snorm (↑↑f) p μ = ⊤
⊢ f = 0
cases hf with
| inl hf =>
  rw [snorm_eq_zero_iff (Lp.aestronglyMeasurable f) hp.ne.symm] at hf
  exact Subtype.eq (AEEqFun.ext (hf.trans AEEqFun.coeFn_zero.symm))
| inr hf =>
  exact absurd hf (snorm_ne_top f)
no goals
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.410940
G : Type ?u.410943
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : { x // x ∈ Lp E p }
hp : 0 < p
hf : f = 0
⊢ ‖f‖₊ = 0
simp [hf]
case inl
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.410940
G : Type ?u.410943
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : { x // x ∈ Lp E p }
hp : 0 < p
hf : ↑↑f =ᵐ[μ] 0
⊢ f = 0
case inl
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.410940
G : Type ?u.410943
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : { x // x ∈ Lp E p }
hp : 0 < p
hf : snorm (↑↑f) p μ = 0
⊢ f = 0
rw [snorm_eq_zero_iff (Lp.aestronglyMeasurable f) hp.ne.symm] at hf
no goals
case inl
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.410940
G : Type ?u.410943
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : { x // x ∈ Lp E p }
hp : 0 < p
hf : ↑↑f =ᵐ[μ] 0
⊢ f = 0
exact Subtype.eq (AEEqFun.ext (hf.trans AEEqFun.coeFn_zero.symm))
no goals
case inr
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.410940
G : Type ?u.410943
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : { x // x ∈ Lp E p }
hp : 0 < p
hf : snorm (↑↑f) p μ = ⊤
⊢ f = 0
exact absurd hf (snorm_ne_top f)