case h0
𝕜 : Type u_1
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.706460
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup X
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 X
s✝¹ s₁ t✝¹ u : Set E
f✝¹ f₁ : E → F
g✝¹ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Eu✝ : Type u
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Eu✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Eu✝
Fu✝ : Type u
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fu✝
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Fu✝
Gu✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Gu✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Gu✝
s✝ : Set Eu✝
t✝ : Set Fu✝
g✝ : Fu✝ → Gu✝
f✝ : Eu✝ → Fu✝
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n g✝ t✝
hf✝ : ContDiffOn 𝕜 n f✝ s✝
st✝ : s✝ ⊆ f✝ ⁻¹' t✝
Eu : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup Eu
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Eu
Fu : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
Gu : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
s : Set Eu
t : Set Fu
g : Fu → Gu
f : Eu → Fu
hg : ContDiffOn 𝕜 0 g t
hf : ContDiffOn 𝕜 0 f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t
⊢ ContDiffOn 𝕜 0 (g ∘ f) s

case hsuc
𝕜 : Type u_1
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.706460
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup X
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 X
s✝¹ s₁ t✝¹ u : Set E
f✝¹ f₁ : E → F
g✝¹ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Eu✝ : Type u
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Eu✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Eu✝
Fu✝ : Type u
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fu✝
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Fu✝
Gu✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Gu✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Gu✝
s✝ : Set Eu✝
t✝ : Set Fu✝
g✝ : Fu✝ → Gu✝
f✝ : Eu✝ → Fu✝
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ g✝ t✝
hf✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ f✝ s✝
st✝ : s✝ ⊆ f✝ ⁻¹' t✝
n : ℕ
IH :
  ∀ {Eu : Type u} [inst : NormedAddCommGroup Eu] [inst_1 : NormedSpace 𝕜 Eu] {Fu : Type u}
    [inst_2 : NormedAddCommGroup Fu] [inst_3 : NormedSpace 𝕜 Fu] {Gu : Type u} [inst_4 : NormedAddCommGroup Gu]
    [inst_5 : NormedSpace 𝕜 Gu] {s : Set Eu} {t : Set Fu} {g : Fu → Gu} {f : Eu → Fu},
    ContDiffOn 𝕜 (↑n) g t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s → s ⊆ f ⁻¹' t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (g ∘ f) s
Eu : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup Eu
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Eu
Fu : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
Gu : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
s : Set Eu
t : Set Fu
g : Fu → Gu
f : Eu → Fu
hg : ContDiffOn 𝕜 (↑(Nat.succ n)) g t
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑(Nat.succ n)) f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑(Nat.succ n)) (g ∘ f) s

case htop
𝕜 : Type u_1
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.706460
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup X
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 X
s✝¹ s₁ t✝¹ u : Set E
f✝¹ f₁ : E → F
g✝¹ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Eu✝ : Type u
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Eu✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Eu✝
Fu✝ : Type u
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fu✝
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Fu✝
Gu✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Gu✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Gu✝
s✝ : Set Eu✝
t✝ : Set Fu✝
g✝ : Fu✝ → Gu✝
f✝ : Eu✝ → Fu✝
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n g✝ t✝
hf✝ : ContDiffOn 𝕜 n f✝ s✝
st✝ : s✝ ⊆ f✝ ⁻¹' t✝
Itop :
  ∀ (n : ℕ) {Eu : Type u} [inst : NormedAddCommGroup Eu] [inst_1 : NormedSpace 𝕜 Eu] {Fu : Type u}
    [inst_2 : NormedAddCommGroup Fu] [inst_3 : NormedSpace 𝕜 Fu] {Gu : Type u} [inst_4 : NormedAddCommGroup Gu]
    [inst_5 : NormedSpace 𝕜 Gu] {s : Set Eu} {t : Set Fu} {g : Fu → Gu} {f : Eu → Fu},
    ContDiffOn 𝕜 (↑n) g t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s → s ⊆ f ⁻¹' t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (g ∘ f) s
Eu : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup Eu
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Eu
Fu : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
Gu : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
s : Set Eu
t : Set Fu
g : Fu → Gu
f : Eu → Fu
hg : ContDiffOn 𝕜 ⊤ g t
hf : ContDiffOn 𝕜 ⊤ f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t
⊢ ContDiffOn 𝕜 ⊤ (g ∘ f) s
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.706460
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Eu : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup Eu
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Eu
Fu : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
Gu : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
s : Set Eu
t : Set Fu
g : Fu → Gu
f : Eu → Fu
hg : ContDiffOn 𝕜 n g t
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (g ∘ f) s
induction' n using ENat.nat_induction with n IH Itop generalizing Eu Fu Gu
case h0
𝕜 : Type u_1
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.706460
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup X
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 X
s✝¹ s₁ t✝¹ u : Set E
f✝¹ f₁ : E → F
g✝¹ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Eu✝ : Type u
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Eu✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Eu✝
Fu✝ : Type u
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fu✝
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Fu✝
Gu✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Gu✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Gu✝
s✝ : Set Eu✝
t✝ : Set Fu✝
g✝ : Fu✝ → Gu✝
f✝ : Eu✝ → Fu✝
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n g✝ t✝
hf✝ : ContDiffOn 𝕜 n f✝ s✝
st✝ : s✝ ⊆ f✝ ⁻¹' t✝
Eu : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup Eu
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Eu
Fu : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
Gu : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
s : Set Eu
t : Set Fu
g : Fu → Gu
f : Eu → Fu
hg : ContinuousOn g t
hf : ContinuousOn f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t
⊢ ContinuousOn (g ∘ f) s
case h0
𝕜 : Type u_1
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.706460
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup X
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 X
s✝¹ s₁ t✝¹ u : Set E
f✝¹ f₁ : E → F
g✝¹ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Eu✝ : Type u
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Eu✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Eu✝
Fu✝ : Type u
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fu✝
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Fu✝
Gu✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Gu✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Gu✝
s✝ : Set Eu✝
t✝ : Set Fu✝
g✝ : Fu✝ → Gu✝
f✝ : Eu✝ → Fu✝
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n g✝ t✝
hf✝ : ContDiffOn 𝕜 n f✝ s✝
st✝ : s✝ ⊆ f✝ ⁻¹' t✝
Eu : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup Eu
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Eu
Fu : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
Gu : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
s : Set Eu
t : Set Fu
g : Fu → Gu
f : Eu → Fu
hg : ContDiffOn 𝕜 0 g t
hf : ContDiffOn 𝕜 0 f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t
⊢ ContDiffOn 𝕜 0 (g ∘ f) s
rw [contDiffOn_zero] at hf hg⊢
no goals
case h0
𝕜 : Type u_1
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.706460
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup X
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 X
s✝¹ s₁ t✝¹ u : Set E
f✝¹ f₁ : E → F
g✝¹ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Eu✝ : Type u
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Eu✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Eu✝
Fu✝ : Type u
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fu✝
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Fu✝
Gu✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Gu✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Gu✝
s✝ : Set Eu✝
t✝ : Set Fu✝
g✝ : Fu✝ → Gu✝
f✝ : Eu✝ → Fu✝
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n g✝ t✝
hf✝ : ContDiffOn 𝕜 n f✝ s✝
st✝ : s✝ ⊆ f✝ ⁻¹' t✝
Eu : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup Eu
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Eu
Fu : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
Gu : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
s : Set Eu
t : Set Fu
g : Fu → Gu
f : Eu → Fu
hg : ContinuousOn g t
hf : ContinuousOn f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t
⊢ ContinuousOn (g ∘ f) s
exact ContinuousOn.comp hg hf st
case hsuc
𝕜 : Type u_1
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.706460
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup X
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 X
s✝¹ s₁ t✝¹ u : Set E
f✝¹ f₁ : E → F
g✝¹ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Eu✝ : Type u
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Eu✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Eu✝
Fu✝ : Type u
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fu✝
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Fu✝
Gu✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Gu✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Gu✝
s✝ : Set Eu✝
t✝ : Set Fu✝
g✝ : Fu✝ → Gu✝
f✝ : Eu✝ → Fu✝
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ g✝ t✝
hf✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ f✝ s✝
st✝ : s✝ ⊆ f✝ ⁻¹' t✝
n : ℕ
IH :
  ∀ {Eu : Type u} [inst : NormedAddCommGroup Eu] [inst_1 : NormedSpace 𝕜 Eu] {Fu : Type u}
    [inst_2 : NormedAddCommGroup Fu] [inst_3 : NormedSpace 𝕜 Fu] {Gu : Type u} [inst_4 : NormedAddCommGroup Gu]
    [inst_5 : NormedSpace 𝕜 Gu] {s : Set Eu} {t : Set Fu} {g : Fu → Gu} {f : Eu → Fu},
    ContDiffOn 𝕜 (↑n) g t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s → s ⊆ f ⁻¹' t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (g ∘ f) s
Eu : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup Eu
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Eu
Fu : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
Gu : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
s : Set Eu
t : Set Fu
g : Fu → Gu
f : Eu → Fu
hg :
  ∀ (x : Fu),
    x ∈ t →
      ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x t] x ∧ ∃ f', (∀ (x : Fu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt g (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑(Nat.succ n)) f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t
⊢ ∀ (x : Eu),
    x ∈ s →
      ∃ u,
        u ∈ 𝓝[insert x s] x ∧ ∃ f', (∀ (x : Eu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt (g ∘ f) (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
case hsuc
𝕜 : Type u_1
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.706460
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup X
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 X
s✝¹ s₁ t✝¹ u : Set E
f✝¹ f₁ : E → F
g✝¹ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Eu✝ : Type u
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Eu✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Eu✝
Fu✝ : Type u
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fu✝
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Fu✝
Gu✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Gu✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Gu✝
s✝ : Set Eu✝
t✝ : Set Fu✝
g✝ : Fu✝ → Gu✝
f✝ : Eu✝ → Fu✝
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ g✝ t✝
hf✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ f✝ s✝
st✝ : s✝ ⊆ f✝ ⁻¹' t✝
n : ℕ
IH :
  ∀ {Eu : Type u} [inst : NormedAddCommGroup Eu] [inst_1 : NormedSpace 𝕜 Eu] {Fu : Type u}
    [inst_2 : NormedAddCommGroup Fu] [inst_3 : NormedSpace 𝕜 Fu] {Gu : Type u} [inst_4 : NormedAddCommGroup Gu]
    [inst_5 : NormedSpace 𝕜 Gu] {s : Set Eu} {t : Set Fu} {g : Fu → Gu} {f : Eu → Fu},
    ContDiffOn 𝕜 (↑n) g t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s → s ⊆ f ⁻¹' t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (g ∘ f) s
Eu : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup Eu
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Eu
Fu : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
Gu : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
s : Set Eu
t : Set Fu
g : Fu → Gu
f : Eu → Fu
hg : ContDiffOn 𝕜 (↑(Nat.succ n)) g t
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑(Nat.succ n)) f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑(Nat.succ n)) (g ∘ f) s
rw [contDiffOn_succ_iff_hasFDerivWithinAt] at hg ⊢
case hsuc
𝕜 : Type u_1
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.706460
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup X
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 X
s✝¹ s₁ t✝¹ u : Set E
f✝¹ f₁ : E → F
g✝¹ : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Eu✝ : Type u
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Eu✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Eu✝
Fu✝ : Type u
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fu✝
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Fu✝
Gu✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Gu✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Gu✝
s✝ : Set Eu✝
t✝ : Set Fu✝
g✝ : Fu✝ → Gu✝
f✝ : Eu✝ → Fu✝
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ g✝ t✝
hf✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ f✝ s✝
st✝ : s✝ ⊆ f✝ ⁻¹' t✝
n : ℕ
IH :
  ∀ {Eu : Type u} [inst : NormedAddCommGroup Eu] [inst_1 : NormedSpace 𝕜 Eu] {Fu : Type u}
    [inst_2 : NormedAddCommGroup Fu] [inst_3 : NormedSpace 𝕜 Fu] {Gu : Type u} [inst_4 : NormedAddCommGroup Gu]
    [inst_5 : NormedSpace 𝕜 Gu] {s : Set Eu} {t : Set Fu} {g : Fu → Gu} {f : Eu → Fu},
    ContDiffOn 𝕜 (↑n) g t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s → s ⊆ f ⁻¹' t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (g ∘ f) s
Eu : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup Eu
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Eu
Fu : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
Gu : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
s : Set Eu
t : Set Fu
g : Fu → Gu
f : Eu → Fu
hg :
  ∀ (x : Fu),
    x ∈ t →
      ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x t] x ∧ ∃ f', (∀ (x : Fu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt g (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑(Nat.succ n)) f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t
x : Eu
hx : x ∈ s
⊢ ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x s] x ∧ ∃ f', (∀ (x : Eu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt (g ∘ f) (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
case hsuc
𝕜 : Type u_1
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.706460
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup X
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 X
s✝¹ s₁ t✝¹ u : Set E
f✝¹ f₁ : E → F
g✝¹ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Eu✝ : Type u
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Eu✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Eu✝
Fu✝ : Type u
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fu✝
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Fu✝
Gu✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Gu✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Gu✝
s✝ : Set Eu✝
t✝ : Set Fu✝
g✝ : Fu✝ → Gu✝
f✝ : Eu✝ → Fu✝
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ g✝ t✝
hf✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ f✝ s✝
st✝ : s✝ ⊆ f✝ ⁻¹' t✝
n : ℕ
IH :
  ∀ {Eu : Type u} [inst : NormedAddCommGroup Eu] [inst_1 : NormedSpace 𝕜 Eu] {Fu : Type u}
    [inst_2 : NormedAddCommGroup Fu] [inst_3 : NormedSpace 𝕜 Fu] {Gu : Type u} [inst_4 : NormedAddCommGroup Gu]
    [inst_5 : NormedSpace 𝕜 Gu] {s : Set Eu} {t : Set Fu} {g : Fu → Gu} {f : Eu → Fu},
    ContDiffOn 𝕜 (↑n) g t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s → s ⊆ f ⁻¹' t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (g ∘ f) s
Eu : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup Eu
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Eu
Fu : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
Gu : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
s : Set Eu
t : Set Fu
g : Fu → Gu
f : Eu → Fu
hg :
  ∀ (x : Fu),
    x ∈ t →
      ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x t] x ∧ ∃ f', (∀ (x : Fu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt g (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑(Nat.succ n)) f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t
⊢ ∀ (x : Eu),
    x ∈ s →
      ∃ u,
        u ∈ 𝓝[insert x s] x ∧ ∃ f', (∀ (x : Eu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt (g ∘ f) (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
intro x hx
case hsuc.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.706460
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup X
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 X
s✝¹ s₁ t✝¹ u✝ : Set E
f✝¹ f₁ : E → F
g✝¹ : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Eu✝ : Type u
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Eu✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Eu✝
Fu✝ : Type u
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fu✝
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Fu✝
Gu✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Gu✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Gu✝
s✝ : Set Eu✝
t✝ : Set Fu✝
g✝ : Fu✝ → Gu✝
f✝ : Eu✝ → Fu✝
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ g✝ t✝
hf✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ f✝ s✝
st✝ : s✝ ⊆ f✝ ⁻¹' t✝
n : ℕ
IH :
  ∀ {Eu : Type u} [inst : NormedAddCommGroup Eu] [inst_1 : NormedSpace 𝕜 Eu] {Fu : Type u}
    [inst_2 : NormedAddCommGroup Fu] [inst_3 : NormedSpace 𝕜 Fu] {Gu : Type u} [inst_4 : NormedAddCommGroup Gu]
    [inst_5 : NormedSpace 𝕜 Gu] {s : Set Eu} {t : Set Fu} {g : Fu → Gu} {f : Eu → Fu},
    ContDiffOn 𝕜 (↑n) g t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s → s ⊆ f ⁻¹' t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (g ∘ f) s
Eu : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup Eu
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Eu
Fu : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
Gu : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
s : Set Eu
t : Set Fu
g : Fu → Gu
f : Eu → Fu
hg :
  ∀ (x : Fu),
    x ∈ t →
      ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x t] x ∧ ∃ f', (∀ (x : Fu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt g (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑(Nat.succ n)) f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t
x : Eu
hx : x ∈ s
u : Set Eu
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
f' : Eu → Eu →L[𝕜] Fu
hf' : ∀ (x : Eu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
f'_diff : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
⊢ ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x s] x ∧ ∃ f', (∀ (x : Eu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt (g ∘ f) (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
case hsuc
𝕜 : Type u_1
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.706460
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup X
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 X
s✝¹ s₁ t✝¹ u : Set E
f✝¹ f₁ : E → F
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c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Eu✝ : Type u
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Eu✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Eu✝
Fu✝ : Type u
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fu✝
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Fu✝
Gu✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Gu✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Gu✝
s✝ : Set Eu✝
t✝ : Set Fu✝
g✝ : Fu✝ → Gu✝
f✝ : Eu✝ → Fu✝
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st✝ : s✝ ⊆ f✝ ⁻¹' t✝
n : ℕ
IH :
  ∀ {Eu : Type u} [inst : NormedAddCommGroup Eu] [inst_1 : NormedSpace 𝕜 Eu] {Fu : Type u}
    [inst_2 : NormedAddCommGroup Fu] [inst_3 : NormedSpace 𝕜 Fu] {Gu : Type u} [inst_4 : NormedAddCommGroup Gu]
    [inst_5 : NormedSpace 𝕜 Gu] {s : Set Eu} {t : Set Fu} {g : Fu → Gu} {f : Eu → Fu},
    ContDiffOn 𝕜 (↑n) g t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s → s ⊆ f ⁻¹' t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (g ∘ f) s
Eu : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup Eu
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Eu
Fu : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
Gu : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
s : Set Eu
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g : Fu → Gu
f : Eu → Fu
hg :
  ∀ (x : Fu),
    x ∈ t →
      ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x t] x ∧ ∃ f', (∀ (x : Fu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt g (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑(Nat.succ n)) f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t
x : Eu
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⊢ ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x s] x ∧ ∃ f', (∀ (x : Eu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt (g ∘ f) (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
rcases (contDiffOn_succ_iff_hasFDerivWithinAt.1 hf) x hx with ⟨u, hu, f', hf', f'_diff⟩
case hsuc.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 G
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inst✝¹³ : NormedAddCommGroup X
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 X
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m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Eu✝ : Type u
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Eu✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Eu✝
Fu✝ : Type u
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fu✝
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Fu✝
Gu✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Gu✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Gu✝
s✝ : Set Eu✝
t✝ : Set Fu✝
g✝ : Fu✝ → Gu✝
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st✝ : s✝ ⊆ f✝ ⁻¹' t✝
n : ℕ
IH :
  ∀ {Eu : Type u} [inst : NormedAddCommGroup Eu] [inst_1 : NormedSpace 𝕜 Eu] {Fu : Type u}
    [inst_2 : NormedAddCommGroup Fu] [inst_3 : NormedSpace 𝕜 Fu] {Gu : Type u} [inst_4 : NormedAddCommGroup Gu]
    [inst_5 : NormedSpace 𝕜 Gu] {s : Set Eu} {t : Set Fu} {g : Fu → Gu} {f : Eu → Fu},
    ContDiffOn 𝕜 (↑n) g t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s → s ⊆ f ⁻¹' t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (g ∘ f) s
Eu : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup Eu
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Eu
Fu : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
Gu : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
s : Set Eu
t : Set Fu
g : Fu → Gu
f : Eu → Fu
hg :
  ∀ (x : Fu),
    x ∈ t →
      ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x t] x ∧ ∃ f', (∀ (x : Fu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt g (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑(Nat.succ n)) f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t
x : Eu
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u : Set Eu
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f'_diff : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
v : Set Fu
hv : v ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x
g' : Fu → Fu →L[𝕜] Gu
hg' : ∀ (x : Fu), x ∈ v → HasFDerivWithinAt g (g' x) v x
g'_diff : ContDiffOn 𝕜 (↑n) g' v
⊢ ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x s] x ∧ ∃ f', (∀ (x : Eu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt (g ∘ f) (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
case hsuc.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 G
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inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 X
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m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Eu✝ : Type u
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Eu✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Eu✝
Fu✝ : Type u
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fu✝
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Fu✝
Gu✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Gu✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Gu✝
s✝ : Set Eu✝
t✝ : Set Fu✝
g✝ : Fu✝ → Gu✝
f✝ : Eu✝ → Fu✝
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ g✝ t✝
hf✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ f✝ s✝
st✝ : s✝ ⊆ f✝ ⁻¹' t✝
n : ℕ
IH :
  ∀ {Eu : Type u} [inst : NormedAddCommGroup Eu] [inst_1 : NormedSpace 𝕜 Eu] {Fu : Type u}
    [inst_2 : NormedAddCommGroup Fu] [inst_3 : NormedSpace 𝕜 Fu] {Gu : Type u} [inst_4 : NormedAddCommGroup Gu]
    [inst_5 : NormedSpace 𝕜 Gu] {s : Set Eu} {t : Set Fu} {g : Fu → Gu} {f : Eu → Fu},
    ContDiffOn 𝕜 (↑n) g t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s → s ⊆ f ⁻¹' t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (g ∘ f) s
Eu : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup Eu
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Eu
Fu : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
Gu : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
s : Set Eu
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g : Fu → Gu
f : Eu → Fu
hg :
  ∀ (x : Fu),
    x ∈ t →
      ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x t] x ∧ ∃ f', (∀ (x : Fu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt g (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑(Nat.succ n)) f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t
x : Eu
hx : x ∈ s
u : Set Eu
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
f' : Eu → Eu →L[𝕜] Fu
hf' : ∀ (x : Eu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
f'_diff : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
⊢ ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x s] x ∧ ∃ f', (∀ (x : Eu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt (g ∘ f) (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
rcases hg (f x) (st hx) with ⟨v, hv, g', hg', g'_diff⟩
case hsuc.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
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F : Type uF
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup G
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m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Eu✝ : Type u
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Eu✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Eu✝
Fu✝ : Type u
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fu✝
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Fu✝
Gu✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Gu✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Gu✝
s✝ : Set Eu✝
t✝ : Set Fu✝
g✝ : Fu✝ → Gu✝
f✝ : Eu✝ → Fu✝
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ g✝ t✝
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st✝ : s✝ ⊆ f✝ ⁻¹' t✝
n : ℕ
IH :
  ∀ {Eu : Type u} [inst : NormedAddCommGroup Eu] [inst_1 : NormedSpace 𝕜 Eu] {Fu : Type u}
    [inst_2 : NormedAddCommGroup Fu] [inst_3 : NormedSpace 𝕜 Fu] {Gu : Type u} [inst_4 : NormedAddCommGroup Gu]
    [inst_5 : NormedSpace 𝕜 Gu] {s : Set Eu} {t : Set Fu} {g : Fu → Gu} {f : Eu → Fu},
    ContDiffOn 𝕜 (↑n) g t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s → s ⊆ f ⁻¹' t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (g ∘ f) s
Eu : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup Eu
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Eu
Fu : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
Gu : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
s : Set Eu
t : Set Fu
g : Fu → Gu
f : Eu → Fu
hg :
  ∀ (x : Fu),
    x ∈ t →
      ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x t] x ∧ ∃ f', (∀ (x : Fu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt g (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
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st : s ⊆ f ⁻¹' t
x : Eu
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u : Set Eu
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f' : Eu → Eu →L[𝕜] Fu
hf' : ∀ (x : Eu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
f'_diff : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
v : Set Fu
hv : v ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x
g' : Fu → Fu →L[𝕜] Gu
hg' : ∀ (x : Fu), x ∈ v → HasFDerivWithinAt g (g' x) v x
g'_diff : ContDiffOn 𝕜 (↑n) g' v
⊢ ∃ u, u ∈ 𝓝[s] x ∧ ∃ f', (∀ (x : Eu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt (g ∘ f) (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
case hsuc.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup D
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F : Type uF
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inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 F
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inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 X
s✝¹ s₁ t✝¹ u✝ : Set E
f✝¹ f₁ : E → F
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m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Eu✝ : Type u
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Eu✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Eu✝
Fu✝ : Type u
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fu✝
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Fu✝
Gu✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Gu✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Gu✝
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  ∀ {Eu : Type u} [inst : NormedAddCommGroup Eu] [inst_1 : NormedSpace 𝕜 Eu] {Fu : Type u}
    [inst_2 : NormedAddCommGroup Fu] [inst_3 : NormedSpace 𝕜 Fu] {Gu : Type u} [inst_4 : NormedAddCommGroup Gu]
    [inst_5 : NormedSpace 𝕜 Gu] {s : Set Eu} {t : Set Fu} {g : Fu → Gu} {f : Eu → Fu},
    ContDiffOn 𝕜 (↑n) g t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s → s ⊆ f ⁻¹' t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (g ∘ f) s
Eu : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup Eu
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Eu
Fu : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
Gu : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
s : Set Eu
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g : Fu → Gu
f : Eu → Fu
hg :
  ∀ (x : Fu),
    x ∈ t →
      ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x t] x ∧ ∃ f', (∀ (x : Fu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt g (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
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u : Set Eu
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f'_diff : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
v : Set Fu
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g'_diff : ContDiffOn 𝕜 (↑n) g' v
⊢ ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x s] x ∧ ∃ f', (∀ (x : Eu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt (g ∘ f) (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
rw [insert_eq_of_mem hx] at hu ⊢
case hsuc.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup D
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E : Type uE
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type uF
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inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup G
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inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 X
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c : F
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m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Eu✝ : Type u
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Eu✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Eu✝
Fu✝ : Type u
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fu✝
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Fu✝
Gu✝ : Type u
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n : ℕ
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  ∀ {Eu : Type u} [inst : NormedAddCommGroup Eu] [inst_1 : NormedSpace 𝕜 Eu] {Fu : Type u}
    [inst_2 : NormedAddCommGroup Fu] [inst_3 : NormedSpace 𝕜 Fu] {Gu : Type u} [inst_4 : NormedAddCommGroup Gu]
    [inst_5 : NormedSpace 𝕜 Gu] {s : Set Eu} {t : Set Fu} {g : Fu → Gu} {f : Eu → Fu},
    ContDiffOn 𝕜 (↑n) g t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s → s ⊆ f ⁻¹' t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (g ∘ f) s
Eu : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup Eu
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Eu
Fu : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
Gu : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
s : Set Eu
t : Set Fu
g : Fu → Gu
f : Eu → Fu
hg :
  ∀ (x : Fu),
    x ∈ t →
      ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x t] x ∧ ∃ f', (∀ (x : Fu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt g (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
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st : s ⊆ f ⁻¹' t
x : Eu
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u : Set Eu
hu : u ∈ 𝓝[s] x
f' : Eu → Eu →L[𝕜] Fu
hf' : ∀ (x : Eu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
f'_diff : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
v : Set Fu
hv : v ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x
g' : Fu → Fu →L[𝕜] Gu
hg' : ∀ (x : Fu), x ∈ v → HasFDerivWithinAt g (g' x) v x
g'_diff : ContDiffOn 𝕜 (↑n) g' v
xu : x ∈ u
⊢ ∃ u, u ∈ 𝓝[s] x ∧ ∃ f', (∀ (x : Eu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt (g ∘ f) (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
case hsuc.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.706460
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup X
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 X
s✝¹ s₁ t✝¹ u✝ : Set E
f✝¹ f₁ : E → F
g✝¹ : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Eu✝ : Type u
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Eu✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Eu✝
Fu✝ : Type u
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fu✝
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Fu✝
Gu✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Gu✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Gu✝
s✝ : Set Eu✝
t✝ : Set Fu✝
g✝ : Fu✝ → Gu✝
f✝ : Eu✝ → Fu✝
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ g✝ t✝
hf✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ f✝ s✝
st✝ : s✝ ⊆ f✝ ⁻¹' t✝
n : ℕ
IH :
  ∀ {Eu : Type u} [inst : NormedAddCommGroup Eu] [inst_1 : NormedSpace 𝕜 Eu] {Fu : Type u}
    [inst_2 : NormedAddCommGroup Fu] [inst_3 : NormedSpace 𝕜 Fu] {Gu : Type u} [inst_4 : NormedAddCommGroup Gu]
    [inst_5 : NormedSpace 𝕜 Gu] {s : Set Eu} {t : Set Fu} {g : Fu → Gu} {f : Eu → Fu},
    ContDiffOn 𝕜 (↑n) g t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s → s ⊆ f ⁻¹' t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (g ∘ f) s
Eu : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup Eu
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Eu
Fu : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
Gu : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
s : Set Eu
t : Set Fu
g : Fu → Gu
f : Eu → Fu
hg :
  ∀ (x : Fu),
    x ∈ t →
      ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x t] x ∧ ∃ f', (∀ (x : Fu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt g (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑(Nat.succ n)) f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t
x : Eu
hx : x ∈ s
u : Set Eu
hu : u ∈ 𝓝[s] x
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hf' : ∀ (x : Eu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
f'_diff : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
v : Set Fu
hv : v ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x
g' : Fu → Fu →L[𝕜] Gu
hg' : ∀ (x : Fu), x ∈ v → HasFDerivWithinAt g (g' x) v x
g'_diff : ContDiffOn 𝕜 (↑n) g' v
⊢ ∃ u, u ∈ 𝓝[s] x ∧ ∃ f', (∀ (x : Eu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt (g ∘ f) (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
have xu : x ∈ u := mem_of_mem_nhdsWithin hx hu
case hsuc.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 D
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G : Type uG
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inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 G
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inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Eu✝
Fu✝ : Type u
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fu✝
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Fu✝
Gu✝ : Type u
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inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Gu✝
s✝ : Set Eu✝
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hf✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ f✝ s✝
st✝ : s✝ ⊆ f✝ ⁻¹' t✝
n : ℕ
IH :
  ∀ {Eu : Type u} [inst : NormedAddCommGroup Eu] [inst_1 : NormedSpace 𝕜 Eu] {Fu : Type u}
    [inst_2 : NormedAddCommGroup Fu] [inst_3 : NormedSpace 𝕜 Fu] {Gu : Type u} [inst_4 : NormedAddCommGroup Gu]
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    ContDiffOn 𝕜 (↑n) g t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s → s ⊆ f ⁻¹' t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (g ∘ f) s
Eu : Type u
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  ∀ (x : Fu),
    x ∈ t →
      ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x t] x ∧ ∃ f', (∀ (x : Fu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt g (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
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hv : v ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x
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g'_diff : ContDiffOn 𝕜 (↑n) g' v
xu : x ∈ u
w : Set Eu := s ∩ (u ∩ f ⁻¹' v)
⊢ ∃ u, u ∈ 𝓝[s] x ∧ ∃ f', (∀ (x : Eu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt (g ∘ f) (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
case hsuc.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
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Gu✝ : Type u
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    ContDiffOn 𝕜 (↑n) g t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s → s ⊆ f ⁻¹' t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (g ∘ f) s
Eu : Type u
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  ∀ (x : Fu),
    x ∈ t →
      ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x t] x ∧ ∃ f', (∀ (x : Fu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt g (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑(Nat.succ n)) f s
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g'_diff : ContDiffOn 𝕜 (↑n) g' v
xu : x ∈ u
⊢ ∃ u, u ∈ 𝓝[s] x ∧ ∃ f', (∀ (x : Eu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt (g ∘ f) (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
let w := s ∩ (u ∩ f ⁻¹' v)
case hsuc.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
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Fu✝ : Type u
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Gu✝ : Type u
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  ∀ {Eu : Type u} [inst : NormedAddCommGroup Eu] [inst_1 : NormedSpace 𝕜 Eu] {Fu : Type u}
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    [inst_5 : NormedSpace 𝕜 Gu] {s : Set Eu} {t : Set Fu} {g : Fu → Gu} {f : Eu → Fu},
    ContDiffOn 𝕜 (↑n) g t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s → s ⊆ f ⁻¹' t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (g ∘ f) s
Eu : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup Eu
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Eu
Fu : Type u
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Gu : Type u
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  ∀ (x : Fu),
    x ∈ t →
      ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x t] x ∧ ∃ f', (∀ (x : Fu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt g (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
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wv : w ⊆ f ⁻¹' v
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𝕜 : Type u_1
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inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Eu✝
Fu✝ : Type u
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inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Fu✝
Gu✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Gu✝
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s✝ : Set Eu✝
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f✝ : Eu✝ → Fu✝
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Eu : Type u
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  ∀ (x : Fu),
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⊢ ∃ u, u ∈ 𝓝[s] x ∧ ∃ f', (∀ (x : Eu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt (g ∘ f) (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
have wv : w ⊆ f ⁻¹' v := fun y hy => hy.2.2
case hsuc.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
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Fu✝ : Type u
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Eu : Type u
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      ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x t] x ∧ ∃ f', (∀ (x : Fu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt g (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
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⊢ ∃ u, u ∈ 𝓝[s] x ∧ ∃ f', (∀ (x : Eu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt (g ∘ f) (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
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𝕜 : Type u_1
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup D
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E : Type uE
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type uF
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p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Eu✝ : Type u
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Fu✝ : Type u
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Gu✝ : Type u
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s✝ : Set Eu✝
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IH :
  ∀ {Eu : Type u} [inst : NormedAddCommGroup Eu] [inst_1 : NormedSpace 𝕜 Eu] {Fu : Type u}
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inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
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    x ∈ t →
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refine' ⟨w, _, fun y => (g' (f y)).comp (f' y), _, _⟩
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𝕜 : Type u_1
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Fu : Type u
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f : Eu → Fu
hg :
  ∀ (x : Fu),
    x ∈ t →
      ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x t] x ∧ ∃ f', (∀ (x : Fu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt g (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
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case hsuc.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2
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𝕜 : Type u_1
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Eu : Type u
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inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
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t : Set Fu
g : Fu → Gu
f : Eu → Fu
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  ∀ (x : Fu),
    x ∈ t →
      ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x t] x ∧ ∃ f', (∀ (x : Fu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt g (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
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𝕜 : Type u_1
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D : Type uD
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E : Type uE
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type uF
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    x ∈ t →
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Gu✝ : Type u
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  ∀ (x : Fu),
    x ∈ t →
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  ∀ (x : Fu),
    x ∈ t →
      ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x t] x ∧ ∃ f', (∀ (x : Fu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt g (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
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⊢ w ∈ 𝓝[s] x
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inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Gu✝
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f : Eu → Fu
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  ∀ (x : Fu),
    x ∈ t →
      ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x t] x ∧ ∃ f', (∀ (x : Fu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt g (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
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Fu✝ : Type u
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inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Fu✝
Gu✝ : Type u
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n : ℕ
IH :
  ∀ {Eu : Type u} [inst : NormedAddCommGroup Eu] [inst_1 : NormedSpace 𝕜 Eu] {Fu : Type u}
    [inst_2 : NormedAddCommGroup Fu] [inst_3 : NormedSpace 𝕜 Fu] {Gu : Type u} [inst_4 : NormedAddCommGroup Gu]
    [inst_5 : NormedSpace 𝕜 Gu] {s : Set Eu} {t : Set Fu} {g : Fu → Gu} {f : Eu → Fu},
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    x ∈ t →
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Gu✝ : Type u
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Fu : Type u
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Gu : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
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  ∀ (x : Fu),
    x ∈ t →
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inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Eu✝
Fu✝ : Type u
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Gu✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Gu✝
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Eu : Type u
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Gu : Type u
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inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
s : Set Eu
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g : Fu → Gu
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hg :
  ∀ (x : Fu),
    x ∈ t →
      ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x t] x ∧ ∃ f', (∀ (x : Fu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt g (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
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x : Eu
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v : Set Fu
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g' : Fu → Fu →L[𝕜] Gu
hg' : ∀ (x : Fu), x ∈ v → HasFDerivWithinAt g (g' x) v x
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⊢ ContinuousWithinAt f s x
rw [← continuousWithinAt_inter' hu]
no goals
case hsuc.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1.h
𝕜 : Type u_1
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.706460
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup X
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 X
s✝¹ s₁ t✝¹ u✝ : Set E
f✝¹ f₁ : E → F
g✝¹ : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Eu✝ : Type u
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Eu✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Eu✝
Fu✝ : Type u
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fu✝
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Fu✝
Gu✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Gu✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Gu✝
s✝ : Set Eu✝
t✝ : Set Fu✝
g✝ : Fu✝ → Gu✝
f✝ : Eu✝ → Fu✝
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ g✝ t✝
hf✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ f✝ s✝
st✝ : s✝ ⊆ f✝ ⁻¹' t✝
n : ℕ
IH :
  ∀ {Eu : Type u} [inst : NormedAddCommGroup Eu] [inst_1 : NormedSpace 𝕜 Eu] {Fu : Type u}
    [inst_2 : NormedAddCommGroup Fu] [inst_3 : NormedSpace 𝕜 Fu] {Gu : Type u} [inst_4 : NormedAddCommGroup Gu]
    [inst_5 : NormedSpace 𝕜 Gu] {s : Set Eu} {t : Set Fu} {g : Fu → Gu} {f : Eu → Fu},
    ContDiffOn 𝕜 (↑n) g t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s → s ⊆ f ⁻¹' t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (g ∘ f) s
Eu : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup Eu
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Eu
Fu : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
Gu : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
s : Set Eu
t : Set Fu
g : Fu → Gu
f : Eu → Fu
hg :
  ∀ (x : Fu),
    x ∈ t →
      ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x t] x ∧ ∃ f', (∀ (x : Fu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt g (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑(Nat.succ n)) f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t
x : Eu
hx : x ∈ s
u : Set Eu
hu : u ∈ 𝓝[s] x
f' : Eu → Eu →L[𝕜] Fu
hf' : ∀ (x : Eu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
f'_diff : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
v : Set Fu
hv : v ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x
g' : Fu → Fu →L[𝕜] Gu
hg' : ∀ (x : Fu), x ∈ v → HasFDerivWithinAt g (g' x) v x
g'_diff : ContDiffOn 𝕜 (↑n) g' v
xu : x ∈ u
w : Set Eu := s ∩ (u ∩ f ⁻¹' v)
wv : w ⊆ f ⁻¹' v
wu : w ⊆ u
ws : w ⊆ s
⊢ ContinuousWithinAt f (s ∩ u) x
exact (hf' x xu).differentiableWithinAt.continuousWithinAt.mono (inter_subset_right _ _)
𝕜 : Type u_1
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 G
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inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 X
s✝¹ s₁ t✝¹ u✝ : Set E
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m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Eu✝ : Type u
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inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Eu✝
Fu✝ : Type u
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fu✝
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Fu✝
Gu✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Gu✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Gu✝
s✝ : Set Eu✝
t✝ : Set Fu✝
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f✝ : Eu✝ → Fu✝
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ g✝ t✝
hf✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ f✝ s✝
st✝ : s✝ ⊆ f✝ ⁻¹' t✝
n : ℕ
IH :
  ∀ {Eu : Type u} [inst : NormedAddCommGroup Eu] [inst_1 : NormedSpace 𝕜 Eu] {Fu : Type u}
    [inst_2 : NormedAddCommGroup Fu] [inst_3 : NormedSpace 𝕜 Fu] {Gu : Type u} [inst_4 : NormedAddCommGroup Gu]
    [inst_5 : NormedSpace 𝕜 Gu] {s : Set Eu} {t : Set Fu} {g : Fu → Gu} {f : Eu → Fu},
    ContDiffOn 𝕜 (↑n) g t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s → s ⊆ f ⁻¹' t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (g ∘ f) s
Eu : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup Eu
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Eu
Fu : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
Gu : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
s : Set Eu
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g : Fu → Gu
f : Eu → Fu
hg :
  ∀ (x : Fu),
    x ∈ t →
      ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x t] x ∧ ∃ f', (∀ (x : Fu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt g (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑(Nat.succ n)) f s
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g' : Fu → Fu →L[𝕜] Gu
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g'_diff : ContDiffOn 𝕜 (↑n) g' v
xu : x ∈ u
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wv : w ⊆ f ⁻¹' v
wu : w ⊆ u
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⊢ f '' s ⊆ insert (f x) t
case hsuc.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1.ht
𝕜 : Type u_1
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
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E : Type uE
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inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 G
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inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Eu✝
Fu✝ : Type u
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fu✝
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Fu✝
Gu✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Gu✝
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n : ℕ
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  ∀ {Eu : Type u} [inst : NormedAddCommGroup Eu] [inst_1 : NormedSpace 𝕜 Eu] {Fu : Type u}
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Eu : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup Eu
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Eu
Fu : Type u
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Gu : Type u
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hg :
  ∀ (x : Fu),
    x ∈ t →
      ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x t] x ∧ ∃ f', (∀ (x : Fu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt g (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑(Nat.succ n)) f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t
x : Eu
hx : x ∈ s
u : Set Eu
hu : u ∈ 𝓝[s] x
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f'_diff : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
v : Set Fu
hv : v ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x
g' : Fu → Fu →L[𝕜] Gu
hg' : ∀ (x : Fu), x ∈ v → HasFDerivWithinAt g (g' x) v x
g'_diff : ContDiffOn 𝕜 (↑n) g' v
xu : x ∈ u
w : Set Eu := s ∩ (u ∩ f ⁻¹' v)
wv : w ⊆ f ⁻¹' v
wu : w ⊆ u
ws : w ⊆ s
⊢ v ∈ 𝓝[f '' s] f x
apply nhdsWithin_mono _ _ hv
no goals
𝕜 : Type u_1
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
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inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 X
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m n✝ : ℕ∞
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Eu✝ : Type u
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Eu✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Eu✝
Fu✝ : Type u
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fu✝
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Fu✝
Gu✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Gu✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Gu✝
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st✝ : s✝ ⊆ f✝ ⁻¹' t✝
n : ℕ
IH :
  ∀ {Eu : Type u} [inst : NormedAddCommGroup Eu] [inst_1 : NormedSpace 𝕜 Eu] {Fu : Type u}
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    ContDiffOn 𝕜 (↑n) g t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s → s ⊆ f ⁻¹' t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (g ∘ f) s
Eu : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup Eu
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Eu
Fu : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
Gu : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
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  ∀ (x : Fu),
    x ∈ t →
      ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x t] x ∧ ∃ f', (∀ (x : Fu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt g (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
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g'_diff : ContDiffOn 𝕜 (↑n) g' v
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⊢ f '' s ⊆ insert (f x) t
exact Subset.trans (image_subset_iff.mpr st) (subset_insert (f x) t)
case hsuc.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
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s✝¹ s₁ t✝¹ u✝ : Set E
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m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Eu✝ : Type u
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Eu✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Eu✝
Fu✝ : Type u
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fu✝
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Fu✝
Gu✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Gu✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Gu✝
s✝ : Set Eu✝
t✝ : Set Fu✝
g✝ : Fu✝ → Gu✝
f✝ : Eu✝ → Fu✝
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hf✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ f✝ s✝
st✝ : s✝ ⊆ f✝ ⁻¹' t✝
n : ℕ
IH :
  ∀ {Eu : Type u} [inst : NormedAddCommGroup Eu] [inst_1 : NormedSpace 𝕜 Eu] {Fu : Type u}
    [inst_2 : NormedAddCommGroup Fu] [inst_3 : NormedSpace 𝕜 Fu] {Gu : Type u} [inst_4 : NormedAddCommGroup Gu]
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Eu : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup Eu
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Fu : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
Gu : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
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  ∀ (x : Fu),
    x ∈ t →
      ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x t] x ∧ ∃ f', (∀ (x : Fu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt g (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
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g'_diff : ContDiffOn 𝕜 (↑n) g' v
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wu : w ⊆ u
ws : w ⊆ s
y : Eu
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yv : y ∈ f ⁻¹' v
⊢ HasFDerivWithinAt (g ∘ f) (ContinuousLinearMap.comp (g' (f y)) (f' y)) w y
case hsuc.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2
𝕜 : Type u_1
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inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 F
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inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 X
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inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Eu✝
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inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fu✝
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Fu✝
Gu✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Gu✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Gu✝
s✝ : Set Eu✝
t✝ : Set Fu✝
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f✝ : Eu✝ → Fu✝
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    [inst_5 : NormedSpace 𝕜 Gu] {s : Set Eu} {t : Set Fu} {g : Fu → Gu} {f : Eu → Fu},
    ContDiffOn 𝕜 (↑n) g t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s → s ⊆ f ⁻¹' t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (g ∘ f) s
Eu : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup Eu
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Eu
Fu : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
Gu : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
s : Set Eu
t : Set Fu
g : Fu → Gu
f : Eu → Fu
hg :
  ∀ (x : Fu),
    x ∈ t →
      ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x t] x ∧ ∃ f', (∀ (x : Fu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt g (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑(Nat.succ n)) f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t
x : Eu
hx : x ∈ s
u : Set Eu
hu : u ∈ 𝓝[s] x
f' : Eu → Eu →L[𝕜] Fu
hf' : ∀ (x : Eu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
f'_diff : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
v : Set Fu
hv : v ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x
g' : Fu → Fu →L[𝕜] Gu
hg' : ∀ (x : Fu), x ∈ v → HasFDerivWithinAt g (g' x) v x
g'_diff : ContDiffOn 𝕜 (↑n) g' v
xu : x ∈ u
w : Set Eu := s ∩ (u ∩ f ⁻¹' v)
wv : w ⊆ f ⁻¹' v
wu : w ⊆ u
ws : w ⊆ s
⊢ ∀ (y : Eu), y ∈ w → HasFDerivWithinAt (g ∘ f) (ContinuousLinearMap.comp (g' (f y)) (f' y)) w y
rintro y ⟨-, yu, yv⟩
no goals
case hsuc.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
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F : Type uF
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inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.706460
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup X
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 X
s✝¹ s₁ t✝¹ u✝ : Set E
f✝¹ f₁ : E → F
g✝¹ : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Eu✝ : Type u
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Eu✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Eu✝
Fu✝ : Type u
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fu✝
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Fu✝
Gu✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Gu✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Gu✝
s✝ : Set Eu✝
t✝ : Set Fu✝
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f✝ : Eu✝ → Fu✝
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ g✝ t✝
hf✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ f✝ s✝
st✝ : s✝ ⊆ f✝ ⁻¹' t✝
n : ℕ
IH :
  ∀ {Eu : Type u} [inst : NormedAddCommGroup Eu] [inst_1 : NormedSpace 𝕜 Eu] {Fu : Type u}
    [inst_2 : NormedAddCommGroup Fu] [inst_3 : NormedSpace 𝕜 Fu] {Gu : Type u} [inst_4 : NormedAddCommGroup Gu]
    [inst_5 : NormedSpace 𝕜 Gu] {s : Set Eu} {t : Set Fu} {g : Fu → Gu} {f : Eu → Fu},
    ContDiffOn 𝕜 (↑n) g t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s → s ⊆ f ⁻¹' t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (g ∘ f) s
Eu : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup Eu
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Eu
Fu : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
Gu : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
s : Set Eu
t : Set Fu
g : Fu → Gu
f : Eu → Fu
hg :
  ∀ (x : Fu),
    x ∈ t →
      ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x t] x ∧ ∃ f', (∀ (x : Fu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt g (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
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st : s ⊆ f ⁻¹' t
x : Eu
hx : x ∈ s
u : Set Eu
hu : u ∈ 𝓝[s] x
f' : Eu → Eu →L[𝕜] Fu
hf' : ∀ (x : Eu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
f'_diff : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
v : Set Fu
hv : v ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x
g' : Fu → Fu →L[𝕜] Gu
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g'_diff : ContDiffOn 𝕜 (↑n) g' v
xu : x ∈ u
w : Set Eu := s ∩ (u ∩ f ⁻¹' v)
wv : w ⊆ f ⁻¹' v
wu : w ⊆ u
ws : w ⊆ s
y : Eu
yu : y ∈ u
yv : y ∈ f ⁻¹' v
⊢ HasFDerivWithinAt (g ∘ f) (ContinuousLinearMap.comp (g' (f y)) (f' y)) w y
exact (hg' (f y) yv).comp y ((hf' y yu).mono wu) wv
case hsuc.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.706460
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup X
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 X
s✝¹ s₁ t✝¹ u✝ : Set E
f✝¹ f₁ : E → F
g✝¹ : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Eu✝ : Type u
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Eu✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Eu✝
Fu✝ : Type u
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fu✝
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Fu✝
Gu✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Gu✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Gu✝
s✝ : Set Eu✝
t✝ : Set Fu✝
g✝ : Fu✝ → Gu✝
f✝ : Eu✝ → Fu✝
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ g✝ t✝
hf✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ f✝ s✝
st✝ : s✝ ⊆ f✝ ⁻¹' t✝
n : ℕ
IH :
  ∀ {Eu : Type u} [inst : NormedAddCommGroup Eu] [inst_1 : NormedSpace 𝕜 Eu] {Fu : Type u}
    [inst_2 : NormedAddCommGroup Fu] [inst_3 : NormedSpace 𝕜 Fu] {Gu : Type u} [inst_4 : NormedAddCommGroup Gu]
    [inst_5 : NormedSpace 𝕜 Gu] {s : Set Eu} {t : Set Fu} {g : Fu → Gu} {f : Eu → Fu},
    ContDiffOn 𝕜 (↑n) g t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s → s ⊆ f ⁻¹' t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (g ∘ f) s
Eu : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup Eu
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Eu
Fu : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
Gu : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
s : Set Eu
t : Set Fu
g : Fu → Gu
f : Eu → Fu
hg :
  ∀ (x : Fu),
    x ∈ t →
      ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x t] x ∧ ∃ f', (∀ (x : Fu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt g (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑(Nat.succ n)) f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t
x : Eu
hx : x ∈ s
u : Set Eu
hu : u ∈ 𝓝[s] x
f' : Eu → Eu →L[𝕜] Fu
hf' : ∀ (x : Eu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
f'_diff : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
v : Set Fu
hv : v ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x
g' : Fu → Fu →L[𝕜] Gu
hg' : ∀ (x : Fu), x ∈ v → HasFDerivWithinAt g (g' x) v x
g'_diff : ContDiffOn 𝕜 (↑n) g' v
xu : x ∈ u
w : Set Eu := s ∩ (u ∩ f ⁻¹' v)
wv : w ⊆ f ⁻¹' v
wu : w ⊆ u
ws : w ⊆ s
A : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => g' (f y)) w
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => ContinuousLinearMap.comp (g' (f y)) (f' y)) w
case hsuc.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 G
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inst✝¹³ : NormedAddCommGroup X
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 X
s✝¹ s₁ t✝¹ u✝ : Set E
f✝¹ f₁ : E → F
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m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Eu✝ : Type u
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Eu✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Eu✝
Fu✝ : Type u
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fu✝
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Fu✝
Gu✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Gu✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Gu✝
s✝ : Set Eu✝
t✝ : Set Fu✝
g✝ : Fu✝ → Gu✝
f✝ : Eu✝ → Fu✝
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hf✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ f✝ s✝
st✝ : s✝ ⊆ f✝ ⁻¹' t✝
n : ℕ
IH :
  ∀ {Eu : Type u} [inst : NormedAddCommGroup Eu] [inst_1 : NormedSpace 𝕜 Eu] {Fu : Type u}
    [inst_2 : NormedAddCommGroup Fu] [inst_3 : NormedSpace 𝕜 Fu] {Gu : Type u} [inst_4 : NormedAddCommGroup Gu]
    [inst_5 : NormedSpace 𝕜 Gu] {s : Set Eu} {t : Set Fu} {g : Fu → Gu} {f : Eu → Fu},
    ContDiffOn 𝕜 (↑n) g t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s → s ⊆ f ⁻¹' t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (g ∘ f) s
Eu : Type u
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inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Eu
Fu : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
Gu : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
s : Set Eu
t : Set Fu
g : Fu → Gu
f : Eu → Fu
hg :
  ∀ (x : Fu),
    x ∈ t →
      ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x t] x ∧ ∃ f', (∀ (x : Fu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt g (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑(Nat.succ n)) f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t
x : Eu
hx : x ∈ s
u : Set Eu
hu : u ∈ 𝓝[s] x
f' : Eu → Eu →L[𝕜] Fu
hf' : ∀ (x : Eu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
f'_diff : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
v : Set Fu
hv : v ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x
g' : Fu → Fu →L[𝕜] Gu
hg' : ∀ (x : Fu), x ∈ v → HasFDerivWithinAt g (g' x) v x
g'_diff : ContDiffOn 𝕜 (↑n) g' v
xu : x ∈ u
w : Set Eu := s ∩ (u ∩ f ⁻¹' v)
wv : w ⊆ f ⁻¹' v
wu : w ⊆ u
ws : w ⊆ s
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => ContinuousLinearMap.comp (g' (f y)) (f' y)) w
have A : ContDiffOn 𝕜 n (fun y => g' (f y)) w :=
  IH g'_diff ((hf.of_le (WithTop.coe_le_coe.2 (Nat.le_succ n))).mono ws) wv
case hsuc.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type uF
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inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 G
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inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 X
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m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Eu✝ : Type u
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Eu✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Eu✝
Fu✝ : Type u
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fu✝
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Fu✝
Gu✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Gu✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Gu✝
s✝ : Set Eu✝
t✝ : Set Fu✝
g✝ : Fu✝ → Gu✝
f✝ : Eu✝ → Fu✝
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ g✝ t✝
hf✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ f✝ s✝
st✝ : s✝ ⊆ f✝ ⁻¹' t✝
n : ℕ
IH :
  ∀ {Eu : Type u} [inst : NormedAddCommGroup Eu] [inst_1 : NormedSpace 𝕜 Eu] {Fu : Type u}
    [inst_2 : NormedAddCommGroup Fu] [inst_3 : NormedSpace 𝕜 Fu] {Gu : Type u} [inst_4 : NormedAddCommGroup Gu]
    [inst_5 : NormedSpace 𝕜 Gu] {s : Set Eu} {t : Set Fu} {g : Fu → Gu} {f : Eu → Fu},
    ContDiffOn 𝕜 (↑n) g t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s → s ⊆ f ⁻¹' t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (g ∘ f) s
Eu : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup Eu
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Eu
Fu : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
Gu : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
s : Set Eu
t : Set Fu
g : Fu → Gu
f : Eu → Fu
hg :
  ∀ (x : Fu),
    x ∈ t →
      ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x t] x ∧ ∃ f', (∀ (x : Fu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt g (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑(Nat.succ n)) f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t
x : Eu
hx : x ∈ s
u : Set Eu
hu : u ∈ 𝓝[s] x
f' : Eu → Eu →L[𝕜] Fu
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f'_diff : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
v : Set Fu
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g' : Fu → Fu →L[𝕜] Gu
hg' : ∀ (x : Fu), x ∈ v → HasFDerivWithinAt g (g' x) v x
g'_diff : ContDiffOn 𝕜 (↑n) g' v
xu : x ∈ u
w : Set Eu := s ∩ (u ∩ f ⁻¹' v)
wv : w ⊆ f ⁻¹' v
wu : w ⊆ u
ws : w ⊆ s
A : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => g' (f y)) w
B : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' w
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => ContinuousLinearMap.comp (g' (f y)) (f' y)) w
case hsuc.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.706460
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup X
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 X
s✝¹ s₁ t✝¹ u✝ : Set E
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m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Eu✝ : Type u
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Eu✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Eu✝
Fu✝ : Type u
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fu✝
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Fu✝
Gu✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Gu✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Gu✝
s✝ : Set Eu✝
t✝ : Set Fu✝
g✝ : Fu✝ → Gu✝
f✝ : Eu✝ → Fu✝
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ g✝ t✝
hf✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ f✝ s✝
st✝ : s✝ ⊆ f✝ ⁻¹' t✝
n : ℕ
IH :
  ∀ {Eu : Type u} [inst : NormedAddCommGroup Eu] [inst_1 : NormedSpace 𝕜 Eu] {Fu : Type u}
    [inst_2 : NormedAddCommGroup Fu] [inst_3 : NormedSpace 𝕜 Fu] {Gu : Type u} [inst_4 : NormedAddCommGroup Gu]
    [inst_5 : NormedSpace 𝕜 Gu] {s : Set Eu} {t : Set Fu} {g : Fu → Gu} {f : Eu → Fu},
    ContDiffOn 𝕜 (↑n) g t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s → s ⊆ f ⁻¹' t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (g ∘ f) s
Eu : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup Eu
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Eu
Fu : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
Gu : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
s : Set Eu
t : Set Fu
g : Fu → Gu
f : Eu → Fu
hg :
  ∀ (x : Fu),
    x ∈ t →
      ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x t] x ∧ ∃ f', (∀ (x : Fu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt g (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑(Nat.succ n)) f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t
x : Eu
hx : x ∈ s
u : Set Eu
hu : u ∈ 𝓝[s] x
f' : Eu → Eu →L[𝕜] Fu
hf' : ∀ (x : Eu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
f'_diff : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
v : Set Fu
hv : v ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x
g' : Fu → Fu →L[𝕜] Gu
hg' : ∀ (x : Fu), x ∈ v → HasFDerivWithinAt g (g' x) v x
g'_diff : ContDiffOn 𝕜 (↑n) g' v
xu : x ∈ u
w : Set Eu := s ∩ (u ∩ f ⁻¹' v)
wv : w ⊆ f ⁻¹' v
wu : w ⊆ u
ws : w ⊆ s
A : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => g' (f y)) w
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => ContinuousLinearMap.comp (g' (f y)) (f' y)) w
have B : ContDiffOn 𝕜 n f' w := f'_diff.mono wu
case hsuc.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 G
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inst✝¹³ : NormedAddCommGroup X
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 X
s✝¹ s₁ t✝¹ u✝ : Set E
f✝¹ f₁ : E → F
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x✝ x₀ : E
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b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Eu✝ : Type u
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Eu✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Eu✝
Fu✝ : Type u
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fu✝
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Fu✝
Gu✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Gu✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Gu✝
s✝ : Set Eu✝
t✝ : Set Fu✝
g✝ : Fu✝ → Gu✝
f✝ : Eu✝ → Fu✝
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ g✝ t✝
hf✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ f✝ s✝
st✝ : s✝ ⊆ f✝ ⁻¹' t✝
n : ℕ
IH :
  ∀ {Eu : Type u} [inst : NormedAddCommGroup Eu] [inst_1 : NormedSpace 𝕜 Eu] {Fu : Type u}
    [inst_2 : NormedAddCommGroup Fu] [inst_3 : NormedSpace 𝕜 Fu] {Gu : Type u} [inst_4 : NormedAddCommGroup Gu]
    [inst_5 : NormedSpace 𝕜 Gu] {s : Set Eu} {t : Set Fu} {g : Fu → Gu} {f : Eu → Fu},
    ContDiffOn 𝕜 (↑n) g t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s → s ⊆ f ⁻¹' t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (g ∘ f) s
Eu : Type u
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inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Eu
Fu : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
Gu : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
s : Set Eu
t : Set Fu
g : Fu → Gu
f : Eu → Fu
hg :
  ∀ (x : Fu),
    x ∈ t →
      ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x t] x ∧ ∃ f', (∀ (x : Fu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt g (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
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hv : v ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x
g' : Fu → Fu →L[𝕜] Gu
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g'_diff : ContDiffOn 𝕜 (↑n) g' v
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wu : w ⊆ u
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A : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => g' (f y)) w
B : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' w
C : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => (g' (f y), f' y)) w
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => ContinuousLinearMap.comp (g' (f y)) (f' y)) w
case hsuc.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.706460
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup X
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 X
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c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Eu✝ : Type u
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Eu✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Eu✝
Fu✝ : Type u
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fu✝
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Fu✝
Gu✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Gu✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Gu✝
s✝ : Set Eu✝
t✝ : Set Fu✝
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hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ g✝ t✝
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st✝ : s✝ ⊆ f✝ ⁻¹' t✝
n : ℕ
IH :
  ∀ {Eu : Type u} [inst : NormedAddCommGroup Eu] [inst_1 : NormedSpace 𝕜 Eu] {Fu : Type u}
    [inst_2 : NormedAddCommGroup Fu] [inst_3 : NormedSpace 𝕜 Fu] {Gu : Type u} [inst_4 : NormedAddCommGroup Gu]
    [inst_5 : NormedSpace 𝕜 Gu] {s : Set Eu} {t : Set Fu} {g : Fu → Gu} {f : Eu → Fu},
    ContDiffOn 𝕜 (↑n) g t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s → s ⊆ f ⁻¹' t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (g ∘ f) s
Eu : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup Eu
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Eu
Fu : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
Gu : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
s : Set Eu
t : Set Fu
g : Fu → Gu
f : Eu → Fu
hg :
  ∀ (x : Fu),
    x ∈ t →
      ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x t] x ∧ ∃ f', (∀ (x : Fu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt g (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑(Nat.succ n)) f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t
x : Eu
hx : x ∈ s
u : Set Eu
hu : u ∈ 𝓝[s] x
f' : Eu → Eu →L[𝕜] Fu
hf' : ∀ (x : Eu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
f'_diff : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
v : Set Fu
hv : v ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x
g' : Fu → Fu →L[𝕜] Gu
hg' : ∀ (x : Fu), x ∈ v → HasFDerivWithinAt g (g' x) v x
g'_diff : ContDiffOn 𝕜 (↑n) g' v
xu : x ∈ u
w : Set Eu := s ∩ (u ∩ f ⁻¹' v)
wv : w ⊆ f ⁻¹' v
wu : w ⊆ u
ws : w ⊆ s
A : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => g' (f y)) w
B : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' w
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => ContinuousLinearMap.comp (g' (f y)) (f' y)) w
have C : ContDiffOn 𝕜 n (fun y => (g' (f y), f' y)) w := A.prod B
case hsuc.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
D✝ : Type uD
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup D✝
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 D✝
E : Type uE
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.706460
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup X
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 X
s✝¹ s₁ t✝¹ u✝ : Set E
f✝¹ f₁ : E → F
g✝¹ : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Eu✝ : Type u
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Eu✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Eu✝
Fu✝ : Type u
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fu✝
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Fu✝
Gu✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Gu✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Gu✝
s✝ : Set Eu✝
t✝ : Set Fu✝
g✝ : Fu✝ → Gu✝
f✝ : Eu✝ → Fu✝
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ g✝ t✝
hf✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ f✝ s✝
st✝ : s✝ ⊆ f✝ ⁻¹' t✝
n : ℕ
IH :
  ∀ {Eu : Type u} [inst : NormedAddCommGroup Eu] [inst_1 : NormedSpace 𝕜 Eu] {Fu : Type u}
    [inst_2 : NormedAddCommGroup Fu] [inst_3 : NormedSpace 𝕜 Fu] {Gu : Type u} [inst_4 : NormedAddCommGroup Gu]
    [inst_5 : NormedSpace 𝕜 Gu] {s : Set Eu} {t : Set Fu} {g : Fu → Gu} {f : Eu → Fu},
    ContDiffOn 𝕜 (↑n) g t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s → s ⊆ f ⁻¹' t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (g ∘ f) s
Eu : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup Eu
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Eu
Fu : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
Gu : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
s : Set Eu
t : Set Fu
g : Fu → Gu
f : Eu → Fu
hg :
  ∀ (x : Fu),
    x ∈ t →
      ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x t] x ∧ ∃ f', (∀ (x : Fu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt g (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑(Nat.succ n)) f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t
x : Eu
hx : x ∈ s
u : Set Eu
hu : u ∈ 𝓝[s] x
f' : Eu → Eu →L[𝕜] Fu
hf' : ∀ (x : Eu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
f'_diff : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
v : Set Fu
hv : v ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x
g' : Fu → Fu →L[𝕜] Gu
hg' : ∀ (x : Fu), x ∈ v → HasFDerivWithinAt g (g' x) v x
g'_diff : ContDiffOn 𝕜 (↑n) g' v
xu : x ∈ u
w : Set Eu := s ∩ (u ∩ f ⁻¹' v)
wv : w ⊆ f ⁻¹' v
wu : w ⊆ u
ws : w ⊆ s
A : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => g' (f y)) w
B : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' w
C : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => (g' (f y), f' y)) w
D : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun p => ContinuousLinearMap.comp p.fst p.snd) univ
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => ContinuousLinearMap.comp (g' (f y)) (f' y)) w
case hsuc.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.706460
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup X
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 X
s✝¹ s₁ t✝¹ u✝ : Set E
f✝¹ f₁ : E → F
g✝¹ : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Eu✝ : Type u
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Eu✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Eu✝
Fu✝ : Type u
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fu✝
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Fu✝
Gu✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Gu✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Gu✝
s✝ : Set Eu✝
t✝ : Set Fu✝
g✝ : Fu✝ → Gu✝
f✝ : Eu✝ → Fu✝
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ g✝ t✝
hf✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ f✝ s✝
st✝ : s✝ ⊆ f✝ ⁻¹' t✝
n : ℕ
IH :
  ∀ {Eu : Type u} [inst : NormedAddCommGroup Eu] [inst_1 : NormedSpace 𝕜 Eu] {Fu : Type u}
    [inst_2 : NormedAddCommGroup Fu] [inst_3 : NormedSpace 𝕜 Fu] {Gu : Type u} [inst_4 : NormedAddCommGroup Gu]
    [inst_5 : NormedSpace 𝕜 Gu] {s : Set Eu} {t : Set Fu} {g : Fu → Gu} {f : Eu → Fu},
    ContDiffOn 𝕜 (↑n) g t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s → s ⊆ f ⁻¹' t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (g ∘ f) s
Eu : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup Eu
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Eu
Fu : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
Gu : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
s : Set Eu
t : Set Fu
g : Fu → Gu
f : Eu → Fu
hg :
  ∀ (x : Fu),
    x ∈ t →
      ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x t] x ∧ ∃ f', (∀ (x : Fu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt g (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑(Nat.succ n)) f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t
x : Eu
hx : x ∈ s
u : Set Eu
hu : u ∈ 𝓝[s] x
f' : Eu → Eu →L[𝕜] Fu
hf' : ∀ (x : Eu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
f'_diff : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
v : Set Fu
hv : v ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x
g' : Fu → Fu →L[𝕜] Gu
hg' : ∀ (x : Fu), x ∈ v → HasFDerivWithinAt g (g' x) v x
g'_diff : ContDiffOn 𝕜 (↑n) g' v
xu : x ∈ u
w : Set Eu := s ∩ (u ∩ f ⁻¹' v)
wv : w ⊆ f ⁻¹' v
wu : w ⊆ u
ws : w ⊆ s
A : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => g' (f y)) w
B : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' w
C : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => (g' (f y), f' y)) w
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => ContinuousLinearMap.comp (g' (f y)) (f' y)) w
have D : ContDiffOn 𝕜 n (fun p : (Fu →L[𝕜] Gu) × (Eu →L[𝕜] Fu) => p.1.comp p.2) univ :=
  isBoundedBilinearMap_comp.contDiff.contDiffOn
no goals
case hsuc.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
D✝ : Type uD
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup D✝
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 D✝
E : Type uE
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.706460
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup X
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 X
s✝¹ s₁ t✝¹ u✝ : Set E
f✝¹ f₁ : E → F
g✝¹ : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Eu✝ : Type u
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Eu✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Eu✝
Fu✝ : Type u
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fu✝
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Fu✝
Gu✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Gu✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Gu✝
s✝ : Set Eu✝
t✝ : Set Fu✝
g✝ : Fu✝ → Gu✝
f✝ : Eu✝ → Fu✝
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ g✝ t✝
hf✝ : ContDiffOn 𝕜 n✝ f✝ s✝
st✝ : s✝ ⊆ f✝ ⁻¹' t✝
n : ℕ
IH :
  ∀ {Eu : Type u} [inst : NormedAddCommGroup Eu] [inst_1 : NormedSpace 𝕜 Eu] {Fu : Type u}
    [inst_2 : NormedAddCommGroup Fu] [inst_3 : NormedSpace 𝕜 Fu] {Gu : Type u} [inst_4 : NormedAddCommGroup Gu]
    [inst_5 : NormedSpace 𝕜 Gu] {s : Set Eu} {t : Set Fu} {g : Fu → Gu} {f : Eu → Fu},
    ContDiffOn 𝕜 (↑n) g t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s → s ⊆ f ⁻¹' t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (g ∘ f) s
Eu : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup Eu
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Eu
Fu : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
Gu : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
s : Set Eu
t : Set Fu
g : Fu → Gu
f : Eu → Fu
hg :
  ∀ (x : Fu),
    x ∈ t →
      ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x t] x ∧ ∃ f', (∀ (x : Fu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt g (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑(Nat.succ n)) f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t
x : Eu
hx : x ∈ s
u : Set Eu
hu : u ∈ 𝓝[s] x
f' : Eu → Eu →L[𝕜] Fu
hf' : ∀ (x : Eu), x ∈ u → HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
f'_diff : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' u
v : Set Fu
hv : v ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x
g' : Fu → Fu →L[𝕜] Gu
hg' : ∀ (x : Fu), x ∈ v → HasFDerivWithinAt g (g' x) v x
g'_diff : ContDiffOn 𝕜 (↑n) g' v
xu : x ∈ u
w : Set Eu := s ∩ (u ∩ f ⁻¹' v)
wv : w ⊆ f ⁻¹' v
wu : w ⊆ u
ws : w ⊆ s
A : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => g' (f y)) w
B : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' w
C : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => (g' (f y), f' y)) w
D : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun p => ContinuousLinearMap.comp p.fst p.snd) univ
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => ContinuousLinearMap.comp (g' (f y)) (f' y)) w
exact IH D C (subset_univ _)
case htop
𝕜 : Type u_1
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.706460
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup X
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 X
s✝¹ s₁ t✝¹ u : Set E
f✝¹ f₁ : E → F
g✝¹ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Eu✝ : Type u
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Eu✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Eu✝
Fu✝ : Type u
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fu✝
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Fu✝
Gu✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Gu✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Gu✝
s✝ : Set Eu✝
t✝ : Set Fu✝
g✝ : Fu✝ → Gu✝
f✝ : Eu✝ → Fu✝
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n g✝ t✝
hf✝ : ContDiffOn 𝕜 n f✝ s✝
st✝ : s✝ ⊆ f✝ ⁻¹' t✝
Itop :
  ∀ (n : ℕ) {Eu : Type u} [inst : NormedAddCommGroup Eu] [inst_1 : NormedSpace 𝕜 Eu] {Fu : Type u}
    [inst_2 : NormedAddCommGroup Fu] [inst_3 : NormedSpace 𝕜 Fu] {Gu : Type u} [inst_4 : NormedAddCommGroup Gu]
    [inst_5 : NormedSpace 𝕜 Gu] {s : Set Eu} {t : Set Fu} {g : Fu → Gu} {f : Eu → Fu},
    ContDiffOn 𝕜 (↑n) g t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s → s ⊆ f ⁻¹' t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (g ∘ f) s
Eu : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup Eu
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Eu
Fu : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
Gu : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
s : Set Eu
t : Set Fu
g : Fu → Gu
f : Eu → Fu
hg : ∀ (n : ℕ), ContDiffOn 𝕜 (↑n) g t
hf : ∀ (n : ℕ), ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t
⊢ ∀ (n : ℕ), ContDiffOn 𝕜 (↑n) (g ∘ f) s
case htop
𝕜 : Type u_1
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.706460
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup X
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 X
s✝¹ s₁ t✝¹ u : Set E
f✝¹ f₁ : E → F
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x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Eu✝ : Type u
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Eu✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Eu✝
Fu✝ : Type u
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fu✝
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Fu✝
Gu✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Gu✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Gu✝
s✝ : Set Eu✝
t✝ : Set Fu✝
g✝ : Fu✝ → Gu✝
f✝ : Eu✝ → Fu✝
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n g✝ t✝
hf✝ : ContDiffOn 𝕜 n f✝ s✝
st✝ : s✝ ⊆ f✝ ⁻¹' t✝
Itop :
  ∀ (n : ℕ) {Eu : Type u} [inst : NormedAddCommGroup Eu] [inst_1 : NormedSpace 𝕜 Eu] {Fu : Type u}
    [inst_2 : NormedAddCommGroup Fu] [inst_3 : NormedSpace 𝕜 Fu] {Gu : Type u} [inst_4 : NormedAddCommGroup Gu]
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    ContDiffOn 𝕜 (↑n) g t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s → s ⊆ f ⁻¹' t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (g ∘ f) s
Eu : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup Eu
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Fu : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
Gu : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
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g : Fu → Gu
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st : s ⊆ f ⁻¹' t
⊢ ContDiffOn 𝕜 ⊤ (g ∘ f) s
rw [contDiffOn_top] at hf hg ⊢
no goals
case htop
𝕜 : Type u_1
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
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F : Type uF
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.706460
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup X
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 X
s✝¹ s₁ t✝¹ u : Set E
f✝¹ f₁ : E → F
g✝¹ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Eu✝ : Type u
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Eu✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 Eu✝
Fu✝ : Type u
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fu✝
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Fu✝
Gu✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Gu✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Gu✝
s✝ : Set Eu✝
t✝ : Set Fu✝
g✝ : Fu✝ → Gu✝
f✝ : Eu✝ → Fu✝
hg✝ : ContDiffOn 𝕜 n g✝ t✝
hf✝ : ContDiffOn 𝕜 n f✝ s✝
st✝ : s✝ ⊆ f✝ ⁻¹' t✝
Itop :
  ∀ (n : ℕ) {Eu : Type u} [inst : NormedAddCommGroup Eu] [inst_1 : NormedSpace 𝕜 Eu] {Fu : Type u}
    [inst_2 : NormedAddCommGroup Fu] [inst_3 : NormedSpace 𝕜 Fu] {Gu : Type u} [inst_4 : NormedAddCommGroup Gu]
    [inst_5 : NormedSpace 𝕜 Gu] {s : Set Eu} {t : Set Fu} {g : Fu → Gu} {f : Eu → Fu},
    ContDiffOn 𝕜 (↑n) g t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s → s ⊆ f ⁻¹' t → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (g ∘ f) s
Eu : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup Eu
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Eu
Fu : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
Gu : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
s : Set Eu
t : Set Fu
g : Fu → Gu
f : Eu → Fu
hg : ∀ (n : ℕ), ContDiffOn 𝕜 (↑n) g t
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st : s ⊆ f ⁻¹' t
⊢ ∀ (n : ℕ), ContDiffOn 𝕜 (↑n) (g ∘ f) s
exact fun n => Itop n (hg n) (hf n) st