E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
φ : E → ℝ
x₀ : E
f' : E →L[ℝ] F
φ' : E →L[ℝ] ℝ
hextr : IsLocalExtrOn φ {x | f x = f x₀} x₀
hf' : HasStrictFDerivAt f f' x₀
hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀
htop : LinearMap.range (ContinuousLinearMap.prod f' φ') = ⊤
⊢ False
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
φ : E → ℝ
x₀ : E
f' : E →L[ℝ] F
φ' : E →L[ℝ] ℝ
hextr : IsLocalExtrOn φ {x | f x = f x₀} x₀
hf' : HasStrictFDerivAt f f' x₀
hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀
⊢ LinearMap.range (ContinuousLinearMap.prod f' φ') ≠ ⊤
intro htop
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
φ : E → ℝ
x₀ : E
f' : E →L[ℝ] F
φ' : E →L[ℝ] ℝ
hextr : IsLocalExtrOn φ {x | f x = f x₀} x₀
hf' : HasStrictFDerivAt f f' x₀
hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀
htop : LinearMap.range (ContinuousLinearMap.prod f' φ') = ⊤
fφ : E → F × ℝ := fun x => (f x, φ x)
⊢ False
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
φ : E → ℝ
x₀ : E
f' : E →L[ℝ] F
φ' : E →L[ℝ] ℝ
hextr : IsLocalExtrOn φ {x | f x = f x₀} x₀
hf' : HasStrictFDerivAt f f' x₀
hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀
htop : LinearMap.range (ContinuousLinearMap.prod f' φ') = ⊤
⊢ False
set fφ := fun x => (f x, φ x)
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
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f : E → F
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hextr : IsLocalExtrOn φ {x | f x = f x₀} x₀
hf' : HasStrictFDerivAt f f' x₀
hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀
htop : LinearMap.range (ContinuousLinearMap.prod f' φ') = ⊤
fφ : E → F × ℝ := fun x => (f x, φ x)
A : map φ (𝓝[f ⁻¹' {f x₀}] x₀) = 𝓝 (φ x₀)
⊢ False
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
φ : E → ℝ
x₀ : E
f' : E →L[ℝ] F
φ' : E →L[ℝ] ℝ
hextr : IsLocalExtrOn φ {x | f x = f x₀} x₀
hf' : HasStrictFDerivAt f f' x₀
hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀
htop : LinearMap.range (ContinuousLinearMap.prod f' φ') = ⊤
fφ : E → F × ℝ := fun x => (f x, φ x)
⊢ False
have A : map φ (𝓝[f ⁻¹' {f x₀}] x₀) = 𝓝 (φ x₀) := by
  change map (Prod.snd ∘ fφ) (𝓝[fφ ⁻¹' {p | p.1 = f x₀}] x₀) = 𝓝 (φ x₀)
  rw [← map_map, nhdsWithin, map_inf_principal_preimage, (hf'.prod hφ').map_nhds_eq_of_surj htop]
  exact map_snd_nhdsWithin _
no goals
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
φ : E → ℝ
x₀ : E
f' : E →L[ℝ] F
φ' : E →L[ℝ] ℝ
hextr : IsLocalExtrOn φ {x | f x = f x₀} x₀
hf' : HasStrictFDerivAt f f' x₀
hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀
htop : LinearMap.range (ContinuousLinearMap.prod f' φ') = ⊤
fφ : E → F × ℝ := fun x => (f x, φ x)
A : map φ (𝓝[f ⁻¹' {f x₀}] x₀) = 𝓝 (φ x₀)
⊢ False
exact hextr.not_nhds_le_map A.ge
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
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hextr : IsLocalExtrOn φ {x | f x = f x₀} x₀
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hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀
htop : LinearMap.range (ContinuousLinearMap.prod f' φ') = ⊤
fφ : E → F × ℝ := fun x => (f x, φ x)
⊢ map (Prod.snd ∘ fφ) (𝓝[fφ ⁻¹' {p | p.fst = f x₀}] x₀) = 𝓝 (φ x₀)
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
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inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
φ : E → ℝ
x₀ : E
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hextr : IsLocalExtrOn φ {x | f x = f x₀} x₀
hf' : HasStrictFDerivAt f f' x₀
hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀
htop : LinearMap.range (ContinuousLinearMap.prod f' φ') = ⊤
fφ : E → F × ℝ := fun x => (f x, φ x)
⊢ map φ (𝓝[f ⁻¹' {f x₀}] x₀) = 𝓝 (φ x₀)
change map (Prod.snd ∘ fφ) (𝓝[fφ ⁻¹' {p | p.1 = f x₀}] x₀) = 𝓝 (φ x₀)
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
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hextr : IsLocalExtrOn φ {x | f x = f x₀} x₀
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hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀
htop : LinearMap.range (ContinuousLinearMap.prod f' φ') = ⊤
fφ : E → F × ℝ := fun x => (f x, φ x)
⊢ map Prod.snd (𝓝 (f x₀, φ x₀) ⊓ 𝓟 {p | p.fst = f x₀}) = 𝓝 (φ x₀)
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
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hextr : IsLocalExtrOn φ {x | f x = f x₀} x₀
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⊢ map (Prod.snd ∘ fφ) (𝓝[fφ ⁻¹' {p | p.fst = f x₀}] x₀) = 𝓝 (φ x₀)
rw [← map_map, nhdsWithin, map_inf_principal_preimage, (hf'.prod hφ').map_nhds_eq_of_surj htop]
no goals
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
φ : E → ℝ
x₀ : E
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φ' : E →L[ℝ] ℝ
hextr : IsLocalExtrOn φ {x | f x = f x₀} x₀
hf' : HasStrictFDerivAt f f' x₀
hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀
htop : LinearMap.range (ContinuousLinearMap.prod f' φ') = ⊤
fφ : E → F × ℝ := fun x => (f x, φ x)
⊢ map Prod.snd (𝓝 (f x₀, φ x₀) ⊓ 𝓟 {p | p.fst = f x₀}) = 𝓝 (φ x₀)
exact map_snd_nhdsWithin _