case inl
α : Type u
inst✝ : LinearOrderedField α
x : α
hx : 0 ≤ x
h'x : x < 1
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ ∑ i in Ico m n, x ^ i ≤ x ^ m / (1 - x)

case inr
α : Type u
inst✝ : LinearOrderedField α
x : α
hx : 0 ≤ x
h'x : x < 1
m n : ℕ
hmn : n < m
⊢ ∑ i in Ico m n, x ^ i ≤ x ^ m / (1 - x)
α : Type u
inst✝ : LinearOrderedField α
x : α
hx : 0 ≤ x
h'x : x < 1
m n : ℕ
⊢ ∑ i in Ico m n, x ^ i ≤ x ^ m / (1 - x)
rcases le_or_lt m n with (hmn | hmn)
case inl
α : Type u
inst✝ : LinearOrderedField α
x : α
hx : 0 ≤ x
h'x : x < 1
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ (x ^ m - x ^ n) / (1 - x) ≤ x ^ m / (1 - x)
case inl
α : Type u
inst✝ : LinearOrderedField α
x : α
hx : 0 ≤ x
h'x : x < 1
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ ∑ i in Ico m n, x ^ i ≤ x ^ m / (1 - x)
rw [geom_sum_Ico' h'x.ne hmn]
α : Type u
inst✝ : LinearOrderedField α
x : α
hx : 0 ≤ x
h'x : x < 1
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ x ^ m - x ^ n ≤ x ^ m
case inl
α : Type u
inst✝ : LinearOrderedField α
x : α
hx : 0 ≤ x
h'x : x < 1
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ (x ^ m - x ^ n) / (1 - x) ≤ x ^ m / (1 - x)
apply div_le_div (pow_nonneg hx _) _ (sub_pos.2 h'x) le_rfl
no goals
α : Type u
inst✝ : LinearOrderedField α
x : α
hx : 0 ≤ x
h'x : x < 1
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ x ^ m - x ^ n ≤ x ^ m
simpa using pow_nonneg hx _
case inr
α : Type u
inst✝ : LinearOrderedField α
x : α
hx : 0 ≤ x
h'x : x < 1
m n : ℕ
hmn : n < m
⊢ 0 ≤ x ^ m / (1 - x)

case inr
α : Type u
inst✝ : LinearOrderedField α
x : α
hx : 0 ≤ x
h'x : x < 1
m n : ℕ
hmn : n < m
⊢ ¬m < n
case inr
α : Type u
inst✝ : LinearOrderedField α
x : α
hx : 0 ≤ x
h'x : x < 1
m n : ℕ
hmn : n < m
⊢ ∑ i in Ico m n, x ^ i ≤ x ^ m / (1 - x)
rw [Ico_eq_empty, sum_empty]
case inr
α : Type u
inst✝ : LinearOrderedField α
x : α
hx : 0 ≤ x
h'x : x < 1
m n : ℕ
hmn : n < m
⊢ 0 ≤ 1 - x
case inr
α : Type u
inst✝ : LinearOrderedField α
x : α
hx : 0 ≤ x
h'x : x < 1
m n : ℕ
hmn : n < m
⊢ 0 ≤ x ^ m / (1 - x)
apply div_nonneg (pow_nonneg hx _)
no goals
case inr
α : Type u
inst✝ : LinearOrderedField α
x : α
hx : 0 ≤ x
h'x : x < 1
m n : ℕ
hmn : n < m
⊢ 0 ≤ 1 - x
simpa using h'x.le
no goals
case inr
α : Type u
inst✝ : LinearOrderedField α
x : α
hx : 0 ≤ x
h'x : x < 1
m n : ℕ
hmn : n < m
⊢ ¬m < n
simpa using hmn.le