α : Type ?u.163184
β : Type ?u.163187
γ : Type ?u.163190
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y✝ z✝ ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
x y z : ℝ≥0∞
h : x < y + z
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
this : NeZero y
⊢ ∃ y' z', y' < y ∧ z' < z ∧ x < y' + z'
α : Type ?u.163184
β : Type ?u.163187
γ : Type ?u.163190
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y✝ z✝ ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
x y z : ℝ≥0∞
h : x < y + z
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
⊢ ∃ y' z', y' < y ∧ z' < z ∧ x < y' + z'
have : NeZero y := ⟨hy⟩
α : Type ?u.163184
β : Type ?u.163187
γ : Type ?u.163190
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y✝ z✝ ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
x y z : ℝ≥0∞
h : x < y + z
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
this✝ : NeZero y
this : NeZero z
⊢ ∃ y' z', y' < y ∧ z' < z ∧ x < y' + z'
α : Type ?u.163184
β : Type ?u.163187
γ : Type ?u.163190
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y✝ z✝ ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
x y z : ℝ≥0∞
h : x < y + z
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
this : NeZero y
⊢ ∃ y' z', y' < y ∧ z' < z ∧ x < y' + z'
have : NeZero z := ⟨hz⟩
α : Type ?u.163184
β : Type ?u.163187
γ : Type ?u.163190
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y✝ z✝ ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
x y z : ℝ≥0∞
h : x < y + z
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
this✝ : NeZero y
this : NeZero z
A : Tendsto (fun p => p.fst + p.snd) (𝓝[Iio y] y ×ˢ 𝓝[Iio z] z) (𝓝 (y + z))
⊢ ∃ y' z', y' < y ∧ z' < z ∧ x < y' + z'
α : Type ?u.163184
β : Type ?u.163187
γ : Type ?u.163190
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y✝ z✝ ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
x y z : ℝ≥0∞
h : x < y + z
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
this✝ : NeZero y
this : NeZero z
⊢ ∃ y' z', y' < y ∧ z' < z ∧ x < y' + z'
have A : Tendsto (fun p : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞ => p.1 + p.2) (𝓝[<] y ×ˢ 𝓝[<] z) (𝓝 (y + z)) := by
  apply Tendsto.mono_left _ (Filter.prod_mono nhdsWithin_le_nhds nhdsWithin_le_nhds)
  rw [← nhds_prod_eq]
  exact tendsto_add
case intro.mk.intro.intro
α : Type ?u.163184
β : Type ?u.163187
γ : Type ?u.163190
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y✝ z✝ ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
x y z : ℝ≥0∞
h : x < y + z
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
this✝ : NeZero y
this : NeZero z
A : Tendsto (fun p => p.fst + p.snd) (𝓝[Iio y] y ×ˢ 𝓝[Iio z] z) (𝓝 (y + z))
y' z' : ℝ≥0∞
hx : x < (y', z').fst + (y', z').snd
hy' : (y', z').fst ∈ Iio y
hz' : (y', z').snd ∈ Iio z
⊢ ∃ y' z', y' < y ∧ z' < z ∧ x < y' + z'
α : Type ?u.163184
β : Type ?u.163187
γ : Type ?u.163190
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y✝ z✝ ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
x y z : ℝ≥0∞
h : x < y + z
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
this✝ : NeZero y
this : NeZero z
A : Tendsto (fun p => p.fst + p.snd) (𝓝[Iio y] y ×ˢ 𝓝[Iio z] z) (𝓝 (y + z))
⊢ ∃ y' z', y' < y ∧ z' < z ∧ x < y' + z'
rcases ((A.eventually (lt_mem_nhds h)).and
    (Filter.prod_mem_prod self_mem_nhdsWithin self_mem_nhdsWithin)).exists with
  ⟨⟨y', z'⟩, hx, hy', hz'⟩
no goals
case intro.mk.intro.intro
α : Type ?u.163184
β : Type ?u.163187
γ : Type ?u.163190
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y✝ z✝ ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
x y z : ℝ≥0∞
h : x < y + z
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
this✝ : NeZero y
this : NeZero z
A : Tendsto (fun p => p.fst + p.snd) (𝓝[Iio y] y ×ˢ 𝓝[Iio z] z) (𝓝 (y + z))
y' z' : ℝ≥0∞
hx : x < (y', z').fst + (y', z').snd
hy' : (y', z').fst ∈ Iio y
hz' : (y', z').snd ∈ Iio z
⊢ ∃ y' z', y' < y ∧ z' < z ∧ x < y' + z'
exact ⟨y', z', hy', hz', hx⟩
α : Type ?u.163184
β : Type ?u.163187
γ : Type ?u.163190
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y✝ z✝ ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
x y z : ℝ≥0∞
h : x < y + z
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
this✝ : NeZero y
this : NeZero z
⊢ Tendsto (fun p => p.fst + p.snd) (𝓝 y ×ˢ 𝓝 z) (𝓝 (y + z))
α : Type ?u.163184
β : Type ?u.163187
γ : Type ?u.163190
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y✝ z✝ ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
x y z : ℝ≥0∞
h : x < y + z
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
this✝ : NeZero y
this : NeZero z
⊢ Tendsto (fun p => p.fst + p.snd) (𝓝[Iio y] y ×ˢ 𝓝[Iio z] z) (𝓝 (y + z))
apply Tendsto.mono_left _ (Filter.prod_mono nhdsWithin_le_nhds nhdsWithin_le_nhds)
α : Type ?u.163184
β : Type ?u.163187
γ : Type ?u.163190
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y✝ z✝ ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
x y z : ℝ≥0∞
h : x < y + z
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
this✝ : NeZero y
this : NeZero z
⊢ Tendsto (fun p => p.fst + p.snd) (𝓝 (y, z)) (𝓝 (y + z))
α : Type ?u.163184
β : Type ?u.163187
γ : Type ?u.163190
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y✝ z✝ ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
x y z : ℝ≥0∞
h : x < y + z
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
this✝ : NeZero y
this : NeZero z
⊢ Tendsto (fun p => p.fst + p.snd) (𝓝 y ×ˢ 𝓝 z) (𝓝 (y + z))
rw [← nhds_prod_eq]
no goals
α : Type ?u.163184
β : Type ?u.163187
γ : Type ?u.163190
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y✝ z✝ ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
x y z : ℝ≥0∞
h : x < y + z
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
this✝ : NeZero y
this : NeZero z
⊢ Tendsto (fun p => p.fst + p.snd) (𝓝 (y, z)) (𝓝 (y + z))
exact tendsto_add