no goals
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
n : ℕ
x✝ : ↑n ≠ -1
⊢ A ^ (↑n + 1) = A ^ ↑n * A
simp only [pow_succ', ← Nat.cast_succ, zpow_ofNat]
case inl.intro
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
n : ℕ
x✝ : -(↑n + 2) ≠ -1
h : A⁻¹ ⬝ A = 1
right✝ : A ⬝ A⁻¹ = 1
⊢ A ^ (-(↑n + 2) + 1) = A ^ (-(↑n + 2)) * A

case inr
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
n : ℕ
x✝ : -(↑n + 2) ≠ -1
h : A⁻¹ = 0
⊢ A ^ (-(↑n + 2) + 1) = A ^ (-(↑n + 2)) * A
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
n : ℕ
x✝ : -(↑n + 2) ≠ -1
⊢ A ^ (-(↑n + 2) + 1) = A ^ (-(↑n + 2)) * A
rcases nonsing_inv_cancel_or_zero A with (⟨h, _⟩ | h)
no goals
case inl.intro
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
n : ℕ
x✝ : -(↑n + 2) ≠ -1
h : A⁻¹ ⬝ A = 1
right✝ : A ⬝ A⁻¹ = 1
⊢ A ^ (-(↑n + 2) + 1) = A ^ (-(↑n + 2)) * A
apply zpow_add_one (isUnit_det_of_left_inverse h)
case inr
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
n : ℕ
x✝ : -(↑n + 2) ≠ -1
h : A⁻¹ = 0
⊢ A ^ (-↑(n + 1)) = A ^ (-↑(n + 2)) * A
case inr
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
n : ℕ
x✝ : -(↑n + 2) ≠ -1
h : A⁻¹ = 0
⊢ A ^ (-(↑n + 2) + 1) = A ^ (-(↑n + 2)) * A
show A ^ (-((n + 1 : ℕ) : ℤ)) = A ^ (-((n + 2 : ℕ) : ℤ)) * A
no goals
case inr
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
n : ℕ
x✝ : -(↑n + 2) ≠ -1
h : A⁻¹ = 0
⊢ A ^ (-↑(n + 1)) = A ^ (-↑(n + 2)) * A
simp_rw [zpow_neg_coe_nat, ← inv_pow', h, zero_pow Nat.succ_pos', MulZeroClass.zero_mul]