R : Type u_1
R₁ : Type ?u.2299921
R₂ : Type ?u.2299924
R₃ : Type ?u.2299927
R₄ : Type ?u.2299930
S : Type ?u.2299933
K : Type ?u.2299936
K₂ : Type ?u.2299939
M : Type ?u.2299942
M' : Type ?u.2299945
M₁ : Type ?u.2299948
M₂ : Type ?u.2299951
M₃ : Type ?u.2299954
M₄ : Type ?u.2299957
N : Type u_2
N₂ : Type u_3
ι : Type ?u.2299966
V : Type ?u.2299969
V₂ : Type ?u.2299972
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R₂ M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R N₂
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₁ : R₂ →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair τ₁₂ τ₂₁
inst✝ : RingHomInvPair τ₂₁ τ₁₂
p : Submodule R M
q : Submodule R₂ M₂
pₗ : Submodule R N
qₗ : Submodule R N₂
fₗ : N →ₗ[R] N₂
c : R
⊢ ∀ ⦃x : N⦄, x ∈ comap fₗ qₗ → x ∈ comap (c • fₗ) qₗ
R : Type u_1
R₁ : Type ?u.2299921
R₂ : Type ?u.2299924
R₃ : Type ?u.2299927
R₄ : Type ?u.2299930
S : Type ?u.2299933
K : Type ?u.2299936
K₂ : Type ?u.2299939
M : Type ?u.2299942
M' : Type ?u.2299945
M₁ : Type ?u.2299948
M₂ : Type ?u.2299951
M₃ : Type ?u.2299954
M₄ : Type ?u.2299957
N : Type u_2
N₂ : Type u_3
ι : Type ?u.2299966
V : Type ?u.2299969
V₂ : Type ?u.2299972
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R₂ M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R N₂
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₁ : R₂ →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair τ₁₂ τ₂₁
inst✝ : RingHomInvPair τ₂₁ τ₁₂
p : Submodule R M
q : Submodule R₂ M₂
pₗ : Submodule R N
qₗ : Submodule R N₂
fₗ : N →ₗ[R] N₂
c : R
⊢ comap fₗ qₗ ≤ comap (c • fₗ) qₗ
rw [SetLike.le_def]
R : Type u_1
R₁ : Type ?u.2299921
R₂ : Type ?u.2299924
R₃ : Type ?u.2299927
R₄ : Type ?u.2299930
S : Type ?u.2299933
K : Type ?u.2299936
K₂ : Type ?u.2299939
M : Type ?u.2299942
M' : Type ?u.2299945
M₁ : Type ?u.2299948
M₂ : Type ?u.2299951
M₃ : Type ?u.2299954
M₄ : Type ?u.2299957
N : Type u_2
N₂ : Type u_3
ι : Type ?u.2299966
V : Type ?u.2299969
V₂ : Type ?u.2299972
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R₂ M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R N₂
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₁ : R₂ →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair τ₁₂ τ₂₁
inst✝ : RingHomInvPair τ₂₁ τ₁₂
p : Submodule R M
q : Submodule R₂ M₂
pₗ : Submodule R N
qₗ : Submodule R N₂
fₗ : N →ₗ[R] N₂
c : R
m : N
h : m ∈ comap fₗ qₗ
⊢ m ∈ comap (c • fₗ) qₗ
R : Type u_1
R₁ : Type ?u.2299921
R₂ : Type ?u.2299924
R₃ : Type ?u.2299927
R₄ : Type ?u.2299930
S : Type ?u.2299933
K : Type ?u.2299936
K₂ : Type ?u.2299939
M : Type ?u.2299942
M' : Type ?u.2299945
M₁ : Type ?u.2299948
M₂ : Type ?u.2299951
M₃ : Type ?u.2299954
M₄ : Type ?u.2299957
N : Type u_2
N₂ : Type u_3
ι : Type ?u.2299966
V : Type ?u.2299969
V₂ : Type ?u.2299972
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R₂ M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R N₂
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₁ : R₂ →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair τ₁₂ τ₂₁
inst✝ : RingHomInvPair τ₂₁ τ₁₂
p : Submodule R M
q : Submodule R₂ M₂
pₗ : Submodule R N
qₗ : Submodule R N₂
fₗ : N →ₗ[R] N₂
c : R
⊢ ∀ ⦃x : N⦄, x ∈ comap fₗ qₗ → x ∈ comap (c • fₗ) qₗ
intro m h
R : Type u_1
R₁ : Type ?u.2299921
R₂ : Type ?u.2299924
R₃ : Type ?u.2299927
R₄ : Type ?u.2299930
S : Type ?u.2299933
K : Type ?u.2299936
K₂ : Type ?u.2299939
M : Type ?u.2299942
M' : Type ?u.2299945
M₁ : Type ?u.2299948
M₂ : Type ?u.2299951
M₃ : Type ?u.2299954
M₄ : Type ?u.2299957
N : Type u_2
N₂ : Type u_3
ι : Type ?u.2299966
V : Type ?u.2299969
V₂ : Type ?u.2299972
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R₂ M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R N₂
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₁ : R₂ →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair τ₁₂ τ₂₁
inst✝ : RingHomInvPair τ₂₁ τ₁₂
p : Submodule R M
q : Submodule R₂ M₂
pₗ : Submodule R N
qₗ : Submodule R N₂
fₗ : N →ₗ[R] N₂
c : R
m : N
h : m ∈ comap fₗ qₗ
⊢ c • ↑fₗ m ∈ qₗ
R : Type u_1
R₁ : Type ?u.2299921
R₂ : Type ?u.2299924
R₃ : Type ?u.2299927
R₄ : Type ?u.2299930
S : Type ?u.2299933
K : Type ?u.2299936
K₂ : Type ?u.2299939
M : Type ?u.2299942
M' : Type ?u.2299945
M₁ : Type ?u.2299948
M₂ : Type ?u.2299951
M₃ : Type ?u.2299954
M₄ : Type ?u.2299957
N : Type u_2
N₂ : Type u_3
ι : Type ?u.2299966
V : Type ?u.2299969
V₂ : Type ?u.2299972
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R₂ M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R N₂
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₁ : R₂ →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair τ₁₂ τ₂₁
inst✝ : RingHomInvPair τ₂₁ τ₁₂
p : Submodule R M
q : Submodule R₂ M₂
pₗ : Submodule R N
qₗ : Submodule R N₂
fₗ : N →ₗ[R] N₂
c : R
m : N
h : m ∈ comap fₗ qₗ
⊢ m ∈ comap (c • fₗ) qₗ
change c • fₗ m ∈ qₗ
R : Type u_1
R₁ : Type ?u.2299921
R₂ : Type ?u.2299924
R₃ : Type ?u.2299927
R₄ : Type ?u.2299930
S : Type ?u.2299933
K : Type ?u.2299936
K₂ : Type ?u.2299939
M : Type ?u.2299942
M' : Type ?u.2299945
M₁ : Type ?u.2299948
M₂ : Type ?u.2299951
M₃ : Type ?u.2299954
M₄ : Type ?u.2299957
N : Type u_2
N₂ : Type u_3
ι : Type ?u.2299966
V : Type ?u.2299969
V₂ : Type ?u.2299972
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R₂ M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R N₂
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₁ : R₂ →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair τ₁₂ τ₂₁
inst✝ : RingHomInvPair τ₂₁ τ₁₂
p : Submodule R M
q : Submodule R₂ M₂
pₗ : Submodule R N
qₗ : Submodule R N₂
fₗ : N →ₗ[R] N₂
c : R
m : N
h : ↑fₗ m ∈ qₗ
⊢ c • ↑fₗ m ∈ qₗ
R : Type u_1
R₁ : Type ?u.2299921
R₂ : Type ?u.2299924
R₃ : Type ?u.2299927
R₄ : Type ?u.2299930
S : Type ?u.2299933
K : Type ?u.2299936
K₂ : Type ?u.2299939
M : Type ?u.2299942
M' : Type ?u.2299945
M₁ : Type ?u.2299948
M₂ : Type ?u.2299951
M₃ : Type ?u.2299954
M₄ : Type ?u.2299957
N : Type u_2
N₂ : Type u_3
ι : Type ?u.2299966
V : Type ?u.2299969
V₂ : Type ?u.2299972
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R₂ M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R N₂
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₁ : R₂ →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair τ₁₂ τ₂₁
inst✝ : RingHomInvPair τ₂₁ τ₁₂
p : Submodule R M
q : Submodule R₂ M₂
pₗ : Submodule R N
qₗ : Submodule R N₂
fₗ : N →ₗ[R] N₂
c : R
m : N
h : m ∈ comap fₗ qₗ
⊢ c • ↑fₗ m ∈ qₗ
replace h : fₗ m ∈ qₗ := h
no goals
R : Type u_1
R₁ : Type ?u.2299921
R₂ : Type ?u.2299924
R₃ : Type ?u.2299927
R₄ : Type ?u.2299930
S : Type ?u.2299933
K : Type ?u.2299936
K₂ : Type ?u.2299939
M : Type ?u.2299942
M' : Type ?u.2299945
M₁ : Type ?u.2299948
M₂ : Type ?u.2299951
M₃ : Type ?u.2299954
M₄ : Type ?u.2299957
N : Type u_2
N₂ : Type u_3
ι : Type ?u.2299966
V : Type ?u.2299969
V₂ : Type ?u.2299972
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R₂ M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R N₂
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₁ : R₂ →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair τ₁₂ τ₂₁
inst✝ : RingHomInvPair τ₂₁ τ₁₂
p : Submodule R M
q : Submodule R₂ M₂
pₗ : Submodule R N
qₗ : Submodule R N₂
fₗ : N →ₗ[R] N₂
c : R
m : N
h : ↑fₗ m ∈ qₗ
⊢ c • ↑fₗ m ∈ qₗ
apply qₗ.smul_mem _ h