C : Type u₁
inst✝¹ : Category C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v₁ u₁)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : HasPullbacks C
⊢ Presieve.IsSheafFor P R ↔ ∀ (y : FirstObj P R), firstMap P R y = secondMap P R y → ∃! x, forkMap P R x = y
C : Type u₁
inst✝¹ : Category C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v₁ u₁)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : HasPullbacks C
⊢ Presieve.IsSheafFor P R ↔
    Nonempty (IsLimit (Fork.ofι (forkMap P R) (_ : forkMap P R ≫ firstMap P R = forkMap P R ≫ secondMap P R)))
rw [Types.type_equalizer_iff_unique]
C : Type u₁
inst✝¹ : Category C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v₁ u₁)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : HasPullbacks C
⊢ Presieve.IsSheafFor P R ↔
    ∀ (x : Presieve.FamilyOfElements P R),
      firstMap P R (↑(firstObjEqFamily P R).symm x) = secondMap P R (↑(firstObjEqFamily P R).symm x) →
        ∃! x_1, forkMap P R x_1 = ↑(firstObjEqFamily P R).symm x
C : Type u₁
inst✝¹ : Category C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v₁ u₁)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : HasPullbacks C
⊢ Presieve.IsSheafFor P R ↔ ∀ (y : FirstObj P R), firstMap P R y = secondMap P R y → ∃! x, forkMap P R x = y
erw [← Equiv.forall_congr_left (firstObjEqFamily P R).toEquiv.symm]
C : Type u₁
inst✝¹ : Category C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v₁ u₁)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : HasPullbacks C
⊢ Presieve.IsSheafFor P R ↔
    ∀ (x : Presieve.FamilyOfElements P R),
      Presieve.FamilyOfElements.Compatible x → ∃! x_1, forkMap P R x_1 = ↑(firstObjEqFamily P R).symm x
C : Type u₁
inst✝¹ : Category C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v₁ u₁)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : HasPullbacks C
⊢ Presieve.IsSheafFor P R ↔
    ∀ (x : Presieve.FamilyOfElements P R),
      firstMap P R (↑(firstObjEqFamily P R).symm x) = secondMap P R (↑(firstObjEqFamily P R).symm x) →
        ∃! x_1, forkMap P R x_1 = ↑(firstObjEqFamily P R).symm x
simp_rw [← compatible_iff, ← Iso.toEquiv_fun, Equiv.apply_symm_apply]
case H
C : Type u₁
inst✝¹ : Category C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v₁ u₁)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : HasPullbacks C
⊢ ∀ (x : Presieve.FamilyOfElements P R),
    Presieve.FamilyOfElements.Compatible x →
      ((∃! t, Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x t) ↔ ∃! x_1, forkMap P R x_1 = ↑(firstObjEqFamily P R).symm x)
C : Type u₁
inst✝¹ : Category C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v₁ u₁)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : HasPullbacks C
⊢ Presieve.IsSheafFor P R ↔
    ∀ (x : Presieve.FamilyOfElements P R),
      Presieve.FamilyOfElements.Compatible x → ∃! x_1, forkMap P R x_1 = ↑(firstObjEqFamily P R).symm x
apply ball_congr
case H
C : Type u₁
inst✝¹ : Category C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v₁ u₁)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : HasPullbacks C
x : Presieve.FamilyOfElements P R
h✝ : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x
⊢ (∃! t, Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x t) ↔ ∃! x_1, forkMap P R x_1 = ↑(firstObjEqFamily P R).symm x
case H
C : Type u₁
inst✝¹ : Category C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v₁ u₁)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : HasPullbacks C
⊢ ∀ (x : Presieve.FamilyOfElements P R),
    Presieve.FamilyOfElements.Compatible x →
      ((∃! t, Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x t) ↔ ∃! x_1, forkMap P R x_1 = ↑(firstObjEqFamily P R).symm x)
intro x _
case H.h
C : Type u₁
inst✝¹ : Category C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v₁ u₁)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : HasPullbacks C
x : Presieve.FamilyOfElements P R
h✝ : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x
⊢ ∀ (a : P.obj X.op), Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x a ↔ forkMap P R a = ↑(firstObjEqFamily P R).symm x
case H
C : Type u₁
inst✝¹ : Category C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v₁ u₁)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : HasPullbacks C
x : Presieve.FamilyOfElements P R
h✝ : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x
⊢ (∃! t, Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x t) ↔ ∃! x_1, forkMap P R x_1 = ↑(firstObjEqFamily P R).symm x
apply exists_unique_congr
case H.h
C : Type u₁
inst✝¹ : Category C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v₁ u₁)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : HasPullbacks C
x : Presieve.FamilyOfElements P R
h✝ : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x
t : P.obj X.op
⊢ Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x t ↔ forkMap P R t = ↑(firstObjEqFamily P R).symm x
case H.h
C : Type u₁
inst✝¹ : Category C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v₁ u₁)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : HasPullbacks C
x : Presieve.FamilyOfElements P R
h✝ : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x
⊢ ∀ (a : P.obj X.op), Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x a ↔ forkMap P R a = ↑(firstObjEqFamily P R).symm x
intro t
case H.h
C : Type u₁
inst✝¹ : Category C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v₁ u₁)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : HasPullbacks C
x : Presieve.FamilyOfElements P R
h✝ : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x
t : P.obj X.op
⊢ Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x t ↔ ↑(firstObjEqFamily P R).toEquiv (forkMap P R t) = x
case H.h
C : Type u₁
inst✝¹ : Category C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v₁ u₁)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : HasPullbacks C
x : Presieve.FamilyOfElements P R
h✝ : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x
t : P.obj X.op
⊢ Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x t ↔ forkMap P R t = ↑(firstObjEqFamily P R).symm x
rw [Equiv.eq_symm_apply]
case H.h.mp
C : Type u₁
inst✝¹ : Category C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v₁ u₁)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : HasPullbacks C
x : Presieve.FamilyOfElements P R
h✝ : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x
t : P.obj X.op
⊢ Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x t → ↑(firstObjEqFamily P R).toEquiv (forkMap P R t) = x

case H.h.mpr
C : Type u₁
inst✝¹ : Category C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v₁ u₁)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : HasPullbacks C
x : Presieve.FamilyOfElements P R
h✝ : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x
t : P.obj X.op
⊢ ↑(firstObjEqFamily P R).toEquiv (forkMap P R t) = x → Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
case H.h
C : Type u₁
inst✝¹ : Category C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v₁ u₁)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : HasPullbacks C
x : Presieve.FamilyOfElements P R
h✝ : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x
t : P.obj X.op
⊢ Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x t ↔ ↑(firstObjEqFamily P R).toEquiv (forkMap P R t) = x
constructor
case H.h.mp
C : Type u₁
inst✝¹ : Category C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v₁ u₁)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : HasPullbacks C
x : Presieve.FamilyOfElements P R
h✝ : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x
t : P.obj X.op
q : Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
⊢ ↑(firstObjEqFamily P R).toEquiv (forkMap P R t) = x
case H.h.mp
C : Type u₁
inst✝¹ : Category C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v₁ u₁)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : HasPullbacks C
x : Presieve.FamilyOfElements P R
h✝ : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x
t : P.obj X.op
⊢ Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x t → ↑(firstObjEqFamily P R).toEquiv (forkMap P R t) = x
intro q
case H.h.mp.h.h.h
C : Type u₁
inst✝¹ : Category C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v₁ u₁)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : HasPullbacks C
x : Presieve.FamilyOfElements P R
h✝ : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x
t : P.obj X.op
q : Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : R f
⊢ ↑(firstObjEqFamily P R).toEquiv (forkMap P R t) f hf = x f hf
case H.h.mp
C : Type u₁
inst✝¹ : Category C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v₁ u₁)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : HasPullbacks C
x : Presieve.FamilyOfElements P R
h✝ : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x
t : P.obj X.op
q : Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
⊢ ↑(firstObjEqFamily P R).toEquiv (forkMap P R t) = x
funext Y f hf
no goals
case H.h.mp.h.h.h
C : Type u₁
inst✝¹ : Category C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v₁ u₁)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : HasPullbacks C
x : Presieve.FamilyOfElements P R
h✝ : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x
t : P.obj X.op
q : Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : R f
⊢ ↑(firstObjEqFamily P R).toEquiv (forkMap P R t) f hf = x f hf
simpa [forkMap] using q _ _
case H.h.mpr
C : Type u₁
inst✝¹ : Category C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v₁ u₁)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : HasPullbacks C
x : Presieve.FamilyOfElements P R
h✝ : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x
t : P.obj X.op
q : ↑(firstObjEqFamily P R).toEquiv (forkMap P R t) = x
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : R f
⊢ P.map f.op t = x f hf
case H.h.mpr
C : Type u₁
inst✝¹ : Category C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v₁ u₁)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : HasPullbacks C
x : Presieve.FamilyOfElements P R
h✝ : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x
t : P.obj X.op
⊢ ↑(firstObjEqFamily P R).toEquiv (forkMap P R t) = x → Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
intro q Y f hf
case H.h.mpr
C : Type u₁
inst✝¹ : Category C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v₁ u₁)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : HasPullbacks C
x : Presieve.FamilyOfElements P R
h✝ : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x
t : P.obj X.op
q : ↑(firstObjEqFamily P R).toEquiv (forkMap P R t) = x
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : R f
⊢ P.map f.op t = ↑(firstObjEqFamily P R).toEquiv (forkMap P R t) f hf
case H.h.mpr
C : Type u₁
inst✝¹ : Category C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v₁ u₁)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : HasPullbacks C
x : Presieve.FamilyOfElements P R
h✝ : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x
t : P.obj X.op
q : ↑(firstObjEqFamily P R).toEquiv (forkMap P R t) = x
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : R f
⊢ P.map f.op t = x f hf
rw [← q]
no goals
case H.h.mpr
C : Type u₁
inst✝¹ : Category C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v₁ u₁)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : HasPullbacks C
x : Presieve.FamilyOfElements P R
h✝ : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x
t : P.obj X.op
q : ↑(firstObjEqFamily P R).toEquiv (forkMap P R t) = x
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : R f
⊢ P.map f.op t = ↑(firstObjEqFamily P R).toEquiv (forkMap P R t) f hf
simp [forkMap]