𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 V
inst✝⁹ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup W
inst✝⁷ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : TopologicalRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : TopologicalSpace W
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : MeasureTheory.Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
he : Continuous ↑e
hL : Continuous fun p => ↑(↑L p.fst) p.snd
f : V → E
w : W
aux : ∀ {g : V → E}, Integrable g → ∀ (x : W), Integrable fun v => ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) x))) • g v
⊢ Integrable f ↔ Integrable fun v => ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) w))) • f v
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 V
inst✝⁹ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup W
inst✝⁷ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : TopologicalRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : TopologicalSpace W
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : MeasureTheory.Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
he : Continuous ↑e
hL : Continuous fun p => ↑(↑L p.fst) p.snd
f : V → E
w : W
⊢ Integrable f ↔ Integrable fun v => ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) w))) • f v
have aux :
  ∀ {g : V → E} (_ : Integrable g μ) (x : W), Integrable (fun v : V => e[-L v x] • g v) μ := by
  intro g hg x
  have c : Continuous fun v => e[-L v x] := by
    refine' (continuous_induced_rng.mp he).comp (continuous_ofAdd.comp (Continuous.neg _))
    exact hL.comp (continuous_prod_mk.mpr ⟨continuous_id, continuous_const⟩)
  rw [← integrable_norm_iff (c.aestronglyMeasurable.smul hg.1)]
  convert hg.norm using 2
  rw [norm_smul, Complex.norm_eq_abs, abs_coe_circle, one_mul]
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 V
inst✝⁹ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup W
inst✝⁷ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : TopologicalRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : TopologicalSpace W
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : MeasureTheory.Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
he : Continuous ↑e
hL : Continuous fun p => ↑(↑L p.fst) p.snd
f : V → E
w : W
aux : ∀ {g : V → E}, Integrable g → ∀ (x : W), Integrable fun v => ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) x))) • g v
hf : Integrable fun v => ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) w))) • f v
⊢ Integrable f
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 V
inst✝⁹ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup W
inst✝⁷ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : TopologicalRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : TopologicalSpace W
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : MeasureTheory.Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
he : Continuous ↑e
hL : Continuous fun p => ↑(↑L p.fst) p.snd
f : V → E
w : W
aux : ∀ {g : V → E}, Integrable g → ∀ (x : W), Integrable fun v => ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) x))) • g v
⊢ Integrable f ↔ Integrable fun v => ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) w))) • f v
refine' ⟨fun hf => aux hf w, fun hf => _⟩
case h.e'_5.h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 V
inst✝⁹ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup W
inst✝⁷ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : TopologicalRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : TopologicalSpace W
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : MeasureTheory.Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
he : Continuous ↑e
hL : Continuous fun p => ↑(↑L p.fst) p.snd
f : V → E
w : W
aux : ∀ {g : V → E}, Integrable g → ∀ (x : W), Integrable fun v => ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) x))) • g v
hf : Integrable fun v => ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) w))) • f v
x✝ : V
⊢ f x✝ = ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L x✝) (-w)))) • ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L x✝) w))) • f x✝
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 V
inst✝⁹ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup W
inst✝⁷ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : TopologicalRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : TopologicalSpace W
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : MeasureTheory.Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
he : Continuous ↑e
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aux : ∀ {g : V → E}, Integrable g → ∀ (x : W), Integrable fun v => ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) x))) • g v
hf : Integrable fun v => ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) w))) • f v
⊢ Integrable f
convert aux hf (-w)
no goals
case h.e'_5.h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 V
inst✝⁹ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup W
inst✝⁷ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : TopologicalRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : TopologicalSpace W
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : MeasureTheory.Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
he : Continuous ↑e
hL : Continuous fun p => ↑(↑L p.fst) p.snd
f : V → E
w : W
aux : ∀ {g : V → E}, Integrable g → ∀ (x : W), Integrable fun v => ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) x))) • g v
hf : Integrable fun v => ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) w))) • f v
x✝ : V
⊢ f x✝ = ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L x✝) (-w)))) • ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L x✝) w))) • f x✝
rw [← smul_assoc, smul_eq_mul, ← Submonoid.coe_mul, ← MonoidHom.map_mul, ← ofAdd_add,
  LinearMap.map_neg, neg_neg, ← sub_eq_add_neg, sub_self, ofAdd_zero, MonoidHom.map_one,
  Submonoid.coe_one, one_smul]
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 V
inst✝⁹ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup W
inst✝⁷ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : TopologicalRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : TopologicalSpace W
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : MeasureTheory.Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
he : Continuous ↑e
hL : Continuous fun p => ↑(↑L p.fst) p.snd
f : V → E
w : W
g : V → E
hg : Integrable g
x : W
⊢ Integrable fun v => ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) x))) • g v
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 V
inst✝⁹ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup W
inst✝⁷ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : TopologicalRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : TopologicalSpace W
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : MeasureTheory.Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
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⊢ ∀ {g : V → E}, Integrable g → ∀ (x : W), Integrable fun v => ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) x))) • g v
intro g hg x
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 V
inst✝⁹ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup W
inst✝⁷ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : TopologicalRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : TopologicalSpace W
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : MeasureTheory.Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
he : Continuous ↑e
hL : Continuous fun p => ↑(↑L p.fst) p.snd
f : V → E
w : W
g : V → E
hg : Integrable g
x : W
c : Continuous fun v => ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) x)))
⊢ Integrable fun v => ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) x))) • g v
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 V
inst✝⁹ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
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E : Type u_4
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inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
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e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
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g : V → E
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⊢ Integrable fun v => ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) x))) • g v
have c : Continuous fun v => e[-L v x] := by
  refine' (continuous_induced_rng.mp he).comp (continuous_ofAdd.comp (Continuous.neg _))
  exact hL.comp (continuous_prod_mk.mpr ⟨continuous_id, continuous_const⟩)
𝕜 : Type u_1
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V : Type u_2
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E : Type u_4
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e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
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hg : Integrable g
x : W
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⊢ Integrable fun a => ‖↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L a) x))) • g a‖
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : CommRing 𝕜
V : Type u_2
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E : Type u_4
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inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : TopologicalRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : TopologicalSpace W
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g : V → E
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c : Continuous fun v => ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) x)))
⊢ Integrable fun v => ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) x))) • g v
rw [← integrable_norm_iff (c.aestronglyMeasurable.smul hg.1)]
case h.e'_5.h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : CommRing 𝕜
V : Type u_2
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inst✝¹⁰ : Module 𝕜 V
inst✝⁹ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
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inst✝⁷ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
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inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : TopologicalSpace W
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : MeasureTheory.Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
he : Continuous ↑e
hL : Continuous fun p => ↑(↑L p.fst) p.snd
f : V → E
w : W
g : V → E
hg : Integrable g
x : W
c : Continuous fun v => ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) x)))
x✝ : V
⊢ ‖↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L x✝) x))) • g x✝‖ = ‖g x✝‖
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 V
inst✝⁹ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
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E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : TopologicalRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : TopologicalSpace W
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : MeasureTheory.Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
he : Continuous ↑e
hL : Continuous fun p => ↑(↑L p.fst) p.snd
f : V → E
w : W
g : V → E
hg : Integrable g
x : W
c : Continuous fun v => ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) x)))
⊢ Integrable fun a => ‖↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L a) x))) • g a‖
convert hg.norm using 2
no goals
case h.e'_5.h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 V
inst✝⁹ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup W
inst✝⁷ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : TopologicalRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : TopologicalSpace W
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : MeasureTheory.Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
he : Continuous ↑e
hL : Continuous fun p => ↑(↑L p.fst) p.snd
f : V → E
w : W
g : V → E
hg : Integrable g
x : W
c : Continuous fun v => ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) x)))
x✝ : V
⊢ ‖↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L x✝) x))) • g x✝‖ = ‖g x✝‖
rw [norm_smul, Complex.norm_eq_abs, abs_coe_circle, one_mul]
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 V
inst✝⁹ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
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inst✝⁷ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
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inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : TopologicalRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : TopologicalSpace W
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
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L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
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hL : Continuous fun p => ↑(↑L p.fst) p.snd
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g : V → E
hg : Integrable g
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⊢ Continuous fun v => ↑(↑L v) x
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 V
inst✝⁹ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
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inst✝⁷ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
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inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : TopologicalRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : TopologicalSpace W
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : MeasureTheory.Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
he : Continuous ↑e
hL : Continuous fun p => ↑(↑L p.fst) p.snd
f : V → E
w : W
g : V → E
hg : Integrable g
x : W
⊢ Continuous fun v => ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) x)))
refine' (continuous_induced_rng.mp he).comp (continuous_ofAdd.comp (Continuous.neg _))
no goals
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
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inst✝⁹ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
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E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : TopologicalRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : TopologicalSpace W
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : MeasureTheory.Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
he : Continuous ↑e
hL : Continuous fun p => ↑(↑L p.fst) p.snd
f : V → E
w : W
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⊢ Continuous fun v => ↑(↑L v) x
exact hL.comp (continuous_prod_mk.mpr ⟨continuous_id, continuous_const⟩)