ι : Sort ?u.92543
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
s : Set α
x : α
A : Set α
r₁ r₂ : ℝ
hr : r₁ < r₂
⊢ Disjoint (frontier (thickening r₁ A)) (frontier (thickening r₂ A))
ι : Sort ?u.92543
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
s : Set α
x : α
A : Set α
⊢ Pairwise (Disjoint on fun r => frontier (thickening r A))
refine' (pairwise_disjoint_on _).2 fun r₁ r₂ hr => _
case inl
ι : Sort ?u.92543
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
s : Set α
x : α
A : Set α
r₁ r₂ : ℝ
hr : r₁ < r₂
h₁ : r₁ ≤ 0
⊢ Disjoint (frontier (thickening r₁ A)) (frontier (thickening r₂ A))

case inr
ι : Sort ?u.92543
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
s : Set α
x : α
A : Set α
r₁ r₂ : ℝ
hr : r₁ < r₂
h₁ : 0 ≤ r₁
⊢ Disjoint (frontier (thickening r₁ A)) (frontier (thickening r₂ A))
ι : Sort ?u.92543
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
s : Set α
x : α
A : Set α
r₁ r₂ : ℝ
hr : r₁ < r₂
⊢ Disjoint (frontier (thickening r₁ A)) (frontier (thickening r₂ A))
cases' le_total r₁ 0 with h₁ h₁
case inr
ι : Sort ?u.92543
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
s : Set α
x : α
A : Set α
r₁ r₂ : ℝ
hr : r₁ < r₂
h₁ : 0 ≤ r₁
h : ENNReal.ofReal r₁ = ENNReal.ofReal r₂
⊢ r₁ = r₂
case inr
ι : Sort ?u.92543
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
s : Set α
x : α
A : Set α
r₁ r₂ : ℝ
hr : r₁ < r₂
h₁ : 0 ≤ r₁
⊢ Disjoint (frontier (thickening r₁ A)) (frontier (thickening r₂ A))
refine' ((disjoint_singleton.2 fun h => hr.ne _).preimage _).mono (frontier_thickening_subset _)
  (frontier_thickening_subset _)
case inr
ι : Sort ?u.92543
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
s : Set α
x : α
A : Set α
r₁ r₂ : ℝ
hr : r₁ < r₂
h₁ : 0 ≤ r₁
h : ENNReal.toReal (ENNReal.ofReal r₁) = ENNReal.toReal (ENNReal.ofReal r₂)
⊢ r₁ = r₂
case inr
ι : Sort ?u.92543
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
s : Set α
x : α
A : Set α
r₁ r₂ : ℝ
hr : r₁ < r₂
h₁ : 0 ≤ r₁
h : ENNReal.ofReal r₁ = ENNReal.ofReal r₂
⊢ r₁ = r₂
apply_fun ENNReal.toReal at h
no goals
case inr
ι : Sort ?u.92543
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
s : Set α
x : α
A : Set α
r₁ r₂ : ℝ
hr : r₁ < r₂
h₁ : 0 ≤ r₁
h : ENNReal.toReal (ENNReal.ofReal r₁) = ENNReal.toReal (ENNReal.ofReal r₂)
⊢ r₁ = r₂
rwa [ENNReal.toReal_ofReal h₁, ENNReal.toReal_ofReal (h₁.trans hr.le)] at h
no goals
case inl
ι : Sort ?u.92543
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
s : Set α
x : α
A : Set α
r₁ r₂ : ℝ
hr : r₁ < r₂
h₁ : r₁ ≤ 0
⊢ Disjoint (frontier (thickening r₁ A)) (frontier (thickening r₂ A))
simp [thickening_of_nonpos h₁]