α : Type u_3
β : Type u_2
γ : Type ?u.394279
ι✝ : Type ?u.394282
inst✝⁵ : Countable ι✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
ι : Type u_1
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
u : Filter ι
inst✝¹ : NeBot u
inst✝ : IsCountablyGenerated u
f : ι → α → β
g : α → β
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
⊢ AEStronglyMeasurable g μ
α : Type u_3
β : Type u_2
γ : Type ?u.394279
ι✝ : Type ?u.394282
inst✝⁵ : Countable ι✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
ι : Type u_1
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
u : Filter ι
inst✝¹ : NeBot u
inst✝ : IsCountablyGenerated u
f : ι → α → β
g : α → β
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))
⊢ AEStronglyMeasurable g μ
borelize β
case refine'_1
α : Type u_3
β : Type u_2
γ : Type ?u.394279
ι✝ : Type ?u.394282
inst✝⁵ : Countable ι✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
ι : Type u_1
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
u : Filter ι
inst✝¹ : NeBot u
inst✝ : IsCountablyGenerated u
f : ι → α → β
g : α → β
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
⊢ AEMeasurable g

case refine'_2
α : Type u_3
β : Type u_2
γ : Type ?u.394279
ι✝ : Type ?u.394282
inst✝⁵ : Countable ι✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
ι : Type u_1
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
u : Filter ι
inst✝¹ : NeBot u
inst✝ : IsCountablyGenerated u
f : ι → α → β
g : α → β
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
⊢ ∃ t, IsSeparable t ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x ∈ t
α : Type u_3
β : Type u_2
γ : Type ?u.394279
ι✝ : Type ?u.394282
inst✝⁵ : Countable ι✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
ι : Type u_1
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
u : Filter ι
inst✝¹ : NeBot u
inst✝ : IsCountablyGenerated u
f : ι → α → β
g : α → β
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
⊢ AEStronglyMeasurable g μ
refine' aestronglyMeasurable_iff_aemeasurable_separable.2 ⟨_, _⟩
no goals
case refine'_1
α : Type u_3
β : Type u_2
γ : Type ?u.394279
ι✝ : Type ?u.394282
inst✝⁵ : Countable ι✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
ι : Type u_1
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
u : Filter ι
inst✝¹ : NeBot u
inst✝ : IsCountablyGenerated u
f : ι → α → β
g : α → β
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
⊢ AEMeasurable g
exact aemeasurable_of_tendsto_metrizable_ae _ (fun n => (hf n).aemeasurable) lim
case refine'_2.intro
α : Type u_3
β : Type u_2
γ : Type ?u.394279
ι✝ : Type ?u.394282
inst✝⁵ : Countable ι✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
ι : Type u_1
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
u : Filter ι
inst✝¹ : NeBot u
inst✝ : IsCountablyGenerated u
f : ι → α → β
g : α → β
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
v : ℕ → ι
hv : Tendsto v atTop u
⊢ ∃ t, IsSeparable t ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x ∈ t
case refine'_2
α : Type u_3
β : Type u_2
γ : Type ?u.394279
ι✝ : Type ?u.394282
inst✝⁵ : Countable ι✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
ι : Type u_1
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
u : Filter ι
inst✝¹ : NeBot u
inst✝ : IsCountablyGenerated u
f : ι → α → β
g : α → β
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
⊢ ∃ t, IsSeparable t ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x ∈ t
rcases u.exists_seq_tendsto with ⟨v, hv⟩
case refine'_2.intro
α : Type u_3
β : Type u_2
γ : Type ?u.394279
ι✝ : Type ?u.394282
inst✝⁵ : Countable ι✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
ι : Type u_1
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
u : Filter ι
inst✝¹ : NeBot u
inst✝ : IsCountablyGenerated u
f : ι → α → β
g : α → β
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
v : ℕ → ι
hv : Tendsto v atTop u
this : ∀ (n : ℕ), ∃ t, IsSeparable t ∧ f (v n) ⁻¹' t ∈ ae μ
⊢ ∃ t, IsSeparable t ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x ∈ t
case refine'_2.intro
α : Type u_3
β : Type u_2
γ : Type ?u.394279
ι✝ : Type ?u.394282
inst✝⁵ : Countable ι✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
ι : Type u_1
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
u : Filter ι
inst✝¹ : NeBot u
inst✝ : IsCountablyGenerated u
f : ι → α → β
g : α → β
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
v : ℕ → ι
hv : Tendsto v atTop u
⊢ ∃ t, IsSeparable t ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x ∈ t
have : ∀ n : ℕ, ∃ t : Set β, IsSeparable t ∧ f (v n) ⁻¹' t ∈ μ.ae := fun n =>
  (aestronglyMeasurable_iff_aemeasurable_separable.1 (hf (v n))).2
case refine'_2.intro
α : Type u_3
β : Type u_2
γ : Type ?u.394279
ι✝ : Type ?u.394282
inst✝⁵ : Countable ι✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
ι : Type u_1
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
u : Filter ι
inst✝¹ : NeBot u
inst✝ : IsCountablyGenerated u
f : ι → α → β
g : α → β
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
v : ℕ → ι
hv : Tendsto v atTop u
t : ℕ → Set β
t_sep : ∀ (n : ℕ), IsSeparable (t n)
ht : ∀ (n : ℕ), f (v n) ⁻¹' t n ∈ ae μ
⊢ ∃ t, IsSeparable t ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x ∈ t
case refine'_2.intro
α : Type u_3
β : Type u_2
γ : Type ?u.394279
ι✝ : Type ?u.394282
inst✝⁵ : Countable ι✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
ι : Type u_1
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
u : Filter ι
inst✝¹ : NeBot u
inst✝ : IsCountablyGenerated u
f : ι → α → β
g : α → β
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
v : ℕ → ι
hv : Tendsto v atTop u
this : ∀ (n : ℕ), ∃ t, IsSeparable t ∧ f (v n) ⁻¹' t ∈ ae μ
⊢ ∃ t, IsSeparable t ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x ∈ t
choose t t_sep ht using this
case refine'_2.intro
α : Type u_3
β : Type u_2
γ : Type ?u.394279
ι✝ : Type ?u.394282
inst✝⁵ : Countable ι✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
ι : Type u_1
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
u : Filter ι
inst✝¹ : NeBot u
inst✝ : IsCountablyGenerated u
f : ι → α → β
g : α → β
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
v : ℕ → ι
hv : Tendsto v atTop u
t : ℕ → Set β
t_sep : ∀ (n : ℕ), IsSeparable (t n)
ht : ∀ (n : ℕ), f (v n) ⁻¹' t n ∈ ae μ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x ∈ closure (⋃ (i : ℕ), t i)
case refine'_2.intro
α : Type u_3
β : Type u_2
γ : Type ?u.394279
ι✝ : Type ?u.394282
inst✝⁵ : Countable ι✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
ι : Type u_1
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
u : Filter ι
inst✝¹ : NeBot u
inst✝ : IsCountablyGenerated u
f : ι → α → β
g : α → β
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
v : ℕ → ι
hv : Tendsto v atTop u
t : ℕ → Set β
t_sep : ∀ (n : ℕ), IsSeparable (t n)
ht : ∀ (n : ℕ), f (v n) ⁻¹' t n ∈ ae μ
⊢ ∃ t, IsSeparable t ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x ∈ t
refine' ⟨closure (⋃ i, t i), (isSeparable_iUnion fun i => t_sep i).closure, _⟩
case h
α : Type u_3
β : Type u_2
γ : Type ?u.394279
ι✝ : Type ?u.394282
inst✝⁵ : Countable ι✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
ι : Type u_1
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
u : Filter ι
inst✝¹ : NeBot u
inst✝ : IsCountablyGenerated u
f : ι → α → β
g : α → β
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
v : ℕ → ι
hv : Tendsto v atTop u
t : ℕ → Set β
t_sep : ∀ (n : ℕ), IsSeparable (t n)
ht : ∀ (n : ℕ), f (v n) ⁻¹' t n ∈ ae μ
x : α
hx : ∀ (i : ℕ), f (v i) x ∈ t i
h'x : Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))
⊢ g x ∈ closure (⋃ (i : ℕ), t i)
case refine'_2.intro
α : Type u_3
β : Type u_2
γ : Type ?u.394279
ι✝ : Type ?u.394282
inst✝⁵ : Countable ι✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
ι : Type u_1
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
u : Filter ι
inst✝¹ : NeBot u
inst✝ : IsCountablyGenerated u
f : ι → α → β
g : α → β
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
v : ℕ → ι
hv : Tendsto v atTop u
t : ℕ → Set β
t_sep : ∀ (n : ℕ), IsSeparable (t n)
ht : ∀ (n : ℕ), f (v n) ⁻¹' t n ∈ ae μ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x ∈ closure (⋃ (i : ℕ), t i)
filter_upwards [ae_all_iff.2 ht, lim] with x hx h'x
case h
α : Type u_3
β : Type u_2
γ : Type ?u.394279
ι✝ : Type ?u.394282
inst✝⁵ : Countable ι✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
ι : Type u_1
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
u : Filter ι
inst✝¹ : NeBot u
inst✝ : IsCountablyGenerated u
f : ι → α → β
g : α → β
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
v : ℕ → ι
hv : Tendsto v atTop u
t : ℕ → Set β
t_sep : ∀ (n : ℕ), IsSeparable (t n)
ht : ∀ (n : ℕ), f (v n) ⁻¹' t n ∈ ae μ
x : α
hx : ∀ (i : ℕ), f (v i) x ∈ t i
h'x : Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))
⊢ ∀ᶠ (x_1 : ℕ) in atTop, ((fun n => f n x) ∘ v) x_1 ∈ ⋃ (i : ℕ), t i
case h
α : Type u_3
β : Type u_2
γ : Type ?u.394279
ι✝ : Type ?u.394282
inst✝⁵ : Countable ι✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
ι : Type u_1
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
u : Filter ι
inst✝¹ : NeBot u
inst✝ : IsCountablyGenerated u
f : ι → α → β
g : α → β
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
v : ℕ → ι
hv : Tendsto v atTop u
t : ℕ → Set β
t_sep : ∀ (n : ℕ), IsSeparable (t n)
ht : ∀ (n : ℕ), f (v n) ⁻¹' t n ∈ ae μ
x : α
hx : ∀ (i : ℕ), f (v i) x ∈ t i
h'x : Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))
⊢ g x ∈ closure (⋃ (i : ℕ), t i)
apply mem_closure_of_tendsto (h'x.comp hv)
case h
α : Type u_3
β : Type u_2
γ : Type ?u.394279
ι✝ : Type ?u.394282
inst✝⁵ : Countable ι✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
ι : Type u_1
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
u : Filter ι
inst✝¹ : NeBot u
inst✝ : IsCountablyGenerated u
f : ι → α → β
g : α → β
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
v : ℕ → ι
hv : Tendsto v atTop u
t : ℕ → Set β
t_sep : ∀ (n : ℕ), IsSeparable (t n)
ht : ∀ (n : ℕ), f (v n) ⁻¹' t n ∈ ae μ
x : α
hx : ∀ (i : ℕ), f (v i) x ∈ t i
h'x : Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))
n : ℕ
⊢ ((fun n => f n x) ∘ v) n ∈ ⋃ (i : ℕ), t i
case h
α : Type u_3
β : Type u_2
γ : Type ?u.394279
ι✝ : Type ?u.394282
inst✝⁵ : Countable ι✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
ι : Type u_1
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
u : Filter ι
inst✝¹ : NeBot u
inst✝ : IsCountablyGenerated u
f : ι → α → β
g : α → β
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
v : ℕ → ι
hv : Tendsto v atTop u
t : ℕ → Set β
t_sep : ∀ (n : ℕ), IsSeparable (t n)
ht : ∀ (n : ℕ), f (v n) ⁻¹' t n ∈ ae μ
x : α
hx : ∀ (i : ℕ), f (v i) x ∈ t i
h'x : Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))
⊢ ∀ᶠ (x_1 : ℕ) in atTop, ((fun n => f n x) ∘ v) x_1 ∈ ⋃ (i : ℕ), t i
refine eventually_of_forall fun n => ?_
case h
α : Type u_3
β : Type u_2
γ : Type ?u.394279
ι✝ : Type ?u.394282
inst✝⁵ : Countable ι✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
ι : Type u_1
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
u : Filter ι
inst✝¹ : NeBot u
inst✝ : IsCountablyGenerated u
f : ι → α → β
g : α → β
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
v : ℕ → ι
hv : Tendsto v atTop u
t : ℕ → Set β
t_sep : ∀ (n : ℕ), IsSeparable (t n)
ht : ∀ (n : ℕ), f (v n) ⁻¹' t n ∈ ae μ
x : α
hx : ∀ (i : ℕ), f (v i) x ∈ t i
h'x : Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))
n : ℕ
⊢ ((fun n => f n x) ∘ v) n ∈ t n
case h
α : Type u_3
β : Type u_2
γ : Type ?u.394279
ι✝ : Type ?u.394282
inst✝⁵ : Countable ι✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
ι : Type u_1
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
u : Filter ι
inst✝¹ : NeBot u
inst✝ : IsCountablyGenerated u
f : ι → α → β
g : α → β
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
v : ℕ → ι
hv : Tendsto v atTop u
t : ℕ → Set β
t_sep : ∀ (n : ℕ), IsSeparable (t n)
ht : ∀ (n : ℕ), f (v n) ⁻¹' t n ∈ ae μ
x : α
hx : ∀ (i : ℕ), f (v i) x ∈ t i
h'x : Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))
n : ℕ
⊢ ((fun n => f n x) ∘ v) n ∈ ⋃ (i : ℕ), t i
apply mem_iUnion_of_mem n
no goals
case h
α : Type u_3
β : Type u_2
γ : Type ?u.394279
ι✝ : Type ?u.394282
inst✝⁵ : Countable ι✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
ι : Type u_1
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
u : Filter ι
inst✝¹ : NeBot u
inst✝ : IsCountablyGenerated u
f : ι → α → β
g : α → β
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
v : ℕ → ι
hv : Tendsto v atTop u
t : ℕ → Set β
t_sep : ∀ (n : ℕ), IsSeparable (t n)
ht : ∀ (n : ℕ), f (v n) ⁻¹' t n ∈ ae μ
x : α
hx : ∀ (i : ℕ), f (v i) x ∈ t i
h'x : Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))
n : ℕ
⊢ ((fun n => f n x) ∘ v) n ∈ t n
exact hx n