case left
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : OrderClosedTopology α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
f : β → α
a : α
hf : Monotone f
ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)
⊢ a ∈ upperBounds (range f)

case right
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : OrderClosedTopology α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
f : β → α
a : α
hf : Monotone f
ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)
⊢ a ∈ lowerBounds (upperBounds (range f))
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : OrderClosedTopology α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
f : β → α
a : α
hf : Monotone f
ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)
⊢ IsLUB (range f) a
constructor
case left.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : OrderClosedTopology α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
f : β → α
a : α
hf : Monotone f
ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)
b : β
⊢ f b ≤ a
case left
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : OrderClosedTopology α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
f : β → α
a : α
hf : Monotone f
ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)
⊢ a ∈ upperBounds (range f)
rintro _ ⟨b, rfl⟩
no goals
case left.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : OrderClosedTopology α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
f : β → α
a : α
hf : Monotone f
ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)
b : β
⊢ f b ≤ a
exact hf.ge_of_tendsto ha b
no goals
case right
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : OrderClosedTopology α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
f : β → α
a : α
hf : Monotone f
ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)
⊢ a ∈ lowerBounds (upperBounds (range f))
exact fun _ hb => le_of_tendsto' ha fun x => hb (Set.mem_range_self x)