case pos
R : Type ?u.709535
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : IsDomain A
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
I J : FractionalIdeal A⁰ K
hJ : J = 0
⊢ I / J = I * J⁻¹

case neg
R : Type ?u.709535
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : IsDomain A
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
I J : FractionalIdeal A⁰ K
hJ : ¬J = 0
⊢ I / J = I * J⁻¹
R : Type ?u.709535
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : IsDomain A
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
I J : FractionalIdeal A⁰ K
⊢ I / J = I * J⁻¹
by_cases hJ : J = 0
case neg.refine'_1
R : Type ?u.709535
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : IsDomain A
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
I J : FractionalIdeal A⁰ K
hJ : ¬J = 0
⊢ I / J * J ≤ I * J⁻¹ * J

case neg.refine'_2
R : Type ?u.709535
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : IsDomain A
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
I J : FractionalIdeal A⁰ K
hJ : ¬J = 0
⊢ I * J⁻¹ * J ≤ I
case neg
R : Type ?u.709535
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : IsDomain A
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
I J : FractionalIdeal A⁰ K
hJ : ¬J = 0
⊢ I / J = I * J⁻¹
refine' le_antisymm ((mul_right_le_iff hJ).mp _) ((le_div_iff_mul_le hJ).mpr _)
no goals
case neg.refine'_2
R : Type ?u.709535
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : IsDomain A
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
I J : FractionalIdeal A⁰ K
hJ : ¬J = 0
⊢ I * J⁻¹ * J ≤ I
rw [mul_assoc, mul_comm J⁻¹, FractionalIdeal.mul_inv_cancel hJ, mul_one]
no goals
case pos
R : Type ?u.709535
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : IsDomain A
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
I J : FractionalIdeal A⁰ K
hJ : J = 0
⊢ I / J = I * J⁻¹
rw [hJ, div_zero, inv_zero', MulZeroClass.mul_zero]
case neg.refine'_1
R : Type ?u.709535
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : IsDomain A
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
I J : FractionalIdeal A⁰ K
hJ : ¬J = 0
⊢ ∀ (i : K), i ∈ I / J → ∀ (j : K), j ∈ J → i * j ∈ I
case neg.refine'_1
R : Type ?u.709535
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : IsDomain A
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
I J : FractionalIdeal A⁰ K
hJ : ¬J = 0
⊢ I / J * J ≤ I * J⁻¹ * J
rw [mul_assoc, mul_comm J⁻¹, FractionalIdeal.mul_inv_cancel hJ, mul_one, mul_le]
case neg.refine'_1
R : Type ?u.709535
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : IsDomain A
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
I J : FractionalIdeal A⁰ K
hJ : ¬J = 0
x : K
hx : x ∈ I / J
y : K
hy : y ∈ J
⊢ x * y ∈ I
case neg.refine'_1
R : Type ?u.709535
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : IsDomain A
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
I J : FractionalIdeal A⁰ K
hJ : ¬J = 0
⊢ ∀ (i : K), i ∈ I / J → ∀ (j : K), j ∈ J → i * j ∈ I
intro x hx y hy
case neg.refine'_1
R : Type ?u.709535
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : IsDomain A
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
I J : FractionalIdeal A⁰ K
hJ : ¬J = 0
x : K
hx : ∀ (y : K), y ∈ J → x * y ∈ I
y : K
hy : y ∈ J
⊢ x * y ∈ I
case neg.refine'_1
R : Type ?u.709535
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : IsDomain A
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
I J : FractionalIdeal A⁰ K
hJ : ¬J = 0
x : K
hx : x ∈ I / J
y : K
hy : y ∈ J
⊢ x * y ∈ I
rw [mem_div_iff_of_nonzero hJ] at hx
no goals
case neg.refine'_1
R : Type ?u.709535
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : IsDomain A
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
I J : FractionalIdeal A⁰ K
hJ : ¬J = 0
x : K
hx : ∀ (y : K), y ∈ J → x * y ∈ I
y : K
hy : y ∈ J
⊢ x * y ∈ I
exact hx y hy