case intro
y : ℝ≥0∞
hy : 1 < y
x : ℝ≥0
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑x ^ (1 / ↑n) ≤ y
x : ℝ≥0∞
hx : x ≠ ⊤
y : ℝ≥0∞
hy : 1 < y
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x ^ (1 / ↑n) ≤ y
lift x to ℝ≥0 using hx
case pos
y : ℝ≥0∞
hy : 1 < y
x : ℝ≥0
h : y = ⊤
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑x ^ (1 / ↑n) ≤ y

case neg
y : ℝ≥0∞
hy : 1 < y
x : ℝ≥0
h : ¬y = ⊤
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑x ^ (1 / ↑n) ≤ y
case intro
y : ℝ≥0∞
hy : 1 < y
x : ℝ≥0
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑x ^ (1 / ↑n) ≤ y
by_cases y = ∞
no goals
case pos
y : ℝ≥0∞
hy : 1 < y
x : ℝ≥0
h : y = ⊤
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑x ^ (1 / ↑n) ≤ y
exact eventually_of_forall fun n => h.symm ▸ le_top
case neg.intro
x y : ℝ≥0
hy : 1 < ↑y
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑x ^ (1 / ↑n) ≤ ↑y
case neg
y : ℝ≥0∞
hy : 1 < y
x : ℝ≥0
h : ¬y = ⊤
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑x ^ (1 / ↑n) ≤ y
lift y to ℝ≥0 using h
case neg.intro
x y : ℝ≥0
hy : 1 < ↑y
this : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x ^ (1 / ↑n) ≤ y
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑x ^ (1 / ↑n) ≤ ↑y
case neg.intro
x y : ℝ≥0
hy : 1 < ↑y
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑x ^ (1 / ↑n) ≤ ↑y
have := NNReal.eventually_pow_one_div_le x (by exact_mod_cast hy : 1 < y)
case neg.intro
x y : ℝ≥0
hy : 1 < ↑y
this : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x ^ (1 / ↑n) ≤ y
n : ℕ
⊢ x ^ (1 / ↑n) ≤ y ↔ ↑x ^ (1 / ↑n) ≤ ↑y
case neg.intro
x y : ℝ≥0
hy : 1 < ↑y
this : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x ^ (1 / ↑n) ≤ y
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑x ^ (1 / ↑n) ≤ ↑y
refine' this.congr (eventually_of_forall fun n => _)
no goals
case neg.intro
x y : ℝ≥0
hy : 1 < ↑y
this : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x ^ (1 / ↑n) ≤ y
n : ℕ
⊢ x ^ (1 / ↑n) ≤ y ↔ ↑x ^ (1 / ↑n) ≤ ↑y
rw [coe_rpow_of_nonneg x (by positivity : 0 ≤ (1 / n : ℝ)), coe_le_coe]
no goals
x y : ℝ≥0
hy : 1 < ↑y
⊢ 1 < y
exact_mod_cast hy
no goals
x y : ℝ≥0
hy : 1 < ↑y
this : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x ^ (1 / ↑n) ≤ y
n : ℕ
⊢ 0 ≤ 1 / ↑n
positivity