𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.276015
β : Type ?u.276018
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : OrderedAddCommMonoid E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : OrdConnected s
h : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
⊢ [x-[𝕜]y] ⊆ s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.276015
β : Type ?u.276018
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : OrderedAddCommMonoid E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : OrdConnected s
h : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
⊢ Convex 𝕜 s
refine' convex_iff_segment_subset.mpr fun x hx y hy => _
case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.276015
β : Type ?u.276018
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : OrderedAddCommMonoid E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : OrdConnected s
h : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≤ y
⊢ [x-[𝕜]y] ⊆ s

case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.276015
β : Type ?u.276018
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : OrderedAddCommMonoid E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : OrdConnected s
h : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hyx : y ≤ x
⊢ [x-[𝕜]y] ⊆ s
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.276015
β : Type ?u.276018
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : OrderedAddCommMonoid E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : OrdConnected s
h : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
⊢ [x-[𝕜]y] ⊆ s
obtain hxy | hyx := h.total hx hy
no goals
case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.276015
β : Type ?u.276018
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : OrderedAddCommMonoid E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : OrdConnected s
h : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≤ y
⊢ [x-[𝕜]y] ⊆ s
exact (segment_subset_Icc hxy).trans (hs.out hx hy)
case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.276015
β : Type ?u.276018
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : OrderedAddCommMonoid E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : OrdConnected s
h : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hyx : y ≤ x
⊢ [y-[𝕜]x] ⊆ s
case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.276015
β : Type ?u.276018
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : OrderedAddCommMonoid E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : OrdConnected s
h : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hyx : y ≤ x
⊢ [x-[𝕜]y] ⊆ s
rw [segment_symm]
no goals
case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.276015
β : Type ?u.276018
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : OrderedAddCommMonoid E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : OrdConnected s
h : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hyx : y ≤ x
⊢ [y-[𝕜]x] ⊆ s
exact (segment_subset_Icc hyx).trans (hs.out hy hx)