𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
f✝ : E →L[𝕜] F
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : CompleteSpace E
f : E →L[𝕜] F
G : Submodule 𝕜 F
h : IsCompl (LinearMap.range f) G
inst✝ : CompleteSpace { x // x ∈ G }
hker : ker f = ⊥
⊢ LinearMap.range f = LinearMap.range ↑f
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
f✝ : E →L[𝕜] F
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : CompleteSpace E
f : E →L[𝕜] F
G : Submodule 𝕜 F
h : IsCompl (LinearMap.range f) G
inst✝ : CompleteSpace { x // x ∈ G }
hker : ker f = ⊥
⊢ LinearMap.range f = Submodule.map (↑↑(coprodSubtypeLEquivOfIsCompl f h hker)) (Submodule.prod ⊤ ⊥)
rw [coprodSubtypeLEquivOfIsCompl, ContinuousLinearEquiv.coe_ofBijective,
  coe_coprod, LinearMap.coprod_map_prod, Submodule.map_bot, sup_bot_eq, Submodule.map_top]
no goals
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
f✝ : E →L[𝕜] F
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : CompleteSpace E
f : E →L[𝕜] F
G : Submodule 𝕜 F
h : IsCompl (LinearMap.range f) G
inst✝ : CompleteSpace { x // x ∈ G }
hker : ker f = ⊥
⊢ LinearMap.range f = LinearMap.range ↑f
rfl