ι : Type u'
ι' : Type ?u.216784
R : Type u_2
K : Type ?u.216790
M : Type u_1
M' : Type ?u.216796
M'' : Type ?u.216799
V : Type u
V' : Type ?u.216804
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
s : Set (Set M)
hs : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
h : ∀ (a : Set M), a ∈ s → LinearIndependent R Subtype.val
⊢ LinearIndependent R fun x => ↑x
ι : Type u'
ι' : Type ?u.216784
R : Type u_2
K : Type ?u.216790
M : Type u_1
M' : Type ?u.216796
M'' : Type ?u.216799
V : Type u
V' : Type ?u.216804
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
s : Set (Set M)
hs : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
h : ∀ (a : Set M), a ∈ s → LinearIndependent R Subtype.val
⊢ LinearIndependent R fun x => ↑x
rw [sUnion_eq_iUnion]
no goals
ι : Type u'
ι' : Type ?u.216784
R : Type u_2
K : Type ?u.216790
M : Type u_1
M' : Type ?u.216796
M'' : Type ?u.216799
V : Type u
V' : Type ?u.216804
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
s : Set (Set M)
hs : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
h : ∀ (a : Set M), a ∈ s → LinearIndependent R Subtype.val
⊢ LinearIndependent R fun x => ↑x
exact linearIndependent_iUnion_of_directed hs.directed_val (by simpa using h)
no goals
ι : Type u'
ι' : Type ?u.216784
R : Type u_2
K : Type ?u.216790
M : Type u_1
M' : Type ?u.216796
M'' : Type ?u.216799
V : Type u
V' : Type ?u.216804
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
s : Set (Set M)
hs : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
h : ∀ (a : Set M), a ∈ s → LinearIndependent R Subtype.val
⊢ ∀ (i : ↑s), LinearIndependent R fun x => ↑x
simpa using h