case intro.intro
V : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
coercive : IsCoercive B
C : ℝ
C_pos : 0 < C
below_bound : ∀ (v : V), C * ‖v‖ ≤ ‖↑(continuousLinearMapOfBilin B) v‖
⊢ ∃ C, 0 < C ∧ AntilipschitzWith C ↑(continuousLinearMapOfBilin B)
V : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
coercive : IsCoercive B
⊢ ∃ C, 0 < C ∧ AntilipschitzWith C ↑(continuousLinearMapOfBilin B)
rcases coercive.bounded_below with ⟨C, C_pos, below_bound⟩
case intro.intro
V : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
coercive : IsCoercive B
C : ℝ
C_pos : 0 < C
below_bound : ∀ (v : V), C * ‖v‖ ≤ ‖↑(continuousLinearMapOfBilin B) v‖
⊢ AntilipschitzWith (Real.toNNReal C⁻¹) ↑(continuousLinearMapOfBilin B)
case intro.intro
V : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
coercive : IsCoercive B
C : ℝ
C_pos : 0 < C
below_bound : ∀ (v : V), C * ‖v‖ ≤ ‖↑(continuousLinearMapOfBilin B) v‖
⊢ ∃ C, 0 < C ∧ AntilipschitzWith C ↑(continuousLinearMapOfBilin B)
refine' ⟨C⁻¹.toNNReal, Real.toNNReal_pos.mpr (inv_pos.mpr C_pos), _⟩
case intro.intro
V : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
coercive : IsCoercive B
C : ℝ
C_pos : 0 < C
below_bound : ∀ (v : V), C * ‖v‖ ≤ ‖↑(continuousLinearMapOfBilin B) v‖
⊢ ∀ (x : V), ‖x‖ ≤ ↑(Real.toNNReal C⁻¹) * ‖↑(continuousLinearMapOfBilin B) x‖
case intro.intro
V : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
coercive : IsCoercive B
C : ℝ
C_pos : 0 < C
below_bound : ∀ (v : V), C * ‖v‖ ≤ ‖↑(continuousLinearMapOfBilin B) v‖
⊢ AntilipschitzWith (Real.toNNReal C⁻¹) ↑(continuousLinearMapOfBilin B)
refine' ContinuousLinearMap.antilipschitz_of_bound B♯ _
case intro.intro
V : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
coercive : IsCoercive B
C : ℝ
C_pos : 0 < C
below_bound : ∀ (v : V), C * ‖v‖ ≤ ‖↑(continuousLinearMapOfBilin B) v‖
⊢ ∀ (x : V), C⁻¹⁻¹ * ‖x‖ ≤ ‖↑(continuousLinearMapOfBilin B) x‖
case intro.intro
V : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
coercive : IsCoercive B
C : ℝ
C_pos : 0 < C
below_bound : ∀ (v : V), C * ‖v‖ ≤ ‖↑(continuousLinearMapOfBilin B) v‖
⊢ ∀ (x : V), ‖x‖ ≤ ↑(Real.toNNReal C⁻¹) * ‖↑(continuousLinearMapOfBilin B) x‖
simp_rw [Real.coe_toNNReal', max_eq_left_of_lt (inv_pos.mpr C_pos), ←
  inv_mul_le_iff (inv_pos.mpr C_pos)]
no goals
case intro.intro
V : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
coercive : IsCoercive B
C : ℝ
C_pos : 0 < C
below_bound : ∀ (v : V), C * ‖v‖ ≤ ‖↑(continuousLinearMapOfBilin B) v‖
⊢ ∀ (x : V), C⁻¹⁻¹ * ‖x‖ ≤ ‖↑(continuousLinearMapOfBilin B) x‖
simpa using below_bound