case mp
A : Type u
inst✝⁵ : CommRing A
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : ValuationRing A
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
⊢ x ∈ Valuation.integer (valuation A K) → ∃ a, ↑(algebraMap A K) a = x

case mpr
A : Type u
inst✝⁵ : CommRing A
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : ValuationRing A
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
⊢ (∃ a, ↑(algebraMap A K) a = x) → x ∈ Valuation.integer (valuation A K)
A : Type u
inst✝⁵ : CommRing A
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : ValuationRing A
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
⊢ x ∈ Valuation.integer (valuation A K) ↔ ∃ a, ↑(algebraMap A K) a = x
constructor
case mp.intro
A : Type u
inst✝⁵ : CommRing A
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : ValuationRing A
inst✝ : IsFractionRing A K
c : A
⊢ ∃ a, ↑(algebraMap A K) a = c • 1
case mp
A : Type u
inst✝⁵ : CommRing A
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : ValuationRing A
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
⊢ x ∈ Valuation.integer (valuation A K) → ∃ a, ↑(algebraMap A K) a = x
rintro ⟨c, rfl⟩
case mp.intro
A : Type u
inst✝⁵ : CommRing A
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : ValuationRing A
inst✝ : IsFractionRing A K
c : A
⊢ ↑(algebraMap A K) c = c • 1
case mp.intro
A : Type u
inst✝⁵ : CommRing A
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : ValuationRing A
inst✝ : IsFractionRing A K
c : A
⊢ ∃ a, ↑(algebraMap A K) a = c • 1
use c
no goals
case mp.intro
A : Type u
inst✝⁵ : CommRing A
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : ValuationRing A
inst✝ : IsFractionRing A K
c : A
⊢ ↑(algebraMap A K) c = c • 1
rw [Algebra.smul_def, mul_one]
case mpr.intro
A : Type u
inst✝⁵ : CommRing A
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : ValuationRing A
inst✝ : IsFractionRing A K
c : A
⊢ ↑(algebraMap A K) c ∈ Valuation.integer (valuation A K)
case mpr
A : Type u
inst✝⁵ : CommRing A
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : ValuationRing A
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
⊢ (∃ a, ↑(algebraMap A K) a = x) → x ∈ Valuation.integer (valuation A K)
rintro ⟨c, rfl⟩
case mpr.intro
A : Type u
inst✝⁵ : CommRing A
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : ValuationRing A
inst✝ : IsFractionRing A K
c : A
⊢ c • 1 = ↑(algebraMap A K) c
case mpr.intro
A : Type u
inst✝⁵ : CommRing A
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : ValuationRing A
inst✝ : IsFractionRing A K
c : A
⊢ ↑(algebraMap A K) c ∈ Valuation.integer (valuation A K)
use c
no goals
case mpr.intro
A : Type u
inst✝⁵ : CommRing A
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : ValuationRing A
inst✝ : IsFractionRing A K
c : A
⊢ c • 1 = ↑(algebraMap A K) c
rw [Algebra.smul_def, mul_one]