case zero
R : Type u_1
R₁ : Type ?u.246811
R₂ : Type ?u.246814
R₃ : Type ?u.246817
R₄ : Type ?u.246820
S : Type ?u.246823
K : Type ?u.246826
K₂ : Type ?u.246829
M : Type u_2
M' : Type ?u.246835
M₁ : Type ?u.246838
M₂ : Type ?u.246841
M₃ : Type ?u.246844
M₄ : Type ?u.246847
N : Type ?u.246850
N₂ : Type ?u.246853
ι : Type ?u.246856
V : Type ?u.246859
V₂ : Type ?u.246862
inst✝¹⁷ : Semiring R
inst✝¹⁶ : Semiring R₂
inst✝¹⁵ : Semiring R₃
inst✝¹⁴ : Semiring R₄
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid M₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M₁
inst✝⁶ : Module R₂ M₂
inst✝⁵ : Module R₃ M₃
inst✝⁴ : Module R₄ M₄
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₂₄ : R₂ →+* R₄
σ₁₄ : R →+* R₄
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
f' : M →ₗ[R] M
p : Submodule R M
h : ∀ (x : M), x ∈ p → ↑f' x ∈ p
x✝ : M
hx✝ : x✝ ∈ p
x : M
hx : x ∈ p
⊢ ↑(f' ^ Nat.zero) x ∈ p

case succ
R : Type u_1
R₁ : Type ?u.246811
R₂ : Type ?u.246814
R₃ : Type ?u.246817
R₄ : Type ?u.246820
S : Type ?u.246823
K : Type ?u.246826
K₂ : Type ?u.246829
M : Type u_2
M' : Type ?u.246835
M₁ : Type ?u.246838
M₂ : Type ?u.246841
M₃ : Type ?u.246844
M₄ : Type ?u.246847
N : Type ?u.246850
N₂ : Type ?u.246853
ι : Type ?u.246856
V : Type ?u.246859
V₂ : Type ?u.246862
inst✝¹⁷ : Semiring R
inst✝¹⁶ : Semiring R₂
inst✝¹⁵ : Semiring R₃
inst✝¹⁴ : Semiring R₄
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid M₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M₁
inst✝⁶ : Module R₂ M₂
inst✝⁵ : Module R₃ M₃
inst✝⁴ : Module R₄ M₄
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₂₄ : R₂ →+* R₄
σ₁₄ : R →+* R₄
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
f' : M →ₗ[R] M
p : Submodule R M
h : ∀ (x : M), x ∈ p → ↑f' x ∈ p
x✝ : M
hx✝ : x✝ ∈ p
n : ℕ
ih : ∀ (x : M), x ∈ p → ↑(f' ^ n) x ∈ p
x : M
hx : x ∈ p
⊢ ↑(f' ^ Nat.succ n) x ∈ p
R : Type u_1
R₁ : Type ?u.246811
R₂ : Type ?u.246814
R₃ : Type ?u.246817
R₄ : Type ?u.246820
S : Type ?u.246823
K : Type ?u.246826
K₂ : Type ?u.246829
M : Type u_2
M' : Type ?u.246835
M₁ : Type ?u.246838
M₂ : Type ?u.246841
M₃ : Type ?u.246844
M₄ : Type ?u.246847
N : Type ?u.246850
N₂ : Type ?u.246853
ι : Type ?u.246856
V : Type ?u.246859
V₂ : Type ?u.246862
inst✝¹⁷ : Semiring R
inst✝¹⁶ : Semiring R₂
inst✝¹⁵ : Semiring R₃
inst✝¹⁴ : Semiring R₄
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid M₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M₁
inst✝⁶ : Module R₂ M₂
inst✝⁵ : Module R₃ M₃
inst✝⁴ : Module R₄ M₄
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₂₄ : R₂ →+* R₄
σ₁₄ : R →+* R₄
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
f' : M →ₗ[R] M
p : Submodule R M
n : ℕ
h : ∀ (x : M), x ∈ p → ↑f' x ∈ p
x : M
hx : x ∈ p
⊢ ↑(f' ^ n) x ∈ p
induction' n with n ih generalizing x
no goals
case succ
R : Type u_1
R₁ : Type ?u.246811
R₂ : Type ?u.246814
R₃ : Type ?u.246817
R₄ : Type ?u.246820
S : Type ?u.246823
K : Type ?u.246826
K₂ : Type ?u.246829
M : Type u_2
M' : Type ?u.246835
M₁ : Type ?u.246838
M₂ : Type ?u.246841
M₃ : Type ?u.246844
M₄ : Type ?u.246847
N : Type ?u.246850
N₂ : Type ?u.246853
ι : Type ?u.246856
V : Type ?u.246859
V₂ : Type ?u.246862
inst✝¹⁷ : Semiring R
inst✝¹⁶ : Semiring R₂
inst✝¹⁵ : Semiring R₃
inst✝¹⁴ : Semiring R₄
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid M₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M₁
inst✝⁶ : Module R₂ M₂
inst✝⁵ : Module R₃ M₃
inst✝⁴ : Module R₄ M₄
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₂₄ : R₂ →+* R₄
σ₁₄ : R →+* R₄
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
f' : M →ₗ[R] M
p : Submodule R M
h : ∀ (x : M), x ∈ p → ↑f' x ∈ p
x✝ : M
hx✝ : x✝ ∈ p
n : ℕ
ih : ∀ (x : M), x ∈ p → ↑(f' ^ n) x ∈ p
x : M
hx : x ∈ p
⊢ ↑(f' ^ Nat.succ n) x ∈ p
simpa only [iterate_succ, coe_comp, Function.comp_apply, restrict_apply] using ih _ (h _ hx)
no goals
case zero
R : Type u_1
R₁ : Type ?u.246811
R₂ : Type ?u.246814
R₃ : Type ?u.246817
R₄ : Type ?u.246820
S : Type ?u.246823
K : Type ?u.246826
K₂ : Type ?u.246829
M : Type u_2
M' : Type ?u.246835
M₁ : Type ?u.246838
M₂ : Type ?u.246841
M₃ : Type ?u.246844
M₄ : Type ?u.246847
N : Type ?u.246850
N₂ : Type ?u.246853
ι : Type ?u.246856
V : Type ?u.246859
V₂ : Type ?u.246862
inst✝¹⁷ : Semiring R
inst✝¹⁶ : Semiring R₂
inst✝¹⁵ : Semiring R₃
inst✝¹⁴ : Semiring R₄
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid M₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M₁
inst✝⁶ : Module R₂ M₂
inst✝⁵ : Module R₃ M₃
inst✝⁴ : Module R₄ M₄
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₂₄ : R₂ →+* R₄
σ₁₄ : R →+* R₄
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
f' : M →ₗ[R] M
p : Submodule R M
h : ∀ (x : M), x ∈ p → ↑f' x ∈ p
x✝ : M
hx✝ : x✝ ∈ p
x : M
hx : x ∈ p
⊢ ↑(f' ^ Nat.zero) x ∈ p
simpa