R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_4
P : Type u_3
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
hf : Function.Injective ↑f
h : WSameSide (map f s) (↑f x) (↑f y)
⊢ WSameSide s x y
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_4
P : Type u_3
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
hf : Function.Injective ↑f
⊢ WSameSide (map f s) (↑f x) (↑f y) ↔ WSameSide s x y
refine' ⟨fun h => _, fun h => h.map _⟩
case intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_4
P : Type u_3
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
hf : Function.Injective ↑f
fp₁ : P'
hfp₁ : fp₁ ∈ map f s
fp₂ : P'
hfp₂ : fp₂ ∈ map f s
h : SameRay R (↑f x -ᵥ fp₁) (↑f y -ᵥ fp₂)
⊢ WSameSide s x y
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_4
P : Type u_3
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
hf : Function.Injective ↑f
h : WSameSide (map f s) (↑f x) (↑f y)
⊢ WSameSide s x y
rcases h with ⟨fp₁, hfp₁, fp₂, hfp₂, h⟩
case intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_4
P : Type u_3
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
hf : Function.Injective ↑f
fp₁ : P'
hfp₁ : ∃ y, y ∈ s ∧ ↑f y = fp₁
fp₂ : P'
hfp₂ : ∃ y, y ∈ s ∧ ↑f y = fp₂
h : SameRay R (↑f x -ᵥ fp₁) (↑f y -ᵥ fp₂)
⊢ WSameSide s x y
case intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_4
P : Type u_3
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
hf : Function.Injective ↑f
fp₁ : P'
hfp₁ : fp₁ ∈ map f s
fp₂ : P'
hfp₂ : fp₂ ∈ map f s
h : SameRay R (↑f x -ᵥ fp₁) (↑f y -ᵥ fp₂)
⊢ WSameSide s x y
rw [mem_map] at hfp₁ hfp₂
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_4
P : Type u_3
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
hf : Function.Injective ↑f
fp₂ : P'
hfp₂ : ∃ y, y ∈ s ∧ ↑f y = fp₂
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
h : SameRay R (↑f x -ᵥ ↑f p₁) (↑f y -ᵥ fp₂)
⊢ WSameSide s x y
case intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_4
P : Type u_3
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
hf : Function.Injective ↑f
fp₁ : P'
hfp₁ : ∃ y, y ∈ s ∧ ↑f y = fp₁
fp₂ : P'
hfp₂ : ∃ y, y ∈ s ∧ ↑f y = fp₂
h : SameRay R (↑f x -ᵥ fp₁) (↑f y -ᵥ fp₂)
⊢ WSameSide s x y
rcases hfp₁ with ⟨p₁, hp₁, rfl⟩
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_4
P : Type u_3
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
hf : Function.Injective ↑f
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
h : SameRay R (↑f x -ᵥ ↑f p₁) (↑f y -ᵥ ↑f p₂)
⊢ WSameSide s x y
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_4
P : Type u_3
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
hf : Function.Injective ↑f
fp₂ : P'
hfp₂ : ∃ y, y ∈ s ∧ ↑f y = fp₂
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
h : SameRay R (↑f x -ᵥ ↑f p₁) (↑f y -ᵥ fp₂)
⊢ WSameSide s x y
rcases hfp₂ with ⟨p₂, hp₂, rfl⟩
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_4
P : Type u_3
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
hf : Function.Injective ↑f
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
h : SameRay R (↑f x -ᵥ ↑f p₁) (↑f y -ᵥ ↑f p₂)
⊢ SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_4
P : Type u_3
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
hf : Function.Injective ↑f
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
h : SameRay R (↑f x -ᵥ ↑f p₁) (↑f y -ᵥ ↑f p₂)
⊢ WSameSide s x y
refine' ⟨p₁, hp₁, p₂, hp₂, _⟩
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_4
P : Type u_3
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
hf : Function.Injective ↑f
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
h : SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
⊢ SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_4
P : Type u_3
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
hf : Function.Injective ↑f
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
h : SameRay R (↑f x -ᵥ ↑f p₁) (↑f y -ᵥ ↑f p₂)
⊢ SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
simp_rw [← linearMap_vsub, (f.linear_injective_iff.2 hf).sameRay_map_iff] at h
no goals
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_4
P : Type u_3
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
hf : Function.Injective ↑f
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
h : SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
⊢ SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
exact h