M✝ : Type ?u.2295
N : Type ?u.2298
A✝ : Type ?u.2301
inst✝⁴ : MulOneClass M✝
s : Set M✝
inst✝³ : AddZeroClass A✝
t : Set A✝
M : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : SetLike A M
inst✝ : SubmonoidClass A M
S : A
x : M
hx : x ∈ S
⊢ 1 ∈ S
M✝ : Type ?u.2295
N : Type ?u.2298
A✝ : Type ?u.2301
inst✝⁴ : MulOneClass M✝
s : Set M✝
inst✝³ : AddZeroClass A✝
t : Set A✝
M : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : SetLike A M
inst✝ : SubmonoidClass A M
S : A
x : M
hx : x ∈ S
⊢ x ^ 0 ∈ S
rw [pow_zero]
no goals
M✝ : Type ?u.2295
N : Type ?u.2298
A✝ : Type ?u.2301
inst✝⁴ : MulOneClass M✝
s : Set M✝
inst✝³ : AddZeroClass A✝
t : Set A✝
M : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : SetLike A M
inst✝ : SubmonoidClass A M
S : A
x : M
hx : x ∈ S
⊢ 1 ∈ S
exact OneMemClass.one_mem S
M✝ : Type ?u.2295
N : Type ?u.2298
A✝ : Type ?u.2301
inst✝⁴ : MulOneClass M✝
s : Set M✝
inst✝³ : AddZeroClass A✝
t : Set A✝
M : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : SetLike A M
inst✝ : SubmonoidClass A M
S : A
x : M
hx : x ∈ S
n : ℕ
⊢ x * x ^ n ∈ S
M✝ : Type ?u.2295
N : Type ?u.2298
A✝ : Type ?u.2301
inst✝⁴ : MulOneClass M✝
s : Set M✝
inst✝³ : AddZeroClass A✝
t : Set A✝
M : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : SetLike A M
inst✝ : SubmonoidClass A M
S : A
x : M
hx : x ∈ S
n : ℕ
⊢ x ^ (n + 1) ∈ S
rw [pow_succ]
no goals
M✝ : Type ?u.2295
N : Type ?u.2298
A✝ : Type ?u.2301
inst✝⁴ : MulOneClass M✝
s : Set M✝
inst✝³ : AddZeroClass A✝
t : Set A✝
M : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : SetLike A M
inst✝ : SubmonoidClass A M
S : A
x : M
hx : x ∈ S
n : ℕ
⊢ x * x ^ n ∈ S
exact mul_mem hx (pow_mem hx n)