𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.1492746
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r✝ R r r' : ℝ≥0
hr : ↑r + ↑r' < radius p
⊢ Summable ((fun s => ‖p (s.fst + s.snd.fst)‖₊ * r ^ s.snd.fst * r' ^ s.fst) ∘ ↑changeOriginIndexEquiv.symm)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.1492746
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r✝ R r r' : ℝ≥0
hr : ↑r + ↑r' < radius p
⊢ Summable fun s => ‖p (s.fst + s.snd.fst)‖₊ * r ^ s.snd.fst * r' ^ s.fst
rw [← changeOriginIndexEquiv.symm.summable_iff]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.1492746
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r✝ R r r' : ℝ≥0
hr : ↑r + ↑r' < radius p
this :
  ∀ (n : ℕ),
    HasSum (fun s => ‖p (n - Finset.card s + Finset.card s)‖₊ * r ^ Finset.card s * r' ^ (n - Finset.card s))
      (‖p n‖₊ * (r + r') ^ n)
⊢ Summable fun x =>
    ∑' (y : Finset (Fin x)),
      ‖p
              ({ fst := x, snd := y }.fst - Finset.card { fst := x, snd := y }.snd +
                Finset.card { fst := x, snd := y }.snd)‖₊ *
          r ^ Finset.card { fst := x, snd := y }.snd *
        r' ^ ({ fst := x, snd := y }.fst - Finset.card { fst := x, snd := y }.snd)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.1492746
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r✝ R r r' : ℝ≥0
hr : ↑r + ↑r' < radius p
this :
  ∀ (n : ℕ),
    HasSum (fun s => ‖p (n - Finset.card s + Finset.card s)‖₊ * r ^ Finset.card s * r' ^ (n - Finset.card s))
      (‖p n‖₊ * (r + r') ^ n)
⊢ Summable fun x =>
    ‖p (x.fst - Finset.card x.snd + Finset.card x.snd)‖₊ * r ^ Finset.card x.snd * r' ^ (x.fst - Finset.card x.snd)
refine' NNReal.summable_sigma.2 ⟨fun n => (this n).summable, _⟩
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.1492746
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r✝ R r r' : ℝ≥0
hr : ↑r + ↑r' < radius p
this :
  ∀ (n : ℕ),
    HasSum (fun s => ‖p (n - Finset.card s + Finset.card s)‖₊ * r ^ Finset.card s * r' ^ (n - Finset.card s))
      (‖p n‖₊ * (r + r') ^ n)
⊢ Summable fun x => ‖p x‖₊ * (r + r') ^ x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.1492746
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r✝ R r r' : ℝ≥0
hr : ↑r + ↑r' < radius p
this :
  ∀ (n : ℕ),
    HasSum (fun s => ‖p (n - Finset.card s + Finset.card s)‖₊ * r ^ Finset.card s * r' ^ (n - Finset.card s))
      (‖p n‖₊ * (r + r') ^ n)
⊢ Summable fun x =>
    ∑' (y : Finset (Fin x)),
      ‖p
              ({ fst := x, snd := y }.fst - Finset.card { fst := x, snd := y }.snd +
                Finset.card { fst := x, snd := y }.snd)‖₊ *
          r ^ Finset.card { fst := x, snd := y }.snd *
        r' ^ ({ fst := x, snd := y }.fst - Finset.card { fst := x, snd := y }.snd)
simp only [(this _).tsum_eq]
no goals
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.1492746
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r✝ R r r' : ℝ≥0
hr : ↑r + ↑r' < radius p
this :
  ∀ (n : ℕ),
    HasSum (fun s => ‖p (n - Finset.card s + Finset.card s)‖₊ * r ^ Finset.card s * r' ^ (n - Finset.card s))
      (‖p n‖₊ * (r + r') ^ n)
⊢ Summable fun x => ‖p x‖₊ * (r + r') ^ x
exact p.summable_nnnorm_mul_pow hr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.1492746
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r✝ R r r' : ℝ≥0
hr : ↑r + ↑r' < radius p
n : ℕ
⊢ HasSum (fun s => ‖p (n - Finset.card s + Finset.card s)‖₊ * r ^ Finset.card s * r' ^ (n - Finset.card s))
    (‖p n‖₊ * (r + r') ^ n)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.1492746
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r✝ R r r' : ℝ≥0
hr : ↑r + ↑r' < radius p
⊢ ∀ (n : ℕ),
    HasSum (fun s => ‖p (n - Finset.card s + Finset.card s)‖₊ * r ^ Finset.card s * r' ^ (n - Finset.card s))
      (‖p n‖₊ * (r + r') ^ n)
intro n
case h.e'_5
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.1492746
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r✝ R r r' : ℝ≥0
hr : ↑r + ↑r' < radius p
n : ℕ
⊢ (fun s => ‖p (n - Finset.card s + Finset.card s)‖₊ * r ^ Finset.card s * r' ^ (n - Finset.card s)) = fun s =>
    ‖p n‖₊ * (r ^ Finset.card s * r' ^ (n - Finset.card s))

𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.1492746
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r✝ R r r' : ℝ≥0
hr : ↑r + ↑r' < radius p
n : ℕ
⊢ HasSum (fun s => ‖p n‖₊ * (r ^ Finset.card s * r' ^ (n - Finset.card s))) (‖p n‖₊ * (r + r') ^ n)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.1492746
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r✝ R r r' : ℝ≥0
hr : ↑r + ↑r' < radius p
n : ℕ
⊢ HasSum (fun s => ‖p (n - Finset.card s + Finset.card s)‖₊ * r ^ Finset.card s * r' ^ (n - Finset.card s))
    (‖p n‖₊ * (r + r') ^ n)
convert_to HasSum (fun s : Finset (Fin n) => ‖p n‖₊ * (r ^ s.card * r' ^ (n - s.card))) _
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.1492746
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r✝ R r r' : ℝ≥0
hr : ↑r + ↑r' < radius p
n : ℕ
⊢ HasSum (fun s => ‖p n‖₊ * (r ^ Finset.card s * r' ^ (n - Finset.card s)))
    (‖p n‖₊ * ∑ s : Finset (Fin n), r ^ Finset.card s * r' ^ (n - Finset.card s))
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.1492746
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r✝ R r r' : ℝ≥0
hr : ↑r + ↑r' < radius p
n : ℕ
⊢ HasSum (fun s => ‖p n‖₊ * (r ^ Finset.card s * r' ^ (n - Finset.card s))) (‖p n‖₊ * (r + r') ^ n)
rw [← Fin.sum_pow_mul_eq_add_pow]
no goals
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.1492746
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r✝ R r r' : ℝ≥0
hr : ↑r + ↑r' < radius p
n : ℕ
⊢ HasSum (fun s => ‖p n‖₊ * (r ^ Finset.card s * r' ^ (n - Finset.card s)))
    (‖p n‖₊ * ∑ s : Finset (Fin n), r ^ Finset.card s * r' ^ (n - Finset.card s))
exact (hasSum_fintype _).mul_left _
case h.e'_5.h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.1492746
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r✝ R r r' : ℝ≥0
hr : ↑r + ↑r' < radius p
n : ℕ
s : Finset (Fin n)
⊢ ‖p (n - Finset.card s + Finset.card s)‖₊ * r ^ Finset.card s * r' ^ (n - Finset.card s) =
    ‖p n‖₊ * (r ^ Finset.card s * r' ^ (n - Finset.card s))
case h.e'_5
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.1492746
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r✝ R r r' : ℝ≥0
hr : ↑r + ↑r' < radius p
n : ℕ
⊢ (fun s => ‖p (n - Finset.card s + Finset.card s)‖₊ * r ^ Finset.card s * r' ^ (n - Finset.card s)) = fun s =>
    ‖p n‖₊ * (r ^ Finset.card s * r' ^ (n - Finset.card s))
ext1 s
no goals
case h.e'_5.h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.1492746
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r✝ R r r' : ℝ≥0
hr : ↑r + ↑r' < radius p
n : ℕ
s : Finset (Fin n)
⊢ ‖p (n - Finset.card s + Finset.card s)‖₊ * r ^ Finset.card s * r' ^ (n - Finset.card s) =
    ‖p n‖₊ * (r ^ Finset.card s * r' ^ (n - Finset.card s))
rw [tsub_add_cancel_of_le (card_finset_fin_le _), mul_assoc]