R : Type ?u.84677
A : Type ?u.84680
K : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : IsDomain A
R₁ : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : IsDomain R₁
inst✝⁵ : Algebra R₁ K
inst✝⁴ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type ?u.85691
inst✝³ : Field K'
inst✝² : Algebra R₁ K'
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
inst✝ : IsPrincipal ↑I
h : I ≠ 0
⊢ ∃ x, I⁻¹ = spanSingleton R₁⁰ x
R : Type ?u.84677
A : Type ?u.84680
K : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : IsDomain A
R₁ : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : IsDomain R₁
inst✝⁵ : Algebra R₁ K
inst✝⁴ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type ?u.85691
inst✝³ : Field K'
inst✝² : Algebra R₁ K'
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
inst✝ : IsPrincipal ↑I
h : I ≠ 0
⊢ IsPrincipal ↑I⁻¹
rw [val_eq_coe, isPrincipal_iff]
R : Type ?u.84677
A : Type ?u.84680
K : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : IsDomain A
R₁ : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : IsDomain R₁
inst✝⁵ : Algebra R₁ K
inst✝⁴ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type ?u.85691
inst✝³ : Field K'
inst✝² : Algebra R₁ K'
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
inst✝ : IsPrincipal ↑I
h : I ≠ 0
⊢ I⁻¹ = spanSingleton R₁⁰ (generator ↑I)⁻¹
R : Type ?u.84677
A : Type ?u.84680
K : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : IsDomain A
R₁ : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : IsDomain R₁
inst✝⁵ : Algebra R₁ K
inst✝⁴ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type ?u.85691
inst✝³ : Field K'
inst✝² : Algebra R₁ K'
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
inst✝ : IsPrincipal ↑I
h : I ≠ 0
⊢ ∃ x, I⁻¹ = spanSingleton R₁⁰ x
use (generator (I : Submodule R₁ K))⁻¹
case hI
R : Type ?u.84677
A : Type ?u.84680
K : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : IsDomain A
R₁ : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : IsDomain R₁
inst✝⁵ : Algebra R₁ K
inst✝⁴ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type ?u.85691
inst✝³ : Field K'
inst✝² : Algebra R₁ K'
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
inst✝ : IsPrincipal ↑I
h : I ≠ 0
⊢ I * spanSingleton R₁⁰ (generator ↑I)⁻¹ = 1

R : Type ?u.84677
A : Type ?u.84680
K : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : IsDomain A
R₁ : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : IsDomain R₁
inst✝⁵ : Algebra R₁ K
inst✝⁴ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type ?u.85691
inst✝³ : Field K'
inst✝² : Algebra R₁ K'
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
inst✝ : IsPrincipal ↑I
h : I ≠ 0
hI : I * spanSingleton R₁⁰ (generator ↑I)⁻¹ = 1
⊢ I⁻¹ = spanSingleton R₁⁰ (generator ↑I)⁻¹
R : Type ?u.84677
A : Type ?u.84680
K : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : IsDomain A
R₁ : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : IsDomain R₁
inst✝⁵ : Algebra R₁ K
inst✝⁴ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type ?u.85691
inst✝³ : Field K'
inst✝² : Algebra R₁ K'
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
inst✝ : IsPrincipal ↑I
h : I ≠ 0
⊢ I⁻¹ = spanSingleton R₁⁰ (generator ↑I)⁻¹
have hI : I * spanSingleton _ (generator (I : Submodule R₁ K))⁻¹ = 1
R : Type ?u.84677
A : Type ?u.84680
K : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : IsDomain A
R₁ : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : IsDomain R₁
inst✝⁵ : Algebra R₁ K
inst✝⁴ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type ?u.85691
inst✝³ : Field K'
inst✝² : Algebra R₁ K'
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
inst✝ : IsPrincipal ↑I
h : I ≠ 0
hI : I * spanSingleton R₁⁰ (generator ↑I)⁻¹ = 1
⊢ I⁻¹ = spanSingleton R₁⁰ (generator ↑I)⁻¹
case hI
R : Type ?u.84677
A : Type ?u.84680
K : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : IsDomain A
R₁ : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : IsDomain R₁
inst✝⁵ : Algebra R₁ K
inst✝⁴ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type ?u.85691
inst✝³ : Field K'
inst✝² : Algebra R₁ K'
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
inst✝ : IsPrincipal ↑I
h : I ≠ 0
⊢ I * spanSingleton R₁⁰ (generator ↑I)⁻¹ = 1

R : Type ?u.84677
A : Type ?u.84680
K : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : IsDomain A
R₁ : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : IsDomain R₁
inst✝⁵ : Algebra R₁ K
inst✝⁴ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type ?u.85691
inst✝³ : Field K'
inst✝² : Algebra R₁ K'
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
inst✝ : IsPrincipal ↑I
h : I ≠ 0
hI : I * spanSingleton R₁⁰ (generator ↑I)⁻¹ = 1
⊢ I⁻¹ = spanSingleton R₁⁰ (generator ↑I)⁻¹
apply mul_generator_self_inv _ I h
no goals
R : Type ?u.84677
A : Type ?u.84680
K : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : IsDomain A
R₁ : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : IsDomain R₁
inst✝⁵ : Algebra R₁ K
inst✝⁴ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type ?u.85691
inst✝³ : Field K'
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inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
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h : I ≠ 0
hI : I * spanSingleton R₁⁰ (generator ↑I)⁻¹ = 1
⊢ I⁻¹ = spanSingleton R₁⁰ (generator ↑I)⁻¹
exact (right_inverse_eq _ I (spanSingleton _ (generator (I : Submodule R₁ K))⁻¹) hI).symm