E : Type u_2
ι : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
u : ι → ℝ
hu : Summable u
hf : ∀ (i : ι), DifferentiableOn ℂ (F i) U
hU : IsOpen U
hF_le : ∀ (i : ι) (w : ℂ), w ∈ U → ‖F i w‖ ≤ u i
hz : z ∈ U
⊢ Tendsto (fun s => Finset.sum s fun b => deriv (F b) z) atTop (𝓝 (deriv (fun w => ∑' (i : ι), F i w) z))
E : Type u_2
ι : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
u : ι → ℝ
hu : Summable u
hf : ∀ (i : ι), DifferentiableOn ℂ (F i) U
hU : IsOpen U
hF_le : ∀ (i : ι) (w : ℂ), w ∈ U → ‖F i w‖ ≤ u i
hz : z ∈ U
⊢ HasSum (fun i => deriv (F i) z) (deriv (fun w => ∑' (i : ι), F i w) z)
rw [HasSum]
E : Type u_2
ι : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
u : ι → ℝ
hu : Summable u
hf : ∀ (i : ι), DifferentiableOn ℂ (F i) U
hU : IsOpen U
hF_le : ∀ (i : ι) (w : ℂ), w ∈ U → ‖F i w‖ ≤ u i
hz : z ∈ U
hc : TendstoLocallyUniformlyOn (fun t x => Finset.sum t fun n => F n x) (fun x => ∑' (n : ι), F n x) atTop U
⊢ Tendsto (fun s => Finset.sum s fun b => deriv (F b) z) atTop (𝓝 (deriv (fun w => ∑' (i : ι), F i w) z))
E : Type u_2
ι : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
u : ι → ℝ
hu : Summable u
hf : ∀ (i : ι), DifferentiableOn ℂ (F i) U
hU : IsOpen U
hF_le : ∀ (i : ι) (w : ℂ), w ∈ U → ‖F i w‖ ≤ u i
hz : z ∈ U
⊢ Tendsto (fun s => Finset.sum s fun b => deriv (F b) z) atTop (𝓝 (deriv (fun w => ∑' (i : ι), F i w) z))
have hc := (tendstoUniformlyOn_tsum hu hF_le).tendstoLocallyUniformlyOn
case h.e'_3
E : Type u_2
ι : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
u : ι → ℝ
hu : Summable u
hf : ∀ (i : ι), DifferentiableOn ℂ (F i) U
hU : IsOpen U
hF_le : ∀ (i : ι) (w : ℂ), w ∈ U → ‖F i w‖ ≤ u i
hz : z ∈ U
hc : TendstoLocallyUniformlyOn (fun t x => Finset.sum t fun n => F n x) (fun x => ∑' (n : ι), F n x) atTop U
⊢ (fun s => Finset.sum s fun b => deriv (F b) z) = fun i => (deriv ∘ fun t x => Finset.sum t fun n => F n x) i z
E : Type u_2
ι : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
u : ι → ℝ
hu : Summable u
hf : ∀ (i : ι), DifferentiableOn ℂ (F i) U
hU : IsOpen U
hF_le : ∀ (i : ι) (w : ℂ), w ∈ U → ‖F i w‖ ≤ u i
hz : z ∈ U
hc : TendstoLocallyUniformlyOn (fun t x => Finset.sum t fun n => F n x) (fun x => ∑' (n : ι), F n x) atTop U
⊢ Tendsto (fun s => Finset.sum s fun b => deriv (F b) z) atTop (𝓝 (deriv (fun w => ∑' (i : ι), F i w) z))
convert (hc.deriv (eventually_of_forall fun s =>
  DifferentiableOn.sum fun i _ => hf i) hU).tendsto_at hz using 1
case h.e'_3.h
E : Type u_2
ι : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
u : ι → ℝ
hu : Summable u
hf : ∀ (i : ι), DifferentiableOn ℂ (F i) U
hU : IsOpen U
hF_le : ∀ (i : ι) (w : ℂ), w ∈ U → ‖F i w‖ ≤ u i
hz : z ∈ U
hc : TendstoLocallyUniformlyOn (fun t x => Finset.sum t fun n => F n x) (fun x => ∑' (n : ι), F n x) atTop U
s : Finset ι
⊢ (Finset.sum s fun b => deriv (F b) z) = (deriv ∘ fun t x => Finset.sum t fun n => F n x) s z
case h.e'_3
E : Type u_2
ι : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
u : ι → ℝ
hu : Summable u
hf : ∀ (i : ι), DifferentiableOn ℂ (F i) U
hU : IsOpen U
hF_le : ∀ (i : ι) (w : ℂ), w ∈ U → ‖F i w‖ ≤ u i
hz : z ∈ U
hc : TendstoLocallyUniformlyOn (fun t x => Finset.sum t fun n => F n x) (fun x => ∑' (n : ι), F n x) atTop U
⊢ (fun s => Finset.sum s fun b => deriv (F b) z) = fun i => (deriv ∘ fun t x => Finset.sum t fun n => F n x) i z
ext1 s
no goals
case h.e'_3.h
E : Type u_2
ι : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
u : ι → ℝ
hu : Summable u
hf : ∀ (i : ι), DifferentiableOn ℂ (F i) U
hU : IsOpen U
hF_le : ∀ (i : ι) (w : ℂ), w ∈ U → ‖F i w‖ ≤ u i
hz : z ∈ U
hc : TendstoLocallyUniformlyOn (fun t x => Finset.sum t fun n => F n x) (fun x => ∑' (n : ι), F n x) atTop U
s : Finset ι
⊢ (Finset.sum s fun b => deriv (F b) z) = (deriv ∘ fun t x => Finset.sum t fun n => F n x) s z
exact (deriv_sum fun i _ => (hf i).differentiableAt (hU.mem_nhds hz)).symm