α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x ≤ y
this : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
⊢ leftLim f x ≤ f y
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x ≤ y
⊢ leftLim f x ≤ f y
letI : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x ≤ y
this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
⊢ leftLim f x ≤ f y
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x ≤ y
this : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
⊢ leftLim f x ≤ f y
haveI : OrderTopology α := ⟨rfl⟩
case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x ≤ y
this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
h' : 𝓝[Iio x] x = ⊥
⊢ leftLim f x ≤ f y

case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x ≤ y
this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
h' : 𝓝[Iio x] x ≠ ⊥
⊢ leftLim f x ≤ f y
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x ≤ y
this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
⊢ leftLim f x ≤ f y
rcases eq_or_ne (𝓝[<] x) ⊥ with (h' | h')
case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x ≤ y
this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
h' : 𝓝[Iio x] x ≠ ⊥
A : NeBot (𝓝[Iio x] x)
⊢ leftLim f x ≤ f y
case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x ≤ y
this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
h' : 𝓝[Iio x] x ≠ ⊥
⊢ leftLim f x ≤ f y
haveI A : NeBot (𝓝[<] x) := neBot_iff.2 h'
case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x ≤ y
this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
h' : 𝓝[Iio x] x ≠ ⊥
A : NeBot (𝓝[Iio x] x)
⊢ sSup (f '' Iio x) ≤ f y
case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x ≤ y
this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
h' : 𝓝[Iio x] x ≠ ⊥
A : NeBot (𝓝[Iio x] x)
⊢ leftLim f x ≤ f y
rw [leftLim_eq_sSup hf h']
case inr.refine'_1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x ≤ y
this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
h' : 𝓝[Iio x] x ≠ ⊥
A : NeBot (𝓝[Iio x] x)
⊢ Set.Nonempty (f '' Iio x)

case inr.refine'_2
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x ≤ y
this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
h' : 𝓝[Iio x] x ≠ ⊥
A : NeBot (𝓝[Iio x] x)
⊢ ∀ (b : β), b ∈ f '' Iio x → b ≤ f y
case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x ≤ y
this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
h' : 𝓝[Iio x] x ≠ ⊥
A : NeBot (𝓝[Iio x] x)
⊢ sSup (f '' Iio x) ≤ f y
refine' csSup_le _ _
no goals
case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x ≤ y
this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
h' : 𝓝[Iio x] x = ⊥
⊢ leftLim f x ≤ f y
simpa [leftLim, h'] using hf h
case inr.refine'_1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x ≤ y
this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
h' : 𝓝[Iio x] x ≠ ⊥
A : NeBot (𝓝[Iio x] x)
⊢ Set.Nonempty (Iio x)
case inr.refine'_1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x ≤ y
this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
h' : 𝓝[Iio x] x ≠ ⊥
A : NeBot (𝓝[Iio x] x)
⊢ Set.Nonempty (f '' Iio x)
simp only [nonempty_image_iff]
no goals
case inr.refine'_1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x ≤ y
this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
h' : 𝓝[Iio x] x ≠ ⊥
A : NeBot (𝓝[Iio x] x)
⊢ Set.Nonempty (Iio x)
exact (forall_mem_nonempty_iff_neBot.2 A) _ self_mem_nhdsWithin
case inr.refine'_2
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x ≤ y
this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
h' : 𝓝[Iio x] x ≠ ⊥
A : NeBot (𝓝[Iio x] x)
⊢ ∀ (a : α), a < x → f a ≤ f y
case inr.refine'_2
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x ≤ y
this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
h' : 𝓝[Iio x] x ≠ ⊥
A : NeBot (𝓝[Iio x] x)
⊢ ∀ (b : β), b ∈ f '' Iio x → b ≤ f y
simp only [mem_image, mem_Iio, forall_exists_index, and_imp, forall_apply_eq_imp_iff₂]
case inr.refine'_2
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x ≤ y
this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
h' : 𝓝[Iio x] x ≠ ⊥
A : NeBot (𝓝[Iio x] x)
z : α
hz : z < x
⊢ f z ≤ f y
case inr.refine'_2
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x ≤ y
this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
h' : 𝓝[Iio x] x ≠ ⊥
A : NeBot (𝓝[Iio x] x)
⊢ ∀ (a : α), a < x → f a ≤ f y
intro z hz
no goals
case inr.refine'_2
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x ≤ y
this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
h' : 𝓝[Iio x] x ≠ ⊥
A : NeBot (𝓝[Iio x] x)
z : α
hz : z < x
⊢ f z ≤ f y
exact hf (hz.le.trans h)