case intro.intro
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
⊢ LiouvilleWith p (x * ↑r)
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
⊢ LiouvilleWith p (x * ↑r)
rcases h.exists_pos with ⟨C, _hC₀, hC⟩
case intro.intro
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
⊢ ∀ (x_1 : ℕ),
    (1 ≤ x_1 ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑x_1 ∧ abs (x - ↑m / ↑x_1) < C / ↑x_1 ^ p) →
      ∃ m,
        x * ↑r ≠ ↑m / ↑(r.den • id x_1) ∧
          abs (x * ↑r - ↑m / ↑(r.den • id x_1)) < ↑r.den ^ p * (↑(abs r) * C) / ↑(r.den • id x_1) ^ p
case intro.intro
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
⊢ LiouvilleWith p (x * ↑r)
refine ⟨r.den ^ p * (|r| * C), (tendsto_id.nsmul_atTop r.pos).frequently (hC.mono ?_)⟩
case intro.intro.intro.intro.intro
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
⊢ ∃ m,
    x * ↑r ≠ ↑m / ↑(r.den • id n) ∧
      abs (x * ↑r - ↑m / ↑(r.den • id n)) < ↑r.den ^ p * (↑(abs r) * C) / ↑(r.den • id n) ^ p
case intro.intro
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
⊢ ∀ (x_1 : ℕ),
    (1 ≤ x_1 ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑x_1 ∧ abs (x - ↑m / ↑x_1) < C / ↑x_1 ^ p) →
      ∃ m,
        x * ↑r ≠ ↑m / ↑(r.den • id x_1) ∧
          abs (x * ↑r - ↑m / ↑(r.den • id x_1)) < ↑r.den ^ p * (↑(abs r) * C) / ↑(r.den • id x_1) ^ p
rintro n ⟨_hn, m, hne, hlt⟩
case intro.intro.intro.intro.intro
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ ∃ m,
    x * ↑r ≠ ↑m / ↑(r.den • id n) ∧
      abs (x * ↑r - ↑m / ↑(r.den • id n)) < ↑r.den ^ p * (↑(abs r) * C) / ↑(r.den • id n) ^ p
case intro.intro.intro.intro.intro
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
⊢ ∃ m,
    x * ↑r ≠ ↑m / ↑(r.den • id n) ∧
      abs (x * ↑r - ↑m / ↑(r.den • id n)) < ↑r.den ^ p * (↑(abs r) * C) / ↑(r.den • id n) ^ p
have A : (↑(r.num * m) : ℝ) / ↑(r.den • id n) = m / n * r := by
  simp [← div_mul_div_comm, ← r.cast_def, mul_comm]
case intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ x * ↑r ≠ ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n)

case intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ abs (x * ↑r - ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n)) < ↑r.den ^ p * (↑(abs r) * C) / ↑(r.den • id n) ^ p
case intro.intro.intro.intro.intro
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ ∃ m,
    x * ↑r ≠ ↑m / ↑(r.den • id n) ∧
      abs (x * ↑r - ↑m / ↑(r.den • id n)) < ↑r.den ^ p * (↑(abs r) * C) / ↑(r.den • id n) ^ p
refine ⟨r.num * m, ?_, ?_⟩
no goals
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
⊢ ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
simp [← div_mul_div_comm, ← r.cast_def, mul_comm]
case intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ x * ↑r ≠ ↑m / ↑n * ↑r
case intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ x * ↑r ≠ ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n)
rw [A]
no goals
case intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ x * ↑r ≠ ↑m / ↑n * ↑r
simp [hne, hr]
case intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ abs (x - ↑m / ↑n) * abs ↑r < ↑r.den ^ p * (↑(abs r) * C) / ↑(r.den • id n) ^ p
case intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ abs (x * ↑r - ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n)) < ↑r.den ^ p * (↑(abs r) * C) / ↑(r.den • id n) ^ p
rw [A, ← sub_mul, abs_mul]
case intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ abs (x - ↑m / ↑n) * abs ↑r < ↑r.den ^ p * (↑(abs r) * C) / (↑r.den * ↑n) ^ p
case intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ abs (x - ↑m / ↑n) * abs ↑r < ↑r.den ^ p * (↑(abs r) * C) / ↑(r.den • id n) ^ p
simp only [smul_eq_mul, id.def, Nat.cast_mul]
case intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ C / ↑n ^ p * abs ↑r ≤ ↑r.den ^ p * (↑(abs r) * C) / (↑r.den * ↑n) ^ p
case intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ abs (x - ↑m / ↑n) * abs ↑r < ↑r.den ^ p * (↑(abs r) * C) / (↑r.den * ↑n) ^ p
refine (mul_lt_mul_of_pos_right hlt <| abs_pos.2 <| Rat.cast_ne_zero.2 hr).trans_le ?_
case intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ abs ↑r * (C / ↑n ^ p) ≤ ↑(abs r) * (C / ↑n ^ p)

case intro.intro.intro.intro.intro.refine_2.hc
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ ↑r.den ^ p ≠ 0

case intro.intro.intro.intro.intro.refine_2.h
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ 0 ≤ ↑r.den

case intro.intro.intro.intro.intro.refine_2.h₁
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ 0 ≤ ↑n
case intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ C / ↑n ^ p * abs ↑r ≤ ↑r.den ^ p * (↑(abs r) * C) / (↑r.den * ↑n) ^ p
rw [mul_rpow, mul_div_mul_left, mul_comm, mul_div_assoc]
no goals
case intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ abs ↑r * (C / ↑n ^ p) ≤ ↑(abs r) * (C / ↑n ^ p)
simp only [Rat.cast_abs, le_refl]
no goals
case intro.intro.intro.intro.intro.refine_2.hc
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ ↑r.den ^ p ≠ 0
exact (rpow_pos_of_pos (Nat.cast_pos.2 r.pos) _).ne'
no goals
case intro.intro.intro.intro.intro.refine_2.h
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ 0 ≤ ↑r.den
exact Nat.cast_nonneg _
no goals
case intro.intro.intro.intro.intro.refine_2.h₁
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : abs (x - ↑m / ↑n) < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r
⊢ 0 ≤ ↑n
exact Nat.cast_nonneg _