E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ≥0
hf : CircleIntegrable f c ↑R
hR : 0 < R
y✝ : ℂ
hy : y✝ ∈ EMetric.ball 0 ↑R
⊢ ↑Complex.abs y✝ < ↑R
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ≥0
hf : CircleIntegrable f c ↑R
hR : 0 < R
y✝ : ℂ
hy : y✝ ∈ EMetric.ball 0 ↑R
⊢ HasSum (fun n => ↑(cauchyPowerSeries f c (↑R) n) fun x => y✝)
    ((2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, ↑R), (z - (c + y✝))⁻¹ • f z)
refine' hasSum_cauchyPowerSeries_integral hf _
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ≥0
hf : CircleIntegrable f c ↑R
hR : 0 < R
y✝ : ℂ
hy : y✝ ∈ EMetric.ball 0 ↑R
⊢ ↑‖y✝‖₊ < ↑R
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ≥0
hf : CircleIntegrable f c ↑R
hR : 0 < R
y✝ : ℂ
hy : y✝ ∈ EMetric.ball 0 ↑R
⊢ ↑Complex.abs y✝ < ↑R
rw [← norm_eq_abs, ← coe_nnnorm, NNReal.coe_lt_coe, ← ENNReal.coe_lt_coe]
no goals
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ≥0
hf : CircleIntegrable f c ↑R
hR : 0 < R
y✝ : ℂ
hy : y✝ ∈ EMetric.ball 0 ↑R
⊢ ↑‖y✝‖₊ < ↑R
exact mem_emetric_ball_zero_iff.1 hy