case inl
V : Type u_2
P : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d x✝ y z : P
R✝ R : ℝ
hR : R ≠ 0
x : P
⊢ inversion x R (inversion x R x) = x

case inr
V : Type u_2
P : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c✝ d x✝ y z : P
R✝ : ℝ
c : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
x : P
hne : x ≠ c
⊢ inversion c R (inversion c R x) = x
V : Type u_2
P : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c✝ d x✝ y z : P
R✝ : ℝ
c : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
x : P
⊢ inversion c R (inversion c R x) = x
rcases eq_or_ne x c with (rfl | hne)
no goals
case inl
V : Type u_2
P : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d x✝ y z : P
R✝ R : ℝ
hR : R ≠ 0
x : P
⊢ inversion x R (inversion x R x) = x
rw [inversion_self, inversion_self]
case inr
V : Type u_2
P : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c✝ d x✝ y z : P
R✝ : ℝ
c : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
x : P
hne : x ≠ c
⊢ R ^ 2 ≠ 0
case inr
V : Type u_2
P : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c✝ d x✝ y z : P
R✝ : ℝ
c : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
x : P
hne : x ≠ c
⊢ inversion c R (inversion c R x) = x
rw [inversion, dist_inversion_center, inversion_vsub_center, smul_smul, ← mul_pow,
  div_mul_div_comm, div_mul_cancel _ (dist_ne_zero.2 hne), ← sq, div_self, one_pow, one_smul,
  vsub_vadd]
no goals
case inr
V : Type u_2
P : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c✝ d x✝ y z : P
R✝ : ℝ
c : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
x : P
hne : x ≠ c
⊢ R ^ 2 ≠ 0
exact pow_ne_zero _ hR