case intro.intro
α : Type u_1
β : Type ?u.518903
E : Type ?u.518906
F : Type ?u.518909
G : Type ?u.518912
E' : Type ?u.518915
F' : Type ?u.518918
G' : Type ?u.518921
E'' : Type ?u.518924
F'' : Type ?u.518927
G'' : Type ?u.518930
R : Type u_3
R' : Type ?u.518936
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type ?u.518942
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : α → 𝕜
g : α → R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
h : (f ^ n) =O[l] (g ^ n)
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : IsBigOWith C l (f ^ n) (g ^ n)
⊢ f =O[l] g
α : Type u_1
β : Type ?u.518903
E : Type ?u.518906
F : Type ?u.518909
G : Type ?u.518912
E' : Type ?u.518915
F' : Type ?u.518918
G' : Type ?u.518921
E'' : Type ?u.518924
F'' : Type ?u.518927
G'' : Type ?u.518930
R : Type u_3
R' : Type ?u.518936
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type ?u.518942
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : α → 𝕜
g : α → R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
h : (f ^ n) =O[l] (g ^ n)
⊢ f =O[l] g
rcases h.exists_pos with ⟨C, _hC₀, hC⟩
α : Type u_1
β : Type ?u.518903
E : Type ?u.518906
F : Type ?u.518909
G : Type ?u.518912
E' : Type ?u.518915
F' : Type ?u.518918
G' : Type ?u.518921
E'' : Type ?u.518924
F'' : Type ?u.518927
G'' : Type ?u.518930
R : Type u_3
R' : Type ?u.518936
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type ?u.518942
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : α → 𝕜
g : α → R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
h : (f ^ n) =O[l] (g ^ n)
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : IsBigOWith C l (f ^ n) (g ^ n)
⊢ ∃ c, 0 ≤ c ∧ C ≤ c ^ n

case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type ?u.518903
E : Type ?u.518906
F : Type ?u.518909
G : Type ?u.518912
E' : Type ?u.518915
F' : Type ?u.518918
G' : Type ?u.518921
E'' : Type ?u.518924
F'' : Type ?u.518927
G'' : Type ?u.518930
R : Type u_3
R' : Type ?u.518936
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type ?u.518942
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : α → 𝕜
g : α → R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
h : (f ^ n) =O[l] (g ^ n)
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : IsBigOWith C l (f ^ n) (g ^ n)
c : ℝ
hc₀ : 0 ≤ c
hc : C ≤ c ^ n
⊢ f =O[l] g
case intro.intro
α : Type u_1
β : Type ?u.518903
E : Type ?u.518906
F : Type ?u.518909
G : Type ?u.518912
E' : Type ?u.518915
F' : Type ?u.518918
G' : Type ?u.518921
E'' : Type ?u.518924
F'' : Type ?u.518927
G'' : Type ?u.518930
R : Type u_3
R' : Type ?u.518936
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type ?u.518942
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : α → 𝕜
g : α → R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
h : (f ^ n) =O[l] (g ^ n)
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : IsBigOWith C l (f ^ n) (g ^ n)
⊢ f =O[l] g
obtain ⟨c, hc₀, hc⟩ : ∃ c : ℝ, 0 ≤ c ∧ C ≤ c ^ n
case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type ?u.518903
E : Type ?u.518906
F : Type ?u.518909
G : Type ?u.518912
E' : Type ?u.518915
F' : Type ?u.518918
G' : Type ?u.518921
E'' : Type ?u.518924
F'' : Type ?u.518927
G'' : Type ?u.518930
R : Type u_3
R' : Type ?u.518936
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type ?u.518942
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : α → 𝕜
g : α → R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
h : (f ^ n) =O[l] (g ^ n)
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : IsBigOWith C l (f ^ n) (g ^ n)
c : ℝ
hc₀ : 0 ≤ c
hc : C ≤ c ^ n
⊢ f =O[l] g
α : Type u_1
β : Type ?u.518903
E : Type ?u.518906
F : Type ?u.518909
G : Type ?u.518912
E' : Type ?u.518915
F' : Type ?u.518918
G' : Type ?u.518921
E'' : Type ?u.518924
F'' : Type ?u.518927
G'' : Type ?u.518930
R : Type u_3
R' : Type ?u.518936
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type ?u.518942
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : α → 𝕜
g : α → R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
h : (f ^ n) =O[l] (g ^ n)
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : IsBigOWith C l (f ^ n) (g ^ n)
⊢ ∃ c, 0 ≤ c ∧ C ≤ c ^ n

case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type ?u.518903
E : Type ?u.518906
F : Type ?u.518909
G : Type ?u.518912
E' : Type ?u.518915
F' : Type ?u.518918
G' : Type ?u.518921
E'' : Type ?u.518924
F'' : Type ?u.518927
G'' : Type ?u.518930
R : Type u_3
R' : Type ?u.518936
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type ?u.518942
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : α → 𝕜
g : α → R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
h : (f ^ n) =O[l] (g ^ n)
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : IsBigOWith C l (f ^ n) (g ^ n)
c : ℝ
hc₀ : 0 ≤ c
hc : C ≤ c ^ n
⊢ f =O[l] g
exact ((eventually_ge_atTop _).and <| (tendsto_pow_atTop hn).eventually_ge_atTop C).exists
no goals
case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type ?u.518903
E : Type ?u.518906
F : Type ?u.518909
G : Type ?u.518912
E' : Type ?u.518915
F' : Type ?u.518918
G' : Type ?u.518921
E'' : Type ?u.518924
F'' : Type ?u.518927
G'' : Type ?u.518930
R : Type u_3
R' : Type ?u.518936
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type ?u.518942
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : α → 𝕜
g : α → R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
h : (f ^ n) =O[l] (g ^ n)
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : IsBigOWith C l (f ^ n) (g ^ n)
c : ℝ
hc₀ : 0 ≤ c
hc : C ≤ c ^ n
⊢ f =O[l] g
exact (hC.of_pow hn hc hc₀).isBigO