𝕜 : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.176423
G : Type ?u.176426
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x✝ : E
t : ConvexCone 𝕜 E
ht : t ∈ {t | s ⊆ ↑t}
x : E
hx : x ∈ toCone s hs
⊢ x ∈ t
𝕜 : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.176423
G : Type ?u.176426
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x : E
⊢ IsLeast {t | s ⊆ ↑t} (toCone s hs)
refine' ⟨hs.subset_toCone, fun t ht x hx => _⟩
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.176423
G : Type ?u.176426
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x : E
t : ConvexCone 𝕜 E
ht : t ∈ {t | s ⊆ ↑t}
c : 𝕜
hc : 0 < c
y : E
hy : y ∈ s
hx : c • y ∈ toCone s hs
⊢ c • y ∈ t
𝕜 : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.176423
G : Type ?u.176426
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x✝ : E
t : ConvexCone 𝕜 E
ht : t ∈ {t | s ⊆ ↑t}
x : E
hx : x ∈ toCone s hs
⊢ x ∈ t
rcases hs.mem_toCone.1 hx with ⟨c, hc, y, hy, rfl⟩
no goals
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.176423
G : Type ?u.176426
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x : E
t : ConvexCone 𝕜 E
ht : t ∈ {t | s ⊆ ↑t}
c : 𝕜
hc : 0 < c
y : E
hy : y ∈ s
hx : c • y ∈ toCone s hs
⊢ c • y ∈ t
exact t.smul_mem hc (ht hy)