R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type ?u.623487
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : { x // x ∈ S }
⊢ fromLocalizedModule' S f (LocalizedModule.mk a b + LocalizedModule.mk a' b') =
    fromLocalizedModule' S f (LocalizedModule.mk a b) + fromLocalizedModule' S f (LocalizedModule.mk a' b')
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type ?u.623487
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x y : LocalizedModule S M
⊢ ∀ (m m' : M) (s s' : { x // x ∈ S }),
    fromLocalizedModule' S f (LocalizedModule.mk m s + LocalizedModule.mk m' s') =
      fromLocalizedModule' S f (LocalizedModule.mk m s) + fromLocalizedModule' S f (LocalizedModule.mk m' s')
intro a a' b b'
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type ?u.623487
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : { x // x ∈ S }
⊢ ↑↑(IsUnit.unit (_ : IsUnit (↑(algebraMap R (Module.End R M')) ↑(b * b'))))⁻¹ (↑f (b' • a + b • a')) =
    ↑↑(IsUnit.unit (_ : IsUnit (↑(algebraMap R (Module.End R M')) ↑b)))⁻¹ (↑f a) +
      ↑↑(IsUnit.unit (_ : IsUnit (↑(algebraMap R (Module.End R M')) ↑b')))⁻¹ (↑f a')
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type ?u.623487
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : { x // x ∈ S }
⊢ fromLocalizedModule' S f (LocalizedModule.mk a b + LocalizedModule.mk a' b') =
    fromLocalizedModule' S f (LocalizedModule.mk a b) + fromLocalizedModule' S f (LocalizedModule.mk a' b')
simp only [LocalizedModule.mk_add_mk, fromLocalizedModule'_mk]
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type ?u.623487
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : { x // x ∈ S }
⊢ ↑f (b' • a) + ↑f (b • a') =
    ↑↑(IsUnit.unit (_ : IsUnit (↑(algebraMap R (Module.End R M')) ↑b)))⁻¹ (↑f (↑(b * b') • a)) +
      ↑↑(IsUnit.unit (_ : IsUnit (↑(algebraMap R (Module.End R M')) ↑b')))⁻¹ (↑(b * b') • ↑f a')
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type ?u.623487
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : { x // x ∈ S }
⊢ ↑↑(IsUnit.unit (_ : IsUnit (↑(algebraMap R (Module.End R M')) ↑(b * b'))))⁻¹ (↑f (b' • a + b • a')) =
    ↑↑(IsUnit.unit (_ : IsUnit (↑(algebraMap R (Module.End R M')) ↑b)))⁻¹ (↑f a) +
      ↑↑(IsUnit.unit (_ : IsUnit (↑(algebraMap R (Module.End R M')) ↑b')))⁻¹ (↑f a')
erw [Module.End_algebraMap_isUnit_inv_apply_eq_iff, smul_add, ←map_smul, ←map_smul,
  ←map_smul, map_add]
case e_a
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type ?u.623487
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : { x // x ∈ S }
⊢ ↑f (b' • a) = ↑↑(IsUnit.unit (_ : IsUnit (↑(algebraMap R (Module.End R M')) ↑b)))⁻¹ (↑f (↑(b * b') • a))

case e_a
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type ?u.623487
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : { x // x ∈ S }
⊢ ↑f (b • a') = ↑↑(IsUnit.unit (_ : IsUnit (↑(algebraMap R (Module.End R M')) ↑b')))⁻¹ (↑(b * b') • ↑f a')
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type ?u.623487
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : { x // x ∈ S }
⊢ ↑f (b' • a) + ↑f (b • a') =
    ↑↑(IsUnit.unit (_ : IsUnit (↑(algebraMap R (Module.End R M')) ↑b)))⁻¹ (↑f (↑(b * b') • a)) +
      ↑↑(IsUnit.unit (_ : IsUnit (↑(algebraMap R (Module.End R M')) ↑b')))⁻¹ (↑(b * b') • ↑f a')
congr 1
case e_a
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type ?u.623487
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : { x // x ∈ S }
⊢ ↑f (↑(b * b') • a) = ↑b • ↑f (b' • a)

case e_a
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type ?u.623487
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : { x // x ∈ S }
⊢ ↑(b * b') • ↑f a' = ↑b' • ↑f (b • a')
case e_a
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type ?u.623487
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : { x // x ∈ S }
⊢ ↑f (b' • a) = ↑↑(IsUnit.unit (_ : IsUnit (↑(algebraMap R (Module.End R M')) ↑b)))⁻¹ (↑f (↑(b * b') • a))

case e_a
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type ?u.623487
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : { x // x ∈ S }
⊢ ↑f (b • a') = ↑↑(IsUnit.unit (_ : IsUnit (↑(algebraMap R (Module.End R M')) ↑b')))⁻¹ (↑(b * b') • ↑f a')
all_goals erw [Module.End_algebraMap_isUnit_inv_apply_eq_iff']
case e_a
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type ?u.623487
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : { x // x ∈ S }
⊢ ↑(b * b') • ↑f a' = ↑b' • ↑f (b • a')
case e_a
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type ?u.623487
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : { x // x ∈ S }
⊢ ↑f (b • a') = ↑↑(IsUnit.unit (_ : IsUnit (↑(algebraMap R (Module.End R M')) ↑b')))⁻¹ (↑(b * b') • ↑f a')
erw [Module.End_algebraMap_isUnit_inv_apply_eq_iff']
case e_a
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type ?u.623487
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : { x // x ∈ S }
⊢ ↑b • ↑f (↑b' • a) = ↑b • ↑f (b' • a)
case e_a
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type ?u.623487
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : { x // x ∈ S }
⊢ ↑f (↑(b * b') • a) = ↑b • ↑f (b' • a)
erw [mul_smul, f.map_smul]
no goals
case e_a
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type ?u.623487
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : { x // x ∈ S }
⊢ ↑b • ↑f (↑b' • a) = ↑b • ↑f (b' • a)
rfl
case e_a
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type ?u.623487
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : { x // x ∈ S }
⊢ ↑b' • ↑b • ↑f a' = ↑b' • ↑(Submonoid.subtype S) b • ↑f a'
case e_a
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type ?u.623487
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : { x // x ∈ S }
⊢ ↑(b * b') • ↑f a' = ↑b' • ↑f (b • a')
erw [mul_comm, f.map_smul, mul_smul]
no goals
case e_a
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type ?u.623487
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : { x // x ∈ S }
⊢ ↑b' • ↑b • ↑f a' = ↑b' • ↑(Submonoid.subtype S) b • ↑f a'
rfl