α : Type ?u.1700816
E : Type ?u.1700819
F : Type u_2
𝕜 : Type ?u.1700825
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : CompleteSpace E
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
H : Type ?u.1703496
β : Type u_1
γ : Type ?u.1703502
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β →ₛ F
hf_int : Integrable ↑f
⊢ (∫ (x : β), ↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm f) x ∂μ) =
    ∑ x in SimpleFunc.range f, ENNReal.toReal (↑↑μ (↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm f) ⁻¹' {x})) • x
α : Type ?u.1700816
E : Type ?u.1700819
F : Type u_2
𝕜 : Type ?u.1700825
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : CompleteSpace E
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
H : Type ?u.1703496
β : Type u_1
γ : Type ?u.1703502
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β →ₛ F
hf_int : Integrable ↑f
⊢ (∫ (x : β), ↑f x ∂μ) = ∑ x in SimpleFunc.range f, ENNReal.toReal (↑↑μ (↑f ⁻¹' {x})) • x
simp_rw [← f.coe_toLargerSpace_eq hm]
α : Type ?u.1700816
E : Type ?u.1700819
F : Type u_2
𝕜 : Type ?u.1700825
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : CompleteSpace E
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
H : Type ?u.1703496
β : Type u_1
γ : Type ?u.1703502
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β →ₛ F
hf_int✝ : Integrable ↑f
hf_int : Integrable ↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm f)
⊢ (∫ (x : β), ↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm f) x ∂μ) =
    ∑ x in SimpleFunc.range f, ENNReal.toReal (↑↑μ (↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm f) ⁻¹' {x})) • x
α : Type ?u.1700816
E : Type ?u.1700819
F : Type u_2
𝕜 : Type ?u.1700825
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : CompleteSpace E
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
H : Type ?u.1703496
β : Type u_1
γ : Type ?u.1703502
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β →ₛ F
hf_int : Integrable ↑f
⊢ (∫ (x : β), ↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm f) x ∂μ) =
    ∑ x in SimpleFunc.range f, ENNReal.toReal (↑↑μ (↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm f) ⁻¹' {x})) • x
have hf_int : Integrable (f.toLargerSpace hm) μ := by rwa [SimpleFunc.coe_toLargerSpace_eq]
α : Type ?u.1700816
E : Type ?u.1700819
F : Type u_2
𝕜 : Type ?u.1700825
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : CompleteSpace E
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
H : Type ?u.1703496
β : Type u_1
γ : Type ?u.1703502
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β →ₛ F
hf_int✝ : Integrable ↑f
hf_int : Integrable ↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm f)
⊢ ∑ x in SimpleFunc.range (SimpleFunc.toLargerSpace hm f),
      ENNReal.toReal (↑↑μ (↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm f) ⁻¹' {x})) • x =
    ∑ x in SimpleFunc.range f, ENNReal.toReal (↑↑μ (↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm f) ⁻¹' {x})) • x
α : Type ?u.1700816
E : Type ?u.1700819
F : Type u_2
𝕜 : Type ?u.1700825
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : CompleteSpace E
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
H : Type ?u.1703496
β : Type u_1
γ : Type ?u.1703502
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β →ₛ F
hf_int✝ : Integrable ↑f
hf_int : Integrable ↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm f)
⊢ (∫ (x : β), ↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm f) x ∂μ) =
    ∑ x in SimpleFunc.range f, ENNReal.toReal (↑↑μ (↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm f) ⁻¹' {x})) • x
rw [SimpleFunc.integral_eq_sum _ hf_int]
no goals
α : Type ?u.1700816
E : Type ?u.1700819
F : Type u_2
𝕜 : Type ?u.1700825
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : CompleteSpace E
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
H : Type ?u.1703496
β : Type u_1
γ : Type ?u.1703502
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β →ₛ F
hf_int✝ : Integrable ↑f
hf_int : Integrable ↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm f)
⊢ ∑ x in SimpleFunc.range (SimpleFunc.toLargerSpace hm f),
      ENNReal.toReal (↑↑μ (↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm f) ⁻¹' {x})) • x =
    ∑ x in SimpleFunc.range f, ENNReal.toReal (↑↑μ (↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm f) ⁻¹' {x})) • x
congr 1
no goals
α : Type ?u.1700816
E : Type ?u.1700819
F : Type u_2
𝕜 : Type ?u.1700825
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : CompleteSpace E
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
H : Type ?u.1703496
β : Type u_1
γ : Type ?u.1703502
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β →ₛ F
hf_int : Integrable ↑f
⊢ Integrable ↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm f)
rwa [SimpleFunc.coe_toLargerSpace_eq]