case zero
R : Type u_1
R₁ : Type ?u.610021
R₂ : Type ?u.610024
R₃ : Type ?u.610027
R₄ : Type ?u.610030
S : Type ?u.610033
K : Type ?u.610036
K₂ : Type ?u.610039
M : Type u_2
M' : Type ?u.610045
M₁ : Type ?u.610048
M₂ : Type ?u.610051
M₃ : Type ?u.610054
M₄ : Type ?u.610057
N : Type ?u.610060
N₂ : Type ?u.610063
ι : Type ?u.610066
V : Type ?u.610069
V₂ : Type ?u.610072
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : Semiring R₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M'
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
inst✝² : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝¹ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
p✝ p' : Submodule R M
q q' : Submodule R₂ M₂
q₁ q₁' : Submodule R M'
r : R
x y : M
F : Type ?u.610609
sc : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
p : Submodule R M
f : M →ₗ[R] M
h : p ≤ comap f p
⊢ p ≤ comap (f ^ Nat.zero) p

case succ
R : Type u_1
R₁ : Type ?u.610021
R₂ : Type ?u.610024
R₃ : Type ?u.610027
R₄ : Type ?u.610030
S : Type ?u.610033
K : Type ?u.610036
K₂ : Type ?u.610039
M : Type u_2
M' : Type ?u.610045
M₁ : Type ?u.610048
M₂ : Type ?u.610051
M₃ : Type ?u.610054
M₄ : Type ?u.610057
N : Type ?u.610060
N₂ : Type ?u.610063
ι : Type ?u.610066
V : Type ?u.610069
V₂ : Type ?u.610072
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : Semiring R₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M'
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
inst✝² : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝¹ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
p✝ p' : Submodule R M
q q' : Submodule R₂ M₂
q₁ q₁' : Submodule R M'
r : R
x y : M
F : Type ?u.610609
sc : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
p : Submodule R M
f : M →ₗ[R] M
h : p ≤ comap f p
k : ℕ
ih : p ≤ comap (f ^ k) p
⊢ p ≤ comap (f ^ Nat.succ k) p
R : Type u_1
R₁ : Type ?u.610021
R₂ : Type ?u.610024
R₃ : Type ?u.610027
R₄ : Type ?u.610030
S : Type ?u.610033
K : Type ?u.610036
K₂ : Type ?u.610039
M : Type u_2
M' : Type ?u.610045
M₁ : Type ?u.610048
M₂ : Type ?u.610051
M₃ : Type ?u.610054
M₄ : Type ?u.610057
N : Type ?u.610060
N₂ : Type ?u.610063
ι : Type ?u.610066
V : Type ?u.610069
V₂ : Type ?u.610072
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : Semiring R₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M'
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
inst✝² : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝¹ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
p✝ p' : Submodule R M
q q' : Submodule R₂ M₂
q₁ q₁' : Submodule R M'
r : R
x y : M
F : Type ?u.610609
sc : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
p : Submodule R M
f : M →ₗ[R] M
h : p ≤ comap f p
k : ℕ
⊢ p ≤ comap (f ^ k) p
induction' k with k ih
no goals
case zero
R : Type u_1
R₁ : Type ?u.610021
R₂ : Type ?u.610024
R₃ : Type ?u.610027
R₄ : Type ?u.610030
S : Type ?u.610033
K : Type ?u.610036
K₂ : Type ?u.610039
M : Type u_2
M' : Type ?u.610045
M₁ : Type ?u.610048
M₂ : Type ?u.610051
M₃ : Type ?u.610054
M₄ : Type ?u.610057
N : Type ?u.610060
N₂ : Type ?u.610063
ι : Type ?u.610066
V : Type ?u.610069
V₂ : Type ?u.610072
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : Semiring R₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M'
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
inst✝² : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝¹ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
p✝ p' : Submodule R M
q q' : Submodule R₂ M₂
q₁ q₁' : Submodule R M'
r : R
x y : M
F : Type ?u.610609
sc : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
p : Submodule R M
f : M →ₗ[R] M
h : p ≤ comap f p
⊢ p ≤ comap (f ^ Nat.zero) p
simp [LinearMap.one_eq_id]
no goals
case succ
R : Type u_1
R₁ : Type ?u.610021
R₂ : Type ?u.610024
R₃ : Type ?u.610027
R₄ : Type ?u.610030
S : Type ?u.610033
K : Type ?u.610036
K₂ : Type ?u.610039
M : Type u_2
M' : Type ?u.610045
M₁ : Type ?u.610048
M₂ : Type ?u.610051
M₃ : Type ?u.610054
M₄ : Type ?u.610057
N : Type ?u.610060
N₂ : Type ?u.610063
ι : Type ?u.610066
V : Type ?u.610069
V₂ : Type ?u.610072
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : Semiring R₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M'
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
inst✝² : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝¹ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
p✝ p' : Submodule R M
q q' : Submodule R₂ M₂
q₁ q₁' : Submodule R M'
r : R
x y : M
F : Type ?u.610609
sc : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
p : Submodule R M
f : M →ₗ[R] M
h : p ≤ comap f p
k : ℕ
ih : p ≤ comap (f ^ k) p
⊢ p ≤ comap (f ^ Nat.succ k) p
simp [LinearMap.iterate_succ, comap_comp, h.trans (comap_mono ih)]