α : Type u_1
E : Type ?u.1098396
F : Type ?u.1098399
𝕜 : Type ?u.1098402
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1101093
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
hf✝ : f ≤ᵐ[μ] 0
hf : 0 ≤ᵐ[μ] -f
⊢ (∫ (a : α), f a ∂μ) ≤ 0
α : Type u_1
E : Type ?u.1098396
F : Type ?u.1098399
𝕜 : Type ?u.1098402
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1101093
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
hf : f ≤ᵐ[μ] 0
⊢ (∫ (a : α), f a ∂μ) ≤ 0
have hf : 0 ≤ᵐ[μ] -f := hf.mono fun a h => by rwa [Pi.neg_apply, Pi.zero_apply, neg_nonneg]
α : Type u_1
E : Type ?u.1098396
F : Type ?u.1098399
𝕜 : Type ?u.1098402
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1101093
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
hf✝ : f ≤ᵐ[μ] 0
hf : 0 ≤ᵐ[μ] -f
this : 0 ≤ ∫ (a : α), -f a ∂μ
⊢ (∫ (a : α), f a ∂μ) ≤ 0
α : Type u_1
E : Type ?u.1098396
F : Type ?u.1098399
𝕜 : Type ?u.1098402
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1101093
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
hf✝ : f ≤ᵐ[μ] 0
hf : 0 ≤ᵐ[μ] -f
⊢ (∫ (a : α), f a ∂μ) ≤ 0
have : 0 ≤ ∫ a, -f a ∂μ := integral_nonneg_of_ae hf
no goals
α : Type u_1
E : Type ?u.1098396
F : Type ?u.1098399
𝕜 : Type ?u.1098402
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1101093
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
hf✝ : f ≤ᵐ[μ] 0
hf : 0 ≤ᵐ[μ] -f
this : 0 ≤ ∫ (a : α), -f a ∂μ
⊢ (∫ (a : α), f a ∂μ) ≤ 0
rwa [integral_neg, neg_nonneg] at this
no goals
α : Type u_1
E : Type ?u.1098396
F : Type ?u.1098399
𝕜 : Type ?u.1098402
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1101093
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
hf : f ≤ᵐ[μ] 0
a : α
h : f a ≤ OfNat.ofNat 0 a
⊢ OfNat.ofNat 0 a ≤ (-f) a
rwa [Pi.neg_apply, Pi.zero_apply, neg_nonneg]