case refine'_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.374344
α : Type ?u.374347
β : Type u_3
ι : Type ?u.374353
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : LinearOrderedAddCommMonoid β
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ f (a • x + b • y) ≤ a • (f ⊔ g) x + b • (f ⊔ g) y

case refine'_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.374344
α : Type ?u.374347
β : Type u_3
ι : Type ?u.374353
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : LinearOrderedAddCommMonoid β
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ g (a • x + b • y) ≤ a • (f ⊔ g) x + b • (f ⊔ g) y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.374344
α : Type ?u.374347
β : Type u_3
ι : Type ?u.374353
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : LinearOrderedAddCommMonoid β
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
⊢ ConvexOn 𝕜 s (f ⊔ g)
refine' ⟨hf.left, fun x hx y hy a b ha hb hab => sup_le _ _⟩
no goals
case refine'_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.374344
α : Type ?u.374347
β : Type u_3
ι : Type ?u.374353
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : LinearOrderedAddCommMonoid β
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ f (a • x + b • y) ≤ a • (f ⊔ g) x + b • (f ⊔ g) y
calc
  f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y := hf.right hx hy ha hb hab
  _ ≤ a • (f x ⊔ g x) + b • (f y ⊔ g y) := by gcongr <;> apply le_sup_left
no goals
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.374344
α : Type ?u.374347
β : Type u_3
ι : Type ?u.374353
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : LinearOrderedAddCommMonoid β
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • f x + b • f y ≤ a • (f x ⊔ g x) + b • (f y ⊔ g y)
gcongr <;> apply le_sup_left
no goals
case refine'_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.374344
α : Type ?u.374347
β : Type u_3
ι : Type ?u.374353
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : LinearOrderedAddCommMonoid β
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ g (a • x + b • y) ≤ a • (f ⊔ g) x + b • (f ⊔ g) y
calc
  g (a • x + b • y) ≤ a • g x + b • g y := hg.right hx hy ha hb hab
  _ ≤ a • (f x ⊔ g x) + b • (f y ⊔ g y) := by gcongr <;> apply le_sup_right
no goals
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.374344
α : Type ?u.374347
β : Type u_3
ι : Type ?u.374353
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : LinearOrderedAddCommMonoid β
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • g x + b • g y ≤ a • (f x ⊔ g x) + b • (f y ⊔ g y)
gcongr <;> apply le_sup_right