𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.210344
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.210439
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
K : ℝ≥0
hK : ‖f'‖₊ < K
this :
  IsBigOWith ((fun a => ↑a) K) (𝓝 (x, x)) (fun x => f x.fst - f x.snd - ↑f' (x.fst - x.snd) + ↑f' (x.fst - x.snd))
    fun p => p.fst - p.snd
⊢ ∃ s, s ∈ 𝓝 x ∧ LipschitzOnWith K f s
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.210344
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.210439
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
K : ℝ≥0
hK : ‖f'‖₊ < K
⊢ ∃ s, s ∈ 𝓝 x ∧ LipschitzOnWith K f s
have := hf.add_isBigOWith (f'.isBigOWith_comp _ _) hK
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.210344
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.210439
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
K : ℝ≥0
hK : ‖f'‖₊ < K
this : ∀ᶠ (x : E × E) in 𝓝 (x, x), ‖f x.fst - f x.snd‖ ≤ ↑K * ‖x.fst - x.snd‖
⊢ ∃ s, s ∈ 𝓝 x ∧ LipschitzOnWith K f s
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.210344
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.210439
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
K : ℝ≥0
hK : ‖f'‖₊ < K
this :
  IsBigOWith ((fun a => ↑a) K) (𝓝 (x, x)) (fun x => f x.fst - f x.snd - ↑f' (x.fst - x.snd) + ↑f' (x.fst - x.snd))
    fun p => p.fst - p.snd
⊢ ∃ s, s ∈ 𝓝 x ∧ LipschitzOnWith K f s
simp only [sub_add_cancel, IsBigOWith] at this
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.210344
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.210439
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
K : ℝ≥0
hK : ‖f'‖₊ < K
this : ∀ᶠ (x : E × E) in 𝓝 (x, x), ‖f x.fst - f x.snd‖ ≤ ↑K * ‖x.fst - x.snd‖
U : Set E
Uo : IsOpen U
xU : x ∈ U
hU : U ×ˢ U ⊆ {x | (fun x => ‖f x.fst - f x.snd‖ ≤ ↑K * ‖x.fst - x.snd‖) x}
⊢ ∃ s, s ∈ 𝓝 x ∧ LipschitzOnWith K f s
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.210344
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.210439
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
K : ℝ≥0
hK : ‖f'‖₊ < K
this : ∀ᶠ (x : E × E) in 𝓝 (x, x), ‖f x.fst - f x.snd‖ ≤ ↑K * ‖x.fst - x.snd‖
⊢ ∃ s, s ∈ 𝓝 x ∧ LipschitzOnWith K f s
rcases exists_nhds_square this with ⟨U, Uo, xU, hU⟩
no goals
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.210344
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.210439
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
K : ℝ≥0
hK : ‖f'‖₊ < K
this : ∀ᶠ (x : E × E) in 𝓝 (x, x), ‖f x.fst - f x.snd‖ ≤ ↑K * ‖x.fst - x.snd‖
U : Set E
Uo : IsOpen U
xU : x ∈ U
hU : U ×ˢ U ⊆ {x | (fun x => ‖f x.fst - f x.snd‖ ≤ ↑K * ‖x.fst - x.snd‖) x}
⊢ ∃ s, s ∈ 𝓝 x ∧ LipschitzOnWith K f s
exact
  ⟨U, Uo.mem_nhds xU, lipschitzOnWith_iff_norm_sub_le.2 fun x hx y hy => hU (mk_mem_prod hx hy)⟩