E : Type ?u.445897
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type ?u.445993
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : StrictMonoOn (deriv f) (interior D)
x y z : ℝ
hx : x ∈ D
hz : z ∈ D
hxy : x < y
hyz : y < z
hxzD : Icc x z ⊆ D
⊢ (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
E : Type ?u.445897
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type ?u.445993
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : StrictMonoOn (deriv f) (interior D)
x y z : ℝ
hx : x ∈ D
hz : z ∈ D
hxy : x < y
hyz : y < z
⊢ (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
have hxzD : Icc x z ⊆ D := hD.ordConnected.out hx hz
E : Type ?u.445897
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type ?u.445993
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : StrictMonoOn (deriv f) (interior D)
x y z : ℝ
hx : x ∈ D
hz : z ∈ D
hxy : x < y
hyz : y < z
hxzD : Icc x z ⊆ D
hxyD : Icc x y ⊆ D
⊢ (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
E : Type ?u.445897
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type ?u.445993
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
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D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : StrictMonoOn (deriv f) (interior D)
x y z : ℝ
hx : x ∈ D
hz : z ∈ D
hxy : x < y
hyz : y < z
hxzD : Icc x z ⊆ D
⊢ (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
have hxyD : Icc x y ⊆ D := (Icc_subset_Icc_right hyz.le).trans hxzD
E : Type ?u.445897
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type ?u.445993
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
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D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : StrictMonoOn (deriv f) (interior D)
x y z : ℝ
hx : x ∈ D
hz : z ∈ D
hxy : x < y
hyz : y < z
hxzD : Icc x z ⊆ D
hxyD : Icc x y ⊆ D
hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D
⊢ (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
E : Type ?u.445897
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : StrictMonoOn (deriv f) (interior D)
x y z : ℝ
hx : x ∈ D
hz : z ∈ D
hxy : x < y
hyz : y < z
hxzD : Icc x z ⊆ D
hxyD : Icc x y ⊆ D
⊢ (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
have hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D :=
  subset_sUnion_of_mem ⟨isOpen_Ioo, Ioo_subset_Icc_self.trans hxyD⟩
E : Type ?u.445897
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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F : Type ?u.445993
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D : Set ℝ
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f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : StrictMonoOn (deriv f) (interior D)
x y z : ℝ
hx : x ∈ D
hz : z ∈ D
hxy : x < y
hyz : y < z
hxzD : Icc x z ⊆ D
hxyD : Icc x y ⊆ D
hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D
hyzD : Icc y z ⊆ D
⊢ (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
E : Type ?u.445897
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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D : Set ℝ
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f : ℝ → ℝ
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hf' : StrictMonoOn (deriv f) (interior D)
x y z : ℝ
hx : x ∈ D
hz : z ∈ D
hxy : x < y
hyz : y < z
hxzD : Icc x z ⊆ D
hxyD : Icc x y ⊆ D
hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D
⊢ (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
have hyzD : Icc y z ⊆ D := (Icc_subset_Icc_left hxy.le).trans hxzD
E : Type ?u.445897
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D : Set ℝ
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hf : ContinuousOn f D
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x y z : ℝ
hx : x ∈ D
hz : z ∈ D
hxy : x < y
hyz : y < z
hxzD : Icc x z ⊆ D
hxyD : Icc x y ⊆ D
hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D
hyzD : Icc y z ⊆ D
hyzD' : Ioo y z ⊆ interior D
⊢ (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
E : Type ?u.445897
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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F : Type ?u.445993
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : StrictMonoOn (deriv f) (interior D)
x y z : ℝ
hx : x ∈ D
hz : z ∈ D
hxy : x < y
hyz : y < z
hxzD : Icc x z ⊆ D
hxyD : Icc x y ⊆ D
hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D
hyzD : Icc y z ⊆ D
⊢ (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
have hyzD' : Ioo y z ⊆ interior D :=
  subset_sUnion_of_mem ⟨isOpen_Ioo, Ioo_subset_Icc_self.trans hyzD⟩
E : Type ?u.445897
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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F : Type ?u.445993
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D : Set ℝ
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f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : StrictMonoOn (deriv f) (interior D)
x y z : ℝ
hx : x ∈ D
hz : z ∈ D
hxy : x < y
hyz : y < z
hxzD : Icc x z ⊆ D
hxyD : Icc x y ⊆ D
hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D
hyzD : Icc y z ⊆ D
hyzD' : Ioo y z ⊆ interior D
⊢ ∃ a, a ∈ Ioo x y ∧ (f y - f x) / (y - x) < deriv f a

case intro.intro.intro
E : Type ?u.445897
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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F : Type ?u.445993
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
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D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : StrictMonoOn (deriv f) (interior D)
x y z : ℝ
hx : x ∈ D
hz : z ∈ D
hxy : x < y
hyz : y < z
hxzD : Icc x z ⊆ D
hxyD : Icc x y ⊆ D
hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D
hyzD : Icc y z ⊆ D
hyzD' : Ioo y z ⊆ interior D
a : ℝ
ha : (f y - f x) / (y - x) < deriv f a
hxa : x < a
hay : a < y
⊢ (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
E : Type ?u.445897
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type ?u.445993
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : StrictMonoOn (deriv f) (interior D)
x y z : ℝ
hx : x ∈ D
hz : z ∈ D
hxy : x < y
hyz : y < z
hxzD : Icc x z ⊆ D
hxyD : Icc x y ⊆ D
hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D
hyzD : Icc y z ⊆ D
hyzD' : Ioo y z ⊆ interior D
⊢ (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
obtain ⟨a, ⟨hxa, hay⟩, ha⟩ : ∃ a ∈ Ioo x y, (f y - f x) / (y - x) < deriv f a
E : Type ?u.445897
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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F : Type ?u.445993
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
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D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : StrictMonoOn (deriv f) (interior D)
x y z : ℝ
hx : x ∈ D
hz : z ∈ D
hxy : x < y
hyz : y < z
hxzD : Icc x z ⊆ D
hxyD : Icc x y ⊆ D
hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D
hyzD : Icc y z ⊆ D
hyzD' : Ioo y z ⊆ interior D
a : ℝ
ha : (f y - f x) / (y - x) < deriv f a
hxa : x < a
hay : a < y
⊢ ∃ b, b ∈ Ioo y z ∧ deriv f b < (f z - f y) / (z - y)

case intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type ?u.445897
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type ?u.445993
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
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D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : StrictMonoOn (deriv f) (interior D)
x y z : ℝ
hx : x ∈ D
hz : z ∈ D
hxy : x < y
hyz : y < z
hxzD : Icc x z ⊆ D
hxyD : Icc x y ⊆ D
hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D
hyzD : Icc y z ⊆ D
hyzD' : Ioo y z ⊆ interior D
a : ℝ
ha : (f y - f x) / (y - x) < deriv f a
hxa : x < a
hay : a < y
b : ℝ
hb : deriv f b < (f z - f y) / (z - y)
hyb : y < b
hbz : b < z
⊢ (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
case intro.intro.intro
E : Type ?u.445897
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type ?u.445993
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : StrictMonoOn (deriv f) (interior D)
x y z : ℝ
hx : x ∈ D
hz : z ∈ D
hxy : x < y
hyz : y < z
hxzD : Icc x z ⊆ D
hxyD : Icc x y ⊆ D
hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D
hyzD : Icc y z ⊆ D
hyzD' : Ioo y z ⊆ interior D
a : ℝ
ha : (f y - f x) / (y - x) < deriv f a
hxa : x < a
hay : a < y
⊢ (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
obtain ⟨b, ⟨hyb, hbz⟩, hb⟩ : ∃ b ∈ Ioo y z, deriv f b < (f z - f y) / (z - y)
E : Type ?u.445897
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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F : Type ?u.445993
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D : Set ℝ
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f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : StrictMonoOn (deriv f) (interior D)
x y z : ℝ
hx : x ∈ D
hz : z ∈ D
hxy : x < y
hyz : y < z
hxzD : Icc x z ⊆ D
hxyD : Icc x y ⊆ D
hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D
hyzD : Icc y z ⊆ D
hyzD' : Ioo y z ⊆ interior D
a : ℝ
ha : (f y - f x) / (y - x) < deriv f a
hxa : x < a
hay : a < y
b : ℝ
hb : deriv f b < (f z - f y) / (z - y)
hyb : y < b
hbz : b < z
⊢ deriv f a < deriv f b
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type ?u.445897
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type ?u.445993
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
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f : ℝ → ℝ
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hf' : StrictMonoOn (deriv f) (interior D)
x y z : ℝ
hx : x ∈ D
hz : z ∈ D
hxy : x < y
hyz : y < z
hxzD : Icc x z ⊆ D
hxyD : Icc x y ⊆ D
hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D
hyzD : Icc y z ⊆ D
hyzD' : Ioo y z ⊆ interior D
a : ℝ
ha : (f y - f x) / (y - x) < deriv f a
hxa : x < a
hay : a < y
b : ℝ
hb : deriv f b < (f z - f y) / (z - y)
hyb : y < b
hbz : b < z
⊢ (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
apply ha.trans (lt_trans _ hb)
no goals
E : Type ?u.445897
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type ?u.445993
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inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : StrictMonoOn (deriv f) (interior D)
x y z : ℝ
hx : x ∈ D
hz : z ∈ D
hxy : x < y
hyz : y < z
hxzD : Icc x z ⊆ D
hxyD : Icc x y ⊆ D
hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D
hyzD : Icc y z ⊆ D
hyzD' : Ioo y z ⊆ interior D
a : ℝ
ha : (f y - f x) / (y - x) < deriv f a
hxa : x < a
hay : a < y
b : ℝ
hb : deriv f b < (f z - f y) / (z - y)
hyb : y < b
hbz : b < z
⊢ deriv f a < deriv f b
exact hf' (hxyD' ⟨hxa, hay⟩) (hyzD' ⟨hyb, hbz⟩) (hay.trans hyb)
no goals
E : Type ?u.445897
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type ?u.445993
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : StrictMonoOn (deriv f) (interior D)
x y z : ℝ
hx : x ∈ D
hz : z ∈ D
hxy : x < y
hyz : y < z
hxzD : Icc x z ⊆ D
hxyD : Icc x y ⊆ D
hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D
hyzD : Icc y z ⊆ D
hyzD' : Ioo y z ⊆ interior D
⊢ ∃ a, a ∈ Ioo x y ∧ (f y - f x) / (y - x) < deriv f a
exact StrictMonoOn.exists_slope_lt_deriv (hf.mono hxyD) hxy (hf'.mono hxyD')
no goals
E : Type ?u.445897
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type ?u.445993
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : StrictMonoOn (deriv f) (interior D)
x y z : ℝ
hx : x ∈ D
hz : z ∈ D
hxy : x < y
hyz : y < z
hxzD : Icc x z ⊆ D
hxyD : Icc x y ⊆ D
hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D
hyzD : Icc y z ⊆ D
hyzD' : Ioo y z ⊆ interior D
a : ℝ
ha : (f y - f x) / (y - x) < deriv f a
hxa : x < a
hay : a < y
⊢ ∃ b, b ∈ Ioo y z ∧ deriv f b < (f z - f y) / (z - y)
exact StrictMonoOn.exists_deriv_lt_slope (hf.mono hyzD) hyz (hf'.mono hyzD')