A : Type u_2
B : Type u_1
B' : Type ?u.29630
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Ring B'
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra A B'
x : B
inst✝ : Nontrivial B
this : Nontrivial A
⊢ ¬IsUnit (minpoly A x)
A : Type u_2
B : Type u_1
B' : Type ?u.29630
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Ring B'
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra A B'
x : B
inst✝ : Nontrivial B
⊢ ¬IsUnit (minpoly A x)
haveI : Nontrivial A := (algebraMap A B).domain_nontrivial
case pos
A : Type u_2
B : Type u_1
B' : Type ?u.29630
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Ring B'
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra A B'
x : B
inst✝ : Nontrivial B
this : Nontrivial A
hx : IsIntegral A x
⊢ ¬IsUnit (minpoly A x)

case neg
A : Type u_2
B : Type u_1
B' : Type ?u.29630
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Ring B'
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra A B'
x : B
inst✝ : Nontrivial B
this : Nontrivial A
hx : ¬IsIntegral A x
⊢ ¬IsUnit (minpoly A x)
A : Type u_2
B : Type u_1
B' : Type ?u.29630
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Ring B'
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra A B'
x : B
inst✝ : Nontrivial B
this : Nontrivial A
⊢ ¬IsUnit (minpoly A x)
by_cases hx : IsIntegral A x
no goals
case pos
A : Type u_2
B : Type u_1
B' : Type ?u.29630
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Ring B'
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra A B'
x : B
inst✝ : Nontrivial B
this : Nontrivial A
hx : IsIntegral A x
⊢ ¬IsUnit (minpoly A x)
exact mt (monic hx).eq_one_of_isUnit (ne_one A x)
case neg
A : Type u_2
B : Type u_1
B' : Type ?u.29630
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Ring B'
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra A B'
x : B
inst✝ : Nontrivial B
this : Nontrivial A
hx : ¬IsIntegral A x
⊢ ¬IsUnit 0
case neg
A : Type u_2
B : Type u_1
B' : Type ?u.29630
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Ring B'
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra A B'
x : B
inst✝ : Nontrivial B
this : Nontrivial A
hx : ¬IsIntegral A x
⊢ ¬IsUnit (minpoly A x)
rw [eq_zero hx]
no goals
case neg
A : Type u_2
B : Type u_1
B' : Type ?u.29630
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Ring B'
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra A B'
x : B
inst✝ : Nontrivial B
this : Nontrivial A
hx : ¬IsIntegral A x
⊢ ¬IsUnit 0
exact not_isUnit_zero