ι : Type u_1
σ : Type u_3
S : Type ?u.131841
R : Type u_2
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : SetLike σ R
inst✝² : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : { x // x ∈ A i }
r' : ⨁ (i : ι), { x // x ∈ A i }
j n : ι
H : ∀ (x : ι), i + x = n ↔ x = j
⊢ (Dfinsupp.sum (↑(of (fun i => { x // x ∈ A i }) i) r) fun i ri =>
      Dfinsupp.sum r' fun j rj => if i + j = n then ↑ri * ↑rj else 0) =
    ↑r * ↑(↑r' j)
ι : Type u_1
σ : Type u_3
S : Type ?u.131841
R : Type u_2
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : SetLike σ R
inst✝² : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : { x // x ∈ A i }
r' : ⨁ (i : ι), { x // x ∈ A i }
j n : ι
H : ∀ (x : ι), i + x = n ↔ x = j
⊢ ↑(↑(↑(of (fun i => { x // x ∈ A i }) i) r * r') n) = ↑r * ↑(↑r' j)
rw [coe_mul_apply_eq_dfinsupp_sum]
ι : Type u_1
σ : Type u_3
S : Type ?u.131841
R : Type u_2
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : SetLike σ R
inst✝² : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : { x // x ∈ A i }
r' : ⨁ (i : ι), { x // x ∈ A i }
j n : ι
H : ∀ (x : ι), i + x = n ↔ x = j
⊢ (Dfinsupp.sum r' fun j rj => if i + j = n then ↑r * ↑rj else 0) = ↑r * ↑(↑r' j)

ι : Type u_1
σ : Type u_3
S : Type ?u.131841
R : Type u_2
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : SetLike σ R
inst✝² : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : { x // x ∈ A i }
r' : ⨁ (i : ι), { x // x ∈ A i }
j n : ι
H : ∀ (x : ι), i + x = n ↔ x = j
⊢ (Dfinsupp.sum r' fun j rj => if i + j = n then ↑0 * ↑rj else 0) = 0
ι : Type u_1
σ : Type u_3
S : Type ?u.131841
R : Type u_2
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : SetLike σ R
inst✝² : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : { x // x ∈ A i }
r' : ⨁ (i : ι), { x // x ∈ A i }
j n : ι
H : ∀ (x : ι), i + x = n ↔ x = j
⊢ (Dfinsupp.sum (↑(of (fun i => { x // x ∈ A i }) i) r) fun i ri =>
      Dfinsupp.sum r' fun j rj => if i + j = n then ↑ri * ↑rj else 0) =
    ↑r * ↑(↑r' j)
apply (Dfinsupp.sum_single_index _).trans
ι : Type u_1
σ : Type u_3
S : Type ?u.131841
R : Type u_2
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : SetLike σ R
inst✝² : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : { x // x ∈ A i }
r' : ⨁ (i : ι), { x // x ∈ A i }
j n : ι
H : ∀ (x : ι), i + x = n ↔ x = j
⊢ (Dfinsupp.sum r' fun j rj => if i + j = n then ↑0 * ↑rj else 0) = 0

ι : Type u_1
σ : Type u_3
S : Type ?u.131841
R : Type u_2
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : SetLike σ R
inst✝² : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : { x // x ∈ A i }
r' : ⨁ (i : ι), { x // x ∈ A i }
j n : ι
H : ∀ (x : ι), i + x = n ↔ x = j
⊢ (Dfinsupp.sum r' fun j rj => if i + j = n then ↑r * ↑rj else 0) = ↑r * ↑(↑r' j)
ι : Type u_1
σ : Type u_3
S : Type ?u.131841
R : Type u_2
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : SetLike σ R
inst✝² : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : { x // x ∈ A i }
r' : ⨁ (i : ι), { x // x ∈ A i }
j n : ι
H : ∀ (x : ι), i + x = n ↔ x = j
⊢ (Dfinsupp.sum r' fun j rj => if i + j = n then ↑r * ↑rj else 0) = ↑r * ↑(↑r' j)

ι : Type u_1
σ : Type u_3
S : Type ?u.131841
R : Type u_2
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : SetLike σ R
inst✝² : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : { x // x ∈ A i }
r' : ⨁ (i : ι), { x // x ∈ A i }
j n : ι
H : ∀ (x : ι), i + x = n ↔ x = j
⊢ (Dfinsupp.sum r' fun j rj => if i + j = n then ↑0 * ↑rj else 0) = 0
swap
ι : Type u_1
σ : Type u_3
S : Type ?u.131841
R : Type u_2
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : SetLike σ R
inst✝² : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : { x // x ∈ A i }
r' : ⨁ (i : ι), { x // x ∈ A i }
j n : ι
H : ∀ (x : ι), i + x = n ↔ x = j
⊢ (if j ∈ Dfinsupp.support r' then ↑r * ↑(↑r' j) else 0) = ↑r * ↑(↑r' j)
ι : Type u_1
σ : Type u_3
S : Type ?u.131841
R : Type u_2
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : SetLike σ R
inst✝² : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : { x // x ∈ A i }
r' : ⨁ (i : ι), { x // x ∈ A i }
j n : ι
H : ∀ (x : ι), i + x = n ↔ x = j
⊢ (Dfinsupp.sum r' fun j rj => if i + j = n then ↑r * ↑rj else 0) = ↑r * ↑(↑r' j)
simp_rw [Dfinsupp.sum, H, Finset.sum_ite_eq']
case inl
ι : Type u_1
σ : Type u_3
S : Type ?u.131841
R : Type u_2
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : SetLike σ R
inst✝² : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : { x // x ∈ A i }
r' : ⨁ (i : ι), { x // x ∈ A i }
j n : ι
H : ∀ (x : ι), i + x = n ↔ x = j
h : j ∈ Dfinsupp.support r'
⊢ ↑r * ↑(↑r' j) = ↑r * ↑(↑r' j)

case inr
ι : Type u_1
σ : Type u_3
S : Type ?u.131841
R : Type u_2
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : SetLike σ R
inst✝² : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : { x // x ∈ A i }
r' : ⨁ (i : ι), { x // x ∈ A i }
j n : ι
H : ∀ (x : ι), i + x = n ↔ x = j
h : ¬j ∈ Dfinsupp.support r'
⊢ 0 = ↑r * ↑(↑r' j)
ι : Type u_1
σ : Type u_3
S : Type ?u.131841
R : Type u_2
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : SetLike σ R
inst✝² : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : { x // x ∈ A i }
r' : ⨁ (i : ι), { x // x ∈ A i }
j n : ι
H : ∀ (x : ι), i + x = n ↔ x = j
⊢ (if j ∈ Dfinsupp.support r' then ↑r * ↑(↑r' j) else 0) = ↑r * ↑(↑r' j)
split_ifs with h
case inr
ι : Type u_1
σ : Type u_3
S : Type ?u.131841
R : Type u_2
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : SetLike σ R
inst✝² : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : { x // x ∈ A i }
r' : ⨁ (i : ι), { x // x ∈ A i }
j n : ι
H : ∀ (x : ι), i + x = n ↔ x = j
h : ¬j ∈ Dfinsupp.support r'
⊢ 0 = ↑r * ↑(↑r' j)
case inl
ι : Type u_1
σ : Type u_3
S : Type ?u.131841
R : Type u_2
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : SetLike σ R
inst✝² : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : { x // x ∈ A i }
r' : ⨁ (i : ι), { x // x ∈ A i }
j n : ι
H : ∀ (x : ι), i + x = n ↔ x = j
h : j ∈ Dfinsupp.support r'
⊢ ↑r * ↑(↑r' j) = ↑r * ↑(↑r' j)

case inr
ι : Type u_1
σ : Type u_3
S : Type ?u.131841
R : Type u_2
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : SetLike σ R
inst✝² : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : { x // x ∈ A i }
r' : ⨁ (i : ι), { x // x ∈ A i }
j n : ι
H : ∀ (x : ι), i + x = n ↔ x = j
h : ¬j ∈ Dfinsupp.support r'
⊢ 0 = ↑r * ↑(↑r' j)
rfl
no goals
case inr
ι : Type u_1
σ : Type u_3
S : Type ?u.131841
R : Type u_2
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : SetLike σ R
inst✝² : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : { x // x ∈ A i }
r' : ⨁ (i : ι), { x // x ∈ A i }
j n : ι
H : ∀ (x : ι), i + x = n ↔ x = j
h : ¬j ∈ Dfinsupp.support r'
⊢ 0 = ↑r * ↑(↑r' j)
rw [Dfinsupp.not_mem_support_iff.mp h, ZeroMemClass.coe_zero, MulZeroClass.mul_zero]
ι : Type u_1
σ : Type u_3
S : Type ?u.131841
R : Type u_2
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : SetLike σ R
inst✝² : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : { x // x ∈ A i }
r' : ⨁ (i : ι), { x // x ∈ A i }
j n : ι
H : ∀ (x : ι), i + x = n ↔ x = j
⊢ (Dfinsupp.sum r' fun j rj => 0) = 0
ι : Type u_1
σ : Type u_3
S : Type ?u.131841
R : Type u_2
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : SetLike σ R
inst✝² : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : { x // x ∈ A i }
r' : ⨁ (i : ι), { x // x ∈ A i }
j n : ι
H : ∀ (x : ι), i + x = n ↔ x = j
⊢ (Dfinsupp.sum r' fun j rj => if i + j = n then ↑0 * ↑rj else 0) = 0
simp_rw [ZeroMemClass.coe_zero, MulZeroClass.zero_mul, ite_self]
no goals
ι : Type u_1
σ : Type u_3
S : Type ?u.131841
R : Type u_2
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : SetLike σ R
inst✝² : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : { x // x ∈ A i }
r' : ⨁ (i : ι), { x // x ∈ A i }
j n : ι
H : ∀ (x : ι), i + x = n ↔ x = j
⊢ (Dfinsupp.sum r' fun j rj => 0) = 0
exact Dfinsupp.sum_zero