case inl
𝕜 : Type ?u.220755
E : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : infEdist x s < ENNReal.ofReal δ
⊢ infEdist x (thickening δ s) = infEdist x s - ENNReal.ofReal δ

case inr
𝕜 : Type ?u.220755
E : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
⊢ infEdist x (thickening δ s) = infEdist x s - ENNReal.ofReal δ
𝕜 : Type ?u.220755
E : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
⊢ infEdist x (thickening δ s) = infEdist x s - ENNReal.ofReal δ
obtain hs | hs := lt_or_le (infEdist x s) (ENNReal.ofReal δ)
case inr
𝕜 : Type ?u.220755
E : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
⊢ infEdist x (thickening δ s) ≤ infEdist x s - ENNReal.ofReal δ
case inr
𝕜 : Type ?u.220755
E : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
⊢ infEdist x (thickening δ s) = infEdist x s - ENNReal.ofReal δ
refine' (tsub_le_iff_right.2 infEdist_le_infEdist_thickening_add).antisymm' _
case inr
𝕜 : Type ?u.220755
E : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
⊢ infEdist x (thickening δ s) + ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
case inr
𝕜 : Type ?u.220755
E : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
⊢ infEdist x (thickening δ s) ≤ infEdist x s - ENNReal.ofReal δ
refine' le_sub_of_add_le_right ofReal_ne_top _
case inr
𝕜 : Type ?u.220755
E : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z✝ : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : ℝ≥0∞
h : edist x z < r
⊢ infEdist x (thickening δ s) + ENNReal.ofReal δ < r
case inr
𝕜 : Type ?u.220755
E : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
⊢ infEdist x (thickening δ s) + ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
refine' le_infEdist.2 fun z hz => le_of_forall_lt' fun r h => _
case inr.none
𝕜 : Type ?u.220755
E : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z✝ : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
h : edist x z < none
⊢ infEdist x (thickening δ s) + ENNReal.ofReal δ < none

case inr.some
𝕜 : Type ?u.220755
E : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z✝ : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : NNReal
h : edist x z < Option.some r
⊢ infEdist x (thickening δ s) + ENNReal.ofReal δ < Option.some r
case inr
𝕜 : Type ?u.220755
E : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z✝ : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : ℝ≥0∞
h : edist x z < r
⊢ infEdist x (thickening δ s) + ENNReal.ofReal δ < r
cases' r with r
case inr.some
𝕜 : Type ?u.220755
E : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z✝ : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : NNReal
h : edist x z < Option.some r
hr : 0 < ↑r - δ
⊢ infEdist x (thickening δ s) + ENNReal.ofReal δ < Option.some r
case inr.some
𝕜 : Type ?u.220755
E : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z✝ : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : NNReal
h : edist x z < Option.some r
⊢ infEdist x (thickening δ s) + ENNReal.ofReal δ < Option.some r
have hr : 0 < ↑r - δ := by
  refine' sub_pos_of_lt _
  have := hs.trans_lt ((infEdist_le_edist_of_mem hz).trans_lt h)
  rw [ofReal_eq_coe_nnreal hδ.le, some_eq_coe] at this
  exact_mod_cast this
case inr.some
𝕜 : Type ?u.220755
E : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z✝ : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : NNReal
h : dist x z < δ + (↑r - δ)
hr : 0 < ↑r - δ
⊢ infEdist x (thickening δ s) + ENNReal.ofReal δ < Option.some r
case inr.some
𝕜 : Type ?u.220755
E : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z✝ : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : NNReal
h : edist x z < Option.some r
hr : 0 < ↑r - δ
⊢ infEdist x (thickening δ s) + ENNReal.ofReal δ < Option.some r
rw [some_eq_coe, edist_lt_coe, ← dist_lt_coe, ← add_sub_cancel'_right δ ↑r] at h
case inr.some.intro.intro
𝕜 : Type ?u.220755
E : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y✝ z✝ : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : NNReal
h : dist x z < δ + (↑r - δ)
hr : 0 < ↑r - δ
y : E
hxy : dist x y < ↑r - δ
hyz : dist y z < δ
⊢ infEdist x (thickening δ s) + ENNReal.ofReal δ < Option.some r
case inr.some
𝕜 : Type ?u.220755
E : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z✝ : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : NNReal
h : dist x z < δ + (↑r - δ)
hr : 0 < ↑r - δ
⊢ infEdist x (thickening δ s) + ENNReal.ofReal δ < Option.some r
obtain ⟨y, hxy, hyz⟩ := exists_dist_lt_lt hr hδ h
case inr.some.intro.intro
𝕜 : Type ?u.220755
E : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y✝ z✝ : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : NNReal
h : dist x z < δ + (↑r - δ)
hr : 0 < ↑r - δ
y : E
hxy : dist x y < ↑r - δ
hyz : dist y z < δ
⊢ ENNReal.ofReal (↑r - δ) + ENNReal.ofReal δ ≤ Option.some r
case inr.some.intro.intro
𝕜 : Type ?u.220755
E : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y✝ z✝ : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : NNReal
h : dist x z < δ + (↑r - δ)
hr : 0 < ↑r - δ
y : E
hxy : dist x y < ↑r - δ
hyz : dist y z < δ
⊢ infEdist x (thickening δ s) + ENNReal.ofReal δ < Option.some r
refine' (ENNReal.add_lt_add_right ofReal_ne_top <|
  infEdist_lt_iff.2 ⟨_, mem_thickening_iff.2 ⟨_, hz, hyz⟩, edist_lt_ofReal.2 hxy⟩).trans_le _
case inr.some.intro.intro
𝕜 : Type ?u.220755
E : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y✝ z✝ : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : NNReal
h : dist x z < δ + (↑r - δ)
hr : 0 < ↑r - δ
y : E
hxy : dist x y < ↑r - δ
hyz : dist y z < δ
⊢ ↑r ≤ Option.some r
case inr.some.intro.intro
𝕜 : Type ?u.220755
E : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y✝ z✝ : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : NNReal
h : dist x z < δ + (↑r - δ)
hr : 0 < ↑r - δ
y : E
hxy : dist x y < ↑r - δ
hyz : dist y z < δ
⊢ ENNReal.ofReal (↑r - δ) + ENNReal.ofReal δ ≤ Option.some r
rw [← ofReal_add hr.le hδ.le, sub_add_cancel, ofReal_coe_nnreal]
no goals
case inr.some.intro.intro
𝕜 : Type ?u.220755
E : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y✝ z✝ : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : NNReal
h : dist x z < δ + (↑r - δ)
hr : 0 < ↑r - δ
y : E
hxy : dist x y < ↑r - δ
hyz : dist y z < δ
⊢ ↑r ≤ Option.some r
exact le_rfl
case inl
𝕜 : Type ?u.220755
E : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : infEdist x s < ENNReal.ofReal δ
⊢ x ∈ thickening δ s
case inl
𝕜 : Type ?u.220755
E : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : infEdist x s < ENNReal.ofReal δ
⊢ infEdist x (thickening δ s) = infEdist x s - ENNReal.ofReal δ
rw [infEdist_zero_of_mem, tsub_eq_zero_of_le hs.le]
no goals
case inl
𝕜 : Type ?u.220755
E : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : infEdist x s < ENNReal.ofReal δ
⊢ x ∈ thickening δ s
exact hs
no goals
case inr.none
𝕜 : Type ?u.220755
E : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z✝ : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
h : edist x z < none
⊢ infEdist x (thickening δ s) + ENNReal.ofReal δ < none
exact add_lt_top.2 ⟨lt_top_iff_ne_top.2 <| infEdist_ne_top ⟨z, self_subset_thickening hδ _ hz⟩,
  ofReal_lt_top⟩
𝕜 : Type ?u.220755
E : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z✝ : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : NNReal
h : edist x z < Option.some r
⊢ δ < ↑r
𝕜 : Type ?u.220755
E : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z✝ : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : NNReal
h : edist x z < Option.some r
⊢ 0 < ↑r - δ
refine' sub_pos_of_lt _
𝕜 : Type ?u.220755
E : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z✝ : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : NNReal
h : edist x z < Option.some r
this : ENNReal.ofReal δ < Option.some r
⊢ δ < ↑r
𝕜 : Type ?u.220755
E : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z✝ : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : NNReal
h : edist x z < Option.some r
⊢ δ < ↑r
have := hs.trans_lt ((infEdist_le_edist_of_mem hz).trans_lt h)
𝕜 : Type ?u.220755
E : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z✝ : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : NNReal
h : edist x z < Option.some r
this : ↑{ val := δ, property := (_ : 0 ≤ δ) } < ↑r
⊢ δ < ↑r
𝕜 : Type ?u.220755
E : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z✝ : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : NNReal
h : edist x z < Option.some r
this : ENNReal.ofReal δ < Option.some r
⊢ δ < ↑r
rw [ofReal_eq_coe_nnreal hδ.le, some_eq_coe] at this
no goals
𝕜 : Type ?u.220755
E : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z✝ : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : NNReal
h : edist x z < Option.some r
this : ↑{ val := δ, property := (_ : 0 ≤ δ) } < ↑r
⊢ δ < ↑r
exact_mod_cast this