no goals
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f✝ : G →g G'
f' : G' →g G''
u v u' v' : V
p : Walk G u v
f : G →g G'
hp : IsPath (Walk.map f p)
⊢ IsPath p
induction p with
| nil => simp
| cons _ _ ih =>
  rw [map_cons, Walk.cons_isPath_iff, support_map] at hp
  rw [Walk.cons_isPath_iff]
  cases' hp with hp1 hp2
  refine' ⟨ih hp1, _⟩
  contrapose! hp2
  exact List.mem_map_of_mem f hp2
no goals
case nil
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f✝ : G →g G'
f' : G' →g G''
u v u' v' : V
p : Walk G u v
f : G →g G'
u✝ : V
hp : IsPath (Walk.map f Walk.nil)
⊢ IsPath Walk.nil
simp
case cons
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f✝ : G →g G'
f' : G' →g G''
u v u' v' : V
p : Walk G u v
f : G →g G'
u✝ v✝ w✝ : V
h✝ : Adj G u✝ v✝
p✝ : Walk G v✝ w✝
ih : IsPath (Walk.map f p✝) → IsPath p✝
hp : IsPath (Walk.map f p✝) ∧ ¬↑f u✝ ∈ List.map (↑f) (support p✝)
⊢ IsPath (cons h✝ p✝)
case cons
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f✝ : G →g G'
f' : G' →g G''
u v u' v' : V
p : Walk G u v
f : G →g G'
u✝ v✝ w✝ : V
h✝ : Adj G u✝ v✝
p✝ : Walk G v✝ w✝
ih : IsPath (Walk.map f p✝) → IsPath p✝
hp : IsPath (Walk.map f (cons h✝ p✝))
⊢ IsPath (cons h✝ p✝)
rw [map_cons, Walk.cons_isPath_iff, support_map] at hp
case cons
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f✝ : G →g G'
f' : G' →g G''
u v u' v' : V
p : Walk G u v
f : G →g G'
u✝ v✝ w✝ : V
h✝ : Adj G u✝ v✝
p✝ : Walk G v✝ w✝
ih : IsPath (Walk.map f p✝) → IsPath p✝
hp : IsPath (Walk.map f p✝) ∧ ¬↑f u✝ ∈ List.map (↑f) (support p✝)
⊢ IsPath p✝ ∧ ¬u✝ ∈ support p✝
case cons
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f✝ : G →g G'
f' : G' →g G''
u v u' v' : V
p : Walk G u v
f : G →g G'
u✝ v✝ w✝ : V
h✝ : Adj G u✝ v✝
p✝ : Walk G v✝ w✝
ih : IsPath (Walk.map f p✝) → IsPath p✝
hp : IsPath (Walk.map f p✝) ∧ ¬↑f u✝ ∈ List.map (↑f) (support p✝)
⊢ IsPath (cons h✝ p✝)
rw [Walk.cons_isPath_iff]
case cons.intro
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f✝ : G →g G'
f' : G' →g G''
u v u' v' : V
p : Walk G u v
f : G →g G'
u✝ v✝ w✝ : V
h✝ : Adj G u✝ v✝
p✝ : Walk G v✝ w✝
ih : IsPath (Walk.map f p✝) → IsPath p✝
hp1 : IsPath (Walk.map f p✝)
hp2 : ¬↑f u✝ ∈ List.map (↑f) (support p✝)
⊢ IsPath p✝ ∧ ¬u✝ ∈ support p✝
case cons
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f✝ : G →g G'
f' : G' →g G''
u v u' v' : V
p : Walk G u v
f : G →g G'
u✝ v✝ w✝ : V
h✝ : Adj G u✝ v✝
p✝ : Walk G v✝ w✝
ih : IsPath (Walk.map f p✝) → IsPath p✝
hp : IsPath (Walk.map f p✝) ∧ ¬↑f u✝ ∈ List.map (↑f) (support p✝)
⊢ IsPath p✝ ∧ ¬u✝ ∈ support p✝
cases' hp with hp1 hp2
case cons.intro
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f✝ : G →g G'
f' : G' →g G''
u v u' v' : V
p : Walk G u v
f : G →g G'
u✝ v✝ w✝ : V
h✝ : Adj G u✝ v✝
p✝ : Walk G v✝ w✝
ih : IsPath (Walk.map f p✝) → IsPath p✝
hp1 : IsPath (Walk.map f p✝)
hp2 : ¬↑f u✝ ∈ List.map (↑f) (support p✝)
⊢ ¬u✝ ∈ support p✝
case cons.intro
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f✝ : G →g G'
f' : G' →g G''
u v u' v' : V
p : Walk G u v
f : G →g G'
u✝ v✝ w✝ : V
h✝ : Adj G u✝ v✝
p✝ : Walk G v✝ w✝
ih : IsPath (Walk.map f p✝) → IsPath p✝
hp1 : IsPath (Walk.map f p✝)
hp2 : ¬↑f u✝ ∈ List.map (↑f) (support p✝)
⊢ IsPath p✝ ∧ ¬u✝ ∈ support p✝
refine' ⟨ih hp1, _⟩
case cons.intro
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f✝ : G →g G'
f' : G' →g G''
u v u' v' : V
p : Walk G u v
f : G →g G'
u✝ v✝ w✝ : V
h✝ : Adj G u✝ v✝
p✝ : Walk G v✝ w✝
ih : IsPath (Walk.map f p✝) → IsPath p✝
hp1 : IsPath (Walk.map f p✝)
hp2 : u✝ ∈ support p✝
⊢ ↑f u✝ ∈ List.map (↑f) (support p✝)
case cons.intro
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f✝ : G →g G'
f' : G' →g G''
u v u' v' : V
p : Walk G u v
f : G →g G'
u✝ v✝ w✝ : V
h✝ : Adj G u✝ v✝
p✝ : Walk G v✝ w✝
ih : IsPath (Walk.map f p✝) → IsPath p✝
hp1 : IsPath (Walk.map f p✝)
hp2 : ¬↑f u✝ ∈ List.map (↑f) (support p✝)
⊢ ¬u✝ ∈ support p✝
contrapose! hp2
no goals
case cons.intro
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f✝ : G →g G'
f' : G' →g G''
u v u' v' : V
p : Walk G u v
f : G →g G'
u✝ v✝ w✝ : V
h✝ : Adj G u✝ v✝
p✝ : Walk G v✝ w✝
ih : IsPath (Walk.map f p✝) → IsPath p✝
hp1 : IsPath (Walk.map f p✝)
hp2 : u✝ ∈ support p✝
⊢ ↑f u✝ ∈ List.map (↑f) (support p✝)
exact List.mem_map_of_mem f hp2