case refine'_1
α : Type u
t : TopologicalSpace α
s : Set (Set α)
h : IsTopologicalBasis s
⊢ ∀ (t₁ : Set α),
    t₁ ∈ insert ∅ s →
      ∀ (t₂ : Set α), t₂ ∈ insert ∅ s → ∀ (x : α), x ∈ t₁ ∩ t₂ → ∃ t₃, t₃ ∈ insert ∅ s ∧ x ∈ t₃ ∧ t₃ ⊆ t₁ ∩ t₂

case refine'_2
α : Type u
t : TopologicalSpace α
s : Set (Set α)
h : IsTopologicalBasis s
⊢ t = generateFrom (insert ∅ s)
α : Type u
t : TopologicalSpace α
s : Set (Set α)
h : IsTopologicalBasis s
⊢ IsTopologicalBasis (insert ∅ s)
refine' ⟨_, by rw [sUnion_insert, empty_union, h.sUnion_eq], _⟩
no goals
α : Type u
t : TopologicalSpace α
s : Set (Set α)
h : IsTopologicalBasis s
⊢ ⋃₀ insert ∅ s = univ
rw [sUnion_insert, empty_union, h.sUnion_eq]
case refine'_1.inl.inl.intro
α : Type u
t : TopologicalSpace α
s : Set (Set α)
h : IsTopologicalBasis s
x : α
hx₁ hx₂ : x ∈ ∅
⊢ ∃ t₃, t₃ ∈ insert ∅ s ∧ x ∈ t₃ ∧ t₃ ⊆ ∅ ∩ ∅

case refine'_1.inl.inr.intro
α : Type u
t : TopologicalSpace α
s : Set (Set α)
h : IsTopologicalBasis s
t₂ : Set α
h₂ : t₂ ∈ s
x : α
hx₁ : x ∈ ∅
hx₂ : x ∈ t₂
⊢ ∃ t₃, t₃ ∈ insert ∅ s ∧ x ∈ t₃ ∧ t₃ ⊆ ∅ ∩ t₂

case refine'_1.inr.inl.intro
α : Type u
t : TopologicalSpace α
s : Set (Set α)
h : IsTopologicalBasis s
t₁ : Set α
h₁ : t₁ ∈ s
x : α
hx₁ : x ∈ t₁
hx₂ : x ∈ ∅
⊢ ∃ t₃, t₃ ∈ insert ∅ s ∧ x ∈ t₃ ∧ t₃ ⊆ t₁ ∩ ∅

case refine'_1.inr.inr.intro
α : Type u
t : TopologicalSpace α
s : Set (Set α)
h : IsTopologicalBasis s
t₁ : Set α
h₁ : t₁ ∈ s
t₂ : Set α
h₂ : t₂ ∈ s
x : α
hx₁ : x ∈ t₁
hx₂ : x ∈ t₂
⊢ ∃ t₃, t₃ ∈ insert ∅ s ∧ x ∈ t₃ ∧ t₃ ⊆ t₁ ∩ t₂
case refine'_1
α : Type u
t : TopologicalSpace α
s : Set (Set α)
h : IsTopologicalBasis s
⊢ ∀ (t₁ : Set α),
    t₁ ∈ insert ∅ s →
      ∀ (t₂ : Set α), t₂ ∈ insert ∅ s → ∀ (x : α), x ∈ t₁ ∩ t₂ → ∃ t₃, t₃ ∈ insert ∅ s ∧ x ∈ t₃ ∧ t₃ ⊆ t₁ ∩ t₂
rintro t₁ (rfl | h₁) t₂ (rfl | h₂) x ⟨hx₁, hx₂⟩
no goals
case refine'_1.inl.inl.intro
α : Type u
t : TopologicalSpace α
s : Set (Set α)
h : IsTopologicalBasis s
x : α
hx₁ hx₂ : x ∈ ∅
⊢ ∃ t₃, t₃ ∈ insert ∅ s ∧ x ∈ t₃ ∧ t₃ ⊆ ∅ ∩ ∅
cases hx₁
no goals
case refine'_1.inl.inr.intro
α : Type u
t : TopologicalSpace α
s : Set (Set α)
h : IsTopologicalBasis s
t₂ : Set α
h₂ : t₂ ∈ s
x : α
hx₁ : x ∈ ∅
hx₂ : x ∈ t₂
⊢ ∃ t₃, t₃ ∈ insert ∅ s ∧ x ∈ t₃ ∧ t₃ ⊆ ∅ ∩ t₂
cases hx₁
no goals
case refine'_1.inr.inl.intro
α : Type u
t : TopologicalSpace α
s : Set (Set α)
h : IsTopologicalBasis s
t₁ : Set α
h₁ : t₁ ∈ s
x : α
hx₁ : x ∈ t₁
hx₂ : x ∈ ∅
⊢ ∃ t₃, t₃ ∈ insert ∅ s ∧ x ∈ t₃ ∧ t₃ ⊆ t₁ ∩ ∅
cases hx₂
case refine'_1.inr.inr.intro.intro.intro
α : Type u
t : TopologicalSpace α
s : Set (Set α)
h : IsTopologicalBasis s
t₁ : Set α
h₁ : t₁ ∈ s
t₂ : Set α
h₂ : t₂ ∈ s
x : α
hx₁ : x ∈ t₁
hx₂ : x ∈ t₂
t₃ : Set α
h₃ : t₃ ∈ s
hs : x ∈ t₃ ∧ t₃ ⊆ t₁ ∩ t₂
⊢ ∃ t₃, t₃ ∈ insert ∅ s ∧ x ∈ t₃ ∧ t₃ ⊆ t₁ ∩ t₂
case refine'_1.inr.inr.intro
α : Type u
t : TopologicalSpace α
s : Set (Set α)
h : IsTopologicalBasis s
t₁ : Set α
h₁ : t₁ ∈ s
t₂ : Set α
h₂ : t₂ ∈ s
x : α
hx₁ : x ∈ t₁
hx₂ : x ∈ t₂
⊢ ∃ t₃, t₃ ∈ insert ∅ s ∧ x ∈ t₃ ∧ t₃ ⊆ t₁ ∩ t₂
obtain ⟨t₃, h₃, hs⟩ := h.exists_subset_inter _ h₁ _ h₂ x ⟨hx₁, hx₂⟩
no goals
case refine'_1.inr.inr.intro.intro.intro
α : Type u
t : TopologicalSpace α
s : Set (Set α)
h : IsTopologicalBasis s
t₁ : Set α
h₁ : t₁ ∈ s
t₂ : Set α
h₂ : t₂ ∈ s
x : α
hx₁ : x ∈ t₁
hx₂ : x ∈ t₂
t₃ : Set α
h₃ : t₃ ∈ s
hs : x ∈ t₃ ∧ t₃ ⊆ t₁ ∩ t₂
⊢ ∃ t₃, t₃ ∈ insert ∅ s ∧ x ∈ t₃ ∧ t₃ ⊆ t₁ ∩ t₂
exact ⟨t₃, .inr h₃, hs⟩
case refine'_2
α : Type u
t : TopologicalSpace α
s : Set (Set α)
h : IsTopologicalBasis s
⊢ generateFrom s = generateFrom (insert ∅ s)
case refine'_2
α : Type u
t : TopologicalSpace α
s : Set (Set α)
h : IsTopologicalBasis s
⊢ t = generateFrom (insert ∅ s)
rw [h.eq_generateFrom]
case refine'_2
α : Type u
t✝ : TopologicalSpace α
s : Set (Set α)
h : IsTopologicalBasis s
t : Set α
⊢ t ∈ insert ∅ s → IsOpen t
case refine'_2
α : Type u
t : TopologicalSpace α
s : Set (Set α)
h : IsTopologicalBasis s
⊢ generateFrom s = generateFrom (insert ∅ s)
refine' le_antisymm (le_generateFrom fun t => _) (generateFrom_anti <| subset_insert ∅ s)
case refine'_2.inl
α : Type u
t : TopologicalSpace α
s : Set (Set α)
h : IsTopologicalBasis s
⊢ IsOpen ∅

case refine'_2.inr
α : Type u
t✝ : TopologicalSpace α
s : Set (Set α)
h : IsTopologicalBasis s
t : Set α
ht : t ∈ s
⊢ IsOpen t
case refine'_2
α : Type u
t✝ : TopologicalSpace α
s : Set (Set α)
h : IsTopologicalBasis s
t : Set α
⊢ t ∈ insert ∅ s → IsOpen t
rintro (rfl | ht)
no goals
case refine'_2.inl
α : Type u
t : TopologicalSpace α
s : Set (Set α)
h : IsTopologicalBasis s
⊢ IsOpen ∅
exact @isOpen_empty _ (generateFrom s)
no goals
case refine'_2.inr
α : Type u
t✝ : TopologicalSpace α
s : Set (Set α)
h : IsTopologicalBasis s
t : Set α
ht : t ∈ s
⊢ IsOpen t
exact .basic t ht