case mp
P : PFunctor
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : Obj P α
⊢ Liftr r x y → ∃ a f₀ f₁, x = { fst := a, snd := f₀ } ∧ y = { fst := a, snd := f₁ } ∧ ∀ (i : B P a), r (f₀ i) (f₁ i)

case mpr
P : PFunctor
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : Obj P α
⊢ (∃ a f₀ f₁, x = { fst := a, snd := f₀ } ∧ y = { fst := a, snd := f₁ } ∧ ∀ (i : B P a), r (f₀ i) (f₁ i)) → Liftr r x y
P : PFunctor
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : Obj P α
⊢ Liftr r x y ↔ ∃ a f₀ f₁, x = { fst := a, snd := f₀ } ∧ y = { fst := a, snd := f₁ } ∧ ∀ (i : B P a), r (f₀ i) (f₁ i)
constructor
case mpr.intro.intro.intro.intro.intro
P : PFunctor
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : Obj P α
a : P.A
f₀ f₁ : B P a → α
xeq : x = { fst := a, snd := f₀ }
yeq : y = { fst := a, snd := f₁ }
h : ∀ (i : B P a), r (f₀ i) (f₁ i)
⊢ Liftr r x y
case mpr
P : PFunctor
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : Obj P α
⊢ (∃ a f₀ f₁, x = { fst := a, snd := f₀ } ∧ y = { fst := a, snd := f₁ } ∧ ∀ (i : B P a), r (f₀ i) (f₁ i)) → Liftr r x y
rintro ⟨a, f₀, f₁, xeq, yeq, h⟩
case mpr.intro.intro.intro.intro.intro
P : PFunctor
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : Obj P α
a : P.A
f₀ f₁ : B P a → α
xeq : x = { fst := a, snd := f₀ }
yeq : y = { fst := a, snd := f₁ }
h : ∀ (i : B P a), r (f₀ i) (f₁ i)
⊢ (fun t => (↑t).fst) <$> { fst := a, snd := fun i => { val := (f₀ i, f₁ i), property := (_ : r (f₀ i) (f₁ i)) } } = x ∧
    (fun t => (↑t).snd) <$> { fst := a, snd := fun i => { val := (f₀ i, f₁ i), property := (_ : r (f₀ i) (f₁ i)) } } = y
case mpr.intro.intro.intro.intro.intro
P : PFunctor
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : Obj P α
a : P.A
f₀ f₁ : B P a → α
xeq : x = { fst := a, snd := f₀ }
yeq : y = { fst := a, snd := f₁ }
h : ∀ (i : B P a), r (f₀ i) (f₁ i)
⊢ Liftr r x y
use ⟨a, fun i => ⟨(f₀ i, f₁ i), h i⟩⟩
case mpr.intro.intro.intro.intro.intro.left
P : PFunctor
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : Obj P α
a : P.A
f₀ f₁ : B P a → α
xeq : x = { fst := a, snd := f₀ }
yeq : y = { fst := a, snd := f₁ }
h : ∀ (i : B P a), r (f₀ i) (f₁ i)
⊢ (fun t => (↑t).fst) <$> { fst := a, snd := fun i => { val := (f₀ i, f₁ i), property := (_ : r (f₀ i) (f₁ i)) } } = x

case mpr.intro.intro.intro.intro.intro.right
P : PFunctor
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : Obj P α
a : P.A
f₀ f₁ : B P a → α
xeq : x = { fst := a, snd := f₀ }
yeq : y = { fst := a, snd := f₁ }
h : ∀ (i : B P a), r (f₀ i) (f₁ i)
⊢ (fun t => (↑t).snd) <$> { fst := a, snd := fun i => { val := (f₀ i, f₁ i), property := (_ : r (f₀ i) (f₁ i)) } } = y
case mpr.intro.intro.intro.intro.intro
P : PFunctor
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : Obj P α
a : P.A
f₀ f₁ : B P a → α
xeq : x = { fst := a, snd := f₀ }
yeq : y = { fst := a, snd := f₁ }
h : ∀ (i : B P a), r (f₀ i) (f₁ i)
⊢ (fun t => (↑t).fst) <$> { fst := a, snd := fun i => { val := (f₀ i, f₁ i), property := (_ : r (f₀ i) (f₁ i)) } } = x ∧
    (fun t => (↑t).snd) <$> { fst := a, snd := fun i => { val := (f₀ i, f₁ i), property := (_ : r (f₀ i) (f₁ i)) } } = y
constructor
case mpr.intro.intro.intro.intro.intro.right
P : PFunctor
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : Obj P α
a : P.A
f₀ f₁ : B P a → α
xeq : x = { fst := a, snd := f₀ }
yeq : y = { fst := a, snd := f₁ }
h : ∀ (i : B P a), r (f₀ i) (f₁ i)
⊢ (fun t => (↑t).snd) <$> { fst := a, snd := fun i => { val := (f₀ i, f₁ i), property := (_ : r (f₀ i) (f₁ i)) } } =
    { fst := a, snd := f₁ }
case mpr.intro.intro.intro.intro.intro.right
P : PFunctor
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : Obj P α
a : P.A
f₀ f₁ : B P a → α
xeq : x = { fst := a, snd := f₀ }
yeq : y = { fst := a, snd := f₁ }
h : ∀ (i : B P a), r (f₀ i) (f₁ i)
⊢ (fun t => (↑t).snd) <$> { fst := a, snd := fun i => { val := (f₀ i, f₁ i), property := (_ : r (f₀ i) (f₁ i)) } } = y
rw [yeq]
no goals
case mpr.intro.intro.intro.intro.intro.right
P : PFunctor
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : Obj P α
a : P.A
f₀ f₁ : B P a → α
xeq : x = { fst := a, snd := f₀ }
yeq : y = { fst := a, snd := f₁ }
h : ∀ (i : B P a), r (f₀ i) (f₁ i)
⊢ (fun t => (↑t).snd) <$> { fst := a, snd := fun i => { val := (f₀ i, f₁ i), property := (_ : r (f₀ i) (f₁ i)) } } =
    { fst := a, snd := f₁ }
rfl
case mp.intro.intro
P : PFunctor
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : Obj P α
u : Obj P { p // r p.fst p.snd }
xeq : (fun t => (↑t).fst) <$> u = x
yeq : (fun t => (↑t).snd) <$> u = y
⊢ ∃ a f₀ f₁, x = { fst := a, snd := f₀ } ∧ y = { fst := a, snd := f₁ } ∧ ∀ (i : B P a), r (f₀ i) (f₁ i)
case mp
P : PFunctor
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : Obj P α
⊢ Liftr r x y → ∃ a f₀ f₁, x = { fst := a, snd := f₀ } ∧ y = { fst := a, snd := f₁ } ∧ ∀ (i : B P a), r (f₀ i) (f₁ i)
rintro ⟨u, xeq, yeq⟩
case mp.intro.intro.mk
P : PFunctor
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : Obj P α
u : Obj P { p // r p.fst p.snd }
xeq : (fun t => (↑t).fst) <$> u = x
yeq : (fun t => (↑t).snd) <$> u = y
a : P.A
f : B P a → { p // r p.fst p.snd }
h : u = { fst := a, snd := f }
⊢ ∃ a f₀ f₁, x = { fst := a, snd := f₀ } ∧ y = { fst := a, snd := f₁ } ∧ ∀ (i : B P a), r (f₀ i) (f₁ i)
case mp.intro.intro
P : PFunctor
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : Obj P α
u : Obj P { p // r p.fst p.snd }
xeq : (fun t => (↑t).fst) <$> u = x
yeq : (fun t => (↑t).snd) <$> u = y
⊢ ∃ a f₀ f₁, x = { fst := a, snd := f₀ } ∧ y = { fst := a, snd := f₁ } ∧ ∀ (i : B P a), r (f₀ i) (f₁ i)
cases' h : u with a f
case mp.intro.intro.mk
P : PFunctor
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : Obj P α
u : Obj P { p // r p.fst p.snd }
xeq : (fun t => (↑t).fst) <$> u = x
yeq : (fun t => (↑t).snd) <$> u = y
a : P.A
f : B P a → { p // r p.fst p.snd }
h : u = { fst := a, snd := f }
⊢ x = { fst := a, snd := fun i => (↑(f i)).fst } ∧
    y = { fst := a, snd := fun i => (↑(f i)).snd } ∧
      ∀ (i : B P a), r ((fun i => (↑(f i)).fst) i) ((fun i => (↑(f i)).snd) i)
case mp.intro.intro.mk
P : PFunctor
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : Obj P α
u : Obj P { p // r p.fst p.snd }
xeq : (fun t => (↑t).fst) <$> u = x
yeq : (fun t => (↑t).snd) <$> u = y
a : P.A
f : B P a → { p // r p.fst p.snd }
h : u = { fst := a, snd := f }
⊢ ∃ a f₀ f₁, x = { fst := a, snd := f₀ } ∧ y = { fst := a, snd := f₁ } ∧ ∀ (i : B P a), r (f₀ i) (f₁ i)
use a, fun i => (f i).val.fst, fun i => (f i).val.snd
case mp.intro.intro.mk.left
P : PFunctor
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : Obj P α
u : Obj P { p // r p.fst p.snd }
xeq : (fun t => (↑t).fst) <$> u = x
yeq : (fun t => (↑t).snd) <$> u = y
a : P.A
f : B P a → { p // r p.fst p.snd }
h : u = { fst := a, snd := f }
⊢ x = { fst := a, snd := fun i => (↑(f i)).fst }

case mp.intro.intro.mk.right
P : PFunctor
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : Obj P α
u : Obj P { p // r p.fst p.snd }
xeq : (fun t => (↑t).fst) <$> u = x
yeq : (fun t => (↑t).snd) <$> u = y
a : P.A
f : B P a → { p // r p.fst p.snd }
h : u = { fst := a, snd := f }
⊢ y = { fst := a, snd := fun i => (↑(f i)).snd } ∧
    ∀ (i : B P a), r ((fun i => (↑(f i)).fst) i) ((fun i => (↑(f i)).snd) i)
case mp.intro.intro.mk
P : PFunctor
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : Obj P α
u : Obj P { p // r p.fst p.snd }
xeq : (fun t => (↑t).fst) <$> u = x
yeq : (fun t => (↑t).snd) <$> u = y
a : P.A
f : B P a → { p // r p.fst p.snd }
h : u = { fst := a, snd := f }
⊢ x = { fst := a, snd := fun i => (↑(f i)).fst } ∧
    y = { fst := a, snd := fun i => (↑(f i)).snd } ∧
      ∀ (i : B P a), r ((fun i => (↑(f i)).fst) i) ((fun i => (↑(f i)).snd) i)
constructor
case mp.intro.intro.mk.right.left
P : PFunctor
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : Obj P α
u : Obj P { p // r p.fst p.snd }
xeq : (fun t => (↑t).fst) <$> u = x
yeq : (fun t => (↑t).snd) <$> u = y
a : P.A
f : B P a → { p // r p.fst p.snd }
h : u = { fst := a, snd := f }
⊢ y = { fst := a, snd := fun i => (↑(f i)).snd }

case mp.intro.intro.mk.right.right
P : PFunctor
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : Obj P α
u : Obj P { p // r p.fst p.snd }
xeq : (fun t => (↑t).fst) <$> u = x
yeq : (fun t => (↑t).snd) <$> u = y
a : P.A
f : B P a → { p // r p.fst p.snd }
h : u = { fst := a, snd := f }
⊢ ∀ (i : B P a), r ((fun i => (↑(f i)).fst) i) ((fun i => (↑(f i)).snd) i)
case mp.intro.intro.mk.right
P : PFunctor
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : Obj P α
u : Obj P { p // r p.fst p.snd }
xeq : (fun t => (↑t).fst) <$> u = x
yeq : (fun t => (↑t).snd) <$> u = y
a : P.A
f : B P a → { p // r p.fst p.snd }
h : u = { fst := a, snd := f }
⊢ y = { fst := a, snd := fun i => (↑(f i)).snd } ∧
    ∀ (i : B P a), r ((fun i => (↑(f i)).fst) i) ((fun i => (↑(f i)).snd) i)
constructor
case mp.intro.intro.mk.right.right
P : PFunctor
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : Obj P α
u : Obj P { p // r p.fst p.snd }
xeq : (fun t => (↑t).fst) <$> u = x
yeq : (fun t => (↑t).snd) <$> u = y
a : P.A
f : B P a → { p // r p.fst p.snd }
h : u = { fst := a, snd := f }
i : B P a
⊢ r ((fun i => (↑(f i)).fst) i) ((fun i => (↑(f i)).snd) i)
case mp.intro.intro.mk.right.right
P : PFunctor
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : Obj P α
u : Obj P { p // r p.fst p.snd }
xeq : (fun t => (↑t).fst) <$> u = x
yeq : (fun t => (↑t).snd) <$> u = y
a : P.A
f : B P a → { p // r p.fst p.snd }
h : u = { fst := a, snd := f }
⊢ ∀ (i : B P a), r ((fun i => (↑(f i)).fst) i) ((fun i => (↑(f i)).snd) i)
intro i
no goals
case mp.intro.intro.mk.right.right
P : PFunctor
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : Obj P α
u : Obj P { p // r p.fst p.snd }
xeq : (fun t => (↑t).fst) <$> u = x
yeq : (fun t => (↑t).snd) <$> u = y
a : P.A
f : B P a → { p // r p.fst p.snd }
h : u = { fst := a, snd := f }
i : B P a
⊢ r ((fun i => (↑(f i)).fst) i) ((fun i => (↑(f i)).snd) i)
exact (f i).property
case mp.intro.intro.mk.left
P : PFunctor
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : Obj P α
u : Obj P { p // r p.fst p.snd }
xeq : (fun t => (↑t).fst) <$> u = x
yeq : (fun t => (↑t).snd) <$> u = y
a : P.A
f : B P a → { p // r p.fst p.snd }
h : u = { fst := a, snd := f }
⊢ (fun t => (↑t).fst) <$> { fst := a, snd := f } = { fst := a, snd := fun i => (↑(f i)).fst }
case mp.intro.intro.mk.left
P : PFunctor
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : Obj P α
u : Obj P { p // r p.fst p.snd }
xeq : (fun t => (↑t).fst) <$> u = x
yeq : (fun t => (↑t).snd) <$> u = y
a : P.A
f : B P a → { p // r p.fst p.snd }
h : u = { fst := a, snd := f }
⊢ x = { fst := a, snd := fun i => (↑(f i)).fst }
rw [← xeq, h]
no goals
case mp.intro.intro.mk.left
P : PFunctor
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : Obj P α
u : Obj P { p // r p.fst p.snd }
xeq : (fun t => (↑t).fst) <$> u = x
yeq : (fun t => (↑t).snd) <$> u = y
a : P.A
f : B P a → { p // r p.fst p.snd }
h : u = { fst := a, snd := f }
⊢ (fun t => (↑t).fst) <$> { fst := a, snd := f } = { fst := a, snd := fun i => (↑(f i)).fst }
rfl
case mp.intro.intro.mk.right.left
P : PFunctor
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : Obj P α
u : Obj P { p // r p.fst p.snd }
xeq : (fun t => (↑t).fst) <$> u = x
yeq : (fun t => (↑t).snd) <$> u = y
a : P.A
f : B P a → { p // r p.fst p.snd }
h : u = { fst := a, snd := f }
⊢ (fun t => (↑t).snd) <$> { fst := a, snd := f } = { fst := a, snd := fun i => (↑(f i)).snd }
case mp.intro.intro.mk.right.left
P : PFunctor
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : Obj P α
u : Obj P { p // r p.fst p.snd }
xeq : (fun t => (↑t).fst) <$> u = x
yeq : (fun t => (↑t).snd) <$> u = y
a : P.A
f : B P a → { p // r p.fst p.snd }
h : u = { fst := a, snd := f }
⊢ y = { fst := a, snd := fun i => (↑(f i)).snd }
rw [← yeq, h]
no goals
case mp.intro.intro.mk.right.left
P : PFunctor
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : Obj P α
u : Obj P { p // r p.fst p.snd }
xeq : (fun t => (↑t).fst) <$> u = x
yeq : (fun t => (↑t).snd) <$> u = y
a : P.A
f : B P a → { p // r p.fst p.snd }
h : u = { fst := a, snd := f }
⊢ (fun t => (↑t).snd) <$> { fst := a, snd := f } = { fst := a, snd := fun i => (↑(f i)).snd }
rfl
case mpr.intro.intro.intro.intro.intro.left
P : PFunctor
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : Obj P α
a : P.A
f₀ f₁ : B P a → α
xeq : x = { fst := a, snd := f₀ }
yeq : y = { fst := a, snd := f₁ }
h : ∀ (i : B P a), r (f₀ i) (f₁ i)
⊢ (fun t => (↑t).fst) <$> { fst := a, snd := fun i => { val := (f₀ i, f₁ i), property := (_ : r (f₀ i) (f₁ i)) } } =
    { fst := a, snd := f₀ }
case mpr.intro.intro.intro.intro.intro.left
P : PFunctor
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : Obj P α
a : P.A
f₀ f₁ : B P a → α
xeq : x = { fst := a, snd := f₀ }
yeq : y = { fst := a, snd := f₁ }
h : ∀ (i : B P a), r (f₀ i) (f₁ i)
⊢ (fun t => (↑t).fst) <$> { fst := a, snd := fun i => { val := (f₀ i, f₁ i), property := (_ : r (f₀ i) (f₁ i)) } } = x
rw [xeq]
no goals
case mpr.intro.intro.intro.intro.intro.left
P : PFunctor
α : Type u
r : α → α → Prop
x y : Obj P α
a : P.A
f₀ f₁ : B P a → α
xeq : x = { fst := a, snd := f₀ }
yeq : y = { fst := a, snd := f₁ }
h : ∀ (i : B P a), r (f₀ i) (f₁ i)
⊢ (fun t => (↑t).fst) <$> { fst := a, snd := fun i => { val := (f₀ i, f₁ i), property := (_ : r (f₀ i) (f₁ i)) } } =
    { fst := a, snd := f₀ }
rfl