R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_1
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
I : Set ι
p✝ q : (i : ι) → Submodule R (φ i)
x✝ : (i : ι) → φ i
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (φ i)
i : ι
x : φ i
hx : x ∈ p i
⊢ x ∈ comap (single i) (pi Set.univ p)
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_1
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
I : Set ι
p✝ q : (i : ι) → Submodule R (φ i)
x : (i : ι) → φ i
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (φ i)
i : ι
⊢ p i ≤ comap (single i) (pi Set.univ p)
intro x hx
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_1
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
I : Set ι
p✝ q : (i : ι) → Submodule R (φ i)
x✝ : (i : ι) → φ i
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (φ i)
i : ι
x : φ i
hx : x ∈ p i
⊢ ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ Set.univ → ↑(single i) x i_1 ∈ p i_1
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_1
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
I : Set ι
p✝ q : (i : ι) → Submodule R (φ i)
x✝ : (i : ι) → φ i
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (φ i)
i : ι
x : φ i
hx : x ∈ p i
⊢ x ∈ comap (single i) (pi Set.univ p)
rw [Submodule.mem_comap, Submodule.mem_pi]
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_1
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
I : Set ι
p✝ q : (i : ι) → Submodule R (φ i)
x✝ : (i : ι) → φ i
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (φ i)
i : ι
x : φ i
hx : x ∈ p i
j : ι
⊢ ↑(single i) x j ∈ p j
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_1
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
I : Set ι
p✝ q : (i : ι) → Submodule R (φ i)
x✝ : (i : ι) → φ i
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (φ i)
i : ι
x : φ i
hx : x ∈ p i
⊢ ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ Set.univ → ↑(single i) x i_1 ∈ p i_1
rintro j -
case pos
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_1
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
I : Set ι
p✝ q : (i : ι) → Submodule R (φ i)
x✝ : (i : ι) → φ i
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (φ i)
i : ι
x : φ i
hx : x ∈ p i
j : ι
h : j = i
⊢ ↑(single i) x j ∈ p j

case neg
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_1
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
I : Set ι
p✝ q : (i : ι) → Submodule R (φ i)
x✝ : (i : ι) → φ i
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (φ i)
i : ι
x : φ i
hx : x ∈ p i
j : ι
h : ¬j = i
⊢ ↑(single i) x j ∈ p j
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_1
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
I : Set ι
p✝ q : (i : ι) → Submodule R (φ i)
x✝ : (i : ι) → φ i
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (φ i)
i : ι
x : φ i
hx : x ∈ p i
j : ι
⊢ ↑(single i) x j ∈ p j
by_cases h : j = i
no goals
case pos
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_1
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
I : Set ι
p✝ q : (i : ι) → Submodule R (φ i)
x✝ : (i : ι) → φ i
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (φ i)
i : ι
x : φ i
hx : x ∈ p i
j : ι
h : j = i
⊢ ↑(single i) x j ∈ p j
rwa [h, LinearMap.coe_single, Pi.single_eq_same]
case neg
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_1
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
I : Set ι
p✝ q : (i : ι) → Submodule R (φ i)
x✝ : (i : ι) → φ i
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (φ i)
i : ι
x : φ i
hx : x ∈ p i
j : ι
h : ¬j = i
⊢ 0 ∈ p j
case neg
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_1
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
I : Set ι
p✝ q : (i : ι) → Submodule R (φ i)
x✝ : (i : ι) → φ i
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (φ i)
i : ι
x : φ i
hx : x ∈ p i
j : ι
h : ¬j = i
⊢ ↑(single i) x j ∈ p j
rw [LinearMap.coe_single, Pi.single_eq_of_ne h]
no goals
case neg
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_1
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
I : Set ι
p✝ q : (i : ι) → Submodule R (φ i)
x✝ : (i : ι) → φ i
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (φ i)
i : ι
x : φ i
hx : x ∈ p i
j : ι
h : ¬j = i
⊢ 0 ∈ p j
exact (p j).zero_mem