case mp
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type ?u.74600
inst✝³ : Fintype ι'
inst✝² : Fintype ι
b₂ : AffineBasis ι k P
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
⊢ IsUnit (toMatrix b p) → AffineIndependent k p ∧ affineSpan k (range p) = ⊤

case mpr
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type ?u.74600
inst✝³ : Fintype ι'
inst✝² : Fintype ι
b₂ : AffineBasis ι k P
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
⊢ AffineIndependent k p ∧ affineSpan k (range p) = ⊤ → IsUnit (toMatrix b p)
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type ?u.74600
inst✝³ : Fintype ι'
inst✝² : Fintype ι
b₂ : AffineBasis ι k P
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
⊢ IsUnit (toMatrix b p) ↔ AffineIndependent k p ∧ affineSpan k (range p) = ⊤
constructor
case mp.intro.mk
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type ?u.74600
inst✝³ : Fintype ι'
inst✝² : Fintype ι
b₂ : AffineBasis ι k P
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
A : Matrix ι ι k
hA : toMatrix b p * A = 1
hA' : A * toMatrix b p = 1
⊢ AffineIndependent k p ∧ affineSpan k (range p) = ⊤
case mp
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type ?u.74600
inst✝³ : Fintype ι'
inst✝² : Fintype ι
b₂ : AffineBasis ι k P
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
⊢ IsUnit (toMatrix b p) → AffineIndependent k p ∧ affineSpan k (range p) = ⊤
rintro ⟨⟨B, A, hA, hA'⟩, rfl : B = b.toMatrix p⟩
case mp.intro.mk
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type ?u.74600
inst✝³ : Fintype ι'
inst✝² : Fintype ι
b₂ : AffineBasis ι k P
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
A : Matrix ι ι k
hA : toMatrix b p ⬝ A = 1
hA' : A ⬝ toMatrix b p = 1
⊢ AffineIndependent k p ∧ affineSpan k (range p) = ⊤
case mp.intro.mk
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type ?u.74600
inst✝³ : Fintype ι'
inst✝² : Fintype ι
b₂ : AffineBasis ι k P
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
A : Matrix ι ι k
hA : toMatrix b p * A = 1
hA' : A * toMatrix b p = 1
⊢ AffineIndependent k p ∧ affineSpan k (range p) = ⊤
rw [Matrix.mul_eq_mul] at hA hA'
no goals
case mp.intro.mk
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type ?u.74600
inst✝³ : Fintype ι'
inst✝² : Fintype ι
b₂ : AffineBasis ι k P
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
A : Matrix ι ι k
hA : toMatrix b p ⬝ A = 1
hA' : A ⬝ toMatrix b p = 1
⊢ AffineIndependent k p ∧ affineSpan k (range p) = ⊤
exact ⟨b.affineIndependent_of_toMatrix_right_inv p hA,
  b.affineSpan_eq_top_of_toMatrix_left_inv p hA'⟩
case mpr.intro
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type ?u.74600
inst✝³ : Fintype ι'
inst✝² : Fintype ι
b₂ : AffineBasis ι k P
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
h_tot : AffineIndependent k p
h_ind : affineSpan k (range p) = ⊤
⊢ IsUnit (toMatrix b p)
case mpr
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type ?u.74600
inst✝³ : Fintype ι'
inst✝² : Fintype ι
b₂ : AffineBasis ι k P
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
⊢ AffineIndependent k p ∧ affineSpan k (range p) = ⊤ → IsUnit (toMatrix b p)
rintro ⟨h_tot, h_ind⟩
case mpr.intro
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type ?u.74600
inst✝³ : Fintype ι'
inst✝² : Fintype ι
b₂ : AffineBasis ι k P
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
h_tot : AffineIndependent k p
h_ind : affineSpan k (range p) = ⊤
b' : AffineBasis ι k P := { toFun := p, ind' := h_tot, tot' := h_ind }
⊢ IsUnit (toMatrix b p)
case mpr.intro
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type ?u.74600
inst✝³ : Fintype ι'
inst✝² : Fintype ι
b₂ : AffineBasis ι k P
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
h_tot : AffineIndependent k p
h_ind : affineSpan k (range p) = ⊤
⊢ IsUnit (toMatrix b p)
let b' : AffineBasis ι k P := ⟨p, h_tot, h_ind⟩
case mpr.intro
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type ?u.74600
inst✝³ : Fintype ι'
inst✝² : Fintype ι
b₂ : AffineBasis ι k P
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
h_tot : AffineIndependent k p
h_ind : affineSpan k (range p) = ⊤
b' : AffineBasis ι k P := { toFun := p, ind' := h_tot, tot' := h_ind }
⊢ IsUnit (toMatrix b ↑b')
case mpr.intro
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type ?u.74600
inst✝³ : Fintype ι'
inst✝² : Fintype ι
b₂ : AffineBasis ι k P
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
h_tot : AffineIndependent k p
h_ind : affineSpan k (range p) = ⊤
b' : AffineBasis ι k P := { toFun := p, ind' := h_tot, tot' := h_ind }
⊢ IsUnit (toMatrix b p)
change IsUnit (b.toMatrix b')
no goals
case mpr.intro
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type ?u.74600
inst✝³ : Fintype ι'
inst✝² : Fintype ι
b₂ : AffineBasis ι k P
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
h_tot : AffineIndependent k p
h_ind : affineSpan k (range p) = ⊤
b' : AffineBasis ι k P := { toFun := p, ind' := h_tot, tot' := h_ind }
⊢ IsUnit (toMatrix b ↑b')
exact b.isUnit_toMatrix b'