R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
⊢ (∀ (m : M), m ∈ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} → m = 0) ↔ ∀ (x : L), x ∈ I → ∀ (m : M), m ∈ N → ⁅x, m⁆ = 0
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
⊢ ⁅I, N⁆ = ⊥ ↔ ∀ (x : L), x ∈ I → ∀ (m : M), m ∈ N → ⁅x, m⁆ = 0
rw [lieIdeal_oper_eq_span, LieSubmodule.lieSpan_eq_bot_iff]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
⊢ (∀ (x : L), x ∈ I → ∀ (m : M), m ∈ N → ⁅x, m⁆ = 0) → ∀ (m : M), m ∈ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} → m = 0
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
⊢ (∀ (m : M), m ∈ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} → m = 0) ↔ ∀ (x : L), x ∈ I → ∀ (m : M), m ∈ N → ⁅x, m⁆ = 0
refine' ⟨fun h x hx m hm => h ⁅x, m⁆ ⟨⟨x, hx⟩, ⟨m, hm⟩, rfl⟩, _⟩
case intro.mk.intro.mk
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h : ∀ (x : L), x ∈ I → ∀ (m : M), m ∈ N → ⁅x, m⁆ = 0
x : L
hx : x ∈ I
n : M
hn : n ∈ N
⊢ ⁅↑{ val := x, property := hx }, ↑{ val := n, property := hn }⁆ = 0
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
⊢ (∀ (x : L), x ∈ I → ∀ (m : M), m ∈ N → ⁅x, m⁆ = 0) → ∀ (m : M), m ∈ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} → m = 0
rintro h - ⟨⟨x, hx⟩, ⟨⟨n, hn⟩, rfl⟩⟩
no goals
case intro.mk.intro.mk
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h : ∀ (x : L), x ∈ I → ∀ (m : M), m ∈ N → ⁅x, m⁆ = 0
x : L
hx : x ∈ I
n : M
hn : n ∈ N
⊢ ⁅↑{ val := x, property := hx }, ↑{ val := n, property := hn }⁆ = 0
exact h x hx n hn