ι : Type u'
ι' : Type ?u.130260
R : Type u_2
K : Type ?u.130266
M : Type u_1
M' : Type ?u.130272
M'' : Type ?u.130275
V : Type u
V' : Type ?u.130280
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
s : Set M
li : LinearIndependent R Subtype.val
t : Finset ↑s
f : { x // x ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t } → ↑s := fun x => { val := ↑x, property := (_ : ↑x ∈ s) }
⊢ LinearIndependent R Subtype.val
ι : Type u'
ι' : Type ?u.130260
R : Type u_2
K : Type ?u.130266
M : Type u_1
M' : Type ?u.130272
M'' : Type ?u.130275
V : Type u
V' : Type ?u.130280
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
s : Set M
li : LinearIndependent R Subtype.val
t : Finset ↑s
⊢ LinearIndependent R Subtype.val
let f : t.map (Embedding.subtype s) → s := fun x =>
  ⟨x.1, by
    obtain ⟨x, h⟩ := x
    rw [Finset.mem_map] at h
    obtain ⟨a, _ha, rfl⟩ := h
    simp only [Subtype.coe_prop, Embedding.coe_subtype]⟩
ι : Type u'
ι' : Type ?u.130260
R : Type u_2
K : Type ?u.130266
M : Type u_1
M' : Type ?u.130272
M'' : Type ?u.130275
V : Type u
V' : Type ?u.130280
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
s : Set M
li : LinearIndependent R Subtype.val
t : Finset ↑s
f : { x // x ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t } → ↑s := fun x => { val := ↑x, property := (_ : ↑x ∈ s) }
⊢ Injective f
ι : Type u'
ι' : Type ?u.130260
R : Type u_2
K : Type ?u.130266
M : Type u_1
M' : Type ?u.130272
M'' : Type ?u.130275
V : Type u
V' : Type ?u.130280
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
s : Set M
li : LinearIndependent R Subtype.val
t : Finset ↑s
f : { x // x ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t } → ↑s := fun x => { val := ↑x, property := (_ : ↑x ∈ s) }
⊢ LinearIndependent R Subtype.val
convert LinearIndependent.comp li f ?_
case mk.mk
ι : Type u'
ι' : Type ?u.130260
R : Type u_2
K : Type ?u.130266
M : Type u_1
M' : Type ?u.130272
M'' : Type ?u.130275
V : Type u
V' : Type ?u.130280
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x✝ y✝ : M
s : Set M
li : LinearIndependent R Subtype.val
t : Finset ↑s
f : { x // x ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t } → ↑s := fun x => { val := ↑x, property := (_ : ↑x ∈ s) }
x : M
hx : x ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t
y : M
hy : y ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t
⊢ f { val := x, property := hx } = f { val := y, property := hy } →
    { val := x, property := hx } = { val := y, property := hy }
ι : Type u'
ι' : Type ?u.130260
R : Type u_2
K : Type ?u.130266
M : Type u_1
M' : Type ?u.130272
M'' : Type ?u.130275
V : Type u
V' : Type ?u.130280
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
s : Set M
li : LinearIndependent R Subtype.val
t : Finset ↑s
f : { x // x ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t } → ↑s := fun x => { val := ↑x, property := (_ : ↑x ∈ s) }
⊢ Injective f
rintro ⟨x, hx⟩ ⟨y, hy⟩
case mk.mk
ι : Type u'
ι' : Type ?u.130260
R : Type u_2
K : Type ?u.130266
M : Type u_1
M' : Type ?u.130272
M'' : Type ?u.130275
V : Type u
V' : Type ?u.130280
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x✝ y✝ : M
s : Set M
li : LinearIndependent R Subtype.val
t : Finset ↑s
f : { x // x ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t } → ↑s := fun x => { val := ↑x, property := (_ : ↑x ∈ s) }
x : M
hx✝ : x ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t
hx : ∃ a, a ∈ t ∧ ↑(Embedding.subtype s) a = x
y : M
hy✝ : y ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t
hy : ∃ a, a ∈ t ∧ ↑(Embedding.subtype s) a = y
⊢ f { val := x, property := hx✝ } = f { val := y, property := hy✝ } →
    { val := x, property := hx✝ } = { val := y, property := hy✝ }
case mk.mk
ι : Type u'
ι' : Type ?u.130260
R : Type u_2
K : Type ?u.130266
M : Type u_1
M' : Type ?u.130272
M'' : Type ?u.130275
V : Type u
V' : Type ?u.130280
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x✝ y✝ : M
s : Set M
li : LinearIndependent R Subtype.val
t : Finset ↑s
f : { x // x ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t } → ↑s := fun x => { val := ↑x, property := (_ : ↑x ∈ s) }
x : M
hx : x ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t
y : M
hy : y ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t
⊢ f { val := x, property := hx } = f { val := y, property := hy } →
    { val := x, property := hx } = { val := y, property := hy }
rw [Finset.mem_map] at hx hy
case mk.mk.intro.intro
ι : Type u'
ι' : Type ?u.130260
R : Type u_2
K : Type ?u.130266
M : Type u_1
M' : Type ?u.130272
M'' : Type ?u.130275
V : Type u
V' : Type ?u.130280
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a✝ b : R
x y✝ : M
s : Set M
li : LinearIndependent R Subtype.val
t : Finset ↑s
f : { x // x ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t } → ↑s := fun x => { val := ↑x, property := (_ : ↑x ∈ s) }
y : M
hy✝ : y ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t
hy : ∃ a, a ∈ t ∧ ↑(Embedding.subtype s) a = y
a : Subtype s
_ha : a ∈ t
hx : ↑(Embedding.subtype s) a ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t
⊢ f { val := ↑(Embedding.subtype s) a, property := hx } = f { val := y, property := hy✝ } →
    { val := ↑(Embedding.subtype s) a, property := hx } = { val := y, property := hy✝ }
case mk.mk
ι : Type u'
ι' : Type ?u.130260
R : Type u_2
K : Type ?u.130266
M : Type u_1
M' : Type ?u.130272
M'' : Type ?u.130275
V : Type u
V' : Type ?u.130280
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x✝ y✝ : M
s : Set M
li : LinearIndependent R Subtype.val
t : Finset ↑s
f : { x // x ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t } → ↑s := fun x => { val := ↑x, property := (_ : ↑x ∈ s) }
x : M
hx✝ : x ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t
hx : ∃ a, a ∈ t ∧ ↑(Embedding.subtype s) a = x
y : M
hy✝ : y ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t
hy : ∃ a, a ∈ t ∧ ↑(Embedding.subtype s) a = y
⊢ f { val := x, property := hx✝ } = f { val := y, property := hy✝ } →
    { val := x, property := hx✝ } = { val := y, property := hy✝ }
obtain ⟨a, _ha, rfl⟩ := hx
case mk.mk.intro.intro.intro.intro
ι : Type u'
ι' : Type ?u.130260
R : Type u_2
K : Type ?u.130266
M : Type u_1
M' : Type ?u.130272
M'' : Type ?u.130275
V : Type u
V' : Type ?u.130280
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a✝ b✝ : R
x y : M
s : Set M
li : LinearIndependent R Subtype.val
t : Finset ↑s
f : { x // x ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t } → ↑s := fun x => { val := ↑x, property := (_ : ↑x ∈ s) }
a : Subtype s
_ha : a ∈ t
hx : ↑(Embedding.subtype s) a ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t
b : Subtype s
_hb : b ∈ t
hy : ↑(Embedding.subtype s) b ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t
⊢ f { val := ↑(Embedding.subtype s) a, property := hx } = f { val := ↑(Embedding.subtype s) b, property := hy } →
    { val := ↑(Embedding.subtype s) a, property := hx } = { val := ↑(Embedding.subtype s) b, property := hy }
case mk.mk.intro.intro
ι : Type u'
ι' : Type ?u.130260
R : Type u_2
K : Type ?u.130266
M : Type u_1
M' : Type ?u.130272
M'' : Type ?u.130275
V : Type u
V' : Type ?u.130280
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a✝ b : R
x y✝ : M
s : Set M
li : LinearIndependent R Subtype.val
t : Finset ↑s
f : { x // x ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t } → ↑s := fun x => { val := ↑x, property := (_ : ↑x ∈ s) }
y : M
hy✝ : y ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t
hy : ∃ a, a ∈ t ∧ ↑(Embedding.subtype s) a = y
a : Subtype s
_ha : a ∈ t
hx : ↑(Embedding.subtype s) a ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t
⊢ f { val := ↑(Embedding.subtype s) a, property := hx } = f { val := y, property := hy✝ } →
    { val := ↑(Embedding.subtype s) a, property := hx } = { val := y, property := hy✝ }
obtain ⟨b, _hb, rfl⟩ := hy
no goals
case mk.mk.intro.intro.intro.intro
ι : Type u'
ι' : Type ?u.130260
R : Type u_2
K : Type ?u.130266
M : Type u_1
M' : Type ?u.130272
M'' : Type ?u.130275
V : Type u
V' : Type ?u.130280
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a✝ b✝ : R
x y : M
s : Set M
li : LinearIndependent R Subtype.val
t : Finset ↑s
f : { x // x ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t } → ↑s := fun x => { val := ↑x, property := (_ : ↑x ∈ s) }
a : Subtype s
_ha : a ∈ t
hx : ↑(Embedding.subtype s) a ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t
b : Subtype s
_hb : b ∈ t
hy : ↑(Embedding.subtype s) b ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t
⊢ f { val := ↑(Embedding.subtype s) a, property := hx } = f { val := ↑(Embedding.subtype s) b, property := hy } →
    { val := ↑(Embedding.subtype s) a, property := hx } = { val := ↑(Embedding.subtype s) b, property := hy }
simp only [imp_self, Subtype.mk_eq_mk]
case mk
ι : Type u'
ι' : Type ?u.130260
R : Type u_2
K : Type ?u.130266
M : Type u_1
M' : Type ?u.130272
M'' : Type ?u.130275
V : Type u
V' : Type ?u.130280
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
s : Set M
li : LinearIndependent R Subtype.val
t : Finset ↑s
x : M
h : x ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t
⊢ ↑{ val := x, property := h } ∈ s
ι : Type u'
ι' : Type ?u.130260
R : Type u_2
K : Type ?u.130266
M : Type u_1
M' : Type ?u.130272
M'' : Type ?u.130275
V : Type u
V' : Type ?u.130280
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
s : Set M
li : LinearIndependent R Subtype.val
t : Finset ↑s
x : { x // x ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t }
⊢ ↑x ∈ s
obtain ⟨x, h⟩ := x
case mk
ι : Type u'
ι' : Type ?u.130260
R : Type u_2
K : Type ?u.130266
M : Type u_1
M' : Type ?u.130272
M'' : Type ?u.130275
V : Type u
V' : Type ?u.130280
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
s : Set M
li : LinearIndependent R Subtype.val
t : Finset ↑s
x : M
h✝ : x ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t
h : ∃ a, a ∈ t ∧ ↑(Embedding.subtype s) a = x
⊢ ↑{ val := x, property := h✝ } ∈ s
case mk
ι : Type u'
ι' : Type ?u.130260
R : Type u_2
K : Type ?u.130266
M : Type u_1
M' : Type ?u.130272
M'' : Type ?u.130275
V : Type u
V' : Type ?u.130280
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
s : Set M
li : LinearIndependent R Subtype.val
t : Finset ↑s
x : M
h : x ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t
⊢ ↑{ val := x, property := h } ∈ s
rw [Finset.mem_map] at h
case mk.intro.intro
ι : Type u'
ι' : Type ?u.130260
R : Type u_2
K : Type ?u.130266
M : Type u_1
M' : Type ?u.130272
M'' : Type ?u.130275
V : Type u
V' : Type ?u.130280
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a✝ b : R
x y : M
s : Set M
li : LinearIndependent R Subtype.val
t : Finset ↑s
a : Subtype s
_ha : a ∈ t
h : ↑(Embedding.subtype s) a ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t
⊢ ↑{ val := ↑(Embedding.subtype s) a, property := h } ∈ s
case mk
ι : Type u'
ι' : Type ?u.130260
R : Type u_2
K : Type ?u.130266
M : Type u_1
M' : Type ?u.130272
M'' : Type ?u.130275
V : Type u
V' : Type ?u.130280
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
s : Set M
li : LinearIndependent R Subtype.val
t : Finset ↑s
x : M
h✝ : x ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t
h : ∃ a, a ∈ t ∧ ↑(Embedding.subtype s) a = x
⊢ ↑{ val := x, property := h✝ } ∈ s
obtain ⟨a, _ha, rfl⟩ := h
no goals
case mk.intro.intro
ι : Type u'
ι' : Type ?u.130260
R : Type u_2
K : Type ?u.130266
M : Type u_1
M' : Type ?u.130272
M'' : Type ?u.130275
V : Type u
V' : Type ?u.130280
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a✝ b : R
x y : M
s : Set M
li : LinearIndependent R Subtype.val
t : Finset ↑s
a : Subtype s
_ha : a ∈ t
h : ↑(Embedding.subtype s) a ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t
⊢ ↑{ val := ↑(Embedding.subtype s) a, property := h } ∈ s
simp only [Subtype.coe_prop, Embedding.coe_subtype]