𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type ?u.262092
E : Type u_1
E' : Type ?u.262098
F : Type ?u.262101
ι : Type ?u.262104
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s ↔ ∃ a, s ⊆ a • Metric.ball 0 1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type ?u.262092
E : Type u_1
E' : Type ?u.262098
F : Type ?u.262101
ι : Type ?u.262104
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
⊢ Bornology.IsBounded s ↔ ∃ a, s ⊆ a • Metric.ball 0 1
rw [← isVonNBounded_iff 𝕜]
case mp
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type ?u.262092
E : Type u_1
E' : Type ?u.262098
F : Type ?u.262101
ι : Type ?u.262104
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s → ∃ a, s ⊆ a • Metric.ball 0 1

case mpr
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type ?u.262092
E : Type u_1
E' : Type ?u.262098
F : Type ?u.262101
ι : Type ?u.262104
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
⊢ (∃ a, s ⊆ a • Metric.ball 0 1) → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type ?u.262092
E : Type u_1
E' : Type ?u.262098
F : Type ?u.262101
ι : Type ?u.262104
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s ↔ ∃ a, s ⊆ a • Metric.ball 0 1
constructor
case mp
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type ?u.262092
E : Type u_1
E' : Type ?u.262098
F : Type ?u.262101
ι : Type ?u.262104
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
h : Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s
⊢ ∃ a, s ⊆ a • Metric.ball 0 1
case mp
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type ?u.262092
E : Type u_1
E' : Type ?u.262098
F : Type ?u.262101
ι : Type ?u.262104
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s → ∃ a, s ⊆ a • Metric.ball 0 1
intro h
case mp.intro.intro
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type ?u.262092
E : Type u_1
E' : Type ?u.262098
F : Type ?u.262101
ι : Type ?u.262104
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
h : Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s
ρ : ℝ
left✝ : 0 < ρ
hρball : ∀ (a : 𝕜), ρ ≤ ‖a‖ → s ⊆ a • Metric.ball 0 1
⊢ ∃ a, s ⊆ a • Metric.ball 0 1
case mp
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type ?u.262092
E : Type u_1
E' : Type ?u.262098
F : Type ?u.262101
ι : Type ?u.262104
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
h : Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s
⊢ ∃ a, s ⊆ a • Metric.ball 0 1
rcases h (Metric.ball_mem_nhds 0 zero_lt_one) with ⟨ρ, _, hρball⟩
case mp.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type ?u.262092
E : Type u_1
E' : Type ?u.262098
F : Type ?u.262101
ι : Type ?u.262104
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
h : Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s
ρ : ℝ
left✝ : 0 < ρ
hρball : ∀ (a : 𝕜), ρ ≤ ‖a‖ → s ⊆ a • Metric.ball 0 1
a : 𝕜
ha : ρ < ‖a‖
⊢ ∃ a, s ⊆ a • Metric.ball 0 1
case mp.intro.intro
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type ?u.262092
E : Type u_1
E' : Type ?u.262098
F : Type ?u.262101
ι : Type ?u.262104
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
h : Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s
ρ : ℝ
left✝ : 0 < ρ
hρball : ∀ (a : 𝕜), ρ ≤ ‖a‖ → s ⊆ a • Metric.ball 0 1
⊢ ∃ a, s ⊆ a • Metric.ball 0 1
rcases NormedField.exists_lt_norm 𝕜 ρ with ⟨a, ha⟩
no goals
case mp.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type ?u.262092
E : Type u_1
E' : Type ?u.262098
F : Type ?u.262101
ι : Type ?u.262104
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
h : Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s
ρ : ℝ
left✝ : 0 < ρ
hρball : ∀ (a : 𝕜), ρ ≤ ‖a‖ → s ⊆ a • Metric.ball 0 1
a : 𝕜
ha : ρ < ‖a‖
⊢ ∃ a, s ⊆ a • Metric.ball 0 1
exact ⟨a, hρball a ha.le⟩
case mpr.intro
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type ?u.262092
E : Type u_1
E' : Type ?u.262098
F : Type ?u.262101
ι : Type ?u.262104
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
a : 𝕜
ha : s ⊆ a • Metric.ball 0 1
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s
case mpr
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type ?u.262092
E : Type u_1
E' : Type ?u.262098
F : Type ?u.262101
ι : Type ?u.262104
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
⊢ (∃ a, s ⊆ a • Metric.ball 0 1) → Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s
rintro ⟨a, ha⟩
no goals
case mpr.intro
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type ?u.262092
E : Type u_1
E' : Type ?u.262098
F : Type ?u.262101
ι : Type ?u.262104
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
a : 𝕜
ha : s ⊆ a • Metric.ball 0 1
⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s
exact ((isVonNBounded_ball 𝕜 E 1).image (a • (1 : E →L[𝕜] E))).subset ha