V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ V
p p₁ p₂ p₃ : P
h : Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃
hp₁p₃ : p₁ -ᵥ p ≠ p₃ -ᵥ p
⊢ dist p₂ p < max (dist p₁ p) (dist p₃ p)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ V
p p₁ p₂ p₃ : P
h : Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃
⊢ dist p₂ p < max (dist p₁ p) (dist p₃ p)
have hp₁p₃ : p₁ -ᵥ p ≠ p₃ -ᵥ p := by simpa using h.left_ne_right
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ V
p p₁ p₂ p₃ : P
h : (p₂ -ᵥ p = p₁ -ᵥ p ∨ p₂ -ᵥ p = p₃ -ᵥ p ∨ p₂ -ᵥ p ∈ openSegment ℝ (p₁ -ᵥ p) (p₃ -ᵥ p)) ∧ p₂ ≠ p₁ ∧ p₂ ≠ p₃
hp₁p₃ : p₁ -ᵥ p ≠ p₃ -ᵥ p
⊢ dist p₂ p < max (dist p₁ p) (dist p₃ p)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ V
p p₁ p₂ p₃ : P
h : Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃
hp₁p₃ : p₁ -ᵥ p ≠ p₃ -ᵥ p
⊢ dist p₂ p < max (dist p₁ p) (dist p₃ p)
rw [Sbtw, ← wbtw_vsub_const_iff p, Wbtw, affineSegment_eq_segment, ← insert_endpoints_openSegment,
  Set.mem_insert_iff, Set.mem_insert_iff] at h
case intro.inl.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ V
p p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₃ : p₁ -ᵥ p ≠ p₃ -ᵥ p
h : p₂ -ᵥ p = p₁ -ᵥ p
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
⊢ dist p₂ p < max (dist p₁ p) (dist p₃ p)

case intro.inr.inl.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ V
p p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₃ : p₁ -ᵥ p ≠ p₃ -ᵥ p
h : p₂ -ᵥ p = p₃ -ᵥ p
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
⊢ dist p₂ p < max (dist p₁ p) (dist p₃ p)

case intro.inr.inr.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ V
p p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₃ : p₁ -ᵥ p ≠ p₃ -ᵥ p
h : p₂ -ᵥ p ∈ openSegment ℝ (p₁ -ᵥ p) (p₃ -ᵥ p)
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
⊢ dist p₂ p < max (dist p₁ p) (dist p₃ p)
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ V
p p₁ p₂ p₃ : P
h : (p₂ -ᵥ p = p₁ -ᵥ p ∨ p₂ -ᵥ p = p₃ -ᵥ p ∨ p₂ -ᵥ p ∈ openSegment ℝ (p₁ -ᵥ p) (p₃ -ᵥ p)) ∧ p₂ ≠ p₁ ∧ p₂ ≠ p₃
hp₁p₃ : p₁ -ᵥ p ≠ p₃ -ᵥ p
⊢ dist p₂ p < max (dist p₁ p) (dist p₃ p)
rcases h with ⟨h | h | h, hp₂p₁, hp₂p₃⟩
no goals
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ V
p p₁ p₂ p₃ : P
h : Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃
⊢ p₁ -ᵥ p ≠ p₃ -ᵥ p
simpa using h.left_ne_right
case intro.inl.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ V
p p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₃ : p₁ -ᵥ p ≠ p₃ -ᵥ p
h : p₂ = p₁
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
⊢ dist p₂ p < max (dist p₁ p) (dist p₃ p)
case intro.inl.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ V
p p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₃ : p₁ -ᵥ p ≠ p₃ -ᵥ p
h : p₂ -ᵥ p = p₁ -ᵥ p
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
⊢ dist p₂ p < max (dist p₁ p) (dist p₃ p)
rw [vsub_left_cancel_iff] at h
no goals
case intro.inl.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ V
p p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₃ : p₁ -ᵥ p ≠ p₃ -ᵥ p
h : p₂ = p₁
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
⊢ dist p₂ p < max (dist p₁ p) (dist p₃ p)
exact False.elim (hp₂p₁ h)
case intro.inr.inl.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ V
p p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₃ : p₁ -ᵥ p ≠ p₃ -ᵥ p
h : p₂ = p₃
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
⊢ dist p₂ p < max (dist p₁ p) (dist p₃ p)
case intro.inr.inl.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ V
p p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₃ : p₁ -ᵥ p ≠ p₃ -ᵥ p
h : p₂ -ᵥ p = p₃ -ᵥ p
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
⊢ dist p₂ p < max (dist p₁ p) (dist p₃ p)
rw [vsub_left_cancel_iff] at h
no goals
case intro.inr.inl.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ V
p p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₃ : p₁ -ᵥ p ≠ p₃ -ᵥ p
h : p₂ = p₃
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
⊢ dist p₂ p < max (dist p₁ p) (dist p₃ p)
exact False.elim (hp₂p₃ h)
case intro.inr.inr.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ V
p p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₃ : p₁ -ᵥ p ≠ p₃ -ᵥ p
h : ∃ x, x ∈ Set.Ioo 0 1 ∧ (1 - x) • (p₁ -ᵥ p) + x • (p₃ -ᵥ p) = p₂ -ᵥ p
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
⊢ dist p₂ p < max (dist p₁ p) (dist p₃ p)
case intro.inr.inr.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ V
p p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₃ : p₁ -ᵥ p ≠ p₃ -ᵥ p
h : p₂ -ᵥ p ∈ openSegment ℝ (p₁ -ᵥ p) (p₃ -ᵥ p)
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
⊢ dist p₂ p < max (dist p₁ p) (dist p₃ p)
rw [openSegment_eq_image, Set.mem_image] at h
case intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ V
p p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₃ : p₁ -ᵥ p ≠ p₃ -ᵥ p
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
r : ℝ
hr : (1 - r) • (p₁ -ᵥ p) + r • (p₃ -ᵥ p) = p₂ -ᵥ p
hr0 : 0 < r
hr1 : r < 1
⊢ dist p₂ p < max (dist p₁ p) (dist p₃ p)
case intro.inr.inr.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ V
p p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₃ : p₁ -ᵥ p ≠ p₃ -ᵥ p
h : ∃ x, x ∈ Set.Ioo 0 1 ∧ (1 - x) • (p₁ -ᵥ p) + x • (p₃ -ᵥ p) = p₂ -ᵥ p
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
⊢ dist p₂ p < max (dist p₁ p) (dist p₃ p)
rcases h with ⟨r, ⟨hr0, hr1⟩, hr⟩
case intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ V
p p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₃ : p₁ -ᵥ p ≠ p₃ -ᵥ p
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
r : ℝ
hr : (1 - r) • (p₁ -ᵥ p) + r • (p₃ -ᵥ p) = p₂ -ᵥ p
hr0 : 0 < r
hr1 : r < 1
⊢ ‖(1 - r) • (p₁ -ᵥ p) + r • (p₃ -ᵥ p)‖ < max ‖p₁ -ᵥ p‖ ‖p₃ -ᵥ p‖
case intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ V
p p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₃ : p₁ -ᵥ p ≠ p₃ -ᵥ p
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
r : ℝ
hr : (1 - r) • (p₁ -ᵥ p) + r • (p₃ -ᵥ p) = p₂ -ᵥ p
hr0 : 0 < r
hr1 : r < 1
⊢ dist p₂ p < max (dist p₁ p) (dist p₃ p)
simp_rw [@dist_eq_norm_vsub V, ← hr]
no goals
case intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ V
p p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₃ : p₁ -ᵥ p ≠ p₃ -ᵥ p
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
r : ℝ
hr : (1 - r) • (p₁ -ᵥ p) + r • (p₃ -ᵥ p) = p₂ -ᵥ p
hr0 : 0 < r
hr1 : r < 1
⊢ ‖(1 - r) • (p₁ -ᵥ p) + r • (p₃ -ᵥ p)‖ < max ‖p₁ -ᵥ p‖ ‖p₃ -ᵥ p‖
exact
  norm_combo_lt_of_ne (le_max_left _ _) (le_max_right _ _) hp₁p₃ (sub_pos.2 hr1) hr0 (by abel)
no goals
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ V
p p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₃ : p₁ -ᵥ p ≠ p₃ -ᵥ p
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
r : ℝ
hr : (1 - r) • (p₁ -ᵥ p) + r • (p₃ -ᵥ p) = p₂ -ᵥ p
hr0 : 0 < r
hr1 : r < 1
⊢ 1 - r + r = 1
abel