R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type ?u.459206
M'' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
f : M →ₗ[R] M'
g✝ g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : { x // x ∈ S }), IsUnit (↑(algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : { x // x ∈ S }
⊢ lift' S g h (mk a b + mk a' b') = lift' S g h (mk a b) + lift' S g h (mk a' b')
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type ?u.459206
M'' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
f : M →ₗ[R] M'
g✝ g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : { x // x ∈ S }), IsUnit (↑(algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
x y : LocalizedModule S M
⊢ ∀ (m m' : M) (s s' : { x // x ∈ S }), lift' S g h (mk m s + mk m' s') = lift' S g h (mk m s) + lift' S g h (mk m' s')
intro a a' b b'
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type ?u.459206
M'' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
f : M →ₗ[R] M'
g✝ g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : { x // x ∈ S }), IsUnit (↑(algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : { x // x ∈ S }
⊢ ↑↑(IsUnit.unit (_ : IsUnit (↑(algebraMap R (Module.End R M'')) ↑((a, b).snd * (a', b').snd))))⁻¹
      (↑g ((a', b').snd • (a, b).fst + (a, b).snd • (a', b').fst)) =
    ↑↑(IsUnit.unit (_ : IsUnit (↑(algebraMap R (Module.End R M'')) ↑b)))⁻¹ (↑g a) +
      ↑↑(IsUnit.unit (_ : IsUnit (↑(algebraMap R (Module.End R M'')) ↑b')))⁻¹ (↑g a')
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type ?u.459206
M'' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
f : M →ₗ[R] M'
g✝ g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : { x // x ∈ S }), IsUnit (↑(algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : { x // x ∈ S }
⊢ lift' S g h (mk a b + mk a' b') = lift' S g h (mk a b) + lift' S g h (mk a' b')
erw [LocalizedModule.lift'_mk, LocalizedModule.lift'_mk, LocalizedModule.lift'_mk]
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type ?u.459206
M'' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
f : M →ₗ[R] M'
g✝ g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : { x // x ∈ S }), IsUnit (↑(algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : { x // x ∈ S }
⊢ ↑g ((a', b').snd • (a, b).fst) + ↑g ((a, b).snd • (a', b').fst) =
    ↑↑(IsUnit.unit (_ : IsUnit (↑(algebraMap R (Module.End R M'')) ↑b)))⁻¹ (↑g (↑((a, b).snd * (a', b').snd) • a)) +
      ↑↑(IsUnit.unit (_ : IsUnit (↑(algebraMap R (Module.End R M'')) ↑b')))⁻¹ (↑((a, b).snd * (a', b').snd) • ↑g a')
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type ?u.459206
M'' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
f : M →ₗ[R] M'
g✝ g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : { x // x ∈ S }), IsUnit (↑(algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : { x // x ∈ S }
⊢ ↑↑(IsUnit.unit (_ : IsUnit (↑(algebraMap R (Module.End R M'')) ↑((a, b).snd * (a', b').snd))))⁻¹
      (↑g ((a', b').snd • (a, b).fst + (a, b).snd • (a', b').fst)) =
    ↑↑(IsUnit.unit (_ : IsUnit (↑(algebraMap R (Module.End R M'')) ↑b)))⁻¹ (↑g a) +
      ↑↑(IsUnit.unit (_ : IsUnit (↑(algebraMap R (Module.End R M'')) ↑b')))⁻¹ (↑g a')
erw [map_add, Module.End_algebraMap_isUnit_inv_apply_eq_iff, smul_add, ← map_smul,
  ← map_smul, ← map_smul]
case e_a
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type ?u.459206
M'' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
f : M →ₗ[R] M'
g✝ g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : { x // x ∈ S }), IsUnit (↑(algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : { x // x ∈ S }
⊢ ↑↑(IsUnit.unit (_ : IsUnit (↑(algebraMap R (Module.End R M'')) ↑b)))⁻¹ (↑g (↑((a, b).snd * (a', b').snd) • a)) =
    ↑g ((a', b').snd • (a, b).fst)

case e_a
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type ?u.459206
M'' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
f : M →ₗ[R] M'
g✝ g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : { x // x ∈ S }), IsUnit (↑(algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : { x // x ∈ S }
⊢ ↑↑(IsUnit.unit (_ : IsUnit (↑(algebraMap R (Module.End R M'')) ↑b')))⁻¹ (↑((a, b).snd * (a', b').snd) • ↑g a') =
    ↑g ((a, b).snd • (a', b').fst)
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type ?u.459206
M'' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
f : M →ₗ[R] M'
g✝ g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : { x // x ∈ S }), IsUnit (↑(algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : { x // x ∈ S }
⊢ ↑g ((a', b').snd • (a, b).fst) + ↑g ((a, b).snd • (a', b').fst) =
    ↑↑(IsUnit.unit (_ : IsUnit (↑(algebraMap R (Module.End R M'')) ↑b)))⁻¹ (↑g (↑((a, b).snd * (a', b').snd) • a)) +
      ↑↑(IsUnit.unit (_ : IsUnit (↑(algebraMap R (Module.End R M'')) ↑b')))⁻¹ (↑((a, b).snd * (a', b').snd) • ↑g a')
congr 1 <;> symm
case e_a
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type ?u.459206
M'' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
f : M →ₗ[R] M'
g✝ g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : { x // x ∈ S }), IsUnit (↑(algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : { x // x ∈ S }
⊢ ↑g (↑(a, b).snd • ↑(a', b').snd • a) = ↑g (↑b • (a', b').snd • (a, b).fst)
case e_a
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type ?u.459206
M'' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
f : M →ₗ[R] M'
g✝ g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : { x // x ∈ S }), IsUnit (↑(algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : { x // x ∈ S }
⊢ ↑↑(IsUnit.unit (_ : IsUnit (↑(algebraMap R (Module.End R M'')) ↑b)))⁻¹ (↑g (↑((a, b).snd * (a', b').snd) • a)) =
    ↑g ((a', b').snd • (a, b).fst)
erw [Module.End_algebraMap_isUnit_inv_apply_eq_iff, mul_smul, ← map_smul]
no goals
case e_a
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type ?u.459206
M'' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
f : M →ₗ[R] M'
g✝ g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : { x // x ∈ S }), IsUnit (↑(algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : { x // x ∈ S }
⊢ ↑g (↑(a, b).snd • ↑(a', b').snd • a) = ↑g (↑b • (a', b').snd • (a, b).fst)
rfl
case e_a
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type ?u.459206
M'' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
f : M →ₗ[R] M'
g✝ g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : { x // x ∈ S }), IsUnit (↑(algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : { x // x ∈ S }
⊢ ↑↑(IsUnit.unit (_ : IsUnit (↑(algebraMap R (Module.End R M'')) ↑b')))⁻¹ ((↑b * ↑b') • ↑g a') = ↑g (b • a')
case e_a
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type ?u.459206
M'' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
f : M →ₗ[R] M'
g✝ g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : { x // x ∈ S }), IsUnit (↑(algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : { x // x ∈ S }
⊢ ↑↑(IsUnit.unit (_ : IsUnit (↑(algebraMap R (Module.End R M'')) ↑b')))⁻¹ (↑((a, b).snd * (a', b').snd) • ↑g a') =
    ↑g ((a, b).snd • (a', b').fst)
dsimp
case e_a
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type ?u.459206
M'' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
f : M →ₗ[R] M'
g✝ g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : { x // x ∈ S }), IsUnit (↑(algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : { x // x ∈ S }
⊢ ↑b' • ↑g (↑b • a') = ↑b' • ↑g (b • a')
case e_a
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type ?u.459206
M'' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
f : M →ₗ[R] M'
g✝ g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : { x // x ∈ S }), IsUnit (↑(algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : { x // x ∈ S }
⊢ ↑↑(IsUnit.unit (_ : IsUnit (↑(algebraMap R (Module.End R M'')) ↑b')))⁻¹ ((↑b * ↑b') • ↑g a') = ↑g (b • a')
erw [Module.End_algebraMap_isUnit_inv_apply_eq_iff, mul_comm, mul_smul, ← map_smul]
no goals
case e_a
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type ?u.459206
M'' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
f : M →ₗ[R] M'
g✝ g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : { x // x ∈ S }), IsUnit (↑(algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : { x // x ∈ S }
⊢ ↑b' • ↑g (↑b • a') = ↑b' • ↑g (b • a')
rfl