𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.3387427
inst✝⁶ : IsROrC 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
dec_E : DecidableEq E
E' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E'
f : E →L[𝕜] E'
v : E'
⊢ ∀ (x : E), ‖↑(↑(↑toSesqForm f) v) x‖ ≤ ‖f‖ * ‖v‖ * ‖x‖
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.3387427
inst✝⁶ : IsROrC 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
dec_E : DecidableEq E
E' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E'
f : E →L[𝕜] E'
v : E'
⊢ ‖↑(↑toSesqForm f) v‖ ≤ ‖f‖ * ‖v‖
refine' op_norm_le_bound _ (mul_nonneg (norm_nonneg _) (norm_nonneg _)) _
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.3387427
inst✝⁶ : IsROrC 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
dec_E : DecidableEq E
E' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E'
f : E →L[𝕜] E'
v : E'
x : E
⊢ ‖↑(↑(↑toSesqForm f) v) x‖ ≤ ‖f‖ * ‖v‖ * ‖x‖
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.3387427
inst✝⁶ : IsROrC 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
dec_E : DecidableEq E
E' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E'
f : E →L[𝕜] E'
v : E'
⊢ ∀ (x : E), ‖↑(↑(↑toSesqForm f) v) x‖ ≤ ‖f‖ * ‖v‖ * ‖x‖
intro x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.3387427
inst✝⁶ : IsROrC 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
dec_E : DecidableEq E
E' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E'
f : E →L[𝕜] E'
v : E'
x : E
h₁ : ‖↑f x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖
⊢ ‖↑(↑(↑toSesqForm f) v) x‖ ≤ ‖f‖ * ‖v‖ * ‖x‖
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.3387427
inst✝⁶ : IsROrC 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
dec_E : DecidableEq E
E' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E'
f : E →L[𝕜] E'
v : E'
x : E
⊢ ‖↑(↑(↑toSesqForm f) v) x‖ ≤ ‖f‖ * ‖v‖ * ‖x‖
have h₁ : ‖f x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖ := le_op_norm _ _
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.3387427
inst✝⁶ : IsROrC 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
dec_E : DecidableEq E
E' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E'
f : E →L[𝕜] E'
v : E'
x : E
h₁ : ‖↑f x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖
h₂ : ‖inner v (↑f x)‖ ≤ ‖v‖ * ‖↑f x‖
⊢ ‖↑(↑(↑toSesqForm f) v) x‖ ≤ ‖f‖ * ‖v‖ * ‖x‖
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.3387427
inst✝⁶ : IsROrC 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
dec_E : DecidableEq E
E' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E'
f : E →L[𝕜] E'
v : E'
x : E
h₁ : ‖↑f x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖
⊢ ‖↑(↑(↑toSesqForm f) v) x‖ ≤ ‖f‖ * ‖v‖ * ‖x‖
have h₂ := @norm_inner_le_norm 𝕜 E' _ _ _ v (f x)
no goals
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.3387427
inst✝⁶ : IsROrC 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
dec_E : DecidableEq E
E' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E'
f : E →L[𝕜] E'
v : E'
x : E
h₁ : ‖↑f x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖
h₂ : ‖inner v (↑f x)‖ ≤ ‖v‖ * ‖↑f x‖
⊢ ‖↑(↑(↑toSesqForm f) v) x‖ ≤ ‖f‖ * ‖v‖ * ‖x‖
calc
  ‖⟪v, f x⟫‖ ≤ ‖v‖ * ‖f x‖ := h₂
  _ ≤ ‖v‖ * (‖f‖ * ‖x‖) := (mul_le_mul_of_nonneg_left h₁ (norm_nonneg v))
  _ = ‖f‖ * ‖v‖ * ‖x‖ := by ring
no goals
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.3387427
inst✝⁶ : IsROrC 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
dec_E : DecidableEq E
E' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E'
f : E →L[𝕜] E'
v : E'
x : E
h₁ : ‖↑f x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖
h₂ : ‖inner v (↑f x)‖ ≤ ‖v‖ * ‖↑f x‖
⊢ ‖v‖ * (‖f‖ * ‖x‖) = ‖f‖ * ‖v‖ * ‖x‖
ring