R : Type u_2
R₁ : Type ?u.172702
R₂ : Type ?u.172705
R₃ : Type ?u.172708
R₄ : Type ?u.172711
S : Type ?u.172714
K : Type ?u.172717
K₂ : Type ?u.172720
M : Type u_1
M' : Type ?u.172726
M₁ : Type ?u.172729
M₂ : Type ?u.172732
M₃ : Type ?u.172735
M₄ : Type ?u.172738
N : Type ?u.172741
N₂ : Type ?u.172744
ι : Type ?u.172747
V : Type ?u.172750
V₂ : Type ?u.172753
inst✝¹⁷ : Semiring R
inst✝¹⁶ : Semiring R₂
inst✝¹⁵ : Semiring R₃
inst✝¹⁴ : Semiring R₄
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid M₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M₁
inst✝⁶ : Module R₂ M₂
inst✝⁵ : Module R₃ M₃
inst✝⁴ : Module R₄ M₄
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₂₄ : R₂ →+* R₄
σ₁₄ : R →+* R₄
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
f' : M →ₗ[R] M
h : Surjective ↑f'
n : ℕ
⊢ Surjective ↑(comp (f' ^ n) f')
R : Type u_2
R₁ : Type ?u.172702
R₂ : Type ?u.172705
R₃ : Type ?u.172708
R₄ : Type ?u.172711
S : Type ?u.172714
K : Type ?u.172717
K₂ : Type ?u.172720
M : Type u_1
M' : Type ?u.172726
M₁ : Type ?u.172729
M₂ : Type ?u.172732
M₃ : Type ?u.172735
M₄ : Type ?u.172738
N : Type ?u.172741
N₂ : Type ?u.172744
ι : Type ?u.172747
V : Type ?u.172750
V₂ : Type ?u.172753
inst✝¹⁷ : Semiring R
inst✝¹⁶ : Semiring R₂
inst✝¹⁵ : Semiring R₃
inst✝¹⁴ : Semiring R₄
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid M₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M₁
inst✝⁶ : Module R₂ M₂
inst✝⁵ : Module R₃ M₃
inst✝⁴ : Module R₄ M₄
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₂₄ : R₂ →+* R₄
σ₁₄ : R →+* R₄
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
f' : M →ₗ[R] M
h : Surjective ↑f'
n : ℕ
⊢ Surjective ↑(f' ^ (n + 1))
rw [iterate_succ]
no goals
R : Type u_2
R₁ : Type ?u.172702
R₂ : Type ?u.172705
R₃ : Type ?u.172708
R₄ : Type ?u.172711
S : Type ?u.172714
K : Type ?u.172717
K₂ : Type ?u.172720
M : Type u_1
M' : Type ?u.172726
M₁ : Type ?u.172729
M₂ : Type ?u.172732
M₃ : Type ?u.172735
M₄ : Type ?u.172738
N : Type ?u.172741
N₂ : Type ?u.172744
ι : Type ?u.172747
V : Type ?u.172750
V₂ : Type ?u.172753
inst✝¹⁷ : Semiring R
inst✝¹⁶ : Semiring R₂
inst✝¹⁵ : Semiring R₃
inst✝¹⁴ : Semiring R₄
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid M₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M₁
inst✝⁶ : Module R₂ M₂
inst✝⁵ : Module R₃ M₃
inst✝⁴ : Module R₄ M₄
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₂₄ : R₂ →+* R₄
σ₁₄ : R →+* R₄
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
f' : M →ₗ[R] M
h : Surjective ↑f'
n : ℕ
⊢ Surjective ↑(comp (f' ^ n) f')
exact (iterate_surjective h n).comp h