α : Type u_1
β : Type ?u.196977
E : Type ?u.196980
F : Type u_3
G : Type ?u.196986
E' : Type u_2
F' : Type ?u.196992
G' : Type ?u.196995
E'' : Type ?u.196998
F'' : Type ?u.197001
G'' : Type ?u.197004
R : Type ?u.197007
R' : Type ?u.197010
𝕜 : Type ?u.197013
𝕜' : Type ?u.197016
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
g₁ g₂ : α → F'
h₁ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₁ x‖ ≤ c₁ * ‖g x‖
h₂ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₂ x‖ ≤ c₂ * ‖g x‖
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₁ x + f₂ x‖ ≤ (c₁ + c₂) * ‖g x‖
α : Type u_1
β : Type ?u.196977
E : Type ?u.196980
F : Type u_3
G : Type ?u.196986
E' : Type u_2
F' : Type ?u.196992
G' : Type ?u.196995
E'' : Type ?u.196998
F'' : Type ?u.197001
G'' : Type ?u.197004
R : Type ?u.197007
R' : Type ?u.197010
𝕜 : Type ?u.197013
𝕜' : Type ?u.197016
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
g₁ g₂ : α → F'
h₁ : IsBigOWith c₁ l f₁ g
h₂ : IsBigOWith c₂ l f₂ g
⊢ IsBigOWith (c₁ + c₂) l (fun x => f₁ x + f₂ x) g
rw [IsBigOWith_def] at *
no goals
α : Type u_1
β : Type ?u.196977
E : Type ?u.196980
F : Type u_3
G : Type ?u.196986
E' : Type u_2
F' : Type ?u.196992
G' : Type ?u.196995
E'' : Type ?u.196998
F'' : Type ?u.197001
G'' : Type ?u.197004
R : Type ?u.197007
R' : Type ?u.197010
𝕜 : Type ?u.197013
𝕜' : Type ?u.197016
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
g₁ g₂ : α → F'
h₁ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₁ x‖ ≤ c₁ * ‖g x‖
h₂ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₂ x‖ ≤ c₂ * ‖g x‖
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₁ x + f₂ x‖ ≤ (c₁ + c₂) * ‖g x‖
filter_upwards [h₁,
  h₂]with x hx₁ hx₂ using calc
    ‖f₁ x + f₂ x‖ ≤ c₁ * ‖g x‖ + c₂ * ‖g x‖ := norm_add_le_of_le hx₁ hx₂
    _ = (c₁ + c₂) * ‖g x‖ := (add_mul _ _ _).symm