𝕜 : Type ?u.200626
E : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z✝ : E
δ ε : ℝ
x z : E
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ dist x (a • x + b • z) = b * dist x z ∧ dist (a • x + b • z) z = a * dist x z
𝕜 : Type ?u.200626
E : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z✝ : E
δ ε : ℝ
x z : E
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ ∃ y, dist x y = b * dist x z ∧ dist y z = a * dist x z
use a • x + b • z
𝕜 : Type ?u.200626
E : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z✝ : E
δ ε : ℝ
x z : E
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ dist (1 • x) (a • x + b • z) = b * dist x z ∧ dist (a • x + b • z) z = a * dist x z
𝕜 : Type ?u.200626
E : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z✝ : E
δ ε : ℝ
x z : E
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ dist x (a • x + b • z) = b * dist x z ∧ dist (a • x + b • z) z = a * dist x z
nth_rw 1 [← one_smul ℝ x]
𝕜 : Type ?u.200626
E : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z✝ : E
δ ε : ℝ
x z : E
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ dist (1 • x) (a • x + b • z) = b * dist x z ∧ dist (a • x + b • z) (1 • z) = a * dist x z
𝕜 : Type ?u.200626
E : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z✝ : E
δ ε : ℝ
x z : E
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ dist (1 • x) (a • x + b • z) = b * dist x z ∧ dist (a • x + b • z) z = a * dist x z
nth_rw 4 [← one_smul ℝ z]
no goals
𝕜 : Type ?u.200626
E : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z✝ : E
δ ε : ℝ
x z : E
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ dist (1 • x) (a • x + b • z) = b * dist x z ∧ dist (a • x + b • z) (1 • z) = a * dist x z
simp [dist_eq_norm, ← hab, add_smul, ← smul_sub, norm_smul_of_nonneg, ha, hb]