α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
σ : Perm α
hσ : σ ^ p ^ n = 1
⊢ p ∣ sum (cycleType σ)

α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
σ : Perm α
hσ : σ ^ p ^ n = 1
⊢ Finset.card (support σᶜ) ≤ Fintype.card α
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
σ : Perm α
hσ : σ ^ p ^ n = 1
⊢ Finset.card (support σᶜ) ≡ Fintype.card α [MOD p]
rw [Nat.modEq_iff_dvd', ← Finset.card_compl, compl_compl, ← sum_cycleType]
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
σ : Perm α
hσ : σ ^ p ^ n = 1
k : ℕ
hk : k ∈ cycleType σ
⊢ p ∣ k
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
σ : Perm α
hσ : σ ^ p ^ n = 1
⊢ p ∣ sum (cycleType σ)
refine Multiset.dvd_sum fun k hk => ?_
case intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
σ : Perm α
hσ : σ ^ p ^ n = 1
k : ℕ
hk : k ∈ cycleType σ
m : ℕ
hm : orderOf σ = p ^ m
⊢ p ∣ k
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
σ : Perm α
hσ : σ ^ p ^ n = 1
k : ℕ
hk : k ∈ cycleType σ
⊢ p ∣ k
obtain ⟨m, -, hm⟩ := (Nat.dvd_prime_pow hp.out).mp (orderOf_dvd_of_pow_eq_one hσ)
case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
σ : Perm α
hσ : σ ^ p ^ n = 1
m : ℕ
hm : orderOf σ = p ^ m
l : ℕ
hk : p ^ l ∈ cycleType σ
⊢ p ∣ p ^ l
case intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
σ : Perm α
hσ : σ ^ p ^ n = 1
k : ℕ
hk : k ∈ cycleType σ
m : ℕ
hm : orderOf σ = p ^ m
⊢ p ∣ k
obtain ⟨l, -, rfl⟩ := (Nat.dvd_prime_pow hp.out).mp
  ((congr_arg _ hm).mp (dvd_of_mem_cycleType hk))
no goals
case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
σ : Perm α
hσ : σ ^ p ^ n = 1
m : ℕ
hm : orderOf σ = p ^ m
l : ℕ
hk : p ^ l ∈ cycleType σ
⊢ p ∣ p ^ l
exact dvd_pow_self _ fun h => (one_lt_of_mem_cycleType hk).ne <| by rw [h, pow_zero]
no goals
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
σ : Perm α
hσ : σ ^ p ^ n = 1
m : ℕ
hm : orderOf σ = p ^ m
l : ℕ
hk : p ^ l ∈ cycleType σ
h : l = 0
⊢ 1 = p ^ l
rw [h, pow_zero]
no goals
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
σ : Perm α
hσ : σ ^ p ^ n = 1
⊢ Finset.card (support σᶜ) ≤ Fintype.card α
exact Finset.card_le_univ _