case a
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
dec : DecidableEq ι
inst✝ : AddCommMonoid γ
S : ι → AddSubmonoid γ
⊢ iSup S ≤ AddMonoidHom.mrange (sumAddHom fun i => AddSubmonoid.subtype (S i))

case a
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
dec : DecidableEq ι
inst✝ : AddCommMonoid γ
S : ι → AddSubmonoid γ
⊢ AddMonoidHom.mrange (sumAddHom fun i => AddSubmonoid.subtype (S i)) ≤ iSup S
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
dec : DecidableEq ι
inst✝ : AddCommMonoid γ
S : ι → AddSubmonoid γ
⊢ iSup S = AddMonoidHom.mrange (sumAddHom fun i => AddSubmonoid.subtype (S i))
apply le_antisymm
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
dec : DecidableEq ι
inst✝ : AddCommMonoid γ
S : ι → AddSubmonoid γ
⊢ ∀ (i : ι), S i ≤ AddMonoidHom.mrange (sumAddHom fun i => AddSubmonoid.subtype (S i))
case a
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
dec : DecidableEq ι
inst✝ : AddCommMonoid γ
S : ι → AddSubmonoid γ
⊢ iSup S ≤ AddMonoidHom.mrange (sumAddHom fun i => AddSubmonoid.subtype (S i))
apply iSup_le _
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
dec : DecidableEq ι
inst✝ : AddCommMonoid γ
S : ι → AddSubmonoid γ
i : ι
y : γ
hy : y ∈ S i
⊢ y ∈ AddMonoidHom.mrange (sumAddHom fun i => AddSubmonoid.subtype (S i))
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
dec : DecidableEq ι
inst✝ : AddCommMonoid γ
S : ι → AddSubmonoid γ
⊢ ∀ (i : ι), S i ≤ AddMonoidHom.mrange (sumAddHom fun i => AddSubmonoid.subtype (S i))
intro i y hy
no goals
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
dec : DecidableEq ι
inst✝ : AddCommMonoid γ
S : ι → AddSubmonoid γ
i : ι
y : γ
hy : y ∈ S i
⊢ y ∈ AddMonoidHom.mrange (sumAddHom fun i => AddSubmonoid.subtype (S i))
exact ⟨Dfinsupp.single i ⟨y, hy⟩, Dfinsupp.sumAddHom_single _ _ _⟩
case a.intro
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
dec : DecidableEq ι
inst✝ : AddCommMonoid γ
S : ι → AddSubmonoid γ
v : Π₀ (i : ι), { x // x ∈ S i }
⊢ ↑(sumAddHom fun i => AddSubmonoid.subtype (S i)) v ∈ iSup S
case a
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
dec : DecidableEq ι
inst✝ : AddCommMonoid γ
S : ι → AddSubmonoid γ
⊢ AddMonoidHom.mrange (sumAddHom fun i => AddSubmonoid.subtype (S i)) ≤ iSup S
rintro x ⟨v, rfl⟩
no goals
case a.intro
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
dec : DecidableEq ι
inst✝ : AddCommMonoid γ
S : ι → AddSubmonoid γ
v : Π₀ (i : ι), { x // x ∈ S i }
⊢ ↑(sumAddHom fun i => AddSubmonoid.subtype (S i)) v ∈ iSup S
exact dfinsupp_sumAddHom_mem _ v _ fun i _ => (le_iSup S i : S i ≤ _) (v i).prop