case refine'_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
π : α → Type u_1
inst✝ : (a : α) → Preorder (π a)
s : Set ((a : α) → π a)
f : (a : α) → π a
H : IsLUB s f
a : α
b : π a
hb : b ∈ upperBounds (eval a '' s)
⊢ f a ≤ b

case refine'_2
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
π : α → Type u_1
inst✝ : (a : α) → Preorder (π a)
s : Set ((a : α) → π a)
f : (a : α) → π a
H : ∀ (a : α), IsLUB (eval a '' s) (f a)
⊢ f ∈ upperBounds s

case refine'_3
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
π : α → Type u_1
inst✝ : (a : α) → Preorder (π a)
s : Set ((a : α) → π a)
f : (a : α) → π a
H : ∀ (a : α), IsLUB (eval a '' s) (f a)
⊢ f ∈ lowerBounds (upperBounds s)
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
π : α → Type u_1
inst✝ : (a : α) → Preorder (π a)
s : Set ((a : α) → π a)
f : (a : α) → π a
⊢ IsLUB s f ↔ ∀ (a : α), IsLUB (eval a '' s) (f a)
refine'
  ⟨fun H a => ⟨(Function.monotone_eval a).mem_upperBounds_image H.1, fun b hb => _⟩, fun H =>
    ⟨_, _⟩⟩
case refine'_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
π : α → Type u_1
inst✝ : (a : α) → Preorder (π a)
s : Set ((a : α) → π a)
f : (a : α) → π a
H : IsLUB s f
a : α
b : π a
hb : b ∈ upperBounds (eval a '' s)
⊢ update f a b ∈ upperBounds s
case refine'_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
π : α → Type u_1
inst✝ : (a : α) → Preorder (π a)
s : Set ((a : α) → π a)
f : (a : α) → π a
H : IsLUB s f
a : α
b : π a
hb : b ∈ upperBounds (eval a '' s)
⊢ f a ≤ b
suffices h : Function.update f a b ∈ upperBounds s from Function.update_same a b f ▸ H.2 h a
no goals
case refine'_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
π : α → Type u_1
inst✝ : (a : α) → Preorder (π a)
s : Set ((a : α) → π a)
f : (a : α) → π a
H : IsLUB s f
a : α
b : π a
hb : b ∈ upperBounds (eval a '' s)
⊢ update f a b ∈ upperBounds s
refine' fun g hg => le_update_iff.2 ⟨hb <| mem_image_of_mem _ hg, fun i _ => H.1 hg i⟩
no goals
case refine'_2
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
π : α → Type u_1
inst✝ : (a : α) → Preorder (π a)
s : Set ((a : α) → π a)
f : (a : α) → π a
H : ∀ (a : α), IsLUB (eval a '' s) (f a)
⊢ f ∈ upperBounds s
exact fun g hg a => (H a).1 (mem_image_of_mem _ hg)
no goals
case refine'_3
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
π : α → Type u_1
inst✝ : (a : α) → Preorder (π a)
s : Set ((a : α) → π a)
f : (a : α) → π a
H : ∀ (a : α), IsLUB (eval a '' s) (f a)
⊢ f ∈ lowerBounds (upperBounds s)
exact fun g hg a => (H a).2 ((Function.monotone_eval a).mem_upperBounds_image hg)