X : Type u_1
Y : Type ?u.2484781
E : Type u_3
R : Type ?u.2484787
inst✝⁹ : MeasurableSpace X
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : MeasurableSpace Y
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
f✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X 𝕜
g : X → E
hg : IntegrableOn g K
f : X → 𝕜
hf : ContinuousOn f K
hK : IsCompact K
⊢ Integrable fun a => ‖f a • g a‖

X : Type u_1
Y : Type ?u.2484781
E : Type u_3
R : Type ?u.2484787
inst✝⁹ : MeasurableSpace X
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : MeasurableSpace Y
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
f✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X 𝕜
g : X → E
hg : IntegrableOn g K
f : X → 𝕜
hf : ContinuousOn f K
hK : IsCompact K
⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => f x • g x) (Measure.restrict μ K)
X : Type u_1
Y : Type ?u.2484781
E : Type u_3
R : Type ?u.2484787
inst✝⁹ : MeasurableSpace X
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : MeasurableSpace Y
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
f✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X 𝕜
g : X → E
hg : IntegrableOn g K
f : X → 𝕜
hf : ContinuousOn f K
hK : IsCompact K
⊢ IntegrableOn (fun x => f x • g x) K
rw [IntegrableOn, ← integrable_norm_iff]
X : Type u_1
Y : Type ?u.2484781
E : Type u_3
R : Type ?u.2484787
inst✝⁹ : MeasurableSpace X
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : MeasurableSpace Y
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
f✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X 𝕜
g : X → E
hg : IntegrableOn g K
f : X → 𝕜
hf : ContinuousOn f K
hK : IsCompact K
⊢ Integrable fun a => ‖f a‖ * ‖g a‖
X : Type u_1
Y : Type ?u.2484781
E : Type u_3
R : Type ?u.2484787
inst✝⁹ : MeasurableSpace X
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : MeasurableSpace Y
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
f✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X 𝕜
g : X → E
hg : IntegrableOn g K
f : X → 𝕜
hf : ContinuousOn f K
hK : IsCompact K
⊢ Integrable fun a => ‖f a • g a‖
simp_rw [norm_smul]
X : Type u_1
Y : Type ?u.2484781
E : Type u_3
R : Type ?u.2484787
inst✝⁹ : MeasurableSpace X
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : MeasurableSpace Y
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
f✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X 𝕜
g : X → E
hg : IntegrableOn g K
f : X → 𝕜
hf : ContinuousOn f K
hK : IsCompact K
⊢ ContinuousOn (fun a => ‖f a‖) K
X : Type u_1
Y : Type ?u.2484781
E : Type u_3
R : Type ?u.2484787
inst✝⁹ : MeasurableSpace X
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : MeasurableSpace Y
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
f✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X 𝕜
g : X → E
hg : IntegrableOn g K
f : X → 𝕜
hf : ContinuousOn f K
hK : IsCompact K
⊢ Integrable fun a => ‖f a‖ * ‖g a‖
refine' IntegrableOn.continuousOn_mul _ hg.norm hK
no goals
X : Type u_1
Y : Type ?u.2484781
E : Type u_3
R : Type ?u.2484787
inst✝⁹ : MeasurableSpace X
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : MeasurableSpace Y
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
f✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X 𝕜
g : X → E
hg : IntegrableOn g K
f : X → 𝕜
hf : ContinuousOn f K
hK : IsCompact K
⊢ ContinuousOn (fun a => ‖f a‖) K
exact continuous_norm.comp_continuousOn hf
no goals
X : Type u_1
Y : Type ?u.2484781
E : Type u_3
R : Type ?u.2484787
inst✝⁹ : MeasurableSpace X
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : MeasurableSpace Y
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
f✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X 𝕜
g : X → E
hg : IntegrableOn g K
f : X → 𝕜
hf : ContinuousOn f K
hK : IsCompact K
⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => f x • g x) (Measure.restrict μ K)
exact (hf.aestronglyMeasurable hK.measurableSet).smul hg.1