case intro.intro.intro.intro
ι : Type u_2
α : ι → Type u_1
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), NeBot (f i)
I : Set ι
h : Set.pi I s ∈ pi f
i : ι
hi : i ∈ I
I' : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
htf : ∀ (i : ι), t i ∈ f i
hts : Set.pi I' t ⊆ Set.pi I s
⊢ s i ∈ f i
ι : Type u_2
α : ι → Type u_1
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), NeBot (f i)
I : Set ι
h : Set.pi I s ∈ pi f
i : ι
hi : i ∈ I
⊢ s i ∈ f i
rcases mem_pi.1 h with ⟨I', -, t, htf, hts⟩
case intro.intro.intro.intro
ι : Type u_2
α : ι → Type u_1
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), NeBot (f i)
I : Set ι
h : Set.pi I s ∈ pi f
i : ι
hi : i ∈ I
I' : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
htf : ∀ (i : ι), t i ∈ f i
hts : Set.pi I' t ⊆ Set.pi I s
x : α i
hx : x ∈ t i
⊢ x ∈ s i
case intro.intro.intro.intro
ι : Type u_2
α : ι → Type u_1
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), NeBot (f i)
I : Set ι
h : Set.pi I s ∈ pi f
i : ι
hi : i ∈ I
I' : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
htf : ∀ (i : ι), t i ∈ f i
hts : Set.pi I' t ⊆ Set.pi I s
⊢ s i ∈ f i
refine' mem_of_superset (htf i) fun x hx => _
case intro.intro.intro.intro
ι : Type u_2
α : ι → Type u_1
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), NeBot (f i)
I : Set ι
h : Set.pi I s ∈ pi f
i : ι
hi : i ∈ I
I' : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
htf : ∀ (i : ι), t i ∈ f i
hts : Set.pi I' t ⊆ Set.pi I s
x : α i
hx : x ∈ t i
this : ∀ (i : ι), Set.Nonempty (t i)
⊢ x ∈ s i
case intro.intro.intro.intro
ι : Type u_2
α : ι → Type u_1
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), NeBot (f i)
I : Set ι
h : Set.pi I s ∈ pi f
i : ι
hi : i ∈ I
I' : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
htf : ∀ (i : ι), t i ∈ f i
hts : Set.pi I' t ⊆ Set.pi I s
x : α i
hx : x ∈ t i
⊢ x ∈ s i
have : ∀ i, (t i).Nonempty := fun i => nonempty_of_mem (htf i)
case intro.intro.intro.intro
ι : Type u_2
α : ι → Type u_1
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), NeBot (f i)
I : Set ι
h : Set.pi I s ∈ pi f
i : ι
hi : i ∈ I
I' : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
htf : ∀ (i : ι), t i ∈ f i
hts : Set.pi I' t ⊆ Set.pi I s
x : α i
hx : x ∈ t i
g : (i : ι) → α i
hg : ∀ (i : ι), g i ∈ t i
⊢ x ∈ s i
case intro.intro.intro.intro
ι : Type u_2
α : ι → Type u_1
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), NeBot (f i)
I : Set ι
h : Set.pi I s ∈ pi f
i : ι
hi : i ∈ I
I' : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
htf : ∀ (i : ι), t i ∈ f i
hts : Set.pi I' t ⊆ Set.pi I s
x : α i
hx : x ∈ t i
this : ∀ (i : ι), Set.Nonempty (t i)
⊢ x ∈ s i
choose g hg using this
case intro.intro.intro.intro
ι : Type u_2
α : ι → Type u_1
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), NeBot (f i)
I : Set ι
h : Set.pi I s ∈ pi f
i : ι
hi : i ∈ I
I' : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
htf : ∀ (i : ι), t i ∈ f i
hts : Set.pi I' t ⊆ Set.pi I s
x : α i
hx : x ∈ t i
g : (i : ι) → α i
hg : ∀ (i : ι), g i ∈ t i
this : update g i x ∈ Set.pi I' t
⊢ x ∈ s i
case intro.intro.intro.intro
ι : Type u_2
α : ι → Type u_1
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), NeBot (f i)
I : Set ι
h : Set.pi I s ∈ pi f
i : ι
hi : i ∈ I
I' : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
htf : ∀ (i : ι), t i ∈ f i
hts : Set.pi I' t ⊆ Set.pi I s
x : α i
hx : x ∈ t i
g : (i : ι) → α i
hg : ∀ (i : ι), g i ∈ t i
⊢ x ∈ s i
have : update g i x ∈ I'.pi t := fun j _ => by
  rcases eq_or_ne j i with (rfl | hne) <;> simp [*]
no goals
case intro.intro.intro.intro
ι : Type u_2
α : ι → Type u_1
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), NeBot (f i)
I : Set ι
h : Set.pi I s ∈ pi f
i : ι
hi : i ∈ I
I' : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
htf : ∀ (i : ι), t i ∈ f i
hts : Set.pi I' t ⊆ Set.pi I s
x : α i
hx : x ∈ t i
g : (i : ι) → α i
hg : ∀ (i : ι), g i ∈ t i
this : update g i x ∈ Set.pi I' t
⊢ x ∈ s i
simpa using hts this i hi
no goals
ι : Type u_2
α : ι → Type u_1
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), NeBot (f i)
I : Set ι
h : Set.pi I s ∈ pi f
i : ι
hi : i ∈ I
I' : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
htf : ∀ (i : ι), t i ∈ f i
hts : Set.pi I' t ⊆ Set.pi I s
x : α i
hx : x ∈ t i
g : (i : ι) → α i
hg : ∀ (i : ι), g i ∈ t i
j : ι
x✝ : j ∈ I'
⊢ update g i x j ∈ t j
rcases eq_or_ne j i with (rfl | hne) <;> simp [*]