𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
⊢ (∃ u,
      u ∈ 𝓝[insert x univ] x ∧
        ∃ f', (∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x) ↔
    ∃ f', (∃ u, u ∈ 𝓝 x ∧ ∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivAt f (f' x) x) ∧ ContDiffAt 𝕜 (↑n) f' x
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
⊢ ContDiffAt 𝕜 (↑(n + 1)) f x ↔
    ∃ f', (∃ u, u ∈ 𝓝 x ∧ ∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivAt f (f' x) x) ∧ ContDiffAt 𝕜 (↑n) f' x
rw [← contDiffWithinAt_univ, contDiffWithinAt_succ_iff_hasFDerivWithinAt]
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
⊢ (∃ u, u ∈ 𝓝 x ∧ ∃ f', (∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x) ↔
    ∃ f', (∃ u, u ∈ 𝓝 x ∧ ∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivAt f (f' x) x) ∧ ContDiffAt 𝕜 (↑n) f' x
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
⊢ (∃ u,
      u ∈ 𝓝[insert x univ] x ∧
        ∃ f', (∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x) ↔
    ∃ f', (∃ u, u ∈ 𝓝 x ∧ ∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivAt f (f' x) x) ∧ ContDiffAt 𝕜 (↑n) f' x
simp only [nhdsWithin_univ, exists_prop, mem_univ, insert_eq_of_mem]
case mp
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
⊢ (∃ u, u ∈ 𝓝 x ∧ ∃ f', (∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x) →
    ∃ f', (∃ u, u ∈ 𝓝 x ∧ ∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivAt f (f' x) x) ∧ ContDiffAt 𝕜 (↑n) f' x

case mpr
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
⊢ (∃ f', (∃ u, u ∈ 𝓝 x ∧ ∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivAt f (f' x) x) ∧ ContDiffAt 𝕜 (↑n) f' x) →
    ∃ u, u ∈ 𝓝 x ∧ ∃ f', (∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
⊢ (∃ u, u ∈ 𝓝 x ∧ ∃ f', (∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x) ↔
    ∃ f', (∃ u, u ∈ 𝓝 x ∧ ∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivAt f (f' x) x) ∧ ContDiffAt 𝕜 (↑n) f' x
constructor
case mp.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
u : Set E
H : u ∈ 𝓝 x
f' : E → E →L[𝕜] F
h_fderiv : ∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
h_cont_diff : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x
⊢ ∃ f', (∃ u, u ∈ 𝓝 x ∧ ∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivAt f (f' x) x) ∧ ContDiffAt 𝕜 (↑n) f' x
case mp
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
⊢ (∃ u, u ∈ 𝓝 x ∧ ∃ f', (∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x) →
    ∃ f', (∃ u, u ∈ 𝓝 x ∧ ∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivAt f (f' x) x) ∧ ContDiffAt 𝕜 (↑n) f' x
rintro ⟨u, H, f', h_fderiv, h_cont_diff⟩
case mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
u : Set E
H : u ∈ 𝓝 x
f' : E → E →L[𝕜] F
h_fderiv : ∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
h_cont_diff : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x
t : Set E
htu : t ⊆ u
ht : IsOpen t
hxt : x ∈ t
⊢ ∃ f', (∃ u, u ∈ 𝓝 x ∧ ∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivAt f (f' x) x) ∧ ContDiffAt 𝕜 (↑n) f' x
case mp.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
u : Set E
H : u ∈ 𝓝 x
f' : E → E →L[𝕜] F
h_fderiv : ∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
h_cont_diff : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x
⊢ ∃ f', (∃ u, u ∈ 𝓝 x ∧ ∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivAt f (f' x) x) ∧ ContDiffAt 𝕜 (↑n) f' x
rcases mem_nhds_iff.mp H with ⟨t, htu, ht, hxt⟩
case mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
u : Set E
H : u ∈ 𝓝 x
f' : E → E →L[𝕜] F
h_fderiv : ∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
h_cont_diff : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x
t : Set E
htu : t ⊆ u
ht : IsOpen t
hxt : x ∈ t
⊢ t ∈ 𝓝 x ∧ ∀ (x : E), x ∈ t → HasFDerivAt f (f' x) x
case mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
u : Set E
H : u ∈ 𝓝 x
f' : E → E →L[𝕜] F
h_fderiv : ∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
h_cont_diff : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x
t : Set E
htu : t ⊆ u
ht : IsOpen t
hxt : x ∈ t
⊢ ∃ f', (∃ u, u ∈ 𝓝 x ∧ ∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivAt f (f' x) x) ∧ ContDiffAt 𝕜 (↑n) f' x
refine' ⟨f', ⟨t, _⟩, h_cont_diff.contDiffAt H⟩
case mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
u : Set E
H : u ∈ 𝓝 x
f' : E → E →L[𝕜] F
h_fderiv : ∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
h_cont_diff : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x
t : Set E
htu : t ⊆ u
ht : IsOpen t
hxt : x ∈ t
⊢ ∀ (x : E), x ∈ t → HasFDerivAt f (f' x) x
case mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
u : Set E
H : u ∈ 𝓝 x
f' : E → E →L[𝕜] F
h_fderiv : ∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
h_cont_diff : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x
t : Set E
htu : t ⊆ u
ht : IsOpen t
hxt : x ∈ t
⊢ t ∈ 𝓝 x ∧ ∀ (x : E), x ∈ t → HasFDerivAt f (f' x) x
refine' ⟨mem_nhds_iff.mpr ⟨t, Subset.rfl, ht, hxt⟩, _⟩
case mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
u : Set E
H : u ∈ 𝓝 x
f' : E → E →L[𝕜] F
h_fderiv : ∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
h_cont_diff : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x
t : Set E
htu : t ⊆ u
ht : IsOpen t
hxt : x ∈ t
y : E
hyt : y ∈ t
⊢ HasFDerivAt f (f' y) y
case mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
u : Set E
H : u ∈ 𝓝 x
f' : E → E →L[𝕜] F
h_fderiv : ∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
h_cont_diff : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x
t : Set E
htu : t ⊆ u
ht : IsOpen t
hxt : x ∈ t
⊢ ∀ (x : E), x ∈ t → HasFDerivAt f (f' x) x
intro y hyt
case mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
u : Set E
H : u ∈ 𝓝 x
f' : E → E →L[𝕜] F
h_fderiv : ∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
h_cont_diff : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x
t : Set E
htu : t ⊆ u
ht : IsOpen t
hxt : x ∈ t
y : E
hyt : y ∈ t
⊢ u ∈ 𝓝 y
case mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
u : Set E
H : u ∈ 𝓝 x
f' : E → E →L[𝕜] F
h_fderiv : ∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
h_cont_diff : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x
t : Set E
htu : t ⊆ u
ht : IsOpen t
hxt : x ∈ t
y : E
hyt : y ∈ t
⊢ HasFDerivAt f (f' y) y
refine' (h_fderiv y (htu hyt)).hasFDerivAt _
no goals
case mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
u : Set E
H : u ∈ 𝓝 x
f' : E → E →L[𝕜] F
h_fderiv : ∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
h_cont_diff : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x
t : Set E
htu : t ⊆ u
ht : IsOpen t
hxt : x ∈ t
y : E
hyt : y ∈ t
⊢ u ∈ 𝓝 y
exact mem_nhds_iff.mpr ⟨t, htu, ht, hyt⟩
case mpr.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
f' : E → E →L[𝕜] F
h_cont_diff : ContDiffAt 𝕜 (↑n) f' x
u : Set E
H : u ∈ 𝓝 x
h_fderiv : ∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivAt f (f' x) x
⊢ ∃ u, u ∈ 𝓝 x ∧ ∃ f', (∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x
case mpr
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
⊢ (∃ f', (∃ u, u ∈ 𝓝 x ∧ ∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivAt f (f' x) x) ∧ ContDiffAt 𝕜 (↑n) f' x) →
    ∃ u, u ∈ 𝓝 x ∧ ∃ f', (∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x
rintro ⟨f', ⟨u, H, h_fderiv⟩, h_cont_diff⟩
case mpr.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
f' : E → E →L[𝕜] F
h_cont_diff : ContDiffAt 𝕜 (↑n) f' x
u : Set E
H : u ∈ 𝓝 x
h_fderiv : ∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivAt f (f' x) x
⊢ ∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
case mpr.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
f' : E → E →L[𝕜] F
h_cont_diff : ContDiffAt 𝕜 (↑n) f' x
u : Set E
H : u ∈ 𝓝 x
h_fderiv : ∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivAt f (f' x) x
⊢ ∃ u, u ∈ 𝓝 x ∧ ∃ f', (∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x
refine' ⟨u, H, f', _, h_cont_diff.contDiffWithinAt⟩
case mpr.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
f' : E → E →L[𝕜] F
h_cont_diff : ContDiffAt 𝕜 (↑n) f' x✝
u : Set E
H : u ∈ 𝓝 x✝
h_fderiv : ∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
hxu : x ∈ u
⊢ HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
case mpr.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
f' : E → E →L[𝕜] F
h_cont_diff : ContDiffAt 𝕜 (↑n) f' x
u : Set E
H : u ∈ 𝓝 x
h_fderiv : ∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivAt f (f' x) x
⊢ ∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
intro x hxu
no goals
case mpr.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
f' : E → E →L[𝕜] F
h_cont_diff : ContDiffAt 𝕜 (↑n) f' x✝
u : Set E
H : u ∈ 𝓝 x✝
h_fderiv : ∀ (x : E), x ∈ u → HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
hxu : x ∈ u
⊢ HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
exact (h_fderiv x hxu).hasFDerivWithinAt