𝕜 : Type ?u.381082
𝕜₂ : Type ?u.381085
𝕜₃ : Type ?u.381088
E : Type u_1
Eₗ : Type ?u.381094
F : Type u_2
Fₗ : Type ?u.381100
G : Type ?u.381103
Gₗ : Type ?u.381106
𝓕 : Type ?u.381109
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup F
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inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
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inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
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inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
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σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
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h : F →SL[σ₂₃] G
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f : E →L[ℝ] F
C : ℝ
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x : E
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⊢ ‖↑f x‖ ≤ C * ‖x‖
𝕜 : Type ?u.381082
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𝕜₃ : Type ?u.381088
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G : Type ?u.381103
Gₗ : Type ?u.381106
𝓕 : Type ?u.381109
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inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E →L[ℝ] F
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
hf : ∀ (x : E), ‖x‖ = 1 → ‖↑f x‖ ≤ C
⊢ ‖f‖ ≤ C
refine' op_norm_le_bound' f hC fun x hx => _
𝕜 : Type ?u.381082
𝕜₂ : Type ?u.381085
𝕜₃ : Type ?u.381088
E : Type u_1
Eₗ : Type ?u.381094
F : Type u_2
Fₗ : Type ?u.381100
G : Type ?u.381103
Gₗ : Type ?u.381106
𝓕 : Type ?u.381109
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup E
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x : E
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H₁ : ‖‖x‖⁻¹ • x‖ = 1
⊢ ‖↑f x‖ ≤ C * ‖x‖
𝕜 : Type ?u.381082
𝕜₂ : Type ?u.381085
𝕜₃ : Type ?u.381088
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G : Type ?u.381103
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𝓕 : Type ?u.381109
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x : E
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⊢ ‖↑f x‖ ≤ C * ‖x‖
have H₁ : ‖‖x‖⁻¹ • x‖ = 1 := by rw [norm_smul, norm_inv, norm_norm, inv_mul_cancel hx]
𝕜 : Type ?u.381082
𝕜₂ : Type ?u.381085
𝕜₃ : Type ?u.381088
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G : Type ?u.381103
Gₗ : Type ?u.381106
𝓕 : Type ?u.381109
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝² : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x✝ : E
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inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E →L[ℝ] F
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
hf : ∀ (x : E), ‖x‖ = 1 → ‖↑f x‖ ≤ C
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
H₁ : ‖‖x‖⁻¹ • x‖ = 1
H₂ : ‖↑f (‖x‖⁻¹ • x)‖ ≤ C
⊢ ‖↑f x‖ ≤ C * ‖x‖
𝕜 : Type ?u.381082
𝕜₂ : Type ?u.381085
𝕜₃ : Type ?u.381088
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Eₗ : Type ?u.381094
F : Type u_2
Fₗ : Type ?u.381100
G : Type ?u.381103
Gₗ : Type ?u.381106
𝓕 : Type ?u.381109
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
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inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
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inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
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h : F →SL[σ₂₃] G
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inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E →L[ℝ] F
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
hf : ∀ (x : E), ‖x‖ = 1 → ‖↑f x‖ ≤ C
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
H₁ : ‖‖x‖⁻¹ • x‖ = 1
⊢ ‖↑f x‖ ≤ C * ‖x‖
have H₂ := hf _ H₁
𝕜 : Type ?u.381082
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𝕜₃ : Type ?u.381088
E : Type u_1
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F : Type u_2
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G : Type ?u.381103
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𝓕 : Type ?u.381109
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inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
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inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
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h : F →SL[σ₂₃] G
x✝ : E
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inst✝ : NormedSpace ℝ F
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x : E
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H₁ : ‖‖x‖⁻¹ • x‖ = 1
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⊢ 0 < ‖x‖
𝕜 : Type ?u.381082
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𝕜₃ : Type ?u.381088
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inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
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hf : ∀ (x : E), ‖x‖ = 1 → ‖↑f x‖ ≤ C
x : E
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H₁ : ‖‖x‖⁻¹ • x‖ = 1
H₂ : ‖↑f (‖x‖⁻¹ • x)‖ ≤ C
⊢ ‖↑f x‖ ≤ C * ‖x‖
rwa [map_smul, norm_smul, norm_inv, norm_norm, ← div_eq_inv_mul, _root_.div_le_iff] at H₂
no goals
𝕜 : Type ?u.381082
𝕜₂ : Type ?u.381085
𝕜₃ : Type ?u.381088
E : Type u_1
Eₗ : Type ?u.381094
F : Type u_2
Fₗ : Type ?u.381100
G : Type ?u.381103
Gₗ : Type ?u.381106
𝓕 : Type ?u.381109
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
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inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
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inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
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inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
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inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝² : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
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inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E →L[ℝ] F
C : ℝ
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hf : ∀ (x : E), ‖x‖ = 1 → ‖↑f x‖ ≤ C
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
H₁ : ‖‖x‖⁻¹ • x‖ = 1
H₂ : ‖↑f x‖ / ‖x‖ ≤ C
⊢ 0 < ‖x‖
exact (norm_nonneg x).lt_of_ne' hx
no goals
𝕜 : Type ?u.381082
𝕜₂ : Type ?u.381085
𝕜₃ : Type ?u.381088
E : Type u_1
Eₗ : Type ?u.381094
F : Type u_2
Fₗ : Type ?u.381100
G : Type ?u.381103
Gₗ : Type ?u.381106
𝓕 : Type ?u.381109
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup F
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inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
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σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
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⊢ ‖‖x‖⁻¹ • x‖ = 1
rw [norm_smul, norm_inv, norm_norm, inv_mul_cancel hx]