case mp
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
M N : Submodule R A
m n : A
I : Submodule R A
⊢ 1 ≤ 1 / I → I ≤ 1

case mpr
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
M N : Submodule R A
m n : A
I : Submodule R A
⊢ I ≤ 1 → 1 ≤ 1 / I
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
M N : Submodule R A
m n : A
I : Submodule R A
⊢ 1 ≤ 1 / I ↔ I ≤ 1
constructor
case mp
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
M N : Submodule R A
m n : A
I : Submodule R A
hI : 1 ≤ 1 / I
⊢ I ≤ 1

case mpr
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
M N : Submodule R A
m n : A
I : Submodule R A
hI : I ≤ 1
⊢ 1 ≤ 1 / I
case mp
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
M N : Submodule R A
m n : A
I : Submodule R A
⊢ 1 ≤ 1 / I → I ≤ 1

case mpr
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
M N : Submodule R A
m n : A
I : Submodule R A
⊢ I ≤ 1 → 1 ≤ 1 / I
all_goals intro hI
case mpr
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
M N : Submodule R A
m n : A
I : Submodule R A
hI : I ≤ 1
⊢ 1 ≤ 1 / I
case mpr
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
M N : Submodule R A
m n : A
I : Submodule R A
⊢ I ≤ 1 → 1 ≤ 1 / I
intro hI
no goals
case mp
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
M N : Submodule R A
m n : A
I : Submodule R A
hI : 1 ≤ 1 / I
⊢ I ≤ 1
rwa [le_div_iff_mul_le, one_mul] at hI
no goals
case mpr
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
M N : Submodule R A
m n : A
I : Submodule R A
hI : I ≤ 1
⊢ 1 ≤ 1 / I
rwa [le_div_iff_mul_le, one_mul]