case a
K : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type ?u.100046
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
M : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
M' : Type v'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R M'
M₁ : Type v
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Nontrivial R
ι : Type w
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
⊢ lift (#ι) ≤ ?b

case a
K : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type ?u.100046
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
M : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
M' : Type v'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R M'
M₁ : Type v
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Nontrivial R
ι : Type w
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
⊢ ?b ≤ lift (Module.rank R M)

case b
K : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type ?u.100046
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
M : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
M' : Type v'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R M'
M₁ : Type v
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Nontrivial R
ι : Type w
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
⊢ Cardinal
K : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type ?u.100046
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
M : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
M' : Type v'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R M'
M₁ : Type v
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Nontrivial R
ι : Type w
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
⊢ lift (#ι) ≤ lift (Module.rank R M)
apply le_trans
no goals
case a
K : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type ?u.100046
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
M : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
M' : Type v'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R M'
M₁ : Type v
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Nontrivial R
ι : Type w
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
⊢ lift (#ι) ≤ ?b
exact Cardinal.lift_mk_le'.mpr ⟨(Equiv.ofInjective _ hv.injective).toEmbedding⟩
case a
K : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type ?u.100046
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
M : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
M' : Type v'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R M'
M₁ : Type v
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Nontrivial R
ι : Type w
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
⊢ (#↑(range v)) ≤ ⨆ (ι : { s // LinearIndependent R Subtype.val }), #↑↑ι
case a
K : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type ?u.100046
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
M : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
M' : Type v'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R M'
M₁ : Type v
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Nontrivial R
ι : Type w
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
⊢ lift (#↑(range v)) ≤ lift (Module.rank R M)
simp only [Cardinal.lift_le, Module.rank_def]
case a.a
K : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type ?u.100046
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
M : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
M' : Type v'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R M'
M₁ : Type v
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Nontrivial R
ι : Type w
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
⊢ (#↑(range v)) ≤ ?a.b✝

case a.a
K : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type ?u.100046
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
M : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
M' : Type v'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R M'
M₁ : Type v
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Nontrivial R
ι : Type w
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
⊢ ?a.b✝ ≤ ⨆ (ι : { s // LinearIndependent R Subtype.val }), #↑↑ι

case a.b
K : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type ?u.100046
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
M : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
M' : Type v'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R M'
M₁ : Type v
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Nontrivial R
ι : Type w
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
⊢ Cardinal
case a
K : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type ?u.100046
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
M : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
M' : Type v'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R M'
M₁ : Type v
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Nontrivial R
ι : Type w
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
⊢ (#↑(range v)) ≤ ⨆ (ι : { s // LinearIndependent R Subtype.val }), #↑↑ι
apply le_trans
case a.a
K : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type ?u.100046
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
M : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
M' : Type v'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R M'
M₁ : Type v
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Nontrivial R
ι : Type w
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
⊢ ?a.b✝ ≤ ⨆ (ι : { s // LinearIndependent R Subtype.val }), #↑↑ι

case a.a
K : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type ?u.100046
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
M : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
M' : Type v'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R M'
M₁ : Type v
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Nontrivial R
ι : Type w
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
⊢ (#↑(range v)) ≤ ?a.b✝

case a.b
K : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type ?u.100046
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
M : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
M' : Type v'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R M'
M₁ : Type v
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Nontrivial R
ι : Type w
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
⊢ Cardinal
case a.a
K : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type ?u.100046
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
M : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
M' : Type v'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R M'
M₁ : Type v
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Nontrivial R
ι : Type w
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
⊢ (#↑(range v)) ≤ ?a.b✝

case a.a
K : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type ?u.100046
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
M : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
M' : Type v'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R M'
M₁ : Type v
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Nontrivial R
ι : Type w
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
⊢ ?a.b✝ ≤ ⨆ (ι : { s // LinearIndependent R Subtype.val }), #↑↑ι

case a.b
K : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type ?u.100046
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
M : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
M' : Type v'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R M'
M₁ : Type v
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Nontrivial R
ι : Type w
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
⊢ Cardinal
swap
no goals
case a.a
K : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type ?u.100046
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
M : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
M' : Type v'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R M'
M₁ : Type v
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Nontrivial R
ι : Type w
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
⊢ ?a.b✝ ≤ ⨆ (ι : { s // LinearIndependent R Subtype.val }), #↑↑ι
exact le_ciSup (Cardinal.bddAbove_range.{v, v} _) ⟨range v, hv.coe_range⟩
no goals
case a.a
K : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type ?u.100046
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
M : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
M' : Type v'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R M'
M₁ : Type v
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Nontrivial R
ι : Type w
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
⊢ (#↑(range v)) ≤ (#↑↑{ val := range v, property := (_ : LinearIndependent R Subtype.val) })
exact le_rfl