case a
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type ?u.53163
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : Module R M₁
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
f : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M
N₁ : Type ?u.55402
N₂ : Type ?u.55405
N : Type ?u.55408
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R N
g : N₁ →ₗ[R] N₂ →ₗ[R] N
h : IsTensorProduct f
x₁ : M₁
x₂ : M₂
⊢ ↑(equiv h) (↑(LinearEquiv.symm (equiv h)) (↑(↑f x₁) x₂)) = ↑(equiv h) (x₁ ⊗ₜ[R] x₂)
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type ?u.53163
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : Module R M₁
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
f : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M
N₁ : Type ?u.55402
N₂ : Type ?u.55405
N : Type ?u.55408
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R N
g : N₁ →ₗ[R] N₂ →ₗ[R] N
h : IsTensorProduct f
x₁ : M₁
x₂ : M₂
⊢ ↑(LinearEquiv.symm (equiv h)) (↑(↑f x₁) x₂) = x₁ ⊗ₜ[R] x₂
apply h.equiv.injective
case a
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type ?u.53163
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : Module R M₁
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
f : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M
N₁ : Type ?u.55402
N₂ : Type ?u.55405
N : Type ?u.55408
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R N
g : N₁ →ₗ[R] N₂ →ₗ[R] N
h : IsTensorProduct f
x₁ : M₁
x₂ : M₂
⊢ ↑(↑f x₁) x₂ = ↑(equiv h) (x₁ ⊗ₜ[R] x₂)
case a
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type ?u.53163
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : Module R M₁
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
f : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M
N₁ : Type ?u.55402
N₂ : Type ?u.55405
N : Type ?u.55408
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R N
g : N₁ →ₗ[R] N₂ →ₗ[R] N
h : IsTensorProduct f
x₁ : M₁
x₂ : M₂
⊢ ↑(equiv h) (↑(LinearEquiv.symm (equiv h)) (↑(↑f x₁) x₂)) = ↑(equiv h) (x₁ ⊗ₜ[R] x₂)
refine' (h.equiv.apply_symm_apply _).trans _
no goals
case a
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type ?u.53163
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : Module R M₁
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
f : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M
N₁ : Type ?u.55402
N₂ : Type ?u.55405
N : Type ?u.55408
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R N
g : N₁ →ₗ[R] N₂ →ₗ[R] N
h : IsTensorProduct f
x₁ : M₁
x₂ : M₂
⊢ ↑(↑f x₁) x₂ = ↑(equiv h) (x₁ ⊗ₜ[R] x₂)
simp