α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
⊢ borel α = MeasurableSpace.generateFrom S
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
⊢ borel α = MeasurableSpace.generateFrom {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
set S : Set (Set α) := { S | ∃ l ∈ s, ∃ u ∈ s, l < u ∧ Ico l u = S }
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
⊢ borel α ≤ MeasurableSpace.generateFrom S
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
⊢ borel α = MeasurableSpace.generateFrom S
refine' le_antisymm _ (generateFrom_Ico_mem_le_borel _ _)
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
⊢ borel α ≤ MeasurableSpace.generateFrom S
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
⊢ borel α ≤ MeasurableSpace.generateFrom S
letI : MeasurableSpace α := generateFrom S
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
⊢ MeasurableSpace.generateFrom (range Iio) ≤ MeasurableSpace.generateFrom S
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
⊢ borel α ≤ MeasurableSpace.generateFrom S
rw [borel_eq_generateFrom_Iio]
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α
⊢ MeasurableSet (Iio a)
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
⊢ MeasurableSpace.generateFrom (range Iio) ≤ MeasurableSpace.generateFrom S
refine' generateFrom_le (forall_range_iff.2 fun a => _)
case intro.intro.intro.intro.intro
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α
t : Set α
hts : t ⊆ s
hc : Set.Countable t
htd : Dense t
htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t
⊢ MeasurableSet (Iio a)
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α
⊢ MeasurableSet (Iio a)
rcases hd.exists_countable_dense_subset_bot_top with ⟨t, hts, hc, htd, htb, -⟩
case pos
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α
t : Set α
hts : t ⊆ s
hc : Set.Countable t
htd : Dense t
htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t
ha : ∀ (b : α), b < a → Set.Nonempty (Ioo b a)
⊢ MeasurableSet (Iio a)

case neg
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α
t : Set α
hts : t ⊆ s
hc : Set.Countable t
htd : Dense t
htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t
ha : ¬∀ (b : α), b < a → Set.Nonempty (Ioo b a)
⊢ MeasurableSet (Iio a)
case intro.intro.intro.intro.intro
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α
t : Set α
hts : t ⊆ s
hc : Set.Countable t
htd : Dense t
htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t
⊢ MeasurableSet (Iio a)
by_cases ha : ∀ b < a, (Ioo b a).Nonempty
case h.e'_3
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α
t : Set α
hts : t ⊆ s
hc : Set.Countable t
htd : Dense t
htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t
ha : ∀ (b : α), b < a → Set.Nonempty (Ioo b a)
⊢ Iio a = ⋃ (l : α) (_ : l ∈ t) (u : α) (_ : u ∈ t) (_ : l < u) (_ : u ≤ a), Ico l u

case pos
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α
t : Set α
hts : t ⊆ s
hc : Set.Countable t
htd : Dense t
htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t
ha : ∀ (b : α), b < a → Set.Nonempty (Ioo b a)
⊢ MeasurableSet (⋃ (l : α) (_ : l ∈ t) (u : α) (_ : u ∈ t) (_ : l < u) (_ : u ≤ a), Ico l u)
case pos
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α
t : Set α
hts : t ⊆ s
hc : Set.Countable t
htd : Dense t
htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t
ha : ∀ (b : α), b < a → Set.Nonempty (Ioo b a)
⊢ MeasurableSet (Iio a)
convert_to MeasurableSet (⋃ (l ∈ t) (u ∈ t) (_ : l < u) (_ : u ≤ a), Ico l u)
case h.e'_3.h
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α
t : Set α
hts : t ⊆ s
hc : Set.Countable t
htd : Dense t
htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t
ha : ∀ (b : α), b < a → Set.Nonempty (Ioo b a)
y : α
⊢ y ∈ Iio a ↔ y ∈ ⋃ (l : α) (_ : l ∈ t) (u : α) (_ : u ∈ t) (_ : l < u) (_ : u ≤ a), Ico l u
case h.e'_3
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α
t : Set α
hts : t ⊆ s
hc : Set.Countable t
htd : Dense t
htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t
ha : ∀ (b : α), b < a → Set.Nonempty (Ioo b a)
⊢ Iio a = ⋃ (l : α) (_ : l ∈ t) (u : α) (_ : u ∈ t) (_ : l < u) (_ : u ≤ a), Ico l u
ext y
case h.e'_3.h
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α
t : Set α
hts : t ⊆ s
hc : Set.Countable t
htd : Dense t
htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t
ha : ∀ (b : α), b < a → Set.Nonempty (Ioo b a)
y : α
⊢ y < a ↔ ∃ i h i_1 h h h, i ≤ y ∧ y < i_1
case h.e'_3.h
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α
t : Set α
hts : t ⊆ s
hc : Set.Countable t
htd : Dense t
htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t
ha : ∀ (b : α), b < a → Set.Nonempty (Ioo b a)
y : α
⊢ y ∈ Iio a ↔ y ∈ ⋃ (l : α) (_ : l ∈ t) (u : α) (_ : u ∈ t) (_ : l < u) (_ : u ≤ a), Ico l u
simp only [mem_iUnion, mem_Iio, mem_Ico]
case h.e'_3.h.mp
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α
t : Set α
hts : t ⊆ s
hc : Set.Countable t
htd : Dense t
htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t
ha : ∀ (b : α), b < a → Set.Nonempty (Ioo b a)
y : α
⊢ y < a → ∃ i h i_1 h h h, i ≤ y ∧ y < i_1

case h.e'_3.h.mpr
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α
t : Set α
hts : t ⊆ s
hc : Set.Countable t
htd : Dense t
htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t
ha : ∀ (b : α), b < a → Set.Nonempty (Ioo b a)
y : α
⊢ (∃ i h i_1 h h h, i ≤ y ∧ y < i_1) → y < a
case h.e'_3.h
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α
t : Set α
hts : t ⊆ s
hc : Set.Countable t
htd : Dense t
htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t
ha : ∀ (b : α), b < a → Set.Nonempty (Ioo b a)
y : α
⊢ y < a ↔ ∃ i h i_1 h h h, i ≤ y ∧ y < i_1
constructor
case h.e'_3.h.mp
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α
t : Set α
hts : t ⊆ s
hc : Set.Countable t
htd : Dense t
htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t
ha : ∀ (b : α), b < a → Set.Nonempty (Ioo b a)
y : α
hy : y < a
⊢ ∃ i h i_1 h h h, i ≤ y ∧ y < i_1
case h.e'_3.h.mp
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α
t : Set α
hts : t ⊆ s
hc : Set.Countable t
htd : Dense t
htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t
ha : ∀ (b : α), b < a → Set.Nonempty (Ioo b a)
y : α
⊢ y < a → ∃ i h i_1 h h h, i ≤ y ∧ y < i_1
intro hy
case h.e'_3.h.mp.intro.intro
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α
t : Set α
hts : t ⊆ s
hc : Set.Countable t
htd : Dense t
htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t
ha : ∀ (b : α), b < a → Set.Nonempty (Ioo b a)
y : α
hy : y < a
l : α
hlt : l ∈ t
hly : l ≤ y
⊢ ∃ i h i_1 h h h, i ≤ y ∧ y < i_1
case h.e'_3.h.mp
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α
t : Set α
hts : t ⊆ s
hc : Set.Countable t
htd : Dense t
htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t
ha : ∀ (b : α), b < a → Set.Nonempty (Ioo b a)
y : α
hy : y < a
⊢ ∃ i h i_1 h h h, i ≤ y ∧ y < i_1
rcases htd.exists_le' (fun b hb => htb _ hb (hbot b hb)) y with ⟨l, hlt, hly⟩
case h.e'_3.h.mp.intro.intro.intro.intro.intro
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t✝ u✝ : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α
t : Set α
hts : t ⊆ s
hc : Set.Countable t
htd : Dense t
htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t
ha : ∀ (b : α), b < a → Set.Nonempty (Ioo b a)
y : α
hy : y < a
l : α
hlt : l ∈ t
hly : l ≤ y
u : α
hut : u ∈ t
hyu : y < u
hua : u < a
⊢ ∃ i h i_1 h h h, i ≤ y ∧ y < i_1
case h.e'_3.h.mp.intro.intro
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α
t : Set α
hts : t ⊆ s
hc : Set.Countable t
htd : Dense t
htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t
ha : ∀ (b : α), b < a → Set.Nonempty (Ioo b a)
y : α
hy : y < a
l : α
hlt : l ∈ t
hly : l ≤ y
⊢ ∃ i h i_1 h h h, i ≤ y ∧ y < i_1
rcases htd.exists_mem_open isOpen_Ioo (ha y hy) with ⟨u, hut, hyu, hua⟩
no goals
case h.e'_3.h.mp.intro.intro.intro.intro.intro
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t✝ u✝ : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α
t : Set α
hts : t ⊆ s
hc : Set.Countable t
htd : Dense t
htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t
ha : ∀ (b : α), b < a → Set.Nonempty (Ioo b a)
y : α
hy : y < a
l : α
hlt : l ∈ t
hly : l ≤ y
u : α
hut : u ∈ t
hyu : y < u
hua : u < a
⊢ ∃ i h i_1 h h h, i ≤ y ∧ y < i_1
exact ⟨l, hlt, u, hut, hly.trans_lt hyu, hua.le, hly, hyu⟩
case h.e'_3.h.mpr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t✝ u✝ : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α
t : Set α
hts : t ⊆ s
hc : Set.Countable t
htd : Dense t
htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t
ha : ∀ (b : α), b < a → Set.Nonempty (Ioo b a)
y l u : α
hua : u ≤ a
hyu : y < u
⊢ y < a
case h.e'_3.h.mpr
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α
t : Set α
hts : t ⊆ s
hc : Set.Countable t
htd : Dense t
htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t
ha : ∀ (b : α), b < a → Set.Nonempty (Ioo b a)
y : α
⊢ (∃ i h i_1 h h h, i ≤ y ∧ y < i_1) → y < a
rintro ⟨l, -, u, -, -, hua, -, hyu⟩
no goals
case h.e'_3.h.mpr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t✝ u✝ : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α
t : Set α
hts : t ⊆ s
hc : Set.Countable t
htd : Dense t
htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t
ha : ∀ (b : α), b < a → Set.Nonempty (Ioo b a)
y l u : α
hua : u ≤ a
hyu : y < u
⊢ y < a
exact hyu.trans_le hua
case pos
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝¹ b✝ x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a✝ : α
t : Set α
hts : t ⊆ s
hc : Set.Countable t
htd : Dense t
htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t
ha✝ : ∀ (b : α), b < a✝ → Set.Nonempty (Ioo b a✝)
a : α
ha : a ∈ t
b : α
hb : b ∈ t
⊢ MeasurableSet (⋃ (_ : a < b) (_ : b ≤ a✝), Ico a b)
case pos
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α
t : Set α
hts : t ⊆ s
hc : Set.Countable t
htd : Dense t
htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t
ha : ∀ (b : α), b < a → Set.Nonempty (Ioo b a)
⊢ MeasurableSet (⋃ (l : α) (_ : l ∈ t) (u : α) (_ : u ∈ t) (_ : l < u) (_ : u ≤ a), Ico l u)
refine' MeasurableSet.biUnion hc fun a ha => MeasurableSet.biUnion hc fun b hb => _
case pos
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝¹ b✝ x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a✝ : α
t : Set α
hts : t ⊆ s
hc : Set.Countable t
htd : Dense t
htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t
ha✝ : ∀ (b : α), b < a✝ → Set.Nonempty (Ioo b a✝)
a : α
ha : a ∈ t
b : α
hb : b ∈ t
hab : a < b
x✝ : b ≤ a✝
⊢ MeasurableSet (Ico a b)
case pos
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝¹ b✝ x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a✝ : α
t : Set α
hts : t ⊆ s
hc : Set.Countable t
htd : Dense t
htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t
ha✝ : ∀ (b : α), b < a✝ → Set.Nonempty (Ioo b a✝)
a : α
ha : a ∈ t
b : α
hb : b ∈ t
⊢ MeasurableSet (⋃ (_ : a < b) (_ : b ≤ a✝), Ico a b)
refine' MeasurableSet.iUnion fun hab => MeasurableSet.iUnion fun _ => _
no goals
case pos
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝¹ b✝ x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a✝ : α
t : Set α
hts : t ⊆ s
hc : Set.Countable t
htd : Dense t
htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t
ha✝ : ∀ (b : α), b < a✝ → Set.Nonempty (Ioo b a✝)
a : α
ha : a ∈ t
b : α
hb : b ∈ t
hab : a < b
x✝ : b ≤ a✝
⊢ MeasurableSet (Ico a b)
exact .basic _ ⟨a, hts ha, b, hts hb, hab, mem_singleton _⟩
case neg
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α
t : Set α
hts : t ⊆ s
hc : Set.Countable t
htd : Dense t
htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t
ha : ∃ x h, Ioo x a = ∅
⊢ MeasurableSet (Iio a)
case neg
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α
t : Set α
hts : t ⊆ s
hc : Set.Countable t
htd : Dense t
htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t
ha : ¬∀ (b : α), b < a → Set.Nonempty (Ioo b a)
⊢ MeasurableSet (Iio a)
simp only [not_forall, not_nonempty_iff_eq_empty] at ha
case neg
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α
t : Set α
hts : t ⊆ s
hc : Set.Countable t
htd : Dense t
htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t
ha : a ∈ s
⊢ MeasurableSet (Iio a)
case neg
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α
t : Set α
hts : t ⊆ s
hc : Set.Countable t
htd : Dense t
htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t
ha : ∃ x h, Ioo x a = ∅
⊢ MeasurableSet (Iio a)
replace ha : a ∈ s := hIoo ha.choose a ha.choose_spec.fst ha.choose_spec.snd
case h.e'_3
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α
t : Set α
hts : t ⊆ s
hc : Set.Countable t
htd : Dense t
htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t
ha : a ∈ s
⊢ Iio a = ⋃ (l : α) (_ : l ∈ t) (_ : l < a), Ico l a

case neg
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α
t : Set α
hts : t ⊆ s
hc : Set.Countable t
htd : Dense t
htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t
ha : a ∈ s
⊢ MeasurableSet (⋃ (l : α) (_ : l ∈ t) (_ : l < a), Ico l a)
case neg
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α
t : Set α
hts : t ⊆ s
hc : Set.Countable t
htd : Dense t
htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t
ha : a ∈ s
⊢ MeasurableSet (Iio a)
convert_to MeasurableSet (⋃ (l ∈ t) (_ : l < a), Ico l a)
case h.e'_3
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α
t : Set α
hts : t ⊆ s
hc : Set.Countable t
htd : Dense t
htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t
ha : a ∈ s
⊢ (⋃ (l : α) (_ : l ∈ t) (_ : l < a), Ico l a) = Iio a
case h.e'_3
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α
t : Set α
hts : t ⊆ s
hc : Set.Countable t
htd : Dense t
htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t
ha : a ∈ s
⊢ Iio a = ⋃ (l : α) (_ : l ∈ t) (_ : l < a), Ico l a
symm
case h.e'_3
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α
t : Set α
hts : t ⊆ s
hc : Set.Countable t
htd : Dense t
htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t
ha : a ∈ s
⊢ ∀ (x : α), x < a → ∃ i h h, i ≤ x
case h.e'_3
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α
t : Set α
hts : t ⊆ s
hc : Set.Countable t
htd : Dense t
htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t
ha : a ∈ s
⊢ (⋃ (l : α) (_ : l ∈ t) (_ : l < a), Ico l a) = Iio a
simp only [← Ici_inter_Iio, ← iUnion_inter, inter_eq_right_iff_subset, subset_def, mem_iUnion,
  mem_Ici, mem_Iio]
case h.e'_3
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x✝ : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α
t : Set α
hts : t ⊆ s
hc : Set.Countable t
htd : Dense t
htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t
ha : a ∈ s
x : α
hx : x < a
⊢ ∃ i h h, i ≤ x
case h.e'_3
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α
t : Set α
hts : t ⊆ s
hc : Set.Countable t
htd : Dense t
htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t
ha : a ∈ s
⊢ ∀ (x : α), x < a → ∃ i h h, i ≤ x
intro x hx
case h.e'_3.intro.intro
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x✝ : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α
t : Set α
hts : t ⊆ s
hc : Set.Countable t
htd : Dense t
htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t
ha : a ∈ s
x : α
hx : x < a
z : α
hzt : z ∈ t
hzx : z ≤ x
⊢ ∃ i h h, i ≤ x
case h.e'_3
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x✝ : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α
t : Set α
hts : t ⊆ s
hc : Set.Countable t
htd : Dense t
htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t
ha : a ∈ s
x : α
hx : x < a
⊢ ∃ i h h, i ≤ x
rcases htd.exists_le' (fun b hb => htb _ hb (hbot b hb)) x with ⟨z, hzt, hzx⟩
no goals
case h.e'_3.intro.intro
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x✝ : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α
t : Set α
hts : t ⊆ s
hc : Set.Countable t
htd : Dense t
htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t
ha : a ∈ s
x : α
hx : x < a
z : α
hzt : z ∈ t
hzx : z ≤ x
⊢ ∃ i h h, i ≤ x
exact ⟨z, hzt, hzx.trans_lt hx, hzx⟩
case neg
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x✝ : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α
t : Set α
hts : t ⊆ s
hc : Set.Countable t
htd : Dense t
htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t
ha : a ∈ s
x : α
hx : x ∈ t
hlt : x < a
⊢ MeasurableSet (Ico x a)
case neg
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α
t : Set α
hts : t ⊆ s
hc : Set.Countable t
htd : Dense t
htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t
ha : a ∈ s
⊢ MeasurableSet (⋃ (l : α) (_ : l ∈ t) (_ : l < a), Ico l a)
refine' .biUnion hc fun x hx => MeasurableSet.iUnion fun hlt => _
no goals
case neg
α✝ : Type ?u.609263
β : Type ?u.609266
γ : Type ?u.609269
γ₂ : Type ?u.609272
δ : Type ?u.609275
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
inst✝²⁰ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁹ : MeasurableSpace α✝
inst✝¹⁸ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : OpensMeasurableSpace β
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝¹³ : MeasurableSpace γ
inst✝¹² : BorelSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace γ₂
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace γ₂
inst✝⁹ : BorelSpace γ₂
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
α' : Type ?u.609368
inst✝⁷ : TopologicalSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x✝ : α✝
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l, l ∈ s ∧ ∃ u, u ∈ s ∧ l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α
t : Set α
hts : t ⊆ s
hc : Set.Countable t
htd : Dense t
htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t
ha : a ∈ s
x : α
hx : x ∈ t
hlt : x < a
⊢ MeasurableSet (Ico x a)
exact .basic _ ⟨x, hts hx, a, ha, hlt, mem_singleton _⟩