ι : Sort ?u.18420
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y : α
s t : Set α
Φ : α → β
x : α
E : Set α
h : ∃ r, 0 ≤ r ∧ 0 < ENNReal.ofReal r ∧ ENNReal.ofReal r < infEdist x E
⊢ ∃ ε, 0 < ε ∧ ENNReal.ofReal ε < infEdist x E
ι : Sort ?u.18420
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y : α
s t : Set α
Φ : α → β
x : α
E : Set α
h : ¬x ∈ closure E
⊢ ∃ ε, 0 < ε ∧ ENNReal.ofReal ε < infEdist x E
rw [← infEdist_pos_iff_not_mem_closure, ENNReal.lt_iff_exists_real_btwn] at h
case intro.intro.intro
ι : Sort ?u.18420
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y : α
s t : Set α
Φ : α → β
x : α
E : Set α
ε : ℝ
left✝ : 0 ≤ ε
ε_pos : 0 < ENNReal.ofReal ε
ε_lt : ENNReal.ofReal ε < infEdist x E
⊢ ∃ ε, 0 < ε ∧ ENNReal.ofReal ε < infEdist x E
ι : Sort ?u.18420
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y : α
s t : Set α
Φ : α → β
x : α
E : Set α
h : ∃ r, 0 ≤ r ∧ 0 < ENNReal.ofReal r ∧ ENNReal.ofReal r < infEdist x E
⊢ ∃ ε, 0 < ε ∧ ENNReal.ofReal ε < infEdist x E
rcases h with ⟨ε, ⟨_, ⟨ε_pos, ε_lt⟩⟩⟩
no goals
case intro.intro.intro
ι : Sort ?u.18420
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y : α
s t : Set α
Φ : α → β
x : α
E : Set α
ε : ℝ
left✝ : 0 ≤ ε
ε_pos : 0 < ENNReal.ofReal ε
ε_lt : ENNReal.ofReal ε < infEdist x E
⊢ ∃ ε, 0 < ε ∧ ENNReal.ofReal ε < infEdist x E
exact ⟨ε, ⟨ENNReal.ofReal_pos.mp ε_pos, ε_lt⟩⟩