ι : Sort ?u.105496
α : Type u_1
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a✝ b : α
s✝ s : Set α
h : ∀ (t : Finset α), ↑t ⊆ s → SetIndependent ↑t
a : α
ha : a ∈ s
⊢ ∀ (i : Finset α), (⨆ (_ : ↑i ⊆ s \ {a}), a ⊓ Finset.sup i id) = ⊥
ι : Sort ?u.105496
α : Type u_1
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a✝ b : α
s✝ s : Set α
h : ∀ (t : Finset α), ↑t ⊆ s → SetIndependent ↑t
a : α
ha : a ∈ s
⊢ Disjoint a (sSup (s \ {a}))
rw [disjoint_iff, inf_sSup_eq_iSup_inf_sup_finset, iSup_eq_bot]
ι : Sort ?u.105496
α : Type u_1
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a✝ b : α
s✝ s : Set α
h : ∀ (t : Finset α), ↑t ⊆ s → SetIndependent ↑t
a : α
ha : a ∈ s
t : Finset α
⊢ (⨆ (_ : ↑t ⊆ s \ {a}), a ⊓ Finset.sup t id) = ⊥
ι : Sort ?u.105496
α : Type u_1
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a✝ b : α
s✝ s : Set α
h : ∀ (t : Finset α), ↑t ⊆ s → SetIndependent ↑t
a : α
ha : a ∈ s
⊢ ∀ (i : Finset α), (⨆ (_ : ↑i ⊆ s \ {a}), a ⊓ Finset.sup i id) = ⊥
intro t
ι : Sort ?u.105496
α : Type u_1
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a✝ b : α
s✝ s : Set α
h : ∀ (t : Finset α), ↑t ⊆ s → SetIndependent ↑t
a : α
ha : a ∈ s
t : Finset α
⊢ ↑t ⊆ s \ {a} → a ⊓ sSup ↑t = ⊥
ι : Sort ?u.105496
α : Type u_1
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a✝ b : α
s✝ s : Set α
h : ∀ (t : Finset α), ↑t ⊆ s → SetIndependent ↑t
a : α
ha : a ∈ s
t : Finset α
⊢ (⨆ (_ : ↑t ⊆ s \ {a}), a ⊓ Finset.sup t id) = ⊥
rw [iSup_eq_bot, Finset.sup_id_eq_sSup]
ι : Sort ?u.105496
α : Type u_1
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a✝ b : α
s✝ s : Set α
h : ∀ (t : Finset α), ↑t ⊆ s → SetIndependent ↑t
a : α
ha : a ∈ s
t : Finset α
ht : ↑t ⊆ s \ {a}
⊢ a ⊓ sSup ↑t = ⊥
ι : Sort ?u.105496
α : Type u_1
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a✝ b : α
s✝ s : Set α
h : ∀ (t : Finset α), ↑t ⊆ s → SetIndependent ↑t
a : α
ha : a ∈ s
t : Finset α
⊢ ↑t ⊆ s \ {a} → a ⊓ sSup ↑t = ⊥
intro ht
case refine_2
ι : Sort ?u.105496
α : Type u_1
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a✝ b : α
s✝ s : Set α
h : ∀ (t : Finset α), ↑t ⊆ s → SetIndependent ↑t
a : α
ha : a ∈ s
t : Finset α
ht : ↑t ⊆ s \ {a}
h' : a ⊓ sSup (↑(insert a t) \ {a}) = ⊥
⊢ a ⊓ sSup ↑t = ⊥

case refine_1
ι : Sort ?u.105496
α : Type u_1
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a✝ b : α
s✝ s : Set α
h : ∀ (t : Finset α), ↑t ⊆ s → SetIndependent ↑t
a : α
ha : a ∈ s
t : Finset α
ht : ↑t ⊆ s \ {a}
⊢ ↑(insert a t) ⊆ s
ι : Sort ?u.105496
α : Type u_1
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a✝ b : α
s✝ s : Set α
h : ∀ (t : Finset α), ↑t ⊆ s → SetIndependent ↑t
a : α
ha : a ∈ s
t : Finset α
ht : ↑t ⊆ s \ {a}
⊢ a ⊓ sSup ↑t = ⊥
have h' := (h (insert a t) ?_ (t.mem_insert_self a)).eq_bot
case refine_2
ι : Sort ?u.105496
α : Type u_1
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a✝ b : α
s✝ s : Set α
h : ∀ (t : Finset α), ↑t ⊆ s → SetIndependent ↑t
a : α
ha : a ∈ s
t : Finset α
ht : ↑t ⊆ s \ {a}
h' : a ⊓ sSup (insert a ↑t \ {a}) = ⊥
⊢ ¬a ∈ ↑t
case refine_2
ι : Sort ?u.105496
α : Type u_1
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a✝ b : α
s✝ s : Set α
h : ∀ (t : Finset α), ↑t ⊆ s → SetIndependent ↑t
a : α
ha : a ∈ s
t : Finset α
ht : ↑t ⊆ s \ {a}
h' : a ⊓ sSup (↑(insert a t) \ {a}) = ⊥
⊢ a ⊓ sSup ↑t = ⊥
rwa [Finset.coe_insert, Set.insert_diff_self_of_not_mem] at h'
no goals
case refine_2
ι : Sort ?u.105496
α : Type u_1
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a✝ b : α
s✝ s : Set α
h : ∀ (t : Finset α), ↑t ⊆ s → SetIndependent ↑t
a : α
ha : a ∈ s
t : Finset α
ht : ↑t ⊆ s \ {a}
h' : a ⊓ sSup (insert a ↑t \ {a}) = ⊥
⊢ ¬a ∈ ↑t
exact fun con => ((Set.mem_diff a).1 (ht con)).2 (Set.mem_singleton a)
case refine_1
ι : Sort ?u.105496
α : Type u_1
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a✝ b : α
s✝ s : Set α
h : ∀ (t : Finset α), ↑t ⊆ s → SetIndependent ↑t
a : α
ha : a ∈ s
t : Finset α
ht : ↑t ⊆ s \ {a}
⊢ a ∈ s ∧ ↑t ⊆ s
case refine_1
ι : Sort ?u.105496
α : Type u_1
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a✝ b : α
s✝ s : Set α
h : ∀ (t : Finset α), ↑t ⊆ s → SetIndependent ↑t
a : α
ha : a ∈ s
t : Finset α
ht : ↑t ⊆ s \ {a}
⊢ ↑(insert a t) ⊆ s
rw [Finset.coe_insert, Set.insert_subset]
no goals
case refine_1
ι : Sort ?u.105496
α : Type u_1
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a✝ b : α
s✝ s : Set α
h : ∀ (t : Finset α), ↑t ⊆ s → SetIndependent ↑t
a : α
ha : a ∈ s
t : Finset α
ht : ↑t ⊆ s \ {a}
⊢ a ∈ s ∧ ↑t ⊆ s
exact ⟨ha, Set.Subset.trans ht (Set.diff_subset _ _)⟩