case refine'_1
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
a_glb : IsGLB s a
a_not_mem : ¬a ∈ s
x : α
hx : x ∈ s
⊢ Ici x ⊆ Ioi a

case refine'_2
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
a_glb : IsGLB s a
a_not_mem : ¬a ∈ s
x : α
hx : x ∈ Ioi a
⊢ x ∈ ⋃ (i : α) (_ : i ∈ s), Ici i
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
a_glb : IsGLB s a
a_not_mem : ¬a ∈ s
⊢ (⋃ (x : α) (_ : x ∈ s), Ici x) = Ioi a
refine' (iUnion₂_subset fun x hx => _).antisymm fun x hx => _
no goals
case refine'_1
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
a_glb : IsGLB s a
a_not_mem : ¬a ∈ s
x : α
hx : x ∈ s
⊢ Ici x ⊆ Ioi a
exact Ici_subset_Ioi.mpr (lt_of_le_of_ne (a_glb.1 hx) fun h => (h ▸ a_not_mem) hx)
case refine'_2.intro.intro.intro
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
a_glb : IsGLB s a
a_not_mem : ¬a ∈ s
x : α
hx : x ∈ Ioi a
y : α
hys : y ∈ s
left✝ : a ≤ y
hyx : y < x
⊢ x ∈ ⋃ (i : α) (_ : i ∈ s), Ici i
case refine'_2
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
a_glb : IsGLB s a
a_not_mem : ¬a ∈ s
x : α
hx : x ∈ Ioi a
⊢ x ∈ ⋃ (i : α) (_ : i ∈ s), Ici i
rcases a_glb.exists_between hx with ⟨y, hys, _, hyx⟩
case refine'_2.intro.intro.intro
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
a_glb : IsGLB s a
a_not_mem : ¬a ∈ s
x : α
hx : x ∈ Ioi a
y : α
hys : y ∈ s
left✝ : a ≤ y
hyx : y < x
⊢ ∃ i j, x ∈ Ici i
case refine'_2.intro.intro.intro
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
a_glb : IsGLB s a
a_not_mem : ¬a ∈ s
x : α
hx : x ∈ Ioi a
y : α
hys : y ∈ s
left✝ : a ≤ y
hyx : y < x
⊢ x ∈ ⋃ (i : α) (_ : i ∈ s), Ici i
apply mem_iUnion₂.mpr
no goals
case refine'_2.intro.intro.intro
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
a_glb : IsGLB s a
a_not_mem : ¬a ∈ s
x : α
hx : x ∈ Ioi a
y : α
hys : y ∈ s
left✝ : a ≤ y
hyx : y < x
⊢ ∃ i j, x ∈ Ici i
refine' ⟨y, hys, hyx.le⟩