x y : ℂ
n : ℕ
z : ℂ
⊢ exp (z * I) ^ n = exp (↑n * z * I)
x y : ℂ
n : ℕ
z : ℂ
⊢ (cos z + sin z * I) ^ n = cos (↑n * z) + sin (↑n * z) * I
rw [← exp_mul_I, ← exp_mul_I]
case zero
x y z : ℂ
⊢ exp (z * I) ^ Nat.zero = exp (↑Nat.zero * z * I)

case succ
x y z : ℂ
n : ℕ
ih : exp (z * I) ^ n = exp (↑n * z * I)
⊢ exp (z * I) ^ Nat.succ n = exp (↑(Nat.succ n) * z * I)
x y : ℂ
n : ℕ
z : ℂ
⊢ exp (z * I) ^ n = exp (↑n * z * I)
induction' n with n ih
no goals
case zero
x y z : ℂ
⊢ exp (z * I) ^ Nat.zero = exp (↑Nat.zero * z * I)
rw [pow_zero, Nat.cast_zero, zero_mul, zero_mul, exp_zero]
no goals
case succ
x y z : ℂ
n : ℕ
ih : exp (z * I) ^ n = exp (↑n * z * I)
⊢ exp (z * I) ^ Nat.succ n = exp (↑(Nat.succ n) * z * I)
rw [pow_succ', ih, Nat.cast_succ, add_mul, add_mul, one_mul, exp_add]