α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
⊢ ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) ≤
    ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) ^ (1 / p) *
      ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) ^ (1 / q)

case hf
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
⊢ 0 ≤ᵐ[μ] fun a => ‖g a‖ ^ q

case hfm
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ‖g a‖ ^ q) μ

case hf
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
⊢ 0 ≤ᵐ[μ] fun a => ‖f a‖ ^ p

case hfm
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ‖f a‖ ^ p) μ

case hf
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
⊢ 0 ≤ᵐ[μ] fun a => ‖f a‖ * ‖g a‖

case hfm
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ‖f a‖ * ‖g a‖) μ
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
⊢ (∫ (a : α), ‖f a‖ * ‖g a‖ ∂μ) ≤ (∫ (a : α), ‖f a‖ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫ (a : α), ‖g a‖ ^ q ∂μ) ^ (1 / q)
rw [integral_eq_lintegral_of_nonneg_ae, integral_eq_lintegral_of_nonneg_ae,
  integral_eq_lintegral_of_nonneg_ae]
case hf
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
⊢ 0 ≤ᵐ[μ] fun a => ‖g a‖ ^ q

case hfm
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ‖g a‖ ^ q) μ

case hf
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
⊢ 0 ≤ᵐ[μ] fun a => ‖f a‖ ^ p

case hfm
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ‖f a‖ ^ p) μ

case hf
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
⊢ 0 ≤ᵐ[μ] fun a => ‖f a‖ * ‖g a‖

case hfm
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ‖f a‖ * ‖g a‖) μ

α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
⊢ ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) ≤
    ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) ^ (1 / p) *
      ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) ^ (1 / q)
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
⊢ ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) ≤
    ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) ^ (1 / p) *
      ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) ^ (1 / q)

case hf
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
⊢ 0 ≤ᵐ[μ] fun a => ‖g a‖ ^ q

case hfm
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ‖g a‖ ^ q) μ

case hf
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
⊢ 0 ≤ᵐ[μ] fun a => ‖f a‖ ^ p

case hfm
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ‖f a‖ ^ p) μ

case hf
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
⊢ 0 ≤ᵐ[μ] fun a => ‖f a‖ * ‖g a‖

case hfm
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ‖f a‖ * ‖g a‖) μ
rotate_left
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
⊢ ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) ≤
    ENNReal.toReal
      ((∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) ^ (1 / q))
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
⊢ ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) ≤
    ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) ^ (1 / p) *
      ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) ^ (1 / q)
rw [ENNReal.toReal_rpow, ENNReal.toReal_rpow, ← ENNReal.toReal_mul]
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
h_left : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ
⊢ ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) ≤
    ENNReal.toReal
      ((∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) ^ (1 / q))
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
⊢ ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) ≤
    ENNReal.toReal
      ((∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) ^ (1 / q))
have h_left : (∫⁻ a, ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) =
    ∫⁻ a, ((fun x => (‖f x‖₊ : ℝ≥0∞)) * fun x => (‖g x‖₊ : ℝ≥0∞)) a ∂μ := by
  simp_rw [Pi.mul_apply, ← ofReal_norm_eq_coe_nnnorm, ENNReal.ofReal_mul (norm_nonneg _)]
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
h_left : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ
h_right_f : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ
⊢ ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) ≤
    ENNReal.toReal
      ((∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) ^ (1 / q))
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
h_left : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ
⊢ ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) ≤
    ENNReal.toReal
      ((∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) ^ (1 / q))
have h_right_f : (∫⁻ a, ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) = ∫⁻ a, (‖f a‖₊ : ℝ≥0∞) ^ p ∂μ := by
  refine' lintegral_congr fun x => _
  rw [← ofReal_norm_eq_coe_nnnorm, ENNReal.ofReal_rpow_of_nonneg (norm_nonneg _) hpq.nonneg]
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
h_left : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ
h_right_f : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ
h_right_g : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ
⊢ ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) ≤
    ENNReal.toReal
      ((∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) ^ (1 / q))
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
h_left : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ
h_right_f : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ
⊢ ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) ≤
    ENNReal.toReal
      ((∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) ^ (1 / q))
have h_right_g : (∫⁻ a, ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) = ∫⁻ a, (‖g a‖₊ : ℝ≥0∞) ^ q ∂μ := by
  refine' lintegral_congr fun x => _
  rw [← ofReal_norm_eq_coe_nnnorm, ENNReal.ofReal_rpow_of_nonneg (norm_nonneg _) hpq.symm.nonneg]
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
h_left : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ
h_right_f : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ
h_right_g : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ
⊢ ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ) ≤
    ENNReal.toReal ((∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q))
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
h_left : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ
h_right_f : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ
h_right_g : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ
⊢ ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) ≤
    ENNReal.toReal
      ((∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) ^ (1 / q))
rw [h_left, h_right_f, h_right_g]
case refine'_1
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
h_left : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ
h_right_f : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ
h_right_g : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ
⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q) ≠ ⊤

case refine'_2
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
h_left : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ
h_right_f : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ
h_right_g : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ
⊢ (∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ) ≤
    (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q)
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
h_left : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ
h_right_f : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ
h_right_g : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ
⊢ ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ) ≤
    ENNReal.toReal ((∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q))
refine' ENNReal.toReal_mono _ _
no goals
case hf
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
⊢ 0 ≤ᵐ[μ] fun a => ‖g a‖ ^ q
exact eventually_of_forall fun x => Real.rpow_nonneg_of_nonneg (norm_nonneg _) _
no goals
case hfm
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ‖g a‖ ^ q) μ
exact (hg.1.norm.aemeasurable.pow aemeasurable_const).aestronglyMeasurable
no goals
case hf
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
⊢ 0 ≤ᵐ[μ] fun a => ‖f a‖ ^ p
exact eventually_of_forall fun x => Real.rpow_nonneg_of_nonneg (norm_nonneg _) _
no goals
case hfm
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ‖f a‖ ^ p) μ
exact (hf.1.norm.aemeasurable.pow aemeasurable_const).aestronglyMeasurable
no goals
case hf
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
⊢ 0 ≤ᵐ[μ] fun a => ‖f a‖ * ‖g a‖
exact eventually_of_forall fun x => mul_nonneg (norm_nonneg _) (norm_nonneg _)
no goals
case hfm
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ‖f a‖ * ‖g a‖) μ
exact hf.1.norm.mul hg.1.norm
no goals
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
⊢ (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ
simp_rw [Pi.mul_apply, ← ofReal_norm_eq_coe_nnnorm, ENNReal.ofReal_mul (norm_nonneg _)]
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
h_left : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ
x : α
⊢ ENNReal.ofReal (‖f x‖ ^ p) = ↑‖f x‖₊ ^ p
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
h_left : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ
⊢ (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ
refine' lintegral_congr fun x => _
no goals
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
h_left : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ
x : α
⊢ ENNReal.ofReal (‖f x‖ ^ p) = ↑‖f x‖₊ ^ p
rw [← ofReal_norm_eq_coe_nnnorm, ENNReal.ofReal_rpow_of_nonneg (norm_nonneg _) hpq.nonneg]
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
h_left : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ
h_right_f : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ
x : α
⊢ ENNReal.ofReal (‖g x‖ ^ q) = ↑‖g x‖₊ ^ q
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
h_left : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ
h_right_f : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ
⊢ (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ
refine' lintegral_congr fun x => _
no goals
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
h_left : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ
h_right_f : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ
x : α
⊢ ENNReal.ofReal (‖g x‖ ^ q) = ↑‖g x‖₊ ^ q
rw [← ofReal_norm_eq_coe_nnnorm, ENNReal.ofReal_rpow_of_nonneg (norm_nonneg _) hpq.symm.nonneg]
case refine'_1.refine'_1
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
h_left : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ
h_right_f : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ
h_right_g : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ
⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≠ ⊤

case refine'_1.refine'_2
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
h_left : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ
h_right_f : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ
h_right_g : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ
⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q) ≠ ⊤
case refine'_1
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
h_left : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ
h_right_f : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ
h_right_g : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ
⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q) ≠ ⊤
refine' ENNReal.mul_ne_top _ _
case h.e'_2
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
h_left : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ
h_right_f : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ
h_right_g : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ
⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) = snorm f (ENNReal.ofReal p) μ
case refine'_1.refine'_1
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
h_left : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ
h_right_f : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ
h_right_g : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ
⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≠ ⊤
convert hf.snorm_ne_top
case h.e'_2
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
h_left : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ
h_right_f : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ
h_right_g : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ
⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) =
    (∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ^ ENNReal.toReal (ENNReal.ofReal p) ∂μ) ^ (1 / ENNReal.toReal (ENNReal.ofReal p))

case h.e'_2.hp_ne_zero
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
h_left : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ
h_right_f : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ
h_right_g : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ
⊢ ENNReal.ofReal p ≠ 0

case h.e'_2.hp_ne_top
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
h_left : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ
h_right_f : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ
h_right_g : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ
⊢ ENNReal.ofReal p ≠ ⊤
case h.e'_2
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
h_left : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ
h_right_f : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ
h_right_g : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ
⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) = snorm f (ENNReal.ofReal p) μ
rw [snorm_eq_lintegral_rpow_nnnorm]
no goals
case h.e'_2
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
h_left : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ
h_right_f : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ
h_right_g : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ
⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) =
    (∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ^ ENNReal.toReal (ENNReal.ofReal p) ∂μ) ^ (1 / ENNReal.toReal (ENNReal.ofReal p))
rw [ENNReal.toReal_ofReal hpq.nonneg]
case h.e'_2.hp_ne_zero
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
h_left : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ
h_right_f : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ
h_right_g : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ
⊢ 0 < p
case h.e'_2.hp_ne_zero
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
h_left : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ
h_right_f : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ
h_right_g : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ
⊢ ENNReal.ofReal p ≠ 0
rw [Ne.def, ENNReal.ofReal_eq_zero, not_le]
no goals
case h.e'_2.hp_ne_zero
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
h_left : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ
h_right_f : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ
h_right_g : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ
⊢ 0 < p
exact hpq.pos
no goals
case h.e'_2.hp_ne_top
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
h_left : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ
h_right_f : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ
h_right_g : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ
⊢ ENNReal.ofReal p ≠ ⊤
exact ENNReal.coe_ne_top
case h.e'_2
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
h_left : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ
h_right_f : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ
h_right_g : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ
⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q) = snorm g (ENNReal.ofReal q) μ
case refine'_1.refine'_2
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
h_left : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ
h_right_f : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ
h_right_g : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ
⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q) ≠ ⊤
convert hg.snorm_ne_top
case h.e'_2
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
h_left : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ
h_right_f : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ
h_right_g : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ
⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q) =
    (∫⁻ (x : α), ↑‖g x‖₊ ^ ENNReal.toReal (ENNReal.ofReal q) ∂μ) ^ (1 / ENNReal.toReal (ENNReal.ofReal q))

case h.e'_2.hp_ne_zero
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
h_left : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ
h_right_f : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ
h_right_g : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ
⊢ ENNReal.ofReal q ≠ 0

case h.e'_2.hp_ne_top
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
h_left : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ
h_right_f : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ
h_right_g : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ
⊢ ENNReal.ofReal q ≠ ⊤
case h.e'_2
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
h_left : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ
h_right_f : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ
h_right_g : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ
⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q) = snorm g (ENNReal.ofReal q) μ
rw [snorm_eq_lintegral_rpow_nnnorm]
no goals
case h.e'_2
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
h_left : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ
h_right_f : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ
h_right_g : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ
⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q) =
    (∫⁻ (x : α), ↑‖g x‖₊ ^ ENNReal.toReal (ENNReal.ofReal q) ∂μ) ^ (1 / ENNReal.toReal (ENNReal.ofReal q))
rw [ENNReal.toReal_ofReal hpq.symm.nonneg]
case h.e'_2.hp_ne_zero
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
h_left : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ
h_right_f : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ
h_right_g : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ
⊢ 0 < q
case h.e'_2.hp_ne_zero
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
h_left : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ
h_right_f : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ
h_right_g : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ
⊢ ENNReal.ofReal q ≠ 0
rw [Ne.def, ENNReal.ofReal_eq_zero, not_le]
no goals
case h.e'_2.hp_ne_zero
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
h_left : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ
h_right_f : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ
h_right_g : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ
⊢ 0 < q
exact hpq.symm.pos
no goals
case h.e'_2.hp_ne_top
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
h_left : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ
h_right_f : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ
h_right_g : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ
⊢ ENNReal.ofReal q ≠ ⊤
exact ENNReal.coe_ne_top
no goals
case refine'_2
α : Type u_2
E✝ : Type ?u.1514701
F : Type ?u.1514704
𝕜 : Type ?u.1514707
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : CompleteSpace E✝
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1517398
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : Real.IsConjugateExponent p q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p)
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q)
h_left : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ
h_right_f : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ
h_right_g : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ
⊢ (∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ) ≤
    (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q)
exact ENNReal.lintegral_mul_le_Lp_mul_Lq μ hpq hf.1.nnnorm.aemeasurable.coe_nnreal_ennreal
  hg.1.nnnorm.aemeasurable.coe_nnreal_ennreal