case mp
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N✝ N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N : LieSubmodule R L M
⊢ N = ⊥ → ¬Nontrivial { x // x ∈ ↑N }

case mpr
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N✝ N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N : LieSubmodule R L M
⊢ ¬Nontrivial { x // x ∈ ↑N } → N = ⊥
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N✝ N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N : LieSubmodule R L M
⊢ Nontrivial { x // x ∈ ↑N } ↔ N ≠ ⊥
constructor <;> contrapose!
case mp.mk.intro.mk.intro.mk
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
m₁ : M
h₁ : m₁ ∈ ⊥
m₂ : M
h₂ : m₂ ∈ ⊥
h₁₂ : { val := m₁, property := h₁ } ≠ { val := m₂, property := h₂ }
⊢ False
case mp
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N✝ N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N : LieSubmodule R L M
⊢ N = ⊥ → ¬Nontrivial { x // x ∈ ↑N }
rintro rfl
  ⟨⟨m₁, h₁ : m₁ ∈ (⊥ : LieSubmodule R L M)⟩, ⟨m₂, h₂ : m₂ ∈ (⊥ : LieSubmodule R L M)⟩, h₁₂⟩
no goals
case mp.mk.intro.mk.intro.mk
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
m₁ : M
h₁ : m₁ ∈ ⊥
m₂ : M
h₂ : m₂ ∈ ⊥
h₁₂ : { val := m₁, property := h₁ } ≠ { val := m₂, property := h₂ }
⊢ False
simp [(LieSubmodule.mem_bot _).mp h₁, (LieSubmodule.mem_bot _).mp h₂] at h₁₂
case mpr
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N✝ N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N : LieSubmodule R L M
⊢ Subsingleton { x // x ∈ ↑N } → ∀ (m : M), m ∈ N → m = 0
case mpr
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N✝ N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N : LieSubmodule R L M
⊢ ¬Nontrivial { x // x ∈ ↑N } → N = ⊥
rw [not_nontrivial_iff_subsingleton, LieSubmodule.eq_bot_iff]
case mpr.intro
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N✝ N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N : LieSubmodule R L M
h : ∀ (a b : { x // x ∈ ↑N }), a = b
m : M
hm : m ∈ N
⊢ m = 0
case mpr
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N✝ N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N : LieSubmodule R L M
⊢ Subsingleton { x // x ∈ ↑N } → ∀ (m : M), m ∈ N → m = 0
rintro ⟨h⟩ m hm
no goals
case mpr.intro
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N✝ N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N : LieSubmodule R L M
h : ∀ (a b : { x // x ∈ ↑N }), a = b
m : M
hm : m ∈ N
⊢ m = 0
simpa using h ⟨m, hm⟩ ⟨_, N.zero_mem⟩