α : Type ?u.516691
β : Type ?u.516694
ι : Type ?u.516697
R : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : LinearOrderedField R
inst✝¹ : OrderTopology R
inst✝ : FloorRing R
a : R
ha : 0 ≤ a
A : Tendsto (fun x => a + x⁻¹) atTop (𝓝 (a + 0))
⊢ Tendsto (fun x => ↑⌈a * x⌉₊ / x) atTop (𝓝 a)
α : Type ?u.516691
β : Type ?u.516694
ι : Type ?u.516697
R : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : LinearOrderedField R
inst✝¹ : OrderTopology R
inst✝ : FloorRing R
a : R
ha : 0 ≤ a
⊢ Tendsto (fun x => ↑⌈a * x⌉₊ / x) atTop (𝓝 a)
have A : Tendsto (fun x : R => a + x⁻¹) atTop (𝓝 (a + 0)) :=
  tendsto_const_nhds.add tendsto_inv_atTop_zero
α : Type ?u.516691
β : Type ?u.516694
ι : Type ?u.516697
R : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : LinearOrderedField R
inst✝¹ : OrderTopology R
inst✝ : FloorRing R
a : R
ha : 0 ≤ a
A : Tendsto (fun x => a + x⁻¹) atTop (𝓝 a)
⊢ Tendsto (fun x => ↑⌈a * x⌉₊ / x) atTop (𝓝 a)
α : Type ?u.516691
β : Type ?u.516694
ι : Type ?u.516697
R : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : LinearOrderedField R
inst✝¹ : OrderTopology R
inst✝ : FloorRing R
a : R
ha : 0 ≤ a
A : Tendsto (fun x => a + x⁻¹) atTop (𝓝 (a + 0))
⊢ Tendsto (fun x => ↑⌈a * x⌉₊ / x) atTop (𝓝 a)
rw [add_zero] at A
case hgf
α : Type ?u.516691
β : Type ?u.516694
ι : Type ?u.516697
R : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : LinearOrderedField R
inst✝¹ : OrderTopology R
inst✝ : FloorRing R
a : R
ha : 0 ≤ a
A : Tendsto (fun x => a + x⁻¹) atTop (𝓝 a)
⊢ ∀ᶠ (b : R) in atTop, a ≤ ↑⌈a * b⌉₊ / b

case hfh
α : Type ?u.516691
β : Type ?u.516694
ι : Type ?u.516697
R : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : LinearOrderedField R
inst✝¹ : OrderTopology R
inst✝ : FloorRing R
a : R
ha : 0 ≤ a
A : Tendsto (fun x => a + x⁻¹) atTop (𝓝 a)
⊢ ∀ᶠ (b : R) in atTop, ↑⌈a * b⌉₊ / b ≤ a + b⁻¹
α : Type ?u.516691
β : Type ?u.516694
ι : Type ?u.516697
R : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : LinearOrderedField R
inst✝¹ : OrderTopology R
inst✝ : FloorRing R
a : R
ha : 0 ≤ a
A : Tendsto (fun x => a + x⁻¹) atTop (𝓝 a)
⊢ Tendsto (fun x => ↑⌈a * x⌉₊ / x) atTop (𝓝 a)
apply tendsto_of_tendsto_of_tendsto_of_le_of_le' tendsto_const_nhds A
case hgf
α : Type ?u.516691
β : Type ?u.516694
ι : Type ?u.516697
R : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : LinearOrderedField R
inst✝¹ : OrderTopology R
inst✝ : FloorRing R
a : R
ha : 0 ≤ a
A : Tendsto (fun x => a + x⁻¹) atTop (𝓝 a)
x : R
hx : x ≥ 1
⊢ a ≤ ↑⌈a * x⌉₊ / x
case hgf
α : Type ?u.516691
β : Type ?u.516694
ι : Type ?u.516697
R : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : LinearOrderedField R
inst✝¹ : OrderTopology R
inst✝ : FloorRing R
a : R
ha : 0 ≤ a
A : Tendsto (fun x => a + x⁻¹) atTop (𝓝 a)
⊢ ∀ᶠ (b : R) in atTop, a ≤ ↑⌈a * b⌉₊ / b
refine' eventually_atTop.2 ⟨1, fun x hx => _⟩
case hgf
α : Type ?u.516691
β : Type ?u.516694
ι : Type ?u.516697
R : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : LinearOrderedField R
inst✝¹ : OrderTopology R
inst✝ : FloorRing R
a : R
ha : 0 ≤ a
A : Tendsto (fun x => a + x⁻¹) atTop (𝓝 a)
x : R
hx : x ≥ 1
⊢ a * x ≤ ↑⌈a * x⌉₊
case hgf
α : Type ?u.516691
β : Type ?u.516694
ι : Type ?u.516697
R : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : LinearOrderedField R
inst✝¹ : OrderTopology R
inst✝ : FloorRing R
a : R
ha : 0 ≤ a
A : Tendsto (fun x => a + x⁻¹) atTop (𝓝 a)
x : R
hx : x ≥ 1
⊢ a ≤ ↑⌈a * x⌉₊ / x
rw [le_div_iff (zero_lt_one.trans_le hx)]
no goals
case hgf
α : Type ?u.516691
β : Type ?u.516694
ι : Type ?u.516697
R : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : LinearOrderedField R
inst✝¹ : OrderTopology R
inst✝ : FloorRing R
a : R
ha : 0 ≤ a
A : Tendsto (fun x => a + x⁻¹) atTop (𝓝 a)
x : R
hx : x ≥ 1
⊢ a * x ≤ ↑⌈a * x⌉₊
exact Nat.le_ceil _
case hfh
α : Type ?u.516691
β : Type ?u.516694
ι : Type ?u.516697
R : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : LinearOrderedField R
inst✝¹ : OrderTopology R
inst✝ : FloorRing R
a : R
ha : 0 ≤ a
A : Tendsto (fun x => a + x⁻¹) atTop (𝓝 a)
x : R
hx : x ≥ 1
⊢ ↑⌈a * x⌉₊ / x ≤ a + x⁻¹
case hfh
α : Type ?u.516691
β : Type ?u.516694
ι : Type ?u.516697
R : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : LinearOrderedField R
inst✝¹ : OrderTopology R
inst✝ : FloorRing R
a : R
ha : 0 ≤ a
A : Tendsto (fun x => a + x⁻¹) atTop (𝓝 a)
⊢ ∀ᶠ (b : R) in atTop, ↑⌈a * b⌉₊ / b ≤ a + b⁻¹
refine' eventually_atTop.2 ⟨1, fun x hx => _⟩
no goals
case hfh
α : Type ?u.516691
β : Type ?u.516694
ι : Type ?u.516697
R : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : LinearOrderedField R
inst✝¹ : OrderTopology R
inst✝ : FloorRing R
a : R
ha : 0 ≤ a
A : Tendsto (fun x => a + x⁻¹) atTop (𝓝 a)
x : R
hx : x ≥ 1
⊢ ↑⌈a * x⌉₊ / x ≤ a + x⁻¹
simp [div_le_iff (zero_lt_one.trans_le hx), inv_mul_cancel (zero_lt_one.trans_le hx).ne',
  (Nat.ceil_lt_add_one (mul_nonneg ha (zero_le_one.trans hx))).le, add_mul]