k : Type u_3
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_1
p : ι → P
s : Set ι
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ Submodule.span k (insert ((fun x x_1 => x -ᵥ x_1) (p i) (p i)) ((fun x x_1 => x -ᵥ x_1) (p i) '' (p '' (s \ {i})))) =
    Submodule.span k ((fun x x_1 => x -ᵥ x_1) (p i) '' (p '' (s \ {i})))
k : Type u_3
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_1
p : ι → P
s : Set ι
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ vectorSpan k (p '' s) = Submodule.span k ((fun x x_1 => x -ᵥ x_1) (p i) '' (p '' (s \ {i})))
conv_lhs =>
  rw [vectorSpan_eq_span_vsub_set_left k (Set.mem_image_of_mem p hi), ← Set.insert_eq_of_mem hi, ←
    Set.insert_diff_singleton, Set.image_insert_eq, Set.image_insert_eq]
no goals
k : Type u_3
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_1
p : ι → P
s : Set ι
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ Submodule.span k (insert ((fun x x_1 => x -ᵥ x_1) (p i) (p i)) ((fun x x_1 => x -ᵥ x_1) (p i) '' (p '' (s \ {i})))) =
    Submodule.span k ((fun x x_1 => x -ᵥ x_1) (p i) '' (p '' (s \ {i})))
simp [Submodule.span_insert_eq_span]