case intro
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type ?u.65376
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Nontrivial M
x : M
hx : x ≠ 0
⊢ Set.Nonempty (associatedPrimes R M)
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type ?u.65376
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Nontrivial M
⊢ Set.Nonempty (associatedPrimes R M)
obtain ⟨x, hx⟩ := exists_ne (0 : M)
case intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type ?u.65376
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Nontrivial M
x : M
hx : x ≠ 0
P : Ideal R
hP : IsAssociatedPrime P M
right✝ : Submodule.annihilator (Submodule.span R {x}) ≤ P
⊢ Set.Nonempty (associatedPrimes R M)
case intro
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type ?u.65376
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Nontrivial M
x : M
hx : x ≠ 0
⊢ Set.Nonempty (associatedPrimes R M)
obtain ⟨P, hP, _⟩ := exists_le_isAssociatedPrime_of_isNoetherianRing R x hx
no goals
case intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type ?u.65376
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Nontrivial M
x : M
hx : x ≠ 0
P : Ideal R
hP : IsAssociatedPrime P M
right✝ : Submodule.annihilator (Submodule.span R {x}) ≤ P
⊢ Set.Nonempty (associatedPrimes R M)
exact ⟨P, hP⟩