case mp
α✝ : Type ?u.53718
β : Type ?u.53721
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁶ : SemilatticeSup ι₁
inst✝⁵ : Preorder ι₂
inst✝⁴ : Nonempty ι₁
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : NoMaxOrder α
f : ι₂ → α
φ : ι₁ → ι₂
l : α
hf : Monotone f
hg : Tendsto φ atTop atTop
h : Tendsto f atTop (𝓝 l)
⊢ Tendsto (f ∘ φ) atTop (𝓝 l)

case mpr
α✝ : Type ?u.53718
β : Type ?u.53721
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁶ : SemilatticeSup ι₁
inst✝⁵ : Preorder ι₂
inst✝⁴ : Nonempty ι₁
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : NoMaxOrder α
f : ι₂ → α
φ : ι₁ → ι₂
l : α
hf : Monotone f
hg : Tendsto φ atTop atTop
h : Tendsto (f ∘ φ) atTop (𝓝 l)
⊢ Tendsto f atTop (𝓝 l)
α✝ : Type ?u.53718
β : Type ?u.53721
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁶ : SemilatticeSup ι₁
inst✝⁵ : Preorder ι₂
inst✝⁴ : Nonempty ι₁
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : NoMaxOrder α
f : ι₂ → α
φ : ι₁ → ι₂
l : α
hf : Monotone f
hg : Tendsto φ atTop atTop
⊢ Tendsto f atTop (𝓝 l) ↔ Tendsto (f ∘ φ) atTop (𝓝 l)
constructor <;> intro h
no goals
case mp
α✝ : Type ?u.53718
β : Type ?u.53721
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁶ : SemilatticeSup ι₁
inst✝⁵ : Preorder ι₂
inst✝⁴ : Nonempty ι₁
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : NoMaxOrder α
f : ι₂ → α
φ : ι₁ → ι₂
l : α
hf : Monotone f
hg : Tendsto φ atTop atTop
h : Tendsto f atTop (𝓝 l)
⊢ Tendsto (f ∘ φ) atTop (𝓝 l)
exact h.comp hg
case mpr.inl
α✝ : Type ?u.53718
β : Type ?u.53721
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁶ : SemilatticeSup ι₁
inst✝⁵ : Preorder ι₂
inst✝⁴ : Nonempty ι₁
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : NoMaxOrder α
f : ι₂ → α
φ : ι₁ → ι₂
l : α
hf : Monotone f
hg : Tendsto φ atTop atTop
h : Tendsto (f ∘ φ) atTop (𝓝 l)
h' : Tendsto f atTop atTop
⊢ Tendsto f atTop (𝓝 l)

case mpr.inr.intro
α✝ : Type ?u.53718
β : Type ?u.53721
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁶ : SemilatticeSup ι₁
inst✝⁵ : Preorder ι₂
inst✝⁴ : Nonempty ι₁
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : NoMaxOrder α
f : ι₂ → α
φ : ι₁ → ι₂
l : α
hf : Monotone f
hg : Tendsto φ atTop atTop
h : Tendsto (f ∘ φ) atTop (𝓝 l)
l' : α
hl' : Tendsto f atTop (𝓝 l')
⊢ Tendsto f atTop (𝓝 l)
case mpr
α✝ : Type ?u.53718
β : Type ?u.53721
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁶ : SemilatticeSup ι₁
inst✝⁵ : Preorder ι₂
inst✝⁴ : Nonempty ι₁
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : NoMaxOrder α
f : ι₂ → α
φ : ι₁ → ι₂
l : α
hf : Monotone f
hg : Tendsto φ atTop atTop
h : Tendsto (f ∘ φ) atTop (𝓝 l)
⊢ Tendsto f atTop (𝓝 l)
rcases tendsto_of_monotone hf with (h' | ⟨l', hl'⟩)
no goals
case mpr.inl
α✝ : Type ?u.53718
β : Type ?u.53721
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁶ : SemilatticeSup ι₁
inst✝⁵ : Preorder ι₂
inst✝⁴ : Nonempty ι₁
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : NoMaxOrder α
f : ι₂ → α
φ : ι₁ → ι₂
l : α
hf : Monotone f
hg : Tendsto φ atTop atTop
h : Tendsto (f ∘ φ) atTop (𝓝 l)
h' : Tendsto f atTop atTop
⊢ Tendsto f atTop (𝓝 l)
exact (not_tendsto_atTop_of_tendsto_nhds h (h'.comp hg)).elim
no goals
case mpr.inr.intro
α✝ : Type ?u.53718
β : Type ?u.53721
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁶ : SemilatticeSup ι₁
inst✝⁵ : Preorder ι₂
inst✝⁴ : Nonempty ι₁
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : NoMaxOrder α
f : ι₂ → α
φ : ι₁ → ι₂
l : α
hf : Monotone f
hg : Tendsto φ atTop atTop
h : Tendsto (f ∘ φ) atTop (𝓝 l)
l' : α
hl' : Tendsto f atTop (𝓝 l')
⊢ Tendsto f atTop (𝓝 l)
rwa [tendsto_nhds_unique h (hl'.comp hg)]