k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s : AffineSubspace k P
⊢ affineSpan k ↑s ≤ s
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s : AffineSubspace k P
⊢ affineSpan k ↑s = s
refine' le_antisymm _ (subset_spanPoints _ _)
case intro.intro.intro.intro
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s : AffineSubspace k P
p1 : P
hp1 : p1 ∈ ↑s
v : V
hv : v ∈ vectorSpan k ↑s
⊢ v +ᵥ p1 ∈ ↑s
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s : AffineSubspace k P
⊢ affineSpan k ↑s ≤ s
rintro p ⟨p1, hp1, v, hv, rfl⟩
no goals
case intro.intro.intro.intro
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s : AffineSubspace k P
p1 : P
hp1 : p1 ∈ ↑s
v : V
hv : v ∈ vectorSpan k ↑s
⊢ v +ᵥ p1 ∈ ↑s
exact vadd_mem_of_mem_direction hv hp1