case nil
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
⊢ powersetAux' [] ~ powersetAux' []

case cons
α : Type u_1
l₁✝ l₂✝ : List α
a : α
l₁ l₂ : List α
p : l₁ ~ l₂
IH : powersetAux' l₁ ~ powersetAux' l₂
⊢ powersetAux' (a :: l₁) ~ powersetAux' (a :: l₂)

case swap
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
a b : α
l : List α
⊢ powersetAux' (b :: a :: l) ~ powersetAux' (a :: b :: l)

case trans
α : Type u_1
l₁✝ l₂✝ l₁ l₂ l₃ : List α
a✝¹ : l₁ ~ l₂
a✝ : l₂ ~ l₃
IH₁ : powersetAux' l₁ ~ powersetAux' l₂
IH₂ : powersetAux' l₂ ~ powersetAux' l₃
⊢ powersetAux' l₁ ~ powersetAux' l₃
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
p : l₁ ~ l₂
⊢ powersetAux' l₁ ~ powersetAux' l₂
induction' p with a l₁ l₂ p IH a b l l₁ l₂ l₃ _ _ IH₁ IH₂
no goals
case nil
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
⊢ powersetAux' [] ~ powersetAux' []
simp
case cons
α : Type u_1
l₁✝ l₂✝ : List α
a : α
l₁ l₂ : List α
p : l₁ ~ l₂
IH : powersetAux' l₁ ~ powersetAux' l₂
⊢ powersetAux' l₁ ++ List.map (cons a) (powersetAux' l₁) ~ powersetAux' l₂ ++ List.map (cons a) (powersetAux' l₂)
case cons
α : Type u_1
l₁✝ l₂✝ : List α
a : α
l₁ l₂ : List α
p : l₁ ~ l₂
IH : powersetAux' l₁ ~ powersetAux' l₂
⊢ powersetAux' (a :: l₁) ~ powersetAux' (a :: l₂)
simp only [powersetAux'_cons]
no goals
case cons
α : Type u_1
l₁✝ l₂✝ : List α
a : α
l₁ l₂ : List α
p : l₁ ~ l₂
IH : powersetAux' l₁ ~ powersetAux' l₂
⊢ powersetAux' l₁ ++ List.map (cons a) (powersetAux' l₁) ~ powersetAux' l₂ ++ List.map (cons a) (powersetAux' l₂)
exact IH.append (IH.map _)
case swap
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
a b : α
l : List α
⊢ powersetAux' l ++
      (List.map (cons a) (powersetAux' l) ++
        (List.map (cons b) (powersetAux' l) ++ List.map (cons b ∘ cons a) (powersetAux' l))) ~
    powersetAux' l ++
      (List.map (cons b) (powersetAux' l) ++
        (List.map (cons a) (powersetAux' l) ++ List.map (cons a ∘ cons b) (powersetAux' l)))
case swap
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
a b : α
l : List α
⊢ powersetAux' (b :: a :: l) ~ powersetAux' (a :: b :: l)
simp only [powersetAux'_cons, map_append, List.map_map, append_assoc]
case swap.a
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
a b : α
l : List α
⊢ List.map (cons a) (powersetAux' l) ++
      (List.map (cons b) (powersetAux' l) ++ List.map (cons b ∘ cons a) (powersetAux' l)) ~
    List.map (cons b) (powersetAux' l) ++
      (List.map (cons a) (powersetAux' l) ++ List.map (cons a ∘ cons b) (powersetAux' l))
case swap
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
a b : α
l : List α
⊢ powersetAux' l ++
      (List.map (cons a) (powersetAux' l) ++
        (List.map (cons b) (powersetAux' l) ++ List.map (cons b ∘ cons a) (powersetAux' l))) ~
    powersetAux' l ++
      (List.map (cons b) (powersetAux' l) ++
        (List.map (cons a) (powersetAux' l) ++ List.map (cons a ∘ cons b) (powersetAux' l)))
apply Perm.append_left
case swap.a
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
a b : α
l : List α
⊢ List.map (cons a) (powersetAux' l) ++ List.map (cons b) (powersetAux' l) ++
      List.map (cons a ∘ cons b) (powersetAux' l) ~
    List.map (cons b) (powersetAux' l) ++ List.map (cons a) (powersetAux' l) ++
      List.map (cons a ∘ cons b) (powersetAux' l)
case swap.a
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
a b : α
l : List α
⊢ List.map (cons a) (powersetAux' l) ++
      (List.map (cons b) (powersetAux' l) ++ List.map (cons b ∘ cons a) (powersetAux' l)) ~
    List.map (cons b) (powersetAux' l) ++
      (List.map (cons a) (powersetAux' l) ++ List.map (cons a ∘ cons b) (powersetAux' l))
rw [← append_assoc, ← append_assoc,
  (by funext s; simp [cons_swap] : cons b ∘ cons a = cons a ∘ cons b)]
no goals
case swap.a
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
a b : α
l : List α
⊢ List.map (cons a) (powersetAux' l) ++ List.map (cons b) (powersetAux' l) ++
      List.map (cons a ∘ cons b) (powersetAux' l) ~
    List.map (cons b) (powersetAux' l) ++ List.map (cons a) (powersetAux' l) ++
      List.map (cons a ∘ cons b) (powersetAux' l)
exact perm_append_comm.append_right _
case h
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
a b : α
l : List α
s : Multiset α
⊢ (cons b ∘ cons a) s = (cons a ∘ cons b) s
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
a b : α
l : List α
⊢ cons b ∘ cons a = cons a ∘ cons b
funext s
no goals
case h
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
a b : α
l : List α
s : Multiset α
⊢ (cons b ∘ cons a) s = (cons a ∘ cons b) s
simp [cons_swap]
no goals
case trans
α : Type u_1
l₁✝ l₂✝ l₁ l₂ l₃ : List α
a✝¹ : l₁ ~ l₂
a✝ : l₂ ~ l₃
IH₁ : powersetAux' l₁ ~ powersetAux' l₂
IH₂ : powersetAux' l₂ ~ powersetAux' l₃
⊢ powersetAux' l₁ ~ powersetAux' l₃
exact IH₁.trans IH₂