k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
s : Finset ι
n : ℕ
hc : Finset.card s = n + 1
hi' : AffineIndependent k fun x => ↑x
⊢ finrank k { x // x ∈ vectorSpan k ↑(Finset.image p s) } = n
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
s : Finset ι
n : ℕ
hc : Finset.card s = n + 1
⊢ finrank k { x // x ∈ vectorSpan k ↑(Finset.image p s) } = n
have hi' := hi.range.mono (Set.image_subset_range p ↑s)
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
s : Finset ι
n : ℕ
hc : Finset.card s = n + 1
hi' : AffineIndependent k fun x => ↑x
hc' : Finset.card (Finset.image p s) = n + 1
⊢ finrank k { x // x ∈ vectorSpan k ↑(Finset.image p s) } = n
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
s : Finset ι
n : ℕ
hc : Finset.card s = n + 1
hi' : AffineIndependent k fun x => ↑x
⊢ finrank k { x // x ∈ vectorSpan k ↑(Finset.image p s) } = n
have hc' : (s.image p).card = n + 1 := by rwa [s.card_image_of_injective hi.injective]
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
s : Finset ι
n : ℕ
hc : Finset.card s = n + 1
hi' : AffineIndependent k fun x => ↑x
hc' : Finset.card (Finset.image p s) = n + 1
hn : Finset.Nonempty (Finset.image p s)
⊢ finrank k { x // x ∈ vectorSpan k ↑(Finset.image p s) } = n
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
s : Finset ι
n : ℕ
hc : Finset.card s = n + 1
hi' : AffineIndependent k fun x => ↑x
hc' : Finset.card (Finset.image p s) = n + 1
⊢ finrank k { x // x ∈ vectorSpan k ↑(Finset.image p s) } = n
have hn : (s.image p).Nonempty := by simp [hc', ← Finset.card_pos]
case intro
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
s : Finset ι
n : ℕ
hc : Finset.card s = n + 1
hi' : AffineIndependent k fun x => ↑x
hc' : Finset.card (Finset.image p s) = n + 1
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ Finset.image p s
⊢ finrank k { x // x ∈ vectorSpan k ↑(Finset.image p s) } = n
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
s : Finset ι
n : ℕ
hc : Finset.card s = n + 1
hi' : AffineIndependent k fun x => ↑x
hc' : Finset.card (Finset.image p s) = n + 1
hn : Finset.Nonempty (Finset.image p s)
⊢ finrank k { x // x ∈ vectorSpan k ↑(Finset.image p s) } = n
rcases hn with ⟨p₁, hp₁⟩
case intro
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
s : Finset ι
n : ℕ
hc : Finset.card s = n + 1
hi' : AffineIndependent k fun x => ↑x
hc' : Finset.card (Finset.image p s) = n + 1
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ Finset.image p s
hp₁' : p₁ ∈ p '' ↑s
⊢ finrank k { x // x ∈ vectorSpan k ↑(Finset.image p s) } = n
case intro
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
s : Finset ι
n : ℕ
hc : Finset.card s = n + 1
hi' : AffineIndependent k fun x => ↑x
hc' : Finset.card (Finset.image p s) = n + 1
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ Finset.image p s
⊢ finrank k { x // x ∈ vectorSpan k ↑(Finset.image p s) } = n
have hp₁' : p₁ ∈ p '' s := by simpa using hp₁
case intro
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
s : Finset ι
n : ℕ
hc : Finset.card s = n + 1
hc' : Finset.card (Finset.image p s) = n + 1
p₁ : P
hi'✝² : LinearIndependent k fun v => ↑v
hi'✝¹ : LinearIndependent k fun v => ↑v
hi'✝ : LinearIndependent k fun v => ↑v
hi' : LinearIndependent k fun v => ↑v
hp₁ : p₁ ∈ Finset.image p s
hp₁' : p₁ ∈ p '' ↑s
⊢ finrank k { x // x ∈ vectorSpan k ↑(Finset.image p s) } = n
case intro
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
s : Finset ι
n : ℕ
hc : Finset.card s = n + 1
hi' : AffineIndependent k fun x => ↑x
hc' : Finset.card (Finset.image p s) = n + 1
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ Finset.image p s
hp₁' : p₁ ∈ p '' ↑s
⊢ finrank k { x // x ∈ vectorSpan k ↑(Finset.image p s) } = n
rw [affineIndependent_set_iff_linearIndependent_vsub k hp₁', ← Finset.coe_singleton,
  ← Finset.coe_image, ← Finset.coe_sdiff, Finset.sdiff_singleton_eq_erase, ← Finset.coe_image]
  at hi'
case intro
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
s : Finset ι
n : ℕ
hc✝ : Finset.card s = n + 1
hc' : Finset.card (Finset.image p s) = n + 1
p₁ : P
hi'✝² : LinearIndependent k fun v => ↑v
hi'✝¹ : LinearIndependent k fun v => ↑v
hi'✝ : LinearIndependent k fun v => ↑v
hi' : LinearIndependent k fun v => ↑v
hp₁ : p₁ ∈ Finset.image p s
hp₁' : p₁ ∈ p '' ↑s
hc : Finset.card (Finset.image (fun p => p -ᵥ p₁) (Finset.erase (Finset.image p s) p₁)) = n
⊢ finrank k { x // x ∈ vectorSpan k ↑(Finset.image p s) } = n
case intro
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
s : Finset ι
n : ℕ
hc : Finset.card s = n + 1
hc' : Finset.card (Finset.image p s) = n + 1
p₁ : P
hi'✝² : LinearIndependent k fun v => ↑v
hi'✝¹ : LinearIndependent k fun v => ↑v
hi'✝ : LinearIndependent k fun v => ↑v
hi' : LinearIndependent k fun v => ↑v
hp₁ : p₁ ∈ Finset.image p s
hp₁' : p₁ ∈ p '' ↑s
⊢ finrank k { x // x ∈ vectorSpan k ↑(Finset.image p s) } = n
have hc : (Finset.image (fun p : P => p -ᵥ p₁) ((Finset.image p s).erase p₁)).card = n := by
  rw [Finset.card_image_of_injective _ (vsub_left_injective _), Finset.card_erase_of_mem hp₁]
  exact Nat.pred_eq_of_eq_succ hc'
no goals
case intro
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
s : Finset ι
n : ℕ
hc✝ : Finset.card s = n + 1
hc' : Finset.card (Finset.image p s) = n + 1
p₁ : P
hi'✝² : LinearIndependent k fun v => ↑v
hi'✝¹ : LinearIndependent k fun v => ↑v
hi'✝ : LinearIndependent k fun v => ↑v
hi' : LinearIndependent k fun v => ↑v
hp₁ : p₁ ∈ Finset.image p s
hp₁' : p₁ ∈ p '' ↑s
hc : Finset.card (Finset.image (fun p => p -ᵥ p₁) (Finset.erase (Finset.image p s) p₁)) = n
⊢ finrank k { x // x ∈ vectorSpan k ↑(Finset.image p s) } = n
rwa [vectorSpan_eq_span_vsub_finset_right_ne k hp₁, finrank_span_finset_eq_card, hc]
no goals
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
s : Finset ι
n : ℕ
hc : Finset.card s = n + 1
hi' : AffineIndependent k fun x => ↑x
⊢ Finset.card (Finset.image p s) = n + 1
rwa [s.card_image_of_injective hi.injective]
no goals
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
s : Finset ι
n : ℕ
hc : Finset.card s = n + 1
hi' : AffineIndependent k fun x => ↑x
hc' : Finset.card (Finset.image p s) = n + 1
⊢ Finset.Nonempty (Finset.image p s)
simp [hc', ← Finset.card_pos]
no goals
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
s : Finset ι
n : ℕ
hc : Finset.card s = n + 1
hi' : AffineIndependent k fun x => ↑x
hc' : Finset.card (Finset.image p s) = n + 1
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ Finset.image p s
⊢ p₁ ∈ p '' ↑s
simpa using hp₁
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
s : Finset ι
n : ℕ
hc : Finset.card s = n + 1
hc' : Finset.card (Finset.image p s) = n + 1
p₁ : P
hi'✝² : LinearIndependent k fun v => ↑v
hi'✝¹ : LinearIndependent k fun v => ↑v
hi'✝ : LinearIndependent k fun v => ↑v
hi' : LinearIndependent k fun v => ↑v
hp₁ : p₁ ∈ Finset.image p s
hp₁' : p₁ ∈ p '' ↑s
⊢ Finset.card (Finset.image p s) - 1 = n
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
s : Finset ι
n : ℕ
hc : Finset.card s = n + 1
hc' : Finset.card (Finset.image p s) = n + 1
p₁ : P
hi'✝² : LinearIndependent k fun v => ↑v
hi'✝¹ : LinearIndependent k fun v => ↑v
hi'✝ : LinearIndependent k fun v => ↑v
hi' : LinearIndependent k fun v => ↑v
hp₁ : p₁ ∈ Finset.image p s
hp₁' : p₁ ∈ p '' ↑s
⊢ Finset.card (Finset.image (fun p => p -ᵥ p₁) (Finset.erase (Finset.image p s) p₁)) = n
rw [Finset.card_image_of_injective _ (vsub_left_injective _), Finset.card_erase_of_mem hp₁]
no goals
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
s : Finset ι
n : ℕ
hc : Finset.card s = n + 1
hc' : Finset.card (Finset.image p s) = n + 1
p₁ : P
hi'✝² : LinearIndependent k fun v => ↑v
hi'✝¹ : LinearIndependent k fun v => ↑v
hi'✝ : LinearIndependent k fun v => ↑v
hi' : LinearIndependent k fun v => ↑v
hp₁ : p₁ ∈ Finset.image p s
hp₁' : p₁ ∈ p '' ↑s
⊢ Finset.card (Finset.image p s) - 1 = n
exact Nat.pred_eq_of_eq_succ hc'