case hB
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : DenselyOrdered α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : RegularSpace β
f : α → β
a b : α
la : β
hab : a < b
hf : ContinuousOn f (Ioo a b)
ha : Tendsto f (𝓝[Ioi a] a) (𝓝 la)
⊢ Ico a b ⊆ closure (Ioo a b)

case hf
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : DenselyOrdered α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : RegularSpace β
f : α → β
a b : α
la : β
hab : a < b
hf : ContinuousOn f (Ioo a b)
ha : Tendsto f (𝓝[Ioi a] a) (𝓝 la)
⊢ ∀ (x : α), x ∈ Ico a b → ∃ y, Tendsto f (𝓝[Ioo a b] x) (𝓝 y)
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : DenselyOrdered α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : RegularSpace β
f : α → β
a b : α
la : β
hab : a < b
hf : ContinuousOn f (Ioo a b)
ha : Tendsto f (𝓝[Ioi a] a) (𝓝 la)
⊢ ContinuousOn (extendFrom (Ioo a b) f) (Ico a b)
apply continuousOn_extendFrom
case hB
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : DenselyOrdered α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : RegularSpace β
f : α → β
a b : α
la : β
hab : a < b
hf : ContinuousOn f (Ioo a b)
ha : Tendsto f (𝓝[Ioi a] a) (𝓝 la)
⊢ Ico a b ⊆ Icc a b
case hB
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : DenselyOrdered α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : RegularSpace β
f : α → β
a b : α
la : β
hab : a < b
hf : ContinuousOn f (Ioo a b)
ha : Tendsto f (𝓝[Ioi a] a) (𝓝 la)
⊢ Ico a b ⊆ closure (Ioo a b)
rw [closure_Ioo hab.ne]
no goals
case hB
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : DenselyOrdered α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : RegularSpace β
f : α → β
a b : α
la : β
hab : a < b
hf : ContinuousOn f (Ioo a b)
ha : Tendsto f (𝓝[Ioi a] a) (𝓝 la)
⊢ Ico a b ⊆ Icc a b
exact Ico_subset_Icc_self
case hf
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : DenselyOrdered α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : RegularSpace β
f : α → β
a b : α
la : β
hab : a < b
hf : ContinuousOn f (Ioo a b)
ha : Tendsto f (𝓝[Ioi a] a) (𝓝 la)
x : α
x_in : x ∈ Ico a b
⊢ ∃ y, Tendsto f (𝓝[Ioo a b] x) (𝓝 y)
case hf
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : DenselyOrdered α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : RegularSpace β
f : α → β
a b : α
la : β
hab : a < b
hf : ContinuousOn f (Ioo a b)
ha : Tendsto f (𝓝[Ioi a] a) (𝓝 la)
⊢ ∀ (x : α), x ∈ Ico a b → ∃ y, Tendsto f (𝓝[Ioo a b] x) (𝓝 y)
intro x x_in
case hf.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : DenselyOrdered α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : RegularSpace β
f : α → β
b : α
la : β
x : α
hab : x < b
hf : ContinuousOn f (Ioo x b)
ha : Tendsto f (𝓝[Ioi x] x) (𝓝 la)
x_in : x ∈ Ico x b
⊢ ∃ y, Tendsto f (𝓝[Ioo x b] x) (𝓝 y)

case hf.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : DenselyOrdered α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : RegularSpace β
f : α → β
a b : α
la : β
hab : a < b
hf : ContinuousOn f (Ioo a b)
ha : Tendsto f (𝓝[Ioi a] a) (𝓝 la)
x : α
x_in : x ∈ Ico a b
h : x ∈ Ioo a b
⊢ ∃ y, Tendsto f (𝓝[Ioo a b] x) (𝓝 y)
case hf
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : DenselyOrdered α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : RegularSpace β
f : α → β
a b : α
la : β
hab : a < b
hf : ContinuousOn f (Ioo a b)
ha : Tendsto f (𝓝[Ioi a] a) (𝓝 la)
x : α
x_in : x ∈ Ico a b
⊢ ∃ y, Tendsto f (𝓝[Ioo a b] x) (𝓝 y)
rcases eq_left_or_mem_Ioo_of_mem_Ico x_in with (rfl | h)
case hf.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : DenselyOrdered α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : RegularSpace β
f : α → β
b : α
la : β
x : α
hab : x < b
hf : ContinuousOn f (Ioo x b)
ha : Tendsto f (𝓝[Ioi x] x) (𝓝 la)
x_in : x ∈ Ico x b
⊢ Tendsto f (𝓝[Ioo x b] x) (𝓝 la)
case hf.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : DenselyOrdered α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : RegularSpace β
f : α → β
b : α
la : β
x : α
hab : x < b
hf : ContinuousOn f (Ioo x b)
ha : Tendsto f (𝓝[Ioi x] x) (𝓝 la)
x_in : x ∈ Ico x b
⊢ ∃ y, Tendsto f (𝓝[Ioo x b] x) (𝓝 y)
use la
no goals
case hf.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : DenselyOrdered α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : RegularSpace β
f : α → β
b : α
la : β
x : α
hab : x < b
hf : ContinuousOn f (Ioo x b)
ha : Tendsto f (𝓝[Ioi x] x) (𝓝 la)
x_in : x ∈ Ico x b
⊢ Tendsto f (𝓝[Ioo x b] x) (𝓝 la)
simpa [hab]
no goals
case hf.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : DenselyOrdered α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : RegularSpace β
f : α → β
a b : α
la : β
hab : a < b
hf : ContinuousOn f (Ioo a b)
ha : Tendsto f (𝓝[Ioi a] a) (𝓝 la)
x : α
x_in : x ∈ Ico a b
h : x ∈ Ioo a b
⊢ ∃ y, Tendsto f (𝓝[Ioo a b] x) (𝓝 y)
exact ⟨f x, hf x h⟩