E : Type u_2
F : Type ?u.106682
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f✝ : E → F
φ : E → ℝ
x₀ : E
f'✝ : E →L[ℝ] F
φ' : E →L[ℝ] ℝ
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
f : ι → E → ℝ
f' : ι → E →L[ℝ] ℝ
hextr : IsLocalExtrOn φ {x | ∀ (i : ι), f i x = f i x₀} x₀
hf' : ∀ (i : ι), HasStrictFDerivAt (f i) (f' i) x₀
hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
⊢ ∃ Λ Λ₀, (Λ, Λ₀) ≠ 0 ∧ ∑ i : ι, Λ i • f' i + Λ₀ • φ' = 0
E : Type u_2
F : Type ?u.106682
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f✝ : E → F
φ : E → ℝ
x₀ : E
f'✝ : E →L[ℝ] F
φ' : E →L[ℝ] ℝ
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
f : ι → E → ℝ
f' : ι → E →L[ℝ] ℝ
hextr : IsLocalExtrOn φ {x | ∀ (i : ι), f i x = f i x₀} x₀
hf' : ∀ (i : ι), HasStrictFDerivAt (f i) (f' i) x₀
hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀
⊢ ∃ Λ Λ₀, (Λ, Λ₀) ≠ 0 ∧ ∑ i : ι, Λ i • f' i + Λ₀ • φ' = 0
letI := Classical.decEq ι
case hextr
E : Type u_2
F : Type ?u.106682
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f✝ : E → F
φ : E → ℝ
x₀ : E
f'✝ : E →L[ℝ] F
φ' : E →L[ℝ] ℝ
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
f : ι → E → ℝ
f' : ι → E →L[ℝ] ℝ
hextr : IsLocalExtrOn φ {x | ∀ (i : ι), f i x = f i x₀} x₀
hf' : ∀ (i : ι), HasStrictFDerivAt (f i) (f' i) x₀
hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
⊢ IsLocalExtrOn φ {x | (fun i => f i x) = fun i => f i x₀} x₀

E : Type u_2
F : Type ?u.106682
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f✝ : E → F
φ : E → ℝ
x₀ : E
f'✝ : E →L[ℝ] F
φ' : E →L[ℝ] ℝ
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
f : ι → E → ℝ
f' : ι → E →L[ℝ] ℝ
hf' : ∀ (i : ι), HasStrictFDerivAt (f i) (f' i) x₀
hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
hextr : IsLocalExtrOn φ {x | (fun i => f i x) = fun i => f i x₀} x₀
⊢ ∃ Λ Λ₀, (Λ, Λ₀) ≠ 0 ∧ ∑ i : ι, Λ i • f' i + Λ₀ • φ' = 0
E : Type u_2
F : Type ?u.106682
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f✝ : E → F
φ : E → ℝ
x₀ : E
f'✝ : E →L[ℝ] F
φ' : E →L[ℝ] ℝ
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
f : ι → E → ℝ
f' : ι → E →L[ℝ] ℝ
hextr : IsLocalExtrOn φ {x | ∀ (i : ι), f i x = f i x₀} x₀
hf' : ∀ (i : ι), HasStrictFDerivAt (f i) (f' i) x₀
hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
⊢ ∃ Λ Λ₀, (Λ, Λ₀) ≠ 0 ∧ ∑ i : ι, Λ i • f' i + Λ₀ • φ' = 0
replace hextr : IsLocalExtrOn φ {x | (fun i => f i x) = fun i => f i x₀} x₀
case intro.intro.intro
E : Type u_2
F : Type ?u.106682
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f✝ : E → F
φ : E → ℝ
x₀ : E
f'✝ : E →L[ℝ] F
φ' : E →L[ℝ] ℝ
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
f : ι → E → ℝ
f' : ι → E →L[ℝ] ℝ
hf' : ∀ (i : ι), HasStrictFDerivAt (f i) (f' i) x₀
hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
hextr : IsLocalExtrOn φ {x | (fun i => f i x) = fun i => f i x₀} x₀
Λ : Module.Dual ℝ (ι → ℝ)
Λ₀ : ℝ
h0 : (Λ, Λ₀) ≠ 0
hsum : ∀ (x : E), ↑Λ (↑(ContinuousLinearMap.pi fun i => f' i) x) + Λ₀ • ↑φ' x = 0
⊢ ∃ Λ Λ₀, (Λ, Λ₀) ≠ 0 ∧ ∑ i : ι, Λ i • f' i + Λ₀ • φ' = 0
E : Type u_2
F : Type ?u.106682
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f✝ : E → F
φ : E → ℝ
x₀ : E
f'✝ : E →L[ℝ] F
φ' : E →L[ℝ] ℝ
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
f : ι → E → ℝ
f' : ι → E →L[ℝ] ℝ
hf' : ∀ (i : ι), HasStrictFDerivAt (f i) (f' i) x₀
hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
hextr : IsLocalExtrOn φ {x | (fun i => f i x) = fun i => f i x₀} x₀
⊢ ∃ Λ Λ₀, (Λ, Λ₀) ≠ 0 ∧ ∑ i : ι, Λ i • f' i + Λ₀ • φ' = 0
rcases hextr.exists_linear_map_of_hasStrictFDerivAt (hasStrictFDerivAt_pi.2 fun i => hf' i)
    hφ' with
  ⟨Λ, Λ₀, h0, hsum⟩
case intro.intro.intro.intro
E : Type u_2
F : Type ?u.106682
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f✝ : E → F
φ : E → ℝ
x₀ : E
f'✝ : E →L[ℝ] F
φ' : E →L[ℝ] ℝ
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
f : ι → E → ℝ
f' : ι → E →L[ℝ] ℝ
hf' : ∀ (i : ι), HasStrictFDerivAt (f i) (f' i) x₀
hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
hextr : IsLocalExtrOn φ {x | (fun i => f i x) = fun i => f i x₀} x₀
Λ₀ : ℝ
Λ : ι → ℝ
h0 : (↑(LinearEquiv.symm (LinearEquiv.piRing ℝ ℝ ι ℝ)) Λ, Λ₀) ≠ 0
hsum :
  ∀ (x : E),
    ↑(↑(LinearEquiv.symm (LinearEquiv.piRing ℝ ℝ ι ℝ)) Λ) (↑(ContinuousLinearMap.pi fun i => f' i) x) + Λ₀ • ↑φ' x = 0
⊢ ∃ Λ Λ₀, (Λ, Λ₀) ≠ 0 ∧ ∑ i : ι, Λ i • f' i + Λ₀ • φ' = 0
case intro.intro.intro
E : Type u_2
F : Type ?u.106682
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f✝ : E → F
φ : E → ℝ
x₀ : E
f'✝ : E →L[ℝ] F
φ' : E →L[ℝ] ℝ
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
f : ι → E → ℝ
f' : ι → E →L[ℝ] ℝ
hf' : ∀ (i : ι), HasStrictFDerivAt (f i) (f' i) x₀
hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
hextr : IsLocalExtrOn φ {x | (fun i => f i x) = fun i => f i x₀} x₀
Λ : Module.Dual ℝ (ι → ℝ)
Λ₀ : ℝ
h0 : (Λ, Λ₀) ≠ 0
hsum : ∀ (x : E), ↑Λ (↑(ContinuousLinearMap.pi fun i => f' i) x) + Λ₀ • ↑φ' x = 0
⊢ ∃ Λ Λ₀, (Λ, Λ₀) ≠ 0 ∧ ∑ i : ι, Λ i • f' i + Λ₀ • φ' = 0
rcases (LinearEquiv.piRing ℝ ℝ ι ℝ).symm.surjective Λ with ⟨Λ, rfl⟩
case intro.intro.intro.intro.refine'_1
E : Type u_2
F : Type ?u.106682
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f✝ : E → F
φ : E → ℝ
x₀ : E
f'✝ : E →L[ℝ] F
φ' : E →L[ℝ] ℝ
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
f : ι → E → ℝ
f' : ι → E →L[ℝ] ℝ
hf' : ∀ (i : ι), HasStrictFDerivAt (f i) (f' i) x₀
hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
hextr : IsLocalExtrOn φ {x | (fun i => f i x) = fun i => f i x₀} x₀
Λ₀ : ℝ
Λ : ι → ℝ
h0 : (↑(LinearEquiv.symm (LinearEquiv.piRing ℝ ℝ ι ℝ)) Λ, Λ₀) ≠ 0
hsum :
  ∀ (x : E),
    ↑(↑(LinearEquiv.symm (LinearEquiv.piRing ℝ ℝ ι ℝ)) Λ) (↑(ContinuousLinearMap.pi fun i => f' i) x) + Λ₀ • ↑φ' x = 0
⊢ (Λ, Λ₀) ≠ 0

case intro.intro.intro.intro.refine'_2
E : Type u_2
F : Type ?u.106682
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f✝ : E → F
φ : E → ℝ
x₀ : E
f'✝ : E →L[ℝ] F
φ' : E →L[ℝ] ℝ
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
f : ι → E → ℝ
f' : ι → E →L[ℝ] ℝ
hf' : ∀ (i : ι), HasStrictFDerivAt (f i) (f' i) x₀
hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
hextr : IsLocalExtrOn φ {x | (fun i => f i x) = fun i => f i x₀} x₀
Λ₀ : ℝ
Λ : ι → ℝ
h0 : (↑(LinearEquiv.symm (LinearEquiv.piRing ℝ ℝ ι ℝ)) Λ, Λ₀) ≠ 0
hsum :
  ∀ (x : E),
    ↑(↑(LinearEquiv.symm (LinearEquiv.piRing ℝ ℝ ι ℝ)) Λ) (↑(ContinuousLinearMap.pi fun i => f' i) x) + Λ₀ • ↑φ' x = 0
⊢ ∑ i : ι, Λ i • f' i + Λ₀ • φ' = 0
case intro.intro.intro.intro
E : Type u_2
F : Type ?u.106682
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f✝ : E → F
φ : E → ℝ
x₀ : E
f'✝ : E →L[ℝ] F
φ' : E →L[ℝ] ℝ
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
f : ι → E → ℝ
f' : ι → E →L[ℝ] ℝ
hf' : ∀ (i : ι), HasStrictFDerivAt (f i) (f' i) x₀
hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
hextr : IsLocalExtrOn φ {x | (fun i => f i x) = fun i => f i x₀} x₀
Λ₀ : ℝ
Λ : ι → ℝ
h0 : (↑(LinearEquiv.symm (LinearEquiv.piRing ℝ ℝ ι ℝ)) Λ, Λ₀) ≠ 0
hsum :
  ∀ (x : E),
    ↑(↑(LinearEquiv.symm (LinearEquiv.piRing ℝ ℝ ι ℝ)) Λ) (↑(ContinuousLinearMap.pi fun i => f' i) x) + Λ₀ • ↑φ' x = 0
⊢ ∃ Λ Λ₀, (Λ, Λ₀) ≠ 0 ∧ ∑ i : ι, Λ i • f' i + Λ₀ • φ' = 0
refine' ⟨Λ, Λ₀, _, _⟩
no goals
case hextr
E : Type u_2
F : Type ?u.106682
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f✝ : E → F
φ : E → ℝ
x₀ : E
f'✝ : E →L[ℝ] F
φ' : E →L[ℝ] ℝ
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
f : ι → E → ℝ
f' : ι → E →L[ℝ] ℝ
hextr : IsLocalExtrOn φ {x | ∀ (i : ι), f i x = f i x₀} x₀
hf' : ∀ (i : ι), HasStrictFDerivAt (f i) (f' i) x₀
hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
⊢ IsLocalExtrOn φ {x | (fun i => f i x) = fun i => f i x₀} x₀
simpa only [Function.funext_iff] using hextr
no goals
case intro.intro.intro.intro.refine'_1
E : Type u_2
F : Type ?u.106682
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f✝ : E → F
φ : E → ℝ
x₀ : E
f'✝ : E →L[ℝ] F
φ' : E →L[ℝ] ℝ
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
f : ι → E → ℝ
f' : ι → E →L[ℝ] ℝ
hf' : ∀ (i : ι), HasStrictFDerivAt (f i) (f' i) x₀
hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
hextr : IsLocalExtrOn φ {x | (fun i => f i x) = fun i => f i x₀} x₀
Λ₀ : ℝ
Λ : ι → ℝ
h0 : (↑(LinearEquiv.symm (LinearEquiv.piRing ℝ ℝ ι ℝ)) Λ, Λ₀) ≠ 0
hsum :
  ∀ (x : E),
    ↑(↑(LinearEquiv.symm (LinearEquiv.piRing ℝ ℝ ι ℝ)) Λ) (↑(ContinuousLinearMap.pi fun i => f' i) x) + Λ₀ • ↑φ' x = 0
⊢ (Λ, Λ₀) ≠ 0
simpa only [Ne.def, Prod.ext_iff, LinearEquiv.map_eq_zero_iff, Prod.fst_zero] using h0
case intro.intro.intro.intro.refine'_2.h
E : Type u_2
F : Type ?u.106682
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f✝ : E → F
φ : E → ℝ
x₀ : E
f'✝ : E →L[ℝ] F
φ' : E →L[ℝ] ℝ
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
f : ι → E → ℝ
f' : ι → E →L[ℝ] ℝ
hf' : ∀ (i : ι), HasStrictFDerivAt (f i) (f' i) x₀
hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
hextr : IsLocalExtrOn φ {x | (fun i => f i x) = fun i => f i x₀} x₀
Λ₀ : ℝ
Λ : ι → ℝ
h0 : (↑(LinearEquiv.symm (LinearEquiv.piRing ℝ ℝ ι ℝ)) Λ, Λ₀) ≠ 0
hsum :
  ∀ (x : E),
    ↑(↑(LinearEquiv.symm (LinearEquiv.piRing ℝ ℝ ι ℝ)) Λ) (↑(ContinuousLinearMap.pi fun i => f' i) x) + Λ₀ • ↑φ' x = 0
x : E
⊢ ↑(∑ i : ι, Λ i • f' i + Λ₀ • φ') x = ↑0 x
case intro.intro.intro.intro.refine'_2
E : Type u_2
F : Type ?u.106682
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f✝ : E → F
φ : E → ℝ
x₀ : E
f'✝ : E →L[ℝ] F
φ' : E →L[ℝ] ℝ
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
f : ι → E → ℝ
f' : ι → E →L[ℝ] ℝ
hf' : ∀ (i : ι), HasStrictFDerivAt (f i) (f' i) x₀
hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
hextr : IsLocalExtrOn φ {x | (fun i => f i x) = fun i => f i x₀} x₀
Λ₀ : ℝ
Λ : ι → ℝ
h0 : (↑(LinearEquiv.symm (LinearEquiv.piRing ℝ ℝ ι ℝ)) Λ, Λ₀) ≠ 0
hsum :
  ∀ (x : E),
    ↑(↑(LinearEquiv.symm (LinearEquiv.piRing ℝ ℝ ι ℝ)) Λ) (↑(ContinuousLinearMap.pi fun i => f' i) x) + Λ₀ • ↑φ' x = 0
⊢ ∑ i : ι, Λ i • f' i + Λ₀ • φ' = 0
ext x
no goals
case intro.intro.intro.intro.refine'_2.h
E : Type u_2
F : Type ?u.106682
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f✝ : E → F
φ : E → ℝ
x₀ : E
f'✝ : E →L[ℝ] F
φ' : E →L[ℝ] ℝ
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
f : ι → E → ℝ
f' : ι → E →L[ℝ] ℝ
hf' : ∀ (i : ι), HasStrictFDerivAt (f i) (f' i) x₀
hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
hextr : IsLocalExtrOn φ {x | (fun i => f i x) = fun i => f i x₀} x₀
Λ₀ : ℝ
Λ : ι → ℝ
h0 : (↑(LinearEquiv.symm (LinearEquiv.piRing ℝ ℝ ι ℝ)) Λ, Λ₀) ≠ 0
hsum :
  ∀ (x : E),
    ↑(↑(LinearEquiv.symm (LinearEquiv.piRing ℝ ℝ ι ℝ)) Λ) (↑(ContinuousLinearMap.pi fun i => f' i) x) + Λ₀ • ↑φ' x = 0
x : E
⊢ ↑(∑ i : ι, Λ i • f' i + Λ₀ • φ') x = ↑0 x
simpa [mul_comm] using hsum x