α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.716015
G : Type ?u.716018
𝕜 : Type ?u.716021
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
T : Set α → E →L[ℝ] F
s : Set α
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s < ⊤
x : E
h_empty : T ∅ = 0
⊢ setToL1S T (indicatorConst 1 hs (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) x) = ↑(T s) x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.716015
G : Type ?u.716018
𝕜 : Type ?u.716021
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
T : Set α → E →L[ℝ] F
s : Set α
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s < ⊤
x : E
⊢ setToL1S T (indicatorConst 1 hs (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) x) = ↑(T s) x
have h_empty : T ∅ = 0 := h_zero _ MeasurableSet.empty measure_empty
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.716015
G : Type ?u.716018
𝕜 : Type ?u.716021
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
T : Set α → E →L[ℝ] F
s : Set α
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s < ⊤
x : E
h_empty : T ∅ = 0
⊢ SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc (indicatorConst 1 hs (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) x)) = ↑(T s) x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.716015
G : Type ?u.716018
𝕜 : Type ?u.716021
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inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
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inst✝² : NormedAddCommGroup G
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inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
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h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
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hμs : ↑↑μ s < ⊤
x : E
h_empty : T ∅ = 0
⊢ setToL1S T (indicatorConst 1 hs (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) x) = ↑(T s) x
rw [setToL1S_eq_setToSimpleFunc]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.716015
G : Type ?u.716018
𝕜 : Type ?u.716021
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
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inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
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m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
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inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
T : Set α → E →L[ℝ] F
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h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s < ⊤
x : E
h_empty : T ∅ = 0
⊢ SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc (indicatorConst 1 hs (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) x)) =
    SimpleFunc.setToSimpleFunc T (SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α x) (SimpleFunc.const α 0))
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.716015
G : Type ?u.716018
𝕜 : Type ?u.716021
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
T : Set α → E →L[ℝ] F
s : Set α
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s < ⊤
x : E
h_empty : T ∅ = 0
⊢ SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc (indicatorConst 1 hs (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) x)) = ↑(T s) x
refine' Eq.trans _ (SimpleFunc.setToSimpleFunc_indicator T h_empty hs x)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.716015
G : Type ?u.716018
𝕜 : Type ?u.716021
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
T : Set α → E →L[ℝ] F
s : Set α
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s < ⊤
x : E
h_empty : T ∅ = 0
⊢ ↑(toSimpleFunc (indicatorConst 1 hs (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) x)) =ᵐ[μ]
    ↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α x) (SimpleFunc.const α 0))
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.716015
G : Type ?u.716018
𝕜 : Type ?u.716021
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
T : Set α → E →L[ℝ] F
s : Set α
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s < ⊤
x : E
h_empty : T ∅ = 0
⊢ SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc (indicatorConst 1 hs (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) x)) =
    SimpleFunc.setToSimpleFunc T (SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α x) (SimpleFunc.const α 0))
refine' SimpleFunc.setToSimpleFunc_congr T h_zero h_add (SimpleFunc.integrable _) _
no goals
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.716015
G : Type ?u.716018
𝕜 : Type ?u.716021
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
T : Set α → E →L[ℝ] F
s : Set α
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s < ⊤
x : E
h_empty : T ∅ = 0
⊢ ↑(toSimpleFunc (indicatorConst 1 hs (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) x)) =ᵐ[μ]
    ↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α x) (SimpleFunc.const α 0))
exact toSimpleFunc_indicatorConst hs hμs.ne x