R : Type ?u.15693
A : Type ?u.15696
K : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : IsDomain A
R₁ : Type u_2
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
hIJ : I ≤ J
x : K
⊢ x ∈ (fun a => ↑a) J⁻¹ → x ∈ (fun a => ↑a) I⁻¹
R : Type ?u.15693
A : Type ?u.15696
K : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : IsDomain A
R₁ : Type u_2
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
hIJ : I ≤ J
⊢ J⁻¹ ≤ I⁻¹
intro x
R : Type ?u.15693
A : Type ?u.15696
K : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : IsDomain A
R₁ : Type u_2
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
hIJ : I ≤ J
x : K
⊢ (∀ (y : K), y ∈ J → x * y ∈ 1) → ∀ (y : K), y ∈ I → x * y ∈ 1
R : Type ?u.15693
A : Type ?u.15696
K : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : IsDomain A
R₁ : Type u_2
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
hIJ : I ≤ J
x : K
⊢ x ∈ (fun a => ↑a) J⁻¹ → x ∈ (fun a => ↑a) I⁻¹
simp only [val_eq_coe, mem_coe, mem_inv_iff hJ, mem_inv_iff hI]
no goals
R : Type ?u.15693
A : Type ?u.15696
K : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : IsDomain A
R₁ : Type u_2
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
hIJ : I ≤ J
x : K
⊢ (∀ (y : K), y ∈ J → x * y ∈ 1) → ∀ (y : K), y ∈ I → x * y ∈ 1
exact fun h y hy => h y (hIJ hy)