α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ ∃ i, b ∈ Ico (a + i • p) (a + (i + 1) • p)
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a : α
⊢ (⋃ (n : ℤ), Ico (a + n • p) (a + (n + 1) • p)) = univ
refine' eq_univ_iff_forall.mpr fun b => mem_iUnion.mpr _
case intro
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
hl : a ≤ b - toIcoDiv hp a b • p
hr : b - toIcoDiv hp a b • p < a + p
⊢ ∃ i, b ∈ Ico (a + i • p) (a + (i + 1) • p)
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
⊢ ∃ i, b ∈ Ico (a + i • p) (a + (i + 1) • p)
rcases sub_toIcoDiv_zsmul_mem_Ico hp a b with ⟨hl, hr⟩
case intro
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
hl : a ≤ b - toIcoDiv hp a b • p
hr : b - toIcoDiv hp a b • p < a + p
⊢ b < a + (toIcoDiv hp a b + 1) • p
case intro
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
hl : a ≤ b - toIcoDiv hp a b • p
hr : b - toIcoDiv hp a b • p < a + p
⊢ ∃ i, b ∈ Ico (a + i • p) (a + (i + 1) • p)
refine' ⟨toIcoDiv hp a b, ⟨le_sub_iff_add_le.mp hl, _⟩⟩
case intro
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
hl : a ≤ b - toIcoDiv hp a b • p
hr : b - toIcoDiv hp a b • p < a + p
⊢ b < a + toIcoDiv hp a b • p + p
case intro
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
hl : a ≤ b - toIcoDiv hp a b • p
hr : b - toIcoDiv hp a b • p < a + p
⊢ b < a + (toIcoDiv hp a b + 1) • p
rw [add_smul, one_smul, ← add_assoc]
case h.e'_4
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
hl : a ≤ b - toIcoDiv hp a b • p
hr : b - toIcoDiv hp a b • p < a + p
⊢ a + toIcoDiv hp a b • p + p = a + p + toIcoDiv hp a b • p
case intro
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
hl : a ≤ b - toIcoDiv hp a b • p
hr : b - toIcoDiv hp a b • p < a + p
⊢ b < a + toIcoDiv hp a b • p + p
convert sub_lt_iff_lt_add.mp hr using 1
no goals
case h.e'_4
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
hl : a ≤ b - toIcoDiv hp a b • p
hr : b - toIcoDiv hp a b • p < a + p
⊢ a + toIcoDiv hp a b • p + p = a + p + toIcoDiv hp a b • p
abel