α : Type u_2
β : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup β
u v w : α → β
l : Filter α
c : β
h : c ≠ 0
⊢ Tendsto (u - fun x => c) l (𝓝 0) ↔ Tendsto u l (𝓝 c)
α : Type u_2
β : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup β
u v w : α → β
l : Filter α
c : β
h : c ≠ 0
⊢ u ~[l] const α c ↔ Tendsto u l (𝓝 c)
simp_rw [IsEquivalent, const, isLittleO_const_iff h]
case mp
α : Type u_2
β : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup β
u v w : α → β
l : Filter α
c : β
h✝ : c ≠ 0
h : Tendsto (u - fun x => c) l (𝓝 0)
⊢ Tendsto u l (𝓝 c)

case mpr
α : Type u_2
β : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup β
u v w : α → β
l : Filter α
c : β
h✝ : c ≠ 0
h : Tendsto u l (𝓝 c)
⊢ Tendsto (u - fun x => c) l (𝓝 0)
α : Type u_2
β : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup β
u v w : α → β
l : Filter α
c : β
h : c ≠ 0
⊢ Tendsto (u - fun x => c) l (𝓝 0) ↔ Tendsto u l (𝓝 c)
constructor <;> intro h
case mp
α : Type u_2
β : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup β
u v w : α → β
l : Filter α
c : β
h✝ : c ≠ 0
h : Tendsto (u - fun x => c) l (𝓝 0)
this : Tendsto (fun x => (u - fun x => c) x - -c) l (𝓝 (0 - -c))
⊢ Tendsto u l (𝓝 c)
case mp
α : Type u_2
β : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup β
u v w : α → β
l : Filter α
c : β
h✝ : c ≠ 0
h : Tendsto (u - fun x => c) l (𝓝 0)
⊢ Tendsto u l (𝓝 c)
have := h.sub (tendsto_const_nhds (a := -c))
case mp
α : Type u_2
β : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup β
u v w : α → β
l : Filter α
c : β
h✝ : c ≠ 0
h : Tendsto (u - fun x => c) l (𝓝 0)
this : Tendsto (fun x => u x) l (𝓝 c)
⊢ Tendsto u l (𝓝 c)
case mp
α : Type u_2
β : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup β
u v w : α → β
l : Filter α
c : β
h✝ : c ≠ 0
h : Tendsto (u - fun x => c) l (𝓝 0)
this : Tendsto (fun x => (u - fun x => c) x - -c) l (𝓝 (0 - -c))
⊢ Tendsto u l (𝓝 c)
simp only [Pi.sub_apply, sub_neg_eq_add, sub_add_cancel, zero_add] at this
no goals
case mp
α : Type u_2
β : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup β
u v w : α → β
l : Filter α
c : β
h✝ : c ≠ 0
h : Tendsto (u - fun x => c) l (𝓝 0)
this : Tendsto (fun x => u x) l (𝓝 c)
⊢ Tendsto u l (𝓝 c)
exact this
case mpr
α : Type u_2
β : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup β
u v w : α → β
l : Filter α
c : β
h✝ : c ≠ 0
h : Tendsto u l (𝓝 c)
this : Tendsto (fun x => u x - c) l (𝓝 (c - c))
⊢ Tendsto (u - fun x => c) l (𝓝 0)
case mpr
α : Type u_2
β : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup β
u v w : α → β
l : Filter α
c : β
h✝ : c ≠ 0
h : Tendsto u l (𝓝 c)
⊢ Tendsto (u - fun x => c) l (𝓝 0)
have := h.sub (tendsto_const_nhds (a := c))
no goals
case mpr
α : Type u_2
β : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup β
u v w : α → β
l : Filter α
c : β
h✝ : c ≠ 0
h : Tendsto u l (𝓝 c)
this : Tendsto (fun x => u x - c) l (𝓝 (c - c))
⊢ Tendsto (u - fun x => c) l (𝓝 0)
rwa [sub_self] at this