ι : Type u_3
ι' : Type ?u.461943
R : Type u_2
R₂ : Type ?u.461949
K : Type ?u.461952
M : Type u_1
M' : Type ?u.461958
M'' : Type ?u.461961
V : Type u
V' : Type ?u.461966
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x✝ x : M
⊢ ∑ a in (↑b.repr x).support, ↑(↑b.repr x) a • ↑b a ∈ span R (range ↑b)
ι : Type u_3
ι' : Type ?u.461943
R : Type u_2
R₂ : Type ?u.461949
K : Type ?u.461952
M : Type u_1
M' : Type ?u.461958
M'' : Type ?u.461961
V : Type u
V' : Type ?u.461966
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x✝ x : M
⊢ x ∈ span R (range ↑b)
rw [← b.total_repr x, Finsupp.total_apply, Finsupp.sum]
no goals
ι : Type u_3
ι' : Type ?u.461943
R : Type u_2
R₂ : Type ?u.461949
K : Type ?u.461952
M : Type u_1
M' : Type ?u.461958
M'' : Type ?u.461961
V : Type u
V' : Type ?u.461966
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x✝ x : M
⊢ ∑ a in (↑b.repr x).support, ↑(↑b.repr x) a • ↑b a ∈ span R (range ↑b)
exact Submodule.sum_mem _ fun i _ => Submodule.smul_mem _ _ (Submodule.subset_span ⟨i, rfl⟩)