no goals
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_2
ι2 : Type u_1
f : ι2 ↪ ι
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
⊢ AffineIndependent k (p ∘ ↑f)
classical
  intro fs w hw hs i0 hi0
  let fs' := fs.map f
  let w' i := if h : ∃ i2, f i2 = i then w h.choose else 0
  have hw' : ∀ i2 : ι2, w' (f i2) = w i2 := by
    intro i2
    have h : ∃ i : ι2, f i = f i2 := ⟨i2, rfl⟩
    have hs : h.choose = i2 := f.injective h.choose_spec
    simp_rw [dif_pos h, hs]
  have hw's : (∑ i in fs', w' i) = 0 := by
    rw [← hw, Finset.sum_map]
    simp [hw']
  have hs' : fs'.weightedVSub p w' = (0 : V) := by
    rw [← hs, Finset.weightedVSub_map]
    congr with i
    simp_all only [comp_apply, EmbeddingLike.apply_eq_iff_eq, exists_eq, dite_true]
  rw [← ha fs' w' hw's hs' (f i0) ((Finset.mem_map' _).2 hi0), hw']
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_2
ι2 : Type u_1
f : ι2 ↪ ι
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
fs : Finset ι2
w : ι2 → k
hw : ∑ i in fs, w i = 0
hs : ↑(Finset.weightedVSub fs (p ∘ ↑f)) w = 0
i0 : ι2
hi0 : i0 ∈ fs
⊢ w i0 = 0
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_2
ι2 : Type u_1
f : ι2 ↪ ι
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
⊢ AffineIndependent k (p ∘ ↑f)
intro fs w hw hs i0 hi0
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_2
ι2 : Type u_1
f : ι2 ↪ ι
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
fs : Finset ι2
w : ι2 → k
hw : ∑ i in fs, w i = 0
hs : ↑(Finset.weightedVSub fs (p ∘ ↑f)) w = 0
i0 : ι2
hi0 : i0 ∈ fs
fs' : Finset ι := Finset.map f fs
⊢ w i0 = 0
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_2
ι2 : Type u_1
f : ι2 ↪ ι
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
fs : Finset ι2
w : ι2 → k
hw : ∑ i in fs, w i = 0
hs : ↑(Finset.weightedVSub fs (p ∘ ↑f)) w = 0
i0 : ι2
hi0 : i0 ∈ fs
⊢ w i0 = 0
let fs' := fs.map f
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_2
ι2 : Type u_1
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p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
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hw : ∑ i in fs, w i = 0
hs : ↑(Finset.weightedVSub fs (p ∘ ↑f)) w = 0
i0 : ι2
hi0 : i0 ∈ fs
fs' : Finset ι := Finset.map f fs
w' : ι → k := fun i => if h : ∃ i2, ↑f i2 = i then w (Exists.choose h) else 0
⊢ w i0 = 0
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
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ι2 : Type u_1
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hw : ∑ i in fs, w i = 0
hs : ↑(Finset.weightedVSub fs (p ∘ ↑f)) w = 0
i0 : ι2
hi0 : i0 ∈ fs
fs' : Finset ι := Finset.map f fs
⊢ w i0 = 0
let w' i := if h : ∃ i2, f i2 = i then w h.choose else 0
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
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ι : Type u_2
ι2 : Type u_1
f : ι2 ↪ ι
p : ι → P
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hw : ∑ i in fs, w i = 0
hs : ↑(Finset.weightedVSub fs (p ∘ ↑f)) w = 0
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fs' : Finset ι := Finset.map f fs
w' : ι → k := fun i => if h : ∃ i2, ↑f i2 = i then w (Exists.choose h) else 0
hw' : ∀ (i2 : ι2), w' (↑f i2) = w i2
⊢ w i0 = 0
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_2
ι2 : Type u_1
f : ι2 ↪ ι
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
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hw : ∑ i in fs, w i = 0
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hi0 : i0 ∈ fs
fs' : Finset ι := Finset.map f fs
w' : ι → k := fun i => if h : ∃ i2, ↑f i2 = i then w (Exists.choose h) else 0
⊢ w i0 = 0
have hw' : ∀ i2 : ι2, w' (f i2) = w i2 := by
  intro i2
  have h : ∃ i : ι2, f i = f i2 := ⟨i2, rfl⟩
  have hs : h.choose = i2 := f.injective h.choose_spec
  simp_rw [dif_pos h, hs]
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_2
ι2 : Type u_1
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ha : AffineIndependent k p
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⊢ w i0 = 0
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
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ι : Type u_2
ι2 : Type u_1
f : ι2 ↪ ι
p : ι → P
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hi0 : i0 ∈ fs
fs' : Finset ι := Finset.map f fs
w' : ι → k := fun i => if h : ∃ i2, ↑f i2 = i then w (Exists.choose h) else 0
hw' : ∀ (i2 : ι2), w' (↑f i2) = w i2
⊢ w i0 = 0
have hw's : (∑ i in fs', w' i) = 0 := by
  rw [← hw, Finset.sum_map]
  simp [hw']
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
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inst✝ : AffineSpace V P
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ι2 : Type u_1
f : ι2 ↪ ι
p : ι → P
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⊢ w i0 = 0
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
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inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_2
ι2 : Type u_1
f : ι2 ↪ ι
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i0 : ι2
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hw' : ∀ (i2 : ι2), w' (↑f i2) = w i2
hw's : ∑ i in fs', w' i = 0
⊢ w i0 = 0
have hs' : fs'.weightedVSub p w' = (0 : V) := by
  rw [← hs, Finset.weightedVSub_map]
  congr with i
  simp_all only [comp_apply, EmbeddingLike.apply_eq_iff_eq, exists_eq, dite_true]
no goals
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_2
ι2 : Type u_1
f : ι2 ↪ ι
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⊢ w i0 = 0
rw [← ha fs' w' hw's hs' (f i0) ((Finset.mem_map' _).2 hi0), hw']
k : Type u_3
V : Type u_4
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k : Type u_3
V : Type u_4
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inst✝² : AddCommGroup V
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ι2 : Type u_1
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⊢ ∀ (i2 : ι2), w' (↑f i2) = w i2
intro i2
k : Type u_3
V : Type u_4
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⊢ w' (↑f i2) = w i2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
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inst✝ : AffineSpace V P
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⊢ w' (↑f i2) = w i2
have h : ∃ i : ι2, f i = f i2 := ⟨i2, rfl⟩
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
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i2 : ι2
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⊢ w' (↑f i2) = w i2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_2
ι2 : Type u_1
f : ι2 ↪ ι
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
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w : ι2 → k
hw : ∑ i in fs, w i = 0
hs : ↑(Finset.weightedVSub fs (p ∘ ↑f)) w = 0
i0 : ι2
hi0 : i0 ∈ fs
fs' : Finset ι := Finset.map f fs
w' : ι → k := fun i => if h : ∃ i2, ↑f i2 = i then w (Exists.choose h) else 0
i2 : ι2
h : ∃ i, ↑f i = ↑f i2
⊢ w' (↑f i2) = w i2
have hs : h.choose = i2 := f.injective h.choose_spec
no goals
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_2
ι2 : Type u_1
f : ι2 ↪ ι
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
fs : Finset ι2
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hw : ∑ i in fs, w i = 0
hs✝ : ↑(Finset.weightedVSub fs (p ∘ ↑f)) w = 0
i0 : ι2
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fs' : Finset ι := Finset.map f fs
w' : ι → k := fun i => if h : ∃ i2, ↑f i2 = i then w (Exists.choose h) else 0
i2 : ι2
h : ∃ i, ↑f i = ↑f i2
hs : Exists.choose h = i2
⊢ w' (↑f i2) = w i2
simp_rw [dif_pos h, hs]
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_2
ι2 : Type u_1
f : ι2 ↪ ι
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
fs : Finset ι2
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hs : ↑(Finset.weightedVSub fs (p ∘ ↑f)) w = 0
i0 : ι2
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fs' : Finset ι := Finset.map f fs
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⊢ ∑ x in fs, w' (↑f x) = ∑ i in fs, w i
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_2
ι2 : Type u_1
f : ι2 ↪ ι
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
fs : Finset ι2
w : ι2 → k
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i0 : ι2
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fs' : Finset ι := Finset.map f fs
w' : ι → k := fun i => if h : ∃ i2, ↑f i2 = i then w (Exists.choose h) else 0
hw' : ∀ (i2 : ι2), w' (↑f i2) = w i2
⊢ ∑ i in fs', w' i = 0
rw [← hw, Finset.sum_map]
no goals
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_2
ι2 : Type u_1
f : ι2 ↪ ι
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
fs : Finset ι2
w : ι2 → k
hw : ∑ i in fs, w i = 0
hs : ↑(Finset.weightedVSub fs (p ∘ ↑f)) w = 0
i0 : ι2
hi0 : i0 ∈ fs
fs' : Finset ι := Finset.map f fs
w' : ι → k := fun i => if h : ∃ i2, ↑f i2 = i then w (Exists.choose h) else 0
hw' : ∀ (i2 : ι2), w' (↑f i2) = w i2
⊢ ∑ x in fs, w' (↑f x) = ∑ i in fs, w i
simp [hw']
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_2
ι2 : Type u_1
f : ι2 ↪ ι
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
fs : Finset ι2
w : ι2 → k
hw : ∑ i in fs, w i = 0
hs : ↑(Finset.weightedVSub fs (p ∘ ↑f)) w = 0
i0 : ι2
hi0 : i0 ∈ fs
fs' : Finset ι := Finset.map f fs
w' : ι → k := fun i => if h : ∃ i2, ↑f i2 = i then w (Exists.choose h) else 0
hw' : ∀ (i2 : ι2), w' (↑f i2) = w i2
hw's : ∑ i in fs', w' i = 0
⊢ ↑(Finset.weightedVSub fs (p ∘ ↑f)) (w' ∘ ↑f) = ↑(Finset.weightedVSub fs (p ∘ ↑f)) w
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_2
ι2 : Type u_1
f : ι2 ↪ ι
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
fs : Finset ι2
w : ι2 → k
hw : ∑ i in fs, w i = 0
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i0 : ι2
hi0 : i0 ∈ fs
fs' : Finset ι := Finset.map f fs
w' : ι → k := fun i => if h : ∃ i2, ↑f i2 = i then w (Exists.choose h) else 0
hw' : ∀ (i2 : ι2), w' (↑f i2) = w i2
hw's : ∑ i in fs', w' i = 0
⊢ ↑(Finset.weightedVSub fs' p) w' = 0
rw [← hs, Finset.weightedVSub_map]
case h.e_6.h.h
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_2
ι2 : Type u_1
f : ι2 ↪ ι
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
fs : Finset ι2
w : ι2 → k
hw : ∑ i in fs, w i = 0
hs : ↑(Finset.weightedVSub fs (p ∘ ↑f)) w = 0
i0 : ι2
hi0 : i0 ∈ fs
fs' : Finset ι := Finset.map f fs
w' : ι → k := fun i => if h : ∃ i2, ↑f i2 = i then w (Exists.choose h) else 0
hw' : ∀ (i2 : ι2), w' (↑f i2) = w i2
hw's : ∑ i in fs', w' i = 0
i : ι2
⊢ (w' ∘ ↑f) i = w i
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_2
ι2 : Type u_1
f : ι2 ↪ ι
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
fs : Finset ι2
w : ι2 → k
hw : ∑ i in fs, w i = 0
hs : ↑(Finset.weightedVSub fs (p ∘ ↑f)) w = 0
i0 : ι2
hi0 : i0 ∈ fs
fs' : Finset ι := Finset.map f fs
w' : ι → k := fun i => if h : ∃ i2, ↑f i2 = i then w (Exists.choose h) else 0
hw' : ∀ (i2 : ι2), w' (↑f i2) = w i2
hw's : ∑ i in fs', w' i = 0
⊢ ↑(Finset.weightedVSub fs (p ∘ ↑f)) (w' ∘ ↑f) = ↑(Finset.weightedVSub fs (p ∘ ↑f)) w
congr with i
no goals
case h.e_6.h.h
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_2
ι2 : Type u_1
f : ι2 ↪ ι
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
fs : Finset ι2
w : ι2 → k
hw : ∑ i in fs, w i = 0
hs : ↑(Finset.weightedVSub fs (p ∘ ↑f)) w = 0
i0 : ι2
hi0 : i0 ∈ fs
fs' : Finset ι := Finset.map f fs
w' : ι → k := fun i => if h : ∃ i2, ↑f i2 = i then w (Exists.choose h) else 0
hw' : ∀ (i2 : ι2), w' (↑f i2) = w i2
hw's : ∑ i in fs', w' i = 0
i : ι2
⊢ (w' ∘ ↑f) i = w i
simp_all only [comp_apply, EmbeddingLike.apply_eq_iff_eq, exists_eq, dite_true]