𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
H : ContinuousOn f s ∧ ∀ (x : E), x ∈ s → ContinuousMultilinearMap.uncurry0 (p x 0) = f x
m : ℕ
hm : ↑m ≤ 0
⊢ ContinuousOn (fun x => p x m) s
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
⊢ HasFTaylorSeriesUpToOn 0 f p s ↔ ContinuousOn f s ∧ ∀ (x : E), x ∈ s → ContinuousMultilinearMap.uncurry0 (p x 0) = f x
refine ⟨fun H => ⟨H.continuousOn, H.zero_eq⟩, fun H =>
    ⟨H.2, fun m hm => False.elim (not_le.2 hm bot_le), fun m hm ↦ ?_⟩⟩
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
H : ContinuousOn f s ∧ ∀ (x : E), x ∈ s → ContinuousMultilinearMap.uncurry0 (p x 0) = f x
hm : ↑0 ≤ 0
⊢ ContinuousOn (fun x => p x 0) s
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
H : ContinuousOn f s ∧ ∀ (x : E), x ∈ s → ContinuousMultilinearMap.uncurry0 (p x 0) = f x
m : ℕ
hm : ↑m ≤ 0
⊢ ContinuousOn (fun x => p x m) s
obtain rfl : m = 0 := by exact_mod_cast hm.antisymm (zero_le _)
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
H : ContinuousOn f s ∧ ∀ (x : E), x ∈ s → ContinuousMultilinearMap.uncurry0 (p x 0) = f x
hm : ↑0 ≤ 0
this : EqOn (fun x => p x 0) (↑(LinearIsometryEquiv.symm (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F)) ∘ f) s
⊢ ContinuousOn f s
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
H : ContinuousOn f s ∧ ∀ (x : E), x ∈ s → ContinuousMultilinearMap.uncurry0 (p x 0) = f x
hm : ↑0 ≤ 0
this : EqOn (fun x => p x 0) (↑(LinearIsometryEquiv.symm (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F)) ∘ f) s
⊢ ContinuousOn (fun x => p x 0) s
rw [continuousOn_congr this, LinearIsometryEquiv.comp_continuousOn_iff]
no goals
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
H : ContinuousOn f s ∧ ∀ (x : E), x ∈ s → ContinuousMultilinearMap.uncurry0 (p x 0) = f x
hm : ↑0 ≤ 0
this : EqOn (fun x => p x 0) (↑(LinearIsometryEquiv.symm (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F)) ∘ f) s
⊢ ContinuousOn f s
exact H.1
no goals
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
H : ContinuousOn f s ∧ ∀ (x : E), x ∈ s → ContinuousMultilinearMap.uncurry0 (p x 0) = f x
m : ℕ
hm : ↑m ≤ 0
⊢ m = 0
exact_mod_cast hm.antisymm (zero_le _)