R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
h : K ≤ K'
x : { x // x ∈ K' }
⊢ (∃ y, { val := ↑y, property := (_ : ↑y ∈ K') } = x) ↔ ↑x ∈ K
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
h : K ≤ K'
x : { x // x ∈ K' }
⊢ x ∈ ofLe h ↔ ↑x ∈ K
simp only [ofLe, homOfLe_apply, LieHom.mem_range]
case mp
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
h : K ≤ K'
x : { x // x ∈ K' }
⊢ (∃ y, { val := ↑y, property := (_ : ↑y ∈ K') } = x) → ↑x ∈ K

case mpr
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
h : K ≤ K'
x : { x // x ∈ K' }
⊢ ↑x ∈ K → ∃ y, { val := ↑y, property := (_ : ↑y ∈ K') } = x
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
h : K ≤ K'
x : { x // x ∈ K' }
⊢ (∃ y, { val := ↑y, property := (_ : ↑y ∈ K') } = x) ↔ ↑x ∈ K
constructor
case mp.intro
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
h : K ≤ K'
y : { x // x ∈ K }
⊢ ↑{ val := ↑y, property := (_ : ↑y ∈ K') } ∈ K
case mp
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
h : K ≤ K'
x : { x // x ∈ K' }
⊢ (∃ y, { val := ↑y, property := (_ : ↑y ∈ K') } = x) → ↑x ∈ K
rintro ⟨y, rfl⟩
no goals
case mp.intro
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
h : K ≤ K'
y : { x // x ∈ K }
⊢ ↑{ val := ↑y, property := (_ : ↑y ∈ K') } ∈ K
exact y.property
case mpr
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
h✝ : K ≤ K'
x : { x // x ∈ K' }
h : ↑x ∈ K
⊢ ∃ y, { val := ↑y, property := (_ : ↑y ∈ K') } = x
case mpr
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
h : K ≤ K'
x : { x // x ∈ K' }
⊢ ↑x ∈ K → ∃ y, { val := ↑y, property := (_ : ↑y ∈ K') } = x
intro h
no goals
case mpr
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
h✝ : K ≤ K'
x : { x // x ∈ K' }
h : ↑x ∈ K
⊢ ∃ y, { val := ↑y, property := (_ : ↑y ∈ K') } = x
use ⟨(x : L), h⟩