case intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
x y ε : α
xpos : 0 < x
hx : x ≤ 1
ypos : 0 < y
hy : y < 1
n : ℕ
hn : y⁻¹ ^ n ≤ x⁻¹
h'n : x⁻¹ < y⁻¹ ^ (n + 1)
⊢ ∃ n, y ^ (n + 1) < x ∧ x ≤ y ^ n
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
x y ε : α
xpos : 0 < x
hx : x ≤ 1
ypos : 0 < y
hy : y < 1
⊢ ∃ n, y ^ (n + 1) < x ∧ x ≤ y ^ n
rcases exists_nat_pow_near (one_le_inv_iff.2 ⟨xpos, hx⟩) (one_lt_inv_iff.2 ⟨ypos, hy⟩) with
  ⟨n, hn, h'n⟩
case intro.intro.refine'_1
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
x y ε : α
xpos : 0 < x
hx : x ≤ 1
ypos : 0 < y
hy : y < 1
n : ℕ
hn : y⁻¹ ^ n ≤ x⁻¹
h'n : x⁻¹ < y⁻¹ ^ (n + 1)
⊢ y ^ (n + 1) < x

case intro.intro.refine'_2
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
x y ε : α
xpos : 0 < x
hx : x ≤ 1
ypos : 0 < y
hy : y < 1
n : ℕ
hn : y⁻¹ ^ n ≤ x⁻¹
h'n : x⁻¹ < y⁻¹ ^ (n + 1)
⊢ x ≤ y ^ n
case intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
x y ε : α
xpos : 0 < x
hx : x ≤ 1
ypos : 0 < y
hy : y < 1
n : ℕ
hn : y⁻¹ ^ n ≤ x⁻¹
h'n : x⁻¹ < y⁻¹ ^ (n + 1)
⊢ ∃ n, y ^ (n + 1) < x ∧ x ≤ y ^ n
refine' ⟨n, _, _⟩
no goals
case intro.intro.refine'_1
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
x y ε : α
xpos : 0 < x
hx : x ≤ 1
ypos : 0 < y
hy : y < 1
n : ℕ
hn : y⁻¹ ^ n ≤ x⁻¹
h'n : x⁻¹ < y⁻¹ ^ (n + 1)
⊢ y ^ (n + 1) < x
rwa [inv_pow, inv_lt_inv xpos (pow_pos ypos _)] at h'n
no goals
case intro.intro.refine'_2
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
x y ε : α
xpos : 0 < x
hx : x ≤ 1
ypos : 0 < y
hy : y < 1
n : ℕ
hn : y⁻¹ ^ n ≤ x⁻¹
h'n : x⁻¹ < y⁻¹ ^ (n + 1)
⊢ x ≤ y ^ n
rwa [inv_pow, inv_le_inv (pow_pos ypos _) xpos] at hn