𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.1547007
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
ι : Type u_2
ι' : Type ?u.1550488
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype ι'
F' : ι → Type u_3
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
p' : (i : ι) → E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E (F' i)
Φ : E → (i : ι) → F' i
P' : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E ((i : ι) → F' i)
pr : (i : ι) → ((i : ι) → F' i) →L[𝕜] F' i := ContinuousLinearMap.proj
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n Φ s x ↔ ∀ (i : ι), ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => Φ x i) s x
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.1547007
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
ι : Type u_2
ι' : Type ?u.1550488
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype ι'
F' : ι → Type u_3
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
p' : (i : ι) → E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E (F' i)
Φ : E → (i : ι) → F' i
P' : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E ((i : ι) → F' i)
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n Φ s x ↔ ∀ (i : ι), ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => Φ x i) s x
set pr := @ContinuousLinearMap.proj 𝕜 _ ι F' _ _ _
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.1547007
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
ι : Type u_2
ι' : Type ?u.1550488
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype ι'
F' : ι → Type u_3
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
p' : (i : ι) → E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E (F' i)
Φ : E → (i : ι) → F' i
P' : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E ((i : ι) → F' i)
pr : (i : ι) → ((i : ι) → F' i) →L[𝕜] F' i := ContinuousLinearMap.proj
h : ∀ (i : ι), ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => Φ x i) s x
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
⊢ ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x s] x ∧ ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) Φ p u
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.1547007
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
ι : Type u_2
ι' : Type ?u.1550488
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype ι'
F' : ι → Type u_3
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
p' : (i : ι) → E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E (F' i)
Φ : E → (i : ι) → F' i
P' : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E ((i : ι) → F' i)
pr : (i : ι) → ((i : ι) → F' i) →L[𝕜] F' i := ContinuousLinearMap.proj
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n Φ s x ↔ ∀ (i : ι), ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => Φ x i) s x
refine' ⟨fun h i => h.continuousLinearMap_comp (pr i), fun h m hm => _⟩
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.1547007
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p✝ : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
ι : Type u_2
ι' : Type ?u.1550488
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype ι'
F' : ι → Type u_3
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
p' : (i : ι) → E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E (F' i)
Φ : E → (i : ι) → F' i
P' : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E ((i : ι) → F' i)
pr : (i : ι) → ((i : ι) → F' i) →L[𝕜] F' i := ContinuousLinearMap.proj
h : ∀ (i : ι), ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => Φ x i) s x
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
u : ι → Set E
hux : ∀ (i : ι), u i ∈ 𝓝[insert x s] x
p : (i : ι) → E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E (F' i)
hp : ∀ (i : ι), HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (fun x => Φ x i) (p i) (u i)
⊢ ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x s] x ∧ ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) Φ p u
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.1547007
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
ι : Type u_2
ι' : Type ?u.1550488
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype ι'
F' : ι → Type u_3
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
p' : (i : ι) → E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E (F' i)
Φ : E → (i : ι) → F' i
P' : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E ((i : ι) → F' i)
pr : (i : ι) → ((i : ι) → F' i) →L[𝕜] F' i := ContinuousLinearMap.proj
h : ∀ (i : ι), ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => Φ x i) s x
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
⊢ ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x s] x ∧ ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) Φ p u
choose u hux p hp using fun i => h i m hm
no goals
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.1547007
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p✝ : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
ι : Type u_2
ι' : Type ?u.1550488
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype ι'
F' : ι → Type u_3
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
p' : (i : ι) → E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E (F' i)
Φ : E → (i : ι) → F' i
P' : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E ((i : ι) → F' i)
pr : (i : ι) → ((i : ι) → F' i) →L[𝕜] F' i := ContinuousLinearMap.proj
h : ∀ (i : ι), ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => Φ x i) s x
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
u : ι → Set E
hux : ∀ (i : ι), u i ∈ 𝓝[insert x s] x
p : (i : ι) → E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E (F' i)
hp : ∀ (i : ι), HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (fun x => Φ x i) (p i) (u i)
⊢ ∃ u, u ∈ 𝓝[insert x s] x ∧ ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) Φ p u
exact ⟨⋂ i, u i, Filter.iInter_mem.2 hux, _,
  hasFTaylorSeriesUpToOn_pi.2 fun i => (hp i).mono <| iInter_subset _ _⟩