α✝ : Type ?u.171200
β : Type ?u.171203
γ : Type ?u.171206
inst✝ : DecidableEq α✝
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α✝
a b : α✝
α : Type u_1
ι : Type u_2
f : ι → Set α
c : Set ι
hn : Set.Nonempty c
hc : DirectedOn (fun i j => f i ⊆ f j) c
s : Finset α
hs : ↑s ⊆ ⋃ (x : ↑c), f ↑x
⊢ ∃ i, i ∈ c ∧ ↑s ⊆ f i
α✝ : Type ?u.171200
β : Type ?u.171203
γ : Type ?u.171206
inst✝ : DecidableEq α✝
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α✝
a b : α✝
α : Type u_1
ι : Type u_2
f : ι → Set α
c : Set ι
hn : Set.Nonempty c
hc : DirectedOn (fun i j => f i ⊆ f j) c
s : Finset α
hs : ↑s ⊆ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ c), f i
⊢ ∃ i, i ∈ c ∧ ↑s ⊆ f i
rw [Set.biUnion_eq_iUnion] at hs
α✝ : Type ?u.171200
β : Type ?u.171203
γ : Type ?u.171206
inst✝ : DecidableEq α✝
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α✝
a b : α✝
α : Type u_1
ι : Type u_2
f : ι → Set α
c : Set ι
hn : Set.Nonempty c
hc : DirectedOn (fun i j => f i ⊆ f j) c
s : Finset α
hs : ↑s ⊆ ⋃ (x : ↑c), f ↑x
this : Nonempty ↑c
⊢ ∃ i, i ∈ c ∧ ↑s ⊆ f i
α✝ : Type ?u.171200
β : Type ?u.171203
γ : Type ?u.171206
inst✝ : DecidableEq α✝
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α✝
a b : α✝
α : Type u_1
ι : Type u_2
f : ι → Set α
c : Set ι
hn : Set.Nonempty c
hc : DirectedOn (fun i j => f i ⊆ f j) c
s : Finset α
hs : ↑s ⊆ ⋃ (x : ↑c), f ↑x
⊢ ∃ i, i ∈ c ∧ ↑s ⊆ f i
haveI := hn.coe_sort
case intro.mk
α✝ : Type ?u.171200
β : Type ?u.171203
γ : Type ?u.171206
inst✝ : DecidableEq α✝
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α✝
a b : α✝
α : Type u_1
ι : Type u_2
f : ι → Set α
c : Set ι
hn : Set.Nonempty c
hc : DirectedOn (fun i j => f i ⊆ f j) c
s : Finset α
hs : ↑s ⊆ ⋃ (x : ↑c), f ↑x
this : Nonempty ↑c
i : ι
hic : i ∈ c
hi : ↑s ⊆ ((fun j => f j) ∘ Subtype.val) { val := i, property := hic }
⊢ ∃ i, i ∈ c ∧ ↑s ⊆ f i
α✝ : Type ?u.171200
β : Type ?u.171203
γ : Type ?u.171206
inst✝ : DecidableEq α✝
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α✝
a b : α✝
α : Type u_1
ι : Type u_2
f : ι → Set α
c : Set ι
hn : Set.Nonempty c
hc : DirectedOn (fun i j => f i ⊆ f j) c
s : Finset α
hs : ↑s ⊆ ⋃ (x : ↑c), f ↑x
this : Nonempty ↑c
⊢ ∃ i, i ∈ c ∧ ↑s ⊆ f i
obtain ⟨⟨i, hic⟩, hi⟩ :=
  (directed_comp.2 hc.directed_val).exists_mem_subset_of_finset_subset_biUnion hs
no goals
case intro.mk
α✝ : Type ?u.171200
β : Type ?u.171203
γ : Type ?u.171206
inst✝ : DecidableEq α✝
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α✝
a b : α✝
α : Type u_1
ι : Type u_2
f : ι → Set α
c : Set ι
hn : Set.Nonempty c
hc : DirectedOn (fun i j => f i ⊆ f j) c
s : Finset α
hs : ↑s ⊆ ⋃ (x : ↑c), f ↑x
this : Nonempty ↑c
i : ι
hic : i ∈ c
hi : ↑s ⊆ ((fun j => f j) ∘ Subtype.val) { val := i, property := hic }
⊢ ∃ i, i ∈ c ∧ ↑s ⊆ f i
exact ⟨i, hic, hi⟩