ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
B : ι → Submodule R A
hB✝ hB : SubmodulesRingBasis B
⊢ ∀ (x : A) (i : ι), ∃ j, ↑(Submodule.toAddSubgroup (B j)) ⊆ (fun y => x * y) ⁻¹' ↑(Submodule.toAddSubgroup (B i))
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
B : ι → Submodule R A
hB✝ hB : SubmodulesRingBasis B
⊢ RingSubgroupsBasis fun i => Submodule.toAddSubgroup (B i)
apply RingSubgroupsBasis.of_comm (fun i => (B i).toAddSubgroup) hB.inter hB.mul
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
B : ι → Submodule R A
hB✝ hB : SubmodulesRingBasis B
a : A
i : ι
⊢ ∃ j, ↑(Submodule.toAddSubgroup (B j)) ⊆ (fun y => a * y) ⁻¹' ↑(Submodule.toAddSubgroup (B i))
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
B : ι → Submodule R A
hB✝ hB : SubmodulesRingBasis B
⊢ ∀ (x : A) (i : ι), ∃ j, ↑(Submodule.toAddSubgroup (B j)) ⊆ (fun y => x * y) ⁻¹' ↑(Submodule.toAddSubgroup (B i))
intro a i
case intro
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
B : ι → Submodule R A
hB✝ hB : SubmodulesRingBasis B
a : A
i j : ι
hj : a • B j ≤ B i
⊢ ∃ j, ↑(Submodule.toAddSubgroup (B j)) ⊆ (fun y => a * y) ⁻¹' ↑(Submodule.toAddSubgroup (B i))
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
B : ι → Submodule R A
hB✝ hB : SubmodulesRingBasis B
a : A
i : ι
⊢ ∃ j, ↑(Submodule.toAddSubgroup (B j)) ⊆ (fun y => a * y) ⁻¹' ↑(Submodule.toAddSubgroup (B i))
rcases hB.leftMul a i with ⟨j, hj⟩
case intro
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
B : ι → Submodule R A
hB✝ hB : SubmodulesRingBasis B
a : A
i j : ι
hj : a • B j ≤ B i
⊢ ↑(Submodule.toAddSubgroup (B j)) ⊆ (fun y => a * y) ⁻¹' ↑(Submodule.toAddSubgroup (B i))
case intro
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
B : ι → Submodule R A
hB✝ hB : SubmodulesRingBasis B
a : A
i j : ι
hj : a • B j ≤ B i
⊢ ∃ j, ↑(Submodule.toAddSubgroup (B j)) ⊆ (fun y => a * y) ⁻¹' ↑(Submodule.toAddSubgroup (B i))
use j
case intro
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
B : ι → Submodule R A
hB✝ hB : SubmodulesRingBasis B
a : A
i j : ι
hj : a • B j ≤ B i
b : A
b_in : b ∈ B j
⊢ b ∈ (fun y => a * y) ⁻¹' ↑(Submodule.toAddSubgroup (B i))
case intro
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
B : ι → Submodule R A
hB✝ hB : SubmodulesRingBasis B
a : A
i j : ι
hj : a • B j ≤ B i
⊢ ↑(Submodule.toAddSubgroup (B j)) ⊆ (fun y => a * y) ⁻¹' ↑(Submodule.toAddSubgroup (B i))
rintro b (b_in : b ∈ B j)
no goals
case intro
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
B : ι → Submodule R A
hB✝ hB : SubmodulesRingBasis B
a : A
i j : ι
hj : a • B j ≤ B i
b : A
b_in : b ∈ B j
⊢ b ∈ (fun y => a * y) ⁻¹' ↑(Submodule.toAddSubgroup (B i))
exact hj ⟨b, b_in, rfl⟩