case mp
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : OrderBot β
x y : α × β
⊢ Disjoint x y → Disjoint x.fst y.fst ∧ Disjoint x.snd y.snd

case mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : OrderBot β
x y : α × β
⊢ Disjoint x.fst y.fst ∧ Disjoint x.snd y.snd → Disjoint x y
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : OrderBot β
x y : α × β
⊢ Disjoint x y ↔ Disjoint x.fst y.fst ∧ Disjoint x.snd y.snd
constructor
case mp
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : OrderBot β
x y : α × β
h : Disjoint x y
⊢ Disjoint x.fst y.fst ∧ Disjoint x.snd y.snd
case mp
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : OrderBot β
x y : α × β
⊢ Disjoint x y → Disjoint x.fst y.fst ∧ Disjoint x.snd y.snd
intro h
case mp.refine'_1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : OrderBot β
x y : α × β
h : Disjoint x y
a : α
hx : a ≤ x.fst
hy : a ≤ y.fst
⊢ (a, ⊥).snd ≤ x.snd

case mp.refine'_2
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : OrderBot β
x y : α × β
h : Disjoint x y
a : α
hx : a ≤ x.fst
hy : a ≤ y.fst
⊢ (a, ⊥).snd ≤ y.snd

case mp.refine'_3
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : OrderBot β
x y : α × β
h : Disjoint x y
b : β
hx : b ≤ x.snd
hy : b ≤ y.snd
⊢ (⊥, b).fst ≤ x.fst

case mp.refine'_4
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : OrderBot β
x y : α × β
h : Disjoint x y
b : β
hx : b ≤ x.snd
hy : b ≤ y.snd
⊢ (⊥, b).fst ≤ y.fst
case mp
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : OrderBot β
x y : α × β
h : Disjoint x y
⊢ Disjoint x.fst y.fst ∧ Disjoint x.snd y.snd
refine' ⟨fun a hx hy ↦ (@h (a, ⊥) ⟨hx, _⟩ ⟨hy, _⟩).1,
  fun b hx hy ↦ (@h (⊥, b) ⟨_, hx⟩ ⟨_, hy⟩).2⟩
no goals
case mp.refine'_1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : OrderBot β
x y : α × β
h : Disjoint x y
a : α
hx : a ≤ x.fst
hy : a ≤ y.fst
⊢ (a, ⊥).snd ≤ x.snd

case mp.refine'_2
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : OrderBot β
x y : α × β
h : Disjoint x y
a : α
hx : a ≤ x.fst
hy : a ≤ y.fst
⊢ (a, ⊥).snd ≤ y.snd

case mp.refine'_3
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : OrderBot β
x y : α × β
h : Disjoint x y
b : β
hx : b ≤ x.snd
hy : b ≤ y.snd
⊢ (⊥, b).fst ≤ x.fst

case mp.refine'_4
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : OrderBot β
x y : α × β
h : Disjoint x y
b : β
hx : b ≤ x.snd
hy : b ≤ y.snd
⊢ (⊥, b).fst ≤ y.fst
all_goals exact bot_le
no goals
case mp.refine'_4
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : OrderBot β
x y : α × β
h : Disjoint x y
b : β
hx : b ≤ x.snd
hy : b ≤ y.snd
⊢ (⊥, b).fst ≤ y.fst
exact bot_le
case mpr.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : OrderBot β
x y : α × β
ha : Disjoint x.fst y.fst
hb : Disjoint x.snd y.snd
z : α × β
hza : z ≤ x
hzb : z ≤ y
⊢ z ≤ ⊥
case mpr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : OrderBot β
x y : α × β
⊢ Disjoint x.fst y.fst ∧ Disjoint x.snd y.snd → Disjoint x y
rintro ⟨ha, hb⟩ z hza hzb
no goals
case mpr.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : OrderBot β
x y : α × β
ha : Disjoint x.fst y.fst
hb : Disjoint x.snd y.snd
z : α × β
hza : z ≤ x
hzb : z ≤ y
⊢ z ≤ ⊥
refine' ⟨ha hza.1 hzb.1, hb hza.2 hzb.2⟩