k : Type u₁
G : Type u₂
R : Type ?u.524025
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Mul G
r : k
g g' : G
x : MonoidAlgebra k G
h : ¬∃ d, g' = g * d
⊢ (sum x fun a₂ b₂ => if g * a₂ = g' then r * b₂ else 0) = 0

k : Type u₁
G : Type u₂
R : Type ?u.524025
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Mul G
r : k
g g' : G
x : MonoidAlgebra k G
h : ¬∃ d, g' = g * d
⊢ (sum x fun a₂ b₂ => if g * a₂ = g' then 0 * b₂ else 0) = 0
k : Type u₁
G : Type u₂
R : Type ?u.524025
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Mul G
r : k
g g' : G
x : MonoidAlgebra k G
h : ¬∃ d, g' = g * d
⊢ ↑(single g r * x) g' = 0
rw [mul_apply, Finsupp.sum_single_index]
k : Type u₁
G : Type u₂
R : Type ?u.524025
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Mul G
r : k
g g' : G
x : MonoidAlgebra k G
h : ¬∃ d, g' = g * d
⊢ (sum x fun a₂ b₂ => if g * a₂ = g' then 0 * b₂ else 0) = 0

k : Type u₁
G : Type u₂
R : Type ?u.524025
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Mul G
r : k
g g' : G
x : MonoidAlgebra k G
h : ¬∃ d, g' = g * d
⊢ (sum x fun a₂ b₂ => if g * a₂ = g' then r * b₂ else 0) = 0
k : Type u₁
G : Type u₂
R : Type ?u.524025
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Mul G
r : k
g g' : G
x : MonoidAlgebra k G
h : ¬∃ d, g' = g * d
⊢ (sum x fun a₂ b₂ => if g * a₂ = g' then r * b₂ else 0) = 0

k : Type u₁
G : Type u₂
R : Type ?u.524025
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Mul G
r : k
g g' : G
x : MonoidAlgebra k G
h : ¬∃ d, g' = g * d
⊢ (sum x fun a₂ b₂ => if g * a₂ = g' then 0 * b₂ else 0) = 0
swap
no goals
k : Type u₁
G : Type u₂
R : Type ?u.524025
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Mul G
r : k
g g' : G
x : MonoidAlgebra k G
h : ¬∃ d, g' = g * d
⊢ (sum x fun a₂ b₂ => if g * a₂ = g' then 0 * b₂ else 0) = 0
simp_rw [Finsupp.sum, MulZeroClass.zero_mul, ite_self, Finset.sum_const_zero]
case h
k : Type u₁
G : Type u₂
R : Type ?u.524025
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Mul G
r : k
g g' : G
x : MonoidAlgebra k G
h : ¬∃ d, g' = g * d
⊢ ∀ (x_1 : G), x_1 ∈ x.support → (fun a₂ b₂ => if g * a₂ = g' then r * b₂ else 0) x_1 (↑x x_1) = 0
k : Type u₁
G : Type u₂
R : Type ?u.524025
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Mul G
r : k
g g' : G
x : MonoidAlgebra k G
h : ¬∃ d, g' = g * d
⊢ (sum x fun a₂ b₂ => if g * a₂ = g' then r * b₂ else 0) = 0
apply Finset.sum_eq_zero
case h
k : Type u₁
G : Type u₂
R : Type ?u.524025
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Mul G
r : k
g g' : G
x : MonoidAlgebra k G
h : ¬∃ d, g' = g * d
⊢ ∀ (x_1 : G), x_1 ∈ x.support → g * x_1 = g' → r * ↑x x_1 = 0
case h
k : Type u₁
G : Type u₂
R : Type ?u.524025
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Mul G
r : k
g g' : G
x : MonoidAlgebra k G
h : ¬∃ d, g' = g * d
⊢ ∀ (x_1 : G), x_1 ∈ x.support → (fun a₂ b₂ => if g * a₂ = g' then r * b₂ else 0) x_1 (↑x x_1) = 0
simp_rw [ite_eq_right_iff]
case h
k : Type u₁
G : Type u₂
R : Type ?u.524025
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Mul G
r : k
g : G
x : MonoidAlgebra k G
g'' : G
_hg'' : g'' ∈ x.support
h : ¬∃ d, g * g'' = g * d
⊢ r * ↑x g'' = 0
case h
k : Type u₁
G : Type u₂
R : Type ?u.524025
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Mul G
r : k
g g' : G
x : MonoidAlgebra k G
h : ¬∃ d, g' = g * d
⊢ ∀ (x_1 : G), x_1 ∈ x.support → g * x_1 = g' → r * ↑x x_1 = 0
rintro g'' _hg'' rfl
case h.h
k : Type u₁
G : Type u₂
R : Type ?u.524025
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Mul G
r : k
g : G
x : MonoidAlgebra k G
g'' : G
_hg'' : g'' ∈ x.support
h : ¬∃ d, g * g'' = g * d
⊢ False
case h
k : Type u₁
G : Type u₂
R : Type ?u.524025
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Mul G
r : k
g : G
x : MonoidAlgebra k G
g'' : G
_hg'' : g'' ∈ x.support
h : ¬∃ d, g * g'' = g * d
⊢ r * ↑x g'' = 0
exfalso
no goals
case h.h
k : Type u₁
G : Type u₂
R : Type ?u.524025
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Mul G
r : k
g : G
x : MonoidAlgebra k G
g'' : G
_hg'' : g'' ∈ x.support
h : ¬∃ d, g * g'' = g * d
⊢ False
exact h ⟨_, rfl⟩