E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
z : ℂ
hfd : DiffContOnCl ℂ f (re ⁻¹' Ioo a b)
hB :
  ∃ c,
    c < π / (b - a) ∧
      ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ im) atTop ⊓ 𝓟 (re ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.im))
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.re = a → ‖f z‖ ≤ C
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.re = b → ‖f z‖ ≤ C
hza : a ≤ z.re
hzb : z.re ≤ b
⊢ ‖f (z * I * -I)‖ ≤ C
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
z : ℂ
hfd : DiffContOnCl ℂ f (re ⁻¹' Ioo a b)
hB :
  ∃ c,
    c < π / (b - a) ∧
      ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ im) atTop ⊓ 𝓟 (re ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.im))
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.re = a → ‖f z‖ ≤ C
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.re = b → ‖f z‖ ≤ C
hza : a ≤ z.re
hzb : z.re ≤ b
⊢ ‖f z‖ ≤ C
suffices ‖f (z * I * -I)‖ ≤ C by simpa [mul_assoc] using this
case refine'_1
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
z : ℂ
hfd : DiffContOnCl ℂ f (re ⁻¹' Ioo a b)
hB :
  ∃ c,
    c < π / (b - a) ∧
      ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ im) atTop ⊓ 𝓟 (re ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.im))
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.re = a → ‖f z‖ ≤ C
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.re = b → ‖f z‖ ≤ C
hza : a ≤ z.re
hzb : z.re ≤ b
H : MapsTo (fun x => x * -I) (im ⁻¹' Ioo a b) (re ⁻¹' Ioo a b)
⊢ ∃ c,
    c < π / (b - a) ∧
      ∃ B,
        (fun z => f (z * -I)) =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo a b)] fun z =>
          expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))

case refine'_2
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
z✝ : ℂ
hfd : DiffContOnCl ℂ f (re ⁻¹' Ioo a b)
hB :
  ∃ c,
    c < π / (b - a) ∧
      ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ im) atTop ⊓ 𝓟 (re ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.im))
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.re = a → ‖f z‖ ≤ C
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.re = b → ‖f z‖ ≤ C
hza : a ≤ z✝.re
hzb : z✝.re ≤ b
H : MapsTo (fun x => x * -I) (im ⁻¹' Ioo a b) (re ⁻¹' Ioo a b)
z : ℂ
hz : z.im = a
⊢ (z * -I).re = a

case refine'_3
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
z✝ : ℂ
hfd : DiffContOnCl ℂ f (re ⁻¹' Ioo a b)
hB :
  ∃ c,
    c < π / (b - a) ∧
      ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ im) atTop ⊓ 𝓟 (re ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.im))
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.re = a → ‖f z‖ ≤ C
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.re = b → ‖f z‖ ≤ C
hza : a ≤ z✝.re
hzb : z✝.re ≤ b
H : MapsTo (fun x => x * -I) (im ⁻¹' Ioo a b) (re ⁻¹' Ioo a b)
z : ℂ
hz : z.im = b
⊢ (z * -I).re = b

case refine'_4
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
z : ℂ
hfd : DiffContOnCl ℂ f (re ⁻¹' Ioo a b)
hB :
  ∃ c,
    c < π / (b - a) ∧
      ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ im) atTop ⊓ 𝓟 (re ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.im))
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.re = a → ‖f z‖ ≤ C
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.re = b → ‖f z‖ ≤ C
hza : a ≤ z.re
hzb : z.re ≤ b
H : MapsTo (fun x => x * -I) (im ⁻¹' Ioo a b) (re ⁻¹' Ioo a b)
⊢ a ≤ (z * I).im

case refine'_5
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
z : ℂ
hfd : DiffContOnCl ℂ f (re ⁻¹' Ioo a b)
hB :
  ∃ c,
    c < π / (b - a) ∧
      ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ im) atTop ⊓ 𝓟 (re ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.im))
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.re = a → ‖f z‖ ≤ C
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.re = b → ‖f z‖ ≤ C
hza : a ≤ z.re
hzb : z.re ≤ b
H : MapsTo (fun x => x * -I) (im ⁻¹' Ioo a b) (re ⁻¹' Ioo a b)
⊢ (z * I).im ≤ b
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
z : ℂ
hfd : DiffContOnCl ℂ f (re ⁻¹' Ioo a b)
hB :
  ∃ c,
    c < π / (b - a) ∧
      ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ im) atTop ⊓ 𝓟 (re ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.im))
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.re = a → ‖f z‖ ≤ C
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.re = b → ‖f z‖ ≤ C
hza : a ≤ z.re
hzb : z.re ≤ b
H : MapsTo (fun x => x * -I) (im ⁻¹' Ioo a b) (re ⁻¹' Ioo a b)
⊢ ‖f (z * I * -I)‖ ≤ C
refine' horizontal_strip (f := fun z ↦ f (z * -I))
  (hfd.comp (differentiable_id.mul_const _).diffContOnCl H) _ (fun z hz => hle_a _ _)
  (fun z hz => hle_b _ _) _ _
no goals
case refine'_2
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
z✝ : ℂ
hfd : DiffContOnCl ℂ f (re ⁻¹' Ioo a b)
hB :
  ∃ c,
    c < π / (b - a) ∧
      ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ im) atTop ⊓ 𝓟 (re ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.im))
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.re = a → ‖f z‖ ≤ C
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.re = b → ‖f z‖ ≤ C
hza : a ≤ z✝.re
hzb : z✝.re ≤ b
H : MapsTo (fun x => x * -I) (im ⁻¹' Ioo a b) (re ⁻¹' Ioo a b)
z : ℂ
hz : z.im = a
⊢ (z * -I).re = a

case refine'_3
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
z✝ : ℂ
hfd : DiffContOnCl ℂ f (re ⁻¹' Ioo a b)
hB :
  ∃ c,
    c < π / (b - a) ∧
      ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ im) atTop ⊓ 𝓟 (re ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.im))
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.re = a → ‖f z‖ ≤ C
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.re = b → ‖f z‖ ≤ C
hza : a ≤ z✝.re
hzb : z✝.re ≤ b
H : MapsTo (fun x => x * -I) (im ⁻¹' Ioo a b) (re ⁻¹' Ioo a b)
z : ℂ
hz : z.im = b
⊢ (z * -I).re = b

case refine'_4
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
z : ℂ
hfd : DiffContOnCl ℂ f (re ⁻¹' Ioo a b)
hB :
  ∃ c,
    c < π / (b - a) ∧
      ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ im) atTop ⊓ 𝓟 (re ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.im))
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.re = a → ‖f z‖ ≤ C
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.re = b → ‖f z‖ ≤ C
hza : a ≤ z.re
hzb : z.re ≤ b
H : MapsTo (fun x => x * -I) (im ⁻¹' Ioo a b) (re ⁻¹' Ioo a b)
⊢ a ≤ (z * I).im

case refine'_5
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
z : ℂ
hfd : DiffContOnCl ℂ f (re ⁻¹' Ioo a b)
hB :
  ∃ c,
    c < π / (b - a) ∧
      ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ im) atTop ⊓ 𝓟 (re ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.im))
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.re = a → ‖f z‖ ≤ C
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.re = b → ‖f z‖ ≤ C
hza : a ≤ z.re
hzb : z.re ≤ b
H : MapsTo (fun x => x * -I) (im ⁻¹' Ioo a b) (re ⁻¹' Ioo a b)
⊢ (z * I).im ≤ b
all_goals simpa
no goals
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
z : ℂ
hfd : DiffContOnCl ℂ f (re ⁻¹' Ioo a b)
hB :
  ∃ c,
    c < π / (b - a) ∧
      ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ im) atTop ⊓ 𝓟 (re ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.im))
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.re = a → ‖f z‖ ≤ C
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.re = b → ‖f z‖ ≤ C
hza : a ≤ z.re
hzb : z.re ≤ b
this : ‖f (z * I * -I)‖ ≤ C
⊢ ‖f z‖ ≤ C
simpa [mul_assoc] using this
no goals
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
z✝ : ℂ
hfd : DiffContOnCl ℂ f (re ⁻¹' Ioo a b)
hB :
  ∃ c,
    c < π / (b - a) ∧
      ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ im) atTop ⊓ 𝓟 (re ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.im))
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.re = a → ‖f z‖ ≤ C
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.re = b → ‖f z‖ ≤ C
hza : a ≤ z✝.re
hzb : z✝.re ≤ b
z : ℂ
hz : z ∈ im ⁻¹' Ioo a b
⊢ (fun x => x * -I) z ∈ re ⁻¹' Ioo a b
simpa using hz
case refine'_1.intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
z : ℂ
hfd : DiffContOnCl ℂ f (re ⁻¹' Ioo a b)
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.re = a → ‖f z‖ ≤ C
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.re = b → ‖f z‖ ≤ C
hza : a ≤ z.re
hzb : z.re ≤ b
H : MapsTo (fun x => x * -I) (im ⁻¹' Ioo a b) (re ⁻¹' Ioo a b)
c : ℝ
hc : c < π / (b - a)
B : ℝ
hO : f =O[comap (Abs.abs ∘ im) atTop ⊓ 𝓟 (re ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.im))
⊢ ∃ c,
    c < π / (b - a) ∧
      ∃ B,
        (fun z => f (z * -I)) =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo a b)] fun z =>
          expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))
case refine'_1
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
z : ℂ
hfd : DiffContOnCl ℂ f (re ⁻¹' Ioo a b)
hB :
  ∃ c,
    c < π / (b - a) ∧
      ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ im) atTop ⊓ 𝓟 (re ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.im))
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.re = a → ‖f z‖ ≤ C
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.re = b → ‖f z‖ ≤ C
hza : a ≤ z.re
hzb : z.re ≤ b
H : MapsTo (fun x => x * -I) (im ⁻¹' Ioo a b) (re ⁻¹' Ioo a b)
⊢ ∃ c,
    c < π / (b - a) ∧
      ∃ B,
        (fun z => f (z * -I)) =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo a b)] fun z =>
          expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))
rcases hB with ⟨c, hc, B, hO⟩
case refine'_1.intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
z : ℂ
hfd : DiffContOnCl ℂ f (re ⁻¹' Ioo a b)
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.re = a → ‖f z‖ ≤ C
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.re = b → ‖f z‖ ≤ C
hza : a ≤ z.re
hzb : z.re ≤ b
H : MapsTo (fun x => x * -I) (im ⁻¹' Ioo a b) (re ⁻¹' Ioo a b)
c : ℝ
hc : c < π / (b - a)
B : ℝ
hO : f =O[comap (Abs.abs ∘ im) atTop ⊓ 𝓟 (re ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.im))
⊢ (fun z => f (z * -I)) =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))
case refine'_1.intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
z : ℂ
hfd : DiffContOnCl ℂ f (re ⁻¹' Ioo a b)
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.re = a → ‖f z‖ ≤ C
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.re = b → ‖f z‖ ≤ C
hza : a ≤ z.re
hzb : z.re ≤ b
H : MapsTo (fun x => x * -I) (im ⁻¹' Ioo a b) (re ⁻¹' Ioo a b)
c : ℝ
hc : c < π / (b - a)
B : ℝ
hO : f =O[comap (Abs.abs ∘ im) atTop ⊓ 𝓟 (re ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.im))
⊢ ∃ c,
    c < π / (b - a) ∧
      ∃ B,
        (fun z => f (z * -I)) =O[comap (Abs.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo a b)] fun z =>
          expR (B * expR (c * Abs.abs z.re))
refine ⟨c, hc, B, ?_⟩
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
z : ℂ
hfd : DiffContOnCl ℂ f (re ⁻¹' Ioo a b)
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.re = a → ‖f z‖ ≤ C
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.re = b → ‖f z‖ ≤ C
hza : a ≤ z.re
hzb : z.re ≤ b
H : MapsTo (fun x => x * -I) (im ⁻¹' Ioo a b) (re ⁻¹' Ioo a b)
c : ℝ
hc : c < π / (b - a)
B : ℝ
hO : f =O[comap (Abs.abs ∘ im) atTop ⊓ 𝓟 (re ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.im))
⊢ Tendsto ((fun x => Abs.abs x.im) ∘ fun x => x * -I) (comap (fun x => Abs.abs x.re) atTop) atTop
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
z : ℂ
hfd : DiffContOnCl ℂ f (re ⁻¹' Ioo a b)
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.re = a → ‖f z‖ ≤ C
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.re = b → ‖f z‖ ≤ C
hza : a ≤ z.re
hzb : z.re ≤ b
H : MapsTo (fun x => x * -I) (im ⁻¹' Ioo a b) (re ⁻¹' Ioo a b)
c : ℝ
hc : c < π / (b - a)
B : ℝ
hO : f =O[comap (Abs.abs ∘ im) atTop ⊓ 𝓟 (re ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.im))
⊢ Tendsto (fun x => x * -I) (comap (fun x => Abs.abs x.re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo a b))
    (comap (fun x => Abs.abs x.im) atTop ⊓ 𝓟 (re ⁻¹' Ioo a b))
refine' (tendsto_comap_iff.2 _).inf H.tendsto
no goals
case refine'_5
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
z : ℂ
hfd : DiffContOnCl ℂ f (re ⁻¹' Ioo a b)
hB :
  ∃ c,
    c < π / (b - a) ∧
      ∃ B, f =O[comap (Abs.abs ∘ im) atTop ⊓ 𝓟 (re ⁻¹' Ioo a b)] fun z => expR (B * expR (c * Abs.abs z.im))
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.re = a → ‖f z‖ ≤ C
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.re = b → ‖f z‖ ≤ C
hza : a ≤ z.re
hzb : z.re ≤ b
H : MapsTo (fun x => x * -I) (im ⁻¹' Ioo a b) (re ⁻¹' Ioo a b)
⊢ (z * I).im ≤ b
simpa