case pos
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
x y ε : α
hx : 0 < x
hy : y < 1
y_pos : y ≤ 0
⊢ ∃ n, y ^ n < x

case neg
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
x y ε : α
hx : 0 < x
hy : y < 1
y_pos : ¬y ≤ 0
⊢ ∃ n, y ^ n < x
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
x y ε : α
hx : 0 < x
hy : y < 1
⊢ ∃ n, y ^ n < x
by_cases y_pos : y ≤ 0
case neg
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
x y ε : α
hx : 0 < x
hy : y < 1
y_pos : 0 < y
⊢ ∃ n, y ^ n < x
case neg
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
x y ε : α
hx : 0 < x
hy : y < 1
y_pos : ¬y ≤ 0
⊢ ∃ n, y ^ n < x
rw [not_le] at y_pos
case neg.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
x y ε : α
hx : 0 < x
hy : y < 1
y_pos : 0 < y
q : ℕ
hq : x⁻¹ < y⁻¹ ^ q
⊢ ∃ n, y ^ n < x
case neg
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
x y ε : α
hx : 0 < x
hy : y < 1
y_pos : 0 < y
⊢ ∃ n, y ^ n < x
rcases pow_unbounded_of_one_lt x⁻¹ (one_lt_inv y_pos hy) with ⟨q, hq⟩
no goals
case neg.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
x y ε : α
hx : 0 < x
hy : y < 1
y_pos : 0 < y
q : ℕ
hq : x⁻¹ < y⁻¹ ^ q
⊢ ∃ n, y ^ n < x
exact ⟨q, by rwa [inv_pow, inv_lt_inv hx (pow_pos y_pos _)] at hq⟩
case pos
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
x y ε : α
hx : 0 < x
hy : y < 1
y_pos : y ≤ 0
⊢ y ^ 1 < x
case pos
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
x y ε : α
hx : 0 < x
hy : y < 1
y_pos : y ≤ 0
⊢ ∃ n, y ^ n < x
use 1
case pos
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
x y ε : α
hx : 0 < x
hy : y < 1
y_pos : y ≤ 0
⊢ y < x
case pos
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
x y ε : α
hx : 0 < x
hy : y < 1
y_pos : y ≤ 0
⊢ y ^ 1 < x
simp only [pow_one]
no goals
case pos
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
x y ε : α
hx : 0 < x
hy : y < 1
y_pos : y ≤ 0
⊢ y < x
linarith
no goals
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
x y ε : α
hx : 0 < x
hy : y < 1
y_pos : 0 < y
q : ℕ
hq : x⁻¹ < y⁻¹ ^ q
⊢ y ^ q < x
rwa [inv_pow, inv_lt_inv hx (pow_pos y_pos _)] at hq