case pos
𝕜 : Type v
inst✝² : IsROrC 𝕜
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
hx : x = 0
⊢ ∃ g, ‖g‖ ≤ 1 ∧ ↑g x = ↑‖x‖

case neg
𝕜 : Type v
inst✝² : IsROrC 𝕜
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
hx : ¬x = 0
⊢ ∃ g, ‖g‖ ≤ 1 ∧ ↑g x = ↑‖x‖
𝕜 : Type v
inst✝² : IsROrC 𝕜
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
⊢ ∃ g, ‖g‖ ≤ 1 ∧ ↑g x = ↑‖x‖
by_cases hx : x = 0
case pos
𝕜 : Type v
inst✝² : IsROrC 𝕜
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
hx : x = 0
⊢ ↑0 x = ↑‖x‖
case pos
𝕜 : Type v
inst✝² : IsROrC 𝕜
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
hx : x = 0
⊢ ∃ g, ‖g‖ ≤ 1 ∧ ↑g x = ↑‖x‖
refine' ⟨0, by simp, _⟩
case pos
𝕜 : Type v
inst✝² : IsROrC 𝕜
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
hx : x = 0
⊢ ↑‖x‖ = ↑0 x
case pos
𝕜 : Type v
inst✝² : IsROrC 𝕜
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
hx : x = 0
⊢ ↑0 x = ↑‖x‖
symm
no goals
case pos
𝕜 : Type v
inst✝² : IsROrC 𝕜
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
hx : x = 0
⊢ ↑‖x‖ = ↑0 x
simp [hx]
no goals
𝕜 : Type v
inst✝² : IsROrC 𝕜
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
hx : x = 0
⊢ ‖0‖ ≤ 1
simp
case neg.intro.intro
𝕜 : Type v
inst✝² : IsROrC 𝕜
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
hx : ¬x = 0
g : E →L[𝕜] 𝕜
g_norm : ‖g‖ = 1
g_eq : ↑g x = ↑‖x‖
⊢ ∃ g, ‖g‖ ≤ 1 ∧ ↑g x = ↑‖x‖
case neg
𝕜 : Type v
inst✝² : IsROrC 𝕜
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
hx : ¬x = 0
⊢ ∃ g, ‖g‖ ≤ 1 ∧ ↑g x = ↑‖x‖
rcases exists_dual_vector 𝕜 x hx with ⟨g, g_norm, g_eq⟩
no goals
case neg.intro.intro
𝕜 : Type v
inst✝² : IsROrC 𝕜
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
hx : ¬x = 0
g : E →L[𝕜] 𝕜
g_norm : ‖g‖ = 1
g_eq : ↑g x = ↑‖x‖
⊢ ∃ g, ‖g‖ ≤ 1 ∧ ↑g x = ↑‖x‖
exact ⟨g, g_norm.le, g_eq⟩