𝕜 : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.454763
inst✝⁵ : IsROrC 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace { x // x ∈ K }
v : E
⊢ ‖v - orthogonalProjectionFn K v‖ = ⨅ (w : { x // x ∈ K }), ‖v - ↑w‖
𝕜 : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.454763
inst✝⁵ : IsROrC 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace { x // x ∈ K }
v : E
⊢ ∀ (w : E), w ∈ K → inner (v - orthogonalProjectionFn K v) w = 0
rw [← norm_eq_iInf_iff_inner_eq_zero K (orthogonalProjectionFn_mem v)]
no goals
𝕜 : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.454763
inst✝⁵ : IsROrC 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace { x // x ∈ K }
v : E
⊢ ‖v - orthogonalProjectionFn K v‖ = ⨅ (w : { x // x ∈ K }), ‖v - ↑w‖
exact
  (exists_norm_eq_iInf_of_complete_subspace K (completeSpace_coe_iff_isComplete.mp ‹_›)
        v).choose_spec.right