α : Type u_1
β : Type ?u.285927
E : Type ?u.285930
F : Type ?u.285933
G : Type ?u.285936
E' : Type ?u.285939
F' : Type ?u.285942
G' : Type ?u.285945
E'' : Type u_2
F'' : Type u_3
G'' : Type ?u.285954
R : Type ?u.285957
R' : Type ?u.285960
𝕜 : Type ?u.285963
𝕜' : Type ?u.285966
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
⊢ f'' =o[⊤] g'' → ∀ (x : α), f'' x = 0
α : Type u_1
β : Type ?u.285927
E : Type ?u.285930
F : Type ?u.285933
G : Type ?u.285936
E' : Type ?u.285939
F' : Type ?u.285942
G' : Type ?u.285945
E'' : Type u_2
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R : Type ?u.285957
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𝕜' : Type ?u.285966
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
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inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
⊢ f'' =o[⊤] g'' ↔ ∀ (x : α), f'' x = 0
refine' ⟨_, fun h => (isLittleO_zero g'' ⊤).congr (fun x => (h x).symm) fun x => rfl⟩
α : Type u_1
β : Type ?u.285927
E : Type ?u.285930
F : Type ?u.285933
G : Type ?u.285936
E' : Type ?u.285939
F' : Type ?u.285942
G' : Type ?u.285945
E'' : Type u_2
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𝕜' : Type ?u.285966
inst✝¹² : Norm E
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inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
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inst✝² : SeminormedRing R'
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inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
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g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
⊢ (∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ (x : α), ‖f'' x‖ ≤ c * ‖g'' x‖) → ∀ (x : α), f'' x = 0
α : Type u_1
β : Type ?u.285927
E : Type ?u.285930
F : Type ?u.285933
G : Type ?u.285936
E' : Type ?u.285939
F' : Type ?u.285942
G' : Type ?u.285945
E'' : Type u_2
F'' : Type u_3
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R : Type ?u.285957
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𝕜' : Type ?u.285966
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
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inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
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inst✝ : NormedField 𝕜'
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g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
⊢ f'' =o[⊤] g'' → ∀ (x : α), f'' x = 0
simp only [isLittleO_iff, eventually_top]
α : Type u_1
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E : Type ?u.285930
F : Type ?u.285933
G : Type ?u.285936
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G' : Type ?u.285945
E'' : Type u_2
F'' : Type u_3
G'' : Type ?u.285954
R : Type ?u.285957
R' : Type ?u.285960
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𝕜' : Type ?u.285966
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
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inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
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f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ (x : α), ‖f'' x‖ ≤ c * ‖g'' x‖
x : α
⊢ ‖f'' x‖ ≤ 0
α : Type u_1
β : Type ?u.285927
E : Type ?u.285930
F : Type ?u.285933
G : Type ?u.285936
E' : Type ?u.285939
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G' : Type ?u.285945
E'' : Type u_2
F'' : Type u_3
G'' : Type ?u.285954
R : Type ?u.285957
R' : Type ?u.285960
𝕜 : Type ?u.285963
𝕜' : Type ?u.285966
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
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inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
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inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
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g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
⊢ (∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ (x : α), ‖f'' x‖ ≤ c * ‖g'' x‖) → ∀ (x : α), f'' x = 0
refine' fun h x => norm_le_zero_iff.1 _
α : Type u_1
β : Type ?u.285927
E : Type ?u.285930
F : Type ?u.285933
G : Type ?u.285936
E' : Type ?u.285939
F' : Type ?u.285942
G' : Type ?u.285945
E'' : Type u_2
F'' : Type u_3
G'' : Type ?u.285954
R : Type ?u.285957
R' : Type ?u.285960
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𝕜' : Type ?u.285966
inst✝¹² : Norm E
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inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
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inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
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g : α → F
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f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
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k'' : α → G''
l l' : Filter α
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x : α
this : Tendsto (fun c => c * ‖g'' x‖) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 0)
⊢ ‖f'' x‖ ≤ 0
α : Type u_1
β : Type ?u.285927
E : Type ?u.285930
F : Type ?u.285933
G : Type ?u.285936
E' : Type ?u.285939
F' : Type ?u.285942
G' : Type ?u.285945
E'' : Type u_2
F'' : Type u_3
G'' : Type ?u.285954
R : Type ?u.285957
R' : Type ?u.285960
𝕜 : Type ?u.285963
𝕜' : Type ?u.285966
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ (x : α), ‖f'' x‖ ≤ c * ‖g'' x‖
x : α
⊢ ‖f'' x‖ ≤ 0
have : Tendsto (fun c : ℝ => c * ‖g'' x‖) (𝓝[>] 0) (𝓝 0) :=
  ((continuous_id.mul continuous_const).tendsto' _ _ (MulZeroClass.zero_mul _)).mono_left
    inf_le_left
no goals
α : Type u_1
β : Type ?u.285927
E : Type ?u.285930
F : Type ?u.285933
G : Type ?u.285936
E' : Type ?u.285939
F' : Type ?u.285942
G' : Type ?u.285945
E'' : Type u_2
F'' : Type u_3
G'' : Type ?u.285954
R : Type ?u.285957
R' : Type ?u.285960
𝕜 : Type ?u.285963
𝕜' : Type ?u.285966
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
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c c' c₁ c₂ : ℝ
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f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ (x : α), ‖f'' x‖ ≤ c * ‖g'' x‖
x : α
this : Tendsto (fun c => c * ‖g'' x‖) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 0)
⊢ ‖f'' x‖ ≤ 0
exact
  le_of_tendsto_of_tendsto tendsto_const_nhds this
    (eventually_nhdsWithin_iff.2 <| eventually_of_forall fun c hc => h hc x)