case intro
P : Type u_1
inst✝¹ : LE P
I✝ J✝ s t : Ideal P
x y : P
inst✝ : IsDirected P fun x x_1 => x ≥ x_1
I J : Ideal P
a : P
ha : a ∈ ↑I
⊢ Set.Nonempty (↑I ∩ ↑J)
P : Type u_1
inst✝¹ : LE P
I✝ J✝ s t : Ideal P
x y : P
inst✝ : IsDirected P fun x x_1 => x ≥ x_1
I J : Ideal P
⊢ Set.Nonempty (↑I ∩ ↑J)
obtain ⟨a, ha⟩ := I.nonempty
case intro.intro
P : Type u_1
inst✝¹ : LE P
I✝ J✝ s t : Ideal P
x y : P
inst✝ : IsDirected P fun x x_1 => x ≥ x_1
I J : Ideal P
a : P
ha : a ∈ ↑I
b : P
hb : b ∈ ↑J
⊢ Set.Nonempty (↑I ∩ ↑J)
case intro
P : Type u_1
inst✝¹ : LE P
I✝ J✝ s t : Ideal P
x y : P
inst✝ : IsDirected P fun x x_1 => x ≥ x_1
I J : Ideal P
a : P
ha : a ∈ ↑I
⊢ Set.Nonempty (↑I ∩ ↑J)
obtain ⟨b, hb⟩ := J.nonempty
case intro.intro.intro.intro
P : Type u_1
inst✝¹ : LE P
I✝ J✝ s t : Ideal P
x y : P
inst✝ : IsDirected P fun x x_1 => x ≥ x_1
I J : Ideal P
a : P
ha : a ∈ ↑I
b : P
hb : b ∈ ↑J
c : P
hac : c ≤ a
hbc : c ≤ b
⊢ Set.Nonempty (↑I ∩ ↑J)
case intro.intro
P : Type u_1
inst✝¹ : LE P
I✝ J✝ s t : Ideal P
x y : P
inst✝ : IsDirected P fun x x_1 => x ≥ x_1
I J : Ideal P
a : P
ha : a ∈ ↑I
b : P
hb : b ∈ ↑J
⊢ Set.Nonempty (↑I ∩ ↑J)
obtain ⟨c, hac, hbc⟩ := exists_le_le a b
no goals
case intro.intro.intro.intro
P : Type u_1
inst✝¹ : LE P
I✝ J✝ s t : Ideal P
x y : P
inst✝ : IsDirected P fun x x_1 => x ≥ x_1
I J : Ideal P
a : P
ha : a ∈ ↑I
b : P
hb : b ∈ ↑J
c : P
hac : c ≤ a
hbc : c ≤ b
⊢ Set.Nonempty (↑I ∩ ↑J)
exact ⟨c, I.lower hac ha, J.lower hbc hb⟩