no goals
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.1201627
F' : Type ?u.1201630
G : Type ?u.1201633
𝕜 : Type ?u.1201636
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
G' : Type ?u.1204013
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : E), ↑(T s) x ≤ ↑(T' s) x
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
⊢ ↑(setToL1 hT) f ≤ ↑(setToL1 hT') f
induction f using Lp.induction with
| hp_ne_top h => exact one_ne_top h
| @h_ind c s hs hμs =>
  rw [setToL1_simpleFunc_indicatorConst hT hs hμs, setToL1_simpleFunc_indicatorConst hT' hs hμs]
  exact hTT' s hs hμs c
| @h_add f g hf hg _ hf_le hg_le =>
  rw [(setToL1 hT).map_add, (setToL1 hT').map_add]
  exact add_le_add hf_le hg_le
| h_closed => exact isClosed_le (setToL1 hT).continuous (setToL1 hT').continuous
no goals
case hp_ne_top
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.1201627
F' : Type ?u.1201630
G : Type ?u.1201633
𝕜 : Type ?u.1201636
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
G' : Type ?u.1204013
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : E), ↑(T s) x ≤ ↑(T' s) x
h : 1 = ⊤
⊢ False
exact one_ne_top h
case h_ind
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.1201627
F' : Type ?u.1201630
G : Type ?u.1201633
𝕜 : Type ?u.1201636
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
G' : Type ?u.1204013
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : E), ↑(T s) x ≤ ↑(T' s) x
c : E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s < ⊤
⊢ ↑(T s) c ≤ ↑(T' s) c
case h_ind
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.1201627
F' : Type ?u.1201630
G : Type ?u.1201633
𝕜 : Type ?u.1201636
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
G' : Type ?u.1204013
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : E), ↑(T s) x ≤ ↑(T' s) x
c : E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s < ⊤
⊢ ↑(setToL1 hT) ↑(indicatorConst 1 hs (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) c) ≤ ↑(setToL1 hT') ↑(indicatorConst 1 hs (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) c)
rw [setToL1_simpleFunc_indicatorConst hT hs hμs, setToL1_simpleFunc_indicatorConst hT' hs hμs]
no goals
case h_ind
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.1201627
F' : Type ?u.1201630
G : Type ?u.1201633
𝕜 : Type ?u.1201636
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
G' : Type ?u.1204013
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : E), ↑(T s) x ≤ ↑(T' s) x
c : E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s < ⊤
⊢ ↑(T s) c ≤ ↑(T' s) c
exact hTT' s hs hμs c
case h_add
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.1201627
F' : Type ?u.1201630
G : Type ?u.1201633
𝕜 : Type ?u.1201636
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
G' : Type ?u.1204013
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : E), ↑(T s) x ≤ ↑(T' s) x
f g : α → E
hf : Memℒp f 1
hg : Memℒp g 1
a✝ : Disjoint (Function.support f) (Function.support g)
hf_le : ↑(setToL1 hT) (Memℒp.toLp f hf) ≤ ↑(setToL1 hT') (Memℒp.toLp f hf)
hg_le : ↑(setToL1 hT) (Memℒp.toLp g hg) ≤ ↑(setToL1 hT') (Memℒp.toLp g hg)
⊢ ↑(setToL1 hT) (Memℒp.toLp f hf) + ↑(setToL1 hT) (Memℒp.toLp g hg) ≤
    ↑(setToL1 hT') (Memℒp.toLp f hf) + ↑(setToL1 hT') (Memℒp.toLp g hg)
case h_add
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.1201627
F' : Type ?u.1201630
G : Type ?u.1201633
𝕜 : Type ?u.1201636
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
G' : Type ?u.1204013
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : E), ↑(T s) x ≤ ↑(T' s) x
f g : α → E
hf : Memℒp f 1
hg : Memℒp g 1
a✝ : Disjoint (Function.support f) (Function.support g)
hf_le : ↑(setToL1 hT) (Memℒp.toLp f hf) ≤ ↑(setToL1 hT') (Memℒp.toLp f hf)
hg_le : ↑(setToL1 hT) (Memℒp.toLp g hg) ≤ ↑(setToL1 hT') (Memℒp.toLp g hg)
⊢ ↑(setToL1 hT) (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg) ≤ ↑(setToL1 hT') (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
rw [(setToL1 hT).map_add, (setToL1 hT').map_add]
no goals
case h_add
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.1201627
F' : Type ?u.1201630
G : Type ?u.1201633
𝕜 : Type ?u.1201636
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
G' : Type ?u.1204013
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : E), ↑(T s) x ≤ ↑(T' s) x
f g : α → E
hf : Memℒp f 1
hg : Memℒp g 1
a✝ : Disjoint (Function.support f) (Function.support g)
hf_le : ↑(setToL1 hT) (Memℒp.toLp f hf) ≤ ↑(setToL1 hT') (Memℒp.toLp f hf)
hg_le : ↑(setToL1 hT) (Memℒp.toLp g hg) ≤ ↑(setToL1 hT') (Memℒp.toLp g hg)
⊢ ↑(setToL1 hT) (Memℒp.toLp f hf) + ↑(setToL1 hT) (Memℒp.toLp g hg) ≤
    ↑(setToL1 hT') (Memℒp.toLp f hf) + ↑(setToL1 hT') (Memℒp.toLp g hg)
exact add_le_add hf_le hg_le
no goals
case h_closed
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.1201627
F' : Type ?u.1201630
G : Type ?u.1201633
𝕜 : Type ?u.1201636
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
G' : Type ?u.1204013
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : E), ↑(T s) x ≤ ↑(T' s) x
⊢ IsClosed {f | ↑(setToL1 hT) f ≤ ↑(setToL1 hT') f}
exact isClosed_le (setToL1 hT).continuous (setToL1 hT').continuous