ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type ?u.7332
γ : Type ?u.7335
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (s i)
hd : Pairwise (AEDisjoint μ on s)
t : ι → Set α
ht_sub : ∀ (i : ι), t i ⊆ s i
htm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)
ht_eq : ∀ (i : ι), t i =ᵐ[μ] s i
⊢ ∃ t, (∀ (i : ι), t i ⊆ s i) ∧ (∀ (i : ι), s i =ᵐ[μ] t i) ∧ (∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)) ∧ Pairwise (Disjoint on t)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type ?u.7332
γ : Type ?u.7335
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (s i)
hd : Pairwise (AEDisjoint μ on s)
⊢ ∃ t, (∀ (i : ι), t i ⊆ s i) ∧ (∀ (i : ι), s i =ᵐ[μ] t i) ∧ (∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)) ∧ Pairwise (Disjoint on t)
choose t ht_sub htm ht_eq using fun i => exists_measurable_subset_ae_eq (h i)
case intro.intro.intro
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type ?u.7332
γ : Type ?u.7335
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (s i)
hd : Pairwise (AEDisjoint μ on s)
t : ι → Set α
ht_sub : ∀ (i : ι), t i ⊆ s i
htm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)
ht_eq : ∀ (i : ι), t i =ᵐ[μ] s i
u : ι → Set α
hum : ∀ (i : ι), MeasurableSet (u i)
hu₀ : ∀ (i : ι), ↑↑μ (u i) = 0
hud : Pairwise (Disjoint on fun i => s i \ u i)
⊢ ∃ t, (∀ (i : ι), t i ⊆ s i) ∧ (∀ (i : ι), s i =ᵐ[μ] t i) ∧ (∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)) ∧ Pairwise (Disjoint on t)
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type ?u.7332
γ : Type ?u.7335
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (s i)
hd : Pairwise (AEDisjoint μ on s)
t : ι → Set α
ht_sub : ∀ (i : ι), t i ⊆ s i
htm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)
ht_eq : ∀ (i : ι), t i =ᵐ[μ] s i
⊢ ∃ t, (∀ (i : ι), t i ⊆ s i) ∧ (∀ (i : ι), s i =ᵐ[μ] t i) ∧ (∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)) ∧ Pairwise (Disjoint on t)
rcases exists_null_pairwise_disjoint_diff hd with ⟨u, hum, hu₀, hud⟩
no goals
case intro.intro.intro
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type ?u.7332
γ : Type ?u.7335
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (s i)
hd : Pairwise (AEDisjoint μ on s)
t : ι → Set α
ht_sub : ∀ (i : ι), t i ⊆ s i
htm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)
ht_eq : ∀ (i : ι), t i =ᵐ[μ] s i
u : ι → Set α
hum : ∀ (i : ι), MeasurableSet (u i)
hu₀ : ∀ (i : ι), ↑↑μ (u i) = 0
hud : Pairwise (Disjoint on fun i => s i \ u i)
⊢ ∃ t, (∀ (i : ι), t i ⊆ s i) ∧ (∀ (i : ι), s i =ᵐ[μ] t i) ∧ (∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)) ∧ Pairwise (Disjoint on t)
exact
  ⟨fun i => t i \ u i, fun i => (diff_subset _ _).trans (ht_sub _), fun i =>
    (ht_eq _).symm.trans (diff_null_ae_eq_self (hu₀ i)).symm, fun i => (htm i).diff (hum i),
    hud.mono fun i j h =>
      h.mono (diff_subset_diff_left (ht_sub i)) (diff_subset_diff_left (ht_sub j))⟩