α : Type ?u.129734
β : Type ?u.129737
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : b < a
⊢ ∃ ε, 0 < ε ∧ b < ⊤ ∧ b + ↑ε < a
α : Type ?u.129734
β : Type ?u.129737
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : ∀ (ε : ℝ≥0), 0 < ε → b < ⊤ → a ≤ b + ↑ε
⊢ a ≤ b
contrapose! h
case intro.intro
α : Type ?u.129734
β : Type ?u.129737
a b c d : ℝ≥0∞
r✝ p q : ℝ≥0
h : b < a
r : ℝ≥0
hr0 : 0 < r
hr : b + ↑r < a
⊢ ∃ ε, 0 < ε ∧ b < ⊤ ∧ b + ↑ε < a
α : Type ?u.129734
β : Type ?u.129737
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : b < a
⊢ ∃ ε, 0 < ε ∧ b < ⊤ ∧ b + ↑ε < a
rcases lt_iff_exists_add_pos_lt.1 h with ⟨r, hr0, hr⟩
no goals
case intro.intro
α : Type ?u.129734
β : Type ?u.129737
a b c d : ℝ≥0∞
r✝ p q : ℝ≥0
h : b < a
r : ℝ≥0
hr0 : 0 < r
hr : b + ↑r < a
⊢ ∃ ε, 0 < ε ∧ b < ⊤ ∧ b + ↑ε < a
exact ⟨r, hr0, h.trans_le le_top, hr⟩