𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.949202
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑r' < r
⊢ ∃ a,
    a ∈ Ioo 0 1 ∧
      ∃ C,
        C > 0 ∧
          ∀ (y : E),
            y ∈ Metric.ball 0 ↑r' → ∀ (n : ℕ), ‖f (x + y) - FormalMultilinearSeries.partialSum p n y‖ ≤ C * a ^ n

case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.949202
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑r' < r
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hp : ∀ (y : E), y ∈ Metric.ball 0 ↑r' → ∀ (n : ℕ), ‖f (x + y) - FormalMultilinearSeries.partialSum p n y‖ ≤ C * a ^ n
⊢ TendstoUniformlyOn (fun n y => FormalMultilinearSeries.partialSum p n y) (fun y => f (x + y)) atTop
    (Metric.ball 0 ↑r')
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.949202
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑r' < r
⊢ TendstoUniformlyOn (fun n y => FormalMultilinearSeries.partialSum p n y) (fun y => f (x + y)) atTop
    (Metric.ball 0 ↑r')
obtain ⟨a, ha, C, -, hp⟩ : ∃ a ∈ Ioo (0 : ℝ) 1, ∃ C > 0, ∀ y ∈ Metric.ball (0 : E) r', ∀ n,
  ‖f (x + y) - p.partialSum n y‖ ≤ C * a ^ n
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.949202
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑r' < r
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hp : ∀ (y : E), y ∈ Metric.ball 0 ↑r' → ∀ (n : ℕ), ‖f (x + y) - FormalMultilinearSeries.partialSum p n y‖ ≤ C * a ^ n
⊢ TendstoUniformlyOn (fun n y => FormalMultilinearSeries.partialSum p n y) (fun y => f (x + y)) atTop
    (Metric.ball 0 ↑r')
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.949202
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑r' < r
⊢ ∃ a,
    a ∈ Ioo 0 1 ∧
      ∃ C,
        C > 0 ∧
          ∀ (y : E),
            y ∈ Metric.ball 0 ↑r' → ∀ (n : ℕ), ‖f (x + y) - FormalMultilinearSeries.partialSum p n y‖ ≤ C * a ^ n

case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.949202
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑r' < r
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hp : ∀ (y : E), y ∈ Metric.ball 0 ↑r' → ∀ (n : ℕ), ‖f (x + y) - FormalMultilinearSeries.partialSum p n y‖ ≤ C * a ^ n
⊢ TendstoUniformlyOn (fun n y => FormalMultilinearSeries.partialSum p n y) (fun y => f (x + y)) atTop
    (Metric.ball 0 ↑r')
exact hf.uniform_geometric_approx h
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.949202
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑r' < r
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hp : ∀ (y : E), y ∈ Metric.ball 0 ↑r' → ∀ (n : ℕ), ‖f (x + y) - FormalMultilinearSeries.partialSum p n y‖ ≤ C * a ^ n
ε : ℝ
εpos : ε > 0
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop,
    ∀ (x_1 : E), x_1 ∈ Metric.ball 0 ↑r' → dist (f (x + x_1)) (FormalMultilinearSeries.partialSum p n x_1) < ε
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.949202
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑r' < r
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hp : ∀ (y : E), y ∈ Metric.ball 0 ↑r' → ∀ (n : ℕ), ‖f (x + y) - FormalMultilinearSeries.partialSum p n y‖ ≤ C * a ^ n
⊢ TendstoUniformlyOn (fun n y => FormalMultilinearSeries.partialSum p n y) (fun y => f (x + y)) atTop
    (Metric.ball 0 ↑r')
refine' Metric.tendstoUniformlyOn_iff.2 fun ε εpos => _
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.949202
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑r' < r
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hp : ∀ (y : E), y ∈ Metric.ball 0 ↑r' → ∀ (n : ℕ), ‖f (x + y) - FormalMultilinearSeries.partialSum p n y‖ ≤ C * a ^ n
ε : ℝ
εpos : ε > 0
L : Tendsto (fun n => C * a ^ n) atTop (𝓝 (C * 0))
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop,
    ∀ (x_1 : E), x_1 ∈ Metric.ball 0 ↑r' → dist (f (x + x_1)) (FormalMultilinearSeries.partialSum p n x_1) < ε
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.949202
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑r' < r
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hp : ∀ (y : E), y ∈ Metric.ball 0 ↑r' → ∀ (n : ℕ), ‖f (x + y) - FormalMultilinearSeries.partialSum p n y‖ ≤ C * a ^ n
ε : ℝ
εpos : ε > 0
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop,
    ∀ (x_1 : E), x_1 ∈ Metric.ball 0 ↑r' → dist (f (x + x_1)) (FormalMultilinearSeries.partialSum p n x_1) < ε
have L : Tendsto (fun n => (C : ℝ) * a ^ n) atTop (𝓝 ((C : ℝ) * 0)) :=
  tendsto_const_nhds.mul (tendsto_pow_atTop_nhds_0_of_lt_1 ha.1.le ha.2)
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.949202
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑r' < r
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hp : ∀ (y : E), y ∈ Metric.ball 0 ↑r' → ∀ (n : ℕ), ‖f (x + y) - FormalMultilinearSeries.partialSum p n y‖ ≤ C * a ^ n
ε : ℝ
εpos : ε > 0
L : Tendsto (fun n => C * a ^ n) atTop (𝓝 0)
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop,
    ∀ (x_1 : E), x_1 ∈ Metric.ball 0 ↑r' → dist (f (x + x_1)) (FormalMultilinearSeries.partialSum p n x_1) < ε
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.949202
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑r' < r
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hp : ∀ (y : E), y ∈ Metric.ball 0 ↑r' → ∀ (n : ℕ), ‖f (x + y) - FormalMultilinearSeries.partialSum p n y‖ ≤ C * a ^ n
ε : ℝ
εpos : ε > 0
L : Tendsto (fun n => C * a ^ n) atTop (𝓝 (C * 0))
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop,
    ∀ (x_1 : E), x_1 ∈ Metric.ball 0 ↑r' → dist (f (x + x_1)) (FormalMultilinearSeries.partialSum p n x_1) < ε
rw [MulZeroClass.mul_zero] at L
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.949202
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑r' < r
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hp : ∀ (y : E), y ∈ Metric.ball 0 ↑r' → ∀ (n : ℕ), ‖f (x + y) - FormalMultilinearSeries.partialSum p n y‖ ≤ C * a ^ n
ε : ℝ
εpos : ε > 0
L : Tendsto (fun n => C * a ^ n) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
hn : C * a ^ n < ε
y : E
hy : y ∈ Metric.ball 0 ↑r'
⊢ dist (f (x + y)) (FormalMultilinearSeries.partialSum p n y) < ε
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.949202
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑r' < r
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hp : ∀ (y : E), y ∈ Metric.ball 0 ↑r' → ∀ (n : ℕ), ‖f (x + y) - FormalMultilinearSeries.partialSum p n y‖ ≤ C * a ^ n
ε : ℝ
εpos : ε > 0
L : Tendsto (fun n => C * a ^ n) atTop (𝓝 0)
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop,
    ∀ (x_1 : E), x_1 ∈ Metric.ball 0 ↑r' → dist (f (x + x_1)) (FormalMultilinearSeries.partialSum p n x_1) < ε
refine' (L.eventually (gt_mem_nhds εpos)).mono fun n hn y hy => _
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.949202
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑r' < r
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hp : ∀ (y : E), y ∈ Metric.ball 0 ↑r' → ∀ (n : ℕ), ‖f (x + y) - FormalMultilinearSeries.partialSum p n y‖ ≤ C * a ^ n
ε : ℝ
εpos : ε > 0
L : Tendsto (fun n => C * a ^ n) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
hn : C * a ^ n < ε
y : E
hy : y ∈ Metric.ball 0 ↑r'
⊢ ‖f (x + y) - FormalMultilinearSeries.partialSum p n y‖ < ε
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.949202
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑r' < r
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hp : ∀ (y : E), y ∈ Metric.ball 0 ↑r' → ∀ (n : ℕ), ‖f (x + y) - FormalMultilinearSeries.partialSum p n y‖ ≤ C * a ^ n
ε : ℝ
εpos : ε > 0
L : Tendsto (fun n => C * a ^ n) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
hn : C * a ^ n < ε
y : E
hy : y ∈ Metric.ball 0 ↑r'
⊢ dist (f (x + y)) (FormalMultilinearSeries.partialSum p n y) < ε
rw [dist_eq_norm]
no goals
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.949202
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑r' < r
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hp : ∀ (y : E), y ∈ Metric.ball 0 ↑r' → ∀ (n : ℕ), ‖f (x + y) - FormalMultilinearSeries.partialSum p n y‖ ≤ C * a ^ n
ε : ℝ
εpos : ε > 0
L : Tendsto (fun n => C * a ^ n) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
hn : C * a ^ n < ε
y : E
hy : y ∈ Metric.ball 0 ↑r'
⊢ ‖f (x + y) - FormalMultilinearSeries.partialSum p n y‖ < ε
exact (hp y hy n).trans_lt hn