ι : Type u_5
κ : Type ?u.127632
X : Type ?u.127635
Y : Type ?u.127638
Z : Type ?u.127641
α : Type u_4
β : Type u_3
γ : Type ?u.127650
𝓕 : Type ?u.127653
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
κ₁ : Type u_1
κ₂ : Type u_2
p₁ : κ₁ → Prop
s₁ : κ₁ → Set (β × β)
p₂ : κ₂ → Prop
s₂ : κ₂ → Set (α × α)
F : ι → β → α
hβ : HasBasis (𝓤 β) p₁ s₁
hα : HasBasis (𝓤 α) p₂ s₂
⊢ (∀ (ib : κ₂),
      p₂ ib →
        ∃ ia,
          p₁ ia ∧
            ∀ (x : β × β),
              x ∈ s₁ ia →
                ((↑UniformFun.ofFun ∘ Function.swap F) x.fst, (↑UniformFun.ofFun ∘ Function.swap F) x.snd) ∈
                  (UniformFun.gen ι α ∘ s₂) ib) ↔
    ∀ (k₂ : κ₂), p₂ k₂ → ∃ k₁, p₁ k₁ ∧ ∀ (x y : β), (x, y) ∈ s₁ k₁ → ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ s₂ k₂
ι : Type u_5
κ : Type ?u.127632
X : Type ?u.127635
Y : Type ?u.127638
Z : Type ?u.127641
α : Type u_4
β : Type u_3
γ : Type ?u.127650
𝓕 : Type ?u.127653
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
κ₁ : Type u_1
κ₂ : Type u_2
p₁ : κ₁ → Prop
s₁ : κ₁ → Set (β × β)
p₂ : κ₂ → Prop
s₂ : κ₂ → Set (α × α)
F : ι → β → α
hβ : HasBasis (𝓤 β) p₁ s₁
hα : HasBasis (𝓤 α) p₂ s₂
⊢ UniformEquicontinuous F ↔
    ∀ (k₂ : κ₂), p₂ k₂ → ∃ k₁, p₁ k₁ ∧ ∀ (x y : β), (x, y) ∈ s₁ k₁ → ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ s₂ k₂
rw [uniformEquicontinuous_iff_uniformContinuous, UniformContinuous,
  hβ.tendsto_iff (UniformFun.hasBasis_uniformity_of_basis ι α hα)]
ι : Type u_5
κ : Type ?u.127632
X : Type ?u.127635
Y : Type ?u.127638
Z : Type ?u.127641
α : Type u_4
β : Type u_3
γ : Type ?u.127650
𝓕 : Type ?u.127653
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
κ₁ : Type u_1
κ₂ : Type u_2
p₁ : κ₁ → Prop
s₁ : κ₁ → Set (β × β)
p₂ : κ₂ → Prop
s₂ : κ₂ → Set (α × α)
F : ι → β → α
hβ : HasBasis (𝓤 β) p₁ s₁
hα : HasBasis (𝓤 α) p₂ s₂
⊢ (∀ (ib : κ₂),
      p₂ ib →
        ∃ ia,
          p₁ ia ∧
            ∀ (a b : β),
              (a, b) ∈ s₁ ia →
                (↑UniformFun.ofFun (Function.swap F a), ↑UniformFun.ofFun (Function.swap F b)) ∈
                  UniformFun.gen ι α (s₂ ib)) ↔
    ∀ (k₂ : κ₂), p₂ k₂ → ∃ k₁, p₁ k₁ ∧ ∀ (x y : β), (x, y) ∈ s₁ k₁ → ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ s₂ k₂
ι : Type u_5
κ : Type ?u.127632
X : Type ?u.127635
Y : Type ?u.127638
Z : Type ?u.127641
α : Type u_4
β : Type u_3
γ : Type ?u.127650
𝓕 : Type ?u.127653
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
κ₁ : Type u_1
κ₂ : Type u_2
p₁ : κ₁ → Prop
s₁ : κ₁ → Set (β × β)
p₂ : κ₂ → Prop
s₂ : κ₂ → Set (α × α)
F : ι → β → α
hβ : HasBasis (𝓤 β) p₁ s₁
hα : HasBasis (𝓤 α) p₂ s₂
⊢ (∀ (ib : κ₂),
      p₂ ib →
        ∃ ia,
          p₁ ia ∧
            ∀ (x : β × β),
              x ∈ s₁ ia →
                ((↑UniformFun.ofFun ∘ Function.swap F) x.fst, (↑UniformFun.ofFun ∘ Function.swap F) x.snd) ∈
                  (UniformFun.gen ι α ∘ s₂) ib) ↔
    ∀ (k₂ : κ₂), p₂ k₂ → ∃ k₁, p₁ k₁ ∧ ∀ (x y : β), (x, y) ∈ s₁ k₁ → ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ s₂ k₂
simp only [Prod.forall, Function.comp_apply, mem_setOf_eq, exists_prop]
no goals
ι : Type u_5
κ : Type ?u.127632
X : Type ?u.127635
Y : Type ?u.127638
Z : Type ?u.127641
α : Type u_4
β : Type u_3
γ : Type ?u.127650
𝓕 : Type ?u.127653
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
κ₁ : Type u_1
κ₂ : Type u_2
p₁ : κ₁ → Prop
s₁ : κ₁ → Set (β × β)
p₂ : κ₂ → Prop
s₂ : κ₂ → Set (α × α)
F : ι → β → α
hβ : HasBasis (𝓤 β) p₁ s₁
hα : HasBasis (𝓤 α) p₂ s₂
⊢ (∀ (ib : κ₂),
      p₂ ib →
        ∃ ia,
          p₁ ia ∧
            ∀ (a b : β),
              (a, b) ∈ s₁ ia →
                (↑UniformFun.ofFun (Function.swap F a), ↑UniformFun.ofFun (Function.swap F b)) ∈
                  UniformFun.gen ι α (s₂ ib)) ↔
    ∀ (k₂ : κ₂), p₂ k₂ → ∃ k₁, p₁ k₁ ∧ ∀ (x y : β), (x, y) ∈ s₁ k₁ → ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ s₂ k₂
rfl