case intro
α : Type u_3
β : Type u_2
ι : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : α → β
inst✝ : Finite ι
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p
n : ℕ
hn : Nonempty (ι ≃ Fin n)
⊢ UnifIntegrable f p μ
α : Type u_3
β : Type u_2
ι : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : α → β
inst✝ : Finite ι
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p
⊢ UnifIntegrable f p μ
obtain ⟨n, hn⟩ := Finite.exists_equiv_fin ι
case intro
α : Type u_3
β : Type u_2
ι : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : α → β
inst✝ : Finite ι
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p
n : ℕ
hn : Nonempty (ι ≃ Fin n)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ δ x,
    ∀ (i : ι) (s : Set α),
      MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (Set.indicator s (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
case intro
α : Type u_3
β : Type u_2
ι : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : α → β
inst✝ : Finite ι
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p
n : ℕ
hn : Nonempty (ι ≃ Fin n)
⊢ UnifIntegrable f p μ
intro ε hε
case intro
α : Type u_3
β : Type u_2
ι : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : α → β
inst✝ : Finite ι
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p
n : ℕ
hn : Nonempty (ι ≃ Fin n)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
g : Fin n → α → β := f ∘ ↑(Nonempty.some hn).symm
hgeq : g = f ∘ ↑(Nonempty.some hn).symm
⊢ ∃ δ x,
    ∀ (i : ι) (s : Set α),
      MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (Set.indicator s (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
case intro
α : Type u_3
β : Type u_2
ι : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : α → β
inst✝ : Finite ι
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p
n : ℕ
hn : Nonempty (ι ≃ Fin n)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ δ x,
    ∀ (i : ι) (s : Set α),
      MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (Set.indicator s (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
set g : Fin n → α → β := f ∘ hn.some.symm with hgeq
case intro
α : Type u_3
β : Type u_2
ι : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : α → β
inst✝ : Finite ι
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p
n : ℕ
hn : Nonempty (ι ≃ Fin n)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
g : Fin n → α → β := f ∘ ↑(Nonempty.some hn).symm
hgeq : g = f ∘ ↑(Nonempty.some hn).symm
hg : ∀ (i : Fin n), Memℒp (g i) p
⊢ ∃ δ x,
    ∀ (i : ι) (s : Set α),
      MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (Set.indicator s (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
case intro
α : Type u_3
β : Type u_2
ι : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : α → β
inst✝ : Finite ι
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p
n : ℕ
hn : Nonempty (ι ≃ Fin n)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
g : Fin n → α → β := f ∘ ↑(Nonempty.some hn).symm
hgeq : g = f ∘ ↑(Nonempty.some hn).symm
⊢ ∃ δ x,
    ∀ (i : ι) (s : Set α),
      MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (Set.indicator s (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
have hg : ∀ i, Memℒp (g i) p μ := fun _ => hf _
case intro.intro.intro
α : Type u_3
β : Type u_2
ι : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : α → β
inst✝ : Finite ι
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p
n : ℕ
hn : Nonempty (ι ≃ Fin n)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
g : Fin n → α → β := f ∘ ↑(Nonempty.some hn).symm
hgeq : g = f ∘ ↑(Nonempty.some hn).symm
hg : ∀ (i : Fin n), Memℒp (g i) p
δ : ℝ
hδpos : 0 < δ
hδ :
  ∀ (i : Fin n) (s : Set α),
    MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (Set.indicator s ((fun i => g i) i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
⊢ ∃ δ x,
    ∀ (i : ι) (s : Set α),
      MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (Set.indicator s (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
case intro
α : Type u_3
β : Type u_2
ι : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : α → β
inst✝ : Finite ι
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p
n : ℕ
hn : Nonempty (ι ≃ Fin n)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
g : Fin n → α → β := f ∘ ↑(Nonempty.some hn).symm
hgeq : g = f ∘ ↑(Nonempty.some hn).symm
hg : ∀ (i : Fin n), Memℒp (g i) p
⊢ ∃ δ x,
    ∀ (i : ι) (s : Set α),
      MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (Set.indicator s (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
obtain ⟨δ, hδpos, hδ⟩ := unifIntegrable_fin μ hp_one hp_top hg hε
case intro.intro.intro
α : Type u_3
β : Type u_2
ι : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : α → β
inst✝ : Finite ι
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p
n : ℕ
hn : Nonempty (ι ≃ Fin n)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
g : Fin n → α → β := f ∘ ↑(Nonempty.some hn).symm
hgeq : g = f ∘ ↑(Nonempty.some hn).symm
hg : ∀ (i : Fin n), Memℒp (g i) p
δ : ℝ
hδpos : 0 < δ
hδ :
  ∀ (i : Fin n) (s : Set α),
    MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (Set.indicator s ((fun i => g i) i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ
⊢ snorm (Set.indicator s (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
case intro.intro.intro
α : Type u_3
β : Type u_2
ι : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : α → β
inst✝ : Finite ι
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p
n : ℕ
hn : Nonempty (ι ≃ Fin n)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
g : Fin n → α → β := f ∘ ↑(Nonempty.some hn).symm
hgeq : g = f ∘ ↑(Nonempty.some hn).symm
hg : ∀ (i : Fin n), Memℒp (g i) p
δ : ℝ
hδpos : 0 < δ
hδ :
  ∀ (i : Fin n) (s : Set α),
    MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (Set.indicator s ((fun i => g i) i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
⊢ ∃ δ x,
    ∀ (i : ι) (s : Set α),
      MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (Set.indicator s (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
refine' ⟨δ, hδpos, fun i s hs hμs => _⟩
case intro.intro.intro
α : Type u_3
β : Type u_2
ι : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : α → β
inst✝ : Finite ι
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p
n : ℕ
hn : Nonempty (ι ≃ Fin n)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
g : Fin n → α → β := f ∘ ↑(Nonempty.some hn).symm
hgeq : g = f ∘ ↑(Nonempty.some hn).symm
hg : ∀ (i : Fin n), Memℒp (g i) p
δ : ℝ
hδpos : 0 < δ
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ
hδ : snorm (Set.indicator s ((fun i => g i) (↑(Nonempty.some hn) i))) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
⊢ snorm (Set.indicator s (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
case intro.intro.intro
α : Type u_3
β : Type u_2
ι : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : α → β
inst✝ : Finite ι
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p
n : ℕ
hn : Nonempty (ι ≃ Fin n)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
g : Fin n → α → β := f ∘ ↑(Nonempty.some hn).symm
hgeq : g = f ∘ ↑(Nonempty.some hn).symm
hg : ∀ (i : Fin n), Memℒp (g i) p
δ : ℝ
hδpos : 0 < δ
hδ :
  ∀ (i : Fin n) (s : Set α),
    MeasurableSet s → ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → snorm (Set.indicator s ((fun i => g i) i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ
⊢ snorm (Set.indicator s (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
specialize hδ (hn.some i) s hs hμs
case intro.intro.intro
α : Type u_3
β : Type u_2
ι : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : α → β
inst✝ : Finite ι
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p
n : ℕ
hn : Nonempty (ι ≃ Fin n)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
g : Fin n → α → β := f ∘ ↑(Nonempty.some hn).symm
hgeq : g = f ∘ ↑(Nonempty.some hn).symm
hg : ∀ (i : Fin n), Memℒp (g i) p
δ : ℝ
hδpos : 0 < δ
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ
hδ : snorm (Set.indicator s (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
⊢ snorm (Set.indicator s (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
case intro.intro.intro
α : Type u_3
β : Type u_2
ι : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : α → β
inst✝ : Finite ι
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p
n : ℕ
hn : Nonempty (ι ≃ Fin n)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
g : Fin n → α → β := f ∘ ↑(Nonempty.some hn).symm
hgeq : g = f ∘ ↑(Nonempty.some hn).symm
hg : ∀ (i : Fin n), Memℒp (g i) p
δ : ℝ
hδpos : 0 < δ
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ
hδ : snorm (Set.indicator s ((fun i => g i) (↑(Nonempty.some hn) i))) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
⊢ snorm (Set.indicator s (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
simp_rw [hgeq, Function.comp_apply, Equiv.symm_apply_apply] at hδ
no goals
case intro.intro.intro
α : Type u_3
β : Type u_2
ι : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : α → β
inst✝ : Finite ι
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p
n : ℕ
hn : Nonempty (ι ≃ Fin n)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
g : Fin n → α → β := f ∘ ↑(Nonempty.some hn).symm
hgeq : g = f ∘ ↑(Nonempty.some hn).symm
hg : ∀ (i : Fin n), Memℒp (g i) p
δ : ℝ
hδpos : 0 < δ
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≤ ENNReal.ofReal δ
hδ : snorm (Set.indicator s (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
⊢ snorm (Set.indicator s (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
assumption