case refine'_1
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type ?u.3623715
𝕜₃ : Type ?u.3623718
E : Type u_2
Eₗ : Type ?u.3623724
F : Type ?u.3623727
Fₗ : Type u_3
G : Type ?u.3623733
Gₗ : Type ?u.3623736
𝓕 : Type ?u.3623739
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type ?u.3624623
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type ?u.3624629
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
c : E →L[𝕜] 𝕜
f : Fₗ
⊢ ‖smulRight c f‖ ≤ ‖c‖ * ‖f‖

case refine'_2
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type ?u.3623715
𝕜₃ : Type ?u.3623718
E : Type u_2
Eₗ : Type ?u.3623724
F : Type ?u.3623727
Fₗ : Type u_3
G : Type ?u.3623733
Gₗ : Type ?u.3623736
𝓕 : Type ?u.3623739
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type ?u.3624623
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type ?u.3624629
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
c : E →L[𝕜] 𝕜
f : Fₗ
⊢ ‖c‖ * ‖f‖ ≤ ‖smulRight c f‖
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type ?u.3623715
𝕜₃ : Type ?u.3623718
E : Type u_2
Eₗ : Type ?u.3623724
F : Type ?u.3623727
Fₗ : Type u_3
G : Type ?u.3623733
Gₗ : Type ?u.3623736
𝓕 : Type ?u.3623739
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type ?u.3624623
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type ?u.3624629
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
c : E →L[𝕜] 𝕜
f : Fₗ
⊢ ‖smulRight c f‖ = ‖c‖ * ‖f‖
refine' le_antisymm _ _
case refine'_1
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type ?u.3623715
𝕜₃ : Type ?u.3623718
E : Type u_2
Eₗ : Type ?u.3623724
F : Type ?u.3623727
Fₗ : Type u_3
G : Type ?u.3623733
Gₗ : Type ?u.3623736
𝓕 : Type ?u.3623739
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type ?u.3624623
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type ?u.3624629
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
c : E →L[𝕜] 𝕜
f : Fₗ
x : E
⊢ ‖↑(smulRight c f) x‖ ≤ ‖c‖ * ‖f‖ * ‖x‖
case refine'_1
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type ?u.3623715
𝕜₃ : Type ?u.3623718
E : Type u_2
Eₗ : Type ?u.3623724
F : Type ?u.3623727
Fₗ : Type u_3
G : Type ?u.3623733
Gₗ : Type ?u.3623736
𝓕 : Type ?u.3623739
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type ?u.3624623
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type ?u.3624629
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
c : E →L[𝕜] 𝕜
f : Fₗ
⊢ ‖smulRight c f‖ ≤ ‖c‖ * ‖f‖
refine' op_norm_le_bound _ (mul_nonneg (norm_nonneg _) (norm_nonneg _)) fun x => _
no goals
case refine'_1
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type ?u.3623715
𝕜₃ : Type ?u.3623718
E : Type u_2
Eₗ : Type ?u.3623724
F : Type ?u.3623727
Fₗ : Type u_3
G : Type ?u.3623733
Gₗ : Type ?u.3623736
𝓕 : Type ?u.3623739
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type ?u.3624623
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type ?u.3624629
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
c : E →L[𝕜] 𝕜
f : Fₗ
x : E
⊢ ‖↑(smulRight c f) x‖ ≤ ‖c‖ * ‖f‖ * ‖x‖
calc
  ‖c x • f‖ = ‖c x‖ * ‖f‖ := norm_smul _ _
  _ ≤ ‖c‖ * ‖x‖ * ‖f‖ := (mul_le_mul_of_nonneg_right (le_op_norm _ _) (norm_nonneg _))
  _ = ‖c‖ * ‖f‖ * ‖x‖ := by ring
no goals
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type ?u.3623715
𝕜₃ : Type ?u.3623718
E : Type u_2
Eₗ : Type ?u.3623724
F : Type ?u.3623727
Fₗ : Type u_3
G : Type ?u.3623733
Gₗ : Type ?u.3623736
𝓕 : Type ?u.3623739
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type ?u.3624623
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type ?u.3624629
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
c : E →L[𝕜] 𝕜
f : Fₗ
x : E
⊢ ‖c‖ * ‖x‖ * ‖f‖ = ‖c‖ * ‖f‖ * ‖x‖
ring
case pos
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type ?u.3623715
𝕜₃ : Type ?u.3623718
E : Type u_2
Eₗ : Type ?u.3623724
F : Type ?u.3623727
Fₗ : Type u_3
G : Type ?u.3623733
Gₗ : Type ?u.3623736
𝓕 : Type ?u.3623739
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type ?u.3624623
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type ?u.3624629
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
c : E →L[𝕜] 𝕜
f : Fₗ
h : f = 0
⊢ ‖c‖ * ‖f‖ ≤ ‖smulRight c f‖

case neg
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type ?u.3623715
𝕜₃ : Type ?u.3623718
E : Type u_2
Eₗ : Type ?u.3623724
F : Type ?u.3623727
Fₗ : Type u_3
G : Type ?u.3623733
Gₗ : Type ?u.3623736
𝓕 : Type ?u.3623739
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type ?u.3624623
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type ?u.3624629
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
c : E →L[𝕜] 𝕜
f : Fₗ
h : ¬f = 0
⊢ ‖c‖ * ‖f‖ ≤ ‖smulRight c f‖
case refine'_2
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type ?u.3623715
𝕜₃ : Type ?u.3623718
E : Type u_2
Eₗ : Type ?u.3623724
F : Type ?u.3623727
Fₗ : Type u_3
G : Type ?u.3623733
Gₗ : Type ?u.3623736
𝓕 : Type ?u.3623739
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type ?u.3624623
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type ?u.3624629
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
c : E →L[𝕜] 𝕜
f : Fₗ
⊢ ‖c‖ * ‖f‖ ≤ ‖smulRight c f‖
by_cases h : f = 0
no goals
case pos
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type ?u.3623715
𝕜₃ : Type ?u.3623718
E : Type u_2
Eₗ : Type ?u.3623724
F : Type ?u.3623727
Fₗ : Type u_3
G : Type ?u.3623733
Gₗ : Type ?u.3623736
𝓕 : Type ?u.3623739
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type ?u.3624623
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type ?u.3624629
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
c : E →L[𝕜] 𝕜
f : Fₗ
h : f = 0
⊢ ‖c‖ * ‖f‖ ≤ ‖smulRight c f‖
simp [h]
case neg
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type ?u.3623715
𝕜₃ : Type ?u.3623718
E : Type u_2
Eₗ : Type ?u.3623724
F : Type ?u.3623727
Fₗ : Type u_3
G : Type ?u.3623733
Gₗ : Type ?u.3623736
𝓕 : Type ?u.3623739
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type ?u.3624623
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type ?u.3624629
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
c : E →L[𝕜] 𝕜
f : Fₗ
h : ¬f = 0
this : 0 < ‖f‖
⊢ ‖c‖ * ‖f‖ ≤ ‖smulRight c f‖
case neg
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type ?u.3623715
𝕜₃ : Type ?u.3623718
E : Type u_2
Eₗ : Type ?u.3623724
F : Type ?u.3623727
Fₗ : Type u_3
G : Type ?u.3623733
Gₗ : Type ?u.3623736
𝓕 : Type ?u.3623739
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type ?u.3624623
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type ?u.3624629
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
c : E →L[𝕜] 𝕜
f : Fₗ
h : ¬f = 0
⊢ ‖c‖ * ‖f‖ ≤ ‖smulRight c f‖
have : 0 < ‖f‖ := norm_pos_iff.2 h
case neg
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type ?u.3623715
𝕜₃ : Type ?u.3623718
E : Type u_2
Eₗ : Type ?u.3623724
F : Type ?u.3623727
Fₗ : Type u_3
G : Type ?u.3623733
Gₗ : Type ?u.3623736
𝓕 : Type ?u.3623739
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type ?u.3624623
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type ?u.3624629
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
c : E →L[𝕜] 𝕜
f : Fₗ
h : ¬f = 0
this : 0 < ‖f‖
⊢ ‖c‖ ≤ ‖smulRight c f‖ / ‖f‖
case neg
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type ?u.3623715
𝕜₃ : Type ?u.3623718
E : Type u_2
Eₗ : Type ?u.3623724
F : Type ?u.3623727
Fₗ : Type u_3
G : Type ?u.3623733
Gₗ : Type ?u.3623736
𝓕 : Type ?u.3623739
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
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inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
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σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
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inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type ?u.3624629
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
c : E →L[𝕜] 𝕜
f : Fₗ
h : ¬f = 0
this : 0 < ‖f‖
⊢ ‖c‖ * ‖f‖ ≤ ‖smulRight c f‖
rw [← le_div_iff this]
case neg
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type ?u.3623715
𝕜₃ : Type ?u.3623718
E : Type u_2
Eₗ : Type ?u.3623724
F : Type ?u.3623727
Fₗ : Type u_3
G : Type ?u.3623733
Gₗ : Type ?u.3623736
𝓕 : Type ?u.3623739
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type ?u.3624623
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type ?u.3624629
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
c : E →L[𝕜] 𝕜
f : Fₗ
h : ¬f = 0
this : 0 < ‖f‖
x : E
⊢ ‖↑c x‖ ≤ ‖smulRight c f‖ / ‖f‖ * ‖x‖
case neg
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type ?u.3623715
𝕜₃ : Type ?u.3623718
E : Type u_2
Eₗ : Type ?u.3623724
F : Type ?u.3623727
Fₗ : Type u_3
G : Type ?u.3623733
Gₗ : Type ?u.3623736
𝓕 : Type ?u.3623739
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type ?u.3624623
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type ?u.3624629
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
c : E →L[𝕜] 𝕜
f : Fₗ
h : ¬f = 0
this : 0 < ‖f‖
⊢ ‖c‖ ≤ ‖smulRight c f‖ / ‖f‖
refine' op_norm_le_bound _ (div_nonneg (norm_nonneg _) (norm_nonneg f)) fun x => _
case neg
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type ?u.3623715
𝕜₃ : Type ?u.3623718
E : Type u_2
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G : Type ?u.3623733
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𝓕 : Type ?u.3623739
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
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inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type ?u.3624623
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type ?u.3624629
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
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inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
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inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
c : E →L[𝕜] 𝕜
f : Fₗ
h : ¬f = 0
this : 0 < ‖f‖
x : E
⊢ ‖↑c x‖ * ‖f‖ ≤ ‖smulRight c f‖ * ‖x‖
case neg
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type ?u.3623715
𝕜₃ : Type ?u.3623718
E : Type u_2
Eₗ : Type ?u.3623724
F : Type ?u.3623727
Fₗ : Type u_3
G : Type ?u.3623733
Gₗ : Type ?u.3623736
𝓕 : Type ?u.3623739
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type ?u.3624623
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type ?u.3624629
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
c : E →L[𝕜] 𝕜
f : Fₗ
h : ¬f = 0
this : 0 < ‖f‖
x : E
⊢ ‖↑c x‖ ≤ ‖smulRight c f‖ / ‖f‖ * ‖x‖
rw [div_mul_eq_mul_div, le_div_iff this]
no goals
case neg
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type ?u.3623715
𝕜₃ : Type ?u.3623718
E : Type u_2
Eₗ : Type ?u.3623724
F : Type ?u.3623727
Fₗ : Type u_3
G : Type ?u.3623733
Gₗ : Type ?u.3623736
𝓕 : Type ?u.3623739
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
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inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
𝕜₂' : Type ?u.3624623
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
F' : Type ?u.3624629
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂'' : 𝕜₂ →+* 𝕜₂'
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ₂' σ₂''
inst✝⁶ : RingHomInvPair σ₂'' σ₂'
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₂'' σ₂₃' σ₂₃
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝² : RingHomIsometric σ₂'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂''
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃'
c : E →L[𝕜] 𝕜
f : Fₗ
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this : 0 < ‖f‖
x : E
⊢ ‖↑c x‖ * ‖f‖ ≤ ‖smulRight c f‖ * ‖x‖
calc
  ‖c x‖ * ‖f‖ = ‖c x • f‖ := (norm_smul _ _).symm
  _ = ‖smulRight c f x‖ := rfl
  _ ≤ ‖smulRight c f‖ * ‖x‖ := le_op_norm _ _