R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝⁶ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
P : Type u₁
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), ↑(g j) (↑(f i j hij) x) = ↑(g i) x
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
F : DirectLimit G f →ₗ[R] P
x✝ : DirectLimit G f
i j : ι
hij : i ≤ j
x : G i
⊢ ↑F (↑(of R ι G f i) x) = ↑((fun i => LinearMap.comp F (of R ι G f i)) i) x
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝⁶ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
P : Type u₁
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), ↑(g j) (↑(f i j hij) x) = ↑(g i) x
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
F : DirectLimit G f →ₗ[R] P
x✝ : DirectLimit G f
i j : ι
hij : i ≤ j
x : G i
⊢ ↑((fun i => LinearMap.comp F (of R ι G f i)) j) (↑(f i j hij) x) = ↑((fun i => LinearMap.comp F (of R ι G f i)) i) x
rw [LinearMap.comp_apply, of_f]
no goals
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝⁶ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
P : Type u₁
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), ↑(g j) (↑(f i j hij) x) = ↑(g i) x
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
F : DirectLimit G f →ₗ[R] P
x✝ : DirectLimit G f
i j : ι
hij : i ≤ j
x : G i
⊢ ↑F (↑(of R ι G f i) x) = ↑((fun i => LinearMap.comp F (of R ι G f i)) i) x
rfl
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝⁶ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
P : Type u₁
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), ↑(g j) (↑(f i j hij) x) = ↑(g i) x
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
F : DirectLimit G f →ₗ[R] P
x✝ : DirectLimit G f
i : ι
x : G i
⊢ ↑F (↑(of R ι G f i) x) = ↑(LinearMap.comp F (of R ι G f i)) x
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝⁶ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
P : Type u₁
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), ↑(g j) (↑(f i j hij) x) = ↑(g i) x
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
F : DirectLimit G f →ₗ[R] P
x✝ : DirectLimit G f
i : ι
x : G i
⊢ ↑F (↑(of R ι G f i) x) =
    ↑(lift R ι G f (fun i => LinearMap.comp F (of R ι G f i))
          (_ :
            ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i),
              ↑((fun i => LinearMap.comp F (of R ι G f i)) j) (↑(f i j hij) x) =
                ↑((fun i => LinearMap.comp F (of R ι G f i)) i) x))
      (↑(of R ι G f i) x)
rw [lift_of]
no goals
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝⁶ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
P : Type u₁
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), ↑(g j) (↑(f i j hij) x) = ↑(g i) x
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
F : DirectLimit G f →ₗ[R] P
x✝ : DirectLimit G f
i : ι
x : G i
⊢ ↑F (↑(of R ι G f i) x) = ↑(LinearMap.comp F (of R ι G f i)) x
rfl