α : Type u_2
β : Type u_1
ι : Type ?u.499445
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ℕ → α → β
g : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p
hg : Memℒp g p
hfg : Tendsto (fun n => snorm (f n - g) p μ) atTop (𝓝 0)
this : f = (fun x => g) + fun n => f n - g
⊢ UnifIntegrable f p μ
α : Type u_2
β : Type u_1
ι : Type ?u.499445
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ℕ → α → β
g : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p
hg : Memℒp g p
hfg : Tendsto (fun n => snorm (f n - g) p μ) atTop (𝓝 0)
⊢ UnifIntegrable f p μ
have : f = (fun _ => g) + fun n => f n - g := by ext1 n; simp
α : Type u_2
β : Type u_1
ι : Type ?u.499445
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ℕ → α → β
g : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p
hg : Memℒp g p
hfg : Tendsto (fun n => snorm (f n - g) p μ) atTop (𝓝 0)
this : f = (fun x => g) + fun n => f n - g
⊢ UnifIntegrable ((fun x => g) + fun n => f n - g) p μ
α : Type u_2
β : Type u_1
ι : Type ?u.499445
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ℕ → α → β
g : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p
hg : Memℒp g p
hfg : Tendsto (fun n => snorm (f n - g) p μ) atTop (𝓝 0)
this : f = (fun x => g) + fun n => f n - g
⊢ UnifIntegrable f p μ
rw [this]
case refine'_1
α : Type u_2
β : Type u_1
ι : Type ?u.499445
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ℕ → α → β
g : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p
hg : Memℒp g p
hfg : Tendsto (fun n => snorm (f n - g) p μ) atTop (𝓝 0)
this : f = (fun x => g) + fun n => f n - g
⊢ UnifIntegrable (fun x => g) p μ

case refine'_2
α : Type u_2
β : Type u_1
ι : Type ?u.499445
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ℕ → α → β
g : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p
hg : Memℒp g p
hfg : Tendsto (fun n => snorm (f n - g) p μ) atTop (𝓝 0)
this : f = (fun x => g) + fun n => f n - g
⊢ UnifIntegrable (fun n => f n - g) p μ
α : Type u_2
β : Type u_1
ι : Type ?u.499445
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ℕ → α → β
g : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p
hg : Memℒp g p
hfg : Tendsto (fun n => snorm (f n - g) p μ) atTop (𝓝 0)
this : f = (fun x => g) + fun n => f n - g
⊢ UnifIntegrable ((fun x => g) + fun n => f n - g) p μ
refine' UnifIntegrable.add _ _ hp (fun _ => hg.aestronglyMeasurable)
    fun n => (hf n).1.sub hg.aestronglyMeasurable
case h
α : Type u_2
β : Type u_1
ι : Type ?u.499445
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ℕ → α → β
g : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p
hg : Memℒp g p
hfg : Tendsto (fun n => snorm (f n - g) p μ) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
⊢ f n = ((fun x => g) + fun n => f n - g) n
α : Type u_2
β : Type u_1
ι : Type ?u.499445
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ℕ → α → β
g : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p
hg : Memℒp g p
hfg : Tendsto (fun n => snorm (f n - g) p μ) atTop (𝓝 0)
⊢ f = (fun x => g) + fun n => f n - g
ext1 n
no goals
case h
α : Type u_2
β : Type u_1
ι : Type ?u.499445
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ℕ → α → β
g : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p
hg : Memℒp g p
hfg : Tendsto (fun n => snorm (f n - g) p μ) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
⊢ f n = ((fun x => g) + fun n => f n - g) n
simp
no goals
case refine'_1
α : Type u_2
β : Type u_1
ι : Type ?u.499445
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ℕ → α → β
g : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p
hg : Memℒp g p
hfg : Tendsto (fun n => snorm (f n - g) p μ) atTop (𝓝 0)
this : f = (fun x => g) + fun n => f n - g
⊢ UnifIntegrable (fun x => g) p μ
exact unifIntegrable_const μ hp hp' hg
no goals
case refine'_2
α : Type u_2
β : Type u_1
ι : Type ?u.499445
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ℕ → α → β
g : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p
hg : Memℒp g p
hfg : Tendsto (fun n => snorm (f n - g) p μ) atTop (𝓝 0)
this : f = (fun x => g) + fun n => f n - g
⊢ UnifIntegrable (fun n => f n - g) p μ
exact unifIntegrable_of_tendsto_Lp_zero μ hp hp' (fun n => (hf n).sub hg) hfg