α : Type u_4
β : Type ?u.634340
γ : Type ?u.634343
ι : Type ?u.634346
M : Type u_2
M' : Type ?u.634352
N : Type u_3
P : Type ?u.634358
G : Type ?u.634361
H : Type ?u.634364
R : Type u_1
S : Type ?u.634370
x✝ : Monoid R
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DistribMulAction R M
inst✝¹ : AddMonoid N
inst✝ : DistribMulAction R N
f : M → N
hf : f 0 = 0
c : R
v : α →₀ M
hsmul : ∀ (x : M), f (c • x) = c • f x
⊢ mapRange (f ∘ (fun x x_1 => x • x_1) c) ?h v = c • mapRange f hf v

case h
α : Type u_4
β : Type ?u.634340
γ : Type ?u.634343
ι : Type ?u.634346
M : Type u_2
M' : Type ?u.634352
N : Type u_3
P : Type ?u.634358
G : Type ?u.634361
H : Type ?u.634364
R : Type u_1
S : Type ?u.634370
x✝ : Monoid R
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DistribMulAction R M
inst✝¹ : AddMonoid N
inst✝ : DistribMulAction R N
f : M → N
hf : f 0 = 0
c : R
v : α →₀ M
hsmul : ∀ (x : M), f (c • x) = c • f x
⊢ (f ∘ (fun x x_1 => x • x_1) c) 0 = 0
α : Type u_4
β : Type ?u.634340
γ : Type ?u.634343
ι : Type ?u.634346
M : Type u_2
M' : Type ?u.634352
N : Type u_3
P : Type ?u.634358
G : Type ?u.634361
H : Type ?u.634364
R : Type u_1
S : Type ?u.634370
x✝ : Monoid R
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DistribMulAction R M
inst✝¹ : AddMonoid N
inst✝ : DistribMulAction R N
f : M → N
hf : f 0 = 0
c : R
v : α →₀ M
hsmul : ∀ (x : M), f (c • x) = c • f x
⊢ mapRange f hf (c • v) = c • mapRange f hf v
erw [← mapRange_comp]
α : Type u_4
β : Type ?u.634340
γ : Type ?u.634343
ι : Type ?u.634346
M : Type u_2
M' : Type ?u.634352
N : Type u_3
P : Type ?u.634358
G : Type ?u.634361
H : Type ?u.634364
R : Type u_1
S : Type ?u.634370
x✝ : Monoid R
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DistribMulAction R M
inst✝¹ : AddMonoid N
inst✝ : DistribMulAction R N
f : M → N
hf : f 0 = 0
c : R
v : α →₀ M
hsmul : ∀ (x : M), f (c • x) = c • f x
this : f ∘ (fun x x_1 => x • x_1) c = (fun x x_1 => x • x_1) c ∘ f
⊢ mapRange ((fun x => c • x) ∘ f) (_ : ((fun x => c • x) ∘ f) 0 = 0) v = c • mapRange f hf v

case h
α : Type u_4
β : Type ?u.634340
γ : Type ?u.634343
ι : Type ?u.634346
M : Type u_2
M' : Type ?u.634352
N : Type u_3
P : Type ?u.634358
G : Type ?u.634361
H : Type ?u.634364
R : Type u_1
S : Type ?u.634370
x✝ : Monoid R
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DistribMulAction R M
inst✝¹ : AddMonoid N
inst✝ : DistribMulAction R N
f : M → N
hf : f 0 = 0
c : R
v : α →₀ M
hsmul : ∀ (x : M), f (c • x) = c • f x
⊢ (f ∘ (fun x x_1 => x • x_1) c) 0 = 0
α : Type u_4
β : Type ?u.634340
γ : Type ?u.634343
ι : Type ?u.634346
M : Type u_2
M' : Type ?u.634352
N : Type u_3
P : Type ?u.634358
G : Type ?u.634361
H : Type ?u.634364
R : Type u_1
S : Type ?u.634370
x✝ : Monoid R
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DistribMulAction R M
inst✝¹ : AddMonoid N
inst✝ : DistribMulAction R N
f : M → N
hf : f 0 = 0
c : R
v : α →₀ M
hsmul : ∀ (x : M), f (c • x) = c • f x
this : f ∘ (fun x x_1 => x • x_1) c = (fun x x_1 => x • x_1) c ∘ f
⊢ mapRange (f ∘ (fun x x_1 => x • x_1) c) ?h v = c • mapRange f hf v

case h
α : Type u_4
β : Type ?u.634340
γ : Type ?u.634343
ι : Type ?u.634346
M : Type u_2
M' : Type ?u.634352
N : Type u_3
P : Type ?u.634358
G : Type ?u.634361
H : Type ?u.634364
R : Type u_1
S : Type ?u.634370
x✝ : Monoid R
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DistribMulAction R M
inst✝¹ : AddMonoid N
inst✝ : DistribMulAction R N
f : M → N
hf : f 0 = 0
c : R
v : α →₀ M
hsmul : ∀ (x : M), f (c • x) = c • f x
⊢ (f ∘ (fun x x_1 => x • x_1) c) 0 = 0
simp_rw [this]
case h
α : Type u_4
β : Type ?u.634340
γ : Type ?u.634343
ι : Type ?u.634346
M : Type u_2
M' : Type ?u.634352
N : Type u_3
P : Type ?u.634358
G : Type ?u.634361
H : Type ?u.634364
R : Type u_1
S : Type ?u.634370
x✝ : Monoid R
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DistribMulAction R M
inst✝¹ : AddMonoid N
inst✝ : DistribMulAction R N
f : M → N
hf : f 0 = 0
c : R
v : α →₀ M
hsmul : ∀ (x : M), f (c • x) = c • f x
⊢ (f ∘ (fun x x_1 => x • x_1) c) 0 = 0
α : Type u_4
β : Type ?u.634340
γ : Type ?u.634343
ι : Type ?u.634346
M : Type u_2
M' : Type ?u.634352
N : Type u_3
P : Type ?u.634358
G : Type ?u.634361
H : Type ?u.634364
R : Type u_1
S : Type ?u.634370
x✝ : Monoid R
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DistribMulAction R M
inst✝¹ : AddMonoid N
inst✝ : DistribMulAction R N
f : M → N
hf : f 0 = 0
c : R
v : α →₀ M
hsmul : ∀ (x : M), f (c • x) = c • f x
this : f ∘ (fun x x_1 => x • x_1) c = (fun x x_1 => x • x_1) c ∘ f
⊢ mapRange ((fun x => c • x) ∘ f) (_ : ((fun x => c • x) ∘ f) 0 = 0) v = c • mapRange f hf v

case h
α : Type u_4
β : Type ?u.634340
γ : Type ?u.634343
ι : Type ?u.634346
M : Type u_2
M' : Type ?u.634352
N : Type u_3
P : Type ?u.634358
G : Type ?u.634361
H : Type ?u.634364
R : Type u_1
S : Type ?u.634370
x✝ : Monoid R
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DistribMulAction R M
inst✝¹ : AddMonoid N
inst✝ : DistribMulAction R N
f : M → N
hf : f 0 = 0
c : R
v : α →₀ M
hsmul : ∀ (x : M), f (c • x) = c • f x
⊢ (f ∘ (fun x x_1 => x • x_1) c) 0 = 0
apply mapRange_comp
no goals
case h
α : Type u_4
β : Type ?u.634340
γ : Type ?u.634343
ι : Type ?u.634346
M : Type u_2
M' : Type ?u.634352
N : Type u_3
P : Type ?u.634358
G : Type ?u.634361
H : Type ?u.634364
R : Type u_1
S : Type ?u.634370
x✝ : Monoid R
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DistribMulAction R M
inst✝¹ : AddMonoid N
inst✝ : DistribMulAction R N
f : M → N
hf : f 0 = 0
c : R
v : α →₀ M
hsmul : ∀ (x : M), f (c • x) = c • f x
⊢ (f ∘ (fun x x_1 => x • x_1) c) 0 = 0
simp only [Function.comp_apply, smul_zero, hf]