ι : Type u'
ι' : Type ?u.1166078
R : Type u_1
K : Type ?u.1166084
M : Type u_2
M' : Type ?u.1166090
M'' : Type ?u.1166093
V : Type u
V' : Type ?u.1166098
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Nontrivial R
s t u : Set M
hl : LinearIndependent R Subtype.val
hsu : s ⊆ u
htu : t ⊆ u
hst : span R s ≤ span R t
this : s ∪ t = t
⊢ s ⊆ t
ι : Type u'
ι' : Type ?u.1166078
R : Type u_1
K : Type ?u.1166084
M : Type u_2
M' : Type ?u.1166090
M'' : Type ?u.1166093
V : Type u
V' : Type ?u.1166098
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Nontrivial R
s t u : Set M
hl : LinearIndependent R Subtype.val
hsu : s ⊆ u
htu : t ⊆ u
hst : span R s ≤ span R t
⊢ s ⊆ t
have :=
  eq_of_linearIndependent_of_span_subtype (hl.mono (Set.union_subset hsu htu))
    (Set.subset_union_right _ _) (Set.union_subset (Set.Subset.trans subset_span hst) subset_span)
ι : Type u'
ι' : Type ?u.1166078
R : Type u_1
K : Type ?u.1166084
M : Type u_2
M' : Type ?u.1166090
M'' : Type ?u.1166093
V : Type u
V' : Type ?u.1166098
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Nontrivial R
s t u : Set M
hl : LinearIndependent R Subtype.val
hsu : s ⊆ u
htu : t ⊆ u
hst : span R s ≤ span R t
this : s ∪ t = t
⊢ s ⊆ s ∪ t
ι : Type u'
ι' : Type ?u.1166078
R : Type u_1
K : Type ?u.1166084
M : Type u_2
M' : Type ?u.1166090
M'' : Type ?u.1166093
V : Type u
V' : Type ?u.1166098
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Nontrivial R
s t u : Set M
hl : LinearIndependent R Subtype.val
hsu : s ⊆ u
htu : t ⊆ u
hst : span R s ≤ span R t
this : s ∪ t = t
⊢ s ⊆ t
rw [← this]
no goals
ι : Type u'
ι' : Type ?u.1166078
R : Type u_1
K : Type ?u.1166084
M : Type u_2
M' : Type ?u.1166090
M'' : Type ?u.1166093
V : Type u
V' : Type ?u.1166098
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Nontrivial R
s t u : Set M
hl : LinearIndependent R Subtype.val
hsu : s ⊆ u
htu : t ⊆ u
hst : span R s ≤ span R t
this : s ∪ t = t
⊢ s ⊆ s ∪ t
apply Set.subset_union_left