V : Type u_2
P : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 : P
hp1p2 : p1 ≠ p2
⊢ InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (p2 -ᵥ p1) = π
V : Type u_2
P : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 : P
hp1p2 : p1 ≠ p2
⊢ ∠ p1 (midpoint ℝ p1 p2) p2 = π
simp [angle, hp1p2, -zero_lt_one]
V : Type u_2
P : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 : P
hp1p2 : p1 ≠ p2
⊢ InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (-(p1 -ᵥ p2)) = π
V : Type u_2
P : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 : P
hp1p2 : p1 ≠ p2
⊢ InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (p2 -ᵥ p1) = π
rw [← neg_vsub_eq_vsub_rev p1 p2]
case hx
V : Type u_2
P : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 : P
hp1p2 : p1 ≠ p2
⊢ p1 -ᵥ p2 ≠ 0
V : Type u_2
P : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 : P
hp1p2 : p1 ≠ p2
⊢ InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (-(p1 -ᵥ p2)) = π
apply angle_self_neg_of_nonzero
no goals
case hx
V : Type u_2
P : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 : P
hp1p2 : p1 ≠ p2
⊢ p1 -ᵥ p2 ≠ 0
simpa only [ne_eq, vsub_eq_zero_iff_eq]