case mp
α : Type u
α' : Type ?u.67503
β : Type v
β' : Type ?u.67508
γ : Type ?u.67511
φ : Type ?u.67514
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
c₀ : Chain (α →𝒄 β)
c₁ : Chain α
z : β
h : ∀ (i j : ℕ), ↑(↑c₀ i).toOrderHom (↑c₁ j) ≤ z
i : ℕ
⊢ ↑(↑c₀ i).toOrderHom (↑c₁ i) ≤ z

case mpr
α : Type u
α' : Type ?u.67503
β : Type v
β' : Type ?u.67508
γ : Type ?u.67511
φ : Type ?u.67514
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
c₀ : Chain (α →𝒄 β)
c₁ : Chain α
z : β
h : ∀ (i : ℕ), ↑(↑c₀ i).toOrderHom (↑c₁ i) ≤ z
i j : ℕ
⊢ ↑(↑c₀ i).toOrderHom (↑c₁ j) ≤ z
α : Type u
α' : Type ?u.67503
β : Type v
β' : Type ?u.67508
γ : Type ?u.67511
φ : Type ?u.67514
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
c₀ : Chain (α →𝒄 β)
c₁ : Chain α
z : β
⊢ (∀ (i j : ℕ), ↑(↑c₀ i).toOrderHom (↑c₁ j) ≤ z) ↔ ∀ (i : ℕ), ↑(↑c₀ i).toOrderHom (↑c₁ i) ≤ z
constructor <;> introv h
no goals
case mp
α : Type u
α' : Type ?u.67503
β : Type v
β' : Type ?u.67508
γ : Type ?u.67511
φ : Type ?u.67514
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
c₀ : Chain (α →𝒄 β)
c₁ : Chain α
z : β
h : ∀ (i j : ℕ), ↑(↑c₀ i).toOrderHom (↑c₁ j) ≤ z
i : ℕ
⊢ ↑(↑c₀ i).toOrderHom (↑c₁ i) ≤ z
apply h
α : Type u
α' : Type ?u.67503
β : Type v
β' : Type ?u.67508
γ : Type ?u.67511
φ : Type ?u.67514
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
c₀ : Chain (α →𝒄 β)
c₁ : Chain α
z : β
h : ∀ (i : ℕ), ↑(↑c₀ i).toOrderHom (↑c₁ i) ≤ z
i j : ℕ
⊢ ↑(↑c₀ i).toOrderHom (↑c₁ j) ≤ ↑(↑c₀ (max i j)).toOrderHom (↑c₁ (max i j))
case mpr
α : Type u
α' : Type ?u.67503
β : Type v
β' : Type ?u.67508
γ : Type ?u.67511
φ : Type ?u.67514
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
c₀ : Chain (α →𝒄 β)
c₁ : Chain α
z : β
h : ∀ (i : ℕ), ↑(↑c₀ i).toOrderHom (↑c₁ i) ≤ z
i j : ℕ
⊢ ↑(↑c₀ i).toOrderHom (↑c₁ j) ≤ z
apply le_trans _ (h (max i j))
α : Type u
α' : Type ?u.67503
β : Type v
β' : Type ?u.67508
γ : Type ?u.67511
φ : Type ?u.67514
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
c₀ : Chain (α →𝒄 β)
c₁ : Chain α
z : β
h : ∀ (i : ℕ), ↑(↑c₀ i).toOrderHom (↑c₁ i) ≤ z
i j : ℕ
⊢ ↑(↑c₀ i).toOrderHom (↑c₁ j) ≤ ↑(↑c₀ i).toOrderHom (↑c₁ (max i j))

α : Type u
α' : Type ?u.67503
β : Type v
β' : Type ?u.67508
γ : Type ?u.67511
φ : Type ?u.67514
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
c₀ : Chain (α →𝒄 β)
c₁ : Chain α
z : β
h : ∀ (i : ℕ), ↑(↑c₀ i).toOrderHom (↑c₁ i) ≤ z
i j : ℕ
⊢ ↑(↑c₀ i).toOrderHom (↑c₁ (max i j)) ≤ ↑(↑c₀ (max i j)).toOrderHom (↑c₁ (max i j))
α : Type u
α' : Type ?u.67503
β : Type v
β' : Type ?u.67508
γ : Type ?u.67511
φ : Type ?u.67514
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
c₀ : Chain (α →𝒄 β)
c₁ : Chain α
z : β
h : ∀ (i : ℕ), ↑(↑c₀ i).toOrderHom (↑c₁ i) ≤ z
i j : ℕ
⊢ ↑(↑c₀ i).toOrderHom (↑c₁ j) ≤ ↑(↑c₀ (max i j)).toOrderHom (↑c₁ (max i j))
trans c₀ i (c₁ (max i j))
case a
α : Type u
α' : Type ?u.67503
β : Type v
β' : Type ?u.67508
γ : Type ?u.67511
φ : Type ?u.67514
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
c₀ : Chain (α →𝒄 β)
c₁ : Chain α
z : β
h : ∀ (i : ℕ), ↑(↑c₀ i).toOrderHom (↑c₁ i) ≤ z
i j : ℕ
⊢ ↑c₁ j ≤ ↑c₁ (max i j)
α : Type u
α' : Type ?u.67503
β : Type v
β' : Type ?u.67508
γ : Type ?u.67511
φ : Type ?u.67514
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
c₀ : Chain (α →𝒄 β)
c₁ : Chain α
z : β
h : ∀ (i : ℕ), ↑(↑c₀ i).toOrderHom (↑c₁ i) ≤ z
i j : ℕ
⊢ ↑(↑c₀ i).toOrderHom (↑c₁ j) ≤ ↑(↑c₀ i).toOrderHom (↑c₁ (max i j))
apply (c₀ i).monotone
case a.a
α : Type u
α' : Type ?u.67503
β : Type v
β' : Type ?u.67508
γ : Type ?u.67511
φ : Type ?u.67514
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
c₀ : Chain (α →𝒄 β)
c₁ : Chain α
z : β
h : ∀ (i : ℕ), ↑(↑c₀ i).toOrderHom (↑c₁ i) ≤ z
i j : ℕ
⊢ j ≤ max i j
case a
α : Type u
α' : Type ?u.67503
β : Type v
β' : Type ?u.67508
γ : Type ?u.67511
φ : Type ?u.67514
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
c₀ : Chain (α →𝒄 β)
c₁ : Chain α
z : β
h : ∀ (i : ℕ), ↑(↑c₀ i).toOrderHom (↑c₁ i) ≤ z
i j : ℕ
⊢ ↑c₁ j ≤ ↑c₁ (max i j)
apply c₁.monotone
no goals
case a.a
α : Type u
α' : Type ?u.67503
β : Type v
β' : Type ?u.67508
γ : Type ?u.67511
φ : Type ?u.67514
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
c₀ : Chain (α →𝒄 β)
c₁ : Chain α
z : β
h : ∀ (i : ℕ), ↑(↑c₀ i).toOrderHom (↑c₁ i) ≤ z
i j : ℕ
⊢ j ≤ max i j
apply le_max_right
case a
α : Type u
α' : Type ?u.67503
β : Type v
β' : Type ?u.67508
γ : Type ?u.67511
φ : Type ?u.67514
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
c₀ : Chain (α →𝒄 β)
c₁ : Chain α
z : β
h : ∀ (i : ℕ), ↑(↑c₀ i).toOrderHom (↑c₁ i) ≤ z
i j : ℕ
⊢ i ≤ max i j
α : Type u
α' : Type ?u.67503
β : Type v
β' : Type ?u.67508
γ : Type ?u.67511
φ : Type ?u.67514
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
c₀ : Chain (α →𝒄 β)
c₁ : Chain α
z : β
h : ∀ (i : ℕ), ↑(↑c₀ i).toOrderHom (↑c₁ i) ≤ z
i j : ℕ
⊢ ↑(↑c₀ i).toOrderHom (↑c₁ (max i j)) ≤ ↑(↑c₀ (max i j)).toOrderHom (↑c₁ (max i j))
apply c₀.monotone
no goals
case a
α : Type u
α' : Type ?u.67503
β : Type v
β' : Type ?u.67508
γ : Type ?u.67511
φ : Type ?u.67514
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
c₀ : Chain (α →𝒄 β)
c₁ : Chain α
z : β
h : ∀ (i : ℕ), ↑(↑c₀ i).toOrderHom (↑c₁ i) ≤ z
i j : ℕ
⊢ i ≤ max i j
apply le_max_left