α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
h1 : IsUnit (gcd (d₁ ^ k) b)
h2 : d₁ ^ k ∣ a * b
⊢ d₁ ^ k ≠ 0 ∧ d₁ ^ k ∣ a
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
h1 : IsUnit (gcd (d₁ ^ k) b)
⊢ d₁ ^ k ≠ 0 ∧ d₁ ^ k ∣ a
have h2 : d₁ ^ k ∣ a * b := by
  use d₂ ^ k
  rw [h, hc]
  exact mul_pow d₁ d₂ k
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
h1 : IsUnit (gcd (d₁ ^ k) b)
h2 : d₁ ^ k ∣ b * a
⊢ d₁ ^ k ≠ 0 ∧ d₁ ^ k ∣ a
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
h1 : IsUnit (gcd (d₁ ^ k) b)
h2 : d₁ ^ k ∣ a * b
⊢ d₁ ^ k ≠ 0 ∧ d₁ ^ k ∣ a
rw [mul_comm] at h2
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
h1 : IsUnit (gcd (d₁ ^ k) b)
h2 : d₁ ^ k ∣ b * a
h3 : d₁ ^ k ∣ a
⊢ d₁ ^ k ≠ 0 ∧ d₁ ^ k ∣ a
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
h1 : IsUnit (gcd (d₁ ^ k) b)
h2 : d₁ ^ k ∣ b * a
⊢ d₁ ^ k ≠ 0 ∧ d₁ ^ k ∣ a
have h3 : d₁ ^ k ∣ a := by
  apply (dvd_gcd_mul_of_dvd_mul h2).trans
  rw [IsUnit.mul_left_dvd _ _ _ h1]
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
h1 : IsUnit (gcd (d₁ ^ k) b)
h2 : d₁ ^ k ∣ b * a
h3 : d₁ ^ k ∣ a
h4 : d₁ ^ k ≠ 0
⊢ d₁ ^ k ≠ 0 ∧ d₁ ^ k ∣ a
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
h1 : IsUnit (gcd (d₁ ^ k) b)
h2 : d₁ ^ k ∣ b * a
h3 : d₁ ^ k ∣ a
⊢ d₁ ^ k ≠ 0 ∧ d₁ ^ k ∣ a
have h4 : d₁ ^ k ≠ 0 := by
  intro hdk
  rw [hdk] at h3
  apply absurd (zero_dvd_iff.mp h3) ha
no goals
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
h1 : IsUnit (gcd (d₁ ^ k) b)
h2 : d₁ ^ k ∣ b * a
h3 : d₁ ^ k ∣ a
h4 : d₁ ^ k ≠ 0
⊢ d₁ ^ k ≠ 0 ∧ d₁ ^ k ∣ a
exact ⟨h4, h3⟩
case h
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
⊢ gcd (d₁ ^ k) b ∣ 1
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
⊢ IsUnit (gcd (d₁ ^ k) b)
apply isUnit_of_dvd_one
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
⊢ gcd (d₁ ^ k) b ∣ gcd d₁ b ^ k

α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
⊢ gcd d₁ b ^ k ∣ 1
case h
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
⊢ gcd (d₁ ^ k) b ∣ 1
trans gcd d₁ b ^ k
no goals
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
⊢ gcd (d₁ ^ k) b ∣ gcd d₁ b ^ k
exact gcd_pow_left_dvd_pow_gcd
case hu
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
⊢ IsUnit (gcd d₁ b ^ k)
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
⊢ gcd d₁ b ^ k ∣ 1
apply IsUnit.dvd
case hu.a
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
⊢ IsUnit (gcd d₁ b)
case hu
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
⊢ IsUnit (gcd d₁ b ^ k)
apply IsUnit.pow
case hu.a.h
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
⊢ gcd d₁ b ∣ 1
case hu.a
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
⊢ IsUnit (gcd d₁ b)
apply isUnit_of_dvd_one
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
⊢ gcd d₁ b ∣ gcd a b
case hu.a.h
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
⊢ gcd d₁ b ∣ 1
apply dvd_trans _ hab.dvd
no goals
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
⊢ gcd d₁ b ∣ gcd a b
apply gcd_dvd_gcd hd₁ (dvd_refl b)
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
h1 : IsUnit (gcd (d₁ ^ k) b)
⊢ a * b = d₁ ^ k * d₂ ^ k
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
h1 : IsUnit (gcd (d₁ ^ k) b)
⊢ d₁ ^ k ∣ a * b
use d₂ ^ k
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
h1 : IsUnit (gcd (d₁ ^ k) b)
⊢ (d₁ * d₂) ^ k = d₁ ^ k * d₂ ^ k
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
h1 : IsUnit (gcd (d₁ ^ k) b)
⊢ a * b = d₁ ^ k * d₂ ^ k
rw [h, hc]
no goals
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
h1 : IsUnit (gcd (d₁ ^ k) b)
⊢ (d₁ * d₂) ^ k = d₁ ^ k * d₂ ^ k
exact mul_pow d₁ d₂ k
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
h1 : IsUnit (gcd (d₁ ^ k) b)
h2 : d₁ ^ k ∣ b * a
⊢ gcd (d₁ ^ k) b * a ∣ a
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
h1 : IsUnit (gcd (d₁ ^ k) b)
h2 : d₁ ^ k ∣ b * a
⊢ d₁ ^ k ∣ a
apply (dvd_gcd_mul_of_dvd_mul h2).trans
no goals
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
h1 : IsUnit (gcd (d₁ ^ k) b)
h2 : d₁ ^ k ∣ b * a
⊢ gcd (d₁ ^ k) b * a ∣ a
rw [IsUnit.mul_left_dvd _ _ _ h1]
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
h1 : IsUnit (gcd (d₁ ^ k) b)
h2 : d₁ ^ k ∣ b * a
h3 : d₁ ^ k ∣ a
hdk : d₁ ^ k = 0
⊢ False
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
h1 : IsUnit (gcd (d₁ ^ k) b)
h2 : d₁ ^ k ∣ b * a
h3 : d₁ ^ k ∣ a
⊢ d₁ ^ k ≠ 0
intro hdk
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
h1 : IsUnit (gcd (d₁ ^ k) b)
h2 : d₁ ^ k ∣ b * a
h3 : 0 ∣ a
hdk : d₁ ^ k = 0
⊢ False
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
h1 : IsUnit (gcd (d₁ ^ k) b)
h2 : d₁ ^ k ∣ b * a
h3 : d₁ ^ k ∣ a
hdk : d₁ ^ k = 0
⊢ False
rw [hdk] at h3
no goals
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
h1 : IsUnit (gcd (d₁ ^ k) b)
h2 : d₁ ^ k ∣ b * a
h3 : 0 ∣ a
hdk : d₁ ^ k = 0
⊢ False
apply absurd (zero_dvd_iff.mp h3) ha