R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type ?u.1281852
Q : Type ?u.1281855
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type ?u.1282170
O : Type ?u.1282173
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_2
S' : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H✝ : IsPushout R S R' S'
A : Type u_4
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
H : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
x : S
this : Module S A := Module.compHom A ↑f
⊢ ↑(pushoutDesc S' f g H) (↑(algebraMap S S') x) = ↑f x
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type ?u.1281852
Q : Type ?u.1281855
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type ?u.1282170
O : Type ?u.1282173
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inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
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R' : Type u_2
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inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
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inst✝² : IsScalarTower R S S'
H✝ : IsPushout R S R' S'
A : Type u_4
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
H : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
x : S
⊢ ↑(pushoutDesc S' f g H) (↑(algebraMap S S') x) = ↑f x
letI := Module.compHom A f.toRingHom
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
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inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type ?u.1281852
Q : Type ?u.1281855
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
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inst✝²¹ : Module S Q
T : Type ?u.1282170
O : Type ?u.1282173
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inst✝¹⁹ : Algebra R T
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inst✝¹⁴ : Module S O
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R' : Type u_2
S' : Type u_3
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inst✝⁷ : Algebra R R'
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inst✝² : IsScalarTower R S S'
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A : Type u_4
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g : R' →ₐ[R] A
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x : S
this✝ : Module S A := Module.compHom A ↑f
this : IsScalarTower R S A
⊢ ↑(pushoutDesc S' f g H) (↑(algebraMap S S') x) = ↑f x
R : Type u_1
M : Type v₁
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inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type ?u.1281852
Q : Type ?u.1281855
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inst✝¹⁹ : Algebra R T
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inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
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inst✝¹⁴ : Module S O
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R' : Type u_2
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inst✝⁸ : CommRing S'
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H✝ : IsPushout R S R' S'
A : Type u_4
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inst✝ : Algebra R A
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g : R' →ₐ[R] A
H : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
x : S
this : Module S A := Module.compHom A ↑f
⊢ ↑(pushoutDesc S' f g H) (↑(algebraMap S S') x) = ↑f x
haveI : IsScalarTower R S A :=
  { smul_assoc := fun r s a =>
      show f (r • s) * a = r • (f s * a) by rw [f.map_smul, smul_mul_assoc] }
R : Type u_1
M : Type v₁
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inst✝³³ : AddCommMonoid M
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inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type ?u.1281852
Q : Type ?u.1281855
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type ?u.1282170
O : Type ?u.1282173
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_2
S' : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H✝ : IsPushout R S R' S'
A : Type u_4
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
H : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
x : S
this✝¹ : Module S A := Module.compHom A ↑f
this✝ : IsScalarTower R S A
this : IsScalarTower S A A
⊢ ↑(pushoutDesc S' f g H) (↑(algebraMap S S') x) = ↑f x
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type ?u.1281852
Q : Type ?u.1281855
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inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
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R' : Type u_2
S' : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
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inst✝⁴ : Algebra R S'
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inst✝² : IsScalarTower R S S'
H✝ : IsPushout R S R' S'
A : Type u_4
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
H : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
x : S
this✝ : Module S A := Module.compHom A ↑f
this : IsScalarTower R S A
⊢ ↑(pushoutDesc S' f g H) (↑(algebraMap S S') x) = ↑f x
haveI : IsScalarTower S A A := { smul_assoc := fun r a b => mul_assoc _ _ _ }
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
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inst✝³³ : AddCommMonoid M
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P : Type ?u.1281852
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inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
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inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_2
S' : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H✝ : IsPushout R S R' S'
A : Type u_4
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
H : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
x : S
this✝¹ : Module S A := Module.compHom A ↑f
this✝ : IsScalarTower R S A
this : IsScalarTower S A A
⊢ x • 1 = ↑f x
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
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inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type ?u.1281852
Q : Type ?u.1281855
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
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O : Type ?u.1282173
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_2
S' : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H✝ : IsPushout R S R' S'
A : Type u_4
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
H : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
x : S
this✝¹ : Module S A := Module.compHom A ↑f
this✝ : IsScalarTower R S A
this : IsScalarTower S A A
⊢ ↑(pushoutDesc S' f g H) (↑(algebraMap S S') x) = ↑f x
rw [Algebra.algebraMap_eq_smul_one, pushoutDesc_apply, map_smul, ←
  Algebra.pushoutDesc_apply S' f g H, _root_.map_one]
no goals
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type ?u.1281852
Q : Type ?u.1281855
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type ?u.1282170
O : Type ?u.1282173
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_2
S' : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H✝ : IsPushout R S R' S'
A : Type u_4
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
H : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
x : S
this✝¹ : Module S A := Module.compHom A ↑f
this✝ : IsScalarTower R S A
this : IsScalarTower S A A
⊢ x • 1 = ↑f x
exact mul_one (f x)
no goals
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommRing R
inst✝³⁰ : CommRing S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type ?u.1281852
Q : Type ?u.1281855
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type ?u.1282170
O : Type ?u.1282173
inst✝²⁰ : CommRing T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_2
S' : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R'
inst✝⁸ : CommRing S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H✝ : IsPushout R S R' S'
A : Type u_4
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
H : ∀ (x : S) (y : R'), ↑f x * ↑g y = ↑g y * ↑f x
x : S
this : Module S A := Module.compHom A ↑f
r : R
s : S
a : A
⊢ ↑f (r • s) * a = r • (↑f s * a)
rw [f.map_smul, smul_mul_assoc]