E : Type u_1
X : Type ?u.84106
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ X
inst✝ : HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
⊢ (fun x => f.rIn⁻¹ • (x - c)) ⁻¹' ball 0 (f.rOut / f.rIn) = ball c f.rOut
E : Type u_1
X : Type ?u.84106
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ X
inst✝ : HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
⊢ Function.support ↑f = ball c f.rOut
simp only [toFun, support_comp_eq_preimage, ContDiffBumpBase.support _ _ f.one_lt_rOut_div_rIn]
case h
E : Type u_1
X : Type ?u.84106
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ X
inst✝ : HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
x✝ : E
n : ℕ∞
x : E
⊢ x ∈ (fun x => f.rIn⁻¹ • (x - c)) ⁻¹' ball 0 (f.rOut / f.rIn) ↔ x ∈ ball c f.rOut
E : Type u_1
X : Type ?u.84106
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ X
inst✝ : HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
⊢ (fun x => f.rIn⁻¹ • (x - c)) ⁻¹' ball 0 (f.rOut / f.rIn) = ball c f.rOut
ext x
no goals
case h
E : Type u_1
X : Type ?u.84106
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ X
inst✝ : HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
x✝ : E
n : ℕ∞
x : E
⊢ x ∈ (fun x => f.rIn⁻¹ • (x - c)) ⁻¹' ball 0 (f.rOut / f.rIn) ↔ x ∈ ball c f.rOut
simp only [mem_ball_iff_norm, sub_zero, norm_smul, mem_preimage, norm_eq_abs, abs_inv,
  abs_of_pos f.rIn_pos, ← div_eq_inv_mul, div_lt_div_right f.rIn_pos]