R : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.155024
ι : Type ?u.155027
ι' : Type ?u.155030
α : Type ?u.155033
inst✝⁷ : LinearOrderedField R
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s : Finset E
hs : Finset.Nonempty s
⊢ centerMass s (centroidWeights R s) id ∈ ↑(convexHull R).toOrderHom ↑s
R : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.155024
ι : Type ?u.155027
ι' : Type ?u.155030
α : Type ?u.155033
inst✝⁷ : LinearOrderedField R
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s : Finset E
hs : Finset.Nonempty s
⊢ centroid R s id ∈ ↑(convexHull R).toOrderHom ↑s
rw [s.centroid_eq_centerMass hs]
case hw₀
R : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.155024
ι : Type ?u.155027
ι' : Type ?u.155030
α : Type ?u.155033
inst✝⁷ : LinearOrderedField R
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s : Finset E
hs : Finset.Nonempty s
⊢ ∀ (i : E), i ∈ s → 0 ≤ centroidWeights R s i

case hws
R : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.155024
ι : Type ?u.155027
ι' : Type ?u.155030
α : Type ?u.155033
inst✝⁷ : LinearOrderedField R
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s : Finset E
hs : Finset.Nonempty s
⊢ 0 < ∑ i in s, centroidWeights R s i
R : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.155024
ι : Type ?u.155027
ι' : Type ?u.155030
α : Type ?u.155033
inst✝⁷ : LinearOrderedField R
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s : Finset E
hs : Finset.Nonempty s
⊢ centerMass s (centroidWeights R s) id ∈ ↑(convexHull R).toOrderHom ↑s
apply s.centerMass_id_mem_convexHull
no goals
case hw₀
R : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.155024
ι : Type ?u.155027
ι' : Type ?u.155030
α : Type ?u.155033
inst✝⁷ : LinearOrderedField R
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s : Finset E
hs : Finset.Nonempty s
⊢ ∀ (i : E), i ∈ s → 0 ≤ centroidWeights R s i
simp only [inv_nonneg, imp_true_iff, Nat.cast_nonneg, Finset.centroidWeights_apply]
case hws
R : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.155024
ι : Type ?u.155027
ι' : Type ?u.155030
α : Type ?u.155033
inst✝⁷ : LinearOrderedField R
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s : Finset E
hs : Finset.Nonempty s
hs_card : ↑(card s) ≠ 0
⊢ 0 < ∑ i in s, centroidWeights R s i
case hws
R : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.155024
ι : Type ?u.155027
ι' : Type ?u.155030
α : Type ?u.155033
inst✝⁷ : LinearOrderedField R
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s : Finset E
hs : Finset.Nonempty s
⊢ 0 < ∑ i in s, centroidWeights R s i
have hs_card : (s.card : R) ≠ 0 := by simp [Finset.nonempty_iff_ne_empty.mp hs]
no goals
case hws
R : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.155024
ι : Type ?u.155027
ι' : Type ?u.155030
α : Type ?u.155033
inst✝⁷ : LinearOrderedField R
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s : Finset E
hs : Finset.Nonempty s
hs_card : ↑(card s) ≠ 0
⊢ 0 < ∑ i in s, centroidWeights R s i
simp only [hs_card, Finset.sum_const, nsmul_eq_mul, mul_inv_cancel, Ne.def, not_false_iff,
  Finset.centroidWeights_apply, zero_lt_one]
no goals
R : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.155024
ι : Type ?u.155027
ι' : Type ?u.155030
α : Type ?u.155033
inst✝⁷ : LinearOrderedField R
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s : Finset E
hs : Finset.Nonempty s
⊢ ↑(card s) ≠ 0
simp [Finset.nonempty_iff_ne_empty.mp hs]