p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), RingHom.comp (ZMod.castHom (_ : p ^ k1 ∣ p ^ k2) (ZMod (p ^ k1))) (f k2) = f k1
r : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
⊢ ∃ i, ∀ (j : ℕ), j ≥ i → padicNorm p ((fun n => ↑(nthHom f r n)) j - (fun n => ↑(nthHom f r n)) i) < ε
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), RingHom.comp (ZMod.castHom (_ : p ^ k1 ∣ p ^ k2) (ZMod (p ^ k1))) (f k2) = f k1
r : R
⊢ IsCauSeq (padicNorm p) fun n => ↑(nthHom f r n)
intro ε hε
case intro
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), RingHom.comp (ZMod.castHom (_ : p ^ k1 ∣ p ^ k2) (ZMod (p ^ k1))) (f k2) = f k1
r : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
k : ℕ
hk : ↑p ^ (-↑k) < ε
⊢ ∃ i, ∀ (j : ℕ), j ≥ i → padicNorm p ((fun n => ↑(nthHom f r n)) j - (fun n => ↑(nthHom f r n)) i) < ε
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), RingHom.comp (ZMod.castHom (_ : p ^ k1 ∣ p ^ k2) (ZMod (p ^ k1))) (f k2) = f k1
r : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
⊢ ∃ i, ∀ (j : ℕ), j ≥ i → padicNorm p ((fun n => ↑(nthHom f r n)) j - (fun n => ↑(nthHom f r n)) i) < ε
obtain ⟨k, hk⟩ : ∃ k : ℕ, (p : ℚ) ^ (-((k : ℕ) : ℤ)) < ε := exists_pow_neg_lt_rat p hε
case intro
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), RingHom.comp (ZMod.castHom (_ : p ^ k1 ∣ p ^ k2) (ZMod (p ^ k1))) (f k2) = f k1
r : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
k : ℕ
hk : ↑p ^ (-↑k) < ε
⊢ ∀ (j : ℕ), j ≥ k → padicNorm p ((fun n => ↑(nthHom f r n)) j - (fun n => ↑(nthHom f r n)) k) < ε
case intro
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), RingHom.comp (ZMod.castHom (_ : p ^ k1 ∣ p ^ k2) (ZMod (p ^ k1))) (f k2) = f k1
r : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
k : ℕ
hk : ↑p ^ (-↑k) < ε
⊢ ∃ i, ∀ (j : ℕ), j ≥ i → padicNorm p ((fun n => ↑(nthHom f r n)) j - (fun n => ↑(nthHom f r n)) i) < ε
use k
case intro
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), RingHom.comp (ZMod.castHom (_ : p ^ k1 ∣ p ^ k2) (ZMod (p ^ k1))) (f k2) = f k1
r : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
k : ℕ
hk : ↑p ^ (-↑k) < ε
j : ℕ
hj : j ≥ k
⊢ padicNorm p ((fun n => ↑(nthHom f r n)) j - (fun n => ↑(nthHom f r n)) k) < ε
case intro
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), RingHom.comp (ZMod.castHom (_ : p ^ k1 ∣ p ^ k2) (ZMod (p ^ k1))) (f k2) = f k1
r : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
k : ℕ
hk : ↑p ^ (-↑k) < ε
⊢ ∀ (j : ℕ), j ≥ k → padicNorm p ((fun n => ↑(nthHom f r n)) j - (fun n => ↑(nthHom f r n)) k) < ε
intro j hj
case intro
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), RingHom.comp (ZMod.castHom (_ : p ^ k1 ∣ p ^ k2) (ZMod (p ^ k1))) (f k2) = f k1
r : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
k : ℕ
hk : ↑p ^ (-↑k) < ε
j : ℕ
hj : j ≥ k
⊢ padicNorm p ((fun n => ↑(nthHom f r n)) j - (fun n => ↑(nthHom f r n)) k) ≤ ↑p ^ (-↑k)
case intro
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), RingHom.comp (ZMod.castHom (_ : p ^ k1 ∣ p ^ k2) (ZMod (p ^ k1))) (f k2) = f k1
r : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
k : ℕ
hk : ↑p ^ (-↑k) < ε
j : ℕ
hj : j ≥ k
⊢ padicNorm p ((fun n => ↑(nthHom f r n)) j - (fun n => ↑(nthHom f r n)) k) < ε
refine' lt_of_le_of_lt _ hk
case intro
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), RingHom.comp (ZMod.castHom (_ : p ^ k1 ∣ p ^ k2) (ZMod (p ^ k1))) (f k2) = f k1
r : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
k : ℕ
hk : ↑p ^ (-↑k) < ε
j : ℕ
hj : j ≥ k
⊢ padicNorm p ↑(nthHom f r j - nthHom f r k) ≤ ↑p ^ (-↑k)
case intro
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), RingHom.comp (ZMod.castHom (_ : p ^ k1 ∣ p ^ k2) (ZMod (p ^ k1))) (f k2) = f k1
r : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
k : ℕ
hk : ↑p ^ (-↑k) < ε
j : ℕ
hj : j ≥ k
⊢ padicNorm p ((fun n => ↑(nthHom f r n)) j - (fun n => ↑(nthHom f r n)) k) ≤ ↑p ^ (-↑k)
norm_cast
case intro
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), RingHom.comp (ZMod.castHom (_ : p ^ k1 ∣ p ^ k2) (ZMod (p ^ k1))) (f k2) = f k1
r : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
k : ℕ
hk : ↑p ^ (-↑k) < ε
j : ℕ
hj : j ≥ k
⊢ ↑(p ^ k) ∣ nthHom f r j - nthHom f r k
case intro
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), RingHom.comp (ZMod.castHom (_ : p ^ k1 ∣ p ^ k2) (ZMod (p ^ k1))) (f k2) = f k1
r : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
k : ℕ
hk : ↑p ^ (-↑k) < ε
j : ℕ
hj : j ≥ k
⊢ padicNorm p ↑(nthHom f r j - nthHom f r k) ≤ ↑p ^ (-↑k)
rw [← padicNorm.dvd_iff_norm_le]
no goals
case intro
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), RingHom.comp (ZMod.castHom (_ : p ^ k1 ∣ p ^ k2) (ZMod (p ^ k1))) (f k2) = f k1
r : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
k : ℕ
hk : ↑p ^ (-↑k) < ε
j : ℕ
hj : j ≥ k
⊢ ↑(p ^ k) ∣ nthHom f r j - nthHom f r k
exact_mod_cast pow_dvd_nthHom_sub f_compat r k j hj