case zero
R : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type ?u.1336678
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type ?u.1336684
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x : P
⊢ spanSingleton S x ^ Nat.zero = spanSingleton S (x ^ Nat.zero)

case succ
R : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type ?u.1336678
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type ?u.1336684
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x : P
n : ℕ
hn : spanSingleton S x ^ n = spanSingleton S (x ^ n)
⊢ spanSingleton S x ^ Nat.succ n = spanSingleton S (x ^ Nat.succ n)
R : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type ?u.1336678
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type ?u.1336684
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x : P
n : ℕ
⊢ spanSingleton S x ^ n = spanSingleton S (x ^ n)
induction' n with n hn
no goals
case zero
R : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type ?u.1336678
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type ?u.1336684
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x : P
⊢ spanSingleton S x ^ Nat.zero = spanSingleton S (x ^ Nat.zero)
rw [pow_zero, pow_zero, spanSingleton_one]
no goals
case succ
R : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type ?u.1336678
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type ?u.1336684
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x : P
n : ℕ
hn : spanSingleton S x ^ n = spanSingleton S (x ^ n)
⊢ spanSingleton S x ^ Nat.succ n = spanSingleton S (x ^ Nat.succ n)
rw [pow_succ, hn, spanSingleton_mul_spanSingleton, pow_succ]