R : Type u_1
A : Type ?u.1171353
K : Type ?u.1171356
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDomain A
I J : Ideal R
h : ∀ (P : Ideal R), I ≤ P → J ≤ P → ¬IsPrime P
hIJ : ¬I ⊔ J = ⊤
⊢ False
R : Type u_1
A : Type ?u.1171353
K : Type ?u.1171356
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDomain A
I J : Ideal R
h : ∀ (P : Ideal R), I ≤ P → J ≤ P → ¬IsPrime P
⊢ I ⊔ J = ⊤
by_contra hIJ
case intro.intro
R : Type u_1
A : Type ?u.1171353
K : Type ?u.1171356
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDomain A
I J : Ideal R
h : ∀ (P : Ideal R), I ≤ P → J ≤ P → ¬IsPrime P
hIJ✝ : ¬I ⊔ J = ⊤
P : Ideal R
hP : IsMaximal P
hIJ : I ⊔ J ≤ P
⊢ False
R : Type u_1
A : Type ?u.1171353
K : Type ?u.1171356
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDomain A
I J : Ideal R
h : ∀ (P : Ideal R), I ≤ P → J ≤ P → ¬IsPrime P
hIJ : ¬I ⊔ J = ⊤
⊢ False
obtain ⟨P, hP, hIJ⟩ := Ideal.exists_le_maximal _ hIJ
no goals
case intro.intro
R : Type u_1
A : Type ?u.1171353
K : Type ?u.1171356
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDomain A
I J : Ideal R
h : ∀ (P : Ideal R), I ≤ P → J ≤ P → ¬IsPrime P
hIJ✝ : ¬I ⊔ J = ⊤
P : Ideal R
hP : IsMaximal P
hIJ : I ⊔ J ≤ P
⊢ False
exact h P (le_trans le_sup_left hIJ) (le_trans le_sup_right hIJ) hP.isPrime