C : Type u
inst✝³ : Category C
D : Type u'
inst✝² : Category D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
⊢ 𝟙 X = 0 ↔ f = 0
C : Type u
inst✝³ : Category C
D : Type u'
inst✝² : Category D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
⊢ IsZero X ↔ f = 0
rw [iff_id_eq_zero]
case mp
C : Type u
inst✝³ : Category C
D : Type u'
inst✝² : Category D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
⊢ 𝟙 X = 0 → f = 0

case mpr
C : Type u
inst✝³ : Category C
D : Type u'
inst✝² : Category D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
⊢ f = 0 → 𝟙 X = 0
C : Type u
inst✝³ : Category C
D : Type u'
inst✝² : Category D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
⊢ 𝟙 X = 0 ↔ f = 0
constructor
case mp
C : Type u
inst✝³ : Category C
D : Type u'
inst✝² : Category D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
h : 𝟙 X = 0
⊢ f = 0
case mp
C : Type u
inst✝³ : Category C
D : Type u'
inst✝² : Category D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
⊢ 𝟙 X = 0 → f = 0
intro h
no goals
case mp
C : Type u
inst✝³ : Category C
D : Type u'
inst✝² : Category D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
h : 𝟙 X = 0
⊢ f = 0
rw [← Category.id_comp f, h, zero_comp]
case mpr
C : Type u
inst✝³ : Category C
D : Type u'
inst✝² : Category D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
h : f = 0
⊢ 𝟙 X = 0
case mpr
C : Type u
inst✝³ : Category C
D : Type u'
inst✝² : Category D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
⊢ f = 0 → 𝟙 X = 0
intro h
case mpr
C : Type u
inst✝³ : Category C
D : Type u'
inst✝² : Category D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
h : f = 0
⊢ f ≫ retraction f = 0
case mpr
C : Type u
inst✝³ : Category C
D : Type u'
inst✝² : Category D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
h : f = 0
⊢ 𝟙 X = 0
rw [← IsSplitMono.id f]
no goals
case mpr
C : Type u
inst✝³ : Category C
D : Type u'
inst✝² : Category D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
h : f = 0
⊢ f ≫ retraction f = 0
simp [h]