α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.50966
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : { x // x ∈ Lp E 2 }
⊢ (∫ (a : α), ↑‖↑↑f a‖ ^ 2 ∂μ) = ↑(ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑f a‖₊ ^ 2 ∂μ))
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.50966
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : { x // x ∈ Lp E 2 }
⊢ (∫ (a : α), inner (↑↑f a) (↑↑f a) ∂μ) = ↑(ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑f a‖₊ ^ 2 ∂μ))
simp_rw [inner_self_eq_norm_sq_to_K]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.50966
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : { x // x ∈ Lp E 2 }
⊢ (∫ (a : α), ‖↑↑f a‖ ^ 2 ∂μ) = ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ↑(‖↑↑f a‖₊ ^ 2) ∂μ)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.50966
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : { x // x ∈ Lp E 2 }
⊢ (∫ (a : α), ↑‖↑↑f a‖ ^ 2 ∂μ) = ↑(ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑f a‖₊ ^ 2 ∂μ))
norm_cast
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.50966
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : { x // x ∈ Lp E 2 }
⊢ ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖↑↑f a‖ ^ 2) ∂μ) = ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ↑(‖↑↑f a‖₊ ^ 2) ∂μ)

case hf
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.50966
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : { x // x ∈ Lp E 2 }
⊢ 0 ≤ᵐ[μ] fun a => ‖↑↑f a‖ ^ 2

case hfm
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.50966
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : { x // x ∈ Lp E 2 }
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ‖↑↑f a‖ ^ 2) μ
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.50966
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : { x // x ∈ Lp E 2 }
⊢ (∫ (a : α), ‖↑↑f a‖ ^ 2 ∂μ) = ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ↑(‖↑↑f a‖₊ ^ 2) ∂μ)
rw [integral_eq_lintegral_of_nonneg_ae]
case hf
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.50966
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : { x // x ∈ Lp E 2 }
⊢ 0 ≤ᵐ[μ] fun a => ‖↑↑f a‖ ^ 2

case hfm
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.50966
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : { x // x ∈ Lp E 2 }
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ‖↑↑f a‖ ^ 2) μ

α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.50966
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : { x // x ∈ Lp E 2 }
⊢ ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖↑↑f a‖ ^ 2) ∂μ) = ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ↑(‖↑↑f a‖₊ ^ 2) ∂μ)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.50966
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : { x // x ∈ Lp E 2 }
⊢ ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖↑↑f a‖ ^ 2) ∂μ) = ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ↑(‖↑↑f a‖₊ ^ 2) ∂μ)

case hf
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.50966
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : { x // x ∈ Lp E 2 }
⊢ 0 ≤ᵐ[μ] fun a => ‖↑↑f a‖ ^ 2

case hfm
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.50966
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : { x // x ∈ Lp E 2 }
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ‖↑↑f a‖ ^ 2) μ
rotate_left
case e_a.e_f
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.50966
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : { x // x ∈ Lp E 2 }
⊢ (fun a => ENNReal.ofReal (‖↑↑f a‖ ^ 2)) = fun a => ↑(‖↑↑f a‖₊ ^ 2)
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.50966
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : { x // x ∈ Lp E 2 }
⊢ ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖↑↑f a‖ ^ 2) ∂μ) = ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ↑(‖↑↑f a‖₊ ^ 2) ∂μ)
congr
case e_a.e_f.h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.50966
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : { x // x ∈ Lp E 2 }
x : α
⊢ ENNReal.ofReal (‖↑↑f x‖ ^ 2) = ↑(‖↑↑f x‖₊ ^ 2)
case e_a.e_f
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.50966
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : { x // x ∈ Lp E 2 }
⊢ (fun a => ENNReal.ofReal (‖↑↑f a‖ ^ 2)) = fun a => ↑(‖↑↑f a‖₊ ^ 2)
ext1 x
case e_a.e_f.h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.50966
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : { x // x ∈ Lp E 2 }
x : α
h_two : 2 = ↑2
⊢ ENNReal.ofReal (‖↑↑f x‖ ^ 2) = ↑(‖↑↑f x‖₊ ^ 2)
case e_a.e_f.h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.50966
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : { x // x ∈ Lp E 2 }
x : α
⊢ ENNReal.ofReal (‖↑↑f x‖ ^ 2) = ↑(‖↑↑f x‖₊ ^ 2)
have h_two : (2 : ℝ) = ((2 : ℕ) : ℝ) := by simp
case e_a.e_f.h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.50966
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : { x // x ∈ Lp E 2 }
x : α
h_two : 2 = ↑2
⊢ ↑‖↑↑f x‖₊ ^ 2 = ↑(‖↑↑f x‖₊ ^ 2)
case e_a.e_f.h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.50966
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : { x // x ∈ Lp E 2 }
x : α
h_two : 2 = ↑2
⊢ ENNReal.ofReal (‖↑↑f x‖ ^ 2) = ↑(‖↑↑f x‖₊ ^ 2)
rw [← Real.rpow_nat_cast _ 2, ← h_two, ←
  ENNReal.ofReal_rpow_of_nonneg (norm_nonneg _) zero_le_two, ofReal_norm_eq_coe_nnnorm]
no goals
case e_a.e_f.h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.50966
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : { x // x ∈ Lp E 2 }
x : α
h_two : 2 = ↑2
⊢ ↑‖↑↑f x‖₊ ^ 2 = ↑(‖↑↑f x‖₊ ^ 2)
norm_cast
no goals
case hf
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.50966
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : { x // x ∈ Lp E 2 }
⊢ 0 ≤ᵐ[μ] fun a => ‖↑↑f a‖ ^ 2
exact Filter.eventually_of_forall fun x => sq_nonneg _
no goals
case hfm
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.50966
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : { x // x ∈ Lp E 2 }
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ‖↑↑f a‖ ^ 2) μ
exact ((Lp.aestronglyMeasurable f).norm.aemeasurable.pow_const _).aestronglyMeasurable
no goals
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.50966
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : { x // x ∈ Lp E 2 }
x : α
⊢ 2 = ↑2
simp