α : Type u_2
β✝ : Type ?u.21186
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : Ring β✝
abv✝ : β✝ → α
inst✝² : IsAbsoluteValue abv✝
β : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K : α
ε0 : 0 < ε
K0 : 0 < K
a b : β
ha : K ≤ abv a
hb : K ≤ abv b
h : abv (a - b) < K * ε * K
⊢ abv (a⁻¹ - b⁻¹) < ε
α : Type u_2
β✝ : Type ?u.21186
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : Ring β✝
abv✝ : β✝ → α
inst✝² : IsAbsoluteValue abv✝
β : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K : α
ε0 : 0 < ε
K0 : 0 < K
⊢ ∃ δ, δ > 0 ∧ ∀ {a b : β}, K ≤ abv a → K ≤ abv b → abv (a - b) < δ → abv (a⁻¹ - b⁻¹) < ε
refine' ⟨K * ε * K, mul_pos (mul_pos K0 ε0) K0, fun {a b} ha hb h => _⟩
α : Type u_2
β✝ : Type ?u.21186
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : Ring β✝
abv✝ : β✝ → α
inst✝² : IsAbsoluteValue abv✝
β : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K : α
ε0 : 0 < ε
K0 : 0 < K
a b : β
ha : K ≤ abv a
hb : K ≤ abv b
h : abv (a - b) < K * ε * K
a0 : 0 < abv a
⊢ abv (a⁻¹ - b⁻¹) < ε
α : Type u_2
β✝ : Type ?u.21186
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : Ring β✝
abv✝ : β✝ → α
inst✝² : IsAbsoluteValue abv✝
β : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K : α
ε0 : 0 < ε
K0 : 0 < K
a b : β
ha : K ≤ abv a
hb : K ≤ abv b
h : abv (a - b) < K * ε * K
⊢ abv (a⁻¹ - b⁻¹) < ε
have a0 := K0.trans_le ha
α : Type u_2
β✝ : Type ?u.21186
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : Ring β✝
abv✝ : β✝ → α
inst✝² : IsAbsoluteValue abv✝
β : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K : α
ε0 : 0 < ε
K0 : 0 < K
a b : β
ha : K ≤ abv a
hb : K ≤ abv b
h : abv (a - b) < K * ε * K
a0 : 0 < abv a
b0 : 0 < abv b
⊢ abv (a⁻¹ - b⁻¹) < ε
α : Type u_2
β✝ : Type ?u.21186
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : Ring β✝
abv✝ : β✝ → α
inst✝² : IsAbsoluteValue abv✝
β : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K : α
ε0 : 0 < ε
K0 : 0 < K
a b : β
ha : K ≤ abv a
hb : K ≤ abv b
h : abv (a - b) < K * ε * K
a0 : 0 < abv a
⊢ abv (a⁻¹ - b⁻¹) < ε
have b0 := K0.trans_le hb
α : Type u_2
β✝ : Type ?u.21186
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : Ring β✝
abv✝ : β✝ → α
inst✝² : IsAbsoluteValue abv✝
β : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K : α
ε0 : 0 < ε
K0 : 0 < K
a b : β
ha : K ≤ abv a
hb : K ≤ abv b
h : abv (a - b) < K * ε * K
a0 : 0 < abv a
b0 : 0 < abv b
⊢ (abv a)⁻¹ * abv (a - b) * (abv b)⁻¹ < ε
α : Type u_2
β✝ : Type ?u.21186
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : Ring β✝
abv✝ : β✝ → α
inst✝² : IsAbsoluteValue abv✝
β : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K : α
ε0 : 0 < ε
K0 : 0 < K
a b : β
ha : K ≤ abv a
hb : K ≤ abv b
h : abv (a - b) < K * ε * K
a0 : 0 < abv a
b0 : 0 < abv b
⊢ abv (a⁻¹ - b⁻¹) < ε
rw [inv_sub_inv' ((abv_pos abv).1 a0) ((abv_pos abv).1 b0), abv_mul abv, abv_mul abv, abv_inv abv,
  abv_inv abv, abv_sub abv]
α : Type u_2
β✝ : Type ?u.21186
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : Ring β✝
abv✝ : β✝ → α
inst✝² : IsAbsoluteValue abv✝
β : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K : α
ε0 : 0 < ε
K0 : 0 < K
a b : β
ha : K ≤ abv a
hb : K ≤ abv b
h : abv (a - b) < K * ε * K
a0 : 0 < abv a
b0 : 0 < abv b
⊢ abv a * ((abv a)⁻¹ * abv (a - b) * (abv b)⁻¹) * abv b < abv a * ε * abv b
α : Type u_2
β✝ : Type ?u.21186
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : Ring β✝
abv✝ : β✝ → α
inst✝² : IsAbsoluteValue abv✝
β : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K : α
ε0 : 0 < ε
K0 : 0 < K
a b : β
ha : K ≤ abv a
hb : K ≤ abv b
h : abv (a - b) < K * ε * K
a0 : 0 < abv a
b0 : 0 < abv b
⊢ (abv a)⁻¹ * abv (a - b) * (abv b)⁻¹ < ε
refine' lt_of_mul_lt_mul_left (lt_of_mul_lt_mul_right _ b0.le) a0.le
α : Type u_2
β✝ : Type ?u.21186
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : Ring β✝
abv✝ : β✝ → α
inst✝² : IsAbsoluteValue abv✝
β : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K : α
ε0 : 0 < ε
K0 : 0 < K
a b : β
ha : K ≤ abv a
hb : K ≤ abv b
h : abv (a - b) < K * ε * K
a0 : 0 < abv a
b0 : 0 < abv b
⊢ abv (a - b) < abv a * ε * abv b
α : Type u_2
β✝ : Type ?u.21186
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : Ring β✝
abv✝ : β✝ → α
inst✝² : IsAbsoluteValue abv✝
β : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K : α
ε0 : 0 < ε
K0 : 0 < K
a b : β
ha : K ≤ abv a
hb : K ≤ abv b
h : abv (a - b) < K * ε * K
a0 : 0 < abv a
b0 : 0 < abv b
⊢ abv a * ((abv a)⁻¹ * abv (a - b) * (abv b)⁻¹) * abv b < abv a * ε * abv b
rw [mul_assoc, inv_mul_cancel_right₀ b0.ne', ← mul_assoc, mul_inv_cancel a0.ne', one_mul]
α : Type u_2
β✝ : Type ?u.21186
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : Ring β✝
abv✝ : β✝ → α
inst✝² : IsAbsoluteValue abv✝
β : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K : α
ε0 : 0 < ε
K0 : 0 < K
a b : β
ha : K ≤ abv a
hb : K ≤ abv b
h : abv (a - b) < K * ε * K
a0 : 0 < abv a
b0 : 0 < abv b
⊢ K * ε * K ≤ abv a * ε * abv b
α : Type u_2
β✝ : Type ?u.21186
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : Ring β✝
abv✝ : β✝ → α
inst✝² : IsAbsoluteValue abv✝
β : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K : α
ε0 : 0 < ε
K0 : 0 < K
a b : β
ha : K ≤ abv a
hb : K ≤ abv b
h : abv (a - b) < K * ε * K
a0 : 0 < abv a
b0 : 0 < abv b
⊢ abv (a - b) < abv a * ε * abv b
refine' h.trans_le _
no goals
α : Type u_2
β✝ : Type ?u.21186
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : Ring β✝
abv✝ : β✝ → α
inst✝² : IsAbsoluteValue abv✝
β : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K : α
ε0 : 0 < ε
K0 : 0 < K
a b : β
ha : K ≤ abv a
hb : K ≤ abv b
h : abv (a - b) < K * ε * K
a0 : 0 < abv a
b0 : 0 < abv b
⊢ K * ε * K ≤ abv a * ε * abv b
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