R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type ?u.2605
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
⊢ Finite { x // x.asIdeal ∣ I }
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type ?u.2605
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
⊢ Set.Finite {v | v.asIdeal ∣ I}
rw [← Set.finite_coe_iff, Set.coe_setOf]
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type ?u.2605
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
h_fin : Fintype { x // x ∣ I }
⊢ Finite { x // x.asIdeal ∣ I }
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type ?u.2605
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
⊢ Finite { x // x.asIdeal ∣ I }
haveI h_fin := fintypeSubtypeDvd I hI
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type ?u.2605
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
h_fin : Fintype { x // x ∣ I }
⊢ Injective fun v => { val := (↑v).asIdeal, property := (_ : (↑v).asIdeal ∣ I) }
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type ?u.2605
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
h_fin : Fintype { x // x ∣ I }
⊢ Finite { x // x.asIdeal ∣ I }
refine'
  Finite.of_injective (fun v => (⟨(v : HeightOneSpectrum R).asIdeal, v.2⟩ : { x // x ∣ I })) _
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type ?u.2605
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v✝ : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
h_fin : Fintype { x // x ∣ I }
v w : { x // x.asIdeal ∣ I }
hvw :
  (fun v => { val := (↑v).asIdeal, property := (_ : (↑v).asIdeal ∣ I) }) v =
    (fun v => { val := (↑v).asIdeal, property := (_ : (↑v).asIdeal ∣ I) }) w
⊢ v = w
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type ?u.2605
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
h_fin : Fintype { x // x ∣ I }
⊢ Injective fun v => { val := (↑v).asIdeal, property := (_ : (↑v).asIdeal ∣ I) }
intro v w hvw
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type ?u.2605
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v✝ : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
h_fin : Fintype { x // x ∣ I }
v w : { x // x.asIdeal ∣ I }
hvw : (↑v).asIdeal = (↑w).asIdeal
⊢ v = w
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type ?u.2605
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v✝ : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
h_fin : Fintype { x // x ∣ I }
v w : { x // x.asIdeal ∣ I }
hvw :
  (fun v => { val := (↑v).asIdeal, property := (_ : (↑v).asIdeal ∣ I) }) v =
    (fun v => { val := (↑v).asIdeal, property := (_ : (↑v).asIdeal ∣ I) }) w
⊢ v = w
simp at hvw
no goals
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type ?u.2605
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v✝ : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
h_fin : Fintype { x // x ∣ I }
v w : { x // x.asIdeal ∣ I }
hvw : (↑v).asIdeal = (↑w).asIdeal
⊢ v = w
exact Subtype.coe_injective ((HeightOneSpectrum.ext_iff (R := R) ↑v ↑w).mpr hvw)