ι : Type ?u.68984
α : Type ?u.68987
I : Type u
f : I → Type v
x✝ y✝ : (i : I) → f i
i✝ j✝ : I
inst✝¹ : DecidableEq I
inst✝ : (i : I) → MulOneClass (f i)
i j : I
hij : i ≠ j
x : f i
y : f j
⊢ Commute (mulSingle i x) (mulSingle j y)
ι : Type ?u.68984
α : Type ?u.68987
I : Type u
f : I → Type v
x y : (i : I) → f i
i j : I
inst✝¹ : DecidableEq I
inst✝ : (i : I) → MulOneClass (f i)
⊢ Pairwise fun i j => ∀ (x : f i) (y : f j), Commute (mulSingle i x) (mulSingle j y)
intro i j hij x y
case h
ι : Type ?u.68984
α : Type ?u.68987
I : Type u
f : I → Type v
x✝ y✝ : (i : I) → f i
i✝ j✝ : I
inst✝¹ : DecidableEq I
inst✝ : (i : I) → MulOneClass (f i)
i j : I
hij : i ≠ j
x : f i
y : f j
k : I
⊢ (mulSingle i x * mulSingle j y) k = (mulSingle j y * mulSingle i x) k
ι : Type ?u.68984
α : Type ?u.68987
I : Type u
f : I → Type v
x✝ y✝ : (i : I) → f i
i✝ j✝ : I
inst✝¹ : DecidableEq I
inst✝ : (i : I) → MulOneClass (f i)
i j : I
hij : i ≠ j
x : f i
y : f j
⊢ Commute (mulSingle i x) (mulSingle j y)
ext k
case pos
ι : Type ?u.68984
α : Type ?u.68987
I : Type u
f : I → Type v
x✝ y✝ : (i : I) → f i
i✝ j✝ : I
inst✝¹ : DecidableEq I
inst✝ : (i : I) → MulOneClass (f i)
i j : I
hij : i ≠ j
x : f i
y : f j
k : I
h1 : i = k
⊢ (mulSingle i x * mulSingle j y) k = (mulSingle j y * mulSingle i x) k

case neg
ι : Type ?u.68984
α : Type ?u.68987
I : Type u
f : I → Type v
x✝ y✝ : (i : I) → f i
i✝ j✝ : I
inst✝¹ : DecidableEq I
inst✝ : (i : I) → MulOneClass (f i)
i j : I
hij : i ≠ j
x : f i
y : f j
k : I
h1 : ¬i = k
⊢ (mulSingle i x * mulSingle j y) k = (mulSingle j y * mulSingle i x) k
case h
ι : Type ?u.68984
α : Type ?u.68987
I : Type u
f : I → Type v
x✝ y✝ : (i : I) → f i
i✝ j✝ : I
inst✝¹ : DecidableEq I
inst✝ : (i : I) → MulOneClass (f i)
i j : I
hij : i ≠ j
x : f i
y : f j
k : I
⊢ (mulSingle i x * mulSingle j y) k = (mulSingle j y * mulSingle i x) k
by_cases h1 : i = k
case pos
ι : Type ?u.68984
α : Type ?u.68987
I : Type u
f : I → Type v
x✝ y✝ : (i : I) → f i
i✝ j✝ : I
inst✝¹ : DecidableEq I
inst✝ : (i : I) → MulOneClass (f i)
i j : I
hij : i ≠ j
x : f i
y : f j
k : I
h1 : ¬i = k
h2 : j = k
⊢ (mulSingle i x * mulSingle j y) k = (mulSingle j y * mulSingle i x) k

case neg
ι : Type ?u.68984
α : Type ?u.68987
I : Type u
f : I → Type v
x✝ y✝ : (i : I) → f i
i✝ j✝ : I
inst✝¹ : DecidableEq I
inst✝ : (i : I) → MulOneClass (f i)
i j : I
hij : i ≠ j
x : f i
y : f j
k : I
h1 : ¬i = k
h2 : ¬j = k
⊢ (mulSingle i x * mulSingle j y) k = (mulSingle j y * mulSingle i x) k
case neg
ι : Type ?u.68984
α : Type ?u.68987
I : Type u
f : I → Type v
x✝ y✝ : (i : I) → f i
i✝ j✝ : I
inst✝¹ : DecidableEq I
inst✝ : (i : I) → MulOneClass (f i)
i j : I
hij : i ≠ j
x : f i
y : f j
k : I
h1 : ¬i = k
⊢ (mulSingle i x * mulSingle j y) k = (mulSingle j y * mulSingle i x) k
by_cases h2 : j = k
no goals
case neg
ι : Type ?u.68984
α : Type ?u.68987
I : Type u
f : I → Type v
x✝ y✝ : (i : I) → f i
i✝ j✝ : I
inst✝¹ : DecidableEq I
inst✝ : (i : I) → MulOneClass (f i)
i j : I
hij : i ≠ j
x : f i
y : f j
k : I
h1 : ¬i = k
h2 : ¬j = k
⊢ (mulSingle i x * mulSingle j y) k = (mulSingle j y * mulSingle i x) k
simp [h1, h2]
case pos
ι : Type ?u.68984
α : Type ?u.68987
I : Type u
f : I → Type v
x✝ y✝ : (i : I) → f i
i✝ j✝ : I
inst✝¹ : DecidableEq I
inst✝ : (i : I) → MulOneClass (f i)
i j : I
hij : i ≠ j
x : f i
y : f j
⊢ (mulSingle i x * mulSingle j y) i = (mulSingle j y * mulSingle i x) i
case pos
ι : Type ?u.68984
α : Type ?u.68987
I : Type u
f : I → Type v
x✝ y✝ : (i : I) → f i
i✝ j✝ : I
inst✝¹ : DecidableEq I
inst✝ : (i : I) → MulOneClass (f i)
i j : I
hij : i ≠ j
x : f i
y : f j
k : I
h1 : i = k
⊢ (mulSingle i x * mulSingle j y) k = (mulSingle j y * mulSingle i x) k
subst h1
no goals
case pos
ι : Type ?u.68984
α : Type ?u.68987
I : Type u
f : I → Type v
x✝ y✝ : (i : I) → f i
i✝ j✝ : I
inst✝¹ : DecidableEq I
inst✝ : (i : I) → MulOneClass (f i)
i j : I
hij : i ≠ j
x : f i
y : f j
⊢ (mulSingle i x * mulSingle j y) i = (mulSingle j y * mulSingle i x) i
simp [hij]
case pos
ι : Type ?u.68984
α : Type ?u.68987
I : Type u
f : I → Type v
x✝ y✝ : (i : I) → f i
i✝ j✝ : I
inst✝¹ : DecidableEq I
inst✝ : (i : I) → MulOneClass (f i)
i j : I
hij : i ≠ j
x : f i
y : f j
h1 : ¬i = j
⊢ (mulSingle i x * mulSingle j y) j = (mulSingle j y * mulSingle i x) j
case pos
ι : Type ?u.68984
α : Type ?u.68987
I : Type u
f : I → Type v
x✝ y✝ : (i : I) → f i
i✝ j✝ : I
inst✝¹ : DecidableEq I
inst✝ : (i : I) → MulOneClass (f i)
i j : I
hij : i ≠ j
x : f i
y : f j
k : I
h1 : ¬i = k
h2 : j = k
⊢ (mulSingle i x * mulSingle j y) k = (mulSingle j y * mulSingle i x) k
subst h2
no goals
case pos
ι : Type ?u.68984
α : Type ?u.68987
I : Type u
f : I → Type v
x✝ y✝ : (i : I) → f i
i✝ j✝ : I
inst✝¹ : DecidableEq I
inst✝ : (i : I) → MulOneClass (f i)
i j : I
hij : i ≠ j
x : f i
y : f j
h1 : ¬i = j
⊢ (mulSingle i x * mulSingle j y) j = (mulSingle j y * mulSingle i x) j
simp [hij]