case intro
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
h : s1 < s2
p : P
hp : p ∈ ↑s1
⊢ direction s1 < direction s2
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
h : s1 < s2
hn : Set.Nonempty ↑s1
⊢ direction s1 < direction s2
cases' hn with p hp
case intro
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
h : s1 ≤ s2 ∧ ∃ p, p ∈ s2 ∧ ¬p ∈ s1
p : P
hp : p ∈ ↑s1
⊢ direction s1 < direction s2
case intro
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
h : s1 < s2
p : P
hp : p ∈ ↑s1
⊢ direction s1 < direction s2
rw [lt_iff_le_and_exists] at h
case intro.intro.intro.intro
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ ↑s1
hle : s1 ≤ s2
p2 : P
hp2 : p2 ∈ s2
hp2s1 : ¬p2 ∈ s1
⊢ direction s1 < direction s2
case intro
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
h : s1 ≤ s2 ∧ ∃ p, p ∈ s2 ∧ ¬p ∈ s1
p : P
hp : p ∈ ↑s1
⊢ direction s1 < direction s2
rcases h with ⟨hle, p2, hp2, hp2s1⟩
case intro.intro.intro.intro
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ ↑s1
hle : s1 ≤ s2
p2 : P
hp2 : p2 ∈ s2
hp2s1 : ¬p2 ∈ s1
⊢ direction s1 ≤ direction s2 ∧ ∃ x, x ∈ direction s2 ∧ ¬x ∈ direction s1
case intro.intro.intro.intro
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ ↑s1
hle : s1 ≤ s2
p2 : P
hp2 : p2 ∈ s2
hp2s1 : ¬p2 ∈ s1
⊢ direction s1 < direction s2
rw [SetLike.lt_iff_le_and_exists]
case intro.intro.intro.intro
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ ↑s1
hle : s1 ≤ s2
p2 : P
hp2 : p2 ∈ s2
hp2s1 : ¬p2 ∈ s1
⊢ ¬p2 -ᵥ p ∈ direction s1
case intro.intro.intro.intro
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ ↑s1
hle : s1 ≤ s2
p2 : P
hp2 : p2 ∈ s2
hp2s1 : ¬p2 ∈ s1
⊢ direction s1 ≤ direction s2 ∧ ∃ x, x ∈ direction s2 ∧ ¬x ∈ direction s1
use direction_le hle, p2 -ᵥ p, vsub_mem_direction hp2 (hle hp)
case intro.intro.intro.intro
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ ↑s1
hle : s1 ≤ s2
p2 : P
hp2 : p2 ∈ s2
hp2s1 : ¬p2 ∈ s1
hm : p2 -ᵥ p ∈ direction s1
⊢ False
case intro.intro.intro.intro
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ ↑s1
hle : s1 ≤ s2
p2 : P
hp2 : p2 ∈ s2
hp2s1 : ¬p2 ∈ s1
⊢ ¬p2 -ᵥ p ∈ direction s1
intro hm
case intro.intro.intro.intro
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ ↑s1
hle : s1 ≤ s2
p2 : P
hp2 : p2 ∈ s2
hp2s1 : ¬p2 ∈ s1
hm : p2 ∈ s1
⊢ False
case intro.intro.intro.intro
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ ↑s1
hle : s1 ≤ s2
p2 : P
hp2 : p2 ∈ s2
hp2s1 : ¬p2 ∈ s1
hm : p2 -ᵥ p ∈ direction s1
⊢ False
rw [vsub_right_mem_direction_iff_mem hp p2] at hm
no goals
case intro.intro.intro.intro
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ ↑s1
hle : s1 ≤ s2
p2 : P
hp2 : p2 ∈ s2
hp2s1 : ¬p2 ∈ s1
hm : p2 ∈ s1
⊢ False
exact hp2s1 hm