F : Type ?u.170528
α : Type u_1
β : Type ?u.170534
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a x : α
hx : fract x ≠ 0
⊢ 0 ≤ 1 - fract x ∧ 1 - fract x < 1 ∧ ∃ z, -x - (1 - fract x) = ↑z
F : Type ?u.170528
α : Type u_1
β : Type ?u.170534
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a x : α
hx : fract x ≠ 0
⊢ fract (-x) = 1 - fract x
rw [fract_eq_iff]
case left
F : Type ?u.170528
α : Type u_1
β : Type ?u.170534
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a x : α
hx : fract x ≠ 0
⊢ 0 ≤ 1 - fract x

case right
F : Type ?u.170528
α : Type u_1
β : Type ?u.170534
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a x : α
hx : fract x ≠ 0
⊢ 1 - fract x < 1 ∧ ∃ z, -x - (1 - fract x) = ↑z
F : Type ?u.170528
α : Type u_1
β : Type ?u.170534
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a x : α
hx : fract x ≠ 0
⊢ 0 ≤ 1 - fract x ∧ 1 - fract x < 1 ∧ ∃ z, -x - (1 - fract x) = ↑z
constructor
case right
F : Type ?u.170528
α : Type u_1
β : Type ?u.170534
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a x : α
hx : fract x ≠ 0
⊢ -x - (1 - fract x) = ↑(-⌊x⌋ - 1)
case right
F : Type ?u.170528
α : Type u_1
β : Type ?u.170534
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a x : α
hx : fract x ≠ 0
⊢ 1 - fract x < 1 ∧ ∃ z, -x - (1 - fract x) = ↑z
refine' ⟨sub_lt_self _ (lt_of_le_of_ne' (fract_nonneg x) hx), -⌊x⌋ - 1, _⟩
case right
F : Type ?u.170528
α : Type u_1
β : Type ?u.170534
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a x : α
hx : fract x ≠ 0
⊢ -x + fract x = -↑⌊x⌋
case right
F : Type ?u.170528
α : Type u_1
β : Type ?u.170534
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a x : α
hx : fract x ≠ 0
⊢ -x - (1 - fract x) = ↑(-⌊x⌋ - 1)
simp only [sub_sub_eq_add_sub, cast_sub, cast_neg, cast_one, sub_left_inj]
case right
F : Type ?u.170528
α : Type u_1
β : Type ?u.170534
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a x : α
hx : fract x ≠ 0
⊢ -(↑⌊x⌋ + fract x) + fract x = -↑⌊x⌋
case right
F : Type ?u.170528
α : Type u_1
β : Type ?u.170534
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a x : α
hx : fract x ≠ 0
⊢ -x + fract x = -↑⌊x⌋
conv in -x => rw [← floor_add_fract x]
no goals
case right
F : Type ?u.170528
α : Type u_1
β : Type ?u.170534
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a x : α
hx : fract x ≠ 0
⊢ -(↑⌊x⌋ + fract x) + fract x = -↑⌊x⌋
simp [-floor_add_fract]
case left
F : Type ?u.170528
α : Type u_1
β : Type ?u.170534
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a x : α
hx : fract x ≠ 0
⊢ fract x ≤ 1
case left
F : Type ?u.170528
α : Type u_1
β : Type ?u.170534
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a x : α
hx : fract x ≠ 0
⊢ 0 ≤ 1 - fract x
rw [le_sub_iff_add_le, zero_add]
no goals
case left
F : Type ?u.170528
α : Type u_1
β : Type ?u.170534
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a x : α
hx : fract x ≠ 0
⊢ fract x ≤ 1
exact (fract_lt_one x).le