𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
f' : E →L[𝕜] F
x : E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
hs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
h' : DenseRange ↑f'
⊢ MapsTo ↑f' ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 s x)) ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (f '' s) (f x)))
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
f' : E →L[𝕜] F
x : E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
hs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
h' : DenseRange ↑f'
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 (f '' s) (f x)
refine' ⟨h'.dense_of_mapsTo f'.continuous hs.1 _, h.continuousWithinAt.mem_closure_image hs.2⟩
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
f' : E →L[𝕜] F
x : E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
hs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
h' : DenseRange ↑f'
⊢ Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 s x) ≤ Submodule.comap f' (Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (f '' s) (f x)))
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
f' : E →L[𝕜] F
x : E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
hs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
h' : DenseRange ↑f'
⊢ MapsTo ↑f' ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 s x)) ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (f '' s) (f x)))
show
  Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 s x) ≤
    (Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (f '' s) (f x))).comap f'
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
f' : E →L[𝕜] F
x : E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
hs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
h' : DenseRange ↑f'
⊢ tangentConeAt 𝕜 s x ⊆ ↑(Submodule.comap f' (Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (f '' s) (f x))))
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
f' : E →L[𝕜] F
x : E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
hs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
h' : DenseRange ↑f'
⊢ Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 s x) ≤ Submodule.comap f' (Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (f '' s) (f x)))
rw [Submodule.span_le]
no goals
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
f' : E →L[𝕜] F
x : E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
hs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
h' : DenseRange ↑f'
⊢ tangentConeAt 𝕜 s x ⊆ ↑(Submodule.comap f' (Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (f '' s) (f x))))
exact h.mapsTo_tangent_cone.mono Subset.rfl Submodule.subset_span