case mp
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
p : Submodule R L
⊢ (∃ K, K.toSubmodule = p) → ∀ (x y : L), x ∈ p → y ∈ p → ⁅x, y⁆ ∈ p

case mpr
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
p : Submodule R L
⊢ (∀ (x y : L), x ∈ p → y ∈ p → ⁅x, y⁆ ∈ p) → ∃ K, K.toSubmodule = p
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
p : Submodule R L
⊢ (∃ K, K.toSubmodule = p) ↔ ∀ (x y : L), x ∈ p → y ∈ p → ⁅x, y⁆ ∈ p
constructor
case mp.intro
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K : LieSubalgebra R L
x✝ y✝ : L
⊢ x✝ ∈ K.toSubmodule → y✝ ∈ K.toSubmodule → ⁅x✝, y✝⁆ ∈ K.toSubmodule
case mp
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
p : Submodule R L
⊢ (∃ K, K.toSubmodule = p) → ∀ (x y : L), x ∈ p → y ∈ p → ⁅x, y⁆ ∈ p
rintro ⟨K, rfl⟩ _ _
no goals
case mp.intro
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K : LieSubalgebra R L
x✝ y✝ : L
⊢ x✝ ∈ K.toSubmodule → y✝ ∈ K.toSubmodule → ⁅x✝, y✝⁆ ∈ K.toSubmodule
exact K.lie_mem'
case mpr
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
p : Submodule R L
h : ∀ (x y : L), x ∈ p → y ∈ p → ⁅x, y⁆ ∈ p
⊢ ∃ K, K.toSubmodule = p
case mpr
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
p : Submodule R L
⊢ (∀ (x y : L), x ∈ p → y ∈ p → ⁅x, y⁆ ∈ p) → ∃ K, K.toSubmodule = p
intro h
no goals
case mpr
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
p : Submodule R L
h : ∀ (x y : L), x ∈ p → y ∈ p → ⁅x, y⁆ ∈ p
⊢ ∃ K, K.toSubmodule = p
use { p with lie_mem' := h _ _ }