C : Type u_2
inst✝⁴ : Category C
inst✝³ : Preadditive C
𝕜 : Type u_3
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝ : Linear 𝕜 C
X : C
isIso_iff_nonzero : ∀ (f : X ⟶ X), IsIso f ↔ f ≠ 0
I : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
id_nonzero : 𝟙 X ≠ 0
⊢ finrank 𝕜 (X ⟶ X) = 1
C : Type u_2
inst✝⁴ : Category C
inst✝³ : Preadditive C
𝕜 : Type u_3
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝ : Linear 𝕜 C
X : C
isIso_iff_nonzero : ∀ (f : X ⟶ X), IsIso f ↔ f ≠ 0
I : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
⊢ finrank 𝕜 (X ⟶ X) = 1
have id_nonzero := (isIso_iff_nonzero (𝟙 X)).mp (by infer_instance)
C : Type u_2
inst✝⁴ : Category C
inst✝³ : Preadditive C
𝕜 : Type u_3
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝ : Linear 𝕜 C
X : C
isIso_iff_nonzero : ∀ (f : X ⟶ X), IsIso f ↔ f ≠ 0
I : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
id_nonzero : 𝟙 X ≠ 0
⊢ ∀ (w : X ⟶ X), ∃ c, c • 𝟙 X = w
C : Type u_2
inst✝⁴ : Category C
inst✝³ : Preadditive C
𝕜 : Type u_3
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝ : Linear 𝕜 C
X : C
isIso_iff_nonzero : ∀ (f : X ⟶ X), IsIso f ↔ f ≠ 0
I : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
id_nonzero : 𝟙 X ≠ 0
⊢ finrank 𝕜 (X ⟶ X) = 1
refine' finrank_eq_one (𝟙 X) id_nonzero _
no goals
C : Type u_2
inst✝⁴ : Category C
inst✝³ : Preadditive C
𝕜 : Type u_3
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝ : Linear 𝕜 C
X : C
isIso_iff_nonzero : ∀ (f : X ⟶ X), IsIso f ↔ f ≠ 0
I : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
⊢ IsIso (𝟙 X)
infer_instance
C : Type u_2
inst✝⁴ : Category C
inst✝³ : Preadditive C
𝕜 : Type u_3
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝ : Linear 𝕜 C
X : C
isIso_iff_nonzero : ∀ (f : X ⟶ X), IsIso f ↔ f ≠ 0
I : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
id_nonzero : 𝟙 X ≠ 0
f : X ⟶ X
⊢ ∃ c, c • 𝟙 X = f
C : Type u_2
inst✝⁴ : Category C
inst✝³ : Preadditive C
𝕜 : Type u_3
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝ : Linear 𝕜 C
X : C
isIso_iff_nonzero : ∀ (f : X ⟶ X), IsIso f ↔ f ≠ 0
I : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
id_nonzero : 𝟙 X ≠ 0
⊢ ∀ (w : X ⟶ X), ∃ c, c • 𝟙 X = w
intro f
C : Type u_2
inst✝⁴ : Category C
inst✝³ : Preadditive C
𝕜 : Type u_3
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝ : Linear 𝕜 C
X : C
isIso_iff_nonzero : ∀ (f : X ⟶ X), IsIso f ↔ f ≠ 0
I : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
id_nonzero : 𝟙 X ≠ 0
f : X ⟶ X
this : Nontrivial (End X)
⊢ ∃ c, c • 𝟙 X = f
C : Type u_2
inst✝⁴ : Category C
inst✝³ : Preadditive C
𝕜 : Type u_3
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝ : Linear 𝕜 C
X : C
isIso_iff_nonzero : ∀ (f : X ⟶ X), IsIso f ↔ f ≠ 0
I : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
id_nonzero : 𝟙 X ≠ 0
f : X ⟶ X
⊢ ∃ c, c • 𝟙 X = f
have : Nontrivial (End X) := nontrivial_of_ne _ _ id_nonzero
C : Type u_2
inst✝⁴ : Category C
inst✝³ : Preadditive C
𝕜 : Type u_3
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝ : Linear 𝕜 C
X : C
isIso_iff_nonzero : ∀ (f : X ⟶ X), IsIso f ↔ f ≠ 0
I : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
id_nonzero : 𝟙 X ≠ 0
f : X ⟶ X
this✝ : Nontrivial (End X)
this : FiniteDimensional 𝕜 (End X)
⊢ ∃ c, c • 𝟙 X = f
C : Type u_2
inst✝⁴ : Category C
inst✝³ : Preadditive C
𝕜 : Type u_3
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝ : Linear 𝕜 C
X : C
isIso_iff_nonzero : ∀ (f : X ⟶ X), IsIso f ↔ f ≠ 0
I : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
id_nonzero : 𝟙 X ≠ 0
f : X ⟶ X
this : Nontrivial (End X)
⊢ ∃ c, c • 𝟙 X = f
have : FiniteDimensional 𝕜 (End X) := I
case intro
C : Type u_2
inst✝⁴ : Category C
inst✝³ : Preadditive C
𝕜 : Type u_3
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝ : Linear 𝕜 C
X : C
isIso_iff_nonzero : ∀ (f : X ⟶ X), IsIso f ↔ f ≠ 0
I : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
id_nonzero : 𝟙 X ≠ 0
f : X ⟶ X
this✝ : Nontrivial (End X)
this : FiniteDimensional 𝕜 (End X)
c : 𝕜
nu : c ∈ spectrum 𝕜 (End.of f)
⊢ ∃ c, c • 𝟙 X = f
C : Type u_2
inst✝⁴ : Category C
inst✝³ : Preadditive C
𝕜 : Type u_3
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝ : Linear 𝕜 C
X : C
isIso_iff_nonzero : ∀ (f : X ⟶ X), IsIso f ↔ f ≠ 0
I : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
id_nonzero : 𝟙 X ≠ 0
f : X ⟶ X
this✝ : Nontrivial (End X)
this : FiniteDimensional 𝕜 (End X)
⊢ ∃ c, c • 𝟙 X = f
obtain ⟨c, nu⟩ := spectrum.nonempty_of_isAlgClosed_of_finiteDimensional 𝕜 (End.of f)
case intro
C : Type u_2
inst✝⁴ : Category C
inst✝³ : Preadditive C
𝕜 : Type u_3
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝ : Linear 𝕜 C
X : C
isIso_iff_nonzero : ∀ (f : X ⟶ X), IsIso f ↔ f ≠ 0
I : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
id_nonzero : 𝟙 X ≠ 0
f : X ⟶ X
this✝ : Nontrivial (End X)
this : FiniteDimensional 𝕜 (End X)
c : 𝕜
nu : c ∈ spectrum 𝕜 (End.of f)
⊢ c • 𝟙 X = f
case intro
C : Type u_2
inst✝⁴ : Category C
inst✝³ : Preadditive C
𝕜 : Type u_3
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝ : Linear 𝕜 C
X : C
isIso_iff_nonzero : ∀ (f : X ⟶ X), IsIso f ↔ f ≠ 0
I : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
id_nonzero : 𝟙 X ≠ 0
f : X ⟶ X
this✝ : Nontrivial (End X)
this : FiniteDimensional 𝕜 (End X)
c : 𝕜
nu : c ∈ spectrum 𝕜 (End.of f)
⊢ ∃ c, c • 𝟙 X = f
use c
case intro
C : Type u_2
inst✝⁴ : Category C
inst✝³ : Preadditive C
𝕜 : Type u_3
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝ : Linear 𝕜 C
X : C
isIso_iff_nonzero : ∀ (f : X ⟶ X), IsIso f ↔ f ≠ 0
I : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
id_nonzero : 𝟙 X ≠ 0
f : X ⟶ X
this✝ : Nontrivial (End X)
this : FiniteDimensional 𝕜 (End X)
c : 𝕜
nu : End.of f = c • 1
⊢ c • 𝟙 X = f
case intro
C : Type u_2
inst✝⁴ : Category C
inst✝³ : Preadditive C
𝕜 : Type u_3
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝ : Linear 𝕜 C
X : C
isIso_iff_nonzero : ∀ (f : X ⟶ X), IsIso f ↔ f ≠ 0
I : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
id_nonzero : 𝟙 X ≠ 0
f : X ⟶ X
this✝ : Nontrivial (End X)
this : FiniteDimensional 𝕜 (End X)
c : 𝕜
nu : c ∈ spectrum 𝕜 (End.of f)
⊢ c • 𝟙 X = f
rw [spectrum.mem_iff, IsUnit.sub_iff, isUnit_iff_isIso, isIso_iff_nonzero, Ne.def,
  Classical.not_not, sub_eq_zero, Algebra.algebraMap_eq_smul_one] at nu
no goals
case intro
C : Type u_2
inst✝⁴ : Category C
inst✝³ : Preadditive C
𝕜 : Type u_3
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝ : Linear 𝕜 C
X : C
isIso_iff_nonzero : ∀ (f : X ⟶ X), IsIso f ↔ f ≠ 0
I : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
id_nonzero : 𝟙 X ≠ 0
f : X ⟶ X
this✝ : Nontrivial (End X)
this : FiniteDimensional 𝕜 (End X)
c : 𝕜
nu : End.of f = c • 1
⊢ c • 𝟙 X = f
exact nu.symm