case a
R : Type u_4
inst✝¹⁶ : Semiring R
M : Type u_3
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : Module R M
N : Type ?u.456393
inst✝¹³ : AddCommMonoid N
inst✝¹² : Module R N
P : Type ?u.456423
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : Module R P
M' : Type ?u.456453
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : Module R M'
N' : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup N'
inst✝⁶ : Module R N'
ι : Type u_1
ι' : Type ?u.457232
ι'' : Type ?u.457235
M₂ : Type ?u.457238
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
M₃ : Type ?u.457268
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M₃
f f' : AlternatingMap R M N ι
g g₂ : AlternatingMap R M N' ι
g' : AlternatingMap R M' N' ι
v✝ : ι → M
v' : ι → M'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
v : ι → M
⊢ ↑g (v ∘ ↑1) = ↑Equiv.Perm.sign 1 • ↑g v

case a
R : Type u_4
inst✝¹⁶ : Semiring R
M : Type u_3
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : Module R M
N : Type ?u.456393
inst✝¹³ : AddCommMonoid N
inst✝¹² : Module R N
P : Type ?u.456423
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : Module R P
M' : Type ?u.456453
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : Module R M'
N' : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup N'
inst✝⁶ : Module R N'
ι : Type u_1
ι' : Type ?u.457232
ι'' : Type ?u.457235
M₂ : Type ?u.457238
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
M₃ : Type ?u.457268
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M₃
f f' : AlternatingMap R M N ι
g g₂ : AlternatingMap R M N' ι
g' : AlternatingMap R M' N' ι
v✝ : ι → M
v' : ι → M'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
v : ι → M
s : Equiv.Perm ι
x y : ι
hxy : x ≠ y
hI : ↑g (v ∘ ↑s) = ↑Equiv.Perm.sign s • ↑g v
⊢ ↑g (v ∘ ↑(s * Equiv.swap x y)) = ↑Equiv.Perm.sign (s * Equiv.swap x y) • ↑g v
R : Type u_4
inst✝¹⁶ : Semiring R
M : Type u_3
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : Module R M
N : Type ?u.456393
inst✝¹³ : AddCommMonoid N
inst✝¹² : Module R N
P : Type ?u.456423
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : Module R P
M' : Type ?u.456453
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : Module R M'
N' : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup N'
inst✝⁶ : Module R N'
ι : Type u_1
ι' : Type ?u.457232
ι'' : Type ?u.457235
M₂ : Type ?u.457238
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
M₃ : Type ?u.457268
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M₃
f f' : AlternatingMap R M N ι
g g₂ : AlternatingMap R M N' ι
g' : AlternatingMap R M' N' ι
v✝ : ι → M
v' : ι → M'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
v : ι → M
σ : Equiv.Perm ι
⊢ ↑g (v ∘ ↑σ) = ↑Equiv.Perm.sign σ • ↑g v
induction' σ using Equiv.Perm.swap_induction_on' with s x y hxy hI
no goals
case a
R : Type u_4
inst✝¹⁶ : Semiring R
M : Type u_3
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : Module R M
N : Type ?u.456393
inst✝¹³ : AddCommMonoid N
inst✝¹² : Module R N
P : Type ?u.456423
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : Module R P
M' : Type ?u.456453
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : Module R M'
N' : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup N'
inst✝⁶ : Module R N'
ι : Type u_1
ι' : Type ?u.457232
ι'' : Type ?u.457235
M₂ : Type ?u.457238
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
M₃ : Type ?u.457268
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M₃
f f' : AlternatingMap R M N ι
g g₂ : AlternatingMap R M N' ι
g' : AlternatingMap R M' N' ι
v✝ : ι → M
v' : ι → M'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
v : ι → M
⊢ ↑g (v ∘ ↑1) = ↑Equiv.Perm.sign 1 • ↑g v
simp
no goals
case a
R : Type u_4
inst✝¹⁶ : Semiring R
M : Type u_3
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : Module R M
N : Type ?u.456393
inst✝¹³ : AddCommMonoid N
inst✝¹² : Module R N
P : Type ?u.456423
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : Module R P
M' : Type ?u.456453
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : Module R M'
N' : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup N'
inst✝⁶ : Module R N'
ι : Type u_1
ι' : Type ?u.457232
ι'' : Type ?u.457235
M₂ : Type ?u.457238
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
M₃ : Type ?u.457268
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M₃
f f' : AlternatingMap R M N ι
g g₂ : AlternatingMap R M N' ι
g' : AlternatingMap R M' N' ι
v✝ : ι → M
v' : ι → M'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
v : ι → M
s : Equiv.Perm ι
x y : ι
hxy : x ≠ y
hI : ↑g (v ∘ ↑s) = ↑Equiv.Perm.sign s • ↑g v
⊢ ↑g (v ∘ ↑(s * Equiv.swap x y)) = ↑Equiv.Perm.sign (s * Equiv.swap x y) • ↑g v
simpa [← Function.comp.assoc, g.map_swap (v ∘ s) hxy,
  Equiv.Perm.sign_swap hxy, -Equiv.Perm.sign_swap'] using hI