case zero
𝕜 : Type ?u.226174
E : Type u_1
F : Type ?u.226180
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
s : Set ℝ
x₀ : ℝ
⊢ taylorWithinEval f Nat.zero s x₀ x₀ = f x₀

case succ
𝕜 : Type ?u.226174
E : Type u_1
F : Type ?u.226180
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
s : Set ℝ
x₀ : ℝ
k : ℕ
hk : taylorWithinEval f k s x₀ x₀ = f x₀
⊢ taylorWithinEval f (Nat.succ k) s x₀ x₀ = f x₀
𝕜 : Type ?u.226174
E : Type u_1
F : Type ?u.226180
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
n : ℕ
s : Set ℝ
x₀ : ℝ
⊢ taylorWithinEval f n s x₀ x₀ = f x₀
induction' n with k hk
no goals
case succ
𝕜 : Type ?u.226174
E : Type u_1
F : Type ?u.226180
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
s : Set ℝ
x₀ : ℝ
k : ℕ
hk : taylorWithinEval f k s x₀ x₀ = f x₀
⊢ taylorWithinEval f (Nat.succ k) s x₀ x₀ = f x₀
simp [hk]
no goals
case zero
𝕜 : Type ?u.226174
E : Type u_1
F : Type ?u.226180
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
s : Set ℝ
x₀ : ℝ
⊢ taylorWithinEval f Nat.zero s x₀ x₀ = f x₀
exact taylor_within_zero_eval _ _ _ _