no goals
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
a b : K
hb : b ≠ 0
⊢ eigenspace f (a / b) = eigenspace f (b⁻¹ * a)
rw [div_eq_mul_inv, mul_comm]
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
a b : K
hb : b ≠ 0
⊢ LinearMap.ker (f - ↑(algebraMap K (End K V)) (b⁻¹ * a)) = LinearMap.ker (f - (b⁻¹ * a) • LinearMap.id)
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
a b : K
hb : b ≠ 0
⊢ eigenspace f (b⁻¹ * a) = LinearMap.ker (f - (b⁻¹ * a) • LinearMap.id)
rw [eigenspace]
no goals
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
a b : K
hb : b ≠ 0
⊢ LinearMap.ker (f - ↑(algebraMap K (End K V)) (b⁻¹ * a)) = LinearMap.ker (f - (b⁻¹ * a) • LinearMap.id)
rfl
no goals
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
a b : K
hb : b ≠ 0
⊢ LinearMap.ker (f - (b⁻¹ * a) • LinearMap.id) = LinearMap.ker (f - b⁻¹ • a • LinearMap.id)
rw [smul_smul]
no goals
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
a b : K
hb : b ≠ 0
⊢ LinearMap.ker (f - b⁻¹ • ↑(algebraMap K (End K V)) a) = LinearMap.ker (b • (f - b⁻¹ • ↑(algebraMap K (End K V)) a))
rw [LinearMap.ker_smul _ b hb]
no goals
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
a b : K
hb : b ≠ 0
⊢ LinearMap.ker (b • (f - b⁻¹ • ↑(algebraMap K (End K V)) a)) = LinearMap.ker (b • f - ↑(algebraMap K (End K V)) a)
rw [smul_sub, smul_inv_smul₀ hb]