case intro
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
N O : Submodule R M
N_le_O : N ≤ O
val✝ : Fintype ι
⊢ ∃ n o hno bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(↑bN i) = ↑(a i • ↑bO (↑(Fin.castLE hno) i))
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
N O : Submodule R M
N_le_O : N ≤ O
⊢ ∃ n o hno bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(↑bN i) = ↑(a i • ↑bO (↑(Fin.castLE hno) i))
cases nonempty_fintype ι
case intro
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
O : Submodule R M
val✝ : Fintype ι
⊢ ∀ (N : Submodule R M), N ≤ O → ∃ n o hno bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(↑bN i) = ↑(a i • ↑bO (↑(Fin.castLE hno) i))
case intro
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
N O : Submodule R M
N_le_O : N ≤ O
val✝ : Fintype ι
⊢ ∃ n o hno bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(↑bN i) = ↑(a i • ↑bO (↑(Fin.castLE hno) i))
revert N
case intro.b
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
O : Submodule R M
val✝ : Fintype ι
⊢ Basis ?m.260038 R M

case intro.ih
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
val✝ : Fintype ι
M0 : Submodule R M
ih :
  ∀ (N' : Submodule R M),
    N' ≤ M0 →
      ∀ (x : M),
        x ∈ M0 →
          (∀ (c : R) (y : M), y ∈ N' → c • x + y = 0 → c = 0) →
            ∀ (N : Submodule R M),
              N ≤ N' → ∃ n o hno bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(↑bN i) = ↑(a i • ↑bO (↑(Fin.castLE hno) i))
⊢ ∀ (N : Submodule R M), N ≤ M0 → ∃ n o hno bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(↑bN i) = ↑(a i • ↑bO (↑(Fin.castLE hno) i))

case intro.inst
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
O : Submodule R M
val✝ : Fintype ι
⊢ Fintype ?m.260038
case intro
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
O : Submodule R M
val✝ : Fintype ι
⊢ ∀ (N : Submodule R M), N ≤ O → ∃ n o hno bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(↑bN i) = ↑(a i • ↑bO (↑(Fin.castLE hno) i))
induction' O using inductionOnRank with M0 ih
case intro.ih
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
val✝ : Fintype ι
M0 : Submodule R M
ih :
  ∀ (N' : Submodule R M),
    N' ≤ M0 →
      ∀ (x : M),
        x ∈ M0 →
          (∀ (c : R) (y : M), y ∈ N' → c • x + y = 0 → c = 0) →
            ∀ (N : Submodule R M),
              N ≤ N' → ∃ n o hno bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(↑bN i) = ↑(a i • ↑bO (↑(Fin.castLE hno) i))
N : Submodule R M
N_le_M0 : N ≤ M0
⊢ ∃ n o hno bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(↑bN i) = ↑(a i • ↑bO (↑(Fin.castLE hno) i))

case intro.inst
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
O : Submodule R M
val✝ : Fintype ι
⊢ Fintype ι
case intro.ih
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
val✝ : Fintype ι
M0 : Submodule R M
ih :
  ∀ (N' : Submodule R M),
    N' ≤ M0 →
      ∀ (x : M),
        x ∈ M0 →
          (∀ (c : R) (y : M), y ∈ N' → c • x + y = 0 → c = 0) →
            ∀ (N : Submodule R M),
              N ≤ N' → ∃ n o hno bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(↑bN i) = ↑(a i • ↑bO (↑(Fin.castLE hno) i))
⊢ ∀ (N : Submodule R M), N ≤ M0 → ∃ n o hno bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(↑bN i) = ↑(a i • ↑bO (↑(Fin.castLE hno) i))

case intro.inst
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
O : Submodule R M
val✝ : Fintype ι
⊢ Fintype ι
intro N N_le_M0
case intro.ih.mk
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
val✝ : Fintype ι
M0 : Submodule R M
ih :
  ∀ (N' : Submodule R M),
    N' ≤ M0 →
      ∀ (x : M),
        x ∈ M0 →
          (∀ (c : R) (y : M), y ∈ N' → c • x + y = 0 → c = 0) →
            ∀ (N : Submodule R M),
              N ≤ N' → ∃ n o hno bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(↑bN i) = ↑(a i • ↑bO (↑(Fin.castLE hno) i))
N : Submodule R M
N_le_M0 : N ≤ M0
m : ℕ
b'M : Basis (Fin m) R { x // x ∈ M0 }
⊢ ∃ n o hno bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(↑bN i) = ↑(a i • ↑bO (↑(Fin.castLE hno) i))

case intro.inst
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
O : Submodule R M
val✝ : Fintype ι
⊢ Fintype ι
case intro.ih
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
val✝ : Fintype ι
M0 : Submodule R M
ih :
  ∀ (N' : Submodule R M),
    N' ≤ M0 →
      ∀ (x : M),
        x ∈ M0 →
          (∀ (c : R) (y : M), y ∈ N' → c • x + y = 0 → c = 0) →
            ∀ (N : Submodule R M),
              N ≤ N' → ∃ n o hno bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(↑bN i) = ↑(a i • ↑bO (↑(Fin.castLE hno) i))
N : Submodule R M
N_le_M0 : N ≤ M0
⊢ ∃ n o hno bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(↑bN i) = ↑(a i • ↑bO (↑(Fin.castLE hno) i))

case intro.inst
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
O : Submodule R M
val✝ : Fintype ι
⊢ Fintype ι
obtain ⟨m, b'M⟩ := M0.basisOfPid b
case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
val✝ : Fintype ι
M0 : Submodule R M
ih :
  ∀ (N' : Submodule R M),
    N' ≤ M0 →
      ∀ (x : M),
        x ∈ M0 →
          (∀ (c : R) (y : M), y ∈ N' → c • x + y = 0 → c = 0) →
            ∀ (N : Submodule R M),
              N ≤ N' → ∃ n o hno bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(↑bN i) = ↑(a i • ↑bO (↑(Fin.castLE hno) i))
N : Submodule R M
N_le_M0 : N ≤ M0
m : ℕ
b'M : Basis (Fin m) R { x // x ∈ M0 }
N_bot : N = ⊥
⊢ ∃ n o hno bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(↑bN i) = ↑(a i • ↑bO (↑(Fin.castLE hno) i))

case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
val✝ : Fintype ι
M0 : Submodule R M
ih :
  ∀ (N' : Submodule R M),
    N' ≤ M0 →
      ∀ (x : M),
        x ∈ M0 →
          (∀ (c : R) (y : M), y ∈ N' → c • x + y = 0 → c = 0) →
            ∀ (N : Submodule R M),
              N ≤ N' → ∃ n o hno bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(↑bN i) = ↑(a i • ↑bO (↑(Fin.castLE hno) i))
N : Submodule R M
N_le_M0 : N ≤ M0
m : ℕ
b'M : Basis (Fin m) R { x // x ∈ M0 }
N_bot : ¬N = ⊥
⊢ ∃ n o hno bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(↑bN i) = ↑(a i • ↑bO (↑(Fin.castLE hno) i))

case intro.inst
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
O : Submodule R M
val✝ : Fintype ι
⊢ Fintype ι
case intro.ih.mk
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
val✝ : Fintype ι
M0 : Submodule R M
ih :
  ∀ (N' : Submodule R M),
    N' ≤ M0 →
      ∀ (x : M),
        x ∈ M0 →
          (∀ (c : R) (y : M), y ∈ N' → c • x + y = 0 → c = 0) →
            ∀ (N : Submodule R M),
              N ≤ N' → ∃ n o hno bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(↑bN i) = ↑(a i • ↑bO (↑(Fin.castLE hno) i))
N : Submodule R M
N_le_M0 : N ≤ M0
m : ℕ
b'M : Basis (Fin m) R { x // x ∈ M0 }
⊢ ∃ n o hno bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(↑bN i) = ↑(a i • ↑bO (↑(Fin.castLE hno) i))

case intro.inst
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
O : Submodule R M
val✝ : Fintype ι
⊢ Fintype ι
by_cases N_bot : N = ⊥
case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
val✝ : Fintype ι
M0 : Submodule R M
ih :
  ∀ (N' : Submodule R M),
    N' ≤ M0 →
      ∀ (x : M),
        x ∈ M0 →
          (∀ (c : R) (y : M), y ∈ N' → c • x + y = 0 → c = 0) →
            ∀ (N : Submodule R M),
              N ≤ N' → ∃ n o hno bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(↑bN i) = ↑(a i • ↑bO (↑(Fin.castLE hno) i))
N : Submodule R M
N_le_M0 : N ≤ M0
m : ℕ
b'M : Basis (Fin m) R { x // x ∈ M0 }
N_bot : ¬N = ⊥
y : M
hy : y ∈ M0
a : R
w✝¹ : a • y ∈ N
M' : Submodule R M
M'_le_M : M' ≤ M0
N' : Submodule R M
left✝ : N' ≤ N
N'_le_M' : N' ≤ M'
y_ortho : ∀ (c : R) (z : M), z ∈ M' → c • y + z = 0 → c = 0
w✝ : ∀ (c : R) (z : M), z ∈ N' → c • a • y + z = 0 → c = 0
h :
  ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),
    ∃ bN,
      ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),
        ∃ hnm bM,
          ∀ (as : Fin n' → R),
            (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →
              ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))
⊢ ∃ n o hno bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(↑bN i) = ↑(a i • ↑bO (↑(Fin.castLE hno) i))

case intro.inst
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
O : Submodule R M
val✝ : Fintype ι
⊢ Fintype ι
case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
val✝ : Fintype ι
M0 : Submodule R M
ih :
  ∀ (N' : Submodule R M),
    N' ≤ M0 →
      ∀ (x : M),
        x ∈ M0 →
          (∀ (c : R) (y : M), y ∈ N' → c • x + y = 0 → c = 0) →
            ∀ (N : Submodule R M),
              N ≤ N' → ∃ n o hno bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(↑bN i) = ↑(a i • ↑bO (↑(Fin.castLE hno) i))
N : Submodule R M
N_le_M0 : N ≤ M0
m : ℕ
b'M : Basis (Fin m) R { x // x ∈ M0 }
N_bot : ¬N = ⊥
⊢ ∃ n o hno bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(↑bN i) = ↑(a i • ↑bO (↑(Fin.castLE hno) i))

case intro.inst
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
O : Submodule R M
val✝ : Fintype ι
⊢ Fintype ι
obtain ⟨y, hy, a, _, M', M'_le_M, N', _, N'_le_M', y_ortho, _, h⟩ :=
  Submodule.basis_of_pid_aux M0 N b'M N_bot N_le_M0
case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
val✝ : Fintype ι
M0 : Submodule R M
ih :
  ∀ (N' : Submodule R M),
    N' ≤ M0 →
      ∀ (x : M),
        x ∈ M0 →
          (∀ (c : R) (y : M), y ∈ N' → c • x + y = 0 → c = 0) →
            ∀ (N : Submodule R M),
              N ≤ N' → ∃ n o hno bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(↑bN i) = ↑(a i • ↑bO (↑(Fin.castLE hno) i))
N : Submodule R M
N_le_M0 : N ≤ M0
m : ℕ
b'M : Basis (Fin m) R { x // x ∈ M0 }
N_bot : ¬N = ⊥
y : M
hy : y ∈ M0
a : R
w✝¹ : a • y ∈ N
M' : Submodule R M
M'_le_M : M' ≤ M0
N' : Submodule R M
left✝ : N' ≤ N
N'_le_M' : N' ≤ M'
y_ortho : ∀ (c : R) (z : M), z ∈ M' → c • y + z = 0 → c = 0
w✝ : ∀ (c : R) (z : M), z ∈ N' → c • a • y + z = 0 → c = 0
h :
  ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),
    ∃ bN,
      ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),
        ∃ hnm bM,
          ∀ (as : Fin n' → R),
            (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →
              ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))
n' m' : ℕ
hn'm' : n' ≤ m'
bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }
bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }
as' : Fin n' → R
has' : ∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = ↑(as' i • ↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))
⊢ ∃ n o hno bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(↑bN i) = ↑(a i • ↑bO (↑(Fin.castLE hno) i))

case intro.inst
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
O : Submodule R M
val✝ : Fintype ι
⊢ Fintype ι
case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
val✝ : Fintype ι
M0 : Submodule R M
ih :
  ∀ (N' : Submodule R M),
    N' ≤ M0 →
      ∀ (x : M),
        x ∈ M0 →
          (∀ (c : R) (y : M), y ∈ N' → c • x + y = 0 → c = 0) →
            ∀ (N : Submodule R M),
              N ≤ N' → ∃ n o hno bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(↑bN i) = ↑(a i • ↑bO (↑(Fin.castLE hno) i))
N : Submodule R M
N_le_M0 : N ≤ M0
m : ℕ
b'M : Basis (Fin m) R { x // x ∈ M0 }
N_bot : ¬N = ⊥
y : M
hy : y ∈ M0
a : R
w✝¹ : a • y ∈ N
M' : Submodule R M
M'_le_M : M' ≤ M0
N' : Submodule R M
left✝ : N' ≤ N
N'_le_M' : N' ≤ M'
y_ortho : ∀ (c : R) (z : M), z ∈ M' → c • y + z = 0 → c = 0
w✝ : ∀ (c : R) (z : M), z ∈ N' → c • a • y + z = 0 → c = 0
h :
  ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),
    ∃ bN,
      ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),
        ∃ hnm bM,
          ∀ (as : Fin n' → R),
            (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →
              ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))
⊢ ∃ n o hno bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(↑bN i) = ↑(a i • ↑bO (↑(Fin.castLE hno) i))

case intro.inst
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
O : Submodule R M
val✝ : Fintype ι
⊢ Fintype ι
obtain ⟨n', m', hn'm', bM', bN', as', has'⟩ := ih M' M'_le_M y hy y_ortho N' N'_le_M'
case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
val✝ : Fintype ι
M0 : Submodule R M
ih :
  ∀ (N' : Submodule R M),
    N' ≤ M0 →
      ∀ (x : M),
        x ∈ M0 →
          (∀ (c : R) (y : M), y ∈ N' → c • x + y = 0 → c = 0) →
            ∀ (N : Submodule R M),
              N ≤ N' → ∃ n o hno bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(↑bN i) = ↑(a i • ↑bO (↑(Fin.castLE hno) i))
N : Submodule R M
N_le_M0 : N ≤ M0
m : ℕ
b'M : Basis (Fin m) R { x // x ∈ M0 }
N_bot : ¬N = ⊥
y : M
hy : y ∈ M0
a : R
w✝¹ : a • y ∈ N
M' : Submodule R M
M'_le_M : M' ≤ M0
N' : Submodule R M
left✝ : N' ≤ N
N'_le_M' : N' ≤ M'
y_ortho : ∀ (c : R) (z : M), z ∈ M' → c • y + z = 0 → c = 0
w✝ : ∀ (c : R) (z : M), z ∈ N' → c • a • y + z = 0 → c = 0
h :
  ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),
    ∃ bN,
      ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),
        ∃ hnm bM,
          ∀ (as : Fin n' → R),
            (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →
              ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))
n' m' : ℕ
hn'm' : n' ≤ m'
bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }
bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }
as' : Fin n' → R
has' : ∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = ↑(as' i • ↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))
bN : Basis (Fin (n' + 1)) R { x // x ∈ N }
h' :
  ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),
    ∃ hnm bM,
      ∀ (as : Fin n' → R),
        (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →
          ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))
⊢ ∃ n o hno bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(↑bN i) = ↑(a i • ↑bO (↑(Fin.castLE hno) i))

case intro.inst
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
O : Submodule R M
val✝ : Fintype ι
⊢ Fintype ι
case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
val✝ : Fintype ι
M0 : Submodule R M
ih :
  ∀ (N' : Submodule R M),
    N' ≤ M0 →
      ∀ (x : M),
        x ∈ M0 →
          (∀ (c : R) (y : M), y ∈ N' → c • x + y = 0 → c = 0) →
            ∀ (N : Submodule R M),
              N ≤ N' → ∃ n o hno bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(↑bN i) = ↑(a i • ↑bO (↑(Fin.castLE hno) i))
N : Submodule R M
N_le_M0 : N ≤ M0
m : ℕ
b'M : Basis (Fin m) R { x // x ∈ M0 }
N_bot : ¬N = ⊥
y : M
hy : y ∈ M0
a : R
w✝¹ : a • y ∈ N
M' : Submodule R M
M'_le_M : M' ≤ M0
N' : Submodule R M
left✝ : N' ≤ N
N'_le_M' : N' ≤ M'
y_ortho : ∀ (c : R) (z : M), z ∈ M' → c • y + z = 0 → c = 0
w✝ : ∀ (c : R) (z : M), z ∈ N' → c • a • y + z = 0 → c = 0
h :
  ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),
    ∃ bN,
      ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),
        ∃ hnm bM,
          ∀ (as : Fin n' → R),
            (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →
              ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))
n' m' : ℕ
hn'm' : n' ≤ m'
bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }
bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }
as' : Fin n' → R
has' : ∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = ↑(as' i • ↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))
⊢ ∃ n o hno bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(↑bN i) = ↑(a i • ↑bO (↑(Fin.castLE hno) i))

case intro.inst
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
O : Submodule R M
val✝ : Fintype ι
⊢ Fintype ι
obtain ⟨bN, h'⟩ := h n' bN'
case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
val✝ : Fintype ι
M0 : Submodule R M
ih :
  ∀ (N' : Submodule R M),
    N' ≤ M0 →
      ∀ (x : M),
        x ∈ M0 →
          (∀ (c : R) (y : M), y ∈ N' → c • x + y = 0 → c = 0) →
            ∀ (N : Submodule R M),
              N ≤ N' → ∃ n o hno bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(↑bN i) = ↑(a i • ↑bO (↑(Fin.castLE hno) i))
N : Submodule R M
N_le_M0 : N ≤ M0
m : ℕ
b'M : Basis (Fin m) R { x // x ∈ M0 }
N_bot : ¬N = ⊥
y : M
hy : y ∈ M0
a : R
w✝¹ : a • y ∈ N
M' : Submodule R M
M'_le_M : M' ≤ M0
N' : Submodule R M
left✝ : N' ≤ N
N'_le_M' : N' ≤ M'
y_ortho : ∀ (c : R) (z : M), z ∈ M' → c • y + z = 0 → c = 0
w✝ : ∀ (c : R) (z : M), z ∈ N' → c • a • y + z = 0 → c = 0
h :
  ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),
    ∃ bN,
      ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),
        ∃ hnm bM,
          ∀ (as : Fin n' → R),
            (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →
              ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))
n' m' : ℕ
hn'm' : n' ≤ m'
bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }
bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }
as' : Fin n' → R
has' : ∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = ↑(as' i • ↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))
bN : Basis (Fin (n' + 1)) R { x // x ∈ N }
h' :
  ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),
    ∃ hnm bM,
      ∀ (as : Fin n' → R),
        (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →
          ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))
hmn : n' + 1 ≤ m' + 1
bM : Basis (Fin (m' + 1)) R { x // x ∈ M0 }
h'' :
  ∀ (as : Fin n' → R),
    (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →
      ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hmn) i))
⊢ ∃ n o hno bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(↑bN i) = ↑(a i • ↑bO (↑(Fin.castLE hno) i))

case intro.inst
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
O : Submodule R M
val✝ : Fintype ι
⊢ Fintype ι
case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
val✝ : Fintype ι
M0 : Submodule R M
ih :
  ∀ (N' : Submodule R M),
    N' ≤ M0 →
      ∀ (x : M),
        x ∈ M0 →
          (∀ (c : R) (y : M), y ∈ N' → c • x + y = 0 → c = 0) →
            ∀ (N : Submodule R M),
              N ≤ N' → ∃ n o hno bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(↑bN i) = ↑(a i • ↑bO (↑(Fin.castLE hno) i))
N : Submodule R M
N_le_M0 : N ≤ M0
m : ℕ
b'M : Basis (Fin m) R { x // x ∈ M0 }
N_bot : ¬N = ⊥
y : M
hy : y ∈ M0
a : R
w✝¹ : a • y ∈ N
M' : Submodule R M
M'_le_M : M' ≤ M0
N' : Submodule R M
left✝ : N' ≤ N
N'_le_M' : N' ≤ M'
y_ortho : ∀ (c : R) (z : M), z ∈ M' → c • y + z = 0 → c = 0
w✝ : ∀ (c : R) (z : M), z ∈ N' → c • a • y + z = 0 → c = 0
h :
  ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),
    ∃ bN,
      ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),
        ∃ hnm bM,
          ∀ (as : Fin n' → R),
            (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →
              ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))
n' m' : ℕ
hn'm' : n' ≤ m'
bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }
bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }
as' : Fin n' → R
has' : ∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = ↑(as' i • ↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))
bN : Basis (Fin (n' + 1)) R { x // x ∈ N }
h' :
  ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),
    ∃ hnm bM,
      ∀ (as : Fin n' → R),
        (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →
          ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))
⊢ ∃ n o hno bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(↑bN i) = ↑(a i • ↑bO (↑(Fin.castLE hno) i))

case intro.inst
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
O : Submodule R M
val✝ : Fintype ι
⊢ Fintype ι
obtain ⟨hmn, bM, h''⟩ := h' m' hn'm' bM'
case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
val✝ : Fintype ι
M0 : Submodule R M
ih :
  ∀ (N' : Submodule R M),
    N' ≤ M0 →
      ∀ (x : M),
        x ∈ M0 →
          (∀ (c : R) (y : M), y ∈ N' → c • x + y = 0 → c = 0) →
            ∀ (N : Submodule R M),
              N ≤ N' → ∃ n o hno bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(↑bN i) = ↑(a i • ↑bO (↑(Fin.castLE hno) i))
N : Submodule R M
N_le_M0 : N ≤ M0
m : ℕ
b'M : Basis (Fin m) R { x // x ∈ M0 }
N_bot : ¬N = ⊥
y : M
hy : y ∈ M0
a : R
w✝¹ : a • y ∈ N
M' : Submodule R M
M'_le_M : M' ≤ M0
N' : Submodule R M
left✝ : N' ≤ N
N'_le_M' : N' ≤ M'
y_ortho : ∀ (c : R) (z : M), z ∈ M' → c • y + z = 0 → c = 0
w✝ : ∀ (c : R) (z : M), z ∈ N' → c • a • y + z = 0 → c = 0
h :
  ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),
    ∃ bN,
      ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),
        ∃ hnm bM,
          ∀ (as : Fin n' → R),
            (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →
              ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))
n' m' : ℕ
hn'm' : n' ≤ m'
bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }
bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }
as' : Fin n' → R
has' : ∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = ↑(as' i • ↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))
bN : Basis (Fin (n' + 1)) R { x // x ∈ N }
h' :
  ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),
    ∃ hnm bM,
      ∀ (as : Fin n' → R),
        (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →
          ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))
hmn : n' + 1 ≤ m' + 1
bM : Basis (Fin (m' + 1)) R { x // x ∈ M0 }
h'' :
  ∀ (as : Fin n' → R),
    (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →
      ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hmn) i))
as : Fin (n' + 1) → R
has : ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hmn) i))
⊢ ∃ n o hno bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(↑bN i) = ↑(a i • ↑bO (↑(Fin.castLE hno) i))

case intro.inst
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
O : Submodule R M
val✝ : Fintype ι
⊢ Fintype ι
case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
val✝ : Fintype ι
M0 : Submodule R M
ih :
  ∀ (N' : Submodule R M),
    N' ≤ M0 →
      ∀ (x : M),
        x ∈ M0 →
          (∀ (c : R) (y : M), y ∈ N' → c • x + y = 0 → c = 0) →
            ∀ (N : Submodule R M),
              N ≤ N' → ∃ n o hno bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(↑bN i) = ↑(a i • ↑bO (↑(Fin.castLE hno) i))
N : Submodule R M
N_le_M0 : N ≤ M0
m : ℕ
b'M : Basis (Fin m) R { x // x ∈ M0 }
N_bot : ¬N = ⊥
y : M
hy : y ∈ M0
a : R
w✝¹ : a • y ∈ N
M' : Submodule R M
M'_le_M : M' ≤ M0
N' : Submodule R M
left✝ : N' ≤ N
N'_le_M' : N' ≤ M'
y_ortho : ∀ (c : R) (z : M), z ∈ M' → c • y + z = 0 → c = 0
w✝ : ∀ (c : R) (z : M), z ∈ N' → c • a • y + z = 0 → c = 0
h :
  ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),
    ∃ bN,
      ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),
        ∃ hnm bM,
          ∀ (as : Fin n' → R),
            (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →
              ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))
n' m' : ℕ
hn'm' : n' ≤ m'
bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }
bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }
as' : Fin n' → R
has' : ∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = ↑(as' i • ↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))
bN : Basis (Fin (n' + 1)) R { x // x ∈ N }
h' :
  ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),
    ∃ hnm bM,
      ∀ (as : Fin n' → R),
        (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →
          ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))
hmn : n' + 1 ≤ m' + 1
bM : Basis (Fin (m' + 1)) R { x // x ∈ M0 }
h'' :
  ∀ (as : Fin n' → R),
    (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →
      ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hmn) i))
⊢ ∃ n o hno bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(↑bN i) = ↑(a i • ↑bO (↑(Fin.castLE hno) i))

case intro.inst
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
O : Submodule R M
val✝ : Fintype ι
⊢ Fintype ι
obtain ⟨as, has⟩ := h'' as' has'
case intro.inst
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
O : Submodule R M
val✝ : Fintype ι
⊢ Fintype ι
case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
val✝ : Fintype ι
M0 : Submodule R M
ih :
  ∀ (N' : Submodule R M),
    N' ≤ M0 →
      ∀ (x : M),
        x ∈ M0 →
          (∀ (c : R) (y : M), y ∈ N' → c • x + y = 0 → c = 0) →
            ∀ (N : Submodule R M),
              N ≤ N' → ∃ n o hno bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(↑bN i) = ↑(a i • ↑bO (↑(Fin.castLE hno) i))
N : Submodule R M
N_le_M0 : N ≤ M0
m : ℕ
b'M : Basis (Fin m) R { x // x ∈ M0 }
N_bot : ¬N = ⊥
y : M
hy : y ∈ M0
a : R
w✝¹ : a • y ∈ N
M' : Submodule R M
M'_le_M : M' ≤ M0
N' : Submodule R M
left✝ : N' ≤ N
N'_le_M' : N' ≤ M'
y_ortho : ∀ (c : R) (z : M), z ∈ M' → c • y + z = 0 → c = 0
w✝ : ∀ (c : R) (z : M), z ∈ N' → c • a • y + z = 0 → c = 0
h :
  ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }),
    ∃ bN,
      ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),
        ∃ hnm bM,
          ∀ (as : Fin n' → R),
            (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →
              ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))
n' m' : ℕ
hn'm' : n' ≤ m'
bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }
bN' : Basis (Fin n') R { x // x ∈ N' }
as' : Fin n' → R
has' : ∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = ↑(as' i • ↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))
bN : Basis (Fin (n' + 1)) R { x // x ∈ N }
h' :
  ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R { x // x ∈ M' }),
    ∃ hnm bM,
      ∀ (as : Fin n' → R),
        (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →
          ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hnm) i))
hmn : n' + 1 ≤ m' + 1
bM : Basis (Fin (m' + 1)) R { x // x ∈ M0 }
h'' :
  ∀ (as : Fin n' → R),
    (∀ (i : Fin n'), ↑(↑bN' i) = as i • ↑(↑bM' (↑(Fin.castLE hn'm') i))) →
      ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as' i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hmn) i))
as : Fin (n' + 1) → R
has : ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(↑bN i) = as i • ↑(↑bM (↑(Fin.castLE hmn) i))
⊢ ∃ n o hno bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(↑bN i) = ↑(a i • ↑bO (↑(Fin.castLE hno) i))

case intro.inst
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
O : Submodule R M
val✝ : Fintype ι
⊢ Fintype ι
exact ⟨_, _, hmn, bM, bN, as, has⟩
no goals
case intro.inst
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
O : Submodule R M
val✝ : Fintype ι
⊢ Fintype ι
infer_instance
no goals
case intro.b
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
O : Submodule R M
val✝ : Fintype ι
⊢ Basis ?m.260038 R M
exact b
case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
val✝ : Fintype ι
M0 : Submodule R M
ih :
  ∀ (N' : Submodule R M),
    N' ≤ M0 →
      ∀ (x : M),
        x ∈ M0 →
          (∀ (c : R) (y : M), y ∈ N' → c • x + y = 0 → c = 0) →
            ∀ (N : Submodule R M),
              N ≤ N' → ∃ n o hno bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(↑bN i) = ↑(a i • ↑bO (↑(Fin.castLE hno) i))
m : ℕ
b'M : Basis (Fin m) R { x // x ∈ M0 }
N_le_M0 : ⊥ ≤ M0
⊢ ∃ n o hno bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(↑bN i) = ↑(a i • ↑bO (↑(Fin.castLE hno) i))
case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
val✝ : Fintype ι
M0 : Submodule R M
ih :
  ∀ (N' : Submodule R M),
    N' ≤ M0 →
      ∀ (x : M),
        x ∈ M0 →
          (∀ (c : R) (y : M), y ∈ N' → c • x + y = 0 → c = 0) →
            ∀ (N : Submodule R M),
              N ≤ N' → ∃ n o hno bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(↑bN i) = ↑(a i • ↑bO (↑(Fin.castLE hno) i))
N : Submodule R M
N_le_M0 : N ≤ M0
m : ℕ
b'M : Basis (Fin m) R { x // x ∈ M0 }
N_bot : N = ⊥
⊢ ∃ n o hno bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(↑bN i) = ↑(a i • ↑bO (↑(Fin.castLE hno) i))
subst N_bot
no goals
case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
val✝ : Fintype ι
M0 : Submodule R M
ih :
  ∀ (N' : Submodule R M),
    N' ≤ M0 →
      ∀ (x : M),
        x ∈ M0 →
          (∀ (c : R) (y : M), y ∈ N' → c • x + y = 0 → c = 0) →
            ∀ (N : Submodule R M),
              N ≤ N' → ∃ n o hno bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(↑bN i) = ↑(a i • ↑bO (↑(Fin.castLE hno) i))
m : ℕ
b'M : Basis (Fin m) R { x // x ∈ M0 }
N_le_M0 : ⊥ ≤ M0
⊢ ∃ n o hno bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(↑bN i) = ↑(a i • ↑bO (↑(Fin.castLE hno) i))
exact ⟨0, m, Nat.zero_le _, b'M, Basis.empty _, finZeroElim, finZeroElim⟩