case intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
v : Basis ι 𝕜 E
C : ℝ≥0
hC : C > 0
h : ∀ {u : E →L[𝕜] F} (M : ℝ≥0), (∀ (i : ι), ‖↑u (↑v i)‖₊ ≤ M) → ‖u‖₊ ≤ C * M
⊢ ∃ C, C > 0 ∧ ∀ {u : E →L[𝕜] F} {M : ℝ}, 0 ≤ M → (∀ (i : ι), ‖↑u (↑v i)‖ ≤ M) → ‖u‖ ≤ C * M
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
v : Basis ι 𝕜 E
⊢ ∃ C, C > 0 ∧ ∀ {u : E →L[𝕜] F} {M : ℝ}, 0 ≤ M → (∀ (i : ι), ‖↑u (↑v i)‖ ≤ M) → ‖u‖ ≤ C * M
obtain ⟨C, hC, h⟩ := v.exists_op_nnnorm_le (F := F)
case intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
v : Basis ι 𝕜 E
C : ℝ≥0
hC : C > 0
h : ∀ {u : E →L[𝕜] F} (M : ℝ≥0), (∀ (i : ι), ‖↑u (↑v i)‖₊ ≤ M) → ‖u‖₊ ≤ C * M
⊢ ∀ {u : E →L[𝕜] F} {M : ℝ}, 0 ≤ M → (∀ (i : ι), ‖↑u (↑v i)‖ ≤ M) → ‖u‖ ≤ ↑C * M
case intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
v : Basis ι 𝕜 E
C : ℝ≥0
hC : C > 0
h : ∀ {u : E →L[𝕜] F} (M : ℝ≥0), (∀ (i : ι), ‖↑u (↑v i)‖₊ ≤ M) → ‖u‖₊ ≤ C * M
⊢ ∃ C, C > 0 ∧ ∀ {u : E →L[𝕜] F} {M : ℝ}, 0 ≤ M → (∀ (i : ι), ‖↑u (↑v i)‖ ≤ M) → ‖u‖ ≤ C * M
refine ⟨C, hC, ?_⟩
case intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
v : Basis ι 𝕜 E
C : ℝ≥0
hC : C > 0
h : ∀ {u : E →L[𝕜] F} (M : ℝ≥0), (∀ (i : ι), ‖↑u (↑v i)‖₊ ≤ M) → ‖u‖₊ ≤ C * M
u : E →L[𝕜] F
M : ℝ
hM : 0 ≤ M
H : ∀ (i : ι), ‖↑u (↑v i)‖ ≤ M
⊢ ‖u‖ ≤ ↑C * M
case intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
v : Basis ι 𝕜 E
C : ℝ≥0
hC : C > 0
h : ∀ {u : E →L[𝕜] F} (M : ℝ≥0), (∀ (i : ι), ‖↑u (↑v i)‖₊ ≤ M) → ‖u‖₊ ≤ C * M
⊢ ∀ {u : E →L[𝕜] F} {M : ℝ}, 0 ≤ M → (∀ (i : ι), ‖↑u (↑v i)‖ ≤ M) → ‖u‖ ≤ ↑C * M
intro u M hM H
no goals
case intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
v : Basis ι 𝕜 E
C : ℝ≥0
hC : C > 0
h : ∀ {u : E →L[𝕜] F} (M : ℝ≥0), (∀ (i : ι), ‖↑u (↑v i)‖₊ ≤ M) → ‖u‖₊ ≤ C * M
u : E →L[𝕜] F
M : ℝ
hM : 0 ≤ M
H : ∀ (i : ι), ‖↑u (↑v i)‖ ≤ M
⊢ ‖u‖ ≤ ↑C * M
simpa using h ⟨M, hM⟩ H