no goals
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : AddCommGroup P
inst✝⁹ : AddCommGroup Q
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : Module R Q
inst✝⁴ : Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Free R N
inst✝¹ : Module.Finite R N
inst✝ : Nontrivial R
⊢ ↑(lTensorHomEquivHomLTensor R M P Q) = lTensorHomToHomLTensor R M P Q
classical let e := congr (LinearEquiv.refl R P) (dualTensorHomEquiv R M Q)
have h : Function.Surjective e.toLinearMap := e.surjective
refine' (cancel_right h).1 _
ext (f q m)
dsimp [lTensorHomEquivHomLTensor]
simp only [lTensorHomEquivHomLTensor, dualTensorHomEquiv, compr₂_apply, mk_apply, coe_comp,
  LinearEquiv.coe_toLinearMap, Function.comp_apply, map_tmul, LinearEquiv.coe_coe,
  dualTensorHomEquivOfBasis_apply, LinearEquiv.trans_apply, congr_tmul, LinearEquiv.refl_apply,
  dualTensorHomEquivOfBasis_symm_cancel_left, leftComm_tmul, dualTensorHom_apply, tmul_smul]
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : AddCommGroup P
inst✝⁹ : AddCommGroup Q
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : Module R Q
inst✝⁴ : Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Free R N
inst✝¹ : Module.Finite R N
inst✝ : Nontrivial R
e : P ⊗[R] Dual R M ⊗[R] Q ≃ₗ[R] P ⊗[R] (M →ₗ[R] Q) :=
  TensorProduct.congr (LinearEquiv.refl R P) (dualTensorHomEquiv R M Q)
⊢ ↑(lTensorHomEquivHomLTensor R M P Q) = lTensorHomToHomLTensor R M P Q
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : AddCommGroup P
inst✝⁹ : AddCommGroup Q
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : Module R Q
inst✝⁴ : Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Free R N
inst✝¹ : Module.Finite R N
inst✝ : Nontrivial R
⊢ ↑(lTensorHomEquivHomLTensor R M P Q) = lTensorHomToHomLTensor R M P Q
let e := congr (LinearEquiv.refl R P) (dualTensorHomEquiv R M Q)
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : AddCommGroup P
inst✝⁹ : AddCommGroup Q
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : Module R Q
inst✝⁴ : Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Free R N
inst✝¹ : Module.Finite R N
inst✝ : Nontrivial R
e : P ⊗[R] Dual R M ⊗[R] Q ≃ₗ[R] P ⊗[R] (M →ₗ[R] Q) :=
  TensorProduct.congr (LinearEquiv.refl R P) (dualTensorHomEquiv R M Q)
h : Function.Surjective ↑↑e
⊢ ↑(lTensorHomEquivHomLTensor R M P Q) = lTensorHomToHomLTensor R M P Q
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : AddCommGroup P
inst✝⁹ : AddCommGroup Q
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : Module R Q
inst✝⁴ : Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Free R N
inst✝¹ : Module.Finite R N
inst✝ : Nontrivial R
e : P ⊗[R] Dual R M ⊗[R] Q ≃ₗ[R] P ⊗[R] (M →ₗ[R] Q) :=
  TensorProduct.congr (LinearEquiv.refl R P) (dualTensorHomEquiv R M Q)
⊢ ↑(lTensorHomEquivHomLTensor R M P Q) = lTensorHomToHomLTensor R M P Q
have h : Function.Surjective e.toLinearMap := e.surjective
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : AddCommGroup P
inst✝⁹ : AddCommGroup Q
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : Module R Q
inst✝⁴ : Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Free R N
inst✝¹ : Module.Finite R N
inst✝ : Nontrivial R
e : P ⊗[R] Dual R M ⊗[R] Q ≃ₗ[R] P ⊗[R] (M →ₗ[R] Q) :=
  TensorProduct.congr (LinearEquiv.refl R P) (dualTensorHomEquiv R M Q)
h : Function.Surjective ↑↑e
⊢ comp ↑(lTensorHomEquivHomLTensor R M P Q) ↑e = comp (lTensorHomToHomLTensor R M P Q) ↑e
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : AddCommGroup P
inst✝⁹ : AddCommGroup Q
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : Module R Q
inst✝⁴ : Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Free R N
inst✝¹ : Module.Finite R N
inst✝ : Nontrivial R
e : P ⊗[R] Dual R M ⊗[R] Q ≃ₗ[R] P ⊗[R] (M →ₗ[R] Q) :=
  TensorProduct.congr (LinearEquiv.refl R P) (dualTensorHomEquiv R M Q)
h : Function.Surjective ↑↑e
⊢ ↑(lTensorHomEquivHomLTensor R M P Q) = lTensorHomToHomLTensor R M P Q
refine' (cancel_right h).1 _
case H.h.H.h.h.h
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : AddCommGroup P
inst✝⁹ : AddCommGroup Q
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : Module R Q
inst✝⁴ : Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Free R N
inst✝¹ : Module.Finite R N
inst✝ : Nontrivial R
e : P ⊗[R] Dual R M ⊗[R] Q ≃ₗ[R] P ⊗[R] (M →ₗ[R] Q) :=
  TensorProduct.congr (LinearEquiv.refl R P) (dualTensorHomEquiv R M Q)
h : Function.Surjective ↑↑e
f : P
q : Dual R M
m : Q
x✝ : M
⊢ ↑(↑(↑(compr₂ (TensorProduct.mk R (Dual R M) Q)
                  (↑(compr₂ (TensorProduct.mk R P (Dual R M ⊗[R] Q)) (comp ↑(lTensorHomEquivHomLTensor R M P Q) ↑e)) f))
              q)
          m)
      x✝ =
    ↑(↑(↑(compr₂ (TensorProduct.mk R (Dual R M) Q)
                  (↑(compr₂ (TensorProduct.mk R P (Dual R M ⊗[R] Q)) (comp (lTensorHomToHomLTensor R M P Q) ↑e)) f))
              q)
          m)
      x✝
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : AddCommGroup P
inst✝⁹ : AddCommGroup Q
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : Module R Q
inst✝⁴ : Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Free R N
inst✝¹ : Module.Finite R N
inst✝ : Nontrivial R
e : P ⊗[R] Dual R M ⊗[R] Q ≃ₗ[R] P ⊗[R] (M →ₗ[R] Q) :=
  TensorProduct.congr (LinearEquiv.refl R P) (dualTensorHomEquiv R M Q)
h : Function.Surjective ↑↑e
⊢ comp ↑(lTensorHomEquivHomLTensor R M P Q) ↑e = comp (lTensorHomToHomLTensor R M P Q) ↑e
ext (f q m)
case H.h.H.h.h.h
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : AddCommGroup P
inst✝⁹ : AddCommGroup Q
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : Module R Q
inst✝⁴ : Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Free R N
inst✝¹ : Module.Finite R N
inst✝ : Nontrivial R
e : P ⊗[R] Dual R M ⊗[R] Q ≃ₗ[R] P ⊗[R] (M →ₗ[R] Q) :=
  TensorProduct.congr (LinearEquiv.refl R P) (dualTensorHomEquiv R M Q)
h : Function.Surjective ↑↑e
f : P
q : Dual R M
m : Q
x✝ : M
⊢ ↑(↑(dualTensorHomEquivOfBasis (Free.chooseBasis R M))
          (↑(leftComm R P (Dual R M) Q)
            (f ⊗ₜ[R]
              ↑(LinearEquiv.symm (dualTensorHomEquivOfBasis (Free.chooseBasis R M)))
                (↑(dualTensorHomEquivOfBasis (Free.chooseBasis R M)) (q ⊗ₜ[R] m)))))
      x✝ =
    f ⊗ₜ[R] ↑(↑(dualTensorHomEquivOfBasis (Free.chooseBasis R M)) (q ⊗ₜ[R] m)) x✝
case H.h.H.h.h.h
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : AddCommGroup P
inst✝⁹ : AddCommGroup Q
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : Module R Q
inst✝⁴ : Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Free R N
inst✝¹ : Module.Finite R N
inst✝ : Nontrivial R
e : P ⊗[R] Dual R M ⊗[R] Q ≃ₗ[R] P ⊗[R] (M →ₗ[R] Q) :=
  TensorProduct.congr (LinearEquiv.refl R P) (dualTensorHomEquiv R M Q)
h : Function.Surjective ↑↑e
f : P
q : Dual R M
m : Q
x✝ : M
⊢ ↑(↑(↑(compr₂ (TensorProduct.mk R (Dual R M) Q)
                  (↑(compr₂ (TensorProduct.mk R P (Dual R M ⊗[R] Q)) (comp ↑(lTensorHomEquivHomLTensor R M P Q) ↑e)) f))
              q)
          m)
      x✝ =
    ↑(↑(↑(compr₂ (TensorProduct.mk R (Dual R M) Q)
                  (↑(compr₂ (TensorProduct.mk R P (Dual R M ⊗[R] Q)) (comp (lTensorHomToHomLTensor R M P Q) ↑e)) f))
              q)
          m)
      x✝
dsimp [lTensorHomEquivHomLTensor]
no goals
case H.h.H.h.h.h
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : AddCommGroup P
inst✝⁹ : AddCommGroup Q
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : Module R Q
inst✝⁴ : Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Free R N
inst✝¹ : Module.Finite R N
inst✝ : Nontrivial R
e : P ⊗[R] Dual R M ⊗[R] Q ≃ₗ[R] P ⊗[R] (M →ₗ[R] Q) :=
  TensorProduct.congr (LinearEquiv.refl R P) (dualTensorHomEquiv R M Q)
h : Function.Surjective ↑↑e
f : P
q : Dual R M
m : Q
x✝ : M
⊢ ↑(↑(dualTensorHomEquivOfBasis (Free.chooseBasis R M))
          (↑(leftComm R P (Dual R M) Q)
            (f ⊗ₜ[R]
              ↑(LinearEquiv.symm (dualTensorHomEquivOfBasis (Free.chooseBasis R M)))
                (↑(dualTensorHomEquivOfBasis (Free.chooseBasis R M)) (q ⊗ₜ[R] m)))))
      x✝ =
    f ⊗ₜ[R] ↑(↑(dualTensorHomEquivOfBasis (Free.chooseBasis R M)) (q ⊗ₜ[R] m)) x✝
simp only [lTensorHomEquivHomLTensor, dualTensorHomEquiv, compr₂_apply, mk_apply, coe_comp,
  LinearEquiv.coe_toLinearMap, Function.comp_apply, map_tmul, LinearEquiv.coe_coe,
  dualTensorHomEquivOfBasis_apply, LinearEquiv.trans_apply, congr_tmul, LinearEquiv.refl_apply,
  dualTensorHomEquivOfBasis_symm_cancel_left, leftComm_tmul, dualTensorHom_apply, tmul_smul]