𝕜 : Type u_3
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type ?u.147148
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h₀ : r ≠ 0
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo (-1) 1
hp : (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a ^ x
this :
  (∃ a, a ∈ Ioo (-1) 1 ∧ (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a ^ x) ↔
    ∃ a, a ∈ Ioo 0 1 ∧ ∃ C, C > 0 ∧ ∀ (n : ℕ), abs (‖p n‖ * ↑r ^ n) ≤ C * a ^ n
⊢ ↑r < radius p
𝕜 : Type u_3
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type ?u.147148
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h₀ : r ≠ 0
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo (-1) 1
hp : (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a ^ x
⊢ ↑r < radius p
have := ((TFAE_exists_lt_isLittleO_pow (fun n => ‖p n‖ * (r : ℝ) ^ n) 1).out 2 5)
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_3
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type ?u.147148
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h₀ : r ≠ 0
a✝ : ℝ
ha✝ : a✝ ∈ Ioo (-1) 1
hp✝ : (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a✝ ^ x
this :
  (∃ a, a ∈ Ioo (-1) 1 ∧ (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a ^ x) ↔
    ∃ a, a ∈ Ioo 0 1 ∧ ∃ C, C > 0 ∧ ∀ (n : ℕ), abs (‖p n‖ * ↑r ^ n) ≤ C * a ^ n
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hC : C > 0
hp : ∀ (n : ℕ), abs (‖p n‖ * ↑r ^ n) ≤ C * a ^ n
⊢ ↑r < radius p
𝕜 : Type u_3
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type ?u.147148
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h₀ : r ≠ 0
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo (-1) 1
hp : (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a ^ x
this :
  (∃ a, a ∈ Ioo (-1) 1 ∧ (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a ^ x) ↔
    ∃ a, a ∈ Ioo 0 1 ∧ ∃ C, C > 0 ∧ ∀ (n : ℕ), abs (‖p n‖ * ↑r ^ n) ≤ C * a ^ n
⊢ ↑r < radius p
rcases this.mp ⟨a, ha, hp⟩ with ⟨a, ha, C, hC, hp⟩
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_3
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type ?u.147148
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h₀ : 0 < ↑r
a✝ : ℝ
ha✝ : a✝ ∈ Ioo (-1) 1
hp✝ : (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a✝ ^ x
this :
  (∃ a, a ∈ Ioo (-1) 1 ∧ (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a ^ x) ↔
    ∃ a, a ∈ Ioo 0 1 ∧ ∃ C, C > 0 ∧ ∀ (n : ℕ), abs (‖p n‖ * ↑r ^ n) ≤ C * a ^ n
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hC : C > 0
hp : ∀ (n : ℕ), abs (‖p n‖ * ↑r ^ n) ≤ C * a ^ n
⊢ ↑r < radius p
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_3
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type ?u.147148
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h₀ : r ≠ 0
a✝ : ℝ
ha✝ : a✝ ∈ Ioo (-1) 1
hp✝ : (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a✝ ^ x
this :
  (∃ a, a ∈ Ioo (-1) 1 ∧ (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a ^ x) ↔
    ∃ a, a ∈ Ioo 0 1 ∧ ∃ C, C > 0 ∧ ∀ (n : ℕ), abs (‖p n‖ * ↑r ^ n) ≤ C * a ^ n
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hC : C > 0
hp : ∀ (n : ℕ), abs (‖p n‖ * ↑r ^ n) ≤ C * a ^ n
⊢ ↑r < radius p
rw [← pos_iff_ne_zero, ← NNReal.coe_pos] at h₀
case intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_3
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type ?u.147148
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h₀ : 0 < ↑r
a✝ : ℝ
ha✝ : a✝ ∈ Ioo (-1) 1
hp✝ : (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a✝ ^ x
this :
  (∃ a, a ∈ Ioo (-1) 1 ∧ (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a ^ x) ↔
    ∃ a, a ∈ Ioo 0 1 ∧ ∃ C, C > 0 ∧ ∀ (n : ℕ), abs (‖p n‖ * ↑r ^ n) ≤ C * a ^ n
C : ℝ
hC : C > 0
a : ℝ≥0
ha : ↑a ∈ Ioo 0 1
hp : ∀ (n : ℕ), abs (‖p n‖ * ↑r ^ n) ≤ C * ↑a ^ n
⊢ ↑r < radius p
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_3
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type ?u.147148
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h₀ : 0 < ↑r
a✝ : ℝ
ha✝ : a✝ ∈ Ioo (-1) 1
hp✝ : (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a✝ ^ x
this :
  (∃ a, a ∈ Ioo (-1) 1 ∧ (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a ^ x) ↔
    ∃ a, a ∈ Ioo 0 1 ∧ ∃ C, C > 0 ∧ ∀ (n : ℕ), abs (‖p n‖ * ↑r ^ n) ≤ C * a ^ n
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hC : C > 0
hp : ∀ (n : ℕ), abs (‖p n‖ * ↑r ^ n) ≤ C * a ^ n
⊢ ↑r < radius p
lift a to ℝ≥0 using ha.1.le
case intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_3
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type ?u.147148
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h₀ : 0 < ↑r
a✝ : ℝ
ha✝ : a✝ ∈ Ioo (-1) 1
hp✝ : (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a✝ ^ x
this✝ :
  (∃ a, a ∈ Ioo (-1) 1 ∧ (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a ^ x) ↔
    ∃ a, a ∈ Ioo 0 1 ∧ ∃ C, C > 0 ∧ ∀ (n : ℕ), abs (‖p n‖ * ↑r ^ n) ≤ C * a ^ n
C : ℝ
hC : C > 0
a : ℝ≥0
ha : ↑a ∈ Ioo 0 1
hp : ∀ (n : ℕ), abs (‖p n‖ * ↑r ^ n) ≤ C * ↑a ^ n
this : ↑r < ↑r / ↑a
⊢ ↑r < radius p
case intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_3
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type ?u.147148
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h₀ : 0 < ↑r
a✝ : ℝ
ha✝ : a✝ ∈ Ioo (-1) 1
hp✝ : (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a✝ ^ x
this :
  (∃ a, a ∈ Ioo (-1) 1 ∧ (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a ^ x) ↔
    ∃ a, a ∈ Ioo 0 1 ∧ ∃ C, C > 0 ∧ ∀ (n : ℕ), abs (‖p n‖ * ↑r ^ n) ≤ C * a ^ n
C : ℝ
hC : C > 0
a : ℝ≥0
ha : ↑a ∈ Ioo 0 1
hp : ∀ (n : ℕ), abs (‖p n‖ * ↑r ^ n) ≤ C * ↑a ^ n
⊢ ↑r < radius p
have : (r : ℝ) < r / a := by
  simpa only [div_one] using (div_lt_div_left h₀ zero_lt_one ha.1).2 ha.2
case intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_3
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type ?u.147148
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h₀ : 0 < ↑r
a✝ : ℝ
ha✝ : a✝ ∈ Ioo (-1) 1
hp✝ : (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a✝ ^ x
this✝ :
  (∃ a, a ∈ Ioo (-1) 1 ∧ (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a ^ x) ↔
    ∃ a, a ∈ Ioo 0 1 ∧ ∃ C, C > 0 ∧ ∀ (n : ℕ), abs (‖p n‖ * ↑r ^ n) ≤ C * a ^ n
C : ℝ
hC : C > 0
a : ℝ≥0
ha : ↑a ∈ Ioo 0 1
hp : ∀ (n : ℕ), abs (‖p n‖ * ↑r ^ n) ≤ C * ↑a ^ n
this : r < r / a
⊢ ↑r < radius p
case intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_3
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type ?u.147148
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h₀ : 0 < ↑r
a✝ : ℝ
ha✝ : a✝ ∈ Ioo (-1) 1
hp✝ : (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a✝ ^ x
this✝ :
  (∃ a, a ∈ Ioo (-1) 1 ∧ (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a ^ x) ↔
    ∃ a, a ∈ Ioo 0 1 ∧ ∃ C, C > 0 ∧ ∀ (n : ℕ), abs (‖p n‖ * ↑r ^ n) ≤ C * a ^ n
C : ℝ
hC : C > 0
a : ℝ≥0
ha : ↑a ∈ Ioo 0 1
hp : ∀ (n : ℕ), abs (‖p n‖ * ↑r ^ n) ≤ C * ↑a ^ n
this : ↑r < ↑r / ↑a
⊢ ↑r < radius p
norm_cast at this
case intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_3
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type ?u.147148
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h₀ : 0 < ↑r
a✝ : ℝ
ha✝ : a✝ ∈ Ioo (-1) 1
hp✝ : (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a✝ ^ x
this✝ :
  (∃ a, a ∈ Ioo (-1) 1 ∧ (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a ^ x) ↔
    ∃ a, a ∈ Ioo 0 1 ∧ ∃ C, C > 0 ∧ ∀ (n : ℕ), abs (‖p n‖ * ↑r ^ n) ≤ C * a ^ n
C : ℝ
hC : C > 0
a : ℝ≥0
ha : ↑a ∈ Ioo 0 1
hp : ∀ (n : ℕ), abs (‖p n‖ * ↑r ^ n) ≤ C * ↑a ^ n
this : ↑r < ↑(r / a)
⊢ ↑r < radius p
case intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_3
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type ?u.147148
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h₀ : 0 < ↑r
a✝ : ℝ
ha✝ : a✝ ∈ Ioo (-1) 1
hp✝ : (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a✝ ^ x
this✝ :
  (∃ a, a ∈ Ioo (-1) 1 ∧ (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a ^ x) ↔
    ∃ a, a ∈ Ioo 0 1 ∧ ∃ C, C > 0 ∧ ∀ (n : ℕ), abs (‖p n‖ * ↑r ^ n) ≤ C * a ^ n
C : ℝ
hC : C > 0
a : ℝ≥0
ha : ↑a ∈ Ioo 0 1
hp : ∀ (n : ℕ), abs (‖p n‖ * ↑r ^ n) ≤ C * ↑a ^ n
this : r < r / a
⊢ ↑r < radius p
rw [← ENNReal.coe_lt_coe] at this
case intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_3
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type ?u.147148
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h₀ : 0 < ↑r
a✝ : ℝ
ha✝ : a✝ ∈ Ioo (-1) 1
hp✝ : (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a✝ ^ x
this✝ :
  (∃ a, a ∈ Ioo (-1) 1 ∧ (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a ^ x) ↔
    ∃ a, a ∈ Ioo 0 1 ∧ ∃ C, C > 0 ∧ ∀ (n : ℕ), abs (‖p n‖ * ↑r ^ n) ≤ C * a ^ n
C : ℝ
hC : C > 0
a : ℝ≥0
ha : ↑a ∈ Ioo 0 1
hp : ∀ (n : ℕ), abs (‖p n‖ * ↑r ^ n) ≤ C * ↑a ^ n
this : ↑r < ↑(r / a)
n : ℕ
⊢ ‖p n‖ * ↑(r / a) ^ n ≤ C
case intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_3
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type ?u.147148
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h₀ : 0 < ↑r
a✝ : ℝ
ha✝ : a✝ ∈ Ioo (-1) 1
hp✝ : (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a✝ ^ x
this✝ :
  (∃ a, a ∈ Ioo (-1) 1 ∧ (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a ^ x) ↔
    ∃ a, a ∈ Ioo 0 1 ∧ ∃ C, C > 0 ∧ ∀ (n : ℕ), abs (‖p n‖ * ↑r ^ n) ≤ C * a ^ n
C : ℝ
hC : C > 0
a : ℝ≥0
ha : ↑a ∈ Ioo 0 1
hp : ∀ (n : ℕ), abs (‖p n‖ * ↑r ^ n) ≤ C * ↑a ^ n
this : ↑r < ↑(r / a)
⊢ ↑r < radius p
refine' this.trans_le (p.le_radius_of_bound C fun n => _)
case intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_3
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type ?u.147148
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h₀ : 0 < ↑r
a✝ : ℝ
ha✝ : a✝ ∈ Ioo (-1) 1
hp✝ : (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a✝ ^ x
this✝ :
  (∃ a, a ∈ Ioo (-1) 1 ∧ (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a ^ x) ↔
    ∃ a, a ∈ Ioo 0 1 ∧ ∃ C, C > 0 ∧ ∀ (n : ℕ), abs (‖p n‖ * ↑r ^ n) ≤ C * a ^ n
C : ℝ
hC : C > 0
a : ℝ≥0
ha : ↑a ∈ Ioo 0 1
hp : ∀ (n : ℕ), abs (‖p n‖ * ↑r ^ n) ≤ C * ↑a ^ n
this : ↑r < ↑(r / a)
n : ℕ
⊢ ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ C * ↑a ^ n
case intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_3
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type ?u.147148
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h₀ : 0 < ↑r
a✝ : ℝ
ha✝ : a✝ ∈ Ioo (-1) 1
hp✝ : (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a✝ ^ x
this✝ :
  (∃ a, a ∈ Ioo (-1) 1 ∧ (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a ^ x) ↔
    ∃ a, a ∈ Ioo 0 1 ∧ ∃ C, C > 0 ∧ ∀ (n : ℕ), abs (‖p n‖ * ↑r ^ n) ≤ C * a ^ n
C : ℝ
hC : C > 0
a : ℝ≥0
ha : ↑a ∈ Ioo 0 1
hp : ∀ (n : ℕ), abs (‖p n‖ * ↑r ^ n) ≤ C * ↑a ^ n
this : ↑r < ↑(r / a)
n : ℕ
⊢ ‖p n‖ * ↑(r / a) ^ n ≤ C
rw [NNReal.coe_div, div_pow, ← mul_div_assoc, div_le_iff (pow_pos ha.1 n)]
no goals
case intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_3
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type ?u.147148
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h₀ : 0 < ↑r
a✝ : ℝ
ha✝ : a✝ ∈ Ioo (-1) 1
hp✝ : (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a✝ ^ x
this✝ :
  (∃ a, a ∈ Ioo (-1) 1 ∧ (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a ^ x) ↔
    ∃ a, a ∈ Ioo 0 1 ∧ ∃ C, C > 0 ∧ ∀ (n : ℕ), abs (‖p n‖ * ↑r ^ n) ≤ C * a ^ n
C : ℝ
hC : C > 0
a : ℝ≥0
ha : ↑a ∈ Ioo 0 1
hp : ∀ (n : ℕ), abs (‖p n‖ * ↑r ^ n) ≤ C * ↑a ^ n
this : ↑r < ↑(r / a)
n : ℕ
⊢ ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ C * ↑a ^ n
exact (le_abs_self _).trans (hp n)
no goals
𝕜 : Type u_3
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type ?u.147148
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h₀ : 0 < ↑r
a✝ : ℝ
ha✝ : a✝ ∈ Ioo (-1) 1
hp✝ : (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a✝ ^ x
this :
  (∃ a, a ∈ Ioo (-1) 1 ∧ (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =O[atTop] fun x => a ^ x) ↔
    ∃ a, a ∈ Ioo 0 1 ∧ ∃ C, C > 0 ∧ ∀ (n : ℕ), abs (‖p n‖ * ↑r ^ n) ≤ C * a ^ n
C : ℝ
hC : C > 0
a : ℝ≥0
ha : ↑a ∈ Ioo 0 1
hp : ∀ (n : ℕ), abs (‖p n‖ * ↑r ^ n) ≤ C * ↑a ^ n
⊢ ↑r < ↑r / ↑a
simpa only [div_one] using (div_lt_div_left h₀ zero_lt_one ha.1).2 ha.2