case h0
𝕜 : Type u_2
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹² : NormedAddCommGroup D
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2234009
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup X
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_1
inst✝² : NormedRing R
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
⊢ ContDiffAt 𝕜 0 Ring.inverse ↑x

case hsuc
𝕜 : Type u_2
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹² : NormedAddCommGroup D
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2234009
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup X
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_1
inst✝² : NormedRing R
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
n : ℕ
IH : ContDiffAt 𝕜 (↑n) Ring.inverse ↑x
⊢ ContDiffAt 𝕜 (↑(Nat.succ n)) Ring.inverse ↑x

case htop
𝕜 : Type u_2
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹² : NormedAddCommGroup D
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2234009
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup X
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_1
inst✝² : NormedRing R
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
Itop : ∀ (n : ℕ), ContDiffAt 𝕜 (↑n) Ring.inverse ↑x
⊢ ContDiffAt 𝕜 ⊤ Ring.inverse ↑x
𝕜 : Type u_2
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹² : NormedAddCommGroup D
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2234009
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup X
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_1
inst✝² : NormedRing R
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
⊢ ContDiffAt 𝕜 n Ring.inverse ↑x
induction' n using ENat.nat_induction with n IH Itop
case h0
𝕜 : Type u_2
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹² : NormedAddCommGroup D
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2234009
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup X
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_1
inst✝² : NormedRing R
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
m : ℕ
hm : ↑m ≤ 0
⊢ ∃ u, u ∈ 𝓝[insert (↑x) univ] ↑x ∧ ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) Ring.inverse p u
case h0
𝕜 : Type u_2
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹² : NormedAddCommGroup D
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2234009
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup X
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_1
inst✝² : NormedRing R
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
⊢ ContDiffAt 𝕜 0 Ring.inverse ↑x
intro m hm
case h0.refine'_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹² : NormedAddCommGroup D
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2234009
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup X
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_1
inst✝² : NormedRing R
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
m : ℕ
hm : ↑m ≤ 0
⊢ {y | IsUnit y} ∈ 𝓝[insert (↑x) univ] ↑x

case h0.refine'_2
𝕜 : Type u_2
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹² : NormedAddCommGroup D
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2234009
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup X
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_1
inst✝² : NormedRing R
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
m : ℕ
hm : ↑m ≤ 0
⊢ ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) Ring.inverse p {y | IsUnit y}
case h0
𝕜 : Type u_2
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹² : NormedAddCommGroup D
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2234009
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup X
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_1
inst✝² : NormedRing R
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
m : ℕ
hm : ↑m ≤ 0
⊢ ∃ u, u ∈ 𝓝[insert (↑x) univ] ↑x ∧ ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) Ring.inverse p u
refine' ⟨{ y : R | IsUnit y }, _, _⟩
case h0.refine'_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹² : NormedAddCommGroup D
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2234009
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup X
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_1
inst✝² : NormedRing R
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
m : ℕ
hm : ↑m ≤ 0
⊢ {y | IsUnit y} ∈ 𝓝 ↑x
case h0.refine'_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹² : NormedAddCommGroup D
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2234009
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup X
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_1
inst✝² : NormedRing R
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
m : ℕ
hm : ↑m ≤ 0
⊢ {y | IsUnit y} ∈ 𝓝[insert (↑x) univ] ↑x
simp [nhdsWithin_univ]
no goals
case h0.refine'_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹² : NormedAddCommGroup D
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2234009
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup X
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_1
inst✝² : NormedRing R
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
m : ℕ
hm : ↑m ≤ 0
⊢ {y | IsUnit y} ∈ 𝓝 ↑x
exact x.nhds
case h0.refine'_2
𝕜 : Type u_2
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹² : NormedAddCommGroup D
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2234009
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup X
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_1
inst✝² : NormedRing R
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
m : ℕ
hm : ↑m ≤ 0
⊢ HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) Ring.inverse (ftaylorSeriesWithin 𝕜 Ring.inverse univ) {y | IsUnit y}
case h0.refine'_2
𝕜 : Type u_2
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹² : NormedAddCommGroup D
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2234009
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup X
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_1
inst✝² : NormedRing R
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
m : ℕ
hm : ↑m ≤ 0
⊢ ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) Ring.inverse p {y | IsUnit y}
use ftaylorSeriesWithin 𝕜 inverse univ
case h0.refine'_2
𝕜 : Type u_2
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹² : NormedAddCommGroup D
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2234009
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup X
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_1
inst✝² : NormedRing R
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
m : ℕ
hm : ↑m ≤ 0
⊢ ContinuousOn Ring.inverse {y | IsUnit y} ∧
    ∀ (x : R),
      x ∈ {y | IsUnit y} →
        ContinuousMultilinearMap.uncurry0 (ftaylorSeriesWithin 𝕜 Ring.inverse univ x 0) = Ring.inverse x
case h0.refine'_2
𝕜 : Type u_2
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹² : NormedAddCommGroup D
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2234009
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup X
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_1
inst✝² : NormedRing R
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
m : ℕ
hm : ↑m ≤ 0
⊢ HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) Ring.inverse (ftaylorSeriesWithin 𝕜 Ring.inverse univ) {y | IsUnit y}
rw [le_antisymm hm bot_le, hasFTaylorSeriesUpToOn_zero_iff]
case h0.refine'_2.left
𝕜 : Type u_2
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹² : NormedAddCommGroup D
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2234009
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup X
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_1
inst✝² : NormedRing R
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
m : ℕ
hm : ↑m ≤ 0
⊢ ContinuousOn Ring.inverse {y | IsUnit y}

case h0.refine'_2.right
𝕜 : Type u_2
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹² : NormedAddCommGroup D
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2234009
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup X
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_1
inst✝² : NormedRing R
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
m : ℕ
hm : ↑m ≤ 0
⊢ ∀ (x : R),
    x ∈ {y | IsUnit y} →
      ContinuousMultilinearMap.uncurry0 (ftaylorSeriesWithin 𝕜 Ring.inverse univ x 0) = Ring.inverse x
case h0.refine'_2
𝕜 : Type u_2
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹² : NormedAddCommGroup D
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2234009
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup X
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_1
inst✝² : NormedRing R
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
m : ℕ
hm : ↑m ≤ 0
⊢ ContinuousOn Ring.inverse {y | IsUnit y} ∧
    ∀ (x : R),
      x ∈ {y | IsUnit y} →
        ContinuousMultilinearMap.uncurry0 (ftaylorSeriesWithin 𝕜 Ring.inverse univ x 0) = Ring.inverse x
constructor
case h0.refine'_2.left.intro
𝕜 : Type u_2
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹² : NormedAddCommGroup D
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2234009
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup X
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_1
inst✝² : NormedRing R
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
m : ℕ
hm : ↑m ≤ 0
x' : Rˣ
⊢ ContinuousWithinAt Ring.inverse {y | IsUnit y} ↑x'
case h0.refine'_2.left
𝕜 : Type u_2
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹² : NormedAddCommGroup D
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2234009
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup X
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_1
inst✝² : NormedRing R
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
m : ℕ
hm : ↑m ≤ 0
⊢ ContinuousOn Ring.inverse {y | IsUnit y}
rintro _ ⟨x', rfl⟩
no goals
case h0.refine'_2.left.intro
𝕜 : Type u_2
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹² : NormedAddCommGroup D
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2234009
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup X
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_1
inst✝² : NormedRing R
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
m : ℕ
hm : ↑m ≤ 0
x' : Rˣ
⊢ ContinuousWithinAt Ring.inverse {y | IsUnit y} ↑x'
exact (inverse_continuousAt x').continuousWithinAt
no goals
case h0.refine'_2.right
𝕜 : Type u_2
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹² : NormedAddCommGroup D
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2234009
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup X
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_1
inst✝² : NormedRing R
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
m : ℕ
hm : ↑m ≤ 0
⊢ ∀ (x : R),
    x ∈ {y | IsUnit y} →
      ContinuousMultilinearMap.uncurry0 (ftaylorSeriesWithin 𝕜 Ring.inverse univ x 0) = Ring.inverse x
simp [ftaylorSeriesWithin]
case hsuc
𝕜 : Type u_2
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹² : NormedAddCommGroup D
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2234009
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup X
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_1
inst✝² : NormedRing R
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
n : ℕ
IH : ContDiffAt 𝕜 (↑n) Ring.inverse ↑x
⊢ ∃ f', (∃ u, u ∈ 𝓝 ↑x ∧ ∀ (x : R), x ∈ u → HasFDerivAt Ring.inverse (f' x) x) ∧ ContDiffAt 𝕜 (↑n) f' ↑x
case hsuc
𝕜 : Type u_2
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹² : NormedAddCommGroup D
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2234009
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup X
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_1
inst✝² : NormedRing R
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
n : ℕ
IH : ContDiffAt 𝕜 (↑n) Ring.inverse ↑x
⊢ ContDiffAt 𝕜 (↑(Nat.succ n)) Ring.inverse ↑x
apply contDiffAt_succ_iff_hasFDerivAt.mpr
case hsuc.refine'_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹² : NormedAddCommGroup D
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2234009
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup X
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_1
inst✝² : NormedRing R
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
n : ℕ
IH : ContDiffAt 𝕜 (↑n) Ring.inverse ↑x
⊢ ∃ u,
    u ∈ 𝓝 ↑x ∧
      ∀ (x : R),
        x ∈ u → HasFDerivAt Ring.inverse ((fun x => -↑(↑(mulLeftRight 𝕜 R) (Ring.inverse x)) (Ring.inverse x)) x) x

case hsuc.refine'_2
𝕜 : Type u_2
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹² : NormedAddCommGroup D
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2234009
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup X
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_1
inst✝² : NormedRing R
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
n : ℕ
IH : ContDiffAt 𝕜 (↑n) Ring.inverse ↑x
⊢ ContDiffAt 𝕜 (↑n) (fun x => -↑(↑(mulLeftRight 𝕜 R) (Ring.inverse x)) (Ring.inverse x)) ↑x
case hsuc
𝕜 : Type u_2
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹² : NormedAddCommGroup D
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2234009
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup X
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_1
inst✝² : NormedRing R
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
n : ℕ
IH : ContDiffAt 𝕜 (↑n) Ring.inverse ↑x
⊢ ∃ f', (∃ u, u ∈ 𝓝 ↑x ∧ ∀ (x : R), x ∈ u → HasFDerivAt Ring.inverse (f' x) x) ∧ ContDiffAt 𝕜 (↑n) f' ↑x
refine' ⟨fun x : R => -mulLeftRight 𝕜 R (inverse x) (inverse x), _, _⟩
case hsuc.refine'_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹² : NormedAddCommGroup D
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2234009
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup X
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_1
inst✝² : NormedRing R
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
n : ℕ
IH : ContDiffAt 𝕜 (↑n) Ring.inverse ↑x
⊢ ∀ (x : R),
    x ∈ {y | IsUnit y} →
      HasFDerivAt Ring.inverse ((fun x => -↑(↑(mulLeftRight 𝕜 R) (Ring.inverse x)) (Ring.inverse x)) x) x
case hsuc.refine'_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹² : NormedAddCommGroup D
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2234009
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup X
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_1
inst✝² : NormedRing R
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
n : ℕ
IH : ContDiffAt 𝕜 (↑n) Ring.inverse ↑x
⊢ ∃ u,
    u ∈ 𝓝 ↑x ∧
      ∀ (x : R),
        x ∈ u → HasFDerivAt Ring.inverse ((fun x => -↑(↑(mulLeftRight 𝕜 R) (Ring.inverse x)) (Ring.inverse x)) x) x
refine' ⟨{ y : R | IsUnit y }, x.nhds, _⟩
case hsuc.refine'_1.intro
𝕜 : Type u_2
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹² : NormedAddCommGroup D
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2234009
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup X
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_1
inst✝² : NormedRing R
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
n : ℕ
IH : ContDiffAt 𝕜 (↑n) Ring.inverse ↑x
y : Rˣ
⊢ HasFDerivAt Ring.inverse ((fun x => -↑(↑(mulLeftRight 𝕜 R) (Ring.inverse x)) (Ring.inverse x)) ↑y) ↑y
case hsuc.refine'_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹² : NormedAddCommGroup D
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2234009
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup X
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_1
inst✝² : NormedRing R
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
n : ℕ
IH : ContDiffAt 𝕜 (↑n) Ring.inverse ↑x
⊢ ∀ (x : R),
    x ∈ {y | IsUnit y} →
      HasFDerivAt Ring.inverse ((fun x => -↑(↑(mulLeftRight 𝕜 R) (Ring.inverse x)) (Ring.inverse x)) x) x
rintro _ ⟨y, rfl⟩
case hsuc.refine'_1.intro
𝕜 : Type u_2
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹² : NormedAddCommGroup D
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2234009
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup X
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_1
inst✝² : NormedRing R
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
n : ℕ
IH : ContDiffAt 𝕜 (↑n) Ring.inverse ↑x
y : Rˣ
⊢ HasFDerivAt Ring.inverse (-↑(↑(mulLeftRight 𝕜 R) ↑y⁻¹) ↑y⁻¹) ↑y
case hsuc.refine'_1.intro
𝕜 : Type u_2
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹² : NormedAddCommGroup D
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2234009
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup X
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_1
inst✝² : NormedRing R
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
n : ℕ
IH : ContDiffAt 𝕜 (↑n) Ring.inverse ↑x
y : Rˣ
⊢ HasFDerivAt Ring.inverse ((fun x => -↑(↑(mulLeftRight 𝕜 R) (Ring.inverse x)) (Ring.inverse x)) ↑y) ↑y
simp_rw [inverse_unit]
no goals
case hsuc.refine'_1.intro
𝕜 : Type u_2
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹² : NormedAddCommGroup D
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2234009
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup X
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_1
inst✝² : NormedRing R
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
n : ℕ
IH : ContDiffAt 𝕜 (↑n) Ring.inverse ↑x
y : Rˣ
⊢ HasFDerivAt Ring.inverse (-↑(↑(mulLeftRight 𝕜 R) ↑y⁻¹) ↑y⁻¹) ↑y
exact hasFDerivAt_ring_inverse y
no goals
case hsuc.refine'_2
𝕜 : Type u_2
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹² : NormedAddCommGroup D
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2234009
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup X
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_1
inst✝² : NormedRing R
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
n : ℕ
IH : ContDiffAt 𝕜 (↑n) Ring.inverse ↑x
⊢ ContDiffAt 𝕜 (↑n) (fun x => -↑(↑(mulLeftRight 𝕜 R) (Ring.inverse x)) (Ring.inverse x)) ↑x
convert (mulLeftRight_isBoundedBilinear 𝕜 R).contDiff.neg.comp_contDiffAt (x : R)
  (IH.prod IH)
no goals
case htop
𝕜 : Type u_2
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹² : NormedAddCommGroup D
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2234009
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup X
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_1
inst✝² : NormedRing R
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
Itop : ∀ (n : ℕ), ContDiffAt 𝕜 (↑n) Ring.inverse ↑x
⊢ ContDiffAt 𝕜 ⊤ Ring.inverse ↑x
exact contDiffAt_top.mpr Itop