case zero
α : Type ?u.64314
M : Type u
N : Type v
G : Type w
H : Type x
A : Type y
B : Type z
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝⁶ : Monoid M
inst✝⁵ : Monoid N
inst✝⁴ : AddMonoid A
inst✝³ : AddMonoid B
inst✝² : MulAction M N
inst✝¹ : IsScalarTower M N N
inst✝ : SMulCommClass M N N
k : M
x : N
⊢ (k • x) ^ Nat.zero = k ^ Nat.zero • x ^ Nat.zero

case succ
α : Type ?u.64314
M : Type u
N : Type v
G : Type w
H : Type x
A : Type y
B : Type z
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝⁶ : Monoid M
inst✝⁵ : Monoid N
inst✝⁴ : AddMonoid A
inst✝³ : AddMonoid B
inst✝² : MulAction M N
inst✝¹ : IsScalarTower M N N
inst✝ : SMulCommClass M N N
k : M
x : N
p : ℕ
IH : (k • x) ^ p = k ^ p • x ^ p
⊢ (k • x) ^ Nat.succ p = k ^ Nat.succ p • x ^ Nat.succ p
α : Type ?u.64314
M : Type u
N : Type v
G : Type w
H : Type x
A : Type y
B : Type z
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝⁶ : Monoid M
inst✝⁵ : Monoid N
inst✝⁴ : AddMonoid A
inst✝³ : AddMonoid B
inst✝² : MulAction M N
inst✝¹ : IsScalarTower M N N
inst✝ : SMulCommClass M N N
k : M
x : N
p : ℕ
⊢ (k • x) ^ p = k ^ p • x ^ p
induction' p with p IH
no goals
case zero
α : Type ?u.64314
M : Type u
N : Type v
G : Type w
H : Type x
A : Type y
B : Type z
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝⁶ : Monoid M
inst✝⁵ : Monoid N
inst✝⁴ : AddMonoid A
inst✝³ : AddMonoid B
inst✝² : MulAction M N
inst✝¹ : IsScalarTower M N N
inst✝ : SMulCommClass M N N
k : M
x : N
⊢ (k • x) ^ Nat.zero = k ^ Nat.zero • x ^ Nat.zero
simp
no goals
case succ
α : Type ?u.64314
M : Type u
N : Type v
G : Type w
H : Type x
A : Type y
B : Type z
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝⁶ : Monoid M
inst✝⁵ : Monoid N
inst✝⁴ : AddMonoid A
inst✝³ : AddMonoid B
inst✝² : MulAction M N
inst✝¹ : IsScalarTower M N N
inst✝ : SMulCommClass M N N
k : M
x : N
p : ℕ
IH : (k • x) ^ p = k ^ p • x ^ p
⊢ (k • x) ^ Nat.succ p = k ^ Nat.succ p • x ^ Nat.succ p
rw [pow_succ', IH, smul_mul_smul, ← pow_succ', ← pow_succ']