case zero
α : Type u_1
β : Type ?u.520629
E : Type ?u.520632
F : Type ?u.520635
G : Type ?u.520638
E' : Type ?u.520641
F' : Type ?u.520644
G' : Type ?u.520647
E'' : Type ?u.520650
F'' : Type ?u.520653
G'' : Type ?u.520656
R : Type u_2
R' : Type ?u.520662
𝕜 : Type u_3
𝕜' : Type ?u.520668
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : α → R
g : α → 𝕜
h : f =o[l] g
hn : 0 < Nat.zero
⊢ (fun x => f x ^ Nat.zero) =o[l] fun x => g x ^ Nat.zero

case succ
α : Type u_1
β : Type ?u.520629
E : Type ?u.520632
F : Type ?u.520635
G : Type ?u.520638
E' : Type ?u.520641
F' : Type ?u.520644
G' : Type ?u.520647
E'' : Type ?u.520650
F'' : Type ?u.520653
G'' : Type ?u.520656
R : Type u_2
R' : Type ?u.520662
𝕜 : Type u_3
𝕜' : Type ?u.520668
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : α → R
g : α → 𝕜
h : f =o[l] g
n : ℕ
hn : 0 < Nat.succ n
⊢ (fun x => f x ^ Nat.succ n) =o[l] fun x => g x ^ Nat.succ n
α : Type u_1
β : Type ?u.520629
E : Type ?u.520632
F : Type ?u.520635
G : Type ?u.520638
E' : Type ?u.520641
F' : Type ?u.520644
G' : Type ?u.520647
E'' : Type ?u.520650
F'' : Type ?u.520653
G'' : Type ?u.520656
R : Type u_2
R' : Type ?u.520662
𝕜 : Type u_3
𝕜' : Type ?u.520668
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : α → R
g : α → 𝕜
h : f =o[l] g
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ (fun x => f x ^ n) =o[l] fun x => g x ^ n
cases' n with n
case succ
α : Type u_1
β : Type ?u.520629
E : Type ?u.520632
F : Type ?u.520635
G : Type ?u.520638
E' : Type ?u.520641
F' : Type ?u.520644
G' : Type ?u.520647
E'' : Type ?u.520650
F'' : Type ?u.520653
G'' : Type ?u.520656
R : Type u_2
R' : Type ?u.520662
𝕜 : Type u_3
𝕜' : Type ?u.520668
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : α → R
g : α → 𝕜
h : f =o[l] g
n : ℕ
hn : 0 < Nat.succ n
⊢ (fun x => f x ^ Nat.succ n) =o[l] fun x => g x ^ Nat.succ n
case zero
α : Type u_1
β : Type ?u.520629
E : Type ?u.520632
F : Type ?u.520635
G : Type ?u.520638
E' : Type ?u.520641
F' : Type ?u.520644
G' : Type ?u.520647
E'' : Type ?u.520650
F'' : Type ?u.520653
G'' : Type ?u.520656
R : Type u_2
R' : Type ?u.520662
𝕜 : Type u_3
𝕜' : Type ?u.520668
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : α → R
g : α → 𝕜
h : f =o[l] g
hn : 0 < Nat.zero
⊢ (fun x => f x ^ Nat.zero) =o[l] fun x => g x ^ Nat.zero

case succ
α : Type u_1
β : Type ?u.520629
E : Type ?u.520632
F : Type ?u.520635
G : Type ?u.520638
E' : Type ?u.520641
F' : Type ?u.520644
G' : Type ?u.520647
E'' : Type ?u.520650
F'' : Type ?u.520653
G'' : Type ?u.520656
R : Type u_2
R' : Type ?u.520662
𝕜 : Type u_3
𝕜' : Type ?u.520668
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : α → R
g : α → 𝕜
h : f =o[l] g
n : ℕ
hn : 0 < Nat.succ n
⊢ (fun x => f x ^ Nat.succ n) =o[l] fun x => g x ^ Nat.succ n
exact hn.false.elim
case succ
α : Type u_1
β : Type ?u.520629
E : Type ?u.520632
F : Type ?u.520635
G : Type ?u.520638
E' : Type ?u.520641
F' : Type ?u.520644
G' : Type ?u.520647
E'' : Type ?u.520650
F'' : Type ?u.520653
G'' : Type ?u.520656
R : Type u_2
R' : Type ?u.520662
𝕜 : Type u_3
𝕜' : Type ?u.520668
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : α → R
g : α → 𝕜
h : f =o[l] g
n : ℕ
⊢ (fun x => f x ^ Nat.succ n) =o[l] fun x => g x ^ Nat.succ n
case succ
α : Type u_1
β : Type ?u.520629
E : Type ?u.520632
F : Type ?u.520635
G : Type ?u.520638
E' : Type ?u.520641
F' : Type ?u.520644
G' : Type ?u.520647
E'' : Type ?u.520650
F'' : Type ?u.520653
G'' : Type ?u.520656
R : Type u_2
R' : Type ?u.520662
𝕜 : Type u_3
𝕜' : Type ?u.520668
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : α → R
g : α → 𝕜
h : f =o[l] g
n : ℕ
hn : 0 < Nat.succ n
⊢ (fun x => f x ^ Nat.succ n) =o[l] fun x => g x ^ Nat.succ n
clear hn
case succ.zero
α : Type u_1
β : Type ?u.520629
E : Type ?u.520632
F : Type ?u.520635
G : Type ?u.520638
E' : Type ?u.520641
F' : Type ?u.520644
G' : Type ?u.520647
E'' : Type ?u.520650
F'' : Type ?u.520653
G'' : Type ?u.520656
R : Type u_2
R' : Type ?u.520662
𝕜 : Type u_3
𝕜' : Type ?u.520668
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : α → R
g : α → 𝕜
h : f =o[l] g
⊢ (fun x => f x ^ Nat.succ Nat.zero) =o[l] fun x => g x ^ Nat.succ Nat.zero

case succ.succ
α : Type u_1
β : Type ?u.520629
E : Type ?u.520632
F : Type ?u.520635
G : Type ?u.520638
E' : Type ?u.520641
F' : Type ?u.520644
G' : Type ?u.520647
E'' : Type ?u.520650
F'' : Type ?u.520653
G'' : Type ?u.520656
R : Type u_2
R' : Type ?u.520662
𝕜 : Type u_3
𝕜' : Type ?u.520668
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : α → R
g : α → 𝕜
h : f =o[l] g
n : ℕ
ihn : (fun x => f x ^ Nat.succ n) =o[l] fun x => g x ^ Nat.succ n
⊢ (fun x => f x ^ Nat.succ (Nat.succ n)) =o[l] fun x => g x ^ Nat.succ (Nat.succ n)
case succ
α : Type u_1
β : Type ?u.520629
E : Type ?u.520632
F : Type ?u.520635
G : Type ?u.520638
E' : Type ?u.520641
F' : Type ?u.520644
G' : Type ?u.520647
E'' : Type ?u.520650
F'' : Type ?u.520653
G'' : Type ?u.520656
R : Type u_2
R' : Type ?u.520662
𝕜 : Type u_3
𝕜' : Type ?u.520668
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : α → R
g : α → 𝕜
h : f =o[l] g
n : ℕ
⊢ (fun x => f x ^ Nat.succ n) =o[l] fun x => g x ^ Nat.succ n
induction' n with n ihn
no goals
case succ.zero
α : Type u_1
β : Type ?u.520629
E : Type ?u.520632
F : Type ?u.520635
G : Type ?u.520638
E' : Type ?u.520641
F' : Type ?u.520644
G' : Type ?u.520647
E'' : Type ?u.520650
F'' : Type ?u.520653
G'' : Type ?u.520656
R : Type u_2
R' : Type ?u.520662
𝕜 : Type u_3
𝕜' : Type ?u.520668
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : α → R
g : α → 𝕜
h : f =o[l] g
⊢ (fun x => f x ^ Nat.succ Nat.zero) =o[l] fun x => g x ^ Nat.succ Nat.zero
simpa only [Nat.zero_eq, ←Nat.one_eq_succ_zero, pow_one]
no goals
case succ.succ
α : Type u_1
β : Type ?u.520629
E : Type ?u.520632
F : Type ?u.520635
G : Type ?u.520638
E' : Type ?u.520641
F' : Type ?u.520644
G' : Type ?u.520647
E'' : Type ?u.520650
F'' : Type ?u.520653
G'' : Type ?u.520656
R : Type u_2
R' : Type ?u.520662
𝕜 : Type u_3
𝕜' : Type ?u.520668
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : α → R
g : α → 𝕜
h : f =o[l] g
n : ℕ
ihn : (fun x => f x ^ Nat.succ n) =o[l] fun x => g x ^ Nat.succ n
⊢ (fun x => f x ^ Nat.succ (Nat.succ n)) =o[l] fun x => g x ^ Nat.succ (Nat.succ n)
convert h.mul ihn <;> simp [pow_succ]