case intro.intro
α : Type ?u.641605
β : Type ?u.641608
E : Type ?u.641611
F : Type ?u.641614
G : Type ?u.641617
E' : Type ?u.641620
F' : Type ?u.641623
G' : Type ?u.641626
E'' : Type ?u.641629
F'' : Type ?u.641632
G'' : Type ?u.641635
R : Type ?u.641638
R' : Type ?u.641641
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type ?u.641647
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
m p : ℕ
hp0 : 0 < p
h : m < m + p
⊢ (fun x => x ^ (m + p)) =o[𝓝 0] fun x => x ^ m
α : Type ?u.641605
β : Type ?u.641608
E : Type ?u.641611
F : Type ?u.641614
G : Type ?u.641617
E' : Type ?u.641620
F' : Type ?u.641623
G' : Type ?u.641626
E'' : Type ?u.641629
F'' : Type ?u.641632
G'' : Type ?u.641635
R : Type ?u.641638
R' : Type ?u.641641
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type ?u.641647
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
m n : ℕ
h : m < n
⊢ (fun x => x ^ n) =o[𝓝 0] fun x => x ^ m
rcases lt_iff_exists_add.1 h with ⟨p, hp0 : 0 < p, rfl⟩
case intro.intro
α : Type ?u.641605
β : Type ?u.641608
E : Type ?u.641611
F : Type ?u.641614
G : Type ?u.641617
E' : Type ?u.641620
F' : Type ?u.641623
G' : Type ?u.641626
E'' : Type ?u.641629
F'' : Type ?u.641632
G'' : Type ?u.641635
R : Type ?u.641638
R' : Type ?u.641641
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type ?u.641647
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
m p : ℕ
hp0 : 0 < p
h : m < m + p
⊢ (fun x => x ^ m * x ^ p) =o[𝓝 0] fun x => x ^ m * 1 ^ p
case intro.intro
α : Type ?u.641605
β : Type ?u.641608
E : Type ?u.641611
F : Type ?u.641614
G : Type ?u.641617
E' : Type ?u.641620
F' : Type ?u.641623
G' : Type ?u.641626
E'' : Type ?u.641629
F'' : Type ?u.641632
G'' : Type ?u.641635
R : Type ?u.641638
R' : Type ?u.641641
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type ?u.641647
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
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inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
m p : ℕ
hp0 : 0 < p
h : m < m + p
⊢ (fun x => x ^ (m + p)) =o[𝓝 0] fun x => x ^ m
suffices (fun x : 𝕜 => x ^ m * x ^ p) =o[𝓝 0] fun x => x ^ m * 1 ^ p by
  simpa only [pow_add, one_pow, mul_one]
no goals
case intro.intro
α : Type ?u.641605
β : Type ?u.641608
E : Type ?u.641611
F : Type ?u.641614
G : Type ?u.641617
E' : Type ?u.641620
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E'' : Type ?u.641629
F'' : Type ?u.641632
G'' : Type ?u.641635
R : Type ?u.641638
R' : Type ?u.641641
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type ?u.641647
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
m p : ℕ
hp0 : 0 < p
h : m < m + p
⊢ (fun x => x ^ m * x ^ p) =o[𝓝 0] fun x => x ^ m * 1 ^ p
exact IsBigO.mul_isLittleO (isBigO_refl _ _)
  (IsLittleO.pow ((isLittleO_one_iff _).2 tendsto_id) hp0)
no goals
α : Type ?u.641605
β : Type ?u.641608
E : Type ?u.641611
F : Type ?u.641614
G : Type ?u.641617
E' : Type ?u.641620
F' : Type ?u.641623
G' : Type ?u.641626
E'' : Type ?u.641629
F'' : Type ?u.641632
G'' : Type ?u.641635
R : Type ?u.641638
R' : Type ?u.641641
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type ?u.641647
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
m p : ℕ
hp0 : 0 < p
h : m < m + p
this : (fun x => x ^ m * x ^ p) =o[𝓝 0] fun x => x ^ m * 1 ^ p
⊢ (fun x => x ^ (m + p)) =o[𝓝 0] fun x => x ^ m
simpa only [pow_add, one_pow, mul_one]