α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
⊢ (∀ (x : α), ∃ n, x < ↑n) → ∀ (x : α), ∃ n, x < ↑n
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
⊢ (∀ (x : α), ∃ n, x < ↑n) → Archimedean α
rw [archimedean_iff_nat_lt]
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
h : ∀ (x : α), ∃ n, x < ↑n
x : α
⊢ ∃ n, x < ↑n
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
⊢ (∀ (x : α), ∃ n, x < ↑n) → ∀ (x : α), ∃ n, x < ↑n
intro h x
case intro
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
h✝ : ∀ (x : α), ∃ n, x < ↑n
x : α
n : ℤ
h : x < ↑n
⊢ ∃ n, x < ↑n
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
h : ∀ (x : α), ∃ n, x < ↑n
x : α
⊢ ∃ n, x < ↑n
obtain ⟨n, h⟩ := h x
case intro
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
h✝ : ∀ (x : α), ∃ n, x < ↑n
x : α
n : ℤ
h : x < ↑n
⊢ ↑n ≤ ↑(toNat n)
case intro
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
h✝ : ∀ (x : α), ∃ n, x < ↑n
x : α
n : ℤ
h : x < ↑n
⊢ ∃ n, x < ↑n
refine' ⟨n.toNat, h.trans_le _⟩
no goals
case intro
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
h✝ : ∀ (x : α), ∃ n, x < ↑n
x : α
n : ℤ
h : x < ↑n
⊢ ↑n ≤ ↑(toNat n)
exact_mod_cast Int.self_le_toNat _