case zero
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type ?u.246294
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 F
r : ℝ≥0∞
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
inst✝ : CompleteSpace F
h : AnalyticOn 𝕜 f s
⊢ AnalyticOn 𝕜 ((_root_.deriv^[Nat.zero]) f) s

case succ
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type ?u.246294
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 F
r : ℝ≥0∞
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
inst✝ : CompleteSpace F
h : AnalyticOn 𝕜 f s
n : ℕ
IH : AnalyticOn 𝕜 ((_root_.deriv^[n]) f) s
⊢ AnalyticOn 𝕜 ((_root_.deriv^[Nat.succ n]) f) s
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type ?u.246294
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 F
r : ℝ≥0∞
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
inst✝ : CompleteSpace F
h : AnalyticOn 𝕜 f s
n : ℕ
⊢ AnalyticOn 𝕜 ((_root_.deriv^[n]) f) s
induction' n with n IH
no goals
case zero
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type ?u.246294
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 F
r : ℝ≥0∞
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
inst✝ : CompleteSpace F
h : AnalyticOn 𝕜 f s
⊢ AnalyticOn 𝕜 ((_root_.deriv^[Nat.zero]) f) s
exact h
no goals
case succ
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type ?u.246294
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 F
r : ℝ≥0∞
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
inst✝ : CompleteSpace F
h : AnalyticOn 𝕜 f s
n : ℕ
IH : AnalyticOn 𝕜 ((_root_.deriv^[n]) f) s
⊢ AnalyticOn 𝕜 ((_root_.deriv^[Nat.succ n]) f) s
simpa only [Function.iterate_succ', Function.comp_apply] using IH.deriv