𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
u : 𝕜
hu : u ∈ s ∩ Set.Ici y
v : 𝕜
hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y
huv : u < v
⊢ f u < f v
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
⊢ StrictMonoOn f (s ∩ Set.Ici y)
intro u hu v hv huv
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
u : 𝕜
hu : u ∈ s ∩ Set.Ici y
v : 𝕜
hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y
huv : u < v
step1 : ∀ {z : 𝕜}, z ∈ s ∩ Set.Ioi y → f y < f z
⊢ f u < f v
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
u : 𝕜
hu : u ∈ s ∩ Set.Ici y
v : 𝕜
hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y
huv : u < v
⊢ f u < f v
have step1 : ∀ {z : 𝕜}, z ∈ s ∩ Set.Ioi y → f y < f z := by
  intros z hz
  refine hf.lt_right_of_left_lt hx hz.1 ?_ hxy'
  rw [openSegment_eq_Ioo (hxy.trans hz.2)]
  exact ⟨hxy, hz.2⟩
case inl
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
v : 𝕜
hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y
step1 : ∀ {z : 𝕜}, z ∈ s ∩ Set.Ioi y → f y < f z
hu : y ∈ s ∩ Set.Ici y
huv : y < v
⊢ f y < f v

case inr
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
u : 𝕜
hu : u ∈ s ∩ Set.Ici y
v : 𝕜
hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y
huv : u < v
step1 : ∀ {z : 𝕜}, z ∈ s ∩ Set.Ioi y → f y < f z
hu2 : y < u
⊢ f u < f v
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
u : 𝕜
hu : u ∈ s ∩ Set.Ici y
v : 𝕜
hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y
huv : u < v
step1 : ∀ {z : 𝕜}, z ∈ s ∩ Set.Ioi y → f y < f z
⊢ f u < f v
rcases eq_or_lt_of_le hu.2 with (rfl | hu2)
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
u : 𝕜
hu : u ∈ s ∩ Set.Ici y
v : 𝕜
hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y
huv : u < v
z : 𝕜
hz : z ∈ s ∩ Set.Ioi y
⊢ f y < f z
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
u : 𝕜
hu : u ∈ s ∩ Set.Ici y
v : 𝕜
hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y
huv : u < v
⊢ ∀ {z : 𝕜}, z ∈ s ∩ Set.Ioi y → f y < f z
intros z hz
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
u : 𝕜
hu : u ∈ s ∩ Set.Ici y
v : 𝕜
hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y
huv : u < v
z : 𝕜
hz : z ∈ s ∩ Set.Ioi y
⊢ y ∈ openSegment 𝕜 x z
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
u : 𝕜
hu : u ∈ s ∩ Set.Ici y
v : 𝕜
hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y
huv : u < v
z : 𝕜
hz : z ∈ s ∩ Set.Ioi y
⊢ f y < f z
refine hf.lt_right_of_left_lt hx hz.1 ?_ hxy'
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
u : 𝕜
hu : u ∈ s ∩ Set.Ici y
v : 𝕜
hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y
huv : u < v
z : 𝕜
hz : z ∈ s ∩ Set.Ioi y
⊢ y ∈ Set.Ioo x z
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
u : 𝕜
hu : u ∈ s ∩ Set.Ici y
v : 𝕜
hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y
huv : u < v
z : 𝕜
hz : z ∈ s ∩ Set.Ioi y
⊢ y ∈ openSegment 𝕜 x z
rw [openSegment_eq_Ioo (hxy.trans hz.2)]
no goals
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
u : 𝕜
hu : u ∈ s ∩ Set.Ici y
v : 𝕜
hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y
huv : u < v
z : 𝕜
hz : z ∈ s ∩ Set.Ioi y
⊢ y ∈ Set.Ioo x z
exact ⟨hxy, hz.2⟩
no goals
case inl
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
v : 𝕜
hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y
step1 : ∀ {z : 𝕜}, z ∈ s ∩ Set.Ioi y → f y < f z
hu : y ∈ s ∩ Set.Ici y
huv : y < v
⊢ f y < f v
exact step1 ⟨hv.1, huv⟩
case inr.refine'_1
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
u : 𝕜
hu : u ∈ s ∩ Set.Ici y
v : 𝕜
hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y
huv : u < v
step1 : ∀ {z : 𝕜}, z ∈ s ∩ Set.Ioi y → f y < f z
hu2 : y < u
⊢ y ∈ s

case inr.refine'_2
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
u : 𝕜
hu : u ∈ s ∩ Set.Ici y
v : 𝕜
hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y
huv : u < v
step1 : ∀ {z : 𝕜}, z ∈ s ∩ Set.Ioi y → f y < f z
hu2 : y < u
⊢ u ∈ openSegment 𝕜 y v
case inr
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
u : 𝕜
hu : u ∈ s ∩ Set.Ici y
v : 𝕜
hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y
huv : u < v
step1 : ∀ {z : 𝕜}, z ∈ s ∩ Set.Ioi y → f y < f z
hu2 : y < u
⊢ f u < f v
refine' hf.lt_right_of_left_lt _ hv.1 _ (step1 ⟨hu.1, hu2⟩)
case inr.refine'_1.a
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
u : 𝕜
hu : u ∈ s ∩ Set.Ici y
v : 𝕜
hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y
huv : u < v
step1 : ∀ {z : 𝕜}, z ∈ s ∩ Set.Ioi y → f y < f z
hu2 : y < u
⊢ y ∈ segment 𝕜 x u
case inr.refine'_1
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
u : 𝕜
hu : u ∈ s ∩ Set.Ici y
v : 𝕜
hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y
huv : u < v
step1 : ∀ {z : 𝕜}, z ∈ s ∩ Set.Ioi y → f y < f z
hu2 : y < u
⊢ y ∈ s
apply hf.1.segment_subset hx hu.1
case inr.refine'_1.a
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
u : 𝕜
hu : u ∈ s ∩ Set.Ici y
v : 𝕜
hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y
huv : u < v
step1 : ∀ {z : 𝕜}, z ∈ s ∩ Set.Ioi y → f y < f z
hu2 : y < u
⊢ y ∈ Set.Icc x u
case inr.refine'_1.a
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
u : 𝕜
hu : u ∈ s ∩ Set.Ici y
v : 𝕜
hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y
huv : u < v
step1 : ∀ {z : 𝕜}, z ∈ s ∩ Set.Ioi y → f y < f z
hu2 : y < u
⊢ y ∈ segment 𝕜 x u
rw [segment_eq_Icc (hxy.le.trans hu.2)]
no goals
case inr.refine'_1.a
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
u : 𝕜
hu : u ∈ s ∩ Set.Ici y
v : 𝕜
hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y
huv : u < v
step1 : ∀ {z : 𝕜}, z ∈ s ∩ Set.Ioi y → f y < f z
hu2 : y < u
⊢ y ∈ Set.Icc x u
exact ⟨hxy.le, hu.2⟩
case inr.refine'_2
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
u : 𝕜
hu : u ∈ s ∩ Set.Ici y
v : 𝕜
hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y
huv : u < v
step1 : ∀ {z : 𝕜}, z ∈ s ∩ Set.Ioi y → f y < f z
hu2 : y < u
⊢ u ∈ Set.Ioo y v
case inr.refine'_2
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
u : 𝕜
hu : u ∈ s ∩ Set.Ici y
v : 𝕜
hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y
huv : u < v
step1 : ∀ {z : 𝕜}, z ∈ s ∩ Set.Ioi y → f y < f z
hu2 : y < u
⊢ u ∈ openSegment 𝕜 y v
rw [openSegment_eq_Ioo (hu2.trans huv)]
no goals
case inr.refine'_2
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
u : 𝕜
hu : u ∈ s ∩ Set.Ici y
v : 𝕜
hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y
huv : u < v
step1 : ∀ {z : 𝕜}, z ∈ s ∩ Set.Ioi y → f y < f z
hu2 : y < u
⊢ u ∈ Set.Ioo y v
exact ⟨hu2, huv⟩