case h
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : P
direction : Submodule k V
v : V
⊢ v ∈ AffineSubspace.direction (mk' p direction) ↔ v ∈ direction
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : P
direction : Submodule k V
⊢ AffineSubspace.direction (mk' p direction) = direction
ext v
case h
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : P
direction : Submodule k V
v : V
⊢ (∃ p1, p1 ∈ mk' p direction ∧ ∃ p2, p2 ∈ mk' p direction ∧ v = p1 -ᵥ p2) ↔ v ∈ direction
case h
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : P
direction : Submodule k V
v : V
⊢ v ∈ AffineSubspace.direction (mk' p direction) ↔ v ∈ direction
rw [mem_direction_iff_eq_vsub (mk'_nonempty _ _)]
case h.mp
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : P
direction : Submodule k V
v : V
⊢ (∃ p1, p1 ∈ mk' p direction ∧ ∃ p2, p2 ∈ mk' p direction ∧ v = p1 -ᵥ p2) → v ∈ direction

case h.mpr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : P
direction : Submodule k V
v : V
⊢ v ∈ direction → ∃ p1, p1 ∈ mk' p direction ∧ ∃ p2, p2 ∈ mk' p direction ∧ v = p1 -ᵥ p2
case h
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : P
direction : Submodule k V
v : V
⊢ (∃ p1, p1 ∈ mk' p direction ∧ ∃ p2, p2 ∈ mk' p direction ∧ v = p1 -ᵥ p2) ↔ v ∈ direction
constructor
case h.mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : P
direction : Submodule k V
v : V
p1 : P
v1 : V
hv1 : v1 ∈ direction
hp1 : p1 = v1 +ᵥ p
p2 : P
hv : v = p1 -ᵥ p2
v2 : V
hv2 : v2 ∈ direction
hp2 : p2 = v2 +ᵥ p
⊢ v ∈ direction
case h.mp
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : P
direction : Submodule k V
v : V
⊢ (∃ p1, p1 ∈ mk' p direction ∧ ∃ p2, p2 ∈ mk' p direction ∧ v = p1 -ᵥ p2) → v ∈ direction
rintro ⟨p1, ⟨v1, hv1, hp1⟩, p2, ⟨v2, hv2, hp2⟩, hv⟩
case h.mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : P
direction : Submodule k V
v : V
p1 : P
v1 : V
hv1 : v1 ∈ direction
hp1 : p1 = v1 +ᵥ p
p2 : P
hv : v = p1 -ᵥ p2
v2 : V
hv2 : v2 ∈ direction
hp2 : p2 = v2 +ᵥ p
⊢ v1 - v2 ∈ direction
case h.mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : P
direction : Submodule k V
v : V
p1 : P
v1 : V
hv1 : v1 ∈ direction
hp1 : p1 = v1 +ᵥ p
p2 : P
hv : v = p1 -ᵥ p2
v2 : V
hv2 : v2 ∈ direction
hp2 : p2 = v2 +ᵥ p
⊢ v ∈ direction
rw [hv, hp1, hp2, vadd_vsub_vadd_cancel_right]
no goals
case h.mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : P
direction : Submodule k V
v : V
p1 : P
v1 : V
hv1 : v1 ∈ direction
hp1 : p1 = v1 +ᵥ p
p2 : P
hv : v = p1 -ᵥ p2
v2 : V
hv2 : v2 ∈ direction
hp2 : p2 = v2 +ᵥ p
⊢ v1 - v2 ∈ direction
exact direction.sub_mem hv1 hv2
no goals
case h.mpr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : P
direction : Submodule k V
v : V
⊢ v ∈ direction → ∃ p1, p1 ∈ mk' p direction ∧ ∃ p2, p2 ∈ mk' p direction ∧ v = p1 -ᵥ p2
exact fun hv => ⟨v +ᵥ p, vadd_mem_mk' _ hv, p, self_mem_mk' _ _, (vadd_vsub _ _).symm⟩