α : Type u_4
E✝ : Type ?u.693591
F : Type u_3
F' : Type ?u.693597
G : Type ?u.693600
𝕜 : Type u_2
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E✝
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), ↑(T s) (c • x) = c • ↑(T s) x
c : 𝕜
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc (c • f)) = c • SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc f)
α : Type u_4
E✝ : Type ?u.693591
F : Type u_3
F' : Type ?u.693597
G : Type ?u.693600
𝕜 : Type u_2
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E✝
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), ↑(T s) (c • x) = c • ↑(T s) x
c : 𝕜
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ setToL1S T (c • f) = c • setToL1S T f
simp_rw [setToL1S]
α : Type u_4
E✝ : Type ?u.693591
F : Type u_3
F' : Type ?u.693597
G : Type ?u.693600
𝕜 : Type u_2
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E✝
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), ↑(T s) (c • x) = c • ↑(T s) x
c : 𝕜
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc (c • f)) = SimpleFunc.setToSimpleFunc T (c • toSimpleFunc f)
α : Type u_4
E✝ : Type ?u.693591
F : Type u_3
F' : Type ?u.693597
G : Type ?u.693600
𝕜 : Type u_2
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E✝
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), ↑(T s) (c • x) = c • ↑(T s) x
c : 𝕜
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc (c • f)) = c • SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc f)
rw [← SimpleFunc.setToSimpleFunc_smul T h_add h_smul c (SimpleFunc.integrable f)]
α : Type u_4
E✝ : Type ?u.693591
F : Type u_3
F' : Type ?u.693597
G : Type ?u.693600
𝕜 : Type u_2
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E✝
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), ↑(T s) (c • x) = c • ↑(T s) x
c : 𝕜
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ ↑(toSimpleFunc (c • f)) =ᵐ[μ] ↑(c • toSimpleFunc f)
α : Type u_4
E✝ : Type ?u.693591
F : Type u_3
F' : Type ?u.693597
G : Type ?u.693600
𝕜 : Type u_2
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E✝
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), ↑(T s) (c • x) = c • ↑(T s) x
c : 𝕜
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc (c • f)) = SimpleFunc.setToSimpleFunc T (c • toSimpleFunc f)
refine' SimpleFunc.setToSimpleFunc_congr T h_zero h_add (SimpleFunc.integrable _) _
no goals
α : Type u_4
E✝ : Type ?u.693591
F : Type u_3
F' : Type ?u.693597
G : Type ?u.693600
𝕜 : Type u_2
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E✝
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), ↑(T s) (c • x) = c • ↑(T s) x
c : 𝕜
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ ↑(toSimpleFunc (c • f)) =ᵐ[μ] ↑(c • toSimpleFunc f)
exact smul_toSimpleFunc c f