K : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type ?u.1146278
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V'
inst✝ : Module K V'
f g : V →ₗ[K] V'
⊢ range (f + g) ≤ range f ⊔ range g
K : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type ?u.1146278
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V'
inst✝ : Module K V'
f g : V →ₗ[K] V'
⊢ rank (f + g) ≤ Module.rank K { x // x ∈ range f ⊔ range g }
refine' rank_le_of_submodule _ _ _
no goals
K : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type ?u.1146278
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V'
inst✝ : Module K V'
f g : V →ₗ[K] V'
⊢ range (f + g) ≤ range f ⊔ range g
exact LinearMap.range_le_iff_comap.2 <| eq_top_iff'.2 fun x =>
  show f x + g x ∈ (LinearMap.range f ⊔ LinearMap.range g : Submodule K V') from
  mem_sup.2 ⟨_, ⟨x, rfl⟩, _, ⟨x, rfl⟩, rfl⟩