R : Type ?u.1139594
M : Type ?u.1139597
inst✝²⁴ : Semiring R
inst✝²³ : AddCommMonoid M
inst✝²² : Module R M
R₁ : Type ?u.1139633
M₁ : Type ?u.1139636
inst✝²¹ : Ring R₁
inst✝²⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁹ : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_1
M₂ : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommSemiring R₂
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁶ : Module R₂ M₂
R₃ : Type ?u.1140435
M₃ : Type ?u.1140438
inst✝¹⁵ : CommRing R₃
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₃
inst✝¹³ : Module R₃ M₃
V : Type ?u.1141026
K : Type ?u.1141029
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module K V
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
M₂' : Type u_2
M₂'' : Type ?u.1142246
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂''
inst✝⁷ : Module R₂ M₂'
inst✝⁶ : Module R₂ M₂''
F : BilinForm R M
M' : Type ?u.1142557
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M'
B' : BilinForm R M'
f✝ f' : M →ₗ[R] M'
g g' : M' →ₗ[R] M
M₁' : Type ?u.1142994
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R₁ M₁'
B₁' : BilinForm R₁ M₁'
f₁ f₁' : M₁ →ₗ[R₁] M₁'
g₁ g₁' : M₁' →ₗ[R₁] M₁
B₂' : BilinForm R₂ M₂'
f₂ f₂' : M₂ →ₗ[R₂] M₂'
g₂ g₂' : M₂' →ₗ[R₂] M₂
M'' : Type ?u.1145473
inst✝¹ : AddCommMonoid M''
inst✝ : Module R M''
B'' : BilinForm R M''
F₂ : BilinForm R₂ M₂
e : M₂' ≃ₗ[R₂] M₂
f : Module.End R₂ M₂
hₗ : compLeft (comp F₂ ↑e ↑e) (↑(LinearEquiv.conj (LinearEquiv.symm e)) f) = comp (compLeft F₂ f) ↑e ↑e
⊢ IsPairSelfAdjoint B₂ F₂ f ↔
    IsPairSelfAdjoint (comp B₂ ↑e ↑e) (comp F₂ ↑e ↑e) (↑(LinearEquiv.conj (LinearEquiv.symm e)) f)
R : Type ?u.1139594
M : Type ?u.1139597
inst✝²⁴ : Semiring R
inst✝²³ : AddCommMonoid M
inst✝²² : Module R M
R₁ : Type ?u.1139633
M₁ : Type ?u.1139636
inst✝²¹ : Ring R₁
inst✝²⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁹ : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_1
M₂ : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommSemiring R₂
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁶ : Module R₂ M₂
R₃ : Type ?u.1140435
M₃ : Type ?u.1140438
inst✝¹⁵ : CommRing R₃
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₃
inst✝¹³ : Module R₃ M₃
V : Type ?u.1141026
K : Type ?u.1141029
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module K V
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
M₂' : Type u_2
M₂'' : Type ?u.1142246
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂''
inst✝⁷ : Module R₂ M₂'
inst✝⁶ : Module R₂ M₂''
F : BilinForm R M
M' : Type ?u.1142557
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M'
B' : BilinForm R M'
f✝ f' : M →ₗ[R] M'
g g' : M' →ₗ[R] M
M₁' : Type ?u.1142994
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R₁ M₁'
B₁' : BilinForm R₁ M₁'
f₁ f₁' : M₁ →ₗ[R₁] M₁'
g₁ g₁' : M₁' →ₗ[R₁] M₁
B₂' : BilinForm R₂ M₂'
f₂ f₂' : M₂ →ₗ[R₂] M₂'
g₂ g₂' : M₂' →ₗ[R₂] M₂
M'' : Type ?u.1145473
inst✝¹ : AddCommMonoid M''
inst✝ : Module R M''
B'' : BilinForm R M''
F₂ : BilinForm R₂ M₂
e : M₂' ≃ₗ[R₂] M₂
f : Module.End R₂ M₂
⊢ IsPairSelfAdjoint B₂ F₂ f ↔
    IsPairSelfAdjoint (comp B₂ ↑e ↑e) (comp F₂ ↑e ↑e) (↑(LinearEquiv.conj (LinearEquiv.symm e)) f)
have hₗ : (F₂.comp ↑e ↑e).compLeft (e.symm.conj f) = (F₂.compLeft f).comp ↑e ↑e := by
  ext
  simp [LinearEquiv.symm_conj_apply]
R : Type ?u.1139594
M : Type ?u.1139597
inst✝²⁴ : Semiring R
inst✝²³ : AddCommMonoid M
inst✝²² : Module R M
R₁ : Type ?u.1139633
M₁ : Type ?u.1139636
inst✝²¹ : Ring R₁
inst✝²⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁹ : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_1
M₂ : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommSemiring R₂
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁶ : Module R₂ M₂
R₃ : Type ?u.1140435
M₃ : Type ?u.1140438
inst✝¹⁵ : CommRing R₃
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₃
inst✝¹³ : Module R₃ M₃
V : Type ?u.1141026
K : Type ?u.1141029
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module K V
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
M₂' : Type u_2
M₂'' : Type ?u.1142246
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂''
inst✝⁷ : Module R₂ M₂'
inst✝⁶ : Module R₂ M₂''
F : BilinForm R M
M' : Type ?u.1142557
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M'
B' : BilinForm R M'
f✝ f' : M →ₗ[R] M'
g g' : M' →ₗ[R] M
M₁' : Type ?u.1142994
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R₁ M₁'
B₁' : BilinForm R₁ M₁'
f₁ f₁' : M₁ →ₗ[R₁] M₁'
g₁ g₁' : M₁' →ₗ[R₁] M₁
B₂' : BilinForm R₂ M₂'
f₂ f₂' : M₂ →ₗ[R₂] M₂'
g₂ g₂' : M₂' →ₗ[R₂] M₂
M'' : Type ?u.1145473
inst✝¹ : AddCommMonoid M''
inst✝ : Module R M''
B'' : BilinForm R M''
F₂ : BilinForm R₂ M₂
e : M₂' ≃ₗ[R₂] M₂
f : Module.End R₂ M₂
hₗ : compLeft (comp F₂ ↑e ↑e) (↑(LinearEquiv.conj (LinearEquiv.symm e)) f) = comp (compLeft F₂ f) ↑e ↑e
hᵣ : compRight (comp B₂ ↑e ↑e) (↑(LinearEquiv.conj (LinearEquiv.symm e)) f) = comp (compRight B₂ f) ↑e ↑e
⊢ IsPairSelfAdjoint B₂ F₂ f ↔
    IsPairSelfAdjoint (comp B₂ ↑e ↑e) (comp F₂ ↑e ↑e) (↑(LinearEquiv.conj (LinearEquiv.symm e)) f)
R : Type ?u.1139594
M : Type ?u.1139597
inst✝²⁴ : Semiring R
inst✝²³ : AddCommMonoid M
inst✝²² : Module R M
R₁ : Type ?u.1139633
M₁ : Type ?u.1139636
inst✝²¹ : Ring R₁
inst✝²⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁹ : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_1
M₂ : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommSemiring R₂
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁶ : Module R₂ M₂
R₃ : Type ?u.1140435
M₃ : Type ?u.1140438
inst✝¹⁵ : CommRing R₃
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₃
inst✝¹³ : Module R₃ M₃
V : Type ?u.1141026
K : Type ?u.1141029
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module K V
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
M₂' : Type u_2
M₂'' : Type ?u.1142246
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂''
inst✝⁷ : Module R₂ M₂'
inst✝⁶ : Module R₂ M₂''
F : BilinForm R M
M' : Type ?u.1142557
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M'
B' : BilinForm R M'
f✝ f' : M →ₗ[R] M'
g g' : M' →ₗ[R] M
M₁' : Type ?u.1142994
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R₁ M₁'
B₁' : BilinForm R₁ M₁'
f₁ f₁' : M₁ →ₗ[R₁] M₁'
g₁ g₁' : M₁' →ₗ[R₁] M₁
B₂' : BilinForm R₂ M₂'
f₂ f₂' : M₂ →ₗ[R₂] M₂'
g₂ g₂' : M₂' →ₗ[R₂] M₂
M'' : Type ?u.1145473
inst✝¹ : AddCommMonoid M''
inst✝ : Module R M''
B'' : BilinForm R M''
F₂ : BilinForm R₂ M₂
e : M₂' ≃ₗ[R₂] M₂
f : Module.End R₂ M₂
hₗ : compLeft (comp F₂ ↑e ↑e) (↑(LinearEquiv.conj (LinearEquiv.symm e)) f) = comp (compLeft F₂ f) ↑e ↑e
⊢ IsPairSelfAdjoint B₂ F₂ f ↔
    IsPairSelfAdjoint (comp B₂ ↑e ↑e) (comp F₂ ↑e ↑e) (↑(LinearEquiv.conj (LinearEquiv.symm e)) f)
have hᵣ : (B₂.comp ↑e ↑e).compRight (e.symm.conj f) = (B₂.compRight f).comp ↑e ↑e := by
  ext
  simp [LinearEquiv.conj_apply]
R : Type ?u.1139594
M : Type ?u.1139597
inst✝²⁴ : Semiring R
inst✝²³ : AddCommMonoid M
inst✝²² : Module R M
R₁ : Type ?u.1139633
M₁ : Type ?u.1139636
inst✝²¹ : Ring R₁
inst✝²⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁹ : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_1
M₂ : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommSemiring R₂
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁶ : Module R₂ M₂
R₃ : Type ?u.1140435
M₃ : Type ?u.1140438
inst✝¹⁵ : CommRing R₃
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₃
inst✝¹³ : Module R₃ M₃
V : Type ?u.1141026
K : Type ?u.1141029
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module K V
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
M₂' : Type u_2
M₂'' : Type ?u.1142246
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂''
inst✝⁷ : Module R₂ M₂'
inst✝⁶ : Module R₂ M₂''
F : BilinForm R M
M' : Type ?u.1142557
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M'
B' : BilinForm R M'
f✝ f' : M →ₗ[R] M'
g g' : M' →ₗ[R] M
M₁' : Type ?u.1142994
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R₁ M₁'
B₁' : BilinForm R₁ M₁'
f₁ f₁' : M₁ →ₗ[R₁] M₁'
g₁ g₁' : M₁' →ₗ[R₁] M₁
B₂' : BilinForm R₂ M₂'
f₂ f₂' : M₂ →ₗ[R₂] M₂'
g₂ g₂' : M₂' →ₗ[R₂] M₂
M'' : Type ?u.1145473
inst✝¹ : AddCommMonoid M''
inst✝ : Module R M''
B'' : BilinForm R M''
F₂ : BilinForm R₂ M₂
e : M₂' ≃ₗ[R₂] M₂
f : Module.End R₂ M₂
hₗ : compLeft (comp F₂ ↑e ↑e) (↑(LinearEquiv.conj (LinearEquiv.symm e)) f) = comp (compLeft F₂ f) ↑e ↑e
hᵣ : compRight (comp B₂ ↑e ↑e) (↑(LinearEquiv.conj (LinearEquiv.symm e)) f) = comp (compRight B₂ f) ↑e ↑e
he : Function.Surjective ↑↑e
⊢ IsPairSelfAdjoint B₂ F₂ f ↔
    IsPairSelfAdjoint (comp B₂ ↑e ↑e) (comp F₂ ↑e ↑e) (↑(LinearEquiv.conj (LinearEquiv.symm e)) f)
R : Type ?u.1139594
M : Type ?u.1139597
inst✝²⁴ : Semiring R
inst✝²³ : AddCommMonoid M
inst✝²² : Module R M
R₁ : Type ?u.1139633
M₁ : Type ?u.1139636
inst✝²¹ : Ring R₁
inst✝²⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁹ : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_1
M₂ : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommSemiring R₂
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁶ : Module R₂ M₂
R₃ : Type ?u.1140435
M₃ : Type ?u.1140438
inst✝¹⁵ : CommRing R₃
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₃
inst✝¹³ : Module R₃ M₃
V : Type ?u.1141026
K : Type ?u.1141029
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module K V
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
M₂' : Type u_2
M₂'' : Type ?u.1142246
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂''
inst✝⁷ : Module R₂ M₂'
inst✝⁶ : Module R₂ M₂''
F : BilinForm R M
M' : Type ?u.1142557
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M'
B' : BilinForm R M'
f✝ f' : M →ₗ[R] M'
g g' : M' →ₗ[R] M
M₁' : Type ?u.1142994
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R₁ M₁'
B₁' : BilinForm R₁ M₁'
f₁ f₁' : M₁ →ₗ[R₁] M₁'
g₁ g₁' : M₁' →ₗ[R₁] M₁
B₂' : BilinForm R₂ M₂'
f₂ f₂' : M₂ →ₗ[R₂] M₂'
g₂ g₂' : M₂' →ₗ[R₂] M₂
M'' : Type ?u.1145473
inst✝¹ : AddCommMonoid M''
inst✝ : Module R M''
B'' : BilinForm R M''
F₂ : BilinForm R₂ M₂
e : M₂' ≃ₗ[R₂] M₂
f : Module.End R₂ M₂
hₗ : compLeft (comp F₂ ↑e ↑e) (↑(LinearEquiv.conj (LinearEquiv.symm e)) f) = comp (compLeft F₂ f) ↑e ↑e
hᵣ : compRight (comp B₂ ↑e ↑e) (↑(LinearEquiv.conj (LinearEquiv.symm e)) f) = comp (compRight B₂ f) ↑e ↑e
⊢ IsPairSelfAdjoint B₂ F₂ f ↔
    IsPairSelfAdjoint (comp B₂ ↑e ↑e) (comp F₂ ↑e ↑e) (↑(LinearEquiv.conj (LinearEquiv.symm e)) f)
have he : Function.Surjective (⇑(↑e : M₂' →ₗ[R₂] M₂) : M₂' → M₂) := e.surjective
R : Type ?u.1139594
M : Type ?u.1139597
inst✝²⁴ : Semiring R
inst✝²³ : AddCommMonoid M
inst✝²² : Module R M
R₁ : Type ?u.1139633
M₁ : Type ?u.1139636
inst✝²¹ : Ring R₁
inst✝²⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁹ : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_1
M₂ : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommSemiring R₂
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁶ : Module R₂ M₂
R₃ : Type ?u.1140435
M₃ : Type ?u.1140438
inst✝¹⁵ : CommRing R₃
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₃
inst✝¹³ : Module R₃ M₃
V : Type ?u.1141026
K : Type ?u.1141029
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module K V
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
M₂' : Type u_2
M₂'' : Type ?u.1142246
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂''
inst✝⁷ : Module R₂ M₂'
inst✝⁶ : Module R₂ M₂''
F : BilinForm R M
M' : Type ?u.1142557
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M'
B' : BilinForm R M'
f✝ f' : M →ₗ[R] M'
g g' : M' →ₗ[R] M
M₁' : Type ?u.1142994
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R₁ M₁'
B₁' : BilinForm R₁ M₁'
f₁ f₁' : M₁ →ₗ[R₁] M₁'
g₁ g₁' : M₁' →ₗ[R₁] M₁
B₂' : BilinForm R₂ M₂'
f₂ f₂' : M₂ →ₗ[R₂] M₂'
g₂ g₂' : M₂' →ₗ[R₂] M₂
M'' : Type ?u.1145473
inst✝¹ : AddCommMonoid M''
inst✝ : Module R M''
B'' : BilinForm R M''
F₂ : BilinForm R₂ M₂
e : M₂' ≃ₗ[R₂] M₂
f : Module.End R₂ M₂
hₗ : compLeft (comp F₂ ↑e ↑e) (↑(LinearEquiv.conj (LinearEquiv.symm e)) f) = comp (compLeft F₂ f) ↑e ↑e
hᵣ : compRight (comp B₂ ↑e ↑e) (↑(LinearEquiv.conj (LinearEquiv.symm e)) f) = comp (compRight B₂ f) ↑e ↑e
he : Function.Surjective ↑↑e
⊢ IsAdjointPair B₂ F₂ f f ↔
    IsAdjointPair (comp B₂ ↑e ↑e) (comp F₂ ↑e ↑e) (↑(LinearEquiv.conj (LinearEquiv.symm e)) f)
      (↑(LinearEquiv.conj (LinearEquiv.symm e)) f)
R : Type ?u.1139594
M : Type ?u.1139597
inst✝²⁴ : Semiring R
inst✝²³ : AddCommMonoid M
inst✝²² : Module R M
R₁ : Type ?u.1139633
M₁ : Type ?u.1139636
inst✝²¹ : Ring R₁
inst✝²⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁹ : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_1
M₂ : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommSemiring R₂
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁶ : Module R₂ M₂
R₃ : Type ?u.1140435
M₃ : Type ?u.1140438
inst✝¹⁵ : CommRing R₃
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₃
inst✝¹³ : Module R₃ M₃
V : Type ?u.1141026
K : Type ?u.1141029
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module K V
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
M₂' : Type u_2
M₂'' : Type ?u.1142246
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂''
inst✝⁷ : Module R₂ M₂'
inst✝⁶ : Module R₂ M₂''
F : BilinForm R M
M' : Type ?u.1142557
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M'
B' : BilinForm R M'
f✝ f' : M →ₗ[R] M'
g g' : M' →ₗ[R] M
M₁' : Type ?u.1142994
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R₁ M₁'
B₁' : BilinForm R₁ M₁'
f₁ f₁' : M₁ →ₗ[R₁] M₁'
g₁ g₁' : M₁' →ₗ[R₁] M₁
B₂' : BilinForm R₂ M₂'
f₂ f₂' : M₂ →ₗ[R₂] M₂'
g₂ g₂' : M₂' →ₗ[R₂] M₂
M'' : Type ?u.1145473
inst✝¹ : AddCommMonoid M''
inst✝ : Module R M''
B'' : BilinForm R M''
F₂ : BilinForm R₂ M₂
e : M₂' ≃ₗ[R₂] M₂
f : Module.End R₂ M₂
hₗ : compLeft (comp F₂ ↑e ↑e) (↑(LinearEquiv.conj (LinearEquiv.symm e)) f) = comp (compLeft F₂ f) ↑e ↑e
hᵣ : compRight (comp B₂ ↑e ↑e) (↑(LinearEquiv.conj (LinearEquiv.symm e)) f) = comp (compRight B₂ f) ↑e ↑e
he : Function.Surjective ↑↑e
⊢ IsPairSelfAdjoint B₂ F₂ f ↔
    IsPairSelfAdjoint (comp B₂ ↑e ↑e) (comp F₂ ↑e ↑e) (↑(LinearEquiv.conj (LinearEquiv.symm e)) f)
show BilinForm.IsAdjointPair _ _ _ _ ↔ BilinForm.IsAdjointPair _ _ _ _
no goals
R : Type ?u.1139594
M : Type ?u.1139597
inst✝²⁴ : Semiring R
inst✝²³ : AddCommMonoid M
inst✝²² : Module R M
R₁ : Type ?u.1139633
M₁ : Type ?u.1139636
inst✝²¹ : Ring R₁
inst✝²⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁹ : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_1
M₂ : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommSemiring R₂
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁶ : Module R₂ M₂
R₃ : Type ?u.1140435
M₃ : Type ?u.1140438
inst✝¹⁵ : CommRing R₃
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₃
inst✝¹³ : Module R₃ M₃
V : Type ?u.1141026
K : Type ?u.1141029
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module K V
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
M₂' : Type u_2
M₂'' : Type ?u.1142246
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂''
inst✝⁷ : Module R₂ M₂'
inst✝⁶ : Module R₂ M₂''
F : BilinForm R M
M' : Type ?u.1142557
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M'
B' : BilinForm R M'
f✝ f' : M →ₗ[R] M'
g g' : M' →ₗ[R] M
M₁' : Type ?u.1142994
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R₁ M₁'
B₁' : BilinForm R₁ M₁'
f₁ f₁' : M₁ →ₗ[R₁] M₁'
g₁ g₁' : M₁' →ₗ[R₁] M₁
B₂' : BilinForm R₂ M₂'
f₂ f₂' : M₂ →ₗ[R₂] M₂'
g₂ g₂' : M₂' →ₗ[R₂] M₂
M'' : Type ?u.1145473
inst✝¹ : AddCommMonoid M''
inst✝ : Module R M''
B'' : BilinForm R M''
F₂ : BilinForm R₂ M₂
e : M₂' ≃ₗ[R₂] M₂
f : Module.End R₂ M₂
hₗ : compLeft (comp F₂ ↑e ↑e) (↑(LinearEquiv.conj (LinearEquiv.symm e)) f) = comp (compLeft F₂ f) ↑e ↑e
hᵣ : compRight (comp B₂ ↑e ↑e) (↑(LinearEquiv.conj (LinearEquiv.symm e)) f) = comp (compRight B₂ f) ↑e ↑e
he : Function.Surjective ↑↑e
⊢ IsAdjointPair B₂ F₂ f f ↔
    IsAdjointPair (comp B₂ ↑e ↑e) (comp F₂ ↑e ↑e) (↑(LinearEquiv.conj (LinearEquiv.symm e)) f)
      (↑(LinearEquiv.conj (LinearEquiv.symm e)) f)
rw [isAdjointPair_iff_compLeft_eq_compRight, isAdjointPair_iff_compLeft_eq_compRight, hᵣ,
  hₗ, comp_inj _ _ he he]
case H
R : Type ?u.1139594
M : Type ?u.1139597
inst✝²⁴ : Semiring R
inst✝²³ : AddCommMonoid M
inst✝²² : Module R M
R₁ : Type ?u.1139633
M₁ : Type ?u.1139636
inst✝²¹ : Ring R₁
inst✝²⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁹ : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_1
M₂ : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommSemiring R₂
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁶ : Module R₂ M₂
R₃ : Type ?u.1140435
M₃ : Type ?u.1140438
inst✝¹⁵ : CommRing R₃
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₃
inst✝¹³ : Module R₃ M₃
V : Type ?u.1141026
K : Type ?u.1141029
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module K V
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
M₂' : Type u_2
M₂'' : Type ?u.1142246
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂''
inst✝⁷ : Module R₂ M₂'
inst✝⁶ : Module R₂ M₂''
F : BilinForm R M
M' : Type ?u.1142557
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M'
B' : BilinForm R M'
f✝ f' : M →ₗ[R] M'
g g' : M' →ₗ[R] M
M₁' : Type ?u.1142994
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R₁ M₁'
B₁' : BilinForm R₁ M₁'
f₁ f₁' : M₁ →ₗ[R₁] M₁'
g₁ g₁' : M₁' →ₗ[R₁] M₁
B₂' : BilinForm R₂ M₂'
f₂ f₂' : M₂ →ₗ[R₂] M₂'
g₂ g₂' : M₂' →ₗ[R₂] M₂
M'' : Type ?u.1145473
inst✝¹ : AddCommMonoid M''
inst✝ : Module R M''
B'' : BilinForm R M''
F₂ : BilinForm R₂ M₂
e : M₂' ≃ₗ[R₂] M₂
f : Module.End R₂ M₂
x✝ y✝ : M₂'
⊢ bilin (compLeft (comp F₂ ↑e ↑e) (↑(LinearEquiv.conj (LinearEquiv.symm e)) f)) x✝ y✝ =
    bilin (comp (compLeft F₂ f) ↑e ↑e) x✝ y✝
R : Type ?u.1139594
M : Type ?u.1139597
inst✝²⁴ : Semiring R
inst✝²³ : AddCommMonoid M
inst✝²² : Module R M
R₁ : Type ?u.1139633
M₁ : Type ?u.1139636
inst✝²¹ : Ring R₁
inst✝²⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁹ : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_1
M₂ : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommSemiring R₂
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁶ : Module R₂ M₂
R₃ : Type ?u.1140435
M₃ : Type ?u.1140438
inst✝¹⁵ : CommRing R₃
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₃
inst✝¹³ : Module R₃ M₃
V : Type ?u.1141026
K : Type ?u.1141029
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module K V
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
M₂' : Type u_2
M₂'' : Type ?u.1142246
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂''
inst✝⁷ : Module R₂ M₂'
inst✝⁶ : Module R₂ M₂''
F : BilinForm R M
M' : Type ?u.1142557
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M'
B' : BilinForm R M'
f✝ f' : M →ₗ[R] M'
g g' : M' →ₗ[R] M
M₁' : Type ?u.1142994
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R₁ M₁'
B₁' : BilinForm R₁ M₁'
f₁ f₁' : M₁ →ₗ[R₁] M₁'
g₁ g₁' : M₁' →ₗ[R₁] M₁
B₂' : BilinForm R₂ M₂'
f₂ f₂' : M₂ →ₗ[R₂] M₂'
g₂ g₂' : M₂' →ₗ[R₂] M₂
M'' : Type ?u.1145473
inst✝¹ : AddCommMonoid M''
inst✝ : Module R M''
B'' : BilinForm R M''
F₂ : BilinForm R₂ M₂
e : M₂' ≃ₗ[R₂] M₂
f : Module.End R₂ M₂
⊢ compLeft (comp F₂ ↑e ↑e) (↑(LinearEquiv.conj (LinearEquiv.symm e)) f) = comp (compLeft F₂ f) ↑e ↑e
ext
no goals
case H
R : Type ?u.1139594
M : Type ?u.1139597
inst✝²⁴ : Semiring R
inst✝²³ : AddCommMonoid M
inst✝²² : Module R M
R₁ : Type ?u.1139633
M₁ : Type ?u.1139636
inst✝²¹ : Ring R₁
inst✝²⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁹ : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_1
M₂ : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommSemiring R₂
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁶ : Module R₂ M₂
R₃ : Type ?u.1140435
M₃ : Type ?u.1140438
inst✝¹⁵ : CommRing R₃
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₃
inst✝¹³ : Module R₃ M₃
V : Type ?u.1141026
K : Type ?u.1141029
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module K V
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
M₂' : Type u_2
M₂'' : Type ?u.1142246
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂''
inst✝⁷ : Module R₂ M₂'
inst✝⁶ : Module R₂ M₂''
F : BilinForm R M
M' : Type ?u.1142557
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M'
B' : BilinForm R M'
f✝ f' : M →ₗ[R] M'
g g' : M' →ₗ[R] M
M₁' : Type ?u.1142994
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R₁ M₁'
B₁' : BilinForm R₁ M₁'
f₁ f₁' : M₁ →ₗ[R₁] M₁'
g₁ g₁' : M₁' →ₗ[R₁] M₁
B₂' : BilinForm R₂ M₂'
f₂ f₂' : M₂ →ₗ[R₂] M₂'
g₂ g₂' : M₂' →ₗ[R₂] M₂
M'' : Type ?u.1145473
inst✝¹ : AddCommMonoid M''
inst✝ : Module R M''
B'' : BilinForm R M''
F₂ : BilinForm R₂ M₂
e : M₂' ≃ₗ[R₂] M₂
f : Module.End R₂ M₂
x✝ y✝ : M₂'
⊢ bilin (compLeft (comp F₂ ↑e ↑e) (↑(LinearEquiv.conj (LinearEquiv.symm e)) f)) x✝ y✝ =
    bilin (comp (compLeft F₂ f) ↑e ↑e) x✝ y✝
simp [LinearEquiv.symm_conj_apply]
case H
R : Type ?u.1139594
M : Type ?u.1139597
inst✝²⁴ : Semiring R
inst✝²³ : AddCommMonoid M
inst✝²² : Module R M
R₁ : Type ?u.1139633
M₁ : Type ?u.1139636
inst✝²¹ : Ring R₁
inst✝²⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁹ : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_1
M₂ : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommSemiring R₂
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁶ : Module R₂ M₂
R₃ : Type ?u.1140435
M₃ : Type ?u.1140438
inst✝¹⁵ : CommRing R₃
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₃
inst✝¹³ : Module R₃ M₃
V : Type ?u.1141026
K : Type ?u.1141029
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module K V
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
M₂' : Type u_2
M₂'' : Type ?u.1142246
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂''
inst✝⁷ : Module R₂ M₂'
inst✝⁶ : Module R₂ M₂''
F : BilinForm R M
M' : Type ?u.1142557
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M'
B' : BilinForm R M'
f✝ f' : M →ₗ[R] M'
g g' : M' →ₗ[R] M
M₁' : Type ?u.1142994
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R₁ M₁'
B₁' : BilinForm R₁ M₁'
f₁ f₁' : M₁ →ₗ[R₁] M₁'
g₁ g₁' : M₁' →ₗ[R₁] M₁
B₂' : BilinForm R₂ M₂'
f₂ f₂' : M₂ →ₗ[R₂] M₂'
g₂ g₂' : M₂' →ₗ[R₂] M₂
M'' : Type ?u.1145473
inst✝¹ : AddCommMonoid M''
inst✝ : Module R M''
B'' : BilinForm R M''
F₂ : BilinForm R₂ M₂
e : M₂' ≃ₗ[R₂] M₂
f : Module.End R₂ M₂
hₗ : compLeft (comp F₂ ↑e ↑e) (↑(LinearEquiv.conj (LinearEquiv.symm e)) f) = comp (compLeft F₂ f) ↑e ↑e
x✝ y✝ : M₂'
⊢ bilin (compRight (comp B₂ ↑e ↑e) (↑(LinearEquiv.conj (LinearEquiv.symm e)) f)) x✝ y✝ =
    bilin (comp (compRight B₂ f) ↑e ↑e) x✝ y✝
R : Type ?u.1139594
M : Type ?u.1139597
inst✝²⁴ : Semiring R
inst✝²³ : AddCommMonoid M
inst✝²² : Module R M
R₁ : Type ?u.1139633
M₁ : Type ?u.1139636
inst✝²¹ : Ring R₁
inst✝²⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁹ : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_1
M₂ : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommSemiring R₂
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁶ : Module R₂ M₂
R₃ : Type ?u.1140435
M₃ : Type ?u.1140438
inst✝¹⁵ : CommRing R₃
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₃
inst✝¹³ : Module R₃ M₃
V : Type ?u.1141026
K : Type ?u.1141029
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module K V
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
M₂' : Type u_2
M₂'' : Type ?u.1142246
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂''
inst✝⁷ : Module R₂ M₂'
inst✝⁶ : Module R₂ M₂''
F : BilinForm R M
M' : Type ?u.1142557
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M'
B' : BilinForm R M'
f✝ f' : M →ₗ[R] M'
g g' : M' →ₗ[R] M
M₁' : Type ?u.1142994
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R₁ M₁'
B₁' : BilinForm R₁ M₁'
f₁ f₁' : M₁ →ₗ[R₁] M₁'
g₁ g₁' : M₁' →ₗ[R₁] M₁
B₂' : BilinForm R₂ M₂'
f₂ f₂' : M₂ →ₗ[R₂] M₂'
g₂ g₂' : M₂' →ₗ[R₂] M₂
M'' : Type ?u.1145473
inst✝¹ : AddCommMonoid M''
inst✝ : Module R M''
B'' : BilinForm R M''
F₂ : BilinForm R₂ M₂
e : M₂' ≃ₗ[R₂] M₂
f : Module.End R₂ M₂
hₗ : compLeft (comp F₂ ↑e ↑e) (↑(LinearEquiv.conj (LinearEquiv.symm e)) f) = comp (compLeft F₂ f) ↑e ↑e
⊢ compRight (comp B₂ ↑e ↑e) (↑(LinearEquiv.conj (LinearEquiv.symm e)) f) = comp (compRight B₂ f) ↑e ↑e
ext
no goals
case H
R : Type ?u.1139594
M : Type ?u.1139597
inst✝²⁴ : Semiring R
inst✝²³ : AddCommMonoid M
inst✝²² : Module R M
R₁ : Type ?u.1139633
M₁ : Type ?u.1139636
inst✝²¹ : Ring R₁
inst✝²⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁹ : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_1
M₂ : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommSemiring R₂
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁶ : Module R₂ M₂
R₃ : Type ?u.1140435
M₃ : Type ?u.1140438
inst✝¹⁵ : CommRing R₃
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₃
inst✝¹³ : Module R₃ M₃
V : Type ?u.1141026
K : Type ?u.1141029
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module K V
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
M₂' : Type u_2
M₂'' : Type ?u.1142246
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂''
inst✝⁷ : Module R₂ M₂'
inst✝⁶ : Module R₂ M₂''
F : BilinForm R M
M' : Type ?u.1142557
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M'
B' : BilinForm R M'
f✝ f' : M →ₗ[R] M'
g g' : M' →ₗ[R] M
M₁' : Type ?u.1142994
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R₁ M₁'
B₁' : BilinForm R₁ M₁'
f₁ f₁' : M₁ →ₗ[R₁] M₁'
g₁ g₁' : M₁' →ₗ[R₁] M₁
B₂' : BilinForm R₂ M₂'
f₂ f₂' : M₂ →ₗ[R₂] M₂'
g₂ g₂' : M₂' →ₗ[R₂] M₂
M'' : Type ?u.1145473
inst✝¹ : AddCommMonoid M''
inst✝ : Module R M''
B'' : BilinForm R M''
F₂ : BilinForm R₂ M₂
e : M₂' ≃ₗ[R₂] M₂
f : Module.End R₂ M₂
hₗ : compLeft (comp F₂ ↑e ↑e) (↑(LinearEquiv.conj (LinearEquiv.symm e)) f) = comp (compLeft F₂ f) ↑e ↑e
x✝ y✝ : M₂'
⊢ bilin (compRight (comp B₂ ↑e ↑e) (↑(LinearEquiv.conj (LinearEquiv.symm e)) f)) x✝ y✝ =
    bilin (comp (compRight B₂ f) ↑e ↑e) x✝ y✝
simp [LinearEquiv.conj_apply]