case pos
x : ℝ≥0∞
y : ℝ
h : 0 < y
hx : x = ⊤
⊢ ContinuousAt (fun a => a ^ y) x

case neg
x : ℝ≥0∞
y : ℝ
h : 0 < y
hx : ¬x = ⊤
⊢ ContinuousAt (fun a => a ^ y) x
x : ℝ≥0∞
y : ℝ
h : 0 < y
⊢ ContinuousAt (fun a => a ^ y) x
by_cases hx : x = ⊤
case neg.intro
y : ℝ
h : 0 < y
x : ℝ≥0
⊢ ContinuousAt (fun a => a ^ y) ↑x
case neg
x : ℝ≥0∞
y : ℝ
h : 0 < y
hx : ¬x = ⊤
⊢ ContinuousAt (fun a => a ^ y) x
lift x to ℝ≥0 using hx
case neg.intro
y : ℝ
h : 0 < y
x : ℝ≥0
⊢ ContinuousAt ((fun a => a ^ y) ∘ some) x
case neg.intro
y : ℝ
h : 0 < y
x : ℝ≥0
⊢ ContinuousAt (fun a => a ^ y) ↑x
rw [continuousAt_coe_iff]
case h.e'_5
y : ℝ
h : 0 < y
x : ℝ≥0
⊢ (fun a => a ^ y) ∘ some = some ∘ fun z => z ^ y
case neg.intro
y : ℝ
h : 0 < y
x : ℝ≥0
⊢ ContinuousAt ((fun a => a ^ y) ∘ some) x
convert continuous_coe.continuousAt.comp (NNReal.continuousAt_rpow_const (Or.inr h.le)) using 1
case h.e'_5.h
y : ℝ
h : 0 < y
x✝ x : ℝ≥0
⊢ ((fun a => a ^ y) ∘ some) x = (some ∘ fun z => z ^ y) x
case h.e'_5
y : ℝ
h : 0 < y
x : ℝ≥0
⊢ (fun a => a ^ y) ∘ some = some ∘ fun z => z ^ y
ext1 x
no goals
case h.e'_5.h
y : ℝ
h : 0 < y
x✝ x : ℝ≥0
⊢ ((fun a => a ^ y) ∘ some) x = (some ∘ fun z => z ^ y) x
simp [coe_rpow_of_nonneg _ h.le]
case pos
x : ℝ≥0∞
y : ℝ
h : 0 < y
hx : x = ⊤
⊢ Tendsto (fun a => a ^ y) (𝓝 ⊤) (𝓝 (⊤ ^ y))
case pos
x : ℝ≥0∞
y : ℝ
h : 0 < y
hx : x = ⊤
⊢ ContinuousAt (fun a => a ^ y) x
rw [hx, ContinuousAt]
case h.e'_5.h.e'_3
x : ℝ≥0∞
y : ℝ
h : 0 < y
hx : x = ⊤
⊢ ⊤ ^ y = ⊤
case pos
x : ℝ≥0∞
y : ℝ
h : 0 < y
hx : x = ⊤
⊢ Tendsto (fun a => a ^ y) (𝓝 ⊤) (𝓝 (⊤ ^ y))
convert ENNReal.tendsto_rpow_at_top h
no goals
case h.e'_5.h.e'_3
x : ℝ≥0∞
y : ℝ
h : 0 < y
hx : x = ⊤
⊢ ⊤ ^ y = ⊤
simp [h]