α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
β : Type ?u.24491
inst✝¹ : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
γ : Type u_2
inst✝ : LinearOrder γ
f : α → γ
⊢ (∀ (y : γ), IsOpen (f ⁻¹' Ioi y)) ↔ ∀ (y : γ), IsClosed (f ⁻¹' Iic y)
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
β : Type ?u.24491
inst✝¹ : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
γ : Type u_2
inst✝ : LinearOrder γ
f : α → γ
⊢ LowerSemicontinuous f ↔ ∀ (y : γ), IsClosed (f ⁻¹' Iic y)
rw [lowerSemicontinuous_iff_isOpen_preimage]
no goals
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
β : Type ?u.24491
inst✝¹ : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
γ : Type u_2
inst✝ : LinearOrder γ
f : α → γ
⊢ (∀ (y : γ), IsOpen (f ⁻¹' Ioi y)) ↔ ∀ (y : γ), IsClosed (f ⁻¹' Iic y)
simp only [← isOpen_compl_iff, ← preimage_compl, compl_Iic]