ι : Type u_2
E : Type u_1
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝³ : IsCountablyGenerated l
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
a✝ b : ι → ℝ
f : ℝ → E
a : ℝ
hfi : IntegrableOn f (Ioi a)
hb : Tendsto b l atTop
φ : ι → Set ℝ := fun i => Iic (b i)
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in a..b i, f x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : ℝ) in Ioi a, f x ∂μ))
ι : Type u_2
E : Type u_1
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝³ : IsCountablyGenerated l
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
a✝ b : ι → ℝ
f : ℝ → E
a : ℝ
hfi : IntegrableOn f (Ioi a)
hb : Tendsto b l atTop
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in a..b i, f x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : ℝ) in Ioi a, f x ∂μ))
let φ i := Iic (b i)
ι : Type u_2
E : Type u_1
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝³ : IsCountablyGenerated l
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
a✝ b : ι → ℝ
f : ℝ → E
a : ℝ
hfi : IntegrableOn f (Ioi a)
hb : Tendsto b l atTop
φ : ι → Set ℝ := fun i => Iic (b i)
hφ : AECover (Measure.restrict μ (Ioi a)) l φ
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in a..b i, f x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : ℝ) in Ioi a, f x ∂μ))
ι : Type u_2
E : Type u_1
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝³ : IsCountablyGenerated l
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
a✝ b : ι → ℝ
f : ℝ → E
a : ℝ
hfi : IntegrableOn f (Ioi a)
hb : Tendsto b l atTop
φ : ι → Set ℝ := fun i => Iic (b i)
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in a..b i, f x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : ℝ) in Ioi a, f x ∂μ))
have hφ : AECover (μ.restrict <| Ioi a) l φ := aecover_Iic hb
ι : Type u_2
E : Type u_1
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝³ : IsCountablyGenerated l
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
a✝ b : ι → ℝ
f : ℝ → E
a : ℝ
hfi : IntegrableOn f (Ioi a)
hb : Tendsto b l atTop
φ : ι → Set ℝ := fun i => Iic (b i)
hφ : AECover (Measure.restrict μ (Ioi a)) l φ
⊢ (fun i => ∫ (x : ℝ) in φ i, f x ∂Measure.restrict μ (Ioi a)) =ᶠ[l] fun i => ∫ (x : ℝ) in a..b i, f x ∂μ
ι : Type u_2
E : Type u_1
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝³ : IsCountablyGenerated l
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
a✝ b : ι → ℝ
f : ℝ → E
a : ℝ
hfi : IntegrableOn f (Ioi a)
hb : Tendsto b l atTop
φ : ι → Set ℝ := fun i => Iic (b i)
hφ : AECover (Measure.restrict μ (Ioi a)) l φ
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in a..b i, f x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : ℝ) in Ioi a, f x ∂μ))
refine' (hφ.integral_tendsto_of_countably_generated hfi).congr' _
case h
ι : Type u_2
E : Type u_1
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝³ : IsCountablyGenerated l
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
a✝ b : ι → ℝ
f : ℝ → E
a : ℝ
hfi : IntegrableOn f (Ioi a)
hb : Tendsto b l atTop
φ : ι → Set ℝ := fun i => Iic (b i)
hφ : AECover (Measure.restrict μ (Ioi a)) l φ
i : ι
hbi : a ≤ b i
⊢ (∫ (x : ℝ) in Iic (b i), f x ∂Measure.restrict μ (Ioi a)) = ∫ (x : ℝ) in a..b i, f x ∂μ
ι : Type u_2
E : Type u_1
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝³ : IsCountablyGenerated l
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
a✝ b : ι → ℝ
f : ℝ → E
a : ℝ
hfi : IntegrableOn f (Ioi a)
hb : Tendsto b l atTop
φ : ι → Set ℝ := fun i => Iic (b i)
hφ : AECover (Measure.restrict μ (Ioi a)) l φ
⊢ (fun i => ∫ (x : ℝ) in φ i, f x ∂Measure.restrict μ (Ioi a)) =ᶠ[l] fun i => ∫ (x : ℝ) in a..b i, f x ∂μ
filter_upwards [hb.eventually (eventually_ge_atTop <| a)] with i hbi
case h
ι : Type u_2
E : Type u_1
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝³ : IsCountablyGenerated l
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
a✝ b : ι → ℝ
f : ℝ → E
a : ℝ
hfi : IntegrableOn f (Ioi a)
hb : Tendsto b l atTop
φ : ι → Set ℝ := fun i => Iic (b i)
hφ : AECover (Measure.restrict μ (Ioi a)) l φ
i : ι
hbi : a ≤ b i
⊢ (∫ (x : ℝ) in Ioi a ∩ φ i, f x ∂μ) = ∫ (x : ℝ) in Ioc a (b i), f x ∂μ
case h
ι : Type u_2
E : Type u_1
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝³ : IsCountablyGenerated l
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
a✝ b : ι → ℝ
f : ℝ → E
a : ℝ
hfi : IntegrableOn f (Ioi a)
hb : Tendsto b l atTop
φ : ι → Set ℝ := fun i => Iic (b i)
hφ : AECover (Measure.restrict μ (Ioi a)) l φ
i : ι
hbi : a ≤ b i
⊢ (∫ (x : ℝ) in Iic (b i), f x ∂Measure.restrict μ (Ioi a)) = ∫ (x : ℝ) in a..b i, f x ∂μ
rw [intervalIntegral.integral_of_le hbi, Measure.restrict_restrict (hφ.measurableSet i),
  inter_comm]
no goals
case h
ι : Type u_2
E : Type u_1
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝³ : IsCountablyGenerated l
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
a✝ b : ι → ℝ
f : ℝ → E
a : ℝ
hfi : IntegrableOn f (Ioi a)
hb : Tendsto b l atTop
φ : ι → Set ℝ := fun i => Iic (b i)
hφ : AECover (Measure.restrict μ (Ioi a)) l φ
i : ι
hbi : a ≤ b i
⊢ (∫ (x : ℝ) in Ioi a ∩ φ i, f x ∂μ) = ∫ (x : ℝ) in Ioc a (b i), f x ∂μ
rfl