α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type ?u.36095
P : Type ?u.36098
R : Type u_3
S : Type ?u.36104
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
f : α →₀ M
x✝ : f ∈ ⊤
⊢ f ∈ ⨆ (a : α), LinearMap.range (lsingle a)
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type ?u.36095
P : Type ?u.36098
R : Type u_3
S : Type ?u.36104
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
⊢ (⨆ (a : α), LinearMap.range (lsingle a)) = ⊤
refine' eq_top_iff.2 <| SetLike.le_def.2 fun f _ => _
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type ?u.36095
P : Type ?u.36098
R : Type u_3
S : Type ?u.36104
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
f : α →₀ M
x✝ : f ∈ ⊤
⊢ sum f single ∈ ⨆ (a : α), LinearMap.range (lsingle a)
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type ?u.36095
P : Type ?u.36098
R : Type u_3
S : Type ?u.36104
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
f : α →₀ M
x✝ : f ∈ ⊤
⊢ f ∈ ⨆ (a : α), LinearMap.range (lsingle a)
rw [← sum_single f]
no goals
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type ?u.36095
P : Type ?u.36098
R : Type u_3
S : Type ?u.36104
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
f : α →₀ M
x✝ : f ∈ ⊤
⊢ sum f single ∈ ⨆ (a : α), LinearMap.range (lsingle a)
exact sum_mem fun a _ => Submodule.mem_iSup_of_mem a ⟨_, rfl⟩