case h
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
k : ℕ
h : Fintype.card n - 1 ≤ k
⊢ coeff (charpoly M) k - coeff (∏ i : n, (X - ↑C (M i i))) k = 0
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
k : ℕ
h : Fintype.card n - 1 ≤ k
⊢ coeff (charpoly M) k = coeff (∏ i : n, (X - ↑C (M i i))) k
apply eq_of_sub_eq_zero
case h
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
k : ℕ
h : Fintype.card n - 1 ≤ k
⊢ coeff (charpoly M - ∏ i : n, (X - ↑C (M i i))) k = 0
case h
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
k : ℕ
h : Fintype.card n - 1 ≤ k
⊢ coeff (charpoly M) k - coeff (∏ i : n, (X - ↑C (M i i))) k = 0
rw [← coeff_sub]
case h.h
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
k : ℕ
h : Fintype.card n - 1 ≤ k
⊢ degree (charpoly M - ∏ i : n, (X - ↑C (M i i))) < ↑k
case h
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
k : ℕ
h : Fintype.card n - 1 ≤ k
⊢ coeff (charpoly M - ∏ i : n, (X - ↑C (M i i))) k = 0
apply Polynomial.coeff_eq_zero_of_degree_lt
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
k : ℕ
h : Fintype.card n - 1 ≤ k
⊢ ↑(Fintype.card n - 1) ≤ ↑k
case h.h
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
k : ℕ
h : Fintype.card n - 1 ≤ k
⊢ degree (charpoly M - ∏ i : n, (X - ↑C (M i i))) < ↑k
apply lt_of_lt_of_le (charpoly_sub_diagonal_degree_lt M) ?_
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
k : ℕ
h : Fintype.card n - 1 ≤ k
⊢ ↑(Fintype.card n - 1) ≤ ↑k
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
k : ℕ
h : Fintype.card n - 1 ≤ k
⊢ ↑(Fintype.card n - 1) ≤ ↑k
rw [Nat.cast_withBot, Nat.cast_withBot]
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
k : ℕ
h : Fintype.card n - 1 ≤ k
⊢ Fintype.card n - 1 ≤ k
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
k : ℕ
h : Fintype.card n - 1 ≤ k
⊢ ↑(Fintype.card n - 1) ≤ ↑k
rw [WithBot.coe_le_coe]
no goals
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
k : ℕ
h : Fintype.card n - 1 ≤ k
⊢ Fintype.card n - 1 ≤ k
apply h