ι₁ : Type u_5
ι₂ : Type u_6
R : Type u_1
R₂ : Type ?u.52670
S : Type ?u.52673
S₂ : Type ?u.52676
M : Type ?u.52679
N : Type ?u.52682
P : Type ?u.52685
Mₗ : Type u_2
Nₗ : Type u_4
Pₗ : Type u_3
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : CommSemiring S
inst✝¹⁵ : CommSemiring R₂
inst✝¹⁴ : CommSemiring S₂
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Mₗ
inst✝⁹ : AddCommMonoid Nₗ
inst✝⁸ : AddCommMonoid Pₗ
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module S N
inst✝⁵ : Module R₂ P
inst✝⁴ : Module S₂ P
inst✝³ : Module R Mₗ
inst✝² : Module R Nₗ
inst✝¹ : Module R Pₗ
inst✝ : SMulCommClass S₂ R₂ P
ρ₁₂ : R →+* R₂
σ₁₂ : S →+* S₂
b₁ : Basis ι₁ R M
b₂ : Basis ι₂ S N
b₁' : Basis ι₁ R Mₗ
b₂' : Basis ι₂ R Nₗ
B : Mₗ →ₗ[R] Nₗ →ₗ[R] Pₗ
x : Mₗ
y : Nₗ
⊢ (Finsupp.sum (↑b₁'.repr x) fun i xi => Finsupp.sum (↑b₂'.repr y) fun j yj => xi • yj • ↑(↑B (↑b₁' i)) (↑b₂' j)) =
    ↑(↑B (↑(Finsupp.total ι₁ Mₗ R ↑b₁') (↑b₁'.repr x))) (↑(Finsupp.total ι₂ Nₗ R ↑b₂') (↑b₂'.repr y))
ι₁ : Type u_5
ι₂ : Type u_6
R : Type u_1
R₂ : Type ?u.52670
S : Type ?u.52673
S₂ : Type ?u.52676
M : Type ?u.52679
N : Type ?u.52682
P : Type ?u.52685
Mₗ : Type u_2
Nₗ : Type u_4
Pₗ : Type u_3
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : CommSemiring S
inst✝¹⁵ : CommSemiring R₂
inst✝¹⁴ : CommSemiring S₂
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Mₗ
inst✝⁹ : AddCommMonoid Nₗ
inst✝⁸ : AddCommMonoid Pₗ
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module S N
inst✝⁵ : Module R₂ P
inst✝⁴ : Module S₂ P
inst✝³ : Module R Mₗ
inst✝² : Module R Nₗ
inst✝¹ : Module R Pₗ
inst✝ : SMulCommClass S₂ R₂ P
ρ₁₂ : R →+* R₂
σ₁₂ : S →+* S₂
b₁ : Basis ι₁ R M
b₂ : Basis ι₂ S N
b₁' : Basis ι₁ R Mₗ
b₂' : Basis ι₂ R Nₗ
B : Mₗ →ₗ[R] Nₗ →ₗ[R] Pₗ
x : Mₗ
y : Nₗ
⊢ (Finsupp.sum (↑b₁'.repr x) fun i xi => Finsupp.sum (↑b₂'.repr y) fun j yj => xi • yj • ↑(↑B (↑b₁' i)) (↑b₂' j)) =
    ↑(↑B x) y
conv_rhs => rw [← b₁'.total_repr x, ← b₂'.total_repr y]
no goals
ι₁ : Type u_5
ι₂ : Type u_6
R : Type u_1
R₂ : Type ?u.52670
S : Type ?u.52673
S₂ : Type ?u.52676
M : Type ?u.52679
N : Type ?u.52682
P : Type ?u.52685
Mₗ : Type u_2
Nₗ : Type u_4
Pₗ : Type u_3
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : CommSemiring S
inst✝¹⁵ : CommSemiring R₂
inst✝¹⁴ : CommSemiring S₂
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Mₗ
inst✝⁹ : AddCommMonoid Nₗ
inst✝⁸ : AddCommMonoid Pₗ
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module S N
inst✝⁵ : Module R₂ P
inst✝⁴ : Module S₂ P
inst✝³ : Module R Mₗ
inst✝² : Module R Nₗ
inst✝¹ : Module R Pₗ
inst✝ : SMulCommClass S₂ R₂ P
ρ₁₂ : R →+* R₂
σ₁₂ : S →+* S₂
b₁ : Basis ι₁ R M
b₂ : Basis ι₂ S N
b₁' : Basis ι₁ R Mₗ
b₂' : Basis ι₂ R Nₗ
B : Mₗ →ₗ[R] Nₗ →ₗ[R] Pₗ
x : Mₗ
y : Nₗ
⊢ (Finsupp.sum (↑b₁'.repr x) fun i xi => Finsupp.sum (↑b₂'.repr y) fun j yj => xi • yj • ↑(↑B (↑b₁' i)) (↑b₂' j)) =
    ↑(↑B (↑(Finsupp.total ι₁ Mₗ R ↑b₁') (↑b₁'.repr x))) (↑(Finsupp.total ι₂ Nₗ R ↑b₂') (↑b₂'.repr y))
simp_rw [Finsupp.total_apply, Finsupp.sum, map_sum₂, map_sum, LinearMap.map_smul₂,
  LinearMap.map_smul]