α : Type u_4
β : Type ?u.121726
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : IsROrC 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
x₀ x : E
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 N (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
⊢ (∀ (m : ℕ), ↑m ≤ N → Continuous fun x => iteratedFDeriv 𝕜 m (fun x => ∑' (i : α), f i x) x) ∧
    ∀ (m : ℕ), ↑m < N → Differentiable 𝕜 fun x => iteratedFDeriv 𝕜 m (fun x => ∑' (i : α), f i x) x
α : Type u_4
β : Type ?u.121726
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : IsROrC 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
x₀ x : E
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 N (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
⊢ ContDiff 𝕜 N fun x => ∑' (i : α), f i x
rw [contDiff_iff_continuous_differentiable]
case left
α : Type u_4
β : Type ?u.121726
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : IsROrC 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
x₀ x : E
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 N (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
⊢ ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ N → Continuous fun x => iteratedFDeriv 𝕜 m (fun x => ∑' (i : α), f i x) x

case right
α : Type u_4
β : Type ?u.121726
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : IsROrC 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
x₀ x : E
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 N (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
⊢ ∀ (m : ℕ), ↑m < N → Differentiable 𝕜 fun x => iteratedFDeriv 𝕜 m (fun x => ∑' (i : α), f i x) x
α : Type u_4
β : Type ?u.121726
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : IsROrC 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
x₀ x : E
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 N (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
⊢ (∀ (m : ℕ), ↑m ≤ N → Continuous fun x => iteratedFDeriv 𝕜 m (fun x => ∑' (i : α), f i x) x) ∧
    ∀ (m : ℕ), ↑m < N → Differentiable 𝕜 fun x => iteratedFDeriv 𝕜 m (fun x => ∑' (i : α), f i x) x
constructor
case left
α : Type u_4
β : Type ?u.121726
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : IsROrC 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
x₀ x : E
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 N (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
m : ℕ
hm : ↑m ≤ N
⊢ Continuous fun x => iteratedFDeriv 𝕜 m (fun x => ∑' (i : α), f i x) x
case left
α : Type u_4
β : Type ?u.121726
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : IsROrC 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
x₀ x : E
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 N (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
⊢ ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ N → Continuous fun x => iteratedFDeriv 𝕜 m (fun x => ∑' (i : α), f i x) x
intro m hm
case left
α : Type u_4
β : Type ?u.121726
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : IsROrC 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
x₀ x : E
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 N (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
m : ℕ
hm : ↑m ≤ N
⊢ Continuous fun x => (fun x => ∑' (n : α), iteratedFDeriv 𝕜 m (f n) x) x
case left
α : Type u_4
β : Type ?u.121726
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : IsROrC 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
x₀ x : E
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 N (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
m : ℕ
hm : ↑m ≤ N
⊢ Continuous fun x => iteratedFDeriv 𝕜 m (fun x => ∑' (i : α), f i x) x
rw [iteratedFDeriv_tsum hf hv h'f hm]
case left.refine'_1
α : Type u_4
β : Type ?u.121726
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : IsROrC 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
x₀ x : E
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 N (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
m : ℕ
hm : ↑m ≤ N
⊢ ∀ (i : α), Continuous fun x => iteratedFDeriv 𝕜 m (f i) x

case left.refine'_2
α : Type u_4
β : Type ?u.121726
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : IsROrC 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
x₀ x : E
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 N (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
m : ℕ
hm : ↑m ≤ N
⊢ ∀ (n : α) (x : E), ‖iteratedFDeriv 𝕜 m (f n) x‖ ≤ v m n
case left
α : Type u_4
β : Type ?u.121726
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : IsROrC 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
x₀ x : E
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 N (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
m : ℕ
hm : ↑m ≤ N
⊢ Continuous fun x => (fun x => ∑' (n : α), iteratedFDeriv 𝕜 m (f n) x) x
refine' continuous_tsum _ (hv m hm) _
case left.refine'_1
α : Type u_4
β : Type ?u.121726
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : IsROrC 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
x₀ x : E
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 N (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
m : ℕ
hm : ↑m ≤ N
i : α
⊢ Continuous fun x => iteratedFDeriv 𝕜 m (f i) x
case left.refine'_1
α : Type u_4
β : Type ?u.121726
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : IsROrC 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
x₀ x : E
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 N (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
m : ℕ
hm : ↑m ≤ N
⊢ ∀ (i : α), Continuous fun x => iteratedFDeriv 𝕜 m (f i) x
intro i
no goals
case left.refine'_1
α : Type u_4
β : Type ?u.121726
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : IsROrC 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
x₀ x : E
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 N (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
m : ℕ
hm : ↑m ≤ N
i : α
⊢ Continuous fun x => iteratedFDeriv 𝕜 m (f i) x
exact ContDiff.continuous_iteratedFDeriv hm (hf i)
case left.refine'_2
α : Type u_4
β : Type ?u.121726
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : IsROrC 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
x₀ x✝ : E
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 N (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
m : ℕ
hm : ↑m ≤ N
n : α
x : E
⊢ ‖iteratedFDeriv 𝕜 m (f n) x‖ ≤ v m n
case left.refine'_2
α : Type u_4
β : Type ?u.121726
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : IsROrC 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
x₀ x : E
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 N (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
m : ℕ
hm : ↑m ≤ N
⊢ ∀ (n : α) (x : E), ‖iteratedFDeriv 𝕜 m (f n) x‖ ≤ v m n
intro n x
no goals
case left.refine'_2
α : Type u_4
β : Type ?u.121726
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : IsROrC 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
x₀ x✝ : E
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 N (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
m : ℕ
hm : ↑m ≤ N
n : α
x : E
⊢ ‖iteratedFDeriv 𝕜 m (f n) x‖ ≤ v m n
exact h'f _ _ _ hm
case right
α : Type u_4
β : Type ?u.121726
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : IsROrC 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
x₀ x : E
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 N (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
m : ℕ
hm : ↑m < N
⊢ Differentiable 𝕜 fun x => iteratedFDeriv 𝕜 m (fun x => ∑' (i : α), f i x) x
case right
α : Type u_4
β : Type ?u.121726
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : IsROrC 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
x₀ x : E
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 N (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
⊢ ∀ (m : ℕ), ↑m < N → Differentiable 𝕜 fun x => iteratedFDeriv 𝕜 m (fun x => ∑' (i : α), f i x) x
intro m hm
case right
α : Type u_4
β : Type ?u.121726
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : IsROrC 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
x₀ x : E
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 N (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
m : ℕ
hm : ↑m < N
h'm : ↑(m + 1) ≤ N
⊢ Differentiable 𝕜 fun x => iteratedFDeriv 𝕜 m (fun x => ∑' (i : α), f i x) x
case right
α : Type u_4
β : Type ?u.121726
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : IsROrC 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
x₀ x : E
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 N (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
m : ℕ
hm : ↑m < N
⊢ Differentiable 𝕜 fun x => iteratedFDeriv 𝕜 m (fun x => ∑' (i : α), f i x) x
have h'm : ((m + 1 : ℕ) : ℕ∞) ≤ N := by
  simpa only [ENat.coe_add, Nat.cast_withBot, ENat.coe_one] using ENat.add_one_le_of_lt hm
case right
α : Type u_4
β : Type ?u.121726
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : IsROrC 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
x₀ x : E
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 N (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
m : ℕ
hm : ↑m < N
h'm : ↑(m + 1) ≤ N
⊢ Differentiable 𝕜 fun x => (fun x => ∑' (n : α), iteratedFDeriv 𝕜 m (f n) x) x
case right
α : Type u_4
β : Type ?u.121726
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : IsROrC 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
x₀ x : E
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 N (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
m : ℕ
hm : ↑m < N
h'm : ↑(m + 1) ≤ N
⊢ Differentiable 𝕜 fun x => iteratedFDeriv 𝕜 m (fun x => ∑' (i : α), f i x) x
rw [iteratedFDeriv_tsum hf hv h'f hm.le]
case right
α : Type u_4
β : Type ?u.121726
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : IsROrC 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
x₀ x : E
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 N (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
m : ℕ
hm : ↑m < N
h'm : ↑(m + 1) ≤ N
A : ∀ (n : α) (x : E), HasFDerivAt (iteratedFDeriv 𝕜 m (f n)) (fderiv 𝕜 (iteratedFDeriv 𝕜 m (f n)) x) x
⊢ Differentiable 𝕜 fun x => (fun x => ∑' (n : α), iteratedFDeriv 𝕜 m (f n) x) x
case right
α : Type u_4
β : Type ?u.121726
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : IsROrC 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
x₀ x : E
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 N (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
m : ℕ
hm : ↑m < N
h'm : ↑(m + 1) ≤ N
⊢ Differentiable 𝕜 fun x => (fun x => ∑' (n : α), iteratedFDeriv 𝕜 m (f n) x) x
have A :
  ∀ n x, HasFDerivAt (iteratedFDeriv 𝕜 m (f n)) (fderiv 𝕜 (iteratedFDeriv 𝕜 m (f n)) x) x :=
  fun n x => (ContDiff.differentiable_iteratedFDeriv hm (hf n)).differentiableAt.hasFDerivAt
case right
α : Type u_4
β : Type ?u.121726
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : IsROrC 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
x₀ x✝ : E
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 N (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
m : ℕ
hm : ↑m < N
h'm : ↑(m + 1) ≤ N
A : ∀ (n : α) (x : E), HasFDerivAt (iteratedFDeriv 𝕜 m (f n)) (fderiv 𝕜 (iteratedFDeriv 𝕜 m (f n)) x) x
n : α
x : E
⊢ ‖fderiv 𝕜 (iteratedFDeriv 𝕜 m (f n)) x‖ ≤ v (m + 1) n
case right
α : Type u_4
β : Type ?u.121726
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : IsROrC 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
x₀ x : E
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 N (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
m : ℕ
hm : ↑m < N
h'm : ↑(m + 1) ≤ N
A : ∀ (n : α) (x : E), HasFDerivAt (iteratedFDeriv 𝕜 m (f n)) (fderiv 𝕜 (iteratedFDeriv 𝕜 m (f n)) x) x
⊢ Differentiable 𝕜 fun x => (fun x => ∑' (n : α), iteratedFDeriv 𝕜 m (f n) x) x
refine differentiable_tsum (hv _ h'm) A fun n x => ?_
case right
α : Type u_4
β : Type ?u.121726
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : IsROrC 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
x₀ x✝ : E
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 N (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
m : ℕ
hm : ↑m < N
h'm : ↑(m + 1) ≤ N
A : ∀ (n : α) (x : E), HasFDerivAt (iteratedFDeriv 𝕜 m (f n)) (fderiv 𝕜 (iteratedFDeriv 𝕜 m (f n)) x) x
n : α
x : E
⊢ ‖iteratedFDeriv 𝕜 (m + 1) (f n) x‖ ≤ v (m + 1) n
case right
α : Type u_4
β : Type ?u.121726
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : IsROrC 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
x₀ x✝ : E
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 N (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
m : ℕ
hm : ↑m < N
h'm : ↑(m + 1) ≤ N
A : ∀ (n : α) (x : E), HasFDerivAt (iteratedFDeriv 𝕜 m (f n)) (fderiv 𝕜 (iteratedFDeriv 𝕜 m (f n)) x) x
n : α
x : E
⊢ ‖fderiv 𝕜 (iteratedFDeriv 𝕜 m (f n)) x‖ ≤ v (m + 1) n
rw [fderiv_iteratedFDeriv, comp_apply, LinearIsometryEquiv.norm_map]
no goals
case right
α : Type u_4
β : Type ?u.121726
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : IsROrC 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
x₀ x✝ : E
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 N (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
m : ℕ
hm : ↑m < N
h'm : ↑(m + 1) ≤ N
A : ∀ (n : α) (x : E), HasFDerivAt (iteratedFDeriv 𝕜 m (f n)) (fderiv 𝕜 (iteratedFDeriv 𝕜 m (f n)) x) x
n : α
x : E
⊢ ‖iteratedFDeriv 𝕜 (m + 1) (f n) x‖ ≤ v (m + 1) n
exact h'f _ _ _ h'm
no goals
α : Type u_4
β : Type ?u.121726
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : IsROrC 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
x₀ x : E
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 N (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
m : ℕ
hm : ↑m < N
⊢ ↑(m + 1) ≤ N
simpa only [ENat.coe_add, Nat.cast_withBot, ENat.coe_one] using ENat.add_one_le_of_lt hm