case nil
ι : Type ?u.11902
α : Type ?u.11905
M : Type ?u.11908
N : Type ?u.11911
P : Type ?u.11914
M₀ : Type ?u.11917
G : Type ?u.11920
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
a : R
l : List R
h✝ : ∀ (x : R), x ∈ l → a ∣ x
h : ∀ (x : R), x ∈ [] → a ∣ x
⊢ a ∣ sum []

case cons
ι : Type ?u.11902
α : Type ?u.11905
M : Type ?u.11908
N : Type ?u.11911
P : Type ?u.11914
M₀ : Type ?u.11917
G : Type ?u.11920
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
a : R
l✝ : List R
h✝ : ∀ (x : R), x ∈ l✝ → a ∣ x
x : R
l : List R
ih : (∀ (x : R), x ∈ l → a ∣ x) → a ∣ sum l
h : ∀ (x_1 : R), x_1 ∈ x :: l → a ∣ x_1
⊢ a ∣ sum (x :: l)
ι : Type ?u.11902
α : Type ?u.11905
M : Type ?u.11908
N : Type ?u.11911
P : Type ?u.11914
M₀ : Type ?u.11917
G : Type ?u.11920
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
a : R
l : List R
h : ∀ (x : R), x ∈ l → a ∣ x
⊢ a ∣ sum l
induction' l with x l ih
no goals
case nil
ι : Type ?u.11902
α : Type ?u.11905
M : Type ?u.11908
N : Type ?u.11911
P : Type ?u.11914
M₀ : Type ?u.11917
G : Type ?u.11920
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
a : R
l : List R
h✝ : ∀ (x : R), x ∈ l → a ∣ x
h : ∀ (x : R), x ∈ [] → a ∣ x
⊢ a ∣ sum []
exact dvd_zero _
case cons
ι : Type ?u.11902
α : Type ?u.11905
M : Type ?u.11908
N : Type ?u.11911
P : Type ?u.11914
M₀ : Type ?u.11917
G : Type ?u.11920
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
a : R
l✝ : List R
h✝ : ∀ (x : R), x ∈ l✝ → a ∣ x
x : R
l : List R
ih : (∀ (x : R), x ∈ l → a ∣ x) → a ∣ sum l
h : ∀ (x_1 : R), x_1 ∈ x :: l → a ∣ x_1
⊢ a ∣ x + sum l
case cons
ι : Type ?u.11902
α : Type ?u.11905
M : Type ?u.11908
N : Type ?u.11911
P : Type ?u.11914
M₀ : Type ?u.11917
G : Type ?u.11920
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
a : R
l✝ : List R
h✝ : ∀ (x : R), x ∈ l✝ → a ∣ x
x : R
l : List R
ih : (∀ (x : R), x ∈ l → a ∣ x) → a ∣ sum l
h : ∀ (x_1 : R), x_1 ∈ x :: l → a ∣ x_1
⊢ a ∣ sum (x :: l)
rw [List.sum_cons]
no goals
case cons
ι : Type ?u.11902
α : Type ?u.11905
M : Type ?u.11908
N : Type ?u.11911
P : Type ?u.11914
M₀ : Type ?u.11917
G : Type ?u.11920
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
a : R
l✝ : List R
h✝ : ∀ (x : R), x ∈ l✝ → a ∣ x
x : R
l : List R
ih : (∀ (x : R), x ∈ l → a ∣ x) → a ∣ sum l
h : ∀ (x_1 : R), x_1 ∈ x :: l → a ∣ x_1
⊢ a ∣ x + sum l
exact dvd_add (h _ (mem_cons_self _ _)) (ih fun x hx => h x (mem_cons_of_mem _ hx))