𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
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inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
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g : F → G
x x₀ : E
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m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
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s₂ : Set 𝕜
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s₂
⊢ DifferentiableOn 𝕜 f₂ s₂ →
    (ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderivWithin 𝕜 f₂ s₂ y) s₂ ↔ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (derivWithin f₂ s₂) s₂)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
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G : Type uG
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s₂ : Set 𝕜
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s₂
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1)) f₂ s₂ ↔ DifferentiableOn 𝕜 f₂ s₂ ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (derivWithin f₂ s₂) s₂
rw [contDiffOn_succ_iff_fderivWithin hs, and_congr_right_iff]
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
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F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
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n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s₂
a✝ : DifferentiableOn 𝕜 f₂ s₂
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderivWithin 𝕜 f₂ s₂ y) s₂ ↔ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (derivWithin f₂ s₂) s₂
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
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n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s₂
⊢ DifferentiableOn 𝕜 f₂ s₂ →
    (ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderivWithin 𝕜 f₂ s₂ y) s₂ ↔ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (derivWithin f₂ s₂) s₂)
intro _
case mp
𝕜 : Type u_1
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D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
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hs : UniqueDiffOn 𝕜 s₂
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⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderivWithin 𝕜 f₂ s₂ y) s₂ → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (derivWithin f₂ s₂) s₂

case mpr
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
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⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (derivWithin f₂ s₂) s₂ → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderivWithin 𝕜 f₂ s₂ y) s₂
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
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F : Type uF
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⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderivWithin 𝕜 f₂ s₂ y) s₂ ↔ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (derivWithin f₂ s₂) s₂
constructor
case mp
𝕜 : Type u_1
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⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (derivWithin f₂ s₂) s₂
case mp
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
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G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
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m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f₂ : 𝕜 → F
s₂ : Set 𝕜
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s₂
a✝ : DifferentiableOn 𝕜 f₂ s₂
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderivWithin 𝕜 f₂ s₂ y) s₂ → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (derivWithin f₂ s₂) s₂
intro h
case this
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
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f₂ : 𝕜 → F
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hs : UniqueDiffOn 𝕜 s₂
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this : derivWithin f₂ s₂ = (fun u => ↑u 1) ∘ fderivWithin 𝕜 f₂ s₂
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (derivWithin f₂ s₂) s₂
case mp
𝕜 : Type u_1
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⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (derivWithin f₂ s₂) s₂
have : derivWithin f₂ s₂ = (fun u : 𝕜 →L[𝕜] F => u 1) ∘ fderivWithin 𝕜 f₂ s₂
case mp
𝕜 : Type u_1
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D : Type uD
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this : derivWithin f₂ s₂ = (fun u => ↑u 1) ∘ fderivWithin 𝕜 f₂ s₂
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑n) ((fun u => ↑u 1) ∘ fderivWithin 𝕜 f₂ s₂) s₂
case mp
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
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F : Type uF
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G : Type uG
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p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
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n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s₂
a✝ : DifferentiableOn 𝕜 f₂ s₂
h : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderivWithin 𝕜 f₂ s₂ y) s₂
this : derivWithin f₂ s₂ = (fun u => ↑u 1) ∘ fderivWithin 𝕜 f₂ s₂
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (derivWithin f₂ s₂) s₂
simp_rw [this]
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
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X : Type ?u.2969063
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inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
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x x₀ : E
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m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
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n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s₂
a✝ : DifferentiableOn 𝕜 f₂ s₂
h : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderivWithin 𝕜 f₂ s₂ y) s₂
this : derivWithin f₂ s₂ = (fun u => ↑u 1) ∘ fderivWithin 𝕜 f₂ s₂
⊢ ContDiff 𝕜 ↑n fun u => ↑u 1
case mp
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2969063
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
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g : F → G
x x₀ : E
c : F
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m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f₂ : 𝕜 → F
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n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s₂
a✝ : DifferentiableOn 𝕜 f₂ s₂
h : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderivWithin 𝕜 f₂ s₂ y) s₂
this : derivWithin f₂ s₂ = (fun u => ↑u 1) ∘ fderivWithin 𝕜 f₂ s₂
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑n) ((fun u => ↑u 1) ∘ fderivWithin 𝕜 f₂ s₂) s₂
apply ContDiff.comp_contDiffOn _ h
no goals
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
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inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
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f f₁ : E → F
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x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f₂ : 𝕜 → F
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n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s₂
a✝ : DifferentiableOn 𝕜 f₂ s₂
h : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderivWithin 𝕜 f₂ s₂ y) s₂
this : derivWithin f₂ s₂ = (fun u => ↑u 1) ∘ fderivWithin 𝕜 f₂ s₂
⊢ ContDiff 𝕜 ↑n fun u => ↑u 1
exact (isBoundedBilinearMapApply.isBoundedLinearMap_left _).contDiff
case this.h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2969063
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f₂ : 𝕜 → F
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n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s₂
a✝ : DifferentiableOn 𝕜 f₂ s₂
h : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderivWithin 𝕜 f₂ s₂ y) s₂
x : 𝕜
⊢ derivWithin f₂ s₂ x = ((fun u => ↑u 1) ∘ fderivWithin 𝕜 f₂ s₂) x
case this
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2969063
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
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x x₀ : E
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m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f₂ : 𝕜 → F
s₂ : Set 𝕜
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s₂
a✝ : DifferentiableOn 𝕜 f₂ s₂
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⊢ derivWithin f₂ s₂ = (fun u => ↑u 1) ∘ fderivWithin 𝕜 f₂ s₂
ext x
no goals
case this.h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
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inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
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inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
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⊢ derivWithin f₂ s₂ x = ((fun u => ↑u 1) ∘ fderivWithin 𝕜 f₂ s₂) x
rfl
case mpr
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
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F : Type uF
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m n✝ : ℕ∞
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n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s₂
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case mpr
𝕜 : Type u_1
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D : Type uD
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inst✝³ : NormedAddCommGroup G
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X : Type ?u.2969063
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s s₁ t u : Set E
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b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f₂ : 𝕜 → F
s₂ : Set 𝕜
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s₂
a✝ : DifferentiableOn 𝕜 f₂ s₂
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (derivWithin f₂ s₂) s₂ → ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderivWithin 𝕜 f₂ s₂ y) s₂
intro h
case this
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2969063
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f₂ : 𝕜 → F
s₂ : Set 𝕜
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s₂
a✝ : DifferentiableOn 𝕜 f₂ s₂
h : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (derivWithin f₂ s₂) s₂
⊢ fderivWithin 𝕜 f₂ s₂ = smulRight 1 ∘ derivWithin f₂ s₂

case mpr
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2969063
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
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m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f₂ : 𝕜 → F
s₂ : Set 𝕜
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s₂
a✝ : DifferentiableOn 𝕜 f₂ s₂
h : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (derivWithin f₂ s₂) s₂
this : fderivWithin 𝕜 f₂ s₂ = smulRight 1 ∘ derivWithin f₂ s₂
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderivWithin 𝕜 f₂ s₂ y) s₂
case mpr
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
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f₂ : 𝕜 → F
s₂ : Set 𝕜
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hs : UniqueDiffOn 𝕜 s₂
a✝ : DifferentiableOn 𝕜 f₂ s₂
h : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (derivWithin f₂ s₂) s₂
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderivWithin 𝕜 f₂ s₂ y) s₂
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D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
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h : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (derivWithin f₂ s₂) s₂
this : fderivWithin 𝕜 f₂ s₂ = smulRight 1 ∘ derivWithin f₂ s₂
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => (smulRight 1 ∘ derivWithin f₂ s₂) y) s₂
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𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
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inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2969063
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f₂ : 𝕜 → F
s₂ : Set 𝕜
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s₂
a✝ : DifferentiableOn 𝕜 f₂ s₂
h : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (derivWithin f₂ s₂) s₂
this : fderivWithin 𝕜 f₂ s₂ = smulRight 1 ∘ derivWithin f₂ s₂
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderivWithin 𝕜 f₂ s₂ y) s₂
simp only [this]
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
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G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2969063
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inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
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p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f₂ : 𝕜 → F
s₂ : Set 𝕜
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s₂
a✝ : DifferentiableOn 𝕜 f₂ s₂
h : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (derivWithin f₂ s₂) s₂
this : fderivWithin 𝕜 f₂ s₂ = smulRight 1 ∘ derivWithin f₂ s₂
⊢ ContDiff 𝕜 (↑n) (smulRight 1)
case mpr
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2969063
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
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p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f₂ : 𝕜 → F
s₂ : Set 𝕜
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s₂
a✝ : DifferentiableOn 𝕜 f₂ s₂
h : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (derivWithin f₂ s₂) s₂
this : fderivWithin 𝕜 f₂ s₂ = smulRight 1 ∘ derivWithin f₂ s₂
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => (smulRight 1 ∘ derivWithin f₂ s₂) y) s₂
apply ContDiff.comp_contDiffOn _ h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
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G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2969063
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f₂ : 𝕜 → F
s₂ : Set 𝕜
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s₂
a✝ : DifferentiableOn 𝕜 f₂ s₂
h : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (derivWithin f₂ s₂) s₂
this✝ : fderivWithin 𝕜 f₂ s₂ = smulRight 1 ∘ derivWithin f₂ s₂
this : IsBoundedBilinearMap 𝕜 fun x => smulRight x.fst x.snd
⊢ ContDiff 𝕜 (↑n) (smulRight 1)
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
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inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
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F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
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G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2969063
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
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x x₀ : E
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m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f₂ : 𝕜 → F
s₂ : Set 𝕜
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s₂
a✝ : DifferentiableOn 𝕜 f₂ s₂
h : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (derivWithin f₂ s₂) s₂
this : fderivWithin 𝕜 f₂ s₂ = smulRight 1 ∘ derivWithin f₂ s₂
⊢ ContDiff 𝕜 (↑n) (smulRight 1)
have : IsBoundedBilinearMap 𝕜 fun _ : (𝕜 →L[𝕜] 𝕜) × F => _ := isBoundedBilinearMap_smulRight
no goals
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
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inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
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inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
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G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
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c : F
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f₂ : 𝕜 → F
s₂ : Set 𝕜
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s₂
a✝ : DifferentiableOn 𝕜 f₂ s₂
h : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (derivWithin f₂ s₂) s₂
this✝ : fderivWithin 𝕜 f₂ s₂ = smulRight 1 ∘ derivWithin f₂ s₂
this : IsBoundedBilinearMap 𝕜 fun x => smulRight x.fst x.snd
⊢ ContDiff 𝕜 (↑n) (smulRight 1)
exact (this.isBoundedLinearMap_right _).contDiff
case this.h.h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
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inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
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inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
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f f₁ : E → F
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c : F
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p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f₂ : 𝕜 → F
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n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s₂
a✝ : DifferentiableOn 𝕜 f₂ s₂
h : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (derivWithin f₂ s₂) s₂
x : 𝕜
⊢ ↑(fderivWithin 𝕜 f₂ s₂ x) 1 = ↑((smulRight 1 ∘ derivWithin f₂ s₂) x) 1
case this
𝕜 : Type u_1
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D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
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X : Type ?u.2969063
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f₂ : 𝕜 → F
s₂ : Set 𝕜
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s₂
a✝ : DifferentiableOn 𝕜 f₂ s₂
h : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (derivWithin f₂ s₂) s₂
⊢ fderivWithin 𝕜 f₂ s₂ = smulRight 1 ∘ derivWithin f₂ s₂
ext x
no goals
case this.h.h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type ?u.2969063
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f₂ : 𝕜 → F
s₂ : Set 𝕜
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s₂
a✝ : DifferentiableOn 𝕜 f₂ s₂
h : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (derivWithin f₂ s₂) s₂
x : 𝕜
⊢ ↑(fderivWithin 𝕜 f₂ s₂ x) 1 = ↑((smulRight 1 ∘ derivWithin f₂ s₂) x) 1
simp [derivWithin]