ι : Type u_1
I J J₁✝ J₂ : Box ι
π π₁✝ π₂✝ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
π₁ π₂ : Prepartition I
Hle : π₁ ≤ π₂
J₁ : WithBot (Box ι)
hJ₁ : J₁ ∈ Finset.image (fun J' => ↑J ⊓ ↑J') π₁.boxes
hne : J₁ ≠ ⊥
⊢ ∃ J', J' ∈ Finset.image (fun J' => ↑J ⊓ ↑J') π₂.boxes ∧ J₁ ≤ J'
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁✝ π₂✝ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
π₁ π₂ : Prepartition I
Hle : π₁ ≤ π₂
⊢ restrict π₁ J ≤ restrict π₂ J
refine' ofWithBot_mono fun J₁ hJ₁ hne => _
ι : Type u_1
I J J₁✝ J₂ : Box ι
π π₁✝ π₂✝ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
π₁ π₂ : Prepartition I
Hle : π₁ ≤ π₂
J₁ : WithBot (Box ι)
hJ₁ : ∃ a, a ∈ π₁.boxes ∧ ↑J ⊓ ↑a = J₁
hne : J₁ ≠ ⊥
⊢ ∃ J', J' ∈ Finset.image (fun J' => ↑J ⊓ ↑J') π₂.boxes ∧ J₁ ≤ J'
ι : Type u_1
I J J₁✝ J₂ : Box ι
π π₁✝ π₂✝ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
π₁ π₂ : Prepartition I
Hle : π₁ ≤ π₂
J₁ : WithBot (Box ι)
hJ₁ : J₁ ∈ Finset.image (fun J' => ↑J ⊓ ↑J') π₁.boxes
hne : J₁ ≠ ⊥
⊢ ∃ J', J' ∈ Finset.image (fun J' => ↑J ⊓ ↑J') π₂.boxes ∧ J₁ ≤ J'
rw [Finset.mem_image] at hJ₁
case intro.intro
ι : Type u_1
I J J₁✝ J₂ : Box ι
π π₁✝ π₂✝ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
π₁ π₂ : Prepartition I
Hle : π₁ ≤ π₂
J₁ : Box ι
hJ₁ : J₁ ∈ π₁.boxes
hne : ↑J ⊓ ↑J₁ ≠ ⊥
⊢ ∃ J', J' ∈ Finset.image (fun J' => ↑J ⊓ ↑J') π₂.boxes ∧ ↑J ⊓ ↑J₁ ≤ J'
ι : Type u_1
I J J₁✝ J₂ : Box ι
π π₁✝ π₂✝ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
π₁ π₂ : Prepartition I
Hle : π₁ ≤ π₂
J₁ : WithBot (Box ι)
hJ₁ : ∃ a, a ∈ π₁.boxes ∧ ↑J ⊓ ↑a = J₁
hne : J₁ ≠ ⊥
⊢ ∃ J', J' ∈ Finset.image (fun J' => ↑J ⊓ ↑J') π₂.boxes ∧ J₁ ≤ J'
rcases hJ₁ with ⟨J₁, hJ₁, rfl⟩
case intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
I J J₁✝ J₂✝ : Box ι
π π₁✝ π₂✝ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
π₁ π₂ : Prepartition I
Hle : π₁ ≤ π₂
J₁ : Box ι
hJ₁ : J₁ ∈ π₁.boxes
hne : ↑J ⊓ ↑J₁ ≠ ⊥
J₂ : Box ι
hJ₂ : J₂ ∈ π₂
hle : J₁ ≤ J₂
⊢ ∃ J', J' ∈ Finset.image (fun J' => ↑J ⊓ ↑J') π₂.boxes ∧ ↑J ⊓ ↑J₁ ≤ J'
case intro.intro
ι : Type u_1
I J J₁✝ J₂ : Box ι
π π₁✝ π₂✝ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
π₁ π₂ : Prepartition I
Hle : π₁ ≤ π₂
J₁ : Box ι
hJ₁ : J₁ ∈ π₁.boxes
hne : ↑J ⊓ ↑J₁ ≠ ⊥
⊢ ∃ J', J' ∈ Finset.image (fun J' => ↑J ⊓ ↑J') π₂.boxes ∧ ↑J ⊓ ↑J₁ ≤ J'
rcases Hle hJ₁ with ⟨J₂, hJ₂, hle⟩
no goals
case intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
I J J₁✝ J₂✝ : Box ι
π π₁✝ π₂✝ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
π₁ π₂ : Prepartition I
Hle : π₁ ≤ π₂
J₁ : Box ι
hJ₁ : J₁ ∈ π₁.boxes
hne : ↑J ⊓ ↑J₁ ≠ ⊥
J₂ : Box ι
hJ₂ : J₂ ∈ π₂
hle : J₁ ≤ J₂
⊢ ∃ J', J' ∈ Finset.image (fun J' => ↑J ⊓ ↑J') π₂.boxes ∧ ↑J ⊓ ↑J₁ ≤ J'
exact ⟨_, Finset.mem_image_of_mem _ hJ₂, inf_le_inf_left _ <| WithBot.coe_le_coe.2 hle⟩