no goals
𝕜 : Type ?u.2668535
E : Type ?u.2668538
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
dec_E : DecidableEq E
x y : F
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
R : ℝ
hx' : ‖x‖ ≠ 0
hy' : ‖y‖ ≠ 0
⊢ dist ((R / ‖x‖) ^ 2 • x) ((R / ‖y‖) ^ 2 • y) = sqrt (‖(R / ‖x‖) ^ 2 • x - (R / ‖y‖) ^ 2 • y‖ ^ 2)
rw [dist_eq_norm, sqrt_sq (norm_nonneg _)]
𝕜 : Type ?u.2668535
E : Type ?u.2668538
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
dec_E : DecidableEq E
x y : F
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
R : ℝ
hx' : ‖x‖ ≠ 0
hy' : ‖y‖ ≠ 0
⊢ ((R * R * ‖x‖ * (R * R * ‖x‖) * (‖y‖ * ‖y‖ * (‖x‖ * ‖x‖)) -
            ‖x‖ * ‖x‖ * (‖x‖ * ‖x‖) * (2 * (R * R * (R * R * inner x y)))) *
          (‖y‖ * ‖y‖ * (‖y‖ * ‖y‖)) +
        R * R * ‖y‖ * (R * R * ‖y‖) * (‖x‖ * ‖x‖ * (‖x‖ * ‖x‖) * (‖y‖ * ‖y‖ * (‖x‖ * ‖x‖)))) *
      (‖x‖ * ‖y‖ * (‖x‖ * ‖y‖)) =
    R * R * (R * R) * (‖x‖ * ‖x‖ - 2 * inner x y + ‖y‖ * ‖y‖) *
      (‖x‖ * ‖x‖ * (‖x‖ * ‖x‖) * (‖y‖ * ‖y‖ * (‖x‖ * ‖x‖)) * (‖y‖ * ‖y‖ * (‖y‖ * ‖y‖)))
𝕜 : Type ?u.2668535
E : Type ?u.2668538
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
dec_E : DecidableEq E
x y : F
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
R : ℝ
hx' : ‖x‖ ≠ 0
hy' : ‖y‖ ≠ 0
⊢ ‖(R / ‖x‖) ^ 2 • x - (R / ‖y‖) ^ 2 • y‖ ^ 2 = (R ^ 2 / (‖x‖ * ‖y‖)) ^ 2 * ‖x - y‖ ^ 2
field_simp [sq, norm_sub_mul_self_real, norm_smul, real_inner_smul_left, inner_smul_right,
  Real.norm_of_nonneg (mul_self_nonneg _)]
no goals
𝕜 : Type ?u.2668535
E : Type ?u.2668538
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
dec_E : DecidableEq E
x y : F
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
R : ℝ
hx' : ‖x‖ ≠ 0
hy' : ‖y‖ ≠ 0
⊢ ((R * R * ‖x‖ * (R * R * ‖x‖) * (‖y‖ * ‖y‖ * (‖x‖ * ‖x‖)) -
            ‖x‖ * ‖x‖ * (‖x‖ * ‖x‖) * (2 * (R * R * (R * R * inner x y)))) *
          (‖y‖ * ‖y‖ * (‖y‖ * ‖y‖)) +
        R * R * ‖y‖ * (R * R * ‖y‖) * (‖x‖ * ‖x‖ * (‖x‖ * ‖x‖) * (‖y‖ * ‖y‖ * (‖x‖ * ‖x‖)))) *
      (‖x‖ * ‖y‖ * (‖x‖ * ‖y‖)) =
    R * R * (R * R) * (‖x‖ * ‖x‖ - 2 * inner x y + ‖y‖ * ‖y‖) *
      (‖x‖ * ‖x‖ * (‖x‖ * ‖x‖) * (‖y‖ * ‖y‖ * (‖x‖ * ‖x‖)) * (‖y‖ * ‖y‖ * (‖y‖ * ‖y‖)))
ring
no goals
𝕜 : Type ?u.2668535
E : Type ?u.2668538
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
dec_E : DecidableEq E
x y : F
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
R : ℝ
hx' : ‖x‖ ≠ 0
hy' : ‖y‖ ≠ 0
⊢ sqrt ((R ^ 2 / (‖x‖ * ‖y‖)) ^ 2 * ‖x - y‖ ^ 2) = R ^ 2 / (‖x‖ * ‖y‖) * dist x y
rw [sqrt_mul (sq_nonneg _), sqrt_sq (norm_nonneg _),
  sqrt_sq (div_nonneg (sq_nonneg _) (mul_nonneg (norm_nonneg _) (norm_nonneg _))),
  dist_eq_norm]