case refine'_1
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N✝ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N✝
inst✝² : Module R N✝
inst✝¹ : LieRingModule L N✝
inst✝ : LieModule R L N✝
N : LieSubmodule R L M
h : N ≤ maxTrivSubmodule R L M
⊢ ⁅⊤, N⁆ = ⊥

case refine'_2
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N✝ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N✝
inst✝² : Module R N✝
inst✝¹ : LieRingModule L N✝
inst✝ : LieModule R L N✝
N : LieSubmodule R L M
h : ⁅⊤, N⁆ = ⊥
m : M
hm : m ∈ N
⊢ m ∈ maxTrivSubmodule R L M
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N✝ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N✝
inst✝² : Module R N✝
inst✝¹ : LieRingModule L N✝
inst✝ : LieModule R L N✝
N : LieSubmodule R L M
⊢ N ≤ maxTrivSubmodule R L M ↔ ⁅⊤, N⁆ = ⊥
refine' ⟨fun h => _, fun h m hm => _⟩
case refine'_1
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N✝ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N✝
inst✝² : Module R N✝
inst✝¹ : LieRingModule L N✝
inst✝ : LieModule R L N✝
N : LieSubmodule R L M
h : N ≤ maxTrivSubmodule R L M
⊢ ⁅⊤, N⁆ ≤ ⁅⊤, maxTrivSubmodule R L M⁆
case refine'_1
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N✝ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N✝
inst✝² : Module R N✝
inst✝¹ : LieRingModule L N✝
inst✝ : LieModule R L N✝
N : LieSubmodule R L M
h : N ≤ maxTrivSubmodule R L M
⊢ ⁅⊤, N⁆ = ⊥
rw [← le_bot_iff, ← ideal_oper_maxTrivSubmodule_eq_bot R L M ⊤]
no goals
case refine'_1
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N✝ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N✝
inst✝² : Module R N✝
inst✝¹ : LieRingModule L N✝
inst✝ : LieModule R L N✝
N : LieSubmodule R L M
h : N ≤ maxTrivSubmodule R L M
⊢ ⁅⊤, N⁆ ≤ ⁅⊤, maxTrivSubmodule R L M⁆
exact LieSubmodule.mono_lie_right _ _ ⊤ h
case refine'_2
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N✝ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N✝
inst✝² : Module R N✝
inst✝¹ : LieRingModule L N✝
inst✝ : LieModule R L N✝
N : LieSubmodule R L M
h : ⁅⊤, N⁆ = ⊥
m : M
hm : m ∈ N
⊢ ∀ (x : L), ⁅x, m⁆ = 0
case refine'_2
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N✝ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N✝
inst✝² : Module R N✝
inst✝¹ : LieRingModule L N✝
inst✝ : LieModule R L N✝
N : LieSubmodule R L M
h : ⁅⊤, N⁆ = ⊥
m : M
hm : m ∈ N
⊢ m ∈ maxTrivSubmodule R L M
rw [mem_maxTrivSubmodule]
case refine'_2
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N✝ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N✝
inst✝² : Module R N✝
inst✝¹ : LieRingModule L N✝
inst✝ : LieModule R L N✝
N : LieSubmodule R L M
h : ∀ (x : L), x ∈ ⊤ → ∀ (m : M), m ∈ N → ⁅x, m⁆ = 0
m : M
hm : m ∈ N
⊢ ∀ (x : L), ⁅x, m⁆ = 0
case refine'_2
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N✝ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N✝
inst✝² : Module R N✝
inst✝¹ : LieRingModule L N✝
inst✝ : LieModule R L N✝
N : LieSubmodule R L M
h : ⁅⊤, N⁆ = ⊥
m : M
hm : m ∈ N
⊢ ∀ (x : L), ⁅x, m⁆ = 0
rw [LieSubmodule.lie_eq_bot_iff] at h
no goals
case refine'_2
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N✝ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N✝
inst✝² : Module R N✝
inst✝¹ : LieRingModule L N✝
inst✝ : LieModule R L N✝
N : LieSubmodule R L M
h : ∀ (x : L), x ∈ ⊤ → ∀ (m : M), m ∈ N → ⁅x, m⁆ = 0
m : M
hm : m ∈ N
⊢ ∀ (x : L), ⁅x, m⁆ = 0
exact fun x => h x (LieSubmodule.mem_top x) m hm