α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.205114
G : Type ?u.205117
𝕜 : Type ?u.205120
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = T' s
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
⊢ ∑ x in SimpleFunc.range f, ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) x = ∑ x in SimpleFunc.range f, ↑(T' (↑f ⁻¹' {x})) x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.205114
G : Type ?u.205117
𝕜 : Type ?u.205120
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = T' s
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
⊢ setToSimpleFunc T f = setToSimpleFunc T' f
simp_rw [setToSimpleFunc]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.205114
G : Type ?u.205117
𝕜 : Type ?u.205120
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = T' s
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
x : E
x✝ : x ∈ SimpleFunc.range f
⊢ ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) x = ↑(T' (↑f ⁻¹' {x})) x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.205114
G : Type ?u.205117
𝕜 : Type ?u.205120
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = T' s
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
⊢ ∑ x in SimpleFunc.range f, ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) x = ∑ x in SimpleFunc.range f, ↑(T' (↑f ⁻¹' {x})) x
refine' sum_congr rfl fun x _ => _
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.205114
G : Type ?u.205117
𝕜 : Type ?u.205120
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = T' s
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
x : E
x✝ : x ∈ SimpleFunc.range f
hx0 : x = 0
⊢ ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) x = ↑(T' (↑f ⁻¹' {x})) x

case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.205114
G : Type ?u.205117
𝕜 : Type ?u.205120
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = T' s
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
x : E
x✝ : x ∈ SimpleFunc.range f
hx0 : ¬x = 0
⊢ ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) x = ↑(T' (↑f ⁻¹' {x})) x
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.205114
G : Type ?u.205117
𝕜 : Type ?u.205120
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = T' s
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
x : E
x✝ : x ∈ SimpleFunc.range f
⊢ ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) x = ↑(T' (↑f ⁻¹' {x})) x
by_cases hx0 : x = 0
no goals
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.205114
G : Type ?u.205117
𝕜 : Type ?u.205120
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = T' s
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
x : E
x✝ : x ∈ SimpleFunc.range f
hx0 : x = 0
⊢ ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) x = ↑(T' (↑f ⁻¹' {x})) x
simp [hx0]
no goals
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.205114
G : Type ?u.205117
𝕜 : Type ?u.205120
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = T' s
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
x : E
x✝ : x ∈ SimpleFunc.range f
hx0 : ¬x = 0
⊢ ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) x = ↑(T' (↑f ⁻¹' {x})) x
rw [h (f ⁻¹' {x}) (SimpleFunc.measurableSet_fiber _ _)
    (SimpleFunc.measure_preimage_lt_top_of_integrable _ hf hx0)]