R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
S : Set (LieSubalgebra R L)
h : ∀ (K K' : LieSubalgebra R L), ↑K ≤ ↑K' ↔ K ≤ K'
⊢ IsGLB S (sInf S)
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
S : Set (LieSubalgebra R L)
⊢ IsGLB S (sInf S)
have h : ∀ K K' : LieSubalgebra R L, (K : Set L) ≤ K' ↔ K ≤ K' := by
  intros
  exact Iff.rfl
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
S : Set (LieSubalgebra R L)
h : ∀ (K K' : LieSubalgebra R L), ↑K ≤ ↑K' ↔ K ≤ K'
⊢ IsGLB ((fun x => ↑x) '' S) ↑(sInf S)
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
S : Set (LieSubalgebra R L)
h : ∀ (K K' : LieSubalgebra R L), ↑K ≤ ↑K' ↔ K ≤ K'
⊢ IsGLB S (sInf S)
apply IsGLB.of_image @h
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
S : Set (LieSubalgebra R L)
h : ∀ (K K' : LieSubalgebra R L), ↑K ≤ ↑K' ↔ K ≤ K'
⊢ IsGLB ((fun x => ↑x) '' S) (⋂ (s : LieSubalgebra R L) (_ : s ∈ S), ↑s)
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
S : Set (LieSubalgebra R L)
h : ∀ (K K' : LieSubalgebra R L), ↑K ≤ ↑K' ↔ K ≤ K'
⊢ IsGLB ((fun x => ↑x) '' S) ↑(sInf S)
simp only [sInf_coe]
no goals
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
S : Set (LieSubalgebra R L)
h : ∀ (K K' : LieSubalgebra R L), ↑K ≤ ↑K' ↔ K ≤ K'
⊢ IsGLB ((fun x => ↑x) '' S) (⋂ (s : LieSubalgebra R L) (_ : s ∈ S), ↑s)
exact isGLB_biInf
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
S : Set (LieSubalgebra R L)
K✝ K'✝ : LieSubalgebra R L
⊢ ↑K✝ ≤ ↑K'✝ ↔ K✝ ≤ K'✝
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
S : Set (LieSubalgebra R L)
⊢ ∀ (K K' : LieSubalgebra R L), ↑K ≤ ↑K' ↔ K ≤ K'
intros
no goals
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
S : Set (LieSubalgebra R L)
K✝ K'✝ : LieSubalgebra R L
⊢ ↑K✝ ≤ ↑K'✝ ↔ K✝ ≤ K'✝
exact Iff.rfl