𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.313471
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.313574
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : ContinuousLinearMap.NonlinearRightInverse f'
x : E
hs : s ∈ 𝓝 x
hc : Subsingleton F ∨ c < f'symm.nnnorm⁻¹
t : Set E
ht : t ∈ 𝓝 x
⊢ f '' t ∈ 𝓝 (f x)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.313471
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.313574
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : ContinuousLinearMap.NonlinearRightInverse f'
x : E
hs : s ∈ 𝓝 x
hc : Subsingleton F ∨ c < f'symm.nnnorm⁻¹
⊢ map f (𝓝 x) = 𝓝 (f x)
refine'
  le_antisymm ((hf.continuousOn x (mem_of_mem_nhds hs)).continuousAt hs) (le_map fun t ht => _)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.313471
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.313574
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : ContinuousLinearMap.NonlinearRightInverse f'
x : E
hs : s ∈ 𝓝 x
hc : Subsingleton F ∨ c < f'symm.nnnorm⁻¹
t : Set E
ht : t ∈ 𝓝 x
this : f '' (s ∩ t) ∈ 𝓝 (f x)
⊢ f '' t ∈ 𝓝 (f x)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.313471
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.313574
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : ContinuousLinearMap.NonlinearRightInverse f'
x : E
hs : s ∈ 𝓝 x
hc : Subsingleton F ∨ c < f'symm.nnnorm⁻¹
t : Set E
ht : t ∈ 𝓝 x
⊢ f '' t ∈ 𝓝 (f x)
have : f '' (s ∩ t) ∈ 𝓝 (f x) :=
  (hf.mono_set (inter_subset_left s t)).image_mem_nhds f'symm (inter_mem hs ht) hc
no goals
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.313471
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.313574
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : ContinuousLinearMap.NonlinearRightInverse f'
x : E
hs : s ∈ 𝓝 x
hc : Subsingleton F ∨ c < f'symm.nnnorm⁻¹
t : Set E
ht : t ∈ 𝓝 x
this : f '' (s ∩ t) ∈ 𝓝 (f x)
⊢ f '' t ∈ 𝓝 (f x)
exact mem_of_superset this (image_subset _ (inter_subset_right _ _))