case h.e'_4
α : Type u_1
β : Type ?u.457947
ι : Type ?u.457950
inst✝ : PseudoMetricSpace α
r C : ℝ
hr : r < 1
f : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * r ^ n
hu₂ : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f (n + 1)) ≤ C / 2 / 2 ^ n
a : α
ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)
n : ℕ
⊢ C / 2 ^ n = ∑' (m : ℕ), C / 2 / 2 ^ (n + m)
α : Type u_1
β : Type ?u.457947
ι : Type ?u.457950
inst✝ : PseudoMetricSpace α
r C : ℝ
hr : r < 1
f : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * r ^ n
hu₂ : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f (n + 1)) ≤ C / 2 / 2 ^ n
a : α
ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)
n : ℕ
⊢ dist (f n) a ≤ C / 2 ^ n
convert dist_le_tsum_of_dist_le_of_tendsto _ hu₂ (summable_geometric_two' C) ha n
case h.e'_4
α : Type u_1
β : Type ?u.457947
ι : Type ?u.457950
inst✝ : PseudoMetricSpace α
r C : ℝ
hr : r < 1
f : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * r ^ n
hu₂ : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f (n + 1)) ≤ C / 2 / 2 ^ n
a : α
ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)
n : ℕ
⊢ C / 2 ^ n = ∑' (m : ℕ), C / 2 / 2 ^ m / 2 ^ n
case h.e'_4
α : Type u_1
β : Type ?u.457947
ι : Type ?u.457950
inst✝ : PseudoMetricSpace α
r C : ℝ
hr : r < 1
f : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * r ^ n
hu₂ : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f (n + 1)) ≤ C / 2 / 2 ^ n
a : α
ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)
n : ℕ
⊢ C / 2 ^ n = ∑' (m : ℕ), C / 2 / 2 ^ (n + m)
simp only [add_comm n, pow_add, ← div_div]
case h.e'_4
α : Type u_1
β : Type ?u.457947
ι : Type ?u.457950
inst✝ : PseudoMetricSpace α
r C : ℝ
hr : r < 1
f : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * r ^ n
hu₂ : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f (n + 1)) ≤ C / 2 / 2 ^ n
a : α
ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)
n : ℕ
⊢ (∑' (m : ℕ), C / 2 / 2 ^ m / 2 ^ n) = C / 2 ^ n
case h.e'_4
α : Type u_1
β : Type ?u.457947
ι : Type ?u.457950
inst✝ : PseudoMetricSpace α
r C : ℝ
hr : r < 1
f : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * r ^ n
hu₂ : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f (n + 1)) ≤ C / 2 / 2 ^ n
a : α
ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)
n : ℕ
⊢ C / 2 ^ n = ∑' (m : ℕ), C / 2 / 2 ^ m / 2 ^ n
symm
no goals
case h.e'_4
α : Type u_1
β : Type ?u.457947
ι : Type ?u.457950
inst✝ : PseudoMetricSpace α
r C : ℝ
hr : r < 1
f : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * r ^ n
hu₂ : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f (n + 1)) ≤ C / 2 / 2 ^ n
a : α
ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)
n : ℕ
⊢ (∑' (m : ℕ), C / 2 / 2 ^ m / 2 ^ n) = C / 2 ^ n
exact ((hasSum_geometric_two' C).div_const _).tsum_eq