case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1677900
G : Type ?u.1677903
𝕜 : Type ?u.1677906
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_smul : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) T C'
f : α → E
hc0 : c = 0
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun (c • μ) T hT_smul f

case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1677900
G : Type ?u.1677903
𝕜 : Type ?u.1677906
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_smul : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) T C'
f : α → E
hc0 : ¬c = 0
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun (c • μ) T hT_smul f
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1677900
G : Type ?u.1677903
𝕜 : Type ?u.1677906
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_smul : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) T C'
f : α → E
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun (c • μ) T hT_smul f
by_cases hc0 : c = 0
case neg.refine'_1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1677900
G : Type ?u.1677903
𝕜 : Type ?u.1677906
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_smul : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) T C'
f : α → E
hc0 : ¬c = 0
⊢ c⁻¹ ≠ ⊤

case neg.refine'_2
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1677900
G : Type ?u.1677903
𝕜 : Type ?u.1677906
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_smul : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) T C'
f : α → E
hc0 : ¬c = 0
⊢ μ = c⁻¹ • c • μ
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1677900
G : Type ?u.1677903
𝕜 : Type ?u.1677906
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_smul : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) T C'
f : α → E
hc0 : ¬c = 0
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun (c • μ) T hT_smul f
refine' setToFun_congr_measure c⁻¹ c _ hc_ne_top (le_of_eq _) le_rfl hT hT_smul f
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1677900
G : Type ?u.1677903
𝕜 : Type ?u.1677906
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_smul✝ : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) T C'
f : α → E
hc0 : c = 0
hT_smul : DominatedFinMeasAdditive 0 T C'
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun (c • μ) T hT_smul✝ f
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1677900
G : Type ?u.1677903
𝕜 : Type ?u.1677906
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_smul : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) T C'
f : α → E
hc0 : c = 0
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun (c • μ) T hT_smul f
simp [hc0] at hT_smul
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1677900
G : Type ?u.1677903
𝕜 : Type ?u.1677906
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_smul✝ : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) T C'
f : α → E
hc0 : c = 0
hT_smul : DominatedFinMeasAdditive 0 T C'
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = 0
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun (c • μ) T hT_smul✝ f
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1677900
G : Type ?u.1677903
𝕜 : Type ?u.1677906
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_smul✝ : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) T C'
f : α → E
hc0 : c = 0
hT_smul : DominatedFinMeasAdditive 0 T C'
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun (c • μ) T hT_smul✝ f
have h : ∀ s, MeasurableSet s → μ s < ∞ → T s = 0 := fun s hs _ => hT_smul.eq_zero hs
case pos.h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1677900
G : Type ?u.1677903
𝕜 : Type ?u.1677906
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_smul✝ : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) T C'
f : α → E
hc0 : c = 0
hT_smul : DominatedFinMeasAdditive 0 T C'
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = 0
⊢ c • μ = 0
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1677900
G : Type ?u.1677903
𝕜 : Type ?u.1677906
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_smul✝ : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) T C'
f : α → E
hc0 : c = 0
hT_smul : DominatedFinMeasAdditive 0 T C'
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = 0
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun (c • μ) T hT_smul✝ f
rw [setToFun_zero_left' _ h, setToFun_measure_zero]
no goals
case pos.h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1677900
G : Type ?u.1677903
𝕜 : Type ?u.1677906
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_smul✝ : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) T C'
f : α → E
hc0 : c = 0
hT_smul : DominatedFinMeasAdditive 0 T C'
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = 0
⊢ c • μ = 0
simp [hc0]
no goals
case neg.refine'_1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1677900
G : Type ?u.1677903
𝕜 : Type ?u.1677906
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_smul : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) T C'
f : α → E
hc0 : ¬c = 0
⊢ c⁻¹ ≠ ⊤
simp [hc0]
no goals
case neg.refine'_2
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1677900
G : Type ?u.1677903
𝕜 : Type ?u.1677906
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_smul : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) T C'
f : α → E
hc0 : ¬c = 0
⊢ μ = c⁻¹ • c • μ
rw [smul_smul, ENNReal.inv_mul_cancel hc0 hc_ne_top, one_smul]