case pos
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ (i : ℕ), f i)
mU :
  ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)),
    Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ (i : ℕ), f i) (_ : P (⋃ (i : ℕ), f i)) = ∑' (i : ℕ), m (f i) (_ : P (f i))
msU :
  ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)),
    m (⋃ (i : ℕ), f i) (_ : P (⋃ (i : ℕ), f i)) ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) (_ : P (f i))
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), P (s i)
⊢ extend m (⋃ (i : ℕ), s i) ≤ ∑' (i : ℕ), extend m (s i)

case neg
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ (i : ℕ), f i)
mU :
  ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)),
    Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ (i : ℕ), f i) (_ : P (⋃ (i : ℕ), f i)) = ∑' (i : ℕ), m (f i) (_ : P (f i))
msU :
  ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)),
    m (⋃ (i : ℕ), f i) (_ : P (⋃ (i : ℕ), f i)) ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) (_ : P (f i))
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
s : ℕ → Set α
h : ¬∀ (i : ℕ), P (s i)
⊢ extend m (⋃ (i : ℕ), s i) ≤ ∑' (i : ℕ), extend m (s i)
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ (i : ℕ), f i)
mU :
  ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)),
    Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ (i : ℕ), f i) (_ : P (⋃ (i : ℕ), f i)) = ∑' (i : ℕ), m (f i) (_ : P (f i))
msU :
  ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)),
    m (⋃ (i : ℕ), f i) (_ : P (⋃ (i : ℕ), f i)) ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) (_ : P (f i))
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
s : ℕ → Set α
⊢ extend m (⋃ (i : ℕ), s i) ≤ ∑' (i : ℕ), extend m (s i)
by_cases h : ∀ i, P (s i)
case pos
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ (i : ℕ), f i)
mU :
  ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)),
    Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ (i : ℕ), f i) (_ : P (⋃ (i : ℕ), f i)) = ∑' (i : ℕ), m (f i) (_ : P (f i))
msU :
  ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)),
    m (⋃ (i : ℕ), f i) (_ : P (⋃ (i : ℕ), f i)) ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) (_ : P (f i))
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), P (s i)
⊢ m (⋃ (i : ℕ), s i) (_ : P (⋃ (i : ℕ), s i)) ≤ tsum ?m.291985

α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ (i : ℕ), f i)
mU :
  ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)),
    Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ (i : ℕ), f i) (_ : P (⋃ (i : ℕ), f i)) = ∑' (i : ℕ), m (f i) (_ : P (f i))
msU :
  ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)),
    m (⋃ (i : ℕ), f i) (_ : P (⋃ (i : ℕ), f i)) ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) (_ : P (f i))
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), P (s i)
⊢ ℕ → ℝ≥0∞

α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ (i : ℕ), f i)
mU :
  ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)),
    Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ (i : ℕ), f i) (_ : P (⋃ (i : ℕ), f i)) = ∑' (i : ℕ), m (f i) (_ : P (f i))
msU :
  ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)),
    m (⋃ (i : ℕ), f i) (_ : P (⋃ (i : ℕ), f i)) ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) (_ : P (f i))
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), P (s i)
⊢ (fun i => extend m (s i)) = ?m.291985
case pos
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ (i : ℕ), f i)
mU :
  ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)),
    Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ (i : ℕ), f i) (_ : P (⋃ (i : ℕ), f i)) = ∑' (i : ℕ), m (f i) (_ : P (f i))
msU :
  ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)),
    m (⋃ (i : ℕ), f i) (_ : P (⋃ (i : ℕ), f i)) ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) (_ : P (f i))
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), P (s i)
⊢ extend m (⋃ (i : ℕ), s i) ≤ ∑' (i : ℕ), extend m (s i)
rw [extend_eq _ (PU h), congr_arg tsum _]
case h
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ (i : ℕ), f i)
mU :
  ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)),
    Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ (i : ℕ), f i) (_ : P (⋃ (i : ℕ), f i)) = ∑' (i : ℕ), m (f i) (_ : P (f i))
msU :
  ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)),
    m (⋃ (i : ℕ), f i) (_ : P (⋃ (i : ℕ), f i)) ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) (_ : P (f i))
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), P (s i)
i : ℕ
⊢ extend m (s i) = m (s i) (_ : P (s i))
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ (i : ℕ), f i)
mU :
  ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)),
    Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ (i : ℕ), f i) (_ : P (⋃ (i : ℕ), f i)) = ∑' (i : ℕ), m (f i) (_ : P (f i))
msU :
  ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)),
    m (⋃ (i : ℕ), f i) (_ : P (⋃ (i : ℕ), f i)) ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) (_ : P (f i))
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), P (s i)
⊢ (fun i => extend m (s i)) = fun i => m (s i) (_ : P (s i))
funext i
no goals
case h
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ (i : ℕ), f i)
mU :
  ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)),
    Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ (i : ℕ), f i) (_ : P (⋃ (i : ℕ), f i)) = ∑' (i : ℕ), m (f i) (_ : P (f i))
msU :
  ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)),
    m (⋃ (i : ℕ), f i) (_ : P (⋃ (i : ℕ), f i)) ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) (_ : P (f i))
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), P (s i)
i : ℕ
⊢ extend m (s i) = m (s i) (_ : P (s i))
apply extend_eq _ (h i)
no goals
case pos
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ (i : ℕ), f i)
mU :
  ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)),
    Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ (i : ℕ), f i) (_ : P (⋃ (i : ℕ), f i)) = ∑' (i : ℕ), m (f i) (_ : P (f i))
msU :
  ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)),
    m (⋃ (i : ℕ), f i) (_ : P (⋃ (i : ℕ), f i)) ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) (_ : P (f i))
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
s : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), P (s i)
⊢ m (⋃ (i : ℕ), s i) (_ : P (⋃ (i : ℕ), s i)) ≤ tsum ?m.291985
apply msU h
case neg.intro
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ (i : ℕ), f i)
mU :
  ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)),
    Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ (i : ℕ), f i) (_ : P (⋃ (i : ℕ), f i)) = ∑' (i : ℕ), m (f i) (_ : P (f i))
msU :
  ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)),
    m (⋃ (i : ℕ), f i) (_ : P (⋃ (i : ℕ), f i)) ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) (_ : P (f i))
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
s : ℕ → Set α
h : ¬∀ (i : ℕ), P (s i)
i : ℕ
hi : ¬P (s i)
⊢ extend m (⋃ (i : ℕ), s i) ≤ ∑' (i : ℕ), extend m (s i)
case neg
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ (i : ℕ), f i)
mU :
  ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)),
    Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ (i : ℕ), f i) (_ : P (⋃ (i : ℕ), f i)) = ∑' (i : ℕ), m (f i) (_ : P (f i))
msU :
  ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)),
    m (⋃ (i : ℕ), f i) (_ : P (⋃ (i : ℕ), f i)) ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) (_ : P (f i))
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
s : ℕ → Set α
h : ¬∀ (i : ℕ), P (s i)
⊢ extend m (⋃ (i : ℕ), s i) ≤ ∑' (i : ℕ), extend m (s i)
cases' not_forall.1 h with i hi
no goals
case neg.intro
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ (i : ℕ), f i)
mU :
  ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)),
    Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ (i : ℕ), f i) (_ : P (⋃ (i : ℕ), f i)) = ∑' (i : ℕ), m (f i) (_ : P (f i))
msU :
  ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)),
    m (⋃ (i : ℕ), f i) (_ : P (⋃ (i : ℕ), f i)) ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) (_ : P (f i))
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
s : ℕ → Set α
h : ¬∀ (i : ℕ), P (s i)
i : ℕ
hi : ¬P (s i)
⊢ extend m (⋃ (i : ℕ), s i) ≤ ∑' (i : ℕ), extend m (s i)
exact le_trans (le_iInf fun h => hi.elim h) (ENNReal.le_tsum i)