K : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type ?u.208466
R : Type u
inst✝⁸ : Ring R
M : Type v
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type v'
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
M₁ : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Nontrivial R
ι : Type w
b : Basis ι R M
inst✝ : Infinite ι
κ : Type w'
v : κ → M
i : LinearIndependent R v
m : LinearIndependent.Maximal i
Φ : κ → Finset ι := fun k => (↑b.repr (v k)).support
⊢ lift (#ι) ≤ lift (#κ)
K : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type ?u.208466
R : Type u
inst✝⁸ : Ring R
M : Type v
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type v'
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
M₁ : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Nontrivial R
ι : Type w
b : Basis ι R M
inst✝ : Infinite ι
κ : Type w'
v : κ → M
i : LinearIndependent R v
m : LinearIndependent.Maximal i
⊢ lift (#ι) ≤ lift (#κ)
let Φ := fun k : κ => (b.repr (v k)).support
K : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type ?u.208466
R : Type u
inst✝⁸ : Ring R
M : Type v
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type v'
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
M₁ : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Nontrivial R
ι : Type w
b : Basis ι R M
inst✝ : Infinite ι
κ : Type w'
v : κ → M
i : LinearIndependent R v
m : LinearIndependent.Maximal i
Φ : κ → Finset ι := fun k => (↑b.repr (v k)).support
w₁ : (#ι) ≤ (#↑(range Φ))
⊢ lift (#ι) ≤ lift (#κ)
K : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type ?u.208466
R : Type u
inst✝⁸ : Ring R
M : Type v
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type v'
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
M₁ : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Nontrivial R
ι : Type w
b : Basis ι R M
inst✝ : Infinite ι
κ : Type w'
v : κ → M
i : LinearIndependent R v
m : LinearIndependent.Maximal i
Φ : κ → Finset ι := fun k => (↑b.repr (v k)).support
⊢ lift (#ι) ≤ lift (#κ)
have w₁ : (#ι) ≤ (#Set.range Φ) := by
  apply Cardinal.le_range_of_union_finset_eq_top
  exact union_support_maximal_linearIndependent_eq_range_basis b v i m
K : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type ?u.208466
R : Type u
inst✝⁸ : Ring R
M : Type v
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type v'
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
M₁ : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Nontrivial R
ι : Type w
b : Basis ι R M
inst✝ : Infinite ι
κ : Type w'
v : κ → M
i : LinearIndependent R v
m : LinearIndependent.Maximal i
Φ : κ → Finset ι := fun k => (↑b.repr (v k)).support
w₁ : (#ι) ≤ (#↑(range Φ))
w₂ : lift (#↑(range Φ)) ≤ lift (#κ)
⊢ lift (#ι) ≤ lift (#κ)
K : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type ?u.208466
R : Type u
inst✝⁸ : Ring R
M : Type v
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type v'
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
M₁ : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Nontrivial R
ι : Type w
b : Basis ι R M
inst✝ : Infinite ι
κ : Type w'
v : κ → M
i : LinearIndependent R v
m : LinearIndependent.Maximal i
Φ : κ → Finset ι := fun k => (↑b.repr (v k)).support
w₁ : (#ι) ≤ (#↑(range Φ))
⊢ lift (#ι) ≤ lift (#κ)
have w₂ : Cardinal.lift.{w'} (#Set.range Φ) ≤ Cardinal.lift.{w} (#κ) := Cardinal.mk_range_le_lift
no goals
K : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type ?u.208466
R : Type u
inst✝⁸ : Ring R
M : Type v
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type v'
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
M₁ : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Nontrivial R
ι : Type w
b : Basis ι R M
inst✝ : Infinite ι
κ : Type w'
v : κ → M
i : LinearIndependent R v
m : LinearIndependent.Maximal i
Φ : κ → Finset ι := fun k => (↑b.repr (v k)).support
w₁ : (#ι) ≤ (#↑(range Φ))
w₂ : lift (#↑(range Φ)) ≤ lift (#κ)
⊢ lift (#ι) ≤ lift (#κ)
exact (Cardinal.lift_le.mpr w₁).trans w₂
case w
K : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type ?u.208466
R : Type u
inst✝⁸ : Ring R
M : Type v
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type v'
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
M₁ : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Nontrivial R
ι : Type w
b : Basis ι R M
inst✝ : Infinite ι
κ : Type w'
v : κ → M
i : LinearIndependent R v
m : LinearIndependent.Maximal i
Φ : κ → Finset ι := fun k => (↑b.repr (v k)).support
⊢ (⋃ (a : κ), ↑(Φ a)) = ⊤
K : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type ?u.208466
R : Type u
inst✝⁸ : Ring R
M : Type v
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type v'
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
M₁ : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Nontrivial R
ι : Type w
b : Basis ι R M
inst✝ : Infinite ι
κ : Type w'
v : κ → M
i : LinearIndependent R v
m : LinearIndependent.Maximal i
Φ : κ → Finset ι := fun k => (↑b.repr (v k)).support
⊢ (#ι) ≤ (#↑(range Φ))
apply Cardinal.le_range_of_union_finset_eq_top
no goals
case w
K : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type ?u.208466
R : Type u
inst✝⁸ : Ring R
M : Type v
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type v'
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
M₁ : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Nontrivial R
ι : Type w
b : Basis ι R M
inst✝ : Infinite ι
κ : Type w'
v : κ → M
i : LinearIndependent R v
m : LinearIndependent.Maximal i
Φ : κ → Finset ι := fun k => (↑b.repr (v k)).support
⊢ (⋃ (a : κ), ↑(Φ a)) = ⊤
exact union_support_maximal_linearIndependent_eq_range_basis b v i m