R : Type u_1
R₁ : Type ?u.476585
R₂ : Type ?u.476588
R₃ : Type ?u.476591
M : Type ?u.476594
M₁ : Type ?u.476597
M₂ : Type ?u.476600
Mₗ₁ : Type u_2
Mₗ₁' : Type u_4
Mₗ₂ : Type u_3
Mₗ₂' : Type u_5
K : Type ?u.476615
K₁ : Type ?u.476618
K₂ : Type ?u.476621
V : Type ?u.476624
V₁ : Type ?u.476627
V₂ : Type ?u.476630
n : Type ?u.476633
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : CommSemiring R₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₁
inst✝¹¹ : Module R₁ M₁
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
I₁ : R₁ →+* R
I₂ : R₂ →+* R
I₁' : R₁ →+* R
inst✝⁷ : AddCommMonoid Mₗ₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid Mₗ₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₗ₁'
inst✝⁴ : AddCommMonoid Mₗ₂'
inst✝³ : Module R Mₗ₁
inst✝² : Module R Mₗ₂
inst✝¹ : Module R Mₗ₁'
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e₁ : Mₗ₁ ≃ₗ[R] Mₗ₁'
e₂ : Mₗ₂ ≃ₗ[R] Mₗ₂'
h : SeparatingLeft B
x : Mₗ₁'
hx : ∀ (y : Mₗ₂'), ↑(↑(↑(LinearEquiv.arrowCongr e₁ (LinearEquiv.arrowCongr e₂ (LinearEquiv.refl R R))) B) x) y = 0
⊢ x = 0
R : Type u_1
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R₃ : Type ?u.476591
M : Type ?u.476594
M₁ : Type ?u.476597
M₂ : Type ?u.476600
Mₗ₁ : Type u_2
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K : Type ?u.476615
K₁ : Type ?u.476618
K₂ : Type ?u.476621
V : Type ?u.476624
V₁ : Type ?u.476627
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n : Type ?u.476633
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : CommSemiring R₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₁
inst✝¹¹ : Module R₁ M₁
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
I₁ : R₁ →+* R
I₂ : R₂ →+* R
I₁' : R₁ →+* R
inst✝⁷ : AddCommMonoid Mₗ₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid Mₗ₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₗ₁'
inst✝⁴ : AddCommMonoid Mₗ₂'
inst✝³ : Module R Mₗ₁
inst✝² : Module R Mₗ₂
inst✝¹ : Module R Mₗ₁'
inst✝ : Module R Mₗ₂'
B : Mₗ₁ →ₗ[R] Mₗ₂ →ₗ[R] R
e₁ : Mₗ₁ ≃ₗ[R] Mₗ₁'
e₂ : Mₗ₂ ≃ₗ[R] Mₗ₂'
h : SeparatingLeft B
⊢ SeparatingLeft (↑(LinearEquiv.arrowCongr e₁ (LinearEquiv.arrowCongr e₂ (LinearEquiv.refl R R))) B)
intro x hx
R : Type u_1
R₁ : Type ?u.476585
R₂ : Type ?u.476588
R₃ : Type ?u.476591
M : Type ?u.476594
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M₂ : Type ?u.476600
Mₗ₁ : Type u_2
Mₗ₁' : Type u_4
Mₗ₂ : Type u_3
Mₗ₂' : Type u_5
K : Type ?u.476615
K₁ : Type ?u.476618
K₂ : Type ?u.476621
V : Type ?u.476624
V₁ : Type ?u.476627
V₂ : Type ?u.476630
n : Type ?u.476633
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : CommSemiring R₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₁
inst✝¹¹ : Module R₁ M₁
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
I₁ : R₁ →+* R
I₂ : R₂ →+* R
I₁' : R₁ →+* R
inst✝⁷ : AddCommMonoid Mₗ₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid Mₗ₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₗ₁'
inst✝⁴ : AddCommMonoid Mₗ₂'
inst✝³ : Module R Mₗ₁
inst✝² : Module R Mₗ₂
inst✝¹ : Module R Mₗ₁'
inst✝ : Module R Mₗ₂'
B : Mₗ₁ →ₗ[R] Mₗ₂ →ₗ[R] R
e₁ : Mₗ₁ ≃ₗ[R] Mₗ₁'
e₂ : Mₗ₂ ≃ₗ[R] Mₗ₂'
h : SeparatingLeft B
x : Mₗ₁'
hx : ∀ (y : Mₗ₂'), ↑(↑(↑(LinearEquiv.arrowCongr e₁ (LinearEquiv.arrowCongr e₂ (LinearEquiv.refl R R))) B) x) y = 0
⊢ ↑(LinearEquiv.symm e₁) x = 0
R : Type u_1
R₁ : Type ?u.476585
R₂ : Type ?u.476588
R₃ : Type ?u.476591
M : Type ?u.476594
M₁ : Type ?u.476597
M₂ : Type ?u.476600
Mₗ₁ : Type u_2
Mₗ₁' : Type u_4
Mₗ₂ : Type u_3
Mₗ₂' : Type u_5
K : Type ?u.476615
K₁ : Type ?u.476618
K₂ : Type ?u.476621
V : Type ?u.476624
V₁ : Type ?u.476627
V₂ : Type ?u.476630
n : Type ?u.476633
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : CommSemiring R₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₁
inst✝¹¹ : Module R₁ M₁
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
I₁ : R₁ →+* R
I₂ : R₂ →+* R
I₁' : R₁ →+* R
inst✝⁷ : AddCommMonoid Mₗ₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid Mₗ₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₗ₁'
inst✝⁴ : AddCommMonoid Mₗ₂'
inst✝³ : Module R Mₗ₁
inst✝² : Module R Mₗ₂
inst✝¹ : Module R Mₗ₁'
inst✝ : Module R Mₗ₂'
B : Mₗ₁ →ₗ[R] Mₗ₂ →ₗ[R] R
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e₂ : Mₗ₂ ≃ₗ[R] Mₗ₂'
h : SeparatingLeft B
x : Mₗ₁'
hx : ∀ (y : Mₗ₂'), ↑(↑(↑(LinearEquiv.arrowCongr e₁ (LinearEquiv.arrowCongr e₂ (LinearEquiv.refl R R))) B) x) y = 0
⊢ x = 0
rw [← e₁.symm.map_eq_zero_iff]
R : Type u_1
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Mₗ₁ : Type u_2
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inst✝⁷ : AddCommMonoid Mₗ₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid Mₗ₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₗ₁'
inst✝⁴ : AddCommMonoid Mₗ₂'
inst✝³ : Module R Mₗ₁
inst✝² : Module R Mₗ₂
inst✝¹ : Module R Mₗ₁'
inst✝ : Module R Mₗ₂'
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hx : ∀ (y : Mₗ₂'), ↑(↑(↑(LinearEquiv.arrowCongr e₁ (LinearEquiv.arrowCongr e₂ (LinearEquiv.refl R R))) B) x) y = 0
y : Mₗ₂
⊢ ↑(↑B (↑(LinearEquiv.symm e₁) x)) y = 0
R : Type u_1
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R₂ : Type ?u.476588
R₃ : Type ?u.476591
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M₂ : Type ?u.476600
Mₗ₁ : Type u_2
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K : Type ?u.476615
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K₂ : Type ?u.476621
V : Type ?u.476624
V₁ : Type ?u.476627
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inst✝¹² : AddCommMonoid M₁
inst✝¹¹ : Module R₁ M₁
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I₁ : R₁ →+* R
I₂ : R₂ →+* R
I₁' : R₁ →+* R
inst✝⁷ : AddCommMonoid Mₗ₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid Mₗ₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₗ₁'
inst✝⁴ : AddCommMonoid Mₗ₂'
inst✝³ : Module R Mₗ₁
inst✝² : Module R Mₗ₂
inst✝¹ : Module R Mₗ₁'
inst✝ : Module R Mₗ₂'
B : Mₗ₁ →ₗ[R] Mₗ₂ →ₗ[R] R
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e₂ : Mₗ₂ ≃ₗ[R] Mₗ₂'
h : SeparatingLeft B
x : Mₗ₁'
hx : ∀ (y : Mₗ₂'), ↑(↑(↑(LinearEquiv.arrowCongr e₁ (LinearEquiv.arrowCongr e₂ (LinearEquiv.refl R R))) B) x) y = 0
⊢ ↑(LinearEquiv.symm e₁) x = 0
refine' h (e₁.symm x) fun y ↦ _
R : Type u_1
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R₃ : Type ?u.476591
M : Type ?u.476594
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M₂ : Type ?u.476600
Mₗ₁ : Type u_2
Mₗ₁' : Type u_4
Mₗ₂ : Type u_3
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inst✝¹³ : CommSemiring R₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₁
inst✝¹¹ : Module R₁ M₁
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
I₁ : R₁ →+* R
I₂ : R₂ →+* R
I₁' : R₁ →+* R
inst✝⁷ : AddCommMonoid Mₗ₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid Mₗ₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₗ₁'
inst✝⁴ : AddCommMonoid Mₗ₂'
inst✝³ : Module R Mₗ₁
inst✝² : Module R Mₗ₂
inst✝¹ : Module R Mₗ₁'
inst✝ : Module R Mₗ₂'
B : Mₗ₁ →ₗ[R] Mₗ₂ →ₗ[R] R
e₁ : Mₗ₁ ≃ₗ[R] Mₗ₁'
e₂ : Mₗ₂ ≃ₗ[R] Mₗ₂'
h : SeparatingLeft B
x : Mₗ₁'
y : Mₗ₂
hx : ↑(↑(↑(LinearEquiv.arrowCongr e₁ (LinearEquiv.arrowCongr e₂ (LinearEquiv.refl R R))) B) x) (↑e₂ y) = 0
⊢ ↑(↑B (↑(LinearEquiv.symm e₁) x)) y = 0
R : Type u_1
R₁ : Type ?u.476585
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M₂ : Type ?u.476600
Mₗ₁ : Type u_2
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K : Type ?u.476615
K₁ : Type ?u.476618
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V₁ : Type ?u.476627
V₂ : Type ?u.476630
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inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : CommSemiring R₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₁
inst✝¹¹ : Module R₁ M₁
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
I₁ : R₁ →+* R
I₂ : R₂ →+* R
I₁' : R₁ →+* R
inst✝⁷ : AddCommMonoid Mₗ₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid Mₗ₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₗ₁'
inst✝⁴ : AddCommMonoid Mₗ₂'
inst✝³ : Module R Mₗ₁
inst✝² : Module R Mₗ₂
inst✝¹ : Module R Mₗ₁'
inst✝ : Module R Mₗ₂'
B : Mₗ₁ →ₗ[R] Mₗ₂ →ₗ[R] R
e₁ : Mₗ₁ ≃ₗ[R] Mₗ₁'
e₂ : Mₗ₂ ≃ₗ[R] Mₗ₂'
h : SeparatingLeft B
x : Mₗ₁'
hx : ∀ (y : Mₗ₂'), ↑(↑(↑(LinearEquiv.arrowCongr e₁ (LinearEquiv.arrowCongr e₂ (LinearEquiv.refl R R))) B) x) y = 0
y : Mₗ₂
⊢ ↑(↑B (↑(LinearEquiv.symm e₁) x)) y = 0
specialize hx (e₂ y)
R : Type u_1
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M₂ : Type ?u.476600
Mₗ₁ : Type u_2
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K : Type ?u.476615
K₁ : Type ?u.476618
K₂ : Type ?u.476621
V : Type ?u.476624
V₁ : Type ?u.476627
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inst✝¹³ : CommSemiring R₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₁
inst✝¹¹ : Module R₁ M₁
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inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
I₁ : R₁ →+* R
I₂ : R₂ →+* R
I₁' : R₁ →+* R
inst✝⁷ : AddCommMonoid Mₗ₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid Mₗ₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₗ₁'
inst✝⁴ : AddCommMonoid Mₗ₂'
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inst✝¹ : Module R Mₗ₁'
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⊢ ↑(↑B (↑(LinearEquiv.symm e₁) x)) y = 0
R : Type u_1
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M₂ : Type ?u.476600
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V₁ : Type ?u.476627
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n : Type ?u.476633
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : CommSemiring R₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₁
inst✝¹¹ : Module R₁ M₁
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
I₁ : R₁ →+* R
I₂ : R₂ →+* R
I₁' : R₁ →+* R
inst✝⁷ : AddCommMonoid Mₗ₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid Mₗ₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₗ₁'
inst✝⁴ : AddCommMonoid Mₗ₂'
inst✝³ : Module R Mₗ₁
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inst✝¹ : Module R Mₗ₁'
inst✝ : Module R Mₗ₂'
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h : SeparatingLeft B
x : Mₗ₁'
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⊢ ↑(↑B (↑(LinearEquiv.symm e₁) x)) y = 0
simp only [LinearEquiv.arrowCongr_apply, LinearEquiv.symm_apply_apply,
  LinearEquiv.map_eq_zero_iff] at hx
no goals
R : Type u_1
R₁ : Type ?u.476585
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M₂ : Type ?u.476600
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K : Type ?u.476615
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V : Type ?u.476624
V₁ : Type ?u.476627
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inst✝³ : Module R Mₗ₁
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inst✝¹ : Module R Mₗ₁'
inst✝ : Module R Mₗ₂'
B : Mₗ₁ →ₗ[R] Mₗ₂ →ₗ[R] R
e₁ : Mₗ₁ ≃ₗ[R] Mₗ₁'
e₂ : Mₗ₂ ≃ₗ[R] Mₗ₂'
h : SeparatingLeft B
x : Mₗ₁'
y : Mₗ₂
hx : ↑(↑B (↑(LinearEquiv.symm e₁) x)) y = 0
⊢ ↑(↑B (↑(LinearEquiv.symm e₁) x)) y = 0
exact hx