case a
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type ?u.604089
E : Type u_3
Eₗ : Type ?u.604095
F : Type u_4
Fₗ : Type ?u.604101
G : Type ?u.604104
Gₗ : Type ?u.604107
𝓕 : Type ?u.604110
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ ↑‖f‖₊ = ↑(sInf {c | ∀ (x : E), ‖↑f x‖₊ ≤ c * ‖x‖₊})
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type ?u.604089
E : Type u_3
Eₗ : Type ?u.604095
F : Type u_4
Fₗ : Type ?u.604101
G : Type ?u.604104
Gₗ : Type ?u.604107
𝓕 : Type ?u.604110
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ ‖f‖₊ = sInf {c | ∀ (x : E), ‖↑f x‖₊ ≤ c * ‖x‖₊}
ext
case a
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type ?u.604089
E : Type u_3
Eₗ : Type ?u.604095
F : Type u_4
Fₗ : Type ?u.604101
G : Type ?u.604104
Gₗ : Type ?u.604107
𝓕 : Type ?u.604110
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
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inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
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inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
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σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
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inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ sInf {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖↑f x‖ ≤ c * ‖x‖} =
    sInf {x | ∃ h, { val := x, property := h } ∈ {c | ∀ (x : E), ‖↑f x‖₊ ≤ c * ‖x‖₊}}
case a
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type ?u.604089
E : Type u_3
Eₗ : Type ?u.604095
F : Type u_4
Fₗ : Type ?u.604101
G : Type ?u.604104
Gₗ : Type ?u.604107
𝓕 : Type ?u.604110
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
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σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ ↑‖f‖₊ = ↑(sInf {c | ∀ (x : E), ‖↑f x‖₊ ≤ c * ‖x‖₊})
rw [NNReal.coe_sInf, coe_nnnorm, norm_def, NNReal.coe_image]
no goals
case a
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type ?u.604089
E : Type u_3
Eₗ : Type ?u.604095
F : Type u_4
Fₗ : Type ?u.604101
G : Type ?u.604104
Gₗ : Type ?u.604107
𝓕 : Type ?u.604110
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
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σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ sInf {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖↑f x‖ ≤ c * ‖x‖} =
    sInf {x | ∃ h, { val := x, property := h } ∈ {c | ∀ (x : E), ‖↑f x‖₊ ≤ c * ‖x‖₊}}
simp_rw [← NNReal.coe_le_coe, NNReal.coe_mul, coe_nnnorm, mem_setOf_eq, Subtype.coe_mk,
  exists_prop, NNReal.coe_mk, exists_prop]