case h
X : Compactum
A : Set X.A
x✝ : X.A
⊢ x✝ ∈ Compactum.cl A ↔ x✝ ∈ closure A
X : Compactum
A : Set X.A
⊢ Compactum.cl A = closure A
ext
case h
X : Compactum
A : Set X.A
x✝ : X.A
⊢ x✝ ∈ Compactum.cl A ↔ ∃ u, A ∈ u ∧ ↑u ≤ 𝓝 x✝
case h
X : Compactum
A : Set X.A
x✝ : X.A
⊢ x✝ ∈ Compactum.cl A ↔ x✝ ∈ closure A
rw [mem_closure_iff_ultrafilter]
case h.mp
X : Compactum
A : Set X.A
x✝ : X.A
⊢ x✝ ∈ Compactum.cl A → ∃ u, A ∈ u ∧ ↑u ≤ 𝓝 x✝

case h.mpr
X : Compactum
A : Set X.A
x✝ : X.A
⊢ (∃ u, A ∈ u ∧ ↑u ≤ 𝓝 x✝) → x✝ ∈ Compactum.cl A
case h
X : Compactum
A : Set X.A
x✝ : X.A
⊢ x✝ ∈ Compactum.cl A ↔ ∃ u, A ∈ u ∧ ↑u ≤ 𝓝 x✝
constructor
case h.mp.intro.intro
X : Compactum
A : Set X.A
x✝ : X.A
F : Ultrafilter X.A
h1 : F ∈ Compactum.basic A
h2 : str X F = x✝
⊢ ∃ u, A ∈ u ∧ ↑u ≤ 𝓝 x✝
case h.mp
X : Compactum
A : Set X.A
x✝ : X.A
⊢ x✝ ∈ Compactum.cl A → ∃ u, A ∈ u ∧ ↑u ≤ 𝓝 x✝
rintro ⟨F, h1, h2⟩
no goals
case h.mp.intro.intro
X : Compactum
A : Set X.A
x✝ : X.A
F : Ultrafilter X.A
h1 : F ∈ Compactum.basic A
h2 : str X F = x✝
⊢ ∃ u, A ∈ u ∧ ↑u ≤ 𝓝 x✝
exact ⟨F, h1, le_nhds_of_str_eq _ _ h2⟩
case h.mpr.intro.intro
X : Compactum
A : Set X.A
x✝ : X.A
F : Ultrafilter X.A
h1 : A ∈ F
h2 : ↑F ≤ 𝓝 x✝
⊢ x✝ ∈ Compactum.cl A
case h.mpr
X : Compactum
A : Set X.A
x✝ : X.A
⊢ (∃ u, A ∈ u ∧ ↑u ≤ 𝓝 x✝) → x✝ ∈ Compactum.cl A
rintro ⟨F, h1, h2⟩
no goals
case h.mpr.intro.intro
X : Compactum
A : Set X.A
x✝ : X.A
F : Ultrafilter X.A
h1 : A ∈ F
h2 : ↑F ≤ 𝓝 x✝
⊢ x✝ ∈ Compactum.cl A
exact ⟨F, h1, str_eq_of_le_nhds _ _ h2⟩