𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.1931672
inst✝⁹ : IsROrC 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
A : E →ₗ[𝕜] F
B : F →ₗ[𝕜] E
h : ∀ (x : E) (y : (fun x => F) x), inner (↑A x) y = inner x (↑B y)
⊢ A = ↑adjoint B
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.1931672
inst✝⁹ : IsROrC 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
A : E →ₗ[𝕜] F
B : F →ₗ[𝕜] E
⊢ A = ↑adjoint B ↔ ∀ (x : E) (y : (fun x => F) x), inner (↑A x) y = inner x (↑B y)
refine' ⟨fun h x y => by rw [h, adjoint_inner_left], fun h => _⟩
case h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.1931672
inst✝⁹ : IsROrC 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
A : E →ₗ[𝕜] F
B : F →ₗ[𝕜] E
h : ∀ (x : E) (y : (fun x => F) x), inner (↑A x) y = inner x (↑B y)
x : E
⊢ ↑A x = ↑(↑adjoint B) x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.1931672
inst✝⁹ : IsROrC 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
A : E →ₗ[𝕜] F
B : F →ₗ[𝕜] E
h : ∀ (x : E) (y : (fun x => F) x), inner (↑A x) y = inner x (↑B y)
⊢ A = ↑adjoint B
ext x
no goals
case h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.1931672
inst✝⁹ : IsROrC 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
A : E →ₗ[𝕜] F
B : F →ₗ[𝕜] E
h : ∀ (x : E) (y : (fun x => F) x), inner (↑A x) y = inner x (↑B y)
x : E
⊢ ↑A x = ↑(↑adjoint B) x
exact ext_inner_right 𝕜 fun y => by simp only [adjoint_inner_left, h x y]
no goals
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.1931672
inst✝⁹ : IsROrC 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
A : E →ₗ[𝕜] F
B : F →ₗ[𝕜] E
h : A = ↑adjoint B
x : E
y : (fun x => F) x
⊢ inner (↑A x) y = inner x (↑B y)
rw [h, adjoint_inner_left]
no goals
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.1931672
inst✝⁹ : IsROrC 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
A : E →ₗ[𝕜] F
B : F →ₗ[𝕜] E
h : ∀ (x : E) (y : (fun x => F) x), inner (↑A x) y = inner x (↑B y)
x : E
y : (fun x => F) x
⊢ inner (↑A x) y = inner (↑(↑adjoint B) x) y
simp only [adjoint_inner_left, h x y]