α : Type u_2
β : Type ?u.273806
E : Type u_3
F : Type ?u.273812
G : Type ?u.273815
E' : Type ?u.273818
F' : Type ?u.273821
G' : Type ?u.273824
E'' : Type ?u.273827
F'' : Type u_1
G'' : Type ?u.273833
R : Type ?u.273836
R' : Type ?u.273839
𝕜 : Type ?u.273842
𝕜' : Type ?u.273845
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c✝ c'✝ c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l✝ l' : Filter α
c : E
c' : F''
hc' : c' ≠ 0
l : Filter α
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖c‖ ≤ ‖c‖ / ‖c'‖ * ‖c'‖
α : Type u_2
β : Type ?u.273806
E : Type u_3
F : Type ?u.273812
G : Type ?u.273815
E' : Type ?u.273818
F' : Type ?u.273821
G' : Type ?u.273824
E'' : Type ?u.273827
F'' : Type u_1
G'' : Type ?u.273833
R : Type ?u.273836
R' : Type ?u.273839
𝕜 : Type ?u.273842
𝕜' : Type ?u.273845
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c✝ c'✝ c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l✝ l' : Filter α
c : E
c' : F''
hc' : c' ≠ 0
l : Filter α
⊢ IsBigOWith (‖c‖ / ‖c'‖) l (fun _x => c) fun _x => c'
simp only [IsBigOWith_def]
case h
α : Type u_2
β : Type ?u.273806
E : Type u_3
F : Type ?u.273812
G : Type ?u.273815
E' : Type ?u.273818
F' : Type ?u.273821
G' : Type ?u.273824
E'' : Type ?u.273827
F'' : Type u_1
G'' : Type ?u.273833
R : Type ?u.273836
R' : Type ?u.273839
𝕜 : Type ?u.273842
𝕜' : Type ?u.273845
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c✝ c'✝ c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l✝ l' : Filter α
c : E
c' : F''
hc' : c' ≠ 0
l : Filter α
⊢ ∀ (a : α), a ∈ {x | (fun x => ‖c‖ ≤ ‖c‖ / ‖c'‖ * ‖c'‖) x}
α : Type u_2
β : Type ?u.273806
E : Type u_3
F : Type ?u.273812
G : Type ?u.273815
E' : Type ?u.273818
F' : Type ?u.273821
G' : Type ?u.273824
E'' : Type ?u.273827
F'' : Type u_1
G'' : Type ?u.273833
R : Type ?u.273836
R' : Type ?u.273839
𝕜 : Type ?u.273842
𝕜' : Type ?u.273845
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c✝ c'✝ c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l✝ l' : Filter α
c : E
c' : F''
hc' : c' ≠ 0
l : Filter α
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖c‖ ≤ ‖c‖ / ‖c'‖ * ‖c'‖
apply univ_mem'
case h
α : Type u_2
β : Type ?u.273806
E : Type u_3
F : Type ?u.273812
G : Type ?u.273815
E' : Type ?u.273818
F' : Type ?u.273821
G' : Type ?u.273824
E'' : Type ?u.273827
F'' : Type u_1
G'' : Type ?u.273833
R : Type ?u.273836
R' : Type ?u.273839
𝕜 : Type ?u.273842
𝕜' : Type ?u.273845
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c✝ c'✝ c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l✝ l' : Filter α
c : E
c' : F''
hc' : c' ≠ 0
l : Filter α
x : α
⊢ x ∈ {x | (fun x => ‖c‖ ≤ ‖c‖ / ‖c'‖ * ‖c'‖) x}
case h
α : Type u_2
β : Type ?u.273806
E : Type u_3
F : Type ?u.273812
G : Type ?u.273815
E' : Type ?u.273818
F' : Type ?u.273821
G' : Type ?u.273824
E'' : Type ?u.273827
F'' : Type u_1
G'' : Type ?u.273833
R : Type ?u.273836
R' : Type ?u.273839
𝕜 : Type ?u.273842
𝕜' : Type ?u.273845
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c✝ c'✝ c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l✝ l' : Filter α
c : E
c' : F''
hc' : c' ≠ 0
l : Filter α
⊢ ∀ (a : α), a ∈ {x | (fun x => ‖c‖ ≤ ‖c‖ / ‖c'‖ * ‖c'‖) x}
intro x
case h
α : Type u_2
β : Type ?u.273806
E : Type u_3
F : Type ?u.273812
G : Type ?u.273815
E' : Type ?u.273818
F' : Type ?u.273821
G' : Type ?u.273824
E'' : Type ?u.273827
F'' : Type u_1
G'' : Type ?u.273833
R : Type ?u.273836
R' : Type ?u.273839
𝕜 : Type ?u.273842
𝕜' : Type ?u.273845
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c✝ c'✝ c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l✝ l' : Filter α
c : E
c' : F''
hc' : c' ≠ 0
l : Filter α
x : α
⊢ ‖c‖ ≤ ‖c‖ / ‖c'‖ * ‖c'‖
case h
α : Type u_2
β : Type ?u.273806
E : Type u_3
F : Type ?u.273812
G : Type ?u.273815
E' : Type ?u.273818
F' : Type ?u.273821
G' : Type ?u.273824
E'' : Type ?u.273827
F'' : Type u_1
G'' : Type ?u.273833
R : Type ?u.273836
R' : Type ?u.273839
𝕜 : Type ?u.273842
𝕜' : Type ?u.273845
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c✝ c'✝ c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l✝ l' : Filter α
c : E
c' : F''
hc' : c' ≠ 0
l : Filter α
x : α
⊢ x ∈ {x | (fun x => ‖c‖ ≤ ‖c‖ / ‖c'‖ * ‖c'‖) x}
simp only [mem_setOf_eq]
case h.h
α : Type u_2
β : Type ?u.273806
E : Type u_3
F : Type ?u.273812
G : Type ?u.273815
E' : Type ?u.273818
F' : Type ?u.273821
G' : Type ?u.273824
E'' : Type ?u.273827
F'' : Type u_1
G'' : Type ?u.273833
R : Type ?u.273836
R' : Type ?u.273839
𝕜 : Type ?u.273842
𝕜' : Type ?u.273845
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c✝ c'✝ c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l✝ l' : Filter α
c : E
c' : F''
hc' : c' ≠ 0
l : Filter α
x : α
⊢ ‖c'‖ ≠ 0
case h
α : Type u_2
β : Type ?u.273806
E : Type u_3
F : Type ?u.273812
G : Type ?u.273815
E' : Type ?u.273818
F' : Type ?u.273821
G' : Type ?u.273824
E'' : Type ?u.273827
F'' : Type u_1
G'' : Type ?u.273833
R : Type ?u.273836
R' : Type ?u.273839
𝕜 : Type ?u.273842
𝕜' : Type ?u.273845
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c✝ c'✝ c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l✝ l' : Filter α
c : E
c' : F''
hc' : c' ≠ 0
l : Filter α
x : α
⊢ ‖c‖ ≤ ‖c‖ / ‖c'‖ * ‖c'‖
rw [div_mul_cancel]
no goals
case h.h
α : Type u_2
β : Type ?u.273806
E : Type u_3
F : Type ?u.273812
G : Type ?u.273815
E' : Type ?u.273818
F' : Type ?u.273821
G' : Type ?u.273824
E'' : Type ?u.273827
F'' : Type u_1
G'' : Type ?u.273833
R : Type ?u.273836
R' : Type ?u.273839
𝕜 : Type ?u.273842
𝕜' : Type ?u.273845
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c✝ c'✝ c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l✝ l' : Filter α
c : E
c' : F''
hc' : c' ≠ 0
l : Filter α
x : α
⊢ ‖c'‖ ≠ 0
rwa [Ne.def, norm_eq_zero]