x y : ℝ
⊢ ∀ ⦃a : ℝ⦄, exp 1 ≤ a → ∀ ⦃b : ℝ⦄, exp 1 ≤ b → a ≤ b → log b / b ≤ log a / a
x y : ℝ
⊢ AntitoneOn (fun x => log x / x) {x | exp 1 ≤ x}
simp only [AntitoneOn, mem_setOf_eq]
x✝ y✝ x : ℝ
hex : exp 1 ≤ x
y : ℝ
hey : exp 1 ≤ y
hxy : x ≤ y
⊢ log y / y ≤ log x / x
x y : ℝ
⊢ ∀ ⦃a : ℝ⦄, exp 1 ≤ a → ∀ ⦃b : ℝ⦄, exp 1 ≤ b → a ≤ b → log b / b ≤ log a / a
intro x hex y hey hxy
x✝ y✝ x : ℝ
hex : exp 1 ≤ x
y : ℝ
hey : exp 1 ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
⊢ log y / y ≤ log x / x
x✝ y✝ x : ℝ
hex : exp 1 ≤ x
y : ℝ
hey : exp 1 ≤ y
hxy : x ≤ y
⊢ log y / y ≤ log x / x
have x_pos : 0 < x := (exp_pos 1).trans_le hex
x✝ y✝ x : ℝ
hex : exp 1 ≤ x
y : ℝ
hey : exp 1 ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
⊢ log y / y ≤ log x / x
x✝ y✝ x : ℝ
hex : exp 1 ≤ x
y : ℝ
hey : exp 1 ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
⊢ log y / y ≤ log x / x
have y_pos : 0 < y := (exp_pos 1).trans_le hey
x✝ y✝ x : ℝ
hex : exp 1 ≤ x
y : ℝ
hey : exp 1 ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
hlogx : 1 ≤ log x
⊢ log y / y ≤ log x / x
x✝ y✝ x : ℝ
hex : exp 1 ≤ x
y : ℝ
hey : exp 1 ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
⊢ log y / y ≤ log x / x
have hlogx : 1 ≤ log x := by rwa [le_log_iff_exp_le x_pos]
x✝ y✝ x : ℝ
hex : exp 1 ≤ x
y : ℝ
hey : exp 1 ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
hlogx : 1 ≤ log x
hyx : 0 ≤ y / x - 1
⊢ log y / y ≤ log x / x
x✝ y✝ x : ℝ
hex : exp 1 ≤ x
y : ℝ
hey : exp 1 ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
hlogx : 1 ≤ log x
⊢ log y / y ≤ log x / x
have hyx : 0 ≤ y / x - 1 := by rwa [le_sub_iff_add_le, le_div_iff x_pos, zero_add, one_mul]
x✝ y✝ x : ℝ
hex : exp 1 ≤ x
y : ℝ
hey : exp 1 ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
hlogx : 1 ≤ log x
hyx : 0 ≤ y / x - 1
⊢ log y - log x ≤ log x / x * y - log x
x✝ y✝ x : ℝ
hex : exp 1 ≤ x
y : ℝ
hey : exp 1 ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
hlogx : 1 ≤ log x
hyx : 0 ≤ y / x - 1
⊢ log y / y ≤ log x / x
rw [div_le_iff y_pos, ← sub_le_sub_iff_right (log x)]
no goals
x✝ y✝ x : ℝ
hex : exp 1 ≤ x
y : ℝ
hey : exp 1 ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
hlogx : 1 ≤ log x
hyx : 0 ≤ y / x - 1
⊢ log y - log x ≤ log x / x * y - log x
calc
  log y - log x = log (y / x) := by rw [log_div y_pos.ne' x_pos.ne']
  _ ≤ y / x - 1 := (log_le_sub_one_of_pos (div_pos y_pos x_pos))
  _ ≤ log x * (y / x - 1) := (le_mul_of_one_le_left hyx hlogx)
  _ = log x / x * y - log x := by ring
no goals
x✝ y✝ x : ℝ
hex : exp 1 ≤ x
y : ℝ
hey : exp 1 ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
⊢ 1 ≤ log x
rwa [le_log_iff_exp_le x_pos]
no goals
x✝ y✝ x : ℝ
hex : exp 1 ≤ x
y : ℝ
hey : exp 1 ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
hlogx : 1 ≤ log x
⊢ 0 ≤ y / x - 1
rwa [le_sub_iff_add_le, le_div_iff x_pos, zero_add, one_mul]
no goals
x✝ y✝ x : ℝ
hex : exp 1 ≤ x
y : ℝ
hey : exp 1 ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
hlogx : 1 ≤ log x
hyx : 0 ≤ y / x - 1
⊢ log y - log x = log (y / x)
rw [log_div y_pos.ne' x_pos.ne']
no goals
x✝ y✝ x : ℝ
hex : exp 1 ≤ x
y : ℝ
hey : exp 1 ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
hlogx : 1 ≤ log x
hyx : 0 ≤ y / x - 1
⊢ log x * (y / x - 1) = log x / x * y - log x
ring