α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type ?u.1336054
𝕜 : Type ?u.1336057
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1338748
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : (∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ) ≠ ⊤
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable fun x => ↑‖f i x‖₊
⊢ (∫ (a : α), ∑' (i : ι), f i a ∂μ) = ∑' (i : ι), ∫ (a : α), f i a ∂μ
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type ?u.1336054
𝕜 : Type ?u.1336057
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1338748
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : (∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ) ≠ ⊤
⊢ (∫ (a : α), ∑' (i : ι), f i a ∂μ) = ∑' (i : ι), ∫ (a : α), f i a ∂μ
have hf'' : ∀ i, AEMeasurable (fun x => (‖f i x‖₊ : ℝ≥0∞)) μ := fun i => (hf i).ennnorm
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type ?u.1336054
𝕜 : Type ?u.1336057
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1338748
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : (∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ) ≠ ⊤
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable fun x => ↑‖f i x‖₊
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
⊢ (∫ (a : α), ∑' (i : ι), f i a ∂μ) = ∑' (i : ι), ∫ (a : α), f i a ∂μ
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type ?u.1336054
𝕜 : Type ?u.1336057
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1338748
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : (∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ) ≠ ⊤
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable fun x => ↑‖f i x‖₊
⊢ (∫ (a : α), ∑' (i : ι), f i a ∂μ) = ∑' (i : ι), ∫ (a : α), f i a ∂μ
have hhh : ∀ᵐ a : α ∂μ, Summable fun n => (‖f n a‖₊ : ℝ) := by
  rw [← lintegral_tsum hf''] at hf'
  refine' (ae_lt_top' (AEMeasurable.ennreal_tsum hf'') hf').mono _
  intro x hx
  rw [← ENNReal.tsum_coe_ne_top_iff_summable_coe]
  exact hx.ne
case convert_2
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type ?u.1336054
𝕜 : Type ?u.1336057
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1338748
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : (∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ) ≠ ⊤
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable fun x => ↑‖f i x‖₊
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
⊢ ∀ (n : ι), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f n a‖ ≤ (fun i a => ↑‖f i a‖₊) n a

case convert_3
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type ?u.1336054
𝕜 : Type ?u.1336057
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1338748
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : (∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ) ≠ ⊤
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable fun x => ↑‖f i x‖₊
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ∑' (n : ι), (fun i a => ↑‖f i a‖₊) n a) μ

case convert_4
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type ?u.1336054
𝕜 : Type ?u.1336057
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1338748
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : (∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ) ≠ ⊤
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable fun x => ↑‖f i x‖₊
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
⊢ HasFiniteIntegral fun a => ∑' (n : ι), (fun i a => ↑‖f i a‖₊) n a

case convert_5
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type ?u.1336054
𝕜 : Type ?u.1336057
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1338748
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : (∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ) ≠ ⊤
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable fun x => ↑‖f i x‖₊
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasSum (fun n => f n a) (∑' (i : ι), f i a)
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type ?u.1336054
𝕜 : Type ?u.1336057
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1338748
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : (∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ) ≠ ⊤
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable fun x => ↑‖f i x‖₊
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
⊢ (∫ (a : α), ∑' (i : ι), f i a ∂μ) = ∑' (i : ι), ∫ (a : α), f i a ∂μ
convert (MeasureTheory.hasSum_integral_of_dominated_convergence (fun i a => ‖f i a‖₊) hf _ hhh
        ⟨_, _⟩ _).tsum_eq.symm
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type ?u.1336054
𝕜 : Type ?u.1336057
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1338748
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : (∫⁻ (a : α), ∑' (i : ι), ↑‖f i a‖₊ ∂μ) ≠ ⊤
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable fun x => ↑‖f i x‖₊
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type ?u.1336054
𝕜 : Type ?u.1336057
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1338748
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : (∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ) ≠ ⊤
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable fun x => ↑‖f i x‖₊
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
rw [← lintegral_tsum hf''] at hf'
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type ?u.1336054
𝕜 : Type ?u.1336057
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1338748
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : (∫⁻ (a : α), ∑' (i : ι), ↑‖f i a‖₊ ∂μ) ≠ ⊤
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable fun x => ↑‖f i x‖₊
⊢ ∀ (x : α), (∑' (i : ι), ↑‖f i x‖₊) < ⊤ → Summable fun n => ↑‖f n x‖₊
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type ?u.1336054
𝕜 : Type ?u.1336057
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1338748
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : (∫⁻ (a : α), ∑' (i : ι), ↑‖f i a‖₊ ∂μ) ≠ ⊤
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable fun x => ↑‖f i x‖₊
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
refine' (ae_lt_top' (AEMeasurable.ennreal_tsum hf'') hf').mono _
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type ?u.1336054
𝕜 : Type ?u.1336057
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1338748
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : (∫⁻ (a : α), ∑' (i : ι), ↑‖f i a‖₊ ∂μ) ≠ ⊤
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable fun x => ↑‖f i x‖₊
x : α
hx : (∑' (i : ι), ↑‖f i x‖₊) < ⊤
⊢ Summable fun n => ↑‖f n x‖₊
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type ?u.1336054
𝕜 : Type ?u.1336057
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1338748
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : (∫⁻ (a : α), ∑' (i : ι), ↑‖f i a‖₊ ∂μ) ≠ ⊤
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable fun x => ↑‖f i x‖₊
⊢ ∀ (x : α), (∑' (i : ι), ↑‖f i x‖₊) < ⊤ → Summable fun n => ↑‖f n x‖₊
intro x hx
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type ?u.1336054
𝕜 : Type ?u.1336057
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1338748
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : (∫⁻ (a : α), ∑' (i : ι), ↑‖f i a‖₊ ∂μ) ≠ ⊤
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable fun x => ↑‖f i x‖₊
x : α
hx : (∑' (i : ι), ↑‖f i x‖₊) < ⊤
⊢ (∑' (a : ι), ↑‖f a x‖₊) ≠ ⊤
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type ?u.1336054
𝕜 : Type ?u.1336057
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1338748
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : (∫⁻ (a : α), ∑' (i : ι), ↑‖f i a‖₊ ∂μ) ≠ ⊤
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable fun x => ↑‖f i x‖₊
x : α
hx : (∑' (i : ι), ↑‖f i x‖₊) < ⊤
⊢ Summable fun n => ↑‖f n x‖₊
rw [← ENNReal.tsum_coe_ne_top_iff_summable_coe]
no goals
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type ?u.1336054
𝕜 : Type ?u.1336057
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1338748
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : (∫⁻ (a : α), ∑' (i : ι), ↑‖f i a‖₊ ∂μ) ≠ ⊤
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable fun x => ↑‖f i x‖₊
x : α
hx : (∑' (i : ι), ↑‖f i x‖₊) < ⊤
⊢ (∑' (a : ι), ↑‖f a x‖₊) ≠ ⊤
exact hx.ne
case convert_2
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type ?u.1336054
𝕜 : Type ?u.1336057
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1338748
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : (∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ) ≠ ⊤
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable fun x => ↑‖f i x‖₊
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
n : ι
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f n a‖ ≤ (fun i a => ↑‖f i a‖₊) n a
case convert_2
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type ?u.1336054
𝕜 : Type ?u.1336057
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1338748
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : (∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ) ≠ ⊤
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable fun x => ↑‖f i x‖₊
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
⊢ ∀ (n : ι), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f n a‖ ≤ (fun i a => ↑‖f i a‖₊) n a
intro n
case convert_2.h
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type ?u.1336054
𝕜 : Type ?u.1336057
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1338748
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : (∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ) ≠ ⊤
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable fun x => ↑‖f i x‖₊
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
n : ι
x : α
⊢ ‖f n x‖ ≤ ↑‖f n x‖₊
case convert_2
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type ?u.1336054
𝕜 : Type ?u.1336057
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1338748
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : (∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ) ≠ ⊤
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable fun x => ↑‖f i x‖₊
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
n : ι
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f n a‖ ≤ (fun i a => ↑‖f i a‖₊) n a
filter_upwards with x
no goals
case convert_2.h
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type ?u.1336054
𝕜 : Type ?u.1336057
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1338748
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : (∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ) ≠ ⊤
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable fun x => ↑‖f i x‖₊
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
n : ι
x : α
⊢ ‖f n x‖ ≤ ↑‖f n x‖₊
rfl
case convert_3
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type ?u.1336054
𝕜 : Type ?u.1336057
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1338748
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : (∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ) ≠ ⊤
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable fun x => ↑‖f i x‖₊
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(∑' (a_1 : ι), ‖f a_1 a‖₊)) μ
case convert_3
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type ?u.1336054
𝕜 : Type ?u.1336057
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1338748
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : (∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ) ≠ ⊤
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable fun x => ↑‖f i x‖₊
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ∑' (n : ι), (fun i a => ↑‖f i a‖₊) n a) μ
simp_rw [← coe_nnnorm, ← NNReal.coe_tsum]
case convert_3
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type ?u.1336054
𝕜 : Type ?u.1336057
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1338748
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : (∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ) ≠ ⊤
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable fun x => ↑‖f i x‖₊
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
⊢ AEMeasurable fun a => ↑(∑' (a_1 : ι), ‖f a_1 a‖₊)
case convert_3
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type ?u.1336054
𝕜 : Type ?u.1336057
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1338748
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : (∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ) ≠ ⊤
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable fun x => ↑‖f i x‖₊
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(∑' (a_1 : ι), ‖f a_1 a‖₊)) μ
rw [aestronglyMeasurable_iff_aemeasurable]
case convert_3.hf
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type ?u.1336054
𝕜 : Type ?u.1336057
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1338748
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : (∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ) ≠ ⊤
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable fun x => ↑‖f i x‖₊
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
⊢ AEMeasurable fun x => ∑' (a : ι), ‖f a x‖₊
case convert_3
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type ?u.1336054
𝕜 : Type ?u.1336057
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1338748
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : (∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ) ≠ ⊤
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable fun x => ↑‖f i x‖₊
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
⊢ AEMeasurable fun a => ↑(∑' (a_1 : ι), ‖f a_1 a‖₊)
apply AEMeasurable.coe_nnreal_real
case convert_3.hf.h
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type ?u.1336054
𝕜 : Type ?u.1336057
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1338748
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : (∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ) ≠ ⊤
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable fun x => ↑‖f i x‖₊
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
⊢ ∀ (i : ι), AEMeasurable fun x => ‖f i x‖₊
case convert_3.hf
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type ?u.1336054
𝕜 : Type ?u.1336057
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1338748
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : (∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ) ≠ ⊤
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable fun x => ↑‖f i x‖₊
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
⊢ AEMeasurable fun x => ∑' (a : ι), ‖f a x‖₊
apply AEMeasurable.nnreal_tsum
no goals
case convert_3.hf.h
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type ?u.1336054
𝕜 : Type ?u.1336057
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1338748
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : (∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ) ≠ ⊤
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable fun x => ↑‖f i x‖₊
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
⊢ ∀ (i : ι), AEMeasurable fun x => ‖f i x‖₊
exact fun i => (hf i).nnnorm.aemeasurable
case convert_4
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type ?u.1336054
𝕜 : Type ?u.1336057
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1338748
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : (∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ) ≠ ⊤
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable fun x => ↑‖f i x‖₊
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖∑' (n : ι), ‖f n a‖‖₊ ∂μ) < ⊤
case convert_4
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type ?u.1336054
𝕜 : Type ?u.1336057
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1338748
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : (∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ) ≠ ⊤
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable fun x => ↑‖f i x‖₊
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
⊢ HasFiniteIntegral fun a => ∑' (n : ι), (fun i a => ↑‖f i a‖₊) n a
dsimp [HasFiniteIntegral]
case convert_4
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type ?u.1336054
𝕜 : Type ?u.1336057
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1338748
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : (∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ) ≠ ⊤
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable fun x => ↑‖f i x‖₊
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
this : (∫⁻ (a : α), ∑' (n : ι), ↑‖f n a‖₊ ∂μ) < ⊤
⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖∑' (n : ι), ‖f n a‖‖₊ ∂μ) < ⊤
case convert_4
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type ?u.1336054
𝕜 : Type ?u.1336057
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1338748
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : (∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ) ≠ ⊤
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable fun x => ↑‖f i x‖₊
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖∑' (n : ι), ‖f n a‖‖₊ ∂μ) < ⊤
have : (∫⁻ a, ∑' n, ‖f n a‖₊ ∂μ) < ⊤ := by rwa [lintegral_tsum hf'', lt_top_iff_ne_top]
case h.e'_3
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type ?u.1336054
𝕜 : Type ?u.1336057
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1338748
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : (∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ) ≠ ⊤
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable fun x => ↑‖f i x‖₊
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
this : (∫⁻ (a : α), ∑' (n : ι), ↑‖f n a‖₊ ∂μ) < ⊤
⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖∑' (n : ι), ‖f n a‖‖₊ ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ∑' (n : ι), ↑‖f n a‖₊ ∂μ
case convert_4
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type ?u.1336054
𝕜 : Type ?u.1336057
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1338748
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : (∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ) ≠ ⊤
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable fun x => ↑‖f i x‖₊
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
this : (∫⁻ (a : α), ∑' (n : ι), ↑‖f n a‖₊ ∂μ) < ⊤
⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖∑' (n : ι), ‖f n a‖‖₊ ∂μ) < ⊤
convert this using 1
case h.e'_3.h
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type ?u.1336054
𝕜 : Type ?u.1336057
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1338748
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : (∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ) ≠ ⊤
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable fun x => ↑‖f i x‖₊
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
this : (∫⁻ (a : α), ∑' (n : ι), ↑‖f n a‖₊ ∂μ) < ⊤
⊢ (fun a => ↑‖∑' (n : ι), ‖f n a‖‖₊) =ᵐ[μ] fun a => ∑' (n : ι), ↑‖f n a‖₊
case h.e'_3
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type ?u.1336054
𝕜 : Type ?u.1336057
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1338748
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : (∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ) ≠ ⊤
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable fun x => ↑‖f i x‖₊
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
this : (∫⁻ (a : α), ∑' (n : ι), ↑‖f n a‖₊ ∂μ) < ⊤
⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖∑' (n : ι), ‖f n a‖‖₊ ∂μ) = ∫⁻ (a : α), ∑' (n : ι), ↑‖f n a‖₊ ∂μ
apply lintegral_congr_ae
case h.e'_3.h
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type ?u.1336054
𝕜 : Type ?u.1336057
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1338748
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : (∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ) ≠ ⊤
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable fun x => ↑‖f i x‖₊
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
this : (∫⁻ (a : α), ∑' (n : ι), ↑‖f n a‖₊ ∂μ) < ⊤
⊢ (fun a => ↑(∑' (a_1 : ι), ‖f a_1 a‖₊)) =ᵐ[μ] fun a => ∑' (n : ι), ↑‖f n a‖₊
case h.e'_3.h
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type ?u.1336054
𝕜 : Type ?u.1336057
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1338748
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : (∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ) ≠ ⊤
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable fun x => ↑‖f i x‖₊
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
this : (∫⁻ (a : α), ∑' (n : ι), ↑‖f n a‖₊ ∂μ) < ⊤
⊢ (fun a => ↑‖∑' (n : ι), ‖f n a‖‖₊) =ᵐ[μ] fun a => ∑' (n : ι), ↑‖f n a‖₊
simp_rw [← coe_nnnorm, ← NNReal.coe_tsum, NNReal.nnnorm_eq]
case h
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type ?u.1336054
𝕜 : Type ?u.1336057
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1338748
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : (∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ) ≠ ⊤
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable fun x => ↑‖f i x‖₊
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
this : (∫⁻ (a : α), ∑' (n : ι), ↑‖f n a‖₊ ∂μ) < ⊤
a : α
ha : Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
⊢ ↑(∑' (a_1 : ι), ‖f a_1 a‖₊) = ∑' (n : ι), ↑‖f n a‖₊
case h.e'_3.h
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type ?u.1336054
𝕜 : Type ?u.1336057
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1338748
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : (∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ) ≠ ⊤
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable fun x => ↑‖f i x‖₊
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
this : (∫⁻ (a : α), ∑' (n : ι), ↑‖f n a‖₊ ∂μ) < ⊤
⊢ (fun a => ↑(∑' (a_1 : ι), ‖f a_1 a‖₊)) =ᵐ[μ] fun a => ∑' (n : ι), ↑‖f n a‖₊
filter_upwards [hhh]with a ha
no goals
case h
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type ?u.1336054
𝕜 : Type ?u.1336057
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1338748
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : (∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ) ≠ ⊤
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable fun x => ↑‖f i x‖₊
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
this : (∫⁻ (a : α), ∑' (n : ι), ↑‖f n a‖₊ ∂μ) < ⊤
a : α
ha : Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
⊢ ↑(∑' (a_1 : ι), ‖f a_1 a‖₊) = ∑' (n : ι), ↑‖f n a‖₊
exact ENNReal.coe_tsum (NNReal.summable_coe.mp ha)
no goals
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type ?u.1336054
𝕜 : Type ?u.1336057
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1338748
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : (∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ) ≠ ⊤
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable fun x => ↑‖f i x‖₊
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
⊢ (∫⁻ (a : α), ∑' (n : ι), ↑‖f n a‖₊ ∂μ) < ⊤
rwa [lintegral_tsum hf'', lt_top_iff_ne_top]
case h
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type ?u.1336054
𝕜 : Type ?u.1336057
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1338748
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : (∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ) ≠ ⊤
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable fun x => ↑‖f i x‖₊
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
x : α
hx : Summable fun n => ↑‖f n x‖₊
⊢ HasSum (fun n => f n x) (∑' (i : ι), f i x)
case convert_5
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type ?u.1336054
𝕜 : Type ?u.1336057
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1338748
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : (∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ) ≠ ⊤
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable fun x => ↑‖f i x‖₊
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasSum (fun n => f n a) (∑' (i : ι), f i a)
filter_upwards [hhh]with x hx
no goals
case h
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type ?u.1336054
𝕜 : Type ?u.1336057
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type ?u.1338748
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : (∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ) ≠ ⊤
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable fun x => ↑‖f i x‖₊
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
x : α
hx : Summable fun n => ↑‖f n x‖₊
⊢ HasSum (fun n => f n x) (∑' (i : ι), f i x)
exact (summable_of_summable_norm hx).hasSum