F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
x : ℝ
hx : x ∈ {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K}
⊢ x ∈ D f K
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
⊢ {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K} ⊆ D f K
intro x hx
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
x : ℝ
hx : x ∈ {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K}
⊢ ∀ (i : ℕ), x ∈ ⋃ (n : ℕ), ⋂ (p : ℕ) (_ : p ≥ n) (q : ℕ) (_ : q ≥ n), B f K ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ i)
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
x : ℝ
hx : x ∈ {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K}
⊢ x ∈ D f K
rw [D, mem_iInter]
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
x : ℝ
hx : x ∈ {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K}
e : ℕ
⊢ x ∈ ⋃ (n : ℕ), ⋂ (p : ℕ) (_ : p ≥ n) (q : ℕ) (_ : q ≥ n), B f K ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
x : ℝ
hx : x ∈ {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K}
⊢ ∀ (i : ℕ), x ∈ ⋃ (n : ℕ), ⋂ (p : ℕ) (_ : p ≥ n) (q : ℕ) (_ : q ≥ n), B f K ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ i)
intro e
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
x : ℝ
hx : x ∈ {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K}
e : ℕ
this : 0 < (1 / 2) ^ e
⊢ x ∈ ⋃ (n : ℕ), ⋂ (p : ℕ) (_ : p ≥ n) (q : ℕ) (_ : q ≥ n), B f K ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
x : ℝ
hx : x ∈ {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K}
e : ℕ
⊢ x ∈ ⋃ (n : ℕ), ⋂ (p : ℕ) (_ : p ≥ n) (q : ℕ) (_ : q ≥ n), B f K ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)
have : (0 : ℝ) < (1 / 2) ^ e := pow_pos (by norm_num) _
case intro.intro
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
x : ℝ
hx : x ∈ {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K}
e : ℕ
this : 0 < (1 / 2) ^ e
R : ℝ
R_pos : R > 0
hR : ∀ (r : ℝ), r ∈ Ioo 0 R → x ∈ A f (derivWithin f (Ici x) x) r ((1 / 2) ^ e)
⊢ x ∈ ⋃ (n : ℕ), ⋂ (p : ℕ) (_ : p ≥ n) (q : ℕ) (_ : q ≥ n), B f K ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
x : ℝ
hx : x ∈ {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K}
e : ℕ
this : 0 < (1 / 2) ^ e
⊢ x ∈ ⋃ (n : ℕ), ⋂ (p : ℕ) (_ : p ≥ n) (q : ℕ) (_ : q ≥ n), B f K ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)
rcases mem_a_of_differentiable this hx.1 with ⟨R, R_pos, hR⟩
case intro.intro.intro
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
x : ℝ
hx : x ∈ {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K}
e : ℕ
this : 0 < (1 / 2) ^ e
R : ℝ
R_pos : R > 0
hR : ∀ (r : ℝ), r ∈ Ioo 0 R → x ∈ A f (derivWithin f (Ici x) x) r ((1 / 2) ^ e)
n : ℕ
hn : (1 / 2) ^ n < R
⊢ x ∈ ⋃ (n : ℕ), ⋂ (p : ℕ) (_ : p ≥ n) (q : ℕ) (_ : q ≥ n), B f K ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)
case intro.intro
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
x : ℝ
hx : x ∈ {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K}
e : ℕ
this : 0 < (1 / 2) ^ e
R : ℝ
R_pos : R > 0
hR : ∀ (r : ℝ), r ∈ Ioo 0 R → x ∈ A f (derivWithin f (Ici x) x) r ((1 / 2) ^ e)
⊢ x ∈ ⋃ (n : ℕ), ⋂ (p : ℕ) (_ : p ≥ n) (q : ℕ) (_ : q ≥ n), B f K ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)
obtain ⟨n, hn⟩ : ∃ n : ℕ, (1 / 2) ^ n < R :=
  exists_pow_lt_of_lt_one R_pos (by norm_num : (1 : ℝ) / 2 < 1)
case intro.intro.intro
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
x : ℝ
hx : x ∈ {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K}
e : ℕ
this : 0 < (1 / 2) ^ e
R : ℝ
R_pos : R > 0
hR : ∀ (r : ℝ), r ∈ Ioo 0 R → x ∈ A f (derivWithin f (Ici x) x) r ((1 / 2) ^ e)
n : ℕ
hn : (1 / 2) ^ n < R
⊢ ∃ i,
    ∀ (i_1 : ℕ),
      i_1 ≥ i →
        ∀ (i_3 : ℕ), i_3 ≥ i → ∃ i h, x ∈ A f i ((1 / 2) ^ i_1) ((1 / 2) ^ e) ∧ x ∈ A f i ((1 / 2) ^ i_3) ((1 / 2) ^ e)
case intro.intro.intro
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
x : ℝ
hx : x ∈ {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K}
e : ℕ
this : 0 < (1 / 2) ^ e
R : ℝ
R_pos : R > 0
hR : ∀ (r : ℝ), r ∈ Ioo 0 R → x ∈ A f (derivWithin f (Ici x) x) r ((1 / 2) ^ e)
n : ℕ
hn : (1 / 2) ^ n < R
⊢ x ∈ ⋃ (n : ℕ), ⋂ (p : ℕ) (_ : p ≥ n) (q : ℕ) (_ : q ≥ n), B f K ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)
simp only [mem_iUnion, mem_iInter, B, mem_inter_iff]
no goals
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
x : ℝ
hx : x ∈ {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K}
e : ℕ
⊢ 0 < 1 / 2
norm_num
no goals
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
x : ℝ
hx : x ∈ {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K}
e : ℕ
this : 0 < (1 / 2) ^ e
R : ℝ
R_pos : R > 0
hR : ∀ (r : ℝ), r ∈ Ioo 0 R → x ∈ A f (derivWithin f (Ici x) x) r ((1 / 2) ^ e)
⊢ 1 / 2 < 1
norm_num
case intro.intro.intro.refine'_2
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
x : ℝ
hx : x ∈ {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K}
e : ℕ
this : 0 < (1 / 2) ^ e
R : ℝ
R_pos : R > 0
hR : ∀ (r : ℝ), r ∈ Ioo 0 R → x ∈ A f (derivWithin f (Ici x) x) r ((1 / 2) ^ e)
n : ℕ
hn : (1 / 2) ^ n < R
p : ℕ
hp : p ≥ n
q : ℕ
hq : q ≥ n
⊢ (1 / 2) ^ q ≤ (1 / 2) ^ n
case intro.intro.intro.refine'_2
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
x : ℝ
hx : x ∈ {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K}
e : ℕ
this : 0 < (1 / 2) ^ e
R : ℝ
R_pos : R > 0
hR : ∀ (r : ℝ), r ∈ Ioo 0 R → x ∈ A f (derivWithin f (Ici x) x) r ((1 / 2) ^ e)
n : ℕ
hn : (1 / 2) ^ n < R
p : ℕ
hp : p ≥ n
q : ℕ
hq : q ≥ n
⊢ x ∈ A f (derivWithin f (Ici x) x) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)
refine' hR _ ⟨pow_pos (by norm_num) _, lt_of_le_of_lt _ hn⟩
no goals
case intro.intro.intro.refine'_2
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
x : ℝ
hx : x ∈ {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K}
e : ℕ
this : 0 < (1 / 2) ^ e
R : ℝ
R_pos : R > 0
hR : ∀ (r : ℝ), r ∈ Ioo 0 R → x ∈ A f (derivWithin f (Ici x) x) r ((1 / 2) ^ e)
n : ℕ
hn : (1 / 2) ^ n < R
p : ℕ
hp : p ≥ n
q : ℕ
hq : q ≥ n
⊢ (1 / 2) ^ q ≤ (1 / 2) ^ n
exact pow_le_pow_of_le_one (by norm_num) (by norm_num) (by assumption)
no goals
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
x : ℝ
hx : x ∈ {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K}
e : ℕ
this : 0 < (1 / 2) ^ e
R : ℝ
R_pos : R > 0
hR : ∀ (r : ℝ), r ∈ Ioo 0 R → x ∈ A f (derivWithin f (Ici x) x) r ((1 / 2) ^ e)
n : ℕ
hn : (1 / 2) ^ n < R
p : ℕ
hp : p ≥ n
q : ℕ
hq : q ≥ n
⊢ 0 < 1 / 2
norm_num
no goals
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
x : ℝ
hx : x ∈ {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K}
e : ℕ
this : 0 < (1 / 2) ^ e
R : ℝ
R_pos : R > 0
hR : ∀ (r : ℝ), r ∈ Ioo 0 R → x ∈ A f (derivWithin f (Ici x) x) r ((1 / 2) ^ e)
n : ℕ
hn : (1 / 2) ^ n < R
p : ℕ
hp : p ≥ n
q : ℕ
hq : q ≥ n
⊢ 0 ≤ 1 / 2
norm_num
no goals
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
x : ℝ
hx : x ∈ {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K}
e : ℕ
this : 0 < (1 / 2) ^ e
R : ℝ
R_pos : R > 0
hR : ∀ (r : ℝ), r ∈ Ioo 0 R → x ∈ A f (derivWithin f (Ici x) x) r ((1 / 2) ^ e)
n : ℕ
hn : (1 / 2) ^ n < R
p : ℕ
hp : p ≥ n
q : ℕ
hq : q ≥ n
⊢ 1 / 2 ≤ 1
norm_num
no goals
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
x : ℝ
hx : x ∈ {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K}
e : ℕ
this : 0 < (1 / 2) ^ e
R : ℝ
R_pos : R > 0
hR : ∀ (r : ℝ), r ∈ Ioo 0 R → x ∈ A f (derivWithin f (Ici x) x) r ((1 / 2) ^ e)
n : ℕ
hn : (1 / 2) ^ n < R
p : ℕ
hp : p ≥ n
q : ℕ
hq : q ≥ n
⊢ n ≤ q
assumption