α : Type u
β : Type v
ι : Type u_2
π : ι → Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
s✝ t : Set α
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
s : (i : ι) → Set (π i)
⊢ (∀ (i : ι) (f : Ultrafilter (π i)), s i ∈ ↑f → ∃ a, a ∈ s i ∧ ↑f ≤ 𝓝 a) →
    ∀ (f : Ultrafilter ((i : ι) → π i)),
      {x | ∀ (i : ι), x i ∈ s i} ∈ ↑f → ∃ a, (∀ (i : ι), a i ∈ s i) ∧ ∀ (i : ι), ↑f ≤ comap (Function.eval i) (𝓝 (a i))
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_2
π : ι → Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
s✝ t : Set α
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
s : (i : ι) → Set (π i)
⊢ (∀ (i : ι), IsCompact (s i)) → IsCompact {x | ∀ (i : ι), x i ∈ s i}
simp only [isCompact_iff_ultrafilter_le_nhds, nhds_pi, Filter.pi, exists_prop, mem_setOf_eq,
  le_iInf_iff, le_principal_iff]
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_2
π : ι → Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
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s✝ t : Set α
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
s : (i : ι) → Set (π i)
h : ∀ (i : ι) (f : Ultrafilter (π i)), s i ∈ ↑f → ∃ a, a ∈ s i ∧ ↑f ≤ 𝓝 a
f : Ultrafilter ((i : ι) → π i)
hfs : {x | ∀ (i : ι), x i ∈ s i} ∈ ↑f
⊢ ∃ a, (∀ (i : ι), a i ∈ s i) ∧ ∀ (i : ι), ↑f ≤ comap (Function.eval i) (𝓝 (a i))
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_2
π : ι → Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
s✝ t : Set α
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
s : (i : ι) → Set (π i)
⊢ (∀ (i : ι) (f : Ultrafilter (π i)), s i ∈ ↑f → ∃ a, a ∈ s i ∧ ↑f ≤ 𝓝 a) →
    ∀ (f : Ultrafilter ((i : ι) → π i)),
      {x | ∀ (i : ι), x i ∈ s i} ∈ ↑f → ∃ a, (∀ (i : ι), a i ∈ s i) ∧ ∀ (i : ι), ↑f ≤ comap (Function.eval i) (𝓝 (a i))
intro h f hfs
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_2
π : ι → Type u_1
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s✝ t : Set α
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
s : (i : ι) → Set (π i)
h : ∀ (i : ι) (f : Ultrafilter (π i)), s i ∈ ↑f → ∃ a, a ∈ s i ∧ ↑f ≤ 𝓝 a
f : Ultrafilter ((i : ι) → π i)
hfs : {x | ∀ (i : ι), x i ∈ s i} ∈ ↑f
this : ∀ (i : ι), ∃ a, a ∈ s i ∧ Tendsto (Function.eval i) (↑f) (𝓝 a)
⊢ ∃ a, (∀ (i : ι), a i ∈ s i) ∧ ∀ (i : ι), ↑f ≤ comap (Function.eval i) (𝓝 (a i))
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_2
π : ι → Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
s✝ t : Set α
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
s : (i : ι) → Set (π i)
h : ∀ (i : ι) (f : Ultrafilter (π i)), s i ∈ ↑f → ∃ a, a ∈ s i ∧ ↑f ≤ 𝓝 a
f : Ultrafilter ((i : ι) → π i)
hfs : {x | ∀ (i : ι), x i ∈ s i} ∈ ↑f
⊢ ∃ a, (∀ (i : ι), a i ∈ s i) ∧ ∀ (i : ι), ↑f ≤ comap (Function.eval i) (𝓝 (a i))
have : ∀ i : ι, ∃ a, a ∈ s i ∧ Tendsto (Function.eval i) f (𝓝 a) := by
  refine fun i => h i (f.map _) (mem_map.2 ?_)
  exact mem_of_superset hfs fun x hx => hx i
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_2
π : ι → Type u_1
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s✝ t : Set α
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
s : (i : ι) → Set (π i)
h : ∀ (i : ι) (f : Ultrafilter (π i)), s i ∈ ↑f → ∃ a, a ∈ s i ∧ ↑f ≤ 𝓝 a
f : Ultrafilter ((i : ι) → π i)
hfs : {x | ∀ (i : ι), x i ∈ s i} ∈ ↑f
a : (i : ι) → π i
ha : ∀ (i : ι), a i ∈ s i ∧ Tendsto (Function.eval i) (↑f) (𝓝 (a i))
⊢ ∃ a, (∀ (i : ι), a i ∈ s i) ∧ ∀ (i : ι), ↑f ≤ comap (Function.eval i) (𝓝 (a i))
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_2
π : ι → Type u_1
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s✝ t : Set α
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
s : (i : ι) → Set (π i)
h : ∀ (i : ι) (f : Ultrafilter (π i)), s i ∈ ↑f → ∃ a, a ∈ s i ∧ ↑f ≤ 𝓝 a
f : Ultrafilter ((i : ι) → π i)
hfs : {x | ∀ (i : ι), x i ∈ s i} ∈ ↑f
this : ∀ (i : ι), ∃ a, a ∈ s i ∧ Tendsto (Function.eval i) (↑f) (𝓝 a)
⊢ ∃ a, (∀ (i : ι), a i ∈ s i) ∧ ∀ (i : ι), ↑f ≤ comap (Function.eval i) (𝓝 (a i))
choose a ha using this
no goals
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β : Type v
ι : Type u_2
π : ι → Type u_1
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inst✝¹ : TopologicalSpace β
s✝ t : Set α
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
s : (i : ι) → Set (π i)
h : ∀ (i : ι) (f : Ultrafilter (π i)), s i ∈ ↑f → ∃ a, a ∈ s i ∧ ↑f ≤ 𝓝 a
f : Ultrafilter ((i : ι) → π i)
hfs : {x | ∀ (i : ι), x i ∈ s i} ∈ ↑f
a : (i : ι) → π i
ha : ∀ (i : ι), a i ∈ s i ∧ Tendsto (Function.eval i) (↑f) (𝓝 (a i))
⊢ ∃ a, (∀ (i : ι), a i ∈ s i) ∧ ∀ (i : ι), ↑f ≤ comap (Function.eval i) (𝓝 (a i))
exact ⟨a, fun i => (ha i).left, fun i => (ha i).right.le_comap⟩
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β : Type v
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π : ι → Type u_1
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inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
s : (i : ι) → Set (π i)
h : ∀ (i : ι) (f : Ultrafilter (π i)), s i ∈ ↑f → ∃ a, a ∈ s i ∧ ↑f ≤ 𝓝 a
f : Ultrafilter ((i : ι) → π i)
hfs : {x | ∀ (i : ι), x i ∈ s i} ∈ ↑f
i : ι
⊢ Function.eval i ⁻¹' s i ∈ ↑f
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_2
π : ι → Type u_1
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s : (i : ι) → Set (π i)
h : ∀ (i : ι) (f : Ultrafilter (π i)), s i ∈ ↑f → ∃ a, a ∈ s i ∧ ↑f ≤ 𝓝 a
f : Ultrafilter ((i : ι) → π i)
hfs : {x | ∀ (i : ι), x i ∈ s i} ∈ ↑f
⊢ ∀ (i : ι), ∃ a, a ∈ s i ∧ Tendsto (Function.eval i) (↑f) (𝓝 a)
refine fun i => h i (f.map _) (mem_map.2 ?_)
no goals
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_2
π : ι → Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
s✝ t : Set α
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s : (i : ι) → Set (π i)
h : ∀ (i : ι) (f : Ultrafilter (π i)), s i ∈ ↑f → ∃ a, a ∈ s i ∧ ↑f ≤ 𝓝 a
f : Ultrafilter ((i : ι) → π i)
hfs : {x | ∀ (i : ι), x i ∈ s i} ∈ ↑f
i : ι
⊢ Function.eval i ⁻¹' s i ∈ ↑f
exact mem_of_superset hfs fun x hx => hx i