ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type ?u.742653
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
⊢ ∀ (i j : ι),
    inner (↑(LinearIsometryEquiv.symm b.repr) (lp.single 2 i 1))
        (↑(LinearIsometryEquiv.symm b.repr) (lp.single 2 j 1)) =
      if i = j then 1 else 0
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type ?u.742653
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
⊢ Orthonormal 𝕜 fun i => ↑(LinearIsometryEquiv.symm b.repr) (lp.single 2 i 1)
rw [orthonormal_iff_ite]
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type ?u.742653
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
i j : ι
⊢ inner (↑(LinearIsometryEquiv.symm b.repr) (lp.single 2 i 1)) (↑(LinearIsometryEquiv.symm b.repr) (lp.single 2 j 1)) =
    if i = j then 1 else 0
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type ?u.742653
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
⊢ ∀ (i j : ι),
    inner (↑(LinearIsometryEquiv.symm b.repr) (lp.single 2 i 1))
        (↑(LinearIsometryEquiv.symm b.repr) (lp.single 2 j 1)) =
      if i = j then 1 else 0
intro i j
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type ?u.742653
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
i j : ι
⊢ inner 1 (if h : i = j then (_ : j = i) ▸ 1 else 0) = if i = j then 1 else 0
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type ?u.742653
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
i j : ι
⊢ inner (↑(LinearIsometryEquiv.symm b.repr) (lp.single 2 i 1)) (↑(LinearIsometryEquiv.symm b.repr) (lp.single 2 j 1)) =
    if i = j then 1 else 0
rw [← b.repr.inner_map_map (b i) (b j), b.repr_self, b.repr_self, lp.inner_single_left,
  lp.single_apply]
no goals
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type ?u.742653
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
i j : ι
⊢ inner 1 (if h : i = j then (_ : j = i) ▸ 1 else 0) = if i = j then 1 else 0
simp