case h
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
⊢ ∀ (a : E),
    Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall a r) / ↑↑μ (closedBall a r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1) → a ∈ s → ‖f' a - A‖₊ ≤ δ
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
⊢ ∀ᵐ (x : E) ∂Measure.restrict μ s, ‖f' x - A‖₊ ≤ δ
filter_upwards [Besicovitch.ae_tendsto_measure_inter_div μ s, ae_restrict_mem hs]
case h
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
⊢ ‖f' x - A‖₊ ≤ δ
case h
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
⊢ ∀ (a : E),
    Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall a r) / ↑↑μ (closedBall a r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1) → a ∈ s → ‖f' a - A‖₊ ≤ δ
intro x hx xs
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
⊢ ‖↑(f' x - A) z‖ ≤ ↑δ * ‖z‖
case h
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
⊢ ‖f' x - A‖₊ ≤ δ
apply ContinuousLinearMap.op_norm_le_bound _ δ.2 fun z => ?_
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
H : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ‖↑(f' x - A) z‖ ≤ (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε
⊢ ‖↑(f' x - A) z‖ ≤ ↑δ * ‖z‖

case H
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
⊢ ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ‖↑(f' x - A) z‖ ≤ (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
⊢ ‖↑(f' x - A) z‖ ≤ ↑δ * ‖z‖
suffices H : ∀ ε, 0 < ε → ‖(f' x - A) z‖ ≤ (δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε
case H
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
⊢ ‖↑(f' x - A) z‖ ≤ (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε
case H
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
⊢ ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ‖↑(f' x - A) z‖ ≤ (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε
intro ε εpos
case H
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, Set.Nonempty (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε))
⊢ ‖↑(f' x - A) z‖ ≤ (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε
case H
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
⊢ ‖↑(f' x - A) z‖ ≤ (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε
have B₁ : ∀ᶠ r in 𝓝[>] (0 : ℝ), (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε)).Nonempty :=
  eventually_nonempty_inter_smul_of_density_one μ s x hx _ measurableSet_closedBall
    (measure_closedBall_pos μ z εpos).ne'
case H.intro.intro
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, Set.Nonempty (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε))
ρ : ℝ
ρpos : ρ > 0
hρ : ball x ρ ∩ s ⊆ {y | ‖f y - f x - ↑(f' x) (y - x)‖ ≤ ε * ‖y - x‖}
⊢ ‖↑(f' x - A) z‖ ≤ (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε
case H
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, Set.Nonempty (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε))
⊢ ‖↑(f' x - A) z‖ ≤ (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε
obtain ⟨ρ, ρpos, hρ⟩ :
  ∃ ρ > 0, ball x ρ ∩ s ⊆ {y : E | ‖f y - f x - (f' x) (y - x)‖ ≤ ε * ‖y - x‖} :=
  mem_nhdsWithin_iff.1 (IsLittleO.def (hf' x xs) εpos)
case H.intro.intro
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, Set.Nonempty (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε))
ρ : ℝ
ρpos : ρ > 0
hρ : ball x ρ ∩ s ⊆ {y | ‖f y - f x - ↑(f' x) (y - x)‖ ≤ ε * ‖y - x‖}
B₂ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
⊢ ‖↑(f' x - A) z‖ ≤ (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε
case H.intro.intro
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, Set.Nonempty (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε))
ρ : ℝ
ρpos : ρ > 0
hρ : ball x ρ ∩ s ⊆ {y | ‖f y - f x - ↑(f' x) (y - x)‖ ≤ ε * ‖y - x‖}
⊢ ‖↑(f' x - A) z‖ ≤ (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε
have B₂ : ∀ᶠ r in 𝓝[>] (0 : ℝ), {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ := by
  apply nhdsWithin_le_nhds
  exact eventually_singleton_add_smul_subset bounded_closedBall (ball_mem_nhds x ρpos)
case H.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, Set.Nonempty (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε))
ρ : ℝ
ρpos : ρ > 0
hρ : ball x ρ ∩ s ⊆ {y | ‖f y - f x - ↑(f' x) (y - x)‖ ≤ ε * ‖y - x‖}
B₂ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
r : ℝ
y : E
ys : y ∈ s
hy : y ∈ {x} + r • closedBall z ε
rρ : ?m.520649 r + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
rpos : 0 < r
⊢ ‖↑(f' x - A) z‖ ≤ (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε
case H.intro.intro
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, Set.Nonempty (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε))
ρ : ℝ
ρpos : ρ > 0
hρ : ball x ρ ∩ s ⊆ {y | ‖f y - f x - ↑(f' x) (y - x)‖ ≤ ε * ‖y - x‖}
B₂ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
⊢ ‖↑(f' x - A) z‖ ≤ (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε
obtain ⟨r, ⟨y, ⟨ys, hy⟩⟩, rρ, rpos⟩ :
  ∃ r : ℝ,
    (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε)).Nonempty ∧ {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ ∧ 0 < r :=
  (B₁.and (B₂.and self_mem_nhdsWithin)).exists
case H.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, Set.Nonempty (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε))
ρ : ℝ
ρpos : ρ > 0
hρ : ball x ρ ∩ s ⊆ {y | ‖f y - f x - ↑(f' x) (y - x)‖ ≤ ε * ‖y - x‖}
B₂ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
r : ℝ
y : E
ys : y ∈ s
hy : y ∈ {x} + r • closedBall z ε
rρ : ?m.520649 r + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
rpos : 0 < r
a : E
az : a ∈ closedBall z ε
ya : y = x + r • a
⊢ ‖↑(f' x - A) z‖ ≤ (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε
case H.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, Set.Nonempty (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε))
ρ : ℝ
ρpos : ρ > 0
hρ : ball x ρ ∩ s ⊆ {y | ‖f y - f x - ↑(f' x) (y - x)‖ ≤ ε * ‖y - x‖}
B₂ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
r : ℝ
y : E
ys : y ∈ s
hy : y ∈ {x} + r • closedBall z ε
rρ : ?m.520649 r + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
rpos : 0 < r
⊢ ‖↑(f' x - A) z‖ ≤ (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε
obtain ⟨a, az, ya⟩ : ∃ a, a ∈ closedBall z ε ∧ y = x + r • a := by
  simp only [mem_smul_set, image_add_left, mem_preimage, singleton_add] at hy
  rcases hy with ⟨a, az, ha⟩
  exact ⟨a, az, by simp only [ha, add_neg_cancel_left]⟩
case H.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, Set.Nonempty (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε))
ρ : ℝ
ρpos : ρ > 0
hρ : ball x ρ ∩ s ⊆ {y | ‖f y - f x - ↑(f' x) (y - x)‖ ≤ ε * ‖y - x‖}
B₂ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
r : ℝ
y : E
ys : y ∈ s
hy : y ∈ {x} + r • closedBall z ε
rρ : {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
rpos : 0 < r
a : E
az : a ∈ closedBall z ε
ya : y = x + r • a
norm_a : ‖a‖ ≤ ‖z‖ + ε
⊢ ‖↑(f' x - A) z‖ ≤ (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε
case H.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, Set.Nonempty (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε))
ρ : ℝ
ρpos : ρ > 0
hρ : ball x ρ ∩ s ⊆ {y | ‖f y - f x - ↑(f' x) (y - x)‖ ≤ ε * ‖y - x‖}
B₂ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
r : ℝ
y : E
ys : y ∈ s
hy : y ∈ {x} + r • closedBall z ε
rρ : ?m.520649 r + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
rpos : 0 < r
a : E
az : a ∈ closedBall z ε
ya : y = x + r • a
⊢ ‖↑(f' x - A) z‖ ≤ (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε
have norm_a : ‖a‖ ≤ ‖z‖ + ε :=
  calc
    ‖a‖ = ‖z + (a - z)‖ := by simp only [add_sub_cancel'_right]
    _ ≤ ‖z‖ + ‖a - z‖ := (norm_add_le _ _)
    _ ≤ ‖z‖ + ε := add_le_add_left (mem_closedBall_iff_norm.1 az) _
case H.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, Set.Nonempty (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε))
ρ : ℝ
ρpos : ρ > 0
hρ : ball x ρ ∩ s ⊆ {y | ‖f y - f x - ↑(f' x) (y - x)‖ ≤ ε * ‖y - x‖}
B₂ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
r : ℝ
y : E
ys : y ∈ s
hy : y ∈ {x} + r • closedBall z ε
rρ : {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
rpos : 0 < r
a : E
az : a ∈ closedBall z ε
ya : y = x + r • a
norm_a : ‖a‖ ≤ ‖z‖ + ε
I : r * ‖↑(f' x - A) a‖ ≤ r * (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε)
⊢ ‖↑(f' x - A) z‖ ≤ (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε
case H.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, Set.Nonempty (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε))
ρ : ℝ
ρpos : ρ > 0
hρ : ball x ρ ∩ s ⊆ {y | ‖f y - f x - ↑(f' x) (y - x)‖ ≤ ε * ‖y - x‖}
B₂ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
r : ℝ
y : E
ys : y ∈ s
hy : y ∈ {x} + r • closedBall z ε
rρ : {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
rpos : 0 < r
a : E
az : a ∈ closedBall z ε
ya : y = x + r • a
norm_a : ‖a‖ ≤ ‖z‖ + ε
⊢ ‖↑(f' x - A) z‖ ≤ (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε
have I : r * ‖(f' x - A) a‖ ≤ r * (δ + ε) * (‖z‖ + ε) :=
  calc
    r * ‖(f' x - A) a‖ = ‖(f' x - A) (r • a)‖ := by
      simp only [ContinuousLinearMap.map_smul, norm_smul, Real.norm_eq_abs, abs_of_nonneg rpos.le]
    _ = ‖f y - f x - A (y - x) - (f y - f x - (f' x) (y - x))‖ := by
      congr 1
      simp only [ya, add_sub_cancel', sub_sub_sub_cancel_left, ContinuousLinearMap.coe_sub',
        eq_self_iff_true, sub_left_inj, Pi.sub_apply, ContinuousLinearMap.map_smul, smul_sub]
    _ ≤ ‖f y - f x - A (y - x)‖ + ‖f y - f x - (f' x) (y - x)‖ := (norm_sub_le _ _)
    _ ≤ δ * ‖y - x‖ + ε * ‖y - x‖ := (add_le_add (hf _ ys _ xs) (hρ ⟨rρ hy, ys⟩))
    _ = r * (δ + ε) * ‖a‖ := by
      simp only [ya, add_sub_cancel', norm_smul, Real.norm_eq_abs, abs_of_nonneg rpos.le]
      ring
    _ ≤ r * (δ + ε) * (‖z‖ + ε) :=
      mul_le_mul_of_nonneg_left norm_a (mul_nonneg rpos.le (add_nonneg δ.2 εpos.le))
case H.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, Set.Nonempty (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε))
ρ : ℝ
ρpos : ρ > 0
hρ : ball x ρ ∩ s ⊆ {y | ‖f y - f x - ↑(f' x) (y - x)‖ ≤ ε * ‖y - x‖}
B₂ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
r : ℝ
y : E
ys : y ∈ s
hy : y ∈ {x} + r • closedBall z ε
rρ : {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
rpos : 0 < r
a : E
az : a ∈ closedBall z ε
ya : y = x + r • a
norm_a : ‖a‖ ≤ ‖z‖ + ε
I : r * ‖↑(f' x - A) a‖ ≤ r * (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε)
⊢ ‖↑(f' x - A) z‖ ≤ (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε
case H.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, Set.Nonempty (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε))
ρ : ℝ
ρpos : ρ > 0
hρ : ball x ρ ∩ s ⊆ {y | ‖f y - f x - ↑(f' x) (y - x)‖ ≤ ε * ‖y - x‖}
B₂ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
r : ℝ
y : E
ys : y ∈ s
hy : y ∈ {x} + r • closedBall z ε
rρ : {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
rpos : 0 < r
a : E
az : a ∈ closedBall z ε
ya : y = x + r • a
norm_a : ‖a‖ ≤ ‖z‖ + ε
I : r * ‖↑(f' x - A) a‖ ≤ r * (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε)
⊢ ‖↑(f' x - A) z‖ ≤ (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε
show ‖(f' x - A) z‖ ≤ (δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
H : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ‖↑(f' x - A) z‖ ≤ (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε
this : Tendsto (fun ε => (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 ((↑δ + 0) * (‖z‖ + 0) + ‖f' x - A‖ * 0))
⊢ ‖↑(f' x - A) z‖ ≤ ↑δ * ‖z‖
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
H : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ‖↑(f' x - A) z‖ ≤ (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε
⊢ ‖↑(f' x - A) z‖ ≤ ↑δ * ‖z‖
have :
  Tendsto (fun ε : ℝ => ((δ : ℝ) + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε) (𝓝[>] 0)
    (𝓝 ((δ + 0) * (‖z‖ + 0) + ‖f' x - A‖ * 0)) :=
  Tendsto.mono_left (Continuous.tendsto (by continuity) 0) nhdsWithin_le_nhds
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
H : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ‖↑(f' x - A) z‖ ≤ (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε
this : Tendsto (fun ε => (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 (↑δ * ‖z‖))
⊢ ‖↑(f' x - A) z‖ ≤ ↑δ * ‖z‖
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
H : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ‖↑(f' x - A) z‖ ≤ (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε
this : Tendsto (fun ε => (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 ((↑δ + 0) * (‖z‖ + 0) + ‖f' x - A‖ * 0))
⊢ ‖↑(f' x - A) z‖ ≤ ↑δ * ‖z‖
simp only [add_zero, MulZeroClass.mul_zero] at this
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
H : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ‖↑(f' x - A) z‖ ≤ (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε
this : Tendsto (fun ε => (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 (↑δ * ‖z‖))
⊢ (fun x_1 => ‖↑(f' x - A) z‖) ≤ᶠ[𝓝[Ioi 0] 0] fun ε => (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
H : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ‖↑(f' x - A) z‖ ≤ (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε
this : Tendsto (fun ε => (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 (↑δ * ‖z‖))
⊢ ‖↑(f' x - A) z‖ ≤ ↑δ * ‖z‖
apply le_of_tendsto_of_tendsto tendsto_const_nhds this
case h
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
H : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ‖↑(f' x - A) z‖ ≤ (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε
this : Tendsto (fun ε => (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 (↑δ * ‖z‖))
⊢ ∀ (a : ℝ), a ∈ Ioi 0 → ‖↑(f' x - A) z‖ ≤ (↑δ + a) * (‖z‖ + a) + ‖f' x - A‖ * a
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
H : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ‖↑(f' x - A) z‖ ≤ (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε
this : Tendsto (fun ε => (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 (↑δ * ‖z‖))
⊢ (fun x_1 => ‖↑(f' x - A) z‖) ≤ᶠ[𝓝[Ioi 0] 0] fun ε => (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε
filter_upwards [self_mem_nhdsWithin]
no goals
case h
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
H : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ‖↑(f' x - A) z‖ ≤ (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε
this : Tendsto (fun ε => (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 (↑δ * ‖z‖))
⊢ ∀ (a : ℝ), a ∈ Ioi 0 → ‖↑(f' x - A) z‖ ≤ (↑δ + a) * (‖z‖ + a) + ‖f' x - A‖ * a
exact H
no goals
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
H : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ‖↑(f' x - A) z‖ ≤ (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε
⊢ Continuous fun ε => (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ε
continuity
case a
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, Set.Nonempty (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε))
ρ : ℝ
ρpos : ρ > 0
hρ : ball x ρ ∩ s ⊆ {y | ‖f y - f x - ↑(f' x) (y - x)‖ ≤ ε * ‖y - x‖}
⊢ {x_1 | (fun r => {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ) x_1} ∈ 𝓝 0
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, Set.Nonempty (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε))
ρ : ℝ
ρpos : ρ > 0
hρ : ball x ρ ∩ s ⊆ {y | ‖f y - f x - ↑(f' x) (y - x)‖ ≤ ε * ‖y - x‖}
⊢ ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
apply nhdsWithin_le_nhds
no goals
case a
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, Set.Nonempty (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε))
ρ : ℝ
ρpos : ρ > 0
hρ : ball x ρ ∩ s ⊆ {y | ‖f y - f x - ↑(f' x) (y - x)‖ ≤ ε * ‖y - x‖}
⊢ {x_1 | (fun r => {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ) x_1} ∈ 𝓝 0
exact eventually_singleton_add_smul_subset bounded_closedBall (ball_mem_nhds x ρpos)
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, Set.Nonempty (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε))
ρ : ℝ
ρpos : ρ > 0
hρ : ball x ρ ∩ s ⊆ {y | ‖f y - f x - ↑(f' x) (y - x)‖ ≤ ε * ‖y - x‖}
B₂ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
r : ℝ
y : E
ys : y ∈ s
rρ : {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
rpos : 0 < r
hy : ∃ y_1, y_1 ∈ closedBall z ε ∧ r • y_1 = -x + y
⊢ ∃ a, a ∈ closedBall z ε ∧ y = x + r • a
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, Set.Nonempty (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε))
ρ : ℝ
ρpos : ρ > 0
hρ : ball x ρ ∩ s ⊆ {y | ‖f y - f x - ↑(f' x) (y - x)‖ ≤ ε * ‖y - x‖}
B₂ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
r : ℝ
y : E
ys : y ∈ s
hy : y ∈ {x} + r • closedBall z ε
rρ : {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
rpos : 0 < r
⊢ ∃ a, a ∈ closedBall z ε ∧ y = x + r • a
simp only [mem_smul_set, image_add_left, mem_preimage, singleton_add] at hy
case intro.intro
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, Set.Nonempty (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε))
ρ : ℝ
ρpos : ρ > 0
hρ : ball x ρ ∩ s ⊆ {y | ‖f y - f x - ↑(f' x) (y - x)‖ ≤ ε * ‖y - x‖}
B₂ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
r : ℝ
y : E
ys : y ∈ s
rρ : {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
rpos : 0 < r
a : E
az : a ∈ closedBall z ε
ha : r • a = -x + y
⊢ ∃ a, a ∈ closedBall z ε ∧ y = x + r • a
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, Set.Nonempty (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε))
ρ : ℝ
ρpos : ρ > 0
hρ : ball x ρ ∩ s ⊆ {y | ‖f y - f x - ↑(f' x) (y - x)‖ ≤ ε * ‖y - x‖}
B₂ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
r : ℝ
y : E
ys : y ∈ s
rρ : {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
rpos : 0 < r
hy : ∃ y_1, y_1 ∈ closedBall z ε ∧ r • y_1 = -x + y
⊢ ∃ a, a ∈ closedBall z ε ∧ y = x + r • a
rcases hy with ⟨a, az, ha⟩
no goals
case intro.intro
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, Set.Nonempty (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε))
ρ : ℝ
ρpos : ρ > 0
hρ : ball x ρ ∩ s ⊆ {y | ‖f y - f x - ↑(f' x) (y - x)‖ ≤ ε * ‖y - x‖}
B₂ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
r : ℝ
y : E
ys : y ∈ s
rρ : {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
rpos : 0 < r
a : E
az : a ∈ closedBall z ε
ha : r • a = -x + y
⊢ ∃ a, a ∈ closedBall z ε ∧ y = x + r • a
exact ⟨a, az, by simp only [ha, add_neg_cancel_left]⟩
no goals
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, Set.Nonempty (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε))
ρ : ℝ
ρpos : ρ > 0
hρ : ball x ρ ∩ s ⊆ {y | ‖f y - f x - ↑(f' x) (y - x)‖ ≤ ε * ‖y - x‖}
B₂ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
r : ℝ
y : E
ys : y ∈ s
rρ : {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
rpos : 0 < r
a : E
az : a ∈ closedBall z ε
ha : r • a = -x + y
⊢ y = x + r • a
simp only [ha, add_neg_cancel_left]
no goals
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, Set.Nonempty (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε))
ρ : ℝ
ρpos : ρ > 0
hρ : ball x ρ ∩ s ⊆ {y | ‖f y - f x - ↑(f' x) (y - x)‖ ≤ ε * ‖y - x‖}
B₂ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
r : ℝ
y : E
ys : y ∈ s
hy : y ∈ {x} + r • closedBall z ε
rρ : {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
rpos : 0 < r
a : E
az : a ∈ closedBall z ε
ya : y = x + r • a
⊢ ‖a‖ = ‖z + (a - z)‖
simp only [add_sub_cancel'_right]
no goals
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, Set.Nonempty (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε))
ρ : ℝ
ρpos : ρ > 0
hρ : ball x ρ ∩ s ⊆ {y | ‖f y - f x - ↑(f' x) (y - x)‖ ≤ ε * ‖y - x‖}
B₂ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
r : ℝ
y : E
ys : y ∈ s
hy : y ∈ {x} + r • closedBall z ε
rρ : {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
rpos : 0 < r
a : E
az : a ∈ closedBall z ε
ya : y = x + r • a
norm_a : ‖a‖ ≤ ‖z‖ + ε
⊢ r * ‖↑(f' x - A) a‖ = ‖↑(f' x - A) (r • a)‖
simp only [ContinuousLinearMap.map_smul, norm_smul, Real.norm_eq_abs, abs_of_nonneg rpos.le]
case e_a
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, Set.Nonempty (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε))
ρ : ℝ
ρpos : ρ > 0
hρ : ball x ρ ∩ s ⊆ {y | ‖f y - f x - ↑(f' x) (y - x)‖ ≤ ε * ‖y - x‖}
B₂ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
r : ℝ
y : E
ys : y ∈ s
hy : y ∈ {x} + r • closedBall z ε
rρ : {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
rpos : 0 < r
a : E
az : a ∈ closedBall z ε
ya : y = x + r • a
norm_a : ‖a‖ ≤ ‖z‖ + ε
⊢ ↑(f' x - A) (r • a) = f y - f x - ↑A (y - x) - (f y - f x - ↑(f' x) (y - x))
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, Set.Nonempty (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε))
ρ : ℝ
ρpos : ρ > 0
hρ : ball x ρ ∩ s ⊆ {y | ‖f y - f x - ↑(f' x) (y - x)‖ ≤ ε * ‖y - x‖}
B₂ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
r : ℝ
y : E
ys : y ∈ s
hy : y ∈ {x} + r • closedBall z ε
rρ : {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
rpos : 0 < r
a : E
az : a ∈ closedBall z ε
ya : y = x + r • a
norm_a : ‖a‖ ≤ ‖z‖ + ε
⊢ ‖↑(f' x - A) (r • a)‖ = ‖f y - f x - ↑A (y - x) - (f y - f x - ↑(f' x) (y - x))‖
congr 1
no goals
case e_a
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
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hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, Set.Nonempty (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε))
ρ : ℝ
ρpos : ρ > 0
hρ : ball x ρ ∩ s ⊆ {y | ‖f y - f x - ↑(f' x) (y - x)‖ ≤ ε * ‖y - x‖}
B₂ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
r : ℝ
y : E
ys : y ∈ s
hy : y ∈ {x} + r • closedBall z ε
rρ : {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
rpos : 0 < r
a : E
az : a ∈ closedBall z ε
ya : y = x + r • a
norm_a : ‖a‖ ≤ ‖z‖ + ε
⊢ ↑(f' x - A) (r • a) = f y - f x - ↑A (y - x) - (f y - f x - ↑(f' x) (y - x))
simp only [ya, add_sub_cancel', sub_sub_sub_cancel_left, ContinuousLinearMap.coe_sub',
  eq_self_iff_true, sub_left_inj, Pi.sub_apply, ContinuousLinearMap.map_smul, smul_sub]
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
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inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
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δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
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xs : x ∈ s
z : E
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, Set.Nonempty (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε))
ρ : ℝ
ρpos : ρ > 0
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B₂ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
r : ℝ
y : E
ys : y ∈ s
hy : y ∈ {x} + r • closedBall z ε
rρ : {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
rpos : 0 < r
a : E
az : a ∈ closedBall z ε
ya : y = x + r • a
norm_a : ‖a‖ ≤ ‖z‖ + ε
⊢ ↑δ * (r * ‖a‖) + ε * (r * ‖a‖) = r * (↑δ + ε) * ‖a‖
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
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xs : x ∈ s
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ε : ℝ
εpos : 0 < ε
B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, Set.Nonempty (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε))
ρ : ℝ
ρpos : ρ > 0
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B₂ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
r : ℝ
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ys : y ∈ s
hy : y ∈ {x} + r • closedBall z ε
rρ : {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
rpos : 0 < r
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az : a ∈ closedBall z ε
ya : y = x + r • a
norm_a : ‖a‖ ≤ ‖z‖ + ε
⊢ ↑δ * ‖y - x‖ + ε * ‖y - x‖ = r * (↑δ + ε) * ‖a‖
simp only [ya, add_sub_cancel', norm_smul, Real.norm_eq_abs, abs_of_nonneg rpos.le]
no goals
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
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inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
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δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
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ε : ℝ
εpos : 0 < ε
B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, Set.Nonempty (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε))
ρ : ℝ
ρpos : ρ > 0
hρ : ball x ρ ∩ s ⊆ {y | ‖f y - f x - ↑(f' x) (y - x)‖ ≤ ε * ‖y - x‖}
B₂ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
r : ℝ
y : E
ys : y ∈ s
hy : y ∈ {x} + r • closedBall z ε
rρ : {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
rpos : 0 < r
a : E
az : a ∈ closedBall z ε
ya : y = x + r • a
norm_a : ‖a‖ ≤ ‖z‖ + ε
⊢ ↑δ * (r * ‖a‖) + ε * (r * ‖a‖) = r * (↑δ + ε) * ‖a‖
ring
case e_a
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
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z : E
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, Set.Nonempty (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε))
ρ : ℝ
ρpos : ρ > 0
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r : ℝ
y : E
ys : y ∈ s
hy : y ∈ {x} + r • closedBall z ε
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rpos : 0 < r
a : E
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norm_a : ‖a‖ ≤ ‖z‖ + ε
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E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
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hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
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z : E
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, Set.Nonempty (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε))
ρ : ℝ
ρpos : ρ > 0
hρ : ball x ρ ∩ s ⊆ {y | ‖f y - f x - ↑(f' x) (y - x)‖ ≤ ε * ‖y - x‖}
B₂ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
r : ℝ
y : E
ys : y ∈ s
hy : y ∈ {x} + r • closedBall z ε
rρ : {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
rpos : 0 < r
a : E
az : a ∈ closedBall z ε
ya : y = x + r • a
norm_a : ‖a‖ ≤ ‖z‖ + ε
I : r * ‖↑(f' x - A) a‖ ≤ r * (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε)
⊢ ‖↑(f' x - A) z‖ = ‖↑(f' x - A) a + ↑(f' x - A) (z - a)‖
congr 1
case e_a
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
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x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, Set.Nonempty (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε))
ρ : ℝ
ρpos : ρ > 0
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B₂ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
r : ℝ
y : E
ys : y ∈ s
hy : y ∈ {x} + r • closedBall z ε
rρ : {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
rpos : 0 < r
a : E
az : a ∈ closedBall z ε
ya : y = x + r • a
norm_a : ‖a‖ ≤ ‖z‖ + ε
I : r * ‖↑(f' x - A) a‖ ≤ r * (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε)
⊢ ↑(f' x) z - ↑A z = ↑(f' x) a - ↑A a + (↑(f' x) z - ↑A z - (↑(f' x) a - ↑A a))
case e_a
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
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μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
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δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
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x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, Set.Nonempty (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε))
ρ : ℝ
ρpos : ρ > 0
hρ : ball x ρ ∩ s ⊆ {y | ‖f y - f x - ↑(f' x) (y - x)‖ ≤ ε * ‖y - x‖}
B₂ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
r : ℝ
y : E
ys : y ∈ s
hy : y ∈ {x} + r • closedBall z ε
rρ : {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
rpos : 0 < r
a : E
az : a ∈ closedBall z ε
ya : y = x + r • a
norm_a : ‖a‖ ≤ ‖z‖ + ε
I : r * ‖↑(f' x - A) a‖ ≤ r * (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε)
⊢ ↑(f' x - A) z = ↑(f' x - A) a + ↑(f' x - A) (z - a)
simp only [ContinuousLinearMap.coe_sub', map_sub, Pi.sub_apply]
no goals
case e_a
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
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hs : MeasurableSet s
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xs : x ∈ s
z : E
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, Set.Nonempty (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε))
ρ : ℝ
ρpos : ρ > 0
hρ : ball x ρ ∩ s ⊆ {y | ‖f y - f x - ↑(f' x) (y - x)‖ ≤ ε * ‖y - x‖}
B₂ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
r : ℝ
y : E
ys : y ∈ s
hy : y ∈ {x} + r • closedBall z ε
rρ : {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
rpos : 0 < r
a : E
az : a ∈ closedBall z ε
ya : y = x + r • a
norm_a : ‖a‖ ≤ ‖z‖ + ε
I : r * ‖↑(f' x - A) a‖ ≤ r * (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε)
⊢ ↑(f' x) z - ↑A z = ↑(f' x) a - ↑A a + (↑(f' x) z - ↑A z - (↑(f' x) a - ↑A a))
abel
case h₁
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
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x : E
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xs : x ∈ s
z : E
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, Set.Nonempty (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε))
ρ : ℝ
ρpos : ρ > 0
hρ : ball x ρ ∩ s ⊆ {y | ‖f y - f x - ↑(f' x) (y - x)‖ ≤ ε * ‖y - x‖}
B₂ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
r : ℝ
y : E
ys : y ∈ s
hy : y ∈ {x} + r • closedBall z ε
rρ : {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
rpos : 0 < r
a : E
az : a ∈ closedBall z ε
ya : y = x + r • a
norm_a : ‖a‖ ≤ ‖z‖ + ε
I : r * ‖↑(f' x - A) a‖ ≤ r * (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε)
⊢ ‖↑(f' x - A) a‖ ≤ (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε)

case h₂
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, Set.Nonempty (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε))
ρ : ℝ
ρpos : ρ > 0
hρ : ball x ρ ∩ s ⊆ {y | ‖f y - f x - ↑(f' x) (y - x)‖ ≤ ε * ‖y - x‖}
B₂ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
r : ℝ
y : E
ys : y ∈ s
hy : y ∈ {x} + r • closedBall z ε
rρ : {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
rpos : 0 < r
a : E
az : a ∈ closedBall z ε
ya : y = x + r • a
norm_a : ‖a‖ ≤ ‖z‖ + ε
I : r * ‖↑(f' x - A) a‖ ≤ r * (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε)
⊢ ‖↑(f' x - A) (z - a)‖ ≤ ‖f' x - A‖ * ‖z - a‖
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, Set.Nonempty (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε))
ρ : ℝ
ρpos : ρ > 0
hρ : ball x ρ ∩ s ⊆ {y | ‖f y - f x - ↑(f' x) (y - x)‖ ≤ ε * ‖y - x‖}
B₂ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
r : ℝ
y : E
ys : y ∈ s
hy : y ∈ {x} + r • closedBall z ε
rρ : {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
rpos : 0 < r
a : E
az : a ∈ closedBall z ε
ya : y = x + r • a
norm_a : ‖a‖ ≤ ‖z‖ + ε
I : r * ‖↑(f' x - A) a‖ ≤ r * (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε)
⊢ ‖↑(f' x - A) a‖ + ‖↑(f' x - A) (z - a)‖ ≤ (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε) + ‖f' x - A‖ * ‖z - a‖
apply add_le_add
case h₁
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, Set.Nonempty (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε))
ρ : ℝ
ρpos : ρ > 0
hρ : ball x ρ ∩ s ⊆ {y | ‖f y - f x - ↑(f' x) (y - x)‖ ≤ ε * ‖y - x‖}
B₂ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
r : ℝ
y : E
ys : y ∈ s
hy : y ∈ {x} + r • closedBall z ε
rρ : {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
rpos : 0 < r
a : E
az : a ∈ closedBall z ε
ya : y = x + r • a
norm_a : ‖a‖ ≤ ‖z‖ + ε
I : r * ‖↑(f' x - A) a‖ ≤ r * ((↑δ + ε) * (‖z‖ + ε))
⊢ ‖↑(f' x - A) a‖ ≤ (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε)
case h₁
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, Set.Nonempty (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε))
ρ : ℝ
ρpos : ρ > 0
hρ : ball x ρ ∩ s ⊆ {y | ‖f y - f x - ↑(f' x) (y - x)‖ ≤ ε * ‖y - x‖}
B₂ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
r : ℝ
y : E
ys : y ∈ s
hy : y ∈ {x} + r • closedBall z ε
rρ : {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
rpos : 0 < r
a : E
az : a ∈ closedBall z ε
ya : y = x + r • a
norm_a : ‖a‖ ≤ ‖z‖ + ε
I : r * ‖↑(f' x - A) a‖ ≤ r * (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε)
⊢ ‖↑(f' x - A) a‖ ≤ (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε)
rw [mul_assoc] at I
no goals
case h₁
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, Set.Nonempty (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε))
ρ : ℝ
ρpos : ρ > 0
hρ : ball x ρ ∩ s ⊆ {y | ‖f y - f x - ↑(f' x) (y - x)‖ ≤ ε * ‖y - x‖}
B₂ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
r : ℝ
y : E
ys : y ∈ s
hy : y ∈ {x} + r • closedBall z ε
rρ : {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
rpos : 0 < r
a : E
az : a ∈ closedBall z ε
ya : y = x + r • a
norm_a : ‖a‖ ≤ ‖z‖ + ε
I : r * ‖↑(f' x - A) a‖ ≤ r * ((↑δ + ε) * (‖z‖ + ε))
⊢ ‖↑(f' x - A) a‖ ≤ (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε)
exact (mul_le_mul_left rpos).1 I
no goals
case h₂
E : Type u_1
F : Type ?u.453442
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
A : E →L[ℝ] E
δ : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f A s δ
hs : MeasurableSet s
f' : E → E →L[ℝ] E
hf' : ∀ (x : E), x ∈ s → HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : Tendsto (fun r => ↑↑μ (s ∩ closedBall x r) / ↑↑μ (closedBall x r)) (𝓝[Ioi 0] 0) (𝓝 1)
xs : x ∈ s
z : E
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
B₁ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, Set.Nonempty (s ∩ ({x} + r • closedBall z ε))
ρ : ℝ
ρpos : ρ > 0
hρ : ball x ρ ∩ s ⊆ {y | ‖f y - f x - ↑(f' x) (y - x)‖ ≤ ε * ‖y - x‖}
B₂ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[Ioi 0] 0, {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
r : ℝ
y : E
ys : y ∈ s
hy : y ∈ {x} + r • closedBall z ε
rρ : {x} + r • closedBall z ε ⊆ ball x ρ
rpos : 0 < r
a : E
az : a ∈ closedBall z ε
ya : y = x + r • a
norm_a : ‖a‖ ≤ ‖z‖ + ε
I : r * ‖↑(f' x - A) a‖ ≤ r * (↑δ + ε) * (‖z‖ + ε)
⊢ ‖↑(f' x - A) (z - a)‖ ≤ ‖f' x - A‖ * ‖z - a‖
apply ContinuousLinearMap.le_op_norm