𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type ?u.3612607
inst✝⁶ : IsROrC 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
dec_E : DecidableEq E
ι : Type u_1
dec_ι : DecidableEq ι
G : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
dec_V : (i : ι) → (x : G i) → Decidable (x ≠ 0)
l : ⨁ (i : ι), G i
i : ι
v : G i
⊢ (if ↑l i ≠ 0 then inner (↑(V i) v) (↑(V i) (↑l i)) else 0) = inner v (↑l i)
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type ?u.3612607
inst✝⁶ : IsROrC 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
dec_E : DecidableEq E
ι : Type u_1
dec_ι : DecidableEq ι
G : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
dec_V : (i : ι) → (x : G i) → Decidable (x ≠ 0)
l : ⨁ (i : ι), G i
i : ι
v : G i
⊢ (Dfinsupp.sum l fun j w => if i = j then inner (↑(V i) v) (↑(V j) w) else 0) = inner v (↑l i)
simp only [Dfinsupp.sum, Submodule.coe_inner, Finset.sum_ite_eq, ite_eq_left_iff,
  Dfinsupp.mem_support_toFun]
case inl
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type ?u.3612607
inst✝⁶ : IsROrC 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
dec_E : DecidableEq E
ι : Type u_1
dec_ι : DecidableEq ι
G : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
dec_V : (i : ι) → (x : G i) → Decidable (x ≠ 0)
l : ⨁ (i : ι), G i
i : ι
v : G i
h : ↑l i ≠ 0
⊢ inner (↑(V i) v) (↑(V i) (↑l i)) = inner v (↑l i)

case inr
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type ?u.3612607
inst✝⁶ : IsROrC 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
dec_E : DecidableEq E
ι : Type u_1
dec_ι : DecidableEq ι
G : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
dec_V : (i : ι) → (x : G i) → Decidable (x ≠ 0)
l : ⨁ (i : ι), G i
i : ι
v : G i
h : ¬↑l i ≠ 0
⊢ 0 = inner v (↑l i)
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type ?u.3612607
inst✝⁶ : IsROrC 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
dec_E : DecidableEq E
ι : Type u_1
dec_ι : DecidableEq ι
G : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
dec_V : (i : ι) → (x : G i) → Decidable (x ≠ 0)
l : ⨁ (i : ι), G i
i : ι
v : G i
⊢ (if ↑l i ≠ 0 then inner (↑(V i) v) (↑(V i) (↑l i)) else 0) = inner v (↑l i)
split_ifs with h
no goals
case inl
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type ?u.3612607
inst✝⁶ : IsROrC 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
dec_E : DecidableEq E
ι : Type u_1
dec_ι : DecidableEq ι
G : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
dec_V : (i : ι) → (x : G i) → Decidable (x ≠ 0)
l : ⨁ (i : ι), G i
i : ι
v : G i
h : ↑l i ≠ 0
⊢ inner (↑(V i) v) (↑(V i) (↑l i)) = inner v (↑l i)
simp only [LinearIsometry.inner_map_map]
no goals
case inr
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type ?u.3612607
inst✝⁶ : IsROrC 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
dec_E : DecidableEq E
ι : Type u_1
dec_ι : DecidableEq ι
G : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
dec_V : (i : ι) → (x : G i) → Decidable (x ≠ 0)
l : ⨁ (i : ι), G i
i : ι
v : G i
h : ¬↑l i ≠ 0
⊢ 0 = inner v (↑l i)
simp only [of_not_not h, inner_zero_right]