𝕜 : Type ?u.194308
E : Type u_1
F : Type ?u.194314
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₀ : 0 ∈ s
hs₂ : IsOpen s
⊢ s ⊆ {x | gauge s x < 1}
𝕜 : Type ?u.194308
E : Type u_1
F : Type ?u.194314
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₀ : 0 ∈ s
hs₂ : IsOpen s
⊢ {x | gauge s x < 1} = s
refine' (gauge_lt_one_subset_self hs₁ ‹_› <| absorbent_nhds_zero <| hs₂.mem_nhds hs₀).antisymm _
case h.e'_3
𝕜 : Type ?u.194308
E : Type u_1
F : Type ?u.194314
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₀ : 0 ∈ s
hs₂ : IsOpen s
⊢ s = interior s
𝕜 : Type ?u.194308
E : Type u_1
F : Type ?u.194314
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₀ : 0 ∈ s
hs₂ : IsOpen s
⊢ s ⊆ {x | gauge s x < 1}
convert interior_subset_gauge_lt_one s
no goals
case h.e'_3
𝕜 : Type ?u.194308
E : Type u_1
F : Type ?u.194314
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₀ : 0 ∈ s
hs₂ : IsOpen s
⊢ s = interior s
exact hs₂.interior_eq.symm