R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
h : p ∣ Fintype.card R
⊢ p ∣ ringChar R
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
⊢ p ∣ ringChar R ↔ p ∣ Fintype.card R
refine'
  ⟨fun h =>
    h.trans <|
      Int.coe_nat_dvd.mp <|
        (CharP.int_cast_eq_zero_iff R (ringChar R) (Fintype.card R)).mp <| by
          exact_mod_cast CharP.cast_card_eq_zero R,
    fun h => _⟩
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
h : p ∣ Fintype.card R
h₀ : ¬p ∣ ringChar R
⊢ False
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
h : p ∣ Fintype.card R
⊢ p ∣ ringChar R
by_contra h₀
case intro
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
h : p ∣ Fintype.card R
h₀ : ¬p ∣ ringChar R
r : R
hr : addOrderOf r = p
⊢ False
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
h : p ∣ Fintype.card R
h₀ : ¬p ∣ ringChar R
⊢ False
rcases exists_prime_addOrderOf_dvd_card p h with ⟨r, hr⟩
case intro
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
h : p ∣ Fintype.card R
h₀ : ¬p ∣ ringChar R
r : R
hr : addOrderOf r = p
hr₁ : addOrderOf r • r = 0
⊢ False
case intro
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
h : p ∣ Fintype.card R
h₀ : ¬p ∣ ringChar R
r : R
hr : addOrderOf r = p
⊢ False
have hr₁ := addOrderOf_nsmul_eq_zero r
case intro
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
h : p ∣ Fintype.card R
h₀ : ¬p ∣ ringChar R
r : R
hr : addOrderOf r = p
hr₁ : ↑p * r = 0
⊢ False
case intro
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
h : p ∣ Fintype.card R
h₀ : ¬p ∣ ringChar R
r : R
hr : addOrderOf r = p
hr₁ : addOrderOf r • r = 0
⊢ False
rw [hr, nsmul_eq_mul] at hr₁
case intro.intro
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
h : p ∣ Fintype.card R
h₀ : ¬p ∣ ringChar R
r : R
hr : addOrderOf r = p
hr₁ : ↑p * r = 0
u : R
hu : u * ↑p = 1
⊢ False
case intro
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
h : p ∣ Fintype.card R
h₀ : ¬p ∣ ringChar R
r : R
hr : addOrderOf r = p
hr₁ : ↑p * r = 0
⊢ False
rcases IsUnit.exists_left_inv ((isUnit_iff_not_dvd_char R p).mpr h₀) with ⟨u, hu⟩
case intro.intro
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
h : p ∣ Fintype.card R
h₀ : ¬p ∣ ringChar R
r : R
hr : addOrderOf r = p
u : R
hu : u * ↑p = 1
hr₁ : r = 0
⊢ False
case intro.intro
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
h : p ∣ Fintype.card R
h₀ : ¬p ∣ ringChar R
r : R
hr : addOrderOf r = p
u : R
hu : u * ↑p = 1
hr₁ : u * (↑p * r) = u * 0
⊢ False
rw [MulZeroClass.mul_zero, ← mul_assoc, hu, one_mul] at hr₁
no goals
case intro.intro
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
h : p ∣ Fintype.card R
h₀ : ¬p ∣ ringChar R
r : R
hr : addOrderOf r = p
u : R
hu : u * ↑p = 1
hr₁ : r = 0
⊢ False
exact mt AddMonoid.addOrderOf_eq_one_iff.mpr (ne_of_eq_of_ne hr (Nat.Prime.ne_one Fact.out)) hr₁
no goals
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
h : p ∣ ringChar R
⊢ ↑↑(Fintype.card R) = 0
exact_mod_cast CharP.cast_card_eq_zero R