k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ s
v : V
⊢ v ∈ (fun x x_1 => x -ᵥ x_1) p '' ↑s ↔ ∃ p2, p2 ∈ s ∧ v = p -ᵥ p2
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ s
v : V
⊢ v ∈ direction s ↔ ∃ p2, p2 ∈ s ∧ v = p -ᵥ p2
rw [← SetLike.mem_coe, coe_direction_eq_vsub_set_left hp]
no goals
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ s
v : V
⊢ v ∈ (fun x x_1 => x -ᵥ x_1) p '' ↑s ↔ ∃ p2, p2 ∈ s ∧ v = p -ᵥ p2
exact ⟨fun ⟨p2, hp2, hv⟩ => ⟨p2, hp2, hv.symm⟩, fun ⟨p2, hp2, hv⟩ => ⟨p2, hp2, hv.symm⟩⟩