α : Type u_1
E : Type ?u.1274624
F : Type u_2
G : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
g : α → G
hq : 0 ≤ q
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ ‖g x‖₊
⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q) ≤ snorm' g q μ
α : Type u_1
E : Type ?u.1274624
F : Type u_2
G : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
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f : α → F
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h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ ‖g x‖₊
⊢ snorm' f q μ ≤ snorm' g q μ
rw [snorm']
α : Type u_1
E : Type ?u.1274624
F : Type u_2
G : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
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μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
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⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ) ≤ ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ
α : Type u_1
E : Type ?u.1274624
F : Type u_2
G : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
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μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
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f : α → F
g : α → G
hq : 0 ≤ q
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ ‖g x‖₊
⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q) ≤ snorm' g q μ
refine' ENNReal.rpow_le_rpow _ (one_div_nonneg.2 hq)
α : Type u_1
E : Type ?u.1274624
F : Type u_2
G : Type u_3
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μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
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α : Type u_1
E : Type ?u.1274624
F : Type u_2
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⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ) ≤ ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ
refine' lintegral_mono_ae (h.mono fun x hx => _)
no goals
α : Type u_1
E : Type ?u.1274624
F : Type u_2
G : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
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x : α
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exact ENNReal.rpow_le_rpow (ENNReal.coe_le_coe.2 hx) hq