K : Type ?u.143505
S : Type u_1
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra K S
R : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsScalarTower R K S
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
B : PowerBasis S A
hB : IsIntegral R B.gen
inst✝ : IsDomain S
x y : A
hx : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr x) i)
hy : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr y) i)
hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)
i : Fin B.dim
⊢ IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr (x * y)) i)
K : Type ?u.143505
S : Type u_1
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra K S
R : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsScalarTower R K S
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
B : PowerBasis S A
hB : IsIntegral R B.gen
inst✝ : IsDomain S
x y : A
hx : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr x) i)
hy : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr y) i)
hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)
⊢ ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr (x * y)) i)
intro i
K : Type ?u.143505
S : Type u_1
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra K S
R : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsScalarTower R K S
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
B : PowerBasis S A
hB : IsIntegral R B.gen
inst✝ : IsDomain S
x y : A
hx : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr x) i)
hy : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr y) i)
hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)
i : Fin B.dim
⊢ IsIntegral R
    (Finset.sum (Finset.univ ×ˢ Finset.univ) fun k =>
      ↑(↑B.basis.repr (↑(↑B.basis.repr x) k.fst • ↑B.basis k.fst * ↑(↑B.basis.repr y) k.snd • ↑B.basis k.snd)) i)
K : Type ?u.143505
S : Type u_1
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra K S
R : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsScalarTower R K S
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
B : PowerBasis S A
hB : IsIntegral R B.gen
inst✝ : IsDomain S
x y : A
hx : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr x) i)
hy : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr y) i)
hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)
i : Fin B.dim
⊢ IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr (x * y)) i)
rw [← B.basis.sum_repr x, ← B.basis.sum_repr y, Finset.sum_mul_sum, LinearEquiv.map_sum,
  Finset.sum_apply']
K : Type ?u.143505
S : Type u_1
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra K S
R : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsScalarTower R K S
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
B : PowerBasis S A
hB : IsIntegral R B.gen
inst✝ : IsDomain S
x y : A
hx : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr x) i)
hy : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr y) i)
hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)
i : Fin B.dim
I : Fin B.dim × Fin B.dim
x✝ : I ∈ Finset.univ ×ˢ Finset.univ
⊢ IsIntegral R
    (↑(↑B.basis.repr (↑(↑B.basis.repr x) I.fst • ↑B.basis I.fst * ↑(↑B.basis.repr y) I.snd • ↑B.basis I.snd)) i)
K : Type ?u.143505
S : Type u_1
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra K S
R : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsScalarTower R K S
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
B : PowerBasis S A
hB : IsIntegral R B.gen
inst✝ : IsDomain S
x y : A
hx : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr x) i)
hy : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr y) i)
hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)
i : Fin B.dim
⊢ IsIntegral R
    (Finset.sum (Finset.univ ×ˢ Finset.univ) fun k =>
      ↑(↑B.basis.repr (↑(↑B.basis.repr x) k.fst • ↑B.basis k.fst * ↑(↑B.basis.repr y) k.snd • ↑B.basis k.snd)) i)
refine' IsIntegral.sum _ fun I _ => _
K : Type ?u.143505
S : Type u_1
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra K S
R : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsScalarTower R K S
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
B : PowerBasis S A
hB : IsIntegral R B.gen
inst✝ : IsDomain S
x y : A
hx : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr x) i)
hy : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr y) i)
hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)
i : Fin B.dim
I : Fin B.dim × Fin B.dim
x✝ : I ∈ Finset.univ ×ˢ Finset.univ
⊢ IsIntegral R
    ((↑(↑B.basis.repr y) I.snd • ↑(↑B.basis.repr x) I.fst • ↑(↑B.basis.repr (↑B.basis I.fst * ↑B.basis I.snd))) i)
K : Type ?u.143505
S : Type u_1
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra K S
R : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsScalarTower R K S
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
B : PowerBasis S A
hB : IsIntegral R B.gen
inst✝ : IsDomain S
x y : A
hx : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr x) i)
hy : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr y) i)
hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)
i : Fin B.dim
I : Fin B.dim × Fin B.dim
x✝ : I ∈ Finset.univ ×ˢ Finset.univ
⊢ IsIntegral R
    (↑(↑B.basis.repr (↑(↑B.basis.repr x) I.fst • ↑B.basis I.fst * ↑(↑B.basis.repr y) I.snd • ↑B.basis I.snd)) i)
simp only [Algebra.smul_mul_assoc, Algebra.mul_smul_comm, LinearEquiv.map_smulₛₗ,
  RingHom.id_apply, Finsupp.coe_smul, Pi.smul_apply, id.smul_eq_mul]
K : Type ?u.143505
S : Type u_1
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra K S
R : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsScalarTower R K S
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
B : PowerBasis S A
hB : IsIntegral R B.gen
inst✝ : IsDomain S
x y : A
hx : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr x) i)
hy : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr y) i)
hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)
i : Fin B.dim
I : Fin B.dim × Fin B.dim
x✝ : I ∈ Finset.univ ×ˢ Finset.univ
⊢ IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr (↑B.basis I.fst * ↑B.basis I.snd)) i)
K : Type ?u.143505
S : Type u_1
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra K S
R : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsScalarTower R K S
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
B : PowerBasis S A
hB : IsIntegral R B.gen
inst✝ : IsDomain S
x y : A
hx : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr x) i)
hy : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr y) i)
hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)
i : Fin B.dim
I : Fin B.dim × Fin B.dim
x✝ : I ∈ Finset.univ ×ˢ Finset.univ
⊢ IsIntegral R
    ((↑(↑B.basis.repr y) I.snd • ↑(↑B.basis.repr x) I.fst • ↑(↑B.basis.repr (↑B.basis I.fst * ↑B.basis I.snd))) i)
refine' isIntegral_mul (hy _) (isIntegral_mul (hx _) _)
K : Type ?u.143505
S : Type u_1
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra K S
R : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsScalarTower R K S
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
B : PowerBasis S A
hB : IsIntegral R B.gen
inst✝ : IsDomain S
x y : A
hx : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr x) i)
hy : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr y) i)
hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)
i : Fin B.dim
I : Fin B.dim × Fin B.dim
x✝ : I ∈ Finset.univ ×ˢ Finset.univ
⊢ IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr (B.gen ^ (↑I.fst + ↑I.snd))) i)
K : Type ?u.143505
S : Type u_1
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra K S
R : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsScalarTower R K S
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
B : PowerBasis S A
hB : IsIntegral R B.gen
inst✝ : IsDomain S
x y : A
hx : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr x) i)
hy : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr y) i)
hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)
i : Fin B.dim
I : Fin B.dim × Fin B.dim
x✝ : I ∈ Finset.univ ×ˢ Finset.univ
⊢ IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr (↑B.basis I.fst * ↑B.basis I.snd)) i)
simp only [coe_basis, ← pow_add]
no goals
K : Type ?u.143505
S : Type u_1
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra K S
R : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsScalarTower R K S
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
B : PowerBasis S A
hB : IsIntegral R B.gen
inst✝ : IsDomain S
x y : A
hx : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr x) i)
hy : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr y) i)
hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)
i : Fin B.dim
I : Fin B.dim × Fin B.dim
x✝ : I ∈ Finset.univ ×ˢ Finset.univ
⊢ IsIntegral R (↑(↑B.basis.repr (B.gen ^ (↑I.fst + ↑I.snd))) i)
refine' repr_gen_pow_isIntegral hB hmin _ _