p : ℝ
hp : 1 < p
⊢ ∀ {x y z : ℝ}, x ∈ Ici 0 → z ∈ Ici 0 → x < y → y < z → (y ^ p - x ^ p) / (y - x) < (z ^ p - y ^ p) / (z - y)
p : ℝ
hp : 1 < p
⊢ StrictConvexOn ℝ (Ici 0) fun x => x ^ p
apply strictConvexOn_of_slope_strict_mono_adjacent (convex_Ici (0 : ℝ))
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
⊢ (y ^ p - x ^ p) / (y - x) < (z ^ p - y ^ p) / (z - y)
p : ℝ
hp : 1 < p
⊢ ∀ {x y z : ℝ}, x ∈ Ici 0 → z ∈ Ici 0 → x < y → y < z → (y ^ p - x ^ p) / (y - x) < (z ^ p - y ^ p) / (z - y)
rintro x y z (hx : 0 ≤ x) (hz : 0 ≤ z) hxy hyz
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
⊢ (y ^ p - x ^ p) / (y - x) < (z ^ p - y ^ p) / (z - y)
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
⊢ (y ^ p - x ^ p) / (y - x) < (z ^ p - y ^ p) / (z - y)
have hy : 0 < y := by linarith
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
⊢ (y ^ p - x ^ p) / (y - x) < (z ^ p - y ^ p) / (z - y)
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
⊢ (y ^ p - x ^ p) / (y - x) < (z ^ p - y ^ p) / (z - y)
have hy' : 0 < y ^ p := rpow_pos_of_pos hy _
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ (p - 1 + 1) = y ^ (p - 1) * y
⊢ (y ^ p - x ^ p) / (y - x) < (z ^ p - y ^ p) / (z - y)
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
⊢ (y ^ p - x ^ p) / (y - x) < (z ^ p - y ^ p) / (z - y)
have H1 : y ^ (p - 1 + 1) = y ^ (p - 1) * y := rpow_add_one hy.ne' _
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
⊢ (y ^ p - x ^ p) / (y - x) < (z ^ p - y ^ p) / (z - y)
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ (p - 1 + 1) = y ^ (p - 1) * y
⊢ (y ^ p - x ^ p) / (y - x) < (z ^ p - y ^ p) / (z - y)
ring_nf  at H1
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
⊢ (y ^ p - x ^ p) / (y - x) < p * y ^ (p - 1)

p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
⊢ p * y ^ (p - 1) < (z ^ p - y ^ p) / (z - y)
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
⊢ (y ^ p - x ^ p) / (y - x) < (z ^ p - y ^ p) / (z - y)
trans p * y ^ (p - 1)
no goals
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
⊢ 0 < y
linarith
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
h3 : 0 < y - x
⊢ (y ^ p - x ^ p) / (y - x) < p * y ^ (p - 1)
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
⊢ (y ^ p - x ^ p) / (y - x) < p * y ^ (p - 1)
have h3 : 0 < y - x := by linarith only [hxy]
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
h3 : 0 < y - x
hyx'' : x / y < 1
⊢ (y ^ p - x ^ p) / (y - x) < p * y ^ (p - 1)
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
h3 : 0 < y - x
⊢ (y ^ p - x ^ p) / (y - x) < p * y ^ (p - 1)
have hyx'' : x / y < 1 := by rwa [div_lt_one hy]
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
h3 : 0 < y - x
hyx'' : x / y < 1
hyx''' : x / y - 1 < 0
⊢ (y ^ p - x ^ p) / (y - x) < p * y ^ (p - 1)
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
h3 : 0 < y - x
hyx'' : x / y < 1
⊢ (y ^ p - x ^ p) / (y - x) < p * y ^ (p - 1)
have hyx''' : x / y - 1 < 0 := by linarith only [hyx'']
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
h3 : 0 < y - x
hyx'' : x / y < 1
hyx''' : x / y - 1 < 0
hyx'''' : 0 ≤ x / y
⊢ (y ^ p - x ^ p) / (y - x) < p * y ^ (p - 1)
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
h3 : 0 < y - x
hyx'' : x / y < 1
hyx''' : x / y - 1 < 0
⊢ (y ^ p - x ^ p) / (y - x) < p * y ^ (p - 1)
have hyx'''' : 0 ≤ x / y := by positivity
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
h3 : 0 < y - x
hyx'' : x / y < 1
hyx''' : x / y - 1 < 0
hyx'''' : 0 ≤ x / y
hyx''''' : -1 ≤ x / y - 1
⊢ (y ^ p - x ^ p) / (y - x) < p * y ^ (p - 1)
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
h3 : 0 < y - x
hyx'' : x / y < 1
hyx''' : x / y - 1 < 0
hyx'''' : 0 ≤ x / y
⊢ (y ^ p - x ^ p) / (y - x) < p * y ^ (p - 1)
have hyx''''' : -1 ≤ x / y - 1 := by linarith only [hyx'''']
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
h3 : 0 < y - x
hyx'' : x / y < 1
hyx''' : x / y - 1 < 0
hyx'''' : 0 ≤ x / y
hyx''''' : -1 ≤ x / y - 1
this : 1 - (1 + (x / y - 1)) ^ p < -p * (x / y - 1)
⊢ (y ^ p - x ^ p) / (y - x) < p * y ^ (p - 1)
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
h3 : 0 < y - x
hyx'' : x / y < 1
hyx''' : x / y - 1 < 0
hyx'''' : 0 ≤ x / y
hyx''''' : -1 ≤ x / y - 1
⊢ (y ^ p - x ^ p) / (y - x) < p * y ^ (p - 1)
have : 1 - (1 + (x / y - 1)) ^ p < -p * (x / y - 1) := by
  linarith [one_add_mul_self_lt_rpow_one_add hyx''''' hyx'''.ne hp]
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
h3 : 0 < y - x
hyx'' : x / y < 1
hyx''' : x / y - 1 < 0
hyx'''' : 0 ≤ x / y
hyx''''' : -1 ≤ x / y - 1
this : 1 - (1 + (x / y - 1)) ^ p < -p * (x / y - 1)
⊢ (y ^ p - x ^ p) / y ^ p < p * y ^ (p - 1) * (y - x) / y ^ p
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
h3 : 0 < y - x
hyx'' : x / y < 1
hyx''' : x / y - 1 < 0
hyx'''' : 0 ≤ x / y
hyx''''' : -1 ≤ x / y - 1
this : 1 - (1 + (x / y - 1)) ^ p < -p * (x / y - 1)
⊢ (y ^ p - x ^ p) / (y - x) < p * y ^ (p - 1)
rw [div_lt_iff h3, ← div_lt_div_right hy']
case h.e'_3
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
h3 : 0 < y - x
hyx'' : x / y < 1
hyx''' : x / y - 1 < 0
hyx'''' : 0 ≤ x / y
hyx''''' : -1 ≤ x / y - 1
this : 1 - (1 + (x / y - 1)) ^ p < -p * (x / y - 1)
⊢ (y ^ p - x ^ p) / y ^ p = 1 - (1 + (x / y - 1)) ^ p

case h.e'_4
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
h3 : 0 < y - x
hyx'' : x / y < 1
hyx''' : x / y - 1 < 0
hyx'''' : 0 ≤ x / y
hyx''''' : -1 ≤ x / y - 1
this : 1 - (1 + (x / y - 1)) ^ p < -p * (x / y - 1)
⊢ p * y ^ (p - 1) * (y - x) / y ^ p = -p * (x / y - 1)
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
h3 : 0 < y - x
hyx'' : x / y < 1
hyx''' : x / y - 1 < 0
hyx'''' : 0 ≤ x / y
hyx''''' : -1 ≤ x / y - 1
this : 1 - (1 + (x / y - 1)) ^ p < -p * (x / y - 1)
⊢ (y ^ p - x ^ p) / y ^ p < p * y ^ (p - 1) * (y - x) / y ^ p
convert this using 1
no goals
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
⊢ 0 < y - x
linarith only [hxy]
no goals
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
h3 : 0 < y - x
⊢ x / y < 1
rwa [div_lt_one hy]
no goals
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
h3 : 0 < y - x
hyx'' : x / y < 1
⊢ x / y - 1 < 0
linarith only [hyx'']
no goals
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
h3 : 0 < y - x
hyx'' : x / y < 1
hyx''' : x / y - 1 < 0
⊢ 0 ≤ x / y
positivity
no goals
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
h3 : 0 < y - x
hyx'' : x / y < 1
hyx''' : x / y - 1 < 0
hyx'''' : 0 ≤ x / y
⊢ -1 ≤ x / y - 1
linarith only [hyx'''']
no goals
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
h3 : 0 < y - x
hyx'' : x / y < 1
hyx''' : x / y - 1 < 0
hyx'''' : 0 ≤ x / y
hyx''''' : -1 ≤ x / y - 1
⊢ 1 - (1 + (x / y - 1)) ^ p < -p * (x / y - 1)
linarith [one_add_mul_self_lt_rpow_one_add hyx''''' hyx'''.ne hp]
case h.e'_3
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
h3 : 0 < y - x
hyx'' : x / y < 1
hyx''' : x / y - 1 < 0
hyx'''' : 0 ≤ x / y
hyx''''' : -1 ≤ x / y - 1
this : 1 - (1 + (x / y - 1)) ^ p < -p * (x / y - 1)
H : (x / y) ^ p = x ^ p / y ^ p
⊢ (y ^ p - x ^ p) / y ^ p = 1 - (1 + (x / y - 1)) ^ p
case h.e'_3
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
h3 : 0 < y - x
hyx'' : x / y < 1
hyx''' : x / y - 1 < 0
hyx'''' : 0 ≤ x / y
hyx''''' : -1 ≤ x / y - 1
this : 1 - (1 + (x / y - 1)) ^ p < -p * (x / y - 1)
⊢ (y ^ p - x ^ p) / y ^ p = 1 - (1 + (x / y - 1)) ^ p
have H : (x / y) ^ p = x ^ p / y ^ p := div_rpow hx hy.le _
case h.e'_3
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
h3 : 0 < y - x
hyx'' : x / y < 1
hyx''' : x / y - 1 < 0
hyx'''' : 0 ≤ x / y
hyx''''' : -1 ≤ x / y - 1
this : 1 - (1 + (x / y - 1)) ^ p < -p * (x / y - 1)
H : (x * y⁻¹) ^ p = x ^ p * (y ^ p)⁻¹
⊢ -(x ^ p * (y ^ p)⁻¹) + y ^ p * (y ^ p)⁻¹ = 1 - (x * y⁻¹) ^ p
case h.e'_3
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
h3 : 0 < y - x
hyx'' : x / y < 1
hyx''' : x / y - 1 < 0
hyx'''' : 0 ≤ x / y
hyx''''' : -1 ≤ x / y - 1
this : 1 - (1 + (x / y - 1)) ^ p < -p * (x / y - 1)
H : (x / y) ^ p = x ^ p / y ^ p
⊢ (y ^ p - x ^ p) / y ^ p = 1 - (1 + (x / y - 1)) ^ p
ring_nf at H ⊢
case h.e'_3
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
h3 : 0 < y - x
hyx'' : x / y < 1
hyx''' : x / y - 1 < 0
hyx'''' : 0 ≤ x / y
hyx''''' : -1 ≤ x / y - 1
this : 1 - (1 + (x / y - 1)) ^ p < -p * (x / y - 1)
H : (x / y) ^ p * y ^ p = x ^ p
⊢ -x ^ p + y ^ p = (1 - (x / y) ^ p) * y ^ p
case h.e'_3
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
h3 : 0 < y - x
hyx'' : x / y < 1
hyx''' : x / y - 1 < 0
hyx'''' : 0 ≤ x / y
hyx''''' : -1 ≤ x / y - 1
this : 1 - (1 + (x / y - 1)) ^ p < -p * (x / y - 1)
H : (x * y⁻¹) ^ p = x ^ p * (y ^ p)⁻¹
⊢ -(x ^ p * (y ^ p)⁻¹) + y ^ p * (y ^ p)⁻¹ = 1 - (x * y⁻¹) ^ p
field_simp [hy.ne', hy'.ne'] at H ⊢
no goals
case h.e'_3
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
h3 : 0 < y - x
hyx'' : x / y < 1
hyx''' : x / y - 1 < 0
hyx'''' : 0 ≤ x / y
hyx''''' : -1 ≤ x / y - 1
this : 1 - (1 + (x / y - 1)) ^ p < -p * (x / y - 1)
H : (x / y) ^ p * y ^ p = x ^ p
⊢ -x ^ p + y ^ p = (1 - (x / y) ^ p) * y ^ p
linear_combination H
case h.e'_4
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
h3 : 0 < y - x
hyx'' : x / y < 1
hyx''' : x / y - 1 < 0
hyx'''' : 0 ≤ x / y
hyx''''' : -1 ≤ x / y - 1
this : 1 - (1 + (x / y - 1)) ^ p < -p * (x / y - 1)
⊢ p * y ^ (-1 + p) * y * (y ^ p)⁻¹ - p * y ^ (-1 + p) * x * (y ^ p)⁻¹ = p - p * x * y⁻¹
case h.e'_4
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
h3 : 0 < y - x
hyx'' : x / y < 1
hyx''' : x / y - 1 < 0
hyx'''' : 0 ≤ x / y
hyx''''' : -1 ≤ x / y - 1
this : 1 - (1 + (x / y - 1)) ^ p < -p * (x / y - 1)
⊢ p * y ^ (p - 1) * (y - x) / y ^ p = -p * (x / y - 1)
ring_nf at H1 ⊢
case h.e'_4
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
h3 : 0 < y - x
hyx'' : x / y < 1
hyx''' : x / y - 1 < 0
hyx'''' : 0 ≤ x / y
hyx''''' : -1 ≤ x / y - 1
this : 1 - (1 + (x / y - 1)) ^ p < -p * (x / y - 1)
⊢ (p * y ^ (-1 + p) * y - p * y ^ (-1 + p) * x) * y = (p * y - p * x) * y ^ p
case h.e'_4
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
h3 : 0 < y - x
hyx'' : x / y < 1
hyx''' : x / y - 1 < 0
hyx'''' : 0 ≤ x / y
hyx''''' : -1 ≤ x / y - 1
this : 1 - (1 + (x / y - 1)) ^ p < -p * (x / y - 1)
⊢ p * y ^ (-1 + p) * y * (y ^ p)⁻¹ - p * y ^ (-1 + p) * x * (y ^ p)⁻¹ = p - p * x * y⁻¹
field_simp [hy.ne', hy'.ne']
no goals
case h.e'_4
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
h3 : 0 < y - x
hyx'' : x / y < 1
hyx''' : x / y - 1 < 0
hyx'''' : 0 ≤ x / y
hyx''''' : -1 ≤ x / y - 1
this : 1 - (1 + (x / y - 1)) ^ p < -p * (x / y - 1)
⊢ (p * y ^ (-1 + p) * y - p * y ^ (-1 + p) * x) * y = (p * y - p * x) * y ^ p
linear_combination p * (-y + x) * H1
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
hyz' : 0 < z - y
⊢ p * y ^ (p - 1) < (z ^ p - y ^ p) / (z - y)
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
⊢ p * y ^ (p - 1) < (z ^ p - y ^ p) / (z - y)
have hyz' : 0 < z - y := by linarith only [hyz]
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
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hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
hyz' : 0 < z - y
hyz'' : 1 < z / y
⊢ p * y ^ (p - 1) < (z ^ p - y ^ p) / (z - y)
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
hyz' : 0 < z - y
⊢ p * y ^ (p - 1) < (z ^ p - y ^ p) / (z - y)
have hyz'' : 1 < z / y := by rwa [one_lt_div hy]
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
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hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
hyz' : 0 < z - y
hyz'' : 1 < z / y
hyz''' : 0 < z / y - 1
⊢ p * y ^ (p - 1) < (z ^ p - y ^ p) / (z - y)
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
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hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
hyz' : 0 < z - y
hyz'' : 1 < z / y
⊢ p * y ^ (p - 1) < (z ^ p - y ^ p) / (z - y)
have hyz''' : 0 < z / y - 1 := by linarith only [hyz'']
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
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hxy : x < y
hyz : y < z
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hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
hyz' : 0 < z - y
hyz'' : 1 < z / y
hyz''' : 0 < z / y - 1
hyz'''' : -1 ≤ z / y - 1
⊢ p * y ^ (p - 1) < (z ^ p - y ^ p) / (z - y)
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
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hxy : x < y
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hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
hyz' : 0 < z - y
hyz'' : 1 < z / y
hyz''' : 0 < z / y - 1
⊢ p * y ^ (p - 1) < (z ^ p - y ^ p) / (z - y)
have hyz'''' : -1 ≤ z / y - 1 := by linarith only [hyz'']
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
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hyz'' : 1 < z / y
hyz''' : 0 < z / y - 1
hyz'''' : -1 ≤ z / y - 1
this : p * (z / y - 1) < (1 + (z / y - 1)) ^ p - 1
⊢ p * y ^ (p - 1) < (z ^ p - y ^ p) / (z - y)
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
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hyz' : 0 < z - y
hyz'' : 1 < z / y
hyz''' : 0 < z / y - 1
hyz'''' : -1 ≤ z / y - 1
⊢ p * y ^ (p - 1) < (z ^ p - y ^ p) / (z - y)
have : p * (z / y - 1) < (1 + (z / y - 1)) ^ p - 1 := by
  linarith [one_add_mul_self_lt_rpow_one_add hyz'''' hyz'''.ne' hp]
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
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H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
hyz' : 0 < z - y
hyz'' : 1 < z / y
hyz''' : 0 < z / y - 1
hyz'''' : -1 ≤ z / y - 1
this : p * (z / y - 1) < (1 + (z / y - 1)) ^ p - 1
⊢ p * y ^ (p - 1) * (z - y) / y ^ p < (z ^ p - y ^ p) / y ^ p
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
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hyz'' : 1 < z / y
hyz''' : 0 < z / y - 1
hyz'''' : -1 ≤ z / y - 1
this : p * (z / y - 1) < (1 + (z / y - 1)) ^ p - 1
⊢ p * y ^ (p - 1) < (z ^ p - y ^ p) / (z - y)
rw [lt_div_iff hyz', ← div_lt_div_right hy']
case h.e'_3
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
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hxy : x < y
hyz : y < z
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H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
hyz' : 0 < z - y
hyz'' : 1 < z / y
hyz''' : 0 < z / y - 1
hyz'''' : -1 ≤ z / y - 1
this : p * (z / y - 1) < (1 + (z / y - 1)) ^ p - 1
⊢ p * y ^ (p - 1) * (z - y) / y ^ p = p * (z / y - 1)

case h.e'_4
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
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hxy : x < y
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H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
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hyz'' : 1 < z / y
hyz''' : 0 < z / y - 1
hyz'''' : -1 ≤ z / y - 1
this : p * (z / y - 1) < (1 + (z / y - 1)) ^ p - 1
⊢ (z ^ p - y ^ p) / y ^ p = (1 + (z / y - 1)) ^ p - 1
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
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hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
hyz' : 0 < z - y
hyz'' : 1 < z / y
hyz''' : 0 < z / y - 1
hyz'''' : -1 ≤ z / y - 1
this : p * (z / y - 1) < (1 + (z / y - 1)) ^ p - 1
⊢ p * y ^ (p - 1) * (z - y) / y ^ p < (z ^ p - y ^ p) / y ^ p
convert this using 1
no goals
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
⊢ 0 < z - y
linarith only [hyz]
no goals
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
hyz' : 0 < z - y
⊢ 1 < z / y
rwa [one_lt_div hy]
no goals
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
hyz' : 0 < z - y
hyz'' : 1 < z / y
⊢ 0 < z / y - 1
linarith only [hyz'']
no goals
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
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H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
hyz' : 0 < z - y
hyz'' : 1 < z / y
hyz''' : 0 < z / y - 1
⊢ -1 ≤ z / y - 1
linarith only [hyz'']
no goals
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
hyz' : 0 < z - y
hyz'' : 1 < z / y
hyz''' : 0 < z / y - 1
hyz'''' : -1 ≤ z / y - 1
⊢ p * (z / y - 1) < (1 + (z / y - 1)) ^ p - 1
linarith [one_add_mul_self_lt_rpow_one_add hyz'''' hyz'''.ne' hp]
case h.e'_3
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
hyz' : 0 < z - y
hyz'' : 1 < z / y
hyz''' : 0 < z / y - 1
hyz'''' : -1 ≤ z / y - 1
this : p * (z / y - 1) < (1 + (z / y - 1)) ^ p - 1
⊢ -(p * y ^ (-1 + p) * y * (y ^ p)⁻¹) + p * y ^ (-1 + p) * z * (y ^ p)⁻¹ = -p + p * z * y⁻¹
case h.e'_3
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
hyz' : 0 < z - y
hyz'' : 1 < z / y
hyz''' : 0 < z / y - 1
hyz'''' : -1 ≤ z / y - 1
this : p * (z / y - 1) < (1 + (z / y - 1)) ^ p - 1
⊢ p * y ^ (p - 1) * (z - y) / y ^ p = p * (z / y - 1)
ring_nf at H1 ⊢
case h.e'_3
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
hyz' : 0 < z - y
hyz'' : 1 < z / y
hyz''' : 0 < z / y - 1
hyz'''' : -1 ≤ z / y - 1
this : p * (z / y - 1) < (1 + (z / y - 1)) ^ p - 1
⊢ (-(p * y ^ (-1 + p) * y * y ^ p) + p * y ^ (-1 + p) * z * y ^ p) * y = (-(p * y) + p * z) * (y ^ p * y ^ p)
case h.e'_3
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
hyz' : 0 < z - y
hyz'' : 1 < z / y
hyz''' : 0 < z / y - 1
hyz'''' : -1 ≤ z / y - 1
this : p * (z / y - 1) < (1 + (z / y - 1)) ^ p - 1
⊢ -(p * y ^ (-1 + p) * y * (y ^ p)⁻¹) + p * y ^ (-1 + p) * z * (y ^ p)⁻¹ = -p + p * z * y⁻¹
field_simp [hy.ne', hy'.ne'] at H1 ⊢
no goals
case h.e'_3
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
hyz' : 0 < z - y
hyz'' : 1 < z / y
hyz''' : 0 < z / y - 1
hyz'''' : -1 ≤ z / y - 1
this : p * (z / y - 1) < (1 + (z / y - 1)) ^ p - 1
⊢ (-(p * y ^ (-1 + p) * y * y ^ p) + p * y ^ (-1 + p) * z * y ^ p) * y = (-(p * y) + p * z) * (y ^ p * y ^ p)
linear_combination p * (y - z) * y ^ p * H1
case h.e'_4
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
hyz' : 0 < z - y
hyz'' : 1 < z / y
hyz''' : 0 < z / y - 1
hyz'''' : -1 ≤ z / y - 1
this : p * (z / y - 1) < (1 + (z / y - 1)) ^ p - 1
H : (z / y) ^ p = z ^ p / y ^ p
⊢ (z ^ p - y ^ p) / y ^ p = (1 + (z / y - 1)) ^ p - 1
case h.e'_4
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
hyz' : 0 < z - y
hyz'' : 1 < z / y
hyz''' : 0 < z / y - 1
hyz'''' : -1 ≤ z / y - 1
this : p * (z / y - 1) < (1 + (z / y - 1)) ^ p - 1
⊢ (z ^ p - y ^ p) / y ^ p = (1 + (z / y - 1)) ^ p - 1
have H : (z / y) ^ p = z ^ p / y ^ p := div_rpow hz hy.le _
case h.e'_4
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
hyz' : 0 < z - y
hyz'' : 1 < z / y
hyz''' : 0 < z / y - 1
hyz'''' : -1 ≤ z / y - 1
this : p * (z / y - 1) < (1 + (z / y - 1)) ^ p - 1
H : (z * y⁻¹) ^ p = z ^ p * (y ^ p)⁻¹
⊢ z ^ p * (y ^ p)⁻¹ - y ^ p * (y ^ p)⁻¹ = -1 + (z * y⁻¹) ^ p
case h.e'_4
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
hyz' : 0 < z - y
hyz'' : 1 < z / y
hyz''' : 0 < z / y - 1
hyz'''' : -1 ≤ z / y - 1
this : p * (z / y - 1) < (1 + (z / y - 1)) ^ p - 1
H : (z / y) ^ p = z ^ p / y ^ p
⊢ (z ^ p - y ^ p) / y ^ p = (1 + (z / y - 1)) ^ p - 1
ring_nf at H ⊢
case h.e'_4
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
hyz' : 0 < z - y
hyz'' : 1 < z / y
hyz''' : 0 < z / y - 1
hyz'''' : -1 ≤ z / y - 1
this : p * (z / y - 1) < (1 + (z / y - 1)) ^ p - 1
H : (z / y) ^ p * y ^ p = z ^ p
⊢ z ^ p - y ^ p = (-1 + (z / y) ^ p) * y ^ p
case h.e'_4
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
hyz' : 0 < z - y
hyz'' : 1 < z / y
hyz''' : 0 < z / y - 1
hyz'''' : -1 ≤ z / y - 1
this : p * (z / y - 1) < (1 + (z / y - 1)) ^ p - 1
H : (z * y⁻¹) ^ p = z ^ p * (y ^ p)⁻¹
⊢ z ^ p * (y ^ p)⁻¹ - y ^ p * (y ^ p)⁻¹ = -1 + (z * y⁻¹) ^ p
field_simp [hy.ne', hy'.ne'] at H ⊢
no goals
case h.e'_4
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
H1 : y ^ p = y ^ (-1 + p) * y
hyz' : 0 < z - y
hyz'' : 1 < z / y
hyz''' : 0 < z / y - 1
hyz'''' : -1 ≤ z / y - 1
this : p * (z / y - 1) < (1 + (z / y - 1)) ^ p - 1
H : (z / y) ^ p * y ^ p = z ^ p
⊢ z ^ p - y ^ p = (-1 + (z / y) ^ p) * y ^ p
linear_combination -H