case convert_1
k : Type u_2
V : Type u_1
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type ?u.351531
s : Set V
p : P
h : Submodule.span k (range Subtype.val) = ⊤
⊢ direction (affineSpan k ({p} ∪ (fun v => v +ᵥ p) '' s)) = direction ⊤
k : Type u_2
V : Type u_1
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type ?u.351531
s : Set V
p : P
h : Submodule.span k (range Subtype.val) = ⊤
⊢ affineSpan k ({p} ∪ (fun v => v +ᵥ p) '' s) = ⊤
convert ext_of_direction_eq _
    ⟨p, mem_affineSpan k (Set.mem_union_left _ (Set.mem_singleton _)), mem_top k V p⟩
case convert_1
k : Type u_2
V : Type u_1
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type ?u.351531
s : Set V
p : P
h : Submodule.span k (range Subtype.val) = ⊤
⊢ Submodule.span k (range Subtype.val) ≤ Submodule.span k ((fun x => x -ᵥ p) '' ({p} ∪ (fun v => v +ᵥ p) '' s))
case convert_1
k : Type u_2
V : Type u_1
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type ?u.351531
s : Set V
p : P
h : Submodule.span k (range Subtype.val) = ⊤
⊢ direction (affineSpan k ({p} ∪ (fun v => v +ᵥ p) '' s)) = direction ⊤
rw [direction_affineSpan, direction_top,
  vectorSpan_eq_span_vsub_set_right k (Set.mem_union_left _ (Set.mem_singleton _) : p ∈ _),
  eq_top_iff, ← h]
case convert_1.h
k : Type u_2
V : Type u_1
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type ?u.351531
s : Set V
p : P
h : Submodule.span k (range Subtype.val) = ⊤
⊢ range Subtype.val ⊆ (fun x => x -ᵥ p) '' ({p} ∪ (fun v => v +ᵥ p) '' s)
case convert_1
k : Type u_2
V : Type u_1
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type ?u.351531
s : Set V
p : P
h : Submodule.span k (range Subtype.val) = ⊤
⊢ Submodule.span k (range Subtype.val) ≤ Submodule.span k ((fun x => x -ᵥ p) '' ({p} ∪ (fun v => v +ᵥ p) '' s))
apply Submodule.span_mono
case convert_1.h.intro
k : Type u_2
V : Type u_1
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type ?u.351531
s : Set V
p : P
h : Submodule.span k (range Subtype.val) = ⊤
v' : { x // x ∈ s }
⊢ ↑v' ∈ (fun x => x -ᵥ p) '' ({p} ∪ (fun v => v +ᵥ p) '' s)
case convert_1.h
k : Type u_2
V : Type u_1
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type ?u.351531
s : Set V
p : P
h : Submodule.span k (range Subtype.val) = ⊤
⊢ range Subtype.val ⊆ (fun x => x -ᵥ p) '' ({p} ∪ (fun v => v +ᵥ p) '' s)
rintro v ⟨v', rfl⟩
case convert_1.h.intro
k : Type u_2
V : Type u_1
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type ?u.351531
s : Set V
p : P
h : Submodule.span k (range Subtype.val) = ⊤
v' : { x // x ∈ s }
⊢ ↑v' +ᵥ p ∈ {p} ∪ (fun v => v +ᵥ p) '' s ∧ (fun x => x -ᵥ p) (↑v' +ᵥ p) = ↑v'
case convert_1.h.intro
k : Type u_2
V : Type u_1
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type ?u.351531
s : Set V
p : P
h : Submodule.span k (range Subtype.val) = ⊤
v' : { x // x ∈ s }
⊢ ↑v' ∈ (fun x => x -ᵥ p) '' ({p} ∪ (fun v => v +ᵥ p) '' s)
use (v' : V) +ᵥ p
no goals
case convert_1.h.intro
k : Type u_2
V : Type u_1
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type ?u.351531
s : Set V
p : P
h : Submodule.span k (range Subtype.val) = ⊤
v' : { x // x ∈ s }
⊢ ↑v' +ᵥ p ∈ {p} ∪ (fun v => v +ᵥ p) '' s ∧ (fun x => x -ᵥ p) (↑v' +ᵥ p) = ↑v'
simp