R : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_1
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type ?u.238086
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
x : S
⊢ x ∈ invSubmonoid M S ↔ ∃ m, ↑(↑(toInvSubmonoid M S) m) = x
R : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_1
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type ?u.238086
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
x : S
⊢ x ∈ invSubmonoid M S ↔ ∃ m, mk' S 1 m = x
simp_rw [← toInvSubmonoid_eq_mk']
no goals
R : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_1
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type ?u.238086
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
x : S
⊢ x ∈ invSubmonoid M S ↔ ∃ m, ↑(↑(toInvSubmonoid M S) m) = x
exact ⟨fun h => ⟨_, congr_arg Subtype.val (toInvSubmonoid_surjective M S ⟨x, h⟩).choose_spec⟩,
  fun h => h.choose_spec ▸ (toInvSubmonoid M S h.choose).prop⟩