G : Type u
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
N : Subgroup G
inst✝ : Normal N
h1 : Nat.coprime (Fintype.card { x // x ∈ N }) (index N)
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Fintype G'],
    Fintype.card G' < Fintype.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : Normal N'],
        Nat.coprime (Fintype.card { x // x ∈ N' }) (index N') → ∃ H', IsComplement' N' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬IsComplement' N H
this : Nontrivial { x // x ∈ N }
⊢ IsCommutative N
G : Type u
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
N : Subgroup G
inst✝ : Normal N
h1 : Nat.coprime (Fintype.card { x // x ∈ N }) (index N)
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Fintype G'],
    Fintype.card G' < Fintype.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : Normal N'],
        Nat.coprime (Fintype.card { x // x ∈ N' }) (index N') → ∃ H', IsComplement' N' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬IsComplement' N H
⊢ IsCommutative N
haveI := N.bot_or_nontrivial.resolve_left (step0 h1 h3)
G : Type u
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
N : Subgroup G
inst✝ : Normal N
h1 : Nat.coprime (Fintype.card { x // x ∈ N }) (index N)
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Fintype G'],
    Fintype.card G' < Fintype.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : Normal N'],
        Nat.coprime (Fintype.card { x // x ∈ N' }) (index N') → ∃ H', IsComplement' N' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬IsComplement' N H
this✝ : Nontrivial { x // x ∈ N }
this : Fact (Nat.Prime (Nat.minFac (Fintype.card { x // x ∈ N })))
⊢ IsCommutative N
G : Type u
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
N : Subgroup G
inst✝ : Normal N
h1 : Nat.coprime (Fintype.card { x // x ∈ N }) (index N)
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Fintype G'],
    Fintype.card G' < Fintype.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : Normal N'],
        Nat.coprime (Fintype.card { x // x ∈ N' }) (index N') → ∃ H', IsComplement' N' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬IsComplement' N H
this : Nontrivial { x // x ∈ N }
⊢ IsCommutative N
haveI : Fact (Fintype.card N).minFac.Prime := ⟨step4 h1 h3⟩
no goals
G : Type u
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
N : Subgroup G
inst✝ : Normal N
h1 : Nat.coprime (Fintype.card { x // x ∈ N }) (index N)
h2 :
  ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Fintype G'],
    Fintype.card G' < Fintype.card G →
      ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : Normal N'],
        Nat.coprime (Fintype.card { x // x ∈ N' }) (index N') → ∃ H', IsComplement' N' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬IsComplement' N H
this✝ : Nontrivial { x // x ∈ N }
this : Fact (Nat.Prime (Nat.minFac (Fintype.card { x // x ∈ N })))
⊢ IsCommutative N
exact
  ⟨⟨fun g h =>
      eq_top_iff.mp ((step3 h1 h2 h3 (center N)).resolve_left (step6 h1 h2 h3).bot_lt_center.ne')
        (mem_top h) g⟩⟩