case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
l : E →L[𝕜] 𝕜
A✝ B C : Set E
X : Finset E
x : E
inst✝ : Nontrivial 𝕜
A : Set E
hAB : IsExposed 𝕜 A ∅
⊢ ∃ l a, ∅ = {x | x ∈ A ∧ a ≤ ↑l x}

case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
l : E →L[𝕜] 𝕜
A✝ B✝ C : Set E
X : Finset E
x : E
inst✝ : Nontrivial 𝕜
A B : Set E
hAB : IsExposed 𝕜 A B
hB : Set.Nonempty B
⊢ ∃ l a, B = {x | x ∈ A ∧ a ≤ ↑l x}
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
l : E →L[𝕜] 𝕜
A✝ B✝ C : Set E
X : Finset E
x : E
inst✝ : Nontrivial 𝕜
A B : Set E
hAB : IsExposed 𝕜 A B
⊢ ∃ l a, B = {x | x ∈ A ∧ a ≤ ↑l x}
obtain rfl | hB := B.eq_empty_or_nonempty
no goals
case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
l : E →L[𝕜] 𝕜
A✝ B✝ C : Set E
X : Finset E
x : E
inst✝ : Nontrivial 𝕜
A B : Set E
hAB : IsExposed 𝕜 A B
hB : Set.Nonempty B
⊢ ∃ l a, B = {x | x ∈ A ∧ a ≤ ↑l x}
exact hAB.eq_inter_halfspace' hB
case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
l : E →L[𝕜] 𝕜
A✝ B C : Set E
X : Finset E
x : E
inst✝ : Nontrivial 𝕜
A : Set E
hAB : IsExposed 𝕜 A ∅
⊢ ∅ = {x | x ∈ A ∧ 1 ≤ ↑0 x}
case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
l : E →L[𝕜] 𝕜
A✝ B C : Set E
X : Finset E
x : E
inst✝ : Nontrivial 𝕜
A : Set E
hAB : IsExposed 𝕜 A ∅
⊢ ∃ l a, ∅ = {x | x ∈ A ∧ a ≤ ↑l x}
refine' ⟨0, 1, _⟩
case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
l : E →L[𝕜] 𝕜
A✝ B C : Set E
X : Finset E
x : E
inst✝ : Nontrivial 𝕜
A : Set E
hAB : IsExposed 𝕜 A ∅
⊢ ∀ (x : E), ¬x ∈ {x | x ∈ A ∧ 1 ≤ ↑0 x}
case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
l : E →L[𝕜] 𝕜
A✝ B C : Set E
X : Finset E
x : E
inst✝ : Nontrivial 𝕜
A : Set E
hAB : IsExposed 𝕜 A ∅
⊢ ∅ = {x | x ∈ A ∧ 1 ≤ ↑0 x}
rw [eq_comm, eq_empty_iff_forall_not_mem]
case inl.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
l : E →L[𝕜] 𝕜
A✝ B C : Set E
X : Finset E
x✝ : E
inst✝ : Nontrivial 𝕜
A : Set E
hAB : IsExposed 𝕜 A ∅
x : E
h : 1 ≤ ↑0 x
⊢ False
case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
l : E →L[𝕜] 𝕜
A✝ B C : Set E
X : Finset E
x : E
inst✝ : Nontrivial 𝕜
A : Set E
hAB : IsExposed 𝕜 A ∅
⊢ ∀ (x : E), ¬x ∈ {x | x ∈ A ∧ 1 ≤ ↑0 x}
rintro x ⟨-, h⟩
case inl.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
l : E →L[𝕜] 𝕜
A✝ B C : Set E
X : Finset E
x✝ : E
inst✝ : Nontrivial 𝕜
A : Set E
hAB : IsExposed 𝕜 A ∅
x : E
h : 1 ≤ 0
⊢ False
case inl.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
l : E →L[𝕜] 𝕜
A✝ B C : Set E
X : Finset E
x✝ : E
inst✝ : Nontrivial 𝕜
A : Set E
hAB : IsExposed 𝕜 A ∅
x : E
h : 1 ≤ ↑0 x
⊢ False
rw [ContinuousLinearMap.zero_apply] at h
case inl.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
l : E →L[𝕜] 𝕜
A✝ B C : Set E
X : Finset E
x✝ : E
inst✝ : Nontrivial 𝕜
A : Set E
hAB : IsExposed 𝕜 A ∅
x : E
h : 1 ≤ 0
this : ¬1 ≤ 0
⊢ False
case inl.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
l : E →L[𝕜] 𝕜
A✝ B C : Set E
X : Finset E
x✝ : E
inst✝ : Nontrivial 𝕜
A : Set E
hAB : IsExposed 𝕜 A ∅
x : E
h : 1 ≤ 0
⊢ False
have : ¬(1 : 𝕜) ≤ 0 := not_le_of_lt zero_lt_one
no goals
case inl.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
l : E →L[𝕜] 𝕜
A✝ B C : Set E
X : Finset E
x✝ : E
inst✝ : Nontrivial 𝕜
A : Set E
hAB : IsExposed 𝕜 A ∅
x : E
h : 1 ≤ 0
this : ¬1 ≤ 0
⊢ False
contradiction