R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
S : Subalgebra R (MvPolynomial σ R) := Algebra.adjoin R (range X)
⊢ S = ⊤
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
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set S := Algebra.adjoin R (range (X : σ → MvPolynomial σ R))
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S₂ : Type w
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S : Subalgebra R (MvPolynomial σ R) := Algebra.adjoin R (range X)
⊢ S = ⊤
refine' top_unique fun p hp => _
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S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
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clear hp
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induction p using MvPolynomial.induction_on
case h_add
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⊢ p✝ * X n✝ ∈ S
case h_add p q hp hq => exact S.add_mem hp hq
no goals
case h_X
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σ : Type u_1
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inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
S : Subalgebra R (MvPolynomial σ R) := Algebra.adjoin R (range X)
p✝ : MvPolynomial σ R
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⊢ p✝ * X n✝ ∈ S
case h_X p i hp => exact S.mul_mem hp (Algebra.subset_adjoin <| mem_range_self _)
no goals
R : Type u
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σ : Type u_1
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inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
S : Subalgebra R (MvPolynomial σ R) := Algebra.adjoin R (range X)
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⊢ ↑C a✝ ∈ S
exact S.algebraMap_mem _
no goals
R : Type u
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σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
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n m : σ
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inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R
S : Subalgebra R (MvPolynomial σ R) := Algebra.adjoin R (range X)
p q : MvPolynomial σ R
hp : p ∈ S
hq : q ∈ S
⊢ p + q ∈ S
exact S.add_mem hp hq
no goals
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
S : Subalgebra R (MvPolynomial σ R) := Algebra.adjoin R (range X)
p : MvPolynomial σ R
i : σ
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⊢ p * X i ∈ S
exact S.mul_mem hp (Algebra.subset_adjoin <| mem_range_self _)