ι : Type u_2
F : Type u_1
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : FiniteDimensional ℝ F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
m n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ F = n)
o : Orientation ℝ F (Fin n)
b : OrthonormalBasis ι ℝ F
e : ι ≃ Fin n
⊢ ↑↑(AlternatingMap.measure (volumeForm o)) (parallelepiped ↑b) = 1
ι : Type u_2
F : Type u_1
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : FiniteDimensional ℝ F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
m n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ F = n)
o : Orientation ℝ F (Fin n)
b : OrthonormalBasis ι ℝ F
⊢ ↑↑(AlternatingMap.measure (volumeForm o)) (parallelepiped ↑b) = 1
have e : ι ≃ Fin n := by
  refine' Fintype.equivFinOfCardEq _
  rw [← _i.out, finrank_eq_card_basis b.toBasis]
ι : Type u_2
F : Type u_1
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : FiniteDimensional ℝ F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
m n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ F = n)
o : Orientation ℝ F (Fin n)
b : OrthonormalBasis ι ℝ F
e : ι ≃ Fin n
A : ↑b = ↑(OrthonormalBasis.reindex b e) ∘ ↑e
⊢ ↑↑(AlternatingMap.measure (volumeForm o)) (parallelepiped ↑b) = 1
ι : Type u_2
F : Type u_1
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : FiniteDimensional ℝ F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
m n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ F = n)
o : Orientation ℝ F (Fin n)
b : OrthonormalBasis ι ℝ F
e : ι ≃ Fin n
⊢ ↑↑(AlternatingMap.measure (volumeForm o)) (parallelepiped ↑b) = 1
have A : ⇑b = b.reindex e ∘ e := by
  ext x
  simp only [OrthonormalBasis.coe_reindex, Function.comp_apply, Equiv.symm_apply_apply]
no goals
ι : Type u_2
F : Type u_1
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : FiniteDimensional ℝ F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
m n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ F = n)
o : Orientation ℝ F (Fin n)
b : OrthonormalBasis ι ℝ F
e : ι ≃ Fin n
A : ↑b = ↑(OrthonormalBasis.reindex b e) ∘ ↑e
⊢ ↑↑(AlternatingMap.measure (volumeForm o)) (parallelepiped ↑b) = 1
rw [A, parallelepiped_comp_equiv, AlternatingMap.measure_parallelepiped,
  o.abs_volumeForm_apply_of_orthonormal, ENNReal.ofReal_one]
ι : Type u_2
F : Type u_1
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : FiniteDimensional ℝ F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
m n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ F = n)
o : Orientation ℝ F (Fin n)
b : OrthonormalBasis ι ℝ F
⊢ Fintype.card ι = n
ι : Type u_2
F : Type u_1
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : FiniteDimensional ℝ F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
m n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ F = n)
o : Orientation ℝ F (Fin n)
b : OrthonormalBasis ι ℝ F
⊢ ι ≃ Fin n
refine' Fintype.equivFinOfCardEq _
no goals
ι : Type u_2
F : Type u_1
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : FiniteDimensional ℝ F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
m n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ F = n)
o : Orientation ℝ F (Fin n)
b : OrthonormalBasis ι ℝ F
⊢ Fintype.card ι = n
rw [← _i.out, finrank_eq_card_basis b.toBasis]
case h
ι : Type u_2
F : Type u_1
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : FiniteDimensional ℝ F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
m n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ F = n)
o : Orientation ℝ F (Fin n)
b : OrthonormalBasis ι ℝ F
e : ι ≃ Fin n
x : ι
⊢ ↑b x = (↑(OrthonormalBasis.reindex b e) ∘ ↑e) x
ι : Type u_2
F : Type u_1
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : FiniteDimensional ℝ F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
m n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ F = n)
o : Orientation ℝ F (Fin n)
b : OrthonormalBasis ι ℝ F
e : ι ≃ Fin n
⊢ ↑b = ↑(OrthonormalBasis.reindex b e) ∘ ↑e
ext x
no goals
case h
ι : Type u_2
F : Type u_1
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : FiniteDimensional ℝ F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
m n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ F = n)
o : Orientation ℝ F (Fin n)
b : OrthonormalBasis ι ℝ F
e : ι ≃ Fin n
x : ι
⊢ ↑b x = (↑(OrthonormalBasis.reindex b e) ∘ ↑e) x
simp only [OrthonormalBasis.coe_reindex, Function.comp_apply, Equiv.symm_apply_apply]