R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s : Set M
p : Submodule R M
⊢ ↑(lieSpan R L ↑p) = p ↔ ∀ (x : L) (m : M), m ∈ p → ⁅x, m⁆ ∈ p
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s : Set M
p : Submodule R M
⊢ ↑(lieSpan R L ↑p) = p ↔ ∃ N, ↑N = p
rw [p.exists_lieSubmodule_coe_eq_iff L]
case mp
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s : Set M
p : Submodule R M
h : ↑(lieSpan R L ↑p) = p
⊢ ∀ (x : L) (m : M), m ∈ p → ⁅x, m⁆ ∈ p

case mpr
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s : Set M
p : Submodule R M
h : ∀ (x : L) (m : M), m ∈ p → ⁅x, m⁆ ∈ p
⊢ ↑(lieSpan R L ↑p) = p
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s : Set M
p : Submodule R M
⊢ ↑(lieSpan R L ↑p) = p ↔ ∀ (x : L) (m : M), m ∈ p → ⁅x, m⁆ ∈ p
constructor <;> intro h
case mp
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s : Set M
p : Submodule R M
h : ↑(lieSpan R L ↑p) = p
x : L
m : M
hm : m ∈ p
⊢ ⁅x, m⁆ ∈ p
case mp
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s : Set M
p : Submodule R M
h : ↑(lieSpan R L ↑p) = p
⊢ ∀ (x : L) (m : M), m ∈ p → ⁅x, m⁆ ∈ p
intro x m hm
case mp
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s : Set M
p : Submodule R M
h : ↑(lieSpan R L ↑p) = p
x : L
m : M
hm : m ∈ p
⊢ ⁅x, m⁆ ∈ lieSpan R L ↑p
case mp
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s : Set M
p : Submodule R M
h : ↑(lieSpan R L ↑p) = p
x : L
m : M
hm : m ∈ p
⊢ ⁅x, m⁆ ∈ p
rw [← h, mem_coeSubmodule]
no goals
case mp
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s : Set M
p : Submodule R M
h : ↑(lieSpan R L ↑p) = p
x : L
m : M
hm : m ∈ p
⊢ ⁅x, m⁆ ∈ lieSpan R L ↑p
exact lie_mem _ (subset_lieSpan hm)
no goals
case mpr
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s : Set M
p : Submodule R M
h : ∀ (x : L) (m : M), m ∈ p → ⁅x, m⁆ ∈ p
⊢ ↑(lieSpan R L ↑p) = p
rw [← coe_toSubmodule_mk p @h, coe_toSubmodule, coe_toSubmodule_eq_iff, lieSpan_eq]