M : Type u_2
N : Type u_3
G : Type ?u.2430067
R : Type ?u.2430070
S : Type ?u.2430073
F : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : CommMonoid N
inst✝¹ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
inst✝ : MonoidHomClass F M N
h : IsPrimitiveRoot (↑f ζ) k
hf : Injective ↑f
⊢ ↑f (ζ ^ k) = ↑f 1
M : Type u_2
N : Type u_3
G : Type ?u.2430067
R : Type ?u.2430070
S : Type ?u.2430073
F : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : CommMonoid N
inst✝¹ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
inst✝ : MonoidHomClass F M N
h : IsPrimitiveRoot (↑f ζ) k
hf : Injective ↑f
⊢ ζ ^ k = 1
apply_fun f
no goals
M : Type u_2
N : Type u_3
G : Type ?u.2430067
R : Type ?u.2430070
S : Type ?u.2430073
F : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : CommMonoid N
inst✝¹ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
inst✝ : MonoidHomClass F M N
h : IsPrimitiveRoot (↑f ζ) k
hf : Injective ↑f
⊢ ↑f (ζ ^ k) = ↑f 1
rw [map_pow, _root_.map_one, h.pow_eq_one]
M : Type u_2
N : Type u_3
G : Type ?u.2430067
R : Type ?u.2430070
S : Type ?u.2430073
F : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : CommMonoid N
inst✝¹ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
inst✝ : MonoidHomClass F M N
h : IsPrimitiveRoot (↑f ζ) k
hf : Injective ↑f
⊢ ∀ (l : ℕ), ζ ^ l = 1 → orderOf (↑f ζ) ∣ l
M : Type u_2
N : Type u_3
G : Type ?u.2430067
R : Type ?u.2430070
S : Type ?u.2430073
F : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : CommMonoid N
inst✝¹ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
inst✝ : MonoidHomClass F M N
h : IsPrimitiveRoot (↑f ζ) k
hf : Injective ↑f
⊢ ∀ (l : ℕ), ζ ^ l = 1 → k ∣ l
rw [h.eq_orderOf]
M : Type u_2
N : Type u_3
G : Type ?u.2430067
R : Type ?u.2430070
S : Type ?u.2430073
F : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : CommMonoid N
inst✝¹ : DivisionCommMonoid G
k l✝ : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
inst✝ : MonoidHomClass F M N
h : IsPrimitiveRoot (↑f ζ) k
hf : Injective ↑f
l : ℕ
hl : ζ ^ l = 1
⊢ orderOf (↑f ζ) ∣ l
M : Type u_2
N : Type u_3
G : Type ?u.2430067
R : Type ?u.2430070
S : Type ?u.2430073
F : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : CommMonoid N
inst✝¹ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
inst✝ : MonoidHomClass F M N
h : IsPrimitiveRoot (↑f ζ) k
hf : Injective ↑f
⊢ ∀ (l : ℕ), ζ ^ l = 1 → orderOf (↑f ζ) ∣ l
intro l hl
M : Type u_2
N : Type u_3
G : Type ?u.2430067
R : Type ?u.2430070
S : Type ?u.2430073
F : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : CommMonoid N
inst✝¹ : DivisionCommMonoid G
k l✝ : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
inst✝ : MonoidHomClass F M N
h : IsPrimitiveRoot (↑f ζ) k
hf : Injective ↑f
l : ℕ
hl : ↑f (ζ ^ l) = ↑f 1
⊢ orderOf (↑f ζ) ∣ l
M : Type u_2
N : Type u_3
G : Type ?u.2430067
R : Type ?u.2430070
S : Type ?u.2430073
F : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : CommMonoid N
inst✝¹ : DivisionCommMonoid G
k l✝ : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
inst✝ : MonoidHomClass F M N
h : IsPrimitiveRoot (↑f ζ) k
hf : Injective ↑f
l : ℕ
hl : ζ ^ l = 1
⊢ orderOf (↑f ζ) ∣ l
apply_fun f at hl
M : Type u_2
N : Type u_3
G : Type ?u.2430067
R : Type ?u.2430070
S : Type ?u.2430073
F : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : CommMonoid N
inst✝¹ : DivisionCommMonoid G
k l✝ : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
inst✝ : MonoidHomClass F M N
h : IsPrimitiveRoot (↑f ζ) k
hf : Injective ↑f
l : ℕ
hl : ↑f ζ ^ l = 1
⊢ orderOf (↑f ζ) ∣ l
M : Type u_2
N : Type u_3
G : Type ?u.2430067
R : Type ?u.2430070
S : Type ?u.2430073
F : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : CommMonoid N
inst✝¹ : DivisionCommMonoid G
k l✝ : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
inst✝ : MonoidHomClass F M N
h : IsPrimitiveRoot (↑f ζ) k
hf : Injective ↑f
l : ℕ
hl : ↑f (ζ ^ l) = ↑f 1
⊢ orderOf (↑f ζ) ∣ l
rw [map_pow, _root_.map_one] at hl
no goals
M : Type u_2
N : Type u_3
G : Type ?u.2430067
R : Type ?u.2430070
S : Type ?u.2430073
F : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : CommMonoid N
inst✝¹ : DivisionCommMonoid G
k l✝ : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
inst✝ : MonoidHomClass F M N
h : IsPrimitiveRoot (↑f ζ) k
hf : Injective ↑f
l : ℕ
hl : ↑f ζ ^ l = 1
⊢ orderOf (↑f ζ) ∣ l
exact orderOf_dvd_of_pow_eq_one hl