ι : Type u_2
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_3
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
i : ι
x : G i
⊢ (∑' (i_1 : ι), ↑(V i_1) (↑(lp.single 2 i x) i_1)) = ∑' (b' : ι), if b' = i then ↑(V i) x else 0
ι : Type u_2
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_3
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
i : ι
x : G i
⊢ ↑(OrthogonalFamily.linearIsometry hV) (lp.single 2 i x) = ↑(V i) x
rw [hV.linearIsometry_apply, ← tsum_ite_eq i (V i x)]
case e_f
ι : Type u_2
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_3
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
i : ι
x : G i
⊢ (fun i_1 => ↑(V i_1) (↑(lp.single 2 i x) i_1)) = fun b' => if b' = i then ↑(V i) x else 0
ι : Type u_2
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_3
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
i : ι
x : G i
⊢ (∑' (i_1 : ι), ↑(V i_1) (↑(lp.single 2 i x) i_1)) = ∑' (b' : ι), if b' = i then ↑(V i) x else 0
congr
case e_f.h
ι : Type u_2
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_3
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
i : ι
x : G i
j : ι
⊢ ↑(V j) (↑(lp.single 2 i x) j) = if j = i then ↑(V i) x else 0
case e_f
ι : Type u_2
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_3
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
i : ι
x : G i
⊢ (fun i_1 => ↑(V i_1) (↑(lp.single 2 i x) i_1)) = fun b' => if b' = i then ↑(V i) x else 0
ext j
case e_f.h
ι : Type u_2
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_3
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
i : ι
x : G i
j : ι
⊢ ↑(V j) (if h : j = i then (_ : i = j) ▸ x else 0) = if j = i then ↑(V i) x else 0
case e_f.h
ι : Type u_2
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_3
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
i : ι
x : G i
j : ι
⊢ ↑(V j) (↑(lp.single 2 i x) j) = if j = i then ↑(V i) x else 0
rw [lp.single_apply]
case e_f.h.inl
ι : Type u_2
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_3
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
i : ι
x : G i
j : ι
h : j = i
⊢ ↑(V j) (if h : j = i then (_ : i = j) ▸ x else 0) = ↑(V i) x

case e_f.h.inr
ι : Type u_2
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_3
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
i : ι
x : G i
j : ι
h : ¬j = i
⊢ ↑(V j) (if h : j = i then (_ : i = j) ▸ x else 0) = 0
case e_f.h
ι : Type u_2
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_3
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
i : ι
x : G i
j : ι
⊢ ↑(V j) (if h : j = i then (_ : i = j) ▸ x else 0) = if j = i then ↑(V i) x else 0
split_ifs with h
case e_f.h.inl
ι : Type u_2
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_3
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
j : ι
x : G j
⊢ ↑(V j) (if h : j = j then (_ : j = j) ▸ x else 0) = ↑(V j) x
case e_f.h.inl
ι : Type u_2
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_3
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
i : ι
x : G i
j : ι
h : j = i
⊢ ↑(V j) (if h : j = i then (_ : i = j) ▸ x else 0) = ↑(V i) x
subst h
no goals
case e_f.h.inl
ι : Type u_2
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_3
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
j : ι
x : G j
⊢ ↑(V j) (if h : j = j then (_ : j = j) ▸ x else 0) = ↑(V j) x
simp
no goals
case e_f.h.inr
ι : Type u_2
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_3
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
i : ι
x : G i
j : ι
h : ¬j = i
⊢ ↑(V j) (if h : j = i then (_ : i = j) ▸ x else 0) = 0
simp [h]