case h
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
R' : Type v
inst✝² : CommRing R'
R'' : Type w
inst✝¹ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
hχ : IsQuadratic χ
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R' p
x : Rˣ
⊢ ↑(χ ^ p) ↑x = ↑χ ↑x
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
R' : Type v
inst✝² : CommRing R'
R'' : Type w
inst✝¹ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
hχ : IsQuadratic χ
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R' p
⊢ χ ^ p = χ
ext x
case h
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
R' : Type v
inst✝² : CommRing R'
R'' : Type w
inst✝¹ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
hχ : IsQuadratic χ
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R' p
x : Rˣ
⊢ ↑χ ↑x ^ p = ↑χ ↑x
case h
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
R' : Type v
inst✝² : CommRing R'
R'' : Type w
inst✝¹ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
hχ : IsQuadratic χ
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R' p
x : Rˣ
⊢ ↑(χ ^ p) ↑x = ↑χ ↑x
rw [pow_apply_coe]
case h.inl
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
R' : Type v
inst✝² : CommRing R'
R'' : Type w
inst✝¹ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
hχ : IsQuadratic χ
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R' p
x : Rˣ
hx : ↑χ ↑x = 0
⊢ 0 ^ p = 0

case h.inr.inl
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
R' : Type v
inst✝² : CommRing R'
R'' : Type w
inst✝¹ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
hχ : IsQuadratic χ
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R' p
x : Rˣ
hx : ↑χ ↑x = 1
⊢ 1 ^ p = 1

case h.inr.inr
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
R' : Type v
inst✝² : CommRing R'
R'' : Type w
inst✝¹ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
hχ : IsQuadratic χ
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R' p
x : Rˣ
hx : ↑χ ↑x = -1
⊢ (-1) ^ p = -1
case h
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
R' : Type v
inst✝² : CommRing R'
R'' : Type w
inst✝¹ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
hχ : IsQuadratic χ
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R' p
x : Rˣ
⊢ ↑χ ↑x ^ p = ↑χ ↑x
rcases hχ x with (hx | hx | hx) <;> rw [hx]
no goals
case h.inl
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
R' : Type v
inst✝² : CommRing R'
R'' : Type w
inst✝¹ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
hχ : IsQuadratic χ
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R' p
x : Rˣ
hx : ↑χ ↑x = 0
⊢ 0 ^ p = 0
rw [zero_pow (@Fact.out p.Prime).pos]
no goals
case h.inr.inl
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
R' : Type v
inst✝² : CommRing R'
R'' : Type w
inst✝¹ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
hχ : IsQuadratic χ
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R' p
x : Rˣ
hx : ↑χ ↑x = 1
⊢ 1 ^ p = 1
rw [one_pow]
no goals
case h.inr.inr
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
R' : Type v
inst✝² : CommRing R'
R'' : Type w
inst✝¹ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
hχ : IsQuadratic χ
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R' p
x : Rˣ
hx : ↑χ ↑x = -1
⊢ (-1) ^ p = -1
exact CharP.neg_one_pow_char R' p