𝕜 : Type ?u.12558
E : Type u_1
inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
h : ∀ (x y : E), ‖x‖ = 1 → ‖y‖ = 1 → x ≠ y → ∃ a b, a + b = 1 ∧ ‖a • x + b • y‖ < 1
x : E
hx : x ∈ closedBall 0 1 \ interior (closedBall 0 1)
y : E
hy : y ∈ closedBall 0 1 \ interior (closedBall 0 1)
hne : x ≠ y
⊢ (fun x y => ∃ c, ↑(AffineMap.lineMap x y) c ∈ interior (closedBall 0 1)) x y
𝕜 : Type ?u.12558
E : Type u_1
inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
h : ∀ (x y : E), ‖x‖ = 1 → ‖y‖ = 1 → x ≠ y → ∃ a b, a + b = 1 ∧ ‖a • x + b • y‖ < 1
⊢ StrictConvexSpace ℝ E
refine'
  StrictConvexSpace.ofStrictConvexClosedUnitBall ℝ
    ((convex_closedBall _ _).strictConvex' fun x hx y hy hne => _)
𝕜 : Type ?u.12558
E : Type u_1
inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
h : ∀ (x y : E), ‖x‖ = 1 → ‖y‖ = 1 → x ≠ y → ∃ a b, a + b = 1 ∧ ‖a • x + b • y‖ < 1
x : E
hx : ‖x‖ = 1
y : E
hy : ‖y‖ = 1
hne : x ≠ y
⊢ ∃ c, ↑(AffineMap.lineMap x y) c ∈ interior (closedBall 0 1)
𝕜 : Type ?u.12558
E : Type u_1
inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
h : ∀ (x y : E), ‖x‖ = 1 → ‖y‖ = 1 → x ≠ y → ∃ a b, a + b = 1 ∧ ‖a • x + b • y‖ < 1
x : E
hx : x ∈ closedBall 0 1 \ interior (closedBall 0 1)
y : E
hy : y ∈ closedBall 0 1 \ interior (closedBall 0 1)
hne : x ≠ y
⊢ (fun x y => ∃ c, ↑(AffineMap.lineMap x y) c ∈ interior (closedBall 0 1)) x y
rw [interior_closedBall (0 : E) one_ne_zero, closedBall_diff_ball,
  mem_sphere_zero_iff_norm] at hx hy
case intro.intro.intro
𝕜 : Type ?u.12558
E : Type u_1
inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
h : ∀ (x y : E), ‖x‖ = 1 → ‖y‖ = 1 → x ≠ y → ∃ a b, a + b = 1 ∧ ‖a • x + b • y‖ < 1
x : E
hx : ‖x‖ = 1
y : E
hy : ‖y‖ = 1
hne : x ≠ y
a b : ℝ
hab : a + b = 1
hlt : ‖a • x + b • y‖ < 1
⊢ ∃ c, ↑(AffineMap.lineMap x y) c ∈ interior (closedBall 0 1)
𝕜 : Type ?u.12558
E : Type u_1
inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
h : ∀ (x y : E), ‖x‖ = 1 → ‖y‖ = 1 → x ≠ y → ∃ a b, a + b = 1 ∧ ‖a • x + b • y‖ < 1
x : E
hx : ‖x‖ = 1
y : E
hy : ‖y‖ = 1
hne : x ≠ y
⊢ ∃ c, ↑(AffineMap.lineMap x y) c ∈ interior (closedBall 0 1)
rcases h x y hx hy hne with ⟨a, b, hab, hlt⟩
case intro.intro.intro
𝕜 : Type ?u.12558
E : Type u_1
inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
h : ∀ (x y : E), ‖x‖ = 1 → ‖y‖ = 1 → x ≠ y → ∃ a b, a + b = 1 ∧ ‖a • x + b • y‖ < 1
x : E
hx : ‖x‖ = 1
y : E
hy : ‖y‖ = 1
hne : x ≠ y
a b : ℝ
hab : a + b = 1
hlt : ‖a • x + b • y‖ < 1
⊢ ↑(AffineMap.lineMap x y) b ∈ interior (closedBall 0 1)
case intro.intro.intro
𝕜 : Type ?u.12558
E : Type u_1
inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
h : ∀ (x y : E), ‖x‖ = 1 → ‖y‖ = 1 → x ≠ y → ∃ a b, a + b = 1 ∧ ‖a • x + b • y‖ < 1
x : E
hx : ‖x‖ = 1
y : E
hy : ‖y‖ = 1
hne : x ≠ y
a b : ℝ
hab : a + b = 1
hlt : ‖a • x + b • y‖ < 1
⊢ ∃ c, ↑(AffineMap.lineMap x y) c ∈ interior (closedBall 0 1)
use b
no goals
case intro.intro.intro
𝕜 : Type ?u.12558
E : Type u_1
inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
h : ∀ (x y : E), ‖x‖ = 1 → ‖y‖ = 1 → x ≠ y → ∃ a b, a + b = 1 ∧ ‖a • x + b • y‖ < 1
x : E
hx : ‖x‖ = 1
y : E
hy : ‖y‖ = 1
hne : x ≠ y
a b : ℝ
hab : a + b = 1
hlt : ‖a • x + b • y‖ < 1
⊢ ↑(AffineMap.lineMap x y) b ∈ interior (closedBall 0 1)
rwa [AffineMap.lineMap_apply_module, interior_closedBall (0 : E) one_ne_zero, mem_ball_zero_iff,
  sub_eq_iff_eq_add.2 hab.symm]