ι : Type u_2
E : Type u_1
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝³ : IsCountablyGenerated l
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b✝ : ι → ℝ
f : ℝ → E
b : ℝ
hfi : IntegrableOn f (Iic b)
ha : Tendsto a l atBot
φ : ι → Set ℝ := fun i => Ioi (a i)
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in a i..b, f x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : ℝ) in Iic b, f x ∂μ))
ι : Type u_2
E : Type u_1
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝³ : IsCountablyGenerated l
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b✝ : ι → ℝ
f : ℝ → E
b : ℝ
hfi : IntegrableOn f (Iic b)
ha : Tendsto a l atBot
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in a i..b, f x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : ℝ) in Iic b, f x ∂μ))
let φ i := Ioi (a i)
ι : Type u_2
E : Type u_1
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝³ : IsCountablyGenerated l
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b✝ : ι → ℝ
f : ℝ → E
b : ℝ
hfi : IntegrableOn f (Iic b)
ha : Tendsto a l atBot
φ : ι → Set ℝ := fun i => Ioi (a i)
hφ : AECover (Measure.restrict μ (Iic b)) l φ
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in a i..b, f x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : ℝ) in Iic b, f x ∂μ))
ι : Type u_2
E : Type u_1
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝³ : IsCountablyGenerated l
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b✝ : ι → ℝ
f : ℝ → E
b : ℝ
hfi : IntegrableOn f (Iic b)
ha : Tendsto a l atBot
φ : ι → Set ℝ := fun i => Ioi (a i)
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in a i..b, f x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : ℝ) in Iic b, f x ∂μ))
have hφ : AECover (μ.restrict <| Iic b) l φ := aecover_Ioi ha
ι : Type u_2
E : Type u_1
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝³ : IsCountablyGenerated l
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b✝ : ι → ℝ
f : ℝ → E
b : ℝ
hfi : IntegrableOn f (Iic b)
ha : Tendsto a l atBot
φ : ι → Set ℝ := fun i => Ioi (a i)
hφ : AECover (Measure.restrict μ (Iic b)) l φ
⊢ (fun i => ∫ (x : ℝ) in φ i, f x ∂Measure.restrict μ (Iic b)) =ᶠ[l] fun i => ∫ (x : ℝ) in a i..b, f x ∂μ
ι : Type u_2
E : Type u_1
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝³ : IsCountablyGenerated l
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b✝ : ι → ℝ
f : ℝ → E
b : ℝ
hfi : IntegrableOn f (Iic b)
ha : Tendsto a l atBot
φ : ι → Set ℝ := fun i => Ioi (a i)
hφ : AECover (Measure.restrict μ (Iic b)) l φ
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in a i..b, f x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : ℝ) in Iic b, f x ∂μ))
refine' (hφ.integral_tendsto_of_countably_generated hfi).congr' _
case h
ι : Type u_2
E : Type u_1
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝³ : IsCountablyGenerated l
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b✝ : ι → ℝ
f : ℝ → E
b : ℝ
hfi : IntegrableOn f (Iic b)
ha : Tendsto a l atBot
φ : ι → Set ℝ := fun i => Ioi (a i)
hφ : AECover (Measure.restrict μ (Iic b)) l φ
i : ι
hai : a i ≤ b
⊢ (∫ (x : ℝ) in Ioi (a i), f x ∂Measure.restrict μ (Iic b)) = ∫ (x : ℝ) in a i..b, f x ∂μ
ι : Type u_2
E : Type u_1
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝³ : IsCountablyGenerated l
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b✝ : ι → ℝ
f : ℝ → E
b : ℝ
hfi : IntegrableOn f (Iic b)
ha : Tendsto a l atBot
φ : ι → Set ℝ := fun i => Ioi (a i)
hφ : AECover (Measure.restrict μ (Iic b)) l φ
⊢ (fun i => ∫ (x : ℝ) in φ i, f x ∂Measure.restrict μ (Iic b)) =ᶠ[l] fun i => ∫ (x : ℝ) in a i..b, f x ∂μ
filter_upwards [ha.eventually (eventually_le_atBot <| b)] with i hai
case h
ι : Type u_2
E : Type u_1
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝³ : IsCountablyGenerated l
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b✝ : ι → ℝ
f : ℝ → E
b : ℝ
hfi : IntegrableOn f (Iic b)
ha : Tendsto a l atBot
φ : ι → Set ℝ := fun i => Ioi (a i)
hφ : AECover (Measure.restrict μ (Iic b)) l φ
i : ι
hai : a i ≤ b
⊢ (∫ (x : ℝ) in φ i ∩ Iic b, f x ∂μ) = ∫ (x : ℝ) in Ioc (a i) b, f x ∂μ
case h
ι : Type u_2
E : Type u_1
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝³ : IsCountablyGenerated l
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b✝ : ι → ℝ
f : ℝ → E
b : ℝ
hfi : IntegrableOn f (Iic b)
ha : Tendsto a l atBot
φ : ι → Set ℝ := fun i => Ioi (a i)
hφ : AECover (Measure.restrict μ (Iic b)) l φ
i : ι
hai : a i ≤ b
⊢ (∫ (x : ℝ) in Ioi (a i), f x ∂Measure.restrict μ (Iic b)) = ∫ (x : ℝ) in a i..b, f x ∂μ
rw [intervalIntegral.integral_of_le hai, Measure.restrict_restrict (hφ.measurableSet i)]
no goals
case h
ι : Type u_2
E : Type u_1
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝³ : IsCountablyGenerated l
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b✝ : ι → ℝ
f : ℝ → E
b : ℝ
hfi : IntegrableOn f (Iic b)
ha : Tendsto a l atBot
φ : ι → Set ℝ := fun i => Ioi (a i)
hφ : AECover (Measure.restrict μ (Iic b)) l φ
i : ι
hai : a i ≤ b
⊢ (∫ (x : ℝ) in φ i ∩ Iic b, f x ∂μ) = ∫ (x : ℝ) in Ioc (a i) b, f x ∂μ
rfl