α : Type u_2
ι : Type u_1
E : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NeBot l
inst✝ : IsCountablyGenerated l
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ l φ
f : α → E
I : ℝ
hfm : AEStronglyMeasurable f μ
htendsto : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α) in φ i, ↑‖f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 (ENNReal.ofReal I))
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, (∫⁻ (x : α) in φ i, ↑‖f x‖₊ ∂μ) ≤ ENNReal.ofReal (max 1 (I + 1))
α : Type u_2
ι : Type u_1
E : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NeBot l
inst✝ : IsCountablyGenerated l
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ l φ
f : α → E
I : ℝ
hfm : AEStronglyMeasurable f μ
htendsto : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α) in φ i, ↑‖f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 (ENNReal.ofReal I))
⊢ Integrable f
refine' hφ.integrable_of_lintegral_nnnorm_bounded (max 1 (I + 1)) hfm _
α : Type u_2
ι : Type u_1
E : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NeBot l
inst✝ : IsCountablyGenerated l
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ l φ
f : α → E
I : ℝ
hfm : AEStronglyMeasurable f μ
htendsto : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α) in φ i, ↑‖f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 (ENNReal.ofReal I))
⊢ ENNReal.ofReal I < ENNReal.ofReal (max 1 (I + 1))
α : Type u_2
ι : Type u_1
E : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NeBot l
inst✝ : IsCountablyGenerated l
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ l φ
f : α → E
I : ℝ
hfm : AEStronglyMeasurable f μ
htendsto : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α) in φ i, ↑‖f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 (ENNReal.ofReal I))
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, (∫⁻ (x : α) in φ i, ↑‖f x‖₊ ∂μ) ≤ ENNReal.ofReal (max 1 (I + 1))
refine' htendsto.eventually (ge_mem_nhds _)
α : Type u_2
ι : Type u_1
E : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NeBot l
inst✝ : IsCountablyGenerated l
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ l φ
f : α → E
I : ℝ
hfm : AEStronglyMeasurable f μ
htendsto : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α) in φ i, ↑‖f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 (ENNReal.ofReal I))
⊢ I < max 1 (I + 1)
α : Type u_2
ι : Type u_1
E : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NeBot l
inst✝ : IsCountablyGenerated l
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ l φ
f : α → E
I : ℝ
hfm : AEStronglyMeasurable f μ
htendsto : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α) in φ i, ↑‖f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 (ENNReal.ofReal I))
⊢ ENNReal.ofReal I < ENNReal.ofReal (max 1 (I + 1))
refine' (ENNReal.ofReal_lt_ofReal_iff (lt_max_of_lt_left zero_lt_one)).2 _
no goals
α : Type u_2
ι : Type u_1
E : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NeBot l
inst✝ : IsCountablyGenerated l
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ l φ
f : α → E
I : ℝ
hfm : AEStronglyMeasurable f μ
htendsto : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α) in φ i, ↑‖f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 (ENNReal.ofReal I))
⊢ I < max 1 (I + 1)
exact lt_max_of_lt_right (lt_add_one I)