a : { x // x ∈ circle }
⊢ ↑(Matrix.planeConformalMatrix (↑a).re (↑a).im (_ : (↑a).re ^ 2 + (↑a).im ^ 2 ≠ 0)) 0 0 *
        ↑(Matrix.planeConformalMatrix (↑a).re (↑a).im (_ : (↑a).re ^ 2 + (↑a).im ^ 2 ≠ 0)) 1 1 -
      ↑(Matrix.planeConformalMatrix (↑a).re (↑a).im (_ : (↑a).re ^ 2 + (↑a).im ^ 2 ≠ 0)) 0 1 *
        ↑(Matrix.planeConformalMatrix (↑a).re (↑a).im (_ : (↑a).re ^ 2 + (↑a).im ^ 2 ≠ 0)) 1 0 =
    1
a : { x // x ∈ circle }
⊢ ↑LinearMap.det ↑(↑rotation a).toLinearEquiv = 1
rw [← LinearMap.det_toMatrix basisOneI, toMatrix_rotation, Matrix.det_fin_two]
no goals
a : { x // x ∈ circle }
⊢ ↑(Matrix.planeConformalMatrix (↑a).re (↑a).im (_ : (↑a).re ^ 2 + (↑a).im ^ 2 ≠ 0)) 0 0 *
        ↑(Matrix.planeConformalMatrix (↑a).re (↑a).im (_ : (↑a).re ^ 2 + (↑a).im ^ 2 ≠ 0)) 1 1 -
      ↑(Matrix.planeConformalMatrix (↑a).re (↑a).im (_ : (↑a).re ^ 2 + (↑a).im ^ 2 ≠ 0)) 0 1 *
        ↑(Matrix.planeConformalMatrix (↑a).re (↑a).im (_ : (↑a).re ^ 2 + (↑a).im ^ 2 ≠ 0)) 1 0 =
    1
simp [← normSq_apply]