α : Type u
β : Type v
X : Type ?u.66642
ι : Type ?u.66645
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
hs : TotallyBounded s
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0
⊢ ∃ t, t ⊆ s ∧ Set.Finite t ∧ s ⊆ ⋃ (y : α) (_ : y ∈ t), ball y ε
α : Type u
β : Type v
X : Type ?u.66642
ι : Type ?u.66645
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
hs : TotallyBounded s
⊢ ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ t, t ⊆ s ∧ Set.Finite t ∧ s ⊆ ⋃ (y : α) (_ : y ∈ t), ball y ε
intro ε ε_pos
α : Type u
β : Type v
X : Type ?u.66642
ι : Type ?u.66645
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
hs : ∀ (d : Set (α × α)), d ∈ 𝓤 α → ∃ t, t ⊆ s ∧ Set.Finite t ∧ s ⊆ ⋃ (y : α) (_ : y ∈ t), {x | (x, y) ∈ d}
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0
⊢ ∃ t, t ⊆ s ∧ Set.Finite t ∧ s ⊆ ⋃ (y : α) (_ : y ∈ t), ball y ε
α : Type u
β : Type v
X : Type ?u.66642
ι : Type ?u.66645
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
hs : TotallyBounded s
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0
⊢ ∃ t, t ⊆ s ∧ Set.Finite t ∧ s ⊆ ⋃ (y : α) (_ : y ∈ t), ball y ε
rw [totallyBounded_iff_subset] at hs
no goals
α : Type u
β : Type v
X : Type ?u.66642
ι : Type ?u.66645
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
hs : ∀ (d : Set (α × α)), d ∈ 𝓤 α → ∃ t, t ⊆ s ∧ Set.Finite t ∧ s ⊆ ⋃ (y : α) (_ : y ∈ t), {x | (x, y) ∈ d}
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0
⊢ ∃ t, t ⊆ s ∧ Set.Finite t ∧ s ⊆ ⋃ (y : α) (_ : y ∈ t), ball y ε
exact hs _ (dist_mem_uniformity ε_pos)