case inl
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type ?u.13611
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type ?u.13693
inst✝ : DecidableEq ι
y z : M
hyz : SameRay R y z
hxy : SameRay R 0 y
hy : y = 0 → 0 = 0 ∨ z = 0
⊢ SameRay R 0 z

case inr
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type ?u.13611
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type ?u.13693
inst✝ : DecidableEq ι
x y z : M
hxy : SameRay R x y
hyz : SameRay R y z
hy : y = 0 → x = 0 ∨ z = 0
hx : x ≠ 0
⊢ SameRay R x z
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type ?u.13611
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type ?u.13693
inst✝ : DecidableEq ι
x y z : M
hxy : SameRay R x y
hyz : SameRay R y z
hy : y = 0 → x = 0 ∨ z = 0
⊢ SameRay R x z
rcases eq_or_ne x 0 with (rfl | hx)
case inr.inl
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type ?u.13611
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type ?u.13693
inst✝ : DecidableEq ι
x y : M
hxy : SameRay R x y
hx : x ≠ 0
hyz : SameRay R y 0
hy : y = 0 → x = 0 ∨ 0 = 0
⊢ SameRay R x 0

case inr.inr
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type ?u.13611
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type ?u.13693
inst✝ : DecidableEq ι
x y z : M
hxy : SameRay R x y
hyz : SameRay R y z
hy : y = 0 → x = 0 ∨ z = 0
hx : x ≠ 0
hz : z ≠ 0
⊢ SameRay R x z
case inr
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type ?u.13611
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type ?u.13693
inst✝ : DecidableEq ι
x y z : M
hxy : SameRay R x y
hyz : SameRay R y z
hy : y = 0 → x = 0 ∨ z = 0
hx : x ≠ 0
⊢ SameRay R x z
rcases eq_or_ne z 0 with (rfl | hz)
case inr.inr.inl
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type ?u.13611
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type ?u.13693
inst✝ : DecidableEq ι
x z : M
hx : x ≠ 0
hz : z ≠ 0
hxy : SameRay R x 0
hyz : SameRay R 0 z
hy : 0 = 0 → x = 0 ∨ z = 0
⊢ SameRay R x z

case inr.inr.inr
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type ?u.13611
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type ?u.13693
inst✝ : DecidableEq ι
x y z : M
hxy : SameRay R x y
hyz : SameRay R y z
hy✝ : y = 0 → x = 0 ∨ z = 0
hx : x ≠ 0
hz : z ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ SameRay R x z
case inr.inr
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type ?u.13611
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type ?u.13693
inst✝ : DecidableEq ι
x y z : M
hxy : SameRay R x y
hyz : SameRay R y z
hy : y = 0 → x = 0 ∨ z = 0
hx : x ≠ 0
hz : z ≠ 0
⊢ SameRay R x z
rcases eq_or_ne y 0 with (rfl | hy)
case inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type ?u.13611
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type ?u.13693
inst✝ : DecidableEq ι
x y z : M
hxy : SameRay R x y
hyz : SameRay R y z
hy✝ : y = 0 → x = 0 ∨ z = 0
hx : x ≠ 0
hz : z ≠ 0
hy : y ≠ 0
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 < r₁
hr₂ : 0 < r₂
h₁ : r₁ • x = r₂ • y
⊢ SameRay R x z
case inr.inr.inr
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type ?u.13611
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type ?u.13693
inst✝ : DecidableEq ι
x y z : M
hxy : SameRay R x y
hyz : SameRay R y z
hy✝ : y = 0 → x = 0 ∨ z = 0
hx : x ≠ 0
hz : z ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ SameRay R x z
rcases hxy.exists_pos hx hy with ⟨r₁, r₂, hr₁, hr₂, h₁⟩
case inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type ?u.13611
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type ?u.13693
inst✝ : DecidableEq ι
x y z : M
hxy : SameRay R x y
hyz : SameRay R y z
hy✝ : y = 0 → x = 0 ∨ z = 0
hx : x ≠ 0
hz : z ≠ 0
hy : y ≠ 0
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 < r₁
hr₂ : 0 < r₂
h₁ : r₁ • x = r₂ • y
r₃ r₄ : R
hr₃ : 0 < r₃
hr₄ : 0 < r₄
h₂ : r₃ • y = r₄ • z
⊢ SameRay R x z
case inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type ?u.13611
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type ?u.13693
inst✝ : DecidableEq ι
x y z : M
hxy : SameRay R x y
hyz : SameRay R y z
hy✝ : y = 0 → x = 0 ∨ z = 0
hx : x ≠ 0
hz : z ≠ 0
hy : y ≠ 0
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 < r₁
hr₂ : 0 < r₂
h₁ : r₁ • x = r₂ • y
⊢ SameRay R x z
rcases hyz.exists_pos hy hz with ⟨r₃, r₄, hr₃, hr₄, h₂⟩
case inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type ?u.13611
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type ?u.13693
inst✝ : DecidableEq ι
x y z : M
hxy : SameRay R x y
hyz : SameRay R y z
hy✝ : y = 0 → x = 0 ∨ z = 0
hx : x ≠ 0
hz : z ≠ 0
hy : y ≠ 0
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 < r₁
hr₂ : 0 < r₂
h₁ : r₁ • x = r₂ • y
r₃ r₄ : R
hr₃ : 0 < r₃
hr₄ : 0 < r₄
h₂ : r₃ • y = r₄ • z
⊢ (r₃ * r₁) • x = (r₂ * r₄) • z
case inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type ?u.13611
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type ?u.13693
inst✝ : DecidableEq ι
x y z : M
hxy : SameRay R x y
hyz : SameRay R y z
hy✝ : y = 0 → x = 0 ∨ z = 0
hx : x ≠ 0
hz : z ≠ 0
hy : y ≠ 0
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 < r₁
hr₂ : 0 < r₂
h₁ : r₁ • x = r₂ • y
r₃ r₄ : R
hr₃ : 0 < r₃
hr₄ : 0 < r₄
h₂ : r₃ • y = r₄ • z
⊢ SameRay R x z
refine' Or.inr (Or.inr <| ⟨r₃ * r₁, r₂ * r₄, mul_pos hr₃ hr₁, mul_pos hr₂ hr₄, _⟩)
no goals
case inr.inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type ?u.13611
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type ?u.13693
inst✝ : DecidableEq ι
x y z : M
hxy : SameRay R x y
hyz : SameRay R y z
hy✝ : y = 0 → x = 0 ∨ z = 0
hx : x ≠ 0
hz : z ≠ 0
hy : y ≠ 0
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 < r₁
hr₂ : 0 < r₂
h₁ : r₁ • x = r₂ • y
r₃ r₄ : R
hr₃ : 0 < r₃
hr₄ : 0 < r₄
h₂ : r₃ • y = r₄ • z
⊢ (r₃ * r₁) • x = (r₂ * r₄) • z
rw [mul_smul, mul_smul, h₁, ← h₂, smul_comm]
no goals
case inl
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type ?u.13611
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type ?u.13693
inst✝ : DecidableEq ι
y z : M
hyz : SameRay R y z
hxy : SameRay R 0 y
hy : y = 0 → 0 = 0 ∨ z = 0
⊢ SameRay R 0 z
exact zero_left z
no goals
case inr.inl
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type ?u.13611
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type ?u.13693
inst✝ : DecidableEq ι
x y : M
hxy : SameRay R x y
hx : x ≠ 0
hyz : SameRay R y 0
hy : y = 0 → x = 0 ∨ 0 = 0
⊢ SameRay R x 0
exact zero_right x
no goals
case inr.inr.inl
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type ?u.13611
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type ?u.13693
inst✝ : DecidableEq ι
x z : M
hx : x ≠ 0
hz : z ≠ 0
hxy : SameRay R x 0
hyz : SameRay R 0 z
hy : 0 = 0 → x = 0 ∨ z = 0
⊢ SameRay R x z
exact (hy rfl).elim (fun h => (hx h).elim) fun h => (hz h).elim