case inl
𝕜 : Type ?u.41739
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b : ℝ
hne : x ≠ y
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hx : x ∈ closedBall z 0
hy : y ∈ closedBall z 0
⊢ a • x + b • y ∈ ball z 0

case inr
𝕜 : Type ?u.41739
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
hx : x ∈ closedBall z r
hy : y ∈ closedBall z r
hne : x ≠ y
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hr : r ≠ 0
⊢ a • x + b • y ∈ ball z r
𝕜 : Type ?u.41739
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
hx : x ∈ closedBall z r
hy : y ∈ closedBall z r
hne : x ≠ y
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ ball z r
rcases eq_or_ne r 0 with (rfl | hr)
case inl
𝕜 : Type ?u.41739
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b : ℝ
hne : x ≠ y
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hx : x = z
hy : y = z
⊢ a • x + b • y ∈ ball z 0
case inl
𝕜 : Type ?u.41739
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b : ℝ
hne : x ≠ y
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hx : x ∈ closedBall z 0
hy : y ∈ closedBall z 0
⊢ a • x + b • y ∈ ball z 0
rw [closedBall_zero, mem_singleton_iff] at hx hy
no goals
case inl
𝕜 : Type ?u.41739
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b : ℝ
hne : x ≠ y
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hx : x = z
hy : y = z
⊢ a • x + b • y ∈ ball z 0
exact (hne (hx.trans hy.symm)).elim
case inr
𝕜 : Type ?u.41739
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
hx : x ∈ closedBall z r
hy : y ∈ closedBall z r
hne : x ≠ y
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hr : r ≠ 0
⊢ a • x + b • y ∈ interior (closedBall z r)
case inr
𝕜 : Type ?u.41739
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
hx : x ∈ closedBall z r
hy : y ∈ closedBall z r
hne : x ≠ y
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hr : r ≠ 0
⊢ a • x + b • y ∈ ball z r
simp only [← interior_closedBall _ hr] at hx hy⊢
no goals
case inr
𝕜 : Type ?u.41739
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
hx : x ∈ closedBall z r
hy : y ∈ closedBall z r
hne : x ≠ y
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hr : r ≠ 0
⊢ a • x + b • y ∈ interior (closedBall z r)
exact strictConvex_closedBall ℝ z r hx hy hne ha hb hab