case intro
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
⊢ AnalyticSet (⋂ (n : ι), s n)
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
hι : Nonempty ι
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
⊢ AnalyticSet (⋂ (n : ι), s n)
rcases hι with ⟨i₀⟩
case intro
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
⊢ AnalyticSet (⋂ (n : ι), s n)
case intro
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
⊢ AnalyticSet (⋂ (n : ι), s n)
choose β hβ h'β f f_cont f_range using fun n =>
  analyticSet_iff_exists_polishSpace_range.1 (hs n)
case intro
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
⊢ AnalyticSet (⋂ (n : ι), s n)
case intro
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
⊢ AnalyticSet (⋂ (n : ι), s n)
skip
case intro
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_1 := (n : ι) → β n
⊢ AnalyticSet (⋂ (n : ι), s n)
case intro
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
⊢ AnalyticSet (⋂ (n : ι), s n)
let γ := ∀ n, β n
case intro
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_1 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ (n : ι), {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
⊢ AnalyticSet (⋂ (n : ι), s n)
case intro
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_1 := (n : ι) → β n
⊢ AnalyticSet (⋂ (n : ι), s n)
let t : Set γ := ⋂ n, { x | f n (x n) = f i₀ (x i₀) }
case intro
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_1 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ (n : ι), {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
t_closed : IsClosed t
⊢ AnalyticSet (⋂ (n : ι), s n)
case intro
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_1 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ (n : ι), {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
⊢ AnalyticSet (⋂ (n : ι), s n)
have t_closed : IsClosed t := by
  apply isClosed_iInter
  intro n
  exact
    isClosed_eq ((f_cont n).comp (continuous_apply n)) ((f_cont i₀).comp (continuous_apply i₀))
case intro
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_1 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ (n : ι), {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
t_closed : IsClosed t
this : PolishSpace ↑t
⊢ AnalyticSet (⋂ (n : ι), s n)
case intro
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_1 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ (n : ι), {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
t_closed : IsClosed t
⊢ AnalyticSet (⋂ (n : ι), s n)
haveI : PolishSpace t := t_closed.polishSpace
case intro
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_1 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ (n : ι), {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
t_closed : IsClosed t
this : PolishSpace ↑t
F : ↑t → α := fun x => f i₀ (↑x i₀)
⊢ AnalyticSet (⋂ (n : ι), s n)
case intro
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_1 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ (n : ι), {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
t_closed : IsClosed t
this : PolishSpace ↑t
⊢ AnalyticSet (⋂ (n : ι), s n)
let F : t → α := fun x => f i₀ ((x : γ) i₀)
case intro
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_1 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ (n : ι), {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
t_closed : IsClosed t
this : PolishSpace ↑t
F : ↑t → α := fun x => f i₀ (↑x i₀)
F_cont : Continuous F
⊢ AnalyticSet (⋂ (n : ι), s n)
case intro
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_1 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ (n : ι), {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
t_closed : IsClosed t
this : PolishSpace ↑t
F : ↑t → α := fun x => f i₀ (↑x i₀)
⊢ AnalyticSet (⋂ (n : ι), s n)
have F_cont : Continuous F := (f_cont i₀).comp ((continuous_apply i₀).comp continuous_subtype_val)
case intro
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_1 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ (n : ι), {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
t_closed : IsClosed t
this : PolishSpace ↑t
F : ↑t → α := fun x => f i₀ (↑x i₀)
F_cont : Continuous F
F_range : range F = ⋂ (n : ι), s n
⊢ AnalyticSet (range F)
case intro
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_1 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ (n : ι), {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
t_closed : IsClosed t
this : PolishSpace ↑t
F : ↑t → α := fun x => f i₀ (↑x i₀)
F_cont : Continuous F
F_range : range F = ⋂ (n : ι), s n
⊢ AnalyticSet (⋂ (n : ι), s n)
rw [← F_range]
no goals
case intro
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_1 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ (n : ι), {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
t_closed : IsClosed t
this : PolishSpace ↑t
F : ↑t → α := fun x => f i₀ (↑x i₀)
F_cont : Continuous F
F_range : range F = ⋂ (n : ι), s n
⊢ AnalyticSet (range F)
exact analyticSet_range_of_polishSpace F_cont
case h
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_1 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ (n : ι), {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
⊢ ∀ (i : ι), IsClosed {x | f i (x i) = f i₀ (x i₀)}
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_1 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ (n : ι), {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
⊢ IsClosed t
apply isClosed_iInter
case h
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_1 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ (n : ι), {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
n : ι
⊢ IsClosed {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
case h
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_1 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ (n : ι), {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
⊢ ∀ (i : ι), IsClosed {x | f i (x i) = f i₀ (x i₀)}
intro n
no goals
case h
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_1 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ (n : ι), {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
n : ι
⊢ IsClosed {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
exact
  isClosed_eq ((f_cont n).comp (continuous_apply n)) ((f_cont i₀).comp (continuous_apply i₀))
case h₁
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_1 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ (n : ι), {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
t_closed : IsClosed t
this : PolishSpace ↑t
F : ↑t → α := fun x => f i₀ (↑x i₀)
F_cont : Continuous F
⊢ range F ⊆ ⋂ (n : ι), s n

case h₂
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_1 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ (n : ι), {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
t_closed : IsClosed t
this : PolishSpace ↑t
F : ↑t → α := fun x => f i₀ (↑x i₀)
F_cont : Continuous F
⊢ (⋂ (n : ι), s n) ⊆ range F
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_1 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ (n : ι), {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
t_closed : IsClosed t
this : PolishSpace ↑t
F : ↑t → α := fun x => f i₀ (↑x i₀)
F_cont : Continuous F
⊢ range F = ⋂ (n : ι), s n
apply Subset.antisymm
case h₁.intro
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_1 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ (n : ι), {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
t_closed : IsClosed t
this : PolishSpace ↑t
F : ↑t → α := fun x => f i₀ (↑x i₀)
F_cont : Continuous F
x : ↑t
⊢ F x ∈ ⋂ (n : ι), s n
case h₁
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_1 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ (n : ι), {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
t_closed : IsClosed t
this : PolishSpace ↑t
F : ↑t → α := fun x => f i₀ (↑x i₀)
F_cont : Continuous F
⊢ range F ⊆ ⋂ (n : ι), s n
rintro y ⟨x, rfl⟩
case h₁.intro
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_1 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ (n : ι), {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
t_closed : IsClosed t
this : PolishSpace ↑t
F : ↑t → α := fun x => f i₀ (↑x i₀)
F_cont : Continuous F
x : ↑t
n : ι
⊢ F x ∈ s n
case h₁.intro
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_1 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ (n : ι), {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
t_closed : IsClosed t
this : PolishSpace ↑t
F : ↑t → α := fun x => f i₀ (↑x i₀)
F_cont : Continuous F
x : ↑t
⊢ F x ∈ ⋂ (n : ι), s n
refine mem_iInter.2 fun n => ?_
case h₁.intro
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_1 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ (n : ι), {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
t_closed : IsClosed t
this✝ : PolishSpace ↑t
F : ↑t → α := fun x => f i₀ (↑x i₀)
F_cont : Continuous F
x : ↑t
n : ι
this : f n (↑x n) = F x
⊢ F x ∈ s n
case h₁.intro
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_1 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ (n : ι), {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
t_closed : IsClosed t
this : PolishSpace ↑t
F : ↑t → α := fun x => f i₀ (↑x i₀)
F_cont : Continuous F
x : ↑t
n : ι
⊢ F x ∈ s n
have : f n ((x : γ) n) = F x := (mem_iInter.1 x.2 n : _)
case h₁.intro
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_1 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ (n : ι), {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
t_closed : IsClosed t
this✝ : PolishSpace ↑t
F : ↑t → α := fun x => f i₀ (↑x i₀)
F_cont : Continuous F
x : ↑t
n : ι
this : f n (↑x n) = F x
⊢ f n (↑x n) ∈ range (f n)
case h₁.intro
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_1 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ (n : ι), {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
t_closed : IsClosed t
this✝ : PolishSpace ↑t
F : ↑t → α := fun x => f i₀ (↑x i₀)
F_cont : Continuous F
x : ↑t
n : ι
this : f n (↑x n) = F x
⊢ F x ∈ s n
rw [← this, ← f_range n]
no goals
case h₁.intro
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_1 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ (n : ι), {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
t_closed : IsClosed t
this✝ : PolishSpace ↑t
F : ↑t → α := fun x => f i₀ (↑x i₀)
F_cont : Continuous F
x : ↑t
n : ι
this : f n (↑x n) = F x
⊢ f n (↑x n) ∈ range (f n)
exact mem_range_self _
case h₂
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_1 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ (n : ι), {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
t_closed : IsClosed t
this : PolishSpace ↑t
F : ↑t → α := fun x => f i₀ (↑x i₀)
F_cont : Continuous F
y : α
hy : y ∈ ⋂ (n : ι), s n
⊢ y ∈ range F
case h₂
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_1 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ (n : ι), {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
t_closed : IsClosed t
this : PolishSpace ↑t
F : ↑t → α := fun x => f i₀ (↑x i₀)
F_cont : Continuous F
⊢ (⋂ (n : ι), s n) ⊆ range F
intro y hy
case h₂
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_1 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ (n : ι), {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
t_closed : IsClosed t
this : PolishSpace ↑t
F : ↑t → α := fun x => f i₀ (↑x i₀)
F_cont : Continuous F
y : α
hy : y ∈ ⋂ (n : ι), s n
A : ∀ (n : ι), ∃ x, f n x = y
⊢ y ∈ range F
case h₂
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_1 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ (n : ι), {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
t_closed : IsClosed t
this : PolishSpace ↑t
F : ↑t → α := fun x => f i₀ (↑x i₀)
F_cont : Continuous F
y : α
hy : y ∈ ⋂ (n : ι), s n
⊢ y ∈ range F
have A : ∀ n, ∃ x : β n, f n x = y := by
  intro n
  rw [← mem_range, f_range n]
  exact mem_iInter.1 hy n
case h₂
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_1 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ (n : ι), {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
t_closed : IsClosed t
this : PolishSpace ↑t
F : ↑t → α := fun x => f i₀ (↑x i₀)
F_cont : Continuous F
y : α
hy : y ∈ ⋂ (n : ι), s n
x : (n : ι) → β n
hx : ∀ (n : ι), f n (x n) = y
⊢ y ∈ range F
case h₂
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_1 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ (n : ι), {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
t_closed : IsClosed t
this : PolishSpace ↑t
F : ↑t → α := fun x => f i₀ (↑x i₀)
F_cont : Continuous F
y : α
hy : y ∈ ⋂ (n : ι), s n
A : ∀ (n : ι), ∃ x, f n x = y
⊢ y ∈ range F
choose x hx using A
case h₂
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_1 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ (n : ι), {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
t_closed : IsClosed t
this : PolishSpace ↑t
F : ↑t → α := fun x => f i₀ (↑x i₀)
F_cont : Continuous F
y : α
hy : y ∈ ⋂ (n : ι), s n
x : (n : ι) → β n
hx : ∀ (n : ι), f n (x n) = y
xt : x ∈ t
⊢ y ∈ range F
case h₂
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_1 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ (n : ι), {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
t_closed : IsClosed t
this : PolishSpace ↑t
F : ↑t → α := fun x => f i₀ (↑x i₀)
F_cont : Continuous F
y : α
hy : y ∈ ⋂ (n : ι), s n
x : (n : ι) → β n
hx : ∀ (n : ι), f n (x n) = y
⊢ y ∈ range F
have xt : x ∈ t := by
  refine mem_iInter.2 fun n => ?_
  simp [hx]
case h₂
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_1 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ (n : ι), {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
t_closed : IsClosed t
this : PolishSpace ↑t
F : ↑t → α := fun x => f i₀ (↑x i₀)
F_cont : Continuous F
y : α
hy : y ∈ ⋂ (n : ι), s n
x : (n : ι) → β n
hx : ∀ (n : ι), f n (x n) = y
xt : x ∈ t
⊢ F { val := x, property := xt } = y
case h₂
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_1 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ (n : ι), {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
t_closed : IsClosed t
this : PolishSpace ↑t
F : ↑t → α := fun x => f i₀ (↑x i₀)
F_cont : Continuous F
y : α
hy : y ∈ ⋂ (n : ι), s n
x : (n : ι) → β n
hx : ∀ (n : ι), f n (x n) = y
xt : x ∈ t
⊢ y ∈ range F
refine' ⟨⟨x, xt⟩, _⟩
no goals
case h₂
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_1 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ (n : ι), {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
t_closed : IsClosed t
this : PolishSpace ↑t
F : ↑t → α := fun x => f i₀ (↑x i₀)
F_cont : Continuous F
y : α
hy : y ∈ ⋂ (n : ι), s n
x : (n : ι) → β n
hx : ∀ (n : ι), f n (x n) = y
xt : x ∈ t
⊢ F { val := x, property := xt } = y
exact hx i₀
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_1 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ (n : ι), {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
t_closed : IsClosed t
this : PolishSpace ↑t
F : ↑t → α := fun x => f i₀ (↑x i₀)
F_cont : Continuous F
y : α
hy : y ∈ ⋂ (n : ι), s n
n : ι
⊢ ∃ x, f n x = y
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_1 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ (n : ι), {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
t_closed : IsClosed t
this : PolishSpace ↑t
F : ↑t → α := fun x => f i₀ (↑x i₀)
F_cont : Continuous F
y : α
hy : y ∈ ⋂ (n : ι), s n
⊢ ∀ (n : ι), ∃ x, f n x = y
intro n
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_1 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ (n : ι), {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
t_closed : IsClosed t
this : PolishSpace ↑t
F : ↑t → α := fun x => f i₀ (↑x i₀)
F_cont : Continuous F
y : α
hy : y ∈ ⋂ (n : ι), s n
n : ι
⊢ y ∈ s n
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_1 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ (n : ι), {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
t_closed : IsClosed t
this : PolishSpace ↑t
F : ↑t → α := fun x => f i₀ (↑x i₀)
F_cont : Continuous F
y : α
hy : y ∈ ⋂ (n : ι), s n
n : ι
⊢ ∃ x, f n x = y
rw [← mem_range, f_range n]
no goals
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_1 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ (n : ι), {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
t_closed : IsClosed t
this : PolishSpace ↑t
F : ↑t → α := fun x => f i₀ (↑x i₀)
F_cont : Continuous F
y : α
hy : y ∈ ⋂ (n : ι), s n
n : ι
⊢ y ∈ s n
exact mem_iInter.1 hy n
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_1 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ (n : ι), {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
t_closed : IsClosed t
this : PolishSpace ↑t
F : ↑t → α := fun x => f i₀ (↑x i₀)
F_cont : Continuous F
y : α
hy : y ∈ ⋂ (n : ι), s n
x : (n : ι) → β n
hx : ∀ (n : ι), f n (x n) = y
n : ι
⊢ x ∈ {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_1 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ (n : ι), {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
t_closed : IsClosed t
this : PolishSpace ↑t
F : ↑t → α := fun x => f i₀ (↑x i₀)
F_cont : Continuous F
y : α
hy : y ∈ ⋂ (n : ι), s n
x : (n : ι) → β n
hx : ∀ (n : ι), f n (x n) = y
⊢ x ∈ t
refine mem_iInter.2 fun n => ?_
no goals
α : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : T2Space α
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
i₀ : ι
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_1 := (n : ι) → β n
t : Set γ := ⋂ (n : ι), {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
t_closed : IsClosed t
this : PolishSpace ↑t
F : ↑t → α := fun x => f i₀ (↑x i₀)
F_cont : Continuous F
y : α
hy : y ∈ ⋂ (n : ι), s n
x : (n : ι) → β n
hx : ∀ (n : ι), f n (x n) = y
n : ι
⊢ x ∈ {x | f n (x n) = f i₀ (x i₀)}
simp [hx]