case hz
α : Type ?u.149471
M : Type u
N : Type v
G : Type w
H : Type x
A : Type y
B : Type z
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝ : Group G
g : G
P : G → Prop
h_one : P 1
h_mul : ∀ (a : G), P a → P (g * a)
h_inv : ∀ (a : G), P a → P (g⁻¹ * a)
⊢ P (g ^ 0)

case hp
α : Type ?u.149471
M : Type u
N : Type v
G : Type w
H : Type x
A : Type y
B : Type z
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝ : Group G
g : G
P : G → Prop
h_one : P 1
h_mul : ∀ (a : G), P a → P (g * a)
h_inv : ∀ (a : G), P a → P (g⁻¹ * a)
n : ℕ
ih : P (g ^ ↑n)
⊢ P (g ^ (↑n + 1))

case hn
α : Type ?u.149471
M : Type u
N : Type v
G : Type w
H : Type x
A : Type y
B : Type z
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝ : Group G
g : G
P : G → Prop
h_one : P 1
h_mul : ∀ (a : G), P a → P (g * a)
h_inv : ∀ (a : G), P a → P (g⁻¹ * a)
n : ℕ
ih : P (g ^ (-↑n))
⊢ P (g ^ (-↑n - 1))
α : Type ?u.149471
M : Type u
N : Type v
G : Type w
H : Type x
A : Type y
B : Type z
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝ : Group G
g : G
P : G → Prop
h_one : P 1
h_mul : ∀ (a : G), P a → P (g * a)
h_inv : ∀ (a : G), P a → P (g⁻¹ * a)
n : ℤ
⊢ P (g ^ n)
induction' n using Int.induction_on with n ih n ih
no goals
case hz
α : Type ?u.149471
M : Type u
N : Type v
G : Type w
H : Type x
A : Type y
B : Type z
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝ : Group G
g : G
P : G → Prop
h_one : P 1
h_mul : ∀ (a : G), P a → P (g * a)
h_inv : ∀ (a : G), P a → P (g⁻¹ * a)
⊢ P (g ^ 0)
rwa [zpow_zero]
case hp
α : Type ?u.149471
M : Type u
N : Type v
G : Type w
H : Type x
A : Type y
B : Type z
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝ : Group G
g : G
P : G → Prop
h_one : P 1
h_mul : ∀ (a : G), P a → P (g * a)
h_inv : ∀ (a : G), P a → P (g⁻¹ * a)
n : ℕ
ih : P (g ^ ↑n)
⊢ P (g * g ^ ↑n)
case hp
α : Type ?u.149471
M : Type u
N : Type v
G : Type w
H : Type x
A : Type y
B : Type z
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝ : Group G
g : G
P : G → Prop
h_one : P 1
h_mul : ∀ (a : G), P a → P (g * a)
h_inv : ∀ (a : G), P a → P (g⁻¹ * a)
n : ℕ
ih : P (g ^ ↑n)
⊢ P (g ^ (↑n + 1))
rw [add_comm, zpow_add, zpow_one]
no goals
case hp
α : Type ?u.149471
M : Type u
N : Type v
G : Type w
H : Type x
A : Type y
B : Type z
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝ : Group G
g : G
P : G → Prop
h_one : P 1
h_mul : ∀ (a : G), P a → P (g * a)
h_inv : ∀ (a : G), P a → P (g⁻¹ * a)
n : ℕ
ih : P (g ^ ↑n)
⊢ P (g * g ^ ↑n)
exact h_mul _ ih
case hn
α : Type ?u.149471
M : Type u
N : Type v
G : Type w
H : Type x
A : Type y
B : Type z
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝ : Group G
g : G
P : G → Prop
h_one : P 1
h_mul : ∀ (a : G), P a → P (g * a)
h_inv : ∀ (a : G), P a → P (g⁻¹ * a)
n : ℕ
ih : P (g ^ (-↑n))
⊢ P (g⁻¹ * g ^ (-↑n))
case hn
α : Type ?u.149471
M : Type u
N : Type v
G : Type w
H : Type x
A : Type y
B : Type z
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝ : Group G
g : G
P : G → Prop
h_one : P 1
h_mul : ∀ (a : G), P a → P (g * a)
h_inv : ∀ (a : G), P a → P (g⁻¹ * a)
n : ℕ
ih : P (g ^ (-↑n))
⊢ P (g ^ (-↑n - 1))
rw [sub_eq_add_neg, add_comm, zpow_add, zpow_neg_one]
no goals
case hn
α : Type ?u.149471
M : Type u
N : Type v
G : Type w
H : Type x
A : Type y
B : Type z
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝ : Group G
g : G
P : G → Prop
h_one : P 1
h_mul : ∀ (a : G), P a → P (g * a)
h_inv : ∀ (a : G), P a → P (g⁻¹ * a)
n : ℕ
ih : P (g ^ (-↑n))
⊢ P (g⁻¹ * g ^ (-↑n))
exact h_inv _ ih