case pos
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
dec_irr : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
dec : DecidableEq α
dec' : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : Nontrivial α
a b c : Associates α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hk0 : k = 0
⊢ ∃ d, a = d ^ k

case neg
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
dec_irr : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
dec : DecidableEq α
dec' : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : Nontrivial α
a b c : Associates α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hk0 : ¬k = 0
⊢ ∃ d, a = d ^ k
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
dec_irr : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
dec : DecidableEq α
dec' : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : Nontrivial α
a b c : Associates α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
⊢ ∃ d, a = d ^ k
by_cases hk0 : k = 0
case pos
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
dec_irr : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
dec : DecidableEq α
dec' : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : Nontrivial α
a b c : Associates α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hk0 : k = 0
⊢ a = 1 ^ k
case pos
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
dec_irr : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
dec : DecidableEq α
dec' : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : Nontrivial α
a b c : Associates α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hk0 : k = 0
⊢ ∃ d, a = d ^ k
use 1
case pos
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
dec_irr : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
dec : DecidableEq α
dec' : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : Nontrivial α
a b c : Associates α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d
k : ℕ
h : a * b = 1
hk0 : k = 0
⊢ a = 1
case pos
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
dec_irr : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
dec : DecidableEq α
dec' : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : Nontrivial α
a b c : Associates α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hk0 : k = 0
⊢ a = 1 ^ k
rw [hk0, pow_zero] at h⊢
no goals
case pos
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
dec_irr : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
dec : DecidableEq α
dec' : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : Nontrivial α
a b c : Associates α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d
k : ℕ
h : a * b = 1
hk0 : k = 0
⊢ a = 1
apply (mul_eq_one_iff.1 h).1
case neg
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
dec_irr : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
dec : DecidableEq α
dec' : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : Nontrivial α
a b c : Associates α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hk0 : ¬k = 0
⊢ ∀ (p : Associates α), Irreducible p → k ∣ count p (factors a)
case neg
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
dec_irr : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
dec : DecidableEq α
dec' : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : Nontrivial α
a b c : Associates α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hk0 : ¬k = 0
⊢ ∃ d, a = d ^ k
refine' is_pow_of_dvd_count ha _
case neg
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
dec_irr : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
dec : DecidableEq α
dec' : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : Nontrivial α
a b c : Associates α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hk0 : ¬k = 0
p : Associates α
hp : Irreducible p
⊢ k ∣ count p (factors a)
case neg
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
dec_irr : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
dec : DecidableEq α
dec' : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : Nontrivial α
a b c : Associates α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hk0 : ¬k = 0
⊢ ∀ (p : Associates α), Irreducible p → k ∣ count p (factors a)
intro p hp
case neg
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
dec_irr : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
dec : DecidableEq α
dec' : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : Nontrivial α
a b c : Associates α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hk0 : ¬k = 0
p : Associates α
hp : Irreducible p
⊢ k ∣ count p (factors (a * b))
case neg
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
dec_irr : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
dec : DecidableEq α
dec' : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : Nontrivial α
a b c : Associates α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hk0 : ¬k = 0
p : Associates α
hp : Irreducible p
⊢ k ∣ count p (factors a)
apply dvd_count_of_dvd_count_mul hb hp hab
case neg
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
dec_irr : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
dec : DecidableEq α
dec' : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : Nontrivial α
a b c : Associates α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hk0 : ¬k = 0
p : Associates α
hp : Irreducible p
⊢ k ∣ count p (factors (c ^ k))
case neg
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
dec_irr : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
dec : DecidableEq α
dec' : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : Nontrivial α
a b c : Associates α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hk0 : ¬k = 0
p : Associates α
hp : Irreducible p
⊢ k ∣ count p (factors (a * b))
rw [h]
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
dec_irr : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
dec : DecidableEq α
dec' : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : Nontrivial α
a b c : Associates α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hk0 : ¬k = 0
p : Associates α
hp : Irreducible p
⊢ c ≠ 0
case neg
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
dec_irr : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
dec : DecidableEq α
dec' : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : Nontrivial α
a b c : Associates α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hk0 : ¬k = 0
p : Associates α
hp : Irreducible p
⊢ k ∣ count p (factors (c ^ k))
apply dvd_count_pow _ hp
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
dec_irr : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
dec : DecidableEq α
dec' : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : Nontrivial α
a b : Associates α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d
k : ℕ
hk0 : ¬k = 0
p : Associates α
hp : Irreducible p
h : a * b = 0 ^ k
⊢ False
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
dec_irr : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
dec : DecidableEq α
dec' : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : Nontrivial α
a b c : Associates α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hk0 : ¬k = 0
p : Associates α
hp : Irreducible p
⊢ c ≠ 0
rintro rfl
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
dec_irr : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
dec : DecidableEq α
dec' : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : Nontrivial α
a b : Associates α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d
k : ℕ
hk0 : ¬k = 0
p : Associates α
hp : Irreducible p
h : a * b = 0
⊢ False
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
dec_irr : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
dec : DecidableEq α
dec' : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : Nontrivial α
a b : Associates α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d
k : ℕ
hk0 : ¬k = 0
p : Associates α
hp : Irreducible p
h : a * b = 0 ^ k
⊢ False
rw [zero_pow' _ hk0] at h
no goals
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
dec_irr : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
dec : DecidableEq α
dec' : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : Nontrivial α
a b : Associates α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d
k : ℕ
hk0 : ¬k = 0
p : Associates α
hp : Irreducible p
h : a * b = 0
⊢ False
cases mul_eq_zero.mp h <;> contradiction