𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
⊢ ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) w = 0
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
⊢ (‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖) → ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) w = 0
intro h
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
⊢ ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) w = 0
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
⊢ ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) w = 0
have h : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0 := by
  rwa [norm_eq_iInf_iff_real_inner_le_zero] at h
  exacts [K.convex, hv]
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
⊢ inner (u - v) w = 0
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
⊢ ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) w = 0
intro w hw
case le
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
⊢ inner (u - v) w ≤ 0

𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : inner (u - v) w ≤ 0
⊢ inner (u - v) w = 0
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
⊢ inner (u - v) w = 0
have le : ⟪u - v, w⟫_ℝ ≤ 0
case le
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
w' : F := w + v
⊢ inner (u - v) w ≤ 0

𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : inner (u - v) w ≤ 0
⊢ inner (u - v) w = 0
case le
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
⊢ inner (u - v) w ≤ 0

𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : inner (u - v) w ≤ 0
⊢ inner (u - v) w = 0
let w' := w + v
case le
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
w' : F := w + v
this : w' ∈ K
⊢ inner (u - v) w ≤ 0

𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : inner (u - v) w ≤ 0
⊢ inner (u - v) w = 0
case le
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
w' : F := w + v
⊢ inner (u - v) w ≤ 0

𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : inner (u - v) w ≤ 0
⊢ inner (u - v) w = 0
have : w' ∈ K := Submodule.add_mem _ hw hv
case le
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
w' : F := w + v
this : w' ∈ K
h₁ : inner (u - v) (w' - v) ≤ 0
⊢ inner (u - v) w ≤ 0

𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : inner (u - v) w ≤ 0
⊢ inner (u - v) w = 0
case le
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
w' : F := w + v
this : w' ∈ K
⊢ inner (u - v) w ≤ 0

𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : inner (u - v) w ≤ 0
⊢ inner (u - v) w = 0
have h₁ := h w' this
case h₂
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
w' : F := w + v
this : w' ∈ K
h₁ : inner (u - v) (w' - v) ≤ 0
⊢ w' - v = w

case le
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
w' : F := w + v
this : w' ∈ K
h₁ : inner (u - v) (w' - v) ≤ 0
h₂ : w' - v = w
⊢ inner (u - v) w ≤ 0

𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : inner (u - v) w ≤ 0
⊢ inner (u - v) w = 0
case le
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
w' : F := w + v
this : w' ∈ K
h₁ : inner (u - v) (w' - v) ≤ 0
⊢ inner (u - v) w ≤ 0

𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : inner (u - v) w ≤ 0
⊢ inner (u - v) w = 0
have h₂ : w' - v = w
case le
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
w' : F := w + v
this : w' ∈ K
h₁ : inner (u - v) (w' - v) ≤ 0
h₂ : w' - v = w
⊢ inner (u - v) w ≤ 0

𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : inner (u - v) w ≤ 0
⊢ inner (u - v) w = 0
case h₂
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
w' : F := w + v
this : w' ∈ K
h₁ : inner (u - v) (w' - v) ≤ 0
⊢ w' - v = w

case le
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
w' : F := w + v
this : w' ∈ K
h₁ : inner (u - v) (w' - v) ≤ 0
h₂ : w' - v = w
⊢ inner (u - v) w ≤ 0

𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : inner (u - v) w ≤ 0
⊢ inner (u - v) w = 0
simp only [add_neg_cancel_right, sub_eq_add_neg]
case le
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
w' : F := w + v
this : w' ∈ K
h₁ : inner (u - v) w ≤ 0
h₂ : w' - v = w
⊢ inner (u - v) w ≤ 0

𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : inner (u - v) w ≤ 0
⊢ inner (u - v) w = 0
case le
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
w' : F := w + v
this : w' ∈ K
h₁ : inner (u - v) (w' - v) ≤ 0
h₂ : w' - v = w
⊢ inner (u - v) w ≤ 0

𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : inner (u - v) w ≤ 0
⊢ inner (u - v) w = 0
rw [h₂] at h₁
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : inner (u - v) w ≤ 0
⊢ inner (u - v) w = 0
case le
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
w' : F := w + v
this : w' ∈ K
h₁ : inner (u - v) w ≤ 0
h₂ : w' - v = w
⊢ inner (u - v) w ≤ 0

𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : inner (u - v) w ≤ 0
⊢ inner (u - v) w = 0
exact h₁
case ge
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : inner (u - v) w ≤ 0
⊢ inner (u - v) w ≥ 0

𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : inner (u - v) w ≤ 0
ge : inner (u - v) w ≥ 0
⊢ inner (u - v) w = 0
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : inner (u - v) w ≤ 0
⊢ inner (u - v) w = 0
have ge : ⟪u - v, w⟫_ℝ ≥ 0
case ge
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : inner (u - v) w ≤ 0
w'' : F := -w + v
⊢ inner (u - v) w ≥ 0

𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : inner (u - v) w ≤ 0
ge : inner (u - v) w ≥ 0
⊢ inner (u - v) w = 0
case ge
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : inner (u - v) w ≤ 0
⊢ inner (u - v) w ≥ 0

𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : inner (u - v) w ≤ 0
ge : inner (u - v) w ≥ 0
⊢ inner (u - v) w = 0
let w'' := -w + v
case ge
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : inner (u - v) w ≤ 0
w'' : F := -w + v
this : w'' ∈ K
⊢ inner (u - v) w ≥ 0

𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : inner (u - v) w ≤ 0
ge : inner (u - v) w ≥ 0
⊢ inner (u - v) w = 0
case ge
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : inner (u - v) w ≤ 0
w'' : F := -w + v
⊢ inner (u - v) w ≥ 0

𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : inner (u - v) w ≤ 0
ge : inner (u - v) w ≥ 0
⊢ inner (u - v) w = 0
have : w'' ∈ K := Submodule.add_mem _ (Submodule.neg_mem _ hw) hv
case ge
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : inner (u - v) w ≤ 0
w'' : F := -w + v
this : w'' ∈ K
h₁ : inner (u - v) (w'' - v) ≤ 0
⊢ inner (u - v) w ≥ 0

𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : inner (u - v) w ≤ 0
ge : inner (u - v) w ≥ 0
⊢ inner (u - v) w = 0
case ge
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : inner (u - v) w ≤ 0
w'' : F := -w + v
this : w'' ∈ K
⊢ inner (u - v) w ≥ 0

𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : inner (u - v) w ≤ 0
ge : inner (u - v) w ≥ 0
⊢ inner (u - v) w = 0
have h₁ := h w'' this
case h₂
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : inner (u - v) w ≤ 0
w'' : F := -w + v
this : w'' ∈ K
h₁ : inner (u - v) (w'' - v) ≤ 0
⊢ w'' - v = -w

case ge
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : inner (u - v) w ≤ 0
w'' : F := -w + v
this : w'' ∈ K
h₁ : inner (u - v) (w'' - v) ≤ 0
h₂ : w'' - v = -w
⊢ inner (u - v) w ≥ 0

𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : inner (u - v) w ≤ 0
ge : inner (u - v) w ≥ 0
⊢ inner (u - v) w = 0
case ge
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : inner (u - v) w ≤ 0
w'' : F := -w + v
this : w'' ∈ K
h₁ : inner (u - v) (w'' - v) ≤ 0
⊢ inner (u - v) w ≥ 0

𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : inner (u - v) w ≤ 0
ge : inner (u - v) w ≥ 0
⊢ inner (u - v) w = 0
have h₂ : w'' - v = -w
case ge
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : inner (u - v) w ≤ 0
w'' : F := -w + v
this : w'' ∈ K
h₁ : inner (u - v) (w'' - v) ≤ 0
h₂ : w'' - v = -w
⊢ inner (u - v) w ≥ 0

𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : inner (u - v) w ≤ 0
ge : inner (u - v) w ≥ 0
⊢ inner (u - v) w = 0
case h₂
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : inner (u - v) w ≤ 0
w'' : F := -w + v
this : w'' ∈ K
h₁ : inner (u - v) (w'' - v) ≤ 0
⊢ w'' - v = -w

case ge
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : inner (u - v) w ≤ 0
w'' : F := -w + v
this : w'' ∈ K
h₁ : inner (u - v) (w'' - v) ≤ 0
h₂ : w'' - v = -w
⊢ inner (u - v) w ≥ 0

𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : inner (u - v) w ≤ 0
ge : inner (u - v) w ≥ 0
⊢ inner (u - v) w = 0
simp only [neg_inj, add_neg_cancel_right, sub_eq_add_neg]
case ge
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : inner (u - v) w ≤ 0
w'' : F := -w + v
this : w'' ∈ K
h₁ : -inner (u - v) w ≤ 0
h₂ : w'' - v = -w
⊢ inner (u - v) w ≥ 0

𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : inner (u - v) w ≤ 0
ge : inner (u - v) w ≥ 0
⊢ inner (u - v) w = 0
case ge
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : inner (u - v) w ≤ 0
w'' : F := -w + v
this : w'' ∈ K
h₁ : inner (u - v) (w'' - v) ≤ 0
h₂ : w'' - v = -w
⊢ inner (u - v) w ≥ 0

𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : inner (u - v) w ≤ 0
ge : inner (u - v) w ≥ 0
⊢ inner (u - v) w = 0
rw [h₂, inner_neg_right] at h₁
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : inner (u - v) w ≤ 0
ge : inner (u - v) w ≥ 0
⊢ inner (u - v) w = 0
case ge
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : inner (u - v) w ≤ 0
w'' : F := -w + v
this : w'' ∈ K
h₁ : -inner (u - v) w ≤ 0
h₂ : w'' - v = -w
⊢ inner (u - v) w ≥ 0

𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : inner (u - v) w ≤ 0
ge : inner (u - v) w ≥ 0
⊢ inner (u - v) w = 0
linarith
no goals
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h✝ : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
w : F
hw : w ∈ K
le : inner (u - v) w ≤ 0
ge : inner (u - v) w ≥ 0
⊢ inner (u - v) w = 0
exact le_antisymm le ge
case h
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
⊢ Convex ℝ ↑K

case hv
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
⊢ v ∈ ↑K
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
⊢ ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
rwa [norm_eq_iInf_iff_real_inner_le_zero] at h
no goals
case h
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
⊢ Convex ℝ ↑K

case hv
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h : ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
⊢ v ∈ ↑K
exacts [K.convex, hv]
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) w = 0
⊢ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
⊢ (∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) w = 0) → ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
intro h
case this
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) w = 0
⊢ ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0

𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) w = 0
this : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
⊢ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) w = 0
⊢ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
have : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
case this
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) w = 0
w : F
hw : w ∈ K
⊢ inner (u - v) (w - v) ≤ 0

𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) w = 0
this : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
⊢ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
case this
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) w = 0
⊢ ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0

𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) w = 0
this : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
⊢ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
intro w hw
case this
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) w = 0
w : F
hw : w ∈ K
w' : F := w - v
⊢ inner (u - v) (w - v) ≤ 0

𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) w = 0
this : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
⊢ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
case this
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) w = 0
w : F
hw : w ∈ K
⊢ inner (u - v) (w - v) ≤ 0

𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) w = 0
this : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
⊢ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
let w' := w - v
case this
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) w = 0
w : F
hw : w ∈ K
w' : F := w - v
this : w' ∈ K
⊢ inner (u - v) (w - v) ≤ 0

𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) w = 0
this : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
⊢ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
case this
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) w = 0
w : F
hw : w ∈ K
w' : F := w - v
⊢ inner (u - v) (w - v) ≤ 0

𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) w = 0
this : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
⊢ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
have : w' ∈ K := Submodule.sub_mem _ hw hv
case this
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) w = 0
w : F
hw : w ∈ K
w' : F := w - v
this : w' ∈ K
h₁ : inner (u - v) w' = 0
⊢ inner (u - v) (w - v) ≤ 0

𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) w = 0
this : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
⊢ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
case this
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) w = 0
w : F
hw : w ∈ K
w' : F := w - v
this : w' ∈ K
⊢ inner (u - v) (w - v) ≤ 0

𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) w = 0
this : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
⊢ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
have h₁ := h w' this
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) w = 0
this : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
⊢ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
case this
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) w = 0
w : F
hw : w ∈ K
w' : F := w - v
this : w' ∈ K
h₁ : inner (u - v) w' = 0
⊢ inner (u - v) (w - v) ≤ 0

𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) w = 0
this : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
⊢ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
exact le_of_eq h₁
case h
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) w = 0
this : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
⊢ Convex ℝ ↑K

case hv
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) w = 0
this : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
⊢ v ∈ ↑K
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) w = 0
this : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
⊢ ‖u - v‖ = ⨅ (w : ↑↑K), ‖u - ↑w‖
rwa [norm_eq_iInf_iff_real_inner_le_zero]
no goals
case h
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) w = 0
this : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
⊢ Convex ℝ ↑K

case hv
𝕜 : Type ?u.254322
E : Type ?u.254325
F : Type u_1
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E
K : Submodule ℝ F
u v : F
hv : v ∈ K
h : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) w = 0
this : ∀ (w : F), w ∈ K → inner (u - v) (w - v) ≤ 0
⊢ v ∈ ↑K
exacts [Submodule.convex _, hv]