case zero
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f : α → α
x y : ℕ → α
hf : Monotone f
h₀ : x 0 < y 0
hx : ∀ (k : ℕ), k < Nat.zero → x (k + 1) < f (x k)
hy : ∀ (k : ℕ), k < Nat.zero → f (y k) ≤ y (k + 1)
⊢ x Nat.zero < y Nat.zero

case succ
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f : α → α
x y : ℕ → α
hf : Monotone f
h₀ : x 0 < y 0
n✝ : ℕ
hx : ∀ (k : ℕ), k < Nat.succ n✝ → x (k + 1) < f (x k)
hy : ∀ (k : ℕ), k < Nat.succ n✝ → f (y k) ≤ y (k + 1)
⊢ x (Nat.succ n✝) < y (Nat.succ n✝)
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f : α → α
x y : ℕ → α
hf : Monotone f
n : ℕ
h₀ : x 0 < y 0
hx : ∀ (k : ℕ), k < n → x (k + 1) < f (x k)
hy : ∀ (k : ℕ), k < n → f (y k) ≤ y (k + 1)
⊢ x n < y n
cases n
no goals
case zero
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f : α → α
x y : ℕ → α
hf : Monotone f
h₀ : x 0 < y 0
hx : ∀ (k : ℕ), k < Nat.zero → x (k + 1) < f (x k)
hy : ∀ (k : ℕ), k < Nat.zero → f (y k) ≤ y (k + 1)
⊢ x Nat.zero < y Nat.zero

case succ
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f : α → α
x y : ℕ → α
hf : Monotone f
h₀ : x 0 < y 0
n✝ : ℕ
hx : ∀ (k : ℕ), k < Nat.succ n✝ → x (k + 1) < f (x k)
hy : ∀ (k : ℕ), k < Nat.succ n✝ → f (y k) ≤ y (k + 1)
⊢ x (Nat.succ n✝) < y (Nat.succ n✝)
exacts [h₀, hf.seq_pos_lt_seq_of_lt_of_le (Nat.zero_lt_succ _) h₀.le hx hy]