K : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type ?u.126783
R : Type u
inst✝⁸ : Ring R
M : Type v
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type v'
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
M₁ : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : IsNoetherian R M
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
hwf : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
⊢ Finite ι
K : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type ?u.126783
R : Type u
inst✝⁸ : Ring R
M : Type v
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type v'
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
M₁ : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : IsNoetherian R M
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
⊢ Finite ι
have hwf := isNoetherian_iff_wellFounded.mp (by infer_instance : IsNoetherian R M)
K : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type ?u.126783
R : Type u
inst✝⁸ : Ring R
M : Type v
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type v'
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
M₁ : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : IsNoetherian R M
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
hwf : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
i : ι
contra : span R {v i} = ⊥
⊢ False
K : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type ?u.126783
R : Type u
inst✝⁸ : Ring R
M : Type v
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type v'
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
M₁ : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : IsNoetherian R M
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
hwf : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
⊢ Finite ι
refine' CompleteLattice.WellFounded.finite_of_independent hwf hv.independent_span_singleton
  fun i contra => _
K : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type ?u.126783
R : Type u
inst✝⁸ : Ring R
M : Type v
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type v'
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
M₁ : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : IsNoetherian R M
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
hwf : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
i : ι
contra : span R {v i} = ⊥
⊢ v i = 0
K : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type ?u.126783
R : Type u
inst✝⁸ : Ring R
M : Type v
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type v'
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
M₁ : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : IsNoetherian R M
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
hwf : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
i : ι
contra : span R {v i} = ⊥
⊢ False
apply hv.ne_zero i
K : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type ?u.126783
R : Type u
inst✝⁸ : Ring R
M : Type v
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type v'
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
M₁ : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : IsNoetherian R M
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
hwf : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
i : ι
contra : span R {v i} = ⊥
this : v i ∈ span R {v i}
⊢ v i = 0
K : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type ?u.126783
R : Type u
inst✝⁸ : Ring R
M : Type v
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type v'
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
M₁ : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : IsNoetherian R M
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
hwf : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
i : ι
contra : span R {v i} = ⊥
⊢ v i = 0
have : v i ∈ R ∙ v i := Submodule.mem_span_singleton_self (v i)
no goals
K : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type ?u.126783
R : Type u
inst✝⁸ : Ring R
M : Type v
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type v'
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
M₁ : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : IsNoetherian R M
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
hwf : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
i : ι
contra : span R {v i} = ⊥
this : v i ∈ span R {v i}
⊢ v i = 0
rwa [contra, Submodule.mem_bot] at this
no goals
K : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type ?u.126783
R : Type u
inst✝⁸ : Ring R
M : Type v
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type v'
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
M₁ : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : IsNoetherian R M
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
⊢ IsNoetherian R M
infer_instance