R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : IsScalarTower R A M
hsur : Function.Surjective ↑(algebraMap R A)
X : Set M
m : M
hm : m ∈ restrictScalars R (span A X)
⊢ m ∈ span R X
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : IsScalarTower R A M
hsur : Function.Surjective ↑(algebraMap R A)
X : Set M
⊢ restrictScalars R (span A X) = span R X
refine' ((span_le_restrictScalars R A X).antisymm fun m hm => _).symm
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : IsScalarTower R A M
hsur : Function.Surjective ↑(algebraMap R A)
X : Set M
m✝ : M
hm✝ : m✝ ∈ restrictScalars R (span A X)
a : A
m : M
hm : m ∈ span R X
⊢ a • m ∈ span R X
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : IsScalarTower R A M
hsur : Function.Surjective ↑(algebraMap R A)
X : Set M
m : M
hm : m ∈ restrictScalars R (span A X)
⊢ m ∈ span R X
refine' span_induction hm subset_span (zero_mem _) (fun _ _ => add_mem) fun a m hm => _
case intro
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : IsScalarTower R A M
hsur : Function.Surjective ↑(algebraMap R A)
X : Set M
m✝ : M
hm✝ : m✝ ∈ restrictScalars R (span A X)
m : M
hm : m ∈ span R X
r : R
⊢ ↑(algebraMap R A) r • m ∈ span R X
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : IsScalarTower R A M
hsur : Function.Surjective ↑(algebraMap R A)
X : Set M
m✝ : M
hm✝ : m✝ ∈ restrictScalars R (span A X)
a : A
m : M
hm : m ∈ span R X
⊢ a • m ∈ span R X
obtain ⟨r, rfl⟩ := hsur a
no goals
case intro
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : IsScalarTower R A M
hsur : Function.Surjective ↑(algebraMap R A)
X : Set M
m✝ : M
hm✝ : m✝ ∈ restrictScalars R (span A X)
m : M
hm : m ∈ span R X
r : R
⊢ ↑(algebraMap R A) r • m ∈ span R X
simpa [algebraMap_smul] using smul_mem _ r hm