case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.24926
β : Type ?u.24929
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
x✝ x y : E
ap bp : 𝕜
hap : 0 ≤ ap
hbp : 0 ≤ bp
habp : ap + bp = 1
aq bq : 𝕜
haq : 0 ≤ aq
hbq : 0 ≤ bq
habq : aq + bq = 1
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • (ap • x + bp • y) + b • (aq • x + bq • y) ∈ [x-[𝕜]y]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.24926
β : Type ?u.24929
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
x✝ x y : E
⊢ Convex 𝕜 [x-[𝕜]y]
rintro p ⟨ap, bp, hap, hbp, habp, rfl⟩ q ⟨aq, bq, haq, hbq, habq, rfl⟩ a b ha hb hab
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.24926
β : Type ?u.24929
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
x✝ x y : E
ap bp : 𝕜
hap : 0 ≤ ap
hbp : 0 ≤ bp
habp : ap + bp = 1
aq bq : 𝕜
haq : 0 ≤ aq
hbq : 0 ≤ bq
habq : aq + bq = 1
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a * ap + b * aq + (a * bp + b * bq) = 1

case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.24926
β : Type ?u.24929
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
x✝ x y : E
ap bp : 𝕜
hap : 0 ≤ ap
hbp : 0 ≤ bp
habp : ap + bp = 1
aq bq : 𝕜
haq : 0 ≤ aq
hbq : 0 ≤ bq
habq : aq + bq = 1
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ (a * ap + b * aq) • x + (a * bp + b * bq) • y = a • (ap • x + bp • y) + b • (aq • x + bq • y)
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.24926
β : Type ?u.24929
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
x✝ x y : E
ap bp : 𝕜
hap : 0 ≤ ap
hbp : 0 ≤ bp
habp : ap + bp = 1
aq bq : 𝕜
haq : 0 ≤ aq
hbq : 0 ≤ bq
habq : aq + bq = 1
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • (ap • x + bp • y) + b • (aq • x + bq • y) ∈ [x-[𝕜]y]
refine'
  ⟨a * ap + b * aq, a * bp + b * bq, add_nonneg (mul_nonneg ha hap) (mul_nonneg hb haq),
    add_nonneg (mul_nonneg ha hbp) (mul_nonneg hb hbq), _, _⟩
no goals
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.24926
β : Type ?u.24929
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
x✝ x y : E
ap bp : 𝕜
hap : 0 ≤ ap
hbp : 0 ≤ bp
habp : ap + bp = 1
aq bq : 𝕜
haq : 0 ≤ aq
hbq : 0 ≤ bq
habq : aq + bq = 1
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a * ap + b * aq + (a * bp + b * bq) = 1
rw [add_add_add_comm, ← mul_add, ← mul_add, habp, habq, mul_one, mul_one, hab]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.24926
β : Type ?u.24929
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
x✝ x y : E
ap bp : 𝕜
hap : 0 ≤ ap
hbp : 0 ≤ bp
habp : ap + bp = 1
aq bq : 𝕜
haq : 0 ≤ aq
hbq : 0 ≤ bq
habq : aq + bq = 1
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • ap • x + b • aq • x + (a • bp • y + b • bq • y) = a • ap • x + a • bp • y + (b • aq • x + b • bq • y)
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.24926
β : Type ?u.24929
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
x✝ x y : E
ap bp : 𝕜
hap : 0 ≤ ap
hbp : 0 ≤ bp
habp : ap + bp = 1
aq bq : 𝕜
haq : 0 ≤ aq
hbq : 0 ≤ bq
habq : aq + bq = 1
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ (a * ap + b * aq) • x + (a * bp + b * bq) • y = a • (ap • x + bp • y) + b • (aq • x + bq • y)
simp_rw [add_smul, mul_smul, smul_add]
no goals
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.24926
β : Type ?u.24929
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
x✝ x y : E
ap bp : 𝕜
hap : 0 ≤ ap
hbp : 0 ≤ bp
habp : ap + bp = 1
aq bq : 𝕜
haq : 0 ≤ aq
hbq : 0 ≤ bq
habq : aq + bq = 1
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • ap • x + b • aq • x + (a • bp • y + b • bq • y) = a • ap • x + a • bp • y + (b • aq • x + b • bq • y)
exact add_add_add_comm _ _ _ _