ι : Type ?u.109118
α : Type u_1
β : Type ?u.109124
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a✝ b✝ c d e : α
m n : ℤ
a : α
h : 0 < a
b : α
this : 0 < a / max (b + 1) 1
⊢ ∃ c, 0 < c ∧ b * c < a
ι : Type ?u.109118
α : Type u_1
β : Type ?u.109124
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a✝ b✝ c d e : α
m n : ℤ
a : α
h : 0 < a
b : α
⊢ ∃ c, 0 < c ∧ b * c < a
have : 0 < a / max (b + 1) 1 := div_pos h (lt_max_iff.2 (Or.inr zero_lt_one))
ι : Type ?u.109118
α : Type u_1
β : Type ?u.109124
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a✝ b✝ c d e : α
m n : ℤ
a : α
h : 0 < a
b : α
this : 0 < a / max (b + 1) 1
⊢ b * (a / max (b + 1) 1) < a
ι : Type ?u.109118
α : Type u_1
β : Type ?u.109124
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a✝ b✝ c d e : α
m n : ℤ
a : α
h : 0 < a
b : α
this : 0 < a / max (b + 1) 1
⊢ ∃ c, 0 < c ∧ b * c < a
refine' ⟨a / max (b + 1) 1, this, _⟩
ι : Type ?u.109118
α : Type u_1
β : Type ?u.109124
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a✝ b✝ c d e : α
m n : ℤ
a : α
h : 0 < a
b : α
this : 0 < a / max (b + 1) 1
⊢ b < max (b + 1) 1
ι : Type ?u.109118
α : Type u_1
β : Type ?u.109124
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a✝ b✝ c d e : α
m n : ℤ
a : α
h : 0 < a
b : α
this : 0 < a / max (b + 1) 1
⊢ b * (a / max (b + 1) 1) < a
rw [← lt_div_iff this, div_div_cancel' h.ne']
no goals
ι : Type ?u.109118
α : Type u_1
β : Type ?u.109124
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a✝ b✝ c d e : α
m n : ℤ
a : α
h : 0 < a
b : α
this : 0 < a / max (b + 1) 1
⊢ b < max (b + 1) 1
exact lt_max_iff.2 (Or.inl <| lt_add_one _)