R : Type ?u.1359761
R' : Type ?u.1359764
𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type ?u.1359770
𝕜₃ : Type ?u.1359773
𝕝 : Type ?u.1359776
E : Type u_1
E₂ : Type ?u.1359782
E₃ : Type ?u.1359785
F : Type ?u.1359788
G : Type ?u.1359791
ι : Type ?u.1359794
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
hr : 0 < r
hp : closedBall p 0 r ∈ 𝓝 0
⊢ ∀ (i : ℝ), 0 < i → ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 0, ↑p x ∈ Metric.closedBall (↑p 0) i
R : Type ?u.1359761
R' : Type ?u.1359764
𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type ?u.1359770
𝕜₃ : Type ?u.1359773
𝕝 : Type ?u.1359776
E : Type u_1
E₂ : Type ?u.1359782
E₃ : Type ?u.1359785
F : Type ?u.1359788
G : Type ?u.1359791
ι : Type ?u.1359794
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
hr : 0 < r
hp : closedBall p 0 r ∈ 𝓝 0
⊢ ContinuousAt (↑p) 0
refine' Metric.nhds_basis_closedBall.tendsto_right_iff.mpr _
R : Type ?u.1359761
R' : Type ?u.1359764
𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type ?u.1359770
𝕜₃ : Type ?u.1359773
𝕝 : Type ?u.1359776
E : Type u_1
E₂ : Type ?u.1359782
E₃ : Type ?u.1359785
F : Type ?u.1359788
G : Type ?u.1359791
ι : Type ?u.1359794
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
hr : 0 < r
hp : closedBall p 0 r ∈ 𝓝 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 0, ↑p x ∈ Metric.closedBall (↑p 0) ε
R : Type ?u.1359761
R' : Type ?u.1359764
𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type ?u.1359770
𝕜₃ : Type ?u.1359773
𝕝 : Type ?u.1359776
E : Type u_1
E₂ : Type ?u.1359782
E₃ : Type ?u.1359785
F : Type ?u.1359788
G : Type ?u.1359791
ι : Type ?u.1359794
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
hr : 0 < r
hp : closedBall p 0 r ∈ 𝓝 0
⊢ ∀ (i : ℝ), 0 < i → ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 0, ↑p x ∈ Metric.closedBall (↑p 0) i
intro ε hε
R : Type ?u.1359761
R' : Type ?u.1359764
𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type ?u.1359770
𝕜₃ : Type ?u.1359773
𝕝 : Type ?u.1359776
E : Type u_1
E₂ : Type ?u.1359782
E₃ : Type ?u.1359785
F : Type ?u.1359788
G : Type ?u.1359791
ι : Type ?u.1359794
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
hr : 0 < r
hp : closedBall p 0 r ∈ 𝓝 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 0, ↑p x ∈ Metric.closedBall 0 ε
R : Type ?u.1359761
R' : Type ?u.1359764
𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type ?u.1359770
𝕜₃ : Type ?u.1359773
𝕝 : Type ?u.1359776
E : Type u_1
E₂ : Type ?u.1359782
E₃ : Type ?u.1359785
F : Type ?u.1359788
G : Type ?u.1359791
ι : Type ?u.1359794
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
hr : 0 < r
hp : closedBall p 0 r ∈ 𝓝 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 0, ↑p x ∈ Metric.closedBall (↑p 0) ε
rw [map_zero]
R : Type ?u.1359761
R' : Type ?u.1359764
𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type ?u.1359770
𝕜₃ : Type ?u.1359773
𝕝 : Type ?u.1359776
E : Type u_1
E₂ : Type ?u.1359782
E₃ : Type ?u.1359785
F : Type ?u.1359788
G : Type ?u.1359791
ι : Type ?u.1359794
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
hr : 0 < r
hp : closedBall p 0 r ∈ 𝓝 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ closedBall p 0 ε ∈ 𝓝 0
R : Type ?u.1359761
R' : Type ?u.1359764
𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type ?u.1359770
𝕜₃ : Type ?u.1359773
𝕝 : Type ?u.1359776
E : Type u_1
E₂ : Type ?u.1359782
E₃ : Type ?u.1359785
F : Type ?u.1359788
G : Type ?u.1359791
ι : Type ?u.1359794
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
hr : 0 < r
hp : closedBall p 0 r ∈ 𝓝 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 0, ↑p x ∈ Metric.closedBall 0 ε
suffices p.closedBall 0 ε ∈ (𝓝 0 : Filter E) by
  rwa [Seminorm.closedBall_zero_eq_preimage_closedBall] at this
case intro.intro
R : Type ?u.1359761
R' : Type ?u.1359764
𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type ?u.1359770
𝕜₃ : Type ?u.1359773
𝕝 : Type ?u.1359776
E : Type u_1
E₂ : Type ?u.1359782
E₃ : Type ?u.1359785
F : Type ?u.1359788
G : Type ?u.1359791
ι : Type ?u.1359794
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
hr : 0 < r
hp : closedBall p 0 r ∈ 𝓝 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
k : 𝕜
hk0 : 0 < ‖k‖
hkε : ‖k‖ < ε / r
⊢ closedBall p 0 ε ∈ 𝓝 0
R : Type ?u.1359761
R' : Type ?u.1359764
𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type ?u.1359770
𝕜₃ : Type ?u.1359773
𝕝 : Type ?u.1359776
E : Type u_1
E₂ : Type ?u.1359782
E₃ : Type ?u.1359785
F : Type ?u.1359788
G : Type ?u.1359791
ι : Type ?u.1359794
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
hr : 0 < r
hp : closedBall p 0 r ∈ 𝓝 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ closedBall p 0 ε ∈ 𝓝 0
rcases exists_norm_lt 𝕜 (div_pos hε hr) with ⟨k, hk0, hkε⟩
case intro.intro
R : Type ?u.1359761
R' : Type ?u.1359764
𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type ?u.1359770
𝕜₃ : Type ?u.1359773
𝕝 : Type ?u.1359776
E : Type u_1
E₂ : Type ?u.1359782
E₃ : Type ?u.1359785
F : Type ?u.1359788
G : Type ?u.1359791
ι : Type ?u.1359794
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
hr : 0 < r
hp : closedBall p 0 r ∈ 𝓝 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
k : 𝕜
hk0 : 0 < ‖k‖
hkε : ‖k‖ < ε / r
hk0' : k ≠ 0
⊢ closedBall p 0 ε ∈ 𝓝 0
case intro.intro
R : Type ?u.1359761
R' : Type ?u.1359764
𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type ?u.1359770
𝕜₃ : Type ?u.1359773
𝕝 : Type ?u.1359776
E : Type u_1
E₂ : Type ?u.1359782
E₃ : Type ?u.1359785
F : Type ?u.1359788
G : Type ?u.1359791
ι : Type ?u.1359794
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
hr : 0 < r
hp : closedBall p 0 r ∈ 𝓝 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
k : 𝕜
hk0 : 0 < ‖k‖
hkε : ‖k‖ < ε / r
⊢ closedBall p 0 ε ∈ 𝓝 0
have hk0' := norm_pos_iff.mp hk0
case intro.intro
R : Type ?u.1359761
R' : Type ?u.1359764
𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type ?u.1359770
𝕜₃ : Type ?u.1359773
𝕝 : Type ?u.1359776
E : Type u_1
E₂ : Type ?u.1359782
E₃ : Type ?u.1359785
F : Type ?u.1359788
G : Type ?u.1359791
ι : Type ?u.1359794
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
hr : 0 < r
hp : closedBall p 0 r ∈ 𝓝 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
k : 𝕜
hk0 : 0 < ‖k‖
hkε : ‖k‖ < ε / r
hk0' : k ≠ 0
this : k • closedBall p 0 r ∈ 𝓝 0
⊢ closedBall p 0 ε ∈ 𝓝 0
case intro.intro
R : Type ?u.1359761
R' : Type ?u.1359764
𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type ?u.1359770
𝕜₃ : Type ?u.1359773
𝕝 : Type ?u.1359776
E : Type u_1
E₂ : Type ?u.1359782
E₃ : Type ?u.1359785
F : Type ?u.1359788
G : Type ?u.1359791
ι : Type ?u.1359794
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
hr : 0 < r
hp : closedBall p 0 r ∈ 𝓝 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
k : 𝕜
hk0 : 0 < ‖k‖
hkε : ‖k‖ < ε / r
hk0' : k ≠ 0
⊢ closedBall p 0 ε ∈ 𝓝 0
have := (set_smul_mem_nhds_zero_iff hk0').mpr hp
case intro.intro
R : Type ?u.1359761
R' : Type ?u.1359764
𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type ?u.1359770
𝕜₃ : Type ?u.1359773
𝕝 : Type ?u.1359776
E : Type u_1
E₂ : Type ?u.1359782
E₃ : Type ?u.1359785
F : Type ?u.1359788
G : Type ?u.1359791
ι : Type ?u.1359794
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
hr : 0 < r
hp : closedBall p 0 r ∈ 𝓝 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
k : 𝕜
hk0 : 0 < ‖k‖
hkε : ‖k‖ < ε / r
hk0' : k ≠ 0
this : k • closedBall p 0 r ∈ 𝓝 0
x : E
hx : x ∈ closedBall p 0 r
⊢ k • x ∈ closedBall p 0 ε
case intro.intro
R : Type ?u.1359761
R' : Type ?u.1359764
𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type ?u.1359770
𝕜₃ : Type ?u.1359773
𝕝 : Type ?u.1359776
E : Type u_1
E₂ : Type ?u.1359782
E₃ : Type ?u.1359785
F : Type ?u.1359788
G : Type ?u.1359791
ι : Type ?u.1359794
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
hr : 0 < r
hp : closedBall p 0 r ∈ 𝓝 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
k : 𝕜
hk0 : 0 < ‖k‖
hkε : ‖k‖ < ε / r
hk0' : k ≠ 0
this : k • closedBall p 0 r ∈ 𝓝 0
⊢ closedBall p 0 ε ∈ 𝓝 0
refine' Filter.mem_of_superset this (smul_set_subset_iff.mpr fun x hx => _)
case intro.intro
R : Type ?u.1359761
R' : Type ?u.1359764
𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type ?u.1359770
𝕜₃ : Type ?u.1359773
𝕝 : Type ?u.1359776
E : Type u_1
E₂ : Type ?u.1359782
E₃ : Type ?u.1359785
F : Type ?u.1359788
G : Type ?u.1359791
ι : Type ?u.1359794
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
hr : 0 < r
hp : closedBall p 0 r ∈ 𝓝 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
k : 𝕜
hk0 : 0 < ‖k‖
hkε : ‖k‖ < ε / r
hk0' : k ≠ 0
this : k • closedBall p 0 r ∈ 𝓝 0
x : E
hx : x ∈ closedBall p 0 r
⊢ ‖k‖ * ↑p x ≤ ε / r * r
case intro.intro
R : Type ?u.1359761
R' : Type ?u.1359764
𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type ?u.1359770
𝕜₃ : Type ?u.1359773
𝕝 : Type ?u.1359776
E : Type u_1
E₂ : Type ?u.1359782
E₃ : Type ?u.1359785
F : Type ?u.1359788
G : Type ?u.1359791
ι : Type ?u.1359794
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
hr : 0 < r
hp : closedBall p 0 r ∈ 𝓝 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
k : 𝕜
hk0 : 0 < ‖k‖
hkε : ‖k‖ < ε / r
hk0' : k ≠ 0
this : k • closedBall p 0 r ∈ 𝓝 0
x : E
hx : x ∈ closedBall p 0 r
⊢ k • x ∈ closedBall p 0 ε
rw [mem_closedBall_zero, map_smul_eq_mul, ← div_mul_cancel ε hr.ne.symm]
case intro.intro.h₂
R : Type ?u.1359761
R' : Type ?u.1359764
𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type ?u.1359770
𝕜₃ : Type ?u.1359773
𝕝 : Type ?u.1359776
E : Type u_1
E₂ : Type ?u.1359782
E₃ : Type ?u.1359785
F : Type ?u.1359788
G : Type ?u.1359791
ι : Type ?u.1359794
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
hr : 0 < r
hp : closedBall p 0 r ∈ 𝓝 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
k : 𝕜
hk0 : 0 < ‖k‖
hkε : ‖k‖ < ε / r
hk0' : k ≠ 0
this : k • closedBall p 0 r ∈ 𝓝 0
x : E
hx : x ∈ closedBall p 0 r
⊢ ↑p x ≤ r
case intro.intro
R : Type ?u.1359761
R' : Type ?u.1359764
𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type ?u.1359770
𝕜₃ : Type ?u.1359773
𝕝 : Type ?u.1359776
E : Type u_1
E₂ : Type ?u.1359782
E₃ : Type ?u.1359785
F : Type ?u.1359788
G : Type ?u.1359791
ι : Type ?u.1359794
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
hr : 0 < r
hp : closedBall p 0 r ∈ 𝓝 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
k : 𝕜
hk0 : 0 < ‖k‖
hkε : ‖k‖ < ε / r
hk0' : k ≠ 0
this : k • closedBall p 0 r ∈ 𝓝 0
x : E
hx : x ∈ closedBall p 0 r
⊢ ‖k‖ * ↑p x ≤ ε / r * r
gcongr
no goals
case intro.intro.h₂
R : Type ?u.1359761
R' : Type ?u.1359764
𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type ?u.1359770
𝕜₃ : Type ?u.1359773
𝕝 : Type ?u.1359776
E : Type u_1
E₂ : Type ?u.1359782
E₃ : Type ?u.1359785
F : Type ?u.1359788
G : Type ?u.1359791
ι : Type ?u.1359794
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
hr : 0 < r
hp : closedBall p 0 r ∈ 𝓝 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
k : 𝕜
hk0 : 0 < ‖k‖
hkε : ‖k‖ < ε / r
hk0' : k ≠ 0
this : k • closedBall p 0 r ∈ 𝓝 0
x : E
hx : x ∈ closedBall p 0 r
⊢ ↑p x ≤ r
exact p.mem_closedBall_zero.mp hx
no goals
R : Type ?u.1359761
R' : Type ?u.1359764
𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type ?u.1359770
𝕜₃ : Type ?u.1359773
𝕝 : Type ?u.1359776
E : Type u_1
E₂ : Type ?u.1359782
E₃ : Type ?u.1359785
F : Type ?u.1359788
G : Type ?u.1359791
ι : Type ?u.1359794
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
hr : 0 < r
hp : closedBall p 0 r ∈ 𝓝 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
this : closedBall p 0 ε ∈ 𝓝 0
⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 0, ↑p x ∈ Metric.closedBall 0 ε
rwa [Seminorm.closedBall_zero_eq_preimage_closedBall] at this