α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
G : ι → α → β
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s
hg : ∀ (n : ι), EqOn (F n) (G n) s
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
x : α
hx : x ∈ s
⊢ ∃ t, t ∈ 𝓝[s] x ∧ ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ (y : α), y ∈ t → (f y, G n y) ∈ u
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
G : ι → α → β
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s
hg : ∀ (n : ι), EqOn (F n) (G n) s
⊢ TendstoLocallyUniformlyOn G f p s
rintro u hu x hx
case intro.intro
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
G : ι → α → β
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s
hg : ∀ (n : ι), EqOn (F n) (G n) s
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
x : α
hx : x ∈ s
t : Set α
ht : t ∈ 𝓝[s] x
h : ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ (y : α), y ∈ t → (f y, F n y) ∈ u
⊢ ∃ t, t ∈ 𝓝[s] x ∧ ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ (y : α), y ∈ t → (f y, G n y) ∈ u
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
G : ι → α → β
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s
hg : ∀ (n : ι), EqOn (F n) (G n) s
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
x : α
hx : x ∈ s
⊢ ∃ t, t ∈ 𝓝[s] x ∧ ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ (y : α), y ∈ t → (f y, G n y) ∈ u
obtain ⟨t, ht, h⟩ := hf u hu x hx
case intro.intro
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
G : ι → α → β
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s
hg : ∀ (n : ι), EqOn (F n) (G n) s
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
x : α
hx : x ∈ s
t : Set α
ht : t ∈ 𝓝[s] x
h : ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ (y : α), y ∈ t → (f y, F n y) ∈ u
⊢ ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ (y : α), y ∈ s ∩ t → (f y, G n y) ∈ u
case intro.intro
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
G : ι → α → β
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s
hg : ∀ (n : ι), EqOn (F n) (G n) s
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
x : α
hx : x ∈ s
t : Set α
ht : t ∈ 𝓝[s] x
h : ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ (y : α), y ∈ t → (f y, F n y) ∈ u
⊢ ∃ t, t ∈ 𝓝[s] x ∧ ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ (y : α), y ∈ t → (f y, G n y) ∈ u
refine' ⟨s ∩ t, inter_mem self_mem_nhdsWithin ht, _⟩
no goals
case intro.intro
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
G : ι → α → β
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s
hg : ∀ (n : ι), EqOn (F n) (G n) s
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
x : α
hx : x ∈ s
t : Set α
ht : t ∈ 𝓝[s] x
h : ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ (y : α), y ∈ t → (f y, F n y) ∈ u
⊢ ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ (y : α), y ∈ s ∩ t → (f y, G n y) ∈ u
filter_upwards [h]with i hi y hy using hg i hy.1 ▸ hi y hy.2