R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I : LieIdeal R L
h₁ : I ≤ center R L
h₂ : IsNilpotent R (L ⧸ I)
⊢ LieModule.IsNilpotent R L (L ⧸ I)
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I : LieIdeal R L
h₁ : I ≤ center R L
h₂ : IsNilpotent R (L ⧸ I)
⊢ IsNilpotent R L
suffices LieModule.IsNilpotent R L (L ⧸ I) by
  exact LieModule.nilpotentOfNilpotentQuotient R L L h₁ this
case mk.intro
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I : LieIdeal R L
h₁ : I ≤ center R L
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (L ⧸ I) (L ⧸ I) k = ⊥
⊢ LieModule.IsNilpotent R L (L ⧸ I)
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I : LieIdeal R L
h₁ : I ≤ center R L
h₂ : IsNilpotent R (L ⧸ I)
⊢ LieModule.IsNilpotent R L (L ⧸ I)
obtain ⟨k, hk⟩ := h₂
case mk.intro
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I : LieIdeal R L
h₁ : I ≤ center R L
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (L ⧸ I) (L ⧸ I) k = ⊥
⊢ lowerCentralSeries R L (L ⧸ I) k = ⊥
case mk.intro
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I : LieIdeal R L
h₁ : I ≤ center R L
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (L ⧸ I) (L ⧸ I) k = ⊥
⊢ LieModule.IsNilpotent R L (L ⧸ I)
use k
no goals
case mk.intro
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I : LieIdeal R L
h₁ : I ≤ center R L
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (L ⧸ I) (L ⧸ I) k = ⊥
⊢ lowerCentralSeries R L (L ⧸ I) k = ⊥
simp [← LieSubmodule.coe_toSubmodule_eq_iff, coe_lowerCentralSeries_ideal_quot_eq, hk]
no goals
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I : LieIdeal R L
h₁ : I ≤ center R L
h₂ : IsNilpotent R (L ⧸ I)
this : LieModule.IsNilpotent R L (L ⧸ I)
⊢ IsNilpotent R L
exact LieModule.nilpotentOfNilpotentQuotient R L L h₁ this