case refine_2
α : Type u_1
β : Type ?u.18779
r : α → α → Prop
c : Set α
hc : IsChain r c
H : ∃ m, m ∈ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s} ∧ c ⊆ m ∧ ∀ (a : Set α), a ∈ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s} → m ⊆ a → a = m
⊢ ∃ M, IsMaxChain r M ∧ c ⊆ M

case refine_1
α : Type u_1
β : Type ?u.18779
r : α → α → Prop
c : Set α
hc : IsChain r c
⊢ ∀ (c_1 : Set (Set α)),
    c_1 ⊆ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s} →
      IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) c_1 →
        Set.Nonempty c_1 → ∃ ub, ub ∈ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s} ∧ ∀ (s : Set α), s ∈ c_1 → s ⊆ ub
α : Type u_1
β : Type ?u.18779
r : α → α → Prop
c : Set α
hc : IsChain r c
⊢ ∃ M, IsMaxChain r M ∧ c ⊆ M
have H := zorn_subset_nonempty { s | c ⊆ s ∧ IsChain r s } ?_ c ⟨Subset.rfl, hc⟩
case refine_1.intro
α : Type u_1
β : Type ?u.18779
r : α → α → Prop
c : Set α
hc : IsChain r c
cs : Set (Set α)
hcs₀ : cs ⊆ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}
hcs₁ : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) cs
s : Set α
hs : s ∈ cs
⊢ ∃ ub, ub ∈ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s} ∧ ∀ (s : Set α), s ∈ cs → s ⊆ ub
case refine_1
α : Type u_1
β : Type ?u.18779
r : α → α → Prop
c : Set α
hc : IsChain r c
⊢ ∀ (c_1 : Set (Set α)),
    c_1 ⊆ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s} →
      IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) c_1 →
        Set.Nonempty c_1 → ∃ ub, ub ∈ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s} ∧ ∀ (s : Set α), s ∈ c_1 → s ⊆ ub
rintro cs hcs₀ hcs₁ ⟨s, hs⟩
case refine_1.intro
α : Type u_1
β : Type ?u.18779
r : α → α → Prop
c : Set α
hc : IsChain r c
cs : Set (Set α)
hcs₀ : cs ⊆ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}
hcs₁ : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) cs
s : Set α
hs : s ∈ cs
⊢ IsChain r (⋃₀ cs)
case refine_1.intro
α : Type u_1
β : Type ?u.18779
r : α → α → Prop
c : Set α
hc : IsChain r c
cs : Set (Set α)
hcs₀ : cs ⊆ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}
hcs₁ : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) cs
s : Set α
hs : s ∈ cs
⊢ ∃ ub, ub ∈ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s} ∧ ∀ (s : Set α), s ∈ cs → s ⊆ ub
refine'
  ⟨⋃₀cs, ⟨fun _ ha => Set.mem_sUnion_of_mem ((hcs₀ hs).left ha) hs, _⟩, fun _ =>
    Set.subset_sUnion_of_mem⟩
case refine_1.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type ?u.18779
r : α → α → Prop
c : Set α
hc : IsChain r c
cs : Set (Set α)
hcs₀ : cs ⊆ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}
hcs₁ : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) cs
s : Set α
hs : s ∈ cs
y : α
sy : Set α
hsy : sy ∈ cs
hysy : y ∈ sy
z : α
sz : Set α
hsz : sz ∈ cs
hzsz : z ∈ sz
hyz : y ≠ z
⊢ r y z ∨ r z y
case refine_1.intro
α : Type u_1
β : Type ?u.18779
r : α → α → Prop
c : Set α
hc : IsChain r c
cs : Set (Set α)
hcs₀ : cs ⊆ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}
hcs₁ : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) cs
s : Set α
hs : s ∈ cs
⊢ IsChain r (⋃₀ cs)
rintro y ⟨sy, hsy, hysy⟩ z ⟨sz, hsz, hzsz⟩ hyz
case refine_1.intro.intro.intro.intro.intro.inl
α : Type u_1
β : Type ?u.18779
r : α → α → Prop
c : Set α
hc : IsChain r c
cs : Set (Set α)
hcs₀ : cs ⊆ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}
hcs₁ : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) cs
s : Set α
hs : s ∈ cs
y : α
sy : Set α
hsy : sy ∈ cs
hysy : y ∈ sy
z : α
hyz : y ≠ z
hsz : sy ∈ cs
hzsz : z ∈ sy
⊢ r y z ∨ r z y

case refine_1.intro.intro.intro.intro.intro.inr
α : Type u_1
β : Type ?u.18779
r : α → α → Prop
c : Set α
hc : IsChain r c
cs : Set (Set α)
hcs₀ : cs ⊆ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}
hcs₁ : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) cs
s : Set α
hs : s ∈ cs
y : α
sy : Set α
hsy : sy ∈ cs
hysy : y ∈ sy
z : α
sz : Set α
hsz : sz ∈ cs
hzsz : z ∈ sz
hyz : y ≠ z
hsseq : sy ≠ sz
⊢ r y z ∨ r z y
case refine_1.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type ?u.18779
r : α → α → Prop
c : Set α
hc : IsChain r c
cs : Set (Set α)
hcs₀ : cs ⊆ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}
hcs₁ : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) cs
s : Set α
hs : s ∈ cs
y : α
sy : Set α
hsy : sy ∈ cs
hysy : y ∈ sy
z : α
sz : Set α
hsz : sz ∈ cs
hzsz : z ∈ sz
hyz : y ≠ z
⊢ r y z ∨ r z y
obtain rfl | hsseq := eq_or_ne sy sz
case refine_1.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inl
α : Type u_1
β : Type ?u.18779
r : α → α → Prop
c : Set α
hc : IsChain r c
cs : Set (Set α)
hcs₀ : cs ⊆ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}
hcs₁ : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) cs
s : Set α
hs : s ∈ cs
y : α
sy : Set α
hsy : sy ∈ cs
hysy : y ∈ sy
z : α
sz : Set α
hsz : sz ∈ cs
hzsz : z ∈ sz
hyz : y ≠ z
hsseq : sy ≠ sz
h : (fun x x_1 => x ⊆ x_1) sy sz
⊢ r y z ∨ r z y

case refine_1.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr
α : Type u_1
β : Type ?u.18779
r : α → α → Prop
c : Set α
hc : IsChain r c
cs : Set (Set α)
hcs₀ : cs ⊆ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}
hcs₁ : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) cs
s : Set α
hs : s ∈ cs
y : α
sy : Set α
hsy : sy ∈ cs
hysy : y ∈ sy
z : α
sz : Set α
hsz : sz ∈ cs
hzsz : z ∈ sz
hyz : y ≠ z
hsseq : sy ≠ sz
h : (fun x x_1 => x ⊆ x_1) sz sy
⊢ r y z ∨ r z y
case refine_1.intro.intro.intro.intro.intro.inr
α : Type u_1
β : Type ?u.18779
r : α → α → Prop
c : Set α
hc : IsChain r c
cs : Set (Set α)
hcs₀ : cs ⊆ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}
hcs₁ : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) cs
s : Set α
hs : s ∈ cs
y : α
sy : Set α
hsy : sy ∈ cs
hysy : y ∈ sy
z : α
sz : Set α
hsz : sz ∈ cs
hzsz : z ∈ sz
hyz : y ≠ z
hsseq : sy ≠ sz
⊢ r y z ∨ r z y
cases' hcs₁ hsy hsz hsseq with h h
case refine_2.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type ?u.18779
r : α → α → Prop
c : Set α
hc : IsChain r c
M : Set α
left✝ : c ⊆ M
hM₀ : IsChain r M
hM₁ : c ⊆ M
hM₂ : ∀ (a : Set α), a ∈ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s} → M ⊆ a → a = M
⊢ ∃ M, IsMaxChain r M ∧ c ⊆ M
case refine_2
α : Type u_1
β : Type ?u.18779
r : α → α → Prop
c : Set α
hc : IsChain r c
H : ∃ m, m ∈ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s} ∧ c ⊆ m ∧ ∀ (a : Set α), a ∈ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s} → m ⊆ a → a = m
⊢ ∃ M, IsMaxChain r M ∧ c ⊆ M
obtain ⟨M, ⟨_, hM₀⟩, hM₁, hM₂⟩ := H
no goals
case refine_2.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type ?u.18779
r : α → α → Prop
c : Set α
hc : IsChain r c
M : Set α
left✝ : c ⊆ M
hM₀ : IsChain r M
hM₁ : c ⊆ M
hM₂ : ∀ (a : Set α), a ∈ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s} → M ⊆ a → a = M
⊢ ∃ M, IsMaxChain r M ∧ c ⊆ M
exact ⟨M, ⟨hM₀, fun d hd hMd => (hM₂ _ ⟨hM₁.trans hMd, hd⟩ hMd).symm⟩, hM₁⟩
no goals
case refine_1.intro.intro.intro.intro.intro.inl
α : Type u_1
β : Type ?u.18779
r : α → α → Prop
c : Set α
hc : IsChain r c
cs : Set (Set α)
hcs₀ : cs ⊆ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}
hcs₁ : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) cs
s : Set α
hs : s ∈ cs
y : α
sy : Set α
hsy : sy ∈ cs
hysy : y ∈ sy
z : α
hyz : y ≠ z
hsz : sy ∈ cs
hzsz : z ∈ sy
⊢ r y z ∨ r z y
exact (hcs₀ hsy).right hysy hzsz hyz
no goals
case refine_1.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inl
α : Type u_1
β : Type ?u.18779
r : α → α → Prop
c : Set α
hc : IsChain r c
cs : Set (Set α)
hcs₀ : cs ⊆ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}
hcs₁ : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) cs
s : Set α
hs : s ∈ cs
y : α
sy : Set α
hsy : sy ∈ cs
hysy : y ∈ sy
z : α
sz : Set α
hsz : sz ∈ cs
hzsz : z ∈ sz
hyz : y ≠ z
hsseq : sy ≠ sz
h : (fun x x_1 => x ⊆ x_1) sy sz
⊢ r y z ∨ r z y
exact (hcs₀ hsz).right (h hysy) hzsz hyz
no goals
case refine_1.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr
α : Type u_1
β : Type ?u.18779
r : α → α → Prop
c : Set α
hc : IsChain r c
cs : Set (Set α)
hcs₀ : cs ⊆ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}
hcs₁ : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) cs
s : Set α
hs : s ∈ cs
y : α
sy : Set α
hsy : sy ∈ cs
hysy : y ∈ sy
z : α
sz : Set α
hsz : sz ∈ cs
hzsz : z ∈ sz
hyz : y ≠ z
hsseq : sy ≠ sz
h : (fun x x_1 => x ⊆ x_1) sz sy
⊢ r y z ∨ r z y
exact (hcs₀ hsy).right hysy (h hzsz) hyz