R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆
⊢ ⁅I ⊔ J, N⁆ = ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
⊢ ⁅I ⊔ J, N⁆ = ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆
have h : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆ := by
  rw [sup_le_iff]; constructor <;>
  apply mono_lie_left <;> [exact le_sup_left; exact le_sup_right]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆
⊢ ⁅I ⊔ J, N⁆ ≤ ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆
⊢ ⁅I ⊔ J, N⁆ = ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆
suffices ⁅I ⊔ J, N⁆ ≤ ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆ by exact le_antisymm this h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆
⊢ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑(⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆
⊢ ⁅I ⊔ J, N⁆ ≤ ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆
rw [lieIdeal_oper_eq_span, lieSpan_le]
case intro.mk.intro
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h✝ : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆
m : M
x : L
hx : x ∈ I ⊔ J
n : { x // x ∈ N }
h : ⁅↑{ val := x, property := hx }, ↑n⁆ = m
⊢ m ∈ ↑(⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆)
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆
⊢ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑(⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆)
rintro m ⟨⟨x, hx⟩, n, h⟩
case intro.mk.intro
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h✝ : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆
m : M
x : L
hx : x ∈ I ⊔ J
n : { x // x ∈ N }
h : ⁅↑{ val := x, property := hx }, ↑n⁆ = m
⊢ ∃ y, y ∈ ⁅I, N⁆ ∧ ∃ z, z ∈ ⁅J, N⁆ ∧ y + z = m
case intro.mk.intro
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h✝ : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆
m : M
x : L
hx : x ∈ I ⊔ J
n : { x // x ∈ N }
h : ⁅↑{ val := x, property := hx }, ↑n⁆ = m
⊢ m ∈ ↑(⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆)
erw [LieSubmodule.mem_sup]
case intro.mk.intro
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h✝ : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆
m : M
x : L
hx✝ : x ∈ I ⊔ J
hx : ∃ y, y ∈ I ∧ ∃ z, z ∈ J ∧ y + z = x
n : { x // x ∈ N }
h : ⁅↑{ val := x, property := hx✝ }, ↑n⁆ = m
⊢ ∃ y, y ∈ ⁅I, N⁆ ∧ ∃ z, z ∈ ⁅J, N⁆ ∧ y + z = m
case intro.mk.intro
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h✝ : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆
m : M
x : L
hx : x ∈ I ⊔ J
n : { x // x ∈ N }
h : ⁅↑{ val := x, property := hx }, ↑n⁆ = m
⊢ ∃ y, y ∈ ⁅I, N⁆ ∧ ∃ z, z ∈ ⁅J, N⁆ ∧ y + z = m
erw [LieSubmodule.mem_sup] at hx
case intro.mk.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h✝ : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆
m : M
x : L
hx : x ∈ I ⊔ J
n : { x // x ∈ N }
h : ⁅↑{ val := x, property := hx }, ↑n⁆ = m
x₁ : L
hx₁ : x₁ ∈ I
x₂ : L
hx₂ : x₂ ∈ J
hx' : x₁ + x₂ = x
⊢ ∃ y, y ∈ ⁅I, N⁆ ∧ ∃ z, z ∈ ⁅J, N⁆ ∧ y + z = m
case intro.mk.intro
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h✝ : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆
m : M
x : L
hx✝ : x ∈ I ⊔ J
hx : ∃ y, y ∈ I ∧ ∃ z, z ∈ J ∧ y + z = x
n : { x // x ∈ N }
h : ⁅↑{ val := x, property := hx✝ }, ↑n⁆ = m
⊢ ∃ y, y ∈ ⁅I, N⁆ ∧ ∃ z, z ∈ ⁅J, N⁆ ∧ y + z = m
rcases hx with ⟨x₁, hx₁, x₂, hx₂, hx'⟩
case intro.mk.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h✝ : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆
m : M
x : L
hx : x ∈ I ⊔ J
n : { x // x ∈ N }
h : ⁅↑{ val := x, property := hx }, ↑n⁆ = m
x₁ : L
hx₁ : x₁ ∈ I
x₂ : L
hx₂ : x₂ ∈ J
hx' : x₁ + x₂ = x
⊢ ⁅↑{ val := x₁, property := hx₁ }, ↑n⁆ ∈ ⁅I, N⁆ ∧ ∃ z, z ∈ ⁅J, N⁆ ∧ ⁅↑{ val := x₁, property := hx₁ }, ↑n⁆ + z = m
case intro.mk.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h✝ : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆
m : M
x : L
hx : x ∈ I ⊔ J
n : { x // x ∈ N }
h : ⁅↑{ val := x, property := hx }, ↑n⁆ = m
x₁ : L
hx₁ : x₁ ∈ I
x₂ : L
hx₂ : x₂ ∈ J
hx' : x₁ + x₂ = x
⊢ ∃ y, y ∈ ⁅I, N⁆ ∧ ∃ z, z ∈ ⁅J, N⁆ ∧ y + z = m
use ⁅((⟨x₁, hx₁⟩ : I) : L), (n : N)⁆
case intro.mk.intro.intro.intro.intro.intro.left
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h✝ : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆
m : M
x : L
hx : x ∈ I ⊔ J
n : { x // x ∈ N }
h : ⁅↑{ val := x, property := hx }, ↑n⁆ = m
x₁ : L
hx₁ : x₁ ∈ I
x₂ : L
hx₂ : x₂ ∈ J
hx' : x₁ + x₂ = x
⊢ ⁅↑{ val := x₁, property := hx₁ }, ↑n⁆ ∈ ⁅I, N⁆

case intro.mk.intro.intro.intro.intro.intro.right
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h✝ : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆
m : M
x : L
hx : x ∈ I ⊔ J
n : { x // x ∈ N }
h : ⁅↑{ val := x, property := hx }, ↑n⁆ = m
x₁ : L
hx₁ : x₁ ∈ I
x₂ : L
hx₂ : x₂ ∈ J
hx' : x₁ + x₂ = x
⊢ ∃ z, z ∈ ⁅J, N⁆ ∧ ⁅↑{ val := x₁, property := hx₁ }, ↑n⁆ + z = m
case intro.mk.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h✝ : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆
m : M
x : L
hx : x ∈ I ⊔ J
n : { x // x ∈ N }
h : ⁅↑{ val := x, property := hx }, ↑n⁆ = m
x₁ : L
hx₁ : x₁ ∈ I
x₂ : L
hx₂ : x₂ ∈ J
hx' : x₁ + x₂ = x
⊢ ⁅↑{ val := x₁, property := hx₁ }, ↑n⁆ ∈ ⁅I, N⁆ ∧ ∃ z, z ∈ ⁅J, N⁆ ∧ ⁅↑{ val := x₁, property := hx₁ }, ↑n⁆ + z = m
constructor
case intro.mk.intro.intro.intro.intro.intro.right
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h✝ : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆
m : M
x : L
hx : x ∈ I ⊔ J
n : { x // x ∈ N }
h : ⁅↑{ val := x, property := hx }, ↑n⁆ = m
x₁ : L
hx₁ : x₁ ∈ I
x₂ : L
hx₂ : x₂ ∈ J
hx' : x₁ + x₂ = x
⊢ ⁅↑{ val := x₂, property := hx₂ }, ↑n⁆ ∈ ⁅J, N⁆ ∧
    ⁅↑{ val := x₁, property := hx₁ }, ↑n⁆ + ⁅↑{ val := x₂, property := hx₂ }, ↑n⁆ = m
case intro.mk.intro.intro.intro.intro.intro.right
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h✝ : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆
m : M
x : L
hx : x ∈ I ⊔ J
n : { x // x ∈ N }
h : ⁅↑{ val := x, property := hx }, ↑n⁆ = m
x₁ : L
hx₁ : x₁ ∈ I
x₂ : L
hx₂ : x₂ ∈ J
hx' : x₁ + x₂ = x
⊢ ∃ z, z ∈ ⁅J, N⁆ ∧ ⁅↑{ val := x₁, property := hx₁ }, ↑n⁆ + z = m
use ⁅((⟨x₂, hx₂⟩ : J) : L), (n : N)⁆
case intro.mk.intro.intro.intro.intro.intro.right.left
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h✝ : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆
m : M
x : L
hx : x ∈ I ⊔ J
n : { x // x ∈ N }
h : ⁅↑{ val := x, property := hx }, ↑n⁆ = m
x₁ : L
hx₁ : x₁ ∈ I
x₂ : L
hx₂ : x₂ ∈ J
hx' : x₁ + x₂ = x
⊢ ⁅↑{ val := x₂, property := hx₂ }, ↑n⁆ ∈ ⁅J, N⁆

case intro.mk.intro.intro.intro.intro.intro.right.right
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h✝ : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆
m : M
x : L
hx : x ∈ I ⊔ J
n : { x // x ∈ N }
h : ⁅↑{ val := x, property := hx }, ↑n⁆ = m
x₁ : L
hx₁ : x₁ ∈ I
x₂ : L
hx₂ : x₂ ∈ J
hx' : x₁ + x₂ = x
⊢ ⁅↑{ val := x₁, property := hx₁ }, ↑n⁆ + ⁅↑{ val := x₂, property := hx₂ }, ↑n⁆ = m
case intro.mk.intro.intro.intro.intro.intro.right
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h✝ : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆
m : M
x : L
hx : x ∈ I ⊔ J
n : { x // x ∈ N }
h : ⁅↑{ val := x, property := hx }, ↑n⁆ = m
x₁ : L
hx₁ : x₁ ∈ I
x₂ : L
hx₂ : x₂ ∈ J
hx' : x₁ + x₂ = x
⊢ ⁅↑{ val := x₂, property := hx₂ }, ↑n⁆ ∈ ⁅J, N⁆ ∧
    ⁅↑{ val := x₁, property := hx₁ }, ↑n⁆ + ⁅↑{ val := x₂, property := hx₂ }, ↑n⁆ = m
constructor
no goals
case intro.mk.intro.intro.intro.intro.intro.right.right
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h✝ : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆
m : M
x : L
hx : x ∈ I ⊔ J
n : { x // x ∈ N }
h : ⁅↑{ val := x, property := hx }, ↑n⁆ = m
x₁ : L
hx₁ : x₁ ∈ I
x₂ : L
hx₂ : x₂ ∈ J
hx' : x₁ + x₂ = x
⊢ ⁅↑{ val := x₁, property := hx₁ }, ↑n⁆ + ⁅↑{ val := x₂, property := hx₂ }, ↑n⁆ = m
simp [← h, ← hx']
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
⊢ ⁅I, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆ ∧ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
⊢ ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆
rw [sup_le_iff]
no goals
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
⊢ ⁅I, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆ ∧ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆
constructor <;>
apply mono_lie_left <;> [exact le_sup_left; exact le_sup_right]
no goals
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆
this : ⁅I ⊔ J, N⁆ ≤ ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆
⊢ ⁅I ⊔ J, N⁆ = ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆
exact le_antisymm this h
no goals
case intro.mk.intro.intro.intro.intro.intro.left
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h✝ : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆
m : M
x : L
hx : x ∈ I ⊔ J
n : { x // x ∈ N }
h : ⁅↑{ val := x, property := hx }, ↑n⁆ = m
x₁ : L
hx₁ : x₁ ∈ I
x₂ : L
hx₂ : x₂ ∈ J
hx' : x₁ + x₂ = x
⊢ ⁅↑{ val := x₁, property := hx₁ }, ↑n⁆ ∈ ⁅I, N⁆
apply lie_coe_mem_lie
no goals
case intro.mk.intro.intro.intro.intro.intro.right.left
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h✝ : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆
m : M
x : L
hx : x ∈ I ⊔ J
n : { x // x ∈ N }
h : ⁅↑{ val := x, property := hx }, ↑n⁆ = m
x₁ : L
hx₁ : x₁ ∈ I
x₂ : L
hx₂ : x₂ ∈ J
hx' : x₁ + x₂ = x
⊢ ⁅↑{ val := x₂, property := hx₂ }, ↑n⁆ ∈ ⁅J, N⁆
apply lie_coe_mem_lie