α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type ?u.737955
δ : Type ?u.737958
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
F✝ : ℕ → α → β
f✝ : α → β
bound✝ : α → ℝ
F : ℕ → α → β
f : α → β
bound : α → ℝ
bound_hasFiniteIntegral : HasFiniteIntegral bound
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) atTop (𝓝 (f a))
⊢ (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖f a‖ ∂μ) < ⊤
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type ?u.737955
δ : Type ?u.737958
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
F✝ : ℕ → α → β
f✝ : α → β
bound✝ : α → ℝ
F : ℕ → α → β
f : α → β
bound : α → ℝ
bound_hasFiniteIntegral : HasFiniteIntegral bound
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) atTop (𝓝 (f a))
⊢ HasFiniteIntegral f
rw [hasFiniteIntegral_iff_norm]
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type ?u.737955
δ : Type ?u.737958
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
F✝ : ℕ → α → β
f✝ : α → β
bound✝ : α → ℝ
F : ℕ → α → β
f : α → β
bound : α → ℝ
bound_hasFiniteIntegral : HasFiniteIntegral bound
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) atTop (𝓝 (f a))
⊢ HasFiniteIntegral fun a => bound a

α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type ?u.737955
δ : Type ?u.737958
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
F✝ : ℕ → α → β
f✝ : α → β
bound✝ : α → ℝ
F : ℕ → α → β
f : α → β
bound : α → ℝ
bound_hasFiniteIntegral : HasFiniteIntegral bound
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) atTop (𝓝 (f a))
⊢ 0 ≤ᵐ[μ] fun a => bound a
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type ?u.737955
δ : Type ?u.737958
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
F✝ : ℕ → α → β
f✝ : α → β
bound✝ : α → ℝ
F : ℕ → α → β
f : α → β
bound : α → ℝ
bound_hasFiniteIntegral : HasFiniteIntegral bound
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) atTop (𝓝 (f a))
⊢ (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (bound a) ∂μ) < ⊤
rw [← hasFiniteIntegral_iff_ofReal]
no goals
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type ?u.737955
δ : Type ?u.737958
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
F✝ : ℕ → α → β
f✝ : α → β
bound✝ : α → ℝ
F : ℕ → α → β
f : α → β
bound : α → ℝ
bound_hasFiniteIntegral : HasFiniteIntegral bound
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) atTop (𝓝 (f a))
⊢ 0 ≤ᵐ[μ] fun a => bound a
exact (h_bound 0).mono fun a h => le_trans (norm_nonneg _) h
no goals
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type ?u.737955
δ : Type ?u.737958
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
F✝ : ℕ → α → β
f✝ : α → β
bound✝ : α → ℝ
F : ℕ → α → β
f : α → β
bound : α → ℝ
bound_hasFiniteIntegral : HasFiniteIntegral bound
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) atTop (𝓝 (f a))
⊢ HasFiniteIntegral fun a => bound a
exact bound_hasFiniteIntegral