α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1092386
G : Type ?u.1092389
𝕜 : Type ?u.1092392
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
⊢ setToL1 hT'' = setToL1 hT + setToL1 hT'
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1092386
G : Type ?u.1092389
𝕜 : Type ?u.1092392
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
⊢ ↑(setToL1 hT'') f = ↑(setToL1 hT) f + ↑(setToL1 hT') f
suffices setToL1 hT'' = setToL1 hT + setToL1 hT' by rw [this, ContinuousLinearMap.add_apply]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1092386
G : Type ?u.1092389
𝕜 : Type ?u.1092392
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
⊢ ContinuousLinearMap.comp (setToL1 hT + setToL1 hT') (coeToLp α E ℝ) = setToL1SCLM α E μ hT''
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1092386
G : Type ?u.1092389
𝕜 : Type ?u.1092392
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
⊢ setToL1 hT'' = setToL1 hT + setToL1 hT'
refine' ContinuousLinearMap.extend_unique (setToL1SCLM α E μ hT'') _ _ _ _ _
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1092386
G : Type ?u.1092389
𝕜 : Type ?u.1092392
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.comp (setToL1 hT + setToL1 hT') (coeToLp α E ℝ)) f = ↑(setToL1SCLM α E μ hT'') f
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1092386
G : Type ?u.1092389
𝕜 : Type ?u.1092392
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
⊢ ContinuousLinearMap.comp (setToL1 hT + setToL1 hT') (coeToLp α E ℝ) = setToL1SCLM α E μ hT''
ext1 f
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1092386
G : Type ?u.1092389
𝕜 : Type ?u.1092392
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.comp (setToL1 hT + setToL1 hT') (coeToLp α E ℝ)) f = ↑(setToL1SCLM α E μ hT'') f
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1092386
G : Type ?u.1092389
𝕜 : Type ?u.1092392
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.comp (setToL1 hT + setToL1 hT') (coeToLp α E ℝ)) f = ↑(setToL1SCLM α E μ hT'') f
simp only [ContinuousLinearMap.add_comp, ContinuousLinearMap.coe_comp', Function.comp_apply,
  ContinuousLinearMap.add_apply]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1092386
G : Type ?u.1092389
𝕜 : Type ?u.1092392
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ ↑(setToL1 hT) ↑f + ↑(setToL1 hT') ↑f = ↑(setToL1SCLM α E μ hT'') f
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1092386
G : Type ?u.1092389
𝕜 : Type ?u.1092392
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.comp (setToL1 hT + setToL1 hT') (coeToLp α E ℝ)) f = ↑(setToL1SCLM α E μ hT'') f
suffices setToL1 hT f + setToL1 hT' f = setToL1SCLM α E μ hT'' f by rw [← this]; congr
no goals
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1092386
G : Type ?u.1092389
𝕜 : Type ?u.1092392
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ ↑(setToL1 hT) ↑f + ↑(setToL1 hT') ↑f = ↑(setToL1SCLM α E μ hT'') f
rw [setToL1_eq_setToL1SCLM, setToL1_eq_setToL1SCLM,
  setToL1SCLM_add_left' hT hT' hT'' h_add]
no goals
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1092386
G : Type ?u.1092389
𝕜 : Type ?u.1092392
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
this : setToL1 hT'' = setToL1 hT + setToL1 hT'
⊢ ↑(setToL1 hT'') f = ↑(setToL1 hT) f + ↑(setToL1 hT') f
rw [this, ContinuousLinearMap.add_apply]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1092386
G : Type ?u.1092389
𝕜 : Type ?u.1092392
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
this : ↑(setToL1 hT) ↑f + ↑(setToL1 hT') ↑f = ↑(setToL1SCLM α E μ hT'') f
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.comp (setToL1 hT + setToL1 hT') (coeToLp α E ℝ)) f = ↑(setToL1 hT) ↑f + ↑(setToL1 hT') ↑f
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1092386
G : Type ?u.1092389
𝕜 : Type ?u.1092392
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
this : ↑(setToL1 hT) ↑f + ↑(setToL1 hT') ↑f = ↑(setToL1SCLM α E μ hT'') f
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.comp (setToL1 hT + setToL1 hT') (coeToLp α E ℝ)) f = ↑(setToL1SCLM α E μ hT'') f
rw [← this]
no goals
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type ?u.1092386
G : Type ?u.1092389
𝕜 : Type ?u.1092392
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
this : ↑(setToL1 hT) ↑f + ↑(setToL1 hT') ↑f = ↑(setToL1SCLM α E μ hT'') f
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.comp (setToL1 hT + setToL1 hT') (coeToLp α E ℝ)) f = ↑(setToL1 hT) ↑f + ↑(setToL1 hT') ↑f
congr