case intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.942458
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r✝ r' r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
⊢ (fun y => f y.fst - f y.snd - ↑(p 1) fun x => y.fst - y.snd) =O[𝓝 (x, x)] fun y => ‖y - (x, x)‖ * ‖y.fst - y.snd‖
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.942458
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesAt f p x
⊢ (fun y => f y.fst - f y.snd - ↑(p 1) fun x => y.fst - y.snd) =O[𝓝 (x, x)] fun y => ‖y - (x, x)‖ * ‖y.fst - y.snd‖
rcases hf with ⟨r, hf⟩
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.942458
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r✝ r'✝ r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
r' : ℝ≥0
r'0 : 0 < ↑r'
h : ↑r' < r
⊢ (fun y => f y.fst - f y.snd - ↑(p 1) fun x => y.fst - y.snd) =O[𝓝 (x, x)] fun y => ‖y - (x, x)‖ * ‖y.fst - y.snd‖
case intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.942458
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r✝ r' r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
⊢ (fun y => f y.fst - f y.snd - ↑(p 1) fun x => y.fst - y.snd) =O[𝓝 (x, x)] fun y => ‖y - (x, x)‖ * ‖y.fst - y.snd‖
rcases ENNReal.lt_iff_exists_nnreal_btwn.1 hf.r_pos with ⟨r', r'0, h⟩
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.942458
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r✝ r'✝ r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
r' : ℝ≥0
r'0 : 0 < ↑r'
h : ↑r' < r
⊢ 𝓝 (x, x) ≤ 𝓟 (EMetric.ball (x, x) ↑r')
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.942458
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r✝ r'✝ r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
r' : ℝ≥0
r'0 : 0 < ↑r'
h : ↑r' < r
⊢ (fun y => f y.fst - f y.snd - ↑(p 1) fun x => y.fst - y.snd) =O[𝓝 (x, x)] fun y => ‖y - (x, x)‖ * ‖y.fst - y.snd‖
refine' (hf.isBigO_image_sub_image_sub_deriv_principal h).mono _
no goals
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.942458
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r✝ r'✝ r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
r' : ℝ≥0
r'0 : 0 < ↑r'
h : ↑r' < r
⊢ 𝓝 (x, x) ≤ 𝓟 (EMetric.ball (x, x) ↑r')
exact le_principal_iff.2 (EMetric.ball_mem_nhds _ r'0)