𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.147588
inst✝⁶ : IsROrC 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T S : E →L[𝕜] E
hT : IsPositive T
hS : IsPositive S
x : E
⊢ 0 ≤ reApplyInnerSelf (T + S) x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.147588
inst✝⁶ : IsROrC 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T S : E →L[𝕜] E
hT : IsPositive T
hS : IsPositive S
⊢ IsPositive (T + S)
refine' ⟨hT.isSelfAdjoint.add hS.isSelfAdjoint, fun x => _⟩
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.147588
inst✝⁶ : IsROrC 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T S : E →L[𝕜] E
hT : IsPositive T
hS : IsPositive S
x : E
⊢ 0 ≤ ↑re (inner (↑T x) x) + ↑re (inner (↑S x) x)
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.147588
inst✝⁶ : IsROrC 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T S : E →L[𝕜] E
hT : IsPositive T
hS : IsPositive S
x : E
⊢ 0 ≤ reApplyInnerSelf (T + S) x
rw [reApplyInnerSelf, add_apply, inner_add_left, map_add]
no goals
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.147588
inst✝⁶ : IsROrC 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T S : E →L[𝕜] E
hT : IsPositive T
hS : IsPositive S
x : E
⊢ 0 ≤ ↑re (inner (↑T x) x) + ↑re (inner (↑S x) x)
exact add_nonneg (hT.inner_nonneg_left x) (hS.inner_nonneg_left x)