case intro
p : ℝ
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
hu : IsOfFinAddOrder u
hu' : u ≠ 0
n : ℕ
hn : ‖u‖ = p * (↑n / ↑(addOrderOf u))
⊢ p ≤ addOrderOf u • ‖u‖
p : ℝ
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
hu : IsOfFinAddOrder u
hu' : u ≠ 0
⊢ p ≤ addOrderOf u • ‖u‖
obtain ⟨n, hn⟩ := exists_norm_eq_of_isOfFinAddOrder hu
case hu
p : ℝ
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
hu : IsOfFinAddOrder u
hu' : u ≠ 0
n : ℕ
hn : ‖u‖ = p * (↑n / ↑(addOrderOf u))
⊢ ↑(addOrderOf u) ≠ 0

case intro
p : ℝ
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
hu' : u ≠ 0
n : ℕ
hn : ‖u‖ = p * (↑n / ↑(addOrderOf u))
hu : ↑(addOrderOf u) ≠ 0
⊢ p ≤ addOrderOf u • ‖u‖
case intro
p : ℝ
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
hu : IsOfFinAddOrder u
hu' : u ≠ 0
n : ℕ
hn : ‖u‖ = p * (↑n / ↑(addOrderOf u))
⊢ p ≤ addOrderOf u • ‖u‖
replace hu : (addOrderOf u : ℝ) ≠ 0
case intro
p : ℝ
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
hu' : u ≠ 0
n : ℕ
hn : ‖u‖ = p * (↑n / ↑(addOrderOf u))
hu : ↑(addOrderOf u) ≠ 0
⊢ p * 1 ≤ addOrderOf u • ‖u‖
case intro
p : ℝ
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
hu' : u ≠ 0
n : ℕ
hn : ‖u‖ = p * (↑n / ↑(addOrderOf u))
hu : ↑(addOrderOf u) ≠ 0
⊢ p ≤ addOrderOf u • ‖u‖
conv_lhs => rw [← mul_one p]
case intro
p : ℝ
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
hu' : u ≠ 0
n : ℕ
hn : ‖u‖ = p * (↑n / ↑(addOrderOf u))
hu : ↑(addOrderOf u) ≠ 0
⊢ n ≠ 0
case intro
p : ℝ
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
hu' : u ≠ 0
n : ℕ
hn : ‖u‖ = p * (↑n / ↑(addOrderOf u))
hu : ↑(addOrderOf u) ≠ 0
⊢ p * 1 ≤ addOrderOf u • ‖u‖
rw [hn, nsmul_eq_mul, ← mul_assoc, mul_comm _ p, mul_assoc, mul_div_cancel' _ hu,
  mul_le_mul_left hp.out, Nat.one_le_cast, Nat.one_le_iff_ne_zero]
case intro
p : ℝ
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
n : ℕ
hn : ‖u‖ = p * (↑n / ↑(addOrderOf u))
hu : ↑(addOrderOf u) ≠ 0
hu' : n = 0
⊢ u = 0
case intro
p : ℝ
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
hu' : u ≠ 0
n : ℕ
hn : ‖u‖ = p * (↑n / ↑(addOrderOf u))
hu : ↑(addOrderOf u) ≠ 0
⊢ n ≠ 0
contrapose! hu'
no goals
case intro
p : ℝ
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
n : ℕ
hn : ‖u‖ = p * (↑n / ↑(addOrderOf u))
hu : ↑(addOrderOf u) ≠ 0
hu' : n = 0
⊢ u = 0
simpa only [hu', Nat.cast_zero, zero_div, MulZeroClass.mul_zero, norm_eq_zero] using hn
case hu
p : ℝ
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
hu : IsOfFinAddOrder u
hu' : u ≠ 0
n : ℕ
hn : ‖u‖ = p * (↑n / ↑(addOrderOf u))
⊢ ¬addOrderOf u = 0
case hu
p : ℝ
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
hu : IsOfFinAddOrder u
hu' : u ≠ 0
n : ℕ
hn : ‖u‖ = p * (↑n / ↑(addOrderOf u))
⊢ ↑(addOrderOf u) ≠ 0
norm_cast
no goals
case hu
p : ℝ
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
hu : IsOfFinAddOrder u
hu' : u ≠ 0
n : ℕ
hn : ‖u‖ = p * (↑n / ↑(addOrderOf u))
⊢ ¬addOrderOf u = 0
exact (addOrderOf_pos_iff.mpr hu).ne'