𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.81289
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
s : Set G
x : G
f' : G →L[𝕜] E
H : HasFDerivWithinAt (↑iso ∘ f) (comp (↑iso) f') s x
⊢ HasFDerivWithinAt f f' s x
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.81289
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
s : Set G
x : G
f' : G →L[𝕜] E
⊢ HasFDerivWithinAt (↑iso ∘ f) (comp (↑iso) f') s x ↔ HasFDerivWithinAt f f' s x
refine' ⟨fun H => _, fun H => iso.hasFDerivAt.comp_hasFDerivWithinAt x H⟩
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.81289
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
s : Set G
x : G
f' : G →L[𝕜] E
H : HasFDerivWithinAt (↑iso ∘ f) (comp (↑iso) f') s x
A : f = ↑(ContinuousLinearEquiv.symm iso) ∘ ↑iso ∘ f
⊢ HasFDerivWithinAt f f' s x
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.81289
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
s : Set G
x : G
f' : G →L[𝕜] E
H : HasFDerivWithinAt (↑iso ∘ f) (comp (↑iso) f') s x
⊢ HasFDerivWithinAt f f' s x
have A : f = iso.symm ∘ iso ∘ f := by
  rw [← Function.comp.assoc, iso.symm_comp_self]
  rfl
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.81289
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
s : Set G
x : G
f' : G →L[𝕜] E
H : HasFDerivWithinAt (↑iso ∘ f) (comp (↑iso) f') s x
A : f = ↑(ContinuousLinearEquiv.symm iso) ∘ ↑iso ∘ f
B : f' = comp (↑(ContinuousLinearEquiv.symm iso)) (comp (↑iso) f')
⊢ HasFDerivWithinAt f f' s x
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.81289
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
s : Set G
x : G
f' : G →L[𝕜] E
H : HasFDerivWithinAt (↑iso ∘ f) (comp (↑iso) f') s x
A : f = ↑(ContinuousLinearEquiv.symm iso) ∘ ↑iso ∘ f
⊢ HasFDerivWithinAt f f' s x
have B : f' = (iso.symm : F →L[𝕜] E).comp ((iso : E →L[𝕜] F).comp f') := by
  rw [← ContinuousLinearMap.comp_assoc, iso.coe_symm_comp_coe, ContinuousLinearMap.id_comp]
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.81289
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
s : Set G
x : G
f' : G →L[𝕜] E
H : HasFDerivWithinAt (↑iso ∘ f) (comp (↑iso) f') s x
A : f = ↑(ContinuousLinearEquiv.symm iso) ∘ ↑iso ∘ f
B : f' = comp (↑(ContinuousLinearEquiv.symm iso)) (comp (↑iso) f')
⊢ HasFDerivWithinAt (↑(ContinuousLinearEquiv.symm iso) ∘ ↑iso ∘ f)
    (comp (↑(ContinuousLinearEquiv.symm iso)) (comp (↑iso) f')) s x
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.81289
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
s : Set G
x : G
f' : G →L[𝕜] E
H : HasFDerivWithinAt (↑iso ∘ f) (comp (↑iso) f') s x
A : f = ↑(ContinuousLinearEquiv.symm iso) ∘ ↑iso ∘ f
B : f' = comp (↑(ContinuousLinearEquiv.symm iso)) (comp (↑iso) f')
⊢ HasFDerivWithinAt f f' s x
rw [A, B]
no goals
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.81289
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
s : Set G
x : G
f' : G →L[𝕜] E
H : HasFDerivWithinAt (↑iso ∘ f) (comp (↑iso) f') s x
A : f = ↑(ContinuousLinearEquiv.symm iso) ∘ ↑iso ∘ f
B : f' = comp (↑(ContinuousLinearEquiv.symm iso)) (comp (↑iso) f')
⊢ HasFDerivWithinAt (↑(ContinuousLinearEquiv.symm iso) ∘ ↑iso ∘ f)
    (comp (↑(ContinuousLinearEquiv.symm iso)) (comp (↑iso) f')) s x
exact iso.symm.hasFDerivAt.comp_hasFDerivWithinAt x H
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.81289
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
s : Set G
x : G
f' : G →L[𝕜] E
H : HasFDerivWithinAt (↑iso ∘ f) (comp (↑iso) f') s x
⊢ f = _root_.id ∘ f
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.81289
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
s : Set G
x : G
f' : G →L[𝕜] E
H : HasFDerivWithinAt (↑iso ∘ f) (comp (↑iso) f') s x
⊢ f = ↑(ContinuousLinearEquiv.symm iso) ∘ ↑iso ∘ f
rw [← Function.comp.assoc, iso.symm_comp_self]
no goals
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.81289
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
s : Set G
x : G
f' : G →L[𝕜] E
H : HasFDerivWithinAt (↑iso ∘ f) (comp (↑iso) f') s x
⊢ f = _root_.id ∘ f
rfl
no goals
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.81289
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
s : Set G
x : G
f' : G →L[𝕜] E
H : HasFDerivWithinAt (↑iso ∘ f) (comp (↑iso) f') s x
A : f = ↑(ContinuousLinearEquiv.symm iso) ∘ ↑iso ∘ f
⊢ f' = comp (↑(ContinuousLinearEquiv.symm iso)) (comp (↑iso) f')
rw [← ContinuousLinearMap.comp_assoc, iso.coe_symm_comp_coe, ContinuousLinearMap.id_comp]