ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
a : ℝ
h :
  ∀ (ε : ℝ),
    0 < ε →
      ∃ r,
        (∀ (c : ℝ≥0), RCond l (r c)) ∧
          ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I),
            MemBaseSet l I c (r c) π → IsPartition π → dist (integralSum f vol π) y ≤ a * ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
⊢ ∃ r,
    (∀ (c : ℝ≥0), RCond l (r c)) ∧
      ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I),
        MemBaseSet l I c (r c) π → IsPartition π → dist (integralSum f vol π) y ≤ ε
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
a : ℝ
h :
  ∀ (ε : ℝ),
    0 < ε →
      ∃ r,
        (∀ (c : ℝ≥0), RCond l (r c)) ∧
          ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I),
            MemBaseSet l I c (r c) π → IsPartition π → dist (integralSum f vol π) y ≤ a * ε
⊢ HasIntegral I l f vol y
refine' hasIntegral_iff.2 fun ε hε => _
case intro.intro
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
a : ℝ
h :
  ∀ (ε : ℝ),
    0 < ε →
      ∃ r,
        (∀ (c : ℝ≥0), RCond l (r c)) ∧
          ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I),
            MemBaseSet l I c (r c) π → IsPartition π → dist (integralSum f vol π) y ≤ a * ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
ε' : ℝ
hε' : 0 < ε'
ha : a * ε' < ε
⊢ ∃ r,
    (∀ (c : ℝ≥0), RCond l (r c)) ∧
      ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I),
        MemBaseSet l I c (r c) π → IsPartition π → dist (integralSum f vol π) y ≤ ε
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
a : ℝ
h :
  ∀ (ε : ℝ),
    0 < ε →
      ∃ r,
        (∀ (c : ℝ≥0), RCond l (r c)) ∧
          ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I),
            MemBaseSet l I c (r c) π → IsPartition π → dist (integralSum f vol π) y ≤ a * ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
⊢ ∃ r,
    (∀ (c : ℝ≥0), RCond l (r c)) ∧
      ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I),
        MemBaseSet l I c (r c) π → IsPartition π → dist (integralSum f vol π) y ≤ ε
rcases exists_pos_mul_lt hε a with ⟨ε', hε', ha⟩
case intro.intro.intro.intro
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
a : ℝ
h :
  ∀ (ε : ℝ),
    0 < ε →
      ∃ r,
        (∀ (c : ℝ≥0), RCond l (r c)) ∧
          ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I),
            MemBaseSet l I c (r c) π → IsPartition π → dist (integralSum f vol π) y ≤ a * ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
ε' : ℝ
hε' : 0 < ε'
ha : a * ε' < ε
r : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hr : ∀ (c : ℝ≥0), RCond l (r c)
H :
  ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I),
    MemBaseSet l I c (r c) π → IsPartition π → dist (integralSum f vol π) y ≤ a * ε'
⊢ ∃ r,
    (∀ (c : ℝ≥0), RCond l (r c)) ∧
      ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I),
        MemBaseSet l I c (r c) π → IsPartition π → dist (integralSum f vol π) y ≤ ε
case intro.intro
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
a : ℝ
h :
  ∀ (ε : ℝ),
    0 < ε →
      ∃ r,
        (∀ (c : ℝ≥0), RCond l (r c)) ∧
          ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I),
            MemBaseSet l I c (r c) π → IsPartition π → dist (integralSum f vol π) y ≤ a * ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
ε' : ℝ
hε' : 0 < ε'
ha : a * ε' < ε
⊢ ∃ r,
    (∀ (c : ℝ≥0), RCond l (r c)) ∧
      ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I),
        MemBaseSet l I c (r c) π → IsPartition π → dist (integralSum f vol π) y ≤ ε
rcases h ε' hε' with ⟨r, hr, H⟩
no goals
case intro.intro.intro.intro
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
a : ℝ
h :
  ∀ (ε : ℝ),
    0 < ε →
      ∃ r,
        (∀ (c : ℝ≥0), RCond l (r c)) ∧
          ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I),
            MemBaseSet l I c (r c) π → IsPartition π → dist (integralSum f vol π) y ≤ a * ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
ε' : ℝ
hε' : 0 < ε'
ha : a * ε' < ε
r : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hr : ∀ (c : ℝ≥0), RCond l (r c)
H :
  ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I),
    MemBaseSet l I c (r c) π → IsPartition π → dist (integralSum f vol π) y ≤ a * ε'
⊢ ∃ r,
    (∀ (c : ℝ≥0), RCond l (r c)) ∧
      ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I),
        MemBaseSet l I c (r c) π → IsPartition π → dist (integralSum f vol π) y ≤ ε
exact ⟨r, hr, fun c π hπ hπp => (H c π hπ hπp).trans ha.le⟩