case empty
α : Type u_2
β : Type ?u.595990
E : Type ?u.595993
F : Type ?u.595996
G : Type ?u.595999
E' : Type u_3
F' : Type u_4
G' : Type ?u.596008
E'' : Type ?u.596011
F'' : Type ?u.596014
G'' : Type ?u.596017
R : Type ?u.596020
R' : Type ?u.596023
𝕜 : Type ?u.596026
𝕜' : Type ?u.596029
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
ι : Type u_1
A : ι → α → E'
C : ι → ℝ
s : Finset ι
h✝ : ∀ (i : ι), i ∈ s → A i =o[l] g'
h : ∀ (i : ι), i ∈ ∅ → A i =o[l] g'
⊢ (fun x => ∑ i in ∅, A i x) =o[l] g'

case insert
α : Type u_2
β : Type ?u.595990
E : Type ?u.595993
F : Type ?u.595996
G : Type ?u.595999
E' : Type u_3
F' : Type u_4
G' : Type ?u.596008
E'' : Type ?u.596011
F'' : Type ?u.596014
G'' : Type ?u.596017
R : Type ?u.596020
R' : Type ?u.596023
𝕜 : Type ?u.596026
𝕜' : Type ?u.596029
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
ι : Type u_1
A : ι → α → E'
C : ι → ℝ
s✝ : Finset ι
h✝ : ∀ (i : ι), i ∈ s✝ → A i =o[l] g'
i : ι
s : Finset ι
is : ¬i ∈ s
IH : (∀ (i : ι), i ∈ s → A i =o[l] g') → (fun x => ∑ i in s, A i x) =o[l] g'
h : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ Insert.insert i s → A i_1 =o[l] g'
⊢ (fun x => ∑ i in Insert.insert i s, A i x) =o[l] g'
α : Type u_2
β : Type ?u.595990
E : Type ?u.595993
F : Type ?u.595996
G : Type ?u.595999
E' : Type u_3
F' : Type u_4
G' : Type ?u.596008
E'' : Type ?u.596011
F'' : Type ?u.596014
G'' : Type ?u.596017
R : Type ?u.596020
R' : Type ?u.596023
𝕜 : Type ?u.596026
𝕜' : Type ?u.596029
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
ι : Type u_1
A : ι → α → E'
C : ι → ℝ
s : Finset ι
h : ∀ (i : ι), i ∈ s → A i =o[l] g'
⊢ (fun x => ∑ i in s, A i x) =o[l] g'
induction' s using Finset.induction_on with i s is IH
no goals
case empty
α : Type u_2
β : Type ?u.595990
E : Type ?u.595993
F : Type ?u.595996
G : Type ?u.595999
E' : Type u_3
F' : Type u_4
G' : Type ?u.596008
E'' : Type ?u.596011
F'' : Type ?u.596014
G'' : Type ?u.596017
R : Type ?u.596020
R' : Type ?u.596023
𝕜 : Type ?u.596026
𝕜' : Type ?u.596029
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
ι : Type u_1
A : ι → α → E'
C : ι → ℝ
s : Finset ι
h✝ : ∀ (i : ι), i ∈ s → A i =o[l] g'
h : ∀ (i : ι), i ∈ ∅ → A i =o[l] g'
⊢ (fun x => ∑ i in ∅, A i x) =o[l] g'
simp only [isLittleO_zero, Finset.sum_empty, forall_true_iff]
case insert
α : Type u_2
β : Type ?u.595990
E : Type ?u.595993
F : Type ?u.595996
G : Type ?u.595999
E' : Type u_3
F' : Type u_4
G' : Type ?u.596008
E'' : Type ?u.596011
F'' : Type ?u.596014
G'' : Type ?u.596017
R : Type ?u.596020
R' : Type ?u.596023
𝕜 : Type ?u.596026
𝕜' : Type ?u.596029
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
ι : Type u_1
A : ι → α → E'
C : ι → ℝ
s✝ : Finset ι
h✝ : ∀ (i : ι), i ∈ s✝ → A i =o[l] g'
i : ι
s : Finset ι
is : ¬i ∈ s
IH : (∀ (i : ι), i ∈ s → A i =o[l] g') → (fun x => ∑ i in s, A i x) =o[l] g'
h : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ Insert.insert i s → A i_1 =o[l] g'
⊢ (fun x => A i x + ∑ i in s, A i x) =o[l] g'
case insert
α : Type u_2
β : Type ?u.595990
E : Type ?u.595993
F : Type ?u.595996
G : Type ?u.595999
E' : Type u_3
F' : Type u_4
G' : Type ?u.596008
E'' : Type ?u.596011
F'' : Type ?u.596014
G'' : Type ?u.596017
R : Type ?u.596020
R' : Type ?u.596023
𝕜 : Type ?u.596026
𝕜' : Type ?u.596029
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
ι : Type u_1
A : ι → α → E'
C : ι → ℝ
s✝ : Finset ι
h✝ : ∀ (i : ι), i ∈ s✝ → A i =o[l] g'
i : ι
s : Finset ι
is : ¬i ∈ s
IH : (∀ (i : ι), i ∈ s → A i =o[l] g') → (fun x => ∑ i in s, A i x) =o[l] g'
h : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ Insert.insert i s → A i_1 =o[l] g'
⊢ (fun x => ∑ i in Insert.insert i s, A i x) =o[l] g'
simp only [is, Finset.sum_insert, not_false_iff]
no goals
case insert
α : Type u_2
β : Type ?u.595990
E : Type ?u.595993
F : Type ?u.595996
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E' : Type u_3
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R' : Type ?u.596023
𝕜 : Type ?u.596026
𝕜' : Type ?u.596029
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
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inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
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f' : α → E'
g' : α → F'
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f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
ι : Type u_1
A : ι → α → E'
C : ι → ℝ
s✝ : Finset ι
h✝ : ∀ (i : ι), i ∈ s✝ → A i =o[l] g'
i : ι
s : Finset ι
is : ¬i ∈ s
IH : (∀ (i : ι), i ∈ s → A i =o[l] g') → (fun x => ∑ i in s, A i x) =o[l] g'
h : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ Insert.insert i s → A i_1 =o[l] g'
⊢ (fun x => A i x + ∑ i in s, A i x) =o[l] g'
exact (h _ (Finset.mem_insert_self i s)).add (IH fun j hj => h _ (Finset.mem_insert_of_mem hj))