case refine'_1
α : Type u
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ abs a⁻ ≤ 1

case refine'_2
α : Type u
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ 1 ≤ abs a⁻
α : Type u
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ abs a⁻ = 1
refine' le_antisymm _ _
case refine'_1
α : Type u
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ abs a⁻ ≤ a⁺ ⊓ a⁻
case refine'_1
α : Type u
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ abs a⁻ ≤ 1
rw [← pos_inf_neg_eq_one a]
case refine'_1.a
α : Type u
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ abs a⁻ ≤ a⁺

case refine'_1.a
α : Type u
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ abs a⁻ ≤ a⁻
case refine'_1
α : Type u
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ abs a⁻ ≤ a⁺ ⊓ a⁻
apply le_inf
case refine'_1.a
α : Type u
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ abs a⁻ ≤ a⁻¹⁻
case refine'_1.a
α : Type u
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ abs a⁻ ≤ a⁺
rw [pos_eq_neg_inv]
no goals
case refine'_1.a
α : Type u
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ abs a⁻ ≤ a⁻¹⁻
exact ((m_le_iff_pos_le_neg_ge _ _).mp (inv_le_abs a)).right
no goals
case refine'_1.a
α : Type u
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ abs a⁻ ≤ a⁻
exact And.right (Iff.mp (m_le_iff_pos_le_neg_ge _ _) (le_mabs a))
no goals
case refine'_2
α : Type u
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
⊢ 1 ≤ abs a⁻
exact one_le_neg _