α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type ?u.24141
P : Type ?u.24144
R : Type u_3
S : Type ?u.24150
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
h : Disjoint s t
a₁ : α
h₁ : a₁ ∈ s
⊢ comap (lsingle a₁) (⨅ (a : α) (_ : a ∈ t), ker (lapply a)) = ⊤
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type ?u.24141
P : Type ?u.24144
R : Type u_3
S : Type ?u.24150
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
h : Disjoint s t
⊢ (⨆ (a : α) (_ : a ∈ s), LinearMap.range (lsingle a)) ≤ ⨅ (a : α) (_ : a ∈ t), ker (lapply a)
refine' iSup_le fun a₁ => iSup_le fun h₁ => range_le_iff_comap.2 _
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type ?u.24141
P : Type ?u.24144
R : Type u_3
S : Type ?u.24150
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
h : Disjoint s t
a₁ : α
h₁ : a₁ ∈ s
⊢ ∀ ⦃x : M⦄, x ∈ ⊤ → ∀ (i : α), i ∈ t → x ∈ comap (lsingle a₁) (ker (lapply i))
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type ?u.24141
P : Type ?u.24144
R : Type u_3
S : Type ?u.24150
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
h : Disjoint s t
a₁ : α
h₁ : a₁ ∈ s
⊢ comap (lsingle a₁) (⨅ (a : α) (_ : a ∈ t), ker (lapply a)) = ⊤
simp only [(ker_comp _ _).symm, eq_top_iff, SetLike.le_def, mem_ker, comap_iInf, mem_iInf]
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type ?u.24141
P : Type ?u.24144
R : Type u_3
S : Type ?u.24150
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
h : Disjoint s t
a₁ : α
h₁ : a₁ ∈ s
b : M
a✝ : b ∈ ⊤
a₂ : α
h₂ : a₂ ∈ t
⊢ b ∈ comap (lsingle a₁) (ker (lapply a₂))
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type ?u.24141
P : Type ?u.24144
R : Type u_3
S : Type ?u.24150
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
h : Disjoint s t
a₁ : α
h₁ : a₁ ∈ s
⊢ ∀ ⦃x : M⦄, x ∈ ⊤ → ∀ (i : α), i ∈ t → x ∈ comap (lsingle a₁) (ker (lapply i))
intro b _ a₂ h₂
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type ?u.24141
P : Type ?u.24144
R : Type u_3
S : Type ?u.24150
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
h : Disjoint s t
a₁ : α
h₁ : a₁ ∈ s
b : M
a✝ : b ∈ ⊤
a₂ : α
h₂ : a₂ ∈ t
this : a₁ ≠ a₂
⊢ b ∈ comap (lsingle a₁) (ker (lapply a₂))
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type ?u.24141
P : Type ?u.24144
R : Type u_3
S : Type ?u.24150
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
h : Disjoint s t
a₁ : α
h₁ : a₁ ∈ s
b : M
a✝ : b ∈ ⊤
a₂ : α
h₂ : a₂ ∈ t
⊢ b ∈ comap (lsingle a₁) (ker (lapply a₂))
have : a₁ ≠ a₂ := fun eq => h.le_bot ⟨h₁, eq.symm ▸ h₂⟩
no goals
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type ?u.24141
P : Type ?u.24144
R : Type u_3
S : Type ?u.24150
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
h : Disjoint s t
a₁ : α
h₁ : a₁ ∈ s
b : M
a✝ : b ∈ ⊤
a₂ : α
h₂ : a₂ ∈ t
this : a₁ ≠ a₂
⊢ b ∈ comap (lsingle a₁) (ker (lapply a₂))
exact single_eq_of_ne this