𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.101028
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.101123
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : ∀ (x' : E), ‖x' - x‖ = 0 → ‖f x' - f x - ↑f' (x' - x)‖ = 0
⊢ HasFDerivAtFilter f f' x L ↔ Tendsto (fun x' => ‖x' - x‖⁻¹ * ‖f x' - f x - ↑f' (x' - x)‖) L (𝓝 0)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.101028
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.101123
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
⊢ HasFDerivAtFilter f f' x L ↔ Tendsto (fun x' => ‖x' - x‖⁻¹ * ‖f x' - f x - ↑f' (x' - x)‖) L (𝓝 0)
have h : ∀ x', ‖x' - x‖ = 0 → ‖f x' - f x - f' (x' - x)‖ = 0 := fun x' hx' => by
  rw [sub_eq_zero.1 (norm_eq_zero.1 hx')]
  simp
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.101028
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.101123
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : ∀ (x' : E), ‖x' - x‖ = 0 → ‖f x' - f x - ↑f' (x' - x)‖ = 0
⊢ ((fun x' => f x' - f x - ↑f' (x' - x)) =o[L] fun x' => x' - x) ↔
    Tendsto (fun x' => ‖x' - x‖⁻¹ * ‖f x' - f x - ↑f' (x' - x)‖) L (𝓝 0)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.101028
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.101123
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : ∀ (x' : E), ‖x' - x‖ = 0 → ‖f x' - f x - ↑f' (x' - x)‖ = 0
⊢ HasFDerivAtFilter f f' x L ↔ Tendsto (fun x' => ‖x' - x‖⁻¹ * ‖f x' - f x - ↑f' (x' - x)‖) L (𝓝 0)
unfold HasFDerivAtFilter
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.101028
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.101123
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : ∀ (x' : E), ‖x' - x‖ = 0 → ‖f x' - f x - ↑f' (x' - x)‖ = 0
⊢ Tendsto (fun x_1 => ‖f x_1 - f x - ↑f' (x_1 - x)‖ / ‖x_1 - x‖) L (𝓝 0) ↔
    Tendsto (fun x' => ‖x' - x‖⁻¹ * ‖f x' - f x - ↑f' (x' - x)‖) L (𝓝 0)
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.101028
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.101123
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : ∀ (x' : E), ‖x' - x‖ = 0 → ‖f x' - f x - ↑f' (x' - x)‖ = 0
⊢ ((fun x' => f x' - f x - ↑f' (x' - x)) =o[L] fun x' => x' - x) ↔
    Tendsto (fun x' => ‖x' - x‖⁻¹ * ‖f x' - f x - ↑f' (x' - x)‖) L (𝓝 0)
rw [← isLittleO_norm_left, ← isLittleO_norm_right, isLittleO_iff_tendsto h]
no goals
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.101028
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.101123
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : ∀ (x' : E), ‖x' - x‖ = 0 → ‖f x' - f x - ↑f' (x' - x)‖ = 0
⊢ Tendsto (fun x_1 => ‖f x_1 - f x - ↑f' (x_1 - x)‖ / ‖x_1 - x‖) L (𝓝 0) ↔
    Tendsto (fun x' => ‖x' - x‖⁻¹ * ‖f x' - f x - ↑f' (x' - x)‖) L (𝓝 0)
exact tendsto_congr fun _ => div_eq_inv_mul _ _
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.101028
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.101123
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
x' : E
hx' : ‖x' - x‖ = 0
⊢ ‖f x - f x - ↑f' (x - x)‖ = 0
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.101028
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.101123
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
x' : E
hx' : ‖x' - x‖ = 0
⊢ ‖f x' - f x - ↑f' (x' - x)‖ = 0
rw [sub_eq_zero.1 (norm_eq_zero.1 hx')]
no goals
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.101028
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.101123
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
x' : E
hx' : ‖x' - x‖ = 0
⊢ ‖f x - f x - ↑f' (x - x)‖ = 0
simp