α : Type u_1
β : Type ?u.55712
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.55721
E' : Type ?u.55724
F' : Type ?u.55727
G' : Type ?u.55730
E'' : Type ?u.55733
F'' : Type ?u.55736
G'' : Type ?u.55739
R : Type ?u.55742
R' : Type ?u.55745
𝕜 : Type ?u.55748
𝕜' : Type ?u.55751
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E
g₁ g₂ : α → F
hc : c₁ = c₂
hf : f₁ =ᶠ[l] f₂
hg : g₁ =ᶠ[l] g₂
⊢ (∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₁ x‖ ≤ c₁ * ‖g₁ x‖) ↔ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₂ x‖ ≤ c₂ * ‖g₂ x‖
α : Type u_1
β : Type ?u.55712
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.55721
E' : Type ?u.55724
F' : Type ?u.55727
G' : Type ?u.55730
E'' : Type ?u.55733
F'' : Type ?u.55736
G'' : Type ?u.55739
R : Type ?u.55742
R' : Type ?u.55745
𝕜 : Type ?u.55748
𝕜' : Type ?u.55751
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E
g₁ g₂ : α → F
hc : c₁ = c₂
hf : f₁ =ᶠ[l] f₂
hg : g₁ =ᶠ[l] g₂
⊢ IsBigOWith c₁ l f₁ g₁ ↔ IsBigOWith c₂ l f₂ g₂
simp only [IsBigOWith_def]
α : Type u_1
β : Type ?u.55712
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.55721
E' : Type ?u.55724
F' : Type ?u.55727
G' : Type ?u.55730
E'' : Type ?u.55733
F'' : Type ?u.55736
G'' : Type ?u.55739
R : Type ?u.55742
R' : Type ?u.55745
𝕜 : Type ?u.55748
𝕜' : Type ?u.55751
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E
g₁ g₂ : α → F
hf : f₁ =ᶠ[l] f₂
hg : g₁ =ᶠ[l] g₂
⊢ (∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₁ x‖ ≤ c₁ * ‖g₁ x‖) ↔ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₂ x‖ ≤ c₁ * ‖g₂ x‖
α : Type u_1
β : Type ?u.55712
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.55721
E' : Type ?u.55724
F' : Type ?u.55727
G' : Type ?u.55730
E'' : Type ?u.55733
F'' : Type ?u.55736
G'' : Type ?u.55739
R : Type ?u.55742
R' : Type ?u.55745
𝕜 : Type ?u.55748
𝕜' : Type ?u.55751
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E
g₁ g₂ : α → F
hc : c₁ = c₂
hf : f₁ =ᶠ[l] f₂
hg : g₁ =ᶠ[l] g₂
⊢ (∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₁ x‖ ≤ c₁ * ‖g₁ x‖) ↔ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₂ x‖ ≤ c₂ * ‖g₂ x‖
subst c₂
case h
α : Type u_1
β : Type ?u.55712
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.55721
E' : Type ?u.55724
F' : Type ?u.55727
G' : Type ?u.55730
E'' : Type ?u.55733
F'' : Type ?u.55736
G'' : Type ?u.55739
R : Type ?u.55742
R' : Type ?u.55745
𝕜 : Type ?u.55748
𝕜' : Type ?u.55751
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E
g₁ g₂ : α → F
hf : f₁ =ᶠ[l] f₂
hg : g₁ =ᶠ[l] g₂
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₁ x‖ ≤ c₁ * ‖g₁ x‖ ↔ ‖f₂ x‖ ≤ c₁ * ‖g₂ x‖
α : Type u_1
β : Type ?u.55712
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.55721
E' : Type ?u.55724
F' : Type ?u.55727
G' : Type ?u.55730
E'' : Type ?u.55733
F'' : Type ?u.55736
G'' : Type ?u.55739
R : Type ?u.55742
R' : Type ?u.55745
𝕜 : Type ?u.55748
𝕜' : Type ?u.55751
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E
g₁ g₂ : α → F
hf : f₁ =ᶠ[l] f₂
hg : g₁ =ᶠ[l] g₂
⊢ (∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₁ x‖ ≤ c₁ * ‖g₁ x‖) ↔ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₂ x‖ ≤ c₁ * ‖g₂ x‖
apply Filter.eventually_congr
case h
α : Type u_1
β : Type ?u.55712
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.55721
E' : Type ?u.55724
F' : Type ?u.55727
G' : Type ?u.55730
E'' : Type ?u.55733
F'' : Type ?u.55736
G'' : Type ?u.55739
R : Type ?u.55742
R' : Type ?u.55745
𝕜 : Type ?u.55748
𝕜' : Type ?u.55751
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E
g₁ g₂ : α → F
hf : f₁ =ᶠ[l] f₂
hg : g₁ =ᶠ[l] g₂
a✝ : α
e₁ : f₁ a✝ = f₂ a✝
e₂ : g₁ a✝ = g₂ a✝
⊢ ‖f₁ a✝‖ ≤ c₁ * ‖g₁ a✝‖ ↔ ‖f₂ a✝‖ ≤ c₁ * ‖g₂ a✝‖
case h
α : Type u_1
β : Type ?u.55712
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.55721
E' : Type ?u.55724
F' : Type ?u.55727
G' : Type ?u.55730
E'' : Type ?u.55733
F'' : Type ?u.55736
G'' : Type ?u.55739
R : Type ?u.55742
R' : Type ?u.55745
𝕜 : Type ?u.55748
𝕜' : Type ?u.55751
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E
g₁ g₂ : α → F
hf : f₁ =ᶠ[l] f₂
hg : g₁ =ᶠ[l] g₂
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₁ x‖ ≤ c₁ * ‖g₁ x‖ ↔ ‖f₂ x‖ ≤ c₁ * ‖g₂ x‖
filter_upwards [hf, hg]with _ e₁ e₂
no goals
case h
α : Type u_1
β : Type ?u.55712
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.55721
E' : Type ?u.55724
F' : Type ?u.55727
G' : Type ?u.55730
E'' : Type ?u.55733
F'' : Type ?u.55736
G'' : Type ?u.55739
R : Type ?u.55742
R' : Type ?u.55745
𝕜 : Type ?u.55748
𝕜' : Type ?u.55751
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E
g₁ g₂ : α → F
hf : f₁ =ᶠ[l] f₂
hg : g₁ =ᶠ[l] g₂
a✝ : α
e₁ : f₁ a✝ = f₂ a✝
e₂ : g₁ a✝ = g₂ a✝
⊢ ‖f₁ a✝‖ ≤ c₁ * ‖g₁ a✝‖ ↔ ‖f₂ a✝‖ ≤ c₁ * ‖g₂ a✝‖
rw [e₁, e₂]