𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.965333
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x✝ r
u : Set (F × F)
hu : u ∈ uniformity F
x : E
hx : x ∈ EMetric.ball 0 r
⊢ ∃ t,
    t ∈ 𝓝[EMetric.ball 0 r] x ∧
      ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop,
        ∀ (y : E), y ∈ t → ((fun y => f (x✝ + y)) y, (fun n y => FormalMultilinearSeries.partialSum p n y) n y) ∈ u
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.965333
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
⊢ TendstoLocallyUniformlyOn (fun n y => FormalMultilinearSeries.partialSum p n y) (fun y => f (x + y)) atTop
    (EMetric.ball 0 r)
intro u hu x hx
case intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.965333
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x✝ r
u : Set (F × F)
hu : u ∈ uniformity F
x : E
hx : x ∈ EMetric.ball 0 r
r' : ℝ≥0
xr' : edist x 0 < ↑r'
hr' : ↑r' < r
⊢ ∃ t,
    t ∈ 𝓝[EMetric.ball 0 r] x ∧
      ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop,
        ∀ (y : E), y ∈ t → ((fun y => f (x✝ + y)) y, (fun n y => FormalMultilinearSeries.partialSum p n y) n y) ∈ u
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.965333
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x✝ r
u : Set (F × F)
hu : u ∈ uniformity F
x : E
hx : x ∈ EMetric.ball 0 r
⊢ ∃ t,
    t ∈ 𝓝[EMetric.ball 0 r] x ∧
      ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop,
        ∀ (y : E), y ∈ t → ((fun y => f (x✝ + y)) y, (fun n y => FormalMultilinearSeries.partialSum p n y) n y) ∈ u
rcases ENNReal.lt_iff_exists_nnreal_btwn.1 hx with ⟨r', xr', hr'⟩
case intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.965333
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x✝ r
u : Set (F × F)
hu : u ∈ uniformity F
x : E
hx : x ∈ EMetric.ball 0 r
r' : ℝ≥0
xr' : edist x 0 < ↑r'
hr' : ↑r' < r
this : EMetric.ball 0 ↑r' ∈ 𝓝 x
⊢ ∃ t,
    t ∈ 𝓝[EMetric.ball 0 r] x ∧
      ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop,
        ∀ (y : E), y ∈ t → ((fun y => f (x✝ + y)) y, (fun n y => FormalMultilinearSeries.partialSum p n y) n y) ∈ u
case intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.965333
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x✝ r
u : Set (F × F)
hu : u ∈ uniformity F
x : E
hx : x ∈ EMetric.ball 0 r
r' : ℝ≥0
xr' : edist x 0 < ↑r'
hr' : ↑r' < r
⊢ ∃ t,
    t ∈ 𝓝[EMetric.ball 0 r] x ∧
      ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop,
        ∀ (y : E), y ∈ t → ((fun y => f (x✝ + y)) y, (fun n y => FormalMultilinearSeries.partialSum p n y) n y) ∈ u
have : EMetric.ball (0 : E) r' ∈ 𝓝 x := IsOpen.mem_nhds EMetric.isOpen_ball xr'
case intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.965333
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x✝ r
u : Set (F × F)
hu : u ∈ uniformity F
x : E
hx : x ∈ EMetric.ball 0 r
r' : ℝ≥0
xr' : edist x 0 < ↑r'
hr' : ↑r' < r
this : EMetric.ball 0 ↑r' ∈ 𝓝 x
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop,
    ∀ (y : E),
      y ∈ EMetric.ball 0 ↑r' → ((fun y => f (x✝ + y)) y, (fun n y => FormalMultilinearSeries.partialSum p n y) n y) ∈ u
case intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.965333
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x✝ r
u : Set (F × F)
hu : u ∈ uniformity F
x : E
hx : x ∈ EMetric.ball 0 r
r' : ℝ≥0
xr' : edist x 0 < ↑r'
hr' : ↑r' < r
this : EMetric.ball 0 ↑r' ∈ 𝓝 x
⊢ ∃ t,
    t ∈ 𝓝[EMetric.ball 0 r] x ∧
      ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop,
        ∀ (y : E), y ∈ t → ((fun y => f (x✝ + y)) y, (fun n y => FormalMultilinearSeries.partialSum p n y) n y) ∈ u
refine' ⟨EMetric.ball (0 : E) r', mem_nhdsWithin_of_mem_nhds this, _⟩
no goals
case intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.965333
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ : E
r r'✝ : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x✝ r
u : Set (F × F)
hu : u ∈ uniformity F
x : E
hx : x ∈ EMetric.ball 0 r
r' : ℝ≥0
xr' : edist x 0 < ↑r'
hr' : ↑r' < r
this : EMetric.ball 0 ↑r' ∈ 𝓝 x
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop,
    ∀ (y : E),
      y ∈ EMetric.ball 0 ↑r' → ((fun y => f (x✝ + y)) y, (fun n y => FormalMultilinearSeries.partialSum p n y) n y) ∈ u
simpa [Metric.emetric_ball_nnreal] using hf.tendstoUniformlyOn hr' u hu