case refine'_1
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
⊢ Independent f → LinearIndependent K (Projectivization.rep ∘ f)

case refine'_2
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
h : LinearIndependent K (Projectivization.rep ∘ f)
⊢ Independent f
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
⊢ Independent f ↔ LinearIndependent K (Projectivization.rep ∘ f)
refine' ⟨_, fun h => _⟩
case refine'_1.mk
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
ff : ι → V
hff : ∀ (i : ι), ff i ≠ 0
hh : LinearIndependent K ff
⊢ LinearIndependent K (Projectivization.rep ∘ fun i => mk K (ff i) (_ : ff i ≠ 0))
case refine'_1
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
⊢ Independent f → LinearIndependent K (Projectivization.rep ∘ f)
rintro ⟨ff, hff, hh⟩
case refine'_1.mk
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
ff : ι → V
hff : ∀ (i : ι), ff i ≠ 0
hh : LinearIndependent K ff
a : ι → Kˣ
ha : ∀ (i : ι), a i • ff i = Projectivization.rep (mk K (ff i) (_ : ff i ≠ 0))
⊢ LinearIndependent K (Projectivization.rep ∘ fun i => mk K (ff i) (_ : ff i ≠ 0))
case refine'_1.mk
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
ff : ι → V
hff : ∀ (i : ι), ff i ≠ 0
hh : LinearIndependent K ff
⊢ LinearIndependent K (Projectivization.rep ∘ fun i => mk K (ff i) (_ : ff i ≠ 0))
choose a ha using fun i : ι => exists_smul_eq_mk_rep K (ff i) (hff i)
case h.e'_4
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
ff : ι → V
hff : ∀ (i : ι), ff i ≠ 0
hh : LinearIndependent K ff
a : ι → Kˣ
ha : ∀ (i : ι), a i • ff i = Projectivization.rep (mk K (ff i) (_ : ff i ≠ 0))
⊢ (Projectivization.rep ∘ fun i => mk K (ff i) (_ : ff i ≠ 0)) = a • ff
case refine'_1.mk
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
ff : ι → V
hff : ∀ (i : ι), ff i ≠ 0
hh : LinearIndependent K ff
a : ι → Kˣ
ha : ∀ (i : ι), a i • ff i = Projectivization.rep (mk K (ff i) (_ : ff i ≠ 0))
⊢ LinearIndependent K (Projectivization.rep ∘ fun i => mk K (ff i) (_ : ff i ≠ 0))
convert hh.units_smul a
case h.e'_4.h
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
ff : ι → V
hff : ∀ (i : ι), ff i ≠ 0
hh : LinearIndependent K ff
a : ι → Kˣ
ha : ∀ (i : ι), a i • ff i = Projectivization.rep (mk K (ff i) (_ : ff i ≠ 0))
i : ι
⊢ (Projectivization.rep ∘ fun i => mk K (ff i) (_ : ff i ≠ 0)) i = (a • ff) i
case h.e'_4
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
ff : ι → V
hff : ∀ (i : ι), ff i ≠ 0
hh : LinearIndependent K ff
a : ι → Kˣ
ha : ∀ (i : ι), a i • ff i = Projectivization.rep (mk K (ff i) (_ : ff i ≠ 0))
⊢ (Projectivization.rep ∘ fun i => mk K (ff i) (_ : ff i ≠ 0)) = a • ff
ext i
no goals
case h.e'_4.h
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
ff : ι → V
hff : ∀ (i : ι), ff i ≠ 0
hh : LinearIndependent K ff
a : ι → Kˣ
ha : ∀ (i : ι), a i • ff i = Projectivization.rep (mk K (ff i) (_ : ff i ≠ 0))
i : ι
⊢ (Projectivization.rep ∘ fun i => mk K (ff i) (_ : ff i ≠ 0)) i = (a • ff) i
exact (ha i).symm
case h.e'_7.h
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
h : LinearIndependent K (Projectivization.rep ∘ f)
x✝ : ι
⊢ f x✝ = mk K ((Projectivization.rep ∘ f) x✝) (_ : ?m.12213 x✝ ≠ 0)

case refine'_2
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
h : LinearIndependent K (Projectivization.rep ∘ f)
⊢ ∀ (i : ι), (Projectivization.rep ∘ f) i ≠ 0
case refine'_2
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
h : LinearIndependent K (Projectivization.rep ∘ f)
⊢ Independent f
convert Independent.mk _ _ h
no goals
case h.e'_7.h
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
h : LinearIndependent K (Projectivization.rep ∘ f)
x✝ : ι
⊢ f x✝ = mk K ((Projectivization.rep ∘ f) x✝) (_ : ?m.12213 x✝ ≠ 0)
simp only [mk_rep, Function.comp_apply]
case refine'_2
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
h : LinearIndependent K (Projectivization.rep ∘ f)
i : ι
⊢ (Projectivization.rep ∘ f) i ≠ 0
case refine'_2
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
h : LinearIndependent K (Projectivization.rep ∘ f)
⊢ ∀ (i : ι), (Projectivization.rep ∘ f) i ≠ 0
intro i
no goals
case refine'_2
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
h : LinearIndependent K (Projectivization.rep ∘ f)
i : ι
⊢ (Projectivization.rep ∘ f) i ≠ 0
apply rep_nonzero