case refine'_1
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n
⊢ ∑ i in Ioc k k, (↑(i ^ 2))⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑k)⁻¹

case refine'_2
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n
⊢ ∀ (n : ℕ),
    k ≤ n → ∑ i in Ioc k n, (↑(i ^ 2))⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹ → ∑ i in Ioc k (n + 1), (↑(i ^ 2))⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑(n + 1))⁻¹
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n
⊢ ∑ i in Ioc k n, (↑(i ^ 2))⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹
refine' Nat.le_induction _ _ n h
case refine'_2
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n✝ : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n✝
n : ℕ
hn : k ≤ n
IH : ∑ i in Ioc k n, (↑(i ^ 2))⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹
⊢ ∑ i in Ioc k (n + 1), (↑(i ^ 2))⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑(n + 1))⁻¹
case refine'_2
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n
⊢ ∀ (n : ℕ),
    k ≤ n → ∑ i in Ioc k n, (↑(i ^ 2))⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹ → ∑ i in Ioc k (n + 1), (↑(i ^ 2))⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑(n + 1))⁻¹
intro n hn IH
case refine'_2
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n✝ : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n✝
n : ℕ
hn : k ≤ n
IH : ∑ i in Ioc k n, (↑(i ^ 2))⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹
⊢ ∑ k in Ioc k n, (↑(k ^ 2))⁻¹ + (↑((n + 1) ^ 2))⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑(n + 1))⁻¹
case refine'_2
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n✝ : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n✝
n : ℕ
hn : k ≤ n
IH : ∑ i in Ioc k n, (↑(i ^ 2))⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹
⊢ ∑ i in Ioc k (n + 1), (↑(i ^ 2))⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑(n + 1))⁻¹
rw [sum_Ioc_succ_top hn]
case refine'_2
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n✝ : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n✝
n : ℕ
hn : k ≤ n
IH : ∑ i in Ioc k n, (↑(i ^ 2))⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹
⊢ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹ + (↑((n + 1) ^ 2))⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑(n + 1))⁻¹
case refine'_2
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n✝ : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n✝
n : ℕ
hn : k ≤ n
IH : ∑ i in Ioc k n, (↑(i ^ 2))⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹
⊢ ∑ k in Ioc k n, (↑(k ^ 2))⁻¹ + (↑((n + 1) ^ 2))⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑(n + 1))⁻¹
apply (add_le_add IH le_rfl).trans
case refine'_2
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n✝ : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n✝
n : ℕ
hn : k ≤ n
IH : ∑ i in Ioc k n, (↑(i ^ 2))⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹
⊢ (↑((n + 1) ^ 2))⁻¹ + (↑n + 1)⁻¹ ≤ (↑n)⁻¹
case refine'_2
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n✝ : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n✝
n : ℕ
hn : k ≤ n
IH : ∑ i in Ioc k n, (↑(i ^ 2))⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹
⊢ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹ + (↑((n + 1) ^ 2))⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑(n + 1))⁻¹
simp only [sub_eq_add_neg, add_assoc, Nat.cast_add, Nat.cast_one, le_add_neg_iff_add_le,
  add_le_iff_nonpos_right, neg_add_le_iff_le_add, add_zero]
case refine'_2
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n✝ : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n✝
n : ℕ
hn : k ≤ n
IH : ∑ i in Ioc k n, (↑(i ^ 2))⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹
A : 0 < ↑n
⊢ (↑((n + 1) ^ 2))⁻¹ + (↑n + 1)⁻¹ ≤ (↑n)⁻¹
case refine'_2
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n✝ : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n✝
n : ℕ
hn : k ≤ n
IH : ∑ i in Ioc k n, (↑(i ^ 2))⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹
⊢ (↑((n + 1) ^ 2))⁻¹ + (↑n + 1)⁻¹ ≤ (↑n)⁻¹
have A : 0 < (n : α) := by simpa using hk.bot_lt.trans_le hn
case refine'_2
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n✝ : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n✝
n : ℕ
hn : k ≤ n
IH : ∑ i in Ioc k n, (↑(i ^ 2))⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹
A : 0 < ↑n
B : 0 < ↑n + 1
⊢ (↑((n + 1) ^ 2))⁻¹ + (↑n + 1)⁻¹ ≤ (↑n)⁻¹
case refine'_2
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n✝ : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n✝
n : ℕ
hn : k ≤ n
IH : ∑ i in Ioc k n, (↑(i ^ 2))⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹
A : 0 < ↑n
⊢ (↑((n + 1) ^ 2))⁻¹ + (↑n + 1)⁻¹ ≤ (↑n)⁻¹
have B : 0 < (n : α) + 1 := by linarith
case refine'_2
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n✝ : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n✝
n : ℕ
hn : k ≤ n
IH : ∑ i in Ioc k n, (↑(i ^ 2))⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹
A : 0 < ↑n
B : 0 < ↑n + 1
⊢ (↑n + 1 + (↑n + 1) ^ 2) / ((↑n + 1) ^ 2 * (↑n + 1)) ≤ 1 / ↑n
case refine'_2
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n✝ : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n✝
n : ℕ
hn : k ≤ n
IH : ∑ i in Ioc k n, (↑(i ^ 2))⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹
A : 0 < ↑n
B : 0 < ↑n + 1
⊢ (↑((n + 1) ^ 2))⁻¹ + (↑n + 1)⁻¹ ≤ (↑n)⁻¹
field_simp [B.ne']
case refine'_2
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n✝ : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n✝
n : ℕ
hn : k ≤ n
IH : ∑ i in Ioc k n, (↑(i ^ 2))⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹
A : 0 < ↑n
B : 0 < ↑n + 1
⊢ 0 ≤ 1 * ((↑n + 1) ^ 2 * (↑n + 1)) - (↑n + 1 + (↑n + 1) ^ 2) * ↑n

α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n✝ : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n✝
n : ℕ
hn : k ≤ n
IH : ∑ i in Ioc k n, (↑(i ^ 2))⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹
A : 0 < ↑n
B : 0 < ↑n + 1
⊢ 0 < (↑n + 1) ^ 2 * (↑n + 1)
case refine'_2
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n✝ : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n✝
n : ℕ
hn : k ≤ n
IH : ∑ i in Ioc k n, (↑(i ^ 2))⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹
A : 0 < ↑n
B : 0 < ↑n + 1
⊢ (↑n + 1 + (↑n + 1) ^ 2) / ((↑n + 1) ^ 2 * (↑n + 1)) ≤ 1 / ↑n
rw [div_le_div_iff _ A, ← sub_nonneg]
no goals
case refine'_1
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n
⊢ ∑ i in Ioc k k, (↑(i ^ 2))⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑k)⁻¹
simp only [Ioc_self, sum_empty, sub_self, le_refl]
no goals
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n✝ : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n✝
n : ℕ
hn : k ≤ n
IH : ∑ i in Ioc k n, (↑(i ^ 2))⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹
⊢ 0 < ↑n
simpa using hk.bot_lt.trans_le hn
no goals
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n✝ : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n✝
n : ℕ
hn : k ≤ n
IH : ∑ i in Ioc k n, (↑(i ^ 2))⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹
A : 0 < ↑n
⊢ 0 < ↑n + 1
linarith
case refine'_2
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n✝ : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n✝
n : ℕ
hn : k ≤ n
IH : ∑ i in Ioc k n, (↑(i ^ 2))⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹
A : 0 < ↑n
B : 0 < ↑n + 1
⊢ 0 ≤ 1 + ↑n
case refine'_2
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n✝ : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n✝
n : ℕ
hn : k ≤ n
IH : ∑ i in Ioc k n, (↑(i ^ 2))⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹
A : 0 < ↑n
B : 0 < ↑n + 1
⊢ 0 ≤ 1 * ((↑n + 1) ^ 2 * (↑n + 1)) - (↑n + 1 + (↑n + 1) ^ 2) * ↑n
ring_nf
case refine'_2
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n✝ : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n✝
n : ℕ
hn : k ≤ n
IH : ∑ i in Ioc k n, (↑(i ^ 2))⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹
A : 0 < ↑n
B : 0 < ↑n + 1
⊢ 0 ≤ ↑n + 1
case refine'_2
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n✝ : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n✝
n : ℕ
hn : k ≤ n
IH : ∑ i in Ioc k n, (↑(i ^ 2))⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹
A : 0 < ↑n
B : 0 < ↑n + 1
⊢ 0 ≤ 1 + ↑n
rw [add_comm]
no goals
case refine'_2
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n✝ : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n✝
n : ℕ
hn : k ≤ n
IH : ∑ i in Ioc k n, (↑(i ^ 2))⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹
A : 0 < ↑n
B : 0 < ↑n + 1
⊢ 0 ≤ ↑n + 1
exact B.le
no goals
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n✝ : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n✝
n : ℕ
hn : k ≤ n
IH : ∑ i in Ioc k n, (↑(i ^ 2))⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹
A : 0 < ↑n
B : 0 < ↑n + 1
⊢ 0 < (↑n + 1) ^ 2 * (↑n + 1)
nlinarith