A✝ : Type ?u.910
ι✝ : Type ?u.913
inst✝¹ : Ring A✝
A : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : CommRing A
B : ι → AddSubgroup A
inter : ∀ (i j : ι), ∃ k, B k ≤ B i ⊓ B j
mul : ∀ (i : ι), ∃ j, ↑(B j) * ↑(B j) ⊆ ↑(B i)
leftMul : ∀ (x : A) (i : ι), ∃ j, ↑(B j) ⊆ (fun y => x * y) ⁻¹' ↑(B i)
x : A
i : ι
⊢ ∃ j, ↑(B j) ⊆ (fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' ↑(B i)
A✝ : Type ?u.910
ι✝ : Type ?u.913
inst✝¹ : Ring A✝
A : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : CommRing A
B : ι → AddSubgroup A
inter : ∀ (i j : ι), ∃ k, B k ≤ B i ⊓ B j
mul : ∀ (i : ι), ∃ j, ↑(B j) * ↑(B j) ⊆ ↑(B i)
leftMul : ∀ (x : A) (i : ι), ∃ j, ↑(B j) ⊆ (fun y => x * y) ⁻¹' ↑(B i)
⊢ ∀ (x : A) (i : ι), ∃ j, ↑(B j) ⊆ (fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' ↑(B i)
intro x i
case intro
A✝ : Type ?u.910
ι✝ : Type ?u.913
inst✝¹ : Ring A✝
A : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : CommRing A
B : ι → AddSubgroup A
inter : ∀ (i j : ι), ∃ k, B k ≤ B i ⊓ B j
mul : ∀ (i : ι), ∃ j, ↑(B j) * ↑(B j) ⊆ ↑(B i)
leftMul : ∀ (x : A) (i : ι), ∃ j, ↑(B j) ⊆ (fun y => x * y) ⁻¹' ↑(B i)
x : A
i j : ι
hj : ↑(B j) ⊆ (fun y => x * y) ⁻¹' ↑(B i)
⊢ ∃ j, ↑(B j) ⊆ (fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' ↑(B i)
A✝ : Type ?u.910
ι✝ : Type ?u.913
inst✝¹ : Ring A✝
A : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : CommRing A
B : ι → AddSubgroup A
inter : ∀ (i j : ι), ∃ k, B k ≤ B i ⊓ B j
mul : ∀ (i : ι), ∃ j, ↑(B j) * ↑(B j) ⊆ ↑(B i)
leftMul : ∀ (x : A) (i : ι), ∃ j, ↑(B j) ⊆ (fun y => x * y) ⁻¹' ↑(B i)
x : A
i : ι
⊢ ∃ j, ↑(B j) ⊆ (fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' ↑(B i)
cases' leftMul x i with j hj
case intro
A✝ : Type ?u.910
ι✝ : Type ?u.913
inst✝¹ : Ring A✝
A : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : CommRing A
B : ι → AddSubgroup A
inter : ∀ (i j : ι), ∃ k, B k ≤ B i ⊓ B j
mul : ∀ (i : ι), ∃ j, ↑(B j) * ↑(B j) ⊆ ↑(B i)
leftMul : ∀ (x : A) (i : ι), ∃ j, ↑(B j) ⊆ (fun y => x * y) ⁻¹' ↑(B i)
x : A
i j : ι
hj : ↑(B j) ⊆ (fun y => x * y) ⁻¹' ↑(B i)
⊢ ↑(B j) ⊆ (fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' ↑(B i)
case intro
A✝ : Type ?u.910
ι✝ : Type ?u.913
inst✝¹ : Ring A✝
A : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : CommRing A
B : ι → AddSubgroup A
inter : ∀ (i j : ι), ∃ k, B k ≤ B i ⊓ B j
mul : ∀ (i : ι), ∃ j, ↑(B j) * ↑(B j) ⊆ ↑(B i)
leftMul : ∀ (x : A) (i : ι), ∃ j, ↑(B j) ⊆ (fun y => x * y) ⁻¹' ↑(B i)
x : A
i j : ι
hj : ↑(B j) ⊆ (fun y => x * y) ⁻¹' ↑(B i)
⊢ ∃ j, ↑(B j) ⊆ (fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' ↑(B i)
use j
no goals
case intro
A✝ : Type ?u.910
ι✝ : Type ?u.913
inst✝¹ : Ring A✝
A : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : CommRing A
B : ι → AddSubgroup A
inter : ∀ (i j : ι), ∃ k, B k ≤ B i ⊓ B j
mul : ∀ (i : ι), ∃ j, ↑(B j) * ↑(B j) ⊆ ↑(B i)
leftMul : ∀ (x : A) (i : ι), ∃ j, ↑(B j) ⊆ (fun y => x * y) ⁻¹' ↑(B i)
x : A
i j : ι
hj : ↑(B j) ⊆ (fun y => x * y) ⁻¹' ↑(B i)
⊢ ↑(B j) ⊆ (fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' ↑(B i)
simpa [mul_comm] using hj