α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.1268931
G : Type ?u.1268934
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
c : E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
⊢ snorm (fun x => c) p μ < ⊤
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.1268931
G : Type ?u.1268934
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
c : E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
⊢ Memℒp (fun x => c) p
refine' ⟨aestronglyMeasurable_const, _⟩
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.1268931
G : Type ?u.1268934
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
c : E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h0 : p = 0
⊢ snorm (fun x => c) p μ < ⊤

case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.1268931
G : Type ?u.1268934
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
c : E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h0 : ¬p = 0
⊢ snorm (fun x => c) p μ < ⊤
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.1268931
G : Type ?u.1268934
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
c : E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
⊢ snorm (fun x => c) p μ < ⊤
by_cases h0 : p = 0
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.1268931
G : Type ?u.1268934
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
c : E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h0 : ¬p = 0
hμ : μ = 0
⊢ snorm (fun x => c) p μ < ⊤

case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.1268931
G : Type ?u.1268934
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
c : E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h0 : ¬p = 0
hμ : ¬μ = 0
⊢ snorm (fun x => c) p μ < ⊤
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.1268931
G : Type ?u.1268934
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
c : E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h0 : ¬p = 0
⊢ snorm (fun x => c) p μ < ⊤
by_cases hμ : μ = 0
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.1268931
G : Type ?u.1268934
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
c : E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h0 : ¬p = 0
hμ : ¬μ = 0
⊢ ↑‖c‖₊ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / ENNReal.toReal p) < ⊤
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.1268931
G : Type ?u.1268934
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
c : E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h0 : ¬p = 0
hμ : ¬μ = 0
⊢ snorm (fun x => c) p μ < ⊤
rw [snorm_const c h0 hμ]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.1268931
G : Type ?u.1268934
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
c : E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h0 : ¬p = 0
hμ : ¬μ = 0
⊢ ↑↑μ Set.univ ^ (1 / ENNReal.toReal p) ≠ ⊤
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.1268931
G : Type ?u.1268934
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
c : E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h0 : ¬p = 0
hμ : ¬μ = 0
⊢ ↑‖c‖₊ * ↑↑μ Set.univ ^ (1 / ENNReal.toReal p) < ⊤
refine' ENNReal.mul_lt_top ENNReal.coe_ne_top _
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.1268931
G : Type ?u.1268934
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
c : E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h0 : ¬p = 0
hμ : ¬μ = 0
⊢ 0 ≤ 1 / ENNReal.toReal p
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.1268931
G : Type ?u.1268934
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
c : E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h0 : ¬p = 0
hμ : ¬μ = 0
⊢ ↑↑μ Set.univ ^ (1 / ENNReal.toReal p) ≠ ⊤
refine' (ENNReal.rpow_lt_top_of_nonneg _ (measure_ne_top μ Set.univ)).ne
no goals
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.1268931
G : Type ?u.1268934
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
c : E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h0 : ¬p = 0
hμ : ¬μ = 0
⊢ 0 ≤ 1 / ENNReal.toReal p
simp
no goals
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.1268931
G : Type ?u.1268934
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
c : E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h0 : p = 0
⊢ snorm (fun x => c) p μ < ⊤
simp [h0]
no goals
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type ?u.1268931
G : Type ?u.1268934
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
c : E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h0 : ¬p = 0
hμ : μ = 0
⊢ snorm (fun x => c) p μ < ⊤
simp [hμ]