α : Type u_1
E : Type ?u.1836292
F : Type u_2
G : Type ?u.1836298
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hμν : ν ≤ μ
hq : 0 ≤ q
⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂ν) ^ (1 / q) ≤ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q)
α : Type u_1
E : Type ?u.1836292
F : Type u_2
G : Type ?u.1836298
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hμν : ν ≤ μ
hq : 0 ≤ q
⊢ snorm' f q ν ≤ snorm' f q μ
simp_rw [snorm']
α : Type u_1
E : Type ?u.1836292
F : Type u_2
G : Type ?u.1836298
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hμν : ν ≤ μ
hq : 0 ≤ q
⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂ν) ≤ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ
α : Type u_1
E : Type ?u.1836292
F : Type u_2
G : Type ?u.1836298
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hμν : ν ≤ μ
hq : 0 ≤ q
⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂ν) ^ (1 / q) ≤ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q)
suffices h_integral_mono : (∫⁻ a, (‖f a‖₊ : ℝ≥0∞) ^ q ∂ν) ≤ ∫⁻ a, (‖f a‖₊ : ℝ≥0∞) ^ q ∂μ from
  ENNReal.rpow_le_rpow h_integral_mono (by simp [hq])
no goals
α : Type u_1
E : Type ?u.1836292
F : Type u_2
G : Type ?u.1836298
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hμν : ν ≤ μ
hq : 0 ≤ q
⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂ν) ≤ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ
exact lintegral_mono' hμν le_rfl
no goals
α : Type u_1
E : Type ?u.1836292
F : Type u_2
G : Type ?u.1836298
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hμν : ν ≤ μ
hq : 0 ≤ q
h_integral_mono : (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂ν) ≤ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ
⊢ 0 ≤ 1 / q
simp [hq]