ι : Type u_1
ι' : Type ?u.945140
R : Type ?u.945143
R₂ : Type u_2
K : Type ?u.945149
M : Type u_3
M' : Type ?u.945155
M'' : Type ?u.945158
V : Type u
V' : Type ?u.945163
v : ι → M
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : CommRing R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
c d : R
x y : M
b : Basis ι R M
e : Basis ι R₂ M
w : ι → R₂ˣ
i : ι
⊢ ∀ (i_1 : ι), ↑(coord (unitsSMul e w) i) (↑e i_1) = ↑((w i)⁻¹ • coord e i) (↑e i_1)
ι : Type u_1
ι' : Type ?u.945140
R : Type ?u.945143
R₂ : Type u_2
K : Type ?u.945149
M : Type u_3
M' : Type ?u.945155
M'' : Type ?u.945158
V : Type u
V' : Type ?u.945163
v : ι → M
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : CommRing R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
c d : R
x y : M
b : Basis ι R M
e : Basis ι R₂ M
w : ι → R₂ˣ
i : ι
⊢ coord (unitsSMul e w) i = (w i)⁻¹ • coord e i
apply e.ext
ι : Type u_1
ι' : Type ?u.945140
R : Type ?u.945143
R₂ : Type u_2
K : Type ?u.945149
M : Type u_3
M' : Type ?u.945155
M'' : Type ?u.945158
V : Type u
V' : Type ?u.945163
v : ι → M
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : CommRing R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
c d : R
x y : M
b : Basis ι R M
e : Basis ι R₂ M
w : ι → R₂ˣ
i j : ι
⊢ ↑(coord (unitsSMul e w) i) (↑e j) = ↑((w i)⁻¹ • coord e i) (↑e j)
ι : Type u_1
ι' : Type ?u.945140
R : Type ?u.945143
R₂ : Type u_2
K : Type ?u.945149
M : Type u_3
M' : Type ?u.945155
M'' : Type ?u.945158
V : Type u
V' : Type ?u.945163
v : ι → M
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : CommRing R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
c d : R
x y : M
b : Basis ι R M
e : Basis ι R₂ M
w : ι → R₂ˣ
i : ι
⊢ ∀ (i_1 : ι), ↑(coord (unitsSMul e w) i) (↑e i_1) = ↑((w i)⁻¹ • coord e i) (↑e i_1)
intro j
ι : Type u_1
ι' : Type ?u.945140
R : Type ?u.945143
R₂ : Type u_2
K : Type ?u.945149
M : Type u_3
M' : Type ?u.945155
M'' : Type ?u.945158
V : Type u
V' : Type ?u.945163
v : ι → M
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : CommRing R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
c d : R
x y : M
b : Basis ι R M
e : Basis ι R₂ M
w : ι → R₂ˣ
i j : ι
⊢ ↑(coord (unitsSMul e w) i) (↑e j) = ↑(coord (unitsSMul e w) i) ((w j)⁻¹ • ↑(unitsSMul e w) j)

ι : Type u_1
ι' : Type ?u.945140
R : Type ?u.945143
R₂ : Type u_2
K : Type ?u.945149
M : Type u_3
M' : Type ?u.945155
M'' : Type ?u.945158
V : Type u
V' : Type ?u.945163
v : ι → M
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : CommRing R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
c d : R
x y : M
b : Basis ι R M
e : Basis ι R₂ M
w : ι → R₂ˣ
i j : ι
⊢ ↑(coord (unitsSMul e w) i) ((w j)⁻¹ • ↑(unitsSMul e w) j) = ↑((w i)⁻¹ • coord e i) (↑e j)
ι : Type u_1
ι' : Type ?u.945140
R : Type ?u.945143
R₂ : Type u_2
K : Type ?u.945149
M : Type u_3
M' : Type ?u.945155
M'' : Type ?u.945158
V : Type u
V' : Type ?u.945163
v : ι → M
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : CommRing R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
c d : R
x y : M
b : Basis ι R M
e : Basis ι R₂ M
w : ι → R₂ˣ
i j : ι
⊢ ↑(coord (unitsSMul e w) i) (↑e j) = ↑((w i)⁻¹ • coord e i) (↑e j)
trans ((unitsSMul e w).coord i) ((w j)⁻¹ • (unitsSMul e w) j)
ι : Type u_1
ι' : Type ?u.945140
R : Type ?u.945143
R₂ : Type u_2
K : Type ?u.945149
M : Type u_3
M' : Type ?u.945155
M'' : Type ?u.945158
V : Type u
V' : Type ?u.945163
v : ι → M
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : CommRing R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
c d : R
x y : M
b : Basis ι R M
e : Basis ι R₂ M
w : ι → R₂ˣ
i j : ι
⊢ ↑(↑(w j)⁻¹ • Finsupp.single j 1) i = ↑(w i)⁻¹ • if j = i then 1 else 0
ι : Type u_1
ι' : Type ?u.945140
R : Type ?u.945143
R₂ : Type u_2
K : Type ?u.945149
M : Type u_3
M' : Type ?u.945155
M'' : Type ?u.945158
V : Type u
V' : Type ?u.945163
v : ι → M
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : CommRing R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
c d : R
x y : M
b : Basis ι R M
e : Basis ι R₂ M
w : ι → R₂ˣ
i j : ι
⊢ ↑(coord (unitsSMul e w) i) ((w j)⁻¹ • ↑(unitsSMul e w) j) = ↑((w i)⁻¹ • coord e i) (↑e j)
simp only [Basis.coord_apply, LinearMap.smul_apply, Basis.repr_self, Units.smul_def,
  SMulHomClass.map_smul, Finsupp.single_apply]
no goals
ι : Type u_1
ι' : Type ?u.945140
R : Type ?u.945143
R₂ : Type u_2
K : Type ?u.945149
M : Type u_3
M' : Type ?u.945155
M'' : Type ?u.945158
V : Type u
V' : Type ?u.945163
v : ι → M
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : CommRing R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
c d : R
x y : M
b : Basis ι R M
e : Basis ι R₂ M
w : ι → R₂ˣ
i j : ι
⊢ ↑(↑(w j)⁻¹ • Finsupp.single j 1) i = ↑(w i)⁻¹ • if j = i then 1 else 0
split_ifs with h <;> simp [h]
case h.e_6.h
ι : Type u_1
ι' : Type ?u.945140
R : Type ?u.945143
R₂ : Type u_2
K : Type ?u.945149
M : Type u_3
M' : Type ?u.945155
M'' : Type ?u.945158
V : Type u
V' : Type ?u.945163
v : ι → M
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : CommRing R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
c d : R
x y : M
b : Basis ι R M
e : Basis ι R₂ M
w : ι → R₂ˣ
i j : ι
⊢ ↑e j = (w j)⁻¹ • ↑(unitsSMul e w) j
ι : Type u_1
ι' : Type ?u.945140
R : Type ?u.945143
R₂ : Type u_2
K : Type ?u.945149
M : Type u_3
M' : Type ?u.945155
M'' : Type ?u.945158
V : Type u
V' : Type ?u.945163
v : ι → M
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : CommRing R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
c d : R
x y : M
b : Basis ι R M
e : Basis ι R₂ M
w : ι → R₂ˣ
i j : ι
⊢ ↑(coord (unitsSMul e w) i) (↑e j) = ↑(coord (unitsSMul e w) i) ((w j)⁻¹ • ↑(unitsSMul e w) j)
congr
no goals
case h.e_6.h
ι : Type u_1
ι' : Type ?u.945140
R : Type ?u.945143
R₂ : Type u_2
K : Type ?u.945149
M : Type u_3
M' : Type ?u.945155
M'' : Type ?u.945158
V : Type u
V' : Type ?u.945163
v : ι → M
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : CommRing R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
c d : R
x y : M
b : Basis ι R M
e : Basis ι R₂ M
w : ι → R₂ˣ
i j : ι
⊢ ↑e j = (w j)⁻¹ • ↑(unitsSMul e w) j
simp [Basis.unitsSMul, ← mul_smul]