case intro.intro
𝕜 : Type ?u.212520
E : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y✝ z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
hε : 0 ≤ ε
h : dist x z < ε + δ
y : E
yz : dist z y ≤ ε
xy : dist y x < δ
⊢ ∃ y, dist x y < δ ∧ dist y z ≤ ε
𝕜 : Type ?u.212520
E : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
hε : 0 ≤ ε
h : dist x z < ε + δ
⊢ ∃ y, dist x y < δ ∧ dist y z ≤ ε
obtain ⟨y, yz, xy⟩ :=
  exists_dist_le_lt hε hδ (show dist z x < δ + ε by simpa only [dist_comm, add_comm] using h)
no goals
case intro.intro
𝕜 : Type ?u.212520
E : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y✝ z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
hε : 0 ≤ ε
h : dist x z < ε + δ
y : E
yz : dist z y ≤ ε
xy : dist y x < δ
⊢ ∃ y, dist x y < δ ∧ dist y z ≤ ε
exact ⟨y, by simp [dist_comm x y, dist_comm y z, *]⟩
no goals
𝕜 : Type ?u.212520
E : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
hε : 0 ≤ ε
h : dist x z < ε + δ
⊢ dist z x < δ + ε
simpa only [dist_comm, add_comm] using h
no goals
𝕜 : Type ?u.212520
E : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y✝ z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
hε : 0 ≤ ε
h : dist x z < ε + δ
y : E
yz : dist z y ≤ ε
xy : dist y x < δ
⊢ dist x y < δ ∧ dist y z ≤ ε
simp [dist_comm x y, dist_comm y z, *]