α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort ?u.79531
inst✝ : UniformSpace α
d s : Set (α × α)
hd : d ∈ 𝓤 α
cl_d : Set (α × α) := {p | ∃ x y, (p.fst, x) ∈ d ∧ (x, y) ∈ s ∧ (y, p.snd) ∈ d}
⊢ ∃ t, IsOpen t ∧ s ⊆ t ∧ t ⊆ {p | ∃ x y, (p.fst, x) ∈ d ∧ (x, y) ∈ s ∧ (y, p.snd) ∈ d}
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort ?u.79531
inst✝ : UniformSpace α
d s : Set (α × α)
hd : d ∈ 𝓤 α
⊢ ∃ t, IsOpen t ∧ s ⊆ t ∧ t ⊆ {p | ∃ x y, (p.fst, x) ∈ d ∧ (x, y) ∈ s ∧ (y, p.snd) ∈ d}
let cl_d := { p : α × α | ∃ x y, (p.1, x) ∈ d ∧ (x, y) ∈ s ∧ (y, p.2) ∈ d }
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort ?u.79531
inst✝ : UniformSpace α
d s : Set (α × α)
hd : d ∈ 𝓤 α
cl_d : Set (α × α) := {p | ∃ x y, (p.fst, x) ∈ d ∧ (x, y) ∈ s ∧ (y, p.snd) ∈ d}
t : (p : α × α) → p ∈ s → Set (α × α)
ht : ∀ (p : α × α) (a : p ∈ s), t p a ⊆ cl_d ∧ IsOpen (t p a) ∧ p ∈ t p a
⊢ ∃ t, IsOpen t ∧ s ⊆ t ∧ t ⊆ {p | ∃ x y, (p.fst, x) ∈ d ∧ (x, y) ∈ s ∧ (y, p.snd) ∈ d}
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort ?u.79531
inst✝ : UniformSpace α
d s : Set (α × α)
hd : d ∈ 𝓤 α
cl_d : Set (α × α) := {p | ∃ x y, (p.fst, x) ∈ d ∧ (x, y) ∈ s ∧ (y, p.snd) ∈ d}
this : ∀ (p : α × α), p ∈ s → ∃ t, t ⊆ cl_d ∧ IsOpen t ∧ p ∈ t
⊢ ∃ t, IsOpen t ∧ s ⊆ t ∧ t ⊆ {p | ∃ x y, (p.fst, x) ∈ d ∧ (x, y) ∈ s ∧ (y, p.snd) ∈ d}
choose t ht using this
no goals
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort ?u.79531
inst✝ : UniformSpace α
d s : Set (α × α)
hd : d ∈ 𝓤 α
cl_d : Set (α × α) := {p | ∃ x y, (p.fst, x) ∈ d ∧ (x, y) ∈ s ∧ (y, p.snd) ∈ d}
t : (p : α × α) → p ∈ s → Set (α × α)
ht : ∀ (p : α × α) (a : p ∈ s), t p a ⊆ cl_d ∧ IsOpen (t p a) ∧ p ∈ t p a
⊢ ∃ t, IsOpen t ∧ s ⊆ t ∧ t ⊆ {p | ∃ x y, (p.fst, x) ∈ d ∧ (x, y) ∈ s ∧ (y, p.snd) ∈ d}
exact ⟨(⋃ p : α × α, ⋃ h : p ∈ s, t p h : Set (α × α)),
  isOpen_iUnion fun p : α × α => isOpen_iUnion fun hp => (ht p hp).right.left, fun ⟨a, b⟩ hp =>
  by simp; exact ⟨a, b, hp, (ht (a, b) hp).right.right⟩,
  iUnion_subset fun p => iUnion_subset fun hp => (ht p hp).left⟩
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort ?u.79531
inst✝ : UniformSpace α
d s : Set (α × α)
hd : d ∈ 𝓤 α
cl_d : Set (α × α) := {p | ∃ x y, (p.fst, x) ∈ d ∧ (x, y) ∈ s ∧ (y, p.snd) ∈ d}
x✝ : α × α
x y : α
hp : (x, y) ∈ s
⊢ ∃ t, t ∈ 𝓤 α ∧ {y | (y, x) ∈ t} ×ˢ {y_1 | (y, y_1) ∈ t} ⊆ cl_d

case hh
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort ?u.79531
inst✝ : UniformSpace α
d s : Set (α × α)
hd : d ∈ 𝓤 α
cl_d : Set (α × α) := {p | ∃ x y, (p.fst, x) ∈ d ∧ (x, y) ∈ s ∧ (y, p.snd) ∈ d}
x✝ : α × α
x y : α
hp : (x, y) ∈ s
⊢ Monotone fun s => {y | (y, x) ∈ s} ×ˢ {y_1 | (y, y_1) ∈ s}
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort ?u.79531
inst✝ : UniformSpace α
d s : Set (α × α)
hd : d ∈ 𝓤 α
cl_d : Set (α × α) := {p | ∃ x y, (p.fst, x) ∈ d ∧ (x, y) ∈ s ∧ (y, p.snd) ∈ d}
x✝ : α × α
x y : α
hp : (x, y) ∈ s
⊢ cl_d ∈ 𝓝 (x, y)
rw [nhds_eq_uniformity_prod, mem_lift'_sets]
no goals
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort ?u.79531
inst✝ : UniformSpace α
d s : Set (α × α)
hd : d ∈ 𝓤 α
cl_d : Set (α × α) := {p | ∃ x y, (p.fst, x) ∈ d ∧ (x, y) ∈ s ∧ (y, p.snd) ∈ d}
x✝ : α × α
x y : α
hp : (x, y) ∈ s
⊢ ∃ t, t ∈ 𝓤 α ∧ {y | (y, x) ∈ t} ×ˢ {y_1 | (y, y_1) ∈ t} ⊆ cl_d
exact ⟨d, hd, fun ⟨a, b⟩ ⟨ha, hb⟩ => ⟨x, y, ha, hp, hb⟩⟩
no goals
case hh
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort ?u.79531
inst✝ : UniformSpace α
d s : Set (α × α)
hd : d ∈ 𝓤 α
cl_d : Set (α × α) := {p | ∃ x y, (p.fst, x) ∈ d ∧ (x, y) ∈ s ∧ (y, p.snd) ∈ d}
x✝ : α × α
x y : α
hp : (x, y) ∈ s
⊢ Monotone fun s => {y | (y, x) ∈ s} ×ˢ {y_1 | (y, y_1) ∈ s}
exact fun _ _ h _ h' => ⟨h h'.1, h h'.2⟩
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort ?u.79531
inst✝ : UniformSpace α
d s : Set (α × α)
hd : d ∈ 𝓤 α
cl_d : Set (α × α) := {p | ∃ x y, (p.fst, x) ∈ d ∧ (x, y) ∈ s ∧ (y, p.snd) ∈ d}
t : (p : α × α) → p ∈ s → Set (α × α)
ht : ∀ (p : α × α) (a : p ∈ s), t p a ⊆ cl_d ∧ IsOpen (t p a) ∧ p ∈ t p a
x✝ : α × α
a b : α
hp : (a, b) ∈ s
⊢ ∃ a_1 b_1 i, (a, b) ∈ t (a_1, b_1) i
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort ?u.79531
inst✝ : UniformSpace α
d s : Set (α × α)
hd : d ∈ 𝓤 α
cl_d : Set (α × α) := {p | ∃ x y, (p.fst, x) ∈ d ∧ (x, y) ∈ s ∧ (y, p.snd) ∈ d}
t : (p : α × α) → p ∈ s → Set (α × α)
ht : ∀ (p : α × α) (a : p ∈ s), t p a ⊆ cl_d ∧ IsOpen (t p a) ∧ p ∈ t p a
x✝ : α × α
a b : α
hp : (a, b) ∈ s
⊢ (a, b) ∈ ⋃ (p : α × α) (h : p ∈ s), t p h
simp
no goals
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort ?u.79531
inst✝ : UniformSpace α
d s : Set (α × α)
hd : d ∈ 𝓤 α
cl_d : Set (α × α) := {p | ∃ x y, (p.fst, x) ∈ d ∧ (x, y) ∈ s ∧ (y, p.snd) ∈ d}
t : (p : α × α) → p ∈ s → Set (α × α)
ht : ∀ (p : α × α) (a : p ∈ s), t p a ⊆ cl_d ∧ IsOpen (t p a) ∧ p ∈ t p a
x✝ : α × α
a b : α
hp : (a, b) ∈ s
⊢ ∃ a_1 b_1 i, (a, b) ∈ t (a_1, b_1) i
exact ⟨a, b, hp, (ht (a, b) hp).right.right⟩