case zero
ι : Type u_1
σ : Type u_3
S : Type ?u.25931
R : Type u_2
inst✝⁴ : Zero ι
inst✝³ : AddMonoidWithOne R
inst✝² : SetLike σ R
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝ : GradedOne A
⊢ ↑Nat.zero ∈ A 0

case succ
ι : Type u_1
σ : Type u_3
S : Type ?u.25931
R : Type u_2
inst✝⁴ : Zero ι
inst✝³ : AddMonoidWithOne R
inst✝² : SetLike σ R
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝ : GradedOne A
n✝ : ℕ
n_ih : ↑n✝ ∈ A 0
⊢ ↑(Nat.succ n✝) ∈ A 0
ι : Type u_1
σ : Type u_3
S : Type ?u.25931
R : Type u_2
inst✝⁴ : Zero ι
inst✝³ : AddMonoidWithOne R
inst✝² : SetLike σ R
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝ : GradedOne A
n : ℕ
⊢ ↑n ∈ A 0
induction' n with _ n_ih
case zero
ι : Type u_1
σ : Type u_3
S : Type ?u.25931
R : Type u_2
inst✝⁴ : Zero ι
inst✝³ : AddMonoidWithOne R
inst✝² : SetLike σ R
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝ : GradedOne A
⊢ 0 ∈ A 0
case zero
ι : Type u_1
σ : Type u_3
S : Type ?u.25931
R : Type u_2
inst✝⁴ : Zero ι
inst✝³ : AddMonoidWithOne R
inst✝² : SetLike σ R
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝ : GradedOne A
⊢ ↑Nat.zero ∈ A 0
rw [Nat.cast_zero]
no goals
case zero
ι : Type u_1
σ : Type u_3
S : Type ?u.25931
R : Type u_2
inst✝⁴ : Zero ι
inst✝³ : AddMonoidWithOne R
inst✝² : SetLike σ R
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝ : GradedOne A
⊢ 0 ∈ A 0
exact zero_mem (A 0)
case succ
ι : Type u_1
σ : Type u_3
S : Type ?u.25931
R : Type u_2
inst✝⁴ : Zero ι
inst✝³ : AddMonoidWithOne R
inst✝² : SetLike σ R
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝ : GradedOne A
n✝ : ℕ
n_ih : ↑n✝ ∈ A 0
⊢ ↑n✝ + 1 ∈ A 0
case succ
ι : Type u_1
σ : Type u_3
S : Type ?u.25931
R : Type u_2
inst✝⁴ : Zero ι
inst✝³ : AddMonoidWithOne R
inst✝² : SetLike σ R
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝ : GradedOne A
n✝ : ℕ
n_ih : ↑n✝ ∈ A 0
⊢ ↑(Nat.succ n✝) ∈ A 0
rw [Nat.cast_succ]
no goals
case succ
ι : Type u_1
σ : Type u_3
S : Type ?u.25931
R : Type u_2
inst✝⁴ : Zero ι
inst✝³ : AddMonoidWithOne R
inst✝² : SetLike σ R
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝ : GradedOne A
n✝ : ℕ
n_ih : ↑n✝ ∈ A 0
⊢ ↑n✝ + 1 ∈ A 0
exact add_mem n_ih (SetLike.one_mem_graded _)