R : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type ?u.710645
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥
⊢ Submodule.map (LinearMap.snd R F E) (Submodule.map (LinearEquiv.prodComm R E F) (graph f)) =
    Submodule.map (LinearMap.snd R F E) (Submodule.map (↑(LinearEquiv.prodComm R E F)) (graph f))
R : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type ?u.710645
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥
⊢ LinearMap.range (inverse hf).toFun = f.domain
rw [inverse, Submodule.toLinearPMap_range, ← graph_map_fst_eq_domain,
  ← LinearEquiv.snd_comp_prodComm, Submodule.map_comp]
no goals
R : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type ?u.710645
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥
⊢ Submodule.map (LinearMap.snd R F E) (Submodule.map (LinearEquiv.prodComm R E F) (graph f)) =
    Submodule.map (LinearMap.snd R F E) (Submodule.map (↑(LinearEquiv.prodComm R E F)) (graph f))
rfl