case h
α : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasureSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
𝕜 : Type u_2
inst✝² : IsROrC 𝕜
μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : CompactSpace α
f g : C(α, 𝕜)
⊢ (fun a => inner (↑↑(↑(ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) f) a) (↑↑(↑(ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) g) a)) =ᵐ[μ] fun a =>
    ↑(starRingEnd ((fun x => 𝕜) a)) (↑f a) * ↑g a
α : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasureSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
𝕜 : Type u_2
inst✝² : IsROrC 𝕜
μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : CompactSpace α
f g : C(α, 𝕜)
⊢ inner (↑(ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) f) (↑(ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) g) =
    ∫ (x : α), ↑(starRingEnd ((fun x => 𝕜) x)) (↑f x) * ↑g x ∂μ
apply integral_congr_ae
case h
α : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasureSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
𝕜 : Type u_2
inst✝² : IsROrC 𝕜
μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : CompactSpace α
f g : C(α, 𝕜)
hf_ae : ↑↑(↑(ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) f) =ᵐ[μ] ↑f
⊢ (fun a => inner (↑↑(↑(ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) f) a) (↑↑(↑(ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) g) a)) =ᵐ[μ] fun a =>
    ↑(starRingEnd ((fun x => 𝕜) a)) (↑f a) * ↑g a
case h
α : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasureSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
𝕜 : Type u_2
inst✝² : IsROrC 𝕜
μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : CompactSpace α
f g : C(α, 𝕜)
⊢ (fun a => inner (↑↑(↑(ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) f) a) (↑↑(↑(ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) g) a)) =ᵐ[μ] fun a =>
    ↑(starRingEnd ((fun x => 𝕜) a)) (↑f a) * ↑g a
have hf_ae := f.coeFn_toLp (p := 2) (𝕜 := 𝕜) μ
case h
α : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasureSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
𝕜 : Type u_2
inst✝² : IsROrC 𝕜
μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : CompactSpace α
f g : C(α, 𝕜)
hf_ae : ↑↑(↑(ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) f) =ᵐ[μ] ↑f
hg_ae : ↑↑(↑(ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) g) =ᵐ[μ] ↑g
⊢ (fun a => inner (↑↑(↑(ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) f) a) (↑↑(↑(ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) g) a)) =ᵐ[μ] fun a =>
    ↑(starRingEnd ((fun x => 𝕜) a)) (↑f a) * ↑g a
case h
α : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasureSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
𝕜 : Type u_2
inst✝² : IsROrC 𝕜
μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : CompactSpace α
f g : C(α, 𝕜)
hf_ae : ↑↑(↑(ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) f) =ᵐ[μ] ↑f
⊢ (fun a => inner (↑↑(↑(ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) f) a) (↑↑(↑(ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) g) a)) =ᵐ[μ] fun a =>
    ↑(starRingEnd ((fun x => 𝕜) a)) (↑f a) * ↑g a
have hg_ae := g.coeFn_toLp (p := 2) (𝕜 := 𝕜) μ
case h
α : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasureSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
𝕜 : Type u_2
inst✝² : IsROrC 𝕜
μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : CompactSpace α
f g : C(α, 𝕜)
hf_ae : ↑↑(↑(ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) f) =ᵐ[μ] ↑f
hg_ae : ↑↑(↑(ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) g) =ᵐ[μ] ↑g
a✝ : α
hf : ↑↑(↑(ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) f) a✝ = ↑f a✝
hg : ↑↑(↑(ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) g) a✝ = ↑g a✝
⊢ inner (↑↑(↑(ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) f) a✝) (↑↑(↑(ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) g) a✝) = ↑(starRingEnd 𝕜) (↑f a✝) * ↑g a✝
case h
α : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasureSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
𝕜 : Type u_2
inst✝² : IsROrC 𝕜
μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : CompactSpace α
f g : C(α, 𝕜)
hf_ae : ↑↑(↑(ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) f) =ᵐ[μ] ↑f
hg_ae : ↑↑(↑(ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) g) =ᵐ[μ] ↑g
⊢ (fun a => inner (↑↑(↑(ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) f) a) (↑↑(↑(ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) g) a)) =ᵐ[μ] fun a =>
    ↑(starRingEnd ((fun x => 𝕜) a)) (↑f a) * ↑g a
filter_upwards [hf_ae, hg_ae] with _ hf hg
case h
α : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasureSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
𝕜 : Type u_2
inst✝² : IsROrC 𝕜
μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : CompactSpace α
f g : C(α, 𝕜)
hf_ae : ↑↑(↑(ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) f) =ᵐ[μ] ↑f
hg_ae : ↑↑(↑(ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) g) =ᵐ[μ] ↑g
a✝ : α
hf : ↑↑(↑(ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) f) a✝ = ↑f a✝
hg : ↑↑(↑(ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) g) a✝ = ↑g a✝
⊢ inner (↑f a✝) (↑g a✝) = ↑(starRingEnd 𝕜) (↑f a✝) * ↑g a✝
case h
α : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasureSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
𝕜 : Type u_2
inst✝² : IsROrC 𝕜
μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : CompactSpace α
f g : C(α, 𝕜)
hf_ae : ↑↑(↑(ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) f) =ᵐ[μ] ↑f
hg_ae : ↑↑(↑(ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) g) =ᵐ[μ] ↑g
a✝ : α
hf : ↑↑(↑(ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) f) a✝ = ↑f a✝
hg : ↑↑(↑(ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) g) a✝ = ↑g a✝
⊢ inner (↑↑(↑(ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) f) a✝) (↑↑(↑(ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) g) a✝) = ↑(starRingEnd 𝕜) (↑f a✝) * ↑g a✝
rw [hf, hg]
no goals
case h
α : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasureSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
𝕜 : Type u_2
inst✝² : IsROrC 𝕜
μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : CompactSpace α
f g : C(α, 𝕜)
hf_ae : ↑↑(↑(ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) f) =ᵐ[μ] ↑f
hg_ae : ↑↑(↑(ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) g) =ᵐ[μ] ↑g
a✝ : α
hf : ↑↑(↑(ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) f) a✝ = ↑f a✝
hg : ↑↑(↑(ContinuousMap.toLp 2 μ 𝕜) g) a✝ = ↑g a✝
⊢ inner (↑f a✝) (↑g a✝) = ↑(starRingEnd 𝕜) (↑f a✝) * ↑g a✝
simp