α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
⊢ ∀ᶠ (x' : α) in 𝓝[s] x, y < (fun z => f z + g z) x'
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
⊢ LowerSemicontinuousWithinAt (fun z => f z + g z) s x
intro y hy
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
⊢ ∀ᶠ (x' : α) in 𝓝[s] x, y < (fun z => f z + g z) x'
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
⊢ ∀ᶠ (x' : α) in 𝓝[s] x, y < (fun z => f z + g z) x'
obtain ⟨u, v, u_open, xu, v_open, xv, h⟩ :
  ∃ u v : Set γ,
    IsOpen u ∧ f x ∈ u ∧ IsOpen v ∧ g x ∈ v ∧ u ×ˢ v ⊆ { p : γ × γ | y < p.fst + p.snd } :=
  mem_nhds_prod_iff'.1 (hcont (isOpen_Ioi.mem_nhds hy))
case pos
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∃ l, l < f x
⊢ ∀ᶠ (x' : α) in 𝓝[s] x, y < (fun z => f z + g z) x'

case neg
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ¬∃ l, l < f x
⊢ ∀ᶠ (x' : α) in 𝓝[s] x, y < (fun z => f z + g z) x'
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
⊢ ∀ᶠ (x' : α) in 𝓝[s] x, y < (fun z => f z + g z) x'
by_cases hx₁ : ∃ l, l < f x
case pos.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∃ l, l < f x
z₁ : γ
z₁lt : z₁ < f x
h₁ : Ioc z₁ (f x) ⊆ u
⊢ ∀ᶠ (x' : α) in 𝓝[s] x, y < (fun z => f z + g z) x'
case pos
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∃ l, l < f x
⊢ ∀ᶠ (x' : α) in 𝓝[s] x, y < (fun z => f z + g z) x'
obtain ⟨z₁, z₁lt, h₁⟩ : ∃ z₁ < f x, Ioc z₁ (f x) ⊆ u :=
  exists_Ioc_subset_of_mem_nhds (u_open.mem_nhds xu) hx₁
case pos
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∃ l, l < f x
z₁ : γ
z₁lt : z₁ < f x
h₁ : Ioc z₁ (f x) ⊆ u
hx₂ : ∃ l, l < g x
⊢ ∀ᶠ (x' : α) in 𝓝[s] x, y < (fun z => f z + g z) x'

case neg
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∃ l, l < f x
z₁ : γ
z₁lt : z₁ < f x
h₁ : Ioc z₁ (f x) ⊆ u
hx₂ : ¬∃ l, l < g x
⊢ ∀ᶠ (x' : α) in 𝓝[s] x, y < (fun z => f z + g z) x'
case pos.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∃ l, l < f x
z₁ : γ
z₁lt : z₁ < f x
h₁ : Ioc z₁ (f x) ⊆ u
⊢ ∀ᶠ (x' : α) in 𝓝[s] x, y < (fun z => f z + g z) x'
by_cases hx₂ : ∃ l, l < g x
case pos.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∃ l, l < f x
z₁ : γ
z₁lt : z₁ < f x
h₁ : Ioc z₁ (f x) ⊆ u
hx₂ : ∃ l, l < g x
z₂ : γ
z₂lt : z₂ < g x
h₂ : Ioc z₂ (g x) ⊆ v
⊢ ∀ᶠ (x' : α) in 𝓝[s] x, y < (fun z => f z + g z) x'
case pos
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∃ l, l < f x
z₁ : γ
z₁lt : z₁ < f x
h₁ : Ioc z₁ (f x) ⊆ u
hx₂ : ∃ l, l < g x
⊢ ∀ᶠ (x' : α) in 𝓝[s] x, y < (fun z => f z + g z) x'
obtain ⟨z₂, z₂lt, h₂⟩ : ∃ z₂ < g x, Ioc z₂ (g x) ⊆ v :=
  exists_Ioc_subset_of_mem_nhds (v_open.mem_nhds xv) hx₂
case h
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z✝ : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∃ l, l < f x
z₁ : γ
z₁lt : z₁ < f x
h₁ : Ioc z₁ (f x) ⊆ u
hx₂ : ∃ l, l < g x
z₂ : γ
z₂lt : z₂ < g x
h₂ : Ioc z₂ (g x) ⊆ v
z : α
h₁z : z₁ < f z
h₂z : z₂ < g z
⊢ y < f z + g z
case pos.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∃ l, l < f x
z₁ : γ
z₁lt : z₁ < f x
h₁ : Ioc z₁ (f x) ⊆ u
hx₂ : ∃ l, l < g x
z₂ : γ
z₂lt : z₂ < g x
h₂ : Ioc z₂ (g x) ⊆ v
⊢ ∀ᶠ (x' : α) in 𝓝[s] x, y < (fun z => f z + g z) x'
filter_upwards [hf z₁ z₁lt, hg z₂ z₂lt]with z h₁z h₂z
case h
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z✝ : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∃ l, l < f x
z₁ : γ
z₁lt : z₁ < f x
h₁ : Ioc z₁ (f x) ⊆ u
hx₂ : ∃ l, l < g x
z₂ : γ
z₂lt : z₂ < g x
h₂ : Ioc z₂ (g x) ⊆ v
z : α
h₁z : z₁ < f z
h₂z : z₂ < g z
A1 : min (f z) (f x) ∈ u
A2 : min (g z) (g x) ∈ v
this : (min (f z) (f x), min (g z) (g x)) ∈ u ×ˢ v
⊢ y < f z + g z
case h
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z✝ : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∃ l, l < f x
z₁ : γ
z₁lt : z₁ < f x
h₁ : Ioc z₁ (f x) ⊆ u
hx₂ : ∃ l, l < g x
z₂ : γ
z₂lt : z₂ < g x
h₂ : Ioc z₂ (g x) ⊆ v
z : α
h₁z : z₁ < f z
h₂z : z₂ < g z
A1 : min (f z) (f x) ∈ u
A2 : min (g z) (g x) ∈ v
⊢ y < f z + g z
have : (min (f z) (f x), min (g z) (g x)) ∈ u ×ˢ v := ⟨A1, A2⟩
no goals
case h
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z✝ : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∃ l, l < f x
z₁ : γ
z₁lt : z₁ < f x
h₁ : Ioc z₁ (f x) ⊆ u
hx₂ : ∃ l, l < g x
z₂ : γ
z₂lt : z₂ < g x
h₂ : Ioc z₂ (g x) ⊆ v
z : α
h₁z : z₁ < f z
h₂z : z₂ < g z
A1 : min (f z) (f x) ∈ u
A2 : min (g z) (g x) ∈ v
this : (min (f z) (f x), min (g z) (g x)) ∈ u ×ˢ v
⊢ y < f z + g z
calc
  y < min (f z) (f x) + min (g z) (g x) := h this
  _ ≤ f z + g z := add_le_add (min_le_left _ _) (min_le_left _ _)
case pos
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z✝ : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∃ l, l < f x
z₁ : γ
z₁lt : z₁ < f x
h₁ : Ioc z₁ (f x) ⊆ u
hx₂ : ∃ l, l < g x
z₂ : γ
z₂lt : z₂ < g x
h₂ : Ioc z₂ (g x) ⊆ v
z : α
h₁z : z₁ < f z
h₂z : z₂ < g z
H : f z ≤ f x
⊢ min (f z) (f x) ∈ u

case neg
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z✝ : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∃ l, l < f x
z₁ : γ
z₁lt : z₁ < f x
h₁ : Ioc z₁ (f x) ⊆ u
hx₂ : ∃ l, l < g x
z₂ : γ
z₂lt : z₂ < g x
h₂ : Ioc z₂ (g x) ⊆ v
z : α
h₁z : z₁ < f z
h₂z : z₂ < g z
H : ¬f z ≤ f x
⊢ min (f z) (f x) ∈ u
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z✝ : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∃ l, l < f x
z₁ : γ
z₁lt : z₁ < f x
h₁ : Ioc z₁ (f x) ⊆ u
hx₂ : ∃ l, l < g x
z₂ : γ
z₂lt : z₂ < g x
h₂ : Ioc z₂ (g x) ⊆ v
z : α
h₁z : z₁ < f z
h₂z : z₂ < g z
⊢ min (f z) (f x) ∈ u
by_cases H : f z ≤ f x
case pos
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z✝ : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∃ l, l < f x
z₁ : γ
z₁lt : z₁ < f x
h₁ : Ioc z₁ (f x) ⊆ u
hx₂ : ∃ l, l < g x
z₂ : γ
z₂lt : z₂ < g x
h₂ : Ioc z₂ (g x) ⊆ v
z : α
h₁z : z₁ < f z
h₂z : z₂ < g z
H : f z ≤ f x
⊢ f z ∈ u
case pos
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z✝ : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∃ l, l < f x
z₁ : γ
z₁lt : z₁ < f x
h₁ : Ioc z₁ (f x) ⊆ u
hx₂ : ∃ l, l < g x
z₂ : γ
z₂lt : z₂ < g x
h₂ : Ioc z₂ (g x) ⊆ v
z : α
h₁z : z₁ < f z
h₂z : z₂ < g z
H : f z ≤ f x
⊢ min (f z) (f x) ∈ u
simp [H]
no goals
case pos
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z✝ : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
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hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
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hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
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case neg
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z✝ : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
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y : γ
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u v : Set γ
u_open : IsOpen u
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⊢ f x ∈ u
case neg
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
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s t : Set α
y✝ z✝ : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
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y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
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z₂ : γ
z₂lt : z₂ < g x
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h₁z : z₁ < f z
h₂z : z₂ < g z
H : ¬f z ≤ f x
⊢ min (f z) (f x) ∈ u
simp [le_of_not_le H]
no goals
case neg
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
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f✝ g✝ : α → β
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ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
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⊢ f x ∈ u
exact h₁ ⟨z₁lt, le_rfl⟩
case pos
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
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y✝ z✝ : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
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inst✝¹ : TopologicalSpace γ
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hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
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z₂ : γ
z₂lt : z₂ < g x
h₂ : Ioc z₂ (g x) ⊆ v
z : α
h₁z : z₁ < f z
h₂z : z₂ < g z
A1 : min (f z) (f x) ∈ u
H : g z ≤ g x
⊢ min (g z) (g x) ∈ v

case neg
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
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ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
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f g : α → γ
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hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
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v_open : IsOpen v
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h₂ : Ioc z₂ (g x) ⊆ v
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h₂z : z₂ < g z
A1 : min (f z) (f x) ∈ u
H : ¬g z ≤ g x
⊢ min (g z) (g x) ∈ v
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
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γ : Type u_2
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inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
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hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
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h₂ : Ioc z₂ (g x) ⊆ v
z : α
h₁z : z₁ < f z
h₂z : z₂ < g z
A1 : min (f z) (f x) ∈ u
⊢ min (g z) (g x) ∈ v
by_cases H : g z ≤ g x
case pos
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z✝ : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
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u v : Set γ
u_open : IsOpen u
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z₂ : γ
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h₂z : z₂ < g z
A1 : min (f z) (f x) ∈ u
H : g z ≤ g x
⊢ g z ∈ v
case pos
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
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s t : Set α
y✝ z✝ : β
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γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
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f g : α → γ
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hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
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u v : Set γ
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xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
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z₂ : γ
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h₂z : z₂ < g z
A1 : min (f z) (f x) ∈ u
H : g z ≤ g x
⊢ min (g z) (g x) ∈ v
simp [H]
no goals
case pos
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z✝ : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
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hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
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xv : g x ∈ v
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⊢ g z ∈ v
exact h₂ ⟨h₂z, H⟩
case neg
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z✝ : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
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xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
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h₂z : z₂ < g z
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⊢ g x ∈ v
case neg
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
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s t : Set α
y✝ z✝ : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
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u v : Set γ
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xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
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h₂z : z₂ < g z
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⊢ min (g z) (g x) ∈ v
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no goals
case neg
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z✝ : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
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h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
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z₁lt : z₁ < f x
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h₁z : z₁ < f z
h₂z : z₂ < g z
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H : ¬g z ≤ g x
⊢ g x ∈ v
exact h₂ ⟨z₂lt, le_rfl⟩
case neg
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
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y✝ z : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
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hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
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u v : Set γ
u_open : IsOpen u
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xv : g x ∈ v
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z₁ : γ
z₁lt : z₁ < f x
h₁ : Ioc z₁ (f x) ⊆ u
hx₂ : ∀ (x_1 : γ), g x ≤ x_1
⊢ ∀ᶠ (x' : α) in 𝓝[s] x, y < (fun z => f z + g z) x'
case neg
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∃ l, l < f x
z₁ : γ
z₁lt : z₁ < f x
h₁ : Ioc z₁ (f x) ⊆ u
hx₂ : ¬∃ l, l < g x
⊢ ∀ᶠ (x' : α) in 𝓝[s] x, y < (fun z => f z + g z) x'
simp only [not_exists, not_lt] at hx₂
case h
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z✝ : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∃ l, l < f x
z₁ : γ
z₁lt : z₁ < f x
h₁ : Ioc z₁ (f x) ⊆ u
hx₂ : ∀ (x_1 : γ), g x ≤ x_1
z : α
h₁z : z₁ < f z
⊢ y < f z + g z
case neg
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∃ l, l < f x
z₁ : γ
z₁lt : z₁ < f x
h₁ : Ioc z₁ (f x) ⊆ u
hx₂ : ∀ (x_1 : γ), g x ≤ x_1
⊢ ∀ᶠ (x' : α) in 𝓝[s] x, y < (fun z => f z + g z) x'
filter_upwards [hf z₁ z₁lt]with z h₁z
case h
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z✝ : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∃ l, l < f x
z₁ : γ
z₁lt : z₁ < f x
h₁ : Ioc z₁ (f x) ⊆ u
hx₂ : ∀ (x_1 : γ), g x ≤ x_1
z : α
h₁z : z₁ < f z
A1 : min (f z) (f x) ∈ u
this : (min (f z) (f x), g x) ∈ u ×ˢ v
⊢ y < f z + g z
case h
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z✝ : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∃ l, l < f x
z₁ : γ
z₁lt : z₁ < f x
h₁ : Ioc z₁ (f x) ⊆ u
hx₂ : ∀ (x_1 : γ), g x ≤ x_1
z : α
h₁z : z₁ < f z
A1 : min (f z) (f x) ∈ u
⊢ y < f z + g z
have : (min (f z) (f x), g x) ∈ u ×ˢ v := ⟨A1, xv⟩
no goals
case h
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z✝ : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∃ l, l < f x
z₁ : γ
z₁lt : z₁ < f x
h₁ : Ioc z₁ (f x) ⊆ u
hx₂ : ∀ (x_1 : γ), g x ≤ x_1
z : α
h₁z : z₁ < f z
A1 : min (f z) (f x) ∈ u
this : (min (f z) (f x), g x) ∈ u ×ˢ v
⊢ y < f z + g z
calc
  y < min (f z) (f x) + g x := h this
  _ ≤ f z + g z := add_le_add (min_le_left _ _) (hx₂ (g z))
case pos
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z✝ : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∃ l, l < f x
z₁ : γ
z₁lt : z₁ < f x
h₁ : Ioc z₁ (f x) ⊆ u
hx₂ : ∀ (x_1 : γ), g x ≤ x_1
z : α
h₁z : z₁ < f z
H : f z ≤ f x
⊢ min (f z) (f x) ∈ u

case neg
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z✝ : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∃ l, l < f x
z₁ : γ
z₁lt : z₁ < f x
h₁ : Ioc z₁ (f x) ⊆ u
hx₂ : ∀ (x_1 : γ), g x ≤ x_1
z : α
h₁z : z₁ < f z
H : ¬f z ≤ f x
⊢ min (f z) (f x) ∈ u
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z✝ : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∃ l, l < f x
z₁ : γ
z₁lt : z₁ < f x
h₁ : Ioc z₁ (f x) ⊆ u
hx₂ : ∀ (x_1 : γ), g x ≤ x_1
z : α
h₁z : z₁ < f z
⊢ min (f z) (f x) ∈ u
by_cases H : f z ≤ f x
case pos
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z✝ : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∃ l, l < f x
z₁ : γ
z₁lt : z₁ < f x
h₁ : Ioc z₁ (f x) ⊆ u
hx₂ : ∀ (x_1 : γ), g x ≤ x_1
z : α
h₁z : z₁ < f z
H : f z ≤ f x
⊢ f z ∈ u
case pos
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z✝ : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∃ l, l < f x
z₁ : γ
z₁lt : z₁ < f x
h₁ : Ioc z₁ (f x) ⊆ u
hx₂ : ∀ (x_1 : γ), g x ≤ x_1
z : α
h₁z : z₁ < f z
H : f z ≤ f x
⊢ min (f z) (f x) ∈ u
simp [H]
no goals
case pos
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z✝ : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∃ l, l < f x
z₁ : γ
z₁lt : z₁ < f x
h₁ : Ioc z₁ (f x) ⊆ u
hx₂ : ∀ (x_1 : γ), g x ≤ x_1
z : α
h₁z : z₁ < f z
H : f z ≤ f x
⊢ f z ∈ u
exact h₁ ⟨h₁z, H⟩
case neg
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z✝ : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∃ l, l < f x
z₁ : γ
z₁lt : z₁ < f x
h₁ : Ioc z₁ (f x) ⊆ u
hx₂ : ∀ (x_1 : γ), g x ≤ x_1
z : α
h₁z : z₁ < f z
H : ¬f z ≤ f x
⊢ f x ∈ u
case neg
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z✝ : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∃ l, l < f x
z₁ : γ
z₁lt : z₁ < f x
h₁ : Ioc z₁ (f x) ⊆ u
hx₂ : ∀ (x_1 : γ), g x ≤ x_1
z : α
h₁z : z₁ < f z
H : ¬f z ≤ f x
⊢ min (f z) (f x) ∈ u
simp [le_of_not_le H]
no goals
case neg
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z✝ : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∃ l, l < f x
z₁ : γ
z₁lt : z₁ < f x
h₁ : Ioc z₁ (f x) ⊆ u
hx₂ : ∀ (x_1 : γ), g x ≤ x_1
z : α
h₁z : z₁ < f z
H : ¬f z ≤ f x
⊢ f x ∈ u
exact h₁ ⟨z₁lt, le_rfl⟩
case neg
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∀ (x_1 : γ), f x ≤ x_1
⊢ ∀ᶠ (x' : α) in 𝓝[s] x, y < (fun z => f z + g z) x'
case neg
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ¬∃ l, l < f x
⊢ ∀ᶠ (x' : α) in 𝓝[s] x, y < (fun z => f z + g z) x'
simp only [not_exists, not_lt] at hx₁
case pos
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∀ (x_1 : γ), f x ≤ x_1
hx₂ : ∃ l, l < g x
⊢ ∀ᶠ (x' : α) in 𝓝[s] x, y < (fun z => f z + g z) x'

case neg
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∀ (x_1 : γ), f x ≤ x_1
hx₂ : ¬∃ l, l < g x
⊢ ∀ᶠ (x' : α) in 𝓝[s] x, y < (fun z => f z + g z) x'
case neg
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∀ (x_1 : γ), f x ≤ x_1
⊢ ∀ᶠ (x' : α) in 𝓝[s] x, y < (fun z => f z + g z) x'
by_cases hx₂ : ∃ l, l < g x
case pos.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∀ (x_1 : γ), f x ≤ x_1
hx₂ : ∃ l, l < g x
z₂ : γ
z₂lt : z₂ < g x
h₂ : Ioc z₂ (g x) ⊆ v
⊢ ∀ᶠ (x' : α) in 𝓝[s] x, y < (fun z => f z + g z) x'
case pos
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∀ (x_1 : γ), f x ≤ x_1
hx₂ : ∃ l, l < g x
⊢ ∀ᶠ (x' : α) in 𝓝[s] x, y < (fun z => f z + g z) x'
obtain ⟨z₂, z₂lt, h₂⟩ : ∃ z₂ < g x, Ioc z₂ (g x) ⊆ v :=
  exists_Ioc_subset_of_mem_nhds (v_open.mem_nhds xv) hx₂
case h
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z✝ : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∀ (x_1 : γ), f x ≤ x_1
hx₂ : ∃ l, l < g x
z₂ : γ
z₂lt : z₂ < g x
h₂ : Ioc z₂ (g x) ⊆ v
z : α
h₂z : z₂ < g z
⊢ y < f z + g z
case pos.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∀ (x_1 : γ), f x ≤ x_1
hx₂ : ∃ l, l < g x
z₂ : γ
z₂lt : z₂ < g x
h₂ : Ioc z₂ (g x) ⊆ v
⊢ ∀ᶠ (x' : α) in 𝓝[s] x, y < (fun z => f z + g z) x'
filter_upwards [hg z₂ z₂lt]with z h₂z
case h
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z✝ : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∀ (x_1 : γ), f x ≤ x_1
hx₂ : ∃ l, l < g x
z₂ : γ
z₂lt : z₂ < g x
h₂ : Ioc z₂ (g x) ⊆ v
z : α
h₂z : z₂ < g z
A2 : min (g z) (g x) ∈ v
this : (f x, min (g z) (g x)) ∈ u ×ˢ v
⊢ y < f z + g z
case h
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z✝ : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∀ (x_1 : γ), f x ≤ x_1
hx₂ : ∃ l, l < g x
z₂ : γ
z₂lt : z₂ < g x
h₂ : Ioc z₂ (g x) ⊆ v
z : α
h₂z : z₂ < g z
A2 : min (g z) (g x) ∈ v
⊢ y < f z + g z
have : (f x, min (g z) (g x)) ∈ u ×ˢ v := ⟨xu, A2⟩
no goals
case h
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z✝ : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∀ (x_1 : γ), f x ≤ x_1
hx₂ : ∃ l, l < g x
z₂ : γ
z₂lt : z₂ < g x
h₂ : Ioc z₂ (g x) ⊆ v
z : α
h₂z : z₂ < g z
A2 : min (g z) (g x) ∈ v
this : (f x, min (g z) (g x)) ∈ u ×ˢ v
⊢ y < f z + g z
calc
  y < f x + min (g z) (g x) := h this
  _ ≤ f z + g z := add_le_add (hx₁ (f z)) (min_le_left _ _)
case pos
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z✝ : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∀ (x_1 : γ), f x ≤ x_1
hx₂ : ∃ l, l < g x
z₂ : γ
z₂lt : z₂ < g x
h₂ : Ioc z₂ (g x) ⊆ v
z : α
h₂z : z₂ < g z
H : g z ≤ g x
⊢ min (g z) (g x) ∈ v

case neg
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z✝ : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∀ (x_1 : γ), f x ≤ x_1
hx₂ : ∃ l, l < g x
z₂ : γ
z₂lt : z₂ < g x
h₂ : Ioc z₂ (g x) ⊆ v
z : α
h₂z : z₂ < g z
H : ¬g z ≤ g x
⊢ min (g z) (g x) ∈ v
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z✝ : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∀ (x_1 : γ), f x ≤ x_1
hx₂ : ∃ l, l < g x
z₂ : γ
z₂lt : z₂ < g x
h₂ : Ioc z₂ (g x) ⊆ v
z : α
h₂z : z₂ < g z
⊢ min (g z) (g x) ∈ v
by_cases H : g z ≤ g x
case pos
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z✝ : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∀ (x_1 : γ), f x ≤ x_1
hx₂ : ∃ l, l < g x
z₂ : γ
z₂lt : z₂ < g x
h₂ : Ioc z₂ (g x) ⊆ v
z : α
h₂z : z₂ < g z
H : g z ≤ g x
⊢ g z ∈ v
case pos
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z✝ : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∀ (x_1 : γ), f x ≤ x_1
hx₂ : ∃ l, l < g x
z₂ : γ
z₂lt : z₂ < g x
h₂ : Ioc z₂ (g x) ⊆ v
z : α
h₂z : z₂ < g z
H : g z ≤ g x
⊢ min (g z) (g x) ∈ v
simp [H]
no goals
case pos
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z✝ : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∀ (x_1 : γ), f x ≤ x_1
hx₂ : ∃ l, l < g x
z₂ : γ
z₂lt : z₂ < g x
h₂ : Ioc z₂ (g x) ⊆ v
z : α
h₂z : z₂ < g z
H : g z ≤ g x
⊢ g z ∈ v
exact h₂ ⟨h₂z, H⟩
case neg
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z✝ : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∀ (x_1 : γ), f x ≤ x_1
hx₂ : ∃ l, l < g x
z₂ : γ
z₂lt : z₂ < g x
h₂ : Ioc z₂ (g x) ⊆ v
z : α
h₂z : z₂ < g z
H : ¬g z ≤ g x
⊢ g x ∈ v
case neg
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z✝ : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∀ (x_1 : γ), f x ≤ x_1
hx₂ : ∃ l, l < g x
z₂ : γ
z₂lt : z₂ < g x
h₂ : Ioc z₂ (g x) ⊆ v
z : α
h₂z : z₂ < g z
H : ¬g z ≤ g x
⊢ min (g z) (g x) ∈ v
simp [le_of_not_le H]
no goals
case neg
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z✝ : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∀ (x_1 : γ), f x ≤ x_1
hx₂ : ∃ l, l < g x
z₂ : γ
z₂lt : z₂ < g x
h₂ : Ioc z₂ (g x) ⊆ v
z : α
h₂z : z₂ < g z
H : ¬g z ≤ g x
⊢ g x ∈ v
exact h₂ ⟨z₂lt, le_rfl⟩
case neg
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∀ (x_1 : γ), f x ≤ x_1
hx₂ : ∀ (x_1 : γ), g x ≤ x_1
⊢ ∀ᶠ (x' : α) in 𝓝[s] x, y < (fun z => f z + g z) x'
case neg
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∀ (x_1 : γ), f x ≤ x_1
hx₂ : ¬∃ l, l < g x
⊢ ∀ᶠ (x' : α) in 𝓝[s] x, y < (fun z => f z + g z) x'
simp only [not_exists, not_lt] at hx₁ hx₂
case neg.hp
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∀ (x_1 : γ), f x ≤ x_1
hx₂ : ∀ (x_1 : γ), g x ≤ x_1
⊢ ∀ (x : α), y < (fun z => f z + g z) x
case neg
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∀ (x_1 : γ), f x ≤ x_1
hx₂ : ∀ (x_1 : γ), g x ≤ x_1
⊢ ∀ᶠ (x' : α) in 𝓝[s] x, y < (fun z => f z + g z) x'
apply Filter.eventually_of_forall
case neg.hp
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z✝ : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∀ (x_1 : γ), f x ≤ x_1
hx₂ : ∀ (x_1 : γ), g x ≤ x_1
z : α
⊢ y < (fun z => f z + g z) z
case neg.hp
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∀ (x_1 : γ), f x ≤ x_1
hx₂ : ∀ (x_1 : γ), g x ≤ x_1
⊢ ∀ (x : α), y < (fun z => f z + g z) x
intro z
case neg.hp
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z✝ : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∀ (x_1 : γ), f x ≤ x_1
hx₂ : ∀ (x_1 : γ), g x ≤ x_1
z : α
this : (f x, g x) ∈ u ×ˢ v
⊢ y < (fun z => f z + g z) z
case neg.hp
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z✝ : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∀ (x_1 : γ), f x ≤ x_1
hx₂ : ∀ (x_1 : γ), g x ≤ x_1
z : α
⊢ y < (fun z => f z + g z) z
have : (f x, g x) ∈ u ×ˢ v := ⟨xu, xv⟩
no goals
case neg.hp
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.61424
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z✝ : β
ι : Type ?u.61450
γ : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.fst + p.snd) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.fst + p.snd}
hx₁ : ∀ (x_1 : γ), f x ≤ x_1
hx₂ : ∀ (x_1 : γ), g x ≤ x_1
z : α
this : (f x, g x) ∈ u ×ˢ v
⊢ y < (fun z => f z + g z) z
calc
  y < f x + g x := h this
  _ ≤ f z + g z := add_le_add (hx₁ (f z)) (hx₂ (g z))