b x✝ y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_ne_one : b ≠ 1
x : ℝ
a✝ : x ∈ univ
⊢ x ∈ logb b '' Iio 0
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_ne_one : b ≠ 1
⊢ SurjOn (logb b) (Iio 0) univ
intro x _
b x✝ y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_ne_one : b ≠ 1
x : ℝ
a✝ : x ∈ univ
⊢ -b ^ x ∈ Iio 0 ∧ logb b (-b ^ x) = x
b x✝ y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_ne_one : b ≠ 1
x : ℝ
a✝ : x ∈ univ
⊢ x ∈ logb b '' Iio 0
use -b ^ x
case left
b x✝ y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_ne_one : b ≠ 1
x : ℝ
a✝ : x ∈ univ
⊢ -b ^ x ∈ Iio 0

case right
b x✝ y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_ne_one : b ≠ 1
x : ℝ
a✝ : x ∈ univ
⊢ logb b (-b ^ x) = x
b x✝ y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_ne_one : b ≠ 1
x : ℝ
a✝ : x ∈ univ
⊢ -b ^ x ∈ Iio 0 ∧ logb b (-b ^ x) = x
constructor
case left
b x✝ y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_ne_one : b ≠ 1
x : ℝ
a✝ : x ∈ univ
⊢ 0 < b ^ x
case left
b x✝ y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_ne_one : b ≠ 1
x : ℝ
a✝ : x ∈ univ
⊢ -b ^ x ∈ Iio 0
simp only [Right.neg_neg_iff, Set.mem_Iio]
no goals
case left
b x✝ y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_ne_one : b ≠ 1
x : ℝ
a✝ : x ∈ univ
⊢ 0 < b ^ x
apply rpow_pos_of_pos b_pos
no goals
case right
b x✝ y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_ne_one : b ≠ 1
x : ℝ
a✝ : x ∈ univ
⊢ logb b (-b ^ x) = x
rw [logb_neg_eq_logb, logb_rpow b_pos b_ne_one]