k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_1
ι : Type ?u.250748
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₀ : P
h : p₀ ∈ s
⊢ (∃ v₀, ∀ (v : V), v ∈ vectorSpan k s → ∃ r, r • v₀ = v) ↔ ∃ v, ∀ (p : P), p ∈ s → ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_1
ι : Type ?u.250748
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₀ : P
h : p₀ ∈ s
⊢ Collinear k s ↔ ∃ v, ∀ (p : P), p ∈ s → ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀
simp_rw [collinear_iff_rank_le_one, rank_submodule_le_one_iff', Submodule.le_span_singleton_iff]
case mp
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_1
ι : Type ?u.250748
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₀ : P
h : p₀ ∈ s
⊢ (∃ v₀, ∀ (v : V), v ∈ vectorSpan k s → ∃ r, r • v₀ = v) → ∃ v, ∀ (p : P), p ∈ s → ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀

case mpr
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_1
ι : Type ?u.250748
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₀ : P
h : p₀ ∈ s
⊢ (∃ v, ∀ (p : P), p ∈ s → ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀) → ∃ v₀, ∀ (v : V), v ∈ vectorSpan k s → ∃ r, r • v₀ = v
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_1
ι : Type ?u.250748
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₀ : P
h : p₀ ∈ s
⊢ (∃ v₀, ∀ (v : V), v ∈ vectorSpan k s → ∃ r, r • v₀ = v) ↔ ∃ v, ∀ (p : P), p ∈ s → ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀
constructor
case mp.intro
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_1
ι : Type ?u.250748
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₀ : P
h : p₀ ∈ s
v₀ : V
hv : ∀ (v : V), v ∈ vectorSpan k s → ∃ r, r • v₀ = v
⊢ ∃ v, ∀ (p : P), p ∈ s → ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀
case mp
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_1
ι : Type ?u.250748
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₀ : P
h : p₀ ∈ s
⊢ (∃ v₀, ∀ (v : V), v ∈ vectorSpan k s → ∃ r, r • v₀ = v) → ∃ v, ∀ (p : P), p ∈ s → ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀
rintro ⟨v₀, hv⟩
case mp.intro
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_1
ι : Type ?u.250748
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₀ : P
h : p₀ ∈ s
v₀ : V
hv : ∀ (v : V), v ∈ vectorSpan k s → ∃ r, r • v₀ = v
⊢ ∀ (p : P), p ∈ s → ∃ r, p = r • v₀ +ᵥ p₀
case mp.intro
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_1
ι : Type ?u.250748
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₀ : P
h : p₀ ∈ s
v₀ : V
hv : ∀ (v : V), v ∈ vectorSpan k s → ∃ r, r • v₀ = v
⊢ ∃ v, ∀ (p : P), p ∈ s → ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀
use v₀
case mp.intro
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_1
ι : Type ?u.250748
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₀ : P
h : p₀ ∈ s
v₀ : V
hv : ∀ (v : V), v ∈ vectorSpan k s → ∃ r, r • v₀ = v
p : P
hp : p ∈ s
⊢ ∃ r, p = r • v₀ +ᵥ p₀
case mp.intro
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_1
ι : Type ?u.250748
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₀ : P
h : p₀ ∈ s
v₀ : V
hv : ∀ (v : V), v ∈ vectorSpan k s → ∃ r, r • v₀ = v
⊢ ∀ (p : P), p ∈ s → ∃ r, p = r • v₀ +ᵥ p₀
intro p hp
case mp.intro.intro
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_1
ι : Type ?u.250748
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₀ : P
h : p₀ ∈ s
v₀ : V
hv : ∀ (v : V), v ∈ vectorSpan k s → ∃ r, r • v₀ = v
p : P
hp : p ∈ s
r : k
hr : r • v₀ = p -ᵥ p₀
⊢ ∃ r, p = r • v₀ +ᵥ p₀
case mp.intro
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_1
ι : Type ?u.250748
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₀ : P
h : p₀ ∈ s
v₀ : V
hv : ∀ (v : V), v ∈ vectorSpan k s → ∃ r, r • v₀ = v
p : P
hp : p ∈ s
⊢ ∃ r, p = r • v₀ +ᵥ p₀
obtain ⟨r, hr⟩ := hv (p -ᵥ p₀) (vsub_mem_vectorSpan k hp h)
case mp.intro.intro
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_1
ι : Type ?u.250748
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₀ : P
h : p₀ ∈ s
v₀ : V
hv : ∀ (v : V), v ∈ vectorSpan k s → ∃ r, r • v₀ = v
p : P
hp : p ∈ s
r : k
hr : r • v₀ = p -ᵥ p₀
⊢ p = r • v₀ +ᵥ p₀
case mp.intro.intro
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_1
ι : Type ?u.250748
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₀ : P
h : p₀ ∈ s
v₀ : V
hv : ∀ (v : V), v ∈ vectorSpan k s → ∃ r, r • v₀ = v
p : P
hp : p ∈ s
r : k
hr : r • v₀ = p -ᵥ p₀
⊢ ∃ r, p = r • v₀ +ᵥ p₀
use r
case mp.intro.intro
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_1
ι : Type ?u.250748
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₀ : P
h : p₀ ∈ s
v₀ : V
hv : ∀ (v : V), v ∈ vectorSpan k s → ∃ r, r • v₀ = v
p : P
hp : p ∈ s
r : k
hr : r • v₀ = p -ᵥ p₀
⊢ p -ᵥ p₀ = r • v₀
case mp.intro.intro
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_1
ι : Type ?u.250748
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₀ : P
h : p₀ ∈ s
v₀ : V
hv : ∀ (v : V), v ∈ vectorSpan k s → ∃ r, r • v₀ = v
p : P
hp : p ∈ s
r : k
hr : r • v₀ = p -ᵥ p₀
⊢ p = r • v₀ +ᵥ p₀
rw [eq_vadd_iff_vsub_eq]
no goals
case mp.intro.intro
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_1
ι : Type ?u.250748
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₀ : P
h : p₀ ∈ s
v₀ : V
hv : ∀ (v : V), v ∈ vectorSpan k s → ∃ r, r • v₀ = v
p : P
hp : p ∈ s
r : k
hr : r • v₀ = p -ᵥ p₀
⊢ p -ᵥ p₀ = r • v₀
exact hr.symm
case mpr.intro
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_1
ι : Type ?u.250748
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₀ : P
h : p₀ ∈ s
v : V
hp₀v : ∀ (p : P), p ∈ s → ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀
⊢ ∃ v₀, ∀ (v : V), v ∈ vectorSpan k s → ∃ r, r • v₀ = v
case mpr
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_1
ι : Type ?u.250748
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₀ : P
h : p₀ ∈ s
⊢ (∃ v, ∀ (p : P), p ∈ s → ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀) → ∃ v₀, ∀ (v : V), v ∈ vectorSpan k s → ∃ r, r • v₀ = v
rintro ⟨v, hp₀v⟩
case mpr.intro
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_1
ι : Type ?u.250748
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₀ : P
h : p₀ ∈ s
v : V
hp₀v : ∀ (p : P), p ∈ s → ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀
⊢ ∀ (v_1 : V), v_1 ∈ vectorSpan k s → ∃ r, r • v = v_1
case mpr.intro
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_1
ι : Type ?u.250748
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₀ : P
h : p₀ ∈ s
v : V
hp₀v : ∀ (p : P), p ∈ s → ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀
⊢ ∃ v₀, ∀ (v : V), v ∈ vectorSpan k s → ∃ r, r • v₀ = v
use v
case mpr.intro
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_1
ι : Type ?u.250748
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₀ : P
h : p₀ ∈ s
v : V
hp₀v : ∀ (p : P), p ∈ s → ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀
w : V
hw : w ∈ vectorSpan k s
⊢ ∃ r, r • v = w
case mpr.intro
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_1
ι : Type ?u.250748
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₀ : P
h : p₀ ∈ s
v : V
hp₀v : ∀ (p : P), p ∈ s → ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀
⊢ ∀ (v_1 : V), v_1 ∈ vectorSpan k s → ∃ r, r • v = v_1
intro w hw
case mpr.intro
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_1
ι : Type ?u.250748
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₀ : P
h : p₀ ∈ s
v : V
hp₀v : ∀ (p : P), p ∈ s → ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀
w : V
hw : w ∈ vectorSpan k s
hs : vectorSpan k s ≤ Submodule.span k {v}
⊢ ∃ r, r • v = w
case mpr.intro
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_1
ι : Type ?u.250748
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₀ : P
h : p₀ ∈ s
v : V
hp₀v : ∀ (p : P), p ∈ s → ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀
w : V
hw : w ∈ vectorSpan k s
⊢ ∃ r, r • v = w
have hs : vectorSpan k s ≤ k ∙ v := by
  rw [vectorSpan_eq_span_vsub_set_right k h, Submodule.span_le, Set.subset_def]
  intro x hx
  rw [SetLike.mem_coe, Submodule.mem_span_singleton]
  rw [Set.mem_image] at hx
  rcases hx with ⟨p, hp, rfl⟩
  rcases hp₀v p hp with ⟨r, rfl⟩
  use r
  simp
case mpr.intro
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_1
ι : Type ?u.250748
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₀ : P
h : p₀ ∈ s
v : V
hp₀v : ∀ (p : P), p ∈ s → ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀
w : V
hw : w ∈ vectorSpan k s
hs : vectorSpan k s ≤ Submodule.span k {v}
hw' : w ∈ Submodule.span k {v}
⊢ ∃ r, r • v = w
case mpr.intro
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_1
ι : Type ?u.250748
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₀ : P
h : p₀ ∈ s
v : V
hp₀v : ∀ (p : P), p ∈ s → ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀
w : V
hw : w ∈ vectorSpan k s
hs : vectorSpan k s ≤ Submodule.span k {v}
⊢ ∃ r, r • v = w
have hw' := SetLike.le_def.1 hs hw
no goals
case mpr.intro
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_1
ι : Type ?u.250748
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₀ : P
h : p₀ ∈ s
v : V
hp₀v : ∀ (p : P), p ∈ s → ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀
w : V
hw : w ∈ vectorSpan k s
hs : vectorSpan k s ≤ Submodule.span k {v}
hw' : w ∈ Submodule.span k {v}
⊢ ∃ r, r • v = w
rwa [Submodule.mem_span_singleton] at hw'
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_1
ι : Type ?u.250748
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₀ : P
h : p₀ ∈ s
v : V
hp₀v : ∀ (p : P), p ∈ s → ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀
w : V
hw : w ∈ vectorSpan k s
⊢ ∀ (x : V), x ∈ (fun x => x -ᵥ p₀) '' s → x ∈ ↑(Submodule.span k {v})
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_1
ι : Type ?u.250748
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₀ : P
h : p₀ ∈ s
v : V
hp₀v : ∀ (p : P), p ∈ s → ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀
w : V
hw : w ∈ vectorSpan k s
⊢ vectorSpan k s ≤ Submodule.span k {v}
rw [vectorSpan_eq_span_vsub_set_right k h, Submodule.span_le, Set.subset_def]
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_1
ι : Type ?u.250748
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₀ : P
h : p₀ ∈ s
v : V
hp₀v : ∀ (p : P), p ∈ s → ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀
w : V
hw : w ∈ vectorSpan k s
x : V
hx : x ∈ (fun x => x -ᵥ p₀) '' s
⊢ x ∈ ↑(Submodule.span k {v})
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_1
ι : Type ?u.250748
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₀ : P
h : p₀ ∈ s
v : V
hp₀v : ∀ (p : P), p ∈ s → ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀
w : V
hw : w ∈ vectorSpan k s
⊢ ∀ (x : V), x ∈ (fun x => x -ᵥ p₀) '' s → x ∈ ↑(Submodule.span k {v})
intro x hx
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_1
ι : Type ?u.250748
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₀ : P
h : p₀ ∈ s
v : V
hp₀v : ∀ (p : P), p ∈ s → ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀
w : V
hw : w ∈ vectorSpan k s
x : V
hx : x ∈ (fun x => x -ᵥ p₀) '' s
⊢ ∃ a, a • v = x
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_1
ι : Type ?u.250748
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₀ : P
h : p₀ ∈ s
v : V
hp₀v : ∀ (p : P), p ∈ s → ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀
w : V
hw : w ∈ vectorSpan k s
x : V
hx : x ∈ (fun x => x -ᵥ p₀) '' s
⊢ x ∈ ↑(Submodule.span k {v})
rw [SetLike.mem_coe, Submodule.mem_span_singleton]
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_1
ι : Type ?u.250748
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₀ : P
h : p₀ ∈ s
v : V
hp₀v : ∀ (p : P), p ∈ s → ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀
w : V
hw : w ∈ vectorSpan k s
x : V
hx : ∃ x_1, x_1 ∈ s ∧ x_1 -ᵥ p₀ = x
⊢ ∃ a, a • v = x
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_1
ι : Type ?u.250748
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₀ : P
h : p₀ ∈ s
v : V
hp₀v : ∀ (p : P), p ∈ s → ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀
w : V
hw : w ∈ vectorSpan k s
x : V
hx : x ∈ (fun x => x -ᵥ p₀) '' s
⊢ ∃ a, a • v = x
rw [Set.mem_image] at hx
case intro.intro
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_1
ι : Type ?u.250748
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₀ : P
h : p₀ ∈ s
v : V
hp₀v : ∀ (p : P), p ∈ s → ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀
w : V
hw : w ∈ vectorSpan k s
p : P
hp : p ∈ s
⊢ ∃ a, a • v = p -ᵥ p₀
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_1
ι : Type ?u.250748
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₀ : P
h : p₀ ∈ s
v : V
hp₀v : ∀ (p : P), p ∈ s → ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀
w : V
hw : w ∈ vectorSpan k s
x : V
hx : ∃ x_1, x_1 ∈ s ∧ x_1 -ᵥ p₀ = x
⊢ ∃ a, a • v = x
rcases hx with ⟨p, hp, rfl⟩
case intro.intro.intro
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_1
ι : Type ?u.250748
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₀ : P
h : p₀ ∈ s
v : V
hp₀v : ∀ (p : P), p ∈ s → ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀
w : V
hw : w ∈ vectorSpan k s
r : k
hp : r • v +ᵥ p₀ ∈ s
⊢ ∃ a, a • v = r • v +ᵥ p₀ -ᵥ p₀
case intro.intro
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_1
ι : Type ?u.250748
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₀ : P
h : p₀ ∈ s
v : V
hp₀v : ∀ (p : P), p ∈ s → ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀
w : V
hw : w ∈ vectorSpan k s
p : P
hp : p ∈ s
⊢ ∃ a, a • v = p -ᵥ p₀
rcases hp₀v p hp with ⟨r, rfl⟩
case intro.intro.intro
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_1
ι : Type ?u.250748
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₀ : P
h : p₀ ∈ s
v : V
hp₀v : ∀ (p : P), p ∈ s → ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀
w : V
hw : w ∈ vectorSpan k s
r : k
hp : r • v +ᵥ p₀ ∈ s
⊢ r • v = r • v +ᵥ p₀ -ᵥ p₀
case intro.intro.intro
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_1
ι : Type ?u.250748
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₀ : P
h : p₀ ∈ s
v : V
hp₀v : ∀ (p : P), p ∈ s → ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀
w : V
hw : w ∈ vectorSpan k s
r : k
hp : r • v +ᵥ p₀ ∈ s
⊢ ∃ a, a • v = r • v +ᵥ p₀ -ᵥ p₀
use r
no goals
case intro.intro.intro
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_1
ι : Type ?u.250748
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₀ : P
h : p₀ ∈ s
v : V
hp₀v : ∀ (p : P), p ∈ s → ∃ r, p = r • v +ᵥ p₀
w : V
hw : w ∈ vectorSpan k s
r : k
hp : r • v +ᵥ p₀ ∈ s
⊢ r • v = r • v +ᵥ p₀ -ᵥ p₀
simp