α✝ : Type ?u.1476210
E : Type u_2
F : Type ?u.1476216
𝕜 : Type ?u.1476219
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α✝ → E
m : MeasurableSpace α✝
μ : Measure α✝
X : Type ?u.1478910
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α✝
α : Type u_1
inst✝ : MeasureSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
f : α → E
⊢ (∫ (x : α), f x ∂Measure.map Subtype.val (Measure.comap Subtype.val volume)) = ∫ (x : ↑s), f ↑x
α✝ : Type ?u.1476210
E : Type u_2
F : Type ?u.1476216
𝕜 : Type ?u.1476219
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α✝ → E
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μ : Measure α✝
X : Type ?u.1478910
inst✝² : TopologicalSpace X
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ν : Measure α✝
α : Type u_1
inst✝ : MeasureSpace α
s : Set α
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f : α → E
⊢ (∫ (x : α) in s, f x) = ∫ (x : ↑s), f ↑x
rw [← map_comap_subtype_coe hs]
no goals
α✝ : Type ?u.1476210
E : Type u_2
F : Type ?u.1476216
𝕜 : Type ?u.1476219
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
f✝ g : α✝ → E
m : MeasurableSpace α✝
μ : Measure α✝
X : Type ?u.1478910
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α✝
α : Type u_1
inst✝ : MeasureSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
f : α → E
⊢ (∫ (x : α), f x ∂Measure.map Subtype.val (Measure.comap Subtype.val volume)) = ∫ (x : ↑s), f ↑x
exact (MeasurableEmbedding.subtype_coe hs).integral_map _