Dynamical mean-field theory
متحرک اوسط فیلڈ تھیوری (ڈی ایم ایف ٹی) مضبوطی سے مربوط مواد کی الیکٹرانک ساخت کا تعین کرنے کا ایک طریقہ ہے۔ ایسے مادوں میں، آزاد الیکٹرانوں کا تخمینہ، جو کثافت فنکشنل تھیوری اور معمول کے بینڈ ڈھانچے کے حساب میں استعمال ہوتا ہے، ٹوٹ جاتا ہے۔ متحرک اوسط فیلڈ تھیوری، الیکٹرانوں کے درمیان مقامی تعاملات کا ایک غیر متغیر علاج، تقریبا آزاد الیکٹران گیس کی حد اور گھنے مادے کی طبیعیات کی جوہری حد کے درمیان فرق کو ختم کرتا ہے۔ ڈی ایم ایف ٹی کئی جسم والے جالی کے مسئلے کو کئی جسم والے مقامی مسئلے کی نقشہ سازی پر مشتمل ہوتا ہے، جسے نجاست ماڈل کہا جاتا ہے۔ اگرچہ جالی کا مسئلہ عام طور پر ناقابل حل ہوتا ہے، لیکن نجاست ماڈل عام طور پر مختلف اسکیموں کے ذریعے حل کیا جا سکتا ہے۔ نقشہ سازی اپنے آپ میں ایک تخمینہ نہیں ہے۔ عام ڈی ایم ایف ٹی اسکیموں میں بنایا گیا واحد تخمینہ یہ ہے کہ جالی کی خود توانائی کو رفتار سے آزاد (مقامی) مقدار سمجھا جائے۔ یہ تخمینہ لامحدود ہم آہنگی کے ساتھ جالی کی حد میں درست ہو جاتا ہے۔ ڈی ایم ایف ٹی کی اہم کامیابیوں میں سے ایک دھات اور موٹ موصلیت کے درمیان مرحلے کی منتقلی کو بیان کرنا ہے جب الیکٹرانک ارتباط کی طاقت میں اضافہ ہوتا ہے۔ کثافت فنکشنل تھیوری کے مقامی کثافت کے تخمینے کے ساتھ مل کر اسے حقیقی مواد پر کامیابی کے ساتھ لاگو کیا گیا ہے۔ اوسط فیلڈ تھیوری سے تعلق لیٹس کوانٹم ماڈلز کا ڈی ایم ایف ٹی علاج آئزنگ ماڈل جیسے کلاسیکی ماڈلز کے اوسط فیلڈ تھیوری (ایم ایف ٹی) علاج سے ملتا جلتا ہے۔ آئزنگ ماڈل میں، جالی کے مسئلے کو ایک موثر واحد سائٹ کے مسئلے پر نقشہ بنایا جاتا ہے، جس کی مقناطیسیت ایک موثر "اوسط میدان" کے ذریعے جالی کے مقناطیسیت کو دوبارہ پیش کرنا ہے۔ اس حالت کو خود مستقل حالت کہا جاتا ہے۔ اس میں یہ شرط لگائی گئی ہے کہ سنگل سائٹ آبزرویبلز کو ایک موثر فیلڈ کے ذریعے جالی "مقامی" آبزرویبلز کو دوبارہ پیش کرنا چاہیے۔ اگرچہ این-سائٹ آئزنگ ہیملٹنین کو تجزیاتی طور پر حل کرنا مشکل ہے (آج تک، تجزیاتی حل صرف 1 ڈی اور 2 ڈی کیس کے لیے موجود ہیں)، سنگل سائٹ کا مسئلہ آسانی سے حل ہو جاتا ہے۔ اسی طرح، ڈی ایم ایف ٹی جالی کے مسئلے کا نقشہ بناتا ہے (مثال کے طور پر۔ ہبارڈ ماڈل) ایک واحد سائٹ کے مسئلے پر۔ ڈی ایم ایف ٹی میں، لوکل آبزرویبل لوکل گرین کا فنکشن ہے۔ اس طرح، ڈی ایم ایف ٹی کے لیے خود مطابقت کی شرط نجاست گرین کے فنکشن کے لیے ہے کہ وہ جالی مقامی گرین کے فنکشن کو ایک موثر اوسط فیلڈ کے ذریعے دوبارہ پیش کرے جو کہ ڈی ایم ایف ٹی میں نجاست ماڈل کا ہائبرڈائزیشن فنکشن ہے۔ ڈی ایم ایف ٹی اپنے نام کا مقروض اس حقیقت کی وجہ سے ہے کہ اوسط فیلڈ وقت پر منحصر، یا متحرک ہے۔ یہ آئزنگ ایم ایف ٹی اور ڈی ایم ایف ٹی کے درمیان بڑے فرق کی طرف بھی اشارہ کرتا ہے: آئزنگ ایم ایف ٹی این-اسپن کے مسئلے کو سنگل سائٹ، سنگل اسپن کے مسئلے میں نقشہ بناتا ہے۔ ڈی ایم ایف ٹی جالی کے مسئلے کو سنگل سائٹ کے مسئلے پر نقش کرتا ہے، لیکن مؤخر الذکر بنیادی طور پر این-باڈی کا مسئلہ رہتا ہے جو الیکٹران-الیکٹران ارتباط کی وجہ سے عارضی اتار چڑھاؤ کو ظاہر کرتا ہے۔ ہبارڈ ماڈل کے لیے ڈی ایم ایف ٹی کی تفصیل ڈی ایم ایف ٹی کی نقشہ سازی سنگل آربیٹل ہبارڈ ماڈل ہبارڈ ماڈل ایک ہی پیرامیٹر کے ذریعے مخالف اسپن کے الیکٹرانوں کے درمیان آن سائٹ تعامل کو بیان کرتا ہے۔ ہبارڈ ہیملٹنین مندرجہ ذیل شکل اختیار کر سکتا ہے: جہاں، اسپن 1/2 انڈیکس کو دبانے پر، سائٹ پر مقامی مدار پر الیکٹران کی تخلیق اور تباہی کے آپریٹرز کی نشاندہی کرتا ہے، اور۔ مندرجہ ذیل مفروضے بنائے گئے ہیں: الیکٹرانک خصوصیات میں صرف ایک مداری حصہ ڈالتا ہے (جیسا کہ سپر کنڈکٹنگ کپریٹس میں تانبے کے ایٹموں کا معاملہ ہو سکتا ہے، جن کے بینڈ غیر ڈی جنریٹ ہوتے ہیں)، مداری اتنے مقامی ہوتے ہیں کہ صرف قریب ترین پڑوسی کی چھلانگ کو مدنظر رکھا جاتا ہے۔ معاون مسئلہ: اینڈرسن کا نجاست ماڈل ہبارڈ ماڈل عام طور پر عوارض کی توسیع کی تکنیکوں کے تحت ناقابل تلافی ہوتا ہے۔ ڈی ایم ایف ٹی اس جالی کے ماڈل کو نام نہاد اینڈرسن امپییوریٹی ماڈل (اے آئی ایم) پر نقش کرتا ہے۔ یہ ماڈل ہائبرڈائزیشن فنکشن کے ذریعے الیکٹرانک سطحوں کے "غسل" کے ساتھ ایک سائٹ (نجاست) کے تعامل کو بیان کرتا ہے۔ ہمارے سنگل سائٹ ماڈل سے مطابقت رکھنے والا اینڈرسن ماڈل ایک سنگل آربیٹل اینڈرسن امپیوریٹی ماڈل ہے، جس کی ہیملٹنین تشکیل، کچھ اسپن 1/2 انڈیکس کو دبانے پر، یہ ہے: جہاں غسل کی غیر مربوط الیکٹرانک سطحوں کو بیان کرتا ہے وہ ناپاکی کو بیان کرتا ہے، جہاں دو الیکٹران توانائی کی لاگت کے ساتھ تعامل کرتے ہیں جو ہائبرڈائزیشن کی اصطلاحات کے ذریعے ناپاکی اور غسل کے درمیان ہائبرڈائزیشن (یا جوڑی) کو بیان کرتا ہے۔ یہ ہائبرڈائزیشن فنکشن غسل کے اندر اور باہر چھلانگ لگانے والے الیکٹرانوں کی حرکیات کو بیان کرتا ہے۔ اسے جالی کی حرکیات کو اس طرح دوبارہ پیش کرنا چاہیے کہ نجاست گرین کا فنکشن مقامی جالی گرین کے فنکشن جیسا ہی ہو۔ اس کا تعلق غیر تعامل کرنے والے گرین فنکشن سے اس تعلق کے ذریعے ہے: (1) اینڈرسن امپییوریٹی ماڈل کو حل کرنا قابل مشاہدہ کمپیوٹنگ پر مشتمل ہوتا ہے جیسے کہ کسی دی گئی ہائبرڈائزیشن فنکشن کے لیے تعامل کرنے والے گرین فنکشن اور۔ یہ ایک مشکل لیکن ناقابل حل مسئلہ ہے۔ اے آئی ایم کو حل کرنے کے کئی طریقے موجود ہیں، جیسے کہ عددی ری نارملائزیشن گروپ ایکزیکٹ ڈائیگنلائزیشن آئیٹریٹو پرٹربیشن تھیوری نان کراسنگ اپروکسیمیشن کنٹینیوس ٹائم کوانٹم مونٹی کارلو الگورتھم سیلف کنسسٹینسی مساوات سیلف کنسسٹینسی کی حالت میں نجاست گرین کے فنکشن کو مقامی لیٹیس گرین کے فنکشن کے ساتھ موافق ہونے کی ضرورت ہوتی ہے: جہاں لیٹیس سیلف انرجی کی نشاندہی ہوتی ہے۔ ڈی ایم ایف ٹی کا تخمینہ: جالی خود توانائی کا محل وقوع صرف ڈی ایم ایف ٹی کا تخمینہ (اینڈرسن ماڈل کو حل کرنے کے لیے بنائے جانے والے تخمینے کے علاوہ) جالی خود توانائی کے مقامی اتار چڑھاؤ کو نظر انداز کرنے پر مشتمل ہوتا ہے، اسے نجاست خود توانائی کے مساوی بنا کر: یہ تخمینہ لامحدود ہم آہنگی کے ساتھ جالی کی حد میں درست ہو جاتا ہے، یعنی جب ہر سائٹ کے پڑوسیوں کی تعداد لامحدود ہوتی ہے۔ درحقیقت، کوئی یہ دکھا سکتا ہے کہ جالی کی خود توانائی کی خاکہ جاتی توسیع میں، جب کوئی لامحدود ہم آہنگی کی حد میں جاتا ہے تو صرف مقامی خاکے باقی رہتے ہیں۔ اس طرح، جیسا کہ کلاسیکی اوسط میدان کے نظریات میں، ڈی ایم ایف ٹی کو زیادہ درست ہونا چاہیے کیونکہ جہت (اور اس طرح پڑوسیوں کی تعداد) میں اضافہ ہوتا ہے۔ مختلف الفاظ میں، کم طول و عرض کے لیے، مقامی اتار چڑھاؤ ڈی ایم ایف ٹی کے تخمینے کو کم قابل اعتماد بنا دے گا۔ مقامی اتار چڑھاؤ بھی مرحلے کی منتقلی کے آس پاس متعلقہ ہو جاتے ہیں۔ یہاں، ڈی ایم ایف ٹی اور کلاسیکی مین فیلڈ تھیوریوں کے نتیجے میں مین فیلڈ کریٹیکل ایکسپوینٹس ہوتے ہیں، مرحلے کی منتقلی سے پہلے واضح تبدیلیاں ڈی ایم ایف ٹی سیلف انرجی میں ظاہر نہیں ہوتی ہیں۔ ڈی ایم ایف ٹی لوپ مقامی لیٹیس گرین کے فنکشن کو تلاش کرنے کے لیے، ہائبرڈائزیشن فنکشن کا تعین اس طرح کرنا پڑتا ہے کہ متعلقہ نجاست گرین کا فنکشن مطلوبہ مقامی لیٹیس گرین کے فنکشن کے ساتھ موافق ہو۔ اس مسئلے کو حل کرنے کا سب سے وسیع طریقہ فارورڈ ریکرشن طریقہ استعمال کرنا ہے، یعنی کسی دیئے گئے اور درجہ حرارت کے لیے: (عام طور پر،) ڈی ایم ایف ٹی کا تخمینہ لگائیں: مقامی گرین فنکشن کا حساب لگائیں متحرک اوسط فیلڈ کا حساب لگائیں ایک نئی نجاست گرین فنکشن کے لیے اے آئی ایم کو حل کریں، اس کی خود توانائی نکالیں: انضمام تک مرحلہ 2 پر واپس جائیں، یعنی کب۔ ایپلی کیشنز لوکل لیٹس گرین فنکشن اور دیگر نجاست مشاہدہ کو متعدد جسمانی مقداروں کو ارتباط، بینڈوڈتھ، فلنگ (کیمیائی صلاحیت)، اور درجہ حرارت کے فنکشن کے طور پر شمار کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے: سپیکٹرم فنکشن (جو بینڈ کی ساخت دیتا ہے) حرکی توانائی سائٹ رسپانس افعال (کمپریسبلٹی، آپٹیکل کنڈکٹیویٹی، مخصوص حرارت) کا دوگنا قبضہ خاص طور پر، بڑھتے ہوئے دوگنا قبضے کی کمی موٹ منتقلی کا اشارہ ہے۔ ڈی ایم ایف ٹی ڈی ایم ایف ٹی کی توسیع میں کئی توسیعات ہیں، جو مذکورہ بالا رسمی نظام کو کثیر مداری، کثیر مقام کے مسائل، طویل فاصلے کے ارتباط اور غیر توازن تک بڑھاتی ہیں۔ ملٹی آربیٹل ایکسٹینشن ڈی ایم ایف ٹی کو متعدد آربیٹلز والے ہبارڈ ماڈلز تک بڑھایا جا سکتا ہے، یعنی اس فارم کے الیکٹران الیکٹران تعاملات کے ساتھ جہاں اور مختلف آربیٹلز کو ظاہر کرتا ہے۔ ڈینسٹی فنکشنل تھیوری (ڈی ایف ٹی + ڈی ایم ایف ٹی) کے ساتھ امتزاج پھر متعلقہ مواد کے حقیقت پسندانہ حساب کی اجازت دیتا ہے۔ توسیعی ڈی ایم ایف ٹی توسیعی ڈی ایم ایف ٹی غیر مقامی تعاملات کے لیے مقامی نجاست خود توانائی پیدا کرتا ہے اور اس لیے ہمیں ٹی-جے ماڈل جیسے مزید عام ماڈلز کے لیے ڈی ایم ایف ٹی کا اطلاق کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ کلسٹر ڈی ایم ایف ٹی ڈی ایم ایف ٹی کے تخمینے کو بہتر بنانے کے لیے، ہبارڈ ماڈل کو ملٹی سائٹ نجاست (کلسٹر) کے مسئلے پر نقشہ بنایا جا سکتا ہے، جو کسی کو نجاست خود توانائی میں کچھ مقامی انحصار شامل کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ کلسٹرز میں کم درجہ حرارت پر 4 سے 8 مقامات اور زیادہ درجہ حرارت پر 100 مقامات ہوتے ہیں۔ ڈی ایم ایف ٹی سے آگے خود توانائی کے مقامی انحصار، بشمول مرحلے کی منتقلی کے آس پاس طویل فاصلے کے ارتباط، تجزیاتی اور عددی تکنیکوں کے امتزاج کا استعمال کرتے ہوئے ڈی ایم ایف ٹی کی خاکہ جاتی توسیع کے ذریعے بھی حاصل کیے جا سکتے ہیں۔ متحرک ورٹیکس تخمینہ اور دوہری فرمیئن نقطہ نظر کا نقطہ آغاز مقامی دو ذرات کا ورٹیکس ہے۔ غیر توازن ڈی ایم ایف ٹی کو غیر توازن نقل و حمل اور نظری جوش و خروش کا مطالعہ کرنے کے لیے استعمال کیا گیا ہے۔ یہاں، توازن سے باہر اے آئی ایم کے گرین فنکشن کا قابل اعتماد حساب ایک بڑا چیلنج بنا ہوا ہے۔ حوالہ جات اور نوٹ بھی دیکھیں مضبوط طور پر مربوط مواد بیرونی روابط مضبوط طور پر مربوط مواد: متحرک اوسط فیلڈ تھیوری سے بصیرت جی کوٹلیئر اور ڈی وولہارٹ لیکچر مضبوط طور پر مربوط مواد کے لیے ایل ڈی اے + ڈی ایم ایف ٹی نقطہ نظر پر نوٹ کرتے ہیں۔ ایوا پاورینی، ایرک کوچ، ڈایٹر وولہارٹ، اور الیگزینڈر لکٹنسٹین (ایڈز۔) لیکچر 25 پر ڈی ایم ایف ٹی کو نوٹ کرتا ہے: لامحدود طول و عرض ایوا پاورینی، ایرک کوچ، ڈایٹر وولہارٹ، اور الیگزینڈر لکٹنسٹین (ایڈز۔) لیکچر نوٹ کرتا ہے ڈی ایم ایف ٹی-لامحدود جہتوں سے لے کر حقیقی مواد تک ایوا پاوارینی، ایرک کوچ، ڈایٹر وولہارٹ، اور الیگزینڈر لکٹنسٹین (ایڈز۔) لیکچر میں منسلک الیکٹرانوں کی ڈائنامکل مین فیلڈ تھیوری ایوا پاوارینی، ایرک کوچ، ڈایٹر وولہارٹ، اور الیگزینڈر لکٹنسٹین (ایڈز۔) کو نوٹ کیا گیا ہے۔ دو سائٹ والے ہبارڈ ڈائمر کے لیے ڈی ایم ایف ٹی: مواد کے لیے ڈائنامکل مین فیلڈ تھیوری میں، دو سائٹ والے ہبارڈ ڈائمر کے لیے ایوا پاورینی https://www.cond-mat.de/events/correl21/manuscripts/pavarini.pdf ڈی ایم ایف ٹی: مواد میں مضبوط ارتباط کے مسئلے کو حل کرنے میں، ایوا پاورینی https://doi.org/10.1007/s40766-021-00025-8 مربوط الیکٹران مواد سائنس کوانٹم میکانکس الیکٹرانک ساخت کے طریقے