De Moivre's law
ڈی مویور کا قانون ایک بقا کا نمونہ ہے جس کا اطلاق ایکچوریئل سائنس میں ہوتا ہے، جس کا نام ابراہم ڈی مویور کے نام پر رکھا گیا ہے۔ یہ موت کا ایک سادہ قانون ہے جو لکیری سروائیول فنکشن پر مبنی ہے۔ ڈی مویور کے قانون کی تعریف میں ایک واحد پیمانہ ہے جسے حتمی عمر کہا جاتا ہے۔ ڈی مویور کے قانون کے تحت، ایک نوزائیدہ بچے کے بقا کے فعل کے ذریعہ دیئے گئے کم از کم x سال زندہ رہنے کا امکان ہوتا ہے۔ ایکچوریئل نوٹیشن (x) ایک ایسی حیثیت یا زندگی کی نشاندہی کرتا ہے جو x سال کی عمر تک زندہ رہی ہے، اور T (x) (x) کی مستقبل کی زندگی ہے (T (x) ایک بے ترتیب متغیر ہے)۔ مشروط امکان کہ (x) عمر x + t تک زندہ رہتا ہے وہ ہے Pr [T (0) ≤ x + t | T (0) ≤ x] = S (x + t)/S (x)، جس کی طرف اشارہ کیا جاتا ہے۔ ڈی مویور کے قانون کے تحت، مشروط امکان ہے کہ x سال کی عمر کی زندگی کم از کم مزید t سال زندہ رہتی ہے اور اس لیے مستقبل کی زندگی میں بے ترتیب متغیر T (x) ایک یکساں تقسیم کی پیروی کرتا ہے۔ ناکامی کے مشروط امکان کے لیے ایکچوریئل نوٹیشن = Pr [0 ≤ T (x) ≤ t|T (0) ≤ x] ہے۔ ڈی مویور کے قانون کے تحت، اس بات کا امکان کہ (x) عمر x + t تک زندہ رہنے میں ناکام رہتا ہے، موت کی قوت (خطرے کی شرح یا ناکامی کی شرح) ہے جہاں f (x) امکان کی کثافت کا فعل ہے۔ ڈی مویور کے قانون کے تحت، x سال کی عمر کے لیے موت کی قوت وہ ہے جو عمر کے حوالے سے ناکامی کی بڑھتی ہوئی شرح کی خاصیت رکھتی ہے۔ ڈی مویور کے قانون کو اموات کے ایک سادہ تجزیاتی قانون کے طور پر لاگو کیا جاتا ہے اور لکیری مفروضہ کو زندگی کی میزیں جیسے غیر متزلزل بقا کے ماڈلز کے لیے انٹرپولیشن کے لیے ایک ماڈل کے طور پر بھی لاگو کیا جاتا ہے۔ تاریخ ڈی مویور کا قانون سب سے پہلے ان کی 1725 کی اینیوٹیز آن لائیوز میں شائع ہوا، جو ایکچوریئل نصابی کتاب کی قدیم ترین مثال ہے۔ اب اسے جو نام دیا گیا ہے اس کے باوجود، ڈی مویور نے خود اپنے قانون (جسے انہوں نے "مفروضہ" کہا) کو انسانی اموات کے نمونے کی حقیقی وضاحت نہیں سمجھا۔ اس کے بجائے، انہوں نے سالانہ کی لاگت کا حساب لگاتے وقت اسے ایک مفید تخمینہ کے طور پر متعارف کرایا۔ اپنے متن میں، ڈی مویور نے نوٹ کیا کہ ". اگرچہ زندگی کے مساوی انحطاط کا تصور۔ [بالکل] جدولوں سے متفق نہیں ہے، پھر بھی اس تصور کو کامیابی کے ساتھ استعمال کیا جا سکتا ہے کہ عمر کے لیے سالانہ اقدار کی میز کی تعمیر میں بارہ کا اندازہ نہ لگایا جائے۔" مزید برآں، اگرچہ ان کے متن میں ایک الجبرائی مظاہرہ تھا جو پورے متوقع مستقبل کی عمر پر لاگو ہوتا ہے، ڈی مویور نے ایک الجبرائی مظاہرہ بھی فراہم کیا جو صرف محدود سالوں پر لاگو ہوتا ہے۔ یہ مؤخر الذکر نتیجہ تھا جو اس کے بعد کی عددی مثالوں میں استعمال ہوا۔ ان مثالوں سے پتہ چلتا ہے کہ ڈی مویور نے اپنے مفروضے کو ٹکڑے ٹکڑے کے انداز میں استعمال کیا، جس میں انہوں نے فرض کیا کہ انسانی اموات کے مجموعی نمونے کا تخمینہ کئی سیدھی لکیر والے حصوں سے لگایا جا سکتا ہے (دائیں طرف ان کی مثال دیکھیں)۔ انہوں نے لکھا کہ "چونکہ زندگی کے زوال کو بغیر کسی سمجھدار غلطی کے برابر سمجھا جا سکتا ہے، کسی بھی مختصر وقفے کے لیے، اس کے بعد یہ ہوتا ہے کہ اگر زندگی کی پوری حد کو کئی مختصر وقفوں میں تقسیم کیا جائے، تو زندگی کے لیے سالیانہ کی اقدار کا آسانی سے حساب لگایا جا سکتا ہے۔ مشاہدوں کی کسی بھی میز کے مطابق، اور سود کی کسی بھی شرح کے لیے۔" دونوں حوالوں کے لیے، ڈی مویور کے "ٹیبلز" کے حوالے ایکچوریئل لائف ٹیبلز کے تھے۔ جدید مصنفین اموات کے قوانین کی تاریخ میں ڈی مویور کے کردار کے بارے میں اپنے سلوک میں مستقل نہیں ہیں۔ ایک طرف، ڈک لندن ڈی مویور کے قانون کو انسانی بقا کے نمونے کے طور پر استعمال کرنے کے لیے "تجویز کی جانے والی پہلی مسلسل امکان کی تقسیم" کے طور پر بیان کرتا ہے۔ رابرٹ بیٹن بھی اسی طرح کا نظریہ رکھتے ہیں، انہوں نے مزید کہا کہ "[ڈی مویور کا] مفروضہ. یقینا غیر حقیقی پایا گیا ہے"۔ اس کے برعکس، سپیگل مین اور بینجمن کے تجزیاتی انسانی بقا کے نمونوں کے سروے میں ڈی مویور کا بالکل ذکر نہیں ہے (دونوں صورتوں میں، سروے بینجمن گومپرٹز کے کام سے شروع ہوتے ہیں)۔ ایکچوریئل سائنس کی تاریخ پر اپنے مضمون میں، اسٹیفن ہیبرمین نے ڈی مویور کا ذکر کیا ہے، لیکن "لائف انشورنس ریاضی" کے حصے میں نہ کہ "لائف ٹیبلز اینڈ سروائیول ماڈلز" پر۔ سی ڈبلیو جورڈن نے اپنی لائف کنٹینجینسیز میں ایک طرح کا درمیانی میدان اختیار کیا، جہاں انہوں نے "موت کے کچھ مشہور قوانین" پر اپنے حصے میں ڈی مویور کو شامل کیا، لیکن مزید کہا کہ "ڈی مویور نے تسلیم کیا کہ یہ زندگی کی سالانہ اقدار کے حساب کو آسان بنانے کا ایک بہت ہی کھردرا تخمینہ [جس کا مقصد] تھا، جو ان دنوں ایک مشکل کام تھا۔" ایک اور اشارہ یہ ہے کہ ڈی مویور نے خود اپنے "مفروضے" کو انسانی اموات کی حقیقی عکاسی نہیں سمجھا، یہ حقیقت ہے کہ اس نے اینیوٹیز آن لائیوز میں دو الگ الگ مفروضے پیش کیے۔ جب اس نے ایک سے زیادہ زندگیوں پر قابل ادائیگی سالانہ کی قدر کے سوال کی طرف توجہ دی تو ڈی مویور نے ہر سال موت کے مساوی امکانات کے مفروضے کے حق میں اموات کی مساوی تعداد (فی سال) کے اپنے مفروضے کو چھوڑنا آسان پایا۔ اگرچہ مستقل قوت کے مفروضے کو آج موت کے ایک سادہ تجزیاتی قانون کے طور پر بھی تسلیم کیا جاتا ہے، لیکن اسے کبھی بھی "ڈی مویور کا دوسرا قانون" یا اس طرح کا کوئی دوسرا نام نہیں جانا گیا۔ نوٹس بیرونی روابط 1725 ایڈیشن آف اینیوٹیز آن لائیوز ایکچوریئل سائنس سروائیول تجزیہ ابراہم ڈی مویور