Schwarzschild coordinates
لورینٹزیئن مینیفولڈز کے نظریہ میں، کروی طور پر سمیٹرک اسپیس ٹائمز گھونسلے والے گول شعبوں کے ایک خاندان کو تسلیم کرتے ہیں۔ اس طرح کے اسپیس ٹائم میں، ایک خاص طور پر اہم قسم کا کوآرڈینیٹ چارٹ شوارز چائلڈ چارٹ ہے، جو ایک جامد اور کروی طور پر ہم آہنگ اسپیس ٹائم پر ایک قسم کا قطبی کروی کوآرڈینیٹ چارٹ ہے، جو ان گھونسلے والے گول شعبوں کے مطابق ڈھال لیا جاتا ہے۔ شوارزشائلڈ چارٹ کی وضاحتی خصوصیت یہ ہے کہ شعاعی نقاط سطح کے رقبے اور ہر دائرے کے گوسیائی منحنی خطوط کے لحاظ سے ایک قدرتی ہندسی تشریح رکھتا ہے۔ تاہم، شعاعی فاصلے اور زاویہ درست طریقے سے پیش نہیں کیے جاتے ہیں۔ کشش ثقل کے میٹرک نظریات جیسے کہ عمومی اضافیت میں ان چارٹس کے بہت سے استعمال ہیں۔ وہ اکثر جامد کروی سمیٹرک اسپیس ٹائمز میں استعمال ہوتے ہیں۔ عمومی اضافیت کے معاملے میں، برخوف کا نظریہ بیان کرتا ہے کہ آئن سٹائن فیلڈ مساوات کا ہر الگ تھلگ کروی سمیٹرک ویکیوم یا الیکٹرو ویکیوم حل جامد ہے، لیکن یہ یقینی طور پر کامل سیالوں کے لیے درست نہیں ہے۔ ایک کروی متناسب بلیک ہول کے واقعہ افق کے اندر شوارزشائلڈ ویکیوم حل کے بیرونی علاقے کی توسیع افق کے اندر جامد نہیں ہے، اور (خلائی نما) گھونسلے والے شعبوں کے خاندان کو افق کے اندر نہیں بڑھایا جا سکتا، اس لیے اس حل کے لیے شوارزشائلڈ چارٹ لازمی طور پر افق پر ٹوٹ جاتا ہے۔ تعریف میٹرک ٹینسر کی وضاحت کرنا کسی بھی لورینٹزیئن کئی گنا کی تعریف کا حصہ ہے۔ اس ٹینسر کی وضاحت کرنے کا سب سے آسان طریقہ یہ ہے کہ اسے مطابقت پذیر مقامی کوآرڈینیٹ چارٹس میں بیان کیا جائے اور اس بات کی تصدیق کی جائے کہ چارٹس کے ڈومینز کے اوورلیپس پر ایک ہی ٹینسر کی وضاحت کی گئی ہے۔ اس مضمون میں، ہم صرف ایک چارٹ کے ڈومین میں میٹرک ٹینسر کی وضاحت کرنے کی کوشش کریں گے۔ شوارز چائلڈ چارٹ میں (جامد کروی طور پر ہم آہنگ خلائی وقت پر)، لائن عنصر اس شکل اختیار کرتا ہے جہاں معیاری کروی کوآرڈینیٹ ہے اور یونٹ 2 کروی پر معیاری میٹرک ہے۔ اس اظہار کی مزید تفصیلی مشتق کے لیے شوارز چائلڈ حل اخذ کرنا دیکھیں۔ سیاق و سباق کے لحاظ سے، a اور b کو ریڈیل کوآرڈینیٹ کے غیر متعین افعال کے طور پر سمجھنا مناسب ہو سکتا ہے (مثال کے طور پر، آئن سٹائن فیلڈ مساوات کا ایک عین مطابق جامد کروی ہم آہنگی حل حاصل کرنے میں)۔ متبادل طور پر، ہم کسی مخصوص لورینٹزیئن اسپیس ٹائم پر شوارزسچلڈ کوآرڈینیٹ چارٹ حاصل کرنے کے لیے مخصوص افعال (ممکنہ طور پر کچھ پیرامیٹرز پر منحصر) کو جوڑ سکتے ہیں۔ اگر یہ کسی تناؤ-توانائی ٹینسر کو اس طرح تسلیم کرتا ہے کہ نتیجے میں ماڈل آئن سٹائن فیلڈ مساوات کو مطمئن کرتا ہے (جیسے، ایک جامد کروی طور پر ہم آہنگ کامل سیال کے لیے جو مناسب توانائی کے حالات اور معقول کامل سیال سے متوقع دیگر خصوصیات کی پابندی کرتا ہے)، تو، مناسب ٹینسر فیلڈز کے ساتھ جو جسمانی مقدار کی نمائندگی کرتے ہیں جیسے کہ مادہ اور رفتار کی کثافت، ہمارے پاس ممکنہ طور پر بڑے خلائی وقت کا ایک ٹکڑا ہے۔ ایک ٹکڑا جسے آئن سٹائن فیلڈ مساوات کا مقامی حل سمجھا جا سکتا ہے۔ ویکٹر فیلڈز کو مارنا شوارز چائلڈ چارٹ کے حوالے سے، کلنگ ویکٹر فیلڈز کا لائ الجبرا ٹائم لائک ایرروٹیشنل کلنگ ویکٹر فیلڈ اور تین اسپیس لائک کلنگ ویکٹر فیلڈز کے ذریعے تیار کیا جاتا ہے۔ یہاں، یہ کہتے ہوئے کہ ایرروٹیشنل کا مطلب ہے کہ متعلقہ ٹائم لائک ہم آہنگی کا ورٹیٹی ٹینسر غائب ہو جاتا ہے۔ اس طرح، یہ کلنگ ویکٹر فیلڈ ہائپر سرفیس آرتھوگنل ہے۔ حقیقت یہ ہے کہ ہمارا اسپیس ٹائم ایک غیر متحرک ٹائم لائک کلنگ ویکٹر فیلڈ کو تسلیم کرتا ہے حقیقت میں ایک جامد اسپیس ٹائم کی وضاحتی خصوصیت ہے۔ ایک فوری نتیجہ یہ ہے کہ مستقل وقت کوآرڈینیٹ سطحیں (آئسومیٹرک) مقامی ہائپرسلکس کا ایک خاندان بناتی ہیں۔ (یہ مثال کے طور پر کیر ویکیوم کے بیرونی علاقے کے لیے بوئیر-لنڈکوسٹ چارٹ میں درست نہیں ہے، جہاں ٹائم لائک کوآرڈینیٹ ویکٹر ہائپر سرفیس آرتھوگنل نہیں ہے۔) نوٹ کریں کہ آخری دو فیلڈز کوآرڈینیٹ ٹرانسفارمیشن کے تحت ایک دوسرے کی گردش ہیں۔ ویکٹر فیلڈز کو مارنے سے متعلق مضمون تین خلا نما فیلڈز کی تفصیلی مشتق اور بحث فراہم کرتا ہے۔ جامد گھونسلے والے شعبوں کا ایک خاندان شوارز چائلڈ چارٹ میں، سطحیں گول دائرے کے طور پر ظاہر ہوتی ہیں (جب ہم قطبی کروی انداز میں لوکی کو پلاٹ کرتے ہیں)، اور اس کی شکل سے، ہم دیکھتے ہیں کہ شوارز چائلڈ میٹرک ان میں سے کسی بھی سطح تک محدود مثبت قطعی ہے اور اس کے ذریعہ دیا گیا ہے۔ یعنی، یہ نیسٹڈ کوآرڈینیٹ دائرے درحقیقت سطح کے رقبے کے ساتھ ہندسی دائرے کی نمائندگی کرتے ہیں۔ خاص طور پر، وہ ہندسی گول دائرے ہیں۔ مزید برآں، کونیی نقاط بالکل معمول کے قطبی کروی کونیی نقاط ہوتے ہیں: بعض اوقات کولاٹیٹیوڈ کہا جاتا ہے اور اسے عام طور پر طول البلد کہا جاتا ہے۔ یہ بنیادی طور پر شوارز چائلڈ چارٹ کی وضاحتی ہندسی خصوصیت ہے۔ یہ شامل کرنے میں مدد مل سکتی ہے کہ اوپر دیے گئے چار کلنگ فیلڈز، جنہیں ہمارے لورینٹزیئن کئی گنا پر تجریدی ویکٹر فیلڈز سمجھا جاتا ہے، ایک جامد کروی سمیٹرک اسپیس ٹائم کی دونوں سمیٹریز کا حقیقی اظہار دیتے ہیں، جبکہ مخصوص مثلثی شکل جو وہ ہمارے چارٹ میں لیتے ہیں وہ شوارزشائلڈ چارٹ کی اصطلاح کے معنی کا حقیقی اظہار ہے۔ خاص طور پر، تین مقامی کلنگ ویکٹر فیلڈز E3 پر ایک کروی سمیٹرک چارٹ میں تین غیر ترجمہ شدہ کلنگ ویکٹر فیلڈز کی طرح ہی شکل رکھتے ہیں ؛ یعنی، وہ اصل یا کروی سمیٹری کے بارے میں من مانی یوکلڈین گردش کے تصور کو ظاہر کرتے ہیں۔ تاہم، اچھی طرح سے نوٹ کریں: عام طور پر، شوارزچلڈ ریڈیل کوآرڈینیٹ ریڈیل فاصلے کی درست نمائندگی نہیں کرتا ہے، یعنی۔ خلائی نما جیوڈیسیک ہم آہنگی کے ساتھ لیے گئے فاصلے جو ان کے لازمی منحنی خطوط کے طور پر پیدا ہوتے ہیں۔ بلکہ، اپنے دو گھونسلے والے شعبوں کے درمیان 'مقامی فاصلے' کا ایک مناسب تصور تلاش کرنے کے لیے، ہمیں اصل سے کچھ مربوط کرن کے ساتھ ضم ہونا چاہیے: اسی طرح، ہم ہر دائرے کو مثالی مبصرین کے کروی بادل کا لوکس سمجھ سکتے ہیں، جنہیں (عام طور پر) راکٹ انجنوں کا استعمال کرنا چاہیے تاکہ وہ اپنی پوزیشن کو برقرار رکھنے کے لیے شعاعی طور پر باہر کی طرف تیز ہو سکیں۔ یہ جامد مبصرین ہیں، اور ان کے پاس شکل کی عالمی لکیریں ہیں، جو یقینا Schwarzschild چارٹ میں عمودی کوآرڈینیٹ لائنوں کی شکل رکھتی ہیں۔ ان مبصرین میں سے کسی ایک کی عالمی لکیر پر دو واقعات کے درمیان مناسب وقت کے وقفے کا حساب لگانے کے لیے، ہمیں مناسب ہم آہنگی کی لکیر کے ساتھ مربوط ہونا چاہیے: یکسانیت کو مربوط کریں اوپر کے ہم آہنگی کی حدود کو دیکھتے ہوئے، نوٹ کریں کہ ہم آہنگی کی یکسانیت ہمارے جامد گھونسلے میں سے ایک کے شمالی قطب کے مقام کو نشان زد کرتی ہے، جبکہ جنوبی قطب کے مقام کو نشان زد کرتی ہے۔ جس طرح E3 پر ایک عام قطبی کروی چارٹ کے لیے، ٹپوولوجیکل وجوہات کی بناء پر ہم پورے دائرے پر مسلسل نقاط حاصل نہیں کر سکتے ؛ ہمیں پرائم میریڈیئن کے طور پر کام کرنے کے لیے کچھ طول بلد (ایک عظیم دائرہ) کا انتخاب کرنا چاہیے اور اسے چارٹ سے کاٹنا چاہیے۔ نتیجہ یہ ہے کہ ہم ہر مقامی ہائپرسلیس سے ایک بند نصف طیارہ کاٹ دیتے ہیں جس میں محور اور اس محور سے پھیلا ہوا نصف طیارہ بھی شامل ہے۔ جب ہم نے اوپر کہا کہ یہ ایک کلنگ ویکٹر فیلڈ ہے، تو ہم نے پیڈینٹک لیکن اہم کوالیفائر کو خارج کر دیا جسے ہم ایک چکور کوآرڈینیٹ کے طور پر سوچ رہے ہیں، اور درحقیقت اپنے تین خلائی جیسے کلنگ ویکٹرز کو گول شعبوں پر کام کرنے کے طور پر سوچ رہے ہیں۔ ممکنہ طور پر، یقینا، یا، اس صورت میں ہمیں اپنے چارٹ کے ڈومین سے کسی گیند کے باہر، یا کسی گیند کے اندر کے علاقے کو بھی ایکسائز کرنا ہوگا۔ ایسا اس وقت ہوتا ہے جب ف یا جی شوارزچلڈ ریڈیل کوآرڈینیٹ آر کی کسی قدر پر پھٹ جاتا ہے۔ جامد ہائپرسلکس کو تصور کرنا شوارزچلڈ ریڈیل کوآرڈینیٹ کی اہمیت کو بہتر طور پر سمجھنے کے لیے، یہ مقامی ہائپرسلکس میں سے کسی ایک کو (یقینا وہ ایک دوسرے کے لیے آئسومیٹرک ہیں) فلیٹ یوکلڈین اسپیس میں سرایت کرنے میں مدد کر سکتا ہے۔ جن لوگوں کو چار جہتی یوکلڈین اسپیس کا تصور کرنا مشکل لگتا ہے انہیں یہ مشاہدہ کرنے میں خوشی ہوگی کہ ہم ایک کوآرڈینیٹ کو دبانے کے لیے کروی سمیٹری سے فائدہ اٹھا سکتے ہیں۔ یہ ترتیب دے کر آسانی سے حاصل کیا جا سکتا ہے۔ اب ہمارے پاس مقامی ریڈیل کوآرڈینیٹ چارٹ کے ساتھ دو جہتی ریمینیئن کئی گنا ہے، اس سطح کو (یا ایک اینولر رنگ پر) E3 میں سرایت کرنے کے لیے، ہم E3 میں ایک فریم فیلڈ اپناتے ہیں جس کی وضاحت ایک پیرامیٹرائزڈ سطح پر کی جاتی ہے، جو مطلوبہ میٹرک کو وراثت میں حاصل کرے گی۔ سرایت کرنے والی جگہ سے، ہمارے ریڈیل چارٹ کے مطابق ڈھال لیا جاتا ہے، ایک غیر متعین فنکشن کی خصوصیات رکھتا ہے۔ سمجھدار ہونے کے لیے، پیرامیٹرائزڈ سطح پر غور کریں اس سطح پر کوآرڈینیٹ ویکٹر فیلڈز وراثت میں ملنے والی میٹرک جب ہم E3 پر یوکلڈین میٹرک کو اپنی پیرامیٹرائزڈ سطح تک محدود کرتے ہیں تو یہ ہے کہ اس کی شناخت اپنے ہائپرسلائس کے میٹرک سے کرنے کے لیے، ہمیں واضح طور پر ایسا انتخاب کرنا چاہیے کہ کسی حد تک احمقانہ مثال لینے کے لیے، ہمارے پاس ہو سکتا ہے۔ یہ ان سطحوں کے لیے کام کرتا ہے جن میں دو شعاعی طور پر الگ کیے گئے نکات کے درمیان حقیقی فاصلے ان کے شعاعی نقاط کے درمیان فرق سے زیادہ ہوتے ہیں۔ اگر حقیقی فاصلے کم ہیں، تو ہمیں اس کے بجائے اپنے ریمینیئن کئی گنا کو E1,2 میں ایک خلائی سطح کے طور پر شامل کرنا چاہیے۔ مثال کے طور پر، ہمارے پاس ہو سکتا ہے۔ بعض اوقات ہمیں اینولر رنگوں کے دو یا زیادہ مقامی سرایتوں کی ضرورت پڑ سکتی ہے (مثبت یا منفی گوسیائی منحنی خطوط کے علاقوں کے لیے)۔ عام طور پر، ہمیں کسی ایک ہموار جگہ (ریمن ٹینسر کے غائب ہونے کے ساتھ) میں عالمی سرایت حاصل کرنے کی توقع نہیں کرنی چاہیے۔ نقطہ یہ ہے کہ ریڈیل کوآرڈینیٹ کی ہندسی تشریح کے لحاظ سے شوارزشائلڈ چارٹ کی وضاحتی خصوصیت وہی ہے جو ہمیں (اصولی طور پر) مقامی ہائپرسلکس کی اس قسم کی کروی ہم آہنگی کو انجام دینے کی ضرورت ہے۔ ایک میٹرک انسیٹز اوپر دیا گیا لائن عنصر، جس میں f، g کو شوارزچلڈ ریڈیل کوآرڈینیٹ r کے غیر متعین افعال کے طور پر سمجھا جاتا ہے، اکثر عمومی اضافیت (یا کشش ثقل کے دیگر میٹرک نظریات) میں جامد کروی طور پر سمیٹرک حل حاصل کرنے میں میٹرک انسیٹز کے طور پر استعمال ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، ہم اس بات کی نشاندہی کریں گے کہ کارٹن کے بیرونی کیلکولس طریقہ کار کا استعمال کرتے ہوئے کنکشن اور منحنی خطوط کا حساب کیسے لگایا جائے۔ سب سے پہلے، ہم لائن عنصر کو ایک کو فریم فیلڈ سے پڑھتے ہیں، جہاں ہم سمجھتے ہیں کہ ابھی تک غیر متعین ہموار افعال ہیں۔ (یہ حقیقت کہ ہمارا خلائی وقت اس مخصوص مثلثی شکل والے فریم کو تسلیم کرتا ہے، ایک جامد، کروی طور پر ہم آہنگ لورینٹزیئن کئی گنا میں شوارزشائلڈ چارٹ کے تصور کا ایک اور مساوی اظہار ہے)۔ دوسرا، ہم ان کوباس ایک شکلوں کے بیرونی مشتقات کا حساب لگاتے ہیں: کارٹن کی پہلی ساختی مساوات (یا بلکہ اس کی مربوط حالت) کے ساتھ موازنہ کرتے ہوئے، ہم کنکشن ایک شکلوں کے لیے تاثرات کا اندازہ لگاتے ہیں۔ (ٹوپیاں ہمیں یاد دلانے کے لیے صرف ایک علامتی آلہ ہیں کہ اشاریہ جات ہمارے کوباس کی ایک شکل کا حوالہ دیتے ہیں، نہ کہ مربوط ایک شکل کا۔) اگر ہمیں یاد ہو کہ اشاریہ جات کے کون سے جوڑے متناسب (خلائی وقت) ہیں اور کون سے متناسب (خلائی جگہ) ہیں، تو ہم اس بات کی تصدیق کر سکتے ہیں کہ چھ کنکشن ایک شکلیں ہیں (اس مثال میں، چھ میں سے صرف چار غیر متزلزل ہیں۔) ہم ان ایک شکلوں کو ایک شکلوں کے میٹرکس میں جمع کر سکتے ہیں، یا اس سے بھی بہتر ایس او (1,3) قیمت والی ایک شکل۔ نوٹ کریں کہ ایک شکلوں کا نتیجہ میٹرکس ایس او (4) کی قدر والی ایک شکل کے طور پر بالکل غیر متناسب نہیں ہوگا۔ ہمیں اس کے بجائے لورینٹزیئن ملحقہ سے پیدا ہونے والے ٹرانسپوز کا تصور استعمال کرنے کی ضرورت ہے۔ تیسرا، ہم کنکشن کی ایک شکلوں کے بیرونی مشتقات کا حساب لگاتے ہیں اور منحنی دو شکلوں کا حساب لگانے کے لیے کارٹن کی دوسری ساختی مساوات کا استعمال کرتے ہیں۔ چوتھا، اس فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے جہاں باخ بارز اشارہ کرتے ہیں کہ ہمیں صرف اشاریہ جات کے چھ بڑھتے ہوئے جوڑوں (i, j) کا مجموعہ کرنا چاہیے، ہم اپنے کو فریم اور اس کے دوہری فریم فیلڈ کے حوالے سے ریمن ٹینسر کے لکیری طور پر آزاد اجزاء کو پڑھ سکتے ہیں۔ ہم حاصل کرتے ہیں: پانچواں، ہم اشاریہ جات کو کم کر سکتے ہیں اور اجزاء کو ایک میٹرکس میں منظم کر سکتے ہیں جہاں E، L ہم آہنگ ہیں (چھ لکیری طور پر آزاد اجزاء، عام طور پر) اور B ٹریس لیس ہے (آٹھ لکیری طور پر آزاد اجزاء، عام طور پر)، جسے ہم دو شکلوں (ہر واقعہ پر) کے چھ جہتی ویکٹر اسپیس پر لکیری آپریٹر کی نمائندگی کرنے کے طور پر سوچتے ہیں۔ اس سے ہم ٹائم لائک یونٹ ویکٹر فیلڈ کے حوالے سے بیل کے سڑنے کو پڑھ سکتے ہیں۔ یہ سب کسی بھی لورینٹزیئن کئی گنا کے لیے درست ہے، لیکن ہم نوٹ کرتے ہیں کہ عمومی اضافیت میں، الیکٹرو گریویٹک ٹینسر چھوٹی اشیاء پر سمندری دباؤ کو کنٹرول کرتا ہے، جیسا کہ ہمارے فریم سے مطابقت رکھنے والے مبصرین کے ذریعے ماپا جاتا ہے، اور مقناطیسی گریویٹک ٹینسر گھومنے والی اشیاء پر کسی بھی اسپن-اسپن قوت کو کنٹرول کرتا ہے، جیسا کہ ہمارے فریم سے مطابقت رکھنے والے مبصرین کے ذریعے ماپا جاتا ہے۔ ہمارے کو فریم فیلڈ کا دوہری فریم فیلڈ یہ ہے کہ حقیقت یہ ہے کہ عنصر یہاں صرف تین آرتھونورمل اسپیس لائک ویکٹر فیلڈز میں سے پہلے کو ضرب دیتا ہے اس کا مطلب یہ ہے کہ شوارز چائلڈ چارٹ مقامی طور پر آئسوٹروپک نہیں ہیں (سوائے مقامی طور پر فلیٹ اسپیس ٹائم کے معمولی معاملے کے) ؛ بلکہ، ہلکے شنک ظاہر ہوتے ہیں (ریڈیل چپٹے) یا (ریڈیل لمبا)۔ یہ یقینی طور پر یہ کہنے کا صرف ایک اور طریقہ ہے کہ شوارزچلڈ چارٹ ہر گھونسلے والے گول دائرے کے اندر فاصلے کی صحیح نمائندگی کرتے ہیں، لیکن ریڈیل کوآرڈینیٹ وفاداری سے ریڈیل مناسب فاصلے کی نمائندگی نہیں کرتا ہے۔ شوارزشائلڈ چارٹس کو تسلیم کرنے والے کچھ درست حل اس طرح سے حاصل کیے جانے والے درست حلوں کی کچھ مثالوں میں شامل ہیں: ریسنر-نورڈسٹروم الیکٹرو ویکیوم کے لیے شوارزشائلڈ ویکیوم کا بیرونی خطہ، جیسا کہ ریسنر-نورڈسٹروم الیکٹرو ویکیوم کے لیے، جس میں ریسنر-نورڈسٹروم-ڈی سیٹر الیکٹرولیمبڈاوکیوم کے لیے ایک خاص کیس کے طور پر پچھلی مثال بھی شامل ہے، جس میں ایک خاص کیس کے طور پر پچھلی مثال شامل ہے، جینس-نیومین-وناکور حل (جو ایک جامد کروی طور پر سمیٹرک آبجیکٹ کے بیرونی حصے کو ماڈل کرتا ہے جو ایک ماس لیس کم سے کم جوڑے اسکیلر فیلڈ سے مالا مال ہے)، ایک اندرونی خطے سے میل کھا کر حاصل کیے گئے تارکیی ماڈل جو ایک جام عامیاں غیر مستحکم لیکن کروی ہم آہنگی خلائی اوقات پر غور کرنا فطری ہے، ایک عمومی شوارزچلڈ چارٹ کے ساتھ جس میں میٹرک دوسری سمت میں عام کرنے کی شکل اختیار کرتا ہے، ہم اپنے گول دو شعبوں پر دوسرے ہم آہنگی نظام استعمال کر سکتے ہیں، مثال کے طور پر ایک سٹیریوگرافک شوارزچلڈ چارٹ حاصل کرنے کے لیے جو بعض اوقات مفید ہوتا ہے: جامد خلائی وقت، کروی ہم آہنگی خلائی وقت، جامد کروی ہم آہنگی کامل سیال، آئسوٹروپک نقاط، جامد کروی ہم آہنگی خلائی اوقات کے لیے ایک اور مقبول چارٹ، گوسی پولر کوآرڈینیٹس، جامد کروی ہم آہنگی خلائی اوقات کے لیے ایک کم عام متبادل چارٹ، گلسٹرینڈ-پینلوی نقاط، a عمومی اضافیت میں فریم فیلڈز، فریم فیلڈز اور کو فریم فیلڈز کے بارے میں مزید معلومات کے لیے، ریمن ٹینسر کی بیل سڑنا، ہم آہنگی (عمومی اضافیت)، اوپر کی طرح ہم آہنگی کے بارے میں مزید معلومات کے لیے، کرسکال-زیکیرس کوآرڈینیٹس، ایک چارٹ جو زیادہ سے زیادہ توسیعی شوارزشائلڈ حل کے پورے اسپیس ٹائم کئی گنا کا احاطہ کرتا ہے اور جسمانی انفرادیت سے باہر ہر جگہ اچھی طرح سے برتاؤ کرتا ہے، ایڈنگٹن-فنکلسٹین کوآرڈینیٹس، جامد کروی طور پر ہم آہنگ اسپیس ٹائمز کے لیے ایک متبادل چارٹ، لیماٹری کوآرڈینیٹس، ایک قدیم ترین چارٹ جو ایونٹ کے افق پر باقاعدہ ہے۔ نوٹس کوآرڈینیٹ چارٹس عمومی اضافیت میں لورینٹزیئن کئی گنا