Reversible cellular automaton
ایک ریورسیبل سیلولر آٹومیٹن ایک سیلولر آٹومیٹن ہے جس میں ہر ترتیب کا ایک منفرد پیشرو ہوتا ہے۔ یعنی یہ خلیوں کا ایک باقاعدہ گرڈ ہے، جس میں سے ہر ایک حالتوں کے ایک محدود سیٹ سے تیار کردہ حالت پر مشتمل ہوتا ہے، جس میں تمام خلیوں کو ان کے پڑوسیوں کی حالتوں کی بنیاد پر بیک وقت اپ ڈیٹ کرنے کا ایک قاعدہ ہوتا ہے، جیسے کہ کسی اپ ڈیٹ سے پہلے کسی بھی خلیے کی پچھلی حالت کا تعین تمام خلیوں کی تازہ ترین حالتوں سے منفرد طور پر کیا جا سکتا ہے۔ ایک ریورسیبل سیلولر آٹومیٹن کی وقت کے برعکس حرکیات کو ہمیشہ ایک اور سیلولر آٹومیٹن اصول کے ذریعے بیان کیا جا سکتا ہے، ممکنہ طور پر کسی بہت بڑے محلے پر۔ سیلولر آٹومیٹا قوانین کی وضاحت کے لیے کئی طریقے جانے جاتے ہیں جو ریورسیبل ہیں۔ ان میں بلاک سیلولر آٹومیٹن طریقہ شامل ہے، جس میں ہر اپ ڈیٹ خلیوں کو بلاکس میں تقسیم کرتا ہے اور ہر بلاک پر الگ سے ایک الٹا فنکشن لاگو کرتا ہے، اور سیکنڈ آرڈر سیلولر آٹومیٹن طریقہ، جس میں اپ ڈیٹ اصول آٹومیٹن کے دو پچھلے مراحل سے ریاستوں کو یکجا کرتا ہے۔ جب کسی آٹومیٹن کی تعریف ان طریقوں میں سے کسی ایک کے ذریعہ نہیں کی جاتی ہے، لیکن اس کے بجائے اسے رول ٹیبل کے طور پر دیا جاتا ہے، تو یہ جانچنے کا مسئلہ کہ آیا یہ ریورسیبل ہے، بلاک سیلولر آٹومیٹا اور ایک جہتی سیلولر آٹومیٹا کے لیے قابل حل ہے، لیکن دیگر اقسام کے سیلولر آٹومیٹا کے لیے ناقابل فیصلہ ہے۔ ریورسیبل سیلولر آٹومیٹا ریورسیبل کمپیوٹنگ کا ایک قدرتی ماڈل بناتا ہے، ایک ایسی ٹیکنالوجی جو الٹرا لو پاور کمپیوٹنگ ڈیوائسز کا باعث بن سکتی ہے۔ کوانٹم سیلولر آٹومیٹا، کوانٹم میکانکس کے اصولوں کا استعمال کرتے ہوئے کمپیوٹیشن انجام دینے کا ایک طریقہ، اکثر ریورسیبل ہونا ضروری ہے۔ مزید برآں، فزیکل ماڈلنگ میں بہت سے مسائل، جیسے کہ آئیڈیل گیس میں ذرات کی حرکت یا مقناطیسی چارجز کی صف بندی کا آئزنگ ماڈل، قدرتی طور پر ریورسیبل ہوتے ہیں اور ریورسیبل سیلولر آٹومیٹا کے ذریعے ان کی تقلید کی جا سکتی ہے۔ ریورسیبلٹی سے متعلق خصوصیات کو سیلولر آٹومیٹا کا مطالعہ کرنے کے لیے بھی استعمال کیا جا سکتا ہے جو ان کی پوری ترتیب کی جگہ پر ریورسیبل نہیں ہیں، لیکن جن میں ترتیب کی جگہ کا ایک ذیلی سیٹ ایک پرکشش کے طور پر ہے جس کی طرف ابتدائی طور پر تمام بے ترتیب ترتیبات یکجا ہوتی ہیں۔ جیسا کہ اسٹیفن وولفرم لکھتے ہیں، "ایک بار پرکشش ہونے کے بعد، کوئی بھی نظام-چاہے اس میں بدلنے کے قابل بنیادی اصول نہ ہوں-کسی نہ کسی لحاظ سے تقریبا بدلنے کی صلاحیت کو ظاہر کرنا چاہیے۔" ایک جہتی آٹومیٹا کی مثالیں سیلولر آٹومیٹن کی تعریف اس کے خلیات (اکثر ایک یا دو جہتی صف)، اقدار یا حالتوں کا ایک محدود مجموعہ جو ہر خلیے میں جا سکتا ہے، ایک پڑوس جو ہر خلیے کو قریبی خلیوں کے ایک محدود سیٹ سے جوڑتا ہے، اور ایک تازہ ترین اصول جس کے مطابق تمام خلیوں کی اقدار کو بیک وقت، ان کے پڑوسی خلیوں کی اقدار کے فنکشن کے طور پر اپ ڈیٹ کیا جاتا ہے۔ سب سے آسان ممکنہ سیلولر آٹومیٹا میں خلیوں کی ایک جہتی صف ہوتی ہے، جن میں سے ہر ایک بائنری ویلیو (0 یا 1) رکھ سکتا ہے، جس میں ہر خلیے کا پڑوس صرف اس پر مشتمل ہوتا ہے اور دونوں طرف اس کے دو قریب ترین خلیے ہوتے ہیں۔ انہیں ابتدائی سیلولر آٹومیٹا کہا جاتا ہے۔ اگر اس طرح کے آٹومیٹن کے لیے اپ ڈیٹ رول ہر خلیے کو ہمیشہ ایک ہی حالت میں رہنے کا سبب بنتا ہے، تو آٹومیٹن پلٹ سکتا ہے: تمام خلیوں کی پچھلی حالت کو ان کی موجودہ حالتوں سے بازیافت کیا جا سکتا ہے، کیونکہ ہر خلیے کے لیے پچھلی اور موجودہ حالتیں ایک جیسی ہوتی ہیں۔ اسی طرح، اگر اپ ڈیٹ رول ہر سیل کو اپنی حالت کو 0 سے 1 میں تبدیل کرنے کا سبب بنتا ہے اور اس کے برعکس، یا اگر یہ کسی سیل کو کسی مقررہ پڑوسی سیل سے اسٹیٹ کو کاپی کرنے کا سبب بنتا ہے، یا اگر یہ کسی اسٹیٹ کو کاپی کرنے کا سبب بنتا ہے اور پھر اس کی قیمت کو الٹ دیتا ہے، تو یہ لازمی طور پر ریورسیبل ہے۔ اس قسم کے ریورسیبل سیلولر آٹومیٹا کو کال کریں، جس میں ہر خلیے کی حالت صرف ایک پڑوسی خلیے کی پچھلی حالت پر منحصر ہوتی ہے، "ٹریوئل"۔ اس کی سادگی کے باوجود، اپ ڈیٹ رول جو ہر خلیے کو پڑوسی خلیے کی حالت کی نقل کرنے کا سبب بنتا ہے، علامتی حرکیات کے نظریہ میں اہم ہے، جہاں اسے شفٹ میپ کے نام سے جانا جاتا ہے۔ تھوڑا سا کم معمولی طور پر، فرض کریں کہ خلیات دوبارہ ایک جہتی صف بناتے ہیں، لیکن یہ کہ ہر حالت ایک ترتیب شدہ جوڑا (l، r) ہے جو بائیں حصے l اور دائیں حصے r پر مشتمل ہے، ہر ایک ممکنہ اقدار کے ایک محدود سیٹ سے تیار کیا گیا ہے۔ ٹرانزیشن فنکشن کی وضاحت کریں جو خلیے کے بائیں حصے کو اس کے بائیں پڑوسی کا بائیں حصہ اور خلیے کے دائیں حصے کو اس کے دائیں پڑوسی کا دائیں حصہ بناتا ہے۔ یعنی، اگر بائیں پڑوسی کی حالت ہے اور دائیں پڑوسی کی حالت ہے، تو خلیے کی نئی حالت مساوات کے ذریعہ بیان کردہ جوڑی وار آپریشن کا استعمال کرتے ہوئے ان حالتوں کو یکجا کرنے کا نتیجہ ہے۔ اس تعمیر کی ایک مثال مثال میں دی گئی ہے، جس میں بائیں حصے کو شکل کے طور پر اور دائیں حصے کو رنگ کے طور پر دکھایا گیا ہے۔ اس مثال میں، ہر خلیے کو اس کے بائیں پڑوسی کی شکل اور اس کے دائیں پڑوسی کے رنگ کے ساتھ اپ ڈیٹ کیا جاتا ہے۔ پھر یہ آٹومیٹن ریورسیبل ہوتا ہے: ہر جوڑے کے بائیں طرف کی اقدار دائیں طرف منتقل ہوتی ہیں اور دائیں طرف کی اقدار بائیں طرف منتقل ہوتی ہیں، لہذا ہر خلیے کی سابقہ حالت پڑوسی خلیوں میں ان اقدار کو تلاش کرکے بازیافت کی جا سکتی ہے۔ اس آٹومیٹن میں حالتوں کے جوڑوں کو یکجا کرنے کے لیے استعمال ہونے والا عمل ایک الجبرائی ڈھانچہ بناتا ہے جسے آئتاکار بینڈ کہا جاتا ہے۔ اعشاریہ نمبروں کو دو یا پانچ سے ضرب کرنا ایک جہتی ریورسیبل سیلولر آٹومیٹن کے ذریعے انجام دیا جا سکتا ہے جس میں فی سیل دس ریاستیں (دس اعشاریہ ہندسے) ہوں۔ پروڈکٹ کا ہر ہندسہ صرف دیئے گئے نمبر میں دو ہندسوں کے پڑوس پر منحصر ہوتا ہے: ایک ہی پوزیشن میں ہندسہ اور دائیں طرف ایک پوزیشن کا ہندسہ۔ زیادہ عام طور پر، کسی بھی ریڈکس میں دوگنا لامحدود ہندسوں کے سلسلے کا ضرب یا تقسیم، ایک ضرب یا تقسیم کار کے ذریعہ جس کے تمام بنیادی عوامل بھی بنیادی عوامل ہیں، ایک ایسا عمل ہے جو سیلولر آٹومیٹن بناتا ہے کیونکہ یہ صرف قریبی ہندسوں کی محدود تعداد پر منحصر ہوتا ہے، اور ضرب الٹا کے وجود کی وجہ سے قابل واپسی ہے۔ دیگر اقدار سے ضرب (مثال کے طور پر اعشاریہ نمبروں کا تین سے ضرب) قابل واپسی رہتا ہے، لیکن سیلولر آٹومیٹن کی وضاحت نہیں کرتا ہے، کیونکہ ابتدائی قدر میں ہندسوں کی تعداد پر کوئی فکسڈ باؤنڈ نہیں ہے جو نتیجہ میں ایک ہندسوں کا تعین کرنے کے لیے درکار ہے۔ کوئی غیر معمولی ریورسیبل ایلیمنٹری سیلولر آٹومیٹا نہیں ہیں۔ تاہم، خصوصی یا فنکشن کی بنیاد پر قاعدہ 90 اور دیگر ابتدائی سیلولر آٹومیٹا کے ذریعے قریب سے محروم ہونا فراہم کیا جاتا ہے۔ قاعدہ 90 میں، ہر خلیے کی حالت خصوصی یا اس کے دو پڑوسیوں کی سابقہ حالتوں کی ہوتی ہے۔ خصوصی کا یہ استعمال یا منتقلی کے اصول کو مقامی طور پر الٹا بنا دیتا ہے، اس معنی میں کہ ریاستوں کا کوئی بھی متصل نتیجہ اس اصول سے پیدا کیا جا سکتا ہے۔ قاعدہ 90 ایک ریورسیبل سیلولر آٹومیٹن قاعدہ نہیں ہے، کیونکہ قاعدہ 90 میں خلیوں کی مکمل صف میں ریاستوں کی ہر تفویض میں بالکل چار ممکنہ پیشرو ہوتے ہیں، جبکہ ریورسیبل قوانین کے لیے ہر ترتیب میں بالکل ایک پیشرو ہونا ضروری ہے۔ کریٹرز رول کونوے کا گیم آف لائف، جو سیلولر آٹومیٹن کے سب سے مشہور قوانین میں سے ایک ہے، قابل واپسی نہیں ہے: مثال کے طور پر، اس کے بہت سے نمونے ہیں جو مکمل طور پر ختم ہو جاتے ہیں، لہذا جس ترتیب میں تمام خلیات مردہ ہیں اس کے بہت سے پیشرو ہیں، اور اس میں گارڈن آف ایڈن کے نمونے بھی ہیں جن میں کوئی پیشرو نہیں ہے۔ تاہم، ایک اور قاعدہ جسے اس کے موجد، ٹوماسو ٹوفولی اور نارمن مارگولس نے "کریٹرز" کہا ہے، قابل واپسی ہے اور اس کا متحرک طرز عمل زندگی سے ملتا جلتا ہے۔ کریٹرز رول ایک بلاک سیلولر آٹومیٹن ہے جس میں، ہر مرحلے پر، آٹومیٹن کے خلیوں کو 2 × 2 بلاکس میں تقسیم کیا جاتا ہے اور ہر بلاک کو دوسرے بلاکس سے آزادانہ طور پر اپ ڈیٹ کیا جاتا ہے۔ اس کا منتقلی فنکشن ایک بلاک میں ہر خلیے کی حالت کو پلٹ دیتا ہے جس میں بالکل دو زندہ خلیے نہیں ہوتے ہیں، اور اس کے علاوہ بالکل تین زندہ خلیوں کے ساتھ 180 ڈگری بلاکس سے گھومتا ہے۔ کیونکہ یہ فنکشن الٹا ہے، ان اصولوں کے ذریعہ بیان کردہ آٹومیٹن ایک الٹا سیلولر آٹومیٹن ہے۔ جب بے ترتیب خلیوں کے چھوٹے میدان کے ساتھ شروع کیا جاتا ہے جو مردہ خلیوں کے بڑے علاقے میں مرکوز ہوتا ہے، تو زندگی کے گلائڈر سے ملتے جلتے بہت سے چھوٹے نمونے مرکزی بے ترتیب علاقے سے فرار ہو جاتے ہیں اور ایک دوسرے کے ساتھ تعامل کرتے ہیں۔ کریٹرز کا قاعدہ مختلف رفتار کے زیادہ پیچیدہ خلائی جہازوں کے ساتھ ساتھ لامحدود بہت سے مختلف ادوار والے آسکیلیٹرز کو بھی سپورٹ کر سکتا ہے۔ تعمیرات سیلولر آٹومیٹن قوانین کی تعمیر کے لیے کئی عام طریقے جانے جاتے ہیں جو خود بخود بدلنے کے قابل ہوتے ہیں۔ بلاک سیلولر آٹومیٹن ایک آٹومیٹن ہے جس پر، ہر وقت کے مرحلے میں، آٹومیٹن کے خلیوں کو ہم آہنگ ذیلی سیٹوں (جسے بلاکس کہا جاتا ہے) میں تقسیم کیا جاتا ہے، اور وہی تبدیلی ہر بلاک پر آزادانہ طور پر لاگو ہوتی ہے۔ عام طور پر، اس طرح کا آٹومیٹن بلاکس میں ایک سے زیادہ پارٹیشن کا استعمال کرے گا، اور سسٹم کے مختلف وقت کے مراحل پر ان پارٹیشنوں کے درمیان گھومے گا۔ اس ڈیزائن کی اکثر استعمال ہونے والی شکل میں، جسے مارگولس پڑوس کہا جاتا ہے، آٹومیٹن کے خلیات ایک مربع گرڈ بناتے ہیں اور ہر مرحلے پر بڑے 2 × 2 مربع بلاکس میں تقسیم ہوتے ہیں۔ ایک وقت کے مرحلے پر بلاک کا مرکز اگلے وقت کے مرحلے پر چار بلاکس کا کونہ بن جاتا ہے، اور اس کے برعکس ؛ اس طرح، ہر 2 × 2 میں چار خلیات پچھلے پارٹیشن کے چار مختلف 2 × 2 مربعوں سے تعلق رکھتے ہیں۔ اوپر زیر بحث کریٹرز قاعدہ اس قسم کے آٹومیٹن کی ایک مثال ہے۔ بلاک سیلولر آٹومیٹا کے لیے ریورسیبل قوانین کو ڈیزائن کرنا، اور اس بات کا تعین کرنا کہ آیا دیا گیا قاعدہ ریورسیبل ہے، آسان ہے: بلاک سیلولر آٹومیٹن کے ریورسیبل ہونے کے لیے یہ ضروری اور کافی ہے کہ آٹومیٹن کے ہر مرحلے پر انفرادی بلاکس پر لاگو ہونے والی تبدیلی خود ہی ریورسیبل ہو۔ جب بلاک سیلولر آٹومیٹن ریورسیبل ہوتا ہے، تو اس کی حرکیات کے ٹائم ریورسڈ ورژن کو اسی بلاک ڈھانچے کے ساتھ بلاک سیلولر آٹومیٹن کے طور پر بھی بیان کیا جا سکتا ہے، جس میں خلیوں کو بلاکس میں تقسیم کرنے کی ٹائم ریورسڈ ترتیب کا استعمال کیا جاتا ہے، اور ہر بلاک کے لیے ٹرانزیشن فنکشن اصل اصول کا الٹا فنکشن ہوتا ہے۔ ناقابل واپسی آٹومیٹا کے تخروپن سے پتہ چلتا ہے کہ کس طرح کسی بھی ناقابل واپسی جہتی سیلولر آٹومیٹن اصول کو ایک ناقابل واپسی جہتی اصول میں شامل کیا جاتا ہے۔ نئے بدلنے والے اصول کا ہر جہتی ٹکڑا اصل اصول کے ایک واحد وقت کے مرحلے کی تقلید کرتا ہے۔ اس طرح، ٹوفولی نے دکھایا کہ ناقابل واپسی سیلولر آٹومیٹا کی بہت سی خصوصیات، جیسے کہ من مانی ٹورنگ مشینوں کی تقلید کرنے کی صلاحیت، کو بھی قابل واپسی سیلولر آٹومیٹا تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ جیسا کہ ٹوفولی نے قیاس کیا اور ثابت کیا، ٹوفولی کے طریقہ کار سے ہونے والے طول و عرض میں اضافہ اس کی عامیت کے لیے ایک ضروری ادائیگی ہے: ہلکے مفروضوں کے تحت (جیسے سرایت کا ترجمہ-تغیر)، سیلولر آٹومیٹن کی کسی بھی سرایت جس میں گارڈن آف ایڈن ہے۔ ایک ریورسیبل سیلولر آٹومیٹن میں طول و عرض میں اضافہ کرنا ضروری ہے۔ ایک اور قسم کے تخروپن کی وضاحت کرتا ہے جو ہرٹلنگ کے مفروضوں کی اطاعت نہیں کرتا ہے اور طول و عرض کو تبدیل نہیں کرتا ہے۔ موریٹا کا طریقہ کسی بھی ناقابل واپسی آٹومیٹن کی محدود ترتیبات کی تقلید کر سکتا ہے جس میں "خاموش" یا "مردہ" حالت ہوتی ہے، جیسے کہ اگر کوئی خلیہ اور اس کے تمام پڑوسی خاموش ہیں تو خلیہ اگلے مرحلے میں خاموش رہتا ہے۔ تخروپن اصل ناقابل واپسی آٹومیٹن کی طرح ہی طول و عرض کے ایک ریورسیبل بلاک سیلولر آٹومیٹن کا استعمال کرتا ہے۔ وہ معلومات جو مصنوعی آٹومیٹن کے ناقابل واپسی مراحل سے تباہ ہو جائیں گی، اس کے بجائے تشکیل سے ہٹ کر مصنوعی آٹومیٹن کے لامحدود پرسکون علاقے میں بھیج دی جاتی ہے۔ یہ تخروپن تخروپن شدہ آٹومیٹن کے تمام خلیوں کو بیک وقت اپ ڈیٹ نہیں کرتا ہے ؛ بلکہ، ایک ہی قدم کی تخروپن کا وقت تخروپن شدہ ترتیب کے سائز کے متناسب ہوتا ہے۔ اس کے باوجود، تخروپن مصنوعی آٹومیٹن کے رویے کو درست طریقے سے محفوظ رکھتا ہے، گویا اس کے تمام خلیات کو بیک وقت اپ ڈیٹ کیا جا رہا ہو۔ اس طریقہ کار کا استعمال کرتے ہوئے یہ ظاہر کرنا ممکن ہے کہ ایک جہتی ریورسیبل سیلولر آٹومیٹا بھی عالمگیر حساب کتاب کے قابل ہیں۔ سیکنڈ آرڈر سیلولر آٹومیٹن تکنیک کسی بھی سیلولر آٹومیٹن کو ریورسیبل سیلولر آٹومیٹن میں تبدیل کرنے کا ایک طریقہ ہے، جسے ایڈورڈ فریڈکن نے ایجاد کیا تھا اور پہلی بار 1984 میں کئی دیگر مصنفین نے شائع کیا تھا۔ اس تکنیک میں، وقت پر آٹومیٹن میں ہر خلیے کی حالت وقت پر اس کے پڑوس اور وقت پر اس کی اپنی حالت دونوں کا ایک فعل ہے۔ خاص طور پر، آٹومیٹن کا ٹرانزیشن فنکشن وقتا فوقتا ہر محلے کا نقشہ ریاستوں کے سیٹ پر کسی ترتیب سے بناتا ہے، اور پھر اس ترتیب کو وقتا فوقتا ریاست پر لاگو کرتا ہے۔ آٹومیٹن کی الٹا حرکیات کا حساب ہر محلے کو الٹا تعدد سے نقشہ بنا کر اور اسی طرح آگے بڑھ کر کیا جا سکتا ہے۔ بائنری ویلیوڈ اسٹیٹس (صفر یا ایک) کے ساتھ آٹومیٹا کے معاملے میں، اسٹیٹس پر صرف دو ممکنہ تغیرات ہوتے ہیں (شناختی تغیر اور تغیر جو دونوں اسٹیٹس کو تبدیل کرتا ہے)، جسے خود خصوصی یا بائنری ویلیو والی ریاست کے طور پر پیش کیا جا سکتا ہے۔ اس طرح، کسی بھی روایتی دو قدر والے سیلولر آٹومیٹن کو اس وقت ریاستوں پر روایتی آٹومیٹن کے ٹرانزیشن فنکشن کا استعمال کرتے ہوئے دوسرے درجے کے سیلولر آٹومیٹن اصول میں تبدیل کیا جا سکتا ہے، اور پھر خصوصی یا ان ریاستوں کا حساب وقت پر ریاستوں کے ساتھ لگایا جا سکتا ہے تاکہ وقت پر ریاستوں کا تعین کیا جا سکے۔ تاہم، اس طرح سے طے شدہ ریورسیبل سیلولر آٹومیٹن کا طرز عمل سیلولر آٹومیٹن کے طرز عمل سے کوئی مشابہت نہیں رکھتا ہے جس سے اس کی وضاحت کی گئی تھی۔ کسی بھی دوسرے درجے کے آٹومیٹن کو روایتی سیلولر آٹومیٹن میں تبدیل کیا جا سکتا ہے، جس میں منتقلی کی تقریب صرف ایک پچھلے وقت کے مرحلے پر منحصر ہوتی ہے، دوسرے درجے کے آٹومیٹن کے مسلسل وقت کے مراحل سے ریاستوں کے جوڑوں کو روایتی سیلولر آٹومیٹن کی واحد حالتوں میں جوڑ کر۔ محفوظ زمین کی تزئین ایک جہتی سیلولر آٹومیٹن جو چار ملحقہ خلیوں پر مشتمل پڑوس کا استعمال کرتا ہے۔ اس آٹومیٹن میں، ایک خلیہ جب بھی "؟" پر قبضہ کرتا ہے تو اپنی حالت کو پلٹ دیتا ہے۔ "0؟ 10" پیٹرن میں پوزیشن۔ اس طرح کے کوئی بھی دو نمونے اوورلیپ نہیں ہو سکتے، اس لیے منتقلی کے بعد پلٹے ہوئے خلیے کے ارد گرد وہی "زمین کی تزئین" موجود رہتی ہے۔ اگلے مرحلے میں، سیل اسی "؟" میں ہے۔ پوزیشن دوبارہ پلٹ جائے گی، اپنی اصل حالت میں واپس آ جائے گی۔ لہذا، یہ آٹومیٹن اس کا اپنا الٹا ہے، اور قابل واپسی ہے۔ پیٹ نے چھوٹے محلوں کے ساتھ تمام دو ریاستی یک جہتی سیلولر آٹومیٹا کی بروٹ فورس سرچ کی۔ اس تلاش سے یہ آٹومیٹن دریافت ہوا، اور پتہ چلا کہ یہ سب سے آسان غیر معمولی ایک جہتی دو ریاستی ریورسیبل سیلولر آٹومیٹن تھا۔ تین سیل محلوں کے ساتھ کوئی غیر معمولی ریورسیبل دو ریاستی آٹومیٹا نہیں ہیں، اور چار سیل محلوں کے ساتھ تمام دو ریاستی ریورسیبل آٹومیٹا پیٹ کے آٹومیٹن پر سادہ متغیرات ہیں۔ پٹ کے آٹومیٹن کو ریورسیبل سیلولر آٹومیٹا کو ڈیزائن کرنے کے لیے "محفوظ شدہ زمین کی تزئین" کی تکنیک کی ایک مثال کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ اس تکنیک میں، خلیے کی حالت میں تبدیلی پڑوسیوں کے ایک مجموعے کے درمیان ایک نمونے سے شروع ہوتی ہے جو خود حالتوں کو تبدیل نہیں کرتے ہیں۔ اس طرح، ایک ہی پیٹرن کے وجود کو آٹومیٹن کے ٹائم ریورسڈ ڈائنامکس میں الٹا تبدیلی کو متحرک کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ پیٹ کے آٹومیٹن میں بہت آسان حرکیات ہوتی ہیں (ترتیبات کے تمام چکور ترتیبات کی لمبائی دو ہوتی ہے)، لیکن ایک سے زیادہ محرک پیٹرن کے ساتھ ایک ہی محفوظ زمین کی تزئین کی تکنیک کا استعمال کرتے ہوئے آٹومیٹا زیادہ پیچیدہ رویے کے قابل ہوتے ہیں۔ خاص طور پر وہ کسی بھی دوسرے درجے کے سیلولر آٹومیٹن کی تقلید کر سکتے ہیں۔ ایس اے ایل ٹی ماڈل محفوظ زمین کی تزئین کی تکنیک کا ایک خاص معاملہ ہے۔ اس ماڈل میں، ایک انٹیجر گرڈ کے خلیوں کو یکساں اور عجیب ذیلی سیٹوں میں تقسیم کیا جاتا ہے۔ ہر وقت کے مرحلے میں ایک برابری کے خلیوں کے کچھ جوڑوں کو دوسرے برابری کے قریبی خلیوں کی ترتیب کی بنیاد پر تبدیل کیا جاتا ہے۔ اس ماڈل کا استعمال کرتے ہوئے قواعد بلیئرڈ بال کمپیوٹر کی تقلید کر سکتے ہیں، یا زندہ خلیوں کے لمبے تاروں کی حمایت کر سکتے ہیں جو بہت سی مختلف رفتار سے حرکت کر سکتے ہیں یا بہت سی مختلف تعدد پر کمپن کر سکتے ہیں۔ ایک سیلولر آٹومیٹن خلیوں کی ایک صف پر مشتمل ہوتا ہے، جن میں سے ہر ایک میں ممکنہ حالتوں کی ایک محدود تعداد ہوتی ہے، جس میں صرف پڑوسی خلیوں کی حالتوں کی بنیاد پر بیک وقت تمام خلیوں کو اپ ڈیٹ کرنے کا اصول ہوتا ہے۔ سیلولر آٹومیٹن کی ترتیب آٹومیٹن کے ہر سیل کے لیے ایک ریاست کی تفویض ہے۔ سیلولر آٹومیٹن کا اپ ڈیٹ قاعدہ ترتیبات سے لے کر ترتیبات تک ایک فنکشن تشکیل دیتا ہے، اس ضرورت کے ساتھ کہ کسی بھی سیل کی تازہ ترین قیمت صرف سیل کے کسی محدود پڑوس پر منحصر ہو، اور یہ کہ فنکشن ان پٹ صف کے ترجمے کے تحت غیر متغیر ہو۔ ان تعریفیں کے ساتھ، سیلولر آٹومیٹن اس وقت پلٹ سکتا ہے جب یہ مندرجہ ذیل شرائط میں سے کسی ایک کو مطمئن کرتا ہے، یہ سب ریاضیاتی طور پر ایک دوسرے کے مساوی ہیں: آٹومیٹن کی ہر ترتیب کا ایک منفرد پیشرو ہوتا ہے جسے اپ ڈیٹ رول کے ذریعے اس کے ساتھ نقشہ بنایا جاتا ہے۔ آٹومیٹن کا اپ ڈیٹ رول ایک بیجیکشن ہے ؛ یعنی ایک فنکشن جو ون ٹو ون اور آن ٹو دونوں ہے۔ اپ ڈیٹ رول ایک انجیکشن فنکشن ہے، یعنی ایسی کوئی دو ترتیبات نہیں ہیں جو دونوں ایک ہی مشترکہ ترتیب کا نقشہ بنائیں۔ یہ شرط واضح طور پر اس مفروضے سے مضمر ہے کہ اپ ڈیٹ کا قاعدہ ایک بیجیکشن ہے۔ دوسری سمت میں، سیلولر آٹومیٹا کے لیے گارڈن آف ایڈن تھیوریم سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ ہر انجیکشن اپ ڈیٹ کا اصول دو طرفہ ہے۔ آٹومیٹن کی وقت کے برعکس حرکیات کو ایک اور سیلولر آٹومیٹن کے ذریعے بیان کیا جا سکتا ہے۔ واضح طور پر، اس کے ممکن ہونے کے لیے، اپ ڈیٹ کا قاعدہ دو طرفہ ہونا چاہیے۔ دوسری سمت میں، اگر اپ ڈیٹ رول بائیجیکٹو ہے، تو اس کا ایک الٹا فنکشن ہے جو بائیجیکٹو بھی ہے۔ یہ الٹا فعل سیلولر آٹومیٹن کا قاعدہ ہونا چاہیے۔ اس حقیقت کا ثبوت کرٹس-ہیڈلونڈ-لنڈن تھیوریم کا استعمال کرتا ہے، جو سیلولر آٹومیٹا قوانین کی ایک ٹپوولوجیکل خصوصیت ہے جو ترجمہ-غیر متغیر افعال کے طور پر ہے جو ترتیبات کی جگہ پر کینٹر ٹوپولوجی کے حوالے سے مسلسل ہیں۔ آٹومیٹن کا اپ ڈیٹ رول شفٹ ڈائنامکل سسٹم کا ایک آٹومورفزم ہے جس کی وضاحت اسٹیٹ اسپیس اور خلیوں کی جالی کے ترجمے سے ہوتی ہے۔ یعنی، یہ ایک ہومومورفزم ہے جو شفٹ نقشے کے ساتھ بدلتا ہے، جیسا کہ کرٹس-ہیڈلونڈ-لنڈن تھیوریم سے ظاہر ہوتا ہے۔ سیلولر آٹومیٹا کے لیے ریورسیبلٹی کی کئی متبادل تعریفوں کا تجزیہ کریں۔ ان میں سے زیادہ تر یا تو انجیکشن یا آٹومیٹن کے ٹرانزیشن فنکشن کی سرجیکٹیویٹی کے مساوی ثابت ہوتے ہیں۔ تاہم، ایک اور متبادل ہے جو ان دونوں تعریفوں میں سے کسی سے میل نہیں کھاتا ہے۔ یہ گیم آف لائف جیسے آٹومیٹا پر لاگو ہوتا ہے جس کی حالت پرسکون یا مردہ ہوتی ہے۔ اس طرح کے آٹومیٹن میں، کوئی بھی کسی ترتیب کو "محدود" قرار دے سکتا ہے اگر اس میں صرف محدود طور پر بہت سے غیر پرسکون خلیات ہوں، اور کوئی بھی آٹومیٹا کی اس کلاس پر غور کر سکتا ہے جس کے لیے ہر محدود ترتیب میں کم از کم ایک محدود پیشرو ہو۔ یہ کلاس سرجیکٹو اور انجیکشن آٹومیٹا دونوں سے الگ ثابت ہوتی ہے، اور اس کے بعد کی کچھ تحقیقات میں، اس پراپرٹی کے ساتھ آٹومیٹا کو الٹا محدود آٹومیٹا کہا گیا ہے۔ ٹیسٹنگ ریورسیبلٹی یہ سب سے پہلے اس طرح دکھایا گیا تھا کہ دیئے گئے ایک جہتی سیلولر آٹومیٹن کی ٹیسٹنگ ریورسیبلٹی کے مسئلے کا الگورتھمک حل ہے۔ آٹومیٹا تھیوری اور ڈی بروجن گراف پر مبنی متبادل الگورتھم بالترتیب اور کے ذریعہ دیئے گئے تھے۔ کلک اس مشاہدے سے شروع ہوتا ہے کہ سیلولر آٹومیٹن میں انجیکٹو ٹرانزیشن فنکشن ہوتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ٹرانزیشن فنکشن ان ترتیبات کے ذیلی سیٹوں پر انجیکٹو ہو جو وقتا فوقتا ہوتے ہیں (ایک ہی سبسٹرنگ کو دونوں سمتوں میں لامحدود طور پر دہراتے ہیں)۔ وہ ایک غیر متعین محدود ریاستی ٹرانسڈیوسر کی وضاحت کرتا ہے جو وقتا فوقتا تاروں پر آٹومیٹن کے منتقلی کے اصول کو انجام دیتا ہے۔ یہ ٹرانسڈیوسر تار کے آغاز میں آٹومیٹن کے پڑوس کو یاد کر کے کام کرتا ہے اور ایک قبول شدہ حالت میں داخل ہوتا ہے جب وہ پڑوس ان پٹ کے آخر تک جڑا ہوا ہوتا ہے جس کی وجہ سے اس کی غیر متعین طور پر منتخب کردہ منتقلی درست ہوتی ہے۔ کلک پھر ٹرانسڈیوسر کے ان پٹ اور آؤٹ پٹ کو تبدیل کرتا ہے۔ اس تبادلے کے نتیجے میں ہونے والا ٹرانسڈیوسر دی گئی آٹومیٹن کی الٹا حرکیات کی تقلید کرتا ہے۔ آخر میں، کلک یہ جانچنے کے لیے پہلے سے معلوم الگورتھم کا اطلاق کرتا ہے کہ آیا اس کے نتیجے میں تبدیل شدہ ٹرانسڈیوسر ہر ان پٹ کو ایک آؤٹ پٹ میں نقشہ بناتا ہے۔ سوٹنر ایک ڈائریکٹڈ گراف (ڈی بروجن گراف کی ایک قسم) کی وضاحت کرتا ہے جس میں ہر ورٹیکس خلیوں کی ملحقہ ترتیب میں خلیوں کے لیے ریاستوں کی تفویض کی ایک جوڑی کی نمائندگی کرتا ہے۔ اس ترتیب کی لمبائی کو آٹومیٹن کے پڑوس کے سائز سے کم ہونے کے لیے منتخب کیا جاتا ہے۔ سوٹنر کے گراف میں ایک کنارے خلیوں کے سلسلے کی ایک جوڑی کی نمائندگی کرتا ہے جو ایک خلیے کے علاوہ سب میں اوورلیپ ہوتا ہے، تاکہ ترتیبات کا اتحاد سیلولر آٹومیٹن میں ایک مکمل پڑوس ہو۔ اس طرح کے ہر کنارے کو بائیں طرف اوور لیپنگ سیکوینس سے دائیں طرف سیکوینس تک ہدایت کی جاتی ہے۔ کناروں کو گراف میں صرف اس وقت شامل کیا جاتا ہے جب وہ اپنے سیل کے سلسلے کے اوور لیپنگ حصوں پر مطابقت پذیر ریاستی تفویض کی نمائندگی کرتے ہیں، اور جب آٹومیٹن قاعدہ (ممکنہ کنارے سے طے شدہ پڑوس پر لاگو ہوتا ہے) ریاستوں کی دونوں تفویض کے لیے یکساں نتائج دے گا۔ اس گراف کا لکیری ٹائم مضبوط کنیکٹوٹی تجزیہ انجام دے کر، اس بات کا تعین کرنا ممکن ہے کہ اس کے کون سے عمودی حصے سائیکل سے تعلق رکھتے ہیں۔ منتقلی کا قاعدہ غیر انجکشن ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس گراف میں ایک ہدایت شدہ سائیکل ہو جس میں کم از کم ایک ورٹیکس میں دو مختلف اسٹیٹ اسائنمنٹس ہوں۔ یہ طریقے کثیر الجہتی وقت لیتے ہیں، جو ان پٹ آٹومیٹن کے اسٹیٹ ٹرانزیشن ٹیبل کے سائز کے مربع کے متناسب ہوتے ہیں۔ ایک متعلقہ الگورتھم اس بات کا تعین کرتا ہے کہ آیا کوئی دیا ہوا قاعدہ سرجیکٹو ہے جب اس کا اطلاق وقتا فوقتا حدود کے حالات والے خلیوں کی محدود لمبائی کی صفوں پر کیا جاتا ہے، اور اگر ایسا ہے تو، کس لمبائی کے لیے۔ بلاک سیلولر آٹومیٹن کے لیے، ٹیسٹنگ ریورسیبلٹی بھی آسان ہے: آٹومیٹن اس صورت میں اور صرف اس صورت میں ریورسیبل ہے جب آٹومیٹن کے بلاکس پر ٹرانزیشن فنکشن الٹا ہو، اور اس صورت میں ریورس آٹومیٹن کا بلاک ڈھانچہ الٹا ٹرانزیشن فنکشن کے ساتھ یکساں ہو۔ تاہم، دو یا زیادہ جہتوں میں دوسرے محلوں کے ساتھ سیلولر آٹومیٹا کے لیے، ٹیسٹنگ ریورسیبلٹی کا مسئلہ ناقابل فیصلہ ہے، جس کا مطلب ہے کہ ایسا الگورتھم موجود نہیں ہو سکتا جو ہمیشہ رکتا ہو اور ہمیشہ مسئلے کا درست جواب دیتا ہو۔ اس حقیقت کا ثبوت وانگ ٹائلوں کے ذریعہ ہوائی جہاز کو ٹائل کرنے کی پہلے سے معلوم غیر یقینی پر مبنی ہے، ان کے کناروں پر نشانات کے ساتھ مربع ٹائلوں کے سیٹ جو ٹائلوں کے کون سے جوڑے کنارے سے کنارے تک فٹ ہوسکتے ہیں۔ کیری وانگ ٹائلوں کے ایک سیٹ سے سیلولر آٹومیٹن کی وضاحت کرتا ہے، اس طرح کہ آٹومیٹن انجیکشن لگانے میں ناکام رہتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب دیا گیا ٹائل سیٹ پورے طیارے کو ٹائل کر سکے۔ اس کی تعمیر میں وان نیومن پڑوس، اور بڑی تعداد میں ریاستوں والے خلیات کا استعمال کیا گیا ہے۔ اسی مقالے میں، کیری نے یہ بھی دکھایا کہ یہ جانچنا ناقابل فیصلہ ہے کہ آیا دو یا زیادہ جہتوں کا دیا ہوا سیلولر آٹومیٹن قاعدہ سرجیکٹو ہے (یعنی، آیا اس میں گارڈن آف ایڈن ہے)۔ الٹا پڑوس کا سائز فی خلیے کی حالتوں کے ساتھ ایک جہتی بدلنے والے سیلولر آٹومیٹن میں، جس میں خلیے کا پڑوس خلیوں کا وقفہ ہوتا ہے، الٹا حرکیات کی نمائندگی کرنے والے آٹومیٹن کے پڑوس ہوتے ہیں جو زیادہ تر خلیوں پر مشتمل ہوتے ہیں۔ یہ باؤنڈ تنگ ہونے کے لیے جانا جاتا ہے: دو سیل پڑوسیوں کے ساتھ-اسٹیٹ ریورسیبل سیلولر آٹومیٹا موجود ہے جس کی ٹائم ریورسڈ ڈائنامکس بالکل پڑوس کے سائز کے ساتھ سیلولر آٹومیٹن بناتی ہے۔ کسی بھی عدد کے لیے وان نیومن پڑوس کے ساتھ صرف محدود طور پر بہت سے دو جہتی ریورسیبل-اسٹیٹ سیلولر آٹومیٹا ہوتے ہیں۔ لہذا، ایک اچھی طرح سے متعین فنکشن ہے کہ وان نیومن پڑوس کے ساتھ-اسٹیٹ سیلولر آٹومیٹا کے تمام الٹ زیادہ سے زیادہ رداس کے ساتھ ایک پڑوس کا استعمال کرتے ہیں: بس زیادہ سے زیادہ ہونے دیں، تمام محدود طور پر بہت سے الٹ-اسٹیٹ سیلولر آٹومیٹا کے درمیان، پڑوس کے سائز کو آٹومیٹن کے وقت الٹ حرکیات کی نمائندگی کرنے کے لیے درکار ہے۔ تاہم، کیری کے ناقابل فیصلہ ہونے کے نتیجے کی وجہ سے، کمپیوٹنگ کے لیے کوئی الگورتھم نہیں ہے اور اس فنکشن کی اقدار کو کسی بھی کمپیوٹیبل فنکشن کے مقابلے میں بہت تیزی سے بڑھنا چاہیے۔ وولفرم کی درجہ بندی اسٹیفن وولفرم کے ذریعہ سیلولر آٹومیٹا کی ایک معروف درجہ بندی بے ترتیب ابتدائی حالات پر ان کے رویے کا مطالعہ کرتی ہے۔ ریورسیبل سیلولر آٹومیٹن کے لیے، اگر ابتدائی ترتیب کو تمام ممکنہ ترتیبات کے درمیان بے ترتیب طور پر یکساں طور پر منتخب کیا جاتا ہے، تو وہی یکساں بے ترتیب پن بعد کی تمام حالتوں کے لیے برقرار رہتا ہے۔ اس طرح یہ ظاہر ہوتا ہے کہ زیادہ تر ریورسیبل سیلولر آٹومیٹا وولفرم کے کلاس 3: آٹومیٹا کے ہیں جس میں تقریبا تمام ابتدائی ترتیبات فرضی بے ترتیب یا افراتفری سے تیار ہوتی ہیں۔ تاہم، آٹومیٹن کے رویے پر مقامی خلل کے اثرات کا تجزیہ کرکے مختلف ریورسیبل سیلولر آٹومیٹا میں فرق کرنا اب بھی ممکن ہے۔ ریورسیبل سیلولر آٹومیٹن کی ابتدائی حالت میں تبدیلی کرنے سے بعد کی حالتوں میں تبدیلیاں صرف ایک محدود علاقے میں رہنے کا سبب بن سکتی ہیں، بے قاعدگی سے لیکن لامحدود طور پر پھیل سکتی ہیں، یا تیزی سے پھیل سکتی ہیں، اور ایک جہتی ریورسیبل سیلولر آٹومیٹن قوانین کی فہرست بناتی ہیں جو ان تینوں اقسام کے رویے کو ظاہر کرتے ہیں۔ وولفرم کے بعد کے کام میں ایک جہتی قاعدہ 37R آٹومیٹن کی نشاندہی کی گئی ہے جو اس سلسلے میں خاص طور پر دلچسپ ہے۔ جب خلیوں کی ایک محدود صف پر وقتا فوقتا حدود کے حالات کے ساتھ چلایا جاتا ہے، تو بے ترتیب خلیوں کے ایک چھوٹے سے بیج سے شروع ہوتا ہے جو ایک بڑے خالی پڑوس میں مرکوز ہوتا ہے، یہ ترتیب شدہ اور افراتفری والی حالتوں کے درمیان اتار چڑھاؤ کا رجحان رکھتا ہے۔ تاہم، خلیوں کے ایک غیر محدود سیٹ پر یکساں ابتدائی حالات کے ساتھ اس کی ترتیبات خود کو کئی قسم کے سادہ حرکت پذیر ذرات میں منظم کرتی ہیں۔ تجریدی الجبرا ریورسیبل سیلولر آٹومیٹا کو باضابطہ بنانے کا ایک اور طریقہ تجریدی الجبرا میں شامل ہے، اور یہ رسمی کاری ریورسیبل سیلولر آٹومیٹن قوانین کے لیے کمپیوٹرائزڈ سرچز کو تیار کرنے میں مفید رہی ہے۔ سیمی سینٹرل بگ گروپائڈ ایک الجبرائی ڈھانچہ ہے جو عناصر کے ایک سیٹ اور دو کارروائیوں اور عناصر کے جوڑوں پر مشتمل ہوتا ہے، جو دو مساوی محوریات کو مطمئن کرتا ہے: تمام عناصر کے لیے، اور میں، اور تمام عناصر کے لیے، اور میں۔ مثال کے طور پر، یہ ان دو کارروائیوں کے لیے درست ہے جس میں آپریشن اپنی دائیں دلیل واپس کرتا ہے اور آپریشن اپنی بائیں دلیل واپس کرتا ہے۔ جیسا کہ بوائکیٹ کا استدلال ہے، کوئی بھی یک جہتی ریورسیبل سیلولر آٹومیٹن آئتاکار شکل میں ایک آٹومیٹن کے برابر ہے، جس میں خلیات ہر وقت کے مرحلے پر نصف یونٹ کو آفسیٹ کرتے ہیں، اور جس میں آٹومیٹن کے آگے اور الٹا ارتقاء دونوں میں صرف دو خلیات ہوتے ہیں، خلیات ہر سمت میں نصف یونٹ دور ہوتے ہیں۔ اگر ایک ریورسیبل آٹومیٹن میں دو خلیوں سے بڑے محلے ہوتے ہیں، تو اسے چھوٹے محلوں اور فی سیل زیادہ ریاستوں کے ساتھ ایک ریورسیبل آٹومیٹن کے ذریعے نقل کیا جا سکتا ہے، جس میں مصنوعی آٹومیٹن کا ہر خلیہ مصنوعی آٹومیٹن میں خلیوں کے ملحقہ بلاک کی تقلید کرتا ہے۔ سیمی سینٹرل بگ گروپائڈ کے دو محوریات بالکل وہی شرائط ہیں جو ان دو خلیے والے محلوں کے آگے اور الٹ منتقلی کے افعال پر ایک دوسرے کے الٹ ہونے کے لیے درکار ہیں۔ یعنی، ہر سیمی سینٹرل بگ گروپائڈ آئتاکار شکل میں ایک ریورسیبل سیلولر آٹومیٹن کی وضاحت کرتا ہے، جس میں آٹومیٹن کا ٹرانزیشن فنکشن اپنے پڑوس کے دو خلیوں کو یکجا کرنے کے لیے آپریشن کا استعمال کرتا ہے، اور جس میں آپریشن اسی طرح آٹومیٹن کی ریورس ڈائنامکس کی وضاحت کرتا ہے۔ ہر ایک جہتی ریورسیبل سیلولر آٹومیٹن اس شکل میں ایک کے برابر ہے۔ بوائکیٹ نے اس الجبرائی تشکیل کو الگورتھم کی بنیاد کے طور پر استعمال کیا جو تمام ممکنہ غیر مساوی ریورسیبل سیلولر آٹومیٹا کی مکمل فہرست بناتا ہے۔ تحفظ کے قوانین جب محققین جسمانی نظاموں کی تقلید کے لیے ریورسیبل سیلولر آٹومیٹا ڈیزائن کرتے ہیں، تو وہ عام طور پر نظام کے تحفظ کے قوانین کو ڈیزائن میں شامل کرتے ہیں۔ مثال کے طور پر، ایک سیلولر آٹومیٹن جو ایک مثالی گیس کی تقلید کرتا ہے اسے گیس کے ذرات کی تعداد اور ان کی کل رفتار کو محفوظ رکھنا چاہیے، بصورت دیگر یہ درست تخروپن فراہم نہیں کرے گا۔ تاہم، تحفظ کے قوانین پر کچھ تحقیق بھی ہوئی ہے جو کہ ریورسیبل سیلولر آٹومیٹا کسی بھی جان بوجھ کر ڈیزائن سے آزاد ہو سکتا ہے۔ ان مطالعات میں ناپی جانے والی مخصوص قسم کی محفوظ مقدار، آٹومیٹن کے خلیوں کے تمام ملحقہ ذیلی سیٹوں پر، ہر ذیلی سیٹ میں خلیوں کی حالتوں کے کچھ عددی فعل کے مجموعے کی شکل اختیار کرتی ہے۔ اس طرح کی مقدار کو محفوظ کیا جاتا ہے اگر، جب بھی یہ ایک محدود قیمت لیتا ہے، تو وہ قیمت خود بخود آٹومیٹن کے ہر وقت کے مرحلے میں مستقل رہتی ہے، اور اس صورت میں اسے آٹومیٹن کا تھ آرڈر غیر متغیر کہا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، ایک جہتی سیلولر آٹومیٹن کو یاد کریں جسے ایک آئتاکار بینڈ کی مثال کے طور پر بیان کیا گیا ہے، جس میں سیل اسٹیٹس سیٹوں اور بائیں اقدار اور دائیں اقدار سے تیار کردہ اقدار (l، r) کے جوڑے ہوتے ہیں، ہر سیل کی بائیں قیمت ہر وقت کے مرحلے پر دائیں طرف حرکت کرتی ہے، اور ہر سیل کی دائیں قیمت بائیں طرف حرکت کرتی ہے۔ اس صورت میں، بینڈ کی ہر بائیں یا دائیں قیمت کے لیے، کوئی محفوظ شدہ مقدار کی وضاحت کر سکتا ہے، خلیوں کی کل تعداد جس کی وہ قیمت ہے۔ اگر بائیں اقدار اور صحیح اقدار ہیں، تو پھر آزاد فرسٹ آرڈر کے متغیرات ہیں، اور کسی بھی فرسٹ آرڈر کے غیر متغیر کو ان بنیادی اقدار کے لکیری امتزاج کے طور پر پیش کیا جا سکتا ہے۔ بائیں اقدار سے وابستہ محفوظ مقداریں مستقل شرح پر یکساں طور پر دائیں طرف بہتی ہیں: یعنی، اگر لائن کے کسی علاقے کے اندر برابر بائیں اقدار کی تعداد وقت پر ایک خاص قدر لیتی ہے، تو یہ منتقل شدہ علاقے کے لیے ایک ہی قدر لے گی۔ وقت پر۔ اسی طرح، صحیح اقدار سے وابستہ محفوظ مقداریں یکساں طور پر بائیں طرف بہتی ہیں۔ کسی بھی یک جہتی ریورسیبل سیلولر آٹومیٹن کو آئتاکار شکل میں رکھا جا سکتا ہے، جس کے بعد اس کے منتقلی کے اصول کو ایک آئیڈیمپوٹینٹ سیمی سینٹرل بگ گروپائڈ (ایک ریورسیبل قاعدہ جس کے لیے خلیوں کے علاقے جن کی واحد حالت کی قیمت صرف ان کی حدود میں تبدیل ہوتی ہے) کے عمل میں شامل کیا جا سکتا ہے۔ آٹومیٹن اصول کے آئیڈیمپوٹینٹ لفٹنگ کے لیے پہلے درجے کے غیر متغیرات (ترتیب کو چھوڑ کر تشکیل دیا گیا ترمیم شدہ اصول) لازمی طور پر ایک آئتاکار بینڈ کی طرح برتاؤ کرتے ہیں: ان میں غیر متغیرات کی بنیاد ہوتی ہے جو بغیر تعامل کے مستقل شرح پر بائیں یا دائیں طرف بہتے ہیں۔ مجموعی طور پر آٹومیٹن کے لیے پہلے درجے کے غیر متغیرات پھر آئیڈیمپوٹینٹ لفٹنگ کے لیے بالکل غیر متغیر ہوتے ہیں جو ریاستوں کے ہر جوڑے کو مساوی وزن دیتے ہیں جو تعدد کے ایک ہی مدار سے تعلق رکھتے ہیں۔ تاہم، اصول میں حالتوں کی ترتیب ان غیر متغیرات کو غیر یکساں طور پر اور تعاملات کے ساتھ بہتے ہوئے، آئیڈیمپوٹینٹ لفٹنگ سے مختلف سلوک کرنے کا سبب بن سکتی ہے۔ جسمانی نظاموں میں، نویتھر کا نظریہ تحفظ کے قوانین اور نظام کی ہم آہنگی کے درمیان مساوات فراہم کرتا ہے۔ تاہم، سیلولر آٹومیٹا کے لیے یہ تھیوریم براہ راست لاگو نہیں ہوتا ہے، کیونکہ نظام کی توانائی کے زیر انتظام ہونے کے بجائے آٹومیٹن کا طرز عمل اس کے قواعد میں انکوڈ کیا جاتا ہے، اور آٹومیٹن کو کسی بھی تحفظ کے قوانین سے قطع نظر کچھ ہم آہنگی (خلا اور وقت دونوں میں ترجمہ غیر متغیر) کی پابندی کرنے کی ضمانت دی جاتی ہے۔ اس کے باوجود، بعض بدلنے والے نظاموں کی محفوظ مقدار کچھ معاملات میں توانائی کی طرح برتاؤ کرتی ہے۔ مثال کے طور پر، اگر آٹومیٹن کے مختلف علاقوں میں کچھ محفوظ شدہ مقدار کی مختلف اوسط اقدار ہیں، تو آٹومیٹن کے قوانین اس مقدار کو ختم کرنے کا سبب بن سکتے ہیں، تاکہ بعد کی ریاستوں میں مقدار کی تقسیم زیادہ یکساں ہو۔ ان محفوظ مقداروں کو نظام کی توانائی کے لیے اسٹینڈ ان کے طور پر استعمال کرنے سے کلاسیکی طبیعیات کے طریقوں کا استعمال کرتے ہوئے اس کا تجزیہ کیا جا سکتا ہے۔ ایپلی کیشنز لیٹیس گیس آٹومیٹا ایک لیٹیس گیس آٹومیٹن ایک سیلولر آٹومیٹن ہے جو کسی سیال یا مثالی گیس میں ذرات کی حرکت کی تقلید کے لیے ڈیزائن کیا گیا ہے۔ اس طرح کے نظام میں، گیس کے ذرات مسلسل رفتار کے ساتھ سیدھی لکیروں پر حرکت کرتے ہیں، یہاں تک کہ دوسرے ذرات کے ساتھ لچکدار تصادم سے گزرتے ہیں۔ لیٹیس گیس آٹومیٹا ان ماڈلز کو صرف رفتار کی مستقل تعداد (عام طور پر، صرف ایک رفتار اور حرکت کی چار یا چھ سمتوں) کی اجازت دے کر اور ممکنہ تصادم کی اقسام کو آسان بنا کر آسان بناتا ہے۔ خاص طور پر، ایچ پی پی لیٹیس گیس ماڈل چار محور متوازی سمتوں میں اکائی کی رفتار سے حرکت کرنے والے ذرات پر مشتمل ہوتا ہے۔ جب دو ذرات مخالف سمتوں میں ایک ہی لکیر پر ملتے ہیں، تو وہ ٹکرا جاتے ہیں اور عمودی لکیر پر تصادم کے مقام سے باہر کی طرف بھیجے جاتے ہیں۔ یہ نظام جسمانی گیسوں کے تحفظ کے قوانین کی پابندی کرتا ہے، اور ایسے تخروپن پیدا کرتا ہے جن کی ظاہری شکل جسمانی گیسوں کے رویے سے ملتی جلتی ہے۔ تاہم، یہ غیر حقیقی اضافی تحفظ کے قوانین کی پابندی کرتے ہوئے پایا گیا۔ مثال کے طور پر، کسی بھی ایک لائن کے اندر کل مومنٹم کو محفوظ رکھا جاتا ہے۔ اس کے ساتھ ساتھ، اس ماڈل (اس کی انیسوٹروپی) میں محور متوازی اور غیر محور متوازی سمتوں کے درمیان فرق ناپسندیدہ طور پر زیادہ ہے۔ ایف ایچ پی لیٹس گیس ماڈل ایچ پی پی ماڈل کو بہتر بناتا ہے جس میں ذرات صرف چار سمتوں کے بجائے ایک دوسرے سے 60 ڈگری کے زاویے پر چھ مختلف سمتوں میں حرکت کرتے ہیں۔ کسی بھی سر پر ٹکرانے میں، دو باہر جانے والے ذرات آنے والے دو ذرات سے 60 ڈگری کے زاویے پر منحرف ہو جاتے ہیں۔ ایف ایچ پی ماڈل میں تین طرفہ تصادم بھی ممکن ہیں اور انہیں اس طرح سے سنبھالا جاتا ہے کہ دونوں ہی کل رفتار کو برقرار رکھیں اور ایچ پی پی ماڈل کے غیر جسمانی اضافی تحفظ کے قوانین سے بچیں۔ چونکہ ان نظاموں میں ذرات کی حرکت قابل واپسی ہوتی ہے، اس لیے انہیں عام طور پر قابل واپسی سیلولر آٹومیٹا کے ساتھ لاگو کیا جاتا ہے۔ خاص طور پر، ایچ پی پی اور ایف ایچ پی لیٹس گیس آٹومیٹا دونوں کو مارگولس پڑوس کا استعمال کرتے ہوئے دو ریاستی بلاک سیلولر آٹومیٹن کے ساتھ لاگو کیا جا سکتا ہے۔ آئزنگ ماڈل آئیزنگ ماڈل مقناطیسی نظام کے رویے کو ماڈل کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ یہ خلیوں کی ایک صف پر مشتمل ہوتا ہے، جن میں سے ہر ایک کی حالت اوپر یا نیچے گھومنے کی نمائندگی کرتی ہے۔ نظام کی توانائی کو ایک فنکشن کے ذریعے ماپا جاتا ہے جو خلیوں کے پڑوسی جوڑوں کی تعداد پر منحصر ہوتا ہے جو ایک دوسرے کے برابر گھومتے ہیں۔ لہذا، اگر کسی خلیے کی دونوں حالتوں میں پڑوسیوں کی تعداد مساوی ہے، تو وہ کل توانائی کو تبدیل کیے بغیر اپنی حالت کو پلٹ سکتا ہے۔ تاہم، اس طرح کا پلٹانا صرف اس صورت میں توانائی کی بچت کرتا ہے جب ایک ہی وقت میں کوئی دو ملحقہ خلیے پلٹ نہ جائیں۔ اس نظام کے سیلولر آٹومیٹن ماڈل مربع جالی کو دو متبادل ذیلی سیٹوں میں تقسیم کرتے ہیں، اور ایک وقت میں دو ذیلی سیٹوں میں سے کسی ایک پر اپ ڈیٹ انجام دیتے ہیں۔ ہر اپ ڈیٹ میں، ہر سیل جو پلٹ سکتا ہے ایسا کرتا ہے۔ یہ ایک ریورسیبل سیلولر آٹومیٹن کی وضاحت کرتا ہے جسے آئزنگ ماڈل کی تحقیقات کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ بلیئرڈ بال کمپیوٹیشن اور لو پاور کمپیوٹنگ نے بلیئرڈ بال کمپیوٹر کو ریورسیبل کمپیوٹنگ میں اپنی تحقیقات کے حصے کے طور پر تجویز کیا۔ بلیئرڈ بال کمپیوٹر مطابقت پذیر ذرات (بلیئرڈ بالز) کے ایک نظام پر مشتمل ہوتا ہے جو پٹریوں میں حرکت کرتے ہیں اور رکاوٹوں کے ایک مقررہ سیٹ سے رہنمائی کرتے ہیں۔ جب ذرات ایک دوسرے سے یا رکاوٹوں سے ٹکراتے ہیں، تو وہ ایک لچکدار تصادم سے گزرتے ہیں جیسا کہ حقیقی بلیئرڈ کی گیندیں کرتی ہیں۔ کمپیوٹر میں ان پٹ کو بعض ان پٹ ٹریکس پر ذرات کی موجودگی یا غیر موجودگی کا استعمال کرتے ہوئے انکوڈ کیا جاتا ہے، اور اس کی آؤٹ پٹ کو اسی طرح آؤٹ پٹ ٹریکس پر ذرات کی موجودگی یا غیر موجودگی کا استعمال کرتے ہوئے انکوڈ کیا جاتا ہے۔ پٹریوں کو خود تاروں کے طور پر تصور کیا جا سکتا ہے، اور ذرات ان تاروں پر منتقل ہونے والے بولین سگنلز کے طور پر۔ جب کوئی ذرہ کسی رکاوٹ سے ٹکرا جاتا ہے تو وہ اس سے جھلکتا ہے۔ اس عکاسی کی تشریح اس تار کی سمت میں تبدیلی کے طور پر کی جا سکتی ہے جس کی ذرہ پیروی کر رہا ہے۔ مختلف راستوں پر دو ذرات ٹکرا سکتے ہیں، جو ان کے تصادم کے مقام پر ایک منطق گیٹ بناتے ہیں۔ جیسا کہ دکھایا گیا ہے، بلیئرڈ بال کمپیوٹرز کو مارگولس پڑوس کے ساتھ دو ریاستی ریورسیبل بلاک سیلولر آٹومیٹن کا استعمال کرتے ہوئے نقل کیا جا سکتا ہے۔ اس آٹومیٹن کے اپ ڈیٹ رول میں، بالکل ایک زندہ خلیے والے بلاکس 180 ڈگری سے گھومتے ہیں، دو اخترن مخالف زندہ خلیوں والے بلاکس 90 ڈگری سے گھومتے ہیں، اور دیگر تمام بلاکس میں کوئی تبدیلی نہیں ہوتی ہے۔ یہ اصول الگ تھلگ زندہ خلیوں کو بلیئرڈ کی گیندوں کی طرح برتاؤ کرنے کا سبب بنتے ہیں، جو اخترن راستوں پر حرکت کرتے ہیں۔ ایک سے زیادہ زندہ خلیوں کے منسلک گروپ اس کے بجائے بلیئرڈ بال کمپیوٹر کی مقررہ رکاوٹوں کی طرح برتاؤ کرتے ہیں۔ ایک ضمیمہ میں، مارگولس نے یہ بھی دکھایا کہ دو جہتی مور پڑوس کا استعمال کرتے ہوئے تین ریاستی دوسرے درجے کا سیلولر آٹومیٹن بلیئرڈ بال کمپیوٹرز کی تقلید کر سکتا ہے۔ بلئرڈ بال ماڈل جیسے کمپیوٹیشن کے ریورسیبل یونیورسل ماڈلز کا مطالعہ کرنے کی ایک وجہ یہ ہے کہ وہ نظریاتی طور پر حقیقی کمپیوٹر سسٹم کی طرف لے جا سکتے ہیں جو بہت کم مقدار میں توانائی استعمال کرتے ہیں۔ لینڈاؤر کے اصول کے مطابق، ناقابل واپسی کمپیوٹیشنل اقدامات کے لیے فی قدم ایک خاص کم سے کم توانائی کی ضرورت ہوتی ہے، لیکن قابل واپسی اقدامات فی قدم توانائی کی مقدار کے ساتھ انجام دیے جا سکتے ہیں جو من مانی طور پر صفر کے قریب ہے۔ تاہم، لینڈاؤر کے باؤنڈ سے کم توانائی کا استعمال کرتے ہوئے کمپیوٹیشن انجام دینے کے لیے، سیلولر آٹومیٹن کے لیے یہ کافی نہیں ہے کہ اس کا ٹرانزیشن فنکشن ہو جو عالمی سطح پر ریورسیبل ہو: جس چیز کی ضرورت ہے وہ یہ ہے کہ ٹرانزیشن فنکشن کا مقامی حساب بھی ریورسیبل طریقے سے کیا جائے۔ مثال کے طور پر، ریورسیبل بلاک سیلولر آٹومیٹا ہمیشہ مقامی طور پر ریورسیبل ہوتے ہیں: ہر انفرادی بلاک کے رویے میں محدود طور پر بہت سے ان پٹ اور آؤٹ پٹ کے ساتھ ایک الٹا فنکشن کا اطلاق شامل ہوتا ہے۔ سب سے پہلے یہ پوچھنے والے تھے کہ کیا ہر ریورسیبل سیلولر آٹومیٹن میں مقامی طور پر ریورسیبل اپ ڈیٹ رول ہے۔ یہ ظاہر کیا کہ ایک اور دو جہتی آٹومیٹا کے لیے جواب مثبت ہے، اور یہ ظاہر کیا کہ کسی بھی ریورسیبل سیلولر آٹومیٹن کو (ممکنہ طور پر مختلف) مقامی طور پر ریورسیبل سیلولر آٹومیٹن کے ذریعے نقل کیا جا سکتا ہے۔ تاہم، یہ سوال کہ آیا ہر ریورسیبل ٹرانزیشن فنکشن مقامی طور پر ریورسیبل ہے، دو سے زیادہ جہتوں کے لیے کھلا رہتا ہے۔ مطابقت پذیری ٹوفولی اور مارگولس کا "ٹرون" قاعدہ مارگولس پڑوس کے ساتھ ایک بدلنے والا بلاک سیلولر قاعدہ ہے۔ جب خلیوں کے 2 × 2 بلاک کی حالت ایک جیسی ہوتی ہے، تو بلاک کے تمام خلیات کی حالت بدل جاتی ہے ؛ دیگر تمام صورتوں میں، بلاک کے خلیات میں کوئی تبدیلی نہیں ہوتی ہے۔ جیسا کہ ٹوفولی اور مارگولس کا استدلال ہے، اس اصول سے پیدا ہونے والے نمونوں کے ارتقاء کو مارگولس پڑوس میں کسی بھی دوسرے اصول کو ہم آہنگ کرنے کے لیے گھڑی کے طور پر استعمال کیا جا سکتا ہے۔ اس طرح مطابقت پذیر سیلولر آٹومیٹن ایک غیر متزلزل سیلولر آٹومیٹن پر چلتے ہوئے معیاری مارگولس-پڑوسی اصول کی طرح ہی حرکیات کی پابندی کرتا ہے۔ خفیہ کاری کے نظام کے طور پر کثیر جہتی ریورسیبل سیلولر آٹومیٹا کا استعمال کرتے ہوئے تجویز کردہ خفیہ کاری۔ کیری کی تجویز میں، سیلولر آٹومیٹن قاعدہ خفیہ کاری کی کلید ہوگی۔ قواعد کو ایک قدم آگے چلا کر خفیہ کاری کی جائے گی، اور اسے ایک قدم پیچھے چلا کر خفیہ کاری کی جائے گی۔ کیری تجویز کرتے ہیں کہ اس طرح کے نظام کو عوامی کلیدی خفیہ نظام کے طور پر استعمال کیا جا سکتا ہے۔ اصولی طور پر، حملہ آور کسی دی گئی خفیہ کاری کلید (فارورڈ رول) سے الگورتھمک طور پر ڈکرپشن کلید (ریورس رول) کا تعین نہیں کر سکتا تھا کیونکہ ٹیسٹنگ ریورسیبلٹی کی ناقابل تعینیت کی وجہ سے، اس لیے فارورڈ رول کو سسٹم کی سلامتی سے سمجھوتہ کیے بغیر عام کیا جا سکتا تھا۔ تاہم، کیری نے یہ واضح نہیں کیا کہ اس طرح کے نظام کے لیے کس قسم کے ریورسیبل سیلولر آٹومیٹن کا استعمال کیا جانا چاہیے، یا یہ نہیں بتایا کہ اس نقطہ نظر کا استعمال کرتے ہوئے ایک خفیہ نظام کس طرح خفیہ کاری/ڈکرپشن کلیدی جوڑے تیار کرنے کے قابل ہوگا۔ ایک متبادل خفیہ کاری کا نظام تجویز کیا ہے۔ ان کے نظام میں، خفیہ کاری کلید ایک جہتی سیلولر آٹومیٹن کے ہر سیل کے لیے مقامی اصول کا تعین کرتی ہے۔ اس اصول پر مبنی سیکنڈ آرڈر آٹومیٹن کو ان پٹ پر کئی راؤنڈز کے لیے چلایا جاتا ہے تاکہ اسے خفیہ کردہ آؤٹ پٹ میں تبدیل کیا جا سکے۔ آٹومیٹن کی ریورسیبلٹی پراپرٹی اس بات کو یقینی بناتی ہے کہ کسی بھی خفیہ کردہ پیغام کو اسی سسٹم کو الٹا چلا کر ڈکرپٹ کیا جا سکتا ہے۔ اس نظام میں چابیاں خفیہ رکھی جانی چاہئیں، کیونکہ ایک ہی چابی خفیہ کاری اور خفیہ کاری دونوں کے لیے استعمال ہوتی ہے۔ کوانٹم کمپیوٹنگ کوانٹم سیلولر آٹومیٹا آٹومیٹا کی صف ہیں جن کی ریاستیں اور ریاستی منتقلی کوانٹم ڈائنامکس کے قوانین کی پابندی کرتی ہیں۔ کوانٹم سیلولر آٹومیٹا کو کمپیوٹیشن کے ماڈل کے طور پر تجویز کیا گیا تھا اور سب سے پہلے اس کے ذریعہ رسمی شکل دی گئی تھی۔ ان آٹومیٹا کے متعدد مسابقتی تصورات زیر تحقیق ہیں، جن میں سے بہت سے کے لیے ضروری ہے کہ اس طرح سے بنایا گیا آٹومیٹا ریورسیبل ہو۔ جسمانی عالمگیریت نے پوچھا کہ کیا سیلولر آٹومیٹن کے لیے جسمانی طور پر عالمگیر ہونا ممکن ہے، مطلب یہ ہے کہ، آٹومیٹن کے خلیوں کے کسی بھی پابند علاقے کے لیے، اس خطے کو خلیوں سے گھیرنا ممکن ہونا چاہیے جن کی ریاستیں ایک مناسب سپورٹ اسکیفولڈنگ بناتی ہیں جو آٹومیٹن کو خطے کے اندر ریاستوں کے سیٹوں پر کسی بھی صوابدیدی تبدیلی کو نافذ کرنے کا سبب بنتی ہیں۔ اس طرح کا آٹومیٹن ریورسیبل ہونا چاہیے، یا کم از کم مقامی طور پر انجیکشن والا ہونا چاہیے، کیونکہ اس پراپرٹی کے بغیر آٹومیٹا میں گارڈن آف ایڈن کے نمونے ہوتے ہیں، اور ایسی تبدیلی کو نافذ کرنا ممکن نہیں ہے جس سے گارڈن آف ایڈن پیدا ہو۔ ایک ریورسیبل سیلولر آٹومیٹن بنایا جو اس لحاظ سے جسمانی طور پر عالمگیر ہے۔ شیفر کا آٹومیٹن ایک بلاک سیلولر آٹومیٹن ہے جس میں دو ریاستیں اور مارگولس پڑوس ہے، جو بلیئرڈ بال ماڈل اور ایچ پی پی لیٹس گیس کے لیے آٹومیٹا سے قریب سے متعلق ہے۔ تاہم، بلیئرڈ بال ماڈل جسمانی طور پر عالمگیر نہیں ہے، کیونکہ اسے ناقابل تسخیر دیواروں کی تعمیر کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے جو کسی خطے کے اندر ریاست کو پڑھنے اور تبدیل ہونے سے روکتی ہیں۔ شیفر کے ماڈل میں، ہر نمونہ بالآخر چار سمتوں میں ترچھا حرکت کرنے والے ذرات میں تحلیل ہو جاتا ہے۔ اس طرح، اس کا آٹومیٹن ٹورنگ مکمل نہیں ہے۔ تاہم، شیفر نے دکھایا کہ اسکیفولڈنگ کے ذریعے کسی بھی محدود ترتیب کو گھیرنا ممکن ہے جو اس سے زیادہ آہستہ آہستہ ختم ہوتا ہے۔ ترتیب کے ذرات میں تحلیل ہونے کے بعد، اسکیفولڈنگ ان ذرات کو روکتی ہے، اور انہیں اسکیفولڈنگ کے اندر بنائے گئے بولین سرکٹس کے نظام میں ان پٹ کے طور پر استعمال کرتی ہے۔ ان سرکٹس کو ابتدائی ترتیب کے صوابدیدی افعال کا حساب لگانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ اس کے بعد سکافولڈنگ سرکٹس کی آؤٹ پٹ کو واپس حرکت پذیر ذرات کے نظام میں ترجمہ کرتی ہے، جو ابتدائی خطے پر یکجا ہوتے ہیں اور تبدیل شدہ حالت کی نقل بنانے کے لیے ایک دوسرے سے ٹکرا جاتے ہیں۔ اس طرح، شیفر کے نظام کو ریاستی جگہ کے کسی بھی پابند علاقے پر کسی بھی فنکشن کو لاگو کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، جس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ یہ آٹومیٹن اصول جسمانی طور پر عالمگیر ہے۔ حوالہ جات نوٹ کریں۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ میں دوبارہ شائع کیا گیا۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ میں، اور میں دوبارہ چھاپا گیا۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ میں دوبارہ شائع کیا گیا۔ ۔ ۔ جیسا کہ اور کے ذریعے حوالہ دیا گیا ہے۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ ۔ سیلولر آٹومیٹا ریورسیبل کمپیوٹنگ