Affine plane
جیومیٹری میں، ایک افائن طیارہ ایک دو جہتی افائن اسپیس ہے۔ افائن طیاروں کی مثالیں یوکلڈین طیارے ہیں، جو ایک میٹرک، یوکلڈین فاصلے سے لیس حقیقی طیاروں پر افائن طیارے ہیں۔ دوسرے لفظوں میں، حقیقی طیاروں کے اوپر ایک افائن طیارہ ایک یوکلڈین طیارہ ہے جس میں کوئی میٹرک کو "بھول" جاتا ہے (یعنی کوئی لمبائی اور نہ ہی زاویے کی پیمائش کی بات کرتا ہے)۔ طول و عرض دو کی ویکٹر خالی جگہیں، جن میں صفر ویکٹر کو دوسرے عناصر سے مختلف نہیں سمجھا جاتا ہے۔ ہر فیلڈ یا ڈویژن رنگ F کے لیے، F کے عناصر کے جوڑوں کا سیٹ F2 کسی بھی پروجیکٹو پلین کوآرڈینیٹس اور آئسومورفزم سے کسی بھی ایک لائن (اور اس لائن کے تمام پوائنٹس) کو ہٹانے کا نتیجہ کسی فیلڈ پر بیان کردہ تمام افائن طیارے آئسومورفک ہوتے ہیں۔ مزید واضح طور پر، فیلڈ F پر ایک افائن طیارہ P کے لیے ایک افائن کوآرڈینیٹ سسٹم (یا، حقیقی صورت میں، ایک کارٹیشین کوآرڈینیٹ سسٹم) کا انتخاب P اور F2 کے درمیان افائن طیاروں کی آئسومورفزم کو جنم دیتا ہے۔ زیادہ عام صورتحال میں، جہاں کسی فیلڈ پر افائن طیاروں کی وضاحت نہیں کی جاتی ہے، وہ عام طور پر آئسومورفک نہیں ہوں گے۔ مختلف لکیروں کو ہٹانے سے ایک ہی غیر ڈیسارگویشین پروجیکٹو طیارہ سے پیدا ہونے والے دو افائن طیارے آئسومورفک نہیں ہو سکتے ہیں۔ تعریفیں افائن طیاروں کی باضابطہ طور پر وضاحت کرنے کے دو طریقے ہیں، جو کسی فیلڈ پر افائن طیاروں کے مساوی ہیں۔ پہلا ایک افائن طیارہ کو ایک سیٹ کے طور پر بیان کرنے پر مشتمل ہے جس پر طول و عرض دو کا ویکٹر اسپیس محض عارضی طور پر کام کرتا ہے۔ بدیہی طور پر، اس کا مطلب یہ ہے کہ ایک افائن طیارہ طول و عرض دو کا ایک ویکٹر اسپیس ہے جس میں ایک "بھول گیا ہے" جہاں اصل ہے۔ انسیڈینس جیومیٹری میں، ایک افائن پلین کو نکات اور لکیروں کے ایک تجریدی نظام کے طور پر بیان کیا جاتا ہے جو محوریات کے نظام کو مطمئن کرتا ہے۔ اطلاقات ریاضی کی ایپلی کیشنز میں، اکثر ایسے حالات ہوتے ہیں جہاں یوکلڈین پلین کے بجائے یوکلڈین میٹرک کے بغیر ایک افائن پلین استعمال کیا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، ایک گراف میں، جسے کاغذ پر تیار کیا جا سکتا ہے، اور جس میں کسی ذرہ کی پوزیشن کو وقت کے خلاف پلاٹ کیا جاتا ہے، یوکلڈین میٹرک اس کی تشریح کے لیے کافی نہیں ہے، کیونکہ اس کے نکات کے درمیان فاصلے یا اس کی لکیروں کے درمیان زاویوں کی پیمائش کی عام طور پر کوئی جسمانی اہمیت نہیں ہے (افائن پلین میں محور مختلف اکائیوں کا استعمال کر سکتے ہیں، جو موازنہ نہیں ہیں، اور اقدامات مختلف اکائیوں اور ترازو کے ساتھ بھی مختلف ہوتے ہیں)۔ ذرائع حوالہ جات طیارے (جیومیٹری) ریاضیاتی طبیعیات