Amitsur–Levitzki theorem
الجبرا میں، امیتسور-لیوٹزکی تھیوریم بیان کرتا ہے کہ ایک مواصلاتی رنگ پر n × n میٹرکس کا الجبرا ڈگری 2n کی ایک مخصوص شناخت کو مطمئن کرتا ہے۔ کے ذریعے ثابت کیا گیا۔ خاص طور پر میٹرکس کے حلقے کثیر الجہتی شناختی حلقے ہوتے ہیں جیسے کہ وہ جس سب سے چھوٹی شناخت کو مطمئن کرتے ہیں اس کی ڈگری بالکل 2n ہوتی ہے۔ بیان ڈگری n کا معیاری کثیر الجہتی غیر مواصلاتی متغیر x1،.، xn میں ہے، جہاں مجموعہ تمام n پر لیا جاتا ہے! سمیٹرک گروپ Sn کے عناصر۔ امیتسور-لیوٹزکی تھیوریم میں کہا گیا ہے کہ n × n میٹرکس A1،.، A2n کے لیے جن کی اندراجات ایک مواصلاتی رنگ سے لی جاتی ہیں تو پروفز نے پہلا ثبوت دیا۔ لائ الجیبراس کی ابتدائی ہم آہنگی کے بارے میں کوزول-سیملسن تھیوریم سے امیتسور-لیوٹزکی تھیوریم کا اندازہ لگایا۔ اور مندرجہ ذیل ایک سادہ مشترکہ ثبوت دیا۔ لکیریٹی کے لحاظ سے یہ تھیوریم کو ثابت کرنے کے لیے کافی ہے جب ہر میٹرکس میں صرف ایک غیر صفر اندراج ہوتا ہے، جو کہ 1 ہے۔ اس صورت میں ہر میٹرکس کو این عمودی کے ساتھ گراف کے ہدایت شدہ کنارے کے طور پر انکوڈ کیا جا سکتا ہے۔ لہذا تمام میٹرکس مل کر 2n سمت والے کناروں کے ساتھ n عمودی پر ایک گراف دیتے ہیں۔ شناخت کا ماننا ہے کہ گراف کے کسی بھی دو عمودی A اور B کے لیے، A سے B تک کے عجیب یولیرین راستوں کی تعداد یکساں راستوں کی تعداد کے برابر ہے۔ (یہاں کسی راستے کو عجیب کہا جاتا ہے یا اس پر منحصر ہے کہ آیا اس کے کناروں کو ترتیب میں لیا گیا ہے یا 2n کناروں کی عجیب یا یکساں ترتیب دیتا ہے۔) ہنس نے دکھایا کہ یہ معاملہ تھا بشرطیکہ گراف میں کناروں کی تعداد کم از کم 2n ہو، اس طرح امیتسور-لیوٹزکی تھیوریم ثابت ہوتا ہے۔ کیلی-ہیملٹن تھیوریم سے متعلق ایک ثبوت دیا۔ طول و عرض 2n کے ویکٹر اسپیس کے بیرونی الجبرا کا استعمال کرتے ہوئے ایک مختصر ثبوت دیا۔ ایک اور ثبوت دیا، جس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ امیٹسور-لیوٹزکی تھیوریم عام گراس مین میٹرکس کے لیے کیلی-ہیملٹن شناخت ہے۔ الجبرا میٹرکس تھیوری میں لکیری الجبرا تھیوریمز