Cavalieri's quadrature formula
کیلکولس میں، کیولیری کا کواڈریچر فارمولا، جس کا نام 17 ویں صدی کے اطالوی ریاضی دان بوناونٹورا کیولیری کے نام پر رکھا گیا ہے، اس کا لازمی اور عمومی شکل ہے۔ یہ قطعی انٹیگرل شکل ہے ؛ غیر معینہ انٹیگرل شکل یہ ہے: اضافی شکلیں ہیں، جو ذیل میں درج ہیں۔ انٹیگرل کی لکیریٹی کے ساتھ، یہ فارمولا کسی کو تمام کثیر الجہتی کے انٹیگرلز کا حساب لگانے کی اجازت دیتا ہے۔ اصطلاح "کواڈریچر" رقبے کے لیے ایک روایتی اصطلاح ہے ؛ انٹیگرل کو ہندسی طور پر وکر y = xn کے نیچے کے رقبے کے طور پر سمجھا جاتا ہے۔ روایتی طور پر اہم معاملات ہیں y = x2، پیرابولہ کا کواڈریچر، جو قدیم زمانے میں جانا جاتا ہے، اور y = 1/x، ہائپربولا کا کواڈریچر، جس کی قیمت لوگرتھم ہے۔ شکلیں منفی n n کی منفی اقدار کے لیے (x کی منفی طاقتیں)، x = 0 پر ایک انفرادیت ہوتی ہے، اور اس طرح قطعی انٹیگرل 0 کے بجائے 1 پر مبنی ہوتا ہے، جس سے نتیجہ نکلتا ہے: مزید برآں، n کی منفی فریکشنل (غیر عدد) اقدار کے لیے، پاور xn اچھی طرح سے متعین نہیں ہے، اس لیے غیر معینہ مدت کے انٹیگرل کی وضاحت صرف مثبت x کے لیے کی جاتی ہے۔ تاہم، n ایک منفی عدد کے لیے طاقت xn کی وضاحت تمام غیر صفر x کے لیے کی جاتی ہے، اور غیر معینہ انٹیگرلز اور قطعی انٹیگرلز کی وضاحت کی جاتی ہے، اور اس کا حساب ایک سمیٹری دلیل کے ذریعے کیا جا سکتا ہے، جس میں x کو −x سے تبدیل کیا جا سکتا ہے، اور منفی قطعی انٹیگرل کو −1 پر بیس کیا جا سکتا ہے۔ پیچیدہ اعداد پر قطعی انٹیگرل (n اور x کی منفی اقدار کے لیے) کو کونٹور انضمام کے ذریعے بیان کیا جا سکتا ہے، لیکن پھر اس کا انحصار راستے کے انتخاب پر ہوتا ہے، خاص طور پر گھومنے والی تعداد-ہندسی مسئلہ یہ ہے کہ فنکشن 0 پر انفرادیت کے ساتھ ایک کورنگ اسپیس کی وضاحت کرتا ہے۔ n = −1 ایک غیر معمولی صورت n = −1 بھی ہے، جو x کی طاقت کے بجائے لوگارتھم دیتا ہے: (جہاں "ln" کا مطلب قدرتی لوگارتھم ہے، یعنی۔ بیس e = 2.71828.) کا لوگرتھم۔ نامناسب انٹیگرل کو اکثر روایتی انتخاب کے ذریعے x کی منفی اقدار تک بڑھایا جاتا ہے: غیر معینہ مدت کے انٹیگرل میں مطلق قدر کے استعمال کو نوٹ کریں۔ یہ انٹیگرل کے لیے ایک متحد شکل فراہم کرنے کے لیے ہے، اور اس کا مطلب ہے کہ اس عجیب فنکشن کا انٹیگرل ایک یکساں فنکشن ہے، حالانکہ لوگارتھم صرف مثبت ان پٹ کے لیے بیان کیا گیا ہے، اور درحقیقت، C کی مختلف مستقل اقدار کو 0 کے دونوں طرف منتخب کیا جا سکتا ہے، کیونکہ یہ مشتق کو تبدیل نہیں کرتے ہیں۔ زیادہ عام شکل اس طرح ہے: پیچیدہ اعداد پر 1/x کے لیے کوئی عالمی اینٹی ڈرایٹو نہیں ہے، اس فنکشن کی وجہ سے غیر معمولی کورنگ اسپیس کی وضاحت ہوتی ہے۔ یہ شکل حقیقی اعداد کے لیے خاص ہے۔ نوٹ کریں کہ 1 سے شروع ہونے والے ڈیفینیٹ انٹیگرل کی تعریف a کی منفی اقدار کے لیے نہیں کی گئی ہے، کیونکہ یہ ایک انفرادیت سے گزرتا ہے، حالانکہ چونکہ 1/x ایک عجیب فعل ہے، اس لیے کوئی منفی طاقتوں کے لیے ڈیفینیٹ انٹیگرل کو −1 پر بیس کر سکتا ہے۔ اگر کوئی نامناسب انٹیگرلز کا استعمال کرنے اور کاچی پرنسپل ویلیو کا حساب لگانے کے لیے تیار ہے، تو وہ حاصل کرتا ہے جس پر ہم آہنگی کے ذریعے بھی بحث کی جا سکتی ہے (چونکہ لوگارتھم عجیب ہے)، لہذا اس سے کوئی فرق نہیں پڑتا اگر قطعی انٹیگرل 1 یا −1 پر مبنی ہو۔ غیر معینہ انٹیگرل کی طرح، یہ حقیقی اعداد کے لیے خاص ہے، اور پیچیدہ اعداد پر پھیلا ہوا نہیں ہے۔ متبادل شکلیں انٹیگرل کو انڈیکس منتقل ہونے کے ساتھ بھی لکھا جا سکتا ہے، جو نتیجہ کو آسان بناتا ہے اور n-جہتی تفریق اور n-مکعب سے تعلق کو واضح کرتا ہے: زیادہ عام طور پر، یہ فارمولے اس طرح دیے جا سکتے ہیں: زیادہ عام طور پر: ثبوت جدید ثبوت ایک اینٹی ڈرایکٹو کا استعمال کرنا ہے: xn کا مشتق nxn−1-غیر منفی انٹیجرز کے لیے دکھایا گیا ہے۔ یہ بائنومیل فارمولا اور مشتق کی تعریف سے دکھایا گیا ہے-اور اس طرح کیلکولس کے بنیادی نظریہ کے ذریعہ اینٹی ڈرایٹوٹو انٹیگرل ہے۔ یہ طریقہ ناکام ہو جاتا ہے کیونکہ امیدوار اینٹی ڈرایٹو ہے، جو صفر سے تقسیم ہونے کی وجہ سے غیر متعین ہے۔ لوگرتھم فنکشن، جو 1/x کا اصل اینٹی ڈرایکٹو ہے، کو الگ سے متعارف کرایا جانا چاہیے اور اس کی جانچ کی جانی چاہیے۔ مثبت انٹیجرز کے لیے، اس ثبوت کو جیومیٹریز کیا جا سکتا ہے: اگر کوئی مقدار xn کو n-کیوب (n طول و عرض میں ہائپر کیوب) کا حجم سمجھتا ہے، تو مشتق حجم میں تبدیلی ہے کیونکہ سائیڈ لمبائی تبدیل ہو جاتی ہے-یہ xn−1 ہے، جس کی تشریح n چہروں کے رقبے کے طور پر کی جا سکتی ہے، ہر ایک طول و عرض n−1 (اصل میں ایک ورٹیکس کو طے کرنا، یہ n چہرے ہیں جو ورٹیکس کو نہیں چھو رہے ہیں)، ان چہروں کی سمت میں بڑھتے ہوئے سائز میں بڑھتے ہوئے مکعب کے مطابق-3 جہتی صورت میں، ان میں سے ہر ایک چہرے پر 3 لامحدود پتلی مربعیاں، ایک شامل کرنا۔ اس کے برعکس، کیلکولس کے بنیادی نظریہ کو جیومیٹریز کرتے ہوئے، ان لامحدود (n−1) کیوبوں کو اسٹیک کرنے سے ایک (ہائپر)-اہرام حاصل ہوتا ہے، اور ان میں سے n اہراموں سے n-کیوب بنتا ہے، جس سے فارمولا حاصل ہوتا ہے۔ مزید برآں، ان اہراموں (جن کے لیے ایک اہرام ایک بنیادی ڈومین ہے) کے گرد اخترن سائیکلنگ کے ارد گرد n-مکعب کی ایک n-گنا چکور ہم آہنگی ہے۔ مکعب (3 مکعب) کے معاملے میں، اس طرح ایک اہرام کا حجم اصل میں سختی سے قائم کیا گیا تھا: مکعب میں 3 گنا توازن ہوتا ہے، بنیادی ڈومین کے ساتھ ایک اہرام ہوتا ہے، جو مکعب کو 3 اہراموں میں تقسیم کرتا ہے، اس حقیقت کے مطابق کہ اہرام کا حجم اونچائی کے بیس گنا کا ایک تہائی ہوتا ہے۔ یہ ہندسی طور پر پیرابولہ کے چوتھائی اور اہرام کے حجم کے درمیان مساوات کی وضاحت کرتا ہے، جن کا حساب کلاسیکی طور پر مختلف ذرائع سے کیا گیا تھا۔ متبادل ثبوت موجود ہیں-مثال کے طور پر، فرمیٹ نے ڈومین کو غیر مساوی لمبائی کے کچھ وقفوں میں تقسیم کرنے کی الجبرائی چال کے ذریعے رقبے کا حساب لگایا۔ متبادل طور پر، کوئی بھی غیر یکساں پھیلاؤ کے تحت گراف y = xn کی ہم آہنگی کو پہچان کر (x سمت میں d اور y سمت میں dn کے ذریعے، y سمت کے n طول و عرض کو الجبرائی بنا کر)، یا n = −1 کے نتیجے کو بڑھا کر اور کوفشنٹس کا موازنہ کرکے تمام عدد اقدار کے لیے فارمولا اخذ کر کے اسے ثابت کر سکتا ہے۔ تاریخ کی تفصیلی بحث، اصل ذرائع کے ساتھ، میں دی گئی ہے۔ حساب کی تاریخ اور انضمام کی تاریخ بھی دیکھیں۔ پیرابولہ کا معاملہ قدیم یونانی ریاضی دان آرکیمیڈیز نے اپنی دی کواڈریچر آف دی پیرابولہ (تیسری صدی قبل مسیح) میں تھکاوٹ کے طریقہ کار کے ذریعے ثابت کیا تھا۔ قابل ذکر بات یہ ہے کہ آرکیمیڈیز نے ایک پیرابولہ کے اندر کے رقبے کا حساب لگایا-ایک نام نہاد "پیرابولک طبقہ"-گراف y = x2 کے نیچے کے رقبے کے بجائے، جو اس کے بجائے کارٹیشین جیومیٹری کا نقطہ نظر ہے۔ یہ مساوی حسابات ہیں، لیکن نقطہ نظر میں فرق کی عکاسی کرتے ہیں۔ قدیم یونانیوں نے، دوسروں کے درمیان، اہرام یا شنک کے حجم کا بھی حساب لگایا، جو ریاضیاتی طور پر مساوی ہے۔ گیارہویں صدی میں، اسلامی ریاضی دان ابن الحیاتم (جسے یورپ میں الہزین کے نام سے جانا جاتا ہے) نے اپنی کتاب آف آپٹکس میں ریاضیاتی انڈکشن کے ذریعے کیوبکس اور کوارٹکس (ڈگری تین اور چار) کے انٹیگرلز کا حساب لگایا۔ اعلی انٹیجرز کے معاملے کا حساب کیولیری نے n سے 9 تک کے لیے کیا تھا، اس کے غیر منقسم طریقے (کیولیری کا اصول) کا استعمال کرتے ہوئے۔ انہوں نے ان کی تشریح اعلی انٹیگرلز کے طور پر کی جیسے کہ اعلی جہتی حجم کا حساب لگانا، حالانکہ صرف غیر رسمی طور پر، کیونکہ اعلی جہتی اشیاء ابھی تک ناواقف تھیں۔ چوتھائی کے اس طریقہ کو پھر اطالوی ریاضی دان ایوینجلیسٹا ٹوریسیلی نے سائکلوئڈ جیسے دوسرے منحنی خطوط تک بڑھایا، پھر اس فارمولے کو انگریزی ریاضی دان جان والس نے اپنے آرتھمیٹیکا انفینیٹورم (1656) میں فریکشنل اور منفی طاقتوں کے لیے عام کیا، جس نے عقلی طاقتوں کے تصور اور اشارے کو بھی معیاری بنایا-حالانکہ والس نے غیر معمولی کیس n = −1 (ہائپربولا کے چوتھائی) کی غلط تشریح کی-آخر کار انٹیگرل کیلکولس کی ترقی کے ساتھ سخت زمین پر ڈالنے سے پہلے۔ والس کی فریکشنل اور منفی طاقتوں کو باضابطہ بنانے سے پہلے، جو واضح افعال کی اجازت دیتے تھے، ان منحنی خطوط کو مساوات اور (p اور q ہمیشہ مثبت عدد) کے ذریعے مضمر طور پر سنبھالا جاتا تھا اور بالترتیب اعلی پیرابولی اور اعلی ہائپربولے (یا "اعلی پیرابولس" اور "اعلی ہائپربولس") کے طور پر حوالہ دیا جاتا تھا۔ پیئر ڈی فرمیٹ نے ایک الجبرائی چال کے ذریعے ان علاقوں کا حساب بھی لگایا (سوائے −1 کے غیر معمولی معاملے کے)-اس نے لکیر کو مساوی وقفوں میں تقسیم کرکے اعلی ہائپربولی کے کواڈریچر کا حساب لگایا، اور پھر اعلی پیرابولی کے کواڈریچر کا حساب غیر مساوی وقفوں میں تقسیم کا استعمال کرتے ہوئے کیا، غالبا ہائپربولی کے لیے استعمال ہونے والی تقسیم کو الٹ کر۔ تاہم، ان کے باقی کاموں کی طرح، فرمیٹ کی تکنیکیں منظم علاج سے زیادہ ایڈہاک ٹرکس تھیں، اور انہیں کیلکولس کی بعد کی ترقی میں اہم کردار ادا کرنے والا نہیں سمجھا جاتا ہے۔ قابل ذکر بات یہ ہے کہ کیولیری نے علاقوں کا موازنہ صرف رقبے سے اور حجم کا حجم سے کیا-ان میں ہمیشہ طول و عرض ہوتے ہیں، جبکہ کسی رقبے کو رقبے کی اکائیوں پر مشتمل (ایک معیاری اکائی سے متعلق) تصور کرنے کا تصور، اس لیے یونٹ لیس ہونے کی وجہ سے، والس سے شروع ہوا ہے۔ والس نے فریکشنل اور منفی طاقتوں کا مطالعہ کیا، اور کمپیوٹڈ اقدار کو یونٹ لیس نمبروں کے طور پر سمجھنے کا متبادل فریکشنل اور منفی جہتوں کی تشریح کرنا تھا۔ - 1 (معیاری ہائپربولا) کے غیر معمولی معاملے کا سب سے پہلے گریگوائر ڈی سینٹ ونسنٹ نے اپنی اوپس جیومیٹریم کواڈریچر سرکولی ایٹ سیکشنم کونی (1647) میں کامیابی کے ساتھ علاج کیا، حالانکہ ایک رسمی علاج کو قدرتی لوگرتھم کی نشوونما کا انتظار کرنا پڑا، جسے نکولس مرکیٹر نے اپنی لوگرتھموٹیکنیا (1668) میں مکمل کیا تھا۔ حوالہ جات تاریخ (پی بی کے) میں۔ - والیس پر بحث کرتا ہے بنیادی طور پر ثبوت کے آخر میں پرنٹ میں ظاہر ہوتا ہے: ملک، ایم اے (1984) "اے نوٹ آن کیولیری انٹیگریشن"، میتھمیٹکس میگزین 57 (3): 154-6 V. فریڈرک ریکی (2011) فرمیٹس انٹیگریشن آف پاورز، ہسٹوریکل نوٹس فار کیلکولس ٹیچرز میں بیرونی لنکس کیولیری انٹیگریشن انفینیٹیمل کیلکولس، انسائیکلوپیڈیا آف میتھمیٹکس انٹیگرلز پولینومیلز