Holtsmark distribution
(ایک جہتی) ہولٹ مارک کی تقسیم ایک مسلسل امکان کی تقسیم ہے۔ ہولٹ مارک ڈسٹری بیوشن مستحکم ڈسٹری بیوشن کا ایک خاص معاملہ ہے جس میں استحکام کا انڈیکس یا شکل کا پیرامیٹر 3/2 کے برابر اور صفر کا اسکیونیس پیرامیٹر ہوتا ہے۔ چونکہ صفر کے برابر ہے، اس لیے تقسیم ہم آہنگ ہے، اور اس طرح ہم آہنگ الفا-مستحکم تقسیم کی ایک مثال ہے۔ ہولٹ مارک ڈسٹری بیوشن ایک مستحکم ڈسٹری بیوشن کی چند مثالوں میں سے ایک ہے جس کے لیے امکانی کثافت فنکشن کا ایک بند شکل کا اظہار جانا جاتا ہے۔ تاہم، اس کی امکانی کثافت فنکشن ابتدائی افعال کے لحاظ سے قابل اظہار نہیں ہے ؛ بلکہ، امکان کثافت فنکشن کو ہائپر جیومیٹرک افعال کے لحاظ سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ ہولٹ مارک کی تقسیم پلازما طبیعیات اور فلکی طبیعیات میں استعمال ہوتی ہے۔ 1919 میں ناروے کے طبیعیات دان جوہان پیٹر ہولٹ مارک نے چارج شدہ ذرات کی حرکت کی وجہ سے پلازما میں اتار چڑھاؤ والے شعبوں کے لیے تقسیم کو ایک ماڈل کے طور پر تجویز کیا۔ یہ دیگر اقسام کی کولمب قوتوں پر بھی لاگو ہوتا ہے، خاص طور پر کشش ثقل کے اجسام کے ماڈلنگ پر، اور اس طرح فلکی طبیعیات میں اہم ہے۔ خصوصیت فنکشن ایک سمیٹرک مستحکم تقسیم کا خصوصیت فنکشن یہ ہے: جہاں شکل کا پیرامیٹر، یا استحکام کا انڈیکس، لوکیشن پیرامیٹر ہے، اور c پیمانے کا پیرامیٹر ہے۔ چونکہ ہولٹ مارک ڈسٹری بیوشن کی خصوصیت یہ ہے: چونکہ ہولٹ مارک ڈسٹری بیوشن ایک مستحکم ڈسٹری بیوشن ہے، اس لیے یہ ڈسٹری بیوشن کے اوسط کی نمائندگی کرتا ہے۔ چونکہ، تقسیم کے میڈین اور موڈ کی بھی نمائندگی کرتا ہے۔ اور چونکہ، ہولٹ مارک کی تقسیم کا تغیر لامحدود ہے۔ تقسیم کے تمام اعلی لمحات بھی لامحدود ہیں۔ دیگر مستحکم تقسیموں کی طرح (عام تقسیم کے علاوہ)، چونکہ تغیر لامحدود ہے اس لیے تقسیم میں پھیلاؤ پیمانے کے پیرامیٹر سے ظاہر ہوتا ہے، ج۔ تقسیم کے پھیلاؤ کو بیان کرنے کا ایک متبادل طریقہ فریکشنل لمحات کے ذریعے ہے۔ امکان کثافت فنکشن عام طور پر، مسلسل امکان کی تقسیم کا امکان کثافت فنکشن، f (x)، اس کی خصوصیت فنکشن سے اخذ کیا جا سکتا ہے: زیادہ تر مستحکم تقسیموں میں ان کے امکان کثافت افعال کے لیے ایک معروف بند شکل کا اظہار نہیں ہوتا ہے۔ صرف نارمل، کاچی اور لیوی ڈسٹری بیوشنوں کو ابتدائی افعال کے لحاظ سے بند فارم کے تاثرات معلوم ہیں۔ ہولٹ مارک کی تقسیم دو ہم آہنگی مستحکم تقسیموں میں سے ایک ہے جس میں ہائپر جیومیٹرک افعال کے لحاظ سے ایک معروف بند شکل کا اظہار ہوتا ہے۔ جب 0 کے برابر ہوتا ہے اور پیمانے کا پیمانہ 1 کے برابر ہوتا ہے، تو ہولٹ مارک کی تقسیم میں امکان کثافت فنکشن ہوتا ہے: گاما فنکشن کہاں ہے اور یہ ایک ہائپر جیومیٹرک فنکشن ہے۔ ایک میں یہ بھی ہے کہ دوسری قسم کا ایرائی فنکشن اور اس کا مشتق کہاں ہے۔ افعال کے دلائل خالص خیالی پیچیدہ اعداد ہیں، لیکن دونوں افعال کا مجموعہ حقیقی ہے۔ مثبت کے لیے، فنکشن کا تعلق فریکشنل آرڈر کے بیسیل افعال سے ہے اور اس کا مشتق فریکشنل آرڈر کے بیسیل افعال سے ہے۔ لہذا، کوئی بھی حوالہ جات مسلسل تقسیم، غیر لامحدود تغیر پاور قوانین کے ساتھ امکان کی تقسیم، مستحکم تقسیم، مقام پیمانے پر خاندانی امکان کی تقسیم لکھ سکتا ہے۔