Cyclotomic field
نمبر تھیوری میں، سائکلوٹومک فیلڈ ایک نمبر فیلڈ ہے جو اتحاد کی ایک پیچیدہ جڑ، عقلی اعداد کے فیلڈ سے مل کر حاصل ہوتا ہے۔ سائکلوٹومک فیلڈز نے جدید الجبرا اور نمبر تھیوری کی ترقی میں اہم کردار ادا کیا کیونکہ ان کا تعلق فرمیٹ کے آخری نظریہ سے ہے۔ یہ ان فیلڈز (پرائم کے لیے) کے ریاضی کی اپنی گہری تحقیقات کے عمل میں تھا-اور زیادہ واضح طور پر، ان کے انٹیجرز کے رنگوں میں منفرد فیکٹرائزیشن کی ناکامی کی وجہ سے-کہ ارنسٹ کمر نے سب سے پہلے ایک آئیڈیل نمبر کا تصور متعارف کرایا اور اپنے مشہور ہم آہنگی کو ثابت کیا۔ تعریف کے لیے، یہ اتحاد کی ایک ابتدائی جڑ ہے۔ پھر th سائکلوٹومک فیلڈ کی طرف سے پیدا کی توسیع ہے. خاصیتیں th سائکلوٹومک کثیر الجہتی ناقابل تلافی ہے، لہذا یہ اوور کا کم سے کم کثیر الجہتی ہے۔ لہذا ان کے کنجوگیٹس اتحاد کی دوسری قدیم جڑیں ہیں: کے ساتھ۔ اس لیے کی ڈگری یہ ہے کہ یولر کا ٹوٹینٹ فنکشن کہاں ہے۔ کی جڑیں کی طاقتیں ہیں، اسی طرح (یا) کا تقسیم کرنے والا میدان بھی ہے۔ لہذا یہ ایک گالوئس توسیع ہے۔ گالوئس گروپ قدرتی طور پر ضرب گروپ کے لیے آئسومورفک ہے، جو الٹ بقیہ ماڈیولو پر مشتمل ہوتا ہے، جو اور کے ساتھ بقیہ ہوتے ہیں۔ آئسومورفزم ہر ایک کو بھیجتا ہے، جہاں ایک عدد اس طرح ہے۔ انٹیجرز کی انگوٹی ہے۔ کیونکہ، ایکسٹینشن کا ڈسکریمیننٹ خاص طور پر، تقسیم نہ کرنے والے ہر پرائم کے اوپر غیر رمفائیڈ ہوتا ہے۔ اگر ایک پرائم کی طاقت ہے، تو اسے مکمل طور پر اوپر بیان کیا جاتا ہے۔ اگر ایک پرائم تقسیم نہیں کر رہا ہے، تو فروبینیوس عنصر ان کے بقیہ سے مطابقت رکھتا ہے۔ اتحاد کی جڑوں کے گروپ میں ترتیب ہوتی ہے یا، اس کے مطابق کہ آیا یکساں ہے یا عجیب۔ یونٹ گروپ ڈیرچلیٹ یونٹ تھیوریم کے ذریعہ، کسی کے لیے، رینک کا ایک حتمی طور پر تیار کردہ ابیلین گروپ ہے۔ خاص طور پر، صرف} کے لیے محدود ہے۔ ٹورسن ذیلی گروہ اتحاد کی جڑوں کا گروپ ہے، جو پچھلے آئٹم میں بیان کیا گیا تھا۔ سائکلوٹومک اکائیاں ایک واضح محدود انڈیکس ذیلی گروپ تشکیل دیتی ہیں۔ کرونکر-ویبر تھیوریم میں کہا گیا ہے کہ ان کی ہر محدود ابیلین توسیع کچھ کے لیے موجود ہے۔ مساوی طور پر، تمام سائکلوٹومک فیلڈز کا اتحاد کی زیادہ سے زیادہ ابیلین توسیع ہے۔ باقاعدہ کثیر الاضلاعات کے ساتھ تعلق گاوس نے کمپاس اور سیدھے کنارے کے ساتھ باقاعدہ-گون کی تعمیر کے مسئلے کے سلسلے میں سائکلوٹومک فیلڈز کے نظریہ میں ابتدائی قدم رکھے۔ اس کا حیرت انگیز نتیجہ جو اس کے پیشروؤں سے بچ گیا تھا وہ یہ تھا کہ ایک باقاعدہ 17 گن اس طرح تعمیر کیا جا سکتا تھا۔ زیادہ عام طور پر، کسی بھی عدد کے لیے، درج ذیل مساوی ہوتے ہیں: ایک باقاعدہ-گون تعمیری ہوتا ہے ؛ فیلڈز کا ایک سلسلہ ہوتا ہے، جس سے شروع ہوتا ہے اور اس کے ساتھ ختم ہوتا ہے، اس طرح کہ ہر ایک پچھلے فیلڈ کی کواڈریٹک ایکسٹینشن ہے ؛ 2 کی طاقت ہے ؛ کچھ انٹیجرز اور فرمیٹ پرائمز کے لیے۔ (ایک فرمیٹ پرائم ایک عجیب پرائم ہے جس کی طاقت 2 ہے۔ معروف فرمیٹ پرائمز 3، 5، 17، 257، 65537 ہیں، اور امکان ہے کہ کوئی اور نہیں ہیں۔) چھوٹی مثالیں اور: مساوات اور وہ دکھائیں، جو کی ایک مربع توسیع ہے۔ اسی کے مطابق، ایک باقاعدہ 3-گون اور ایک باقاعدہ 6-گون قابل تعمیر ہیں۔ : اسی طرح، تو، اور ایک باقاعدہ 4-گون قابل تعمیر ہے۔ : فیلڈ کی کواڈریٹک ایکسٹینشن نہیں ہے، لیکن یہ کواڈریٹک ایکسٹینشن کی کواڈریٹک ایکسٹینشن ہے، لہذا ایک باقاعدہ 5-گون قابل تعمیر ہے۔ فرمیٹ کے آخری نظریہ کے ساتھ تعلق فرمیٹ کے آخری نظریہ کو ثابت کرنے کا ایک فطری نقطہ نظر بائنومیل کو عنصر بنانا ہے، جہاں ایک عجیب پرائم ہے، جو فرمیٹ کی مساوات کے ایک طرف اس طرح ظاہر ہوتا ہے: یہاں اور عام عدد ہیں، جبکہ عوامل سائکلوٹومک فیلڈ میں الجبرائی عدد ہیں۔ اگر سائکلوٹومک انٹیجرز میں انوکھی فیکٹرائزیشن برقرار رہتی ہے، تو اسے فرمیٹ کی مساوات کے غیر معمولی حل کے وجود کو مسترد کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ فرمیٹ کے آخری نظریہ سے نمٹنے کی کئی کوششیں ان خطوط پر آگے بڑھیں، اور ان اصطلاحات میں فرمیٹ کا ثبوت اور اویلر کا ثبوت دونوں کو دوبارہ ترتیب دیا جا سکتا ہے۔ جس کی مکمل فہرست میں منفرد فیکٹرائزیشن 1 سے 22، 24، 25، 26، 27، 28، 30، 32، 33، 34، 35، 36، 38، 40، 42، 44، 45، 48، 50، 54، 60، 66، 70، 84، 90 ہے۔ کمر نے منفرد فیکٹرائزیشن کی ناکامی سے نمٹنے کا ایک طریقہ تلاش کیا۔ انہوں نے سائکلوٹومک انٹیجرز میں پرائم نمبروں کے لیے ایک متبادل متعارف کرایا، کلاس نمبر کے ذریعے منفرد فیکٹرائزیشن کی ناکامی کی پیمائش کی اور ثابت کیا کہ اگر کسی پرائم سے تقسیم نہیں ہوتا ہے (جیسے کہ باقاعدہ پرائمز کہا جاتا ہے) تو فرمیٹ کا تھیوریم ایکسپونینٹ کے لیے درست ہے۔ مزید برآں، اس نے اس بات کا تعین کرنے کے لیے ایک معیار دیا کہ کون سے پرائم باقاعدہ ہیں، اور 100 سے کم تمام پرائم ایکسپونینٹس کے لیے فرمیٹس تھیوریم قائم کیا، سوائے بے قاعدہ پرائمز 37، 59، اور 67 کے۔ سائکلوٹومک فیلڈز کی کلاس نمبروں کے لیے ہم آہنگی پر کمر کے کام کو بیسویں صدی میں ایواساوا تھیوری میں اور کوبوٹا اور لیوپولٹ نے اپنے نظریہ p-adic زیٹا افعال میں عام کیا تھا۔ سائکلوٹومک فیلڈز کے کلاس نمبروں کی فہرست، یا-پارٹ کے لیے (پرائم n کے لیے) جے ڈبلیو ایس میں کرونیکر-ویبر تھیوریم سائکلوٹومک کثیر حوالہ جات ذرائع برائن برچ، "سائکلوٹومک فیلڈز اور کمر ایکسٹینشنز" بھی دیکھیں۔ کیسلز اور اے فروہلچ (ای ڈی ڈی)، الجبرائی نمبر تھیوری، اکیڈمک پریس، 1973۔ Chap.III، پی پی۔ 45-93۔ ڈینیل اے مارکس، نمبر فیلڈز، پہلا ایڈیشن، سپرنگر-ورلاگ، 1977 سرج لینگ، سائکلوٹومیک فیلڈز I اور II، مشترکہ دوسرا ایڈیشن۔ کارل روبن کے ایک ضمیمہ کے ساتھ۔ ریاضی میں گریجویٹ ٹیکسٹ، 121۔ سپرنگر-ورلاگ، نیویارک، 1990۔ مزید پڑھنا آن دی رنگ آف انٹیجرز آف ریئل سائکلوٹومک فیلڈز۔ کوجی یاماگاتا اور مساکازو یاماگیشی: پروک، جاپان اکیڈمی، 92۔ Ser a (2016) الجبرائی عدد نظریہ