Wallis' integrals
ریاضی میں، اور زیادہ واضح طور پر تجزیہ میں، والس انٹیگرلز جان والس کے متعارف کردہ انٹیگرلز کا ایک خاندان تشکیل دیتے ہیں۔ تعریف، بنیادی خصوصیات والس انٹیگرلز ترتیب کی اصطلاحات ہیں جن کی وضاحت یا مساوی طور پر کی گئی ہے، اس ترتیب کی پہلی چند اصطلاحات یہ ہیں: ترتیب کم ہو رہی ہے اور اس میں مثبت اصطلاحات ہیں۔ درحقیقت، سب کے لیے کیونکہ یہ ایک غیر منفی مسلسل فنکشن کا ایک لازمی جزو ہے جو یکساں طور پر صفر نہیں ہے ؛ ایک بار پھر کیونکہ آخری لازمی غیر منفی مسلسل فنکشن کا ہے۔ چونکہ ترتیب کم ہو رہی ہے اور 0 سے نیچے محدود ہے، اس لیے یہ غیر منفی حد میں بدل جاتی ہے۔ درحقیقت، حد صفر ہے (نیچے دیکھیں)۔ تکرار کا تعلق حصوں کے ذریعے انضمام کے ذریعے، تخفیف کا فارمولا حاصل کیا جا سکتا ہے۔ شناخت کا استعمال کرتے ہوئے، ہمارے پاس سب کے لیے ہے، دوسرے انٹیگرل کو حصوں کے لحاظ سے انٹیگریٹ کرنا، جس کے ساتھ:، جس کا اینٹی ڈیریویٹو ہے، جس کا مشتق ہمارے پاس ہے: اس نتیجے کو مساوات (1) میں تبدیل کرنے سے ملتا ہے اور اس طرح سب کے لیے یہ ایک تکراری تعلق ہے جو کے لحاظ سے دیتا ہے۔ یہ، اقدار کے ساتھ مل کر ہمیں ترتیب میں شرائط کے لیے فارمولوں کے دو سیٹ دیتا ہے، اس پر منحصر ہے کہ آیا عجیب ہے یا یکساں: والس کے انٹیگرلز والس کے انٹیگرلز کا اندازہ کرنے کے لیے ایک اور تعلق کا اندازہ یولر انٹیگرلز کا استعمال کرکے کیا جا سکتا ہے: پہلی قسم کا یولر انٹیگرل: بیٹا فنکشن: دوسری قسم کے یولر انٹیگرل کے لیے: گاما فنکشن: کے لیے۔ اگر ہم بیٹا فنکشن کے اندر درج ذیل متبادل بناتے ہیں: ہم حاصل کرتے ہیں: تو یہ ہمیں والس انٹیگرلز کا اندازہ کرنے کے لیے درج ذیل تعلق دیتا ہے: تو، عجیب، لکھنے کے لیے، ہمارے پاس ہے: جبکہ یکساں کے لیے، لکھنے اور یہ جاننے کے لیے، ہمیں ملتا ہے: مساوات اوپر کے تکرار فارمولے سے، ہم اس (دو ترتیبات کی مساوات) کا اندازہ لگا سکتے ہیں۔ درحقیقت، سب کے لیے: (چونکہ ترتیب کم ہو رہی ہے) (چونکہ) (مساوات کے لحاظ سے)۔ سینڈوچ تھیوریم کے مطابق، ہم یہ نتیجہ اخذ کرتے ہیں کہ، اور اسی وجہ سے۔ جانچ پڑتال سے، مندرجہ ذیل مساوات حاصل ہوتی ہے: (اور اس کے نتیجے میں)۔ فرض کریں کہ ہمارے پاس مندرجہ ذیل مساوات ہے (جسے سٹرلنگ کا فارمولا کہا جاتا ہے): کچھ مستقل کے لیے جس کا ہم تعین کرنا چاہتے ہیں۔ اوپر سے، ہمارے پاس ہے (مساوات (3)) فیکٹوریئلز کے لیے اوپر کے فارمولے کو بڑھانا اور استعمال کرنا، ہم حاصل کرتے ہیں (3) اور (4) سے، ہم منتقلی کے ذریعے حاصل کرتے ہیں: دینے کے لیے حل کرنا دوسرے لفظوں میں، ڈبل فیکٹوریئل تناسب کو کم کرنا اسی طرح، اوپر سے، ہمارے پاس ہے: ڈبل فیکٹوریئلز کے لیے اوپر کے فارمولے کو بڑھانا اور استعمال کرنا، ہمیں ملتا ہے: آسان بنانا، ہم حاصل کرتے ہیں: یا گوسیئن انٹیگرل کی تشخیص کرنا گوسیئن انٹیگرل کا اندازہ والس کے انٹیگرلز کے استعمال کے ذریعے کیا جا سکتا ہے۔ ہم سب سے پہلے درج ذیل عدم مساوات کو ثابت کرتے ہیں: در حقیقت، پہلی عدم مساوات (جس میں) مساوی ہے ؛ جبکہ دوسری عدم مساوات کم ہو جاتی ہے، جو بن جاتی ہے۔ یہ 2 مؤخر الذکر عدم مساوات ایکسپونینشل فنکشن کی کنویکسٹی (یا فنکشن کے تجزیے سے) کی پیروی کرتی ہیں۔ نامناسب انٹیگرلز کی بنیادی خصوصیات کو استعمال کرتے ہوئے (انٹیگرلز کا کنورجنس واضح ہے)، ہم عدم مساوات حاصل کرتے ہیں: سینڈوچ تھیوریم (AS) کے ساتھ استعمال کے لیے۔ والس کے انٹیگرلز کا استعمال کرتے ہوئے پہلے اور آخری انٹیگرلز کا آسانی سے جائزہ لیا جا سکتا ہے۔ پہلے کے لیے، (t 0 سے مختلف ہوتا ہے)۔ پھر، انٹیگرل بن جاتا ہے۔ آخری انٹیگرل کے لیے، چلو (t سے مختلف ہوتا ہے)۔ پھر یہ بن جاتا ہے۔ جیسا کہ ہم پہلے بھی دکھا چکے ہیں۔ تو، یہ اس کے بعد آتا ہے۔ تبصرہ: گاؤسی انٹیگرل کا اندازہ کرنے کے دوسرے طریقے بھی ہیں۔ ان میں سے کچھ زیادہ براہ راست ہیں۔ نوٹ کریں وہی خصوصیات والیس پروڈکٹ کی طرف لے جاتی ہیں، جو ایک لامحدود پروڈکٹ کی شکل میں ظاہر ہوتی ہیں (دیکھیں)۔ بیرونی روابط پاسکل سیبہ اور زیویئر گورڈن۔ گاما فنکشن کا تعارف۔ پوسٹ اسکرپٹ اور ایچ ٹی ایم ایل فارمیٹس میں۔ انٹیگرلز