Picard–Vessiot theory
تفریق الجبرا میں، پکارڈ-ویسیوٹ تھیوری میدان کی توسیع کے تفریق گالوئس گروپ کا استعمال کرتے ہوئے لکیری تفریق مساوات کے حل سے پیدا ہونے والی تفریق میدان کی توسیع کا مطالعہ ہے۔ ایک اہم مقصد یہ بیان کرنا ہے کہ تفریقی مساوات کو تفریقی گالوئس گروپ کی خصوصیات کے لحاظ سے کواڈریچرز کے ذریعے کب حل کیا جا سکتا ہے۔ یہ نظریہ 1883 سے 1904 تک ایمیل پکارڈ اور ارنسٹ ویسیوٹ نے شروع کیا تھا۔ اور پکارڈ ویسیوٹ تھیوری کے تفصیلی بیانات دیتے ہیں۔ تاریخ پکارڈ ویسیوٹ تھیوری کی تاریخ پر ان کے ذریعے بحث کی گئی ہے۔ پکارڈ-ویسیوٹ تھیوری 1883 اور 1898 کے درمیان پکارڈ نے اور 1892 سے 1904 تک ویسیوٹ نے تیار کی تھی (خلاصہ اور میں)۔ ان کے نظریہ کا بنیادی نتیجہ بہت موٹے طور پر کہتا ہے کہ لکیری تفریق مساوات کو کواڈریچروں کے ذریعے حل کیا جا سکتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کا تفریق گالوئس گروپ جڑا ہوا ہو اور حل کرنے کے قابل ہو۔ بدقسمتی سے یہ بتانا مشکل ہے کہ انہوں نے کیا ثابت کیا کیونکہ "کواڈریچرز کے ذریعے حل کرنے کے قابل" ہونے کے تصور کی قطعی وضاحت نہیں کی گئی ہے یا ان کے کاغذات میں مستقل طور پر استعمال نہیں کیا گیا ہے۔ ضروری تصورات کی درست تعریفیں دیں اور اس نظریہ کا ایک سخت ورژن ثابت کیا۔ پیکارڈ-ویسیوٹ تھیوری کو جزوی تفریقی شعبوں تک بڑھایا گیا (کئی آمد و رفت کے مشتقات کے ساتھ)۔ اس نے یہ فیصلہ کرنے کے لیے ایک الگورتھم بیان کیا کہ آیا سیکنڈ آرڈر کی یکساں لکیری مساوات کو کواڈریچرز کے ذریعے حل کیا جا سکتا ہے، جسے کوواسک کا الگورتھم کہا جاتا ہے۔ پیکارڈ-ویسیوٹ ایکسٹینشنز اور رنگز تفریقی شعبوں کی ایک توسیع F-K کو پیکارڈ-ویسیوٹ ایکسٹینشن کہا جاتا ہے اگر تمام مستقلات F میں ہوں اور K کو یکساں لکیری عام تفریقی کثیر الجہتی کے حلوں سے مل کر تیار کیا جا سکتا ہے۔ تفریقی فیلڈ F پر ایک پکارڈ-ویسیوٹ رنگ R، F پر ایک تفریقی رنگ ہے جو سادہ ہے (0 اور R کے علاوہ کوئی تفریقی آئیڈیل نہیں ہے) اور A اور 1/ڈیٹ (A) کے کوفشنٹس کے ذریعے k-الجبرا کے طور پر تیار کیا جاتا ہے، جہاں A، F پر ایک الٹا میٹرکس ہے جیسے کہ B =/A کے کوفشنٹس F میں ہوتے ہیں۔ (تو A تفریقی مساوات = by کے لیے ایک بنیادی میٹرکس ہے۔) لیوویلین ایکسٹینشنز تفریق فیلڈز کی ایک ایکسٹینشن F-K کو لیوویلین کہا جاتا ہے اگر تمام مستقلات F میں ہوں، اور K کو انٹیگرلز کی ایک محدود تعداد، انٹیگرلز کے ایکسپونینشل، اور الجبرائی افعال سے مل کر تیار کیا جا سکتا ہے۔ یہاں، کسی عنصر a کے انٹیگرل کو = a کے کسی بھی حل کے طور پر بیان کیا گیا ہے، اور a کے انٹیگرل کے ایکسپونینشل کو = ay کے کسی بھی حل کے طور پر بیان کیا گیا ہے۔ ایک پکارڈ-ویسیوٹ ایکسٹینشن لیوویلین ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب اس کے تفریق گالوئس گروپ کا شناختی جزو قابل حل ہو (،)۔ مزید واضح طور پر، الجبرائی افعال کے ذریعہ توسیعات محدود تفریقی گالوئس گروپوں سے مطابقت رکھتی ہیں، انٹیگرلز کے ذریعہ توسیعات تفریقی گالوئس گروپ کے ذیلی اجزاء سے مطابقت رکھتی ہیں جو 1 جہتی اور یک طاقت ہیں، اور انٹیگرلز کے ایکسپونینشیلز کے ذریعہ توسیعات تفریقی گالوئس گروپ کے ذیلی اجزاء سے مطابقت رکھتی ہیں جو 1 جہتی اور تخفیف (ٹوری) ہیں۔ ذرائع بیرونی روابط تفریقی الجبرا