Ptolemy's table of chords
کورڈز کی میز، جسے یونانی ماہر فلکیات، جیومیٹر اور جغرافیہ دان بطلیمی نے دوسری صدی عیسوی کے دوران مصر میں تخلیق کیا تھا، کتاب اول میں ایک مثلثی میز ہے، جو بطلیمی کے الماجسٹ کے باب 11 میں ہے، جو ریاضیاتی فلکیات پر ایک مقالہ ہے۔ یہ بنیادی طور پر سائن فنکشن کی اقدار کی میز کے مساوی ہے۔ یہ قدیم ترین مثلثی میز تھی جو بہت سے عملی مقاصد کے لیے کافی وسیع تھی، بشمول فلکیات کی (ہپارکس کی طرف سے کورڈز کی ایک ابتدائی میز نے صرف ان آرکس کے لیے کورڈز دیے تھے جو ان کے ضرب تھے)۔ آٹھویں اور نویں صدی سے، اسلامی ریاضی اور فلکیات میں سائن اور دیگر مثلثی افعال کا استعمال کیا گیا ہے، جس سے سائن ٹیبلز کی تیاری میں بہتری آئی ہے۔ خوارزمی اور حبش الحسیب نے بعد میں مثلثی میزوں کا ایک مجموعہ تیار کیا۔ کورڈ فنکشن اور ٹیبل دائرے کا ایک کورڈ ایک لکیر کا حصہ ہے جس کے اختتامی نکات دائرے پر ہوتے ہیں۔ بطلیموس نے ایک دائرہ استعمال کیا جس کا قطر 120 حصوں پر مشتمل ہے۔ اس نے ایک تانے بانے کی لمبائی کو ٹیبل کیا جس کے اختتامی نکات کو n ڈگری کے آرک سے الگ کیا جاتا ہے، n کے لیے 180 کے اضافے سے۔ جدید اشارے میں، θ ڈگری کے آرک سے مطابقت رکھنے والے کورڈ کی لمبائی ہوتی ہے۔ جیسا کہ θ 0 سے 180 تک جاتا ہے، θ° آرک کا کورڈ 0 سے 120 تک جاتا ہے۔ چھوٹے آرکس کے لیے، کورڈ آرک اینگل کے لیے ڈگریوں میں 3 ہوتا ہے، یا زیادہ واضح طور پر، تناسب کو θ کو کافی چھوٹا بنا کر ≈ کے جتنا مطلوبہ ہو اتنا قریب بنایا جا سکتا ہے۔ اس طرح، کے آرک کے لیے، کورڈ کی لمبائی ڈگریوں میں آرک اینگل سے قدرے زیادہ ہوتی ہے۔ جیسے جیسے آرک بڑھتا ہے، کورڈ اور آرک کا تناسب کم ہوتا جاتا ہے۔ جب آرک پہنچتا ہے، تو کورڈ کی لمبائی بالکل آرک میں ڈگریوں کی تعداد کے برابر ہوتی ہے، یعنی۔ 60° = 60۔ 60° سے زیادہ کے آرکس کے لیے، کورڈ آرک سے کم ہوتا ہے، یہاں تک کہ 180° کے آرک تک پہنچ جاتا ہے، جب کورڈ صرف 120 ہوتا ہے۔ تانے بانے کی لمبائی کے فریکشنل حصوں کو سیکساجسیمل (بیس 60) ہندسوں میں ظاہر کیا گیا تھا۔ مثال کے طور پر، جہاں 112° آرک کے ذریعے کم کیے گئے تانے بانے کی لمبائی 99.29.5 بتائی جاتی ہے، اس کی لمبائی قریب ترین تک گول ہوتی ہے۔ آرک اور کورڈ کے کالموں کے بعد، ایک تیسرے کالم کو "ساٹھویں" کا نام دیا جاتا ہے۔ θ° کے آرک کے لیے، "ساٹھویں" کالم میں اندراج ہے یہ ایک یونٹ کے ساٹھویں حصے کی اوسط تعداد ہے جسے ہر بار جب زاویہ آرک کے ایک منٹ سے بڑھتا ہے، θ° کے اندراج اور (θ +) ° کے درمیان کورڈ (θ°) میں شامل کیا جانا چاہیے۔ اس طرح، یہ لکیری انٹرپولیشن کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ گلوواٹزکی اور گوٹشے نے دکھایا کہ ٹولیمی نے "ساٹھویں" کالم میں پائی جانے والی درستگی کی ڈگری حاصل کرنے کے لیے پانچ جنسی جگہوں پر کورڈز کا حساب ضرور لگایا ہوگا۔ کتاب اول آف دی الماجسٹ کا باب 10، جو کہ ٹالیمی کے کمپیوٹیڈ کورڈز کے لیے استعمال ہونے والے ہندسی نظریات کو پیش کرتا ہے۔ ٹولیمی نے یوکلڈ کے عناصر کی کتاب XIII کی تجویز 10 پر مبنی ہندسی استدلال کا استعمال 72° اور 36° کے کورڈز کو تلاش کرنے کے لیے کیا۔ اس تجویز میں کہا گیا ہے کہ اگر ایک مساوی پنٹاگون کو دائرے میں کندہ کیا جاتا ہے، تو پنٹاگون کی طرف مربع کا رقبہ مسدس کے اطراف کے مربعوں کے رقبے اور اسی دائرے میں کندہ ڈیکگن کے مجموعے کے برابر ہوتا ہے۔ انہوں نے نصف آرک کی راگ، دو آرکس کے مجموعے کی راگ، اور دو آرکس کے فرق کی راگ کے لیے فارمولے حاصل کرنے کے لیے ایک دائرے میں کندہ شدہ کواڈریلیٹرلز پر بطلیموس تھیوریم کا استعمال کیا۔ تھیوریم میں کہا گیا ہے کہ دائرے میں کندہ شدہ چوطرفہ کے لیے، ترازو کی لمبائی کا پروڈکٹ مخالف اطراف کی لمبائی کے دو جوڑوں کے پروڈکٹ کے مجموعے کے برابر ہوتا ہے۔ مثلثی شناختوں کی مشتقات ایک چکور چوطرفہ پر انحصار کرتی ہیں جس میں ایک طرف دائرے کا قطر ہوتا ہے۔ 1° اور ° کے آرکس کی راگوں کو تلاش کرنے کے لیے اس نے ارسطو کی عدم مساوات پر مبنی تخمینے استعمال کیے۔ عدم مساوات بیان کرتی ہے کہ آرکس α اور β کے لیے، اگر 0 <β <α <90°، تو بطلیموس نے دکھایا کہ 1° اور ° کے آرکس کے لیے، تخمینے صحیح طریقے سے انٹیجر حصے کے بعد پہلے دو سیکسیجیمل مقامات دیتے ہیں۔ عددی نظام اور غیر ترجمہ شدہ ٹیبل کی ظاہری شکل دائرے کے آرکس کی لمبائی، ڈگریوں میں، اور کورڈ کی لمبائی کے انٹیجر حصوں کو بیس 10 عددی نظام میں ظاہر کیا گیا تھا جس میں یونانی حروف تہجی کے 21 حروف درج ذیل ٹیبل میں دیئے گئے معنی کے ساتھ استعمال کیے گئے تھے، اور ایک علامت، "άν"، جس کا مطلب ہے اور ایک بلند دائرہ "′" جو ایک خالی جگہ کو بھرتا ہے (مؤثر طریقے سے صفر کی نمائندگی کرتا ہے)۔ تین حروف، جن پر نیچے دی گئی میز میں "آثار قدیمہ" کا لیبل لگا ہوا ہے، یونانی زبان میں الماجیسٹ لکھنے سے پہلے کچھ صدیوں سے استعمال میں نہیں تھے، لیکن اب بھی اعداد اور موسیقی کے سروں کے طور پر استعمال میں تھے۔ اس طرح، مثال کے طور پر، ° کے ایک آرک کو ρμγ anth′ کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے۔ (چونکہ ٹیبل صرف 180° تک پہنچتا ہے، 200 اور اس سے اوپر کے یونانی اعداد استعمال نہیں کیے جاتے ہیں۔) کورڈ کی لمبائی کے فریکشنل حصوں کو بہت درستگی کی ضرورت ہوتی ہے، اور انہیں ٹیبل میں دو کالموں میں دیا گیا تھا: پہلا کالم ایک انٹیجر ملٹیپل دیتا ہے، رینج 0-59 میں، دوسرا ایک انٹیجر ملٹیپل =، رینج 0-59 میں بھی۔ اس طرح ہیبرگ کے الماجسٹ کے ایڈیشن میں صفحات 48-63 پر کورڈز کی میز کے ساتھ، ٹیبل کا آغاز، آرکس سے مطابقت رکھتا ہے، اس طرح لگتا ہے: بعد میں ٹیبل میں، کوئی بھی آرک کے انٹیجر حصوں اور کورڈ کی لمبائی کو ظاہر کرنے والے اعداد کی بیس-10 نوعیت کو دیکھ سکتا ہے۔ اس طرح 85° کے آرک کو πε (80 کے لیے π اور 5 کے لیے ε) لکھا جاتا ہے اور اسے 60 + 25 میں نہیں توڑا جاتا ہے۔ متعلقہ تانے بانے کی لمبائی 81 کے علاوہ ایک فریکشنل حصہ ہے۔ عدد کا حصہ πα سے شروع ہوتا ہے، اسی طرح 60 + 21 میں نہیں توڑا جاتا ہے۔ لیکن فریکشنل حصہ، +، کالم میں 4 کے لیے δ کے طور پر لکھا جاتا ہے، اس کے بعد کالم میں 15 کے لیے ιε لکھا جاتا ہے۔ میز پر آٹھ صفحات میں سے ہر ایک پر کل 360 لائنوں کے لیے 45 لائنیں ہیں۔ آریہ بھٹا کی سائن ٹیبل ایکسسینٹ فنڈامینٹم ایسٹرونومی، ایک ایسی کتاب جو سینوں کے عین حساب کے لیے ایک الگورتھم ترتیب دیتی ہے، 1500 کی دہائی کے آخر میں یونانی ریاضی مادھوا کی سائن ٹیبل ٹولیمی اسکیل آف کورڈز میں شائع ہوئی۔ ورسین حوالہ جات اولاف پیڈرسن (1974) اے سروے آف دی الماجسٹ، اوڈینسی یونیورسٹی پریس بیرونی روابط جے ایل ہیبرگ الماجسٹ، صفحات پر کورڈز کی ٹیبل 48-63۔ گلین ایلرٹ ٹولیمی کی ٹیبل آف کورڈز: ٹریگونومیٹری ان دی سیکنڈ سنچری الماجسٹے یونانی اور فرانسیسی میں، انٹرنیٹ آرکائیو پر۔ تریگونومیٹری تریگونومیٹری فلکیات کی تاریخ ابتدائی خصوصی افعال ٹولیمی ریاضیاتی میزیں