Eigenform
ریاضی میں، ایک آئجن فارم (جس کا مطلب ماڈیولر گروپ SL (2، Z) کے ساتھ بیک وقت ہیک آئجن فارم ہے) ایک ماڈیولر شکل ہے جو تمام ہیک آپریٹرز Tm، m = 1، 2، 3، کے لیے ایک آئجن ویکٹر ہے۔ آئجن فارم نمبر تھیوری کے دائرے میں آتے ہیں، لیکن ریاضی اور سائنس کے دیگر شعبوں جیسے تجزیہ، امتزاج اور طبیعیات میں پائے جا سکتے ہیں۔ آئجین فارم کی ایک عام مثال، اور واحد غیر کسپائڈل آئجین فارم، آئزنسٹین سیریز ہیں۔ ایک اور مثال δ فنکشن ہے۔ نارملائزیشن ایک آئجن فارم (یا عام طور پر ماڈیولر فارم کے لیے) کے لیے دو مختلف نارملائزیشنز ہیں۔ الجبرائی نارملائزیشن ایک آئجن فارم کو جب اسکیل کیا جاتا ہے تو اسے نارمل کیا جاتا ہے تاکہ اس کی فورئیر سیریز میں q-گتانک ایک ہو: جہاں q = e2πiz۔ چونکہ فنکشن f بھی ہر ہیک آپریٹر Ti کے تحت ایک آئجین ویوکٹر ہے، اس کی ایک متعلقہ آئجین ویلیو ہے۔ مزید خاص طور پر آئی، آئی ≤ 1 ہیک آپریٹر ٹی کے مطابق ایف کی آئجن ویلیو ثابت ہوتا ہے۔ اس صورت میں جب f ایک کاسپ فارم نہیں ہے، تو آئجن ویلیوز کو واضح طور پر دیا جا سکتا ہے۔ تجزیاتی نارملائزیشن ایک آئجن فارم جو کسپیڈل ہے اسے اس کے اندرونی پروڈکٹ کے حوالے سے نارمل کیا جا سکتا ہے: وجود آئجن فارموں کا وجود ایک غیر معمولی نتیجہ ہے، لیکن یہ براہ راست اس حقیقت سے آتا ہے کہ ہیک الجبرا تبادلہ ہے۔ اعلی درجے اس صورت میں کہ ماڈیولر گروپ مکمل SL (2، Z) نہیں ہے، ہر n bul Z کے لیے کوئی ہیک آپریٹر نہیں ہے، اور اس طرح آئجن فارم کی تعریف اسی کے مطابق تبدیل کی جاتی ہے: ایک آئجن فارم ایک ماڈیولر شکل ہے جو خلا پر کام کرنے والے تمام ہیک آپریٹرز کے لیے بیک وقت آئجن ویکٹر ہے۔ سائبرنیٹکس میں سائبرنیٹکس میں، آئجن فارم کے تصور کو اضطراری نظام کی مثال کے طور پر سمجھا جاتا ہے۔ یہ ہینز وان فوسٹر کے کام میں ایک اہم کردار ادا کرتا ہے، اور "دوسرے درجے کے سائبرنیٹکس سے غیر متزلزل طور پر جڑا ہوا ہے"۔ حوالہ جات ماڈیولر شکلیں سائبرنیٹکس