Kardar–Parisi–Zhang equation
ریاضی میں، کاردار-پریسی-ژانگ (کے پی زیڈ) مساوات ایک غیر لکیری جزوی تفریق مساوات ہے، جسے مہران کاردار، جیورجیو پیرس اور یی-چینگ ژانگ نے 1986 میں متعارف کرایا تھا۔ یہ مقامی کوآرڈینیٹ اور ٹائم کوآرڈینیٹ کے ساتھ اونچائی کے میدان کی عارضی تبدیلی کو بیان کرتا ہے: یہاں، اوسط اور دوسرے لمحے کے ساتھ سفید گوسی شور ہے، اور ماڈل کے پیرامیٹرز ہیں، اور طول و عرض ہے۔ ایک مقامی جہت میں، کے پی زیڈ مساوات متبادل کے ذریعے فیلڈ کے ساتھ برگرز کی مساوات کے سٹوچسٹک ورژن سے مطابقت رکھتی ہے۔ ری نارملائزیشن گروپ کے ذریعے، کے پی زیڈ مساوات کو سطح کی نشوونما کے بہت سے ماڈلز کا فیلڈ تھیوری سمجھا جاتا ہے، جیسے ایڈن ماڈل، بیلسٹک ڈیپوزیشن، اور ٹھوس عمل (ایس او ایس) ماڈل پر کمزور غیر متناسب واحد قدم ٹھوس۔ ایس او ایس ماڈل کے معاملے میں برٹینی اور گیاکومین نے ایک سخت ثبوت دیا ہے۔ کے پی زیڈ عالمگیریت کلاس بہت سے تعامل کرنے والے ذرہ نظام، جیسے کہ مکمل طور پر غیر متناسب سادہ اخراج کا عمل، کے پی زیڈ عالمگیریت کلاس میں ہے۔ اس کلاس کی خصوصیت ایک مقامی جہت (1 + 1 طول و عرض) میں درج ذیل اہم متغیرات ہیں: کھردری متغیر، نمو متغیر، اور متحرک متغیر۔ یہ جانچنے کے لیے کہ آیا گروتھ ماڈل کے پی زیڈ کلاس کے اندر ہے، کوئی سطح کی چوڑائی کا حساب لگا سکتا ہے: اس وقت اوسط سطح کی اونچائی کہاں ہے اور نظام کا سائز کہاں ہے۔ کے پی زیڈ کلاس کے ماڈلز کے لیے، سطح کی اہم خصوصیات کو اسکیلنگ فنکشن کو مطمئن کرنے کے ساتھ کھردری کے فیملی-ویسک اسکیلنگ ریلیشن کی طرف سے نمایاں کیا جا سکتا ہے۔ 2014 میں، ہیئرر اور کوسٹل نے دکھایا کہ زیادہ عام طور پر، درج ذیل کے پی زیڈ جیسی مساوات کے پی زیڈ یونیورسلٹی کلاس کے اندر ہوتی ہیں: جہاں کوئی یکساں ڈگری کثیر الجہتی ہے۔ عمل کا ایک خاندان جسے (1 + 1) کے پی زیڈ عالمگیریت کی کلاس میں عالمگیر حدود سمجھا جاتا ہے اور طویل وقت کے اتار چڑھاؤ کو کنٹرول کرتا ہے وہ ہوای عمل ہیں۔ کے پی زیڈ مساوات کو حل کرنا مساوات میں غیر لکیری اور خلائی وقت کے سفید شور کی موجودگی کی وجہ سے، کے پی زیڈ مساوات کے حل ہموار یا باقاعدہ نہیں، بلکہ 'فریکٹل' یا 'کھردری' ہونے کے لیے جانے جاتے ہیں۔ غیر لکیری اصطلاح کے بغیر بھی، مساوات سٹوچسٹک حرارت کی مساوات میں گھٹ جاتی ہے، جس کا حل خلائی متغیر میں تفریق نہیں ہے لیکن 1/2 سے کم ایکسپوینٹ کے ساتھ ہولڈر کی حالت کو مطمئن کرتا ہے۔ اس طرح، غیر لکیری اصطلاح کلاسیکی معنوں میں غیر متعین ہے۔ 2013 میں، مارٹن ہیئرر نے کول-ہاپف تبدیلی کی توسیع اور فین مین خاکے کا استعمال کرتے ہوئے تخمینے بنا کر کے پی زیڈ مساوات کو حل کرنے میں پیشرفت کی۔ 2014 میں، انہیں کھردری راستوں کے نظریہ اور باقاعدگی کے ڈھانچے کے ساتھ کے پی زیڈ مساوات پر اس کام کے لیے فیلڈز میڈل سے نوازا گیا۔ جسمانی مشتق یہ مشتق اور سے ہے۔ فرض کریں کہ ہم کسی جزوی تفریق مساوات کے ذریعے سطح کی نشوونما کو بیان کرنا چاہتے ہیں۔ آئیے پوزیشن اور وقت پر سطح کی اونچائی کی نمائندگی کریں۔ ان کی اقدار مسلسل ہیں۔ ہم توقع کرتے ہیں کہ ایک طرح کا ہموار کرنے کا طریقہ کار ہوگا۔ پھر سطح کی نشوونما کے لیے سب سے آسان مساوات کو بازی کی مساوات کے طور پر لیا جا سکتا ہے، لیکن یہ ایک تعیناتی مساوات ہے، جس کا مطلب ہے کہ سطح میں کوئی بے ترتیب اتار چڑھاؤ نہیں ہے۔ اتار چڑھاؤ کو شامل کرنے کا سب سے آسان طریقہ شور کی اصطلاح شامل کرنا ہے۔ پھر ہم اس مساوات کو استعمال کر سکتے ہیں جسے اوسط صفر اور کوویرینس کے ساتھ گاؤسی سفید شور سمجھا جاتا ہے۔ اسے ایڈورڈز-ولکنسن (ای ڈبلیو) مساوات یا اضافی شور (ایس ایچ ای) کے ساتھ اسٹاکسٹک ہیٹ مساوات کے نام سے جانا جاتا ہے۔ چونکہ یہ ایک لکیری مساوات ہے، اس لیے اسے بالکل فورئیر تجزیہ کا استعمال کر کے حل کیا جا سکتا ہے۔ لیکن چونکہ شور گوسیائی ہے اور مساوات لکیری ہے، اس مساوات کے لیے دیکھے جانے والے اتار چڑھاؤ اب بھی گوسیائی ہیں۔ اس کا مطلب ہے کہ ای ڈبلیو مساوات دلچسپی کی سطح کی ترقی کو بیان کرنے کے لیے کافی نہیں ہے، اس لیے ہمیں ترقی کے لیے ایک غیر لکیری فنکشن شامل کرنے کی ضرورت ہے۔ لہذا، وقت کے ساتھ سطح کی نشوونما میں تبدیلی کی تین شراکتیں ہیں۔ فارم کے غیر لکیری فنکشن کے طور پر پہلا ماڈل لیٹرل گروتھ ہے۔ دوسرا پھیلاؤ کی اصطلاح کے ذریعے نرمی، یا باقاعدگی ہے، اور تیسرا سفید شور کو مجبور کرنا ہے۔ لہذا، کلیدی اصطلاح، ترقی کا تعیناتی حصہ، صرف ڈھلوان کا ایک فنکشن سمجھا جاتا ہے، اور ایک سمیٹرک فنکشن سمجھا جاتا ہے۔ کاردار، پیرسی اور ژانگ (کے پی زیڈ) کا ایک بڑا مشاہدہ یہ تھا کہ جب کوئی سطح معمول کی سمت (سطح پر) بڑھتی ہے، تو ہم اونچائی کے محور پر اونچائی کی پیمائش کر رہے ہیں، جو خلائی محور سے عمودی ہے، اور اس لیے اس سادہ ہندسی اثر سے آنے والی غیر لکیری ظاہر ہونی چاہیے۔ جب سطح کی ڈھلوان چھوٹی ہوتی ہے، تو اثر شکل اختیار کر لیتا ہے، لیکن یہ بظاہر ناقابل تلافی مساوات کی طرف لے جاتا ہے۔ اس مشکل کو دور کرنے کے لیے، کوئی ایک عمومی لے سکتا ہے اور اسے ٹیلر سیریز کے طور پر بڑھا سکتا ہے، پہلی اصطلاح کو مساوات سے ٹائم شفٹ کے ذریعے ہٹا دیا جا سکتا ہے، کیونکہ اگر کے پی زیڈ مساوات کو حل کرتا ہے، تو حل کرتا ہے۔ دوسری کو کی ہم آہنگی کی وجہ سے غائب ہونا چاہیے، لیکن ویسے بھی نقاط کی مستقل رفتار کی تبدیلی سے مساوات سے ہٹا دیا جا سکتا تھا، کیونکہ اگر کے پی زیڈ مساوات کو حل کرتا ہے، تو حل کرتا ہے۔ اس طرح کواڈریٹک اصطلاح پہلی غیر معمولی شراکت ہے، اور یہ واحد رکھی گئی ہے۔ ہم کے پی زیڈ مساوات پر پہنچتے ہیں یہ بھی دیکھیں کہ فوکر-پلانک مساوات فریکٹل کوانٹم فیلڈ تھیوری ری نارملائزیشن گروپ کھردرا راستہ اسٹاکسٹک جزوی تفریق مساوات سطح کی ترقی ٹریسی-ویڈوم تقسیم عالمگیریت (متحرک نظام) ذرائع نوٹ شماریاتی میکانکس اسٹاکسٹک تفریق مساوات جزوی تفریق مساوات