Adequality
مساوات ایک ایسی تکنیک ہے جسے پیئر ڈی فرمیٹ نے اپنے مقالے میتھوڈس ایڈ ڈسکیورینڈم میکسمام ایٹ منیمام (فرانس میں تقریبا 1636 میں گردش کرنے والا ایک لاطینی مقالہ) میں تیار کیا ہے تاکہ افعال کے میکسیما اور منیما، منحنی خطوط، رقبے، کمیت کے مرکز، کم سے کم عمل، اور کیلکولس میں دیگر مسائل کا حساب لگایا جا سکے۔ آندرے ویل کے مطابق، فرمیٹ "تکنیکی اصطلاح اڈیکوالیٹاس، اڈیکوئر وغیرہ متعارف کراتا ہے، جس کے بارے میں اس کا کہنا ہے کہ اس نے ڈیوفنٹس سے ادھار لیا ہے۔ جیسا کہ ڈیوفنٹس V. 11 سے پتہ چلتا ہے، اس کا مطلب تقریبا مساوات ہے، اور درحقیقت فرمیٹ اپنی بعد کی تحریروں میں سے ایک میں اس لفظ کی وضاحت اس طرح کرتا ہے۔ (ویل 1973)۔ ڈیوفنٹس نے تقریبا مساوات کی طرف اشارہ کرنے کے لیے لفظ παρισοντης (پیرسوٹیس) وضع کیا۔ کلاڈ گیسپرڈ باچیٹ ڈی میزیریک نے ڈیوفنٹس کے یونانی لفظ کا لاطینی میں ترجمہ اڈیکوالیٹاس کے طور پر کیا۔ پال ٹینری کے فرانسیسی ترجمہ میں میکسما اور منیما پر فرمیٹ کے لاطینی مقالے میں ایڈکیشن اور ایڈگلر کے الفاظ استعمال کیے گئے ہیں۔ فرمیٹ کے طریقہ کار فرمیٹ نے افعال کی زیادہ سے زیادہ تلاش کرنے کے لیے پہلے مناسبیت کا استعمال کیا، اور پھر اسے منحنی خطوط کو منحنی خطوط تلاش کرنے کے لیے ڈھال لیا۔ کسی اصطلاح کی زیادہ سے زیادہ لمبائی تلاش کرنے کے لیے، فرمیٹ مساوی (یا زیادہ واضح طور پر کافی) ہوتا ہے اور الجبرہ کرنے کے بعد وہ ایک عنصر کو منسوخ کر سکتا ہے اور پھر اس میں شامل کسی بھی بقیہ اصطلاح کو خارج کر سکتا ہے۔ فرمیٹ کی اپنی مثال سے طریقہ کار کی وضاحت کرنے کے لیے، زیادہ سے زیادہ تلاش کرنے کے مسئلے پر غور کریں (فرمیٹ کے الفاظ میں، یہ ایک نقطہ پر لمبائی کی لکیر کو تقسیم کرنا ہے، جیسے کہ دو نتیجے والے حصوں کا پروڈکٹ زیادہ سے زیادہ ہو۔) کے ساتھ مناسب فرمیٹ۔ یعنی (پال ٹینری کی طرف سے متعارف کردہ مناسبیت کی نشاندہی کرنے کے لیے اشارے کا استعمال کرتے ہوئے): اصطلاحات کو منسوخ کرنا اور فرمیٹ سے تقسیم کرنا ان اصطلاحات کو ہٹانے پر پہنچا جن میں فرمیٹ موجود تھا مطلوبہ نتیجہ پر پہنچا کہ زیادہ سے زیادہ کب ہوا۔ فرمیٹ نے اپنے اصول کا استعمال اس اصول سے براہ راست سنیل کے اضطراب کے قوانین کا ریاضیاتی مشتق دینے کے لیے بھی کیا کہ روشنی تیز ترین راستہ اختیار کرتی ہے۔ ڈیکارٹس کی تنقید فرمیٹ کے طریقہ کار کو ان کے ہم عصروں، خاص طور پر ڈیکارٹس نے شدید تنقید کا نشانہ بنایا۔ وکٹر کاٹز کا خیال ہے کہ اس کی وجہ یہ ہے کہ ڈیکارٹس نے آزادانہ طور پر وہی نئی ریاضی دریافت کی تھی، جسے اس کا معمول کا طریقہ کہا جاتا ہے، اور ڈیکارٹس کو اس کی دریافت پر کافی فخر تھا۔ کاٹز نے یہ بھی نوٹ کیا کہ اگرچہ فرمیٹ کے طریقے کیلکولس میں مستقبل کی پیشرفت کے قریب تھے، لیکن ڈیکارٹس کے طریقوں کا ترقی پر زیادہ فوری اثر پڑا۔ علمی تنازعہ نیوٹن اور لیبنز دونوں نے فرمیٹ کے کام کو لامحدود کیلکولس کا پیش خیمہ قرار دیا۔ اس کے باوجود، فرمیٹ کی مناسبیت کے صحیح معنی کے بارے میں جدید اسکالرز کے درمیان اختلاف ہے۔ متعدد علمی مطالعات میں فرمیٹ کی مناسبیت کا تجزیہ کیا گیا۔ 1896 میں، پال ٹینری نے میکسیما اور منیما پر فرمیٹ کے لاطینی مقالے کا فرانسیسی ترجمہ شائع کیا۔ III، پی پی۔ 121-156)۔ ٹینری نے فرمیٹ کی اصطلاح کا ترجمہ "ایڈگلر" کے طور پر کیا اور فرمیٹ کی "ایڈکیشن" کو اپنایا۔ ٹینری نے ریاضیاتی فارمولوں میں مناسبیت کی علامت بھی متعارف کرائی۔ ہینرچ ولیٹنر (1929) نے لکھا: فرمیٹ نے A کی جگہ A + E لے لی۔ پھر وہ نئے اظہار کو تقریبا پرانے کے برابر (اینجینہرٹ گلیچ) مقرر کرتا ہے، دونوں اطراف کی مساوی اصطلاحات کو منسوخ کرتا ہے، اور E کی سب سے زیادہ ممکنہ طاقت سے تقسیم کرتا ہے۔ پھر وہ ان تمام اصطلاحات کو منسوخ کرتا ہے جن میں E ہوتا ہے اور وہ ایک دوسرے کے برابر رہتے ہیں۔ اس سے [مطلوبہ] ایک نتیجہ۔ یہ کہ E جتنا ممکن ہو اتنا چھوٹا ہونا چاہیے کہیں بھی نہیں کہا گیا ہے اور اس کا بہترین اظہار لفظ "اڈیکوالیٹس" سے ہوتا ہے۔ (ویئلیٹنر علامت استعمال کرتا ہے۔) میکس ملر (1934) نے لکھا: اس کے بعد کسی کو دونوں اصطلاحات رکھنی چاہئیں، جو زیادہ سے زیادہ اور کم سے کم، تقریبا برابر (نیہرونگسوئیز گلیچ) کا اظہار کرتی ہیں، جیسا کہ ڈیوفنٹس کا کہنا ہے۔ (ملر علامت استعمال کرتا ہے۔) جین اٹارڈ (1948) نے لکھا: کوئی بھی جانتا ہے کہ "ایڈگلر" کا اظہار فرمیٹ نے ڈیوفنٹس سے اپنایا ہے، جس کا ترجمہ زیلینڈر اور باچیٹ نے کیا ہے۔ یہ ایک لگ بھگ مساوات کے بارے میں ہے۔ " (اٹارڈ علامت کا استعمال کرتا ہے۔) جوزف ایہرن فرائیڈ ہوفمین (1963) نے لکھا: فرمیٹ ایک مقدار h کا انتخاب کرتا ہے، جسے کافی چھوٹا سمجھا جاتا ہے، اور f (x + h) کو تقریبا برابر (انجیفر گلیچ) سے f (x) رکھتا ہے۔ اس کی تکنیکی اصطلاح اڈیکائر ہے۔ (ہوفمین علامت استعمال کرتا ہے۔) پیر اسٹروم ہولم (1968) نے لکھا: فرمیٹ کے نقطہ نظر کی بنیاد دو تاثرات کا موازنہ تھا، جو اگرچہ ایک ہی شکل کے تھے، لیکن بالکل برابر نہیں تھے۔ اس عمل کے اس حصے کو انہوں نے "تقابلی پار اڈیکوالیٹیٹم" یا "تقابلی فی اڈیکوالیٹیٹم" کہا، اور اس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ "مساوات" کے دونوں اطراف کے درمیان بصورت دیگر سخت شناخت متغیر کی تھوڑی مقدار میں ترمیم سے تباہ ہو گئی تھی: یہ، مجھے یقین ہے، اس کے ڈیوفینٹوس کے π ἀρισον کے استعمال کی حقیقی اہمیت تھی، جس میں تغیر کی چھوٹی پن پر زور دیا گیا تھا۔ "اڈیکوالیٹاس" کا عام ترجمہ "لگ بھگ مساوات" معلوم ہوتا ہے، لیکن میں اس point.He پر فرمیٹ کی سوچ کو پیش کرنے کے لیے "فرضی مساوات" کو زیادہ ترجیح دیتا ہوں مزید نوٹ کرتا ہے کہ "M1 (طریقہ 1) میں کبھی بھی ای کے تغیر کو صفر کے برابر رکھنے کا کوئی سوال نہیں تھا۔ ای پر مشتمل اصطلاحات کو دبانے کے عمل کو ظاہر کرنے کے لیے استعمال ہونے والے الفاظ فرمیٹ 'ایلیڈو'، 'ڈیلیو'، اور 'ایکسپونگو' تھے، اور فرانسیسی میں 'آئی ایفیس' اور 'آئی ایٹ' تھے۔ ہم شاید ہی یقین کر سکتے ہیں کہ ایک سمجھدار آدمی جو اپنے معنی کا اظہار کرنا چاہتا ہے اور الفاظ کی تلاش کرنا چاہتا ہے، اس سادہ سی حقیقت کو فراہم کرنے کے ایسے تکلیف دہ طریقوں پر مسلسل حملہ کرے گا کہ اصطلاحات غائب ہو گئیں کیونکہ E صفر تھا۔ 51) کلاز جینسن (1969) نے لکھا: مزید برآں، ایڈگالیٹ کے تصور کو لاگو کرنے میں-جو کہ فرمیٹ کے ٹینجینٹ بنانے کے عمومی طریقہ کار کی بنیاد ہے، اور جس کا مطلب دو طول و عرض کا موازنہ ہے جیسے کہ وہ برابر تھے، حالانکہ وہ حقیقت میں نہیں ہیں ("تمکوم ایسینٹ ایکولیا، لائسیٹ ریورا ایکولیا نان سنٹ")-میں آج کل زیادہ عام علامت کو استعمال کروں گا۔ لاطینی اقتباس ٹینری کے 1891 کے فرمیٹ کے ایڈیشن، جلد 1، صفحہ 140 سے آتا ہے۔ مائیکل شان ماہونی (1971) نے لکھا: فرمیٹ کا میکسیما اور منیما کا طریقہ، جو واضح طور پر کسی بھی کثیر الجہتی P (x) پر لاگو ہوتا ہے، اصل میں خالصتا اختتامی الجبرائی بنیادوں پر مبنی ہے۔ اس نے، حقیقت میں، دو مساوی جڑوں کی عدم مساوات کو فرض کیا تاکہ، ویت کے نظریہ مساوات کے ذریعہ، ان جڑوں اور کثیر الجہتی کے کوفیشنٹس میں سے ایک کے درمیان تعلق کا تعین کیا جا سکے، ایک ایسا رشتہ جو مکمل طور پر عام تھا۔ یہ تعلق پھر ایک انتہائی قدر کے حل کی طرف لے گیا جب فرمیٹ نے اپنے متضاد مفروضے کو ہٹا دیا اور جڑوں کو برابر کر دیا۔ ڈیوفنٹس سے ایک اصطلاح ادھار لیتے ہوئے، فرمیٹ نے اس متضاد مساوات کو 'مناسبیت' قرار دیا۔ (ماہونی علامت استعمال کرتا ہے۔) صفحہ 164 پر، فوٹ نوٹ 46 کے آخر میں، ماہونی نوٹ کرتے ہیں کہ مناسبیت کے معنی میں سے ایک محدود صورت میں تقریبا مساوات یا مساوات ہے۔ چارلس ہنری ایڈورڈز، جونیئر (1979) نے لکھا: مثال کے طور پر، اس بات کا تعین کرنے کے لیے کہ لمبائی کے ایک حصے کو دو حصوں میں کیسے تقسیم کیا جائے اور جس کا پروڈکٹ زیادہ سے زیادہ ہو، یعنی اس دائرے کے ساتھ آئتاکار تلاش کرنا جس کا رقبہ زیادہ سے زیادہ ہو، وہ [فرمیٹ] مندرجہ ذیل طریقے سے آگے بڑھتا ہے۔ پہلے اس نے نامعلوم x کے لیے (اس نے x، e کے بجائے A، E کا استعمال کیا) تبدیل کیا، اور پھر نتیجے میں آنے والے اظہار کا اصل کے ساتھ موازنہ کرنے کے لیے درج ذیل "فرضی مساوات" کو لکھا: شرائط کو منسوخ کرنے کے بعد، اس نے حاصل کرنے کے لیے e سے تقسیم کیا۔ آخر میں اس نے e پر مشتمل بقیہ اصطلاح کو مسترد کر دیا، فرضی مساوات کو حقیقی مساوات میں تبدیل کر دیا جو x کی قیمت دیتا ہے جو زیادہ سے زیادہ بناتا ہے۔ بدقسمتی سے، فرمیٹ نے کبھی بھی اس طریقہ کار کی منطقی بنیاد کو کافی وضاحت یا تکمیل کے ساتھ بیان نہیں کیا تاکہ تاریخی اسکالرز کے درمیان اس بات پر اختلاف رائے کو روکا جا سکے کہ اس کا کیا مطلب یا ارادہ تھا۔ " کرسٹی اینڈرسن (1980) نے لکھا: زیادہ سے زیادہ یا کم سے کم کے دو تاثرات کو "مناسب" بنایا گیا ہے، جس کا مطلب ہے جتنا ممکن ہو اتنا برابر۔ (اینڈرسن علامت استعمال کرتا ہے۔) ہربرٹ بریگر (1994) نے لکھا: میں اپنا مفروضہ پیش کرنا چاہتا ہوں: فرمیٹ نے "اڈیکوئر" لفظ کو "برابر رکھنا" کے معنی میں استعمال کیا۔ ریاضیاتی سیاق و سباق میں، "ایکویئر" اور "اڈیکوئر" کے درمیان واحد فرق یہ معلوم ہوتا ہے کہ مؤخر الذکر اس حقیقت پر زیادہ زور دیتا ہے کہ مساوات حاصل کی جاتی ہے۔ (صفحہ 197 ایف۔) جان اسٹیل ویل (اسٹیل ویل 2006 صفحہ 91) نے لکھا: فرمیٹ نے 1630 کی دہائی میں مناسبیت کا خیال متعارف کرایا لیکن وہ اپنے وقت سے آگے تھے۔ اس کے جانشین عام مساوات کی سہولت کو ترک کرنے کے لیے تیار نہیں تھے، انہوں نے مساوات کو درست طریقے سے استعمال کرنے کے بجائے نرمی سے استعمال کرنے کو ترجیح دی۔ مناسبیت کا خیال صرف بیسویں صدی میں، نام نہاد غیر معیاری تجزیے میں بحال ہوا۔ اینریکو گیوستی (2009) نے مارین مرسین کو لکھے گئے فرمیٹ کے خط کا حوالہ دیا ہے جہاں فرمیٹ نے لکھا ہے: کیٹ کمپاریسن پار ایڈگالیٹ پروڈکٹ ڈیوکس ٹرمس انگاکس کوئی اینفن پروڈکشن ایل ایگالیٹ (سیلون ما میتھوڈ) کوئی نوس ڈونی لا سولیوشن ڈی لا سوال "(" مناسبیت کے لحاظ سے یہ موازنہ دو غیر مساوی اصطلاحات پیدا کرتا ہے جو آخر کار مساوات (میرے طریقہ کار پر عمل کرتے ہوئے) پیدا کرتا ہے جو ہمیں مسئلے کا حل فراہم کرتا ہے ")۔ جیوستی نے ایک فوٹ نوٹ میں نوٹ کیا کہ ایسا لگتا ہے کہ یہ خط بریگر کے نوٹس سے بچ گیا ہے۔ کلاؤس برنر (2011) اس بات پر زور دیتے ہیں کہ فرمیٹ آج کل کے معمول کے مساوی نشان کو تبدیل کرنے کے لیے دو مختلف لاطینی الفاظ (ایکویبٹور اور اڈیکوابٹور) استعمال کرتا ہے، ایکویبٹور جب مساوات دو مستقلات کے درمیان ایک درست شناخت سے متعلق ہو، ایک عالمگیر طور پر درست (ثابت شدہ) فارمولا، یا ایک مشروط مساوات، اڈیکوابٹور، تاہم، جب مساوات دو متغیرات کے درمیان تعلق کو بیان کرتی ہے، جو آزاد نہیں ہیں (اور مساوات کوئی درست فارمولا نہیں ہے)۔ صفحہ 36 پر، بارنر لکھتے ہیں: "فرمیٹ نے ٹینجینٹ کے طریقہ کار کے لیے اپنی تمام مثالوں کے لیے اپنے متضاد طریقہ کار کو مسلسل کیوں دہرایا؟ اس نے کبھی اس سیکینٹ کا ذکر کیوں نہیں کیا، جس کے ساتھ وہ حقیقت میں کام کرتا تھا؟ مجھے نہیں معلوم۔ " کاٹز، شیپس، شنائڈر (2013) کا استدلال ہے کہ سائکلائڈ جیسے ماورائی منحنی خطوط پر تکنیک کا فرمیٹ کا اطلاق ظاہر کرتا ہے کہ فرمیٹ کی مناسبیت کی تکنیک خالص الجبرائی الگورتھم سے بالاتر ہے، اور یہ کہ، بریگر کی تشریح کے برعکس، تکنیکی اصطلاحات پیرسوٹس جیسا کہ ڈیوفینٹس اور اڈیکوالیٹس کے ذریعہ استعمال کیا جاتا ہے جیسا کہ فرمیٹ کے ذریعہ استعمال کیا جاتا ہے دونوں کا مطلب "تخمینہ مساوات" ہے۔ وہ جدید ریاضی میں فرمیٹ کی مناسبیت کی تکنیک کو معیاری حصہ فنکشن کے طور پر تیار کرتے ہیں جو ایک محدود ہائپر ریئل نمبر کو اس کے قریب ترین حقیقی نمبر پر راؤنڈ کرتا ہے۔ فرمیٹ کا اصول ماورائے یکسانیت حوالہ جات جیوسٹی، ای۔ (2009) "لیس میتھوڈس ڈیس میکسما ایٹ منیما ڈی فرمیٹ"، این بھی دیکھیں۔ فیس۔ سائنس. ٹولوز ریاضی۔ (6) 18، فاشکل اسپیشل، 59-85۔ اسٹیل ویل، جے۔ (2006) ناممکن کے لیے تڑپنا۔ ریاضی کی حیرت انگیز سچائیاں، صفحہ 91، اے کے پیٹرز، لمیٹڈ، ویلسلی، ایم اے۔ ویل، اے۔، کتاب کا جائزہ: پیئر ڈی فرمیٹ کا ریاضیاتی کیریئر۔ بیل۔ آمیر۔ ریاضی۔ سوک۔ 79 (1973)، نمبر۔ 6، 1138-1149۔ ریاضیاتی اصطلاحات حساب کی تاریخ