Wilks' theorem
اعداد و شمار میں ولکس کا نظریہ لاگ-لائکلی ہڈ تناسب کے اعداد و شمار کی ایک غیر علامتی تقسیم پیش کرتا ہے، جسے زیادہ سے زیادہ-لائکلی ہڈ کے تخمینوں کے لیے اعتماد کے وقفے پیدا کرنے کے لیے یا امکان-تناسب ٹیسٹ انجام دینے کے لیے ٹیسٹ کے اعداد و شمار کے طور پر استعمال کیا جا سکتا ہے۔ شماریاتی ٹیسٹ (جیسے مفروضے کی جانچ) کے لیے عام طور پر ٹیسٹ کے اعداد و شمار کی امکانات کی تقسیم کے علم کی ضرورت ہوتی ہے۔ یہ اکثر امکانات کے تناسب کے لیے ایک مسئلہ ہوتا ہے، جہاں امکانات کی تقسیم کا تعین کرنا بہت مشکل ہو سکتا ہے۔ سیموئل ایس ولکس کا ایک آسان نتیجہ کہتا ہے کہ جیسے جیسے نمونے کا سائز قریب آتا ہے، ٹیسٹ کے اعدادوشمار کی تقسیم غیر علامتی طور پر کالعدم مفروضے کے تحت چی مربع () کی تقسیم تک پہنچ جاتی ہے۔ یہاں، امکان کے تناسب کی نشاندہی کرتا ہے، اور تقسیم میں ڈگری آف فریڈم ہوتی ہے جو طول و عرض میں فرق کے برابر ہوتی ہے اور، جہاں مکمل پیرامیٹر کی جگہ ہے اور اس سے وابستہ پیرامیٹر کی جگہ کا ذیلی سیٹ ہے۔ اس نتیجے کا مطلب یہ ہے کہ بڑے نمونوں اور مختلف قسم کے مفروضوں کے لیے، ایک پریکٹیشنر اعداد و شمار کے امکانات کے تناسب کا حساب لگا سکتا ہے اور ایک متوقع شماریاتی ٹیسٹ کے طور پر مطلوبہ شماریاتی اہمیت سے مطابقت رکھنے والی قیمت سے موازنہ کر سکتا ہے۔ تھیوریم اب اس وقت لاگو نہیں ہوتا جب پیرامیٹر کی حقیقی قیمت پیرامیٹر اسپیس کی حد پر ہوتی ہے: ولکس تھیوریم یہ فرض کرتا ہے کہ تخمینہ شدہ پیرامیٹرز کی 'سچ' لیکن نامعلوم اقدار سپورٹڈ پیرامیٹر اسپیس کے اندرونی حصے میں ہوتی ہیں۔ عملی طور پر، اگر تخمینہ اس حد پر ہے تو مسئلہ نظر آئے گا۔ اس صورت میں، امکان کی جانچ اب بھی ایک سمجھدار جانچ کے اعداد و شمار ہے اور یہاں تک کہ کچھ غیر علامتی زیادہ سے زیادہ خصوصیات بھی رکھتی ہے، لیکن ویلکس کے ذریعہ تجویز کردہ ڈگری آف فریڈم کی تعداد کے ساتھ چی مربع شدہ تقسیم کا استعمال کرتے ہوئے اہمیت (-ویلیو) کا قابل اعتماد اندازہ نہیں لگایا جا سکتا ہے۔ بعض صورتوں میں، اعداد و شمار کی غیر علامتی غیر مفروضے کی تقسیم آزادی کی ڈگریوں کی مختلف تعداد کے ساتھ چی مربع تقسیم کا مرکب ہے۔ دو مسابقتی ماڈلز میں سے ہر ایک کا استعمال کریں، نیل ماڈل اور متبادل ماڈل، ڈیٹا اور ریکارڈ شدہ لاگ لائکلی ہڈ پر الگ سے فٹ ہوتے ہیں۔ ٹیسٹ کے اعدادوشمار (اکثر اس سے ظاہر ہوتے ہیں) امکانات کے تناسب کے لاگ سے دوگنا ہے، یعنی یہ لاگ لائکلیہوڈز میں دوگنا فرق ہے: زیادہ پیرامیٹرز والا ماڈل (یہاں متبادل) ہمیشہ کم از کم فٹ ہوگا-یعنی، کم پیرامیٹرز والے ماڈل (یہاں صفر) کے مقابلے میں ایک ہی یا زیادہ لاگ لائکلیہوڈ ہوگا۔ آیا فٹ نمایاں طور پر بہتر ہے اور اس طرح اسے ترجیح دی جانی چاہیے، اس بات کا تعین اس بات سے کیا جاتا ہے کہ اس طرح کے فرق کا مشاہدہ کرنے کا کتنا امکان (-ویلیو) ہے، اگر کم پیرامیٹرز والا ماڈل درست تھا۔ جہاں صفر مفروضہ متبادل مفروضے کے ایک خاص معاملے کی نمائندگی کرتا ہے، ٹیسٹ کے اعدادوشمار کی امکانات کی تقسیم تقریبا ایک چی مربع تقسیم ہے جس میں ڈگری آف فریڈم بالترتیب متبادل اور صفر ماڈلز کے آزاد پیرامیٹرز کی تعداد کے برابر ہے۔ مثال کے طور پر: اگر نیل ماڈل میں 1 پیرامیٹر اور-8024 کا لاگ-لائکلی ہڈ ہے اور متبادل ماڈل میں 3 پیرامیٹرز اور-8012 کا لاگ-لائکلی ہڈ ہے، تو اس فرق کا امکان ڈگری آف فریڈم کے ساتھ کی-مربع شدہ قدر کا ہے، اور اس کے برابر ہے۔ چی مربع تقسیم کی پیروی کرنے کے لیے اعداد و شمار کے لیے کچھ مفروضوں کو پورا کرنا ضروری ہے، لیکن اگر ان شرائط کو پورا نہیں کیا جاتا ہے تو تجرباتی اقدار کا بھی حساب لگایا جا سکتا ہے۔ سکے ٹاسنگ کی مثالیں پیئرسن ٹیسٹ کی ایک مثال دو سکوں کا موازنہ ہے تاکہ اس بات کا تعین کیا جا سکے کہ آیا ان کے سروں پر آنے کا امکان یکساں ہے یا نہیں۔ مشاہدات کو ایک ہنگامی میز میں رکھا جا سکتا ہے جس میں سکے سے مطابقت رکھنے والی قطاریں اور سروں یا دم سے مطابقت رکھنے والے کالم ہوتے ہیں۔ ہنگامی میز کے عناصر یہ ہوں گے کہ ہر سکہ کتنی بار سر یا دم پر آیا۔ اس جدول کے مندرجات ہمارے مشاہدات ہیں۔ یہاں پیرامیٹرز،، اور کی اقدار کے ممکنہ امتزاج پر مشتمل ہے، جو اس بات کا امکان ہے کہ سکے 1 اور 2 سر یا دم پر آئیں۔ اس کے بعد کیا، اور۔ مفروضے کی جگہ امکان کی تقسیم پر معمول کی رکاوٹوں سے محدود ہے، اور۔ صفر مفروضے کی جگہ وہ ذیلی جگہ ہے جہاں۔ مکمل پیرامیٹر کی جگہ کی جہت 2 ہے (مفروضے کے تحت آزاد پیرامیٹرز کے طور پر دونوں میں سے کسی ایک کو سمجھا جا سکتا ہے)، اور کی جہت 1 ہے (ان میں سے صرف ایک کو صفر مفروضے کے تحت آزاد پیرامیٹر سمجھا جا سکتا ہے)۔ مفروضے کے تحت بہترین تخمینوں کے لیے لکھتے ہوئے، زیادہ سے زیادہ امکانات کا تخمینہ اس کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ اسی طرح، کالعدم مفروضے کے تحت زیادہ سے زیادہ امکانات کے تخمینے دیے جاتے ہیں جن کا انحصار سکے پر نہیں ہوتا ہے۔ مفروضے اور کالعدم مفروضے کو تھوڑا سا دوبارہ لکھا جا سکتا ہے تاکہ وہ مطلوبہ تقسیم حاصل کرنے کے امکانات کے تناسب کے لوگارتھم کے لیے رکاوٹوں کو پورا کریں۔ چونکہ رکاوٹ دو جہتی کو ایک جہتی تک کم کرنے کا سبب بنتی ہے، اس لیے ٹیسٹ کے لیے غیر علامتی تقسیم، ایک ڈگری کی آزادی کے ساتھ تقسیم ہوگی۔ عمومی ہنگامی جدول کے لیے، ہم لاگ-لائکلی ہڈ تناسب کے اعداد و شمار کو بے ترتیب یا مخلوط اثرات کے ماڈلز کے لیے غیر قانونی کے طور پر لکھ سکتے ہیں۔ ولکس تھیوریم یہ فرض کرتا ہے کہ تخمینہ شدہ پیرامیٹرز کی صحیح لیکن نامعلوم اقدار پیرامیٹر اسپیس کے اندرونی حصے میں ہیں۔ یہ عام طور پر بے ترتیب یا مخلوط اثرات کے ماڈلز میں خلاف ورزی کی جاتی ہے، مثال کے طور پر، جب متغیر اجزاء میں سے ایک دوسروں کے مقابلے میں نہ ہونے کے برابر ہو۔ ایسے کچھ معاملات میں، ایک تغیر جزو مؤثر طریقے سے صفر ہو سکتا ہے، دوسروں کے مقابلے میں، یا دوسرے معاملات میں ماڈلز کو غلط طریقے سے گھونسلہ بنایا جا سکتا ہے۔ واضح ہونے کے لیے: ولکس تھیوریم پر یہ حدود کسی خاص امکانات کے تناسب کی جانچ کی طاقت کی خصوصیات کو مسترد نہیں کرتی ہیں۔ واحد مسئلہ یہ ہے کہ نتیجہ کی شماریاتی اہمیت کا اندازہ لگانے کے لیے تقسیم بعض اوقات ناقص انتخاب ہوتا ہے۔ خراب مثالوں پنہیرو اور بیٹس (2000) سے پتہ چلتا ہے کہ اس امکان کے تناسب چی مربع کے اعداد و شمار کی حقیقی تقسیم بے وقوف سے کافی حد تک مختلف ہو سکتی ہے-اکثر ڈرامائی طور پر۔ بے وقوف مفروضے اہمیت کے امکانات (-اقدار) دے سکتے ہیں جو، اوسطا، کچھ معاملات میں بہت زیادہ اور دوسروں میں بہت کم ہیں۔ عام طور پر، بے ترتیب اثرات کی جانچ کرنے کے لیے، وہ محدود زیادہ سے زیادہ امکان (آر ای ایم ایل) استعمال کرنے کی سفارش کرتے ہیں۔ فکسڈ ایفیکٹس ٹیسٹنگ کے لیے، وہ کہتے ہیں، "آر ای ایم ایل فٹز کے لیے امکانات کا تناسب ٹیسٹ ممکن نہیں ہے"، کیونکہ فکسڈ ایفیکٹس کی تفصیلات کو تبدیل کرنے سے مخلوط اثرات کے معنی بدل جاتے ہیں، اور اس لیے محدود ماڈل کو بڑے ماڈل کے اندر نہیں رکھا جاتا ہے۔ ایک مظاہرے کے طور پر، انہوں نے مصنوعی ٹیسٹوں میں ایک یا دو بے ترتیب اثرات کے تغیرات کو صفر مقرر کیا۔ ان مخصوص مثالوں میں، پابندیوں کے ساتھ مصنوعی اقدار اور کے 50-50 مرکب سے زیادہ قریب سے ملتی ہیں۔ (کے ساتھ، امکان 1 کے ساتھ 0 ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ ایک اچھا تخمینہ یہ تھا کہ) پنہیرو اور بیٹس نے بھی مختلف مقررہ اثرات کے مصنوعی ٹیسٹ کیے۔ 4 سطحوں والے عنصر کے ایک ٹیسٹ میں (ڈگری آف فریڈم = 3)، انہوں نے پایا کہ 50-50 کا مرکب اور تخروپن کے ذریعے حاصل کردہ حقیقی اقدار کے لیے ایک اچھا میچ تھا-اور بے وقوف کو استعمال کرنے میں غلطی "زیادہ خطرناک نہیں ہو سکتی"۔ تاہم، 15 سطحوں والے عنصر کے ایک اور ٹیسٹ میں، انہوں نے 14 کے مقابلے میں 4 زیادہ ڈگری آف فریڈم کے لیے ایک معقول میچ پایا جو کسی کو ولکس تھیوریم کے بے وقوف (نامناسب) اطلاق سے ملے گا، اور مصنوعی قدر بے وقوف سے کئی گنا زیادہ تھی۔ وہ یہ نتیجہ اخذ کرتے ہیں کہ فکسڈ ایفیکٹس کی جانچ کے لیے "تخروپن کا استعمال کرنا دانشمندانہ ہے۔" یہ بھی دیکھیں بیس فیکٹر ماڈل سلیکشن ایس پی-ایل آر ٹیسٹ نوٹ حوالہ جات دیگر ذرائع بیرونی روابط شماریاتی تناسب شماریاتی ٹیسٹ