Cauchy–Rassias stability
فنکشنل مساوات کے نظریہ میں اسٹینسلا اولم کا ایک کلاسیکی مسئلہ درج ذیل ہے: یہ کب درست ہے کہ ایک فنکشن جو تقریبا ایک فنکشنل مساوات E کو مطمئن کرتا ہے اسے E کے عین حل کے قریب ہونا چاہیے؟ 1941 میں ڈونلڈ ایچ ہائیرز نے بناچ خالی جگہوں کے تناظر میں اس سوال کا جزوی مثبت جواب دیا۔ یہ تحقیق کے اس شعبے میں پہلی اہم پیش رفت اور مزید مطالعات کی طرف ایک قدم تھا۔ اس کے بعد سے، اولم کے مسئلے اور ہائیرز تھیوریم کی مختلف عمومی شکلوں کے سلسلے میں بڑی تعداد میں مقالے شائع ہوئے ہیں۔ 1978 میں، تھیمسٹوکلس ایم راسیاس نے ایک لامحدود کاچی فرق پر غور کرکے ہائیرز تھیوریم کو بڑھانے میں کامیابی حاصل کی۔ وہ بنچ خالی جگہوں میں لکیری نقشہ سازی کے استحکام کو ثابت کرنے والے پہلے شخص تھے۔ 1950 میں، ٹی آوکی نے راسیاس کے نتیجے کے ایک خاص کیس کا ثبوت فراہم کیا تھا جب دیا گیا فنکشن اضافی ہوتا ہے۔ اولم کے مسئلے کے تناظر میں فعال مساوات کے استحکام کی وسیع تر پیش کش کے لیے، دلچسپی رکھنے والے قارئین کو اسپرنگر، نیویارک، 2011 کی طرف سے شائع کردہ ایس۔ ایم۔ جنگ کی حالیہ کتاب کا حوالہ دیا جاتا ہے (نیچے حوالہ جات دیکھیں)۔ ٹی۔ ایم راسیاس کے نظریہ نے متعدد ریاضی دانوں کو اپنی طرف متوجہ کیا جنہیں فعال مساوات کے استحکام کے نظریہ میں تحقیق کرنے کے لیے حوصلہ افزائی کی جانے لگی۔ ایس۔ ایم۔ اولم، ڈی۔ ایچ۔ ہائرس اور تھ کے بڑے اثر و رسوخ کے حوالے سے۔ ایم راسیاس فنکشنل مساوات کے استحکام کے مسائل کے مطالعہ پر، اس تصور کو ہائرس-عالم-راسیاس استحکام کہا جاتا ہے۔ خاص صورت میں جب اولم کا مسئلہ کاچی کی فعال مساوات f (x + y) = f (x) + f (y) کے لیے حل قبول کرتا ہے، تو کہا جاتا ہے کہ مساوات E کاچی-راسیاس استحکام کو مطمئن کرتی ہے۔ اس نام کا حوالہ آگسٹن لوئس کاچی اور تھیمسٹوکلس ایم راسیاس سے دیا جاتا ہے۔ حوالہ جات پی ایم پاردالوس، پی جی جارجیو اور ایچ ایم سریواستو (ایڈز۔ )، غیر لکیری تجزیہ۔ استحکام، تخمینہ، اور عدم مساوات۔ تھیمسٹوکلس ایم راسیاس کے اعزاز میں ان کی 60 ویں سالگرہ کے موقع پر، سپرنگر، نیویارک، 2012۔ D. H. ہائیرز، لکیری فنکشنل مساوات کے استحکام پر، پروک۔ ناٹل۔ اکاڈ۔ سائنس. یو ایس اے، 27 (1941)، 222-224۔ ٹی۔ ایم راسیاس، بناچ خالی جگہوں میں لکیری میپنگ کے استحکام پر، پروسیڈنگز آف دی امریکن میتھمیٹیکل سوسائٹی 72 (1978)، 297-300۔ [چینی زبان میں ترجمہ کیا گیا اور اس میں شائع ہوا: ترجمہ میں ریاضیاتی پیشرفت، چینی اکیڈمی آف سائنسز 4 (2009)، 382-384۔] ٹی۔ ایم۔ راسیاس، فنکشنل مساوات کے استحکام اور اولم کے ایک مسئلے پر، ایکٹا ایپلیکینڈی میتھمیٹیکی، 62 (1) (2000)، 23-130۔ ایس۔ ایم۔ جنگ، ہائرس-اولم-راسیاس اسٹیبلٹی آف فنکشنل ایکویشنز ان نان لائنر اینالیسس، سپرنگر، نیویارک، 2011۔ ٹی۔ آوکی، بناچ خالی جگہوں میں لکیری تبدیلی کے استحکام پر، جے۔ ریاضی۔ ایس او سی۔ جے پی این۔، 2 (1950)، 64-66۔ سی۔ جی پارک، کئی متغیرات میں عمومی کواڈریٹک نقشہ سازی، غیر لکیری مقعد۔، 57 (2004)، 713-722۔ جے۔ آر۔ لی اور ڈی۔ وائی۔ شن، ایک عمومی اضافی فنکشنل مساوات کے کاچی-راسیاس استحکام پر، جے۔ ریاضی۔ مقعد۔ ایپل۔ 339 (1) (2008)، 372-383۔ سی۔ باک، کاچی-بنچ خالی جگہوں میں کاچی-جینسن اضافی نقشوں کا راسیاس استحکام، ایکٹا ماتھ۔ سینیکا (انگریزی سیریز)، 15 (1) (1999)، 1-11۔ سی۔ جی پارک، لی جے سی *-الجبرا اور کاچی کے درمیان ہومومورفزم-لی جے سی *-الجبرا مشتقات کا راسیاس استحکام، جے۔ لائ تھیوری، 15 (2005)، 393-414۔ جے۔ آر۔ لی، ڈی۔ وائی۔ شن، C *-algebras میں Trif فنکشنل مساوات کے کاچی-راسیاس استحکام پر۔ جے۔ ریاضی۔ مقعد۔ ایپل۔ 296 (1) (2004)، 351-363۔ سی۔ باک، ایچ۔ وائی۔ چو اور ایم۔ ایس۔ موسلہیان، کاچی-راسیا کی عدم مساوات اور لکیری این-انر پروڈکٹ کے نقشوں کو محفوظ رکھنے پر، ریاضی۔ غیر مساوی۔ ایپل۔ 9 (3) (2006)، 453-464۔ سی۔ جی۔ پارک، ایم۔ ایشاگھی گورڈجی اور ایچ۔ کھودایی، عام جینسن قسم کے کواڈریٹک-کواڈریٹک میپنگز، بل کے کاچی-راسیاس استحکام کے لیے ایک فکسڈ پوائنٹ اپروچ۔ کوریائی ریاضی۔ ایس او سی۔ 47 (2010)، نمبر۔ 5، 987-996 A. نجتی، کاچی-راسیاس کا ہومومورفزم کا استحکام جو ایک پیکسیڈرائزڈ کاچی-جینسن قسم کی فنکشنل مساوات، J سے وابستہ ہے۔ ریاضی۔ غیر مساوی۔ 3 (2) (2009)، 257-265۔ سی۔ جی۔ پارک اور ایس۔ وائی۔ جنگ، بنچ ماڈیولز میں سیسکویلینر این-کواڈریٹک میپنگز کا کاچی-راسیا کا استحکام، راکی ماؤنٹین جے۔ ریاضی۔ 39 (6) (2009)، 2015-2027۔ پی ایل۔ کنپن، فنکشنل مساوات اور ایپلی کیشنز کے ساتھ عدم مساوات، سپرنگر، نیویارک، 2009۔ پی کے ساہو اور پی ایل۔ کنپن، انٹروڈکشن ٹو فنکشنل ایکویشنز، سی آر سی پریس، چیپ مین اینڈ ہال بک، فلوریڈا، 2011۔ ٹی۔ ایم راسیاس اور جے برجڈیک (ایڈز۔ )، فنکشنل ایکویشنز ان میتھمیٹیکل اینالیسس، سپرنگر، نیویارک، 2012۔ ریاضیاتی تجزیہ فعال تجزیہ فعال مساوات