Parabolic geometry (differential geometry)
تفریق جیومیٹری اور لائ گروپوں کے مطالعہ میں، پیرابولک جیومیٹری ایک یکساں جگہ G/P ہے جو ایک نیم سادہ لائ گروپ G کا حصص ہے جو ایک پیرابولک ذیلی گروپ P کے ذریعہ ہے۔ زیادہ عام طور پر، اس لحاظ سے پیرابولک جیومیٹری کے مڑے ہوئے اینالاگس کو پیرابولک جیومیٹری بھی کہا جاتا ہے: کوئی بھی جیومیٹری جو کارٹن کنکشن کے ذریعے ایسی جگہ پر ماڈل کی جاتی ہے۔ مثالیں پروجیکٹو اسپیس پی این ایک مثال ہے۔ یہ یکساں جگہ پی جی ایل (این + 1)/ایچ ہے جہاں ایچ ایک لکیر کا آئسوٹروپی گروپ ہے۔ اس ہندسی جگہ میں، سیدھی لکیر کا تصور بامعنی ہے، لیکن لکیروں کے ساتھ کوئی ترجیحی ("افائن") پیرامیٹر نہیں ہے۔ پروجیکٹو اسپیس کا مڑے ہوئے ینالاگ ایک کئی گنا ہے جس میں جیوڈیسیک کا تصور سمجھ میں آتا ہے، لیکن جس کے لیے ان جیوڈیسیکس پر کوئی ترجیحی پیرامیٹریزیشن نہیں ہیں۔ ایک پروجیکٹو کنکشن متعلقہ کارٹن کنکشن ہے جو بیس مینیفولڈ کی ٹینجینٹ خالی جگہوں پر پروجیکٹو اسپیس کی نقول کو گلوئنگ کرکے پروجیکٹو جیومیٹری کو بیان کرنے کا ایک ذریعہ فراہم کرتا ہے۔ وسیع پیمانے پر، پروجیکٹو جیومیٹری سے مراد اس قسم کے تعلق کے ساتھ کئی گنا کا مطالعہ ہے۔ ایک اور مثال کنفارمل سپیئر ہے۔ ٹوپوولوجیکل طور پر، یہ n-کرہ ہے، لیکن اس پر لمبائی کا کوئی تصور نہیں ہے، صرف منحنی خطوط کے درمیان زاویہ کا۔ مساوی طور پر، اس جیومیٹری کو دائرے پر ریمینیائی میٹرکس کے مساوی طبقے کے طور پر بیان کیا گیا ہے (جسے کنفارمل کلاس کہا جاتا ہے)۔ تبدیلیوں کا وہ گروہ جو دائرے پر زاویوں کو محفوظ رکھتا ہے وہ لورینٹز گروپ O (n + 1,1) ہے، اور اس طرح Sn = O (n + 1,1)/P ہے۔ رسمی جیومیٹری، زیادہ وسیع پیمانے پر، ریمینیائی میٹرکس کی مطابقت پذیر مساوات کی کلاس کے ساتھ کئی گنا کا مطالعہ ہے، یعنی کئی گنا جو مطابقت پذیر دائرے پر نمونے بنائے گئے ہیں۔ یہاں منسلک کارٹن کنکشن کنفارمل کنکشن ہے۔ دیگر مثالوں میں شامل ہیں: سی آر جیومیٹری، ایک حقیقی ہائپرکواڈریک پر ماڈیول شدہ کئی گنا کا مطالعہ، جہاں ایک آئسوٹروپک لائن کا اسٹیبلائزر ہے (سی آر کئی گنا دیکھیں) کانٹیکٹ پروجیکٹو جیومیٹری، کئی گنا کا مطالعہ جس پر ماڈیول کیا گیا ہے کہ سمپلیکٹک گروپ کا وہ ذیلی گروپ کہاں ہے جو حوالہ جات سلوواک، جے پیرابولک جیومیٹریز، ریسرچ لیکچر نوٹس، ڈاکٹر ایس سی-ڈسرٹیشن کا حصہ، مسارک یونیورسٹی، 1997، 70 پی پی، آئی جی اے پری پرنٹ 97/11 (یونیورسٹی آف ایڈیلیڈ) ڈفریٚنشل جیومیٹری یکساں خالی جگہیں