Zwanzig projection operator
زوانزگ پروجیکشن آپریٹر ایک ریاضیاتی آلہ ہے جو شماریاتی میکانکس میں استعمال ہوتا ہے۔ یہ فیز اسپیس فنکشنز اور پروجیکٹس کے لکیری اسپیس میں "سلو" فیز اسپیس فنکشنز کے لکیری سب اسپیس پر کام کرتا ہے۔ اسے رابرٹ زوانزگ نے ایک عام ماسٹر مساوات حاصل کرنے کے لیے متعارف کرایا تھا۔ یہ زیادہ تر اس یا اسی طرح کے سیاق و سباق میں رسمی طریقے سے کچھ "سست" اجتماعی متغیرات کے لیے حرکت کی مساوات حاصل کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ سست متغیرات اور اسکیلر پروڈکٹ زوانزگ پروجیکشن آپریٹر نقاط اور مومینٹا کے ساتھ نقطہ ذرات کے جہتی مرحلے کی جگہ میں افعال پر کام کرتا ہے۔ ان افعال کا ایک خاص ذیلی مجموعہ "سست متغیرات" کا ایک قابل شمار مجموعہ ہے۔ ان میں سے کچھ متغیرات کے امیدوار بڑے پیمانے پر کثافت کے طویل طول موج فورئیر اجزاء اور لہر ویکٹر کے ساتھ مومنٹم کثافت کے طویل طول موج فورئیر اجزاء ہو سکتے ہیں۔ زوانزگ پروجیکشن آپریٹر ان افعال پر انحصار کرتا ہے لیکن یہ نہیں بتاتا کہ کسی دیئے گئے ہیملٹنین کے سست متغیرات کو کیسے تلاش کیا جائے۔ دو صوابدیدی فیز اسپیس افعال کے درمیان ایک اسکیلر پروڈکٹ اور اس کی تعریف توازن ارتباط سے کی جاتی ہے جہاں مائکروکینونکل توازن کی تقسیم کی نشاندہی ہوتی ہے۔ "تیز" متغیرات، تعریف کے مطابق، اس اسکیلر پروڈکٹ کے تحت تمام افعال کے لیے آرتھوگنل ہیں۔ اس تعریف میں کہا گیا ہے کہ تیز اور سست متغیرات کے اتار چڑھاؤ غیر مربوط ہیں، اور ایرگوڈک مفروضے کے مطابق یہ وقت کی اوسط کے لیے بھی درست ہے۔ اگر کوئی عام فنکشن کچھ سست متغیرات کے ساتھ مربوط ہے، تو کوئی بھی سست متغیرات کے افعال کو اس وقت تک گھٹا سکتا ہے جب تک کہ اس کا غیر متعلقہ تیز حصہ باقی نہ رہے۔ سست اور تیز متغیر کا پروڈکٹ تیز متغیر ہوتا ہے۔ پروجیکشن آپریٹر مستقل کے ساتھ افعال کے مسلسل سیٹ پر غور کرتا ہے۔ کوئی بھی فیز اسپیس فنکشن جس کا انحصار صرف تھرو پر ہوتا ہے اس کا ایک فنکشن ہے، یعنی ایک عام فیز اسپیس فنکشن اس کے مطابق تحلیل ہوتا ہے کہ تیز ترین حصہ کہاں ہے۔ اسکیلر پروڈکٹ کو سست فنکشن کے ساتھ لینے کے سست حصے کے لیے ایک اظہار حاصل کرنے کے لیے، یہ اس کے لیے ایک اظہار دیتا ہے، اور اس طرح آپریٹر کے لیے جو اپنے "سست" حصے پر ایک صوابدیدی فنکشن پیش کرتا ہے صرف اس کے ذریعے انحصار کرتا ہے، یہ اظہار زوانزگ کی طرف سے دیئے گئے اظہار سے اتفاق کرتا ہے، سوائے اس کے کہ زوانزگ سست متغیرات میں شامل ہوتا ہے۔ زوانزگ پروجیکشن آپریٹر پورا کرتا ہے اور۔ تیز ترین حصہ ہے۔ سست متغیرات کے افعال اور خاص طور پر سست متغیرات کے پروڈکٹ سست متغیر ہوتے ہیں۔ اس طرح سست متغیرات کی جگہ ایک الجبرا ہے۔ الجبرا عام طور پر پوسن بریکٹ کے تحت بند نہیں ہوتا ہے، بشمول ہیملٹنین کے ساتھ پوسن بریکٹ۔ لیوویل اور ماسٹر مساوات کے ساتھ تعلق جیسا کہ اوپر دیا گیا ہے اس کی تعریف کا حتمی جواز یہ ہے کہ یہ سست متغیرات (یا خود سست متغیرات کے لیے لینجین مساوات) کی وقت پر منحصر امکانات کی تقسیم کے لیے ایک ماسٹر مساوات حاصل کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ عام مراحل کا خاکہ بنانے کے لیے، آئیے مرحلے کی جگہ میں وقت پر منحصر امکانات کی تقسیم کی نشاندہی کریں۔ فیز اسپیس ڈینسٹی (نیز) لیوویل مساوات کا حل ہے اس کے بعد اہم قدم لکھنا ہے، اور لیوویل مساوات کو سست اور تیز سب اسپیس پر پیش کرنا ہے، دوسری مساوات کو حل کرنا اور پہلی مساوات میں داخل کرنا اس کے لیے ایک بند مساوات دیتا ہے (ناکاجیما-زوانزگ مساوات دیکھیں)۔ مؤخر الذکر مساوات آخر میں ایک مساوات فراہم کرتی ہے جہاں سست متغیرات کی توازن کی تقسیم کی نشاندہی ہوتی ہے۔ غیر لکیری لینجین مساوات لینجین مساوات کے معیاری مشتق کا نقطہ آغاز شناخت ہے، جہاں تیز رفتار ذیلی جگہ پر پروجیکٹس ہوتے ہیں۔ ارتقاء آپریٹر کے ساتھ مجرد چھوٹے وقت کے مراحل پر غور کریں، جہاں لیوویل آپریٹر ہے۔ مقصد اور کے لحاظ سے اظہار کرنا ہے۔ محرک یہ ہے کہ یہ سست متغیرات کا ایک فنکشنل ہے اور یہ ایسے تاثرات پیدا کرتا ہے جو ہر وقت کے مرحلے پر تیز متغیر ہوتے ہیں۔ توقع یہ ہے کہ اس طرح سے الگ تھلگ کیے گئے تیز متغیرات کی نمائندگی کچھ ماڈل ڈیٹا کے ذریعے کی جا سکتی ہے، مثال کے طور پر گوسیائی سفید شور کے ذریعے۔ سڑنا بائیں سے ضرب دے کر حاصل کیا جاتا ہے، سوائے آخری اصطلاح کے، جس کے ساتھ ضرب دی جاتی ہے۔ تکرار دیتا ہے آخری سطر کو انڈکشن کے ذریعے بھی ثابت کیا جا سکتا ہے۔ حد کو فرض کرنا اور انجام دینا براہ راست کاواساکی کی آپریٹر شناخت کی طرف لے جاتا ہے ایک عام لینجین مساوات اس مساوات کو سست متغیر کے وقت مشتق پر لاگو کرکے حاصل کی جاتی ہے، یہاں اتار چڑھاؤ والی قوت ہے (یہ صرف تیز متغیرات پر منحصر ہے)۔ موڈ جوڑی کی اصطلاح اور ڈمپنگ کی اصطلاح فنکشنل ہیں اور اسے کافی حد تک آسان بنایا جا سکتا ہے۔ افعال کا مجرد مجموعہ، موری پروجیکشن آپریٹر سے متعلق افعال کے مسلسل سیٹ کے سست حصے کو بڑھانے کے بجائے فنکشن کے کچھ قابل شمار سیٹ بھی استعمال کر سکتا ہے۔ اگر یہ افعال ایک مکمل آرتھونورمل فنکشن سیٹ تشکیل دیتے ہیں تو پروجیکشن آپریٹر صرف ایک خاص انتخاب پڑھتا ہے جو سست متغیرات کے آرتھونورملائزڈ لکیری امتزاج ہیں۔ یہ موری پروجیکشن آپریٹر کی طرف جاتا ہے۔ تاہم، لکیری افعال کا مجموعہ مکمل نہیں ہے، اور اگر غیر لکیری عمل میں آتی ہے تو آرتھوگنل متغیر تیز یا بے ترتیب نہیں ہوتے ہیں۔ موری-زوانزگ رسمی حوالہ جات شماریاتی میکانکس بھی دیکھیں۔