Kähler identities
پیچیدہ جیومیٹری میں، کیلر شناخت ایک کیلر کئی گنا پر آپریٹرز کے درمیان شناختوں کا مجموعہ ہے جو ڈولبیالٹ آپریٹرز اور ان کے ملحقہ، کیلر فارم کے سنکچن اور ویج آپریٹرز، اور کیلر میٹرک کے لیپلاسیئنز سے متعلق ہے۔ کیلر شناختوں کو ہج تھیوری کے نتائج کے ساتھ مل کر کمپیکٹ کیلر مینیفولڈز کے ڈی رام اور ڈولبولٹ کوہومولوجی پر متعدد تعلقات پیدا کرنے کے لیے جوڑ دیا جاتا ہے، جیسے کہ لیفشیٹز ہائپرپلین تھیوریم، ہارڈ لیفشیٹز تھیوریم، ہج-ریمن دو لکیری تعلقات، اور ہج انڈیکس تھیوریم۔ وہ بھی، ایک بار پھر ہج تھیوری کے ساتھ مل کر، کیلر کئی گنا پر بنیادی تجزیاتی نتائج کو ثابت کرنے میں اہم ہیں، جیسے-لیما، ناکانو عدم مساوات، اور کوڈیرا وینیشنگ تھیوریم۔ کیلر کی شناختوں کو سب سے پہلے ڈبلیو وی ڈی ہج نے ثابت کیا تھا، جو 1941 میں ہارمونک انٹیگرلز پر اپنی کتاب میں شائع ہوا تھا۔ کے جدید اشارے کو آندرے ویل نے کیلر جیومیٹری پر پہلی نصابی کتاب، تعارف ایل ایٹیوڈ ڈیس ویریٹس کیلریئنس میں متعارف کرایا تھا۔ آپریٹرز اے کیلر کئی گنا اس کے الجبرا پر آپریٹرز کی ایک بڑی تعداد کو قبول کرتا ہے جو پیچیدہ تفریقی شکلوں کی ہموار ساخت (S)، پیچیدہ ساخت (C)، اور ریمینی ساخت (R) سے بنی ہے۔ ان آپریٹرز کی تعمیر پیچیدہ تفریقی جیومیٹری پر ادب میں معیاری ہے۔ مندرجہ ذیل میں بریکٹ میں بولڈ حروف اس بات کی نشاندہی کرتے ہیں کہ آپریٹر کی وضاحت کے لیے کن ڈھانچوں کی ضرورت ہے۔ متفرق آپریٹر مندرجہ ذیل آپریٹر متفرق آپریٹر ہیں اور بیرونی مشتق کے ہموار اور پیچیدہ ڈھانچے سے پیدا ہوتے ہیں۔ (S)،-ڈولبیالٹ آپریٹر۔ (C)،-ڈولبیالٹ آپریٹر۔ (C) ڈولبیالٹ آپریٹرز کا تعلق فارمولے کے ذریعے براہ راست بیرونی مشتق سے ہوتا ہے۔ بیرونی مشتق کی خصوصیت کی خاصیت جس کا مطلب ہے اور۔ کچھ ذرائع کیلر شناختوں کو بیان کرنے کے لیے درج ذیل آپریٹر کا استعمال کرتے ہیں۔ ۔ (C) یہ آپریٹر مفید ہے کیونکہ کیلر کی شناختوں کا اندازہ دو ڈگریوں کا موازنہ کرکے زیادہ مختصر طور پر تشکیل شدہ شناختوں سے لگایا جا سکتا ہے۔ یہ اس پراپرٹی کے لیے بھی مفید ہے۔ اس کی تعریف پیچیدہ ڈھانچے کے لحاظ سے فارمولا ٹینسوریل آپریٹرز کے ذریعے کی جا سکتی ہے۔ مندرجہ ذیل آپریٹرز فطرت میں ٹینسوریل ہیں، یعنی وہ آپریٹرز ہیں جو صرف ایک نقطہ پر پیچیدہ تفریقی شکل کی قدر پر منحصر ہوتے ہیں۔ خاص طور پر ان میں سے ہر ایک کو انفرادی طور پر ہر نقطہ پر شکلوں کے ویکٹر خالی جگہوں کے درمیان آپریٹرز کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ پیچیدہ کنجوگیٹ آپریٹر۔ (C)، لیفشیٹز آپریٹر کی وضاحت کی گئی ہے کہ کیلر کی شکل کہاں ہے۔ (سی آر)، ہج اسٹار آپریٹر۔ (R) پیچیدہ تفریق شکلوں کی بائیڈیگری (p، q) میں براہ راست سڑنا متعدد پروجیکشن آپریٹرز کو ظاہر کرتا ہے۔ ، ڈگری k. (S) کے حصے پر پروجیکشن، بائیڈیگری (p، q) کے حصے پر پروجیکشن۔ (C)، جسے گنتی آپریٹر کہا جاتا ہے۔ (S)، پیچیدہ ویکٹر کی جگہ پر پیچیدہ ساخت آپریٹر۔ (C) نوٹ کریں کہ آخری آپریٹر کیلر کے تقریبا پیچیدہ ڈھانچے کی توسیع ہے جو کئی گنا اعلی درجے کی پیچیدہ تفریقی شکلوں تک ہے، جہاں کوئی یاد کرتا ہے کہ-فارم اور-فارم کے لیے، اس طرح ایک-فارم پر عنصر کے ساتھ کام کرتا ہے۔ ریمینیئن میٹرک آن کے ساتھ ساتھ پیچیدہ ڈھانچے سے پیدا ہونے والی اس کی قدرتی واقفیت کو مذکورہ بالا تفریق اور تناؤ کے آپریٹرز کے رسمی ملحقہ حصوں کی وضاحت کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ ان ملحقہ حصوں کی تعریف یا تو حصوں کے انضمام کے ذریعے یا ہج اسٹار آپریٹر کا استعمال کرتے ہوئے واضح فارمولوں کے ذریعے کی جا سکتی ہے۔ انضمام کے ذریعے ملحقہ حصوں کی وضاحت کرنے کے لیے، نوٹ کریں کہ ریمینیائی میٹرک آن، فارمولے کے مطابق ایک-inner پروڈکٹ کی وضاحت کرتا ہے جہاں ریمینیائی میٹرک کے ذریعے متاثر ہونے والے کوٹینجینٹ اسپیس کے بیرونی پروڈکٹ پر اندرونی پروڈکٹ ہے۔ اس-inner پروڈکٹ کا استعمال کرتے ہوئے، مذکورہ بالا آپریٹرز میں سے کسی کے رسمی ملحقہ حصوں (کے ذریعہ اشارہ کیا گیا ہے) کی وضاحت فارمولے کے ذریعے کی جا سکتی ہے۔ جب کہ کیلر کئی گنا غیر کمپیکٹ ہوتا ہے، تو-inner پروڈکٹ رسمی معنی رکھتا ہے بشرطیکہ کم از کم ایک کمپیکٹ طور پر سپورٹ شدہ تفریقی شکلیں ہوں۔ خاص طور پر مندرجہ بالا تفریق اور تناؤ آپریٹرز کے درج ذیل رسمی ملحقہ آپریٹرز کو حاصل کرتا ہے۔ ہج اسٹار آپریٹر کے لحاظ سے ان ملحقہ حصوں کے لیے واضح فارمولے شامل ہیں۔ واضح طور پر دی گئی۔ (ایس آر) واضح طور پر دیا گیا ہے۔ (سی آر) واضح طور پر دیا گیا ہے۔ (سی آر) واضح طور پر دیا گیا ہے۔ (سی آر) واضح طور پر دیا گیا ہے۔ (سی آر) آخری آپریٹر، لیفشیٹز آپریٹر کا ملحقہ، کوہلر فارم کے ساتھ سنکچن آپریٹر کے نام سے جانا جاتا ہے، اور عام طور پر اس کی طرف اشارہ کیا جاتا ہے۔ آپریٹرز اور ان کے رسمی ملحقہ حصوں سے بنے لیپلیس آپریٹرز کی ایک بڑی تعداد ہے جو اور: سے مطابقت رکھتی ہے، بصورت دیگر اسے لیپلیس-ڈی رام آپریٹر کے نام سے جانا جاتا ہے۔ (ایس آر)۔ (سی آر)۔ (سی آر) مذکورہ بالا لیپلاشین میں سے ہر ایک سیلف ایڈجائنٹ آپریٹر ہیں۔ حقیقی اور پیچیدہ آپریٹرز یہاں تک کہ اگر پیچیدہ ڈھانچہ (C) مندرجہ بالا آپریٹرز کی وضاحت کے لیے ضروری ہے، اس کے باوجود ان کا اطلاق حقیقی تفریقی شکلوں پر کیا جا سکتا ہے۔ جب نتیجے میں آنے والے فارم میں حقیقی گتانک بھی ہوتے ہیں، تو آپریٹر کو حقیقی آپریٹر کہا جاتا ہے۔ اس کی مزید دو طریقوں سے خصوصیت کی جا سکتی ہے: اگر آپریٹر کا پیچیدہ کنجوگیٹ خود ہے، یا اگر آپریٹر پیچیدہ تفریقی شکلوں پر کام کرنے والے تقریبا پیچیدہ ڈھانچے کے ساتھ سفر کرتا ہے۔ دو حقیقی آپریٹرز کی ساخت حقیقی ہے۔ مندرجہ بالا آپریٹرز کے پیچیدہ کنجوگیٹ مندرجہ ذیل ہیں: اور۔ اور اسی طرح اور کے لیے۔ اور۔ ۔ ۔ اور۔ ۔ ۔ ۔ اس طرح اور تمام حقیقی آپریٹرز ہیں۔ خاص طور پر اگر ان میں سے کسی آپریٹر کو اس سے ظاہر کیا جاتا ہے، تو پھر کمیونیٹر جہاں اوپر کمپلیکس اسٹرکچر آپریٹر ہے۔ شناخت کیلر شناخت مندرجہ بالا آپریٹرز کے درمیان مواصلاتی تعلقات کی ایک فہرست ہے۔ واضح طور پر ہم آپریٹر کے ذریعہ مختلف ڈگریوں میں مذکورہ بالا آپریٹرز کی ساخت کے ذریعے حاصل کردہ کی نشاندہی کرتے ہیں۔ کیلر کی شناخت بنیادی طور پر کیلر کئی گنا پر مقامی شناخت ہیں، اور غیر کمپیکٹ کیس میں بھی برقرار ہیں۔ درحقیقت انہیں کیلر میٹرک کے ماڈل کیس میں ثابت کیا جا سکتا ہے اور کلیدی خاصیت کا استعمال کرتے ہوئے کسی بھی کیلر کئی گنا میں منتقل کیا جا سکتا ہے کہ کیلر شرط سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ کیلر میٹرک معیاری شکل کو دوسرے ترتیب تک لے جاتا ہے۔ چونکہ کیلر شناخت کیلر میٹرک میں فرسٹ آرڈر شناخت ہیں، اس لیے متعلقہ کمیونیٹیٹر تعلقات کسی بھی کیلر کئی گنا پر مقامی طور پر کیلر شناخت کو ظاہر کرتے ہیں۔ جب کیلر کئی گنا کمپیکٹ ہوتا ہے تو شناختوں کو ہج تھیوری کے ساتھ جوڑا جا سکتا ہے تاکہ کئی گنا کی ہم آہنگی کے بارے میں بہت سے نتائج اخذ کیے جا سکیں۔ مندرجہ بالا کیلر شناختوں کو اس صورت میں اپ گریڈ کیا جا سکتا ہے جہاں تفریق آپریٹرز کو ہولومورفک ویکٹر بنڈل پر چرن کنکشن کے ساتھ جوڑا بنایا جاتا ہے۔ اگر ایک ہرمیٹین میٹرک آن ہے اور ایک ڈولبولٹ آپریٹر ہے جو ہولومورفک ڈھانچے کی وضاحت کرتا ہے، تو منفرد ہم آہنگ چرن کنکشن اور اس کا حصہ مطمئن ہوتا ہے۔ چرن کنکشن کی منحنی شکل کو اس کے ذریعے ظاہر کریں۔ رسمی ملحقہ حصوں کی تعریف اسی طرح کی جا سکتی ہے جیسے اوپر ایک-انر پروڈکٹ کا استعمال کرتے ہوئے کی گئی ہے جہاں ہرمیٹین میٹرک کو فارموں پر اندرونی پروڈکٹ کے ساتھ ملایا جاتا ہے۔ اس صورت میں تمام کیلر شناخت، جنہیں بعض اوقات ناکانو شناخت کہا جاتا ہے، بغیر کسی تبدیلی کے برقرار رہتی ہیں، سوائے مندرجہ ذیل کے: ۔ ۔ ، جسے بوچنر-کوڈائرا-ناکانو شناخت کہا جاتا ہے۔ خاص طور پر نوٹ کریں کہ جب چرن کنکشن ایک فلیٹ کنکشن سے وابستہ ہوتا ہے، تاکہ منحنی پن، تب بھی اس رشتے کو حاصل کرے۔ ابتدائی ہم آہنگی اور ایس ایل (2، سی) کی نمائندگی کیلر شناختوں میں موجود تبادلوں کے تعلقات کے علاوہ، مذکورہ بالا آپریٹرز میں سے کچھ دوسرے دلچسپ تبادلوں کے تعلقات کو مطمئن کرتے ہیں۔ خاص طور پر لیفشیٹز آپریٹر، سنکچن آپریٹر، اور اوپر گنتی آپریٹر کو یاد کریں۔ پھر کوئی مندرجہ ذیل تبادلوں کے تعلقات دکھا سکتا ہے: ۔ ۔ جھوٹ الجبرا کے ساتھ موازنہ کرتے ہوئے، کوئی یہ دیکھتا ہے کہ یہ ایک ایس ایل 2-ٹرپل بناتا ہے، اور اس لیے کہلر کئی گنا پر پیچیدہ تفریق شکلوں کا الجبرا اس کی نمائندگی بن جاتا ہے۔ کیلر شناختوں کا مطلب ہے کہ آپریٹرز تمام آمد و رفت کرتے ہیں اور اس وجہ سے ہارمونک شکلوں کو اندر محفوظ رکھتے ہیں۔ خاص طور پر جب کیلر کئی گنا کمپیکٹ ہوتا ہے، تو ہج سڑنے کو لاگو کرنے سے آپریٹرز کا ٹرپل X کی ڈی رام کوہمولوجی پر ایک SL2-ٹرپل دینے کے لیے اترتا ہے۔ نمائندگی کے نظریہ کی زبان میں، آپریٹر ریزنگ آپریٹر ہے اور لوورنگ آپریٹر ہے۔ جب کمپیکٹ ہوتا ہے، تو یہ ہج تھیوری کا نتیجہ ہوتا ہے کہ کوہمولوجی گروپس محدود جہتی ہوتے ہیں۔ لہذا کوہمولوجی ایک براہ راست رقم کے سڑنے کو ناقابل تلافی محدود جہتی نمائندگی میں قبول کرتی ہے۔ اس طرح کی کوئی بھی ناقابل تلافی نمائندگی ایک ابتدائی عنصر کے ساتھ آتی ہے، جو کہ ایک ایسا عنصر ہے۔ کی ابتدائی ہم آہنگی کی طرف سے دی گئی ہے۔ قدیم ہم آہنگی بھی ایک براہ راست مجموعہ کو تسلیم کرتی ہے جو ہارڈ لیفشیٹز کے سڑنے کو تقسیم کرتی ہے۔ کی نمائندگی کا نظریہ اپنے ابتدائی عنصر کے لحاظ سے مکمل طور پر ایک ناقابل تلافی نمائندگی کو بیان کرتا ہے۔ اگر ایک غیر صفر قدیم عنصر ہے، تو چونکہ تفریق شکلیں طول و عرض سے اوپر غائب ہو جاتی ہیں، اس لیے سلسلہ بالآخر بہت سی طاقتوں کے بعد ختم ہو جاتا ہے۔ یہ ایک محدود جہتی ویکٹر اسپیس کی وضاحت کرتا ہے جس میں ٹرپل سے ایک-ایکشن ہوتا ہے۔ یہ اس کے مطابق ناقابل تلافی نمائندگی ہے۔ ہر ابتدائی کوہمولوجی گروپ پر بیک وقت اس کا اطلاق کرتے ہوئے، کوہمولوجی کو اس کی ناقابل تلافی نمائندگی میں تقسیم کرنا کمپیکٹ کیلر کئی گنا کے سخت لیفشیٹز سڑنے کے نام سے جانا جاتا ہے۔ ہولومورفک ویکٹر بنڈل کے ساتھ جوڑی ہوئی کیلر شناختوں کے ذریعہ، اس صورت میں جہاں ہولومورفک بنڈل چپٹا ہو، ہج کا سڑنا مڑے ہوئے ڈی رام کوہمولوجی گروپوں اور ڈولبولٹ کوہمولوجی گروپوں تک پھیلا ہوا ہے۔ ٹرپل اب بھی بنڈل ویلیوڈ کوہومولوجی پر ایس ایل 2 ٹرپل کے طور پر کام کرتا ہے، اور اس معاملے میں ہارڈ لیفشیٹز سڑنے کا ایک ورژن برقرار ہے۔ ناکانو عدم مساوات ایک کمپیکٹ کیلر کئی گنا پر ہولومورفک ویکٹر بنڈل پر چرن کنکشن کے منحنی پن کے ساتھ ہارمونک تفریق شکلوں کی اندرونی مصنوعات سے وابستہ عدم مساوات کا ایک جوڑا ہے۔ خاص طور پر ایک کمپیکٹ کیلر کئی گنا پر ہرمیٹین ہولومورفک ویکٹر بنڈل ہونے دیں، اور اس سے وابستہ چرن کنکشن کے منحنی پن کی نشاندہی کریں۔ ناکانو عدم مساوات بیان کرتی ہیں کہ اگر ہم آہنگ ہے، یعنی، تب، اور۔ ان عدم مساوات کو اوپر بیان کردہ ہولومورفک ویکٹر بنڈل کے ساتھ مل کر کیلر شناختوں کو لاگو کرکے ثابت کیا جا سکتا ہے۔ اس صورت میں جہاں ایک کافی لائن بنڈل ہے، چرن کا منحنی پن خود ایک کیلر میٹرک ہے۔ اس معاملے میں ناکانو عدم مساوات کا اطلاق کمپیکٹ کیلر مینیفولڈز کے لیے کوڈائرا-ناکانو وینیشنگ تھیوریم کو ثابت کرتا ہے۔ نوٹس حوالہ جات کمپلیکس کئی گنا تفریقی جیومیٹری