Orthogonality (mathematics)
ریاضی میں، آرتھوگونالیٹی دو لکیری شکلوں کے لکیری الجبرا پر پرپینڈکیولرٹی کے ہندسی تصور کی عمومی شکل ہے۔ دو عناصر u اور v ایک ویکٹر اسپیس کے دو لکیری فارم B کے ساتھ آرتھوگنل ہوتے ہیں جب. دو لکیری شکل پر منحصر ہے، ویکٹر کی جگہ غیر صفر سیلف آرتھوگنل ویکٹر پر مشتمل ہو سکتی ہے۔ فنکشن خالی جگہوں کے معاملے میں، آرتھوگنل افعال کے خاندانوں کو بنیاد بنانے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔ یہ تصور آرتھوگنل افعال، آرتھوگنل کثیر الجہتی، اور امتزاج کے تناظر میں استعمال کیا گیا ہے۔ تعریف جیومیٹری میں، دو یوکلیڈین ویکٹر آرتھوگنل ہوتے ہیں اگر وہ عمودی ہوتے ہیں، یعنی وہ ایک صحیح زاویہ بناتے ہیں۔ اندرونی پروڈکٹ اسپیس V میں دو ویکٹر x اور y آرتھوگنل ہوتے ہیں اگر ان کا اندرونی پروڈکٹ صفر ہو۔ اس رشتے کی نشاندہی کی جاتی ہے۔ آرتھوگنل میٹرکس ایک میٹرکس ہے جس کے کالم ویکٹر ایک دوسرے کے لیے آرتھونورمل ہوتے ہیں۔ آرتھونورمل بنیاد وہ بنیاد ہے جس کے ویکٹر آرتھوگنل اور نارملائزڈ دونوں ہوتے ہیں (وہ یونٹ ویکٹر ہوتے ہیں)۔ ایک کنفارمل لینیر ٹرانسفارمیشن زاویوں اور فاصلے کے تناسب کو محفوظ رکھتی ہے، جس کا مطلب ہے کہ ایک ہی کنفارمل لینیر ٹرانسفارمیشن کے ذریعے آرتھوگنل ویکٹرز کو تبدیل کرنا ان ویکٹرز کو آرتھوگنل رکھے گا۔ اندرونی پروڈکٹ اسپیس V کی دو ویکٹر ذیلی جگہیں A اور B کو آرتھوگنل ذیلی جگہیں کہا جاتا ہے اگر A میں ہر ویکٹر B میں ہر ویکٹر کے لیے آرتھوگنل ہو۔ V کی سب سے بڑی ذیلی جگہ جو کسی دی گئی ذیلی جگہ کے لیے آرتھوگنل ہے اس کی آرتھوگنل تکمیل ہے۔ ایک ماڈیول ایم اور اس کے دوہری ایم کو دیکھتے ہوئے، ایم کا ایک عنصر ایم اور ایم کا ایک عنصر ایم آرتھوگنل ہیں اگر ان کی قدرتی جوڑی صفر ہے، یعنی۔ دو سیٹ اور آرتھوگنل ہوتے ہیں اگر S′ کا ہر عنصر S کے ہر عنصر کے لیے آرتھوگنل ہو۔ ایک اصطلاح دوبارہ لکھنے کے نظام کو آرتھوگنل کہا جاتا ہے اگر یہ بائیں لکیری ہو اور غیر مبہم ہو۔ آرتھوگنل ٹرم ری رائٹنگ سسٹم متزلزل ہیں۔ اندرونی پروڈکٹ کی جگہ میں ویکٹرز کے ایک سیٹ کو جوڑی وار آرتھوگنل کہا جاتا ہے اگر ان میں سے ہر جوڑی آرتھوگنل ہو۔ اس طرح کے سیٹ کو آرتھوگنل سیٹ کہا جاتا ہے۔ بعض صورتوں میں، لفظ نارمل کا استعمال آرتھوگنل کے معنی کے لیے کیا جاتا ہے، خاص طور پر ہندسی معنوں میں جیسا کہ کسی سطح پر نارمل ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، y-محور اصل میں منحنی خطوط کے لیے نارمل ہے۔ تاہم، نارمل سے مراد ویکٹر کی شدت بھی ہو سکتی ہے۔ خاص طور پر، ایک سیٹ کو آرتھونورمل (آرتھوگنل پلس نارمل) کہا جاتا ہے اگر یہ یونٹ ویکٹر کا آرتھوگنل سیٹ ہے۔ نتیجے کے طور پر، "آرتھوگنل" کے معنی میں نارمل اصطلاح کے استعمال سے اکثر گریز کیا جاتا ہے۔ لفظ "نارمل" کا امکان اور اعداد و شمار میں بھی مختلف معنی ہے۔ دو لکیری شکل والا ویکٹر اسپیس اندرونی پروڈکٹ کے معاملے کو عام کرتا ہے۔ جب دو ویکٹروں پر دو لکیری شکل کا اطلاق صفر میں ہوتا ہے، تو وہ آرتھوگنل ہوتے ہیں۔ چھدم-یوکلڈین سطح کا معاملہ ہائپربولک آرتھوگونالیٹی کی اصطلاح استعمال کرتا ہے۔ خاکہ میں، محور x′ اور t′ کسی بھی دیئے گئے φ کے لیے ہائپربولک-آرتھوگنل ہوتے ہیں۔ یوکلڈین ویکٹر خالی جگہوں میں، دو ویکٹر آرتھوگنل ہوتے ہیں اگر اور صرف اس صورت میں جب ان کا ڈاٹ پروڈکٹ صفر ہو، یعنی۔ وہ 90° (π/2 ریڈینس) کا زاویہ بناتے ہیں، یا ویکٹر میں سے ایک صفر ہوتا ہے۔ لہذا ویکٹروں کی آرتھوگونالیٹی کسی بھی جہت کی خالی جگہوں پر عمودی ویکٹروں کے تصور کی توسیع ہے۔ ذیلی جگہ کی آرتھوگنل تکمیل ان تمام ویکٹروں کی جگہ ہے جو ذیلی جگہ میں ہر ویکٹر کے لیے آرتھوگنل ہیں۔ تین جہتی یوکلڈین ویکٹر اسپیس میں، اصل کے ذریعے ایک لکیر کی آرتھوگنل تکمیل اس کے عمودی اصل کے ذریعے طیارہ ہے، اور اس کے برعکس۔ نوٹ کریں کہ دو طیاروں کے عمودی ہونے کا ہندسی تصور آرتھوگنل تکمیل سے مطابقت نہیں رکھتا ہے، کیونکہ تین جہتوں میں ویکٹر کا ایک جوڑا، عمودی طیاروں کے ہر جوڑے میں سے ایک، کسی بھی زاویے پر مل سکتا ہے۔ چار جہتی یوکلڈین خلا میں، کسی لکیر کی آرتھوگنل تکمیل ایک ہائپرپلین ہوتی ہے اور اس کے برعکس، اور ہوائی جہاز کی تکمیل ایک ہوائی جہاز ہوتی ہے۔ آرتھوگنل افعال انٹیگرل کیلکولس کا استعمال کرتے ہوئے، وقفے کے دوران غیر منفی وزن کے فعل کے حوالے سے دو افعال f اور g کے اندرونی پروڈکٹ کی وضاحت کے لیے درج ذیل کا استعمال کرنا عام ہے: سادہ صورتوں میں، ہم کہتے ہیں کہ فنکشن f اور g آرتھوگنل ہیں اگر ان کا اندرونی پروڈکٹ (مساوی طور پر، اس انٹیگرل کی قیمت) صفر ہے: ایک اندرونی پروڈکٹ کے حوالے سے دو افعال کی آرتھوگنالیٹی کا مطلب دوسرے اندرونی پروڈکٹ کے حوالے سے آرتھوگنالیٹی نہیں ہے۔ ہم اس اندرونی پروڈکٹ کے حوالے سے معمول کو اس طرح لکھتے ہیں کہ افعال کے ایک سیٹ کے ممبران وقفے پر ڈبلیو کے حوالے سے آرتھوگنل ہوتے ہیں اگر اس طرح کے افعال کے سیٹ کے ممبران وقفے پر ڈبلیو کے حوالے سے آرتھونورمل ہوتے ہیں اگر کرونکر ڈیلٹا کہاں ہے۔ دوسرے لفظوں میں، ان میں سے ہر جوڑا (اپنے ساتھ کسی فنکشن کی جوڑی کو چھوڑ کر) آرتھوگنل ہے، اور ہر ایک کا معیار 1 ہے۔ خاص طور پر آرتھوگنل کثیر الجہتی دیکھیں۔ ویکٹر (1,3,2) T، (3, −1,0) T، (1,3, −5) T ایک دوسرے کے لیے آرتھوگنل ہیں، کیونکہ (1) (3) + (3) (−1) + (2) (0) = 0، (3) (1) + (−1) (3) + (0) (−5) = 0، اور (1) (1) + (3) (3) + (2) (−5) = 0۔ ویکٹر (1، 0، 1، 0،) T اور (0، 1، 0، 1،) T ایک دوسرے کے لیے آرتھوگنل ہیں۔ ان ویکٹروں کا ڈاٹ پروڈکٹ 0 ہے۔ اس کے بعد ہم Z2n میں ویکٹروں پر غور کرنے کے لیے عمومی شکل دے سکتے ہیں: کچھ مثبت عدد a کے لیے، اور اس کے لیے، یہ ویکٹر آرتھوگنل ہیں، مثال کے طور پر، آرتھوگنل ہیں۔ فنکشن اور −1 سے 1 تک کے وقفے پر یونٹ وزن فنکشن کے حوالے سے آرتھوگنل ہیں: فنکشن 1، sin (nx)، cos (nx): n = 1، 2، 3،. وقفوں پر ریمن انضمام کے حوالے سے آرتھوگنل ہیں، یا لمبائی 2π کا کوئی دوسرا بند وقفہ۔ یہ حقیقت فورئیر سیریز میں ایک مرکزی حقیقت ہے۔ آرتھوگنل کثیر الجہتی ماضی کے ریاضی دانوں کے نام سے منسوب مختلف کثیر الجہتی سلسلے آرتھوگنل کثیر الجہتی کے سلسلے ہیں۔ خاص طور پر: ہرمیٹ کثیر الجہتی صفر اوسط قدر کے ساتھ گوسی تقسیم کے حوالے سے آرتھوگنل ہیں۔ لیجنڈری کثیر الجہتی وقفے پر یکساں تقسیم کے حوالے سے آرتھوگنل ہوتے ہیں۔ لاگویر کثیر الجہتی ایکسپونینشل تقسیم کے حوالے سے آرتھوگنل ہیں۔ گاما تقسیم کے حوالے سے کچھ زیادہ عام Laguerre کثیر الجہتی ترتیب آرتھوگنل ہیں۔ پہلی قسم کے چیبیشیف کثیر الجہتی پیمائش کے حوالے سے آرتھوگنل ہیں۔ دوسری قسم کے چیبیشیف کثیر الجہتی وگنر سیمی سرکل کی تقسیم کے حوالے سے آرتھوگنل ہیں۔ امتزاج میں، دو n × n لاطینی مربعوں کو آرتھوگنل کہا جاتا ہے اگر ان کی سپر امپوزیشن سے اندراجات کے تمام ممکنہ n2 امتزاج حاصل ہوں۔ یہ بھی دیکھیں کہ خیالی نمبر آئسوگنل آئسوگنل ٹریجیکٹوری آرتھوگنل تکمیل آرتھوگنل گروپ آرتھوگنل میٹرکس آرتھوگنل کثیر الجہتی آرتھوگنلائزیشن گرام-شمڈٹ عمل آرتھونورمل بنیاد آرتھونورملٹی آرتھوگنل ٹرانسفارم پین-آرتھوگنالیٹی کوکواٹرنیئنز میں ہوتی ہے حوالہ جات خلاصہ الجبرا لکیری الجبرا آرتھوگنالیٹی