Subdivision (simplicial complex)
سادہ کمپلیکس کی ذیلی تقسیم (جسے ریفائنمنٹ بھی کہا جاتا ہے) ایک اور آسان کمپلیکس ہے جس میں، بدیہی طور پر، اصل کمپلیکس کے ایک یا زیادہ آسانیوں کو چھوٹے آسانیوں میں تقسیم کیا گیا ہے۔ سب سے زیادہ استعمال ہونے والی ذیلی تقسیم باریسینٹرک ذیلی تقسیم ہے، لیکن یہ اصطلاح زیادہ عام ہے۔ ذیلی تقسیم کی تعریف مختلف سیاق و سباق میں قدرے مختلف طریقوں سے کی گئی ہے۔ ہندسی سادہ کمپلیکس میں K کو ایک ہندسی آسان کمپلیکس (GSC) ہونے دیں۔ K کی ذیلی تقسیم ایک GSC L ہے کہ: |K | = |L |، یعنی K میں سادگی کا اتحاد L میں سادگی کے اتحاد کے برابر ہے (وہ خلا میں اسی خطے کا احاطہ کرتے ہیں)۔ L کا ہر سمپلیکس K کے کسی سمپلیکس میں موجود ہے۔ مثال کے طور پر، K کو ایک GSC مان لیں جس میں ایک مثلث {A, B, C} (اس کے تمام چہروں اور عمودی حصوں کے ساتھ) ہو۔ D کو AB کے چہرے پر ایک نقطہ ہونے دیں۔ فرض کریں کہ L وہ کمپلیکس ہے جس میں دو مثلث {A, D, C} اور {B, D, C} (ان کے تمام چہروں اور عمودی حصوں کے ساتھ) ہیں۔ پھر L K کی ذیلی تقسیم ہے، کیونکہ دو مثلث {A, D, C} اور {B, D, C} دونوں {A, B, C} میں موجود ہیں، اور اسی طرح چہرے {A, D}، {D, B} چہرے {A, B} میں موجود ہیں، اور چہرہ {D, C} {A, B, C} میں موجود ہے۔ سب ڈویژن اسٹارنگ کے ذریعے K کی ذیلی تقسیم حاصل کرنے کا ایک طریقہ یہ ہے کہ |K | میں ایک صوابدیدی نقطہ x کا انتخاب کیا جائے، K میں ہر ایک سمپلیکس s کو ہٹا دیا جائے جس میں x موجود ہو، اور اسے آسانیوں کے درج ذیل سیٹ کے ساتھ تبدیل کیا جائے: نقطہ x اور چہرے t کا جوڑ کہاں ہے۔ اس عمل کو x پر اسٹارنگ کہا جاتا ہے۔ تارکی ذیلی تقسیم ایک ذیلی تقسیم ہے جو مختلف نکات پر ترتیب وار ستارے کے ذریعے حاصل کی جاتی ہے۔ ماخوذ ذیلی تقسیم ایک ذیلی تقسیم ہے جو مندرجہ ذیل تعمیری عمل کے ذریعے حاصل کی جاتی ہے۔ ہر ایک جہتی سمپلیکس (ایک حصہ) کو کسی اندرونی نقطہ پر اسٹار کریں۔ ہر ایک 2 جہتی سمپلیکس کو کسی اندرونی نقطہ پر، 1 جہتی سمپلیکس کی ذیلی تقسیم پر اسٹار کریں۔ ہر ایک کے جہتی سمپلیکس کو کسی اندرونی نقطہ پر، (کے-1) جہتی سمپلیکس کی ذیلی تقسیم پر اسٹار کریں۔ بیری سینٹرک سب ڈویژن ایک ماخوذ ذیلی تقسیم ہے جہاں اسٹارنگ کے لیے استعمال ہونے والے پوائنٹس ہمیشہ آسانیوں کے بیری سینٹر ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، اگر D، E، F، G بالترتیب {A, B}، {A, C}، {B, C}، {A, B, C} کے بیرسینٹر ہیں، تو {A, B, C} کی پہلی بیرسینٹرک ذیلی تقسیم {A, D, G}، {B, D, G}، {A, E, G}، {C, E, G}، {B, F, G}، {C, F, G}، {C, F, G} کی بندش ہے۔ تکرار شدہ ذیلی تقسیم کو کسی دیئے گئے پولی ہیڈرون کے من مانی طور پر باریک مثلث حاصل کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ تجریدی سادہ کمپلیکس میں K کو ایک تجریدی سادہ کمپلیکس (ASC) ہونے دیں۔ K کا فیس پوزیٹ ایک پوزیٹ ہے جو K کی تمام غیر خالی آسانیوں سے بنا ہے، جس کی ترتیب شمولیت (جو ایک جزوی ترتیب ہے) کے مطابق ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر، {A, B, C} کی بندش کا فیس پوسیٹ مندرجہ ذیل زنجیروں کے ساتھ پوسیٹ ہے: {A} <{A, B, B} <{A, B, C} <{A, C} <{A, B, C} {B} <{A, B, C} <{A, B, C} <{A, C} <{A, C} <{A, C} <{A, C} <{A, C} <{A, B, C} <{A, C} <{A, B, C} <{A, B, C} <{A, B, C} <{A, B, C, C} ایک پوسیٹ P کا آرڈر کمپلیکس ایک ASC ہے جس کے عمودی حصے P کے عناصر ہیں اور جن کی آسانیاں ہیں۔ مندرجہ بالا پوزیشن کا آرڈر کمپلیکس مندرجہ ذیل آسانیوں کو بند کرنا ہے: {{A}, {A, B, C}} {{A}, {A, C}, {A, B, C}} {{B}, {A, B}, {A, B, C}, {A, B, C}, {A, C}, {A, C}, {A, C}, {A, C}, {A, C}, {A, C}, {A, C}, {A, C}, {A, C}, {A, C}, {A, C}, {A, B, C}, {A, B, C, C}} نوٹ کریں کہ یہ ASC ASC {A, D, G}، {B, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D, D K کی ذیلی تقسیم کا ہندسی احساس ہمیشہ K کے ہندسی احساس کے لیے ہومومورفک ہوتا ہے۔ آسان سیٹ حوالہ جات