Beta-model
ماڈل تھیوری میں، ایک ریاضیاتی نظم و ضبط، ایک β-ماڈل (فرانسیسی "بون آرڈر"، ویل آرڈرنگ سے) ایک ایسا ماڈل ہے جو "X اچھی طرح سے ترتیب دیا گیا ہے" کی شکل کے بیانات کے بارے میں درست ہے۔ اس اصطلاح کو موسٹوسکی (1959) نے ω-ماڈل کے تصور کو تقویت دینے کے طور پر متعارف کرایا تھا۔ سیٹ تھیوریٹک پراپرٹیز کے اشارے کے برعکس جن کا نام آرڈینلز کے ذریعہ رکھا گیا ہے، جیسے کہ-بتانے کی اہلیت، یہاں حرف β صرف ڈنوٹیشنل ہے۔ سیٹ تھیوری میں یہ شین فیلڈ کے مطلقیت تھیوریم کا نتیجہ ہے کہ تعمیری کائنات L ایک β-ماڈل ہے۔ تجزیہ میں β-ماڈل دوسرے درجے کے ریاضی کے ذیلی نظاموں کے الٹا ریاضی کے مطالعہ میں ظاہر ہوتے ہیں۔ اس تناظر میں، سیکنڈ آرڈر ریاضی کے ذیلی نظام کا β-ماڈل ایک ماڈل M ہے جہاں M سے پیرامیٹرز کے ساتھ کسی بھی σ11 فارمولے کے لیے، iff. p. 243 سیکنڈ آرڈر ریاضی کا ہر β-ماڈل بھی ایک ω-ماڈل ہے، کیونکہ ماڈل کے اندر کام کرنے سے ہم ثابت کر سکتے ہیں کہ <ایک اچھی ترتیب ہے، لہذا <واقعی ماڈل کے قدرتی نمبروں کی اچھی ترتیب ہے۔ β-ماڈلز کے لیے نامکمل تھیوریم موجود ہے، اگر T سیکنڈ آرڈر ریاضی کی زبان میں ایک تکراری محوری نظریہ ہے، اسی طرح کہ T + کا ماڈل کیسے ہے "T کا کوئی ماڈل نہیں ہے" اگر T کا ماڈل ہے، تو T + کا β-ماڈل ہے "اگر T کا β-ماڈل ہے تو T کے کوئی قابل شمار کوڈڈ β-ماڈل نہیں ہیں۔ اسی طرح کا تھیوریم کسی بھی قدرتی نمبر کے لیے βn-ماڈلز کے لیے ہے۔ β-ماڈلز پر مبنی محوریات دوسرے درجے کے ریاضی کے ذیلی نظاموں کی طاقتوں کی قدرتی باریک تقسیم فراہم کرتے ہیں، اور عکاسی کے اصولوں کو وضع کرنے کا ایک طریقہ بھی فراہم کرتے ہیں۔ مثال کے طور پر، اوور، اس بیان کے مساوی ہے "تمام [دوسرے درجے کی قسم کے] کے لیے، ایک قابل شمار β-ماڈل M موجود ہے جیسے کہ. p. 253 (قابل شمار ω-ماڈلز کو ان کے انٹیجرز کے سیٹوں سے ظاہر کیا جاتا ہے، اور ان کا اطمینان تجزیہ کی زبان میں ایک تعمیری تعریف کے ذریعے رسمی ہوتا ہے۔) نیز، ایک بار بار چلنے والی ماہلو کائنات (جسے اکثر کہا جاتا ہے) کے لیے کینونکل محور اسکیما کے ساتھ کے پی کو وسعت دینے والا نظریہ منطقی طور پر نظریہ δ-CA + BI + کے مساوی ہے (ہر حقیقی Π-فارمولا δ-CA کے β-ماڈل سے مطمئن ہوتا ہے)۔ مزید برآں، β-ماڈلز اور ہائپر جمپ کے درمیان ایک تعلق ہے، ثابت طور پر: انٹیجرز کے تمام سیٹوں کے لیے، ایک ہائپر جمپ ہے اگر ایک قابل گنتی β-ماڈل موجود ہے جیسے کہ. p. 251 حوالہ جات ریاضیاتی منطق