Van den Berg–Kesten inequality
امکان کے نظریہ میں، وین ڈین برگ کیسٹن (بی کے) عدم مساوات یا وین ڈین برگ کیسٹن ریمر (بی کے آر) عدم مساوات میں کہا گیا ہے کہ دو بے ترتیب واقعات کے ہونے کا امکان، اور ایک ہی وقت میں یہ ظاہر کرنے کے لیے "جداگانہ سرٹیفکیٹ" مل سکتے ہیں کہ وہ دونوں ہوتے ہیں، زیادہ تر ان کے انفرادی امکانات کی پیداوار ہے۔ دو یک سنگی واقعات کے لیے خصوصی کیس (یہ تصور جیسا کہ ایف کے جی عدم مساوات میں استعمال ہوتا ہے) سب سے پہلے 1985 میں وین ڈین برگ اور کیسٹن نے ثابت کیا تھا، جنہوں نے یہ بھی قیاس کیا کہ عدم مساوات عام طور پر برقرار ہے، جس میں یک سنگی کی ضرورت نہیں ہے۔ بعد میں اس قیاس کو ثابت کیا۔ عدم مساوات کا اطلاق پروڈکٹ ڈھانچے کے ساتھ امکانی جگہوں پر ہوتا ہے، جیسے کہ پرکولیشن کے مسائل میں۔ بیان ممکنہ خالی جگہیں ہونے دیں، ہر ایک محدود طور پر بہت سے عناصر میں سے ہے۔ عدم مساوات فارم کی خالی جگہوں پر لاگو ہوتی ہے، جو پروڈکٹ کی پیمائش سے لیس ہوتی ہے، تاکہ ہر عنصر کو امکان دیا جائے۔ دو واقعات کے لیے، ان کے جداگانہ واقع کی تعریف اس واقعہ کے طور پر کی جاتی ہے جو ترتیبات پر مشتمل ہوتا ہے جس کی رکنیت انڈیکس کے جداگانہ ذیلی سیٹوں پر تصدیق کی جا سکتی ہے۔ رسمی طور پر، اگر اس طرح کے ذیلی مجموعے موجود ہیں: ان سب کے لیے جو (دوسرے الفاظ میں،) پر متفق ہیں، وہ بھی ان میں ہیں اور اسی طرح ہر وہ جو اس سے متفق ہے وہ ان میں ہے۔ عدم مساوات کا دعوی ہے کہ: واقعات اور مثالوں کے ہر جوڑے کے لیے سکے ٹاس ہوتے ہیں۔ اگر کسی منصفانہ سکے کے اوقات کو ٹاس کرنے سے مطابقت رکھتا ہے، تو ہر ایک دو ممکنہ نتائج، سروں یا دم پر مشتمل ہوتا ہے، جس میں مساوی امکان ہوتا ہے۔ اس واقعہ پر غور کریں کہ لگاتار 3 سر موجود ہیں، اور اس واقعہ پر کہ مجموعی طور پر کم از کم 5 سر موجود ہیں۔ پھر مندرجہ ذیل واقعہ ہوگا: لگاتار 3 سر ہیں، اور ان کو چھوڑ کر مزید 5 سر باقی ہیں۔ اس ایونٹ میں زیادہ سے زیادہ امکان ہے جس کا مطلب ہے کہ ایک دوسرے سے آزاد، 10 ٹاس میں آنے، اور مزید 10 ٹاس میں آنے کا امکان ہے۔ عددی طور پر، اور ان کے جداگانہ ہونے کا مطلب کم از کم 8 سر ہوں گے، لہذا کسی گراف کے (برنولی) بانڈ پرکولیشن میں، 's کو کناروں کے لحاظ سے انڈیکس کیا جاتا ہے۔ ہر کنارے کو کچھ امکانات کے ساتھ رکھا جاتا ہے (یا "کھلا") یا دوسری صورت میں ہٹا دیا جاتا ہے (یا "بند")، دوسرے کناروں سے آزاد، اور ایک بقیہ گراف کے رابطے کے بارے میں سوالات کا مطالعہ کرتا ہے، مثال کے طور پر واقعہ کہ دو عمودی کے درمیان راستہ ہے اور صرف کھلے کناروں کا استعمال کرتے ہوئے۔ اس طرح کے واقعات کے لیے، جداگانہ واقعہ وہ واقعہ ہے جہاں دو کھلے راستے موجود ہوتے ہیں جو کسی بھی کناروں کا اشتراک نہیں کرتے ہیں (ذیلی سیٹوں کے مطابق اور تعریف میں)، جیسے کہ پہلا جو کنکشن فراہم کرتا ہے اور دوسرا اس کے لیے درکار ہے۔ عدم مساوات کو ذیلی تنقیدی نظام میں ایکسپونینشل ڈیک رجحان کے ایک ورژن کو ثابت کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، یعنی کہ مناسب طور پر بیان کردہ تنقیدی امکان کے لیے انٹیجر لیٹس گراف پر، اصل پر مشتمل منسلک جزو کا رداس تیزی سے چھوٹی دموں کے ساتھ تقسیم کی اطاعت کرتا ہے: کچھ مستقل کے لیے یہاں عمودی حصوں پر مشتمل ہوتا ہے جو توسیعات کو مطمئن کرتا ہے۔ متعدد واقعات جب تین یا زیادہ واقعات ہوتے ہیں، تو آپریٹر ایسوسی ایٹیو نہیں ہو سکتا، کیونکہ انڈیکس کا ایک ذیلی سیٹ دیا گیا ہے جس پر ہو سکتا ہے: مثال کے طور پر، ایک واقعہ موجود ہے کہ اس کے باوجود، کوئی بھی واقعات کے-ary بی کے آر آپریشن کو ترتیبات کے مجموعے کے طور پر بیان کر سکتا ہے جہاں اشاریہ جات کے جوڑی کے لحاظ سے جداگانہ ذیلی سیٹ ہوتے ہیں جیسے کہ اس میں رکنیت کا گواہ ہوتا ہے۔ یہ عمل مطمئن کرتا ہے: جہاں سے اصل بی کے عدم مساوات کے بار بار استعمال سے۔ یہ عدم مساوات فلوریڈا لاٹری کے فاتح اعداد و شمار کا تجزیہ کرنے اور ریاضی میگزین کے "ناقابل یقین حد تک خوش قسمت" افراد کی نشاندہی کرنے کے لیے استعمال ہونے والا ایک عنصر تھا، جس کی بعد میں نفاذ کی تحقیقات کے ذریعے تصدیق کی گئی کہ قانون کی خلاف ورزیاں شامل تھیں۔ بڑی کارڈینالیٹی کی جگہیں جب لامحدود ہونے کی اجازت دی جاتی ہے تو پیمائش کے نظریاتی مسائل پیدا ہوتے ہیں۔ لیبسگیو پیمائش کے لیے، پیمائش کے قابل ذیلی سیٹ ایسے ہیں جو ناقابل پیمائش ہیں (اس لیے عدم مساوات کی وضاحت نہیں کی گئی ہے)، لیکن مندرجہ ذیل تھیوریم اب بھی برقرار ہے: اگر لیبسگیو پیمائش کے قابل ہیں، تو کچھ بوریل سیٹ اس طرح ہے کہ: اور حوالہ جات پرکولیشن تھیوری ممکنہ عدم مساوات