Gaudin model
طبیعیات میں، گاؤڈن ماڈل، جسے بعض اوقات کوانٹم گاؤڈن ماڈل بھی کہا جاتا ہے، شماریاتی میکانکس میں ایک ماڈل، یا ماڈلز کی ایک بڑی کلاس ہے، جسے سب سے پہلے مائیکل گاؤڈن نے اپنے آسان ترین معاملے میں بیان کیا تھا۔ وہ بالکل قابل حل ماڈل ہیں، اور کوانٹم اسپن چینز کی مثالیں بھی ہیں۔ سب سے آسان کیس کو سب سے پہلے مشیل گاؤڈن نے 1976 میں بیان کیا تھا، جس سے وابستہ لائ الجبرا کو دو جہتی خصوصی لکیری گروپ سمجھا جاتا ہے۔ ریاضیاتی تشکیل ایک محدود جہت کا نیم سادہ جھوٹ الجبرا ہونے دیں۔ ایک مثبت عدد ہونے دیں۔ پیچیدہ سطح پر، مختلف نکات کا انتخاب کریں۔ غالب انٹیگرل عنصر سے مطابقت رکھنے والی محدود جہتی ناقابل تلافی نمائندگی سے ظاہر کریں۔ آئیے غالب انٹیگرل وزن کا ایک مجموعہ بنیں۔ ٹینسر پروڈکٹ کی وضاحت کریں۔ اس کے بعد ماڈل کو آپریٹرز کے ایک سیٹ کے ذریعے متعین کیا جاتا ہے، جسے گاؤڈن ہیملٹنین کے نام سے جانا جاتا ہے۔ ان کی وضاحت اس طرح کی گئی ہے۔ غیر متغیر اسکیلر پروڈکٹ کے ذریعے نشان زد کریں (اسے اکثر قتل کی شکل سمجھا جاتا ہے)۔ اسکیلر پروڈکٹ کے ذریعے دی گئی دوہری بنیاد بنیں اور بنیں۔ کسی عنصر کے لیے، آپریٹر کی طرف سے اشارہ کریں جو دوسرے عوامل کے th فیکٹر اور شناخت کے طور پر کام کرتا ہے۔ پھر یہ آپریٹر باہمی طور پر آمد و رفت کر رہے ہیں۔ گاؤڈن ماڈلز کے نظریہ میں دلچسپی کا ایک مسئلہ ان آپریٹرز کے بیک وقت آئجین ویکٹرز اور آئجین ویلیوز تلاش کرنا ہے۔ متعدد گاؤڈن ہیملٹنین کے ساتھ کام کرنے کے بجائے، ایک اور آپریٹر ہے، جسے بعض اوقات گاؤڈن ہیملٹنین کہا جاتا ہے۔ یہ ایک پیچیدہ پیرامیٹر پر منحصر ہے، اور کواڈریٹک کاسیمیر پر بھی، جو کہ عالمگیر لفافے والے الجبرا کا ایک عنصر ہے، جس کی تعریف اس طرح کی گئی ہے۔ یہ نمائندگی پر مبنی نمبر سے ضرب دے کر نمائندگی پر عمل کرتا ہے، جس کی نشاندہی کی جاتی ہے۔ اسے بعض اوقات نمائندگی کا اشاریہ کہا جاتا ہے۔ اس کے بعد گاؤڈن ہیملٹنین کی تعیین تعیین کی مختلف اقدار کے لیے تعیین تعیین سے کی جاتی ہے۔ اعلی گاؤڈن ہیملٹنین جب درجہ 1 سے زیادہ ہوتا ہے، تو گاؤڈن ہیملٹنین کے ذریعے پھیلا ہوا آمد و رفت الجبرا اور شناخت کو ایک بڑے آمد و رفت الجبرا تک بڑھایا جا سکتا ہے، جسے گاؤڈن الجبرا کہا جاتا ہے۔ اسی طرح ہریش-چندرا آئسومورفزم کے ساتھ، ان آنے جانے والے عناصر کی ڈگریاں وابستہ ہیں، اور خاص طور پر گاؤڈن ہیملٹنین الجبرا کے ڈگری 2 حصے کی تشکیل کرتے ہیں۔ کیونکہ، گاؤڈن ہیملٹنین اور شناخت گاؤڈن الجبرا پر محیط ہیں۔ ایک اور آنے جانے والا الجبرا ہے جو 'یونیورسل' ہے، جو سائٹس اور وزن کے کسی بھی انتخاب کے لیے گاؤڈن الجبرا کی بنیاد پر ہے، جسے فیگن-فرینکل سینٹر کہا جاتا ہے۔ یہاں دیکھیں۔ پھر گاؤڈن الجبرا کے آئجین ویکٹر الجبرا پر لکیری فنکشنلز کی وضاحت کرتے ہیں۔ اگر گاؤڈن الجبرا کا ایک عنصر ہے، اور گاؤڈن الجبرا کا ایک آئجین ویکٹر ہے، تو کوئی ایک لکیری فنکشنل حاصل کرتا ہے جو کہ گاؤڈن الجبرا کا ایک کردار کہا جاتا ہے۔ سپیکٹرم کا مسئلہ، یعنی گاؤڈن الجبرا کی آئجین ویلیوز اور بیک وقت آئجین ویکٹرز کا تعین کرنا، پھر گاؤڈن الجبرا پر حروف کا تعین کرنے کا معاملہ بن جاتا ہے۔ حل گاؤڈن ماڈل کے حل کا مطلب اکثر گاؤڈن ہیملٹنین یا گاؤڈن ہیملٹنین کے سپیکٹرم کا تعین کرنا ہوتا ہے۔ حل کے کئی طریقے ہیں، جن میں الجبرائی بیتھ انساتز بھی شامل ہے، جو کہ گاؤڈن کی طرف سے متغیرات کو الگ کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے، جسے اسکلیانن ارتباط افعال/اوپرس کے ذریعے استعمال کیا جاتا ہے، جس میں فیگن، فرینکل اور ریشیٹخین کے ذریعے بیان کردہ طریقہ استعمال کیا جاتا ہے۔ الجبرائی بیتھ اینساٹز ایس ایل 2 کے لیے، معیاری بنیاد ہونے دیں۔ کسی بھی کے لیے، آپریٹر ویلیوڈ میرومورفک فنکشن کی وضاحت کی جا سکتی ہے۔ اس کا ریسیڈیو ہے، جبکہ 'فل' ٹینسر کی نمائندگی ہے۔ کئی مفید خصوصیات کو پورا کرتے ہیں لیکن نمائندگی نہیں بناتے ہیں: تیسری خاصیت مفید ہے کیونکہ یہ ہمیں اس کے حوالے سے ڈائیگنلائز کرنے کی بھی اجازت دیتی ہے، جس کے لیے ایک ڈائیگنل (لیکن ڈیجینریٹ) بنیاد معلوم ہے۔ سائٹس اور وزن کے لحاظ سے مخصوص گاؤڈن ماڈل کے لیے، ویکیوم ویکٹر کو ہر نمائندگی سے سب سے زیادہ وزن کی حالتوں کے ٹینسر پروڈکٹ کے طور پر بیان کریں: ایک بیتھی ویکٹر (اسپن انحراف کا) کے لیے فارم کا ایک ویکٹر ہے۔ بیتھ ویکٹروں کی شکل کے آئجین ویکٹروں کا اندازہ لگانا بیتھ انساتز ہے۔ یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ بیتھی ویکٹر گاؤڈن ہیملٹنین کا ایک آئجین ویکٹر ہے اگر مساوات کا مجموعہ 1 اور 1 کے درمیان ہر ایک کے لیے ہو۔ یہ اسپن انحراف کے لیے بیتھ انساتز مساوات ہیں۔ نظریہ میں، بیتھ انساتز مساوات کو گاؤڈن ہیملٹنین کے آئجین ویکٹرز اور آئجین ویلیوز دینے کے لیے حل کیا جا سکتا ہے۔ عملی طور پر، اگر مساوات کو سپیکٹرم کے مسئلے کو مکمل طور پر حل کرنا ہے، تو کسی کو یہ بھی چیک کرنا چاہیے کہ بیتھ مساوات کی طرف سے پیش کردہ حل کی تعداد حل کی کثرت اگر، سائٹس اور وزن کی ایک مخصوص ترتیب کے لیے، بیتھ انساتز تمام آئجین ویکٹرز پیدا کرتا ہے، تو کہا جاتا ہے کہ یہ گاؤڈن ماڈل کی اس ترتیب کے لیے مکمل ہے۔ گاؤڈن نمونوں کی مثالیں بنانا ممکن ہے جو نامکمل ہیں۔ گوڈین ماڈلز کے نظریہ میں ایک مسئلہ یہ ہے کہ اس بات کا تعین کیا جائے کہ دی گئی ترتیب کب مکمل ہے یا نہیں، یا کم از کم 'ماڈلز کی جگہ' کو نمایاں کریں جس کے لیے بیتھ انساتز مکمل ہے۔ عام پیچیدہ سادہ جی اینالاگس کے لیے بیتھ انساتز مساوات کو اعلی درجے کے لائ الجبرا کے لیے اخذ کیا جا سکتا ہے۔ تاہم، ان کو حاصل کرنا اور حل کرنا معاملے سے کہیں زیادہ مشکل ہے۔ مزید برآں، 1 سے زیادہ رینک کے لیے، یعنی دیگر تمام کے علاوہ، اعلی گاؤڈن ہیملٹنین ہیں، جن کے لیے یہ معلوم نہیں ہے کہ بیتھ انساتز کو کس طرح عام کیا جائے۔ او ڈی ای/آئی ایم آئسومورفزم گاؤڈن الجبرا (یا یونیورسل فیگن-فرینکل سینٹر) کے درمیان ایک او ڈی ای/آئی ایم آئسومورفزم ہے، جو تھیوری کے لیے 'انٹیگرلز آف موشن' ہیں، اور اوپرس، جو اس معاملے میں عام تفریقی آپریٹرز ہیں۔ عام فہمیاں موجود ہیں جو سختی سے نیم سادہ جھوٹ الجبرا ہونے کی پابندی کو کمزور کرنے سے پیدا ہوتی ہیں۔ مثال کے طور پر، جب ایک افائن لائ الجبرا ہونے کی اجازت دی جاتی ہے، تو اس ماڈل کو افائن گاؤڈن ماڈل کہا جاتا ہے۔ عام کرنے کا ایک مختلف طریقہ یہ ہے کہ کسی خاص لائ الجبرا کی ترجیحی آٹومورفزم کا انتخاب کیا جائے۔ اس کے بعد کوئی بھی ہیملٹنین کی وضاحت کر سکتا ہے جو آٹومورفزم کے عمل کے تحت اچھی طرح سے تبدیل ہوتے ہیں۔ اس طرح کے ماڈلز کی ایک کلاس سائکلوٹومیک گاؤڈن ماڈل ہیں۔ کلاسیکی گاؤڈن ماڈل کا تصور بھی موجود ہے۔ تاریخی طور پر، زیادہ تر جسمانی نظاموں کے برعکس، کوانٹم گاؤڈن ماڈل کی وضاحت اور مطالعہ پہلے کیا گیا تھا۔ کچھ کلاسیکی انٹیگریبل فیلڈ تھیوریوں کو کلاسیکی ڈائیڈرل افائن گاؤڈن ماڈل کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ لہذا، کوانٹم افائن گاؤڈن ماڈلز کو سمجھنے سے کوانٹم انٹیگریبل فیلڈ تھیوریز کے انٹیگریبل ڈھانچے کو سمجھنے میں مدد مل سکتی ہے۔ اس طرح کے کلاسیکی فیلڈ تھیوریز میں پرنسپل چیرل ماڈل، کوسیٹ سگما ماڈل اور افائن ٹوڈا فیلڈ تھیوری شامل ہیں۔ حوالہ جات بیرونی روابط این لیب میں گاؤڈن انٹیگریبل ماڈل (ویڈیو میں 8:40 سے 15:14 دیکھیں۔) اسپن ماڈل کوانٹم لیٹس ماڈل کوانٹم مقناطیسیت