Ordinal Pareto efficiency
عام پیریٹو کارکردگی سے مراد پیریٹو کارکردگی کے تصور کی ترتیبات میں کئی موافقت ہے جس میں ایجنٹ صرف اشیاء پر عام افادیت کا اظہار کرتے ہیں، لیکن بنڈلوں پر نہیں۔ یعنی ایجنٹ اشیاء کو بہترین سے بدترین درجہ دیتے ہیں، لیکن وہ اشیاء کے ذیلی سیٹوں کی درجہ بندی نہیں کرتے۔ خاص طور پر، وہ ہر آئٹم کے لیے عددی قدر کی وضاحت نہیں کرتے ہیں۔ اس سے اس بارے میں ابہام پیدا ہو سکتا ہے کہ آیا کچھ مختص پارٹو موثر ہیں یا نہیں۔ مثال کے طور پر، تین آئٹمز اور دو ایجنٹوں والی معیشت پر غور کریں، جس کی درج ذیل درجہ بندی ہو: ایلس: x> y> z۔ جارج: x> z> y۔ مختص پر غور کریں [ایلس: x، جارج: y، z]۔ یہ مختص پارٹو موثر ہے یا نہیں اس کا انحصار ایجنٹوں کی عددی قیمتوں پر ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر: یہ ممکن ہے کہ ایلس {y, z} کو {x} سے ترجیح دے اور جارج {x} کو {y, z} سے ترجیح دے (مثال کے طور پر: x، y، z کے لیے ایلس کی ویلیوایشن 8,7,6 ہیں اور جارج کی ویلیوایشن 7,1,2 ہیں، اس لیے یوٹیلیٹی پروفائل 8,3 ہے)۔ پھر مختص پارٹو موثر نہیں ہے، کیونکہ ایلس اور جارج دونوں اپنے بنڈلوں کا تبادلہ کر کے بہتر ہوں گے (یوٹیلیٹی پروفائل 13,7 ہوگا)۔ اس کے برعکس، یہ ممکن ہے کہ ایلس {x} کو {y, z} سے ترجیح دے اور جارج {y, z} کو {x} سے ترجیح دے (مثال کے طور پر: ایلس کی ویلیوایشن 12,4,2 اور جارج کی ویلیوایشن 6,3,4 ہیں)۔ پھر الاٹمنٹ پیریٹو ایفیشنٹ ہے: کسی بھی دوسری الاٹمنٹ میں، اگر ایلس کو اب بھی x ملتا ہے، تو جارج کی افادیت کم ہے ؛ اگر ایلس کو x نہیں ملتا ہے، تو ایلس کی افادیت کم ہے۔ مزید برآں، الاٹمنٹ پیریٹو ایفیشنٹ ہے یہاں تک کہ اگر آئٹمز قابل تقسیم ہوں (یعنی، یہ جزوی طور پر پیریٹو ایفیشنٹ ہے): اگر ایلس جارج کو x کی کوئی بھی رقم فراہم کرتی ہے، تو جارج کو اسے کم از کم 3r کا y یا 6r کا z دینا ہوگا تاکہ اس کی افادیت کو اسی سطح پر رکھا جا سکے۔ لیکن پھر جارج کی افادیت 6r-9r یا 6r-24r سے بدل جائے گی، جو کہ منفی ہے۔ چونکہ الاٹمنٹ کی پیریٹو کارکردگی بنڈلوں کی درجہ بندی پر منحصر ہوتی ہے، اس لیے یہ واضح نہیں ہے کہ جب صرف آئٹمز کی درجہ بندی دی جاتی ہے تو الاٹمنٹ کی کارکردگی کا تعین کیسے کیا جائے۔ تعریف ایک الاٹمنٹ X = (X1,., Xn) پیریٹو ایک اور الاٹمنٹ Y = (Y1,., Yn) کو غالب کرتا ہے، اگر ہر ایجنٹ i کمزور طور پر بنڈل Xi کو بنڈل Yi سے ترجیح دیتا ہے، اور کم از کم ایک ایجنٹ J سختی سے Xj سے Yj کو ترجیح دیتا ہے۔ ایک الاٹمنٹ X پیریٹو ایفیشنٹ ہے اگر کوئی دوسری الاٹمنٹ پیریٹو پر غالب نہ ہو۔ بعض اوقات، ڈسکریٹ-پیریٹو-ایفیشنسی کے درمیان فرق کیا جاتا ہے، جس کا مطلب ہے کہ الاٹمنٹ پر ڈسکریٹ الاٹمنٹ کا غلبہ نہیں ہے، اور فریکشنل پیریٹو ایفیشنسی کا مضبوط تصور، جس کا مطلب ہے کہ الاٹمنٹ پر فریکشنل الاٹمنٹ کا بھی غلبہ نہیں ہے۔ مندرجہ بالا تعریفیں ایجنٹوں کی بنڈلوں (آئٹمز کے سیٹوں) کی درجہ بندی پر منحصر ہیں۔ ہماری ترتیب میں، ایجنٹ صرف اشیاء کی اپنی درجہ بندی کی اطلاع دیتے ہیں۔ بنڈل کی درجہ بندی کو آئٹم کی درجہ بندی کے مطابق کہا جاتا ہے اگر یہ سنگلٹن بنڈلوں کو اسی ترتیب میں درجہ بندی کرتا ہے جس میں ان میں موجود اشیاء ہوتی ہیں۔ مثال کے طور پر، اگر ایلس کی درجہ بندی ہے، تو کسی بھی مستقل بنڈل کی درجہ بندی میں {w} <{x} <{y} <{z] ہونا ضروری ہے۔ اکثر، کوئی بھی اجازت شدہ بنڈل کی درجہ بندی کے سیٹ پر اضافی مفروضے کرتا ہے، جو مستقل مزاجی پر اضافی پابندیاں عائد کرتا ہے۔ مثالی مفروضے یہ ہیں: یکسانیت: کسی چیز کو بنڈل میں شامل کرنا ہمیشہ بنڈل کو بہتر بناتا ہے۔ یہ اس مفروضے سے مطابقت رکھتا ہے کہ تمام اشیاء اچھی ہیں۔ اس طرح، ایلس کی بنڈل کی درجہ بندی ہونی چاہیے۔ {y} <{y, x}۔ ذمہ داری: کسی آئٹم کو بہتر آئٹم سے تبدیل کرنا ہمیشہ بنڈل کو بہتر بناتا ہے۔ اس طرح، ایلس کی بنڈل کی درجہ بندی ہونی چاہیے۔ {w, x} <{w, y} <{x, y} <{x, z}۔ یہ مستقل مزاجی سے زیادہ مضبوط ہے۔ اضطراب: ایجنٹ ہر آئٹم کو ایک قدر تفویض کرتا ہے، اور ہر بنڈل کو اس کے مندرجات کے مجموعے پر قدر کرتا ہے۔ یہ مفروضہ ذمہ داری سے زیادہ مضبوط ہے۔ مثال کے طور پر، اگر ایلس کی درجہ بندی {x, y} <{z} ہے تو اسے {w, x, y} <{w, z} کی درجہ بندی کرنی ہوگی۔ لیکسیکگرافک: ایجنٹ ہمیشہ ایک بنڈل کی درجہ بندی کرتا ہے جس میں کسی بھی بنڈل کے اوپر کچھ آئٹم x ہوتا ہے جس میں صرف x سے کم درجہ کی اشیاء ہوتی ہیں۔ مندرجہ بالا مثال میں، ایلس کو {w, x, y} <{z} درجہ بندی کرنی چاہیے۔ ضروری پیریٹو ایفیشنسی برامس، ایڈیل مین اور فش برن ایک الاٹمنٹ پیریٹو کو یقینی بناتے ہیں اگر یہ تمام بنڈل رینکنگ کے لیے پیریٹو ایفیشنٹ ہے جو ایجنٹوں کی آئٹم رینکنگ کے مطابق ہے (وہ تمام مونوٹونک اور رسپانسیو بنڈل رینکنگ کی اجازت دیتے ہیں)۔ مثال کے طور پر: اگر ایجنٹوں کی قیمتوں کو مثبت سمجھا جاتا ہے، تو ایک ایجنٹ کو تمام اشیاء دینے والا ہر الاٹمنٹ پیریٹو-اسنیورنگ ہے۔ اگر ایلس کی درجہ بندی x> y ہے اور جارج کی درجہ بندی y> x ہے، تو مختص [ایلس: x، جارج: y] پیریٹو-تصدیق ہے۔ اگر ایلس کی درجہ بندی x> y> z ہے اور جارج کی درجہ بندی x> z> y ہے اور مختص رقم مجرد ہونی چاہیے، تو الاٹمنٹ [ایلس: x, y ؛ جارج: z] پیریٹو-اسنیورنگ ہے۔ مندرجہ بالا درجہ بندی کے ساتھ، الاٹمنٹ [ایلس: x، جارج: y، z] پیریٹو کی ضمانت نہیں ہے۔ جیسا کہ تعارف میں بیان کیا گیا ہے، یہ پیریٹو موثر نہیں ہے مثال کے طور پر۔ جب x، y، z کے لیے ایلس کی ویلیوایشن 8,7,6 ہو اور جارج کی ویلیوایشن 7,1,2 ہو۔ نوٹ کریں کہ یہ دونوں قیمتیں ایجنٹوں کی درجہ بندی کے مطابق ہیں۔ بوویریٹ، اینڈریس اور لینگ۔ مساوی تعریف استعمال کریں۔ ان کا کہنا ہے کہ اگر ایجنٹوں کی آئٹم رینکنگ کے مطابق کچھ بنڈل رینکنگ موجود ہے، جس کے لیے X PARETO-Y پر غلبہ رکھتا ہے، تو ایک الاٹمنٹ X ممکنہ طور پر PARETO-ایک الاٹمنٹ Y پر غلبہ رکھتا ہے۔ ایک الاٹمنٹ کو ضروری طور پر پیریٹو ایفیشنٹ (این ای سی پی ای) کہا جاتا ہے اگر کوئی دوسری الاٹمنٹ ممکنہ طور پر پیریٹو پر غالب نہ ہو۔ دونوں تعریفیں منطقی طور پر مساوی ہیں: "X پیریٹو-اسنورنگ ہے" "ہر مستقل بنڈل رینکنگ کے لیے، ہر دوسرے الاٹمنٹ Y کے لیے، Y پیریٹو-ڈومینیٹ X نہیں کرتا" کے مساوی ہے۔ "X is NecPE" اس کے مساوی ہے "ہر دوسرے الاٹمنٹ Y کے لیے، ہر مستقل بنڈل رینکنگ کے لیے، Y، X پر غالب نہیں ہے"۔ "سب کے لیے" کوانٹیفایئرز کی ترتیب کا تبادلہ منطقی معنی کو تبدیل نہیں کرتا ہے۔ این ای سی پی ای کی شرط یکساں رہتی ہے چاہے ہم تمام اضافی بنڈل کی درجہ بندی کی اجازت دیں، یا ہم صرف ایسی درجہ بندی کی اجازت دیتے ہیں جو کم ہوتے ہوئے اختلافات کے ساتھ اضافی قیمتوں پر مبنی ہو۔ وجود این ای سی پی ای ایک بہت مضبوط ضرورت ہے، جسے اکثر پورا نہیں کیا جا سکتا۔ مثال کے طور پر، فرض کریں کہ دو ایجنٹوں کی آئٹم کی درجہ بندی ایک جیسی ہے۔ ایلس کا کہنا ہے کہ ان میں سے ایک کو لازمی طور پر سب سے کم درجہ بندی والی چیز ملتی ہے۔ مستقل اضافی بنڈل رینکنگز ہیں جن میں ایلیسیس اس آئٹم کی قدر 0 پر کرتا ہے جبکہ جارج اس کی قدر 1 پر کرتا ہے۔ لہذا، اسے ایلس کو دینا پیریٹو موثر نہیں ہے۔ اگر ہم یہ چاہتے ہیں کہ تمام اشیاء کی سختی سے مثبت قیمت ہو، تو تمام اشیاء کو ایک ہی ایجنٹ کو دینا معمولی طور پر این ای سی پی ای ہے، لیکن یہ بہت غیر منصفانہ ہے۔ اگر فریکشنل الاٹمنٹ کی اجازت ہے، تو کوئی این ای سی پی ای الاٹمنٹ نہیں ہو سکتی ہے جو دونوں ایجنٹوں کو مثبت قدر دیتی ہے۔ مثال کے طور پر، فرض کریں کہ ایلس اور جارج دونوں کی درجہ بندی x> y ہے۔ اگر دونوں کو مثبت قدر ملتی ہے، تو یا تو ایلس کو کچھ x ملتا ہے اور جارج کو کچھ y ملتا ہے، یا اس کے برعکس۔ سابقہ صورت میں، یہ ممکن ہے کہ ایلس کی قیمتیں مثال کے طور پر ہوں۔ 4, 2 اور جارج کی قیمتیں 8,1 ہیں، لہذا ایلس ایکس کی ایک چھوٹی سی رقم کو 3r کی ایک چھوٹی سی رقم کے ساتھ تبدیل کر سکتی ہے۔ ایلس 6r-4r حاصل کرتی ہے اور جارج 8r-3r حاصل کرتا ہے، لہذا دونوں فوائد مثبت ہیں۔ مؤخر الذکر معاملے میں، ایک مماثل دلیل موجود ہے۔ ممکنہ پیریٹو کارکردگی برامس، ایڈیل مین اور فش برن ایک مختص پیریٹو کو ممکن کہتے ہیں اگر یہ کچھ بنڈل کی درجہ بندی کے لیے پیریٹو موثر ہے جو ایجنٹوں کی آئٹم کی درجہ بندی کے مطابق ہے۔ ظاہر ہے، ہر پیریٹو-اسنورنگ الاٹمنٹ پیریٹو ممکن ہے۔ اس کے علاوہ: اگر ایلس کی درجہ بندی x> y> z ہے اور جارج کی درجہ بندی x> z> y ہے، تو الاٹمنٹ [ایلس: x، جارج: y، z] پیریٹو ممکن ہے۔ جیسا کہ تعارف میں بیان کیا گیا ہے، یہ پیریٹو موثر ہے مثال کے طور پر۔ جب x، y، z کے لیے ایلس کی ویلیوایشن 12,4,2 ہو اور جارج کی ویلیوایشن 6,3,4 ہو۔ نوٹ کریں کہ یہ دونوں قیمتیں ایجنٹوں کی درجہ بندی کے مطابق ہیں۔ اگر ایلس کی درجہ بندی x> y ہے اور جارج کی درجہ بندی y> x ہے، تو الاٹمنٹ [ایلس: y، جارج: x] پارٹو ممکن نہیں ہے، کیونکہ اس میں ہمیشہ پارٹو کا غلبہ الاٹمنٹ [ایلس: x، جارج: y] پر ہوتا ہے۔ بوویریٹ، اینڈریس اور لینگ۔ ایک مختلف تعریف استعمال کریں۔ ان کا کہنا ہے کہ اگر ایجنٹوں کی آئٹم رینکنگ کے مطابق تمام بنڈل رینکنگ کے لیے، X PARETO-Y پر غلبہ حاصل کرتا ہے تو ایک الاٹمنٹ X لازمی طور پر ایک الاٹمنٹ Y پر PARETO کا غلبہ رکھتا ہے۔ ایک الاٹمنٹ کو ممکنہ طور پر-پیریٹو-ایفیشنٹ (پی او ایس پی ای) کہا جاتا ہے اگر کوئی دوسری الاٹمنٹ ضروری نہیں کہ-پیریٹو-غالب ہو۔ یہ دونوں تعریفیں منطقی طور پر مساوی نہیں ہیں: "X پارٹو ممکن ہے" اس کے مساوی ہے "ایک مستقل بنڈل درجہ بندی موجود ہے جس کے لیے، ہر دوسرے الاٹمنٹ Y کے لیے، Y X پر حاوی نہیں ہے"۔ یہ دیگر تمام مختص Y کے لیے ایک ہی بنڈل کی درجہ بندی ہونی چاہیے۔ "X پوسپے ہے" اس کے مساوی ہے "ہر دوسرے الاٹمنٹ Y کے لیے، ایک مستقل بنڈل رینکنگ موجود ہے، جس کے لیے Y X پر حاوی نہیں ہے"۔ ہر دوسرے الاٹمنٹ Y کے لیے ایک مختلف بنڈل رینکنگ ہو سکتی ہے۔ اگر X پیریٹو ممکن ہے تو یہ پوسپے ہے، لیکن دوسرا مطلب (منطقی طور پر) درست نہیں ہے۔ پیریٹو-ممکنہ شرط وہی رہتی ہے چاہے ہم تمام اضافی بنڈل کی درجہ بندی کی اجازت دیں، یا ہم صرف ایسی درجہ بندی کی اجازت دیتے ہیں جو کم ہوتے ہوئے اختلافات کے ساتھ اضافی قیمتوں پر مبنی ہو۔ اسٹوکاسٹک-ڈومیننس پیریٹو-ایفیشنسی بوگومولنیا اور مولن منصفانہ بے ترتیب تفویض کی ترتیب کے لیے ایک کارکردگی کا تصور پیش کرتے ہیں (جہاں بنڈل کی درجہ بندی اضافی ہوتی ہے، مختص رقم جزوی ہوتی ہے، اور ہر ایجنٹ کو دیئے گئے حصوں کا مجموعہ زیادہ سے زیادہ 1 ہونا چاہیے)۔ یہ غیر تاریخی غلبہ کے تصور پر مبنی ہے۔ ہر ایجنٹ i کے لیے، ایک بنڈل ژی کمزور طریقے سے ایک بنڈل ژی پر غلبہ حاصل کرتا ہے (ڈبلیو ایس ڈی) اگر ہر آئٹم زیڈ کے لیے، ژی میں زیڈ سے بہتر آئٹمز کا کل حصہ کم از کم اتنا ہی بڑا ہے جتنا کہ یی میں ہے (اگر مختص کردہ مختصیاں مجرد ہیں، تو ژی ایس ڈی یی کا مطلب ہے کہ ہر آئٹم زیڈ کے لیے، ژی میں زیڈ سے بہتر آئٹمز کی تعداد کم از کم اتنی ہی بڑی ہے جتنی کہ یی میں ہے)۔ ایس ڈی ریلیشن کی کئی مساوی تعریفیں ہیں ؛ رسپانسیو سیٹ ایکسٹینشن دیکھیں۔ خاص طور پر، ژی ایس ڈی یی اگر اور صرف-اگر، آئٹم کی درجہ بندی کے مطابق ہر بنڈل کی درجہ بندی کے لیے، ژی کم از کم اتنا ہی اچھا ہے جتنا کہ ی۔ ایک بنڈل ژی سختی سے ایک بنڈل ی پر (ایس ایس ڈی) غلبہ حاصل کرتا ہے اگر ژی ڈبلیو ایس ڈی ی اور ژی  ऒत्त ی۔ مساوی طور پر، کم از کم ایک آئٹم z کے لیے، "کم از کم اتنا بڑا جتنا Yi میں ہے" "Yi سے سختی سے بڑا" ہو جاتا ہے۔ ایس ایس ڈی رشتے میں "ژی>> یی" لکھا جاتا ہے۔ ایک الاٹمنٹ X = (X1,., Xn) دوسرے الاٹمنٹ Y = (Y1,., Yn) پر مستحکم طور پر حاوی ہے، اگر ہر ایجنٹ i: Xi wsd Yi، اور Y ष्ण X کے لیے (مساوی طور پر: کم از کم ایک ایجنٹ i، Xi ssd Yi کے لیے)۔ اسٹوچسٹک تسلط میں مختص کے درمیان تعلق کو "X>> Y" کے طور پر بھی لکھا جاتا ہے۔ یہ ضروری پیریٹو ڈومینیشن کے برابر ہے۔ ایک الاٹمنٹ کو ایس ڈی ایفیشنٹ کہا جاتا ہے (جسے عام طور پر ایفیشنٹ یا او ایفیشنٹ بھی کہا جاتا ہے) اگر کوئی ایسی الاٹمنٹ نہ ہو جو اس پر مستحکم ہو۔ یہ پی او ایس پی ای سے ملتا جلتا ہے، لیکن اس بات پر زور دیتا ہے کہ بنڈل کی درجہ بندی اضافی افادیت کے افعال پر مبنی ہونی چاہیے، اور مختص رقم جزوی ہو سکتی ہے۔ مساوات جیسا کہ اوپر بیان کیا گیا ہے، پیریو پوسیبل کا مطلب پوسپی ہے، لیکن دوسری سمت منطقی طور پر درست نہیں ہے۔ میک لینن ثابت کرتا ہے کہ وہ منصفانہ بے ترتیب تفویض کے مسئلے (سخت یا کمزور آئٹم کی درجہ بندی کے ساتھ) میں مساوی ہیں۔ خاص طور پر، وہ ثابت کرتا ہے کہ مندرجہ ذیل مساوی ہیں: (a) X ایس ڈی ایفیشنٹ ہے (یعنی، X پوسپ ہے) ؛ (b) ایجنٹوں کی آئٹم رینکنگ کے مطابق اضافی بنڈل رینکنگ موجود ہے جس کے لیے X جزوی طور پر پیریٹو ایفیشنٹ ہے (یعنی، X پیریٹو ممکن ہے) ؛ (c) ایجنٹوں کی آئٹم رینکنگ کے مطابق اضافی بنڈل رینکنگ موجود ہے جس کے لیے X ایجنٹوں کی افادیت کے مجموعے کو زیادہ سے زیادہ کرتا ہے۔ مضمرات (c) → (b) → (a) آسان ہیں ؛ چیلنجنگ حصہ یہ ثابت کرنا ہے کہ (a) → (c)۔ میک لینن نے پولی ہیڈرل علیحدگی ہائپرپلین تھیوریم کا استعمال کرتے ہوئے اسے ثابت کیا۔ بوگومولنیا اور مولن ایس ڈی کارکردگی کی ایک اور مفید خصوصیت ثابت کرتے ہیں، اسی منصفانہ بے ترتیب تفویض کی ترتیب کے لیے لیکن آئٹم کی سخت درجہ بندی کے ساتھ۔ دی گئی فریکشنل الاٹمنٹ کے ایکسچینج گراف کو ایک ہدایت شدہ گراف کے طور پر بیان کریں جس میں نوڈس آئٹمز ہیں، اور ایک آرک x → y iff موجود ہے جس میں ایک ایجنٹ i موجود ہے جو x کو ترجیح دیتا ہے اور y کا مثبت حصہ وصول کرتا ہے۔ اگر اس کے ایکسچینج گراف میں کوئی ڈائریکٹڈ سائیکل نہ ہو تو الاٹمنٹ کو ایسائکلک کے طور پر بیان کریں۔ پھر، ایک الاٹمنٹ ایس ڈی-ایفیشنٹ آئی ایف ایف یہ ایسائکلک ہے۔ فش برن نے ذمہ دار بنڈل کی درجہ بندی کے ساتھ مجرد بنڈلوں کے غلبے کے تعلقات پر درج ذیل مساوات کو ثابت کیا: اگر ژی>> یی (یعنی: ژی  ऒत्त ی، اور ہر آئٹم زیڈ کے لیے، ژی کے پاس کم از کم اتنی ہی اشیاء ہیں جو کم از کم زیڈ جتنی اچھی ہیں)، تو آئٹم کی درجہ بندی کے مطابق ہر ذمہ دار بنڈل کی درجہ بندی کے لیے، ژی> ی۔ اگر xi>> yi نہیں ہے، تو آئٹم رینکنگ کے مطابق کم از کم ایک ذمہ دار بنڈل رینکنگ موجود ہے، جس کے لیے xi <yi ہے۔ لہذا، متفرق مختص کے غلبے کے تعلقات کے لیے درج ذیل ہیں: X>> Y اگر X لازمی طور پر PARETO-غلبہ Y رکھتا ہے۔ پراپرٹیز اگر ژی ڈبلیو ایس ڈی یی، تو |Xi۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ، اگر |Xi | <|Yi |، تو اس ویلیوایشن کے لیے جو تمام آئٹمز کے لیے تقریبا ایک جیسی قیمت تفویض کرتی ہے، v (xi) <v (yi)۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ، اگر X ڈبلیو ایس ڈی Y اور X اور Y دونوں مکمل مختص ہیں (تمام اشیاء مختص ہیں)، تو ضروری ہے کہ تمام ایجنٹوں کے لیے |Xi | = |Yi |۔ دوسرے لفظوں میں، ایک مکمل الاٹمنٹ X پر لازمی طور پر صرف ایک الاٹمنٹ Y کا غلبہ ہو سکتا ہے جو ہر ایجنٹ کو اتنی ہی رقم تفویض کرتا ہے جتنی X کرتا ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ، خاص طور پر، اگر X تمام الاکیشنز کے سیٹ میں ایس ڈی ایفیشنٹ ہے جو ہر ایجنٹ کو بالکل 1 یونٹ دیتا ہے، تو X عام طور پر ایس ڈی ایفیشنٹ ہے۔ لیکسیکگرافک-غلبہ پیریٹو-کارکردگی چو لیکسیکگرافک غلبہ کی بنیاد پر منصفانہ بے ترتیب تفویض کی ترتیب کے لیے دو دیگر کارکردگی کے تصورات پیش کرتا ہے۔ ایک الاٹمنٹ X = (X1,., Xn) نیچے کی طرف-لکیکگرافک طور پر (dl) ایک اور الاٹمنٹ Y = (Y1,., Yn) پر حاوی ہے، اگر ہر ایجنٹ i کے لیے، Xi کمزور-dl-غالب Yi ہے، اور کم از کم ایک ایجنٹ j کے لیے، Xj سختی سے-dl-غالب Yj ہے۔ ایک الاٹمنٹ کو ڈی ایل ایفیشنٹ کہا جاتا ہے اگر کوئی اور الاٹمنٹ نہیں ہے جو اس پر غلبہ رکھتی ہے۔ اسی طرح، اوپر کی طرف الیکسکوگرافک (ال) تسلط کے تصور کی بنیاد پر، ایک الاٹمنٹ کو ال ایفیشنٹ کہا جاتا ہے اگر کوئی اور الاٹمنٹ نہ ہو جو اس پر غلبہ حاصل کرے۔ عام طور پر، ایس ڈی-ڈومینیشن سے مراد ڈی ایل-ڈومینیشن اور ال-ڈومینیشن ہے۔ لہذا، ڈی ایل-کارکردگی اور ال-کارکردگی کا مطلب ایس ڈی-کارکردگی ہے۔ مساوات منصفانہ بے ترتیب تفویض کی ترتیب پر غور کریں (بنڈل کی درجہ بندی اضافی ہے، مختص جزوی ہو سکتی ہے، اور ہر ایجنٹ کو دیا گیا کل حصہ 1 ہونا چاہیے)، سخت آئٹم کی درجہ بندی کے ساتھ، جہاں ایجنٹوں سے زیادہ آئٹمز ہو سکتی ہیں (لہذا کچھ آئٹمز غیر مختص رہ سکتی ہیں)۔ چو اور ڈوگن ثابت کرتے ہیں کہ، اس خاص معاملے میں، ڈی ایل-کارکردگی اور ال-کارکردگی ایس ڈی-کارکردگی کے برابر ہیں۔ خاص طور پر، وہ ثابت کرتے ہیں کہ اگر کوئی الاٹمنٹ X sd/ld/ul موثر ہے، تو: X کا ایکسچینج گراف ایسیکلک ہے، اور-X غیر فضول ہے ("فضول" کا مطلب ہے کہ کچھ ایجنٹ i، جو آئٹم x کا مثبت حصہ وصول کرتا ہے، کسی دوسری آئٹم y کو ترجیح دیتا ہے جو مکمل طور پر مختص نہیں ہے)۔ اگر تقسیم کی رکاوٹیں ہوں تو مساوات برقرار نہیں رہتی: ایسی مختصیاں ہیں جو ایس ڈی موثر ہیں لیکن ڈی ایل موثر نہیں ہیں۔ مزید پڑھنے میں عزیز، گیسپرز، میکنزی اور والش عمومی انصاف پسندی کے تصورات سے متعلق کمپیوٹیشنل مسائل کا مطالعہ کرتے ہیں۔ سیکشن 7 میں وہ مختصر طور پر ایس ڈی-پیریٹو-ایفیشنسی کا مطالعہ کرتے ہیں۔ ڈوگن، ڈوگن اور یلڈز الاٹمنٹ کے درمیان ایک مختلف تسلط کے تعلق کا مطالعہ کرتے ہیں: ایک الاٹمنٹ X ایک الاٹمنٹ Y پر حاوی ہے اگر یہ آئٹم کی درجہ بندی کے مطابق بنڈل رینکنگ کے بڑے سیٹ کے لیے پیریٹو موثر ہے۔ عبدالکادیروغلو اور سونمیز ایس ڈی کارکردگی اور سابق پوسٹ پیریٹو کارکردگی (بے ترتیب تفویض کے تناظر میں) کے درمیان تعلق کی تحقیقات کرتے ہیں۔ وہ تفویض کے سیٹوں کے لیے تسلط کا ایک نیا تصور متعارف کراتے ہیں، اور یہ ظاہر کرتے ہیں کہ اگر لاٹری کی حمایت کا ہر ذیلی سیٹ غیر نامزد ہے تو لاٹری ایس ڈی موثر ہے۔ حوالہ جات پیریٹو کی کارکردگی بے ترتیب متغیر ترتیب