Convergence proof techniques
کنورجنس پروف تکنیک ریاضیاتی ثبوتوں کے کینونکل اجزاء ہیں جو کہ ترتیب یا افعال ایک محدود حد تک یکجا ہوتے ہیں جب دلیل لامحدود کی طرف مائل ہوتی ہے۔ سیریز کی بہت سی قسمیں اور کنورجنس کے طریقے ہیں جن کے لیے مختلف تکنیکوں کی ضرورت ہوتی ہے۔ ذیل میں کچھ زیادہ عام مثالیں دی گئی ہیں۔ اس مضمون کا مقصد ایک تعارف ہے جس کا مقصد پریکٹیشنرز کو مناسب تکنیکوں کو تلاش کرنے میں مدد کرنا ہے۔ نیچے دیے گئے لنکس مزید تجریدی ترتیبات کے لیے ضروری شرائط اور عمومی خصوصیات کی تفصیلات فراہم کرتے ہیں۔ سیریز کے کنورجنس کا احاطہ پہلے ہی کنورجنس ٹیسٹ پر مضمون میں کیا گیا ہے۔ Rn میں کنورجنس کسی ترتیب یا فنکشن کے کنورجنس کو ثابت کرنا عام بات ہے، جہاں اور قدرتی اعداد اور حقیقی اعداد کا حوالہ دیتے ہیں، اور کنورجنس یوکلڈین معیار کے حوالے سے ہے۔ اس کے لیے مفید طریقے درج ذیل ہیں۔ پہلے اصول کسی حد کے ارتکاز کی تجزیاتی تعریف یہ ہے کہ سب کے لیے ایسا سب کے لیے موجود ہے۔ سب سے بنیادی ثبوت کی تکنیک اس طرح کے ثبوت کو تلاش کرنا اور مطلوبہ عدم مساوات کو ثابت کرنا ہے۔ اگر کی قیمت پہلے سے معلوم نہیں ہے، تو نیچے دی گئی تکنیکیں مفید ثابت ہو سکتی ہیں۔ کنٹریکشن میپنگ بہت سے معاملات میں، وہ فنکشن جس کا کنورجنس دلچسپی کا حامل ہے کچھ تبدیلی کی شکل رکھتا ہے۔ مثال کے طور پر، کچھ مطابقت پذیر میٹرکس کے لیے نقشہ بنایا جا سکتا ہے۔ متبادل طور پر، عنصر کے لحاظ سے عمل ہو سکتا ہے، جیسے کہ ہر عنصر کو اس کی شدت کے مربع جڑ سے تبدیل کرنا۔ ایسی صورتوں میں، اگر مسئلہ بناچ فکسڈ پوائنٹ تھیوریم کی شرائط کو پورا کرتا ہے (ڈومین ایک غیر خالی مکمل میٹرک اسپیس ہے) تو یہ ثابت کرنے کے لیے کافی ہے کہ کچھ مستقل کے لیے جو سب کے لیے فکسڈ ہے اور۔ اس طرح کے اے کو سنکچن میپنگ کہا جاتا ہے۔ اس نقطہ نظر کے استعمال کی مشہور مثال میں شامل ہے اگر کچھ میٹرکس کی شکل ہے اور پھر کنورجنس اس صورت میں ہوتی ہے جب تمام آئجن ویلیوز کی شدت 1 سے کم ہو۔ کنورجنٹ سیکوینسز بولزانو-ویرسٹراس تھیوریم کے مطابق ہر باؤنڈڈ سیکوینس میں ایک کنورجنٹ سیکوینس ہوتا ہے۔ اگر ان سب کی ایک ہی حد ہے، تو اصل ترتیب اس حد میں ضم ہو جاتی ہے۔ اگر یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ تبدیلی کے تمام پس منظر کی ایک ہی حد ہے، جیسے کہ یہ ظاہر کرنا کہ تبدیلی کا ایک منفرد مقررہ نقطہ ہے، تو ابتدائی ترتیب کو بھی اس حد میں ضم ہونا چاہیے۔ یکسانیت (لیاپونوف افعال) میں ہر پابند یکسانیت کی ترتیب ایک حد میں ضم ہو جاتی ہے۔ اس نقطہ نظر کا اطلاق ان ترتیبات پر بھی کیا جا سکتا ہے جو یکسوئی نہیں ہیں۔ اس کے بجائے، کسی فنکشن کی وضاحت کرنا ممکن ہے جس میں یکسانیت ہو۔ اگر لیاپونوف فنکشن ہونے کی شرائط کو پورا کرتا ہے تو کنورجنٹ ہوتا ہے۔ لیاپونوف کا نظریہ عام طور پر عام تفریقی مساوات کے لیے بیان کیا جاتا ہے، لیکن مشتقات کو مجرد اختلافات سے تبدیل کر کے تکرار کے سلسلے پر بھی لاگو کیا جا سکتا ہے۔ بنیادی تقاضے یہ ہیں کہ سب کے لیے اور (یا کے لیے) "ریڈیل ان باؤنڈڈ" ہوں، تاکہ یہ کسی بھی ترتیب کے لیے انفینٹی تک جائے جس کے ساتھ انفینٹی کی طرف مائل ہوتا ہے۔ بہت سے معاملات میں، فارم کا ایک لیاپونوف فنکشن پایا جا سکتا ہے، حالانکہ زیادہ پیچیدہ شکلیں بھی استعمال کی جاتی ہیں۔ تاخیر تفریقی مساوات کے لیے، اسی طرح کا نقطہ نظر لیاپونوف افعال کے ساتھ لاگو ہوتا ہے جس کی جگہ لیاپونوف افعال ہوتے ہیں جنہیں لیاپونوف-کراسووسکی افعال بھی کہا جاتا ہے۔ اگر حالت 1 میں عدم مساوات کمزور ہے، تو لاسیل کا غیر متغیر اصول استعمال کیا جا سکتا ہے۔ افعال کے سلسلے کی ہم آہنگی افعال کے سلسلے کی ہم آہنگی پر غور کرنے کے لیے، یوکلڈین معیار کو تبدیل کرنے کے لیے افعال کے درمیان فاصلے کی وضاحت کرنا ضروری ہے۔ ان میں اکثر معمول میں کنورجنس (مضبوط کنورجنس) شامل ہوتا ہے-ایک فنکشن کا معیار، جیسے کہ بیان کیا گیا ہے، اور اگر کنورجنس ہوتا ہے۔ اس معاملے کے لیے، مذکورہ بالا تمام تکنیکوں کو اس فنکشن کے معیار کے ساتھ لاگو کیا جا سکتا ہے۔ پوائنٹ وائز کنورجنس-کنورجنس ہوتی ہے اگر ہر ایک کے لیے،۔ اس معاملے کے لیے، مندرجہ بالا تکنیکوں کو ہر پوائنٹ کے لیے مناسب معیار کے ساتھ لاگو کیا جا سکتا ہے۔ یکساں کنورجنس-پوائنٹ وائز کنورجنس میں، کچھ (کھلے) علاقے من مانی طور پر آہستہ آہستہ کنورج ہو سکتے ہیں۔ یکساں کنورجنس کے ساتھ، ایک مقررہ کنورجنس کی شرح ایسی ہوتی ہے کہ تمام پوائنٹس کم از کم اتنی تیزی سے کنورج ہوتے ہیں۔ رسمی طور پر، ہر ایک کا ڈومین کہاں ہے۔ فورئیر سیریز کا کنورجنس بھی دیکھیں بے ترتیب متغیرات کا کنورجنس بے ترتیب متغیرات کے سادہ عناصر سے زیادہ پیچیدہ ہیں۔ (رسمی طور پر، ایک بے ترتیب متغیر ایونٹ کی جگہ سے ویلیو کی جگہ تک کی نقشہ سازی ہے۔ قدر کی جگہ ہو سکتی ہے، جیسے کہ پاسے کا رول، اور اس طرح کے بے ترتیب متغیر کو اکثر غیر رسمی طور پر اس میں ہونے کے طور پر کہا جاتا ہے، لیکن بے ترتیب متغیرات کی ترتیب کا ارتکاز افعال کی ترتیب کے ارتکاز، یا تقسیم سے مطابقت رکھتا ہے، بجائے اقدار کی ترتیب کے۔) کنورجنس کی متعدد قسمیں ہیں، جو اس بات پر منحصر ہیں کہ افعال کے درمیان فاصلے کی پیمائش کیسے کی جاتی ہے۔ تقسیم میں کنورجنس-بے ترتیب متغیرات کے تقسیم کے افعال کا پوائنٹ وائز کنورجنس حد تک امکان میں کنورجنس تقریبا یقینی کنورجنس-میپنگز کا پوائنٹ وائز کنورجنس حد تک، سوائے کسی سیٹ کے جس میں حد میں پیمائش 0 ہو۔ اوسط میں ہم آہنگی ہر ایک کی اپنی ثبوت کی تکنیک ہے، جو اس مضمون کے موجودہ دائرہ کار سے باہر ہیں۔ ڈومینیٹڈ کنورجنس کارلسن تھیوریم بھی دیکھیں جو تقریبا ہر جگہ ایل 2 فنکشنز کی فورئیر سیریز کا پوائنٹ وائز (لیبسگ) کنورجنس قائم کرتا ہے۔ ڈوب کا مارٹنگیل کنورجنس تھیوریم مونوٹون کنورجنس تھیوریم ٹوپولوجیکل کنورجنس کا ایک بے ترتیب متغیر ینالاگ ہے۔ مذکورہ بالا تمام تکنیکوں کے لیے، کچھ اوپر کی کنورجنس کی بنیادی تجزیاتی تعریف پر لاگو ہوتے ہیں۔ تاہم، ٹوپولوجی میں کنورجنس کی اپنی تعریف ہے۔ مثال کے طور پر، غیر ہاؤز ڈورف جگہ میں، ایک ترتیب کے لیے متعدد مختلف حدود میں یکجا ہونا ممکن ہے۔ حوالہ جات ریاضیاتی تجزیہ