Moreau envelope
موریو لفافہ (یا موریو-یوسیڈا ریگولرائزیشن) ایک مناسب نچلے نیم مسلسل کنویکس فنکشن کا ایک ہموار ورژن ہے۔ اس کی تجویز جین جیکس موریو نے 1965 میں پیش کی تھی۔ موریؤ لفافے کی ریاضیاتی اصلاح میں اہم ایپلی کیشنز ہیں: کم سے کم کرنا اور کم سے کم کرنا اس معنی میں مساوی مسائل ہیں کہ کم سے کم کرنے والوں کا سیٹ اور ایک ہی ہیں۔ تاہم، فرسٹ آرڈر آپٹیمائزیشن الگورتھم کو براہ راست لاگو کیا جا سکتا ہے، کیونکہ یہ غیر تفریق پذیر ہو سکتا ہے جبکہ ہمیشہ مسلسل تفریق پذیر ہوتا ہے۔ درحقیقت، بہت سے پراکسیمل گریڈینٹ طریقوں کی تشریح گریڈینٹ ڈیسنٹ طریقہ کے طور پر کی جا سکتی ہے۔ تعریف ہلبرٹ اسپیس سے مناسب نچلے نیم مسلسل کنویکس فنکشن کے موریو لفافے کی تعریف اس طرح کی گئی ہے کہ ایک پیرامیٹر کو دیکھتے ہوئے، موریو لفافے کو پیرامیٹر کے ساتھ موریو لفافے بھی کہا جاتا ہے۔ خصوصیات موریو لفافے کو اور کے درمیان لامحدود ارتقاء کے طور پر بھی دیکھا جا سکتا ہے۔ کسی فنکشن کا پراکسیمل آپریٹر مندرجہ ذیل شناخت کے ذریعہ موریو لفافے کے میلان سے متعلق ہے: ترتیب کی وضاحت کرکے اور مندرجہ بالا شناخت کا استعمال کرتے ہوئے، ہم پراکسیمل آپریٹر کی تشریح موریو لفافے پر گریڈینٹ ڈیسنٹ الگورتھم کے طور پر کر سکتے ہیں۔ فینچل کے دوہری نظریہ کا استعمال کرتے ہوئے، موریو لفافے کی درج ذیل دوہری تشکیل حاصل کی جا سکتی ہے: جہاں کے کنویکس کنجوگیٹ کی نشاندہی ہوتی ہے۔ چونکہ ہلبرٹ اسپیس پر کسی مناسب، کنویکس، نچلے سیمی کانٹینیوس فنکشن کا ذیلی تفریق اس کے کنویکس کنجوگیٹ کے ذیلی تفریق کے الٹا ہوتا ہے، اس لیے ہم یہ نتیجہ اخذ کر سکتے ہیں کہ اگر مذکورہ بالا اظہار کا زیادہ سے زیادہ کرنے والا ہے، تو یہ ابتدائی تشکیل میں کم سے کم کرنے والا ہے اور اس کے برعکس۔ ہوپف-لیکس فارمولے کے مطابق، موریو لفافہ ہیملٹن-جیکوبی مساوات کا ایک چپچپا حل ہے۔ اسٹینلے اوشر اور شریک مصنفین نے اس پراپرٹی اور کول-ہاپف ٹرانسفارمیشن کو کسی فنکشن کے پراکسیمل آپریٹر کے تخمینے کا حساب لگانے کے لیے الگورتھم حاصل کرنے کے لیے استعمال کیا۔ یہ بھی دیکھیں کہ پراکسیمل آپریٹر پراکسیمل گریڈینٹ طریقہ حوالہ جات بیرونی روابط ایک ہیملٹن-جیکوبی پر مبنی پراکسیمل آپریٹر: ایک یوٹیوب ویڈیو جس میں پراکسیمل آپریٹر ریاضیاتی اصلاح کا تخمینہ لگانے کے لیے الگورتھم کی وضاحت کی گئی ہے۔