Countable Borel relation
وضاحتی سیٹ تھیوری میں، خاص طور پر غیر متغیر وضاحتی سیٹ تھیوری، قابل گنتی بوریل تعلقات معیاری بوریل اسپیس کے درمیان تعلقات کی ایک کلاس ہیں جو خاص طور پر اچھی طرح سے برتاؤ کرتے ہیں۔ یہ تصور مختلف مزید مخصوص تصورات کا احاطہ کرتا ہے، جیسے کہ ہائپرفائنٹ مساوات کا تعلق، لیکن خود میں دلچسپی کا حامل ہے۔ تحریک غیر متغیر وضاحتی سیٹ تھیوری میں مطالعہ کا ایک اہم شعبہ مساوات کے تعلقات کی نسبتا پیچیدگی ہے۔ کسی سیٹ پر مساوات کا تعلق کسی سیٹ پر مساوات کے تعلق سے زیادہ پیچیدہ سمجھا جاتا ہے اگر کوئی "استعمال کرتے ہوئے حساب لگا سکتا ہے"-رسمی طور پر، اگر کوئی فنکشن ہے جو کسی لحاظ سے اچھی طرح سے برتاؤ کرتا ہے (مثال کے طور پر، اکثر اس کی ضرورت ہوتی ہے کہ وہ بوریل پیمائش کے قابل ہو)۔ اس طرح کا فنکشن اگر یہ دونوں سمتوں میں برقرار رہتا ہے، تو وہ "استعمال کرتے ہوئے حساب لگائیں" اور "استعمال کرتے ہوئے حساب لگائیں" دونوں کر سکتا ہے، اور پیچیدگی کی ایک جیسی سطح رکھتا ہے۔ جب کوئی بوریل مساوات کے تعلقات کے بارے میں بات کرتا ہے اور اسے بوریل پیمائش کے قابل ہونے کی ضرورت ہوتی ہے، تو اسے اکثر اس سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ قابل شمار بوریل مساوات کے تعلقات، اور اوپر بیان کردہ معنوں میں اسی طرح کی پیچیدگی کے تعلقات، ریاضی میں مختلف مقامات پر ظاہر ہوتے ہیں (نیچے دی گئی مثالیں دیکھیں، اور مزید کے لیے دیکھیں)۔ خاص طور پر، ذیل میں بیان کردہ فیلڈ مین-مور تھیوریم بعض وان نیومن الجبرا کے مطالعہ میں مفید ثابت ہوا (دیکھیں)۔ تعریف معیاری بوریل خالی جگہیں ہونے دیں۔ اور کے درمیان ایک قابل شمار بوریل تعلق کارٹیشین پروڈکٹ کا ایک ذیلی سیٹ ہے جو ایک بوریل سیٹ ہے (پروڈکٹ ٹوپولوجی میں ذیلی سیٹ کے طور پر) اور اس بات کو مطمئن کرتا ہے کہ کسی کے لیے بھی سیٹ قابل شمار ہے۔ نوٹ کریں کہ یہ تعریف اور میں ہم آہنگ نہیں ہے، اور اس طرح یہ ممکن ہے کہ کوئی رشتہ اور کے درمیان قابل شمار بوریل تعلق ہو لیکن الٹا تعلق اور کے درمیان قابل شمار بوریل تعلق نہ ہو۔ مثالیں قابل شمار بوریل تعلقات کا قابل شمار اتحاد بھی قابل شمار بوریل رشتہ ہے۔ کسی بھی بوریل سب سیٹ کے ساتھ قابل گنتی بوریل تعلق کا چوراہا قابل گنتی بوریل تعلق ہے۔ اگر معیاری بوریل خالی جگہوں کے درمیان ایک فنکشن ہے، تو فنکشن کا گراف اور اگر اور صرف اس صورت میں کے درمیان ایک قابل گنتی بوریل تعلق ہے جب بوریل قابل پیمائش ہو (یہ لوزین-سسلن تھیوریم اور اس حقیقت کا نتیجہ ہے کہ)۔ گراف کا الٹا تعلق، ایک قابل گنتی بوریل تعلق ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب بوریل قابل پیمائش ہو اور اس میں قابل گنتی ریشے ہوں۔ اگر مساوات کا تعلق ہے، تو یہ ایک قابل شمار بوریل تعلق ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب یہ ایک بوریل سیٹ ہو اور تمام مساوات کی کلاسیں قابل شمار ہوں۔ خاص طور پر ہائپرفائنٹ مساوات کے تعلقات قابل شمار بوریل تعلقات ہیں۔ ایک قابل شمار گروہ کے مسلسل عمل سے پیدا ہونے والا مساوات کا تعلق ایک قابل شمار بوریل رشتہ ہے۔ ایک ٹھوس مثال کے طور پر، رینک 2 کے فری گروپ کے ذیلی گروپوں کا مجموعہ ہونے دیں، جس میں فارم کے بنیادی کھلے سیٹوں سے پیدا ہونے والی ٹوپولوجی ہے اور کچھ کے لیے (یہ پروڈکٹ ٹوپولوجی ہے)۔ اس کے بعد مساوات کا رشتہ ایک قابل شمار بوریل رشتہ ہے۔ قدرتی ذیلی سیٹوں کی جگہ کو دوبارہ پروڈکٹ ٹوپولوجی کے ساتھ ہونے دیں (ایک بنیادی کھلا سیٹ شکل کا ہوتا ہے یا)-اسے کینٹر اسپیس کے نام سے جانا جاتا ہے۔ ٹورنگ مساوات کا مساوات کا تعلق ایک قابل شمار بوریل مساوات کا تعلق ہے۔ ماڈلز کی مختلف کلاسوں کے درمیان آئسومورفزم مساوات کا تعلق، اگرچہ قابل شمار بوریل مساوات کے تعلقات نہیں ہیں، لیکن اوپر بیان کردہ معنوں میں بوریل مساوات کے تعلق سے ملتی جلتی پیچیدگی کا حامل ہیں۔ مثالوں میں شامل ہیں: قابل گنتی گراف کی وہ کلاس جہاں ہر سرے کی ڈگری محدود ہو۔ عقلی پر محدود ماورائی ڈگری کی کلاس فیلڈ کی توسیع۔ لوزین-نووکوف نظریہ یہ نظریہ، جس کا نام نیکولائی لوزین اور ان کے ڈاکٹریٹ کے طالب علم پیوٹر نووکوف کے نام پر رکھا گیا ہے، ایک اہم نتیجہ ہے جو قابل شمار بوریل تعلقات کے بارے میں بہت سے ثبوت ہیں۔ نظریہ۔ فرض کریں کہ اور معیاری بوریل خالی جگہیں ہیں اور اور کے درمیان ایک قابل شمار بوریل تعلق ہے۔ پھر سیٹ کا ایک بوریل سب سیٹ ہے۔ مزید برآں، ایک بوریل فنکشن ہے (جسے بوریل یونیفارمائزیشن کہا جاتا ہے) اس طرح کہ کا گراف کا ذیلی سیٹ ہے۔ آخر میں، اور بوریل افعال کے بوریل سبسیٹ موجود ہیں جیسے کہ گراف کا اتحاد ہے، یعنی۔ اس کے چند آسان نتائج ہوتے ہیں: اگر قابل گنتی ریشوں کے ساتھ ایک بوریل قابل پیمائش فنکشن ہے، تو کی شبیہہ ایک بوریل سب سیٹ ہے (چونکہ شبیہہ بالکل وہی ہے جہاں کے گراف کا الٹا تعلق ہے)۔ فرض کریں کہ ایک معیاری بوریل جگہ پر ایک بوریل مساوات کا تعلق ہے جس میں قابل گنتی مساوات کی کلاسیں ہیں۔ فرض کریں کہ یہ ایک بوریل کا ذیلی مجموعہ ہے۔ پھر بھی ایک بوریل ذیلی سیٹ ہے (چونکہ یہ بالکل کہاں ہے، اور ایک بوریل سیٹ ہے)۔ ذیل میں دو اور نتائج ہیں جو قابل گنتی بوریل مساوات کے تعلقات سے متعلق لوزین-نووکوف نووکوف تھیوریم کا استعمال کرتے ہوئے ثابت کیے جا سکتے ہیں: فیلڈ مین-مور تھیوریم فیلڈ مین-مور تھیوریم، جس کا نام جیکب فیلڈ مین اور کیلون سی مور کے نام پر رکھا گیا ہے، کہتا ہے: تھیوریم۔ فرض کریں کہ ایک معیاری بوریل جگہ پر ایک بوریل مساوات کا تعلق ہے جس میں قابل شمار مساوات کی کلاسیں ہیں۔ پھر ایک قابل شمار گروپ اور عمل موجود ہے کہ ہر فنکشن کے لیے بوریل قابل پیمائش ہے، اور کسی کے لیے، مساوات کلاس کے حوالے سے بالکل عمل کے تحت کا مدار ہے۔ یہ کہنا ہے کہ قابل شمار بوریل مساوات کے تعلقات بالکل وہی ہیں جو قابل شمار گروہوں کے ذریعہ بوریل کے اعمال سے پیدا ہوتے ہیں۔ مارکر لیما یہ لیما تھیوڈور سلیمان اور جان آر اسٹیل کی وجہ سے ہے، اور فیلڈ مین-مور تھیوریم: لیما کا استعمال کرتے ہوئے ثابت کیا جا سکتا ہے۔ فرض کریں کہ ایک معیاری بوریل جگہ پر ایک بوریل مساوات کا تعلق ہے جس میں قابل شمار مساوات کی کلاسیں ہیں۔ جانے دیں۔ پھر ایک گھٹتی ہوئی ترتیب ہے جیسے کہ سب کے لیے اور۔ کم رسمی طور پر، لیما کا کہنا ہے کہ لامحدود مساوات کی کلاسوں کا تخمینہ "من مانی طور پر چھوٹے" سیٹ سے لگایا جا سکتا ہے (مثال کے طور پر، اگر ہمارے پاس لیما پر بوریل امکانی پیمائش کا مطلب یہ ہے کہ پیمائش کے تسلسل سے)۔ حوالہ جات وضاحتی سیٹ تھیوری بائنری تعلقات