Plane-based Geometric Algebra
طیاروں پر مبنی ہندسی الجبرا طیاروں، لکیروں، نکات اور سخت تبدیلیوں کے ماڈلنگ کے لیے کلفورڈ الجبرا کا ایک اطلاق ہے۔ عام طور پر یہ انجینئرنگ کے مسائل کو حل کرنے کے مقصد کے ساتھ ہوتا ہے جس میں ان عناصر اور ان کے چوراہوں، پروجیکشنز، اور تھری ڈی اسپیس میں ایک دوسرے سے ان کا زاویہ شامل ہوتا ہے۔ اصل میں اسپن گروپوں پر تحقیق سے بڑھ رہا ہے، یہ روبوٹکس کو ذہن میں رکھتے ہوئے ایپلی کیشنز کے ساتھ تیار کیا گیا تھا۔ اس کے بعد سے اس کا اطلاق مشین لرننگ، سخت جسمانی حرکیات، اور کمپیوٹر سائنس، خاص طور پر کمپیوٹر گرافکس پر کیا گیا ہے۔ اسے عام طور پر "پروجیکٹو جیومیٹرک الجبرا" کے نام سے جانے والے نظام میں دوہری عمل کے ساتھ جوڑا جاتا ہے، ذیل میں دیکھیں۔ طیارہ پر مبنی ہندسی الجبرا طیارہ عکاسی کو بنیادی عناصر کے طور پر لیتا ہے، اور ان میں سے دیگر تمام تبدیلیوں اور ہندسی اشیاء کی تعمیر کرتا ہے۔ تکنیکی زبان میں: یہ کلفورڈ الجبرا کے گریڈ-1 عناصر کے ساتھ پلانر عکاسی کی شناخت کرتا ہے، یعنی وہ عناصر جو ایک ہی سبسکرپٹ کے ساتھ لکھے جاتے ہیں جیسے ""۔ ذیل میں بیان کردہ کچھ نایاب مستثنیات کے ساتھ، الجبرا تقریبا ہمیشہ ہوتا ہے، یعنی اس میں تین بنیادی گریڈ-1 عناصر ہوتے ہیں جن کا مربع ہوتا ہے اور ایک واحد بنیادی عنصر جس کا مربع ہوتا ہے۔ طیارہ پر مبنی GA انجینئرنگ میں لاگو ہونے والی الجبرائی تعمیرات کی ایک بڑی تعداد کو شامل کرتا ہے، جس میں گردشوں کی محور زاویہ کی نمائندگی، گردشوں اور ترجموں کی چوتھائی اور دوہری چوتھائی نمائندگی، لائنوں کی پلکر نمائندگی، طیاروں کی پوائنٹ نارمل نمائندگی، اور پوائنٹس کی یکساں نمائندگی شامل ہیں۔ دوہری کواٹرنیئنز پھر کلاسیکی میکانکس کے سکرو، موڑ اور رنچ ماڈل کی تعمیر کی اجازت دیتے ہیں۔ جیومیٹری کے لیے طیارہ پر مبنی نقطہ نظر اس نقطہ نظر سے متصادم ہو سکتا ہے جو کراس پروڈکٹ کا استعمال کرتا ہے، جس میں پوائنٹس، ترجمے، گردش محور، اور طیارہ نارمل سب کو "ویکٹر" کے طور پر ماڈل کیا جاتا ہے۔ تاہم، جدید انجینئرنگ کے مسائل میں ویکٹر کے استعمال کے لیے اکثر مختلف قسم کے ویکٹر کے درمیان ٹھیک ٹھیک فرق کی ضرورت ہوتی ہے، جس کی وجہ سے گبز ویکٹر، سیوڈوویکٹر اور متضاد ویکٹر شامل ہیں۔ ان دونوں میں سے مؤخر الذکر، طیارہ پر مبنی GA میں، "گردش محور" اور "نقطہ" کے تصورات کا نقشہ بناتا ہے، جس میں ان کے درمیان فرق کو اشارے سے واضح کیا جاتا ہے: گردش محور جیسے (دو نچلے اشارے) ہمیشہ پوائنٹس جیسے (تین نچلے اشارے) سے مختلف انداز میں نشان زد ہوتے ہیں۔ ذیل میں زیر غور تمام اشیاء تکنیکی لحاظ سے اب بھی "ویکٹر" ہیں کہ وہ ویکٹر خالی جگہوں کے عناصر ہیں ؛ تاہم وہ اس لحاظ سے (عام طور پر) ویکٹر نہیں ہیں کہ کوئی ان کا کراس پروڈکٹ معنی خیز طور پر لے سکتا ہے-لہذا انہیں تیروں کے طور پر تصور کرنا معلوماتی نہیں ہے۔ لفظ 'ویکٹر' سے آنے والے مختلف الجبرائی اور بصری معنوں پر تنازعہ سے بچنے کے لیے، یہ مضمون لفظ کے استعمال سے گریز کرے گا۔ تعمیراتی طیارہ پر مبنی ہندسی الجبرا طیاروں سے شروع ہوتا ہے اور پھر طیاروں کے چوراہوں کو لے کر لکیروں اور نکات کی تعمیر کرتا ہے۔ اس کی کینونکل بنیاد طیارہ پر مشتمل ہوتی ہے، جس پر لیبل لگایا جاتا ہے، جس پر لیبل لگایا جاتا ہے، اور طیارہ،۔ دیگر طیاروں کو بنیادی طیاروں کے وزن کی رقم کے طور پر حاصل کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، y-اور z-طیارہ کے درمیان کا طیارہ ہوگا۔ عام طور پر، ہوائی جہاز پر مبنی جی اے میں دو ہندسی اشیاء کا امتزاج ہمیشہ ان کے وزن کی اوسط کے طور پر ہوگا-پوائنٹس کو یکجا کرنے سے ان کے درمیان ایک نقطہ ملے گا، جیسا کہ لائنوں کو یکجا کرنا، اور درحقیقت گردش۔ عناصر کے کسی بھی جوڑے کے لیے اور، ان کا ہندسی پروڈکٹ تبدیلی کے بعد ہونے والی تبدیلی ہے۔ اس کا نتیجہ عام طور پر ایک ہی قسم کا آبجیکٹ نہیں ہوگا جیسا کہ اور-لیکن یہ پھر بھی طیارہ پر مبنی GA کے اندر ایک آبجیکٹ ہوگا۔ مثال کے طور پر: اس مساوات کی جیومیٹرک طور پر تشریح کی جا سکتی ہے کہ اگر ہم (جو کہ طیارہ میں ایک طیارہ عکاسی ہے) اور (جو کہ x-محور کے گرد 180 ڈگری کی گردش ہے)، اور ان کا جیومیٹرک پروڈکٹ لیتے ہیں، تو ہم حاصل کرتے ہیں، جو کہ اصل میں ایک نقطہ عکاسی ہے۔ ٹرانسفارم کمپوزیشن-ہندسی پروڈکٹ-کو ٹرانسفارم ایپلی کیشن کے ساتھ الجھن میں نہیں ڈالنا چاہیے، جسے سینڈوچ پروڈکٹ کے ساتھ لاگو کیا جاتا ہے، نیچے دیکھیں۔ اس ہندسی تشریح کو عام طور پر مندرجہ ذیل دعوے کے ساتھ جوڑا جاتا ہے: پہلی تین وضاحتی مساوات کی ہندسی تشریح یہ ہے کہ اگر ہم ایک ہی طیارہ عکاسی دو بار انجام دیتے ہیں تو ہم واپس وہیں پہنچ جاتے ہیں جہاں سے ہم نے شروعات کی تھی۔ ایک گریڈ-1 عنصر (طیارہ) کو خود سے ضرب دینے کے نتیجے میں شناختی فنکشن ہوتا ہے، "۔ وہ بیان جو زیادہ لطیف ہو۔ انفینٹی پر عناصر الجبرائی عنصر انفینٹی پر سطح کی نمائندگی کرتا ہے۔ یہ کسی بھی دوسرے سطح سے مختلف انداز میں برتاؤ کرتا ہے-بدیہی طور پر، اسے "قریب لایا جا سکتا ہے لیکن کبھی نہیں پہنچا" جا سکتا ہے۔ 3 جہتوں میں، آسمان کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ اس میں پڑے ہوئے پوائنٹس کو "غائب ہونے والے پوائنٹس"، یا متبادل طور پر "آئیڈیل پوائنٹس"، یا "پوائنٹس ایٹ انفینیٹی" کہا جاتا ہے۔ متوازی لکیریں ایسے مقامات پر ایک دوسرے سے ملتی ہیں۔ لامحدود پر لکیریں بھی موجود ہیں ؛ افق کی لکیر اس طرح کی لکیر کی ایک مثال ہے۔ ہوائی جہاز پر کھڑے ایک مبصر کے لیے، اس ہوائی جہاز کے متوازی تمام ہوائی جہاز جن پر وہ کھڑے ہیں، افق کی لکیر پر ایک دوسرے سے ملتے ہیں۔ الجبرائی طور پر، اگر ہم زمین کو زمین سمجھتے ہیں، تو زمین کے متوازی طیارہ ہوگا۔ یہ دونوں متوازی طیارے لائن ایٹ انفینٹی پر ایک دوسرے سے ملتے ہیں۔ زیادہ تر لکیریں، مثال کے طور پر، گردشوں کے لیے محور کے طور پر کام کر سکتی ہیں ؛ درحقیقت انہیں خیالی چوتھائیوں کے طور پر مانا جا سکتا ہے۔ لیکن وہ لکیریں جو طیارہ-پر-لامحدود میں ہوتی ہیں، جیسے کہ لکیر، "گردش" کے لیے محور کے طور پر کام نہیں کرسکتی ہیں۔ اس کے بجائے، یہ ترجمے کے لیے محور ہیں، اور الجبرہ پیچیدہ اعداد یا کواٹرنیئنز سے مشابہت رکھنے کے بجائے، ان کا الجبرائی طرز عمل دوہری اعداد کی طرح ہے، کیونکہ وہ 0 سے مربع ہوتے ہیں۔ تین بنیادی لکیروں کو یکجا کرنا، جو مربع ہے، لامحدود پر تین بنیادی لکیروں کے ساتھ، دوہری کواٹرنیئنز کے لیے ضروری عناصر فراہم کرتا ہے۔ جیومیٹرک پروڈکٹ سے دیگر کارروائیوں کا اخذ کئی مفید مصنوعات ہیں جنہیں جیومیٹرک پروڈکٹ سے نکالا جا سکتا ہے، اسی طرح جیسے کواٹرنیئن پروڈکٹ سے ڈاٹ پروڈکٹ اور کراس پروڈکٹ کو نکالا گیا تھا۔ ان میں شامل ہیں: نقاط، لکیروں یا طیاروں کے ساتھ اور دوبارہ ہونے والی طرف سے تبدیلی ؛ یہاں، الٹا ہے (بنیادی طور پر الٹا)۔ تبدیلی اور کے درمیان کے زاویے یا فاصلے سے دوگنا ہوگی۔ اگر عین فاصلے یا زاویے سے تبدیلی کی ضرورت ہو تو اسے دوہری کواٹرنیئن ایکسپونینشل اور لوگرتھم کے ساتھ حاصل کیا جا سکتا ہے۔ میٹ (یا "پچر پروڈکٹ")، جو اشیاء کے چوراہوں کو لینے کے لیے مفید ہے ؛ مثال کے طور پر، لائن کے ساتھ طیارہ کا چوراہا نقطہ ہے۔ اندرونی پروڈکٹ، جو اشیاء کے پروجیکشنز کو دوسری اشیاء پر لے جانے کے لیے مفید ہے۔ اس کا پروجیکشن ہے-یہ فارمولا رکھتا ہے کہ آیا اشیاء پوائنٹس، لائنیں، یا طیارے ہیں۔ یہ ڈاٹ پروڈکٹ کی عمومی شکل ہے۔ کا معیار ہے اور ظاہر کیا جاتا ہے۔ یہ زیادہ تر اشیاء کے درمیان زاویہ لینے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے: اور کے درمیان کا زاویہ، چاہے وہ لکیریں ہوں یا طیارے، ہے۔ یہ فرض کرتا ہے کہ اور دونوں کا معیار ہے، مثال کے طور پر۔ کسی بھی چیز پر کسی بھی سخت تبدیلی (دوہری کواٹرنیئن) یا عکاسی کا اطلاق، بشمول پوائنٹس، لائنیں، طیارے اور درحقیقت دیگر سخت تبدیلیاں، ہے، جہاں چیز کو تبدیل کیا جانا ہے ؛ یہ "سینڈوچ پروڈکٹ" ہے۔ کمیونیٹر پروڈکٹ، جس کی وضاحت لائنوں کے طور پر کی گئی ہے، وہ منفرد لائن دے گا جو دونوں کو آرتھوگنل ہے۔ مثال کے طور پر، یاد رکھیں کہ یہ ایک طیارہ ہے، جیسا کہ ہے۔ ان کی ہندسی پیداوار ان کی "عکاسی کی ساخت" ہے-ایک عکاسی جس کے بعد عکاسی ہوتی ہے، جس کے نتیجے میں دوہری چوتھائی ہوتی ہے۔ لیکن یہ مطلوبہ حد سے زیادہ ہو سکتا ہے ؛ اگر ہم صرف دونوں طیاروں کی چوراہے کی لکیر لینا چاہتے ہیں، تو ہمیں صرف اس نتیجے کے "گریڈ-2 حصے" کو دیکھنے کی ضرورت ہے، مثال کے طور پر۔ دو کم اشاریہ جات والا حصہ۔ یہ واضح کرنے کے لیے درکار معلومات کہ چوراہے کی لکیر دونوں طیاروں کی تبدیلی کی ساخت کے اندر موجود ہے، کیونکہ طیاروں کے جوڑے میں عکاسی کے نتیجے میں ان کی چوراہے کی لکیر کے گرد گردش ہوگی۔ عکاسی کے الجبرا کے طور پر تشریح 3D میں تمام فاصلے کو محفوظ رکھنے والی تبدیلیوں (بنیادی طور پر، سخت تبدیلیاں اور عکاسی) کے الجبرا کو یوکلڈین گروپ کہا جاتا ہے۔ کارٹن-ڈیوڈون تھیوریم کے مطابق، اس کے کسی بھی عنصر کو طیاروں میں عکاسی کے سلسلے کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ طیارہ پر مبنی GA میں، بنیادی طور پر تمام ہندسی اشیاء کو تبدیلی کے طور پر سوچا جا سکتا ہے۔ طیاروں جیسے طیارہ عکاسی، پوائنٹس جیسے نقطہ عکاسی، اور لائنیں جیسے لائن عکاسی ہیں-جو تھری ڈی میں 180 ڈگری کی گردش کے برابر ہیں۔ شناخت کی تبدیلی ایک منفرد شے ہے جو صفر عکاسی سے بنی ہے۔ یہ سب اس کے عناصر ہیں۔ کچھ عناصر، مثال کے طور پر کسی بھی زاویہ سے گردش جو 180 ڈگری نہیں ہے، ان میں ایک بھی مخصوص ہندسی شے نہیں ہوتی ہے جو ان کا تصور کرنے کے لیے استعمال ہوتی ہے۔ اس کے باوجود، انہیں ہمیشہ عکاسی سے بنا ہوا سمجھا جا سکتا ہے، اور ہمیشہ ہوائی جہاز پر مبنی ہندسی الجبرا میں اشیاء کے کچھ عناصر کے لکیری امتزاج کے طور پر پیش کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، محور کے ارد گرد ایک معمولی گردش ہے، اور اسے اور کے ہندسی پروڈکٹ (ایک ٹرانسفارم کمپوزیشن) کے طور پر لکھا جا سکتا ہے، یہ دونوں لائن پر ایک دوسرے کو کاٹتے ہوئے پلینر عکاسی ہیں۔ درحقیقت، کسی بھی گردش کو دو طیارہ عکاسی کی ساخت کے طور پر لکھا جا سکتا ہے جو اس کے محور سے گزرتے ہیں۔ اس طرح اسے 2-عکاسی کہا جا سکتا ہے۔ روٹر ریفلیکشنز، گلائڈ ریفلیکشنز، اور پوائنٹ ریفلیکشنز کو ہمیشہ 3 پلینر ریفلیکشنز کی ترکیبوں کے طور پر بھی لکھا جا سکتا ہے اور اسی لیے انہیں 3-ریفلیکشنز کہا جاتا ہے۔ تھری ڈی کے لیے اس کی اوپری حد سکرو موشن ہے، جو کہ 4-عکاسی ہے۔ اس وجہ سے، سکرو حرکتوں پر غور کرتے وقت، 3D طیارہ پر مبنی GA کے گریڈ 4 عنصر کا استعمال کرنا ضروری ہے، جو کہ اعلی ترین عنصر ہے۔ جیومیٹرک پروڈکٹ کی جیومیٹرک تشریح "منسوخی" عکاسی کے طور پر ایک سطح میں عکاسی کے بعد اسی سطح میں عکاسی کے نتیجے میں کوئی تبدیلی نہیں ہوتی ہے۔ اس جیومیٹری کے لیے الجبرائی تشریح یہ ہے کہ گریڈ-1 عناصر جیسے مربع سے۔ اس سادہ سی حقیقت کو جیومیٹرک پروڈکٹ کے عمومی رویے کی جیومیٹرک تشریح دینے کے لیے ایک ایسے آلے کے طور پر استعمال کیا جا سکتا ہے جو "آئینے کو منسوخ کر کے" جیومیٹرک مسائل کو حل کرتا ہے۔ اس کی افادیت کی ایک مثال دینے کے لیے، فرض کریں کہ ہم 3D میں ایک مخصوص لکیر کے لیے ایک طیارہ آرتھوگنل تلاش کرنا چاہتے ہیں اور ایک مخصوص نقطہ سے گزرنا چاہتے ہیں۔ یہ ایک 2-عکاسی ہے اور ایک 3-عکاسی ہے، لہذا ان کے ہندسی پروڈکٹ کو کسی لحاظ سے لینے سے 5-عکاسی پیدا ہوتی ہے۔ تاہم، جیسا کہ نیچے دی گئی تصویر میں ہے، ان میں سے دو عکاسی منسوخ ہو جاتی ہیں، جس سے 3-عکاسی ہوتی ہے (جسے کبھی کبھی روٹر ریفلیکشن بھی کہا جاتا ہے)۔ طیارہ پر مبنی ہندسی الجبرا نوٹیشن میں، اس روٹر ریفلیکشن کو ایک پوائنٹ ریفلیکشن میں "شامل" پلانر ریفلیکشن کے طور پر سوچا جا سکتا ہے۔ اس گردش عکاسی کا طیارہ حصہ وہ طیارہ ہے جو لکیر اور اصل نقطہ کے لیے آرتھوگنل ہے۔ اسی طرح کا طریقہ کار کسی ہوائی جہاز کے لیے آرتھوگنل لائن کو تلاش کرنے اور کسی نقطہ سے گزرنے، یا کسی لائن اور ہوائی جہاز کے چوراہے، یا کسی دوسرے ہوائی جہاز کے ساتھ ہوائی جہاز کی چوراہے کی لکیر کو تلاش کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ گردش اور ترجمے بطور ذیلی الجبرا بھی گردش اور ترجمے ایسی تبدیلیاں ہیں جو فاصلے اور دستکاری (چیرالیٹی) کو محفوظ رکھتی ہیں، مثال کے طور پر۔ جب انہیں اشیاء کے سیٹوں پر لگایا جاتا ہے، تو ان اشیاء کے درمیان نسبتا فاصلہ تبدیل نہیں ہوتا ہے اور نہ ہی ان کا ہاتھ، جس کا مطلب ہے کہ دائیں ہاتھ کا دستانے بائیں ہاتھ کے دستانے میں تبدیل نہیں ہوگا۔ تھری ڈی یوکلڈین طیارہ پر مبنی ہندسی الجبرا میں ہونے والی تمام تبدیلیاں فاصلے کو برقرار رکھتی ہیں، لیکن عکاسی، گردش، اور منتقلی ہاتھوں کو محفوظ نہیں رکھتی ہیں۔ گردش اور ترجمے ہاتھوں کو محفوظ رکھتے ہیں، جو تھری ڈی طیارہ پر مبنی جی اے میں ظاہر ہوتا ہے کہ انہیں یکساں تعداد میں عکاسی کی ساخت کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ ایک گردش کو ایک ہوائی جہاز میں عکاسی کے طور پر سوچا جا سکتا ہے جس کے بعد دوسرے ہوائی جہاز میں عکاسی ہوتی ہے جو پہلے کے متوازی نہیں ہوتی ہے (کواٹرنیئنز، جو اوپر پی جی اے کے تناظر میں سیٹ کیے گئے ہیں)۔ اگر طیاروں متوازی تھے، ان کے عکاسی کی تشکیل ایک ترجمہ دے گا. گردش اور ترجمہ دونوں سکرو حرکت کے خاص معاملات ہیں، مثال کے طور پر۔ خلا میں ایک لکیر کے گرد ایک گردش جس کے بعد اسی لکیر کے ساتھ ترجمہ کیا جاتا ہے۔ اس گروپ کو عام طور پر ایس ای (3) کہا جاتا ہے، جو 3 جہتوں میں خصوصی (دستکاری-تحفظ) یوکلڈین (فاصلہ-تحفظ) تبدیلیوں کا گروپ ہے۔ اس گروپ میں عام طور پر استعمال ہونے والی دو نمائشیں ہیں جو انہیں الجبرا اور کمپیوٹیشن میں استعمال کرنے کی اجازت دیتی ہیں، ایک حقیقی اعداد کے 4 × 4 میٹرکس ہیں، اور دوسرا دوہری کواٹرنیئنز ہے۔ دوہری کواٹرنیئن نمائندگی (معمول کے کواٹرنیئنز کی طرح) دراصل ایس ای (3) کا دوہرا احاطہ ہے۔ چونکہ دوہری کواٹرنیئنز الجبرائی طور پر بند ہوتے ہیں اور یکساں تعداد میں بنیادی عناصر سے بنے ہوتے ہیں، اس لیے انہیں 3D یوکلڈین طیارہ پر مبنی ہندسی الجبرا کا یکساں ذیلی الجبرا کہا جاتا ہے۔ لفظ 'اسپنر' بعض اوقات اس ذیلی الجبرا کو بیان کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ طیاروں کا استعمال کرتے ہوئے سخت تبدیلیوں کو بیان کرنا کیملی اردن کے کام میں ایک اہم مقصد تھا۔ اور مشیل چیسلز چونکہ یہ علاج کو طول و عرض سے آزاد ہونے کی اجازت دیتا ہے۔ انورسیو جیومیٹری انورسیو جیومیٹری حلقوں اور شعبوں میں الٹ کے ذریعے پیدا ہونے والی ہندسی اشیاء اور طرز عمل کا مطالعہ ہے۔ طیاروں میں عکاسی دائرے میں الٹ کا ایک خاص معاملہ ہے، کیونکہ ایک طیارہ لامحدود رداس والا ایک دائرہ ہے۔ چونکہ طیارہ پر مبنی ہندسی الجبرا عکاسی کی ساخت سے پیدا ہوتا ہے، اس لیے یہ الٹا جیومیٹری کا ایک خاص معاملہ ہے۔ الٹا جیومیٹری خود بڑے نظام کے ساتھ انجام دی جا سکتی ہے جسے کنفارمل جیومیٹرک الجبرا (سی جی اے) کہا جاتا ہے، جس میں طیارہ پر مبنی جی اے ایک ذیلی الجبرا ہے۔ سی جی اے کو عام طور پر تھری ڈی اسپیس پر بھی لاگو کیا جاتا ہے، اور یہ عام شعبوں، حلقوں، اور کنفارمل (زاویے کو محفوظ رکھنے والی) تبدیلیوں کا نمونہ بنانے کے قابل ہوتا ہے، جس میں پوائن کیئر ڈسک پر نظر آنے والی تبدیلیاں شامل ہیں۔ پی جی اے اور سی جی اے کے درمیان تعلق کو دیکھنا مشکل ہو سکتا ہے، کیونکہ سی جی اے اکثر "پوائنٹ بیسڈ" ہوتا ہے، حالانکہ کچھ مصنفین سی جی اے کے لیے ہوائی جہاز پر مبنی نقطہ نظر اختیار کرتے ہیں جو ہوائی جہاز پر مبنی جی اے اور سی جی اے کے لیے اشارے کو یکساں بناتا ہے۔ پروجیکٹو جیومیٹرک الجبرا طیارہ پر مبنی جیومیٹرک الجبرا تمام یوکلڈین تبدیلیوں کی نمائندگی کرنے کے قابل ہے، لیکن عملی طور پر اسے تقریبا ہمیشہ کسی نہ کسی قسم کے دوہری عمل کے ساتھ ملا کر "پروجیکٹو جیومیٹرک الجبرا"، پی جی اے کے نام سے جانا جانے والا بڑا نظام بنایا جاتا ہے۔ دوہری، جیسا کہ دیگر کلفورڈ اور گراس مین الجبرا میں ہے، رجعت پسند مصنوعات کی تعریف کی اجازت دیتا ہے۔ یہ انجینئرنگ ایپلی کیشنز کے لیے انتہائی مفید ہے-طیارہ پر مبنی جی اے میں، رجعت پسند پروڈکٹ ایک لکیر حاصل کرنے کے لیے ایک نقطہ سے دوسرے نقطہ میں شامل ہو سکتا ہے، اور طیارہ حاصل کرنے کے لیے ایک نقطہ اور ایک لکیر میں شامل ہو سکتا ہے۔ اس میں مزید سہولت ہے کہ اگر کسی بھی دو عناصر (پوائنٹس، لائنیں، یا طیاروں) کا معیار (اوپر دیکھیں) برابر ہے، تو ان کے رجعت پسند پروڈکٹ کا معیار ان کے درمیان فاصلے کے برابر ہے۔ کئی نکات کا جوڑ ان کے افائن ہل کے نام سے بھی جانا جاتا ہے۔ دوہری اور اصطلاحات کے متغیرات مصنفین میں دوہری کے لیے دی گئی عین تعریف کے طور پر تغیر ہے جو پی جی اے میں رجعت پسند مصنوعات کی وضاحت کے لیے استعمال ہوتی ہے۔ اس بات سے کوئی فرق نہیں پڑتا کہ کون سی تعریف دی گئی ہے، رجعت پسند پروڈکٹ مکمل طور پر ایک جیسے نتائج دینے کے لیے کام کرتا ہے۔ اس وجہ سے، ڈوئل کی درست بحث عام طور پر پروجیکٹو ہندسی الجبرا پر تعارفی مواد میں شامل نہیں ہوتی ہے۔ اہم تصوراتی اور فلسفیانہ اختلافات ہیں: ہج ڈوئل طیارہ پر مبنی ہندسی الجبرا کے عناصر کو طیارہ پر مبنی ہندسی الجبرا کے دیگر عناصر سے جوڑتا ہے (مثال کے طور پر، دیگر یوکلڈین تبدیلیاں) ؛ مثال کے طور پر، پلانر عکاسی کا ہج ڈوئل ایک نقطہ عکاسی ہے۔ پی جی اے کی تعریف اصل میں ہج ڈوئل کا استعمال کرتے ہوئے کی گئی تھی۔ پروجیکٹو ڈوئل بھی طیاروں کو پوائنٹس پر نقشہ بناتا ہے، لیکن ایسا نہیں ہے کہ دونوں عکاسی ہیں۔ اس کے بجائے، پروجیکٹو ڈوئل اس جگہ کے درمیان بدل جاتا ہے جس میں طیارہ پر مبنی ہندسی الجبرا کام کرتا ہے اور ایک مختلف، غیر یوکلڈین جگہ، ڈوئل اسپیس دیکھیں۔ مثال کے طور پر، طیاروں پر مبنی ہندسی الجبرا میں طیاروں، جو طیارہ عکاسی انجام دیتے ہیں، کو دوہری جگہ میں ان نکات پر نقشہ بنایا جاتا ہے جو تصادم میں شامل ہوتے ہیں۔ مختلف مصنفین نے پی جی اے کے ہوائی جہاز پر مبنی جی اے حصے کو "یوکلڈین اسپیس" اور "اینٹسپیس" قرار دیا ہے۔ دوہری کی یہ شکل، اس حقیقت کے ساتھ مل کر کہ ہندسی اشیاء کو یکساں طور پر پیش کیا جاتا ہے (مطلب یہ ہے کہ اسکیلرز سے ضرب ان کو تبدیل نہیں کرتی ہے)، یہی وجہ ہے کہ نظام کو "پروجیکٹو" جیومیٹرک الجبرا کے نام سے جانا جاتا ہے (حالانکہ اس میں مکمل پروجیکٹو گروپ نہیں ہوتا ہے، اس کے برعکس کنفارمل جیومیٹرک الجبرا، جس میں مکمل کنفارمل گروپ ہوتا ہے)۔ متبادل طور پر، کنفارمل جیومیٹرک الجبرا استعمال کیا جا سکتا ہے (چونکہ طیارہ پر مبنی جی اے سی جی اے کا ذیلی الجبرا ہے)، لیکن اس کے اندر پی جی اے رجعت پسند پروڈکٹ کی وضاحت اس حقیقت سے پیچیدہ ہے کہ سی جی اے کا اپنا رجعت پسند پروڈکٹ ہے، جو کہ ایک مختلف پروڈکٹ ہے، غیر رسمی طور پر کیونکہ سی جی اے میں تین پوائنٹس کا جوڑ ایک دائرہ ہے، جبکہ پی جی اے میں یہ ایک طیارہ ہے۔ ایک اور مسئلہ یہ ہے کہ پی جی اے "پوائنٹس" میں سی جی اے پوائنٹس کے مقابلے میں بنیادی طور پر مختلف الجبرائی نمائندگی ہوتی ہے۔ دو الجبرا کا موازنہ کرنے کے لیے، پی جی اے پوائنٹس کو سی جی اے پوائنٹ جوڑوں کے طور پر تسلیم کیا جانا چاہیے، جہاں پوائنٹ جوڑی کا ایک پوائنٹ انفینیٹی پر ہوتا ہے۔ اس مسئلے کو حل کرنے کے لیے، کچھ مصنفین سی جی اے میں پروجیکٹو ڈوئل کو اس کے اندر دو مختلف پی جی اے-آئسومورفک سبالجبراس کے تبادلے کے طور پر بیان کرتے ہیں۔ سی جی اے کے اندر ہج ڈوئل کی وضاحت کرنا بھی ممکن ہے، لیکن سی جی اے عنصر کا استعمال کرتے ہوئے، جو کہ پی جی اے سڈوسکلر ہے۔ غیر یوکلڈین جیومیٹریز اور کلاسیکی لائ گروپوں کا پروجیکٹو جیومیٹرک الجبرا 3 جہتوں میں پہلے اندازے کے مطابق، جسمانی دنیا یوکلڈین ہے، یعنی۔ زیادہ تر تبدیلیاں سخت ہوتی ہیں۔ اس لیے پروجیکٹو جیومیٹرک الجبرا عام طور پر اس پر مبنی ہوتا ہے، کیونکہ اس الجبرا میں سخت تبدیلیوں کا نمونہ بنایا جا سکتا ہے۔ تاہم، الجبرا میں قدرے فرق کرکے دیگر خالی جگہوں کا نمونہ بنانا ممکن ہے۔ ان نظاموں میں، پوائنٹس، طیاروں اور لکیروں میں وہی نقاط ہوتے ہیں جو ان کے ہوائی جہاز پر مبنی GA میں ہوتے ہیں۔ لیکن گردش اور عکاسی جیسی تبدیلیوں کے جیومیٹری پر بہت مختلف اثرات ہوں گے۔ ذیل کے تمام معاملات میں، الجبرا خلا میں عکاسی، گردش، اور گردش کے گروپ کا دوہرا احاطہ ہے۔ یوکلڈین کیس کے تمام فارمولے ان دیگر جیومیٹریز تک لے جاتے ہیں-میٹ اب بھی اشیاء کے چوراہے کو لینے کے طریقے کے طور پر کام کرتا ہے۔ جیومیٹرک پروڈکٹ اب بھی تبدیلیوں کو مرتب کرنے کے طریقے کے طور پر کام کرتا ہے۔ اور ہائپربولک کیس میں اندرونی پروڈکٹ ہائپربولک زاویے کی پیمائش کرنے کے قابل ہو جاتا ہے۔ تینوں یکساں ذیلی الجیبرا کلاسیکی لائ گروپ ہیں (حصص کو اسکیلرز کے ذریعے لینے کے بعد)۔ ہر گروپ کے لیے متعلقہ لائ الجبرا کلفورڈ الجبرا کے بائی ویکٹرز ہیں، جو حصص کو اسکیلرز سے نہیں لیتے ہیں۔ حوالہ جات ہندسی الجبرا