Silver's dichotomy
وضاحتی سیٹ تھیوری میں، ریاضی کی ایک شاخ، سلور ڈائکوٹومی (جسے سلور تھیوریم بھی کہا جاتا ہے) مساوات کے تعلقات کے بارے میں ایک بیان ہے، جس کا نام جیک سلور کے نام پر رکھا گیا ہے۔ بیان اور تاریخ ایک رشتہ کو کوانالیٹک کہا جاتا ہے اگر اس کی تکمیل ایک تجزیاتی سیٹ ہو۔ سلور کی ڈائکوٹومی کوانالیٹک مساوات کے تعلق کی مساوات کی کلاسوں کے بارے میں ایک بیان ہے، جس میں کہا گیا ہے کہ کسی بھی کوانالیٹک مساوات کے تعلق میں یا تو بہت ساری مساوات کی کلاسیں ہوتی ہیں، یا پھر حقیقی چیزوں کا ایک کامل مجموعہ ہوتا ہے جو ایک دوسرے سے بے مثال ہوتے ہیں۔ مؤخر الذکر صورت میں، تعلقات کی بے شمار مساوات کی کلاسیں ہونی چاہئیں۔ سلور کی ڈائکوٹومی کا پہلا شائع شدہ ثبوت جیک سلور کا تھا، جو 1980 میں ہاروی فریڈمین کے پوچھے گئے سوال کا جواب دینے کے لیے شائع ہوا تھا۔ ریکرسو سیٹ تھیوری میں ظاہر ہونے والی سلور کی ڈائکوٹومی کا ایک اطلاق یہ ہے کہ چونکہ کسی سیٹ تک محدود مساوات کوانالیٹک ہے، اس لیے کوئی بوریل مساوات کا تعلق نہیں ہے، جہاں بوریل-کمی کی نشاندہی ہوتی ہے۔ سلور کی ڈائکوٹومی سے متاثر کچھ بعد کے نتائج نے ایک نئے میدان کی بنیاد رکھی جسے غیر متغیر وضاحتی سیٹ تھیوری کے نام سے جانا جاتا ہے، جو قابل تعریف مساوات کے تعلقات کا مطالعہ کرتا ہے۔ سلور کی ڈائکوٹومی کئی کمزور تکراری ورژنوں کو بھی تسلیم کرتی ہے، جن کا موازنہ طاقت میں الٹا ریاضی سے دوسرے درجے کے ریاضی کے ذیلی نظاموں سے کیا گیا ہے، جبکہ سلور کی ڈائکوٹومی خود ثابت طور پر اوور کے مساوی ہے۔ حوالہ جات سیٹ تھیوری