Papoulis-Marks-Cheung Approach
پاپولس-مارکس-چیونگ نقطہ نظر کثیر جہتی شینن سیمپلنگ تھیوری میں ایک نظریہ ہے جو ظاہر کرتا ہے کہ دو جہتی بینڈ لمیٹڈ فنکشن کی سیمپلنگ ڈینسٹی کو فنکشن کے فورئیر ٹرانسفارم کی حمایت تک کم کیا جا سکتا ہے۔ ایتھناسیوس پاپولس کے نظریہ کی کثیر جہتی عمومی کاری کو لاگو کرتے ہوئے، یہ نقطہ نظر سب سے پہلے رابرٹ جے نے پیش کیا تھا۔ مارکس دوم اور کوانگ فائی چیونگ۔ اس نقطہ نظر کو "خوبصورت"، "قابل ذکر طور پر" بند، اور "دلچسپ" کہا گیا ہے۔ نظریہ کسی فنکشن کا دو جہتی فورئیر ٹرانسفارم، یا فریکوئنسی سپیکٹرم، وہ جگہ ہے جہاں اور اس کے مطابق مقامی تعدد ہیں۔ کب اور کب لمبائی ہوتی ہے، مقامی تعدد میں فی اکائی لمبائی کے چکروں کی اکائیاں ہوتی ہیں۔ پریلی اور نیوہوف پاپولس-مارکس-چیونگ کے نقطہ نظر کو اس طرح بیان کرتے ہیں۔ اپنا نتیجہ حاصل کرنے میں، مارکس اور چیونگ نے پاپولس کی عمومی نمونے لینے کی توسیع پر انحصار کیا۔ وضاحت پاپولس-مارکس-چیونگ کے نقطہ نظر کی مثال کے ذریعے بہترین وضاحت کی گئی ہے۔ شکل 1 سے دائیں نصف سطح پر دکھائے گئے نصف دائرے پر غور کریں۔ سگنل کا سپیکٹرم، نصف دائرے کے باہر صفر ہوتا ہے۔ دائرے کے اندر، سپیکٹرم 'من مانی ہے لیکن اچھی طرح سے برتاؤ کیا جاتا ہے۔ نصف دائرے، یونٹ کے رداس کے ساتھ، کا رقبہ (سائیکل فی یونٹ لمبائی) مربع ہوتا ہے۔ پاپولس-مارکس-چیونگ نقطہ نظر کے مطابق، تصویر کے لیے نمونے لینے کی کثافت کو نمونے فی یونٹ ایریا تک کم کیا جا سکتا ہے۔ پاپولس-مارکس-چیونگ نقطہ نظر یہ بتاتا ہے کہ یہ کیسے کیا جائے۔ شکل 1 میں دائیں طرف نصف دائرے کی ایک آئتاکار نقل کی تصویر ہے جو اس وقت ہوتی ہے جب شکل 2 میں دکھائے گئے مقامی مقامات پر دو جہتی فنکشن کا نمونہ لیا جاتا ہے۔ یہ نقل کثیر جہتی نمونے لینے کے نظریہ کا نتیجہ ہے جو ظاہر کرتا ہے کہ مقامی ڈومین میں دو جہتی سگنل کے نمونے لینے کے نتیجے میں فورئیر ڈومین میں سپیکٹرم کی نقل ہوتی ہے۔ اگر یکساں نمونے لینے کی کثافت کم ہوتی تو نقلیں اوورلیپ ہوتیں اور اصل فنکشن کی تعمیر نو کی کوشش کے نتیجے میں امیج الیازنگ ہوتی۔ اس کو حاصل کرنے کے لیے نمونے لینے کی کثافت سپیکٹرم کی نقل کے آئتاکار جالی سیل کے رقبے کے برابر ہے۔ نقل میں استعمال ہونے والے مستطیل کا متعلقہ رقبہ (سائیکل فی یونٹ لمبائی) مربع کے برابر ہے۔ جیسا کہ شکل 2 سے تصدیق ہوئی ہے، سپیکٹرم کی نقل کو حاصل کرنے کے لیے درکار نمونے لینے کی کثافت اس لیے نمونے فی یونٹ ایریا ہیں۔ پاپولس-مارکس-چیونگ نقطہ نظر کا کہنا ہے کہ اس نمونے لینے کی کثافت کو نصف دائرے کے رقبے تک کم کیا جا سکتا ہے، یعنی نمونے فی یونٹ رقبے تک۔ یہ دیکھنے کے لیے کہ یہ کمی کیسے ہوتی ہے، شکل 3 پر غور کریں جہاں آئتاکار جالی خلیے کو یکساں مربعوں میں تقسیم کیا گیا ہے۔ نوٹ کریں کہ ان میں سے دو مربع مکمل طور پر ایک ایسے علاقے میں واقع ہیں جہاں سپیکٹرم کی نقل یکساں طور پر صفر ہے۔ یہ مربع ہلکے سبز رنگ کے ہوتے ہیں۔ ہر مربع کو مختلف دو جہتی اشاروں کے سپیکٹرم کے طور پر سوچیں۔ ہلکے سبز علاقوں سے متعلق اشاروں کے تمام نمونے صفر ہیں اور ان پر غور کرنے کی ضرورت نہیں ہے۔ دو سبز چوکوں کا رقبہ ہے۔ چونکہ ان مربعوں سے متعلق نمونوں پر غور کرنے کی ضرورت نہیں ہے (وہ سب صفر ہیں)، مجموعی نمونے لینے کی کثافت نمونوں فی یونٹ کے رقبے سے نمونوں فی یونٹ کے رقبے تک کم ہو جاتی ہے۔ نمونے لینے کی کثافت میں متعلقہ کمی شکل 4 میں دکھائی گئی ہے جہاں سرخ نقطے وہ مقامات ہیں جہاں نمونے لینے کی ضرورت نہیں ہے۔ ایک سرخ نقطے پر مشتمل واحد خلیے کو سایہ دار دکھایا گیا ہے۔ سیل کا رقبہ ہے نمونے لینے کی کثافت میں اسی طرح کی کمی شکل 4 میں دکھائی گئی ہے جہاں سرخ نقطے وہ مقامات ہیں جہاں نمونے لینے کی ضرورت نہیں ہے۔ ایک سرخ نقطے پر مشتمل واحد خلیے کو سایہ دار دکھایا گیا ہے۔ خلیے کا رقبہ اکائیاں ہیں۔ لہذا نمونے لینے کی کثافت، جیسا کہ شکل 3 میں دو سبز مربعوں کے علاقوں سے بھی دیکھا جاتا ہے، نمونے فی یونٹ کے رقبے سے کم ہوتا ہے۔ پچھلی مثال میں، شکل 3 میں مربعوں کو من مانی طور پر چھوٹا بنایا جا سکتا ہے اور تعداد میں اضافہ کیا جا سکتا ہے تاکہ، غیر علامتی طور پر، صفر کے برابر تمام رقبے کا احاطہ کیا جا سکے۔ اس طرح، نمونے لینے کی کثافت کو سپیکٹرم کی حمایت تک کم کیا جا سکتا ہے، یعنی اس علاقے تک جہاں سپیکٹرم یکساں طور پر صفر نہیں ہے۔ پاپولس-مارکس-چیونگ نقطہ نظر کو سیدھے سیدھے اعلی جہتوں میں عام کیا جا سکتا ہے۔ نیز، نقل کی جیومیٹری کو آئتاکار ہونے کی ضرورت نہیں ہے لیکن یہ کوئی بھی شکل ہو سکتی ہے جو پورے سطح کو ٹائل کرے جیسے کہ متوازی ہندسے اور ہیکساگون۔ پاپولس-مارکس-چیونگ نقطہ نظر کی مزید تفصیلی ریاضیاتی تفصیل مارکس اور چیونگ اور ان کے مشتق کام کے اصل مقالے میں دستیاب ہے۔ فورئیر تجزیہ میں حوالہ جات کے نظریات