Permutationally invariant quantum state tomography
پرموٹیشنل طور پر غیر متغیر کوانٹم اسٹیٹ ٹومگرافی (پی آئی کوانٹم اسٹیٹ ٹومگرافی) بہت سے ذیلی نظاموں پر مشتمل کوانٹم نظام کی حالت کے جزوی تعین کا ایک طریقہ ہے۔ عام طور پر، ذیلی نظاموں پر مشتمل نظام کی کوانٹم مکینیکل حالت کو بیان کرنے کے لیے درکار پیرامیٹرز کی تعداد میں تیزی سے اضافہ ہو رہا ہے۔ کیوبیٹس پر مشتمل نظام کے معاملے میں، جو شاید سب سے زیادہ متعلقہ معاملہ ہے، خالص حالت کے اسٹیٹ ویکٹر کو بیان کرنے کے لیے حقیقی پیرامیٹرز کی ضرورت ہوتی ہے، یا مخلوط حالت کے کثافت میٹرکس کو بیان کرنے کے لیے حقیقی پیرامیٹرز کی ضرورت ہوتی ہے۔ کوانٹم اسٹیٹ ٹومگرافی بہت سے آزاد اور یکساں طور پر تیار کردہ نظاموں پر پیمائش کے سلسلے سے ان تمام پیرامیٹرز کا تعین کرنے کا ایک طریقہ ہے۔ اس طرح، مکمل کوانٹم اسٹیٹ ٹومگرافی کے معاملے میں، پیمائش کی تعداد کو ذرات یا کیوبیٹس کی تعداد کے ساتھ تیزی سے پیمانے کی ضرورت ہوتی ہے۔ بڑے نظاموں کے لیے، عملی طور پر پوری کوانٹم حالت کا تعین اب ممکن نہیں ہے اور کوئی بھی ایسے طریقوں میں دلچسپی رکھتا ہے جو کوانٹم حالت کی خصوصیت کے لیے ضروری پیرامیٹرز کے صرف ایک ذیلی سیٹ کا تعین کرتے ہیں جس میں اب بھی حالت کے بارے میں اہم معلومات موجود ہیں۔ پرموٹیشنل طور پر غیر متغیر کوانٹم ٹومگرافی ایک ایسا طریقہ ہے جس میں ریاستی ٹومگرافی سے کم پیمائش کی ضرورت ہوتی ہے۔ پی آئی کوانٹم ٹومگرافی صرف کثافت میٹرکس کے پرموٹیشنل طور پر غیر متغیر حصے کی پیمائش کرتی ہے۔ طریقہ کار کے لیے، ذیلی نظاموں پر مقامی پیمائش کرنا کافی ہے۔ اگر حالت پارموٹیشنل طور پر غیر متغیر ہونے کے قریب ہے، جو کہ بہت سے عملی حالات میں ہوتا ہے، تو نظام کے کثافت میٹرکس کے قریب ہے۔ یہاں تک کہ اگر حالت مستقل طور پر غیر متغیر نہیں ہے، تب بھی الجھن کا پتہ لگانے اور متعلقہ آپریٹر کی توقعات کی اقدار کی گنتی کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ اس طرح، طریقہ کار کوانٹم حالت کی پرموٹیشنل طور پر غیر متغیر نہیں مانتا ہے۔ کیوبیٹس پیمانے کے لیے آزاد حقیقی پیرامیٹرز کی تعداد مقامی پیمائش کی ترتیبات کے پیمانے کی تعداد کے طور پر اس طرح، بڑے پیمانے کے لیے بھی پرموٹیشنل طور پر غیر متغیر کوانٹم ٹومگرافی کو قابل انتظام سمجھا جاتا ہے۔ دوسرے لفظوں میں، پرموٹیشنل طور پر غیر متغیر کوانٹم ٹومگرافی کو توسیع پذیر سمجھا جاتا ہے۔ یہ طریقہ استعمال کیا جا سکتا ہے، مثال کے طور پر، 10 سے زیادہ ذرات والے نظاموں کی کثافت میٹرکس کی تعمیر نو کے لیے، فوٹونک نظاموں کے لیے، پھنسے ہوئے سرد آئنوں یا سرد ایٹموں میں موجود نظاموں کے لیے۔ ڈینسٹی میٹرکس پی آئی اسٹیٹ ٹومگرافی کا پرموٹیشنل طور پر غیر متغیر حصہ ڈینسٹی میٹرکس کے پرموٹیشنل طور پر غیر متغیر حصے کی تشکیل نو کرتا ہے، جس کی تعریف تمام ممکنہ طریقوں سے ذرات کو پرموٹ کرنے کے بعد حاصل کردہ کوانٹم ریاستوں کے مساوی مرکب کے طور پر کی جاتی ہے جہاں kth پرموٹیشن کی نشاندہی ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر، ہمارے پاس دو تغیرات ہیں۔ دونوں ذرات کی ترتیب کو تبدیل نہیں کرتا ہے۔ دونوں ذرات کا تبادلہ ہوتا ہے۔ عام طور پر، ذرات کے لیے، ہمارے پاس تغیرات ہوتے ہیں۔ یہ دیکھنا آسان ہے کہ یہ کثافت میٹرکس ہے جو حاصل کیا جاتا ہے اگر ذرات کی ترتیب کو مدنظر نہیں رکھا جاتا ہے۔ یہ ایک ایسے تجربے سے مطابقت رکھتا ہے جس میں ذرات کا ایک ذیلی مجموعہ تصادفی طور پر ایک بڑے مجموعے سے منتخب کیا جاتا ہے۔ اس چھوٹے گروہ کی حالت یقینی طور پر مستقل طور پر غیر متغیر ہے۔ پیمانوں کی آزادی کی ڈگریوں کی تعداد کثیر الجہتی طور پر ذرات کی تعداد کے ساتھ۔ کیوبٹس (اسپن پارٹیکلز) کے نظام کے لیے حقیقی ڈگری آف فریڈم کی تعداد کثافت میٹرکس کے پرموٹیشنل طور پر غیر متغیر حصے کا تعین کرنے کے لیے درکار پیمائش ہے۔ ان ڈگری آف فریڈم کا تعین کرنے کے لیے، مقامی پیمائش کی ترتیبات کی ضرورت ہوتی ہے۔ یہاں، مقامی پیمائش کی ترتیبات کا مطلب ہے کہ آپریٹر کو ہر ذرہ پر ناپا جانا ہے۔ پیمائش کو دہرانے اور کافی اعداد و شمار جمع کرنے سے، تمام دو نکاتی، تین نکاتی اور اعلی ترتیب کے ارتباط کا تعین کیا جا سکتا ہے۔ جسمانی حالت کا موثر تعین اب تک ہم نے اس بات پر تبادلہ خیال کیا ہے کہ پیمائش کی تعداد کثیر الجہتی طور پر کیوبیٹس کی تعداد کے ساتھ پیمائش کرتی ہے۔ پورے ٹومگرافک طریقہ کار کو توسیع پذیر ہونے کے لیے، ہمیں ضرورت ہے کہ ہم ریاست کو کمپیوٹر میں توسیع پذیر طریقے سے محفوظ کریں۔ واضح طور پر، کثافت میٹرکس میں-کوبٹ حالت کو ذخیرہ کرنے کا سیدھا سیدھا طریقہ قابل توسیع نہیں ہے۔ تاہم، یہ ایک بلاک ڈائیگنل میٹرکس ہے جو اس کی پرموٹیشنل انواریینس کی وجہ سے ہے اور اس طرح اسے بہت زیادہ مؤثر طریقے سے ذخیرہ کیا جا سکتا ہے۔ مزید برآں، یہ اچھی طرح سے معلوم ہے کہ شماریاتی اتار چڑھاؤ اور منظم غلطیوں کی وجہ سے پیمائش شدہ حالت سے لکیری الٹ کے ذریعے حاصل کردہ کثافت میٹرکس مثبت سیمیڈفائنٹ نہیں ہے اور اس میں کچھ منفی آئجن ویلیوز ہیں۔ ایک عام ٹومگرافی میں ایک اہم قدم ٹومگرافک ڈیٹا پر ایک فزیکل یعنی مثبت سیمیڈفائنٹ ڈینسٹی میٹرکس کو فٹ کرنا ہے۔ یہ قدم اکثر فل اسٹیٹ ٹومگرافی میں مجموعی عمل میں رکاوٹ کی نمائندگی کرتا ہے۔ تاہم، پی آئی ٹومگرافی، جیسا کہ ہم نے ابھی تبادلہ خیال کیا ہے، کثافت میٹرکس کو بہت زیادہ مؤثر طریقے سے ذخیرہ کرنے کی اجازت دیتا ہے، جو کنویکس آپٹیمائزیشن کا استعمال کرتے ہوئے ایک موثر فٹنگ کی بھی اجازت دیتا ہے۔ یہ پورے عمل کو قابل توسیع بناتا ہے۔ مزید برآں، کنویکس آپٹیمائزیشن اس بات کی ضمانت دیتی ہے کہ حل ایک عالمی زیادہ سے زیادہ ہے۔ پی آئی ٹومگرافی کے طریقہ کار کی خصوصیات عام طور پر ان تجربات میں استعمال ہوتی ہیں جن میں پرموٹیشنل طور پر غیر متغیر ریاستیں شامل ہوتی ہیں۔ اگر پی آئی ٹومگرافی کے ذریعے حاصل کردہ ڈینسٹی میٹرکس الجھ جائے تو نظام کا ڈینسٹی میٹرکس بھی الجھ جائے گا۔ اس وجہ سے، الجھاو کی تصدیق کے معمول کے طریقے، جیسے الجھاو کے گواہ یا پیریز-ہوروڈیکی معیار، کا اطلاق اس پر کیا جا سکتا ہے۔ قابل ذکر بات یہ ہے کہ اس طرح سے کی جانے والی الجھاو کا پتہ لگانے سے یہ فرض نہیں ہوتا ہے کہ کوانٹم نظام خود تعدد طور پر غیر متغیر ہے۔ مزید برآں، کسی بھی پرموٹیونلی غیر متغیر آپریٹر کی متوقع قیمت اس کے لیے یکساں ہے اور اس طرح کے آپریٹرز کی بہت متعلقہ مثالیں متناسب حالتوں کے لیے پروجیکٹر ہیں، جیسے کہ گرینبرگر-ہورن-زیلنگر حالت، ڈبلیو حالت اور متناسب ڈک ریاستیں۔ اس طرح، ہم مذکورہ بالا کوانٹم حالتوں کے حوالے سے وفاداری حاصل کر سکتے ہیں کیونکہ حالت میں متعلقہ پروجیکٹرز کی متوقع قیمت دیگر طریقوں سے منسلک ہوتی ہے۔ ٹومگرافی کے لیے دوسرے طریقے ہیں جن کی پیمائش مکمل کوانٹم اسٹیٹ ٹومگرافی سے کم ہوتی ہے۔ جیسا کہ ہم نے تبادلہ خیال کیا ہے، پی آئی ٹومگرافی عام طور پر کوانٹم حالتوں کے لیے سب سے زیادہ مفید ہے جو پرموشنلی طور پر غیر متغیر ہونے کے قریب ہیں۔ کمپریسڈ سینسنگ خاص طور پر نچلے درجے کی ریاستوں کے لیے موزوں ہے۔ میٹرکس پروڈکٹ اسٹیٹ ٹومگرافی، مثال کے طور پر، کلسٹر اسٹیٹس اور اسپن ماڈلز کی گراؤنڈ اسٹیٹس کے لیے سب سے زیادہ موزوں ہے۔ پرموٹیشنل طور پر غیر متغیر ٹومگرافی کو کمپریسڈ سینسنگ کے ساتھ جوڑا جا سکتا ہے۔ اس صورت میں، مقامی پیمائش کی ترتیبات کی تعداد کی ضرورت پرموٹیشنل طور پر غیر متغیر ٹومگرافی سے بھی کم ہو سکتی ہے۔ تجربات پرموٹیشنل طور پر غیر متغیر ٹومگرافی کا تجربہ تجرباتی طور پر چار-کیوبٹ سمیٹرک ڈک حالت اور فوٹونوں میں چھ-کیوبٹ سمیٹرک ڈک کے لیے بھی کیا گیا ہے، اور اس کا موازنہ فل اسٹیٹ ٹومگرافی اور کمپریسڈ سینسنگ سے کیا گیا ہے۔ پرموٹیشنل طور پر غیر متغیر ٹومگرافی کے تخروپن سے پتہ چلتا ہے کہ پیمائش شدہ ڈیٹا سے 20 کیوبیٹس کے مثبت سیمیڈفائنٹ ڈینسٹی میٹرکس کی تعمیر نو ایک معیاری کمپیوٹر پر چند منٹ میں ممکن ہے۔ پرموٹیشنل طور پر غیر متغیر ٹومگرافی اور کمپریسڈ سینسنگ کو یکجا کرنے والے ہائبرڈ طریقہ کا بھی تجربہ کیا گیا ہے۔ حوالہ جات کوانٹم میکینکس ٹومگرافی