Spin chain
ایک اسپن چین شماریاتی طبیعیات میں ماڈل کی ایک قسم ہے۔ اسپن زنجیروں کو اصل میں مقناطیسی نظام کے ماڈل کے لیے وضع کیا گیا تھا، جو عام طور پر مقناطیسی گھماؤ والے ذرات پر مشتمل ہوتے ہیں جو جالی پر مقررہ مقامات پر واقع ہوتے ہیں۔ ایک مثالی مثال کوانٹم ہائزن برگ ماڈل ہے۔ سائٹوں کے درمیان تعاملات آپریٹرز کے ذریعہ بنائے جاتے ہیں جو دو مختلف سائٹوں، اکثر پڑوسی سائٹوں پر کام کرتے ہیں۔ انہیں شماریاتی جالی ماڈلز کے کوانٹم ورژن کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے، جیسے کہ آئزنگ ماڈل، اس معنی میں کہ ہر سائٹ پر گھماؤ کو بیان کرنے والے پیرامیٹر کو ایک متغیر سیٹ میں اقدار لینے والے متغیر سے فروغ دیا جاتا ہے (عام طور پر، 'اسپن اپ' اور 'اسپن ڈاؤن' کی نمائندگی کرتا ہے) ایک ویکٹر اسپیس میں اقدار لینے والے متغیر میں (عام طور پر اسپن-1/2 یا کی دو جہتی نمائندگی)۔ ہسٹری اسپن چین کی مثالی مثال ہائزن برگ ماڈل ہے، جسے ورنر ہائزن برگ نے 1928 میں بیان کیا تھا۔ یہ 1/2 گھماؤ کے ساتھ فکسڈ ذرات کی ایک جہتی جالی کا نمونہ ہے۔ ایک سادہ ورژن (اینٹیفیرومیگنیٹک XXX ماڈل) کو حل کیا گیا، یعنی ہیزن برگ ماڈل کے ہیملٹنین کے سپیکٹرم کا تعین ہنس بیتھی نے بیتھ انساتز کا استعمال کرتے ہوئے کیا۔ اب اصطلاح بیتھ انساتز عام طور پر بہت سے انساتز کا حوالہ دینے کے لیے استعمال ہوتی ہے جو اسپن چین تھیوری میں بالکل قابل حل مسائل کو حل کرنے کے لیے استعمال ہوتے ہیں جیسے کہ ہائزن برگ ماڈل (XXZ، XYZ) کے دیگر تغیرات کے لیے، اور یہاں تک کہ شماریاتی جالی تھیوری میں، جیسے کہ سکس ورٹیکس ماڈل کے لیے۔ جسمانی ایپلی کیشنز کے ساتھ ایک اور اسپن چین ہبارڈ ماڈل ہے، جسے 1963 میں جان ہبارڈ نے متعارف کرایا تھا۔ اس ماڈل کو 1968 میں ایلیٹ لیب اور فا یوے وو نے بالکل حل کرنے کے قابل دکھایا تھا۔ اسپن چینز کی (کلاس کی) ایک اور مثال گاؤڈن ماڈل ہے، جسے مائیکل گاؤڈن نے 1976 میں ریاضیاتی تفصیل میں بیان اور حل کیا تھا۔ جالی کو ورٹیکس سیٹ اور ایج سیٹ کے ساتھ گراف کے ذریعے بیان کیا گیا ہے۔ اس ماڈل میں ایک منسلک لائ الجبرا ہے۔ زیادہ عام طور پر، اس لائ الجبرا کو کسی بھی پیچیدہ، محدود جہتی نیم سادہ لائ الجبرا کے طور پر لیا جا سکتا ہے۔ زیادہ عام طور پر اب بھی اسے ایک من مانی جھوٹ الجبرا سمجھا جا سکتا ہے۔ ہر ورٹیکس میں لائ الجبرا کی ایک متعلقہ نمائندگی ہوتی ہے، جسے لیبل کیا جاتا ہے۔ یہ شماریاتی جالی ماڈلز کی کوانٹم جنرلائزیشن ہے، جہاں ہر ورٹیکس میں ایک متعلقہ 'اسپن متغیر' ہوتا ہے۔ پورے نظام کے لیے ہلبرٹ اسپیس، جسے کنفیگریشن اسپیس کہا جا سکتا ہے، ہر سرے پر نمائندگی خالی جگہوں کا ٹینسر پروڈکٹ ہے: اس کے بعد ہلبرٹ اسپیس پر ایک ہیملٹنین آپریٹر ہوتا ہے۔ اسپن چینز کے نظریہ میں، ممکنہ طور پر بہت سے ہیملٹنین ہیں جو باہمی طور پر سفر کرتے ہیں۔ یہ آپریٹرز کو بیک وقت ڈائیگنلائز کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ اسپن چینز کے لیے درست حل پذیری کا تصور موجود ہے، جسے اکثر ماڈل کے سپیکٹرم کا تعین کرنے کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ عین مطابق الفاظ میں، اس کا مطلب نظام کے ہیملٹنیوں کے لیے ہلبرٹ اسپیس کے بیک وقت آئجین ویویکٹرز کے ساتھ ساتھ ہر ہیملٹنین کے حوالے سے ہر آئجین ویویکٹر کی آئجین ویلیوز کا تعین کرنا ہے۔ مثالیں اسپن 1/2 XXX ماڈل تفصیل سے پروٹو ٹائپکل مثال، اور ہائزن برگ اسپن چین کی ایک خاص مثال، کو اسپن 1/2 ہائزن برگ XXX ماڈل کے نام سے جانا جاتا ہے۔ گراف-سائٹس کے ساتھ وقتا فوقتا 1 جہتی جالی ہے۔ واضح طور پر، یہ کے ذریعے دیا گیا ہے، اور اس کے ساتھ ہونے کے عناصر کے ساتھ شناخت کی گئی ہے۔ متعلقہ جھوٹ الجبرا ہے۔ سائٹ پر ایک وابستہ ہلبرٹ اسپیس ہے جو دو جہتی نمائندگی کے لیے آئسومورفک ہے (اور اس وجہ سے مزید آئسومورفک)۔ نظام کی ترتیبات کی ہلبرٹ جگہ طول و عرض کی ہے۔ دو جہتی نمائندگی پر ایک آپریٹر دیا گیا ہے، آپریٹر کی طرف سے ظاہر ہوتا ہے جس پر دوسرے پر شناخت کے طور پر کام کرتا ہے۔ واضح طور پر، یہ لکھا جا سکتا ہے جہاں 1 شناخت کی نشاندہی کرتا ہے۔ ہیملٹنین بنیادی طور پر، ایک افائن تبدیلی تک ہے، جس میں اشاریہ پر مضمر خلاصہ ہے، اور پالی میٹرکس کہاں ہیں۔ ہیملٹنین میں تین کل اسپن آپریٹرز کے عمل کے تحت ہم آہنگی ہے۔ اس کے بعد مرکزی مسئلہ ہیملٹنین کے سپیکٹرم (آئجین ویلیوز اور آئجین ویکٹرز) کا تعین کرنا ہے۔ اسے الجبرائی بیتھ انساتز کے طریقہ کار سے حل کیا جاتا ہے، جسے ہنس بیتھ نے دریافت کیا اور لڈوگ فدیف نے مزید دریافت کیا۔ اسپن زنجیروں کی فہرست کوانٹم ہائزن برگ ماڈل انوزیمٹسیو ماڈل ہالڈین-شاستری ماڈل کوانٹم گاؤڈن ماڈل یہ بھی دیکھیں لیٹیس ماڈل (طبیعیات) بالکل قابل حل بیرونی حوالہ جات این لیب اسپن ماڈل میں اسپن چین کو جوڑتے ہیں کوانٹم مقناطیسیت کوانٹم لیٹیس ماڈل مقناطیسی ترتیب