Ddbar lemma
پیچیدہ جیومیٹری میں، لیما (تلفظ ڈی ڈی بار لیما) ایک پیچیدہ تفریقی شکل کی ڈی رام کوہمولوجی کلاس کے بارے میں ایک ریاضیاتی لیما ہے۔ - لیما ایک کمپیکٹ کیلر کئی گنا پر ہج تھیوری اور کیلر شناختوں کا نتیجہ ہے۔ بعض اوقات اسے متعلقہ آپریٹر کے استعمال کی وجہ سے-لیما کے نام سے بھی جانا جاتا ہے، جس میں دونوں آپریٹرز کے درمیان تعلق اور اسی طرح ہوتا ہے۔ بیان لیما اس بات پر زور دیتا ہے کہ اگر ایک کمپیکٹ کیلر کئی گنا ہے اور بائیڈیگری (پی، کیو) (کے ساتھ) کی ایک پیچیدہ تفریقی شکل ہے جس کی کلاس ڈی رام کوہومولوجی میں صفر ہے، تو بائیڈیگری (پی-1، کیو-1) کی ایک شکل موجود ہے جیسے کہ پیچیدہ کئی گنا کے ڈولبیالٹ آپریٹرز کہاں اور کہاں ہیں۔ ڈی ڈی بار پوٹینشل اس فارم کو-پوٹینشل آف کہا جاتا ہے۔ عنصر کی شمولیت اس بات کو یقینی بناتی ہے کہ یہ ایک حقیقی تفریقی آپریٹر ہے، یعنی اگر حقیقی کوفشنٹس کے ساتھ تفریقی شکل ہے، تو ایسا ہی ہے۔ اس لیما کا موازنہ ڈی رام کوہمولوجی میں ایک قطعی تفریقی شکل کے تصور سے کیا جانا چاہیے۔ خاص طور پر اگر ایک بند تفریق k-فارم (کسی بھی ہموار کئی گنا پر) ہے جس کی کلاس ڈی رام کوہومولوجی میں صفر ہے، تو کچھ تفریق (k-1)-فارم کے لیے جسے-پوٹینشل (یا صرف پوٹینشل) کہا جاتا ہے، بیرونی مشتق کہاں ہے۔ درحقیقت، چونکہ ڈولبیالٹ آپریٹرز کا مجموعہ بیرونی مشتق اور مربع کو صفر دینے کے لیے ہوتا ہے، اس لیے-لیما کا مطلب یہ ہے کہ کمپیکٹ کیلر مینیفولڈز کی ترتیب میں-پوٹینشل کو-پوٹینشل سے بہتر بنانا۔ ثبوت-لیما ہج تھیوری کا ایک نتیجہ ہے جس کا اطلاق ایک کمپیکٹ کیلر کئی گنا پر ہوتا ہے۔ ایلیپٹک کمپلیکس کے لیے ہج تھیوریم کا اطلاق کسی بھی آپریٹر پر اور بالترتیب ان کے لیپلیس آپریٹر پر کیا جا سکتا ہے۔ ان آپریٹرز کے لیے کوئی بھی دانے کی طرف سے دی گئی ہارمونک تفریقی شکلوں کی خالی جگہوں کی وضاحت کر سکتا ہے: ہج سڑنا تھیوریم اس بات پر زور دیتا ہے کہ ہارمونک شکلوں کی ان خالی جگہوں سے وابستہ تین آرتھوگنل سڑنے ہیں، جو بالترتیب کیلر کئی گنا کے ریمینیئن میٹرک کے حوالے سے رسمی ملحقہ ہیں۔ یہ سڑنا کسی بھی کمپیکٹ کمپلیکس کئی گنا پر الگ الگ ہوتا ہے۔ کئی گنا کیلر ہونے کی اہمیت یہ ہے کہ اوپر کے آرتھوگنل سڑنے کے لیپلاسین اور اس وجہ سے کے درمیان ایک تعلق ہے۔ خاص طور پر ایک کمپیکٹ کیلر کئی گنا پر جس کا مطلب ایک آرتھوگنل سڑنا ہے جہاں خالی جگہوں اور ہارمونک شکلوں سے متعلق مزید تعلقات موجود ہیں۔ مندرجہ بالا سڑنے کے نتیجے میں، کوئی بھی مندرجہ ذیل لیما کو ثابت کر سکتا ہے۔ ثبوت اس طرح ہے۔ ایک کمپیکٹ کیلر کئی گنا پر ایک بند (p، q) شکل ہونے دیں۔ یہ تیزی سے اس کے بعد آتا ہے کہ (d) کا مطلب ہے (a)، (b)، اور (c)۔ مزید برآں، اوپر دیے گئے آرتھوگنل سڑنے کا مطلب یہ ہے کہ (a)، (b)، یا (c) میں سے کسی کا مطلب (e) ہے۔ لہذا، بنیادی مشکل یہ ظاہر کرنا ہے کہ (e) کا مطلب (d) ہے۔ اس مقصد کے لیے، فرض کریں کہ یہ سب اسپیس کے لیے آرتھوگنل ہے۔ پھر۔ چونکہ بند ہے اور، یہ بھی بند ہے (یعنی)۔ اگر کہاں اور اس میں موجود ہے تو چونکہ یہ رقم ریمینیئن میٹرک کے ذریعے پیدا ہونے والے اندرونی پروڈکٹ کے حوالے سے آرتھوگنل سڑنے سے ہے، یا دوسرے الفاظ میں اور۔ اس طرح یہ معاملہ ہے۔ یہ ہمیں کچھ تفریقی شکل میں لکھنے کی اجازت دیتا ہے۔ کے لیے ہج سڑنا لاگو کرنا، جہاں-ہارمونک ہے، اور۔ مساوات کا مطلب یہ ہے کہ یہ بھی-ہم آہنگ ہے اور اس لیے۔ اس طرح۔ تاہم، چونکہ یہ بند ہے، اس لیے یہ بھی بند ہے۔ پھر اوپر کی طرح اسی طرح کی چال کا استعمال کرتے ہوئے، کیلر کی شناخت کو بھی لاگو کریں۔ اس طرح اور ترتیب-پوٹینشل پیدا کرتی ہے۔ مقامی ورژن-لیما کا ایک مقامی ورژن ہے اور اسے ہج سڑنے کے نظریہ سے اپیل کرنے کی ضرورت کے بغیر ثابت کیا جا سکتا ہے۔ یہ آپریٹر کے لیے پوئن کیری لیما یا ڈولبیوالٹ-گروتھینڈیک لیما کا ینالاگ ہے۔ مقامی-لیما کسی بھی ڈومین پر قابض ہے جس پر مذکورہ بالا لیما ہیں۔ ثبوت مذکورہ بالا لیماؤں سے تیزی سے پیروی کرتا ہے۔ سب سے پہلے مشاہدہ کریں کہ اگر مقامی طور پر کچھ لوگوں کے لیے شکل کا ہے تو کیونکہ،، اور۔ دوسری طرف، فرض کریں کہ-بند ہے۔ پھر پوئن کیری لیما کے ذریعہ کسی بھی نقطہ کا ایک کھلا پڑوس اور اس طرح کی ایک شکل موجود ہے۔ اب اس کے لیے لکھنا اور نوٹ کریں کہ اور فارموں کی دو ڈگریوں کا موازنہ کرنا اس کا اور اس کا مطلب ہے۔ ممکنہ طور پر کھلے محلے کے سائز کو سکڑنے کے بعد، مقامی شکلوں کو حاصل کرنے کے لیے ڈولبولٹ-گروتھینڈیک لیما کو اور (مؤخر الذکر کیونکہ) پر لاگو کیا جا سکتا ہے۔ اس کے بعد یہ نوٹ کرنا کہ یہ ثبوت کو کہاں کے طور پر مکمل کرتا ہے۔ باٹ-چرن کوہمولوجی کمپیکٹ کمپلیکس مینیفولڈز کے لیے ایک کوہمولوجی تھیوری ہے جو آپریٹرز پر منحصر ہے اور اس بات کی پیمائش کرتی ہے کہ-لیما کس حد تک برقرار رکھنے میں ناکام رہتا ہے۔ خاص طور پر جب ایک کمپیکٹ کمپلیکس کئی گنا ایک کیلر کئی گنا ہوتا ہے، تو باٹ-چرن کوہمولوجی ڈولبیالٹ کوہمولوجی کے لیے آئسومورفک ہوتی ہے، لیکن عام طور پر اس میں مزید معلومات ہوتی ہیں۔ ایک کمپیکٹ کمپلیکس کئی گنا کے باٹ-چرن کوہمولوجی گروپوں کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے کہ چونکہ ایک تفریق شکل جو دونوں ہے اور-بند ہے-بند ہے، اس لیے باٹ-چرن کوہمولوجی گروپوں سے لے کر ڈی رام کوہمولوجی گروپوں تک ایک قدرتی نقشہ موجود ہے۔ اور ڈولبیالٹ کوہمولوجی گروپوں کے نقشے بھی موجود ہیں۔ جب کئی گنا-لیما کو مطمئن کرتا ہے، مثال کے طور پر اگر یہ ایک کمپیکٹ کیلر کئی گنا ہے، تو باٹ-چرن کوہومولوجی سے لے کر ڈولبیولٹ کوہومولوجی تک کے مندرجہ بالا نقشے آئسومورفزم ہیں، اور اس کے علاوہ باٹ-چرن کوہومولوجی سے لے کر ڈی رام کوہومولوجی تک کا نقشہ انجیکٹو ہے۔ نتیجے کے طور پر، جب بھی-لیما کو مطمئن کرتا ہے تو ایک آئسومورفزم ہوتا ہے۔ اس طرح، مندرجہ بالا نقشوں کا دانا لیما کو مطمئن کرنے میں کئی گنا کی ناکامی کی پیمائش کرتا ہے، اور خاص طور پر کیلر کئی گنا ہونے کی ناکامی کی پیمائش کرتا ہے۔ بائیڈیگری (1,1) کے نتائج-لیما کا سب سے اہم نتیجہ اس وقت ہوتا ہے جب پیچیدہ تفریق کی شکل بائیڈیگری (1,1) ہوتی ہے۔ اس صورت میں لیما بیان کرتا ہے کہ ایک عین مطابق تفریقی شکل میں ایک ہموار فنکشن کے ذریعہ دی گئی-صلاحیت ہوتی ہے: خاص طور پر یہ اس صورت میں ہوتا ہے جہاں ایک کیلر فارم ایک کیلر مینیفولڈ کے ایک چھوٹے سے کھلے ذیلی سیٹ تک محدود ہو (یہ معاملہ لیما کے مقامی ورژن سے ملتا ہے)، جہاں مذکورہ بالا پوائنکر لیما اس بات کو یقینی بناتا ہے کہ یہ ایک قطعی تفریقی شکل ہے۔ یہ کیلر پوٹینشل کے تصور کی طرف لے جاتا ہے، جو ایک مقامی طور پر متعین فنکشن ہے جو مکمل طور پر کیلر فارم کی وضاحت کرتا ہے۔ ایک اور اہم معاملہ یہ ہے کہ دو کیلر شکلوں کا فرق کب ہے جو ایک ہی ڈی رام کوہمولوجی کلاس میں ہیں۔ اس معاملے میں ڈی رام کوہمولوجی میں تو-لیما لاگو ہوتا ہے۔ ایک واحد فنکشن کا استعمال کرتے ہوئے کیلر فارموں کو مکمل طور پر بیان کرنے کی اجازت دے کر، جو کہ خود بخود ایک پلوریسبھرمونک فنکشن ہے، کمپیکٹ کیلر مینیفولڈز کا مطالعہ پلوری پوٹینشل تھیوری کی تکنیکوں کا استعمال کرتے ہوئے کیا جا سکتا ہے، جس کے لیے بہت سے تجزیاتی ٹولز دستیاب ہیں۔ مثال کے طور پر،-لیما کا استعمال کیلر-آئن سٹائن مساوات کو پوٹینشیل کے لحاظ سے دوبارہ بیان کرنے کے لیے کیا جاتا ہے، اور اسے کیلر پوٹینشیل کے لیے ایک پیچیدہ مونگے-ایمپیئر مساوات میں تبدیل کیا جاتا ہے۔ ڈی ڈی بار کئی گنا پیچیدہ کئی گنا جو ضروری نہیں کہ کیلر ہوں لیکن پھر بھی-لیما کو مطمئن کرنے کے لیے ہوتے ہیں انہیں-مینیفولڈز کے نام سے جانا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، کمپیکٹ کمپلیکس مینیفولڈ جو فوجیکی کلاس سی ہیں-لیما کو مطمئن کرتے ہیں لیکن ضروری نہیں کہ کیلر ہوں۔ یہ بھی دیکھیں پوئن کیری لیما ڈولبیالٹ-گروتھینڈیک لیما حوالہ جات بیرونی روابط ہج تھیوری کمپلیکس کئی گنا