Kuratowski's intersection theorem
ریاضی میں، کوراتووسکی کا انٹرسیکشن تھیوریم عمومی ٹوپولوجی کا ایک نتیجہ ہے جو سیٹوں کی نیسٹڈ ترتیب کے لیے غیر خالی انٹرسیکشن کے لیے کافی شرط دیتا ہے۔ کوراتووسکی کا نتیجہ کینٹر کے انٹرسیکشن تھیوریم کی عمومی شکل ہے۔ جبکہ کینٹر کے نتیجے کے لیے ضروری ہے کہ شامل سیٹ کمپیکٹ ہوں، کوراتووسکی کا نتیجہ انہیں غیر کمپیکٹ ہونے کی اجازت دیتا ہے، لیکن اس بات پر اصرار کرتا ہے کہ ان کی غیر کمپیکٹنس مناسب معنوں میں "صفر کی طرف مائل ہوتی ہے"۔ اس نظریہ کا نام پولینڈ کے ریاضی دان کازیمیرز کوراتووسکی کے نام پر رکھا گیا ہے، جس نے اسے 1930 میں ثابت کیا تھا۔ نظریہ کا بیان فرض کریں کہ (X، d) ایک مکمل میٹرک اسپیس ہے۔ ایک ذیلی سیٹ A′X کو دیکھتے ہوئے، اس کی غیر کمپیکٹنس α (A) ≤0 کی کوراتووسکی پیمائش کی تعریف نوٹ کے ذریعے کی گئی ہے کہ، اگر A خود کمپیکٹ ہے، تو α (A) = 0، کیونکہ A کے ہر کور کو من مانی طور پر چھوٹے قطر کی کھلی گیندوں کے ذریعے ایک محدود ذیلی کور ہوگا۔ اس کے برعکس بھی درست ہے: اگر α (A) = 0 ہے، تو A کو پہلے سے کمپیکٹ ہونا چاہیے، اور اگر A بند ہے تو درحقیقت کمپیکٹ ہونا چاہیے۔ نیز، اگر A B کا ذیلی مجموعہ ہے، تو α (A) ≤ α (B)۔ کچھ معنوں میں، مقدار α (A) ایک عددی وضاحت ہے کہ سیٹ A کتنا غیر کمپیکٹ ہے۔ اب سیٹوں کی ایک ترتیب پر غور کریں، ہر قدرتی نمبر n کے لیے ایک۔ کوراتووسکی کا انٹرسیکشن تھیوریم اس بات پر زور دیتا ہے کہ اگر یہ سیٹ غیر خالی، بند، گھٹتے ہوئے نیسٹڈ ہیں (یعنی۔ ہر n کے لیے an + 1-an، اور α (an) → 0 کے طور پر n-≤ ≤ کے طور پر، پھر ان کا لامحدود چوراہا ایک غیر خالی کمپیکٹ سیٹ ہے۔ نتیجہ یہ بھی ہوتا ہے کہ اگر کوئی غیر کمپیکٹنس کی گیند کی پیمائش یا غیر کمپیکٹنس کی علیحدگی کی پیمائش کے ساتھ کام کرتا ہے، کیونکہ غیر کمپیکٹنس کے یہ تین اقدامات باہمی طور پر لپشٹز کے مساوی ہیں۔ اگر ان میں سے کوئی ایک صفر کی طرف مائل ہوتا ہے، تو دوسرے دو کو بھی ایسا ہی کرنا چاہیے۔ حوالہ جات کمپیکٹنیس تھیوریمز