The Erdős Distance Problem
ایردوس فاصلہ مسئلہ مجرد جیومیٹری میں ایردوس کے الگ فاصلے کے مسئلے پر ایک مونوگراف ہے: ایک جگہ کس طرح جہتی یوکلڈین اسپیس کی طرف اشارہ کر سکتی ہے تاکہ پوائنٹس کے جوڑے سب سے چھوٹا ممکنہ فاصلہ طے کر سکیں؟ اسے جولیا گیریبالڈی، الیکس ایوسویچ، اور سٹیون سینجر نے لکھا تھا، اور 2011 میں امریکن میتھمیٹیکل سوسائٹی نے اسٹوڈنٹ میتھمیٹیکل لائبریری کے حجم 56 کے طور پر شائع کیا تھا۔ میتھمیٹیکل ایسوسی ایشن آف امریکہ کی بیسک لائبریری لسٹ کمیٹی نے اسے انڈرگریجویٹ ریاضی کی لائبریریوں میں شامل کرنے کی تجویز دی ہے۔ موضوعات ایردوس فاصلاتی مسئلہ بارہ ابواب اور تین ضمیمہ پر مشتمل ہے۔ ایک تعارفی باب کے بعد جس میں پال ایرڈس اور ایرڈس کے اس ثبوت کے ذریعے مسئلے کی تشکیل کو بیان کیا گیا ہے کہ فاصلے کی تعداد ہمیشہ کم از کم متناسب ہوتی ہے، اگلے چھ ابواب مسئلے کے دو جہتی ورژن کا احاطہ کرتے ہیں۔ وہ مسئلہ پر معلوم نتائج میں مسلسل بہتری کو بیان کرنے کے لیے ایک دوسرے پر تعمیر کرتے ہیں، جو باب 7 کے متناسب کم حد تک پہنچتے ہیں۔ یہ نتائج مسئلے کو دیگر موضوعات سے جوڑتے ہیں جن میں کاچی-شوارز عدم مساوات، کراسنگ نمبر عدم مساوات، پوائنٹس اور لائنوں کے درمیان واقعات پر زیمیرڈی-ٹراٹر تھیوریم، اور انفارمیشن تھیوری کے طریقے شامل ہیں۔ اس کے بعد کے ابواب میں مسئلے کی تغیرات پر تبادلہ خیال کیا گیا: اعلی طول و عرض، طیارہ کے لیے دیگر میٹرک خالی جگہیں، ویکٹروں کے درمیان الگ الگ اندرونی مصنوعات کی تعداد، اور خالی جگہوں میں مماثل مسائل جن کے نقاط حقیقی اعداد کے بجائے ایک محدود میدان سے آتے ہیں۔ سامعین اور استقبال اگرچہ یہ کتاب بڑی حد تک خود ساختہ ہے، لیکن یہ ریاضیاتی نفاست کی ایک سطح کو فرض کرتی ہے جس کا مقصد اعلی درجے کی یونیورسٹی کی سطح کے ریاضی کے طلباء ہیں۔ مشقوں کو شامل کیا جاتا ہے، جس سے اسے ایک خصوصی کورس کے لیے نصابی کتاب کے طور پر استعمال کرنا ممکن ہو جاتا ہے۔ مبصر مائیکل ویس تجویز کرتے ہیں کہ یہ کتاب اس کے مصنفین کی "ریاضیاتی تجربے کی مختلف سطحوں پر قارئین" تک پہنچنے کی امید سے کم کامیاب ہے: اس کے کچھ مواد کی کثافت، جو اس مواد کو اچھی طرح سے احاطہ کرنے کے لیے درکار ہے، ابتدائی ریاضی دانوں تک رسائی سے مطابقت نہیں رکھتی ہے۔ ویس کتاب میں کچھ معمولی ریاضیاتی غلطیوں کے بارے میں بھی شکایت کرتا ہے، جو تاہم اس کے مجموعی مواد میں مداخلت نہیں کرتی ہیں۔ کتاب کے زیادہ تر مواد، مسئلہ کے دو جہتی ورژن پر، لیری گوتھ اور نیٹز کاٹز کے نئے نتائج کے ذریعے اس کی اشاعت کے فورا بعد متروک کر دیا گیا، جنہوں نے ثابت کیا کہ اس معاملے میں فاصلے کی تعداد قریب لکیری ہونی چاہیے۔ بہر حال، جائزہ لینے والے ولیم گیسارچ کا استدلال ہے کہ اس نتیجے سے قارئین کے لیے کتاب زیادہ دلچسپ ہونی چاہیے، کم نہیں، کیونکہ اس سے ان رکاوٹوں کی وضاحت کرنے میں مدد ملتی ہے جن پر گوتھ اور کاٹز کو اپنا نتیجہ ثابت کرنے میں قابو پانا پڑا۔ مزید برآں، کتاب میں جن تکنیکوں کی وضاحت کی گئی ہے ان کے مجرد جیومیٹری میں بہت سے استعمال ہیں۔ حوالہ جات ریاضی کی کتابیں 2011 غیر افسانوی کتابیں ڈسکریٹ جیومیٹری امریکن میتھمیٹیکل سوسائٹی