Harmonic tensors
اس مضمون میں کروی افعال کو کثیر الجہتی سے تبدیل کیا گیا ہے جو میکسویل کے زمانے سے الیکٹروسٹیٹکس میں اچھی طرح سے جانا جاتا ہے اور کثیر قطبی لمحات سے وابستہ ہے۔ طبیعیات میں، ڈائپول اور کواڈروپول لمحات عام طور پر ظاہر ہوتے ہیں کیونکہ طبیعیات کے بنیادی تصورات قطعی طور پر ان سے وابستہ ہوتے ہیں۔ ڈائپول اور کواڈروپول لمحات ہیں:، جہاں چارج کی کثافت (یا دیگر مقدار) ہے۔ آکٹوپول مومنٹ شاذ و نادر ہی استعمال کیا جاتا ہے۔ عام طور پر، اعلی درجے کے لمحات کا حساب کروی افعال کی مدد سے لگایا جاتا ہے۔ بکھرے ہوئے مسائل میں کروی افعال آسان ہوتے ہیں۔ تفریقی آپریٹرز کے حساب میں کثیر الجہتی کو ترجیح دی جاتی ہے۔ یہاں، ٹینسرز کی خصوصیات، بشمول اعلی درجے کے لمحات، کو بنیادی طور پر ٹھوس کروی افعال کی خصوصیات کو دہرانے کے لیے سمجھا جاتا ہے لیکن ان کی اپنی خصوصیات ہوتی ہیں۔ کارٹیشین نقاط میں غیر متغیر کثیر الجہتی ٹینسرز کا استعمال، جیسا کہ متعدد حالیہ مطالعات میں دکھایا گیا ہے، بہتر ہے اور حساب کی بنیادی اسکیم کو آسان بناتا ہے۔ کروی نقاط یہاں شامل نہیں ہیں۔ ہارمونک سمیٹرک ٹینسرز کے استعمال کے قوانین کا مظاہرہ کیا گیا ہے جو براہ راست ان کی خصوصیات سے پیروی کرتے ہیں۔ یہ اصول فطری طور پر خصوصی افعال کے نظریہ میں جھلکتے ہیں، لیکن ہمیشہ واضح نہیں ہوتے، حالانکہ گروپ کی خصوصیات عمومی ہوتی ہیں۔ کسی بھی صورت میں، آئیے ہم ہارمونک ٹینسرز کی اہم خاصیت کو یاد کریں: اشاریہ جات کے کسی بھی جوڑے پر ٹریس غائب ہو جاتا ہے۔ یہاں، ٹینسرز کی وہ خصوصیات منتخب کی جاتی ہیں جو نہ صرف تجزیاتی حساب کو زیادہ کمپیکٹ بناتی ہیں اور 'فیکٹوریئلز کی تعداد' کو کم کرتی ہیں بلکہ نظریاتی طبیعیات کے کچھ بنیادی سوالات کو درست طریقے سے مرتب کرنے کی بھی اجازت دیتی ہیں۔ عام خصوصیات سمیٹرک ٹینسر کی چار خصوصیات طبیعیات میں اس کے استعمال کا باعث بنتی ہیں۔ A. ٹینسر یکساں کثیر الجہتی ہے:، جہاں اشاریہ جات کی تعداد ہے، یعنی ٹینسر رینک ؛ B. ٹینسر اشاریہ جات کے حوالے سے ہم آہنگ ہے ؛ C. ٹینسر ہم آہنگ ہے، یعنی یہ لیپلیس مساوات کا حل ہے: D. کسی بھی دو اشاریہ جات پر ٹریس غائب ہو جاتا ہے:، جہاں علامت مساوات کے بعد باقی اشاریہ جات کی نشاندہی کرتی ہے۔ ٹینسر کے اجزاء ٹھوس کروی افعال ہوتے ہیں۔ اجزاء کو کروی افعال کی شکل میں حاصل کرنے کے لیے ٹینسر کو عنصر سے تقسیم کیا جا سکتا ہے۔ الیکٹروسٹیٹکس میں ملٹی پول ٹینسرز ملٹی پول پوٹینشل اس وقت پیدا ہوتے ہیں جب ایک پوائنٹ چارج کی پوٹینشل کو ریڈیئس ویکٹر ('میکسویل پولز') کے نقاط کی طاقتوں میں بڑھایا جاتا ہے۔ پوٹینشل کے لیے، ایک معروف فارمولا ہے:، جہاں درج ذیل اشارے استعمال کیے جاتے ہیں۔ رداس ویکٹر کی th ٹینسر پاور کے لیے، اور رینک کے سمیٹرک ہارمونک ٹینسر کے لیے،۔ ٹینسر ایک یکساں ہارمونک کثیر الجہتی ہے جس میں بیان کردہ عمومی خصوصیات ہیں۔ کسی بھی دو اشاریوں پر سکڑنا (جب دو میلان آپریٹر بن جاتے ہیں) کالعدم ہوتا ہے۔ اگر ٹینسر کو تقسیم کیا جاتا ہے، تو ایک ملٹی پول ہارمونک ٹینسر پیدا ہوتا ہے، جو یکسانیت کی ڈگری کے ساتھ ایک یکساں ہارمونک فنکشن بھی ہے۔ پوٹینشل کے فارمولے سے اس کی پیروی ہوتی ہے، جو سیڑھی آپریٹر کی تعمیر کی اجازت دیتا ہے۔ الیکٹروسٹیٹکس میں طاقت کے قانون کے مساوی لمحات پر نظریہ سنکچن کی ایک واضح خاصیت ہے، جو ایک نظریہ کو جنم دیتی ہے جو بنیادی طور پر نظریاتی طبیعیات میں لمحات کے حساب کو آسان بناتی ہے۔ نظریہ فرض کریں کہ چارج کی تقسیم ہے۔ کثیر قطبی صلاحیت کا حساب لگاتے وقت، ہارمونک ٹینسرز (یا کروی افعال کے بجائے) کے بجائے پاور لا لمحات استعمال کیے جا سکتے ہیں: یہ کروی افعال کے استعمال کے ساتھ موازنہ کرنے میں ایک فائدہ ہے۔ مثال 1. کواڈروپول مومنٹ کے لیے، انٹیگرل کے بجائے، کوئی 'شارٹ' انٹیگرل استعمال کر سکتا ہے۔ لمحات مختلف ہوتے ہیں لیکن امکانات ایک دوسرے کے برابر ہوتے ہیں۔ ٹینسر کے لیے ہارمونک ٹینسر فارمولا کے فارمولے پر سیڑھی آپریٹر کے استعمال میں غور کیا گیا۔ اسے لیپلیس آپریٹر کا استعمال کرتے ہوئے اخذ کیا جا سکتا ہے۔ اسی طرح کا نقطہ نظر خصوصی افعال کے نظریہ میں جانا جاتا ہے۔ فارمولے میں پہلی اصطلاح، جیسا کہ پوائنٹ چارج پوٹینشل کی توسیع سے دیکھنا آسان ہے، کے برابر ہے۔ بقیہ اصطلاحات لیپلیس آپریٹر کو بار بار لاگو کرکے اور ماڈیولس کی یکساں طاقت سے ضرب دے کر حاصل کی جا سکتی ہیں۔ کوفشنٹس کا تعین لیپلیس مساوات میں توسیع کو تبدیل کر کے کرنا آسان ہے۔ نتیجے کے طور پر، فارمولہ مندرجہ ذیل ہے: یہ فارم کوانٹم میکانکس اور الیکٹروسٹیٹکس کے تفریقی آپریٹرز کو اس پر لاگو کرنے کے لیے مفید ہے۔ تفریق کرونیکر علامتوں کی پیداوار پیدا کرتی ہے۔ مثال 2،۔ سنکچن کا استعمال کرتے ہوئے آخری معیار کی تصدیق کی جا سکتی ہے۔ ہم آہنگی کے عمل کے لحاظ سے تفریق کے فارمولے کو لکھنا آسان ہے۔ اس کے لیے ایک علامت تجویز کی گئی تھی، جس میں اشاریہ جات کی تمام آزاد تغیرات پر لی گئی رقم کی مدد سے: نتیجے کے طور پر، مندرجہ ذیل فارمولا حاصل ہوتا ہے:، جہاں علامت کو کرونکر علامت کی ٹینسر پاور کے لیے استعمال کیا جاتا ہے اور روایتی علامت [.] ان دو سبسکرپٹس کے لیے استعمال ہوتی ہے جنہیں سمیٹریزیشن کے تحت تبدیل کیا جا رہا ہے۔ مندرجہ ذیل میں ٹینسر اور ٹھوس کروی افعال کے درمیان تعلق پایا جا سکتا ہے۔ دو یونٹ ویکٹروں کی ضرورت ہوتی ہے: ویکٹر-محور اور پیچیدہ ویکٹر کے ساتھ۔ ان کی طاقتوں کے ساتھ سکڑنا مطلوبہ تعلق دیتا ہے، جہاں ایک لیجنڈری کثیر الجہتی ہے۔ خصوصی سنکچن پرٹربیشن تھیوری میں، کروی افعال کے لحاظ سے ماخذ کو بڑھانا ضروری ہے۔ اگر ماخذ ایک کثیر الجہتی ہے، مثال کے طور پر، سٹارک اثر کا حساب لگاتے وقت، تو انٹیگرلز معیاری ہوتے ہیں، لیکن پیچیدہ ہوتے ہیں۔ غیر متغیر ٹینسرز کی مدد سے حساب کرتے وقت، توسیعی گتانک کو آسان بنایا جاتا ہے، اور اس کے بعد انٹیگرلز کی ضرورت نہیں ہوتی ہے۔ یہ کافی ہے، جیسا کہ اس میں دکھایا گیا ہے، سنکچن کا حساب لگانے کے لیے جو زیر غور ٹینسرز کی درجہ بندی کو کم کرتا ہے۔ انٹیگرلز کے بجائے، دو اشاریوں پر ٹینسر کے ٹریس کا حساب لگانے کا عمل استعمال کیا جاتا ہے۔ درج ذیل درجہ بندی میں کمی کا فارمولا مفید ہے:، جہاں علامت [m] تمام بائیں (l-2) اشاریہ جات کی نشاندہی کرتی ہے۔ اگر بریکٹ میں کرونکر ڈیلٹا کے ساتھ کئی عوامل ہوتے ہیں، تو درج ذیل رشتہ کا فارمولا ہوتا ہے: ٹریس کا حساب لگانے سے کرونکر کی علامتوں کی تعداد ایک سے کم ہو جاتی ہے، اور مساوات کے دائیں طرف ہارمونک ٹینسر کا درجہ دو سے کم ہو جاتا ہے۔ ٹریس کے اوقات کے حساب کو دہرانے سے کرونکر کی تمام علامتیں ختم ہو جاتی ہیں: ہارمونک 4 ڈی ٹینسرز چار جہتی 4 ڈی اسپیس میں لیپلیس مساوات کی اپنی خصوصیات ہیں۔ 4D جگہ میں پوائنٹ چارج کی صلاحیت کے برابر ہے۔ پاورز کے حوالے سے پوائنٹ چارج پوٹینشل کی توسیع سے ملٹی پول 4D پوٹینشل پیدا ہوتا ہے: عددی میں ہارمونک ٹینسر کی ساخت تھری ڈی ہارمونک ٹینسر کی طرح ہوتی ہے۔ کسی بھی دو اشاریہ جات کے حوالے سے اس کا سنکچن ختم ہونا چاہیے۔ ڈائپول اور چوگنا 4-D ٹینسرز، جیسا کہ یہاں سے مندرجہ ذیل ہے، کا اظہار اس طرح کیا جاتا ہے، توسیع کی اہم اصطلاح، جیسا کہ دیکھا جا سکتا ہے، برابر ہے 3D ٹینسر کے لیے بیان کردہ طریقہ، تعلقات دیتا ہے،۔ چار جہتی ٹینسر ساختی طور پر تھری ڈی ٹینسرز سے زیادہ آسان ہیں۔ ہارمونک افعال کے لحاظ سے کثیر الجہتی کا سڑنا سنکچن کے اصولوں کو لاگو کرنا ہارمونک افعال کے حوالے سے ٹینسر کو سڑنے کی اجازت دیتا ہے۔ پرٹربیشن تھیوری میں، یہاں تک کہ تیسرا تخمینہ بھی اکثر اچھا سمجھا جاتا ہے۔ یہاں، رینک l = 6 تک ٹینسر پاور کا سڑنا پیش کیا گیا ہے:،،،،،،،:۔ فارمولوں کو حاصل کرنے کے لیے، دو اشاریوں یعنی ٹریس کے حوالے سے سنکچن کا حساب لگانا مفید ہے۔ اس کے لیے فارمولا اس کے لیے فارمولا ظاہر کرتا ہے۔ ٹریس کا اطلاق کرتے ہوئے، پچھلے حصے کے قوانین کا استعمال کرنا آسان ہے۔ خاص طور پر، کے یکساں اقدار کے لیے تعلقات کی آخری اصطلاح کی شکل ہوتی ہے۔ تمام اشاریوں پر اکثر ہونے والا سنکچن بھی مفید ہے، جو ریاستوں کو معمول پر لانے کے وقت پیدا ہوتا ہے۔ 4 ڈی جگہ میں کثیر الجہتی کا سڑنا ویکٹر کی ٹینسر طاقتوں کا سڑنا بھی چار جہتوں میں کمپیکٹ ہوتا ہے:،،،،،،،:۔ دبے ہوئے اشاریوں کے ساتھ ٹینسر نوٹیشن کا استعمال کرتے وقت، آخری مساوات بن جاتی ہے،۔ دو اشاریوں پر سنکچن کا استعمال کرتے ہوئے اعلی طاقتوں کا سڑنا زیادہ مشکل نہیں ہے۔ سیڑھی آپریٹر سیڑھی آپریٹر ایک کمپیکٹ شکل میں آئجن افعال کی نمائندگی کے لیے مفید ہیں۔ وہ مربوط حالتوں کی تعمیر کے لیے ایک بنیاد ہیں۔ یہاں پر غور کیے جانے والے آپریٹرز، منی کے لحاظ سے ایک آسکیلیٹر کے 'تخلیق' اور 'تباہی' آپریٹرز کے قریب ہیں۔ ایفیموف کا آپریٹر جو رینک کی قیمت میں ایک اضافہ کرتا ہے متعارف کرایا گیا تھا۔ یہ پوائنٹ چارج صلاحیت کی توسیع سے حاصل کیا جا سکتا ہے: مساوات کے بائیں جانب سیدھے سیدھے تفریق سے ایک ویکٹر آپریٹر حاصل ہوتا ہے جو ہارمونک ٹینسر: پر کام کرتا ہے، جہاں آپریٹر یکساں کثیر کو یکسانیت کی ڈگری سے ضرب دیتا ہے۔ خاص طور پر،۔ اتحاد پر ایک-فولڈ کے اطلاق کے نتیجے میں، ہارمونک ٹینسر پیدا ہوتا ہے:، یہاں مختلف شکلوں میں لکھا گیا ہے۔ کونیی مومنٹم آپریٹر سے اس ٹینسر کا تعلق مندرجہ ذیل ہے: ویکٹر کی شکل میں آپریٹر کی کچھ مفید خصوصیات ذیل میں دی گئی ہیں۔ اسکیلر پروڈکٹ کسی بھی دو اشاریوں پر غائب ہونے کا سراغ دیتا ہے۔ ویکٹروں کا اسکیلر پروڈکٹ اور ہے، اور، اس لیے، ویکٹر کے ساتھ ٹینسر کے سکڑنے کو اس طرح ظاہر کیا جا سکتا ہے، جہاں ایک نمبر ہے۔ دائرے پر اسکیلر پروڈکٹ میں کمیونیٹر اتحاد کے برابر ہے: ٹینسر کے انحراف کا حساب لگانے کے لیے، ایک مفید فارمولا ہے، جہاں سے (دائیں طرف ایک نمبر ہے)۔ چار جہتی سیڑھی آپریٹر 4 ڈی جگہ میں بلند کرنے والے آپریٹر کی بڑی حد تک ایک جیسی خصوصیات ہیں۔ اس کا بنیادی فارمولا یہ ہے کہ 4D ویکٹر کہاں ہے،،،، اور آپریٹر ایک یکساں کثیر الجہتی کو اس کی ڈگری سے ضرب دیتا ہے۔ متغیر کو الگ کرنا جسمانی مسائل کے لیے آسان ہے: خاص طور پر،۔ سیڑھی آپریٹر کا اسکیلر پروڈکٹ اتنا ہی آسان ہے جتنا کہ تھری ڈی اسپیس میں: اور کا اسکیلر پروڈکٹ ہے۔ سیڑھی آپریٹر اب کونیی مومنٹم آپریٹر اور 4D جگہ میں گردش کے اضافی آپریٹر سے وابستہ ہے۔ وہ لائ الجبرا کو کونیی مومنٹم اور لیپلیس-رنگ-لینز آپریٹرز کے طور پر انجام دیتے ہیں۔ آپریٹر کی سادہ شکل ہوتی ہے۔ علیحدہ طور پر 3D اجزاء اور ریزنگ آپریٹر کے فورتھ کوآرڈینیٹ کے لیے، فارمولے ہیں،۔ ٹینسر کروی ہارمونکس آپریٹر (طبیعیات) لیپلیس-رنگ-لینز ویکٹر اینگولر مومنٹم آپریٹر سیڑھی آپریٹر ملٹی پولر ایکسچینج انٹرایکشن حوالہ جات بیرونی روابط ہارمونک تجزیہ گردش سمیٹری کوانٹم میکانکس آپریٹر تھیوری نظریاتی طبیعیات