Bretagnolle–Huber inequality
انفارمیشن تھیوری میں، بریٹگنول-ہیوبر عدم مساوات دو امکانات کی تقسیم کے درمیان کل تغیر کے فاصلے کو اور کل بیک-لیبلر انحراف کے ایک کنکیو اور باؤنڈ فنکشن کے ذریعے پابند کرتی ہے۔ باؤنڈ کو معروف پنسکر کی عدم مساوات کے متبادل کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے: جب بڑا ہو (مثال کے طور پر 2 سے بڑا)۔ )، پنسکر کی عدم مساوات خالی ہے، جبکہ بریٹگنول-ہیوبر پابند رہتا ہے اور اس وجہ سے غیر خالی ہے۔ اس کا استعمال اعداد و شمار اور مشین لرننگ میں معلومات-نظریاتی نچلی حدود کو ثابت کرنے کے لیے کیا جاتا ہے جو مفروضے کی جانچ پر انحصار کرتا ہے۔ رسمی بیان ابتدائی تعریفیں آئیے اور پیمائش کے قابل جگہ پر دو امکانات کی تقسیم ہوں۔ یاد رکھیں کہ کل بیک-لیبلر انحراف کے ذریعہ اور کے درمیان کل تغیر کی تعریف اس طرح کی گئی ہے: مذکورہ بالا میں، اشارے کا مطلب مطلق تسلسل ہے، اور اس کے حوالے سے ریڈون-نیکوڈیم مشتق کے لیے کھڑا ہے۔ عمومی بیان بریٹگنول-ہیوبر عدم مساوات کہتا ہے: متبادل ورژن مندرجہ ذیل ورژن براہ راست اوپر کی حد سے مضمر ہے لیکن کچھ مصنفین اسے اس طرح بیان کرنے کو ترجیح دیتے ہیں۔ کوئی بھی واقعہ ہونے دیں۔ پھر تکمیل کہاں ہے۔ درحقیقت، کل تغیر کی تعریف کے مطابق، کسی بھی ترتیب کے لیے، ہم دعوی کردہ نچلی حد حاصل کرتے ہیں۔ ثبوت ہم سیباکوف کی کتاب (لیما 2.6، صفحہ 89) کے خیالات کے بعد مرکزی بیان کو ثابت کرتے ہیں، جو اصل ثبوت سے مختلف ہے (ان کی دلیل کی جدید ترین نقل کے لیے C.Canonne کا نوٹ دیکھیں)۔ ثبوت دو مراحل میں ہے: 1. کاچی-شوارز کا استعمال کرتے ہوئے ثابت کریں کہ کل تغیر کا تعلق بھٹاچاریہ گتانک (عدم مساوات کے دائیں طرف) سے ہے: جینسن کی عدم مساوات کے چالاکی سے اطلاق سے ثابت کریں کہ مرحلہ 1: پہلے نوٹ کریں کہ اسے دیکھنے کے لیے، عامیت کو کھونے کے بغیر، فرض کریں کہ ایسا ہے۔ پھر ہم دوبارہ لکھ سکتے ہیں اور پھر شامل کرنے اور ہٹانے سے ہم دونوں شناخت حاصل کرتے ہیں۔ پھر کیونکہ مرحلہ 2: ہم جینسن کی عدم مساوات کو لکھتے اور لاگو کرتے ہیں: اقدامات 1 اور 2 کے نتائج کو یکجا کرنا کل تغیر پر دعوی کردہ پابند کی طرف لے جاتا ہے۔ ایپلی کیشنز کی مثالیں متعصبانہ سکے کی نمونے کی پیچیدگی ٹاس کرتا ہے ماخذ: سوال یہ ہے کہ مجھے منصفانہ سکے اور متعصبانہ سکے میں فرق کرنے کے لیے کتنے سکے ٹاس کرنے کی ضرورت ہے؟ فرض کریں کہ آپ کے پاس 2 سکے ہیں، ایک منصفانہ سکہ (برنولی اوسط کے ساتھ تقسیم کیا گیا ہے) اور ایک متعصبانہ سکہ ()۔ پھر، کم از کم (کچھ کے لیے) امکان کے ساتھ متعصبانہ سکے کی شناخت کرنے کے لیے، کم از کم اس نچلی حد کو حاصل کرنے کے لیے ہم یہ عائد کرتے ہیں کہ نمونوں کی دو ترتیبات کے درمیان کل تغیر کا فاصلہ کم از کم ہے۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ کل تغیر بالائی حد تک سکوں کے ذرائع کو کم یا زیادہ اندازہ لگانے کا امکان ہے۔ اشارہ کریں اور سکے کی متعلقہ مشترکہ تقسیم ہر سکے کے لیے ٹاس کرتی ہے، پھر ہمارے پاس ہے۔ شرائط کو دوبارہ ترتیب دے کر نتیجہ حاصل کیا جاتا ہے۔ کے-آرمڈ ڈاکو کھیلوں کے لیے انفارمیشن تھیوریٹک لوئر باؤنڈ کثیر مسلح ڈاکو میں، کسی بھی ڈاکو الگورتھم کے منی میکس افسوس پر نچلی حد کو بریٹگنول-ہیوبر اور مفروضے کی جانچ پر اس کے نتائج کا استعمال کرتے ہوئے ثابت کیا جا سکتا ہے (ڈاکو الگورتھم کا باب 15 دیکھیں)۔ یہ نتیجہ پہلی بار 1979 میں جین بریٹگنول اور کیتھرین ہیوبر نے ثابت کیا تھا، اور اسٹراسبرگ پروبیبلٹی سیمینار کی کارروائی میں شائع ہوا تھا۔ الیگزینڈر سیباکوف کی کتاب میں عدم مساوات کی ابتدائی دوبارہ اشاعت اور بریٹگنول اور ہیوبر سے اس کی وابستگی کو پیش کیا گیا ہے، جسے اسواد کے لیما کے ابتدائی اور کم عمومی ورژن کے طور پر پیش کیا گیا ہے (نوٹ 2.8 دیکھیں)۔ 2014 میں فانو کی عدم مساوات کی توسیع کے نتیجے میں بریٹگنول-ہیوبر میں مسلسل بہتری ثابت ہوئی۔ اوپری حدود کی فہرست کے لیے کل تغیرات بھی دیکھیں حوالہ جات معلومات کا نظریہ ممکنہ عدم مساوات