Extrinsic Geometric Flows
خارجی ہندسی بہاؤ ریاضی کی ایک جدید نصابی کتاب ہے جس میں ہندسی بہاؤ، ریاضیاتی مسائل کا جائزہ لیا گیا ہے جس میں ایک منحنی خطوط یا سطح کسی اصول کے مطابق مسلسل حرکت کرتی ہے۔ یہ بیرونی بہاؤ پر توجہ مرکوز کرتا ہے، جس میں قاعدہ خلا میں کسی سطح کے سرایت پر منحصر ہوتا ہے، بجائے اس کے کہ اندرونی بہاؤ جیسے کہ رچی بہاؤ جو سطح کی اندرونی جیومیٹری پر منحصر ہوتا ہے اور اس کی تعریف سرایت کے احترام کے بغیر کی جا سکتی ہے۔ ایکسٹرنسک جیومیٹرک فلوز کو بین اینڈریوز، بینیٹ چو، کرسٹین گینتھر، اور میٹ لینگ فورڈ نے لکھا تھا، اور اسے 2020 میں امریکن میتھمیٹیکل سوسائٹی کی کتاب سیریز گریجویٹ اسٹڈیز ان میتھمیٹکس کے حجم 206 کے طور پر شائع کیا گیا تھا۔ موضوعات یہ کتاب چار ابواب پر مشتمل ہے، جسے تقریبا چار حصوں میں تقسیم کیا گیا ہے: 1 سے 4 ابواب گرمی کی مساوات اور اس سے متعین منحنی خطوط کے مختصر ہونے کے بہاؤ سے متعلق ہیں، جس میں ایک منحنی خطوط یوکلڈین سطح میں، خود سے عمودی طور پر، اس کے منحنی خطوط کے متناسب رفتار سے حرکت کرتا ہے۔ اس میں منحنی خطوط پر وہ مواد شامل ہے جو بہتے وقت خود سے ملتا جلتا رہتا ہے، جیسے دائرے اور سنگین ریپر وکر، گیج-ہیملٹن-گریسن تھیوریم جس کے مطابق ہر سادہ بند وکر ایک دائرے میں یکجا ہوتا ہے یہاں تک کہ بالآخر ایک نقطہ پر گر جاتا ہے، بغیر کبھی خود کو الگ کیے، اور بہاؤ کے قدیم حلوں کی درجہ بندی۔ باب 5 سے 14 اوسط منحنی بہاؤ سے متعلق ہیں، منحنی مختصر ہونے والے بہاؤ کی ایک اعلی جہتی عمومی کاری جو کسی سطح کی اوسط منحنی پن کو اس کی عمودی حرکت کی رفتار کو کنٹرول کرنے کے لیے استعمال کرتی ہے۔ ہائپر سرفیس کی جیومیٹری پر ایک تعارفی باب کے بعد، اس میں ایکر اور ہیوسکن کے نتائج شامل ہیں جو "مقامی طور پر لپشٹز کے پورے گراف" سے متعلق ہیں، اور ہیوسکن کا نظریہ کہ یکساں طور پر کنویکس سطحیں ہموار اور کنویکس رہتی ہیں، ایک دائرے میں تبدیل ہوتی ہیں، اس سے پہلے کہ وہ ایک نقطہ پر گر جائیں۔ ہیوسکن کے یکسانیت کے فارمولے کا احاطہ کیا گیا ہے، جیسا کہ بریک اور وائٹ کے باقاعدگی کے نظریات ہیں جن کے مطابق بہاؤ تقریبا ہر جگہ ہموار ہے۔ اس حصے کے کئی ابواب ان انفرادیت سے متعلق ہیں جو اس بہاؤ میں پیدا ہو سکتی ہیں، نیز وہ سطحیں جو بہتے ہوئے خود سے ملتی جلتی رہتی ہیں۔ باب 15 سے 17 کا تعلق گاؤس کے منحنی خطوط کے بہاؤ سے ہے، جو اوسط منحنی خطوط کی جگہ گاؤسی منحنی خطوط کا استعمال کرتے ہوئے منحنی خطوط کے مختصر ہونے والے بہاؤ کو اعلی جہتوں تک عام کرنے کا ایک مختلف طریقہ ہے۔ اگرچہ گاؤس کی منحنیت اندرونی ہے، اوسط منحنیت کے برعکس، گاؤس کی منحنیت کا بہاؤ بیرونی ہے، کیونکہ اس میں سرایت شدہ سطح کی حرکت شامل ہوتی ہے۔ یہاں، بہاؤ کی تغیرات میں بہاؤ کی رفتار کی وضاحت کے لیے خود منحنی خطوط کے بجائے منحنی خطوط کی طاقت کا استعمال شامل ہے، اور اس سے محدود وقت کے وقفوں پر بہاؤ کے وجود، خود سے ملتے جلتے حلوں کے وجود، اور شکلوں کو محدود کرنے سے متعلق سوالات پیدا ہوتے ہیں۔ گھماؤ کا ایکسپونینٹ یہاں اہم ہے، کنویکس سطحیں ایکسپونینٹ پر ایک ایلیپسائڈ میں تبدیل ہوتی ہیں (افائن وکر کو مختصر کرنے والے بہاؤ کو پیدا کرتی ہیں) اور بڑے ایکسپونینٹس کے لیے ایک گول دائرے میں۔ ابواب 18-20 غیر لکیری ہندسی بہاؤ کا ایک وسیع تر منظر نامہ فراہم کرتے ہیں۔ ہر باب کے مواد میں باب میں زیر بحث نتائج کے ثبوت، اور ریاضی کے ادب کے حوالہ جات دونوں شامل ہیں۔ ہر باب کے آخر میں تفسیر کے حصے میں اضافی حوالہ جات فراہم کیے گئے ہیں، جو اضافی وجدان اور کھلے مسائل کی وضاحت کے ساتھ ساتھ اسی شعبے میں اضافی نتائج کی مختصر وضاحت بھی فراہم کرتے ہیں۔ بہت سے اعداد و شمار کے ساتھ زیر بحث ریاضی کی وضاحت کرنے کے ساتھ ساتھ، یہ بہت سے ریاضی دانوں کی تصاویر فراہم کرکے مواد کو انسانی بناتا ہے جس کا وہ حوالہ دیتا ہے۔ ابواب میں مشقیں شامل ہیں، جو اس کتاب کو گریجویٹ نصابی کتابوں کے طور پر موزوں بناتی ہیں۔ سامعین اور استقبال اگرچہ اندرونی بہاؤ ریاضی میں بہت حالیہ توجہ کا موضوع رہے ہیں جب ان کے استعمال کے بعد گریگوری پیلمین نے پوئنکیری قیاس آرائی اور جیومیٹریزیشن قیاس آرائی دونوں کو حل کرنے کے لیے استعمال کیا، بیرونی بہاؤ کی بھی ریاضی میں اہم ایپلی کیشنز کی ایک طویل تاریخ ہے، جو جزوی تفریقی مساوات کے حل سے قریب سے متعلق ہے۔ ان کے استعمال میں حیاتیاتی خلیوں کی نشوونما، دھاتی کرسٹل کے دانے، جھاگوں میں بلبلے، اور یہاں تک کہ "ساحل سمندر میں ڈھلتے ہوئے پتھروں کی اخترتی" کی ماڈلنگ شامل ہے۔ کتاب کے ثبوت اکثر تحقیقی ادب میں ثبوتوں کو آسان بناتے ہیں، لیکن اس کے باوجود یہ کافی تکنیکی ہے، جس کا مقصد ہندسی تجزیہ میں گریجویٹ طلباء اور محققین ہیں۔ قارئین سے توقع کی جاتی ہے کہ وہ تفریقی جیومیٹری اور جزوی تفریقی مساوات کی بنیادی باتوں سے واقف ہوں گے۔ کتاب میں اس سے زیادہ مواد موجود ہے جس کا احاطہ ایک ہی کورس میں کیا جا سکتا ہے، لیکن یہ یا تو کثیر کورس کے سلسلے کی بنیاد بن سکتا ہے یا ایک موضوعاتی کورس جو اس کے صرف کچھ مواد کو منتخب کرتا ہے۔ ایک نصابی کتاب ہونے کے ساتھ ساتھ، بیرونی ہندسی بہاؤ علاقے کے ماہرین کے لیے بہاؤ پر حوالہ مواد کے طور پر کام کر سکتے ہیں۔ متعلقہ کام ہندسی بہاؤ پر یہ پہلی کتاب نہیں ہے۔ دیگر میں شامل ہیں: اگرچہ بیرونی ہندسی بہاؤ ان کاموں کے مقابلے میں زیادہ جامع اور تازہ ترین ہے، لیکن اس میں ان کے کچھ موضوعات کو چھوڑ دیا گیا ہے، بشمول منحنی خطوط کے انسوٹروپک بہاؤ، نظریہ اضافیت کے اطلاق، اور سطح کے سیٹ کے طریقے۔ حوالہ جات ہندسی بہاؤ ریاضی کی نصابی کتابیں 2020 غیر افسانوی کتابیں امریکی ریاضیاتی سوسائٹی کی اشاعت