From Zero to Infinity
فرام زیرو ٹو انفینٹی: واٹ میکس نمبرز دلچسپ کانسٹینس ریڈ کی مشہور ریاضی اور نمبر تھیوری پر ایک کتاب ہے۔ اسے اصل میں 1955 میں تھامس وائی کرویل کمپنی نے شائع کیا تھا۔ چوتھا ایڈیشن 1992 میں میتھمیٹیکل ایسوسی ایشن آف امریکہ نے اپنی ایم اے اے سپیکٹرم سیریز میں شائع کیا تھا۔ اے کے پیٹرز نے 2006 میں پانچواں "پچاسویں سالگرہ ایڈیشن" شائع کیا۔ پس منظر ریڈ خود ایک پیشہ ور ریاضی دان نہیں تھے، لیکن ان کا تعلق ایک ریاضیاتی خاندان سے تھا جس میں ان کی بہن جولیا رابنسن اور بہنوئی رافیل ایم رابنسن شامل تھے۔ انہوں نے ایک اسکول ٹیچر کے طور پر کام کیا تھا، لیکن فرام زیرو ٹو انفینٹی کی اشاعت کے وقت تک وہ ایک "گھریلو خاتون اور فری لانس رائٹر" تھیں۔ وہ ریاضی اور ریاضی دانوں کے بارے میں اپنی بہت سی کتابوں کے لیے مشہور ہوئیں، جن کا مقصد ایک مقبول سامعین تھا، جن میں سے یہ پہلی تھی۔ نمبر تھیوری میں ریڈ کی دلچسپی اس کی بہن کے مرسین پرائمز کو دریافت کرنے کے لیے کمپیوٹر کے استعمال سے پیدا ہوئی۔ اس نے 1953 میں سائنٹفک امریکن میں قریب سے متعلق موضوع، کامل اعداد پر ایک مضمون شائع کیا، اور اس کے فورا بعد یہ کتاب لکھی۔ اس کا مطلوبہ عنوان تھا جو نمبروں کو دلچسپ بناتا ہے ؛ عنوان فرام زیرو ٹو انفینٹی ناشر کی طرف سے کی گئی تبدیلی تھی۔ موضوعات صفر سے انفینٹی کے بارہ ابواب کو دس اعشاریہ ہندسوں، (اویلر کا نمبر، تقریبا 2.71828)، اور سب سے چھوٹے لامحدود کارڈینل نمبر سے شمار کیا جاتا ہے۔ ہر باب کا موضوع کسی نہ کسی طرح اس کے باب نمبر سے متعلق ہے، جس میں عام طور پر نفاست کی بڑھتی ہوئی سطح کے ساتھ جیسے جیسے کتاب آگے بڑھتی ہے: باب 0 میں نمبر سسٹمز کی تاریخ، پوزیشنل نوٹیشن کی ترقی اور صفر کے لیے پلیس ہولڈر علامت کی ضرورت پر تبادلہ خیال کیا گیا ہے، اور بہت بعد میں صفر کو خود ایک نمبر ہونے کے طور پر سمجھنا۔ اس میں دیگر تمام اعداد کے درمیان صفر کی خصوصی خصوصیات اور صفر کی تقسیم سے پیدا ہونے والی غیر متعین شکلوں کے تصور پر تبادلہ خیال کیا گیا ہے۔ باب 1 چیزوں کو شمار کرنے کے لیے اعداد کے استعمال، ریاضی، اور پرائم نمبروں کے تصورات اور انٹیجر فیکٹرائزیشن سے متعلق ہے۔ باب 2 کے موضوعات میں بائنری نمائندگی، کسانوں کے ضرب میں اور جدید کمپیوٹر ریاضی میں اس کا قدیم استعمال، اور گوٹ فرائیڈ لیبنز کے ذریعہ نمبر سسٹم کے طور پر اس کی رسمی شکل شامل ہے۔ زیادہ عام طور پر، یہ مختلف اڈوں کے ساتھ نمبر سسٹمز کے خیال، اور ہیکساڈیسیمل سمیت مخصوص اڈوں پر بحث کرتا ہے۔ باب 3 پرائم نمبروں کی طرف لوٹتا ہے، جس میں انہیں پیدا کرنے کے لیے ایراٹوستھینز کی چھلنی کے ساتھ ساتھ زیادہ جدید پرائمری ٹیسٹ بھی شامل ہیں۔ باب 4 مربع نمبروں سے متعلق ہے، گیلیلیو کا مشاہدہ کہ مربع گنتی نمبروں کے برابر ہیں، پائیتھاگورین تھیوریم، فرمیٹ کا آخری نظریہ، اور عام طور پر ڈیوفنٹائن مساوات۔ باب 5 میں فگر نمبرز، انٹیجر پارٹیشنز، اور جنریٹنگ فنکشنز اور پینٹاگونل نمبر تھیوریم پر تبادلہ خیال کیا گیا ہے جو ان دونوں تصورات کو جوڑتے ہیں۔ باب 6 میں، ریڈ اپنے پہلے مضمون سے کامل اعداد (جن میں سے 6 سب سے چھوٹی غیر معمولی مثال ہے)، مرسین پرائمز سے ان کا تعلق، بڑے پرائم نمبروں کی تلاش، اور ریڈ کے رشتہ داروں کی نئی مرسین پرائمز کی دریافت پر مواد لاتے ہیں۔ مرسین پرائمز وہ پرائمز ہیں جو ایک یونٹ دو کی طاقت سے کم ہیں۔ باب 7 اس کے بجائے ان پرائمز سے متعلق ہے جو دو کی طاقت سے ایک زیادہ ہیں، فرمیٹ پرائمز، اور ان کا تعمیری کثیر الاضلاعات سے قریبی تعلق۔ ہیپٹگن، جس کے سات اطراف ہیں، سب سے چھوٹا کثیر الاضحی ہے جو تعمیری نہیں ہے، کیونکہ یہ فرمیٹ پرائمز کا پروڈکٹ نہیں ہے۔ باب 8 کیوب اور وارنگ کے مسئلے سے متعلق ہے کہ انٹیجرز کو کیوب یا دیگر طاقتوں کے مجموعے کے طور پر پیش کیا جائے۔ باب 9 کا موضوع ماڈیولر ریاضی، تقسیم، اور پوزیشنل نوٹیشن سے ان کے روابط ہیں، بشمول نو سے تقسیم کا تعین کرنے کے لیے نائن کو نکالنا۔ باب میں، صفر سے انفینٹی تک انٹیجرز سے غیر معقول اعداد، پیچیدہ اعداد، لوگرتھم اور اویلر کے فارمولے میں منتقل ہوتا ہے۔ یہ ان موضوعات کو مسلسل حصوں کے نظریہ اور پرائم نمبر تھیوریم کے ذریعے انٹیجرز سے جوڑتا ہے۔ آخری باب، باب، الیف نمبروں اور لامحدود سیٹوں کے نظریہ کا بنیادی تعارف فراہم کرتا ہے، جس میں بے شمار لامحدود سیٹوں کے وجود کے لیے کینٹر کی اخترن دلیل بھی شامل ہے۔ پہلے ایڈیشن میں صرف 0 سے 9 ابواب شامل تھے۔ دوسرے ایڈیشن میں لامحدود سیٹوں پر باب شامل کیا گیا، جس نے دلچسپ نمبر پیراڈوکس پر ایک حصے کی جگہ لی۔ کتاب کے بعد کے ایڈیشنز کو ریڈ نے "مکمل طور پر اپ ڈیٹ" کیا تھا ؛ خاص طور پر، پانچویں ایڈیشن میں مرسین پرائمز کی تلاش اور فرمیٹ کے آخری نظریہ کا ثبوت شامل ہے، اور ایک انڈیکس کو بحال کرتا ہے جو پہلے کے ایڈیشنز سے گرا دیا گیا تھا۔ سامعین اور استقبالیہ صفر سے انفینٹی تک طلباء اور غیر ریاضیاتی بالغوں دونوں کے لیے قابل رسائی ہونے کے لیے لکھا گیا ہے، جس میں پس منظر کے طور پر صرف ہائی اسکول کی سطح کی ریاضی کی ضرورت ہوتی ہے۔ اختتامی باب میں "کوئز سوالات" کے مختصر سیٹ کلاس روم کے مباحثوں کو تیز کرنے میں مددگار ثابت ہو سکتے ہیں، جس سے یہ ثانوی اسکول کے ریاضی کے کورسز کے لیے اضافی مواد کے طور پر مفید ثابت ہو سکتا ہے۔ چوتھے ایڈیشن کا جائزہ لیتے ہوئے، ریاضی دان ڈیوڈ سنگ ماسٹر نے اسے "ابتدائی ظہور کے بعد سے ریاضیاتی مقبولیت کے کلاسیکی کاموں میں سے ایک"، اور "ریاضی کے بارے میں ایک خوشگوار تعارف" کے طور پر بیان کیا ہے۔ مبصر لن گوڈشل اسے "اعداد کی ایک انتہائی پڑھنے کے قابل تاریخ" کہتے ہیں، جسے "اساتذہ اور ان کے طلباء دونوں آسانی سے سمجھ سکتے ہیں"۔ مرے سیگل نے اسے "ریاضی کے ہر استاد کی لائبریری، اور یونیورسٹی کے اساتذہ کے لیے ضروری قرار دیا ہے جو طلباء کو ریاضی پڑھانے کے لیے تیار کرتے ہیں"۔ سنگ ماسٹر کتاب میں ریاضی کے صرف دو ٹکڑوں کے بارے میں شکایت کرتے ہیں: باب 4 میں یہ دعوی کہ مصری دائیں مثلث سے واقف تھے (اب بھی کافی علمی بحث کا موضوع ہے) اور کسی بھی بحث کے باب 7 سے خارج کرنا کہ تعمیری کثیر الاضحی کی درجہ بندی کو پہلوؤں کی پرائم نمبر کے معاملے میں کیوں کم کیا جا سکتا ہے۔ سیگل الجبرائی فیکٹرائزیشن پر ایک اور چھوٹی سی غلطی کی طرف اشارہ کرتا ہے، لیکن تجویز کرتا ہے کہ اس کی تلاش طلباء کے لیے ایک اور مفید مشق کر سکتی ہے۔ حوالہ جات مقبول ریاضی کی کتابیں 1955 غیر افسانوی کتابیں ایلیمنٹری نمبر تھیوری