Subgroup distortion
جیومیٹرک گروپ تھیوری میں، ریاضی کا ایک شعبہ، ذیلی گروپ مسخ اس حد تک پیمائش کرتا ہے جس تک ایک اوور گروپ کسی گروپ کے لفظ کے مسئلے کی پیچیدگی کو کم کر سکتا ہے۔ زیادہ تر ہندسی گروپ تھیوری کی طرح، یہ تصور میشا گروموف کی وجہ سے ہے، جس نے اسے 1993 میں متعارف کرایا تھا۔ رسمی طور پر، گروپ بنانے دیں، اور اس کے ذریعے تیار کردہ کے لیے ایک اوور گروپ بننے دیں۔ پھر ہر پیدا کرنے والا سیٹ متعلقہ گروپ پر ایک لفظ میٹرک کی وضاحت کرتا ہے۔ ان کی مسخ فنکشن کی غیر علامتی مساوات کی کلاس ہے جہاں مرکز کے ارد گرد رداس کی گیند ہے اور اس کا قطر ہے۔ مستقل مسخ والے ذیلی گروہوں کو کواسیکونویکس کہا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، لامحدود چکور گروپ پر غور کریں، جو بومسلاگ-سولٹر گروپ کے ایک عام ذیلی گروپ کے طور پر سرایت کرتا ہے۔ پھر اصل سے فاصلہ ہے، لیکن اصل سے فاصلہ ہے۔ خاص طور پر، کم از کم بیس کے ساتھ تیزی سے مسخ کیا جاتا ہے۔ اسی طرح، وہی لامحدود چکور گروہ، جو دو جنریٹروں پر آزاد ابیلین گروپ میں سرایت کرتا ہے، اس میں لکیری مسخ ہوتی ہے ؛ خود میں سرایت صرف مستقل مسخ پیدا کرتی ہے۔ بنیادی خصوصیات گروپوں کے ٹاور میں، ان کی مسخ کم از کم ان کی مسخ ہوتی ہے۔ ایک عام ابیلین ذیلی گروہ میں مسخ کا تعین کنجگیشن اوور گروپ کی نمائندگی کی آئجین ویلیوز سے ہوتا ہے۔ رسمی طور پر، اگر آئجین ویلیو کے ساتھ کام کرتا ہے، تو کم از کم بیس کے ساتھ تیزی سے مسخ ہوتا ہے۔ بہت سے غیر عام لیکن اب بھی ابیلین ذیلی گروپوں کے لیے، عام کور کی مسخ ایک مضبوط نچلی حد دیتی ہے۔ معلوم اقدار زیادہ سے زیادہ ایکسپونینشیل گروتھ کے ساتھ ہر کمپیوٹیبل فنکشن ایک ذیلی گروپ مسخ ہو سکتا ہے، لیکن نیلپوٹینٹ لائ گروپ کے لائ ذیلی گروپوں میں ہمیشہ کچھ عقلی کے لیے مسخ ہوتا ہے۔ تعریف میں ڈینومینیٹر ہمیشہ ہوتا ہے ؛ اس وجہ سے، اسے اکثر خارج کر دیا جاتا ہے۔ اس صورت میں، ایک ذیلی گروہ جو مقامی طور پر محدود نہیں ہے اس میں سپر ایڈیٹیو مسخ ہوتی ہے ؛ اس کے برعکس ہر سپر ایڈیٹیو فنکشن (ایسمپٹوٹک مساوات تک) کو اس طرح پایا جا سکتا ہے۔ کرپٹوگرافی میں ذیلی گروپ کی مسخ سے پیدا ہونے والے لفظ کے مسئلے میں سادگی ایک کرپٹو سسٹم، خفیہ پیغامات کو انکوڈنگ اور ڈیکوڈنگ کے لیے الگورتھم کی تعمیر کے لیے کافی ہے۔ رسمی طور پر، سادہ متن پیغام کوئی بھی آبجیکٹ (جیسے متن، تصاویر، یا اعداد) ہے جسے ایک نمبر کے طور پر انکوڈ کیا جا سکتا ہے۔ ٹرانسمیٹر پھر لفظ کی لمبائی کے ساتھ ایک عنصر کے طور پر انکوڈ کرتا ہے۔ اس مسخ شدہ عوامی اوور گروپ میں، عنصر میں بہت کم لمبائی کا ایک لفظ ہوتا ہے، جسے پھر خفیہ ذیلی گروپ کو غیر واضح کرنے کے لیے کئی "ڈیکوئز" کے ساتھ وصول کنندہ کو منتقل کیا جاتا ہے۔ اس کے بعد وصول کنندہ عنصر کو چنتا ہے، لفظ کو جنریٹرز کے لحاظ سے دوبارہ ظاہر کرتا ہے، اور ٹھیک ہو جاتا ہے۔ حوالہ جات جیومیٹرک گروپ تھیوری کم جہتی ٹوپولوجی