Lexicographic dominance
لیکسیگرافک غلبہ بے ترتیب متغیرات کے درمیان کل ترتیب ہے۔ یہ سٹوچسٹک آرڈر کی ایک شکل ہے۔ اس کی تعریف اس طرح کی گئی ہے۔ بے ترتیب متغیر A کا بے ترتیب متغیر B (اشارہ شدہ) پر لغت کا غلبہ ہے اگر مندرجہ ذیل میں سے کوئی ایک ہو: A کا بہترین نتیجہ حاصل کرنے کا امکان B سے زیادہ ہے۔ A اور B میں بہترین نتیجہ حاصل کرنے کا مساوی امکان ہے، لیکن A میں دوسرا بہترین نتیجہ حاصل کرنے کا زیادہ امکان ہے۔ اے اور بی میں بہترین اور دوسرے بہترین نتائج حاصل کرنے کا مساوی امکان ہے، لیکن اے میں تیسرا بہترین نتیجہ حاصل کرنے کا زیادہ امکان ہے۔ دوسرے لفظوں میں: فرض کریں کہ k پہلا اشاریہ ہے جس کے لیے A اور B کے لیے k-th بہترین نتیجہ حاصل کرنے کا امکان مختلف ہے۔ پھر یہ امکان اے کے لیے زیادہ ہونا چاہیے۔ متغیرات اوپر کی لغت کے غلبے کی تعریف مندرجہ ذیل ہے۔ بے ترتیب متغیر A کا بے ترتیب متغیر B (اشارہ شدہ) پر اوپر کی طرف لغت پر غلبہ ہے اگر مندرجہ ذیل میں سے کوئی ایک برقرار رہے: A کا بدترین نتیجہ حاصل کرنے کا امکان B سے کم ہے۔ A اور B کے پاس بدترین نتیجہ حاصل کرنے کا مساوی امکان ہے، لیکن A کے پاس دوسرا بدترین نتیجہ حاصل کرنے کا امکان کم ہے۔ اے اور بی کے پاس بدترین اور دوسرے بدترین نتائج حاصل کرنے کا مساوی امکان ہے، لیکن اے کے پاس تیسرے بدترین نتائج حاصل کرنے کا امکان کم ہے۔ دونوں تصورات کے درمیان فرق کرنے کے لیے، معیاری لغت کے غلبہ کے تصور کو بعض اوقات نیچے کی طرف لغت کا غلبہ کہا جاتا ہے اور اس کی نشاندہی کی جاتی ہے۔ دوسرے غلبے کے تصورات سے تعلق فرسٹ آرڈر اسٹاکسٹک غلبے کا مطلب نیچے کی طرف-لیکسکوگرافک اور اوپر کی طرف-لیکسکوگرافک غلبہ دونوں ہے۔ اس کے برعکس سچ نہیں ہے۔ مثال کے طور پر، فرض کریں کہ چار نتائج ہیں جن کی درجہ بندی z> y> x> w ہے۔ ان دو لاٹریوں پر غور کریں جو z، y، x، w کو درج ذیل امکانات تفویض کرتی ہیں: A:. 2,. 4,. 2,. 2 B:. 2,. 3,. 4,. 1 پھر درج ذیل ہوتے ہیں:، چونکہ وہ z کو ایک ہی امکان تفویض کرتے ہیں لیکن A y کو زیادہ امکان تفویض کرتا ہے، کیونکہ B بدترین نتائج w کو کم امکان تفویض کرتا ہے، کیونکہ B تین بہترین نتائج [z, y, x] کو زیادہ امکان تفویض کرتا ہے۔ اگر، مثال کے طور پر، z، y، x کی قیمت 1 کے بہت قریب ہے، اور w کی قیمت 0 ہے، تو B کی متوقع قیمت 0.1 کے قریب ہے جبکہ A کی متوقع قیمت 0.1 کے قریب ہے، کیونکہ A دو بہترین نتائج {z، y} کو زیادہ امکان تفویض کرتا ہے۔ اگر، مثال کے طور پر، z، y کی قیمت 1 کے بہت قریب ہے، اور x، w کی قیمت 0 ہے، تو B کی متوقع قیمت 0.0 کے قریب ہے جبکہ A کی متوقع قیمت 0.0 کے قریب ہے۔ ایپلی کیشنز لیکسیگرافک غلبہ کے تعلقات کو سماجی انتخاب کے نظریہ میں حکمت عملی کے ثبوت، شرکت کے لیے ترغیبات، عمومی کارکردگی اور حسد کی آزادی کے تصورات کی وضاحت کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔ ہوسینی اور لارسن لیکسیگرافک غلبہ کی بنیاد پر منصفانہ بے ترتیب تفویض کے لیے اصولوں کی خصوصیات کا تجزیہ کرتے ہیں۔ حوالہ جات بے ترتیب متغیر ترتیب