Roberts's triangle theorem
رابرٹس کی مثلث تھیوریم، جو مجرد جیومیٹری کا نتیجہ ہے، بتاتی ہے کہ لکیروں کی ہر سادہ ترتیب میں کم از کم مثلث چہرے ہوتے ہیں۔ اس طرح تین لکیریں مثلث بناتی ہیں، چار لکیریں کم از کم دو مثلث بناتی ہیں، پانچ لکیریں کم از کم تین مثلث بناتی ہیں، وغیرہ۔ اس کا نام برطانوی ریاضی دان سیموئل رابرٹس کے نام پر رکھا گیا ہے جس نے اسے 1889 میں شائع کیا تھا۔ بیان اور مثال تھیوریم میں کہا گیا ہے کہ یوکلڈین سطح میں لکیروں کی ہر سادہ ترتیب میں کم از کم مثلث چہرے ہوتے ہیں۔ یہاں، ایک ترتیب آسان ہوتی ہے جب اس میں دو متوازی لکیریں نہ ہوں اور ایک ہی نقطہ سے تین لکیریں نہ ہوں۔ بالکل مثلث چہروں والی لکیروں کا انتظام کرنے کا ایک طریقہ یہ ہے کہ ان لکیروں کا انتخاب کیا جائے جو سیمی سرکل سے متصل ہوں۔ اس طرح سے ترتیب دی گئی لکیروں کے لیے، صرف وہ مثلث ہوتے ہیں جو تین لکیروں سے بنے ہوتے ہیں جن میں مسلسل نقوش ہوتے ہیں۔ چونکہ لکیروں میں لگاتار تین گنا ہوتے ہیں، اس لیے ان میں مثلث بھی ہوتے ہیں۔ پروف برانکو گرون بوم نے رابرٹس کے اصل مقالے "ناقابل یقین" میں ثبوت پایا، اور رابرٹس کے نظریہ کے پہلے درست ثبوت کا سہرا 1979 میں رابرٹ ڈبلیو شینن کو دیا۔ اس کے بجائے وہ مندرجہ ذیل مزید ابتدائی دلیل پیش کرتا ہے، جسے سب سے پہلے روسی میں الیکسی بیلوف نے شائع کیا تھا۔ یہ واضح طور پر اسی نظریہ کے ایک آسان ورژن پر منحصر ہے، جس کے مطابق تین یا اس سے زیادہ لائنوں کے ہر سادہ ترتیب میں کم از کم ایک مثلث چہرہ ہوتا ہے۔ یہ آسانی سے اس حقیقت سے شامل ہوتا ہے کہ کسی ترتیب میں لکیر کا اضافہ مثلث چہروں کی تعداد کو کم نہیں کر سکتا: اگر لکیر کسی موجودہ مثلث کو کاٹ دیتی ہے، تو اس کے نتیجے میں آنے والے دو ٹکڑوں میں سے ایک پھر مثلث ہے۔ دوسری طرف، اگرچہ رابرٹس تھیوریم کی حد ہر اضافی لکیر کے ساتھ بڑھتی ہے، لیکن کسی خاص ترتیب میں مثلثوں کی تعداد بعض اوقات تبدیل نہیں ہو سکتی۔ اگر دی گئی تمام لکیروں کو ان کی ڈھلوانوں کو تبدیل کیے بغیر منتقل کیا جاتا ہے، تو ان کی نئی پوزیشنوں کو حقیقی اعداد کے نظام کے ذریعے بیان کیا جا سکتا ہے، ہر لائن کے آفسیٹ اس کی اصل پوزیشن سے۔ ہر سہ رخی چہرے کے لیے، اس کی تین لائنوں کے آفسیٹ پر ایک لکیری مساوات ہوتی ہے جو، اگر مطمئن ہو تو، چہرے کو اپنا اصل رقبہ برقرار رکھنے کا سبب بنتی ہے۔ اگر مثلث سے بھی کم ہو سکتے ہیں، تو (کیونکہ ان کو محدود کرنے والی مساوات سے زیادہ متغیرات ہوں گے) دو لکیروں کو اپنی جگہ طے کرنا اور ان کی ڈھلوانوں کو مستحکم رکھتے ہوئے باقی تمام لکیروں کی بیک وقت لکیری حرکت تلاش کرنا ممکن ہوگا، جو مثلث کے تمام علاقوں کو محفوظ رکھتا ہے۔ اس طرح کی حرکت کو ان انتظامات سے گزرنا چاہیے جو سادہ نہیں ہیں، مثال کے طور پر جب حرکت پذیر لائنوں میں سے ایک دو فکسڈ لائنوں کے کراسنگ پوائنٹ سے گزرتی ہے۔ اس وقت جب حرکت پذیر لائنیں پہلے غیر سادہ ترتیب بناتی ہیں، تین یا اس سے زیادہ لائنیں ایک مقام پر ملتی ہیں۔ ان لائنوں کے ملنے سے ٹھیک پہلے، لائنوں کے اس ذیلی سیٹ کا ایک سہ رخی چہرہ ہوگا (جو اصل ترتیب میں بھی موجود ہے) جس کا رقبہ صفر تک پہنچ جاتا ہے۔ لیکن یہ چہرے کے علاقوں کی غیر متغیریت سے متصادم ہے۔ تضاد سے پتہ چلتا ہے کہ یہ مفروضہ کہ مثلث سے کم ہیں درست نہیں ہو سکتا۔ متعلقہ نتائج جب کہ رابرٹس کا نظریہ ایک دی گئی تعداد میں لکیروں کے ذریعہ بنائے گئے سب سے کم ممکنہ مثلثوں سے متعلق ہے، متعلقہ کوبن مثلث کا مسئلہ سب سے بڑی تعداد سے متعلق ہے۔ دونوں مسائل پہلے سے ہی مختلف ہیں، جہاں رابرٹس کا نظریہ اس بات کی ضمانت دیتا ہے کہ تین مثلث موجود ہوں گے، لیکن کوبن مثلث کے مسئلے کے حل میں پانچ مثلث ہیں۔ رابرٹس تھیوریم کو سادہ لکیر کے انتظامات سے لے کر کچھ غیر سادہ انتظامات تک، یوکلڈین سطح کے بجائے پروجیکٹو سطح میں انتظامات تک، اور اعلی جہتی خالی جگہوں میں ہائپرپلین کے انتظامات تک عام کیا جا سکتا ہے۔ لکیر کے انتظامات سے پرے، وہی حد جو رابرٹس تھیوریم سیڈوولینز کے انتظامات کے لیے رکھتی ہے۔ حوالہ جات مجرد جیومیٹری مثلث